WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Ebene und sphärische

Trigonometrie

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von

Dr. Gerhard Hessenberg

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Mit 69 ein- und zweifarbigen Figuren

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Das rechtwinklige sphärische Dreieck.

Unendliche Reihen und Produkte zur Darstellung der trigonometrischen Funktionen.

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\ {Hftronomie \2 pabagogtî «» p«f- or- к«*«-\ 3 ©eologie Sc&t9iaM-mt

нРФфо1одй unb Uogif

von Dr. Ifc ©Henbane.

15 öeutfebe mythologie

prof. Dr. $. ftauffmamu

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fnnbe oon mai Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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^Der îïibelunge Hot

⁴ unb mittelbocbbeutfcbc ©rammatit oon prof. Dr. ©oltber.

2£ejftngo Æmilia ©a*

з i'efîingô £abeln£«L?£n. łfefftngó Caoîoon.

5 Ueffingô ïïiinna non

Ширпег n. b ШгфепИеЬ b î6. Sabrb-m Æinltg. ». 2lnm. o. prof. ©. Beritt

8    £efßnge littérarité

unb bramatnrg. Ubbanbl.

9    СеШпдб antiqu. nnb

epigrammat. Hbbanbl.

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epen. mit «inllg, n. ШоПегЬиф ». Dr. ®. C. IiriC3et.

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V. Prof. Dr.

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O. Dr, 7ul Ъоф.

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e»efcbi(t>te bcr vutfcben Sprache »on Dr. ф. ÇpOtt,

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7iäbv Kriege* ». prof. Ф ©üntter.

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îüoltram p <Ё|фепЬаф u. Sottfr.

DOIT StraÉburg. Xusw. a. b. t|ôf. €pos o. prof. Dr. ülarolb.

23    îbaltberp.b.Dogelmeibe

mit Husto. ans tïïinnefang unb 0prud?* biebtung oon prof. Ф. ^Untier.

2<*Вапб вафб и.Ло^апп

^Si^art nebfł Wittem ЯпЦ. : ВГйШ U. IbUtten. Husgeroäljlt u. erläutert oon Prof. Dr. Лul. Sabr.

25 &itenliebu.Dolfôlieb.

©eißl. и. meltl.Cyrit Ь, 17. и. JS.Jabrb. bie &lopßo<f oon Dr. <ô. iSUiuger.

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prof. Dr. 6iegw. ©üntber. ши зз Hbbilbmtgen.

27 ФпефЦфе и. ЯотЦфе

mythologie о. prof. Dr. "fa Bteubing.

28    Н1фофЬ^феГШега1иг

т. ©rammatit, Ueberfefcmtg и. €rläute« rungen о. prof. (Eb* бфаиШег.

29    mineralogie ÄKT;

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f Воф, profeffor an Hjreslaa.

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Ht. rmt3Caf.

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Mittelalter oon Dr. £. Вигзс.

ßerausg. oon Dr. Æ. ïïauutamt.

36 Berber, <£ib.

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oon Dr. Jof. Blein.

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Dr. 3o\. Blein.

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illorgpiiiaiibe^ oon prof. Dr. £r. Ibommcl Ши 6 Silbern unb I Karte.

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Ши 96 Kbbilbungen.

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oon prof. Dr. Ъ. Schubert.

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„Xritymetit n. Xlgebra" oon prof. Dr. Ъ. Säubert.

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prof. Dr. ъ. Smoboba.

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oon Sdjulblreftor X. Seçfert.

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Deutfd?eu oon Dr. Hub. Bleinpaul.

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non Dr. Heini?, ©untrer.

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non Dr.

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Dr. m Œrabert.

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miffenfcbaft oon prof. Dr. H. üleringcr.

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europ. Erbteile. Шit \l £ejtfàrtd?en и. Profilen. D. prof. Dr. «Sranä'&eibeiicfc

6^ îutrsgefajUesDeutdies

IPörterbud?. Don Dr. $. Detter

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ber €bene oon prof. Dr. Щ. Simon, mit 40 #g.

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non Dr. lErid? Serncter.

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Dr. £г1ф Eerneter.

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69    (ЕпдЩфе £itteraturge=

(ф|ф!е non prof. Dr. Burt IDeiier.

70    Шеф1(фе Citteratur-

де(ФШе о on prof. Dr. Hlfreb ©errfe.

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3e t« elegantem on *sf |î ♦ Semœanbbanb ÔU^

Öammfung (ßofcßen

C*    Ô. Л. ©(НфепЧФе Derlagabandlung, Ceip3ig.

71    Thernie, Allgemeine u. 8? Cohere Analpfiô I:

Dbuüfûlifcbe. »on Dr. Шаг Hudolpbi.

72    projeîtire (geometrie

oon Dr. Âarl Doeplemann. mit 57 Зит Teil jroetTarbigen 5iauren.

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56 Abbildungen.

7^ Die Sauhmft b. Abenb=

landes oon Dr. &. Schafer. mit 22 Abb.

75    Die (БгарЭДфеп Mnfte

oon (Êarl Hampmann. mit З Beilagen unb 39 Abbildungen.

76    $^еогеП1фе Pbhfif, <4:

medjanif und Afufiif. Don Prof. Dr.

©UÜap Jager, mit oielen Abbilbgn.

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78    Треогеффе phnfif, c™,\

(Eleftricität unb magnetismus. Don Prof.

Dr. ©uftar Jäger.'mit pieleń Abbilbgn.

Differentialrecbtumg. Don Dr. £vbv-Junter. mit 63 $ig.

88    bösere Analpfis П:

Jiitegralrefbmtng. Don Dr. £vbv. Junter. mit 85 Gigu en.

89    Апа1рффе ©eometrie bee Aaumeo SF&m

28 Abbildungen.

90    Ætfyif non prof. Dr. Th* АфеИв.

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pon prof. Dr. IDalter XDislicenus.

92 ÎKathemat.tëeographie

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99 Trigonometrie

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©егф. Wellenberg, mit pieleń 5b guten.

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tot Sociologie to2@eobafie

prof. Dr. ф. Aaemmel. # , pon prof.

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Sammlung Göschen

Ebene und sphärische

Trigonometrie

von

Dr. Gerhard Hessenberg in Charlottenburg-Berlin

Mit 69 ein- und zweifarbigen Figuren

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'Ь KSIĘGARNIA \

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1899

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Alle Rechte, insbesondere das Uebersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

BIBLIOTEKA PCLITECIIIIIBZU

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Äke. Mr.

Druck und Einband von Carl

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einleitung, §§ 1—3

Erster Teil.

Ebene Trigonometrie.

Erstes Kapitel: Das rechtwinklige Dreieck.

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10.    Anwendung des Cosinussatzes ....

11.    Sinussatz ......

12.    Rechnerischer Beweis des Sinussatzes .

§ 13. Anwendung des Sinussatzes ....

§ 14. Tangenten der halben Winkel ....

Drittes Kapitel: Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen.

§ 15. Erste Form der Additionstheoreme § 16. Beweis der Additionstheoreme .

§ 17. Zweite Form der Additionstheoreme § 18. Bedeutung der Additionstheoreme § 19. Additionstheorem der Tangente § 20. Doppelte und halbe Winkel

48

50

56

59

60

Seite

Viertes Kapitel : Anwendung der Additionstheoreme auf das schiefwinklige Dreieck.

§ 21. Tangentensatz § 22. Weiteres Formelmaterial

63

65

Fünftes Kapitel : Berechnung der Vierecke.

§ 23. Allgemeines .....

§ 24. Berechnung durch Teildreiecke

§ 25. Die vollständigen Beziehungen zwischen den Winkeln § 26. Berechnung der Winkel aus vier gegebenen § 27. Das Sehnenviêreck ....

§ 28. Das Trapez    ....

Zweiter Teil.

Sphärische Trigonometrie.

Sechstes Kapitel : Einleitendes.

§ 29. Aufgabe der sphärischen Trigonometrie § 30. Nebendreiecke und Scheiteldreieck § 31. Inhalte von Zwei- und Dreiecken § 32. Das Polardreieck

M to oft (M 00 00 00 05

Siebentes Kapitel: Das schiefwinklige sphärische Dreieck.

§ 33. Erster Cosinussatz .    .    .

§ 34. Funktionen der halben Winkel. Sinussatz § 35. Eeciproke Formeln .....

§ 36. Eechnerische Herleitung des zweiten Cosinussatzes. Co-tangentensatz ....

§ 37. Uebergang in die ebene Trigonometrie .

§ 38. Auflösung der sphärischen Dreiecke

95

98

100

100

101

.    103

Achtes Kapitel : Das rechtwinklige sphärische Dreieck.

§ 39. Auflösung der rechtwinkligen sphärischen Dreiecke § 40. Die Napier’sche Eegel .....

§ 41. Geometrischer Beweis der Fundamentalformeln des rechtwinkligen Dreiecks .....

§ 42. Das Quadrantendreieck    .    .

§ 43. Das schiefwinklige Dreieck im Zusammenhang mit dem rechtwinkligen    .    .    .    .

107

111

114

116

Neuntes Kapitel : Weiteres Formelmaterial für das sphärische Dreieck.

Seite

118

§ 44. Die Gauss’schen Gleichungen und die Napier’schen Analogien .    .    .    .    .

120

§ 45. Formeln für s, sa, o', ffa, q, (>a, r, ra .

. 122

§ 46. Die I/Huilier’schen Formeln § 47. Logarithmische Rechnung zum Auflösen der Dreiecke .    125

Dritter T eil.

Berechnung und algebraische Anwendung der trigonometrischen Funktionen.

Zehntes Kapitel : Elementare Berechnung der trigonometrischen Funktionen.

§^48. Die regulären Polygone § 49. Funktionen sehr kleiner Winkel

126

128

Elftes Kapitel : Der Moivre’sche Satz.

§ 60. Begriff des Vektors § 51. Addition von Vektoren .

§ 52. Multiplikation von Vektoren § 58. Zerlegung der komplexen Zahl in reellen und imaginären Teil .......

§ 54. Summation der Sinus und Cosinus einer arithmetischen Reihe von Winkeln .    .    .    .    ' .

§ 55. Der Moivre’sche Satz. Funktionen der vielfachen eines Winkels    ......

. 181

133

135

137

138

140

Zwölftes Kapitel: Unendliche Reihen und Produkte zur Darstellung der trigonometrischen Funktionen.

143

§ 56 .

Dreizehntes Kapitel: Die Methode der Hilfswinkel.

145

§ 57. Beispiele .    .    ....

§ 58. Trigonometrische Auflösung der Gleichung zweiten Grades 149 §59. Trigonometrische Auflösung der Gleichung dritten Grades 150 § 60. Beispiele zu §§ 58 und 59.

Anhang: Uebungsbeispiele.

Tafel I: Rechtwinklige ebene Dreiecke я II: Schiefwinklige ebene Dreiecke „ III : Rechtwinklige sphärische Dreiecke . я IV : Schiefwinklige sphärische Dreiecke . я V : Die Sinus und Cosinus der vielfachen von 3° etc. 20 Textaufgaben .....

Seite

155

157

158

159

160

16 L

Anmerkung des Verfassers :

Der zweite Beweis der Additionstheoreme (§ 16, pag. 53 ff.) ist zwar vom Verfasser selbständig gefunden, aber nicht neu. Er ist ein anscheinend in Vergessenheit geratener Beweis der Baur’schen Schule.

Einleitung.

§ i.

Eine der wichtigsten Aufgaben der elementaren Geometrie ist die Konstruktion einer Figur aus einer hinreichenden Anzahl gegebener Stücke, speciell die des Dreiecks aus drei Stücken. An diese Aufgabe schliesst sich naturgemäss die Frage nach der Grösse der übrigen Stücke an. Dieselbe kann ohne weiteres beantwortet werden, wenn die Aufgabe der Konstruktion der Figur gelöst ist : Man zeichnet die Figur und misst mit Massstab und Transporteur die gesuchten Stücke nach.

Dieses Verfahren nennt man das „mechanische“, „konstruktive“ oder „graphische“. Früher vielfach unterschätzt, findet es in neuerer Zeit ausgedehnte Anwendung in der Technik (Graphostatik). Es ist nicht auf ebene Figuren beschränkt : in der darstellenden Geometrie wird die Aufgabe behandelt, die einzelnen Stücke räumlicher Figuren durch ebene Konstruktionen zu ermitteln. Dagegen ist der Anwendbarkeit des graphischen Verfahrens durch folgende zwei Hauptpunkte eine Grenze gesetzt:

Erstens setzt es die konstruktive Lösung der Aufgabe voraus. Diese aber ist mit Zirkel und Lineal durchaus nicht immer möglich und, wenn

Endlich bezeichne

г den Radius, M das Centrum des Umkreises, q den Radius, 0 das Centrum des Inkreises,

J den Inhalt des Dreiecks.

,Л

Са Иа

Оа

—'V

Figur 1.

(V)    .1

(VI)    J = ]/ p . pa . pb . Qc ,

(VII)    +    +

Q Qa pb (>c

Ist beispielsweise

so wird also nach (II) und nach (III)

Figur 2.

Die Formeln für das ebene Dreieck sind dann:

(I)    c² = a² -f- ba + 2aba (Projektionssatz),

(II)    J = )/s.Sa.Sb.Sc,

(III)    J = -k all» = f blib = ^- eh«,

(IV)    J =pS = e& Sa = 9b Sb = Qc Sc, abc Tr⁻’

a = 13 ; b = 14 ; c = 15,

s = 21 ; sa = 8 ; Sb = 7 ; sc = 6,

P = 4; pa =

— 10,5 ; eb = 12; ec = 14

65

und nach (V)

₈ -8,125.

Wie gross sind ba, Ca, ab u. s. w. ? (Ans (I) zu berechnen.) Der Leser überzeuge sich, dass auch (VI) untf (VII) erfüllt sind, und konstruiere das Dreieck, um die Stücke nachzumessen. Die Winkel finden sich in Кар. II, § 14, berechnet.

3.

ha = — = 12,9280... ; hb = 12 ; hc = lo

Sr

= 11,2.

Ferner ist nach (IV)

Die Aufgabe der Trigonometrie kann man nunmehr folgendermassen definieren:

Zunächst für das ebene Dreieck, dann aber auch für beliebige ebene und räumliche Figuren den Zusammenhang zwischen den Strecken, Flächeninhalten und Winkeln zu ermitteln.

Das wesentlich neue Moment liegt dabei in der Betrachtung der Winkel, da diejenigen Beziehungen, in denen keine Winkel Vorkommen, durch die elementare Geometrie gefunden werden können. Es werden jedoch auch solche Beziehungen mit trigonometrischen Hilfsmitteln oft einfacher und kürzer herzuleiten sein.

Die Gleichungen zwischen den Strecken und Flächeninhalten sind algebraisch, d. h. sie können auf eine Form gebracht werden, in der nur Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen, und zwar in endlicher Anzahl, Vorkommen. So kann für (II) geschrieben werden J . J = s . sa . Sb . sc oder

16.J.J = (a + b + c) (—a + b + c) (a — b + c) (a + b —c).

Man sagt daher, dass der Inhalt und die geradlinigen Stücke des Dreiecks algebraische Funktionen der Seiten sind. Das Entgegengesetzte gilt von den Winkeln. Sie sind zwar auch durch die drei Seiten bestimmt, d. h. Funktionen der drei Seiten; aber der Zusammenhang zwischen Seiten und Winkeln lässt sich nicht durch eine endliche Anzahl von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen definieren; die Winkel sind also „nicht-algebraische“, oder, wie man dafür sagt, „transcendent e“ Funktionen der Seiten.

Erster Teil.

Ebene Trigonometrie.

Erstes Kapitel.

Das rechtwinklige Dreieck.

§ 4. Definition der trigonometrischen Funktionen.

Wenn in einem bei C rechtwinkligen Dreieck ABC ein spitzer Winkel, etwa a, bekannt ist, so kennt man auch den zweiten Winkel, ß = 90° — «. Man kennt

Figur 3.

also das Dreieck seiner Gestalt nach. Ist in irgend einem anderen rechtwinkligen Dreieck A'B'C' der Winkel а* gleich a, so sind die Dreiecke ABC und A'B'C' ähnlich und folglich auch

a : b : c = a' : b' : c'.

Die Уerhältnisse der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind also durch einen

der spitz en Winkel völlig bestimmt, sie sind, wie der Mathematiker dafür sagt, „Funktionen“ desselben.

Ist z. В. a = 30°, so ist, a = c, also nach dem Pytha-

и

уз

DO

goras b = — c, mithin hat man

1,7321.

0,5;    = 0,8660 ;    = y<T=

Ist « = 45°, so ist c —• а

]/ 2, also

=0,7071 ;-L = ^ =0,707!; ■; = 1.

Man nennt den Quotienten    den Sinus des

Winkels a:

Sinus = Gegenkathete durch Hypotenuse

sin а — —

(spr. Sinus alpha).

b ist die Gegenkathete von ß, d. h. des Complements von a ; ^ ist daher der Sinus des Complements

von a; kürzer nennt man diesen Quotienten den Cosinus von a (entstanden durch die Abkürzung со. sin. für complementi sinns).

Cosinus = Gegenkathete des Complements durch Hypotenuse.

cos a =

(spr. Cosinus alpha).

Nach dieser Definition ist cos a — sin (90° — a), sin a = COS (90° — a).

а: с

sin a

nennt man die

Den Quotienten - -Tangente des Winkels a.

Tangente = Sinus durch Cosinus — Gegenkathete durch andere Kathete.

sin а

cos«

**а-ц

COS а

(spr. Tangens alpha.)

ist hiernach die Tangente von ß und wird als

solche die Cotangente von a genannt. Die Bezeichnung entstand aus co. tang. = complementi tangens.

Cotangente = Gegenkathete des Complements durch andere Kathete.

» er

= tg (90° - a)

COS a

cotg a =--

(spr. Cotangens alpha).

Nach dieser Definition sind Tangente und Cotangente reciproke Werte :

sin a

cotg a =

weil cotg a Aga =

'-b-=h

tg«’

Aus diesem Grunde wird cotg a nur selten gebraucht, da es sich so einfach durch tga ersetzen lässt.

Im ganzen giebt es 6 Seitenverhältnisse: -jp

» ! er

—Л • Bie Namen der 4 ersten sind soeben ange-

geben worden.

Von den beiden letzten nennt man ?

TT

die Secante und dementsprechend — die Cosecante von a

a

und scnreibt dafür sec a und cosec a. Offenbar ist cosec a Hessenberg, Ebene und sphärische Trigonometrie.

sin a

----. Daher werden die Funktionen sec

cos a

sec a =

und cosec im allgemeinen nicht benutzt.

Dagegen präge sich der Leser die Definition der Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens aufs sorgfältigste ein. Hierbei sind folgende Merkmale dienlich : Im Zähler steht stets die Gegenkathete, und zwar die des Winkels selbst bei den Funktionen ohne Co, dagegen die des Complements bei den Funktionen mit Co. Im Nenner steht die Hypotenuse bei Sinus und Cosinus.

Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens heissen die „trigonometrischen Funktionen“. Sie. sind absolute unbenannte Zahlen; ihr Wert ist unabhängig davon, ob die Seiten des Dreiecks nach Centimetern, Zoll oder sonst irgend einem Masse gemessen sind. Man kann ihre Werte für jeden Winkel mit beliebiger Genauigkeit berechnen, und zwar mit elementaren Hilfsmitteln, aber auf Grund von Eigenschaften, die erst später zu entwickeln sein werden. Wesentlich einfachere Methoden liefert jedoch die höhere Mathematik. Näheres hierüber findet sich im dritten Teil dieses Buches.

Man hat, wie für die Logarithmen der Basis 10, auch für die trigonometrischen Funktionen Tabellen aufgestellt. Diese finden sich aber, da sie wenig gebraucht werden, gar nicht oder nur in beschränktem Umfange den logarithmischen Tabellen werken beigegeben. Dagegen enthalten diese Werke ausführliche Tabellen der Logarithmen der trigonometrischen Funktionen. Die sichere Handhabung dieser Tabellen ist für das Weitere unumgänglich notwendig, und zwar übe sich der Leser zunächst an der für die meisten Zwecke ausreichenden fünfstelligen Tabelle.

§ 5. Auflösung der rechtwinkligen Dreiecke.

Wenn man bedenkt, dass die zu einem Winkel а gehörigen Zahlen sin et, cos et, tgct, cotga nichts anderes • sind, als die Seitenverhältnisse eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks, dessen einer spitzer Winkel gleich et ist, so erkennt man, dass mit den trigonometrischen Tabellen vollständig das Material zur Auflösung der rechtwinkligen Dreiecke gegeben ist. In einem solchen kann gegeben sein:

1)    ct und а

2)    ce und b

5) a und c.

Im ersten Falle hat man:

3)    a und c

4)    a und b

= sin ct, also с

sin ct

log c = log a — log sin cc

CfQ

-BP II

& J*

о"

IZ

ce

ÓqL

ZI.

Im zweiten Falle ist:

cos cf

ce LQ

—    = COS Cf J c

log c = log b — log cos a

Im dritten Falle ist:

a .    .

—    = sin a, a = c . sm a c

log a = log c + log sin a Im vierten Falle ist:

= tg а, а = b tg et log a = log b + log tg a.

- - = cos «, Ъ = с cos а log Ъ — log с + log cos а.

CT" P

= tgct

log a — log b == log tg a

oder auch c

sin ct

log c = log a—: log sin et

Im fünften Falle ist:

b — a cotg cc

a

— = sin c

log b = log a -f- log cotg a

log a — log c — log sin a

oder b '== У c² — a*.

Die Berechnung des zweiten Winkels ist hierbei nicht berücksichtigt. Es ist ja ß = 90°— «. Die Anwendung der Formeln c = )/a²+ b², b = ]/ ca — а² ist nur zu empfehlen, wenn a, b resp. c, a ganzzahlig sind, oder wenn man eine ausführliche Quadratzahlentabelle zur Verfügung hat.

Erstes Beispiel, а — 3, c ¹    5.

b = ]/2ö — 9 = 4. log а = 0,47712 log c = 0,69897

log sin а = 0,77815 — 1 = 9,77815 — 10.

а = 36° 52' 11" ß = 90° — а = 53° 7' 49".

Der Leser rechne für dieses Dreieck auch die andern 4 Fälle durch.

man.

Die Bestimmung der Sekunden ist nicht ganz genau. Man findet denselben log sin für alle Winkel von 36° 52' 9" bis 36° 52' 12". Mit 7stelligen Logarithmen findet dass der letzte Wert der richtige ist.

log b = log a -f- log cot a

Zweites Beispiel, a = 12, а = 67° 22' 49" log с = log a — log sin a

log a = 1,07918 log cota = 9,61971 — 10

log b = 0,69897 b = 5,0000

log a = 1,07918 — log sin a — — 9,96524 -f 10

log c = 1,11394 c = 13,000

Probe: 12² 4- 5⁸= 13⁹.

Drittes Beispiel.

log b === log c -f- log cos а

c = 21,746; a = 38° 2Г 47" log а = log c -f- log sin а

log c = 1,33738 log sin a = 9,79285 -f-10

loge =1,33738 log cos a = 9,89437 — 10

log a = 1,13023 a = 13,497

log b = 1,23175 b= 17,051

Probe mit Hilfe der Quadratzahlentabelle : a² = 182,17, b² = 290,73, c² = 472,89.

Das zweite und dritte Beispiel sind der Tafel I am Schlüsse des Buches entnommen.

§ 6. Verlauf und Verallgemeinerung von Sinus und Cosinus.

1. Um von dem Verlauf des Sinus und Cosinus ein anschauliches, geometrisches Bild zu erhalten, denke man sich die Hypotenuse des bei C rechtwinkligen Dreiecks ABC als Längeneinheit gewählt. Dann ist sin a = a, cos a = b, weil c = 1 wird. Denkt man sich nun

B2j

By

BA

C₂

Figur 4.

den Winkel a veränderlich, den Schenkel АС aber festgehalten, so beschreibt der Punkt В einen Viertelskreis PBQ. Das Lot von В auf den Radius AP, der durch

C geht, ist der Sinus, die Entfernung seines Fusspunktes von A der Cosinus, vorausgesetzt, dass der Radius des Kreises die Längeneinheit ist. Man sieht aus der Figui unmittelbar, wie der Sinus von 0 bis 1 wächst, während der Cosinus von 1 bis 0 abnimmt.

2. Es hindert uns aber nichts, den Schenkel AB über die Lage AQ hinauszudrehen, wenn wir nur AP über A hinaus rückwärts verlängern. Dann wandert C auf dem zu AP entgegengesetzten Radius A R weiter, das Lot В C nimmt von 1 bis 0 wieder ab, und AC wächst wieder von 0 bis 1, ist aber jetzt entgegengesetzt gerichtet wie vorher.

B'

B\

Figur 5.

Man bezeichnet nun auch weiter BC, gemessen durch AB, als den Sinus von PAB und hat damit die Definition des Sinus auf stumpfe Winkel erweitert. Ebenso nennt man auch weiter AC, gemessen durch AB, den Cosinus von a, erteilt ihm aber, da AC entgegengesetzt gerichtet istу wie die Cosinus des ersten Quadranten, das negative Vorzeichen.

Die so definierten Sinus und Cosinus stumpfer IVinkel lassen sich leicht durch die ihrer spitzen Nebenwinkel ausdrücken. Ist nämlich < B'AP = <§C BAB, = 180° — a, so ist В' C' gleich und gleichgerichtet, wie В C, d. h. es ist

sin а = sin (180° — a).

Dagegen ist AC gleich und entgegengesetzt richtet, wie А' C, d. h. es ist

(I)

ge-

(П)

COS а = — cos (180 ° — a)

Nebenwinkel haben gleiche Sinus und entgegengesetzt gleiche Cosinus,

3. Man kann AB noch weiter drehen, durch den dritten und vierten Quadranten, bis nach AP. Dabei wandert C von R nach P zurück

und wenn man А C, gemessen durch AB, wieder mit dem negativen Vorzeichen, wenn C auf AR, mit dem positiven, wenn C auf AP liegt, auch weiterhin als Cosinus von « bezeichnet, so durchläuft der Cosinus die Werte von —1 bis -}-l wieder zurück.

Ebenso bezeichnet man BC, gemessen durch AB, auch weiterhin als den Sinus, erteilt ihm aber das negative Vorzeichen, da В C entgegengesetzt gerichtet ist, wie im ersten und zweiten Quadranten.

B'

Figur 7.

B’

Figur 6.

Die Sinns und Cosinus der Winkel des dritten und vierten Quadranten lassen sich wieder in einfacher Weise durch die des ersten und zweiten ausdrücken. Verlängert man nämlich B A über A hinaus bis zum zweiten Schnittpunkt B' mit dem Kreis, so ist <£: P А В' = а — 180°, В' С' ist gleich und entgegengesetzt gerichtet, wie В C :

(ui)

sin а = — sin (a — 180°).

(IV)

C'A ist gleich und entgegengesetzt gerichtet, wie CA: cos а =- — cos (a — 180°).

