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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

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Von

Drying. L. Zipperer

Allgemeine

Sehwingtmgsgleichungen

Mit 49 Abbildungen

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DormaW ©.3.©0fd)en'f£&e JJerlagsbanblung / 3- ©uttentag, Verlag** buchhanblung / ©eorg Reimer / STarl 3- ïrübner / Belt ô Œomp. Berlin 3 10 unb£eip3ig

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Technische

Schwingungslehre

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Berlin und Leipzig

Walter de Gruyter & Co.

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung . J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung . Georg Reimer . Karl J. Trübner . Veit & Comp.

1927

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Liter aturangab e.

Dub bei, Taschenbuch für den Maschinenbau. (Springer.) Duffing, Erzwungene Schwingungen. (Vieweg.)

Föppl, A., Vorlesungen über Technische Mechanik Bd. I und IV. (Teubner.)

Föppl, 0., Grundzüge der Technischen Schwingungslehre. (Springer.)

Hort, W., Technische Schwingungslehre. (Springer.)

Hort, W., Differentialgleichungen des Ingenieurs. (Springer.) „Hütte“. Taschenbuch des Ingenieurs.

Lorenz, H., Lehrbuch der Technischen Physik Bd. I 1, 2. (Springer.)

Lorenz, H., Lehrbuch der Technischen Physik Bd. IV. (Oldenbourg.)

Schneider, E., Mathematische Schwingungslehre. (Springer.) V. d. I. Sonderheft Mechanik 1925.

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

Druck von C. Gr. Röder G.m.b.H., Leipzig. 925126.

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einführung.....................

I. Ableitung der Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt

O © 00 05 05 r> t* CO CD 05 00 05 CM <M CM 03 (MCO^ rtf    iO

CO (M^cTCiiO    00    GO CO OO O    03 ^

cCCCCCCOI>    O-    l>-t>-C^OO    00 00

1.    Eigenschwingungen...............

a)    Schwingungen ohne Dämpfung........

(Zahlenbeispiel)...............

b)    Schwingungen mit Dämpfung........

a) Dämpfung proportional der Geschwindigkeit

(Zahlenbeispiel)..............

ß) Dämpfung durch Reibung.........

2.    Erzwungene Schwingungen...........

a)    Schwingungen ohne Dämpfung........

b)    Schwingungen mit Dämpfung........

(Zahlenbeispiel) ..............

3.    Zusammengesetzte Schwingungen........

II. Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme

1.    Schwingungssysteme unter Wirkung der Schwerkraft

a)    Das mathematische Pendel..........

b)    Das physische Pendel............

(Zahlenbeispiele).............

c)    Das mathematische Pendel mit großem Ausschlag

d)    Das Drehpendel (Bifilarpendel)........

2.    Schwingungssysteme unter Wirkung elastischer

Kräfte....................

A. Ohne Berücksichtigung der Masse des elastischen Teils....................

a) Systeme mit Längsschwingungen......

a) Eingespannter Stab mit Endmasse . . . ß) Zwei Massen mit zwischenliegender Feder y) Systeme mit Übersetzungen im elastischen

Teil.................

(Beispiele) , , .............

Seite

85

b)    Systeme mit Querschwingungen......

ä) Eingespannter Stab mit Endmasse ...    85

ß) Balken mit zwei Massen . .

c)    Systeme mit Drehschwingungen

a) Eingespannte Welle mit Schwungscheibe 89 ß) Welle mit zwei Schwungscheiben ....    92

B. Mit Berücksichtigung der Masse des elastischen

Teils..............

a) Längsschwingungen eines Stabes ß) Drehschwingungen eines Stabes y) Querschwingungen eines Stabes

87

89

93

93

102

104

Behandelte Schwingungsgleichungen. d²x

+cx=°...............

d²x dx

m di² + & ~tt + cx = 0

dt

d²x

m^±B+cæ=0.....

d²x    .

m-jp-cx = QsmTjl . . . .

d²x    ₇ dx    n ' i

m + k jT + cx — Q sin ?/1

dt

₂_02£ __02£ a dx² “ dt²

g S £    & S S2

d² <p

0*2 0<2

'■s+a-»

s    s

Ol    oo

Ç/&

tt

-,

Einführung.

Mit der Einführung von Kraftmaschinen mit hoher Drehzahl traten, insbesonders bei der leichten Bauweise der Kraftfahr- und Luftfahrzeuge, Brucherscheinungen auf, deren Ursache in Zusatzbeanspruchungen durch schwingende Bewegungen gefunden wurde. Aufgabe des Schwingungsingenieurs ist es, diese zu vermeiden. Damit ist sein Tätigkeitsfeld nicht erschöpft, er kann, wie neuere Arbeiten zeigen, diese auf der einen Seite gefürchteten Erscheinungen benutzen zum Hervorrufen gewünschter Zustände, ja selbst zur Übertragung von Energie.

Ehe die mathematischen Formeln der Schwingungsvorgänge abgeleitet werden, wollen wir an Hand eines gedachten Versuchsmodells die physikalischen Vorgänge bei einer Schwingung ins Gedächtnis zurückrufen. Ferner sind die Formeln aus der Mechanik und Festigkeitslehre eingeflochten, die zum Verständnis des Stoffes unbedingt beherrscht werden müssen.

An einem elastischen Faden befindet sich, wie Abb. 1 zeigt, r ein Körper K, dessen Masse I

e/as/ischer

Faden

Papierstreifen

m = — ist, wenn G das Gewicht ' 9    \

¹. j_/\ _ r\^uhe/aÀe

und g die Erdbeschleunigung

Abb. 1.

ist. Ein an dem Körper befestigter Schreibstift zeichnet seine Bewegungen auf einen Papierstreifen auf, der durch ein Uhrwerk mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegt wird.

Bringt man den Körper aus seiner Ruhelage heraus, so schwingt er, im Punkte B sich selbst überlassen, um seine Buhelage hin und her, und zwar bleibt, wenn keinerlei Widerstandskräfte wirken würden, der Ausschlag stets gleich groß. Dies sehen wir aus dem aufgezeichneten Schwingungsdiagramm. Den größten Schwingungsausschlag a nennt man Amplitude. Die Kurve selbst kennen

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5,

Z s 9 io n iż

7    7v1

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10

Abb. 2.

wir, sie ist die Sinuskurve. Die Zeit, die der Körper braucht zur Ausführung einer vollen Schwingung, läßt sich aus dem Diagramm errechnen, wenn die Geschwindigkeit des Papierstreifens bekannt ist; man braucht nur die Länge für eine ganze Periode der Sinuskurve festzustellen. Bei langsamen Schwingungen kann die Schwingungsdauer auch unmittelbar mit einer Stechuhr ermittelt werden.

Aus der Mathematik ist bekannt, daß die Sinuslinie auch erhalten werden kann, wenn man, wie Abb. 2 zeigt, die gleichförmige Bewegung eines Punktes a auf einem Kreisumfang auf eine Gerade projiziert und die Punkte zeitlich auseinanderzieht. Der Punkt A' führt auf der Geraden g eine harmonische oder eine Schwingungsbewegung aus. Die Verbindungslinie des Kreismittelpunktes mit dem sich bewegenden Punkt ist der Fahrstrahl, dieser legt bei der gleichförmigen Bewegung des Punktes A in gleichen Zeiten gleiche Winkel zurück.

Ehe wir zu unserem Versuch zurückkehren, sollen einige Formeln aus der Bewegungslehre zusammengestellt werden.

Ist:

s: der in der Zeit t zurückgelegte Weg, v: die Geschwindigkeit, p: die Beschleunigung,

<x\ der vom Fahrstrahl zur Zeit t zurückgelegte Winkel, r: der Halbmesser des Kreises, w: die Winkelgeschwindigkeit, u: die Umfangsgeschwindigkeit, b\ die Umfangsbeschleunigung, s: die Winkelbeschleunigung,

T: die Umlaufszeit,

n: die Drehzahl in der Zeiteinheit (= Frequenz), so bestehen zwischen diesen Größen folgende Beziehungen:

ds

V dt’ '

dv

dt

dt² ’

(2)

doc

w dt’

dco d²oc

(3)

dt

dt*-’

(4)

doc

u = r - cü =

T -

dt ’ d²oc rd¥’

(5)

CO

(9)

Die Gleichung für die harmonische Bewegung lautet: x = a sin oc = a sin œ t = a sin ^ t,

worin ist:

x der augenblickliche Ausschlag, a die Amplitude.

Nach diesen Wiederholungen wenden wir uns wieder dem Beispiel zu und führen nacheinander Versuche aus mit den Massen:

m₁= 2m, m₂ = 3 m, w«= 4m.

Für diese Anordnungen finden wir folgende Werte für die Schwingungsdauer:

. T₁ = )/2Ti

t₂ = Y&t, t₃ = Yït,

d. h. die Schwingungsdauer ist proportional der Quadratwurzel aus der Masse des schwingenden Körpers. Dieses Ergebnis läßt sich mathematisch ausdrücken durch die Formel:

(10)

2 TC

(?)

CU

2tt *

(8)

T — const • \ m,

worin die Konstante noch unbekannt ist.

Bei diesem Versuch haben wir den elastischen Faden unverändert beibehalten. Wir müssen nun noch unter-

suchen, welchen Einfluß die Fadenelastizität auf die Schwingungsdauer hat. Aus der Festigkeitslehre¹) kennen wir folgende Beziehungen:

(11)

q    P I Kraft \

,    l /Verlängerung

Dehnung s = ~ I

Stablänge

)•

(12)

ferner das Hooksche Gesetz:

(13)

£ — (X * O,

worin <% = —, also gleich dem reziproken Wert des Elasti-

zitätsmoduls ist. Mit den vorigen Beziehungen läßt sich dieses Gesetz auch in der Form schreiben:

Um unabhängig von der Formgebung des elastischen Teiles des Schwingungssystems zu sein, rechnet man in der Schwingungslehre mit der Direktionskraft oder Kück-stellkraft c, das ist diejenige Kraft, die die Längenänderung 1 cm hervorruft. Bedeutet also allgemein / die Durchfederung unter der Wirkung der Kraft P, so erhält man:

(14)

Diese Größe können wir durch Versuch bestimmen oder nach den Formeln der Festigkeitslehre berechnen. Für den elastischen Stab ergibt sich wegen f = 1:

FE

oder für F = constant und gleiches Material (E = const.)

(16)

const

Nach diesen Betrachtungen führen wir den Versuch z. B. mit dem ersten Körper aus und wählen verschiedene Längen des elastischen Fadens, z. B.

l± = l folgi. cx = c

c₂ = 2 c c₃= 3c c₄= 4 c.

h= v,i

*4=7^

Für diese Werte ergeben sich die Schwingungszeiten 2Y= T

r. = -Lr

T*=wT

y₄

r₄ = -L y

und hiermit allgemein die Beziehung

(17)

const

d. h. die Schwingungsdauer ist bei gleicher Masse umgekehrt proportional der Quadratwurzel aus der Direktionskraft.

Die Zusammenfassung der Einzelformeln ergibt:

T = const

V”'

(18)

Später finden wir durch Rechnung, daß die Konstante in Gl. 18 27i ist, womit die allgemeinen Gleichungen lauten:

(19)

(20)

Wird in unserer gedachten Versuchsanlage eine Schraubenfeder an Stelle des Fadens verwendet, für die sich die Durchfederung errechnet aus:

(21)

64^r³ P d* Q

worin ist:

i Windungszahl, r Windungsdurchmesser, d Drahtdurchmesser,

G Gleitmodul des Materials,

so erhält man bei sonst unveränderten Abmessungen:

(22)

const

Der Versuch wäre also durchzuführen mit i — 1, ¹/₂, ¹/3 und V₄ i.

Aus den Betrachtungen ergibt sich die wichtige Forderung, daß das Hooksche Gesetz erfüllt sein muß, daß also die Materialbeanspruchungen des federnden Teiles unterhalb der Proportionalitätsgrenze des Materials liegen müssen.

sich aus

Zu betrachten wäre nun das Spiel der Kräfte während einer Schwingung. Zu einer Zeit t befinde sich der Körper in der Entfernung x von der Ruhelage. Diese berechnet x = a sin œ t,

wenn a die Schwingungsamplitude ist. In dieser Lage wirkt durch die Feder auf die Masse die Kraft

(23)

K= cx.

Die Beschleunigung der Masse zur Zeit t ist

(24)

d²x

dt²

Aus der Beziehung

Kraft = Masse x Beschleunigung ergibt sich die Trägheitskraft zu

d²x

(25)

m dt² ’

Da die Summe der elastischen Kraft und der Massenkraft dauernd 0 sein muß, ergibt sich:

d²x

(26)

F cx= 0.

m dt²

Die Lösung dieser Schwingungsgleichung, der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung, ergibt, wie im Abschnitt I abgeleitet wird, für die Schwingungsdauer die bereits durch Versuch ermittelte Gl. 19.

Abb. 3.

Wir wiederholen den Versuch mit m und c, und zwar mit der Abänderung, daß an dem Körper eine in eine Flüssigkeit tauchende Dämpfungsscheibe befestigt wird, deren Masse klein gegenüber der Hauptmasse sei (Abb. 3). Die Schwingungsausschläge werden immer kleiner, der Körper kommt nach kurzer Zeit wieder

zur Kühe. Die späteren Ableitungen zeigen, daß die Abnahme der Ausschläge nach einer geometrischen Reihe erfolgt. Weiter stellen wir durch Beobachtung oder aus dem aufgezeichneten Diagramm fest, daß die Schwingungsdauer ein wenig größer geworden ist. Verwendet man statt des Wassers eine sehr zähe Flüssigkeit, so kann eintreten, daß der Körper überhaupt keine Schwingungen mehr ausführt, sondern langsam in seine Ruhelage zurückkriecht (aperiodische Bewegung). Das Gesetz der Widerstandskraft, welche die Dämpfung verursacht, stellt streng genommen keinen einfachen Ausdruck dar. In den weitaus meisten Fällen genügt es jedoch, die Widerstandskraft proportional der Geschwindigkeit anzunehmen, also

(27)

W-k* d t

Hierin ist h der Dämpfungsfaktor, dessen Größe abhängig ist von der Formgebung des Körpers und von den Eigenschaftsgrößen der Flüssigkeit. Zur Schwingungsgleichung 26 kommt noch der Wert W hinzu, so daß diese für die gedämpfte Schwingung lautet:

dx

(28)

d²x

dt²

I«

Die Wider-

f—y

Abb. 4.

