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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Elemente EbenSadbige Gebilde

Von

Pro£ Dr. Robert Haußner

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Liegt ein Punkt in TÏ1, so ist sein erster Tafel

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Umlegung ebener Gebilde in eine Tafel.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Mathematische Bibliothek

aus der Sammlung Göschen Jedes Bändchen in Leinwand gebunden 90 Pfennige

Geschichte der Mathematik von. Dr. A. Sturm, Professor am Obergymnasium in Seitenstetten.    Nr.    226.

Nr. 48.

Arithmetik u. Algebra von Prof. Dr. Hermann Schubert. Nr. 47. Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra von Professor Dr. Hermann Schubert.    Г"

Ebene Geometrie m. 110 zweifarb. Fig. v. Prof. G. Mahler. Nr. 41.

Ebene und sphärische Trigonometrie mit 70 Figuren von Prof. Dr. Gerhard Hessenberg.    Nr. 99.

Stereometrie mit 66 Figuren von Dr. Glaser.    Nr. 97.

Niedere Analysis m. 6 Figuren von Dr. Benedikt Sporer. Nr. 53.

Höhere Analysis I: Differentialrechnung mit 68 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 87.

Höhere Analysis 11: Integralrechnung mit 89 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 88.

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differentialrechnung m. 46 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 146,

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung m. 50 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker, bfr. 147.

Analytische Geometrie der Ebene mit 57 Figuren von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 65.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene mit 32 Figuren von Professor O. Th. Bürklen. Nr. 256.

Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Abbildungen von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 89.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes mit 8 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen.    Nr. 309.

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung mit 91 Fig. von Professor Dr. К. Doehlemann.    Nr. 72.

Darstellende Geometrie I mit 110 Figuren von Professor Dr. Rob. Haußner.    Nr. 142.

--II. Mit 40 Figuren.

Wahrscheinlichkeitsrechnung von Dr. Franz Hack, Professor am Eberhard-Ludwigs-Gymnasium in Stuttgart. Mit 15 Figuren im Text.    Nr. 508.

Nr. 143.

von Prof. Dr. Hermami Schubert.

Nr. 81.

Vierstellige Logarithmen

In zweifarbigem Druck.

Fünfstellige Logarithmen von Prof. Aug. Adler, Direktor der k. k. Staatsoberrealschule in Wien.    Nr. 423.

Mathematische Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik mit 18 Fig. von Prof. 0. Th. Bürklen. Nr. 51.

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AUS7eÄÄ

Vektoranalysis mit 16 Figuren von Professor Dr. Siegfr.Valentiner.

Nr. 354.

Nr. 402.

Determinanten von Paul B. Fischer, Oberlehrer an der Oberrealschule zu Groß-Lichterfelde.

Algebraische Kurven von Eugen Beutel, Oberreallehrer in Vaihingen-Enz. I. Kurvendiskussion. Mit 57 Figuren im Text.

Nr. 435.

--II: Theorie und Kurven dritter und vierter Ordnung. Mit

52 Fig. im Text.    Nr. 436.

Koordinatensysteme von Paul B. Fischer, Oberlehrer an der Oberreaischule zu Groß-Lichtenfelde.    Nr. 507.

Einführung in die geometrische Optik von Dr. W. Hinrichs in Wilmersdorf-Berlin.    Nr. 532

Einleitung in die Funktionentheorie (Theorie der kom plexen Zahlenreihen) von Oberlehrer Max Rose in Berlin- Wilmers dorf. Mit 10 Figuren.    Nr. 581

Versicherungsmathematik v. Prof. Dr. Alfred Loewy. Nr. 180

Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn.    Nr. 58.

Vermessungskunde von Oberlehrer Dipl.-Ing. P. Werkmeister. 2 Bändchen mit 255 Abbildungen.    Nr. 468, 469.

Geodäsie von Prof. Dr. C. Reinhertz, neubearbeitet von Dr. G. Förster in Potsdam. Mit 68 Abbildungen.    Nr. 102.

Astronomie. Größe, Bewegung und Entfernung der Himmelskörper von A. F. Möbius, neubearbeitet von Prof. Dr. Herrn. Kobold. Iî Das Planetensystem. Mit 33 Abbildungen.    Nr. 11.

— — IIî Kometen, Meteore und das Sternsystem. Mit 15 Figuren und 2 Sternkarten.    Nr. 529.

Astrophysik mit 15 Abbildungen von Prof. Dr. Walter F. Wislicenus, neubearbeitet von Dr. H. Ludendorff.    Nr. 91.

Astronomische Geographie mit 52 Figuren von Professor Dr. Siegm. Günther.    Nr. 92.

Nautik. Kurzer Abriß des täglich an Bord von Handelsschiffen ange-wandt.Teils d. Schiffahrtskunde m.56 Abb.v.Dr.Franz Schulze. Nr.84.

Luft- und Meeresströmungen von Dr. Franz Schulze. Mit 27 Abbildungen und Tafeln.    Nr. 551.

Sammlung Göschen

Darstellende Geometrie

Erster Teil

Elemente; Ebenflächige Gebilde

Von

Dr. Robert Haußner o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena

Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage

Vierter, neu durchgesehener Abdruck

Mit 110 Figuren im Text

Berlin lind Leipzig

G. J. Göschen⁵ sehe Verlag sh an diun g G. m. b. H. 1912

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Spamersche Buchdruckerei, Leipzig

AJcc. Nr.

Literatur.

I. Grundlegendes Werk.

G. Monge, Géométrie descriptive (Leçons données aux écoles normales). Paris Д799.    2.-7. Auflage 1800

bis 1847. In deutscher Übersetzung:

G. Monge, Darstellende Geometrie. Herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von Robert Haußner. Leipzig 1900 (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 117).

II. Lehrbücher.

K. Pohlke, Darstellende Geometrie. Berlin, I. Abteilung, 4. Auflage 1876; II. Abteilung 1876.

W. Fiedler, Die darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage. Leipzig, I. Teil, 4. Auflage 1904; II. und III. Teil, 8. Auflage 1885 und 1888.

dir. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Leipzig, I. Band 1884; II. Band 1887.

K. Rohn und E. Papperitz, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Leipzig, 3. Auflage in drei Bänden, 1906.

R. Müller, Leitfaden für die Vorlesungen über darstellende Geometrie an der Herzoglichen Technischen Hochschule zu Braunschweig. Braunschweig, 2. Auflage 1903.

E. Müller, Lehrbuch der darstellenden Geometrie für technische Hochschulen. I. Band 1908, II. Band (noch nicht erschienen).

E. V. Dalwiglc, Vorlesungen über darstellende Geometrie. I. Band 1911, II. Band (noch nicht erschienen).

Inhalt.

Seite

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Tafdi 1er angewandten Bezeichnungen .

Einleitung.

1.    Aufgabe der darstellenden Geometrie .

2.    Das Projektionsverfahren .... 3—7. Projektionen bestimmter Gebilde .

8. Die verschiedenen Arten der Projektion

I. Abschnitt.

Parallelprojektion ebener Gebilde und Affinität.

9—10. Parallelprojektionen von Strecken.....

11—12. Parallelprojektion einer ebenen Figur; Affinität 13—14. Perspektiv-affine Figuren in derselben Ebene .

15—17. Konstruktion der Ellipse als affiner Figur eines Kreises . 18—21. Zwei konjugierte Durchmesser bestimmen eine Ellipse;

ihre Konstruktion aus denselben .... 22—23. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen; Papierstreifenkonstruktionen ........

24.    Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus zwei kon

jugierten Durchmessern; Normale .    .    .

25.    Scheitelkrümmungskreise der Ellipse.....

26.    Die Ellipse als Parallelprojektion des Kreises .

27.    Brennpunktseigenschaften der Ellipse.....

28.    Konstruktion der zu einer beliebigen Kurve affinen Kurve 50

19

21

25

28

32

39

42

45

47

48

П. Abschnitt.

Schiefe Parallelprojektion räumlicher Gebilde.

29 - 30. Bestimmung der Richtung der Projektionsstrahlen .

31—32. Schiefe Projektion eines Würfels. Bemerkung über das Ausziehen der Linien ......

33 - 34. Vorteile und Nachteile der schiefen Projektion .

Seite

58

35—37. Schiefe Projektion ebenflächiger Gebilde. Wahrer und

60

scheinbarer Umriß..... .    .

64

38—41. Schiefe Projektion топ Kegel, Zylinder und Kugel .

III. Abschnitt.

Darstellung von Punkt, Gerade und Ebene in senkrechter Projektion auf zwei zueinander senkrechte Ebenen.

42. Einführung zweier Projektionsebenen.....

43—44. Darstellung des Punktes........

45—47. Einführung einer dritten Projektionsebene .

48- 50. Darstellung der Geraden; Spurpunkte einer Geraden 51 Besondere Lagen der Geraden gegen die Projektionsebenen 52 - 53. Eine Gerade ist durch Grund- und Aufriß im allgemeinen

bestimmt; Ausnahmefall.....

54—55. Tafelneigungen und wahre Länge einer Strecke

56.    Gegenseitige Lage zweier Geraden ....

57.    Darstellung der Ebene; Spuren einer Ebene

58.    Besondere Lagen einer Ebene gegen die Tafeln

59.    Die beiden Halbierungsebenen.....

60—65. Gerade in einer Ebene; Haupt- und Ealllinien einer Ebene

66. Tafelneigungen einer Ebene......

67-68. Gegenseitige Lage zweier Ebenen    .    ,    .    .

69—71. Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene . 72—74. Gerade Linien und Ebenen in rechtwinkliger Stellung 75—79. Umlegung ebener Gebilde in eine Tafel (Winkel zweier Geraden und zweier Ebenen; wahre Gestalt eines

gili

Dreiecks).........

80. Drehung ebener Gebilde um eine Hauptlinie 81—82. Drehung um eine zu einer Tafel senkrechte Achse .

83 - 85. Einführung neuer Projektionsebenen.....

IY. Abschnitt. Ebenflächige Gebilde.

.    140

86—87. Das w-Kant und das Polar-w-Kant 88—97. Das Dreikant; die sechs Grundaufgaben über dasselbe .    141

98. Allgemeines über Vielflache. Sichtbarer und unsichtbarer Teil. Wahrer und scheinbarer Umriß

Seit«

99—100. Beispiele der Darstellung von Prisma und Pyramide .    160

.    164

101—109. Darstellung der regelmäßigen Vielflache .

. 181 . 182 .    189

110. Allgemeines über ebene Schnitte von Vielflachen; Kanten- und Flächenverfahren 111—113. Beispiele für das Kantenverfahren; Netze 114—115. Beispiele für das Flächenverfahren; Netze

116. Allgemeines über die Durchdringung zweier Vielflache 192

193

117—121. Beispiele für das Kantenverfah en.....

. 200 .    205

122—124. Das für die Durchdringung von Prismen und Pyramiden ah geänderte Kanten verfahren .

125. Beispiel für das Flächen verfahren

Die Figuren

mußten dem Fonnat der Sammlung Göschen entsprechend in kleinem Maßstabe gezeichnet werden. Dieser Nachteil vermag aber deshalb nicht schwer in das Gewicht zu fallen, weil der Leser, welcher sich mit der darstellenden Geometrie erst vertraut machen will, alle Figuren am besten unter Annahme anders gelagerter Ausgangselemente in größerem Maßstabe selbst neu zeichnen muß. Nur dadurch kann er sich die Methoden und Konstruktionen der darstellenden Geometrie wirklich zu eigen machen und sich zugleich die nötige zeichnerische Geschicklichkeit, welche für die darstellende Geometrie von kaum geringerer Bedeutung als ihr theoretisches Verständnis ist, erwerben. Deshalb entwerfe sich der Leser auch für alle Aufgaben und Konstruktionen, bei welchen Figuren als nicht unbedingt nötig in Rücksicht auf den verfügbaren Raum nicht gegeben sind, entsprechende Figuren. Ferner ist warm zu empfehlen, sich bei schwierigeren Aufgaben, um eine klare Vorstellung der räumlichen Verhältnisse zu erhalten, zunächst eine Skizze in schiefer Parallelprojektion zu entwerfen, wie dies auch im Text verschiedentlich geschehen ist.

Tafel der angewandten Bezeichnungen.

Es sind stets bezeichnet:

•>

Punkte mit großen lateinischen, in einigen Fällen auch mit großen deutschen Buchstaben: Ay . .

P, 5Г, ..., U,

ü;

Linien (gerade oder krumme) mit kleinen lateinischen, in einigen Fällen auch mit kleinen deutschen Buchstaben: a, . . ., <7, . . a, . . Ebenen mit großen griechischen Buchstaben: A, . .

E,

•1

Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben: a, ..

V, • - -

Prfbken°enS- “P Linie g

Zentral-Proj. . . Schiefe Proj. . . Senkrechte Proj. auf zwei Ebenen

PP =»

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Elemente, welche um eine Gerade in eine neue Lage gedreht sind, werden durch die ihrer alten Bezeichnung angefügten oberen oder unteren Indices О, Л und Schatten von Elementen durch oben oder unten angefügte Sterne * bezeichnet.

g = ui В bedeutet die Verbindungsgerade der Punkte A und B\ L = ABC die Verbindungsebene der drei Punkte A, B, G,

Das Schneiden zweier Gebilde wird durch das Symbol X bezeichnet, und es bedeutet also

В — g X A den Schnittpunkt von g und h,

„ g und E,

G=gXE B s — A X В die Schnittgerade von A und В .

Abst. (P, g), bzw. Abst. (P, E) bezeichnet den senkrechten Abstand eines Punktes P von einer Geraden bzw. Ebene E.

Die Zeichen =, <, >, ||, J_, A haben die gewöhnliche Bedeutung gleich, kleiner, größer, parallel, senkrecht, Winkel, Dreieck.

Die vorstehende Bezeichnungsweise stimmt im wesentlichen mit der von Wiener und Hohn-Papperitz (siehe Literaturverzeichnis) benutzten überein.

Einleitung.

Aufgabe der darstellenden Geometrie.

1. Ebene Gebilde können in ihrer wahren Gestalt unmittelbar durch Zeichnung in einer Ebene dargestellt und auf jene bezüglichen Konstruktionen dann an diesen Zeichnungen direkt ausgeführt werden. Für räumliche Gebilde ist dies nicht mehr möglich, da sie sich im allgemeinen nach drei Dimensionen erstrecken, während die Ebene nur zwei Dimensionen besitzt.

Die Aufgabe der darstellenden Geometrie ist es nun, zu lehren, wie man räumliche Gebilde ihrer Gestalt, Größe und Lage nach durch genaue ebene Abbildungen, aus denen sich wiederum jene selbst bestimmen lassen, darstellen kann, und wie man Aufgaben über räumliche Gebilde mit Hilfe ihrer ebenen Abbildungen durch Zeichnung lösen kann.

Der erste Teil dieser Aufgabe hat eine Verallgemeinerung nach zwei Richtungen dahin erfahren, daß die räumlichen Gebilde nicht auf eine Ebene, sondern auf irgend eine andere Fläche, z. B. auf die Oberfläche eines Kreiszylinders, einer Kugel u. a., abgebildet (Rundpanoramen, Kartenprojektionen), oder daß von den räumlichen Gebilden Abbildungen, welche selbst wieder drei

Dimensionen haben, hergestellt werden sollen (Modelle, lieliefperspektive). Beide Yerallgemeinerungen sind in diesem Werke nicht berücksichtigt, da sie an allgemeiner Bedeutung hinter der Abbildung der räumlichen Gebilde auf die Ebene weit zurückstehen und jenseits der Grenzen liegen, welche diesen vorliegenden Grundzügen gesteckt werden mußten.

Die darstellende Geometrie ist die unentbehrliche Grundlage für viele Zweige der Technik und der Kunst. Denn einerseits ermöglicht sie, von vorhandenen Bauwerken, Maschinen und anderen räumlichen Objekten anschauliche und genaue Bilder herzustellen, andererseits aber für projektierte Bauwerke, Maschinen usw. Pläne anzuferdigen, auf Grund deren ihre wirkliche Herstellung erst möglich ist. Ober diese praktische Bedeutung hinaus hat die darstellende Geometrie noch hervorragenden allgemein bildenden Wert, indem sie in ausgezeichneter Weise das räumliche Vorstellungsvermögen auszubilden geeignet ist.

Die wissenschaftliche Ausbildung der darstellenden Geometrie verdankt man dem französischen Mathematiker Monge¹).

Das Projektionsverfahren. Projektionen bestimmter Gebilde. Ц Das Proj ektionsverfahren.

2. Das Verfähren, dessen sich die darstellende Geometrie bedient, um von räumlichen Gegenständen Bilder zu erhalten, welche einen ähnlichen Eindruck wie die Originale hervorbringen, ist das der Projektion.

Zieht man von einem gegebenen Punkte О Strahlen nach den sämtlichen Punkten der Oberfläche eines gegebenen räumlichen Gebildes G und bestimmt dann die Schnittpunkte dieser Strahlen (bzw. ihrer Verlängerungen) mit einer gleichfalls gegebenen Ebene TT, so nennt man die Gesamtheit aller dieser Schnittpunkte die Projektion Gc des räumlichen Gebildes G auf die Ebene TT für den Punkt О als Projektionszentrum. Die von О ausgehenden Strahlen heißen Projektionsstrahlen und die Ebene TT die Projektionsebene.

Die folgenden Betrachtungen über die Projektionen bestimmter Gebilde geben zugleich erläuternde Beispiele für die soeben gegebene Beschreibung des Projektionsverfahrens.

Projektionen bestimmter Gebilde.

3. Ist (Fig. 1) ein Punkt P gegeben, so ist seine Projektion wieder ein Punkt, nämlich der Schnittpunkt Pc des Strahles OP mit der Ebene TT. Liegt P speziell in der Ebene TT, so fällt er mit seiner Projektion zusammen.

Wählt man auf dem Strahle OP beliebige andere Punkte Q, P, Sj .. so erkennt man sofort, daß sie (nach § 2) denselben Punkt Pc zur Projektion haben. Während also, wenn das Projektionszentrum О und die Projektionsebene TT gegeben sind, für jeden Raumpunkt sich nur ein bestimmter Punkt in TT als Projektion

ergibt, gehören zu jedem Punkte in TT unendlich viele Punkte des Raumes, deren Projektionen in jenen Punkt fallen, nämlich alle Punkte des durch ihn hindurchgehenden Projektionsstrahles. Nur wenn der abzubildende Punkt in das Zentrum 0 fällt, wird das Pro-jektionsverfahren unbestim m t.

.....£

Fi g. 1.

Aber der Punkt Pc ist auch die Projektion der ganzen imendlichen Geraden, welche durch О und Pc hindurchgelegt werden kann, sowie die Projektion einer beliebigen Strecke PQ, QR, . . . derselben. Denn verbindet man jeden Punkt der unendlichen Geraden oder einer in ihr gelegenen Strecke mit dem Projektionszentrum 0, so fallen alle Projektionsstrahlen in diese Gerade und schneiden folglich die Projektionsebene TT sämtlich in dem Punkte Pc.

4. Soll (Fig. 2) eine Gerade g, welche nicht durch das Projektionszentrum geht, projiziert werden, so liegen die Projektionsstrahlen aller Punkte von g in der durch die Gerade g und den Punkt О bestimmten Ebene, welche die projizierende Ebene Г der Geraden g genannt wird. Folglich liegen die Projektionen aller Punkte von g auf der Schnittgeraden gc dieser projizierenden Ebene Г mit der Projektionsebene TT, und mithin ist die Projektion einer nicht durch das Projektionszentrum gehenden Geraden g wieder eine Gerade gc.

TT

\ /Sfc

Fig. 2.

In der gleichen AYeise wie in § 3 erkennt man aber, daß auch jede andere Gerade, welche in der projizierenden Ebene Г der Geraden g liegt, dieselbe Gerade gc in TT zur Projektion hat, ja daß sogar jedes in der Ebene Г gelegene ebene Gebilde (ebene Kurve к oder begrenztes Ebenenstuck) die Gerade gc bzw. ein Stück von gc zur Projektion besitzt. Während also eine gegebene Gerade ihre Projektion eindeutig bestimmt, ge-

hören zu einer in der Projektionsebene gegebenen Geraden unendlich viele ebene Gebilde, deren Projektion sie ist.

Der Schnittpunkt О der Geraden g und der Projektionsebene TT fällt nach dem Früheren mit seiner Projektion zusammen, liegt also auch auf g₀ und heißt der in TT gelegene Spurpunkt der Geraden g.

T7

Яу

rb

/V

Fig. 3.

5. Die Projektion einer ebenen Kurve, deren Ebene nicht durch das Projektionszentrum geht, oder einer Raumkurve (auch doppelt gekrümmte Kurve genannt, d. i. eine Kurve, deren Punkte nicht sämtlich in derselben Ebene liegen) ist eine ebene Kurve. Ist к (Fig. 3) eine solche Kurve, so liegen ihre sämtlichen Projektionsstrahlen О A₁ OB; ... nicht mehr in einer Ebene, sondern bilden die Oberfläche eines Kegels, des projizierenden Kegels oder Strahlenkegels, dessen Spitze das Projektionszentrum О ist. Die von der Projektionsebene TT ausgeschnittene ebene Kurve kc ist die Projektion der Kurve k.

6. Die Projektion eines beliebigen räumlichen Gebildes endlich setzt sich zusammen aus den Projektionen aller Punkte, ebenen und krummen Linien, welche das gegebene Gebilde enthält. Die von dem rrojektionszentrum О nach allen Punkten des Gebildes gezogenen Strahlen bilden ein Strahlenbündel, dessen Mittelpunkt das Projektionszentrum О ist. Als Beispiel diene die Projektion einer dreiseitigen Pyramide AB CD

TT

:A

€,

'Ÿ

Ac

Fig. 4.

in der Figur 4, welche zugleich den Fall veranschaulicht, daß das Projektionszentrum zwischen dem Gebilde und der Projektionsebene liegt. Die vier Seitenflächen der Pyramide projizieren sich auf TT in die vier Dreiecke AcBcCc, ACBCDC, AcCcDc, BcCcDc.

Die Projektion eines räumlichen Gebildes ist also eindeutig bestimmt, sobald das Projektionszentrum und die Projektionsebene gegeben sind. Da aber, wie in § 3 ausführlich gezeigt

ist, jeder Punkt Ac der Projektionsebene die Projektion von den unendlich vielen Punkten des durch ihn hindurchgehenden Projektionsstrahles, sogar die Projektion jedes Stückes des nach beiden Seiten in das Unendliche verlängerten Strahles ist, so erkennt man, daß durch jeden Punkt der Projektionsebene nur der durch ihn gehende Projektionsstrahl bestimmt wird. Hieraus folgt unmittelbar weiter, daß eine beliebige Figur in der Projektionsebene nicht die Projektion eines einzigen, sondern unendlich vieler räumlichen Gebilde ist. (Ygl. § 4 und Figur 2, wo dieser Umstand für die Gerade gc ausführlich dargelegt ist.)

7. Für ein in dem Projektions Zentrum О befindliches Auge, welches ein räumliches Gebilde, z. B. die dreiseitige Pyramide der Figur 4, betrachtet, fallen die von ihm nach den Punkten der Pyramide gehenden Sehstrahlen mit den oben erwähnten Projektionsstrahlen zusammen. Denkt man sich noch die Projektionsebene durchsichtig, so fällt für das in О befindliche Auge die Projektion AcBcCcDc scheinbar mit der dreiseitigen Pyramide AB CD zusammen und macht auf dasselbe den gleichen Eindruck wie die Pyramide selbst. Infolgedessen ist die Projektion eines räumlichen Gebildes auf eine Ebene eine Abbildung desselben, und man nennt daher die Projektionsebene auch Bildebene.

Die verschiedenen Arten der Projektion.

8. Das Projektionszentrum kann in jedem beliebigen Punkte des Raumes außerhalb der Projektionsebene angenommen werden. Je nachdem nun das Projektionszentrum in endlicher oder unendlich großer Entfernung

von der Projektionsebene liegt, nennt man die Projektion Zentralprojektion (Perspektive) oder Parallelprojektion. Liegt nämlich, das Projektionszentrum unendlich weit, d. h. ist sein Abstand von der Projektionsebene gröber als jede noch so große endliche Strecke, so sclmeiden sich je zwei beliebige Projektionsstrahlen ebenfalls erst in unendlich großer Entfernung von der Projektionsebene, sind also und folglich alle Projektions-Strahlen einander parallel.

Die Parallelprojektion wird speziell als senkrechte (orthogonale) Projektion bezeichnet, wenn die Projektionsstrahlen senkrecht auf der Projektionsebene stehen. Treffen die Projektionsstrahlen unter irgend einem anderen, als einem rechten Winkel auf die Projektionsebene auf, so nennt man die Projektion schiefe Projektion.

Die Zentralprojektion ist von besonderer Wichtigkeit für die Malerei, und ihre Ausbildung ist nicht zum wenigsten verschiedenen der größten Meister der Renaissance (z. B. Albrecht Dürer) zu danken. Die Parallelprojektion und vornehmlich die orthogonale Projektion ist für die Technik und Baukunst das unentbehrlichste Hilfsmittel. Dem Bedürfnisse der letzteren verdankt sie ihren Ursprung und zum Teil ihre Fortentwickelung.

Die Parallelprojektion ist eigentlich nur ein spezieller Fall der Zentralprojektion. Durch den Umstand aber, daß bei der ersteren alle Projektionsstrahlen einander parallel sind, gestalten sich ihre Konstruktionen weit einfacher als die der Zentralprojektion. Deshalb ist es üblich geworden, die darstellende Geometrie mit der Parallelprojektion zu beginnen.

Diesem Brauche folgend, ist das vorliegende Bändchen ausschließlich der Parallelprojektion ge-

Hanßner, Darstellende Geometrie I.

widmet und zwar mit Ausnahme der beiden ersten Abschnitte der orthogonalen Parallelprojektion. In dem ersten Abschnitte wird die Perspektive Affinität besprochen, welche für die Parallelprojektion von grundlegender Bedeutung ist; der zweite Abschnitt behandelt die schiefe Projektion. Da dieselbe anschauliche Skizzen von verwickelteren räumlichen Verhältnissen leicht herzustellen gestattet, so ist es zweckmäßig, sie vor der orthogonalen Projektion zu besprechen, um sie dann für kompliziertere Aufgaben der letzteren verwerten zu können. Die beiden letzten Abschnitte sind der orthogonalen Projektion auf zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen gewidmet. Und zwar enthält der dritte Abschnitt die grundlegenden Betrachtungen und Konstruktionen, deren man sich bei allen Aufgaben und Anwendungen der darstellenden Geometrie fortwährend zu bedienen hat; in dem letzten Abschnitte sind die ebenflächigen Gebilde ausführlich behandelt.

In den folgenden Bändchen werden zunächst aus der Definition der Kegelschnitte als Zentralprojektionen des Kreises ihre wesentlichsten Eigenschaften abgeleitet, damit dieselben bei der Behandlung der einfacheren krummen Flächen bekannt sind. Im Anschlüsse hieran werden diese Flächen selbst in senkrechter Projektion auf zwei zueinander senkrechte Ebenen dargestellt. Dann folgen die Schattenkonstruktionen und die Grundzüge der Beleuchtungslehre. Die kotierte Projektion, die Axonometrie und Grundzüge der Perspektive beschließen das Werk.

I. Abschnitt.

Parallelprojektionen ebener Gebilde und Affinität.

Parallelprojektionen von Strecken.

9. Die Projektionsebene sei wieder mit TT bezeichnet, und p sei eine beliebige G-erade, welche die Richtung der Projektionsstrahlen angibt. Dann ist die Projektion einer Geraden g im allgemeinen wieder eine Gerade gs ²) ; nnr wenn g parallel der Richtung der projizierenden Strahlen ist, reduziert sich ihre Projektion auf einen Punkt (§§ 3 und 4). Bezeichnet G (Pig. 5) den Spurpunkt (§ 4) der Geraden g, und sind Ау В zwei Punkte auf g, so liegen ihre Projektionen As, B₈ auf gs, und es sind die Dreiecke A OAs imd BOBs, einander ähnlich. Folglich verhält sich GA:AB = GAS:ASBS,

d. h. zwei Strecken einer Geraden verhalten sich wie ihre Projektionen.

Ist g der Projektionsebene parallel, so fällt der Spurpunkt G in das Unendliche und es ist AB parallel

und gleich ASBS; folglich: die Projektion einer Strecke ist ihr parallel und gleich, wenn die Strecke der Projektionsebene parallel ist

10. Sind zwei Gerade g und h parallel, so sind auch ihre Projektionen gs und hs parallel, da die projizierenden Ebenen beider Geraden der Richtung p und also einander parallel sind.

в/

h.

Ci

Aa

TT

Fi g. 5.

Ist noch (Fig. 5) H der Spurpunkt von h in TT, und faßt man zwei in g und h gelegene Strecken von beliebigen Längen, AB und CD ins Auge, so bestehen nach dem vorstehenden die Proportionen

GA : AB = G As: AsBs,

HC: CD = HCS: CSDS j

und da auch die Dreiecke AGAS und CHCS einander ähnlich sind, so verhält sich

GA: HC == GA₉:HC₈

und folglich

AB : CD = ASBS: CsDs,

d. h. parallele Strecken verhalten sich wie ihre Projektionen.

