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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Höhere Analysis

Zweiter Тей

Integralrechnung

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Dr. Friedrich Junker

Mit 89 Figuren

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in !игзеп, Flctren, aflgemeuwet ßättbltd?en (Et^elbarfielluttgen.

CammluHfl

4К Hnfe* heutiges Hoffen

eöschen

3ebe Hummer tu elegantem £etnmanbbanb

6. 3. 6ö$(hcn’$(bc Uerlassbandluna, Ccipzis.

'Ztneck unb Stel ber „Sammlung ©öfdjen" ift, bent gebilbeten Saten Ö eine Klare, leicfjtnerftänblid^e ©infütirung in fämtlidje ©ebiete ber

SBiffènfdjaft unb lennik ju geben. 3n engem Slaljmen, auf ftreng miffenfфaftliфer ©runblage unb mit fteter $Berüdtfitf)tigung bes neueften ©taubes ber $orfct)ung, aber habet boct) in leid)tnerftänblic^er ^orm, bietet fie junerläffige 23eleljrung. 3ebes einseine ©ebiet ift in fiel) ge* fdjloffen bargeftellt, aber bennoct) fteljen alte Sßänbdjen in innerem 3Uï fanmtenÇange miteinanber, fo bafc bas ©апзе, menn es noltenbet nor* liegt, eine etnljeitlicfje, f^ftematiftfje darftellung unferes gefamten Stiffens bilben bürfte.

Uetzeiebnis der bis jetzt erschienenen Bände.

Siltertumskunbe, ©tied)., nontprof. Dr. ШфагЬ STlaif ф, neu b ear b. о.debtor Dr.^rans ÿohlbammer. Silit 9 SSollb. Sir. 16.

— Stömifdje, non Dr. £eo 231оф, Solent an ber Hntnerfität 3üricb. Silit 8 Sîollb. Sir. 45.

Slnaigfts, £>öl)ere, I: differential* returning. Sion Dr. ftrbr. junker, ^rof. am Slealgrjmnaf. u. a. b. ___gealanftalttn Him. Silit 68 Orig.

Slkuftik. Xtjcoret. Щх)\хк. I.Sett.

an

Suecljanik unb SXkuftik. 23on Dr. ©uftan 3üger, Sprofeffor ber Hntnerfität SÖien. Silit 19 ÜXbbilb. Sir. 76.

— SKufikalifctje, von Dr. San ü.

Schäfer, dosent an berllninerfität Berlin. Silit 35 Slbbtlb. Sir. 21.

SUgebta. Slrttl)metik u. Sllgebra non Dr. fjerm. (Śd)ubert, ^rofeffor an ber ©etetjrtenfctjule bes 3o* tjanneums

Sllpen, die, x    Biblioteka Politechniki Krakowskiej    u. Aufgaben*

sprinatbos     ntialredjnung

unb fProfl    junker, $ro*

attabemie¹    | anafium unb

in SBten.    Hn Him. Silit

ung.SSonDr. a.Stealgqmn. ftalt in Him. Sir. 88.

1 Sarte.

SUtertiimer,

100000298038

Dr. ftraщ ftabtifdjen fdjtneig. Si

3e in elegantem ßeimnanbbanb

Sammlung 6öschen

^    ©♦ 3* ©0[фепЧфе ©erlags&anblung, Seipgig.

80 |)f.

ftropljpfik, bie 58е[фа||еп1)сй ber Himmelskörper non Dr. SBalter F- SBislicenus, ^3rof. a. b. Hnio. Strafeburg. Silit 11 Slbbilb. ©r.91. Sluffafeenttnürfe non Dberftubienrat Dr. 2. SB. Straub, Siektor bes (Eberbarb*2ubmigs*(Epmnaf. in Stuttgart. Sir. 17.

©aukmtft, Sie, bes Slbenblanbes Dr. 8. Sфäfer, Slffijüent am ©etoerbentufeum in ©remen. Silit 22 Slbbilb. Sir. 74. ©eœegungsfpiele non Dr. (E. Sol)U гаи[ф, ©rofeffor am ßönigl. &aifer=SBill)elms*(Spmnafium su Hannooer. Silit 14 Slbbilb. Sir. 96. biologie ber ©flangen non Dr. SB. SHigula, ©rofeffor an ber £еф* nifetjen Ноф[фи1е Sarlsrutye. Silit 50 Slbbilbungen. Sir. 127. ©iologie ber Xiere 1: (Entfteljung unb SBeiterbilbung ber Xienoelt, ©egiefnmgen sur огаапЦфеп Slatur non Dr. Пейтф Simrott), Sprof. an ber Hninerfität ßeipgig. Silit 33 Slbbilbungen. Sir. 131.

©г. 37.

unb

Slnalpfis, £jötjere, II. ©epetitorium unb Slufgabenfammlung sur Sntegralredjnung o. Dr. ЗпеЬйф Junker, ^ßrofeffor am ©ealgpm* nafium unb an bcr ©ealanftalt in Ulm. Silit 50 Figuren. ©r. 147. — ©iebere, n. ©rof. Dr. ©enebikt Sporer in (Bringen. Silit 5 Fig. ©r. 53.

Slritljmetik unb SUgebra non Dr.

Herrn. бфиЬей, ©rofeffor an ber ©eleljrtenfctjule bes 3o* banneums in Hamburg. ©r. 47.

--©eifpielfammlung шг Stritt)*

metik u. Algebra. 2765 Aufgaben, fpftemat^ georbnet, non Dr. Herm. Schubert, ^3rofeffor an ber ©elebrten^ule bes ЗоЬоипеттз in Hamburg. ©r. 48. Slftronomie. (Sröfee, ©etoegung u. (Entfernung ber Himmelskörper non 31.5. SHöbius, neubearb. non Dr. SB. F. SBislicenus, ©rof. an ber Hnioerfität Strafeburg. Silit 36 Slbb. unb einer Sternkarte. Sir. 11.

non

©iologie ber Xiere II : ©egieÇungen ber Xiere gur organifфen Slatur non Dr. Петпф Simrotl), ©rof. an ber Hninerfität Seipgig. SHit 35 Slbbilb. Sir. 132.

©raut. Haus <5aà)ô unb 3ol)cmn 5Мфаг1 nebft einem Slntjang : ©rant unb Hutten. Slusgetoüîjlt unb erläutert n. ©rof. Dr. 3ul. Satjr. Sir. 24.

©иф^гипд. ßetjrgang ber ein* 1афеп u. hoppelten ©иФЬаНипд non Slobert Stern, Dberletjrer ber Dffentl. Hûnbelsletjranftalt unb Sogent ber ПстЬе15Ьоф1фи1е gu ßeipgig. Silit nielen Formularen. Sir. 115.

©ubblja non ©rofeffor Dr. (Ebmunb Harbp in SBürgburg. Sir. 174.

—    f. аиф : ЗЯеид1оп5де[ф1ф1е, 3n* bifet)e.

©urgeukunbe, Slbrife ber, non Hof* rat Dr. Otto ©iper in ЗШтфеп. Silit 29 Slbbilb. Sir. 119.

(Etyemie, SlUgemeine unb pbpfika* lifcie, non Dr. Sllag ©ubolpl)i, Sogent an ber 2ефп^феп Поф* fфute in Sarmftabt. SHit 22 Figuren. Sir. 71.

—    ©погдаи^фе, non Dr. 3of. £lein in SBalb

—    Огдапг[фе, non Dr. 3of. ßlein in SBalbbof. Sir. 38.

(Eib, Ser* 0Иф1ф1е bes Son ©up Stag, ©rafen n. ©inar. ©on 3- ©• H^ber. H^ousg. erläutert non ^rofeffor Dr. (E. ©aumann in ©erlin. Sir. 36.

Sampfkeffel, Sie. ßurggefafetes ЯеЬгЬиф mit ©eifpielen für bas Selbftftubium u. b. ргакЩфеп ©еЬгаиф поп ЗпеЬпф ©artb, Dberingenieur in ©ürnberg. Silit 67 Figuren, sir. 9.

Хатр?та[фШе, Sie. Surggefafetes £е1)гЬиф mit ©eifpielen für bas Selbftftubium и. b. ргаЩфеп ©еЬгаиф non ЙгпеЬпф ©artt), Dberingenieur in ©ürnberg Silit 48 Figuren, ©г. 8.

Sammlung Göschen

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©♦ 3» ©öfdjen’fche Rerlagsbanblung, ßeipzig.

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Dechn. £)oci)fchule lu SIlünchen. Silit 32 Slbbilb. Sir. 26.

— fietje аиф • 2anbeskunbe. — 2änberkunbe.

Sichtungen aus mittelhochbeutfcher $riil)äett« 3n Slusmahl mit (Ein* leitungen u. SBörterbuci) heraus^ gegeben non Dr.Hermann 3an£en in 23reslau. Sir. 137.

Diettichepen. Hubrun u. Dietrich* epen. Silit (Einleitung u. Sßörter* buch non Dr. D. 2.3iric5eli, ^of-о. b. Hninerfität SIlünfter. Sir. 10.

Differentialrechnung non Dr. $rbr. Зипкег, s^5rof. am Slealgpmn. u. a. b. Sleatanftalt in Ulm. Silit 68 Figuren. Sir. 87.

— Repetitorium u. Slufgabenfamm* lung 5. Differentialrechnung non Dr. 3rtebrid) Зипкег, ^3rof. am Realgpmnafiumunb an ber Sleal* anftalt in lllm. Silit 42 Figuren. Sir. 146.

(Ebbaliebet mit Grammatik, Überfettung unb (Erläuterungen non Dr. SBill). Slanifct), ©gntnafial* Oberlehrer in Dsnabrück. Sir. 171.

(Eifenhüttenkunbe non Sl. Traufe, bipl. Ejütteningen. I. Seit: Das Slotjeifen. Silit 17 ftiguren unb 4 Dafein. Sir. 152.

--II. Deil: Das Schmiebeifen.

Silit 25 Figuren unb 5 Dafein. Sir. 153.

(Elektrizität. Dheoret. $h#k-III. Deil: (Elektrizität u. Sllag* netismus. S3on Dr.(5uftan 3ägerr ^ßrof. an ber Hninerfität SBien. SHit 33 Slbbilb. Sir. 78.

(Erbmagnetismus, (Erbftrom,S3olar* licht non Dr. Sl. Slippolbt ]r., SHitgl. b. Hgl.ißreu&.SIleteoroiog. 3nftituts zu $otsbam. Silit nielen Slbbilb. u. Harten. Sir. 175.

(Ethik non Dr. Dhomas Slchelis in 23remen. Sir. 90.

(Europa. Sänberkunbe n. Europa Dr. ftranz Reibend}, ^3rof. am Francisco * 3ofePhluum in SIlöbling. Silit 14 Deçtkürtchen unb Diagrammen unb einer Harte ber Sllpeneinteilung. Sir. 62.

Ofernfprechtoefen, Das, non Dr. Śubtnig Slellftab in Berlin. Silit 47 $tg. unb 1 Dafel. Sir. 155.

Sinanztoiffenfchaft non ©eh- Sieg.* Slat Dr. Sl. nan ber 23orght in 3riebenau*23erlin. Sir. 148. $ifct)art, 3ohuun. Ejans 6ad)s unb 3ohann ЗДфаг! nebft einem Slnhang : 23rant unb £)utten. Slusgemäl)lt unb erläut. nonS3ro* feffor Dr. 3ul. 6ahr. Sir. 24. Sifcherei unb fyifchzucht non Dr. Harl (Eckftein, ^ßrofeffor an ber prorftakabemie (Ebersmalbe, Slbteilungsbingent bei ber £>aupt* ftation bes forftl. Rerfudjstnefens. Sir. 159.

Oformelfammlung, SHathematifche,

unb Slepetitorium ber Sllathema* tik, enthaltenb bie michtigften Formeln unb 2ehrfä£e ber Slrith* metik, Sllgebra, aigebraifehen Slnaltjfis, ebenen ©eometrie,6te* reometrie, ebenenu. fphär. Drigo* nometrie, mathemat. ©eographie, analpt. (Éeometrie ber ©bene unb bes Slaumes, ber Differential* unb3ntegralrechnung nonD.Dh-23ürklen, ^ßrof. am Hgl. Sleal* gpmnafium in ©cf)in.*©ntünb. SHU 18 $ig. Sir. 51.

— ißhgfikaUfche, non ©. SHahler, $rofeffor am ©pmnafiumin Him. Sir. 136.

Sorftmiffenfchaft n. Dr. Sib. бфгоар* pach, $rof. an ber ftorftakab (Eberstnalbe, Slbteilungsbirigent bei ber £>auptftation bes forftl. Rerfudjsroefens. Sir. 106. ^rembtuort, Das, im Dcu'fchen n. Dr. Slubolf Hleinpaul in Seipzig. Sir 55

©eobafie non Dr. ©. Sleinhert*, S^rof. an ber Dechnifchen Ejockfchule Ejannoner. Silit 66 Slbbilb. Sir.102. ©eographie, Slftronomifche, non Dr. ©iegm. ©ünther, ^3rofeffor an ber Dechn. Ejochfchule in SIlünchen. Silit nielen Slbbilb. Sir. 92. ЩрЩфе, non Dr. ©iegmunb ©ünther, S^ofeffor an ber Hgl.

Sammlung Göscbcn

^    ©♦ 3* ©öfdjen'fdje Skrlagsbanblmtg, ßeipaig.

©eologte non ^ßrofeffor Dr. ©bert). $raas in Stuttgart. Silit 16 Slbb. unb 4 tafeln mit über 50 2ftß-Sir. 13.

©eontetrie, 9Inalt)tifdje,

Fprofeffor Dr. SIÏ.

am

non

©runbrift ber latei*

ber ©bene ©imon in ©traftburg. S'llit 57 Sir. 65.

—    Slnalptifcpe, bes Slaumes non Fßrof. Dr. Su. ©imon in ©traft* bürg. Smt 28 Slbbilb. Sir. 89.

—    S)arftellcnbc, non Dr. Slobert fjauftner, Fßtof. an ber £ed)n. fwcpfcpule Sarlsrupe. I. SHU 100 Figuren. Sir. 142.

—    ©bene, pon ©. Sllapler, FJ3rof. am ©pmnafium in Ulm. Silit 111 Stneifarb. Ofis^ren. Sir. 41.

—    SSrojektine, in fpntpetifcper 23e* panblung non Dr. Sari 2)oeple= mann, ^rofeffor a. b. Hninerfität SIlüncpen. Silit 85 sum Seil stnei* farbigen Figuren. Sir. 72.

©efepiepte, 23apertfcpe, n. Dr. £)ans Dckel in Slugsburg. Sir. 160. Seutfcpe, im SEittelalter (bis 1500) non Dr. $. Surse, Dber* leprer am Sgl. ßuifengpmnaiium in ^Berlin. Sir. 33.

—    $ransofifd)e, non Dr. 31. ©tern* felb, Sßrof. an ber Hninerfität S3 erlin. Sir. 85.

- ©tieeptfepe, non Dr. £>einricp ©tnoboba, $rof. an ber beutfdjen Hninerfität 23rag. Sir. 49.

—    bes alten SKorgenlanbes non Dr. $r. Rommel, $rofeffor an ber Hninerfität SIlüncpen. Silit 6 23il* bern unb 1 Sarte. Sir. 43.

—    Öfterreicpifcpe, I: S3on berHrseit bis 1526 non £>ofrat Dr. fyi‘3-n. Srones, ^ßrofeffor an ber Hni* nerfität ©ras- Sir. 104.

--II: 2?on 1526 bis sur ©egen*

mart n. £)ofrat Dr. $rs. n. Srones, Fßrof. an ber Hninerfität ©ras. Sir. 105.

—    Slömifcpe, neubearbeitet n. Sleat* gpmnafialbirektor Dr. Julius So cp. Sir. 19.

—    ©ätpftfepe, non SProf. Dr. Dtto Saemmel, Siektor bes Slikolai* gpmnafiums su ßetpsig. Sir. 100.

©efdjidjte ber SHalerei fiebe: Slïalerei.

—    ber Slïufth fietje : SIÏuftK.

—    ber ^äbagogtü fielje: Fpüba* gogik.

—    ber beutfdjen ©pradje fielje: ©rammatik, 2)eutfdje.

©efunbljeitslebrc. S)er menfdjltdje Körper, fein23auunb feine Sätig* keiten, non ©. Siebmann, Dber* realfd)ulbirektor in ftreiburg i. 23. 2Ш ©efunbtjeitsletjre n. Dr. med. £). ©eiler. Silit 47 Slbbilbungenu. 1 Safel. 2Ir. 18.

©letfd)erknnben.2)r.3nfe Slladjacek in Sßien. 9IUt 5 Slbbilb. im Sejt unb 11 Safeln. Sir. 154.

©otters unb £>elbenfage, ©ttedjtfcbe unb röntifdje, non Dr. §erm. ÄA'"W1“:    P " Sönigl.

©pmnafiuut in SBurgen. Sir. 27.

--fietje aud) : fjelbenfage. — Slips

tt)otogie.

©ottfrieb non ©trafoburg* £>arts mann non Slue, SBolfranf non ©fdjenbad) u. ©ottfrieb n. ©traft* bürg. Slustnal)l aus bem pöf. ©pos mit Slnmerkungen u. SBörterbud) non Dr. S. Sllarolb, Fßrofefforam Sönigl. ftriebricpskollegium ш Sönigsberg i. Fßr. Sir. 22.

©rammattk, ©cutfdje, unb kurse ©efepiepte ber beutfepen ©praepe n. ©cpulrat Fßrofeffor Dr. D. ßpon in 2)resben. Sir. 20.

—    ©rteeptfepe, I: Oformenlepre Dr. £). Sllclfter, ^3rofeffor an ber Slofterfcpule su Sllaulbronn. Sir. 117.

--II : 23ebeutungslepre u. ©pntaj

non Dr. £>ans SHelfter, Fprofeffor an ber Slofterfcpule 5u SHaul* bronn. Sir. 118.

—    ßateinifepe. nifepen ©prad)lepre non ^5rof. Dr. SB. 33otfcp inSEagbeburg. Sir. 82.

—    Silittelpocpbeutfcpe. 2)er Slibe* lunge Slot in Slustnapl unb mittel* poepbeutfepe ©rammatik mit kursem SBörterbucp non Dr. SB. ©oltper, Fßrof. an ber Hninerfität Sloftock. Sir. 1.

80 Mf.

e in

7 Tafeln

am

©rammatik, Auffif^e, n. Dr. ©пф 23erneker, $rof. an b.ltninerfität Arag. Ar. 66.

--Jietje аиф: AufMes ©e*

[ргаф$Ьиф, — £е|еЬиф.

îjarmonielehre non A. £jalm, SIlufik* birektor in Stuttgart. Alit nieten Aotenbeilagen. Ar. 120.

Hartmann non Aue, SBolfram non (ЗДепЬаф unb ©ottfrieb non ©trafeburg. Ausmat)! aus bem böf. ©pos mit Anmerkungen unb АЗоАегЬиф non Dr. S. Alarolb,

Arof.amSgl.ftriebr^skoltegium

gu Sönigsberg i. 23r. Ar. 22.

£>auptliteraturen, Tie, bes Orients non Dr. Al. fjabertanbt, Sßnoat= bogent an ber llninerfität SBien. I. II. Ar. 162. 163.

§elbenfage, Tie Ьеи1|фе, non Dr. Otto ßuitpotb 3iricaek, $rof- an ber llninerfität Alünfter. Ar. 32.

—    fietje аиф: ©ötter* unb gelben* fage. — Anthologie.

gerbet, Ter ©ib. <5е[ф1ф1е bes Ton Aut) Ttaj, ©rafenn. Ainar. fjerausg. unb ertäut. non Dr. ©rnft Aaumann in 23erlin. Ar. 36.

§utten. §ans бафз unb 3°hann F^art nebft einem Antjang: Arant unb Jütten. Ausgemöhtt unb erläutert non $rof. Dr. 3ul. ©ahr. Ar. 24.

Зп1едга1гефпипд non Dr. F*br. Зипкег, ^tof. am Aealgpmn. unb an ber Aealanftatt in Itlm. Silit 89 FiQuren. Sir. 88.

—    Aepetitorium u. Aufgabenfamm* tung gur Зп1едга1гефпипд non Dr. Frbr. 3wnker, S^rofeffor am Aealgpm.unb an ber Aealanftatt in Htm. Silit 50 Figuren. Ar. 147.

Sartenkunbe, де1фШИф bargefteltt non ©. ©еШф, Direktor ber k. к. АаиЩфеп ©фи1е in ßuffin* piccolo unb F- ©auter, $rof. am Aeatgpmnafium in Hirn, neu be* arb. non Dr. Spaul Tinfe, Affiftent ber ©efel^aft für ©rbkunb Aerlin. Silit 70 Abbitbungen. Ar. 30.

ШгфепИеЬ* Sllartin Sutler, Ttjomas Sllurner unb bas ШгфепШЬ b es 16. 3<НйФ* Ausgemätjlt unb mit ©inleitungen unb Anmerkungen nerfetjen non ^rofeffor ©. Aerttt, Oberlehrer a. Aikolaigpmnafium 5u ßeipjig. Ar. 7.

Slimalehte non ^rofeffor Dr. SB. Soppen, Slleteorologe ber ©ee= marte è^mburg. Silit unb 2 Figuren. Ar. 114.

Solonialgefdjidjte non Dr. ТШпф ®d)äfer, $rof. ber ©e[ct)tct)te an ber llninerfität Berlin. Ar. 156.

Sompofitiouslebte* Aïufikaiifd)e Formenlehre non Stephan Srehl. I. II. Silit nieten Aotenbeifpielen. Ar. 149. 150.

Sötper, Ter теп1фИфе, fein Aau unb feine Tätigkeiten, non ©. Aebmann, Oberrealjçhulbirektor in Srreiburg i. 23. Alit ©efunb* tjeitsletire n. Dr. med. £j. ©eiler. Alit 47 Abbilb.u.l Tafel. Ar. 18.

Subrun unb ТШАфереп. Silit ©in* leitung unb 2Вог1егЬиф non Dr. О. ß. ßiricgek, ^rofeffor an ber llninerfität Alünfter. Ar. 10.

--fiet)e аиф: ßeben, 2)eutfd)es,

im 12. 3ahA)unbert.

SulturgefdEjidjte, Teutfc^e, non Dr. Aeinholb ©ünther. Ar. 56.

Sänfte, Tie grapljtfdjen, non ©art Sampmamt, Fachlehrer an ber к. к. ©raphifdjen ßehr* u. Aer* fuc^sanftalt in A3ien. Alit 3 Aei* tagen unb 40 Abbilb. Ar. 75.

Surafctjrift. ßehrbud) ber Aerein* faditen Teutfdjen Stenographie (©inigungsfpftem ©Шае*©фгер) nebft ©d)lüffel, ßefeftüdien unb einem Anhang non Dr. Amfel, Oberlehrer b. Sabettentjaufes in Dranienftein. Ar. 86.

ßänberkunbe роп Europa non Dr. Franj §eiberid), ^rofeffor Francisco*3ofept)inum in Sllöb* ting. 2Hit 14 Te£tkärtd)en unb Diagrammen unb einer Sarte ber Atpeneinteitung. Ar. 62.

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cfoereuropätfchen Erbteile n. Dr. grang fjeiberich, SIrof. am $rangisco '3o[eph wum in Suöbling. SEitllSestkartchen

Sänberkunbeberau

unb Profilen. Sir. 63. Sanbeskunbe bes Königreichs

Siteraturgefdjichte, S>eutfche, bcr Klaffikergeit non Dr. Earl SBeit* brectjt, ^prof. an ber Sechnifcfien ftoctjfchule (Stuttgart. Sir. 161. Seutfihe, bes 19» 3ah*hunberts non Dr. Sari SCeitbrecht, ^3rof.

SBürttemberg n. Dr. Kurt £jaffert, SIrofeffor ber ©eographie <wi ber ^anbelshochfchule in Köln. SEit 16 Slollbilbern unb 1 Karte. Sir. 157.

ßeben, Seutfches, im 12. 3ahr* hunbert. Kulturhiftor. Erläutere ungen g. Slibelungenlieb unb gur Kubrun. Sion SIrofeffor Dr. 3ul. 2)ieffenbacher in ftreiburg i. S5. SEit 1 Safel unb 30 Slbbilbungen. Sir. 93.

Seffings Emilia ©atotti. SEit Ein* leitung unb Slnmerkungen non Oberlehrer Dr. Slotfch- Sir. 2.

—    fabeln, nebftSlbhanblungen mit biefer Sichtungsart nerroanbten 3nt)alts. SEit Einleitung non Karl ©oebeke. Sir. 3.

—    SEinna non SSarnhelnt* SEit Sin* merk, non Dr. Somafcljek. Sir. 5.

—    Slathan ber SBeife. SEit Sin* merkungen non ben SIrofefforen Sengel unb Krag. Sir. 6.

Sicht. Sheoret. ißhpfik. II. Xeil : Sicht unb SBörme. Sion Dr. ©uftan 3äger, S^rof. an ber Hninerfität Sßien. SEit 47 Slbbilb. Sir. 77.

Siteratur, SUthochbeutfche, mit ©rammatik, Hberfefcung unb Erläut. non St). ©chauffier, ^3rof. a.SlealgpmnafiuminHlnt. Sir. 28.

Siteraturen, 2>ie, b. Orients. I. Seil : Sie Siteraturen Oftafiens unb Snbiens non Dr. 3E. §aberlanbt, SIrinatbogent an ber Hninerfität Sßien. Sir. 162.

--II. Seil : Sie Siteraturen ber

SSerfer, ©emiten unb Sürken non Dr. SH. §aberlanbt, Sßrinatbogent an ber Hninerfität SBien. Sir. 163.

SiteraturgefÄichte, Seutfche, Dr. SEa^ Kock, fprofeffor a Hninerfität SSreslau. Sir. 31.

non

an ber

an ber Sechnifchen §оф[фи1е Stuttgart. I. II. Sir. 134. 135. Щфе, non Dr. Karl SCeifer ten. Sir. 69.

33erückfichttgung ber ©efchichte ber 2ßiffenfct)aften non Dr. Sllfreb ©ercke, ^Çrofçffor an ber Hninerfität ©reifstnalb. Sir 70

—    3talienifche,nonDr.KarlSIofoter, SIrofeffor an b. Hnin. £eibelberg. Sir. 125.

—    3lôntif<he,n.Dr.fjermann3oacbim in Hamburg. Sir. 52.

—    Slufiifche, n. Dr. ©eorg S3olonskij in Slïün^en. Sir. 166.

—    ©panifdje, non Dr. Slubolf 23eer in SBien. I. II. Sir. 167. 168.

Sogarithmen. Slierftellige Safeln Segentafeln für logarithm, unb trigonometr. Slechnen in 2 Sarbenjufammengeftellt non Dr. §emt. Schubert, ^ßrofeffor an ber Selehrtenfchule b. ЗоЬаккеитз in Hamburg. Sir. 81.

Sogik. $[t)chologie unb Sogik gur Einführung in bie SPhKofoplne non Dr. Sh- Elfenhans. Silit 13 3ig. Sir. 14.

Sutljer, SEartin, Sh ornas SEurner u» b» Kirchcnlieb bes 16. 3<*h*h* Slusgemählt u. mit Einleitungen mtb Slnmerkungen nerfehen non SIrof. E. 23erlit, Oberlehrer am Slikolaiggmnafium gu Seipgig. Sir. 7.

SEagnetismus. Sheoret.

III.    Seil: Elektrigität u. SEag* netismus. Sion Dr. ©uftan 3äger, S3rof. an ber Hninerfität SBien. Silit 33 Slbbilb. Sir. 78.

SHalerei, ©efchichte ber, I. II. III.

IV.    V. non Dr. SU©. SEuther, SIrof. an ber Hninerfität 23reslau. Sir. 107—111.

— En

in

unb

3Ü11I.

Sliathematifdje ^ormelfammlung

unb Slepetitorium ber Sllathema* tib non£). Hh- 23ürklen, Prof. Kgl.Slealgpmn.in©chto.*©miinb. Silit 18 3rig. Sir. 51.

SHechantk. Hheoretifd)e phpfik. I. Heil: ЗПефатк unb Slbuftib. Pon Dr. ©uftan 3äger, Prof, an b.Hnto. SBien. Silit 19 Slbb. Sir.76.

Slieeresbunbc, Phpfifche, non Dr. ©erh.©chott,Slbteilungsnorfteher bei ber Heutfchen ©eemarte in Hamburg. SHU 28 Slbbilb. im He£t unb 8 Hafeln. Sir. 112.

Slieteorologie non Dr. SB. Hrabert, Hogent an ber Hninerfität unb ©ebretar ber b. b. 3entralan[talt für Slleteorotogie in SBien. Silit 49 Slbbilb. unb 7 Hafetn. Sir. 54.

SHineralogie nnn Dr. SI. Prauns, Prof, an ber Hnioerfität ©iefeen. Silit 130 Slbbilb. Sir. 29.

Sliimtefang unb ©pruchbichtung. SBalther non ber Slogeltneibe mit Slustoahl aus Sllinnefang unb ©prud)bid)tung. Silit Slnmerk* ungen unb einem SBörterbuch non Otto ©üntter, Prof, an ber Oberrealfdjule unb an ber Нефп. ^ochfchute in ©tuttgart. Sir. 23.

Slio'rphologie, Slnatomie u.Phpfto* logie ber pflangen. Pon Dr. SB. STiigula,prof.a.b.Hed).§od)fd)ule Karlsruhe. Silit niel. Slbb. Slr.141.

SHurnet, Hhomas. Sllartin Suther, Hhomas Slïurner unb bas Kirchen* lieb bes 16. Fahrh- Slusgetnahlt unb mit ©inteitungen unb Sin* merkungen nerfehen non prof. ©.Perlit, Oberlehrer a. Slikolai* gpmnafium gu Seipgig. Sir. 7.

SIlufik, ©efchidjtc ber alten unb mittelalterlichen, non Dr. SI. »hier. SHU zahlreichen Slbbilb. unb SHufikbeilagen. Sir. 121.

Sllufikalifchc Formenlehre (Kom* pofitionstehre)n. ©tephanKrehl. I. II. Süit nielen Slotenbeifpielen. Sir. 149. 150.

SHufifegefchichte bes 19. 3^h^s hunberts non Dr. K. ©runskt) in ©tuttgart. I. II. Sir. 164.165.

am

SUgthologte, S)eutfd)e, non Dr.

Friebrich Kauffmann, Profeffor an ber Hnioerfität Kiel. Sir. 15.

—    fiehe аиф: ©ötter* unb Selbem fage. — fjelbenfage.

Slautifc. Kurger Slbrife bes täglich an 23orb non fjanbelsfdjiffen an* gemanbten Heils ber ©djiffahrts* bunbe. Pon Dr. Frang ©dpilge, ^Direktor ber Slaoigationsfchute gußübeck. Silit 56 Slbbilb. Sir. 84.

Slibelunge, Her, Slot in Sluswahl unb SHittelt)od)beutid)e ©ram* matib mit kurgemSBörterbuch non Dr. SB. ©olther, Çprofcffor an ber Hninerfität Sloftock. Sir. 1.

--fiefje auch: Seben, Seutfcljes,

im 12. 3abrbunbert.

Sluhpflangen non ^5rofeffor Dr. 3. Pehrens, Porftanb ber ©rofth-lanbroirtfchaftlich.Perfudjsanftalt Sluguftenberg. 3Il.53Slbb. Sir.123.

Päbagogik im ©runbrifo non Pro* fcffor Dr. SB. Pein, Hirektor bes Päbagog. ©eminars an ber Uni* oerfität 3^a- Sir. 12.

—    ©efdjidjte ber, non Oberlehrer Dr. £). SBeimer in SBiesbaben. Sir. 145.

Paläontologie o. Dr. Slub. £>oernes, Prof, an ber Hninerfität ©rag. SGit 87 Slbbilb. Sir. 95.

Pcrfpchtioe nebft einem Slnhang über ©chattenkonftruktion unb Parallelperfpektioe non Strd)itebt £ans Frepberger, Fachlehrer an berKunftgemerbefchuleinSIlagbe* bürg. Silit 88 Figuren. Sir. 57.

Petrographie non Dr. SB. Pruhns, prof. a. b. Hninerfität ©trafeburg i.©. STtit nieten Slbbilb. Sir. 173.

Pflange, Hie, iljr 33au unb ihr £eben non Oberlehrer Dr. ©. Hennert. Silit 96 Slbbilb. Sir. 44.

Pflangenbiologte n. Dr. SB.SIïigula, Prof. a.b.He<hn.£jod)fchuleKarls* ruhe. Silit 50 Slbbilb. Sir. 127.

Pflangen=SKorphologie, *Slnatomie unb =Phpftologie non Dr. SB. SEigula, Profeffor an ber Hedjn. £)od)fd)ute Karlsruhe. Silit 50 Slbbilbungen. Sir. 141.

Fortfefrung auf ber 8. Porfafcfeite !