Wir denken uns weiter den Körper durch Gleitschienen geführt (Abb. 4), und zwar ohne Dämpfungsscheibe, standskraft hat, solange der Reibungsfaktor als konstant angesehen werden kann, eine konstante Größe. Der Versuch zeigt, daß bei reiner Reibungsdämpfung die Schwingungsdauer genau gleich

ist derjenigen der ungedämpften, freien Schwingung. Nur die Schwingungsausschläge nehmen wieder ab, und zwar jedesmal um den gleichen Betrag, also nach einer arithmetischen Reihe. Schwingungen mit reiner Reibungsdämpfung finden wir z. B. bei den Regulatoren der Kraftmaschinen¹).

In der ersten Versuchsreihe beobachteten wir die Vorgänge bei den freien oder Eigenschwingungen. Wir gehen nun zu den erzwungenen über, die entstehen, wenn eine äußere periodische Kraft auf das System wirkt. Dies können wir in der Versuchsanordnung verwirklichen, indem wir den bisher festliegenden Einspannpunkt des elastischen Fadens oder der Feder periodisch bewegen. Da jeder periodische Vorgang, wenn die Perioden sich wiederholen, als eine Summe

_____reiner Sinuskurven dargestellt werden

Abb. 5.

kann, genügt es, den Fall zu betrachten, daß der Aufhängepunkt eine harmonische Bewegung ausführt.

Ein Mittel, dies zu erreichen, liegt in der Anwendung der Kurbelschleife, wie sie in Abb. 5 dargestellt ist.

Ferner können wir eine harmonische Bewegung mittels eines Kurbelgetriebes erzeugen; streng genommen jedoch nur, wenn das Verhältnis der Stangenlange l (Abb. 6) zum

Kurbelradius r unendlich groß ist. Wählt man ~ möglichst

groß, so kann der Kurbeltrieb ebenfalls mit großer Annäherung angewandt werden. Die Abweichungen des Punktes B im Beispiel von der harmonischen Bewegung,

x) Vgl. Kroner, Gescłrwindigkeitsregler der Kraftmaschinen: Sammlung Göschen Nr. 604 und u. a. Tolle, Reglung, 3. Aufl.

— = oo, ist in der Abb. 6 r

er

nfJS

angegeben. Der Höchstwert des Fehlers / wird erreicht für cp = 90° x).

Die VersuchsanOrdnung für den dämpfungsfreien Fall zeigt Abb. 7. Der Kurbelradius ist r. Der Antrieb ist so gewählt, daß die Winkelgeschwindigkeit co von 0 bis zum Höchstwert stetig verändert werden kann, etwa durch Anwendung einer Friktionsscheibe, eines Kegelriementriebes und eines regelbaren Gleichstrommotors.

Wir beginnen den Versuch mit unendlich langsamer Drehgeschwindigkeit, co—0, und finden, daß der Körper

iage

Abb. 7.

MUtei -

___ Abb. 6.

*) Vgl. Müller, Dynamik: Sammlung Göschen Nr. 902 u. 903.

die Bewegung des Aufhängepunktes genau ausführt, d. h. a — r. Mit zunehmenden co nimmt a zu und erreicht für ein bestimmtes co den Größtwert, der oo wäre, wenn die Versuchsanlage es zuließe. Mit weiter zunehmender Drehgeschwindigkeit nimmt die Amplitude a wieder ab, bis sie schließlich für co — oo zu Null wird. Berechnet man aus co für a= oo die Dauer einer vollen Umdrehung, so findet man den gleichen Wert, wie für die Schwingungsdauer des Systems bei freier Schwingung. Das System ist in Resonanz mit der erregenden Ursache. Statt der Schwingungsdauer T kann man auch mit co rechnen und findet dann für den Resonanzfall:

(29)

oo für o) = w

worin coe die Kreisfrequenz der Eigenschwingung ist.

Wiederholen wir diesen Versuch mit Dämpfung, indem wir wieder die Dämpfungsscheibe nach Abb. 3 anbringen, so finden wir auch hier wieder zunächst ein Größerwerden der Ausschläge mit steigender Drehzahl. Der Maximalwert tritt jedoch ein ehe m/me= 1 ist; seine Größe ist endlich und hängt ab von der Stärke der Dämpfung. Die Kurven

für beide Fälle zeigt Abb.8.

Welche Folgerungen sind nun aus den Betrachtungen zu ziehen ? '

Abb. 8.

Der elastisch e Faden erfährt durch das Gewicht des befestigten Körpers ^ bereits eine Verlängerung. Dieser entspricht eine bestimmte Beanspruchung des Materials, die sich leicht berechnen läßt. Durch Einwirkung periodischer Kräfte gerät der Körper in schwin-

gende Bewegung. Der Faden dehnt sich weiter um den Betrag a. Im Resonanzgebiet ist nun a sehr groß. Diese Zusatzbeanspruchungen können erhebliche Werte annehmen und einen Bruch des Fadens hervorrufen. Aufgabe des Schwingungsingenieurs ist es also das Resonanzgebiet zu meiden, d. h. er muß c und m so wählen, daß coe^œ ist. Größere Schwingungsausschläge treten, wie wir später noch sehen werden, nur auf bei kleinerer Dämpfung. Für diesen Fall fällt jedoch das Ausschlagsmaximum fast mit dem der dämpfungsfreien Schwingung zusammen. Es genügt deshalb für die meisten Fälle, die Schwingungsdauer bzw. die Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems nach der einfachen Formel für dämpfungsfreie Eigenschwingung zu berechnen, also nach Gleichung:

(30)

oder

(31)

l/c

w‘⁼ I/*

Dies soll an einigen Beispielen noch weiter gezeigt werden. Das System bestehe aus einem eingespannten Stab (Abb. 9), der am freien Ende eine Masse trägt.

Abb. 9.

Unter der Einwirkung seines Gewichtes 0 federt der Stab um den Betrag / durch. Hieraus berechnet sich die Direk-G

tionskraft zu c — —. Damit sind alle Größen gegeben, um

die Eigenfrequenz œe zu ermitteln. Stillschweigend haben wir angenommen, daß der elastische Stab keine Masse besitzt. In den weitaus meisten Fällen wird diese Annahme auch zulässig sein.

Zipperer, Technische Schwingungslehre I.

In gleicher Weise wird das Beispiel zu behandeln sein, wenn ein zweifach gelagerter Balken (Abb. 10) eine Masse trägt. Auch hier kann die Durchfederung durch Versuch bestimmt oder nach den Lehren der Festigkeitslehre errechnet werden. Die Schwingungen der beiden Beispiele nennt man Querschwingungen, weil die Ausschläge quer zur Stabachse liegen oder Biegungsschwingungen, da der Stab auf Biegung beansprucht wird.

Wir wählen nochmals das Beispiel des eingespannten Stabes, jedoch mit einer am Ende sitzenden Schwungscheibe (Abb. 11). Diese Scheibe kann Schwingungen ausführen um ihre Achse. Diese Schwingungen nennt man

Abb. 11.

Abb. 10.

Drehschwingungen oder, wenn der federnde Teil auf Verdrehung beansprucht wird, auch Torsionsschwingungen. Die Berechnung der Eigenfrequenz ist auch hier einfach. Für die Drehbewegung folgt aus:

Kraft = Masse x Beschleunigung

die Beziehung:

Drehmoment = Massenträgheitsmoment X Winkelbeschleunigung.

Ferner ergibt sich, wie wir später noch ableiten werden:

'S

DO

^-s

ÜO

to

und

worin:    6 das Massenträgheitsmoment und

c das Direktionsmoment,

also dasjenige Moment ist, welches den Winkelausschlag 1 hervorruft, gemessen im Bogenmaß.

Die Berechnungsart kann weiterhin auch angewendet werden für Schwingungen in einem U-förmig gebogenen, mit Flüssigkeit gefüllten Bohr (Abb. 12). Mit l als Flüssigkeitslänge ergibt sich die Masse der schwingenden Säule zu:

(34)

G F • l • y

m — — —---------

lcm

Um die Direktionskraft zu bestimmen, denken wir uns die Säule in einem Schenkel um 1 cm ausgeschwungen.

Als rückwirkende Kraft wirkt demnach das Gewicht einer Säule von 2 cm. Hieraus wird :

Abb. 12.

(35)

V-

c=F-2*

Setzt man diese Werte in die Gl. 30 ein, so erhält man für die Schwingungsdauer den Ausdruck

(36)

2? ‘

Dieses Beispiel soll nur angeführt sein, um die Verwendungsmöglichkeit der allgemeinen Formel für die Berechnung der Dauer einer Schwingung zu zeigen.

Nach diesen Betrachtungen wollen wir nun im nächsten Abschnitt die Ableitung der allgemeinen Schwingungsgleichungen für einen schwingenden Massenpunkt kennenlernen.

I. Ableitung der Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt.

1. Eigenschwingungen.

a) Schwingungen ohne Dämpfung.

Auf einen Massenpunkt m wirke eine Kraft, die der Auslenkung aus der Ruhelage proportional ist, derart, daß sie

stets bestrebt ist, den Massenpunkt in die Ruhelage zurückzubringen. Dies ist gleichbedeutend mit einem Anzie-

hungszentrum im Ruhepunkt. cx \    Wird dieser Massenpunkt aus

Abb. 18.

*“* ** seiner Ruhelage herausgebracht, so vollführt er eine harmonische Schwingung.

Wir wählen nun ein Koordinatenkreuz so, daß der Ursprung mit der Ruhelage zusammenfällt und die Schwingung in Richtung der X-Achse erfolgt (Abb. 13).

Zur Zeit t befinde sich der Massenpunkt in der Entfernung x von der Ruhelage nach rechts ausschwingend.

d²x

Die Beschleunigung in diesem Punkte ist—-—, woraus sich

dt²

die Trägheitskraft aus der Beziehung:

Kraft = Masse x Beschleunigung d²x

ergibt zu m

dt²

. Auf den Massenpunkt wirkt außerdem

die Kraft ex, worin c die Größe der Direktionskraft, d. h. diejenige Kraft ist, die in der Entfernung 1 von der Ruhelage auf den Massenpunkt wirkt. Hiermit ergibt sich die

dynamische Grundgleichung, die zugleich die Schwingungsgleichung ist, zu

d²x

m-

dt²

worin das Minuszeichen angibt, daß die Kraft c x stets der Auslenkung aus der Ruhelage entgegengerichtet ist.

Die Auflösung der Differentialgleichung zweiter Ordnung ist auf verschiedene Arten möglich.

Zur Lösung schreiben wir sie in der Form

— cx,

d²x

dt²

— x=0

(la)

und mit der Abkürzung d²x

Ci

dt²

f ß²x= 0.

(lb)

Wird

d²x dv'

Sese^z^ so kann für Gl. 1 b geschrieben

ai cii

werden

dv

Ti--P‘-

dx

Beide Seiten mit v = —— multipliziert ergibt:

CI l

vdv = — ß ²xdx, nach ausgeführter Integration

v²= — ß²x² + (c₂ — cx).

, so

Setzt man ferner für c₂ — cx = y², und für v = erhält man

dx

dt =

Für

(2)

ßx

Wird weiter für so ergibt sich ^

y

u gesetzt, womit dx—^-du wird,

dt —

-Cö| ^

du

oder nach Integration

|/l— w² ’ — arc sin u,

sin ß(t — l(>) = u

und schließlich

x= ^sin(ßt—ßt₀)

können wir jedoch schreiben

x = -- [sin/91 cosß t₀ — cosß t sin/9 /₀]

oder

x — ~ cos ß t₀ • sin ß t —~ sin ß tQ cos ß t.

Führt man für die Konstanten die Abkürzungen cos ßtQ= A

~~ ^ß ^ ß ~~~ B

ein, so erhält man die vollständige Lösung x = A sin ß t -f- B cos ßt,

-V

c

— setzen muß. Nehmen wir an, m

daß zur Zeit t— 0 der Ausschlag x = 0 ist, so ergibt sich B— 0 und Gl. 3 nimmt folgende Form an:

x = A sin

worin man für ß

t.

(4)

Bezeichnen wir die Dauer einer Periode, d. h. die Zeit zwischen zwei gleichgroßen und gleichgerichteten x mit T, so ergibt sich, da 2n die Periode des sin ist, die Beziehung

]/—T=2n

] m

oder

T= 2jt

Ci

(5)

In den Gl. 3 und 4 bedeuten also:

A: die Amplitude == größter Anschlag

: die Kreisfrequenz (die man mit œ₀ bezeichnet). T: die Dauer einer vollen Schwingung.

Wo

Der reziproke Wert

2tc

(6)

wird Frequenz oder sekundliche Schwingungszahl genannt.

Nach diesen Betrachtungen verstehen wir die folgende Ableitung, die in der Literatur meistens zu finden ist.

Zur Lösung der Differentialgleichung

+ co\x= 0,

d²x

dt²

worin oĄ —

ist, setzt man:

X— A sin oc t + B cos oc t,

(?)

worin A, B und oc noch zu bestimmende Konstanten sind, und differentiert diese Gleichung zweimal. Es wird:

ocAcosoct —ocBsinoc t

d²x

dt²

— (X² A sin oc t — (x² B cos oc t.

Diese Werte in die Differentialgleichung eingesetzt, ergibt : — oc²(A sin&ź -f B cosoct) + oĄ(A sin&/+ Bcosć%ź) = 0, woraus folgt, daß

(8)

(X — cj₀.

Die Gl. 7 erfüllt die Differentialgleichung identisch, wenn für oc = coq gesetzt wird. Damit erhalten wir:

(9)

x= A sin co₀1 + B cos co₀1.

Es fehlt nur noch die Konstanten A und B zu bestimmen. Wir wollen die Zeit zählen von dem Augenblick an, wo x — 0 ist. Damit wird:

und

x = A sin co₀1.

