WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Theoretische Physik

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Dr, Gustav Jäger

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3e in elegantem ♦ £einmanbbanb

Äammfuncj (Böfcßen

^    6. Л. ©о(фепЧФе üerlagö&anblung, Cetp3tg.

j>;Der Hibelunge Hôt ^Нопшфе ©eféii^te

⁴ onb ЩШефофЬеи^фе ©rammatil мп    n Dr, Tut. йоф.

о КЛмШя йлП' 20 Deutle ©rammatif

2lC(ftUg6 ÆUtliUl ©Ü- ©ef*i£t>te ber àeutfd?cn Sprache non

Dr. ф. Cpon,

2 \ £ef|ing6pi;ilotas р”^

7iäfcr. Kriege* ». prof. Ф ©ümter.

22    Hartmann non Hue,

H)oljrram V <Е|фепЬаф u. ©ottfr.

t)0n Strasburg, Husm. a. b. tjôf. €pos o. prof. Dr. Âo Hlarolb.

23    îMtl)er».b.r>ogelœetb(?

mit Husro. a«s Hlinnefang unb вргиф» bid?tung con prof. Ф. limiter.

2<*ï>anô вафб u.3ofyann

<ЭДфаг1 nebfî einem Hnt). : 25rattt U. IbUttClT. îlusgemâblt u. erläutert »on prof. Dr. Ли1. Sabr.

25    ШгфепИеЬ u.DolMieb.

©efftl. u. »ettl.C^rit b. |7. u. |$.Ла&гЬ. biô Älopftocf non Dr. ©. ÆUinger.

26    РфрЭДФе ©eograpbie

prof. Dr. giegw. ©untber. ПШ 32 Hbbilbungen.

2? ©пефЬфе u. Нопффе

Hlptbologte o. prof. Dr. Ъ eteubmg.

80 pf.

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nebft 2tb» bonblungen.

зГеШпдб fabeln »Ceffingö Caoîoon.

5    РеЩпдб Hiintta rent

Barnbelm.

6    £eifings Halfan bec

Weife.

7    ЩасНпСифесДЬотаб

fllurner u. b ШгфепйеЬ b î6. ЛаЬтф-m. Ælnltg. u. 2lnm. o. prof. ®. Berlit.

8    liftings littérarité

nnb brematurg. Xbbanbl.

9    Teffmgô antiqu. tmb

epigrammat. Hbb^nbl.

toliubcun unb ^Шс!ф*

epen. ШН €inltg. и. ЮоПегЬиф ».

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Dr. ф. C. Jiricseî.

astronomie aVÂ*-

\2 pabcigogif «»« prof. Dr. «ein.

28 !ШфофЬНфе£Шега1иг

11,3 ©eoiogte r^pf<Sraas'OTlt

m. ©rammatit, lteberfe^angu. €rlâute» rungen o. prof. (El?. 6фаи{Дег.

! нРффо1одп> unb £Togif

I oon Dr. îb» <Elfenbane.

t5 Deutfje fltottologie ₂₉ mineralogie

non prof. Dr X itauttmann.    Un{o ®ie^en mlt l30 ^bb.

70 Hbbilbungen.

'‘Sf±E    Ыти„ вд&в

9 Dollbilbern. lr

ritteraturge»

t?2luffa^(

X Жоф, prof eff or an reslau.

I V. prof. Dr. !

èelbenfage

temenfibli

,v,et. rmt3Caf.

D. Kealfcbnlbl beitelebre. Пи. L.

Öammfung (ßöfdkn. SS 80 pf.

tT'a    ©. J. ©öfcpen’fcbe Derlagsbanblung, Ceip3ig.

33 Deutle (Бс^ф1ф1е tm

mittelalter oon Dr.£. Кигзс.

36 Berber, ^ib.DrÄZnn. 3"Æl;emief апогдаш(фе

oon Dr. Jof. Klein.

38    (Epentie t organisée

Dr. Ло|. Klein.

39    Sei4>enf(pnte

ООП

mit i 7 Cafeln in Con», färben* unb (Solbbrucf unb 135 Dolls unb Cejtbilbern K. Kiuimicb.

Denise jpoetif в DêÂi.

łi ©eometrie SS »£&,“&& ^2 lirgefdńchte ber iïïenfcb*

peit oon Dr.öl.l)brneö. tHłt 48Kbbübgn.

^(Befénhte be$ alten

ilTorgpiilattbeyr. oon prof. Dr. £r. Bommel ШИ 6 Bilbern unb t Karte.

wDiepflan3e/r»ÄH

mit 96 Hbbilbungen.

45    Нопшфе Kltertums*

fmi be oon Dr. Ceo 231оф. ши 7 DoUbilbern.

46    Das lüaltbarilieb im De«.

mafje ber Urfcbrift überfefct u. erl. o. prof. Dr. Ъ. Kltbof.

47    tlritymetif u. Klgebra

oon prof. Dr. Ъ. Schubert.

^SeifpielîammUtng зпг

„Xrithmetit и. Klgebra" oon prof. Dr. Ъ. Schubert.

ад©тефифе@е|ф1ф1е

prof. Dr. Ъ. Smoboba.

50§фи1ргагш 5 s iïïatbem.^ormelfamm*

lung о. Prof. ф. dürften, mit \j tfig.

52Копй(фе Citteraturge»

fct>id?te oon Tberm. ЛоагМт.

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oon

oon 5d)uIbireftor

K. Seçfert.

ssüiebere Knalpfiö

Senebift Sporer, mit 5 $ig

5^ meteorologie

mit 49 Kbbtlb. unb 7 Cafeln.

55    Dao «Srembmort im

Deutfchen oon Dr. Kub. Kleinpaul.

56    Dtfàe. ^ulturgeiôicbte

Dr.Keinb. ©fmtber.

57perfpeîtireD^'Âb‘rssr-

58    (Beontetriûbeô Seiónen

fcugo Setfep. ÎTUt 282 Kbb.

59    ЛпЬодегташ1фе spra*.

tpitfenfcbaft Don prof. Dr. K. Ülertngcr.

eoŒierfimbe^Âe 6* Deutle Kebelepre «„

'feanö Probft. ÎTW einer Cafel

62 ränberfimber. (Europa.

tTTit H CertFärtdjert nnb Diagrammen mtb einer Karte Oer KIpeneinteilung. Don profefîor Dr. ^гапз fceibench.

oon Dr.

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Dr. m Crabert.

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65 Cänberfunbe ber aujjer*

europ. Erbteile, mit и Cejtfärtd?en u. Profilen. D. prof. Dr. ^reuj Reibet id)

б<{ Iutr5gefalśte6Deut^e6

IDorterbueb. Don Dr. S- Detter

65 КпаМЦфе (Beometrie

ber ebene oon prof. Dr. Щ. Simon, mit 40 #д.

ббКи{р(фе (Brammatit

non Dr. lEricb Scrnefer.

67 Ки(Шфеб Се[еЬиф

Dr. lÊrich Bernefer.

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68    Ки(Щфеб©е{ргафЬцф

oon Dr. Erich Eerneter.

69    (ЕпдЩфе £itteraturge=

fcbichte oon prof. Dr. Kart IPeifer.

70    (Б1чеф1(фе £itteratnr=

gefcbicbte oon prof. Dr. îüfreb Œercfe.

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Öammfun^ (Böfcjktu

«. Л. «о^фепЧФ* Dertagöbanblung. Ceip3ig.

3e in elegantem pA £eirtmanbbanb Ov/ Pf,

Æbentie, Allgemeine it.

рЬрШШФе. con Dr. Шат Hubolpbi.

72 projeftire (Beometrie

oon Dr. Äarl Doeplemann. mit 57 3um (Teil jœetfarbigen .^iquren.

73Üôlferlunî>e XÄM1

66 Hbbilbnngen.

87 höhere Analçfiô I:

Differentiahwbnung. Don Dr. $vbv. Лии fer. mit 63 $ig.

88 ftëbere Analpfiô П:

Лтедга1гефпипд. Don Dr. $vbv. ЛипЬег. ШИ 85 $igu'*n.

74 Die Sauftmft b. Abenb=

89 Апа1ри|фе (Beometrie I beôAaumeô Ml™!

lanbee oon Dr. ît. 6Фв!сг. mit 22 2Ibb.

75    Die (Braphihhen ïuinfte

oon (Earl Âampmann. ЮШ 3 Beilagen nnb 39 Bbbilbungen.

76    îbeoretihhe Phpflf, <4:

med?anif nnb ZlfufHr. Don prof. Dr. ®uûa» Ладег. mit oielen Bbbilbgn.

77    йф^^Ф*    ciii:

Cidjt nnb îDârme. Don prof. Dr. ®uftat> ЛЙдег. mit oielen Bbbilbgn.

78    Œbeoretif4>e pbppf, ,

(Eleftricitât unb magtietismus. Don prof. ®uftao Лйдег. mit oielen îlbbilbgn.

Dr.

79@ой^фе §ргафЬеп!=

ma 1er mit (Srommotif, Ueberfetjnng и. (Erläuterungen о. Dr. feermann Лаптей.

non £arl ФШ Ъахи mann, mit 3ot)Ir. 2lb.

8oStilfunbe

bilbgn. unb tCafeln.

8i rogaritbmentafeln, m„.

fteUige, oon prof. Dr. Hermann Sd?n* bert. 3n 3toeifarb. Drucf.

вгШеиффе (Brammatif

oon prof. Dr. ID. Potfô.

взЗпЬифе Heligionstmf=

{еп{фаИ oon prof. Dr. Äbmunb ЪагЬр.

ООП Direftor Dr. £гапз 8Фи1зе. mit 56 Bbbilbgn.

84Ïlautif вбЗгапзоЩфе <Ве(ф1ф1е

oon prof. Dr. К. Sternfelb.

86^иГЗ(фГ1Й.

СергЬиф ber оег» einfatbten Ьет[феп Stenographie (Seifern Stol3e«Sd?reT) oon Dr. Xmtel.

28 Bbbilbungen.

90 £tbif oon prof. Dr. œ». ЗДеМв. I

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oon prof. Dr. Diaiter £. mtelicenud.

92    ffîatbemat.(Beographie

Sdfammenljângenb entioirfelt nnb mit ge» orbnetenDenfûbungen oerfeben oon&nrt «et&ler.

93    Deutf^ies ГеЬеп im | z.

ЛаЬП?ипЬег1. Kultnrbip.€rlâuternngen 3. nibelnngenlieb n. jur Knbrun. Don prof. Dr. Ли1. £1еЙепЬафег. mit oielen Xbbilbgn.

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95    Paläontologie, d" Ä

'feoertteô. mit oielen îlbbilbgn.

9625etregungôfpiele

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97 Stereometrie Z «Ä f 98©runbrip ber рффе

phpfif oon Dr. ®. £. Cippô.    •

99 trigonométrie

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guren.

1оо§афр(фе <Ве(ф^е

oon Bef tor prof. Dr. Ф. j&aemtnel.

101 Sociologie Dr. ÜÄ»,.

I02@e0bäfie prof.Dr. li. Hdnfcert}

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ftottfetjung nut ber inerten 2?arfatjfcitr î

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Sammlung Göschen

Theoretische Physik

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Elektricität und Magnetismus

von

Dr. Gustav Jäger,

Professor der Physik an der Universität Wien

______...______

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1899.

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J SO't^Sb

Alle Rechte, insbesondere das Uebersetzungsrecht von der Verlagshandlung Vorbehalten.

KRAKÓW

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Druck und Einband von Carl Rembold & Co. in Heilbronn.

Inhalt.

Elektrostatik.

Seite

COOCOO GO© COS COO COO COO со© со© со© со© со© со© со© CO© CO© 000

Щ S S 5S 5t £ SS 5 P S s° p° r* ® p* « F* r

00© coo

Grunderscheinungen — Coulomb’s Gesetz .... Komponenten der elektrischen Kraft — Potential . Potential einer Kugel, auf deren Oberfläche die Eiektri-

cität gleichmässig verteilt ist......

Potential einer Yollkugel.......

Die Laplace’sche Gleichung.......

Die Poisson’sche Gleichung.......

Potential einer Kreisscheibe .......

Verteilung der Elektricität auf einem Leiter . Verteilung der Elektricität auf einer Kugel — Kapazität

einer Kugel..........

Allgemeine Beziehung zwischen Elektricitätsmenge, Potential und Kapazität — Potential der Erde

Der Kugelkondensator........

Der Plattenkondensator........

Kraftlinien — Niveauflächen......

Arbeitswert eines Systems elektrischer Punkte

Der Druck in der Oberfläche einer elektrisch geladenen

Kugel............

Theorie der Dielektrika........

Elektrischem Moment — Flächendichte und Raumdichte

der Elektricität.........

Kapazität eines Leiters, der von einem Dielektrikum

umgeben ist..........

Wirkung des Dielektrikums in einem Kondensator Analogien zwischen der Theorie der Wärmeleitung und der Elektrostatik.........

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Magnetismus.

§21. Grunderscheinungen — Coulomb’s Gesetz .

§ 22. Magnetisches Feld — Erdmagnetismus — Deklination — Inklination — magnetisches Moment .    .    .

§ 23. Potential eines Magnets.......

§ 24. Bestimmung der Intensität des Erdmagnetismus und

des magnetischen Moments.......

§25. Magnetische Induktion — Potential, eines magnetisch

induzierten Körpers........

§ 26. Die homogen magnetisierte Kugel

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§ 27.

§ 28.

§ 29.

§ 30.

§ 31.

§ 32.

§ 33.

§ 34.

§ 35.

§ 36.

§ 37.

§ 38.

§ 39.

§ 40.

§ 41.

§ 42. § 43.

§ 44.

§ 45.

§ 46. § 47.

§ 48.

§ 49.

§ 50.

§ 51. 8 52. § 53.

§ 54.

§ 55.

§ 56

§ 57.

§ 58.

§ 59.

§ 60.

Inhalt.

Magnetische Induktionslinien — Potential einer Kugel in einem homogenen magnetischen Feld .

Satz von Thomson — magnetische Induktionskonstante

— formale Analogien........

Transversal magnetisierter Cylinder im homogen magnetischen Feld..........

Verhalten der Körper von sehr kleiner Magnetisierungszahl im magnetischen Feld.......

Die magnetische Kraft auf einen langen Cylinder, dessen eines Ende sich im magnetischen Feld befindet Kraftfunktion und Potential der magnetischen Kräfte

Die magnetische Molekularkraft......

Magnetische Energie........

Seite

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Elektromagnetismus.

Der elektrische Strom — Oersted’s Entdeckung — Ampere’s Schwimmregel — das Gesetz von Biot und Savart Wirkung eines Stromelements auf einen Magnetpol Die Tangentenbussole — Mass der Stromstärke . Potential eines elektrischen Stroms auf einen Magnetpol Ersatz eines geschlossenen Stroms durch eine magnetische Platte .........

Wirkung einer kreisförmigen magnetischen Platte auf

einen Magnetpol.........

Das Solenoid...........

Der Stokes’sche Satz ........

Die Wirkung elektrischer Ströme auf einander

Die Gesetze von Ohm und Joule — Arbeit des Stroms

Der Induktionsstrom........

Das ballistische Galvanometer......

Der Erdinduktor — absoluter Widerstand

Das elektrostatische und elektromagnetische Masssystem

Absolute und praktische Einheiten.....

Der Extrastrom.........

Dämpfung einer schwingenden Magnetnadel . Induktionswirkung zweier Stromleiter auf einander . Inductionsapparate — Transformatoren .... Oscillierende Entladung eines Kondensators . Elektrische Ströme in einem Dielektrikum Allgemeine Gleichungen der Induktion .... Die Grundgleichungen der Elektrizitätsbewegung in

Isolatoren .    ..........

Elektrische Wellen.........

Magnetische Wellen........

Elektromagnetische Lichttheorie.....

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Elektrostatik.

§ 1. Grunderscheinungen — Coulomb’s Gesetz,

An Seide geriebenes Glas oder an Wolle geriebene Harze ziehen leicht bewegliche Körper an und stossen sie nach der Anziehung wieder ab. Als Ursache dieser Erscheinung sieht man die Elektricität an, welche durch Reiben auf der Oberfläche des Glases oder Harzes entsteht und deshalb Reibungselektricität genannt wird. Bringen wir einen Körper mit einem elektrischen in Berührung, so wird er in der Regel ebenfalls elektrisch. Es wird ihm Elektricität mitgeteilt.

Zwei kleine Kugeln, welche durch einen Glasstab elektrisiert worden sind, stossen sich ab, ebenso durch Harzstäbe elektrisierte Kugeln. Enthält aber die eine Glaselektricität, die andere Harzelektricität, so ziehen sie einander an. Glas- und Harzelektricität

haben entgegengesetzte Eigenschaften. Wir nennen die Glaselektricität positiv, die Harzelektricität negativ. Gleichnamige E1 e к -tricitäten stossen einander ab, ungleichnamige ziehen einander an.

Befindet sich auf einer sehr kleinen Kugel die Elektricitätsmenge m, auf einer zweiten m', so stossen sie sich mit einer Kraft

(i)

mm'

e-

r²

ab, wenn die Entfernung ihrer Mittelpunkte r ist. Der Proportionalitätsfaktor e hängt von der Einheit

ab, mit welcher wir Elektricitätsmengen messen. Wir wollen künftig

e = 1

setzen. Wählen wir für die Kraft und Länge die gewohnten (C-G-S)-einheiten, so messen wir die Elektricitätsmengen im absoluten elektrostatischen Mass. Das in der Gleichung (1) ausgesprochene Kraftgesetz wurde von Coulomb entdeckt.

§ 2. Komponenten der elektrischen Kraft — Potential.

Aus der mathematischen Formulierung des Cou-lomb’schen Gesetzes geht hervor, dass wir eine ab-stossende Kraft als positiv, eine anziehende als negativ auffassen. Die Kraft wirkt in der Richtung der Verbindungslinie r' zweier elektrischer Punkte. Wir können sie daher in drei Komponenten nach den Achsen eines rechtwinkeligen Koordinatensystems zerlegen. Diese sind

X' == К cos а =

mm'

r'² '

И PL

mm'

dx

r'

und ebenso

Y' = —

d i m m' V

w\^~r

Z' = —

m in'

r'

Ist ein dritter elektrischer Punkt von der Menge

Diese gibt parallel zur

auf m die Kraft

m" in der Entfernung r" von m vorhanden, so übt er mm"

aus.

J.//2

d / m m" \ 0x\ r" /

x-achse eine Komponente

Wir haben daher als Gesamtkraft parallel zur

x-achse

X = X' + X"

mm'

r'

m m"

r"

m"N

d fm'

m T^\¥~

Wir können diese Ueberlegung ohne weiteres auf beliebig viel elektrische Punkte ausdehnen und erhalten so

d m

sï ²~'

h*

d m

^-‘

dz r

ist also nichts anderes als das

Die Grösse 2

Potential der Kräfte X, Y, Z (Bd. I, § 14). Man

nennt daher 2 — das elektrische Potential, die

Potentialfunktion oder auch die Spannung der Elektricität.

§ 3. Potential einer Kugel, auf deren Oberfläche die Elektricität gleiehmässig verteilt ist.

Auf einer Kugelfläche vom Radius a (Pig. 1) befinde sich gleiehmässig verteilt die Elektricitätsmenge M. Auf der Flächeneinheit ist somit die Menge

G 4 7i a² '

und wir nennen о die Flächendichte der Elektricität.

Auf dem Flächenelement ы sitzt daher die Menge Ihr Potential im Punkt A ist

u

gesamten Elektricität daher 2    • Lassen wir <y um

O A rotieren, so erhalten wir eine unendlich schmale

0)G

cog.

. Das Potential der

Mjr

(1/

Fig. 1.

Kugelzone, deren Punkte sämtlich von A gleichweit entfernt sind. Ihre Fläche ist 2^a²sinqpdç> und ihr 2 тс a² a sin cp d cp .

Potential

Das Potential der Kugel-

fläche ist daher

71

V = 2rca²<r

sin cp d cp

(2)

Aus

erhalten wir leicht

u² = a² + p² — 2 ap cos cp

u du = ap sin cp d (p

oder

u du

sin cp d(p

was in Gleichung (2) eingesetzt

ap '

du =

U7T

2яаа Г

P J

Р ("л — uo)

Uo

ergiebt. Dabei ist n₀ der Wert von u für gp = 0, also uo ⁼ P —

während

UJT=P + a

der Wert von u für cp=n ist. Darnach wird

4^a² a

(a + p —p + a)= p

Nun ist aber

4 тс а² а == M?

folglich

die auf einer Kugelfläche gleichmässig verteilte Elektricität wirkt auf einen Punkt ausserhalb der Kugel so, als wäre sie im Mittelpunkt vereinigt.

Liegt der Punkt innerhalb der Kugel, so ist u₀ = a —p, ия = а+р.

Das heisst

daher

2яа а

-— (а + p — a + p) = 4 л a a.

Wir haben also wohl zu unterscheiden zwischen dem Wert des Potentials in einem Punkt ausserhalb und in einem Punkt innerhalb der Kugelfläche. Für einen Punkt auf der Kugel selbst, d. h. für p'=a gehen natürlich beide Formeln in einander über. Innerhalb der Kugel haben wir also ein konstantes

Potential, wo immer der Punkt A liegt. Die Kraft, welche auf den Punkt wirkt, ist daher Null.

§ 4. Potential einer Yollkugel.

Die Elektricitätsmenge M sei im Innern einer Vollkugel gleichmässig verteilt. Wir können uns das in einer Kugel, welche aus einem Isolator besteht, realisiert denken. Wir haben dann in der Volumeinheit die Menge und nennen ç die Dichte der Eie ktricität. Wir denken uns die Kugel in unendlich viel düune konzentrische Schalen zerlegt. Eine jede Schale wirkt dann auf einen Punkt ausserhalb so, als wäre die gesamte Elektricität im Mittelpunkt vereinigt. Wir haben daher auch für die Vollkugel als Potential auf einen ausserhalb liegenden Punkt

v= —

Liegt jedoch der Punkt im Innern der Kugel, so setzt sich das Potential aus zwei Teilen zusammen. Der eine rührt von Kugelschalen her, welche innerhalb der Kugel vom Radius p liegen. Sie wirken wie auf einen ausserhalb liegenden Punkt. Ihr Potential ist

у. = T

4тгp² Q

Für die übrigen Kugelschalen ist jedoch der Punkt ein innerhalb liegender. Wir haben für eine solche Schale als Potential 4?ra<r. In unserem Fall ist nun o= q dr

Die Laplace’sche Gleichung, zu setzen, und es wird der zweite Teil des Potentials

V₂ = 4 J* rdr = 2yr() (a² —p²),

indem eine Schale den Anteil 47r^rdr liefert. Es ist somit

v=v,+y₂

4тг(>р

+ 2ггр(а²—p²)

= 2»rça²—    p².

§ 5. Die Laplace’sche Gleichung.

Zwei Punkte in der Entfernung r haben die Koordinaten X, y, z bezüglich x', y', z'. Es ist dann r² = (x' — x)²-f (y' — y)² + (z' = z)².    (3)

Es lässt sich nun leicht zeigen, dass

a²

(ł)+£(łWHłH(ł)-o

ах²

ist. Wir haben nämlich

1 dr r² dx

dx \r|-

1 x' — X

x'-X

r³ ’

da nach Gleichung (3)

dr

x' — x

ist. Wir erhalten nun durch weitere Differentiation

3(x'— x) dr

d² /П d /x/ — x\ _ dxa \r )~ dx \ r³ )~

r³

r⁴

r³

3 (x* — x)²

r⁵

д(1)=0.