Sammlung Gfôschen

(Dtto <£bcrt

ßanbmeffer.

Höhere Analysis

(7)

“■«’"Т+Ж' “•«’“т+if

_P.1ł^±E±i + i yjr+p.

y = iä;’ vom Ursprung bis zum Punkt P (xyz) zu berechnen.

47:

*«; .

1-301464

Höhere Analysis

Zweiter Teil

Integralrechnung

von

Dr. Fr. Junker

Professor am Realgymnasium und an der Realanstalt in Ulm

Mit 89 Figuren im Text

Zweite, verbesserte Auflage Zweiter Abdruck

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1903

KD 5^7*3

I— l

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagehanalung Vorbehalten.

Spamersche Buchdruckerei, Leipzig.

5>

LD

<-П

Inhalt.

I. Abschnitt.

Seite

Integration einfacher Differentiale. Integrationsmethoden.

§ 1. Aufgabe der Integralrechnung. Begriff des unbestimmten

Integrals....... ...

§ 2. Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals.

§ 3. Integration einfacher Integralformen.....

О (M ^ Ю l> Ol T—I vH vH vH vH C3

§ 4. Integration einer Summe oder Differenz .

§ 5. Integration durch Substitution.......

§ 6. Integration durch trigonometrische Substitution .

§ 7. Teilweise Integration.........

§ 8. Integration durch allmähliche Reduktion .

§ 9. Integration durch unendliche Reihen.....

II. Abschnitt.

Integration rationaler Differentiale.

§ 10. Hilfssätze aus der Algebra......

§ 11. Integration gebrochener rationaler Funktionen. Partial

bruchzerlegung.......

§ 12. Partialbruchzerlegung bei mehrfach vorkommenden Wurzel faktoren im Nenner......

III. Abschnitt.

Seite

Integration irrationaler Differentiale.

§ 13. Die Irrationalität besteht nur in gebrochenen Exponenten von x oder in der nten Wurzel aus einer linearen

Funktion von x........

§ 14. Ausdruck zweiten Grades unter einer Quadratwurzel .    .    42

§ 15. Beispiele zum vorigen Paragraphen.....

§ 16. Höhere transcendente Integrale und Funktionen .

39

49

52

IV. Abschnitt.

Integration transcendenter Differentiale.

§ 17. Transcendente Differentiale .    .....

§ 18. Integration transcendenter Differentiale durch Substitution 54 § 19. Integration transcendenter Differentiale durch allmähliche

Reduktion........

§ 20. Integrale transcendenter Differentiale durch Rationalisierung ..........

53

58

60

У. Abschnitt. Bestimmte Integrale.

§ 21. Das bestimmte Integral........

§ 22. Das bestimmte Integral als eine Summe von unendlich •vielen unendlich kleinen Größen

§ 23. Lehrsätze über das bestimmte Integral.....

*§ 24. Integration bis x = co oder bis und über eine Unsfcetigkeits-stelle von f(x) .    .    .    .    .    .

§ 25. Darstellung von durch ein unendliches Produkt § 26. Einige weitere bestimmte Integrale......

VI. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie der Ebene.

§ 27. Quadratur der Kurven in rechtwinkligen Koordinaten § 28. Quadratur in Polarkoordinąten.......

r-4    03 CD    CO 03 00

ÇO    (О Щ    CD C*“ O*

§ 29. Näherungsformeln zur Quadratur der Kurven § 30. Rektifikation ebener Kurven in rechtwinkligen Koordinaten ..........

§ 31. Rektifikation in Polarkoordinaten......

§ 32. Teilung von Flächen und ebenen Kurven .    .    .

Seite

90

93

98

101

VII. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie des Raumes.

§ 33. Kubatur begrenzter Räume § 34. Kubatur von Rotationskörpern .

§ 35. Kubatur von cylindrischen Räumen .

§ 36. Oberflächenberechnung ( Komplanation ) von Rotationskörpern .

§ 37. Oberfläche von Cylinderflächen § 38. Rektifikation von Raumkurven

107

111

.    119

122

127

VIII. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Statik.

§ 39. Momente eines Punktsystems.....

§ 40. Schwerpunkt von krummen Linien ....

§ 41. Schwerpunkt von ebenen Figuren ....

§ 42. Schwerpunkt einer beliebigen Figur § 43. Schwerpunkt von räumlichen Gebilden .

§ 44. Erste Guldinische Regel ......

§ 45. Zweite Guldinische Regel......

IX. Abschnitt.

Das Doppelintegral und seine Anwendung.

§ 46. Das unbestimmte Doppelintegral......

§ 47. Das bestimmte Doppelintegral und seine geometrische Bedeutung ..........

§ 48. Doppelintegrale mit veränderlichen Grenzen .... § 49. Oberflächenberechnung mit Doppelintegralen.

§ 50. Anwendung von Polarkoordinaten......

i—i и-» i—* к-* к-• i—* >—» hb- ^ if. 05 CO 05 CD Ci ^ f- 05 U) О

S?    Ю ® S 8

г-н    r-H rH т—Н г-н

X. Abschnitt.

Seite

Exkurs auf das Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

§ 51. Die verschiedenen Arten von Differentialgleichungen .

§ 52. Die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung mit

getrennten Veränderlichen......

§ 53. Homogene Differentialgleichungen......

§ 54. Der integrierende Faktor........

§ 55. Partikuläre und singuläre Lösungen.....

§ 56. Differentialgleichungen erster Ordnung nteQ Grads § 57. Die gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiten Grads . § 58. Planetenbewegung.........

I. Abschnitt.

Integration einfacher Differentiale. Integrationsmethoden.

§ 1. Aufgabe der Integralrechnung. Begriff des unbestimmten Integrals.

Die Integralrechnung beschäftigt sich mit der Aufgabe, zu einem gegebenen Differential die ursprüngliche Funktion aufzusuchen. In diesem Sinne ist sie als die Umkehrung der Differentialrechnung anzusehen.

dy

= 4x³ offenbar durch

Beispielsweise ist der Quotient ^

Differentiation nach x hervorgegangen aus y ==x⁴.

Man nennt y = x⁴ das Integral des Differentials dy = 4x³dx und schreibt

/•

y = I 4x³dx = x⁴.

Erklärung. Das Integral des Differentials dy = f(x)dx, geschrieben

(1)

und gelesen: „Integral f(x)dxa, ist die Funktion, welche

nach X abgeleitet f(x) liefert. Dasselbe ist somit definiert durch

(2)

dy d/f(x)dx

dx

dx

f(x) = F'(x).

Fügt man der Funktion F(x) additiv eine beliebige Konstante C bei, so folgt aus

y = /f(x)dx + C = F(x) + C

durch Ableitung nach x

dy d(F(x) + C>

dx

dx

F'(x).

Die durch Integration aus f(x)dx unmittelbar hervorgegangene Funktion F(x) kann also um eine beliebige Konstante vermehrt (oder vermindert) werden, ohne daß sie ihre Eigenschaft als Integral von f(x)dx verliert.

Erklärung. Man nennt deshalb

y = /f(x)dx + C = F(x) + C

das unbestimmte Integral von f(x)dx und bezeichnet C als Integrationskonstante.

So heißt y = ax² + G das unbestimmte Integral von 2axdx, da man stets zu dem gleichen Differential gelangt, welchen Wert auch C erhalten mag.

Satz. Das Integral des Differentials f(x)dx ist bis auf eine Konstante C eindeutig bestimmt, welche vollständig willkürlich gewählt werden kann.

§ 2. Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals.

Das aus dy = 2axdx durch Integration hervorgegangene unbestimmte Integral

y = ax² -f- 0

stellt die um y = C in der Richtung der y-Achse verschobene Parabel y = ax² dar und bei willkürlichem C somit eine Schar von solchen, die sämtlich in

Fig. 1.

den Schnittpunkten mit einer Parallelen zur у-Achse gleiche Neigung gegen die x-Achse besitzen; denn diese ist bestimmt durch (Fig. 1)

= 2ax.

⁼ dx

dy d(ax² + C)

dx

Somit gilt der

Satz. Das unbestimmte Integral у = /f(x)dx + C = F(x) + C des Differentials dy = f(x)dx stellt eine Schar von kongruenten ebenen Kurven dar, die erzeugt wird, indem man die Hauptkurve у = F(x) in der Richtung der y-Achse verschiebt.

§ 3. Integration einfacher Integralformen.

Um ein gegebenes Integral /f (x)dx = F(x) zu bilden, hat man in den Formeln der Differentialrechnung diejenige Funktion F(x) zu suchen, für welche F'(x) = f(x) ist.

Indem man die Formeln der einfachsten Differentiale

dF(x) = f(x)dx in F(x) =/f(x)dx

umschreibt, erhält man die folgenden Integralformen, in denen der Kürze halber die Integrationskonstante G weggelassen ist.

1. /xndx

3. ßixdx = —

ax

la

4. /exdx = ex

G.

5. Jcosxäx == sinx

sinxdx = — cosx

7.

fdx

Je

COS² X

== tgx

8.

sin² X

== — ctgx

9.

dx

= arc tgx = — arc ctgx

10.

dx

]/l — X²

= arc sin x = — arc cos x.

§ 4. Integration einer Summe oder Differenz.

(1)

Nach § 17 der Differentialrechnung ist d(Au + Bv)    du    dv

dx    dx - dx

oder

§ 4. Integration einer Summe oder Differenz. Ц

Hieraus folgt durch beiderseitige Integration

(2)

A„±Bv=/(A-±bL>.

Setzen wir hierin

u=/f(x)dx, v=/q9(x)dx,

woraus sich ergibt

du

dv

so geht die Grleichung (2) über in

(3) A/f(x)dx + B/(Ç9(x)dx = /[Af(x) + B<p(x)]dx,

womit gewonnen ist der

Satz. Das Integral einer Summe bezw. Differenz -ist gleich der Summe bezw. Differenz der Integrale der einzelnen Grlieder.

Für В = 0 geht die Grleichung (3) über in A/f(x)dx = /Af(x)dx.

Satz. Konstante Faktoren unter dem Integralzeichen dürfen vor dasselbe gesetzt werden.

Beispiele.

1.    /(a₀ + axx -f- a₂x² + . . . + anxn)dx = C -f- a₀x

+    + . . . + ^-JanXa+¹.

2.    Aus 1 : 1 -f X² = 1 — X² + X⁴ — x⁶ + .. . folgt durch Integration

1 + X²

Mx Л

3. /(A cos x + В sin x)dx = A sin x + В cos x + 0 .

4.

12

I. Integration einfacher Differentiale, und hieraus beispielsweise für x = 1

? = i-

lH Ico

r—I |Ю

i-l I L—

dx = ^x⁴ + 2b/x + c arc sin x 4- 0.

§ 5. Integration durch Substitution.

Soll das Integral ermittelt werden

/%(x)]dx, so ist es häufig zweckmäßig, durch die Substitution 9?(x) = у

eine neue Veränderliche einzuführen. Folgt hieraus durch Auflösung nach x

x = V>(j) i s° ist dx = und geht das Integral über in

/f(y)y'(y)dy = F(y) + C.

Setzt man nach Ausführung desselben wieder <p(x) — y, so ergibt sich als gesuchtes Integral

F[ç>(x)] + C.

Erklärung. Man nennt den hierdurch angezeigten "Weg zur Ermittlung eines Integrals „Integration durch Substitution“. Dieses Verfahren wird stets mit Vorteil angewendet, wenn unter dem Integralzeichen eine Funktion von einer Funktion auftritt.

Die folgenden Beispiele werden die Fruchtbarkeit dieser Methode dartun.

f*

1. J(a + bx)ndx

-Ih*

уп+г    (a + bx)n+

b(n + 1)    b(n'+ 1)

CM

f dx

J X + a

= /v = !y = Ux + a)

J У

[a + X = y]

СО

аЗ

о-

o-l b*

p?

VI

Vj

er! t-L

CT¹

er

VI

4. I f(a -f bx)"dx = ~J;y² d y ₌

fa + bx)²

?+i

(l + 1)

p.

г—i I JA

rH

CD

pr

X

[a + bx = y] [kx = y]

6.    f>in (a + b

x)dx =

i-i ; rO

cos (a + bx)

f    1

7. / cos (a + bx)dx — — sin (a + bx)

*s-(a ₊ bI)-|t«<a + bl>

8.

dx

[a + bx = y]

9.

dx

sin² (a + bx)

10.

г dx _ir

Ja² + X² ail -f- y%

= — ^ctg(a+ bx)

= — arctg у = a*

dy

11. -JŁ

Л

ya² — X²

dy

12.

xdx

13.

a² + bx2 xdx

Уа² — x²

J V- — У

Fi(a2 + bx2)

— (а² — X²)²

. 7x

= arcsin j = arcsm —

[x = ay] [bx² = y]

- 1 COS X

“• Z⁰⁴¹⁴*-¹““

le. Ш

J f

[cos X = y]

sinx

tg~ . Ь 2

§ 6. Integration durch trigonometrische Substitution.

Häufig ist es vorteilhaft, trigonometrische Funktionen durch Substitution einzuführen, wie die folgenden Beispiele zeigen.

1. Setzt man bx = asinq9, woraus folgt bdx = a cos 9^99, so geht das Integral über in

f_dx

/1

dx

Уа² — b²x²

Уа² — a² sin² op

er

<P =

1    . /Ьх\

— arcsin — . b    V a /

2. Hat man zu integrieren /7——

J i

, so kann

man setzen bx = atgç?, woraus folgt dx = Das gegebene Integral gebt alsdann über in 1 f    1    1 bx

bcos²^^*

3. Um

dx

bx =

dx =

cos cp ’ a tg cp b cos cp

x]/b²x² — a2 cp = are cos

zu ermitteln, setze man

, dann folgt hieraus d cp und geht das Integral über in

8Э

8-1 ca

— arc cos

(fj-

§ 7. Teilweise Integration.

Aus

d(uv)

dv

du

dx

-"îï+vdïfde*

f dv _ Г du -JuEax+r<ix

— dx

und somit

(1)

7("ё)а1-пт-/(тя)

dx

oder

/udv

= uv — Jv du.

Erklärung. Man nennt die durch (1) angezeigte Integration die Methode der „teilweisen oder partiellen Integration“.

Das folgende Beispiel wird dieselbe erläutern.

1. Um /xsinxdx zu bilden, setze man x = u,

sin xdx = dv, woraus folgt dx = du so geht das Integral über in

/x sin xdx = — x cos x -f -/cos xdx = — x cos x + sin x -f C

2.

/lxdx = xlx — fi

xdlx = xlx — x

3.

Jxlxdx = ~ Jlxclx² =

= lx²lx —

1    1 f

— x²lx — — /x²dlx

-X²

If

— lx dx = -x²lx —

=    (2 1X — 1) — ^ (lx² — 1)

4.

ax

axx — —

la

5.

arcsin xdx = x arcsin x —

xdx

] 1 — X²

= x arcsin x + y 1 — x²

6.

^arccos xdx - xarc cos x — /l — x²

7.

f    1

J arctg xdx — x arctg x — —1(1 + x²)

f    1

8.    /arc ctg xdx = x arc ctg x + — 1 (1 + x²)

9.

Jx arcsin xdx geht mit du = xdu, u =

X²

clx

у == arcsin xdv =

§ 8. Integration durch allmähliche Reduktion. 17

über in

X arcsin X dx =

i-x² arcsin X —

и

1 / X²

ÏJŸÏ

— X²

dx.

Das letzte Integral kann auf die gleiche Weise

xdx

weiterbehandelt werden. Setzt man du = — also u= |/l — X² und y = X, so folgt x²dx

У1-X²

² J У¹ — x2

1 r

ijf

₌ lxyi_X2_

1 — X²

2 J fi — X²

1 — x²dx= —

dx

2J/Ï^T²dx

x²dx

somit ist

i-aresins+i/

J ]/l — X2 x²dx

]/l — X² ’

x²dx

1 — X²

i—l I

oder

i—! Ol

Г x²dx

1 — X²

x |/l — x² — ^-arcsin x +

= “X Vl — x² — arcsin x 4 r    4

x²dx

2/yi-x²

daher

x arcsin xdx

= ^-(2x²— 1) arcsin x +    — x².

§ 8. Integration durch allmähliche Reduktion.

1. Die teilweise Integration liefert häufig das Mittel, Integrale gewisser Funktionen auf einfachere derselben Art zurückzuführen und dieselben durch eine Art von Reihenentwickelimg zu ermitteln.

Junker, Höhere Analysis. Bd. И.

Beispielsweise erhält man J₂ = /sin² cpdcp — — / smçHÜcosç?

= — sin 99 cos 99 + /cos² cp à cp = — sin 99 cos 99 + /(1 — sin² 99^99 = — sin 99 cos 99 + 99 — J₂.

Hieraus folgt 2 J₂ == — sin 99 cos 99 + 99

J₂ ⁼ 7Г (Ф — s^n ^ cos Ф) •

Erklärung. Man nennt diese Art der Ermittelung eines Integrals „Integration durch allmähliche Reduktion“.

2. Die Reduktionsformeln für Jk == / sink99d99 und J_k = /ëh\~^(pd(p, луо к > 0 ist.

Mit Hilfe der teilweisen Integration erhalten wir Jk = /sin 99 sink—¹cpd(p = — /sink~¹99d cos cp

= — cos 99 sink-199 + (k — 1)/sink—2 99 cos² 99 d99

= — cos 99 sink-199 + (k — 1) [Jk_2 — Jk] •

Hieraus folgt die Reduktionsformel

kJk = — cos 99 sink ~¹99 + (k — l)Jk—

(1)

oder

2»

Jk = — i-cosg9sink~lo9 4-    ^ Jk_

к    к

Für к = n, n — 2j n — 4,... erhält man hieraus

Jn =

1    • „ ,    , n — 1 г

-2

--COS 09 smn_"¹ 09 H--Jn

n    n

-COS 09 sin¹¹

n — 2

„ , n — 3T

ф Н~    о Jn — 4

n — 2

§ 8. Integration durch allmähliche Reduktion. 19

Jn-4

1    .    n

--C0S99smn-5g9d—

n — 4    n

TT“

-6

n—2

und für ein gerades n als letzte Gleichungen

n — 1 n — 3

J₄ = —Icosç>sin⁸<p + |j₂

^ cos çp sin cp + t <p,

bezw. für ein ungerades n

n — 2'“

Jo =

n - 2*“

11 — 1 n — 3

CO DO

n — 2**'    *

Werden diese Gleichungen mit den angeschriebenen Faktoren durchmultipliziert und addiert, so ergeben sich die allgemeinen Endformeln: a) für ein gerades n

Jsmn(pd(p=

1-H ö

1 n — 1

cos 99 smn ~l(p--•--- cos 99 smn ~ sç>

cos 99 sin¹¹⁻⁵ 99 — ...

• — cos 99 sin³ 99 4

■ Ï ■ I (C0S(f> shi(P — V)-

I> О

ß) für ein ungerades n

Г.    1    .    ,    1 n —

^ cos cp sin¹¹ ~ scp

и

cos cp sin11- 5 cp — ... ⁶

• — cos cp sm⁴ cp

О

Jsuin(pa(p =--cos99smn-199 — — • -

1 n —г 1 n —

—"2 ' 5=

(3)

1 — 1 8

n * n — 2 *** 7

1 n - 1    8    6    4    .

ï'ï^2"-7 ’5 -3C0^(sm2^+²)-Setzt man in der Formel (1) к — 2 = — i? к = — i + 2 und ersetzt man nachträglich wieder i durch к, so ergibt sich die Eeduktionsformel

(4) J_k=^sin-k99d99 =

1 cos cp    к—2j

к — 1 sink_199 к—1

-k+2,

wo к als positiv vorausgesetzt ist. Auf ähnliche Weise wie oben erhält man auch hierfür die beiden Endformeln : y) für ein gerades n

-,

d cp    1 cos cp    1 n—2 cos cp

sinn99    n — 1 sinn~lcp    n—1 n—3 sin11 scp

И| to CO I

1    n    — 2 6    cos cp

(5)

n —    1    n    — 3**5    sin⁵ cp

cos cp sin cp *

1    n    — 2    4

n —    1    n    — 3***3

S) für ein ungerades n:

d cp

1    cos    cp 1    n—2 cos cp

smuç9    n — lsinn-199    n — 1 n—3sinn-399

1 n — 2    5 cos cp

(C)

LO CO

+ ltg

tNDl'-e

n — 1 n — 3***4 sin⁴ cp 1 n — 2    5 Г cos cp

n — 1 n — 3**4 L sin² cp

§ 8. Integration durch allmähliche Reduktion. 21

3.    Mit Hilfe der Formel für die partielle Integration erhalten wir ebenso die Reduktionsformel

(7)

/xkexdx = xkex — k/xk_1exdx, und wenn wir dieselbe wiederholt auf die Integrale Jxk ~¹ exdX, fxk ~² ex d x, . . . anwenden, schließlich die Endformel

(8)/xkexdx = xkex — kxk-lex -f-k(k— l)xk_2ex —...

= ex(xk — kxk_1 -j- k(k — l)xk ~² — ...).

4.    Ist к von 1 verschieden, so gilt ebenso die Rekursionsformel :

(9)

f ex d x

J xk

ex

(k — 1) xk -Avelcher die Endformel entspricht

1 /*ex d x T + k^T /x^¹ ’

(10)

rexdx    ex i x

j xk    xk {k — 1

X²

(k — !) (k — 2)

X³

■}

(k — 1) (k — 2) (k — 3)

5. Ähnliche Rekursionsformeln ergeben sich mit Hilfe der teilweisen Integration auch für die folgenden Integrale :

(11)    /xk sinxdx = — xkcosx + к/xk_1 cosxdx

(12)    /xkcosxdx = xksinx — кJxk_1 sinxdx

sinx

x~ k sinxdx =

cosxdx

x~k cosxdx =

(k — l)xk—1 cosx

xk—i

sinxdx xk—¹ ’

(k — l)xk

für welche sich entsprechende Endformeln bilden lassen

§ 9. Integration durch unendliche Reihen.

Läßt sich ein Integral /f(x)dx nicht in endlicher Form darstellen, so ist es häufig zweckmäßig, die Funktion f(x) mit Hilfe des Maclaurinsehen Satzes oder auf irgend eine andere Weise in eine nach Potenzen von x fortschreitende Reihe zu entwickeln und diese zu integrieren.

(i)

Erhält man nach Maclaurin die Reihe f(x) = a₀ -f- aix + a₂x² -f~ . . welche innerhalb eines gewissen Gebietes konvergent sei, dann ergibt sich hieraus durch Integration die weitere Reihe

(2)

j f (x) dx = C + a₀x + at j +

welche in demselben Gebiet konvergent ist.

Beispiele.

1.

2.

k³ x²

...Idx

kx 1 k²x² . 1 k³x³

3!

= C + lx + -- + -.—

-TT7 +

2!

= C + lx —

x⁵ •

7Г7    .

6!

3    3!

.. I dx

'4—I 1^

X⁴

4!

T—I I CO

X⁶

6!

Die vorstehenden Potenzreihen

Anmerkung.

liefern das Mittel, neue transcendente Funktionen, wie

/ekx _ fcosx

—4-4

dx u. s. w., für spezielle Werte von x

näherungsweise zu berechnen.

H. Abschnitt.

Integration rationaler Differentiale.

§ 10. Hilfssätze aus der Algebra.

1. Die rationalen Funktionen einerVeränderlichenx zerfallen in ganze und gebrochene. Ygl. Differentialrechn g. § 2.

Alle ganzen algebraischen rationalen Funktionen sind von der Form

(i)

f (x) = a₀ + X + a-2 X² -f- • • • + anxn und können daher nach § 4 unmittelbar integriert werden.

Jede gebrochene rationale Funktion kann als ein Bruch von der Form dargestellt werden

f(x)

(2)

b₀ + \ x + • • • + bmxm

F(x) wom^n sein kann.

Erklärung. Die Funktion (12) heißt echt gebrochen, wenn m<n, unecht gebrochen, wenn m> n ist.

Im letzten Fall läßt sich der Bruch (2) auf dem Weg der gewöhnlichen Division in eine ganze Funktion und eine echt gebrochene Funktion zerlegen. So ist beispielsweise

x³+ 1

7x — 5

X² — 3 x + 2 ’

x² — 3 x + 2

2. Auch der folgende Satz läßt sich leicht beweisen. Satz. Jede algebraische GleichungntenGrrades f (x) = a₀ +    + a₂x² + ... + anxn = 0

hat mindestens eine (reelle oder imaginäre) Wurzel x = a, für welche also f(a) = 0 ist.

Erhält man bei der Division von x — a in f (x) die Funktion cp (x) als Quotienten und R als Rest, so gilt die Gleichung

f (x) = (x — a) cp (x) + R-

Da min für x = a f (a) = 0 ist, so folgt hieraus R — 0. Es ist somit f (x) = (x — a) (p (x). Hieraus schließt man, daß auch die Gleichung cp (x) = 0, welche vom (n — l)ten Grad in x ist, mindestens eine Wurzel x = b besitzt. Es ist somit ç?(x) = (x — Ъ)у>(х), wo t^(x) vom (n — 2)ten Grad in x ist u. s. w. Daher gilt allgemein der

Satz. Jede algebraische Gleichung n^“ Grads hat n reelle oder imaginäre Wurzeln.

Sind dieselben ax, a₂, ..., an, so läßt sich f(x) auf die Form bringen

f (x) == an(x — %) (x — a₂) ... (x — an).

Satz. Jede algebraische Funktion nten Grades läßt sich als Produkt von n - Linearfaktoren darstellen.

Л-

Werden mehrere Wurzeln von f (x) = 0 einander gleich, treten z. B. die Wurzeln ax, a₂, a₃, ..., bezw. .. -fach auf, so ist

f (x) = an (x — aj)A (x — a,₂)f* (x — a₃)v .. wo Я + pi + г + • • • = n ist.

3. Ist a eine positive oder negative ganze Zahl, also a² jedenfalls positiv, so kann die Gleichung x² = —a² durch keinen positiven oder negativen reellen Wert von x befriedigt werden. Zieht man beiderseits die Quadratwurzel aus, so ergeben sich als Lösungen die beiden Werte x = + ]/— a² = + a|/— 1.

Erklärung. Die so entstandenen Zahlen heißen imaginär. Man bezeichnet die Quadratwurzel aus — 1 allgemein mit dem Buchstaben i und nennt + ]/— 1 = + i die positive bezw. negative imaginäre Einheit.

Hieraus folgt i = ij— 1,i² = —1,i³= — i,i⁴= + l,...

Erklärung. Setzt sich eine Zahl wie a + ib aus einem reellen Bestandteil a imd einem imaginären Be-

standteil ib zusammen, wo a und b reell sind, so heißt eine solche eine komplexe Zahl.

Erklärung. Die beiden imaginären Zahlen a + ib und a — ib, die sich nur in dem Vorzeichen des imaginären Bestandteils unterscheiden, heißen konjugiert komplex oder kurz konjugiert.

Für dieselben gilt der

Satz. Das Produkt zweier konjugiert komplexen Zahlen ist eine reelle Zahl (a + ib) (a — ib) = a² -f- b².

Für die Rechnung mit komplexen Zahlen ergeben sich folgende Regeln:

(a + ib) ± (c + id) = (а ± c) + i(b + d)

und ebenso

(a — ib) + (c — id) = (a + c) — i (b + ćl) > Beachtet man bei der Multiplikation und Division, daß i² = — 1 ist, so erhalten wir weiter

(a + ib) (c + id) = (ас — bd) -f i (ad -f- bc)

bc— ad

c²+ d2 ac + bd

c² + d2 bc — ad

(a — ib) (c — id) = (ас — bd) — i(ad + bc) a + ib ac -f- bd c + id a — ib

c — id

c²+ d²

c²+ d²

Aus diesen Formeln folgen die

Sätze. Die Summe, Differenz, das Produkt und der Quotient zweier komplexen Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl.

Ersetzt man hierbei die beiden gegebenen Zahlen durch ihre konjugierten, so geht auch das Resultat dieser Operation in den konjugierten Wert über.

Wird eine komplexe Zahl, z. B. a + ib = 0 gesetzt, so folgt hieraus — a = ib oder a²= — b² oder a² -f- b² = 0. Da nun der Annahme gemäß a und b reell sind, so folgern лун*, daß diese Gleichung nur bestehen kann, wenn sowohl a als auch b verschwindet.

Satz. Eine komplexe Zahl ist nur dann gleich Null, wenn sowohl der reelle wie der imaginäre Bestandteil derselben verschwindet.

Enthält die algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten f (x) = 0 die Wurzel x = А + iB, d. h. ist f (A + iB) = 0, so wird dieselbe auch durch den konjugierten Wert derselben A —iB befriedigt, d. h. es ist auch f (A — iB) — 0, wie man sofort erkennt, wenn man diese Funktionen nach dem Lehrsatz von Taylor nach Potenzen von i entwickelt.

Satz. Hat eine algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten eine imaginäreWurzelA+iB, so ist notwendig auch der konj ugierte Wert A—iB der letzteren eine Wurzel derselben Gleichung.

§ 11. Integration echt gebrochener rationaler Funktionen. Partialbruchzerlegung.

(i)

wo also m <n ist,

a) Um die echt gebrochene rationale Funktion f (x)_b₀+b₁x + b₂x²+...+bmxm F (x)    a₀ + ax x + a₂ x² +...+anxn

zu integrieren, zerlege man nach dem vorigen Paragraphen den Nenner F (x) in seine n - Linearfaktoren F (x) = (x — a) (x — b) (x — c) ... (x — n), die zunächst sämtlich verschieden sein sollen, und suche hierauf den Bruch in n-Einzelbrüche oder Partialbrüche mit den Nennern x — a, x — b, x — c, .. x — n darzustellen. Bezeichnet man die Zähler dieser Brüche mit A, В, C, ..., N, so kann man setzen

f (x)

—— +... + -N X -C    X

(2)

F (x) x — a x — b wo die Brüche rechts sofort integriert werden können. Man erhält

(3)/

f(x) dx

F(x)

Al(x — a) + Bl(x — b) + ... + Ш(х - n).

Hierbei ist zu bemerken, daß an Stelle von 1 (x — a) auch 1 (a — x) gesetzt werden darf, denn es ist 1 (x — a) = 1 (а — x) + 1 (— 1), wo 1 (— 1) als Teil der Integrationskonstanten angesehen werden kann.

Multipliziert man die Gleichung (2) mit dem Nenner F(x) = (x — a) (x — b) ... (x — n) durch, so nimmt dieselbe die Gestalt an

(4)

f(a)

(а — b) (a -— c) ... (a — n)

f(b)

(b — a) (b — c) ... (b — n)

f(n)

(n — a) (n — b) ... (n — m)

Anmerkung. Da die Gleichung (4) eine identische ist, so müssen die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von x auf beiden Seiten einander gleich sein. Auf diesem Wege ergeben sich n-lineare Gleichungen, aus denen sich die Zähler A, B,..., N ebenfalls ermitteln lassen.

Beispiele.

1. Das Integral zu ermitteln

f*-f.

J (x) J :

3x² — lOx + 4

x³ — x² — 4x + 4

dx.

Da der Nenner die Linearfaktoren x — 1, x — 2 x -f* 2 enthält, also a = 1, b = 2, c = — 2 ist, so erhält man

f(1) = — 3, f(2) = — 4, f(— 2) = 36 und daher nach (5)

f(l)

го о

= 3.

Es ist somit

f(x)

X — 2 x+ 2

Г(х) X — 1

fmdx = 1(x ~1} ~1(x _ 2) + 31(x + 2) + 0

(x — l)(x + 2)³

x — 2

2. Das Integral zu bilden

2x + 34

Ш-ï-

J F(x) Jx³

dx.

— 2 X² — llx + 12 Der Nenner enthält die Linearfaktoren x — 4, X — 1, x + 3, daher kann man setzen

_2x + 34____

x³—2x² — llx+12 x — 4 x — 1 ¹ x + 3’

Hieraus folgt

2x + 34 = A(x — 1) (x + 3) + B(x — 4) (x + 3)

+ C(x-4)(x — 1)

oder

2x + 34 = x²(A + В + С) + x(2 А — В — 5 С)

— ЗА — 12В + 40.

Zur Bestimmung der Zähler erhält man also die Gleichungen

A+B+C— О, 2A —В —5C = 2, — ЗА-12B + 4C = 34, welche aufgelöst geben

А = 2, В = — 3, С = 1.

Daher ist

x + 3

= 21(x — 4) — 31(x — 1) + 1 (x + 3) + 0.

fl(x) dx    f dx

J F(x)    ix

ai

b) Die Zähler А, B, 0, ..., N der Partialbrüche (2) lassen sich auch durch Ableitung leicht bestimmen.

Ist a eine Wurzel der Gleichung F(x) = 0, so enthält F (x) den Faktor x — a und kann somit auf die Form gebracht werden

F(x) = (x — a)9?(x).