(10)

Weiter wollen wir an Stelle der Amplitude A die Geschwindigkeit einführen, mit der die Masse die Nullage zur Zeit t = 0 durchläuft. Durch Differentiation von Gl. 10 erhalten wir

— Aco₀ cos (Üq t.

Nach unserer Annahme soll v— v₀ sein für t = 0; den Wert für v₀ erhalten wir zu:

Acüq.

I dx\

v°~ U77₍₌o⁻

Damit schreibt sich Gl. 10:

x = — sin coq t.

œ₀

(H)

Zum gleichen Ergebnis kommen wir, wenn versuchsweise x— Aeai gesetzt wird.

Hierbei ergibt sich:

ot = dz ico₀

x = A₁e+iwot+ A₂e~i(Vot

und da für

e+i(x)A = cos co₀t + i siß t e~i(x)o t = cos coq t — i sin w₀1

gesetzt werden kann,

x = (A± + A₂) cos (Oq t + (Ax — A₂) i sin co₀1 oder abgekürzt

x = A sin œ₀1 + B cos co₀1.

Diese Ableitungsart werden wir später bei der gedämpften Schwingung anwenden.

Die Gl. 9:

x = A sin co₀1 + B cos œ₀1

läßt sich noch weiter umformen, wenn wir zwei Hilfsgrößen P und ß mit folgenden Beziehungen einsetzen:

A= P cos ß I B= P sin ß j *

2 6 Ableitung der Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt. Die Hilfsgrößen selbst sind:

(13)

i*ß=-r

wie aus Abb. 14 hervorgeht. Damit wird nun:

x= P(sin co₀1 cos ß+ cos co₀ /sin ß) und schließlich:

x = P sin (co₀1 + ß). (14)

Vergleichen wir diese Schwingung mit:

Abb. 14.

x— P sin co₀1

(15)

x = P sin ß

so sehen wir, daß im vorliegenden Fall für / = 0 die Auslenkung

ist.

Die Bewegung nach Gl. 14 eilt derjenigen nach Gl. 15 um den Winkel ß voraus, oder zwischen beiden besteht eine Phasenverschiebung ß.

Graphisch läßt sich die Schwingungsgleichungljdurch einen mit co rotierenden Fahrstrahl in Größe der Amplitude darstellen.

ergibt sich:

Wir wollen nun noch untersuchen, wie die Energie sich ändert bei der betrachteten freien Schwingung ohne Dämpfung. Aus der Weg-Zeit-Gleichung der Schwingung: x= a sin œ₀t,

dx

Diese verändert sich zwischen den Werten Null und aojQ. Damit ändert sich auch der Wert für die Wucht oder kinetische Energie, \mv². Für die potentielle Energie (Spannungsenergie) erhalten wir:

X    X

icx².

(16)

Ev = JPdx— fcxdx = o    o

Wirken auf das System keine äußeren Kräfte, so ist für jede Lage der Masse m die Summe beider Energien konstant, also

(17)

oder

idxW ¹ 2 ^

m —- 4-— cx²=^C. \ dt ! ^ 2

Zur Berechnung der Konstanten C setzen wir die Gleichungen für x ein und erhalten:

\ma²oĄ cos²eo₀1 + ^ ca² sm²a)₀t = C

Q

oder da œl — — ist:

m

\ca² (cos²co₀£ + sin²co₀0 = G, mithin, da der Klammerausdruck gleich 1 ist,

(18)

C= ^ca²,

d. h. also, die Konstante ist gleich dem Maximalwert der Spannungsenergie für x = a.

Die Energiegleichung lautet damit:

1 ldx\

2m vir)

Differentieren wir die Energiegleichung nach der Zeit, so erhalten wir:

(20)

(86)

,-S

ff

y

(20)

oder ausgeführt:

+- cx = 0,

(21)

d²x

m~w

also die Differentialgleichung für die Schwingung. Die Energiegleichung ist also ein Zwischenintegral der Differentialgleichung.

Aus dieser Betrachtung ergibt sich eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Eigenfrequenz eines Schwingungssystems.

Wir erhielten für die Energiegleichung

1    tdxV 1    „ ,    „

2    m \ Jtf =Jma coo cos wo t

\-cx² = \ ca² sin²co₀/.

Aus diesen Gleichungen ergeben sich die Maximalwerte : \ma²cx>\ und \ca², wobei zwischen beiden */₄ Periode liegt. Aus der Gleichsetzung beider Maximalwerte \ma²oĄ = \ca2 ergibt sich die Eigenfrequenz zu

OJq

=i/~

\ m

Zahlenb eispiel.

Wir denken uns an einer Feder, mit der Federkonstanten c = 0,5 kg/cm, ein Gewicht mit der Masse

m — 0,02 kg sek²/cm befestigt. Zur Zeit t = 0 durcheile das Gewicht die Nullage mit der Geschwindigkeit vQ — 10 cm/sek.

Mit diesen Werten erhalten wir:

cu₀

-F-

ö sek⁻¹

27T

w₀

1,26 sek

a = — = 2,0 cm

und

w₀

(²'îs)'

x = 2,0 sin

Die Aufzeichnung der Weg-Zeit-Kurve geschieht in der Weise, daß man einen Kreis mit dem Halbmesser a schlägt, den Umfang in etwa 12 Teile teilt und sie auf die entsprechenden Geraden herüber projiziert, welche in den 12 Teilpunkten der Strecke für die Schwingungsdauer T errichtet werden.

b) Schwingungen mit Dämpfung.

oc) Dämpfung proportional der Geschwindigkeit.

Im vorhergehenden Abschnitt^ war angenommen, daß keine Widerstandskraft vorhanden ist, die die Schwingungsausschläge kleiner werden läßt.

Es soll nun eine Dämpfungskraft angenommen werden, die proportional der jeweiligen Geschwindigkeit der Masse

dt *

ist, also W = h^X

Auf den Massenpunkt wirken die Kräfte (Abb. 15)

_ dx

kTÜ-

d²x

m~diF*

CX,

Die Differentialgleichung dieser Schwingung lautet:

d²x

dx

dt

(22)

oder

d²x

dx

dt

f u>lx = 0,

(22a)

wenn

2    C

co₀ = — . u    m

Abb. 15.

►    Zur Lösung setzen wir:

x = eat

und erhalten:

dx    .

oceat

(23)

dt

d²x

dt²

(X²ea1.

Diese Werte in die Gl. 22a eingesetzt, ergibt: oc² eat + 2 poceał + co* eat = 0

oder mit eat durchdividiert:

cc² + 2 poc + œl = 0,

Die Wurzeln dieser Gleichung sind

(25)

(26)

«1,2 =— V ± ]V — «0 •

Hierbei sind folgende drei Fälle zu unterscheiden:

a)    p² — co*> 0

b)    p² — co*< 0

c)    p² — co* = 0, [Grenzfall].

Fall a.

V² — co₀² > 0 ,

d. h. die Wurzel ist reell.

Zur Abkürzung sei |/p² — co* = co gesetzt. Damit werden die Wurzeln:

*i,2 =—P±co

und die Schwingungsgleichung lautet:

x = e~~pt (ae+(x)t + be~wi).

Die Konstanten a und b berechnen sich aus der Annahme x = 0 für t = 0, woraus sich ergibt, daß b = — a ist. Damit erhalten wir

(27)

x — e~pt • a ((e+U)t — e~Mt).

Führen wir für a wieder die Geschwindigkeit ein, die sich aus

vo

_ ldx\

\ dt Jt=0

ergibt zu 2aco, so lautet unsere Schwingungsgleichung

—pt.    (ß+cot_e~œt)

(28)

oder x = -~*e ptt Bixicot, da,Bincot==^(e+(i)t—e-w*)ist.

Aus dieser errechnet sich die augenblickliche Geschwindigkeit zu:

dx

vo

v = -jj-= ~e~pt[e~wt(ï’+ ^ —    —    • (²⁹)

Die Gl. 28 zeigt bereits, daß keine Schwingung vorliegt. Der Massenpunkt, der die Nullage mit v₀ durcheilt, erreicht einen Maximalausschlag und kriecht dann in die Ruhelage zurück.

Wie groß ist nun #max?

Den Zeitpunkt t, an dem x ein Maximum wird, erhalten wir durch Nullsetzen der Gl. 29 zu

(30)

2 co p— co

Den Maximalwert selbst zu

JL

•^max

2co

/P + w\ H/p+oA² /p + m\ ²1

\p — co) |_\p-w' 'P-w'

(31)

oder nach weiterer Umformung zu

JL

(32)

^max —

Ip + cu\2tü \p — coj

Fall b. p² — col < 0, d. h. die Wurzel ist imaginär.

Wir setzen also yp² — co = co^ — p² = ico und erhalten folgende Wurzeln:

«1,2= —P±ico.

Damit ergibt sich:

Da e+iwt und e~i(x)t durch eine Sinusfunktion ausgedrückt werden kann, erhalten wir

(34)

e~vt{A An cot + B cos cot) oder mit unseren Anfangsbedingungen:

x=Ae~PłAncot bzw.

(35)

x= e~P*sin cot.

co

Diese Gleichungen unterscheiden sich von den entsprechenden der dämpfungsfreien Schwingung (GL 11) durch das Glied e~P\ das die Ausschläge mit zunehmender Zeit kleiner werden läßt.

Die Periode für eine volle Schwingung ist wieder 2tt. Aus co T = 2rc erhalten wir die Schwingungsdauer zu:

2n

- J)²

(36)

und mit den Werten für co₀ und p aus S 30 zu:

2 7T

I/”

\ m

(37)

4m²

Unsere nächste Aufgabe ist nun, festzustellen, in welchem Verhältnis die Ausschläge mit der Zeit abnehmen.

Aus:

folgt:

x — A • sin cot

(38)

dx

Ae^v^oj cos cot — p An cot).

Dieser Wert muß für ein Maximum oder Minimum zu Null werden, was nur möglich ist, wenn der Klammerausdruck verschwindet.

dt

(39)

Zipperer. Technische Schwingungslehre I.

Hieraus erhält man:

(40)

tgtol =

Ist t₁ der kleinste Wert, der ein Maximum liefert, so wird Gl. 40 auch befriedigt durch

œ tn = to tx + (n — 1) tc ,

wenn n eine ganze Zahl ist.

Die Amplituden selbst werden:

xn — A e~vt^ sin [to tt + (n — 1) 7r],

und zwar wird xn negativ, wenn n eine gerade Zahl ist, und positiv für ein ungerades n. Betrachten wir zwei folgende Ausschläge mit gleichen Vorzeichen, z. B. xn und xn+2, so ergibt sich:

■rn

(41)

- = ep (<„+*-'«>•

^n+2

Für tn+2 — tn kann die Schwingungsdauer T eingesetzt werden, womit Gl. 41 folgende Form erhält:

xn

(42)

— T

— = ePT--=e2m .

2

Diesen Wert nennt man das DämpfungsVerhältnis, seinen natürlichen Logarithmus das logarithmische Dekrement A, mit der Gleichung

(43)

j = vT =

oder

2 tt k

I 4 cm — k²

Graphisch läßt sich die gedämpfte Schwingung darstellen durch einen mit co rotierenden Fahrstrahl. Seine Länge ist jedoch nicht konstant wie bei der dämpfungsfreien Schwingung, sondern bestimmt durch e~vt. Damit erhalten wir eine logarithmische Spirale, deren Punkte in bekannter Weise projiziert werden müssen.

Wir wollen die erhaltenen Gleichungen noch etwas umformen.

ziehung p —

Für den Grenzfall c) ist/; = coQ. Aus der allgemeinen Be-Jc

folgt dann 2 m

k = 2mp = 2majQ — 2]/cm •

Diesen Wert wollen wir mit k₀ bezeichnen und dann k = ock₀ setzen. Damit wird aber auch p = ocp₀, da

₊

''•= T» ,st

Für die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung ergab sich:t

2 TZ

y«o—p²

Mit p = oc p₀ = oc coq kann man dafür setzen

■T„

(45)

2tz

yi-*»

«₀|/1 — «²

wenn T₀ die Schwingungsdauer für die ungedämpfte Schwingung ist.

In Abb. 16 ist die Veränderung der Schwingungsdauer von oc graphisch aufgetragen. Bis zu oc = 0,4 ergibt sich erst eine Vergrößerung von etwa 9%; von hier an tritt allerdings ein starkes Anwachsen ein.

Fall c. Grenzfall p = co₀.

Die Behandlung des Grenzfalles ist aus den beiden vorhergehenden möglich, wenn man zur Grenze übergeht. Wir wollen beide Fälle kurz betrachten. oc) Aus Fall a:

Für Gl. 28 schreiben wir:

-pt.

ß -j- (X) t _ ß — cot

CO

(46)

VFa* ,

»r

nil

ę-

0,2    0,4    0,6    0,8    10

Abb. 16.

Für den Grenzübergang kommt nur der rechtsstehende Bruch in Betracht.

Es wird nach der Regel über Auswertung unbestimmter Ausdrücke:

eœt _e-wt

œ    "{

t(eœi+ e~œt)

= 21.    (47)

w = 0

lim

co = 0

Diesen Wert in Gl. 46 eingesetzt, ergibt:

(51)

max

Zahlenbeispiel.

Mit den Werten unseres Beispiels auf S. 28 für c = 0,5 und m= 0,02 wird:

lcQ == 2]/c • m — 0,2 kg sek/cm.

(50)

ß) Aus Fall b:

Wir formen Gl. 35 um in:

x = v₀ • e

erhalten beim Grenzübergang sin co t

. smcot — Pf___

co

lim

w — 0    ^

t cos cot — t

L Jw=c

(49)

und damit wieder:

x = v₀ • t • e~pt.

Die Zeit t für x = Æmax ergibt sich aus

dx

zu

t — p

Das Maximum selbst wird:

Weiter erhalten wir:

1) Grenzfall.

• t-e~PŁ=10-t-e-5ł

= 0,2 sek

•^max

Vo

0,735 cm.

