WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KBAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Mit 46 Figuren im Text

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Unbestimmte Formen.

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Sammlung

seit. ©rfter Seil. №. 518. Sicht. Sbeoretifibe Sbd

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Owed unb 3ie( ber „Sammlung ®öfd>en" iff, in ®in-O jelbarftellungen cine ïtavc, leict>t»erffänblid>e unb überft(f)fli(^c ©infiiljrung in fämtticfye ©ebiefe bee <3Biffcnfc^>aft unb 3;ed)nif §u geben; in engem 9?af>men, auf ffreng miffenfd)aftlid)er ©runblage unb unter Q3e--riidf^tigung beś neueffen Stanbeé ber фоффипд be= arbeitet, foil jebeë ЗЗапЬфеп junerläfftge QSelefirung bieten. Sebeß einzelne ©ebiet iff in fid) gefc^toffenbar-geffellf, aber Ьеппоф fielen alle 93апЬфеп in innerem 3ufamntenf)ange miteinanber, fo bafj baö ©anje, menn её nollenbet porljeat. ejne pinheitlidie. fi)ffematifd)e ©arffellut

©in außfi 9îummert

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Mathematische Bibliothek aus der Sammlung Göschen.

Jedes Bändchen eleg. in Leinwand gebunden 80 Pfennig.

Geschichte der Mathematik vor. Dr. A. Sturm, Professor am Obergymnasium in Seitenstetten.    Nr. 226.

Arithmetik u. Algebra von Prof. ür. Hermann Schubert. Nr. 47.

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Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differentialrechnung m. 46 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 146.

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung m. 50 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 147.

Analytische Geometrie der Ebene mit 57 Figuren von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 65.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene mit 32 Figuren von Professor O. Th. Bürklen. Nr. 256.

Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Abbildungen von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 89.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes mit 8 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen.    Nr. 309.

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Dr. Rob. Haußner.

Darstellende Geometrie I mit 110 Figuren von Professor

--II. Mit 40 Figuren.

Nr. 142. Nr. 143.

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Wahrscheinlichkeitsrechnung von Dr. Franz Hack, Professor am Eberhard-Ludwigs-Gymnasium in Stuttgart. Mit 15 Figuren im Text.

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Fünfstellige Logarithmen von Prof. Aug. Adler, Direktor der k. k. Staatsoberrealschule in Wien.    Nr. 423.

Mathematische Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik mit 18 Fig. von Prof. 0. Th. Bürklen. Nr. 51.

Wenden!

Einleitung in die Funktionentheorie (Theorie der komplexen Zahlenreihen) von Oberlehrer Max Rose in Berlin-Wilmersdorf. Mit 10 Figuren.    Nr. 681.

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Determinanten von Paul B. Fischer, Oberlehrer an der Oberrealschule zu Oroß-Lichterfelde.    Nr.    402.

Algebraisel&e Kurven von Eugen BeuteL Oberreallehrer in Vaihingen-Enz. I. Kurvendiskussion. Mit 57 Figuren im Text.

Nr. 435.

--II: Theorie und Kurven dritter und vierter Ordnung. Mit

52 Fig. im Text.    Nr. 436.

Koordinateneyeteme von Paul B. Fischer, Oberlehrer an    der

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Einführung in die geometrische Optik von Dr. W. Hinrichs in Wilmersdorf-Berlin.    Nr.    532.

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Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn.    Nr. 58.

Vermessungskunde von Oberlehrer Dipl.-Ing. P. Werkmeister. 2 Bändchen mit 255 Abbildungen.    Nr. 468, 469.

Astronomie. Größe, Bewegung und Entfernung der Himmelskörper von A. F. Möbius, neubearbeitet von Prof. Dr. Herrn. Kobold. Is Das Planetensystem. Mit 33 Abbildungen.    Nr. 11.

--II: Kometen, Meteore und das Sternsystem. Mit 15 Figuren

Sammlung Göschen

Repetitorium und Aufgabensammlung

zur

Differentialrechnung

Von

Dr. Pr. Junker,

Rektor des Realgymnasiums und der Oberrealschule in Göppingen (Württemberg)

Mit 46 Figuren im Text

Dritte, verbesserte Auflage

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1911

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Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagsnandlung Vorbehalten

Spamersche Buchdruckerei in Leipzig

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I. Abschnitt.

Ableitungen und Differentiale erster Ordnung.

§ 1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der ein fachsten Funktionen. Beispiele 1—19 § 2. Der erste Differentialquotient. Beispiel 20 .

§ B. Übungsbeispiele 21—29.......

§ 4. Ableitung zusammengesetzter algebraischer Funktionei

von X. Beispiele 30—33 .......

§ 5. Übungsbeispiele 34 —54    .......

§ 6. Ableitung der Exponential- und logarithmischen Funk

tionen. Beispiele 55—58    ......

§ 7. Übungsbeispiele 59—74    .......

§ 8. Ableitung der trigonometrischen Funktionen. Beispiele 75- 76 ...    .......

§ 9. Übungsbeispiele 77—90    .......

§ 10. Ableitung der cyklometrischen Funktionen. Beispiele

91—93...........

§ 11. Übungsbeispiele 94—103 .    .....

§ 12. Ableitung der Funktionen von der Form x = <p (t

j = y (t). Beispiele 104—104i.....

§ 13. Übungsbeispiele 105—112.......

§ 14. Ableitungen zusammengesetzter Funktionen von x. Par tielle Ableitungen. Beispiele 113—114

§ 15. Übungsbeispiele 115—122.......

§ 16. Ableitung nicht entwickelter Funktionen von x. Bei

spiel 123..........

§ 17. Übungsbeispiele 124—133 .......

§ 18. Die logarithmische Differentiation. Beispiele 134—135 § 19. Übungsbeispiele 136—141.......

s S3 ss ss sa aa aa aaas

Inhalt.

Seite

II. Abschnitt.

Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.

§ 20, Höhere Ableitungen entwickelter Funktionen von x.

Beispiel 142..........

§ 21. Übungsbeispiele 143—165 ........

§ 22. Höhere Ableitungen nicht entwickelter Funktionen. Beispiele 166—166i ..........

§ 23. Übungsbeispiele 167—173 ........

§ 24. Höhere Ableitungen für Funktionen von der Form

X = q> (t), y = y> (t).........

§ 25. Übungsbeispiele 174r—178........

§ 26. Funktionen zweier unabhängiger Veränderlichen. Beispiel 179...........

§ 27. Übungsbeispiele 180—183 ........

III. Abschnitt.

Reihenentwicklung der Funktionen.

§ 28. Die Sätze von Taylor und Maclaurin. Beispiele 184—186 § 29. Übungsbeispiele 187—206 ........

IV. Abschnitt.

Unbestimmte Formen.

§ 30. Die unbestimmten Formen-^- und Beisp. 207—208

§ 31. Übungsbeispiele 209—227 .......

§ 32. Die unbestimmte Form 0 • oo. Beispiel 228

§ 33. Übungsbeispiele 229—234 .......

§ 34. Die unbestimmte Form oo — oo. Beispiel 235 .

§ 35. Übungsbeispiele 236—242 ......

§ 36. Die unbestimmten Formen 0°, oo°, 1°°. Beispiel 243 § 37. Übungsbeispiele 244—250 .......

Seite

41

45

V. Abschnitt.

Maxima und Minima der Funktionen.

§ 38. Maxima und Minima einer Funktion f (x). Bei

spiele 251—256 .........

§ 39. Übungsbeispiele 257—291 .......

§ 40. Maxima und Minima einer Funktion von zwei unab hängigen Veränderlichen. Beispiel 292    .

§ 41. Übungsb eispiele 293—307 ........

§ 42. Maxima und Minima mit Nebenbedingungen. Beisp. 308    70

§ 43. Übungsbeispiele 309—326 ........

56

60

66

67

71

VI. Abschnitt.

Seite

Anwendung der Differentialrechnung auf die ebene Geometrie.

82

§ 44. Tangenten und Normalen einer Kurve. Beispiele 327-831    76

87

§ 45. Übungsbeispiele 332—347 .......

91

§ 46. Asymptoten einer Kurve. Beispiele 348—350    .

§ 47. Übungsbeispiele 351—363 ........

93

§ 48. Konvexität und Konkavität der Kurven. Wendepunkte.

97

Beispiele 364—370    .........

§ 49. Übungsbeispiele’ 371—384 ........

103

§ 50. Singuläre Punkte einer Kurve. Beispiele 385—386 .    .    100

107

§ 51. Übungsbeispiele 387—409 ........

111

§ 52. Krümmungskreis und Evolute. Beispiel 410

§ 53. Übungsbeispiele 411—419........

116

118

§ 54. Die Einhüllende von Kurven- und Flächenscharen. Beispiele 420-422 ..........

§ 55. Übungsbeispiele 423-437 ........

122

§ 56. Untersuchung einzelner Kurvengleichungen. Beispiele

438—441    ...........

§ 57. Übungsbeispiele 442—462 ........

'

I. Abschnitt.

Ableitungen und Differentiale erster Ordnung.

§ 1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachsten Funktionen.

1. У = xn

dy    ₁

-J- = nx¹¹“¹

dx

2. y = axn

„ =na xn_1

xn

na

xn+1

= — пах

4.    y = /x

³r-

5.    у = /x

—1= = łx 2

2Ух

3/х²

в. у=Yx

7. у = а/х

= ахп

га

п------ —

8.    у = a у xm = ахп

9.    у = ах

4]^х³

i-i

п,-

п у х¹¹“¹

= — хп

-““F*"

am ~п =— хп

“-i

„ = ах 1 а

15. у = etgx

siii² X

10. y = ex

<*У

dx

ex

И. У = lx

12.    у = sinx

13.    у = cosx

14.    у = tgx

)>

„ = COS X

— sinx

cos^x

16. y = arc sinx

17. y = arc cosx

ł-Ł И

y 1 — X²

1 -f X²

1 + x² ■

18. y = arc tgx

19. y = arcctgx

§ 2. Der erste Differentialquotient.

Ändert sich die Funktion y = f (x) um die Größe Ду, wenn x in х + Дх übergeht, so ist

У +Ay = f (x +Дх), Ay = f (х + Дх) — f (x), woraus nach Division mit Дх folgt:

Ay _ f (x + Дх) — f (x)

Дх

Дх

Dieser Ausdruck heißt der erste Differenzenquotient, und der Grenzwert, der sich hieraus für Дх == 0 ergibt :

f (x + Д x) — f (x)

toAl.ÉZ.y-. im Дх dx

Дх

der erste Differentialquotient und speziell f (x) die erste Ableitung von f (x).

Die im Verschwinden begriffenen Größen dx und dy werden als Differentiale und insbesondere dx als das Differential des Arguments x und dy = d f (x) = f (x) dx als das Differential der Funktion у = f (x) bezeichnet.

20. Beispiel. Die Ableitung der Funktion у = ]/x zu bilden.

Man erhält у+ Ду = |x + Дх und hieraus als Differentialquotient

Aj Ух 4- Дх — /х

Лх

Ах

(Ух + Ах— /х)(Ух +Дх+/х)

Ух+Дх+Ух

Дх (Ух + Дх+Ух)

Für Д x = 0 geht derselbe in den Differentialquotienten oder in die Ableitung von у=Ух über: dy d/х 1 dx dx

2]/x *

Satz. Die Ableitung einer Konstanten ist stets gleich Null.

Aus y = a folgt y +Ду = а, Ду = 0, somit ist

-0, 5l-o.

dx

Satz. Die Ableitung der Potenz у = xn ist

dy dxn    ₁

J = — = nx“'¹

АУ

Дх

dx

dx

§ 3. Übungsbeispiele, dy

/ = 0 dx

» =1

„ = 3x² — 2x + 2 „ = ax⁴

се 1.И

X²

26.    y = a/x — ax²

4.-

27.    y = ]/x⁵= x 2^. y ==7^ =

29. y = x² Z x 0

2fx ²

a ~2 = — X Ł

СЛ

= AXT ”    4

” “m

П —-1 _ 2-т

nm,-

= —Vxn-m m r

- -T*afa

§ 4. Ableitung zusammengesetzter algebraischer Funktionen von x.

a) Satz. Konstante Faktoren dürfen bei der Differentiation vorgesetzt werden.

dy

Für y = cf(x) ist — = eff(x).

b) Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Summanden.

Aus y = f (x) + cp (x) + xp (x) + . . . folgt

dy

x² • 10 x⁹ — x¹⁰ • 2 x

о <7 dx8

X⁴

= 8x⁷ = ——.

dx

e) Ableitung einer Funktion von einer Funktion. Ist у = f(z) eine Funktion von z und z = <p(x) eine Funktion von x, so ist offenbar auch у eine Funktion von x; man sagt in diesem Falle, у sei eine Funktion von einer Funktion.

Hat man у = f (z), z = ç?(x), so ist

<*y

dz

30.    Beispiel, y = x² — 3 x⁴ + 6 x⁵ gibt

/= 2x — 1 2x³+ 3 0x⁴. c) Die Ableitung des Produkts y = f(x)<p(x) ist

ë=f!ïfoder j=w+<p?-

31.    Beispiel y = x⁵x⁶ gibt y' = x⁵ • 6 x⁵ + x⁶ • 5 x⁴ = 11 x¹⁰ =

dx⁴⁴

dx

d) Die Ableitung des Quotienten у =

<*y

dx

<p² \ ^ dx dx J

oder У —

iw. ist ?>(*) cp f — f cp'

<P

X¹⁰

32. Beispiel, у = —- gibt

X²

^(Z), S-✓<*),

woraus durch Multiplikation folgt:

33. Beispiel. Die Funktion y = (a-j-b x)n abzuleiten.

Setze y = zn, z = a + bx, dann ist d

— = n zn ~¹

dz

’ dx

— = b und

dy dy dz

_    _    — = nb zn_1 = nb (a + b x)n_1.

dx dz dx

§ 5. Übungsbeispiele.

dy

34.    y=(a + bx + cx²)n = zn — = nzn_1(b -f 2cx)

35.    y — (a² — X²)⁴

36.    y = —j--h -

a + x a — x

37.    y = /a —x

„ = — 8 x (a² — x²) 4 ax

(a² - x²)

2 ]/a — x

38. y = Уа + bx

39. y = У 2 ax

/2

ax

40. y = /2ax — x²

У 2 ax — x²

41. y = /f(x)

f(x)

2/Щ

42.    y = (x + 2)³ (x — 2)² „ = (x+2)² (x—2) (5x—2)

43.    y .= ¹ + -

Г)

44. y

x² — 2x + 4

(1 - x)

2 x² — 10 x + 2

X² — 1

(x² - l)²

dy 2 a + Зх dx —2]/a + x

45. у = x/a + x

46. у

a²

У a² — X²

47.    у = ^a² — X²

48.    у =

49.    у =

У (а² — X²)³

а³

(а² + X²)³

X² у а² — X2 6 а²х (а — х)(а²+х²)

(а³ + X³)

а + /х

(а³ + X³)³

50. у =-

а²

X + У а² + X²

Уа²+х² (]/а²+х²+х)

51. у

1 /а + Ъх

= |/ä

ab

52. у = (х — У1 — X²)² ' „ =

53. у = У а + X У а² — х² „ =

(а — b х) У а² — Ь²х2 2 (2 X² - 1)

У1 — X²

(а + х) (3 а — 7 х)

6 У а + X У (а² — X²)

54. у = ах + У (а — х)²    „ = а

§ 6. Ableitung der Exponential- und logarithmischen Funktionen.

Unter der Zahl e versteht man die Grenze der Zahlenreihe ax, a₂, % . . ., wenn an den Wert der

Zahl

ЫГ

bedeutet:

e= Hm (l + —

n = oo V    U /

Die Zahl e ist irrational und näherungsweise angegeben durch:

e-1+è ⁺ ïi ⁺ n+----2,7i82818...

Entwickelt man einen der Ausdrücke

nach dem binomischen Lehrsatz und setzt

man nachträglich in jedem Glied n = oc, so ergibt sich die unendliche Reihe für

oder

TT

¹⁺Il⁺ 2!⁺ 3!⁺"

die für jedes endliche x einen endlichen Wert hat oder konvergent ist.

Die Zahl e bildet die Grundzahl der natürlichen Logarithmen, die gewöhnlich ohne Angabe der Basis mit 1 bezeichnet werden. Man schreibt kurz la statt

loga.

Die Reihe für ex gibt abgeleitet: dex 1    2 x 3 x²

x X²

—ц-_+_₊----e«.

Satz. Die Funktion ex hat die Eigenschaft, gleich ihrer Ableitung zu sein:

dx 1! ¹ 2! ¹ 3!

dex

— = ex

dx

dex = exdx.

dy de*x

Hat man y = e*x, so ist — = —— = к e*x. Setzt J    5    dx dx

man hierin e* = a, so ist la = x le = x ; für die Ableitung der Funktion y = ax ergibt sich daher der Ausdruck:

dx dx

dex = exdx,

Satz. Die Ableitungen der Exponentialfunktionen sind : dex

dax = axladx.

dax

—— = ax la, dx

55. Beispiel, y = x³ ex -f x² ex gibt

dy

₌ (хзе* + 3x²ex) + (x²ex + 2xex) = x³ex + 4x²ex+ 2 x ex.

56. Beispiel, y = a

Setzey=az, z=/x, so folgt ^=azla, ^

dy j/T 1 somit — = a la •

2/Г

dx

2/Г

Aus у == 1 x folgt durch Potenzieren е? = x und hieraus durch Differentiieren e^ dy=dx oder ^.

Ebenso ergibt sich aus y=logx, a7=x, day= a^la dy

-,    л _ dy 1

a7la xla *

= dx, woraus folgt — = dx

X³

Satz. Die Ableitungen der logarithmischen Funktionen sind: dix

dx

dx

dix = —

dlogx 1 dx xla’

57.    Beispiel. y = l(a²-x²) = l(a + x)-fl(a-x)

■h. dy 1

dx a -f- X a — x

a

58.    Beispiel. y = xlogx gibt dy 1

di = ü + ¹⁰^-

dx

dlogI_—.

a²— x²*

59.    y = eax+^

60.    y = (ex)⁵

61.    y = x? eqx

§ 7. Übungsbeispiele.

— = « e«*+ß

dx

xP

62. y = —

„ = 5 e5x

„ = xf'¹ e'ix (p + qx) xP"¹

ex

ex (p-x)

63. У=*р(хЧ-Зх»+6х+6) „ = - 0X

64. y = а

(ea + e a)

„ = еа — e а

e2x — e~2x

65. y = 2x +

» = (e* + e-x)²

ex + l

% S=s И«1и

-1

n3 I'd

2e*

X (e* - 1)2 „ = m laamx

ax

69. y = lf(x)

a + X a —

7L y==2äl¹i+ai

72.    y = (1 — x) 1 (1 — x)

73.    у=10)/х-201(2+Ух)

1» =^Tï(xla-a) f(x)

f(x)

70. y -1

dy

- — 1 (a + x) 1 (a x), —

i-V=ï dy

a² — x²

—ai

dx a² + x2 » = - 1-1(1 -x)

74. y=31(x—5) —2 l(x-j-l)

2 + /x x + 13

x² — 4x — 5 ’

§ 8. Ableitung der trigonometrischen Funktionen. Bedeutet in Fig. 1 BA=x einen zwischen 0 und gelegenen Kreisbogen vom Radius 1, so ist

Ę.

Fig. L

Junker, Repetitorium der Differentialrechnung.

OF = cosx, BF = sinx, AE = tgx, CD = ctgx. Die Vergleichung der Dreiecke OBF und OE A mit dem Sektor OB A gibt:

sin X • cos X < X < tg X,

oder, da sin X > 0 ist,

-Д-С—.

smx cosx

cosx <

Mit unendlich abnehmendem x nähern sich die beiden äußeren Seiten dieser Ungleichung gleichzeitig der Grenze 1.

sinx

Satz. Der Quotient — endlich kleines x der Grenze 1:

nähert sich für un-

sinx

Inn-= 1.

x = 0

75. Beispiel. Die Ableitung der Funktion y = sinx zu bilden.

Es ist

ЛУ

sin (х + Дх)- sin x

Дх

= cos

. Дх sm —

Da nun lim cos

cosx und lim

. Дх sm—

-- = 1

Дх

wird, so folgt

dy dsinx dx dx

= cos x.

Allgemein ergeben sich als Ableitungen der trigonometrischen Funktionen, bzw. als deren Differentiale die Ausdrücke:

d sinx = cosx dx

d sinx

= cosx

dx

dcosx

dx

= — sinx

d cosx = — sinx dx

d tgx 1

dx

COS²X

dtgx

dx

COS²X

dctgx

dx

d ctgx = —

dx

sin² X *

sin²x

76. Beispiel. Die Funktionen y = 1 sinx und y = 1 cosx abzuleiten.

Setze y = 1 z, z = sinx, so ist

dy

dz

dz

— = cosx, also dx

dy _ cosx dx sinx

ctgx.

dy

Ebenso ist für y = 1 cosx

dx

sinx

-= — tgx.

cosx

§ 9. Übungsbeispiele.

dy

77.    y = sin(ocx + ß)

78.    J = j + -^sin2x

79.    y = ecosx

80.    y = a8inx

81.    y = tg(a X + ß)

— = л cos(<x X + ß) „ = COS²X

„ = — sinx ecos x „ = cosxlaa8inx

oc

cos² (jx X + ß)

85. y = ltgx

sin 2 X

82. y

asinx

1 -f cosx

83.    y = sinx sin(x — <x)

84.    y = 1 sin(p X -f- q)

1 + COSX „ = sin(2 X — a)

„ = p ctg(p-x + q)

dx

80. y = £tg⁴x —|tg²x —lcosx „ = tg⁵x

cos³x

cosx

2 sin²x

cosx

sin⁴x

87.    y = lsinx -f-|-cos²x

88.    y = iltg|-

89.    y = 151tg| +

sinx

sin³x

(8 cos⁴x — 25 cos²x + 15)

dy

-J- = 8

cos°x

sin⁵x

90. y «= lsinx + -J-cos²x + -J-cos⁴x

dx

Cb Cb

Kl и

COS⁵X

sinx ’

§ 10. Ableitung der cyklometrischen Funktionen. 91. Beispiel. Die Funktion y —arc sinx abzu

leiten.

Aus y = arc sin x folgt durch Umkehrung x = siny und hieraus durch Differentiation dx=cosydy, woraus sich ergibt:

dy

dx cosy y 1 _ sin²y yi — x²*

Allgemein erhält man für die Ableitungen der cyklometrischen Funktionen bzw. deren Differentiale die G-rundformeln:

92. Beispiel. Die Ableitung der Funktion

у — arc sin

■■ , zu bilden.

1 + x

Setze

X = z, dann folgt 1 — x = z² (1 + x) t i x

1 + z²

dz

2 z (1 + x)

d arc sin x

dx

d arc cos x

ii-

d arc sin x =

dx

У1 — X²

dx

y 1 — X²

d arc cos x =

dx

y 1 — x²

d arc tg x

dx

1 + x²

d arc tg x

dx

d arc ctg x

1 +x²

dx

d arc ctg x =

dx

1 + X²*

— dx = 2 z dz (1 + x) -f- z² dx, — *=

dx

z (1 + x)²

у = arc sin z

dy

dx

Pa Qj

dz

yi — z²

, somit ist

(1 + х) У 2 x — 2 x² '

93. Beispiel, y = arc (cos = p tg x).

Es folgt hieraus p tg x = cos y, somit durch Ableitung nach x

C08 ²X

dx

dy

— siny —, woraus sich ergibt:

dy

cos²x siny

cos ²x yi — p² tg²X

22 L Ableitungen und Differentiale erster Ordnung § 11. Übungsbeispiele.

94. y = arc sin a, x

dx

(X

]/l — ĆX²X²

95. y = arc cos —

x|/x² — a²

96. y = arcsin

]/a² + x²

97.    y = arc tg ^ = arc ctg x

98.    y = arc ctg

j?

a² + x²

1 + x²

y a² — x2 99. y=a arc sin ■ —Уа²—x²

•-У

]/a² — x2 a + x

100. y = arc (sin = m cos x)

msmx

У1 — m² cos ²x

101.    у == arc (tg = m ctg x)

1    x

102.    у = —arc tg—

a    a

sin²x+ni²cos²x

a² + x² *

Hieraus folgt unter Berücksichtigung der Formel 71 , x 1 _ x — ai

"'Ч'Т-П'Г+П'

eine Beziehung, die zur Umformung von Integralen dienen kann.

fly _ x + 6

dx x² + 3*

103. y = 2 /З arc tg-^L +11 (x² + 3)

уз

§ 12. Ableitung der Funktionen von der Form

x = <jp(t), y = ^(t).

Sind X und у in Funktion eines Parameters t (oder i, /л, • •.) ausgedrückt x = çp (t), у = yj (t), so ist

dx

^ = y'=v/(t) und

dy dy _ dx dx dt * dt ^ • 9^ •

104. Beispiel. Die Ellipse läßt sich darstellen durch die beiden Gleichungen:

x = a cos t, y = b sin t.

Durch Ableitung nach t folgt hieraus:

dx    .

—— = —a sm t = —

dt

^ = boost = —

bx

b ’ dt

daher ist

dy b di—-c,sl-

b² x

bx

a²y

aya² — x² ’

104x. Epicykloide:

x = (r + a) cos t — r cos у = (r -f a) sin t — r sin j t.

Man erhält hieraus:

dx

dt

= (r + a) { sin j t — sin t} = 2 (r + a) cos (^~-a)

t sin —t, 2r

105.

106.

107.

108.

I +■=>

dy

= — (r + a) { cos    t — cos t}

= 2 (r + a) sin (^r~)

t sin — t, 2r

dx

/2r + a\

= tg (“Tr“/ t *

§ 13. Übungsbeispiele.

сЗ сЗ

И ^ га но

св

na I па

II

СО

сЗ

!>w| И *0 \тЗ

со

"Si

СЯ^ СО |<м

сз Icq сз

Pii P«

•Ч и

сЗ

га |но

со |<м

-in

OJ и га

to| со

a — t X = a+t

P*l Cb

и N

= a cos t = a sin ⁸t

— 3 sin t cos t.

109. Cykloide:

( X = a (t — sin t) \ у = a(1 — cost)

(ff

CO| rt-

109-^ Allgemeinere Cykloide: J х = a t — bsint \ у == а — b cos t a (1 — cos t)

b sin t

a — b cos t *

lx =

l У = at

” sint '

§ 14. Ableitungen zusammengesetzter Funktionen von x. 25

111. Kettenlinie: x = al t

⁼!(t+ )

>>\ M ns |rd

112. Astroide:

J X = acos⁸t \ y = a sin³t

„ =—tgt

-П

§ 14. Ableitungen zusammengesetzter Funktionen von X. Partielle Ableitungen.

a) Sind u und v Funktionen von x, so heißt y =* f (u, v) eine zusammengesetzte Funktion von x, deren Ableitung nach x angegeben ist durch

dy di du öf.dv    , di di

dï_5ïdï + î;dï    ⁺

di

di

Die Ableitungen y, bzw. heißen die partiellen Ableitungen von f nach u, bzw. von f nach v. Diese werden gebildet, indem man in f das eine Mal nur u als veränderlich und v als konstant, das andere Mal v als veränderlich und u als konstant ansieht.

113. Beispiel. y = f(uv) = ~.

di

un_1 di

' $U П vn ’

un

dv    vn+15

b) Enthält f mehrere Veränderliche u, v, w, . . die selbst wieder Funktionen von x sind, ist also

y = f (u, V, w,. ..), SO ist df du di dv df d\v du dx dv dx dw dx

114. Beispiel. y = uvw,

y'rz: vwu' +WU^+UVW⁷.

§ 15. Übungsbeispiele.

115.    Ableitung einer Summe: y = u + v

dy. ÉZ._i

ÔU ' dv ’

116.    Ableitung eines Produkts: y = uv

dy

^ = u>

117.    Ableitung eines Quotienten: У =—

y'= u'+ Y.

dy

du V’

y' = Yu'+uV.

dy

ву_1

du v ’ dv v²’ 118. у = 1— = lu — lv,

/= ^|yu'—UY⁷

U⁷ Y7 ^ ⁼U “ Y ‘

119. y == i^_ü=isinu — lsinv, y⁷ = u⁷ctgu—v⁷ctgy. sm v

y⁷= Y Uv_1 U⁷+ Uvlu Y⁷. 121. y = sinu8inv, y'^y^cosYlsinu • v'+sinvctgu *u⁷}.

120. y = uv

122. y = uv vu

У =y |-^-u⁷+ lYU'-f^Y⁷-)- lUY⁷!*.

§ 16. Ableitung nicht entwickelter Funktionen von x.

Wenn die Veränderlichen x und y in nicht entwickelter Form durch die Gleichung f (x y) = 0 miteinander verbunden sind, dann berechnet sich die Ab-

. .    . dy

leitung y = — aus dx

di . t di _    _    _    di di

_dx+_dy = 0 oder aus ^- + —/=0.

Man erhält

dt ₉ öf

dx' dy'

Erklärung. Eine Funktion f (x y) differentiieren di di

heißt die Operation    У auf dieselbe anwenden.

Dies geschieht am einfachsten, indem man jedes Glied derselben nach der obigen Formel behandelt.

123. Beispiel.

f (xy) = x² — 3xy + y²— 2x — 3y + l= 0,

di

di

dx

2 x — 3 у — 2 , — = — 3x + 2y — 3,

2    x — 3 у — 2

3    x — 2 у + 3 *

Indem man gliedweise differentiiert, erhält man 2x — 3y — 3xy' + 2yy/ — 2 — 3^=0, also auch

2    x — 3 у — 2

3    x — 2 у + 3 '

§ 17. Übungsbeispiele.

124. f =

x² y²

^ + p-1 = °;

b²x

di    2x    di

dx    а² ’ dy    b²

bx

a² У a Va² — x²

di

di

125. f = x² + y² — X³, -g— = 2x — 3 X²,3— = 2y,

дУ

126.

2]/x — 1

f = (x² + У²)² — a² (x² — y²) = 0,

df

<9f

■fe = 2 x (2 x² -f- 2 y² — а²),    = 2 у (2 x² -f 2 y² -f a²),

c'y

x(2x²+ 2 y² —a²) y (2 x² + 2 y² + a²) '

°’lb2x’'

у'-дг-

Die folgenden Gleichungen sollen nach x differen-tiiert und alsdann nach y' aufgelöst werden.

f = (x + y)³ — axy = 0,

3 (x + y)² + B(x + y)²/—ay — ax/=0,

3(x + y)² — ay 3 (x + y)² — a x

У² .л 2x ² у У a² b²    ’a² b²

—    __L

³ =0, f x ³ +f y ⁸ /= 0, / = -

127. f = x² — аУ =

128.

/= —

X²

129. f = —

130. f = x³ +y³ -

ôî

аУ1а==—x²la,

y.,    —y

x 2y —x'

„ ». b'*

131.

f = a² y² — (a — x) (a + x)³ = 0 ,

2 a² у У + (a -f x)³ — 3 (a — x) (a + x)² = 0 - 2 x

t—

] a —x

132.

, a

y = -

f = (x - a)² + (y - b)² - r² = 0, 2(x-a)+ 2(y — b)y'=0,

у — b*

133.

f = r² — a² cos ² (p — b² sin² cp = 0 ,

2 ri⁷ + 2 a²cos99sinç? — 2 b²sin9s>eosç? = О

i*,= -

-^-(а² — b²)cos9?sin<p = — ^(а² — b²) sin2<p.

§ 18. Die logarithmische Differentiation.

Die logarithmische Differentiation wird mit Vorteil angewendet, wenn es sich darum handelt, den Differentialquotienten von Funktionen folgender Art zu bilden:

a) y = uv. Indem man beiderseits logarithmiert, folgt ly = y lu und hieraus durch Differentiation nach x

y    у

— = — u' -f- V⁷ lu, woraus sich ergibt У    1*

У = у ^ u' + V⁷ luj = uv ^ u' + y⁷ luj .

hieraus

134. Beispiel. Aus у = xx folgt ly = xlx und У = хх (lx + 1).

F" ⁺¹’

b) y = u y w.. . Indem man beiderseits logarithmiert, folgt

Diese Gleichung abgeleitet, gibt

y⁷ xi⁷ V⁷ W⁷

— =--1---1----woraus folgt

135. Beispiel, у = x (x — а) /x — b,

ly == lx + 1 (x — a) + -1-1 (x — b),

. __ _

у x^x — a"r2(x — b)’

У⁷

5x² — 3ax — 4bx-f2ab

2 Ух — b

§ 19. Übungsbeispiele.

136.

g-Üa-n-

137. y = (a + bx)x,

dy

= (a -f- bx)xl(a + bx) -f bx(a + bx)¹”¹.

dy

138. у = (sin x)¹, dx

—- = (sin x)x {1 sin x + x ctg x} .

1-X

139. у

-(4§

¹⁺¹ dy _    2 у

’ dx (1 + x)²

x-2

140. y = (xx~¹)    ,

dy

dx

= y((2x—З)1х + У (x² — 3x + 2)|.

II. Abschnitt

Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung.

§ 20. Höhere Ableitungen entwickelter Funktionen von x.

a) Wird die Funktion y==f(x) einmal, zweimal, dreimal, .. ., n-mal nach x abgeleitet, so erhält man den ersten, zweiten, dritten,. . nten Differentialquotienten oder auch die erste, zweite, dritte, . . nte Ableitung von f(x), welche bezeichnet werden mit

dy

dy^dSy dx dx² ⁷

•j

y = X³ (x — l)³ (x+ l)² ,

ly = llx + fl(x- l) + |l(x+ 1),

/==J_L + _?

v \з x ' 3 (x — 1)    2 (x + 1).

141.

9x² + x— 2

6 x³ — 6 x

₌ ^³У _ y"' = f" (x) dx² dx³ y

= y(n) = f (n) (x) .

142. Beispiel. Die drei ersten Ableitungen der x^

Funktion y = — zu bilden. ex

Man erhält y = ~ (4 x³ — x⁴)

ex

y" = — (12 x² — 8 x³ + x⁴),

ex

y"' = — (24 x — 36 X² + 12 X³ — X⁴).

ex

b) Satz. Die nte Ableitung der Potenz y = xn ist dn (xn)

y(n) =

y dxn

= n (n — 1) (n — 2) ... 3 • 2 • 1 = n !

c) Satz. Die nte Ableitung der Funktion у = lx ist

0=(- lr-Mn -l)!!-».

d)    Satz. Die nten Ableitungen der Funktionen у = ax bezw. у = ex

dn ex

= ax (Ia)n bezw. —

e)    Satz. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen у = cosx, у = sinx sind periodisch. Man erhält allgemein

dn cos X

sind

dnax

dxn

= ex.

dxn

= cos

(i+nî)

dn sin X

dxn

f) Satz von Leibniz. Die nte Ableitung des Produkts y = uv ist

u(n - 2)    .. e uy(n).

y(n)

— u(n) y + ^ j u(n~*) y/+

§ 21. Übungsbeispiele.

Die erste und zweite Ableitung folgender Funktionen zu berechnen.

143. y = 2 X³ — 9 X² + 12 X, y/= 6 X² — 18x + 12 ,

y" = 12 X — 18.

1    Ч    12

X*’

144. y = 3x + i,    y" =

145. y = X⁴ + fax³ — 2 a²x² — 8 a³x, y/=4x³+8ax² —4a²x—8 a³, y//=12x²+16ax—4a².

146. y = (x + a) ]/a² — x², y'

a² — ax — 2 X²

Уа² — X²

У"

2 x³ — 3 a²x — a³

y (a² - x²)

147. y =xex, y'=xex + ex, y"=xex + 2ex.

4xla x²(la)

x²

148. y = -

ax ’

ax

ax

ax

oder

149. y =

У = У (la)²    4 y ^ + —.

(l-lx), У"=^₈(21х-з).

150. y = xx, y/=y(l+lx), y"=xx(l+lx)² + xx~¹. Nur die zweite Ableitung folgender Funktionen zu

bilden.

151. у = У2px

d²y

dx² 2xy*

152. у = Уа + х + Уа —x „ = — ł|(a + x)

N>| OO

+ (a - x)

t®5 C»

153. у = xax

axla{ 2 + xla} .

Junker, Repetitorium der Differentialrechnung.

à²J ^ 1 dx² X

154. y = xlx

155. y = ltgx

cos² X sin²x *

156. y = arc sin x

157.    y = arc tg —

158.    y = xarcsinx + ]/l — x² „ =

|/( 1 — X²)³

2 ax

(a² -f- x²)² *

yi — x²

Die dritte Ableitung folgender Funktionen zu bilden.