Um nun aus dem gesamten Bruch (1) einen Partial-

bruch mit konstantem Zähler und dem Nenner x — а abzusondern, setze man

f(x)

y>(x)

F (x) x — a    99 (x)

oder

f (x) = A 99 (x) + (x — a)xp (x).

Hieraus folgt für x = a

f (a) = A 99 (a) und A =

f(a)

99(a)'

Die Berechnung von 99 (a) läßt sich umgehen, denn aus F (x) = (x — a) 99 (x) folgt durch Ableitung

F' (x) = 99 (x) + (x — a) cp' (x)

und hieraus für x = a

99(a) = F'(a), d. h. es ist A =

f(a)

F'(a)'

so ist

Sind also a, b, с, ..., n die Wurzeln von F (x) = 0,

f (a)

A F'(a)

f(b)

f(c)

F'(b)’ °    F'(c) ’ "

-, N =

f(n)

F' (n) ’

Der Ausdruck (1) erhält somit allgemein die Zerlegung in Partialbrüche

f(x)

f(a)

f(b)

(6)

F(x) (x — a) F' (a) ⁺ (x — b) F' (b) ⁺ * * '

f(n)

(x — n) F'(n) ’

deren Integration auf Logarithmen führt.

Multipliziert man die Gleichung (6) mit F (x) durch, so erhält man die „Interpolationsformel von Lagrange“

f(x)

f(a)F(x)    f(b)F(x)

(x — a) F' (a) ^ (x — b) F' (b) f(n)F(x)

(x — n) F' (n)

(7)

welche dazu dient, eine den Grad n nicht erreicliende rationale Funktion f(x) zu bestimmen, welche für die n Zahlenwerte a, b, c, . . n der Veränderlichen x die Werte f(a), f (b), f(c), . . ., f(n) annimmt.

Beispiel. Es sei der Ausdruck zu integrieren f(x) —4x² — 16x+38 F(x) x³ — 3x² — 6x + 8 ’

Durch Auflösung der Gleichung F (x) = 0 erhält man die Wurzeln — 2, 4, 1. Daher kann man setzen

P»

+ х-4 ⁺ х-Г

f(x)

F(x)

x + 2

Zur Bestimmung der Zähler A, B, C bilde man nun F' (x) = 3x² — 6x — 6, dann ist F' (— 2) — 18, F'(4) = 18,F'(1) = — 9; f (— 2) = 54, f(4) = — 90, f (1) = 18 und somit

— 90

= ³’ B= 18

18

— 9

Daher ergibt sich die Partialbruchzerlegung

= — 2.

f(x)

F(x) x+2

= 31(x + 2) — 51 (x — 4) — 21(x — 1) + C

und als Integral der Ausdruck "f(x)dx

F(x)

(x + 2)3

(X _ 4)5 (x — 1)

c) Treten im Nenner imaginäre Wurzelfaktoren auf, so kann man die Zerlegung in Partialbrüche in derselben Weise vornehmen wie oben.

(8)

p + iq

Hat man zu der Wurzel a + ib der Gleichung F (x) = 0 oder zu dem Faktor (x — a — ib) von F (x) als Nenner eines Partialbruches den Zähler f (a + ib)

F (a + ib)

(9)

erhalten, so erhält man nach § 10, 3 zu der konjugierten Wurzel a — ib oder zu dem konjugierten Wurzelfaktor x — a + ib von F (x) notwendig den Zähler f(a — ib)

F (a — ib) = P ~ Щ und alsdann durch Vereinigung der beiden konjugierten Partialbrüche

p + iq    p — iq 2p(x<—a)— 2bq

а — ib x — a + ib (x — a)² + b²

(ii) p

Die Integration liefert alsdann 2 (x — a)

(x — a)² + b²

dx — 2bq

d (x — a)

(x — a)² + b²

= pl {(x — a)² + b²} — 2 q arc tg X ^ a .

Dieses Resultat kann angeschrieben werden, sobald p + iq bekannt ist.

Satz. Enthält der Nenner imaginäre Linearfaktoren a + ib und a — ib, so bestimmen sich die Zähler der betreffenden Partialbrüche nach (8) und (9), und können alsdann die betreffenden Partialbrüche unmittelbar nach (11) angeschrieben werden.

Г dx

Beispiel. 1. Das Integral / —-- durch Par

tialbruchzerlegung auszuwerten. J x

Der Nenner x³ — 1 zerfällt in die Linearfaktoren

(44444

x — 1; x —

Daher ergibt sich die Partialbruchzerlegung

й-

s:

X

CO

ь-*

CO to I

-4- ой ^ И

to| >-•

тЧ

hi

rH |(M

to I

I со

Т-H I со

тЧ

i—I I Ol

to I M.

(M

Oj M-

F'

(4-Й ³ (4-Й

somit ist nach der obigen Bezeichnung

p = —

daher ergibt sich als gesuchtes Integral

!(x—l)-l-l(x²+x+l)-^arctg

Г ][2

Integral / ———- dx.

2x+l

/з •

2. Ermittle ebenso das

3. Das Integral zu ermitteln j

x⁴+ 1 X dx

Junker, Höhere Analysis. Bd. II.

wo A eine Konstante und fL (x) eine rationale Funktion von x ist, deren Grad kleiner als der von f(x) ist.

Bringt man die rechte Seite der Gleichung (1) auf gleiche Benennung, so folgt durch Vergleichung der beiderseitigen Zähler

(2)

f (x) = Ak op (x) + (x — a) ^ (x).

f(a)

Hieraus folgt, daß, wenn f(x) vom Grad m ist, fjL (x) nicht höher als vom Grad m — 1 sein kann und weiter für x = a

f (a) = Ak cp (a) oder Ak = womit A bestimmt ist.

Setzt man den Wert von A in (2) ein und löst nach fx (x) auf, so ergibt sich hierfür der Ausdruck

f (x) y (a) — f (a) <p_ W (x — a) op (a)

§12. Partialbruchzerlegimg bei mehrfach vorkommenden Wurzelfaktoren im Nenner.

a) Lehrsatz. Enthält der Nenner F (x) den Faktor (x — a) k-fach, so läßt sich der Bruch

in zwei Teile von folgender Form zerlegen:

f(X)

FW

(i)

fW

Ak

fi w

F W (x — a)

(x ■— a)k— 1 cp W ’

fl (x) =

dessen Zähler durch x — a teilbar ist, welche Werte die Funktionen f und cp auch annehmen mögen.

Wie sich aus

f(x)

Ak

der Partialbruch

кab-

scheiden läßt, so kann auch das zweite Glied auf der rechten Seite der Gleichung (1) weiter zerlegt werden:

FW

(x —a)

fl (x) = Ak_! cp (x) + (x — a) f₂ (x)

fi(x)

u. s. w.

cp(x)

fi(x)

Ak—i

4(х)

(X — a)k— г9?(х) Man findet

(x — a)k—

(x — a)k~²<p(x) "

und hieraus Ak_ i =

Fährt man so fort, so gelangt man zu folgender Darstellung des Bruches (1):

f(x)

Ak

Ak—i

Ak —2

(3)

F(x)

(x — a)

(x — a)k

(x — a)k

Wx)

x — a cp (x)

und erhält den

Satz. Enthält die echt gebrochene Funktion

f (x)

den Faktor (x — a) k-fach im Nenner, so

läßt sich dieselbe in der Form (3) in Partialbrüche zerlegen.

b) Berechnung der Zähler A^, Ak_i,..., Av a) Enthält der Nenner außer (x — a)k keine weiteren Faktoren mehr, so kann man setzen

F(x)

f(X)

Ak

Ak

(x — a)k

(x — a)¹

(x — a)k—1

Ak —2

Ai

(x — a)k

Hieraus folgt, indem man mit (x — a)k durch-multipliziert

f (x) =.Ak + Ak—x(x — a) + Ak_₂(x — a)² + ...

Wird diese Gleichung (k — l)-mal nach x dif-ferentiiert und in den erhaltenen Ableitungen x = a gesetzt, so resultiert ein System von Gleichungen, aus denen sich ergibt

•>

Ak = f(a),    Ak_₁=1!

Ax =

f(k—1)(a)

(k — 1)!

•womit man als Integral des obigen Ausdrucks erhält

f(x)

(x—a)

^-dx = —

Ak

(k — 1) (x — a)k Ak—i

(k — 2) (x — a)k

_A_ + All(x-x — a

a).

Beispiel.

x² + 4

(x — 2)'⁶ (x — 2)3 1 (x — 2) f (x) = x² + 4 = A₃ + A₂ (x — 2) + AL (x — 2)2 f'(x) = 2x f"(x) = 2

= A₂ + 2 Ai (x — 2) = 2AX.

somit ist x² + 4

Hieraus folgt für x = 2

A₃ = 8, A₂ = 4, Ax = 1,

— dx

(x - 2)²

ß) Der Nenner enthalte außer (x — a)k noch andere, ein- oder mehrfach vorkommende Wurzelfaktoren, deren Produkt op (x) sei. In diesem Falle setze man

(x - 2)

Ai

yj{x)

a 9?(x) ’

woraus folgt

f (x) = cp(x) (Ak + Ak_i (x — a) + ... + A±(x — a)¹"“¹}

+ ip (x) (x — a)k.

Wird diese Gleichung к-mal nach x differentiiert und hernach überall x = a gesetzt, so ergibt sich ein System von Gleichungen, aus denen sich die Zähler A leicht berechnen lassen.

Sind hierbei die in cp (x) enthaltenen Faktoren sämtlich verschieden, so ist es zweckmäßig, die denselben entsprechenden Partialbrüche nach § 11 zuerst zu bestimmen und dieselben mit dem Ausdruck links zu vereinigen, wodurch der entstehende Bruch mit den Faktoren von cp (x) vereinfacht werden kann.

Beispiel.

f(x)

A₂

Ax

f(x)

Ak

Ak—i

(x — a)k (p (x) (x — a)k

(x — a)k~

3x — 4x²

F(x) (x—l)²(x-f2)    (x—l)2 1 x—l~x-|-2’

f(-2)

F(x) = 2(x-l)(x+2)+(x-l)», В Es ist somit 3x — 4x²

(x _ 1)2 (X + 2)    9 (x + 2) ~ (x - 1)

und

22

F'(—2)    9 ’

22

A‘2

Ai

x— 1

11 — 14x

A₂ + Ai(x—1), Аз

rH IcO

ZO

somit ist 3x—4x¹

(x-l)¹(x+2)

dx

14

22

3(x—1)    9

Beispiel.

Das Integral j

x⁴ dx

- zu ermitteln.

(x¹ — 1)

Man erhält unmittelbar die Partialbruchzerlegung

X⁴

2x¹ — 1

A₂

(x¹ — l)¹

(x-1)

B,

B₂

(*+l)

x+ 1'

Hieraus folgt

2x² 1 3 — 1 = A₂ (x + l)¹ + Ax (x— 1) (x+ 1)¹+B₂(x— 1) +Bi(x+1) (x—1)

und hieraus durch Ableitung

4x = 2 A₂(x + 1) + Ax{(x + l)¹ + 2(x — 1) (x + 1)} + 2B₂(x — 1) + Bx {(x — l)¹ + 2(x — 1) (x + 1)}. Setzt man in diesen Gleichungen zunächst x = 1, dann x = — 1, so folgt

1 = 4B₂

-4 = —4B₂ + 4Bx

A,=

тЧ I

СО

1 B2 =

hM b-*-

Daher ist

X⁴

(x¹— l)¹

4(x — l)¹    4(x — 1)    4(x + 1):

4(x + 1)

Г x⁴dx

J (x² — l)2 X

4(x — 1) ' 4

4(x+l)

2x³-

со

со

I И"

tH

III. Abschnitt.

Integration irrationaler Differentiale.

§ 13. Die Irrationalität besteht nur in gebrochenen Exponenten von x oder in der nten Wurzel aus einer linearen Funktion von x.

Das Differential f(x) dx heißt

Erklärung.

irrational, wenn in der Funktion f(x) die Veränderliche x auch unter einem oder mehreren Wurzelzeichen

auftritt.

Im folgenden sollen nur die Fälle besprochen werden, in denen sich die irrationalen Differentiale durch Änderung der Veränderlichen in rationale Differentiale verwandeln lassen.

a) Enthält die Funktion f(x) nur ganze und gebrochene Exponenten von x, deren kleinstes gemeinschaftliches Vielfache к sei, so setze man

x = tk, dx = ktk — xdt,

dann wird

(i)

f (x) dx = kf(tk) tk —1 dt

ein rationales Differential und kann daher nach den Methoden des vorigen Abschnitts integriert werden.

Beispiele.

Man setze x = t², dx = 2tdt, dann

1.

dx

x + Vx’

geht das gegebene Integral über in

f 2t dt of dt

J P~+T " ²J

t+1

Ebenso erhält man mit x = t²

,/i^

J 1 + /x

= 21(t + 1) = 21 (]/x + l).

dx = — x -f- 4]/x— 4l(yï + l).

3.

dx

und

}x² + ]/x

. Man setze x=t⁶, so folgt dx = 6t⁵dt

dx

j/x² + ]/x

/*t«dt pft*dt pf(

jt4+tS Jt+i J{

t-H

= 6 j ^ — }'x + 1 (}/x + l) J.

dX_|iÆ

3 y a

(x + За).

4.

y ах

(2)

b) Ist das zu ermittelnde Integral von der Form J =/f(x,y)dx,

die nte Wurzel aus einer linearen

WO J =

П / i

i /а + ax

b + ^x

Funktion von x ist, so setze man

(3)

a-f ax

= yn oder x dann folgt hieraus durch Differentiation

b + ßx

byn — а a— ßjn'

dy

dx = n(ab-fa)-^£-^—

womit das Integral (2) übergeht in

J = n(ab ßa)J f

__ yn~¹dy

— ßya ’ J) {a — ßyn)²’ d. h. in ein solches einer rationalen Funktion von y allein, das nach dem vorigen Abschnitt behandelt wird.

Satz. Enthält das Integral (2) keine andere Irrationalität als die nte Wurzel aus einer

byn — a

linearen Funktion von x, so geht dasselbe durch die Substitution (3) und (4) in das Integral einer rationalen Funktion von der Form (5) über.

Beispiel. Das Integral zu ermitteln

xdx

Setzt man ya + ax = y, so folgt hieraus a -f- ax == y² und adx=2ydy, womit das Integral übergeht in x dx

/a + ax

Уа + ах

⁼ a*ßj2 ~ ^dy =    (yS — 3ay)

2 _

= g^(ax— 2 a) yäT+ox.

Übungsbeispiele.

2 /-!-

= — Va + ах. а

2. j]/a + bx dx = ^ ]/(a + bx)®.

1.

dx

l/a + ax

3.

ßt l/2aT

— xdx =

2

— (x — 2a) (3x + la) ]/2a — x.

---X dx = Va² — a + x

5. J(h +х)Уа

4.

x² — a arc cos —.

— xdx

= |(a—x)2 —|(a+b)(a

-x)X

6.

dx

X Ух — a yä

arc tg

§ 14. Ausdruck zweiten Grades unter einer Quadratwurzel.

1. Enthält das zu integrierende Differential neben rationalen Ausdrücken von x keine andere Irrationalität als die Quadratwurzel aus einer ganzen Funktion zweiten Grades in x, ist dasselbe also von der Form

W = |a + 2bx + cx

wo

f(x,W)dx

und a, b, c reelle Konstanten sind, von denen c nicht verschwinden soll, so gilt auch hier der

Satz. Ist f(x,W) eine rationale Funktion von x und y, wo W = ]/a + 2bx + cx² ist, so läßt sich das irrationale Differential f(x,W)dx

durch Einführung einer neuen Veränderlichen stets auf ein rationales Differential zurückführen und daher nach den Methoden des vorigen Abschnitts integrieren.

9?(x)

Wie eine kurze Überlegung ergibt, kann die Funktion f(x,W) stets auf die Form gebracht werden

(1) f (x, ]/a+ 2bx + cx²) = F (x) -f

yj (x) Уа+ 2bx + cx² * wo F (x), (p (x), y; (x) ganze rationale Funktionen der Veränderlichen x sind.

Der erste Teil rechts kann als rationale Funktion von X nach den Methoden des vorigen Abschnitts unmittelbar integriert werden.

Entwickelt man alsdann im zweiten Teil der

Gleichung (1) den Bruch

gebrochenen rationalen Funktionen, so erkennt man, daß dieser Teil nur Glieder von der Form enthalten kann

<?(*)

y;(x)

nach der Methode der

xn

xn

(2) oder ^

W Уа + 2bx + cx²

___1__

(x — k)mW (x — к)тУа + 2bx + cx²

Die Integrale dieser Funktionen aber können mit Hilfe zweier Reduktionsformeln auf das Integral

= zurückgeführt werden.

ГН

dx

Уа + 2bx -\- cx Um dies zu zeigen, differentiiere man den Ausdruck xn — lW nach x

(ь + cx)

W) = (n — 1) x“-²Wdx + —

Diese Beziehung geht umgeformt über in

vD—1    vH—2

cn—=d(x»-‘AV)-b(2n-dx-a(n-!) —dx

d(x“

xndx

dx.

und gibt integriert die Reduktionsformel

b(2n—1) rxn—1dx a(n—1) fxn~²dx

J~W    cn⁻ J

xndx

-x“-‘W

cn

cn

Durch fortgesetzte Anwendung dieser Formel für n = n, n 1, n — 2, . schließlich zu dem Integral

3, 2, 1 gelangt man

(3)

ли

dx

ya. + 2bx + cx²

herrührenden

гр(х)

Die von den Partialbrüchen aus Glieder der Funktion (1) sind von der Form

dx

(x —k)mW?

wo m = m, m — 1, ...,3,2,1 sein kann. Setzen wir hierin X — k = z, X = к + z, so wird dx = dz und a -f 2bx + cx² = а + 2b (k + z) + c (k + z)²

== а + 2bk + ck² + 2(b + k) z + cz2 = a' + 2b'z + cz², und geht das obige Integral über in

f dx

J(s

— к)тЛУ

-h

dz

d. h. in ein solches von der Form

|/a' + 2b'z -f cz²*

r

xmW ’

Da die Formel (3) für alle möglichen Werte von n, also auch für negative, gültig sein muß, so können wir n — 2 — —• m setzen. Alsdann ergibt sich nach einiger Umformung die weitere Reduktion s formel

xmW

a(m — 1)

lïfe + Ьрт-З)/-

dx

xm—1W

die für alle Werte von m> 2 brauchbar ist, für m = 1 dagegen kein Resultat liefert. Für m = 2 läßt sich

f dx

überführen in / ——. Das letztere J xW

das

Integral J

dx

x²W

geht mit der Substitution

dx

— = dz

über in

X²

f>Jy

X²

dz

yaz²-j- 2bz + c'

a , 2b - + ” + °

/'dx Г dx

d.h.in ein solches von der Form (3) / — = / ........................

J W J ya+2bx+cx²

X²

Wir gelangen deshalb zu dem

Satz. Die in dem Integral der Funktion (1)

/f(*,w,ax_/i(x,dx+/2a^

nach Zerlegung der Funktion

4> (x)

y(x)

in Partial-

brüche auftretenden Einzelintegrale von der xndx

Form

oder

/ ai

(x—k)mW

lassen sich sämtlich auf das Integral

(5)

fw4

dx

Уа + 2 b x + cx²

zurückführen.

2. Um dieses Integral mit möglichster Vermeidung von imaginären Faktoren zu ermitteln, unterscheiden wir folgende Fälle:

dann ergibt sich

1. Ist c> 1, also positiv, so setze man ]/a + 2bx + cx² = t + x/c",

dï_î±ïÆdt

b — tyc

±4=i(b-ty5)

t²+2tx j/c=a + 2bx und 21 dt 2x j/cdt-f-2 t]/cdt = 2bdx, woraus folgt

und

fo

ь — t yö

/•dx₌ f dt

JW Jx

Satz.

= ±^l{b +

cx —

Ус"Уа+2 b X + cx²}.

Ist der Koeffizient c unter dem Quadratwurzelzeichen positiv, so läßt sich das Integral (4) auf einen Logarithmus zurückführen.

2. Ist c< 1, also negativ, so ist ]/— cdx

14-f

]/(b²— ac) — (b -f- cx)

Setzt man hierin

b + cx

dx ==

|b²— ac

so geht das Integral über in

— ]/b²— ac dt.

/лч rdx Ir dt

(e) h—fJa

1    . b + cx

— arc sin    .

]/b² — ac

Satz. Ist der Koeffizient c des Gliedes cx2 unter dem Quadratwurzelzeichen negativ, so läßt sich das Integral auf einen Arcussinus zurückführen.

— t²

fc

Die Formel (6) ist unbrauchbar, wenn b²—ac = 0 ist, was nur eintreten kann, wenn neben c auch a negativ wird. In diesem Fall ist

]/a -f- 2bx -f- cx² = ]/ä"+ хУс"

und

rdx Г dx

][ö+ j/ä /с

^l{xУс"-f- yäT}.

<⁷> JWi

Ist c< 0 und a< 0, so kann auch b²—ac< 0 werden. Dann ist ]/b² — ac und damit auch das Integral (6) imaginär.

3. Setzt man у an Stelle von W, so stellt die

Gleichung (8) у = /a+ 2bx + cx² oder cx² — y² + 2bx + a = 0

a) für c > 0 eine symmetrisch zur x-Achse liegende Hyperbel mit den Asymptoten

у = + x/c + -h

dar; b) für c < 0 und b² — ac ^ 0 eine Ellipse, bezw. einen imaginären Kegelschnitt dar. Im ersten Fall ist N bei veränderlichem t durch

+x

у = x/c"+1

Fig. 2.

ein Parallelstrahlenbüschel ausgedrückt, dessen Strahlen parallel zu einer Asymptote der betreffenden Hypeibel sind und diese daher nur noch in einem im Endlichen liegenden Punkt schneiden können. Die Ko-

dx

ordinaten dieses Punktes wie auch das Differential —

lassen sich, deshalb rational durch den Parameter t ausdrücken

а/с"— bt

2 dt*

a — t²

(t]/cT— b)

X_2(t^-b)’ У

Im zweiten Fall c < 0 und b² — ac > 0 stellt die Gleichung (8) eine zur x-Achse symmetrisch liegende Ellipse dar, welche dieselbe in den Punkten y = 0,

vy

(a,o)\

4/3,0)

Fig. 3.

X = a und у = 0 , X = ß schneiden möge. Dann ist deren Gleichung auch angegeben durch

у² = c (x — a) (x — ß).

Bei veränderlichem t stellt alsdann y = t (x — a)

ein Strahlenbüschel durch den einen jener Punkte (a, 0) dar, dessen Strahlen die Ellipse je nur noch in einem Punkte treffen, dessen Koordinaten sich mit dem Diffe-d x

rential — rational durch den Parameter t ausdrücken

cß _ tc(q — ß) c ’    t² — c

2c (a — ß)tdt (t² — c)²    *

lassen. Man erhält t²a —

l² —

§ 15. Übungsbeispiele.

a) Um das Integral J~~ dx =Ji(anxn + an Ç dx

auf das Integral / zurückzuführen, setze man

dx = (an-^x"“¹ + an_₂xn—2 + . . .

+ ax X + a₀) W + ßj w

dx

xn-i ₊ ... + ao)_

/w

f(x)

dx

avo an_i, an_₂, ...j öi, a₀; Zahlenkoeffizienten bedeuten, die sich berechnen lassen, indem man vorstehende Gleichung differentiiert und nach Wegschaffung des Nenners W die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von X auf beiden Seiten miteinander vergleicht. Wie dies im speziellen Fall ausgeführt Avird, zeigt folgendes Beispiel.

1. Zur Reduktion des Integrals setze man

3x³ — 2x² + 5x + 2

11 — X²

dx = (a₂ X² + a±x + a₀) yi— x²

dx

У1 — x² ’

dann ergibt sich nach beiderseitiger Differentiation und Wegschaffung des Nenners

3x³ — 2x² + 5x+ 2 = (2a₂x + аА)(1 — x²)

— (a₂ x² + ax x + a₀) x + ß und hieraus durch Koeffizientenvergleichung 3 = — 3a₂, —2 = — 2al, 5 = 2a₂ — a₀, 2 = a₁-\-ßy

Junker, Höhere Analysis. Bd. II.

8.

woraus folgt

a., = — 1, oti = 1, a₀ = —7, /5=1. Es ist daher r3x² — 2x² + 5x+2

2.

3.

Weitere Reduktionen : xdx

Уз + 2х — 5x²

x²dx

dx = (— x² + x — 7) /b— X2 + arc sin X.

Уа+ 2bx + cx²

iy3 + 2x-

1

—— arc sin

5x²

5x — 1

3b

2c 2c2 (3b.

|w+Çl{x+W>

|w + ^-arcsin-2    2a

X — a _TT a² . a — x

—-— W — — arc sin-

2    2a

7. J/2ax + x²dx = ^t^W — ^l{x + a + W).

Versteht man unter c eine positive Zahl, so gelten folgende Integrale:

4. J|/a² + x² dx = J w

5.

6.

fi*

— x²dx

2 c²

a² + x²

-IL-

J W

ax — x²dx

dx

dx =

a² — x²

dx =

J Уа+ 2bx + cx² Ус

l{b + cx + /с Уа+ 2bx + cx²}

10.

11.

12.

13.

dx

]/a + 2bx —cx² /с

1    . cx

= —— arc sin ——:

]/b² + ac

dx

Уа² + x²

dx

= 1 {x -f Уа² + X²}

Уа²^— x2 xdx

= arcsin —

— l{b+cx+/cw}

= -W--i—

Уа + 2Ьх + сх2 c cyc

b . cx —— arcsm—= сУс УЬ² + ас

xdx

-Ж-\

-b

J Уа+ 2bx — cx2 b) Integrale von der Form

dx

(x — k)m Уа + 2 bx + cx2

werden durch die Substitution x — к = —

dz

,'⁴¹— F

auf solche von der vorigen Art ‘zurückgeführt, wie die folgenden Beispiele zeigen.

14.

dx

dz

2—3x

x y2x — 3x²

]/2z— 3

15.

dx

= —y2z —3 = -1    2x+]/Ö"/x² — 2x + 3

(x — 3) Ух² — 2 x + 3

Vö

16.

dx

zdz

(x — l)² yi — X²

17.

dx

___= -==1

x Уа + 2bx + cx² Уа

yi + 2z 1 a+bx+yä”ya + 2bx+cx²

18.

dx

J X У— а + 2 bx + сх² ]/ä^

= -Lr arc sin

bx — a

19.

dx

X УЬ² + ас zk—1dz

(x — p)k Уа + 2bx + cx2 А = c

УА + 2Bz + Cz2 B = b + cp, C = a + 2bp + cp².

§ 16. Höhere transcendente Integrale und Funktionen.

In den vorhergehenden Paragraphen ist die Integration der algebraischen Differentiale f (x) dx für folgende drei Fälle behandelt worden. Es war f(x) von der Form

1.    f(x) = 99 (x) gleich einer rationalen Funktion von x,

Г/а + bx

2.    f(x) = <p(x,y

3.    f(x) = <p(x, Уа + 2bx + cx²) .

Die Integrale dieser Funktionen sind, wie wir gesehen haben, durch algebraische, logarithmisehe und cyklometrische Funktionen darstellbar. Dies ist jedoch nicht mehr der Fall, wenn f(x) entweder die Quadratwurzel aus einer den zweiten Grad übersteigenden ganzen Funktion von x oder höhere Wurzeln aus nicht linearen Funktionen enthält. Funktionen dieser Art werden als höhere transcendente Funktionen bezeichnet.

Erklärung. Enthält die Funktion f (x) die Quadratwurzel aus einer ganzen Funktion dritten oder vierten Grades von x, so wird

/f (x, Уа -f bx + cx² + dx³ + ex⁴) dx nach Legendre als elliptisches Integral bezeichnet.

Ein solches Integral ist alsdann außer durch algebraische, logarithmische und cyklometrische Funktionen noch durch elliptische Funktionen darstellbar.

Treten noch höhere Funktionen unter dem Wurzelzeichen auf, oder sind in f höhere Wurzeln aus nicht linearen Funktionen von x enthalten, so gelangt man zu den sogenannten hyperelliptischen Funktionen, die wie auch die elliptischen Funktionen axis dem Kreis unserer Betrachtungen weggelassen werden sollen, da ihr Studium den- Rahmen der Elementarmathematik überschreiten würde.

IV. Abschnitt.

Integration transcendenter Differentiale.

§ 17. Transcendente Differentiale.

Erklärung. Ein Differential f(x)dx heißt transcendent, wenn f(x) einzelne oder mehrere der tran-scendenten Funktionen ax, ex; sinx, cosx, tgx, ctgx; arc sin x, arc cos x, arc tg x, arc ctg x enthält.

Bei der Integration transcendenter Differentiale kommen hauptsächlich folgende Methoden in Betracht:

a) Integration durch Substitution einer neuen Veränderlichen ;

ß) Reduktion der Integrale auf -einfachere derselben Art mit Hilfe der teilweisen Integration nach der Formel

Г Edxi

dv

— dx = uv —

/“a*

y) Integration durch Rationalisierung des gegebenen transcendenten Differentials (siehe § 20);

<5) Integration durch Reihenentwickelung.

§ 18. Integration transcendenter Differentiale durch Substitution.

a) Ist f eine algebraische (rationale) Funktion der elementaren transcendenten Funktionen

ex, sin 99, cos 99, tg* 99, ctg 99, arcsin x, arc cos x, arc tg X, arc ctg x,

so lassen sich die folgenden transcendenten Integrale durch die beigefügten Substitutionen direkt in Integrale algebraischer (rationaler) Funktionen überführen.

1. Jf(ekx)ekxdx = у ß(z)dz

z = ekx

dz — kekxdx ,

2.

/f(lx) T. ⁼/f(z)dz

z = lx,

dx

dz = — x

3.    Ji (sin 99) cos 99 d 99 = ß(z)dz

z — sin 99, d z = cos 99 d 99.

4.    jf (cos 99) sin 99 d 99 = — ß(z)dz

z == cos 99, dz = — sin (pd(p. ß(z)dz

5. )f(tg g?)

dcp

COS² 99

z — tg 99, dz — d tg 99 = — /f(z)dz

dq>

6. f (ctg cp)

d 99

cos² 99*

sin² 99

z =as ctg 99, d z = d ctg 99

d99

sin² 99 *

7. ^(arcsinx)

dx

=ßf(z)dz

]/l — X²

z = arcsinx, dz = darcsinx

dx

^f (arc cos x)    ^X

ż = arc cos x,

9. yi(arctgx)

8.

]/l — X²

■ßt(z)dz

yi — x²

dz = d arc cos x

ßf(z)dz

dx

yi — X²

1 + X²

_    _    dx

z = arc tg x, dz = d arc tgx =

10.

Jî (arc ctg x)

dx

= •— ßf( z)dz

1 + X²

1 + X²

z = arc ctg x, dz = d arc ctgx

dx

1 + x² *

b) "Wie die folgenden Integrale tran scendenter Differentiale in solche algebraischer Differentiale übergeführt werden können, zeigen die beigefügten Substitutionen :

11.

z = ekx, lz = kx

dz

— = kdx.

12. ß($m(p)d(p = ß(z)

]/l — z2 z = sin<p, cp = arc sin z, d<p

dz

ßf (cos (p) d(p = —ß(z)

•(/I — z2 z = cos cp, q) = arc cos z, dcp

yi — z² ’

dz

yi — Z².

14.

jl (tg <p)drp =/f (z) dZ

1 + z²

z = tg<p, 99 = arctgz, dç? =

dz

15. ß(ctg(p)d(p = —ß(z)

1 + z²

z = ctg 99 ,    99 = arc ctg z, d<p =

1+Z²'*

dz

Setzt man z = sin 99, so folgt hieraus : cos 99 = yl — z², tg 99

fl — z²

ctg 99

daher ist allgemein

]/l - z²

dç? =

dz

]/1 — z² ’

16.

cos 99, tg99, ctg 99^99

]/1 — z²

dz

/T=z²

]/l — z²

Es gilt somit der

Satz. Jedes transcendente Differential, welches die trigonometrischen Funktionen sin99, COS99, tg99, ctgcp enthält, läßt sich durch Substitution in ein algebraisches Differential überführen.

Beispiele.

1.

2.

/ (eax y^)dx = — + 2 j/e*. J    a

- dx = 21(ex — 1) — X.

ex + 1

ex —

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

arc tg ex.

ex + e~x ex dx

(ex — l)3 = _ 2 (ex — l)² *

J(ex + e—x) dx =

ex — e~x.

d (p

sin² op

d (p

COS² (p

— ctg (p.

= tgç?.

j tg X d X =J

sinx

cosx

dx

d cos X

cosx

l(cosx).

Jctg X dx = 1 (sin x).

jtgkx dx =

cos²x dx

sin³x dx = —

^ lcoskx. к

=J( 1 — sin² x) dx = ! + sin2x. (2 + sin² x) cos x.

О

* ,(A

= — ctg X.

u. -

COS² X

= tgx.