2) Aperiodische Bewegung (oc > 1). a) oc = 2

k = 2k₀ = 0,4

p — 10 co = 8,66

oder

x = 0,577 • e~ ¹⁰*(e8,66< — g-M« ^

& = 1,154 • c~¹⁰^ • 0tn 8,661.

Für die Hyperbelfunktion findet man z. B. in der j,Hütte“ eine Tafel, für Werte cot < 5,09. Für größere Werte kann mit genügender Annäherung Bin cot = ^ewt gesetzt werden.

Ferner wird:

und

t = —— ln

2oj p — co

1,35 sek

^max —

iP+

\p — 0)1

= 0,44 cm.

b) oc = 4

k = 0,8

cu == 19,36

æ = 0,258 • e " ²⁰ * (e19,36 * •— e "¹⁹’³⁶ *) f = 1,06

^max :== 0,238 cm.

Die Kurven für oc = 1, 2, 4 sind in Abb. 17 dargestellt. Aus ihnen ersehen wir, daß beim Grenzfall der Massenpunkt zuerst wieder zur Ruhe kommt.

k=(Xk₀

ctl a-Z oc-4

0,1 OZ 0,3 O/i 0,5    0,6    0,7    0,5    0,9    1,0 sek

Abb. 17.

3) Gedämpfte Schwingungen.

/v — 1    1    1 o

a Ï ) 4> T9 u

Gl. 45

yi—tx2.

liefert folgende Werte:

]/l — a²

1,155

1,033

1,008

1,000

T = (in sek)

1,451

1,298

1,266

1,256

Die Schwingungsgleichungen ergeben sich aus x = — e~Pł' sin cot = — e-^sin

CU

CU

(a4)’

worin nach S. 29 r>₀= 10 cm/sek zu setzen ist.

a) &= V₂

k = 0,1 p — 2,5

w² = oĄ — p² = 18,75 w - 4,32 T = 1,451 sek

x = 2,31 • e~²’6l‘ sin

(²”dsï)-

b) « = V₄

æ = 2,06e_1’25i. s|n

(2 711,298)■

c) «= Vs

x — 2,01 e~°’625t' sin

In Abb. 18 ist die Sehwingungskurve für oc = dargestellt.

- 0.6231

Jlßle

Abb. 18.

Die Aufzeichnung kann in folgender Weise ausgeführt werden :

Wir zeichnen zuerst die ungedämpfte Schwingungsform in bekannter Weise, dann die Exponentialfunktion x₁ = 2,01 •    unc[ multiplizieren die zu

x%

sammengehörenden Ordinaten.

In Abb. 19 ist die Konstruktion der logarithmischen Kurve angegeben für den allgemeinen Fall x = c • e~pt.

ca

EI)

ü ' >r

+/

+3

Abb. 19.

Diese Gleichung formen wir um in æ = c • a~\ worin a == e+p ist. Wir erhalten dann für:

t = 0: t = — 1:

x = c x = ca.

Damit ergibt sich die Durchführung der Konstruktion. Auf der Z-Achse tragen wir ca, auf der negativen GAchse c auf, verbinden A mit B, errichten in B die Senkrechte, welche den Punkt C liefert usw. Es wird dann:

X₀ = OB = C Xt = OC X₂ = 0D usw.

Für das vorliegende Beispiel wird a = e°>⁶²⁵ = 1,879 und damit

= 2,01 • 1,879~ł und ac = 3,76.

Die Multiplikation x = xx • x₂ kann ebenfalls graphisch

£*

1)

ausgeführt werden, wenn wir schreiben x: x₁=x₂:l. Damit ist die Konstruktion, die Abb. 20 zeigt, ohne weiteres klar.

1

L----J

Abb. 20.

In Abb. 21 ist die gedämpfte Schwingung für <x = \ und \ dargestellt, als Projektion einer loga-rithmischen Spirale.

? r

4al_

■an*.

Es

Abb. 21.

Die Konstruktion der logaritlmiischeu Spirale ist aus

Abb. 22 zu ersehen. Für (x = \ lautet die Gleichung für den Fahrstrahl

Teilt man den Winkel 2tt in 12 gleiche Teile, so kann für

fl

t = T gesetzt werden. Damit wird jedoch r = 2,06 • 0,874w.

Ausgerechnet erhält man für: n= 0123456 r = 2,06 1,80 1,57 1,38 1,20 1,05 0,92 cm.

Diese Werte tragen wir auf den Fahrstrahlen 1 bis 6 auf und konstruieren weitere Punkte durch Errichten von Senkrechten, wie Abb. 22 angibt.

Als letztes bleibt noch die Berechnung

Dämpfungsver- ^ hältnisses und des lo- jz garithmischen Dekrementes übrig, also:

des

11

-V

-r-

l7

^-=epT

%n + 2

und A = pT.

10

Wir erhalten dafür:

Abb. 22.

Xn

Xn + 2

38,1

5,06

2,21

3,62

1,61

0,788

ß) Dämpfung durch Reibung.

Im vorhergehenden Abschnitt war angenommen, daß die Dämpfungskraft proportional der Geschwindigkeit des Massenpunktes ist. Wir wollen nun noch den Fall untersuchen, daß die Dämpfung durch gewöhnliche Reibung verursacht wird. Obwohl die Reibung zwischen festen Körpern nicht unabhängig von der Geschwindigkeit ist, wollen wir hier doch annehmen, daß ihre Größe konstant sei.    ^x

Während bei der Dämpfung h— das Vorzeichen der

ct t

Geschwindigkeit hatte, trifft dies hier nicht mehr zu. Schwingt der Massenpunkt von links nach rechts, so ist das Vorzeichen der Reibungskraft R negativ, ganz gleichgültig, ob der Massenpunkt links oder rechts des Ursprungs sich befindet. Das Vorzeichen ist positiv für die Bewegung im umgekehrten Sinne. Hieraus ersieht man schon, daß wir zwei Schwingungsgleichungen erhalten, nämlich:

d²x

dt²

cx — R

(52)

und

d²x

c x —J— R.

R

Führen wir für — die Größe e ein, so lautet Gl. 52

dt²

(53)

d²x

dt²

F c (x + e) = 0 .

(54)

Da e eine konstante Größe ist, können wir auch schreiben : d²(x + e)

dt²

F c(x + e) = 0 .

(55)

Das Integral dieser Gleichung kennen wir jedoch aus den früheren Ableitungen, es ist:

x + e = A sin cot + B cos cot.

Diese Gleichung besagt, daß die Schwingungsdauer gleich

"j/—. Weiter

(56)

ist derjenigen der ungedämpften, also T=2n

sehen wir aus ihr, daß die Schwingung so verläuft, als ob die Nullage um die Strecke e gegen den Ursprung verschoben ist. War der letzte linke Anschlag, z. B. so ergibt sich jetzt eine Auslenkung, die sich aus a₂ = ax 2—e berechnet, wie aus der Abb. 23 ohne weiteres hervorgeht.

a,

'o⁷

o 2

s*-+

Abb. 23.

In der gleichen Weise erhält man aus Gl. 53

und

d²x

dt²

c(x — e) = 0

(57)

x — e = A' sin co t + B' cos co t,

d. h. einen um e nach rechts verschobenen Koordinatenursprung. Weiter erhalten wir

az = a₂ — Ze

und allgemein

(58)

CLyi - Mfl_\    2 ß •

Die Schwingungsanschläge nehmen stets um den gleichen Betrag 2e ab, also nach einer arithmetischen Reihe, im Gegensatz zu der im letzten Abschnitt betrachteten gedämpften Schwingung, wo die Abnahme nach einer geometrischen Eeihe erfolgte. Die Amplituden werden auch nicht allmählich zu Null, sie hören plötzlich auf, sobald an= 2e geworden ist. Graphisch läßt sich diese Schwingungsform darstellen als Projektion einer arithmetischen Spirale.

2. Erzwungene Schwingungen,

a) Schwingungen ohne Dämpfung.

Auf den Massenpunkt m wirke eine äußere, harmonische Kraft Q sin rj t, wobei rj die Kreisfrequenz sei. Wir betrachten zunächst den einfachsten Fall, daß keinerlei Dämpfung vorhanden ist.

Zur Schwingungsgleichung S. 21 tritt nun noch das Glied Q sin rjt. Sie lautet dann:

F cx = Q, sin rjt

(59)

d²x

dt²

d²x

dt²

I--x = — sin Yjt

///

(59 a)

und mit den bekannten Abkürzungen und q

§ <©

d²x

dt2 + a!x = qsmrjt.

Zur Lösung dieser Differentialgleichung setzen wir

x = xx + x₂

und erhalten, da

d² x d² x₁ d² x2 dt²    dt²    dt²

ist,

<N

sJ %

h ^oX2~

q sin 7j t j = 0

Dies ist der Fall, wenn beide Klammerausdrücke zu Null werden, also:

d²x₁

dt²

f a>oxi = ⁰

(61)

und

q sin rj t = 0.

(62)

Das Integral der ersten Gleichung ist bekannt aus den früheren Betrachtungen, es ist:

xl = A sin ü)₀t + B cos coj.

Zur Lösung des zweiten setzen wir

x₂ = a sin rj t + b cos rj t

(63)

(64)

und bestimmen die darin vorkommenden Konstanten. Durch zweimalige Differentiation wird:

d²x₂

= — a Tj² sin ij t — b r]² cos rj t.

Dieser Wert, in Gl. 62 eingesetzt, ergibt: sin rjt(aa)l — auf — q) + cos rjt(ba)²₀ —brf) = 0.

Aus der Bedingung, daß beide Klammerausdrücke für jedes t zu Null werden müssen, ergibt sich:

dt²

i)

oder mit q —

Q 1 2    ^

—- und = — m    m

c —■ mrj²

b = 0.

(65)

Damit können wir jedoch für Gl. 64 schreiben:

(66)

Q

^2= —--«

c — mrj²

Das vollständige Integral lautet dann:

sin rj t.

— mr\

-sin rji. (67)

x — x₂ = A sin co₀ t + B cos m₀1-|---

Die Schwingung setzt sich zusammen aus der freien und der erzwungenen Schwingung.

Im folgenden wollen wir die erzwungene Schwingung

x₂ =

sin rji

(68)

näher betrachten.

Mit rj = ßo)₀ kann man schreiben:

oder

«„²a ß²)

sin rjt

(69)

x₂ =

c (1 — ß²)

sin rj i,

(70)

wenn für q =

gesetzt wird.

In dieser Gleichung ist — der statische Federausschlag

unter Wirkung der Kraft Q; wir wollen ihn im folgenden mit as bezeichnen und erhalten dann für Gl. 70 den Ausdruck:

x.₂ =

1-ß

2 • as sin rj i,

(71)

wobei man

die Vergrößerungszahl nennen kann.

Die Gleichung besagt, daß die erzwungene Schwingung in Phase mit der erregenden Ursache ist. Die Amplitude hängt von dem Wert ß ab.

In Abb. 24 ist die Yergrößerungszahl als Funktion von ß aufgetragen. Aus dem Schaubild sehen wir, daß für unendlich langsame erregende Schwingungen (ß= 0)

V    — 1 ist. Mit zunehmendem rj wächst V bis es für ß — 1 unendlich groß wird. Mit weiterem Zunehmen von ß wird

— oo

V    wieder kleiner und gleichzeitig negativ. Für ß erreicht V den Wert Null.

//

r /Y

*--2-

¹ U>o

o-

0,2 OA 0,6 Q8

15

fl

-2

'i

Abb. 24.

b) Schwingungen mit Dämpfung.

d x

Die Dämpfung soll hier wieder fc-y, also proportional

der Geschwindigkeit sein. Unsere Schwingungsgleichung nimmt dann folgende Form an:

dx

(72)

d²x m~dt²

+ co² æ = q sin rj t.

(72 a)

d²x

Das Integral setzt sich zusammen aus dem partikularen Integral

(73)

(74)

xx — e~vt(A sin co₀t + B cos co₀t)

und aus

x₂ — a sin (rjt — g?), worin ß und p noch zu bestimmen ist.

Durch Differentiation wird erhalten:

d x₂

^    = arj cos (rjt — cp)

= — arj² sin (rjt — p).

d²x 2

dt²

Diese Gleichungen in Gl. 72a eingesetzt, ergibt:

— arj² sin (rjt — p) + 2p arj cos (rjt — çp) + eu² a sin (rj t — cp) — q sin t = 0

und schließlich:

sinrjt [—arj² cosg? + 2 parj sing) + co² a cos g) — q\

+. cos rjt [arj² sin p + 2 parj cos p — co² a sin p] — 0.

Die vorstehende Gleichung kann für jedes t nur Null sein, wenn die Klammerausdrücke verschwinden.

Aus der zweiten Klammer erhalten wir:

+ 2 pt] = 0

und hieraus:

sin cp °' cos cp

tg q> =

•1 ■

(75)

schließlich mit

und oĄ =

krj

(76)

Durch Nullsetzen des ersten Klammerausdruckes erhalten wir:

(co² — r/²) cos cp + 2prj sin cp *

Wir formen weiter um, indem Zähler und Nenner mit cos cp multipliziert und im Nenner (co² — rf) vor eine Klammer gesetzt wird und erhalten:

q cos cp

(œ

o - t) I COS² g> + — L    w„

2 p rj

sin g> cos g> j

Für

K-rf

a =

tg<p nach Gl. 75 gesetzt, ergibt:

q cos cp

(aĄ — rf) [cos² cp + tg p sin cp cos p]

und schließlich, da

tg cp sin cp cos cp —

sin cp cos cp

sin <p cos g) = sin² cp

und die eckige Klammer mit cos² g + sin² g = 1 wird:

Da ferner

q cos g oĄ — rf '

(77)

cos g ~ ~

4^² Tj

tg ²go =

und

yi+tg² g>=

V(wo—»?²)²+⁴ y² rf

ist, erhalten wir:

w² —r/²

<L

(78)

yK~*?²)² +W

In diese Gleichung setzen wir weiter für q = — und erhalten :

///

m ]/(m² — i]²)² + 4 p² rf

(79)

ferner, mit oĄ =

k²

(80)

und schließlich:

a = -,......... —--:—

]/(c —:mrf)² + k²rf

Zur weiteren Untersuchung setzen wir in Gleichung:

wobei

V(wo~ + rf'

rj = ßco₀, h = oc Tc₀,

p = oc • p₀ = oc • œ₀ (nach S. 35)

wird, und erhalten:

y («o—ß2 wo)²+⁴ «² ß* <

Nach Herausnehmen von col vor die Wurzel und mit

Q

///

q — — wird:

c]/{i—ßy + Ax²ßi

oder, da

= as ist:

• aa. (82)

Die Yergrößerungszahl ist hiernach:

(83)

(/(l— /?²)² + 4<x²/?²

In gleicher Weise wollen wir nun noch Gleichung cu₀

umformen, indem gesetzt wird:

P = OC * p₀ — OC * COQ 1] = ßcü₀.