Haben wir anstatt zwei mehrere Punkte, so ist natürlich für einen bestimmten Punkt ebenfalls

Daran wird nichts geändert, wenn in jedem Punkt

bilden.

eine elektrische Masse sitzt, und wir Д 2

Auch diese Grösse muss gleich Null sein. Nun ist aber

<2 —= V

r

das Potential der elektrischen Massen auf einen Punkt. Wir erhalten daher die Gleichung

a²Y id² y

■*“ dj2 + az²

Д v = o,

und

Gleicherweise ergiebt sich

d²

dj²

(ł)

r³

з(у'-у)²

r⁵

_?!_ Ш ₌

dz² \ r /

Addieren wir die drei letzten Gleichungen, so erhalten wir thatsächlich

r²

3(z'— z)²

r⁵

a²Y

Ti²“

welche nach ihrem Entdecker die Lap la ce’sehe Gleichung genannt wird.

§ 6. Die Poisson’sche Gleichung.

Wir fanden für das Potential einer Yollkugel auf einen ausserhalb liegenden Punkt (§ 4)

3 -yx’ + y’ + z*': wenn wir uns den Mittelpunkt der Kugel zum Ursprung eines rechtwinkeligen Koordinatensystems wählen. Es gilt für diesen Fall auch die im vorigen Paragraphen gefundene Gleichung

4я: a³(>

4 7t a³ q 1

V,

ДУе = 0.

Anders verhält es sich jedoch, wenn der Punkt im Innern der Vollkugel liegt. Wir haben dann

Vi = 2*ea²- ²JP’-P².

4:71 p

dz²

Durch Differentiation erhalten wir a²Vi a²Yi d²Vi dx²

oder

(4)

Д Vi = — 4 л Q*

Diese Gleichung stimmt mit der Laplace’schen nicht überein. Das rührt daher, weil der Kaum rings um unseren Punkt, für welchen wir das Potential bestimmt haben, von Massen erfüllt ist, während wir

Fig. 2.

die Gleichung von Laplace unter der Bedingung ableiteten, dass der Punkt von den übrigen Massen getrennt ist.

Was wir für die Kugel fanden, gilt aber für jeden

mit Masse erfüllten Körper. Immer besteht für einen Punkt innerhalb zusammenhängender Massen die Gleichung (4). Wir können uns nämlich immer um diesen Punkt eine kleine Kugel geschlagen (Fig. 2) und uns das Potential des ganzen Körpers aus den zwei Teilen Yj, von den Massen ausserhalb der Kugeln herrührend, und dem Potential V₂ der Kugel bestehend denken. Es gilt dann also auch, da

ist,

4V=J(V₁₊V₂)=4V1 + JV:

Л V = 4 n q.

Das ist die Poisson’sche Gleichung.

§ 7. Potential einer Kreisscheibe.

Eine Kreisscheibe (Fig. 3) liege in der (y z)-Ebene mit ihrem Mittelpunkt O im Ursprung des Koordinaten-

Fig. 3.

systems. Sie sei mit Masse von der Flächendichte a belegt. Wir suchen ihr Potential auf den Punkt M in

der x-Achse.

Sämtliche Punkte des Flächenelements

2 л r dr liegen in der Entfernung u von M, liefern daher

2 n r dr a

das Potential

-, und da U² = r²-f- X²,

so ist das Potential der gesamten Scheibe

=/

0

2 n r dr g

= 2 71 G

r dr

|j/r² + xd =

о

Für die Kraft auf den Punkt finden wir

dY

дх

--2 n a

(■

ув.а + X²

Eückt der Punkt sehr nahe an die Scheibe, so

konvergiert

gegen Null, und wir erhalten

1rw + X²

für die Kraft in unmittelbarer Nähe der Scheibe

X = 2 na.

Nennen wir das

71 (J.

Denselben Wert hat natürlich die Kraft auf der andern Seite der Scheibe, nur ist sie hier entgegengesetzt gerichtet. Geht daher ein Punkt von der positiven Seite durch die Scheibe auf die negative, so ändert sich die Kraft um 4 Potential auf der positiven Seite Y_j_, auf der negativen V_, so ist

4 Ti а.

av+ av_

dx

Jäger, Theoretische Physik. III.

Diese Gleichung gilt aber für jede Fläche. Wir können nämlich aus einer beliebigen Fläche (Fig. 4) eine kleine kreisförmige Scheibe herausschneiden. Nennen wir dann das zum Punkt M gehörige Potential V_l_, das zum Punkt M' gehörige V_, so ändert sich

lB

Fig. 4.

das Potential, welches von der Scheibe NN' herrührt, beim Durchgang sprungweise, hingegen jener Teil, der von den übrigen Teilen der Fläche stammt, stetig. Es bleibt daher für den Durchgang wiederum

(5)

4 7Г O',

dv+ ay.

wenn wir unter n die Normale zur Fläche verstehen.

§ 8. Verteilung der Elektrizität auf einem Leiter.

Im § 1 lernten wir zweierlei Elektrizitäten kennen, die positive und die negative. Laden wir einen Körper positiv mit einer bestimmten Elektrizitätsmenge und geben dann soviel negative Elektrizität noch hinzu, bis der Körper wieder unelektrisch ist, so können wir sagen: er enthält gleichviel positive und negative Elektrizität. Jeder unelektrische Körper kann a s mit gleich viel positiver und negativer Elektrizität geladen angesehen werden.

Beide Elektrizitäten sind in derselben Weise verteilt, können daher keine Wirkung nach aussen ausühen. Bringen wir nun einen elektrischen Körper in die Nähe, so wird er die gleichnamige Elektrizität ab-stossen, die ungleichnamige anziehen. Es erweist sich der ursprünglich unelektrische Körper sodann elektrisch. Wir nennen diesen Vorgang Elektrizitätserregung durch Verteilung.

Laden wir einen Leiter mit Elektrizität, so wird sie sich auf ihm in bestimmter Weise anordnen. Es befindet sich die Elektrizität im Gleichgewicht, wenn alle Kräfte, welche die einzelnen elektrischen Teilchen auf einander ausüben, im Gleichgewicht sind. Für alle Punkte im Innern des Leiters muss daher das Potential eine konstante Grösse sein. Es ist dann aber im Innern des Körpers

4V = 0,

das heisst, es muss die Dichte der Elektrizität a=0 sein; denn wäre dies nicht der Fall, so hätten wir ja nach Poisson

AV = — 4 n er.

Ist demnach die Elektrizität auf einem Leiter im Gleichgewicht, so befindet sie sich nur an der Oberfläche des Leiters.

§ 9. Verteilung der Elektrizität auf einer Kugel — Kapazität einer Kugel.

Aus der allseitigen Symmetrie einer Kugel geht ohne weiters hervor, dass die Elektrizität sich auf ihr gleichmässig verteilen muss, so dass die Dichte an allen Punkten der Kugeloberfläche gleich gross ist.

Das Potential auf einen inneren Punkt ist dann nach § 3

wenn wir mit E die gesamte Elektrizitätsmenge auf der Kugel bezeichnen. Die Elektrizitätsmenge ist also E = Y a.

Die Grösse a, mit welcher das Potential multipliziert werden muss, damit man die Elektrizitätsmenge erhält, nennen wir die Kapazität der Kugel.

Sind zwei Kugeln sehr weit von einander entfernt, so können wir den Einfluss, welchen die Elektrizitätsmengen dieser Kugeln auf einander ausüben, vernachlässigen. Die Kadien der beiden Kugeln seien a und a', ihre Elektrizitätsmengen E beziehungsweise E'. Die Kugeln besitzen dann das Potential

E    E'

V= —, V' =

Wir verbinden nun beide Kugeln durch einen dünnen Draht. Demzufolge werden die Kugeln das gemeinschaftliche Potential P annehmen, da wir sie ja jetzt als einen einzigen’Körper betrachten können. Es muss jetzt

CD 03

e'

sein, wenn wir mit e und e' die Elektrizitätsmengen bezeichnen, welche nunmehr auf den Kugeln sitzen. Es ist also auch

E + E'

e-f- e'

a-j- a'

а-j- a'

Allgemeine Beziehung zwischen Elektrizitätsmenge. 21 Daraus folgt

E + E'    E+E'

a + a/ »e—a a_|_a'

§ 10. Allgemeine Beziehung zwischen Elektrizitäts-menge, Potential und Kapazität — Potential der Erde.

Bestimmen wir für einen beliebigen Körper (Fig. 5) das Potential auf einen innerhalb liegenden Körper M, so haben wir jedes Flächenelement со mit der zuge-

Fig. 5.

hörigen Flächendichte zu multiplizieren, durch die Entfernung u zu dividieren und über die ganze Oberfläche zu summieren. Das Potential ist also

Y=2

со a

u '

u. z. muss es im Innern des Körpers einen konstanten Wert haben. Wächst nun in allen Punkten des Körpers die Dichte der Elektrizität proportional, so wird das Gleichgewicht nicht gestört. Es besteht somit auch die Gleichung

cou g

ist nun die auf dem Körper vorhandene Elektrizitätsmenge, welche früher den Wert E = 2o)<J

hatte.

Es wächst daher die Elektrizitäts

menge mit dem Potential proportional, so dass immer die Gleichung

E = aY

besteht, wobei a eine konstante Grösse ist, die wir die Kapazität des Körpers nennen. Für die Kugel fanden wir sie gleich dem Kadius a. Wir können daher sagen : Die Kapazität hat die Dimension einer Länge.

Haben wir mehrere Körper von verschiedener Kapazität, die sehr weit von einander entfernt sind, und verbinden wir sie durch sehr dünne Drähte, so werden sie ein gemeinsames Potential annehmen, während sich in diesem Fall die Kapazitäten einfach summieren. Die Kapazität ändert sich jedoch, wenn sich die Körper einander nähern. Die Elektrizitätsmengen auf den einzelnen Körpern können wir ebenso finden wie im vorhergehenden Paragraphen für die Kugeln, nur haben wir jetzt anstatt a die Kapazität a u. s. w. zu setzen.

Bringen wir einen Körper mit der Erde in Verbindung, so nimmt er ihr Potential an. Wir setzen dies gewöhnlich gleich Null, doch ist das nicht notwendig; denn die Grösse, welche wir das Potential eines Körpers nennen, ist immer nur die Differenz zum Potential der Erde. Es liegt sogar nahe, der Erde auch ein Potential zu geben. Die positiv und negativ elektrischen Körper weichen dann in verschiedenem Sinn vom Potential der Erde ab. Wir befolgen dann dieselbe Anschauungsweise wie bei der Wärme, wenn wir die Temperatur unter Null durch Kältegrade, die über Null durch Wärmegrade messen, obwohl wir beide, wie wir es nach Einführung des absoluten Nullpunkts ja auch gethan haben (Bd. 2 § 39), auch als gleichbezeichnete Grössen ansehen können.

§ 11. Der Kugelkoiulensator.

Wir betrachten zwei konzentrische leitende Hohlkugeln (Fig. 6). Die Oberflächen der inneren Hohlkugeln haben die Radien at und a₂, die der äusseren

JT

Ж,

аз

Fig. 6.

a₃ und a₄. Durch einen sehr dünnen Draht sei die innere Hohlkugel mit einem Körper vom konstanten Potential A verbunden, die äussere werde auf dem Potential В gehalten. Wir nehmen nun an, auf den Kugelflächen sitzen entsprechend den Radien a,, a2 u. s. w. die Elektrizitätsmengen El5 E₂, E₃, E₄. Für einen innerhalb der inneren Hohlkugel liegenden Punkt M, der sich in der Entfernung r vom Mittelpunkt О befindet, kann also das Potential nur den Wert A, hingegen in einem Punkt M' der äusseren Hohlkugel in der Entfernung r' den Wert В haben. Die Elektri-

zitätsmengen E1? E₂ u. s. w. haben wir uns wegen der allseitigen Symmetrie auf den zugehörigen Kugelflächen gleichmässig verteilt zu denken. Ej wirkt daher auf M, als wäre die gesamte Menge im Punkt 0 vereinigt. Für die übrigen Kugelflächen ist M ein innerhalb liegender Punkt. Das Potential A setzt sich daher folgendermassen zusammen

E E E E

1    __    2 __ I    .3 I ^4

a2

аз

a4

Für den Punkt M' liefern die Elektrizitätsmengen Ej, E₂, E₃ ein Potential, als wären sie in О vereinigt. Nur für die äusserste Kugelfläche ist M' ein innerhalb liegender Punkt. Wir erhalten somit

E,+E₂ + E₃ , E₄

r/

Wir müssen nun

a₄

E₁₌=0

setzen, da A für alle Punkte der inneren Hohlkugel konstant sein muss. Es bleibt somit

a2

аз

a4

= A,

(6)

Е2+Ез , E4

r'

a4

= B.

Das Potential В muss wiederum für alle Punkte der äusseren Hohlkugel konstant sein. Daraus folgt E2 + E3⁼⁼ö-

Es sitzt demnach auf den zwei einander zugekehrten Kugelflächen gleich viel aber entgegengesetzte Elektrizität. Somit bleibt uns nur

(7)

d. h. derselbe Potentialwert, als wäre nur eine einzige leitende Kugel vom Kadius a4 vorhanden. Die Gleichungen (6) nnd (7) ergeben К . E₃

und da

a2

аз

zz А — В,

SO

oder

E₂ (—— ¹)=A-B

² \a2    a3 /

a2 a3

a3 -a2

-(A-B)

Wir nehmen nun an, die innere Kugelschale sei isoliert, und die äussere werde geladen. Dann muss

Ej-fEgZziO, oder da Et=0, so muss auch E₂=0 und damit auch E

0 sein. Es befindet sich also

3 —

dann Elektrizität nur auf der äusseren Oberfläche, deren Menge die Gleichung

E₄ = a₄ В

angiebt. Verbinden wir jetzt die innere Kugel mit der Erde, so dass A = 0 wird, so folgt

B, E₄ = a₄ B.

E₂^-

a2 аз

a3-a2

B, E₃ =

a2 аз

a3 a2

E₂ und E₃ sind also umso grösser, je kleiner аз — a2 A je näher die beiden inneren Kugelflächen aneinander rücken. Wir können dann in erster Annäherung

a₂ — a₃ — a, a₂ ~ а

setzen, hingegen sei

a₃ a₂ — S.

4яа²

Es wird jetzt

E₃ =

а²

B=z

В.

4 71 Ô

Da aber 4^a² die Oberfläche der Kugel ist, so heisst das, dass die angesammelte Elektrizitätsmenge E₃ proportional der Kugelfläche und verkehrt proportional dem Abstand ô der beiden Kugelflächen ist. Ein derartiges System von leitenden Flächen kann also als Elektrizitätssammler oder Kondensator benützt werden, und man nennt speziell den von uns untersuchten Apparat einen Kugelkondensator.

§ 12. Der Plattenkondensator.

Zwei gleichgestaltete Blatten (Fig. 7) liegen parallel zu einander in der kleinen Entfernung <5. Die linke sei zur Erde E abgeleitet, die rechte werde auf

Fig. 7.

dem konstanten Potential В gehalten. In erster Annäherung können wir annehmen, das Potential steige zwischen den beiden Platten linear an. Wir haben daher dV₊ В

dx

für das Innere der linken Platte gilt

dY_ dx

Somit ist nach Gleichung (5)

—— = — 4 л er,

oder

Wir haben also auf der ganzen inneren Seite der linken Platte eine Elektrizitätsmenge von der Dichte

4 nà

haben wir analog

sitzen. Für die innere Seite der rechten Platte

^=0.

“(т + тг)“р'

c=JJJ?dxdydz-

jv*

^=0.

dV_ В

hingegen

dx

mithin

4 n ô

Die Elektrizitätsmenge, welche sich auf der rechten Platte ansammelt, ist somit

FB

⁼ . '

wenn wir mit F die Fläche der Platte bezeichnen. Wir erhalten somit auch für diesen Kondensator dieselbe Formel wie für den Kugelkondensator, doch ist nicht zu vergessen, dass jetzt die Formel nur angenähert gilt, dass der wahre Wert sich dem von uns berechneten jedoch umsomehr nähert, je kleiner die Entfernung ô ist.

§ 13. Kraftlinien — Niveauflächen.

Für ein ruhendes System von Leitern können wir das Potential als Funktion der Koordinaten x, y, z auffassen, also

V = f (x, У, z)

setzen. Halten wir das Potential Y konstant, so stellt die letztere Gleichung eine Fläche dar, welche wir wegen der Konstanz des Potentials auf ihr eine Aequi-potential- oder Niveaufläche nennen. In einer solchen Fläche liegt also keine Kraftkomponente. Die Kraft ist somit senkrecht darauf gerichtet. Erteilen wir nun dem Y einen stetig wachsenden Wert, so erhalten wir eine Schar von Flächen, deren orthogonale Trajektorien die jeweilige Richtung der Kraft angeben. Diese Linien nennt man deshalb auch Kraft-1 i n i e n.

Für einen einzigen Massenpunkt m ist das

Potential

Y= —

Die Niveauflächen sind daher Kugelflächen mit m als Mittelpunkt, während die Kraftlinien die Radien sind. Nehmen wir an, es gehen N Kraftlinien vom Punkt m aus, so ist deren Dichte auf einer Niveaufläche vom Radius r

und setzen wir

so

4 n r²

N = 4 л m,

r² *

Es giebt dann die Dichte der Kraftlinien unmittelbar auch die Grösse der Kraft an. Es empfiehlt sich daher anzunehmen, dass jede Masse m d я* m Kraftlinien aussendet. Es ist dann durch die Kraftlinien Richtung und Grösse derKraft vollständig bestimmt, da letztere gleich der Anzahl der Kraftlinien ist, welche die Flächeneinheit passieren. Einen von elektrischen Kraftlinien erfüllten Raum nennen wir ein elektrisches Feld.

Die Einführung der Kraftlinien ergibt auch eine bequeme Erläuterung der Sätze von Laplace und Poisson. Haben wir nämlich ein Elementarparallel-epiped von den Seiten dx, dy, dz, so ist die Zahl der Kraftlinien, welche durch die linke Fläche dy dz ein-

dV

dy dz, während auf der rechten

dx

treten, gleich —

Seite, wie man mit Zuhilfenahme der Entwickelung von

dV

nach der Taylor’schen Reihe leicht erkennt, die

Zahl —

dx jdy dz austritt. Die Differenz

giebt den Ueberschuss der austretenden Kraftlinien

d²Y

über die eintretenden an, also — dx dy dz- Glei-eher weise erhalten wir für die beiden anderen Rich-

dx

dx²

d² V

dx dy dz und

tungen des Koordinatensystems d² V

— d z² dxdydz*    dena^s in unserm Volum

element keine elektrischen Massen vorhanden sind, muss die Zahl der eintretenden und austretenden Kraftlinien

8f

gleich sein. Wir erhalten daher durch Addition der letzten drei Ausdrücke die Gleichung von Laplace

Л V = 0.

Ist hingegen in dem Volumelement die elektrische Masse m vorhanden, so ist der Ueberschuss der austretenden Kraftlinien über die eintretenden 4тгт, und wir haben

— А V dx dy dz = 4 n m = 4 л q dx dy dz, falls wir voraussetzen, dass die Massen gleichförmig im Volumelement verteilt seien und die Dichte q besitzen. Diese letzte Gleichung ergiebt dann den Satz von Poisson.

zl V — — 4 л Q.

§ 14. Arbeitswert eines Systems elektrischer Punkte.

Der elektrische Massenpunkt m befinde sich in einem Kaum vom Potential V. Der Punkt bewege sich auf dem Weg s. Die Kraft, welche in der Kich-

tung des Wegs auf ihn wirkt, ist also —m — un des leistet auf dem Weg ds die Kraft die Arbeit dL = —

dV

ds.

m - , ds

Gelangt der Punkt von einer Stelle mit dem Potential Vj zu einer andern vom Potential V₂, so haben die elektrischen Kräfte dabei die Gesamtarbeit

JdL = — mV₂ + mV₁=m(V₁—'V₂) geleistet. Diese Arbeit ist von der Form der Bahn vollständig unabhängig. Sie ist nur durch den Anfangs- und Endwert des Po ten-

Arbeitswert eines Systems elektrischer Punkte. 31

tials bedingt. Ist der Endpunkt unendlich weit weg, und haben wir im Unendlichen das Potential

V₂ = 0,

so stellt das Produkt mYj die Arbeit dar, welche die elektrischen Kräfte leisten, wenn der Punkt ins Unendliche gebracht wird. Dieselbe Arbeit muss aufgewendet werden, wenn' wir den Punkt aus dem Unendlichen in den Kaum vom Potential Vj bringen wollen. Es ist daher das Potential nichts anderes als der mechanische Wert oder der Arbeitswert der Masseneinheit.

Bringen wir einen Massenpunkt m₂ aus dem Unendlichen in die Entfernung r₁₂ von der Masse m1? so

kl m

haben wir dabei die Arbeit

zu leisten. Bringen wir nun noch die dritte Masse m„ aus dem Unendlichen

mi m3

ri

dazu, so haben wir noch die Arbeit

ri3

bezüglich

m„ m

r23

aufzuwenden, wenn r₁₃ die Entfernung zwischen

Гец und m₃, r₂₃ jene zwischen m₂ und m₃ ist. Um daher diese Anordnung zu bewerkstelligen, muss die Arbeit

mim2

mi m3

m2 m3

r!2

ri3

Г23

geleistet werden. A ist daher der Arbeitswert dieses Systems.

Es sollen nun auf dieselbe Weise beliebig viel Punkte einander genähert werden. Der Gesamtarbeits-

wert A wird dann durch folgende Gleichung bestimmt sein.

Г12

r!4

f... +

nh

Г12

Bf

_4_

ri3

Г23

Г34

Es ist leicht einzusehen, dass die Summe auf der rechten Seite der Gleichung gleich dem doppelten Arbeitswert ist, da wir jede Arbeit, welche bei der Zuführung eines Massenpunkts aus dem Unendlichen zu leisten ist, doppelt gezählt haben. So finden wir z. B. die Arbeit, welche wir bei der Annäherung von m₂ an nij zu leisten haben, einmal im ersten Summanden, dann noch einmal im zweiten u. s. w. Der Faktor von mt ist nun nichts anderes als das Potential aller Massenpunkte auf den Punkt m₁. Wir wollen es nennen. Desgleichen sei

Г,2

Г23

y2 = ^ + ^₊...

u. s. w. Darnach erhalten wir

2 A = mŁ Y, + m₂ V₂ + .. .

Befinden sich alle elektrischen Massen auf einem leitenden Körper, so muss sein, wobei also Y das konstante Potential im Innern des Körpers vorstellt. Es ist dann

oder

2A = (mi + m₂ + ...) V=MV

MY

wobei A die gesamte Elektrizität auf dem Körper ist. Ueberlegen wir, dass

v=<y

ist, wenn wir unter C die Kapazität des Körpers verstehen, so können wir den Arbeitswert auch durch die Gleichung

M²

darstellen.

Haben wir mehrere Leiter mit den Potentialen

У, V', V"..., so ist der Arbeitswert des gesamten Systems

MV . M'V'

• • •>

A 2

wenn M, M'. .. die Elektrizitätsmengen auf den zugehörigen Körpern sind.

§ 15. Der Druck in der Oberfläche einer elektrisch geladenen Kugel.

Eine leitende Kugel sei auf das Potential У geladen. Ist E die Elektrizitätsmenge und a der Radius der Kugel, so besteht die Gleichung

Der Arbeitswert ist somit

E У E²

2a*

Wir nehmen nun an, die Kugel habe eine bewegliche Oberfläche, wie es etwa für eine Seifenblase gelten würde, und wir suchen nun die Arbeit, welche die

Jäger, Theoretische Physik. ИГ.

Elektrizität bei der Ausdehnung der Kugel leistet. Sie muss der Verkleinerung des Arbeitswerts entsprechen, ist daher durch die Gleichung

E²

-dA=2?da

bestimmt, wenn sich der Radius um d a vergrössert. E²

^2 ist somit nichts anderes als die Gesamtkraft, welche

senkrecht zur Kugeloberfläche nach aussen wirkt. Ihre Grösse sei für die Flächeneinheit P. Es muss also

E²

2 a²

4 я a² P = —-₀

oder

E²

8 n a⁴

sein. Ist die Dichte der Elektrizität vf so E = 4 7t a² a,

mithin

= 2 71 O'⁸.