§19. Integration transcendenter Differentiale durch allmähliche Reduktion.

a) Integrale von der Form /xmek*dx

werden durch die teilweise Integration nach der Formel /udv-uv— /у du

ekx

1 *

— d ekx, v = к

gelöst. Setzt man

u = xra, dv = ekxdx =

so folgt hieraus, wie schon aus § 7 zu ersehen ist, die Reduktionsformel

(i)

Г    Xmekx

I xm ekxdx == ——

— / xm—1 ekxdx.

Beispiele.

1.    fx exdx = ex(x — 1).

2.    /X² exdx = ex(x² — 2x +2).

3.    fx³ exdx = ex(x³ — 3x²-f — 6).

b) Integrale von der Form / f (lx) dx werden auf die vorige Art zurückgeführt, indem man setzt

z = lx, X = ez, dx = ezdz /f (lx)dx = /f (z)ezdz.

Beispielsweise ist

1.    fix dx = f z ez dz = ez (z — 1) = x (lx — 1).

2.    /(lx)² dx = /z² ezdz = ez(z² — 2z-+ 2) *

3. /{lx + 1} dx = x lx.

= x{(lx)² - 21x + 2).

c)    Wie schon in § 8 weiter ausgeführt worden ist, lassen sich auch die folgenden Integrale durch allmähliche Reduktion ermitteln:

(3) /sin“ cp dg?, /

/xksinxdx, /xkcosxdx.

d)    Auch die folgenden Integrale können mit Hilfe der teilweisen Integration ermittelt werden:

J± = /eax cos bx dx, J₂ = /eax sinbx dx.

Man erhält nach dieser Methode , 1 Jl==b e

J₂ — —l-eaxcosbx + ^ fe**cosbxdx, woraus sich ergibt J-L = e

(•MS

m(pd(p, /sinm cp cosn99dç9.

ax sinbx — ^ J eax sinbx dx.

J₂ = eax -

ax a cosbx + b sinbx a² + b²

— b cos bx + a sin bx

f 0,

f C.

a² + b²

e) Integrale, welche Kreisfunktionen enthalten, wie /f (arc sinx)dx, werden durch die Substitution

zum Beispiel

z = arc sin X, X = sin z,

dx = cos z dz

zurückgeführt auf

/f (arc sin x) dx = / f (z) cos z dz,

die nach a) oder nach § 8 zu lösen sind.

Beispiele hierzu finden sich in § 7 №. 5—9.

fdx

f) Der Integrallogarithmus / — Reihenentwickelung näherungsweise ermittelt werden.

kann nur durch

§ 20. Integration transcendenter Differentiale durch Rationalisierung.

//

о x я

OP'OC^I

Die Methode der Rationalisierung eines Differentials f (x) dx ist mit Vorteil anwendbar, wenn f(x) eine rationale Funktion der elementaren trigonometrischen Funktionen sin 99, cos 99,    tg9?, ctg 99

ist.

Fig. 4.

Setzt man in einem Kreis vom Radius 1 die Koordinaten des Punktes P

OA = x, AP = у

so ist

(1) COS99 = x, sin99 = y, tg99 = ctg9? =

wenn

Zieht man nun CP, so ist < О CP = ^,und

man tg? ⁼ T~T—=Я oder 99 = 2arctg2 setzt, so folgt Ł 1 ~r x

21    1 — )?

¹

4 = 4A₂ + 4A₁

²

= 4A₂

³

und hieraus

“■«’"Т+Ж' “•«’“т+if

(2)

.    2Я    1-1*

ctg99 = ~ИГ~'

2dA

1 +Я² ’

womit angezeigt ist, daß durch die Substitution (1) jede rationale Funktion der elementaren transcendenten Funktionen sin 99, cos 99, tg9?, ctg 99 als rationale Fimktion des Parameters Я dargestellt werden kann. Somit gilt der Satz. Jedes transcendente Differential f(99)d99, welches nur trigonometrische Funktionen der

3. Jctg q? äcp =    = l^ = ltg^ = l sin cp.

4.

Veränderlichen cp rational enthält, läßt sich als rationales Differential darstellen.

Beispiele.

1. f

J sm (p JA

1A =

toi-e

2.

d cp

d(?+ )

со a

cos cp

sin^ + l)

-!%(    +j).

Jtgcpdcp^—J ct    — 9oj d — yj

— — 1 sin ^ — cp j = — 1 cos cp »

V. Abschnitt.

Bestimmte Integrale.

§ 21. Das bestimmte Integral.

Bezeichnet man mit F(x) eine Funktion, deren Ableitung f(x) ist, so heißt

/f (x) dx = F (x) + C

das unbestimmte Integral der Funktion f(x) mit der Konstanten C. Diese läßt sich bestimmen, indem man der Veränderlichen x einen Wert beilegt, durch welchen das Integral verschwindet. Ist a ein solcher, also /*f(a)da=0, so ist auch F(a) + C = 0 und C =—F(a).

Wir erhalten alsdann das bestimmte Integral /f (x) dx = F (x) — F (a),

a

wo x die obere und a die untere Grenze heißt.

a

Satz.

Das bestimmte Integral /f(x)dx

b

zwischen den Grenzen a und b wird erhalten, indem man ohne Rücksicht auf die Konstante das unbestimmte Integral ermittelt und die Differenz der Werte bildet, welche dasselbe bezw. für x = a und x = b annimmt.

/f (x) dx = F(x) — F(b).

b

Beispiele.

1. ь

Ta8-

J (a² + ax + x²) dx = a²x + ax² + ^ x3 = a³ + ^a³ + [a³=n

N>1 а

3    [—

* Jx² +a² a

b

§ 22. Das bestimmte Integral als eine Summe von unendlich kleinen Größen.

Es sei у = f (x) eine Funktion von x, welche innerhalb des Gebietes x = x bis x == a eindeutig, endlich und

stetig ist, dann zeigt auch die durch y = f(x) dargestellte ebene Kurve zwischen den Punkten P und Q mit den Abscissen x und a einen stetigen Verlauf. Der Inhalt der Fläche PABQ, der von den Ordinaten y = f(x), b = f(a), der Abscissenachse und dem Kurvenbogen PQ begrenzt ist, sei U. Teilt man die Strecke

<Ł

*y

Aï

■Jm

il

*y

в +JC

CL

CL

Fig 6.

Fig. 6.

AB = a— xinn gleiche Teile Ax ein und errichtet man in den Teilpunkten Lote, welche den Bogen PQ in den Punkten PA, P₂, . . . treffen mögen, dann ist nach § G 9 der Differentialrechnung*) der Flächeninhalt U näherungsweise angegeben durch Un = A X (f (x) + f (x + A x) + f (x + 2 Д x) + ...

oder

(i)

+ f(x + (n — l)Ax)} Un = Ax{f (x + Ax) + f (x + 2 Ax) + ...

+ f (x + nAx)} wo Un bezw. Un eine Summe von Rechtecken darstellt, die kleiner bezw. größer als U ist Un < U < Un'.

*) Sammlung Göschen Bd. 87, S. 208 ff.

Durch Subtraktion der Gleichungen (1) erhält man (3) Un — Un = Ax{f (x + n Ax) — f(x)}.

Läßt man hierin n immer größer und damit A x immer kleiner werden, so nähert sich die rechte Seite dieser Gleichung mehr und mehr der Grenze 0, d. h. es ist

(4)

oder

lim (Un — Un)n = 0D= 0 lim Un = lim Un

Zufolge dieser Gleichung kann aber die Ungleichung (2) nur bestehen, wenn

(5)

lim Un = U = lim Un

ist. Es ergibt sich somit der

Satz. Jede der beiden Summen (1) nähert sich bei unendlich wachsendem n dem Grenzwert U, der geometrisch den Inhalt der Fläche PABQ darstellt.

Wie die Gleichung (4) zeigt, kann dieser Inhalt als eine Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Rechtecken angesehen werden.

Entwickelt man in dem Ausdruck für Un jede der Funktionen f (x + i A x) nach Potenzen von i A x und faßt die Koeffizienten gleicher Potenzen von Ax zusammen, so läßt sich lim Un, wie in § 69 der Differentialrechnung gezeigt worden ist, durch die Potenzreihe darstellen lim Un = (a — x) f (x) -f- (a — x)² f'(x)

(6)

+ P(a-x)3f"(x) + ...,

welche unter den gegebenen Voraussetzungen konvergent ist und den Grenzwert U besitzt. Es gilt somit der

Satz. Der Inhalt U der Fläche PABQ ist ansgedrückt durch die konvergente Potenzreihe.

и = (а — x) f (x) + — (a — x)2 f'(x)

+ £j-(a:—x)#r(x) + "*

Ist mm / f (x) dx = F (x) + C das unbestimmte Integral des Differentials f (x) dx, so folgt hieraus durch Ableitung

(⁷) f(x) — F'(x),    f'(x) = F"(x),    f"(x) = F'"(x), ...

Entwickelt man alsdann den Ausdruck F (x) + C nach dem Taylorschen Lehrsatz nach Potenzen von x + h, s° folgt

F (x + h) + C = F (x) + C + rF'(x) + —F"(x). +...

oder wenn wir h = a — x setzen und die Bedingungen (7) berücksichtigen

F(a) = F(x) + (a — x)f(x) + — (a — x)²f’(x) + ...

oder

F (a) — F (x) = lim Un = U.

Da nun der Annahme gemäß F (x) das unbestimmte Integral des Differentials f (x) dx ist, so stellt nach dem vorigen Paragraphen F (a) — F (x) das bestimmte Integral desselben Differentials zwischen den Grenzen a und x dar. Es ist daher

(8)

ü = limün =/f (x) dx = F (a) — F (x),

X

woraus die Sätze folgen:

Satz. Das bestimmte Integral

/f (x) dx = F (a) — F (x)

X

Junker, Höhere Analysis. Bd. II.

des Differentials f (x) dx stellt geometrisch den Inhalt der Fläche U dar, der von den Ordi-naten y=f(x), b = f(a) der Punkte P und Q mit den Abscissen x und a; der Abscissenachse und dem Bogen PQ der Kurve y = f(x) begrenzt wird.

Satz. Nach Gleichung (6) und (8) läßt sich das bestimmte Integral des Differentials f(x)dx auch als Grenzwert einer Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Elementen betrachten, welche in (1) mit Un oder Un bezeichnet ist.

Vergleicht man die Gleichungen (6) und (8) miteinander, so gelangt man zu dem weiteren

a

Satz. Das bestimmte Integral /f (x)dx des

X

Differentials f(x)dx läßt sich in eine konvergente nach Potenzen von (a — x) fortschreitende Potenzreihe entwickeln, deren Koeffizienten durch Ableitung von f(x) erhalten werden.

J[(x) dx = (a — x)f (x) + A(a — x)²f'(x)

£

+ £f(a —x)8f"(x) + **»

Dieser Satz kann dazu dienen, ein bestimmtes Integral mit endlichen Grenzen nur mit Hilfe der Differentialrechnung zu berechnen.

§ 23. Lehrsätze über das bestimmte Integral.

1. Aus Formel (1) des § 21 ergibt sich durch Vertauschung der Grenzen a und b unmittelbar der

2. Zugleich folgt der weitere Satz. Ein bestimmtes Integral wird stets gleich Null, sobald die Grenzen einander gleich werden :

(2)

/f (x) dx= 0.

3. Nach § 21 ist der Wert des bestimmten Integrals zwischen den Grenzen a und b :

/ f (x) dx = F(a) — F (b).

b

Da nun jederzeit in identischer Weise die Gleichung erfüllt ist:

F (a) — F (b) = F (a) — F (c) + F (c) — F (b)

so folgt auch*:

a    a    c

(3)

Satz.

Ein bestimmtes Integral geht in seinen entgegengesetzten Wert über, wenn man die Grenzen miteinander vertauscht.

Es ist

(1)

/f (x) dx = J

b    a

b

/f (x) dx.

/f (x) dx = fî (x) dx -f fi (x) dx.

b    c    b

Satz. Anstatt die Integration von der Grenze b bis zur Grenze a direkt auszuführen, kann man auch eine (oder mehrere) Zwischen-grenze(n) c einführen und zunächst von der Grenze b bis zur Grenze c integrieren und nachträglich die Integration von c bis a fortsetzen.

5*

Geometrisch bedeutet die Formel (3), daß man den Flächeninhalt PABQ auch als Summe der Flächen-

Qt

⁺v

44

Fig. 7.

teile PACK und RCBQ betrachten kann; denn es ist

Fläche PACE = /f (x) dx, Fläche ECBQ = /f (x) dx,

b    c

woraus man durch Addition erhält

oder

PABQ = PACE+ RCBQ

/ f (x) dx = jî (x) dx + Jî (x) dx.

b    b    c

§ 24. Integration bis x = ex? oder bis und über eine Unstetigkeitsstelle von f(x).

a) Integration bis x = оо.

Ist die Funktion f(x) eindeutig und stetig für alle Werte von x > b, so kann man auch eine der Grenzen, z. B. die obere, unendlich groß werden lassen.

Erklärung. Nähert sich hierbei das Integral einem bestimmten Grenzwert

lim

x=oo

f f (x) dx = lim (F (x) — F (b)}

J x=°°

so heißt derselbe der Wert des Integrals für (die obere Grenze) x = oo.

§ 24. Integration bis x — oo.

69

In derselben Weise sind auch die Fälle zu behandeln, in denen die untere Grenze gleich + oo oder eine der Grenzen — oo wird

f f (x) dx = lim (F (a) — F (x)}

J    X= + Q0

+ 00

+ QO

lim F(x) —lim F(x).

ff (x) dx =

J    *= + *■

— X

Ein solches Integral kann einen endlichen und bestimmten Wert erhalten oder auch unbestimmt werden, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Beispiele.

1.

I dx

J 1 + x² 2

b

= ^ — arctgb.

(Fig. 8.)

У-ПХ.

+JC.

+У

У t+X2

- CO

* JO

Fig. 8 und 9.

2.

f dx

J 1 + x* ~

(Kg. 9.)

V. Bestimmte Integrale.

70

— GO

3.

ax clx = —

la*

(Fig. 10.)

y.a*

» oo

-.x

+ JC

Fig. 10.

Hierdurch ist der Flächeninhalt angegeben, der von der Exponentialkurve у = ax, der y-Achse und der negativen x-Achse begrenzt wird.

4. Unbestimmt wird der Wert des Integrals

OO

/cos X dx = sin (x = oo) — sin a = unbestimmt.

a

b) Integration bis zu einer Unstetigkeitsstelle von f(x).

Es kann auch der Fall eintreten, daß f(x) selbst für eine der Grenzen unstetig wird.

Erklärung. Wenn die Funktion f(x) für x = a durch Unendlichwerden selbst unstetig wird, so bezeichnen wir den Wert des Integrals mit

X — a    x

I f (x) d x = lim Ji (x) dx =

b    b

lim (F (x) — F (В))х=

für den Fall, daß sich hierbei überhaupt ein bestimmter Grenzwert ergibt. Ist dies nicht der Fall, so darf die Integration nicht bis x == a ausgedehnt werden. -

Beispiele.

1.

X dx

|/a² — X²

= a.

2.

X² dx

У4 — X²

л.

dx

3.

ya² — X²

f(x).

c) Integration über eine Unstetigkeitsstelle

von

Erklärung. Wird die Funktion f(x) für einen Wert X = c unendlich, der zwischen den Grenzen des Integrals b und a liegt (b < c < a), so versteht man unter dem letzteren den Grenzwert, nach welchem die Summe

ff (x) dx = lim ff (x) dx + lim ff (x) dx

J    X==CJ    X=CJ

b    b    x

konvergiert.

Ein solches Integral kann einen endlichen und bestimmten Wert haben; es kann aber auch unendlich oder unbestimmt werden.

Beispiel. Die binomische Hyperbel 5. Ordnung, deren Gleichung y³(x — l)² — 1 = 0

oder

It.O) (2,0)

*JC

(x — lj³

ist, hat in x = 1 einen unendlich fernen Punkt. Der Inhalt des schraffierten Flächenstücks ist angegeben durch

Fig. 11.

dx

dx

(x-1)

îM*-¹)

= 3(x-l)\ + 3(x-lf !

= — зг^Т + зг/Г=б.

§ 25. Darstellung von — durch ein unendliches Produkt.

Integriert man unter der Voraussetzung eines positiven n in den Formeln (2) und (3) von § 8 zwi-

7t

sehen den Grenzen 0 und —, so folgt

2

1. für ein gerades n:

col У

(i)

7t

smn(pà(p = — •    •

2

со

o| сл

2. für ein ungerades n:

(2)

Jsin¹¹ cp ö.cp = 2 •    •

о

7t

Da nun die Funktion sin cp von 0 bis — stets

2

einen positiven echten Bruch darstellt, so gilt für jedes ganzzahlige к > 0

к i®»

(3) sink^>sink+¹ (p und /sink9?d99>f tp dtp.

о    о

Л

Setzt man nun hierin und in den Formeln (1) und (2) к = 2n — 1, к = 2n, so folgt

(4)

СО I DO Cn|

о

DO

DO

CM

i—I

Ю Ico CO

TH |<m

£ !cm

2n — 1

2n

Ю I о со 1^ î—l I CM К 1см

2 ii —

2n

1—i

со |t-^ I Ю

CM Ico

2n

2n + 1

oder nach einiger Umformung

CM 11—1

CM Ico

Ico

Сп I

СП I О

2n — 2 2n 2n — 1 2n — 1

К Icm

CM 11—I

CM |co

Ol| о

CO |t-

to

DO

to

to

Nun ist aber leicht zu erkennen, daß sich die beiden rechten Seiten dieser Gleichungen für n = oo der gleichen Grenze nähern; daher ist

Ol

CM I H

СО I DO

2n — 2 2n 2n — 1 ‘ 2n —

ir

71

Satz. Die irrationale Zahl — läßt sich dar-

2

stellen durch das unendliche Produkt

CO

I-Ч to

CM Ico

со I

cn|

CO |lO

CO |t-

00 |t-

§ 26. Einige weitere bestimmte Integrale.

1. Mit Hilfe der teil weisen Integration erhält man die Rekursionsformel

Г xn

J ]/l — X²

dx =--xn“¹

n-- , n —1 /*xn_2dx

j.

/Г—x²

Ist nun hierin n eine gerade Zahl, so gelangt man durch fortgesetzte Anwendung dieser Formel schließlich zu dem Integral

= arcsin X,

/1 — X²

für ein ungerades n schließlich zu dem folgenden:

/■

= — ]/l — X².

xdx

yi — X²

Je nachdem n gerade oder ungerade ist, ergeben sich schließlich die beiden Endformeln

(n—l)(n—3)...5 *3

n (n — 2)... 4 • 2

/l-X²

(n—l)(n—r3).,.5

n(n — 2)... 4

n — ¹ ..„-a

n(n — 2)

arcsinx+C«

f—ŁL=dx JVl-x²

(n — l) (n — 3) ... 4*2

n (n — 2) ... 5 • 3 • 1

n — 1

_xn

n(n — 2)

I + C.

Nimmt man hierin das Integral zwischen den Grenzen 1 und 0, so folgt a) für ein gerades n:

о ¹

b) für ein ungerades n:

,2) ,/W

о ¹

xn dx

xn dx

(n — 1) (n — 3) ... 5 • 3

n (n — 2) ... 4.2

(n — 1) (n — 3) ... 4 • 2

n (n — 2) ... 3 • 1

|<M

§ 26. Einige weitere bestimmte Integrale.

2. Nach der Binomialformel

(a + b)“=a”+Q

L    i

(1 — e² cos² (pf =1 — — s² cos² cp

и

a¹¹⁻¹ b +

Qa“-*b* + ... + b“

ist

₂ 74'cos⁴ cp

2-4-6

£⁶ cos⁶ cp —

Durch Integration und Benutzung der Formel (1) in § 25 für n = 2, 4, 6, ... ergibt sich hieraus das bestimmte Integral

(3) о

/ fl -e*cos²«pdg9 = j{l - (I)²£²- (~)²3^

iêrëb'-}

das wir bei der Quadratur und Rektifikation der Ellipse und einiger anderer Kurven verwenden können (§ 30, 5). Ebenso erhält man die weitere Formel

(4) о

J yi e²cos²g3dçi = 7ï|l —    «² —    3s⁴

die wir ebenfalls später gebrauchen können.

VI. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie der Ebene.

§ 27. Quadratur der Kurven in rechtwinkeligen Koordinaten.

PA

Erklärung. Wie schon in der Differentialrechnung¹) § 11 und § 69 ausgeführt wurde, versteht man unter der Quadratur einer Kurve in rechtwinkeligen Koordinaten die Berechnung des Flächeninhalts U, der von den Ordinaten zweier Kurvenpunkte P und Q, dem zugehörigen Kurven bogen und der Abscissenachse begrenzt wird.

⁺У

+ JC

Fig. 12.

Satz. Nach Formel (8) bezw. (6) in § 22 ist der schraffierte Flächeninhalt U (Fig. 12) angegeben durch das bestimmte Integral

(1)

U=/f(x)dx = F(a) — F(b)

b

bezw. durch die konvergente Potenzreihe

(2)

U = (a-b)f(b) + L(a-b)3f(b)

₊ l_(a_b)3f"(b)+...

Beispiele.

1. Quadratur der Parabel y = ax².

X

-/

i(x⁸ — b³),

0 folgt: U = j = i-xy.

2. Quadratur der Spitzpunktsparabel y² = p² x³

woraus für b =

x²dx =

ю lea

5PX

2-2

woraus für b = 0 U = —px² = — pxy folgt.

5    5

3. Erklärung. Sind m und n ganze positive Zahlen, so bezeichnet man die Kurven, welche durch у¹¹ = axm

dargestellt sind, allgemein als „parabolische“.

Diese Kurven gehen durch den Ursprung. Sind x, у die Koordinaten des Kurvenpunktes P, so ist der schraffierte Flächeninhalt (Fig. 13) angegeben durch

1    /* m

U = an I x¹¹ = —--J m 4 о

xy.

- -+i

m + n

Da nun Rechteck DOAP = xy ist, so ergibt sich für den nicht schraffierten Teil desselben der Inhalt

DOP = ———xy. m + n

Satz. Fällt man von einem Punkt der parabolischen Kurve yn = axm Lote auf die beiden

an xn

Achsen Ox und Oy, so teilt die Kurve das Rechteck DOAP in zwei Teile DOP und OAP, die sich wie m zu n verhalten DOP : OAP = m : n.

4. Erklärung. Sind m und n ganze Zahlen, so heißt jede Kurve von der Gleichung xmyn = a

eine „hyperbolische Kurve“.

+y

(p

30

'Л**'

JC

-л

+х

Fig. 13.

Fig. 14.

Der Inhalt des schraffierten Elächenteils (Fig. 14), der sich ins Unendliche erstreckt, ist angegeben durch

U = an /xn dx =

an X n =

— xy. m

n — m

Dieses Resultat führt uns zu dem

Satz. Die schraffierte Fläche, welche sich ins Unendliche erstreckt, steht zu dem Rechteck DOAP = xy in dem konstanten Verhältnis n : n — m.

5. Quadratur der Ellipse:

X² y²

a²

b²

— 1 = 0.

u² — X² d X

-(ł.b*»ini ₊ £

\2    an 2a

Уа² —X²) .

' x₀

Beschreibt man um O mit O A = a einen Kreis, so ist

ük

= J]/a² —; X² dx =    a² arc sin ^ -f Уа² — x² .

И |<м

Xo

Xo

3C

Fig. 15.

Für x₀ = 0 und x = a ergibt sich hieraus als Flächeninhalt des Ellipsenquadranten

~ ab 4

und somit als Inhalt der ganzen Ellipse U = л:аЬ.

Ist b = a, so geht die Ellipse in einen Kreis über, für welchen wie bekannt

U = тта² ist.

X²    y²

6. Quadratur der Hyperbel — — — — 1=0.

a²    b-

Es ist у = — ]/x² — a² und а

X² — a² dx

ro| и

— a²

Fig. 16.

Fig. 17.

x₀ X +x

Uo U \ У

-X

+z>

Für x₀ = a folgt

d=?

7. Die Exponentialkurve (Fig. 17) у = ax hat den Flächeninhalt

X

-/

Xo

ax

ax dx = —

la

= г: (у — Уо)-

la

xo

^__oÆî\r г Ж/

*о ⁰⁰    О*

Fig. 13.

8. Für die Sinuslinie (Fig. 18) y = sinx ist

— COS X + cos x₀ .

= J sinxdx = x₀

Für x₀ = 0 und X — л ergibt sich als Inhalt der ganzen Schleife U = 1 + 1 = 2.

9. Für die Kurve dritter Ordnung (Fig. 19), welche die Gleichung besitzt

l/a —x

f—■

y²x — a²(a — x) = 0 oder y = ergibt sich als Flächeninhalt über Ox

( a

= a / ——___

J Vax — x2 о r

Ux = / a

-dx

= a² s arc sin

ï ₊ i,cr=

a a

x²

!!

I U a.

JC

Jty

Fig. 19.

(vergl. § 15) und hieraus für x = a als Inhalt der Fläche zwischen y-Achse, x-Achse und Kurve

Ua = ^ a².

U

Daher hat die ganze Fläche zwischen y-Achse und Kurve den Inhalt J = 2Ua = jra².

Junker, Höhere Analysis. Bd. II.

Ein Flächenstreifen parallel zur x-Achse zu den Ordinaten 0 und y hat den Inhalt

y

IJ'y = J xdy = J 0

a³

a² + y²

dy = a³ f

J ¹

о

⁷ dy

a² + y²

= a² arc tg —.

a

Für y = oo folgt hieraus U'oo=Ua = a² —.

и

Daher ist ebenso wie oben J == 2U'oo = яа².

10. Für die Cykloide (Fig. 20), deren Gleichungen in Parameterform sind x = a(99— sin cp), y = a(l—cos99),

-\n

Fig. 20.

erhalten wir dx = a(l — cos 99)d99 und als Flächeninhalt

X    cp

cos 99)^99

üx

= Jy dx = a J(1 — 0 0

cp

~ *7⁽¹

0

— 2 cos 99 -j- cos² 99)d 99

= a² ^ 99 — 2 sin 99 + 7J- sin 99 cos 99^ .

Für cp = 2 я folgt hieraus als Inhalt eines ganzen Cykloidenabschnittes 2n

= f ydx = 0

3 яа².

U₂ л

§ 28. Quadratur in Polarkoordinaten.

Erklärung. Unter der Quadratur in Polarkoordinaten versteht man gewöhnlich die Bereclmung des Flächeninhalts U, der von dem Kurvenbogen PQ, den Radiusvektoren OP und OQ mit den Azimuts cp und а begrenzt ist.

Die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten sei r = f(<p),

wo r den Radiusvektor zum Kurvenpunkt P und cp das zugehörige Azimut bezeichnet. Läßt man alsdann das

P'

§ V JT

)ei

Y\

Fig. 21.

Fig. 22.

Azimut cp um die unendlich kleine Größe d cp zunehmen, so unterscheidet sich das zugehörige Flächenelement OPP' = dU von dem elementaren Kreissektor

OPD=^d<p

и

nur um eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung. Dieser darf deshalb an Stelle des ersteren gesetzt werden. Es ist also

(1)

clü =

woraus sich durch Integration als Inhalt des Flächenstücks U (Fig. 22) ergibt

(2)

V = ±fr4cp = ±fv(<p)d<p.

cp

Satz. Ist die Gleichung einer Kurve in Polarkoordinaten gegeben r = 1(99), so ist der Inhalt der Fläche OPQ, welche vom Kurvenbogen PQ, den Radiusvektoren OQ und OP (Azimut a bezw. 99) begrenzt wird, angegeben durch das bestimmte Integral (2).

Beispiel.

1. Die Lemniskate hat die Gleichung r² = a² cos 2 99.

Es ist somit

Ir    1

U = — / a² cos 299 dcp = -

0

— a² sin 2 а. 4

Fig. 23.

Für a =

TZ

— (r = 0) ergibt sich hieraus

т-1 I

So

to

Satz. Der Flächeninhalt, der von den beiden Schleifen der Lemniskate eingeschlossen wird, ist gleich dem Quadrat über OA = a der halben Symmetrieachse.

2. Die Kardioide (Fig. 24) hat die Gleichung r = 2a(l + cos (p),

V/,

f Ädjr\\ u I

'/Ж % I

O    za.T    za

daher ist

Fig. 24.

^    <P

= — j4:di,²(l-\-cos(p)²à(p==2di²J(l-\-2cos(p-r-cos²(p)(i(p о    и

= а² (3 cp + 4 sin cp -f- sin (p cos ф), somit ist die Hälfte der Gesamtfläche

J    *

— = a²(3 (p + 4 sin cp + sin cp cos p) = 8 л а²

²    о

und die Gesamtfläche selbst J = 6 л а².

3. Allgemeinere Kardioiden (Fig. 25) ergeben sich, wenn man auf den von 0 aus gezogenen Strahlen von

Ol

a Jb

Fig. 25.

der Peripherie des Kreises aus eine beliebige Strecke b heraus- oder hereinträgt. Die äußere, bezw. innere Schleife erhält alsdann in Polarkoordinaten die Gleichung r = 2 a cos cp + b, bezw. r = 2 a cos cp — b.

Die erste derselben gibt für r = 2 a + b und r = 0

cp = 0 und cp₀ = arc cos

Flächeninhalt der ersten Schleife angegeben durch

^, daher ist der halbe

1    <Pq

= — (2 а² + b²) cp + a² sin cp cos cp + 2 ab cos cp

2    о

Somit ist

U = (2a² + b²)arc cos    — |b У4а² —b².

Ebenso ergibt sich für den Inhalt der inneren

Schleife

U' = (2 a² + b²) arc cos    ~ b ]/4a² — b².

Aus jeder dieser Formeln ergibt sich für b = 0 der Inhalt des Kreises J == jta², wie zu erwarten war.

Die beiden obigen Kardioiden stellen zusammen eine Kurve vierter Ordnung mit Doppelpunkt im Ursprung dar, deren Gleichung in rechtwinkeligen Koordinaten ist

(x² + y² — 2 ax)² — b² (x² + У²) = 0.

*/

■ii

Fig. 26.

4. Die gewöhnliche Fußpunktskurve des Kreises (Fig. 26) mit Pol in der Peripherie hat die Gleichung r = OD + DP = a cos cp + a oder r = a(l + cos cp).

Daher ergibt sich als Flächeninhalt der ganzen Kurve

2л    2 2л

ü.

„ — jr²d<p =    (1 + 2 cos <p + cos² rp) <lrp

0 . 0

g

2 713,2 ’

Satz. Der Flächeninhalt zwischen Fußpunktskurve und dem gegebenen Kreis vom Radius a ist somit gleich der Hälfte des

3

letzteren — л:а² — л:а²

и

jza²

5. Allgemeinere Fußpunktskurven des Kreises ergeben sich, wenn der Pol О nicht auf die Peripherie selbst zu liegen kommt, sondern in der Entfernung b von derselben angenommen wird.

A:

r,

ФК'

r.

V"'

abO b i

Fig. 27.

Liegt 0 innerhalb Figur 27, so ist r = OP = MB — MD == а — (а — b) cos cp ⁰⁽^ei r = a — (a — b) cos cp.

Der Flächeninhalt der ganzen Kurve ist demnach

J=U23I

= ла² + ^ (a — b)

wobei der zweite Ausdruck den Inhalt der Fläche angibt, welche zwischen Kreis und Kurve liegt.

M    а' ЯЩхЪ

Fig. 28.

Liegt O außerhalb des Kreises, so hat die resultierende Fußpunktskurve (Fig. 28) einen Doppelpunkt im Pol. Ihre Gleichung ist r = a + (a + b) cos cp.

Durch Integration von 0 bis 2 л ergibt sich als Inhalt des schraffierten Flächenstücks

= ^ + J(a+b)’

^ frsd<p = 1 у ja+(a - j- b) eos 9? j² dç? 0 0

Die ganze Fläche dieser Fußpunktskurve hat somit den Inhalt

J = яа² + ?- (a + b)²

и

wobei derjenige der Schleife über OA doppelt gerechnet ist. Für b = 0 reduziert sich der Inhalt der letzteren auf

3

Null und geht J über in den Inhalt J = -да² der ge-

u

wohnlichen Fußpunktskurve, wie es sein soll.

§ 29. Näherungsformeln zur Quadratur der Kurven.

a. Rechtecksformel.

Teilt man wie in § 11 oder § 69 der Differentialrechnung*) die Strecke A₀An =a—b in n gleiche Teile

Pa

ri

Il !

И ü.

Лп. *

п\.

Fig. 29.