54 Ableitung der Schwingungsgleichungen für den Massenpunkt. Damit ergibt sich:

2oc- ß 1—ß²'

(84)

t gg) =

Für die erzwungene Schwingung erhalten wir zusammenfassend nun folgende Gleichungen:

x = V • a₈ • sin (rj t — cp),

darin ist:

(85)

J/(l — ß²)² + 4<x²/9² ’

as —

Ci

und

(86)

Es bedeutet ferner: k

oc =

— (Verhältnis der Dämpfung zur Dämpfung des k₀

Grenzfalles) [vergl. S. 35],

/?= — (Verhältnis der Frequenz der erregenden Kraft

zur Eigenfrequenz des dämpfungsfreien Systems).

In Abb. 25 finden wir die Vergrößerungszahl als Funktion von ß für verschiedene Werte von& aufgetragen, und zwar für oc = \\ und t.

Die Veränderung der Phasenverschiebung cp mit ß für verschiedene Werte von oc zeigt Abb. 26.

Aus dem Schaubild für die Vergrößerungszahl Abb. 25 ersieht man, daß bei vorhandener Dämpfung der Maximalwert nicht für /?==!, sondern vorher erreicht wird. Wir

ao

fl

tij₍₎

k₀

/so°

<P

at www 1    15 Z Z5

Abb. 25.

♦

tf-arc

's

150°

120°

ci*\.

90°

60°

0,2 0// 0,6 QS 1

15

wollen ihn im folgenden berechnen. Für die Vergrößerungszahl fanden wir:

V =

y(i—ß²)² + 4<x²ß²

Damit V ein Maximum wird, muß der Ausdruck unter der Wurzel ein Minimum werden. Wir setzen:

? = (1 - ß²)² + 4oc²ß², differentieren nach ß und erhalten aus:

dt

y~ — 4 ß f 4,ł³ f- 8 's.²ß = 0,

dß

(87)

(88)

(89)

/?=y i 2

Der Maximalwert der Vergrößerungszahl wird:

^max =

für eine Phasenverschiebung:

tgg)

krja, ca, myfa,

wenn rj die Winkelgeschwindigkeit des Fahrstrahles ist. Um Gleichgewicht herzustellen, ist das Anbringen der

Die Ableitung der wichtigsten Gleichungen für die erzwungene Schwingung mit Dämpfung wird, wie Gümbel¹) zeigte, sehr einfach, wenn wir uns die Schwingung als Projektion (auf AB) eines auf einem Kreis mit dem Halbmesser a sich gleichförmig bewegenden Massenpunktes m vorstellen. Auf die Masse m (Abb. 27, s. S. 57) wirken die Kräfte :

Kraft Q notwendig, deren Größe und Richtung sich aus dem Kräftedreieck ergibt.

Aus diesem erhalten wir folgende Beziehungen:

oder

(krja)² + (mrj²a — ca)² = Q²

\ (krj)² -\-{mrj² — c) also die bereits abgeleitete Gl. 81. Ferner wird:

tg¥ =

krja

mrj²a — ca

mrj² — c

<j,0>

Auch diese Gleichung haben wir bereits kennengelernt. Durch Umformen mit k=2pm kommen wir auf Gl. 75¹).

/>

ST '

Abb. 27.

In den seltensten Fällen wird das Gesetz der erregenden Kraft ~ö durch die einfache Gleichung Q • sin rj t gegeben sein. Meistens ist in der Technik der Kräfteverlauf zeichnerisch bestimmt. Wiederholt sich die Gesetzmäßigkeit periodisch, so kann die Periode in eine Fou-rierschen Reihe entwickelt werden.

Man erhält allgemein:

f(x) =    + A± cos cot + A₂ cos 2cot + cos 3cot + ...

-j— B-^ sin cot —(— B2 sin 2cot -|- B3 sin 3cot~J~ .. , worin die Konstanten folgende Werte sind:

2 71

= J f(x)dx, 0

2 rr

Ah

Jm

0

cos (k x)äx,

2 71

1 r

= — / /(#) sin(Ä:^) da* 7T J 0

Zur Bestimmung dieser Koeffizienten gibt es verschiedene Methoden, ferner sind Apparate gebaut, die die Analyse mechanisch ausführen¹).

Zahlenbeispiel.

Gesucht seien die Größen der erzwungenen Schwingung unter Einwirkung einer periodischen Kraft Q sin 77 G wenn Q = 1 kg und rj = \ ist. Ferner nehmen wir an oc = d. h. die Dämpfung besitzt den halben Wert derjenigen des Grenzfalles.

Mit (X = l und ß = \ wird die Vergrößerungszahl

Q

V = 1,11 und die Amplitude, da as =    = 2 cm ist,

a = V • as = 2,22 cm.

*) U. a. „Tafeln zur harmonischen Analyse“. Verlag Springer, Berlin. Heraus-gogeben vom Verfasser. Verfahren Herrmann-Zipperer.

Die Phasenverschiebung ergibt sich aus:

tg g> =

0,666

2a* ß

ZU

1— ß²

cp = 33° 40'.

Wir wollen nun noch untersuchen, für welches rj ein Maximum des Ausschlages ein tritt und welchen Wert dieses besitzt.

/9 = j/l — 2a² = 0,709 t] = 0,709 • co₀ = 0,354. Die Vergrößerungszahl errechnet sich zu:

Aus folgt

V —

v max —

womit

2 oc I 1 — «max = 2,304 cm

- = 1,152,

X²

wird.

Die Phasenverschiebung ergibt sich aus:

tg 9

ZU

\'i

— 2 = 1,414

cp = 54° 50'.

3. Zusammengesetzte Schwingungen.

Führt ein Körper gleichzeitig mehrere Schwingungen aus, so addieren sich die Schwingungen, sie interferieren. In Abb. 28 ist dieser Fall für die zwei Schwingungen:

a .

— sin (2 cot + tc)

x* = a sin co t, x" =

abgebildet.

Die Gleichung der interferierenden Schwingung lautet:

,    x—x’ + æ".

:’-a sin wt

X-jjrsin(2(vt+/l)

Abb. 28.

Sind die Kreisfrequenzen nur wenig voneinander verschieden, so treten Schwebungen auf. Wir wollen diesen Fall noch näher behandeln.

Es sollen interferieren:

(90)

x = a sin cot \ x± == a± sin co±t /

wobei co₁ — co = Jco klein gegenüber co sein soll.

Mit cox — co + Jco wird

x-\- x₁ = smcot(a₁ cos Jcot + a) -Ą-cos cot- ax sin Acot, (91) wofür wir jedoch schreiben können:

}■

(92)

x +    = A sin cot + B cos cot

oder x + x₁ = P sin (cot + y)

Darin ist P² nach Gl. 13 S. 26 gleich M² + P², also: P² = a\ + o? -f 2 a a₁ • cos A co% t.

Für cos Jcot = + 1 erhalten wir nun

und für cos Jœt = — 1

P = di («i — a).

Die Amplitude der Interferenzschwingung schwankt demnach zwischen den Werten a± + a und % — a.

Zwischen zwei Extremwerten liegt die Periode 2tc. Bezeichnet man die Zeit, die Schwebungsdauer, mit TS1 so erhält man

2n

Ts=

zJ co

(94)

cox — œ

2 7t

2 7t

oder da -- = 1\ und = T ist,

(Oi

<0

Ts=ÿ

Ti • T

(95)

Wird weiterhin Tl = yT gesetzt, so erhält man für die Schwebungsdauer

, r— T. i —r

Führt man die Schwingungszahlen n= ~ ein, so wird

ns = n i — n

Ts =

(96)

(97)

Amplitudenverhältnis .* 2 3

v\-//

iTxJ.

Ll

d. h. die sekundliche Anzahl der Schwebungen ist gleich der Differenz der beiden Schwingungszahlen.

In Abb. 29 ist das Vorhandensein der Schwebungen deutlich zu erkennen. Das Amplitudenverhältnis ist 2:3, das Verhältnis der Frequenzen 4:5, also y =0,8.

Mit obiger Gl. 96 wird

Ts = 4T.

II. Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme.

1. Schwingungssysteme unter Wirkung der Schwerkraft.

a) Das mathematische Pendel.

ä>

Unter einem mathematischen Pendel versteht man eine punktförmige Masse m an einem masse-losen Faden der Länge l(Abb. 30).

mg cos a, \">ff

rz\

Abb. 30.

Zur Zeit t bilde der Faden mit der Ruhelage den Winkel oc. Auf die Masse m wirkt die Schwerkraft mg, die in die Komponente mg cos oc in Richtung des Fadens und in sin oc senkrecht dazu zerlegt werden kann. Die Kom-^ ponente mg cos oc wirkt als Zug mgsma jm pacfen, hat also keinen Einfluß auf die Bewegung.

Es sei:

d²oc

It²'

d²oc

: die Winkelbeschleunigung,

dt²

• l : die Umfangsbeschleunigung,

d²(x

m • —— • l : die Trägheitskraft, dt²

m g sin oc: die rückwirkende Kraft. Damit lautet die Bewegungsgleichung: d²oc

m —— • l = — musing. dt2    y

Die Umformung der Gleichung ergibt:

(1)

d²oc g .

JW+ T«n« = 0.

Wir ersehen aus ihr, daß die Masse m aus der Gleichung herausfällt.

Nehmen wir nun zuerst an, daß die Ausschläge klein sind, so daß an Stelle von sin& der Winkel oc selbst gesetzt werden kann, so lautet unsere Gleichung:

(2)

d²oc

dt²

deren Lösung wir bereits kennen. Es ist nach dem früheren:

(3)

œ² =

und

Zu bemerken ist noch, daß ein Sekundenpendel eine volle Schwingungsdauer von 2 sek besitzt. Die Länge dieses Sekundenpendels ergibt sich zu:

.yX

TT²’

(ö)

dnt also für eine geographische Breite 50° mit g = 9,81 m/sek² zu l — 0,994 m.

b) Das physische Pendel.

Wir betrachten das Massenelement

Abb. 31.

dm • l •

der ganzen Pendelscheibe (Abb. 31). Nach den Betrachtungen im vorherigen Teil lautet für dieses die Bewegungsgleichung : d²oc

dt²

j- dm • g • sin oc = 0.

(6)

Die Gleichung für die ganze Scheibe erhält man durch Summierung wie folgt:

d²oc

JE dm • l •

dt²

+ Jl dm • g • sin oc = 0.

(7)

Beide Seiten mit l multipliziert, ergibt: d²oc

JE dm • l² •

dt²

+ JE dm • g • l • sin a = 0.

(8)

In dieser Gleichung ist nun:

JE dm -1² = 6 : das Massenträgheitsmoment der Scheibe, bezogen auf die Drehachse; dm • g • l = M : das statische Moment, für das m • s • g gesetzt werden kann, worin m die Masse, s der Schwerpunktsabstand von der Drehachse ist.

Mit diesen Werten wird die Schwingungsgleichung: d²oc

{- m • s • g • sin oc = 0

(9)

(10)

dt²

m-s-g

-----oc = 0.

oder für kleine Ausschläge, da sin oc ^ a : d²a

dt²

Hieraus ergibt sich die Schwingungsdauer

(H)

m • s • g

Vergleicht man diese Gleichung mit derjenigen für das mathematische Pendel, so ergeben sich gleiche Schwingungsdauern für:

(12)

Hieraus wird:

(13)

Diese Länge l bezeichnet man als die reduzierte Pendellänge.

Zur weiteren Untersuchung benötigen wir die Umrechnung des Trägheitsmomentes auf parallele Achsen. Ist 0 das Trägheitsmoment bezogen auf die Drehachse, 0S dasjenige für die Schwerachse, so besteht zwischen beiden die Beziehung:

0 — 0sĄ-m*s².

Setzen wir weiter für:

0S — m • k²,

worin h der Trägheitsradius ist, so wird:

ß = m(s² + k²).

Zipperer, Technische Schwingungslehre I.

Damit erhalten wir für die reduzierte Pendellänge den Ausdruck:

(15)

(16)

s² + k2 s²

Aus Gl. 15 ergibt sich:

s² — Is + k² = 0.

Die Auflösung dieser Gleichung liefert die Wurzelwerte:

y?-

(17)

Si,2 - 2 ±

Die Wurzeln sind reell, solange l² > 4fc² ist. Aus diesen Ableitungen folgt, daß das Scheibenpendel zwei Aufhängepunkte besitzt für gleiches T, ihre Entfernungen vom Schwerpunkt sind % und s₂.

Zur Beantwortung der Frage, für welche Entfernung des Aufhängepunktes vom Schwerpunkt die reduzierte Länge und damit die Schwingungsdauer ein Minimum wird, differentiieren wir Gl. 16) nach s:

ds

^-(s² — Zs + fc²) = 2s — l,

setzen den erhaltenen Wert

2s —1 = 0

und bekommen:

2*

(18)

Dies ist nach den Gleichungen für die Wurzelwerte der Fall, wenn l² = 4k², d. h. l = 2k ist.

Beispiele.

1. Zwei Gewichte von 2kg in der Entfernung von 10 und 50cm vom Auf hängepunkt (Abb. 32).

Es ist:

2 • 50²    2 • 10²

981

981

— 5,301 kg sek² cm,

wenn die Masse der Pendelstange gegenüber den Massen selbst vernachlässigt werden kann. Für 0 kann gesetzt werden m* Tc%, woraus sich ergibt:

5,301 • 981

36,1 cm.

