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Mathematische Bibliothek

aus der Sammlung Göschen.

Jedes Bändchen eleg. in Leinwand gebunden 80 Pfennig.

Geschichte der Mathematik von. Dr. A. Sturm, Professor am Obergymnasium in Seitenstetten.    Nr. 226.

Arithmetik u. Algebra von Prof. Dr. Hermann Schubert. Nr. 47. Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra von Professor Dr. Hermann Schubert.    Nr. 48.

Ebene Geometrie m. 110 zweifarb. Fig. v. Prof. G. Mahler. Nr. 41.

Ebene und sphärische Trigonometrie mit 70 Figuren von Prof. Dr. Gerhard Hessenberg.    Nr. 99.

Nr. 97.

Stereometrie mit 66 Figuren von Dr. Glaser.

Niedere Analysis m. 6 Figuren von Dr. Benedikt Sporer. Nr. 53.

Höhere Analysis I: Differentialrechnung mit 68 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 87.

Höhere Analysis II: Integralrechnung mit 89 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 88.

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differentialrechnung m. 46 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 146.

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung m. 50 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 147.

Analytische Geometrie der Ebene mit 57 Figuren von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 65.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene mit 32 Figuren von Professor 0. Th. Bünden. Nr. 256.

Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Abbildungen von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 89.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes mit 8 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen.    Nr. 309.

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung mit 91 Fig. von Professor Dr. К. Doehlemann.    Nr. 72.

Dr. Rob. Haußner.

Darstellende Geometrie I mit 110 Figuren von Professor

--II. Mit 40 Figuren.

Mathematische Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik mit 18 Fig. von Prof. O. Th. Bürklen. Nr. 51.

Wenden!

Nr. 142. Nr. 143.

Ausgleichungsreclinung nach, der Methode der kleinsten Quadrate m. 15 Fig.u. 2 Taf.v.Prof.Wilh. Weitbrecht. Nr.302. Vektoranalysis mit 11 Figuren von Professor Dr. Siegfr.Valentinen

Determinanten von Paul B. Fischer, Oberlehrer an der Oberrealschule zu Groß-Lichterfelde.    Nr. 402.

Algebraische Kurven von Eugen Beutel, Oberreallehrer in Vaihingen-Enz. I. Kurvendiskussion. Mit 57 Figuren im Text.

Nr. 435.

Mit

Nr. 436.

--II: Theorie und Kurven dritter und viertel Ordnung.

52 Fig. im Text.

Versieherungsmathematik v. Prof. Dr. Alfred Loewy. Nr. 180.

Nr. 58.

Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn.

Vermessungskunde von Oberlehrer Dipl.-Ing. P. Werkmeister. 2 Bändchen mit 255 Abbildungen.    Nr. 468, 469.

Astronomie. Größe, Bewegung und Entfernung der Himmelskörper von A. F. Möbius, neubearbeitet von Prof. Dr. Herrn. Kobold. Is Das Planetensystem. Mit 33 Abbildungen.    Nr. 11.

--Ils Kometen, Meteore und das Sternsystem. Mit 15 Figuren

Sammlung Göschen

Einleitung

§ 16. Geometrische Darstellung.

§ 24. Stetigkeit.

I $n + p Sn I == j ~f~ Wn + 1 j

§ 42. Die Ableitung einer Potenzreihe.

§ 57. Die Ableitungen von ez, sin^? cos#.

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— 2>ie tHedefCrift des (Babels* bergerfd)en Gpffem

6ammlung бфиЬег!

Einleitung

in die Funktionentheorie

(Theorie der komplexen Zahlenreihen)

Von

Max Rose

Oberlehrer an der Goetheschule zu Deutsch-Wilmersdorf

Mit 10 Figuren

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1912

Literatur.

Biermann, Theorie der analytischen Funktionen.

Burkhardt, Algebraische Analysis.

Burkhardt, Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen. J. Thomae, Elementare Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

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K.I2 A&Ó w

Bruck der Spamerschen Buchdruckerei in Leipzig

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Inhaltsverzeichnis.

Erster Abschnitt.

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Das Rechnen mit komplexen Zahlen.

§ 1. Formale Gesetze für das Rechnen mit reellen Zahlen .

§ 2. Die imaginäre Einheit...............

§ 3. Die rein imaginären Zahlen............

§ 4. Einführung der komplexen Zahlern Die Norm . .

§ 6. Gleichheit komplexer Zahlen............

§ 6. Addition und Subtraktion.............

§ 7. Multiplikation....................

§ 8. Division.......................

§ 9. Zusammenfassung.................

§ 10. Absoluter Wert und Richtungsfaktor.......

Dar-

§ 11. Trigonometrische Darstellung einer Zahl.....

§ 12. Multiplikation und Division in trigonometrischer

Stellung.......................

§ 13. Der Moivresche Satz................

§ 14. Mehrdeutigkeit der Wurzelziehung.........

§ 15. Spezialfälle.....................

§ 16. Geometrische Darstellung.............

§17. Addition und Subtraktion in geometrischer Darste § 18. Multiplikation und Division in geometrischer Darste

Zweiter Abschnitt.

Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

§ 19. Die komplexe Veränderliche...............

§ 20. Begriff der (eindeutigen) komplexen Funktion von z . .

§ 21. Der Begriff der Grenze..................

§ 22. Sätze über den Grenzbegriff...............

§ 23. Beispiele

Die reguläre Funktion

§ 24. Stetigkeit.......

§ 25. Begriff der Ableitung.

§ 26. Beispiele....................

§ 27. Die inverse Funktion einer regulären Funktion § 28. Funktionen von Funktionen..........

Dritter Abschnitt.

Reihen mit komplexen Gliedern, im besonderen Potenzreihen.

§ 29. Begriff der Konvergenz (Divergenz)...........

§ 80. Einfache Sätze über konvergente Reihen........

§ 31. Unbedingte Konvergenz.................

§ 32. Die geometrische Reihe.................

Seite

60

§33. Gleichmäßige Konvergenz der geometrischen Reihe. . .

§ 34. Zwei Konvergenzkriterien................

§ 35. Beispiele.........................

§ 36. Gleichmäßige Konvergenz einer Potenzreihe......

§ 37. Konvergenzkreis.....................

§ 38. Der Konvergenzradius und die Koeffizienten der Potenzreihe ...........................

§ 39. Die Reihe der Ableitungen der Glieder einer Potenzreihe 71

§ 40. Umkehrung des eben Bewiesenen............ 74

§ 41. Stetigkeit der Potenzreihe................

§ 42. Die Ableitung einer Potenzreihe.............

§ 43. Übungen.........................

§ 44. Die Potenzreihe als Taylorsehe bzw. Maclaurinsche Reihe 81

§ 45. Übereinstimmung zweier Potenzreihen..........

§ 46. Der absolute Wert des ersten Gliedes einer Potenzreihe 84

§ 47. Kombinationen zweier Potenzreihen...........

§48. Potenzreihen von z-c...................

61

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85

87

Vierter Abschnitt.

Spezielle Potenzreihen.

§ 49. ez, sin z, cos z..................

§ 50. Eigenschaften von ex (x reell).........

§ 51. Die Eigenschaften von sin x und cos x (x reell)

§52. Die Relation eZl- ez'² = eZl+Z2...........

§ 53. Die Eulersche Relation.............

54. Realitätsbetrachtungen.............

,°OS2, e*

§ 56. Ergänzungen................

§57. Die Ableitungen von e², sin г, cosz . . . .

§ 58. Die Funktionen tgz und cotgz.......

§ 59. Realität von tgz und cotgz.........

§60. Die Ableitungen von tgz und cotgz . . . . § 61. Entwicklung von tgz in eine Potenzreihe .

§ 62. Die Potenzreihe für cotgz.........

§ 63. Die hyperbolischen Funktionen......

§ 64. Realitätsbetrachtungen...........

§ 65. Verhalten im Periodenstreifen.......

§ 66. Die Funktion Logarithmus.........

$68.

§ 67. Die Ableitung von Log z..........

Reihenentwicklungen für den Logarithmus

§ 69. Die Binomialreihe.............

§ 70. Die Funktion arc tgz............

§71. Die Funktion arc sinz...........

Anhang.

Konforme Abbildung.

132

§ 72. Begriff der konformen Abbildung.....

§ 73. Einfache Beispiele konformer Abbildungen

Theorie der komplexen Zahlenreihen.

Erster Abschnitt.

Das Rechnen mit komplexen Zahlen.

§ 1. Formale Gesetze für das Rechnen mit reellen Zahlen.

Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten drei formale Gesetze:

1. Das kommutative Gesetz

der Addition : a b == b a der Multiplikation : ab — ba

Gesetz

2.    Das assoziative (der Addition: (а -f- b) + c = a + (b -|- c) \ der Multiplikation :(a»b)»c — a*(b*ć).

3.    Das distributive Gesetz der Multiplikation:

а»{Ь-\-с) = а»Ь-\-а*с.

In engem Zusammenhänge mit ihnen stehen die Sätze : Ein Produkt ist nur dann gleich Null, wenn wenigstens ein Faktor gleich Null ist.

Die Division durch Null ist eine unausführbare Operation.

§ 2. Die imaginäre Einheit.

Wenn eine Gleichung ersten Grades in richtiger Weise gegeben ist, also weder eine Identität darstellt wie die Gleichung

2+3-x + 3 = 2x + 5 + x

Das Rechnen mit komplexen Zahlen, noch einen Widerspruch enthält wie die Gleichung 6ж + 3 — 4ж + 5 = 2.ж+11,

so ist sie im Gebiete der reellen Zahlen stets und nur in einer Weise lösbar. Bei den Gleichungen zweiten Grades ist das nicht immer der Fall; so hat z. B. die Gleichung

x² = —1

keine reelle Wurzel; denn es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist. Fordern wir trotzdem die Möglichkeit der Lösung, so sind wir zu einer Erweiterung des Zahlgebietes gezwungen.

Wir führen zu diesem Zwecke eine neue Zahleinheit ein durch die Forderung, daß ihr Quadrat gleich — 1 sein soll. Für diese so definierte Zahl ist wegen ihrer fundamentalen Bedeutung für alle Zweige des mathematischen Wissens die Bezeichnung г gewählt worden. Es kann also die Definition der Zahl i symbolisch durch

*=y-i

angedeutet werden.

§ 3. Die rein imaginären Zahlen.

Wie sich aus der absoluten Einheit, der Eins, durch den Vorgang des Zählens die absoluten ganzen Zahlen ergeben, so folgen aus der Einheit i die Zahlen 2г,3г,4г..., und dieselben Betrachtungen, welche die Einführung der negativen, der gebrochenen und irrationalen Zahlen erforderten, führen zur Bildung von Zalilen der Form b i, in denen b irgendeine reelle Zahl bedeutet. Solche Zahlen haben die Form eines Produktes aus einer reellen Zahl b und der Einheit г, man nennt sie rein imaginäre Zahlen.

Die Bezeichnung „imaginär“ ist wenig glücklich gewählt; denn sie erkennt den so benannten Zahlen gewissermaßen die Daseinsberechtigung ab und spricht sie als etwas Unwirkliches, nur in der Einbildung Vorhandenes an. In Wahrheit stehen die imaginären Zahlen hinter den negativen, den gebrochenen und den irrationalen Zahlen in keiner Weise zurück; denn auch diese sind durch Erweiterung eines vorhandenen Zahlgebietes in die Analysis eingeführt worden. Sogar die absoluten ganzen Zahlen haben als reine Gredankendinge keine Realität im gewöhnlichen Sinne und könnten deshalb mit gleichem Rechte als imaginäre Zahlen angesehen werden. Der Grund zu der Bezeichnungsweise „imaginär“ mag wohl der gewesen sein, daß die imaginären Zahlen als das Produkt rein wissenschaftlicher Spekulation entstanden sind, während die negativen, die gebrochenen und selbst die irrationalen Zahlen ihr Dasein Bedürfnissen des gewöhnlichen Lebens verdanken.

Trotz alledem werden wir jedoch prüfen müssen, ob die Einführung der imaginären Zahlen eine zweckmäßige ist, was nur dann der Fall sein wird, wenn mir mit ihnen wie mit reellen Zahlen rechnen können.

§ 4. Einführung der komplexen Zahlen. Die Norm.

Nachdem wir den Begriff der rein imaginären Zahlen gewonnen haben, erweitern wir das bisherige Zahlengebiet in der Weise, daß wir eine reelle und eine rein imaginäre Zahl additiv vereinigen. Eine solche Verbindung schreiben wir in der Form

a -J- Ъ i

und nennen sie eine komplexe Zahl. Natürlich können wir sie zunächst nur rein formal als Summe auf fassen;

aber mit Hilfe geeigneter Definitionen werden wir es dahin bringen, daß wir mit komplexen Zahlen wie mit Summen rechnen können.

Die reellen Größen a und b, welche die Zahl a + b i bestimmen, wollen wir ihre Koordinaten nennen und zwar a die erste und b die zweite. Die reellen und rein imaginären Zahlen sind somit Spezialfälle von komplexen Zahlen, und zwar ist für die reellen Zahlen die zweite, für die rein imaginären Zahlen die erste Koordinate gleich Null.

a² -f- b² = 0

zusammengesetzt werden. Wegen ihrer Wichtigkeit für das Rechnen mit komplexen Zahlen bezeichnet man die Größe a² -f- b² als die Norm der komplexen Zahl. Es gilt also der Satz 1 : Eine komplexe Zahl verschwindet dann und nur dann, wenn ihre Norm verschwindet.

a + b i ist nur dann gleich Null, wenn a = b = 0 ist. Beide Gleichungen können, da a und b reelle Zahlen sind, zu der einzigen

§ 5. Gleichheit komplexer Zahlen.

Wir nennen zwei komplexe Zahlen a + b г und c + di einander gleich, wenn а = c und b = d ist. Die Berechtigung dieser zunächst willkürlich erscheinenden Definition erhellt ohne weiteres daraus, daß die Einheiten 1 und i in keiner Weise additiv auseinander hergeleitet werden können, also völlig unabhängig voneinander sind.

§ 6. Addition und Subtraktion.

Die Summe zweier komplexer Zahlen erklären wir durch die Vorschrift

(a + b i) -f- (c -f- d i) = (a + c) + (b -f d) i.

Wir führen so die Addition von komplexen Zahlen auf

die von reellen zurück; es gilt also auch im Bereiche der komplexen Zahlen das kommutative und das assoziative G-esetz der Addition.

Zwei Zahlen a + b г und а — b г, die also in den ersten Koordinaten übereinstimmen, deren zweite Koordinaten aber entgegengesetzte Zeichen haben, nennt man konjugiert komplexe Zahlen.

Da (a + b i) + (a — b i) = 2 a ist, so gilt der Satz 2: Die Summe konjugiert komplexer Zahlen

ist reell.

Diejenige Zahl, welche a-j-bi zu Null ergänzt, nennen wir die zu a-j-bi entgegengesetzte ; sie ist der Summen-definition zufolge gleich — а — bi.

Wie für reelle Zahlen verstehen wir unter der Differenz (a + bi) — (c + di) diejenige Zahl, welche, zu c + di addiert, а + bi ergibt; es ist also

(a -f- b i) — (c + di) = (a — b) + (c — d)i.

Wir erkennen sofort die Richtigkeit der beiden Sätze:

Satz 3: Die Subtraktion einer komplexen Zahl ist gleichbedeutend mit der Addition der entgegengesetzten Zahl. (Dieser Satz gilt in gleichem Wortlaute für reelle

Zahlen.)

Satz 4: Die Differenz zweier konjugiert komplexer Zahlen ist rein imaginär.

§ 7. Multiplikation.

Wir stellen zunächst die Forderung, daß im Bereiche der komplexen Zahlen die drei Grundgesetze der Multiplikation Gültigkeit behalten sollen.

Wiederholte Addition gleicher komplexer Zahlen liefert das Gesetz

m(a + b i) = m a + mb • i.

Dieses gilt zunächst nur für ganze Zahlen m, aber es läßt sich durch eine einfache Überlegung zeigen, daß es für rationale Zahlen, und da eine irrationale Zahl stets als Grenze einer Reihe von rationalen betrachtet werden kann, auch für irrationale seine Gültigkeit behält. Das assoziative und das distributive Gesetz lehren uns dann allgemein :

(a + b i) (c + di) = a(c + di) + b i(c + di)

— ac — bd -f- (ad + bc)i .

Ein wichtiger Spezialfall ist die Multiplikation konjugiert komplexer Zahlen. Sie ergibt wegen

den

(a -f- b i) (a — b i) = a² + b²

Satz 5: Das Produkt zweier konjugiert komplexer Zahlen ist positiv reell und gleich ihrer gemeinsamen Norm.

Ist ein Faktor des Produktes (a + b i) (c + di), etwa c + di y gleich Null, was nur für c = d = 0 ein treten kann, so ist auch der Wert des Produktes gleich Null. Nun ist die Norm des Produktes gleich

(ac — bä)² + (ad+ bc)² = (a² + b²) (c² + d²).

oder

c² + d²

Soll das Produkt verschwinden, so muß seine Norm verschwinden. Das ist nur der Fall, wenn a² + b²

verschwindet, d. h. wenn eine der komplexen Zahlen verschwindet. Es gilt also der

Satz 6: Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist nur dann gleich Null, wenn wenigstens einer der Faktoren verschwindet.

§ 8. Division.

Wir definieren in gewohnter Weise den Quotienten zweier komplexer Zahlen a -f- b i und c + di als die-jenige Zahl x + y i, die, mit c -f di multipliziert, a + b i ergibt. Dire Koordinaten bestimmen sich aus den Gleichungen :

ex — dy = a dx -f- cy — b .

Diese ergeben

ac + b d

c² + d²

und

bc — ad c² d²

Es ist also

a -f- Ы ac + bd c + di c² + d²

bc — ad

c² + d²

Das gleiche Ergebnis hätten wir erhalten, wenn wir mit c — di erweitert hätten. Es ist

den Bruch

а + bi

c + di

also auch die Division im Bereiche der komplexen Zahlen eine ausführbare und eindeutige Operation; sie ist nur dann nicht möglich, wenn c² + d² = 0 ist, d. h. wenn der Divisor verschwindet. Es folgt demnach:

Satz 7 : Die Division durch Null ist auch im Bereiche der komplexen Zahlen eine unausführbare Operation.

Es läßt sich fenier leicht beweisen der auch für reelle Zahlen geltende

Satz 8: Die Division durch eine komplexe Zahl ist gleichbedeutend mit der Multiplikation mit dem reziproken Werte der Zahl.

Der reziproke Wert der Zahl c -f di ist nämlich

c + di c² + d² c² + d2 woraus der in Rede stehende Satz unmittelbar folgt.

§ 9. Zusammenfassung.

Aus dem bisher Betrachteten folgt, daß wir im Gebiete der komplexen Zahlen bezüglich der vier Grundrechnungsarten wie mit reellen Zahlen rechnen können. Wir sind daher berechtigt, die komplexen Zahlen mit einem einzigen Buchstaben zu bezeichnen und von ihnen in einfacherer Weise als von „Zahlen“ zu reden, was wir ja auch schon mehrmals getan haben.

Führen wir mit einer Reihe von Zahlen cx, c₂,. •cn eine endliche Zahl von Operationen aus, die dem Gebiete der vier Grundrechnungsarten angehören, so erhalten wir eine bestimmte Zahl c als Resultat. Lassen wir an Stelle von clr r₂,..., cn die konjugiert komplexen Zahlen c[j c.j, . . ., c'n treten, so ist das Ergebnis die zu c konjugiert komplexe Zahl c'. Es genügt, diesen Satz für zwei Zahlen c₁ und c₂ zu beweisen, doch möge die Ausführung dem Leser überlassen bleiben, da sie mit Hilfe des Bisherigen äußerst leicht zu bewerkstelligen ist.

§ 10. Absoluter Wert und Richtungsfaktor.

Verstehen wir unter ^a² + b² die positive Quadratwurzel der Norm von a -f- b i, so können wir а -f- b i in der Form schreiben:

—_______+ -=—=.**.

l/a² + b²    ]/a² + b²

a+ bi =Уа²" +¥•

Der erste Faktor ist für alle eingehenden Untersuchungen von der größten Bedeutung; er wird nach Weierstraß der absolute Wert von a -f- bi genannt und mit

I а + b i I

bezeichnet. Den zweiten Faktor nennen wir aus einem Grunde, den wir bald erkennen werden, den Richtungs-

Absoluter Wert und Richtungsfaktor.

13

faktor von a -f bi. Er hat den absoluten Wert 1. Für die absoluten Werte gelten eine Reihe von wichtigen Sätzen :

Satz 9: Der absolute Wert des Produktes zweier Zahlen ist gleich dem Produkte der absoluten Werte der Faktoren.

Die Norm des Produktes (a + bi) (c + di) ist nämlich, wie früher gezeigt, gleich (a²    b²) (c² -f- r/²), woraus der

zu beweisende Satz unmittelbar folgt.

Analog folgt aus der Gleichung

a -f- bi a c + bd bc — ad c + di    c² -f d²    c² -f- d²

Satz 10: Der absolute Wert des Quotienten zweier Zahlen ist gleich dem Quotienten der absoluten Werte von Zähler und Nenner.

Ferner gilt der

Satz 11: Der absolute Wert der Summe zweier Zahlen ist nicht größer als die Summe und nicht kleiner als die Differenz der absoluten Werte der Summanden.

Setzen wir nämlich

und

so ist der Ausdruck

С + di: = Q \(a + c) + (b + d)i\=R,

(r -j- q)² — R² = 2 [У(а² + b²) (c² + d²) — (ac Ą-b d)] nicht kleiner als Null, denn die Differenz der Quadrate des Minuendus und Subtrahendus der Klammer hat den Wert (ad — bc)²] er verschwindet nur dann, wenn

а : b = c : d

ist. Es ist also

R^r+ q .

In gleicherweise können wir den zweiten Teil des Satzes

beweisen. Wir nehmen etwa r > q an (denn im Ralle r = q ist der Satz evident) und betrachten die Differenz

R² - (r - q)².

Es folgt

R^r — q .

Auch hier findet die Gleichheit nur statt, wenn a:b = c:d.

Die Bedingung a : b = e : d ist also notwendig dafür, daß der absolute Wert der Summe zweier Zahlen einen der Grenzwerte annimmt; sie ist aber für diesen Zweck auch hinreichend. Sie ist nämlich erfüllt, wenn c = la und d = Xb gesetzt wird, wo Я eine positive oder negative reelle Zahl bedeutet. Ist also zunächst Я positiv, so ist

Il(a + c)²    + d)² = (1 + Я) ]!a² + b²

= ]/а² + h² + У (Я а)² + (Я Ъ)²

= Уа² + Ь² + Ус² + d²,

R = r + Q .

also

Ist ferner Я negativ gleich (— Я'), so genügt es, wenn I а + b i I > I c -f- d i |

vorausgesetzt wird, Я' zwischen 0 und 1 anzunehmen. Dann ist

Ца + ç)² + (b~+dj* = (1 - Я') Уа² + Ъ²

= Уа² + b² - i (У a)² + (Vb)' = Уа2 + ъ² - у^+Т²,

R = r — g .

also

1st a : Ъ = c : d und haben c und d bezüglich dieselben oder die entgegengesetzten Vorzeichen wie a und b, so besitzen die Zahlen a Ą- Ы und c + di bezüglich die gleichen oder die entgegengesetzten Richtungsfaktoren.

Trigonometrische Darstellung einer Zahl.

15

Wir können somit das Ergebnis der vorangehenden Untersuchung wie folgt ergänzen:

Satz 12 : Der absolute Wert der Summe zweier Zahlen

ist gleich der Summe oder der Differenz der absoluten Werte der Summanden, je nachdem die beiden Zahlen gleiche oder entgegengesetzte Richtungsfaktoren haben. Die bewiesenen Sätze sind einer Verallgemeinerung

fähig :

Satz 13: Der absolute Wert des Produktes mehrerer Zahlen ist gleich dem Produkte der absoluten Werte der Faktoren.

Satz 14: Der absolute Wert der Summe mehrerer Zalilen ist nicht größer als die Summe der absoluten Werte der Summanden. Er ist ihr gleich, wenn alle Summanden die gleichen Eichtungsfaktoren haben.

§ 11. Trigonometrische Darstellung einer Zahl.

Der Umstand, daß die Norm des Eichtungsfaktors gleich 1 ist, gibt Anlaß zur Darstellung einer Zahl in trigonometrischer Form. Bezeichnet r den absoluten Wert von a -f- Ъ i, so ist

Es läßt sich dann stets ein und nur ein Winkel cp angeben, für den 0 ^ cp < 2 n ist und der den Gleichungen genügt:

cos 99 ■== —

Die Vorzeichen von a und Ъ ergeben zunächst die Lage des Winkels cp innerhalb der vier Quadranten, dann vollendet die Gleichung

die Bestimmung. Eine jede Zahl a + b i kann also stets und nur in einer Weise in der Form

a -f- Ъ i = r (cos cp + i • sin 99)

dargestellt werden, in der r ihren absoluten Wert bedeutet und 99 der Ungleichung 0 ^ cp < 2 n genügt. cp heißt der Arcus von а -f- Ъ i. Lassen wir die Beschränkung für den Arcus fallen, so ist er nur bis auf ganzzahlige Vielfache der Zahl 2 n bestimmt. Ist dann q?₀ derjenige Wert des Arcus, für den 0 cp₀ < 2 л, so ist allgemein 99 = (pQ + 2kn, wo к eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet. cp₀ heißt der Hauptwert des Arcus. Diese allgemeinere Fassung ist für viele Fragen von Bedeutung.

§12. Multiplikation und Division in trigonometrischer Darstellung.

Die trigonometrische Darstellung von Zahlen ist von Bedeutung für die Multiplikation und Division, sowie für die Potenzierung und Radizierung.

(\ — rt (cos<рх + i sin cpx) e₂ = r₂ (COS99₂ + i sm<p₂).

Es sei

Dann ist

ci c2 ~ ri r2 * [cos (fi cos cp₂ — sin ą\ sin cp₂

+ i • (sin (p± cos cp₂ + cos^ sin 993)] = ri r2 • [c°S(Vl + CP2) + i • sin(99]. + V2)] •

Satz 15: Der Arcus des Produktes zweier Zahlen ist gleich der Summe der Arcus der Faktoren.

Ferner ist

C2

c± ?\ cos99x + ^sin991 r₂ cos99₂ + г sin 993

Erweitern wir den zweiten Bruch der rechten Seite mit cos cp₂ — i • sin , so wird der Nenner gleich 1, der Zähler gleich

Es ist also:

ci

^2

cos cpx cos (p₂ + sin <px sin cp₂

+ ^(sin^cos^ — cos (px sin cp₂ ).

= } • [cos(<pt — (f₂) + I • sin(ç9₁ — 99₂)].

Satz 16: Der Arcus des Quotienten zweier Zahlen ist gleich der Differenz der Arcus von Zähler und Nenner.

§ 13. Der Moivresche Satz.

Der erste der eben entwickelten Sätze kann auf beliebig viele Faktoren erweitert werden. Es ist nämlich

Cl C2 • • • rn — rir2 • • * rn* [oos^l + ^2    • • • + <Pn)

Ist

+ г • sin ((pt + cp₂ + • • • + 9?w)] •

Cl~ C2 = • ‘    = cn — c

so wird

cn = [r • (cos99 + i sin<p)]w = rn • (cosn cp + г sum 99)]„

=    = ... .= (pn = cp,

Diese Formel trägt den Namen des Moivreschen Satzes. Sie ist zunächst nur für positive Zahlen n entwickelt, aber es läßt sich zeigen, daß sie auch für beliebige Zahlen Gültigkeit behält. Wir wollen uns indes auf rationale reelle Zahlen beschränken. Es sei zunächst n = — m eine negative ganze Zahl. Dann ist

rw(cosm cp -f- i sin ж 99) Rose, Einleitung in die Funktionentheorie.

cm

cn — c~m =

Erweitern wir mit (cos m cp—i sin mcp) und berücksichtigen, daß —~г — r~m = г¹¹ ist, so ergibt sich

cn __ rn, (cosm cp — i sinm cp)

СП __ ГП, (С08?г çp i    у} e

Der Moi vr esche Satz gilt also auch für negative ganze Zahlen n.

ein Bruch mit dem positiven ganzzahligen Nenner p und dem Zähler 1. Verstehen

Nunmehr sei n —

wir dann unter cn — cv diejenige Zahl p(cos$ + i sin$),

deren p te Potenz gleich c = r (cos99 + г sin 99) ist, so besteht die Gleichung

p^(cosp #    i sinp &) — r (cos<p + ^ sin cp).

Sie ergibt

QV COSp ÏÏ = r COS cp

qv sinp ïï = r sin 99.

Q*P=r².

Quadrieren und addieren wir diese Gleichungen, so erhalten wir

(rv positiv).

Es ist also

qV — r und о = rp

Die obigen Gleichungen lassen sich dann in der Form schreiben

cos^> # = cos cp sinp û = sin cp .

Multiplizieren wir die erste dieser Gleichungen mit cos cp, die zweite mit sin cp und addieren sie, so folgt

cosp # • cos cp -f ship $ - sin cp = cos (p # — cp) = 1.

p$ — (p 2 к я

Es ist somit

wo к eine beliebige positive ganze Zahl bedeutet, p û ist also gleich dem Arcus von e in seiner allgemeinen Form. Nehmen wir diese Form von vornherein an, so können wir einfacher schreiben:

also

p & = <p,

Es ist demnach

cv == rv \ cos — -f- i • sin

Schreiben wir statt

— wieder n, so ist wiederum V

cn = [r(cos(p + i sinç>)]w = rn(cosn cp -+ i sinn <p).

Der Moivresche Satz gilt also auch für den Fall, daß n ein positiver rationaler Bruch mit dem Zähler 1 ist. Die Ausdehnung auf beliebige rationale Brüche n bietet nunmehr keine Schwierigkeiten : sie sei dem Leser überlassen

§ 14. Mehrdeutigkeit der Wurzelziehung.

Nach dem vorigen Paragraphen ist

$ be

Ifc = )V(cos cp + i sin cp) — rn |cos —- + i sin j .

Ist <p = (p₀ + 2 kn, wo cp₀ den Haupt wert des Arcus von c bedeutet, so ist

(p₀ + 2 kn

ÿc = г

cos

+ i • sin

= r».(cos^ + i-sinA).(

\ n    n / \

cos

2 к n .    . 2 к n\

—ь г-sin--.

n    n ).

Setzen wir к die Werte 1, 2, . . . n ein, so erhalten

n —

wir n voneinander verschiedene Werte von ]/c. Eine jede топ ihnen ergibt sich ans der vorhergehenden durch Multiplikation mit

2 71

cos —

)!

+ i sin -— ,

n

wie der Moivresche Satz zeigt. Im besonderen ist der Wert von ]/c für den Fall к = n gleich

<Po

cos -f- i sin

Bezeichnen wir den allgemeinen Wert von ]/c mit ( j/c) so ist

2 k 7i

-(R-(

/    2 л    2 jt\k

Der Ausdruck cos— -f-^'sin-^¹— ändert seinen Wert V n    n I

cos

2 71

+ i • sin

cos--1- i • sin

DO

nicht, wenn к sich um ein ganzzahliges Vielfaches von n ändert, wie der Moi vre sehe Satz zeigt. Die Werte von

n/~

у с für к = 1,2, . . . n sind also die sämtlichen voneinander verschiedenen Werte, die jГс überhaupt nehmen kann. n

Die Operation ijc ist also n deutig, oder anders gesagt : die Gleichung zn = c hat n voneinander verschiedene Wurzeln.

an-

§ 15. Spezialfälle.

Wenn die zweite Koordinate von c von Null verschieden ist, so befindet sich unter den n Wurzeln keine

reelle, da eine ganzzahlige Potenz einer reellen Zahl nicht komplex sein kann.

Ist c positiv reell, also cpo=0, so sind je zwei Wurzeln mit der Indexsumme n konjugiert komplex. Die Gleichung zn = c hat also, wenn n gerade ist, die reellen Wurzeln

zn —

und zn

n,—

— ]/ r — — c

n.— n,

= у r = y 0.

Ist aber n ungerade, so ist nur die eine relie Wurzel

*n=]/r=]/c

vorhanden.

Ist c negativ reell und mithin q)₀ = n, so ist nur im Falle eines ungeraden n eine reelle Wurzel vorhanden.

Sie heißt — у r — У c .

Wichtig ist noch der Spezialfall с == 1. Die Lösungen der Gleichung zn = 1 bezeichnet man mit dem Hamen n = te Einheitswurzeln. Sie sind von der Form

COS

2 71

2л\к n )

(*=1,2,..., n)

Eine jede von ihnen ist gleich der &ten Potenz der ersten von ihnen.

§ 16. Geometrische Darstellung.

Die trigonometrische Form einer Zahl gibt Anlaß zu einer von Gauß und Argand in die Analysis ein geführten, ursprünglich von Wessel herrührenden geometrischen Darstellung.

In einer Ebene, der sog. komplexen Ebene, nehmen wir zwei aufeinander senkrechte Gerade an und bezeichnen die eine als die reelle, die andere als die imaginäre Achse.

Yon dem Schnittpunkte О der Achsen ausgehend, setzen wir auf jeder von diesen eine Richtung als die positive, die entgegengesetzte als die negative fest. Auf dem positiven Teil der reellen Achse nehmen wir beliebig (für die Pfaxis nicht zu weit von О entfernt) einen Punkt E an, den wir den Einheitspunkt nennen und als das geometrische Bild der Zahl 1 ansehen. Dann er-У -Ь klären wir als das Bild der Zahl c = а + Ы denjenigen Punkt der komplexen Ebene, dessen Koordinaten, in der Ein heit О A7 gemessen, in bezug auf die reelle und imaginäre Achse bzw. die Werte a und b haben. Damit

С(а+Ы)

\ъ

Ту

_ ist nach den Grundan-

Fig. 1.

ХГ+ schauungen der analytischen Geometrie der Ebene jeder Zahl ein und nur ein Punkt der komplexen Zahlenebene zugeordnet und umgekehrt. Dem Schnittpunkte der Achsen entspricht die Zahl Null, den Punkten der reellen Achse die reellen Zahlen, denen der imaginären Achse die rein imaginären Zahlen.

Der Radiusvektor OC hat die Länge r =|/a²-j-wir erkennen in ihm das geometrische Bild des absoluten Wertes von c wieder. Der Winkel XOC= 9% stellt wegen

sinçpQ =

cosç?₀ = — г

den Hauptwert des Arcus der komplexen Zahl dar.

Die Bilder von Zahlen mit gleicher erster Koordinate liegen auf einer Parallelen zur imaginären Achse, die von

Zahlen mit gleicher zweiter Koordinate auf einer Parallelen zur reellen Achse. Die Bilder von Zahlen gleichen absoluten Wertes liegen auf der Peripherie eines Kreises um den Nullpunkt, der den geometrischen Repräsentanten des absoluten Wertes zum Radius hat.

c=ct+\i

+JT

c'=a-bi

Fig. 2.

Die Verbindungslinie der Bilder entgegengesetzt gleicher Zahlen geht durch den Nullpunkt und wird von ihm halbiert. Die zu c = a + b i konjugierte Zahl c'=a— bi ist in geometrischer Redeweise das Spiegelbild von c bezüglich der reellen Achse, ebenso c das Spiegelbild von V.

§17. Addition und Subtraktion in geometrischer Darstellung.

Es seien Сг und C₂ die Bilder zweier Zahlen ci = ai + \ i und c₂ = Og -f- b₂ i .

Ziehen wir zu den Radienvektoren OCt und OC₂ durch C₂ bzw. Cx die Parallelen, welche sich in S schneiden, so ist S das Bild der Summe cx -f- c₂ .

Dann fällen wir von Ci, C₂ und S die Lote auf die reelle Achse und bezeichnen sie in der Weise der Figur, so ist

OL = OA₁ + AXL = OA₁ + G₁M == OAt -f- OA₂ = % + a2 LS - LM + MS = АХСХ + A₂C₂= \ + b₂

wie es der ^Definition ct + c₂ ⁼ (ai + аг) + (Pi + h) г entspricht.¹

Bei der Konstruktion ist keine der Zahlen ct, c₂ vor der anderen bevorzugt; es zeigt also auch die geometrische Konstruktion die Gültigkeit des

kommutativen Gesetzes der Addition.

Л Л

Fig. 3.

JL X

Da Gx S der Länge nach gleich О C₂ ist, so können wir die Konstruktion auch in der Weise vornehmen, daß wir von Ci aus eine der Strecke

О C₂ gleiche und gleichgerichtete Strecke ziehen, deren Endpunkt S dann die Summe darstellt. In dieser Fassung kann die Konstruktion leicht auf eine größere Zahl von Summanden verallgemeinert werden.

Die absoluten Werte

und

|<v| = 0Cl, >₂ |. = qs I cl + c2 I ⁼ О &

sind die Seiten des Dreiecks OĄS. Wir

-— erkennen somit, daß

-D    Fig. 4.

^ in der geometrischen Darstellung die Sätze über den absoluten Wert der Summe zweier komplexer Zahlen zurückkommen auf den Dreieckssatz: Jede Seite eines Dreiecks ist nicht größer als

die Summe der beiden anderen und nicht kleiner als ihre Differenz.

Aus der Darstellung der Summe ergibt sich sofort die der Differenz:

Wir verbinden das Bild C₂ des Subtrahendus mit dem Bild G₁ des Minuendus und ziehen durch О zu C₂ C± gleich und gleichgerichtet die Strecke OD. Dann ist D das Bild der Differenz ct — c₂ .

Die Richtigkeit der Konstruktion ergibt sich aus der Definition der Differenz als derjenigen Zahl, welche, zu dem Subtrahendus addiert, den Minuendus liefert.

§ 18. Multiplikation und Division in geometrischer Darstellung.

Es seien Gt und C₂ die Bilder zweier Zahlen

ci=^(cosç?!-f-èin^), c2=r₂(cosqo₂+isin(p₂),

JP

E das Bild des Einheitspunktes. Es ist

c^c₂^rxr₂

[cos (9^ + 99₃)

+ isinfa -)- ą>₂)\.

JST

Fig. 5.

Daraus ergibt sich unmittelbar die Konstruktion des Produk-

tes:

Wir ziehen О Ci, OC₂ und EG₂ und zeichnen über OCi dasjenige Dreieck OC^P, welches zu dem über OE liegenden Dreieck OEC₂ gleichstimmig ähnlich ist.

Da nämlich

Dann stellt P das Produkt Gt C₂ dar.

<£ CxOP = <£ EOC₂ ist, so ist

E OP = E О Cj -j-    77 О (7g = cpi -J— cp₂.

Ferner ist

oder

OP: OCt = OC₂: OE

OP =

OCx. ОC₂

= ri r₂ .

Die Konstruktion des gleichstimmig ähnlichen Dreiecks nehmen wir am einfachsten in der folgenden Weise vor:

Wir tragen О Ct auf OE von О aus bis Cx ab und ziehen durch C₁ zu EC₂ die Parallele CtP. Dann sind CtP und OP bezüglich die Längen der gesuchten Seite CtP und OP.

Die geometrische Darstellung

des Quotienten — folgt sogleich aus C2

der des Produktes:

sei das Bild des Zählers, Cg das des

_Nenners, E der Ein-

-X heitspunkt. Wir ziehen OCx, 00₂ und EC2 und zeichnen über OCx dasjenige Dreieck OQOx, welches zu dem über OC2 stehenden Dreieck OEC₂ gleichstimmig ähnlich ist. Dann ist Q das Bild des Quotienten.

Die Richtigkeit der Konstruktion folgt aus der Definition des Quotienten ¹ als derjenigen Zahl, welche, C2

mit c₂ multipliziert, cx ergibt.

]Q £

Fig. 6.

OE

Die Seiten 0 Q und Q erhalten wir am einfachsten, indem wir auf О C₂ von О aus die Strecke 0 C\ bis Gx abtragen und durch C± zu C₂ E die Parallele ziehen, die OE in Q schneidet. Dann sind O Q und QOx bezüglich die Längen der Strecken 0 Q und Q Ct.

Zweiter Abschnitt.

Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

§ 19. Die komplexe Veränderliche.

Lassen wir in der komplexen Zahl с = а + b i eine der beiden Koordinaten oder auch beide gleichzeitig nach und andere Werte annehmen, so ändert sich der Wert von c, da zwei komplexe Zahlen nur dann einander gleich sind, wenn ihre Koordinaten bezüglich einander gleich sind. Es ändert sich damit auch die Lage des den Wert c darstellenden Punktes der komplexen Ebene. In diesem Sinne nennen wir die Zahl c eine veränderliche komplexe Zahl. Es ist üblich, eine solche mit ihren Koordinaten durch die letzten Buchstaben des Alphabets zu bezeichnen, also etwa zu schreiben:

X = X + yi.

Die Veränderlichkeit einer komplexen Zahl ist demnach gleichbedeutend mit der von zwei reellen Zahlen oder wenigstens einer reellen Zahl.

Erteilen wir у einen festen Wert y₀ und lassen x alle möglichen reellen Werte annehmen, so liegt der

Bildpunkt von■% auf derjenigen Parallelen zur reellen Achse, welche durch den Punkty г hindurchgeht. Erteilen wir andererseits x einen festen Wert x₀ und lassen у alle möglichen reellen Werte annehmen, so liegt der Bildpunkt von % auf derjenigeu Parallelen zur imaginären Achse, die durch den Punkt x₀ hindurchgeht. Schreiben wir vor, daß zwischen den reellen Veränderlichen x und у die reelle Beziehung f(x, у) — 0 bestehen soll, so liegt der Punkt % auf der durch die Gleichung f(x, y) = 0 etwa dargestellten Kurve der komplexen Ebene. So entsprechen der Beziehung ах -\-Ъу c = 0, in der а, Ъ , с reelle Zahlen bezeichnen, die Punkte % einer geraden Linie der komplexen Ebene, der Beziehung x² -f- y² = r2 (r reell) die Punkte % des Kreises, der mit dem Radius r um den Nullpunkt beschrieben ist, u. dgl. mehr.

Wir erwähnen hier sogleich zwei für das Rechnen mit komplexen Veränderlichen wichtige Definitionen:

Definition 1 : Eine komplexe Veränderliche wird unendlich klein, wenn ihr absoluter Wert kleiner wird als jede noch so kleine positive Zahl.

Das kann natürlich nur dann der Fall sein, wenn beide Koordinaten gleichzeitig dem absoluten Werte nach unendlich klein werden.

Definition 2 : Eine komplexe Veränderliche wird unendlich groß, wenn ihr absoluter Wert größer wird als jede noch so große positive Zahl.

Es genügt für diesen Zweck bereits, wenn eine der Koordinaten dem absoluten Wert nach unendlich groß wird.

§ 20. Begriff der (eindeutigen) komplexen Funktion von z.

Wir sagen von einer reellen Veränderlichen г/, sie sei eine eindeutige Funktion der reellen Veränderlichen ж,

wenn eine Vorschrift besteht, nach der wir jedem Werte von X, der überhaupt in Betracht kommt, einen und nur einen Wert von y ziiordnen können. Von besonderer Wichtigkeit ist der Fa¹¹, daß sich y aus x und konstanten Zahlen durch eine endliche Zahl von Operationen ergibt, die dem Gebiete der vier Grundrechnungsarten an gehören.

Sind nun 2 — x + y i und w = и -f- v i zwei komplexe Veränderliche, so werden wir versucht sein, die obige Definition auch auf sie auszudehnen, also zu sagen, daß w eine eindeutige Funktion von z sei, wenn sich jedem Werte von z ein und nur ein Wert von w zuordnen läßt. Das ist in der Tat möglich; denn sind a₀ , ax, a₂, . . an konstante Zahlen, so ist der Ausdruck

w = a₀zn+ a₁zn~¹+ •a₂zn~²+ . . . + an,

den wir eine ganze rationale Funktion von z nennen, von der Beschaffenheit, daß jedem Werte von 2 ein und nur ein Wert von w entspricht. Das gleiche ist der Fall für einen Ausdruck der Form

a₀zm -f Oj zm~¹ + . . . Ą- am Ъ₀ zn + bt zn~¹ + . . . + Ъ n ■

in dem die Größen a und Ъ konstante Zahlen bezeichnen und den wir eine gebrochene rationale Funktion von z nennen. Ausgenommen sind nur diejenigen Werte von 2, für die etwa der Nenner Null wird.