а_Ь

(Fig. 29) von der Länge à = —-— und zieht man

durch die Teilpunkte A₀, Ax, A₂,..., An Parallelen zur y-Achse, welche die Längen

yo = f(b), 7i = f(b + <5), У₂ = f(b + 2 <5),..yn = f(a) erhalten mögen, so läßt sich der Inhalt der Fläche P₀A₀ AnPn näherungsweise als Summe von n Recht-

Un = ô (y₀ + Jt + y₈ + • • • + Уп-1>

ecken von der Breite ô durch jede der beiden Formeln ausdrücken

(1) oder

Uń = à (y! + у₂ + Уз + • • • + Уп), луо Un die Summe der kürzeren (schraffierten), Un die Summe der längeren Rechtecke darstellt. Ist U der Avahre Inhalt der Fläche P₀A₀AnPn, so ist stets Un<U<ü'.

Wie schon in § 69 der Differentialrechnung*) gezeigt Avorden ist, wird der Fehler, den man begeht, луепп man Un oder Un an Stelle von U setzt, immer kleiner, je größer n wird. Im Grenzfall ist lim Un = U = lim U '.

n = QO

b. Trapezformel.

Eine größere Annäherung an U wird bei endlichem n geAvöhnlich erzielt, Avenu man das arith-

n = GO

P₅

гШШ

Www\

Лщ&щщ,

О у •A/o.// / «./Zg Лз i/Тц.

Fig. 30.

luetische Mittel von Un und Щ bildet und dieses an Stelle von U setzt (Fig. 30)

U"

un

(2)

Geometrisch stellt diese Formel die Summe der

n Trapeze

Ui, U₂, Ü₃,..., un

von der Höhe ô und den Grundlinien y₀, j₁, y₂,..., yn dar. Die Formel (2) heißt deshalb auch Trapezformel.

c. Die Simpsonsche Regel gründet sich auf die Verwendung der Parabel y = ax² + ßx + y

zur näherungsweisen Berechnung von U.

Legt man durch die Punkte P₀, Pl7 P₂, welche in diesem Fall die Koordinaten x₀y₀, x₁y₁, x₂x₂ haben sollen, obige Parabel, so gelten die Gleichungen

(3)

Уо = axo + ßx₀ + y Ji = «Xi + ßx₁ + у У₂ =ax₂ + ßx₂ + 7,

aus denen sich die Koeffizienten a, /?, у eindeutig bereclmen lassen.

Diese Parabel wird sich zwischen den Punkten P₀, P1? P₂ im allgemeinen näher an die Kurve schmiegen, als dies für die Rechtecke in a. und die Trapeze in b. der Fall ist.

Näherungs weise kann also zwischen diesen Punkten die Parabel an Stelle der Kurve gesetzt werden. Der Inhalt der beiden ersten Flächenstreifen ist alsdann näherungsweise

ux + u₂

=ß[ax² +    + y)dx = I (ха — Xo)

+ ! (x* — Xo) + y(x₂ — x₀).

Setzt man hierin x₂ — x₀ = 2 ô und benutzt die Gleichungen (3), so geht diese Formel über in

^1 + U₂ = — (jo + 4y₄ + y₂).

Wählt man n gerade n = 2r und bildet ebenso U₃+U₄, Uö + U6>..,, Un_i -f- un und addiert die erhaltenen Ausdrücke, so ergibt sich als dritte Näherungsformel

U — |(Уо + У 2 г) + 2(y₂ + У4 + • • • + У 2 г — 2)

+ 4 (уI + Уз + • • • + У2 г— l)J ,

*0 Ico

welche als „Simpsonsche Regelu bekannt ist.

. .    h₁₀ = 4;

ergibt

Beispiel. Für 4,3; 4,1; 3,7; 3,1; Î sich nach den Rechtecksformeln

Un = 36,8, Un == 35,9 und hieraus nach der Trapezformel

U"=l(Un+ü') = 36,35.

Die Simpsonsche Regel endlich ergibt U = 36,5.

— 1? ^oj 1

; 3,2; 3,6;    ; 3,9;

CO-

§ 30. Rektifikation ebener Kurven in rechtwinkeligen Koordinaten.

Erklärung. Unter der Rektifikation einer Kurve versteht man die Berechnung der Länge s des Kurvenbogens QP zwischen den Punkten Q und P mit den Abscissen b und a.

Ist j = f (x) die Gleichung der gegebenen Kurve, so ist nach § 62 der Differentialrechnung*) das Linienelement angegeben durch

(1)

dx.

Durch Integration folgt hieraus als Länge des Kurvenbogens PQ

(2)

= J/l + j ² dx = jyr+T (x)² dx.

b    b

Satz. Die Länge des Kurvenbogens zwischen den Punkten P und Q mit den Abscissen a und b ist angegeben durch das bestimmte Integral (2).

cc

Fig. 81.

Fig. 32.

Beispiele.

1. Für die Asteroide (Fig. 32), deren Gleichung

ist, erhält man x³ + У³ = a³

te I ce

-Л/ ²_ l\l

x ³ ^a³ — x³J²

d s = У1 + у '² d x = a³ x ³ dx

somit ist

⁼/

О

a³ x ³ dx =

CO| CO

а.

S = 6a.

2. Die Kurve (Fig. 33) hat die Gleichung 9ay² = x(x — 3a)²:

Ganzer Umfang

+x

Fig. 33.

Fig. 34.

daher ist

X — За

also а

-IV

(х —а)

■(—!== dx

{ ²/ах

Für die halbe Schleife erhält man mit x = 3 a s = 2а/з.

= 4a/3.

3. Für die Parabel (Fig. 34), deren G-leichimg x² = 2py ist, ergibt sich

Glanze Schleife

dx=

X²

96 VI. Anwendung auf die Geometrie der Ebene, und somit als Länge des Kurvenbogens OP (vgl. § 15,4)

X²

1 + —dx

P²

~—J ]/p² + x²dx Po

=¹    + pä + X) +    + p4

¹

Sammlung Göschen Bd. 87.

_P.₁ł^±E±i ₊ i yjr+p.

2    p    2p r    ^

B\

a ,yy

JO

Fig. 35.

daher ist

4. Die Kettenlinie (Fig. 35) hat die Gleichung У = | (ea +e

und

dy

'гч |cq *

CD

CD

rH I CM

e ) = /y² — a² =

X I св

AB;

somit gilt der

Satz. Der Bogen der Kettenlinie vom tiefsten Punkt A derselben bis zu einem beliebigen Kurvenpunkt P(xy) ist gleich yy² — a², wo y die Ordinate dieses Punktes ist.

■*>

c>:->

a,

О I) iE

fj

Fig. 36.

5. Rektifikation der Ellipse. In Funktion eines Parameters t lassen sich die Koordinaten eines Ellipsenpunktes darstellen durch

y = b sin t,

X = a cost,

dx = — a sin t dt, dy = b cos t dt. Bezeichnet man mit s die ganze Länge der Ellipse,

so ist

wo e

CO

*®i a

ft I Cd

= J Vi + У² dx = aj /Г 0 0

— £² cos²1 dt

]/a² — b²

die numerische Exzentrizität bezeichnet.

Junker, Höhere Analysis. Bd. II

Dieses Integral ist als ein elliptisches nicht in endlicher Form darstellbar. Entwickelt man jedoch die Quadratwurzel nach Potenzen von cos²t mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, so folgt

ff    ßi    ß6    \

= a 111—ycos²t—— cos⁴t — — cos⁶t—...Jdt о

womit der Bogen der Ellipse durch eine konvergente Potenzreihe dargestellt ist. — Für a = b oder e = 0 geht die Ellipse in einen Kreis über, dessen Quadrant

bekanntlich einen Bogen von der Länge ~    ^ a besitzt.

4:    и

§ 31. Rektifikation in Polarkoordinaten.

Wendet man Polarkoordinaten an

x = rcosç?, y = r sin cp,

so folgt hieraus

dx = drcosç?— rsin^dq?, dy = drsin<p-J-rcos99d99.

Setzt man diese Werte in ds² = dx² + dy² ein, so ergibt sich für das Linienelement der Ausdruck

(1) ds =

dcp    v'²&<p,

und hieraus durch Integration als Länge des Kurvenbogens PQ (Fig. 37)

(2)

/p+(^)V

Satz. In Polarkoordinaten ist die Länge des Kurvenbogen PQ = s zwischen den Punkten P bezw. Q vom Azimut a bezw. 99 angegeben durch das bestimmte Integral (2).

Fig. 37.

Beispiele.

1. Für die Spirale des Archimedes ist r = a 99,    r'=a,

<p__ <p ___

f ]/a²99² -f- a², d(p = af^cp²1 d(p о    и

=    1 +!(<? + У<?²+1)}.

Vergleiche § 15, 4.

2. Für die Kardioide (Fig. 24) ist r = 2a(l + cos 99), r' = — 2a sin 99,

<r_ V__

s = yyp² + r'² d99 — 2a/]/2 (1 + cos 99) d99, и    о

<p

= 4 aj cos ^ d 99 = 0

8 a sin ^.

и

Für (p = tz ergibt sich hieraus als halber Umfang der Kardioide

2=8a;

woraus folgt S = 16a.

3. Für die gewöhnliche Fnßpnnktskurye des Kreises (Fig. 26) r = a(l + cos cp) ist ebenso

<p

s = slJ/2 (1 + cos cp) d cp о

cp

— 4a sin^-.

и

Die ganze Kurve hat somit die Länge S = 8a.

Pi

r.

r,

a JÎ

i/<p\

ч/у'

eTTTl

Fig. B7a.

4. Für die allgemeine Fußpunktskurve (Fig. 37 a), deren Gleichung r = а — (а — h) cos cp ist, ergibt sich als Kurvenlänge

71

S = 2 /Уа² + (а — h)² — 2a (a — h) cos cp dcp о

= 2 (2 a —

‘»/i

о

cp

— Я² cos²^d<p,

и

Г²

(2а — Ъ)²

ЛУО

gesetzt ist.

4 а (а — Ь)

Dies ist ein elliptisches Integral und läßt sich als solches in ähnlicher Weise wie der Ellipsenbogen, § 29, durch Reihenentwickelung berechnen. Man erhält nach §26, Formel (4)

5. Für die Cykloide x=a(99—sin99), y=a(l—COS99) erhalten wir als Länge

2 л    л

= 8a.

S = aj/2 (1 — cos cp) d(p = 2a j*sin^ dcp о    0

§ 32. Teilung von Flächen und ebenen Kurven.

a. Für rechtwinkelige Koordinaten.

Nach § 27 ist der Inhalt U der Fläche BCD А (Fig.- 38) dargestellt durch die Formel

U = /f (x) dx.

b

Ist nun ME = у die Ordinate des Punktes M, welche dieselbe halbiert, so ist offenbar

x    а

(1)

/f (x) dx =/f (x) dx

b    X

F (x) — F (b) = F (a) — F (x)

oder, wenn F(x) das Integral /f(x)dx bezeichnet, oder

(2)

F(x)=l{F(a) + F(b)}.

Soll die Fläche В CDA durch die Ordinate у des Punktes M in zwei Teile zerlegt werden, die sich verhalten wie m : n, so berechnet sich die zugehörige Abscisse aus

(3)

J f (x) dx : ff (x) dx = m : n oder aus

b    x

F(x)

mF (a) + nF (b)

Ist ebenso Ж der Mittelpunkt des Bogens PQ (Fig. 38), dessen Koordinaten x, у sein sollen, so be-' Jtf

Чж I ж

jo

CU

Fig. 38.

rechnet sich die Abscisse dieses Punktes aus der Gleichung

CC |<М

_/ds _/

b    X

ds

oder, wenn F(x) =/ds gesetzt wird, aus

F(x)=i{F(a) + F(b)>.

Der Punkt M teilt den Bogen PQ im Verhältnis m : n, wenn die Bedingung besteht

Satz. Die Abscisse des Punktes M, dessen Ordinate y die Fläche BCDA, bezw. den Bogen BA im Verhältnis m:n teilt, berechnet sich als Wurzel der Gleichung (3), bezw. (4).

b. Für Polarkoordinaten.

Ist die Gleichung der Fläche in Polarkoordinaten

fr

(7%

~2~

Fig. 39.

г = f [çp) gegeben, so berechnet sich das Azimut dessen Radiusvektor OP=r die Fläche AOB halbiert, aus

а    ц)

f r²dcp — f r²d cp

oder wenn

gesetzt wird, aus

(4)

x a

/ds:/d

b X

s = ш : n oder wenn

F (x) =

mF (a) + nF (b)

m 4- n

yj    ß

Ф(<р) = Jr²dcp

Soll sich die Fläche OAP:OBP = m:n verhalten, so erhält man das Azimut xp des gesuchten Vektors OP aus

(5)

a    y>

nfr²d<p ?= m f r²d(p w    ß

oder aus

Ф{хр)

n Ф (a) + m Ф (ß)

Ist xp hieraus berechnet, so ergibt sich der Wert des zugehörigen Vektors aus der Gleichung r = f (xp).

Ebenso berechnet sich das Azimut xp desjenigen Vektors, der den Bogen AB im Verhältnis m : n teilt, aus der Gleichung

(ß)

n/ds =

xp

yj

m fds oder

ß

aus

Ф(гр)

n Ф (a) + m Ф (ß)

Beispiele.

1. Die Fläche der Parabel j = px² durch eine Parallele zur x-Achse im Verhältnis m : n zu teilen. Man berechnet die Abscisse x des Punktes P aus

und erhält

n / px²d о

a

if px²dx

x

ma³

x³

und x =

m -j- n

fe-

2. Fläche und Bogen der Kardioide r=2a(l+cosç?) durch einen Radiusvektor zu halbieren.

Die Fläche wird durch einen Vektor vom Azimut xp halbiert, wenn die Bedingung stattfindet

xp    n

f r²d cp — f r²d 99,

0    y>

woraus sich, als (transcendente) Bestimmungsgleichung für xp ergibt

cos xp sinxp + 4 sinxp — — {n — 2 xp) — 0.

Li

Der Badiusvektor (r, xp) halbiert den Bogen der

y    n

Kardioide, wenn J ds =/ds oder о

wenn

2 sin

oder

--i

to I l-k

J=60° und r

О

3. Den Kreisquadranten О AB durch Parallelen zu OB in n gleiche i Teile zu teilen.

Sei P С = у die kte Teilgerade, | so verhält sich Fläche

BOCP : CPA = к : (n — k);    _

daher erhält man zur Berechnung 0\ x C JŁ der Abscisse x des Punktes P die Gleichung

, xp =

3 a ist.

\B

<y I!

if >

Fig. 40.

oder

x    a

(n — к)/Уа² — x² dx = к/Уа² — о    о

x²dx

(n — к)|хУа² — x² + a² arc sin—|

oder

=k{?a2

— хУа² — x² — a² arc sin

хУа² — x² + a² arc sin — =

n к _ -.-a2 2 n

Setzt man hierin * = cos cp und demgemäß ]/a¹ 2 — X²

sincp und arcsin — a

so geht unsere Gleichung über in

⁼ V~2'

COS (p sin cp — cp + ~ -—j

= 0,

die zur Berechnung des Winkels cp dient.

4. Den Quadranten der Lemniskate r² = a² cos 2 cp durch einen Radiusvektor r, cp zu halbieren.

•m a

Man erhält als Bedingungsgleichung zur Berechnung von cp

/cos 2 cp d^9 — /cos 2cpd(p

э    <p

sin 2 99 = 1 — sin 2 cp

2 sin 2 cp = 1, sin 2 cp = ^

л n ²^=6’

<p

und hieraus ⁰

oder

71

'-ÎA

wodurch eine einfache Konstruktion angezeigt ist.

Soll die Fläche allgemein durch einen Radiusvektor im Verhältnis m : n geteilt werden, so berechnet sich das zugehörige Azimut cp aus

nsin 2 cp = m (1 — sin 2 cp)

. о    ¹¹¹

Sin 2 09 = -;-

m + n

<p =

und der Vektor selbst ans r² == 2 a² cos 2 cp =

2 a²

• Уп² + 2mn

y2mn + n².

VII. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie des Raumes.

§ 33. Kubatur begrenzter Räume.

Erklärung. Unter der Kubatur eines Volumens versteht man gewöhnlich die, Berechnung eines Rauminhalts, der von ebenen oder gesetzmäßig gekrümmten Flächen oder von beiden begrenzt ist.

Eine Ebene x = x parallel zur уz-Ebene schneide aus dem Körper (Fig. 41) eine Scheibe ABC vom Flächeninhalt Ux heraus, der mit Hilfe der gegebenen Flächengleichung F (xyz) = 0 in Funktion von x ausgedrückt werden könne

xa

oc-b

x-x.

Ua

Ux = f (x).

Alsdann unterscheidet sich der Rauminhalt, der von der Fläche F (xyz) und den Ebenen x und x +dx begrenzt wird, um eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung von dem Inhalt des Cylinders, der

JC

'S

Fig. 41.

als Grundfläche U und als Höhe dx hat. Dieser Cylinder darf daher an Stelle der Scheibe gesetzt werden. Die Summe aller dieser Scheiben zwischen den Ebenen x = b und x = a ist alsdann angegeben durch

(i)

V = /üxdx=/f(x)dx.

b    b

Satz. Der Rauminhalt V, der von den beiden Yertikalebenen x = b und x = a und der Fläche F begrenzt wird, ist durch das bestimmte Integral (1) ausgedrückt.

Beispiele.

1. Die Gleichung

y² z²

—— —]--

b²^ c²

stellt ein Paraboloid dar, welches die yz-Ebene in x = 0 berührt und die гч    zx-, bezw. xy-Ebene nach

—\    den Parabeln z² = c²x bezw.

/I    y² = b²x schneidet. Jeder

'У

i a\ x ebene Schnitt U parallel zur J    y z-Ebene ist eine Ellipse,

y    welche in der Entfernung x

Fig. 42.

von dieser Ebene den Inhalt U = тгЬсх hat. Der Rauminhalt V des Paraboloids zwischen den Ebenen x = 0, x = a ist alsdann nach Formel (1)

V = nj bc x dx = ^a²bc. о

2. Das Ellipsoid (Fig. 43) hat bekanntlich die

Ein Querschnitt, parallel zur yz-Ebene in der Entfernung X gelegt, schneidet dasselbe nach einer Ellipse mit den Achsen

—Va² — X², —Va² — X2 a    a

und dem Inhalt

bc

и==Я_(а2_

X²) = jibe (l ^-).

0 ' ''' •

У. M--.1.--

л i а

Fig. 43.

Der Inhalt des ganzen Ellipsoids ist somit angegeben durch

~r a

= J лЬс(^1— dx = ^ тгаЬс,

woraus für c = b = a als Inhalt einer Kugel vom Radius a hervorgeht

Gleichung

3. Das einmantelige Hyperboloid (Fig. 44) hat die

X^_|_y² Z²

a²

b² c²

Ein Schnitt senkrecht zur z-Achse in der Entfernung z von der xy-Ebene gibt eine Ellipse von den Halbachsen

— ]/z² -)- c²,    — yz²c²

und dem Inhalt

ab

Л^(²²+С2)-

Fig. 44.

Der Rauminhalt des einmanteligen Hyperboloides ist daher

jrabh

Für h = c folgt hieraus

^ yrabc.

О

4. In der Entfernung c (Fig. 45) von der Ebene eines Kreises vom Radius a liegt parallel zur Kreisebene eine Leitlinie. An dem Kreisumfang und der Leitlinie gleitet beständig senkrecht zu derselben eine Gerade hin. Volumen des erzeugten Konoids?

Es ist

U = APBD = yc = c]a² —- X2 dY = Udx

+a +a

Y=/üdx = c/ /a² — X² = л ca².

А !//

...I-У

prfH

;\c

'У

Fig. 45.

Fig. 46.

Schneidet die Leitlinie von der x-Achse bezw. z-Achse die Stücke a' und c ab, so ist (Fig. 46)

U = APBD = yz

daher auch

+a

-/

Udx = c

/]/a² — x²(i — 4) dx =

л: ca².

§ 34. Kubatur von Rotationskörpern.

In der xy-Ebene liege die Kurve (Fig. 47)

у = f(4

Dreht sich dieselbe um die x-Achse, so beschreibt irgend ein Pimkt P derselben mit den Ko-112 VH. Anwendung auf die Geometrie des Raumes.

ordinaten xy einen Kreis vom Radius y, der somit den Inhalt hat

(i)

U = яу² =    ²(x).

Legt man in der Entfernung dx von derselben eine weitere Ebene senkrecht zur x-Achse, so schneidet diese aus dem erzeugten Umdrehungskörper einen zweiten Kreis aus, der mit dem ersteren und der Drehungsoberfläche einen Raum einschließt, der sich nur um

X\:

Fig. 47.

(3)

ein unendlich Kleines höherer Ordnung von dem Inhalt Udx des Cylinders unterscheidet, der zur Grundfläche U und zur Höhe dx hat. Dieser darf also an Stelle jenes Rauminhalts gesetzt werden. Es ist dV = U dx = яуЭДх == яР(х) dx.

Hieraus ergibt sich durch Integration als Inhalt des Drehungskörpers zwischen den Ebenen x = b und

X == a    a    a    a

(2)

Y = /Udx = л J y²dx = я/ f²(x)dx.

b    b    b

Satz. Dreht sich eine ebene Kurve y = f(x), die in der xy-Ebene liegt, um die x-Achse, so

beschreibt die Fläche BCDA zwischen den

Knrvenpnnkten A und В mit den Abscissen a nnd b einen Rotationskörper, dessen Inhalt durch das bestimmte Integral (3) angegeben ist.

Beispiele.

1. Die Parabel у = px² erzeugt bei der Drehung um die x-Achse einen Umdrehungskörper, dessen Inhalt zwischen den Ebenen x = 0 und x — x angegeben ist durch

X    X

= лy*y²dx = л j'p²x⁴dx = ^p²x⁵ = о    0

Jxy*.

2. Dreht sich die schleifenförmige Kurve a²y² = x²(a² — x²)

\Ô* a

JC

Fig. 48.

um die x-Achse, so ist der Inhalt des erzeugten Rotationskörpers zwischen den Ebenen x = 0 und x = x

k<?

o

Junker, Höhere Analysis. Bd. II.

114 VII. Anwendung auf die Geometrie des Raumes.

Die ganze Schleife beschreibt somit einen Körper vom Inhalt

1    4    3

15

Гзяа-

3. Durch Drehung der Cissoide (Fig. 48)

(2a — x) у “ — x³

um die x-Achse wird ein Körper erzeugt, der den Inhalt besitzt

Va

-J

0

X³

⁷¹ ) 2a — x

dx == n 8a³

(>-!)•

CL

Fig. 49.

4. Der Rotationskörper der Asteroide (Fig. 49)

hat den Rauminhalt

x³ + y³ = a³

Vx

= nj(J-x*)Sdx 0

о №

-Ms-

|JPT.₊ |ÎCT*-|).

Der ganze Inhalt des erzeugten Körpers ist somit

v = S-s=|-^a-

5. Die Cykloide hat die Gleichungen x = a {cp — sin cp), y = a cos cp.

Bei der Drehung um die x-Achse erzeugt dieselbe einen Rotationskörper dessen Inhalt ist

Y = jr/y² dx. и

Nun ist dx = а (1 — cos cp\ daher ist auch

<p

Y=na,sJ (1 — cosç9)³d99=rca³ jç? — 3sin<p+^(Y+siüYC0S<P)

о

2    \<р

— sin(pcos²cp— —sin ср\.

d    Jo

СО

Der erste Abschnitt cp = 2jr erzeugt daher einen Rotationskörper vom Inhalt Y2л= 5л²а³.

х\па

■■ м ■ !

Fig. 50.

6. Die Kurve (Fig. 50) by² + ax² — x³= 0 beschreibt bei der Drehung um die x - Achse einen Rotationskörper, dessen Inhalt ist

х=пг

-?/<**

— ax²)dx = 7^r(3n⁴—4n³+ 1).

12 b

§ 35. Kubatur von cylindrischen Räumen.

Gegeben seien die Kurven

und

y = f(x) in der xy-Ebene z = cp(x) in der zx-Ebene.

Gesucht sei der Rauminhalt V, der von den Cylinder-flachen y = f(x), z = 9?(x) und den beiden parallelen

z‘

'У <

X:fr

X'd

'D

Fig 51.

Ebenen x = b und x = a eingeschlossen Avird. Eine Ebene x = x senkrecht zur x-Achse schneidet aus dem Körper ein Rechteck PAD В von den Seiten PA == z = cp(x) und PB = у = f(x) heraus, welches somit den Inhalt

ü = yz = f(x) <p(x)

hat. Der Inhalt des Kölners zwischen den Ebenen x = b und x = a ist somit angegeben durch

(i)

V = f yz dx = f f(x) (p(x) dx. ь    b

Satz. Der Inhalt des cylindrischen Raumes, der von den beiden Cylinderflächen y = f(x), z = <p(x), den Ebenen x = b und x = a, der zx-Ebene und xy-Ebene eingeschlossen wird, ist angegeben durch das bestimmte Integral (1).

Beispiele.

1. Den Inhalt des Körpers zu bestimmen, der von den beiden Cylindern

y² = x (2 a— x), z²=4ax, der zx- und der xy-Ebene begrenzt wird.

Man erhält

y = Ух (2a —~x), z = 2 ]/äx

2a    2a

— xdx.

Y = J 2Уах²(2а — x) dx = 2Уа/x]/2äT

о    о

Setzt man nun

У2а — x = t, x = 2a — t², dx = — 2tdt, so ergibt sich nach § 13, *b 3

J x]/2tä

daher ist

T У(2а — X)⁵ — I а У(2 a — x)³,

2. Der Rauminhalt, der von den beiden parabolischen Cylinderflächen

z² = ах, y² = bx

der Ebene x = x und der zx-Ebene erzeugt wird, ist angegeben durch

= У Уах ybxdx = yäb    = ~ xyz.

о

3. Den Rauminhalt (Fig. 52) zu bestimmen, der von der Ebene z = xtga, der Cylinderfläche x²+ y²= a², der xy- und zx-Ebene begrenzt wird.

Fig. 63.

Fig. 52.

118 VII. Anwendung auf die Geometrie des Raumes.

Es ist y = f = /а² — X², z = cp = x tg a, daher

— x²dx = —

CM Ico

2 о

(a² — x²)³ = -a³tga.

о

0Â

(i

O----------J-...

Kîv i

JC

/y

4. Man berechne den Rauminhalt (Fig. 53), der von den Cylinderflächen

y = f (x) = ]/x(a — x), z = ç>(x) = ]/a² — x2 und der z x-Ebene begrenzt wird.

Man erhält

V = / ]/a² — х²Уах — x²dx =/(а — x))4ix + x²dx о    о

(~ï⁺]|ax+fa2)l/ax+x2

a²x — x³

J Vax 4- x2 о ’

dx =

5. Den Rauminhalt (Fig. 54) zu berechnen, der von den beiden Cylinderflächen

z = ]/a²— X², y = j/a² — X2 und den drei Koordinatenebenen begrenzt ist.

Es ist

somit

00 I H-

=Jy z dx = j (a2 о    0

— X²) dx —

CO I to

a³,

16

Тл

§ 36. Oberflächenberechnung (Komplanation) von Rotationskörpern.

In der xy-Ebene liege die Kurve y = f(x) (Fig. 55). Wird dieselbe um die x-Achse gedreht, so beschreibt

oc*b

f(*j

X'Ct,

d ~>h

JC

:ь.

ds

Fig. 55.

Fig. 54.

irgend ein Punkt P derselben einen Kreis vom Radius у = f(x), dessen Umfang

2ny = 2rcf(x)

ist. Die Sehne PP'=ds, welche den Punkt P mit dem benachbarten Punkt P' verbindet, beschreibt hierbei eine reifförmige Fläche, deren Inhalt dU = 2yryds = 2?rf(x)ds ist. Hieraus ergibt sich aber durch Integration als Oberfläche des Umdrehungskörpers, den der Kurvenbogen B A zwischen den Punkten В und A mit den Abscissen b und a beschreibt,

(1)

(2)

U = 2я:/у ds = 2 л j f(x) ds.

b *    b

Nun ist bekanntlich ds = У1 + y'²dx, daher ist diese Oberfläche auch angegeben durch

(3)

U = 2 л / f(x)yi + y'²dx.

b

Satz. Der Kurvenbogen AB zwischen den Ebenen x = a und x = b beschreibt bei der Drehung um die x-Achse eine Rotationsfläche, deren Oberfläche durch das bestimmte Integral (3) angegeben ist.

Beispiele.

1. Oberfläche der Halbkugel, erzeugt durch Drehung eines Viertelkreises um die x-Achse.

Es sei x² + у² = a² die Gleichung eines Kreises vom Radius a, dann ist

U=2jr/yds = 2rc( Уа²—x²ds. o    Ü

Nim ist ds =

daher

adx

}a² — x²

U = 2л J adx = 2jra². о

Die Oberfläche der ganzen Kugel ist daher, wie 0 = 2U = 4ла².

bekannt,

2. Rotationsoberfläche der Sinuslinie у = sin x

X

Ux = 2 л / у d s. о

Es ist y'= cos x, ds = ]/l + cos²xdx, daher

Ux=2jr/sinx]/l + cos²xdx = — 2 jt/]/1 + cos²xdcosx о    0

j⁰⁰^ X /I + COS² X + i-1 (cos X + yi+ COS²x)j .

Ein Abschnitt der Sinuslinie beschreibt somit bei der Drehung um die x-Achse die Oberfläche

11* = —2 л

l-f + lK-1 + й}

+ 2 л |L -f- g-l (l + /2)} = 2 л:/2 + л1(3 + 2]/2) .

3. Fläche erzeugt durch Drehung der Parabel y² = 2px um die x-Achse.

Es ist

y = ]/2px

somit

y-=]/L

P+ 2x

2x

dx,

Ux

= 2 л fУ2рх • 1/ о

P + 2xdx

2x

= 2 л Ур J Ур + 2xdx

о

CM ico

= л ур (p + 2x) Ур + 2x.

222

4. Rotationsfläche der Asteroide x³ + y³ = a³.

122 VIL Anwendung auf die Geometrie des Raumes. Man erhält

io-2,

dx =

SH

somit

—г л:а² = ~ • 4яа². 5    5

5. Für die Cykloide x=a(ç9— sin 99), y=a(l — cos 99) ergibt sich dx = a(l — cos 99), dy = + a sin 99,

, ds = 2 a sin ^^99,

и

y' =

sin 99

somit ist

1 — COS 99

16 тга²

= 2jt / у ds = 0

i^jia²cos| ^2 + sm²|^.

Für cp = 2л folgt hieraus als Oberfläche eines rotierenden geschlossenen CyMoidenabschnitts

32

U2yr = — яа² = — • 4 тга². 3    3

§ 37. Oberfläche von Cylinderflächen.

1. Gegeben seien die beiden Cylinderflächen у = f(x) und z = <p(x),

die sich nach der Raumkurve PQ durchdringen mögen.

Man suche den Inhalt der Scheitelfläche PCDQ und der Stirnfläche PABQ (Fig. 56) zu ermitteln.

Hat Punkt T die Koordinaten xyz, so darf der Flächenstreifen TS bis auf eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung mit einem Rechteck von der Breite

p.

;;

I,

0/

XB

Fig. 56.

ds = ]/dx² + dz² und der Länge y verwechselt werden, daher ist näherungsweise das Element der Cylinder-flâche PCDQ

(1)

dü

dx.

Ebenso ergibt sich als Element der Cylinder-fläche PABQ

(2)

dUyx = z ds =

somit ist

“FW

dx ;

dx

Scheitelfläche PCDQ = UZX =

= J f(x)Vl + 9?'ädx;

Stirnfläche PABQ = U

= y*9?(x) ]/l + f'²dx.

Satz. Die Oberfläche der Cylinderfläche PCDQ bezw. PABQ ist angegeben durch das bestimmte Integral (3) bezw. y4).

2. Ist an Stelle der Cylinderfläche z = 99 (x) die allgemeinere Fläche z = F (xy) gegeben, welche die Cylinderfläche nach der Kurve PQ schneiden möge, so ist die Oberfläche PABA = U des letzten Cylinders dargestellt durch

и = /z ds = /F(xy) /Г+Т"² dx

(5) oder

U=/F(x,f)/l + f²dx. Beispiele.

at

*7

2/

ahJ-x

ę yfOL.O)

Fig. 67.

1. Rauminhalt, Stirn- und Scheitelfläche der Durchdringung der beiden Cylinder (Fig. 57) zu berechnen: y²=ax — X²,    z²=4ax.

§ 37. Oberfläche von Cylinderflächen.

a) Der Rauminhalt ist nach § 35

— x²dx

= 2 J хУа²^

о

— axdx = —-a³.

15

ß) Stirnfläche = /zds о

y = /ax — x²,.y' somit

a — 2x

2]/ax — X²

, ds

adx

2yäx — x²*

}xdx

= а /а /

/ /ах — X²

у) Scheitelfläche = f y cl st ö

z = 2]/ax, z' = —Lz fax

Stirnfläche

a,U-Jï

= 2a².

somit

a² — x²dx

Scheitelfläche

X r—-- a . Xa n .

= — ]/a²—x² + —arcsin — = — a².

—    —    a Q 4:

2. Durchdringung von Kreiscylinder und Kugel

(Fig. 58)

y = ]/ax — X², z = ]/a² — x² — y² = ]/a² — ax.