16 л* a⁴

8 я а⁴

Dieses Resultat hätten wir auch folgendermassen finden können. Die Kraft auf einen Massenpunkt m in der Oberfläche ist nach § 7 gleich 2 n v m. Die Gesamtmasse auf der Flächeneinheit ist <r, daher die Gesamtkraft 2 n o².

§ 16. Theorie der Dielektrika.

Wir fanden für die Kapazität eines Kugelkondensators (§ 11) aus der Formel

a²

E₃ = — В

Theorie der Dielektrika.

35

die Grösse

a²

<5 ’

da ja die angesammelte Elektrizität gleich dem Produkt aus Kapazität und Spannung sein muss. Diese Gleichung gilt aber nur dann, wenn wir den Zwischenraum zwischen den beiden Hohlkugeln mit Luft ausgefüllt haben. Bringen wir jedoch eine andere Substanz, etwa eine nicht leitende Elüssigkeit oder einen festen Isolator hinein, so ändert sich die Kapazität, sie wird grösser. Wir haben daher unsere Formel in

a²

° Ô

abzuändern, wobei c eine Konstante ist, welche nur von der Natur des isolierenden Zwischenmittels abhängig ist. Da Faraday die Isolatoren Dielektrika nannte, so gab er der Grösse c den Namen „Dielektrizitätskonstante“.

Man kann sich vorsteilen, dass die Dielektrika aus Molekeln bestehen, welche zwar die Elektrizität sehr gut leiten, die aber unter einander isoliert sind. Bringen wir deshalb einen Isolator in ein 'elektrisches Feld, so tritt in jeder Molekel eine elektrische Verteilung ein, indem die positive Elektrizität das Bestreben hat, sich

-00000+

-ooooot

- 000004-

-ooooot Fig. 8.

in der Richtung der Kraftlinien zu bewegen, die negative aber entgegengesetzt. Denken wir uns deshalb die Molekeln wie in Fig. 8 angeordnet, und es gehen die Kraftlinien von links nach rechts, so wird die linke Seite der Molekeln negativ, die rechte positiv elektrisch. Im Innern des Körpers heben sich die Elektrizitäten der benachbarten Molekeln wieder auf, und es bleibt nur an der Oberfläche links eine negative, rechts eine positive Schicht freier Elektrizität übrig.

§ 17. Elektrisches Moment — Flächendichte und Raumdichte der Elektrizität.

Wir bringen in ein homogenes elektrisches Feld (Eig. 9), das ist ein solches, in welchem die Kraftlinien gerade, parallel und von konstanter

Fig. 9.

Dichte sind, zwei elektrische Massen -f~ e und — e, welche starr miteinander verbunden sind. Ihre Entfernung sei a, die Feldstärke N. Es wirkt dann auf -f- e eine Kraft N e in der Richtung der Kraftlinien, auf — e in entgegengesetzter Richtung dieselbe Kraft, also — Ne. Unser System erfährt daher ein Drehungsmoment N e a sin cp, und man nennt speziell die Grösse e a das elektrische Moment der beiden getrennten elektrischen Massen e und — e.

Wir denken uns nun ein Dielektrikum in einem elektrischen Feld. Ueberall wirke dieselbe elektrische Kraft, d. h. wir haben ein homogenes Feld. Es werden also alle Molekeln des Dielektrikums gleichmässig polarisiert werden. Wir schneiden nun aus dem Dielektri-kum ein Parallelepiped so heraus, dass eine Kante in die Richtung der Kraftlinien fällt. Es zeigt sich dann nach dem früheren nur auf jenen Flächen, welche senkrecht zu den Kraftlinien stehen, freie Elektrizität. Ihre Dichte sei ff, und wir machen nun die Annahme, dass ff proportional der verteilenden elektrischen Kraft ist. Die Elektrizitätsmengen, welche auf den Endflächen sitzen, sind somit q ff bezgl. — q ff, wenn wir mit q den Querschnitt des Parallelepipeds bezeichnen. Ist dieser sehr klein, so können wir m = q ff 1

das elektrische Moment des Parallelepipeds nennen, vorausgesetzt, dass wir unter 1 seine Länge verstehen. Man pflegt nun den Quotienten aus dem elektrischen Moment und dem Volumen des Körpers das elektrische Moment der Volumseinheit zu nennen, welches somit durch die Formel

l*

q 1 ff

gegeben ist. Für unsern Fall ist aber das Volumen v = ql,

daher

= ff.

Das heisst: das elektrische Moment der Volumseinheit ist gleich der Flächendichte der freien Elektrizität.

Die elektrischen Kräfte können wir in drei Komponenten X, Y, Z zerlegen. Für die Endflächen eines Elementarparallelepipeds in einem Isolator seien die Flächendichten durch «, ß, y gegeben, wobei sich a auf die Fläche senkrecht zur x-Achse bezieht, u. s. w. Wir machen dann die Annahme, dass

a=kX, /? = к Y, У = к Z ist, und geben der Konstanten к den Namen „Elektrisier un gsz ahl“. Aendert sich der Wert von X, Y, Z mit den Koordinaten nicht, so sind auch die Flächendichten a, ß, y konstante Grössen und, wie bereits früher bemerkt, kann demnach im Innern eines Isolators, der von einem homogenen Feld beeinflusst wird, keine freie Elektrizität vorhanden sein. Wächst aber die elektrische Kraft X längs der Strecke d x, so dass wir auf der rechten Seite des Elementarprismas die Kraft X' haben, dann befindet sich dort die Flächendichte а' = к X'.

Während wir also links etwa die freie Elektrizität — a d x d у haben, haben wir dann rechts a' d x d y; und wir können schreiben

д oc

«' = « + — d x.

0 X

Aendert sich nun a längs der x-Achse von Molekel zu Molekel, so können sich die durch Verteilung erzeugten Elektrizitätsmengen im Innern des Körpers nicht mehr vollständig aufheben, sondern es wird zwischen je zwei Molekeln eine freie Elektrizitätsmenge übrig bleiben, welche gleich der algebraischen Summe der beiden zu-sammenstossenden Mengen ist. Für das ganze Volumelement erhalten wir daher unter dem Einfluss der veränderlichen Kraft X eine freie Elektrizitätsmenge

— (а' — a) d y d z = — 7^ d x d y d z,

indem ja der Zuwachs der Flächendichte multipliziert mit der Fläche selbst die Menge der freien Elektrizität angiebt. Die frei werdende Elektrizität ist negativ, wenn wir (Fig. 10) die Kraft X mit der Abscisse x

-OC +GC-CC +C£

Fig. 10.

d x d y d z und

wachsen lassen. Die Kräfte Y und Z erzeugen analog die freien Elektrizitätsmengen —

dx dy d z. Die im Volumelement vorhandene freie

111

дx^dy^dz

\

I d x d y d z,

/

Elektrizität ist also gleich — (

wir können somit die Grösse

'd_a d_ß d_f ^xTayTa z, die Menge der Volumeinheit oder die Dichte der freien Elektrizität nennen, wobei unter q zum Unterschied von der Flächendichte a eine Kaumdichte zu verstehen ist.

Wir setzen nun voraus, die elektrischen Kräfte haben ein Potential V. Wir haben dann

« = kX = —

k⁹!

dx’

i?=kY = -

k⁹!

9f

kdl

dz

Es lässt sich nun unter der Annahme, die Elektrisier-

ungszahl к sei eine konstante Grösse, leicht folgende Gleichung bilden. d⁹V >V d²Y

dfl

dz²

_¹1д-ал_д_А + дА =

к \S    у dz)

dx²

Von früher her (§ 6) wissen wir aber, dass Л Y = — 4 л q

ist. Wir erhalten somit

A    9

— £ 7V Q = -

oder

(1 + 4 n k) q = 0.

Da к einen endlichen Wert hat, so folgt

Q = 0.

Das heisst, im Innern eines Dielektrikums entsteht unter dem Einfluss äusserer elektri

scher Kräfte keine freie Elektrizität.

§ 18. Kapazität eines Leiters, der той einem Dielektrikum umgeben ist.

Ein Leiter (Fig. 11) besitze die Elektrizitätsmenge

CL

Fig. U.

E und befinde sich in der Mitte eines sehr grossen kugelförmigen Dielektrikums. Die Menge E wirkt verteilend auf das Dielektrikum. Es wird daher auf der Oberfläche der Kugel eine Elektrizitätsmenge E' frei und ebenso an der Oberfläche des Leiters die Menge — E', da wir annehmen, dass die Dielektrizitätskonstante к an allen Punkten des Isolators dieselbe Grösse hat. Der Kadius der Kugel sei a. Die Kraft, welche daher

der Oberfläche der Kugel wirkt, ist

, da wir

E—E'

an

a²

bei sehr grossem a annehmen können, die gesamte Elektrizitätsmenge E und damit auch — E' sei im Mittelpunkt der Kugel vereinigt. Auf der Oberfläche haben wir daher die Dichte

E—E'

Da aber

so folgt weiter

а² *

E' == 4 л a² <r,

E'

, E—E'

= к-n—

a²

oder

E' = 4 л к (E — E') =

E.

1 + 4 n к

Es sei die Kapazität unseres Leiters C. Er stände also ohne umhüllendes Dielektrikum auf dem Potential

G’

hingegen bei Anwesenheit des Dielektrikums gilt für jeden Punkt im Innern des Leiters das Potential E—E' E'

was allerdings nur unter der Voraussetzung giltig ist, dass a gegenüber den Dimensionen des Leiters sehr gross ist; denn nur dann haben wir eine gleichförmige Verteilung der freien Elektrizität auf der Oberfläche

E'

der Kugel. Ist aber a sehr gross, so können wir —

a

vernachlässigen und erhalten

E —E'

V' =

Um daher das alte Potential V wieder zu erhalten, haben wir unserm Leiter noch weiter Elektrizität zuzuführen. Das besagt aber nichts anderes, als: die Kapazität eines Leiters wird durch das Umhüllen mit einem Dielektrikum erhöht. Ist der umhüllende Isolator genügend ausgedehnt, so verhalten sich die Kapazitäten

C' : C = E : E — E',

oder

C' = (1 + 4 Tr k) C.

Die Zahl

1 + 4 n к = c,

welche die Zunahme der Kapazität angiebt, ist nichts anderes als die Dielektrizitätskonstante.

§ 19. Wirkung des Dielektrikums in einem Kondensator.

Was wir im vorhergehenden Paragraphen für einen Leiter gefunden haben, können wir unmittelbar auf einen Kondensator übertragen, dessen Kaum zwischen den beiden Belegungen mit einem Dielektrikum ausgefüllt ist. Die Kraft, welche per Flächeneinheit von der einen Belegung A B (Fig. 12) auf die andere A' B',

Analogien zwischen der Theorie der Wärmeleitung. 43

die zur Erde abgeleitet sein soll, ausgeübt wird, ist ohne Zwischenmittel 4 n <r, wenn wir unter a wieder die Flächendichte der Elektrizität auf AB verstehen.

er

-£

+c

B'

Ä'

Fi g. 12.

Ist ein Dielektrikum vorhanden, so wird sich an А В eine Elektrizitätsmenge von der Dichte — e ausscheiden, welche wir nach der Gleichung

£ = 4 ^ к (er — e)

finden, da ja dann 4 tc{g— e) die auf das Dielektrikum wirkende Kraft ist. Die neue Dichte ist somit, wie leicht zu finden,

e = o(l

G/ = G-

1 + 4гск

1 +4тгк '

Darnach erhalten wir auf dieselbe Weise wie im vorhergehenden Paragraphen, dass bei Vorhandensein des ausfüllenden Dielektrikums die Kapazität des Kondensators um 1-j-4^k = c mal grösser ist. Aus diesem Beispiel erkennen wir also unmittelbar, dass l-(-4rck als die Dielektrizitätskonstante anzusehen ist.

§ 20. Analogien zwischen der Theorie der Wärmeleitung und der Elektrostatik.

Für einen stationären Zustand der Wärmeströmung gilt die Gleichung (Bd. II. § 35) d²u d²u d²u

T? ⁺8f ⁺ w = 0’

vorausgesetzt, dass wir es mit einem isotropen Körper zu thun haben. Für die Grenzfläche zweier verschiedener Körper haben wir jedoch

O,: Cü

dn

wenn wir unter u die Temperatur, к die Wärmeleitungsfähigkeit, das Temperaturgefälle in der Richtung der Normalen der Trennungsfläche verstehen. Die erste Gleichung gilt nun ohne weiters auch für die Elektrostatik. In allen Punkten eines elektrischen Feldes, wo keine freien Massen vorhanden sind, wenn wir unter u das Potential verstehen. Aber auch die zweite Gleichung findet ihr Analogon. Denken wir uns eine leitende Fläche AB (Fig. 13) mit der Flächen dichte a.

B’x

А Л’ А”

Fig. 13-

Es geht dann die Kraft kn a von der Flächeneinheit aus. Zwischen AB und A'B' sei nun ein Dielektrikum I. von der Dielektrizitätskonstanten c=l + 4^k, während zwischen A'B' und A"B" ein zweites Dielektrikum II mit der Konstanten c' = l-j-4rck' ist. Verfolgen wir in I eine Schar von Kraftlinien bis zur Fläche A'B', so sieht man leicht ein, dass sie in II

Analogien zwischen der Theorie der Wärmeleitnng. 45

4 7Г O'.

geradeso zahlreich eintreten müssten, wenn I gar nicht vorhanden wäre; denn es wird hei AB ebenso viel Elektrizität ausgeschieden wie bei A'B', da aber beide entgegengesetzt sind, so erleiden die Kraftlinien beim Passieren der Schicht I keinen Abbruch. Eür die Grenzfläche AB gilt nun nach § 7 dV₊ dV.

dn dn

In unserm Fall ist aber

o=ol —e,

wobei o,₁ die Dichte auf AB wäre ohne Vorhandensein eines Dielektrikums. Nach § 19 ist aber

°i

oder

Oj = (1    4 n k) o'.

Wäre das Dielektrikum II an Stelle von I, so gälte gleicherweise

Oj = (1 ~b 4 7i k') o*'.

In der Trennungsfläche A'B' sind nun thatsäch-lich I und II gleichzeitig vorhanden. Eür diese gilt somit

(1 —[— 4 л к') о = (1 -f - 4 л k') (j/. Da nun die elektrische Kraft

dV

dn

К = 4 7Г o' =

ist, so finden wir für die Trennungsfläche A'B' die Gleichung

dV

dV'

was wir auch so schreiben können

dY

dV'

Cdn = °'Xn

Dieselbe Gleichung gilt aber auch für die Wärme-leitung, wenn, wie wir oben sahen, unter c die Wärmeleitungsfähigkeit und unter У die Temperatur verstehen. Wir können somit ohne weiteres Probleme der Wärmeleitung auf die Elektrostatik und umgekehrt übertragen. Die Leiter der Elektrizität sind dabei als Dielektrika von unendlich grosser Dielektrizitätskonstanten aufzufassen. Wie also in einem Leiter das Potential in allen Punkten gleich gross ist, so ist in einem Körper von unendlich grosser Wärmeleitungsfähigkeit auch die Temperatur konstant. Eür die Rechnung sind Ae qui -potentialflächen und Flächen gleicher Temperatur, Kraftlinien und Strömungslinien gleichbedeutend. Wir fanden auch zwischen der Flüssigkeits- und Wärmeströmung formale Analogien (Bd. II. § 35). Sie bestehen natürlich gleicherweise zwischen den Erscheinungen der Flüssigkeitsströmung und der Elektrostatik.

Magnetismus.

§ 21. Grunderscheinungen — Coulomb’s Gesetz.

Wir erkennen die magnetischen Kräfte an ihrer anziehenden Wirkung auf Eisen. Zwei Stellen eines Magnets pflegen in der Kegel besonders kräftig zu wirken, wir nennen sie die Pole, weil sie entgegengesetzte Eigenschaften besitzen. Hängen wir nämlich den Magneten frei beweglich auf, so stellt sich die Verbindungslinie der beiden Pole immer in der Richtung Kord-Süd ein, und wir nennen den nach Norden zeigenden Pol den Nordpol, den andern den Südpol. Der Nordpol eines Magnets stösst den Nordpol eines andern ab, zieht aber den Südpol an; gleicherweise stösst auch der Südpol des einen den Südpol des andern ab. Gleichnamige Pole stossen einander ab, ungleichnamige ziehen einander an.

Lange Stahlnadeln lassen sich so magnetisieren, dass fast nur die Enden Magnetismus zeigen. Mit solchen Nadeln fand Coulomb das Gesetz, dass sich zwei gleichnamige Magnetpole mit einer Kraft abstossen, welche verkehrt proportional dem Quadrat ihrer Entfernung ist und direkt proportional dem Produkt der magnetischen Massen beider Pole. Wir haben somit genau dasselbe Gesetz wie bei elektrostatischen Kraftwirkungen (§ 1), können es deshalb auch in die Form

mm'

r²

kleiden.

§ 22. Magnetisches Feld —Erdmagnetismus —Deklination — Inklination — magnetisches Moment.

Aus der Uebereinstimmung des Kraftgesetzes zwischen zwei magnetischen Massen mit jenem für die Elektrizität lässt sich leicht erkennen, dass man viele Begriffe der Elektrostatik ohne weiters auf den Magnetismus übertragen kann. Jede magnetische Masse erzeugt ein Kraftfeld, welches wir durch magnetische Kraftlinien darstellen können, deren Zahl pro Flächeneinheit die Grösse der magnetischen Kraft giebt. Yon jeder Masse m gehen 4ят Kraftlinien aus. Positive magnetische Massen suchen sich in der Richtung der Kraftlinien, negative entgegengesetzt zu bewegen.

Da jeder Magnet sich in der Richtung von Nord nach Süd einzustellen sucht, müssen wir den uns umgebenden Raum selbst als ein magnetisches Feld ansehen, und zwar zeigt sich, dass bei möglichster Fernhaltung von Eisen und ähnlichen Substanzen, die vom Magneten stark angezogen werden, wir es mit einem homogenen Feld zu thun haben. Das Vorhandensein dieses grossen magnetischen Feldes schreiben wir dem Erdmagnetismus zu. Die Vertikalebene, in welche sich ein nach allen Richtungen frei beweglicher, im Schwerpunkt aufgehängter Magnet einstellt, nennen wir den magnetischen Meridian, den Winkel, welchen dieser mit dem astronomischen Meridian ein-schliesst, die Deklination, den Neigungswinkel der Nadel zum Horizont, die Inklination.

Da sich in einem magnetischen Feld der positive und negative Magnetismus in entgegengesetzter Richtung zu bewegen sucht, müsste sich ein Körper, welcher die eine Art Magnetismus im Ueberschuss besitzt, nach der entsprechenden Richtung bewegen. Eine solche Bewegung konnte aber bisher noch an keinem Magneten nachgewiesen werden. Wir müssen deshalb annehmen, dass in jedem Magneten ebensoviel positiver als negativer Magnetismus vorhanden ist.

Wir wollen nun die Stärke des magnetischen Felds der Erde mit E bezeichnen. Wir können E in eine vertikale und eine horizontale Komponente zerlegen. Erstere ist

V = E sin i,

H = E cosi,

letztere

wenn wir unter i den Inklinationswinkel verstehen. Auf den Magnetpol m (Fig. 14) wirkt daher vertikal die Kraft m V, horizontal m H. Dieselben Kräfte, nur in entgegengesetzter Pachtung greifen in — m an. Ist der Magnet um О drehbar, so erzeugen die Kräfte das Drehungsmoment (Bd. I. § 28) m Y1 cos (p — m H1 sin до,

wenn wir 1 die Entfernung der beiden Magnetpole nennen. Der Schwerpunkt des Magnets sei in S in der Entfer-

-m

VS

<e.

jrt H

ï vrK

Fig. 14.

nung d von 0. Das Gewicht des Magnets sei P. Dann erzeugt dieses das Drehungsmoment —Pdcosç>, wenn q> der Winkel des Magnets mit dem Horizont ist. Soll sich der Magnet somit im Gleichgewicht befinden, so muss

mVlcos cp — m H1 sin cp — P d cos p = 0 sein. Dabei ist also vorausgesetzt, dass die Drehachse des Magnets senkrecht auf dem magnetischen Meridian steht. Die Grösse ml = M

nennt man das Moment des Magnets oder kurz das Jäger, Theoretische Physik. Ш.

Auf diese Weise bestimmt man mit Hilfe der In-klin at ionsnadel die Pachtung der erdmagnetischen Kraft.

Steht die Drehachse nicht senkrecht zum magnetischen Meridian, sondern schliesst die Schwingungsebene mit dem Meridian den Winkel гр ein, so kann, vorausgesetzt, dass die Achse horizontal steht, nicht mehr die gesamte Horizontalkraft H wirken, sondern nur die Komponente Hcos^> und die Gleichgewichtsbedingung wird

oder

M Y cos cp — MH cos гр sin cp — P d cos cp = 0,

tg?>

magnetische Moment. Aus der letzten Gleichung erhalten wir leicht

tg <P = ~

MY — Pd

MH

oder

Y Pd Esini Pd

Pd

MH

MH

E cosi

Wenn wir nun die Nadel ummagnetisieren, so werden die Pole vertauscht. Dann wirkt das Moment des Schwerpunkts entgegengesetzt, und wir bekommen

tgqp' = tgi-ł

Pd

MH’

folglich

tgi

tgy + tgy⁷

MY —Pd M H COS гр ’

71    TC

Für cos ip = -^ wird demnach tg cp = со oder cp = Die Magnetnadel stellt sich somit vertikal, wenn die

Schwingungsebene des Magnets senkrecht zum Meridian steht. Auf diese Weise kann man also auch ohne Deklinationsnadel die Richtung des magnetischen Meridians auffinden.

§ 23. Potential eines Magnets.

Wir nahmen bisher immer an, ein Magnet bestehe aus zwei punktförmigen magnetischen Massen. In einem homogenen magnetischen Feld ist dies immer gestattet, da ja dann sämtliche Massen im Massenmittelpunkt vereinigt gedacht werden können (Bd. I. § 21). Wir können daher den Magnet immer durch zwei punktförmige Massen, welche gleich gross aber entgegengesetzt sind, ersetzen. Diese Massen +m und —m (Fig. 15) seien vom Punkt P um bezüglich r₂ entfernt. Wie

'r,

Wrrv

В -m

Fig. 15.

bei elektrischen Massen können wir nun auch hier vom Potential der magnetischen Massen auf den Punkt P sprechen. Es wird

v=“_”

Г1 Г2

sein; denn es wäre ja die Kraft, welche m auf die

r² '

positive magnetische Masseneinheit in P ausübt, gleich

-₂ und ebenso die Kraft von —m gleich ——.

r₂

zugehörigen Potentiale sind also—und--, und die

Г1 Г2

Summe beider ist das Potential Y des Magneten auf den Punkt P.

Halbieren wir die Strecke А В = A in О und setzen wir OP = r, so folgt

ri

Die

A²

rr² — r²-{-~ — r A cos e,

A²

r₂ ² = r² + — + r A cos e.

Es ergiebt sich ferner

ri

₌(г._дгсо„₊^)"т4(₁_

C0S£+i?)