159. y — x⁷

d³y

di = ⁷*⁶-5x4-

160. y = ]/x

1.3-

~~wx ’

161. y = 1(1 — x)

(l-x)³‘

Die nte Ableitung folgender Funktionen zu berechnen.

162. y = xex

dny

— = xe*+ne*.

163.    y = l(x-a) „ = (— 1)

164.    y = ax

П-1

(n - 1)!

(x — a)n '

¹⁶⁵-у “ iTTbi ”

„ = ax (la)n.

= (— l)n-1n ! b”_1

(a + bx)n+1

§ 22. Höhere Ableitungen nicht entwickelter Funktionen.

a) Sind in f (x y) = 0 die Veränderlichen x und y in nicht entwickelter Form miteinander verbunden, so gewinnt man nach § 16 die erste Ableitung У aus

dt . Si , n . di di di di

wo die partiellen Ableitungen    ebenfalls Funk

tionen von x und y sind. Diese können deshalb wiederum nach x und y partiell abgeleitet werden und man gelangt auf diese Weise zu den partiellen Ableitungen 2ter Ordnung

a*L

dx

d—

dx dx²'

dtl

dH dj ₌ dH dx    dydx⁹

dx

d—

usw.

_ d²i dy _ dH

dy ~ dxdy’ dy ~ dy2 Für die einfachen Funktionen gilt hierbei der Satz. Wird eine Funktion f(xy) mehrfach nach x und y partiell abgeleitet, so ist es gleichgültig, in welcher Reihenfolge dies geschieht.

dH

dH

Es ist demnach beispielsweise d²i dH dH

usw.

dxdy dydx’ dx² dy dxdydx dydx²'

166. Beispiel. f(xy) = x⁵-6x³y²-y⁴x,

dy

= 5 x⁴ 18 x² y² — y⁴,    = — 12 x³ у — 4 y³ x.

36 П. Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung. Hieraus folgt weiter:

dH

дх ду

= — 36 X² у — 4 у⁸

dH

дЧ

— 72 ху = •

дх ду дх b) Wird die Gleichung

dydx'

_ еч

dx²dy    dydx²‘

дЧ

dt , di , л

^ + ^У=0

weiter differentiiert unter der Annahme, daß У nur eine Funktion von x allein, oder daß

dy'

dy

so gelangt man zu folgendem Ausdruck:

dH

5Ï5 + ²

d² i

dH

dt

дх ду

Г + щ-,У’ + --Г-о,

ду

aus dem sich nach Substitution von У = — für y" der Wert ergibt

dî_ ' di дх ’ ду

d²y

— = y" dx² *

№*_ о

dx² \dy)

dH di dt    dH idi\²

dxdy dx dy    dy²\dx)

Durch fortgesetzte Differentiation des vorstehenden Ausdrucks erhält man у"', у(IV), . . . , wobei wieder zu beachten ist, daß y⁷, y", y⁷⁷⁷, . . . nur als Funktionen von x allein anzusehen sind und daß demgemäß

folgt

У"

д/ _ dj" _ 6f" _ ej~ Sj ~ dj

166!- Beispiel. Aus f=(x—a)²+(y—b)²—r²= 0 (x — a) -)- (y — b) У =0 und hieraus 1 +У/2 + (У — b)y" = 0 3y/y"+(y — b)y"'=0

Г²

_=__    v'"

(y-b)³’ y

. = 0 ist

r=

y-b’ y

= - 3 r² —

(y —b)⁵'

§ 23. Übungsbeispiele.

Die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von folgenden Funktionen zu bilden.

di

167. f=x²+xy—2y²—4x—2y = 0, —= 2x+y—4,

dx

dî

дЧ

дЧ

64

-4.

ду Х 4у 2’ дх² 2’ дхду *’ ду²

168. f = x³ + y⁸ —Зху —х = 0, |1=3х²—Зу—1,

„ дЧ „

-³’ ^ У‘

ôf

ô²f

_. = 3у² —Зх, ^i=6x,

a²f

с>х ду

169. f = х⁸ + у ³ — а⁸ = 0,

Лт    »

ôf

0у“|У *’

ô²f

^i = -łx

со

дЧ

’ ô^⁻⁰’

ô²f    » -T

-|y *•

Ôy²

dt

di

170. f=y—хеУ+х=0, —=—еУ+l, 3^=1—хеУ,

дЧ

дЧ

дЧ

Sx² 0¹ Sx dy е ’ dy²

= — X еУ.

Die folgenden Gleichungen zweimal zu differentiieren und daraus У und y" zu berechnen.

171. f=y²—2px=0, 2yy'—2p=0 oder yy'—p=0,

X² y²

¹⁷²‘ f “    + b* “ ¹ = ⁰ ’

0 oder

2 УУ'

a²

b²

- + ^=0 a² ‘ b² Uj

1 ! У/2 + УУ//_ ₀

b²

y' =

b²x

y" =

b⁴

a²y³ *

173. f = x² + y² — a²= 0 ,    2x-f-2yy/=0 oder

x + y/=0,    1 +y,²+yy"=0, y' =

a²

1 +y'²

У³’

§ 24. Höhere Ableitungen für Funktionen von der Form x — €p (t), у = гр (t).

Nach § 13 ist die erste Ableitung

dy dy dx ,    ,

äi“dt:dt“V :<P*

Wird auf beiden Seiten nach x weiter differentiiert, so entsteht

d²y d (xp'icp') d (xp'icp') dt dt dx

dx²

dx

cp' xp"—xp'cp" dt

cp'²

dx

oder, wenn man berücksichtigt, daß dt    dx

— =1:- = 1;Ç.' ist,

d² у cp' Ц>" — ip' cp" dx²

9/³

§ 25. Übungsbeispiele.

174. Ellipse: x = acost, y = bsint,

dx

— = —asint, — = bcost,

Q t

dt

d²x

d²y

dt₂=-acost, _ = -bsmt,

d²y ab sin²t + ab cos²t

b⁴

dx²

— a³ sin³t

a² sin³t

175. Cykloide:

dx

dt

a² y³ *

a (t — sin t), y = a (1 — cos t), d²x

—— = a sin t, ——— = a sin t

dt

dt²

d²y

dt²

a cos t

d²y

dx²

a (1 — cos t)²

4 a sin ⁴

(t)⁻

176. Epicykloide :

X = c cos t —

г cos — t, у = c sin t — r sin — t, c + r

p о.

= tg

2r tj

c-j-r

4cr

0 + r . c —r —— t • sm —— t 2r    2 r

177. x = cos t + t sin t, у = sin t — t cos t,

cos³

dx = tgt’

d²y

dx² tcos³t*

dy

— = —- 2 cos t sin t = — sin 21,

d²x , . dp" = — d sin 21,

178. x = sin2t, у == cos²1 dx

— = 2 cos 2 t, dt    dt

У—- itgt

2 cos³2t "

^J = -2cos2t, y" =

§ 26. Funktionen zweier unabhängiger Veränderlichen.

Ist z = f (x y) eine Funktion der beiden unabhängigen Veränderlichen x und y, so heißt df <9f dz = öidx + ^dy

das totale Differential derselben und ebenso

dH

дЧ

d²z = ^(dx)² + 2

das totale Differential zweiter Ordnung. Allgemein stellt

дЧ

dx ôj

dxdy+^(dy)²

ônî

d*f

(dx)n-1dy

йхп-¹йу

(dx)n_²(dy)² + • • • + ^(dy)n

Cb

das totale Differential der nten Ordnung der Funktion z = f (x y) dar.

179. Beispiel. z = x²+y²,

dz = 2 x dx + 2 y dy, d²z = 2 (dx)² + 2 (dy)².

§ 27. Übnngsbeispiele.

Yon nachstehenden Funktionen die totalen Differentiale erster und zweiter Ordnung zu bilden.

180.    z = x² + y²—4x—6y + 4,

dz = (2x—4) dx+(2y —6)dy, d²z = 2dx²+dy².

181.    z = x³ + y³ + axy,

dz = (3x²+ ay) dx + (3 y² + ax) dy, d²z = 6 xdx² -{- 2 adxdy + 6 y dy².

182.    z = sin x siny,

dz = cos x sin y dx + sin x cos y dy, d² z = — sin x sin y (dx)² + 2 cos x cos y dx dy — sin x siny (dy)² .

183. Das totale Differential dritter Ordnung der Funktion z = x² y ( a— x — y) zu ermitteln.

d³z = — 6 y dx³ + 3 (2 a — 6 x — 4 y) dx² dy — 12 xdxdy².

Ш. Abschnitt.

Reihenentwicklung der Funktionen.

§ 28. Die Sätze von Taylor und Maclaurin.

a) Der Taylorsche Lehrsatz. Wenn die Funktion f(x) in dem Gebiet von x bis x + h eindeutig, endlich und stetig ist, so gilt die

Reihenentwicklung

f (x + h) = f (x) + y f (x) + li f,(x) + ...

hn_1

(n — 1)!

welche als die Taylorsche Reihe bezeichnet wird. Das Restglied Rn erhält hierbei die von Cauchy herrührende Gestalt

f(n-i)(x) + Rn,

f(n)(x + tfh),

Rn = hn

(1 - fl)»-!

(n 1)!

oder auch nach Lagrange die folgende:

hn

Rn = — f(°)(x + ^h),

n!

Die Taylorsche Reihe konvergiert, wenn lim Rn = 0 ist.

n=oo

Die Reihe erhält in diesem Fall den Summenwert

f (x + h) = f (x) -f y f (x) + yf"(x) + ...

184. Beispiel. Die Funktion f(x + h) = ex+h in eine Reihe zu entwickeln. Man erhält

f (x) = ex, f (x) = f" (x) = ... = #n) (x) = ex,

f (x + h) = ex+h = ex + A ex + ^ ex + ...

ex + Rn.

hn-i

(n — 1)!

hn

o = oo

Das Restglied Rn = — ex+#h verschwindet für da für jedes endliche h die ersten Faktoren

des Produkts

do tar-

_ h h

n n — 1 n — 2 * * ’

sämtlich gleich Null werden. Daher gilt die Reihenentwicklung

= ex • eh = ex+h.

/ h h² \ f(x + h) = e*(l + - + - + ...J

b) Der Maclaurinsche Lehrsatz. Ist die Funktion f (x) samt ihren n ersten Ableitungen in dem Gebiet von x = 0 bis x = x (die Grenze 0 mit eingeschlossen) eindeutig und stetig, so gilt die Entwicklung

xn-i

(n-l)l

f (X) = f(0) + Yir(0) + Tlf,(0) + |]г(⁰) + -'-f(°-¹)(0) + Rn,

welche die „Maclaurinsche Reihe“ heißt. Das Restglied erhält hierin nach Cauchy die Gestalt

n-1

Rn = xn

(1-0)

(П — 1)!

oder auch nach Lagrange die folgende:

xn n!

Die Maclaurinsche Reihe konvergiert, wenn lim Rn = 0 ist.

n = oo

Sie hat in diesem Fall den Summenwert

185. Beispiel. f(x) = sinx. Man erhält f(x) = eosx, f"(x) = — sinx,... ; f(0) = 0, f(0) = l, f"(0) = 0, f"'(0) = — 1

Da die Funktionen sinx und cosx fur jeden Wert von 0 bis X eindeutig und stetig bleiben und sich das Restglied

y2n

R₃n=+Sin^.—,

bzw. R2n+l = + COS $x •

y2 D-)-l

(2n -(-1)!

für n = oo der Grenze 0 nähert, so gilt nach Maclaurin die unendliche Reihe

3! ^ 5!

woraus durch Differentiation nach x die weitere folgt: . x² X⁴

COSI-¹-2i ⁺ 4i-"

sinx =

186. Beispiel. Die Funktion ex nach Potenzen von x zu entwickeln.

Es ist f (x) = f" (x) = . . . = ex, woraus für x = 0 folgt f (0) = f (0) = f" (0) = ... = 1, daher ist nach Maclaurin

Y    у2 *5гВ

eX==l + jj + 2j + g-j + -.* +

xn-i

f Rn,

(n — 1) !

wo Rn nach Lagrange auf die Form gebracht werden kann:

xn

Rn = —- e^x =

n!

Da hierin für jeden endlichen Wert von x die ersten Faktoren rechts sich um so mehr der Grenze Null nähern, je größer n wird, so ist für jeden Wert von x Rn = 0 , daher gilt die Entwicklung

■xr у 2    -y-3

eX==1+ïT ⁺ 2! ⁺ 3! ⁺ *--

Setzt man

ax = (ela)x = e*la, so geht obige Formel über in die Reihe

a*₌l₊^₊ (xla)² . (xla)

1!

2!

3!

die ebenfalls für jeden endlichen Wert von x \kon-vergiert.

§ 29. Übungsbeispiele.

187. Die Funktion f (x) = (a + x)k in eine Potenzreihe zu entwickeln. Man erhält

f (x) = к (a + x)k_1, f" (x) = к (к — 1) (а + x)k~², . . f(0) = ak, f (0) = kak_1, f"(0) = k(k - l)ak-²,. . . Es ist daher nach Maclaurin

(a + x)k = ak +

к-1

ak-² x² -f- ...

Diese Reihe ist als „Binomial reihe“ bekannt. 188. f (x) = У1 + x zu entwickeln.

yr+^=i+i-Y-

1 • 3 x³

1_ x2 2!

1 • 3 • 5 x⁴

^ 2⁸    ' 3!

189. Nachzuweisen, daß die Reihenentwicklung gilt:

1 • 3 •

. 7 X⁴

2⁴

4!

190.    Wie lassen sich hieraus die entsprechenden

1    __L

Entwicklungen für (a + x)² und (a — x) ² herleiten?

191.    Die Funktion f (x) = (1 + ex)² in eine Potenzreihe zu entwickeln.

(1 + e*)* = 4 + (2 + 2)± + (2 + 2*) || + (2 + 2s) — + ...+ Rn

3!

Xn

wo Rn = —y (2 e^x + 2n e²^*) ist, 0<^<1.

Mit unendlich wachsendem n wird Rn = 0, welchen Wert auch x annehmen mag. Die Reihe konvergiert also für jeden endlichen Wert von x.

192. Die Reihe für

f(x) = ex + e-x= 2 + 2^+ 2 . — + ... +Rn.

2!

4!

Rn =

■v2n

2

(2 n) !

Auch hier sieht man, daß Rn = 0 für n = oo.

193. Welche Reihe folgt hieraus durch beiderseitige Ableitung nach x?

ex — e~x =

²n⁺²t! ⁺ -'* + Bn’

xn

wo

Rn = 2 —- (e^x — e~^x)

n!

ist.

194.    Wenn f(x+l) = 3x²-4x ist, soll t(x— 2) gebildet werden.

Setze X -f 1 = y, so ist x — 2 = y — 3 und f (У) = 3(y- 1)2 - 4(y- 1) = 3y² - 10y + 7 , woraus folgt f (y) = 6 y — 10 , î" (y) = 6 . Daher ist f (y — 3) = 3 y² — 10 y + 7 — 3 (6 y — 10) + f • 6 = 3 y² — 28 y + 64 oder f (x - 2) = 3 (x + l)² - 28 (x + 1) + 64 .

195.    Wenn f(x) = x³ — 7 x² + 2 x ist, soll ent-wickelt werden

f (x + 5) = f (x) + ł f (X) +    + . . .

= x³ — 7 x² + 2 x + 5 (3 x² — 14 x + 2) + ¥(6x-14) + ^.6 = x³ + 8 x² + 7 x - 40.

196.    Die Reihe für sin (x + oc) zu entwickeln.

X    X²    X³

sin(x+&) = sina + — cosoc — — sin л; — — cos# + ...

1    и !    о !

197. Die Reihe für cos(x-f oc) ist ebenso cos (x -f- oc) = cos# — sin# — — cos# d sin (x + oc)

X²

X³

+ — sin oc — .. .

3!

dx

198. Zu beweisen, daß die Entwicklung gilt:

Y y3    "Y"7

arctgx = ^-| ₊ ^_^ + ...

199. Zu beweisen, daß die Entwicklung gilt:

г®    x³

— 2³—- + 2⁵^- — 2⁷—+ ...

sin²x =

X²

² 2!

200.    Entwickle analoge Reihen für cos²x, sin³x, cos³x,.. .

201.    Die Reihe für f (x) = sin (x + <x) cos (x + a).

4!

6!

8!

f (x) = -i sin 2 ос + ^ cos 2 oc — 2 ~ sin 2 <x — 2²^-cos 2 л 2    1    21    о !

+ 2³ sin 2 oc + 2⁴ cos 2 <x — ...

4!

5!

202.    Durch Reihenentwicklung nachzuweisen, daß die Gleichungen gelten :

einx _ (cos x + i sin x)n = cos n x + i sin n x.

203.    Die Reihe für l(a + x).

Für а = 1 folgt hieraus

V    t8

Kl+s)=T-¥+3

x*

-J ⁺ “‘

und wenn hierin — x statt x gesetzt wird :

x² x³ X⁴

2" ~ T ’

Beide geben subtrahiert die weitere Reihe

l+j=²(ł+f+f+-)-i

und x = -—

l(l-x)—Î-

aus denen sich für x =

2n + 1

2n

§ 29. Ubungsbeispiele. die Formeln herleiten lassen:

Цп+l) ln+²(2n +1 ' 3(2n+l)³ ' l(n + l) = ln + i--ii + ^-i^+..

die zur Berechnung des natürlichen Logarithmus der Zahl (n + 1) aus dem von n verwendet werden können. 204. Nachzuweisen, daß die Entwicklung gilt

1(1 + x)

1 +x

= ł * - (ł + ł) X² + (ł + ł + i) X³ — ...

205. Entwickle die Funktionen arc sin x und arc tg x nach Potenzen von x.

x^

arc sin x = x + \ • -«* +

О

1 • 3 x® ₊

2-4    5

1 * 3 * 5 x⁷

2.4*67

arc tg X =

•hI«

"mI*

206. Die Funktion f (x) = (arc sin x)² in eine Potenzreihe zu entwickeln.

X²

CO

Junker, Repetitorium der Differentialrechnung.

IV. Abschnitt.

Unbestimmte Formen.

§ 30. Die unbestimmten Formen

Ol О

und

Wenn sich die Funktionen f (x) und <p (x) für x = a entweder beide der Grenze Null oder beide der Grenze

f (x)

oo nähern, so tritt ihr Quotient F (x) = —y- in der

<P (x)

unbestimmten Form $ oder ^ auf. Die Methode des Differentiierens liefert ein einfaches Mittel, den wahren Wert dieses Quotienten zu ermitteln. Es gilt hierfür der Satz: Erhält die gebrochene Funktion

F(x) =

f(x)

<P (x)

für x = a die unbestimmte Form -g- oder so findet man ihren wahren Wert, indem man Zähler und Nenner differentiiert und nachträglich x = a setzt.

f(x)

ç/(x)'

F (a) = lim

Werden auch die beiden Ableitungen f (x) und 9/ (x) für x = a beide gleich 0 oder beide gleich 00, so differentiiere man in derselben Weise weiter. Der Wert von F(a) ist dann angegeben durch

F (a) = lim

f"(x)

ç/'(x)

usw.

207. Beispiel.

1 — cos X

F(x) =

X²

,    F(0) = f = lim

sin X

x=o 2 X

= lim

cosx

208. Beispiel.

x=0

F(x)

alx

Isinx’

F(0) = ^ = a-= a

w    eosx

sinx

xcosx

-ł

sinx

a cosx

= lim

X-0 cosx — xsmx

a.

209. F (x) =

210. „

211. „ =

212. „ =

§ 31. Übungsbeispiele.

X⁸ — 1 X⁷- 1

X² - 3 X + 2 X² + 2 X — 8 x³ + 2 x² — 8x + 5 4x⁴ —3x³—x²—2x+2 У X² —{— 9 — 5

F (2) = £ •

213.

x² —x — 12 x — sinx

214.    „ =

1 — cosx X² cosx

F (0) = 0.

215.    „

cos x — 1 1 — sinx + cosx

F(0) = - 2.

sin 2 x — cos x

216. F (x) =

e* — e-x

F (0) = 2.

217.    „

ex —ax

F (0) = 1 - la.

218. „

lcosx

F (0) = 0.

219.

(x- 2)²—x arc sin (x-2)

F (2) = - 2.

220.

221.

2 sin²x — 3 sin x + 1 F (x = arc sin -£-) 4 sin²x + 4 sin x — 3 sin x — x ecosx

= -ł-

1 — sin x — cos x

F (0) = e — 1.

222.

Ух³ — г³

^Х—Ух³ —г³

F (г) = — г.

223.    „

1х

хп

F (оо) = 0.

224.    „

хп

= ОО .

225.    „

tgmx

226. „

tgnx

l(a + bx)m 1 (с + d x)n

(?)= •

F(oo) =

227.    „

1 (sin x — sia л)

l(tgx — tgoc)

F (a) = 1.

§ 32. Die unbestimmte Form 0 • oo.

Erscheint das Produkt F (x) = f (x) cp (x) für x = a in der unbestimmten Form 0 • oo, so setze man

oto

oo J

dann ergibt sich für x = a entweder die Form F(a) = £ oder F (a) = — die nach § 30 weiter zu behandeln ist 228. Beispiel.

F(x) = xlx, F (0) = limxlx = 0 • oo

x=0

lx

= lim — =

x = 0 1

~ = lim = 0 .

x=o — 1

X*

§ 33. Übungsbeispiele.

229. F(x) = sin#xlx

F (0) = Q.

230.    „ =ctg(x—a)l{l —sin(x—a)}    F(a)=-—1.

231.    „

= (x + a)l(l+

F (ex?) = a.

F(3)

232.    „ = (x — 3) etgnx

§ 34. Die unbestimmte Form oo — oo.

Werden in der Funktion F (x) = f (x) — cp (x) die Funktionen f (x) und <p (x) für x = a beide unendlich, so erscheint dieselbe in der unbestimmten Form oo —oo. In diesem Fall setze man

L

|X)J

,w

¥» (*) *(*)

f(x)g?(x)

wo nun F (x) für x = a die Gestalt -g- annimmt, die nach § 30 weiter zu behandeln ist.

235. Beispiel. Е(х) = -т1--—, F(0)

sin X X

Л    ,.    1

= # = lim ——j-

x=o smx + icosx

sin x

= oo—oo

— sin x

= lim —    .

x=o xsmx

— COS X

= lim

x=o 2 cosx — xsinx

0.

§ 35. Übungsbeispiele.

236. F (x)

sin x ex — 1

F(0) = ł-

237.    „    =

1 — COS X 1 (x + 1)

F (0) = oo.

238.    „    =

ex — 1

F(0) = i.

239.    „    =

x — 2    1 (x — 1)

F(2)--+ .

240. F (x)

arc sin (x - a)    yx2 _ a2

x² + 3

— X²

241.    „ =3ctgx--

242.

» =tgx

sin X — sin²x

F (a) = oo.

F (0) = — 3.

<x>.

§ 36. Die unbestimmten Formen 0°, oo°, 1°°.

çj(x)

Nimmt endlich F(x) = f(x) für x = a eine der unbestimmten Formen 0°, oo°, 1°° an, so setze man

1 f (x) = 4 (x),    1F (x) = yj (x) oder F (x) = e^;

dann erscheint die Funktion

W = 1F(X) = fi(x)<p(x)

für x = a in allen drei Fällen in der Gestalt 0 • oo, so daß t/j(x) und damit auch F(x) nach der in § 32 angegebenen Regel ermittelt werden kann.

243. Beispiel. F (x) = xx, F(0) = 0°. Logarithmiert folgt 1F (x) = x 1 x,    1F (0) = 0 • oo

= lim x 1 x = 0,

woraus folgt F (0) = 1.

§ 37. Übungsbeispiele.

F (a) = 0 ⁰ = 1. F (0) = 0° = 1. F (0) = 0 ⁰ = 1.

244.    F (x) = (x — a):

244r „ = (sinx)x

245.    „ = (1 — cos x)8inx

246.    „ = (x — a):

F (oo) == oo⁰ = 1 .

247. F(x) = (sinx)

COS X

248.

„ =(xm —am)lx

x+a

F(oo) = oo° = em.

249.

” ⁼(¹⁺^)

250.    „ ={

COS X — cos oc

F (oo) = 1°° = ea.

}cotg(i-«) F(a)=r=e-»m«

У. Abschnitt.

Maxima und Minima der Funktionen.

§ 38. Maxima und Minima einer Funktion f(x).

a) Entwickelte Funktionen von x.

Es sei vorausgesetzt, daß die Funktion f (x) innerhalb des zu betrachtenden G-ebiets endlich und stetig veränderlich sei. Alsdann gilt die

yorschrift: Um diejenigen Werte von x zu ermitteln, welche zu einem Maximum oder Minimum von y = f(x) gehören, leite man die Funktion f(x) nach x ab und setze f (x) = 0 . Die Wurzeln dieser Gleichung sind die gesuchten Werte von x.

Irgend ein Wurzelwert x = a dieser Gleichung entspricht alsdann einem Maximum oder Minimum von f(x), je nachdem

f" (a) < 0 oder f' (a) > 0 oder f'(a) negativ oder positiv ist.

Welche geometrische Bedeutung kommt den Punkten der Kurve j = f (x) zu, für welche f (x) = 0 ist?

251.    Beispiel. Die Maxima und Minima der Funktion y = X⁴ — a²x² ^u bestimmen.

Es ist y' = f (x) = 4 X³ — 2 a² x = 0 für x = О

und x

= + 4/2, y,,= f'(x) = 12x² —2a², f'(0>

u

to| P

= —2 a², F'

(±    /2) = 4a².

Die Funktion hat somit in x = 0 ein Maximum und in x = ±|-/2 Minima.

Anmerkung. Ist für eine aus f (x) = 0 gefundene Wurzel xx f" (xx) = 0, F" (Xjl) dagegen nicht gleich Null,, so hat die Funktion in x = xx weder Max. noch Min., der betreffende Punkt ist für die Kurve y = f (x) ein Wendepunkt, dessen Tangente der X-Achse parallel ist.

So besitzt beispielsweise die Kurve у = b + (x — a)3 in P(ab) einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente.

Allgemein gilt der Satz: Die Funktion y = f(x) erhält für eine aus F (x) = 0 gefundene Wurzel x = a ein Max. oder Min., wenn die niedrigste Ableitung, welche für x = a nicht verschwindet,, von gerader Ordnung ist.

252.    Beispiel, y = b + (x — a)⁶.

У = f (x) = 6 (x — а)⁵ = 0 gibt x = а,

F (a) = F'(а) = ...== F⁵>(a) = 0,    F⁶) (a) = 6!

Die Funktion hat in x = a das Min. y = b und stellt geometrisch eine parabolische Kurve mit Flachpunkt in P (a, b) dar. (Fig 2.)

b) Gebrochene Funktionen von x.

253.    Beispiel. Die Maxima und Minima der gebrochenen Funktion y = — V I- = — zu bestimmen.

9>(x) <P

Man erhält für ein Max. oder Min. von y y' —    = о oder f cp — f qf = 0

cp

und mit Berücksichtigung dieser Bedingung f"cp - icp"

cp²

Daher ergibt sich die Regel:

bestimmen, für

Um diejenigen Werte von x zu

œ\b

ос

Fig. 2.

welche die gebrochene Funktion у =

f(x)

oder Min, wird, setze man

9 (x)

ein Max.

F (x) = f — f 9/ = 0 .

Eine Wurzel dieser Grleichung gehört alsdann zu einem Max. oder Min. von y, je nachdem für diesen Wert

F" (x) = i” cp — f cp" < 0 oder > 0 wird.

254. Beispiel. Die Maxima und Minima von

4x² - 3x + 4

zu bestimmen.

Man erhält

F(x) = 1 • (4x²—3x+4) —x(8x—3) = —4x² + 4 = 0 , X = +1 ; ferner F" (x) = — 8 x, somit F" (-f-1) = + 8 .

Die Funktion hat also für x = + 1 ein Max. und für x = — 1 ein Min.

c) Nicht entwickelte Funktionen.

Regel. Um aus f (xy) = 0 einen Maximalwert

di

von y zu bestimmen, setze man -r— = 0. Ein

ox

aus beiden Gleichungen gefundener Wert von x entspricht einem Max. oder Min. von y, je nachdem für denselben

дЧ di

negativ positiv di

gesetzt ist, daß neben = 0 nicht zugleich auch

r-

«ta-

ist, wobei voraus-

dt

dy

Ist dies der Fall, so entspricht dem gefundenen Wert von x nicht ein Max. oder Min. von y, sondern ein singulärer Punkt der Kurve, deren Gleichung f (x y) = 0 ist.

255. Beispiel. f(xy) = x³ + y³ — 3axy = 0.

di    3 -—

Man erhält = 3x² — 3ay = 0 für x = a y 2 und

S3 I CO

— 6 x : (3 y² — 3 a x) = —

hierfür y"

für x = a ]/2 .

Es ergibt sich somit für x = a ]^2 ein Max. von y. d) Funktionen von der Form x = cp (t), y = yj (t).

dH di_ _ dx² ’ dj

Soll y ein Max. oder Min. werden, so berechnet

dy

sich der zugehörige Parameter t aus — = у/ (t) = 0.

Q. t

Derselbe entspricht einem Max. oder Min. von y, wenn nicht zugleich auch <pf (t) = 0 ist, und zwar findet das

d²y

erstere, bezw. letztere statt, je nachdem ——- = yj" ^ 0

j •    Cll

oder

wird.

negativ positiv

256. Beispiel.

Es sei X — a (t — sin t), у = а (1 — cos t), dann ist

dx    V d у . d²y

— = а (1 — cos t), — = asmt, —— = a cos t. dt v    ⁷ dt    dt²    r

Aus sint = 0 folgt t = 0, я, 2я, Зя,... Da

dx

hierin für t = 0, 2 л, . . . auch — = qf (t) = 0

wird, so sind nur die Wurzeln t = я, Зтг, 5я,. . . zu gebrauchen, welche den periodisch sich wiederholenden Kulminationspunkten der Cykloide als Maxima von у entsprechen.

§ 39. Übungsbeispiele, a) Algebraische Aufgaben.

257. f (x) = 2 X³ — 9 X² + 12 X,

Min, für x = 2 .

Max. für x = 1,

258.    „

Max. für x = — 1, Min. für x = 1.

259.    „ =x⁴ + fax³—2a²x² — 8a³x,

Max. für x = — а,

Min. für x

— 2a*

X⁴

260. f (x) = —

ex

Max. fur x = 4

Min. für x = 0 .

261.    „ = xex

262. „ =

x²

ax

” X“la’ »

263.    „ =

lx

» x = e.

,    „ x—a+— ,

e

264.    „ = (x — a)x_a

265.    „ = x³ + ^x:-ajs,

Max. für x =

c3 |<M

Min. für x

20 О

266.    „ = x arc sin x + У1 — x²

267.    „ = (x—l)arctg(x—1) —-|-l(x² —2x + 2),

Min. für x = 1.

11

71

x = 0.

268.    „ = sin x,

Max. für x = (2 n + -|-) n, Min, für x = (2 n -f- f ) n.

269.    f (x) = sin x sin (x + oc),

, Min. für х = пл ——

,T ,..    , л—-oc

Max. für x = n n -j--—

Li

270.    f (x) = sinx cos (x — u),

Max. für TL=\n-\-\(x,-\-njr, Min. für х=|-я+-|-л:+пя.

271. f(x)

x² — 2x+ 3

x²+2x—3

, Max.fürx=0, Min.fürx=3.

272. „

X² — X

x³ + 5x + 6 ’

Max. für x= —/2—1 , Min. für x=/2-l .

273. f(xy) = x²(a² — x²) — a²y² = 0,

а г—

Max. und Min. von у für x = + у 2 .

и

„    =9 ay² — x (x — 3 a)² = 0,

Max. und Min. von y für x = a .

„    = (x² + y²)² — 2 axy² = 0,

3a

Max. und Min. von y für x = —.

274.

275.

276.

277.

»    = X³ — x² + y² = 0,

Max. und Min. von y für x = |-.

n

Max. von y für t = —— , 4

x = a cos t

— cos t sin t

a

278. r = 2 a(l + cos t),

Зл

Min. von y für t =

71

Max. bzw. Min. von y = r sin t für t == —- bzw. t =

ü

279. Die Zahl n in zwei Summanden zu zerlegen, für welche die Summe der pten Potenzen ein Min. wird.

s = xP + (n — x)p, Min. für X =

toi p

280. Eine ganze Funktion zweiten Grades zu bestimmen, die für x = a ein Max., bzw. Min. besitzt.

Es sei y = ос x² + ß x + у die gesuchte Funktion, dann ist

/= 2ocx + ß, y"=2oc. Für У = 0 folgt hieraus

x = —    = a oder ß = — 2 ос а.

2 ос

Die Funktion wird ein Max., bzw. Min., je nachdem oc negativ oder positiv, und lautet:

у = ocx² — 2&ax + v.

b) Geometrische Aufgaben.

281. Aus 64 Zündhölzchen ein Rechteck топ größtem Inhalt zu bilden.

F = X (32 — x), Max. für x = 16 .

282. In einen Kreis vom Radius a ein Rechteck von größtem Inhalt einzubeschreiben.

F = 4 x Уа² — x²

Max. für x =

i*-

283.    In ein gleichschenkliges Dreieck (2 a, h) ein Rechteck von größtem Inhalt einzubeschreiben.

Werden die Seiten des Rechtecks mit x und j bezeichnet, so ist (a — x) : у — a : h und

F = 2xy = —x(a-x), Max. für x =    y = —.

a    u    di

284.    In einen Halbkreis vom Radius r (Fig. 3) ein Trapez AB CD von größtem Inhalt zu zeichnen.

F = r² sin cp (1 + cos (p), Max. für <p = —

J)

ш.

Fig. 3.

285. Unter allen Kreisausschnitten vom Umfang 2 s denjenigen zu finden, dessen Inhalt ein Max. wird. Der Radius sei x, dann ist

F = x (s — x), Max. für x ==    .

и

286.    In einen geraden Kreiskegel einen zur Basis senkrechten Zylinder von größtem Inhalt zu konstruieren.

Der Grundkreisradius des Zylinders sei x, dann ist

*Дх*(г —x), Max. für x = r.

Y = 7ГХ² y =

287.    Aus einer Kugel vom Radius a einen Zylinder von größtem Inhalt herauszuschneiden.

Der Radius des Zylinders sei x, seine halbe Höhe y, dann ist y² = a² — x² und

Y = 2 я x² ]/а² — х², Мах. für х =    .

О

288.    In die Parabel у² — 2рх=0 ein gleichschenkliges Dreieck PAB (AB II y-Achse und PO = a) von größtem Inhalt einzubeschreiben. (Fig. 4.)

es leo

F = y (a — x) = (a — x)]/2 px, Max. für x =

JC

—/p+x

CL/

Fig. 4.

289. Auf der x-Achse liegen in der Entfernung a und 2 a vom Ursprung (Fig. 5) zwei Punkte A und B. Auf der y-Achse einen Punkt P zu finden, für welchen -< AP В = u ein Max. werde.

oo

•Q

cU

(p — yj,

tgu =

tgy — tgy

ay

l+tggjtgy 2 a² + y² ’

Max. für y = -£аУ2 .

TX

y .rAS

0 cl A a B

Fig. 6.

290. In einen Halbkreis vom Radius a (Fig. 6) ein gleichschenkliges Dreieck ABC von größtem Inhalt einzubeschreiben, dessen Spitze im Mittelpunkt liegt

Max. für <p =    •

4

F = a² sin cp cos cp

a Xi/ &

Fig. 6.

291. Welches Dreieck von gegebenem Umfang und gegebenem Winkel <x hat den größten Inhalt?

Das gesuchte Dreieck ist gleichschenklig und besitzt die Seiten

2 s sin ^    *

a

i + snxf

i + sinf

Janker, Repetitorium der Differentialrechnung.

§ 40. Maxima und Minima einer Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen.

Die Wertepaare von xy, für welche die Funktion z = f(xy) ein Max. oder Min. wird, berechnen sich aus den beiden Gleichungen

di

di

°>    <9y    ° ’

Einem hieraus gefundenen Wertepaare xy entspricht aber nur dann ein wirkliches Max. oder Min., wenn für dasselbe die Bedingung erfüllt wird

64 dH

dx² dy²

und zwar wird dann

<9²f

z = f (xy) ein Max., wenn ^—- < 0,

d²f

z = f(xy) ein Min., wenn -r—> 0 ist.