Fig. 58.

3. Durchdringung der Cylinderfläche у² = ax — x2 mit der Kegelfläche

—r = 0.

x² + У² z²

c²

a²

Man erhält wie in Nr. 2 у = yax — x², ds =

Man erhält

y'

a — 2x

ds

adx

2 Vax — X²’

2yax — X²

somit ist der Inhalt der cylindrischen Stirnfläche

üa

— ax •

dx

ax — X²

_ a

a]/a Гdx

T;?"

a².

ot

JTsCL

'У

adx

2 ]/ax — x²

und somit für die ganze Oberfläche des Cylinders zwischen x у-Ebene und Kegelfläche

2U=2

adx

2]/ax — x²

= — 2c]/a²—ax = 2ac.

oder auch

Fig. 69.

§ 38. Rektifikation von Raumkurven.

Eine Raumkurve kann als Schnittlinie zweier Flächen, z. B. zweier zu den Koordinatenebenen senkrechten Cylinder-flächen betrachtet werden, dann hat sie die Gleichungen X = X, J = f (x), Z = g(x).

Sind die Koordinaten eines Punktes im Raum als Funktionen eines Parameters t ausgedrückt, so läßt, sich eine Raumkurve auch darstellen durch die Gleichungen

x = ç>(t), y = y(t)

Sind alsdann P und P' zwei benachbarte Punkte derselben mit den Koordinaten xyz; x + Ax, y + Ay, z -f Az, so ist deren Entfernung angegeben durch

As = /Ах² + Ay² + Az².

Rücken die beiden Punkte P und P' unendlich nahe zusammen, so ergibt sich hieraus als Linienelement der Raumkurve

(i)

(2)

(3)

(4)

ds

Pi

*(*)•

0y

OC₀

,X.

y'

(5)

ds =

dt.

Durch Integration folgt endlich hieraus als Länge des Kurvenbogens PQ (Fig. 59) zwischen zwei Punkten P und Q mit den Abscissen x₀ und x

(6)

oder

(7)

s = //l + f'² + g'² dx

xo

x = v(t)____

s = /]/cp'² + ip'² + X ² dt.

x₀ = 9?(to)

Beispiele.

1. Die Schraubenlinie (Fig. 60) hat die Gleichungen

Fig. 60.

x = r cos t, у = r sin t, z = t,

daher ist

2 71

x' =— rsint, y'=rCOSt, Ti' = ——- j

2 71

§ 88. Rektifikation von Raumkurven.

129

somit

r²

h²

dt =

}4л:г² -f- h²t.

и Jt

4л²

2. Die im vorigen Paragraphen, Aufgabe 2, auftretende sphärische Kurve hat in Polarkoordinaten die Gleichungen

|(l+cos<p), У = Tj-sinç?, z — Hieraus folgt x' = —

a cos

sin(p, y'==|-cos^, z'= —|sm|.

Der in Figur 58 gezeichnete Teil dieser Raumkurve erhält die Länge

c3 I CM

7t

s = J]/l -f x'² + y'² + z'²&cp =

о

71

4

Ü

a²

<P

⁺ T sin22d^

= |/j/¹+sm^d

cp.

Dieses Integral ist ein elliptisches und kann auf die Form gebracht werden

7t

1 cp _

à©

— cos²^-d<p,

welche zeigt, daß das Integral am einfachsten durch Reihenentwickelung zu ermitteln ist.

3. Die Länge der Schnittkurve der beiden Flächen

X²

2x³

¹

   . m

— arc sm-—

²

   m + n

y = iä;’ vom Ursprung bis zum Punkt P (xyz) zu berechnen.

Junker, Höhere Analysis. Bd. II.

Durch Integration folgt hieraus

2x³

3t + 3^-1! + 3'-

-/(¹⁺4dx-

0

VIII. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Statik.

§ 39. Momente eines Punktsystems.

Erklärung. Hat ein materieller Punkt Pi, in welchem wir uns die Masse nii vereinigt denken können,

rm-i

130

Man erhält

ds =

14

а²

а⁴

2x

z'= —

? тз I ÎTO2

\p>, \Рз \Рг I Pt

\Ps

m₅ \Ve    m*

771 в

m₇

Fig. 61.

von einer festen Geraden g die Entfernung pb so heißt das Produkt

(i)

Mr= plmj,

das „Moment rter Ordnung“ der Masse иц in Bezug auf die Gerade gi.

Sind eine Keihe von Punkten Pn P₂, . . P„ mit den Massen m1? m₂, . . ., mn gegeben (Fig. 61), die von g die Entfernungen pl7 p₂, . . ., pn haben sollen, so heißt ebenso

i = r

(2) Mr = 2’pimi = m₁pï + m₂p2 + ... + mnpa

ч

das „Moment rter Ordnung des Punktsystems Pl7 P₂, . . Pnw in Bezug auf die „Momentachse“ g.

Für r = 0 geht die Gleichung (1) über in

i = n

(3)

M₀ = 2 mj = mj + m₂ + . . . + mn,

i = l

das heißt in die der Gesamtsumme des Massensystems mie

Für r = 1 heißt

i = n

(4) Мг = 2 pinu = PiiUj + p₂m₂ + ... + pnmD

i=l

das statische Moment des Punktsystems Px, P₂, . . ., Pn in Bezug auf die Momentachse g.

Wählt man p so, daß

(5)

oder

^Pimi Mx

^ ^mi M0 ist, so heißt pM₀ = pJfnii das statische Moment des Schwerpunktes.

Für r = 2 heißt

(6) M₂ = ^pfnii = pim₁ + РзТПз + ... + РпШц

das „Trägheitsmoment“ des Massensystems in Bezug auf die „Trägheitsachse“ g.

9*

Denkt man sich die Massen m1? m₂, . . ., mn nicht in einzelnen Punkten der Ebene liegend, sondern auf einer Kurve, einer Fläche oder auch im Raum stetig verteilt, so treten an Stelle der Summenformeln (2) bis (6) Integrale, wie die folgenden Paragraphen zeigen werden.

§ 40. Schwerpunkt von krummen Linien.

1. Nehmen wir an, irgend eine Masse sei auf einer Kurve stetig verteilt und die Dichte der Belegung sei konstant und gleich so ist pds die Masse, welche kings des Kurvenelements ds verteilt ist. Die statischen Momente dieser Masse in Bezug auf die beiden Koordinatenachsen sind alsdann

q j d s bez w. q X d s.

Durch Integration ergeben sich hieraus die statischen Momente des ganzen Kurvenbogens zwischen den Punkten P und Q mit den Abscissen a und b

fgy ds bezw. /@xds.

b    b

, Q

y \

Fig. 62.

Erklärung. Der Schwerpunkt S eines Gebildes ist derjenige Punkt, in welchem man sich die Masse des ganzen Gebildes vereinigt denken kann. Hat derselbe die Koordinaten so sind

(2)

rjfg ds bezw. %f q ds ь    b

die statischen Momente des Schwerpunktes des Bogens PQ in Bezug auf die x-Achse bezw. y-Achse. Da nun im Falle des Gleichgewichts die entsprechenden Momente von (1) und (2) einander gleich sein müssen, so ist

oder

rj j gds = J Qjds, f/^ds=/^xds

(3)

/yd

b

/ds

b

/ds

b

womit die Schwerpunktskoordinaten des Bogens PQ bestimmt sind.

Satz. Die Schwerpunktskoordinaten eines Kurvenbogens zwischen den Punkten P und Q mit den Abscissen a und b sind dargestellt durch die Ausdrücke (3).

2. Ist die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten gegeben r = f(ç>), so ist q ds r sin 99 das Moment des Elements ds in Bezug auf die Polarachse x und ebenso ^dsrcosq? das Moment desselben in Bezug auf die die y-Achse. Das Moment des ganzen Bogens in Bezug auf die Polarachse bezw. y-Achse ist daher

^/dsrsin^, bezw. qJ dsrcos<p.

Sind rj die Koordinaten des Schwerpunkts des Bogens PQ (Fig. 63), so berechnen sich dieselben aus

/r cos (p ds

fr sin ds

-

•    a

/d /* 0

Die zugehörigen Polarkoordinaten R, yj des Schwerpunkts S berechnen sich alsdann aus

R = |/£2 _j_ ^ tgxjj = rjr.

’S

W

'sN.

-ST.

ас

Fig. 63.

Fig. 64.

ergibt sieh

Beispiele.

1. Für den Schwerpunkt des Viertelkreisbogens

a    a

/ldS /ydS 2,

/ds

О

/ds

ü

л:

/х ds /у ds о    о

2. Für den Schwerpunkt des Asteroidenbogens (Fig. 64) erhält man mit Berücksichtigung von § 30, Beispiel 1

CO| CO

toi CO

3. Die Koordinaten des Schwerpunkts des Bogens der Kurve (Fig. 65)

9ay² = x (x — 3 a)²

+x

jx ds = jxa~

— x ³ dx 3

= a³ / x³ dx =

?_a²*

5 a ’

somit ist

£ = r\ =

³ 2 3 — а² : — а =

5    2

СЛ CO

a.

0 \a *a

Fig. 65.

vom Ursprung bis zum Punkt mit der Abscisse x zu berechnen. Man erhält

2 ]/äx

J 2yäx

о

ds =

x

2    |/ä

Р,=/

и о

x² + ах

2]/ах

dx =

T—I I Ю

—¹ - 1 - -а ^х² + ту a² x²

О

/yds

о

— 3 а) (х+a) dx=(х²— 3 ах — 9 а²),

daher ist

x² — Зах — 9 а²

t x (3 x + 5 a)    1-j fx

5(х + 3а) ’    V=3\ä'

VIII. Anwendung auf die Statik. Für X = 3 a folgt hieraus

fco p

Уз.

4. Für den Schwerpunkt des Bogens der Cykloide

X = a (jp — sin 99), у = а (1 — cos cp)

2

/ ds

erhalten wir

г-*

я 8 a²

8a

= тга,

2л

/yds

о

2 л

/ ds

0

32 , ₀    4

= —a²:8a = -a.

§ 41. Schwerpunkt von ebenen Figuren.

a) Denkt man sich die Fläche PABQ (Fig. 66) durch Parallelen zur у-Achse in Streifen von der

.^1

i*

CL

Fig. 66.

Breite dx geteilt, so ist der Inhalt eines solchen bis auf eine unendlich kleine Größe zweiter Ordnung

durch das Produkt ydx angegeben. Ist die Dichte der Flächenbelegung konstant und gleich p, so ist pydx dessen Masse und sind

y

— »py dx bezw. x«pydx

и

die Massenmomente jenes Streifens in Bezug auf die x-Achse bezw. у-Achse. Die Massenmomente der ganzen Fläche in Bezug auf diese Achsen sind daher angegeben durch

тн |<м

ce

Qi

а»

bezw.

I Q-x ydx.

b

Sind daher f und rj die Koordinaten des Schwerpunkts der Fläche PABQ, so gelten die Bleichungen

a    a    aa

vj0 У dx = 1J p y² dx, f Jqjüx = J j>xydx,

b    b    b    b

woraus folgt

(1)

т—I |<M

/ху dx

/yds

b

/ y²dx

b

/yds

b

Satz. Die Koordinaten des Schwerpunkts der Fläche PABQ sind angegeben durch die Bleichungen (1).

b) Ist r = f (99) die Bleichung einer Kurve in Polarkoordinaten, so hat der Schwerpunkt des unendlich

kleinen Flächenstücks OPP' (Fig. 67) zwischen den Radien r = f (99) und r dr = f (99 + d<p) vom Inhalt

1 2 — r² d(p vom Pol О die Entfernung — r und daher 2    *    3

2

von der Polarachse die Entfernung — r sin 99. Das

О

Мжг

\ß

JC

Fig. 67.

Massenmoment des Flächenstücks О PP in Bezug auf diese Achse ist daher

r² à(p q — r sin cp = q r³ sin 99 d99.

и    О    О

Die ganze Fläche A OB zwischen den Azimuts а und ß hat somit in Bezug auf die Achse das Moment

Oil CO

r³ sin 99 d99.

Ist daher p die Entfernung des Schwerpunkts der Fläche A OB von der Polarachse, so ist

/ r³ sin 9?    = p|- / r² àq?

woraus sich p berechnet

(2)

гЧ СО

I r³ sin cp d cp

/'

j*r²d cp

J

Das Azimut ip des Schwerpunkts der Fläche AOB läßt sich mit Hilfe der Bedingung berechnen, daß die beiden Flächen AOC und COB gleich sein müssen

(3)

гр    а

J r² d 99 = / r²d 99. ß    w

so ist

Ist alsdann R der Radiusvektor des Schwerpunkts,

(4)

sin?/; ’

Satz. In Polarkoordinaten berechnen sich die Elemente p, гр₁ R des Schwerpunkts der Fläche AOB aus (2), (3) und (4).

Beispiele.

1. Schwerpimkt der Fläche der Parabel j² = 2px.

M 1

tzzZZZAZZZZZZZ/,

Man erhält

Fig. 68.

'Ггт

J X ]/2pxdx о

X

/ ]/2pxdx о

СО Ю

x> 4 = —

X

/2pxdx о

CO loo

У-

/ |/2pxdx о

2. Für den Schwerpunkt des Kreisquadr anten (Fig. 68) X² -f- y² = a² erhält man nach Formel (2)

£ = »7 = p =

stimmen.

COl l-*

a³ sin <р ücp

4a

T—I I CM

a² d<p

3. Den Schwerpunkt der Cykloidenfläehe zu be

Es ist

daher

a (cp — sin cp)

und

У = a(l — cos cp), dx = а (1 — cos cp) dcp, dy = — a sin cp dcp

2л

/х y dx    a,³ J (cp — sin cp) (1 —

о

cos cp)² dç

/ydx

2 л

а²/(1 — cos cp)²dcp о

Зл² • а³

3 л: а²

2 л:

T—! I CM

у² dx

г—I I CM

а³1(1 — cos 9?)² (1 + cos ср) d ср

rj =

ydx

а²

2 л

/⁽¹

О

— cos cp)² dср

Зтга²

05 СЛ

а.

§ 42. Schwerpunkt einer beliebigen Figur.

Es sei der Schwerpunkt der Fläche U (Fig. 69) gesucht, die von den beiden Kurven y = f(x) und

Fig. 69.

у = cp (x), sowie den beiden zur x-Achse senkrechten Geraden x = a und x = b begrenzt wird.

Man erhält als Flächeninhalt

U =/{f (x) — cp (x)} dx

b

(1)

und als Moment in Bezug auf die y-Achse nach § 41

Му = /x {f (x) — cp (x)} dx.

b

(2)

Um das Moment in Bezug auf die x - Achse zu berechnen, ist zu bemerken, daß das Rechteck [f (x) — cp (x)] dx an Stelle des elementaren Flächenstreifens zwischen den Ordinaten der Abscissen x und x + dx gesetzt werden darf und dieses Rechteck die

Schwerpunktsordinate besitzt ~ [f (x) + cp (x)], daher ist

а    2

=/^<f (x) + <p w) (f(x) — <p w)dx

b

Mx

oder

(3)

Mx

-~4{

f² — <p²}dx.

Es ergeben sich somit als Schwerpunktskoordinaten 4- и ’ V

Satz. Die Schwerpunktskoordinaten der Fläche, welche von den beiden Kurven y = f(x), y=9?(x) und den beiden Parallelen zur y-Achse x=b und x = a begrenzt wird, sind angegeben durch die bestimmten Integrale (4).

Beispiele.

1. Die beiden Parabeln y²= 2px imd x²= 2py oder

_ 2^2

у = |2px = f und у = —— = cp

2p

schneiden sich im Punkt P mit den Koordinaten X = у = 2 p. (jesucht ist der Schwerpunkt des (linsen-

(4)

Mx

/.

v<

О zp

bvföP

Fig. 70.

förmigen) gemeinschaftlichen Flächenstücks (Fig. 70) beider Kurven. Man erhält

2p

(nach 1) U

2p

(nach 3) Mx

-i/b*

o

X⁴

4p

4<'H

Tp3’

2p

(nach 2)    M y

daher ist

= /x(/2p^

0

X²

— —Idx =

2p

со |ю

p³;

My

Mx

(i

= -5pS; 3P

Iöp-

2. Den Schwerpunkt der halben gemeinschaftlichen Fläche A OP der beiden Kreise f = y — /а² — x2 und cp = у = а — fa² — x² (Fig. 71) zu bestimmen.

'Ш

Fig. 71.

Man erhält nach vorstehenden Formeln

— x² — aI dx =    (4л — 3/3)

My

— X² —

=j x^yä²

0

•K-îï

Mx

—    — a>} di - |j (4л - 3Уз).

Daher ist

5a

2(4л — 3/3) ’ V П

Mx a

2*

§ 43. Schwerpunkt von räumlichen Gebilden.

Schneiden die Ebenen x = x und x + dx aus der Fläche f eine Scheibe vom Inhalt Udx aus, dann ist xüdx das Moment dieser Scheibe in Bezug auf die

а

уz-Ebene und /xUdx die Summe der Momente sämt-

b

licher Scheiben von x = b bis x = a oder das Moment des ganzen Körpers in Bezug auf die уz-Ebene. Ist daher f die Schwerpunktsabscisse des Körpers, so muß

l/üdx =/ xU dx

b    b

sein, woraus sich ergibt

/ xUdx

(1)

/ Udx

b

Satz. Die Schwerpunktsabscisse f eines räumlichen Gebildes ist ausgedrückt durch das bestimmte Integral (1).

Dreht sich beispielsweise die ebene Kurve z = f(x) in der zx-Ebene um die x-Achse, so beschreibt sie einen Rotationskörper, für welchen U = jrz²=^f²(x) ist.

Der Schwerpunkt desselben hat von der уz-Ebene die Entfernung

/xf²(x) dx

(2)

/ f²(x) dx

b

Beispiele.

1. Für das Paraboloid

У²

z²

s-p+^

ist U = jrbcx, daher hat der Schwerpunkt desselben von der yz-Ebene die Entfernung

a

jrbc / X² dx 0

a³

л:Ьс/х dx о

3    2

⁼ 3a-

x=a\ X

'У

Fig. 72.

2. Die schleifenförmige Kurve a²y²= x²(a²—x²) erzeugt bei der Drehung um die x-Achse einen Rotationskörper, dessen Schwerpunkt von der уz-Ebene die Entfernung hat

Jxy²dx    /( a²x³ — x⁵)dx

)    о    5

/У² dx о

/ (a²x² — x⁴) dx о

8 a’

§ 44. Erst© Guldinisclie Regel.

Gegeben sei die Kurve y = f (x) in der xy-Ebene. Dreht sich dieselbe um die x-Achse, so beschreibt beispielsweise der Punkt P mit der Ordinate y einen Kreis, dessen Inhalt

а)

U = nj² = лР(х)

ist. Der Inhalt des auf diese Weise erzeugten Rotationskörpers zwischen den Ebenen x = b und x = a ist alsdann nach § 34

(2)

Y =judx = njy²dx = 2nf

b    b    b

a

1 f

Run ist nach § 41 —/у² dx das Moment der

b

Pläche DABO (Fig. 73) in Bezug auf die x-Achse.

J)

•s I

Fig. 73.

Ist daher rj die Ordinate des Schwerpimktes dieser Figur (Meridianfläche genannt), deren Inhalt F sei, so ist

(3)

rj F = Mx = 1

УуЧх’

b

daher ist

= 2л/ b

У²

¥dx

(4)

= 2яМх — 2 лг]¥.

Es gilt somit der

Satz. Der Rauminhalt des Rotationskörpers, der durch Drehung einer Figur — Meridianfigur (Fig. 73 u. 74) — um eine in ihrer Ebene

Fig. 74.

liegende Achse erzeugt wird, ist gleich dem Inhalt dieser Figur (hier DABC) multipliziert mit dem "Weg 2тгrj, den ihr Schwerpunkt S bei der Drehung beschreibt.

Dieser Satz heißt „die erste Ghildinische Regel“ und gilt für jede beliebige Figur, welche Umgrenzung dieselbe auch haben möge.

Sind in Formel (4) Y und F bekannt, so läßt sich hieraus die Ordinate rj des Schwerpunktes der Meridianfigur berechnen

(3)

In vielen Fällen ist diese Art der Ermittlung des Schwerpunktes ebener Figuren sehr einfach. Siehe Beispiel 4.

Beispiele.

1. Ist die Meridianfigur ein gleichseitiges Dreieck (Fig. 75) von der Seite a, das um eine Seite gedreht werde, so ist

ce ко

~-ß,    r]= -j3,    daher V = ^a³.

2. Rauminhalt des von dem Rechteck AB CD

Os

Fig. 76.

Fig. 75.

(Fig. 7 6) hei der Drehung um die Seite В C = b beschriebenen Wulstes

а

ab • 2 л — — ла,²Ъ .

и

3. Bei der Drehung um die Bahnlinie beschreibt nach § 34 ein Zweig der Cykloide

X = a (cp — sin 99), у = a(l — cos <p) eine Rotationsfläche vom Inhalt

2 Л    2 Л

= njy² dx = л a³J[1

о    0

— cos <p)sd(p

— 16 n a³

2л

5 л² a³.

Nun ist nach § 41, 3 die Schwerpunktsordinate

5

des gedrehten Zweiges rj = — a und dessen Flächen-

6

inhalt nach § 27, 10 U2jr = Зтга²; daher ist auch nach der Guldinischen Regel

= 5 л²а³.

5

Y = 2яг] • Ux = 2л • — а • Зла²

6

л

4. Dreht sich ein Halbkreis vom Inhalt U = — a²

2

um seinen Durchmesser, so beschreibt er eine Kugel-4

fläche vom Inhalt Y = — ла³; daher ist nach Formel (3)

О

die% Entfernung des Schwerpunktes der Halbkreisfläche vom zugehörigen Durchmesser

4a

^    2л¥    3л

5. Ebenso ist für den Kreisquadranten (Fig. 68)

4a

!яа8

2 лF

2л • —— 4

ла² Зл*

§ 45. Zweite Guldinische Regel.

Nach § 36 beschreibt der Zweig AB der Kurve (Fig. 55) у = f(x) bei der Drehung um die x-Achse einen Rotationskörper, dessen Oberfläche angegeben ist durch

0 = 2 /yds.

b

Nun ist nach § 40 yds das Moment des Elements dg

a

in Bezug auf die x-Achse. Das Integral /yds gibt die Summe aller dieser Momente von x = b bis x = a

an,

die nach § 40 gleich rj Jds ist, wo rj die Schwer-

b    a

punktsordinate des Bogens AB (Fig. 77) und /ds = s

b

die Länge desselben bezeichnet. Es ist daher

a    a

(2) О = 2я/yds = 2jiT)f à.$> oder 0 =

b    b

d. h. die bei der Drehung um die x-Achse von dem Bogen AB beschriebene Fläche ist gleich der Länge s dieses Bogens mal dem Weg seines Schwerpunktes.

ds

Fig. 65.

Dieser Satz gilt stets, ob der Bogen AB eine geschlossene Figur darstellt oder nicht, ob er gesetzmäßig krummlinig oder unregelmäßig gestaltet ist Er repräsentiert die zweite Gruldinische Regel:

Eine geschlossene ebene Kurve (Fig. 78) beschreibt bei der Drehung um eine außerhalb des Umfangs in ihrer Ebene liegende

Achse einen Flächeninhalt gleich 2лmal dem Moment der Kurve in Beziehung auf die Drehachse, oder gleich dem Produkt aus Umfang der Meridianfigur und Weg ihres 'Umfangschwerpunktes.

Fig. 77.

Fig. 78.

Aus Formel (2) folgt

^ 2яв’

Die zweite Guldinische Regel kann also auch analog der ersten zu Schwerpunktsbestimmungen von Kurvenbögen benutzt werden. Siehe Beispiel 3 und 4.

Beispiele.

1. In § 40 ergaben sich als Koordinaten des

2 а

Schwerpunkts des Viertelkreisbogens £ = rj = —. Da „    n

7t

dessen Länge s = —a ist, so beschreibt derselbe bei

и

der Drehung um eine Achse die Fläche

2a тс

О = 2ti7]S — 2^£s = 27t •.— • — а = 2ла²,

7t и

was bekanntlich der Flächeninhalt einer Halbkugel ist.

2. Für den Cykloidenbogen ist nach § 27, 10 bezw. § 40

S = 8 a bezw. f = л:а

У] =

а.

Eine Schleife der Cykloide beschreibt daher bei der Drehung um die Scheiteltangente, bezw. die Balmlinie einen Rotationskörper, dessen Oberfläche angegeben ist durch

64

О = 2nt; • S — 16л:²а², bezw. О = 2tz^S = — л:а².

3. Dreht sich ein Halbkreis vom Radius a (Fig. 79) und der Länge s = да um seinen Durchmesser, so

17

Fig. 79.

beschreibt er eine Kugel, deren Oberfläche О = 4a2 ist. Der Schwerpunkt des Halbkreisbogens hat daher vom Durchmesser die Entfernung

2a

4. Dreht sich ein Kreisquadrant um einen Halbmesser, so beschreibt der zugehörige Bogen von der

deren Oberfläche

7t

Länge s = — a eine Halbkugel,

Û

0 = 2яа² ist. Der Schwerpunkt S eines Viertelkreisbogens hat daher von den beiden äußeren Halbmessern die Entfernungen (vgl. § 40, 1)

2a

2 its

IX. Abschnitt.

Das Doppelintegral und seine Anwendung.

§ 46. Das unbestimmte Doppelintegral.

a) Wie man eine Funktion y = F(x) zwei- oder mehrfach nach x ableiten kann und dabei erhält

dy

dl-y’-F'W,

so ergibt sich auch umgekehrt durch Integration

dx = y' =/F»dx + °1 = /fWdX + °1 und hieraus durch weitere Integration y=/{/p"(x)dx + C₁}dx + C2 = //f(x)dxdx + CLx + C₂ = F(x, 0l5 C₂),

wo Cx und C₂ die Integrationskonstanten bezeichnen, die zunächst beliebig gewählt werden können.

Erklärung. Unter dem zweifachen Integral des Differentials f(x) dxdx versteht man eine Funktion F(x, C1} C₂) von x, welche zweimal nach x abgeleitet f(x) gibt

d²F

dx²

f(x).

b) Enthält die Funktion f(xy) zwei Veränderliche x und y, die unabhängig voneinander sein sollen, so versteht man unter dem zweifachen Integral

Y = //f(xy)dxdy = F(xy)

dx •

dxdy

Hieraus folgt beispielsweise

dx

=Ji(xj)dy

wo rechts dy an Stelle von <9 y gesetzt ist. Erhält man bei der Ausführung dieses Integrals, wobei x als Konstante anzusehen ist,

dx

eine Funktion F(xy), welche nach x und y abgeleitet f(xy) liefert

ad*

dx

ödJ.

Sy

y)dy= G(xy) + g(x),

wo g(x) eine willkürliche Funktion von x allein oder eine Konstante sein kann, so folgt hieraus durch weitere Integration

F = //f (xy)dx dy =/ö(xy) dx+/g(x)dx + v(y),

wo bei der Integration y als konstant anzusehen ist und \p (y) von y allein abhängt oder eine Konstante bedeutet. Führt das Integral / Gr (xy) dx auf H (xy) und /g(x)dx auf cp (x), so ist das unbestimmte Doppelintegral allgemein dargestellt durch

F (ХУ) — j{/f (ХУ) dy} dy = H (xy) + cp (x) + yj (y).

Dasselbe enthält demnach an Stelle der Konstanten zwei willkürliche Funktionen cp (x) und yj (у).

g 47. Das bestimmte Doppelintegral und seine geometrische Bedeutung.

a) In der xy-Ebene liege ein Viereck AB C D (Fig. 80), dessen Seiten durch x = x, x = a, y = y, y = b bestimmt sind.

Alsdann sei z = f (xy) eine Funktion von x und y, z £

fR

oc.

У'У,

1J

<jc-a

ß ij'b C Fig. 80.

welche für alle Punkte jenes Vierecks, sowie im Innern desselben eindeutig und stetig ist.

Es soll der Rauminhalt V bestimmt werden, der von der Fläche z = f (xy), den Ebenen x = x, x = a; у = у, у = b und der xy-Ebene begrenzt ist.

Teilt man AD = a — x in m gleiche Teile von

der Länge Дх = -— und ebenso AB == b — у in

m    b - у

n gleiche Teile von der Länge Д у =-und legt

n

man durch die Teilpunkte Ebenen parallel zur yz-Ebene, bezw. parallel zur zx-Ebene, so wird der Raum V in mn Säulchen zerschnitten, welche näherungsweise als Prismen von der Grundfläche

A A а — xb — у

ДхДу =- J

m

und den Höhen z kh = f (x + к Д x, y + h A y), ЛУО k = 0, 1, . . m — 1, h=0, 1, . . в — 1 ist, betrachtet werden können. Durch Addition dieser mn Prismen ergibt sich für Y näherungsweise der Ausdruck

Ymn = Лх Ay{f(xy) + f(x + Дх, у) + f(x, y +Ду) + f (x + 2 Дх, у) + f (x + Дх, у + Ду)

+ f(x, у+2Ду)} + ...

+ f (x + (m — 1) Д x, у) + ...

+ f{x,y + (n — 1) Ду),

der dem wahren Wert Y um so näher kommt, je größer m und n gewählt werden. Beim Übergang zur Grenze ist

(2)

lim Ym n = Y.

m = co n = oo

Ax

Um diesen Grenzwert zu erhalten, entwickle man in (1) jede der Funktionen f(x + kAx, y + hAy) nach Potenzen und Produkten von Ax und Ay und setze a —x л_ b —у m    n

die Reihen-

= (a — x)(b — y) [f(xy)+hj(a—х)Ц

+(b-y)^}+ {(a-x)²S

+ 2(a — x)(b—y) ⁸ ¹

dann ergibt sich auf ganz ähnliche Weise wie in §69 der Differentialrechnung¹) für lim Y ent wickelung lim Y

(3)

дх ду

wodurch der Rauminhalt Y ermittelt ist.

Ь(Ь-У)^}+-

Satz. Der Rauminhalt Y, der von der Fläche z = f (xy)j den vier Ebenen x = x, x = a, y = y, y = b und der xy-Ebene begrenzt ist, läßt sich durch eine konvergente Potenzreihe von der Form (3) darstellen, deren Grenzwert Y ist.

Setzt man hierin x = 0, y = 0, so erhält man den

Satz. Dejr Rauminhalt Y, der von der Fläche z = f(xy), den Ebenen x = a und y = b, sowie den drei Koordinatenebenen begrenzt ist, ist angegeben durch die Reihe

T = ab{fM + I(a^ ₊ b|i)

54

f 2ab

+ m(*’

54

dx²

5x 5 j

+ b²

54

5 y²

■)⁺-L

o, y=o

Beispiel. Ist z = f (xy) == Ax² + By² die Gleichung eines Paraboloids, welches die xy-Ebene im Ursprung berührt, so ist der Rauminhalt, der von dieser Fläche, den Ebenen x = a, y = b und den Koordinatenebenen begrenzt ist, angegeben durch

] = y{Aa² + Bb²}.

_ ab J dH , dH ~ 3Ï [dx* ^ ä^2 Setzt man nach c — Aa² + Bb², so ist abc

b) Denken wir uns in z = f (xy) die Yariable • x = x konstant, so hat in Figur 80 die Fläche PABQ den Inhalt

b

и1=/{(х, y)dy. y=y

Legt man nun parallel zu dieser Fläche in der Entfernung dx eine weitere Ebene, so schneiden dieselben aus dem Raum Y eine Scheibe aus, deren Rauminhalt bis auf eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung durch

ly

uxdx= jf(x, y)dyfdx

Der Inhalt aller dieser Scheiben

angegeben ist.

a( b    Ï

= /|/f(x,y)dy|

UjlU₂Ug . . ., die von x = x bis x = a durch Ebenen parallel zur yz-Ebene in der Entfernung dx voneinander gelegt werden können, ist‘angegeben durch das Doppelintegral

dx, wro bei der letzten Integration y und b als konstant anzusehen sind.

Da man zu dem gleichen Resultat gelangen muß, wenn man den Raum Y durch Ebenen parallel zur zx-Ebene zerlegt und die erhaltenen Scheiben summiert, so folgt

f(x,y)dx dy,

f (x> У) dyldx =

(5) Y —

X ly

wo bei der Integration nach x, bezw. y, dy und y, bezw. dx und x als konstant anzusehen sind.

Ergibt sich bei der folgenden Integration

/f(xy)dy = G(x, y) + C,

wo x als konstant gedacht ist, so ist das bestimmte Integral (5) angegeben durch

b

U1 = /f (x> y) dy = G(x, b) — G (x, y).