=Hi+^cose)’

wenn wir voraussetzen, dass A gegen r eine kleine

А

Grösse ist. so dass wir nur die erste Potenz von —

r

zu berücksichtigen brauchen. Gleicherweise erhalten wir

mithin

1    1Л    л    \

— = •— 1 — — cos г , r₂    r \    2r    )

A cos г

und

ri    Г2

r²

m A cos s Mcos«

r²

Der Punkt P habe nun die Koordinaten x, y, z, der Punkt О gleicherweise a, b, c. Ferner schliesse die

Gerade AB mit den Achsen des Koordinatensystems

die Winkel f, g, h ein. Dann gilt

COS£

x—a CIУ—b    Iz—c ,

-COS I H--COS g H--COS ll,

r    r ° r

und es wird

v=

M (x — a) cos f -J- M (y — Ъ) cos g -f- M (z — c) cos h

r³

Die Grösse AB = i können wir nun auf die drei

Koordinatenachsen projizieren und erhalten so die Längen Л cos f, Л cos g, Л cos h. Folglich ist es erlaubt, m Л cos f = M cos f = A, m Л cos g = M cos g = В, m Л cos h = M cos h = C

die Ko m p on ente n des magnetischen Moments bezüglich der drei Achsen zu nennen, und es wird so das Potential

y_ A(x —a) + B(y —b) + C(z —c)

r*

. (8)

Wir wollen dieses Potential jetzt benützen, um die magnetischen Kräfte zu berechnen, welche ein Magnet, der im Ursprung eines Koordinatensystems (Fig. 16) so

ft

*A

-N-

-X

Fig. 16.

liegt, dass seine beiden Pole in der x-Achse und gleichweit vom Ursprung entfernt sind, in einem Punkt A äussert. Es sind dann die Momente В = C = 0, während A = M das Gesamtmoment bedeutet. Es ist weiter a — b = c = 0, mithin

Mx

av

Für die magnetischen Kräfte erhalten wir sonach M , 3Mx²

od cd

r³

r⁵ '

3Mxy

od

<*<

r⁵

3Mxz

r⁵

dz

was ohne weiteres verständlich ist, wenn wir überlegen, dass

also

r2 __ X²у‘²Z²^

dr xd r у dr dx r ' dy r ' dz

ist. Befindet sich der Punkt in der x-Achse, etwa in P, so wird x = r; also

2M

r³

Y = Z — 0.

Für einen Punkt in der x-Achse ist z = r, somit und wieder

Y = Z = 0.

§ 24. Bestimmung der Intensität des Erdmagnetismus und des magnetischen Moments.

Wir legen einen Magnet (Fig. 17) so, dass er senkrecht zum magnetischen Meridian M N ist. Er erzeugt dann im Punkt P in der Entfernung r vom

Mittelpunkt 0 des Magnets ein magnetisches Feld von

2M

der Stärke -p—. Er wird daher eine kleine Magnet-

nadel im Punkt P um den Winkel

ablenken, indem

Fig. 17.

2M

er auf sie ein Drehungsmoment —₃-M' cos cp ausübt,

wenn M' das magnetische Moment der Nadel und cp der Winkel der Nadel mit dem magnetischen Meridian ist. Gleichzeitig erzeugt die Horizontalintensität H des Erdmagnetismus das Drehungsmoment — M' H sin cp. Für das Gleichgewicht der Nadel gilt somit

2M

— M' H sin cp -f- M

r³

cos cp — 0

oder

r³

K=Y ig,p-

Wir sind also in der Lage, den Quotienten ^ zu

bestimmen, erhalten aber keinen Aufschluss über den wahren Wert der Grössen M und H. Die3 erreichen wir erst durch einen sogenannten Schwingungsv ersuch. Wir wollen zu dem Zweck unsern Magnet an

einem langen Faden aufhängen, so dass er leicht in einer Horizontalebene schwingen kann. Schliesst er mit dem magnetischen Meridian den Winkel cp ein, so giebt ihm der Erdmagnetismus ein Drehungsmoment — MH sin gp, und wir erhalten für seine Bewegung die Gleichung

d² cp

dt²

= — M H sin

(Bd. I § 28), wenn wir unter К sein Trägheitsmoment verstehen. Sind die Schwingungen nicht gross, so können wir sin cp— (p setzen, und die Bewegungsgleichung wird

MH

d² cp

~dF

Das ist aber dieselbe Gleichung wie jene für die Schwingungen eines Pendels (Bd. I § 9), und wir erhalten für die Schwingungsdauer

MH'

—у-к

woraus folgt, dass

MH =

л²К

*²

ist. Wir können also nach der von Gauss angegebenen

M

Methode sowohl den Quotienten -g-, als das Produkt

MH experimentell bestimmen und sind jetzt in der Lage, sowohl die Grösse des magnetischen Moments M, als auch die der Horizontalkomponenten des Erdmagnetismus anzugeben.

§ 25. Magnetische Induktion — Potential eines magnetisch induzierten Körpers.

Bringen wir Eisen in die Nähe eines Magnets, so wird es selbst magnetisch. Wir können diese Erscheinung so auffassen wie die Elektrisierung eines Dielektrikums, welches wir in ein elektrisches Feld bringen (§ 16). Wir können annehmen, in jeder Molekel werde gleichviel positiver und negativer Magnetismus ausgeschieden u. s. w. und nennen diesen Vorgang „magneti sehe Induktion“. Wir werden als magnetisches Moment der Volumeinheit ii — к P

erhalten, wenn wir unter P die magnetisierende Kraft verstehen, während jetzt к die Magnetisierungszahl heisst. Die Komponenten des Moments ft sind

“ —kX, /? = kY, r = kZ,

während X, Y, Z die Komponenten von P bedeuten. Das Potential des ganzen Körpers werden wir finden, wenn wir das Potential eines Volumelements suchen und dann über das ganze Volumen des Körpers integrieren. Das Potential eines Volumelements da db de erhalten wir aber leicht nach Gleichung (8). Als magnetisches Moment des Volumelements bezüglich der drei Achsen haben wir

A = adadbdc, B=/?dadbdc, C=ydadbdc,

folglich als Potential    ,

a(x — a) + ß (x —b) + 7(x — c)

dV

da db d c. (9)

Dabei ist

r² = (x — a)² + (y — b)² (z — c)². Differenzieren wir diese Gleichung nach a, so finden wir leicht

was wir weiter benützen können, um folgende Gleichung zu bilden

1 dr

r² da

r³ *

Auf ganz dieselbe Weise erhalten wir x — b d

' de [ r ,

Diese Grössen können wir nun in die Gleichung (9) einsetzen und erhalten dann durch Integration das Potential des gesamten Körpers

ab

r³

r³ *

~\~ß

J-(±)

dh \ r /

Cb

+yle

(4-)]

da db de.

Es ergiebt sich nun weiter

da db de —

-Я

db de

T-f

1 da

r da

Fassen wir ein Oberflächenelement dO unseres Körpers ins Auge, dessen Normale mit den Koordinatenachsen die Winkel f, g, h einschliesst, so können wir dOcosf— dbdc

setzen, gleicherweise

dOcosg = dadc, d О cos h = da db.

Das erlaubt uns, unser Potential folgendermassen umzuändern

-tf

a cos f -j- /? cos g -j- 7 cos h

dO —

da d ß

dy

-ЯЖ». ' n;

Es zerfällt also im Allgemeinen in zwei Teile, deren einer sich bloss auf die Oberfläche, der andere bloss auf das Volumen des Kö r p e r s bezieht. Es ist auch unmittelbar klar, dass a cos î-\- ß cos g + y cos h = о

sein muss, wenn wir unter a die Oberflächendichte des Magnetismus verstehen, während da dß dy\

äT ⁺ ä¥ ⁺ Tc"j = ?

die Dichte des freien Magnetismus im Innern des Körpers ist (§17). Unser Potential wird sonach

d a db de.

(■

ШЧГЯ

<3/ и

da db de.

Diesen Ausdruck hätten wir ohne weiteres bilden können, wenn wir von vornherein die Begriffe des freien Magnetismus in der Oberfläche und im Innern eines Körpers aufgestellt hätten, indem er ja nichts anderes besagt als die gewöhnliche Definition des Potentials, dass es gleich ist der Summe sämtlicher vorhandenen Massen, jede einzelne dividiert durch ihre Entfernung von jenem Punkt, für welchen das Potential bestimmt wird.

§ 26. Die homogen magnetisierte Kugel.

Ist eine Kugel homogen magnetisiert, so heisst das, das magnatische Moment der Yolumeinheit ist in

allen ihren Punkten gleich gross und gleich gerichtet. Wir wollen es mit der Richtung der x-Achse eines Koordinatensystems zusammenfallen lassen. Für das magnetische Moment der Volumseinheit gilt also a — konst., ß — y = 0.

Nach dem vorhergehenden Paragraphen ist nun a(x —a)

wobei wir

-tfj

r³

da dh de,

r³

oder auch

r³

setzen können. Sonach wird

1(1)

dx \ r /

-ЯМШ

da dh de —

d C C C a

«— I I I — da db de.

JJ J г

Es ist dies erlaubt, weil ja nach der Variablen x keine Integration vorkommt. Für die Vollkugel haben wir nun, wenn der Punkt, auf welchen das Potential

sich bezieht, ausserhalb gelegen ist (§ 4) fjf“ dadbdc=!l p3“

3 ' E '

wenn p der Radius der Kugel und R die Entfernung des Kugelmittelpunkts von dem ausserhalb gelegenen Punkt ist. Darnach finden wir d 4 тгар3 3R

wenn wir den Kugel-Mittelpunkt in den Ursprung des Koordinatensystems verlegen, indem dann ü²=x² + y² + z²,

4 тгар³ x

3 R³

1 £E

к² ах

Е³

ist. Da a das magnetische Moment der Volumeinlieit 4 ж p³

———das Volumen der Kugel ist, so ist

О

4яр³ ce

nichts anderes als das magnetische Moment der Kugel. Damit wird das Potential

Mx

K³

Dasselbe Eesultat haben wir aber für einen kleinen Magnet vom Moment M (§ 23) erhalten, dessen Pole in der x-Achse zu beiden Seiten des Ursprungs liegen. Es kann daher die Wirkung einer homogen magnetisierten Kugel durch einen kleinen Magnet vom selben magnetischen Moment ersetzt werden.

Fig. 18.

Suchen wir die magnetische Kraft in einem Punkt P (Fig. 18) der Kugeloberfläche, so haben wir x = Ecos

zu setzen, das Potential wird also M

= -jgT cosy.

9>

Die Kraft im Punkt P wollen wir in eine Komponente in der Richtung des Radius und eine senkrecht darauf zerlegen. Erstere wird demnach sein

av 2M — ITr ⁼ TP”cos

letztere

av

M sin cp

R³

R d (p

Für die x-Achse selbst ist <jp = 0. Wir haben daher nur eine Kraft in der Richtung des Radius. Eine Magnetnadel würde sich also dort senkrecht zur Kugeloberfläche stellen. In der yz-Ebene hingegen ist

to a

<P =

. Dort haben wir also nur eine Kraft parallel

zur Kugeloberfläche. Ein ähnliches Verhalten zeigt unsere Erde, wenn wir die Verbindungslinie ihrer

dO

7W

Fig. 19.

beiden magnetischen Pole als die x-Achse auffassen. An den beiden magnetischen Polen steht thatsächlich die Magnetnadel senkrecht, am Aequator horizontal. Doch trifft dies nur annähernd zu. Wir können demnach aus den Beobachtungen auf der Erdoberfläche nicht ohne weiteres auf die Verteilung des Erdmagnetismus schliessen, kann ja doch ein kleiner starker

Magnet eine homogen magnetisierte Kugel vollständig ersetzen.

Wir wollen nun das Potential unserer homogen magnetisierten Kugel auf einen innerhalb liegenden Punkt M (Fig. 19) berechnen, der vorerst in der x-Achse liegen soll. Da wir im Innern keinen freien Magnetismus haben, so ist q = 0, und es wird

Es ist ferner

=ЯЯ°

a — a cos f,

daher

Г f cosf

“J J u-d0'

Da um die x-Achse alles symmetrisch ist, so können wir

d0==pdf.2^psinf=27rp²sinfdf setzen. Darnach wird

(10)

Y = 2 яр²а

cosf sin f df

Wir haben ferner

u² = p²-)-x²—2p X cosf

und durch Differentiation

u d u = p X sin f d f, während aus der Gleichung für u²

cosf

p2_|_X²— U²

2px

folgt. Führen wir diese Grössen für cosf und sinfdf in die Gleichung (10) ein, so bleibt uns

2р²х*

J* (p³+x²—n‘)du =

p-x

-?[>■+

x²)u —

P +X

t]

4л a X

p-x

was durch Einsetzen der Grenzen p — x und p+x leicht gefunden wird. Diese sind die Werte des u für die Winkel f = 0 und î=n. Unser Potential ist also der Abscisse x proportional. Die Kraft parallel zur x-Achse wird daher

4л a

3 ’

während sie senkrecht darauf Null ist. Wenn wir aber keine Kraft senkrecht zur x-Achse haben, so heisst das : Die Kraftlinien sind parallel. Es gilt daher der Ausdruck unseres Potentials nicht nur für Punkte in der x-Achse, sondern überhaupt für jeden Punkt im Innern unserer Kugel. Eür einen Punkt in der Oberfläche wird x == p cos f.

Ferner wissen wir von früher, dass 4 я: p³ a

dx

das magnetische Moment der Kugel ist. Wir können daher

4 ла

3M

P³

setzen und die Gleichung bilden 4лах

Mpcosf Mcosf

p³

p²

Dieselbe Formel fanden wir aber schon oben, nur ersetzten wir dort p durch B. Die Werte der beiden Ausdrücke für das Potential auf einen Punkt innerhalb und ausserhalb werden also, wie es ja auch sein muss, für die Oberfläche der Kugel gleich.

§ 27. Magnetische Induktionslinien — Potential einer Kugel in einem homogenen magnetischen Feld.

Bringen wir einen. Körper in ein magnetisches Feld, so wird in ihm Magnetismus induziert, an seiner Oberfläche wird Magnetismus frei. Dieser freie Magnetismus wirkt nun abermals induzierend auf den Körper ein und verändert daher die Lage der magnetischen Kraftlinien sowohl im Innern des Körpers als auch ausserhalb. Diese neuen, infolge der Induktion erzeugten Kraftlinien pflegt man daher auch häufig die magnetischen In dukt ions linie n zu nennen.

Bringen wir eine Kugel in ein homogenes magnetisches Feld, so ist die erste Erscheinung eine homogene Magnetisierung. Von einer solchen Kugel wissen wir aber, dass in ihrem Innern die Kraftlinien parallel laufen. Folglich können auch die frei gewordenen Magnetismen das homogene Feld im Innern der Kugel nur seiner Stärke nach verändern.

(и)

Die ursprüngliche Feldstärke sei P. Diese ruft das magnetische Moment der Volumeinheit

a -- kP

hervor, was das Potential

4 n ax

und die Kraft

dx

Jäger, Theoretische Physik. НГ.

auf einen Punkt im Innern der Kugel zur Folge hat. Den wahren Wert des a finden wir also nicht aus der Gleichung (11), sondern aus der Formel

« = k(P + X),

wobei X jene magnetische Kraft ist, welche vom induzierten freien Magnetismus ausgeht. Daraus folgt was wir weiter umformen können in

“(т + тг)“р'

1    . 4 то

Für Substanzen, wie Eisen, Nickel u. s. w. ist nun к so gross, dass wir gegenüber    vernachlässigen

können. Es wird dann

CO

71

Das magnetische Moment einer Kugel vom Radius p ist nun

— p³a = p³P.

ó

Es ist also gleich dem Produkt aus der 3. Potenz des Radius und der Feldstärke, wenn nur der Körper eine grosse Magnetisierungszahl besitzt. Ist hingegen die Magnetisierungszahl wie bei den meisten Körpern

4 n    i

und wir erhalten

sehr klein, so kann — gegen -g- vernachlässigt werden, a = kP,

§ 28. Satz von Thomson — magnetische Induktionskonstante — formale Analogien.

Bezeichnen wir das Potential im Innern eines

Körpers mit V_, ausserhalb mit V_|_, die Dichte des freien Magnetismus an der Oberfläche mit a, so gilt für die Oberfläche die Gleichung (5)

4 я: O'.

dv+ av_

du

du.

Für die Komponenten des magnetischen Moments der Volumeinheit haben wir

Æ

dx ’ ß

*У

dz

Ferner ist

a=a cos    cos g -f~ y cos h,

wenn f, g, h die Winkel der Normalen n zur Oberfläche mit den drei Achsen sind, folglich dV-

k(4roosf4

dy

8Y-

coss +ТГ

cos h

Obige Gleichung kann daher geschrieben werden

av₊ dY-

av_

4 тгк—

oder

(1 + 4wk) 0n

av__av₊

dn

eine Gleichung, die zuerst von Thomson aufgestellt wurde. Auch diese Gleichung ist uns schon aus der Theorie der Dielektrika bekannt. Sie existiert ja für die Oberfläche eines Dielektrikums, welches mit dem freien Daum in Berührung steht, nur ist dort die Grösse l + 4rck die Dielektrizitätskonstante, während wir sie hier die magnetische Induktionskonstante nennen.

Stossen zwei Körper zusammen mit den Magnetisierungszahlen к und k', so gilt natürlich analog

dV    dY'

(l + 4*k)^r = (¹+⁴*k')-^.

Diese Gleichung führt uns aber wiederum zur Analogie mit der "Wärmeieitung und der Flüssigkeitsströmung.

§ 29. Transversal magnetisierter Cylinder im homogen magnetischen Feld.

Wir haben einen unendlich langen Kreiszylinder aus Eisen (Fig. 20), dessen Achse die y-Achse eines Koordinatensystems bilden soll. Der Cylinder befinde

Fig. 20.

sich in einem ursprünglich homogenen magnetischen Feld, dessen Kraftlinien parallel zur x-Achse laufen. Durch die auf dem Zylinder frei werdenden magnetischen Massen wird das homogene Feid gestört; wir wollen die auf diese Weise entstandenen magnetischen Induktionslinien kennen lernen. Die Anschauung er-

giebt unmittelbar, dass längs einer zur y-Achse parallelen Geraden, das Potential einen konstanten Wert haben muss. Nennen wir das Potential im Innern des Zylinders Vi, ausserhalb Ye, so wird sonach dVi a²Yi dYe d²Y<

dy dy² dj dy2 sein. Ausserhalb und innerhalb des Zylinders gilt

AY = 0,

da nur an der Oberfläche freie magnetische Massen vorhanden sind. Dies führt zu den Gleichungen

r dz2    u

ex²

und

a²Yi , a²Yi

д X²

o.

dz²

Jede Funktion von x + zi ist eine Lösung dieser Gleichung. Wir werden in der Folge sehen, dass die Gleichungen

Ye = A(x + zi) +

x -J-zi’

Yi — A' (x -j- z i) -f-

В'

x + zi

sich mit den von uns gestellten Bedingungen vertragen, also als Lösungen unserer Aufgabe angesehen werden können. Es muss nun der reelle Teil der von uns auf

gestellten Lösung für sich wieder eine Lösung sein, wodurch wir

Ye = Ax-f

Bx

Yi = A'x4

erhalten.

x² + z²’ B'x x² + z²

Betrachten wir das Potential in einem von unserm Zylinder sehr weit entfernten Punkt, so wird x²-f-z²

sehr gross,

Bx

x²+z²

sehr klein, daher

und die Kraft

Ve = Ax

dVe

dx

A.

Wir haben also thatsächlich, wie wir es voraussetzten, in weiter Entfernung vom Zylinder ein homogenes magnetisches Feld. Für die Achse des Zylinders wird x² + z² = 0. Da aber Vi nicht unendlich werden kann, so muss B' = 0 sein, und es bleibt

dVi

Vi = A'x,

Also auch im Innern des Zylinders existiert ein homogenes magnetisches Feld. Der Zylinder ist transversal magnetisiert, und zwar laufen die magnetischen Induktionslinien parallel zur x-Achse.

Setzen wir nun

A'.

so wird

X = r cos <jp,

Ve

=(Аг+т)

cosgp, Vi = A'r cosgp.

Für die Oberfläche des Zylinders muss Ve = Vi

werden, das heisst, es muss

(12)

А а -|--— A' a

a

sein, wenn wir unter a den Radius des Zylinders verstehen. Ferner muss

n , . M*Vi dv( ₍¹+4як)_ = т_

sein, woraus folgt

(1 + 4тгк) A' = A —

а²’

(13)

Gleichung (12) können wir nun auch noch so

schreiben

= A'.

A+ a²

Eliminieren wir aus den beiden letzten Gleichungen

, so ergiebt sich leicht А В

l + ä^k' а²    1-\-2лк

Das magnetische Moment der Volumeinheit des Zylinders ist

. dVi

к -=—

А'

2^k

А.

к А _____

1 + 2лк 1+2*

Wir erhalten also eine ähnliche Formel wie für die Kugel (§ 27).

Ist eine Veränderliche durch eine Gleichung mit komplexen Zahlen gegeben und trennen wir sie in zwei Gleichungen, deren eine nur den reellen, die andere nur den imaginären Bestandteil enthält, so entsprechen diesen Gleichungen Kurvenscharen, deren eine die orthogonalen Trajektorien der anderen sind. Während also

Vi = A'x, Ve = Ax +

uns die Niveauflächen des Potentials gehen, liefern uns die imaginären Bestandteile

dx

kA' = —

Bx

r²

Ui = A'z, Ue = Az — ^

die magnetischen Kraftlinien.

In grosser Entfernung vom Zylinder laufen die Kraftlinien parallel zur x-Achse. Wir wollen eine herausheben (Eig. 21), für welche z = h ist. Wir haben Bh

r²

dann, da —y a^s se^r klein zu betrachten ist,

Ue = Ah.

Die allgemeine Gleichung der Induktionslinien ausserhalb des Zylinders wird daher

2 я к а²

Az,

(14- 2 я к) г²

г²

Ah =Az — —y = A z-J

wenn wir den Wert von В dem Obigen entnehmen. Durch Kürzung ergieht sich schliesslich 2 яка²

14~2як *x²4-z²‘

Es sind die magnetischen Induktionslinien somit

Kurven dritten Grads. Der Punkt C, in welchem die

CL

Fig. 21.

Induktionslinie die Oberfläche des Zylinders trifft, hat die Ordinate zr Eür diese ist x²4"Z² = a². Unsere Gleichung wird

h = Zj4

2 як

14~ 2 я к Zj ’

Bei einem Eisenzylinder ist к so gross, dass wir Eins gegen 2 я к vernachlässigen können, woraus folgt

1.

Alle Kraftlinien, welche also im Unendlichen eine Ordinate kleiner als 2 a haben, gehen durch unsern Zylinder. Das Eisen zieht sozusagen die Kraftlinien gegen sich.

Auf ganz dieselbe Weise könnten wir die Strömungslinien der Wärme finden, wenn wir in einen Kaum von konstantem Temperaturgefälle einen Zylinder brächten. Wäre dessen Wärmeleitungsfähigkeit gegenüber jenem des umgebenden Kaums sehr gross, so würden die Strömungslinien genau so wie die magnetischen Induktionslinien des Eisens verlaufen.

Wie ein Vollzylinder lässt sich auch ein Hohlzylinder berechnen. Es zeigt sich da, dass im Innern des Hohlraums ein homogenes magnetisches Feld vorhanden ist, welches um so Schwächer wird, je stärker die Wände des Zylinders sind. Man nennt diese Erscheinung die magnetische Schirmwirkung des Eisens.

§ 30. У erhalten der Körper топ sehr kleiner Magnetisierungszahl im magnetischen Feld.

Bei Körpern von sehr kleiner Magnetisierungszahl können wir die Rückwirkung der induzierten Magnetismen gegenüber den induzierenden Kräften vollständig

-X

X-

vernachlässigen, sonach die magnetischen Momente

Fig. 22.

Durch die Kräfte X, Y, Z würden

a=kX=—

dV

k<^=kY=-k

keJ

, j, = kZ = —

erzeugt. Die Wirkung der Kraft X auf einen kleinen Magnet ns (Fig. 22) lässt sich folgendermassen darstellen. Haben wir im Punkt О mit den Koordinaten X, y, z die Kraft X, so finden wir in n die Kraft

X'=X+7>s

ax . ax . ax ,

8z

wobei

ИМ

Л    Л

— cosf, tj = - - cos g, £= —cosh

ist. Unter Л ist also die Länge des Magnets, unter f, g, h sind die Winkel, welche er mit den Achsen ein-schliesst, zu verstehen. In s haben wir analog die Kraft

_    ax    ax    ax,

X" = X — f — -x— rj —f.