Allgemein können wir einen jeden Ausdruck der Form w = X+Yi

in dem X und Y irgendwelche eindeutigen reellen Funktionen von x und y bedeuten, die nur der Beschränkung unterliegen, daß sie innerhalb eines gewissen Bereiches für x und y gleichzeitig definiert sein müssen, als Funktion von 2 ansehen. Ist nämlich z₀ ein Wert, den 2 annehmen kann, so sind zugleich die beiden Werte x₀ und y₀ der Koordinaten von z₀ bestimmt, damit aber auch zwei Werte X₀, Y₀ und schließlich auch ein und nur ein Wert

wo ⁼ Д) + i •

Definition 3: Eine komplexe Veränderliche w heißt eine (eindeutige) komplexe Funktion der komplexen Veränderlichen z, wenn sich jedem Werte von z ein und nur ein Wert von w zuordnen läßt.

In diesem Sinne sind also die ganzen rationalen Funktionen von z und die gebrochenen rationalen Funktionen von z eindeutige komplexe Funktionen von z. Wir werden statt der Bezeichnung w, um die Abhängigkeit von z auszudrücken, häufig die Bezeichnung f(z) gebrauchen. Wir erwähnen noch den einleuchtenden

Satz 17: Die Summe, die Differenz, das Produkt, der Quotient zweier komplexen Funktionen von z sind wieder komplexe Funktionen von z.

§ 21. Der Begriff der Grenze.

Da in w = f(z) = X+ Yi X und Y innerhalb gewisser Grenzen beliebig gewählt werden können, so liegt in der Definition der komplexen Funktionen eine große Willkür. Wir werden jetzt einen Begriff kennen lernen, der für uns von Wichtigkeit sein wird: den Begriff der Grenze. Er wird uns später dazu dienen, die erwähnte Willkür zu beseitigen und eine Klasse eindeutiger komplexer Funktionen von z zu definieren, die in ihren Eigenschaften große Übereinstimmung mit den reellen Funktionen reeller Veränderlicher haben. Wir wollen den Begriff der Grenze und die für ihn geltenden Sätze zunächst rein theoretisch erörtern und sodann an einer Eeihe von Beispielen erläutern.

Definition 4: Eine komplexe Funktion f(z) von z hat für z — z₀ den Wert c zur Grenze, wenn sich, falls e eine beliebig kleine positive Zahl bezeichnet, eine positive Zahl ô derart bestimmen läßt, daß die Ungleichung

f(z) — e \ < 6 für alle Werte von z erfüllt ist, die der Bedingung genügen Z — z₀ > Ô.

Wenn f(z) für z — z₀ den Wert c zur Grenze hat, so schreiben wir kurz

lim f(z) = c (gelesen limes f(z) für z = z₀ gleich c).

z = z₀

Ist c von Null verschieden, so last sich aus der ersten Ungleichung eine Folgerung ziehen, die das Abstrakte der Definition in gewisserWeise mildert. Nach Satz 11, §10 sind nämlich sowohl

I f(z) I — c\ als auch [ c\ — | f(z) kleiner als | f(z) — c Ist also lim f{z) = c, so gelten gleichzeitig die Un-

Z-Zo gleichungen

f{z) ! — c I < г und I с I — \f(z)\<e für alle Werte von 2, die der Bedingung genügen, daß z — z₀ I kleiner ist als die zu e gehörige positive Zahl ô. Für die Veränderlichkeit von f(z) | sind somit zwei Grenzen gegeben.

Satz 18: Ist lim f(z) = c, und bezeichnen e und ô

Z — Z°

die die Existenz der Grenze bestimmenden positiven Zahlen, so besteht für alle Werte von г, die der Bedingung z — z₀ I < ô genügen, die Doppelungleichung :

! c I — e < I f(z) I <; .j q I + e.

Auch eine geometrische Veranschaulichung ist häufig von Nutzen: Ist limf(z) = c, so unterscheidet sich der

Z — Zq

Wert I f(z) \ für alle Punkte innerhalb des mit dem Radius ô um den Punkt z₀ geschlagenen Kreises von | c \ höchstens um + 8.    ⁴

Einer besonderen Formulierung bedarf die Definition der Grenze für den Fall, daß eine der Zahlen z₀ und c oder auch beide die Fähigkeit haben, unendlich groß zu werden.

Definition 5: Eine komplexe Funktion f(z) von 2 wird für z = z₀ unendlich groß, wenn sich zu einer beliebig großen positiven Zahl JY eine positive Zahl ô derart bestimmen läßt, daß für alle Werte, die der Bedingung ; z — z₀ I < ô genügen, die Ungleichung besteht

I f{z) I > V.

In diesem Falle überschreitet also | f(z) jede noch so große positive Zahl, wenn z innerhalb eines gewissen Kreises um z₀ als Mittelpunkt liegt. Die Tatsache, daß f(z) für z — z₀ unendlich groß wird, schreiben wir kurz

lim f(z) = 00.

z = z₀

I f(z) - СI < e.

Definition 6: Eine komplexe Funktion hat den Wert c zur Grenze, wenn z unendlich groß wird, falls sich zu einer beliebig kleinen positiven Zahl £ eine positive Zahl N derart bestimmen läßt, daß für alle Werte von z, die der Bedingung |z|> N genügen, die Ungleichung besteht

Die kurze Schreibweise dafür lautet lim f(z) = c.

2=00

Definition 7 : Eine komplexe Funktion von z wird gleichzeitig mit z unendlich groß, wenn sich zu einer beliebig großen positiven Zahl M eine andere positive Zahl N derart bestimmen läßt, daß für alle Werte von z, die der Bedingung | z j > IV genügen, die Ungleichung besteht

\т\>м.

Die kurze Schreibweise dafür lautet lim f(z) — oo.

2 = 00

§ 22. Sätze über den Grenzbegriff.

Für den Grenzbegriff gelten eine Anzahl von wichtigen Sätzen, die wir der Reihe nach mit ihren Beweisen anführen wollen. Ihre Kenntnis ist unerläßlich, weil wir ihrer zur Begründung der Lehre von der Stetigkeit der komplexen Funktionen bedürfen.

Satz 19 : Der Grenzwert der Summe einer endlichen Zahl komplexer Funktionen für den "Wert z = z₀ ist gleich der Summe der Grenzwerte der Summanden.

Ит[/'(г) + g (г)] = lim f{z) + lim g(z).

Z = Zq

Z — Zq

Z=Z₀

lim f(z) = d.

Z = Zo

Beweis: Sei \imf(z) = c

Z — Zq

Bezeichnet e eine beliebig kleine positive Zahl, so lassen sich zwei positive Zahlen öt und d₂ derart an-geben, daß

wenn

wenn I z — z₀ < d₂.

g

g(z) - d < — ,

Nun ist nach Satz 11, § 10

\f(z) + g(z) — (c + d) \ <\f{*) — cl+ g(*)~d!•

Nehmen wir also I г— z₀ kleiner als die kleinere der beiden Zahlen öt und ö₂ an, so ist

I f(z) + g(z) -{c + d)\<e.

Rose, Einleitung in die Funktionentheorie.

\g{s)\yN+ \ c\ + e

wenn j z — z₀ I < ö₂

(Definition 5, § 21).

Nehmen wir | z — z₀ | kleiner als die kleinere der beiden Zahlen und ö₂ an, so folgt

1/(2) + 9(z) I > I 9{z) — i f{z)

>iV+|c|+e — (|e^+e) >N.

Es wird also auch f{z) + g(z) für z = z₀ unendlich wenn g(z) für z = z₀ unendlich wird. Sollte sowohl lim^(z) = oo als auch \img(z) = oo sein, so braucht das

Z = ZQ

(Satz 18, § 21),

Damit ist die Behauptung für zwei Summanden erwiesen,

durcli —

to crj

für n Summanden brauchen wir nur ersetzen.

Anmerkung: Der Satz bleibt gültig, wenn z₀ = oc . Beweis nach Definition 6, § 21.

Er gilt auch für den Fall, daß eine der Grenzen, etwa d, unendlich groß wird:

Satz 20: Ist \imf(z)

z=z₀

ist auch lim(/(z)    g (zj\ = <x>.

Z — Zq

Beweis: Sei limf(z) — c, \\mg(z) = oo.

Z = Z₀

Bezeichnet e eine beliebig kleine positive Zahl, N eine beliebig große positive Zahl, so lassen sich zwei positive Zahlen und <5₂ derart bestimmen, daß die Ungleichungen bestehen

zu

aber lim^(z) = oo, so

Z=z₀

z=z₀

f(z) I < I с I + 8,

wenn I z — z₀ < Ą

z=z₀

Bewiesene nicht durchaus zu gelten.

Satz 21: Der Grenzwert der Differenz zweier komplexer Funktionen von z für den Wert z — z₀ ist gleich der Differenz der Grenzwerte von Minuendus und Sub-trahendus

Z-Z₀

lim [f{z) — g(z)] = lim f(z) + limg(z).

Z = Z₀

Der Beweis ergibt sich wegen

f(z) - g(z) — (c — d) ! < I f{z).— о | + | g(z) - d \ leicht aus dem Vorigen.

Anmerkung: Der Satz bleibt gültig, wenn z₀ = oo . Beweis nach Definition 6, § 21,

Satz 22: Der Grenzwert des Produktes einer end

lichen Zahl komplexer Funktionen von z für den Wert z — z₀ ist dem Produkte der Grenzwerte der Faktoren gleich:

Z — Zq

üm \f(z) • g(z)\ = Um Да) • \img(z).

z = z₀

z=z₀

Beweis: Sei limf[z) = g, lim g(z) = d, s ein beliebig

kleiner positiver echter Bruch und die Zahl e' definiert durch

e' =

c \ d -f- 1

so daß auch 0 < e'< 1. Nach der Voraussetzung lassen sich dann zwei positive Zahlen ö± und ö₂ derart bestimmen, daß

Für alle Werte von z,    die der Bedingung genügen,    daß

\z — z₀ I kleiner als die kleinere der beiden Zahlen und ö₂ ist, gilt dann

f(z) • g(z) — cd t = I f(z)g(z) — cg(z) Ą- cg(z) — cd\

Ы²) I ' I fiz) — ⁶1 + Ie I • 1ff(z) — d <(1^1 + s')e'-b IGI •e'

<\c\-e'+\d\.e'+e'*

<    ( I с I + I d I + 1) • s', denn e'² < s'

<    s.

Der Satz ist damit zunächst für zwei Veränderliche bewiesen, seine allgemeine GKiltigkeit folgt durch den Schluß von n auf n + 1.

Anmerkung: Es ist 1тф • f(z)\ = c • lim f(z). Be-

Z — oo

2 = 00

weis nach Definition 6, § 21.

Satz 23: Der Grenzwert des reziproken Wertes einer komplexen Funktion ist gleich dem reziproken Werte des Grenzwertes der Funktion selbst, wenn dieser von Null verschieden ist

lim

f(z) J    lim f(z) ‘

г=г₀

Beweis: Es sei hmf(z) = c ungleich ISTull. Ist s

Z — Zq

eine beliebig kleine positive Zahl und s' definiert durch

2. s

1 + I e I • e ’

so läßt sich jedenfalls eine positive Zahl ô von der Beschaffenheit bestimmen, daß

I f(*о) - c I < e' |A*)|>M-e'

wenn j z — z₀ I < S (Definition 4 und Satz 18, § 21).

Dann ist

I /'(г) — c

л Cb

с I • ( I c \ — e')

Avie die Substitution des Wertes von e ergibt.

Durch Kombination der Sätze 22 und 23 folgt leicht:

Satz 24: Der Grenzwert des Quotienten zweier komplexer Funktionen von z für den Wert z = z₀ ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte von Zähler und Nenner (mit Ausnahme des Falles, daß für z = z₀ der Nenner verschwindet).

1imf(z)

lim П )    = ^___.

z=2oU(z)J lim<7(z)

Es bleibt uns noch zu zeigen, was geschieht, wenn der Grenzwert des Nenners verschwindet. Wir betrachten

sogleich den allgemeineren Quotienten

Satz 25: Ist lim f(z) = c von Null verschieden, 2 = 2*

Hm#(z) dagegen gleich Null, so ist lim

z=z₀ *-9\z)

Beweis: Es sei N eine beliebig große Zahl, ferner

Dann lassen sich

Z = 2₀

sei e definiert durch e =

9(e) '

— oc.

N+l *

jedenfalls zwei positive Zahlen und ö₂ derart bestimmen, daß

\f(z)\>\e\—e

und

>9(e) I <«,

Avenn

I z — z₀| < dj (Satz 18, § 21)

Avenn ! z — z₀1 < d₂ (Def. 4, § 21).

Nehmen wir | 2 — z₀ | kleiner als die kleinere der beiden Zahlen <5X und S₂ an, so folgt

ff(z)

e>N’

wie die Substitution des Wertes von e zeigt. Es wird also nach Definition 5, § 21 f(z) unendlich, wenn z sich z0 unbegrenzt nähert.

Nach der Definition der komplexen Funktionen von z ist auch eine jede Konstante als komplexe Funktion von z anzusehen. Wir erkennen leicht, daß sie für jeden Wert z0 von z ihren eigenen Wert zur Grenze hat. Setzen wir daher in dem eben bewiesenen Satze f(z) = 1 und stattg(z) wieder f(z), so können wir dem Satze die speziellere Fassung geben :    г

= oo.

Satz 26: Ist lim/*(z) = 0, so ist lim —

z = z₀

z=z₀

§ 23. Beispiele.

1. Die lineare Funktion f(z) —az-\-b ist als Spezialfall einer ganzen rationalen Funktion für alle endlichen Werte von z eine eindeutige komplexe Funktion von z. Ist e eine beliebig kleine positive Zahl, so besteht wegen

\f{z) — (a z₀ + b)\ = \a\-\z — z₀

die Ungleichung | f{z) — (az₀ + b) | < e für alle Werte von 2, die der Bedingung genügen

Mithin folgt: die lineare Funktion f(z) = аг -f b hat für z = z₀ den Grenzwert az₀-\- Ъ[= f(z₀)].

2. Die Funktion f{z) = azn.

Die Funktion az und z sind als Spezialfälle einer linearen Funktion komplexe Funktionen von 2, die für

Die Funktion f(z) = a zn hat also für г = z₀ den Grenzwert azo.

3. Satz 27 : Ist \z \ < 1, so ist lim(azn) = 0.

n = oo

Beweis: Es ist \azn = \a\*\zn. s sei eine beliebig kleine positive Zahl. Wie bekannt, läßt sich der Wert der wten Potenz eines positiven echten Bruches, falls n größer als eine hinreichend große Zahl N genommen wird, unter jede noch so kleine positive Zahl herabdrücken, so daß also z. B. die Ungleichung erfüllt werden kann

Dann ist auch | a zn | < e.

= 00.

z — z₀ bezüglich die Grenzwerte az₀ und z₀ haben. Daraus folgt durch Anwendung von Satz 22, § 22 lim(a zn) = lim [az • z» z...]

z=z₀

= lim(az) • limz • limz...

z=z₀

z=z₀

z=z₀

Z — Z₀

4.    Satz 28: Ist \z \ >1, so ist lim(azw)

n = oo

Der Beweis ist dem vorigen analog.

5.    Aus Beispiel (2) und Satz 19, § 22 folgt: Eine ganze rationale Funktion von z hat für z = z₀ einen bestimmten Grenzwert, der gleich dem Werte der Funktion für z = z₀ ist.

6.    Aus Beispiel 5 und Satz 24, § 22 folgt ferner: Eine gebrochene rationale Funktion von z hat einen bestimmten endlichen Grenzwert für jeden Wert von 2, für den der Nenner von Null verschieden ist. Ist für einen Wert z₀ der Grenzwert des Zählers von Null verschieden, der Grenzwert des Nenners jedoch gleich Null, so wird die gebrochene rationale Funktion für z = z0 unendlich groß. (Satz 25, § 22.)

§ 24. Stetigkeit.

Wir bezeichnen, wie es auch schon im vorigen Paragraphen geschehen ist, mit f(z₀) denjenigen Wert, den die komplexe Funktion annimmt, wenn wir in den analytischen Ausdruck von f{z) die Zahl z₀ mit ihren Koordinaten x0 und y₀ einführen. Ist z₀ + £ ein Wert, der dem Definitionsbereich von f(z) angehört, so können wir f(z₀ £) als komplexe Funktion von £ ansehen.

Definition 8: Eine komplexe Funktion f(z) von z ist im Punkte z = z₀ stetig, wenn f(z₀ + £) für £ = 0 den Wert f(zQ) zum Grenzwerte hat, in kurzer Schreibweise, wenn lim f(zQ -f- £) = f(z) ist.

In anderer Formulierung können wir sagen:

Definition 9: Eine komplexe Funktion f(z) von z heißt im Punkte z = z₀ stetig, wenn sich zu einer beliebig-kleinen positiven Zahl e eine positive Zahl ô derart bestimmen läßt, daß für alle Werte von f, die dem absoluten Werte nach kleiner als ô sind, die Ungleichung besteht

A«,о + О — A«o) 1 < e.

Haben die Funktionen f(z) und g(z) für z *= z₀ bezüglich die Grenzwerte f(z₀) und y(z₀), so haben

g(z)

Azo)

f(z) + g(z), f(z) — g(z), f(z) ■ g{z)

nach den Sätzen 19, 21, 22, 24 die Grenzwerte

Аго) + 9 (zo). Azo) — 9 (zo), Az₀) • 9 (z₀)

Es gelten also die Sätze:

Satz 29: Die Summe einer endlichen Zahl komplexer Funktionen von z ist überall da stetig, wo die Summanden gleichzeitig stetig sind.

Satz 30 : Die Differenz zweier komplexer Funktionen von % ist überall da stetig, wo Minuendus und Subtra-hendus gleichzeitig stetig sind.

Satz 31: Das Produkt einer endlichen Zahl komplexer Funktionen von % ist überall da stetig, wo die Faktoren gleichzeitig stetig sind.

Satz 32 : Der Quotient zweier komplexer Funktionen von ж ist überall da stetig, wo Zähler und Nenner gleichzeitig stetig sind und der Nenner nicht verschwindet.

Ein Beispiel für die Stetigkeit bieten die rationalen Funktionen. Wir haben in § 23, 5 gesehen, daß, wenn f(z) eine ganze rationale Funktion von z bezeichnet, limf{z) = f(zQ) ist. Daraus folgt:

Z=ze

Satz 33: Jede ganze rationale Funktion von z ist für alle endlichen Werte von z stetig.

Wir erkennen auch (Satz 32)

Satz 34 : Jede gebrochene rationale Funktion ist für alle diejenigen Werte von z stetig, für die der Nenner nicht verschwindet.

§ 25. Begriff der Ableitung. Die reguläre Funktion.

"Wir sind nun in den Stand gesetzt, die Willkür zu beseitigen, die in der Definition der komplexen Funktionen von z lag.

Es sei f(z) eine komplexe Funktion von z, z₀ ein Punkt ihres Definitionsbereiches, z₀ + f ein benachbarter Punkt. Wir bilden den Differenzen quotienten

Av+O —/(« 0)

Es kann nun der Fall eintreten, daß für eine komplexe Funktion dieser Quotient einen bestimmten Grenzwert hat, wenn sich der Bildpunkt von z₀ + f dem von z0 nähert, gleichviel, von welchem Punkte z₀ -f- f wir ausgehen und auf welchem Wege wir uns dem Punkte z0 nähern. Dann sagen wir, die Funktion f(z) habe im Punkte Zq eine Ableitung, als deren Wert wir den betreffenden Grenzwert des Quotienten definieren. Diese Ableitung kann der Erklärung nach nur noch von z₀ ab-hängen. Wir bezeichnen sie in diesem Sinne mit f\z₀), allgemeiner auch für beliebige Werte von z mit f'{z)

oder • Es ist also in kurzer Bezeichnung

f'(zo) = lim

C=0

f(z₀ + О - f(Zo)

oder auch allgemeiner

df(z)

= lim

f(z + С)-Дг)

C=o

f(*o + 0-f(z₀)

Da wir anzusehen haben, so ist

als komplexe Funktion von Ç

£=o

lim

f(z₀ + Q - f(z₀)

- £=0

liniC

.£=o

Der Grenzwert von £ ist gleich Null; wäre daher der des Zählers von Null verschieden, so würde nach Satz 25, § 22 der Quotient nicht einem endlichen Grenzwerte zustreben können, wenn f sich der Null nähert. Es muß also unbedingt sein. Wir erkennen also, daß für das Vorhandensein einer Ableitung von f(z) im Punkte z = z₀ die Stetigkeit dieser Funktion für z = z₀ unerläßliche Vorbedingung ist. Wir können aus der etwa feststehenden Existenz einer Ableitung daher auf die Stetigkeit einen Rückschluß ziehen. Das Umgekehrte ist jedoch nicht der Fall: eine komplexe Funktion kann überall stetig sein, ohne auch nur in einem Punkte ihres Definitionsbereiches eine Ableitung zu besitzen.

Unter Benutzung der Definition der Grenze können wir die Existenzbedingung einer Ableitung noch in anderer Weise formulieren:

Definition 10: Die komplexe Funktion f(z) hat in einem Punkte z = z₀ eine Ableitung f'(z₀), wenn sich zu einer beliebig kleinen positiven Zahl e eine positive Zahl ô derart bestimmen läßt, daß

f\* o) <8

/К + C) — f(zo)

ist für alle Werte von f, die absolut kleiner als ö sind, wie auch der Ausgangswert z₀ + Ç beschaffen sein mag und auf welchem Wege sich der Punkt z₀ + Ç dem Punkte z₀ nähert.

Es soll nun nicht unsere Aufgabe sein, die allgemeinen Bedingungen herzuleiten, unter denen eine komplexe Funktion eine Ableitung hat, aber wir werden in den rationalen Funktionen von z und in den gewöhnlichen Potenzreihen von z zwei Gruppen von komplexen Funktionen kennen lernen, die in jedem Punkte ihres Definitionsbereiches eine Ableitung besitzen.

In Hinblick auf die Bedeutung, die der Begriff der Ableitung für die reellen Funktionen einer reellen Veränderlichen besitzt, sind wir wohl berechtigt, für diejenigen komplexen Funktionen von z, die eine Ableitung besitzen, eine besondere Bezeichnung einzuführen.

Definition 11: Eine eindeutige komplexe Funktion y on z, die in jedem Punkte ihres Definitionsbereiches eine Ableitung besitzt, nennen wir eine reguläre Funktion der komplexen Veränderlichen z.

Die Forderung der Stetigkeit in den Punkten des Definitionsbereichs ist in der Existenz der Ableitung eingeschlossen; Unstetigkeitspunkte werden nicht zum Definitionsbereich gerechnet.

Für die Ableitungen regulärer Funktionen der komplexen Veränderlichen z gelten eine Eeihe von Sätzen, die wir späterer Verwendung halber hier anführen wollen.

Satz 35 : Die Ableitung der Summe zweier regulärer Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen der Summanden.

В e w e i s : Es habe f(z) für z=z₀ die Ableitung f'(z₀), g(z) die Ableitung g\zQ)\ ferner sei die Summe f(z) + g(z) mit F(z) bezeichnet. Dann ist

f(Zq +1) — F(z₀) f(z₀ + 0 — f(zo) , ff(zo+0~9(zo)

F'(z₀) = lim

:=o

F(z₀ + О- F(z₀)

Sy

= f'(zo) + /Оо) (Satz 19. § 22).

Analog wird bewiesen:

Satz 36: Die Ableitung der Differenz zweier regulärer Funktionen ist gleich der Differenz der Ableitungen von Minuendus und Subtrahendus.

Mit Leichtigkeit erkennen wir auch:

Null.

Satz 37 : Die Ableitung einer Konstanten ist gleich

Satz 38: Die Ableitung der Summe einer regulären Funktion und einer Konstanten ist gleich der Ableitung der Funktion. Es gilt ferner der

Satz 39: Die Ableitung des Produktes zweier regulärer Funktionen f(z) und g(z) ist gleich

g{z) • f'(z) + f(z) • g'(z).

Beweis: Sei

Dann ist

f(z).g(z)=F(z).

F(z₀ + C)-F(z₀) f{z₀ + £) ■ g(z₀ + 0 — f(z₀) • g (z₀)

Л«о+ £)• Фо+4 )—/(z₀) • g(z₀ + C)+f\z₀)-g(z₀+£)“/'(zoK?(z₀)

= 9щ + О •

F(z₀ + O -F{zо)

П*о) = li“

f=o

= lim^^o + О • Hz,,) + f(z₀) • /(z₀)

f=o

= .?(z₀) • /'(«o) + A«o) • У(«о) •

Im speziellen Falle, daß g {z) eine Konstante ist, folgt Satz 40: Die Ableitung des Produktes aus einer Konstanten und einer regulären Funktion ist gleich der Ableitung der Funktion, multipliziert mit der Konstanten. Schließlich gilt der

Satz 41 : Die Ableitung des Quotienten zweier regulärer Funktionen f(z) und g(z) ist gleich

g{z) • f'{z) — f{z) • g\z)

M]

₌ i fb? -i-    _ f(zq) ~

C U(2O + C)    9(zo)k-

₌ C(Zf> + £) ’ 9jzo) —    q ) • g (zq + £)

C‘9(z₀)-9(z0 + О

C ■ g(zo) • ^(го + C) fbo + ^)-f(zo) fU

_ Яг0+ 0-9(gp) — Д2р) • ff(Zp) + /(gp) • ff(z₀) - Яг₀)• ff(Zp + Q

ff(gQ + C)-g(g₀)'

F(z₀ + 0- F(zo)

9(Zo)’9{zp + C) -П*о) = lim

;*=o

(Satz 24, § 22).

Beweis: Es sei

f(z)

9(?)

== F(z). Dann ist

F(z₀ + Q - F(zq)

9(zo) ' f'(zo) ~ fizo) ‘ 9'(* о)

[<Kzo)J

Vorbedingung für die Gültigkeit dieses Beweises ist, daß der Nenner g(z₀) für z = z₀ von Null verschieden ist, weil sonst F'(z₀) unendlich groß werden würde.

Wir erkennen an diesen Sätzen die Zweckmäßigkeit der Definition der regulären Funktionen; denn alle diese Sätze gelten in gleichem Wort laute für reelle Funktionen reeller Veränderlicher. Sie lehren uns aber gleichzeitig :

Satz 42: Die Summe, die Differenz, das Produkt, der Quotient zweier regulärer Funktionen von z sind wieder reguläre Funktionen von z.

§ 26. Beispiele.

1. Die lineare Funktion f{z) — az + b hat in jedem endlichen Punkte z die Ableitung f\z) = а.

Es ist nämlich

lim

/’(zp + С) — Ązp) ₌

lim

= lima = а.

A*o + f)—Д*о)

2. Die Funktion f(z) = azn hat in jedem endlichen Punkte z die Ableitung f\z) == nazn~x. (n eine ganze positive Zahl.) Es ist nämlich nach dem binomischen Satze für ganze positive Exponenten, der seines formalen Charakters wegen auch für komplexe Werte der Summanden des Binoms gültig ist,

= « • [(S') «Г¹ +    + • • • + ОС"-¹] •

Daraus folgt unter Benutzung der Sätze 19 und 22, § 22

= n a zg⁻¹ •

f\zo) = lina

f(z₀ + Ç) — f(z₀)

£=o

3.    Satz 43: Eine ganze rationale Funktion hat in jedem endlichen Punkte eine Ableitung. Diese ist gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Glieder.

Der Beweis folgt aus Satz 35, § 25.

4.    Satz 44: Eine gebrochene rationale Funktion hat in jedem Punkte, für den der Nenner nicht verschwindet, eine bestimmte Ableitung.

Der Beweis folgt aus Satz 41 und Satz 43.

§ 27. Die inverse Funktion einer regulären Funktion.

Es sei w = f(z) eine reguläre Funktion von z . Dann entspricht jedem Werte z₀ von z ein und nur ein Wert w₀, von w, Wenn nun umgekehrt auch jedem Werte w₀. von w ein und nur ein Wert z₀ von z entspricht, so

können wir z als eine komplexe Funktion von z₀ an-sprechen. Wir bezeichnen sie mit z — F(w) und nennen sie die zu w — f(z) inverse Funktion. Ist nun Aw die Zunahme, die w erfährt, wenn z um Az wächst, so ist

lim F(wo + Aw) — ZK)

Aw=0

Aw

= lim I

Aw = 0

Az

Aw

lim

Aw=0

Da mit Az auch Aw und wegen der Eindeutigkeit der Zuordnung von Az und Aw auch Az mit Aw nach mm konvergiert, so ist

lim

F(w₀ -f Aw) — F(w₀)

lim

Aw

Az=0

Az

lim

f(z₀ + Az)— ffo)

Az = 0

Az

f\zo)

Es folgt mithin F'(w₀) = Ar

Damit gilt der

Satz 46 : Ist w = f(z) eine reguläre Funktion von z und entspricht jedem Werte von w umgekehrt ein und nur ein Wert von z, so ist die inverse Funktion z = F{w) eine reguläre Funktion von w für alle diejenigen Werte von w und z, für welche die Ableitung f(z) nicht verschwindet. Ihre Ableitung ist gleich dem reziproken Werte von f\z).

Da die Existenz der Ableitung die Stetigkeit zur unerläßlichen Voraussetzung hat, so folgt noch:

Satz 46 : Die inverse Funktion z = F(w) der regulären Funktion w = f(z) ist für alle diejenigen Werte von w stetig, für die die Ableitung f'(z) nicht verschwindet.

Die Sätze über die inverse Funktion werden uns später gute Dienste leisten.

§ 28. Funktionen von Funktionen.

Es sei w — f(z) eine reguläre Funktion von z W = F(w) eine reguläre Funktion von w. Erteilen wir z, von einem Werte z₀ ausgehend, die Zunahme Az, so erfährt w die Zunahme Aw, W die Zunahme AW. Az, Aw , AW konvergieren gleichzeitig nach der Grenze Null. Nun ist

AW _ AW Aw Az Aw Az

lim

AW

Az = 0

Az

= lim

Aw = 0

Aw_

Aw “₀ A2]

AW

lim

AW

⁼⁼ .F'(w₀) • f\z₀).

Es gilt also der

Satz 47 : Eine reguläre Funktion W von einer regulären Funktion w von z ist selbst eine reguläre Funktion von z. Ihre Ableitung ergibt sich nach der Vorschrift

dW dW dw dz dw dz

Rose, Einleitung in die Funktionentheorie.

Reihen mit komplexen Gliedern. Dritter Abschnitt.

50

Reihen mit komplexen Gliedern, im besonderen Potenzreihen.

§ 29. Begriff der Konvergenz (Divergenz).

Es sei gegeben eine Folge von unendlich vielen komplexen Zahlen

w0 i wl i w2 •> • • -, Wn-1 * • •

die nach einem bestimmten Gesetze gebildet sind. Dieses Gesetz soll so beschaffen sein, daß sich durch Angabe des Index v eines Gliedes seine Form in eindeutiger Weise durch analytische Operationen ergibt. Dabei wollen wir den Fall nicht ausschließen, daß in dem Ausdruck eines jeden Gliedes auch komplexe Veränderliche vorhanden sind. Einige Beispiele mögen die Sachlage näher erläutern.

1. Es sei wv = aqv, wo a und q konstante Zahlen sind. Dann lautet die Zahlenfolge

a. aq i a q²: a q³, . . ., aqn~l . .

zv

2. Es sei wv = wo z eine komplexe Veränderliche bezeichnet. Dann lautet die Zahlenfolge

z²

z³

zn-l

3. Sei wv —

11’    2! ’    3! ’ ■ * *’ (n — 1)!

zv+i v -f- 1

. Dann heißt die Zahlenfolge

z²

z³

Verbinden wir die aufeinander folgenden Glieder der Zahlenfolge durch Pluszeichen, so erhalten wir den Ausdruck

oo

£wv = w₀ -(- wx + w₂ + . . . +    . .

v = 0

den wir eine unendliche Reihe oder auch kurz eine Reihe nennen. Hat speziell wv die Form av zv, wo av eine durch Angabe von v bestimmte Konstante, z eine komplexe Veränderliche bezeichnet, so heißt die Reihe eine Potenzreihe. Die allgemeine Form einer solchen ist also

П-1

У'а, zr = a₀ +atz + a^z² + . . . + an_₁z

Es Avird die Aufgabe des Folgenden sein, zu ermitteln, Avelcher Sinn einer solchen Summe von unendlich vielen Summanden beizulegen ist. Dabei setzen wir die Eigenschaften von unendlichen Reihen mit reellen Gliedern als bekannt voraus.

Wir bilden die Summe der ersten n Glieder der Reihe und bezeichnen sie mit sn, so daß

n-1

sn = ^= w₀ + wx + w₂    + w

r = 0

Wenn in den Gliedern der Reihe veränderliche Zahlen ATorkommen und Avir jeder von ihnen einen beliebigen Wert erteilen, so ist der Wert von sn nur noch von der Anzahl n der Glieder abhängig und durch Angabe von n eindeutig bestimmt. Im Sinne der Definition 3, § 20 können wir also sn als eine komplexe Funktion von n an-sehen. Wir müssen dabei allerdings die Eigentümlichkeit berücksichtigen, daß n nur positive ganzzahlige Werte aunimmt, аЪег das widerspricht ja der Definition einer komplexen Funktion in keiner Weise.

Der Wert von sn ändert sich mit n zugleich. Es kann nun der Fall ein treten, daß sn sich einer endlichen Grenze s nähert, wenn n unendlich groß wird. Dann nennen wir die Reihe konvergent und verstehen unter der Summe der Reihe eben diesen Grenzwert s. Nähert sich jedoch sn mit unendlich wachsendem n keiner bestimmten endlichen Grenze, oder wird sn mit n gleichzeitig unendlich groß, so nennen wir die Reihe divergent. Nur im Falle der Konvergenz vermögen wir also der Reihe einen bestimmten Wert beizulegen. Der Wichtigkeit des Gegenstandes wegen wollen wir die Definition der Konvergenz noch einmal anführen.

oo

Definition 12: Die unendliche Reihe ^wv heißt

V = 0

konvergent, wenn sich die Summe sn ihrer ersten n Glieder einer bestimmten endlichen Grenze nähert, falls n unendlich groß wird.

Wir erwähnen noch, daß man die Summe der auf das nte Glied folgenden Glieder als den Rest der Reihe zu bezeichnen pflegt.

§ 30. Einfache Sätze über konvergente Reihen,

Die Definition der Konvergenz stimmt völlig überein mit derjenigen der Konvergenz einer unendlichen Reihe mit reellen Gliedern. Wir ziehen daraus sogleich einige bemerkenswerte Folgerungen. Ein jedes Glied der Reihe sei zerlegt in seinen reellen und seinen rein imaginären Bestandteil, und zwar sei gesetzt:

wv = uv -J- vv • i.

Wir bilden dann die beiden unendlichen Reihen uo    + u₂ 4" • • • + un-1 + • • •

und

vo "b vi + v2*“b • • • vn-1 +

Bezeichnen wir die Summen ihrer ersten n Glieder bezüglich mit s'n und 5^', so ist sn—    • i • Nach

Satz 19, § 22 ist dann

s = limsn= lims'n -f- ilims,'/.

n = oo

Zerlegen wir auch die Summe 6* der ursprünglichen Reihe in ihren reellen und ihren rein imaginären Bestandteil, schreiben also s = s' + s" • i, so ist

s' -f- s"> i = lims'n + i • lims{f.

n = oo

Daraus folgt limsń= s\ lims'ń—s". Wenn also die

n = oo

Reihe ^wv konvergiert, so konvergieren auch die beiden

V — 0

Reihen der ersten und zweiten Koordinaten der einzelnen Glieder.

n = oo

П — OO

11 = 00

oo

11 = 00

oo

oo

Sind umgekehrt ^uv, ^jvv zwei Reihen mit reellen

v — 0    V = 0

Gliedern, so zeigt die gleiche Überlegung, daß dann auch

oo

diejenige komplexe Reihe ^wv konvergiert, deren allgemeines Glied die Form wv = uv + vv • i hat. Wir erkennen somit die Richtigkeit der beiden Sätze:

Satz 48: Konvergiert die Reihe mit dem allgemeinen Glied wv = uv + vv • i, so konvergieren auch die beiden reellen Reihen mit den allgemeinen Gliedern uv und vv .

Satz 49: Die komplexe Reihe mit dem allgemeinen Glied wv — uv + vv • i konvergiert, wenn die reellen Reihen mit den allgemeinen Gliedern uv und vv konvergieren.

*„) = lim wn = 0 .

Nach der Definition der Konvergenz ist mit lim sM auch

П — oo

limsn+1 gleich s. Daraus folgt durch Anwendung des

Satzes 21, § 22 (Anm.)

lim (sn+1

w = oo

n = oo

Satz 50: ln einer konvergenten unendlichen Reihe mit komplexen Gliedern werden die einzelnen Glieder mit unendlich wachsendem n schließlich unendlich klein.

Die Bedingung des Unendlichklein Werdens der Glieder einer Reihe ist jedoch nicht ausreichend für das Bestehen der Konvergenz, wie im Falle reeller Glieder schon das Beispiel der harmonischen Reihe

¹ + Y + ł + 4 + • • •

zeigt, aus dem sich beliebig viele andere für Reihen mit komplexen Gliedern herleiten lassen.

Es bezeichne nun p irgendeine positive ganze Zahl. Dann ist nach der Definition der Konvergenz nicht nur limsw = s,

П — OO

sondern auch

limsn+p = s.

n = oo

Daraus folgt durch Subtraktion

lim(sn+}> — s») = lim(wra + wn+1 +.. . + Wn+P_ i) = 0 .

n — oo

П — OO

Es gilt also der

Satz 51: Ist sn die Summe der ersten n Glieder

die Summe der ersten

einer konvergenten Reihe

sn+p

n -f p Glieder, so ist, Avenn e eine beliebig kleine positive Zahl bezeichnet, für alle ganzzahligen Werte von p

I<«

n+p-\

i sn+p sn ! — i Wn ~b wn+1 “b • • • щ falls n hinreichend groß gewählt wird.

Satz 52: Ist sn die Summe der ersten n Glieder einer Reihe, sn+p die der ersten n + p Glieder, und läßt sich zu einer beliebig kleinen positiven Zahl e ein Index N derart bestimmen, daß für alle positiven Zahlen p und für alle n

Es gi]t aber auch die Umkehrung dieses Satzes, die es häufig gestattet, über die Konvergenz einer Reihe in einfacherer Weise zu entscheiden. Sie lautet:

N die Ungleichung

I sn+v — sn \ = j wn + wn+l + • • • + wn+p-1    < £

erfüllt ist, so ist die Reihe konvergent.

Für die unendlichen Reihen mit reellen Gliedern wird dieser Satz in den Elementen der Differentialrechnung bewiesen. Seine Gültigkeit für den Fall komplexer Glieder folgt leicht aus einer Betrachtung, die dem Beweise der Sätze 48 und 49 analog ist.

Multiplizieren wir jedes Glied einer Reihe mit ein und derselben Zahl c, so erhalten wir eine neue Reihe. Auch diese ist konvergent; denn es ist

lim(c-s«,) = c • lim,9w . (Satz 22, § 22, Anm.)

n — oo

П = оо

Satz 53: Werden alle Glieder einer konvergenten Reihe mit ein und derselben Zahl c multipliziert, so ist die entstehende Reihe gleichfalls konvergent, ihre Summe ist das r fache der Summe der ursprünglichen Reihe.

Schließlich gilt der wichtige

Satz 54: Sind zwei konvergente Reihen mit den allgemeinen Gliedern wv und w'v gegeben, so konvergieren auch die beiden Reihen mit den allgemeinen Gliedern wv + Wy, und zwar ist ihre Summe bez. gleich der Summe oder der der Differenz der Summe der gegebenen Reihen.

Der Beweis folgt leicht aus den Sätzen 19 und 21, Anm. (§ 22). Der auf die Summe zweier konvergenter

§ 31. Unbedingte Konvergenz.

Reihen bezügliche Teil des Satzes ist einer Verallgemeinerung auf eine endliche Zahl von konvergenten Reihen fähig.]

gln sinngemäßer Übertragung einer Definition aus der Theorie der Reihen mit reellen Gliedern sagen wir:

oo

Definition 13: Die Reihe    heißt unbedingt

v = 0    _

konvergent, wenn die absoluten Werte gv = ywj + ihrer Glieder eine konvergente Reihe bilden.

Setzen wir wv — gv(coscpv -f- i* sinçv), so wird

uv= gv* cos cpv,

Vv — Qv* sin cpv .

Wenn nun die reelle Reihe der qv konvergiert, so konvergieren erst recht die reellen Reihen der uv und vv, da uv und vv als Produkte von qv mit cos opv und sin<p„ absolut kleiner als gv sind. Andererseits ist aber auch

und

uv I = Qv • | cos q)v J gv

I Vv I = Qv' I sinçv I sS gv

Daher sind die reellen Reihen der uv und vv unbedingt konvergent, und ihre Glieder können beliebig angeordnet werden. Das gleiche gilt mithin auch für die Reihe der wv.

Satz 55: In einer unbedingt konvergenten Reihe mit komplexen Gliedern können die Glieder beliebig angeordnet werden.

Das Produkt zweier unbedingt konvergenter Reihen kann gleichfalls in Form einer unbedingt konvergenten Reihe dargestellt werden. Es gilt nämlich der

Satz 56: Sind zwei unbedingt konvergente Reihen mit den allgemeinen Gliedern wv und w'v gegeben, so

4* • • • Wv Wq .

konvergiert auch, diejenige Reihe unbedingt, deren allgemeines GKied die Form hat:

Wv = w₀ w' + wl-wl_₁ + W₂ * Wy _ 2

Ihre Summe ist gleich dem Produkt der Summen der gegebenen Reihen.

Die Summen der Reihen 2wv und 2w’v seien bezüglich mit s und s' bezeichnet, so daß

* = wo + wi + w2 + • • • s' = Wq —j⁻ w[ -]- ÎV2 -{-•••

Dann ist, wie die zweimalige Anwendung von Satz 53, § 30 lehrt

s • s'= (w₀ + w₁ + w₂ + . . .) • s'

Da sowohl die Glieder der Reihe s als auch die der Reihe s' beliebig angeordnet werden können, so kann dies auch mit den Gliedern des Ausdruckes für s • s' geschehen. Besonders häufig verwendet wird die Anordnung

W₀ Wq + (w₀w{ + Wo) + {wQ W2 + w[ + W₂ Wq) + . . .

+ (WqWv + w₁ w'v_t + . . . + WvWq) + . . .

Sie faßt alle Produkte w w' mit gleicher Indexsumme zu einem einzigen Gliede zusammen.

In dieser Form entstammt der Beweis dem Buche: J. Thomae, Elementare Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 2. Auflage. Halle 1898.

Wichtige Dienste leistet auch der

Satz 57 : Sind die Glieder einer Reihe von einer bestimmten Stelle an dem absoluten Werte nach kleiner als die entsprechenden Glieder einer zw eiten Reihe, die unbedingt konvergiert, so konvergiert auch die erste Reihe unbedingt.

Das allgemeine Glied der ersten Reihe heiße ш*,, das der zweiten w'v. Die Bedingungen des Satzes seien von dem (w + l)ten Gliede wn an erfüllt. Es mögen nun sn, sn + p für die erste Reihe die bisherige Bedeutung haben. Dann ist

I $n + p    Sn I ⁼⁼ j    ~f~ Wn + 1    j

<    I M>» I +-| w-V+xl + • • • + \wn+v-1 i

<    I wń I + I м-’и + х !+•••+! wń+p-i j •

Da nun die zweite Reihe als unbedingt konvergent vorausgesetzt ist, so läßt sich zu einer beliebig kleinen positiven Zahl e ein Index derart bestimmen, daß der letzte Ausdruck Meiner als e wird. Dann wird auch |*⁹w+2> — sn I < e- Das ist jedoch nach Satz 52, § 30 ein Merkmal der Konvergenz für die erste Reihe. Daß diese auch unbedingt konvergent ist, folgt aus den Ungleichungen des Beweises.

§ 32. Die geometrische Reihe.

Die einfachste Art einer Potenzreihe ist die geometrische Reihe. Sie hat die Form

1 + z + z² + . . . + Zn~¹+ ...

Für alle Fragen aus der Theorie der Potenzreihen ist die Kenntnis ihrer Eigenschaften von grundlegender Bedeutung. Bezeichnen wir die Summe der ersten n Glieder mit sn, so ist

sn=l + z + z²+... + zn~K

Multiplizieren wir beiderseits mit 2, so folgt

ZSw=Z-fz2 ₊ . . . + ÄW-‘1+>W.