10 vm

zkg

Die reduzierte Pendellänge ist

40cm

Den Schwerpunktabstand erhält man nach dem Momentensatz:

2 • 10 4- 2 • 50 = 4s

zu

s = 30 cm.

Damit wird: 1 =

36,l²

und

30

43,3 cm

Abb. 32.

T = 271

Ir²*!

43,3

981

1,396 sek.

Würde die untere Masse allein wirken, so wäre:

= 1,422 sek .

öm

Abb. 33.

Damit wird:

d. h.

6 = ma² + m'b2 = ma² (1 + &²/9) = mk*,

kl = a*(l + oc*ß).

Der Schwerpunktsabstand errechnet sich aus: (m -f ßm) s — am — ßm • l

zu:

1 —<xß s = —-a

1 + ß

und schließlich die reduzierte Pendellänge aus

¹

)    180 — (p.

²

Metronom von Mälzer (Abb. 33). Es sei:

b = ota, m' = ßm.

,-S

zu:

Wird gewählt:

so erhält man für

₌ a(l+x*ß)(l+ß) 1 —(\ß

ß — TÖ> oc = 3,

- = 2,985.

und

Ist a = 10 cm, so erhält man:

l — 29,85 cm

T = 2tt

fi=>4

29,85

981

1,10 sek.

10

l/a

fi'

ß~t/lO

r-<) m'

0ot

j M⁸A

2    1790

rf-l/ZO

Abb. 34.

c) Das mathematische Pendel mit großem Ausschlag.

In Abb. 35 sei oc der größte Ausschlag des Fadenpendels, g die augenblickliche Lage. Der Höhenunterschied läßt sich ausdrücken durch z= Icosy—b cos oc=l (cosg>—cosöc).

Aus der Mechanik wissen wir, daß die Wuchtänderung gleich ist der in der gleichen Zeit geleisteten Arbeit.

Die Fadenspannung steht senkrecht zur Bewegungsrichtung, leistet also keine Arbeit. Danach ist nun:

Qe = lmvl— imvl,

(19)

(20)

A.

_z

Abb. 35.

oder da im Punkte 1 die Geschwindigkeit nach unserer Annahme gleich Null ist:

Qz =

A wt,| =

ł«„!

(21)

woraus sich die Geschwindigkeit ergibt zu:

(22)

v₂ = j/2 gz = ]/ 2 gr • l (cos g — cos oc).

Der in der Zeit dt zurückgelegte Weg ist nun v₂dt, wofür wir auch l • dg schreiben können.

"J• j/cos g — cos ocdt oder, da uns die Zeit besonders interessiert,

Damit wird:

dg =

dt =

dg

]/cos<p — cos oc

Um die Zeit von der Nullage bis zum Ausschlag oc zu erhalten, integrieren wir von 0 bis oc und erhalten:

■oc

Yh

d9

j ycosy-

cos oc

(23)

Diese Zeit ist £ der vollen Schwingungsdauer.

Den Ausdruck unter der Wurzel formen wir mittels der Beziehung

cos ß = 1 — 2 sin2 s~~

u

um und erhalten:

CO|

(24)

dg

sin² ~ — sin² — 2 2

Weiter führen wir eine neue Veränderliche^ ein durch die Beziehung

.cp . oc .    ,

sm ~ = sm - sm p.

2    Li

Um dcp durch dp auszu drücken differentieren wir beide Seiten und erhalten:

(25)

und hieraus:

^ cos — • dcp = cos p • d p • sin

Li    Li    Li

2 cos p • sin ^

dcp =

dp

oder, da

COSir

cosf=]/¹

9>

sin²^

2

und mit dem obigen Ausdruck für sin^

2

sin² ~ sin² p > 2

2 • cos p • sin

2

cosf = ]/¹

schließlich:

dcp =

- sin² — • sin² p 2

dp.

(26)

Dieser Wert in Gl. 25 eingesetzt ergibt, wenn gleichzeitig

sin ~ durch sin sin p ersetzt wird:

2 2

5T/2

dp

sin² ~ sin² p 2

(27)

Die neuen Grenzwerte ergeben sich aus Gl. 25. Diese kann für cp = 0 nur bestehen, wenn ^ = 0 ist; für cp — oc

nur, wenn p = ^ ist.

u

Durch die elementaren Funktionen ist das Integral nicht ausdrückbar und daher auch nicht ohne weiteres zu lösen. Man nennt es ein elliptisches Integral erster Gattung und führt das Zeichen ein:

71

dp

sin² ^ sin² p

u

= F[sm ,    )

£ |<N

(28)

OC    TT

darin ist sin — der Modul und — das Argument. Die Werte

u    a

selbst entnimmt man den Tafeln für elliptische Integrale. Wir erhalten nun für die volle Schwingungsdauer:

(29)

⁴l/r4in!'!)-

Einige Werte der Funktion enthält folgende Tafel¹):

4in - l)=i-⁶⁷⁰⁸=?

1,5715

1,5738

1,5828

1,6200

1,6858

1,8541

2,1565

2,7681

a — 0°

5°

10°

20°

40°

60°

90°

120°

150°

180°

to| ft

= 0°

2,5°

5°

10°

20°

30°

45°

60°

75°

90°

CO| &

oo

Wir sehen ferner, daß der Funktionswert F sich bis (X — 5° nur um 7/10000 ändert.

Für mittlere Ausschläge werden wir im folgenden noch eine angenäherte Formel ableiten. Den Wert unter dem Integralzeichen können wir mit Hilfe der binomischen

X³ +

gültig für jedes beliebiges n und für — 1 < x < -f- 1, umformen. Diese lautet für unseren besonderen Fall:

î + i*² + f*⁴+ ...

Rechnet man nur mit den beiden ersten Gliedern der rasch konvergierenden Reihe für kleines x, so erhält man, für x den Wert eingesetzt:

2 (x

— sin —

2 2

co| a

Jsin² <p o

(30)

Da nun das letzte Integral mit den Grenzen 0 bis — den

71    %

Wert — ergibt, wird (31)

-- setzen: 4

oder wenn wir, da es sich nur um mittlere Ausschläge handelt, sin² ^ =

u

74 Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme, oder für die volle Schwingung: worin oc im Bogenmaß einzusetzen ist. Da zwischen Bogenmaß und Winkelgraden die Beziehung:

⁷⁷ o a 180*

7A

vj

₍ genau

a).

7,2

à)

7,0

angenähert

OS

6,6

® a ■? -s

c)

a°

510 20    00    60    90 °

Abb. 36.

besteht, lautet die Formel für die Schwingungsdauer:

(33)

(1 + c«°²),

mite-a(iTo)-°.⁰⁰⁰⁰¹⁹-

Der Wert des Korrektionsgliedes (1 + coc°²) ist für ein zelne Ausschläge wie folgt:

ä= 5° (l + c<x°²) = 1,0005 1,0019 1,0076 1,0304 1,0684 1,1539

10°

20°

40°

60°

90°

)■

Ein Vergleich der Werte T :

a) T — 4

1 ! I

1/ — nach den drei Formeln

\ g

b) T = 2n

]/y (!+«•’)

c)

zeigt Abb. 36.

d) Das Drehpendel (Bifilarpendel).

Das Bifilarpendel wurde zuerst von Gauß angewandt zur Aufhängung der Magnetnadel eines Galvanometers. Es soll im folgenden behandelt werden, da es zur Bestimmung von Trägheitsmomenten beliebig geformter Körper gute Dienste leistet, vor allem, da der Gleitmodul des Drahtes nicht bekannt sein muß.

In Abb. 37 ist eine Ausführungsform angegeben. Der Stab, der die zwei Massen m trägt, ist an zwei parallelen Fäden aufgehängt, deren Entfernung 2e und deren Länge l

sei.

Der Ausschlag zur Zeit t sei 9?, der Bogen x. Zur Bestimmung der rückwirkenden Kraft müssen wir zuerst untersuchen, welche Kräfte im Punkte A! wirken. Senk

recht nach Abb. 38 unten wirkt das Gewicht der Masse, also mg. In Kichtung des Fadens wirkt die Komponente

sZe

2r

Abb. 37.

mg cos#. Einfluß auf die Bewegung hat jedoch nur die Komponente mg sin<x. Um diese Wirkung im Punkte A!

A\a

B'

A'

x.

A’

mg sina

mg cos cc

mg

Abb. 38.

g

hervorzurufen, muß in B' die Kraft — • mg sin ot wirken.

r

Schwingungssy steine unter Wirkung der Schwerkraft. 77 Die Differentialgleichung der Schwingung lautet nun: +- 2 m g sin oc ^

Wir formen diese um, indem wir setzen x = g)-r,

d²x

dt²

= 0.

(34)

OC = Y cp

und erhalten nach Multiplikation mit r: d²g)

2mr²

dt²

2 mg • e • sin ~ cp = 0.

In dieser Gleichung ist 2mr² — 6 und 2mg = Q. Für

ß

kleine Winkel cp können wir, besonders da — < 1 ist, setzen sin y cp ^ — cp und erhalten:

i    V

d²g) Q*e²

gp=0,

(35)

woraus sich ergibt:

T = 2n

oder

Q-e²

(36)

rp 2

6²

(37)

⁰    in*’®’ '

Die obige Formel ist jedoch nur richtig, wenn das durch die Verdrehung der Drähte hervorgerufene Torsionsmoment vernachlässigt werden kann. Bei Verwendung dünner Drähte ist dies jedoch meistens der Fall.

Hängt man den Körper an drei Drähten auf, die auf einem Kreis mit dem Radius e liegen, so bleibt obige Formel ohne Änderung bestehen.

2. Schwingungssysteme unter Wirkung elastischer Kräfte.

A. Ohne Berücksichtigung der Masse des elastischen Teiles.

a) Systeme mit Längsschwingungen.

oc) Eingespannter Stab mit Endmasse.

Ein eingespannter, masseloser, elastischer Stab trage am freien Ende ein Gewicht Q mit der Masse m. Die Schwingungsdauer des Systems ergibt sich aus:

'—V?-

(i)

worin nur c noch unbestimmt ist.

Für einen Stab mit gleichem Querschnitt ist die Verlängerung unter Einwirkung des Gewichtes Q:

wenn:

Jl EF1,

F: Stab querschnitt l: Stablänge

E: Elastizitätsmodul des Materials ist.

Hieraus ergibt sich, da c diejenige Kraft ist, die die Verlängerung 1 hervorruft,

EF

und

(2)

Würden wir an Stelle des Stabes eine Schraubenfeder, ebenfalls masselos, verwenden, so ergäbe sich:

_J*_r

64 • Yi •    *

berechnet aus der Durchfederung 64 • n • r3 d*-G

•e,

t=

worin: d: Drahtdurchmesser

r: mittlerer Windungshalbmesser n: Anzahl der Windungen G: Gleitmodul des Materials ist.

Die obige Gl. 1 können wir noch in anderer Form schreiben.

Unter der Wirkung des Gewichtes Q = m* g, wäre die Verlängerung des Stabes oder der Feder:

Ci,

/=

Damit lautet die Gleichung für die Schwingungsdauer: (4)

Hieraus wird:

(5)

und, da co = —— ist ,wenn n die minütliche Schwingungszahl ist:    ⁶⁰

60

ff

oder, weil ]/981 ^10;r ist,

ff

min⁻¹.

(6)

In diesen Formeln bedeutet / die statische Durchfederung unter Wirkung von Q.

Führen wir den reziproken Wert von c, C = — ein, so

c

erhält man für die Schwingungsdauer den Ausdruck:

(?)

T = 27i]/~mC.

Aus f = —Q = CQ folgt, daß C die Stabverlängerung

für die Krafteinheit ist. Für diesen Wert findet sich in der Literatur¹) die Bezeichnung „Federung“ (Kapazität).

Eine ähnliche Formel, die von Thomson aufgestellt ist, kennen wir aus der Elektrotechnik. Sie lautet:

T = 2nV LC,

wenn L die Selbstinduktion und C die Kapazität des Kondensators ist²).

ß) Zwei Massen mit zwischenliegender Feder. Zwei Massen m₁ und m₂ seien durch einen elastischen

Stab oder Feder mit der Federungskonstanten c _ verbunden (Abb. 39). Zur Zeit t sind die Abstände j von der Ruhelage aus ge-' messen xx und x₂. Die durch die "Feder auf die

r" ,

• m, f

i-.-j

e e + x, - x₂

Abb. 39.

rn

beiden Massen ausgeübte Kraft ist c (xx — x₂). Damit lauten die Schwingungsgleichungen für jede der beiden Massen: d²x±

dt²

F o (x-± —■ x₂) — 0,

(8)

g

to

d²x₂

dt²

C ( Xj.    X 2 ) — 0.

(9)

x) Kutzbach: V. d. I. 1917, S. 917.

²) Vgl. Rohmann, Elektrische Schwingungen: Sammlung Göschen Nr. 751, 752.

Zur Auflösung berechnen wir aus der ersten Gleichung x₂, differentieren zweimal nach der Zeit und setzen die Werte in die zweite Gleichung ein. Damit erhalten wir: m₁ m₂ d⁴ xL

d²xx

dt*

dt²

\-cx₁ — cxx — 0

oder:

d*xx

m, + m₂ d² x-,    ■

m₁ m₂ d t²

(10)

also eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, dieser Gleichung kommen wir auch, wenn wir xx eliminieren ; den Index kann man also weglassen.

Zur weiteren Lösung bilden wir aus x = a sin co t :

d*x

d²x

dt²

und

dt⁴

Zu

und erhalten schließlich:

co⁴

mx + m₂

m₁ m₂

c co² — 0

(U)

oder nach Dividieren durch co²:

mx + m₂

co² = —-- c

m₁m₂

(12)

und

Für

% + w₂

/-ä

co    \ m₁Ą- m₂ c

kann gesetzt werden — + — , es wird also : m₁ m₂

(13)

« = ]/— H--

y m₁

IN.,

(14)

oder, da

1Æ-

y mx

co₁ und

1/--V m2

co₂ die Eigenfrequenzen

Zipperer, Technische Schwingungslehre I,

der einzelnen Massen sind:

iO

œ² = co\ + œ\.