дх b    dy    dz

Unser Magnet habe in n die magnetische Masse -)-m, in s die Masse —m. Als Kraft auf unsern Magnet haben wir also

/ax Æ , ax , ax \ = 2m>l^äTcosf+I7cosg+‘a7cos у

Wir denken uns nun ein Yolumelement dxdydz unseres Körpers im magnetischen Feld. Sein magnetisches Moment ist ^dxdydz. Darauf wird die magnetische Kraft gerade so wirken wie auf unseren kleinen Maguet, dessen magnetisches Moment m Л ist. Wir können daher als Kraft auf das Yolumelement

/ax

dK — ^ dx dy dz I -q-£ s= dx dy dz ^

cosf -f

ax

cos g “f

ax

az

cosh ==

Tx

дУ

az yt

annehmen, da ja u. s. w. ist.

Setzen wir nun für X den Wert

dv

77 u- s- f-’

desgl. für a, ß, y die Werte aus den eingangs erwähnten Gleichungen, so finden wir für die Kraft

kdxdydz ^

ay n av a²v dv

dx’dx’² dj'dxdj d z ' д x d z = - “dxdydz J^(X² + Y²+Z²) = dxdydz^(^Kj.

Gleicherweise finden wir für die Kräfte nach der y- und z-Achse

dxdydz^^)

dxdydz-A&).

und

§ 31. Die magnetische Kraft auf einen langen Cylinder, dessen eines Ende sich im magnetischen Feld befindet.

Wir nehmen an, wir hätten das eine Ende eines Cylinders in einem magnetischen Feld, etwa zwischen den zwei Polen eines Hufeisenmagnets (Eig. 23). Für die Kraft, welche der Magnet auf unseren Cylinder parallel zur x-Achse ausübt, erhalten wir nach den Gleichungen des vorhergehenden Paragraphen

Da wir aber zur yz-Ebene alles symmetrisch haben, so sind auch die Kräfte R₀ und einander gleich. Daher wirkt in der Richtung der x-Achse auf Cylinder keine Kraft, ebenso in der Richtung der y-Achse. Für die Kraft in der Richtung der z-Achse haben wir jedoch

unseren

Dabei ist R' die Kraft am Ende des Cylinders zwischen den Magnetpolen, R" jene am entgegengesetzten Ende. Diese sei gleich Null. Es bleibt dann bloss

/.ff'

dx dу

qkR

wenn q der Querschnitt des Cylinders ist. Wir setzen hier voraus, dass das magnetische Feld am Ende des

Fig. 23.

Cylinders an allen Punkten den konstanten Wert R/

qkR

hat.

-— ist also die Kraft, mit welcher unser À

Cylinder in das Feld hineingezogen wird. Diese Kraft lässt sich mit der Wage bestimmen, so dass wir hier

eine Methode haben, bei bekannter Kraft В/ die Magnetisierungszahl k, oder bei bekannter Magnetisierungszahl die Feldstärke В/ zu finden.

§ 32. Kraftfunktion und Potential der magnetischen Kräfte.

Wir fanden (§ 30) für die Kraftkomponenten, welche ein magnetisches Feld auf ein Yolumelement

Ö (fdxdydz)

ausübt.    «

⁷ dx

her —— dxdydz als die Kraftfunktion für ein A

Volumelement ansehen. Gleicherweise wie die Kraftfunktion können wir nun auch das Potential finden. Wir suchen es erst wieder für einen kleinen Magnet sn (Fig. 22). Das Potential im Punkt О sei V, dann haben wir in n

u. s. w. Wir können da-

V' = V +

in s

V" = V —

av av av

axl+ay ^ dz

av äv av dxê ay⁷⁷ a z ^

Das Potential auf unseren kleinen Magnet wird also

av

mV' — m V" =    m Л cos f +

av

av

m Л cosg + y^myîcosh

sein. Für das magnetische Moment m Л können wir nun wieder das Moment des Volumelements p dxdydz einsetzen und erhalten so

/av

\ax

fl cos f

av

'dV

dJ

av

av

0x dy^dz

n I <|

fi cos hj d X d y d z =

yjdxdydz =

■ш+шш

— — к К² dxdydz.

dx dy dz =

Wir erhalten also das paradoxe Resultat, dass das Potential doppelt so gross ist als dieKraft-funktion. Das rührt daher, weil wir bei der Bildung der Kraftfunktion die Massen als konstant an-sehen, was jedoch thatsächlich nicht der Pall ist, indem ja das magnetische Moment durch die Kraft selbst bedingt wird und sich mit dieser ändert. Während uns die Aenderung der Kraftfunktion die Grösse der mechanischen Kraft angiebt, liefert uns die Aenderung des Potentials die Aenderung der gesammten Energie. Diese besteht in unserm Fall aber nicht bloss in Erzeugung kinetischer Energie, sondern es wird gleichzeitig Arbeit zur Erzeugung des magnetischen Moments in dem induzierten Körper benötigt. Diese Arbeit ist, wie wir im folgenden Paragraphen sehen werden^ ebenso gross wie die Aenderung der kinetischen Energie des Körpers, weshalb das Potential auch doppelt so gross als die Kraftfunktion ausfallen muss.

§ 33. Die magnetische Molekularkraft,

Werden in einem Körper die ursprünglich vereinigten magnetischen Massen -f- m und —m durch die magnetische Kraft R getrennt, so wirkt auf -j-m die Kraft -1- m R, auf — m gleicherweise — mR. Ist die Entfernung, welche die beiden Massen dadurch erlangt haben, Л, so ist miR die Arbeit, welche bei der Trennung geleistet werden musste. Das Differential der Arbeit bei konstanter Kraft ist also Rd(m^). Für ein Volumelement ergiebt dies (§ 25)

R d (m X) = R d p d x d y d z.

so

Kd^dxdydz

ft

^dxdydz.

Für die Yolumeinheit ist daher die zur Ueberwind un g der magnetische n Molekularkraft nötige Arbeit

(1 II

und für das Volumelement

к К²

2^ d x d у d z = —g— d x d у d z,

da ja ^ = kü ist. Wir erhalten also in der That die Arbeit zurUeberwindung der magnetischen Molekularkraft genau so gross wie dieKraft-f unkti on.

§ 31. Magnetische Energie.

Wir fanden für den Arbeitswert A eines Systems elektrischer Punkte (§ 14) die Gleichung

mV

*T’

wobei wir unter m eine elektrische Masse verstanden, unter Y das Potential, unter welchem sie steht. Diesen Ausdruck können wir unmittelbar auf den Magnetismus übertragen und so den Arbeitswert oder die Energie eines magnetischen Systems bestimmen. Wir nehmen an, dass wir es mit einem System von permanenten Magneten und verschiedenen anderen Körpern zu thun haben, in welchen die Magnete freie magnetische Massen hervorrufen. Unter permanenten Magneten verstehen wir dabei magnetische Massen, welche bei einer Aenderung des Systems ihre Grösse nicht ändern, wie es etwa bei Stahlmagneten annähernd der Fall ist. Wir können sonach die gesamte magnetische Energie in drei Teile zerlegen. Den ersten liefert die Wirkung der fixen Magnete auf die freien magnetischen Massen der Körper. Der zweite besteht in der Wirkung der freien Massen auf sich selbst. Der dritte Teil ist jene Arbeit, welche zur Ueberwindung der magnetischen Molekularkraft in den Körpern erforderlich ist.

Freie magnetische Massen haben wir nur an der Oberfläche der Körper. Ihre Dichte nennen wir o. Ist das Potential, welches die fixen Magnete erzeugen, Y, so giebt uns

ev ,av

a + dJß+d^

den ersten Teil des magnetischen Arbeitswerts. Dass diese Gleichung wirklich besteht, können wir leicht ermitteln. Die partielle Integration ergiebt nämlich

‘cd! ^

и ! <1

CD

CD

N I <1

ръ

ръ

VJ

Pb

^J^jYvadydz-j-V/îdxdz-t-Vydxdyj

CDI CD V< |-Cö

CDI CD N |N>

рь

PL.

Unter der Voraussetzung, dass wir nur auf der Oberfläche freie magnetische Massen haben, wird

Das zweite Glied unseres Integralausdrucks fällt also weg, und es bleibt nur ^(Vcedydz+Vßdxdz-f- Vydxdy) =

= ffö(a cos f+ß cosg + ycosh) dO = JjVo dO (§ 25), womit unsere Behauptung bewiesen ist.

Wir haben nun als zweiten Bestandteil der magne, tischen Energie das Potential der freien magnetischen Massen auf sich selbst, multipliziert mit der jeweiligen freien Masse, zu nehmen. Dieses Potential sei U. Wir erhalten somit für die Energie

iH CM

j7ü’d⁰=-§jxf(

au ,au ,au

dx“ 8jß 8z

yjdxdy dz.

Hier muss der Faktor — stehen, weil wir bei der

Bildung des Arbeitswerts geradeso wie beim Arbeitswert eines elektrischen Systems jede Masse zweimal in Rechnung gezogen haben. Beim ersten Teil war der

Faktor — nicht nötig, weil wir dort das Potential der

fixen Massen auf die freien aber nicht umgekehrt einführten.

Die zur Ueberwindung der magnetischen Molekularkraft nötige Arbeit ist nach dem vorhergehenden Paragraphen

JJJst dx dy dz = 2¥ J J J (“* + ß' + v') dx dy dz.

Jäger, Theoretische Physik. III.

Dabei ist

PTI a

av au

ах дх

av

und — -0-^- die Kraft der fixen Magnete,

au

die rück-

wirkende Kraft der freien Magnetismen. Die Summe der drei massgebenden Bestandteile liefert uns nun die Gesamtenergie

av . i au

дх 2 дх

+i)

+(■

av.iau, ß

2 dy ~ 2k

i au

-)'+

^)yjdxdydz =

ay . i au i ay i au

ax T 2 dx 2 dx 2 д X

«+

dx dx dz =

=шг

ay

ay

у j dx dy dz.

^+az

ax a

Es ist somit die Ge samt energie nichts anderes als die Hälfte der Energie, welche die Wirkung der fixen Magnete auf die freien magnetischen Massen erzeugt.

Bei der Erzeugung der Momente a, /?, y sind in

massgebend.

erster Linie die Kräfte

ay

dy

ay ay

ax' ay¹ az

Moment und erzeugende Kraft haben immer dasselbe

ay

ay

Vorzeichen, folglich ist die Grösse

dy

-f- -ö— T nnd damit die gesamte Energie negativ.

(/ Z

ax

dy

Der elektrische Strom.

83

Bringen wir die Körper in unendliche Entfernung von den permanenten Magneten, so wird das Potential und damit der magnetische Arbeits-wertENull. Nähern sich nun die Körper, so muss Energie gewonnen werden. Es ist dies die kinetische Energie, welche die Körper durch die Anziehung der Magnete erlangen. Thatsächlich ist auch der Differentialausdruck für die Energie

yj dx dy dz

,0V    ,0V

“ + - ß+d^

1    Id V

2    \0x

nichts anderes als die von uns bereits früher (§§ 30, 32) gefundene Kraftfunktion.

Elektromagnetismus.

§ 35. Der elektrische Strom — Oersted’s Entdeckung — Ampères Schwimmregel — das Gesetz von Biot und Savart.

Halten wir zwei Punkte eines Leiters auf konstantem elektrischem Potential, so strömt beständig Elektrizität von dem Punkt höheren Potentials zu jenem tieferen, wir haben einen konstanten elektrischen Strom.

Oersted machte die Entdeckung, dass eine Magnetnadel durch einen nahe vorüberfliessenden elektrischen Strom abgelenkt wird. Die Ablenkung befolgt nach Ampère folgende Regel: Denken wir uns im Strom schwimmend, das Gesicht der Nadel zugewendet, so weicht der Nordpol nach links ab.

Befindet sich unter einem unendlich langen geradlinigen Strom eine Magnet-

nadel, so wird sie mit einer Kraft abgelenkt, welche verkehrt proportional ihrer Entfernung vom Strom ist. Dieses Gesetz fanden Biot und Savart. Die nähere Untersuchung ergiebt, dass das magnetische Feld, welches von einem geradlinigen Strom erzeugt wird, kreis förmige Kraftlinien besitzt, die mit ihrer Ebene senkrecht auf dem Strom stehen, während ihr Mittelpunkt im Strom selbst liegt. Zwei Ströme, welche also unendlich nahe, aber in entgegengesetzter Richtung und mit gleicher Stärke nebeneinander laufen, werden auf eine Magnetnadel keine Kraft ausüben, da sie sich in ihrer Wirkung gegenseitig aufheben müssen.

§ 36. Wirkung eines Stromelements auf einen Magnetpol.

Wir machen die Annahme, dass sich die Wirkung eines Stroms aus der Wirkung der einzelnen Strom -elemente berechnen lässt. Stellen wir den Lauf des Stroms durch eine Kurve dar, das heisst, haben wir einen linearen Stromleiter, so können wir ein Kurvenelement als die Lage eines Stromelements anseh en. Denken wir uns einen Kreisstrom, in dessen Mitte sich eine kleine Magnetnadel befindet. Die Wirkung eines Stromelements wird nun proportional seiner Länge ds sein und einer Funktion des Radius r des Kreises. Wir können sie durch f (r) darstellen. Da alle Stromelemente vom Magnet gleichweit entfernt sind, so ist f (r) konstant, und die Wirkung des gesamten Kreisstroms auf die Nadel wird 2?rrf (r), da

Wirkung eines Stromelements.

85

2л y der Umfang des Kreises ist. Die Messung ergiebt nun, dass diese Kraft

2rcrf(r) = —

ist, wobei К eine Konstante bedeutet. Es ist somit

... Kl

f2jt ' ?”‘

In unserem Fall steht jedes Strom element senkrecht zur Yerbindungsgeraden zwischen Magnetpol und Strom. Ist das nicht der Fall, sondern schliesst diese Gerade mit dem Stromelement im allgemeinen den Winkel # ein, so kommt nur die Wirkung der senkrechten Stromkomponente ds sin # in Betracht. Die Kraft, welche somit von einem Stromelement auf einen Magnetpol ausgeübt wird, wird erstens der Masse des Magnetpols m, ferner der Länge der senkrechten Komponente des Stromelements ds sin #, der Stärke des Stroms i direkt, und dem Quadrat der Entfernung des Elements vom Pol r verkehrt proportinal sein. Die Kraft ist somit

i.

mds sin#

Die Stromstärke bestimmt sich durch die Menge der Elektrizität, welche in der Zeiteinheit den Querschnitt des Leiters passiert.

§ 37. Die Tangentenbussole — Mass der Stromstärke, Wir bringen einen kreisförmigen Stromleiter in den magnetischen Meridian; in die Mitte des Kreises eine in einer Horizontalebene bewegliche Magnetnadel. Wird der Leiter von keinem Strom durchflossen, so

stellt sich die Nadel in die Richtung des magnetischen Meridians A B (Fig. 24). Fliesst ein Strom, so sucht er die beiden Pole in entgegengesetzter Richtung senkrecht zur Stromhahn zu bewegen. Es wirkt also auf die Nadel ein Drehungsmoment, und es wird Gleich -f/

Fig. 24.

gewicht sein, wenn dieses Drehungsmoment gleich jenem des Erdmagnetismus wird. Letzteres ist H M sin q» unter H die Horizontalintensität des Erdmagnetismus und unter M das magnetische Moment der Nadel verstanden. Ersteres ist SXcosqp, wenn S die magnetische Kraft des Stromkreises auf einen Pol ist. Im Fall des

Gleichgewichts der Nadel muss nun

HM sin cp — S X cos cp

oder

HM

8 = — tg <p

sein. Nach dem vorhergehenden Paragraphen ist aber die ablenkende Kraft des Stroms

S = Kmi

7* sin#

2'

Für unsern Fall ist für alle Stromelemente #= ~r

also sin# = l. Ebenso ist der Radius des Kreises r konstant, und es bleibt

Kmi

r²

ds,

wobei

Jds =

2лг

-T"

der Umfang des Kreises ist. Es ergiebt sich somit 2rcmi HM

oder

HMr

2 nmAK

tgy.

Es ist nun das magnetische Moment der Nadel M = mA,

so dass wir

tg cp

Hr

2яК

setzen können. Falls wir uns also über die Konstante К einigen, haben wir in unserm Fall eine Methode, die Grösse der Stromstärke i zu bestimmen. Wählen wir K=l, so sagen wir, wir haben die Stromstärke in absolutem Mass angegeben. Für die Praxis ist diese Einheit zu gross, man hat deshalb den 10. Teil davon als Einheit angenommen und sie ein Ampère genannt. Ein Strom von 10 Ampère entspricht somit der absoluten Stromeinheit. Um die Stromstärke in

Ampère auszudrücken, haben wir also K = Jq zu setzen.

Der von uns zur Bestimmung der Stromstärke benützte Apparat besteht also aus einem kreisförmigen Draht, in dessen Mitte sich eine kleine Magnetnadel befindet. Die Grösse

Hr

2 n К

ist eine Konstante. Die Stromstärke ist sonach durch i = A tg (p

bestimmt, d. h. sie ist proportional der Tangente des Ausschlagwinkels der Nadel. Man nennt daher einen derartigen Apparat auch eine Tangentenbussole und A ihren Reduktionsfaktor. Führen wir den Strom zweimal im Kreis herum, so wird die ablenkende Kraft die doppelte, bei n maligem Umlauf die n fache. Der Reduktionsfaktor ist dann natürlich

—. Wir können so die Empfindlichkeit einer Tangentenbussole bedeutend steigern.

§ 38. Potential eines elektrischen Stroms auf einen Magnetpol.

dS

Wir fanden für die Kraft, welche ein Stromelement auf einen Magnetpol ausübt (§ 36), die Grösse imsin#ds

r²

Die Richtung der Kraft ist senkrecht auf die Ebene, in welcher das Stromelement und der Magnetpol liegen. Sie bilde mit den Achsen eines Koordinatensystems die

Winkel a, ß, y. Es sind dann die Komponenten der Kraft dS

dX

im sin#ds

r²

cosa,

dY

imsin^ds

r²

cos/?,

im sin#ds

dZ

r²

cos y.

Verbinden wir die Endpunkte des Stromelements mit dem Magnetpol, so erhalten wir ein Dreieck von der Grundlinie r und der Höhe d s sin rds sin # = 2 A

ist daher der doppelte Flächeninhalt dieses Dreiecks. Wir können somit auch

im

dX = —2d cos«

r³

schreiben, wobei 2 Д cos a der doppelte Flächeninhalt der Projektion unseres Dreiecks auf die yz-Ebene ist. Wir wollen die Koordinaten des Magnetpols a, b, c nennen, die des Anfangspunkts unseres Elements x, y, z, die des Endpunkts sind somit x-f dx, y-j-dy, z + dz. Die doppelte Fläche der Projektion des Dreiecks auf die yz-Ebene ist daher

2 Д cos a = (b — y) d z — (c — z) d y,

und es wird

⁼¹~r|_(b—y) dz—(c—z) dy"|

dX

Durch cyklische Vertauschung der Buchstaben finden wir ferner

dY

imj-

=^L(C

— z) dx— (a —

x)dz”|,

einführen und anstatt m die Masseneinheit setzen. Es bestehen dann die Gleichungen

ев ас ас ал ал ав

x=^-äb’ J = ^-^’z=<Tb-aa-- <¹⁶)

И i <j

Da

so ist

u. s. w.

im|^(a —x)dy—(b —y)dx j.

r³

rs = (a —x)² + (b—y)* + (c—z)², b-y

г³

/ъ(т)

Unsere Gleichungen werden daher

dX =

-imÄ(T)dz+imfc(-v)dy

u. s. w. Durch Integration erhalten wir X = — im

/гъ(т)а*+‘т.Щт)а» =

8 rdz .    8 Гdy

--‘“«bj T+‘m«ïJ T

Wir wollen nun

Existiert ein Potential Y, so dass X =— u. s. w. wird, dann muss

a y ах

да. дЬ ⁰

(17)

sein u. s. w. Wir haben nun

aY ах a²c а²л а²в , a²c

ев дс\ еь ^ до г

aa аь — а а² ааас аъас ¹ аь2 _ а²с а²с а²с а /ал “äa^ ⁺ äF⁺ä^ ä^\aa ⁺

f*d z .

Nach der Bedeutung von C = i I — ist die Summe

d‘²C , d²G , d²G da? ⁺ Jb* ⁺ Je*

wenn der Magnetpol nicht im Strom selbst liegt, da dann

5 a²

ist. Die Summe д a ‘ db д c

Die Gleichung (17) wird also nur dann erfüllt sein, wenn

ri

bei einem geschlossenen Strom

nur

ist, was allgemein der Fall ist, da bei diesem der Anfangs- und Endwert des r zusammenfallen.

Liegt der Magnetpol im Strom selbst, so können wir unseren Leiter nicht mehr als linear auffassen. Die Stromstärke wird dann

i = qD,

wenn wir D die Dichte des Stroms, q den Querschnitt des Leiters nennen. Ferner wird

Çàz₌ rDq dz ₌ Ç Dq dzdg

Ir J r Jrds

D , - = w ds

dz

Wir können

die Komponente der Stromdichte parallel zur z-Achse nennen. Ebenso haben wir parallel zur x- und y-Achse die Komponenten der Stromdichte

dx

u = Dd? v

= D^

ds

Ferner ist q =JJà x d y. Es wird daher

c=JJJ?dxdydz-

Dieser Ausdruck hat die Form des Potentials für Kräfte, welche verkehrt proportional dem Quadrat der Entfernung wirken, und wir wissen (§ 6), dass dann

a²c a²c a²c

d a2 ⁺W£+dc* ist. Daher werden für diesen Fall auch unsere obigen Gleichungen

4яи= ^

dY dZ

dc

ah’

4tiv= —

dz дх

d a dc ⁹

(18)

ax ay

Diese Gleichungen gehen also die Beziehung zwischen den Stromkomponenten und den magnetischenKräften, welche auf den Magnetpol wirken. Dieselben Kräfte, aber entgegengesetzt ge-

richtet, greifen das Stromelement an. Wir haben daher dafür die Gleichungen

4 л u = -7Г—

dZ dY

дУ

cv>

Cd

ax

d z Эх’

in w =

ay_ ax dx a y ’

was wir auch ohne weiters mit Rücksicht auf die Gleichung (14)

aus

den Gleichungen (18) erhalten.

§ 39. Ersatz eines geschlossenen Stroms durch eine magnetische Platte.

Ein kleiner ebener geschlossener Strom liege um den Anfangspunkt eines Koordinatensystems in der yz-Ebene. Seine Koordinaten seien x, y; z, die eines Magnetpols a, b. c. Folglich ist

r* = a² + (b-y)² + (c-z)²,

da ja x = 0 ist. Die Entfernung des Magnetpols vom Ursprung О sei R, also

R2 = a2_)_b² + c².

Wir wollen nun die Ausdrücke für А, B? C nach den Gleichungen (15) bilden. Dabei haben wir den

Vorteil, dass wir nach dem Taylor’schen Lehrsatz

in eine Reihe entwickeln können, von welcher wir nur die ersten Glieder in Betracht zu ziehen brauchen, da wir ja у und z als sehr klein annahmen. Wir haben daher

— Z.

Alle höheren Glieder können wir vernachlässigen. Daraus folgt

. C dx

-Jt=⁰'

weil X = 0 ist, ferner

z dy.