Winkel, die sich um 180° unterscheiden, lmben entgegengesetzt gleiche Sinus und Cosinus.

4. Hierdurch erhält man folgendes Bild von dem Verlauf des Sinus und Cosinus in den 4 Quadranten :

cos а

sin а

geht von 0 bis R

geht von 0 bis 1

geht von 1 bis 0

== R

geht von R bis 2 R

geht von 1 bis 0

geht von 0 bis —1

geht von 2 R bis 3 R

geht von 0 bis —1

geht von —1 bis 0

geht von3Rbis4R

geht von —1 bis 0 geht von 0 bis 1

Lässt man den Punkt В von irgend einer Lage aus einen vollen Umlauf auf dem Kreise machen, so vermehrt sich zwar der Winkel a um 360°, aber В und mit ihm BC und AC kehren in ihre vorige Lage zurück. Man sagt daher, Sinus und Cosinus seien „um 360° periodisch⁴⁶:

\o°

cos -

cos +

R (iso

0 )P

sin (a -J- 360°) = sin а COS (a -f- 360°) = COS а

(V)

(VI)

90

sin +

sin +

sin -

sut -

cos-

cos +

2 70

Figur 8.

эо°

180°\

270°

Figur 8 a.

5. Bisher war angenommen, dass sich В auf dem Kreise im entgegengesetzten Sinne wie der Uhrzeiger drehe. Dreht man А В nach der anderen Seite, bis es mit А P zusammenfällt, so wird a null und der bei weiterer Drehung entstehende Winkel ist konsequenterweise als ein negativer Winkel zu bezeichnen. Die Funktionen negativer Winkel definiert man durch die zuletzt aufgestellte Gleichung, indem man zu dem Winkel so oft 360° hinzufügt, bis man

УВ

Figur 9.

einen positiven Winkel erhält. Auch überzeugt man sich an der Figur leicht, dass

sin (— a) = — Sin a, COS (— a) = COS a ist. (VII)

§ 7. Verlauf der Tangente.

Die Tangente definiert man für beliebige Winkel

am besten immer als Quotienten von Sinus und Cosinus:

tgo =

sin«

cos а

Durch Division der Formeln

sin а = sin (180° — a), cos а = — cos (180° — а) erhält man

(VIII)

tga = —tg (180° — «)

tg а = tg (а — 180°).

(IX)

Nebenwinkel haben entgegengesetzt gleiche Tangenten. Durch Division der Gleichungen sin a — — sin (а — 180°), cos a = — cos (a — 180°) erhält man

Die Tangenten der Winkel im dritten und vierten Quadranten stimmen wieder mit denen der Winkel im ersten und zweiten überein, die Tangente ist also bereits um 180° periodisch.

(X)

Für negative Winkel erhält man durch Division von sin (— a) = — sin a, cos (— a) = cos a tg* (— a)= — tg a.

Um von dem Verlauf der Tangente ein geometrisches Bild zu erhalten, errichte man in Fig. 10 in P das Lot auf AP und verlängere AC bis zum Schnitt T mit

r,

By

Ci С

Figur 10.

demselben. Dann ist TP: AP = tga, und da AP die Längeneinheit ist, ist TP das Mass der Tangente. Uebrigens stammt die Bezeichnung „Tangente“ davon her, dass TP in P den Kreis berührt.

Die Tangente wächst von 0 bis 90° stetig und kann jeden Wert annehmen. Für 90° ist sie nicht definierbar, da sich dann AC und das Lot in P nicht schneiden. Auch wird cos 90° == 0, so dass der Quotient

keinen Sinn hat. Man schreibt aber

sin 90°

cos 90°

tg 90° = oo (gesprochen : unendlich), um damit anzudeuten, dass tga bei der Annäherung von a an 90° jeden beliebig grossen Wert annehmen kann.

§ 8. Algebraische Gleichungen zwischen den Funktionen desselben Winkels.

Nach dem Satz des Pythagoras ist für jede Lage des Punktes B:

(AC)² + (B C)² — (AB)²

(XI)

oder, da AB = 1, AC = + cosa, BC = + sina ist: sin² a -)- COS²a = 1.

Figur 11.

Dies ist eine der wichtigsten Fundamentalformeln der Trigonometrie. Mit der andern Gleichung

tgcg =

sin cg cos«

zusammen gestattet sie, jede der drei Funktionen sin, tg, cos durch eine andere auszudrücken. Eliminiert man irgend eine, etwa sin, aus beiden Gleichungen, so erhält man eine Beziehung zwischen den beiden andern, etwa cos und tg. Der Leser übe dies zunächst an einigen

I _

Zahlenbeispielen, z. B. tg«= —, уз, 3 u. a. m., und

А

leite sodann folgende 6 Formeln ab:

Zweites Kapitel.

Das schiefwinklige Dreieck.

§ 9. Cosinusformeln und Cosinussatz.

In jedem schiefwinkligen Dreieck gelten die drei Cosinusformeln :

a = b cos у + c cos ß b = c cos а + a cos у с = a cos ß + h cos a

tg a =

t get

sina =

sin a

У1 —cos² a

tg«

cos a =

У1 — sin² a

cos a

]/l + tg“a

sin a

У1 — sin² a

У1 — cos² a

cos a

(I)

Figur 12.

Beweis. 1. a und ß seien spitz. Dann ist in dem rechtwinkligen Dreieck ACHc

AEC = AC cos a = b cos а und in dem rechtwinkligen Dreieck BCHc BHC = BC cos/? = a cos/?.

Durch Addition folgt

AHc + BHc = AB=:C = acos/?+b cos a, w. z. b. w.

2. Einer der Winkel a und /?, etwa a, sei stumpf. Dann ist wie vorher

В Hc = В C cos ß == a cos ß. A Hc == А C cos a⁴ ^ b cos a',

Dagegen

wo a⁴ —180° — a der Aussenwinkel an der Ecke A ist.

Ar

Дс

ct\cl

'В-

Figur 13.

Durch Subtraktion folgt

B ïï₀ — AHC = AB = c = a cos ß — b cos a4 und nach Formel (II) des ersten Kapitels ist — cos a' = cos a, also c = a cos ß -f- b cos ce, w. z. b. w.

Man kann die drei Cosinusformeln als drei Gleichungen ersten Grades mit den drei Unbekannten cos ce, cos/?, cos/ auffassen und nach diesen Unbekannten auf-lösen. Dann erhält man :

cos a =

— a² + b² + c²

2 b c

cos/? =

+ a² —b² + c²

2 a c

cos / =

(П)

a² + b² — c²

Man schreibt nach WegschaffuDg der Brüche diese Formeln meist in der Gestalt:

(III)

a² — b² + c² — 2 b c cos a, b² = c²-j-a² — 2ca cos/?, c² — a² + b² — 2 a b cos/.

Diese Formeln enthalten den sogenannten Cosinussatz. Weiss man eine der Formeln (III) auswendig, so leitet man die anderen durch Vertauschung der Seiten und Winkel aus ihr ab. Will man den Cosinussatz unmittelbar aus den Cosinusformeln erhalten, so multipliziere man die erste mit a, die zweite mit b, die dritte mit c, addiere zwei von ihnen und subtrahiere die dritte davon.

Umgekehrt erhält man durch Addition zweier der

Gleichungen (III) die Cosinusformeln. Addiert man z. B.

die beiden letzten, so hebt sich b² -{- c² auf beiden Seiten

und es bleibt n ₀ ₂ о    л ₀ u

0 = 2 а — 2 ca cos ß — 2 ab cosy.

Dividiert man durch 2 a und bringt die negativen Glieder

auf die linke Seite, so erhält man die erste Cosinusformel.

Die Gleichungen (III) erhält man auch unmittelbar aus

dem Projektionssatz oder verallgemeinerten Pythagoras [For- ,

mel (I) der Einleitung]. Ist nämlich у spitz, so ist

c² = a² + b² — 2aba

und ba = b cos y.

Ist aber у stumpf, so ist

c² “ a²-j- b²-f-2aba und ba = bcos(180°—y) = — bcos/.

§ 10. Anwendung des Cosinussatzes.

Der Cosinussatz gestattet die Berechnung der fehlenden Stücke des Dreiecks, wenn drei Seiten oder zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind.

Erster Fall: Gegeben die 3 Seiten a, b, c. Man erhält die Winkel aus (II).

Erstes Beispiel.

a = 13, b = 4, c = 15.

1. Berechnung von a.

— a⁸ + b⁸ + c* = - 169 + 16 + 225 = 72,

cos a =

72

0,6,

2.4.15 log cos a = 9,77815 — 10, a = 53° 7' 49".

2. Berechnung von ß.

а⁸ — b⁸ + c² = 169 — 16 + 225 = 378,

cos/?

378

63

2.13.15    65 *

log cos ß = log 63 — log 65, log 63    = 1,79934

log 65    = 1,81291

log cos ß = 9,98643 — 10, ß = 14° 15' 0".

3. Berechnung von y.

a² + b⁸ —c⁸= —40,

cosy

40

2.13.4

13'

у ist also ein stumpfer Winkel. Da stumpfe Winkel nicht in der Tabelle stehen und negative Zahlen keine (reellen) Logarithmen haben, bestimme man statt у den Winkel y'=180°— y, dessen Cosinus nach Formel (II) des

5

Кар. I gleich -f- -jg- ist.

log 5    = 0,69897

log 13    = 1,11394

log cos y' — 0,58503 — 10. y' = 67° 22' 48" у = 180° — у' = 112° 37' 12".

Man hat

Probe : « + /? + 7 = 180° 0' 1".

Der Fehler von 1" ist sehr gering.

Wenn a, b, c nicht ganzzahlig gegeben sind, wird die Rechnung wohl umständlicher, bleibt aber im Prinzip die gleiche, wie bei dem ersten Beispiel.

Zweites Beispiel.

a = 13,509, b = 16,470, c = 21,746.

Logarithmisch oder mit einer Quadratzahlentabelle berechne man zunächst a², ba, c². Die Quadratzahlentabelle ergiebt

a² = 182,49, ba = 271,26, c² = 472,89.

1. Berechnung von a.

— a² + b² + c² = 561,66

log cos a — log 561,66 — log 2 — log b — log c ausgerechnet = 9,89437 — 10 a = 38° 21' 48".

2. Berechnung von ß. a² — b²+c² = 384,12

log cos ß = log 384,12 — log 2 — log а — log c ausgerechnet = 9,81543 — 10 ß = 49° 10' 24".

3. Berechnung von 7. a² + b² —c² = — 19,14

7 ist stumpf. 7' = 180° — 7.

19,14

2 ab

cos 7' = -f

log cos 7' = log 19,14 — log 2 — log а — log b ausgerechnet = 8,63360 — 10 7' = 87° 32' 5"

7 = 180° — 7' = 92° 27' 55".

Probe : « + ß + 7 = 180° 0' 7", hinreichend genau.

Zweiter Fall: Gegeben zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel: a, b, 7.

Hesseuberg, Ebene und sphärische Trigonometrie.

Man findet c aus der dritten Formel (III) dieses Kapitels, sodann a und ß wie im ersten Fall oder nach dem Sinussatz, § 13.

Drittes Beispiel. y spitz, a = 13, b = 14, y = 67° 22' 48".

log 2 ab cos y = log 2 + log a + log b -f- log cos y ausgerechnet = 2,14613 2 ab cos y — 140,00

c⁸ = a² -f- b² -- 2 ab cos y = 169 + 196 — 140 = 225 c = 15.

Für a und ß erhält man nach den Formeln (II) :

a = 53° 7' 49", ß = 59° 29' 23".

Probe : « + ß + y = 180° 0' 0".

Viertes Beispiel.

y stumpf, а = 13,509, b = 16,470, у = 92° 27' 55".

у* = 180° — y = 87° 32' 5", cos y¹ = — cos y c² — аа bа —2 ab cos y1 log 2 ab cos y' = log 2 + log a -f- log b + log cos y' ausgerechnet =    1,28194

[a², b² und c sind aus a, b und ca mit der Quadratzahlentabelle ermittelt.]

2 ab cos yl = 19,14 a² = 182,49 b² = 271,26 c²= 472,89 c = 21,746.

Dritter Fall: Gregeben zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel: a, b, a.

Dieser Fall ist einfacher nach dem Sinussatz (siehe § 13) zu lösen, lässt sich aber auch nach dem Cosinussatz behandeln. Man hat für c die quadratische Gleichung a² == b² -f- c² — 2bccosa oder c² — 2 b c cos a = a ² — h *.

Ihre Wurzeln sind

(IY)

c = b cos а + |/ а* — b² + b² cos² a = b cos a + У a² — b* sin²a 1st a > b, so ist nur das obere Vorzeichen brauchbar; das untere würde einen negativen Wert ergeben. Ist a < b, so sind beide Vorzeichen brauchbar, es muss aber b² sin² a kleiner als a² sein, weil sonst der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen negativ wird.

Fünftes Beispiel.

a = 13, b=4, a = 53° 7'49".

log b cos a = log b -f- log cos a log b sin a — log b + log sin a log b = 0,60206

log cos a = 9,77815 —10 log sin a = 9,90309 — 10

log b cos a = 0,38021, . . . b cos a — 2,4000 log b sin a = 0,50515

2 log b sin a = 1,01030 ... b² sin² a = 10,240 a2_b² sin² a = 158,70 j/a² — b* sin² a = 12,600 c = 2,4+12,6 = 15 oder — 10,2.

Die negative Wurzel ist nicht brauchbar. Aus a = 13, b = 4, c = 15 berechnet man die fehlenden Winkel nach Fall 1. Sechstes Beispiel.

c = 21,746, a = 13,509, « = 38° 21' 48".

Man hat für b die quadratische Gleichung a³=b²-|-c² — 2bc cos«,

deren Wurzeln

b = c cos a + j/a²— c²sin²a

sind. Es wird wie im fünften Beispiel:

c cos a = 17,051, c² sin² a = 182,16 a² — c² sin² a = 182,49 — 182,16 = 0,33 У а² — с² sin² а = 0,575

Ъ = 17,051 + 0,575 = 17,627 oder 16,476.

Beide Werte sind brauchbar; aber die letzte Stelle ist um 6 Einheiten falsch, wie genauere Berechnung zeigt. Der Fehler entsteht dadurch, dass a² — c²sin²a nur auf zwei Stellen genau gefunden wird. Er kann noch bedeutend grösser werden.

Weitere üebungsbeispiele enthält Tafel II am Schluss des Buches.

§ 11. Sinussatz.

Die Seiten eines Dreiecks verhalten sich, wie die Sinus der gegenüberliegenden Winkel:

a : b : c = sin a : sin ß : sin y.

Beweis. In dem rechtwinkligen Dreieck ACHc liegt bei A der Winkel a, wenn er spitz ist, dagegen der Winkel (180° —a) = a', wenn a stumpf ist. Nach Formel (I) des ersten Kapitels haben a' und a denselben Sinus

00

sin a =

CHc hc

AC b

A&-

Figur 14. hc = b sin a und ebenso im Dreieck В С Hc

Es ist also

folglich :

hc — a sin/?

a sin ß = b sin « a : b = sin а : sin/? w. z. b. w.

hc V

d\ći

'В

Figur 15.

Erweiterter Sinussatz :

= 21-

(VU)

sin a sin ß sin 7

oder a = 2 r sin a ; b = 2 r sin ; c = 2r sin y.

Beweis. Man ziehe durch В den Durchmesser

(VIII)

des Umkreises. A' sei sein zweiter Endpunkt. Das

A'

ri'

Figur 16 а.

Dreieck А' В С hat nach dem Satz des Thaies bei C einen rechten Winkel. Also ist:

BC

sin°/=BÄ‘⁼27

Ist aber a spitz, so steht es mit a' über demselben Bogen, ist also nach dem Satz vom Peripheriewinkel gleich a'. Ist dagegen a stumpf, so ergänzen sich die

âL

А'

Figur 16 b.

sin а =

Bogen, über denen a und а' stehen, zu 360°, die Winkel a und ce' also zu 180°. Es ist daher nach Formel (I) des ersten Kapitels sin a' gleich sin «, mithin unter allen Umständen

oder

Zweite Form des erweiterten Sinussatzes: sin а sin ß sin у 2 J

(IX)

c a b c -g- bc sin a = -g- ca sin ß = ab sin y (X)

(Inhaltsformel).

Erster Beweis. Nach Formel (VII) dieses Kapitels sina

Drückt man r nach Formel (V) der

sina

, so wird-

а

2 r ’

Einleitung durch J und die Seiten aus

ist---=

abc*

Zweiter Beweis. Nach Formel (VI) dieses Kapitels ist hc = b sin a, also

J = 2 c hc = — b c sin а, ж. z. b. w.

§ 12. Rechnerischer Beweis des Sinussatzes.

Bei den soeben angegebenen geometrischen Beweisen des Sinussatzes mussten die Fälle stumpfer und spitzer Winkel unterschieden werden. Dies ist nicht notwendig, wenn man mit Hilfe der Formel (XI) des ersten Kapitels : sin¹ 2 a + cos² a = 1

sich den Sinus aus dem in § 9, Formel (II), angegebenen Ausdruck des Cosinus ausrechnet. Man hat dabei dreimal die Formel

p² — q² = (p — q) (p + q) aus der Algebra anzuwenden. Zunächst ist

sin² a = 1 — cos² a = (1 — cos a) (I + cos a).

Die beiden Faktoren der rechten Seite berechnen wir einzeln. Es ist

— a²+b² + c²

1 — cos a = 1

2 b c

a² — (b² — 2bc-|-c²)

2b c

a² — (b — c)²

,_[a—(b — c)] [a+(b — c)]

2bc

1 —J⁻ cos a — 14

bc *

— a² + b² + c²

b² + 2bc + c² — a²

2bc

(Ъ + с²) —a²

2b c

[b -j- c — a] [b -f- c -f- a]

1 + cos а = Nunmehr ist

2 8.8*

bc

(XII)

sin² а = (1 — cos а) (1 cos а) 2 ]/ s . Sa . Sb . SC

4 S . Sa . Sb . sc

(bc)²

sin а

bc

J=2bcsince w. z. b. w.

Dieser Beweis deckt sich im wesentlichen mit der Ableitung der Formel J = j/ s. Sa . sb . sc in der ebenen Geometrie.

§ 13. Anwendung des Sinnssatzes.

Der Sinussatz und seine Erweiterung dient zur Berechnung eines Dreiecks aus einer Seite und z wei Winkeln, oder aus zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel, oder aus drei Seiten.

Erster Fall. Gegeben eine Seite und zwei Winkel. Man rechne zuerst nach dem Satz von der Winkelsumme den dritten Winkel aus. Aus a, а, /?, у findet man dann b und c aus (V)

sin y

sin a

sin a

logb = loga — log sin а 4“ log sin/? log c = log a — log sin a -f- log sin y.

sin/?

Erstes Beispiel, а — 13, а = 53° 7' 48", ß = 14° 15' 9",

Zuerst ist а -f" ß — 67° 22' 48"

/ = 180 — (а + ß) = 112° 37' 12".

1.    Berechnung von b.

log b — log a — log sin « -)- log sin ß ausgerechnet = 0,60206 b = 4,000.

2.    Berechnung von c.

sin/ ist gleich dem Sinus des Nebenwinkels /' = 67° 22' 48"

log c = log a — log sin a + log sin /' ausgerechnet = 1,17609 c = 15,000.

Zweiter Fall. Zwei Seiten und ein gegenüber

liegender Winkel: a, b, a. Nach dem Sinussatz ist sin ß_b

sin ß

sin a . b

sin a

Aus ß und a findet man у nach der Winkelsumme, c wieder nach dem Sinussatz:

a sin/

sm а

Zweites Beispiel, a = 13, b = 4, а = 53° 7' 49".

oder

log sin ß = log sin a — log a -f - log b, ausgerechnet = 9,39121 — 10, ß = 14° 15' 0" ß* — 180° — 14° 15' 0".

Der zweite Fall ist aber ausgeschlossen, denn da ß‘ stumpf ist, könnte es nur der grössten Seite des Dreiecks gegenüberliegen, während b kleiner als a ist.

Für / erhält man aus der Winkelsumme 112° 37' 12" und daraus für c 15,000.

Die Berechnung ergiebt

Cl =21,746, ca =5,9041.

Viertes Beispiel, а = 13,509, c = 21,746, а = 38° 21' 47".

Hier ist natürlich erst у zu berechnen.

log sin 7 = log sin а — log a + log c, ausgerechnet = 9,99960 —10,

7j = 87° 32'

7₂ = 180° -7! = 92° 28'.

Die Sekunden sind nicht zu bestimmen. Beide Winkel können um eine Minute falsch sein. Es wird

A = 54° 6' 13", ß₂ =: 49° 10' 13".

Auch diese Winkel sind naturgemäss ungenau. Man findet mit ihnen

\ = 17,632, b₂ = 16,469.

Man hätte ebensogut yl =87° 33' nehmen können und hätte dafür

Drittes Beispiel.

a = 13,509, b = 17,632, a = 38° 21' 47".

log sin ß = log sin a — log а -f- log b, ausgerechnet = 9,90852 — 10, ßi = 54° 6' 7"

ß* = 180° — 54° 6' 7" = 125° 53' 53'"

Da b grösser als a ist, liegt kein Grund gegen die Brauchbarkeit des zweiten Wertes vor. Es wird

y₁ =87° 32' 6", ₇₂ = 15° 44' 20". a sin y₁

ci

sin а ’

c₂ —

a sin y₂

sin а

bt= 17,629, b₂ = 16,473 erhalten. Noch stärker weichen die nach dem Cosinussatz

(sechstes Beispiel in § 10) berechneten Werte ab.

Wie verhält sich die graphische Lösung? Der Leser versuche sie mit den abgerundeten Werten a = 13,5 mm, c ~ 21,7 mm, a — 38°,5.

Dritter Fall. Gegeben die 3 Seiten a, b, c. Hier ist der erweiterte Sinussatz, am besten Formel (IX) oder (X) anzuwenden. Man berechne dabei zuerst die den kleineren Seiten gegenüberliegenden Winkel, da diese sicher spitz sind, also der der Tabelle entnommene Wert der richtige ist.

Fünftes Beispiel.

a = 13, b = 4, с = 15.

Es wird

sa = Sb = Sc =

s -— a s — b s — c

J² =re . Sa . Sb . SC = 16.36, J = 4.6 = 24.

Nun ist

у (13 + 4 + 15) =16,

= 3,

= 12,

= 1,

2.24 4.15

log sin a — 9,90309 — 10, a = 53° T 48" ;

J = — b c sin a, also sin a =

Ü¹

- = 0,8,

J =    c a sin ß, also sin ß

toi

2.24 _16

13.15

log sin ß = 9,39121 — 10, ß = 14° 15' 0" ;

65’

12

a b sin y, also sin y

2.24_

4.13    13?

log sin y = 9,96524 — 10.

Aus der Tafel findet man für y zunächst 67° 22' 48". Da aber c die grösste Seite ist, kann y auch der Nebenwinkel von 67° 22' 48" sein. Der Satz von der Winkelsumme er-

giebt in der That, dass

У = 180° — 67° 22' 48" = 112° 37' 12"

sein muss.

Sechstes Beispiel.

a = 13,509, b = 17,632, c = 21,746. s = 26,4435, sa = 12,9345, sb = 8,8115, sc = 4,6975 ;

s • sa • sb • sc

}=y[logs + logsa+logsb+logs₀}

⁰gJ=ybg{

ansgerechnet = 2,07550 ;

log sin a = log 2 -f- log J — log b — log c, ansgerechnet = 9,79285 — 10,

« = 38° 21' 49".

log sin ß = log 2 + log J — log c — log а, ansgerechnet = 9,90852 — 10, ß = 54° 6' 7".

log sin у = log 2 -f- log J — log a — log b, ausgerechnet — 9,99960 — 10. у ist spitz, da а ß grösser als 90° wird. Die Tabelle giebt у nicht genau genug: 87°, 32'— 33'. Man wende daher die Winkelsumme an :

у -87° 32' 4".

§ 14. Tangenten der halben Winkel.

Zur Berechnung der Winkel aus den Seiten giebt es noch ein drittes Verfahren mit Hilfe eines

angeschriebenen oder des eingeschriebenen Kreises. Fällt man von О aus auf die Seite b das Lot OV = so ist nach Sätzen der Planimetrie

AV = sa,

< OAV = |.

In dem rechtwinkligen Dreieck OAV ist aber

(XIII,J

,__OV

Sa

2 AV

Fällt man

von Oa das Lot OaV' auf b, so ist, wie in der Planimetrie gezeigt wird :

AV' = s,

CV' = s — b

In dem rechtwinkligen Dreieck OaV'A ist

OaV'

tg2

Jpa

AV'

(XIII,,)

,Л

Oa

Figur 17.

In dem rechtwinkligen Dreieck OaV'C ist der Winkel bei C die Hälfte des Aussen winkeis von 7, also gleich

1    7

*2"(180°—7) = 90°--g", folglich der Winkel bei Oa gleich

Man hat also

. y

tg2

CV'

Sb

OaV' pa Aus den drei Formeln (XIII

(XIII, 3)

) kann man

durch Vertauschen der Seiten und Winkel folgende Tabelle hersteilen:

= =_Sb ₌ _Sç Qc Çb

__ _£*L _

а

t%j= tg-|-=

tsi =

Drückt man die Radien durch die Seiten aus (Formel IV der Einleitung), so reduziert sich die Anzahl dieser Formeln auf die Hälfte. Es wird z. B.

Ç*

Ç _ Qc, _ Sa _ Sb

Sc

Çb Ça

(XIII)

Sb. Sc

tg2 ⁼

S.Sa

Setzt man hierin J = Vs . sa . Sb . sc, so werden auch diese beiden Ausdrücke miteinander identisch. Man

erhält :

«•ï-V

/Sh • sc s. sa :

*ł-y

Są, • S,, S.Sb’

‘4-У

S.SC

Diese Formeln sind zur В erechnung der Winkel aus den Seiten sehr viel geeigneter als der Sinus- und Cosinussatz. Erstens gestatten sie durchgehende logarithmische Rechnung, beim Cosinussatz nicht möglich ist. Zweitens sind die aufzuschlagenden Winkel sicher spitz. Drittens ist die Tafeldifferenz von log tg nie kleiner als 25 Einheiten der letzten Stelle, also kann man mindestens auf zwei Sekunden genau interpolieren.

(XIV)

was

-f-y

Erstes Beispiel.

а = 13, b = 14, c = 15. s == 21 ; Sa = 8 ; Sb = 7 ; Sc = 6. 776    1

21.8

⁼ T' ,og tg У = 9>⁶⁹⁸⁹⁷ — ¹⁰-

tg- = l/

ё 2 У

8.6

21.7

= у ; log tg j = 9,75696 - 10.

= 9,82391 — 10.

, У т/8.7    2

tg¥⁼fäГб= Г logtg

~ = 26° 33' 54" ; а = 53° 7' 48".

— = 29° 44' 41" ; ß = 59°29'22". jL ₌ 33» 41' 25" ; 7 — 67°22'50".