Ist z. B. m₂ = oo, so wird —

0 und wir erhalten:

w₂

w= I/—

Hieraus sehen wir, daß eine Einspannung gleichbedeutend ist mit einer unendlich großen Masse.

y) Systeme mit Übersetzungen im elastischen Teil.

Zwischen den elastischen Stäben bzw. Federn und Massen sind oft Übersetzungen vorhanden, die eine Reduktion der Federkonstanten bzw. der Massen erfordern.

ED—*

'r

mz

Abb. 40.

Wir betrachten das in Abb. 40 gegebene System von zwei Massen und zwei Federn, deren Angriffspunkte auf zwei Rollen mit den Halbmessern a und l liegen, wobei vorausgesetzt sein soll, daß die Masse der Rollen gegenüber den Hauptmassen vernachlässigt werden kann.

Die zu stellende Frage lautet: Mit welchen Werten muß m±,ci; m₂, c₂ multipliziert werden, wenn beide Systemteile auf eine gemeinsame Scheibe mit dem Halbmesser r reduziert werden sollen?

Schwingungssysteme unter Wirkung elastischer Kräfte. 83 Zur Umrechnung gehen wir von der Energiegleichung

aus.

Die Masse habe zu einer bestimmten Zeit den Ausschlag x±; damit wird:

Ejc —

(16)

Ep — \ ci xi'

Für das auf r reduzierte System mit m[ und c[ erhält man :

K =

,ldx[\

x\dt I

(17)

Die Summe der Energien beider Systeme bleibt jedoch nur konstant, wenn:

und

ist, oder

El = Ek Ep — Ep

ml

c[ • x[² = c₁ • x\.

Zwischen xx und x[ besteht jedoch die Beziehung

xi=

Xy

Diesen Wert eingesetzt ergibt:

a\²

m₁

6*

84 Bestimmung der Schwingungsdâüêr einfacher Systeme. Analog erhält man für das zweite System

ml

6\²

C2

(19)

Zweckmäßig würde man für den Bezugsradius die Einheit wählen oder aber, man reduziert den einen Systemteil auf den unveränderten zweiten.

Z. B. oc) II auf I: es wird: r = a folglich : m[ = m₁ ;

ml = ( \

Si I

c[ = Ci

m₂; c' = (

ß) I auf II: es wird: r = b folglich :

ci

w'

2’

In Worten: Man reduziert I auf II, indem man mx und cx mit dem Quadrat des Übersetzungsverhältnisses von I auf II multipliziert.

Beispiele.

1) Anordnung nach Abb. 41.

ml

Es wird bei Reduktionen von I auf II:

\cz

bi “•

mx' = m

— c₂.

II auf I:

[=ml

i-É

2) Anordnung nach Abb. 42. Auf den Halbmesser r reduziert wird:

g IÈ

b\²

b\²

ra)

b\²

m' = — m

fLJ

ms

Die Schwingungsdauer ist:

c.

Abb. 42.

oder, da mb² = 0 (Massenträgheitsmoment) ist,

T = 2tt

mb²

wenn die Masse des Hebels vernachlässigt werden kann. Ist dies jedoch nicht möglich, so ist an Stelle von 0, 0-\-0h zu setzen.

b) Systeme mit Querschwingungen.

cx) Eingespannter Stab mit Endmasse.

Ein masseloser Stab der Länge l (Abb. 43) trage am Ende die Masse m.

in

o

Die Schwingungsdauer des Systems erhalten wir aus:

Nach den Formeln der Festigkeitslehre¹) ist die statische Durchfederung unter der Last Q:

(2)

A ll

EJ* 3 *

(E: Elastizitätsmodul; J: Trägheitsmoment). Hieraus ergibt sich:

3 EJ

(3)

Der Ausdruck für die Schwingungsdauer lautet nun:

(4)

= 2;r]/-

Für einen frei aufliegenden Stab, der in der Mitte die Masse m trägt, erhält man aus:

EJ 48

und

48 EJ

(5)

T = 2w|/

mP

48 • EJ'

(6)

Analog berechnet sich T für andere Belastungsfälle, es ist nur nötig, die statische Durchfederung zu bestimmen.

ß) Balken mit zwei Massen.

Unter der Wirkung der Lasten Q₁ = m₁g und Q₂ = m₂g erfährt der masselose Stab eine Durchfederung. Wir nehmen nun an, daß diese statischen Durchfederungen um die Beträge y₁ und y₂ vergrößert werden, was durch Wirkung von Kräften P± und P₂ erreicht werden kann (Abb. 44).

Unter Verwendung der Einflußzahlen oc ergeben sich zwischen Kraft und Durchbiegung folgende Beziehungen:

(?)

2/1 = «11 P1 + «12 P2 y₂ = oc₂₂P₂ + tx₂₁P₁.

Hierin bedeutet z. B. a₁₂ die Durchfederung der Stelle 1 unter Wirkung der Kraft P = 1 an der Stelle 2. Nach dem Maxwellschen Vertauschungssatz ist oc₁₂ = oc₂₁-

ni j    mz

f*r?—?■

Abb. 44.

Aus den Gleichungen 7 folgt:

«T ß,"

#22

^11^22 ^12

y

^11^22 ^12

0C₁₂

V2

^11^22 ^12 &12

^11^22 ^12

oder, wenn wir für

ß setzen,

^11^22 ^12 P± = (pc 22 Vi    oc₁₂ y ₂) ß

P₂ — (ocn V\    a₁₂ y 2) ß •

Für die zwei Massen erhalten wir folgende dynamische Grundgleichungen :

d²y₁

mi ~W + ^lß — «12^/3 = ⁰

(8)

m2 ^2 + ^llVlß ^liViß—0,

also zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten yx und y₂.

Aus der ersten der Gl. 8 folgt:

o₁₂ß dt⁴ o₁₂m*dt²

<*12 Vl ß ⁼ ®

und

2/2 =

2/i = °

(9)

<*n d²yx <*n<*₂₂ o

^₂ ¹ dt2 + 0₁₂ PVl

und schließlich:

d⁴i/i

^²«/i

f ßyi = 0.

Mit co⁴ = À² führt die Gleichung zur Form:

l² yl -\- y = 0,

deren Wurzel

^1,2 —

(12)

und

co—±yAlł2

Wir erhalten vier Wurzeln, zwei mit positiven und zwei mit negativen Vorzeichen, aber mit gleichen Absolutwerten. Hieraus ergeben sich die beiden Schwingungsdauern zu:

sind.

(13)

2i = t-

(14]

c) Systeme mit Drehschwingungen. oc) Eingespannte Welle mit Schwungscheibe. An einer masselosen Welle der Länge l befindet sich

Q

am Ende eines masselosen Stabes r die Masse m = — (Abb. 45).

Nach den Lehren der Festigkeitslehre ist durch ein Moment M die Verdrehung zweier Querschnitte der Welle im Abstand von 1 cm voneinander

rn

*' = GJ

Abb. 45.

worin G der Gleitmodul des Materials und J das polare Flächenträgheitsmoment der Welle ist. Die Verdrehung des Endquerschnittes unter Wirkung des Momentes M = P • r wird, dann

P-r

oder, wenn wir den Verdrehungsbogen auf den Radius r umrechnen

(2)

P • r²

O-J ’

G-J

~r^l X'

woraus sich ergibt:

(3)

Die Masse m führt Schwingungen aus auf dem Kreisumfang; zur Zeit t sei der Ausschlag x. Wirkt auf die Masse keine äußere Kraft, so lautet die Schwingungsgleichung

d²x

mJt²

GJ

= 0.

(4)

An Stelle des Kreisbogens führen wir nun den Winkel cp ein und erhalten, da x = cp • r ist:

mr

dt²

d²cp GJ r • l *

Die ganze Gleichung mit r multipliziert ergibt d²cp GJ

mr Jg⁺~9>=0-

Nun ist aber mr² das Massenträgheitsmoment der Masse, bezogen auf die Drehachse, das wir mit 6 bezeichnen

= c und erhalten :

GJ

wollen; ferner setzen wir für

oder

d²cp

AG

<t>| Ci

cp — 0.

(5)

In bekannter Weise ergibt sich hieraus die Eigenfrequenz zu:

und die Schwingungsdauer zu:

-2*1/f=²*y^

(«>

Aus Gl. 1 folgt für (p = 1

oder:

G-J

GJ

M = -r- == C.

co — ~j/mit derjenigen für

Der Wert c ist also gleichwertig dem Moment, das die Einheitsamplitude hervorruft, es wird mit Direktionsmoment bezeichnet.

Vergleichen wir die Formel die geradlinige Schwingung, co = ]/-, so sehen wir, daß

\ m

bei dem Drehpendel statt der Masse m das Massenträgheitsmoment 0, statt der Direktionskraft das Direktionsmoment einzusetzen ist.¹)

Besteht die Schwungmasse aus einer zylindrischen Masse mit dem Durchmesser d und der Höhe h, so ist:

^d*-h-y 4    /

'J Die Verwendung- des Buchstabens c sowohl für die Kraft als auch für das Moment ist in der Literatur allgemeinüblich.

und:

ß — ni' k²,

(?)

wenn k der Trägheitshalbmesser ist.

Aus Gl. 2 ergibt sich unter Wirkung des Gewichtes Q eine statische Durchfederung:

m • g • h r²

f=

G-J

~c⁹'

(8)

-t»

Dieser Wert in die Gleichung co liefert die bereits bekannten Gleichungen

eingesetzt,

-fl

(9)

(10)

und

wss300 j/i.

(11)

ß) Welle mit zwei Schwungscheiben.

Zu einer bestimmten Zeit seien die Ausschläge cpx und cp2 (Abb. 46). Analog den Betrachtungen für Längsschwingungen können wir die Gleichgewichtsgleichungen für die zwei Schwungscheiben anschreiben:

d²cpi

dt²

f c (g>i — (pi) = °

&2

d²gc>₂

(12)

dt²

— g>2) = °-

Die Lösung ist ebenfalls bekannt, sie lautet: @1 + $2

c=(i+i)c

\6>! ^ &J

worin

Of

c.

Abb. 46.

0! * ą i

0i “h 0*2 c

(14)

ist.

(15)

B. Mit Berücksichtigung der Masse des elastischen Teiles.

oc) Längsschwingungen eines Stabes.

Zur Untersuchung benötigen wir folgende Formeln der Festigkeitslehre :    <

a = sE

Al

LJ

i r— dx

crx

6(f>

P = o-F.

Das Massenelement hat

h~ *1    Jy

□ c 0

Abb. 47.

die Masse:

das Volumen: F • dx das Gewicht: y-F^dx y F • dx

dx

An ihm wirken folgende Spannungen (Abb. 47): a und ö'+^t- dx.

94 Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme. Für die Spannung können wir setzen :

Sx

c-||e, d. .-ß,

wenn die Längenveränderung <9§ ist.

S (7

Setzt man in -~—dx diese Werte ein, so lautet dieser

O X

s*S

Ausdruck -^—^dxE. Die Größe der Kraft, die die Verlängerung <9£ hervorruft, ist Final so groß.

Auf das Massenelement wirken also folgende Kräfte:

1. der Trägheitswiderstand (P = m • b) y-F-dx S²§

St² ’

2. die elastische Kraft:

S²B

sidx-E'F-

Wirken keine äußeren Kräfte, so halten sich beide das Gleichgewicht. Es ist also :

S²B

er>d‘-E-¹'

y F • dx 8*1 g    8t²

^lE=y s_3.

Sx² g St2 Eg

oder mit — — a² die Schwingungsgleichung:

S²% __ S²^

Sx² St²

oder

a²

(1)

(2)

Schwingungssysteme unter Wirkung elastischer Kräfte. 95 Zur Lösung dieser partiellen Differentialgleichung setzen

wir

wobei X eine Funktion von x, T eine von t ist. Durch zweimalige Differentiation erhält man

T**

(3)

und

S x²

dx²

Tn

d²T

St² dt² *

Diese Werte in Gl. 2 eingesetzt ergibt:

d²X d²T

X ———

a²T

oder

dx²

dt²

a² d²X _ 1 d²T

Auf beiden Seiten der Gleichung steht jeweils nur eine Funktion von x bzw. t. Sie kann nur bestehen, wenn beide Seiten einer gemeinsamen Konstanten gleich sind, z. B. — k². Dann wird:

(4)

d²X

k²

dx²

d²T

(5)

dt²

k²T.

Die Lösungen dieser Differentialgleichungen sind bekannt, sie lauten:

X = A cos — x + B sin — x a

T = C coskt 4- D sin kt.

Die Konstanten ergeben sich aus den Grenzbedingungen. Wir wollen die Weiterrechnung für folgende drei Fälle durchführen:

1.    beide Stabenden eingespannt,

2.    beide Stabenden frei,

3.    ein Ende eingespannt, das andere frei.

1. Fall.

Die Bedingungen für diesen Fall lauten:

UYr irrr

= 0.

für x = 0 ist = 0 x = l

Setzen wir in Gl. 7 æ = 0, so erhalten wir:

§ = AG cos kt-\- AD sin kt.

Aus §(X=0) = 0 folgt A = 0.

Wird x = l gesetzt, so lautet Gl. 7, mit A = 0:

£ = BC sin — • cos k t + BD sin — • sin k t.

Diese Gleichung muß für x — l zu Null werden. Dies k l

ist nur möglich für — = nn, worin n eine ganze positive Zahl ist.    a

Damit wird die Schwingungsgleichung:

(8)

Für das gesuchte Integral der Gl. 2 erhalten wir damit:

x • sin k t

x • sin kt.

(?)

I = sin ^ xIbG cos^^f + BD    ,

Für æ — l erhalten wir:

Ul)

le    i

= — A — sin — (0 cos le t + Z) sin le t).

Dieser Wert kann auch nur wieder zu Null werden, wenn

lei

aus der sich die Schwingungsdauer zu:

2 TT 21

nna na

(0)

ergibt. 2. Fall.

Bedingungen : x = 0

Sx

weil freies Stabende keine Spannungen übertragen kann.

<9#

Aus Gl. 7 erhält man:

= — AC-

+ BC • — cos a a

(J~æ)    ⁼ B cos & t + 7) sin kt) = 0

B = 0.