Da wir über einen geschlossenen Strom integrieren,

so ist

/dy=/ydy = 0,

hingegen ist

/zdy = — f,

wenn wir unter f die von unserem Strom umflossene Fläche verstehen, indem wir den im Sinn des Uhrzeigers fliessenden Strom als positiv ansehen. Wir erhalten daher

B —if

m °-"ä( )

wobei C geradeso wie В gebildet wird. Diese Ausdrücke wollen wir nun in die Gleichungen (16) ein-setzen. Es ergiebt sich demnach

ев д c

-if

0a² YR ’

da ja

ii/iï₊i4±U-f-Wo

5^‘\R/ ^    йс‘ lu j u

ist. Gleicherweise ergiebt sich

у = -‘'г75ь(в)’ z

= —if

d²

da de \RУ

ifÄ(ir) = v>

so wird

Setzen wir nun

8V „ 8V dh’ z~

Wir können sonach Y als das Potential des Kreisstroms auf den Magnetpol auffassen. Es ist aber

dv

x=-^’Y=-

de’

daher

A/JLU

8 a\ß/

R³’

if a

Y=^r

R³ ’

if = M

Dieselbe Formel haben wir nun auch für das Potential eines kleinen Magnets (§ 23) erhalten, welcher in der x-Achse im Ursprung О liegt. Nur haben wir dort

gesetzt. Wenn wir also unseren kleinen geschlossenen Strom durch eine magnetische Platte vom magnetischen Moment M = i f ersetzen, so haben wir in der Wirkung auf den Magnetpol gar nichts geändert. Hat die Platte die Dicke 6 und die Flächendichte <7, so ist об f = i f

das magnetische Moment. Daraus folgt also i = dö.

Dieses Resultat lässt sich nun auf einen beliebigen geschlossenen Strom übertragen. Wir können uns nämlich die von einem Strom umschlossene Fläche in sehr viele kleine Flächen zerlegt denken. Alle diese kleinen Flächen sollen von einem Strom i in derselben Richtung umflossen werden. Man sieht dann ohne weiters, dass sich die Ströme im Innern der Fläche aufheben, da die Grenze von je zwei benachbarten Flächenstücken zweimal vom Strom und zwar in entgegengesetzter Richtung durchlaufen wird. Es bleibt also nur der Randstrom übrig. Die kleinen umströmten Flächen können wir aber alle durch magnetische Platten von der Flächendichte о und der Dicke 6 ersetzen, was so zu wählen ist, das aö — i wird. Welche Gestalt wir dabei der vom Strom begrenzten Fläche geben, ist völlig gleichgiltig.

§ 40. Wirkung* einer kreisförmigen magnetischen Platte auf einen Magnetpol.

Wir denken uns eine kreisförmige Scheibe (Fig. 25) in der yz-Ebene mit ihrem Mittelpunkt im Ursprung

Y'

Fig. 25.

des Koordinatensystems. Ihre Flächendichte sei <7, der Radius h. Im Punkt M der x-Achse befinde sich ein Magnetpol. Das Potential auf ihn wird sein

2логdr

Vx²+r² :

2 л о (yx² -j-h²—x).

Dieses Resultat wollen wir nun auf eine magnetische Platte von der Dicke ô ausdehnen} welche wir so lagern, dass sie mit der negativen Seite rechts von der yz-Ebene (Fig. 26), mit der positiven links ist. Das Potential der rechten Seite auf M ist also

[_]/h² + (x+4-)-* + 4j

V+=2^!_J/W(x--J-) -X--0

V— = — 2 iw

das der linken

4-

4-

Fig. 26.

das Gesamtpotential somit

V = V_-|-V₊=2*<r| j/W(x+ -|y~

~Уь,+(х~й~0⁼_

= 2 nab

l/h³+(x⁺4-)-]/h³⁺(x~4-)_i .

Da <5 eigentlich unendlich klein ist, so können wir den ersten Teil in der Klammer als den Differentialquotienten

Jäger, Theoretische Physik. 111.

dyha + xa

dx

anseh en. Wir erhalten somit

]/ha+xa

(]/ha + x²    4

Setzen wir hier (7<5 = i, so haben wir das Potential eines Kreisstroms auf den Punkt M. Die Kraft wird nun

dv

dx

= — 2 Tri

Xs

Г ¹

|_Jha+xa    (ha + x

T*J

(h² + x²)V

Setzen wir nun x = 0, so wird

dY

2 Tri

dx

Das ist thatsächlich dieselbe Formel, welche wir bereits früher für die Wirkung eines Kreisstroms auf einen in seiner Mitte befindlichen Magnetpol fanden (§ 37).

§ 41. Das Solenoid.

Eine Reihe paralleler, gleich grosser und in gleichen Abständen von einander befindlicher Kreisströme, wie man sie angenähert in einer Drahtspule besitzt, nennt man ein Solenoid. Machen wir die Achse des Solenoids zur x-Achse, so ist nach dem vorhergehenden Paragraph das Potential eines Kreisstroms auf einen Punkt in der x-Achse

V 2я1(уЬЧ-х* ¹)‘

Gehen auf die Längeneinheit unserer Drahtspule n Windungen, so ist das Potential, welches die Windungen auf der Länge dx des Solenoids besitzen,

dV = 2^ni

ljdx,

,J/ha+x°

woraus wir durch Integration erhalten

V = 2 я n i (jflp + x² — x) + C.

Nehmen wir als Grenzen der Integration x — lj und 1₂—x (Eig. 27) an, wobei wir unter \ und 1₂ die Abstände der Enden des Solenoids vom Ursprung verstehen, so ergiebt dies

V = 2*ni[]/h*+(l₂-x)*-(l₂-x)-— ]/ha-|-(x — lj²-)-* — \ J=4^nix-j-+ 2^ni[]/ha-|-(l₂ —x)² —1₂ —yh²-f-(x —    I,]-

oc

Fig. 27.

Darnach erhalten wir für die Kraft

dY

X— — -x—— — 4 n ni —

dx

Ll/h²+(l₂ -x)a }/ha + (x-l₁)²J

Hier rührt das zweite Glied lediglich von der Wirkung der Endflächen des Solenoids her; denn wenn wir dieselben möglichst weit vom Punkt x entfernen, d. h. wenn wir das Solenoid sehr lang machen und die Kraft auf einen Punkt in der Nähe der Mitte bestim-

men

so wird das zweite Glied schliesslich so klein, dass es vernachlässigt werden kann, und es bleibt nur X =— 4^ni.

Es ist somit die Kraft unabhängig von der Lage des Punkts, und die Kraftlinien müssen parallel zur x-Achse verlaufen. Das Solenoid ist demnach ein bequemes Mittel, um ein homogenes magnetisches Feld herzustellen, dessen Stärke direkt porportional der Windungszahl per Längeneinheit und der Stromstärke ist.

§ 42. Der Stokes’sche Satz.

Wir werden im folgenden den von Stokes gefundenen Satz

0Z dY

cos cs +

dY _dX 0 a 0 b

jcosy |dS.

0x 0z

0 c 0a

]сов0+^

benötigen. X, Y, Z sind Funktionen der Koordinaten a, b, c einer Fläche, deren Kandkurve s ist, während a, ß, у Winkel sind, welche die Normale zum Flächenelement d S mit den drei Achsen einschliesst. Wir wollen den Beweis dafür mit Zuhilfenahme der Mechanik erbringen. X, Y, Z seien die Kraftkomponenten, welche auf einen Punkt wirken. Beschreibt der Punkt eine geschlossene Kurve, so ist die Arbeit, welche dabei die Kräfte leisten

/(Xda + Ydb + Zdc).

Wir wollen nun zuerst die Formel für die Arbeit aufstellen, welche die Kräfte leisten, wenn ein Punkt in der y z-Ebene (Fig. 28) das unendlich kleine Kecht-eck OB CD umkreist. Auf dem Weg von 0 nach В leistet die Kraft Y die Arbeit Y db, von В bis C wirkt

H.dSz

dZ    ( dZ \

die Kraft Z -f- ^ d b, und die Arbeit ist I Z ^ db| d c,

hingegen haben wir von C nach D analog die Arbeit

(*+£*•)

d b und von D nach 0 — Z d c. Die Gesamtarbeit beim Umkreisen der Fläche db de ist also

dZ

Ydb+(Z + -^-db) de —(Y + -^dc) db — Z de =

_ (dZ _ d_Y

~~ lab de

)dbdc = (||-^)as₁-r.ds₁.

dr

db

Fig. 28.

Analog ergiebt sich

G.d Sy =

ax az

dc öa)d8y’

wenn wir mit dSx, dSy, dSz Flächenelemente senkrecht zur X- bezügl. y- und z-Achse verstehen, während F, G, H die Arbeiten sind, welche zur Umkreisung der Flächeneinheit einer Ebene benötigt werden, welche zur x-beziehungsweise y- oder z-Achse senkrecht steht.

Es sei nun O A B C (Fig. 29) ein Elementartetraeder und es durchlaufe der Punkt der Reihe nach die Dreiecke О AB, О ВС, ОСА. Er hat dann die Strecken OA, OB und О C zweimal in entgegengesetzter Richtung zurückgelegt. Die dahei geleistete Arbeit ist also gleich Null, und es bleibt vom Durchlaufen des Dreiecks ABC herrührt. Nach dem früheren ist diese Arbeit FdSx + GdSy + HdSz =FdS cos « + GdS cos ß + H d S cos y = (F cos a -f- Gr cos ß + H cos y) d S = J d S, wenn wir mit a,ß,y die Winkel bezeichnen, welche die Normale N zur Fläche ABC mit den Koordinatenachsen einschliesst.

die Arbeit übrig, welche

nur

Ci

Fig. 29.

J = F cos a -f- G cos ß + H cos y ist somit die Arbeit, welche beim Umkreisen der Flächeneinheit der Fläche ABC = dS geleistet wird.

Eine geschlossene Kurve sei gleichzeitig die Randkurve einer beliebigen Fläche (Fig. 30), die wir in ihre Elemente auflösen wollen. Ein Punkt umkreise in derselben Richtung ein jedes Flächenelement. Er durchläuft dann jede Begrenzungslinie eines Flächenelements im Innern der Fläche zweimal in entgegengesetzter Richtung, so dass die dabei geleistete Gesamtarbeit Null ist. Es bleibt somit nur die Arbeit übrig, welche beim

Umkreisen der Randkurve geleistet wird. Dieselbe ist also

JdS

= J* j* (F cos а 4- Gr cos ß + H cos y) d S =

= J*(Xda + Ydb + Zdc),

und wir können nach dem früheren diese Gleichung umwandeln in

J(Xd. ₊ Tdb ₊ Zd«)-JJl]⁸äb Sc

dY dX

dX dZ

dc da

cos о +

Sb) cos 7] d S.

Fig. 30.

Das ist aber der Satz von Stokes, den wir somit bewiesen haben.

§ 43. Die Wirkung elektrischer Ströme aufeinander.

Zwei geschlossene Ströme A und B (Fig. 31) können als zwei magnetische Lamellen (§ 39) angesehen werden. Eine Gerade CDE soll die Lamelle В in C und D senkrecht durchschneiden. CD ist also die Dicke der Lamelle. In C sei das Potential, welches A entwirft, Y, und ein Flächenelement dS' in C besitze die magnetische Masse — udS. Die Arbeit, welche bei der

Annäherung beider Ströme aus dem Unendlichen von d S' geleistet wird, ist — У о d S'. In D haben wir das

av

Potential У    dv, wenn wir mit dv die Strecke

yorhergegangenen (У -}

CD bezeichnen. Die zugehörige Arbeit ist nach dem dY

dv) odS' und die G-esamt-

arbeit

dY

-X— dvadS'.

ï/

'E

Fig. 31.

Beachten wir, dass a d v = i' die Stromstärke ist (§ 39), so wird die Arbeit für die ganze Lamelle

dY

ist nun nichts anderes als die Kraft, welche in

der Richtung CD wirkt. "Wir können deren Komponenten X, Y, Z bestimmen und erhalten, wenn a, ß, y die Winkel der Richtung der Kraft mit den Koordinatenachsen sind,

i' ^ J\x cos a -f- Y cos ß -f- Z cos y) d S'

wobei also nach § 38

X =i

d Pdy д pdz“|

¹ _ас J г дЪ J г _

8 pdz

За J

Pb Hj

д pdx I

д J г J»

ist.

Г :

_ 8Ъ J г

JY¹

Wir setzen nun in dem im vorhergehenden Paragraphen bewiesenen S t о к e s¹ sehen Satz ,    __ Pii' dy

ds’ y=Jt-df

ds

"Чт-

рь Pb

ds

und erhalten dadurch

ii'

Pb Cb

da

* ds

Pb| pb

Pb! Pb

rd rd

d c\ d s d s' ds'/

Ш Pb KJ

Jd c \ r / ds da \ r /

Pb Pb

ds

cos ß +

cos а +

1Ш

Ja\r /

dy

ds

1(1)

0b \ r /

dx

cos у

dsdS'.

Der zweite Teil dieser Gleichung ist aber nach dem früheren nichts anderes als

— J* J^i' (X cos cc —(— Y cos ß + Z cos y) d S' = W,

während wir den ersten Teil

ii'

dx da dy db ds * ds' ' ds * ds'

rd

dc^ ds ds'

* ds⁷/ ”r ⁼

letzen können, wenn wir unter e den Winkel verstehen, welchen die beiden Stromelemente ds und ds' mit ein-

ds ds',

ander einscłiliessen. "Wir erhalten schliesslich die Gleichung

-■’Я“

und wir nennen W das elektrodynamische Potential der beiden geschlossenen Ströme i und i' auf einander.

Man kann dieses Potential auch für die Wirkung eines Stroms auf sich selbst bilden. Es wird dann den Wert

2

i PP cos e _    „

⁼ 2 J J -T-dsds'

erhalten. Hier sind ds und ds' zwei beliebige Stromelemente des geschlossenen Stroms i. Es wird somit bei der Integration jedes Element zweimal in Rechnung gesetzt, weshalb wir auch von der gewöhnlichen Potentialformel nur die Hälfte nehmen dürfen.

TT

§ 44. Die Gesetze von Olim und Joule — Arbeit des Stroms.

zusammenfasst, wobei die Konstante w der Widerstand genannt wird.

Wir erfuhren im § 35, dass ein elektrischer Strom entsteht, wenn zwei Punkte eines Leiters sich auf verschiedener elektrischer Spannung befinden. Die Erfahrung hat gezeigt, dass die Stromstärke i proportional dem Spannungsunterschied e ist, den man deshalb auch die elektromotorische Kraft nennt. Ferner wird sie auch durch die Gestalt und Natur des Leiters bedingt, weshalb Ohm die Beziehung der Stromstärke zur elektromotorischen Kraft in die Formel

Hat der Strom keine Arbeit zu leisten, so findet er ein Aequivalent in der Erwärmung des Leiters, und es ist nach den Versuchen von Joule die im Leiter in der Zeiteinheit erzeugte Wärme-

menge

W = wi — ei.

Das Produkt aus Stromstärke und elektromotorischer Kraft ist somit eine auf die Zeiteinheit bezogene Arbeit, ein Effekt.

Haben wir in die Strombahn eine Zersetzungszelle eingeschaltet, so muss der Strom chemische Arbeit leisten. Diese ist erfahrungsgemäss wiederum pro Sekunde proportional der Stromstärke. Der gesamte Effekt kann daher dargestellt werden durch

ei = wi² + pi,

e — p = w i.

wobei p ein entsprechender Proportionalitätsfaktor ist. Daraus folgt

p hat also ebenfalls die Dimension einer elektromotorischen Kraft. Man nennt es die elektromotorische Gegenkraft der Zersetzungszelle oder die galvanische Polarisation.

§ 45- Der Induktionsstrom.

Verändern wir die Lage eines Magnets zu einem Stromleiter, so wird das Potential des Stroms auf den Magnet ein anderes, d. h. wir haben bei der Veränderung Arbeit zu leisten. Diese Arbeit findet ihr Aequivalent in einer vorübergehenden Aenderung des Stroms im Leiter. Derartig entstehende Ströme nennt man Induktionsströme.

Wir können auf veränderliche Ströme die Gleich-

ung des vorhergehenden Paragraphen anwenden, wenn wir sie auf eine unendlich kleine Zeit beziehen. Wir erhalten sonach

eidt = wi dt-f-pidt.

pidt ist die Arbeit des Stroms. Besteht sie in magnetischer Arbeit, so können wir sie dA schreiben, und unsere Gleichung wird

eidt = wi dt + dA,

wobei dA die Aenderung des Potentials bedeutet. Dieses ist gegeben durch U = i V

dA = — dU =— idV

(§ 39), also und

eidt = wi dt — idV, was wir wieder in die Form des Ohm’schen Gesetzes

kleiden können

, dV

e + -^- = wi, dV

wobei r.' also nichts anderes ist als die elektro-

(19)

dt

motorische Kraft, welche durch die Veränderung der gegenseitigen Lage von Strom und Magnet erzeugt wird. Ist in unserm Stromkreis ursprünglich keine elektromotorische Kraft da, so wird in Gleichung (19) e = 0, also

wi,

dV

was integriert

dt

V,-V₀

⁼i

idt

ergiebt. Damit lassen sich alle Fälle der Induktion

dar stellen, ob sie nun von bewegten Magneten oder Stromleitern ausgeht.

§ 46. Das ballistische Galvanometer.

Die Stärke der Induktionsströme misst man mit Galvanometern von sehr geringer Dämpfung und grosser Scbwingungsdauer, sogenannten ballistischen Galvanometern. Die Kräfte, welche auf die Magnetnadel vom magnetischen Moment M ein wirken, sind der Erdmagnetismus und der Strom. Jener liefert das Drehungsmoment — HM sin gp, wenn H die Horizontalkomponente ist (§§ 22 u. 24), der Strom hingegen erzeugt das Moment GMi cos gp, wobei wir G die Galvanometerkonstante nennen. Der Drehungswinkel cp ist also durch die Gleichung ,²

— HM sin cp -f- GMi cos cp

kU =

dt

gegeben. К ist das Trägheitsmoment der Nadel (Bd. I.

§ 28).

Der Induktionsstrom sei von so kurzer Dauer, dass die Nadel während dieser Zeit ihre Ruhelage kaum verlässt, so dass wir cp = 0 setzen können. Es vereinfacht sich dann die Gleichung in

= GMi.

dt

Durch Integration erhalten wir

idt.

Für die Zeit t = 0 ist die Geschwindigkeit der Nadel

ebenfalls Null, wir haben also    ⁼⁼ 0; hingegen nach

о

der Zeit T, nach welcher der Strom wieder aufhört, soll die Nadel die Winkelgeschwindigkeit ^= a

haben. Somit ist

idt.

Ka = GM

Sind die Ausschläge der Nadel nicht gross, so folgt für deren Bewegung nach Verlauf des Induktionsstroms die Gleichung

MÏÏÇ)

dt

àcp

(p = A sin y t,

dt — Aycos/t.

(§ 24). Diese Gleichung lässt sich genau so wie die Pendelgleichung (Bd. I. § 9) behandeln. Wir erhalten als Lösung folglich

Dabei ist

HM

Nun ist für t = 0 -гг” dt

= a, also а = у А

und

— sin /t,

У

folglich der grösste Ausschlag der Nadel

idt.

1 GM

Der Erdinduktor — absoluter Widerstand.

111

T

Damit ist uns aber alles gegeben, das ^ idt auszu-

o

werten.

§ 47. Der Erdinduktor — absoluter Widerstand. Der Erdinduktor besteht seinem Wesen nach aus

if am

einer kreisförmigen Drahtrolle, welche um einen Durchmesser drehbar ist. Wird sie gedreht, so wird das magnetische Feld der Erde Ströme inducieren, die wir, wenn die Drehung rasch erfolgt und nur kurze Zeit andauert, nach der im vorhergehenden Paragraphen angegebenen Methode messen können. Für das Potential eines Kreisstroms auf einen Magnetpol m fanden wir (§ 39)

K³ '

U = iV =

Dabei ist

COS 05,

wenn wir unter a den Winkel der Normalen zur Stromebene mit der Verbindungsgeraden Strom - Magnetpol

verstehen.

—2 ist aber nichts anderes als die mag-

netische Intensität J an der Stelle des Stromkreises. Wir können daher das Potential auch schreiben TJ = i V = iJf cos ce

oder

V = J f cos a.

Diese Formel können wir nun für das Potential des Erdmagnetismus auf den Erdinduktor an wenden. Derselbe sei um eine vertikale Achse drehbar. Die

Fläche des Induktors sei F und у der Winkel, welchen die Normale zur Fläche F mit der Richtung der Hori-zontalkomponenten H einschliesst. Dann ist Y = FH cos гр,

folglich

dV

_ = wi = -:FHem* -jp

wenn w der Widerstand der Induktorrolle ist. Diese Gleichung ergiebt durch Integration

V.-Vo

= w J' i dt = FH (cos

— cos^o).

Wählen wir nun грх und so, dass der Induktor eine halbe Drehung macht und dass zu Beginn als auch zum Schluss der Bewegung die Ebene des Induktors senkrecht zum magnetischen Meridian steht, so ist гр₁ = 0, y>₀ ~ л, folglich cos 'ip₁ — cos ipQ = 2 und

wj

idt = 2FH.

Stellen wir die Drehungsachse des Induktors horizontal, so erhalten wir auf gleiche Weise

WJ

i'dt = 2FV',

wenn V' die Yertikalkomponente der gesamten magnetischen Intensität ist. Wir erhalten nun durch ein ballistisches Galvanometer Ausschläge, welche den Werten idt und |*i'dt proportional sind. Sie seien

2FV' = C

und ç>₂. Dann wird

2 F H = C qpj

und

9>2

V'

= tg J',

wenn wir unter j' die Inklination verstehen (§ 22).

Nach dem vorhergehenden Paragraphen ist der grösste Ausschlag des ballistischen Galvanometers

2^G

GM

i dt =

Hr

da ja

Jidt)

HM

ist. Wir haben somit

idt =

Hr

2ttG

nach dem obigen aber auch

2 FH

i dt = —

folglich

2PH Hr

2 л G9iî

4 л: F G

9>1*

In dieser Formel können wir alle Grössen der rechten Seite in absolutem Mass bestimmen. Wir haben somit hier ein Mittel, den elektrischen Widerstand einer Leitung in absolutem Mass auszudrücken.

§ 48. Das elektrostatische und elektromagnetische Masssystem.

Wir sind in der Lage, alle uns auf stossenden physikalischen Grössen durch die absoluten Einheiten der Länge, Masse und Zeit auszudrücken, und wir nennen dann die so erhaltenen neuen Einheiten die abgeleiteten. Die Formel, welche uns die Zusammensetzung einer abgeleiteten Einheit aus den absoluten Jäger, Theoretische Physik. III.

ergiebt, nennen wir die Dimension der abgeleiteten Einheit. So wird z. B. eine Kraft dargestellt durch das Produkt aus einer Masse [M] und einer Beschleunigung. Die Beschleunigung ist aber eine Geschwindigkeit, dividiert durch eine Zeit [T], die Geschwindigkeit wiederum eine Länge [L], geteilt durch

[L M]

[T²] ’

eine Zeit. Die Dimension der Kraft ist also

was man schreibt.

jedoch gewöhnlich in der Form [КИТ⁻²]

Die Kraft, mit welcher sich zwei Elek-tricitätsmengen e und e' anziehen, ist gegeben durch

ее' r²

(§ 1). Drücken wir dies in Form einer Dimensionsgleichung aus, so haben wir

[L²]

[mlt⁻²]

oder

Das elektrostatische Potential Ш hat die Dimension der Grösse — (§ 2), also hingegen hat die CapacitätC die Dimension der Grösse - (§ 10), also

[C] = [L].

Wir haben diese Dimensionen alle aus dem elektrostatischen Kraftgesetz abgeleitet; wir sagen; wir

haben die Grössen in elektrostatischem Mass gemessen.

Zwei magnetische Massen ziehen sich nach demselben Gesetz an wie zwei elektrische.

Wir haben für die Anziehungskraft mm' r²

Folglich erhalten wir für die Dimension einer magnetischen Masse ebenfalls den Ausdruck

Wir fanden für die Wirkung eines Stromelements auf einen Magnetpol (§ 36) die Kraft m ds sin &

r²

oder

Sr²

daher

m ds sin # ’

[l мтЛ!]