Parallelprojektion einer ebenen Figur; Affinität.

11. Projiziert man eine in einer Ebene E gelegene Figur, z. B. das Dreieck ABC (Fig. 6) durch parallele

TT

[J

/e

Fig. Ü.

Strahlen auf die Ebene TT, so erhält man nach dem Obigen wieder ein Dreieck As Bs Cs, wenn die Projektionsstrahlen — wie vorausgesetzt werden soll — nicht der Ebene E parallel sind. Jede Seite und ihre Projektion müssen sich in der Spur der Ebene E, d. i. in ihrer Schnittgeraden e mit TT schneiden; z. B.

AB und ASBS schneiden sich in dem Punkte G auf e. Umgekehrt aber kann man offenbar auch das Dreieck AB G als Projektion des Dreiecks As Bs Gs ansehen ; jedes der beiden Dreiecke ist also die Parallelprojektion des anderen. Man erkennt hieraus: jedem Punkte und jeder Geraden der einen Ebene ist bzw. ein Punkt und eine Gerade der anderen Ebene so zugeordnet, daß sie Parallelprojektionen voneinander sind. Derartige einander zugeordnete Punkte oder Geraden sollen kurz entsprechende genannt werden. Jeder Figur der einen Ebene entspricht dann also eine bestimmte Figur der anderen Ebene; jeder Punkt der Schnittgeraden entspricht sich selbst.

Zwei ebene Figuren, von denen jede die Parallelprojektion der anderen ist, nennt man perspektiv-affin; die zwischen ihnen bestehende * geometrische Abhängigkeit oder, wie man sagt, geometrische Yerwandtschaft heißt Perspektive Affinität oder Affinität bei perspektiver Lage. Die charakteristischen Eigenschaften zweier perspektiv-affinen Figuren sind:

1)    Alle Verbindungslinien entsprechender Punkte sind (als Projektionsstrahlen) einander parallel; sie heißen auch Affinitätsstrahlen.

2)    Die Schnittpunkte je zweier entsprechenden Geraden liegen in einer Geraden, der Schnittlinie der Ebenen beider Figuren, welche Affinitätsachse genannt wird.

Ist im besonderen eine Gerade der Affinitätsachse parallel, so ist es auch die ihr entsprechende Gerade. Sind zwei Strecken einander parallel, so sind auch die ihnen entsprechenden einander parallel und haben dasselbe Streckenverhältnis (§ 10).

Zwei entsprechende Winkel, d. h. zwei Winkel, deren Schenkel entsprechende Geraden sind, haben aber im allgemeinen nicht gleiche Größe.

Wenn zwei Ebenen parallel sind, so ist jede Figur der einen Ebene kongruent ihrer Parallelprojektion auf die andere. Die Kongruenz ist demnach ein spezieller Fall der Affinität. Figur 7a veranschaulicht diesen speziellen Fall.

Г/У

Q/

R/

ТТ/

\'Чл' / п

Fig. 7 о.

Fig. 7 а-

Ebenso sind die entsprechenden Figuren zweier Ebenen E und TT kongruent, wenn die Projektionsstrahlen gegen beide gleich geneigt sind. In diesem Falle (Fig. 7b) stehen nämlich die Projektionsstrahlen auf der Halbierungsebene TT' des Neigungswinkels der Ebenen E und TT (und mithin auch auf ihrer Schnittgeraden) senkrecht; folglich sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke A A' Q und As Ä Q kongruent, und mithin ist Q А = QAS. In analoger Weise folgt RA = RAS. Mithin ist auch A QAR^à A QASR und folglich < RQA = < RQAS. Bringt man nun die eine Ebene durch Drehung um die

Schnittlinie zur Deckung mit der anderen, so fallen entsprechende Punkte und Geraden zusammen, womit die Behauptung bewiesen ist.

Für entsprechende Figuren der Ebenen E und TT ist in diesem Falle die Ebene TT' Symmetrieebene.

12. Zwei perspektiv-affine Figuren bleiben zueinander perspektiv-affin, wenn die Ebene der einen um die Affinitätsachse in eine beliebige neue Lage gedreht wird.

Fig. 8.

Beweis. (Fig. 8.) Die Ebene E ist um e in die neue Lage E₁ gedreht, wodurch die Figur AB . . . in die Lage A₁BL ... gekommen ist³). Wenn nun der Voraussetzung entsprechend AB . . . perspektiv-affin zu ASBS ... in TT ist, so verhält sich (§ 9)

GA:AB= GAs:AsBsy

GA₁ : Ai B± — GAS : ASBS.

und da infolge der Drehung GA — GAX, AB = A₁B1 ist, so folgt

Mithin sind die Dreiecke A₁GAS und B₁GBS ähnlich und ähnlich gelegen, und es ist A₁ As || Б, B₆ , d. h. die Yerbindungslinien entsprechender Punkte sind parallel. Es sind also auch die Figuren A± B₁, . . As Bs, ... Parallelprojektionen voneinander, was zu beweisen war.

Der Satz gilt augenscheinlich noch, wenn die Ebene E in der einen oder anderen Richtung so weit gedreht wird, daß sie mit der Ebene TT zusammenfällt. Man sagt dann, die eine Ebene ist in die andere um gelegt. Folglich erhält man den wichtigen Satz:

Die Parallelprojektion einer ebenen Figur ist zu der in die Projektionsebene umgelegten Figur perspektiv-affin; die Schnittlinie beider Ebenen ist die Affinitätsachse.

Perspektiv-affine Figuren in derselben Ebene.

13. Man nennt umgekehrt zwei in derselben Ebene gelegene Figuren perspektiv-affin, wenn

1)    jedem Punkt der einen Figur ein Punkt der andern, jeder Geraden eine Gerade entspricht,

2)    alle Yerbindungslinien entsprechender Punkte einander parallel sind und

3)    die Schnittpunkte je zweier entsprechenden Geraden in einer Geraden liegen.

Diese Eigenschaften sind mit den in § 11 angeführten Kennzeichen der räumlichen Affinität übereinstimmend, und in der Tat ist die jetzige Definition der Perspektiven Affinität mit der früheren übereinstimmend, wie noch gezeigt werden wird. Die frühere Definition wird für Figuren derselben Ebene unbestimmt, da dann die Affinitätsstrahlen selbst in ihr liegen und mithin die Definition der Projektion eines Punktes (§ 2) versagt.

Will man auf Grund der jetzigen Definition zu einer Figur die ihr affine⁴) konstruieren, so kann man die Affinitätsachse und zwei einander affin entsprechende Punkte willkürlich wählen. Dann aber ist zu jedem anderen Punkte der Ebene der affine Punkt eindeutig bestimmt.

JBh⁴

Gl

Fig. 9.

Sind (Fig. 9) e als Affinitätsachse und A, A₀ als affine Punkte gegeben, so bestimmt die Verbindungslinie dieser beiden Punkte die Richtung der Affinitätsstrahlen. Man findet dann zu einem beliebigen Punkte В den affinen B₀ , indem man die Gerade А В bis zum Schnittpunkte G mit e verlängert, darauf G mit A₀ verbindet und durch В eine Parallele zu AA₀ zieht; der Schnittpunkt dieser Parallelen mit G A₀ ist der gesuchte Punkt B₀ . Die Geraden AG, A₀ G sind ebenfalls affin.

Dreht man eine der beiden affinen Figuren, z. B. A₀ Bq um e in eine beliebige räumliche Lage A₁ B₁, so ist wieder AA₁1|BB₁ (denn G A: G В = GA₀: GB0 und, da GA₀ = GAly GB₀ = GB₁ ist, auch GA: G В = GA₁:GB₁ usw.), d. h. A₁B₁ und AB sind Parallelprojektionen voneinander und die Affinitätsachse ist die Schnittgerade der Ebenen beider Figuren. Damit ist aber gezeigt, daß die beiden Definitionen der Affinität gleichbedeutend sind.

14. Zwei Gerade g und h (Fig. 9) schließen im allgemeinen einen Winkel ein, welcher nicht gleich dem Winkel zwischen ihren affinen Geraden g₀ und k0 ist (§ 11). Dreht man die Geraden g und h um ihren Schnittpunkt A so, daß sie immer denselben Winkel cp einschließen, so gibt es eine Lage, in welcher ihre affinen Geraden denselben Winkel cp einschließen.

Aufgabe. Es sollen für zwei affine Punkte A, A₀ die einander entsprechenden rechten Winkel konstruiert werden⁵).

Man zieht durch den Halbierungspunkt der Geraden AA₀ (Fig. 10) zu ihr eine Senkrechte, welche die Affinitätsachse e in dem Punkte M schneidet. Mit MA als Radius beschreibt man um M als Mittelpunkt' einen Kreis, welcher auch durch A₀ gehen muß, da

MA = MA₀ ist. Verbindet шал die Schnittpunkte i?, S des Kreises und der Affinitätsachse mit den Punkten А und Д), so sind die Winkel BAS und BA₀S die gesuchten rechten Winkel.

Fi g. 10.

Es gibt also nur eine Lösung, ausgenommen den Pall, daß jede der beiden affinen Figuren das Spiegelbild der andern in bezug auf die Affinitätsachse ist, also e die Strecke AA₀ halbiert und senkrecht zu ihr ist; in diesem Falle gibt es unendlich viele Lösungen.

Die Ellipse.

15.    Definition. Ellipse nennt man die zu dem Kreise affine Kurve. Auf Grund dieser Definition sollen jetzt einige Konstruktionen der Ellipse abgeleitet werden.

16.    Die Affinitätsachse e, der Kreis к mit dem Mittelpunkt О und der zu О affine Punkt O0 sind gegeben (Fig. 11). Es soll die zu к affine Ellipse konstruiert werden.

Man zieht durch О einen beliebigen Durchmesser AB, welcher e in P schneidet, und durch P die zu ihm affine Gerade P O₀ . Die Schnittpunkte von P O0 mit den durch A und В parallel zu О O₀ gezogenen Affinitätsstrahlen geben die zu A und В affinen Punkte A₀ und B₀. Da OA = OB ist, so folgt (§ 9), daß auch O₀A₀ = O₀B₀ ist, d. h. O₀ ist für die Ellipse Mittelpunkt, da in ihm alle Durchmesser A₀B₀, ... halbiert werden. Diese Konstruktion wiederholt man für beliebig

*о

¥~Я:

'Г

N. /

и.

Fig. 11.

viele Kreisdurchmesser und erhält dadurch ebenso viele Ellipsenpunkte, so daß man die Ellipse mit jeder wünschenswerten Genauigkeit zeichnen kann.

Führt man diese Konstruktion für den zu AB senkrechten Kreisdurchmesser CD durch, so erhält man den entsprechenden Durchmesser C₀ D₀ der Ellipse. Zwei Ellipsendurchmesser, welche zwei zueinander senkrechten Kreisdurchmessern entsprechen, nennt man konjugierte Durchmesser.

Sie stehen — im Gegensätze zn den entsprechenden Kreisdurchmessern — im allgemeinen nicht aufeinander senkrecht; wohl aber ist eine andere Eigenschaft der Kreisdurchmesser erhalten geblieben. Zieht man irgend eine parallele Sehne zu einem Kreisdurchmesser, z. B. KL\\GD, so wird diese von dem zu ihm senkrechten Durchmesser AB im Schnittpunkte J halbiert. Nach § 10 ist die zu KL affine Gerade K₀ L₀ II G₀ D₀

und

folglich

A t T. J L -— K₀ Jq . Jq Lq ,

— ^0)

da KJ— JL ist. D. h.

Die zu einem Ellipsendurchmesser parallelen Sehnen werden von dem konjugierten Durchmesser halbiert.

Konstruiert man (nach § 14) die beiden affinen rechten Winkel in О und O₀ , so erhält man die beiden aufeinander senkrechten Kreisdurchmesser EF und GH, welchen ebenfalls aufeinander senkrechte Ellipsendurchmesser E₀ F₀ und G₀H₀ entsprechen. Diese beiden konjugierten Durchmesser nennt man die Achsen der Ellipse; ihre Endpunkte F₀, F₀ , G₀ , H₀ die Scheitel derselben. Da nun die zu einer Achse parallelen Sehnen nach dem Obigen von der anderen Achse halbiert werden, so ist von den beiden Hälften, in welche jede Achse die Ellipse zerschneidet, jede das Spiegelbild der anderen in bezug auf diese Achse. Die Ellipse ist also in bezug auf die beiden Achsen symmetrisch, und es genügt daher, einen Ellipsenquadranten genau zu zeichnen; die übrigen kann man dann durch bloßes Umklappen desselben um die Achsen erhalten.

17. Tangente an den Kreis nennt man jede in seiner Ebene liegende Gerade, welche mit ihm nur einen Punkt seines Umfanges, keinen seines Inneren gemeinsam hat oder — wie man sich ausdrückt — den Kreis in diesem Punkte berührt. Man kann die Tangente auch als Grenzlage einer Sekante auffassen, wenn man nämlich eine Sekante so dreht, daJß ihre Schnittpunkte immer näher aneinander rücken, bis sie schließlich zusammenfallen. Deshalb sagt man auch, die Tangente hat mit der Kurve zwei unendlich benachbarte Punkte gemeinsam. Die zu einer Kreistangente affine Gerade kann folglich mit der zu dem Kreise affinen Ellipse auch nur einen Punkt ihres Umfanges, keinen ihres Inneren gemeinsam haben, und man nennt sie daher entsprechend Tangente der Ellipse.

Aus der obigen Definition folgt leicht, daß jede Kreistangente senkrecht zu dem nach ihrem Berührungspunkte gehenden Durchmesser und parallel zu dem auf dem letzteren senkrechten Durchmesser, z. B. die Tangente in A parallel zu CD ist. Mithin ist (§ 10) die Ellipsentangente, welche den zu A affinen Punkt A₀ zum Berührungspunkte hat, parallel zu (7₀ D₀. Folglich :

Die Ellipsentangenten in den Endpunkten eines Durchmessers sind parallel dem zu ihm konjugierten Durchmesser.

Die Tangenten in den Scheiteln einer Achse stehen auf ihr senkrecht.

Um eine Tangente an die Ellipse zu ziehen, ohne auf die Eigenschaften konjugierter Durchmesser Bezug zu nehmen und ohne die Ellipse selbst zeichnen zu müssen, verfährt man folgendermaßen. Zu dem Punkte A wird der affine Ellipsenpunkt A₀ bestimmt; man zieht dann die Kreistangente in A, verlängert sie bis zum Schnitte T mit der Affinitätsachse e und zieht 7 A₀ , welche Gerade die gesuchte Ellipsentangente sein muß.

Sollen von einem Punkt U₀ die Tangenten an die Ellipse gezogen werden, so ermittelt man zuerst den zu U₀ affinen Punkt U (nach § 13). Yon U aus konstruiert man die beiden Kreistangenten in bekannter Weise (Kreis über O U als Durchmesser schneidet den Kreis к in den Berührungspunkten der beiden Tangenten). In der Eigur ist nur der eine Berührungspunkt A gezeichnet und nur für die Tangente UA die Konstruktion durchgeführt, um die Eigur nicht unübersichtlich zu machen. Die Tangente U A schneidet e in T⁷, und es ist U₀ T dann die affine Ellipsentangente, welche man also ziehen kann, ohne den zu A affinen Berührungspunkt A₀ vorher konstruiert zu haben.

An einen Kreis können von einem Punkte zwei

Tangenten, eine oder keine gezogen werden, je nachdem der Punkt außerhalb, auf oder innerhalb der Kreisperipherie liegt. Folglich gilt das gleiche für die Ellipse.

18. Eine Ellipse ist völlig bestimmt durch die Längen zweier beliebigen konjugierten Durchmesser und den von ihnen eingeschlossenen Winkel.

Um diesen Satz zu beweisen, benutzt man die folgenden beiden Sätze über den Kreis.

Satz I: Verbindet man (Eig. 12) die Endpunkte А, В eines Durchmessers mit einem beliebigen Punkte P der Peripherie und halbiert die Strecken, welche von AP und BP (bzw. ihren Verlängerungen über P hinaus) auf beliebigen Parallelen zu den Tangenten in A und В ausgeschnitten werden, so ist die Verbindungslinie dieser Halbierungspunkte die Tangente in P.

Beweis: 1st FG\ BE, BJ=JE₎ F K — K G und verbindet man J und K mit P, so folgt, da die Dreiecke BPE und FPG rechtwinklige sind, daß JP = BJ= JE und KP = FK= KG ist. Die Dreiecke BJP und G KP sind also gleichschenklige und — da ihre Winkel bei В und G gleich sind — ähnliche Dreiecke. Folglich ist JPK eine gerade Linie und zugleich Tangente in P, da JB Tangente in В und JP — JB ist.

JE

Fig. 12.

Satz II: Verbindet man die Punkte F und G, in denen eine beliebige Parallele zu den Tangenten in A und В von AP und BP geschnitten wird, mit В und А, so ist ihr Schnittpunkt Q — BFy^AG ein Punkt der Peripherie. Велу eis: Da APA-B G und G II A-AB ist, so folgt, daß der Schnittpunkt F von AP und GH der Schnittpunkt der drei Höhen des

Hauüner, Darstellende Geometrie I.

Dreiecks AB G ist. Mitliin schneidet BF die Gerade AG in Q rechtwinklig und muß Q auf dem Kreise über dem Durchmesser AB liegen. QK ist (nach I) die Tangente in Q.

Unterwirft man nun die ganze Figur 12 einer affinen Verwandlung, indem man die Affinitätsachse und zwei einander affin entsprechende Punkte willkürlich annimmt, so geht (nach §§ 16 und 17) der Kreis in eine Ellipse über; jeder einem Punkte

der Kreisperipherie Je    entsprechende Punkt

T°

j ⁰    muß auf der Ellipse

/    liegen und die Kreis-

Fig. 13.

jo tangenten werden Ellipsen - Tangenten. Folglich gelten die Sätze I und II unverändert für jede beliebige Ellipse, und man erkennt, daß eine Ellipse (Fig. 13) durch einenbeliebigen Durchmesser A₀B₀, die Richtung der Tangenten in seinen Endpunkten und einen Punkt P₀ völlig bestimmt ist. Denn um irgend einen weiteren Punkt Q₀ der Ellipse zu erhalten, schneidet man A₀ P₀, B₀P₀ durch eine beliebige Parallele zu der gegebenen Tangentenrichtung in Ą, G₀ und verbindet den ersteren mit B₀, den letzteren mit A₀ , dann ist Q₀ = B₀ F₀ X A A • Halbiert man noch F₀ G₀ in K₀, so ist K₀ Qö die Ellipsentangente in Q₀. Auf diese Weise kann man

beliebig viele Ellipsenpimkte bestimmen, was in der Figur noch für den Punkt R₀ durchgeführt ist.

Da der zu A₀ B₀ konjugierte Durchmesser (nach §17) der Richtung der Tangenten in A₀, B₀ parallel ist, so ist die vorstehende Konstruktion noch anwendbar, wenn A₀ B₀ und der zu ihm konjugierte Ellipsendurchmesser der Länge und Lage nach gegeben sind; als Punkt P₀ ist dann einer der Endpunkte dieses konjugierten Durchmessers zu benutzen. Hiermit ist aber der eingangs dieses Paragraphen aufgestellte Satz bewiesen.

19. Zur wirklichen Konstruktion einer Ellipse aus zwei konjugierten Durchmessern ist jedoch das in dem vorigen Paragraphen gegebene Verfahren nicht das bequemste. Dieses erhält man vielmehr, wenn man die Ellipse als affine Figur eines Kreises konstruiert.

Ist die affine Verwandtschaft zwischen einem Kreise к und einer Ellipse in der gleichen Weise wie in § 16 festgelegt, und konstruiert man (Fig. 14) zu dem der Affinitätsachse e parallelen Kreisdurchmesser MN den entsprechenden Ellipsendurchmesser M₀N₀ , so ist der letztere ebenfalls der Achse e und also auch MN parallel und folglich ist M₀N₀ = MN. Dem zu der Achse e senkrechten Kreisdurchmesser VW entspricht der zu M₀ N₀ konjugierte Ellipsendurchmesser V₀ W₀.

Die Länge des Durchmessers V₀ W₀ und seine Lage gegen den konjugierten Durchmesser M₀ N₀ hängen wesentlich von der Wahl der Affinitätsachse e und des dem Punkte О entsprechenden Punktes O₀ ab, welche willkürlich war. Von der getroffenen Wahl hängt somit die Gestalt der zu dem Kreise к affin konstruierten Ellipse ab.

3*

Umgekehrt gibt es zu einer gegebenen Ellipse, nachdem die Affinitätsachse willkürlich angenommen ist, nur einen einzigen Kreis, welcher zu ihr affin ist, und die vorstehenden Bemerkungen lassen leicht seine Konstruktion finden.

Ist die Ellipse (Fig. 14) durch die beiden ihrer Größe und Lage nach gegebenen konjugierten Durchmesser M₀ N₀ , V₀ W₀ bestimmt, so ziehe man zu dem einen derselben, z. B. M₀ N₀ , eine beliebige Parallele e

-Mo'

№.

Оо

Mo

тг

¹

Gaspard Monge, geb. 10. Mai 1746 in Beaune in dem Département Côte d’or, gest. 28. Juli 1818 in Paris. M. wirkte von 1765—1788 als Lehrer an der Militärschule in Mézières, während welcher Zeit er die wissenschaftliche Grundlage der darstellenden Geometrie schuf. Öffentlich gelehrt aber hat M. die darstellende Geometrie erst an der École normale und dann an der Ecole polytechnique vom Jahre 1794 ab. Betr. der geschichtlichen Entwickelung vgl. G. Monge, Darstellende Geometrie (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Bd. 117) Anmerkungen, S. 177—193.

²

Die frühere Bezeichnung gc für die Projektion einer Geraden Pc für die eines Punktes P wird von jetzt an nur noch für Zentralprojektionen verwendet.

³

Es sind nur die Geraden AB ^ As Bs, Ay Bx gezeichnet, um die Figur nicht unübersichtlich zu machen.

⁴

Statt „ perspektiv - affin “ wird im folgenden kurz nur „affin“ gesagt, da die allgemeine Affinität in diesem Buche nicht betrachtet wird.

⁵

Die Konstruktion für den allgemeinen Fall, daß die affinen Winkel gleich einem beliebig gegebenen Winkel <p sind, findet sich z. B. in Rohn-Papperitz, Lehrbuch der darstellenden Geometrie Bd. 1, S. 15

и;

Fig. 14.

Diese werde von dem anderen

als Affinitätsachse.

Durchmesser V₀ W₀ in dem Punkte X getroffen, durch welchen man eine Senkrechte zu e ziehe. Auf dieser muß der zu V₀ W₀ affine Kreisdurchmesser liegen, während der zu M₀ N₀ affine Kreisdurchmesser parallel zu e ist; die Länge der Kreisdurchmesser wird durch V₀ W₀ bedingt. Um die Lage des Kreises zu finden, ziehe man durch O₀ eine Senkrechte zu M₀ N₀ und trage auf ihr den halben Ellipsendurchmesser M₀ X₀ , d. i. O₀ M₀ nach oben oder unten ab, bis V₁ , Ьглу. Wt. Dann geben die Parallelen V₀ Vt und W₀ W₁ die Richtung der Affinitätsstrahlen und schneiden die durch

X gezogene Senkrechte zu e in den Endpunkten F, TF des zu F₀ IF₀ affinen Kreisdurchmessers; der durch O0 gehende Affinitätsstrahl schneidet also VW in dem Kreismittelpunkte О.

Da die Affinitätsachse e eine beliebige Parallele zu M₀ N₀ war, so läßt sich die Konstruktion durch passende Verfügung über die Lage von e noch erheblich vereinfachen. Z. B. kann man e durch 1F₀ legen; dann ist die Affinitätsachse gemeinsame Tangente von Kreis und Ellipse und W₀ der Berührungspunkt beider. Am vorteilhaftesten aber läßt man die Achse e mit M₀ X0 zusammen fallen. Hierdurch fallen auch M und M₀ , N und N₀ , О und O₀ zusammen, und der Kreis über M₀N₀ als Durchmesser ist der zu der Ellipse affine Kreis. Der zu MQ N₀ senkrechte Kreisdurchmesser VW ist affin zu F₀ W₀, wodurch die Richtung der Affinitätsstrahlen bestimmt ist.

Natürlich kann man auch die Affinitätsachse mit F₀ W₀ zusammenfallen lassen und die Ellipse als affine Kurve zu dem Kreise über dem Durchmesser F₀ W0 konstruieren.

So ergibt sich die folgende Konstruktion.

20. Aufgabe. Es soll die Ellipse aus zwei konjugierten Durchmessern HR, CD konstruiert werden (Fig. 15).

Über AB als Durchmesser konstruiert man den Kreis k0¹) und zieht den zu AB senkrechten Durchmesser C₀ D₀ , welcher dem konjugierten Ellipsendurchmesser CD affin entspricht. CC₀ oder DD₀ gibt die Richtung der Affinitätsstrahlen. Zieht man nun zu dem Durchmesser G₀ D₀ eine beliebige parallele Sehne, z. B. E₀ F₀ , so muß die entsprechende Ellipsensehne parallel zu CD sein und durch den Schnittpunkt P von E₀ F₀ und der Affinitätsachse А В gehen. Schneidet man diese Ellipsensehne noch mit den durch E₀ und F0 gezogenen Affinitätsstrahlen, so sind die Schnittpunkte E und F zwei Punkte der gesuchten Ellipse k.

Co

.JE₀

Jj

-Ч"/!

'4

Fig. 15.

Bezeichnet man die Länge des größeren Halbmessers O A mita, die des zu ihm konjugierten kleineren Halbmessers О C mit b und beachtet, daß die Dreiecke PEE₀ und OCC₀ einander ähnlich sind, so folgt

PE₀ : РЕ — О G₀: O G — a\b] PE=--PE₀,

CL

d. h. jede zu dem Durchmesser CD parallele Ellipsen-

sehne ist gleich der im Verhältnis — verkürzten affinen Krcissehne.    a

Zur Übung konstruiere man dieselbe Ellipse к als affine Kurve zu dem Kreise über dem Durchmesser CD, indem man die Affinitätsaclise jetzt mit CD zusammenfallen läßt.

Um in einem Punkte der Ellipse die Tangente oder von einem außerhalb gelegenen Punkte die beiden Tangenten an sie zu ziehen, benutzt man am bequemsten die affinen Kreistangenten (vgl. §§ 16 und 17) und vornehmlich den Umstand, daß die Kreistangente in E0 und die Ellipsentangente in dem affinen Punkte E die Affinitätsachse AB in demselben Punkte treffen müssen.

21.    Nachdem die Ellipse gezeichnet ist, kann man ihre Achsen mit Hilfe eines konzentrischen, die Ellipse schneidenden Kreises, z. B. des Kreises &₀, bestimmen. Ein solcher Kreis schneidet die Ellipse stets in vier Punkten, welche zu den Achsen symmetrisch liegen. Zieht man nämlich durch den Halbierungspunkt des Kreisbogens А О den Durchmesser AhL, so halbiert dieser die dem Kreise und der Ellipse gemeinsame Sehne A G und steht auf ihr senkrecht. Polglich ist KL eine Achse der Ellipse. Die andere Achse MN liegt in dem Kreisdurchmesser, welcher den Kreisbogen BC₀ G halbiert. Die beiden gefundenen Achsen müssen aufeinander senkrecht stehen, wenn die Ellipse genau gezeichnet ist. Man hat daher in diesem Umstande zugleich eine Kontrolle für die Genauigkeit der Zeichnung.

Dies Verfahren hat den Nachteil, daß die Ellipse bereits genau gezeichnet sein muß. In § 24 wird ein sehr einfaches Verfahren gegeben, welches von diesem Nachteil frei ist und die Ellipsenachsen direkt aus zwei konjugierten Durchmessern zu bestimmen gestattet.

22.    Die in § 20 gegebene Ellipsenkonstruktion versagt, wenn die beiden Achsen der Ellipse gegeben sind, denn dann fallen die beiden Eichtungen

CC₀ und OG (Fig. 15) in eine einzige Richtung OC₀, damit aber auch E₀E und PE in PE₀ zusammen. In diesem Falle führt jedoch eine Bemerkung des vorigen Paragraphen zu der bequemsten Konstruktion der Ellipse aus ihren Achsen.

(Fig. 16.) Sind AB = 2 a, CD = 2Ъ (a> b) die beiden Ellipsenachsen, so konstruiert man um ihren Schnittpunkt О mit dem Radius O A = a den Kreis k₀ ; dann ist die gesuchte Ellipse к affine Kurve zu

jc\

\! \4

\i--n

/

lzr\%

Fig. 16.

diesem Kreise und AB die Affinitätsachse. Eine auf AB senkrechte Kreissehne, z. B. E₀F₀, fällt dann mit der Ellipsensehne zusammen, und es müssen die E₀, F0 entsprechenden Ellipsenpunkte E, F auf ihr liegen.