— sin — æ • cos & ź — AZ) — sin — x • sin k t a

Je    Je

— æ • cos & Ż -f- BD — cos

le

— a: • sin le t.

Aus

folgt:

! UYt

— = nn ist.

Die Schwingungsgleichung ergibt damit:

v. nn I . „ nna Ç = COS — X I A G COS ——

98 Bestimmung der Schwingungsdauer einfacher Systeme, mit der gleichen Schwingungsdauer

21

na

(ii)

3. Fall.

Bedingungen:    x = 0

£ = o £!=o.

dx

Aus:

£(x==0) = AG coskt + AD sinkt = 0 A = 0.

Für x = l wird mit A — 0:

hl -

ergibt sich wieder:

dx

cos — (C cos k t + D sin k t).

Der rechtsstehende Ausdruck kann nur verschwinden,

kl    kl Tr    bn

wenn cos — = 0, d. h. wenn — = a

2n — 1

- ; — oder all-

gemein

• 7r ist.

Diese Werte eingesetzt, ergibt folgende Schwingungsgleichung:

£ = sin

(2 n — 1) 7T • x

21

BC cos

(2 n — 1) u • a

21

+ BD sin

(2 n — 1) Ti a

(12)

21

mit der Schwingungsdauer

4Z

(2n — l)a '

Aus den Ableitungen sehen wir, daß es für den Stab viele Schwingungszahlen gibt. Die Schwingung für w == 1 heißt Grundschwingung, für größere Werte von n erhalten wir die Oberschwingungen.

Für die Grundschwingung erhalten wir folgende Schwingungsdauern :

Ti =

(14)

1. Fall:

2. Fall:

Ti=~

(14 a)

3. Fall:

4Z

Ty = -

a

und folgende Schwingungsgleichungen:

(14b)

1. § = siny x[bG cos

na

t + BD sin ~ z),

(15)

2. £ = cos j^x^AG cos ^ Z + AD sin ^zj ,

(15 a)

3. ^ = sin~ x^BG cos —t + BD sin—tj .

(15 b)

Für die Grundschwingung lauten die Schwingungsgleichungen, wenn wir gleichzeitig annehmen, daß Zeit Z = 0 der Ausschlag g = 0 ist, wodurch das cos-Glied verschwindet, und wenn wir außerdem für die Koeffizienten By setzen und den Wert 1\ einführen:

1. Fall: § = sin

zur

x • By sin 2 7T ,

■*i

(16)

2. Fall: £ = cos

jx - B₁sm2n^r,

(16 a)

3. Fall: £ = sin x • Bx sin 2 n .

(16b)

Ul    1 J

Die Gleichungen zeigen, daß unabhängig von der Zeit, für bestimmte x gleiche Ausschläge bestehen. Unter den gegebenen Annahmen sind die Massenteilchen in Euhe

für Fall 1 : für x = 0 und x = l,

2 : für x = — 3: für x = 0.

= 27t den Wert

Tx

Zwischen diesen Punkten, die wir Knotenpunkte der stehenden Schwingung nennen, liegen die Stellen der maximalen Ausschläge, die Schwingungsbäuche. Stellen wir uns die Aufgabe, die Punkte zu suchen, für welche die Ausschläge nach Größe und Richtung gleich sind, so erhalten wir für die Fälle 1 und 2 aus

x = 21, für den 3. Fall x = 4L Diese Längen, die wir mit l₀ bezeichnen wollen, sind jedoch nichts anderes als die Wellenlängen der Schwingungen. Wir ersehen daraus, daß für den beiderseits freien und eingespannten Stab die Wellenlänge der Grundschwingung der doppelten Stablänge, für den einseitig eingespannten Stab, gleich der einfachen Stablänge ist. Analoge Verhältnisse hat der Leser in der Akustik, bei den Pfeifen kennengelernt. In der Akustik rechnet man jedoch nicht mit der Schwingungsdauer, sondern mit den Schwingungszahlen; zwischen

beiden besteht die Beziehung n=~.

Wir kommen nun. zu unserer Abkürzung a² = —

Eg

zurück. Führen wir die Dimensionen ein, also für

E: kg/cm2 g: cm/sek2 y: kg/cm³,

so ergibt sich für a: cm/sek, also die Dimension einer Geschwindigkeit. Den Wert a bezeichnet man mit Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle. Für einen Eisenstab mit E = 2000000 kg/cm² und ^ = 7,85g/cm³ erhalten wir demnach:

«=]/

2 • 10⁶ • 981

7,85 • 10“

-    5000 m/sek.

Mit diesem Wert ergibt sich für den einseitig eingespannten Stab mit l = 100 cm:

4-100

Tx =

500000

— 0,0008 sek,

= 1250 sek⁻¹.

Zwischen Wellenlänge l₀, Wellengeschwindigkeit a und Schwingungszahl n besteht die Beziehung a = n*l0 l₀ = a • T.

Für unser Beispiel £=100 cm fanden wir £₀=4£=400 cm und mit obiger Beziehung

oder

500000

400

1250 sek“¹.

Der Stab kann nun außer der Grundschwingung noch

Oberschwingungen ausführen. Für diesen Fall lautet die vollständige Schwingungsgleichung :

nnx

§ = £ sin

la    .2nn\

\An cos — t + Bn sin —-ij .

Analog den Lehren der Akustik nennen wir:

n = 1 : Grundton n = 2: Oktave

n = 3: Quinte der Oktave usw.

ß) Drehschwingungen eines Stabes.

An den Enden des Massenelementes der Länge d x wirken die Momente (Abb. 48)

BM

M und M + — dx.

dx

TT

dx

dx

L_

J«* iri,tx

dx

Abb. 48.

Das Massenträgheitsmoment ist :

— • J dx,

f/

wenn J das polare Flächenträgheitsmoment bedeutet.

Damit lautet unsere Schwingungsgleichung:

g dt²

(17)

SM ₇

-=— dx

wenn g der Yerdrehungswinkel der um dx entfernten Querschnitte ist. Aus der Festigkeitslehre wissen wir, daß für den kreisförmigen Querschnitt:

ist, woraus folgt:

und weiter

8cp =

G-J

M = G-]SJ

SM

(18)

Diesen Wert eingesetzt, ergibt:

St²

oder

G-.jÇîiz = L.fiJ4î

G* g S²(p    S²(p

y    Sx²    St²

Setzen wir für —- = &², so erhalten wir die bereits

y

auf S. 94 abgeleitete partielle Differentialgleichung ć>*cp₌ S*g>

Sx² St²

Die Weiterableitung erübrigt sich, die Ergebnisse sind die gleichen wie bei der Längsschwingung. Die Größe l nennt man analog die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Torsionsschwingung.

y) Querschwingungen eines Stabes.

Wir betrachten ein Massenteilchen der Länge dx in der Entfernung x von der Einspannstelle (Abb. 49). Seine

y • F

Masse ist dm—---dx. An den Schnittflächen wirken

9

die Scherkräfte S und8 -\-dS. Befindet sich das Element in der Entfernung y von der Nullage entfernt, so können wir folgende Gleichung aufstellen:

Zf--

'f/x

dS

ŚLJs

Abb. 49.

d²y

dS — g dm +    dm — 0.

(19)

Für dm den Wert eingesetzt und durch dx die ganze Gleichung dividiert, ergibt:

dS

dx

-rF+JFëé

(20)

Nun ist nach den Ableitungen der Festigkeitslehre allgemein:

d²y _ M dx² ~ EJ ’

dM

dx

Schwingungssysteme unter Wirkung elastischer Kräfte. 105 Damit erhalten wir für unsere Ableitung

dx    dx*

und

rF + ÎFrn = l>-

9 dt²

(21)

d x*

Wir denken uns nun die Gesamtdurchbiegung zusammengesetzt aus der statischen, y± und der dynamischen y₂. Dann ist

und

Eje‘Ą

dx*

y = Vi + y2

Für die statische Durchbiegung ist jedoch ** = 0,

{-EJ

8<lJh

dx⁴

womit sich ergibt:

EJ

Cb

dx⁴

yF = 0.

Subtrahiert man diesen Wert von Gl. 22, so bleibt übrig:

oder umgeformt:

(23)

Zur Lösung dieser partiellen Differentialgleichung setzen wir:

d²T

dl²

dt² ’

öiJ²=TdiX

dx⁴

dx¹

und erhalten schließlich:

EJg 1 d*X

y^FxJx*

und

1 d²T ~T~d¥

d*X

yF

dx⁴ EJg

k²X = 0

d²T

(24)

—+^ = 0

wenn k² wieder der für beide Seiten gemeinsame Wert ist. Die Lösung der Gl. 24a lautet:

T = a cos k t + I sin k t

oder für die Annahme T = 0 für t = 0 T = 1 sinkt. yFk²

(25)

In Gl. 24 a setzen wir für

EJg

— m⁴

und erhalten

d⁴X

m⁴X = 0.

(26)

Das allgemeine Integral dieser Gleichung lautet:

X = A₁(£ofocx + A₂ cos<xæ + As&mocx + A₄sin(%æ. (27) Die vier Ableitungen sind:

dX

dx

= oc(A₁ ©in&æ — J.₂sin(xæ + A₃(£of0tæ + A₄cos<xæ), (27a)

d²X

= oc² ( Ax ©o\ ocx—A₂ cos oc x + Az ©in oc x—A₄ sin oc x), (27 b)

d*X

dx³

oc³ ( Ax ©in oc x + A₂ sinoc x + As    oc x—A₄ cos oc x), (27 c)

d*X

= (X⁴ ( A₁ (£o^ oc x + A₂ cos oc x + Az ©in oc x + A₄ sin oc x).(27 d)

d*X

Die letzte Ableitung ergibt aber = oc*X.

Ct X

oder

(28)

Diesen Wert setzen wir in Gl. 26 ein und erhalten : oc*X — m*X = 0 (X = m.

Mit diesen Teilergebnissen Gl. 25 und Gl. 27 ergibt sich für die gesuchte Schwingungsgleichung

V2 = XT,

(29)

y₂ = (aco$lct-{-l) sinht) (A₁ ©of mx + A₂ cosmx

+ A₃ @inmx + A₄ sinmx).

Die Konstanten A± bis A₄ wollen wir für den Fall des einseitig eingespannten Stabes ermitteln.

Die Grenzbedingungen lauten:

= 0 ^

°’}

d. h. Winkel mit der Ruhelage = 0

für x=l: 1. Moment der Normalkräfte = 0,

^ = o

Sx²

für æ = 0:

d. h.

dx

da

Sx² EJ

2. Schubkraft = 0,

d. h.

^ = 0. Sx³

Da die Funktion T als Konstante behandelt wird bei einer Differentiation nach d x, können die Grenzbedingungen auch wie folgt angegeben werden: = &(A₃ + A₄) = 0 oder A^ — — A

(30 a)

dx

= JLl(Êofm2 + cosmZ)+-â3(@ittmZ+sinm2) = 0, (30b)

(yĘ\ =A₁((&\nml—änml)A-Az(1&o\ml—cosm2) = 0. (30c) \ct x I x—i

Die beiden Gl. 31/32 sind erfüllt für:

(31)

für * = 0: X =

x = l:

„ ex 0 -=- = 0, ex

ß²X _

<PX

0) —

Mit den Gl. 28 erhalten wir:

Mi + M₂=0 oder Ai = — A₁,

(30)

Sin m2 + sin m2 Ëofm2 + cosm2 6oj ml + cos ml Sin ml — sin m2 *

Hieraus ergibt sich nach Ausmultiplizieren und mit den Beziehungen:

sin² m2 + cos² ml = 1,

S in² ml — So\²ml = — 1

die Periodengleichung:

ßof ml cos ml +1 = 0.

(32)

Die Lösung dieser Gleichung erfolgt am besten graphisch, wozu wir Gl. 34 umformen in

cos ml ==

Sof mV

Die Abszissen der Schnittpunkte beider Kurven, die als

Funktion von ml aufgetragen werden, sind die gesuchten Werte.

///

Lord Rayleigh berechnete die niedrigsten Werte zu j = 0,597 ^,

m₂

m₃

= 1,444 y = 2,500

(33)

Nach Festlegung der Koeffizienten für den betrachteten Fall können wir die vollständige Schwingungsgleichung ausschreiben, sie lautet:

?/₂= &sinfcź[^l₁((£ofm;r—cosmx) +A₃((&mmx—smmx)\. Die Schwingungsdauer ergibt sich zu

2 7T

Tcn

(34)

Den Wert hn erhalten wir aus der Beziehung

* ZU

=m»y

(35)

yF

Für die Grundschwingung (n = 1) wird mit m₁ = 0,597 y,

Ti =

2 7r

yF

0,597² • tt²

EJg '

Zur Probe stellen wir die Dimensionsgleichung auf und erhalten mit den Dimensionen

E: kg/cm2 J : cm4 g: cm/sek²

Tx = 1,787 l²

1/

yF

EJg'

(36)

y: kg/cm3 F: cm2 l: cm

T₁ = cm²

i/sek2 Y cm⁴

sek.

In der Literatur finden wir vielfach den Wert unter

ES

dem Wurzelzeichen, worin unter ^ die Masse für die Längeneinheit zu verstehen ist. Diese ist jedoch

y F

■,=y-

•F-l

y JL

Y ES

eingesetzt mit 8 = J erhalten wir:

1 /Et

[ EJg’

also den bei unserer Ableitung gefundenen Wert.

Im folgenden sollen die Grenzbedingungen für zwei andere Fälle noch angegeben werden.

1. Beide Stabenden eingespannt:

In

z = °l    n Sy

\ y = 0    —— — 0.

x = l )    dx

Periodengleichung: Kof ml • cos ml + 1 = 0.

2. Beide Stabenden frei:

x=0)

x=l t

S*V _n.    8³y n

8x~°’ Sx °’

Periodengleichung: (£of ml • cos ml = 1.

Für technische Berechnungen würde nun noch der Fall interessieren, daß am Ende des Stabes noch eine Masse befestigt ist. Die Durchrechnung würde zu weit führen, es sei auf die

angege

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KRAKÓW

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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