Mithin ist

(1 — z) sn= 1 — zn,

und sofern wir 2 als von 1 verschieden voraussetzen:

zn

1 — Й 1-2 ’

Der erste Summand ist von w unabhängig; wir bezeichnen ihn mit .9 und bilden die Differenz

zn

S — $n =

Setzen wir z j kleiner als 1 voraus, so ist

<1

, (Satz 11, § 10)

und wir können, wenn e eine beliebig kleine positive Zahl bezeichnet, stets eine positive Zahl N so bestimmen,

daß

z \n

und erst recht

z\n

1 — I z

kleiner als e wird ; denn als Potenz eines* echten Bruches nähert sich j z \n unbegrenzt der Null, wenn n unbegrenzt wächst. Es ist das nicht der Fall, wenn |z| > 1, denn dann wächst | 2 |w gleichzeitig mit n (§ 23). Ist also I 2 I < 1, so läßt sich 1.9 — sn ! unter jede noch so kleine positive Zahl e herabdrücken. Nach der Definition der Konvergenz einer Reihe erkennen wir somit:

Satz 58: Die geometrische Reihe

ist konvergent für alle Werte von z, die dem absoluten Werte nach kleiner als 1 sind. Ihre Summe ist

1 — z

Beschreiben wir in der komplexen Ebene um den Nullpunkt einen Kreis mit dem Radius 1, so ist die geometrische Reihe konvergent für sämtliche Punkte z, die innerhalb dieses Kreises liegen, divergent für alle Punkte, die außerhalb dieses Kreises liegen. Man nennt ihn den Konvergenzkreis der geometrischen Reihe, seinen Radius den Konvergenzradius.

Innerhalb des Konvergenzkreises ist die geometrische Reihe aber auch unbedingt konvergent; denn konvergiert sie für einen Wert z, so konvergiert sie auch für den Wert I z I. Dieser liegt nämlich gleichfalls innerhalb des Konvergenzkreises.

§ 33. Gleichmäßige Konvergenz der geometrischen Reihe.

Es sei z₀ ein Punkt im Innern des Konvergenzkreises. Dann ist die Ungleichung

KN

¹ \zo

für alle n erfüllt, die größer als eine bestimmte Zahl N sind, und zwar um so mehr, je größer n genommen wird. Ist nun z ein Wert, für den | z | < | z₀ |, so ist

\z\n

lz0

< e-

z\n

\l~z

< e ist also erfüllt für alle Werte z

j z

Die Ungleichung ~—'—-11 — z-\

!— l*ol

die dem absoluten Werte nach kleiner als | z₀ j sind, und zwar um so mehr, je kleiner | z genommen wird. Ist also eine beliebig kleine positive Zahl e vorgegeben, und haben wir die Zahl N so bestimmt, daß für alle Werte n> N

< s erfüllt ist, so gilt die ent-

V”

die Ungleichung

sprechende Ungleichung für z bei demselben Wert von s und demselben Wert von N für alle Zahlen n, die größer als iV sind, und für alle Zahlen 2, die dem absoluten Werte nach kleiner als | z₀ | sind. Wegen dieses gleichmäßigen Verhaltens bezüglich der Konvergenz innerhalb des ganzen Konvergenzkreises sagt man:

Satz 59 : Innerhalb ihres Konvergenzkreises ist die geometrische Reihe gleichmäßig konvergent.

Wir werden später sehen, daß die Tatsache der gleichmäßigen Konvergenz auch für jede beliebige Potenzreihe zutrifft.

§ 34. Zwei Konvergenzkriterien.

Es gibt kein allgemeines Kriterium, mit Hilfe dessen man entscheiden könnte, ob eine Reihe konvergent ist. In vielen Fällen jedoch können mit Erfolg zwei Kriterien angewendet werden, die wir jetzt entwickeln wollen.

In der Reihe Zwv sei vom (n-j-l)ten Grliede wn

ab der absolute Wert des Quotienten Wv+l. zweier auf-

wv

einander folgender Glieder stets kleiner als ein positiver echter Bruch к. Dann ist

K+il <*|«

I w,+2 I < к I w < к I w

»+1 !

wn+3

< Ä² • I W„ I ,

! < & • i wn j,

Die Glieder der Reihe

w₀ + w± + w₂ + ,.. + wn_₁ + iun + • • •

sind daher vom (n -f- l)ten Gliede ab absolut kleiner als die entsprechenden Glieder der Reihe

w₀ + Wi + • • • + wn-i Jrwn + kwn + k² wn + . . .

Da wn( 1 + к -f k²-\- . . .) infolge der unbedingten Konvergenz der geometrischen Reihe für к < 1 unbedingt konvergiert, so ist auch die ursprüngliche Reihe unbedingt konvergent (Satz 57, § 31).

zweier aufeinander folgender

Stelle an der Quotient

Glieder dem absoluten Werte nach kleiner als ein positiver echter Bruch bleibt, so ist die Reihe unbedingt konvergent.

Ein Spezialfall dieses Satzes ist der, daß der Quotient

Satz 60: Wenn in einer Reihe von einer bestimmten wv+1

wv

wv

von einer bestimmten Stelle an einem Grenzwerte к zustrebt, der kleiner als 1 ist. Dann läßt sich jedenfalls zu einer beliebig kleinen positiven Zahl e ein Index n derart bestimmen, daß für alle Werte v ^ N die Ungleichung

I HV+i

wv

<k + e

und um so mehr die Ungleichung wv+1

Wy

erfüllt ist.

Die Glieder der Reihe sind daher vom (n + l)ten Gliede an absolut kleiner als die Glieder der Reihe

w₀ + wi + • • • + wn-1 + kn -f kn+1 + &n+2 + . . •

1 + к + к² + . . .

Wählen wir e hinreichend klein, so ist auch к + e ein echter Bruch. Damit ist dieser Fall auf den vorigen zurückgeführt.

Satz 61: Wenn der Grenzwert lim

Wv+1 existiert

wv

v = oo

und kleiner als 1 ist, so konvergiert die Reihe 2 wv unbedingt.

Ein zweites Kriterium zur Untersuchung der Konvergenz einer Reihe liefert der

Satz 62: Ist in einer Reihe von einer bestimmten

V .--

Stelle ab у | wv | kleiner als ein positiver echter Bruch к, so ist die Reihe unbedingt konvergent.

Die Bedingungen des Satzes seien von dem (n -f l)ten Gliede wn an erfüllt. Dann ist

n --------

У I w„| <.fc,

П+1 __

f\w«+l I <k>

< kn,

\wn

! wn+11 <krH 1,

I «-я,,. I < k

wn+2 I < kn+2

Nun ist kn+kn+¹+ kn+² + ...= kn(l + k + k²+ ...). Infolge der unbedingten Konvergenz der geometrischen Reihe

konvergiert auch die Reihe unbedingt; das gleiche gilt also nach Salz 57, § 31 auch für die ursprüngliche Reihe.

Im speziellen Falle gilt, wie analog dem vorletzten

Satze zu zeigen ist:    v__

Satz 63 : Existiert der Grenzwert lim ]/ | wv |, und

v = oo

ist er kleiner als 1, so ist die Reihe 2 wv unbedingt kon

vergent.

№cht unerwähnt wollen wir lassen, daß wenn die

d ]/1 wv I von einer bestimmten Stelle

an größer als ein unechter Bruch к sind, die Reihe sicher divergiert. Es gilt dies auch, wenn к für die Quotienten einen Grenzwert bildet.

Quotienten —-r-⁺-¹

wv

un

§35. Beispiele.

zr

1. Es sei wv = —-

v\

Dann ist

wv

0 . Es folgt somit:

Ist z endlich, so ist lim (—Z-—\ =.

v = oo\V + 1/

Die Potenzreihe

z z²

1 + Ir+2!+--- +

Zn~ 1

(n -1)!

ist unbedingt konvergent für alle endlichen Werte von z . 2. Es sei wv = ( — l)r+¹ •

z2v+1

Dann ist

z²

wv

(2v -f- 2)(2v -}~ 3)

(2v +1)! '

Ist z eine endliche Zahl.

so ist lim

ivv+1

= 0 . Demnach ist die Potenzreihe

Gleichmäßige Konvergenz einer Potenzreihe. 65 z³ z⁵ z⁷

z~ зУ+бТ ⁻ yr ^    • • •

für alle endlichen Werte von z unbedingt konvergent.

3. Die Potenzreihe

z²

z⁴ z⁶

1-----b ---— ч--.

2! ‘ 4Î    6! ‘

deren allgemeines Glied die Form hat: wv = (— l)r •

z2v

('2v)!’

ist für alle endlichen Werte von z unbedingt konvergent.

4. Die Potenzreihe

z²

cos **

z⁴

z--₂-+    -T.T+-

’J

deren allgemeines Glied wv = ( — l)v •

ist, ist für

zv+1

V —Ь1.

alle Werte von z unbedingt konvergent, die dem absoluten Werte nach kleiner als 1 sind.

§ 36. Gleichmäßige Konvergenz einer Potenzreme.

Soll die Potenzreihe

oo

f(z) = £av ZV = «0 + al ² + ' • • + «»-1 %n~ ¹ + • • •

v=0

für einen Wert z₀ konvergieren, so ist dazu unbedingt notwendig, daß für alle Exponenten m, die eine bestimmte positive Zahl N überschreiten, die Ungleichung besteht

(Satz 50, § 30.)

|«m*Ln| <9-

Es sei das von m — n an der Fall. Wir bezeichnen die Summe der ersten n Glieder mit sn und setzen die Zahl z

Позе, Einleitung in die Funktionentheorie.

dem absoluten Wert nach kleiner als j z₀ j voraus, so daß I z I = ô • I z₀ I (0 < <3 < 1). Dann ist

lf(z)~ sn\ = \anzn + an+1zn+1 +. .

^\anzn\-\- j«n+1zn+1| + . . .

^ I ая ²0 I *    + I «n+i Zo ⁺¹1 • <5re+ 1 + • • •

<5--ó".[1+(5 + ó² + ...]

g ôn

< 1- ô '

Ist daher e eine beliebig kleine positive Zahl, so kann

I /(«) — s«

durch passende Wahl von n kleiner als e gemacht werden (siehe § 32). Ist also die Bedingung

<9

für alle Werte m > N erfüllt, so ist die Reihe f(z) konvergent für alle z, die dem absoluten Werte nach kleiner als I z₀ I sind. Da sie also auch für j z | konvergent ist, so ist sie für alle Punkte innerhalb des mit dem Radius z0 um den Nullpunkt geschlagenen Kreises unbedingt konvergent.

Damit das Bewiesene gültig sei, ist nur das Erfülltsein der zu Anfang gestellten Bedingung notwendig, nicht etwa, daß die Reihe f(z) für z = z₀ unbedingt konvergiere. Die Bedingung ist z. B. für den Wert z = 1 erfüllt für die beiden Reihen

z²

*-T +

Z²

Die erste von diesen ist für den Wert z — 1 nur bedingt konvergent, die zweite sogar divergent, während für Werte z, die dem absoluten Werte nach kleiner als 1 sind, beide Reihen unbedingt konvergent sind.

Beachten wir nun noch, daß die Ungleichung

gön

I я«) -i < ï

bei demselben Werte von e und demselben Werte von N für alle Werte n> N und für alle Werte z erfüllt ist, die absolut genommen kleiner als | z₀ | sind, so können wir (vgl. § 33) den Satz aussprechen:

Satz 64: Ist für z = z₀ in der Reihe

f(z)= a₀+a₁-z + a₂-z* + ... + «M_₁zn-¹ + . . .

von einem bestimmten Gliede ab der absolute Wert eines jeden Gliedes kleiner als eine positive Zahl g, so konvergiert die Reihe unbedingt und gleichmäßig für alle Werte z, die der Ungleichung | z | < j z₀ | genügen.

Eine speziellere Formulierung dieses Satzes ist

Satz 65: Konvergiert eine Reihe, wenn auch nur bedingt, für einen Punkt z₀, so ist sie in allen Punkten unbedingt und gleichmäßig konvergent, die dem Innern des mit dem Radius | z₀ | um den Nullpunkt geschlagenen Kreises angehören.

Wenn dagegen die Reihe für einen Punkt z₀ divergiert, so divergiert sie erst recht für alle diejenigen Punkte z, die um mehr als \z₀\ vom Nullpunkte entfernt sind. Denn wäre etwa für solche Punkte f(z) konvergent , so müßte f(zQ) erst recht konvergent sein (Satz 65).

Satz 66: Divergiert die Reihe für einen Punkt z₀, so ist sie in allen Punkten divergent, die außerhalb des mit dem Radius | z₀ | um den Nullpunkt geschlagenen Kreises liegen.

§ 37. Konvergenzkreis,

Da sich alle Punkte des Umfanges eines Kreises um den Nullpunkt bezüglich der Konvergenz gleich verhalten, so können wir uns im weiteren auf positive reelle Werte 2 beschränken. Es kann sich nun der Fall ereignen, daß eine Potenzreihe für alle endlichen positiven Werte z, also überhaupt für alle endlichen Werte von z konvergiert. Ein Beispiel dafür ist die Reihe

(§ 36, 1.).

z z²    z³

1-J---I---1----L . . .

1 ! ' 21    3 J ‘

Ist das jedoch nicht der Fall, wie etwa für

z²

z³

(§ 35, 4.),

und ist z = r₀ ein Wert, für den die Beihe noch konvergiert, z = R > r₀ dagegen ein Wert, für den die Reihe bereits divergiert, so werden wir, falls wir auf der positiv reellen Achse von r₀ nach R fortschreiten, schließlich auf einen Punkt r von der Beschaffenheit treffen, daß die Reihe für alle Werte von z < r konvergent, für alle Werte von z > r dagegen divergent ist. Beschreiben wir mit dem Radius r um den Nullpunkt den Kreis, so wird die Reihe (nach Satz 65, § 36) in allen inneren Punkten dieses Kreises konvergent, in allen äußeren dagegen divergent sein. Diesen Kreis, dessen

Existenz somit unter allen Umständen feststeht, nennt man den Konvergenzkreis der Reihe, seinen Radius den Konvergenzradius.

Über das Verhalten der Reihe auf dem Konvergenzkreise selbst vermögen wir keine allgemeine Aussage zu machen.

Für die geometrische Reihe hat, wie wir in § 32 sahen, der Konvergenzkreis den Radius 1. Es kann jedoch Vorkommen, daß der Konvergenzkreis alle endlichen Punkte der komplexen Ebene umfaßt, seine Begrenzung also ins Unendliche rückt. Dann nennen wir die Reihe beständig konvergent. Beispiele hierfür sind:

rH

£;«L

«IS

z'⁸ Z⁴ _ Z« 2! ⁺ 41 ' : 6 !

(§ 36.)

Es sei gegeben die Potenzreihe f(z) = J^av zv — ^wv . Nun ist

Wv 1    Ctv.j_ i

av

&v

Nehmen wir an, daß der Grenzwert lim

V — oo ! ^v+l

existiert und endlich ist, so existiert auch wegen

Sollten in der Potenzreihe etwa nur die geraden oder nur die ungeraden Potenzen von z Vorkommen, so ist eine entsprechende Modifikation der Betrachtungen erforderlich. Eine Anleitung dazu gibt § 35.

Einen zweiten Ausdruck für den Konvergenzradius

erhalten wir in dem Falle, daß der Grenzwert lim У j av j

v — oo

; da eine Potenzreihe von z nur

lim УI av I

existiert. Er ist

V — OO

einen Konvergenzkreis haben kann, so folgt, daß lim

V ._

lim

v = oo

^V +1 I ^ II — = -f • M

wv К

^⁺¹ ein endlicher Grenzwert, sofern z endlich ist. Nehmen wir im besonderen | z ! < К an, so ist der

' Wy + l wv

ist die gegebene Potenzreihe unbedingt (und natürlich auch gleichmäßig) konvergent für alle Werte von z, die absolut kleiner als К sind (Satz 61, § 34).

Satz 67: Wenn der absolute Wert des Verhältnisses

CLV

----- zweier aufeinander folgender Koeffizienten einer

My + l

Potenzreihe einem endlichen Grenzwerte zustrebt, so ist der Konvergenzradius der Reihe gleich diesem Grenzwerte :

für

Grenzwert von

ein positiver echter Bruch ; daher

lim

av

v = oo

av + l

av +1

V=oo ay

und lim У ! av |, wenn sie überhaupt existieren, einander

v = oo

gleich sind.

Beispiele: 1. Aus § 35 folgt:

Die Potenzreihen

z²    z³

1!

2!

3!

z³ z⁵ z⁷

z²    z⁴    ZG

sind beständig konvergent.

2. Für die Potenzreihe

г²

ist

lim

av

v = oo

av+1

= lim

r = oo

sie hat also den Konvergenzradius 1.

4. Die Potenzreihe

zn-l

(n — 1) n

z³

z²

3-4

1-2

2.3

hat den Konvergenzradius 1.

§ 39. Die Reihe der Ableitungen der Glieder einer Potenzreihe.

Es sei gegeben die Potenzreihe f(z) = «0 + «1 ² + a2 Z² + ■ ■ • + «n-1 2”-¹ + №„ZK + . . . Wir bilden die Reihe der Ableitungen der einzelnen Glieder und bezeichnen sie zur Abkürzung mit f\z). f\z) — ax + 2a₂z    3аъ z² + ... -f w an • zn~¹ + ...

(§ 26, 2).

Die Summe der ersten n Glieder dieser Reihe sei sfn, die der ersten n + p Glieder sń+p. Dann ist

-i

sń+p — sn — (n + 1) an+1 zn + (n + 2) an+2 zn+1 + . . .

+ {n+p)an+pzn+/P =^L(n + v) an+rzn+r~¹.

Es sei nun z₀ ein Punkt im Innern des Konvergenzkreises der Reihe f(z), ferner sei \z \ < j z₀ |. Dann ist, wenn g eine beliebige endliche positive Zahl bezeichnet,

I dp zft I < g, sobald ja eine bestimmte positive Zahl N übersteigt. Setzen wir | z | = ô • | z₀ j, wo ô einen positiven echten Bruch bedeutet, und nehmen wir an, daß die erwähnte Ungleichung schon für ja = n gilt, so ist allgemein

\{n + v)an+vzn+r~¹ j = (n + v)- (5n+’-¹1    z”+”| -J -r

< (n + v) ■ -3n+”“¹ •    ⁹

Es ist demnach

+ V-1

+ V-1

i Sn + p    Sn I I

i z0

also erst recht

oo

I sń+p — sń I < JУ-г • » + v) ôn

l*o|

Der Ausdruck in der Klammer ist der Rest der Reihe

l+2d+3<5²+.. . + nön-¹ + ..

welche für 0 ô < 1 konvergiert und dem Quadrat der Reihe

d = î + ô + ôt+.-. + ô*-¹

gleich ist. Er läßt sich jedenfalls, wenn wir hinreichend groß wählen, unter jede noch so kleine Zahl herabdrücken. Dasselbe ist, da g und | z₀ j endliche Größen sind, mit

i    I

der Fall; die Reihe

f\z) = at -f- 2a₂ z + 3% • z² + . . . +n • an • zw_1 + . . .

ist ist also konvergent, solange \z \ < j z₀ |, und da wir z₀

beliebig nahe an den Konvergenzkreis von f(z) heranrücken lassen können, so stimmt der Konvergenzkreis von f\z) mit dem von f(z) überein.

Satz 68: Die aus der Reihe f(z) = a₀ + at z + a₂ z² + . . . + an_₁zn~¹ + . . . durch Differentiation der einzelnen Glieder abgeleitete Reihe f'(z) = ax + 2a₂ z + 3a₃z² + .., + n an z”"¹ + . .. hat den gleichen Konvergenzkreis wie die Reihe f(z).

Aus der Reihe f'(z) lassen sich in gleicher Weise eine unendliche Zahl von Reihen, die wir entsprechend mit f"(z), f"\z),..., f№(z)... bezeichnen, und die sämtlich den gleichen Konvergenzkreis haben wie die Reihe f{z). So ist

f (z) = 2 о>2 + 3 • 2 • ßg • z -}- 4 • 3 •    • z² -f~ 5 • 4 •    • z^ -f-...

= 2 ! • [(g) «2 + (g) * * + Q «* ** + (3) «5 ** + • • •

OO

= 2!^

I av zv

-2

/'"(«) = 3*2* a₃-f-4*3-2*ß₄*2+5-4-3*a₅2²    —

= 3!.

[(з)“> ⁺ й)“‘² + (Э”‘2,+--

со

= 3!._2’

\avzv

-3

Allgemein ist

avzv~n.

§ 40. Umkehrung des eben Bewiesenen.

Es sei wiederum die Reihe gegeben:

Дг) = a₀ +    2: + a₂ z² + . . . + ап_г z”"¹ + . . .

Es gibt unendlich viele Reihen, aus denen f(z) in derselben Weise folgt wie f\z) aus f(z). Sie sind alle von der Form

z²

z³

zn~¹

F{z)=A+a₀z+al-—Ą-a₂-—+...+ an_₂-—-₁

in der A eine willkürliche Konstante bezeichnet. Die Richtigkeit dieser Behauptung folgt leicht durch gliedweise Differentiation. (Wir dürfen dabei jedoch nicht vergessen, daß ein solcher Nachweis nur formalen Charakters ist, denn die Konvergenz der Reihe F(z) ist noch nicht erwiesen.) Die Summe der ersten n Glieder von F (z) sei Sn j die der ersten n p Glieder sX+p. Dann ist

zn + p-l

Z»

Sn+p—s'ń=an_₁---1-an-

71

Nun sei z₀ ein Punkt im Innern des Konvergenzkreises

zn+1

n-j-1

von f(z). Dann ist, wenn g eine beliebige positive Zahl bezeichnet,

K²ftl <9,

sobald ju eine bestimmte positive Zahl N überschreitet. Es sei ferner |a| < |z₀1, also | z \ = <5 • |z₀| (0 < ô <1). Dann ist allgemein

Q"n-1 + V *

₂n+v

= 1²o ! •

dn+r

<9-1 «о I *

n + V

ön + v

• I a„_1+rzj

Mithin ist

i>

I sn+p sn j 9 * ! I '

<₉ы-2~4~

1 u 1 _ n + V

v = 0

<9’\*o\‘[Ç +

ftl+v

und erst recht en+1 n + 1

Der Ausdruck in der Klammer ist der Rest der Reihe „    Ô²    d³    d"

0 + T + Y ⁺ -- - ⁺ V ⁺ --die fiir 0 < ô < 1 konvergiert. Wählen wir n hinreichend groß, so können wir demnach

sn + p    sn

unter jede noch so kleine positive Zahl herabdrücken; die Beihe F(z) konvergiert also, solange | z | < | z₀ |. Da wir z₀ beliebig nahe an den Konvergenzkreis von f(z) heranrücken lassen können, so folgt.

Satz 69: Die Reihe

z²

z³

zn+1

F(z) —A-\- a₀z + ai'~2 "ł“ a2 +• • •+

liât denselben Konvergenzkreis wie die aus ihr durch gliedweise Differentiation sich ergebende Reihe

f{z) = a₀ + «j z a₂ z² + . . . + an_ ₁zn~¹ + . . .

n-\-l

§ 41. Stetigkeit der Potenzreihe.

# Durch die Potenzreihe

oo

f{z) 2"

ist für jeden Wert der Veränderlichen z, der im Innern des Konvergenzkreises liegt, ein bestimmter Wert f(z) definiert. Wir können daher sagen, daß die Reihe f(z) eine komplexe Funktion von z darstellt.

Nun sei f ein Wert von der Beschaffenheit, daß sowohl f als auch z + £ dem Konvergenzbereich von f(z) an gehören. Dann ist

f{z + C) — f(z) = f + ^2 \iz + C)² — z²] + • • •

+ «Я-1 [(2 + ff"¹ — г"-¹] + . . .

Wir entwickeln die Potenzen (z + C)v nach dem binomischen Lehrsatz und erhalten: f{z-yç)—f{z)=a₁'Ç

+ a2 *

+ a3

©**t+©,c*+©^

Wegen der unbedingten Konvergenz können wir die Glieder beliebig anordnen.

f(z + 0 - f(z) = t «]+ (,) «2 2 + Q «3 2² + (д) «42³ +• • • +ĄQa^a^+Qa^+^)abz3+---

+ Сз

(з)аз+0^г+(з)%г2+(в)авг3+-

Wie wir aus § 39 ersehen, sind die Ausdrücke in den

f"(z) r\z)

eckigen Klammern bezüglich gleich f\z),    ,

u\    o!

Nun sind f\z), f'\z), f"\z), . . . konvergente Reihen, deren Konvergenzkreis mit dem von f(z) übereinstimmt; es läßt sich also eine positive Zahl M angeben, die keiner

. . dem absoluten

f"(z) r\z)

der Ausdrücke f\z),

Werte nach übertrifft. Daraus folgt:

21

3! ’ *

1Л* + £)-Л*)|- tf(*) + C²*~r + C⁸- 3!

^ |С||Л(*)|+|£|²-|® |+|£|f^|+.. •

f'\z)

Setzen wir | £ | kleiner als 1 voraus, so ist der Wert der Klammer gleich

also

i —IC! ’

I f(z + C) — f(z) I <

m-\c

1 —ICI •

Bezeichnet nun s eine beliebig kleine positive Zahl, so können wir stets eine Zahl | f | so bestimmen, daß

I f(z + C)-f(z)\ <e

wird. Wir brauchen zu diesem Zwecke nur

¹¹ M + £

anzunehmen. Wählen wir | f | in dieser Weise, wobei natürlich f der im. Anfang vorgeschriebenen Bedingung Genüge leisten muß, so ist gezeigt, daß eine Potenzreihe in der Umgebung eines jeden Punktes ihres Konvergenzbereiches eine stetige Funktion ihres Argumentes darstellt.

§ 42. Die Ableitung einer Potenzreihe.

Wir treten jetzt der Frage näher, ob die durch eine Potenzreihe

oo

dar gestellte komplexe Funktion in jedem Punkte ihres Konvergenzbereiches eine Ableitung besitzt.

Es ist nach dem vorigen Paragraphen

№ + Q-№-t'f(*) + P- 2!

f» •

K³-

f"\z)

3!

H*)

Bezeichnet wieder M die positive Zahl, welche von keiner der Zahlen

f\z) r\z)

2! ’

2!

überschritten wird, so ist

ГУ

2!

■К²-

2!

<lf.

1 —ICI *

Wenn sich der Bildpiinkt von (z + Ç) dem von z unbegrenzt nähert, so wird demnach (siehe den vorigen Paragraphen) der Wert von

2!

+ Г-

ГУ)

3!

schließlich kleiner als jede noch so klein vorgeschriebene positive Zahl e. Es nähert sich also die Differenz

-m

Яг + Ç) - f(z)

der Grenze Null, oder der Differenzenquotient

f(z + C) - №

wird schließlich gleich f'(z).

Die Potenzreihe f(z) hat also in jedem Punkte ihres Geltungsbereiches eine Ableitung, deren Wert nach dem Beweise unabhängig ist von der Art der Annäherung des Punktes z + f an den Punkt 2 . Es gilt in Terbindimg mit § 39

Satz 70: Eine Potenzreihe hat für jeden Punkt im Innern ihres Konvergenzkreises eine bestimmte Ableitung f(z). Diese ergibt sich durch gliedweise Differentiation der ursprünglichen Reihe; ihr Konvergenzkreis ist identisch mit dem von f{z).

Den Prozeß der Bildung der Ableitung können wir an f(z) wiederholen. Wir erkennen so:

Satz 71 : Eine Potenzreihe hat für jeden Punkt im Innern ihres Konvergenzkreises unendlich viele Ableitungen höherer Ordnung. Diese sind sämtlich Potenzreihen, die den gleichen Konvergenzkreis haben wie die ursprüngliche Reihe.

Wir führen der Vollständigkeit halber noch einmal die vollständige Form der nden Ableitung von f(z) an (§ 39).

/•«(*)

avzv~n

v — n

Da die Potenzreihe f(z) demnach in jedem Punkte ihres Definitionsbereiches eine Ableitung besitzt, so gilt in Rücksicht auf die Definition der regulären Funktionen des komplexen Argumentes z (Definition 11, § 25) der

Satz 72: Eine Potenzreihe f(z) ist für alle Punkte 2 im Innern ihres Konvergenzkreises eine reguläre Funktion des komplexen Argumentes z.

§ 43. Übungen.

1. Die Ableitungen einer beständig konvergenten Potenzreihe sind sämtlich beständig konvergente Potenzreihen.

2. Die sämtlichen Ableitungen der Reihe

¹ + Т!+Й + 1т + "'

sind der Reihe selbst gleich.

3. Die zweiten Ableitungen der Reihen

г³ ,    2⁷

3! ^ 5!    7!

und

2! ⁺ 4!    6!

z² z⁴ z⁶

sind bezüglich entgegengesetzt gleich den Reihen selbst.

4.    Die vierten Ableitungen der eben erwähnten Reihen sind bezüglich den Reihen selbst gleich.

5.    Bei den beiden Reihen

z³    z⁵ z⁷

ST    öT ‘ 77 ‘ ’ * '

und

z² z⁴ z⁶

— +■— + —

2!    4!    6!

ist die erste Ableitung der einen gleich dem Werte der andern.

6. Die zweiten Ableitungen dieser Reihen sind den Reihen selbst bezüglich gleich.

_ d / , z² , z³ z⁴ ,    \

⁷- Tz\z + Y + T + T + - - ■)“

§ 44. Die Potenzreihe als Taylorsche bzw. Maclaurinsche Reihe.

Nach § 41 ist, wenn z, f, z -f f dem Konvergenz-

oo

bereich von f{z) =^avzv an geh Ören,

и*)

1!

2!

•C² + ...

(m — 5)!

Der Ausdruck hat die Form der aus den Elementen der Differentialrechnung her bekannten Taylorsehen Reihe.

Rose, Einleitung in die Funktionentheorie.

Es läßt sich also unter cler obigen Einschränkung f(z + t) in eine Potenzreihe von f entwickeln, deren Koeffizienten, abgesehen von konstanten Zahlenfaktoren, die sukzessiven Ableitungen von f(z) sind.

Setzen wir im besonderen z == 0 und führen dann statt f wieder z ein, so erhalten wir f{z) die Maclau rin-sehe Entwicklung:

f(z) = Д0) +

m    n o)    n o)

z +    +

1!

21

3!

z³ + . . .

§ 45. Übereinstimmung zweier Potenzreihen.

Es seien zwei Potenzreihen

oo

und

oo

.9(2) =

V = 0

/'(«) =2^avZ"

V = 0

gegeben, die für alle Werte des Argumentes dem Werte nach übereinstimmen. Es sei ferner z ein beliebiger Punkt des gemeinsamen Stückes der beiden Konvergenzbereiche, z + C ein unendlich benachbarter. Dann ist der "Voraussetzung nach

f(z + 0 - №

g(z + 0 — g(z)

für alle in Betracht kommenden Werte von z und f. Lassen wir den Punkt z + Ç sich dem Punkt z auf einem vorgeschriebenen Wege nähern, so bleiben die beiden Quotienten stets einander gleich. Sie haben also einen gemeinsamen Grenzwert, oder es ist

m = g'(z).

Daß wir die Annäherung des Punktes z + f an den Punkt z in beiden Fällen in der gleichen Weise vor sich gehen lassen, dient nur der Anwendung der Voraussetzung und bedeutet keine Einschränkung; denn wenn wir etwa für g(z) von einem andern Werte z + £ ausgehen und uns z nähern, so kommen wir nach früher Bewiesenem doch immer zu demselben Grenzwerte g\z). Es stimmen also auch die ersten Ableitungen der beiden Reihen für alle Werte des Argumentes überein. Dieselben Schlüsse wie auf f(z) und g(z) können wir auch auf f{z) und g\z) anwenden usw. Wir erkennen dann allgemein, daß aus der Übereinstimmung der Werte der beiden Reihen für alle Werte des Argumentes auch die Übereinstimmung gleich hoher Ableitungen für alle Werte des Argumentes folgt. Insbesondere ist

m = 9(0), Г(0)=/(0), Г(0).= /'(0),.

und da jede Potenzreihe in der Umgebung des Nullpunktes sich als Maclaurinsche Reihe darstellen läßt, so folgt:

Satz 73: Die Werte zweier Potenzreihen stimmen dann und nur dann für alle Werte des Argumentes überein, wenn die entsprechenden Koeffizienten einander gleich sind.

Damit gleichbedeutend ist die Formulierung:

Satz 74: Eine Funktion der komplexen Veränderlichen z läßt sich, wenn überhaupt, so nur auf eine einzige Weise in eine Potenzreihe entwickeln, die nach ganzen positiven Potenzen von z fortschreitet.

Aus der Identität der Potenzreihen f(z) und g(z) folgt natürlich auch, daß sie den gleichen Konvergenzkreis besitzen.

Spezialfälle des Satzes 73 sind:

Satz 75: Eine Potenzreihe hat dann und nur dann für alle Werte des Argumentes einen konstanten Wert, wenn alle Koeffizienten mit Ausnahme des konstanten Gliedes verschwinden.

Satz 76: Eine Potenzreihe verschwindet dann und nur dann für alle Werte des Argumentes, wenn alle ihre Koeffizienten verschwinden.

Zur Bildung der Koeffizienten

ПО) ПО)

2!

genügt es bereits, wenn wir die Werte der Reihe f(z) auf einem kleinen Linienstück kennen, das vom Nullpunkt ausgeht. Wir können also den Satz aussprechen:

Satz 77 : Stimmen die Werte zweier Potenzreihen auf einem noch so kleinen vom Nullpunkte ausgehenden Linienstücke überein, so sind die Reihen miteinander identisch.

§ 46. Der absolute Wert des ersten Gliedes einer Potenzreihe.

Wir nehmen an, daß in einer Potenzreihe die ersten m Koeffizienten verschwinden, daß also die Reihe die Form hat:

(am ungleich Null).

f(z) = amzm + am+1zm+1 + .. .

Dabei soll natürlich der Fall m=0 nicht ausgeschlossen sein. Es ist

f{z) = amzm + am zm

L am

am + 2

am

Die in der eckigen Klammer stehende Potenzreihe ist innerhalb ihres Konvergenzbereiches eine stetige Funktion von z, sie nähert sich, wenn z dem Punkte 0 zustrebt, dem Werte 0 . Bezeichnet also e eine beliebig klein vorgegebene positive Zahl, so ist bei genügender Kleinheit von z :

am + 2

amz™

am + l

am

<*"m

z² + . . .    <| amzm -e.

Wir ersehen daraus:

Satz 78: In jeder Potenzreihe kann der Wert der Variablen so klein angenommen werden, daß der absolute Wert des ersten von Null verschiedenen Gliedes den absoluten Wert der Summe der anderen Glieder übertrifft.

Insbesondere ergibt sich:

Satz 79: Ist der Wert einer Potenzreihe für z — 0 gleich Null, so läßt sich um den Punkt z — 0 ein Kreis derart beschreiben, daß in seinem Innern die Reihe f(z) nirgends den Wert Null annnimmt.

Denn bezeichnen wir etwa das erste Glied der Reihe mit Zt , die Summe aller übrigen mit Z₂ , so ist jedenfalls

I + Z₂ I > ! Zx ! — \ Z₂\ (Satz 11, § 10).

Nun ist in der unmittelbaren Umgebung des Nullpunktes nach dem vorher bewiesenen Satze | Zx | — | Z₂ | größer als Null; es kann also erst recht nicht \Z₁ Z₂ | gleich Null sein, was doch der Fall sein müßte, wenn in der unmittelbaren Umgebung sich ein weiterer Nullpunkt der Reihe befände.

§ 47. Kombinationen zweier Potenzreihen.

Aus dem Charakter der Potenzreihe f(z) als einer regulären Funktion des komplexen Argumentes z (§ 42) und unter Benutzung der Sätze über Kombinationen von regulären Funktionen (Satz 42, § 25) ergeben sich wichtige Folgerungen.

Es seien f(z) und g(z) zwei Potenzreihen, die nach positiven Potenzen von z fortschreiten, r und g ihre Konvergenzradien. Dann folgt:

Satz 80: Die Summe, die Differenz und das Produkt zweier Potenzreihen sind unbedingt ungleichmäßig konvergent innerhalb des kleineren der beiden Konvergenzkreise.

Reibn mit kon Glidern.

S6

Reihen mit komplexen Gliedern.

Satz 81 : Der Quotient -Ц-4 zweier Potenzreihen ist ff(z)

eine reguläre Funktion von z für alle Werte z, die dem absoluten Werte nach kleiner als der kleinere der beiden Konvergenzradien sind, und die den Nenner nicht zu Null machen.

~fi%\

9(*)

Daß { im Innern des Konvergenzkreises in eine

Potenzreihe von 2 entwickelbar ist, ist damit nicht gesagt. Es läßt sich jedoch stets eine Potenzreihe formell bilden, die mit g(z) nach Satz 56, § 31 multipliziert, f(z) ergibt. Ist z. B.

f(z) = a₀ + «1 г + a₂ z² + . . 9(z) = h + blz + b₂z²+ . .

f(z)

so folgt:

und nehmen wir —^-y = F(z) die Entwicklung an F(z) = c₀ + Cj г + c₂ z² + ..

F(z) • g(z) = c₀ • b₀ + (eo W +    b₀) • z

+ (co b2 + ci bi + c₂ b₀) z² + .. .

Soll diese Reihe mit f(z) übereinstimmen, so ergeben sich aus Satz 75, § 45 für die Koeffizienten c die Rekursionsformeln :

ao — co bo ai = co bi + ci bo ' «2 = Co b2 + C1 h + C₂ b0

a3 = C0 h + C1 b2 + C-2 W + C3 h0

die nur für den Fall Ъ₀ = 0 versagen. Ob aber die Reihe

oo

F(z) =]£cvz>

wirklich konvergent ist, müssen wir jedesmal durch eine besondere Untersuchung entscheiden.

§ 48. Potenzreihen von z — c.

Es sei c eine Konstante und

a₀ + a^z — e) + a₂ (z — c)² + . .. eine Reihe, die nach ganzen positiven Potenzen von z — e fortschreitet. Für eine derartige Reihe gelten alle über Potenzreihen entwickelten Sätze, wie wir mit Hilfe der Substitution z' = z — c leicht erkennen. Wir haben nur zu beachten, daß an Stelle des Nullpunktes und seiner Umgebung der Punkt c und seine Umgebung tritt. Die Reihe ist also unbedingt und gleichmäßig konvergent für alle Punkte z im Innern eines gewissen Kreises um den Punkt c als Mittelpunkt.

Insbesondere erkennen wir, daß eine solche Reihe innerhalb ihres Konvergenzkreises eine reguläre Funktion des komplexen Argumentes z darstellt. Es ist nämlich zunächst der Weit der Reihe eine reguläre Funktion von z'=z — c, er ist also nach Satz 47, § 28 auch eine reguläre Funktion von z.

Vierter Abschnitt.

Spezielle Potenzreihen.

§ 49.    sin«, cos«.

In den Elementen der Differentialrechnung wird gezeigt, daß für reelle Werte von 2 die Funktionen e², sin z, cosz sich in die Reihen entwickeln lassen:

е² = 1+-Л+ Z2

г³

1!

2!

3!

2 Z³ ' Z⁵ Z⁷

“““ТТ-зТ⁺5Г~й

. z² z⁴ z⁶

““-‘-ïf+ïr-Tf

Diese Reihen sind für alle endlichen reellen Werte von 2 unbedingt konvergent; sie bleiben es also auch, wenn wir für z komplexe Werte einsetzen. Es werden dann durch sie drei reguläre Funktionen von г definiert, für die wir die im Falle reeller Variablen eingeführten Bezeichnungen beibehalten wollen. Wir werden nachweisen, daß ihre Haupteigenschaften mit denen für reelle Variable überein stimmen, daß wir also zu einer Beibehaltung der Bezeichnungen durchaus berechtigt sind. Ehe wir aber die so definierten Potenzreihen für komplexe Veränderliche genauer studieren, wollen wir kurz noch einmal ihre uns bereits bekannten Eigenschaften für reelle Veränderliche zusammenfassen. Die Veränderliche sei in diesem Falle mit x bezeichnet (z — x.Ą- yi).

§ 50. Eigenschaften von ex (x reell).

1.    Es ist ex • ey = ex+y.

2.    ex ist stets positiv.

3.    Die erste Ableitung von ex ist der Funktion gleich, also auch jede weitere.

4.    ex wächst gleichzeitig mit x.

5.    ex nimmt jeden beliebig vorgeschriebenen positiven Wert nur an einer Stelle an.

6.    ex wird an keiner angebbaren Stelle 0 oder oo.

§ 51. Die Eigenschaften yon sin ж und cosæ (ж reell).

1.    sinX ist eine ungerade Funktion; denn sin(—#) = —sin#. cos# ist eine gerade Funktion; denn cos (—ж) = cos#,

2.    Es ist stets sin² x -f cos² x = 1.

3.    Die Funktionen sin x und cos x sind einfach periodisch mit der primitiven Periode 2л, d. h. sie behalten ihren Wert, wenn x sich um 2kn ändert, wo к eine beliebige ganze Zahl bedeutet.

4.    sin x durchläuft stetig wachsend alle seine Werte

von —1 bis +1, wenn x von —-^.bis -f-^ zunimmt;

и    и

cos ж durchläuft stetig abnehmend alle seine Werte von + 1 bis — 1, wenn x von 0 bis л zunimmt.

5.    sin к л == 0 , cos к л = ( — l)k ;

sin(2Ä&+. 1)•?■=='(“" 1)*> cos(2&-fl)

и

6.    Es bestehen die Beziehungen: sin (#x -f x₂) = sin#j cos#₂ -f cos#! sin#₂ ; cos(#! -f ^2) — cosa^cosa^ — sin#! sin #₂ ,

die man als die Additionstheoreme von sin und cos bezeichnet.

7.    Zwischen den Grenzen 0 (einschließlich) und 2 л (ausschließlich) nehmen sin# und cos# jeden ihnen vorgeschriebenen reellen Wert, der der Größe nach zwischen — 1 und -fl liegt, an zwei Stellen an. Ausgenommen sind nur die Werte -fl und —1 ; denn sin# nimmt den

Wert -f 1 nur für # = ^, den Wert — 1 nur für # =    ,

Li    U

cos# den Wert -fl nur für # = 0, den Wert —1 nur für x = л an.

8.

d • sina;

d • cosa;

—-= co s a; ;

dz

dx

= —sina;.

§ 52. Die Relation e^-e^ = e*+*.

Für reelle Werte zx, z₂ gilt die Beziehung

e²l . 0Z2 ₌ 0²l + z2 e

Der Beweis für diese Tatsache gilt auch für komplexe Werte zx, г₂ , da er rein formalen Charakters ist; er soll aber hier noch einmal Platz finden, um die Vollständigkeit zu wahren. Es ist

e²¹ — 1 -I—-—I---——-—f- . .

^ 1! “ 2! ^    ^ n\ ^

1!

2!

nl

Das allgemeine Glied des Produktes heißt

zV²-4

(n — 2)! 2!

4'

(w- — 1)! 1!

+ • • H--T

Da wegen

n\

(n — v) ! V !

(n — v) ! v !    ! V

ist, so kann es in der Form geschrieben werden:

«T [²”~^ (ï) ²1-1, *8 H~ (2)

oder

Es ist also

ezx .    — X -f-

1!

(*1 + ъТ

n\

(»i+%)

2!

+ . . . = ez'+z*.

§ 53. Die Eulersche Relation.

Setzen wir in die Reihe für ez an Stelle des Argumentes z die Zahl z i ein, so erhalten wir unter Berücksichtigung des Umstandes, daß bei unbedingt konvergenten Reihen die Reihenfolge der Glieder beliebig verändert werden kann,

z² z⁴ z⁶

2T ⁺ 4 ! “ 6 !

z³

z⁵

z⁷

3! ⁺ 5!    7!

Der erste Teil des rechtsstehenden Ausdruckes stimmt überein mit der Reihe für cosz, der Faktor von i mit der für sinz. Es ist also

ezi = cosz + ^ sinz .

Diese fundamentale Relation stammt von Euler, der sie allerdings nur für reelle Werte von z an gab und sie durch formale Substitution aus der reellen Reihe herleitete, ohne die Berechtigung einer solchen Übertragung zu prüfen. Mit Hilfe der Eu 1er sehen Relation kann der Nachweis geliefert werden, daß die sämtlichen fundamentalen Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen auch für komplexe Werte der Veränderlichen gelten; sie vermittelt ferner die Erkenntnis, daß ez eine periodische Funktion ist.

Zunächst zeigen die definierenden Reihen für sinz und cosz, daß sinz eine ungerade Funktion, cosz eine gerade Funktion seines Argumentes ist. Dann liefert die Eulersehe Relation

!..

ezi = cos2 + isinz , ~zl = cosz — ^sinz .

Durch Multiplikation beider Gleichungen erhalten wir die unter dem Namen des trigonometrischen Pythagoras bekannte Relation

sin² z + cos² z = 1,

welche also auch für komplexe Veränderliche gilt. Es folgt ferner:

cosz =

ezi-f- e~zi

sinz =

ezi— e~zi

ß{z-i+z₂)i _j_. ß—(zi+z%)i

Es ist also sin(z₁+2₂)

2i

(cos zx + i sin z₁) (cos z₂ -f i sinz₂)—(cos^—i sinSjXcosSg—% sinz₂)

sin(z₁ + z₂)= sinz₁ cosz₂ + cosz₁sinz₂ . Analog folgt

cos (z₁ + z₂) = cos zx cos z₂ — sin z₁ • sin z₂ .