Probe : a + ß + y = 180° 0' 0". Zweites Beispiel.

a = 13,509, b = 17,632, c = 21,746. s = 26,4435 ; sa = 12,9345 ; sb = 8,8115 ; sc = 4,6975.

Sc —

bg tg y = у {log Sb + log

ausgerechnet =    ^1,08285 — 2^ = 9,54143 — 10,

Y    = 19° 10' 54".

log tg ■§■ = Y {log Sa + log se — log s — log sb J ,

= y { 1,41625 — 2 ] = 9,70813 — 10,

Y    = 27° 3' 6".

log tg y = y {log Sa + log Sb — log s — log s₀ ] ,

= Y { 1,96261 — 2 } = 9,98131 - 10,

Zr = 43° 46' 3".

Somit ergiebt sich:

« = 38° 21' 48" ß = 54° 6' 12" y = 87° 32' 6"

Probe : a + ß + y = 180° 0' 6".

Drittes Kapitel.

Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen.

§ 15. Erste Form der Additionstheoreme.

(I)

(И)

(III)

(IV)

sin (f + tj) = sin I cos 17 + cos £ sin y sin (I — fj) = sin £ cos 1? — cos | sin 17 cos (I + rj) = cos I cos y — sin I sin y cos (I — rç) = cos I cos 17 + sin £ sin 17.

a)    Die vorstehenden Formeln, die soge

nannten Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen, müssen auswendiggelernt werden, am besten, ehe man ihre Beweise durch arbeitet. Auch empfiehlt es sich, ihre Richtigkeit an speciellen Beispielen zu erproben (z. B. £ = 0; 90°, 180°, 270°, 360° oder    für    (I) und (III) £ = 90° — *7, 180° — y etc.,    für

(II)    und    (IV) £ = *7, 90° + y etc.) Dabei ist    zu    be

achten, dass (für Winkel des ersten Quadranten) der Cosinus des grösseren Winkels £ + у kleiner sein muss als der des kleineren Winkels £ — y\ hierdurch erklärt sich das Verhalten der Vorzeichen in (III) und (IV).

b)    Wenn man eine derFormeln(I)bis (IV) kennt, so kann man die anderen daraus herleiten.

Setzt man z. B. in (I) у — — y\ so wird nach Кар. I, § 6, 5

»sin у = — sin y\ cos у — cos *7', wodurch Formel (I) in (II) und (III) in (IV) übergeht. Ferner ist

cos (£ + y) = sin (90° — I + 17)

= sin (90° — £) cos у cos (90° — £) sin у = cos £ cos у sin £ sin y.

Der Leser versuche ebenso die Herleitung der übrigen Formeln aus

(II), (III) und (IV).

c)    Man setze in (I) und (III) f = J' — tj und löse

die so entstehenden Gleichungen nach sin (f'— 77) und cos (£' — 77) auf. Man wird (II) und (IY) erbalten. Umgekehrt setze man in (II) und (IV) | =    + ^ und

löse nach sin (|' -f- 77), cos (f '    77) auf.

d)    Man setze in (I) | = £' — 77, drücke sin (|' — 77) nach (II) aus und berechne cos (|' — 77). In ähnlicher Weise leite man (III) aus (I) und (II) und umgekehrt (I), (П) aus (III) und (IV) ab.

Hieraus wird ersichtlich, dass es genügt, zwei oder auch bloss eine der Formeln (I) bis (IV) zu beweisen. Der Beweis wird noch vereinfacht durch folgende Sätze:

e)    Hat man eine der Formeln (I) bis (IV) für die Winkel zweier aufeinanderfolgender Quadranten bewiesen, so gilt sie für beliebige Winkel.

Man setze beispielsweise in (I) | =    -f-180°. Es wird

sin|'= — sinf; cosf' =— cosf; sin(|'-f-*?) =— sin(J-f-77), Die Formeln für sin (f ' -f- v) UQd sin (IH“ 77) sind demnach gleichbedeutend und gehen ineinander über. Ist also (I) bewiesen für Winkel §' von 0 bis 180°, so ist es auch bewiesen für die um 180° grösseren Winkel | von 180° bis 360° u. s. f.

Der Leser untersuche auch (II), (III) und (IV) daraufhin.

f)    Hat man eines der Formelpaare (I), (ITT) und (II), (IV) bewiesen für die Winkel eines Quadranten, so gilt es für beliebige Winkel.

Hessenberg, Ebene und sphärische Trigonometrie. 4

Man setze beispielsweise in (I) und (III) | = |' + 90°. Es wird, da 90° — §' der Nebenwinkel von | ist:

= — sin S'

COS S

= COS S'

sin S ebenso

sin (I + v) = cos (§' + v)i cos (S + v) = — sin (S' +17), womit die Formeln für sin (S + v), cos (| + rj) bezieh-licb in die für cos (S' + *?), sin (£' + v) übergehen.

Hat man also (I) und (III) für die Winkel §' des ersten Quadranten bewiesen, so gelten sie auch für die um 90° grösseren S des zweiten u. s. f.

Der Leser untersuche auch (II), (IV) und den Winkel 17 daraufhin.

§ 16. Beweis der Additionstheoreme. Erster Beweis.

a) Aus der Planimetrie ist der Satz des Ptole-m ä u s bekannt³ : In einem Sehnenviereck, dessen Ecken in der Reihenfolge, wie sie auf dem Kreise liegen, mit PQRS bezeichnet seien, ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte der Gegenseiten :

PR.QS = QR.PS + PQ.RS.

Man kann diese Gleichung nach Division durch PR⁴ in der Form schreiben:

(A)

(B)

Qß _ QR PS_    PQ    B^S

PB ~~ PB ‘ PR ⁺ PR    PR

Wählt man PB als Durchmesser, so lassen sich diese sämtlichen Verhältnisse als Sinus und Cosinus auffassen. Die vier Quotienten auf der rechten Seite sind nämlich die Seitenverhältnisse der nach dem Satz des Tales bei Q und S rechtwinkligen Dreiecke P Q R und PSR. Zieht man noch durch den Mittelpunkt M des Kreises den Durchmesser QP', so ist in dem bei S rechtwinkligen Dreieck QP' S

QS: P'Q = QS:PR.

AI

Figur 18.

b) Man mache jetzt QPR = |, <SPR = *7. Der Winkel QP'S steht mit QPS über gleichem oder entgegengesetztem Bogen, ist also ihm oder seinem Supplement gleich, so dass auf jeden Pall

sin QP'S = sin QPS = sin (f + n).

Mithin ist

R S : P R = sin tj P S : P R = cos tj

Q R : P R = sin | Q P : P R = cos I

QS : PR äsin (£ + *).

In (B) eingesetzt ergiebt dies (I).

c) Man mache Q P R = £, <^SRP==^# Dann ist P Q M = <£ Q P M — £ als Basiswinkel im gleich-

schenkligen Dreieck PQM und <£PQS = <£PRS — ц als Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen PS; mithin ist

<SQP' = <PQM — <£PQS = | — n

RS:PR = cos 17 P S : P R = sin ri

QR : PB = sin g Q P : P В = cos I

Q S : P В = cos (£ — rj).

In (B) eingesetzt ergiebt dies (IV). d) Schreibt man (A) in der Form

QR __ PR QS _ PQ BS PS “ PS * PS PS" PS

(C)

und macht PS zum Durchmesser, zieht durch M den Durchmesser QP', so sind die fünf in (C) auftretenden Quotienten Verhältnisse der Seiten der rechtwinkligen Dreiecke PQS, PBS, QRP'.

Figur 19.

Man mache <QPS = £, < BPS = tj. Es wird *<£ QP'R = < QPB = £ — ij, als Peripheriewinkel über dem Bogen QB, mithin

P Q : PS = cos £ PB : P S — cos rj

Q S : P S = sin | K S : P S — sin

= sin (f — ri).

QP

QP

¹

— COS a —

²

Ebenso wird

³

Ein trigonometrischer Beweis des Satzes unter Anwendung

⁴

der Additionstheoreme iindet sich unten, § 27.

PS QP'

In (C) eingesetzt ergiebt dies (II). e) Man mache <£ Q S P = |, < PPS = rç. Da die Bögen QP und PS zusammen kleiner als 180° sind, muss vorausgesetzt werden, dass I + V < 90°,

Q S : P S = cos f PS : PS- sin V

also cos (I + rj) positiv ist. Es wird <£BQS = <£PPS = Ti (Peripheriewinkel über PS), ^MQS = MSQ = | (Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck MQS), d. h. <PQP' = | + rj, mithin P Q : P S = sin I PP:PS = cos r\

QP:PS = QP: Q P'= cos (£+ *).

Q S : P S = sin !

P S : P S = cos rj QR:PS = QP:QP' = cos(180° —1?) = —-cos (£+*?). In (C) eingesetzt ergiebt dies in beiden Fällen (III). Hiermit sind die Formeln (I) bis (IV) für "Winkel des ersten Quadranten, somit nach § 15, f allgemein bewiesen.

Ist ! + *? >90°, so mache man <£ QPS = f, < PSP = rj. Es wird < PQP = 180° — PSP = 180° — n (Peripheriewinkel über den entgegengesetzten Bögen PP), <PQM = < QPM = £ (Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck QPM), <£ PQP' = 180° — £ — v. P Q : P S = cos £

P P : P S = sin 7j

Zweiter Beweis, f) Setzt man in die Cosinusformel c — a cos ß -f- b cos a

aus dem erweiterten Sinussatz a = 2r sin a etc. ein, so hebt sich 2r fort und es bleibt

Ф)

sin y — sin a cos ß -f- cos a sin ß.

Man trage jetzt in zwei Punkten А, В einer Geraden an diese, auf derselben Seite, einander zugekehrt die Winkel f und rj an, die wir beide kleiner als 180° annehmen. Ist dann l + ^<180°, so schneiden sich die freien Schenkel in einem Punkte C, und in dem Dreieck ABC ist

Figur 20*

« = Si ß У = 180° — (S +

Setzt man diese Werte in (D) ein, so wird sin у = sin (I + y) = sin i cos rj -f- cos § sin rj.

Ist I + V > 180°, so schneiden sich die freien Schenkel rückwärts verlängert in einem Punkt C, und im Dreieck ABC ist

а = 180° — f, ß = 180° — n, y = i + v —180°, sin а = sin |,    sin ß = sin    sin у = — sin (£+ 77)

cos а = — cos I, cos /? = — cos 17.

In (D) eingesetzt ergiebt dies wiederum (I).

/з

ci

Figur 21.

Hiermit ist (I) für alle Winkel von 0° bis 180°, mithin nach § 15, e allgemein bewiesen. Nach § 15, b erhält man daher durch einfache Umformungen auch (II) bis (IV) daraus.

g) (II) kann in einfacher Weise ähnlich bewiesen werden. Man trage in A und В § und r\ auf derselben

Figur 22.

Seite der Geraden an, aber nicht mehr einander zugekehrt, sondern beide mit der Oeffnung nach derselben Seite, den grösseren vor dem kleineren. Die freien Schenkel mögen sich in C schneiden. Es wird

ß—V: y ⁼ i — V-

a = 180° — {, sin a = sin cos cc = — cos |,

womit (D) in (II) übergeht. —

Hiermit ist (II) für Winkel zwischen 0' und 180°, also nach § 15, e allgemein bewiesen. Die Formeln (III) und (IV) kann man jetzt etwa nach § 15, d herleiten.

Ein weiterer Beweis findet sich im nächsten Paragraphen, und ein ganz allgemeiner für Winkel beliebiger Quadranten im Кар. XI, der aber für Anfänger schwerer verständlich sein dürfte.

§ 17. Zweite Form der Additionstheoreme.

Addiert man die Gleichungen (I) und (П) dieses Kapitels, so folgt:

2 sin | cos rj = sin (| + y) + sin (f — rj). (V) Durch Subtraktion ergiebt sich

2 sin *7 cos | = sin (f + rj) — sin (f — rj). (VI) Ebenso erhält man aus (III) und (IV)

und

2 cos I cos ^ = cos (! + *?) + cos (I — ri) (VII)

— 2 sin I sin ri = cos (| + v) — cos (| — rj). (VIII) Bezeichnet man die Winkel f -f- rj und | — rj mit a und ß, so wird

■r<r

~~2

4 = -j(<*—ß)-

Durch Einsetzen in die soeben abgeleiteten Formeln erhält man folgende vier wichtige Beziehungen:

a—ß cos —2

ct -f- ß

cos 2ß--

a — ß

. a—ß Sïn—g—.

(IX)

Sie werden öfter gebraucht, als die Formeln (I) bis (IV), sind aber mit diesen gleichbedeutend. Man kann sie auch sehr einfach geometrisch ableiten. Doch soll dieses Verfahren nur für den Fall angegeben werden, dass a und ß Winkel des ersten Quadranten sind.

Es sei PB A ein Kreis mit dem Radius 1 und dem Centrum О. Winkel PO A sei gleich a, Winkel POB gleich ß. Von A und В seien die Lote AA' und BB' auf OP gefällt. Dann ist (Fig. 23 a. f. S.)

BB' = sin ß, OB' — cos/?.

AA' = sina,

O A' = cos a,

Sodann sei C der Halbierungspunkt der Sehne AB. Es ist OC senkrecht auf AB und

<AOC = F < AOB-“

Ji

< COP = /? + ^=~/î

Fällt man noch das Lot С C' auf О P, so ist СС' = -|'{АА< + ВВ'} = 7 {sina + sin,?} als Mittellinie des Trapezes AA'BB'.

Andererseits ist in dem rechtwinkligen Dreieck COC' C C' = O C. sin <£ C O P = O C sin

Li

und in dem rechtwinkligen Dreieck AOC

О C = O A cos AOC = 1 . cos —-Somit wird

cc — ß . a +ß

— cos    g—sin    2—‘

Dies ist die erste der Formeln (IX).

С C' = {sin а -[- sin ß j

>X

JA

A’

Yp

Figur 23.

Gleichzeitig ist

OG'

und andererseits

OC' = CC' cos< COP =

cos

~ ~2 {OA/-b О В⁷} — ~2 {cos а cos cs —ß

2 cos

Durch Vergleich beider Werte für OC' entsteht die dritte der Formeln (IX).

Zieht man jetzt noch CX senkrecht zu AA' bis zum Schnitt mit AA' in X, so ist AX gleich der halben Differenz von AA' und BB',

AX = ~ {sin a — sin /?}, <XAC = <COP,

und

weil XAiOP, AC_LOC. In dem rechtwinkligen Dreieck XAC ist aber:

X A = AC cos < X А С = AC cos und in dem rechtwinkligen Dreieck AOC

AC = OA.sin<AOC = l.ein

Damit wird

cos

~ {sin а — sin ß j = sin —

Dies ist die zweite der Formeln (IX). Gleichzeitig ist

=Iä'b'=

~ {cos/? — cos

XC = A'C'

und andererseits

. « + /? sm 2

XC =ACsinXAC = sin

Durch Vergleich beider Werte für XC entsteht die letzte der Formeln (IX).

§ 18. Bedeutung der Additionstheoreme.

Die Bedeutung der eben abgeleiteten Formeln ist eine vierfache. Erstens dienen sie vom rein rechnerischen Standpunkt vornehmlich in der Gestalt (V) bis (IX) zur Umformung der für logarithmische Rechnung ungeeigneten Summen von Sinus in Cosinus in bequeme Produkte.

Anmerkung. Vor Erfindung der Logarithmen wurden die Formeln im umgekehrten Sinne zur Verwandlung von Produkten in Summen benutzt. Man nannte das Verfahren, das bald durch die Logarithmen verdrängt wurde, „P г о s t h a p h ä r e s i s“.

Zweitens erweitern die Additionstheoreme das Gebiet der Anwendungen der trigonometrischen Funktionen bis ins Bereich der Algebra und Analysis. Man verwendet sie beispielsweise zur Auflösung algebraischer Gleichungen.

Drittens bieten die Additionstheoreme das einzige Hilfsmittel zur elementaren Berechnung des Sinus und Cosinus eines Winkels, und viertens sind sie für die höhere Mathematik die fundamentale Eigenschaft der trigonometrischen Funktionen, aus der ihre Reihenentwicklungen abgeleitet werden.

§ 19. Additionstheorem der Tangente.

tg (!+*?) =

Durch Division der Formeln (I) und (III) erhält man sin £ cos ri + cos £ sin rj cos £ cos r\ — sin £ sin r[

Dividiert man Zähler und Nenner durch cos £ cos so wird daraus

(X)

is(ê + v)-i-ëttitsv'

Ebenso erhält man durch Division aus (II) und (IV) :

tg (!-*) =

(XI)

man

tg I — tg rj 1 + tg £ tg rf Die Formeln (X) und (XI) enthalten das Additionstheorem der Tangente. (XI) geht aus (X) hervor, wenn —y für t\ setzt und beachtet, dass tg(—r\)~—tgrj ist. Dividiert man (III) durch (I) und dann auf der rechten Seite Zähler und Nenner durch sin £ sin so erhält man

cot (! + ,) = —/ cot n ~1 cot £ -f cot ri

und ebenso aus (IV) und (II)

cot (g^«) = ¹±cot^cot^.

cot rj — cot I

sin(|+^)^ tgg + tgi? cos(|—i?) “ 1 + tgg tg 1?’ und aus den beiden letzten

(XV)

СОЗ (g+v)_ 1 — tgl tgi?

008(1—1?) ~ 1 + tgl tgl?',

Aus den Formeln (IX) erhält man durch Division der ersten und zweiten

(XVI)

sin a + sin ß

*    a—ß

*    ff

Diese beiden Formeln werden, wie die Cotangente selbst, selten gebraucht.

Durch Division beider Seiten mit cos £ cos tj erhält man aus (I) bis (IY) folgende vier nützliche Beziehungen :

sin (g + i?)

COS £ COS 1J

— *g £ + tg V

cosfg + g)

(XIII)

= 1 + tg I tg П

COS £ COS 7J

Durch Division der beiden ersten folgt weiter

sin(l+g) ₌ tgf + tgq

8in(|— n) tgS — tgv’

ebenso aus der ersten und vierten

(XIV)

sin a — sin ß

der vierten und dritten:

cos« — cos/9    „ r /VTlr ₄

cös^'+cosj? = tg 2    •tg 2 > (XVI”⁾

der ersten und dritten oder der zweiten und dritten:

cos a -f- cos ß

(XVII)

sin a + sin ß

a+ß

= tg ~2~-

§ 20. Doppelte und halbe Winkel.

Aus (I) und (II) erhält man, wenn man £ = rj setzt:

und

sin 2f = 2 sin I cos f, cos 2| = cos²1 — sin² Ç.

Aus (X) ebenso tg2|

2tg|

l-tg²!

Aus den Gleichungen

cos 2| = cos²1 — sin² i 1 = cos²! + sin²!

erhält man durch Addition und Subtraktion:

1 + cos 2 ! = 2 cos² !,

1 — cos 2| = 2 sin²|,

also

(XVIII)

(XIX)

(XX)

sin| = j/¹-°°S2^, cos| = j/

Aus (XV) wird für ! = 17, da cosO=l ist:

1-tg²!

1 + tg* I*

Setzt man 2 ! = a, so wird aus (XXI) und (XXII) :

sin 2 !

2tg!

1 + tg²!

-, cos 2! =

; cos

l+cos2!

2    •(XXI)

1 + COS a

(XXII)

₂    • (XXI')

sin a

2tg|

cos a —

i+tg²|

Setzt man in (XVII) ß — 0, so wird noch sin a

1 + cos a *

tgr|

. (XXII')

(XXIII)

Viertes Kapitel.

Anwendung der Additionstheoreme auf das schiefwinklige Dreieck.

Aus

erhält man

§ 21. Tangentensatz. a = 2rsince, b = 2rsin/?

a + b    2 r (sin а + sin ß) sin а + sin ß

а — b    2 r (sin а — sin /?)    sin а — sin ß

und nach den beiden ersten der Formeln (IX) oder nach Formel (XVI) des vorigen Kapitels

. a — ß

g

Ist a kleiner als b, so schreibt man besser

(I)

Чнг”

Diese Formel enthält den Tangentensatz ; man nennt sie auch die „ Napier’sehe Gleichung“. Der Tangentensatz dient zur Auflösung eines Dreiecks, wenn a, b und у gegeben sind, und eignet sich dazu besser, als der Cosinussatz, weil er durchgehende logarithmische Rechnung gestattet.

Beispiel:

а = 13,509, b = 17,632, у = 87° 32' 6". b + а = 31,141 b — a= 4,123

a + ß = 180° — у = 92° 27' 54"

46° 13' 57".

a ß

Zweiter Kongruenzfall: gegeben a und die

Winkel.

2.

, ß — a . /? 4- ce b — a tg 2 — tg 2 ' b + a

log tg - = log tg

f log (b — a) — log (b + a

logtg^T“

log (b — a) = 0,61521 log (b + a) = 1,49333

log tg ^“ “ = 9,14057 — 10

= 7° 52' 10".

3. ß~Ya+ß~^ “ = ß = 54° 6' 7" /?-: «

= 0,01869

= a = 38° 21' 47".

4. c nach dem Sinussatz, zur Probe etwa auf zwei Arten :

a sin/

_ b sin /

C sin ß

Für die vier Kongruenz fälle empfehlen sich also im allgemeinen folgende Berechnungsmethoden, die durchgehende Logarithmierung gestatten:

Erster Kongruenzfall: gegeben a, b,/.

sin«

ce-ß

Man berechnet —— dann c aus dem Sinussatz. Aufzuschlagen sind die

aus

dem Tangentensatz, so-

Logarithmen von a-j-b, a — b, tg—, a, since, sin/,

die Numeri von log tga -g ^ wird also mindestens 8mal benutzt.

und log c.

Die Tabelle

Man erhält Ъ und с aus dem Sinussatz. Aufzuschlagen sind die Logarithmen von a, sin«, sin/?, sin/, und die Numeri von log b und c. Die Tabelle wird mindestens 6mal benutzt.

Dritter Kongruenzfall: gegeben a, b, c.

Man berechne nach § 14 die Tangenten der halben Winkel. Aufzuschlagen sind die Logarithmen von s,

cc

sa, Sb und sc, die Numeri von log tg und log tg ,

(log tg 2 nur zur Probe). Die Tabelle wird mindestens 6mal benutzt.

Vierter Kongruenzfall: gegeben a, b, a.

Man berechne ß aus dem Sinussatz, / durch die Winkelsumme und c wieder nach dem Sinussatz. Aufzuschlagen sind die Logarithmen von a, b, sin«, sin/; die Numeri von log sin ß und log c. Die Tabelle wird mindestens 6mal benutzt.

§ 22. Weiteres Formelmaterial.

In Кар. II, § 12, waren die Gleichungen

1    ₀SbSc    ,    S Sa

1 — cosa=2^------, 1-4- cosa = 2-,—

b c    b c

abgeleitet worden. Nach Formel (XXI') in Кар, III '§ 20) folgt daraus ohne weiteres:

a 1 / s SÄ cos — = /----

2 F be

Durch Division entsteht die Gleichung

то

Sb^c

*IHVrr (Kap- n’ § 14)-

r S Sa

Hessenberg, Ebene und sphärische Trigonometrie.

Aus den Beziehungen

a==2rsina, b = 2rsin/? erhält man durch Addition und Subtraktion :

cos

a + b = 4 r sin

a-\- ß cos 2 '

a — b = 4 r sin a 2 ^

Aus a-\- ß-\- y — 180' folgt aber

= 90° — also

a~\~ß    • 7

cos —^— = sin 2 ’

. a-\-ß    y

sin 2— = cos

und damit

a + b = 4 r cos e 2~ " a — b = 4 r sin a ~2^ sin g-.

7.

cos 2 >

Ferner ist

7    7

c = 2 r sin 7 = 4 r sin 2 cos

(IV)

Dividiert man (III) hierdurch, so entstehen die sogenannten Mollweide’schen Gleichungen

. ci —ß

sin §

a—ß

cos

(V)

sin I

Ferner ergiebt sich aus (III) und (IV) durch Addition :

jcos^4p+sin g}

(___a - ß

2s=a-f-b + c = 4r cos

= 4r cos

7

— 8rcos~ cos

(a-ß

l 2

cos ₉

a+ß\ l/ce+0 a—ßs

______ nr\a I _!_*1--

s = 4 r cos 2 cos Ebenso durch Subtraktion: 2 8C = a + b — c = 4 r cos I

oder

2 cos

[ а — ß |cos 2

cos

ce-[-ß . ce —ß

= 8 r cos sin g ^ 2

\    .    1 (a+ß a—ß

2 ) ЗШ2П

oder

= 4 r sin 2 sin Hierdurch entstehen die vier Formeln: s — 4 r cos g cos g cos g sa = 4 r cos g sin g sin g sb = 4 r sin g cos g sin g sc = 4 r sin I sin g cos

Sc

₂cos ₂.

(VI)

Mit Hilfe der Gleichungen (XIII) des § 14 erhält man hierzu folgende Ergänzungen:

= 4 r sin -g- sin ~ sin ~

ß У

— COS —

(>a = 4rsin-g

= 4 r cos g- sin g-Qa = 4r cos ~ cos g

cos

Qb

cos

L.

Fünftes Kapitel.

Berechnung der Vierecke.

§ 23. Allgemeines.

Man unterscheidet wohl neben der Trigonometrie noch die „Polygon ometrie“ und speciell die „Tetra-gonometrie“, — die Lehre von den Vielecken, speciell den Vierecken. Diese sind aber keine selbständigen Wissenschaften, sondern der Trigonometrie untergeordnet. Durch Zerlegung einer geradlinigen Figur in Dreiecke und Aufstellung der Gleichungen für diese erhält man stets die notwendige und hinreichende Anzahl von Be- Щ Ziehungen zur Berechnung der unbekannten Stücke aus den gegebenen. Mit welchen Hilfsmitteln diese Gleichungen nach den Unbekannten aufzulösen sind, ist ein Problem der Algebra, nicht der Geometrie.

Wir erörtern die wichtigeren Aufgaben über das Viereck, unter Ausschluss des überschlagenen oder einspringenden, für das übrigens ein prinzipieller Unterschied in der Berechnung nicht existiert.

Die vier Ecken des Vierecks seien in der Beiben-

folge, wie sie auf dem Umfang liegen, mit A, B, C, D, die zugehörigen Winkel mit «, /?, y, ô bezeichnet. Die Seiten

AB, BC, CD, DA sollen bezw.

heissen.

a,

b,

c,

Ausser diesen 8 eigentlichen Stücken des Vierecks betrachten wir noch die Diagonalen

AC = e, BD = f

und die Winkel, die sie mit den Seiten bilden:

CAD = al9 CAB = «₂ DBA = ^, DBC = Ą, ACB = yj9 ACD = y₂ BDC = BDA = ^.

i)

s*

re

dL₄

d-2

ßz

Al

Figur 24.