Um E z. B. zu finden, zieht mau durch den Punkt E\, in welchem die Gerade OE₀ von dem mit dem Radius OC=b um О beschriebenen Kreise geschnitten wird, zu AB eine Parallele, welche PE₀ in E schneidet.

Da nämlich A E₀ E Ev ^ A E₀ P 0 ist, so folgt PE : PE₀ --= 0EX : OE₀ — b : a

oder

PE = — • PE₀

wie es nach § 20 der Fall sein muß.

Die Ellipse к ist andererseits auch affin zu dem Kreise k± mit der Affinitätsachse CD. Hierbei entspricht dem Punkte E auf* к der Punkt Ex auf kx, woraus in Verbindung mit der Affinität von к und k₀ ebenfalls die vorstehende Ellipsenkonstruktion folgt.

Zur Konstruktion der Tangente in einem Ellipsenpunkte führt hier ebenfalls die Bemerkung am Ende des § 20.

Nach dem pythagoreischen Lehrsatz ist

О P² = а² — P El

und folglich

OE²= OP² + PE² = a² —

a²

-РЕ*.

Wächst PE0J so nimmt OE ab, d. h. die Halbmesser der Ellipse nehmen von der großen nach der kleinen Halbachse zu stetig ab.

23. Zieht man (Fig. 16) durch einen beliebigen Punkt E der Ellipse SE || OA7₀, so ist stets SE = ОEq = <2, RE = OEx = b.

Gfleitet also die Strecke SE = a mit dem Endpunkte S auf der Achse CD und zugleich mit dem um а — b von S entfernten Punkte R auf der anderen Achse AB entlang, so beschreibt ihr anderer Endpunkt E die Ellipse к.

Macht man andererseits PQ = PR und zieht die Gerade QA7, deren Verlängerung die Achse CD in T schneidet, so ist QE = RE = b, ET = OE₀ = a (denn

ТЕ und OE₀ liegen z wischen Parallelen, gegen welche sie, nach entgegengesetzten Seiten, gleich geneigt sind). Läßt man daher die Strecke Q T = a -f- b mit ihren Endpunkten auf den Achsen entlang gleiten, so beschreibt der Punkt A7, welcher die Strecke Q T im Verhältnis а : b teilt, ebenfalls die Ellipse h.

Derartige Konstruktionen, bei welchen die Ellipse durch einen bestimmten Punkt einer Strecke, die mit ihren Endpunkten auf den beiden Achsen entlang gleitet, erzeugt wird, werden Papierstreifenkonstruktionen der Ellipse genannt, da man zu ihrer praktischen Ausführung die Kante eines Papierstreifens, auf welchen die drei Punkte in den gegebenen Abständen markiert sind, verwenden kann.

Diese Papierstreifenkonstruktionen der Ellipse gestatten Apparate zu bauen, mit denen man Ellipsen mechanisch zeichnen kann und welche daher als Ellipsenzirkel bezeichnet werden.

24. Die zweite Papierstreifenkonstruktion führt zu einer sehr einfachen Konstruktion zweier konjugierten Durchmesser aus den Ellipsenachsen.

Sind О А = а, OG=b (Fig. 17) die beiden Halbachsen der Ellipse к und zieht man zwischen ihnen bzw. ihren Verlängerungen die Strecke QT = а b, so ist nach der zweiten Papierstreifenkonstruktion der Punkt E ein Punkt der Ellipse &, wenn QE = b ist. Zu E konstruiert man die entsprechenden Punkte E₀ und Ei der um О mit den Kadien а, b konstruierten Kreise k0j man findet (§ 22) den Punkt E₀ als Schnittpunkt der durch den Punkt E zu der Achse OG parallel gezogenen Geraden mit dem Kreise k₀ und Ex als Schnittpunkt der durch denselben Punkt zu der Achse O A gezogenen Parallelen mit dem Kreise .

Diese beiden Punkte E₀ imd E₁ müssen mit 0 in gerader Linie liegen. Zieht man ferner durch E₀ eine Parallele zu OA und durch E₁ eine Parallele zu 00, so entsteht das Rechteck EE₀ GEl, dessen Diagonalen sich in ZT halbieren; folglich ist GT = QE = 6, OÆ7₀ = Q G — ET = a. Errichtet man noch in dem Punkte О Lote auf den Geraden OE₀ und 0 0, von denen das erstere die Kreise kQ , kL in den Punkten i^₀ , Ft schneidet, und zieht durch den Punkt F₀ die Parallele

i'-

Fig. 17.

zu der Achse OG bis zu ihrem Schnittpunkte F mit dem zweiten Lote, so ist

AE₀GO^AF₀FO

(denn es ist OE₀ = OF₀ = a, <£; GOE₀ = <£ FOFö , G E₀ О = <£.FF₀ 0), und folglich GE₀ = FF₀.

Verbindet man jetzt noch die Punkte F und F₁ miteinander, so folgt weiter

Л Eq GEt ^ A F₀FF±

(denn es ist GE₀ = FF₀ , EXE₀ = F±F₀ — а — Ь, -ÿ; GE₀ 0 = ^FF₀ 0); mithin ist

<£F₀ FFX = <£E₀ GE± = 90°.

Da nun F₀F\\ OC gezogen war, so ist F₁F I] О А

und mithin der Punkt F der dem Punkte F₀ des Kreises k₀ entsprechende Punkt der Ellipse к (§ 22). Die beiden Ellipsenhalbmesser OE und OF sind also konjugiert, da sie den aufeinander senkrecht stehenden Durchmessern OE₀ und OF₀ des Kreises k₀, zu -welchem die Ellipse к affin ist, entsprechen.

Hieraus ergibt sich umgekehrt die folgende Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus zwei konjugierten Durchmessern OE und Oi^Fig. 18).

F<

*G. *

Fig. 18.

Man errichtet in О ein Lot auf OF und trägt auf ihm die Länge OG = OF ab. Dami verbindet man G mit E und beschreibt über EG als Durchmesser einen Kreis, welcher die Verbindungslinie von О mit seinem Mittelpunkte H in den Punkten E₀ und E± schneidet. Die gesuchten Achsen sind dann die Parallelen zu EE1 und EE₀ durch О und ihre halben Längen gegeben durch О А = OE₀ = a mul OG = ОЕг = b.

Verlängert man (Fig. 17) die Strecke OE₀ um die Strecke E₀E₂ =b und verbindet den Endpunkt E₂ mit dem Punkte E, so folgt aus der Kongruenz der Dreiecke OEx G und E₂ E₀ E, daß E₂E\\OG und mithin senkrecht zu OF ist. Die Gerade E₂ E steht also senkrecht auf der Ellipsentangente im Punkte E₎ da diese letztere der Geraden OF parallel ist (§ 17).

Eine Gerade, welche auf einer Tangente einer Kurve senkrecht steht und durch ihren Berührungspunkt geht, heißt Normale der Kurve. Auf Grund der obigen Bemerkung erhält man, wrenn die Achsen der Ellipse bekannt sind, die Normale in einem Punkte E derselben, wenn man den dem Ellipsenhalbmesser OE entsprechenden Kreishalbmesser OE₀ verlängert bis zum Schnitte E₂ mit dem Kreise k₂ , welcher mit dem Radius a + b um О beschrieben ist. Die Gerade E₂ E ist dann die gesuchte Normale.

25. Will man eine Ellipse möglichst genau zeichnen, fco empfiehlt es sich, nicht nur Punkte der Ellipse in genügender Zahl nach einem der angegebenen Verfahren zu bestimmen, sondern auch in ihnen die Tangenten an die Ellipse (nach § 17, 18 oder 20) zu konstruieren 1st die Ellipse durch Angabe der Länge und Lage zweier konjugierten Durchmesser bestimmt, so konstruiere man auch (nach § 24) die beiden Hauptachsen und beachte, daß man, je mehr man sich den Scheiteln der großen Achse nähert, um so mehr Punkte der Ellipse — in immer kleineren Abständen voneinander — bestimmen muß, da in diesen beiden Scheiteln die Ellipse am stärksten gekrümmt ist.

Mit Vorteil benutzt man zum genauen Zeichnen einer Ellipse noch die Krümmungskreise in den Scheitelpunkten. Unter allen Kreisen, welche in einem Punkte einer Kurve mit ihr die Tangente gemeinsam haben, und deren Mittelpunkte also auf der Normale dieses Kurvenpunktes liegen, gibt es einen, welcher sich der Kurve enger anschmiegt als jeder andere. Dieser Kreis heißt der Krümmungskreis, sein Mittelpunkt der Krümmungsmittelpunkt des zugehörigen Kurvenpunktes.

Die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel der Ellipse erhält man durch folgende einfache Konstruktion (Fig. 19). Man zieht in dem einen Scheitel jeder Achse die Tangente, z. B. in В und (7. In dem so entstandenen Bechteck O BE G fällt man yon dem Schnittpunkte E der Tangenten das Lot auf die beide Scheitel verbindende Diagonale B G. Dieses Lot schneidet die große Achse AB in dem Krümmungsmittelpunkte M des Scheitels В und die kleine Achse CD in dem

M\

Fi g. 19.

Krümmungsmittelpunkte N des Scheitels G; MB und N G sind die Radien der zugehörigen Krümmungskreise kb und kc. Die Figur 19 läßt deutlich das enge Anschmiegen der Krümmungskreise an die Ellipse erkennen. Es ist zu beachten, daß die Krümmungskreise kaj къ in den Scheiteln А, В der großen Achse ganz im Innern der Ellipse k liegen, daß aber umgekehrt die Krümmungskreise kc, kd in den Scheiteln C, D der kleinen Achse die Ellipse к einschließen.

Die Begründung dieser Konstruktion, welche — wie ausdrücklich hervorgehoben sei — nur für die Scheitelpunkte der Ellipse gilt, ist in dem zweiten Bändchen auf den Seiten 145—147 zu finden.

26. Dreht man in Figur 11 eine der beiden Kurven, die Ellipse oder den Kreis, um die Affinitätsachse e aus der Ebene der anderen heraus in eine beliebige räumliche Lage, so ist dann jede der beiden' Kurven die Parallelprojektion der anderen (nach § 13). Mit dem Winkel, welchen die Ebenen beider Kurven -einschließen, ändert sich die Richtung der Projektionsstrahlen. Folglich ist die Parallelprojektion eines Kreises auf eine beliebige andere Ebene eine Ellipse; die Schnittgerade beider Ebenen ist die Affinitätsachse. Die Projektionsstrahlen des Kreises bilden den Mantel eines Kreiszylinders, der ein gerader oder schiefer ist, je nachdem die Projektionsstrahlen auf der Kreisebene senkrecht stehen oder nicht. Man kann daher den vorstehenden Satz auch in der Fassung aussprechen: Jeder Kreiszylinder wird von einer beliebigen Ebene im allgemeinen in einer Ellipse geschnitten. Zwei parallele Ebenen schneiden (nach § 11, S. 23) einen Kreiszylinder in kongruenten Ellipsen.

Schneidet man einen Kreiszylinder durch zwei beliebige Ebenen, welche ihn in Ellipsen schneiden, so kann man auch jede Ellipse als Parallelprojektion der andern ansehn. Legt man die Ebene der einen Ellipse dann in die der anderen um, so folgt, daß bei jeder affinen Verwandlung aus einer Ellipse stets wieder eine Ellipse entsteht; hierbei ist der Kreis als ein spezieller Fall der Ellipse (a = b) anzusehen.

Dreht man in Figur 16 den Kreis Jc₀ um AB, bis er mit der Ellipse einen spitzen Winkel e einschließt, welcher — bestimmt ist, so erscheint die Ellipse к

durch cos s =

als senkrechte Projektion des Kreises k₀. — Dreht man dagegen den Kreis kx um (7D, bis er mit der Ellipse den gleichen Winkel e einschließt, so erscheint der

//

\ч

Kreis als senkrechte Projektion der Ellipse. Die Projektion sstrahl en bilden die Mantellinien eines geraden A Kreiskegels und sind gegen ' die Ellipsen ebene unter dem . Winkel о = 90° — e geneigt.

я,

Fig. 20.

27. Schneidet man einen geraden Kreiszylinder (Figur 20) vom Radius b durch eine unter dem Winkel о gegen die Zylinderachse (Schnittpunkt 0) und die Mantellinien geneigte Ebene E, so ist also die Schnittkurve eine Ellipse к, deren Mittelpunkt О ist, da eine durch О senkrecht zur Zylinderachse gelegte Ebene Ф Symmetrieebene für die ganze Figur ist. Die Schnittgerade dieser Symmetrieebene mit E gibt die kleine Achse von der Länge 2 &, während eine durch die Zylinderachse senkrecht zu E gelegte Ebene W die Ebene E in der großen Ellipsenachse

sino ’

AB = 2a schneidet. Man erhält О А = OB = а

Man konstruiert nun die beiden dem Zylinder einbeschriebenen Kugeln vom Radius Ъ, welche die Schnittebene E in zwei Punkten t\ und F₂ berühren. Da die Ebene lF durch die große Achse AB der Ellipse und die Zylinderachse Symmetrieebene²) für den Zylinder, die Schnittellipse und die beiden Berührungskugeln ist, so müssen die Punkte F₁ und F2 auf der großen Achse AB liegen und zwar, wie aus der Symmetrie der ganzen Figur in bezug auf die Ebene Ф folgt, muß OFx = OF₂, also auch AFX = BF.2 sein. Der Zylindermantel berührt die Kugeln längs der größten Kreise kx und k₂ (ygl. § 40, 1. Absatz); jede Mantellinie ist Tangente an beide Kugeln. Man verbindet nun einen beliebigen Punkt P der Schnittellipse к mit den Punkten Fx, F₂ und zieht die durch ihn gehende Mantellinie Px P₂ von dem Berührungskreise kx der einen Kugel bis zu dem der anderen, к Da aber, wie in der Stereometrie gezeigt wird, alle von einem Punkt an eine Kugel gezogenen Tangenten gleiche Länge haben, so ist PFX = PPX und PF₂ = PP₂ , folglich

2²

PFX + PF₂ =² ĄP+ PP₂ - P±P₂.

Und da alle Mantellinien zwischen kx und k₂ die gleiche Länge haben, so ist PXP₂ konstant. Läßt man P mit A zusammenfallen, so ist demnach, da AF₂ = AFX + FtF₂ = F₁F₂ + F₂B = FXB

ist,

P± P₂ — A±A₂ = AF± AF₂ — AF± -j- Fxß = AB = 2a und folglich

PFX + PF₂ = 2a.

Die Ellipse ist daher auch der geometrische Ort aller Punkte, für welche die Summe ihrer Abstände von zwei festen Punkten — den Brennpunkten — konstant ist. Durch diese Eigenschaft wird gewöhnlich die Ellipse definiert.

Verbindet man (Fig. 21) einen Scheitel der kleinen Achse, z. B. G mit den beiden Brennpunkten Flr F₂, so folgt, da CFi + CF = 2a ist, aus der Kongruenz der

Fig. 21.

Dreiecke GOF₁ und С О F₂, daß CFt = СЪ₂ = a ist. Daher ist der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkte OF± = OF₂ = У a² — b².

Konstruktion der zu einer beliebigen Kurve affinen Kurve.

28. Soll zu einer beliebigen Kurve к die affine k0 konstruiert werden, so ermittelt man zu jedem Punkte P der gegebenen Kurve к den ihm entsprechenden, wobei ein Paar entsprechender Punkte А, A₀ und die Affinitätsachse e willkürlich gewählt werden können.

Konstruktion der zu einer beliebigen Kurve affinen Kurve. 51

Das in § 13 angegebene Verfahren modifiziert man zweckmäßig dahin, daß man AEA.e zieht und E mit A0 verbindet (Fig. 22). Um dann den einem beliebigen Punkte P entsprechenden Punkt P₀ zu finden, zieht man

лк.

Fig. 22.

P&JLe, durch S eine Parallele zu A₀E und schneidet diese mit der durch P gezogenen Parallelen zu AA₀ ; der Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt P₀. Berührt ein Lot QT die Kurve к in Q, so muß die ihm entsprechende Gerade Qö T die Kurve k₀ in Q₀ berühren.

4*

П. Abschnitt.

Schiefe Projektion räumlicher Gebilde.

Bestimmung der Richtung der Projektionsstrahlen.

29. Die Strecke CD (Fig. 23), deren Endpunkt D in der Projektionsebene TT liegt, werde durch. Projektionsstrahlen, parallel der durch den Pfeil p gegebenen Richtung, in die Strecke CSD projiziert. Die Länge

Cb

TT

//>

c;

Fig. 23.

und Richtung dieser Projektion hängen von der Richtung der projizierenden Strahlen ab und ändern sich mit dieser. Ändert man zunächst die Richtung der pro-

Bestimmung der Richtung der Projektionsstrahlen. 53

ji zieren den Strah¹ en so, daß sie stets in der projizierenden Ebene CDC₈ liegen, so fällt die Projektion zwar immer in die Schnittgerade CSD dieser projizierenden Ebene und der Projektionsebene, aber die Länge der Projektion ändert sich; für die Richtung p¹ z. B. ergibt sich die Strecke C%D als Projektion von CD. Wenn man aber die Richtung der Projektionsstrahlen sich so ändern läßt, daß auch die projizierende Ebene der Geraden CD ihre Lage ändert, sich also um CD dreht, so dreht sich auch die Projektion von CD auf die Ebene TT um D\ für die Projektionsstrahlenrichtung pu erhält man z. B. (?/D als Projektion von CD, für die Richtungen p¹¹¹₁ plv die Projektionen C%IID₎ CPJ D, welche mit den Richtungen CSD bzw. C¹/ C Winkel von 180° einschließen. Durch geeignete Wahl der Richtung der Projektionsstrahlen kann man jede von dem Punkte D ausgehende Strecke von beliebiger Länge und Richtung als Projektion von CD erhalten.

Umgekehrt kann man die Richtung der Projektionsstrahlen dadurch festlegen, daß man eine von D ausgehende Strecke von willkürlich gewählter Richtung und Länge als Projektion von CD angibt. Setzt man z. B. fest, daß CSD die Projektion von CD sei, so gibt die Verbindungslinie der nicht zusammenfallenden Endpunkte G und Ca die Richtung der Projektionsstrahlen.

30. Will man auf diese Weise die Richtung der Projektionsstrahlen angeben, so würde es im allgemeinen nicht zweckmäßig sein, die Projektion einer Strecke mit beliebigem Neigungswinkel gegen die Projektionsebene als Bestimmungsstück zu benutzen. Es empfiehlt sich vielmehr, hierzu eine senkrecht auf der Projektionsebene TT stehende Strecke, z. B. OB nebst ihrer Projektion OBg

zu wählen (Fig. 23). In dem rechtwinkligen Dreiecke BOBs gibt dann <£BBsO den (stets spitzen) Neigungswinkel о der Projektionsstrahlen gegen die Ebene TT, und es ist

OB

—Л = cota = V (0 <a? 90°). и В

V wird gewöhnlich als das Verkürz un gs Verhältnis bezeichnet, da v fast immer nur kleiner als 1 oder höchstens gleich 1 gewählt wird. Um noch die Richtung leicht angeben zu können, zieht man durch О eine beliebige Gerade O A in TT als Grundrichtung und mißt den Winkel ö, welchen OBs mit ihr einschließt. Damit die Angaben über die Richtung der Projektionsstrahlen eindeutig sind, sollen folgende Bestimmungen gelten:

Fig. 24.

Die Projektionsebene TT ist die vertikal gestellte Zeichenebene. Durch einen beliebigen Punkt О derselben (Fig. 24)³) zieht man nach rechts (für den vor TT stehenden Beschauer) eine horizontale Gerade OA. Die

' gegen OA unter dem Winkel <5 gezogene beliebig lango Strecke OBs soll die Projektion des im Punkte О senkrecht zu TT nach vorn errichteten Lotes OB sein; dabei soll der Winkel ô von O A aus nach OBs hin im Sinne des Uhrzeigers (Pfeilrichtung in der Figur) gemessen werden.

Durch Angabe des Winkels ô und des Yer-kürzungsverhältnisses v ist die Richtung der Projektionsstrahlen völlig bestimmt. Man hat nur unter dem Winkel ô gegen O A eine beliebig lange Strecke OBs zu ziehen und auf TT nach vorn das Lot OB = v • OBs zu errichten; die Gerade BBS gibt dann die Richtung der Projektionsstrahlen.

In der Figur 24 ist noch OG _L O A gezogen und OBs = О А = ОС gemacht, während ô = 135° gewählt ist. Nimmt man noch v = 1 an, so ist OB = OBs, d. h. die Projektionsstrahlen sind unter 45° gegen TT geneigt. OA, OBs, OG können demnach betrachtet werden als die Projektionen dreier aufeinander senkrechten, gleich langen Strecken, von denen zwei der Ebene TT parallel sind und die dritte zu ihr senkrecht steht (vgl. die Anmerkung auf S. 59).

Schiefe Projektion eines Würfels; Bemerkung über das Ausziehen der Linien.

31. Der Würfel liege mit einer Seitenfläche OADG so in der Projektionsebene TT, daß die eine Kante O A horizontal, die andere OG vertikal gerichtet ist. Die Richtung der Projektionsstrahlen ist durch die Größen ô und v gegeben.

Bei dieser Lage projiziert sich (Fig. 25) die gegenüberliegende Seitenfläche BE G F ebenfalls in un-veränderter Gestalt und Größe, da dieselbe zn TT parallel ist. Es kommt demnach nur darauf an, einen nicht in TT liegenden Eckpunkt, z. B. den Eckpunkt В zu projizieren. Da alle Würfelkanten gleiche Länge haben, und die Kante OB _L TT ist, so erhält man die Projektion B₃ von В, indem man von О aus die

I) О

0.'

A-"ä

)A

Az_.......zAa <2

Fig.25a~ f-

Strecke OBs —v • OB — v • O A unter dem gegebenen Winkel ô gegen O A zieht. Durch Bs zieht man dann Parallelen zu OA, OG und verbindet, nachdem man das Quadrat BSESGSFS gezeichnet hat, noch Es, Gs, Fs bzw. mit A, D, C. Diese drei Geraden sind parallel der Strecke OBs; alle vier Geraden sind die Projektionen der auf TT senkrechten Würfelkanten.

Die Figuren 25a — f sind die Parallelprojektionen desselben Würfels für verschiedene Annahmen über d und г?, und zwar ist

Figur JJ

135°    135° 45° 150° 150° 330⁰

V = cota

V. V. 1

V. V.

also о

45°    63° 26'    45°    63° 26'

Verfolgt man die Projektionsstrahlen stets von vorn nach hinten, so gehen dieselben unter dem betreffenden Winkel о gegen TT geneigt, in den Fällen a, b, d, e von rechts oben nach links unten, in dem Falle c von links oben nach rechts unten und in dem Falle f von links unten nach rechts oben.

32. Betrachtet man den Würfel in der Richtung der Projektionsstrahlen, so werden gewisse seiner Kanten durch vor ihnen Regende Seitenflächen, welche sämtlich als undurchsichtig gedacht werden, verdeckt. Die Projektionen dieser nicht sichtbaren Linien sind in den Figuren punktiert, während die der sichtbaren Linien voll ausgezogen sind. Durch diese Unterscheidungen zwischen sichtbaren und unsichtbaren Linien gewinnt das Bild bedeutend an Anschaulichkeit. Alle Hilfslinien, welche nur zu konstruktiven Zwecken dienen, werden dünn gestrichelt oder strichpunktiert.

Diese Festsetzungen sind in allen bisherigen Figuren bereits beachtet und werden auch in der Folge für alle Linien streng innegehalten werden.

Vorteile und Nachteile der schiefen Projektion.

33. Die Vorteile der schiefen Projektion liegen darin, daß alle der Projektionsebene parallelen Figuren in ihrer wahren Gestalt (§§ 9 —11) und alle zur Projektionsebene senkrechten Geraden parallel einer beliebig gewählten Geraden abgebildet werden. Gegenüber der Perspektive hat sie dadurch den Vorteil, daß sich die von ihr gelieferten Abbildungen leicht konstruieren lassen und daß einander parallele Linien auch im Bilde parallel erscheinen. Damit diese Vorteile zur Geltung kommen, stellt man den Gegenstand am besten so auf, daß eine seiner Hauptebenen parallel zu TT ist.

Diesen Vorzügen steht aber der Nachteil gegenüber, daß die schiefe Projektion eines Gegenstandes nur dann einen annähernd richtigen Eindruck macht, wenn dieselbe in der Richtung der Projektionsstrahlen, also schief zur Bildebene, betrachtet wird. Selbst in dieser Richtung gesehen, würde wegen der parallelen Strahlen der Eindruck nur dann ganz der Wirklichkeit entsprechen, wenn die Projektion aus imendlicher Ferne betrachtet werden könnte. Der Eindruck, den das Bild erzeugt, ist ferner um so fehlerhafter, je größer v gewählt wird, weshalb man v nie größer als 1 nimmt. Man wählt v = 1, wenn man unmittelbar aus der Zeichnung nicht nur die richtigen Längen der zur Projektionsebene parallelen, sondern auch der zu ihr senkrechten Strecken entnehmen will (z. B. im Baufache bei Steinschnitten); dagegen wählt man v erheblich kleiner als 1, z. B. v =    wenn man ein

2    3

möglichst wahrheitsgetreues Bild zu erhalten wünscht

Vorteile und Nachteile der schiefen Projektion.

59

Es weicht das Bild eines Gegenstandes erheblich von seiner natürlichen Erscheinung ab, wenn v > -i, also

и

о ungefähr kleiner als 60⁰ ist. v = 0 gibt die senkrechte Projektion.

Die spezielle Wahl von ô ist ziemlich gleichgültig. Nur die Werte 0°, 90°, 180°, 270° sind meistens zu vermeiden, da dann zwei der drei Hauptrichtungen sich in die nämliche Gerade projizieren; z. B. fiele für (5 = 90° die Bichtung OBs in die Vertikale OG (Fig. 24, 25). Bei dem Würfel in Figur 25 projizierten sich dann die Seitenfläche OBsG und die ihr parallele in die Seitenkanten OG und AD, wodurch das Bild des Würfels wenig anschaulich wirken würde. Besondere Umstände nur können die Wahl eines dieser vier Werte von <5 wünschenswert machen. Es empfiehlt sich für <3 einen Winkel zu nehmen, welcher sich leicht konstruieren läßt, z. B. 45°, 60°, 135°, 150°. Die Werte 0< 180° entsprechen einem Beschauer, welcher sich in bedeutender Entfernung oberhalb, die seltener und meist nur für spezielle Zwecke (z. B. für Einzelheiten von Gesimsen und dgl.) gebrauchten Werte <5> 180° einem solchen, welcher sich unterhalb des dargestellten Gegenstandes befindet⁴).

Man vergleiche bezüglich der Ausführungen dieses Paragraphen die sechs Würfelproiektionen Figur 25 a—f.

34. Die schiefe Projektion ist demnach besonders geeignet, um von komplizierten stereometrischen Figuren schnell und leicht ein anschauliches Bild zu entwerfen. Aus diesem Grunde benutzt man sie sehr häufig in der Kristallographie zum Zeichnen der Kristalle, wobei

V — genommen zu werden pflegt, о

In den folgenden Abschnitten wird die schiefe Projektion ausschließlich benutzt, um durch anschauliche Skizzen die gegenseitige Lage räumlicher Gebilde deutlich zu machen. Zunächst sollen für diese Werte die schiefen Projektionen einiger einfachen Körper konstruiert werden. Es sollen dabei stets die Werte

T-H j 03

und ô = 150° genommen werden, welche

eine bequeme Ausführung aller Konstruktionen gestatten. Auch bei den späteren Skizzen in schiefer Parallelprojektion sind diese Werte stets beibehalten, wenn nicht besondere Gründe für andere Annahmen sprachen⁵).

Schiefe Projektion ebenflächiger Gebilde.

35. Projektion einer Pyramide mit horizontaler Grundfläche.

Die Pyramide, welche vor der Bildebene TT liegen soll, sei gegeben durch ihre Grundfläche ABCDE, den Fußpunkt F und die Länge h ihrer Höhe FS. Damit auch die (willkürlich gewählte) Lage der Pyramide gegen TT bestimmt gegeben ist, denke man sich die Ebene der Grundfläche um ihre ebenfalls gegebene Schnittlinie x mit TT nach unten in diese Ebene umgelegt und. die Grundfläche in der Lage A₀ B₀ G₀D₀ E₀, in welche sie dadurch gekommen ist, gegeben (Fig. 26).

Bx

Х-Д

С'

\k

\>

Ao

Fig. 26.

Die schiefe Projektion A von A findet man dann, indem man von A₀ das Lot A₀AX auf die Gerade x fällt, durch den Fußpunkt eine Gerade unter dem Winkel ô = 150° gegen x zieht und auf ihr

*= 2 ÄqAx

abträgt. Beachtet man, daß <£A₀AXAS = 60°, also

/\ 1 cos A₀AXAS = - =

AXA3 ■AqAx

ist, so erkennt man, daß A₀AS JL ASAX ist; man kann daher, was zeichnerisch bequemer ist, As auch als Fußpunkt des von A₀ auf ASAX gefällten Lotes bestimmen⁶). Auf gleiche Weise findet man die Projektionen der übrigen Eckpunkte der Grundfläche, sowie des Fußpunktes der Pyramidenhöhe.