Setzen wir statt z₂ in diese Formeln —z₂ ein, so ergeben sich die gleichfalls bekannten Formeln :

sin(z₁ — z₂) = sinz₁ • cosz₂ —- coszx • sinzg , cos (z{ — z₂) = c'öszj • cosz₂ + sin Zj • sinz₂ .

Es gelten demnach auch alle aus dem Additionstheorem sich ergebenden Folgerungen, wie

sin2z = 2sinz • cosz

sin z = 2 sin ~

cos

cos 2 z = cos²z — sin²z

cosz

= cos²-?— sin²

= 2cos²z — 1

= 1 — 2sin²z

= 1 - 2sin²-?-

und andere mehr.

Vermittels der Substitutionen

Zi - z₂

4~4

ergeben sich ferner die wichtigen Relationen:

sinz! -f sinz₂ = 2 sin

и

— • cos

Zi-Z₂

4~ 4

sinzj — sinz₂ = 2 sin

и

• cos

*1+ 4

COSZi + cosz₂ = 2 cos

и

• cos

cosz₁ — cosz₂ = —2 sin

*1 + 4

• sin

zi-z₂

§ 54. Realitätsbetrachtungen.

Wir untersuchen in diesem Paragraphen, für welche Werte von z ez, sin 2, cos 2 reell sind.

1. Die Exponentialfunktion:

Es ist

ez = ex+iy = ex (cos y + i sin?/) = ex cos y + i • ex sin y ,

ez ist also reell, wenn e^sin y = 0 ist. Das ist nur der Fall, wenn sin y = 0, also y = кл ist (k eine ganze Zahl), denn ex wird für keinen reellen Wert gleich Null. Umgekehrt ist

6х + клъ __ ex . cos]C7l __ ( — 1)* . e* .

Wir können demnach zusammenfassend sagen:

e² ist reell, wenn z die Form x + к л • i hat, und zwar ist es positiv, wenn к gerade, negativ, wenn к ungerade ist.

Anmerkung: ez ist rein imaginär, wenn

z = x -f- (2 к -f- 1) --

2. Die Funktion sina::

Es ist

sina: = sin (x -f у i) = sin ж • cos (y i) + cos ж • sin (y i) = smx

sina: ist nur dann reell, wenn entweder cos# = 0 oder

y$    уЬ

2/ + — + -^y + ... = 0 ist. Der letztere Ausdruck wächst gleichzeitig mit seinem Argument, denn seine

у2 у4

Ableitung 1 -f- — -f — + . . . ist positiv ; er nimmt also

jeden Wert nur für ein bestimmtes у an und verschwindet nur für у = 0. Soll also sins reell sein, so muß entweder x = (2 к + 1) oder у — 0 sein. Der zweite

и

Fall ist evident; im ersten ist

sins

= sin (2k + 1)^- + yi

tc

тН

м| a

te

also positiv und größer als 1, wenn к eine gerade, negativ und kleiner als — 1, wenn к eine ungerade Zahl ist. Für die Nullpunkte des Sinus muß gleichzeitig einer

у²

der Faktoren sin sc und 1 + 777 + tt

u\ 4: !

+ . . . und der

ko

3 yb 7 + “TT

Faktoren cos sc und у -f-

уЗ    у 5

Es kann das nur eintreten für sin sc und у + — + —

3 !    5 !

woraus sich sc = kn und у = 0 ergibt. Die Nullpunkte sind also sämtlich von der Form к л.

Anmerkung: sin s wird rein imaginär für sin sc = 0 , d. h. für Werte von s der Form к л у i.

3. Analog läßt sich zeigen, daß cos z außer im Falle eines reellen z nur dann reell ist, wenn z die Form (к л -f- у i) hat, und zwar ist wegen

5!

+ • • • verschwinden.

oos(k л + Уг) = (-!)*• (l + |j + |y

cosz positiv und größer als 1 im Falle eines geraden к, negativ und kleiner als (—1) im Falle eines ungeraden к. Die Nullpunkte von cos z sind

z = (2& + l).    .

Anmerkung: cosz wird rein imaginär für z = (2k + 1)“ + yi ■

= sm(j + z)

her-

Dieses Verhalten des Kosinus hätten wir auch einfacher mit Hilfe der Formel cos z leiten können, die sich aus dem Additionstheorem des Sinus unter Berücksichtigung von sin= 1, cos-^- = 0 ergibt.

u    2

§ 55. Periodizität von sin#, cos#, ez.

Die Funktionen sina: und cosz sind im Falle einer reellen Veränderlichen periodisch mit der primitiven Periode 2л. Wir wollen untersuchen, ob diese Eigenschaft auch für komplexe Werte der Veränderlichen bestehen bleibt.

Soll etwa sinz seinen Wert behalten, wenn z sich um eine konstante Zahl f (die Periode) ändert, so gilt die Gleichung

oder

sin(z + C) — sinz = 0 2sin-^- • cos

и

wenn sin—-2

Diese ist bei beliebigen Werten von z nur zu erfüllen, = 0 , also f = 2 k л ist. In der Tat ist dann

sin (# + 2 к n) = sin z • cos 2k n cos# • sin 2 kn = sin#.

cos(# + £) — cos# = 0

Soll £ eine Periode der Funktion cos# sein, so muß sie die Gleichung

(■+ )

oder

sin

to

— 2 sin

befriedigen. £ kann also auch hier nur von der Form 2kn sein. In der Tat ist

cos(# + 2 к n) = cos# cos 2 kn — sin# sin 2 к n = cos#.

Wir können somit den Satz aussprechen:

Satz 82. Die trigonometrischen Funktionen sin# und cos# sind einfach periodisch mit der primitiven Periode 2 л. Nun ist

ez+2icni _ e2^cog2к n -f- i sin2к n) — ez .

ez hat also sicher eine Periode von der Form 2kni. Sie hat aber auch keine andere Periode ; denn wäre £ = £ -[" rj • i eine solche, so müßte wegen

e*+C —ez = ez (et — 1) et =1

sein. Das führt zu den Gleichungen e^cos rj = 1, et sin^ = 0 .

Quadrieren und addieren wir diese, so erhalten wir e²t= 1, also, da £ reell ist, £ = 0 . Ferner folgt aus cos^ — 1, sin^==0 rj — 2k n . Eine Periode von ez kann also

Rose, Einleitung in die Funktionentheorie.

nur von der Form 2 к л г sein. Es gilt also der wichtige funktionentheoretische

Satz 83 : Die Exponentialfunktion ez ist einfach periodisch mit der primitiven Periode 2л i.

§ 56. Ergänzungen.

1. Aus den Additionstheoremen folgen leicht die F ormelgruppen :

sin(&7z + z) = (—l^-sinz, сов(/сл+ z) = ( — l)*cosz, sin {к л — z) = ( — 1 )k+¹ • sin z, cos (к л—z) = (— 1 )* cos z ;

sin (2 A;+ !)■?■ +« = (—l)*cosz,

и

cos (2k-j- l)~-\-z    —l)fc+1sinz ;

и

sin (2 к + 1) “ — 2

и

cos (2 к + 1)~

^ L    и

= (—l)*cosz ,

= (-—!)*• sinz .

Von besonderer Wichtigkeit für die erste Gruppe ist der Fall к = 1:

sin(7T + z) = —sinz , cos (л: + z) = —cosz , sin (л — z) = +sinz , cos (л; — z) = —cosz .

Für die zweite Gruppe kommt häufig der Fall к — 0 in Betracht:

sin

(?+■)-

cosz

cos

(?+*)=

— sinz,

Diese Formeln hätten auch schon an früherer Stelle gebracht werden können, aber es sollte den Periodizitätsbetrachtungen nicht vorgegriffen werden.

2.    Die Exponentialfunktion & nimmt an keiner angebbaren Stelle im Endlichen die Werte 0 oder o© an. Für reelle Werte von z wird dieser Satz bereits in der Differentialrechnung bewiesen ; daß er auch für komplexe Werte gilt, zeigen wir folgendermaßen: Soll tz reell sein, so muß nach dem früher Bewiesenen (§ 54,1) z die Form x -f- к n i haben. Es ist dann aber

ez = (— 1)*- ex.

Da ex an keiner Stelle verschwindet, so kann auch ez nirgends verschwinden. Andererseits ist

ez = ex (cos у + i sin г/) = ex cos у -f- i • ex sin у .

Nun wird keine der Zahlen e*, cosy, siny an einer im Endlichen liegenden Stelle unendlich, groß, also kann auch ez an keiner Stelle unendlich groß werden.

3.    Zu jedem Werte z gehört stets ein und nur ein Wert von ez. Das Umgekehrte findet jedoch nicht statt ; denn ist etwa z₀ ein Wert von z, für den ez einer vorgeschriebenen Zahl gleich wird, so folgen daraus wegen der Periodieität von ez unendlich viele Werte z₀ -f 2kni, für die das gleiche der Fall ist. Ziehen wir daher in der komplexen Ebene zwei zu der imaginären Achse senkrechte Gerade, die den Abstand 2 л voneinander haben, so nimmt die Funktion ez innerhalb des von diesen Geraden gebildeten Streifens bereits alle ihre Werte an. Sind z± — xt + yx i und z₂ = x₂ -)- y₂ г zwei Punkte innerhalb des Streifens, so ist

= epi-b+.fo-v*)*.

exi+y^

£х2 + УъЪ

Nun ist innerhalb des Streifens niemals \ y₁ — y₂ | — 2 n . Soll also ez* = ez* sein, so ist unbedingt xt = x₂ und yt = y₂] d. h. z₁ = z₂ . Innerhalb des Streifens nimmt also & jeden seiner Werte an nur einer Stelle an. Rechnen wir nun die Punkte der einen Begrenzungslinie mit zu

/////////^

ZJt

77777777777777

yyy/yy/y?} j

JL

Fig. 7.

dem Streifen, die der andern nicht, so gilt das eben Bewiesene für alle Punkte des Streifens. Wir nennen einen so definierten Streifen der komplexen Ebene einen Periodenstreifen der Funktion &. Wir zeigen nun noch, daß ez außer der Zahl 0 jeden beliebig vorgeschriebenen endlichen Wert wirklich annimmt. Soll etwa

ez — ex+yi = a = p(cos# + i sin#) sein, so müssen die Gleichungen gelten:

e^cosу = q cos# , ex sin?/ = q sin# .

Sie ergeben ex = g und y r«= # + 2 к л.

Nun gibt es sicher einen reellen Wert x, für den ex der positiven Zahl q gleich wird; er heißt der natürliche Logarithmus von q und wird mit logp bezeichnet. Es gibt also nicht nur einen Wert, der die Gleichung ez — a befriedigt, sondern unendlich viele. Sie sind von der Form

logq -f &i Ą- 2k л i .

Auch auf diesem Wege erkennen wir, daß es in jedem Periodenstreifen nur einen Wert gibt, für den ez = а wird ; denn die zweiten Koordinaten zweier Wurzeln der Gleichung ez = a sind um mindestens 2 л voneinander verschieden. Wir können somit den Satz aufstellen:

Satz 84: Innerhalb eines Periodenstreifens nimmt die Funktion ez jeden beliebig vorgeschriebenen Wert an einer und nur einer Stelle an.

Die Lage eines Periodenstreifens ist völlig beliebig; um aber in Analogie mit der Grenzbestimmung für den Arcus zu bleiben (siehe den Ausdruck к^0 + $г+2клг), wollen wir ihn zwischen den Geraden y=Q und y— +2 л gelegen annehmen und nur die Punkte der Geraden у = 0 als zu ihm gehörig betrachten.

Da ez innerhalb eines Periodenstreifens bereits alle seine Werte und jeden nur einmal annimmt, so bezeichnet man den Periodenstreifen auch als einen Fundamentalbereich von ez. Wir werden sehen, daß für sin z und cos2 die Begriffe Periodenstreifen und Fundamentalbereich nicht mehr zusammenfallen.

4. Da nämlich sinz und cosz die Periode 2 л haben, so ist zwar die Breite eines Periodenstreifens ebenfalls gleich 2л] seine Begrenzungslinien liegen jedoch senkrecht zur reellen Achse. (Wir rechnen natürlich auch hier nur eine von diesen mit zum Streifen.) Nehmen wir den Streifen für cosz zwischen —л und Ą-л gelegen an, so ist cos (—s) = coss. Die Funktion cos s nimmt also innerhalb des Periodenstreifens jeden Wert an zwei Stellen Es kann dies aber auch nur an zwei Stellen stattfinden, denn cs ist

an.

und der letztere Ausdruck nimmt jeden Wert a nur an höchstens zwei Stellen an, da die Gleichung

e2zi + ₁

eine für eiz quadratische ist, und ezi einen jeden Wert nur an einer Stelle annimmt.

Es ist also bereits der zwischen den Geraden x = 0 und x = Ą-л liegende Streifen ein Fundamentalbereich von cos г. Vorausgesetzt ist dabei allerdings, daß wir beide Begrenzungslinien des Fundamentalbereiches als zu ihm gehörig annehmen.

Nehmen wir für sin s den Perioden streifen zwischen den Geraden x = —~ und x = an, wobei wir nur

JZ    и    LJ

dem Streifen zurechnen, so läßt sich mit Hilfe

и

der Formeln :

sin(jz — s) = sin z

und

ezi — e~zi

sins =

e2zi _ J

⁼ ~2feTr"

zeigen, daß auch sins jeden ihm vorgeschriebenen Wert innerhalb des Streifens an zwei und nur zwei Stellen annimmt. Nun ist

£. CM

sin s == cos

sinz nimmt also alle seine Werte in denjenigen Punkten an, für die cos

x — bereits alle

(л \    (л

la -z) = °"la

seine Werte annimmt. Es ist das der Fall für die Punkte eines Streifens mit den Begrenzungslinien x = — und

и

= °)

Л l

= + — (entsprechend

= л und ^ — x

и

Ein solcher Streifen ist, die Grenzlinien eingerechnet, als Fundamentalbereich von sinz anzusehen. Die willkürlich erscheinende Annahme des Periodenstreifens zwischen

л _    , 3 л

~ und x = -|--

и

der Benutzung der Formel

erklärt sich daraus, daß wegen

sin (л: — z) = sinz

mit z auch (л — z) innerhalb des Periodenstreifens liegen muß. Wir fassen das Ergebnis zusammen zu dem • Satz 85: Innerhalb eines Periodenstreifens nehmen die Funktionen sinz und cosz jeden ihnen vorgeschriebenen Wert an zwei und nur zwei Stellen an. Für sinz liegt

л

ein Fundamentalbereich zwischen den Geraden x = — —

'    и

für cosz zwischen x = 0 und x = л\

dabei sind die Grenzlinien des Fundamentalbereiches diesem zuzurechnen.

und x =

§ 57. Die Ableitungen von ez, sin^? cos#.

Als gleichmäßig konvergente Eeihen können die Reihen für sinz, cosz gliedweise differenziert werden,

wenn man ihre Ableitungen erhalten will. Es ergibt sich ohne Schwierigkeit

d • ez

dz

= ez

d • sinz

dz

= cosz

dcosz

dz

= — sinz .= cos

co| а

Es folgen dann leicht die höheren Ableitungen als: dn • ez

dzn

dn • sinz

dzn

л:

sink*-

dw* cosz

dz¹¹

( ⁷¹ \

= cosl n • —- + 21 •

§ 58. Die Funktionen tg# und cotg#.

Wie für reelle Veränderliche definieren wir tgz und cotgz durch die Gleichungen sinz cosz’

Aus der Definition folgt sofort, daß tgz und cotgz ungerade Funktionen ihres Argumentes sind, denn es ist sin(—z) cos(—z)

tgz =

cotgz =

cosz sinz ‘

tg( —z) =

sinz

= — tgZ

cosz

cotg(—z) = — cotgz.

Wegen der Relation sin²z + cos²z = 1 können sinz und cosz nicht gleichzeitig verschwinden; es sind also die Nullpunkte von tgz identisch mit denen von sinz, die Nullpunkte von cotgz mit denen von cosz. Ferner erkennen wir, daß tgz in den Nullpunkten von cosz un-

und

endlich groß wird, ebenso со tgz in den Nullpunkten von sinz (Satz 25, § 22). Wir erhalten so die Formelgruppen

COtg Jv TZ = OQ,

tgk л — 0

tg(2/c + l)

II

oo,

CO tg (2/.: -\- 1)

Da also tgz und cotgz in gewissen Punkten unendlich, groß werden, so wollen wir im folgenden Argumente, für die dieser Fall Eintreten kann, von der Betrachtung ausschließen.

Nach der Definition besteht die Beziehung

tgz • cotgz = 1 ,

welche es gestattet, die eine der beiden Funktionen durch die andere auszudrücken. Unter Zuhilfenahme des trigonometrischen Pythagoras (§ 58) erhalten wir

1 + '"'S’² - a’=3 ■

Die Summe oder Differenz zweier Tangenten resp. Ko-tangenten läßt sich in Form eines Produktes darstellen. Es ist nämlich

%% + = Analog ergibt sich

sin z₁    sinz₂    sin (zx + z₂)

cos zx    cosz₂    coszA • cosz₂

— tgz₂ =

cotgzx + cotgz₂ =

cotgz₁ — cotgz₂ =

sin— Zj) cosz₁ cosz₂ ’

sin (^2 + zx) sin • sinz₂

sin(z₂ — zt) sinzj sinz₂

tgz und cotgz sind einfach periodische Funktionen ihres Argumentes mit der primitiven Periode л ; denn ist etwa f eine Periode der Funktion tgz, so ist

‘S(* + {)-'⁸*-C08₍/+Ocos»-”,

was bei beliebigen Werten von z nur für f = к л ein-tritt. Andererseits ist

sin(z кл) (— 1)* • sinz cos(z + к л) (—l)*cosz

womit der erwähnte Satz für tgz bewiesen ist. Der Beweis läßt sich analog auch für cotgz führen.

In der komplexen Ebene liegt also zwischen den

(einschließlich) und x = ~ (ausschließ-

u    —

lieh) ein Periodenstreifen von tgz und cotgz. Dieser ist zugleich ein Fundamentalbereich; denn in ihm wird jeder den Funktionen beliebig vorgeschriebene Wert an einer und nur einer Stelle angenommen. Wir wollen den Beweis nur für tgz führen.

Wegen

sinz =

tg(z + b) =

Geraden x — —

ezi — e~zi

und cosz = —

= tgz

ezi + e

-zi

ist

1 ezi — e~zi

1 e2zi — i ezi-\-e~zl i e2zi-\-l

Wird nun für tgz der beliebige Wert a vorgeschrieben, so ergibt sich zunächst zur Bestimmung von z

1 — ai

e2zi =

1 + ai

Nun wird e2zi an keiner angebbaren Stelle unendlich groß oder gleich Null, was für a — eintreten würde, es folgt also:

Die Funktion tgz nimmt an keiner angebbaren Stelle die Werte + i an.

Abgesehen davon ist es jedoch stets möglich, einen Wert von z aus der Gleichung für e2z% zu bestimmen. Da die Funktion e2zi innerhalb ihres Periodenstreifens,

der zwischen x — —^ und x — angenommen weiden

kann und dann mit dem von tgz überein stimmt, jeden Wert einmal und nur einmal an nimmt, so gilt das gleiche für tgz. Wir erwähnen, daß auch cogtz an keiner angebbaren Stelle die Werte +г annimmt.

tgz und cotgz haben wie sinz und cosz ein Additionstheorem: Es ist nämlich

sin zt cos z₂ + cos zt sin z₂

tgZj + tgZg l-tgZi-tgZa ‘

Den letzten Ausdruck erhalten wir aus dem vorhergehenden, indem wir Zähler und Nenner durch coszt cosz2 dividieren. Analog erhalten wir

tg(2l + z₂) =

cosz₁cosz₂ — sin zA sinz₂

cotg(2l + fcj) =

cotgzx • cotgz₂ — 1

cotgzs + C0tg2l

tg(% - z₂) =

tg% — tg2₂

1 + tgz^gz₂ ’

cotg(2l — z₂) =

cotg2l • cotgz., + 1

cotgz₂ — cotg zL

Berücksichtigen wir, daß tgz und cotgz die Periode л besitzen, so folgen aus den Additionstheoremen die Formelgruppen

tg{kn ±z)= +tg2, cotg(kn + 2) = Hhcotg2 ;

tg (2 к + 1) y + 2 = -j- cotg 2,

cotg

(2 & + 1) — + 2

= +tgz .

Schließlich erhalten wir durch Grleichsetzung von z₂ und zl in den Additionstheoremen

tg2z =

2 tgg

1 — tg²z ’

cotg 2 2 =

cotg² 2 — 1

2 cotg z

§ 59. Realität von tg# und cotg#.

Da mit tgz auch cotg2 reell ist, so genügt es, die Untersuchung für tg2 durchzuführen. Es ist allgemein

tg(x + y i) =

tgs + tgyi 1 — tgx tgyi '

Erweitern wir diesen Ausdruck mit 1 + tgx • tg(y i), so wird

tg(x + yi) =

tgx • (1 + tg²y i) + tgy t. ( 1 + tg²x)

1 — tg²x*tg²yi

Nun ist

tgy г =

sin y i

cos y i

= i-

CO

Da tg²y г reell ist, so kann der Ausdruck für tg(x Ą- у i) nur im Falle y — 0 reell sein, d. h. für reelle Werte von 2.

§ 60. Die Ableitungen von tgz und eotg£.

Es ist

tg(z + C) — tg2

sin£

£    COS(2 + f)COS 2

Lassen wir den Bildpunkt von £ sich dem Bildpunkte von 2 nähern, so nähert sich der Wert des Differenzenquotienten dem Ausdrucke

• (§58.)

cos² z

• lim

c=0

Es ist also

ooa’s'^¹ 3! ⁺ 5!

Ä-1 + ‘S’Z-

d • tgz

dz

£⁴

COS² 2

Dasselbe Ergebnis würden wir durch Differentiation des sin z

Quotienten tgz = cotg(z + 0 — ⁰⁰ tgz

cos 2

erhalten. Analog ergibt sich

sin£

£• sin(2 + C)sin2

• (§58.)

Daraus folgt

d • cotg2

dz

A“=-(i+cot^)-

§61. Die Entwicklung von tgæ in eine Potenzreihe.

Es ist

2² . 2⁴

tgz =

sin 2

3!

5!

COS 2

2²

1~777 +

2⁴

2!

4!

Eine Entwicklung von tgz in eine Potenzreihe kann nur die ungeraden Potenzen enthalten, denn tgz ist eine ungerade Funktion; sie wird also die Form haben

tgz = Cxz + c₃z³ + e₅z⁵ 4 ...

= z • (ct + e₃ z² + c₅ z⁴ + . . . )

Nun ist

tgz

sinz

—-r- • COSZ ==

z.

also

z² z4 — 4. — 2!    4!

+ - ..

z² z⁴ z6 = “ 3Ï ⁺ 5Ï “ 7Ï

Wenden wir das Multiplikationsgesetz zweier Reihen an und beachten, daß zwei Potenzreihen nur dann Übereim stimmen können, wenn die entsprechenden Koeffizienten einander gleich sind, so erhalten wir zur Bestimmung der Koeffizienten c die Rekursionsformeln

-P

S|>?

sie?

S|c?

rH

со

!b|<?

rH

|ю *r|cD

tH

Wir erhalten somit für tgz die Potenzreihenentwicklung

Z⁷

,    1 ₀    2    17

315

Aus ihnen ergeben sich in^etwas mühevollerf[Rechnung

i- 2 ⁼ Ï5 ’

ci = ¹

17

315 ’

62

2835

Сц =

1382

155925’ ' ’ *

tgiz = z + —z³+—zs +

62

2835

z⁹ +

1382

155925

z“ + .. .

Eine zweite, für die Berechnung der Koeffizienten einfachere Herleitung ergibt sich aus der Tatsache, daß

dz =1 + tg22-

d* tgz

Ist wiederum

so ist

tgz = CjZ + съг* + c₅zb +    + ..

d • tgz

Gi + 3 c₃ z² + 5 c₅ z⁴ + 7 c₇ z⁶ +

und

1 + tg²z = 1 + c\ • z² + 2 cx c₃ • z\

+ (2 Ci eb + 4) 2⁶ + 2 (et c, + c₃ c₆)z\

+ (2 ctc₉ + 2 cs c₇ -f eDz¹¹ + ...

Die Koeffizientengleichung ergibt die Rekursionsformeln

Spezielle Potenzreihen. ci = ¹

112

3 Cg — c\

5 c₅ = 2 Cj Cg 7c₇ = 2etc₅ + cf 9 c;i = 2(CjC₇ -f- Ö3 %)

llcn = 2c₁c₉ + 2c₃Cj + c\

aus denen sich die Koeffizienten äußerst leicht berechnen lassen. So ist

CO!

=CT

т—I j Ot>

17

7ß?_15+    = 45 ’

c₇ —

17

315

9 c₉ —

34

62

62

315

45    315 ⁵

2835

Wir erkennen auch sofort, daß alle Koeffizienten positiv sind. Es bleibt nur noch zu untersuchen, wie weit sich

der Konvergenzkreis der Reihe erstreckt. Über \z\ =

kann er jedenfalls nicht hinausgehen ; denn für z = —

и

tgz unendlich groß. Die Reihe kann in der Form

-wird

oo

oo

tgz = У'Ыу =^C2r + lZ2r + 1

geschrieben werden; der Quotient mein

Uv + 1

uv

ist dann allge-

2^ + 3

^2v + S

1    с2г+3%

'll/у    C2 * 2

Die Reihe konvergiert also jedenfalls dann, wenn der Quotient

2v + l

^2r + l

• z² .

UVĄ.\

uv

sich mit zunehmendem v einem echten Bruche к als Grenze nähert. Es trifft das zu, solange

I z |² < lim

n = 00 c2 v + 3

ist, falls dieser Grenzwert überhaupt existiert. Nun nähern sich die Quotienten

cP IcP

c₅ c₇

C7

C9

wie die Rechnung zeigt, dem Grenzwerte

(ö=

2,4674011 . . .

Es muß also | z | < ~ sein, d. h. der Konvergenzkreis der

71

Reihe ist der mit dem Radius — um den Nullpunkt beschriebene Kreis (Satz 67, § 38).

§ 62. Die Potenzreihe für cotg#.

Für die Funktion cotgz kann keine Potenzreihe aufgestellt werden, die in der Umgebung des Nullpunktes

Rose, Einleitung in die Funktionentheorie.

§ 63. Die hyperbolischen Funktionen.

Wenn wir in der Reihe für ez die ungeraden Glieder und die geraden Grlieder für sich zusammenfassen, so erhalten wir zwei für alle endlichen Werte von z unbedingt konvergente Reihen. Man nennt die durch sie dargestellten Funktionen aus einem geometrischen Grunde hyperbolische Funktionen von z. Sie stehen in engem Zusammenhänge mit den trigonometrischen Funktionen sinz und cosz. Wir bezeichnen sie aus diesem Grrunde als Sinz und Cosz. (Gelesen sinus hyperbolicus z und cosinus hyperbolicus z.) Ihre Definitionsgleichungen lauten:

z*

z³

3!

51

konvergiert, da co tg 2 für z = 0 unendlich wird; wohl aber kann dies für zcotgz geschehen. Auch hier führen mehrere Wege zum Ziele: es können benutzt werden die Formeln cosz

cotgz =

cotgz ==

1    d cot gz

dz ⁼-(1+COtg22)

sinz

u. a. Wir erhalten auf sämtliche Arten die Reihe

Jl «2__I4_z6_

3    45    945

—-—г⁸— . . 4725

welche für | z | < n konvergiert und mit Ausnahme des ersten nur negative Koeffizienten hat.

Über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten der Reihen für tgz, cotgz und den Bernouillischen Zahlen siehe: Sporer, Niedere Analysis. Sammlung Groschen. Bd. 53, § 78.

zcotgz = 1 —

Sinz = z +

Cosz = 1 -f

z²

z⁴

2!

4!

können wir aus jeder für sin г, cos г, tg г geltenden Beziehung eine solche für

T gz

und es bestehen zwischen ihnen und sinz, cosz die Beziehungen :

Sin г =

sin (гг)

Cos г = cos (г г) .

Wir definieren ferner die Funktion Tg г (gelesen tangens hyperbolicusz) durch

T gz =

Sin г

Cos г ’

so daß

T gz =

tg(zi)

(Für die hyperbolischen Funktionen werden auch häufig die Bezeichnungen sinh г, cosh г, tghz verwendet.)

Mit Hilfe der Gleichungen

sin (г г)

Sinz ==

Cos г == cos (г г) , Tg z =

tg(«*)

Sinz, Cosz

herleiten. Wir brauchen nur an Stelle der vorkommenden Argumente ihre mit i multiplizierten Werte zu setzen und die erwähnten Gleichungen zur Einführung der hyperbolischen Funktionen an Stelle der trigonometrischen zu benutzen. Es wird daher genügen, wenn wir die Haupteigenschaften der hyperbolischen Funktionen ohne Beweis anführen:

1. Sin(—z) = —Sinz , Cos(—z) = Cos(z) Tg(—2) = — Tg2 .

8*

2. Sin z —

ег — е~г

2--, Cos 2 =

ez + e~z

T gz =

ez — e~z

ez + e~z 3. Cos²2; — Sin²2: = 1.

4. 1 - Tg-

Cos²2

5. Sin {zt + z₂) = Sin 2^ Cos2:₂ + Cos 2^ Sinz^ , Cos (2^ + z₂) = Cos^Cos^g + Sin 2^ Sin z₂ , Sin (2^ — z₂) = Sin 2^ Cos 2g — Cos 2^ Sin^g , Cos (2^ — z₂) = Cos 2^ Cos 2g — Sin 2^ Sin z₂ .

6.    Sin22: = 2Sin2;Cos2J.

Cos 22:=Cos²2: + Sin²2:=2 Cos ²2:—1 = 2 Sin ²z+1 •

7.    Sin2^ + Sin2:₂ = 2Sin -    ^ • Cos— — — ,

Sin zx - Sin 2g = 2 Cos -*±ZA . sin    ,

CoS2j -f- COS 2g = 2 Cos

и

Cos z± — Cos2:₂ = 2 Sin %1 Zÿ • Sin

и    и

8.    Sinz und Cosz sind einfach periodisch mit der primitiven Periode 2л i, Tgz mit der Periode лi.

Sin (^i + Zg)

Cos 2! Cos 2g ’

Sin(2₁ — z₂)

CoS2j CoS2₂

9. Tg2! + Tg2₂ =

Tg2i — Tg2a =

• Cos-*¹ ₀ ^ 2

10. Tg(2₁+2₂) =

TgZi + Tg z2 1 + Tgz₁Tgz₂ ’

Tg(«i - «2) =

Tg«! — Tgz₂

Tg2z =

1 — Tg2₁ Tgz2 2 Tgz 1 + Tg*z '

11. Sin(Ajii) = 0

Cos (kni) = (-1)*

Sin (2/c-f 1) ™-г =( — l)*-b

• i =0

Cos (2 k + 1) -fr

и

Tg(/c лг) = 0 ,

• Ol

to| а

12.

Sin [к л i + z] = (—l)*Sinz,

Cos\k л i -f- z] = (—1)* Cosa;,

Sin [k ni — z] = (— l)k + 1 Sina;, CosjVcrci — z] = (—l)fcCosa:.

13. Sin (2/с + 1)^.г + 2 =(— l)M-Cosz,

2

Cos (2k + l)^ri + z = (— l)**i*Sina;,

Sin (2 к    — z = (—l)fc*a*Cosa;,

2 J

Cos (2 к    V) • i — z = (-l)*+M.Cosz.

2    J

14.

15.

Ts^t + Df.i+.J—jL

Tg[(2*.+ i)^.*-z = Cosz,

-¹-Tg,z“càï-

tg(zi)

Tgz '

d» Sinz

d• Cosz

dz

dz

= Sinz,

d-Tgz

dz

16. Wegen Tgz = entwickeln

Tgz = z —

62

läßt sich Tgz in die Reihe ¹⁷

1382

315

z⁷

z⁹ —

2835

welche für j z | < konvergiert.

и

155925

zn-|--

§ 64. Realitätsbetrachtungen.

1. Für reelle Werte von z sind Sinz, Cosz, Tgz гееП. Es sei wieder a? statt z gesetzt. Wächst x von — 00 bis 0, so nimmt Cos x ab von +00 bis 1 ; wächst x von 0 bis +oc, so nimmt Cos a? zu von 1 bis -Ą-00. Die Relation Cos² ж — Sin²a? = 1 lehrt, daß zu unendlich großen Werten von Cos x auch unendlich große Werte von Sina? gehören. d • Sina?

Andererseits ist

= Cosa? > 0 . Sie nimmt also gleichzeitig mit a? zu von —00 bis -\-oo‘ insbesondere

ÖS%,ols''

dx

ist SinO — 0 . Aus der Relation Tg²a? = 1 —

daß Tg² X stets positiv und kleiner als 1 ist. Anderer-seits wächst wegen

d•Tgx 1

--— =--> 0

dx    Cos²&

Tg X gleichzeitig mit x ; wenn also x von — oo bis +<x> zunimmt, so wächst Tgæ von — 1 bis -|- 1, nimmt aber diese Grenzwerte an keiner endlichen Stelle an, weil Cos ж an keiner endlichen Stelle unendlich groß wird.

2. Wir untersuchen nunmehr allgemein, für welche Werte des Arguments Sin z, Cos z, Tg z reelle Werte annehmen. Es läßt sich durch Entwicklung der Ausdrücke

Sin (x Ą- у i) [und Cos (ж -f yi)

nach den Additionstheoremen (§ 63) leicht zeigen, daß für Sinz z die Form x -f kni, für Cosz z die Form yi oder x + kjti haben muß.

Komplizierter liegt der Fall bei Tgz. Da die Funktion Tgz die primitive Periode ni besitzt, so ist sie sicher reell für Werte der Form

Tgz =

Für solche nimmt sie indes nur Werte an, die der Größe nach zwischen —1 und -fl liegen. Wann nimmt Tgz nun reelle Werte an, die dem absoluten Werte nach größer als 1 sind? Ist a ein solcher Wert, so läßt sich z bestimmen aus der Gleichung 6² — e~z (?+e~z

Aus dieser folgt

e²² =

ist sicher negativ: wir schreiben ihn in

Der Bruch

der Form

—    ■- - (cos n + i sin ji) .

a — 1

a -f- 1

Aus der Gleichung e2z = dann (§ 56, 3)

(cos л: + i sin л) folgt so-

2z — log    + (2 к + 1) n i

11 a 2" °S а

(X “I⁻ 1

- + (2 к + 1) — • i .

Soll also Tg 2 reelle Werte annehmen, die dem absoluten Werte nach größer als 1 sind, so muß z von der Form sein z = X -f- (2 к + 1) £ г •

In der Tat ist

(§ 63)

Tg[* + (2* + l)f*']--^

eine reelle Größe. Wir erkennen ferner ohne Schwierigkeit: Bewegt sich der Punkt 2 auf der Geraden

у = (2 к -f- 1) ~ in positiver Richtung aus dem Unend-

u

liehen bis zur imaginären Achse, so nimmt Tg z ab von — 1 bis —00; bewegt sich z in positiver Richtung von der imaginären Achse bis ins Unendliche, so nimmt Tgz ab von +00 bis +1 .

§65. Verhalten im Periodenstreifen.

Cos 2 = cos (z г), r - können wir sofort das Verhalten von Sin z,

Aus den Gleichungen Sina: = tg(zi)

sin (z i)

Tgz =

Cosz, Tgz in ihren Perioden streifen entnehmen. Wir begnügen uns mit der Anführung der Resultate.

1.    Für die Funktion Cosz ist .der Streifen der komplexen Ebene zwischen den Geraden у — — л (einschließlich) und у = + л (ausschließlich) ein Periodenstreifen; in ihm nimmt Cosz jeden ihm vorgeschriebenen endlichen Wert an zwei und nur zwei Stellen an. Ein Fundamentalbereich von Cosz liegt zwischen den Geraden у = 0 und у = л (die Grenzen eingeschlossen).

2.    Für die Funktion Sinz ist der Streifen zwischen

den Geraden у = — ~ (einschließlich) und у = (aus-

u    и

schließlich) ein Periodenstreifen; in ihm nimmt Sinz jeden vorgeschriebenen endlichen Wert an zwei und nur zwei Stellen an. Ein Fundamentalbereich von Sinz liegt

zwischen den Geraden у — — Ц- und у — (die Grenzen eingeschlossen).

3.    Für die Funktion Tgz ist der Streifen zwischen

den Geraden у = — ^(einschließlich) und у =* ^ (aus-2 2

schließlich) ein Periodenstreifen und gleichzeitig ein Fundamentalbereich; in ihm nimmt Tgz jeden beliebigen endlichen Wert mit Ausnahme von + 1 an einer und nur einer Stelle an.

§ 66. Die Funktion Logarithmus.

Die Gleichung ew — z hat unendlich viele Wurzeln w (§ 56, 3), eine jede von ihnen nennen wir einen Logarithmus von z und bezeichnen sie mit Log2. Ist etwa z = r (cos cp -f i sin 99), so ist

w = Log z = logr -f- <p i + 2 к n i,

wo wir unter logr den reellen natürlichen Logarithmus der positiven Zahl r verstehen. Logz ist also eine unendlich vieldeutige Funktion. Von diesen unendlich vielen Werten greifen wir denjenigen heraus, für welchen k = 0 ist, er ist gegeben durch

logr -)- 9oi

Es sei daran erinnert, daß 0 ^ cp <2n vorausgesetzt ist (§ 11). Wir wollen untersuchen, ob für die so definierte Funktion Logs die fundamentalen Gesetze für das Rechnen mit Logarithmen Gültigkeit behalten.

Ist

z₁ — rx (cos cpx -f- i sin (px), Sg = r₂(coscp2 + ism(p₂),

so folgt

Z1Z2 = riV[cos(9?! + (p₂) + isin(<pt + fPi)} . Daraus entnehmen wir

Log^Zz) = log(/jr₂) + i(<Pl + 95a) + 2 kni .

Auf log (rxr₂) können wir den Satz über den Logarithmus eines Produktes an wenden. Wir erhalten so

Log(zA Z₂) = logrA + <p±i + logr₂ + cp₂ i + 2 кvn i = Logz₁ + Logz₂ + 2k'ni .

Wir erkennen also:

Satz 86: Der Logarithmus des Produktes zweier Zahlen ist gleich der Summe der Hauptwerte der Logarithmen der Faktoren, vermehrt um ein Vielfaches von 2 ni .

Sollte etwa <pt + cp₂ nicht der Hauptwert des Arcus sein, so wird die Gültigkeit des Satzes in keiner Weise beeinträchtigt, da bei einer Zurückführung auf den Hauptwert (durch Subtraktion von 2 л) höchstens der ohnehin beliebige Faktor von 2лг sich ändern würde.

Da bei dem Beweise keinerlei Voraussetzungen über die Art der Vielfachheit von 2ni gemacht worden sind, so ergibt sich, daß wir stets unter den unendlich vielen Werten von Log^, Log2₂, Log(zx z₂) solche aussuchen können, die der Gleichung genügen

Logfo Zj) = Logzj + Logz₂ .

In gleicher Weise können wir zeigen:

Satz 87 : Der Logarithmus des Quotienten zweier Zalilen ist gleich der Differenz der Hauptwerte der Logarithmen von Zähler und Nenner, vermehrt um ein Vielfaches von 2 л i.

Auch hier kann eine derartige Wahl der Vielfachen von 2лг getroffen werden, daß die Beziehung bestehen bleibt

Log — = Log*! — Logz₂ .

Die Erweiterung der Logarithmengesetze auf den Fall der n-ten Potenz einer Zahl bietet nunmehr keine Schwierigkeiten.

§ 67. Die Ableitung von Log£.

Die unendlich vielen Werte des Logarithmus sind enthalten in der Form

w — Logz = logr + (p г -j- 2 к л i .

Ist nun z₀ ein bestimmter Wert von z, so sind damit die zwei Zahlen r = r₀ und cp = cp₀ vollkommen eindeutig

bestimmt: daher ist jeder der unendlich vielen Werte von w eine eindeutige Funktion von z. Da also jeder von ihnen eine inverse Funktion von z = ew darstellt, so folgt allgemein nach Satz 45, § 27 d-Logz

dz

dz ew

dw

Wir erhalten somit:

Satz 88: Jeder der unendlich vielen Werte von Log z ist eine reguläre Funktion von z.

Ausgenommen ist nur der Wert z= 0, aber für diesen ist Logz überhaupt nicht definiert, weil ew an keiner angebbaren Stelle den Wert Null annimmt.

Aus Satz 46, § 27 entnehmen wir noch:

Satz 89:

Jeder der unendlich vielen Werte von Logz ist eine stetige Funktion von z.

§ 68. Reihenentwicklungen für den Logarithmus.

Der Hauptwert der Funktion f(z) = Log2 kann nicht in eine Potenzreihe entwickelt werden, die nach ganzen positiven Potenzen von z fortschreitet, weil das konstante Glied, das doch den Wert f(0) = LogO haben müßte, in keiner Weise definiert ist. Wohl aber kann eine solche

Entwicklung für Log(l + z) aufgestellt werden. Es ist zunächst (Satz 47, § 28)

dLog(l+z) dLog(l+z) d(l + z)

dz

~ d(l + z)

Der Bruch entwickeln d-Log(l+z)

- — läßt sich, wenn | z | < 1 ist, in die Reihe

1 + z

dz

1 — z + z² - z³ + z⁴ - + ... (siehe § 32).

Diese Reihe ist nach Satz 69, § 40 die Ableitung der Potenzreihe

i*²+ 4

2    3

in der A eine willkürliche Konstante bedeutet. Für den Wert А = 0 (denn Logl = 0) stellt diese Reihe, welche gleichfalls für \z \ <1 konvergiert (Satz 69, § 40), die Funktion Log(l -f* z) dar. Es ist also

Log(l + z) = z —

Die Entwicklung des allgemeinen Wertes von Log(l + z) lautet

Durch Subtraktion beider Reihen erhalten wir

05 h-⁴

L°g(|Al)= 2клг + 2(z +    23+Iz* + ...).

Auch die beiden letzten Reihen konvergieren für | z j < 1.

§ 69. Di© Binomialreihe.

Die Potenzreihe, deren Koeffizienten allgemein die

Form

av =

hat, trägt den Namen Binomialreihe. Sie lautet ausführlicher

z³ +

(ïMïMï)

dem Gliede

Ist p eine positive ganze Zahl, so bricht sie mit zv ab und stellt nach dem binomischen

Lehrsätze für ganze positive Exponenten die £?-te Potenz von 1 + z dar. Wenn jedoch keine positive ganze Zahl bezeichnet, so ist die Zahl ihrer Glieder unendlich groß. Nun ist

av

= ();

, ClyĄ. 1

Vf V +1

av

av+i P — V

lim

CLV

oo (%v +1 !

= lim

V — oo

1+-¹

= 1.

m=i+(p₁)z + (p₂)zs+...

Die Binomialreihe hat also nach Satz 67, § 38 den Konvergenzradius 1. Insofern durch Angabe von p der Wert der Reihe für ein beliebiges z innerhalb des Konvergenzkreises eindeutig bestimmt ist, sind wir berechtigt, die Reihe als komplexe Funktion von p aufzufassen und sie mit F(jpi) zu bezeichnen Es seien nun zwei Binomial-reihen

gegeben.

Ihr Produkt F(p)»F{q) hat das allgemeine Glied

-zv.

Es läßt sich zeigen, daß der Faktor von zv gleich ist. Der Beweis dafür soll hier nicht erbracht

fr)

werden, da seine exakte Durchführung zuviel Raum beanspruchen würde, eine recht interessante Veranschaulichung findet sich in dem Buche: Sporer, Niedere Analysis (Sammlung Göschen, Band 53, § 64). Die Binomialreihe genügt also der Funktionalgleichung

F(p). F(q) =*F(p + q).

Sie kann uns daher zur Definition des Ausdrucks (1+ z)v dienen, der für beliebige Werte von p zunächst keine Bedeutung hat. Wir erklären somit (1 + z)p durch

z³ + . . .

Beispiele:

(i)

( гГГ з¹)*’⁴— • '

= 1 + 2 + Z² + Z³ + . . .

(2)    Т^ = (1 + 2²)-¹ = 1-г²+г⁴-г«+-. . .