о xz

292. Beispiel. Die Maxima und Minima der Funktion z = X²    У ² + у (а — x) zu bestimmen.

Man erhält

dx

( dH \ \dxdy)

>0,

flf

^- = 2x-

di

für x = —

У = °>    2y + a —x = 0,

У = —

2a

Hierfür ergibt sich weiter

еч

дЧ

еч

дх²    дхду ^ ’ ду² ^ '

§ 40. Мах. и. Min.'e. Funkt. v. 2 unabhäng. Veränd. 67

daher ist für die gefundenen ЛУе^е von x und у

/ d²f \2 \dxdj)

3>0.

d²f d²f d x² dy²

2a

c8 CO

Die Funktion erhält also für x = — das Mnimum z = —

§ 41. Übmigsbeispiele.

a) Algebraische.

293. z =x²y(a —x —y), Max. für x =

to 8Э

у=т-

294. z =x⁸ + кху + у⁸,    „

295.    +    ¹

27

У’

*>

x = — у = — 3.

296. z = sin x + sin y + sin (a — x — y)

« CO

Max. für x = y =

297. z = x² + y² — 4x — 6 y + 7,

У = 3.

y = -ł-

Mn. für x = 2

298.    z = x² + y² —    4x+4y + 3,

Min. für x = f,

299.    z = ax² + by² + cx + dy + e.

C

2a ⁷

Ein Max. oder Min. ist vorhanden für x = —

y == — —, wenn ab > 0 oder a und b von gleichem

u D

Vorzeichen sind. Das erstere bzw. letztere ist der Fall, je nachdem beide negativ oder beide positiv sind.

300. Die Zahl a in drei Teile zu zerlegen, so daß das Produkt aus der ersten, dem Quadrat der zweiten und dem Kubus der dritten Zahl ein Max. werde.

z = (а — x — у) x² у³, Мах. für х = —

3

l>>

II

to| £0

301. z = sin x • sin у • sin (2 я — x — у),

1\Г    г-    2 JT

Мах. für x = у =

b) G-eometrische.

302. Aus einem Kreissektor (Fig. 7) vom Zentriwinkel oc drei gleichschenklige Dreiecke herauszuschneiden, deren Summe ein Max. werde.

Г2

— {sinx + siny + sin (a — x — у)},

w| »

а

Мах. fur х = у

Fig. 7.

303. In einen Kreis ein Dreieck von größtem Inhalt z ■einzubeschreiben. (Fig. 8.)

§ 41. Übungsbeispiele. г²

— {sin X + sin у + sin (2 n — x — y)}

2 71

Max. für x “ у = —-

Das Dreieck muß gleichseitig sein.

jcx y у <гл-х

x;

<C

Fig. 8.

304.    Dieselbe Aufgabe für ein Yiereck, Fünfeck usw. zu behandeln.

305.    Wie groß sind die Seiten eines Dreiecks von der Summe 2 s anzunehmen, wenn die Fläche desselben ein Max. werden soll?

Der Inhalt F = ]/s (s — x) (s — y) (s — x — y) wird ein Max., wenn die Seiten gleich sind.

306.    Die Kanten eines Prismas von gegebenem Inhalt a³ zu berechnen, dessen Oberfläche ein Min. werden soll.

Der Würfel hat die kleinste Oberfläche.

307.    Um einen Kreis vom Radius a ein Dreieck (Yiereck, Fünfeck usw.) von kleinstem Inhalt zu beschreiben.

§ 42. Maxima und Minima mit Nebenbedingungen.

a) Die Maxima und Minima der Funktion z = f(xy) zweier Veränderlichen x und y zu bestimmen, wenn letztere durch die Nebenbedingung cp (x y) = 0 miteinander verbunden sind.

Zur Lösung dieser Aufgabe bilde man die Funktion u = f (xy) + Я<р(ху)

cp — 0

dJ

und suche x, y und Я so zu bestimmen, daß dieselbe ein Maximum oder Minimum werde. Dies ist der Fall, wenn x, y und Я den Bedingungen genügen: a (f + Я y) = Q. d (f + Я у) = 0 <9x    ⁷    r'~

woraus sich dieselben berechnen lassen.

Ein Max. oder Min. ist vorhanden, je nachdem für ein hieraus gefundenes Wertepaar xy d²z

dH

dH

dH

di

y'+^+ä^'^⁰’

wobei У und y" aus cp = 0 zu berechnen sind.

308. Beispiel. In einen Halbkreis vom Radius r ein Trapez AB CD von der Grundlinie 2r und größtem Flächeninhalt einzubeschreiben. (Fig. 3.)

Nach Fig. 3 ist der Inhalt z = у (x + r), wobei zwischen x und у die Gleichung besteht:

dx² <9x²

dx dy

daher ist

cp = x² -j- y² — г² = 0 у

у (x + r) + Я (x² + y² — r²).

Die Bedingungen für ein Max. oder Min. lauten

daher

du

=У + 2Ях = 0 , — = х+г+2Яу=0, x²+y²—r²=0

§ 42. Maxima und Minima mit Nebenbedingungen. 71

woraus folgt

уз, я = —

Уз

= — ~ (r³ + r² x + 2 x y²)

У³

Die Bedingung d²z dx²

zeigt an, daß für positive Werte von x und у stets ein Maximum vorhanden ist, wie zu erwarten war.

b) Enthält die Funktion f mehrere Veränderliche xx, x₂ . . . xn, zwischen denen die Nebenbedingungen <р± — 0, <p₂ — 0, . . ., 9?m = 0 bestehen, wo m < n ist, so bilde man die Funktion

u = f + Ях + Я₂ 9^2 “b * * * "b <Pm und suche die Maxima und Minima derselben zu bestimmen. Die Bedingungen hierfür sind angegeben durch das System der (m + n) Gleichungen

du

_ du    du

dxx

⁰⁾ ^ ⁼ ^ = 0;

<Pl r=r 0 , Cp₂ :== 0 , . . . , cp xn = 0 , woraus die (m-f-n) Unbekannten xx, x₂,... xn; Ях, Я₂,... Ят berechnet werden können.

§ 43. Übnngsbeispiele.

a) Algebraische Aufgaben.

309.    z=xy, ç?=x²-f-y²—a²=0, Max.fürx=y=-^ÿ2

и

a b

310.    z = x²-{-y² — 2xy cos oc, <p = xy--—

U

Min. für x = y = j/^.

a

311.    z = y(a — x), <p = y² — 2px = 0 , Max. fürx = —.

о

СЧ1 I CO

312.    z = x²y, 9? = ax + by — c = 0, Max. für x =    —.

а

313.    Die Zahl 64 in 2 Faktoren zu zerlegen, deren Quadratsumme ein Minimum wird.

z = X² -J- у ², (p = X у — 64 = 0 , Min. für X = у = 8 .

314.    Die Maxima und Minima der Funktionen z=x³ у2 zu ermitteln, wenn x und у durch die Gleichung

cp — x² — xy — a² = 0

verbunden sind.

Man erhält Maxima für

— a, y = 0 und x = +^/5, y = — fa/ö о

und Minima für

ев 1Ю

x = + a, у = 0 und x = — /5, y = + |a/5.

315. Die Wurzeln der Gleichung

x³ — 4x² + 5x — А = 0

sollen so bestimmt werden, daß der Koeffizient X des letzten Gliedes ein Max. oder Min. werde.

Es ergibt sich das Max.

Я = 2 für Xl = x₂ = 1, x₈ = 2

und das Min.

хз = f-

X = für x± = x₂ = % b) Geometrische Aufgaben.

316. Die kürzeste Entfernung eines Punkts P (xj yA) von dem Kreis <p = x² -f- y² — a² = 0 zu finden.

317. Den Halbmesser x eines Kreises zu bestimmen, für welchen ein Sektor vom Umfang 2 s einen möglichst großen Inhalt hat.

Die Länge des Bogens sei y, dann ist der Inhalt des Sektors

= s.

Man findet ein Max. für x = —, y

и

318. Den Halbmesser eines Kreises zu bestimmen, für welchen ein Sektor vom Inhalt U einen möglichst großen Umfang hat.

о .    ХУ

z=2x + y, <p

U = 0,

Max. für x = ]/Ü, у = 2 /Û.

319. Eine Gerade g und zwei auf derselben Seite liegende Punkte A und В sind gegeben. Auf g einen Punkt P zu finden, so daß AP + PB ein Minimum werde. (Fig. 9.)

a\

!'g\

Fig. 9.

z=AP+PB

ЖГ ?>=actg*₊bctg/*-p=0,

Min. für ос = ß. Reflexionsgesetz.

320.    Für welches dreiachsige Ellipsoid von konstanter Achsen summe 2 s ist der Inhalt ein Minimum?

J = лху Z j <p = x + y + z — s = 0,

Min. für x = y = z =    -.

J    3

Das Minimum tritt also ein, wenn das Ellipsoid in eine Kugel übergeht.

321.    Gregeben ein Winkel oc und ein Punkt P(a, b). Durch P eine Gerade AB zu ziehen, welche von dem

У)

JC

Fig. 10.

Winkelraum ein Dreieck ABO von kleinstem Inhalt -abschneidet. (Fig. 10.)

z =|x y sin & , (p = — -f- — — 1 = 0, x У

Min. für x = 2a,    y=2b.

322.    Welcher Zylinder (Kegel) von gegebener Oberfläche jra² hat den größten Inhalt?

Der Grundkreisradius des Zylinders sei x, die ‘Höhe y, dann ist

V = Trx²y, ç) = 2x²+ 2xy — a² = 0,

Max. für y = 2 x .

323.    In den Raum, der von der xy-Ebene und «dem Rotationsparaboloid, dessen Gleichung

x² + y² + 2p(z-aj-=0

§ 43. Übungsbeispiele

75

ist, begrenzt wird, einen senkrechten Kreiszylinder von größtem Inhalt einzubeschreiben.

Y = л; X² z,    = X² -f 2 p (z — a) = 0,

Max. für X =    , z =    .

и

324. Yon dem Dreieck ABC soll durch DE ein

Dreieck ADE =

— ДАВС abgeschnitten werden, für n

welches DE ein Minimum werde. (Fig. 11.)

3C*>

DK

Fig. 11.

z = DE² = X² -f у² — 2 X y cos ос

be

99 = ху--=0

п

Min. für X =

325. Aus vier Strecken a, b, c, d ein möglichst großes Yiereck zu konstruieren.

Bezeichnet man die Winkel zwischen a und d, bzw. b und c mit x bzw. y, so ist der Inhalt angegeben durch z = \ (adsinx + bcsiny), wo x und y verbunden sind durch

cp = 2 ad cos x — 2 bc cos y + b² + c² — a² — d² = 0,

Max. für x + y = 2 n .

326. Eine Strecke a so zwischen die Schenkel eines Winkels oc zu legen, daß der Inhalt des gebildeten Dreiecks ein Maximum werde.

Gleichschenkliges Dreieck mit der Grundlinie a.

VI. Abschnitt.

Anwendung der Differentialrechnung auf die ebene Geometrie.

§ 44. Tangenten und Normalen einer Kurve, a) Für rechtwinklige Koordinaten.

Sind f, rj die laufenden Koordinaten (Fig. 12) und

V/эсу)

Fig. 12.

ist P (x y) der Berührungspunkt, so lautet für die Kurve у = f (x) die Gleichung der zugehörigen

Normale

Tangente

,;_y = f(X)(f_x),    (г,- уК(х)+(£-х) = 0,

desgleichen für die Kurve F (x у) = 0 die Gleichung der

dV

d¥

Tangente

d¥

Normale

dF

Wird die Funktion F(xy), die, gleich 0 gesetzt, die Gleichung einer Kurve nter Ordnung darstellen möge, mit z homogen gemacht, indem man überall

X    y

statt X und y setzt — und — und hernach mit zn z    z

durchmultipliziert, so kann die Gleichung der Tangente auch auf die (homogene) Form gebracht werden:

, ÔF , vdF л

wo f, г}, C als homogene laufende Koordinaten eingeführt sind.

Für die Parameterform der Kurvengleichung

х = 9>(*)» y = v(t)

erhält man als Gleichung der

Tangente

Normale

7 8 VI. Anwend. d. Differentialrechn, auf die ebene Geometrie, Ferner ist nach Fig. 13

P,

⁺У

Ту

-Sit-

уде :

7с^1

Fig. 13.

PC = T =

PD = N=yyi+/2 y

„ Sub tangente CA = St = —

’ Länge der Tangente

„ Normale

4h

yi + y'²,

)>

y⁷’

„ Subnormale AD = Sn=yy/.

327. Beispiel. Gleichung und Länge von Tangente, Normale usw. der Parabel y² = 2 p x zu bestimmen.

Es ist у =У 2 p x, y' = y, somit Gleichung der

Tangente

p(f — x) — j(v~ y) = 0, p(?7—y)+y(f—x)=0 oder »?y —P(f + X) = °) 2fx + »;y — 2px — 2x²=0,

Normale

Länge der

Subnormale Sn = p.

Tangente T = ]/2px + 4x², Normale N = Ур² + 2px, Subtangente St = 2 x

Satz. Die Subnormale der Parabel ist konstant.

328. Beispiel. Für den Kreis

F (xy) = X² + У² — a² = 0 folgt

2 X,

Öx

= 2У>

somit lautet die Gleichung der

Tangente

£ X -f r]j — a² = 0, T = a —

Normale

£ y — г] X = 0 und

N = a,

У²

St = ^-

Sa = X.

329. Für die Cykloide, die durch die Gleichungen x = a (t — sin t), y = a (1 — cos t) dargestellt ist, erhält man

dx

—- = a (1 — cos t),    ^ = a sin t.

dt    dt

Daher ergibt sich als

Gleichung der Tangente: rj — y = (£ — x) ctg-^- r

и

„ Normale:

n — y + (f — *)tgy

Für die Länge der Tangente, Normale usw. erhält man die Ausdrücke:

2 a sin

2

T = 2 a sin -1- tg -1-,

Sn = a sin t.

S*= 2asin²-^-tgy

330. Epicykloide, beschrieben von einem Punkt P eines Kreises vom Radius r, der auf der Außenseite eines festen Kreises vom Radius a rollt:

x = (r + a) cos t — r cos

y = (r + a) sin t — r sin j—j t.

Man erhält als Gleichung der Tangente bzw. Normale *1 — y — (I — x)tg2r₂^ at = 0, bzw.

= 0.

V — 7 + (I - x)ctg? rA--t

b) Für Polarkoordinaten.

Es sei 0 der Pol, OX die Polarachse des Polar-Koordinatensystems und r = f ((p) die Gleichung einer Kurve (Fig. 14) in Polarkoordinaten, dann ist zu bestimmen

Per Ф\

d/

/ С

oéA

сГ

/З'-V

S#--'

"""«'N

X.

yD-

Fig. 14.

Richtungswinkel <x der Tangente aus

tgot = /

r + r/tg₉? jf — r tgçо*

§ 44. Tangenten und Normalen einer Kurve. 81 Winkel ß zwischen Tangente und Radiusvektor aus

tgß = tg(* — <p) =

Entfernung der Tangente vom Pol aus

r²

d = r sin/? =

desgleichen Richtungswinkel ot' der Normale aus

r'— rtg<p

r + r'tgç?

tg a

Winkel ß' zwischen Normale und Radiusvektor aus

tgß' = tg(ß-^ =

tgß r ’

Entfernung der Normale vom Pol aus

d' = r sin ß'

r • r'

Ferner ist (Fig. 15) die Länge der

Sn

cT

fi

Fig. 15.

PB =

Polartangente

Junker, Repetitorium der Differentialrechnung.

РА = К=Уг2 + г'2

Polarsubtangente OB = St=rtg/? =    ,

Polarnormale

Polarsubnormale O A == Sn = r ctg/? = P.

331. Es sollen Tangente und Normale der Kurve г = а (1 -f- cos cp)

bestimmt werden.

Man erhält r'= — asinç?, daher ist die Tangente bestimmt durch

3 cp

tga = — ctg-y-sowie die Normale durch

tgß = — ctgj,

d = 2acos³-^,

и

3 cp

tg/?' = tg-^, d' = 2acos²-|sm|^

tga'=tg—,

Hieraus folgt

2 ‘ 2 ’ ^    2 ' 2 ’

wodurch eine einfache Konstruktion der Tangente und der Normale angezeigt ist.

(X —

«'-Î?

/f-

§ 45. Übungsbeispiele.

Für folgende Kurven die Gleichungen der Tangente und der Normale aufzustellen und die Länge der Tangente, Normale, Subtangente, Subnormale zu berechnen.

e! ₊ L*_i_o.

332.

Ellipse:

a²

b²

Tgte.:

b²

§45. Übungsbeispiele. b² a²

T = — V(a² — X²) (a⁴ — e² x²), N = \ Va⁴ — e²x², ax'    a²

Sl=I(a2-X2),

333. Hyperbel:

Norm. :

+ ХУ(а² b²)    °’

b²

Tgte.:

Sn = ^x,

-?!-! = b²

|x f] J

X²

a²

O,

e² = a² — b² •

a²

b²

-1 = 0,

Norm. :

èj . vx

TT + -V — *7

b²

a²

(à ⁺ p) ⁼ °’

1    1ч

— l/(x² — a²) (e² x² — a⁴), N = — Ve²x² — a⁴, ax    a²

b²x Sn~ a² ’

334. Für welchen Punkt der Parabel y² = 2 p x ist die Tangente parallel zur Geraden g = x-j-y — a — 0 ? Der gesuchte Punkt ist

St =

-1 (x² — a²)

e² = a² + b².

*(f -4

335. Die Gleichungen der Tangente und der Normale der Kurve y = x³ — 3 x² + 2 x für den Punkt P (3, 6) zu bestimmen.

Es ist У = 3 x² — 6 x + 2 = 11, daher ist die Gleichung der

Tangente: rj — 6 = 11 (f — 3) oder 11 £ — rj — 27 = 0, Normale: rj — 6 = — (f—3) oder    — 69 = 0.

336.    Die Länge der Tangente und Normale, der Subtangente und Subnormale der Kurve

f (xy) = xy² — X² 4- 2x — 1 = 0 im Punkt P(4, J-) zu berechnen.

T = 5,028, N=1,57, St = 4,8, Sn = 0,47.

337.    Für welche Kurve ist die Subnormale konstant und gleich a?

У²

y/=a, y dy = adx, y = ax + C. y² = 2 a x + C.

Die gesuchte Kurve ist eine Parabel.

338.    Für welche Kurve ist die Subtangente konstant und gleich a?

è—,

dy dx y — a ’

Die gesuchte Kurve ist eine Exponentialkurve.

339. Für welche Kurve ist die Subnormale proportional zur kten Potenz der Abszisse?

yy/ = mxk.

Die gesuchte Kurve hat die Gleichung 2m

iy = -

y = ea -f- C.

У² =

k+ 1

xk+1.

340. Für die Ellipse, deren Gleichungen in Parameterform

x = acost, y = b sin t

sind, die Länge der Tangente, Normale usw. zu bestimmen.

Man erhalt

T = tgt]/a² — e²cos²t,

N = — Va² — e²cos²t, a

St = a

sin²1

b²

cost ’

Sn = — cos t,

e² = a² — ba.

841. Dieselben Größen für die Evolute der Ellipse X = a cos³1, y = b sin³1

zu berechnen.

Уа² cos²t + b² sin²t,

T = — sin² t ]/a² cos²1 + b² sin²1, b sin³1

a cost

St = — a sin²1 cos t

Sn =

b² sin⁴t

a cost *

342.    Eür die Evolvente des Kreises, die sich durch die Gleichungen darstellen läßt:

X = cos t -j- t sin t, y = sin t — t cos t,

die Gleichungen der Tangente und der Normale zu bestimmen.

Normale :

Man erhält y⁷ — tg t und damit als Gleichung der Tangente:

f sin t — rj cos t — t = 0, f cos t + rj sin t — 1 = 0 .

343.    Richtung und Länge der Polartangente und der Polarnormale der Kurve r = a cos cp zu bestimmen.

Man erhält

= tg(|+2ç>).

r⁷ = — a sin <p , tg oc

86 VI. Anwend. d. Differentialrechn, auf die ebene Geometrie. Die Richtung der Polartangente ist somit bestimmt durch

j + ²<?

und die der Polamormalen durch ocf = 2 cp. Ferner folgt T = a ctg cp, N = a, St = a cos cp ctg cp, Sn = a sin q>.

344.    Es sollen Tangente und Normale der Lem-niskate im Punkt P (r, cp) bestimmt werden.

Gleichung der Kurve r² = 2 a² cos 2 cp, Richtungswinkel der Tangente oc =    + 3 ,

и

„    „ Normale ot' = 3 <p.

345.    Für welchen Punkt der Kurve r = а (1 + cos 99) ist die Polarsubtangente gleich der Polarsubnormalen?

a.

P(a, |), T = N = a/2, St=Sn =

346.    Für welche Kurve ist die Polarsubnormale konstant und gleich a?

r'=a, dr = ad<p, г = а^ + С.

Die gesuchten Kurven sind archimedische Spiralen.

347.    Eine Kurve zu bestimmen, deren Polarsubtangente dem zugehörigen Radiusvektor proportional ist.

Es ist

r²

= x r, also

dr    oder lr = — + C

r = e*

Die gesuchten Kurven sind logarithmische Spiralen.

§ 46. Asymptoten einer Kurve.

a) Für ParaLLelkoordinaten.

oc) Die Asymptoten sind die Tangenten in den unendlich fernen Punkten einer Kurve.

Man erhält daher die Gleichungen der Asymptoten, indem man die unendlich fernen Punkte der Kurve bestimmt und deren Koordinaten in die Gleichung der Tangente ein setzt.

Ist die Gleichung der Tangente im Punkt P (x y)

oder

n — J = f'(x) (f — x) t] = f (x) f + y — x f (x) und erhält man hieraus mit Hilfe von y = f (x) lim F (x) = A, lim { y — x f' (x)} = В,

x = oo

x = oo

so ist

r\ = Af + В

die Gleichung einer Asymptote.

Die Größe A wird auch erhalten, indem man in der gegebenen Gleichung den Wert von

oo у = oo

— für x =

bestimmt. Die Gleichungen der Asymptoten selbst werden dann gewonnen, indem man mit Benützung

у

der Kurvengleichung die für — gefundenen Werte in

die Tangentengleichung einsetzt.

348. Beispiel. Die Asymptoten der Kurve F(xy) = 4x² — 9y² — 3x + 2y+l=0 zu bestimmen.

Die Gleichung gibt differentiiert

8x-18yy'-3 + 2y' = 0,

8 — —

r-

8x — 3

18 y — 2

18 — —

И I to

mid mit x² durchdividiert

y²    3    2 y    1

9 -----h — H--

x²    x    x²    X²

= o,

woraus für x = oo folgt :

y2

4 — 9 ^-r = 0 oder

X²

= A = +f.

Mit Hilfe der Kurvengleichung läßt sich nun die Gleichung der Tangente auf die Form bringen:

8-4

r‘ ⁼ —y~

18— —

И I to

У    2

18 —---—

у

woraus sich für — = + und x = oo als Gleichungen der Asymptoten ergeben:

*? = •§•£—А? »? =—ł £+f£-

/?) Etwaige Asymptoten, die parallel zu den Achsen, z. B. parallel zur x-Achse, laufen, werden am einfachsten direkt aus der Kurvengleichung ermittelt, indem man darin x = оо setzt unter der Voraussetzung, daß у konstant ist.

349. Beispiel. Die Asymptoten der Kurve (Fig. 16) F (x y) = x² y — 3x² + 2xy + 4 = 0

zu bestimmen.

j0

JC

Fig. 16.

Die Kurve hat zwei Asymptoten parallel zur y-Achse und eine parallel zur x-Achse.

Mit y durchdividiert, gibt die gegebene Gleichung

x² —

3 X² , _    4 л

—+ 2x + - = 0,

woraus für у = oo und x = konstant als Gleichungen der Asymptoten || zur y-Achse folgen:

so folgt

x² + 2x = 0 oder x = 0 und x + 2 = 0. Wird mit x² durchdividiert und x = oo gesetzt, у — 3 = 0

als Gleichung der Asymptote parallel zur x-Achse. b) Für Polarkoordinaten.

Die Richtungen nach den unendlich fernen Punkten der Kurve (Fig. 17) r = f (99) bestimmen sich aus

*(9)    °'

r = f (99) = 00 oder aus

Für einen hieraus gefundenen Wert cpi von cp ergibt sich die Entfernung OD = d der zugehörigen Asymptote vom Pol aus:

r=f(?)

J)

'7**\

ос

Г²

Fig. 17.

d = lim г sin/5 = lim

<p=<Pi

= ihn fr

<p=<Pi -

Г²

]/r² + P²

deren Richtungswinkel гр — <Xi — ^    ^    ^ ist.

и    а

Nun kann die Richtung einer Geraden vom Pol 0 aus angegeben werden durch cpi oder durch cp\ л. Von beiden Werten ist als Asymptotenrichtung derjenige zu nehmen, für welchen

r²

d = lim — positiv wird.

Um alsdann die Asymptote selbst zu zeichnen, lege man in 0 den Winkel DOx = срх — ^ an die Polar-

u

achse an und errichte auf dem zugehörigen freien Schenkel in der Entfernung OD = d eine Senkrechte. Letztere stellt die Asymptote dar.

350. Beispiel. Die Asymptoten der Kurve zu bestimmen:

г =--h -—.

cos ç?    smç?

Als Asymptotenrichtungen ergeben sich

л

cpi = 0, bzw. (pi = 7t und cp₂ = —, bzw. cp₂ =

и

Sodann ist

3 71

r²

(sin cp + cos cp)

r'

sin³99 — cos³ cp¹

somit wird d positiv für

toj а

(pi = ⁷¹ ) dA = а, sowie für cp₂ —    , d₂ = а.

Die Asymptoten sind daher die Lote in den Endpunkten der Radienvektoren zu den Punkten

und (a, 0).

§ 47. Übungsbeispiele.

Die Asymptoten von folgenden Kurven zu bestimmen.

351.    f = X² + xy — 2y² — 4x—2y = 0. Asymptoten : x — у — 2 = 0, x + 2 у — 2 = 0.

352.    f = x² + 4xy—6x + 4y = 0.

Asymptoten: x + 1 = 0, x + 4 у — 7 = 0.

353.    f = x³ — xy² — y² + y= 0.

Asymptoten: x-f 1 = 0, x — y —1-==0, x+y—-|-=0.

354.    f = x³ + y³ — 3 a x у = 0 .

Asymptote: x + у + а = 0 .

355. f = x y (x² — y²) + x y (3 x — 4 y) — 8 = 0 . Asymptoten:

X = о, у = 0, X— у — i = 0, х + у + |=0.

856. f = (х — у) у² + Зх(х + у) — 4х = 0. Endliche Asymptote: x — у -f- 6 = 0 .

357.    f = xy(x + y — 1) + р = 0.

Kurve dritter Ordnung mit Wendeasymptoten

x = 0 , у = 0, x + y—1 =0.

358.    f = x² (y — 2 x)² — 3 y² (x -f y) — 6 x — 0. Keine endliche Asymptote.

359.    f = x² (x — y) — 4 x (x — y) + 2 у = 0 .

x — у = 0 einfache Asymptote, x = 2 + ]/ 6 Tangentenpaar an den unendlich fernen Doppelpunkt in x = 0 .

360.    f = (x — y)⁴ + x² — y² — 3 x = 0.

Der unendlich ferne Punkt in der Richtung x — у = 0 ist ein Flachpunkt mit der unendlich fernen Geraden als Asymptote.

361.    Die Gleichung eines Kegelschnitts zu bestimmen, der die Geraden

gl=x — y+2 = 0, g₂=x + y—2 = 0 als Asymptoten besitzt und durch den Punkt P (2, 2) geht, f (x y) = x² — y² + 4 у — 8 = 0.

362.    Welche Kurve dritter Ordnung besitzt die Geraden x=0, y+l = 0, x + y — 2 = 0 als Asymptoten und geht durch die Punkte

P(0 , 0), P(--b-l), f — x (y + 1) (x + у — 2) + / (y — 3 x) = 0.

§ 48. Konvexität u. Konkavität der Kurven. Wendepunkte. 93

363. Die Asymptoten der Kurve zu bestimmen:

r² = a² +

a²

1— 4 cos² <p'

Es ergeben sieh als Asymptoten die beiden Ursprung sgeraden

y=±x/3.

§ 48. Konvexität und Konkavität der Kurven. Wendepunkte.

a) Für rechtwinklige Koordinaten.

Die Kurve y = f(x) (Fig. 18) ist in einem Punkt P mit der Abszisse x konvex oder konkav nach unten, je nachdem für diesen Punkt

f"(x)> 0 oder <0 oder positiv oder negativ ist.

fKonkCWK

nacharitew

Konvex nach unten

ос

Fig. 18.

364. Beispiel. Für die Kurve (Fig. 19) у = f (x) = x³ — 3 x² + 2 x ist / = f(x) = 3x² — 6 x + 2 ,    y"=f(x) = 6x- 6.

Die Kurve ist somit in allen Punkten, für welche f" (x) > 0 oder X > 1 bzw. f" (x) < 0 oder x < 1 ist, konvex bzw. konkav nach unten.

Die Stellen einer Kurve, in denen sie von Konvexität in Konkavität oder umgekehrt übergeht, heißen Wendepunkte. Die Abszissen der Wendepunkte der Kurve y — f (x) berechnen sich aus der Gleichung y" = f' (x) = 0. Die in diesen Punkten gezogenen Tangenten heißen Wen de tang en ten.

ОС-2.

ОС

О ОС-Ч

Fig. 19.

Sind xt х₂ .. . die Wurzeln der Gleichung f" (x) = 0, so sind durch yt = f (xx), y₂ = f (xg),... die zugehörigen Ordinaten und durch tgoc₁ = f (xx), tg oc₂ = f(x₂), . . . die Richtungskonstanten der Wendetangenten angegeben.

365. Beispiel. Die Wendepunkte der Kurve у = f(x) = x³ -3x² + 2x zu bestimmen.

Man erhält y" = fJ" (x) = 6 x — 6 = 0 für x = 1, у = f (1) = 0 .

Der Punkt P (1, 0) ist daher ein Wendepunkt, dessen Tangentenrichtung sich ergibt aus

y' = f (x) = 3 X² — 6 X + 2

für x = 1 ; man erhält f (1) = tgoc = —- 1.

Die Wendetangente hat somit die Gleichung

?] = — (£— 1) oder f + rj — 1 = 0.

Wenn jedoch für einen Wert von x, der sich aus f" (x) = 0 ergibt, auch ff" (x) = 0, f¹(⁴) (x) dagegen nicht gleich Null ist, so entspricht demselben auch kein Wendepunkt von f(x). Derselbe ist vielmehr ein Maximaloder Minimalpunkt von y = f(x).

Vergleiche hierüber Abschnitt V.

366. Beispiel. Für die Kurve y = (x — a)⁴ + bx

ist

y' = 4 (x — a)³ + b, y" = 12 (x — a)², y'" = 24 (x — a),    y⁽⁴) = 24 .

Der Punkt x = a, y = ab zeigt keinen Wendepunkt, sondern einen Minimalpunkt der Kurve an.

Satz. Einem aus f"(x) = 0 oder f(⁴)(x) == 0 oder f(6)(x) == 0,. . . gefundenen Wert von x entspricht ein Wendepunkt der Kurve y = f(x), wenn die niedrigste Ableitung von f(x), die für diesen Wert nicht verschwindet, von ungerader Ordnung ist.

Der einfachste Wendepunkt ergibt sich aus f,(x) = 0,

wobei ff" (x) nicht gleich Null ist.

Die Entstehung eines solchen zeigt Fig. 20.

Ein höherer Wendepunkt bestimmt sich beispielsweise aus ff⁴) (x) = 0, wenn ff⁵) (x) nicht gleich Null ist. Die Entstehung eines solchen geht hervor aus Fig. 21.

cs

Fig. 21.

Erklärung: Höhere Wendepunkte werden auch Wendeflachpunkte genannt.

besitzt im Ursprung einen

367.    Beispiel. Die Kurve y = x³ — einfache Wendepunktsparabel Wendepunkt mit rj — 0 als Wendetangente.

368.    Beispiel. Den Wendepunkt der Kurve y = (x — a)⁵ zu bestimmen. — Wendeflachpunkt in P (a, 0) mit rj = 0 als Wendeflachpunktstangente.

b) Eine Kurve, deren Gleichung in Polarkoordinaten r = f (ф) gegeben ist, ist in einem Punkt P konvex oder konkav gegen den Pol 0, wenn die Tangente in P zwischen Pol und Kurve oder die Kurve zwischen Tangente und Pol liegt.

Es ergibt sich hierfür der

Satz. Die Kurve r — i(cp) ist konvex oder konkav gegen den Pol, je nachdem

_ f2 ₊ ff/_ ₂f2^0 oder — r² + rr" — 2 P² ^ 0 ist.

369.    Beispiel. Das Verhalten der hyperbolischen Spirale r cp — a gegen den Pol zu untersuchen.

2a

Es ist

daher ist

— r² + rr" — 2r/2 = —

a²

ein Ausdruck, der für jeden Wert von cp negativ bleibt. Die Spirale ist also in allen Punkten konkav gegen den Pol, wie zu erwarten war.

Satz. Die Azimuts <p, welche zu den Wendepunkten der Kurve r = f (cp) gehören, ergeben sich als Wurzeln der Gleichung

f2_ff/ + 2f2 ₌ o oder r² — rr" + 2 P² = 0.

370. Die Wendepunkte der Kurve r = bestimmen.

Die Bedingung hierfür wird 2 a²

-i— zu

cos³ cp

_r2 + ri//_2r'² =

cos⁸ cp

(cos² cp — 3 sin² cp) = 0 ,

woraus folgt:

’’=±6-

Die Wendepunkte liegen somit in cp = +    , r =    #

G    9

§ 49. Übungsbeispiele.

371.    Die konvexen bzw. konkaven Teile, sowie die Wendepunkte der Kurve y = x⁴ - 6 x² zu bestimmen.

Die Kurve ist für x² — 1 ^ 0 oder für x ^    1 kon

vex bzw. konkav nach unten und besitzt Wendepunkte in Pt (1, — 5), P₂ (— 1, — 5) mit den Tangentenrichtungen = f (1) = — 8 , tg*₂ = + 8 .

372.    Zu ermitteln, in welchen Punkten die Kurve y = 2 x³ — 6 x² + 5 x konvex bzw. konkav nach unten ist.

Die Kurve ist konvex bzw. konkav nach unten für x^ 1 und besitzt in P(1, 1) einen Wendepunkt mit tga == f (1) = — 1.

Junker, Repetitorium der Differentialrechnung.

zu bestimmen.

373. Die Wendepunkte der Kurve y = x + (x — a)⁵

Die Kurve besitzt einen Wendeflachpunkt in P(a, a) mit y = x als Wendeflachpunktstangente.

374. Die Wendepunkte der Kurve

-Iх

y = x³ ^x² — 5x +

zu bestimmen.

Man erhält Wendepunkte in:

7x — 3 у — 7 = 0, 8x + 3y — 16 = 0.

P(0, 0) mit Wendetangente 8 x + 3 y = 0 P(1,0) „

г (2,0) „

375. Eine parabolische Kurve 3. Ordnung zu bestimmen, die die Gerade у = 2 x im Ursprung berührt und in P (1, 1) einen Wendepunkt besitzt.

Die gesuchte Kurve erhält die Gleichung:

y = |x³ — fx² + 2x.

376.    Die Wendepunkte der Kurve у = x²y -j- x zu ermitteln.

Wendepunkt in P(0, 0) mit x — у = 0 als Wendetangente.

377.    Die Wendepunkte der Kurve

f (xy) = x² у — 4x + 3y = 0

zu bestimmen.

Man erhält Wendepunkte in Pi(0,0), P₂(3,l), P₃ (— 3, — 1) mit den zugehörigen Tangentenrichtungen

yl = i> 72 = —    У 3 = — i •

378.    In der Gleichung f = x²y-f-&3:-f-/?y = 0 sollen <x und ß so bestimmt werden, daß die Kurve f in P(2 -|-) und P(— 2, — -|-) Wendepunkte besitzt.

f = x²y — £x + $y = 0.

379.    In welchen Punkten ist die Kurve (Fig. 22)

f (xy) = X³ — X² y + a² y = О konvex bzw. konkav nach unten? Wendepunkte?

JC

Fig. 22.

— oo

Die Kurve ist konvex für alle Punkte zwischen x = -|-a und x = -foo, sowie für x = 0 und x = — a und konkav nach unten für x = — a bis x = sowie für x = 0 bis x = + a und besitzt einen endlichen Wendepunkt in P(0, 0) mit y = 0 als Wendetangente.