Diese 18 Stücke, a, b, c, d ; e, f ; «, a,, «₂ ; ß, ßt, ß₂ ; y, Ун Y2 5    ^2 geboren den vier Teildreiecken ABC,

BCD, CDA, DAC an, die durch Weglassen je einer Ecke entstehen. Kennt man von diesen Dreiecken zwei, so kennt man auch die beiden anderen. Entweder haben nämlich zwei dieser Dreiecke eine Seite, etwa a, oder aber eine Diagonale, etwa e, gemeinsam. Im ersten Fall kennt man aus Л ABC : a, b, e; avß%y„

A ABD: a, d, f; ßl9<*}öt.

folglich auch

und

dBCD aus b, f, ß₂=ß—0j, A ACD aus d, e, al = a — a₂.

Im zweiten Fall kennt man aus

A ABC: a, b, e; «₂, ß,ryt, A ADC: c, d, e; «,,<5, y₂,

folglich auch

und

4 BCD aus b, с, у = ух + у2 A BAD aus a, d, а = а₁ -\- «₂.

§ 24. Berechnung durch Teildreiecke.

Bestimmt ist ein Viereck durch 5 unabhängige Stücke. Am einfachsten ist offenbar der Fall, wo aus diesen 5 Stücken ohne weiteres zwei Teildreiecke berechnet werden können. Da für jedes Dreieck 3 Stücke notwendig sind, muss das gemeinsame Stück gegeben sein. Es sind also bei passender Bezeichnung zwei Hauptfälle möglich:

1. Gregehen a mit

zwei von den Stücken b, e; a₂, ß, yi d, f ; ßlJ a, <5₂.

und „

2. Gregeben e mit

und „

Am nächsteinfachsten ist der Fall, dass nur ein

zwei von den Stücken a, b; ce₂, /?, yx

c, d; «n^7₂.

Te il dr eieck bestimmt ist, dass aber dessen 3 weitere Stücke die Berechnung eines zweiten gestatten. Es sind wieder dieselben beiden Fälle zu unterscheiden, wie oben:

3.    Gegeben drei von den Stücken b, e; a₂,/?, y^)

und zwei „    „

d, f ; ß₁₉ a, ^₂.

4.    Gegeben drei von den Stücken a, b; a₂,/?, yi¹)

und zwei „

c>d; avö,y₂.

») Natürlich nicht die 3 letzten.

Unter 3 und 4 gleichzeitig fällt die Bestimmung des Vierecks aus b, d; av av 0; (y₁ = 180° — ß — a₂).

Man kann fragen, ob nach Berechnung eines Teildreiecks auch stets die eines zweiten möglich ist. Dies ist nicht der Fall. Ist etwa ABC durch 3 seiner Stücke a, b, e; «₂, ft yx

bestimmt, und ist ausserdem gegeben eines der beiden Paare :

1.    c, ft ; d, ft,

2.    f, 6 ;

3*    » ft ; 7₂> ^2 i

4.    ß₁ (und ß₂ = ß — ft), Ô ;

5.    ft, ft,

so ist kein zweites Teildreieck bestimmt. Die unter 1 bezw. 3 aufgeführten Paare sind nicht verschieden, weil sie durch Vertauschung der Bezeichnungen A und C ineinander übergehen. Prinzipiell nicht verschieden sind ferner die Fälle 1, 2, bezw. 3, 4. Der letzte Fall ist als Pothenot’sche Aufgabe bekannt und findet ebenso wie 3 und 4 in § 26 seine Erledigung. 1 und 2 sind nicht von Interesse, eignen sich aber zu Konstruktionsaufgaben.

Hiermit sind die Fälle vollständig aufgeführt, in denen sich ein Teildreieck oder mehrere berechnen lassen.

§ 25. Die vollständigen Beziehungen zwischen den Winkeln.

Durch 4 unabhängige Winkel ist ein Viereck der Gestalt nach bestimmt, wie eine einfache Ueberlegung zeigt. Sind also 4 Winkel und eine Seite oder Diagonale bekannt, so wird man versuchen, aus den 4

Winkeln so viele der übrigen Winkel zu finden, dass man die der Seite oder Diagonale anliegenden Teildreiecke berechnen kann.

Wir hatten 12 Winkel unterschieden, zwischen denen also 8 Gleichungen bestehen müssen. Es ist zunächst

(i)

ß=ßi + /»„

У = У г + Г2 ⁵ = <*1 + <*2

Diese 4 Gleichungen sind unabhängig und gestatten, uns auf die 8 Winkel cq, cq, ßl9 ß2f y1} y₂,    0₂ zu be

schränken. Für diese erhält man aus den Winkelsummen der Teildreiecke:

(Щ

“2 + ßt + ßt + Уг = 180°, ß, + rt + Г, ЧЧ = 180° )

+    +^s + “i = 180°,    + “, +“s ~hß, — 180°)

Yon diesen 4 Gleichungen ist aber jede eine Konsequenz der 3 anderen. Auch die Gleichung cc + ß + y + ö = 360°

folgt aus (I) und (II).

Die fehlende 8. Gleichung lässt sich nur mit trigonometrischen Hilfsmitteln angeben, und zwar in den verschiedensten Formen.

1. In der Ecke b liegen drei Stücke: a, b, f. Man hat im Dreieck BAD :

BDC :

BCA:

und

а : f = sin <5₂ : sin «, f : b = sin у : sin öy b : а = sina₂ : sin y1%

Multipliziert man diese drei Gleichungen, so wird die linke Seite zu 1. Schafft man den Nenner der rechten Seite weg, so erhält man

sin а . sin yl . sin öt = sin a₂ . sin 7 . sin <52 und analog aus den 3 anderen Ecken :

(III)

sin ß . sin ä₁    . sin «,    = sin ß₂ .    sin <5. sin a₂

sin 7 . sin öj    . sin    ßx    = sin y₂ .    sin a    . sin ß₂

sin ô . sin ßt    . sin 7j    = sin ä₂ .    sin ß    . sin 7₂

2. Geht man    von    A    über В,    C, D    nach A zurück,

so durchläuft man die 4 Stücke a, b, c, d. Es ist aber

im Dreieck ABC „ BCD „    „    CDA

„    „    DAB

a : b =■ sin yx : sin «2 b : c = sin dj : sin ß2 c : d = sin at : sin y2 d : a = sin ßl : sin S₂.

Mithin, wie oben,

sin at sin ß₁ sin уг sin ô₁ = sin a₂ sin ß₂ sin y₂ sin ô₂. (IV) Durchläuft man ebenso die Stücke e, b, f, d, so erhält man:

sin a sin ß sin y₂ sin öt = sin a₂ sin ßt sin 7 sin ô, (V) und aus den Stücken e, c, f, a:

sin « sin ß₂ sin yt sin ô = sin ax sin ß sin 7 sin ô₂. (VI) Die Gleichungen (III) bis (IV) lassen sich mittels (I) und (II) aus einer einzigen unter ihnen herleiten. Geschickte Rechner mögen dies versuchen.

Sieben beliebige der Gleichungen (I) und (II) und eine beliebige der Gleichungen (IV) bis (VI) bilden das vollständige System von Beziehungen zwischen den zwölf Winkeln.

§ 26. Berechnung der Winkel aus 4 gegebenen. Wenn 4 Winkel gegeben sind, so wird man bei passender Bezeichnung der Ecken stets einen der folgenden 7 Fälle erkennen :

Erste Hauptlage:

Gegeben «„ «₂; ßv ß2 oder

«i» «₃; 7v r₂-Zweite Hauptlage: Gegeben a₂, уг ; <5ly <5₂. Dritte    Hauptlage:    Gegeben    a₂,    ;    y₂, <5₂

oder    <*₂, 7, ;A,(5.

Vierte    Hauptlage:    Gegeben    al9 ßl9    y₁₉ St

oder    «, ß,    y₂₎t

Auflösung: Erste Hauptlage: al9 «₂ ; ßx, ß₂» Aus (II) ergeben sich

Yl = ¹⁸⁰° — a2 — ßi—ßi

S₂ = 180° — «j — «₂ — ßl9

so dass die 6 Winkel a1? «₂; ßt, ß₂\ yl9 à₂ bekannt sind. Für (5j und y₂ erhält man aus (II) noch

ôi+7₂⁼ «2 + ^i*

Figur 25.

Mehr Beziehungen können aus (II) nicht hergeleitet werden. Aus (IV) ergiebt sich aber

sin _ sin a₂ sin ß₂ sin 6^ sin/₂ ~~ sin«! sin/Jj sin/^

Setzt man die rechte Seite, die bekannt ist, gleich

t und

-У2

so ist a bekannt, ç unbekannt und nach Кар. III, Formel (XVI):

1 — t sin    — sin y₂ _ tg q

1 +1    sin àx -f- sin y₂ tg а ’

woraus q zu berechnen ist.

Sind , a₂ • yt, y₂ gegeben, so wird nach (II) und (I)

Figur 26.

ß = 180° — «₂ — У₁₇ à = 180° — y₂ — ßt —à, =y₂—a ₂ = 2 ç, wo () bekannt, und nach (V)

sin _ sin a sin /? sin y₂

sin sin a₂ sin y sin ^

Setzt man ß₁-{- ö₁=2a₎ so wird nach (II) und (I) tg<r _ 1 + t tgö ~l—t’

woraus sich <r berechnen lässt. Vergl. hierzu Кар. XIII.

Zweite Hauptlage:

Gegeben a₂, y^ <5₂. In der ersten Gleichung (III) kom- ^ men diese 4 Winkel vor, aus- j serdem a und y\

t. A

Figur 27.

sin« sina₂ sin<52 siny sin/j sinój

Aus (II) und (I) folgt aber

a + V = 180° + «₂ + У, — <*, — <5, = 2<г, und a — у = 2 q ergiebt sich wieder aus t gQ __ 1 —t tg o' 1 -j-1

Wenn a₂ + /i = 6, + 6₂ wird, ist, a = 90°, tg n = oo, unsere Methode versagt also. In der That ist dann а -J- у —180°, also das Viereck ein Sehnenviereck, mithin auch <5t = a₂, 6₂=y₁. Ist dies nicht so gegeben, so ist die Aufgabe unmöglich ; andernfalls ist sie unbestimmt ; jeder Punkt des Umkreises von ABC genügt den gestellten Anforderungen.

Dritte Hauptlage: «₂, yx ; y₂, <?₂.

Die dritte der Gleichungen (III) ergiebt

sin a sin <5X

sin «₂ sin (/, + уг) sin St ± л

- ----- t.

sin/j

4i

Figur 28.

Aus (II) folgt:

dj + a, = 180° — y₂ — ö₂, also ^ + а = 180° — y₂ ■— ö₂    a₂ =    wo Л bekannt.

Setzt man noch

<5

so wird

— а = ,иу

sin a sin <5, =.

rl

cos^tt

-cos = t,

also

woraus sich /г ergiebt.

cos p = cos Л -f- 21,

Ist gegeben: a₂, y₁ ; ßl,6l} so ist nach (II) ß₂ = 180° — «₂ — ß₁ — yv

s'

Figur 29.

also nach der zweiten Gleichung (III):

.    sin /?₂ sin ô sin a₂

sm at sm ö = —;—-    = t,

¹    ¹ sm (ß₁ + ß₂)

oder

cos ((5j — cq) — cos (dj -f- cq) = 2 t.

Nach (II) ist <5j — cq = <5 -j- <*₂ + ft — 180 = ^

also findet man ^ ~h eq = Я aus

cos Л = cos — 2 t.

Vergleiche hierzu Кар. XIII.

In der vierten Hauptlage ist eine Auflösung

mit quadratischen Gleichungen und eine Konstruktion

mit Zirkel und Lineal nachweislich unmöglich.

[B А

Figur 30.

Figur 31.

§ 27. Das Selmenyiereck.

Im Sehnenviereck wird auch die achte Beziehung zwischen den Winkeln von einfacher Gestalt. Es seien

Л, [л, v, q die den Seiten a, b, c, d gegenüberliegenden Peripheriewinkel; dann ist

Л -\~ i* “f" v q — 180°,

at=ß₂=v- 7i=ö₂ = ßi = 72 =

<5 =

Ць

ßt

чП

D'

Figur 33.

Figur 32.

Zieht man durch В den Durchmesser BD' des Kreises, so ist das Dreieck BD'A bei A rechtwinklig und der Winkel bei D' entweder Л oder 180° — also, wenn r der Badius des Kreises ist:

a = 2 r sin Л

und ebenso b = 2rsin^; c~ 2rsinv; d = 2rsin^. Ferner ist das Dreieck В DD' bei D rechtwinklig und hat bei D' entweder den Winkel    oder £-f- Л-,

beide ergänzen sich zu 180°, so dass ihre Sinus gleich sind. Es ist also

f = 2 r sin -f- v) = 2 r sin (Л + q) und ebenso e = 2 r sin (Л = 2 r sin (^ + (>).

Man beweist mit Hilfe der Formeln des dritten Kapitels leicht, dass unter der Voraussetzung Л —J— [Л, —J- V + Q ⁼⁼⁼ 180°

sin Л sin V + sin p sin q = sin (Л + sin (Л + q) ist. Multipliziert man beide Seiten mit 4 ra, so wird daraus: ac + bd = ef,

der bekannte Ptolemäische Lehrsatz.

Im Dreieck ABC ist

e² = a² + b² — 2 a b cos ß

und im Dreieck ADC

e² = c² + d² — 2 c d cos ö.

Da 6 + ß == 180°, ist cos <5 = — cos ß. Vergleicht man beide Ausdrücke für e², so wird daraus:

со^- 2(ab + cd) •

Also 1 + 003/9= 2 cos² -f = (a+4b-+Cod7d) Setzt man

(VH)

(aa + ba)-(c² + da)

— a + b + c + dj = sa, у ^a у |a+b —c + dj =

— b -f- c

+ dj — Sb,

so folgt daraus:

sc, -у ^a + с + c — dj =

Sd,

c°s²T =

und analog aus 1 — cos/?:

Sc Sd

ab + cd’

sm²-

Mithin ist:

sa Sb

ab + cd ‘

-T-V

Sd Sft

»bTSc

• “-И

Sb Sc

sTSa

S* Sb

(VIII)

Andererseits wird

2 cos

sin

10 to

- = sin ß = 2

j/s» Sb Sc s,|~

ab + cd

Es ist aber sin ß — sin ô und ^ ab sin ß der Inhalt cd sin(5 der Inhalt von ADC, somit der

von ABC,

Inhalt J des ganzen Vierecks:

J = Sb Sc S<| •

(X)

(Wie erhält man hieraus die Inhaltsformel des Dreiecks?)

Wenn man noch den Wert von cosß in den Ausdruck für e² einsetzc, erhält man nach einigen leichten Umformungen

e² =

(ac + b d) (ad + b c)

ab + cd

(XI)

Ebenso ist

(ac + bd) (ab + cd)

”    ad + bc

Durch Ausmultiplizieren erhält man wieder den Ptolemäischen Lehrsatz.

sin Л =

Im Dreieck ABC folgt aus dem Sinussatz: a sin ß

und aus (IX) und (XI)

sin Л =

2a J

У (a b + c d) (ac + bd) (ad + bc) Durch Vergleich mit der Formel = 2 r sin^

. (XII)

ergiebt sich daraus noch

_ У (a b + с d) (ac + bd) (ad + b c)

§ 28. Das Trapez.

Ein Trapez ist durch 4 unabhängige Stücke bestimmt. Durch 3 Winkel ist es der Gestalt nach gegeben.

Es seien die parallelen Seiten mit AB und CD bezeichnet. Dann ist

ct₂ = y₂, ßl — (h, ⁰⁵ ~f“ ^ = 180°, ß -f- y —180°. (XIV)

J,

HX\

Figur 34.

Diese Relationen ergeben sich aus einer von ihnen mit Hilfe der in § 24 aufgestellten Gleichungen (I) und (II). Die Sinusgleichungen lassen sich nicht wesentlich vereinfachen. (IY) und (Y) werden zu

) (XV)

sin ax sin²/?, sin yx — sina«₂ sin ß₂ sin ö2 sin² a sin ß₂ sin yx = sin a, sin® ß sin <52 Wenn 3 Winkel des Trapezes gegeben sind, so kann man aus (XIY) stets einen vierten dazu finden, dass sich eine der in § 25 angegebenen Hauptlagen ergieht. Ausgenommen ist nur folgender Fall:

Gegeben:    <S,₂, ß₂; y, = 180° — «, — ß₂ — <?₂.

i /sin a, siny, = t p sin/?₂ sin<5₂

Dann hat man aus der ersten der Gleichungen (XY): sin q2 sin ß₂

TJnd nach den Beziehungen zwischen den Winkeln selbst: a2+ßi = 180° — (eh + d₂) = 2a. Hessenberg, EbeDe und sphärische Trigonometrie.

Setzt man ß₂ — a₂ = 2 <S, so wird, wie in § 25 :

tg<⁵=t^T+-t'

Zur Lösung anderer Trapezaufgaben sind ausser den vier Dreiecken ABC, BCD, CDA und DAB noch folgende zwei zu verwenden:

Man ziehe durch C die Parallelen zu DA und DB. Sie mögen AB und A' und B' schneiden. Im Dreieck A'BC ist dann

B'

Figur 35.

der Winkel bei A' gleich «, bei В gleich /9,

die Seite

Im Dreieck A CB' aber ist der Winkel bei A gleich «₂, bei B' gleich ßlf bei C gleich 180° — (a₂ + ^i)

= 180°- (/,+ <*,),

B'C =f, CA=e, AB'=a + c.

bei C gleich y+S—180° = 180°— («+/?), BC =b, CA' = d, A'B= а — c.

die Seite

Mit Hilfe dieser Dreiecke werden in der elementaren Geometrie verschiedene Konstruktionsaufgaben gelöst.

Zweiter Teil.

Sphärische Trigonometrie.

Sechstes Kapitel.

Einleitendes.

§ 29. Aufgabe der sphärischen Trigonometrie.

Nachdem die Berechnung ebener geradliniger Figuren auf ein algebraisches Problem zurückgeführt ist, stehen wir vor der Aufgabe, ebenso für räumliche Figuren alle zu ihrer Berechnung notwendigen Gleichungen herzuleiten. Die dem Dreieck analoge einfachste Figur ist im Baum die dreiseitige körperliche Ecke. Ihre drei Kanten bilden zu je zweien

Sb

Figur 36.

insgesamt drei Winkel, ebenso die drei Seiten (Ebenen). Die Kantenwinkel bezeichnen wir mit a, b, c, die gegenüberliegenden Neigungswinkel der Seiten entsprechend mit a, ß, y. Durch drei dieser sechs Stücke sind die übrigen mitbestimmt. Denkt man sich z. B. Figur 37 ausgeschnitten, längs der Kanten OQ und OR gebrochen und so zusammengebogen, dass OP' auf OP fällt, so

p\

b AV

Figur 37.

entsteht eine körperliche Ecke mit der Spitze 0. Die Winkel a, b, c waren gegeben; die Winkel, die die Ebenen I, II, III einschliessen, sind fest, unveränderlich von der Länge der Kanten OP, OQ, OR unabhängig, also lediglich Funktionen von a, b, c.

Ein anschaulicheres Bild von der Lage der sechs Stücke erhält man, wenn man um die Spitze 0 der

r\C

'/Û

Figur 38.

Ecke eine Kugel legt. Dieselbe wird von den drei Seiten der Ecken in drei Bögen grösster Kreise, BC,

CA und AB geschnitten, deren Längen, in Graden, Minuten und Sekunden gemessen, a, b und c sind. Die Winkel aber, die diese Bögen einschliessen, sind a, ß und y. So erhalten wir für jede Ecke ein sphärisches Dreieck; aber umgekehrt entspricht auch jedem Dreieck auf der Kugelfläche eine Ecke mit der Spitze im Centrum der Kugel. Die Aufgabe der Berechnung der dreiseitigen Ecke ist also identisch mit der der Berechnung des sphärischen Dreiecks, dessen Seiten grösste Kreise sind.

Die letztere ist eines der ältesten Probleme der Geodäsie und Astronomie. Die ebene Trigonometrie ist zu Erdmessungen nur auf kleine Entfernungen tauglich, nämlich nur solange man die Krümmung der Erdoberfläche vernachlässigen kann. Grössere Dreiecke auf der Erdoberfläche müssen dagegen als sphärische behandelt werden. Die Formeln des sphärischen Dreiecks müssen, wie man zugleich erkennt, eine Verallgemeinerung derer des ebenen Dreiecks sein. Wenn man den Radius der Kugel grösser und grösser werden lässt, müssen sie in diese übergehen.

Die Lehre von den Beziehungen am sphärischen Dreieck bezeichnet man als die sphärische Trigonometrie. Ihre Aufgab e ist, aus drei Stücken desselben die drei anderen durch Rechnung zu finden.

Die Hilfsmittel der sphärischen Trigonometrie sind dieselben, wie die der ebenen. Die trigonometrischen Funktionen reichen auch hier zur Darstellung aller Beziehungen aus. Während aber in der ebenen Trigonometrie nur die Sinus, Cosinus, Tangenten und Cotangenten

der Winkel vorkamen, treten in der sphärischen auch die der Seiten auf. Dies ist nicht erstaunlich, ja sogar von vornherein zu vermuten, wenn man wieder an die dreiseitige Ecke denkt, in der ja alle sechs Stücke des sphärischen Dreiecks als Winkelgrössen erscheinen.

Aus der Stereometrie ist bekannt, dass die Summe der drei Kantenwinkel einer konvexen körperlichen Ecke kleiner als 360° ist. Wir beschränken die Betrachtung auf solche Ecken und damit auf sphärische Dreiecke, die ganz auf einer Hälfte der Kugel liegen. Offenbar ist in solchen Dreiecken keine Seite und kein Winkel grösser als 180°.

§ 30. Nebendreiecke und Scheiteldreieck.

B']

c_

Denkt man sich die drei grössten Kreise, denen die Seiten des Dreiecks ABC angehören, vollständig ausgezogen, so zerlegen się die Kugeloberfläche in acht Dreiecke. Die durch A gehenden Kreise schneiden sich in einem zweiten Punkt A', die durch В und C gehenden in B', bezw. C'. Die Dreiecke A'BC, AB'C, ABC', welche mit ABC je eine Seite gemeinsam haben, heissen die „Nebendreiecke¹¹ von ABC. Sie stimmen mit ABC in je zwei Stücken überein: in der gemeinsamen Seite und deren Gegenwinkel. Die anderen vier Stücke ergänzen die gleichbenannten Stücke von ABC zu 180° (sie sind ihre Supplemente), z. B. ist im Dreieck A'BC:

<BA'C = a, < A'BC = 180° — ß, <£ A'CB = 180° —,

A'C = 180°— b,

BC = a,

A'B = 180° — c.

Das Dreieck A'B'C', welches mit ABC keine Ecke und keine Seite gemeinsam hat, heisst das „Scheiteldreieck¹¹ von ABC. Es stimmt mit ABC in allen Stücken überein. Die anderen drei Dreiecke, die mit ABC nur eine Ecke gemeinsam haben, sind die Scheiteldreiecke der Nebendreiecke und zugleich die Neben-dreiecke des Scheiteldreiecks von ABC. Sie führen keine besondere Bezeichnung.

Das Scheiteldreieck A'B'C' kann mit dem ursprünglichen nicht zur Deckung gebracht werden. Schiebt man es z. B. an dem grössten Kreis A'C'AC um die Kugel herum, so fällt A' auf А, C' auf C, aber B' nicht auf B, vielmehr auf die andere Seite von AC, auf B". Wenn in der Ebene zwei Dreiecke so gelegen sind, kann man sie durch Umklappen um die gemeinsame Seite zur Deckung bringen. Aber auf der

Kugel geht dies wegen ihrer Krümmung nicht. Man darf daher Scheiteldreiecke nicht kongruent nennen und

B'\

-----\c

Figur 40.

muss neben dem Begriff der Kongruenz auch den der Symmetrie anwenden. Scheiteldreiecke sind symmetrische Figuren.

§ 31. Inhalte von Zwei- und Dreiecken.

1.    Zwei grösste Kreise durch A und seinen Gegenpunkt A' teilen die Kugel in vier Streifen, die man Kugelzweiecke nennt. Ein Kugelzweieck ist vollständig bestimmt, wenn man den Winkel an einer seiner Ecken kennt. Die Fläche eines Kugelzweiecks verhält sich zu der Fläche der ganzen Kugel, wie der Winkel an der Spitze des Zweiecks zu 360°. Es ist also die Fläche F des Zweiecks mit dem Winkel a, wenn R der Radius der Kugel ist:

a°

R² 7Г

2.    Scheiteldreiecke haben gleichen Inhalt. Dieser Satz ist unmittelbar durch die Anschauung gegeben. Der Beweis gestaltet sich aber sehr viel umständlicher, da man die Dreiecke nicht au feinanderlegen kann.

A' A

СЛ

в' В

Figur 42.

Ist zunächst А В = А C, so ist auch im Scheiteldreieck A'B' = A'C'. Wenn man AB mit A'B' zur Deckung bringt und dann das eine Dreieck um den Winkel a dreht, so kommt A mit C', C mit B' zur Deckung ; es ist also ABC kongruent A'C'B' : Ein gleichschenkligesDreieck istmit seinem Scheiteldreieck inhaltsgleich.

In einem beliebigen sphärischen Dreieck konstruiere man sich nunmehr den sphärischen Mittelpunkt M des Umkreises. Sein Gegenpunkt M' ist der Mittelpunkt des Umkreises des Scheiteldreiecks. Die Dreiecke ABM, В CM

ÄA

JT

'Ж

VB'

Figur 43. é

CAM sind gleichschenklig, also nach dem zuletzt Bewiesenen ihren Scheiteldreiecken A' B' M#, B' C' M', С' A' M' inhaltsgleich. Da aber ABC aus den ersteren ebenso (durch Addition oder Subtraktion) zusammengesetzt ist, wie A'B'C' aus den letzteren, so ist auch ABC mit A'B'C' Inhalts gleich.

Die Flächengleichheit der Scheiteldreiecke ist notwendig zum Beweis einer wichtigen Formel über den Inhalt eines beliebigen sphärischen Dreiecks. Konstruiert man zu ÀBC die Nebendreiecke und bezeichnet die Inhalte von ABC, ABC, AB'C und ABC' mit F, X, Y und Z, so ist der Inhalt des Zweiecks ABAC:

В,² я;

ebenso

В²уг

90°

R² л 90° Г'

Andererseits erfüllen die Dreiecke ABC, A'BC, AB'C und B'A'C die Halbkugel, die durch den grössten

Kreis А В А'В' begrenzt ist, und da die Fläche von A'B'C gleich der von ABC', seinem Scheiteldreieck, ist, hat man

Addiert man die drei ersten Gleichungen und subtrahiert diese davon, so bleibt:

B² 71

F + X + Y + Z = 2B²tt.

2 F ==

90°

{•

—180° .

В'

c_

Figur 44.

Man bezeichnet den Ueberschuss « + /? + /—180° der Winkelsumme über 180° als den „sphärischen Excess des Dreiecks“, e. Der Inhalt eines

sphärischen Dreiecks ist dem sphärischen Excess proportional:

R²tv 180 €'

Die Winkel sum me im sphärischen Dreieck wächst also mit dem Inhalt des Dreiecks

und ist immer grösser als 180°.