(3)    Für die Funktion (1 — z²)

Glied die Form

-i

hat das allgemeine

(-1 У-

ÎNI

te

(т-1)'-

ьэ| CO

y + l]

2v

1*2. . . V

-(-i)*-.-

1    3 2v — 1

J' ‘ *    2

•Z²*

1.3-5.

• •(2у-¹Ц»,

2 - 4.6 . . . 2 V

§ 70. Die Funktion arc tg#.

Denken wir uns die Zahlen w = u + v i in einer komplexen Ebene dargestellt, so liegt für die Funktion z — tgw

zwischen den Geraden u——^und и — — ein Periodenstreifen (§ 58). In seinem Innern nimmt tgw jeden beliebigen Wert z (mit Ausnahme von + г) an einerund nur einer Stelle w an. Wir sind daher berechtigt, diesen Wert als eine zu z — tgw inverse Funktion anzusprechen. Aus ihm folgen eine unendliche Zahl anderer, die sämtlich die Form w + к л haben. Ein jeder von ihnen ist gleichfalls eine inverse Funktion von z (§ 27). Die Gesamtheit aller Wurzeln w der Gleichung tgw = z definiert somit eine unendlich vieldeutige Funktion von z, die wir mit w — arc tg-гг (gelesen arcus tangens z) bezeichnen.

Für jeden einzelnen ist nach der Regel für die Differentiation einer inversen Funktion (Satz 46, § 27)

dw

U ~ ~dz

dw

1 + tg²w 1 + z* *

Derjenige Wert w von arc tg-г, der zwischen den Geraden

— ~ und и = + der komplexen Ebene liegt, heißt

der Hauptwert der unendlich vieldeutigen Funktion. Für ihn ist nach Beispiel 2 des vorigen Paragraphen

d • (arc tg i)

dz

1 + г¹

eine Reihe, die für | z | < 1 konvergiert. Aus Satz 69, § 40 folgt demnach für den Hauptwert von arctg# die Darstellung

. ,    2³ , г⁵ г⁷ ,

a+z~y ⁺ t~t⁺~- ■ •

Die Konstante A ist gleich Null, denn der Hauptwert von arctgO ist gleich Null. Es folgt somit

₂3 „b „4

arct gz = z-- + — --

Der allgemeine Wert von arctgO ist nun

_    z³ z⁵ z¹

MQtgz = kui + z — y + у — y H--• • •

Sämtliche Reihen konvergieren für \ z\ < 1.

Zwischen den Funktionen arc igz und dem natürlichen Logarithmus besteht eine bemerkenswerte Beziehung. Es ist nach § 58

t gW =

<s>. H—¹

ewi — e-wi

Daraus folgt

ewi _}_ e~wi •

e2ivi

_ 1 + i • tgw

1 — i • tg w

Nehmen wir auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus, so ist

1 + i • tgw 1 — i tgw ¹

1 + i tgw

2 г Lo°

Rose, Einleitung in die Funktionentheorie.

1 — i tgw

Setzen wir tgw — z, also w = arc tgz, so ergibt sich die Relation

₊ 1 T 1 arc tgz = g-r • Log x

1 + zi

— zi ?

die gleichfalls die Entwicklung von arctg-sin eine Potenzreihe gestattet (§ 68).

Der innere Grund zu dem Bestehen dieser Beziehung ist darin zu suchen, daß die Funktionen tgw und e2wi Perioden-streifen von gleicher Breite und paralleler Lage haben.

§ 71. Die Funktion arcsin«.

Für die Funktion z = sin гг ist der Streifen zwischen

den Geraden и — — ~ und и — + ~ ein Fundamentalbereich ;

für alle Punkte w seines Innern ist w als eine inverse Funktion von z — sin гг zu betrachten. Aus einem Werte w ergeben sich unendlich viele der Form w-\-2kn. Die Wurzeln w der Gleichung z = sin«? bilden in ihrer Gesamtheit eine unendlich vieldeutige Funktion von z , die wir mit arc sin z bezeichnen. Jeder der unendlich vielen Werte von arcsine ist eine inverse Funktion von z ; der erstgenannte Wert im besonderen heißt der Hauptwert von arc sin 2.

Für jede Teilfunktion w = arc sin £ ist nach der Regel für die Differentiation einer inversen Funktion

dw

dz dz

cos гг

div

±|/l— sin²«;

± }'l — z²

Das Vorzeichen der Quadratwurzel soll sogleich näher bestimmt werden. Es genügt die Durchführung für den Hauptwert, da shur und соэгт die Periode 2 л haben. Für reelle Werte w und z wächst sintr beständig von —1 bis +1,

wenn w von--— bis    zunimmt. Es ist also -r— und

dw    2    2    dw

auch -jj— positiv ; die Quadratwurzel ist somit mit dem positiven Zeichen zu nehmen.

Nun ist nach dem vorletzten Paragraphen (Beispiel 3)

=d -««г*

1-3

⁼¹⁺т

1-3-5

(2 у — 1)

2*4-6...2v

• £2ł'-h . . .

eine Reihe, die für j z | < 1 konvergiert.

Soll der Hauptwert von arcsine sich eine Potenzreihe von z entwickeln lassen, so kann diese nach Satz 74, § 45 und Satz 69, § 40 nur von der Form sein

2-4-6...2v

Ai , 1 г³ , 1*3 г5 A + * + Î-J + J7ï-T + ---1-3-5. . .(2v —1) z2r+1 ‘ 2у+1

Die Konstante A hat den Wert 0, denn der Hauptwert von arc sin 0 ist gleich Null. Für den Hauptwert von arc sin z gilt somit die für | z | < 1 konvergente Potenzreihe

arc sin-s — z +

2 ' 3

2* + l

1-3-5. . .(2V — 1) z2*+i ⁺    2•4•6... 2?

Der allgemeine Wert von arcsine ergibt sich hieraus durch Addition von 2 кл .

Wir bemerken noch, daß sowohl arcsine als auch arctgz in jedem Punkte, für den sie definiert sind, reguläre und deshalb auch stetige Funktionen des komplexen Argumentes z darstellen.

Neben den aus dem Hauptwerte w von arcsine folgenden Funktionen w 4- 2 к л gibt es infolge der Relation sin (я — w) — sinw

noch eine zweite Gruppe von Umkehrungen der Gleichung sin w = z. Sie sind enthalten in der Form w' — — w + (2 к -f-1)л .

9*

Für eine jede von ihnen ist diu'

²’

so daß auch der zweite Wert der Quadratwurzel von Bedeutung wird. Der к = 0 entsprechende Wert w' liegt innerhalb des von den Geraden и — + — und и = + begrenzten

Teiles der komplexen Ebene; er kann als Hauptwert der Funktionengruppe w' betrachtet werden.

Anhang.

§ 72. Konforme Abbildung.

Um unsere Betrachtungen zu einem gewissen Abschluß zu bringen, wollen wir noch eine Eigenschaft der regulären Funktionen komplexen Arguments erwähnen, die in funktionentheoretischen Betrachtungen eine große Rolle spielt.

Nach § 20 verstehen wir unter einer eindeutigen komplexen Funktion w — f(z) von z eine veränderliche Zahl von der Beschaffenheit, daß zu jedem Werte von z ein und nur ein Wert von w gehört. Stellen wir die Werte von z in einer komplexen Ebene dar, die von w in einer zweiten, so entspricht jedem Punkte der ersten Ebene ein und nur ein Punkt der zweiten. Ist insbesondere die komplexe Funktion eine stetige, so entspricht einem stetigen Linienzuge der z - Ebene auch ein stetiger Linienzug der w- Ebene. Zur Kennzeichnung dieses Verhältnisses pflegt man zu sagen, die Punkte der z - Ebene seien vermöge der Funktion w = f(z) auf die w -Ebene ab-gebildet.

У or allen komplexen Funktionen zeichnen sich die regulären Funktionen (§25) bezüglich der durch sie vermittelten Abbildung durch eine geometrische Eigenschaft aus. Es sei die reguläre Funktion w = f(z) voi gelegt, z₀ ein beliebiger Punkt der z-Ebene, w₀ der entsprechende Punkt der w- Ebene. Ferner seien unendlich nahe an z₀ zwei Punkte zx und z₂ angenommen. Da w = f(z) eine stetige Funktion von z ist, so entsprechen den Punkten zx und z₂ zwei Punkte w₁ und w₂ der w - Ebene, die Wq gleichfalls unendlich benachbart sind. Bilden wir nunmehr die Verhältnisse

und

*2 -*o

wx — w0 Zi-z₀

so sind diese nach der Definition der regulären Funktion einander gleich und zwar gleich dem

IV =Ebene

X 0'

Fig. 8.

Werte der Ableitung von f(z) für z =z₀. Es besteht also die Gleichung

w₁ — w₀

w₂ — w₀

die wir, falls f\z₀) von Null verschieden ist, in der Form schreiben können:

*i — 4

w± — w₀

Щ — W0 Z2 — Z0

Unter Anwendung eines Lehrsatzes über Proportionen folgt daraus

W1 - W2 _Z1~Z2 W1 -W0 z2~Zo'

Wir fassen die beiden letzten Gleichungen zusammen zu der fortlaufenden Proportion:

(w₁ — w₀) : (w₂ — w₀) : (w₁ — w₂)

= (Zl - Zo) ■ (Z2 - Zo) ■■ («1 - 4) ■

Aus dem Satze über den absoluten Wert des Quotienten zweier Zahlen (Satz 10, § 10) ergibt sich sodann -

I wi — w₀ I : I w₂ — w₀ I : I wt — го₂ |

= I Z1 — zo I : I *2 - z₀1 : I Zl - z₂ | .

Nun sind die Glieder der linken Seite dargesteht durch die Strecken wxwQ , w₂ wQ , w±w₂ , die der rechten durch

zi zo i z2 zo i zi z2 • a^so Seiten des Dreiecks w₀w±w₂ denen des Dreiecks z₀z₁z₂ proportional sind, so sind die beiden unendlich kleinen Dreiecke einander ähnlich. Insbesondere ist der Winkel w₁ w₀ w₂ gleich dem Winkel z₁ zQ z₂ .

Die Abbildung der z-Ebene auf die w-Ebene, welche durch die reguläre Funktion w == f(z) vermittelt wird, ist also von der Beschaffenheit, daß einem unendlich kleinen Dreieck der z-Ebene ein unendlich kleines Dreieck der w - Ebene entspricht, welches dem ersten ähnlich ist, oder auch, daß zwei Kurven der z - Ebene sich unter demselben

Winkel schneiden wie die entsprechenden Kurven der w- Ebene. Eine solche Abbildung nennt man w ink eltreu oder konform. Es gilt somit der

Satz 90. Die durch die reguläre Funktion w = f(z) vermittelte Abbildung ist konform.

Aus der Gleichung

o)

folgt

*l-*0

щ - w<> = ГОо) • Oi - ч)

und

K-wolH/''0₀)Hzi~-vl«

Aus den beiden letzten Gleichungen ergibt sich:

Satz 91. Der Arcus von f'(z₀) gibt an, um welchen Winkel man eine unendlich kleine von z₀ ausgehende Strecke der z-Ebene drehen muß, damit sie der Richtung nach mit der entsprechenden Strecke der w- Ebene zusammenfällt.

Satz 92. Aus der Länge einer unendlich kleinen vom Punkte z₀ ausgehenden Strecke erhält man die Länge der entsprechenden Strecke der w - Ebene, indem man die erstere mit dem absoluten Werte von f'{z^) multipliziert.

Die Konformität der Abbildung ist nur an denjenigen Stellen der г-Ebene unterbrochen, für die f(z) gleich Null ist.

§73. Einfache Beispiele konformer Abbildungen.

1. Die Funktion w = z².

Es sei

Dann ist

z = V (cos (p + г • sin cp) .

w = r² • (cos 2 (p + i • sin 2 cp) .

Daraus ersehen wir:

a)    Den Punkten eines Halbstrahles, der vom Nullpunkte der z - Ebene ausgeht, entsprechen die Punkte eines vom Nullpunkte der w-Ebene ausgehenden Halbstrahles, der den doppelten Arcus hat.

b)    Den Punkten eines Kreises um den Nullpunkt der z - Ebene entsprechen die Punkte eines Kreises um den Nullpunkt der w-Ebene.

Da nach a) zwischen den Halbstrahlen q? = 0 (einschließlich) und cp = л (ausschließlich) ein Fundamentalbereich der Funktion w = z² liegt, so folgt:

c)    Diejenige Halbebene der z-Ebene, für welche die zweite Koordinate positiv ist, wird bereits für sich allein konform auf die gesamte w- Ebene abgebildet Dasselbe ist mit jeder andern Halbebene der FalJ, die von einer beliebigen durch den Nullpunkt der z-Ebene gehenden Geraden begrenzt wird.

2. Die Funktion w = ez.

so ist

Zu t

x^JSbene

777 Г?/'/'/ 77У

777777777777777777777775 A""

Fig. 9.

Für die Funktion w—ez ist der zwischen den Geraden y — 0 und y = 2 n gelegene Streifen der z-Ebene ein Fundamentalbereich (§56, 3); er wird konform auf die ganze w - Ebene abgebildet (mit Ausnahme des Punktes w = 0; § 56,

2).

Setzen wir

z = X -|- y i und w — u -f- V i , w = и + vi = ex+yi = e*(cosу + i sin?/) .

Daraus folgt:

и = exo,osy V = e* sin у .

Durch Elimination von ж bzw. у zwischen diesen Gleichungen ergibt sich

und

и sin у — V cos у = 0

и² + v² = e²*.

In geometrischer Deutung heißt das:

Einer Parallelen zur X-Achse der 2- Ebene entspricht eine Gerade durch den Nullpunkt der w- Ebene.

Einer Parallelen zur Y - Achse der 2 - Ebene entspricht ein Kreis um den Nullpunkt der гг;-Ebene.

3. Die Funktion w = sin2 .

X = Ebene

-jp

Ж/

/

4.

Fig. 10.

Die Konformität der Abbildung ist für die Funktion w — sin2 nur an denjenigen Stellen unterbrochen, für die

cos 2 = 0 ist, d. h. für

dw

dz

Bose, Einleitung in die Funktionentheorie.

z-(2i + l)£.

Der zwischen den Geraden x = —

Jt    JZ

— und X = -f- — 2    2 liegende Fundamentalbereich der z-Ebene wird durch w = sinz konform auf die ganze w - Ebene abgebildet.

(§ 56, 4.)

Setzen wir

so ist

z = x + y i und w = и + V i

w = и -)- V i = sin (x + У i)

= sina; • cos (y i) + cos ж • sin(?/fc)

= sina; • Cos у + i • cosa; • Sin у . (§ 63.)

Daraus folgt

u — sina; • Cos у,

V = cosa; • Sin?/.

Durch Elimination von x bzw. y zwischen diesen Gleichungen ergibt sich :

(соУ + (щ,) ⁼

1,

(§ 63.)

Die geometrische Deutung dieser Gleichungen ist die folgende:

Den Parallelen zur X- Achse der z-Ebene entsprechen Ellipsen der w- Ebene, die wegen Cos²?/ — Sin²?/= 1 konfokal sind. (Die Brennpunkte liegen in den Punkten и — — 1 und и — +1 der и - Achse.)

Den Parallelen zur Y- Achse der z-Ebene entsprechen Hyperbeln der w- Ebene, die wegen sin²æ -f cos²sc = 1 konfokal sind. (Die Brennpunkte liegen gleichfalls in den Punkten и = — 1 und и = +1 der u- Achse.)

Infolge der Konformität der Abbildung schneidet jede Ellipse der einen Schar jede Hyperbel der andern Schar rechtwinklig. Es kann dies auch unabhängig davon aus der Theorie der Kegelschnitte gefolgert werden.

4. Die Funktion w = Logz.

Infolge der Mehrdeutigkeit der Funktion Logarithmus können wir uns auf den Hauptwert beschränken. Die Betrachtungen von § 56, 3 lehren uns dann:

Durch den Hauptwert von Logz wird die ganze z- Ebene (außer z = 0, § 56, 2) auf den Streifen der w- Ebene konform abgebildet, der zwischen den Geraden v = 0 und v = 2 л liegt.

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Sammlung so (göfcfyen

Seber 93ani> eieg. geb.

Scr?,cicl)nt!5 der bis jctjf erfcfyienetten Bände.

Ubmäffer. 2Baffer unb 2lbwäffer*

3l)re gufcmtmenfetpmg, Beurteilung u.

Unterfudjung oon ‘Profejjor Dr. ©mil i5afelt)off, Q3orftet)er b. lanbro. Berfud}5= ftation in Marburg in Äeften. Br. 473.

Slcberbau» u. qßflansenbaiiietyre Dr. gjaul Biopert in ©ffen unb ©rnff ßaitgenbech, ©rofj-ßicblerfelöe. Br.232.

Bgrarwcfcn unb Bgrarpoltith oon «Prof. Dr. <20. B3pgob3inshi in Bonn.

2 ВапЬфеп. 1: Boben unb Unternehmung. Br. 592.

--II : Kapital u. Brbeit in ber ßanb-

toirffd)aft. Bermertung ber lanbmirt-fdjaftl. Brobuhte. Organifat. b. lanb-* ifdjaftl. Berufsftanbes. Br. 593.

Slgrtltuüurcl) ernte I: ф|1апзепегпа^я rung oon Dr. Karl ©rauer. Br. 329.

2lgrUtunurd)etnifc!)e ^ontrollroefen,

©as, о. Dr. Paul Krifdje in ßeopolbs-hall-Stafefurf. Br. 304.

—    Hnferfud)ungsnte!I)oben oon Prof.

Dr. ©mil Kafelbojf, Borftet)er ber lanb-roirtfdjafll. BerfuĄsftation in Bîarburg in ßefjen. Br. 470.

«fcufUft. SOeorel.'P^fih I : Sßed)a= itift und Slftujfih. Bon Dr. ©uftao Säger, Prof. an ber Üedmifdjen 55od)= jd)ule in BSien. ВШ 19 Bbbilb. Br. 76.

—    Sßufiftalifdje, oon Brofeffor Karl ß. Schäfer in Berlin.

35 Bbbilb. Br. 21.

ШдеЬга» Slnfhntelth unb ШдеЬга

oon Dr. K. Säubert, profeffor an ber ©elehrtenfcbule bes Sofyanneums in Kambürg. Br. 47.

—    Beifpiclfantmlung 3. Britljmetth u. Sllgebra 0. Dr. ßermann 6d)ubert,

*33rof. a. b. ©elehrtenfdjule bes 3of)an= ncums in Kamburg. Br. 48.

oon

mtr

Dr.

2Ugebraifd)e ßuroen o. ©ugen Beutel, Dberreallehrer in Bail)ingen=©n3. I: Kuroenfcishuffion. Bîit 57 giguren im Sejt. Br. 435.

--II: Sfyeorie unb Kuroen britter

unb oierfer Orbnung. Blit 52 giguren im ©ejt. Br. 436.

Шреп, ©te, oon Dr. Bob. Sieger, pro-feffor an ber Unioerfität ©газ. ВШ 19 Bbbilbungen unb 1 Karte. Br. 129.

ЗШ^ос!)Ьеи!|фс Giteraîur

matin, Überfettung unb ©rläuterungen oon Z\). Schauffler, profeffor am Bealgpmnafium in Ulm. Br. 28.

SlftiefiantenU» Bcltgtonsgef dachte oon D. Dr. Bla£ ßöf)r, ^rofeffor an ber Unioerfität Königsberg. Br. 292.

ШпрЫЫеп. ©as ©terme!) Ill : îRcp* Iflteit unb Sltnpÿfbien o. Dr. gran3 Profeffor an ber Unioerfität

mit ©ram-

BJerner,

B3ien. Bîit 48 Bbbilbungen. Br. 383. Slnalpfe, ©ecfyn.sCnjcnt., non Dr. ©. ßuttge, «prof. a. b. ©ibgen. Bolptechn. Sd)ule in 3ôrid). Bîit 16 Bbb. Br. 195. 2lnalt)fis, höhere, I: ©tffereniiab red)nung. Bon Dr. grbr. Sunher, Behtor bes Bealgpmnafiums unb ber Dberrealfdjule in ©öppingen.

68 giguren. Br. 87.

--tRepetifortum unb Bufga»

benfammlung зиг ©ifferentialred)-nung oon Dr. grbr. 3unher, Behtor b. Bealgpmnafium5 u. ber Dberrealfdjule in ©öppingen. Bîit 46 gig. Br. 146.

--II : Gttfegralrecfynung. Bon Dr.

griebr. 3unher, Behtor bes Beal-gpmnafium5 unb ber Oberrealfd)ule in ©öppingen. Bîit 89 giguren. Br. 88.

Bîit

mie b.

ßobolb

ßiel.

unb Prioatbo3ent ber ber 2ed)nifd)en ßoeft-

Analpfis, Höhere. Sepetiiorium und Aufgabenfatnntlung sur Onfegralrechnung oon* Dr. griebr. Sunher, Aefttor bes Aealgpmnafiums unb ber Oberrealfdjule in ©öppingen. QAit 50 giguren. Ar. 147.

—    Qliebere, non ‘prof. Dr. Penebiht брогег in ©langen. QAit 5 gig. Ar. 53.

Arbeiterfrage, Sic gewerbliche, oon QBerner 6ombart, prof. a. b. ßanbels-l)od)fd)uIe Perlin. Ar.209.

Arbeiteroerficherungf fiel>c : So3ial-oerfidjerung.

Archäologie oon Dr. griebrid) ßoepp, profeffor an ber Unioerfifât QAünfter i. QB. 3Pänbd)en. QA. 28 Abbllbungen im Ząt unb 40 ïafeln. Ar. 538/40.

Arithmetik u* Algebra oon Dr. ßerm. Schubert, prof, an ber ©elehrfenfchule be5 Goftanneums in ßamburg. Ar 47.

--Seifpietfantmlung зиг Arith*

tnetift und Algebra oon Dr. ßerm. Schubert, Profeffor a. b. ©elehrfenfchule be5 Softanneums in ßamburg. Ar. 48.

Armeepferb, Sas, unb bie Perforgung ber mobernen ßeere mit Pferben oon gelij oon ©amnift, ©eneral ber ßa-oallerie 3. ©. unb ebemal. preufe. Aemonteinfpehteur. Ar. 514.

Arntenmefen unb Arntenfürforge. ©inführung in bie fo3iale ßilfsarbeit 0. Dr. Abolf QBeber, profeffor an ber ßanbelsbocbfcbule in ßöln. Ar. 346.

Afthetift, Allgemeine, oon prof. Dr. QAaj ©1ез, ßebrer an ber ßgl. Aftabe-bilb. ßiinffe in 6tuttg. Ar. 300.

Aftronomie. ©röfje, Peroegung u. ©nt-femung ber ßimmelshörper oon QI. g. Qïïôbiu5, neu bearbeitet oon Dr. ßerm. ), Profeffor an ber Unioerfität I : ©as ptanefenfpftem. QAit 33 Abbilbungen. Ar. 11.

—    — II i ßomefen, QAeteore u. bas Sternikiem. QAit 15 giguren unb 2 Sternkarten. Ar. 529.

Aftronomifche Oeographie oon Dr.

Siegmunb ©öntber, profeffor an ber Secbnifcben ßochfcbule in ОАйпфеп. QAit 52 Qlbbitbungen. Ar. 92.

Aftrophpfilu ©iePefchaffenheitberßim-mefshörper o. Prof. A3. g. ASislicenus. Aeu bearbeitet Don Dr. ß. ßubenborff in potsbam. QAit 15 Abbilb. Ar. 91.

Athcrifd)e öle unb Aiecbffoffe oon Dr. g. Aoeftuffen in QAiltitj. QAit 9 Abbilbungen. Ar. 446.

Auffaftentmürfe oon Oberftubienrat Dr. Ö. A3. Straub, Aehtor bes ©berharb-Cubroig5-©pmnaf.i.6tuttgart. Ar. 17.

Ausgteichungsrechnung nach ber SHelhobe ber ftleinften Quadrate oon QBilb. QBeifbrecbt, Profeffor ber ©eobäfie in Stuttgart. QAit 15 giguren unb 2 ©afeln. Ar. 302.

Auf3ereuropäifche ©rdleile, Gänber* ftunde ber, oon Dr. gran3 Söeiöerid), Profeffor an ber ©rportahabemie in QBien. QAit 11 $e£tlmrtd)en unb Profilen. Ar. 63.

Auflralien. Ganbesftunbe u. SMrt* fchaflsgeographie bes Seftlanbes Auflralien oon Dr. ßurt ßaffert, Profeffor ber ©eograpbie an ber ßan« bels-ßocbfcftule in ßöln. QAit 8 Abb., 6 graph. Tabellen и. 1 ßarfe. Q?r.319.

Autogenes Schweig* unb Schneid* »erfahren oon Ingenieur ßans Aiefe in ßiel. QAit 30 giguren. Qir. 499.

Sade* u.Schmintmanfialten, öffent= liehe, 0. Dr. ßarl A3olff, Stabt-Ober-baur., ßannooer. QA.50gig. Ar. 380.

Saben. ‘Bablfchc (ßcfcftichte oon Dr. ßarl Prunner, Prof, am ©pmnafiutn in Pfor3heim ©efcßid)fe an fchule in ßarlsrufte. Ar. 230.

— Ganbesftunbe oon Saben oon Prof. Dr. О. ßienift i. ßarlsrube. QAit Profil., Abbilb. unb 1 ßarfe. Ar. 199.

Sahnhöfe. Hochbauten ber Sahn* höfe oon ©ifenbahnbauinfpehtor ©. êdjœab, Aorftanb b. ßgl. G.-ßocftbau-fehtion Stuttgart II. 1: ©mpfangsge-bäube. Aebengebäube. ©öterfeftuppen. ßohomotiofehuppen. QAit 91 Abbtl-bungen. Ar. 515.

Salftanftaaten. ©efchtchic b. chrift* liehen Salftanftaaten (Pulgarien, Serbien, Aumänien, QAontenegro, ©riechenlanb) oon Dr. ß. Aoth in ßempten. Qfr. 331.

Sanftwefen. Technik bes Sanft* mefens oon Dr. QBalter ©onrab, ftelloert. Porffefter ber ftatift. Abteilung ber Aeid)5banh in Perlin. Ar. 484.

Sauführung, ßu^gefaftfes ßanbbuch über bas A3efen ber Pauführung oon Architekt ©mit Peutinger, Affiffent an ber ©ecftnifchen ßocftfcftule in ©arm-ftabt. QA. 25 gig. u. 11 Sabell. Ar.399.

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bobenhunbe oon Dr. *p. Bageler tn Königsberg i. *pr. Шг. 455. brafiiien* Qanbeshunbe ber be-publih brafilien oon Bel Bobol-pl;o oon Gering. ШШ 12 ШЬЬИ-bungen unb einer Karle. Шг. 373. brauereiœefen I : 2Raiąerei oon Dr. <paul ©reoerljoff, ©irehtor ber Brauer* u. ШШзег|фи1е 311 ©rimma: ШШ 16 ШЬЬИЬипдеп. Шг. 303. brififch = Slorbameriha. Qanbes= hunoe oonbriiifch=2torbamerifta oon <prof. Dr. Ш. Oppel in Bremen. ШШ 13 ШЬbilb. и. 1 Karte, Шг. 284. bucfyführung in einfachen unb bop= peilen hoffen oon ‘prof. Bob. Stern, Dberl. ber Offentl. Kanbelslebranft. u. ©03. b. Kanbelsbod)fd)ule 3. 2eip3ig. ШШ oielen gormularen. Шг. 115. bubbfya oon ‘profeffor Dr. ©bmunb Karbi). Шг. 174.

burgenfcunbe, Bbrife ber, oon Kof. rat Dr. Otto <piper in ШШпфеп. ШШ 30 ШЬЬИЬипдеп. Шг. 119. bürgerliches ©efefjbuch fie^e : Веф1 bes B©B.

bt)3aniinifd)es beid). ©efchid)ie bes bi)3Gniinifchen beichi

Dr. К. Bott) in Kempten. Ш <Sl)emie, Slllgemeine unb phpïiHa* Iifctye, oon Dr. 2Kaj Bubolpbi, *pro-fefjor an ber ©ефт|феп Kod)fd)ule in ©armftabt. ШШ 22 giguren. Шг. 71.

—    3inalt)tifcl)e, oon Dr. Gotyannes Koppe in ЗЯйпфеп. I: Si)eorie unb ©ang ber Шпа1р|е. Шг. 247.

--II : Beahtion ber Bîetalloibe unb

Qltetaüe. Шг. 248;

—    3(norganifche, oon Dr. Gof. Klein in Blannljeim. Шг. 37.

--Bletalle (ШпогдапЦфе ©hemie

2. Seil) oon Dr. Oskar Sdjmibt, bipl. Gngenieur, Qlffiftent a. b. Königl. Bau-gemerhfd)ule in 6tuttgart. Шг. 212.

---Blctaltoibe (Шпогдап^фе ©hemie

1. Seil) oon Dr. Oskar 6фтШ, bipl. Gngenieur, Slffiftenf a. b. Königl. Sau-деюегк|фи1е in Stuttgart. Шг. 211.

—    ©efchid)le ber, oon Dr. ßugo Bauer, SIffiftent am фетЦфеп ßabo-ratorium ber Königlichen ©ефт|феп Коф|фи1е Stuttgart, i: Bon ben älteften 3eiten bis зиг Berbrennungs-théorie oon Caooifier. Шг. 264.

--II : Bon Caooifier bis зиг ©egen-

œart. Шг. 265.

DOlt

Cbcmie b. HoMenffoffoerbindungen

о. Dr. fiugo Sauer, Śffiftent am фет. ßaboraforiunt ber figl. Sedm. йоф-|фи1с Stuttgart. I. II: ЗШрЬаЩфе Serbinbungen. 2 Seile. Юг. 191. 192.

--Ill: йагЬосгфЩфе Serbinbungen.

Юг. 193.

--IV: йе1егоспШНфе Serbinbungen.

Юг. 194.

—    Organifctye, Don Dr. 3of. filein in Stonnbetm. Юг. 38.

—    ОДагтазеиЩс1)е, oon prioafbo3ent Dr. E. QRannbeim in Sonn. 3 Sänb-феп. Юг. 543/44 u. 588.

—    IMwftoIogifcfye, ООП Dr. med. Ш. ßegabn in Serlin. I : Sffimilafion. ШШ 2 Safeln. Юг. 240.

--II : ©iffimilafion. ffll. 1 Saf. Юг.241.

—    So£iftoIogifclje, oon Prioatbo3ent Dr. E. SRannbeim iu Sonn. ЮШ 6 Sbbilbungen. Юг. 465.

(St)cmi[ft)c Qnduffrie, 2Inorganifd)e, oon Dr. ©uft. Sauter i. Ebarloftenburg. I: ©ie ßeblancfobainbuftrie unb il)re ЮеЬепзте1де. ШШ 12 ©af. Юг. 205.

--II: Salinenmefen, fialifal^e, ©ün=

gerinbuftrie unb Senoanbfes. ШШ 6 ©afeln. Юг. 206.

—    — III: Шпогдат|фе фегт}фе Präparate. ЮШ 6 ©afeln. Юг. 207.

S^emifc^e Secfynologie, Allgemeine, oon Dr. ©uff. Sauter in (T^arloffen-burg. Юг. 113.

Eheutifcf) » £ecf)nifd)c Analpfe oon

Dr. ©. ßunge, Profeffor an ber Eib-деп(Щфеп ро1^ефпЦфеп бфи!е in Зйпф. Slit 16 Sbbilb. Юг. 195. (SfiriffttctyenQttcrafuren desOrienfs, Sie, Don Dr. Anton Saumftarh.

I : Einleitung. — ©as фгЦШф-агата-^фе u. b. hoptifd)e 6d)rifttum. Юг. 527.

--II : ©as фпЩ.-агаЬ. u. bas афтр.

6фг1[йит. — ©as фп|Ц. ètyrififum b. Armenier unb ©eorgier. Юг. 528. Sampffteffet, Sie. fiurjgefafetes ßebr-Ьиф mit Seifpielen für bas Selbft-[tubium unb ben ргаЩфеп ©еЬгаиф non Oberingenieur ^пеЬпф Sartb in ЮйтЬегд. I : fieffelfpfteme unb Neuerungen. Slit 43 giguren. Юг. 9.

—    — II : Sau unb Setrieb ber ©ampf-heffel. ЮШ 57 giguren. Юг. 521.

Santpftnafchinen, Sie. fiurçgefajjfes АеЬгЬиф mil Seifpiclcn für bas Selbfl-ftubium unb beit prahtifd)en ©еЬгаиф oon griebricf) Sartb, Oberingenieur in ЮйгпЬегд. 2 Sbdjn. I: AJärme-fbeoretifdje unb Ьатр[1ефпЦфе ©runb-Ingen. ЮШ 64 giguren. Юг. 8.

--II : Sau unb Sefrieb ber ©ampf-

та[фтеп. ШШ 109 gtg. Юг. 572.

Sampfiurbinen, Sic, фге AMrhungs-roeife unb fionftruhtion oon Ingenieur fierm. SBilba, Prof. a. ftaatl. ©ефт-hum i. Sremen. ШШ 104 ЮЬЬ. Юг. 274.

Sesinfefttion oon Dr. 5R. Ebriftian, Stabsarçt a. ©. in Serlin. ЮШ 18 ЮЬ-bilbungen. Юг. 546.

Sefcrmmanfeitü.p. S. Я^фег, Oberl.a. b. ОЬеггеаЦф. 3. ©roh-ßid)terf. Юг.402.

Seuffd)c Altertümer oon Dr grait3 gubfe, ©irehtor b. ffäbf. Alufeums in Sraunfфmeig. ЮШ70ШЬЬ. Юг. 124

Seuffcf)e gorfbildungsfcbulwefen, Sas, паф feiner де!ф1фШфеп Enfroich-lung u. in feiner gegenroärf. ©eftalto.fi. Sierchs, Seoifor gemerbl. gortbtlbungs-|фи!еп in 6ф1е5Ш1д. Юг. 392.

Seuifd)es grcmbwörterbacl) oon Dr. Subolf fileinpaul in ßeip3ig. Юг. 273.

Seutfclje ©efcl)id)fc non Dr. g. fiurçe, Prof. a. figi. ßuifengpmnaf. i. Serlin. I: Ałitielalfer (bis 1519). Юг. 33.

---II : 3etfaller der IReformefion

und der Sleligionsftrtege (1500 bis 1648). Юг. 34.

- Ill: «от 2ßefffälifd)en glichen bis лиг Auflofung des alten 3teid)s (1648—1806). Юг. 35.

— — fiebe аиф: Quellenhunbe.

Seuifcbe (Srommaltft unb hum ©e-1ф1ф1е ber beutfфen бргафе oon 6фи1г. Prof. Dr. О. ßtjon in ©геэЬеп. Юг. 20.

Seuifche Handelsfcorrcfponden3 Profeffor ©b- be Seauj, Officier be I’Gnftrucfion Publique. Юг. 182.

Senifcfycs Handelsrecht non Dr. fiarl ßebmanit, Prof, an ber Unioerfität ©öttingen. 2 Sbe. Юг. 457 и. 458.

Seulfctye Helbenfage, Sie, oon Dr. Otto ßuitpolb 3iric3eh, profeffor an ber Xlnioerfifäf ЮЗйгзЬигд. Юг. 32.

Seutfches Holonialred)! non Dr. fi. Ebler oon fioffmann, Profeffor an ber figl. Ahabemie pofen. Юг. 318.

--I

oon

an ber

©CUtfcljC

bcs 19,

Scutfdje Kolonien. I: Sogo und Kamerun oon Arof. Dr. ft. ©ooe. Alit 16Saf.u. 1 litbogr.ftarte. Ar.441.

—    II : Sas ©udfeegedief und SHau* tfcQou oon Arof. Dr. ft. ©ooe. Alit 16©afeln u. 1 litbogr. ftarte. Ar. 520.

—    III: Oftafriha oon Arof. Dr. ft. ©ooe. Alit 16 ©afeln unb 1 litbogr. ftarte. Ar. 567.

Seuffcfye &ulfurgefd)ichfe oon Dr.

Aeinb. ©iintber. Ar. 56.

Seuffdjes Geben im 12. u. 13. Galjr® Runder!. Aealhommenfar 31t ben Aolhs- и. ftunftepen и. лит Alinnefang. Aon Arof. Dr. Sul. ©ieffenbacber in greiburg i. A. I : Öffentliches ßeben. Alit 3ablreicben Abbilbungen. Ar. 93.

Is Arioatleben. giîtf заЬ1ге1феп Abbilbungen. Ar. 328.

Seuffcfyc ßiferafur des 13. Gab?® bunderis. Sie Epigonen des döfifd)en Epos. Ausmabl a. beut* fd)en Sichtungen bes 13. 3abrbunberfs oon Dr. Aihtor 3unh, Ahtuarius ber ftai[erlid)en Ahabemie ber A3iffen-(cbaften in Alien. Ar. 289.

Seutfcfye ßiteraiurdenhmäler des 14. u. 15. Gabrbundetis. Ausgemäblt unb erläutert oon Dr. ftermann Sanken, ©irehtor ber ftönigin ßuife-6фи1е in ftönigsberg i. Ar. Ar. 181.

--16. Gal)?l)underis. I: Al art in

Gutter und Shorn. Ahirner. Ausgemäblt unb mit Einleitungen unb Anmerkungen oerfeben oon Arof. ©. Aerlit, Oberlehrer am Aiholaigpm-nafium зи ßeipaig. Ar. 7.

-    — II : 55ans öad)0. Ausgemäbltu. erläutert o. Arof. Dr. 3. 6abr. Ar. 24.

--III: <8on Aranl dis tRollen®

hagen : Arant, S5uUcn, Gifcbart, fomie Sicrepo5 und Gabel. Ausgemäblt unb erläutert oon Arofeffoi Dr. 3ulius Sabr. Ar. 36.

—    des 17. und 18. Gafyrfyunderts dis jUopffocft. I: ßprih oon Dr. Aaul ßegbanb in Aerlin. Ar. 364.

--H: Arofa oon Dr. ftans ßegbanb

in ftaffel. Ar. 365.

Seutfcfye Qiferafurgefcl)ic^ie Dr. Alaj Йоф, Arofeffor c Unioerfität Areslau. Ar. 31.

--der jUaffiheraei! oon Earl A3eit-

Ьгеф1, burфgefeben unb ergäbt oon ftarl Aerger. Ar. 161.

ßtferafurgefd)icfyle des Gafyrfyunderts oon (Sari S3eitbred)t, neu bearbeite! non Dr. Atö). АЗеИЬгеф! in A3impfen. 1. II. Ar. 134. 135.

Seuffctye Alplbologie. ©ermanifcfye Anthologie non Dr. Eugen Alogli, Arof. a. b. Unioerf. Ceipjig. Ar. 15. uifcden ‘Aerfonennamen, Sie, o.

Dr. Aub. ftleinpaul i. ßeip3ig. Ar. 422. utfctye AocitU non Dr. ft. Aorinshi, Arofeffor an ber llnioerfitât ШШпфеп. Ar. 40.

Seuffctye 2lebelel)rc non ftans ^robft, ©pmnafialprof. in Samberg. Ar. 61. Seuffd)e ©d)ule, Sie, im Auslände

non ßans Amrbein, Seminar-Oberlehrer in Abepbt. Ar. 259.

Seulf cfyes ©еегесф! о. Dr.Otto Aranbis, Oberlanbesgeri^töraf in ßamburg. I. Allgemeine fielen: ^3erfonen unb бафеп bes 6eered)t5. Ar. 386.

--II. Sie ein3elnen {еегефШфеп

6d)ulboerbälfni|fe: Verträge bes See-red)t5 unb aufteroerlraglicbe ftaftung. Ar. 387.

Seuffclje ©fammeshunde o. Dr. Au-

bolf А1иф, a. o. Arof. an ber Unioerf. Alien. Alit 2 fiart. u. 2 Saf. Ar. 126. Seulfctyes Hnierricfyfsmefen. ©e® fcf>icl>fe des deuffcfyen Hitler® ricl)tsmefens o. ‘prof. Dr. griebrid) Seiler, ©irebtor bes ftgl. ©pmnafittnts 3U ßuchait. I : Aon Anfang an bis зит Enbe bes 18. 3abrbunberts. Ar. 275.

--II: Aom Aeginn b. 19. 3abrbunb.

bis auf bie ©egenmart. Ar. 276. Seuffchc Urheberrecht, Sas, an lite-rarifd)en, hünftlerifcben unb gemerb-Ифеп Schöpfungen, mit befonberer Ae-ritchfid)figimg ber internationalen ©ertrage oon Dr. ©uffao Aauter, *patent-i anmalt in ©barlotfenburg. Ar. 263. Seuffd)e 'Holftslied, Sas, ausgemäblt unb erläutert oon Arofeffor Dr. 3ul. Sabr. 2 Aänbd)en. Ar. 25 u. 132. Seulfcfye 2Bel)roerfaffuttg oon ftarl Enbres, ©ebeimer ftriegsrat unb oor-trag. Aal im ftriegsminifterium in ШШпфеп. Ar. 401.

Seulfctyes 2öörterdud) o. Dr. Aicbarb ßoeme. Ar. 64.

Seuifcdc Gctfungsmefen, Sas, oon

Dr. Aobert Arunbuber in ftöln a. Ab. Ar. 400.

Di

Eifenhüttenkunde II: Das бфппеЬ-eifen. Slit 25 gig. u. 5 Daf Sr. 153.

Eifenkonfiruktionen im £»ochbau oon Ingenieur Karl бфтМег tn Sietfeen. Slit 115 giguren. Sr. 322.

ШэзеИаИег, Das, o. Or. Emil OBerth in 03erlin-0Bilmersborf. Siit 17 Sb-bilbungen unb 1 Karte. Sr. 431.

Elafti3itätslehre für Ongenieure 1 : Grundlagen und 2lllgcmeines über Gpannungs3uftande, 3he linder, ©bene Platten, Dorfion, Gekrümmte Dräger. Son prof. Dr.-Sng. Siaj Enfelin an ber Königl. Saugetoerhfcfeule Stuttgart unb Prioat-boäent an ber 2ed)tt. Kod^ule Stuttgart. Siit 60 Sbbitb. Sr. 519.

Elektrifchen Sltefiinflrumente, Die, oon 3. Kerrmann, Profeffor an ber SeĄntjcfeen ßocfefcfeute in Stuttgart.

oon

172.

III:

Dcutfches ЗЬИргозе^геф! oon profeffor Dr. OBilbelm 5\ifd) in Strafeburg i. E. 3 23önbe. Sr. 428—430. cbtungen aus mittelhochdeutfcher $rüh3eit. 3n Sustoafel mit Einlfg. u. OBörterb. herausgegeb. o. Dr. Kerm. 3anfeen, Direktor ber Königin ßuife-бфи1е in Königsberg i. Pr. Sr. 137.

Dietrichepen. 5utönm und Dietrich* epen. Siit Einleitung unb S3örterbucfe oon Dr. О. ß. Siricjeh, Profeffor an ber Unioerfität OBürjburg. Sr. 10.

Differentialrechnung oon Dr. grbr. 3unher, Sehtor bes Sealgpmnafiums unb ber Dberrealfdjule in ©öppingen. Siit 68 giguren. Sr. 87.

— tKepetitorium u. Slufgabenfamm-lung зиг Differentialrechnung oon Dr. grbr. 3unher, Sehtor bes Sealgpmnafiums u. b. Oberrealfcfeule in ©öppingen. Siit 46 gig. Sr. 146.

Drogenkunde oon Skfe. Dorftemtf} in ßeipäig unb ©eorg Ottersbad) tn Kantburg. Sr. 413.

Druckœaffer* und Drucklufts21n= lagen. Pumpen, Druduoaffer- unb Druckluft-Snlagen oon Dipl.-Sngen. Subolf Sogbt, Segierungsbaum. a. D. in Sachen. Siit 87 gig. Sr. 290.

Eddalieder mit ©rammatih, Uber-fetjung unb Erläuterungen oon Dr. SMlfeelm Sanifcfe, ©pmnafial- Oberlehrer in Osnabrück. Sr. 171.

Eifenbahnbau. Die Entmicklung des modernen Eifenbafynbaues oon Dipl.-3ng. Slfreb Sirh, o. ö. Prof, a. b. h. h. Seutfd). îedjn. Kohfcfeule in Prag. Siit 27 Sbbilb. Sr. 553.

Eifenbahnfahr^euge oon K. Kinnen-tfeal, Segierungsbaumeifter u. Ober-Ingenieur in Kannooer. I : Die ßoho-motioen. Siit 89 Sbbilbungen im Dejt unb 2 Dafeln. Sr. 107.

--II : Die Eijenbafenmagen u. Srem-

fen. Siit Snfeang: Die Eifenbatm-faferxeuge im Setrieb. Siit 56 Sbb. im Dejt unb 3 Dafein. Sr. 108.