У

§ 47. Das bestimmte Doppelintegral etc. Hieraus folgt weiter durch Integration nach x

af b    \    a    a

/]/f (x, y) dy dx = /G(x, b) dx — /ö(x, y) dx

x ly    )    X    x

Die beiden Integrale rechts sind offenbar von derselben Form und können durch Vertauschung von b und у ineinander übergeführt werden. Erhält man

/ö(x, y)dx = F(x, y) + C, •

so ist

/ö (x, y) dx = F (a, y) — F (x, y),

und wenn man hierin b mit y vertauscht

b

/Gr (x, b) dx = F (a, b) — F (x, b). y

Das Doppelintegral V zwischen den Grenzen a, x und b, y ist somit dargestellt durch (6) V = //f (x’ У) dx dy=F(a, b) — F (a, y) — F(x, b)

+ Г(х, у\

Die rechte Seite dieser Gleichung gibt zu erkennen, daß sich das Integral nicht ändert, wenn man a mit x und gleichzeitig b mit у vertauscht.

Satz.

Ein Doppelintegral bleibt seinem Werte nach ungeändert, wenn man die oberen Grenzen mit den unteren vertauscht.

Der Wert des Doppelintegrals geht jedoch in den entgegengesetzten über, sobald man nur die Grenzen eines Integrals miteinander vertauscht.

c) Es erübrigt noch zn zeigen, daß die Entwickelung (3) von limVmn mit dem Doppelintegral (5) bezw. (6) übereinstimmt.

f(x> y) =

(7)

Nach der Definition des Doppelintegrals ist d²F

6x dy'

Hieraus folgt

(70

St <9³F di d³¥ dH _ d⁴E дх dx²dy:> ду dxdy²’ Sx² dx³dy’"‘

Entwickelt man alsdann F(x + k, y + h) nach Potenzen und Produkten von к und h, ebenso F(x+k, y), F(x,y + h) nach Potenzen von k, bezwr. h und setzt nachträglich k = a — x, h = b — y, so folgt

dF

ÔF

F(a, b)=F(xy)+(a-x)^+(b-y)5::

1/

d²F)

+^v/⁺-

dx²

f-2 (a-x) (b—y)

3²F

dxdy

dF 1

-F(a, y)=-F(xy)-(a-x)    (a-x)

,Ô*F

ÔX²

d²F

dy² -

-F (x, b) - -F (xy)-(a-y)    - A (b-y)

r(M- FM. ⁷ 2'

Nach Addition dieser Gleichungen und mit Berücksichtigung von (7) und (7') ergibt sich unmittelbar

F (a, b) — F (a, y) — F (x, b) + F (x, y) = lim Ушп

a b

oder

lim Y

= Y = //f(xy)dxdy, xy

womit die Übereinstimmung der Reihenentwickelung

(3) mit dem Wert des bestimmten Doppelintegrals (6) gezeigt ist.

§ 48. Doppelintegrale mit veränderlichen Grenzen.

In der xy-Ebene (Fig. 81) liege eine krumme Linie, welche die Gleichimg y = cp (x) besitzen und die x-Achse im Punkte x = a, die y-Achse im Punkte y = b beschneiden möge. Ferner sei gegeben die Fläche z = f (xy), welche für alle Punkte des Kurvenbogens AB

Z‘f(3CljL

F/

jr^~J)    Л

A""~7 Z/STa

'y-b    с

Fig. 81.

oder innerhalb der Figur OAB eindeutig und endlich sei. Sodann werde über OAB als Basis ein senkrechter Cylinder konstruiert, dessen obere Begrenzungs-Bäche von der Fläche z = f (xy) gebildet werde und dessen Inhalt Y sei. Legt man alsdann in der Entfernung OD = x eine Ebene parallel zur yz-Ebene,

11

Junker, Höhere Analysis. Bd. II.

so ist der Inhalt der Fläche CDEF angegeben durch das Integral

CDEF =/f(xy) dy, 0

wo X als konstant zu betrachten ist. Legt man alsdann parallel zu dieser Ebene eine zweite Ebene in der Entfernung X + dx von der yz-Ebene, so schneiden beide Ebenen aus dem Raum Y eine Scheibe aus, deren Inhalt bis auf eine unendlich kleine Größe höherer Ordnung richtig angegeben ist durch

(1)

Ux = j/f(Xy)dyjdx.

Durch Summation aller derartigen Scheiben von X = 0 bis X = a ergibt sich alsdann der Inhalt Y, der nunmehr ausgedrückt ist durch das Doppelintegral

(2)

a [ У = <p(x)    )

/j/f(xy)dyjdx.

Legt man die Ebenen parallel zur zx-Ebene, so läßt sich Y auch berechnen durch

(3)

b( x = V(y) ! V=/J/f(xy)dxjdy.

Satz. Der Rauminhalt Y, der von der Cylinderfläche y = ç?(x) oder x = ip(y), der xy-Ebene, der Fläche z = f(xy) begrenzt wird, ist angegeben durch jedes der beiden Doppelintegrale (2) oder (3).

Beispiele.

1. Um den Rauminhalt eines Oktanten des dreiachsigen Ellipsoids

^ ₊ l! ₊ ^_i ₌ o

a² ^ b² ' c2 zu berechnen, hat man Z = f (xy) =

und in der xy-Ebene die Kurve

cj/l

X²

У²

a² b²

daher ist

O |o

y = 9?(x) = b|/l —

b 1/ x*

rb-ïi_

I pm)

— У² dy

dx.

Für das innere Integral, in welchem x als konstant anzusehen ist, erhält man den Ausdruck

/У4-Э

arc sin

a²

der nach Einführung der Grenzen übergeht in

n b²/ _ хП

~Tv “ a²/’

daher ist

X²

jrabc

^ jrbc

Das Gesamtvolumen des Ellipsoids ist daher jrabc.

О

1--- dx =

8Y ==

a²

11*

104 IX. Das Doppelintegral und seine Anwendung.

§ 49. Oberflächenberechnung mit Doppelintegralen.

Es sei z = f (xy) die Gleichung einer krummen Fläche und P (x y z) ein beliebiger Punkt derselben. Die in letzterem errichtete Flächennormale hat nach

§ 70 der Differentialrechnung*) die Gleichung $ — X _fj — y £ — Z

WO

d z    d f

dx

dx ^’ ду    д y    ^

gesetzt ist. Der Winkel 7, den die Normale mit der z-Achse macht, ist bestimmt durch

y 1 + p² + q

cos y

Um die Oberfläche U desjenigen Teils der Fläche z — f (xy) (Fig. 82) zu berechnen, welcher oberhalb der

¹

Sammlung Göschen Bd. 87, S. 208 ff.

dU

47:

У'Ъ

0, L-4-ri-i—-

*y=4’(x)

X-Ct,

Fig. 82.

stark gezeichneten Kurve y = ç?(x) oder x = yj(y) in der xy-Ebene liegt, teile man die letztere durch Ebenen parallel zur xy- und zx-Ebene in unendlich kleine

*) Sammlung Göschen Bd. 87, S. 214.

Rechtecke dxdy. Das über einem solchen liegende Element dU der Fläche z = f (xy) kann ohne Fehler als eben und in der Tangentenebene liegend angesehen werden. Der Winkel, den letztere mit der xy-Ebene machtest gleich dem Winkel y, den die Flächennormale mit der z-Achse macht. Die Projektion des Flächenstücks dU auf die xy-Ebene ist somit dargestellt durch dxdy = dU cos y, dxdy cos y

Aus diesem Differential lässt sich U in Form eines Doppelintegrals angeben.

Satz. Der Flächeninhalt U ist dargestellt durch jedes der beiden Doppelintegrale

woraus folgt

dU =

= dxdy У1 + p² + q².

oder

а / у = y(x)__ч

/{//ï + P² + I² dy j dx

Ъ/ X = i//(y)

u=/ //TTp⁷

0 *-0

+ q² dx

} dy.

Beispiele.

Die Oberfläche eines Kugeloktanten zu berechnen. Die Gleichung der Kugel sei

X² + У² + z² — a² = 0,

dann ist

z = f (xy) = Уа² — X² — у*, у = çp (x) = ]/a² — x²,

p=^

— x

/a² — x² — y²’

dy yâ² — x² — y²

-vu

&( У a² — x’²

dy

|/a² — x² — y²

dx.

Das innere Integral ist

dy

]/a2 —X2    ft

]/a² — x²₀

Уа² — X² — у2 Nach. Eintragung der Grenzen geht U über in

-а2 2 a *

Die ganze Kugel hat daher die Oberfläche 0 = 8U = 4ла².

§ 50. Anwendung von Polarkoordinaten.

Eine zur z-Achse parallel laufende Cylinderf lâche (Fig. 83) habe in Polarkoordinaten die Gleichung

\z

jb =a

у-Ъ

r-f(fp)

Fig. 83.

г = f (cp) und werde nach oben durch die Fläche z = F (r, cp) begrenzt.

Es ist der Rauminhalt dieser Cylinderfläche und der Inhalt ihrer oberen Begrenzimgsflâche zu bestimmen.

Das in der Figur 83 schraffierte Element der X y-Ebene hat in Polarkoordinaten den Inhalt rd</?dr und demgemäß das zugehörige Element des Cylinders den Rauminhalt

dV = zrd^dr = F (r, cp) rdrdç?.

Daher ist das von dem zu r = f (cp) gehörigen Cylinder, der xy-Ebene und der Fläche z = F (r, <p) begrenzte Yolumen ausgedrückt durch

2jrvf(<p)    ч

(i)

Y = / |/F(r,ç?)rdr jdç>.

Satz. Das von der xy-Ebene, der Cylinderfläche r == f (cp) und der krummen Fläche z = F (r,<p) begrenzte Yolumen ist dargestellt durch das Doppelintegral (1).

Bezeichnen wir wieder wie im vorigen Paragraphen das über dem schraffierten Element r d 99 d r der xy-Ebene liegende Element der Fläche F mit dU, so ist ebenso wie dort

r d r d op

dü

cos y ⁵

wo y den Neigungswinkel der zu dU gehörigen Normalen der Fläche F(r,ç9) bezeichnet. Die Oberfläche U selbst ist somit ausgedrückt durch

27t( f(<;

u=/j f

J J cos y 0 U '

Satz. Das über der Cylinderfläche r = f(ç9) liegende Stück der krummen Fläche z = F(r,<p)

(2)

rdr

d cp.

hat den Inhalt U, der durch das Doppelintegral (2) ausgedrückt ist.

. Beispiele.

1. Inhalt und Oberfläche der Kugel zu berechnen. Liegt der Mittelpunkt der Kugel im Ursprung 0, so hat diese die Gleichung

X² + y² + z² — a² = 0

und schneidet die xy-Ebene nach einem Kreis, dessen Gleichung x² + У² — a² = 0 ist. Führt man Polarkoordinaten X = r cos 99, y = r sin cp ein, so ist

сЗ

z = F (r, cp) = /а² — r², r = f (cp) = Daher ist

und

|яа³.

— r² • rdr dçp

2л

-f\

0

а³ ,    2 з

— dçj = — яа³

daher

Nun ist

z — Уа² — r² = Уа² — x² — y², r cos çp

P dx    ya2 _ r2 ’ ¹¹ dj

dz

r sin op

Уа² — r²

und demnach

cos y =

Уа² — r²

yi + p² + q²

Nach Formel (2) ist somit

2я ( а

HJ,_

² / u № -r3

ardr

d cp

2л

— I a²d ç9 — о

2яа²

und U = 4 л:а².

2. Inhalt und Scheitelfläche des Körpers zu berechnen, der von der xy-Ebene, der Kegelfläche

X² + y²

z²

a²

-r = 0

c²

und der Cylinderflâche y² — ах + x² = 0 begrenzt wird.

Führt man Polarkoordinaten x = r cos 99, у = r sin 99 ein, so findet man

z = F (г, ф) = —Ух²+ у² =    , r = f (99) = a cos 99.

a

Daher ist nach Formel (1)

tel Я

a cos cp

to <1

— r • rdr ' d99

r    2

= J ca² cos³ (pdç? = -

0

2 ₀

— ca²

und

Y ==

iCa²

Ferner ist

dz с    c .

<i = äsm<P

somit

1    a

cos у =

]/l + P² + Я² Уа² + c² ’

daher ergibt sich nach Formel (2) für die halbe Scheitelfläche der Ausdruck

woraus nach Auflösung der Integrale folgt

77 ⁼ 77 аУа² + c², U = y а Уа² -f с². 2    8    4

X. Abschnitt.

Exkurs auf das Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

§ 51. Die verschiedenen Arten von Differentialgleichungen.

a) Erklärung. Eine Gleichung, welche Veränderliche und deren Differentiale zugleich enthält, heißt eine Differentialgleichung.

Tritt in derselben nur eine unabhängige Veränderliche auf, so heißt die Gleichung eine gewöhnliche Differentialgleichung.

So ist beispielsweise

? (X) y’ äx)= 0 oder 93 (x> y’ уО = 0

oj i а

a cos cp

toi а

-j Jia2+c2

о 0

rdrjdq?

2

= — Уа² + c² J cos²(pä(p,

о

eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung,*

(p(x, У, y', y") = 0

eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung;

9>(x, У> У') У", •••, У(п)) = 0 eine gewöhnliche Differentialgleichung nter Ordnung.

§ 52. Die gewöhnliche Differentialgleichung etc. 171 Die Gleichung

dy

b¹¹^-6y = °

a³ y g a²y

dx²

dx³

repräsentiert eine gewöhnliche (lineare) Differentialgleichung dritter Ordnung.

b) Ist die Zahl der abhängigen Veränderlichen größer als 1, so erhält man gewöhnlich auch ein System von simultanen Differentialgleichungen.

Sind y und z Funktionen von x, so stellen die beiden Gleichungen

dy

dz

'dy dz ^dx ’ dx

, z,x

ein simultanes System von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Veränderlichen x dar, die man beispielsweise erhält, indem man die beiden Gleichungen einer Kaumkurve nach x diffe-rentiiert.

c) Erklärung. Sind die Veränderlichen Funktionen von mehreren unabhängigen, so heißt die Gleichung eine partielle oder eine totale (oder auch exakte) Differentialgleichung, je nachdem die partiellen Ableitungen oder die totalen Differentiale der Veränderlichen, welche als unabhängige zu betrachten sind, auftreten.

§ 52. Die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung mit getrennten Veränderlichen.

Erklärung. Die gewöhnliche Differentialgleichung

(1)

<p(xyy') =<p(xyVj = o

integrieren, heißt eine Funktion F (xy C) = 0 suchen,

welche, nach x differentiiert, wieder auf die Differentialgleichung (1) führt.

Da bei der Integration eine Konstante C auftritt, so erhält man gewöhnlich nicht nur eine einzige Lösung, sondern ein System von Integralkurven F(xyC) = 0,

die zusammen die allgemeine Lösung oder das allgemeine Integral ausmachen.

Jedem speziellen Wert von C entspricht eine Lösung, die man als partikuläre Lösung bezeichnet, dy

Da — = tg a die trigonometrische Tangente des

Winkels a ist, den die Kurventangente im Punkt P (xy) mit der Abscissenachse macht, so ist durch die Differentialgleichung (1) jedem Punkt der Lösungskurven die in demselben stattfindende Fortschreitungsrichtung zugeordnet.

Es sei gegeben die Differentialgleichung f(xyy') = 0

und gesucht die allgemeine Lösung F(xyC) = 0. Durch Differentiation erhält man hieraus

<9F

SY

—— dx -{—-r— dy = 0 oder M dx + N dy = 0 ox

dy

womit die allgemeine Gestalt einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung illustriert ist.

Erklärung. Ist hierin M bezw. N nur eine Funktion von x bezw. y, ist die Gleichung also von der Form

M(x) dx + N(y) dy = 0,

so heißt die Differentialgleichung eine solche mit separierten Yeränderlichen.

Satz. Eine Differentialgleichung erster Ordnung mit separierten Veränderlichen hat als allgemeine Lösung

/M(x)dx+/N(y)dy + C = 0, wie sich direkt durch Integration ergibt.

Die Trennung (Separation) der Veränderlichen läßt sich häufig ohne Schwierigkeiten bewerkstelligen, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Beispiele.

1. Die Kurven zu bestimmen, deren Subtangente stets gleich der zugehörigen Abscisse ist.

Nach § 60 des ersten Bändchens ergibt sich als Differentialgleichung

dy dx

— = 0.

У'

^ = X oder

Hieraus ergibt sich durch Integration ly — lx = lc oder у = cx, wo c die Integrationskonstante bedeutet. Es gilt daher der Satz. Jede gerade Linie durch den Ursprung hat die geforderte Eigenschaft.

2. Für welche Kurve ist die Subtangente gleich dem nten Teil der zugehörigen Abscisse?

Die gewöhnliche Differentialgleichung lautet

— — n— = 0.

Durch Integration ergibt sich hieraus als allgemeine Lösung

ly — nix = lc oder y = cxn.

Die gesuchte Kurve ist somit eine parabolische mit y = 0 als Tangente im Ursprung.

3. Die Kurven zu bestimmen, deren Subtangente gleich a ist.

Man erhält als Differentialgleichung

dy dx

— = 0.

—, = a oder У    У

Durch Integration folgt hieraus

ly--= lc oder ly — le =

U

oder

y = cea.

Satz. Für ein System von Exponentialkurven ist die Subtangente konstant. (Yergl. Bd. I, pag. 162.)

4. Für welche Kurve ist die Subnormale konstant

gleich a?

Nach pag. 161 des ersten Bändchens ist die Subnormale Sn = yy', daher lautet die gegebene Differentialgleichung

yy'= a oder y dy — adx = 0. Hieraus folgt direkt durch Integration

У²

—--ax + C = 0 oder y² — 2ax + C = 0.

и

Satz. Die Parabel ist die einzige Kurve, deren Subnormale konstant ist. (Yergl. Bd. I, pag. 162.)

5. Für welche Kurve ist die Fläche zwischen der Kurve, der Abscissenachse und der Ordinate zum Punkt

P(xy) gleich

-—xy²?

§ 53. Homogene Differentialgleichungen. Man erhält als Bedingungsgleichnng

[y dx = —^

У dx

Die Integration dieser G-leichung gibt nly — mix = lc oder yn = cxm,

d. h. die parabolischen Kurven haben die verlangte Eigenschaft. Siehe § 27, 2.

Aus den vorstehenden Beispielen folgt der

Satz. Lassen sich in einer Differentialgleichung erster Ordnung die Variabein trennen, so kann man die allgemeine Lösung unmittelbar durch zwei Integrationen (Quadraturen) herstellen.

§ 53. Homogene Differentialgleichungen.

a) Es fragt sich nun, ob sich nicht auch Differentialgleichungen erster Ordnung mit nichtseparierten Veränderlichen vielleicht durch Substitution auf solche mit separierten Veränderlichen zurückführen lassen.

Dies ist in der That für die homogenen Differentialgleichungen der Fall.

Erklärung. Eine homogene Differentialgleichung M (xy) dx + N (xy) dy = 0

ist eine solche, in welcher M und N homogene Funktionen gleichen Grades von x und у sind.

In einem solchen Fall läßt sich die Gleichung auf die Form bringen

-()•

И - |*<1

dy ₌ _ M(xy) dx    N (xy)

Setzt man hierin y = xz, so folgt hieraus durch Differentiation

dy dz

womit man die neue Differentialgleichung erhält

dz

dx

<p[z) — z ’

in welcher die Yeränderlichen getrennt sind. Durch Integration ergibt sich schließlich hieraus

i *-[-£-

J cp (z) —

+ C.

_ + C = F(z) + C = F z

Beispiele.

1. Für welche Kurve ist die Suhtangente stets gleich y — ax, wo x und y die Koordinaten des Berührungspunktes bezeichnen?

Man erhält für die Subtangente den Ausdruck У

? = У-ах

und hieraus als Differentialgleichung у dx = (y — ax) dy,

die zu der eben behandelten Klasse gehört. Setzt man у = zx, so folgt hieraus

dz

-iä;+a

dy

dx у — ax

oder nach Substitution von y — zx die Differentialgleichung

dx (z — a)dz

adz

dz

z(a+l) (a+l)(z — a—1)’

in welcher die Veränderlichen getrennt sind. Durch Integration erhält man

X z — z²+az

lx =

oder

h- <alz + l(z-a-l)} + 10

a —j— J.

oder

xa +¹ z a (z — a — 1) = C ya(y — ax — x) — C = 0.

2. Für welche Kurve ist das Lot vom Ursprung auf die Tangente gleich der Abscisse x des Berührungspunktes?

Man erhält als Differentialgleichung

(y² — x²) dx — 2xydy = 0.

О'Ш

ОЛ-ОВ-х г

Fig. 84.

Da dieselbe homogen ist, so setze man у=zx, y'=z'x+z dann folgt aus

dy _ y² —x² dz dx 2xy

= X---f- z ==

dx

z² — 1

12

Junker, Höhere Analysis. Bd TÏ

178 X. Exkurs auf das Gebiet der gewöhnl. Differentialgl. die Differentialgleichung

dx , 2z dz л z² + 1 ⁼

in welcher die Veränderlichen getrennt sind. Durch Integration ergibt sich hieraus

lx -f* l(z² + 1) = lc oder X (z² + 1) = c

oder

X² + у² — cx = 0.

Jeder Kreis, dessen Mittelpunkt auf der x-Achse liegt und der die у-Achse im Ursprung berührt, liât somit die Eigenschaft, daß das Lot vom Ursprung auf die Tangente gleich der Abscisse des Berührungspunktes ist.

b) Durch dieselbe Substitution lassen sich auch Gleichungen von der Form integrieren

(1)

■y'+P(x)y + Q(x) = 0.

Setzt man nämlich y = cp (x) z, wo cp eine Funktion von x allein sein soll, so folgt hieraus

dy dz d cp dx ^ dx Z dx ’

womit (1) übergeht in

I + Q — o.

⁽²⁾ ^+zte+p^

Da nun cp willkürlich ist, so kann man diese Funktion so bestimmen, daß

dz

d<p

d cp

di + p^ = °

ist.

§ 53. Homogene Differentialgleichungen. Hieraus folgt nun

und nach Integration dieser Gleichung

\<p +/P dx = 0 oder cp — dx. Aus (2) folgt weiter

=—J— dx+C=—j Qe^Pdxdx+0

dz=— dx, z

und mit Berücksichtigung von j = (p z endlich у = e~^SF dx { C — f Qe-^p dx dx}.

Beispiele.

1. Es sei y'— у + X = 0, dann ist P — — 1, Q = X, somit cp = ex

und y = ex{C—/xe~Xdx}.

Nun ist /xe~x dx = — xe—x — e—x, daher ergibt sich als gesuchtes Integral

у = Cex + x + 1-

2. Für welche Kurve ist y'= ----?

J x

Bring! man diese Differentialgleichung auf die

Form (1)

y'— J + 1 = o,

so ist

Q = l,

daher ist

und

cp = elx = x

§ 54. Vollständige Differentialgleichungen.

a) Erklärung. Es sei

(О

di

di

Pdx + Qdy = 0 die gegebene Differentialgleichung, in welcher P und Q Funktionen von x und y sein sollen. Dieselbe wird eine exakte oder vollständige(auch totale)Differential-gleichung — und der Ausdruck Pdx + Qdy ein vollkommenes Differential — genannt, wenn sie durch Differentiation einer Funktion f (x y) — 0 entstanden ist. Alsdann ist die Gleichung (1) identisch mit der folgenden

(2)

äidx + —dy = °

und heißt f(xy) = 0 das vollständige Integral derselben. Vergleicht man die Gleichungen (1) und (2) miteinander, so folgt

di

di

p=äi>

und hieraus

(3)

<9P__ dH __ dQ dy dxdy d x‘

Dies ist die Bedingung, daß (1) eine vollständige Differentialgleichung ist.

Satz. Das Differential (2) ist das totale Differential einer Funktion f, sobald die Bedingung erfüllt ist

(⁴)

dP_dQ dy dx'

Ist diese Bedingung erfüllt, so setze man d f

-г— = P und integriere f — JPdx,

wobei das in P enthaltene y zunächst noch als konstant angesehen werden kann. Da nun in der zu addierenden Konstanten noch eine Funktion cp (y) von y enthalten sein kann, so ist diese noch zu dem erhaltenen Integral hinzuzufügen

f =/Pdx + 9?(y).

Der Wert von op wird ermittelt, indem man dieses Integral wieder differentiiert und das Resultat mit der gegebenen Differentialgleichung dz = Pdx -f- Qdy vergleicht.

Beispiel.

Für die Differentialgleichung dz = (3x² — ay— y²) dx + (— ax + 2by — 2xy)dy

ist die Bedingung (3) erfüllt; daher stellt dz das totale Differential einer Funktion f (xy) = z dar, die man aus

di

= 3x² — ay — y²

ermitteln kann, indem man unter Voraussetzung eines konstanten y bildet

z = f = /(3x² — ay — y²) dx + ç>(y) =

= Xs — axy — xy² + cp (y).

Bildet man das totale Differential dieser Funktion

dz == (3x² — ay — y²)dx + ^

und vergleicht dasselbe mit der gegebenen Differential-dw

gleichung, so folgt = 2by und hieraus 93 =/2bydy + C = by²+ C.

dx

— ax —

2xy + ||)dy

Das gesuchte Integral lautet daher

(4)

die Bedingung

z = X³ — axy — xy² + by² -f- C. b) Ist jedoch für das Differential Mdx -f Ndy = 0 <9M дЖ

ay

= nicht erfüllt, so ist (4) auch

kein vollkommenes oder exaktes Differential.

(5)

In diesem Fall multipliziere man die Geichung (4) mit dem Faktor ^, der eine Funktion von x oder y oder von beiden oder auch eine Konstante sein kann, ^Mdx + /^Ndy = 0, dann läßt sich dieser Faktor stets so bestimmen, daß die Bedingung erfüllt ist

dx

(6)

und damit (5) ein exaktes Differential wird.

Erklärung. Die Funktion /г(ху), mit der man die Differentialgleichung (4) multiplizieren muß, damit deren linke Seite ein exaktes Differential wird, heißt der integrierende Faktor oder auch der Euler-sche Multiplikator.

Betrachtet man beispielsweise

y    X²    у

а) — = C oder b) — = C oder c) arc tg — x    y    X

als vollständiges Integral, so erhält man hieraus durch Differentiation bezw. als zugehörige vollkommene Differentialgleichung

c)

a) ^(xdy—2ydx) = 0, b) — ^(xdy—2ydx)=0, jCxdy— 2ydx) = 0.

Für die Gleichung

xdy — 2ydx = 0

ist daher die Bedingung (3) nicht erfüllt. Sie wird aber zu einer vollkommenen Differentialgleichung, wenn

man sie mit einem der (integrierenden) Faktoren -r

multipliziert. Wir erhalten

X    x

X⁴+ y²

У²

oder--- oder

somit die Sätze:

Satz. Jede Differentialgleichung von der Form (4) besitzt einen integrierenden Faktor, durch dessen Zusatz die linke Seite derselben zu einem vollkommenen Differential wird.

Satz. Es gibt nicht nur einen, sondern unendlich viele integrierende Faktoren.

Satz. Kennt man zwei verschiedene integrierende Faktoren jux und [л₂, so ist der

Quotient — = C das vollständige Integral der

Differentialgleichung.

Für das obige Beispiel ist

j“¹⁼=

11-

'll и

1    /^3

x⁴ + y

2’

daher

- = - = C Oder J = Cl5

14

/4    x⁴+y²

€ s'

X⁴

У²

= МЛ

х⁴+У²

X⁴

= C oder

-Cx;

!h

У²

--l = Coder~= С, oder-^7=Co. У²    У²    X²

c) Zur Bestimmung des integrierenden Faktors dient folgende Betrachtung. Da nach Voraussetzung die linke Seite von (5) ein vollkommenes Differential ist, so folgt

d(^M) d(jaW)

oder

дУ

d M d N

dj dx

)-

dx

dy

als Bestimmungsgleichung für /г. Da dies eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung ist, so ist die Bestimmung von [л aus derselben geлYöhnlich schwieriger als die Integration der gegebenen Gleichung selbst. Zur Integration der letzteren genügt aber irgend eine Lösung von (4), und es ist häufig möglich, eine solche zu ermitteln. Insbesondere ist dies der Fall, wenn sich jji als eine Fimktion von x oder von j allein darstellen läßt.

Ist beispielsweise ja nur von x abhängig, so ist = 0, womit die Gleichung (7) übergeht in

= X.

dja __ 1_ /dM _ <9NN dx N \dv dxj

Hieraus folgt durch Integration

1jll = fXdx + (C), ja = eS*d*'

eine Funktion von x allein

wenn

Satz. Der integrierende Faktor läßt sich als eine Funktion von x allein ansehen, 1_ /dM    №

N \dy    dx

ist. Setzt man diese gleich X, so ist u =

Beispiel.

Für obige Differentialgleichung xdy — 2ydx = 0 ist M = — 2y, N = x, daher

1 /дЖ NWy

fdx __

lju — — 3/-— = — 31x =

und

сШ

dx

)-

со I и

§ 55. Partikuläre und singuläre Lösungen.

a) Erklärung. Jedem Wert der Konstanten C(C = 0, 1, 3, ..., С1? C₂, ...) in der allgemeinen Lösung F (x y C) = 0 der Diff erentialgleichung 99 (x y y ')=0 entspricht eine Lösung, die man als Partikularlösung oder als partikuläres Integral bezeichnet.

Außer den unendlich vielen Lösungen, welche den wechselnden Werten von C entsprechen, kann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung noch eine singuläre Lösung besitzen, welche dadurch charakterisiert ist,

1)    daß sie sich nicht durch partikularisierende Konstanten bilden läßt;

2)    daß sie im allgemeinen ohne jede Integration durch reine Eliminationsprozesse ermittelt werden kann.

Geometrisch stellt die singuläre Lösung eine Kurve dar, welche von den partikulären Kurven umhüllt wird.

Bekanntlich hat das Tangentenpaar, das man vom Punkt P (£97) an den Kreis x²+ y² — r² = 0 ziehen kann, die Gleichung

(xf + y?; — r²)² — (x²-f- y² — r²) (£² -f r}² — r²) = 0, wo mit x, y die laufenden Koordinaten bezeichnet sind.

Setzt man hierin f = x + dx, ^ = y + dy, so hat das Tangentenpaar mit dem Kreis zwei unendlich benachbarte Punkte gemeinsam, d. h. die Verbindungslinie von P(xy) mit P (x + dx, y + dy) ist Tangente an dy

den Kreis, wenn — = p der Gleichung genügt

(ydx — xdy)² — r² (dx² + dy²) = 0, die auch geschrieben werden kann

cp (xy, p) = y² — r²— 2xyp + (x² — r²)p² = 0.

Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung zweiten Grades, deren partikuläre Lösungen durch die unendlich vielen Tangenten an den Kreis x² + У² — r² = 0 angegeben sind. Die Umhüllungslinie dieser Tangenten oder der Kreis selbst repräsentiert ihre singuläre Lösung.

b) Herleitung des singulären Integrals aus dem allgemeinen Integral.

Die gegebene Differentialgleichung cp (xyy') = 0 besitze die allgemeine Lösung F(xyC) = 0.

Nimmt man hierin an, C sei eine Funktion von x, dann erhält man durch Ableitung

5F

dF

PU

dF dC

⁺ dC’d^~ *

Bestimmt man nun C so, daß = 0 ist, oder

o L

wenn man sich diese Gleichung nach C aufgelöst denkt, daß C = f (x) ist, so ist

F <xy, f(x)} = 0

das gesuchte singuläre Integral von (p (xyy') = 0.

Wird C als Funktion von x und y betrachtet, so folgt durch Ableitung

<9F

<9F

• y'J = o.

Hierin läßt sich nun C ebenfalls so bestimmen,

<9F

daß ^ = 0 ist. Folgt hieraus C = f (xy), so ist F{xy, f (xy)} = 0

die singuläre Lösung von cp (xyy') = 0.

Die Ableitung y ' berechnet sich alsdann aus

= 0,

dF d¥ ,

falls C nicht so bestimmt ist, daß gleichzeitig

öF

ÔF

= °, ^=0

«У

Satz. Das singuläre Integral Ф(ху) = 0 der Differentialgleichung cp (xyy') = 0 enthält keine partikularisierende Konstante und ergibt sich immer durch Elimination von C aus

F(xyC) = 0

Hieraus geht auch hervor, daß Ф (xy) = 0 die Umhüllungslinie der Kurven des Systems F(xyC)=0 ist. Vergleiche hierüber § 68 der Differentialrechnung.*) Sind xy die laufenden Koordinaten, so ist fx + rjj — r² = 0

die Gleichung der Tangente im Punkt ijrj an den Kreis I² + г]² — r² = 0. Setzt man nun f = ]/r² — rj²

*) Sammlung Göschen Bd. 87, S. 204 ff.

wird.

dx

<9 F

<9C

= 0.

und nachträglich, r) — C, so hat die Tangentenschar, welche die allgemeine Lösung der Differentialgleichung darstellt, die Gleichung

F(xyC) = yC + x]/r² — C²— r² = 0.