380. Wendepunkte von y = sinx?

Die Wendepunkte liegen auf der x-Achse in х = +п я, y = 0 mit rj = + f als Tangentenrichtungen.

381.    Das Verhalten der Kardioide r = 2 а (1 + cosç?) ) gegen den Pol zu bestimmen.

Die Kurve ist in allen Punkten konkav gegen den Pol.

gegen

eos³9>

382.    Wie verhält sich die Kurve r = den Pol? Vgl. Beispiel 370.

Sie ist gegen den Pol konvex für cp < + und л

konkav für op > + — und besitzt Wendepunkte in

№±?)-

383.    Zu beweisen, daß die Kurve

f = x³ + y³+ 6axy-f-a³ = 0 in P(0, — a) und P(—a, 0) Wendepunkte mit 2 X — y — a = 0 und x — 2y + a = 0

als Wendetangenten besitzt.

384.    Die Wendepunkte der Kurve

f = x²y + 2xy+2y — x — 1 = 0 liegen in P (— 1, 0) und P (— 1 + /3 , + ^ /з).

§ 50. Singuläre Punkte einer Kurve.

Singuläre Punkte einer Kurve sind solche Punkte, in denen sich zwei oder mehr Zweige derselben durch-schneiden. Doppelpunkt, dreifacher Punkt, mehrfacher Punkt.

Während für einen gewöhnlichen Kurvenpunkt sich die Tangentenrichtung y eindeutig ermitteln läßt aus

di di

'дI⁺дi^~0,

wird für einen singulären Punkt

di

Sx

У =--= $, oder unbestimmt.

Die Koordinaten aller singidären Punkte berechnen sich daher aus den Gleichungen

di

6t

fl dx °’    ** Öj

Der einfachste singuläre Punkt ist der Doppelpunkt Die beiden Tangentenrichtungen in einem solchen berechnen sich aus der Gleichung

fii+ 2*иУ,+ 4*У'*= °>

welche aufgelöst gibt:

y/ = ^{-f₁₂±yf₁²2-fu4₂},

ein Resultat, das man erhält, indem man den obigen unbestimmten Wert für У nach § 30 weiter behandelt.

Ein solcher Punkt ist ein eigentlicher Doppelpunkt (Fig. 23) mit zwei reellen getrennten Tangenten oder ein Rückkehrpunkt (Fig. 24) mit zwei zusammenfallenden Tangenten oder ein isolierter Punkt mit imaginär konjugierten Tangenten, je nachdem

Fig 24.

Fig. 23.

*12 — ^11^22

fl. Art.

2-Artj

> 0 oder positiv oder = 0 oder

<0 oder negativ ist.

Das Tangentenpaar hat alsdann die Gleichung (f - x)2 fn + 2 (f - X) (rj - y) f₁₂ + (rj - y)» f₂₂ == 0 .

385. Beispiel. Den singulären Punkt der Kurve Fig. 25 zu bestimmen:

f = xy2_x2 ₊ 2x - 1 = 0

ос

Die Gleichungen

di

di

^ = f₁ = y²-2x + 2 = 0, _=f₂₌2yx = 0

werden befriedigt durch x = 1, y = 0, daher ist P (1, 0) ein Doppelpunkt, dessen Tangentenrichtungen enthalten sind in

oder in

*11 + ² *12 ^ “f” *22 У⁷² = 0

— 2 + 2 У² = 0, / = ±1.

386. Beispiel. Die Kurve

f = x⁴ — 4 y⁴ — y (x² — y²) = 0 besitzt im Ursprung einen dreifachen Punkt mit

y = 0, x —y = 0, x + y = 0 als Tangenten.

§ 51. Übungsbeispiele.

Die singulären Punkte der Kurven zu ermitteln, a) Doppelpunkte.    .

387.    Das kartesische Blatt

f = x³ + У³ — 3axy = 0

hat in О einen Doppelpunkt mit x = 0, y = 0 als Tangenten.

388.    Lemniskate: f = (x² -f y²)² — 2 a²(x² — у²) = 0. Doppelpunkt in O mit x + у = 0 als Tangenten.

389.    f = x² - y² — x³ = 0.

Doppelpunkt in O mit x + у = 0 als Tangenten.

390.    f = (x + y)³ — a x у = 0 .

Doppelpunkt in O mit x = 0, у = 0 als Tangenten.

391.    f = 4 X² (a² — X²) — к ²a² y² = 0 . Doppelpunkt in О mit 2 x + к у = 0 als Tangentenpaar.

392.    f = x⁴ + x² y² — 4 a² x² — 4 a² y² + 4 a⁴ = 0. Doppelpunkte in P (а У 2 , О) und P (—а У 2 , О). Tangenten: у = + 2 (x — а /2) , у = + 2 (x + а /2)..

393.    Die Kurve (Fig. 26)

(P₂

/£

q a Ajc

Рз

Fig. 26.

f = 2 x⁴ — 2 x² y² + y⁴ — a x² y — a y³ — 4 a² x2 — 3a²y² + a³y+ 2 a⁴ = 0

hat drei Doppelpunkte in

Pi(a, 0), P,(-a,0), P₃(0,-a) mit den zugehörigen Tangentenrichtungen in

I*i : / = ±2/f, in Р₂:у' = ±2/|,

in P₈ : У = ±У| •

394. Die Kurve 3. Ordnung

f = (y — b)² — (x — a)² (x — c) = 0 hat in P(a, b) einen Doppelpunkt mit dem Tangentenpaar y — b = + (x — а) У а — с .

Derselbe ist ein wirklicher Doppelpunkt, ein Rückkehrpunkt oder ein isolierter Punkt, je nachdem a > c, a = c oder a < c ist. b) Rückkehrpunkte.

395.    f = X³ — ay² = 0 . feilsche Parabel. Rückkehrpunkt in P (0, 0) mit y = 0 als Rückkehrtangente.

396.    f = (x - a)³ - (y - b)² = 0.

Rückkehrpunkt in P (a, b) mit y — b = 0 als Rückkehrtangente.

397.    f = x³ — y² (2 a — x) = 0. Cissoide. Rückkehrpunkt in O mit у = 0 als Tangente.

398.    r = 2 а (1 + cos ф). Kardioide. Rückkehrpunkt in О mit <p = n als Rückkehrtangente.

399.    Die sternförmige Kurve

А А А

f = Xs + у³ — а³ =0

hat vier Spitzen auf den Achsen, die vom Ursprung die Entfernung a haben.

yÄ'Z?F

Ef AX

400.    f = X³ (x — 2 a) -f- a² y ² = 0 . Kurve 4. Ordnung (Fig. 27) mit Spitze in 0 und y = 0 als Rückkehrtangente.

401.    Die Cykloide, deren Gleichungen

x = a (t — sint), y = a (1 —■ cost) sind, hat unendlich viele Spitzen auf der x-Achse, deren Tangenten senkrecht zur x-Achse sind. (Siehe Fig. 35.)

c) Isolierte Punkte.

402.    f = x² + y² — x³ = 0 . Kurve 3. Ordnung mit isoliertem Punkt in O.

403.    f = x³ - 3 x y² + a (x² + y*) = 0. Isolierter Punkt in О.

404.    г² = a²cos²ç? + b²sin²9?. Fußpunktskurve der Ellipse mit isoliertem Punkt in O.

405.    f == (x² — y²)² — a² (x² + y²) = 0 . Isolierter Punkt in O. (Fig. 28.)

JC

Fig. 28.

d) Höhere singuläre Punkte besitzen beispielsweise folgende Kurven:

406. f = x² y² + y⁴ — a² x² =■ 0 . (Fig. 29.)

JC

JC

407.    f = X⁴ — y⁴ + x (x² — 4 y²) = 0. Dreifacher Punkt in 0.

408.    г = 2 acosç?sin²99. (Siehe Fig. 45.)

409.    г = + a cos(р sinçp oder

f = (x² + У²)³ — a² X² y² = 0 . Vierblättrige Kurve 6. Ordnung mit sich selbst berührenden Zweigen im Ursprung. (Siehe Fig. 46.)

§ 52. Krümmungskreis und Evolute.

a) Der Krümmungskreis, auch Oskulations-kreis genannt, ist ein Kreis Fig. 30, der durch drei unendlich benachbarte Kurvenpunkte geht. Sein Radius q heißt entsprechend Krümmungsradius. Je kleiner der letztere ist, um so größer ist die Krümmung der

<?

<?

Fig. 80.

Kurve in dem betreffenden Kurvenpunkt. Daher wird 1

— auch als Krümmungsmaß bezeichnet.

Der Krümmungsmittelpunkt kann auch als Schnittpunkt zweier unendlich benachbarter Kurvennormalen aufgefaßt werden.

Ist q der Krümmungsradius Fig. 31 und sind f rj die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes der Kurve

■f-o

■jx

1У

(o

«с

Fig. 31.

у = f (x) im Punkt P(xy), so gelten die Beziehungen

f = X — y⁷

1+ У²

V = У +

(i + y,2)T e =—^—>

i+y⁷²

У" ’

У"

worin das Wurzelzeichen so zu wählen ist, daß g positiv wird.

Bezeichnet man mit # den Winkel, welchen der Radius g mit der positiven x-Achse macht, so ist

— У

COS#

f-

*,sin0 = ^= Q

, е = у(£-х)²+(1?-у)²,

wodurch eindeutig entschieden ist, in welcher Richtung vom Kurvenpunkt P(xy) aus man den Radius g abzutragen hat.

Für die nicht entwickelte Form der Kurvengleichung f (x y) = 0 erhält man

£ = x —Afu r]=j — A4, q = A/f? + fi A = (f? + fl) : (f? f₂₂ - 2 f, f₂ f₁₂ + f? fn),

fl

sin#

f

cos# ----- ¹

wo mit fi7 f₂, fu, f₁₂, f₂₂ die partiellen Ableitungen von f nach X und y bezeichnet sind.

b) Die Evolute qo(^rj) einer Kurve f(xy) Fig. 32 ist der geometrische Ort des Krümmungsmittelpunktes

f*Q

Fig. 32.

oder auch der Ort des Schnittpunktes zweier benachbarter Kurvennormalen. Die gegebene Kurve f (x y) = 0 heißt auch Evolvente.

Man erhält die Gleichung der Evolute cp rj) = 0 durch Elimination von x und у aus

f(xy) = 0

x-/+y/2

J y"

»? = y +

1 + y'²

y"

410. Beispiel. Die Koordinaten des Krümmungsin ittelpunktes, sowie die Evolute der Parabel y² = 2 p x zu bestimmen.

Man erhält

y = ]/2px

2s-t2, ш»-

Q

daher ist

f ==3x + p, rj =

COS ft =

в ^i^/ÖpH-y²)³, У(2х + Р)

Für x = 0 ist

f = p, Yj = 0 , p = p, cos$ = 1, sin# = 0, ft = 0 •

Aus vorstehenden Gleichungen ergeben sich umgekehrt für x und у die Ausdrücke

у =

welche, in y² — 2 p x eingesetzt, unmittelbar zur Gleichung der Evolute führen:

Tj² =

Diese ist eine Neilsehe Parabel mit Spitze in P (p, 0).

§ 53. Übungsbeispiele.

411.    Krümnmngskreis und Evolute des Kreises f (x y) = X² + y² — a² = 0 zu bestimmen.

Man findet Ç = rj = 0, q = a. Der Krümmungskreis fällt also mit dem gegebenen Kreis zusammen.

412.    Den Krümmungskreis der Kurve

y = x³ — 3 x² + 2 x im Punkt P (2, 0) zu bestimmen.

Man erhält

/=2, y"= 6, f = i, V=§, e = l/5.

413.    Den Krümmungskreis der Kurve

f = x³ — x² — y² — 0

zu bestimmen.

9x — 8

9x — 8

6x — 8 9x — 8

(— 2 y) =

(3 x² — 2 x) j

12y(x-l) 3 x — 4    ’

]/x³(9x — 8).

Für den Punkt P(1, 0) ist f = f-, rj = 0, q = .

Für 6 X — 8 = 0, d. h. für x = f wird q = oo, d. h. in X = liegen die Wendepunkte der Kurve.

414. Krümmungsradius und Krümmungsmittelpunkt der Kurve f = x³ + y³ — a x y = 0 für den Punkt

zu bestimmen.

cö <tt

Man erhält

415. Für die gleichseitige Hyperbel xy —a² = 0 ergibt sich

3 x² + у²

X² + 3 у²

(хЧ-уУ

2 xy

416. Für die Ellipse mit der Gleichung

-v-2    -y 2

f(xy⁾ = -₂ + E¥-¹ = °

findet man

e²

f = --x3

e²

⁼ ~ biyS’ e = wo e² = a² — b² gesetzt ist. (Fig. 33.)

a⁴

♦У

Fig. 33.

(a⁴ — e²x²)²

a⁴b

l+x

e²

In Punkt P (a, 0) ist f = —, rj = 0,

a

„    P(0,b) „ l=o,

*4'S

a²

Die Gleichung der Ellipsenevolute läßt sich, wenn

a² - b² л

a² — b²

— ex und

gesetzt wird, auf die Form bringen:

051 U)

-1 = 0.

Sternförmige Kurve mit vier Spitzen in den Koordinatenachsen. (Fig. 33.)

417. Für die Hyperbel Fig. 34

X²

У²

a² b²

erhält man ebenso

JC

Fig. 34.

Junker, Repetitorium der Differentialrechnung.

e²

e²

v = -ViJ

wo e² = a² -J- b² gesetzt ist. Für

a⁴

(e² X² — a⁴)²

Q =^— »

a² + b²

-= a,

a

erhält die Evolute die Gleichung

a² + b2 Y~ = ß

-1 = 0.

Kurve 6. Ordnung mit zwei Spitzen in £=-[-&, 77 = 0.

418. Die Elemente des Krümmungskreises derCykloide

X = a (t — sin t), y = a (1 — cos t) zu bestimmen. (Fig. 35.)

pmt

7Г

/гч

■h

A""

K"”

Fig. 35.

Es ist

sin t

/'=

womit sich ergibt

t »

4 a² sin⁴—

p = 4asin-^-, f = a (t + sint), rj = —a (1 — cost).

и

Führt man neue Koordinaten ein, indem man setzt X = £ + ^ a > Y = rj + 2 a und Y — л + t, so gehen diese Gleichungen über in

X = a(F — sinF), Y = a (1 — cost').

Die Evolute stellt also eine zur gegebenen kongruente Cykloide dar.

Die Länge der Kurvennormale ist nach § 44:

N =    1+/².

Für die Cykloide erhält man hierfür:

Q = 2N,

2 a sin — = —

2 2 ’

womit der Satz gewonnen ist:

Der Krümmungshalbmesser der Cykloide ist gleich der doppelten Länge der Normale.

419. Die Krümmungsverhältnisse der Kurve

X = c cost — r cos — t, y = c sint — r sin — t

r    r

zu untersuchen.

Man findet

4>r

r f

- je cost -f

c Л

r cos — t>

C + r 4er

” je sint +

r sin — t \

r J

8*

C -J" Г

Für с = a + r stellt diese Kurve eine Epicykloide dar, die ein Punkt eines Kreises vom Radius r beschreibt, der auf einem andern vom Radius a rollt.

§ 54. Die Einhüllende von Kurven- und Flächen sch aren.

a) Die Umhüllungslinie einer Kurvenschar.

Die Gleichung f (x у p) = 0 stellt bei veränderlichem p eine Schar von ebenen Kurven dar, die sämtlich von einer festen Kurve, der Um hül lungs linie oder der Einhüllenden, berührt werden. Die veränderlichen Kurven heißen auch die Eingehüllten. Die Gleichung der Umhüllungslinie U (x y) = 0 ergibt sich durch Elimination von p aus

di

f(xyp) = 0,

7r = °-

dp

420. Beispiel. Die Einhüllende der Parabelschar f(xyp) = У² — 2(p + l)x + p² == 0

zu bestimmen.

Durch Elimination von p aus f = 0 und

öf

-Tr- = —■ 2 x + 2 p = 0

dp

ergibt sich als Gleichung der Einhüllenden и (x у) = x² — y² + 2 x = 0, wodurch eine Hyperbel angezeigt ist.

b) Die Einhüllende einer Flächenschar.

а) Bei drei Veränderlichen x у z und einem Parameter p stellt die Gleichung f (x y z p) = 0 eine einfach unendliche Schar von räumlichen Flächen dar, deren

§ 54. Die Einhüllende von Kurven- u. Flächenscharen. 117

Einhüllende ebenfalls durch Elimination von p gewonnen wird aus

= 0.

f(xyzp) = 0,

421. Beispiel. Eine Ebene geht durch einen festen Punkt der x-Achse (x = a) und schneidet von den andern Achsen Stöcke von konstanter Summe b ab. Welches ist die Einhüllende der Ebenenschar?

Die veränderliche Ebene schneide von der y-Achse das Stück p und somit von der z-Achse das Stück b — p ab, so lautet die Gleichung der Ebenenschar

oder

f (xyzp) = (x — a)(bp — p²) +ya(b —p) -f zap = 0 woraus folgt

öf

^ = (x-a)(b- 2p)-ya + za = 0,

U (x y z) — (b (x — а) + а у + a z}² — 4 a² y z = 0. Kegel zweiten Grades mit Spitze in x = a, y = 0, z = 0.

ß) Wenn jedoch in der Funktion f zwei unabhängige Parameter p und q enthalten sind, so stellt die Gleichung f(xyzpq) = 0 eine zweifach unendliche Schar von Flächen dar. Die Gleichung der Einhüllenden, welche den gleichzeitigen Änderungen von p und q entspricht, findet man, indem man p und q eleminiert aus

f(xyzpq) = 0,

<9f

*ï = °-

di

T--0.

ôq

422. Beispiel. Die Einhüllende einer Ebene zu finden, welche von den Koordinatenachsen Stücke von konstanter Summe a abschneidet.

Schneidet die Ebene von den Achsen die Stücke p, q, a — p — q ab, so lautet die Gleichung der Flächen» schar:

f(xyzPl) = -^- + ~~

P 4

a- p -q Die Ableitungen nach p und q geben

-1=0.

di

p² (a — p — q)²

= 0,

0,

q² (a — p — q)

woraus folgt

а/у

P /х+Уу + /г’ q Ух+/у +Vz’

a z

q Ух+Уу+У Z

a-p-

Es ergibt sich daher als Gleichung der Einhüllenden der Ebenenschar

U (xyz) =ÿx-l-yÿ+yi — yä = 0.

§ 55. Übungsbeispiele.

423. Geradenschar:

f (x у p) = X sin p + у cos p — а = 0 ,

U = X² + у ² — a² = 0 . Kreis vom Radius a mit Mittelpunkt in 0.

424.    Geradenschar:

f(x y p) == X sinp —- y cosp — a = 0 ,

U = (x² — y²)² — a²(x² + y²) = 0 . Kurve 4. Ordnung mit isoliertem Punkt in О.

425.    Die Umhüllungslinie einer Geraden zu finden, die von den Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems <x) ein Dreieck von konstantem Inhalt a², ß) Stücke von konstanter Summe a abschneidet.

a) U(xy) = xy — £a² = 0 . Gleichseitige Hyperbel.

ß) Ух" + /У — У~аГ = 0 . Parabel mit der Achsenrichtung x = у, welche die Achsen in x = а, у = 0 , bzw. у = а, x = 0 berührt.

426.    Yon dem veränderlichen Punkt P auf der Seite AC eines Dreiecks ABC werden Parallelen zu AB und BC gezogen. Gesucht ist Umhüllungslinie der Geraden XY. (Fig. 36.)

= 0 oder

Es ist U (x y) = ]/— +

Ti / V /X y\²    /2 x 2 у

D<xy>-(7~bj -(-Г + Т

eine Parabel mit Achsenrichtung x : у = a : b, welche die Achsen in x = a, y = 0 , bzw. x = 0 , у = b berührt.

427. Der Scheitel eines rechten Winkels dreht sich um den Punkt P(ab), während seine Schenkel die Achsen in A und В schneiden. Gesucht ist die Umhüllungslinie von А В.

ос/

/у

Fig. 86.

Man findet, wenn AB von der y-Achse das Stück p abschneidet

f(xyp) = p(ax —by —a²— b²) + (a² + b²)y + bp² = 0 und hieraus als Gleichung der Umhüllungslinie:

U(xy) = (ax—by)²—2(a²+b²) (ax+by)-(-(a²+b²)² = 0.

428. Punkt P (Fig. 37) bewegt sich auf dem Kreis um О vom Eadius a. Gesucht ist die Umhüllungslinie von AB.

Fi g. 37.

Man erhält

f (x y p) = y p + (x — p) У a² — b² = 0 und ² A J.

U (x у) = x³ + у³ — а³ = 0. Sternkurve.

Eine solche Kurve wird auch von der Geraden umhüllt, für welche das Stück zwischen Koordinatenachsen beständig von der Kreisperipherie halbiert wird.

429.    Die Umhüllungslinie aller Ellipsen von konstanter Summe der Halbachsen zu finden. Sternkurve.

430.    Punkt P bewegt sich auf der Parabel

y² — 2 ax = 0 .

Gesucht ist die Umhüllungslinie von AB. (Fig. 38.) U(xy) = y² + 8ax = 0.

431. Punkt P-bewegt sich auf einer Geraden, welche von den Achsen die Stücke a und b abschneidet. Gesucht ist die Umhüllungslinie von CD. (Fig. 39.)

Setzt man O C = p, so ist

f(xyp) = ap² — apx + by(p — a) = 0,

U(x у) = (а X — b y)² + 4 a² b у = 0.

N1#

0\

Fig. 38.

+JC

x4

В/ :

vj

Fig. 89.

432.    Zu beweisen, daß die Evolute die Umhüllungslinie der Normalen einer Kurve ist.

433.    Die Umhüllungslinie aller Kreise vom Halbmesser r zu finden, für welche die Summe der Mittelpunktskoordinaten konstant gleich s ist.

U(xy) = x + y — s + r /2~ = 0 . Parallellinienpaar.

434.    Die Umhüllungslinie einer Schar von Kreisen zu finden, deren Mittelpunkte auf einem gegebenen Kreis vom Iladius a liegen und deren Peripherien durch einen Punkt desselben hindurchgehen.

Wird dieser Punkt als Ursprung des Koordinatensystems und der zugehörige Durchmesser als x-Achse angenommen, so ergibt sich als Gleichung der Umhüllungslinie

U(x y) = (x² + y² — 2 a x)² — 4 a²(x² -f- y²) = 0 , welche eine Kardioide mit Spitze in О darstellt.

485. Die Einhüllende aller Ebenen zu finden, welche durch die Fußpunkte der Lote gehen, die von den Punkten einer Kugel vom Radius a auf die Koordinatenachsen gefällt werden.

U (x у z) = x³ + У³ + z³ — а³ = 0.

436. Die Einhüllende aller Ebenen zu finden, die von den Achsen Stücke von konstantem Produkt a³ abschneiden.

U(xy z) = 27 xy z — a³ = 0 .

437. Die Einhüllende aller dreiachsigen Ellipsoide von konstanter Summe a der Halbachsen zu finden. Gleichung der Flächenschar:

X² V2 f(xyz, pq)=-i- + —

z²

(a - p - q)

-1 = 0,

Gleichung der Einhüllenden:

U (x y z) = x³ + y³ + z³ — a³ = 0 .

§ 56. Untersuchung einzelner Kurvengleichungen.

Bei der Untersuchung der Gleichung einer Kurve f(xy) = 0 handelt es sich darum, das geometrische Bild derselben zu entwerfen, sowie alle besonderen Punkte der Kurve, wie die singulären Punkte, Wendepunkte, Maximal- und Minimal punkte usw., der Lage nach nebst den zugehörigen Tangentenrichtungen zu bestimmen. Diese Punkte können nach den seither besprochenen Regeln ermittelt werden. Was mm aber den ersten Teil der Aufgabe betrifft, den Lauf einer ebenen Kurve aus einer vorgelegten Kurvengleichung zu bestimmen, so wird es für den Anfänger genügen, diejenigen Teile der Zeichenebene (Zwickel) zu ermitteln, in welchen die Kurve verlaufen muß oder nicht verlaufen kann, sowie eine Reihe von weiteren Kurvenpunkten anzugeben und diese nachträglich durch Kurvenzüge zu verbinden, die sich an die zugehörigen Tangentenrichtungen und an die Asymptoten anschmiegen. Man suche daher zu bestimmen:

1.    Das Verhalten der Kurve im Ursprung.

2.    Ob die Kurve symmetrisch zu den Achsen liegt.

3.    Die Schnittpunkte der Kurve mit den Koordinaten

achsen.

4.    Die Asymptoten und etwaige Schnittpunkte derselben mit der Kurve.

5.    Die Wendepunkte und etwaige singuläre Punkte.

6.    Weitere gewöhnliche Kurvenpunkte durch direkte Berechnung oder mit Hilfe des Prinzips der linearen Kombination, soweit sie eben zur Gewinnung eines genügenden Bildes vom Verlauf der Kurve notwendig sind.

Nach Erledigung der Punkte 1—4 ist man vielfach schon imstande, die Zeichenebene in zweierlei Abschnitte zu zerlegen, in denen die Kurve einerseits verlaufen muß, andererseits nicht verlaufen kann. Letztere sollen in den folgenden Beispielen leicht schraffiert werden.

438. Beispiel.

f = y (x — l)² — X² = 0 oder y =

X²

(x-l)²*

Die Gleichung der Kurve gibt zu erkennen, daß zu jedem negativen y nur imaginäre Werte von x gehören, woraus folgt, daß die Kurve ihrem ganzen Verlauf nach oberhalb der x-Aehse liegen muß.

Fig. 40.

Sie berührt ferner die x-Achse im Ursprung und schneidet außerdem die Koordinatenachsen nicht mehr. Sie besitzt ferner in der Richtung x — 1 = 0 eine unendlich ferne Spitze mit x — 1 = 0 als Spitzpunktstangente, sowie y — 1 = 0 als gewöhnliche Asymptote, welche die Kurve noch in P (-J-, 1) schneidet.

Aus der Kurvengleichung folgt

4x + 2 (x-1)⁴’

(x-1)³’

У = 0 gibt x = 0 und zeigt den Ursprung als Minimalpunkt an.

y" = 0 gibt x = — \, somit Wendepunkt in P (— \mit У = — yV Tangentenrichtung.

Für x = 2, x = -J-, x = — 4 ergeben sich die weiteren Punkte mit den zugehörigen Tangentenrichtungen

P(2,4), /=4; P(£,l), /=8; P(— 4)ł$)> У— — т§тг*

Da die Kurve die Asymptoten und Koordinatenachsen außer in den angegebenen Punkten nicht mehr schneidet, so kann sie auch nur in den nicht schraffierten Flächenteilen verlaufen und muß daher die in Fig. 40 gezeichnete Gestalt haben.

439. Beispiel. Den Lauf der Kurve zu bestimmen :

f = X² y² — y⁴ — a² (x² — 4 y²) = 0 .

Die Kurve hegt symmetrisch zu beiden Achsen. Der Ursprung ist Mittelpunkt der Kurve, da zu jedem Punkt P(+x, + y) ein Punkt P(—x, — y) vorhanden ist.

Die Kurve besitzt in О einen Doppelpunkt mit x + 2 у = 0 als Tangentenpaar desselben und schneidet die x-Achse außerdem noch in x = oo, die y-Achse in P(0, + 2a), wozu У = 0 gehört.

Sie besitzt als Asymptoten: 1. Die beiden Medianen x у = 0 mit einfacher Berührung im Unendlichen, welche die Kurve außer in О nicht mehr schneiden. 2. Das Parallellinien paar у + а = 0 als Tangenten an den Doppelpunkt in x = oo, у = -j- a.

Den Verlauf der Kurve gibt die Fig. 41 an.

Fig. 41.

126 VI. Anwend. d. Differentialrechn, auf die ebene Geometrie.

440. Beispiel.

f = 2 (x³ — X y²) + X² + y² = 0 .

Die Kurve ist symmetrisch, zur x-Achse und besitzt im Ursprung einen isolierten Punkt.

Schnittpunkte mit der x-Achse P (0, 0) isolierter Punkt; P (—    0), / = oo.

Schnittpunkte mit der y-Achse P (0 0) isol. Punkt; P (0, oo).

ос

Fig. 42.

Asymptoten: ос) x — \ = 0 Wendeasymptote mit keinem weiteren Schnittpunkt im Endlichen.

ß) x -j- y + 4- = 0 gewöhnliche Asymptoten, welche die Kurve noch gemeinsam im Punkt P (— 0) schneiden, für welchen y⁷ = оо ist.

Maximalpunkt in P(l; — 1,732), Minimalpunkt in P (1; 1, 732).

Die Gestalt der Kurve ist in Fig. 42 angegeben.

441. Beispiel. Die Kurve

f=x³-xy² + 2x² + x- 4 = 0

zu untersuchen.

§ 57. Übungsbeispiele.

127

Die Kurve liegt symmetrisch zur x-Achse. Schnittpunkte mit der x-Achse : P (1, 0), У = oc.

„    „ y-Achse : Wendepunkt in у = oo.

ос

Fig. 43.

Die Asymptoten x = 0, x—y+l = 0, х+У+1 = 0 sind sämtlich Wendeasymptoten und können daher von der Kurve nicht weiter geschnitten werden.

Weitere Punkte:

= + 1 ; = 1,3.

P(-l,2),

P(— !» — 2), /=-1, P(2; 2, 6),

Aus diesen Angaben läßt sich der Lauf der Kurve bestimmen. (Fig. 43.)

§ 57. Übungsbeispiele.

Den Lauf der Kurven zu bestimmen.

(348.)

442.    f = 4 x² — 9y² — 3x + 2у + 1 = 0.

443.    f = x³ — x y² — y² -f у = 0 .

444.    f = xy² — x — y = 0.

445.    f = y (x — y)² — x (x + y) = 0'.

446.    f = х²у-Зх² + 2ху + 4 = 0. (349 Fig. 16.)

447.    f (x — y) y² + 3 (x -f y) x — 4 x = 0 . (356.)

448.    f = X² (x — y) — 4 X (x — y) + 2 y = 0 . (358.)

449.    f = x²y+ xy² + x²- xy + x- y=0. (362.)

(379.)

(384.)

(402.)

450.    f = x³-x²y + a²y = 0.

451.    f = x²y+2xy+2y — x — 1 = 0.

452.    f = x³ — a (x² + y²) = 0 .

453.    f = x² y² — x³ — 2 y³ = 0 .

454.    f = (x — y)⁴ + x² — y² — 3 x = 0 .

455.    f    = x⁴ — a (x² -f y²) = 0 .

456.    f    = x⁴ — a (x² — y²) = 0 .

457.    f = (x~y)y² + 3x(x-f y)-4x = 0.    (356.)

458.    f    = x² (y — 2 x)² — 3 y² (x + y) — 6 x = 0.    (358.)

459.    f    = (x² - y²)² - a² (x² + y²) =    0 .    (405 Fig.28.)

460. Gegeben ein Kreis Fig. 44 vom Radius a und

zwei senkrechte Durchmesser OA und CD, welche von den Projektionen E und F des veränderlichen Kreis-

E’ Л

Fig. 27.

Gesucht ist der

punktes R durchlaufen werden, geometrische Ort des Schnittpunktes P von RE mit OF.

Man nehme OA als x-Achse und das Lot in О auf O A als у-Achse an, dann ist OE = x, PE = y zu setzen und verhält sich

§ 57. Übungsbeispiele. OE : EP = RF : RP

X : y == (a —- x) : (У 2 a X — X² —- y) woraus sich als Gleichung des gesuchten Ortes ergibt:

f = x³ (x — 2 a) + a² y² = 0 .

Kurve 4. Ordnung mit Spitze in О und у = 0 als Spitzpunktstangente.

461. Den geometrischen Ort des Fußpunktes P des zweiten Höhenschenkellotes in einem veränderlichen gleichschenkligen Dreieck COB von der Basis a zu bestimmen.

oder

f = (x² + y²)² —- 2axy² = 0 . (Fig. 45.)

P,

Ч'ч

Г/

s'

DC

Fig. 46.

Fig. 45.

462. Eine Strecke AB von der Länge a bewegt sich mit ihren Endpunkten auf den Koordinatenachsen. Den Ort des Fußpunktes P des von О auf dieselbe gefällten Lotes zu untersuchen.

f = (x² -f- y²)³ — a² x² y² = 0 oder r = -f- a cos<p sin<p. Die Gestalt dieser Kurve zeigt Fig. 46.

Junker, Repetitorium der Differentialrechnung.

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Sammlung

3ebei 23anb in Setttro. geb.

во щ. (fiöfdjen

Sergeidmis ber bis jefct erschienenen Sänöe.

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--II: Xÿeoxie u. Sturben britter

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Archäologie bon Dr. griebrich Äoebb, AHen. Atit 11 Tejtlärtchen unb Arof. an ber llniberjität Atünfter | Profiten. Ar. 63. i. 2Ö. 3 Sßänbdben. At. 28 Abb. int Aufträgen. Sanbeêïunbe u. Söirt« Tejt u. 40 Tafeln. Ar. 538/40.    fchaftôgeograbhie be§ geftlanbe*

Arithmetik u. Algebra bon Dr. фегт.    Auftralien bon Dr. $urt ^afjert,

Schubert, $rof. a. b. ©elehrten-    $rof. b. ©eograbhie an b. Raubet«=

fchute be3 gohanneumä in фат-    ^ochfcfjule in ®ötn. Atit 8 Abb.,

burg. Ar. 47.    6 grabh- Tab. u. 1 Äarte. Ar. 319.

--Seifbielfammlung sur Arith» Autogenes Schweif?» unb Stfjneib*

metiï unb Algebra bon Dr. фегт.    bcrfahren bon gngen. фап$ Aiefe

Schubert, #rof. a. b. ©elehrten-    in Äiel. Atit 30 Figuren. Ar. 499.

fchuïe beS gohanneumS in фат- öabe* u. Schwimmanftalten, öffent* burg. Ar. 48.    liehe, b. Dr. Äarl 2Bolff, ©tabtober-

Artneebferb, TaS, unb    bie SBerjorgung    baur., фаппоьег. At.50 gig. Ar.380.

ber mobenten фееге mit ^ferben b. iôaben. SBabifche ©efchichte boit Dr. geliç bon Tamnib, ©eneraï ber ®arl SBntnner, $rof. am ©humai. Äaballerie s. 3). u.    ebernal. Areufc.    in ^forsheim u. ^ribatbojent ber

Aemonteinibeïtor.    Ar. 514.    ©efcfjichte an ber Technifchett фоф-

Armentoefen unb Armenfitrforge.    fdhule in Karlsruhe. Ar. 230.

©inführung in b. faciale фЩЗагЬей — SanbeSfmtbe bon SBabenbonArof. b. Dr. Abotf SSeber, $rof. an ber    Dr. £). Äienib i. Karlsruhe. Atit

фапЬе13ЬосЬ1с1)и1е in Äöln. Ar. 346.    profit., Abb. u. 1 $arte. Ar. 199.

Aftljetiï, Allgemeine, bon Atof. Dr. öahnhöfe. .ftochbanten ber SBaljnböfe Ataę Ties, Sehrer a.b.^gl.Afabemie    b. ©ifenbahnbauinfbeït. ©. Schwab,

b. bitb. fünfte in Stuttgart. Ar. 300.    Aorftanb b. Ägl. ©.-фосЬЬаи1еШои

Aftronomie. ©rohe, ^Bewegung u. ©nt-    Stuttgart II. I: ©mbfangSgebäube.

fernung ber фштеШогрег о. A. g.    Aebengebäitbe. ©üterfchubben.

AtöbiuS, neu bearb. bon Dr. фегт    Sofomotibfchubben. Atit 91 Ab*

Äobolb, Arof. an ber Uniberiität bilbungen. Ar. 515.

Äiel. I: TaS ißlanetenfbftem. Atit 23alfanftaaten. ©efdjichtc b. thrift* 33 Abbilbungen. Ar. il.    lichen JBaltanftaaten (Bulgarien,

--II: Kometen, Ateteore u. baS    Serbien, Aumänien, Atonteuegro,

Sternfhftem. Atit 15 Figuren unb    ©riechenlanb) bon Dr. Ä. Aoth in

2 Sterntarten. Ar. 529.    Kempten. Ar. 331.

Aftronomifche ©eograbhie oon Dr. öanlmefen. Sechni! be§ ©anfmefen^ Siegm. ©iinther, ißrofeiior an ber    bon Dr. Sfôaïter ©onrab, ftellbert.

Stechnijchen фоф|сЬи1е in Atünd)en.    Aorfteher ber ftatift. Abteilung ber

Atit 52 Abbilbungen. Ar. 92.    Aeid)3bant in Berlin. Ar. 484.