EifenbahnpoÜtik. Gefehlte der deutfcfyen EifenbahnpoÜtik oon Setriebsinfpehtor Dr. Ebtoin Кеф in Karlsruhe i. 03. Sr. 533.

Eifenbetonbau, Der,o. Seg.-Saumeift. Karl Söfele. Siit 75 Sbbilb. Sr. 349.

Eifenhüttenkunde oon S. Kraufe, bipl. Kütteningenieur. I: Das Sofeeifeit. Siit 17 giguren u. 4 Dafein. Sr. 152.

Siit 195 giguren. Sr. 477.

Elehtrifcbe Delegrapljie, Die, Dr.ßub.Sellftab. Si. 19 gig. Sr.

Elefttri3ität. ZffeoveU Phbfib Elehtrijität u. SHagnetismus oon Dr. ©uft. Säger, Prof. а. Ь^ефп.Коф-fd)ule in SMen. Siit 33 Sbb. Sr. 78.

Elektrochemie oon Dr. Keinr. Danneel in ©enf. I : Dfeeoref^e Elehtn^emie unb ifere р^ЛШаЩф-фетИфеп ©runb-lagen. Siit 16 giguren. Sr. 252.

--II: Experimentelle ЕШгофепйе,

Siefentethoben, ßeitfähigheit, ßöfungen. Siit 26 giguren. Sr. 251.

Elektromagnet, ßidjlfbeorie. Щгъ-refifche Pfenftk IV : Elektro magnetifefee öichltheorie u. Elek» tronik oon Prof eff or Dr. ©uft. 3äger in OBien. Siit 21 giguren. Sr. 374.

Elektrometallurgie oon Dr. griebr. Segelsberger, Kaiferl. Segierungsrat in Steglife-Perlin. Si. 16 gig. Sr. 110.

Elektrotechnik. Einführung in die ©iarkftromtechnik о. S. Kerrmann, Prof. b. Е1еЬ1го1ефтЬ an ber Kgl. Хефп. Коф[фи1е Stuttgart. I: Die phpfikalifefeen ©runblagen. Slit 95 gig. u. 16 Daf. Sr. 196.

--II: Die ©1еВДгот1ефпШ. Siit

118 giguren unb 16 Dafeln. Sr. 197.

-    - III: Die 2Веф?еЦ1гот1ефпШ. Siit 126 giguren unb 16 Dafeln. Sr. 198.

—    Die Staterialien des Stafchinen» bcues und der Elektrotechnik o. Sngenieur profeffor Kermann SÜlba in Bremen. Siit 3 Sbbilb. Sr. 476.

ООП

©rnahrung unb^Ulahrungsmiüel o.

Berlin?*®«* 4^ШЬЬйЬипдеп?³Шг⁰464П

gamilienrechi. Becfei bes <Biirger* licken ©efe^buefees. Viertes 2$uch : gamilienrechi oon Dr. £ein-rieh 2ifee, «profeffor an ber Unioerfität ©öitingen. Шг. 305.

neu

oon Dr. ßub-ШШ 47 gi-

©IfafcQofhringen, ßanbesftunbe u.,

‘Prof. Dr. B. ßangenbech in Gfrafe-burg i.G. Bl. 11 ШЬЬ.и. l&arfe. Шг. 215. ©nglifch * b eu if che s ©cfpräcfysbucf) eon «profeffor Dr. ©. ßauslmecht in ßaufanne. Шг. 424.

(ЗпдЩфе ©efchtcfeie oon «prof. ß. ©er-ber, Oberlehrer in ©üjjelborf. Шг.375. ©nglifche Äanbelsfcorrefponbenj o. ©. ©. ^ßfeitfieib, M. A., Oberlehrer an fting ©bmarb VII ©ratnmar Gchool in fiing’s ßpnn. Шг. 237.

©nglifche ßiferaiurgefchichic oon Dr. fiarl ßBeifer in BMen. Шг. 69.

--©гип&зйдс unb 65auptti)pcn

bcr englifchen ßtierafurgefchichlc oon Dr. Brnolb Bl. Bl. Gcbröer, ‘prof, an ber Äanbetehochfcbule in Köln. 2 Seile. Шг. 286, 287. Gniœicftlungsgefchichie ber Siere oon Dr. Johannes Bleifenheimer, <pro-feffor ber 3oologie an ber Unioerfität Зепа. Г: gurefeung, фНшШо-anlagen, ßaroen, gormbilbung, ©m-brçonalhüUen. ШШ 48 gig. Шг. 378.

--II: Organbilbung. 2Ш1 46 gig.

Шг. 379.

Epigonen, Sie, bes höfifchen ©pos.

Busmafel aus beutfcben Sichtungen bes 13. Sahrhunberis oonDr. Bihfor 3unh, Bhtuarius ber ftaiferlidjen Blmbemie ber Bliffenfcbaften in B3ien. Шг. 289. ©rbmagneiisntus, ©rbftrom, polar* licl)i oon Dr. Щ. Bippolbf, Blif-glieb bes königlich ‘Pieufeifdjen Ble-iereologtjcben 3nftitufs in Botsbam. Blit 17 Bbbilb. unb 5Safeln. Шг. 175. ©rbieile, ßänberftunbe ber aufter* europäifefeen, oon Dr. gran3 55eibe-rieh, 'Profeffor an ber ©jportahabemie in BHen. ШШ 11 Sejthärtcben unb ^Profilen. Шг. 63.

©ihih oon Profeffor Dr. Shomas Bcfee-lis in Bremen. Шг. 90.

(Europa, Qänberftunbe non, oon Dr. gran3 Äeiberich, ‘profeffor an ber ©îportahabemie in ШМеп. Blit 14 Sejt-härtchen unb ©iagrammen unb einer ftarte ber Blpeneinteilung. Шг. 62.

©ghurfionsflora oon Seutfchlanb

диш Beftimmen ber häufigeren in ©eutfefelanb milbmachfenben ‘РАапзеп oon Dr. B3. Bligula, ^rofeffor an ber gorffahabemte ©ifenaefe. 2 Seile. ШШ ie 50 Bbbilbung. Шг. 268 и. 269. <S£plofit>ffoffe. (Einführung in bie ©hemie ber ejplofioen Vorgänge oon Dr. £>. Brunsmig in Gfeglife. Blit 6 Bb-bilbungen unb 12 Sab. Шг. 333.

gärberei. Seriibgnbufirie III : 38a* fefeerei, ^Bleicherei, gärberei unb ihre £5ilfsfioffe oon Dr. Bîilheltn Blaffot, profeffor an ber ‘preufeifefeen höheren gachfdjule für Sejtilinbuftrie in firefelb. Blit 28 giguren. Шг. 186. geibgefchüfb ©as moberne, oon DberftleutnanfBJ.Äepbenreicb, Blilitär-lehrer an b. Blilitärtedjn. Blmbemie in Berlin. I : ©ie ©ntmichlung bes gelb« gefcfeüfees feit ©inführung bes дезоде 3nfanferiegemehrs bis einfcfel. ber ©r-finbung bes raucht, ‘puloers, etma 1850 bis 1890. Ш1. 1 ШЬЬ. Шг. 306.

--II: ©ie ©ntmichlung bes heutigen

gelbgefcfeüfees auf ©runb ber ©rfinbung bes raucfelofen ‘puloers, etma 1890 bis 3ur ©egenmart. Blit11 ШЬЬ. Шг. 307. gernfprechœefen, Sas, mig Bellftab in Berlin, guren unb 1 Safel. Шг. 155. gefiigfteiislehre oon B3. ßauber, ©ip-lom-3ngenieur. Blit 56 gig. Шг. 288. — Slufgabenfommiung зиг gefiig» hcifslehrc mit ßöfungcn oon B. 55aren, ©iplom-3ngenieur in Blann-heim. Blit 42 giguren. Шг. 491.

geile, Sie, unb öle fomie bie Geifen-u. ßer3enfabrihaf. u. b. Йапе, ßaehe, girniffe nt. ihren midjtigft. »ilfsftoffen oon Dr. Äarl Braun in Berlin. I : ©inführ. in bie ©hemie, Befpred). einiger ба1зе и. b. gelte unb öle. Шг. 335.

--II: ©ie Geifenfabrilmtion, bie

Geifenanalpfe unb bie £er3enfabri-hation. Blit 25 Bbbilb. Шг. 336. --Ill : багзе, ßachc, girniffe. Шг.337.

gifcf)3ucf)t oon Dr.

^Profeffor an ber gorft»

mer5borf. 9ШП 10 giguren. Шг. 581. gufjorfillerie, Sic, ihre Organifation, Seioaffnung unb ШиэЬНЬипд oon Splett, Oberleutnant im ßehrbafaitlon ber gubartПIerie=Sфiebfфule u. 23ier-tnann, Oberleutnant «in ber Шег[иф5-batterie ber ШШЦепе » ‘Prüfungsltom» miffion. röit 35 giguren. Шг. 560.

geuermaffen. ©efcf)icJ)fe ber ge* farnfen geuerwaffen bis 1850.

©ie fintroichlung ber geuerroaffen oon i^rem erften Stuftreten bis зиг fiin» führung ber дезодепеп ßintertaber, unter befonberer ЗЗегйЛЬфНдипд ber ßeeresbetoaffnung o. йаирЬпапп a. ©. ШЗ. ©оЬШе, 6feglH) = 23erlin. ШШ 105 ШЬЬПЬипдеп. Шг. 530. gil3f abrihaf ion. Sc£Ü(=gnbuftrie II: SBebevei, SBirfterei, 3$ofo* menfiererei, 0pi$en* unb ©ar* binenfobrihation unb gil3fabri* fcaiion oon ‘profeffor <Ша£ ©ürtler, ©eh. Siegierungsr. im figi. ßanbesge» roerbeamt3.23erlin. 9U.29gig. Шг.185. ginon3fi)fîeme b. ©rofcmochie, Sic, (3nternationales Staats» и. ©emeinbe» gtnan3roefen) oon О. бфгоагз, ©eh-Oberftnan3raf in 93erlin. 3twei 23anb-феп. Шг. 450 unb 451. ginan3toiffcnfchafi oon ‘Präfibenf Dr. Ш. oatt ber Q3orght in Serliti. 1: ШИ» gemeiner Seit. Шг. 148.

— — II: Sefonberer Seil (Steuerlehre). Шг. 391.

ginnifd) * ugrifdje eprodjmiffen* fehofi oon Dr. Sofef S3inni)ei, ‘prof, an ber Unioerfität Subapeff. Шг. 463. ginnlanb* Scnbeshunbe bcs fiuro* pâifcïjcn fHufclanbs ncbfi ginn= lanbs oon <profeffor Dr. Ш. ‘Philipp-fon in Йа11е а. б. Шг. 359. girniffe. 55огзе, Garbe, girniffe ооп Dr. ftarl ЗЗгаип in 23erlin. (gette unb Öle III.) Шг. 337. gifcfye. Sos Tierreich IV:

oon ‘profeffor Dr. QKaj Шаифег in ШеареК ШШ37ШЬЬНЬ. Шг. 356. gifefyerei unb Йаг1 fichftein, atmbemie fibersmalbe, ШЫеНипдэ» birigenf bei ber ßauptftation bes forft» Ифеп Шег[иф5гое[еп5. Шг. 159. gioro. (Ste&urfionsffora non Seuffd)* Ionb 3um Seftimmen ber häufigeren in ©еи*{ф1апЬ rDilbtDaфfenben ‘ЭЭДапзеп oon Dr. ШЗ. OTiguIa, ‘prof. an ber gorftatmbemie fiifenad). 2 Seite. ШШ je 50 ШЬЬПЬипдеп. Шг. 268, 269. ghtftbou oon îlegierungsbaumeifter Otto Stappolb in Stuttgart. fffîifj oieten ШЬЬПЬипдеп. Шг. 597.

go ren ш Cf) с 3ßft)rf)iairic non «Profeffor Dr.ïïS.QBepganbt, ©irehtor ber Зггеп» anftalt griebr^sberg in Hamburg. 3toei ОЗапЬфеп. Шг. 410 unb 411. gorfimiffenfefyaff ооп Dr. ШЬ. бфгоар» раф, <Prof. a. b. gorftahabemie fibers» roalbe, &bfeilungsbirig. bet b. Äaupf« [laiton b. forftl. 93ег|иф5ше[. Шг. 106. gorfbilbungsfcbultocfen, Sos bcul= fd)e, паф feiner де[фгф!1. fintœichlung unb in [einer gegemoört. ©eftalt ооп й. Sierdts, Qfaotfor geroerbt, gorfbilbungs» [фи1еп in Scblestotg. Шг. 392. granhen. ©efei)icf)fe granhens oon Dr. fihrift. ЗШерег, Ägl. preub. Staats» агфшаг а. ©. in Зййпфеп. Шг. 434. gronhrcicfy. gron3dfifchc ©efd)icl)ie oon Dr. Ш. Sternfelb, ‘profeffor an b. Unioerfität 23erlin. Шг. 85. granfcrcidj* Qanbesfc. o. gronftrcicl) o. Dr. ЗПфагЬ Шеи[е, ©irehf. b. Ober-Шеа1[фи1е in брапЬаи. 1. ЗЗапЬфеп. ШШ 23 Шbbilb. im Seft unb 16 2anb» [фа[15ЬИЬегп auf 16 Safefn. Шг. 466.

¹

w i = Log

--2. $3änbd)en. ШШ 15 ШЬЬН b. im

Sejt, 18 2anbfd)aftsbilbern auf 16 Sa-feln unb einer йфодг. ftarfe. Шг. 467. granäöfifcfy * beuif ctycs ©efpräcfjs= bud) oon fi. grancitlon, ßehtor für franäöf. бргафе an ber Unioerfität Serlin. Шг. 596.

gron3öfifc^c55onbeIsftorrcfponbcn3

ьГг!nffrucf[otr^ubli^fe°Uf Шг. 18з!

grembmorf, Sos, im Seutfctyen ооп

Dr. ШиЬ. ftleinpaul in 2eip3tg. Шг. 55. grembœorferbuci), Seuffctyes, oon Dj-.ШиЬ. SUeinpaulin2eip3ig. Шг.273. guge. firläuterung unb Шп1еНипд зиг ftompofition berfelben o. ‘prof. Stephan Йг-ehl in 2eip3ig. Шг. 418. gunftfioncnihcoric, fiinlciiung in bic, (Sheorie ber homplejen ßahlen-reihen) oon 5Kaj 2Iofe, Oberlehrer an ber ©оефе[фи1е in ©еи1[ф«ШШ»

Gardinenfabrihaüon. ftrie II: SBebere

uloers it 33

JtegtUindu* i, 2Birfterei, ^ofamenfiercrei, ©pifeen= unb Gardineufabrihatfon uni) SÜ3* fabrihation o.^rofeffor 5Kaj ©ürtler, ©et). Segierungsraf im ftönigl. ßanbes-geroerbeamt311 Serlin. ШШ29 giguren.

Gas= uni) 2BafferinftaIlationen mit Einfcfeluft der Slbortanlageit oon

Srofefeor Or. phił. unb ©r.-Gngen. ©buarb 6фтШ in ©armftabf. ШШ 119 ülbbilbungen. Шг. 412.

Gasfcraftmafcfeinen, Sie, oon Gng. Sllfreb ЯВДйе in Äiel. «ШИ 55 giguren. Шг. 316.

Gaftfeäufer und £5otels oon ШгфИеШ Qliaf SBöhler in ©üjfelborf. I: ©ie Seftanbfeile unb bie (Einrichtung bes ©aftfeaufes. ШШ 70 giguren. Шг 525.

--II: ©ie oer|d)icbenen Srfen oon

©aftfeüufern. ШШ 82 gig. Шг. 526.

Gebirgsartillerie. Sie Entœicftlung der Gebirgsartillerie non SUufe-mann, Oberft unb Äommanbeur ber 1. gelbartiUerie-Srigabe in ftöni^s-berg i. ^r. ШШ 78 Silbern unb Überfichtstafeln. Шг. 531.

Gcnoffenfcfeaftsmefcn, Sas, in Seutfcfelanb non Dr. Otto ßinbeche in ©üffelborf. Шг. 384.

Geodäfie» <Sermeffungshunbe oon

©iptom-Gng. S- SBerhmeifter, Oberlehrer an ber fiaifert. Secfenifcfe. 6фи1е in Strafeburg i. ©. I: gelbmeffen unb ШшеШегеп. ШШ 146 91bbilb. II: ©er 2t)eobolit. Srigonometrifd)e unb baro-metrifche ßöfeenmeffung. Sachpmetrie. ШШ 109 Slbbilbungen. Шг. 468 u. 469.

Geologie in hurmem Slusjug für Schulen unb зиг Selbftbeleferung sufammen-geftellt oon ‘profeffor Dr. ©berfe. graas in Stuttgart. ШШ 16 Slbbilbungen unb 4 2afeln mit 51 giguren. Шг. 13.

Geometrie, 2lnalplifcfee, der Ebene

oon 'profeffor Dr. 9Й. Simon in Strafeburg. ШШ 57 giguren. Шг. 65.

--2lufgabenfammlung зиг 5lna=

tptifefeen Geometrie der Ebene

oon О. 2h. Sürhlen, Srofeffor am ftönigl. Sealgpmnafium in Scfemäb.-©münb. ШШ 32 giguren. Шг. 256.

Geometrie, Slnalptifcfee, d. Raumes

o. Srof. Dr. 92i. Simon in Strafeburg. ШШ 28 Slbbilbungen. Шг. 89.

--2lufgabenfammlung зиг 2lna=

Iptifcfeen Geometrie des Raumes oon O. 2h« Sürhlen, ^Jrofeffor am fiönigl. Sealgpmnafium in Sd)toäb.« ©münb. ШШ 8 giguren. Шг. 309.

—    Sarflellenbe, 0. Dr. Sober! ftaufener, Srofeffor an ber Unioerfität Gena. I. ШШ 110 giguren. Шг. 142.

--II. ШШ 40 giguren. Шг. 143.

—    (Ebene, oon ©. iQtafeler, Srofeffor am ©pmnafium in Ulm. ШШ 111 ■poeifarbigen giguren. Шг. 41.

—    'profehtioe, in fpntfeet. Sefeanb-lung oon Dr. Skrl ©oefetemann, «pro-feffor an ber Unioerfität ШШпфеп. ШШ 91 giguren. Шг- 72.

Geomefrifcfee Optifc, Einfiiferung tn die, oon Dr. ШЗ. ßinrichs in ШШ-mersborf-Serlin. Шг. 532.

Geometrif efees äeiefenen oon ß.Sedier, ШгфИеШ unb ßeferer an ber Sau» детегЬ|фи1е in Qllagbeburg, neubearbeitet oon Srofeffor G. Sonberlinn in 9Hünfter. ШШ 290 giguren unb 23 2afeln im 2ejt. Шг. 58.

Germanifcfee SRptfeologie oon Dr. ©. iffîogh, $rof. a. b. Unio. ßeip3ig. Шг.15.

Germanifcfee ©praefemiffenfefeaft oon Dr. Si*, ßoeroe. Шг. 238.

Gefangshunft« Secfenift der beut* fefeen Gcfangshunft oon Oshar Шоё unb Dr. Äans Goaфim 9Iîofer. Шг. 576.

Gefcfeicfetsœiffenfcfeaft, Einleitung i. die, oon Dr. ©rnft Sernfeeim, Srof. an ber Unioerf. ©reifsroalb. Шг. 270.

Gefcfeiifte, Sie modernen, der gufc« artillerie oon SZlummenfeoff, 9Uafot unb ßeferer an ber $иЬагШ1еНе-©ф№|з-|фи1е in Güterbog. I : Шот 91uftreten b. gezogenen ©ef*üfee bis jur ШегюепЬипд bes rauфfфюaфen Suloers 1850—1890. ШШ 50 2e£fbilbern. Шг. 334.

--II : ©ie ©nttoicblung ber heutigen

©е{фй1;е ber gufeartiUerie feit Einführung bes гаисЭДфгоафеп фг 1890 bis jur ©egemoart. 9Л 2e£tbilbern. Шг. 362.

Gefefebucfe, Surgerticfees, fiefee : Шеф! bes ОЗйгдегИфеп ©е|е^Ьифе5.

chefter. ЯШ 81 giguren. Яг. 257. ©teffctyerhunbe oon Dr. grit) Slathaceh in Stien. ЯШ 5 Sbbilbungen im

ram-

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©efun51)eitslel)re. ©er menfdjlidje Körper, fein Sau und f eineSätig* heilen oon C. Sebntann, OberfdjuU rat in fiarlsruhe. ЯШ ©efunbheits* lehre oon Dr. med. й. Seiler. ЯШ 47 Sbbilbungen u. 1 ©afel. Яг. 18. ©eœerbcfypgi'ene non Dr. C. Soth in 'potsbam. Яг. 350.

©etoerbetoefen oon Sterner ©ombarf, Profeffor an ber йапЬе151)оф{фи1е Berlin. I. II. Яг. 203. 204. ©emerblkfye Srbciterfragc, ©ie, oon Sterner ©ombarf, profeffor an ber 55anbel5l)od)id)uIe Serlin. Яг. 209. ©emerblidje Saufen, önbuffrtelle unô gerocrbUcfyc Sauten (Speicher, ßagerhäufer unb gabrihen) oon Ягфи fehl ßeinrid) ©a^mann in ©üffelborf. 1: Sllgemeines über Einlage unb fion-ftruhfion ber inbuflriellen unb getoerb-Iidjen Sauten. Яг. 511.

---II: Speicher unb ßagerhäufer.

ffllil 123 giguren. Яг. 512. ©etoicfyistoefen. Staf3=, 2Шжз= und ©eseicfytstoefen oon Dr. Яид. Slinb, •prof. a. b. Äanbelsfd). i. fiöln. Яг. 283. ©iefeereitnafdjinen oon ©ipl.-3ng. ©mil Treiber in Äeibenheim a. S. ШШ 51 giguren. Яг. 548.

©Ias= unb heramifdfe Qnimffrie (Onbuftrie 5er ©ilihaf e, 5er Sau» fteine und 5es hünftlidhen Stör* tels I) oon Dr. ©uftao Sauter in Charlottenburg. ЯШ 12 ©af. Яг. 233. ©Ieichffrotnmafd)ine, ©ie, oon 3n-genieur Dr. (£. йтзЬгиппег in Sîan-

©ejt unb 11 ©afeln. Яг. 154.

©of if d>e ©prad)5enhmäler mit © matih, Überfetjung unb ©rläutergn. o. Dr. йегт. Sanken, ©irehtor b. Königin ßuife=6d)ule i. Königsberg i.pr. Яг.79. ©offfrieb oon ©frafcburg. 55art* mann oon Sue. SSolfram oon <Sfd)enbad) und ©offfrieb Strasburg. Susœaf)! aus bent höfifd). ©posmitSnmerh.u.S3örterbuch o. Dr. fi. Sîarolb, 'prof, am figi. griebrichs-hotlegium зи fiönigsberg i. Pr. Яг. 22. ©rapl)ifd)en fünfte, ©ie, oon Carl fiampmann, h. h. ßehrer an ber h. h. ©raphifchen ßehr- unb Serfuchsanftalt in S3ien. Sût заЬ1ге{феп ЯЬЬИ-bungen unb Seitagen. Яг. 75.

©ried)ifd)e Sttcrfumshuitbe oon

Profeffor Dr. Sid). 92îaifd), neu bear= beitet oon Sehtor Dr. gran3 Pohl* hammer. Stil 9 Sotlbilbern. Яг. 16. ©ried>ifche ©efdjtdjteoon Dr. Heinrich ©œoboba, Profeffor an ber beutjdjen Unioerfität Prag. Яг. 49. ©ried)ifd)e Öiieraturgefdjichte mit Seriichfichtigung b. ©efchidjfe b. Stiffen-fünften oon Dr. Slfreb ©erche, Prof, an ber Unioerf. Sreslau. 2 Sänb-d)en. Яг. 70 unb 557.

©riecfyifcfyen 0prad)e, ©efcfyicfyfe 5., I: Sis зит Śusgange ber hlaffifdjen 3eit oon Dr. Otto fioffmann, Prof. a. b. Unioerfität Sîünfter. Яг. 111. ©ried>ifd)e и. römifcfye Styffyologie o. prof. Dr.fierm. ©feubing, Sehtor b. ©pmnafiums in ©chneeberg. Яг. 27. ©rundbucfyrccfyf, ©as formelle, oon Oberlanbesgerichfsr. Dr. g.firet^mar in ©resben. Яг. 549. 55an5e(spotitth, Suswärfige,

Dr. йетг. ©ieoehing, Profeffo ber Unioerfität Зйпф. Яг. 245. £>an5elsrecf)t, ©eutfcfyes, oon Dr. fiarl ßehmann, Profeffor an ber Unioerfität ©öttingen. I: (Einleitung, ©er Kaufmann unb feine ßilfsperfonen. Offene ßanbetegefellfchaft. fiomman-bit- unb fülle ©efeüfcbaft. Яг 457.

--II: Shüengefetlfd). ©efetlfd). m. b.

Й. Sing. ©en. £>anbelsgefd). Яг. 458. $5andelsfd)uttoefeii, ©as deuffcfye, oon ©irehtor ©h<?oborSlum in©effau. Яг. 558.

âSanbetsftanb, ©er, oon Sed)t5anrcalt Dr. iur. Sruno Springer in ßeip3i9-(Kaufmann. SeĄtsh. Sb. 2.) Яг. 545. 55an5elsmefen, ©as, oon ©eh- Oberregierungsrat Dr. Stilt). ßeris, Pro-feffor an ber Unioerfität ©ötfingen.

I : ©as Äanbeteperfonal unb ber Starenhanbel. Яг. 296.

— — II : ©ie ©ffehtenbörfe unb bie innere Äanbelspolitih. Яг. 297.

£>andfeuenoaffen, ©ie ©ntmichlung 5er, feit ber Я1Ше bes 19. 3ahr= hunberts unb фг heutiger ©tanb ©. S3f3obeh, Kauptmann unb fiom-pagnieфef im 3nfanterie-Segim. grei-herr йШег oon ©ârtringen (4. 'pofem (фез) Яг. 59 in ©olbau. ïïîit 21 ЯЬ-bilbungen. Яг. 366.

©on

unb Öle III ) Ar. 337. £>aupttiteraturen, ©ie, d. Orienls

d. Dr Al. Kaberlanbt, ^rioatboß. a. b. Unioerf. Aßien. I. II. Ar. 162. 163. 55сЬезеиде, ©te, ihre Konftruhtion u. Berechnung oon Gng. ‘prof. Kermann A3ilba, Bremen. Al. 399 Abb. Ar. 414.

$5eeresorganifation, ©te Cśntwich= lung der, feit Einführung ber ftehen-den Keere oon Otto Aeufdjler, Kaupt-mann u. Batteriechef in Ülm. 1 : ©e-fdjichtl. Entroidclung bis зит Ausgange b. 19. ßahrl). Ar. 552.

£5ei3ung u- Qüfiung o. Gng. Gohannes Körting in ©üffelborf. I : ©as Aßefen unb die Berechnung ber Ke^ungs- unb ßüftung5anlagen. Alit34gig. Ar 342.

--II : ©ie Ausführung ber Kei3ungs-

unb ßiiftung5anlage. Alit 191 giguren. Ar. 343.

SSeffen» Sandeshunde des ©rofe» her.jogtums Neffen, der Я^гоотз 55effen=2taffau und des gürftens turns QBaldech oon ‘prof. Dr. ©eorg ©reim in ©armftabt. Alit 13 Ab-

oon

Sîarmomeleïjrc oon A. Kaim. Alit Dielen Aotenbeifpielen. Ar. 120.

Hartmann ©on 2lue, ‘TBolfram ©on (Sfctyendach und (Gottfried (Sttafiburg. Ausœahl aus bem höfL f<hen Epos mit Annterhungen unb Aßörterbud) oon Dr. K. Aîarolb, ‘pro-feffor am Königlichen griebrichshol-legium 31t Königsberg i. 'pr. Ar. 22.

55агзе, Sache, girniffe Don Dr. Karl Braun in Berlin. (©ie gelte

bilbungen unb 1 Karte. Ar. 376. S5ol3,©as. Aufbau, Eigenfchaften u. Ber-menbttng o. Gngen. ‘prof. Kermann Aßilba in Bremen. Al. 33 Abb. Ar. 459. SSotets* (Safthäufer und $5otets oon Architeht A1ü£ Aßöhler in ©üffelborf. I : ©ie Beftanbteile u. b. Einrichtung b. ©afthaufes. Alit 70 giguren. Ar. 525.

--II : ©ie oerfd)iebenen Arten 0. ©aft-

häufern. Alit 82 giguren. Ar. 526. £>!)brau!ih oon A3. Äauber, ©ipl.-Gng.

in Stuttgart. Alit 44 gig. Ar. 397. 55pgiene des @tädtebaus, ©ie, oon ‘profeffor Й. Ehr. Auftbaum in Äan-nooer. Alit 30 Abbildungen. Ar. 348. — des SBotynungstoefens oon *pro-feffor K. Ehr. Aufebaum in fiannooer. Alit 5 Abbildungen. Ar. 363.

Ob er if che fialdinfel» Sandeshunde ber Oberifchen SSalbtnfcl oon Dr.

gritj Aegel.^rof. a. b. Unio. АЗйгзЬигд. Alit 8 Kärtchen u. 8 ШЬЬ. im Sert unb 1 Karte in garbenbruch. Ar. 235. Ondifd)e Steligionsgefchicht e d. ‘prof.

Dr. Edmund Karbp. Ar. 83. Ondogerntan» Sprachwiffenfchaft d. Dr. A. Geringer, ‘profeffor an ber ilnioerf. ©газ. Qîîit 1 Safel. Ar. 59. Onduflrielle u. gemerblicbe kaufen (Speicher, ßagert)äufer unb gabi\»en) non Architeht Keinrid) Saljmann in ©üffelborf. I: Allgemeines über An-läge unb Konffruhtion ber inbuftriellen unb gemerblicbeit Sauten. Ar. 511.

--II: Speicher unb ßagerhäufer.

Alit 123 giguren. Ar. 512. 3nfehtionshranhl)eiien, ©ie, und i^re Verhütung oon Stabsarßt Dr. Aß. fioffmann in Berlin. Alit 12 Dom Berfaffer ge3eid)neten Abbildung, unb einer giebertafel. Ar. 327. gitfehien. ©as Tierreich V: 0«* fehfcn non Dr. 3. ©roh in Aeapel (Sta3ione 3oologica). Alit 56 Abbildungen. Ar. 594. Onflrumentenletjre d. Alufihbir. gran3 Alaperhoff LEhemnit}. I : Sejt. Ar.437.

--11 : Aofenbeifpiele. Ar. 438.

Ontegratrectynung non Dr. griebr. Gunher, Aehtor des Aealgpmnafiums unb ber Oberrealfdjule in ©öppingen. Alit 89 giguren. Ar. 88.

— IRcpetitorium und Aufgaben» fatnntlung зиг Ontegralredhnung

oon Dr. griebrid) Gunher, Aehtor des Aealgpmnafiums u. b. Oberrealfd)ule in ©öppingen. Alit 52 gig. Ar. 147. Ofrael. ©efchictyte Ofraels dis auf die griecfyifche geil oon Lie. Dr. G. Bedinget-. Ar. 231. OtaIienifd)e &andeIshorrefponden3 oon ‘Profeffor Alberto de Beaur, Oberlehrer am Königl. Gnftitut S. 6. Annun3iata in glorenß. Ar. 219. Otaltenifche Siteraturgefdjicbte oon Dr. Karl Boftler, ‘profeffor an ber Unioerfität Aliinchen. Ar. 125. &aIhuIation, ©ie, im 2Rafd)inendau Gngenieur K. Bethmann, ©озеШ am Sedjnihum Altenburg. Alit 63 Abbildungen. Ar. 486.

r. fi. ©ooe. ©if

Slntnpnfitinnsfof)re. ©ираЩфе gor-menlehre oon Stephan firehl. I. II. ©it oiel. Bofenbeifpiel. Яг. 149. 150.

oon ber felb-

Staliemafctyinen. Sic tf)ennobi)na= mifcfyen ©runblagen ber ©Bär* tneftraff* unb Stälietnafcfyinen

oon ©. Bötfinger, ©iplom-Sngenieur in ©annheim. ©it 73 gig. Яг. 2. Slam er un. Sie beutfefyen Sinfonien I : Sogo unb Slanterun non Çrof. Dr. fiarl ©one. ©it 16 ©afeln unb einer НфодгарЬНФеп fiarte. Яг. 441. Slanal* unb Scfyleufenbau non Be-gierung5baumeifter Olio Bappolb in Stuttgart, ©it 78 ШЬЫ1Ь. Яг. 585. Slant, Outuianuel. (®efcbid)te b. фЬНо-fophie Baitb 5) non Dr. Bruno Файф, 'Çrof. a. b. Unio. Зепа. Яг. 536.

Slartett unb £ruft d. Dr. 6. Sfdjierfdjhti in ©üffelborf. Яг. 522.

Slartenftunbe oon Dr. ©. ©roll, fiartograph in Berlin. 2 ВапЬфеп.

I    : ©ie Brojehtionen. ©if 53 gi-guren. Яг. 30.

--II : ©er fiarfeninhalf unb bas

©effen auf Warfen, ©it 36 gi-guren. Яг. 599.

Slaufmännifcfye&echtsfutnbe* Is ©es

©edjfelruefen oon Веф{5атоа11 Dr. Bubolf ©офез in ßeipjug. Яг. 103. — II : ©er ßanbelsftanb о. Beçhfsamo.Dr. jur. Sruno Springer, ßeip3ig. Яг. 545.

Slaufntännifcfyes Вефпеп oon ^rof. В1фагЬ Suff, Oberlehrer a. b. Öffenfl. ßanbelslehranffalf b. ©resbener fiauf-шапп[ф. J. II. III. Яг. 139. 140. 187.

Sleramifcfye Gnbuftrie, Sie On= buftrie ber ©itihafe, ber hünft* liefen Sauffeine unb besîffîôrtels

oon Dr. ©uftao lauter. I : ©las= u. heram. Gnbuftrie. ©. 12©af. Яг. 233.

&er3enfabrifcaiion. Sie Seifen* fabrihation, bie ©eifenanafofe unb bie Sler^enfabrihation oon

Dr. fiarl Braun in Berlin, (©ie gelte u. Öle II.) ©it 25 ШЬЬПЬ. Яг. 336.

Sliauffcfyou. Sie beutfd)* Sinfonien.

II    : Sas Sübfeegebiet unb Sliau* ffcI)ou oon 'Prof. D 16 ©af. и. 1 lityogr. S4arfe. Яг. 520.

Slinemaiift oon ©ipl.-3ng. ßans^olffer, Bffiftenf an ber figl. ©ефп. йоф)фи!е ©resben. ©if 76 ШЬЫ1Ь. Яг. 584.

SUtcfyenrecfyf oon Dr. ©. ©ehling, orb. ‘Prof. b. Веф1е in ©rlangen. Яг. 377.

Sllimahunbe I : ©{gemeine filima-Iet)re oon *profeffor Dr. ©. fiöppen, ©efeorologe ber ©eeroarfe Hamburg, ©if 7 ©af. unb 2 giguren. Яг. 114.

SloIonia(gefd)id)fe oon Dr. ©Мпф бфа{ег, Srofeffor ber ©е[ф1ф1е an ber Unioerfifaf Berlin. Яг. 156.

Sintnniatrecfyf, Seutfct)es, oon Dr. fi. ©bier oon fioffmann, ‘profeffor an ber figi. ШЬаЬепие фо|еп. Яг. 318.

Slnmeien. Stffronnmie. ©rbfee, Be-roegung unb ©nffernung ber ßimmels-hörper oon Ш. g. ©öbius, neu bearbeitet oon Dr. fierm. fiobolb, Srofeffor an ber Unioerfitäf fiiel. II : fiomefen, ©efeore unb bas ©ternfpftem. ©if 15 giguren u. 2 ©fernfmrfen. Яг. 529.

Slnnttnunale 2Birtfd)affspftege oon Dr. Stlfons Biefî, ©agiffratsaffeffor in Berlin. Яг. 534.

Slnntrapunhf» ©ießehre

ftänbigen ©timmfuhrung oon Stephan firehl in Ceipßig. Яг. 390.

Slnntrnllœefen, Sas agriftultur* chcntifchc, oon Dr. фаи! Йп|фе in ßeopolbshall-Sfajjfurt. Яг. 304.

Slnnrbinatenfofteme о. фаи! B. g^er, Oberlehrer an ber ОЬеггеа1|фи1е ju ©rofe-ß^ferfelbe. ©itSgig. Яг. 507.

Slörper, Ser menfd)lict)e, fein Sau unb feine Sätigfteiten oon ©. Bebmann, ОЬег[фи1га{ in fiarlsruhe. ©it ©efunbheifslehre oon Dr. med. ß. Seiler. ©if 47ШЬЬ. и. 1 ©af. Яг. 18.

Sinffenanfcfytag fiehe: Вегап[ф1адеп.

Siriegsfcbiffbau. Sie (gntmicftlung be5 Siriegsfcbiffbaues nom Ш* tertum bis зиг Веизей. I. ©eil: ©as ßeifalfer ber ВиЬег|фЩе u. ber ©egelfchiffe für bie firiegsführung зиг See oom Ш11ег1ит b. 1840. Bon ©färb бфюагз, ©eh. ©arinebaur. u. Schiff-bau-©irehfor. ©if32 9Ibb. Яг. 471.

Slriegsœefens, ©efebiebfe bes, oon

Dr. ©mil ©aniels in Berlin. Iî ©as anfitte firiegsroefen. Яг. 488.

an ber Uni*

once, ©e«

oon

геа

DD1I

дигеп. Шг. 343.

Gutber» SUortin, u. Shorn, mturner.

ШиэдетйЬИ unb mit (Einleitungen unb

Äriegsmefens, ©efchichte bes, non

Dr. ©mil ©aniels in Q3erlin. II: ©as mitielalf. ftriegstoefen. Шг. 498.

--Ill : ©as ftriegsmefen ber Шеизей.

©rffer Seil. Шг. 518.

--- IV : ©as Smegstoefen ber Шеизей.

ßmeifer Seil. Шг. 537.

--V : ©as ftriegstoefen ber Шеизеи.

©ritfer Seil. Шг. 568.

üriftaltographie oon Dr. 5B. Шпфпэ, «Profefjor an ber Unioerfität Strafe bürg. ШШ 190 «Hbbilb. Шг. 210.

&ubrun und ©iclrichepen. ШШ Sin» leitung unb ©Sörterbud) non Dr. О. ß. GiricAeh, «profeffor oerfitöt ШЗйгзЬигд. Шг. 10.

Stultur, Ф1с, ber (Renoiff

fitfung, gorfdjung, ©1ф{ипд non Dr. Robert g. Шгпо1Ь, <profeffor an ber Unioerfität <ffiien. Шг. 189.

Siulturgefchichte, ©eutfctje, non Dr. Reinl). ©йпфег. Шг. 56.

fturoenbishuffion. SUgebraifche tureen non (Eugen 23eufel, Oberreal* leerer in Шафтдеп«(Епз. I : йигоеп* bishuffion. Шс. 57 gig. i. Sejt. Шг. 435.

&ur3fchriff fie^>e : Stenographie.

Gocfce. 55огзе, Gâche, girniffe Dr. £arl Шгаип in Serlin. (©ie geile unb Öle III.) Шг. 337.

Gagerhäufer. gnbuftrielle unb ge= merbliche 'Bauten. (Speicher, ßager* häufer u. gabrihen) oon Шгфйей* йет* пф Sal3tnann, ©üffelborf. II; Speicher u. ßagerhäufer. 9îîitl23gig. Шг.512.

Oänber= unb 33ölhernamen oon Dr. SUibolf ftleinpaul in ßeip3ig. Шг. 478.

Ganbftrafcenbau oon SÄgl. Oberlehrer Ш. ßiebmann, 23efriebsbirehfor a. ©. in QKagbeburg. ШШ 44 gig. Шг. 598.

Ganbmirtfchafilichc Betriebslehre o. (E. ßangenbech in ©rofeßhhterfelbe. Шг. 227.

Ganbœirtfchaftlichen SIłafchinen, ©ie, oon Eiarl SBalther, ©iplom*Gn* genieur in Mannheim. 3 ЗЗапЬфеп. ШШ Dielen ßlbbilbgn. Шг. 407—409. Gateinifche ©rammatift. ©runbrifo ber latenten 6ргаф1еЬге oon *prof. Dr. ШЗ. Шо1[ф in ЗШадЬеЬигд. Шг. 82.

Gateinifche (Sprache. ©efehichte ber lateinifchen ©praclje oon Dr. griebrid) Stol3, *profeffor an ber Uni* oerfitöt Gnnsbruch. Шг. 492.

Gicht. Sheoretifche Infill II. Seil: Gicht unb Söärme. Шоп Dr. ©uft. Gager, ‘prof, an ber ©ефп^феп йоф* !фи!е in SBien. ШШ 47 ШЬЬ. Шг. 77.

Gogarühmen. ©ierftellige Safeln unb ©egentafeln für logarithmifctjes unb trigonometrifd)e5 Шефпеп in 3toei gar* ben 3iifammengeftellt oon Dr. Hermann 6фиЬег1, <prof. an ber ©е1е!)г1еп{фи1е Ьеэ Gohanneums in Hamburg. Шг. 81.

—    günffteilige, oon «Profeffor Slugüft ШЬ1ег, ©irehtor ber h. h. Staatsober*

Ифи1е in 2Bien. Шг. 423.

Gogih. TOjchoIogie unb Gogih зиг Einführung in bie <Phitof»Phte oon <profeffor Dr. SI). (Elfenhans. ШШ 13 giguren. Шг. 14.

Gohomoiioen. Eifenbahnfahr3euge oon Й. ßinnenthal. I: ©ie ßohomotioen. ШШ 89 ШЬЬ. im Se£t u. 2 Saf. Шг. 107.

Gofhringen. ©efchichteGothringens oon Dr. йегтапп ©епфбшеИег, ©eh. îlegierungsrat in Strasburg. Шг. 6.

—    Ganbeshunbe u, ElfaffeGothring. o.Brof. Dr. Ш. ßangenbech i. Strasburg i.& ШШИЯЬЬ.и. lftarte. Шг.215.

Götrof)rprobicvhunbc. Qualitative Slnolpfe mit S5ilfe bes Götrohrs

Dr. Qîtartin Йепд1ет in greiberg i. Sa. 3Rit 10 giguren. Шг. 483.

Gübech. Ganbeshunbe ber ©rofc hersogtümer mtechlenburg u. ber greien u. &anfeftabi Gübech oon Dr. Sebalb бфюагз, ©irehtor b. Шеа1-fфule 3um ©otn in ßübech. ШШ 17 ШЬЬНЬипдеп unb Warfen im Sejf unb 1 ИфодгарЬ^феп £arte. Шг. 487.

Guft= unb SReereäftromungen oon Dr. gi-апз 6фи1зе, ©irehtor ber Шао1да1тп5{фи1е 311 ßübech.

27 ШЬЬИЬипдеп и. Safeln. Шг. 551.

Güftung. £ei3ung unb Güftung oon Gngenieur Gohannes Körting in ©üffel* borf. I: ©as 2ßefen unb bie 23e« гефпипд ber fieiAungs* unb ßüftungs* anlagen. ШШ 34 giguren. Шг. 342.

--II: ©ie 2!usffihrung ber Йeiзung5-

unb ßüftungsanlagen. «mit 191 gi-

ШптегЬ.ипдеп oerfehen oon ^rof. ©. Q3erlit, Oberlehrer am Qliholaigçmna-fiunt 311 ßeip3ig. Шг. 7.

Matfyemaiifctye gormelfammluitg u.

Magnetismus« ©heorettfcfye pt)i)= fih III.Seil: (Slefclrijität u. Mag* netismus. Son Dr. ©uftao Säger, Profeffor an ber Sed)nifd)en £od)fd)ule Sßien. Mit 33 Sbbilbungen. Sr. 78.

Märerei. 2$rauereimefen I: Mal* jerei oon Dr. p. ©reoerboff, ©irehtor ber Öffentl. и. 1. Säd)f. Serfud)5ftat. für Srauerei u. Mälzerei, foro. b. ©rauer-unb Mälzerfcbule zu ©rimnia. Sr. 303.

Mafcfytnenbau, ©te ^ialhulafion im, o. Sng. Й. ©etbmann, ©03. a. Secbnih. SUenburg. Mit 63 Sbbilb. Sr. 486.

— ©ie Materialien bes Siafcl)inen= baucs unb ber fêlebirotec^nih oon Sngenieur Prof, ßermann S3ilba. Mit 3 Sbb. Sr. 476.