Die Projektion As B₈ Gs Ds Es ist nach den Darlegungen des § 13 affin zu A₀ B₀ G₀ D₀ E₀ für x als Affinitätsachse. Als Kontrolle für die Zeichnung ergibt sich daher, daß sich entsprechende Geraden auf x schneiden müssen, was in der Figur für zwei Seitenpaare gezeigt ist. Umgekehrt kann man aber auch diesen Umstand benutzen, um die Projektion der Grundfläche zu konstruieren, nachdem man auf die obige Weise die Projektion As eines ihrer Endpunkte A gefimden hat; man verbindet dann As mit dem Schnittpunkte P = A₀ B₀ X x und zieht durch B₀ eine Parallele zu A₀ As, welche die erstere Gerade in Bs schneidet.

Da die Höhe der Pyramide parallel TT ist, so projiziert sie sich unverkürzt. Es ist mithin nur durch Fs zu x eine Senkrechte FsSs von der Länge h zu ziehen. Durch Yerbindung von Ss mit ASl . . . , Es erhält man die gewünschte Projektion der Pyramide.

Man konstruiere zur Übung die schiefe Projektion eines geraden Prismas, dessen Grundfläche horizontal

liegt. Es ist dabei zu beachten, daß die obere Begrenzungsfläche kongruent der Grundfläche ist.

36. Projektion des regelmäßigen Yier-flachs und Achtflachs mit der Kantenlänge a. (Ygl. über Yierflach und Achtflach §§ 101 und 102.)

a) Das Yierflach habe eine horizontal gelegene Seitenfläche, deren Höhe HA in der horizontalen Geraden X der Bildebene TT liege (Fig. 27).

Durch einen beliebigen Punkt H von x zieht man

т-H I

imter 150° gegen x die Strecken BSH — HCS = a.

X>

I/

Fig. 27.

Fig. 2a

/3

Nachdem noch die Höhe g e^ner Seitenfläche mit

Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks BSCSL (BSL = a) konstruiert ist, macht man HA gleich dieser Höhe CSL und

teilt HA durch den Punkt 0, so daß HO = O A ist.

и

Senkrecht über 0, als dem Mittelpunkte der Grundfläche, liegt der vierte Eckpunkt Д welchen man leicht erhält, da AD = a ist und in TT liegt. Auch ist HD = HA.

b) Das Achtflach (Fig. 28) liege mit zwei seiner Diagonalen in TT, und zwar möge die eine in der

Horizontalen x liegen. Die halbe Diagonalenlänge erhält man als Kathete eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse a. Auf diese Weise erhält man die vier in TT gelegenen Eckpunkte А, В, E, F. Die dritte Diagonale steht auf den beiden vorigen senkrecht, projiziert sich daher in die unter 150° gegen x durch О gezogene Strecke GSDS1

4 O A ist. 2

wo CsO = ODs =

37. Den auf einer Fläche gelegenen Linienzug, längs dessen die projizierenden Strahlen die Fläche nur berühren, ohne sie zu schneiden, nennt man ihren wahren Umriß und die Projektion desselben ihren scheinbaren Umriß. Die wahre Umrißlinie trennt den (für einen in der Richtung der Projektionsstrahlen blickenden Beschauer) sichtbaren Teil der Oberfläche von dem unsichtbaren. (Siehe Weiteres in § 98.)

Bei den drei bisher dargestellten Körpern sind hiernach die scheinbaren Umrisse: SsEsAsBs bei der Pyramide in Figur 26; ABSCSD bei dem Vierflach in Figur 27 und AE BF bei dem Aclitfląch in Figur 28.

Schiefe Projektion des geraden Kreiskegels, Kreiszylinders und der Kugel.

38. Projektion des geraden Kreiskegels und Kreiszylinders mit horizontaler Grundfläche.

Der Grundkreis h vom Radius r projiziert sich (§ 26) in eine Ellipse ks (Fig. 2 9 a> b), von welcher zwei konjugierte Durchmesser sich leicht angeben lassen. Der TT parallele Kreisdurchmesser projiziert sich unverkürzt gleich 2 r und liegt horizontal, während der zu ihm senkrechte Kreisdurchmesser sich in den konjugierten Ellipsendurclimesser projiziert, welcher unter 150° gegen den ersteren geneigt ist und die Länge r besitzt; beide halbieren sich in dem Ellipsenmittelpunkte Ms. Die Ellipsen selbst lassen sich dann nach § 20 leicht konstruieren⁷).

'Ж

Cl

<⁸

Fig. 29 a-

Fig. 29 b⁷

Da die Höhe parallel zu TT ist, so zieht man durch Ms eine Vertikale und macht MSNS = h. Will man die Projektion des Kegels (Fig. 29 a) erhalten, so hat man von JVS die beiden Tangenten as, bs an die Ellipse ks zu ziehen (§ 17). Um die Projektion des Zylinders (Fig. 29b) zu erhalten, тЙ man noch die Projektion des oberen Kreises k¹, konstruieren.' Diese ist die der Ellipse ks kongruente' und ' parallel gelegene Ellipse Щ mit d’ein Mittelpunkte Ns auf h. Zieht тай noch die beiden äußeren gemeinsamen Tangenten beidOr Ellipsen as,rbs, so hat man die gewünschte Projektion⁹). Bei bëiden Machen müssen offenbar die Projektionen aller anderen Mantellinien (welche man aber nicht zeichnet) innerhalb der gezogenen Tangenten liegen.

Zieht man den durch die Kegelspitze N gehenden Projektionsstrahl und legt durch ihn die beiden Tangentialebenen an den Kegel, so enthalten sie alle Projektionsstrahlen, welche den Kegelmantel nur berühren. Diese beiden Ebenen berühren die Kegelfläche längs der Mantellinien a₎ Ъ, deren Projektionen as und bs den scheinbaren Umriß des Kegelmantels bilden. Der wrahre Umriß des Kegels wird also gebildet von den Mantel-linien ay b und dem раф руот zwischen ihnen gelegenen Teile der Peripherie des Grundkreises. Der scheinbare Umriß ist demnach identisch mit dem in Figur 29 a Yoll ausgezogenen Linienzuge.

Legt man an den Zylinder in Figur 29b die beiden Tangentialebenen, welche der Richtung der Projektionsstrahlen und also einander parallel sind, so gehören die Mantellinien a und 6, längs deren beide Ebenen die Zylinderfläche berühren, dem wahren Umrisse dés Zylinders an. Diese Mantellinien liegen in derselben durch die Zylinderachse gehenden Ebene. Ferner wird

лЛЩЩ.

der wahre Umriß des Zylinders von der zwischen a und b nach vorn gelegenen Hälfte AE В des unteren und der nach hinten gelegenen Hälfte CFD des oberen Kreises gebildet. Der scheinbare Umriß ist also der Linienzug

Während auf beiden Flächen die Kreise kj bzw. k¹ die Mantellinien a, b ; in den Punkten А, В, bzw' (7, D schneiden, berühren die Projektionen der Kreise die Projektionen dieser Mantellinien in den entsprechenden Punkten As, Bs, bzw. Gsy    (Ygl. bei der senk

rechten Projektion die Paragraphen übet* die Tangentialebenen an Kegel und Zylinder.)

39. Wenn die Grundkreise beider Flächen, der Bildebene TT parallel sind, so projizieren sie sich in ihrer wahren Gestalt; die Höhe h projiziert sich in eine durch die Kreismittelpunkte gehende und unter 150° gegen die Horizontale geneigte Strecke von der

Länge Hiernach kann man die Projektionen leicht konstruieren.

O'r

Fig. 30.

40. Projektion einer Kugel vom Radius r. Läßt man einen Halbkreis (Fig. 30) und die zu seinem Durchmesser AB parallele Tangente t um MH als Rotationsachse sich drehen, so erzeugt der Halbkreis

eine Kugel und die Tangente t einen Zylinder, welcher die Kugel längs des von dem Berührungspunkte C beschriebenen größten Kreises der Kugel berührt und aut der Ebene dieses Kreises senkrecht steht.

Hieraus folgt, daß der wahre Umriß der Kugel derjenige größte Kreis к ist, dessen Ebene auf der Richtung der Projektionsstrahlen senkrecht steht; seine den scheinbaren Umriß liefernde Projektion ist mithin eine Ellipse ks, deren Achsen sich leicht angeben lassen. Nimmt man den Kugelmittelpunkt О in TT gelegen an, so schneidet TT den Kreis к in dem Durchmesser CB, welcher senkrecht auf der, der Richtung der projizierenden Strahlen parallelen, Durchmesserebene der Kugel, also (Eig. 31b) senkrecht auf der unter 150° gegen die Horizontale x gezogenen Geraden As OBs steht. Nach § 27 (erster Absatz) ist GD — 2r die kleine Achse der Ellipse und der zu CD senkrechte Durchmesser AB projiziert sich in die Strecke

Die Ellipse ks läßt sich dann nach § 22 leicht konstruieren.

41. Um das Bild plastischer zu machen, kann man noch die Projektionen einer Anzahl von Kreisen, in weichen Parallelebenen zu TT die Kugel schneiden und welche sich als kongruente Kreise projizieren, einzeichnen. Die Radien dieser Kreise bestimmt man durch Umlegen desjenigen auf TT senkrechten größten Kugel-

*) Demi, da ctg а =

, . ,    ¹    5

f0lgt^=4-

r-t <M

und 1 + ctg⁵ о = ~

ist.

kreises EJF (Fig. 31a), welcher von TT in dem vertikalen Durchmesser EF geschnitten wird, in die Bildebene TT. Die im Abstande OG zu TT parallele Ebene schneidet die Kugel in einem Kreise Z, dessen Radius durch die im Abstande OG₀ = OG parallel zu EF gezogene halbe Sehne G₀H₀ gegeben wird. Auf OBs (Fig. 31b)

macht man dann О Gs = — О G₀ und beschreibt um Gs

и

mit dem Radius G₀H₀ den Kreis Zs, welcher die Pro-

JE

^1-

Go Y°

JF

Fig. 31a-

Fig. 31b-

jektion des Kreises l ist. Dies Yerfahren führt man für eine größere Anzahl von Kreisen durch, wobei es vorteilhaft ist, mit einem vor TT gelegenen Parallelkreise zugleich den gleich großen und gleich weit hinter TT gelegenen Parallelkreis zu projizieren. In Figur 31b ist dies Yerfahren für zehn Parallelkreise durchgeführt; es sind der besseren Übersicht wegen aber die Kreise nur so weit gezeichnet, als sie sichtbar sind. Man wählt den Abstand der Kreise, welche man projiziert, um so kleiner, je näher dieselben dem Punkte J liegen, da mit wachsender Annäherung an J die Radien um so schneller abnehmen.

Es sei noch ; bemerkt, daß die Projektionen ls aller der Parallelkreise l) welche den wahren Uttmß к schneiden, die Ellipse ks des scheinbaren Umrisses berühren müssen; der Beweis dieser Behauptung wird bei “ der Betrachtung der ' Tangentialebenen krummer Flächen erbracht. Zeichnet man genügend viele solcher berührenden Kreise lS} so erhält man die Ellipse ks als umhüllende Kurve derselben.

Die Ellipse ks des scheinbaren Umrisses einer Kugel hat stets die Projektionen Js, K8 der Endpunkte /, К des zu TT senkrechten Kugeldurchmessers zu Brennpunkten¹⁰). Denn es ist

OA₈ — OBs = -r- und OJs = ОKs = r • cota, folgsin а

lich ist

tf'2

sin² а

CJ,² = CK² =OC² + О Js² = r² + r² cot² а -OB²,

d. h. Js und Ks sind (nach § 27, letzter Absatz) die Brennpunkte der Ellipse ks.

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Ш. Abschnitt.

Dar&telluug ron Punkt, Gerade und Ebene in senkrechter Projektion auf zwei zueinander senkrechte Ebenen.

Einführung zweier Projektionsebenen.

42. Die durch senkrechte Projektion gewonnenen Bilder sind zwar oft weniger anschaulich, als die durch schiefe Projektion erhaltenen, da zur Projektionsebene senkrechte Gerade und. Ebenen sich als Punkte und Gerade projizieren, trotzdem aber ist die senkrechte Projektion für, die meisten Anwendungen die weitaus wichtigste Projektionsart. Es hat dies seinen Grund in der wesentlichen Vereinfachung sehr vieler Konstruktionen bei Anwendung der senkrechten Projektion und in der bequemen Art, in welcher sich Gebilde durch Angabe ihrer senkrechten Projektionen auf zwei zueinander senkrechte Ebenen bestimmen lassen. Es ist früher (§§ 3 — 6) gezeigt worden, daß ein im Raume liegendes Gebilde durch Angabe seiner (Zentral- oder Parallel-)Projektion auf eine Ebene nicht bestimmt ist, sondern es müssen außer dieser Projektion noch weitere Bestimmungsstücke gegeben sein, und als solches genügt im allgemeinen seine Projektion auf eine zweite (der ersten nicht parallele) Ebene.

Der Winkel, welchen die beiden Projektionsebenen miteinander bilden, kann beliebig gewählt werden; es empfiehlt sich aber, vornehmlich für senkrechte Projektion, zwei zueinander senkrechte Ebenen zu nehmen. Gewöhnlich wird die eine dieser Ebenen TJL horizontal, die andere TT₂ vertikal gestellt angenommen. (Vgl. die Figur 32.) Man nennt dann

TTi : Horizontalebene, Grundrißebene, erste Projektionsebene oder erste Tafel;

TT₂ : Vertikalebene, Aufrißebene, zweite Projektionsebene oder zweite Tafel; und die Schnittlinie x beider Projektionsebenen die Projektionsachse oder kurz Achse, wenn jeder Irrtum ausgeschlossen ist.

Die Achse teilt jede der Projektionsebenen in zwei Halbebenen. Die beiden Teile von TJi werden, je nachdem sie für den Beschauer vor oder hinter TT₂ liegen (Fig. 32), unterschieden als vorderer (+ TTQ und hinterer Teil (— ТТД die beiden Teile von TT₂ nach ihrer Lage in bezug auf TT₁ als oberer (+ TT₂) und unterer Teil (— TT₂)*).

Der ganze Raum wird durch die beiden Projektionsebenen in vier Quadranten zerlegt, deren jeder von zwei der angegebenen Halbebenen begrenzt ist. Sie sollen in der folgenden Weise mit I — IV bezeichnet werden :

I. Quadrant begrenzt von -f- TT II. Quadrant

III.    Quadrant

IV.    Quadrant

+ TT

» -TT „ -TT

»    + TTjl ,

+ TT

-TT -TT₂.

*) Die Projektionsebenen sind stets als unbegrenzt zu denken, wenn auch wie in Figur 32, nur endlich begrenzte Teile („Tafeln¹¹) gezeichnet sind.

Darstellung des Punktes.

43. Die senkrechte Projektion eines Punktes auf eine gegebene Ebene ist der Fußpunkt des von ihm auf diese Ebene gefällten Lotes.

Demnach sind (Fig. 32) die Fußpunkte P', P" der von einem Punkte P auf die beiden Projektionsebenen TL , TT₂ gefällten Lote seine beiden Projektionen*

Vv

>=

'К

-V, ■

P'

Fig. 32.

und umgekehrt ist P der Schnittpunkt der in P/ auf TTj und in P" auf TT₂ errichteten Lote. Man nennt in bezug auf den Punkt P, entsprechend der obigen Bezeichnung der Projektionsebenen,

P' : Horizontalprojektion, erste Projektion, Grundriß;

P"\ Yertikalprojektion, ziveite Projektion, Aufriß;

P' P: ersten Taf elabstand;

P"P: zweiten Tafelabstand.

Der erste Tafelabstand wird; mit positivem oder negativem Zeichen genommen, je nachdem der Punkt P über öder unter TJ₁ liegt, und der zweite, je nachdem P vor oder hinter TT₂ liegt. Demnach gelten in dem ersten bis vierten Quadranten die folgenden Vorzeichen-kombinationen für die beiden Tafelabstände:

+ + J H--i--?    ~    •

Der in der Figur 32 im zweiten Quadranten gezeichnete Punkt Q hat also einen positiven ersten und einen negativen zweiten Tafelabstand.

¹

Da im folgenden stets Elemente der Ellipse gegeben sind, so ist fortan der Index 0 an die Kreiselemente angehängt.

²

Die Figur 20 ist in schiefer Parallelprojektion gezeichnet, wobei die Symmetrieebene XV‘ = A₁B₁ B₂ A₂ als Pro-jektionsebene benutzt ist. Yon den beiden Berührungskugeln sind nur die in der Projektionsebene liegenden größten Kreise und die beiden Berührungskreise \ und k₂ gezeichnet. Die (im Interesse der Übersichtlichkeit nicht gezeichneten) scheinbaren Umrisse der Kugeln sind Ellipsen (vgl. § 40).

Hau ft ne r, Darstellende Geometrie I.

³

In Figur 24 ist die Projektionsebene nicht mehr abgegrenzt, da eben die ganze Zeichenebene als Projektionsebene zu betrachten ist.

⁴

In dem ersteren Falle wird die schiefe Projektion wohl auch Vogelperspektive, in dem letzteren Froschperspektive genannt. Die Projektion mit den Werten v = l, <5 = 45° oder 135° heißt auch Kavalierperspektive (bzw. Militärperspektive, wenn П horizontal liegend angenommen wird). Diese Benennungen sind aber schwankend und auch nicht gut, da man jetzt unter Perspektive nur die eigentliche Zentralprojektion versteht.

⁵

Auch die Figuren 1—8, 20 und 23 sind schiefe Parallelprojektionen. In Figur 20 ist <5 = 90° gewählt, damit der scheinbare Umriß des Zylinders mit den Tangenten an die in der Projektionsebene liegenden Kugelkreise Zusammenfalle.

⁶

Diese bequemere Konstruktion ist stets anwendbar, wenn <5 = 150°, v = und der Körper vor TT liegt. Deshalb sind auch in § 34 für <5 und v diese Werte gewählt.

⁷

In den Figuren 29 a> b sind nur die diesen beiden konjugierten Durchmessern parallelen Tangenten angegeben. In beiden Figuren ist die Schnittgerade x der Ebene des Grundkreises und der Bildebene TT nicht angegeben. Infolgedessen ist durch die Projektion nur die Gestalt des Gebildes, nicht aber seine Lage im Raume völlig bestimmt; man kann vielmehr den Abstand des Gebildes von der Bildebene noch beliebig wählen. Soll aber auch dieser bestimmt sein, so muß die Gerade x (parallel zu den horizontalen Tangenten) angegeben sein.

⁸

Haußner, Darstellende Geometrie I

⁹

Es ist zu beachten, daß bei dem Kegel die Berührungspunkte As, Bs von as, bs und ks nicht «auf demselben Durchmesser liegen, während dies bei dem Zylinder der Fall und ferner ASMSBS\\ CSNSDS ist.

¹⁰

Der Satz gilt für beliebige Werte von ô und a, wie ausdrücklich hervorgehoben sei.

Liegt ein Punkt in TÏ₁, so ist sein erster Tafelabstand gleich Null, und liegt er in TT₂, so ist es sein zweiter Tafelabstand. Für einen Punkt der Achse sind beide Tafelabstände gleich Null.

Da

PPß±T(₁, PP"J_TT₂

ist, so steht die durch diese beiden projizierenden Strahlen gelegte Ebene P'PP" auf und TT₂ , mithin auf der Achse x senkrecht. Ist Px der Schnittpunkt der letzteren mit der Ebene P'PP", so steht x auch senkrecht auf den in dieser Ebene durch Px gezogenen Geraden PXP', РЖР", PXP und es ist PXP'PP" ein Rechteck. Der Punkt Px heißt die Achsenprojektion des Punktes P, da er seine senkrechte Projektion auf die Achse x ist.

Folglich gelten die Sätze:

Die von den beiden Projektionen P' und P" eines Punktes P auf die Achse gefällten Lote treffen die Achse in demselben Punkte, der Achsenprojektion Px. Umgekehrt: Zwei Punkte der beiden Projektionsebenen können nur dann die beiden Projektinnen' eines Raumpunktes sein, wenn ihre Lote auf die Achse, denselben Fuß punkt besitzen.

Der erste (bzw. zweite) Tafelabstand eines Punktes ist, auch dem Vorzeichen nach, gleich dem Abstande seiner zweiten (bzw. ersten) Projektion von der Achse:    -

FP=PXP", F'P=PXF.

44. Um nun beide Projektionen eines räumlichen Gebildes in einer einzigen Zeichenebene darstellen zu können, denkt man sich die eine Projektionsebene um die Achse in die andere umgelegt.

Die zweite Projektionsebene falle, wie stets angenommen werden soll, mit der vertikal gestellten Zeichenebene zusammen, und es werde die erste Projektionsebene (im Sinne der Pfeile in Figur 32) so gedreht, daß +Т\г mit — TT₂, — mit + TT₂ zur Deckung kommt.

Bei dieser Drehung beschreibt jeder Punkt der Ebene T\x einen Viertelkreis, durch dessen Mittelpunkt die Achse x senkrecht zu seiner Ebene hindurchgeht und dessen Radius gleich dem Abstande des Punktes von der Achse ist. Der von der ersten Projektion P; eines Punktes bei dieser Umlegung beschriebene Viertelkreis hegt also in der auf der Achse senkrechten Ebene F PF', und folglich fällt der Punkt F nach ausgeführter Drehung in die Schnittgerade dieser Ebene mit TT₂, d. h. in die auf x senkrechte Gerade PXP", bzw. deren Verlängerung¹).

76 Ш. Darstellung von Punkt, Gerade und Ebene usw

Nach erfolgter Umlegung der ersten Projektionsebene in die zweite, können zwei Punkte P', P" dann und nur dann die Projektionen eines Raumpunktes P vorstellen, wenn ihre Verbindungslinie auf der Achse x senkrecht steht.

Um den Raumpunkt P zu erhalten, braucht man nur in dem Punkte P" der Zeichenebene ein Lot auf TT₂ zu errichten und auf ihm P" P = PxPr abzutragen.

Die folgende Figur 33 veranschaulicht die verschiedenen möglichen Lagen der Projektionen eines

- V* -.

%

T"

n-n^Tv*

! Г

У „ -К ,

Я S" Fig. 33.

kS'*T'

w"

Punktes nach ausgeführter Umlegung von TT^. Die hei der Figur 32 gezeichneten Begrenzungen der Projektionstafeln sind fortgelassen, wie dies in Zukunft meistens geschieht, da die Projektionsebenen als unbegrenzt zu denken sind. Es ist aber festzuhalten, daß die über der Achse x gelegene Hälfte der Zeichenebene mit -j- TT₂ und — und ihre untere Hälfte mit + Tl^ und — TT₂ identisch ist. Die vier Punkte P, Qj P, S liegen in dem ersten bis vierten Quadranten;

ihre Tafelabstände haben gleiche Längen, aber verschiedene Vorzeichen; P, U sind Punkte der ersten Projektionsebene (+ T\₁ , bzw. — TT₁), F, W Punkte der zweiten Projektionsebene (+ TT₂, bzw. — TT₂) und X ist ein Punkt der Achse.

45. Oft ist die Einführung einer dritten Projektionstafel TT₃ , welche auf T\₁ und TT₂, also auch auf x senkrecht steht, sehr nützlich und erweist sich für manche Aufgaben als geschicktes Hilfsmittel, um ihre Lösung zu erleichtern. Man nennt

TT₈: Seitenriß-, Kreuzriß-, dritte Projektionsebene oder dritte Tafel und entsprechend die Projektion eines Punktes auf dieselbe

P"': seinen Seitenriß, Kreuzriß oder seine dritte Projektion;

P"'P: seinen dritten Tafelabstand.

Durch Einführung von TT₃ treten die Schnittgeraden von TT₃ mit TTi und TT₂ als weitere Projektionsachsen auf, welche sich in dem Punkte О auf ж schneiden; sie sollen mit у, bzw. z bezeichnet werden (s. Eig. 34). Jede der drei Projektionsebenen wird durch je zwei der drei Achsen in vier Felder, und der ganze Raum durch die drei Ebenen in acht Oktanten zerlegt.

dessen

46. Da ein Punkt durch Angabe seiner ersten und zweiten Projektion schon völlig bestimmt ist, so muß sich seine dritte Projektion aus ihnen allein, ohne Benutzung von P selbst, konstruieren lassen. Fällt man nämlich noch das Lot von P auf TT Fußpunkt die dritte Projektion P'" von P ist, und legt durch je zwei der drei projizierenden Lote Ebenen, so sind diese den Projektionsebenen parallel und schneiden

die Achsen in den Aehsenproj ektionen Pxy Py, Pg (Fig. 34). Diese drei Punkte; bilden zusammen mit P, seinen drëî Projektionen P', P'', P'" und dem Punkte Q die; Ecken eines .rechtwinkligen Parallelepipeds, топ dessen zwölf Kanten je vier einander parallel und gleich sind und auf einer Projektionsebene senkrecht stehen. Folglich läßt sich^ entsprechend der obigen Behauptung, Pm aus den beiden Projektionen P', P" konstruieren,

-TT,

J.....0

>4

/ -z Fig. 84.

indem man von P' ein Lot auf die y-Achse, von P" ein Lot auf die %-Achse fällt und durch die Fußpunkte zu den betreffenden Achsen Senkrechte Py P";, Pz Ptn, welche in ТГ₃ liegen, zieht; ihr Schnittpunkt ist die gesuchte dritte Projektion.

Bezeichnet man die Längen der drei Kanten OPx, OPy, OPz des Parallelepipeds mit £, t), 5, so ist der dritte Tafelabstand P"r P = у, der zweite P" P = t), und der erste P' P = 5. Über das Vorzeichen des ersten und zweiten Tafelabstandes sind bereits Fest-

Setzungen getroffen, für den dritten Tafelabstand soi weiter angenommen werden, daß. ,er positiv ist, wenn der Punkt P für einen auf TTp stellenden und TT₂ anschauenden Beobachter nach rechts von TT₃ gelegen ist. Da die drei Achsenabschnitte gleich den parallelen Tafelabständen sind, so ist durch diese Festsetzungen zugleich den drei Achsen ein bestimmter Sinn beigelegt, wie in Figur 34 durch +æ, —x usw. angegeben ist. Zu jedem Punkte P des Baumes gehören dann drei, auch ihrem Vorzeichen nach bestimmte Achsenabschnitte £, tj, 5, welche in der analytischen Geometrie als die rechtwinkligen Koordinaten des Punktes P bezeichnet werden. Umgekehrt ist die Lage eines Punktes P durch Angabe seiner drei Koordinaten völlig bestimmt, sobald die drei Projektionsebenen gegeben sind; man hat nur die Strecken £, ty, 5 in dem durch ihre Vorzeichen bestimmten Sinne auf den Achsen von О aus abzutragen und das durch diese drei Achsenabschnitte bestimmte rechtwinklige Parallelepiped zu vervollständigen, dessen О diagonal gegenüberliegende Ecke P dann der gesuchte Punkt ist.

Anmerkung. Bei bestimmten Beispielen pflegt man die Tafelabstände (Koordinaten), durch (positive oder négative) Zahlen anzugeben; durch welche ihre Längen in einer beliebig gewählten Längeneinheit gemessen sind (vgl. die Beispiele am Ende von § 47).

die

47. Um nun auch die dritte Projektion in derselben Zeichenebene darstellen zu können, denkt man sich die Ebene Tl\ wie vorhin (§ 44)* und die Ebene TT3 um %, ebenfalls in TT₂ umgelegt, so daß die vordere Hälfte von TT₃ mit der linken Hälfte von TT hintere Hälfte von TT₃ also mit der rechten Hälfte von

TT.₂ zusammenfällt, wie dies die Pfeile in Eigur 34 andeuten. Da die «/-Achse nun sowohl , als TT3 angehört, so muß sie nach ausgeführter Umlegung doppelt auftreten, und zwar fällt die -f «/-Achse mit der — X- und — ж-Achse, die — «/-Achse mit der -f X- und + ж-Achse zusammen (Fig. 35).

J>\

P7

0_

.....qf²

-i JP'

Fig. 35.

Stellt man nun die gleichen Überlegungen wie in § 44 hier auch noch für die umgelegte TT₃ an, so kann man leicht die folgende Aufgabe lösen:

Die dritte Projektion P" eines Punktes P aus seiner ersten und zweiten Projektion P und P' bei gegebenem Achsenkreuze zu konstruieren.

Man zieht durch P und P" horizontale Geraden, welche die vertikale Achse²) in Pf und Pz schneiden, trägt OPf auf der horizontalen Achse von 0 aus in richtigem Sinne bis Pf ab und zieht durch Pf eine vertikale Gerade, welche die Gerade P"Pt in P"' schneidet. — Hierbei ist zu beachten, daß die Punkte Pf und Pf, welche тог dem Umlegen топ TT₁ und TT3 in demselben Punkte Py der y-Achse gelegen sind³), entweder beide auf den negativen Hälften oder beide auf den positiven Hälften der doppelt auf treten den y-Achse liegen müssen. In der Figur 35 veranschaulicht die Konstruktion von P"' den ersten Fall und von Q” den zweiten Fall; der erste oder zweite Fall liegt vor, je nachdem der zweite Tafelabstand des betreffenden Punktes positiv oder negativ ist. In Figur 35 sind die Koordinaten werte in Millimetern für P: £ = 10,5, t) = 12, 5 = 9; für Q: £ = 8, t) = —17, 5= —16.