Aftrabhhftf. 3)ie S3efd)affenheit ber S5aufühb««fl* Äursgefahteä фапЬЬисЬ ôimmeBïôrher b. ^5rof. SB. %.    über baë SBefen ber SSaufithrung b.

АНШсепиЗ. Aeu bearbeitet bon    Archit. ©mil Aeutinger, Afîiftent an

Dr. Ф. Subenborff in Aotśbam. ¹ b. Хефп. фоф^ик in 3>armftabt. Atit 15 Abbilb. Ar. 91.    At. 25 gig. и. 11 Tabeli. Ar. 399.

Saufunit, $>ie, bed Nbenblanbed b. Slütenpflanseu, î>ad Sbftem ber, mit Dr. Ä. ©d)äfer, Slffift. a. bewerbe-    SCudfdjlufr ber ©bntnofbernten    bon

mufeum, Sternen. Stit 22 2lbb.    Dr. 9t. Silger, ®uftod am ®gl.    So*

Nr. 74.    tanifcben ©arten in S erlin* 2)ablem

— bed <Sdmlb<*ufed b. Stof. Фг.-Зпд. Stit 31 Figuren. Nr. 393.

Ernft Setterlein, SDarmftabt. I:2)ad Sobeufunbe bon Dr. S- Sageier in ©cbulbaud. St. 38 Nbb. Nr. 443. Äonigdberg i. St. Nr. 455.

©c*

--II: $>ie (Scbutrâume — $ie Sranbenburgifd) * Srcitf.ifdic

Nebenanlagen. St. 31Nbb. Nr.444. (d)id)te bort Stof. Dr. St. ï|amm, Saufteine. î>te ^nbuftrie ber fünft* ®it. bed taifer SWbelmd*©t)m* lirfren Saufteine unb bed TOrteld nafiumd in Montabaur. Nr. 600. bon Dr. ©. Nauter in Ebartotten* Srafilten. 2anbedfunbe berNepublif burg. Stit 12 Xafeln. Nr. 234.    Srafilien bon Set Nobolpbo    bon

Sauftofffunbe, $ie, b. Stof. $. §aber*    Ebering. Stit 12 ШЬйЬипдеп    unb

ftrob, Oberl. a. b. £erjogt. Sau* ¹ «lutte. Nr. 373.    #

gemer!fd)ule ^otjminben. Stit ®taueretttjeien I: ЭЛаЦет bon Dr. .36 mbitbungen. Nr. 506.    *aS-?reKftoff' ф£-.Ьег ewÏS5

»eijetifAe ©«fAiAte «on &    *“лмГ

«t ifT Ct,el m ®ив^и'й' »citifA-'Jiorbaractifa. Śanbeitmtbe

IwfinJfcra' ¹³ a6b- unb ¹ ftntte. Ш. 284.

«г ærofiî kbt ÎÂteÂ^l76 ««Afiilmrnn in e-nfaAen u. bdbbrf. ,ü    ' *1 , i- 'L-I./Z⁶' t»n Seiten o. *rof. 9iob. Stern,

®е«2Ж!5?тте^hVa^'w.DfH^mn^    b6ect- Ь. Offen«. Jpnnbeßlefitanft.

S£f i.*«,,î(!i2S K    “• ³⁾°5- b- »aiibetef)0d)(d)ule gu

£ К ⁸ ÄJ?L *»ł*».mmęn bet    üeipsig. «K.bielen д-ormut. 9!r.U5.

VnloernefAutie bis 5«    »ubbb« bon «tofeifor Dr. (îbmunb

bon Neuleauç, Stator b. ©tabe b. ç>arbtr Nr 174

Sefdjmerbererbt.    Eifsiplinar« и.

Seftbmerberedjt für ^eer и. $Ша« rtne b. Dr. füJtaç ©. Staper, Stof. a. b. Itnib. Strasburg i. ©. fftr. 517.

Setricbêfraft, î)ie swedmâfîiflfte, bon grriebr. Sartb, Oberingen. in Nürnberg. 1. STeil: Einleitung. 2)ambf* ïraftaulagen. Serfcf)ieb. Äraft-mafebinen. St. 27 9lbb. Nr. 224.

--II: ©ad-, Staffer- u. SHnb-

Äraftanlagen. St. 31 3lbb. Nr. 225.

--III: Gteftromotoren. Setriebd-

foftentabellen. ©rapb- 3)arftell. SSabl b. Setriebdfraft. St. 27 Slbb. Nr. 474.

Semegungdfbiele b. Dr. E. toblraufcb, Srof. am Ägl. Äaifer SSilbelmê-©Otun. su фаппоьег. St. 15 Slbb. Nr. 96.

Slcicberet.

l»?Q??rPł°nł«)rtaS' ^r.17. $ureettfunbe, àôrifi ber, bon Jpofrat 9Ktt 30 Stlbern. Nr. 569.    Dr. Otto Siper in Stündjen. Stit

30 Nbbilbungen. Nr. 119. Sürgerlirbeb ©efetjbud) fiebe: Necbt bed S ©S.

Sbsunttnifcbed Neid». ©efcbidjte bed bbsantintfeben NeidjeS bon Dr. Notb in Âempten. Nr. 190. Ebentie, NUgemeine u. ^I|kififanfdber

bon Dr. Staj Nubolpbi, Stof. an ber ^Гефп. ,§ocbfcbule in 2)armftabt. Stit 22 Figuren. Nr. 71.

— Nnalbtifdje, non Dr. ftobamted £>oppeinStümf)en. I: ïbeorieunb ©ang ber Nnalpfe. Nr. 247.

--II: Neattionber Stetalloibeunb

Stetalle. Nr. 248.

— Nnorganifdie, bon Dr. 3of. Âlein in Mannheim. 9îr. 37.

Sestil-Subuftrie III: fôüftbcrei, Sleitberei, Färberei unb ibre ^ilfdftoffe b. Dr. ШЬ-Staffot, Stof. a. b. Steufc. bob-^acbftbuïe für îertilinbuftrie in ftrefelb. Stit 28 Çig. Nr. 186.

— ©efcbitbte ber, bon Dr. фидо Sauer, Slffift. am (Ąemifdjen Sabo* ratorium ber ®gt. Xed)n. 4>b^fd)ute Stuttgart I: Son ben älteften feiten bB j. Serbrennungètbeorie bon Saboifier. Ш. 264.

—--II: Son Saboifier bid sut

©egentbart. $Rr. 265.

Gbemie ber ®oï)lenftoffberbinbungen

bon Dr. фидо аЗаиег, Affiftent am фет. Saboratorium b. Ägl. 2ефп. £оф{фи!е Stuttgart. I. II: Alipha* ффе a3erbinbungen. 2 Deile. dr. 191. 192.

--III: Æarbocpïlifdje SBerbinbun«

gen. dr. 193.

--IV: ^eterocpfl^e a3erbinbun-

gen. dr. 194.

—    Drganifdje, bon Dr. Sof. Mein in dtannbeim. dr. 38.

—    a?barmaaeutif(be , bon ^Sribat-boaent Dr. E. dtannbeim in аЗопи. 3 аЗапЬфеи. dr. 543/44 и. 588.

—    asbbfiolonifrbe, bon Dr. med. A. Segabn in аЗегПп. I: Affimilation. dtit 2 Dafeln. dr. 240.

--II: Diffimiïation. Ш. 1 Dafel.

dr. 241.

—    Dojifologifdje, bon fßribatboaent Dr. E. dtannbeim in 33onn. Sdit 6 Abbilbungen. dr. 465.

<£l)emifcï)e Nnbuftrie, Anorganifdje, bon Dr. ©uft. dauter in Eparlot* tenburg. I: Die Seblancfoba* inbuftrie unb it>re debenatoeige. «dit 12 Dafeln. dr. 205.

*--II: Salinenloefen, ®alifalae,

Düngerinbuftrie u. Àerwanbteâ. «lit 6 Dafeln. dr. 206.

--III: Апогдап^фе фет^фе

Präparate. Ш. 6 Daf. dr. 207.

CTbemifrbe Dedmologie, Allgemeine, bon Dr. ©uft. dauter in Eljar» lottenburg. dr. 113. (Sbetnifdj-Decbniftbc Analbfe bon Dr. ©. ßunge, aŚrof. au ber ©ibgen. aßoïbteфnifфеи Sdmle in Зпг{ф. dłit 16 dbbilb. dr. 195.

^briftlirben Siteratnren beê Orienté, Die, bon Dr. Anton a3aumftarï. I: Einleitung. — Daé фп^Нф-агата^фе u. b. ïopt^e Schrifttum. dr. 527.

«--II: Daê d)riftï.*arab. unb baê

ätfiiof). ёфгЕШт. — Daê фп^1. Schrifttum b. Armenier unb ©eor« gier. dr. 528.

Dambfïeffel, Die. Unragefafete^ Seïjr* Ьиф mit 83eifpieleń für baë Selbft» ftubium u. beu braïtifàen ©еЬгаиф bon Oberingenieur $riebr. ®arth in dümberg. I: Âeffelfbfteme unb Neuerungen. 9dit 43 Niß- dr. 9.

---II: 33 au unb betrieb ber

Dambfïeffeï. Ш. 57 Niß- dr. 521. i

Dambfmafdjinen, Die. ®uragefafjte£ Öe^rbud) mit Seijfcielen für baś Selbftftubium unb ben ipraftifdjen ©ebraucf) bon ^riebr. ЗЗагф, Ober« ingénieur in Nürnberg. 2 ЗЗЬфп. Iî Söärmetüeoretifd)e unb bambf* tedjnifĄe ©runblagen. dtit 64 Orig, dr. 8.

--*- II: S3 ou unb 33etrieb ber

SDambfntafdjinen. 9dit 109 Niß-dr. 572.

Dampfturbinen, Die, itjre aSirlungè* meife u. ®ouftruftion bon Nngen. £>erm. SBilba, 3ßrof. a. ftaatl. Ded)-rtiïum in аЗгешеп. diit 104 Abb. dr. 274.

Deéhtfeltion bon Dr. 9d. Eïjriftiau, Stabéarat a. D. in 33erlin. diit 18 Abbilbungen. dr. 546.

Determinanten bon $. 33.

Oberl. a. b. Oberrealfd). j. ©rofc-Sidjterfeïbe. dr. 402.

Deutfcbe Altertümer bon Dr. traita Nul)fe, Dir. b. ftûbt. dtufeumè in SraunfĄmeig. ЗЙ. 70 Abb. dr 124.

Deutfd)efÿortbUbungêfdmIibcfenfDûê, nad) feiner gefd)icf)ttid)en Enttoid-lung u. in feiner gegenwärt, ©eftalt bon &. Sierdê, debijor gewerbl. Nortbilbung^ulen in Sd)leêtt>ig. dr. 392.

Deutfcpeé fÇrembmbrterburf) bon Dr. dub. Æleinpaul in Seibaig. dr. 273.

Dentfcfje ©efrfjidite bon Dr. N. Âurae, aSrof. a. $gt. Suifengt)mnaf. in ЗЗегИп. I: diittelalter (btô 1519). dr. 33.

--II: Seitalter ber deformation

nnb ber deligionéfriegc (1517 biê 1648). dr. 34.

--III: æom aSeftfälifdjen Nne«

ben biê anr Anflbfung be§ alten deirfjé (1648—1806). dr. 35.

--fiebe and) : Ouellenïunbe.

Dentfcije ©rantmatif unb ïurae ©e-fdbid}te ber beutfd)en Sprache bon @rf)uïrat aSwf. Dr. O. £t)on in Dreében. dr. 20.

Deutfrbe ôanbelêforrefponbena bon Sßrof. 2b- be аЗеаиг, Officier de l’Instruction Publique, dr. 182. Deutfdje^ £anbeï§rerf)t bon Dr. ®arl ßebmann, 9Srof. an ber Uniberfitat ©ottingen. 2 $8be. dr. 457 u. 458.

Deutftbe ^elbenfagc, Die, bon Dr. Otto Suitpolb ftiricae!, ^ßrof. an b. Uniberfitat AMiraburg. dr. 32.

$eutfdje§ Soïonialredjt bon Dr. ф. Ebler bon Hoffmann, ^rof. an ber ^gï. Slïabemie SSofen. Sir. 318.

$cntfd>e Solonien. I: 2:090 unb Samerun bon SMf. Dr. S'. Фоье. 'Жit 16 Xafeln u. 1 lithogr. Sarte. Sir. 441.

—    II: 2>a3 ©übfeegebiet unit Stau* tfdwu bon ißrof. Dr. S. Фоье. SJiit 16 ïafeln u. 1 litt). Sorte. Sir. 520.

—    Ill: Oftafriïa bon $rof. Dr. S. Фоье. Sïiit 16 2afeln u. 1 lithogr. Sarte. Sir. 567.

Xeutf^e Sulturgefdjichte bon Dr. Éeinlj. ©ünther. Sir. 56.

Xeittfÿeë geben im 12. u. 13. ад)г* hunbert. Siealïommentar gu ben SSolfó* u. Sunfteben u. gum SJiinne* fang. S3on fßrof. Dr. ад. 2)ieffen* badjer in ^reiburg i. S3. I: Offent* lid)eê geben. SJiit gasreichen Ш>* bilbungen. Sir. 93.

--II: Sßribatleben. SJiit gasreichen Slbbilbungen. Sir. 328.

2eutfche Siteratur ЬеЗ 13. Sahrhun* bert3. 2>ie ©bigonen b. hbfifdjen ©ЬоЗ. Slu3Wahl a. beutfdfen 2)id)= tungen ЬеЗ 13. $ahrbunbert3 bon Dr. SSiïtor ftunl, Slïtuariu3 ber Saif erlich en Slïabemie ber Söiffen* fchaften in SSien. Sir. 289.

ФеиЦсЬе giteratnrbenïmâler ЬеЗ 14. и. 15.ftahrljunbertS. Slu3gewäl)lt unb erläutert bon Dr. germanu ftanhen, 2ireltor b. Sönigin guife* ©d)ûïe in Sonigêberg i.$r. Sir. 181.

—    16. $abrhunbert3. I: Martin gutïjer u. 2bom. burner. 9lu3ge* wählt и. mit Einleitungen u. Sin* merlungen berfehen bon SSrof. ©. S3erlit, Oberlehrer am Siilolaighm* nafitmt gu geibgig. Sir. 7.

--II: 4?au3©ad)3. Slu3geWäljltu.

erläut. b. Sßrof. Dr. $. ©ahr. Sir.24.

--Ill: S3on 93raut bi3 Siollen*

hagen: 93ranM?utten,$ifdjart, fo* wie 2ierebo3 u. ftabel. Stu3gem. u. erläut. bon $rof. Dr. $uliu3 ©ahr. Sir. 36.

—    ЬеЗ 17. unb 18. 3ahrhunbert3 bi3 Slobftod. I: gt)ri! bon Dr. SSaul gegbanb in S3 erlin. Sir. 364.

«--II: $rofa b. Dr. фапЗ gegbanb

in Saffeï. Sir. 365.

$eutfche gitcraturgefchichte bon Dr. SJiajr Sod), Sßrof. an ber Uniberfitüt $re3lau. Sir. 31.

25eutfdje giteraturgefchidjte ber Sla* ffiïergeit b. Earl SSeitbredjt, burd)* gefehen u. ergängt b. Sari S3erger. Sir. 161.

--ЬеЗ 19.S«hïhtt«bert3 bon Earl

SBeitbredjt, neu bearbeitet bon Dr. Süd). S33eitbred)t in SBimbfen. I. II. Sir. 134. 135.

Swutfdjen SSiunbarten, Фи, bon $rof. Dr. ф. 3iei3 in SJiaing. Sir. 605.

2eutfrîje SJihthblogie. ©ermanifdje SJihlhologie bon Dr. Eugen SJiogf, $rof. a. b. Uniberj. geibgig. Sir. 15.

2cutfd)en ^erfonemtamen, Фи, b. Dr. Slub. Sleinbaul i. geibgig. Sir. 422.

2eutfdje $oetiï bon Dr. S. S3orin3fi, SSrof. a. b. Unib. SJiündjen. Sir. 40.

$eutf<he Siebelehre bon фаиЗ Skobft, ©bmnafiaïbrof. i. 33amberg. Sir.6l.

Seutfdje Schule, Фи, im 9lu3laube bon фапЗ Slmrhein, ©eminarober* lehrer in Slhedbt. Sir. 259.

2eutfche3 Seeredjt b. Dr. Otto S3ran* bi3, Oberlanbe3gerid)t3rat in ^>am* burg. I: Slllgem. gehren: Vertonen и. ©ad)en b. ©eerechfé. Sir. 386.

--II: 2>ie eingelnen feered)tlid)en

©djulbberhältniije: S3ertrâge beè ©eeredjtè u. aufeerberträgliche ^af* tung. Sir. 387.

Seutfdje ©tammeèîuubc b. Dr. Siub. SJiud), a. 0. Sßrof. a. b. Unib. SBien. SJiit 2 Sort. u. 2 2af. Sir. 126.

2eutfd)e3Uuterrid)t3toefen. ©ef^idite be3 beutfcheuUnterridjtSwefenê b. Sßrof. Dr. ^riebrid) ©eiler, 2)ireltor beê Sgï. ©bwnajiumâ gu gudau. I: S3on Slnfang an bi3 gum ©nbe be§ 18. ^ahrhunbertâ. Sir. 275.

•--II: S$om S3eginn b. 19. Sahrh.

bi3 auf bie ©egenmart. Sir. 276.

Deutfche Urheberrecht, ФаЗ, an lite* rarijchen, ïiinftlerifchen u. gewerb* liehen ©d)öbfungen, mit befonberer 33erüdfid)tigung ber internat. S3er* träge b. Dr. ©uft. Slauter, Sßatent* anwalt in Eharlottenburg. Si. 263.

Феи11с1)е S3olf3lieb, ФаЗ, auägemählt и. erläutert bon S5rof. Dr. ад. ©ahr. 2 S3änbd)en. Sir. 25 u. 132.

Фе1ад)е SBehrberfaffung bon Sari Enbre3, ©eheimer Sriegêrat u. bor* tragenber Siat imSriegSminifterium in SJiünchen. Sir. 401.

ФсиНсЬеЗ SBHrterbud) b. Dr. Siicharb goewe. Sir. 64

£eutftbe3eitungëu»efen, фа§, bon Dr. (gifeubtitteulunbc bon 91. Äraufc, bipl. Robert «runbuber in $Шп a. Щ). Hütteningenieur. I: Фаз fRobeb'en. 9lr. 400.    ©lit 17 gig. u. 4 Zal №. 152.

SeutfrfjeS 3ibityr0sef?rerf>t bon 9ßrof.--H: фаз ©djmiebeifen. ©I. 25

Dr. SBilbelm $iidj in Strasburg gig.u.5£af. ©г. 153. i. (£. 3 93ärtbe. Ш. ^²5гТ“⁴³®* Œifenïonftruftionen tut Horiibau bon Stibtunneu au* jnxtmoübtumtv .^ngen. Âarl ©doubler in ©leifeen. grübelt. Qn 9lnëlb. mit ©mltg. u. gjiit ₁₁₅ ^iguren. ©r. 322.

Se?'ÂVorflbeM„^„!«iS: «iSseitalter, Saê, B. Dr. ©mil Sert» -rf’ VLV    ? «î? «s in *erIin.gBilmer«borf. mit 17 «b-

1Ч.Й1»„',® Йп™в '-JÜ*' bttbuneen unb 1 Sfarte. 9ît. 431. Xletnrtebtu Йibtum.b 2»e£<*    . ,ew,^re für 3n„enkute ,.

bu* Bon Dr D Й ^iriciet *rof    «rtmbleee»«nb«HflemeineS über

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Dr. griebr. gunter, ©eftor b. ©eat* Œleïtrtfrfieu ©iefemftrumentc, 2>te, bon gt)tnnafium§ u. b. £berrealfd)ule in    3- Herrmann, 9?rof. an berSetfin.

@ôp*)ingen. ©lit 46 gig. ©r. 146.    Hocbfdjule tn Stuttgart. ©lit 195

Srogenïunbe bon ©id). £>orftemib in Figuren. ©r. 477.

£eip*ig unb ©eorg Otterébad) in Œleftrifdje Sclegrabbie, $ie, bon Dr. Hamburg. ©r. 413.    Sub. ©eïïftab. ©lit 19 gig. ©r. 172.

$rurfu>affer* mtb $ru(fluft«9lnlagen. (Heftrijität. £l)eoret.9?bbfiI III:(£lef= jumpen, ®rutfnmber- u.2)rudluft* traitât u. ©lagnetiêmuê bon Dr. Anlagen bon ®ipl.-gngen. ©uboïf ©uft. gager, 93tof. a.b. Xecbn.Hod)* 93ogbt, ©egierungëbaumftr. a. Ф. id>ule in 933ien. ©lit 33 ©bbilbgn. in 9lad)en. ©lit 87 gig. ©r. 290.    ©r. 78.

(Hbbaliebcr mit ®rammatiî, ttberjebg. (Steltrorbemie bon Dr. Heinr. Фаппее1 u. Erläuterungen bon Dr. 9SiIbeïm    in Eettf. I: Ф1)eoretifdie Elettro«

©aniid), Ebmnafialoberlebrer in    d)emieu.ibre £bbïifaliîd)-d)emiîcben

Oènabrüd. №. 171.    ©runblagen. mit 16 gig. №. 252.

Eifenbabubau. Ф1е Entmitflung be§--II: Experiment. Eleftrodjemie,

moberuen@ifenbal)u0auc§b.3)ibl.    ©lefemetboben, ßeitfäbigteit, Sö-

gng. Sttfreb 93irt, o. ô. $rof. a. b. fungen. mit 26 gig. №. 253. ï. t. ®eutfd)en Xed)n. |>od)id)ule in ©leïtromagnet. Sidittljeone. ^beoret. 9?rag. ^it 27 Stbbilb. 9îr. 553.    ^bbfiî IV: ©leïtromaguct. Sîirijt*

(?tfenbabufal)r5cufle bon Rinnen*    tbcorie u. ©leïtronit bon ißrofeftor

tbal, 9îegierung^baumeift«r u.Dber-    Dr. ©uft. ^äger in 20ieu. 9)lit 21

ingen. in фяшгоьег. Is 2)ie Soto-    Figuren. 9îr. 374.

motiben. Ш1 89 9ibbiïb. im ^Teçt (Sleïtrametallurgie bon Dr. griebrid) unb 2 tafeln. 9ir. 107.    9tegefôberger, Âaiferl. 9fieg.-9îat in

---Il: 2>ie ©ifenbabuibagen unb    ©tegli^93erlin. m. 16 gig. 9îr. 110.

Sremjen. 9Jlit 9lnb.: ®ie @iïen* ©lettrotecbniï. Cfinfübrung in bic babnfabrjeuge im betrieb. Ш1 56    StarÜtrumtediuiï b. ^errmaun,

9lbb. im %ext u. 3 £af. 9îr. 108.    ^Srof. b. ©leîtroted)nit an ber Âgl.

(£ifeubabubolitif. ©efdjicbte b. beut*    Zed)n. ,t>od)fd)uIe Stuttgart. I:

ftbenSifenbabubolitil b. $8etriebâ*    ®ie ьЬДОаЩфеп ©runblagen. Ш1

inîbettor Dr. (Śbmin ®edj in $arïê-    95 ?fig. u. 16 £af. 9îr. 196.

rube i. 93. №. 533.    --II: Zie ©leidiftromtedbnif. ©Ht

©ifenbetoubau, Фег, b. 9îeg.-53ûumftr. 118 fVig. unb 16 £af. №. 197

Äarl mb&le. ©lit 75 9lbbilbungen.--III: 3>ie 9Sed)felftromted}nif.

№. 349.    ©lit 126 Brig. и. 16 Фа!. 9lr. I9f.

Gïeftrotedmif. Die 9)îaterialien beb SÖiafdjineubaueb unb ber Шейго» iedmtf bon Ingenieur 3Srof. £>er» mann SSilba in Bremen. 9Rit 3 3lbbilbgu. *Rr. 476.

(Hfa^fiotljrinoen, Sanbebfunbe bon, 0. $rof. Dr. SR. Sangenbed in (Strasburg i. G. 9Rit 11 3lbbttb. u.

1    Âarte. SRr. 215.

Gnglifcb-beutfdjeb ©efbrâthbbudj bon 3kof. Dr. G. ôaubfnerht in Sau-faune. SRr. 424.

Gnglifrfje ©efdjidjte b. SSrof. S.©erber, Oberlehrer in Düffelborf. 9îr. 375.

Gngïifthe iponbelbïorrefbonbena bon G. G. SShitfielb, M. A., Oberlehrer au Шпд Gbtoarb VII ©rammar <Sd)Ool in Шпд’Ь £t)un. 9îr. 237.

Gnglifdje Siteraturgefchidjte bon Dr. ®arï SSeifer in SSien. SRr. 69.

--©runbatige nnb £aubttbben b,

engïifdjen Siteraturgeidjtdjle bon Dr. 3lrnolb 9R. 9R. (Schröer, ^ßrof. an ber &anbeïbhochfd)ule in Äöln.

2    Zeile. Vit. 286, 287.

GntUJidlungbgeftbidjte ber Diere bon

Dr. .gohanneb ïReifenheimer, Sßrof. ber gooïogie an ber Uniberfitât 3ena. I: gurdjung, SJkimitiban-lagen, Saroen, gormbübung, Gm-brtjonalhüllen. 9Rit 48 Figuren. SRr. 378*

--II: Organbübung. 9Rii 46 gig.

SRr. 379.

Gbigonen, Die, beb pfifteen ©bob* 3lubtoahl aub beutfchen Dichtungen beb 13. ^ahrhunbertb bon Dr. S8it-tor gunf, 3lïtuariub ber $aijer-lichen Slfabemie ber SSiffenfchaften in SSien. SRr. 289.

Grbntagnetièmnê, Grbftrom, ^olar» ïid)t bon Dr. 31. 9Ubbolbt, fötitgtieb beb Äönigl. ^ßteufeifchen SRetereo-logifd)en gnftitutb in f^otbbam. 9Rit 17 Slbbilb. u. 5 Daf. 9tr. 175.

Grbteilc, Sänberfnnbe ber au^tereuro* bäifdjen, bon Dr. grana éeibericb, ffSrofeffor ап ber Gsbortaïabemie in SSien. 9Rit 11 De^t!ärttf>en unb Profilen. fRr. 63.

Grnührung unb fRahrnngêmitteï bon Oberftabbarat ^rofeffor é- Śiftf)off in S3erlin. 3Rit 4 3lbbitbungen. fRr. 464.

Gthiï bon ffSrof. Dr. Dhomab 3ldjelib in S3remen. 9îr. 90.

Guroba, Sünberïunbe bon, bon Dr.

grana ôeiberid), SSrof. a. b. Ggbort-afabemie in SSien. 9Rit 14 De^t-färtchen u. Diagrammen u. einer ®arte ber Sttbeneinteihmg. Ш. 62. GEÏurfionbflore bon Dentfdjlanb aum SSeftimmen b. häufigeren i. Deutfch-ïanb toübtoachfenben SSflunaen bon Dr. SS. 9Riguïa, Sßtof- ou ber gorft-aïabemie Gifenad). 2 Dette. 9Rit je 50 3lbbilbungen. $Rr. 268 unb 269. Gïblbfibftoffc. Ginführung in b. ©hernie ber ejfttofiben Vorgänge bon Dr. ф. S3runbloig in (Steglit*. 3Jlit 6 3lbbilb. nnb 12 Dab. $Rr. 333. gatnilienredjt. SRetht b, SBürgerlirijen ©efeh&ucbeb, SSierteb S3ndf: ga» ntilienredjt bon Dr. Heinrich Di£e, Sßrof. a. b. Unib.©öttingen. SRr.305. gärberett Dc£til«gnbuftrie III: 2№ idjeret, Sïeidjerei, Färberei unb ihre .^ilfêftoffe bon Dr. SBÜheïm 9Raffot, fßrof. an ber fßreufcifchen höheren gad)fd)ule f. Dejtttinbuftrie in $refelb. 9Rit 28 gig. SRr. 186. gelbgefchüh, Фай moberne, b. Oberftleutnant SS. öebbenreich, SRilitär-lehrer a. b. füftttitärtechn. 9l!abemie in SSerltn. I: Die Gntmicttung beb gelbgefcfjüheb feit Ginführung beb gezogenen gnfanteriegetoehrb bib einfcht. ber Grfinbung beb raudhl. Sßulberb, ettoa 1850 bib 1890. 9Rit

I    Olbbüb. SRr. 306.

--II: Die Gnttoidlung b. heutigen

gelbgefchüpb auf ©runb ber Grfinbung beb rauchfofen fßutberb, ettoa 1890 bib aur ©egentoart. üRit

II    3Ibbilb. SRr. 307. gernfbrerfttoefcn, Dab, bon Dr. Sub-

tbig SRellftab in S3ertin. 9Jtit 47 ^ig. unb 1 Dafet. $Rr. 155. S-eftigïeitêïehrc b. SS. ôauber, Difjt.-Ingenieur. 9Rit 56 gig. *Rr. 288. — ^(ufgobenfemmluno Mu^eftigfeit-lehre mit Söfttngcn bon fR. ^aren, Di^lom-^ngenieur in SRannheim. ЭДШ 42 giguren. fRr. 491. gette, Die, nnb Oie foiuie bie (Seifen-п. Äerjenfabritat. u. b. 4?arae,£aäe, girniffe m. ihren tbid)t* C)ttfbftoffen bon Dr. Äarl 93raun in SŚerlin. I : Ginf. in b. Ghemie, S3efbretf>. einiger (Salje u. b. gette u. Cie. 9?r. 335.

--II: Die (Seifenfabritation, bie

Seifenanalt)fe unb bie Äer^enfabri-fation. 5!Rit 25 Slbbttb. fRr. 336.

Stbteitungêbirigent

Sette, Sie, unb £>le fomie bic (Seifen* ; Slufjbau bon fRegierungèbaumeifter u. Æersenfabriïat. u. b. fQüx%cf Seide, girniffe m. ihren mûbtigften $ilfê* ftoffen bon Dr. $art 33raun in 33ertin. III: фсще, Sacfe, girniffe.

9lt. 337.

Seuertoaffen* ©efrfjirfjte b. gefantten Seuertoaffen bi£ 1850. Sie Ent* micïïung ber geuertoaffen фгет erften Auftreten bté sur Einführung ber gesogenen ^>intertaber, unter befonberer 33erü<ffubtigg. Ь.феегеё* bemaffnung bon SRajor a. S.

38. &оЩе, Steglib*33 erlin. SRit 105 9lbbilbungen. ÎRr. 530.

$«Sfabrifation* Se£tü*3nbuftrie ц:

38eberet, 38irïerei, ^ofamentiere* rei, Spitzen* unb ©arbinenfabri* fation unb fÿitsfabrifation bon $rofeffor 9Raç ©ürtter, ©eb. fRe* gterungêr. int ®gt. Sanbeêgemerbe* amt su Berlin. Ш129 gig. $Rr. 185.

Sinansfbfteme ber ©ro&ntiWe, Sic,

(Sfntemat. Staate* unb ©emeinbe*

Sinanstoefen) b. £). Sdjmars, ©eb-Oberfinansrat in Berlin. 2 31änb* eben. fRr. 450 unb 451.

Sinanstbiffeufiïjaft bon fBräfibent i>r.

81. bau ber 33orgbt Slllgemeiner Seil.

in 33ertiu. I: «Rr. 148.

--II: Söefonberer Seit (Steuer*

lebte). SRr. 391.

^тт!ф*идН1фе Spraфtoiffcnfфйft bon Dr. ^ofef Ssinnpei, ^Srof. au ber Uniberfität Söubapeft. 9îr. 463. 3-innlanb. Sanbeêïuttbe beê Euro= рйЦфеп fRu^tanbë nebft f^inu* lanbê bon fßrof. Dr, SI. ^bitippfon in &alle a. S. fRr. 359.

ftirniffe* ^arse, Sade, ^irniffe bon Dr. ®arl 58raun in SBertin. (gette unb Ote III.) «Rr. 337.

&№e. Saê Sierretф IV: fÇifфe bon 33rof. Dr. 9Rajr iRautber in 9teapet. 3Rit 37 №büb. №. 356.

^11феге1 unb $Цф5иф1 bon Dr. Âart ÉÆftein, 35rof. a. b. fîorftaïabemte Eberêmatbe, bei ber ^auptftation beâ forftttâ)en ^Berfuфëmefenê. iRr. 159.

(Çlara. Erïurfionêflora bon Феи^ф* tanb sum SSeftimmen ber häufige* ren in 2)еи1{ф1апЬ mitbmadbfenben aSftansen bon Dr. 38. SRiguta, 3Srof. an ber gorftafabemie Eife* паф. 2 Seite. 2Rit je 50 Stbbitb. i iRr. 268, 269.    I

0tto fRappolb in (Stuttgart. 9Rit bieten Slbbitbungen. №. 597. Sorenfifcbe $f№iatrie bon 3$rofeffor Dr. 38. 3Bepganbt, Sir. b. Srren* anftalt Sriebricbêberg i. Hamburg. 2 ШпЬфеп. SRr. 410 u. 411. Sorftteiiffenfdiaft b. Dr. 3lb. Scbmap* раф, $rof. a. b. fÇorftafabemie Eberâmatbe, Stbteitungêbirig. bei b. £auptftation b. forftt. ЗЗДифё* mefenê. <Rr. 106.

SortbUbungêfcbuïmefen, Saê beut* (фе, паф feiner де1фйфи. Entmicf* tung u. i. fein, gegenmärt, ©eftalt о. &.Siercfê, fRebiforgemerbl. fîortbil* ЬипдЗДи1еп in Sdbte-gmig. SRr. 392. ftfranfen. ©е!ф^1е ÿranfen§ b. Dr. Ebrift. SReper, ®gl. preufj. Staats* агфЬаг a. S., Штфеп. 9îr. 434. $гап!тф. fÇransbfifrbe ©efĄirbte b. Dr. Ш. Sternfetb, $rof. an ber Uniberfität 3)ertin. ŚRr. 85. ftranïreWj. Sanbeêf* b. fÇranfreicb b. Dr. Шф. SReufe, Sireft. b. 0ber* геа11фи!е in Spanbau. 1. ЗЗапЬф. 9R. 23 ШЬ. im Sejt u. 16 Sanb* fd^aftd6itb. auf 16 Saf. №. 466.

--2. ЗЗапЬфеп. «Dlit 15 9lbb. im

Sejt, 18 £апЬ{фа^ЗЬШ). auf 16 Sa* fetn u. 1 tiffjogr. S'arte. №. 467. $r ащЬ ftf ф *b eutf ф ed ОИргафёЬпф bon Е. granciltou, Seftor am oriental^. Seminar u. an b. фап* ЬеШ)оф1фи!е in Berlin. №. 596. tÇran^ôfifcïje 4?anbel3ïorrefponbens ь. 3$rof. Sb- be ЗЗеаизг, Officier de l’Instruction Publique. SRr. 183. fÿrernbmort, Sa§, im $еи![феп b. Dr.

SRub. Æleinpaut, Seipsig. SRr. 55. $гетЬтЬг1ег&иф, SeutfcbeS, bon Dr.

SRub. Äleinpaut, Seipsig. 9Zr. 273. fÿuge» Erläuterung u. Anleitung sur ®ompofition berfelben b. $tof. Stepban ®rebt in Seipsig. SRr. 418. fÇunïtionentbeorie, Einleitung in bie, (Sbeorie ber fomptesen 3«bteu* reiben) b. fJRar fRofe, Cbertebrer an ber ©oetbefäute in Seutfф*38i^* merêborf. mit 10 fïig. №. 581. $ufêartillerie, Sie, фге Organifation, 33emaffnung u. StuSbilbg*b* Splett, Oberleutnant im ßebrbataitton ber gubartШerie-Sфie§fфu^e u. SBier* manu, Oberïeutnaut in ber 3$er* 1ифёЬаиег. b. 9lrtitterie*3§rüfungè» ïommiffion. ЭДШ 35 ^ig. 9îr. 560.

©arbinenfabrilatiou. S'cjHlinbwftrie (Geometrie, 3tnalbtiirije. Stufgaben* II: Söeberei, SSirïerei, Sofamen* fammtung sur Slnatytifcben ©eo* tiererei, ©biben* u. ©arbinen* metric be» 9îaume§ bon O. Sb'. fabrication tu gitsfabrifation bon SürCten, Srofeffor am tgt. Яеа^ ^rof. Яга£ ©ürtter, ©eb- fReg.^at gbrnuafium in ©d)tbâb.=©münb. im ад. ßanbeSgemerbeamt su ЯШ ⁸ gig. Яг. 309.