2Rafd)inenelemente, ©ie. Siurzge-fabtes ßebrbucb mit ©eifpielen für bas Selbftftubium unb ben prahtifeben ©e-braud) oon gr. ©artb, Oberingenieur in Sürnberg. Mit 86 giguren. Sr. 3.

Mafcfyinen3cicl}nen, prahtifcljes, Sng. Sid). 6d)iffner in Marm-brunn. 1: ©runbbegriffe, ©infadje Mafd)inenteilebi5 zu ben Kuppelungen. Mit 60 Safeln. Sr. 589.

--II : 2ager, Siemen- u. Seilfcbeiben,

3al)nräber, fioiben-Pumpe. Mit 51 Safeln. Sr. 590.

Maftanaltjfe oon Dr. Otto Söbm in Stuttgart. Mit 14 giguren. Sr. 221.

2Йай=, Ш1йпз= unb ©emidjtswefen Don Dr. Suguft ©linb, profeffor an ber ßanbet5fcbule in Köln. Sr. 283.

Sepetitorium ber Mathematik, entb. bie œt^tigften gormeln unb 2ebrfät}e ber Sritbmetifc, Slgebra, algebraifdjen Snalpfis, ebenen ©eomefrie, Stereometrie, ebenen unb fpbärifcben Srigo nometrie, matt), ©eograpbie, analpt, ©eomefrie ber ©bene u. b. Saumes, ber ©ifferenf.- u. Snfegralrecbn. oon 0.Sb-©ürhlen, Prof. am figi. Sealgpmn. in S<j).-@münö. Mit 18 gtguren. Sr. 51. 2ltaurer= unb Gtcinljauerarbeüen non 'prof. Dr. phil. unb ©r.-3ngen. ©buarb 6d)mitt in ©armffabf. 3 ©änb-d)en. Mit Dielen Sbbilb. Sr. 419—421. Mechanilt« Sfyeoret«pi)nfili I. Seil: SRccfjaitih unb Shuflih. Son Dr. ©uff. Säger, profeffor an ber Secb-nifcben Äocbfcbule in Mien. Mit 19 Sb= bilbungen. Sr. 76.

oon

Modjanifcfje Sedjnologie oon ©eb. £>ofrat profeffor S. ßiibiche in ©raun-fdjmeig. 2 ©änbdjen. Sr. 340, 341. Mecklenburg« Öanbesftunbe ber ©rofetjerjogtiuner Mecklenburg u« ber 5*eten и* Sanfeftab! Qü= bedi D. Dr.6ebalb6d)toar3, ©irehtorb. 94ealfd)ule zuni Фот in ßiibech. Mit 17 Sbbilbungen im Sejt, 16 Safeln unb 1 ftarte in 2itbograpbie. Sr. 487. Meereshutibe, 'Ptyqfifclje, oon Pro» feffor ür. ©erbarb ßcbotr, Sbtetlungs-Dorfteber bei ber ©eutfdien беета rfe in Hamburg. Mit 39 Sbbilbungen im Se£f unb 8 Safeln. Sr. 112. Meeresströmungen fiel)e: 2uft- unb SRateriatprüfungsmcfen« (Einführung îîîeeresftrômungen.

in b. mob. Scdinih b. Wriolprüfung SBenfAHcÿe Яогрег, ®cr, fein Sau non fi. SRcmmlcr, Siplom-Sngenieur, a"*¹ f«“e Saiiefceilen non ®. ЯеЬ-ftänb. »arbeite a. ^gt. {material- mann рЬег|фи1га| m fiarktulje. Я.П

№SAŁ*«« „ I»SS»Й-Ж

beiisoeriuebe. - fiilfsmitfet für geftig. ®etal pgrap^ie. «une, geraemfafehÿe fteitsoerjudje. ШШ 58 gig. îl" 311-    SarftelUmg ber Coijre non bon Sie-

ii cm i ft -с m ».    fallen unb i&ren Regierungen unter be-

-Г.Л* ®?taDprüfungu. Prüfung oon    fonberer ©erücfcfid)tigung ber Metall-

ßtlfsmatenalien bes Mafcbmenbaues.    mihrofhopie oon Prof, ©.ßepnu. Prof.

©aumatenalprufung. — Papier-    o. Sauer am figl. Materialprüfungs»

Prüfung. e^miermittetprüfung - amt (@r.=2id)terfelbe) ber ÄgI. Sedjn. ©miges über Metallographie. Mit    £od)fd)ule зи ©erlin. î : Sllgem. Seil.

31 Figuren, Sr. 312.    ЩШ 45 Sbbilbungen im Seff u. 5 2id)U

Mathematik, (Öefd)ic.')tc ber, oon    bilbern auf 3 Safeln. Sr. 432.

Dr. S. Sturm, Profeffor am Ober---II: Spezieller Seil. Mit 49 Sbb.

gpmnafium in Seitenftetfen. Sr. 226. imSejtu.372icbtb.auf 19Saf. Sr.433.

Qßeialle (Qlnorganif фе (Sternie 2.3:.)

con Dr. Osbar Scbmibt, bipl. Sngen., Ülffiftenl an ber Königlichen Bauge-

aus

QSüit

werbfcbule in Stuttgart. Шг. 212.

SRetalloibe (Qlnorganifclje 6bcmie 1. Seil) oon i)r. Osbar Scbmibt, btpl. 3ngenieur, Qlffiftent an ber Kgl. Bau-gewerbfdjule in Stuttgart. Шг. 211.

SRetallurgie oon Dr. Qluguft ©eitj, in Kriftiansfanb (Шогшедеп). I. 11. ШШ 21 giguren. Шг. 313, 314.

ÜUeteore. 2lflronomie. ©röjje, Bewegung unb (Entfernung ber Äimmels-börper oon Ql. g. QKöbius, neu bearbeitet oon Dr Kernt. Kobolb, ^rof. an ber Unioerfität Kiel. II : Kometen, Qïleteore unb bas Sternfpftem. ШШ 15 giguren u. 2 Sternbarten. Шг. 529.

SReteorologie oon Dr. OB. Srabert, Brofeffor an ber Unioerfität Snnsbrucb. ЗИН 49 Qlbbilb. u. 7 Safein. Шг. 54.

QRililärftrafreci)! oon Dr. Bîaj Ernft QUaper, Brofeffor an ber Unioerfität Strabburg i.E. 2 Bbe. Шг. 371, 372.

QHineralogie oon Dr. Ш. Brauns, фго-feffor an ber Unioerfität Bonn. ШШ 132 Qlbbilbungen. Шг. 29.

miinnefang unb (Sprucbbi^lung. SBaltper oon ber Bogelmeibe mil Slusmal)! aus QRinnefang unb 0prud)bicl)iung. ШШ QInmerbungen u. einem QBörterb. o. O. ©finiter, ^rof. an ber Oberrealfcbule unb an b. Secbn. Kocbfcbule in Stuttgart. Шг. 23.

ШШ1е11)офЬеи1|ф. Sichtungen mittclfyocfybeutfcfyer grübelt. Sn Qluswabi mit Einleitung unb QBörter-bud) berausgegeben oon Dr. Hermann Sanken, ©irebtor ber Königin 2uife-Scbule in Königsberg i. фг. Шг. 137.

9Rittoll)oci)beutfci)e ©rammatifc. Ser Słibelunge 2lot in Qlustoafyl unb mitteli)oc!)beutfcl)e©rammaiihm. burjem QBörterbud) o. Dr. ШЗ. ©oltber, Brot. a. b. Unioerfität Boftocb. Шг. 1.

SRorgenlanb. ©efcl)icl)te bes allen QHorgenlanbes oon Dr. gr. Kommel, Brofeffor an ber Unioerfität QUüncben. ШШ 9 Bilbern unb 1 Karte. Шг. 43.

*morpl)ologie unb Organograpbie ber (Pflogen oon Br°f- Dr- ®l. Qlorbbaufen in Kiel. ШШ 123 Qlb-bilbungen. Шг. 141.

QHörlel. Sie Snbujlrie ber Inin flit cl) en Baufleme unb bes SUör-leis D. Dr. ©. tauter in ©barlotten-burg. ШШ 12 STafeln. Шг. 234.

3mefen* SUafc*, ШШ«з= «♦ ©c-

œid)tsœefen d. Dr. Qlug.Blinb, Brof. a. b. Äanbelsfcbule in Köln. Шг. 283.

Жигпег, Syomas. SHarlin Quiver irnb Sljomas SRurner* Qlusge* wählt и. nt. Einleitungen u. Qlnmerh. oerfeben oon ^rof. ©. Beritt, Oberl. am Qlibolaigpmn. 31t 2eip3ig. Шг. 7.

SRufih, ©ef cl)ict)le ber allen iu milled allerlicfyen, non Dr. Ш. tffîôbler in Steinhaufen. 2 Bbd). Ш1. 3ablr. Qlbb. unb QIhtfibbeilagen. Шг. 121 unb 347.

S&ufihatifcbe Qihuftil; oon Bn>fef|or Dr. Karl 2. Schäfer in Berlin. 9Ш1 35 Qlbbilbungen. Шг. 21.

2Rufihalifcl)e Sormeitlcl)re (Siom-pofilionslel)re) oon Stepban Krebl. Ï. II. BUtoiel^ofenbeifp. Шг. 149,150.

ШЗДЫВДейЬ oon Dr. Karl ©runshp in Stuttgart. Шг. 344.

Q!htfihgefcl)icl)te bes 17. unb 18.3al)r-Imnberls oon Dr. К. ©runsbp in Stuttgart. Шг. 239.

2Hufihgefcl)icbte feil Beginn bes 19. Gßbrbunberls oon Dr. K. ©runsbp in Stuttgart, i. II Шг. 164. 165.

3Rufihlel)re, 2lllgemeine, oon Stepban Krebl in 2eipjig. Qlr. 220.

таЬе11)01зег, Sie, oon Dr. g. ШЗ.

Шедег, ^rofeffor an ber Königlichen gorftabaöemie 311 Sfaranbl. ШШ 85 Qlbbilb., 5 Sab. unb 3 Karten. Шг. 355.

Slabrungsmillel* Ernährung unb mafyrungsmiitel oon Oberftabsar3t Brofeffor K. Bifcboff in Berlin. ШШ 4 Qlbbilbungen. Шг. 464.

Slaulih, Кигзег Qlbrib bes tägli^ an Borb oon Kanbelsfcbiffen angewanbten Seils ber Scbiffabrtsbunbe. Bon Dr. gran3Sd)ul3e, ©irebtor b. ШаЫда1шп5-Sd)ule 3u 2äbecb. 9Й. 56 ШЬЬ. Шг.84.

3leugriecl)ifci)=beuf es ©cipräd)5=

bud) mit befonbe.-. Beriicbficbtigung ber Umgang5fprad)e oon Dr. Sobannes Kalitfunabis, ©03ent am Seminar für orient. Sprache in Berlin. Шг. 587.

Sr. 1.

DOK

r oon Slit 6

r 23au unb ihr ßeben г. ©. ©ennerf. Slit

Sleunąehntes Oahrhunbert. ©e= fct)icl)te bes 19. Oafjrhunberfs oon

Oshar Säger, о. fionorarprof. a.b. Unto. Sonn. l.Sbdjn.: 1800—1852. Sr. 216.

--2. Sänödjen: 1853 bis ©nbe bes

Saferhunberts. Sr. 217.

Seuteftamenflicfee

oon Lic. Dr. SL Sfaerh, ‘ßrof. a. ber Unto, in Sena. 1: ©er hiftorifcfee unb hulturgefd)id)tlid)e fiintergrunb bes Ur-cferiftentums. Slit 3 Marten. Sr. 325.

--11: Sie Seligion bes 3ubenfums

im 3eifaUer b. fiellenismus u. b. Sömer-herrfcfeaft. Slit 1 qUanfh^e. Sr. 326.

Slibetunge Slot, ©er, in Susroahl unb mittelhocfebeuffcbe ©rammatih mit hur-3em S3örterbud) oon Dr. SL ©olfher, q3rofeffor an ber Unio. Softoch.

91огд!?фе Qiîeraturgefchtd)te I : Sie telänbifcbe u. nonoegifcfee ßiteratur bes Slittelalters oon Dr. Siolfgang ©öliger, Prof. an ber Unioerf. Sojtoch. Sr. 254.

2łuf;pflan3en oon ^rofeffor Dr. 3. Sei)-rens, Sorft. b. ©rofel)ei*3ogl. lanbtoirl-fcbaftlicfeen Seriudjsanftalt Suguften» berg. Slit 53 giguren. Sr. 123.

öle. ©ie Seife unb öle fotoie bie Seifen-u. fier3enfabrihation u. b.fiarçe, ßadte, girniffe nt. ihren miefetigft. fiilfs-ffoffen oon Dr. fiarl23raun in Serlin. 1 : ©infiifer. in b. Chemie, Sefpred). einiger ба!зе unb ber gelte unb Öle. Sr. 335. öle und 2Uechffof?e, üifherifche, oon Dr. g. Socfeufjen in Stiltife. Slit 9 Sbbilbungen. Sr. 446.

Opfitu Einführung in die georne* trifte Optifc oon Dr. S3. fiinriefes in SUlmersborf-Serlin. Sr. 532.

Ortenfolifd)c Qitcraturen. ©ie QU terafuren bes Orients oon Dr. SI. fiaberlanbf, prioatbo3ent an ber Uni-oerfifät S3ien. 1: ©ie ßiteraturen Oftafiens unb 3nbiens. Sr. 162.

--II: ©ie ßiteraturen ber Werfer,

Semiten unb ©iirhen. Sr. 163.

— ©ie chriftlicfyen Qiferaiuren bes Orients oon Dr. Snfon Saumftarh. I : ©inleitung. — Фаз chriftlidj-aramä-ifcfee u. b. hoptifcfee Schrifttum. Sr. 527.

--II : ©as cbriftlicb-arabifcfee unb bas

ätbiopifefee Schrifttum. — ©as djrift-licpe Sdjrifttum ber Srmenier unb ©eorgier. Sr. 528.

Ortsnamen im ©eutfd)en, ©ie, ihre ©ntmiddung unb ihre fierhunft Dr. Subolf fileinpaul in ßeip3ig* ©ohlis. Sr. 573.

Offafrifca. (©ie beuffchen fiolonien III) oon Prof. Dr. fi. ©ooe. Slit 16 Safeln u. 1 lithogr. fiarte. Sr. 567. öfterreich* öfterreichifche ©e= fct)icî)fe non ‘prof. Dr. §гапз oon firones, neu bearb. oon Dr.fiarlUbIir3, Prof. a. b. Unio. ©газ. I : Son b. Urçeit b. 3. ©obefiönigs SlbrecfefsII. (1439). Slit 11 Stammtafeln. Sr. 104.

--II: Som Sobe fiönig SlbrecfetsII.

bis 3um S3eftf. grieben (1440—1648). Slit 3 Stammtafeln. Sr. 105.

—    Qanbeshunbe oon öfferreichsHn» garn oon Dr. Slfreb ©runb, Prof, an ber Unioerfität Prag. SlitlOSejt-illuftrationen unb 1 fiarte. Sr. 244.

Ooibius Słafo, ©ie îffîefamorphofen bes. Sn Su5toahl mit einer ©inleit, u. Snnterft. h^rausgegeb. oon Dr. 3ul. 3iehen in granhfurf a. SI. Sr. 442.

‘pabagogifc im ©runbrife non ^rofeffor Dr. S3. Sein, ©irehfor bes Pabagog. Seminars an ber Unio. Зепа. Sr. 12.

—    ©efctjicgte ber, oon Oberlehrer Dr. fi. S3eimer in S3iesbaben. Sr. 145.

33aläogeograpl)ie» ©eologifche ©e-fd)id)te ber Sleere unb gefflänbe Dr. gran3 fioffmat in S3ien. Î fiarten. Sr. 406.

^Palaohlimafologie oon Dr. S3ilh. S. ©dtarbf in S3eilburg (ßahn). Sr. 482.

qßaiäonfotogie oon Dr. Sub. fioernes, Profeffor an ber Unioerfität ©газ. Slit 87 Sbbilbungen. Sr. 95.

—    unb 2lbffammungstehre oon Dr. fiarl ©iener, profeffor an ber Unioerf. S3ien. Slit 9 Sbbilbungen. Sr. 460.

33aläffina. Qanbes» u. 33olhshunbe ÿalaftinaso. Lic. Dr. ©uftaofiölfcfeer i.fialle. Sl.8Sollbilb.u. 1 fi. Sr.345.

33arallelperfpeftitoe* Sechftoinhlige unb fdjieftoinhltge Sjonometrie oon Profeffor 3. Sonberlinn in Slünfter. Slit 121 giguren. Sr. 260.

<рег|опеппатеп, ©ie beuifcfyen, oon Dr. Sub. fileinpaul inßeip3ig. Sr. 422.

Petrographie oon Dr. S3. 23ruhns, Profeffor an ber Unioerfität Strafe-burg i. ©. Slit 15 Sbbilb. Sr. 173.

Pflanße, ©ie, ihr oon profeffor D 96 Sbbilbungen. Sr. 44.

Sicherbaus und

©i

23mno S3aud), oerfität Gena.

r an ber Uni-

^^pfih, ЭДеогеЩфе,

Säger, $rofeffor ber

oon

an ber

^^i)fihaltfd)=^emtfche SRecfyeuauf» gaben oon ^rofefjor Dr. Sl. Slbegg u. sj3rioatbo3enf Dr. О. баскиг, beibe an ber Unioerfität S3reslau. Sir. 445. 33fyi)fihalifcbe Slufgabenfamntlung oon ©. Shadier, ‘profejjor ber Sha-tbematik и. фЬр№ am ©pmnafium in Hint. Shit ben Slefultafen. Sir. 243. <pi)nfthaUfcbe gormclfammltmg oon ©. Shabler, S^rofeffor am ©pmnafium in Ulm. Shit 65 giguren. Sir. 136. sphnfihalifcfye ©leffungsmeffyoden o. Dr. SBill).33al)rbt, Dberl. a. b. Obcrreal-f£bulei.©r.-ßid)terf. Sh. 49 g. ^hnfiologifche lernte oon Dr. med. Sl. ßegabn in Śerlin. 1: Sljfimila-tion. Shit 2 ©afeln. Sir. 240.

--II : ©tjfimilation. SKitlSaf. Sir. 241.

<pf)nfifci)e ©eograpljie oon Dr.6iegm. ©üntber, S^rof. a. b. Stgl.2ed)n. ßod)fd). in Shündjen. Shit 32 Slbbilb. Sir. 26. 3tyt)fifcf)e ©leereshunde oon S^rof. Dr. ©erb. 6d)ott, Slbfeilungsoorftel)er bei ber 2)euffcß. 6eemarte in ßamburg. Shit 39 Slbbilb. im ©ejf unb 8 ©af. Sir. 112.

•pflanaenbauleljre.

^flmtjenbauleljre oon Dr. ^aul Sltppert in ©ffen unb ©rnft ßattgen-becfe in ©rofe-ßidjferfelbe. Sir. 232.

33f!an3enbio!ogie oon Dr. SB. Shigula, ^rofeffor an ber gorftakabemie ©ife-nad). 1: Sldgemeine S3iologie. Shit 43 Slbbilbungen. Sir. 127.

<Pf!an3enernäl)rung, Slgrihuliur= d)emte I: SHlanjenernäbrung oon Dr. Starł ©rauer. Sir. 329.

33flan3engeograpl)ie oon ^rofeffor Dr. ßubmig ©iels in Sharburg (ßeffen). Sir. 389.

ф?1апзепйгап1феИеп oon Dr. SBerner griebr. S3ruch, ‘Çrioatbosent in ©iefeen. ШШ 1 farb. Saf. u. 45Slbbilb. Slr.310.

33ffan3en=2Rorpbologie fielje: UUor* pfyologie.

^flan^enpOpfiologte oon Dr. Slbolf ßanfett, ^rofefjor an ber Unioerfität efeen. Shit 43 Slbbilb. Sir. 591.

3)ftan3enreicf)s, ©ie Stämme des,

oon ^rioatboâent Dr. Stöbert SHlger, Stuftos am Stgl. S3otanifd)en ©arten in S3erlin-©ablem. 3hif22Slbb. Sir. 485.

3$|(апзептеИ, ©ie, der (äemäffer

oon Dr. SB. Shigula, S^rof. a. b. gorftak. ©ifenad). Shit 50 Slbb. Sir. 158.

lan^en^ellenlc^rc fiebe : ßeüen-lebre.

^POarmahognofie. 33on Slpofyeker g. 6d)mittbenner, Slffift. a. 93otan. Gnftif. b. ©ed)n. ßocbfd). Starlsrube. Sir. 251.

ЗЗЬагтазеиЩфе lernte oon SJrioaf« bosent Dr. ©. Shannbeim in S3onn. 3 23änbd)en. Sir. 543/44 u. 588.

WHoIogie, ©efd)fd)le d. hlaffifdjen,

o. Dr. SBiltjelm Stroll, orb. ^rof. a. b. Unioerfität Shünfter in SBeftf. Sir. 367.

33bUofopfyie, (ginfiiljrung In die,

oon Dr. Sha£ SBentfcber, $rofeffor an ber Unioerfität S3onn. Sir. 281.

'Pf)iIofopI}ie,(Sefch.der, IV: Steuere <pi)iIofopl)ieb,.SIantD.Dr.S3.S3aucb, Slrofefjor an ber Unio. Gena. Sir. 394. --V: Ommanuel .Slant oon Dr.

Skofejfoi Sir. 536.

<pi)iIofop!)te, <Sefcf)tcf>te der,

VI: ©ie ф()Цо|орЬ*с im erflen ©rittel des 19, Oa^rfyunderis

non Slrtyur ©rems, ^rof. b. да1о-fopbie on ber Sed)n. ßod)fd)ule in Startende. Sir. 571.

—    Hauptprobleme der, oon Dr. ©eorg eimmel.SSrof.a.b.Unio.SSerltn.Sîr.SOO.

—    3?jt)cfyoIogie und Qogih sur ©inf. in bie <pi)ilofopI)ie oon <profeffor Dr.

©Ь- ©Ifenbans. Shit 13 giguren. Шг. 14.

33tyofograpf)ie, ©te, îton S5. Stefeler, Sßrofefjor an ber h. h. ©rapbifcben ßebr« unb S3erfud)sanftalt in SBien. Shit 3 ©afeln unb 42 Slbbilbungen. Sir. 94.

Dr. ©uftao

©ecbnifcben ßocbfcbule indien. I.Seil: Shecbanik unb Slkuftik. Shit 24 Slb-bilbungen. Sir. 76.

--II. Seil: ßicbt unb SBärtne. Shit

47 Slbb. Sir. 77.

--III. Seil: ©lektrijifät unb Shagnetismus. Shit 33 Slbbilbungen. Sir. 78.    *

--IV. Seil: ©lekfromagnetifcbe ßid)t-

tbeorieu. elektronik. Sh.21 gig.Slr.374.

—    <Sefcljid)le der, oon <prof. Sl. Süftner

in SBertbeim a. Sh. I : ©ie    bis

Slemfon. Shit 13 giguren. Sir. 293.

—    — 11 : ©ie ^l)9fik oon Siemion bis sur ©egemoart. Shit 3 giguren. Sir. 294.

Sir. 301.

Шг. 574.

4$ofamenfterercK 3:e£W=Qubu?frie Hs ©öeberet, ©Birherei, 45öfe= menftereret, 6pif}en= unb ©er* bincnfabnhalion itnb 3fÜ3fabri« hation oon Prof, ©laj ©ürtler, ©eh. Oiegierungsrat im figl. ßanbesgewerbe-amt 311 ©erlin. ©lit 29 gig. Шг. 185. 4$offrecI>i oon Dr. ©Ifreb OBolche, poft-infpehtor in ОЗопп. Шг. 425. 45refeluflîüerh3cuge, ©te, oon ©tpi.-3ng. p. 3ltis, Oberlehrer anberfiaif. ©echnifdjen 6d)ule in étrafjburg. ©lit 82 giguren. Шг. 493.

^freufctfcfyes etaatsrecht oon Dr. grit} 6tier=Somlo, Profeffor an ber Unioer-fitât ОЗопп. 2 ©eile. Шг. 298, 299.

4M I)c!)iaf rie, gorenftfd)c, oon Profeffor Dr. OB. OBepganbt, ©irehtor ber Srren-anftalt griebricbsberg in Hamburg. 2 ©änbcben. Шг. 410 unb 411.

jumpen, ©rudiwaffers u« ©rueft* lufUSInlagcn* Ein hither Überblick oon ©ipl.-3ng. Otubolf 03ogbt, gierung5baumeifter a. ©. in Шафеп. ©tit 87 Olbbilbungen. Шг. 290.

Quellenhunbe ber deuffcf)eii ©e* fcfytîtyfc oon Dr. Earl 3acob, Prof, an b. Unio. ©übingen. 1.03anb. Шг. 279.

SlabicaftiioUäi oon ©ipi.=3ng. OBilljelm grommel. ©Ht 21 ©bbilb. Шг. 317.

Шефпеп, ©os, in ber ©ефпШ unb feineßilfsmitfel (Olecbenfchieber.Otecben-tafeln, Otecbenmafcbinen ufto.) oon Зпде-nieur Sol). Eugen ©laper in greiburg i. Шг. ©lit 30 ©bbilb. Шг. 405.

— Äaufmännifdjes, oon Prof. Oticbarb 3uft, Oberlehrer an ber Öffentlichen fianbelslehranffalt ber ©resbener fiauf-

4Шзе, ©ie. Eine Einführung in bie Kenntnis ihrer gormenreihen non Prof. Dr. ©. Cinbau in 33erlin. ©It 10 gigurengruppen im ©ejt.

4Manctcnft)flcm. SlfJronomte (©röfee, ОЗешедипд unb Entfernung b. fiimmels-hörper) Don ©. g. ©löbius, neu bearb. non Dr. fiera. fiobolb, prof. an ber Unioerfitât fiiel. I: ©as pianeten-fpftem. «mit 33 ©bbilbung. Шг. 11.

431afUh, ©ie, bes 2lbenblanbes oon Dr. fians Stegmann, ©irehtor bes Saperifchen Olalionalmufeums in ©tünchen. ©Ш 23 ©afeln. Otr. 116.

— ©te, feti beginn bes 19* 0<фг= fyunberfs oon Ш. fietlmeper in ©tünchen. ©№ 41 OMbilbern. Шг. 321.

4Hattbeutfcf>c ©lunöarfcit oon Dr. fiubert ©rimme, Profeffor an ber UniDerfität greiburg (Schmeiß). Шг. 461.

43oetift, ©enfiche, oon Dr. fi. Sorinshi, 'prof. a. ber Unio. ©îünd)en. Шг. 40.

43o{ar(id)t* Erdmagnetismus, Er5= ftrom, ^olarïtdjJ oon Dr. ©. Oiip-polbt, ©tifglieb bes figl. prettfeifdjen ©tefeorologifchen Snftituts 311 Potsbam. ©Ut15 Olbbtlb. unb 7 ©afeln. Шг. 175.

4Jolmfcfye ©efet)icf)te oon Dr. Siemens 03ranbenburger in Pofen. Шг. 338. Sommern. Ganbesftunbe шш 43om= mern non Dr. 3B. ©eeche, Prof, an ber Unioerfitât greiburg i. 03. ШШ 10 Olbbilb. unb Marten im ©ejt u. 1 fiarfe in Géographie. Шг.575.

43odugiefîfc^e Giierafurgefchtchfe oon Dr. fiarl Don Oteinharbftoetfner, Profeffor an ber fiöniglichen ©echnifdjen fiodtfcbule ©tünchen. Шг. 213.

4^ft)cl)olo0ie und Gogth jur Einführ. in bie pt)iIofopt)ie oon Prof. Dr. ©t>. Elfenbans. ©tit 13 giguren. Шг. 14. 4Mt)cl)opfy!)fiib ©runöriß ber, oon

Profeffor Dr. ©. g. ßipps in ßeipjig. ©tit 3 giguren. Шг. 98.

01 e* mannfdjaft. 1.11.III. Шг. 139,140.187. Шеф! bes ©ärgerlich. ©efepuches.

Erftes 03ud): ©Ugemeinet ©eil. I : Einleitung — ßehre oon ben perfonen u. oon ben Sachen oon Dr. Paul Oerf-

—    mann, Profeffor an ber Unioerfitât Erlangen. Шг. 447.

— II : Ermerb unb ©erluft, ©eltenb-machung unb Sd)ut} ber Olecbte oon Dr. Paul Oertmann, profeffor an ber Unioerfitât Erlangen. Шг. 448.

—    Suites 03ud): Sd)ulbred)f. I. Olb-teilung: ©llgemeine ßehren oon Dr. Paul Oertmann, Profeffor an ber Unioerfitât Erlangen. Шг. 323.

--II. ©bteilung : ©ie einjelnen Schulb-

Derhältniffeo. Dr.paulOertmann.prof. an ber Unioerfitât Erlangen. Шг. 324.

—    ©rittes 33ud) : 6ad)enred)t oon Dr. g. firet}fd)mar, Oberlanbesgerid)tsrat in ©resben. I: ©llgemeine ßehren. 03e-fitj unb Eigentum. Шг. 480.

--11: 03egren3te Olecbte. Шг. 481.

—    ©iertes Q3üd): gamilienrecht oon Dr. fieinrid) Silje; profeffor an ber Uni-oerfilät ©öttingen. Шг. 305.

oon

3 £ärtd)en unb 1 ftarte. Шг. 308.

Riechfloffe. Rfherifdie öle und Riechffoffe oon Dr. g. Шофи{{еп in ©Billig. ©Bit 9 ©Ibbübungen. Шг. 446.

ßalle

Разсказы. ©Bit ©ШзепФезекЬпипд. Шг. 404.

Ruffifche ßiferafurgefd)id)fe oon Dr.

©eorg śolonshij in ©Вйпфеп. ©Ir. 166. Ruffifches Rohabelbuch, kleines, oon Dr. ©пф Soebme, ßehtor anier ЛапЬе15Ьоф1фи1е Serlin. ©Ir. 475. 0ad>enrechl- Recht b. Rürgerl. fehbudjes. ©rittes Bud): 0ad)cn= red)t oon Dr. g. йгеЭДфшаг, Ober» lanbesgerMsrat in ©resben. I: ©lü= gemeine ßel)ren. Sefit} unb ©igentum. II: Begrenze ©Зеф1е. Шг. 480, 481.

Red)tsgefd)ichte, Römifche, oon Dr.

©ïcbert con ©Варг, śrof. ait ber 2)euifd)en Unioerfität śrag. 1. ©Зиф: ©ie 3eit bes ©3olhsred)tes. 1. 55âlfte : ©as öffentliche ©Чеф{. ©Ir. 577.

--2.55älfte : ©as jjrioatredjt. ©Ir. 578.

Rechfsfchuh, ©er internationale ge* werbliche, oon 5. ©teuberg, Äaijerl. ©legierungsrat, 9Ititglieb bes ftaiferl. śutentamts 31t ©3erlin. Шг. 271.

Red)tswiffenfchaff, (Einführung in die, oon Dr. ©beobor ©ternberg in Serlin. I: ©ВефоЬеп- unb Quellen» lehre. Шг. 169.

— II: ©as ©pffem. Шг. 170. edelehre, ©eutfdje, oon Äans^robfl, ©pmnafialprof. in Samberg, Шг. 61. edefdjrift fiehe : ©tenograpbie. eichsfiitanßen, ©ie (Enfmiddung der, oon Sräfibent Dr. ©I. oon ber ©3orgl)t in Serlin. Шг. 427.

Religion, ©ie (Entwiclilung der ctyriff liehen, innerhalb bes ©leuen ©eftaments oon śrofeffor Dr. Lic. CTarl ©lernen. Шг. 388.

— ©ie, des Judentums im ßeiialfer be5 ßellenismus unb ber ©lömerberr* fchaff oon Lie. Dr. ШЗ. 6faerh (Шеи» teftamentl. 3^йде1ф{ф1е II.) ©Bit einer Ślanfhi33e. Шг. 326.

Religionen der Rafuroölfter, ©ie, oon Dr. ©b- Шфейз, śrofeffor in ©3 rem en. Шг. 449.

Religionstoiffenfchaff, Slbrift der oergleichenden, oon ‘Profeffor Dr. ©Ь. ШфеИ5 in Sremen. Шг. 208.

Renaiffance. ©te Sulfur der Re= naiffance. ©efiflung, gorfchung, ©ichfung oon Dr. ©loberf g. Шгпо1Ь, 3h'of. an ber Unioerfität ©Bien. Шг. 189. Reptilien, ©as Sierrcich HI : Reps iilien und ©Imphibieu» Son Dr. graiiß ©Berner, ^rofeffor an ber Uni* oerfitüt ©Bien. » 48ШЫ). Шг.383.

Rheinprooin3, Qandeshuudc der, Dr. ©3. ©teinedre, ©irehfor bes ©lealgpmnafiums in ©ffen. ©Bit 9 ©Ibb.,

Roman, ©efchidjte des deutfehen

Romanso.Dr.55ellm.9Bielhe. Шг.229. Romanifche 0prad)ioiffenfd)aft oon

Dr. ©Ibolf Заипег, śrofefjor an ber Unio. ©газ. 2 93änbe. Шг. 128, 250.

Römifche Sllferlumshunde oon Dr.

ßeo ©31оф in ©Bien. 9B.8 ©Mb. Шг. 45.

Römifche ©efchichte oon ©tealgijm. nafial*©irehfor Dr. Sul. £оф in ©rune-Eoalb. Шг. 19.

Römifche Qiteraiurgefchichfeoon Dr.

Hermann Зоафш in Hamburg. Шг. 52. Römifche und grie&ifche Rtptholo*

gie oon ©kof- Dr.ftermann ©teubing, ©lehtor bes ©pmnafiums in бфпееЬегд. Шг. 27.

Rußland. Ruffifche ©cfdjichle uon

Dr. ©Bilb. ©leeb, Oberlehrer am Offer-gpmnafium in ©Ватз. Шг. 4.

— Qandeshunde des (Europäifdjen Rußlands nebff gimtlands ©kofeffor Dr. ©I. ‘pbHippfon in а. ©. Шг. 359.

Ruffifch * ©eutfehes <Sefpräd)sbud> Don Dr. Сшф Śerneher, śrofeffor an ber Unioerfität ©Вйпфеп. Шг. 68.

Ruffifche ©rammatih oon Dr. ©rid) Śerneher, ‘Profefjor an ber Unioerfi-tät ©Вйпфеп. Шг. 66.

Ru]fifd)e55andel5ïîorrcfpondeii3oon Dr. ©beobor non Siaœrapshp in ßeip* 3ig. Шг. 315.

Ruffifchcs Öefebud) mit (Sloffar oon Dr. ©пф Sernehcr, ^vofeffor an ber Unioerfität ©Вйпфеп. ©Ir. 67.

Ruffifche Qiteratur oon Dr. ©г1ф Soebme, ßehtor a. ber 55апЬе15Ьоф?й)и1е Serlin. I. ©eil: ©lusumbl moderner ©kofa unb śoefiemit ausfübrl^en ©In-merhgn. и. ©ШзепФезекЬпипд. ©к. 403.

--II. ©eil: Всеволодъ Гаршинъ,

©Inmerhungen und

0ach&, 55ans. ©lusgeroäblt unb erlauf, oon ©kof. Dr. 3ulius ©abr. Шг. 24.

fiel)e: Kanal* u. ©d)leu-

--II. Tbteilung:

©djulboerbältniffe oon

nooer.

oon

an ber

©ad>fen. ©äd)fifd)e <Kefd)id)le oon

‘Çrofeffor Otto Kaemmel, Tehtor bes Tiholaigpmnafiums 3. ßeip^ig. Tr. 100. — Qandeshnnde des Königreichs ©acfyfen oon Dr. 3. 3emmrid), Oberlehrer am Tealgpmnafium in flauen. TÎU 12 Tbb. unb 1 Karte. Tr. 258. ©äugeiiere. ©as Tierreich I: ©äuge» tiere oon Oberftubienrat 'profeffor Dr. Kurt ßamperf, Torfteber bes König* lieben Taluralienfmbinefts in Stuttgart. Tîit 15 Tbbilbungen. Tr. 282. d>affenftonffruiilionen oon *profeffor

з.    Tonberlinn in Tîünfter. Tîit 114 giguren. Tr. 236.

©d)lesœigsKolfiein. Qandeshunde oon ©d)lesraig=Kolflem,KeIgo= land und der freien und Kaufe? ftadf Kantburg oon Dr. <paul Kambrud), Tbteilungsoorfteber am Tiufeum für Tölberhunbe in Hamburg. Tîit Tbbilb., planen, Profilen

и.    1 Karte in ßifbograpbie. Tr. 563. ©cblcufenbau

fenbau.

0d)utalfpurbal)nen (Klein*, Trbeifs* unb gelbbabnen) o. ©ipl.«3ng. Tuguft 23osbart in Türnberg. Tîit 99 Tbbilbungen. Tr. 524.

©ebntaroger und ©djmaroöerlum in der 23erme(f* ©rffe (Einführung in bie tierifebe Scbmarotjerhunbe oon Dr. graii3 о. ТЗадпег, a. 0. <profeffor an ber Unioerfität ©газ. Tîit 67 Tbbilbungen. Tr. 151.

©djreiner * Arbeiten. JEifchler* (©chreiner=)2trbcifen I: 2Kale= rialicn, Kandœerhsàeuge, Tła* fchinen, (Sin^cloerbinbungen, gttfsböden, genffer, genfterla? den, kreppen, Slborfe oon *prof. ©. Tiebmeger, Trcbiteht in Köln. Tîit 628 gig. auf 75 Safeln. Tr. 502.

©chuldrechf* îRecbt des Oîtirgerl. (Sefeijbnd)C5, ^toeifes 1Биф: ©chuldrcd)!. I. Tbteilung: Tilge* meine ßebren oon Dr. фаи! Oertmann, •prof. a. b. Unio. ©rlangen. Tr 323.

©ie ein3elnen Dr. фаи! Oertmann, <^rof. an ber Unioerfität ©rlangen. Tr. 324.

©ctyule, die deuffcljie, im Tuslande

Don Kans Tmrbein, ©eminar-Ober* leerer in Tbepbt. Tr. 259. ©d)uU)aus* ©ie 'Bautuinfi des0chub haufes non ^rofeffor ©r. *3ng. ©rnft Tetferlein in ©armffabt. 1: ©as ©cbulbaus. Tîit 38 Tbbilbungen. II: ©ie 6d)ulräume — Sie Tebenanlagen. Tîit 31 »Übungen. Tr. 443 u. 444. ©cfyulpragis. Tîetbobih ber Tolhsfdjule non Dr. T. Sepferf, ©eminarbirehtor in 31Форои. Tir. 50.

©cbtoedifcl) = deuffctyes ©efpräd)5= bud) non Sobannes Teubaus, ©03ent ber neunorbifd)en Sprachen an. ber Unioerfität Serlin. Tr. 555. ©cfyœedifcbes Qef ebne!) зиг (Einführung in bie Kenntnis bes heutigen ©cbtoe« bens mit TJôrtcroerçeicbnis oon 3o-pannes Teubaus, ©oßent ber neu« norbifcben Sprachen an ber Unioer« fiiät 23erlin. Tr. 554.

0d)tocij3= und 0cbncidocrfal)ren> ©as autogene, oon Sngenieur Kans Tiefe in Kiel. Tîit 30 gig. Tr. 499. 0d)œei3. ©djtoeijerifdjc <3efcbid)te oon Dr. К. ©änbliher, ^rofeffor an ber Unioerfität 3ürid). Tr. 188.

— Qandeshunöe der ©ефстз oon <$rof. Dr. й. TSalfer in 23ern. Tîit 16 Tbbilbungen unb 1 Karte. Tr. 398. ©cbtointmanffaifon. öffenfl. 23ade= und 0d)mintmanffalfen oon Dr. Karl T3olff, 6fabt*Oberbauraf in Kan« if 50 giguren. Tr. 380. ©eentachf, ©ie, in der deuifcfyen ©efd)id)le oon T3irhl. Tbmiralifäts« rat Dr. ©rnft oon Kalle, ‘profeffor an ber Unioerfität Berlin. Tr. 370. ©eerectyi, ©as deuffcfye, oon Dr. Otto Q3ranbis, Oberlanbesgericbtsrat in Hamburg. I. Tllgemeine ßebren : «perfonen unb Sachen bes ©eerecbfs. Tr. 386.

---II. ©ie einßelnen feeredjtlicbenScbulb-

oertjältniffe: Verträge bes ©eeredjts u. aufjeroerfraglicbe Haftung. Tr. 387. ©cifenfabriftation, ©ie, die ©eifen= analtjfe u. d. Ker^enfabrihalion о. Dr. Karl 23raun i. Berlin, (©ie gette unb Öle II.) ТШ 25 Tbbilb. Tr. 336. ©entififd)e ©prad)xoiffenfd)aff Dr. ©. Srochelntann, ‘profeffor c Unioerfität Königsberg. Tr. 291.

te о. Dr. Here ßife»

e con

0. Dr.

Gilüwte. gndufirte der Gilihate, ber fcünftlicben Saufleine u. des Ałcrlels oon Dr. ©uftao laufer in ©tjarloftenburg. I: ©las unb hera* mifcfce Snbuffrie. АШ 12 Saf. Шг. 233.

--II : ©ieSnbuffrie 5. hönftlidjen Sau»

fleine unb bes Mörtels. АШ 12 Sa* fein. Шг. 234.

Simplicius Gimpticiffimus oon «ans Sahob ©Ijriftoffel o. ©rimntelsljaufen. 5n Ausmatd fyerausgegeben oon *pro* feffor Dr. g. Sobertag, ©озеп! an ber Unioerfität Sreslau. Шг. 138.

Gltandinaoien, Oandeshunde oon, (бфюеЬеп, Шогшедеп unb Sänemarh) oon ßeinrid) fterp, ftreis^ulinfp. in ftreu3burg. Ш1. 11Abbi и. 1 ft. Шг.202.

Glamfcjje SileralurgefCich Gofef ftarâfeh in 28ien I : A rafur bis зиг AHebergeburf. Шг. 277.

— — II: ©as 19. 3al)rt)unberf. Шг. 278.

Go3taIe grage. Sie (gnlmicltlung der foàial» grage oon 'profeffor Dr. Serbin. Sonnies. Шг. 353.

Go3ialoerfid)erung oon <prof. Dr. Ш^геЬ Aianes in Serlin. Шг. 267.

Go3iologte oon 'Çrofejfor Dr. Syomas АфеНэ in Sremen. Шг. 101. panien. Gpanifcl)c <Sefcf>id)t Dr. ©ufiao Sierdts. Шг. 266. Qandeshuude der gberifeben &albinfel o. Dr. grit} Segel, 'prof, an ber Unio. ШЗйгзЬигд. АШ 8 ftärt» феп unb 8 Abbilbungen im Sejrt unb 1 ftarte in garbenbrudt. Шг. 235.

Gpanifcbe &aubelsftorrefponben3 oon Dr. Alfrebo ШаЬа! be А1апез* currena. Шг. 295.

Gpanifcbe Qiteraiurgefcî)ici)ie Subolf Seer, Alien. 1. 11.Шг.167,168.

Gpeicber. Onduftrielle und gemerb* Iid)e Säulen (6peid)er, ßagerfyäufer unb gabrihen) oon АгфНеЫ fteinrid) ба!зтапп in Aüffelborf. II : 6peid)er u. ßagerfyäufer. 9ЛИ 123 gig. Шг.512.

Gpinnerei. $e£lil * Onduftrie I : Gpinnerei und gwirnerei oon 'prof. Alaj ©iirtler, ©et). Aegierungs* rat im ftönigl. ßanbesgemerbeamt 311 Serlin. АШ 39 giguren. Шг. 184.

Gpiljenf abrihation. Se£til = Gndu= firie II : Söeberei, SBirherei, cpo= famcnliererei, Gpi§en= u. ©ar= dinenfabrifmi. u. gil3fabriftalion oon 'Prof. Ata£ ©iirtler, ©el). Segier.» Sat im ftönigl. ßanbesgemerbeamt зи Berlin. АШ 29 giguren. Шг. 185.

Gprucbdicbtung. Sßaltber non der 'Sogeltneide mil Auswahl aus Atinnefang und Gprucbdicbtung*

АШ Anmerkungen и. einem Alörterbud) о. Otto ©üntter, 'profeffor an b. Ober-realfdjule unb an ber Sed)nifd)en «оф» fd)ule in Stuttgart. Шг. 23.

Staatslehre, Allgemeine, oon Dr. Hermann Шефп, *profeffor an ber Uni» oerfität Strafoburg i. ©. Шг. 358.