=    t⁻¹],

da sin# eine dimensionslose Zahl ist.

Die Stromstärke ist nichts anderes als die Elektri-citätsmenge, welche in der Zeiteinheit den Querschnitt des Leiters passiert. Das Produkt aus Stromstärke und Zeit giebt uns daher die Elektricitätsmenge an, und wir finden somit für deren Dimension

Die durch den Strom in der Zeiteinheit entwickelte Wärmemenge wi² (§ 44) hat die Dimension einer Energie, dividiert durch eine Zeit, also einer

Kraft multipliciert mit einem Weg, geteilt durch eine Zeit, folglich

woraus folgt

[w i²] = [l² MT⁻³],

[w]

[L²MT-3]

[LT"¹].

[lmt⁻²]

Für die Dimension der elektromotorisch en Kraft

E haben wir somit (§ 44)

[E] = [wi] =    T ~²].

Vergleichen wir die in elektrostatischen und die in elektromagnetischem Mass gemessenen Grössen, so zeigt sich die auffallende Erscheinung, dass ein und dieselbe Grösse, nach den verschiedenen Systemen gemessen, verschiedene Dimension hat. So fanden wir in elektromagnetischem Mass für die Dimension der Stromstärke

in elektrostatischem Mass hingegen

[ej= [l*/* m’/" T — *]•

Das Verhältnis der letzteren zur ersteren ist

V=[LT“¹],

hat also die Dimension einer Geschwindigkeit. Messen wir eine Elektricitätsmenge einmal mit der Coulomb’-schen Drehwage, das andere Mal mit dem Galvanometer, so erhalten wir sie in den zwei verschiedenen Systemen gemessen, und es zeigt sich, dass ihr Verhältnis

cm

v=3.10¹⁰

d. i. gleich der Lichtgeschwindigkeit ist.

sec’

Wie die Elektricitätsmengen stimmen auch die übrigen elektrischen Grössen, die Energie ausgenommen, in beiden Systemen gemessen, in ihren Dimensionen nicht überein, und zwar ist das Verhältnis natürlich immer eine Potenz der Lichtgeschwindigkeit V.

§ 49. Absolute und praktische Einheiten.

Für praktische Zwecke sind die absoluten Einheiten in der Pegel unbequem, da sie entweder sehr grosse oder sehr kleine Zahlen ergeben. Man hat daher für die Bedürfnisse des alltäglichen Lebens andere Einheiten gewählt. Es ist uns bereits das praktische Mass der Stromstärke, das Ampère (§ 37) bekannt,

welches

Ïq der absoluten Stromeinheit ist. Die absolute Einheit des Widerstandes ist so klein, dass man das 10⁹ fache als praktische Einheit gewählt und mit dem Namen Ohm belegt hat. Analogerweise führt das 10⁸ fache der absoluten Einheit der elektromotorischen Kraft den Namen Volt. Ampère, Ohm und Volt stehen also in solchen Verhältnissen zu einander, dass auch für sie das Ohm’sche Gesetz

i__e

aufrecht bleibt.

Für die Energie per Sekunde e i = w i²

haben wir als praktisches Mass das Watt oder Volt-Ampère, welches somit gleich Ю⁷ absoluten Einheiten ist. Die Elektricitätsmenge, welche in der Sekunde durch den Querschnitt eines Leiters von der Stromstärke eines Ampère geschickt wird, nennen wir ein Coulomb.

Leiten wir die eine Belegung eines Condensators zur Erde ab und erzielen wir durch die Ladung von ein Coulomb auf der zweiten Belegung gerade die Spannung eines Volts, so hat der Condensator die Capa-

citât von einem Farad. Dieses besitzt also

1СГ¹

10⁸ =•10“⁹ absolute Einheiten. Das Verhältnis der Mass-einheiten in den beiden Systemen ist für die Elektri-

citätsmenge V (§ 48), für das Potential für die Ca-

V²

pacität somit V.² Ein Farad hat also

tische Einheiten. Es ist dies eine so grosse Einheit, dass man in der Pegel als praktische Einheit den millionten Teil, das Mikrofarad, benützt.

10⁹

elektrosta-

§ 50. Der Extrastrom.

Ein von einem Strom durchflossener Leiter erzeugt in seiner Umgebung ein magnetisches Feld, dessen S tärk e proportional der Stromstärke i ist (§37). Das Potential eines magnetischen Felds auf einen Strom ist der Stromstärke proportional. Das vom Strom i erzeugte magnetische Feld besitzt daher auf den Strom i ein Potential, welches i² proportional ist. Wir können es somit

U = Ai²

setzen, wenn A eine Constante ist. Aendert sich die Stromstärke während der Zeit dt? so ändert sich das Potential um

Adi²=2Aidi,

und die Energiegleichung ergiebt

Eidt = wi²dt — 2 A i d i,

oder

di

men. Gleichung

Der Ausdruck C = — 2 A lässt sich im allgemeinen mathematisch nur sehr schwer, meist gar nicht bestim-Um so leichter ist es, ihn mit Zuhilfenahme der

di

E = wi+C

experimentell zu finden. Als Lösung dieser Gleichung haben wir

i = A+Beat, wenn wir unter А, В und « Constanten verstehen. Wir finden dann nämlich

(20)

E = wA+wBe“t+CB«e“t.

Denken wir uns etwa, wir hätten ein constantes galvanisches Element von der elektromotorischen Kraft E?

so ist E natürlich eine constante Grösse, d. h. es muss von der Zeit unabhängig sein. Das ist aber nach unserer Gleichung nur möglich, wenn

wB -fCBa = o

ist, woraus folgt. Ferner ist E —wA, oder A=—. Es wird so-

w

mit nach Gleichung (20) die Stromstärke

wt

i = bBe

w

“0*

Wir wollen nun zu einer bestimmten Zeit t = o den Strom schliessen. Dann ist für t — о auch i = 0, E ,

E

—. Somitergiebtsich

also auch-------f-B = 0, oder В =

w    ¹

• E / i= — ( 1

w \

în dem Augenblick, wo wir den Strom schliessen, ist also die Stromstärke Null und steigt dann mit der Zeit w

an. Da fast immer eine sehr grosse Zahl ist, so geht

w

das Anwachsen sehr rasch, da dann das Glied e“c ^ sehr rasch Null wird. Es ist dann der Strom constant

. Wir haben also beim Schliessen des Stroms

welchen wir den Extra-

E -^t

einen Gegenstrom — — e b , ström nennen.

Oeffnen wir nun den Strom, so ist unmittelbar nach der Unterbrechung die elektromotorische Kraft nicht mehr vorhanden. Es gilt dann also

dt*

о = w i + C ^

Wir haben jetzt als Lösung

i=Be

Eür t = o ist nun i =

, daher B =

folglich

ï=-e⁻^*

Wir haben also auch bei der Oeffnung einen Extrastrom)

Dämpfung einer schwingenden Magnetnadel. 121

welcher gleich gerichtet ist dem ursprünglich vorhandenen Strom.

Beim Oeffnen haben wir die volle Stromstärke im Leiter, beim Schliessen ist sie Null. Wir erhalten daher beim Oeffnen einen intensiven elektrischen Funken, beim Schliessen hingegen nur einen sehr schwachen. Die Grösse C nennt man den Coefficienten der Selbstinduction.

§ 51. Dämpfung einer schwingenden Magnetnadel.

Die Bewegung einer Magnetnadel besteht in einer Drehung um ihren Aufhängepunkt. Es muss somit ihr Trägheitsmoment К multiplićiert mit der Winkel-d²<p

beschleunigunggleich der Summe aller Drehungsmomente sein (Bd. I. § 28). Der Erdmagnetismus übt auf die Magnetnadel das Drehungsmoment — HM sin<p aus (§ 22). Die Magnetnadel hänge in der Mitte eines kreisförmigen geschlossenen Stromleiters. Für das Potential eines solchen Stroms auf einen Magnetpol fanden wir (§ 40)

U = 2rci

(yh² + x²

Die Entfernung der beiden Pole +m und — m unserer

Nadel sei X, und zwar sei sie so klein, dass wir annehmen können, die Wirkung des Stroms auf die Pole sei gerade so, als lägen sie in der x-achse (Fig. 32). Die y-achse habe die Richtung des magnetischen Meridians. Für den Südpol S ist dann die Abscisse X .

x = -~ sm <p,

für den Nordpol

X .

x = — casing?.

U+ = 2^i (~ 2 ^ln<P _i ) m>

Das Potential des Stroms auf den Magnetpol wird sich daher zusammensetzen aus dem Potential U_j_ auf den Südpol und U__ auf den Nordpol. Nach dem Obigen ist nur

\J- = 2ni (l 8ШУ \ h

ff

folglich

Fig 32.

W = U++ U_ =    sin Cf,

da ja

nichts anderes als das magnetische Moment der Nadel ist.

2*iM

^—cos cp

d cp

ist somit das Drehungsmoment, welches der Strom auf die Nadel ausübt. Somit erhalten wir die Bewegungsgleichung

d²<?

dt²

HMsin<p + ?i^

h

COS ф.

(21)

Setzen wir W = V i, also

so gilt für unsern Leiter, in welchem sonst keine elektromotorische Kraft wirkt (§ 50) dV

о = wi Daraus folgt

.    2^M

dt=wl+nr

d cp

cos cp —-

dt*

2лт M

hw cos^ dt

Diesen Wert führen wir nun in Gleichung (22) ein und erhalten demnach

d² cp

dt²

HMsingp

d cp

4 rc²M²

h²w

COS ²ф.

pj p-

Wir setzen nun voraus, dass die Ausschlagswinkel cp der Nadel nur klein seien. Dann können wir sincp =cp, cos cp = 1, folglich d²Ç)

dt²

HM 4M² dy 7k-90 — h*wK' dt

setzen. Das ist aber die Gleichung einer gedämpften schwingenden Bewegung, wie sie etwa ein Pendel im widerstehenden Mittel ausführt (Bd. I. § 10.). Da die Grössen H, M, К nach bekannten Methoden bestimmbar sind, so haben wir auch hier ein Mittel, aus der Abnahme der Schwingungsweite den Widerstand w unseres Stromleiters in absolutem Mass zu finden.

§ 52. Inductionswirkung* zweier Stromleiter aufeinander.

Wir fanden im § 43 als Potential zweier Ströme aufeinander

JJC-^dsds' = -ii'V.

Das Potential eines jeden Leiters auf sich selbst ist hingegen

W = ii'

<N

und

tf“

ds ds'

Ui

.2

ds ds' = —

U' i'²

2 ’

wobei aus den Gleichungen ohne weiters hervorgeht, was wir unter V, U und U' zu verstehen haben.

Wir wollen nun die Stromkreise während der unendlich kleinen Zeit dt beobachten und alle Vorgänge in Rechnung ziehen. Die gesamte Energieänderung wird wiedergegeben sein durch E i d t -|- E' i' d t, wenn wir unter E und E' die elektromotorischen Kräfte in den beiden Kreisen verstehen. Diese Energieänderung wird sich erstens als Wärme Wirkung zeigen

— diese ist wi dt + wi' dt — ferner als Aende-rung des Potentials der Ströme auf sich

selbst d

und gegeneinander

d (Yii'), schliesslich als geleistete mechanische Arbeit, wenn die Ströme ihre gegenseitige Lage als auch die Gestalt ändern, was sich darstellen lässt durch

.2

ii'dV+ ^-dIJ + i- dU'.

Gleichung

Eidt + E'i'dt = wi dt + w'i' dt-f-d (-—■ J

Wir erhalten somit die

.2

dU'.

/U'i A    i²

+ d(—) + d(YiiO + ii'dY + TdIJ +

Führen wir die Differentiation durch und dividieren wir alle Glieder durch dt, so bleibt uns

E i + E' i' = w i + w' i'² + U i ^    ^

I V/ di Л.ЛТ-di'i_o • •/ dV

fVld?+Vldt+²¹¹ Ж'

dU'

+ i'² dt

Dabei haben wir also gleich die gleichartigen Glieder zusammengezogen. Ein Blick über die Gleichung er-giebt, dass die Glieder mit i für sich und jene mit i' gültige Gleichungen ergeben werden, wobei demnach

.. dY

dt

das letzte Glied 2 i i' -tt zu halbieren ist. Das Resultat

ist somit

dt ' ¹ dt

dt’

dU'

di

dV

E'i'=w'i' + U'i'

Dividieren wir die eine dieser Gleichungen durch i, die andere durch i', so bleibt uns

bVi'^ + ü'

dt*

E =wi + ~(Ui+Vi'), E' = w'i' + ^(U'i' + Vi).

(22)

Man nennt diese Gleichungen auch manchmal die Grundgleichungen der elektrodynamischen Induktion. XJ, U' und V sind die Induktions-koeffizienten, U und U' die Koeffizienten der Selbstinduktion, Y jener der gegenseitigen Induktion.

§ 53. Induktionsapparate — Transformatoren.

Wir denken uns zwei ineinander befindliche Drahtspulen, deren gegenseitige Lage sich nicht ändert. Es ist dann ihre Selbstinduktion als auch die gegenseitige von der Zeit unabhängig. In der einen Spule wirke die veränderliche elektromotorische Kraft E. Gleichungen (22) werden somit

Die

di

di'

dt+vdt’

^+vdi

dt ^

(23)

0 =wi' + U'

Es wird also der induzierte Strom i' lediglich durch die Aenderung des primären Stroms i bestimmt werden.

Ist ^ = 0, so folgt auch i' = 0.

Wir nehmen nun an, dass i eine rasche Aenderung erfährt und dann wieder konstant bleibt. Es nimmt

für kurze Zeit einen positiven oder negativen

Wert an, vorher und nachher ist i konstant, daher

= 0. Ueber die Zeit z der Stromänderung wollen

wir unsere Gleichungen integrieren, erhalten also

also

rrt irrt

dt*

oder

Jw'i'dt+u'JJ;

0 0

z

w' Ji'dt + U'(i'r

0

^dt= —V

d t,

Induktionsapparate — Transformatoren.

127

Zu Beginn und zu Ende der Zeit r haben wir keinen Induktionsstrom, es ist daher i'r = i' = 0, folglich

w'

i'dt = — V (ir — iQ).

Wachet der Strom i, d. h. ist iQ, so wird der Induktionsstrom i' negativ sein, nimmt i hingegen ab, so ist i' positiv, i' wird um so grösser ausfallen, je kleiner T wird, d. h. je rascher der Strom i sich ändert, und je grösser die gegenseitige Induktion V ist. Es ist jetzt auch ein Leichtes, den Koeffizienten der gegenseitigen Induktion experimentell zu bestimmen, da wir ja alle übrigen Grössen unserer Gleichung leicht messen können.

E = A sin a t + В cos a t.

Wir nehmen nun an, es sei in der primären Leitung eine periodische elektromotorische Kraft vorhanden, also

Das heisst, die primäre Leitung wird von einem Wechselstrom durchflossen. Es genügt dann für die Gleichungen (23) die Lösung

i = a sin a t -f- b cos a t, i' = a' sin a t + V cos a t.

Führen wir nämlich diese Werte in die Gleichungen ein, so erhalten wir

A sin at -f- В cos cet = w a sin «t + wb cos a t -f~

U a a cos a t — IT b a sinat + Ya'a cos at — — У Ы a sin a t

und

О = w' a' sin a t -f- w' b' cos a t + U' a' a cos a t —

— IP Ы a sin a 14- Y a a cos at — V b a sin « t.

Diese Gleichungen sind erfüllt, wenn die Glieder mit sin a t für sich einander gleich sind und ebenso jene mit cos at. Wir können dann durch sin at bezüglich cos at kürzen und erhalten die vier Gleichungen

A = wa — Uba — Yb' a,

В = w b -J- U a a + Y a' a,

О = w' а' — U' b' « — Y b ce,

О = w'b' -f- U'a'a-f Yaa,

Diese vier Gleichungen reichen hin, um die Grössen a, b, a'b' zu bestimmen, womit auch der Yerlauf des primären und sekundären Stroms gegeben ist.

Daraus ergeben sich mehrere wichtige Erschein Da А, B, a, b, a', b' im allgemeinen vonein-

nungen.

ander verschieden sind, so besitzt sowohl der primäre als auch der sekundäre Strom gegenüber der elektromotorischen Kraft eine Phasenverschiebung, während die Stärke beider Ströme auch noch durch die Schwingungszahl, die Widerstände und die Induktionskoeffizienten bestimmt wird, was alles bei der Konstruktion von Induktionsapparaten und Transformatoren in Betracht zu ziehen ist.

§ 54. Oscillierende Entladung eines Kondensators.

Yerbinden wir die beiden Belegungen eines Kondensators mit einer Eunkenstrecke, zu welcher die Elektrizität durch einen sehr grossen Widerstand, etwa eine nasse Schnur, geleitet wird, so sehen wir bei einer Entladung nur einen einzigen Funken, ist hingegen der Widerstand der Zuleitung klein, so zeigt ein rotierender Spiegel, dass mehrere Funken hintereinander auftreten,

Oscillierende Entladung eines Kondensators.

129

dass wir es also mit mehreren aufeinander folgenden Entladungen zu thun haben.

Wir setzen nun voraus, die eine Belegung des Kondensators sei zur Erde abgeleitet, die andere befinde sich vor der Entladung auf dem Potential P₀ und enthalte die Elektricitätsmenge Q₀. Zu einer beliebigen Zeit t seien diese Grössen etwa P und Q. Geht die Entladung vor sich, so entsteht in der Leitung ein Strom i, und es ist die Veränderung der Elektricitätsmenge Q in der Zeit dt

dQ = — idt

di

(§ 48). Ferner ist nach dem Ohmschen Gesetz die elektromotorische Kraft oder, was dasselbe ist, die Spannung

p=wi+udt’

wenn TJ der Koeffizient der Selbstinduktion der Leitung ist. Zwischen P und Q besteht nun die Gleichung

Q = CP,

wobei C die Kapazität des Kondensators darstellt. Es ist also

di

~q = wi -f u—,

woraus durch Differentiation nach der Zeit folgt

J_    di TJd4

C * dt wdt ' ^dt**

Nun ist aber nach dem Obigen

dQ dt

woraus die Gleichung folgt

d²i w di i

df ⁺ Û"dt ⁺ ÛÜ~a

Jäger, Theoretische Physik. III.

Das ist genau dieselbe Gleichung wie jene für ein Pendel im widerstehenden Mittel (Bd. I. § 10). Wir können also auch hier die Stromstärke

i = Aeat

setzen, woraus für a folgt

w -f l/-w'

2U ^ (/ 4 U²

> XfC’ ⁸⁰ haben w^r keine periodische Bewegung. Es tritt nur ein einziger Funken auf.

9    W²    1

Ist hingegen ^ -g-₂ ^ q

UC*

w²

4U²

Ist somit j ■г

-, so wird die Wurzel imaginär, wir haben eine periodische Bewegung vor uns, es tritt eine oscillierende Entladung ein.

Haben wir einen sehr kleinen Leitungswiderstand,

w i

so können wir in Gleichung (24) das Glied -y- . — vernachlässigen, und wir erhalten

d²i

dt² U C*

Dieser Gleichung entspricht eine schwingende Bewegung von der Dauer

T ⁼⁼⁼ 2 тс ] U C.

§ 55. Elektrische Ströme in einem Dielektrikum. Leiten wir die eine Belegung eines Plattenkondensators (§ 12) zur Erde ab, und es befindet sich zwischen den beiden Platten bloss Luft, so ladet sich die andere Belegung mit Elektricität von der Dichte

°“4*c5’

Elektrische Ströme in einem Dielektrikum. 131

wenn wir unter В das Potential dieser Belegung verstehen. Ist zwischen den Platten ein Dielektrikum, so erhalten wir eine andere Dichte der Elektricität

KB 4 n ô ⁹

wobei wir die Konstante К die Dielektricitätskonstante nennen. Die Oberflächendichte о denken wir uns nun auf die Weise entstanden, dass innerhalb der Molekeln die positive und negative Elektricität infolge der Einwirkung der elektromotorischen Kraft getrennt wird. Wenn wir demnach senkrecht zur Richtung der Kraft F eine Fläche legen, so wird per Flächeneinheit, sobald F zu wirken beginnt, eine Elek-tricitätsmenge a hindurch getrieben. Zerlegen wir demnach die elektromotorische Kraft in die drei Komponenten X, Y, Z, so sind die Elektricitätsmengen, welche parallel den drei Achsen die Flächeneinheit passieren

f=4^X,g = ^Y,h = — Z.

nennen, haben wir

Man pflegt die Grössen f, g, h auch die Komponenten der elektrischen Verschiebung zu Ist Ф das Potential der Elektrizität, so

_ Y_ 3* z = _£*

8x ’    0y ’    dz'

Wir definierten die Stromstärke (§ 48) als die Elektricitätsmenge, welche in der Zeiteinheit den Querschnitt des Leiters durchfliesst, und die Stromdichte als das Verhältnis zwischen Stromstärke und Quer-

schnitt, d. i. die durch die Flächeneinheit per Zeiteinheit fliessende Elektricitätsmenge. Für eine elektrische Verschiebung in einem Dielektrikum haben wir somit für die Stromdichten parallel zu den drei Achsen

df

К 0X

P-.

CTQ et-

oç>

lS!

(25)

dt 4л: dt ’

§ 56. Allgemeine Gleichungen der Induktion.

Wie wir für ein Dielektrikum eine Verteilung der Elektricität durch Einwirkung elektrischer Kräfte feststellen konnten, können wir dies gleichermassen für die Verteilung des Magnetismus in einem Körper thun, Nennen wir a, b, c die Komponenten der magnetischen Induktionskonstanten (§ 28), Л, v die Winkel, welche die Normale des Elächenelements dS mit den Koordinatenachsen einschliesst, so können wir die Zahl N der Kraftlinien, welche durch einen Leiter der Elektricität gehen, der die Fläche S umschliesst, durch

N == f J (a cos A + b cos p + c cos v) d S

darstellen.

Ein derartiges Flächenintegral lässt sich nun nach dem Stokes’schen Satz (§ 42) in ein Linienintegral von der Form

+ Hdi)ds

ds

jv*

verwandeln, wenn wir die Grössen a, b und c in die Form

aG

QU QU

b= -

Qu Qu

QU QU

(26)

dx dy

bringen können. Das muss aber möglich sein, da ja die Zahl der Kraftlinien lediglich durch die Form des linearen Leiters bestimmt ist, indem die Fläche S vollständig willkürlich bleibt.

Die elektromotorische Kraft e in unserm Leiter ist gegeben durch die negative Aenderung des magnetischen Potentials auf den Leiter, d. h. durch die Abnahme der Zahl der Kraftlinien, welche die von ihm umschlossene Fläche durchsetzen. Es ist also

dF dx dG dy dH dz dt ’ ds dt ’ ds dt * ds

dN

dt

ds

= J(Xdx + Ydy + Zdz).