Darstellung der Geraden.

48. In Rücksicht auf §§ 4 und 9 erhält man sofort

den Satz:

Die beiden senkrechten Projektionen einer Geraden g sind im allgemeinen zwei Geraden cf und g", welche die Schnittlinien der durch g senkrecht zu Tï₁ und TT₂ gelegten Ebenen — der sogenannten ersten und zweiten projizierenden Ebene — mit TJl und TT₂ sind.

Die in §§ 43 und 45 für die Projektionen eines Punktes gegebenen Benennungen werden in gleicher Weise für die Projektionen einer Geraden benutzt.

Ist P ein Punkt auf g, so muß seine erste Projektion P' auf /, seine zweite Projektion P" auf g" liegen, und nach ausgeführter Umlegung von Т[± in TT2 muß P'P"A-X sein. Umgekehrt sind zwei in derselben Senkrechten zu x gelegenen Punkte von gr und g,r die Projektionen eines bestimmten Punktes der Geraden g. Hieraus folgt, daß eine Gerade g statt durch ihre beiden Projektionen g', g", auch durch die Projektionen zweier auf ihr liegenden Punkte gegeben werden kann.

Aus dem Vorstehenden ergibt sich ohne weiteres die Lösung der

Aufgabe. Die beiden Projektionen einer Geraden und die eine Projektion eines auf ihr liegenden Punktes sind gegeben; es ist die andere Projektion des Punktes zu finden. (Siehe Fig. 36 u. 37a.)

49. Besonders ausgezeichnete Punkte einer Geraden g sind ihre Schnittpunkte Qt, G₂ mit den beiden Projektionsebenen, welche Punkte erster und zweiter Spurpunkt der Geraden g heißen.

Der erste Spurpunkt Gt von g (Fig. 36) liegt in dem Schnittpunkte von g mit gf \ folglich fällt er mit seiner ersten Projektion zusammen. Seine zweite Projektion Gi muß also nicht nur auf g", sondern auch auf x liegen und fällt daher in den Schnittpunkt von g” und x. Der zweite Spurpunkt fällt mit seiner zweiten Projektion zusammen in den Schnittpunkt von g mit g", während seine erste Projektion G'₂ der Schnittpunkt von g' und x ist. Schneidet die Gerade die Achse, so fallen beide Spurpunkte in den Achsenschnittpunkt der Geraden.

50. Aufgabe. Es sind die beiden Spurpunkte einer durch ihre Projektionen /, g/r gegebenen Geraden g zu konstruieren.

Die Schnittpunkte von gr und g" mit der Achse x bestimmen die Punkte G'₂ und G'{ (Fig. 36); die durch sie senkrecht zu x gezogenen Geraden schneiden g'\ bzw. g' in den gesuchten Spurpunkten G₂ , bzw. G₁.

Gz

»?

П,

Fig. 86.

Ist die Gerade g gegen die beiden Projektionsebenen geneigt, so kann die zwischen ihren beiden Spurpunkten G₁, G₂ gelegene Strecke in jedem der vier Quadranten liegen; die Figuren 37a—d zeigen die Tier möglichen Fälle, je nachdem die Strecke G₁ G₂ im ersten bis vierten Quadranten gelegen ist. Betreffs des Ausziehens der Linien sei bemerkt, daß die Projektionsebenen als undurchsichtig angenommen sind und daß infolgedessen für einen über TJ₁ und vor TT₂ stehenden Beschauer die vordere Hälfte von TÏ₁ die untere Hälfte von TT₂, dagegen die obere Hälfte von TT₂ die hintere Hälfte von TTjl verdeckt. In den Figuren sind daher g’, g" nur so weit ausgezogen, als sie die Projektionen eines im ersten Quadranten liegenden Teiles von g sind.

6*

(Man zeichne für die Figuren 37b_d Skizzen in schiefer Projektion; der Figur 37 a entspricht in schief ei Projektion Figur 36.)

fr"

s)

fl

pi

Fig. 37.

Sind umgekehrt die Spurpunkte Gt, G₂ gegeben, so bestimmen die Fußpunkte der von ihnen auf die Achse gefällten Lote ihre ungleichnamigen Projektionen G'{, G2 j und die Geraden Gi G₂, G'{ G₂ sind die beiden Projektionen der durch G₁ und G₂ besthnmten Geraden.

51. Besondere Lagen der Geraden g gegen die Projektionsebenen.

I. Ist # 1171^, so ist die zweite projizierende Ebene parallel zu TIi, folglich g/' || x und G₁ unendlich fern gelegen;

B eu andere Lagen einer Geraden, ist g UTT₂, so ist gt \\x und G₂ unendlich fern

gelegen.

II.    Wenn    und ||TT₂, also \\x ist, so

ist g'\\g"\\g.

Stellt g senkrecht auf T\x, so reduziert sich die erste Projektion gr auf einen Punkt, welcher zugleich der erste Spurpunkt G₁ von g ist, die zweite Projektion g" steht auf x senkrecht und muß durch Gx hindurchgehen. Daher

III.    Wenn g ist, so ist / = G±, g"_La?

und G₂ unendlich fern; wenn #_LTT₂ ist, so ist g" = G₂, g'_Lx und G± unendlich fern.

IY. Wenn g in einer zur Achse senkrechten Ebene liegt, so sind (f und g" in derselben Senkrechten zu der Achse gelegen, da die beiden projizierenden Ebenen mit der senkrechten Ebene, in welcher g liegt, zusammenfallen⁴).

52. Eine Gerade bestimmt also stets ihre Projektionen; umgekehrt bestimmen zwei beliebige Gerade g' in TTj und g" in TT₂ immer eine einzige Gerade g im Raume, deren Projektionen sie sind, wenn nicht g' und (f'JLx sind. Denkt man sich nämlich T\x in seine ursprüngliche, zu TT₂ senkrechte Lage zurückgedreht, so schneiden sich die durch gf und g" senkrecht zu T\x, bzw. TT₂ gelegten Ebenen in der Geraden g.

Steht dagegen eine der Geraden, z. B. auf der Achse senkrecht, so steht die durch sie gelegte projizierende Ebene auch auf TT₂ senkrecht und g" muß also in derselben Senkrechten liegen wie gf. Im Falle, daß g" sich auf einen Punkt 6r₂ dieser Senkrechten reduziert, ergibt sich g als die durch 0₂ senkrecht zu TT2 gezogene Gerade. Im anderen Falle aber ist die durch gelegte projizierende Ebene identisch mit der durch g" gehenden, und folglich sind gf und g" die Projektionen aller in dieser Ebene gelegenen Geraden.

Damit eine zu der Achse senkrechte Gerade nach der Projektionsmethode bestimmt ist, muß man entweder die Projektionen zweier ihrer Punkte oder (außer y, g” noch) ihren Seitenriß gm kennen.

53. Bezüglich des Seitenrisses gf" ist zu bemerken, daß die dritten Projektionen Gf und Gf der

g:

GZ

c/b

~i

Fig. 38 a-

Spurpunkte auf der «/-, bzw. ж-Achse liegen müssen (Fig. 38a) und ihre Verbindungslinie also gf" liefert.

Der Punkt G₃, in welchem g die Ebene TT3 durchdringt, ist der dritte Spurpunkt von g. Seine erste und zweite Projektion liegen in den Schnittpunkten von gf mit der «/-Achse und von gf' mit der ж-Achse.

Dritte Projektion einer Geraden.

87

Um also Gb nach Umlegung von TT₁ und TT₃ in TT₂ zu konstruieren, bestimmt man (Fig. 38b) diese Schnittpunkte Gz und G'i, und zwar den ersteren doppelt, da er

+z

G‘s

'.у,

л@з

gZ

cf

+JT-

Fig. 38 b-auf der doppelt auf tretenden y-Achse liegt. Die Vertikale durch Gz schneidet die Horizontale durch G” in G₃.

Aufgabe. Die zu x senkrechte Gerade g ist durch die Projektionen zweier ihrer Punkte P und Q gegeben; es sind ihr Seitenriß und ihre Spurpunkte zu konstruieren.

Hach § 47 konstruiert man von P, Q die dritten Projektionen P//r, Q" (Fig. 39); ihre Verbindungslinie ist gr',f und die Punkte, in welchen diese die horizontale und vertikale Achse schneidet, sind Gf”, G'f. Aus diesen erhält man leicht Gx und G₂.

54. Unter dem Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene versteht man bekanntlich den spitzen Winkel, welchen die Gerade mit ihrer senkrechten Projektion auf che Ebene einschließt; er ist.

wie in der Stereometrie gezeigt wird, der kleinste aller Winkel, welche die Gerade mit den durch ihren Spurpunkt gehenden Geraden der Ebene einscliließt.

Q7

—Q"

û"7

P"',i

ä______p"

чГВ

-t-а-

в'

р'

а;

Ъ.

+у

Fig. 39.

Bezeiclmet man die Neigungswinkel von g gegen TTj und TT₂ mit yl5 y₂ (erste und zweite Tafelneigung y on g), so ist (vgl. die Figur 36 auf S. 83) y₁ = < G₂ Gx G'₂, y₂ = < Gx G₂ Gi,

Nach dem vorstehend in Erinnerung gebrachten Satze ist sicher y₁ kleiner, höchstens gleich (<) G₂ G₁ Gx und mithin, da < G₂ Gx G'{ -\-^GxG₂ Gx = 90° ist, folgt 7i + 72 <90°,

d. h. die Summe der beiden Tafelneigungen einer Geraden ist höchstens gleich einem Kechten.

Tafelneigungen und wahre Länge einer Strecke.

Der Grenzfall y₁ + y₂ = 90⁰ kann nur dann eintretenr wenn g in einer zur Achse senkrechten Ebene liegt (Fall III und IY in § 51).

Ist g y TT!, so ist yt = 0, y₂ = < (g' | x), und ist 9 К TT₂, so ist Yi=< (/' I ⁵)> У2 = 0-

Aus den rechtwinkligen Dreiecken G₁ G₂ G₂ und G1G1G2 folgt ferner

Gi G2 — Gi G₂ • cos yi, Gi G2 = Gi G₂ • cos y₂, ' d. h. das Verhältnis der senkrechten Projektion einer Strecke zu der Strecke selbst ist gleich dem Kosinus des Neigungswinkels (vgl. § 9).

Aufgabe. Die Tafelneigungen y₁, y₂ und die wahre Länge der zwischen den beiden Spurpunkten gelegenen Strecke einer Geraden 9 (jj'i 9") zu konstruieren⁵).

Da die rechtwinkligen Dreiecke Gi G'2 G₂ und Gi Gi G2 (vgl. Fig. 3G) die gesuchten Stücke enthalten und die Katheten dieser Dreiecke sich leicht aus g\ g" bestimmen lassen, so erhält man die folgende Konstruktion. Nachdem man die Spurpunkte G₁ und G₂ bestimmt hat, macht man auf x die Strecke G'{ G\ = G'( G₂ und verbindet G₂ mit Gt. Das Dreieck G± G'(G₂ ist dann das um G'{Gi in TTi umgelegte Dreieck Gi G'{ G2 und folglich < Gi G\ G’l = 7₂, Gt (Ą = G± G₂. — Legt man A G1G2 G2 um G₂ G₂ in TT₂ um, so erhält man in gleicher Weise den Winkel yx und G\ G₂ = Gt G₂ (Fig. 40 a).

Die Aufgabe läßt sich auch so lösen, daß man Л Gi G'{G₂ um GÏG₂ in TT₂ und A Gi G'₂ G₂ um Gx G'2 in Их umlegt (Fig. 40b).

Kontrolle: Gt G°₂ = G\ G₂, bzw. G± G\ = G₂ G⁵ .

Liegen die Spurpunkte der durch ihre Projektionen gegebenen Geraden außerhalb der Zeichenebene, so bestimmt man die Tafelneigungen für irgend eine der gegebenen parallele Gerade, deren Spurpunkte zugänglich sind; dabei hat man zu beachten, daß (nach § 10) die gleichnamigen Projektionen paralleler Geraden selbst parallel sind. Sind z. B. U\ h" in Figur 40 die

h"

Jg /

<L

У"

i\

/V

ff iff

ff\

P\

Fig. 40a und b*

ursprünglich gegebenen Projektionen, so zieht man g^\\h\ </' Il h"] die beiden Parallelen können ganz willkürlich gezogen werden, nur müssen ihre Spurpunkte zugänglich sein.

In der gleichen Weise kann man sich helfen, wenn die Tafelneigungen einer die Achse schneidenden Geraden zu bestimmen sind.

55. Aufgabe. Die Tafelneigungen und die wahre Länge einer durch die Projektionen ihrer Endpunkte gegebenen Strecke AB zu bestimmen.

Tafelneigungen und wahre Länge einer Strecke. 91

Zieht man (Fig. 41a) in der ersten projizierenden Ebene durch den einen Endpunkt A die Gerade AG parallel zu TTj, so fällt ihre erste Projektion mit der ersten Projektion А'В von AB zusammen, während ihre zweite Projektion A" G" die Parallele zu x durch A" ist. Das rechtwinklige Dreieck A CB, dessen Hypotenuse die Strecke AB und dessen Winkel BAG gleich der ersten Tafelneigung y± der Strecke ist, hat die Katheten AG = A' B, B G = В" C". Zieht man in der zweiten projizierenden Ebene AD || TT₂, so enthält das rechtwinklige Dreieck A DB, dessen Winkel BAD gleich

Л"

C"

;

CVr--

\£>'_

Fig. 41a-

der zweiten Tafelneigung y₂ ist, die Katheten AD = A"B", BD = B'B, Daraus folgt die Konstruktion:

Durch A' und An (Pig. 41ъ) zieht man Parallelen zur Achse, welche die Vertikale B'B" in U und G" schneiden; dann zieht man B'B'₀ = С"B" und _LÄB'y В"Впл = В В' und _L А"В". Zieht man noch die Hypotenusen A'B'q, A"B%, so liefern sie die wahre Länge der Strecke AB (Kontrolle: A'B'q = A"B'J) imd <B'₀A'B' = ух > <B'iA"B" = y₂ .

A'B'B'o kann als die horizontale Projektion des Dreiecks A CB, nachdem dieses um AC in die zu

л:

rf-

vr

A*.

Мл

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B'

Fig. 41b-parallele Lage ACB₀ gedreht ist, betrachtet werden; Л!'В" В д ist die vertikale Projektion des Dreiecks A DB, nachdem dieses um AD in die zu TT₂ parallele Lage AD Вд gedreht ist.

Gegenseitige Lage zweier Geraden,

56. Zwei gerade Linien liegen entweder in einer Ebene oder nicht. Ln ersten Falle können sie sich in einem Punkte schneiden oder einander parallel sein. Im zweiten Falle schneiden sich weder die Geraden

noch sind sie einander parallel; sie werden dann windschiefe oder sich kreuzende Geraden genannt.

Schneiden sich die beiden Geraden g und /г, so müssen die Projektionen des Schnittpunktes P auf den gleichnamigen Projektionen der beiden Geraden liegen; es muß also Pf der Schnittpunkt von g' und h', P" derjenige von g" und h" sein. Als Projektionen eines Raumpunktes müssen aber Pr und P" in einer Senkrechten zur Achse liegen. Umgekehrt schneiden sich (im allgemeinen) die Geraden, wenn die Schnittpunkte ihrer gleichnamigen Projektionen^ X 9" X h") in einer Senkrechten zu der Achse liegen.

Sind die beiden Geraden g und h parallel, so ist auch g' || h', g" || /г" (§ 10), imd umgekehrt sind (im allgemeinen) die Geraden parallel, wenn es ihre gleichnamigen Projektionen sind. Daher:

Zwei Gerade liegen (im allgemeinen) in einer Ebene, wenn entweder die Schnittpunkte ihrer gleichnamigen Projektionen in einer Senkrechten zu der Achse liegen oder ihre gleichnamigen Projektionen einander parallel sind; anderenfalls sind die beiden Geraden windschief.

Dieser Satz gilt nicht unbedingt, wenn eine der beiden Geraden, -z. B. g _L x ist, oder wenn g und h __L x sind. Im ersten Falle liegen die Schnittpunkte P', P", in denen sich gf und //, bzw. g" und h" schneiden, zwar senkrecht übereinander, aber g und h brauchen sich deshalb nicht zu schneiden, also auch nicht in einer Ebene zu liegen. Um in diesem Falle die Entscheidung treffen zu können, ob g und h sich schneiden oder nicht, nimmt man ihre dritten Projektionen zu Hilfe, g'" kann als gegeben angenommen werden, hm konstruiert man mit Hilfe der dritten Projektionen H!", Щ" der Spurpunkte von 7г. Fällt nun der Schnittpunkt von g"f und h"f mit der ebenfalls konstruierten dritten Projektion P'" von P zusammen, so schneiden. sich die Geraden (vgl. Fig. 42a); anderenfalls sind sie windschief zueinander

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Fig. 42 a

und b.

(Fig. 42b). (Man bemerke, daß P'" stets auf /г'" liegen muß; P', P", P"' sind in jedem Falle die Projektionen des Punktes P, in welchem die G-erade /г die durch g gehende und zu x senkrechte Ebene schneidet [vgl. § 58,1].)

Sind dagegen g und h _L sc, ohne aber in derselben zu x senkrechten Ebene zu liegen, so ist zwar (f У h\ bzw. gn II /г", aber die Geraden sind nur dann einander parallel, wenn auch ihre dritten Projektionen

(f” und Vм рагаДе1 sind; anderenfalls sind g und h windschief.

Zwei gerade Linien g und /г, welche in derselben zu X senkrechten Ebene Hegen, schneiden sich oder sind parallel, je nachdem ihre dritten Projektionen g"t und h'” sich schneiden oder parallel sind.

Man zeichne sich für die beiden letzten Fälle die Figuren, indem man g und h durch die Projektionen je zweier Punkte А, В bzw. (7, D als gegeben an-nimmt und die dritten Projektionen nach § 54 konstruiert.

Darstellung der Ebene.

57. Eine Ebene E ist bestimmt, wenn entweder drei in ihr gelegene Punkte oder zwei in ihr gelegene Geraden gegeben sind. In dem letzteren Falle kann man zu der Bestimmung einer Ebene E ihre beiden Schnittgeraden e₁, e₂ mit den Projektionsebenen TÏ₁, TT₂ benutzen; diese Geraden nennt man die erste (oder horizontale) und zweite (oder vertikale) Spurlinie oder Spur von E. Da sich im allgemeinen drei Ebenen in einem Punkte schneiden, so folgt, daß sich die Spurlinien einer Ebene in einem Punkte Ex der Achse x schneiden müssen. Umgekehrt können zwei in TTj, bzw. TT₂ gelegene Gerade, welche sich in einem Punkte der Achse schneiden, stets als Spurlinien einer Ebene angesehen werden.

ISTimmt man noch die Seitenrißebene TT₃ hinzu, so erhält man in der Schnittgeraden von E und TT₃ eine dritte (oder Seiten-) Spurlinie e₃ der Ebene E. Es müssen sich dann im allgemeinen e₁ und e₃ in einem Punkte Ey der y -Achse, e₂ imd e, in einem Punkte Ez der ж-Achse schneiden (Fig. 43a).

ЕУ

*У

Fig. 43 ь-

man

+JT

1в

fjr

tm

Fig. 43 а-

?з

",

л;.

ч-дг*

е,

Aus et und е$ erhält man demnach e₈, wenn (Fig. 4Bb) ihre Schnittpunkte Ey) Ez mit der vertikalen Achse bestimmt, 0Ey auf der horizontalen Achse

in richtigem Sinne топ 0 aus abträgt und den so gefundenen Punkt mit Ez verbindet; diese letztere Gerade ist es.

58. Besondere Lagen der Ebene E gegen die Projektionsebenen.

I. Ist E _L Пх, so ist e₂ _L x. Die ersten Projektionen aller Gebilde in E liegen in e₁. e₃ ist || e2 (Mg. 44).

■t-2

ez

ез

vP"

Г"'.,

Гу

ег

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'У

+У

Fig. 44.

Fig. 45.

Fig. 4G.

п. 1st E i П

so ist e₂ II xj während e₁ un-

endlich fern liegt.

Die zweiten Projektionen aller Gebilde in E liegen auf e₂ ; ihre ersten Projektionen sind den Gebilden kongruent.

Yertauscht man in beiden Sätzen die Indices 1

III. Ist E II x, so ist e± || e₂ || x (Fig. 45). Die Ebene E steht auf der Seitenrißebene senkrecht, und

und 2 miteinander, so erhält man die analogen Sätze für TT₂.

Haußner, Darstellende Geometrie I.

die Seitenrisse aller Gebilde in E liegen auf e₃. Die Winkel, welche e₃ mit den Achsen einschließt, sind gleich den Neigungswinkeln ex, e₂ der Ebene E gegen TTi, TT₂ (s. § 66).

IV. Geht E durch er, so fallen ex und e₂ mit x zusammen.

Die Ebene ist dann bestimmt, wenn z. B. noch einer ihrer Punkte, P durch P', P" gegeben ist. Da E _L TT₃ ist, so fällt die dritte Projektion jedes ihrer Punkte auf e₃, und folglich ist e₃ = OP'" (Fig. 46).

59.    Die beiden Ebenen und H₂, welche durch die Achse gehen und den ersten und dritten, bzw. zweiten und vierten Quadranten halbieren, werden die erste und zweite Halbierungsebene genannt. Für jeden Punkt dieser beiden Ebenen sind die beiden Tafelabstände einander gleich. Folglich liegen nach erfolgter Umlegung von TT₁ in TT₂ die beiden Projektionen eines Punktes von H± symmetrisch zu x, während die beiden Projektionen eines Punktes von H2 in einen Punkt zusammenfallen. In dem Punkte, in welchem sich die beiden Projektionen g' und g" einer beliebigen Geraden schneiden, liegen daher die beiden Projektionen des Schnittpunktes von g mit H₂ vereinigt.

60.    Da alle Punkte, welche die Ebene E mit TT bzw. TT₂ gemeinsam hat, auf ex, bzw. e₂ liegen, so folgt unmittelbar:

Die Spurpunkte aller Geraden einer Ebene sind auf den gleichnamigen Spuren derselben gelegen.

Dieser Satz gestattet sofort zu entscheiden, ob eine Gerade g (/, g") in einer Ebene E(e₁, e₂) liegt.

Aufgabe I. Man soll die zweite Projektion y" der in der Ebene E(el7 e₂) liegenden Geradeny,

von welcher die erste Projektion g' gegeben ist, konstruieren.

Man zieht durch die Punkte Gi und G₂ (Fig. 47), in denen e₁ und x von / geschnitten werden, Senkrechte zu ж, welche die Punkte G'{ auf x, bzw. G2 auf e₂ bestimmen. G'{ G₂ ist dann gf\

Fig. 47.

Die Figur löst auch die umgekehrte Aufgabe IL Es ist die zweite Spur e₂ der Ebene, welche durch g{g\ g") hindurchgeht und e₁ als erste Spur hat, zu bestimmen.

Aufgabe III Zwei sich schneidende oder parallele Gerade g(gf g") und h(h\ h") sind gegeben; man soll die Spuren e₁, e₂ ihrer Yer-bindungsebene konstruieren.

Die Yerbindungslinie der gleichnamigen Spurpunkte G₁H₁ und G₂H₂ sind die gesuchten Spuren.

Liegen einige oder sämtliche Spurpunkte von g, h außerhalb der Zeichenebene, so nimmt man zwei Geraden (к, l) zu Hilfe, welche sowohl g als h schneiden und erreichbare Spurpunkte , K₂, bzw. Lx, L2 haben. Diese Hilfsgeraden liegen ebenfalls in der Yerbindungsebene g und Ä, und ihre Spurpunkte liegen

7*

daher auch auf e₁ und e₂ (Fig. 48). Man wählt k' V willkürlich und bestimmt zu den Punkten

¹

In der Figur 32 ist der umgelegte Punkt P/ mit P' bezeichnet, in Zukunft bleibt aber der Akzent (л) weg.

²

Nach ausgeführter Umlegung sollen die Achsen der Kürze wegen als horizontale und vertikale Achse unterschieden werden.

³

Künftighin werden die doppelt auftretenden Punkte der y-Achse nicht mehr durch obere Marken (x), (г) unterschieden, sondern beide einfach mit demselben Buchstaben bezeichnet werden.

Hau Sn er, Darstellende Geometrie I.

⁴

Aus Rücksicht auf den verfügbaren Raum sind diese Fälle nicht durch Figuren veranschaulicht. Der Leser kann sich dieselben leicht anfertigen.

⁵

g (gf g") bedeutet: Die Gerade g ist durch ihre Projektionen gf, g" gegeben. Analog P (P', P") u. a.

W = rx<f, N' = l'X<f, Q'^k'Xh', R' = Г X W

Cg

су'

ГУ

L h'

Fig. 48.

die zweiten Projektionen, so daß M und N auf g, Q und R auf h liegen (§ 48). Dann ist Г = Ж"0", l" = N"R"

und ferner

ei ~ ^1    » e2 ~ Ą ^2 *

Kontrolle: ^ und e₂ müssen sich auf der Achse ж schneiden oder derselben parallel sein. —

Die vorstehende Konstruktion gibt aber auch ein Hilfsmittel, um zu entscheiden, ob durch zwei Gerade д und h eine Ebene gelegt werden kann, wenn die Punkte (f X h', д" X h" nicht zugänglich sind und also das Kennzeichen des Satzes in § 56 versagt. Man bonutzt dann am bequemsten zur Entscheidung, daß P' = kf X V und P" = к" X l" in derselben Senkrechten zu X liegen oder nicht, je nachdem g und h sich schneiden oder windschief sind. —

Wenn g und h durch denselben Punkt G der Achse X gehen (Pig. 49), so muß ihre Yerbindungsebene

er

■V

•iX

\>

Ar'

Fig. 49.

ebenfalls durch G gehen und es reicht die Benutzung einer Hilfslinie к, welche sowohl g als h schneidet, aus; diese Gerade к konstruiert man genau wie oben in Figur 48. Die Verbindungslinien ihrer Spurpunkte Kx, K₂ mit G = Ex gibt die gesuchten Spuren ex, e₂ der Yerbindungsebene von g und h. —

Bemerkung. Soll die Ebene, welche durch eine Gerade g und einen nicht auf g gelegenen Punkt P geht, oder welche durch drei nicht in gerader Linie liegende Punkte A, B, G geht, bestimmt werden, so führt man die Aufgabe auf die soeben gelöste zurück, indem man durch P eine Gerade, welche G schneidet, zieht, bzw. indem man zwei der drei Geraden AB, BC, CA zieht.

Aufgabe IV. Durch einen Punkt P(P', P") soll eine Ebene parallel zu den beiden nicht parallelen Geraden g(g\ g") und h (/&', h") gelegt werden.

Zieht man durch P' die Geraden В || g\ Г || h' und durch P" die Geraden B' || g’\ Г || Д", so sind В, В' und Z', Г die Projektionen zweier durch P gezogenen Parallelen zu g und h. Ihre Verbindungs-ebene, welche man nach Aufgabe Ш bestimmt, ist die verlangte Ebene.

Zieht man durch einen beliebigen auf g gelegenen Punkt die Gerade l || Д, so erhält man in der Verbindungsebene von g und l diejenige Ebene, welche durch g geht und parallel h ist.

61. Aufgabe. Die zweite Projektion eines Dreiecks ABC zw. konstruieren, welches durch seine erste Projektion A'BrC' und die Spuren e₁, e₂ seiner Ebene E gegeben ist.

Durch wiederholte Anwendung der für die Aufgabe I des vorigen Paragraphen mitgeteilten Lösung erhält man leicht zu den gegebenen ersten Projektionen a! ~ Br C , b'=CrA\ (f — A'B' die zugehörigen zweiten Projektionen a" = B" C'\ b" — C"A", d' = AnB" (Kg. 50).

Kontrolle: А!A!r, P'P", С'C" müssen_Lx sein. Der Punkt Ae, in welchem sich a' und a" schneiden, ist (§ 59) ein Punkt der zweiten Halbierungsebene und liegt folglich auf der Schnittgeraden e von E und H₂.

Dasselbe gilt für die beiden Projektionen jeder anderen Geraden der Ebene E; es liegen also die Punkte Be = Ь' X Oe = d X c" ebenfalls auf e. Auf der Geraden e muß auch Ex liegen, da H₂ durch x

В"/

cz.

w /•

да,

✓

'ej

z»'

Fig. 50.

geht. Beachtet man noch, daß А' A" || BrB" || GßC" ist, da sie sämtlich _L x sind, so erkennt man, daß A'B'C' und A"B" Cn perspektiv-affine Figuren sind (§ 13) für e als Affinitätsachse; die Affinitätsstrahlen sind J_ x. AVas hier speziell für die beiden Projektionen des Dreiecks ABC nachgewiesen ist, gilt für die Projektionen jeder Figur in E, da Grundriß und Aufriß jedes Punktes, bzw. jeder Geraden die Affinitäts-

bedingungen des § 13 erfüllen. Folglich gilt allgemein der Satz:

Nach Umlegung der ersten Projektionsebene in die zweite sind Grundriß und Aufriß jeder ebenen Figur perspektiv-affin; die Affinitätsachse ist die Schnittgerade der Ebene der Figur und der zweiten Halbierungsebene.