Glaalsrecl)!, Allgemeines, oon Dr. ßulius ftatfĄeh, 'prof. b. Aed)fe a. b. Unio. ©ötfingen. ЗЗЗЬф. Шг.415-417.

Glaalsrecl, фгеи^Цфеэ, oon Dr. grit} Stier*Somlo, 'jkof. a. b. Unioer» filât Sonn. 2 Seile Шг. 298, 299.

Siammesiutnde, ©eutfebe, oon Dr. Aubolf А1иф, a. 0. 'prof. a. b. Unio. Alien. Aî. 2 ftarf. и. 2 Saf. Шг. 126.

Glatift oon 28. «auber, 2)ipl.-3ng. 1. Seil: Sie ©run Mci) ren der Glalih flarrer Körper. AM 82 giguren. Шг. 178.

--- ii. Seil: Angewandte Stalin.

AM 61 giguren. Шг. 179.

Gleinbauerarbeiten. Alanrer= und Gleinbauerarbeiten oon 'profeffor Dr. phil. unb 2)r.»3ng. ©buarb Sd)mitt in Sarmftabt. 3 Sänbd)en. AM Dielen ßlbbilbgn. Шг. 419—421.

Stenographie. ©efcbicl)fc der Stenographie oon Dr. Arthur Aient} in ftönigsberg i. фг. Шг. 501. Stenographie n. d* Spftem n. g. X. (Babelsberger o. Dr. АШеПбфгатт, ßanbesamtsaff. in Aresben. Шг. 246.

—    2>ie tHedefCrift des (Babels* bergerfd)en Gpffems oon Dr. Albert бфгатт, ßanbesamtsaffeffor in Sresben. Шг. 368.

—    Qefyrbuci) d. 'Sereinfacljten ®eut» feigen Gtenograpl)ie (©inig.=6pftem 6tol3e=6d)rei)) nebfl 6фШ|}е1, ßefe-ftüdien unb einem Anfang oon Dr. Amfel, Stubienrat bes ftabettenhorps in Sensberg. 21r. 86.

—    Sledefcbrifl. Ве^гЬиф ber ШеЬе-^rift bes Si)ftem5 б1о!зе=бфгер nebît ftör3ungsbeifp., ßefeftiiehen, бфИЦ)е1 unb einer Anleitung зиг Steigerung ber ^еподгарЭДфеп gertigheit oon «ein» г1ф Sröfe, amtl. bab. ßanbtagsfteno-grapb in ftarlsru^e (S.). Шг. 494.

Gtereocbemie oon Dr. <S. A3ebekinb, 'Profeffor an ber Unioerfität Sübingen. Alit 34 Abbilbungen. Шг. 201.

ООП

o. Dr.

technologie, Slilgcmeinc chemifchc,

oon Dr. ©uft. Raufer in Eharlotten-

г. ШЗ

Dr.

Stereometrie oon Dr. S. ©lafer in Stuttgart. ШШ 66 giguren. Шг. 97.

Slcrnfpftcm. 2lftronomie. ©röfte, Seioegung и. Entfernung ber Himmelskörper oon Ш. g. 91töbius, neu bearbeitet oon Dr. Herrn. ftobolb, Prof, a. b. llnioerfität ftiel. II: Kometen, iffîefeôre unb ba5 Sternfpftem. ШШ 15 gig. unb 2 Sternkarten. Шг. 529.

Slcuerftjfteme bes Sluslanbes, ©ie, ©et). Oberfinanjrat О. бфшагз in Berlin. Шг. 426.

Siillutnbe о. ‘prof, ftarl Otto Hartmann in Stuttgart. ШШ 7 Sollbilbern unb 195 Sejtilluftrationen. Шг. 80. Siöchiometrifche IMufgabenfamnt* lung oon Dr. ШЛИ). Sahrbt, Oberl. an ber OberreaHchule in ©rof3-ßid)ter-felbe. ШШ ben Sefultaten. Шг. 452. Straßenbahnen oon ©ipl.-Gng. Sluguft Soshart in ШйгпЬегд. ШШ 72 21b-bilbungen. Шг. 559.

Strategie oon ßöffler, Sïîajor im ftgt.

Sächf. ftriegsmin. in ©resben. Шг. 505. Ströme unb Spannungen in Starb* ftromnetjen o. Gof. Негзод, ©ipl.-Elehtroingenieur in Subapeft u. Ela-rence gelbmann, ‘profeffor ber Elektrotechnik in ©elft. 2Rit 68 2lbb. Шг. 456. Sübfeegebief« ©ie beutfehen Äoto* nien 11: ©as Sübfeegebiet unb &iauifchou oon prof. Dr. ft. ©ooe. 2Л. 16Saf. и. 1 lithogr.ftarte. Шг.520. tatmub. ©ie Entftehung b. talmubs o. Dr. 6. gunk in Soskomift. Шг. 479. tatmubproben oon Dr. 6. gunk in Soskoroih. Шг. 583. technifch=<Shetttifche 21nali)fe

©. ßunge, Prof. a. b. Eibg. polptedjn. Schule i. ßürid). ШШ 16 Ш>. Шг. 195. technifche tabeilen nnb gormeln oon Dr.-Gng. 2B. ШШег, ©ipl.= Gng. am ftgl. 2Iîaterialprüfungsamt 311 ©rofj - Cid)terfelbe. ШШ 106 giguren. Шг. 579.

technifches Söörtcrbuch, enthaltenb bie u>id)tigften 2lusbrüdce bes 9Ша» fdjinenbaues, Schiffbaues unb ber Elek-trotedjnik oon Erich ftrebs in Serlin.

1. Seil: ©eutfch-Englifd). Шг. 395.

--11. Seil: Englifd)=©eutfd). Шг. 396.

--Ill. Seil : ©eutfcb-gran3öf. Шг. 453.

--IV.Seil: gran3öf.-©eutfd). Шг. 454.

burg. Шг. ИЗ.

-- 3nechanifchc,o.@eh.Hofratprof.2I ßübicke i. Sraunfcbroeig. Шг. 340, 341 tcerfarbftoffe, ©ie, mitbefonb. Serücfc fidjtigung ber fpnthefifcben ЗШефоЬеп и. Dr. Hans Sucherer, ‘prof. a. b. ftönigl. Secbn. Hod)fd)ule, ©resben. Шг. 214. telegraphenrecht oon ‘poftinfpehfor Dr. jur. 2llfreb QBoIche in Sonn. I : Ein-leitung. ©е|фгф1Нфе Entroichlung. ©ie ©tellung bes beutfd)en Telegraphen, toefens im öffentlichen Sedjte, allgemeiner Seil. Шг. 509.

--- 11: ©ie Stellung bes beutfd). Sele-

graphenroefen5 im öffentlichen Sed)fe, befonberer Seil. ©as Selegraphen-©trafred)t. Sechtsoerhältnis ber Telegraphie 311m ‘Publikum. Шг. 510. télégraphie, ©ie elcbtrifche, o. Dr Cub. Sellftab. ШШ 19 gig. Шг. 172 teftament. ©ie Entftehung bes SUKen teffamenfs oon Lic. D Staerk, ‘Prof. a. b. ilnio. Зепа. Шг.272

—    ©ie<Sntftehungbes2teuentcfta= meats оси ‘Prof eff or Lie. Dr. Earl Eiemen in Sonn. Шг. 285.

te£fiI=Oitbuflrie. I : Spinnerei unb Çroirncrei oon ‘prof. 9Haj ©iirtler, ©eh- Segierungsrat im ftgl. Canbesge-roerbeamt, Serlin. 9Ш. 39 gig. Шг.184.

—    11: Sßeberei, Söirherei, Bofa* menliererei, Spifjen* unb ©orbtnenfabriftalion unb gil3= fabrication o. ‘prof. 9Ш. ©iirtler,©el). Qiegierungsr. i. ftgl. Canbesgeroerbeamt ли Serlin. ШШ 29 giguren. Шг. 185.

—    Ill: Söäfcherei, Bleicherei, 5är= berei unb ihre SSilfsftoffe oon

tBilh- OTaffot, ‘Prof. a. b. ‘preufî. höheren gad)fd)ule für Sejtilinbuftrie in ftrefelb. ШШ 28 giguren. Шг. 186. thormobpnantili (Sechnifche QBärme-lehre) o. ft. SBalfher и. Ш1. Söttinger, ©iplom-Sngen. 2Л. 54 gig. Шг. 242.

—    ©ie Ihermobijnaittifchen ©runb= lagen ber Söärmehraft* wtb &älfemafchinen oon Ш1. Söt-linger, ©iplom-Gngenieur in tffîann-heim. Шг. 2.

thüringifche ©efchichte oon Dr. Ernft ©eorient in Ceip^ig. Шг. 352. tierbiologie. 2lbriß ber Biologie ber tiere oon ur. Heinrich ©imroth, ‘Prof, an ber Unio. ßeipjig. Шг. 131.

ticre,

oon

oon

enc oon RIebt3inalraf Pro-ШосЬ1, Sirehtor bes 3n-

bes

an bei-

п. Шг. 565.

©ifen3eit. Rät 35 Rilbergruppen. Шг. 566.

dÄS»

ber 3oologie an ber Unioerfifät 3ena. I : gurcbung, Primifioanlagen, ßaroen, gormbilbung, ©mbrnonalbüllen. Rtif 48 giguren. Rr. 378.

--II : Organbilb. RI.46gig. Шг.379.

tiergcograpbie d. Иг. Rrnolb ЗасоЫ, Prof. ber ßoologie a. b. figi. gorftatm« bemie 31t Sbaranbt. Rî.2fiarf. Шг.218.

tierftunbe non Dr. graii3 о. R3agner, 3?rofeffor an ber Unioerfifät ©газ. Ritt 78 Rbbilbungen. Шг. 60.

tierreid), Sas, I: 0äuge»icrc oon Oberftubienr. prof. Dr. fiurfßamperf, Rorft. b. figl. Rafuralienhabinetts in Stuttgart. RM 15 Rbbilb. Шг. 282.

—    Ills Reptilien und Slmpbibien Don Dr. granß ferner, Profeffor a. b. Unto. SBien. RM 48 ШЬЬ. Шг. 383.

—- IV: gtfdje Don Profeffor Dr. Rîaj Raufber in Reapel. Шг. 356.

—    V: Onfchfen oon Dr. 3. ©rofe in Шеаре! (6ta3ione 3oologica). RM 56 ШЬЬПЬ. Шг. 594.

—    VI: Sic œirbellofcn Siere Dr. ßubmig Röbmig, profeffor ber 3oologie an ber llnioerfitâf ©газ. 1: Urtiere, Sd)toämme, Reffeitiere, Rippenquallen unb ШЗйгтег. RM 74 giguren. Шг. 439.

--II : firebje, Spinnentiere, Saufenb«

füfeer, R3eid)tiere, Rbosfiercben, Шгт= füfjer, 6tad)elbäuter unb Rîanteltiere. RM 97 giguren. Шг. 440.

З^егзифНеЬге, SlUgemcinc unb fpe^ielle, oon Di. Paul Rippert in ©ffen. Шг. 228.

tifchler= (0cbreiner=) SIrbeifen I: SRaterialien. SSanöioerhsjeuge, SRaf cbinen, ©injeloerbinbungen, gufaoöben, geufter, gcnfterlas den, treppen, 2Iborfe oon Prof. 6. Riebtoeger, Rrd)ifeht in fiöln. RM 628 gig. auł 75 Safeln. Шг. 502.

togo. Sic beuffcbcn Kolonien I: togo unb Kamerun oon Prof. Dr. fiarl Sooe. RM 16 Safeln unb einer litbograpbifcben fiarte. Шг. 441.

to£ihologifd)e ©bemtc oon prioaf» b03ent Dr. ©. Rîannbeim in Ronn. RM 6 Rbbilbungen. Шг. 465.

trigonometric, ©bene u. fphärifebe, oon Profeffor Dr. ©erb- fieffenberg in Rreslau. RM 70 gig. Шг. 99.

*да»!

ffifufs für Sd)iffs= unb Sropenhranli» beiten in fiamburg. Шг. 369. truft. Kartell unb truft oon Dr.

6. Sfd)ierfd)hi) in Süffelborf. Шг.522. turnhunft, ©efebiebte ber, oon Dr Rubolf ©afd), Prof. a. fiönig ©eorg» ©pmnaf. ©resben. RÎ. 17 ШЬЬ. Шг.504. Ungarn» Qanbeshunbe non öftere reicb=ltngarn oon Dr. Rlfreb ©runb, profeffor an ber Unioerfifäf Rerlin. RM lOSejtilluftr. u. 1 fiarte. Шг.244. Xlngarifctjc Qiferafur, ©efebiebte ber, oon prof. Dr. ßubmig fiatona unb Dr. gran3 63inni)ei, beibe an ber Unioerfifäf Rubapeft. Шг. 550. Unaarifcbe 0pracble!)re oon Dr. 3ofef ö3innr)ei, o. ö. ‘prof, an ber Unioerfität Rubapeft. Шг. 595. îtntcrricbisœefen. ©efebtebfe beutfehen Hnterrichtswcfcns oon ‘prof. Dr. griebrid) Seiler, ©irehfor bes fiönigl. ©pmnafiums зи ßudwu. I. Seil: Ron Rnfang an bis зит ©nbe be5 18. Sabrbunberfs. Шг. 275.

--II. Seil: Rom Reginn b. 19. 3abr-

bunb. bis auf bie ©egemoart. Шг. 276. Unterfurbungsmefboben, 2lgrihuls turd)cmifcbc, oon profefjor Dr. ©mil fiafelboff, Rorfteber ber lanb« mirtfcbaftlicben Rerfucbsftation in RIar« bürg in fieffen. Шг. 470. Urgcfd)icbtc ber RlenfcbbeU Don Dr-Rîoritj fioernes, Prof, an ber Unio. RJien. RM 53 Rbbilbungen. Шг. 42. Urheberrecht, Sas, an ©Serben ber ßiterafur unb ber Sonhunff, bas Rerlag5red)t unb bas Urheberrecht an ©Serben ber bilbenben fiünfte unb Photographie oon 6taatsanroalt Dr. 3. 6cblittgen in ©benrnifj. Шг. 361. — Sas beutfdje, an literarifcben, bünft-lerifcben unb дешегЬИфеп Schöpfungen, mit befonberer Rerüchficbtigung ber internationalen Rerträge oon Dr. ©uftao Rauter, patentanroalt in ©boUoftenburg. Шг. 263.

Нгзсй. Kultur ber НгзеИ oon Dr. Rbrilß fioernes, o. ö. Prof.

Unio. ©Sien. 3 Ränbcb. I : Steinzeit. RM 40 Rilbergruppen. Шг. 564. --II: Rron3e3eit. RMf 36 Rilber=

tr. 354. 20a^rfc^cinlic^fteifsrecl^nung oon Dr. ii)bau. gron3 fiadt, Profeffor om ©berharb-5 UBefen Subtoigs-fôpmnafium i. ©futigarf. ШШ hi ©mil 15 giguren im Sejf. Шг. 508.

BolftsmirtfchaffspoUtih г. Profitent Dr.<R. con ber 23orght, Berlin. Шг. 177

Behioranalqfis oon Dr. Siegfr. Ша1еп liner,

in ©laüsfhat. ШШ 11 gig. Шг Beronfchtagen, ©os, im Sio

fuirsgefafctes ßanbbud) über bos SBefen bes Äojtenonf(blags oon ШгфИеШ ©mil Beutinger, Slffiffenf a. Ь.Зефп. йоф|ф.

naimts oon и г. tnegfr. uiaien-Profeffor on ber Bergahabemie

-w.......aw, _____________________ йоф|ф. SBaibech. ßanbesftunbe bes ©rofc*

inSormftabf. ШШDielen gig. Шг. 385. her^ogtums Äeffen, ЬегЯ^гооШз Bereinigte ©foafen. ßanbesftunbe    55effen=21affau unb bes gürfien»

ber Bereinigten Staaten oon    turns SBalbecft oon profeffor Dr.

Scorbatnerifta oon Profeffor fieinrkb    ©eorg ©reim in Sarmftobf, ЗЛЯ

gi^er, Oberlehrer om 2uifenffäbf.    13 ШЬЬИЬипдеп unb 1 föarfe. Шг.376.

Bealgpmnafium in Berlin. I. Seil. 20оШ)агШеЬ, ©as, im Bersmafee ber ШШ 22 Morien unb giguren im Sejt U^rift überfefjt unb erläutert oon unb 14 Safefn. Шг. 381.    'prof. Dr. й. Sllthof, Oberlehrer om

--II. Seil: ШШ 3 harten im Sejf, Beolgçmnofium in IBeimor. Шг. 46.

17 Sof. u. 1 lifhogr. ftorfe. Шг. 382. QBaliher oon ber Bogclœeibe, mit Bergil* ©ie ©ebic^fe bes <p. Ber*    SIusœahl aus tffîinnefang u. Spnnh-

gilius Шаго. Sn Busmohl mit einer    b^fung. ШШ ШптеИшпдеп unb

©inlettung unb 3lnmerhungen h^aus-    einem Ш30г1егЬиф oon Otto ©ünffer,

gegeben oon Dr. Sulius Rieben.    prof. an ber ОЬеггео^фШе unb on ber

I : ©inleitung unb Steneis. Шг. 497.    £ефп. йоф[ф. in Stuttgart. Шг. 23.

Bermeffungsftunbe oon Siplom=3ng. 2öal3mcrfte, ©ie* ©inrichfung nnb P. QBerluneiffer, Oberlehrer on ber    Betrieb. Шоп Sipl.-3ng. Ш. йо1»

Äoiferl. Seфnifфen 6фи1е in ©froh*    оег|фе{Ь, Oberlehrer an ber figl.

bürg i. ©. 1: gelbmeffen unb Ш1-    3Bofd)inenbau- unb £5fittenfd)ule in

oeUieren. ШШ 146 ШЬЬ. Шг. 468.    Suisburg. ШШ 151 ШЬЬИЬ. Шг. 580.

--II: Ser Sheobolit. Srigonome- SBarenftunbe о. Dr. fiorl Äoffach, prof.

1п{фе u. barometrze ßöhenmeffung. unb 2eifer ber b. h. Äonbcisahobemie ЗафртеМе. ШШ 109 ШЬЬ. Шг. 469. in ©газ. I. Seil: UnorganZeSBaren. Berficherungsmaihemaiift oon Dr. ШШ 40 ШЬЬИЬипдеп. Шг. 222.

ЗЩгеЬ 2оеюр, profeffor an ber Uni---II. Seil: Organise ШЗагеп. ШШ

oerfifät greiburg i. 03. Шг. 180.    36 ШЬЬИЬипдеп. Шг. 223.

Berficherungswefen, ©os, oon Dr. 28aren3eichenrecht, ©as* Шаф bem iur. фай! OUolbenhauer, profeffor ber    ©efetj 3. ©фи(з ЬегЗВагепЬезпфттдеп

BerZerungsœiffeiZafl an ber йап-    oom 12. 2Ûai 1894. Шоп Вед.-Ш.

Ье15Ьоф|фи1е Й01п.    1 : ШИдетеше    3. ШеиЬегд, ШШдНеЬ bes йаЦегИфеп

BerZerungslehre. Шг. 262.    Patentamts зи Berlin. Sir. 360.

Bölfterftunbe oon Dr. ШИфае! йаЬег- ВЗагте. Sf)eoretifct)e PhPjihИ-S.: lanbt, h. unb h. buffos ber ефподг.    ßidjt и. Söärme. Шоп Dr. ©ujtao

Sammlung besnaturhiftor.Äofmufeums    3äger, Prof, an ber Зефп. йофдои1е

unb Prioatbo3ent an ber Unioerfifät    33ien. ШШ 47 ШЬЬИЬипдеп. Sir. 77.

SBien. ШШ 56 ШЬЬИЬипдеп. Sir. 73. SBärmeftraffmafchinen* ©ietheruto» Bölfternamen* ßänber* и. Bötfter=    bpnautifchen ©runbtagen ber

nomen oon Dr. Bubolf ftleinpaul    SBärmeftraft* u. £tâttemafchinen

in 2eip3ig. Шг. 478.    oon ОШ. ШоШпдег, Siplom-Sngenieur

33olftsbibltoiI)eften (Шйфег- unb 2efe- in îîîannheim. 92îif 73 giguren. Шг. 2. hallen), фге ©тпфитд unb Шег- Sßörmelehre, Sec^nifd)e, waltung oon ©mH Зае1фЬе, Stabt-    bpnamih) о. Я Ш3а1фег и. Ш1.31öf-

bibliothehar in ©Iberfelb. Шг. 332.    tinger, Sipl.-3ng. 3U.54gig. Шг.242.

r. SBtlh-

Bolftsroirtfchaftslehre 1

3ohs. guф5, Profeffor ми oerfifät Sübingen. Шг. 133.

33olhs(ieb, ©os beuifebe, ausgeroählt SBäfcberet. ©egtil = Gnbuffrie III: unb erläutert oon profeffor Dr. 3ul. Södfcherei, Bleicherei, gärberei Sahr. 2 ШапЬфеп. Шг. 25, 132.    unb ihre ßilfsffoffe oon D

ООП

Dr. ©arl    9Uaffot, Profeffor an ber preufo. höh-

an ber Uni-    gaфfфule für Sejtil - 3nbuftrie in

ftrefelb. 9Ztit 28 giguren. Шг. 186.

©е*

©За

©ubolf

rhAeugmafàinen. • gräsmajcbinen. i. Шг. 561.

SRelall*

©ie ©obr

on

ÎBaffer, ©as, unb feine Жегшей» dung in Gnbuffrie und merbe о. Dr. C£rnft 2eber, ©ipl.«3ng. in Saalfelb. ШШ 15 Шbbilb. Шг. 261.

2Baffer und 2lbtoäffer. G^re 3u-fammeniebung, Seurfeilung u. llnter-|ифипд non $rof. Dr. ©mH ßafel^off, ©orfteber ber lanbœtrijdjafil. ©ег[иф5= fiütion i. ©larburg i. ßeffen. Шг.473. nfferinfiattafionem ©as* und ©Bafferinffallafionen mii ein* fdjlufc der SIborianiagen oon ©rofeffor Dr. phil. unb ©r.«3ngen. dbuorb 6d)miit in ©armftabt. ©iit 119 ШЬЬИЬипдеп. Шг. 412.

©Bafferfurbinen, ©ie, non ©ipl.-3ng. <0. ßoll in ©erlin. I : ШИдетете5. ©ie greiftrablturbinen. ©iit 113 ШЬ-bilbungen. Шг. 541.

--II: ©ic Hberbrucftfurbinen. ©ie

©tofferbraftanlagen. ©tit 102 ШЬЬН-bungen. Шг. 542.

2Bafferoerforgung der Orffd)afIen

oon ©r.-3ng. Robert ©Зергаиф, ©ro-feffor an ber figl. ©ефт|феп яоф-№ule Stuttgart. ©tit 85 gig. Шг. 5.

©Soberci. Scgiil^Ondufirie II: ©Weberei, ©Hrfcerei, ^o[amen= fiererei, @ptf;eii= u. ©ardinen= fabrihaiion und gil3fabrihation non ^rof. ©ta| ©firtler, (Beb. ©eg.* ©at im ftönigl. 2anbesgemerbeamt 3U ©erlin. ©tit 29 gigur. Шг. 185.

2Bed)felffromer3euger non 3ng. ftarl ©^elmaper, <prof. an ber h. h. ©еф* п1|феп £>оф[фи1е in ©Men. ©iit 40 giguren. Шг. 547.

[en, ©as, о. ©еф15апю. Dr. iotbes in 2eip3ig. Шг. 103. Kt/i wriuffung, ©euffcfye, non ©eb. ftriegsrat &arl ©nbres, oortr. ©at im ßriegsminifterium i. ©Шпфеп. Шг. 401.

©3erh3eugmafci)inen für £о!зЬеаг» beifung, ©ie, non 5ng. fprofeffor ßerm. ©Mlba in ©remen. ШШ 125 ШЬЬИЬипдеп. Шг. 582.

©3er&3eugmafd)inen für ЗЙе!allbe= arbeiiung, ©ie, non 3ng. <£rof. ßermann ©Mlba in ©remen. I : ©ie ЩНефатбтеп ber ©Зе ©ie ©rebbänhe. ©ie ©Ш 319 ШЬЬИЬипдеп.

©3erb3eugmafc^inen für bearbeüung, ©ie, II:

unb 6ф1е1Ёта[фтеп. ©te ßobel-, Shaping» unb б1о|зта[фтеп. ©ie Sägen unb бфегеп. ©ntrieb unb firaftbebarf. ШШ 199 ШЬЬИЬипдеп. Шг. 562.

©Seffpreufóen. Landeskunde der фгоиШз SBeffpreufóen non gri§ ©raun, Oberlehrer am ßgl. ©pm-nafium in ©гаиЬепз. ©tit 16 ©afeln, 7 ©enthärten и. 1 Нф. ßarte. Шг. 570.

SBefibetoerb, ©er unlauiere, oon

©еф{5аптаИ Dr. ©tartin ©Baffermann in ftamburg. I : ©eneralhlaufel, ©еЫатеаи5юйф[е, ©usoerhaufsœefen, ©ngeftellfenbeffecbung. Шг. 339.

--II: йгеЬЩфаЫдипд, girmen* unb

ШатептфЬгаиф, ©errat oon ©ebeim* nijfen, Ши5ШпЬег[фиЬ. Шг. 535.

©SirbeUofc Siere. ©as SierreityVI : ©ie toirbellofen Siere non Dr.

2ubmig ©öbmig, <Prof. ber 3oologie ber Unioerfität ©газ. 1 : Urtiere, бфюатте, ©ejfelfiere, ©ippenquallen unb ©Зйгтег. ©tit 74 gig. Шг. 439.

— — II: förebfe, Spinnentiere, ©aufenb-ffifeer, ©МфНеге, ©ioosfiercben, Шгт-füfeer, ©1афефаи1ег unb ©ianteltiere. ©tit 97 giguren. Шг. 440.

©Birkerei. Sejlil * Gndufirie II : ©Beberei, ©Birkerei, Qßofamen» liererei, ©pt§en= u. ©ardinen« fabrihaiion und 3il3fabrikafion

oon <£rof. ©taj ©ürtler, ©eh- ©eg.-©at im ßönigl. 2anbesgemerbeamt 3U ©erlin. ©tit 29 gigur. Шг. 185.

©Biüfcfyaftticben <8erbände, ©ie, o.

Dr.2eo©lüffelmann i.©o[todt. Шг.586.

©Birifcbafispflege, kommunale ©Birifcfyafispflege oon Dr. ©Ifons ©iefe, ©cagiftratsaff. i. ©erlin. Шг.534.

2Bobnungsfrage, ©ie, o.Dr^.^ohle, ©ro[e[for ber <о1аа15ю1Пеп[фа^еп зи granhfurt a. ©t. I : ©as ©3obnungs-meien in ber mobernen Stabt. Шг. 495.

--II: ©ie |ШИ[фе ©lohnungs- unb

©obenpolitih. Шг. 496.

oon ß. an der

Vaugemerkfd)ule in Alagdeburg, neu bearbeitet oon 'Prof. 3. Vonderlinn, 5}irehfor der königl. Vaugemerkfcfeule 3U Alünfter. Alit 290 giguren und 23 Safeln im Sejf. Ar. 58. Ceiiungsmefen, ©as deuifcfee, o. Dr. Aob. Vrunhuber, Köln a. Afe. Ar. 400. * — Vas moderne, (Spft. d. 3eitungs-lefere) oon Dr. Aobert Vrunfeuber in Köln a. Ah. Ar. 320.

Ceitnngsœcfens, Allgemeine <ße-fd)ict)tc des, Doit Dr. ßudmtg Salo-mon in Gena. Шг. 351.

Cellenlcfere und Anatomie der ЯШсшлеп oon 'prof. Dr. ß. ©iel)e in ßetpjig. Mit 79 Abbild. Ar. 556.

Central s <perfpefttioe oon Architekt ßans greçberger, neu bearbeite! oon 'profeffor 3. Vonderlinn, ©irektor der Kgl. Vaugemerkfcfeule in fünfter i. A3, tmu 132 giguren. Ar. 57.

Cimtnerarbeiien oon ©arl Opife, Ober-leerer an der Kaiferl. Secfenifch. Schule in Strafeburg t. ©. I: Allgemeines, Valkeniagen, ЗюЦфепЬескепи. ©echen-Л    bildungen, ^öljerne gufeböben, gad).

*    merhstoände, ßänge- und Spreng-

merhe. Alii 169 Abbild. Ar. 489.

SBolfrant oon (ffcf>enbad>. S5art= mann o. Aue, Söolfram o. <£f феп= Ьаф und Gottfried oon ©traf}= bürg. Ausmal)! aus dem höf. ©pos mit Anmerkungen und АЗог1егЬиф oon Dr. К. Alarold, 'profeffor am Königl. griedricbskolleg. зи Königsberg i. 'pr.

Söörterbuch nact) der neuen deut* fcfjen 2tecf)tfct)reibung oon Dr.

ßeinrid) Klenj. Ar. 200.

—    ©eulfcfecs, oon Dr. Aidjard ßoeme in Verlin. Ar. 64.

—    Secfynifcfees, enthaltend die ю1фйд-ften Ausdrücke des Alafehinenbaues, Schiffbaues und der Ślehtrotedjnik oon ©пф Krebs tn Verlin. 1. Seil: Феи1|ф-©пд1Иф. Ar. 395.

--11. Seil: ©nglifdj-Veutfch. Ar. 396.

--III. Seil: 2)eutfd)*grait3öf. Ar.453.

--lV.Seil: gran3öf.-©eutfd). Ar.454.

SGürtiemberg. SBürtfembergifcfee ©efcfeictjte o. Dr. Karl A3el!er, Vrof. a. Karlsgpmnaf. i. Stuttgart. Ar. 462.

—    Öandeshunde des Königreichs SBürttemberg oon Dr. К. ßaffert, Profeffor der ©cographie an der ßanbelsl)od)fd)u!e in Köln. АШ16 Vollbildern und 1 Karte. Ar. 157.

Ccicfyenfchute oon *profeffor K. Kim-mid) in Alm. Alit 18 tafeln in Son-, garben- und ©olddruck und 200 Voll- und Sejfbildern. Ar. 39.

Ceicfynen, ©eomcirifcljes,

Vecker, Architekt und ßebrer

--II: Sächer, A3anbbekleidungen,

Sim5fd)alungen, Vloch«, Vohlen- und Vreffermände, 3äune, Süren, Sore, Sribüneit und Vaugerüfte. Alit 167 Abbildungen. Ar. 490. Cioilproàefsredit, ©euifcfees, oon Vrofeffor Dr. Ałilhelm Kifd) in Strafe-bürg i. <£. 3 Vände. Ar. 428-430.

Coologie, ©efcfeichte der, oon 'prof. Dr. Aub. Vurckfeardt. Ar. 357.

Cünbtoaren oon ©irektor Dr. Alfons Vufard, Vorftand des Städtlfchen ©hemifchen ßaboratoriums in Stuttgart. Ar. 109.

Cœangsoerffeigerung, Sie, und die Cœangsoerœaltung oon Dr. g.

Krefefcfemar, Oberlandesgerichtsra! in ©resben. Ar. 523.

Cœirnerei. ЗЭДЦ s Gnduflrf e I : Spinnerei und Ctoirnerei oon

'prof. Alaf ©iirtler, ©efe. Aegierungs-rat im Königl. ßandesgemerbeaml зи Verlin. Alit 39 giguren. Ar. 184.

2J3eifere Sünde find in Sorbereifung.

(Sammlung

(Schubert

Sammlung malf)emafifcf)er Cef)rbücf)er,

bic, auf miffenfcfyaftlicfyer ©runblage berufyenö, bert 33ebürfnifjen bes Çrahtihers %dmung tragen unb ßualeid) burd) eine leid)ffaf$ltd)e 3)arfteüung be5 Gtoffs and) für ben$hd)ffad)mann nerftänbltd) finb.

93er3etd)nte ber bis jefjt erfct)ienenen Sänbe:

1 elementare QlriiFjmelih und 2l!e

Profeffor Dr. Kermann in Kamburg. 2. Qluflage.

gebra oon

Säubert ©eb. QU. 2.80.

7    ebene ©eometrie der Gage non

Prof. ^Dr^Qîub. Q3öger in Kamburg.

elementare planimetrie oon Pro* feffor OB. Pflieger in QUünfter i. ©. ©eb. QU. 4.80.

ebene und fpfyärifcQe Srigono* metrie oon Dr. g. Śobnert in Kam-burg. 2. Qluflage. ©eb. QU. 2.—.

4    elementare Gtereometrie o. Dr.

33ognert in Kamburg. 2. Qluflage.

5    SHedere 2!natpfis I. Deil: Slom= binaforih, Qöafjrfctyeinlidjfceits* rect)nung, Sleitenbriicfye und dio* ptyanlifcÇe ©Ieid)ungen oon prof. Dr. Kermann Schubert in Kamburg. 2. Qluflage. ©eb. QU. 3.60.

6    Qllgebra mit (Sinfcfyluft der eie* mentaren Oafytentfyeorie non Dr. Otto Punb in Qllfona. ©eb. QU. 4.40.

8    2tnati)iifd)e©eometriederebene

oon profeffor Dr. QUaj Simon in Strafcburg. ©eb. QU. 6.—.

9    Qtnatpt. ©eometrie des QXaumes I. Seil: ©crabe, ebene» Singe!

oon profeffor Dr. QUaj Simon in Strasburg. ©eb. QU. 4.—.

10    Differentiale und Ontegralrech* nung I. Deil: Differentiated)* nung oon Dr. QB. $гапз QUeçer in Königsberg. ©eb. QU. 9.—.

11    Differentiale und Gntegralred)* nung II.Seit: Gntegralrecfynung oon «Jkof. Dr. 033. 5птз QUener in Königsberg, ©eb. QU. 10.—.

12    Darfteltende ©eometrie I. Deil: eiemente der darftettenden ©eo» metric oon Dr. 3ol)n Scfcröber in Hamburg, ©eb. QU. 5—.

6ammlung бфиЬег!

oon <£ro-ßannooer.

mann m

fturoen und debtor Dr.

Sîürfingen unb Kommereil in ©eb. Ж 4.80.

SO (gllipiifcfye Situationen I. Seil: Sfyeorie der ellipfifcfyen gutth* fionen aus analqfifcfyen 2lus* driiehen enfmidtclf oon ^Srofeffor Dr. Karl 23oehm in Keibelberg. ©eb. Ш 8.60.

39

13    Sifferentialgleid)ungen^oon фго|.

2. dluflage. ©eb. Ш1. 8.—.

14    gßrasts der ©fcicf)ungen feffor Dr. ©. <Kunge in :

©eb. 52Î. 5.20.

15    ISinleifung in die 2lffronomie o. Dr. Ш. non glotoro in $ofsbam. ШШ 1 Safel. ©eb. Ж 7.—.

18    ©efcifeicfyfe d. 2Rafl)emafift I. Seil non <profeffor Dr. 6. ©üntyer in Штфеп. ©eb. 9Й. 9.60.

19    2ûaf)vfd)einU(J)heii5s und 2îus* gleicfyungsrecfynung non Dr. 9br= bert легз in 28ien. ©eb. 9K. 8.—.

20    2?erfid>erungsntafl)emafihoonDr. SB. ©rofemann in SBien. ©eb. Ш1.5.—.

23 ©eodäfie non ^rof. Dr. Ш. ©aile in ^otsbam. ©eb. ЗД1. 8.—.

25 2lnalt)i. ©eomefrie des îHo urn ccii. Seil: Sie Slacken jmeifen ©rodes non *prof. Dr. SBaj 6imon in Strafeburg. ©eb. ®î. 4.40.

27    ©eontefrifcfye Sransformafionen

I.    Seil: Sie projeftfioen Srans* formaiionen nebff ü)ren 2lnwen= düngen oon ^rof. Dr. Karl ©oehle-

’ Штфеп. ©eb. Ж 10.—.

28    ©eomefrifcfye Sransformafionen

II.    Seil: Sie quadrafifcfyen und höheren, birationaien фипЬЬ iransformalionen oon Sßrofeffor Dr. Karl ©oet)lemann in Штфеп. ©eb. Ж 10.-.

29    Slligenteine Sljeorie der Staunt* glädjcn I. Seil oon

Q3ihlor Kommereil in ^rofeffor Dr. Karl Stuttgart. 2. Slufl.

3f Sfeeorie der algedraifchengunlt* fionen und ityrer Qnfegrale oon

Oberlehrer ©. ßanbfriebt in Strafe« bürg. ©eb. Ж 8.50.

32    SÇeorie und graste der Steiljen

oon ‘ïlrofeffor Dr. ©. Qtunge in Kan-nooer. ©eb. Ш 7.—.

33    2illgetttcine gormen= und On= oarianfenffyeorie I. Seil: Q3ittäre formen oon ^rofeffor Dr. SB. grana SKeper in Königsberg, ©eb. QB. 9.60.

34    Qiniengeonteirie mil 2lnu>en= düngen I. Seil oon ^rofeffor Dr. Konrab 3inbler in 3nnsbruch. ©eb. Ж 12.—.

35    9Ref)rditnenfionale ©eomefrie 1. Seil: Sie linearen Staunte

oon ^rofeffor Dr. *5}. K. Sdjoute in ©roningen. ©eb. Ш 10.—.

36    SScfyrdintenfionale ©eomefrie И. Seil: Sie 3?oli)fope oon фго-feffor Dr. <$. K. Scfeoute in ©roningen. ©eb. Ш 10.—.

37    QeÇrbuci) der 2üecQanift 1: SiU nemafift oon °Profefior Dr. Karl Keun in Karlsruhe, ©eb. Ш 8. —.

38    Slngemandle 3$ofenfialfl)eorie in elementarer Se^andlung 1. Seil

oon ‘profeffor ©. ©rimfehl in Kam* bürg. ©eb. Ш 6.—.

Sfyerntodqnamilt I. Seil oon фго-feffor Dr. SB. S3oigf in ©öttingen. ©eb. Ж 10.—.

40    2Złaff)etnafifcfye Opfih oon <pro-feffor Dr. 3. ©taffen in Kamburg. ©eb. ШÎ. 6.—.

41    Sljeorie der ©lehfriäifäf und des 2Ragnefismus I. Seil: <£lelt= froffatih und (Slefcfroltinefih oon

^rofeffor Dr. 3. ©laffen in Kamburg.

Sammlung бфиЬег!

62

42    Sl)eorie bcr (Slehtrijität unb bes Sliagnetismus II. Seil: ®tagne= tfsmus unb (Slehtromagnetismus

Don profeffor Dr. 3. klaffen in fiant-burg. ©eb. 0П. 7.-.

43    Sfyeorie ber ebenen algebraifcfyen turnen hol). Orbnung non Profeffor Dr. fieinrid) OBieleitner in pir-mafens. ©eb. an. 10.—.

44    Slltgemeine Sl)eorie ber <Haum= hürnen unb {$täci)en II. Seil non

Q^ehior Dr. OSihtor fiommerell in OUir-fingen u. Prof. Dr. fiarl fiommereü in Stuttgart. 2. Slufl. ©eb. Ж 5.80.

45    SliebercSlnalpfis II. Seil: gunh-fionen, Poten^reüjen, <Steid)uit=

gen non Prof. Dr. fiermann Sdjubert in fiamburg. 2. Olufl. ©eb. Ж 3.80.

46    Shetafunhtionen unb l)i;per= elliptifcfye Snnhfionen non Oberlehrer ©. ßanbfriebt in Sfrahburg. ©eb. Ж 4.50.

48 SJ)ertnobt)namih II. Seil non pro-feffor Dr. Ж Boigt in ©öffingen. ©eb. Ш1. 10.-.

49    aiicfyMSuhlibifcfye ©comcfne oon

Profeffor Dr. fi. ßtebmann, ОПйпфеп. ©eb. an. 6.50.

50    ©ewi>l)nlicJ)e ©ifferentialgleich* ungen beliebiger Orbnung oon

Dr. 3. fiorn, Profeffor an ber Berg-ahabemie зи ©austral, ©eb. 0П. 10.—.

51    Ciniengeometrie mit 2lntoenbun= gen II. Seil oon Prof. Dr. fionrab 3inbler in 3nnsbruA. ©eb. 0П. 8.—.

52    Sfyeorie ber geometrifcfyen Slon= ftruhiionen oon Prof. atug. Olbler in OBien. ©eb. 0П. 9.—.

53    <firunblel)ren b. neueren äafylen« tfyeorie oon ‘prof. Dr. Paul ОЗаф-mann in OBeimar. ©eb. ЗП. 6.50.

54    2lnalt>tifcf)e ©eomelrie auf ber 5lugel oon Sfubienrat Profeffor Dr. Ойф. fieger in ©resben. ©eb. Ж 4.40.

55    tibruppen» unb Subflilulionetts tljeorie oon Profeffor Dr. ©ugen Oletfo in ©iefoen. ©eb. 0П. 5.20.

56    6pe3ielle ebene turnen oon Prof. Dr. fieinrtö) SBieleifner in pir-mafens. ©eb. 0П. 12.—.

57    &ümple£=@!)mbolih oon h. h. ßeut-nanf Polanb OBeihenbödi in ßm а. $. ©eb. Ш1. 4.80.

58    Sfyeorie bes Potentials unb ber &ugelfunhtionen 1. Seil oonprof. Dr. 01. OBangerin in fialle a. 6. ©eb. 9П. 6.60.

60    Cginfiifyrung in bie Sfyeorie bcr partiellen Oiffercntialgleicfyuns

gen oon Dr. 3. fiorn, profeffor an ber 2ефп^феп йоф?фи!е in ©arm-ftabf. ©eb. an. 10.—.

61    (Slliptifcfye Sunhtionen II. Seil: Styeorie ber elliptifcfyen Onte* grale; Unthefyrproblem oon Prof. Dr. fiarl 33oehm in fieibelberg. ©eb.

an. 5.—.

0pe3ielle Slacken unb Sljeorie ber &traf)lenfi)fieme oon debtor Dr. Bihtor fiomraerett in Olürtingen unb Profeffor Dr. fiarl fiommereü in Stuttgart, ©eb. 0П. 4.80.

63 (fiefcfyichte ber 2Katl)ematih. II. Seil: Bon ©arfefius bis зиг OBenbe bes 18. ЗаЬфтЬ. 1. fiälffe: airitt)mefih, Ollgebra, Olnalpfis oon Profeffor Dr. fi. OBieleitner in pir-mafen5. ©eb. 0П. 6.50.

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(Sine рр)фо!одрфе Mnferfudjung

ООП ‘prof. Dr. S^eobali) 3tcgler gfmfte, burd)gefel)ene unb ocrbeffcrfe 3luf(age

Q3rofd)icri 9ft. 4.20, gebunben 9ft. 5.20

as ОЗиф richtet рф on alle Eebübefen jebes 6ianbes, beim es enthält gemeinoerffänbl^e Darlegungen aüerbings abftrahter ^Begriffe, bie )еЬоф fo дШсЬПф unb klar mit bem Geben unb ben Erfahrungen oerbunben finb, baf3 fie ЬаЬигф allgemein оеграпЬПф unb anßiehenb merben unb obenbrein зит <ЯафЬеп1яеп anregen. Das Eefühl non feiner erffen pi)afe als „Demuf3tfeinw bis in feine äuf3erften рйПфеп Folgerungen entmichelnb, 3eigf ber Perfaffer bas ЕдоЩфе ber 9Неп{феппаШг an тапфет unermarfeten Punhfe. 6ein QBerh über ba5 Eefiihl bebeuiet einen 5ог1(фгШ auf bem Eebieie einer gefijpben unb ипЬе{1ефПфеп Ethik.

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3ctd)enhunfi

$tetf)obifcf)e ©arftellung bes gefamten 3eid)enmefens

Unter Sltitmirhung non Ш. ШпЬе1, ßubmig £ans gifäer, Ш. gürjt, 0, ßupp, Ш. äaU, £onrab ßange, Ш. ШфоШ}ф, Stbotf ЯШег, Çaul Naumann, g. Qieife, Ш. non Saint=éeorge, £art Staatsmann, £runh, 3. 93onberlinn unb Hermann QBirtl)

töerausgegeben oon

£art £шпйф

Зшейе, oerbefferfe unb oermefyrte Auflage

^tt 1157 ШЬЬйЬипдеп im 2ЭД unb 60 £afeln in garben* unb Шф1ЬгисЬ

23 ßieferungen à 11 - unb 2 (Êinbanbbechen àl.l- ober komplett in 2 Originalleinenbänben Ш. 25—, Çrobefyeft mit 48 Seiten 2ЭД unb 4 tafeln 20 <£{.

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