Serliu. Ягй 29 Figuren. Яг. 185. — Sarfteltenbe, bon Dr. Robert ©aS* unb æSafferinftattationen mit Saubner, $rof. an b. Unib. gêna, ©inftfiluf? ber Slbortantagen bon I- ЯШ 110 Figuren. Яг. 142. Srof. Dr. phil. unb Sr.*gngen. — — H. ЯШ 40 Figuren. Яг. 143. ©buarb ©cbmitt in Sarmftabt. ЯШ — ©benc, bon ©. tabler, Srofeffor 119 Slbbitbungen. Яг. 412.    am ©dmnafium in Ulm. 9Jtit

©a»fraftmaftf)ineu, Sie, bon gng. J,¹¹ *tS5Î!or^⁶Sl +t4Uro\ ⁴¹ ' ШТгеЬ ^irîcïjïe in tied ЯШ 55 gi* ~    tn fontbet. Sebanbïung

guten. Яг. 316.    »mi Dr. 8rt_Qoetommn, Stof-

®«ft№fer unb вот oon mttett $" If    ™un(f,en' зд,‘

mav ШЩх in Süffeïborf. I: ®ie mjlS nui, cŁfi\br»„n 58 eftanb teile u. bie ©iuridjtung beê &*°™**№*?*т'

©aftbaufeë. ШН 70 gig. Яг. 525.    Ш'

--- II: Sie betriebenen Sitten bon теГ£?.г1 ?оГ^И' ⁵1²"с» л

©aftbäufern. ШИ 82 giguren. ®eomctrtftbc§3et(bnctt bon §. SSeder, gjr 526    Strdjtteït u. ßebrer an ber 58au>

©ebirgêartüterie. Sic ©nttoidtung gemert^ule in ШдЬеЬигд, neube^ ber ©ebirgêartitterie bon ШиЬ*    !ir^.etf,k)on

mannf Oberft n. tommanbeur ber ™ fünfter.. ²³⁰ teuren uni> 1. getb=5lrt.«=58rigabe in tönig»« ²³ Safetn tm Se£t. Яг. 58. berg i. %x. ЯШ 78 Silbern unb ©ermanifdje SUjtbotogie bon Dr. ©. Überfid)t»tafeln. Яг. 531.    9ÂO0Ï, $rof. a. b. Unib. £eipst0.

©enoffenfebaftêmefen, Saë,    in ^r-    _ ... FJb

Seutfdjtanb b. Dr. Otto Sinbecfe Qttvmÿjbt ©bradjtotffenftbaft bon in Süffetborf. Яг. 384.    i Dr-    ßoetoe. Яг. 238.

©cobäfic. Sermeffungëïnnbe bon ©efangêfunft. »ni! ber beutfrben Si£tom-gng.$.5£Berfmeifter, Ober-    ?elînS?*ü2$    Pê*‘ SoeÄ»'fiDr‘

Iebrer an b. taif. Sed)n. ©d)ute in    ⁵⁷⁶'.

©trabburg i. (S. I: gelbmeffen u. ©e»M»mffewWef^ ©tnlettung tn Яй> edieren. ФШ 146 ШЬ. II: Ser    btc, b. Dr. ©ntft Sernbetm, $rof.

Sbeobotit. Srigonometrifcbe unb    an &er Unib. ©reifêioaïb. Яг. 270.

barometr. £öbenmeffung. Sad)d- ©efdjübe, Sie mobernen, ber gub-metrie. ЯШ 109 SIbbitbgn. Яг. 468, artillerie b. 5Ölnmment)off, 9ttajor

469.

u.Serrer an b. gubartiderie-©d)ieb =

©eotogie in йщет 5lu§sug f. ©diuten    Wüte in Jüterbog. I: Som

geftedt b. $rof. Dr. in ©tuttgart. Яги

u. sur ©elbftbelebrung stammen-    treten b. gesogenen ©eid)übe bi»

6-bert). graa»    aur Sermenbung be» raudbfd)toa^

16 Slbbilb. u.    d>en Suïber» 1850—1890.

4 Safeln mit 51 fti0uren. Яг. 18.    50 Sejtbdbern. Яг. 334.

©eometrie, Stnatytifdje, ber ©bene “ ~ ¹¹⁵ŒnttotÂttne Ьег^вм-b. $rof. Dr. яг. ©imon in ©trab-    MeiL    ®5ЙЙШ1пе

burg. 8Äit 57 8Hgnren. Яг. 65. ett Smfubrnng be» raitd)id)№ad)en

--^nfgabenfammtnng sur Япа*    »er» 1890 bt» sur ©egenmart.

Ibtifdien ©eometrie ber ©bene bon    9Ktt 33 Sejtbilbern. Яг. 362.

O. Sb- Stirïïen, Srofeifor am ©efcbtoinbigleitdregter ber Äraft-Ägt. ^ealgbmnadum in ©d)U)äb.-    mafebinen, Sie, bon Sr.-^ng. $.

©miinb. 9)lit 32 gig. Яг. 256. j    trôner in griebberg. Я1й bieten

--beë Яаите§ bon Stof. Dr. ! giguren. Яг. 604.

Яг. ©imon in ©trabburg. Яги ©efebbncb, SürgerlitbeS, ВДе: ^ed)t 28 Slbbitbungen. Яг. 89.    ; be» Sürgertidien ©ejefcbucbe».

©efunbbcttdlebre* $er mcnfc^Urtic ©rtecfitftbc 9lltertuntdfunbe b. ^5rof. ßörber, fei« ©eu nnb feine Sütig* Dr. 9îid}. Maifd), neu bearbeitet u. fetten b. @. Stebmann, Oberfd)utrat    fKeïtor Dr. fyranè f£ot)U)atmner.

in tartdrutje. Mit ©efunbtjeitd*    Mit 9 «otlbilbern. №. 16.

lettre bon Dr. med. £. ©eiler. Mit ©rietfjtfdjc ©efcbirfite bon Dr. ^einrid) 47 9lbbitb. u. 1 £afet. 9tr. 18.    | ©moboba, $rofeffor an b. beutfdjen

©etoerbebbgtene bon Dr. &. Üiottj in    Uniberfitat fßrag. 49.

$ôtdbam. 9tr. 350.    ©rierfjifdje Siteraturgefrfittbte mit i8e^

©etoerbemefen bon tenter ©ombart, ; rüdfid)tigung b. ©efd)ict)te ber fJSrofeffor an ber £>anbetdt)od)fd)ule    Siffénfcfjaften b. Dr. 9ltfreb ©erde,

SBertin. I. II. 9tr. 203, 204. i ^Srof. an ber Unib. 93redlau. ©etoerbltdje 9ïrbeiterfrage, 2>te, bon 2 ЩпЬфеп. Sîr. 70 u. 557. Semer ©ombart, $tof. a. b. £>att* ©rtedjifdien ©bradje, ©efrfjidfte ber, beldlfod)fd)uIe Berlin. №. 209.    I: 93id sum 9Iudgange b. îlaffifd)en

©eioerbltdie bauten* ^nbnftrieHe    3eît b. Dr. Otto Hoffmann, $rof.

mtb getoerölidje ôanten (©beicf)er,    a. b. Unib. Münfter. 9îr. 111.

£agerf)âufer u. gabriten) b. 9lrd)i* ©rterf)tfd?e u. rötnifdie Mitologie b. te£t fteinr. ©atsmann in SDüffetborf.    9Srof. Dr. £ernt. ©teubing, IReft. b.

I: 9Ütgemeined über mintage nitb    ©bmnaf. in ©cqneeberg. fftr. 27.

$onftruttion ber inbuftrietten nnb ©rmtbbutf)rerf|t, $ad formelle, bon geioerbïid)en bauten. 9îr. 511.    Ob ertaub edgerid>tdr. Pr.$.$rejsfd)*

--II: ©beider nnb £agert)äufer. mar in 2)redben. №. 549.

Mit 123 Figuren. №. 512.    £anbetdbolitif, 9lndtoärtige, bon Dr.

©etoirfjtdloefetu Maß*, Müns* tu ©c*    £>einr. ©iebeting, ^rofeffor an

totrfjtdü>efenb.Dr.9lug.93tiub,$rof.    ber Uniberfitat äürid). №. 245.

a.    b. .öanbetdfdfutein èôtn. Wr. 283. £anbetdrerf>t, 2>etttfrfjed, bon Dr. $art

©ieśereimafd)inen bon Sibling.    Sebntann, $rof. an b. Uniberfitat

©mit Treiber in £>eibent)eim a. 93.    ©öttiugen. I: Einleitung. $er

Mit 51 Figuren. 9îr. 548.    Kaufmann u. feine ôitfdberfonen.

©lad* uttb ferantifd)e ^nbuftrie    Offene ^anbetdgefettfdfaft. Йот*

(^nbuftrtc ber ©tltïate, ber SBau*    manbit* u. ftitle ©efettfd). №. 457.

fteine nnb bed fünftlttfiett Mür* i--II: 9lïtiengefettfd)aft. ©efettfd}.

tetd I) b. Dr. ©uft. Sauter in &)<ix* \    m. b.    ©ing. ©en. ^anbetdgefd).

tottenburg. Mit 12 Xafeln. №. 233. |    ftfr. 458.

©lettf)ftromntafd)ine, Xie, bon $ng. &anbeldfd)uthjefen, $ad beutfrfje, Dr. ©. Йт§Ьшппег in Mandfefter. | bon 2)ire£tor ïïjeobor 93tum in Mit 81 Figuren. №. 257. v ! 2)effau. №. 558.

©letftberfmtbe b. Dr. $ri<5 Madfacet &aubetdftanb, 2Der, bon fRedttdantoatt in Sien. Mit 5 9tbbitbungen im Dr. jur. 95runo ©bringer in Seibgig SCeçt nnb 11 Xafetn. №. 154.    ¹ (®aufm. 9îed)td£. 93b. 2). 9ïr. 545.

©otifdie ©bradjbenfntâler mit ©ram* -Jpanbetétoefett, Śad, bon ©et). Ober* matif, Überfeünng u. ©rläutergn.    regiefttngërat Dr. Silf). Śeęid, фго*

b.    Dr. £erm. ^anüen, 35ireftor b.    feffor an ber Uniberfität ©ôttingen.

Königin Suife*©d)nte in Äönigd*    I: $ad ^anbetdberfonat nnb "ber

berg i. №•    №. 79.    Sarentfanbel. №. 296.

©attfrieb bon ©trafjburg. Hartmann--II: SDie ©ffeftenbörfe nnb bie

bon 2tue, Solfram bon ©fdjen* innere ^anbetébotitif. №. 297. bad) mtb ©ottfrteb bon ©traft* ^anbfeuertoaffen, 2)ie ©ntiottflrntg burg. 2litdibat)ï a. b.bofifd).©bod nt.    ber, feit ber Mitte bed 19. ftaïfr*

Slnmert. u. Sörterfmd) b. Dr. Й¹.    bunbertd u. itjx heutiger ©tanb bon

Marotb, fJ3rof. am ^gt. ^riebridid*    ©. Sr^obef, |>aubtmann n. Йот*

$oUegiunu.fö'önigdberg/$r. 9lr.22.    bagnied^ef im ^nf.*fEeg. greiberr

©rabbifdien Sitnfte, 2)ie, bon ©art    fitter bon ©artringen (4. ffSofen*

.tambmann, ï. !. Setjrcr an ber !. ï.    fd)ed) №. 59 in ©otbau. Mit

©rabbtfdjen £efyr* nnb SSerfudid*    21 Slbbitbungen. 9îr. 366.

ftatt in Sien. Mit gat)treid)en 5lb* ^armonietebre bon 91. ^atîtt. Mit bitbungen u. 95eiïagen. 9îr. 75. i bieten 9łotenbeifbielen. №. 120.

Hartmann bon Slue, 38olfrant bon 4?tjgtene be§ 3tâbtebauô, ©te, bon ©frîjenb ad) unb ©ottfrieb bon    ©rof. ф. ©b*- Shifjbaum in £an*

Strasburg. Sluêtuabl au3 b. î)ôfi=    nouer. S)iit. ВО Stbb. Sir. 348.

îdjen ©*»o§ mit Slnnterï. u. Börten I — ЬеЗ 28obnmtg§u>efen§, ©ie, bon bud) bon Dr. SL SJlarotb, ©rof. am    ©rof. ф. (£br. Slujjbautn in |>an*

Stonigt. ^riebritf)ê^oHe0ium gu :    nouer. Sftit 5 Slbbilb. Sir. B63.

tönigäberg i. ©r. Sir. 22.    er t fd)e£ albin fel. 2anbe§ïmtbe ber

$a 5e, 2atfe, ftimiffe bon Dr. tari    Sberifdjen .fcalbinfcï bon Dr. £rib

S raun in Berlin. (©ie Sette unb    Sieget, ©rof. a. b. Itnb. SBürgburg.

£>ïe III). Sir. 337.    SJl. 8 SI arid) en u. 8 Slbb. im ©ejd u.

4?auptHternturen, ©ie, be§ Orients    i starte in Sarbenbrûd. Sir. 235.

ь' и«1?гд^Р«еГт⁰¹тт*' юЛл? °? «S* Snbifrfje9leligionSgefd)id)tebon ©rof. b. Umb. Bien. I. IL Sir 162,163. Dr ebmunb £arbt). ^r. 83>

toł term 3*bogerman. Sbrad)tbiffenfd,aft bon Siîba ©remeu Ш1 399 W Dr* »• ^eri"0er, ©rofeffor an ber Sir 414    Uniberi. ©rag. SU. 1 ©afel. Sir. 59.

Seereéorganifatiou, ©ie Gntwidtung Snbuftmlle u. getoertmdje ©anten ber, feit ©infübrung ber ftebenben (©betcfjet,Sagerbaujer u.Sabrtfen) ôeere bon Otto Sleujd)ler, ôaupt*    te,înï* ®tt4™™w

mann u. ©atteriecbef in Uïm. I:    ©uffelborf. I: SlllgentetneS ub. 3ln*

©efd)id)tl. ©nttuidlung bis gunt    ïage u. tongrultion b mbuftrtetlen

tegange b. 19. »b. Sir. 552.    u. geiberbïicben ©auten. №..511.

^cigune tu Sitftnnn b. £ng. $obanneê “

Йог ting in ©üffelborf. I: ©aê mt 123 Figuren. Sir. ol2.

38efen u. bie ©eredjnung ber £ei* SnfeïtionSfranïbeiten, ©ie, nnb ibre gungS* u. 2üftung3anlagen. SJlit    ©erljütung bon ©tabSargt Dr. 38.

34 Figuren. №. 342.    Hoffmann in ©erlin. «lit 12 uom

--II: ©te Slulfübrung b. £ei* ©erfa^er gezeichneten Slbbitbungen

gungS* u. Oüftungêanlagen. SJlit    unb einer fjiebertafel. №. 327.

191 giguren. Sir. 343.    $nfeïten. ©aS ©ierreidj V: 3n feiten

Reffen, 2anbeSfunbe beS ©rof)*    bon Dr. %, ©rofc in Sleabel (<3ta*

bergogtuntS Reffen, ber ©robing    gione goologica). SJlit 56 Slbbit*

.freffen*Staffau nnb be§ dürften* bungen. №. 594. tutnS 38 albed b. ©rof. Dr. ©eorg $nftruntentenlet)re b. Sülujübir. fÇrang @reim in 25armftabt. 9ftit 13 Ш* ÜDIaberboff in Œbemnib. I: $ejt. bilbungen unb 1 tarte. 9îr. 37 6. 3tr. 437.

^ic.'ogldbben bon (Seb- 3tegier.=9îat — — II: ^otenbeijbieïe. №. 438. Dr. 2lb. @rman, ©rof. an ber Uni* ^ntegraïrerbnung bon Dr. $riebr. öerfität ©erlin. 9lr. 608.    gunter, fReït. b. 9îealgt)mnaiiumê

&orbfbannungêterî)niï bon Фг.^пд.    u. b. Cberreatjdjuïe in ©öppingen.

t. 5dd)er in ôam£>urg*©ergeborf.    3Jtit 89 Figuren. 9lr. 88.

SOlit bieten Figuren. №. 609.    — 9îebetitorinnt u. Stnfgabenfantm*

&otg, î>aê. Stufbau, (Sigenicbaften u.    tung gnr^ntegratredjnnng bon Dr.

©ermenbung b. &ng. ©rof. ^ernt.    {Çriebr. Runter, fReït. b. tReatgtjm*

SBitba in ©reuten. Silit 33 9lbb.    naïiumê u. ber Oberreatfdbute in

Str. 459.    ©ôbbiuoen. «K. 52 ftig. Sir. 147.

^otel§. ©aftbäufer unb £oteïê bon SfbaeL ©efdjtdjte ftfraeté bt§ auf Strcbit. SHar 38obier in ©üffetborf.    bie griedjtfcbe 3eit bon Lie. Dr.

I: ©ie ©eftanbteite u. b. Grinrid)tg.    $. ©enginger. Str. 231.

b. ©aftbaufe$. SJl. 70 gig. Sir. 525. ^tattenif^e ^anbet^forrefbonbeng b.

--II: ©ie berfebiebenen Strten bon ©rof. Sttberto be ©eauç, Oberlehrer

©aftbäufern. SJlit 82 Figuren.    am tbnigl. ^nftitut (5. <5. Stnnun*

Sir. 526.    giata in gloreng. Sir. i219.

^>bbrantiï b. 38. Jpattber, ©i^ï.^ng. Cftaïientftbe 2iteratnrgefd)idjte bon in (Stuttgart. SHit 44 Figuren. !    Dr. tari ©o&Ier, ©rofeffor an ber

Sir. 397.    I    Uniberîitât SJlündjen. Sir 125.

ftülïuïûtion, $ie, int 3Rafd}tttenbau ! Hirdjeuredjt b. Dr. ©. <Sef)liug, orb. bon Зпдеп. ф. SSetbmann, logent 5|3rof.b.8led)te in ©rtangen. $Rr.377. am £ed)nifunt 2lttenburg. ЭДШ &timaïunbe I: Allgemeine Âlimaïe^rc 63 Stbbitbungen. Ш. 486.    bon^rof. Dr. Ш5. Äöppen, SReteoro»

&ältemafdjinen. 2>ie iïjcrmobtma* loge ber (Seemarte Hamburg. 3Rit» mifrfjen ©runblagen ber äöftrute« 7 £af. u. 2 Figuren. Ш. 114. ïraft» unb $âttemafdjinen bon 9Й. .Vîoloniatgcfdiitf)te bon Dr. 2)ietridj Göttinger, SDipt.^ng. in 9ftantt* (Schäfer, 5]Srofeffor ber ©efd)id)te ani beim. 9Rit 73 Figuren. 9îr. 2.    ber Uniberfität Berlin. $ftr. 156.

Kamerun. 2>te beutfdjeu śMonien koloni aire djt, $eutfrf)ed, bon Dr. ф.;;, I: $ogo unb Kamerun bon $rof.    ©bter bon Hoffmann, $rof. an ber

Dr. ®art Фоье. 3Rit 16 SEafetn unb    ®gï. Slïabemie $ofen. 9îr. 318.

einer Iitbogr. ®arte. Ш. 441. Kometen. 3lftronomie. ©rôfje, §8c-&anal* unb Stbteufenbau bon Ш*    rnegmtg u. (Entfernung b. $immelê«

gierungdbaumeifter Otto fRappotb    förper b. 2t. ft. SRöbiud, neu bearb.

in (Stuttgart. sJftit 78 2tbb. Ш. 585.    b. Dr. £>ernt. ®obotb, Sßrof. an ber

ore

Jftant, Emmanuel. (©efdjid)te ber    ttnib. Ä'iet. Il: Kometen, 9Rete

Wïofopbie 58b. 5) bon Dr. 58runo    u. bad (Sternfpftem. ÎRit 15 gig.

58and), $rof. a. b. Unib. $ena u. 2 (Stemfarten. 9?r. 529.

5tër. 536.    Communale SSirtfrfjaftdpftege boit

harten u. Sruft b. Dr. <3. £fàietfê}ït)    Dr. Sltfond 9îie&, SOZagiftratâafîeffor

in 2)üffelborf. Ш. 522.    in 58ertin. 5ftr. 534.

.^artenfunbe bon Dr. 2ft. ©rolt, ßornpofitiondlebre. lâftufiïaïifcbe gor* Kartograph in 58ertin. 2 58ânbtf)en.    mentebre b. <Stepb. Krebt. I. II. 9R.

I: SDie 5ßroieftionen. 9ftit 53 gig.    biel. SRotenbeifpiet. 5Rr. 149, 150.

5Rr. 30.    Kontrapunkt. 2)ie £ebre bon ber felb*

--II: Фег Karteninbatt unb bad ftänbigen (Stimmführung b. (Stepp.

Neffen auf Marten. 90Ш 36 gig. Kretjt in ßeipsig. 5Rr. 390.

5Rr. 599.    Koutrottmefen, 2>ad agrifutturdjemi*

Kauftnämtiftbe fRedjtdïmtbe. I: Фае fdje, bon Dr. 5£aul Kirfcbe in ßeo-SBedjfetmefen b. 5Red)tdanmatt Dr. potbdbaïï-<Stafîfurt. -Rr. 304.

SRub. 9ftotbed in Seipsig. 5Rr. 103. Koorbinatenfbfteme b.5|ßaul 58.gifd)cr, — И: Фег ^anbefôftanb b. 5Retf)tdan*    Obert. a. b. Oberreatfcbulesu ©roiV

malt Dr. jur. 58runo (Springer,    Sicpterfelbe. 2ftit 8 gig. 9?r. 507.

Seipsig. 9?r. 545.    Körper, Фег menfdjltcbe, fein 5Ваи

Äaufmämtiftbed Oîedjnen bon 5ßrof.    unb feine Sdtigïeiten bon ©. ШЬ*

5Rid)arb guft, Dbertebrer a. b.    mann, Oberfd)uIrat in Âarfêruhe.

iôffentl. Cianbefêïehranftaït b. 5Dreë*    SJIit ©efunbheitêïehre b. Dr. med.

bener Äaufmannfchaft. I. И. III $. (Seiler. 9Jtit 47 2ibb. u. 1 STefel. 9ir. 139, 140, 187.    W r. 18.

Âeramifthe Subuftrie» ®ie Snbuftric ßofteuaufthfag fiehe: 58eranfd)ïagen. ber SUiïate, ber ïünftüchen 33au= ^riegêfchiffbau. 2)ie©utmidtung bed fteine unb bed 3Jîbrteld bon Dr.    ftriegdfdjiff&aued bom SUtertum

©uft. fRauter. I: ©ïad-* u. ïeram.    bid gur Sîeuseit. 58on STiarb

^nbuftrie. 9JUt 12 Xaf. 5Rr. 233.    (Sdjmarj, ©ep. ÏRarineba trat unb

âersenfabrtfation. 2>ie Geifenfabri-    (Scpiffbau^irettor. I. Seit: 25aś

fatiou, bte Seifcnauatbfe unb bit    Zeitalter ber 5Ruberfd)iffe u. ber

^erjenfabrifation bon Dr. Âarl !    ©egelfĄtffe für bie ériegêführung

58raun in 58erïin. (2)ie ftette u j    sut <See bom Slltertum bid 1840.

Cïe И.) ШИ 25 ШЬ. 9îr. 336 j    SRit 32 3ïbbitbungen. 5Rr. 471.

Âittutftbou. 2)ie beutfcpen Kolonien--II. Фей: 2)ad Zeitalter ber

II: î^ad Sübfeegebiet unb $iau*    S)ampffct)iffe für bie ^riegdführung

tfdjou b. $rof. Dr. Фоье. 3Äit    sur (See bon 1840 bid sur Sfteuseit.

16 Saf.m. 1 Iithogr. Âarte. Ш. 520.    2JHt 81 2ïbbilbungen. 9Zr. 472.

ßinematif bon SDipI.-ftng. ^pand 58oï* ^riegdmefend, ©eirfjidiie bed, bon Dr. fter, Sïffift. a. b. Âgï. ted>n. $od)- ©mit 5Danield in Sertin. I: $aê ferule ФгеёЬеп. ?CR. 76 9tbb. 9?r. 584. ! antife Æriegdmefen. 9lr. 488.

flriegêtoefenê, ©efdjicbte be§, b. Dr. Sateinifrfje ©brache. ©efcbicbte ber ©mil SanieB in Serlin.    II:    Sas ;    lateinifdjen ©brache bon    Dr.

mittelalterl. ^riegëioefen. 9hr.    498. ;    griebritf) ©tolj, Srofeffor an    ber

--Ill: Saë ®riegëtoefen ber Ши*    Uniberfüät 3mt3bxucf. 9?r. 492.

seit. ©rfter Seil. №. 518.    Sicht. Sbeoretifibe Sbdfi* П. Seil:

--IV: Saë ^riegëtoefen ber 9îeu*    Sicht unb SSärnte. Son Dr. ©uft.

gett. Streiter Seil. 9tr. 537.    3âger, Srof. an ber Sedjn. §od)*

--V: Saë Æriegëtoefen ber SReu*    fdjule in SSien. 3Ä. 47 31bb. 9îr. 77.

5eit. Sritter Seil. 9lr. 568.    Sogaritbmen. Sierftellige Safeln unb

Âriftaltograbbie b. Dr. SS. Srubnë, ©egentafeln für logaritbmifcbeë u. SSrof. a. b. Sergafabemie ©lauë* trigonometrifebeë IRecbnen in §toei thaï. SJlit 190 Slbbilb.    №.    210. ;    färben sufammengeftellt bon    Dr.

Śhtbrun unb Sietricfjeben.    SJlit    ©in*    $erm. ©ebubert, $rof. an ber    ©e*

leitung unb SBorterbucb bon Dr. £ J lebrtenfcbule beë ^obamteuntë in S. $iric§ef, Srofeffor an ber Uni* Hamburg. 9îr. 81. uerfität SSürjburg. 9îr. 10.    — ftimfftellige, bon Srofeffor Sluguft

kultur, Sie, ber fftenaiffance. ©e    31bler, Sireftor ber f. ï. ©taatëober*

fittnng, Ôrorfdjung, Sichtung b. Dr.    realfcbuïe in SSien. 9îr. 423.

Robert 3f. Slrnolb, Srofeffor an ber    Sinologie unb Sogiî aur©in*

Unioerfitât SSien. 9îr. 189.    führmtg in bie Sbübfobbie bon

^ulturgefdjichte, Seutfihe,    bon    Dr.    ^rofeffor Dr. S$. ©Ifenbanë.    mt

Sfieinb. ©üntber. 9îr. 56.    |    13 Figuren. 9?r. 14.

Âurbenbiêïuffion* Sllgebraifcbe mtr* Solomotiben. ©tfenbabnfabrseuge ben bon ©ug. Seuiel, Oberreal*    oon $. £innentbal. I: Sie Sofo*

lebrer in Saibingen*©ng. I: &ur*    ntotiben. ЗШ 89 21bb. im Sejt u.

oenbiëfuffion. ^ 9Jiit 57 $ig. im j 2 Safeln. Ш. 107.

«    Д*Ч⁴³⁵>ч «м    Sothriugen. ©efdjicbte Sothringenä

£ursfibrtft ftebe: ©tenograbbie.    non Dr. Wernt. Serid^tueiler, ©eb.

^uftenarttllene. SteSntwtrftung ber    Segierungërat in ©trafjburg. №. 6.

©djtffê- unb mtftenartillerie M _ ganbeêfunbe b.(£lfaf?*2otbringen |ur ©egentoart bÇproettenfabttan    ö. $rof. Dr. R. ßangenbed in

gu™0- ^lt «bbübungen unb    ©trajjburg i. ©. 9Rit 11 3lbb. u.

Sabellen. №. 606r    1 Äarte. ftr. 215.

Oualitatibe

Sbtrobrbrobierfunbe.

нпЬ^гЛтт ?    337 Ф S tt ! Stnalijfe mit £üfe be§ 2ötrof)r§

tion Dr- Waxt ^englein in ^reiberg

й    3ZSS№ U /«JÄaK i- @e. mt 10 Figuren. Ш. 483.

werblitbe Sauten. (©peicber,    s гиейййкмлл.

Sagerbäufer u. ^abrüen) bon 2йЬеЛ. Sanbeêîunbe b. ©ro^berjog* 3lrd)iteft ^einrief) ©algmann, Süi*    tiirner petflenburg u. ber

felborf. II: ©beieber u. Sager*    и.J>anfeftabt Sübetfb. Dr. ©ebalb

bäufer. SKitl23 8fig. №. 512.    ©cbibar₅, Sireïtor berJRealfibuïe

Sänber* unb Sölfernamen bon Dr.    |um Som tn ^ibecf.    5Jtit 17    9lb*

«ub. Weinbau! in Seib^ig. №. 478.    bilbungen unb harten    tm Se£t    unb

Sanbftrabenbau bon «gl. Oberlehrer 1 litbograbbtfcben Sîarte. №. 48,. 31. Siebmann, Setriebëbireft. a. S. Suft» unb fmeereêftrbmungen bon Dr. i.SSJiagbeburg. Ш1 44 gfig. 9îr. 598    ^ran§ ©cbulse, Sireftor ber 9?am*

Sanbtoirtftbaftlidie Setriebêlebre b.    gationêfcbule su Sübecï. 9Âit 27 Ш*

©. Sangenbedin ©rob*Sid)terfelbe. bilbungen unb Safeln. №. 551. 9îr. 227.    Stiftung. Weisung unb Stiftung bon

SanbUîirtfrbaftlicben gjlafrfHnen, Sie, i Sng. ^obanneë Körting in Süffel* oon Äarl SSaltber, Siblom.*^ng.    borf. I: Saë SBefen    unb bie    Se*

in ©tannbeim. 3 Sânbdben. Ш1    recbnung b. £>eisungë*    u. Süftungë*

oielen SIbbilbgn. 9lr. 407—409.    anlagen. ®tit 34 ^ig. 9tr. 342.

Sûteinifcbe ©rammatiï. ©runbribber--II: Sie 3luêfübrung ber ^pei*

latein. ©pracblebre b. Swf. Di.    sungë* unb Süftuugëanlagen. ШИ

Sotfd) in Sïtagbeburg. №. 82.    191 ^ißwren. 3tr. 343.

Sutler, Martin, «nb Tt)om. Murner.

Matpematif, ©efrpirfjte ber, non Dr.

21. (Sturm, Stof, am Obergpm* nafium in (Seitenfteiten. 9îr. 226. 90îatt)ematifrbe fÇarmctfammtung unb fRepetitorium ber Matpematit, ent* pattenb bie inidjtigften Formeln u. Seprfähe b. Stritpmetiî, ШдеЬга, atgebraifdjen StnalpfiS, ebenen©eo* metrie, etereometrie, ebenen unb fppärifcpen Trigonometrie, matt), ©eograppie, anatpt. ©eometrie ber ©bette unb beS 9tanmeS, ber Tiffe* rentiat* unb S«tegratred)nung non O. Tt). Sürlten, Srofeffor am ^gt. fReatgpmnafium in ®cbm.*©münb. Mit 18 Figuren. Ш. 51.

StuSgenmpIt unb mit ©inteituugen u. Slnmerïungen nerfepen n. Srof.

©. Sertit, Oberleprer am Sîitotai* gpntnafium gu Seipgig. *Rr. 7.

MagnetiSmuS. ^ïjcorctifrtjc Sppfi!

III. Teil : ©leïtrigitât u. Magnetic* ntuS. Son Dr. ©uftan Säger, S*of-an ber Tecpnifcpen £od)fcpute SSien.

Mit 33 5tbbitbungen. *Rr. 78.

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Mcdjanifdje Technologie non ©eh.C>of* rat Srofeffor Щ. Sübide in Srauu* fcptoeig. 2 Sanbcpen. 9îr. 340, 341. Metftenburg. Saubeêfuube b. ©rof?* pergogtümer Mecftenburg u. ber freien u. ^anfeftabt Siibecf non Dr. (Sebatb ©tpmarg, Tireltor ber fReatfdiute gum Tom in Sübed. Mit 17 5lbbitb. im Tejt, 16 Taf. unb 1 ^arte in fîitpograptjie. 9îr. 487_ Medteuburgifrije ©efrfjirfjte non Ober* teprer Otto Sitenfe in SReubranben* burg i. M. $Rr. 610.

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--II: Sag er, SRiemen* unb (Seil*

fcpeiben, gapnräber, Kolbenpumpe.

3Rit 51 Tafeln. $Rr. 590.

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--II: Metallprüfung unb Prüfung : Menfrfilicpe Körper, Ter, fein Sau u.

non HilfSmaterialien b. Mafd)inen* j feine THtigïeiteu non ©. SRebmann, baueS. —Saumaterialprüfung. —    Oberfcpulrat in Karlsruhe. Mit©e*

Sapierprüfmtg. — ®d)miermitteb fuubpeitSlepre n. Dr. med. H- ©ei* Prüfung. — Ginigeś über Metatto* ter. Mit 47 Slbbilbgn. u. 1 Tafel, grappie. Mit 31 $ig. 9îr. 312.    ; *Rr. 18.

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Metallurgie non Dr. Sluguft ©eiij in Âriftianêfanb (9łortoegen). I. II. Mit 21 Figuren. Sr. 313, 314.

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9Rittell)od)beutfd)e ©ramntatiï. Ser 9îibetmtge 9îôt in 9lu§UJal)l nnb mittelljorf)beutfd)e ©rammatiï mit 1иц. Sföörterb. b. Dr. 2B. ©oltber,

: q$rof. a. b. Unib. IRoftod. 9tr. 1.

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Mnfifgefdiidjte be§ 17. nnb 18.$abr* bunbertê bon Dr. ®art ©runëft) in Stuttgart. 9îr. 239.

Mufilgefd|id)te feit Seginn beê 19. Śabrhunbert§ b. Dr. ©run§ft> in Stuttgart. I. II. 9tr. 164, 165.

Mnfillebre, Stttgcmeine, bon Stefan

Ärebl in ßeipaig- 9îr. 220.

97abett)öiaer, Sic, bon Dr.$. SBMeger, Srof. an ber Éônigl. gorftaïabemie au Sbnronbt. Mit 85 Slbbilbungen, 5 Tabellen unb 3 harten. 9Zr. 355.

97abrnngdmittet. Ernäbrung u. 9îab* rnngêmittel b. Oberftabêarat Srof. ф. Sifdjoff in S erlitt. Mit 4 9lb-bilbungen. 9tr. 464.

fRautif. Éuraer Slbrif b. täglid) an Sorb bon £anbetèfd)iffen angeto. Seil§ b. ©d)iffabrtdîunbe. Son Dr. $шга ©cbutae, Sir. b. 9tabigation3* fd)ule au ßübed. Mit 56 Slbbilbgn. 9îr. 84.

9îeugrietbiftb*beutfdie§ ©efbrütbê* butb mitbefonb. Serüdfid)tigung b. Umgangêfbrad)e o. Dr. ^ob«une§ Mitîunaïtè, Soa. am Seminar für orient. Sprache in Serlin. 9?r. 585.

SRemtsebnteé ^ahrhunbcrt. ©efchitbte Crténamen tm 2>eutfdjen, 2>ie, ihre beê 19. ^ahrhunberté bon Ôêïar i ©nttoicflung u. ihre £erïunft bon $âger, o. ^onorarprof. a. b. Unib. i Dr. fRuboïf tlehtpauï in SeiRaig* Pontt.l.Pbcf).:1800—1852.9ir.216. i    ©ohliê. «Rr. 573.

--2. Pfinbchen: 1853 bié ©nbebeê j Oftafriïa. (2)ie beutf. Kolonien III)

Üahrhunberté. «Rr. 217.    bon    Prof. Dr. t. 2)obe. 9Rit 16

tReuteftamentlidje Beitgefrfjithte    bon    ЗД. u. 1 ïithogr. tarte. «Rr. 567.

Lie. Dr. SB. Staerf, Prof. a. ber Cfterreirij. Ofterreirbürhe ©efchichte Untb. in ftena. I: 2)er ïjiftorife^e u.    bon «Prof. Dr. &rans b.troneé, neu-

tulturgef<hidf)tl. ,f>intergrunb b. Ut-    bearb. bon Dr. tari Uhïirs, «Prof,

chriftentumé. Ш. 3 harten. «Rr. 325.    a. b. Unib ©ra*. I: Pon b. Ur§eit

—    — II: $ie Religion b. Subentumé    b. ь■ £obe tönig Sllbrechté II.

im .Seitalter beé $elleniému3 unb    (1439). SSRit 11 (Stammtaf. «Rr. 104.

ber SRömerherrfchaft. 9Rit 1 pian*--II: PomSCobe tônig'SllbredhtélI.

|!ще. «Rr. 326.    '    bié 5. SBeftf. Trieben (1440—1648).