Ist A"B"C", wie vorhin, aus A'B'C', et konstruiert, so bietet die affine Yerwandtschaft von Grundriß und Aufriß eine weitere Kontrolle. Andererseits kann man diese Affinität aber auch benutzen, um den Aufriß erst zu konstruieren, nachdem man Grundriß und Aufriß einer beliebigen Geraden oder eines beliebigen Punktes der Ebene E bestimmt hat.

Zwei beliebige Dreiecke A'B’C' und A"В" C”, deren entsprechende Ecken in Senkrechten zu der sc-Achse liegen, können stets als die Projektionen eines im Raume gelegenen Dreiecks ABC betrachtet werden. Dagegen sind für n > 3 zwei w-Ecke A'B'C'U . . . und AnB” C" D". . . , auch wenn ihre entsprechenden Ecken lotrecht zu x übereinander liegen, nicht mehr stets die Projektionen eines ebenen w-Ecks; vielmehr ist ein ebenes w-Eck AB CD . . . bereits bestimmt, weim man seine erste Projektion Ä B'C'U . . . und die zweiten Projektionen dreier seiner Eckpunkte z. B. А", Б", C" kennt. Die zweiten Projektionen der anderen Eckpunkte sind dann durch die Forderung, daß das Polygon ein ebenes sein soll, bestimmt; zu ihrer Konstruktion verwendet man bequem die Affinität von Grundriß und Aufriß.

62. Yon den in einer Ebene gelegenen Geraden sind zwei Arten von besonderer Wichtigkeit : die Haupt- und Falllinien einer Ebene.

Die zu der ersten oder zweiten Spur einer Ebene parallelen Geraden werden erste oder zweite Hauptlinien (auch Tafel- oder Streichlinien) derselben genannt.

Die ersten Hauptlinien einer Ebenen E sind demnach Л TT₁, die zweiten ||TT₂, und folglich ist für eine erste Hauptlinie и der Ebene E:

и' II e₁, и" II ж ;

für eine zweite Hauptlinie v der Ebene E:

»'ll*» »"IK-

Aufgabe I. Die zweite Projektion P" des in E (e₁, e₂) gelegenen Punktes P, dessen erste Projektion P⁷ gegeben ist, zu bestimmen.

u'!_

Vе

-------АЙ

JC

.+

-U

Fig. 51.

Man benutzt eine durch P gehende Gerade von E (Fig. 51), am einfachsten eine der beiden Hauptlinien. Entweder zieht man also uf || et durch P⁷ und durch deren zweiten Spurpunkt TJ₂ die Parallele u,r zu ж, oder V⁷ (I ж durch P⁷ und durch die zweite Projektion V" ihres ersten Spurpunktes vr> || e₂. Dann schneidet die

Vertikale durch P' sowohl u" als хГ in der gesuchten zweiten Projektion P".

Die Figur 51 gibt ohne weiteres auch die Lösung der umgekehrten

Aufgabe II. Die zweite Spur der durch den Punkt P(P', P") gehenden Ebene E, deren erste Spur ex gegeben ist, zu bestimmen.

63.    Die in einer Ebene zu ihren ersten oder zweiten Hauptlinien senkrecht gezogenen Geraden heißen erste oder zweite Falllinien, weil sie von allen Geraden der Ebene die größte Neigung (oder den stärksten Fall) gegen die betreffende Pro-* jektionsebene haben.

Es werde eine erste Falllinie der Ebene E mit u, eine zweite Falllinie mit t> und entsprechend ihre Spurpunkte mit , U₂, bzw. 25₁, 3$₂ bezeichnet.

Da u senkrecht zu den ersten Hauptlinien, also auch JL ex ist, so folgt, daß die erste projizierende Ebene von u senkrecht auf e₁ steht. Es steht e₁ daher auf allen Geraden dieser Ebene, mithin auch auf u' senkrecht. Folglich ist, indem man für t> analog schließt, it_Lel5 u' A.e₁) bJ_e₂, b"J_e₂.

Beachtet man, daß uf || e± für eine erste Hauptlinie и war, so folgt, daß die von den ersten Hauptlinien mit den ersten Falllinien gebildeten rechten "Winkel sich als rechte Winkel auf T\₁ projizieren. Legt man daher E um ex in TÏ₁ um, so decken sich die ersten Falllinien mit ihren ersten Projektionen. Das gleiche Verhalten zeigen die zweiten Falllinien in bezug auf TT₂ .

64.    Ist nun ein rechter Winkel gegeben, dessen einer Schenkel parallel einer Projektionsebene, z. B. || TÏ1 liegt, so ist dieser Schenkel eine erste Hauptlinie, der

andere Schenkel eine erste Falllinie der Ebene des rechten Winkels. Ist diese Ebene nicht senkrecht zu TT₁, so projiziert sich daher der rechte Winkel wieder als rechter Winkel. Da parallele Gerade parallele Projektionen haben (§ 10), so folgt weiter, daß auch die ersten Projektionen zweier windschiefen Geraden g und welche senkrecht zueinander gerichtet sind, einen rechten Winkel bilden, wenn die eine Gerade II ist. Demnach gilt der folgende, für spätere Anwendungen wichtige Satz:

Wenn von zwei senkrecht zueinander gerichteten (sich schneidenden oder windschiefen) Geraden die eine parallel einer Projektionsebene ist, schließen auch ihre senkrechten Projektionen auf dieselbe einen rechten Winkel ein. Umgekehrt: Schneiden sich die senkrechten ] Projektionen zweier Geraden auf eine Ebene i rechtwinklig und ist eine der Geraden dieser Ebene parallel, so sind auch die Geraden senkrecht zueinander gerichtet.

65. Liegt ein rechtwinkliges Dreieck AB G mit einer Kathete einer Projektionsebene, z. B. TT₁ parallel (Eig. 52), so ist diese Kathete AG eine erste Hauptlinie und die andere CB eine erste Falllinie der Ebene des Dreiecks. Folglich ist nach dem vorigen Paragraphen die Projektion des Dreiecks, A'C'B' wieder ein rechtwinkliges Dreieck, und es ist

AG=A'G\ BOB'C\

Hieraus folgt aber für die Winkel des Dreiecks und seiner Projektion

und mithin.

ос > ot und ß < ft,

Die senkrechte Projektion eines spitzen Winkels ist kleiner als derselbe, wenn einer seiner Schenkel eine Hauptlinie seiner Ebene, dagegen größer, wenn einer seiner Schenkel eine Falllinie seiner Ebene ist.

в.,

Т/

r'

Fig. 52.

Ein beliebig gelegener spitzer Winkel wird demnach durch senkrechte Projektion verkleinert, wenn die durch seinen Scheitel gehende Hauptlinie ihn in zwei spitze Winkel zerlegt, dagegen vergrößert, wenn dies die durch seinen Scheitel gehende Falllinie tut. Findet aber weder der erste noch der zweite Fall statt, so läßt sich über die Größe des Winkels zu seiner Projektion allgemein nichts aus-sagen.

66. Unter dem Neigungswinkel zweier Ebenen versteht man den spitzen Winkel zwischen den Geraden, welche aus den beiden Ebenen durch eine dritte, zu ihrer Schnittlinie senkrechte Ebene ausgeschnitten werden.

Der Neigungswinkel einer Ebene E gegen eine der Projektionsebenen wird demnach gemessen durch den Neigungswinkel einer gleichnamigen Falllinie von E. Bezeichnet man die Neigungswinkel von E gegen ТТг, TT₂ mit el7 s₂ (erste und zweite Tafelneigung von E), so ist

£t = < (u', u), e₂ = <£ (b", b).

Aufgabe. Man soll die beiden Tafelneigungen einer Ebene Е(е₁₅ e₂) konstruieren.

Die durch einen beliebigen Punkt A der Achse x (Fig. 53a) senkrecht zu eL gelegte Ebene schneidet E

Er

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Fig. 53 a-

Fig. 53 b-

in einer ersten Falllinie u, in deren erster Projektion u', TT₂ in AU2 _L æ, und es ist also A^.AU₁U₂ =

Man erhält mithin ex , wenn man (Fig. 53b) das rechtwinklige Dreieck U±AU₂ entweder um UXA in TTi

oder um Ä\X₂ in TT₂ umlegt, wodurch das Dreieck in die Lage    bzw. U^AU₂ kommt.

In gleicher Weise erhält man s₂, wenn man durch A eine Ebene senkrecht zu e₂ legt; diese Ebene schneidet E in einer zweiten Falllinie b, TT₂ in b", TJ₁ in A^8± _L æ, und es ist

<A%3₂»i — e₂.

Da die Ebenen der beiden Dreiecke А\Х₁УХ₂ und -49?!SS₂ senkrecht auf E stehen, so steht auch ihre Schnittgerade AB А. E; AB ist also in beiden. Dreiecken die Höhe. Fällt man daher in den umgelegten Dreiecken Ц* AU₂, 93i^49S₂ , bzw. Цf A U₂, 33 ź A von A die Höhen auf die Hypotenusen (in Fig. 53b ist nur die Höhe AB⁰ in    gezeichnet), so müssen

sie gleiche Länge haben. Diesen Umstand kann man benutzen, um die Spuren einer Ebene, deren Tafelneigungen gegeben sind und welche durch einen gegebenen Punkt geht, zu konstruieren.

Die erste Projektion von AB fällt in die Gerade u', die zweite in b"; es ist also die erste, bzw. zweite Tafelneigung der Geraden AB: yx = <BA 1^=90°-^, y₂ = <BA$8₂ = 90°-e₂.

Da nun уг -f y₂ < 90® war (§ 54), so folgt £i -j- €₂    90°, d. h. die Summe der Tafelneigungen

einer Ebene ist mindestens gleich einem Rechten. Der Grenzfall + e₂ = 90° tritt nur ein, wenn E einer Projektionsebene oder der Achse parallel ist.

Gegenseitige Lage zweier Ebenen.

67. Da zwei parallele Ebenen von jeder dritten Ebene in parallelen Geraden geschnitten werden, so folgt:

Par allste Ebenen haben in jeder Projektionsebene parallele Spuren. Umgekehrt sind zwei Ebenen parallel, wenn ihre gleichnamigen Spuren parallel sind. Für die Anwendung des umgekehrten Satzes reicht es aus, die ersten und zweiten Spuren zu betrachten, vorausgesetzt, daß sie nicht sämtlich У X sind; sind jedoch alle Spuren || ж, so geben erst die dritten Spuren die Entscheidung, ob die beiden Ebenen einander parallel sind oder nicht.

Aufgabe. Man soll die Spuren der Ebene bestimmen, welche durch den Punkt P(P/, P'") geht und der Ebene E (е±. e₂) parallel ist.

IL*

Fig. 54.

Zu einer beliebigen Geraden g in E (Fig. 54) zieht man die Parallele h durch P(/&'||/, h"\\g,r) und bestimmt ihre Spurpunkte H±, H₂. Die durch , H₂ zu e± bzw. e2 gezogenen Parallelen f±, f₂ sind die Spuren der gesuchten Ebene Ф. f± und f₂ müssen sich auf x schneiden.

von

Die Konstruktion vereinfacht sich, wenn man als Gerade g eine der Spuren von E, z. B. ex wählt; dann ist die Parallele zu g durch P eine erste Hauptlinie и Ф (also: u'\\e₁ durch P', u" \\x durch P', f₂ ||e%

durch U₂, /i II ex durch Fx = f₂'Xx). Diese spezielle Wahl von g ist aber unbrauchbar, луепп E 11 x ist.

68. Zwei einander nicht parallele Ebenen schneiden sich immer in einer Geraden. Da dieselbe beiden Ebenen angehört, so müssen ihre Spurpunkte auf den gleichnamigen Spuren beider Ebenen, folglich in den Schnittpunkten dieser Spuren liegen.

L*

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Fig. 56.

Fig. 55.

Fig. 57.

Aufgabe. Die Schnittgerade s der beiden Ebenen A(alJ a₂) und В (b±, b₂) zu konstruieren.

Yon den Punkten St = (a± X b₁)₁ S₂ = (a₂ X h) fällt man die Lote S± S", S2S2 auf die Achse; dann ist ff = Sx S'₂, tf' = SÏS₂ (Fig. 55).

Ist speziell a± || bx, so ist auch s' ||    || \ und s"||x.

Diese Konstruktion versagt, 1) wenn beide Ebenen der Achse parallel sind, 2) beide Ebenen die Achse in demselben Punkte sclmeiden und 3) einer der beiden Spurpunkte S± , S₂ oder beide außerhalb der Zeichenfläche liegen.

In den Fällen 1) und 2) benutzt man am einfachsten eine Hilfsebene N, welche auf einer Projektionsebene, z. B. auf TT₁ senkrecht steht, deren erste Spur nx beliebig gewählt werden kann und deren zweite Spur n₂_Lx durch JSfx = n₁Xx geht Die Projektionen der Geraden k, in denen N die Ebenen A und В schneidet, bestimmt man leicht nach der eben auseinandergesetzten Konstruktion der Schnittlinie zweier Ebenen А, N, bzw. В, N ; die ersten Projektionen К, V fallen mit nx zusammen (§ 58, I), da N-LTT* ist. Der Punkt P" = kf'X l" ist dann die zweite Projektion des den drei Ebenen A, B, N gemeinsamen Punktes P, durch den die gesuchte Schnittgerade s gehen muß. P' muß in dem Schnittpunkte des топ P" auf x gefällten Lotes mit nx liegen. In dem Falle 1) (Fig. 56) sind beide Ebenen zu x parallel, folglich sind auch s, sr (durch P'), s” (durch P") parallel x. In dem Falle 2) (Fig. 57) schneiden beide Ebenen die Achse in dem Punkte А, folglich muß ihre Schnittgerade 5 ebenfalls durch A gehen, daher ist s' = ГА, s" = F'А.

In dem Falle 3) legt man durch einen beliebigen Punkt Cx der Achse eine Parallelebene Г zu В (cx ||    ,

c₂ у &₂), so daß die Schnittlinie t von A und Г zugängliche Spurpunkte Tx, T₂ besitzt. Da parallele Ebenen von einer dritten Ebene in parallelen Geraden geschnitten werden, so ist s || t. (Ygl. die in schiefer Parallelprojektion gegebene Skizze 58.)

Ist nun einer der Spurpunkte von s, z. B. S2 innerhalb der Zeichenebene gelegen, so zieht man durch S₂ und Sr₂ die Geraden s" || f und s' || f. — Liegen aber beide Spurpunkte außerhalb der Zeichenebene, so

Hau&ner, Darstellende Geometrie I.

ziehe man in T1₁ (Fig. 58) eine beliebige Gerade durch Ax, welche f (== T±K) in К und s' in L schneidet, und verbinde К mit Gx, L mit Bx. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke Ax T± Gx und Ax S± Bx einerseits, und Az^K und AXS₁L andererseits folgt AXK i AXL = Ax Cx : AXBX ;

es ist also auch

folglich

AAxKGxcoAĄLBx, KGĄLBX.

S,

Z,

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"ï;

Fig. 5S.

Fig. 69.

Daher findet man einen Punkt L von /, indem man (Fig. 59) einen beliebigen Punkt К auf f mit Ax und Cx verbindet und die Verlängerung von AXK mit der durch Bx gehenden Parallelen zu GXK schneidet; die durch den Schnittpunkt L zu 1f gezogene Parallele s' ist dann die erste Projektion von s. In gleicher Weise erhält man mit Benutzung eines beliebigen Punktes M auf f den Punkt N auf s". — Diese Eon-struktion ist selbst dann noch anwendbar, wenn von jedem Punkte der Geraden s nur die eine Projektion auf der Zeichenfläche liegt (wie es in Figur 59 z. B. der Fall ist. Ygl. auch § 83).

Den Schnittpunkt dreier Ebenen А, В, Г erhält man als Schnittpunkt der beiden Schnittgeraden zweier Ebenenpaare z. В. А, В; А, Г.

Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene.

69. Eine Gerade g kann in einer Ebene E liegen, sie schneiden oder ihr parallel sein.

Der erste Fall ist durch den Satz des § 60 bereits erledigt. Hier bleibt vornehmlich der zweite Fall zu betrachten, welcher Veranlassung gibt zu der folgenden

.Ś"

ХтгЧ-“’

Д i -l_ç.

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S', S?/

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W-*'

Fig. 601a-

Fig. 60 b*

Aufgabe. Es soll der Schnittpunkt P einer Ebene E(%, e₂) und einer Geraden g(g\ konstruiert werden.

Man benutzt eine der projizierenden Ebenen von g, z. B. die erste (N) als Hilfsebene (Fig. 60a, 60b). Die erste Spur derselben fällt mit g' zusammen, die zweite n₂ ist _Lx. Die Ebene N enthält die Geraden

g und s=NXE, welche letztere и ach § 68 zu konstruieren ist. Folglich ist P" = s" X 9" die zweite Projektion des Schnittpunktes P von g und E, dessen ‘ erste Projektion auf gf senkrecht unter P" liegt.

Ist der Pirnkt S₂ = (f Xx und damit S₂ unerreichbar, so nimmt man eine beliebige Gerade von E, z. B. eine erste Hauptlinie u(u' ||e₁, u" || x). Der Punkt O' = и' X s' ist dann die erste Projektion des Schnittpunktes Q von s mit u, und es ist s" = S” Qf' (wo 0" auf der Vertikalen durch Q und auf u” liegt).

Um sich aus der Zeichnung leicht eine klare Vorstellung der räumlichen Verhältnisse bilden zu können, zieht man (nach § 32) diejenigen Linien, welche in der Sehrichtung durch Ebenen oder Flächen verdeckt werden, nicht aus, sondern punktiert sie nur. Da die Sehstrahlen mit den Projektionsstrahlen zusammenfallen, so ist ein Beschauer des Grundrisses in unendlicher Entfernung über "П^ und ein Beschauer des Aufrisses in unendlicher Entfernung vor TT₂ befindlich zu denken. Für den ersteren Beschauer ist derjenige von zwei Punkten unsichtbar, welcher senkrecht unter dem anderen liegt, also derjenige, dessen zweite Projektion senkrecht unter der des andern liegt; für den zweiten Beschauer ist aus gleichem Grunde derjenige von zwei Punkten unsichtbar, welcher senkrecht zu TT₂ hinter dem anderen liegt, also derjenige, dessen erste Projektion (in der umgelegten Figur) senkrecht über der des anderen liegt.

In bezug auf eine Ebene E merke man sich die folgende Regel, von deren Richtigkeit man sich leicht überzeugt¹):

ln jeder der beiden Sehrichtungen erblickt man dieselbe oder verschiedene Seiten von E, je nachdem die in + TT^, bzw. + TT₂ gelegenen Teile von e₁ und e₂ spitze AVinkel mit derselben Richtung oder mit verschiedenen Richtungen der ж-Achse einschließen.

Figur G0a entspricht dem ersten und Figur 60b dem zweiten Falle.

Nach dem Obigen ist im Grundrisse der Teil von j sichtbar, dessen Aufriß über s" gelegen ist; der entsprechende Teil von g' bis P' ist ausgezogen. Im Aufrisse ist augenscheinlich derselbe (Fig. 60a) oder der andere (Fig. 60ъ) Teil von g sichtbar; je nachdem man im Grundriß und Aufriß dieselbe Seite von E oder entgegengesetzte Seiten erblickt.

70. Aufgabe I. Es ist der Schnittpunkt P einer Ebene, welche durch die Projektionen dreier ihrer Punkte A, B, G gegeben ist, und einer Geraden #(/, g") zu konstruieren.

Das Verfahren bleibt dasselbe, Ohne daß man jedoch erst die Spuren der Ebene ABC zu bestimmen braucht. Die erste projizierende Ebene von g schneidet die Ebene des Dreiecks ABC in einer Geraden s, deren erste Projektion s' mit gf zusammenfällt (Fig. 61). Die Punkte b, E', in welchen s' = g' die Geraden A' C\ В'C' schneidet, sind also die ersten Projektionen der Punkte D, A7, in denen 5 die Geraden AC, B G trifft. Daher ist 5" = U'E" und P" = s" X P' Hegt lotrecht unter P" auf cf.

Betreffs des Ausziehens ist das oben Gesagte zu beachten. Gewöhnlich nimmt man dabei nur die Fläche des Dreiecks AB G (nicht die ganze Ebene) als vor-man

handen an. Die Regel, welche Seite der Dreieckfläche sichtbar ist, kann man so aussprechen:

In jeder der beiden Sehrichtungen erblickt dieselbe oder verschiedene Seiten eines

Dreiecks, je nachdem der durch die alphabetische Reihenfolge der Ecken bestimmte Umlaufssinn für beide Projektionen der gleiche oder entgegengesetzte ist.

Dl

AYA

л'

C"

•7 B'A'k

JT

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tK*'

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/

\Bl

L',

АГ

C'

Fig. 61a

und b.

Fig. 62.

In den Figuren 61 ist dieser Umlaufssinn für A' B'C' mit dem des Uhrzeigers übereinstimmend angenommen und mit diesem stimmt in Figur 61b auch der Umlaufssinn von A"B,rC'' überein, während derselbe in Figur 61 a entgegengesetzt ist; in Figur 61 a kehrt daher das Dreieck ABC einem Beschauer in den beiden Schlichtungen verschiedene Seiten, in Figur 61b dagegen dieselbe Seite zu.

Aufgabe II. Die Schnittlinie zweier Dreiecke ABC und KLM zu konstruieren.

Die Lösung erhält man durch eine zweimalige Anwendung der unter I gegebenen Konstruktion, indem man (Fig. 62) die Schnittpunkte P, Q zweier Dreiecksseiten, z. B. KM, LM, mit der durch die drei Punkte A, B, G bestimmten Ebene ermittelt. Als Schnittlinie der beiden Dreiecke kommt dabei nur das innerhalb beider Dreiecke gelegene Stück der durch die Gerade PQ bestimmten Schnittgeraden der Dreiecksebenen in Betracht; in Figur 62 z. B. das Stück BQ.

71. Die für die Aufgaben I und II gegebenen Lösungen lassen zugleich erkennen, daß eine Gerade g der Ebene E parallel ist, wenn die Schnittgerade s der letzteren mit der ersten projizierenden Ebene von g parallel g₎ d. h. also, wenn s" 11 g" ist.

Gerade Linien und Ebenen in rechtwinkliger Stellung.

72. Aus dem in § 64 aufgestellten Satze folgt sofort der für die folgenden Betrachtungen grundlegende Satz:

Damit eine Gerade auf einer Ebene senkrecht steht, ist notwendig und hinreichend, daß die beiden Projektionen der Geraden auf den gleichnamigen Spuren der Ebene senkrecht stehen.

Ist nämlich g _LE, also g _L e₁ und JL e₂, so folgt aus dem Satze in § 64, daß auch g' _L ex, g" _L e₂ ist. Wenn aber umgekehrt / _L ex, g" _L e2 ist, so folgt aus der Umkehrung jenes Satzes, daß im allgemeinen auch g _L et und JLe2 5 also _L E ist. Nur wenn ег II e₂ \\x ist und g', g" in derselben Senkrechten zu X liegen, ist das Kriterium nicht ausreichend,, sondern es ist noch zu untersuchen, ob auch g'" ist

73. Aufgabe I.    Es ist von dem Punkte

ZU

R(R', R") das Lot l auf die Ebene E (et, e₂) fällen und seine wahre Länge zu bestimmen.

Die Lote Г von R', R" auf , bzw. e₂ (Eig. 63) sind die Projektionen des gesuchten Lotes, dessen Schnittpunkt P mit E nach § 69 zu bestimmen ist (die Schnittgerade der ersten projizierenden Ebene von l mit E ist eine erste Falllinie). Dann hat man noch die wahre Länge von RP (= RqP") zu konstruieren (§ 55).

R"

17 '

/Г

Io

. Г- V"

r\ •

”,

Fig.&i.

Fig. G3.

Aufgabe II. Durch den Punkt Q(Q/, Qf') soll die zu g senkrechte Ebene N (Normalebene zu g) konstruiert werden.

Da die Spuren n±, n₂ (Fig. 64) der gesuchten Ebene auf /, bzw. gf/ senkrecht stehen, so hat man nur nötig, einen Punkt von nt oder n₂ zu bestimmen, was z. B. mit Hilfe der durch Q gehenden ersten Hauptlinie и von N {u! __L u" || x) geschehen kann. Durch ihren zweiten Spurpunkt U₂ zieht man n₂ _L g” ùnd dann durch Nx = n₂ X x noch nx _L g'.

Aufgabe III. Der Abstand l eines Punktes Q((7, Q") von der Geraden g{gg") soll bestimmt werden.

Man legt durch Q eine Ebene N _L g und bestimmt dann (nach § 69 oder 70,1) den Schnittpunkt P = g X N >

\ч

-K.

P'

X*

______V#:

7^"'"

Fig. 65.

welcher der Fußpunkt des von Q auf # gefällten Lotes l ist. Zur Bestimmung der Ebene N braucht man aber nicht erst (nach Aufgabe П) ihre Spuren zu bestimmen, sondern es genügen ihre beiden durch Q gehenden Hauptlinien и und v (Fig. 65). Durch Q zieht man also u'_Lg', t/\\x und durch Qf' и" || x, v"_Lg". Hierauf bestimmt man den Schnittpunkt P von g mit N (nach § 70, I: U = и' X E' = t/ X /; «" = D"E'\

P" = g"Xs") und erhält in P'Q', P" Q" die beiden Projektionen des gesuchten Abstandes Z, dessen wahre Länge l₀ sich (nach § 55) leicht ergibt (vgl. § 85, vorletzter Absatz).

Aufgabe IV. Den Abstand zweier durch ihre Spuren gegebenen parallelen Ebenen zu bestimmen.

Man zieht durch einen beliebigen Punkt eine Senkrechte zu beiden Ebenen und bestimmt die wahre Länge des Abstandes ihrer Fußpunkte.

74. Der kürzeste Abstand zweier windschiefen Geraden ist diejenige zwischen ihnen ge-

PC.

да

// л

tfzS

ЖГ'

nJ.V"

//>

Fig. G7.

Fig. CG.

legene Strecke, welche auf beiden zugleich senkrecht steht.

Projiziert man (Fig. 66) die eine Gerade Ji senkrecht auf eine zu ihr parallele, durch die andere Gerade g gelegte Ebene E, so erhält man in E die Gerade i parallel h, und das in dem Schnittpunkte M von g und г errichtete Lot MN ist der gesuchte kürzeste Abstand.

Hiernach, gestaltet sich die Konstruktion des kürzesten Abstandes zweier windschiefen Geraden g und h folgendermaßen. Man legt (Fig. 67) durch g die Ebene E parallel h (§ 60, IV: Durch einen beliebigen Punkt L von g zieht man k\\ h, wobei in der Figur P = h' gewählt ist, und bestimmt die Spuren ex, e₂ der durch g und к gehenden Ebene E als-die Verbindungslinien der gleichnamigen Spurpunkte dieser Geraden). Darauf fällt man von einem beliebigen Punkte der Geraden h, als welcher in der Figur der Einfachheit wegen der Spurpunkt H₂ genommen ist, das Lot l auf E (lf _L e₁, l" -L e₂) und bestimmt seinen ^ Fußpunkt P in E (§ 73, I). Durch P zieht man parallel zu h die Gerade i, welche die senkrechte Projektion von h auf E vorstellt, und errichtet in M = g X i ein Lot auf E (M'Nf _L , M"N" JL e₂), welches h in N schneidet und dessen wahre Länge nach § 55 ermittelt werden kann (2. Lösung in § 85).

¹

Am leichtesten indem man sich ein Modell aus Karton herstellt.

Umlegung ebener Gebilde in eine Tafel.

75. Eine ebene Figur erscheint bei dem Verfahren der senkrechten Projektion nur dann in ihrer wahren Gestalt, wenn die Ebene der Figur entweder mit einer Projektionsebene zusammenfällt oder zu ihr parallel ist, wie aus den Betrachtungen am Ende des § 11 folgt. Liegt die Ebene E der Figur aber beliebig gegen beide Projektionsebenen, so muß man E entweder um eine Spur in die gleichnamige Projektionsebene umlegen oder um eine Hauptlinie zu der gleichnamigen Projektionsebene parallel drehen. Beide Verfahren sind bereits bei einfachen Aufgaben verwendet, das erste in den

§§54 und 66 und das zweite in § 54¹). Jetzt sollen mit Hilfe des Umlegungsverfahrens einige kompliziertere wichtige Aufgaben gelöst werden.

76. Aufgabe. Man soll den von zwei Ge- , raden g(g', g") und h{1i', h") gebildeten Winkel <p bestimmen.

r0/

- n,

G/-

Fig.GS.