§ 32. Das Polardreieck.

Wenn die Ebene eines grössten Kreises und der zu einem Punkt P gehörige Durchmesser aufeinander senkrecht stehen, so nennt man den grössten Kreis die Polare des Punktes P und diesen einen Pol des grössten Kreises. Jeder grösste Kreis zerlegt die Kugel in zwei Halbkugeln. Der Mittelpunkt jeder dieser Halbkugeln ist ein Pol des grössten Kreises.

Der Aequator ist die Polare des Nordpols wie des Südpols, Nord- und Südpol sind die Pole des Aequators. Wir empfehlen dieses Beispiel dem Leser zur Veranschaulichung der nachfolgenden Sätze:

1. Jeder grösste Kreis durch P steht senkrecht auf der Polare von P.

9/

ту

Tm

JS)

Figur 45.

2. (Umkehrung.) Jeder auf einem grössten Kreis senkrechte Kreis geht durch den Pol desselben.

3. Jeder Punkt der Polare hat vom Pol den Abstand 90°.

4.    (Umkehrung.) Jeder Punkt, der von P um einen rechten Winkel entfernt ist, liegt auf der Polare von P.

5.    Liegen A und В auf der Polare von P, so ist

AB = < APB.

6.    P sei der Pol von А В und von A sei nach В hin AS = 90°, von В nach A hin BT = 90° auf AB aufgetragen. Dann ist P S die Polare von A, P T die Polare von В und <£ S P T soll als Winkel der Polaren von A und В bezeichnet werden. Es ist aber nach 5

<SPT = ST.

S und T liegen ausserhalb oder innerhalb von AB, je nachdem AB < oder > 90° ist. Im ersten Fall ist ST=SA+AT=SA+BT—AB = 90° +90°—AB, nn zweiten ST = S A - AT = SA —AB + ВТ

= 90°—AB+ 90°.

Also auf alle Fälle:

<SPT + AB= 180°, d. h.:

Der sphärische Abstand zweier Punkte und derWinkel ihrer Polaren ergänzen sich zu 180°.

7. Zugleich erkennt man: Die Polaren SP und TP von A und В schneiden sich im Pol P von AB.

Man konstruiere jetzt die Polaren der drei Ecken ^ des sphärischen Dreiecks. Zu diesem Zweck trage man von A aus auf b nach C hin ABa = 90°, auf c nach В bin A Ca = 90° ab. Der durch BaCa gehende grösste Kreis ist die Polare von A. Ebenso konstruiere man sich die Polare von В und C. Ba Ca schneidet sich mit Ab Cb in einem Punkt C', CaBa mit ACBC in B',

Bc Ac mit Cb Ab in A'. Sind ß⁴, y' die Winkel und

Ar

GtK’'

Bc

\'

Ba

Figur 46.

a', b', c' die Seiten des Dreiecks A'B'C', so ist nach Satz 6 dieses Paragraphen:

<£ Ca C' Cb + AB = 180°, d. h.

у⁴ = 180° — c.

Da А', В', C' umgekehrt (nach 7) die Pole von a, b, c sind, ist auch А'Аь = A'AC = 90° u. s. f., mithin wieder nach 6 :

<AcCBc + A'B'=180°, d. h.

c/ = 180° — y\

Hiermit erhalten wir den fundamentalen Satz: Giebt es ein sphärisches Dreieck mit den Stücken a, b, c; a, ß,y, so giebt es ein zweites mit den Stücken a' = 180° — a, b' = 180° — ß, c' = 180° — y-a‘ = 180° — a, ß* = 180° — b, / = 180° —c.

Das Dreieck А' В' C' heisst das Polar- oder Supplementendreieck des gegebenen, auch das reciproke Dreieck.

Die Nebendreiecke des Polardreiecks sind die Polardreiecke der Nebendreiecke des ursprünglichen. Es giebt also auch ein Dreieck mit den Winkeln a, b, 180° — c und den Seiten a, ß, 180° — y.

Der sphärische Excess des Polar dreiecks,    hat

den Wert:

e' = 180° — a + 180° — b + 180° — c —180° q    — 360° — (a —f— b —}— c).

Man nennt diese Grösse den sphärischen Defekt des ursprünglichen Dreiecks.

Siebentes Kapitel.

Das schiefwinklige sphärische Dreieck.

§ 33. Erster Cosinussatz.

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos a cos b = cos c cos a + sin c sin a cos ß cos c = cos a cos b + sin a sin b cos y. cos a — cos b cos c

(I)

COS a

cos ß

sin b sin c cos b — cos c cos a

cos y

sin c sin a cos c — cos a cos b

(П)

sin a sin b

Beweis: 1. Die Seiten b und c seien kleiner

und O C in zwei Punkten

ist der Winkel bei А gleich a, und wenn P Q mit x bezeichnet wird, folgt nach dem ebenen Cosinussatz :

als 90°. Die Tangenten in A an b und c treffen dann die verlängerten Radien P und Q. Im Dreieck

x² = A P² + A Q² — 2 A P . A Q. cos o.

o<

Ct

ft

ft

Figur 47.

ci

IC

Figur 47 a.

c \Q

Im Dreieck OPQ ist der Winkel bei О gleich also ebenso:

x² = O P² + O Q² — 2 O P . O Q . cos a.

Durch Vergleichung beider Ausdrücke für x² erhält man:

OP² — AP² + O Q² — AQ² + 2 AP . AQ . cos«

— 2 O P . O Q. cos a.

Die Dreiecke OAP und OAQ sind bei A rechtwinklig, folglich ist, wenn der Padius der Kugel wieder mit P bezeichnet wird:

OA

₀q cosAOQ = cosb;

OP²—AP² = OA²=P² ; OQ²—A Q² = OA² = P²; О А

-д-р = cos AOP=cos c ;

also

OP

cosc’

eosb*

Endlich ist

A P = P tg AOP = P tg c ; AQ = PtgAOQ=Ptgb.

Durch Einsetzen in die letzte Gleichung und Division durch 2 P² folgt :

cos а

cos b cos c* ist, erhält man nach Multiplikation

1 + tg b tg c cos а =

Da tg b =

sinb cos b

mit cos b cos c die erste der Formeln (I).

2. Ist b grösser, c kleiner als 90°, so ist in dem Nebendreieck, welches c mit ABC gemeinsam hat: a' = 180° — a, b' = 180° — b, c' = c, a' — 180° — а , ß* = 180° — ß, y'=y. b' und c' sind kleiner als 90°, folglich ist nach dem zuletzt Bewiesenen:

cos a' = cos b' cos c' + sin b' sin c' cos cs', Hessenberg, Ebene und sphärische Trigonometrie.

nnd nach den Formeln (I, II) des § 6 :

cosa' =—cosa, cosb' = — cosb , cos c'= + cos c cosa'=— cos«, sinb' = + sinb, sinc'= + sine. Setzt man diese Werte ein, so erhält man wieder (I).

3. Sind b und c beide grösser als 90°, so verfahre man ebenso mit dem Nebendreieck, welches a mit ABC gemein hat.

Die Formeln (II) entstehen aus (I) durch Auflösen nach cosa, cosß, cos/.

§ 34. Funktionen der halben Winkel; Sinussatz.

Aus (II) folgt:

1 + cos a — 2 cos² ~

Z

cos a — (cos b cos c — sin b sin c)

sin b sin c

cos a — cos (b + c)

sin b sin c

₌ 2 sin * (a + b + cj sin — |

sin b sine

+ b + cj

sin s sin sa sin b sin c

1 — cos a

= 2 sin2 _ cos (b — c) — cos a

— cos a -f- (cos b cos c + sin b sin c)

sin b sin c

sin b sin c

__ 2 sin — ^a — b cj sin -^a + b — cj

sin Sb sin sc sin b sin c *

Mithin ist

sm b sin с

cos — .= 1 / 2 V

sin s sin sa sin bjsin c

; sin

to a

=]/

sin s₍₎ sin sc

sin b sin c

. (HI)

Hieraus folgt durch Division:

sin sb sin sc sin s. sin sa ? und durch Multiplikation:

2 sin cos oder

НИ

cot

ем ■

__ n/sin s. sin sa ] sin Sb si

n sc’

(IV)

a .    - У sin s sin sa sin 8ь sin sc

= sin о = 2----*—i ;----

sin b sin c

sin а __ 2 V sin s sin sa sin sb sin sc sin a sin b sin c.

Diese letzte Formel enthält den sphärischen erweiterten Sinussatz. Die rechte Seite ist aus den drei Seiten völlig symmetrisch gebildet, es ist also:

sin а _ sin ß_sin у

sin a sinh sin c? sin а : sin ß : sin у — sin а : sin b : sin c Die Sinus der Seiten verhalten sich wie die Sinus der gegenüberliegenden Winkel. (Sinussatz.)

Anmerkung. Man hat für die hier auftretenden Grössen noch einige nützliche Bezeichnungen eingeführt. Man nennt den Ausdruck

sina

(V)

(VI)

S = |/sin s sin sa sin s^ sin sc

den „Eckensinus“ der zu dem Dreieck gehörigen Ecke mit den Winkeln a, b, c.

Den Quotienten

dul“ M des Dreiecks. Es ist

sin а = M sin a, sin b = M sin ß, sin c =r M . sin y. Endlich sei noch

sin a sin b sin c

2b

bezeichnet man als „Mo-

•j/sin Sa sin s^ sin Sc _^

Г    sin s

gesetzt, so dass man hat: . а tg¥

—-: tg —

sin sa 2

sin Sb ’

sin sc"

§ 35« Reciproke Formeln.

Indem man den ersten Cosinussatz auf das Polardreieck anwendet, erhält man den sogenannten zweiten Cosinussatz :

cos a = — cos ß cos / + sin ß sin y cos a

(VII)

COS a + COS ß COS/

cos a =

Setzt man ferner in Analogie zu s, sa etc.:

sin ß sin /*

(VIII)

^cs+/?+/j = 0',    —a + ß + yj = 0

— а = ол,

so wird das s' und das s'a des Polardreiecks zu:

= - -(l80°— « + 180° — ß+180⁰ — yj = 270° — a,

s'

тН

S'i

= —180° + « + 180°—ß+lS0° —/)=

90° иа,

womit die Formeln (III) und (IV) übergehen in

si*ł=F'

— cos a cos <7a

sin ß sin /

; cos¥

i/cos а-ß cosaT “ I sin ß sin / ’¹    }

tsY = ]/

— COS (7 COS Ua

(V) wird sin a

COS Oß cos oy

zu:

2 ]/— cos a cos <7a cos oß cos о„

(X)

sin а

sin a sin ß sin /

§ 36. Rechnerische Herleitung des zweiten Cosinussatzes. Cotangentensatz.

Setzt man den durch den ersten Cosinussatz gegebenen Wert für cos a in die Formel für cos b ein, so ergiebt sich nach leichter Reduktion:

cos b sin c = cos c sin b cos a + sin a cos ß. (XI) Solcher Formeln giebt es 6. Sie heissen die sphärischen С о s i n u s f o r m e 1 n. Da sin a = M sin а u. s. f., wird nach Division durch M :

cos b sin 7 == cos c sin ß cos a -f- sin a cos ß, oder, wenn man die Ecken A und C vertauscht und etwas anders ordnet:

cos ß sin 7 = — cos 7 sin ß cos a + sin a cos b. (XII) Dies ist die reciproke Formel zu (XI). Nimmt man sie zusammen mit der durch V ertauschung von В und A daraus hervorgehenden und eliminiert cos a oder cos b, so erhält man den zweiten Cosinussatz. —

Aus (XI) folgt, nach Division durch sin b unter Beachtung von

(XIII)

sin a : sin b = sin а : sin ß : cot b sine = cos c cos a -f- sina cot ß oder sin c . cot b — sin a cot ß = cos c . cos a.

Dies ist der sogenannte Cotangentensatz. Es giebt 6 solcher Formeln. Durch Vertauschen der Ecken A und C

erhält man die zu (XIII) reciproke Formel:

sin а. cot b — sin у cot ß — cos а . cos 7.

§ 37. Uebergang in die ebene Trigonometrie :

Ein sphärisches Dreieck, welches im Vergleich zur ganzen Kugel Oberfläche sehr klein ist, kann näherungsweise als ebenes Dreieck betrachtet werden. So ist z. B. bei kleinen geodätischen Messungen von der Krümmung der Erdoberfläche nichts zu merken; die Abweichungen von der Ebene sind kleiner als die Fehler, die bei der Messung auftreten.

Es müssen also die Formeln der sphärischen Trigonometrie für sehr kleine Dreiecke näherungsweise mit denen der ebenen Trigonometrie in Uebereinstimmung geb r ach t werden können¹.

In erster Annäherung kann man die zu den Seiten gehörigen Winkel gleich Null setzen, so dass die Sinus der

¹ Wenn ein sphärisches Dreieck sehr klein ist, so bedeutet dies, dass seine Seiten sehr klein sind ; die Winkel können dabei beliebige Werte zwischen 0 und 180° annehmen ; ihre Summe wird um so näher an zwei Rechte herangehen, je kleiner das Dreieck ist.

Seiten alle Null, die Cosinus der Seiten gleich 1 werden. Die Formeln (I) bis (VI) werden dadurch entweder identische Gleichungen, wie (I), (1 = 1) oder unbestimmt, wie (III),

(oosf=?}

Aus (VII) und (XII) dagegen

folgt

— cos а = cos ß cos у — sin ß sin у sin а = sin ß cos у + cos ß sin y.

Dies sind die Additionstheoreme, wenn

man

setzt.

а = 180 — ß — у

ln zweiter Annäherung kann sin а = ^-gesetzt werden. Denn solange а

als geradlinig betrachtet werden kann, fällt es mit der Sinuslinie zusammen: Das Dreieck О В C ist bei C rechtwinklig, also В C

sin а = QB. Der Cosinus ist gleich 1 zu setzen.

Hiermit erhält man aus den Formeln (III) bis (VI) die entsprechenden Gleichungen der ebenen Trigonometrie; der Cosinussatz aber bleibt identisch erfüllt, da man das Glied sin b sine cos a Null setzen muss, weil b c

ausserhalb der eingehaltenen Genauigkeit liegt.

•fr)-

Setzt man jedoch in dritter Annäherung

cos а = 1 — 2 sin²-^-

Ci

1    a²

2    R² ’

Figur 48.

so folgt aus dem Cosinussatz nach leichter Umformung und Multiplikation mit 2R²:

b²c2 [2 ft“ *

Das letzte Glied ist im Vergleich zu den anderen unendlich klein und kann vernachlässigt werden, so dass man den ebenen Cosinussatz erhält.

Durch diese Uebergänge wird zugleich die Bezeichnung der sphärischen Sätze in ein besseres Licht gerückt. Der sphärische Cosinus- und Sinussatz, sowie die sphärischen Cosinusformeln (XI) gehen nämlich in die ebenso benannten ebenen Formeln über.

a² = b² + e — 2 b c cos a -f

§ 38. Auflösung der sphärischen Dreiecke. Erster Fall: Gegeben a, b, c.

Man berechne s, sa, Sb und sc und aus (IV) die Tangenten der halben Winkel:

log tg - - = -^-|logsinsb+bgsins₀ — logsin s —log sinsaj Da a, ß, y kleiner als 180° sein sollen, sind > 2 spitze Winkel; die aus der Tabelle ent-

ic a

nommenen Werte sind die einzig möglichen und richtigen. Es giebt also nur eine Lösung.

Zweiter Fall: Gegeben «, ß, y.

Man berechne erst u, aaßf und a b c

da a grösser als 90° wird, setze man

2 ’ 2 ⁵

180°—    = u'; es wird:

aus

(X)

= I {log cos o'+log cos - log

<Tß — log COSOyJ. Es kommt auf dasselbe hinaus, wenn man aus a, ß, y unäcbst die Seiten a' = 180° — a, b' und c' des Polar-zdreiecks ausrechnet und aus diesen die Winkel desselben. et', ß\ y\ Dann ist a = 180° — ce' also

logt g

cos

a    л a'

a'

tg-2"=cot-

T = ⁹°-T’

und nach (IV):

to;

c3 CM

log tg — — log cot- =

- - jlog sin s/ + log sin s'a — log sin s'b — log sin s'cJ-

Bei diesem Verfahren hat man die bequemere Interpolation mit log sin und log tg, die positive Tafeldifferenzen besitzen. Da übrigens s'a das Komplement von oa ist, ist ein thatsächlicher Unterschied zwischen beiden Wegen nicht vorhanden.

Zur Probe auf richtige Rechnung dient in den beiden ersten Fällen am besten der Sinussatz: log sin a — log sin a = log sin b — log sin ß — log sin c — log sin y.

Dritter Fall: Gegeben ab/.

Man erhält c aus dem ersten Cosinussatz, sodann a und ß nach dem Sinussatz oder besser nach den Formeln (IV), da der Sinussatz zwei Winkel liefert.

Vierter Fall: Gegeben c, a, ß.

Man erhält у nach dem reciproken Cosinussatz, sodann a und b nach Formel (X).

Für durchgehende logarithmische Rechnung im dritten und vierten Fall sind geeignete Formeln in diesem Abschnitt noch nicht entwickelt. Vergl. hierzu Kapitel IX und XIII.

Fünfter Fall: Gegeben a, b, a.

Im Interesse einer bequemen Determination betrachte man, wenn a und b nicht beide spitz sind, dasjenige Nebendreieck, in dem die entsprechenden Stücke spitz sind. Ist z. B. a stumpf, b spitz, so wähle man das Nebendreieck mit den Stücken

a' — 180° — a, b' = b, c' = 180° — c, a‘ = 180° — a, ß' = ß, / = 180° — /, welches mit dem ursprünglichen die Ecken A und C gemein hat. Ist b stumpf, a spitz, so nehme man dasjenige, welches В und C mit ABC gemein hat. Sind endlich a und b beide stumpf, so nehme man das an AB anliegende Nebendreieck mit den Seiten a' = 180° — а, b' = 180° — b, с' = c und den Winkeln

«' = 180° — a, ß' = 180° — ß, y* — y.

Aus den Stücken des Nebendreiecks kann man jedft’zeit wieder die des ursprünglichen berechnen.

Wir können uns mithin auf den Fall beschränken, dass a und b spitz sind. Man erhält dann aus dem Sinussatz

log sin ß = log sin b — log sin a -f- log sin «.

Da zu jedem Sinus zwei Winkel gehören, ergeben sich zwei Lösungen für ß, die aus der Tafel gefundene und deren Nebenwinkel. Die Determination ist unter der Voraussetzung, dass a und b spitz sind, genau dieselbe, wie in der ebenen Geometrie:

1.    Ist a > b, so ist nur der in der Tafel aufgeschlagene Winkel brauchbar, dieser aber sicher.

2.    Ist a = b, so darf a nicht stumpf sein, und es ist ß —a.

3. Ist a b, so muss a spitz sein. Für sin/? kann ein Wert grösser als 1, für logsin/? also eine positive

Grösse herauskommen. Dann existiert kein (reales) Dreieck.

Ist dagegen log sin ß negativ, so sind beide Werte für ß brauchbar. Ist log sin ß = 0, so ist ß = 90° und es giebt nur ein Dreieck.

Aus a, b, a, ß kann man c und y mittelst der Cosinusformeln berechnen. Eliminiert man z. B. sine aus den beiden Formeln

cos a sin b = sin a cos b cos y 4- sin c cos a, cos b sin a = sin b cos a cos y + sin c cos /?,

so folgt:

cos y

und aus dem Polardreieck:

cos ß tg b — cos a tg a cos ß tg a — cos a tg b ’

cosc

cos htgß — cos a tg a cos b tg a — cos а tg ß *

Zur logarithmischen Rechnung geeignetere Formeln werden in Kapitel IX angegeben werden.

Sechster Fall: Gegeben а, а, ß.

Man kennt im Polardreieck a', a'. b' und kann daher nach dem fünften Fall ß\ y* und c' berechnen. Dann ist b = 180° — ß' \ c = 180° —/ ; у — 180° — c'.

Man kann auch in Analogie zum fünften Fall zunächst für eine bequeme Determination a und ß als spitz annehmen. Sollten sie es nicht sein, so betrachte man die Nebendreiecke. In einem von ihnen sind die a und ß entsprechenden Winkel beide spitz.

b ergiebt sich aus dem Sinussatz, und zwar ist log sin b = log sin ß — log sin a -f- log sin a.

Von den beiden Werten für b ist nur der spitze zu gebrauchen, wenn a>|î. Ist a ^ ß, so muss a spitz sein. Ergiebt sich dann für log sin b ein negativer Wert, so sind beide Werte von b brauchbar. Wird sin b = 1, so ist b = 90° und nur eine Lösung vorhanden. Ist endlich log sin b > 0, so giebt es kein (reelles) Dreieck, у und c erhält man, nachdem b gefunden, wie im fünften Fall.

Achtes Kapitel.

Das rechtwinklige sphärische Dreieck.

§39. Auflösung der rechtwinkligen sphärischen Dreiecke.

Ist in einem sphärischen Dreieck у — 90°, so nennt man c die Hypotenuse, a, b die Katheten. Ist etwa noch а = 90°? so sind auch c und a Hechte nach Satz 3 des § 32, und ß ist gleich b. Yon diesem ein-faclien Fall kann im folgenden abgesehen werden.

Zur Berechnung der sphärischen rechtwinkligen Dreiecke dient folgendes Formelsystem:

Erster Fall: Gegeben c, a.

tga

I J sin c|

; cosb =

cosc

⁵ 008'“tgc Zweiter Fall: Gegeben c, a.

{sin а = sin]c sin csj ; cot ß = cos c tg cs ; tg b = tg c cos cs. D r^i t ,t e r F а 11 : Gegeben a, b.

cos a

tg os

tga

; tg/? =

tg b sina

sinb

Vierter Fall: Gegeben a, cs. sina sines’

sine ==

sinb

; cos c = cos a cos b.

tga

tg CS

Fünfter Fall: Gegeben a, ß.

; sin/? =

coses

cos a

tga

tg c =    *, tg b = tg ß sin a ; cos a = cos a sin ß.

Sechster Fall: Gegeben «, ß.

i G0Sß

; cos b =    ; cos c = cot a cot /?.

cos а

cos a

sin/?

Die eingeklammerten Formeln des ersten und zweiten

Falles bestimmen a bezw. a nicht eindeutig. Es gilt aber der Satz: Kathete und Gegenwinkel sind gleichzeitig spitz oder stumpf. Es ist nämlich (fünfter Fall)

cos a = cos а . sin ß und da sin ß stets positiv ist, haben cos « und cos а stets das gleiche Vorzeichen.

Die vorstehenden Formeln erhält man sämtlich aus

den Fundamentalgleichungen des allgemeinen Dreiecks durch die Specialisierung

siny = l, cos у = 0.

Aus der dritten Formel des Cosinussatzes wird cos c = cos a cosb,

aus dem Sinussatz:

sina sin c’

und aus den Cosinusformeln:

sin«

sin/?

sinb

sine

cos а =

tgb

cos ß =

tga

tgc*

tgc

Aus diesen fünf Gleichungen kann man alle anderen herleiten. Es wird z. B.

sina

sina 1

tg а =-— •---------

tg b cos c tg b cos a cos b sin b

Hiermit sind schon alle Beziehungen zwischen zwei

Seiten und einem Winkel, sowie zwischen drei Seiten

tg a

; tgf =

tgb

sina

erschöpft. Man erhält noch sinb cosc

Snc * cosb ~ Sm ^ C0S a ’ c°s /? = sin а cos b,

cos а

und durch Multiplikation:

cot a cot ß = cos a cos b = cos c.

In allen Fällen, mit Ausnahme des vierten, ist das rechtwinklige Dreieck eindeutig bestimmt. Denn ausser in den eingeklammerten Formeln des ersten und zweiten Falles treten nur die Cosinus, Tangenten und Cotangenten der gesuchten Stücke auf, und diese Funktionen bestimmen ihre Winkel zwischen 0° und 180° eindeutig ; sie sind für spitze Winkel positiv, für stumpfe negativ. Dass von den zu den eingeklammerten Sinus gehörigen Werten immer nur einer brauchbar ist, war schon gezeigt.

Im vierten Falle giebt es zwei Dreiecke, da zu jedem der Sinus zwei Werte gehören. In der That hat eines der Nebendreiecke — dasjenige, welches an В C anstösst — die Seite a und a und einen rechten Winkel, genügt also auch den gestellten Anforderungen. Die beiden Lösungen sind aber nur brauchbar, wenn a und a gleichzeitig spitz oder stumpf sind, sonst sind beide unbrauchbar. — Die Zusammengehörigkeit der Werte für c, b und ß ergiebt sich folgendermassen : Zu dem spitzen Wert von b gehört der spitze von ß, zu dem stumpfen Wert von b der stumpfe von ß. Infolge der Gleichung cosc = cos a cosb

ist cosc negativ, also c stumpf, wenn von den Stücken a und b eins spitz und eins stumpf ist; dagegen ist cosc positiv, also c spitz, wenn a und b gleichzeitig spitz oder stumpf sind.

Hiermit sind die Bedingungen für die Lösbarkeit der Aufgaben noch nicht erschöpft. Im ersten, vierten und sechsten Fall müssen noch die Werte, die man für die Funktionen der gesuchten Stücke erhält, echte Brüche sein.

Im ersten Fall erhält man die Bedingungen sin a < sin c,

positiver Wert von tg a <C positiver Wert von tg c,

я cos а >

я COSC.

Es genügt, wenn eine dieser Bedingungen erfüllt ist. Die anderen stimmen dann auch. Man braucht auch nicht die Funktionen der Winkel selbst nachzuschlagen, da man von der Grösse der Winkel auf die der Sinus schliessen kann: Yon zwei Winkeln hat der den grösseren Sinus, der näher an 90° liegt (Fig. 5).

Es giebt also folgende 4 Möglichkeiten:

c spitz

c stumpf

a spitz

Es muss c > a sein

Es muss a+c<C180° sein

a stumpf

Es muss a+c > 180° sein

Es muss c < a sein

а > a,

a und a spitz : a und a stumpf : а < а.

Im vierten Fall sind die Bedingungen dieselben, wie in dem eben besprochenen, wenn man nur a statt c schreibt: Da aber a und a stets gleichzeitig spitz oder stumpf sind, folgt einfacher:

Im sechsten Fall ist zur Lösbarkeit notwendig : positiver Wert von

cos a <C sin/? cos ß <C sin а r    »    « cota.cot^< 1.

Auch hier zieht das Erfülltsein einer Bedingung das der anderen nach sich. Für die Winkel gilt :

1.    ß spitz :    90° — ß < a < 90° + ß;

2.    ß stumpf : ß — 90° < a < 270° — ß.

Im zweiten, dritten und fünften Fall dürfen die gegebenen Stücke zwischen 0° und 180° beliebige Werte haben.

§ 40. Die Napier’sche Regel.

Die Gleichungen des rechtwinkligen Dreiecks lassen sich in eine einfache von Napier gegebene Regel zusammenfassen. Es seien a* und b* die Komplemente der Katheten a und b. Dann folgen am Dreieck die Stücke in dieser Reihenfolge aufeinander :

ъ*, a, C, ß, a*, b* . . .