«ibetunfle mt, £cc, in StuêtDafiI    unb    »1 3 ©tammłafeltt. Sft.105.

mittetîiodfibcutfdje ©tammatil mit ~ *«*be8ftmbe B. CftermtHtnearn tuijem »örtert. B. Dr. SB.fflottfjer,    »°« Dr. Mlfreb ©runb, 5Brof. an

iBtof. an bet Unie. SRoftod. Ш. i!    ?. UmBerfttat ÿrag 9Ktt 10 «etf.

Diоrbîfcfje SiteratureeWidjte X: ®ie гьЙЙГ™₍ ü«»Lw «länb. u. normefl. éiteratur be« D#,slf    ‘ЛГЛтЙЙ?

ÜHittelalter« B. Dr SBSolfg. ®oltï)er,

|rof an ber UniBerfitat SioftoÆ.    Ш.Ш.

“ŚBK «u* » "ВДЗЮЙг

syilnattes- -1SSEüe:

b. ©eifen- paläogeograf ie. ©eolog. ©efchichte u. tersenfabrtfatum u. b. $аце, ber эдееге unb ^eftïanber bon Dr.

3frащ toffmat in men. mt 6 £>tlféftoffen bon Dr. tari Praun tn tt.rtr+P„ я?т 406

ferlin. I: ©infübmng in b. ©hernie, pataoîtiinatologie bon Dr. Ш1). ». Pefarechungetntger f aite u. ber ©darbt i.SBeilburg (Sahn). «Rr. 482.

^rtrx.*30;fA    Paläontologie bon Dr. fRub. £oemeé,

Cle tmb «Rtecbftoffef ВДеНЮе, bun profeffor an ber Uniberfitât ©ras. ?rô J^°^UÎÎeVn Ж“*« ^    $0Ш 87 Sïbbilbungen. «Rr. 95.

9 «ttbbilbungen. «Rr. 446.    — mtb ^bftantmmtgélehre bon Dr.

Obttf. ©tnfübrmtg tn b. geometric tari Wiener, Prof, an ber Uniberf. Dbtiî bon Dr. SS. £inrirî)3 in Ш* Шеп. ШШ 9 Çlbbilb. «Rr. 460. meréborf*Perlin. »r. 532.    palâftina. Sanbeé* unb Polfêfunbe

Orientalise Siteraturen. 2>ie Site*    Palâftinaê bon Lie. Dr. ©uftab

ratttren be§ Orienté bon Dr.    ôolfdf)er in §alle. 9Rit 8 PollbiL

§aberïanbt, Pribatboj. an b. Uni*    bem unb 1 tarte. Ш. 345.

berfität SBien. I: 2)ie Siteraturen Paralleïbcrfbeïtibe. fRetfjtminïlige u. Oftafienê unb ^nbiené. 9?r. 162. fcf)ieftt)in!lige Sljonometrie b. Prof.

--II: $ie Siteraturen b. Perfer,    Ponberlinn in fünfter. 9Rit

©emiten unb Sürïen. «Rr. 163.    121 Figuren. 9ir. 260.

—    î)ie djriftlirtlen Siteraturen beé Perfonennanten, 2>ie heutigen, b. Dr.

Orienté bon Dr. 9lnt. Paumftart. ; fRub. tleinbaulin SeiRsig. 9îr. 422. I: ©inleitg. — 25 aé d)riftl.*aramâi- Petrografie ь. Dr. 9B. Prfné, Prof. fd)e u. b. !of3t. (Schrifttum. «Rr. 527.    an ber SSergaïabemie ©ïauét^al.

--II: 2)aé cf)riftïirf)*arabif(f)e unb '    s3Rit 15 fHbbilbungen. «Rr. 173.

baé ätf)iobifd)e (Schrifttum. — 25aé ! pflanse, 2)ief ihr Pau unb ihr Seben chriftliche Schrifttum ber Armenier ;    bon Prof. Dr. ©. 2)ennert. 3Rit

unb ©eorgier. 9h. 528.    96 Slbbilbungen. 9îr. 44.

^flnnsenbaulebre. Sltferbau* unb i*bilof*>bbie, ©eirfjicbte ber, VI: Sie Sßflansenbaulebre bon Br. $aul 'ßfttlofobftte iat crftcn Srittel bes ölippert in ©ffen u. ©ruft Sangen*    19* .gabrbunberfê bon Slrtbur

bec! in ®roB*£id)terfelbe. ftër. 232.    Sretoê, ^Srof. ber fjSbilofopbie au

^flansenbiologie b. Br. 2Ö. 9ttigula, b. SeĄn. $od)jd)ule in Æartèrube. fjßrofcffor an b. gorftaïabemie ©ife* s#ï- 571.

nad). I: Slllgemeine biologie. 9ttit — dauptproblentc ber, b. Br. ©eorg 43 Slbbilbungen. 9?r. 127.    Simmel, Jßrofeffor an ber Unioer*

i*tlansenernâbrung.9lgriïnlturcbcntie    «tôt Berlin. 9îr. 500.

I: fßflansenernäbrung b. Br. $arl — 'JJfbcbologie mtb fiogiï sur ©inf. in ©rauer. №. 329.    b. ^5f)iïofop^ie bon $rof. Br. Sb-

Wansengeograbbie bon fßrofeffor Br. ©IfenbanS. 9Jiit 13 gig. №. 14. Subtoig Siefê in Marburg (Reffen). ^botograpbie, Sie. SBon ф. $e&ter, №. 389.    ^Brof. an b. !. !. ©rabbin Sebr*

^îtansenïranïbeiten bon Br. ferner unb 83erfud)§anftalt in SBien. Ш1 griebr. SSrud, ^ribatbos. t. ©iefjen. 3 Saf. unb 42 Stbbitb. 9îr. 94. «fit l farb. Safet unb 45 Sïbbilbgn. ^bbfiï, Sbeoretifcbe, bon Br. ©uftab yîr. 31°.    ««..tri    Säger, $rof. ber ißbofif an ber

Vflanseninorbbblogte. 90?yrpbo«>eie    $ecbn. ^odbïcbule in Sßien. I. Seil:

«.Organograbbte b* ^flansen bon    gjiedbanif unb Slïuftiï. 3Rit 24 Ш>*

S5îf;Æ?JS:.«?0lbl&auf« m,Hteï*    biïbungen. Яг. 76.

©lit 123 Slbbtlbungen. Яг. 141.--n ZeiU si^t u, bartne. 9Kit

Wansenbbbfioïogie bon Br. Slbolf 47 9tbbilbungen. Яг. 77.

panien, $rof. an ber Uniberfitât--III. Seil: ©leîtrisitâtu. ЭДадпе*

©ie&en. 9ttit 43 Sïbbilb. Яг. 591.    ttèmuS. ШШ 33 Slbbilb. Яг. 78.

^flansenreicb§, Sie^tänttne beê, bon--IV. Seil: ©leïtromaguet. Sidft*

fjßribatbos. Br. ЯоЬ. Pilger, ®ufto3    tbeorie unb ©leïtroniï. ®lit 21 gig

ant Ägl. 33otan. ©arten in SSerlin* Яг. 374.

Sablent. Шй 22 ШЬ. №. 485.    _ ©cfcbicbte ber, b. $rof. 91. Äiftner

^ilûnsentoelt, Sie, ber ©etoäffer bon    in SBertbeim a. 9Я. I: Sie SjSbbfi!

Br. 2B. SDÎiguta, fßrof. a. b. gorftaf.    bi§ Яет1оп. ЯШ 13 gig. Яг. 293.

©iïenacb. ЯШ 50 Ш>Ь. №. 158.--II: Sie $bbfiî bon Peloton biê

^flansensellenlebre* âellenlebte unb 5. ©egentoart. ®iit 3 gig. Яг. 294. Slnatomie ber ^flansen bon $rof. ^bbfiîalifcb -©betnifcbe ЗДепаи?. Br. £. ЯНеЬе in Seipsig- 79 gaben bon iJSrof. Br. Я. Slbegg unb Slbbilbungen. №. 556.    fßribatbosent Br. D. <Sadur, beibe

^bürmaïognofie* $Bon SIpotbeïer g. an ber Unib. SBreêtau. Яг. 445.

S!iSÎtftervei    ^bbfiïulifcbeSlufgabenfantmlung bon

Snftttutb. Sedjn. £od)fd)ule ®arlê*    Stabler, 4Srof. ber SJiatbemati!

rube. № 251    u. ^bbf« am ©ptunafium in Ulm.

mattnaieume ©bernte bon №tbaU mt ben ^efuïtaten. №. 243.

t%^en^râ^uÜTn' WMïalWt gortnelfatntniung bon

®- Gabler, ^ßrof. am ©pmnaüum

^bilolagie, ©efWte b* ЯаШеп, in UIm. mt ^ rfv. 136.

Unib münhet in »?«' № 367* WWalWt aneffungêmetboben bon iH,iiofaPbie“©infübrung in bie, bon Dr- »Л Oberlehrer au b.

⁴ Br SBentfdjer, %rofefïor an    Oberrealgbuïe tn©ro&*Std)terfetbe.

ber Uniberiitât S3onn. 9îr. 281.    ⁴⁹ teuren. №. 301.

Wlufopbie, ©efcb* ber, IV: teuere ^bbfiobgifibe ©bemie bon Br. med. ^bilofopbie ЬШ Äant bon Br. 85.    %- ßegabn in Berlin. I: limita*

83aud), ^Brofeffor an ber Uniberfitât    «on. 9Kit 2 Safeln. №. 240.

Sena. 9Zr. 394.    ^bbfifcbe ©cograbbie bon Br. (Siegtn.

--V: Sntmanuel ßant bon Br. ©üntber, f)8rof. an ber $gl. Sed)n.

S5ntno ШаисЬ, flkofeffor an b. Uni* .,oocbfd)ule in SJlündfen. Ш132 8lb* berfitât Sena. 9îr. 536.    biïbungen. №. 26.

4?łjbiifrfje fôïcereêluube bon ^rof. Dr. $reuftifd>e Eefrfiichtc. ©raubcnbur» ©djott, 5lbteilungêborft. b. b. gifrfj*S3reufcifrfjeEefd/id)te b. SSrof. 2)eutfd}en ©eetoarte in Hamburg. Dr. Xtjamm, $ireïtor b. Æaifcr ЭДШ 39 5lbbilbungen im Zeit unb SSill)elmë*Et)mnafiimtê in fWonta* 8 ïafeln. №. 112.    baur. 9?r. 600.

SStlje, $ie. Eine Einführung in bie ^reufcifthcê ©taatêrerfjt bon Dr. grib Âenntnië ihrer gormenreihen bon ©tier*©omlo, $rof. an ber Unib. fjkof. Dr. E. £inbauin SSerlin. ЭДШ SSonn. 2 STeile. ^îr. 298, 299.

10 Çiôurengrubben i.STejt. 9?r. 574. 'Sfhchiutrie, ftorenfifrije, bon ^Srofeffor 'i'Iaoctcnfnftetn« 5lftronontie (Eröfje,    Dr. SS. SSetiganbt, $ir. ber tfrren*

SSemegung u. Entfernung b. фйп*    anftalt griebrid)ëberg in Hamburg,

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SStaftif, $ie, be§ SlbenblaubeS bon SSfhdmbbhfiïf ©runbrifj berf b. f£rof. Dr. фапё ©tegtnann, 2>irettor beë    Dr. É. Otyfrê in gürid). SJtit

SSatyer. fftationalmufeumë in fWün* 3 Figuren. fftr. 98. феп. ШИ 23 tafeln. $Kr. 116. SHtutben, 2>ruduwffer* unb $rurfluft* — $>ie, feit SSeginn be£ 19. 3al)rbun*    Anlagen. Ein turner ttberblid bon

bertô bon 51. фейте^ег in Шхт*    2Ир1.<$ид. fftubolf SSogbt, fRegie*

d)en. fWit 41 SBollbilbern. 9îr. 321.    rungêbaunteifter a. 2>. in 5lachen.

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Erimme, ^rofeffor an ber Uniber- DuellenFunbe b. beutfcheu Eefchtdjte fität fünfter i. SS. №. 461.    bon Dr. Earf Sacob, SSrof. an ber

SSoetiF, £eutfrbe, b. Dr. SSorinëïi,    Uniberfitöt Tübingen. 1. 23anb.

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fd)ute pünc^en. 5îr. 213.    n. b. (Sachen b. Dr. ф. Oertmann,

^ofamentterem.JteąttDSnbuftrie II:    $ÏOf. a. b. Uniö. ©rianöen. №. 447.

ÎSebereb SBtrFeretД?оfamentterc*--II; Ermerb u. SSerluft, Eeltenb-

retf ©btben- unb Earbtneufabn*    тафипд u. ©фп^ ber 9ied)te bon

^10П«п^Ча^Г1Й*^п0*ЯГ0Т;    Dr. ^aul Derttnann, ^rofeffor an

mt

æegterungërat    ber umöerfität Erlangen. 5îr. 448.

м ,.ад*ст^а^еЙеШетеа^ âU — Sibeiteè S3u(f): ©diulbredit. I. 51b->8erhn. 9Dîit 29 ^ytg. 5îr. 185. j    teiïung: 5nig^nteine Seljren bon

^oftreriit bon Dr. 5llfreb SSolcfe, ^oft*    Dr. %aul Dertmann, ^rofeffor an

infbeïtor in S3onn. ftr. 425. j ber Uniberfitöt Erlangen. №. 323.

SSre^luftUJcrFseuge, ^ie, bon 2)tytom*--II. 5lbt.: 2)ie einzelnen ©d)ulb-

^ng. SS- Sittée Oberlehrer an ber i-    berljältuiffe b. Dr. SSaul Oerfmann,

,#aif. STed)n. ©фи1е in ©trafeburg. !    SSrof. an ber Uniberfitöt Erlangen.

vIRit 82 Figuren. 9îr. 493.    I    SRr. 324.

SRecht be§ ©ärgerlichen ©efebbuchb- fRicc^ftoffe. Sttljerifche £)le unb 3)ritteê ©ud): Sachenrecht bon Dr.    Oîiertjftaffc bon Dr. SRodjuffen in

g. $re£fchmar, £)berlanbesigeritf)tè*    ШШ&. 9Rit 9 9196. SRr. 446.

rat in $te«ben. I: «tigern. Seiten. .Roman. ©efdütfte bcS bentfrten Sejiÿ unb gigentum. 9!r. 480    'Humana bon Dr. ÿellrn. Miette.

--II: ©egren^te SReçhte. SRr. 481.    ₂29

~ D^einricftfibfÄÄbe" »•«••*»* в>«**Ш*п».|Ынт SSÄ 305    Dr- «bolf saunet, ÿtof. a. b. Unio.

Merf|taneirf)iet)te, iliümifrfie, bon Dr.    2 Sanbe; SHt. 128, 250.

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SDeutfchen Uniberf. ©rag. 1. ©ud):    ©loch tn ©hen. Ж. 8 ©oll6. $Rr. 45.

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SRecbtëftbufe, 2)er internationale ge* SRömifche 2iteraturgefcbichte bon Dr. toerblufte, bon SReuberg, Âaiferï.    £erm.3oad)im in Hamburg. $Rr.52.

«eetewngerat, fttgïteb b. ftaifert. sHömifche nnb grted)ifd)e ©Urologie

«iSÏSS ⁸È; Fc' ²⁷¹-.    bon ÜStofeiior Dr. Vermann ©ten.

3icrt)tä>mffeufrt)ait, tfintutirimg in    oing, tRettor beS ©omnajium*    in

bit, bon Dr. ЗДеоЬог ©ietnbetg @d,nee6etg. SRt. 27.

0ueUenlebte ^SRt^ieo    ®"«[l,nb-    »«ffiW* ®cfdjid»te bon

-    - Ili Cê ©tliłem Яг 170    Dr-    ЧееЬ'. Cbetlebtet am

SRcDeleOre, Seutfriic, b. .Çumà Üitobft, Cftetgbmnaiium in StHainj. 9îd 4.

©hmnafiatprof. in©amberg. $Rr.61. Sanbedfunbe be^ Cgurobatfd)en SRebefrfjrift fiehe: stenografie.    m«f?lanbê «ebft »mnlanbê bon

»ietrhSfinonsen, $ie ©nttoicflung ber,    ^«fcïfor Dr Я. Ш^|оп    m

bon ©räfibent Dr. SR. ban ber    £aHe a. S. SRr. 3o9.

©orght in ©erlin. SRr. 427. SRuffif(h*$cutftf)e§ ©efbrâd^bnrfj bon Religion, $ie ©nttoicfïung ber thrift-    Dr.    ©rieh ©ernefer, ©rofeffor an

lichen, innerhalb ЬеЗ SReuen £efta*    ber    Uniberfität ©tünchen. ©r. 68.

rrtentS bon ©rofeffor Dr. Lie. SRitffifehe ©rammatif bon Dr. ©rid) ©arl ©lernen. SRr. 388.    ©erneter, ©rofeffor an ber Uni-

—    2>ie, be§ 3ubentum§ im 3eitalter berfität ©tünchen. 9ir. 66.

beâ Jellenifmuä u. b. SRÖmerhetr- jRuffifrfje £anbetô!orrefbonbens bon

Ä'men^SeSe^irSy^    T.    '"T**    ta

Sleligloncn^bet^Waturbölfer, Sie, ⁹¹1'М|й*'Й„лГ‘ Äiiot^n

biremen %lrT^' *t0'eftM    ÄSÄ“    б“"

то-

SReligionêtoiffenfchaft, 9lbrifj ber ber- ШП wJebme^^^ltor'a b^anbêfêborf? gleirfjenben, bon ©rofeffor Dr.    r <?' 5* 1а?4Ье??0Й)'

Ж&. ОДеШ in Bremen, kr. 208.    ¹;Ж«:    r?*⁰®?¹    *

SReuaiffance. 2>ie Kultur ber SRe-    Se^rfl0 0 «. «oefte mt aud*

uaiffauce. ©efittung, ftorfrfjung,    be5rid^un?n,»rlU?(vfn U‘ dtmU

2)id)tung b. Dr. SRobert g. 91rnolb,    beserdjnung. SRr. 403.

$rof. a. b. Uniberf. SBien. «Rr. 189.    ~ ~ IL Всеволодъ Гаршинъ,

SRebtilien. $a§ Tierreich III: SReb- Разсказы. Jüht 9lnmertungen unb tilien unb 91mbhibien. »on Dr. Âlêentb^euhnungen. SRr. 404. ftrans SSerner, S^rof. a. b. Uniberf. SRuffifdje Siteraturgefchichte bon Dr. 9öien. SÜtit 48 91bb. $Rr. 383.    ©eorg S^olonêtii in 9Ründ)en.

Sîheiubrobins, Sanbe^lmtbc ber, bon 9k- 166.

Dr. Sß. Steinede, 2)ireïtor b. Ś^eal- SRuffifche§ Sßofabelbuch, Шeiltet; bon ghmnafiumê in ©ffen. 9Rit 9 9lbb.,    Dr. ©rtd) 93oehme, i'eftor an ber

3 Bärtchen unb 1 Äarte. SRr. 308.    §anbefêhochfd)ule Söerlin. SRr. 475.

Sachenrecht ŚRedjt b. öürgerl. ©e« Schulbrecht. ffiecfjt beê SJürgerl. ©e* febbucheê. $ritte§ 23uch: Sachen*    feh&uche». 3*ueite§ Such: Scfjulb*

recht Don Dr. g. ®rebfcf)mar, Ober*    recht. I. Abteilung: Slllgemeiue

lanbe§geri<ï}têrati.2>re3ben. I: Ш(*    Sebren bon Dr. $aul Oertmann,

gemeine Sehren. S3efihu.(Eigentum.    $rof. a.b.Unib. Erlangen. 9ïr. 323.

--II: SBegrenste $Red)te. !ftr. 480,--II. 2lbteitung: 2)ie einzelnen

481.    Schulbberhältnifie bon Dr. $aul

Sacf}3, &anê. Sluêgetoâblt u. erläut. Oertmann, ^rofeffor a. b. Uni* b. $rof. Dr. guliuê Sahr. 9tr. 24. »erfität Erlangen. 9łr. 324. Sachfen. Sächfifche ©efchiihte b. $roî. Schule, bie beutfdje, itn 2lu3lanbe bon Otto Âaemmel, ŚRettor b. SRiïolai*    фап£ ШпгЬет, (Seminar*0ber*

gbmnaïiumâ su ßeipaig. *Rr. 100.    terrer in SRhepbt. *ftr. 259.

— Sanbeêfunbe be§ $ônigreichâ Schulhau§. 2>ie Śaulunft be3 Schul* Sachfen b. Dr. g. gemmrich, Ober*    paufeê bon $rof. 2)r.*gng. Emft

lehrer am ütealgpmnaf. in flauen.    ŚSetterlein in 2)armftabt. I: 2)a£

Mit 12 2lbb. u. 1 Âarte. üftr. 258.    Sd)ulhau3. Mit 38 Ülbbiîb. II: 2)ie

Säugetiere. $a§ Tierreich I: Säuge*    Schulräume — 2)ie üftebenanlagen.

tiere bon Oberftubienrat $rof. Dr.    Mit 31 Slbbilb. *ftr. 443 unb 444.

Âurt Sampert, SSorfteher beë Âgl. Sdjulprajiê. Methobiï b. S3olïêfd)uIe 9îaturalienïabinettS in Stuttgart. bon Dr. üt. Sepfert, Seminarbiret* Mit 15 Sïbbitbungen. Ш. 282.    tor in 8fd)0pau. SRr. 50.

Schattenfonftruttionen bon $rofejfor Sdjb>ebifch*beutfche§ ©eiprâtfjêbuch g. SBonberlinn in Münfter. Mit 114    bon gohanneé Sfteuhauè, 2>osent

Figuren. 9îr. 236.    ber neunorbifchen Spradjen an ber

Sdjiffâ* unb ®üfteuartillerie biê sur Uniberfität 23erlin. 9îr. 555. ©egentoart, $ie Eutmitflung ber, SchtoebifcheS Sefebudj sur Einführung bon Æorbettenïapitâu tuning. Mit    in bie Æenntntè be£ heutig. Sdjme*

Stbbilb. unb Tabellen. $Rr. 606.    benś mit 23ôrterberseid)ntè bon go*

Schlc3tt»ig*&olftein. Sanbeêlmtbe bon    hanneê 9îeuhau3, Posent ber neu-

Schle£mig*.èolftein, £elgolanb u.    norbifchen Sprachen an ber Uni-

ber freien unb .^anfeftabt фат*    berfität S3ertin. 9îr. 554.

burg bon Dr. ^aut frambrud), 2lb* Schweif?» unb Schneibberfaljren, 2)a§ teiïungêborfteher am Mufeum für    autogene, bon Ingenieur franä

S3öl!erfunbe in Hamburg. Mit 2lbb. j Sftiefe in Äiel. Mit 30 gig. $ftr. 499. Plänen, Profilen unb 1 Äarte in Schmeis. Sdjtbeiserifche ©efdjichtc Sithographie. 9?r. 563.    bon Dr. ФапЬШег, ^rofejfor an

Schutaroher unb Schmarobertum in Seemacht, 2>ie, in ber beutfcben ©e* ber Siermelt. @rfte Einführung in ! f^ichte bon SSirfï. Slbmiralitatêrat bie tierifche Sdhmaroherfunbe bon Dr. Emft bon ^alle, SMfeffor en Dr. grans b. SBagner, a.o. S3rof. a. |    ber Uniberfitât S3erlin. 9îr.    370.

b. Unib. ©ras. SÂit 67 Slbb. Sîr.151. Seerecht, î>aê beutfche, bon Dr. Otto Schreiner*2lrb eiten Sifchler«. (Schrei*    23ranbté, Ob erlaub eśgeridht^rat in

ner*) Arbeiten I: Materialien,    Hamburg. I: SUlgemeine Sehren:

^anbtocrJ^seuge, Mafchinen,©in*    ^erfonen unb Sadhen beè See*

selberbinbungen, guhböbeu, gen* rechte. 9îr. 386.

fter,genfterlaben,kreppen, Aborte--II: 2)ie einseinen feeredhtlichen

non $rof. E. SJiehmeger, $lrchiteft    Sdhulbberhältniife: Verträge    beè

in Äöln. Mit 628. gig. auf 75 Za* Seerechtö unb aufe erb erträgliche fein. Ш. 502.    Haftung. 9Rr. 387.

©eifenfabrilation, Die, bte Seifen* ©Ginnerei. Degtilinbuftrit I: ©pin* anatpfe unb b. fersenfabriïatiou nerei unb ätoirnerei bon ^rof. v. Dr. Йаrt 23raun in Berlin. (Die    ©ürtter, ®eb. fRegierungêrat

gette u. jOle II.) 9JHt 25 Slbbitbgn. im fönigl. Banbe3gett>erbeamt au №. 336.    Berlin. 9Rit 39 giguren. 9fr. 184.

Semitifche ©pracbtoiffenfcbaft bon ©pihenfabriïation. Destitinbuftrie Dr. 6. 33rocfelmann, Sßrofeffor an    II: SBeberei, SSirïeret, 5ßofaincn*

ber Uniberf. fônigëberg. 9гг. 291.    tierereir ©pthen* unb ©arbinen

©itiïate. gubuftrie ber ©itifate, ber    fabrilfat. u. gitsfabrifation bon

timftlidjen SBaufteine unb be£    ^Srof. 9Jiag ©ürtter, ©et). 9îegie*

99îürteté bon Dr. ©uftab SRauter in    rung3rat im f gl. Sanbeâgetoerbe*

GHjarlottenburg. I: ©ta3 u. terami*    amtau Berlin. 9Jiit 29 gig. 9fr.l85.

fdfe gnbuftrie. 99t. 12 Daf. 9fr. 233. Spruch b ich tung. SBalther bow ber

--II: Die gnbuftrie ber fünfttidjeu    SBogeltoeibe mit Stuêmaffl au£

SSaufteine unb be3 99törtet3. 9ttit    90łinnefang unb ©pruibbicbtung.

12 tafeln. №. 234.    9ftit Stnmerfgn. u. einem SBörter*

©implicit^ ©impticiffimuê bon фапЗ bud) b. Otto ©üntter, ^Srof. a. b. gatob ©t)riftoffet b. ©rimmetöbau* Oberreaticbuteu. an ber Decbnifcben fen. 3n 2lu3mabt berau3geg. bon 4>od)fdjute in Stuttgart. 9fr. 23. Sfrof. Dr. g. SSobertag, Doaeut an Staatslehre, Stttgemcine, bon Dr. ber Uniberfität Sfreêlau. 9гг. 138.    Hermann fftebm, Sfrof. a. b. Uni*

Stanbinabien, BanbeStunbe bon,    berfitât Strasburg i. ©. 9гг. 358.

(Sd)toeben, 9torn>egen и. Däne* ©taatSrecbt, SlttgemeineS, bon Dr. mar!) bon Heinrich ferp, frété* i guliuS §atfcbef, $rof. b. №d)te fcbulinfpettor in f reusburg. 9Jtit    an ber Uniberfität ©öttingen.

il Slbb. unb 1 farte. №. 202.    3 SSänbtfjen. 9гг. 415—417.

©tabnfdje ßiteraturgefebiebte bon Dr. ©taatSrécbt, $reufHfcfjeS, bon Dr. gri& gofef farâfet in Söien. I: SÏItere    Stier* Sotnio, Sfrof. a. b. Uniberfi*

literatur bté anr SBiebergeburt.    tôt 93onn. 2 STeite. 9гг. 298, 299.

№. 277.    ©tammeStunbe, Deutfcbe, bon Dr.

--И: Фаз 19. Mirt), №. 278.    fRubolf 9Kucb, о. о. qSrof. a. b. Unib.

©asiate grage. Die ©nttoieftung ber Söien. Ш. 2 fart. и. 2 Daf. №. 126. fosiaten grage bon Sfrofeffor Dr. Statiî bon SB. dauber, Dipl.*,gng. gerbin. DonnieS. 9гг. 353.    I. Deil: Die ©runbtehren ber ©ta*

©osiatberfitberung bon Sfrof. Dr. Ш* tif ftarrer Körper. SJtit 82 gig. freb 9ftane3 in 93ertin. 9lr. 267. |    №. 178.

©osiotogie bon SSrof. Dr. ЗДотаз--II. Zeit: 9tngetoanbte ©tatif.

2lcf)elté in Bremen. 9Zr. 101.    9ttit 61 giguren. №. 179.

Spanien* ©panifie ©efcbicbte bon —, ©raptjifdje, bon fgl. Dberletjrer Dr. ©uftab 2)iercf§. №. 266.    S)ipt.*^ng. Otto &en!et in Stenbè*

— iîanbe§!unbe bergôerifdjen4?atb* bürg. 9Jlit bieten giguren. 9îr. 603. infet b. Dr. grib ŚRegel, SSrof. an ©teinbauerarbeiten* SDÎaurer* unb ber Unib. SBiirsburg. 9Kit 8 ÄärD    ©teinbauerarbeiten bon SStof. Dr.

rfjen unb 8 Slbbitb. im Zeit unb    phil. unb S)r.*^ng. ©buarb Sdbmitt

1 .farte in garbenbrutf. 9tr. 235. :    in 2>armftabt. 3 SSânbdben. 3Jîit

©pantftbe ^anbetâforrefponbens bon    bieten Slbbitbungen. 9îr. 419—421.

Dr. Sttfrebo Sftabat be 9Dlariescur* Sténographié, ©ef^icbte ber ©teno* rena. №. 295.    graphie bon Dr. Slrtbur 9Jtenb in

Spantfcbe Siteraturgeftbirfjte b. Dr. fônigêberg i. Sßr. 9îr. 501.

SRub. S5eer, SBien. I. II. №. 167, Stenographie n* b* ©bftetn P* g. 3f.

168.    A

Speicher, gnbuftriette unb getoerb* ! liehe S3auten (Speicher, Bagerbäu* fer u. gabrifen) b. 2lrd)iteft ^einr. Satsmann in Düffetborf. II: Spei* djer u. ßagerbäufer. 99lit 123 gig. 9fr. 512.

©abetbberger bon Dr. Stlbert schramm, Sanbeëamtêaffeffor in ФгеЗЬеп. 9^r. 246.

Die fHebefrfjrift beâ ©abetêberger» fehen ©hftemê bon Dr. Sllbert Schramm, Banbe3amt3affeffor in ФгеЗЬеп. 9гг. 368.

Stenograf ie. Sebrburfi b. Serein* tedmtfrf>*(£fiemtfrf)e ElnaUjfe bon Dr. fotzten teutfdjen Stenograf ic    ©. Śunge, SSrof. a. b. ©ibgenöfi.

(©inig. * Softem Stolse * Secret))    Sotytedm. Sd)itle in 3ürid). EJZit

nebft Sd)lüffel, Sefeftüden u. einem    16 Sibbilbungen. EZr. 195.

Elfang o. Dr. Elmfel, Stubienrat b. terfmifebe tabellen nnb ftormeln bon ®abettenfor03 in S3en3berg. EZr. 86.    Dr.*$ng. Ж. EJZüller, tidl.*3fttg-

— Eiebefrbrift. 2et)rbutf) ber EZebe*    am $gl. EJZateriaïbrüfungèamt su

id)rift b. SOftemê Stolse*Stf)ret)    ©roß*2id)terfetbe. EJZit 106

nebft ^ütsungSbeiff Sefeftüden,    guren. EZr. 579.

Stf)lüffel unb einer Einleitung sur terlmifd)e§ SBorterburf), entfjaltenb bie (Steigerung ber ftenograf ifdjen    u>id)tigften Eluëbrüde b. EJZafcbinen*

gertigïeit bon Heinrich SDröfe,    baltes, Sd)iff3baue3 u. b. ©lettre*

amtt. bab. fianbtagêftenograf in    tedjniî bon Grid) ft'rebS in S3erlin.

•BS“»•'«&.ЧМ *»SBSÂ

*4SSR.«SÂ«Ü - r*5S' Ш»

forcer b. El. EJZöbiuä, neu bearb.    В40 341    ^munfeometg.

'Unfoerï^fKeï ^ir°Sómeten We* ^rfarbftoffe, tie, mit bei. Serüd* }inr£2*шмГIî    Wig. ber ffttjetif. Werben b.

ъ?а и' 2 Itfrnfarten ЕгГ 529 Dr‘ ®апё ^ucberer' ^rof- rt- b‘

_ ^t0- “• ²    Л t.    tedjn. £od)fd)ule, ©re*b. №. 214.

Steueribfteme beê Elublanbef, tie, telegraf enredit b. ffftinfoettor Dr. o. ©et).■.Obe.rfinanjrat 0. Stfjloars    jlir. одгеЬ SBolde in Sonn. I: ©in*

tn Serltn. EZr. 426.    leitung. ©efd)id)tlid)e ©ntmidlung.

Stilfunbe b. Srof. tarl Otto &art* $>ie (Stellung b. beutid). telegra* mann in Stuttgart. EJZit 7 Sotlbilb.    f entoefenê im öffentl. 0Zed)te, all*

u. 195 te^tilluftrationen. EZr. 80.    gemeiner STeil. EZr. 509.

Stödiiontetrifdie Elnfgabenfammlnng--II: tie Stellung b. beutfd).Stele*

oon Dr. SB ill). S3at)rbt, Oberl. an    graf emoefenê im öffentl. EZed)te,

b. Oberrealfd)ule in ©rof3*ßitf)ter* befonberer STeil. taè telegraf en* felbe. EJZit ben Elefultaten. EZr. 452. Strafrecht. Eletf)t3berljâltntè b. Straßenbahnen bon tif *3ng. 2lug. telegrafie S- Sublitum. EZr. 510. Sofort in Nürnberg. EJZit 72 Elb* telegrafie, tie eleftrifdje, b. Dr. bilbungen. EZr. 559.    Sub. EZellftab. EJZit 19 $ig. EZr. 172.

Strategie bon ßöffter, EJZajor im ÄgI. ^eftament. tie föntftebung beê Ellten Säd)f. ÄriegSmin. i.treSb. EZr.505. teftamentô b Lie Dr. SB. Staerf,

etromc uni, Sfaununncn in Statt-    ÄÄ

menfê b. Srof. Lie. Dr. ©art

ftromnebtn ». ЗД. We, ®4>I.- — *«e »rtfWiing be« Wcucn Же»«*

¹ «»men in Sonn. SKt. 285.

rirelbmmm, ilStof. b. glettoieifimt tn jCJ;tjjinbujtI.jt j. 3^>initerei unb

r-.î' i' «'*, .r’j. f :    3n>itnetei ». 5=rof. ЗЯод ©iirtlet,

Siibfeteebtrt. ®te bciltfrtini fiotomen    &et} sHe₀.-®at int fini. Sanbebee.

Ul Xaÿ Siibfeeebbtet unb fitou-    merbeamt, SSetiin. 9Kit 39

yd)»u ». qstof Dr ff ®o»c. SW. 16    nuten. «Rr. 184.

Staf. u. l Ittg. Äarte. EZr. o20. — n- Eöeberei, SSirferei, ^ofamen* talmub. tie entftebung beS tat*    tiererei, Sbibcn* unb ©arbinen*

rnubê bon Dr. S. Órtml in Soêlo*    fabriïation unb ^Usfabrilatiou

toit). EZr. 479.    o. $rof. m. ©ürtler, ©et). EZegie*

talmubbroben bon Dr. S. Çunî in rungSrat i. Âgt. Banbeègetoerbe* Soëïomib. EZr. 583.    amtsuSerlin. EJZ. 29 gig. EZr. 185

einer

Tejrtilinbnftrie* III : 9S<ifcperci, {Bleicherei, Färberei unb ihre .fcitfSftoffe bon Dr. ЗЗД. {JRaffot, $rof. a. b. {JSreup. Pöderen ftad)* fcpule f. Tejtilinbuftr. in Sïrefelb. 3Rit 28 3ri0. {Rr. 186.

Tpermobpnantif (Tecpnifdje {ffiarme* lepre) b. Ä. {fôaltper u. Ш. {Röttin* ger, Tipl.*$ng. Ш. 54 $ig. {Rr. 242.

—    Xxe tperntobpuantifipen ©rmtb* lagen berîôârmeïraft* unb Àftlte» ntafdjinen b. Ш. fRöttinger, Tipi.* ^ng. tn Mannheim. {Rr. 2.