Jede zu h parallele Gerade schließt mit g den gleichen Winkel ein wie h selbst; folglich ist es keine Beschränkung, wenn man voraussetzt, daß sich g und h in einem Punkte P schneiden. Das von dem Punkte P und den ersten Spurpunkten 0₁, H₁ gebildete Dreieck (Fig. 68) enthält bei P den gesuchten Winkel, welchen man daher durch Umlegen dieses Dreiecks um 0₁H₁

in TJ₁ findet. Bei diesem Umlegen beschreibt P einen Kreisbogen, dessen Ebene auf G₁H₁ senkrecht steht und dessen Mittelpunkt der Fußpunkt F des von P auf diese Gerade gefällten Lotes ist. Die erste Projektion dieses Lotes fällt in das von P' auf G₁H1 gefällte Lot (§ 72), auf welchem auch der umgelegte Punkt P₀ liegen muß, da sich die ganze Kreisebene in dasselbe projiziert. Um noch die Länge P₀F zu erhalten, beachte man, daß P₀F Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks PP'P mit den Katheten FPr und P'P=PXP" ist. Daher trägt man FPr von Px bis Pj auf X ab²) und macht schließlich FP₀ = F%P". Die von P₀ nach Gt und Ht gezogenen Geraden schließen den gesuchten Winkel 99 ein. — Liegt P zu weit entfernt von einer Projektionsebene, so benutzt man zwei geeignete Parallelen zu g und h.

Soll durch P eine Gerade gezogen werden, welche den von den Geraden g und h gebildeten Winkel in einem bestimmten Verhältnisse teilt, so muß man zuerst den umgelegten Winkel G₁P₀H₁ in diesem Verhältnisse teilen; verbindet man den Punkt, in welchem diese Teilgerade G₁H₁ schneidet, mit P', so erhält man die erste Projektion der gesuchten Geraden, deren zweite Projektion man dann in gewohnter Weise ermittelt.

77. Aufgabe. Es ist der Neigungswinkel \p der beiden Ebenen A(o₁, a₂) und В (bt, b₂) zu konstruieren.

Jede Ebene N, welche auf der Schnittgeraden 5 der Ebenen A und В senkrecht steht, schneidet dieselben in Geraden, welche den gesuchten Neigungswinkel yj einschließen. Statt aber N durch einen beliebigen Punkt von s zu legen, kann man ihre erste Spurlinie % , welche JL s' ist (§ 72) durch einen beliebigen Punkt G von s' ziehen (Fig. 69); п± schneide dann ax und \ in den Punkten D und E. Bezeichnet

•ßi

/ JL£>

/7Г~

-V

■s

#

Y\ v#

Fig. 69.

man mit F den noch zu bestimmenden Schnittpunkt von N und ä, so enthält AD FE bei F den Winkel %p oder das Supplement desselben. CF steht senkrecht einerseits auf n±, da nl auf der ersten projizierenden Ebene von s senkrecht steht, und andererseits auf s, da CF in N liegt. Legt man also das Dreieck DFE um DE in TT* um, so bleibt der Punkt F bei dieser Bewegung stets in der ersten projizierenden Ebene von s und fällt schließlich in einen Punkt F₀ von s'. Da CF₀ = CF ist, so hat man nur noch die Höhe des

Dreiecks DEF zu konstruieren. CF gehört aber auch dem rechtwinkligen Dreiecke S1S2S2 an und ist das von dem Punkte C der Kathete SiS₂ auf die Hypotenuse S₁S₂ gefällte Lot. Um seine wahre Länge zu erhalten, legt man A S± S'₂ S2 um S₁S'₂ in TT 1 (S'₂Sf= S'₂S₂ und ±S₁S'₂) und .fällt von C das Lot CFA auf Sx SA. Dann macht man CF₀ = CFA und verbindet F₀ mit D und E. Je nachdem der Winkel DF₀E ein spitzer oder stumpfer Winkel ist, gibt er selbst oder sein Supplement den gesuchten Neigungswinkel yj beider Ebenen.

um

Statt der gegebenen Ebenen benutzt man Parallelebenen, wenn die Spurpunkte der Schnittlinie beider Ebenen zu weit entfernt liegen.

78. Aufgabe. Es ist der Neigungswinkel % einer Geraden #(/,    g") gegen eine Ebene

E (ex, e₂) zu bestimmen.

Ton einem beliebigen Punkte P der Geraden g fällt man das Lot l auf die Ebene E. Der Winkel 9?, welchen g und l einschließen, ist das Komplement des gesuchten Neigungswinkels man konstruiert daher zunächst cp (§ 76) und erhält dann ^ durch die Beziehung: 1 = 90° — cp.

Audi die Aufgabe des § 77 läßt .sich auf § 76 zurückführen, wenn man von einem beliebigen Punkte Lote auf die beiden gegebenen Ebenen fällt und beachtet, daß der von ihnen gebildete spitze Winkel gleich dem Neigungswinkel der beiden Ebenen ist.

(Man zeichne sich für beide Fälle die zugehörigen

Figuren !)

Sollen die Spuren derjenigen Ebene, welche durch s geht und den Neigungswinkel in einem bestimmten

Verhältnisse teilt, gefunden werden, so hat man *KDF₀E zu teilen und den Punkt, in welchem die teilende Gerade DE schneidet, mit S± zu verbinden; diese Verbindungslinie ist die erste Spur der gesuchten Ebene.

79. Aufgabe. Die wahre Gestalt eines Dreiecks ABC(A' B' C\ A"B"C") zu bestimmen.

.V

*jp

.V

Ca

e,

Fig. 70.

Zunächst bestimmt man die Spuren ^, e₂ der Ebene E des Dreiecks (§ 60, Ш).

also

L Die Dreiecksebene E steht senkrecht auf einer Projektionsebene, z. B. J_ IT exA_x (Fig. 70). Dann ist die zweite Projektion des Dreiecks eine in e₂ liegende Strecke. Um die wahre Gestalt des Dreiecks zu erhalten, legt man E um e1 in TTi um. Hierbei beschreiben die Eckpunkte des Dreiecks Kreisbogen, deren auf e₁ senkrecht stehende Ebenen sich in die von B', <7 auf et gefällten Lote projizieren und deren Mittelpunkte in den Fußpunkten dieser Lote liegen. Die Radien dieser Kreisbogen sind in der zweiten Projektion durch die Ab-

stände der Punkte Л", Б", С" топ Ex direkt gegeben. Die weitere Ausführung der Konstruktion zeigt die Figur, wo J₀ B₀ Cq die wahre Gestalt des Dreiecks gibt.

II. Die Ebene E des Dreiecks liegt beliebig gegen beide Projektionsebenen (Fig. 71). Man legt E entweder um ег in Ux oder шп e₂ in TT₂ um. Wählt man die erstere Umlegung, so empfiehlt es sich zu-

Pf

c..........

h-

■V

/:

Fig. 71.

Die Länge dieser ersten Falllinie

um.

nächst e₂ umzulegen. Zu dem Zwecke benutzt man eine erste Falllinie u, z. B. die durch die Ecke А gehende (u' _L e₁ durch Ar) und legt deren zweiten Spurpunkt В

U₁U' in TT₁ umgelegten Dann trägt man

zwischen diesen beiden Spurpunkten erhält man als Hypotenuse    des um

rechtwinkligen Dreiecks Ui Щ' U₂.

Haußner. Darstellende Geometrie I.

1I₁U^ auf U'U₁ oder ihrer Verlängerung von U₁ aus ab bis U2 und erhält in Ex U2 die um umgelegte zweite Spur e\. Auf e\ hat man nur die Abstände der zweiten Spurpunkte der Dreieckseiten von Ex abzutragen , also z. B. Ex C₂ = EXC₂, und die so umgelegten zweiten Spuren mit den ersten Spurpunkten der Dreieckseiten zu verbinden, z. B. C₂ mit Cx, um die umgelegten Dreieckseiten und damit in A°B° C⁰' die wahre Gestalt des Dreiecks ABC zu erhalten. — Man kann A° auch dadurch erhalten, daß man ÄAA __L uf zieht und U₁M° = U₁MJ auf u° abträgt, Darauf verbindet man A° mit Bx und Cx und bestimmt B₀ (70 als Schnittpunkte dieser Geraden mit den von B\ C' auf ex gefällten Loten.

Kontrolle: A°B°C° und A'B'C' sind affine Dreiecke und ex die Affinitätsachse (§ 12); folglich müssen sich entsprechende Seiten z. B. A'B' und A°B° auf ^ schneiden. Umgekehrt kann man auch die affine Verwandtschaft zwischen A'B'C' und A°B°C° benutzen zur Konstruktion des letzteren Dreiecks, da man die Affinitätsachse ex und die beiden entsprechenden Punkte U2, П2 kennt. A'A°j B'B°, C'C° müssen senkrecht zu ex sein.

Drehung ebener Gebilde um eine Hauptlinie.

80. Um für das in § 75 erwähnte zweite Verfahren noch ein Beispiel zu geben, soll die Aufgabe des vorigen Paragraphen nochmals gelöst werden, indem das Dreieck ABC um die durch den Eckpunkt A gehende erste Hauptlinie и parallel zu TT1 gedreht wird; и ist die Schnittgerade der Dreiecksebene mit der durch A gelegten horizontalen Ebene E.

Die Ecke C beschreibt hierbei einen Kreisbogen (Fig. 72), dessen Ebene _L и und dessen Grundriß daher das von C' auf u! gefällte Lot ist (§ 64). Fällt man von G das Lot CE auf E, so fällt E' mit C' zusammen und C"E"(_Lur/) gibt seine wahre Länge; fällt man ferner von E das Lot auf и, welches и in. F

cm

F" :

\ВЛ

(с iE'

Fig. 72.

trifft (G'Fr _L vT) und dessen wahre Länge CfFr ist, so erhält man den Eadius des von G beschriebenen Kreisbogens als Hypotenuse GqF' des rechtwinkligen Dreiecks CEF = Co C'F', dessen Katheten CE = C"E" = C'C’o, FE = F'C' bekannt sind. Nachdem man auf diese Weise Cj gefunden hat, erhält man BfA als Schnittpunkt des

9*

von Bf auf u' gefällten Lotes mit der Geraden С'дПф’ = C'B' X u') • A'B'C' und A'B'a C'a sind nämlich affin mit v! als Affinitätsachse (§ 12), und folglich müssen sich B'C' und ВаСа auf uf schneiden.

Diese Konstruktion beansprucht weniger Raum als die vorhergehende und erfordert nicht die Bestimmung der Spuren der Dreiecksebene.

Anmerkung. Den Abstand C'aF' des Punktes C von der Hauptlinie w, um welche das Dreieck parallel zu TJ₁ gedreht wird, kann man durch einfaches Abstechen finden, indem man mit dem Zirkel die Strecke C"E" auf F'A' von F' aus bis О und dann GGf von F' aus auf F'C' bis CA absticht.

Dieses Abstechen wird man besonders bei komplizierteren Figuren anwenden, wo die Übersichtlichkeit der Konstruktion wesentlich erhöht wird, wenn nur die unumgänglich nötigen Hilfslinien gezogen werden.

Drehung um eine Achse, welche auf einer Projektionsebene senkrecht steht.

81. Wird ein Punkt P um eine Gerade a als Achse gedreht, so beschreibt P einen Kreisbogen, dessen Radius das von P auf a gefällte Lot und dessen Mittelpunkt der Fußpunkt desselben ist; die Ebene des Kreises steht senkrecht auf a. Da hier vorausgesetzt werden soll, daß die Achse a senkrecht zu einer Tafel, z. B. A.TÏ₁ ist, so ist der Kreis dieser Tafel parallel, projiziert sich also auf TTi als Kreis und auf TT₂ als Parallele zu x.

Sind a', a" die Projektionen der Drehungsachse und soll P um den Winkel a gedreht werden, so dreht man (Fig. 73) zunächst a'P' um oc in die neue Lage a'P'o; Po Hegt dann in dem Schnittpunkte der Vertikalen durch PJ mit der Horizontalen durch P". Soll die Strecke PQ um die gleiche Achse und den gleichen Winkel gedreht werden, so dreht man den anderen Endpunkt Q ebenfalls um den Winkel oc und erhält in P'oOo, PoQ" die Projektionen der gedrehten Strecke.

Man kann dieses Verfahren benutzen, um die wahre Länge einer Strecke PR(P'B'    P"R") zu

<№\

f/

a* ,

K\

■aï H)

ip

Fig. 73.

Fig. 74.

konstruieren, indem man PB parallel TT₂ dreht. Zu dem Zwecke wählt man als Drehungsachse am besten die Vertikale durch einen ihrer Endpunkte (Fig. 73), z. B. durch P, welcher dann bei der Drehung unverändert seine Lage beibehält. Die Lage des Punktes P nach ausgeführter Drehung erhält man, indem man a'P' \\x dreht nach a'Pj und dann wie oben Pj bestimmt. P^B" ist dann die zweite Projektion der TT₂ parallel gedrehten Strecke und gibt- mithin die wahre Länge von PB an.

82. Wenn eine Ebene E (e1? e₂) um die Achse а gedreht wird, bleibt ihr Schnittpunkt A unverändert (Fig. 74); die durch a gehende erste Hauptlinie и dreht sich in einer zu TT^ parallelen Ebene um А, v! dreht sich um A\ u" bleibt unverändert. Die erste Spurlinie e± dreht sich stets || и mit, bleibt aber erste Spur und behält denselben senkrechten Abstand Ea! von a'. Daher erhält man e°, indem man < Ea'E⁰ = oc, a'E⁰ = a'E macht und durch E° die Senkrechte zu a'E⁰ zieht. Den zweiten Spurpunkt U\ der gedrehten Hauptlinie u° verbindet man mit E°xl um e\ zu erhalten. — In der Figur 74 sind noch die Spuren ef, e£ der zu TT2 senkrecht gedrehten Ebene angegeben.

Dreht man die Gebilde nacheinander um verschiedene zu den Tafeln senkrechte Achsen, so kann man sie in jede beliebige räumliche Lage überführen und daher dieses Verfahren benutzen, um ein Gebilde in eine günstige Lage zu den Tafeln oder umgekehrt aus einer besonderen Lage in eine beliebige allgemeine Lage überzuführen (vgl. § 102).

Einführung neuer Projektionsebenen.

83. Die neue Projektionsebene TT₃ ist einer der alten Projektionsebenen, z. B. TT^ parallel.

Die neue Projektionsachse x₂ = TT₂ X TT₃ ist dann der alten Achse xt = X TT₂ parallel und die zweite Projektion eines Punktes bleibt unverändert, während der erste Tafelabstand sich ändert; derselbe verkürzt oder verlängert sich, je nachdem TT₃ und x₂ über oder unter Пх und x₁ liegen. Die neue Projektion (auf TT₃) eines Punktes hat von x₂ denselben Abstand wie seine erste Projektion von TJ₁. Die ganze erste Projektion eines Gebildes erfährt daher in der Zeichenebene eine Parallelverschiebung, bei welcher sich jeder Punkt in einer Senkrechten zu x₁ bewegt.

Um diese unbequeme Yerschiebung nicht ausführen zu müssen, behält man für die neue Projektion die alte Achse x₁ bei imd ordnet jedem ihrer Punkte den senkrecht über (oder unter) ihm liegenden Punkt der neuen Achse x₂ und umgekehrt zu, wie dies das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel. Der Schnittpunkt der ersten Spuren der Ebenen A (öq, a₂) und B(Zq, b₂) ist

SL~"7

&_____

'< is:

PL

-xi,

\v;'

Fig. 75.

unzugänglich; man soll ihre Schnittlinie 5 bestimmen (vgl. § 68, (3)). Die Ebenen A und В (Fig. 75) schneiden die neue Achse x₂ in den Punkten AX2 = a₂ X x₂ , BX2 = Ь₂ X x₂ ; durch die senkrecht unter ihnen liegenden Punkte der alten Achse zieht man a₃ || a± und b₃ [) bL als neue erste Spuren.

S₈ = a₃ X h ist dann der Spurpunkt der Schnittgeraden s in TT₃ ; seine senkrechte Projektion auf TJ1 fällt in der Zeichnung mit S₃ zusammen; seine zweite Projektion S3 liegt auf x₂. Folglich sind S₂ S3 und S₂ S3 die beiden Projektionen s', s" von s.

84. Die neue Projektionsebene TT₅ steht auf einer der alten Projektionsebenen, z. B. auf TT₂ senkrecht, während sie gegen die andere, TTi beliebig geneigt ist.

Als spezieller Fall hiervon kann die Einführung einer Seitenrißebene _L Пх und TT₂ in §§ 45 — 47 angesehen werden.

pm

p'n

Q'

■r

•4

1t

s4

4* I

IL

......-p'

p

Fig. 76.

Fig. 77 ;

Yon den Schnittgeraden der drei Ebenen x₁ = TT, X H₂ J ^2 ⁼⁼ H₂ X ТТ3 7 У ~ Hj. X Из , steht die letztere auf den beiden ersteren senkrecht, während <£: (x±, x₂) gleich dem Neigungswinkel von TT3 gegen TTl ist. Projiziert man (Fig. 76) einen Punkt P senkrecht auf die drei Tafeln und seine Projektionen auf die drei Achsen, so ist

P"P = PXlP' = PX₂P"' = OPy.

Legt man wieder die Tafel TJt um die Achse x₁, wie in § 44, und die Tafel TT₃ um die Achse x₂ in

die mit der Zeichenebene zusammenfallende Tafel Tï2 um, wie die Pfeile in Figur 76 andeuten, so kommt die î/-Achse wieder doppelt vor und die Punkte P, P" liegen nach erfolgter Umlegung mit P' in den zu den Achsen x₁, x₂ Senkrechten P" PXl und P' Px% (Fig. 77)*). Man findet mithin P" aus P, P' in ganz gleicher Weise wie in § 47. Figur 77 läßt die Konstruktion klar erkennen. P ist ein Punkt mit positivem, Q ein solcher mit negativem zweiten Tafelabstande ; infolge dessen liegen P', P" auf verschiedenen Seiten von x₂, aber </', Q'" auf derselben Seite von x₂. Bezeichnet man TJl als die wTegfallende Ebene, so kann man sagen: Der Abstand der neuen Projektion eines Punktes von der neuen Achse ist gleich dem Abstande seiner wegfallenden Projektion von der alten Achse:

P"'Px₂ — P'Pxx ; Q"Q,₂=Q’QXl.

Bei Benutzung dieser Regel ist das Zeichnen der y-Achse meistens unnötig und deshalb bei dem folgenden Beispiele unterlassen.

Soll die neue Projektion einer Geraden gefunden werden, so bestimmt man die dritten Projektionen zweier Punkte der Geraden; die dritte Spur einer Ebene ist die Verbindung der Schnittpunkte von ej mit y und eg mit x₂ (§ 57).

*) In den Figuren 76 und 77 sind im Interesse der Deutlichkeit nur die positiven (im Sinne des § 47) Teile der drei Achsen und die von ihnen begrenzten Felder der Projektionsebenen gezeichnet. — Die früher mit x, z bezeichnten Achsen sind hier mit xx, x₂ bezeichnet, um besonders bei Einführung weiterer Projektionsebenen leicht erkennen zu lassen, zu welchen beiden Ebenen jede Achse gehört: x^ = TTi TT21 ^2 ⁼⁼⁼ TT₂ X TTg, x₂ = TTß X ГТ4.

trachtungen wie oben für TT durchzuführen. Man erhält Pi7, indem man von P/f ein Lot (P" Px3) auf x₃ fällt und auf demselben von PXz in richtigem Sinne P" PX2 (= P1V PXz) ab trägt.

Oft ist die Einführung einer vierten Projektionsebene, welche auf TT₃ senkrecht steht und gegen TT2 beliebig geneigt ist, vorteilhaft. Dann hat man nur für TT₄ und x₂, x₃ = TT₃ X TT₄ dieselben Be-

TT₃ und x₁, x₂

Der gleiche Erfolg wie durch die aufeinander folgende Einführung zweier neuer Projektionsebenen hätte auch durch eine Einführung einer einzigen, aber beliebig gegen und TT₂ gelegenen Projektionsebene erzielt werden können, doch würden die Konstruktionen sich weit mühsamer gestalten. Der obige Weg gestattet, in bequemer Weise zu beliebigen neuen Tafeln überzugehen.

85. Zweite Bestimmung des kürzesten Abstandes MN der windschiefen Geraden #(/, д") und h(h\ h"). (Erste Konstruktion in § 74.)

Man führt zunächst eine dritte Projektionsebene TT₃_LTT₂ und Кд ein; man wählt also (Fig. 78) eine beliebige Parallele zu /' als Achse x₂ = TT₂ X TT₃ und bestimmt д"', К", indem man die dritten Projektionen je zweier Punkte der beiden Geraden (nach § 84) bestimmt. Da #||TT₃ und der kürzeste Abstand MN Mg ist, so muß M" Nr" _Lg"' sein (§ 64). Hierauf führt man noch eine vierte Projektionsebene TT₄J_TT₃ und -Lg ein, d. h. man wählt eine beliebige Senkrechte zu als Achse x₃ = TT₃ X П₄ und bestimmt gn, hlv. Die vierten Projektionen aller Punkte von g fallen in den Punkt An zusammen, in welchem daher auch M1V liegt. Da TT₄ JL g, also parallel dem kürzesten Abstande MN, und MN auch _Lh ist, so muß M¹VN1V J_ hiv sein

(§ 64). Es ist daher MnNlv das von Ä1Y — Mn auf hiy gefällte Lot, welches zugleich die wahre Länge des gesuchten kürzesten Abstandes angibt. Hierauf projiziert man den Punkt NIV rückwärts nach N'"

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Fig. 78.

auf h"r und erhält in dem von iV⁷" auf çf" gefällten Lote die dritte Projektion von MN. Durch weiteres Rückwärtsprojizieren von M'"N'" findet man schließlich M"N" und M'N.

In ganz gleicher Weise kann man die Aufgabe lösen, von einem Punkte ein Lot auf eine Gerade zu fällen (Erste Lösung der Aufgabe in § 73, Ш).

Ein weiteres Beispiel für die Einführung neuer Projektionsebenen bietet § 103.

IV. Abschnitt.

Ebenflächige Gebilde.

Das n-Kant.

86. Bei der n-kantigen körperlichen Ecke oder dem n-Kant stoßen in einem Punkte S, dem Scheitel, n Strahlen (Kanten) und n durch je zwei Strahlen bestimmte Ebenen (Seitenflächen) zusammen. Die Winkel, welche von den beiden Kanten jeder Seitenfläche gebildet werden, heißen die Kantenwinkel oder Seiten, und die Winkel, welche von je zwei in einer Kante zusammenstoßenden Seitenflächen eingeschlossen werden, die Elächenwinkel oder Winkel des n-Kants.

Die Flächenwinkel müssen so gemessen werden, daß je zwei benachbarte auf derselben Seite der gemeinsamen Seitenfläche liegen. Hat man also einen Flächenwinkel willkürlich unter den beiden Winkeln, welche die zugehörigen Seitenflächen bilden und welche sich zu 360° ergänzen, ausgewählt, so sind die übrigen eindeutig bestimmt. Sind alle Flächenwinkel eines n-Kants kleiner als 180°, so heißt dasselbe ein konkaves n-Kant. Wenn sich die Seitenflächen eines solchen nicht durchkreuzen, so ist die Summe seiner Seiten stets kleiner als 360°; denn denkt man sich alle Seitenflächen des konkaven n-Kants in eine Ebene

ausgebreitet, so muß der an dem Scheitel S entstehende Winkel kleiner als 360° sein.

87. Errichtet man im Scheitel S des n-Kants Lote auf seinen Seitenflächen und legt durch sie Ebenen hindurch, so erhält man ein neues konkaves n-Kant, welches als das Polar-w-Kant des ursprünglichen bezeichnet wird. Da aber auch die Kanten des ursprünglichen ?i-Kants auf den Seitenflächen des Polar-n-Kants senkrecht stehen, so kann auch das erstere n-Kant als Polar-w-Kant des letzteren angesehen werden. Die Beziehungen zwischen den beiden w-Kanten sind also völlig gegenseitige. Ordnet man jeder Kante des einen w-Kants die auf ihr senkrechte Seitenfläche des anderen zu, so sind dadurch auch die Kanten- und Flächen-winkel der beiden n-Kante einander eindeutig zugeordnet. Aus dem Obigen erkennt man aber sofort, daß jede Seite eines der beiden w-Kante den entsprechenden Winkel des anderen zu 180° ergänzt.

Hieraus folgt in Verbindung mit dem obigen Satze über die Summe der Seiten eines n-Kants, daß die Summe seiner Flächenwinkel größer als (n— 2) • 180° ist.

Das Dreikant.

88. Die einfachste körperliche Ecke, welche überhaupt möglich ist, erhält man für n — 3 in dem Dreikante. Es hat für die Konstruktion der körperlichen Ecken von höherer Kantenzahl die gleiche fundamentale Bedeutung wie das Dreieck für die Konstruktion der Vielecke. Die sämtlichen Seiten und Winkel eines Dreikants setzt man stets kleiner als 180° voraus, was keine Beschränkung der Allgemeinheit bedeutet, da man

Dreikante, für wr eiche diese Voraussetzung nicht zutrifft, in einfacher Weise leicht in mehrere der vorgedachten Art zerlegen kann.

Der Scheitel des Dreikants werde wieder mit S bezeichnet, die Kanten mit a, b, c, die ihnen anliegenden Winkel (Flächenwinkel) bzw. mit oc, ß, у und die ihnen gegenüber liegenden Seiten (Kantenwinkel) mit А, В, Г (also А = (b, c) usw.). Nach den obigen Sätzen über die Summe der Seiten und Winkel eines w-Kants gelten für das Dreikant die Ungleichungen 0 <A + В + Г <360°

180° <oc +ß + у <540°(= 3.180°).

(i)

(2)

Nimmt man noch ein sogenanntes Nebendreikant zu Hilfe, z. B. dasjenige, welches die Verlängerung der Kante а über S hinaus mit den Kanten b und c bildet und welches also die Seiten A, 180°— B, 180°-- Г (und die Winkel <x, 180° — ß, 180° — y) besitzt, so ist nach der Ungleichung (1) auch

A + 180°- В + 180°-Г <360°,

d. h.

(3)

В + Г> A,

und analog findet man

Г -f- А > В, А + В> Г.

Stellt man diese Ungleichungen auch für das Polardreikant (А, В, Г ; ос, ß, у) auf, so folgt aus В + Г > А sofort

(3)

oder

180° — /? + 180° — y> 180° —а

(4)

ß + y <180° + «

und analog

(4) у + а<180° + /?, а + /?< 180° + у.

Aus drei gegebenen der sechs Bestimmungsstücke (A, В, Г ; ос, ß , у) eines Dreikants können die übrigen drei bestimmt werden. Es ergeben sich also sechs fundamentale Aufgaben, je nachdem folgende Stücke gegeben sind:

(П) А, B, y; ( Y) oc, ß, А ;

(Ш) А, В, /?; (YI)    у.

(I) А, В, Г ;

(TV) A, ß, y;

Hierbei müssen die gegebenen Stücke den Ungleichungen (1) bis (4) entsprechend gewählt sein, damit die Aufgaben lösbar sind.

Die drei letzten Aufgaben können unter Benutzung des Polardreikants auf die ersten drei zurückgeführt werden. Im folgenden sind aber alle sechs Aufgaben direkt gelöst.

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Fig. 79.

89. Zur Lösung der beiden ersten Aufgaben beachte man folgendes. Fällt man (Fig. 79) von einem beliebigen Punkte A der Kante a die Lote АБ, А C, AA' auf die beiden anderen Kanten und auf die gegenüber liegende Seite A und verbindet die Punkte В und G mit A', so ist auch 4'j5 1 6, A'(7_Lc, da b und c bzw. senkrecht auf den Ebenen ABA' und AGA' stehen. Dann ist *£ABA' = ß, A^AGA' = y und

SA' die senkrechte Projektion о! von a auf die Ebene der Seite А. Wenn man nun die Seite Г um die Kante b in die Ebene der Seite A umlegt, so beschreibt der Pimkt A bei dieser Umlegung einen Kreisbogen, dessen Ebene senkrecht auf b steht und dessen Radius BA ist, und kommt also schließlich in die Verlängerung von A'B zu liegen. Legt man darauf noch die Ebene des rechtwinkligen Dreiecks A A'B um A'B in die Seite A um, so erscheint der Kreisbogen, welchen der Punkt A bei der früheren Umlegung um b beschrieb, in seiner wahren Gestalt als Kreis mit dem Mittelpunkte В und dem Radius В А. Das Analoge gilt für die Umlegung der Seite В um c und der Ebene des Dreiecks AA'C um A! G in die Seite A.

Legt man durch den Punkt A noch eine Ebene _L a, so schneidet sie die anliegenden Seiten В und Г in den auf a ebenfalls senkrechten Geraden AP und A Q, welche den Winkel oc einschließen. Nun ist augenscheinlich die Kante aA-PQ} und folglich ist auch a' als senkrechte Projektion von a auf A (nach dem Satze des § 64) _LPQ. Folglich liegt nach erfolgter Niederlegung des Dreiecks PAQ um PQ in die Seitenfläche A der Punkt A auf der Geraden SA'. Auf Grund dieser Überlegungen sind die folgenden konstruktiven Lösungen der beiden ersten Aufgaben ohne weiteres verständlich.