Ton diesen fünf ist der Cosinus eines jeden gleich dem Produkt aus den Cotangenten der beiden ihm benachbarten und auch gleich dem der Sinus der beiden von ihm getrennten Stücke.

Diese Regel enthält alle Beziehungen, die zwischen irgend drei Stücken bestehen. Denn drei Stücke liegen entweder aneinander (wie a, c, ß), oder es liegen zwei aneinander, das dritte von ihnen getrennt (wie а, с, а*). Man überzeuge sich an den Formeln des vorigen Paragraphen, dass die Regel in jedem Einzelfalle zutrifft.

Die Napier’sche Regel handelt nur von der Aufeinanderfolge der Stücke, nicht aber davon, welches der Stücke Hypotenuse, welches Kathete, welches Winkel ist; andererseits enthält sie alle notwendigen Bedingungen dafür, dass die fünf Stücke einem rechtwinkligen Dreiecke angehören. Daraus folgt, dass man die Bedeutung der fünf Stücke unter Beibehaltung der Reihenfolge abändern darf, und dass die so vertauschten Stücke wieder ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Z. B. giebt es ein rechtwinkliges Dreieck mit den Stücken

а = 73° 53' 38", b = 39° 57' 4", c = 77° 43' 18" а = 79° 29' 45", ß = 4Vbi6".

b* =

Es ist also

a* =

50° 2'56" 79° 29'45" 77° 43'18" 41° 5' 6" 16° 6'22" und es giebt noch vier Dreiecke mit den Stücken 79°29'45"    77°43'18"    41°    5' 6"    16" 6'22"j50° 2'56"

77°43'18"    41°    5' 6"    16°    6'22"    50° 2'56"    79°29'45"

41° 5' 6"    16°    6'22"    50°    2'56"    79° 29'45"    77° 43' 18"

16° 6' 22"    50°    2'56"    79° 29' 45"    77°43'18"    41° 5' 6"

Dies ist auch geometrisch leicht einzusehen. Trägt mjtn von C undB auf CA und CB und (event.) ihren "Verlängerungen

'A

C,

A,

Figur 49.

über A und В hinaus CAi =: 90°, BCj = 90¹ ab, so ist in dem bei C rechtwinkligen Dreieck AjCB die Kathete At C ein Quadrant (90°), also der Winkel bei В ein rechter und Aj В ein Quadrant. In dem Dreieck Cj At В sind also Cj В und Аг В Quadranten, mithin die Winkel bei At und Сг rechte. Nennt man den Punkt A als zu dem Dreieck Ct Aj А gehörig noch nebenbei Bn so ist in dem bei Сг rechtwinkligen Dreieck Aj Bt Cj :

= 90° — c, d. h. ax* = c, = 90° — b,

aL = Ci Bi

с, = В, A,

Cj — b*,

b, = 0,^ = <^0* = 90°-/?, * bj* = ß₉’ a,= 90° —<CA₁B = 90° — а, „    ^ = a*,

» ßt = «•

А = «>

Setzt man an das Dreieck At BL Cx in der gleichen Weise durch Verlängerung von Ct A₁ und Bj Ax bis auf 90° ein Dreieck Aa B₂ C₂ an, so ist in diesem analog a₂* = Cj — b*,    «₂ = at* = c

c₂ = bx* = ß, ß₂ = a₁ — a*

Ь₂*=Л =ct.

Man erhält im ganzen folgende Uebersicht:

a* =

Ъ* =

«? ■? cP 2* *

н я M i:    а

Св ö «О. rO О

*■

да 00    ^

О c3 e

в.

с,

в;

'Г,

Figur 50.

Aus den beiden Formeln

cos c — cotg a cotg ß — sin a* sin b* Hessenberg, Ebene und sphärische Trigonometrie.

ergeben sich durch Anwendung auf die fünf Dreiecke alle anderen Relationen zwischen den Stücken с, a, ß, a*, b*.

Das fünfte Dreieck stimmt mit dem ersten in allen Stücken wieder überein. Bei der Konstruktion erhält man auch der Lage nach das alte Dreieck zurück, wie leicht zu beweisen ist. Die Figur der fünf Napier’scben Dreiecke besitzt interessante Eigenschaften. In dem Fünfeck C, Ct, C₂,    die Seiten, in dem Fünfeck A, A1} A₂, A₃, A₄

die Diagonalen alle gleich 90°. Der Leser versuche zur Uebung diese Sätze zu beweisen.

g 41. Geometrischer Beweis der Fundamentalformeln des rechtwinkligen Dreiecks.

Zieht man wie in § 33 an b und c die Tangenten und nimmt zunächst an, dass b und c spitz sind, so schneiden die Tangenten die verlängerten Badien von C und В in Q und P. Die Ebene des Dreiecks APQ steht aber senkrecht auf OA, also auch auf der Ebene

PS

CÄ c\o

Figur 51.

Figur 51 a.

OAQ. Da das Dreieck ABC bei C rechtwinklig ist, steht auch die Ebene OPQ auf OAQ senkrecht, dem-

nach auch die Schnittlinie PQ von APQ und OPQ. Daher sind die Winkel OQP und AQP rechte.

In den beiden bei A rechtwinkligen Dreiecken О AP und OAQ ist aber (wie in § 33)

OP = В : cosc,

AP= В. tgc,

OQ = В : cos b AQ = В . tgb.

In dem bei Q rechtwinkligen Dreieck OPQ hat man daher:

cosPOQ = cos а

ferner

PQ = OQ tga =

O Q __ cos c OP cosb В tg а

= OP sina

cosb ’ В sina

cos c

In dem bei Q rechtwinkligen Dreieck APQ ist P AQ = a, also

cos a

A Q_tg b

tg с

sin a

sina

sina

AP cos c tg c sin c ’

PQ _ tga _ tg a AQ“~cosbtgb sinb Anmerkung. Da irgend ein zu APQ paralleler Schnitt A'P'Q' durch die Ecke an den Seitenverhältnissen und Winkeln des Tetraeders O A P Q nichts ändert, hätte man auch, wie es in vielen Lehrbüchern geschieht, P' irgendwo auf О В annehmen, auf O A und О C die Lote P' A' und P'Q' fällen und an dieser Figur dieselben Schlüsse ziehen können. Vielfach wird P' nach В gelegt. — Die Verallgemeinerung der Formeln auf Dreiecke, in denen b und c nicht spitz sind, ergiebt sich leicht durch Betrachtung der Nebendreiecke.

tga

§ 42. Das Quadrantendreieck.

Wenn in einem Dreieck eine Seite ein Rechter ist, so nennt man es ein Quadrantendreieck oder rechtseitiges Dreieck. DasPolardreieck eines Quadrantendreiecks ist rechtwinklig. Man kann also die Auflösung des Quadrantendreiecks auf die des rechtwinkligen zurückführen.

Ist c diejenige Seite, welche gleich 90e ist, so lautet die Napier’sehe Regel des Quadrantendreiecks :

Sind a* und/?* die um 180° vergrösserten Komplemente von a und ß. so ist der Cosinus eines jeden der Stücke

ß*, a, y, b, a*, ß* . . . entgegengesetzt gleich dem Produkt aus den Cotangenten der anliegenden und auch dem aus den Sinus der von ihm getrennt liegenden Stücke.

Durch diese Regel gehören wieder je 5 Dreiecke zusammen, z. B. A Aj A₂ ; A₁ A₂ A₃ ; A₂ A₃ Aé ; A₃ A₄ А ; Aé A Aj in Fig. 50.

§ 43. Das schiefwinklige Dreieck im Zusammenhang mit dem rechtwinkligen.

oder

1. Fällt man das sphärische Lot hc = CHc von C auf a in dem schiefwinkligen Dreieck ABC, so ist in den rechtwinkligen Dreiecken ACHc und BCHc: sin hc = sin a sin ß — sin b sin a, sin a : sin ß = sin а : sin b.

Dies ist der Sinussatz.

cos а

cos hc =

2. Ferner ist für AHc = bc, BHc = ac cosb

cosbe cosac

Da ac + bc = c, folgt weiter cos b cos (c — bc) cos bc

cos а =

= cos b cos c + cos b sin c tg bc.

/з

*7.

tgbc

Figur 52.

Da cos«

-—7-, wird tg bc = tg b cos a, also tg b

cos а = cos b cos c -f“ sin b sin c cos «.

Dies ist der erste Cosinussatz.

3. Setzt man <£ACHc = 71? <BCHc = 7₂, so ist cos ß — cos ho sin cos а = coshc sin/j, also

= sin 7 cot 7₂ — cos 7.

cos а_sin yr _sin (y — y₂)

sin7₂

cosß sin/2 Da cot /₂ cot ß = cos а, wird mithin

cos а — sin / sin ß cos а — cos ß cos 7.

Dies ist der zweite Cosinussatz. Wenn etwa a oder ß stumpf ist und hc ausserhalb des Dreiecks

at

hc

A-&-

7Г Hc

Figur 53.

liegt, ist der Beweis leicht entsprechend zu modifizieren.

Neuntes Kapitel.

Weiteres Formelmaterial für das sphärische Dreieck.

§ 44. Die Gauss’schen Gleichungen und die Napier’schen Analogien.

ß    i /

cos — cos — = I/

Nach Formel (III) des Kapitel VII ist sins sin sa sins sin Sb sin b sin c sin a sin c sin sa sin Sb sin s sin a sin b * sin c '

Das Vorzeichen der Wurzel ist positiv. Denn die halben Winkel sind spitz, also ihre Cosinus und damit die linke Seite positiv ; s, sa, Sb, sc, a, b, c sind kleiner als 180°, also ihre Sinus ebenfalls positiv.

Nach Formel (III) ist aber die Wurzelgrösse gleich

ß . y sms cos — cos ^ = sm ~ • ——.

2    2 sin c

(i)

sin —, mithin &

Ebenso findet man:

cos

2sinT = ]/

sin s sin sc sin sa sin a sin b sin c y sin sa

sin ~ sin y = y

Hiernach wird: a + ß

= COS •    .

2 sine

sin sa sin Sb sinsc sin a sin b sin c y sin sc 2 sine ‘

(II)

= sin

(HI)

cos

ß    Ct . ß

2    = c°s — cos -g- — sln “g- Sln Y

sin s — sin sc

sine

Beachtet man, dass s — sc = c, s + sc = a + b ist, so folgt weiter:

cos

a+    .7

2' = SmT'

2 sin

cos

2 sin cos —

oder:

cos - : sin = cos a ^ ^ : cos • Genau analog erhält man:

cos a 2 ^ : sin I = sin : sin >

. a + ß sm-g-

sin : cos ^ = sin a-g-— • sin •

: cos = cos

toi ft

a — b —2~ • cos

toi ft toi ft to’ ft

(IV)

Dies sind die sogenannten Gauss’schen Gleichungen.

Durch Division der ersten und dritten, zweiten und vierten erhält man , cc -j- ß

tg —y~ s cotg = cos —g— : cos

. a —b . a + b : cotg = sin —g— s Sln —2~>

toN> to+

a*-b    a + b

(V)

. а — ß

te-2

und durch Division der ersten und zweiten, dritten und vierten :

, a+b . c tg g ²    2 “

tg + - : tg- 2 = sin “-g-- : sin ct+^

Die Formeln (V) und (YI) sind die Napier*sehen Analogien. Bemerkenswert ist, dass man aus diesen Formeln durch TJebergang auf die Nebendreiecke oder das Polardreieck keine neuen Relationen erhält.

a — ß

cos —2~ ² cos

2~>

(VI)

§ 45. Formeln für s, sa, a, oa, p, pa, r, ra.

Setzt man in (I) sin c — M sin y, so wird daraus

7    •

T.8ins.

. У = 8m~2

sin s = 2I cos -Ц- cos cos Ebenso erhält mau aus (II) und (III) : sin sa = 2 M cos y sin sin .

cosCOS⁻cos

oder

cos

2 M sin cos-~r A A

У_

(VII)

(VII)

Diese Formel entspricht den Gleichungen (VI) in Kapitel 1У. Durch Uebergang auf das Polardreieck erhält man für M' = 1 : M :

a b c

— cos о = 2 M'. sin — sin — sin —,

= 2 M'. sin

А

COS (7a

cos

cos

(УШ)

Figur 54.

Aehnliche Beziehungen entstehen durch Betrachtung des Inkreises. Berührt er die Seiten a, b, c in D? E, F, so ist

AE = AF == B F — B I) = CD = С E =

Х + У = с> у + z = а, z + X = b,

In dem rechtwinkligen Dreieck AO F ist

tg ^ = tg* e : sin sa,

also nach (IV), Кар. VII:

sin Sa sin Sb sin sc sin s

Ganz analog wird für die Radien (>a, (>ь? der Ankreise, die die Inkreise der Nebendreiecke sind:

/sin s sin sb sin sc

%e = ]/

к (§ 34, Anm.). (IX)

% e» = ]/

Mit (VII) wird noch:

sin sa

(X)

tge = sin Sa.tg

tgCa

= 2M sin sin ~y sin

ct ß у = 2 M sin <j- cos™ cos—.

(XI)

öfc

Figur 55.

Istr der Radius des Umkreises, M sein Centrum, und liegt dies im Innern des Dreiecks, so ist <MAB = MBA — f,

<MBC = <MCB =|,

<MCA = <MAC = n,

«Г-

also £

Liegt der Mittelpunkt ausserhalb des Dreiecks, so erhält man für einen der Winkel J, rj, £ den entgegengesetzten Wert, —c'a, —0ß oder —oy.

Fällt man von M das Lot MN auf BC, so ist im Dreieck BMN:

- : tgr, d. h.

cos <£ NBM = tg -

cotg r = COtg Y • C0S a0L.

und nach (X), Кар. VII:

(XII)

cotg. r = 1/cos °ol cos gß cos qT _ V — cos о

Nach (VIII) dieses Kapitels erhält mal noch cotg r = cotg—- . cos oa = 2 M' cos - — cos — cos —,

2    2    2    2 l(XIII)

cotgra

a b . c = 2 M' cos — sin —sin

ra, fb) **c sind die Radien der Umkreise der Nebendreiecke. Man erhält sie, indem man je zwei Seiten mit ihren Supplementen vertauscht.

Die Beziehung zwischen In- und Umkreisen wird erläutert durch folgenden Satz, dessen Beweis keine Schwierigkeiten bietet :

Die Polare jedes Punktes des In- oder Umkreises berührt den Um- oder Inkreis des Polardreiecks und umgekehrt.

massen :

§ 46. Die L’Huilier’schen Formeln.

Schreibt man die dritte Gaussische Formel folgender-

4"(a~ ь)

-4(«+л

cos

so wird

sin y (180° — y)

cos

Tc

sin (a + ß) — sin -gf (180° — y) cos-^j- (a — b) — sin ~2~ (ce -f- ß) -J- sin (180° — y) cos-g⁻ (a — b) -j-und nach § 20, (XVI) und (XVI,t):

cos-g- c

cos

Tc

tg ^(a ~\r ß 7    180°)

= tg g- sa tg y Sb.

tgx(“ + ^-y + ¹⁸⁰°)

Nun ist a + ß + У —180° = s der sphärische Exzess und « + ß — 7 + 180° = 360° - (2 7 — s\ und die letzte Formel geht über in

tg \ e tg - j- (2 y — e) = tg ~2 sa tg -y Sb.

Ebenso wird aus der Gaussischen Gleichung "2"(a-ß)    cos^-(a + b)

sin y y

abgeleitet :

tg - j- e • cotg -j- (2 y — e) = tg y s tg -g- sc.

Durch Multiplication und Di vision erhält man aus diesen beiden Formeln :

cos

cos

Tc

tgT *⁼ ]/tg Ts tgTSa tgTSb tsTSc

tg-|>(2y — e) = |/co%i-scotg~sc tgi-s» tg-i-Sfc

(XIV)

Dies sind die L’Huilierschen Gleichungen. Geht man zum Polardreieck über, so ist für e 360 — (a + b + c) = d zu setzen ; 2 y — s geht über in a + b — c = 2 sc ; sin (270* — o), sa in (90° — c'a). Dadurch erhält man:

tg7=

(XV)

Sc

teT =

<Й

+-

Hs?

ста

сто"

4—

fo

to If

(XV)

j/_ cot^46° + -|) cot(46» - -^)tg(45»-^)tg(45»—|-)

Man kann in diese Formeln sehr viel mehr Symmetrie bringen, e ist der sogenannte sphärische Excess, d der sphärische Defekt des Dreiecks. Das an В C anliegende Nebendreieck hat den sphärischen Excess

*cc 180° -ß+ 180° — 7 + a -180°

= 2 a — г,

und den sphärischen Defekt

da = - 180° + b — 180° + с — а + 360°

= 2 sa.

Ferner ist

Setzt man noch

s — 2 а — 180° % = 180° -2 d = 360 — 2 s.

Г 4*

te т = T>te ~r ⁼ *“> te ~ = *p, tg =

te f ⁼ t, tgr= ta> tg-^ = tbj tg (lc — so erhält man statt der Formeln (XIV), (XV) :

r = 1/ !i

\ t

t = jA« rß rr

■•“У- «.

t tbtc

=F ..

r rß Гу

(XVI)

Diese Formeln können auch zur Berechnung des Dreiecks aus den Seiten oder Winkeln dienen. Denn es ist e + fa

d + da

; а = 180°

§ 47. Logarithmische Rechnung zum Auflösen der Dreiecke.

In § 38 konnten nur zur Berechnung des Dreiecks aus 3 Seiten oder 3 Winkeln durchgehende logarith-mische Rechnungen angegeben werden. Die Gauss’schen Formeln und Napier’schen Analogien gestatten, auch die Fälle 3 bis 6 logarithmisch zu erledigen.

Dritter Fall: Gegeben a, b, y.

und

Nach (V) dieses Kapitels erhält man

daraus a, ß. c findet man nach dem Sinussatz

oder nach irgend einer der Gauss’schen Formeln oder nach (VI) dieses Kapitels.

Vierter Fall: Gegeben «, ßy c. — b a + b

Man erhält —

—— nach (VI) dieses Kapitels

danach y aus dem Sinussatz, den Gauss’schen Formeln oder (V) dieses Kapitels.

Fünfter Fall: Gegeben a, b, «.

Man findet ß nach der ausführlichen Anleitung in § 38. c ergiebt sich aus einer der Analogien (VI), y aus einer der beiden anderen oder unter Verwendung von c aus dem Sinussatz oder einer Gauss’schen Formel.

Sechster Fall. Gegeben cc, ßy a.

Nachdem b bestimmt ist, verfährt man genau wie im fünften Fall.

Dritter Teil.

Berechnung und algebraische Anwendung der trigonometrischen Punktionen.

Zehntes Kapitel.

Elementare Berechnung der trigonometrischen Funktionen.

§ 48. Die regulären Polygone.

Im regulären n-Eck ist der einer Seite gegenüber-360°

liegende Winkel —-. Fällt man auf eine Seite AB n

des n-Ecks das Lot OP vom Mittelpunkt aus, so ist

1 Sn

1 360°    180°

und sin

180° AP

2 n

wenn sn die Seite des dem Kreise vom Radius r einbeschriebenen regulären n-Ecks ist.

Figur 56.

1. Im Sechseck ist s₆ = r, also sin 30°= ~ = 0,50000.

Кар. X. Elementare Berechnung der trig. Funktionen. 127 Nach der Formel cos² a -f- sin² a = 1 ergiebt sich cos 30° =^ = 0,86603.

Г/2

r/z

Figur 57.

Hieraus erhält man nach § 20 die Funktionen von 15° und aus den Additionstheoremen die aller Vielfachen von 15°.

2. Im regulären Zehneck ist AOB = 36°, folglich ОБА = OAB = 72°. Halbiert man OB А und verlängert die Winkelhalbierende bis zum Schnitt mit OA in Q, so sind die Dreiecke OBQ und BQ А gleichschenklig. Es wird nämlich

3t

\Q

/    J<r\

(36°    '

36°    72°

und

also

Figur 58.

<QAB = <AQB = 72° <OBQ = <BOQ = 36°, si₀ — AB = BQ =; QP.

Da Л ABQ^BOA, wird AB BO

oder

AQ BA

, d. h.

r —S10 sio² + rs.o + r’ = ⁰’

sio’

r 1/5?

S„ = -2±|/T

Da nur das obere Wurzelzeichen brauchbar ist,

hat man

S10

У5-1

sin 18°

und

łA—= 0,30902.

Hieraus erhält man cos 18°; iflicli dem Additionstheorem ferner die Funktionen von 18°— 15° = 3° und aller Vielfachen von 3°. Sie sind am Schlüsse des Buches in einer Tabelle zusammengestellt.

Die Funktionen von 1° und seiner Vielfachen, die nicht durch 3 teilbar sind, lassen sich nicht durch rationale Zahlen und Quadratwurzeln aus solchen darstellen. Dagegen kann man die Seite des Siebzehnecks durch quadratische Glei-360°

chungen finden. Für cos    ergiebt sich folgender Aus

druck :

(1/17-1) +^2.17-2 |Ö7 — -i- f 17 + 3 fW — V2.17 — 2 )/Ï7 - 2 У 2.17 + 2 УТ7

(Gauss, Disq. ar., 365.)

§ 49. Funktionen sehr kleiner Winkel.

1. Wenn man die Funktionen von 1° auch nicht durch quadratische Gleichungen finden kann, so kann man sie doch näherungsweise mit jederbeliebigen Genauigkeit berechnen. Aus dem Sinus und Co-

Ist m eine gerade Zahl, so ist

^---j positiv,

also die Summe kleiner als 1 ; ist m ungerade, so ist sie grösser als 1. Mit wachsendem m nähert sie sich der 1 beliebig.

Da wir die Funktionen von —, — u. s. w. be-

КГ

3° 3°

«'S

sinus von 3° erhält man nach § 20 die von —, Betrachten wir jetzt die Reihe:

L + l

16 ^ ⁰⁴

Sie ist eine geometrische Reihe mit dem Anfangs-

3    1

glied-^-und dem Quotienten —— .

m ersten Glieder ist nach der aus der Algebra bekannten Formel

u. s. w.

09

CO 00

32

Die Summe ihrer

CO KN

i-(—)'

r-l KN

-КГ-

rechnen können, können wir auch die von 1 —

fur beliebiges m berechnen. Mit wachsendem m werden sich die ersten Decimalstellen nicht mehr ändern ; die Aenderung wird sich immer später und später bemerkbar machen, so dass wir die Funktionen von 1° auf beliebig viele Decimalen ermitteln können. Wir erhalten z. B.

sin

MKl"

sin

и <N гч

0,01744445 ...

ii

= 0,01745638 ...

Hessenberg, Ebene und sphärische Trigonometrie.

so dass sin 1° sicher mit 0,0174 beginnt. Durch Interpolation zwischen beiden Grenzen erhält man :

Zuwachs auf

3.

to

1193 Einheiten der letzten Stelle,

398

also auf

0,01745638

398

sin 1° = 0,01745240.

Dies Resultat ist auf 7 Stellen genau.

2. Ein einfacheres Verfahren kann man für sêhr kleine Winkel anwenden, bei denen der Sinus näherungsweise mit dem Arcus übereinstimmt. Es ist für solche sin a < arc a.

Demnach auch sin — arc7T

1

— 2 sin — > 1

arc a

cos a — 1 Sodann ist

(arc a)²

tg a > area, also sin a > cos a . arc a

> area

(arc a)³

Es ist z. В. arcl° = (arc l⁰)⁸

71

l«0

0,0174533 . ..

= 0,0000026583 .. also liegt sin 1° zwischen 0,017453 . .. und 0,017450 . ..

beginnt mit 11 Nullen, also ist vorstehender Wert in allen Stellen mit sinl' übereinstimmend.

Ferner ist arc 1' = 0,00029089. (arc 10:

3. Von den Funktionen sehr kleiner Winkel aus kann man diejenigen grösserer Winkel mittelst der Additionstheoreme berechnen, z. B. aus den von 3 zu 3° berechneten mit Hilfe des Sinus und Cosinus von 1° die Funktionen aller Vielfachen von 1°. Praktische Bedeutung hat diese Methode nicht mehr. Die höhere Mathematik giebt uns in den Reihenentwicklungen Hilfsmittel zur sofortigen Berechnung der Logarithmen der trigonometrischen Funktionen und der Funktionen selbst, die von hervorragender Einfachheit sind.

Elftes Kapitel.

Der Moivre’sche Salz § 50. Begriff des Vektors.

Es kommt in der Geometrie und Physik häufig vor, dass man ausser der Länge einer Strecke auch ihre Richtung in Betracht ziehen muss. Man hat für den Inbegriff einer Strecke und ihrer Richtung die Bezeichnung „Vektor“ eingeführt. Zur Angabe eines Vektors gehören also mehrere Grössen. Erstens seine Länge. Diese ist immer eine absolute (positive) Zahl. Zweitens die nötigen Bestimmungsstücke für seine Richtung.

Die beiden Enden des Vektors müssen als Anfangs- und Endpunkt unterschieden werden. Die

Richtung des Vektors ist die vom Anfangs- zum Endpunkt. Ein und dieselbe Strecke kann zwei verschiedene Vektoren darstellen, die gleich lang und einander entgegengesetzt gerichtet sind. Man nennt solche Vektoren „entgegengesetzt gleich“. Wenn eine Strecke die Länge Null hat, ist ihre Richtung unbestimmt. Man bezeichnet daher alle Vektoren von der Länge Null schlechthin mit 0.

Im folgenden beschränken wir uns auf Vektoren, die in einer Ebene liegen. Zu ihrer . Bestimmung denken wir uns einen ganz beliebigen herausgegriffen und als „Einheitsvektor“^ oder

Figur 59.

„Einheit“ schlechthin bezeichnet. Seine Länge wählen wir als Masseinheit, seine Richtung als Nullrichtung. Irgend ein anderer Vektor hat dann die Länge r und bildet mit dem Einheitsvektor den Winkel cp, den wir entgegengesetzt dem Sinne des Uhrzeigers messen. Diesen Vektor bezeichnen wir mit r , den Einheitsvektor also mit 1₀.

Man nennt zwei Vektoren gleich, wenn sie in Lauge und Richtung übereinstimmen. Soll r^ gleich sein, so muss also

r = s, cp = v> + к . 360°

sein, wobei к eine beliebige ganze Zahl, positiv oder negativ, ist. An Stelle beider Gleichungen schreiben wir abkürzungsweise

Eine Verwechslung mit dem Gleichheitsbegriff der Zahlen ist dadurch ausgeschlossen, dass r^ und s^ keine Zahlen sind.

Man kann einen Vektor auch mit einem einzelnen

Buchstaben, u, v, w, z, bezeichnen, und muss sich nur gegenwärtig halten, dass dieser Buchstabe nicht eine Zahl, vielmehr das Aggregat zweier Zahlen, r und <p, bedeutet.

§ 51. Addition von Vektoren.