Hieraus folgt

ас

somit ist

ï^xy,

ry

oder

Cx

Гу2

Ух²+у²/ Ух² + у

oder 0= ry -, Ух² + у²

!+х|/

1*2 у 2

x².+ У²

— r² = 0

X² + у² — г² = О

die singuläre Lösung der gegebenen Differentialgleichung in a), wie zu erwarten Avar.

c) Herleitung des singulären Integrals aus der Differentialgleichung.

Wie aus den obigen Betrachtungen hervorgeht, ist die singuläre Kurve als Umhüllungslinie der partikulären Kurven anzusehen. Dieselbe kann somit auch als der geometrische Ort des Schnittpunkts zweier konsekutiver Partikulärkurven ermittelt werden. Je zwei derselben schneiden sich im allgemeinen in einem Punkt, in welchem sich zwei verschiedene Tangenten an die beiden Kurven ziehen lassen. Soll die singuläre Kurve durch denselben hindurchgehen, so müssen die beiden Partikulärkurven unendlich wenig voneinander abweichen und die beiden Tangenten ihres Schnittpunkts zusammenfallen. Dies ist aber der Fall, wenn neben

<p (xyp) = 0 auch noch

^=0

<j?(xy, yi) = 0 die singuläre Lösung der Differentialgleichung dar.

ist. Erhält man aus der letzten Gleichung p = yj (xy) so stellt

Satz. Die singuläre Lösung der Differentialgleichung 9?(xy,p)= 0 ergibt sich stets durch

aus

, dv

Elimination von p = y = —

dx

(p (xy , p) = 0 und

^=0.

àp

Durch partielle Ableitung der Differentialgleichung in a) folgt

= — 2 xy + 2 (x² — r²) p = 0 und hieraus p

xy

dp

X² —r²*

Substituiert man diesen Wert in 9?(xy,p) = 0, so ergibt sich auch hier als singuläre Lösimg der Kreis x² + y² — r² = 0,

wie es sein soll.

Anmerkung. Sind M und К rationale Funktionen von x und y, so hat, wie leicht zu erkennen ist, eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ersten Grades Mdx + Ndj = 0 keine singuläre Lösung.

§ 56. Differentialgleichungen erster Ordnung nten Grades.

Erklärung. Eine Differentialgleichung erster Ordnung nten Grades ist von der Form

(1)    (y')n + fi(y')n-l+ ••• +fn = o,

wo f-L, f₂, ..., fn Funktionen von x und у oder auch konstante Zahlen sein können.

Bei der Integration einer solchen kommen hauptsächlich zwei Methoden in Betracht.

a) Die Methode der Zerlegung ist anwendbar, wenn sich die Differentialgleichung (1) nach

dy

—— = y' auflösen läßt, dx

Die auf diesem Wege resul-

tierenden Wurzeln der Gleichung (1)

dy

dy

= gn(xy)

stellen n lineare Differentialgleichungen erster Ordnung dar, welche sich nach den Methoden der vorigen Paragraphen auflösen lassen. Ergeben sich hierbei die Integrale

<Pi (xy°i) = 0, 9(xyc₂) = 0, . .. , 9>n(xycn) = 0, so ist das allgemeine Integral der Differentialgleichung (1) dargestellt durch

(3)

<Pi (xycj • 9?ä (xyc₂). . . 9>n(xycn) = 0,

worin

Cj^ — С-2 — • • • — Cn — C

gesetzt werden darf, ohne daß die Allgemeinheit der Lösung dadurch beeinträchtigt wird.

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1) ist somit angegeben durch

(4) F (xyC) = <px (xyC) (f>₂ (xyC) .. . 9?n(xyC) = 0.

Beispiele.

1. Für welche Kurve ist das Quadrat der Subtangente gleich dem Rechteck aus den Koordinaten des zugehörigen Kurvenpunktes?

F(xyC) = (y* — x² — cj (y² + x²" — Cj = 0 oder durch (x — y)² — 2 C (x -(- y) + C² = 0.

2. Für welche Kurve ist das Quadrat der Sub-normalen yy' gleich dem Rechteck aus den Koordinaten des zugehörigen Kurvenpunktes?

Man erhält als Differentialgleichung

-±Vf

y²y'² — xy oder welche die beiden Lösungen gibt

dx

Nach § 60 der Differentialrechnung*) ist die Sub-У

tangente ansgedrückt durch —-, daher erhalten wir als Differentialgleichung eine solche vom zweiten Grad

|²__У    dy_ ,

X *    dx    —

~7

= xy oder

Cb

und

Vf

dx _ dx “7= + -7= ⁼ °>

и У*

welche die beiden Integrale gibt

Уу — Ух=С1? Уу + Ух = cs.

Das allgemeine Integral ist daher dargestellt durch

² x -, dy = — oder —

cc| w

— x? = C₁₍

CO I CM

У⁸ + x = <V

Die allgemeine Lösung ist daher F(xyC) = (x³ — y³)² — 2C (x³ + y³) + C² = 0.

b) Die Methode der wiederholten Differentiation wird zur Lösung der gegebenen Differential-

*) Sammlung Göschen Bd. 87, S. 160 ff.

gleicłmng (1) benutzt, wenn sich dieselbe leicht nach y oder X auflösen läßt.

Gibt dieselbe nach y aufgelöst die Gleichung

P dx

gesetzt ist, so folgt hieraus durch Ableitung nach x

(5)

wo

(6)

dy    di di dp

dx = P==d¥ ⁺ dx’

d. h. eine Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades zwischen x und p von der Form

(6')

Й)

= 0.

Führt dieselbe auf das Integral J(x, p, C) = 0,

so ergibt sich durch Elimination von p aus dieser Gleichung und der gegebenen Gleichung (5) das gesuchte allgemeine Integral der Differentialgleichung (1) F (xyC) = 0.

Läßt sich andererseits die Differentialgleichung (1) nach x auflösen und somit auf die Form bringen

X = f (y, p),

so folgt hieraus durch Differentiation nach x „    dt    , di dp

¹⁼^P + äi-di

₌ .dy dp dx Pdy

₁    dt    , dt dp

dyP^~dp dy P'

(7)

(8)

(9)

oder da

ist,

PU p.

PhI и

rt3 rö

Man erhält also auch auf diesem Wege eme lineare Differentialgleichung zwischen y und p yon der Form

(10)

<P У, P,

PU p.

= 0,

welche das Integral

J(ypC) = 0

gehen möge. Durch Elimination von p aus dieser Gleichung und der gegebenen Differentialgleichung erhält man ebenfalls das allgemeine Integral F(xyC) = 0.

c) Ist die Differentialgleichung von der (Clairautschen) Form

CD

y = xp + <p(p),

so folgt hieraus durch Differentiation dp d(p dx dp

PU

oder

(12)

PU p

и из

dp

Der erste Faktor gleich Null gesetzt = 0 gibt

integriert p = C und demgemäß als allgemeines Integral y = xC + 9?(C).

Setzt man den zweiten Faktor gleich Null

fe-o.

(13)

(14)

x-t

dp

so läßt sich hieraus und aus (11) p eliminieren. Man erhält alsdann eine Lösung der Differentialgleichung (11), weiche keine Konstante enthält und als singuläre Lösung derselben zu bezeichnen ist.

13

Junker, Höhere Analysis. Bd. II.

Satz. Das allgemeine Integral der Differentialgleichung (11) ist von der Form y — xC + 99 (C)

und kann unmittelbar angeschrieben werden.

Die singuläre Lösung derselben erhält man durch Elimination von p aus

= 0 und y = xp + <p(p).

Geometrisch stellt das allgemeine Integral (1) eine Schar von Geraden (partikuläre Lösungen) dar, welche

x-f

d(p

öp

Fig. 85.

eine Kurve umhüllen (Fig. 85), die durch das singuläre Integral ausgedrückt ist.

Beispiele.

1. Eine Gerade schneidet von den Achsen zwei Stücke ab, deren Summe, Differenz, Produkt und Quotient konstant gleich a ist. Welches sind die Kurven, die von dieser Geraden umhüllt werden?

Nehmen wir an, die umhüllende Gerade berühre die gesuchte Kurve im Punkt P(xy), so hat sie als Tangente an dieselbe die Gleichung

V — У = p(f — *)•

Für rj = 0, bezw. | = 0 ergeben sich hieraus als

px. Daher

Achsenabschnitte ~(px — y) bezw. y —

erhalten wir die Differentialgleichungen a) für die Summe:

У = xp —

ap

1 —p b) für die Differenz:

ap

У = xp - -

y = xC-

= xC

aC

aC

i + p’ y

c)    für das Produkt: у = xp + a/— p, у = хС + аУ—C,

d)    für den Quotienten: ap= — 1,

ay + X = C.

Dieselben sind von der Clairautschen Form und erhalten daher die nebenstehenden allgemeinen Lösungen.

Die singulären Lösungen obiger Differential* gleiehungen sind in den beiden ersten Fällen angegeben dnrch

a)

(x — y)² — 2a(x -f y) + a² = 0,

(x + y)³ — 2 a (x — y) + a² = 0,

und stellen gewöhnliche Parabeln dar, die symmetrisch zu den beiden Medianen m und n liegen (Fig. 86) und die Koordinatenachsen in den Punkten (a, 0), (0, a),

b)

13*

(0, — a) berühren. Im dritten Fall ergibt sich als singuläre Lösung die gleichseitige Hyperbel

4 xy — a² = 0 , die in der Figur 86 punktiert gezeichnet ist.

c)

hSc

Fig. 86.

Die Differentialgleichung d) ist linear und besitzt daher keine singuläre Lösung.

2.    Der eine Schenkel eines rechten Winkels, dessen Scheitel beständig auf einer Geraden gleitet und dessen anderer Schenkel durch einen festen Punkt geht, umhüllt eine Parabel.

3.    Eine Strecke von konstanter Länge a gleite beständig mit ihren Endpunkten auf den Koordinatenachsen hin. Welche Kurve wird hierbei umhüllt?

Man erhält als Differentialgleichung der Geraden

schar

У = Px +

ap

yi+p²

und als zugehörige singuläre Lösung

X³ -f У³ =    .

Dies ist die Gleichung der Asteroide.

§ 57. Die gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

(i)

mögen hier auch noch kurz berührt werden, weil sie in der Mechanik eine wichtige Rolle spielen, a) Eine solche ist von der Form f(x, У, y', y") = 0.

Sie enthält neben der ersten Ableitung y', wodurch für jeden Punkt P (x y) der Ebene eine gewisse Fortschreitungsriçhtung bestimmt ist, noch die zweite Ableitung y", wodurch demselben außerdem noch die Krümmung der Lösungskurven in dem betreffenden Punkt zugeordnet ist. Näherungs weise ergibt sich als geometrische Lösung ein Kreisbogenpolygon, das im Grenzfall in die Lösungskurve übergeht.

Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung enthält zwei willkürliche Konstanten.

„ d²x x = ——

Wie schon im ersten Bändchen § 73 ff. ausgeführt worden ist, ist die Bewegung eines Punktes in einer Geraden angegeben durch eine Differentialgleichung von der Form

(2)

rlt²

= f(x, t),

wo x den zur Zeit t zurückgelegten Weg und x" die erlangte Beschleunigung bezeichnet. Wir unterscheiden hierbei drei Fälle.

1. Die Beschleunigung sei konstant und gleich A.

Dann ist

Durch Integration folgt hieraus als erstes Integral mit einer Konstanten G₁

dx

x' = dt = At + Ci

•2

und durch weitere Integration als zweites Integral mit zwei Konstanten С1? C

X = — A t² + С^ + С

и

wodurch einerseits die Geschwindigkeit, andererseits der "Weg in Funktion der Zeit ausgedrückt ist.

Für А = g = 9,81 erhält man die Formeln des freien Falles, wie sie in Bändchen I, § 78 aufgestellt worden sind.

2. Die Beschleunigung sei nur abhängig von der Zeit. Dann ist

d²x dt²

Hieraus erhält man durch Integration unmittelbar die beiden Integrale

dx C

*’=Tt=hdt+°t

x=/{/f(t)dt + C₁}dt + C₂.

3. Die Beschleunigung soll nur von der Entfernung X des bewegten Punktes abhängen. Dami ist

d²x

d²x

—— == А

dt²

oder

dt

A oder dx' = Adt.

dt²

womit die Aufgabe gelöst ist.

— k²x

Bei kleinen Schwingungen ergibt sich beispielsweise die Differentialgleichung d²x

dt² deren Integrale auf die Form gebracht werden können

x = — sin (kb — t)

oder

dxdx'

dt = f(x)dx, oder x'dx' = f(x)dx.

dt dt

Durch Integration folgt hieraus als erstes Integral

woraus sich die Geschwindigkeit des bewegten Punktes berechnet

dx

x dt

= t2/f(x)dx + C₁ = W.

Hieraus ergibt sich weiter

dx

dt = —:

als zweites Integral

=/w

dx

x/ =    = ]/a² — k²x²

dt r

луо a und b die Integrationskonstanten bezeichnen.

b) Durch ein System von zwei simultanen Differentialgleichungen

dt²

1!z = t

dt²

at ^ —8t + °²’

woraus unmittelbar durch Integration die vier Integrale dt

dy

ist, wie schon im Bändchen P) ausgeführt worden, die Bewegung eines Punktes in der Ebene bestimmt. Nach §75 desselben ergaben sich für den schiefen Wurf die beiden Differentialgleichungen d²x

dt²

0,

d²y

dt²

— g,

У = — ^-gt² +:C₃t + C₄

mit den Konstanten Cl5 C₂, C₃, C₄ hervorgehen.

§ 58. Planetenbewegung.

a) Ein materieller Punkt P (Planet) (Fig. 87) von der Masse m bewege sich nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz frei um die Sonne S, deren Masse M sei. Der Einfachheit halber werde vorausgesetzt, daß

Pf.xy, tJ

Га

:'л

y'-Vo эс'= 0

t*o

Fig. 87.

die Bewegung in einer Ebene stattfindet und angenommen, daß bei Beginn derselben (t = 0) der Punkt P die x-Achse mit der Geschwindigkeit v₀ passiere, die in

*) Sammlung Göschen Bd. I 2. Aufl., S. 225 ff. *

diesem Augenblick parallel zur x-Achse gerichtet ist. Nach Newton ist alsdann die Größe der Kraft, mit welcher sich Planet und Sonne anziehen, ausgedrückt durch

. Mm

Befindet sich der materielle Punkt zur Zeit t im Punkte P(xy), dessen Radiusvektor r = PS mit der x-Achse den Winkel cp mache (Fig. 87), so gelten die dynamischen Differentialgl eichun gen

(О

d²x    _ .

m —— = — ГА = -— it cos ф, dt²

d²y

m —— =

oder, da

ist,

— P В = — R sin cp

cos op — —, sin (p =    *

Im X к—— • — ,

dt²

d²x

mdt²'_ d² у

m-=

Mm у r² ' г ’

welche nach Division mit m übergehen in

— кмД.

dt²

(2)

к-

r³’

wobei noch die Gleichung besteht X² -f- У² = Г².

b) Multipliziert man die Gleichungen (2) mit

dx    d V

2x’ = 2— bezw. 2y'= 2 — ,

(3)

2x'x"+ 2y'y"= — k —(2xx' + 2yy')

r³

oder

d (x'² +jj>) _____ M d (X2 + y²)

dt

r!

dt

oder

dr

<Цх'² + у'²) = — 2kM —.

Durch Integration folgt hieraus als erstes Integral der Differentialgleichungen (2) das Prinzip der lebendigen Kraft

(4)

x'²+y/2= 2k--\-Г

oder

₍₄*)

V² = 2 k--f- Г,

r

worin sich die Konstante Г durch die Bedingung er-mitteln läßt, daß für t = 0x'= 0, y' = v₀, r = r₀ ist.

с) ЛУerden andererseits die Gleichungen (2) mit — y bezw. X multipliziert und addiert, so folgt

xy" — yx" = 0

und hieraus durch Integration als zweites Integral das Prinzip der Flächen

(5)’

xy' — yx'= 2U.

Da für t = 0, X = r₀ die Geschwindigkeitskomponenten x'=0, y' =^= v₀ gegeben sind, so ergibt sich hieraus

rovo = 2U, also U

r₀v₀

womit U bestimmt ist.

Die Gleichung (5) kann auch in der Form geschrieben werden xdy — ydx

dt

2U oder

xfy + dy) — y(x + dx)

dt

2U.

Hierin ist bekanntlich durch x (y + dy) — y (x + dx) das doppelte Flächenstück 2df dargestellt, welches der Radiusvektor in der Zeit dt beschrieben hat. Daher ist auch

(6)

df

— =2U oder

dt

dt

Erklärung. Man bezeichnet

df

dt

= l(xy'-yx')

als Flächengeschwindigkeit des Radiusvektors r. Daher gilt der

Satz. Bei der Bewegung eines Planeten um die Sonne ist die Flächengeschwindigkeit konstant.

Durch Integration geht (6) über in f = Ut + C

oder, da C = 0 wird, in

(?)

f = Ut.

Wir erhalten somit den

Satz. Bei der Planetenbewegung sind die zurückgelegten Flächenräume proportional der Zeit oder

das zweite Kepplersche (jesetz: Der Radiusvektor beschreibt in gleichen Zeiten gleiche Flächenräume.

d) Um die Bahnkurve zu bestimmen, multipliziere man die Gleichungen (2) mit 2U = xy'—yx', dann erhalten wir

2Ux"= — kM

x(xy'— yx')

гз

— kM

У(ху' — yx')

2 (Jy" = ~ kM und hieraus durch Integration 2Ux' = — kM— + В

r3

dt ’

-g

= + kM-f-

dt

— У,

2Uy'= + kM — + A +x.

1*

Mit Berücksichtigung der anfänglich gemachten Annahmen ergibt sich hieraus B=0, А = r₀ v₀ — kM.

Werden beide Gleichungen mit den angeschriebenen Faktoren multipliziert und addiert, so folgt als weiteres Integral die Gleichung

2U (xy' — yx') — kMr + Ax

4U²

oder

oder

= kMr -f- Ar cos 90

(8)

4U²

die für

kM -f- A cos 99 ’

4U²

kM

kM

die Gestalt erhält

1 — e cos 90

und bekanntlich die Gleichung eines Kegelschnitts in

Polarkoordinaten r, cp darstellt, bezogen auf einen Brennpunkt als Pol.

Je nachdem e = 0, 1, <1, >1 ist, ist derselbe ein Kreis, eine Parabel, eine Ellipse, eine Hyperbel. Somit gilt der

Satz. Bewegt sieh ein materieller Punkt P unter dem Einfluß der Anziehung eines festen materiellen Centrums S nach dem Newton-schen Gesetz, so beschreibt derselbe einen Kegelschnitt, in dessen einem Brennpunkt F sich S befindet.

Bei der Planetenbewegung ist die Bahnlinie eine Ellipse. Alsdann läßt sich dieser Satz auch aussprechen als erstes Kepplersches Gesetz. Die Planeten bewegen sich in Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Hat diese Ellipse (Fig. 88) die große Achse a,

JLflhA f Fs

Per the t

ъ i}-»

Fig. 88.

4U²

die kleine Achse b und die lineare Exzentrizität e, so folgt aus (8) für cp = 0 und cp = л 4U²

kM — А ’

— £~ш + а

woraus sich ergibt

206 X. Exkurs auf das Gebiet der gewöhnl. Differentialgl. 4U²kM

k²M² — A²

(9)

b = /а² — £² =

4U

und hieraus

|/k²M² — А²

4a = kMb².

e) Nach Formel (7) ist

f = Ut,

also auch

F = UT,

wenn F den Inhalt der ganzen Ellipse und T die Umlaufszeit bezeichnet. Es ist also auch

лаЬ = UT

woraus folgt

T² =

л²а²Ь² 4л²

= -- ad.

U²

kM

ist ebenso

also auch

Für einen anderen Planeten mit der großen Achse ax .

T³ ■    a8

¹¹ “ kM ai’

rp2 . rp2 _

Hieraus folgt aber das

dritte Kepplersche Gesetz: Die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Achsen ihrer Bahnen.

(10)

3    3

а : ax.

f) Führt man Polarkoordinaten

X = r cos cp,    у = r sin (p

ein, so ist

x'= r'cos cp — r sin cpcp' y'= r'sin cp -j- r cos cpcpf x'² + y'² = r'² + r ²(p'2 xy'— yx'= r²go,

womit die beiden Prinzipien (4) und (5) in Polarkoordinaten die (restait erhalten

M

по

r'² _f_ r²o/² = 2k--b Г

r

r‘V= 2U.

Man erhält r²r'² = 2kMr + г²Г

(12)

^ = ^Г2кМг+^=~Л¥ "rdr

Ferner ist

d (p _ 2U dt r²

l 1    2U 2U rdr

also d<p= — dt = — •

somit

(13)

*«; .

Durch die Gleichung (12) läßt sich r in Funktion der Zeit ausdrücken. Die Gleichung (13) stellt die Bahnkurve dar. Damit sind sämtliche Integrale der Differentialgleichung (2) ermittelt.

'P

'r

Fig. 89.

g) Zieht man im Punkt P des Kegelschnittes (Fig. 89), in welchem sich der materielle Punkt zur

Zeit t befindet, die Tangente an die Bahnkurve, deren Neigungswinkel gegen die x-Achse $ sei, und fällt man vom Pol S das Lot SH auf dieselbe, so ist

p = r sin (ß— cp)

und

X = r cos cp, y = r sin cp x'= vx = V cos# y'= Vf = V sin#, daher geht die Gleichung (5) über in

rv (cos cp sin ô — sin cp cos <5) = 2U

rv sin(ß — cp) = 2U,

2U

2U

oder in woraus folgt

(14)

r sin {ß — cp) p

Es gilt damit der

Satz. Die Geschwindigkeit v, die ein Planet zu irgend einer Zeit erreicht, ist umgekehrt proportional zu dem Abstand der augenblicklichen Bahntangente von der Sonne.

Dieser Abstand ist am kleinsten zur Zeit des Perihels und am größten zur Zeit des Aphels (Pig. 88). Daher ist auch die Geschwindigkeit der Planeten am größten zur Zeit des Perihels und am kleinsten zur Zeit des Aphels.

Fortfefrung bec 7. SBorfakfcite.

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--II. Xeil: 2üi)t unb SBärme.

35onDr. ©uftan Säger, sprofeffor ber Mninerfitüt SBien. Silit 47 Slbbilb. Sir. 77.

--III. Xeil: ©lektrigität unb

Sllagnetismus. Sîon Dr. ©uftan Fäger, $Prof. an ber Hninerfität SBien. SHit 33 Slbbilb. Sir. 78. *РЬрркаЩфе Formelfammlung n. ©. Sllahlcr, $rof. am ©ijmnaf. in Шт. Sir. 136. fpiafttk, Sie, bes Slbenblanbes non Dr.£>ans ©tegmamt, Konfernator Slationalmufeum gu Slürnberg. Silit 23 Xaf. Sir. 116. Poetik, Хеи11фе, non Dr. Karl 23orinski, Sogent an ber llninerf. ЗПйпфеп. Sir. 40.

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SBürttemberg. ßanbeskunbe bes ftönigreichs SBürttemberg n. Dr. fturtjmffert, S^tof. b.©eographie a.b.£janbelshochfd)ule i.ftöln.SIlit 16S5ollbilbernu.lftarte. Str.157.

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SBörterbuch, Seutfcbes, non Dr. $er* binanb Setter, $rofeffor an ber llninerfität S^rag. Str. 64.

Ç^ammlung Ç^chuberf.

Sammlung mathematischer Lehrbücher,

die, auf wissenschaftlicher Grundlage beruhend, den Bedürfnissen des Praktikers Rechnung tragen und zugleich durch eine leicht fassliche Darstellung des Stoffs auch für den Nichtfachmann verständlich sind.

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung in Leipzig.

Verzeichnis der bis jetzt erschienenen Bände:

Transformationen

1    Elementare Arithmetik und Algebra, von Prof. Dr. Hermann Schubert in Hamburg M. 2.80.

2    Elementare Planimetrie von Prof. W Pflieger in Münster i. E. M. 4.80.

3    Ebene und sphärische Trigonometrie von Dr. F. Bohnert in Hamburg M. 2.—.

4    Elementare Stereometrie von Dr. F. Bohnert in Hamburg. M 2.40.

5    Niedere Analysis I. Teil : Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kettenbrüche und diophantische Gleichungen von Professor Dr. Hermann Schubert in Hamburg. M. 3.60.

6    Algebra mit Einschluss der elementaren Zahlentheorie

von Dr. Otto Pund in Altona. M. 4.40.

7    Ebene Geometrie der Lage

v.Prof.Dr.Rud.Böger i. Hamburg. M. 5.—.

8    Analytische Geometrie der Ebene von Prof. Dr. Max Simon in Strassburg. M. 6.—.

9    Analyt.Geometried. Raumes I.Teil : Gerade, Ebene, Kugel von Professor Dr. Max Simon in Strassburg. M. 4.—.

10 Differentialrechnung v. Prof. Dr. Frz. Meyer in Königsberg. M. 9.—.

12    Elemente der darstellenden Geometrie V. Dr. John Schröder in Hamburg. M. 5.—.

13    Differentialgleichungen von Prof. Dr. L. Schlesinger in Klausenburg. M. 8.—.

14    Praxis der Gleichungen von Professor C. Runge in Hannover.

M.    5.20.

19    Wahrscheinlichkeits-u. Ausgleichungs-Rechnung V. Dr.

Norbert Herz in Wien. M. 8.—.

20    Versicherungsmathematikv. Dr. W. Grossmann in Wien.

N.    5.-.

25 Analytische Geometrie des Raumes II.Teil : Die Flächen zweiten Grades von Prof. Dr. Max Simon in Strassburg. П.4.40. 27 Geometrische Transformationen I. Teil: Die projektiven

nebst ihren Anwendungen

von Professor Dr. Karl Doehle-mann in München. M. 10.—.

31 Theorie der algebraischen Funktionen una ihrer Integrale V. Oberlehrer E. Landfriedt in Strassburg. И. 8.50.

34 Liniengeometrie mit Anwendungen I. Teil von Professor Dr. Konrad Zindler in Innsbruck. N. 12.—.

Sammlung Schubert

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung, Leipzig.

von

35 Mehrdimensionale Geometrie I. Teil: Die linearen RäumeV. Prof. Dr.P.H.Schoute in Groningen. M. 10.—.

39 Thermodynamik I. Teil Prof. Dr. W Voigt in Göttingen. M. 10.—.

40 Mathematische Optik von

Dr. J. Classen in Hamburg. M. 6.—.

46 Thetafunktionen und hyperelliptische Funktionen von

Oberl. E. Landfriedt in Strassburg. M. 4.50.

In Vorbereitung bezw. projektiert sind:

All

Integralrechnung von Prof. Dr. Franz Meyer in Königsberg.

Elemente der Astronomie von V. Dr. Ernst Hartwig in Bamberg.

Mathematische Geographie von Dr. Ernst Hartwig in Bamberg.

Anwendungen der darstellenden Geometrie von Prof. Erich Geyger in Kassel.

Geschichte der Mathematik v. Prof. Dr. A. v. Braunmühl und Prof. Dr. S. Günther in München.

Dynamik von Prof. Dr. Karl Heun in Karlsruhe.

Technische Mechanik von Prof. Dr. Karl Heun in Karlsruhe.

Geodäsie von Prof. Dr. A. Galle in Potsdam.

Allgemeine Funktionentheorie v. Dr. Paul Epstein in Strassburg.

Räumliche projektive Geometrie.

Geometrische Transformationen II. Teil von Prof. Dr. Karl Doehlemann in München.

Theorie der höheren algebraischen Kurven, gemeine Theorie der Raumkurven und Flächen I u. II

von Prof. Dr. Victor Kommerell in Reutlingen und Prof. Dr. Karl Kommerell in Heilbronn.

Elliptische Funktionen von Dr.

Paul Epstein in Strassburg. Theorie u. Praxis der Reihen v. Prof. C. Runge in Hannover. Invariantentheorie von Prof. Dr.

Jos. Wellstein in Giessen. Mehrdimensionale Geometrie II. Teil von Prof. Dr. P. H. Schoute in Groningen. Liniengeometrie II. Teil v. Prof.

Dr. Konrad Zindler in Innsbruck. Kinematik von Prof. Dr. Karl Heun in Karlsruhe. Potentialtheorie von Oberlehrer Grimsehl in Hamburg.

Theorie der Elektrizität und des Magnetismus I und II von Dr. J. Classen in Hamburg.

0. J. Göschen’sche Verlagshandlung in Leipzig.

Elemente der Stereometrie

von

Prof. Dr. Gustav Holzmüller.

I.    Band: Die Lehrsätze und Konstruktionen. Mit 282

Figuren. Preis broschiert Mk. 6.—, gebunden Mk. 6.60.

II.    Band: Die Berechnung einfach gestalteter Körper.

Mit 156 Figuren. Preis broschiert Mk. 10.—, gebunden Mk. 10.80.

III.    Band: Die Untersuchung und Konstruktion

schwierigerer Raumgebilde. Mit 12b Figuren. Preis broschiert Mk. 9.—, gebunden Mk. 9.80.

IV.    Band: Fortsetzung der schwierigeren Unter

suchungen. Mit 89 Figuren. Preis broschiert Mk. 9.—, gebunden Mk. 9.80.

Dieses Werk dürfte wohl einzig in seiner Art dastehen, denn in so umfassender und gründlicher Weise ist die Stereometrie noch nicht behandelt worden. Das Wort „elementar“ ist dabei so zu nehmen, dass die höhere Analysis und im allgemeinen auch die analytische Raumgeometrie ausgeschlossen bleiben, während die synthetische neuere Geometrie in den Kreis der Betrachtungen hineingezogen wird, soweit es die Methoden der darstellenden Geometrie erfordern.

Alle Figuren, auf die ganz besondere Sorgfalt verwendet worden ist, sind streng konstruiert und fast jede ist ein Beispiel der darstellenden Geometrie.

Trotz des elementaren Charakters geht diese neue Stereometrie weit über das übliche Ziel hinaus, gibt neben den Lehrsätzen umfangreiches Übungsmaterial, betont die Konstruktion und die Berechnung gleich-massig und wird somit an Vielseitigkeit und Gediegenheit des Inhalts wohl von keinem der hervorragenderen

Lehrbücher erreicht.

G. J. Gôschen’sche Verlagshandlung in Leipzig.

demente der geometrie 5er Cage

für den Schulunterricht

bearbeitet von

Dr« Rudolf Roger,

Professor am Realgymnasium des Johanneums in Hamburg.

Mit 33 Figuren.

Preis: Kartonniert 90 Pfg.

Formeln und Lehrsätze der

Allgemeinen Mechanik

in systematischer und geschichtlicher Entwickelung von

l>r. Karl lleun,

Professor an der Technischen Hochschule in Karlsruhe

Mit 25 Figuren im Text.

Preis: Gebunden Mk. 3.50.

Theorie des Schlick’schen Massenausgleichs

bei mehrkurbeligen Dampfmaschinen

von

Dr. Hermann Schubert,

Professor an der Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg.

Preis: Broschiert Mk. 12.—.

Göschens Kaufmännische Bibliothek

Sammlung praktischer kaufmännischer Handbücher, die nach ihrer

ganzen Anlage berufen sein sollen, sowohl im kaufmännischen Unterricht als in der Praxis wertvolle Dienste zu leisten.

Bd. i : Deutsche Handelst* or respondent von Robert Stern, Oberlehrer an der Öffentlichen Handelslehranstalt und Dozent an der Handelshochschule zu Leipzig. Geb. Mk. 1.80.

Bd. 2: Deutsch-Französische Handelskorrespondenz von Prof. Th de Beaux, Oberlehrer an der Öffentlichen Handelslehranstalt und Lektor an der Handelshochschule zu Leipzig. Geb. Mk. 3.—.

Bd. 3: Deutsch - Englische Handelskorrespondenz von John Montgomery, Director, and Hon-Secy, City of Liverpool School of Commerce, University College in Liverpool. Geb. M. 3.—.

Bd. 4: Deutsch-Italienische Handelskorrespondenz von Professor Alberto de Beaux, Oberlehrer am Königl. Institut S. S. Annunziata in Florenz. Geb. Mk. 3.—.

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Die Zeichenkunst

Methodische Darstellung des gesamten Zeichenwesens

Herausgegeben von Karl Kimmicli.

Unter Mitwirkung von Л. Hitdel, Л. ßammissar, Eudwig Hans TUcber, m. Fürst, Otto Hupp. Hibert Hull, Konrad Eanae, Hdaib. micbolitscb, Hdoif möller. Faul tlaumann, Fritz Reiss, Л. v. Saint-öeorge, Л. Stelzl, R. trunk, З. Uonderlinn und anderen.

Zwei starke Bände mit 1091 Text-Illustrationen sowie 56 P'arb- und Lichtdrucktafeln.

Preis; Gebunden Mark 25.—.

Auch in 23 Heften à Mk. 1,— zu beziehen.

O. J. Göschen’sche Verlagshandlung in Leipzig.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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