Daraus erkennen wir nun ohne weiters, dass

Y_ dG ₇_ dH

dt’    dt'    dt

nichts anderes als die Komponenten der elektromotorischen Kraft sind. Aus den Gleichungen (26) und (27) gewinnen wir nun leicht

dF

(27)

dt

db

d /dH\ d_ /dG\ a y \ d t / a z \ d t /

aZ dY

d /d F \ d /d H\ \dt / a x \ d t /

^ ₌ /dö\ ±fdF\

dt ax\dt/'ay\dt/

“ d t--äi

Qu QU

az

dY

Wir wollen nun noch die Beziehung auf stellen, welche zwischen den Komponenten der magnetischen Induktion a, b, c und den Komponenten der magnetischen Kraft «, ß, T besteht. Wie eine elektrische Kraft eine Verschiebung der Elektri-cität, so bringt eine magnetische eine Verschiebung des Magnetismus hervor. Wird demnach ein Körper im magnetischen'Feld (Fig. 33) von der (yz)-Ebene durchschnitten, so wird auf der linken Seite der Magnetismus von der Dichte

+<7

-<э

Fig. 33. (j = ka

auf der rechten

a= — к а

frei. Denken wir uns anstatt der (yz) = Ebene also wirklich einen sehr schmalen Baum, so wird auf einen Punkt von der magnetischen Masse Eins von links die Kraft 2 n <j ausgeübt, welche den Punkt in der Bichtung der x-achse zu treiben sucht. Dieselbe Kraft in derselben Bichtung übt auch die rechte Seite aus. Der Punkt erfährt somit die Gesamtkraft 4 n a. Diese Grösse ist also auch die Zahl der pro Flächeneinheit inducier-ten Kraftlinien, welche noch zu den ursprünglich vorhandenen a hinzukommen. Wir haben somit als Zahl der Kraftlinien parallel zur x-achse

l* = 1 -|-4лк

а = а + 4^0 = а + 4я?ка = (1-]-4гск)а=:^а, wobei demnach

nichts anderes als die magnetische Inductionsconstante ist. Ganz dieselbe Ueberlegung können wir natürlich auch für die übrigen Componenten der Induction machen, so dass wir die drei Gleichungen

(29)

a = ^a, h=f*ß, c = i*y

erhalten.

§ 57. Die Grundgleichungen der Elektricitätsbewegung in Isolatoren.

Aus den Gleichungen (28) und (29) ergiebt sich

dz dY

N S3

(30)

^ dt dy dß dX

-*Tt

dx'

dx

** 3t ~dx dy '

In § 38 fanden wir für die Beziehung zwischen der Stromstärke und den von ihr erzeugten magnetischen Kräften die Gleichungen

dy dJ

da dy

⁴*v=ä¥-3P

4:71 W =

d ß da dx dj}

welche mit den Gleichungen (25) ergeben

chungen (30) entnehmen und erhalten so

a²x_a²x a²Y a²x a²z ** at² a y² dxd y    a z²    а ха z

а²х

Addieren und subtrahieren wir gleichzeitig ^ x2~> so kön-nen wir unsere Gleichung schliesslich in die Form bringen

a²x a^x , a^x , a²x а /ах ay az\

ax2 1 ay2 1 az² ax^ax⁺ay ⁺ az/ Das letzte Glied dieser Gleichung wird aber gleich Null, wenn von vornherein keine elektrischen Ladungen im Raum vorhanden sind, da dann auch keine elektrischen Verschiebungen auftreten können. Es bleibt somit nur

(33)

K*±₌îï-°1

dt

3Y

CD CD

CD

dt dz dx9 aZ _ dß du KFt~~dx~dy'

Durch partielle Difïerentation der ersten dieser Gleichungen nach der Zeit erhalten wir

a²x_ d

\dt) dz\dt/

at²

дУ

Die Werte für -Jr und -Jr können wir nun den Glei

cht

at

a²x a²x a²x a²x a X² a y² a z²

Aus § 48 wissen wir, dass die Stromstärke, in elektrostatischem Mass gemessen, V mal grösser ist als in elektromagnetischem. Bei der elektromotorischen Kraft ist es umgekehrt. Wir wollen die elektromotorischen Kräfte X; Y, Z und ebenso die Componenten u, v, w

der Stromdichte von nun an m elektrostatischem Mass ausdrücken. Die magnetischen Kräfte a, ß, y messen wir in elektromagnetischen Einheiten. Um also die Gleichungen (31) mit den Gleichungen (25) identisch zu machen, haben wir (31) in der Form 4яи_dy dß

4:71V

dy

dx da

V dx dy

)-

zu schreiben. In ähnlicher Weise haben wir die Gleichungen (30) umzuformen in dz    d Y

dy

t’

y(«

\dz SY dX

dß

dxj ^ dt’

)-"Й-

dx dy

Es wird dann Gleichung (33) und analog noch die zwei zugehörigen für die Elektricitätsbewegung parallel zur y- und z-achse

[л,К d²X_d²X d²X d²X TY'JV~T^⁺Jf⁺~dz²’ d²Y_d²Y , d²Y , a²Y ~W' dt*

dz'² ’

(34)

d²z

N:

lA,к d²z _

Dieselben Gleichungen, welche wir hier für die elektrischen Kräfte erhalten haben, ergeben sich auch für die magnetischen Wirkungen. Wir brauchen ja nur die Gleichungen (30) nach der Zeit t partiell zu differenzieren und die Werte für 4z~> 4t ans den Glei-

dt ⁷ dt ⁷ dt

chungen (32) einzuführen. Es ergeben sich dann, wenn wir wieder, wie es gewöhnlich geschieht, die elektrischen Grössen in elektrostatischen Einheiten, die magnetischen Grössen in elektromagnetischem Mass messen, nach demselben Vorgehen wie bei den elektrischen Kräften für die magnetischen Kräfte die Gleichungen

V² ' dt² dx²^ dy² ~r0za’

(35)

!*К d²ß_d²ß d²ß d²ß VT'd¥-d^i+~df ⁺ d~z.*’ fl к д²у _дгг d²y d²y V² ' dt² dx²^ df^dz²'

indem wir ja auch hier

^-Ldl-L^l ₌ a dx d у dz

setzen können (§ 25), da wir von vorn herein keine magnetischen Massen in dem von uns betrachteten Kaum voraussetzen.

§ 58. Elektrische Wellen.

Zur Erläuterung der im vorhergehenden Paragraphen abgeleiteten Grundgleichungen für die Elektrici-tätsbewegung in Isolatoren wollen wir folgenden spe-ciellen Fall betrachten. Wir nehmen an, es sei in unserem Isolator eine elektrische Störung vorhanden, indem etwa irgendwo eine elektrische Entladung stattfindet. Diese Störung sei nur derart, dass sie in allen Punkten einer zur у z-ebene parallelen Ebene einen con-

^к aax aax

stanten Wert besitzt. Das heisst, von den Ordinaten y und z sind alle vorkommenden Grössen unabhängig. Es vereinfachen sich daher die Gleichungen (34) in folgende

(гк a²Y_aaY

W"‘

a²z_a²z

V⁷ ' 5f²    S Xa '

Aus dem vorhergehenden Paragraphen wissen wir nun weiter, dass

Sy

dx

ist, und nach dem obigen muss

aY az

folglich auch

^y

ax

УГ— = 0

ax

a²x

sein, so das sich die erste unserer drei Bewegungsgleichungen auf

at²

reduciert. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn X = 0 ist, d. h. parallel zur x-achse keine elektrische Kraft wirkt.

Die Richtung der elektrischen Kraftwirkung erfolgt also parallel zur у z-ebene. Wir werden somit unser Coordinatensystem immer so drehen können, dass die y- achse mit der Richtung der Kraftwirkung zusammenfällt. Wir haben dann keine elektrische Wirkung parallel zur z- achse. Es ist also auch Z = 0, und es bleibt uns nur die Gleichung

ГК d*Y _d*Y у*"’ W“ äx* *

oder

a²Y_ у² aaY

Уё ⁼ /Гк'0х² •

Das ist aber genau dieselbe Gleichung wie jene für die Transversalschwingungen von Saiten (Bd. I § 78), wenn wir die Grösse

V²

(г К

setzen. Als allgemeine Lösung für die Gleichung (86) fanden wir (Bd. I § 68)

a²

Y = f (x-at),

woraus ohne weiters folgt, dass sich die elektrische Störung mit der Geschwindigkeit

U к

parallel zur x- achse fortpflanzt. Wir haben es also hier wie bei den Transversalschwingungen der Saiten mit Transversalwellen zu thun. Während die elektrische Bewegung parallel zur y-achse stattfindet, erfolgt die Fortpflanzung des elektrischen Zustands parallel zur x-achse. Für den leeren Baum und nahezu auch für den lufterfüllten ist и = K= 1, daher

a = Y.

Das heisst, es pflanzen sich hier die elektrischen Wellen mit der Geschwindigkeit Y fort.

§ 59. Magnetische Wellen.

Nach den von uns im vorhergehenden Paragraphen gemachten Yoraussetzungen vereinfachen sich auch die

Die magnetische Störung ist nur eine Folgeerscheinung der elektrischen, folglich muss nach dem früheren auch a = 0 sein und gleicherweise nach der zweiten der Gleichungen (30) /? = 0, da ja X und Z ebenfalls Null sind. Es bleibt uns somit nur die dritte der Gleichungen (30) in der Form für Y fanden wir aber im vorhergehenden Paragraphen die Lösung

woraus folgt

Gleichungen (35) für die magnetischen Kräfte. Wir erhalten vorerst

^ К a²a _d²a Y² ' dt² ~ d ’ гк    э

^к a²r_ a²7

Y² *at²“ax²’

ferner ist

CD CD

CD CD

N N?

=0,

folglich nach der Gleichung

auch

« + ^ ₊ ^=o

d ^dy^dz

Cd¹ cd

= 0.

Y = f (x — at),

dY somit

Elektromagnetismus, was nach t integriert ergiebt

_Çr = __Lf(x_at).

oder wegen a ~ y

(i y = i(л Кf(x — at).

Es gilt also für die magnetische Kraftwirkung dieselbe Funktion wie für die elektrische, nur erfolgt sie parallel zur z-achse. Es ist die Richtung der magnetischen Kraft senkrecht auf der Richtung der elektrischen und beide sind wieder senkrecht zurFortpflanzungsrichtung der elektrischen bezüglich magnetischen Veränderungen.

§ 60. Die elektromagnetische Lichttheorie.

Maxwell nahm an, dass die Lichtschwingungen nichts anderes als elektrische Schwingungen seien, weshalb man die von ihm begründete Theorie des Lichts die elektromagnetische nennt. Aus der Gleichung (36) geht unmittelbar hervor, dass auch eine periodische Funktion der Zeit, wie sie für die Lichtschwingungen gilt, als Lösung angesehen werden kann. Für alle durchsichtigen Körper kann die magnetische Inductionsconstante [л, = 1 gesetzt werden. Es ist somit die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ebener elektrischer Wellen durch

a“j/K

gegeben. Für das Licht fanden wir jedoch (Bd. II § 12)

a=-,

wobei wir unter У die Geschwindigkeit der elektrischen

Wellen im leeren Raum verstehen, die mit der Lichtgeschwindigkeit daselbst identisch ist (§ 48). Es folgt somit, dass

K = n²

sein muss, d. h. die Dielektricitätsconstante ist gleich dem Quadrat des Brechungsexponenten, was thatsächlich für viele Körper experimentell nachgewiesen wurde.

Diese Beziehung und der Umstand, dass das Verhältnis der in elektrostatischen Einheiten gemessenen Elektricitätsmenge zu jener in elektromagnetischen Einheiten gleich der Lichtgeschwindigkeit ist, veranlasste Maxwell zur Aufstellung seiner so epochemachenden Theorie, welche bereits auf die meisten optischen Erscheinungen, wie Polarisation, Doppelbrechung, Dispersion u, s. w. Anwendung gefunden hat.

Druckfehlerverzeichnis.

I. Band.

Seite22 Zeile 9 v. n. lies ,т statt

dt

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b statt 1.

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5 V. o.

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7 Y. u.

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dt²

„ 33 1. 33

CD

statt X, —. von statt vor.

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а² statt — a². M statt m.

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я 4 v.n. „    9 V. о.

-f- Z ô z statt X=Y = o,Z: dl statt db.

Halb seiten statt Seiten. С —В

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2 71

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W

„ 151    „    2 v. o. „    1, statt 1.

II. Band.

Seite 7 Zeile 11 v. u. u. a. a. 0. lies Young statt Joung. „11    „    8    y. u.    lies    AA    statt    AB.

„11    „    3    „    „    AA    statt    AB.

„ 36    „    8    „ „ Brechung statt    Berechnung.

Jäger, Theoretische Physik. III.

8 r\

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„ statt r. „    % statt k.

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Seite37 /eile 12 v.u. lies C' statt C.

Я 47    „ 12 V. о. я

1 — 0²e

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e ^ * statt e яр i.

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5 v. u.    „ яр statt (p.

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„63    „    3 V. o. „

П 'Ï]

„    2 i sin^ statt 2 sin 2 *

2

., 66    „    2 v.u. „

„ 72    „    9    V. o. „

statt

2 TT

tgcp statt tg cp.

„ cp¹ statt (p.

„ verhältnismässig statt sehr.

d statt d.

„ d statt d.

„110

„    5 V. u. „

„110 „ 1

„111

„127    „    8    V. o.

„138 „ 6 „

„ 146    „    10    V. u. „

⁷¹ statt

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„ n statt V.

„ neun statt Quadrat.

„ d statt у-„ müsste statt musste, um statt um.

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Don Prof. Dr. К1ф. SWut^cr.

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prof. Dr. Kb. §фшрраф.

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con prof. Dr. К1ф. äHutber.

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non prof. Dr. К1ф. îïlutber.

mMtttaleÇre •$.%&£' UsStuÿfitynmg

J ^ 6 piöftif oo« Dr. bane etejmann.

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I: Formenlehre oon prof. Dr. Ibane

melier.

U935urgenfuttbeD”Ä«.

Urteile ber greffe über „Sammlung ©öfdjeit".

^аф ben bor*

ФеиЬ|фе Setjrerjeitg., ^Berlin:    _

liegenben УапЬфеп fielen mir nid^t an, bie даще ©amrnhmg auf3 angelegentlicfrfte nidht allein pm (МеЬгапф in böseren вфи!еп, fonbent апф pr ©elbftbelebnmg p empfehlen.

Statur: ($3 ift gerabep ег^аипНф, mie e3 ber гй^тИф^ beïamtte SSerlag ermögttö)t, für fo enorm billige greife fo oorjüglidj anê* geftattete 2Вег!феп р liefern. Фаз borliegenbe ЯЗапЬфеп bringt in tnapper nnb Ьег^йпЬКфег gorm ЬаЗ Stiffen 3mertefte ber Mineralogie pm 2(u3brucf. ©aubere 91bbilbmtgen erlebtem ЬаЗ Verftönbni3.

ШоЬиЗ: (S3 ift erftamtltdj, mie oiel biefe Heine Æartenftmbc bringt, oïjne an tlarf)eit gu Verlieren, mobei поф gu ЬегЭДфНдеп ift, bag oiele Vbbilbmtgen ben 9iaum ftar! beengen. Vortrefflich mirb bie $artenbrojeftion31eïjre imb bie Monographie де{фНЬег*.

Nationals eit g.: (S3 ift Ыё je tjt in ber bentfdjen fiitteratur moï)l поф тф1 bageioefen, bag ein Seinmanbbanb bon faft 300 ©eiten in ЬогрдПфег Mritcf* unb Vabierau3ftattung p einem $rei3 p haben mar, mie itjn bie „©atnmlimg (ВДфеп" in ihrem neueften Vanbe, Majr

$?офгЗ (Sjcfdjidjte ber bentfrfjen Siittcratnr für ben betrag t)on fage ad)t5ii) Pfennige bęr beutfepen Sefermelt bietet.

$rat t. ©ф ul mann; ©in fJJleiftcrftürf fm^en unb bnnbtgcit, nnb Ьоф Haven nnb btelfagèitben 9tu$briuf3 mie bie „^eutfcPe £itteraturgefd)id)te" non $rof. Ëoé ift ancb bie oortieqenbe „$>entfd)e OîefфШре im ŚHittdattcr",

Stëatur: Qn ber Qpcntie non Dr. Sftein empfängt ber ©фй! ; faft ntepr, mie cr al§ Anfänger bebarf, miitbeftenê aber fo nietf baff er ba§ SBiffenêmürbigfte alê mtentbeprlicpe ©runbtage gum SBerftânbniffe ber ©pentie empfängt. . .

, $ n n ft f. Ш(е (TOiiii^en):    Stimm id) bepanbett in feinem

ШпЬфеп, „ge^eitf фп!е" benannt, in fnapper, fentiger, fadjtidj-5idbcniuf$tcr gornt ba§ meite (Gebiet be§ bilbmäjngeu Зе*Фпеп^ nnb 9)tateu8. . f . ©teid) itupbringenb nnb in тфрш ^age bÜbeitb für Serrer, ©d)üler nnb Siebpabepfünftler, möd)te idj ba3 mirftup porjnglidjc SB.erf mit mannen ! aüerfenneitbeit SSorten ber ©in-tüpruttg in ©фиГе, igauê nnb SBerfftatt pgänglid) тафеп. ®ie $u§-ftattnng ift babei eine fo Пошейте, biajk mir ber $rei§ non 80 Pfennigen für ba§ gcbnnbeite 3®erf non 188 ©eiten fl. 8° плгШф (ädjevUd) büUg; erfd)eint.- fftidü meniger at§ 17 2afętn in Жоп*, garben- nnb ©olbbrud, fomie 135 $8ott- nnb Xejrtbitber iünftrieren ben äufterft gefunben fiepr= gang Меуегл^е|феп{фп1е in fcinfiUjlenbcr SBetfe.

©tffffiab. Ш e rîn r: $raf. ©♦ Capter in Utm legt nn§ eine ^)arfteünng ber ebenen (Geometrie bor, bie bté gitr 9tu§meffung be3 ^reifeê еш(фИе{зИф gept. Sefonbere ©orgfatt ift ber 21u3mapf nnb ЭДпогЬттд ber gigureit 31t teil gemorben, bereit fanbere 2tu§füpruitg in 2 Farben angenehm berührt.

© I о b n 3 : §ocntcê, Urgefd)id)tc. $)er bemäprte gorfdier auf nor-gefd)id)tüd)em ©cbictc giebt pier in fitappftcr gorm bieteprreidje 3n* fammcufteüuug fo* fcigmbmeęteften ber Urgefdjkpte. $ ortreff lidj geeignet 5itr ©infüprnng nnb junt Ucbcvbüif.

3 a b r e ê b e r i d) t e b e r © e f ф i ф t $ m i f f e n f ф a f t ; § о m m e l, auf bem (Gebiet ber attorientat^en ©е^й)1ф1е eine auerfannte 5tutprjlät, bejtobelt in biefem ЗЗапЬфеп bie morgentättbif фе ©e^iepte mit grofjer ©enauigfeit nnb tptffpn^affficper ©гйпЬйф!еН in fnappfter gorgt. Фа§ Heine SJüd)!ein muf? mgrm empfoplen merbeit.

£p-$gr. 31 g '.(©if fen f.4® eil.); „3)ie ^Зрап^с" bon Dr. ©♦ Bennert ïônnen mir beftenê empfehlen, 3n fünfter, fnappefter, fepr Harer nnb perftänblirijcr gönn meip fein Serfaffer aüe§ SBiffenëmertefte über ben inneren uitb äußeren 33au nnb über bie £еЬеп§Ьещфйтдеп ber ^fïgnâ.ç ^nr Щп(фапппд 51t bringen, mo^n feine gan^ t»ortrcfftid)etir felbftge= 5cicbncten ^cgtabüilbungcn апбегогЬепШф piet beitragen beifeit.

S® î i ni a r f d) e 3eitg.: ^attljavUicb* 9Jüt btejer Ueberfepuitg mirb unë elite фофтЩфттспе nnb Polt Sitteratnrfreunben längft er-fepittc ©abc geboten. . SSoit einer guten Ueberfepnitg ift jn Per-langen, bail fie, finit- unb pg(eid) mögltd)ft mortgetven, opne bem Urtext, mie ber bentfdjeit ©prad)e bemalt an^utpuit, beit ($eift be§ Original^

ffctr unb ungetrübt nneberfptegete. tiefer gorberuttg gcrecgt$n merben, tint 5t(tt)of in mciftergaftcr 2öeife berftauben.

flatter f. b. bagr. ©gmn.*©cgutm.: ©moboba, ©rteeg. ©e= fcgitgte. ©djon ber lernte unb ber SRuf beê $8erfafferS bürgt bafür, bag mir uiegt etma bloß eine trodene Kompilation öor un§ gaben, itberaü geigen firf) bie ©puren felbftänbiger Arbeit.

fßraft. ©cgutmauu: ©eßfert, ©cgntpragiS. ©3 mirb in gc= bräitgtcr 2)arfteßnng ein veidjer, moglbungbatgter, ben uenefteu pcibagogifdjen Śeftrebungen gcrcdjt merbenber Qngalt geboten unb für ben, ber tiefer einbringen mit!, ift geforgt bureg reieggattige littérature uadgmeife.

^eitfegr. f. b. 9ieatfcgulm.: ©3 mar ein gtüdlidger ©ebanfe ber rügrigen SSerlagêganblnug, bie 3lbfaffuug beS ber ©tnfügrmtg in bie îtritgmctt! unb ШдсЬгп bieneuben SBünbdgeuS igrer „©ammlung" bem godggeadgteten gad)* unb ©djutmanne s$rof. Dr. ©djubert 51t übertragen .... Фег Sßerfaffer mußte bie ©eßmierigfeiten mit großem ©efeßid 51t bemättigen, iubent er burd) einen ftreng fpftemntifegen 3tnf= bau beê aritgmetifegen Segrgebaitbeê ber gafjungSfraft be§ Anfängers mögtiegft sJtedgnung trug unb babci nur ba§ §auptfäd)ticße in§ ЭДпде faßte. — gorntclfammluug unb ШсрсШопит ber SHatgematif bon 4$rof. £g. ènrtleu . ... Sie bureg reinen $)rurt uub gcfegmadboüe 5tuêftattung fieg au3<$eid)neube „görmelfamnthmg" mirb infolge igreS reitgen bictfeitigen gngattcê, igrer smedeutfpredjcubcu 5ïuorbmutg uub orienticrcnbcu ©ftebcrmtg aïs &ad)fcglagebucg oor^üglidje $>icufte teifteu.

©r entboten: ФаЗ grembmort im écutfdjen bon Dr. 9tnb. Ktcinpant. ©in legrreidjcê éiidjlciu, ba§ in feinen engen ШпЬеп .... eilte güttc bon ©pradjbctcßrung bietetf bie jeben feffeln muß, ber nur einigermaßen ba£ 93ebürfnté fügtt, fid) über ©prad)binge 5(ufftärung §n berfdwffen. ®er SSerfaffer gat fid) fegon bureg gagtrekge tmtfêtümücge Щсрег über bie ©praege unb igr £ebeit befannt gemaegt, er gat eine auëgebreitete, fid)ere Kenntnis ber ©prad)* unb 2£ortgcfd)icßte, gat mit 2Iu3bauer auf biefem ©ebiete gefammelt uub meiß feinen ©toff immer gefegidt §u gruppieren uub bor^utragen. . . .

©taatêanjeiger: ®ie Üîijmifrf)c Sittcrnturgefcgicgte ift eine geiftbottc gtäu^eube Arbeit, ©tnfenber gat biefelbe bon Anfang bis ©nbe mit größtem ©enuß bureggetefen uub babci $rt uub ©ntmicfhmg beê römifd)en ©egrifttum» uub bamit beS röntifd)en ©eifteStebenS über* gaupt beffer unb grünblid)er berftegen gelernt, als burd) maitdßeS biet* futnbige UuiüerfitätSfotteg ober bidleibige £anbbüd)er.

e t e о r 0 Ï 0 g i f cg e 3 eit j cgr if t: Sr ab ert gat in ber sJ!)tetco* rotugie feine fegmierige Aufgabe bortrefflieg getöft. gn allen fragen bertritt er ben ueueften unb testen ©tanbpunft.

©d)mei§erif dge iîegr er § ei tun д: Жег bie ^erfpcfttbe bon ^ret)berget* uub baS ©comctrifd)c 3ciri)llCM öon éeder bureggegt, mirb feine greubc barau gaben, ©o biel für fo meitig ©etb mirb mögt faunt anberSmo geboten. 2)ie güuftrattonen finb faitber uub cjraft. 2)er S^e^t ift htapp uub ttar unb aitcg ba, mo er megr au* beutet atg auSfügrt, auregettb.

в. J. (BofcÇen'fcÇe (Perfa^sÇanbfung, Betp^tg.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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