Es seien jetzt AB und BC zwei beliebige Vektoren, u und v. Der zweite ist mit seinem Anfangspunkt an den Endpunkt des ersten angesetzt. Dann nennt man

B'

Jo

fB

Figur 60.

den Vektor mit dem Anfangspunkt A und dem Endpunkt C die Summe der beiden anderen und bezeichnet ihn mit u + v« Eine Verwechslung mit dem gewöhnlichen Summenbegriff der Zahlen ist ausgeschlossen, da ja u und v keine Zahlen sind.

Ist AB' gleich und parallel ВC, so istB'C gleich und parallel AB; daher ist AB' wieder v und B'C u. Bei dieser Lage der Vektoren ist AC gleich v-|-u; man darf also die Summanden vertauschen.

Sind AB, BC, CD, DE beliebige Vektoren u, v,

w, z, so bezeichnet man AE als die Summe derselben mit u-{■ v + w z- Da AE auch die Summe von AB, BD, DE, oder von AC, CD, DE, oder AC, CE ist, ist

u + v + w + z = u + (v + w)+z = (u + v) + w -f- z = (u + V) + (w + z), • u + (w + v) + Z = (v + u) + w + z = (w + z) + (u + v),

demnach auch gleich

das heisst

=u+w+v+z

=V+U+W+Z

=W+Z+U+V

Figur 61.

u. s. w. In einer Summe von Vektoren dürfen die einzelnen Vektoren beliebig untereinander vertauscht werden.

Die Summe entgegengesetzt gleicher Vektoren ist Null, wie man sich durch Konstruktion sofort überzeugt.

Ferner ist u -f- 0 = u, was auch ohne weiteres anschaulich ist. Den u entgegengesetzten gleichen Vektor wollen wir mit —u bezeichnen. ^Soll nun ein Vektor x die Bedingung

u + x = w

erfüllen, so addiere man zu w noch —u. Es wird

w + (— u) = U + (-u) + X = 0 + X = X.

Für w -f- (— u) schreibt man einfacher w — u und bezeichnet auch w — u als die Differenz von w und u.

§ 52, Multiplikation von Vektoren.

Dreht man einen beliebigen Vektor rÿ um einen Winkel гр und vergrössert bezw. verkleinert r im Mass-

V⁵/

Figur 62.

von r_ mit s„,. nennt und mit

ip

stabe s:l, so entsteht ein neuer Vektor von der Länge rs und dem Richtungswinkel + den man das Produkt

bezeichnet. Da

(I)

rqp • ^ip — (r S) (p _j_ у

wird, ist

r(f * ⁸гр    sip • rcp,

man darf also in diesem Produkt die Faktoren

+ ^ +

Die drei Vektoren u = AB, v = BC und u-f-v = AC bilden ein Dreieck ABC. Dreht man dies um

vertauschen. Als Produkt von beliebig vielenVek-toren r^, Sy, t^ . . . bezeichnet man den Vektor (rst...)

einen Winkel ip und vergrössert es im Massstab s, so dreht man jede Seite um diesen Winkel und vergrössert sie im selben Massstab. Daher sind die Seiten des neuen Dreiecks A'B'C'

ib. (u+v)>.

f, v-s

Die dritte ist aber nach wie vor die Summe der beiden anderen, d. b. es ist

(И)

(u +v) =    + T8^₍

Die Multiplikation und Addition von Vektoren befolgen also dieselben Gesetze, wie die der gemeinen Zahlen. Sie gehen auch in die Operationen des gewöhnlichen Rechnens über, wenn man die Vektoren der Richtungen 0 und 180° betrachtet. Es ist

ro + so = (r + s)o ro • so = (rs)o.

und da r₁₈₀ = — r₀ ist, treten die Vektoren der Richtung 180° an Stelle der negativen Zahlen. Wir wollen daher den Index 0 im allgemeinen fortlassen und entsprechend für r₁₈₀ —r schreiben.

Die Vektoren in einer Ebene erweisen sich hiermit als Verallgemeinerung der gewöhnlichen Zahlen. Man nennt sie daher auch imaginäre oder besser komplexe Zahlen, wiewohl sie, streng genommen, Aggregate von zwei Zahlen sind und zu ihrer Bestimmung die Angabe von zwei Zahlen erforderlich ist. Unter imaginären Zahlen sollten eigentlich nur die Vektoren der Richtung -)- 90° verstanden werden.

§ 53. Zerlegung* der komplexen Zahl in reellen und imaginären Teil.

Zieht man durch den Anfangspunkt A eines Vektors u eine Parallele zur Nullrichtung und fällt vom Endpunkt В das Lot BC darauf, so entstehen die Vektoren AC = ! und CB = *7, so dass

?*>a к

Figur 63.

I hat die Richtung 0 oder 180°, r\ die Richtung + 90°. Es ist also £ eine positive oder negative Zahl x, 4 ein positives oder negatives Vielfaches von 1₉₀, r\ = y . 1₉₀, x und y nennt man die Komponenten von u. Den Vektor 1₉₀ bezeichnet man durchweg mit i und nennt ihn die „imaginäre Ein

heit“, im Gegensatz zu der „reellen Einheit“, 1₀. Es lassen sich also alle komplex en Zahlen in der Form

u = x-f iy

darstellen, und dieser Thatsache verdanken

sie den Namen „komplex“.

(III)

y = r cos ер, x = r sin cp.

Wenn zwei Vektoren gleich sind, stimmen sie in r vollständig, in cp bis auf Vielfache von 360° überein;

Aus der Länge r und dem Richtungswinkel cp eines Vektors findet man seine Komponenten durch die Gleichungen

cos ф und sin (p haben daher dieselben Werte, mithin auch X und y. Die Vektorengleichung x + yi = a + bi

ist also gleichbedeutend mit den beiden gewöhnlichen Zahlengleichungen

X = a, y = b.

Aus (XIII) ergiebt sich:

(IV)

Y(p = X -f- i y = r (cos (p + i sin ç>). cos (p + i sin cp nennt man den Richtungsfaktor der komplexen Grösse, r ihren absoluten Betrag. Es ist nach dem Pythagoras:

(V)

г = + Ух- + у-.

te

§ 54. Summation der Sinus und Cosinus einer arithmetischen Reihe топ Winkeln.

Ein Kreisbogen vom Radius R und Mittelpunkt О sei in n-gleiche Teile A₀ A1? At A₂, A₂ A₃, ... An—iAn geteilt. Der Winkel A₀O A, = AŁ O A₂ etc. sei gleich «. Die Sehnen A₀At, A₁A₂ .. . u. s. f. haben die Länge

r = 2Rsin-^-; bildet die erste mit einer beliebigen

Nullrichtung den Winkel cp, so bildet die nächste mit derselben Richtung den Winkel cp a, die dritte den Winkel cp -f- 2 a, die letzte cp -|- (n — 1) «. Die einzelnen Sehnen, als Vektoren aufgefasst, sind also mit

rcp, rq> + a, r<p-f-2a ••• Ycp -f (n — i) a

zu bezeichnen.

Ihre Vektorensumme ist der Vektor A₀An. Seine Länge ist, da er dem Centriwinkel n a gegenüberliegt,

Mit A₀At bildet er den Winkel Aj A₀ An, der als Peripheriewinkel über dem Bogen

A An gleich П — a ist, mit der Nullrichtung also den * 2

AVinkel—— *

+ <p. Mithin ist :

71

ci

ci

ci

л.

л/ ГЗА

г.

Figur 64.

тср H™ rqp -f а “Ь гф -f 2 а “Ь • • • г<р -f (п — 1) а ~ s п — i oder

а + <р

2 Esin — jlç> + lqp_pa + •

• • lç> + (n -1) « J n а

= 2Esin —

J

Setzt man für 1^ cos ^ + i s^n hebt 2 E fort und

vergleicht Eeelles mit Eeellem, Imaginäres mit Imaginärem, so folgt:

cos y+COS (<p-f a) + COS (qp+2 а) + • • • COS (q> + (n —1) а)

. На

~2~

. а sinT

. COS [ą> + " 2 ¹ «)

(VI)

sin cp + sin (qp+a) + sin (g>--\-2 a) + . •. sin {cp -j- (n —1) a}

. na

. sin (cp + ” 2 ¹ “)

sin-g-

. CI ⁸¹¹¹ “2

§ 55. Der Moivre’sche Satz. Funktionen der Vielfachen eines Winkels.

Wendet man Formel (IV) auf (I) an, so folgt, indem sich rs weghebt:

(VIII)

(cos cp + i sin tp) (cos гр -f- i sin гр) — COS {cp + гр)

+ isin (g?+ </>)•

Man kann diese hochwichtige Formą}, als die „Moivre’sche Form des Additionstheorems“ bezeichnen. (Der eigentliche „Moivre’sche Satz“ wird" sogleich abzuleiten sein.) Entwickelt man nämlich die linke Seite von (VIII) und beachtet, dass

1 до * ^90 I, go    I

ist, so erhält man das Additionstheorem, indem man die reellen Teile beider Seiten der Gleichung und ebenso die imaginären für sich gleich setzt. Die Moivre’sche Formel ist eines der besten Hilfsmittel, um die Additionstheoreme auswendig zu lernen!

(IX)

Indem man гр mit —гр vertauscht, erhält man noch (cos gp —(— i sin cp) (cos гр — i sin гр) = cos {cp — гр)

-f- i sin {cp — гр)

und wenn man auch —cp für cp setzt:

(X)

(cos (p — i sin <p) (cos гр — i sin гр) — cos {ср-\-гр)

— i sin {cp -j⁻ гр)»

Für cp = гр wird aus (IX) :

(XI)

(cos g?-{-i sing?) (cos g? — isin<p) = 1.

Offenbar ist für beliebig viele Winkel a,    .

(cos a -f- i sin «) (cos ß -f- i sin ß) (cos у -f- i sin y) . ..

= cos («-)-/? + y-f .. .) + ism(o + /? + y+ ...)

Setzt man a = ß — у = ..., so wird daraus (cosа -f- isin/?)*» rr cosma + isinma.

Dies ist der eigentliche „Moivre’sche Satz“. Er zerfällt in zwei Sätze über reelle Grössen, wenn man die linke Seite nach dem binomischen Lehrsatz entwickelt. Dabei treten die Potenzen von i auf :

i = i, i*=—1) i* = i*.i = —i, i* = (-l).(-l)=l, i⁵ = i⁴.i = i, i»=—1, i⁷ = —i, i⁸=l u. s. w. Vergleicht man, nachdem diese Werte eingesetzt sind, Peelles mit Reellem, Imaginäres mit Imaginärem, so erhält man:

m

COS Ill a = COS а —

(XII)

/m\ m (₂)cos

-2

a sin а

/m\    ¹¹¹ —4    . 4

-M^lcos asm а

/in\ n‘ —1

= ( j 1 COS a sin а —

i /ш\ ш —5    . 5

+ ( 5 ) cos a sin а--\- ...

Beide Formeln lassen sich noch umformen, indem man cosmce als Eaktor vor die rechte Seite setzt: cos m a = cosm a

sin m а

/m\ „

(з)cos

-3

а sin а

(XIII)

(i-0v.+Gb,-®*.+-j

{XIV)

sin ma = cosma

Durch (XIII) und (XIV) hat man die Funktionen der Vielfachen eines Winkels durch die Potenzen der Funktionen des einfachen Winkels ausgedrückt.

Man kann auch umgekehrt jede Potenz eines Cosinus oder Sinus durch die Funktionen der Vielfachen seines

cos a -f- i sin а = also nach (XI) 1

— i sin а =    ,

Winkels ausdrücken. Setzen wir zur Abkürzung vorübergehend

cos а

so wird

also

2“

*■+(?)»■

2 cos а = I -f- -jr, m /*, l\m

cos

— (m — 2)

Wnn

Kl

Es ist aber    = cos Д а -|- i sin Д а

^ = cos Да — i sin Л a.

Setzt man diese Werte wieder ein, so hebt sich natur-gemäss alles Imaginäre weg und man hat cosm a als Funktion der Vielfachen von cs bis ma einschliesslich.

Ebenso wird

2 i sin a = g — -j

+...±rm

(2i)msinma = r

Wird g* wieder nach dem Moivre’schen Satz ausgedrückt, so hebt sich, je nachdem m gerade oder ungerade ist, alles Imaginäre oder alles Reelle fort und man erhält sinma durch die Cosinus oder Sinus der Vielfachen von а bis та ausgedrückt.

Zwölftes Kapitel.

Unendliche Reihen und Produkte zur Darstellung der trigonometrischen Funktionen.

§ 56.

Im folgenden sind die Winkel nicht mehr nach Graden, sondern im „natürlichen Win keim as su7 d. h. durch den Arcus gemessen gedacht. Ein rechter

7C

Winkel wird mit —, ein gestreckter mit n bezeichnet.

Der Winkel a hat das Bogenmass    «° = x. Unter

dieser Voraussetzung gelten die zwei bemerkenswerten Reihenentwicklungen, die für jedes x konvergieren:

COS X —

sin x =

—    a7⁺    5!    7!    "^"”9?

Darin bezeichnet n ! das Produkt der n ersten

ganzen Zahlen

1.2.3... n = n! (spr. n-Fakultät).

Auf eine Herleitung dieser Formeln muss verzichtet

werden.

Umgekehrt kann man auch den Bogen durch den

Sinus oder die Tangente ausdrücken. Es ist:

1 sin⁸x 1.3sin⁶x 1.3.5sin⁷x

2.4.6    7

= tgx —

' 2.4    5

tg³x + 4-tg⁵x — — tg’xH--

f...    (Ш)

(IV)

Die erste Reihe konvergiert für jeden Wert des Sinus, d.h. für

— 1 < sin x < -f 1,

und liefert den zwischen + 90° und — 90° gelegenen Bogen, d. h.

⁷¹ ^ П

2 =x = ^~ 2

Die zweite konvergiert für

-1 <tgx< + l

<*<+- -•

und liefert

w, i .

erhält man Beihen für —-, —r- und ebenso indem 2    4    6 ’

man tgx = l setzt, die berühmte Leibnitz’sche Beihe:

Indem man für sinx die Werte 1,

—+——¹

3^5    7

die aber für praktische Zwecke zu langsam konvergiert. Andere interessante Entwicklungen sind noch:

тН 05

11

Sin X

X²

COS X =

i — Ui-

\l_ «-h¹

worin zur Abkürzung cot X

to а

il

X²

•l!¹

(3*)T

X² I r    X² I

(2 n)

• • (VI)

(VII)

— o gesetzt ist. Ferner:

(VIII)

^—лл-f-x}{—2 л ' 2тг + х

M +{-

2л 2л - x) l3 л

4-xl I—Зл 3 Tr —x

Зл— x,

= 2x

(IX)

von x

(2x² ^ха-/г²^х² — 4л*    — 9л²

Die Entwicklung von tg und cot nach Potenzen und die damit im engsten Zusammenhang stehende

von log sin X kann hier nicht angegeben werden. Das Vorstehende soll nur dazu dienen, den Leser zur Beschäftigung mit den Methoden der höheren Mathematik, speciell der Integral- und Differentialrechnung, anzuregen.

Dreizehntes Kapitel.

Die Methode der Hilfswinkel.

§ 57. Beispiele.

Es ist vielfach bei Rechnungen, die nicht durchgehend logarithmisch geführt werden können, von Vorteil, durch Einführung von Hilfswinkeln die trigonometrische statt der logarithmischen Tafel zu benutzen. Dies würd an einer Reihe von Beispielen klar werden.

1. Gegeben loga, logb, gesucht log(a-J-b).

Auflösung : a und b sind positive Zahlen. Man hat

Setzt man —

a-f- b = a^l +

= tg² <jp, so wird 1 +

cos²<p

mithin log tg q> = — (log b — log a),

log (a + b) = log a — 2 log cos <p.

Würde man zu loga, logb die Numeri aufschlagen, diese addieren und wieder den Logarithmus nehmen, so hätte man die Tafel dreimal zu benutzen. Bei der trigonometrischen Methode geschieht dies nur zweimal. Wenn man es versteht, zu dem Logarithmus einer Funktion den einer anderen Funktion desselben Winkels sofort aufzuschlagen, ohne erst den Winkel nachzusehen, Hessenberg, Ebene und sphärische Trigonometrie.

cos²

<P

io

so benutzt man die Tafel sogar nur einmal. Manche Tafeln enthalten daher besondere Täfelchen zum Interpolieren zwischen log sin, log cos und log tg.

2. Gegeben log a, logb, a^>b. Gesucht log (a — b) Auflösung: Setze

— = sin cp, d. h. log sin cp — log b — log a, a    Z

so wird a — b = acos²(p, log (a — b) = 2 log cos cp + log a, 3, Andere Auflösung von 1 und 2 : b sei auch in 1 die kleinere Zahl. Man setze

rû C3

= cos 2 cp, d. h. log cos 2 cp = log b — log a.

Es wird:

a-|-b = 2acos²<p, log(a-|-b) = log 2 -|- log a + 2 log?os<p a — b = 2asin²<p, log (a — b) = log 2-f-log a 2 log sin (p.

4. Zu berechnen x = a sin« + k cos «.

■Q öS

x = r sin (<P -j- a)

; tgqp = -

Man setze a = rcos<p, b = rsing>, so wird asin(<jp + a)

5, Zu berechnen x =

COS cp a -}- b

Man setze —

— =tg9p, logtg<p — logb — loga.

dl

Es wird, da tg 45° = 1

1 + tgqp _a-f-b

1 — t gcp    a — b

= X.

tg (45° + çï)

6. x = j/аЛ+Ь².

Setze a = xcos<p, b = xsingp. Es wird

tg<p =

l°g tg <jp = log b — log a, a

x = cW ^gx = log^ —iogcosç).

7. X =    b*, a > b.

— = cos cp, log cos qp = log Ъ—log a. Es wird X = a sin qp, log x = log a-flog sin qp.

а > b. Setze, wie in 3, - =cos2qp.

Es wird x = + tg<p, log(+x) = logtgqp.

9. c = ya²+b²— 2abcos/ (§10, zweiter Fall) c² = (a -f b)² — 2 ab (1 -f cos y)

= (a-f b)² — 4 ab cos² ^ .

4 a b cos² -~

log sin <p = log 2 -f

Setze

8. X

-V

a -f b

a — b’

pQ o3

Setze

= sin² qp,

Es wird

¹ !    Ill

Y loga+ ^ logb

-f log cos ----log (a -f b).

c = (a -f b) cos cp, log c = log (a -f b) -f log cos cp.

10. c = bcosa+l/a² — b²sin²« (§ 10, dritter Fall).

Setze

b sina

sin qp, so wird

c = b cos a + а cos qp.

Da nach der Definition von cp

sin cp sin а

ist, setze man diese Grösse gleich d. Es wird: c = d sin (cp + a).

11. Die Logarithmierung von

t

7 im § 26 (erste

1

und zweite Hauptlage) geschieht nach 5, die von

cos/? + 2t (dritte Hauptlage) nach 1 bis 3. Ist in

cosfi = cos Л-j- 2 t Л stumpf, so kann man auch

——- — cos² œ setzen. — cos Л    T

Dadurch wird

cos fi = — cos Л (2 cos² cp — 1) = — cos Л cos 2 cp. Ist in

cos Л = cos fi— 2 t

fi spitz, so setze man

cos^

cos Л — cos fi cos 2 cp.

sin²y; es wird ebenso

12. cosc=cosacosb-j-sinasinbcos7 (§38, dritterFall). Verfährt man nach 1, so hat man, falls y spitz: tg a tg b cos y = tg² cp cos a cos b cos² cp

zu setzen. Man kann aber auch so verfahren :

cotga cosb

cos c

cosc

= sin a cos y ^

cotga

COS y

j- sin b j

= cotg cp

cosc

COS y

sin a cos y . cos {cp — b) cos a cos {cp — b)

siny

Fall).

cos cp

13. cos y = — cos ß cos ce -f sin « sin ß cos c (§ 38,vierter

Nach 1 ist die Berechnung verschieden je nach den Vorzeichen der Cosinus. Setzt man wieder

cos y = sin a cos c cot«

{-^■coaß+airiß)

COS c

cos/

= tg <p

_ sin a cos c sin (ß — <p)_ cos a sin (ß - q>)

COS y

siny

14. у aus der Gleichung

a sin y -f- b cos у — c

zu berechnen. Verfährt man nach 4, so wird

r sin (cp + а) = c,    tg cp ='- -

c cos <p

Sin (<jP + a) — ———.

di

Hieraus ergiebt sich 9? + / un(I daraus y.

In 6, 7, 10, 12, 13 besitzt der ffilfswinkel cp eine einfache geometrische Bedeutung.

§ 58. Trigonometrische Auflösung der Gleichung zweiten Grades.

Die beiden Wurzeln xt, x₂ der Gleichung X² — 2 a x + b — 0

genügen den Bedingungen

xi + x₂ = 2 a, x₁ . x₂ = b.

1. Ist b positiv, so setze man, um die zweite identisch zu befriedigen :

xx = tgqpj x₂ = у b cot qp.

Es wird dann aus der ersten Gleichung:

(I)

tg cp -f- cot cp —

2a

yr

Die linke Seite ist

sin cp cos _sin² cp -f- cos² cp

cos cp' sirup sin cp cos cp sin cp cos cp sin2<p’ Man erhält also zur Bestimmung von cp die Gleichung

sin 2 cp =

ä

Infolge dieser Beziehung ist auch

Xj=2a sin² cp, x₂ = 2 a cos² <jp, woraus unmittelbar ersichtlich ist, dass xx + x₂ = 2 a wird.

(II)

Das Vorzeichen von ]/—b wählt man am besten

dem von a entgegengesetzt, damit tg 2 cp positiv, 2 qp spitz wird. Infolge der Gleichung (V) wird auch

COS² qp

cos 2 qp

(VI)

» x, = + 2a

x₁ = — 2 a

2. Ist b negativ, so setze man

Xj = У— b . tg qp, x₂ = — У— b cot (p.

(IY)

Es wird:

xi + x2 ⁼ — 2 i— b cot 2 qp,

y=b

tg2qp

(V)

sin²qp

cos 2 qp

woraus man erkennt, dass x₁ + x₂ = 2a ist.

3. Ist in (II) У b > a, so gehört zu tn 2 <P kein reeller Winkel. In diesem Fall sind die Wurzeln imaginär*

Man setze:

Xj = Г (cos qp + i sin qp), X₂ — Г (COS qp — i sin qp). Dann ist

Г = УЬ, COSqp =

OB ! Sh

(VII)

§ 59. Trigonometrische Auflösung der Gleichung dritten Grades.

Setzt man in der reduzierten Gleichung dritten

Grades

x³ = 3px + 2q X = у + z, so geht sie über in

(VIII)

oder

y³ + 3y²z + 3yz² + z³ = 3p(y + z) + 2q, 3yz(y + z) + y³ + z³ = 3p(y + z) + 2q. Man kann ihr genügen, indem man

У z = p, y³ + z³ = 2 «1 setzt. Die dritten Potenzen von у und z,

Uj = У³, U₂ = z³

genügen den Bedingungen

*1 U2 =P;=:U1+U2⁼²⁽1

und sind daher die Wurzeln der quadratischen Gleichung u²-2qu + p³ = 0, die man die quadratische „Resolvente“ der Gleichung (VIII) nennt.

Die Wurzeln u1? u₂ der Resolvente findet man nach der Anleitung des vorigen Paragraphen. Sie sind reell, wenn q²>p³. Alsdann giebt es für y und z je einen reellen Wert, der leicht zu berechnen ist, da man die Logarithmen von Uj und u₂ kennt. Ferner kann noch

-x.(4+'S)

(X)

Jx

= y-(

cos

l 2.360°

y₂ = y^cos--—

sein. Die zugehörigen Werte von z sind

j-isin

weil yx Zj = y₂ z₂ = y z = p reell sein muss.

Ist dagegen q² < p³, so sind ux und u₂ imaginär, u₄ = r (cos q> + i sin (p), ua = r (cos (p — i sin <p), worin nach (VII):

Somit wird

_ <1

r = + tp³, cos cp = ;py= ist.

(XI)

y = /r . (^oos-g- + isin-~j, z = j/r .(cos y —isin

со

3,-

x = y + z = 2|/r .cos —

Für -j- kann es aber im ganzen drei wesentlich verschiedene Werte geben, nämlich

cosT.

cp __cp . 360    cp    360

T’ у* ~~ з ⁺~1T’

so dass man insgesamt 3 Werte für x erhält:

xl = 2 Vp cos = + 2 Vp cos ^

(XIT)

x₂ = 2 Vp cos ip₂ = — 2 Ур cos ^60°— j

x₃ = 2 Vp cos = — 2 Ур cos ^60°+-|-j

Die Winkel können unmittelbar in der Tabelle aufgeschlagen werden, wenn q positiv ist. Ist q negativ, so ist cp stumpf,

•#

Ф — 180° — cp' wo cp' sein spitzer Nebenwinkel. Dann ist

X,

cos Cp‘ = —

Vp³

+

= + 2Ip“cos^

<p'

(XIII)

x₂ = — 2 Vp cos ₃

X₃ = + 2 Vp cos (б0° + I j

Dieser Fall, in dem die Wurzeln der quadratischen Resolvente f imaginär sind, ist bekannt als „Casus irr educibilis“.

§ 60. Beispiele zu § 58 und 59.

1. x³ = 9x + 28.

p = 3, q = 14.

Resolvente: u²—28u-|-27 = 0 а =14, b = 27.

-g- log 27 = 0.7156819 log 14 = 1.1461280

log sin2<jp = 9.5695539 —10 2<p = 21° 47' 12",45 q> = 10° 53' 36",22 log t g<p = 9,2843181—10

tO

log 27 = 0.7156819

log Uj = 0.0000000 (Uj = 1)

logu, = 1.4313638 К = 27)

2 log Uj = 0.0000000, y = 1

-h log u₂ = 0.4771213,

X, = 4, x₂ u. x₃ = — 2 + i 2. X³ = — 7,398636 X + 14.

p = —2,466212, q = 7.

Kesolvente : u² — 14 u p³ = 0 a =7, Ъ = — (2,466212)³.

to I—

CO

log ( b) =

- bg (— p) = 0.5880456

log a = 0.8450980

log !g2 <jp = 9.7429476 —10 2<p — 28° 57' 18“,1 <p = 14° 28' 39",05 logtg cp = 9.4119544 — 10 log (— u, ) = 0.0000000 (u, = — 1) log(+ua) = 1.1760912 (u₂ = + 15)

4 log (—u,) = 0.0000000,y= -1,000000 Ó

Y log U₂ = 0.3920304, z =+ 2,466212 X, = 1,466212

x₂ u. x₃ = 0,733106 + i Уз . 1,733106.

3. X³ = 2Д X + 20.

p = 7, q = 10.

B-esolvente : u² — 20 u + 343 = 0 a = 10, b = 343. log a = 1.0000000

— l₀g b = 1,2676740

A

log cos <p = 9,7823530 — 10 * <p = 57° 19' 11",31

- -=19° 6' 28",77

8- CO

log cos 19° 6' 23",77 = 9,9753910 —10 log cos 40° 53' 36",23 = 9,8784810 —10 log cos 79° 6'23",77 = 9,2764211 —10 V, log p = 0.4225490 log 2 = 0.3010300

log X, = 0.6989700 log (—xa)== 0.6020600 log (— xs) = 0.0000001 x,=5, x₂ = —4, x₃ = —1.