Tpüringifcpe ©efrfiicpie b. Dr. ©rnft Tebrient in ßeipsig. {Rr. 352.

Ticrbtologie. 91brip ber {Biologie ber Tiere b. Dr. ^einricp Śimrotp, $rof a. b. Unib. Seipsig. {Rr. 131.

Tiere, (gtttta>idlungêgcfrf)iri)te ber, bon Dr. $opê. {ÏReifenpeimer, {£rof. ber Zoologie a. b. Uniberfitât ^ena. I: gurepung, {Brimitibanlagen, Sarben, ^ormbilbung, ©mbrponal* püllen. 9Rit 48 $ig. {Rr. 378.

--II: ©tgmtbito. 3Rit 46 Figuren. {Rr. 379.

Tiergeograppie b. Dr. 91moïb Jacobi, {ßrofeffor ber goologie a. b. ®gt. fyorftatabemie su Tparanbt. {ïRit 2 garten. {Rr. 218.

Tierfunbe bon Dr. grans b. SBagner, {£rof. a. b. Uniberfitât ©ras.

78 21bbilbungen. {Rr. 60.

Tierreich, Ta§, I: Säugetiere b. ©ber* ftubienr. 3ßrof. Dr. ®urt Sambert, SBorft. b. ®gt. {RaturalienïabinetM in Stuttgart. {(R. 15 91bb. {Rr. 282.

—    III: {Reptilien unb 91ntPpibieu bon Dr. grans SBerner, {£rof. a. b. Unib. «Sien. 9Rit 48 9lbb. {Rr. 383.

—    IV: gifdje bon $rof. Dr. Ша% {Rautper in {Reapel. {Rr. 356.

—    V: gnfeïteu bon Dr. g. ©rop in {Reapel (Stasione gooïogica). {JRit 56 9lbbilbungen. {Rr. 594.

—    VI: Tie u»ir6ellofen Tiere bon Dr. ßubto. {Böpntig, {£rof. b. $ool. a. b. Unib. ©ras. I: Urtiere, Scpmämme, {Reffeltiere, {Rippenquallen unb {ESürmer. 9Rit 74 gig. {Rr. 439.

--II: ®rebfe, Spinnentiere, Tau*

fenbfüper, SBeicptiere, {ïRooêtier* (pen, 9lrmfüf}er, Starîfelpâuter unb SRanteltiere. $î. 97 gig. {Rr. 440.

Tiersuditlepre, {Allgemeine unb fpc* Sielle, bon Dr. {£aul {Rippert in ©ffen. {Rr. 228.

Tifdjler* (odjreiucr*) {Arbeiten I: 9Ra* terialieu, .£anbtt>erf§3euge, 9SRa* fdjmen, ©inselberbinbuugen, gup* höben, geufter,genfterlabett,Trep~ peu, 91horte bon {fßrof. ©. {Biep* meger, 91rcpiteït in Śtoln. 3Rit 62S Figuren auf 75 Tafeln. {Rr. 502.

Togo. Tie beutfepen Kolonien I: Togo unb Âameruu bon {£rof. Dr. $arl Tobe. {JRit 16 Tafeln unb ïitpograppifdpen Äarte. {Rr. 441.

Tojrifologifdje ©pentie bon {ßribat* Posent Dr. ©. {IRannpeim in {Bonn. sIRit 6 9lbbilbungen. {Rr. 465.

Trigonometrie, ©bene unb fppärifdie. bon 3ßrof. Dr. ©erp. ^effenberg in {8re3ïau. SDïit 70 5i6- 3lr. 99.

Tropeuppgiene b. 3Rebisinalrat $rof. Dr. {Rod)t, Tirettor beê ftnftitute für Scpiffé^ unb Tropentrant^ peiten in Hamburg. {Rr. 369.

Truft. kartell unb Truft bon Dr. S. Tfcpierfcpfp in Tüffelborf. {Rr. 522.

Turnfunft, ©efd)id)te ber, bon Dr. {Ru* bolf ©afd), {ßrof. a. éonig*©eorg* ©pmnafium Treiben. 9Rit 17 91b* bilbungen. {Rr. 504.

Ungarn* 2anbe§funbe bon ©fterreidi* Ungarn bon Dr. 9Ufreb ©ruub, {^rof. an ber Uniberfitât ^rag. 9Rit 10 Teçtilluftr. u. 1 èarte. {Rr. 244.

Ungarifdje 2iteratur, ©cfrijid)te ber, bon {Brof. Dr. Subioig tatona unb Dr. ^rans ©sinnpei, beibe an ber Uniberfitât SSubapeft. {Rr. 550.

Ungarifcpe Spracplepre b. Dr. $ofef Ssinnpei, o. ô. {f5rof. an ber Uni* berfitât {Bubapeft. {Rr. 595.

Unterricptôtoefctt* ©efd)icpte b. beut* fcpen Unterridjtêmefenê bon {ÏSrof. Dr. griebricp Seiler, Tirettor beé ®gl. ©pmnafium^ щ 2utfau. I. Teil: {Bon 9tnfang an biè s«bt ©nbe b. 18. ^aprp. {Rr. 275.

— — II* Teil: {Bom {Beginn be^ 19. ^aprpunbertè bié auf bie ©egenioart. {Rr. 276.

Unterfucpungâmetpoben, {Rgrünltur^ diemifdie, bon {$rof. Dr. ©mit |)afelpoff, {Borfteper ber lanbtoirt* fd)aftïicpen {Berfucpêftation in {JRar* bürg in Reffen. {Rr. 470.

Urgefdjicpte ber {ÏRenfdipett bon Dr. {JRorip .^oerneä, {ßrofeffor an ber Uniberfitât SBien. ^it 53 91bbilb. {Rr. 42.

Urheberrecht, ta§, ап Berten ber Perficherungêtoefen, Зад, bon Dr. iur. ßiteratur unb ber tontunft, baê Paul dolbenbauer, Profeffor ber Pertagèrecht unb ba§ Urheberrecht Perficherungêioiffenfchaft an ber an Berten b. bilbenben fünfte u. £anbefêhoçhf<huIe 5Шп. I: 2tIIge-Photographie o. Staatëantb. Dr. g. meine Perfichermtgêlehre. Яг. 262. Schtittgen in Ehemnib. Яг. 361. Piitïerïunbe 0. Dr. didjaet &aber-— £ ad b eutfdje, an literarischen, fünft-    lanbt, f. u. ?. Sîuftoâ b.    ettjnogr.

ïerifehen u. gemerbt. (Schöpfungen,    Sammlung b naturhift.    £ofmu-

mit befonberer Perücffid)tigung ber    feumd u. Pribatbogent a.    b. Unio.

internationalen Perträge oou Dr.    Bien. dit 56 2lbbitb.    Яг. 73.

ßjuftao 9tauter, Patentanwalt in Pütfernamen. fiänber* u. Pölfer* Ehartottenburg. Яг. 263.    namen bon Dr. SRuboïf Шетраи!

Urzeit, kultur ber Itrgeit bon Dr. in ßeipgig. Яг. 478.

dorifc фоerned, 0. ö. Prof, an ber Polfdbibliothefen (Рйфег- u. 2efe-Unio. Bien. 3 Pänbch- I: ©tein-    hatten), ihre Einrichtung и. Per-

Seit. dit 40 Pilbergrupp. Яг. 564. toattung b. Emit gaefchte, Stabt-

--II: Prongegeit. dit 36 Pilber-    bibliothefar in Etberfetb. Яг. 332.

gruppen. Яг. 565.    РоШНеЬ, tad beutfehe, audgetoäblt

--III: Eifengeit. SDWt 35 Pilber-    unb ertäutert bon Prof. Dr. gul.

gruppen. Яг. 566.    Sahr. 2 Pänbchen. Яг. 25, 132.

Peftoralanalpfid b. Dr. Siegfr. Païen- Potïëtbtrtfgaftêlebre bon Dr. Sari tiner, Prof, an ber Pergafabemie    e «> ^a^cr

in Elaudthal. mt 11 giguren. № Xmtberfitat ïubtngen. Яг 133 ç^r 354    PoIfdnHrtfchaftdpbttttf b. Praftbent

SBet«nMl«eeii, $#§, im Àjoifj&eu.    £r. «■„ »“» ber ®or₀ï)t, sBeriin.

$urggefafjted £anbbit<h iib. b. Be- m    :Ч⁷;.

fen b. Äoftenanfchlagg b. 2lrchitett 3S ahrf ch emitrhïetfêrechnung bon Dr. Emil Peutinger, 2lffiftent an ber    grang ^ad, Profeffor am Eberharb-

technischen $ochfd)ule in tarm-    ЙиЬП)гд§^рш^шт п Stuttgart,

ftabt. dit bieten gig. Яг. 385.    JJ»* ¹⁵₀ 8fa-    ^J⁰⁸'

Pereinigte Staaten. Sanbedfunbe ber

Pereinigten Staaten bon ЯогЬ* fîîi/ÎJffÄ,' sla amerifa bon Profeffor Heinrich

gifeper, Oberlehrer am Suifenftäbt.    ь1°Гяин

meatgpmnafium in Perlin. I. teil:    SffiLÏÏ

dit 22 harten unb giguren im *,JÏÏ2Î582 i! Stah lt tejt unb 14 tafeln. Яг. 381.    ^ e}ÄS?ff flw?4ł *!» wSîa

--II. teil: SKit 3 harten im test,    *

17 taf. u. 1 Iith. Starte. Яг. 382.    «wńmJw    ??

S'wt. $ie ©ebi^te »rt *. ММ    "Seife mit

Waro. gn «udtoahl mit.einer Ein-    2tudU>ahl a. dinnefang и. Spruch-

teitung u. mttnerfungen heraudgęg.    bichtung. dit 2lnmertgn. и. einem

bon Dr. gultud Stehen. I: Em-    Wörterbuch b. Otto ©üntter, Prof,

teitung unb 2leneid. Яг. 497.    а jj Oberrealfchute unb an ber

Permeffungdfunbc bon tipl.-gng.    techn. £od)fd). in Stuttgart. Яг.23.

P. Bertmeifter, Oberlehrer an ber Watgtoerte. tie, Einrichtung unb Pesait- techn. Schule in Stra&burg |    trieb. Pon tipl.-gng. 21. ©olber-

i; ®. I: gelbmefSen unb Я^е1- ;    fcheib, Oberlehrer a. b. $gt. datieren. dit 146 2lbb. Яг. 468. :    fd)inenbau- u. &üttenfdjule in trnid-

--4* фег ^eobolit. trigono- i bürg, dit 151 2tbbilb. Яг. 580.

metnfehe u. barometr. £öhenmeS- Warenfunbe bon Dr. ®arl ^affatf, Sung, tachpmetrie. dit 109 2tb- prof. u. Seiter ber î. Ï. öanbels-bitbungen. Яг. 469.    aïabemie in ©rag. I. teit: Unorga-

Perfi^erungêmathematif bon Dr.    nifetje Söaren. d. 40 ЯЬЬ. Яг. 222.

Sllfreb Soemp, Profeffor an ber--II. teit: Organifche Baren.

ttniberfität greiburg i. P. Яг. 180. dit 36 2lbbitbungen. Яг. 223.

aSarenseidjeuredjt, $>aê.    9?ad) bem

©efetj S* <Sd)ub b. SBarenbeseicb-nungen b. 12. 9Jtai 1894. S3on fReg.>-9lat g. Sîenberg, Sttitglieb beê ftaif. ffSatentarntè su 83erlin. 9îr. 360.

SBârme. Xtjeoretifihe $f)9fif II. %,: Sidjt u. SBartne. 33on Dr. ©uftab gager, $rof. a. b. %eà)n. $od)fdjule Sien, mt 47 Slbbübgn. Яг. 77.

SBärmefraftmaf^inen. 2)ie thertno* bpnamifchen ©runblagen ber SSârmeïraft* u. Mltemafchinen bon Göttinger, 2)ipïom*gng. in Mannheim. Ш. 73 gig. Яг. 2.

SBürmelehre, Sedjnifdje, (Spermo bp* nanti!) b. SBalther u. 9Jt. Göttin*» ger, 2)ipl.*gng. ЯШ 54 giguren. Яг. 242.

Sämerei, Sejtilinbuftrie III: 2Ba* fdjerei, SJIeitherei, gärberei unb ihre ^ilfêftoffe bon Dr. Silh. SDîaffot, ÿrof. an ber SSreufe. höh. gacbfcbule für îertilinbuftrie in Ärefetb. 9ftit 28 giguren. №. 186.

SBaffer, 2)a§, unb feine SBermenbung in gnbuftrie unb ©etoerbe b. Dr. ©rnft Seher, 2)ipï.-*gng. in Saab feïb. 9Jtit 15 Slbbitbungen. №. 261.

aBaffer unb Slbtoäffer. gh« gufam* menfehung, 93eurteitung u. Untere fuchung b. Sstof. Dr. ©mit &afeb hoff, »orft. b. tanblüirtfd). S3et= fud)»ftation in 9Jtarburg in Reffen. №. 473.

SBafferinftaHationen. ©a§* unb SBaf* ferinftallationenmitSinfehlu# ber Ślbortanlagen b. SSrof. Dr. phil. u. 2>r.=gng. ©buarb Sdhmittin 2)arm^ ftabt. SRit 119 тЪИЬ. №. 412.

SBafferturbinen, î)ie, bon 2)ipl.*gng. SS. ^olt in Berlin. I: SHIgemeineö. ^ie greiftrahlturbinen. 9Rit 113 Slbbilbungen. 9îr. 541.

--II: 5Die Überbrucfturbinen. 2)ie

SSaffertraftanlagen. 9Rit 102 Slb* bitbungen. 5Rr. 542.

SBafferocrforgung ber Ortfchaften b. 3)r.*gng. SRobert Söeljrauch, fßrof. an ber ^gl. Xed)tiijd)en ^od)fd)uIe Stuttgart. Шги 85 gig. №. 5.

SBeberei. £e£tüinbuftrie II: SBeberei, SBirteret, SSofamentiereret, Spit* Sen* u. ©aröinenfabrüation unb güsfabritation oon S^rof. 9Ra£ ©ürtter, ©eh. fôegierungërat im Äönigt. Sanbeêgetoerbeamt su Berlin. ®iit 29 giguren. №. 185.

SBeehfelitromerseuger bon gng. Äarl SSichetmaper, $rof. an ber !. !. £ed)nifd)en ^ochfchule in Söien. ЭДШ 40 giguren. 9tr. 547.

SSethfeltoefcn, 2)a§, b. SRecbtâanto. Dr. Otubotf SJtotheâ in Seipsiß- 9îr. ЮЗ.

äBehrberfaffung, Seutfdje, bon ©eh-Æriegërat ®arl ©nbreê, bortr. 9îati. Âriegëminift. i. Ш'тфеп. 9îr. 401.

2Serïsenômafrf)inen für 4?oIsbear* beitung, $ie, bon gng. ^rofeffor Hermann SBitba in S3 rent en. ШИ 125 aibbilbmtgen. №. 582.

SBerïseugntafcbiuen für äRetaltbear* beitung, $ie, bon gng. SSrof. &er* ntann SBilba in ЗЗгетеп. I: 2)ie SRechantémen ber 28erfseugmafd)b nen. $ie 2)rehbânîe. 2>ie grâë-mafchinen. Sftit 319 9tbb. 9îr. 561.

--II: 2)ie 33ohr= unb Sdfleib

mafchinen. 2)ie QobeU, Shaping-u. Stofjmafchinen. SDie Sägen u. Scheren. 9tntrieb u. Â'raft-bebarf. 33Ut 199 ЖЬЬШ). fftr. 562.

SB e ftp reuten. 2anbe§funbe ber 'JSro* bins SBeftpreufêen bon grils Sraurt, Oberlehrer am ад. ©bmnafium in ©raubens. SJiit 16 Xafeln, 7 %e%t* ïarten u. 1 lith. Äarte. №. 570.

Söettbetoerb, Ser unlautere, bon 9ftećf)t3an№alt Dr. Martin Staffer-mann in Hamburg. I: ©eneralflau-fei, SReflameausmüchfe, 2luèoer-faufêioef., StngefteUtenbefted)ung. SJÎr. 339.

--II: $rebitf<f)äbigung, girmen-

u. Sftamenmifjbraud), SSerrat b. @e-heimniffen,Sluèlânberfd)uh. 9?r.535.

SBirbeltofe Xiere. 2)oê Tierreich VI: 2>ie toirbellofen £iere bon Dr. Subtoig 33ôhmig, SSrof. b. Zoologie an ber Unib. ©ras. I: Urtiere, Schlämme, ifteffeltiere, ffUppen-gitatten u. SBürmer. ШИ 74 gig. 9tr. 439.

--II: Ærebfe, Spinnentiere, £au*

fenbfüfjer, S8eid>tiere, 9Roo3tier-eben, Ölrmfüfjer, Stadjelfjäuter u. SWantettiere. 9ftit 97 gig. №. 440.

SBirïerei. Xejtilinbuftrie II: SBebe* ret, 2Sirïerei, SSofamentiererei, Spiben* u. ©arbinenfabrilation unb gilsfabrilatiou bon $rof. SRaç ©iirtler, ©eh- Ütegierungêrat im Äönigl. Sanbeâgeto erbeamt su Lettin. ЯЗШ 29 giguren. 9?r. 185.

WirtfdjafttidjcnSertmnbe, Sie, b. Dr; \3eitung3wefen, Sa$ bentfdte, bort ßeo 9Rüff elntann in Softotf. 9tr.586. Dr. 9Î. Srunpuber, Śoln a. Ш).

Wirtfdjaftôpflege. kommunale Wirt* 9îr. 400.

frimftêpftege bon Dr . Sttfonś ОМев, — Saê ntoberne, (Stjft. b. Beitungs* anagiftratéaff. tn Serltn. 9tr. 534.    lepre) bon Dr. Robert Srun

Wohnungsfrage, Sie, b. Dr. Й. Sobte,    tauber in iln a. 9>if). 9гг. 320.

|tof bet StaatêwffienJcDûftert »u geitimeätttfen, Stlleeraeinc ©eMi^te

jf*"™ k' 3S5lbWie eaI°m0n

—    ЙГ*'    ьсгчи*««.

SBolfratn»on@fd>tn6art). «artmann äe, u“'¹    **{'*i ™

». Sitte, SSolfratn ». (f-frtjentmrtt ,    s(f,tl,lt’- !,“v⁵⁵®:

unb ©ottfrieb bon Strasburg. 3f n traiter fpeïtibc bon 2lrd)ttet't Шё\ъаЫ au§ bent Щ. Woź mit §an3 grepberger,>ncli ⁶*аг6еЙ* Slnmerfmtgen unb Wörterbuch bon    Д* $°nbertmn,St*

Dr. Ä. SKarolb, tfrof. am ftönigl. xett£xbex

Bimmerarbeitcn bon ©art ©pib, ©ber* tetjrer an ber ftaif. Serf)n. Sdjute in Strasburg i. (S. I: 9JItgemeine3, Satfentagen, glmfrfjenbetfen nnb Sedenbitbungen, tjöts. gufjbôben, gad) merfött) aube, éânge* nnb Sprengtoerïe. 9JHt 169 2lb* bitbungen. 9îr. 489.

--II: Sâd)er, Wanbbefteibungen,

Simrfchalungen, Stod*, Sobten* unb Srettermänbe, Battue, Süren, Sore, Sribünen nnb Saugeriifte. 9Jèlt 167 Sbbilburtgert. 9ïr. 490.

Bibitproseftrerbt, Sentfd)e§, bon Srof. Dr. Wilhelm Äifd) in Strasburg i. @.    3 Sänbe. 9ïr. 428—430.

Sootogie, eicfdjidjte ber, bon Stbf. Dr. Śub. Surdbarbt. Sr. 357.

griebridjêtottegium su Âonigê* g} fünfter t. Weftf. 9ttit 132 gtg. berg i. Sr. 9îr. 22.    ^r. ⁵'*

Wörterbud) nad) ber netten beutfdjen 9terf)tfrf)rei&ung bon Dr. £einrirf)

Älens. №. 200.

—    Seutfdjeê, bon Dr. Sidjarb ßoeme in Berlin. 9*r. 64.

—    SedjnifdjeS, entpattenb bie toidjtig* ften 2lu3brütfe be3 9Jtafd)inenbaue3,

Schiffbauer nnb ber ©teïtrotechniï bon @rid) ÂrеЫ in Serïin. I. Seit:

Seutfch*@ngtifd). №. 395.

--II. Seit: @ngl.*Stfd). №. 396.

--III. Seit: Stfd&.-3rrana. №. 453.

--IV. Seit: grans.*Stfd). №. 454.

Württemberg. Württembergifdje ©e» frf)id)te b. Dr. ®art Wetter, ^Srof. a. Âarfôgt)mn. i. Stuttgart. 9îr. 462.

—    ßnubeSifunbe bc§ fiünigreid)ê Württemberg bon Dr. ft. ^affert,

Bünbmaren bon Sirettor Dr. 9ttfoné Sufarb, Sorftanb beâ Stabtifd)eu (£f)em. ßaboratoriumä Stuttgart. №. 109.

BtoangSberfteigerung, Sie, nnb bie Butangêbertoaitnitg bon Dr. g. ftrebfcpmar, ©bertanbe^gerid)t^rat in Sreâben. 9żr. 523.

Btoirnerei. Sejtitinbuftric I: Spinnerei tttib Bmirnerei bon Srof. 9Âar ©iirtter, ©ep. Segierung^rat im königt. ßanbe^gemerbeamt su S erlitt. 9РШ 39 gignren. 9îr. 184.

Srofeffor ber ©eograpfrfe an ber ÓanbeB^oĄfĄnle in ftötn. 9Jtit 16 Sollbitbern u. 1 ftarte. 9îr. 157.

Beidjenfdjute bon Srof. ft. ftimmid) in Ulnt. 90Ш 18 Safetn in Son*, garbeu* unb ©otbbrud nnb 200 Soit* unb Sestbitbern. 9ïr. 39.

3eid)nen, OJeométrifd)e§, bon £.

Seder, 2lrd)iteît nnb Serrer an ber Saugetoertfchule in 9ttagbeburg, neu bearbeitet bon Stof. g. Son* bertinn, Sireftor ber fönigt. Sau* gemerïf chute su fünfter. 9Jlit 290 gig. u. 23 Saf. im Sejt. 9îr. 58.

===== SBettcrc Sättbc finb in SSorbereitung. =

Soeben erfdjien:

Der beutle 8tubent

23ort

$rof. Dr. ï^eobalb 3*e9^r

(Elfte unb ötoölfte Auflage ©ebunben 9Л. 3.50

'TNiefe „Stubentenprebigten", mie fie faulfen genannt fiat, haben fidj unter ber ftubierenben fugenb biete ftreunbe ermorben. Unb fo шаг её nirîjt SU ьегШипЬет, baft baS fud) feit feinem ©rfeßeinen faft alljährlich eine neue Auflage erlebte. ^verauSgemachfen шаг es aus ber fin-de-siècle-Stimmung bor ber fabrbunbertmenbe, bie befonberS in ftubentifdjen Kreifen bie Bergen fibber fdjlagen unb baS fiut raider freien liefe, eben besmegeu aber aud> nad) befomtener Rührung fid) feinte. (Sitte fotele fanben fie flier. Den Slitf-lagen im neuen ftabrbunbert fügte ber f erfaffer eine 9Zad)tragëborlefuuft binsu sur Uberfeitung in ruhigere fahnen unb sur (Srgänsung burcf) manchem insmifeben 9Zeugemorbene. $m hinter 1905/06 aber bat er in Straßbura bie forfeiting über ben beutfdjen Stubenten noch einmal gebaften unb hier bor affem bie forgänge iener bemegten feit, beS fogenannten „$odhfd)itl* ftreiteë" unb beë Kampfes gegen bie fonfeffionellen Korporationen freimütig unb fritifdj befproeßen. Der neuen Auflage ift bie f ortefung in biefer fpäteren Raffung, menigftenS in ber erften gröberen Hälfte, sugrunbe gelegt morben. Die fin-de-siècle-(Stimmung ift berfdjmunben, bafür jinb bie Probleme, bie bas (Stubentenleben im erften fabrsebnt beS 20ften fabrbunberts bemegt haben unb bemegen, in ben forbergrunb gerüdt unb fo baS f ud) burd)au$ ntobernifiert unb mieber gans aftuelt gemorben. Dabei bat её eine nicht un-* beträchtliche ©rmeiterung erfahren. Unb bod) ift ber (Seift beë f ticheë ber alte geblieben, её ift ber (Seift ber Freiheit, bie als afabemifdje Stubenten. unb f rofefforen gleidjutäßig am fersen liegt, unb ber (Seift eines fräftigett fittlichen fbealiSmuS, ber fid) nicht fürdjtet, fünglinge su Шадеп, bamit Männer aus ihnen merben. Unb aud) ber alte gute ftreunb beë beutfehen (Stubenten ift ber f erfaffer geblieben, ber ihn oerfteßt, meit er ihn liebt. Daê seigt gleid) bon bornberein bie SBibmung beS f ucßeS an bie (Straßburger (Stubentenfd)aft. (So ift её beim Abgang f ieglerS bon Straßburg su einem f ermädhtniS an feine jungen gremtbe auf allen beutfdjen $od)fd)ulen ge* morben, unb foil nun aud) in ber neuen (Seftalt mieber bieleń eine £ilfe merben unb ein £alt.    s

Soeben ersten:

Das ЩЩ1

(Sine pfpdjologtfdje Hnterfudjung

5Bort

$ßrof. Dr. Sljeobalb 3^gler günfte, burd)gefeljene unb oerbefferte Auflage 23rofd)tert SU. 4.20, gebunben SU. 5.20

Offê biefeê S3ud) bor 19 ftûïjren %um erften Ettale erfcbien, ba mirlte bie ^ îheorie be£ SSerfafferê bon ber Priorität ЬеЗ ©efithfê unb bon bent Шп* flujj beêfelben auf alle ©ebiete ЬеЗ geiftigen £ebeu3, bor allem aud) auf ESemufctfein unb Elbbergeption,    Vorgangs bon £ormicg tote ein

ßang SReueê, baê aU gegen ben (Stront ber bormiegenb mtelle!tuaïiftifd)en ober aud) fdjon boluntariftifchen Eluffaffitng ber 93ft)d)oïogie fcbmtmntenb toenig ©laubige fanb. EUIeitt e§ bût fid) troh biefer anfänglichen Ablehnung burdjgefefct unb gehört heute gu beu meift gelefenen «Schriften über $H)d)o* logie; bie Elnfd)auung, bie e§ bertritt, fteht längft nicht mehr bereingelt ba. 3u biefem ©id) s2)urchf eigen hût aud) ber (Stil unb bie gange Haltung beś 18ud)e3 beigetragen, bie gleidjmeit entfernt finb bon unmiffenfdjaftlid)er $obu* larität mie bon trodener bebantifdjer ©elehrfamïeit. Elud) bie äfthetifchen itnb religionâbhilofobhffd)en ethifd)en Elbftfjnitte hüben ihm bieïe Ófteunbe ermorben. $>ie neue, fünfte Eluflage, bie fdjon nad) hier fahren mieber notmenbig gemorben ift, hält an bem bout SSerfaffer aï§ ridjtig ©rïannten burdjauê feft, fie gieht fogar bie Sinien ba unb bort nod) fchärfer unb be* flimmter; inêbefonbere finb bie Äabitel über ba§ förderliche ©efüïjï unb über "bie ©efühïêâufjerungen in biefem ©inne unb unter E3erüdfid)tigung ber neueren gorfdjung unb ihrer ©rgebniffe umgearbeitet unb ermeitert morben. Überhaupt trägt bie neue Auflage nad), maê feit bem ©rfcheinen ber bierten Auflage gur Sehre bom ©efiihl mertboïleê Stfeueê gutage geförbert morben ift, unb fe£t fidj babei gelegentlich audj doïemifd) mit allerlei Eingriffen unb «ntgegenftehenben Elnfchauungen auëeinanber. ©o ift baà E3ud) burdjauä auf ben neueften ©tanb ber dft)d)oïogifd)en gorfchung gebracht unb ergängt, unb bodj ift in feinen ©runbanfchauungen unb in feiner Einlage nad) mie bor baâ eite geblieben.

Soeben erfdjien:

©tunbrij) einer ^ßl)il0fopl)ie bes Sdjaffens

ate Rutturp^ilofop^ie (£infiif)rung in bie Pplofopfyte ols Sffieltanidjauungelef)te 33on

Dr. Otto Staun

Sritoatbogent ber Sbitofopbie in fötiinfter i. 4LS.

23rofd)iert SCR. 4.50, gebuttben 9Л. 5.—

fud)t er an ein

^T\er Verfaffer finbet ba§ SBefen ber Vbitofopljie barin, bafj fie ©efamt* ^ tmffenfd)aft, b. tj. 2BeItanfd)auungâlef)re ift: fie ergebt fid) auf bem gunbament alter übrigen SBiffenfdfaften unb fud)t (inbultto) su einem SBettbitbe uorsubringen, beffen „SBabrbeit“ burd) feine perfonate <£inf)eitlid)-feit bebingt ift. fftad)bem ber Verfaffer fid) eine erïenntntètt)eoretifd)e Vaftè gefdjaffen — H tt>irb ein fReat^bealiêmuê bertreten ©runbertebntè anguïntipfen, baê er burd) ben Vegriff „Schaffen" bc%eid)net. 3)iefeè Schaffen führt jur tëntmidtung einer Mturphilofopbie — bie goi' men unb (Stoffe beê Sd)affen3 merben unterfudjt unb bann bie ftaupt* gebiete beê Âutturlebenê in ben ©runbsügen bargeftettt: ÏBiffenfchaft, ®unft, Religion, fosiaïeê £eben, Staat, fRed)t, ©itte, (Sttyif finben ihre SBürbigung. 6o mirb ber Verfud) gemacht, auê bem SBefen beê mobernen ©eifteê heraus eine fbftematifdje 2Bettanfd)auung ju gemimten, mobei ber ïutturimmanente Staubpunft auSfdjlaggebenb ift, menu aud) eine îo§mifd)*metapbbWdbe Vertiefung fid) afê notmenbig seigt, ber Vegriff beS Sdfaffenê mirb burd) einen gefd)id)tëpbiïofopt)ifd)en Überbtitf über bas 19. ^abrbunbert atS not* menbig unb bered)tigt ermiefen.

3.3. ^erbort

©runbjüge [einer fiepte

S3 o n

griebrid) granfe

23ro[d)tert 2Я. 1.50, gebunben 90?. 2.—

TNiefe $arftellung fudpt in £erbart3 Spftern möglicpft Direït einzuführen, ^ opne Don ben fpäteren ^ortbilbungen auäzugepen, läfjt immer naep £erbart3 eigenen Reifungen bie prinzipiellen Xeile zuerft einzeln entftepen unb banad) in ben ,8ufammenpang treten, ben bie ©etradptung unferer prtfftifcpen Anliegen berlangt. 2>abei ift bann auep bielfadp (Gelegenheit, auf bie empirifepe 35etailforfdpung unb ipre ppilofoppifdpe ©earbeitung, auf bie Äunftbemegung, bie fozialen unb politifdpen Aufgaben unb anbereś, tua3 bie ©egentoart bemegt, ©liefe zu werfen.

g-riebriep SRiepfcpe

©ine intelleliuale ©iogmppie

S3on

Dr. S. gtieblaenber

»rotiert 9JÎ. 2.80

iTm einen Genfer, mie 9?iepfdpe, Doll unb ganz Su berftepen, ift Dor allem bie ©rfenntnté beê ©Serbegangö feiner ЗЬееп nottoenbig. ©ei biefer fepmierigen Arbeit ift baë ©ud) Don grieblaenber ein zuberläfftger Führer unb ©ßegioeifer. 2)enn ber Untertitel „Sutelleftuale ©iograppie" bebeutet eben nid)tê anbereè al§ eine 2)arftellung ber ppilofoppifdfen ©nttoidlung $riebridp 9îiepfcpeê. ©on bem rieptigen ©runbfap auägepenb, bap ber fpätefte Stfiepfdje nur au3 bem früpeften üerftanben toerben fann, bepanbelt ber ©erfaffer nad) einer orientierenben (Einleitung zuerft beffen geniales (ErftlingSloerf: „$ie ©eburt ber Xragobie aus bem ©eifte ber Sftufif", um bann barauf bie fpäteren (sdpriften unb bereu ©runbgepalt einzeln zu erläutern unb ben gortfdjritt, ber barin enthalten, feftzuftellen.

©♦3* ©öfdjen'fcbe SSertag^aubtung ©»in. Ъ. §. Sterlin W 35 nnb ßeipsig

î)ie ftddjsoctfidjemngiborbnung

§anbausgabe mit gemeinoeritänblidjen (Erläuterungen in nier Sänben

Dr. SRentjel

port

Dr. SJlanes

SSrofeffor    SRegierungêrat

Posent ber £anbd»bod)fd)ute Berlin SJlitgüeb ЬеЗ 9teid)èüerîid)eruu0§aTnt*

Dr. 6фи1з

Slegierungèrat

9Kitglieb be* 9leid)3t>erfid)erun03amfê Staub 1: S>ie für alle S$erjid)erungè3n>etge geïtenben Steftimmungen ber 3fieid)śoerfid)ernng3orbmmQ uebft Einleitung nnb EinfüljrungSgefeb. Staub 2:    35te    ßtanfenberfidjerung.

Staub 3:    2>ie    llnfallberfidjemng.

Staub 4:    25ie    ^noalibeu* unb £>mterbliebenent>erfid)erung.

3n    nier fieinenbänbe    gebunben    SR.    20.—

S'eber Staub ift aud) einjeln gu tjaben. фгегё für Staub 1 gebunben Ж. 7.—; Staub 2 geb. Ж. 4.80; Staub 3 geb. Ж. 6.— ; Staub 4 geb. Ж. 4.20.

Kommentar pm

$erftdjerung$>gefeë für 3XngefteHte

Sanbausgabe mit ausfül)rlict)en Erläuterungen

ООП

Dr. Sllfrcb Жапез unb Dr. фаи! ftöntgsberget

érofeffor    Sanbridjter

3n fieinroanb gebunben SR. 12.—

ООП

Dr. 2Ще1т ftif<b

SSrofeffor au ber ttniberfitât Strasburg i. E.

3n fieinroanb gebunben SR. 4.80

©♦& ©bfehen'fdje »erlagêbewblung ©, tm 6. ф* »erlin W 35 nwb Seidig

(Einführung

in bas

Deutfdje ftoloniatredjt

23on

^rofeffor §. (Ebler mm Hoffmann

(Etubienbireftor ber Slfabemie für fommunale Verwaltung in 2)üffeïborf

Зп £einœcmb gebunben 5Ш. 6.—

ОГПе1)г unb wehr Wenbet fid) bie Wifienfd)aftlid)e Arbeit bem Äolonial-rechte §u, ba3 fiefi aud) al3 ©egenftanb be3 tu iff enf d) af tlidf) en Unterlid^ eingebürgert hat. E3 fehlte aber bisher an einem auf ben fftefultateu ber neueren gorfchung beruhenben Sehrbuche be3 ®eutfdjen Äolonialrech t3. ФаЗ borïiegenbe SBerf oerfuebt e3, biefe Süde aU3âufüllen. @3 шШ aber nid)t nur ber Ergänzung be3 aïabemifcben Unterrid)t3 bienen, e3 Will auch bem Âolonialpraïtiîer ein SBegWeifer burd) bie Unzahl bon ïolonialen 9îed)t3-normen fein. 2)ie gan^e Anlage be3 2Berfe3 ift baburch bebingt, bafj e3 fid) um eine „Einführung“ hanbelt, b. h- nicht um eine ßufammenftellung all unb jeber ïolonialredjttidien formen, fonbern um eine bogmatifche »ehanbluug be3 wid)tigften étoffe3. Фет Sehrjwede entfprechenb, ift gur befferen Ve-leudj'tung unb £erborl)ebung ber beutfehen 9ßed)t3normen ba3 frentbe $olonialred)t, in3befonbere ba3 englifche, jum Vergleiche herange^ogen worben.

ФаЗ »udj Will ein re<ht3Wiffenfcbaftlid)e3 fein, ïolonialpolitifche Erörterungen treten be3halb böllig gurüd, jebodj ift, wo bie3 notwenbig ift, ftetê auf bie lolonialpotitifchen ©eficht3üunfte oerwiefen worben, burch bie bie Eefebgebung beftimmt wirb.

Mofebetg’fcÇe 3?uc$brudem, fietyjig

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¹    Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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