4. X³ = 39x —70.

p = 13, q = — 35 = — q'. log q' = 1.5440680

Y log p = 1.6709151

log cos (f‘ = 9.8731529 — 10

<p‘ = 41° 41' 37",23

Y = 13° 53' 52", 41

log cos 46» 6' 7",59 = 9.8409684 —10 log cos 13» 53' 52",41 = 9.9870963 —10 log cos 73» 53' 52",41 = 9.4430382—10 % log p =0.5569717 log 3 = 0.3010300

log X, =0.6989701 log (-x₂) = 0.8450980 log Xg = 0.3010299 xt=5, x₂= — 7, x₃ = 2.

Anhang.

Uebungsbeispiele.

Tafel I.

Bechtwinklige ebene Dreiecke.

ш-

2° 27' 55"

22° 37' 12"

30° 30' 36"

35° 53' 52"

36° 52' 12"

38° 21' 47"

51° 38' 13"

0,58100

5,3846

6,6000

12,751

9,000

13,497

13,825

53°    7' 48"

54°    6'    8"

59° 29' 24"

67° 22' 48"

11,200

10,943

12,923

12,000

87° 32'    5"

17,616

13,497

12,923

11,200

17,616

12,000

17,051

10,943

8,4000

7,9210

7,6154

5,0000

0,75840

13,509

14,000

13,000

21,746

15,000

21,746

17,632

14,000

13,509

15,000

13,000

17,632

67° 22' 48"

112° 37' 12"

//ST /£8 oSTT

„98 ,TS o9

87° 32' 5"

92° 27' 55"

92° 27' 55"

„TS ,П oQI

Tafel IL

Schiefwinklige ebene Dreiecke.

59° 29' 24"

53° 7' 48"

15,000

14,000

13,000

59° 29' 24"

14° 15' 0"

„98 Ю8 oOSI

„8 ,9 otQ

f/8    /9 oTQ

'49° 10' 18"

125° 53' 52"

7° 53' 24"

53° 7' 48"

53° 7' 48"

38° 21' 47"

33" 25' 57"

38° 21' 47"

38° 21' 47"

15,000

15,000

1,6000

21,746

21,746

21,746

5,904

14,000

4,0000

14,000

17,632

17,632

16,470

17,632

2,2308

13,000

13,000

13,509

11,993

13,509

13,509

Tafel III.

В echtwinklige sphärische Dreiecke.

//

//

//

/ //

//

15    38

16    6 36 10 38 57 38 57

40    9

41    5 41 5 41 32 44 44 47 37 47 37

50

50

52

52 5 56 15 56 15 56 52 56 52 58 40 60 22 60 22 61 33 64 9 68 12 77 43 77 43

79    29

80    14

6    9    45    19

22    10 30 15

39 21 47 2 12    9    45    19

12    21 47 2

21 28 26 56 6    10 30 15

6    25 50 17

38 25 50 17

17    31 19 47 21 28 26 56 21 31 19 47 56 12 16 42 56 29 37 36 54 12 16 42 54 33 44 17 43 33 7 37 43 37 54 6

23    29 37 36

23    33 44 17

13    42 22 39

24    33 7 37

24 39 57 4 4    42 22 39

43 48 27 22 58 51 2 48

18    37 54 6 18 39 57 4 45 48 54 54 41 51 2 48

12 16 42 12 16 42 29 37 36 37 54 6 33 7 37 29 37 36 39 57 4 33 7 37 33 44 17 33 44 17 39 57 4 37 54 6 48 54 54 42 22 39 51 2 48 42 22 39 48 27 22 45 15 43 51 2 48

48    27 22 45 15 43 53 49 21

49    50 39 49 50 39 48 54 54 53 49 21 74 21 54 73 53 38

73    53 38

74    21 54

со СИ

54

56 77 43 18 54 77 43 18

50

52

56

//

2 7 54

33

21

22

27

29

35

52

4

11

24

36

38

39

40

12

24

21

41

41

CD CD

50 2 56 50 2 56 52 5 54 56 15 43 56 52 23 56 52 23 68 12 58

50 2 56 50 2 56 56 15 43 41 32 38 36 10 39

40    32 33 52 5 54 44 44 17

41    5 6 68 12 58 50 2 56

56    52 23 60 20 54

60    22 24 44 44 17 56 52 23 50 2 56 52 5 54 52 5 54

61    33 4 77 43 18

79    29 45

80    14 41 80 14 41

52 5 54 О 52 5 54 4

60    22 24 4 44 44 17 6 40 9 21 8 52 5 54 15

61    33:4 15 56 52 23 16 47 37 21 24 80 14 41 17 56 52 23 25 56 52 23 20 60 22 24 26 77 43 18 21 56 15 43 43 50 13 58 50

56    15 43 47 60 22 24 45 79 29 45 36 60 22 24 47

79    39 38 38

57    10 4 52

80    14 41 41 56 52 23 47 63 21 53 58 99 57 42 15 83 34 56 50

119 37 37 38 107 37 55 50 103 59 30 52 128 11 15 52

44

34

32

40

38

38

32

20

26

35

40

34

37

26

10

37

57

32

39

40

38

57

От СП СО

56

28

15

15

СО CD СО От

163 53 38

118    26 56 138 54 54 123 7 37 123 7 37 129 57 4 121 19 47 127 54 6 102 16 42 123 7 37 100 30 15 129 57 4 123 44 17 132 22 39 102 16 42

86 34 33 77 43 18 102 16 42 115 50 17 77 43 18 109 45 36 88 42 27 111 47 4 79 29 25 84 53 48 159 44 26 105 6 41 138 54 54

119    15 Гб 113 53 57 138 5 42

Die Sinus und Cosinus der Vielfachen yon 3° im ersten Quadranten.

Sinus

Cosinus

о со со о.

90

s₂ rxj- t₄ r₂

V² (t₂ У_з —

V² (sj V 2 — t₂ У 2 ) V²( t, -st}/3)

Si

^1 Г1 + S2 Г2

87

Г2

ri

75

S2

ti

72

^2 r| Sj r₂

V* (s, У 3_— t₂ ) V² (t, У 2 - s₂У¥)

V»

s₂ r₂ + t, r₂

Si TjJ- tj r₂

V*(t,r»+ s,_)    66

V* (t, V 2 + s₂ fF) 63 */2 У 3 t, r, - s₂ r₂

69

60

67

*2

Sl

54

s, r, —1₂ r₂

V² (t, У1Г- S₂)

t₂ r, + s, r₂

V² (ti+s₂ m

'hi*

51

48

45

Cosinus

Sinus

Zur Abkürzung ist gesetzt:

r, = */4 . У2(|/3 + 1) _/У4.Уб+1)

h.Ÿ2]/3 + f5

tx = ¹//4 .    5 + fb

= 4* -Ÿ2 (у 3 - 1)

/4 . (fb - l)

li . f2]/ 3 - /5 t₂ = ‘/4 . У 2 t 5 - У 5

r₂

s₂

Textaufgaben.

1.    Der Schatten eines senkrecht aufgestellten Stabes ist b Meter lang, der Stab selbst a Meter. Unter welchem Winkel treffen die Sonnenstrahlen die Erdoberfläche?

2.    Um die Höhe eines Turmes ST (Baumes etc.) zu messen, hat man 50 m weit vom Eusse S in dem Punkte R die „scheinbare Höhe“, d. h. den Winkel SRT = 32°7' gemessen. Wie gross ist ST?

\T

Figur 65.

3.    Um die Höhe zu messen, wenn S unzugäng. lieh ist, hat man auf der Geraden RS von einem zweiten Punkt P ebenfalls die scheinbare Höhe des Objektes gemessen und gleich 21° 38' gefunden. Wie gross ergiebt sich in diesem Palle ST?

4.    Um die Erhebung eines Luftballons T über die Ebene zu messen, hat man von zwei Punkten R und Q aus die Winkel TRS = 30°7', SRQ = 22°36', SQR = 49° 27' und die Entfernung QR = 250 m gemessen. Wie gross ist ST?

Anmerkung. Wie hat man sich die Messung der Winkel zu denken, wo doch der Punkt S im Terrain gar nicht markiert ist?

Hessenberg, Ebene und sphärische Trigonometrie.

5. Wie gross sind in der letzten Aufgabe die Winkel TK,Q, TQB, BTQ? (Sowohl mit der ebenen wie mit der sphärischen Trigonometrie zu finden.)

messen.

RQ = b

6. Von drei in einer Geraden liegenden Punkten ORQ aus hat man gleichzeitig die Winkel TOS, TRS, TQS ge-Bekarmt sind ferner die Entfernungen OR = a, Wie findet man ST?

7.    In einer Ebene sei C von A und В aus sichtbar, aber unzugänglich. Gemessen ist AB = c, <£; CAB = a, CB А = ß. Wie findet man CA?

8.    A sei von В aus weder sichtbar noch zugänglich, z. B. liege ein Berg dazwischen. Man hat CA = h, CB = a und A CB = y gemessen. Wie gross ist^AB ?

9.    Gieht es im selben Falle keinen Punkt C, von dem aus A und В zugänglich sind, so kann man zwei Punkte, C und D wählen, deren Entfernung CD bekannt ist, und die Winkel ACB, BCD; BDA, ADC messen. Wie findet man daraus AB?

10.    In einem ähnlichen Falle sei AB messbar (z. B. sei durch den Berg ein geradliniger Tunnel gebaut), dagegen C von D aus unzugänglich. Wie findet man aus AB und denselben Winkeln, wie im vorigen Beispiel, CD? (§ 26, erste Hauptlage. Diese Aufgabe ist die „Hansensche“.)

11.    Das Dreieck der Punkte ABC sei bekannt. Von D aus misst man die Winkel A DB, B DC. Wie gross ist CD? (Pothenotsche Aufgabe, § 26.)

12.    Eine Bahn hat die Steigung 1 : a, d. h. auf a Meter horizontales Fortschreiten kommt 1 m Steigung. Wie findet man den Winkel cp, den die Bahn mit der Horizontalen bildet?

'S

Figur 66.

13. In einer einfachen Weiche ist das Geleis G geradlinig, G₂ in einem Kreis geführt. An der Krenzungsstelle К der inneren Schienen bilden diese einen Winkel «, dessen Tangente gleich t ist. Wie findet man aus der „Spurweite“ s hiermit die Länge 1 = AK der Weiche?

In Praxi ist t = 1: 9 oder 1 : 10 (Neuntel- und Zehntel-Weiche), s = 1,435 m.

g₂

Figur 67.

14, Ein Geleise geht bis A geradlinig, macht darauf eine kreisförmige Biegung vom Radius R und Winkel a, AB. Sodann geht es von В bis C geradlinig, p Meter weit, dann

erfolgt dieselbe Biegung nach der anderen Seite, CD, so dass bei D das Geleise wieder in die frühere Richtung übergeht. Um wieviel ist es dann „verschwenkt“, d. h. wie gross ist h?

ÖL

Os

•H

Sl

Figur 68.

15.    Wenn umgekehrt h, R, p gegeben sind, wie findet man a? Konstruktiv und rechnerisch! Welchen Sinn hat die zweite Lösung für a?

Beispiel: R = 1300m, p = 60m. a = 2°0'0", h = 546,0 cm.

R = 1300 m, p —60m, h = 10m, a = 3°42'21".

16.    Zwei Punkte P1? P₂ auf der Erdoberfläche haben die gleiche geographische Breite cp und die Längen \

on

Ti

fi

p,

'uator

Figur 69.

und 1₂. Wie gross ist ihre kürzeste Entfernung, wie

gross ihre Entfernung auf dem Breitengrad? (Erdradius im Mittel 6365000 Meter.)

17.    Zwei Punkte Pj und P₂ haben die Breiten und (p₂, die Längen \ und 1₂. Wie findet man ihre kürzeste Entfernung e?

18.    Zwei Punkte Pj und P₂ haben die Breiten (p1 und cp₂. Ihre kürzeste Entfernung ist e. Wie findet man den Unterschied ihrer Längen ?

19.    Wie gross ist der Winkel zweier Seitenflächen an der Kante des regulären Tetraeders?

20.    Wie gross ist er an der Kante des regulären Pentagondodekaeders ?

« г*

L-Ч

SC

O' i

SSS

uszu

в. 3. Göschen scbe UerlagsDandluna in Leipzig.

Soeben beginnt in unsrem Verlage eine neue Publi-kation zu erscheinen, die den Namen

Sammlung Schubert

führt.

Der ungeahnte Aufschwung, den in den letzten Jahrzehnten Technik und Naturwissenschaften genommen haben, hat die naturgemässe Folge gehabt, dass sich von Jahr zu Jahr ein lebhafteres Interesse der

Mathematik

zugewendet hat. Wenngleich für jedes der einzelnen Gebiete der Mathematik Lehrbücher genug vorhanden sind, so fehlte es doch bisher an einem auf dem heutigen Standpunkte der Wissenschaft und der Lehrmethode stehenden Lehrgänge der gesamten Mathematik, welcher, einheitlich angelegt, in systematisch sich entwickelnden Einzel-Darstellungen alle Gebiete der Mathematik umfasste.

Dieser Umstand bewog uns, die „Sammlung Schu-bert“ ins Leben zu rufen, eine Sammlung mathematischer Lehrbücher, die erstens wissenschaftlich angelegt sind, zweitens den Bedürfnissen des Praktikers Rechnung tragen und drittens durch eine leichtfassliche Darstellung des Stoffs auch für den Nichlfachmann verständlich sind. Die Form der Darstellung ist so gewählt, dass die einzelnen Bände in gleicher Weise für den Unterricht, wie für den Selbstunterricht, oder zur Repetition geeignet sind.

Soeben erschienen :

Band I : Elementare Arithmetik u. Algebra von Prof. Dr. Herm. Schubert.

„ IV: Konstruierende und beschreibende Stereometrie von Prof. Dr. G. Holz-müller.

я VT: Algebra, Determinanten und elementare Zahlentheorie von Oberlehrer I)r. 0. Pund.

Im Laufe dieses und des nächsten Jahres folgen

alsdann :

Band II: Elementare Planimetrie von Prof. Pr. W. Pflieger.

я III: Ebene und sphärische Trigonometrie von Oberlehrer Pr. Г. Bohnert.

я V : Niedere Analysis von Prof. Pr. Herm. Schubert.

» VH: Elemente der synthetischen Geometrie von Oberlehrer Pr. Böger.

» Vin • Analytische Geometrie der Ebene

von Prof. Pr. Max Simon.

« ix : Analytische Geometrie desRaumes

von Prof. Pr. Max Simon.

X: Differentialrechnung von Prof. Dr. Franz Meyer.

Band

XI : Integralrechnung von Prof. Dr. Franz Meyer.

XII: Darstellende Geometrie von Dr. John Schröder.

XIII: Differentialgleichungen von Prof. Dr. L. Schlesinger.

XIV : Praxis der Gleichungen von Prof. C. Runge.

XV: Elemente der Astronomie von Direktor Dr. E. Hertwig.

XVI: Mathematische Geographie von Direktor Dr. E. Hertwig.

XVII: Berechnende Stereometrie von Prof. Dr. Gr. Holzinüller.

„ XVIII : Geschichte der Mathematik von Prof. Dr. R. Haussner.

von

„ XX: Versicherungsmathematik Ferd. Paul.

Weitere Bände sind in Aussicht genommen.

Leipzig, im Juni 1899.

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung.

cs -

Saminfung (Soften. l'«LÄ"80W.

^ "    © X (ВоЁфепЧфе Derlags&anMnng, Cetp3ig.

mit Dielen ^ofiiiularen.

Don ptof. Dr. :Шф 9JlutÇer.

^озЮефЁеШтЬе eeZHj&a. цо©е1ф1ф1еЬ.Ша1егеШ.

^ФеЦегтф. ©4ф1ф1е

non ber Ur3cit biö J526 oon prof. Dr. £гапз V. Ärones.

Ш<БеЁф1ф1еЬ. îïïalereiY.

^обс5огЙШ1|Геп(фа!1

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prof. Dr. Ж Зфшрраф.

non prof. Dr. Н1ф. mutter.

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Ш. Moppen.

von Q)berlebrer

Kob. ©tern.

*07©еЁф1ф1е b. fflaleretl.

non prof. Dr. ;Шф. Stttutpev.

\08 ®с(фгф1е b. îïialereill.

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I \09 (Бе(фгф1е Ь.Ша1егсШ1.

con prof. Dr. ;Шф. îïlutber.

mMimalebre цбЗифДОфпшд

t \6 piilftif Doit Dr. 'Dans Stegwan».

\ \ 7 (БшефЬфебгаттаШ

I: Formenlehre oon prof. Dr. Iban» ttolfcer.

mSurgenfunbeDrÄ*.

Urteile ber greffe über „Sammlung ©iifc!)en".

$Каф ben üor*

Фeutfфe Sehrergeitg., Berlin: liegenben УапЬфеп fielen toir nidjt ait, bie gange ©ammlung aufg angelegentlichfte ttidit allein gitm (tiebramft in höheren 6фц1еп, fonbern аиф gur ©elbftbetehrnng gu empfehlen.

Sßatur: ©3 ift gerabegu ег^аипПф, tüte e§ ber rü^mlidbft befannte Verlag ermöglicht, für fo enorm billige greife fo üorgüglicjh anê* geftattete 2® erf феи gu liefern. Фа§ üorliegenbe ЯЗапЬфеп bringt in tuapper nnb üerftänbl^er gorm ba§ Stiffenśmertefte ber Mineralogie gum 2luébrucf. ©aubere 2ïbbilbungen erlebtem ЬаЗ Verftânbniê.

ШоЬиЗ: @3 ift erftaunlidj, mie oid biefe fleine Śłartenfnnbe bringt, ohne an tïarfjeit gu üerlieren, mobei поф gu berütfficfytigen ift, baft oiele Vbbilbnngen ben 9iaum ftar! beengen. Vortrefflich mirb bie fôartenprojeftionâlehre nnb bie topographie gefd)ilbert.

Sftationalgeitg.:    ift biê jept in ber ЬеШ?феп Sitteratnr

mohl поф niфt bagemefen, ba& ein Seinmanbbanb bon faft 300 ©eiten in ЬогрдПфег ФгисЬ* nnb Vapierauêftattung einetjt ÿreiê щ ^ареп mar< mie ihn bie „©ammlung @5öfrf)en" itèrent tfcpefien Vanbe, Maç

д,.&>

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Vraft. ©djulmann: Ein sJJteifterftiicf fttrjen mtb biinbigen, unb boep flarett unb oielfageuben 51u§brucf£ mie bie „Seutfcpe Sittęraturgefcpidge" bon $rof. sîft. totp ift and) bte oorliegenbe „Seutfdje Êefdjidjte im ättittelalter",

97atur: gn ber Sternie bon Dr. tlein empfangt ber ©d)iil faft niepr, mie er al§ Anfänger bebarf, minbeftenê aber fo biel, baß er ba§ Siffenêmiirbigfte al§ unentbehrliche Ermtblage jum Verftänbniffe ber Epernie empfängt. . .

tun ft f. 5t He (Wutdjen): t. timmiep bepanbelt in feinem Häubchen, „geid)eitf djule" benannt, in f napper, ferniger, fad)lidj= jielbemußter gorm ba§ meite Eebiet be3 bilbmäßigeit geiepnenä unb 5ftalen£. . . . Eieicp nupbringenb nnb in reiepftem SJtaße bitbenb für Seprer, ©cpüler unb Siebpaberfiutftler, möchte ich ba§ mirflicp borjitgüdje Serf mit mannen auerfennenbeit Sorten ber Einführung in ©фиГе, §au3 unb Scrfftatt jugänglid) maepen. Sie 5Ы-ftattung ift babei eine fo bornehme, bag mir ber $rei§ bon 80 Pfennigen für baê gebunbene Ser! bon 138 ©eiten fl. 8° mirflid) lädjcrlicp billig erf epeint. sticht meniger al§ 17 tafeln in Son-, garben- nnb Eolbbrud, fomie 135 Voll- unb Sejtbitber ittuftrieren ben änßerft gefunben Sehr-gang biefer geidjenfcpule in feiufühtenber Seife,

©фтаЬ. Sfterfur: ^rof. É, Zahler in Utm legt un3 eine Sarfteüuitg ber ebenen (Geometrie bor, bie bk jur 51u§meffung be§ treifeê einfcpließlicp geht. Vefoubere ©orgfalt ift ber 51u§mapl unb 5lnorbnung ber giguren 51t teil gemorben, bereit faubere Shkfüprmtg in 2 garbeit angenehm berührt.

E10 b u § : фосгпеё, Urgefd)id)tc. Ser bemährte gorfeper auf oor-gefdjidjtlidjent CÖebiete giebt pier in fnappfter gorm bie leprreidje gu* fammenftelluug beê Siffenêmerteften ber Urgefdjicpte. Vortrefflich ge-eignet jur Einführung nnb junt Ueberblicf.

gapreêbericpte berEefdjicptêmiffenfdjaft: §ommel, auf bem Eebiet ber altorientalifcpen Eefd)icpte eine anerfanute Autorität, bepanbelt in biefem Väubcpen bie morgen!änbiftpe Ее f cp i cp te mit großer Eenauigfeit nnb miffenfcpaftlicper Erünblicpfeit in fnappfter gorm. Sa§ fteiuc Vücpteiu mug marrn empfohlen merben.

S P jgr. gtg. (Я® i f f en f d&. SB e i r.) : „Sie ^flanje"bonI>r.E,Sennert fbnnen mir befteitê empfehlen, gu fürjefter, fnappefter, fehr flarer unb oerftänblicpcr gorm meiß fein Verfaffer atteê Siffenëmertefte über beu inneren unb äußeren Vau unb über bie gebenêberricptungen ber $ganje jur 5titfchanung ju bringen, mojn feine gattj bortrcffl'idjen, felbftge* jeichneten Sejtabbilbnngen augerorbenttith Diet beitragen helfen.

Seimarjcpe g eit g.: Saltparilieb, 9Jtit biefer Ueberfeguitg mirb unê eine pod)mill!ommene mtb üon Sitteratnrfrennben längft er-fepnte Eabc geboten. . . . Von einer guten Ueberfegnng ift ju öer-1äugen, bag fie, finn= nnb jngleicp möglid)ft toortgetren, opne bem Urtext, mie ber beutfdjen ©ргафе Eemalt anjutpun, ben Eeift be§ Origiuak

flar mtb ungetrübt miebcrfpicgele. $>icfcr gorberuug gcrcdjt su »erben, tyat 2lltïjof in meifterpafter 2öeife berftanben.

SÖIä,tter f. b. bapr. ($ртп.-©фи1т.: ©moboba, ®ricd). ®e= fdj^te. ©djon ber Stfame imb ber Ütuf beê 33erfaffer§ bürgt bafür, ba&mir nict)t etma bloß eine trodene Compilation bor unë haben, überall seigen fitp bie ©puren felbftänbiger Arbeit

$raft. ©фul mann: ©opfert, ©djulpragtô. Œê mirb in gc= brängter £)arfteflung ein veidjer, шор1ЬигфЬаф1ег, ben neneften pabagagifĄen S3eftrebnngen gcrcrfjt merbenber -gnpalt geboten nnb für ben, ber tiefer einbringen mili, ift geforgt burd) rcuppaltige Sitteratur-пафшегТе.

Seitfфr. f. b. 9tealfd)ulm.: @3 mar ein glüdlicper (Sebanfe ber rührigen SSerfagSpaubluug, bie s2lbfaffung be§ ber (Siitfüprung in bie 3ïritpmetif nnb ШдеЬга bienenben ЗЗаиЬфепЗ iprer „©ammlung" bem рофдeaĄteten gaĄ^ nnb ©djulmamte ^rof. Dr. ©djnbert $u übertragen . . . ₄ ®er SSerfaffer mußte bie ©cbmierigfeiten mit großem (îJef^id 31t bemältigen, inbent er burd) einen ftreng fpftemettfdjen 2luf= bau be§ aritpmetifepen £eprgebäube§ ber gaffungêfraft be§ 3lnfänger3 möglid)ft Sftedptung trug nnb babci nur ba§ ®auptfäd)lid)c in'§ 9luge faßte. — gormclfammlnug mtb Oîcpetitoriunt ber üdiatpematif bau 4$rof. £p. SBürtlen .... SDie bnrd) reincu Фгпй nnb gcfrljmarfballe #u$ftattung fiep аиЗзеЦиеиЬе „gormelfantmlung" mirb infolge ipreś reidjen biclfeitigeu Sn^aite^^ iprer smedentfpredjcnben 3lnorbnung mtb arientiereubcu (Mcbcrung aU 9М)}ф1адеЬиф borsüglidje $ienfte leiften.

©ren^boten: Фа§ grembmort im éeutfdjen ban Dr. ЩпЬ. Cleinpanl. (Sin leprreidjcê Шф1сш, ba§ in feinen engen Söänben .... eiue gnidę bon ©pradjbelcprnug bietet, bie jeben feffeln muß, ber nur einigermaßen baê 33ebürfnté fiißlt, fid) über ©prad)binge 2tufflärmtg зи berfdmffen. Фег 3Serfaffer l)at fid) fd)on Ьигф 3apfreid)e botfêtümticpe ЗЗйфег über bie ©ргафе unb il)r £eben befannt gematpt, er pat eine auëgebreitete, fixere Cettntnté ber ©ргаф- unb 3ßortgefd)^te, pat mit Sluêbauer auf biefem (Gebiete gefammelt unb meiß feinen ©toff immer QefdE)icït 31t gruppieren unb bot3utragen. . . .

©taatêan seiger: ®ie dlöiuifdjc $Ш1сга1игде{ф1ф1е ift eine geiftboUe glättsenbe Arbeit (Sinfenber pat biefelbe bon Anfang bis (Snbe mit größtem ($enuß bmïpgelefen unb babei 9lrt unb (Sntmidlmtg beê römifфen ©фгЦйитё unb bamit beS römifфen ®eifteStebenS überhaupt beffer unb дгйпЬйфег berftepcu gelernt, als Ьигф тапфеЗ biel-ftünbige UniberfitätSfodeg ober bidleibige ^апЬЬйфег.

Sfteteorologif фе 8 eit {фг ift: £r ab ert pat in ber 9Jteteo* rologie feine fфmierige Aufgabe bortrefff^ gelöft. gn allen gragen bertritt er ben neueften unb lebten ©tanbpuntt.

©фте1зег11фе 2ebrer3citung: S5er bie ^erfpeftibe bon grepberger unb ba§ (^cometrifdje geidnten bon 33eder ЬигфдеЬ1, mirb feine greubc baran haben, ©o biel für fo menig ©elb mirb rnoßl faum anberêmo geboten. ®ie gttuftrattonen finb faitber unb e?:aft. Фег Stejt ift fnapp unb flar unb аиф ba, то er mehr an-beutet alg augführt, anregenb.

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