90. Aufgabe I. Ein Dreikant aus seinen drei Seiten А, В, Г zu konstruieren.

Das Dreikant liege hier und bei den übrigen Aufgaben mit seiner Seite A in der ersten Projektionsebene TTjl . Dann trägt man (Fig. 80) in Tü an b den Winkel (b I ад) = Г und an c, den Winkel (c | a₀) = В an. Auf den Kanten ад, a₀ wählt man in willkür-

lichem Abstande von S die Punkte Ад , A₀ so, daß SAa = SA₀ ist, und fällt von ihnen auf die Kanten b und c die Lote Ад В und A₀ (7, welche sich in dem Punkte A' schneiden. SA' = a' ist dann die erste Projektion der Kante a. Hierauf errichtet man in A' ein Lot auf АдА' und beschreibt um В mit dem Radius В Ад einen Kreisbogen, dessen Schnittpunkt AA

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Fig. 80.

mit dem in A' errichteten Lote man mit В verbindet; dann ist *KA'BAA der gesuchte Winkel ß. In gleicher Weise findet man den Winkel у = A'CA⁰, indem man um C mit GA₀ einen Kreis konstruiert und seinen Schnittpunkt A° mit dem Lote, welches in A' auf A₀ A' errichtet ist, mit G verbindet. Kontrolle: А!АЛ = A'A°; diese Länge gibt den Abstand des Punktes A von ТТ* .

Um noch oc zu erhalten, errichtet man in Ад ein Lot auf aA, welches die Kante b in P schneidet, und in A₀ ein Lot auf a₀, welches c in Q schneidet. Die

10

Hau&ner, Darstellende Geometrie I.

um P mit РАЛ und um Q mit QJ₀ beschriebenen Kreise schneiden sich in M⁰⁰, und es ist <£PM⁰⁰(? = <x. Kontrolle: PQA^af A⁰⁰ muß auf a' liegen.

Das Dreikant selbst erhält man, wenn man die Seiten В und Г um c und b zurückdreht, bis die Kanten a₀ und aj zusammenfallend die Kante a bilden. Da dieses Zurückdrehen in zw eifacher Weise geschehen kann, wodurch die Kante a entweder oberhalb oder unterhalb zu liegen kommt, so erhält man zwei „ symmetrische Dreikante, welche dieselben Seiten und Winkel besitzen. Da die beiden Dreikante aber nicht wesentlich voneinander verschieden sind, so faßt man sie nur als eine Lösung der Aufgabe auf.

Auch aus der vorstehenden Konstruktion erkennt man, daß dieselbe nur möglich ist, wenn В -f Г > А, ... ist (§ 88, (3)). Sind diese Ungleichungen erfüllt, so gibt es stets eine Lösung. — Ferner folgt aus der obigen Konstruktion leicht der Satz, daß in einem Dreikante der größeren Seite der größere Winkel gegenüber liegt und umgekehrt.

91. Aufgabe IL Ein Dreikant aus zwei Seiten А, В und dem eingeschlossenen Winkel у zu konstruieren.

Man legt (Fig. 81) A und В nebeneinander in Tl₁, fällt von dem willkürlich auf a₀ gewählten Punkte A0 das Lot A₀ C auf die Kante c und trägt an seine Verlängerung in C den Winkel у an, dessen anderem Schenkel man die Länge CA° = CA₀ zuerteilt. Der Fußpunkt A! des von A° auf A₀G gefällten Lotes bestimmt wieder a!. Von A' zieht man hierauf die Gerade A'B senkrecht zu b, errichtet auf letzterer in A' das Lot A'AA = A'A° und beschreibt mit BAA um В einen Kreis, welcher die Gerade A'B in Ал schneidet. Dann

ist A'BAA der gesuchte Winkel ß und <£BSAa die gesuchte Seite Г. Kontrolle: SAa — SA₀.

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Fig. 81.

Den Winkel ос erhält man jetzt in genau derselben Weise wie bei der Aufgabe I.

Die Aufgabe besitzt stets eine Lösung.

92. Aufgabe 1IL Ein Dreikant aus zwei Seiten А, В und dem der letzteren gegenüber liegenden Winkel ß zu konstruieren.

Man läßt bei dieser Aufgabe stets diejenige Seite, welcher der gegebene Winkel anliegt, also hier wieder А, mit T\± zusammenfallen. Denkt man sich jetzt von einem beliebigen Punkte C der Kante c die Lote GA, CB, G F auf die Kanten a, b und die Seite Г gefällt (vgl. Fig. 84 auf Seite 151), so ist < GAF = oc und GBF = ß. Ein in der Ebene der Seite Г um F mit dem Radius FA beschriebener Kreis berührt die Kante a in dem Punkte A. Hieraus resultiert die folgende Konstruktion.

10*

G В auf die Kanten a₀, b. An die Verlängerung des letzteren Lotes trägt man den gegebenen Winkel ß an, dessen anderer Schenkel von dem Kreise mit dem Radius B G um 5 in CA geschnitten wird, und fällt von GA das Lot GaFa auf CB. Der Punkt Fa ist der mit der Seite Г umgelegte Fußpunkt F des von G auf sie gefällten Lotes.

(Fig. 82.) Man legt В um c in TT₁ um (<(u₀ | c) = B) und fällt von dem willkürlich auf c gewählten Punkte G die Lote CA

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Fig. 82.

Konstruiert man nun das rechtwinklige Dreieck CaFaAa, dessen Hypotenuse = CA₀ ist, so ist dasselbe dem Dreieck CFA kongruent, und seine Kathete FaAa bestimmt den senkrechten Abstand FA des Punktes F von der Kante a. Man beschreibt also um Fa mit FaAa einen Kreis; dann muß a a , d. i. die mit Г umgelegte Kante a, diesen Kreis berühren. Folglich ist *< (cla I b) =* Г und < GaAaFa = oc . Kontrolle: SAa = SAo.

Verlängert man A a Fa bis zum Schnitt P mit b, so erhält man in der zu CP senkrechten Geraden a' die erste Projektion der Kante a. schließlich findet man wie in § 90.

Den Winkel у

Da in dem in Figur 82 dargestellten Falle der Kreis um FA die Kante b nicht schneidet, so liefert die zweite von S aus an ihn gezogene Tangente aTA eine weitere Lösung; die gesuchte dritte Seite ist dann Г⁷ = <£ (aTA I b) und der an der Kante a liegende Winkel gleich dem Supplement des zur ersten Lösung gehörigen ос. Der Kreis schneidet hier b nicht, weil A> В angenommen, infolgedessen AA Fд < BFA, und /?< 90° ist.

Untersucht man die verschiedenen möglichen Fälle³), so findet man: Die vorliegende Aufgabe besitzt zwei Lösungen, wenn CAFA < CAÖ < Ui?und gleichzeitig entweder В und /? < 90°

oder В und /?> 90° sind;

ein e Lösung, wenn entweder Сд FA < GA₀ und (L4₀> CB oder CaFa = CA₀ ist⁴).

In allen anderen Fällen läßt sich kein Dreikant, welches die gegebenen Bestimmungsstücke enthält, konstruieren.

93. Aufgabe IV. Ein Dreikant aus einer Seite A und den beiden anliegenden Winkeln ßj у zu konstruieren.

(Fig. 83.) Denkt man sich durch einen beliebigen Punkt A der Kante a eine Ebene || A gelegt, so schneidet sie die Seite Г in der durch A gehenden

Hauptlinie u\\b und die Seite В in der Hauptlinie v || c. Fällt man von den beliebigen Punkten II und К diesei Hauptlinien Lote auf A, welche diese Seite in den Punkten H' und K' treffen, so ist HH' = KK'. Legt man ferner noch durch HH' und KK' Ebenen, welche bzw. J_Ъ, c sind und diese Kanten in den Punkten G) J schneiden, so ist *3x11 GH' = ß und KJK' = y, wenn ß und y <90° gegeben sind; anderenfalls ist <HGH' = 180°- ß, bzw. <KJK'= 180°- y. Mithin gestaltet sich die Konstruktion folgendermaßen.

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Fig. 83.

Durch den beliebigen Punkt G von 5 zieht man eine Senkrechte zu 6, trägt in 6r den Winkel ß (bzw. 180⁰ — ß) an den in das Innere von A gehenden Teil dieser Senkrechten an und zieht durch den auf seinen anderen Schenkel willkürlich angenommenen Punkt Нл eine Parallele zu Ъ. HAH'G ist das Dreieck UH G nach erfolgter Niederlegung in TJX. Die Gerade HA H ist die erste Projektion u' der in Г gelegenen Haupt-linie и. In gleicher Weise erhält man die erste Projektion vf der Hauptlinie v von B, wobei nur zu beachten ist, daß KA IC = HA H' sein muß. А! = vl X ^ ist dann die erste Projektion des auf a liegenden Punktes A. Die durch HA {GHÄ±.b und = GIIA) gezogene Parallele uA zu b stellt die mit Г niedergelegte Hauptlinie и dar; ihr Schnittpunkt Ад mit dem von Ä auf die Kante b gefällten Lote bestimmt ад und damit Г = <£ {ал I b). In gleicher Weise erhält man В.

¹

Das Beispiel ist insofern speziell, als die umzulegende Figur senkrecht auf der einen Projektionstafel steht; in § 80 wird deshalb noch ein Beispiel für den allgemeineren Fall gegeben.

²

F'£PXP" kann als zweite Projektion des Dreiecks PP'P, nachdem es nm P'P in die zu TT₂ parallele Lage FA P'P gedreht ist, betrachtet werden; in der Figur ist dies angedeutet.

³

Hierbei sind die durch die Ungleichungen (1) bis (4) in § 88 ausgesprochenen Sätze, sowie der Satz am Ende von § 90 zu Hilfe zu nehmen.

⁴

In diesem letzten Falle ergibt sich а = 90°; das Dreikant ist also ein rechtwinkliges.

,X ъВ

Fig. 84.

Kontrolle: SA₀ = БАд. Die Aufgabe hat stets eine Lösung.

94. Zur Lösung der beiden letzten Aufgaben fälle man (Fig. 84) von einem beliebigen Punkte G der Kante c die Lote CA, CB, CF auf a, b, Г und lege durch C die zu c senkrechte Ebene, welche von a und b in den Punkten P und Q geschnitten wird. Verbindet man noch die Schnittpunkte D = PQ \ A F und E = PQ X BF mit (7, so haben die beiden Dreiecke A CD und ВСЕ die Höhe CF gemeinsam und besitzen bei C

rechte Winkel; denn die Ebene SGP steht senkrecht sowohl auf der Ebene A CD als auch auf der Ebene PCD, folglich ist die Schnittgerade CD beider Ebenen JL S CP und also CD _L auf CA, CP, CS. In gleicher Weise findet man, daß CDA. auf CB, CQ, CS ist. Legt man also A A CD um CD in die Ebene PCQ um, so fällt AC in die Gerade PC, und legt man A SCP um CP in dieselbe Ebene um, so fällt SC in die Gerade CD. Bei dem Umlegen von AB CE um CE und A SCQ um CQ in die Ebene PCQ fällt BC in die Gerade CQ und SC in die Gerade CE.

95. Aufgabe V. Ein Dreikant aus einer Seite A, dem ihr gegenüber liegenden Winkel a und dem ihr anliegenden Winkel ß zu konstruieren.

Man läßt T]₁ mit der Seite A und TT

welche bei

den beiden letzten Aufgaben mitbenutzt werden soll, mit der Ebene PCQ zusammenfallen; man sieht also eine beliebige Senkrechte CQ zu c als die Achse x an (Fig. 85). Dann konstruiert man A CBE° (CB Ab, CE°\\b, CBE° = ß), trägt auf der zu x senkrechten Geraden die Strecke CE° von C bis E nach oben ab und zieht EQ, welche Gerade die zweite Spur der Seite Г darstellt. Über der Höhe CF° des Dreiecks ВСЕ⁰ (welche gleich dem senkrechten Abstande der Seite Г von C ist) als Kathete konstruiert man das rechtwinklige Dreieck CF°A° mit dem Winkel CA°F° — a und zieht von S aus an den um C mit dem Radius CA° beschriebenen Kreis die Tangente a₀ (CA₀ J_a₀); dann ist <£(a₀|e) = B. Dreht man nun die Seite В zurück, so beschreibt der Punkt P₀ = ao Xx einen Kreis um C, dessen Schnittpunkt

mit EQ den zweiten Spurpunkt P der Kante a liefert. Die Verbindungslinie von P mit G ist die zweite Projektion a!' dieser Kante und SP' (PP'A-x) ihre erste Projektion a'\ ferner ist ^PGQ = y. — Um schließlich noch die Seite Г zu erhalten, legt man die Kante а um b in TT₂ um, indem man den Punkt P umlegt

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Fig. 85.

{P'Pл JL 5, QPa = QP); dann ist    | b) = Г.

Kontrolle: S Pa = $P₀ .

In dem in der Figur 85 dargestellten Falle schneidet der mit dem Kadius CP₀ um G beschriebene Kreis die Gerade EQ noch in einem zweiten Punkte P⁷; verfährt man für diesen Punkt in gleicher Weise wie oben für P, so erhält man als zugehörige dritte Seite <£ (aA I b) — Г⁷. Liegt P⁷ über der ж-Achse, so ergeben aber die drei Seiten А, В, Г⁷, wie man leicht erkennt, ein Dreikant mit den Winkeln 180° —л, ß; dasselbe ist daher keine Lösung der vorliegenden Aufgabe.

Liegt der Punkt P¹ unter der x-Achse, so bestimmen die drei zugehörigen Seiten А, В, Г⁷ ein Dreikant mit den Winkeln oc, 180°—ß\ verlängert man hier jedoch die A gegenüber liegende Kante a1 über den Scheitel hinaus, so bestimmt diese mit b und c ein Dreikant mit den gegebenen Stücken A, ß.

Schneidet der um G mit CP₀ beschriebene Kreis die Gerade EQ nicht, so besitzt die Aufgabe keine Lösung. Der Grenzfall, daß der Kreis die Gerade EQ nur berührt, tritt für oc = 90° ein und liefert nur eine Lösung.

Die vorstehende Konstruktion ist brauchbar, gleichgültig ob A> oder <90° ist; sie versagt aber, oc oder ß> 90° sind. Dann führt man die Konstruktion für die Winkel 180°— oc, bzw. 180° — ß durch und bat nur die eben gemachten Bemerkungen über die Katur der zweiten Lösimgen zu beachten, um das gesuchte Dreikant zu erhalten.

wenn

Die Aufgabe hat

zwei Lösungen, wenn CS>CA°> CB und gleichzeitig entweder oc und A<90°

oder oc und A>90° sind;

eine Lösung, wenn entweder GS> CA° und CA°<C CB oder CS~CA° ist¹).

In allen anderen Fällen kann kein Dreikant konstruiert werden, welches die gegebenen Bestimmungsstücke enthält.

96. Aufgabe VI. Ein Dreikant ans seinen drei Winkeln    ß, у zu konstruieren.

Denkt man sich, das Dreikant wieder in derselben Lage zu den beiden Projektionsebenen wie bei der vorigen Aufgabe, so gestaltet sich die Konstruktion folgendermaßen, ln einem beliebigen Punkte C der Achse X trägt man den Winkel у (= A^PCQ) an und

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zieht durch. (7 eine Senkrechte zu æ, welche die Kante c vorstellt und auf welcher der Scheitel S liegen muß. Statt aber (Fig. 86) einen beliebigen Punkt auf c als Scheitel S zu wählen, nimmt man einfacher auf der Verlängerung von c über G hinaus den Punkt E willkürlich an, woraus sich dann die zugehörige Lage von S ergibt. Über CE konstruiert man das rechtwinklige Dreieck EGBA (A^EBAC = /5), welches dann das um CE in TT₂ umgelegte Dreieck ECB ist. Die Höhe CFA dieses Dreiecks gibt also den senkrechten Abstand des Punktes C von der Seite Г und zugleich die Höhe des Dreiecks A CD. Letzteres, um CD in TT2 umgelegt, erhält man, indem man oc an CP so anträgt, daß der freie Schenkel von oc den mit CFA um C beschriebenen Kreis berührt und CD _L CP (vgl. § 94) zieht. Duich die beiden Punkte D und E ist jetzt die Gerade bestimmt, in welcher TT₂ von der Seite Г geschnitten wird; die Punkte P, Q, in denen die Schenkel von у diese Gerade schneiden, sind die zweiten Spurpunkte der Kanten а, Ъ. Um nun S und A zu finden, hat man nur über CQ als Kathete das rechtwinklige Dreieck SCQ, dessen Höhe CB = CBA ist, zu konstruieren. Projiziert man noch P auf æ, so ist P'S=a'. In gleicher Weise liefert Л S₀CP {<C= 90°, Höhe CA₀ = CA°) die in TT₂ umgelegte Seite В. Die Hypotenuse des letztgenannten Dreiecks bestimmt zugleich die Länge der Kante a zwischen den beiden Projektionsebenen. Kontrolle: CS=CS₀.

Die Seite Г erhält man durch Umlegen des Dreiecks PSQ in TT₂ : PS₀₀ = PS₀ , QS₀₀ = QS und folglich <£PS₀₀Q = Г.

Für die Konstruktion ist es gleichgültig, ob у < oder >90° ist; weim also nur einer der drei Winkel stumpf ist, so empfiehlt es sich, diesen als <£ у zu nehmen. Sind zwei Winkel stumpf, so ist es am einfachsten, den spitzen Winkel als zu nehmen und das durch Verlängerung der Kante о des gesuchten entstehende Nebendreikant mit den Winkeln у, 180° — oc, 180° — ß zu konstruieren, dessen у gegenüber liegende Seite gleich dem gesuchten Г, dessen andere Seiten gleich 180° — A, 180°-В sind. Sind alle drei

Winkel stumpf, so kann man einen beliebigen als y wählen und konstruiert dann ebenfalls das Nebendreikant.

Die soeben gegebene Konstruktion löst zugleich die Aufgabe: Es soll die Ebene bestimmt werden, welche mit zwei ihrer Lage nach gegebenen Ebenen A und В die Winkel oc und ß einschließt. Durch die Methoden der §§ 83 und 84 kann man es stets erreichen, daß eine dieser Ebenen, z. В. A, Projektionsebene wird.

97. Die in den vorstehenden Paragraphen konstruktiv gelösten Aufgaben lehrt die sphärische Trigonometrie auf dem Wege der Rechnung zu lösen.

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Fig. 87.

Schneidet man nämlich ein Dreikant durch eine um seinen Scheitel beschriebene Kugel, so entsteht auf ihrer Oberfläche ein sphärisches Dreieck, dessen Seiten und Winkel durch diejenigen des Dreikants gemessen werden. In der Tat lassen sich aus der Figur 87 die

Grimdformeln der sphärischen Trigonometrie leicht ablesen, wenn man noch in derselben die Linien BD_Lc, СЕЛ. Ъ und A°A\ AA Ä bis zu ihren Schnittpunkten F, G mit БД CE verlängert. Dann ist A^A'BF— A^A'CG = A. Die Kugel besitze den Radius SA⁰ = SAj, welcher der Einfachheit halber als Längeneinheit gewählt werde. Aus den Relationen A'A° = A'AA, SB = SE + GA', BE — BF + A'C, CE = CG + A'B ergeben sich, wenn man die einzelnen Strecken durch sin und cos von A, В, Г, ß, у ausdrückt, die Grundformeln:

(1)    sin    В    : sin Г    = sin ß : siny ,

(2)

cos Г    = cos A cos B + sin A    sin В cos у ,

(3)    cos    Г    sin А    = sin В cos у + cos A    sin Г cos ß ,

(4)    cos    В    sin А    = sin Г cos ß -f- cos A    sin В cos у .

Diese Andeutungen mögen hier genügen, da dieser "Weg noch in den meisten Lehrbüchern der sphärischen Trigonometrie eingeschlagen ist, trotzdem er nicht der beste ist. Denn da für die Konstruktionen des Dreikants alle Seiten und Winkel <180° vorausgesetzt waren, so ergibt sich auf diesem Wege die Gültigkeit der Formeln nur für sphärische Dreiecke, deren Seiten und Winkel ebenfalls <180° sind, während sie auch für Dreiecke, welche diese Bedingung nicht erfüllen, gültig sind.

Darstellung von Vielflachen.

98. Unter einem Vielflach oder Polyeder versteht man bekanntlich einen Körper, dessen Oberfläche von lauter ebenen Vielecken, den Seitenflächen, gebildet wird. Je zwei dieser Vielecke stoßen mit zwei Seiten in einer Kante zusammen, von denen wieder drei oder mehr (und also ebensoviele Seitenflächen) in einer Ecke zusammenstoßen. Die Darstellung eines Vielflaclis kommt also auf die Darstellung der Ecken und Seitenflächen und also in letzter Linie wieder auf die Konstruktion von Dreikanten und Dreiecken hinaus.

Projiziert man ein Vielflach auf eine Ebene, so liegen auf jedem projizierenden Strahle, welcher das Vielflach durchschneidet, ein sichtbarer und ein (oder mehrere, falls das Vielflach nicht nur konkave Ecken besitzt) unsichtbare Punkte seiner Oberfläche. Von allen diesen Punkten besitzt der sichtbare Schnittpunkt den größten Abstand von der Projektionsebene. Derjenige auf dem Vielflache gelegene Linienzug, längs dessen die projizierenden Strahlen dasselbe nur streifen, nicht auch in das Innere eindringen²), heißt der wahre Umriß und seine Projektion der scheinbare Umriß des Vielflachs. (Vgl. § 87.) Dieser von Kanten des Vielflachs gebildete Linienzug kann aus einem oder mehreren³) Teilen bestehen. Für einen in der Richtung der Projektionsstrahlen blickenden Beschauer bildet der wahre Umriß zugleich die Grenze des sichtbaren Teiles der Oberfläche des Vielflachs.

Sind mehrere Projektionsebenen, TT₁, TT₂, . . . vorhanden, so spricht man von einem ersten, zweiten, ... wahren bzw. scheinbaren Umrisse. Die im Grundrisse bzw. Aufrisse nicht sichtbaren Kanten sind in den folgenden Figuren punktiert (entsprechend den Festsetzungen in § 32).

99. Aufgabe. Ein senkrechtes dreiseitiges Prisma ist nach folgenden Angaben zu zeichnen: Das Prisma ruht mit einer Ecke auf TT^ ; von seiner oberen Endfläche ist der Eckpunkt A(A', A") und die erste Projektion A\ B\ C' gegeben, während ihre zweite Projektion einem gegebenen Dreiecke A, B, G ähnlich sein soll.

Um zunächst A"B"G" zu konstruieren, ziehe man die Linie A'A", welche die Seite B'C in M' und die entsprechende Seite B"C" in M" sclineidet, und beachte, daß B'M':M'C' = B”M":M"C" sein muß. Da nun А А"В"С" °° A AB С sein soll, so muß dem Pimkte M" ein Punkt M auf B G entsprechen, für welchen sich verhält: BM : MC = B"M" : M"C" und folglich auch BM : MC = B'M! : M'G'. — Man teilt also (Fig. 88) die Seite B G durch den Punkt M in dem angegebenen Verhältnisse und zeichnet dann A A"B    A AB (7,

so daß A"M(= AM) auf die Linie A'A" fällt und B\ В auf der gleichen Seite von A'A" liegen. В", C" sind dann die Schnittpunkte der Vertikalen durch B\ C' mit A"B, bzw. A"G. — Eine zweite (in der Figur nicht gezeichnete) Lösung würde man erhalten, wenn man das zu A A"B G in bezug auf eine Horizontale durch A" symmetrische Dreieck zeichnet und dann wie vorhin die Punkte В", C" bestimmt.

Da die Seitenkanten auf den Grundflächen senkrecht stehen sollen, so müssen ihre Projektionen auf den gleichnamigen Spuren der Ebene ABC (§ 72) senkrecht stehen. Statt der Spuren benutzt man bequemer eine erste und eine zweite Hauptlinie w, v (w"|| ж, v' I] x) und zieht dann durch Ä, B\ Cf Senkrechte u', durch A", B", C" Senkrechte zu г/'. Von den drei Eckpunkten der oberen Endfläche liegt В der Tafel TT₁

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Fig. 88.

am nächsten, da B" der Achse näher liegt als A" und <7"; folglich ist der Punkt E, in welchem die durch В gehende Kante TJ₁ schneidet, der in J]₁ liegende Eckpunkt der unteren Grundfläche. E" ist also der Schnittpunkt von x mit der durch B" gezogenen Senkrechten zu v". Da die untere Grundfläche BEF der oberen kon-

11

Hau finer, DarsteUende Geometrie I.

gruent ist, so kann man jetzt die Projektionen von DE F ohne weiteres zeichnen. B'CF'ÜE ist der erste und A"B"E"F"C" der zweite scheinbare Umriß.

Die

100. Aufgabe. Es soll eine regelmäßige Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Sternfünfeck ist, gezeichnet werden. Grundfläche soll in der Ebene E (et, e₂) und die Spitze in TT₂ liegen; ferner sind noch die ersten Projektionen des Mittelpunktes M und eines Eckpunktes A der Grundfläche gegeben.

(Fig. 89.) Mit Hilfe von ersten Falllinien durch M und A bestimmt man zunächst ihre zweiten

Projektionen Ж", A". Darauf legt man E in TT,, um (§ 7 9, II), indem man M umlegt (M'MA = MXM" und J_ Jf'U-L, MA\\ = J/₀Ui) und bestimmt A₀ als affinen Punkt zu A' (mit e₁ als Affinitätsachse und senkrecht zu e± gerichteten Affinitätsstrahlen). In der umgelegten Ebene konstruiert man nun das regelmäßige Sternfünfeck, dessen Mittelpunkt M₀ ist und dessen einer Eckpunkt in Aq liegt(k = Kreis um il/₀ durch A₀; A₀, B₀, C0f D₀, E₀ sind die Ecken des dem Kreise к einbeschriebenen regelmäßigen Fünfecks). Hierauf konstruiert man die erste Projektion des Sternfünfecks, A'B'C'D'E', als affine Figur zu A₀B₀C₀D₀E₀ (z. B. E₀M₀ und E'M' schneiden sich auf ex, E₀E' _Lef) und bestimmt dami, wie oben, H", (7", 1У', E". Die Höhe h der Pyramide steht in M auf E senkrecht, folglich ist hf J_ ex, h" _L e₂ ; da die Spitze S in TT₂ liegen soll, so ist S' = h! \x.

In der Figxir sind der größeren Übersichtlichkeit wegen die Kanten nur so weit gezeichnet, als sie sichtbar sind. Eher liegt der Fall vor, daß nur ein Stück einer Kante dem wahren Umrisse angehört, indem das

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Fig. 69.

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übrige Stück durch davor liegende Flächen verdecht wird; so gehört z. B. die Kante AS sowohl dem ersten als dem zweiten wahren Umrisse nur teilweise an.

101. Aufgabe. Ein regelmäßiges Yierflach von gegebener Kantenlänge s zu zeichnen.

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Fig. 9a

Fig. 91.

Dasselbe wird von vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken gebildet und besitzt vier dreiseitige Ecken. Jede Ecke liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der gegenüber liegenden Seitenfläche.

I. Die Seitenfläche ABC liege in TTi. (Fig. 90.) Ihr Mittelpunkt ist dann die Projektion Tf der vierten Ecke D. Die Höhe h von D über ABC und damit DXU' ergibt sich als Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse gleich s und dessen andere

2

Kathete gleich АТУ = — der Höhe einer Seitenfläche,

also gleich ^-/3 ist. Da ADf Al B G ist, so folgt, daß auch

AD A. B G ist; zwei gegenüber liegende Kanten des regelmäßigen Yierflachs sind mithin senkrecht zueinander gerichtet.

II. Das Yierflach der Figur 90 sei um die Kante BO gedreht, bis die Kante AD || T\₁ ist. Dann ist, da AD _L В C ist, auch A'D A-BC (Fig. 91); ferner halbieren sich BO und A'D' gegenseitig. Hierdurch ist der Grundriß bestimmt. A"D" ist II x, und man kann leicht den Aufriß zeichnen, wenn man noch den senkrechten Abstand d der Kanten AD und BG voneinander kennt. Da die Mittelpunkte beider Kanten senkrecht übereinander liegen, so ist ihr Abstand d gleich der Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse gleich der Höhe

—]/3 einer Seitenfläche und dessen andere Kathete

² s gleich — ist.

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102. Aufgabe. Ein regelmäßiges Achtflach von gegebener Kantenlänge s zu zeichnen.

Dasselbe wird von acht kongruenten gleichseitigen Dreiecken gebildet, von welchen je vier in einer Ecke zusammenstoßen; es hat also sechs Ecken und zwölf Kanten. Die Endpunkte der von einer Ecke ausgehenden Kanten bilden, da sie gleich weit von der Ecke entfernt liegen und gleiche Winkel miteinander einschließen, die Ecken eines Quadrates, dessen Seiten wieder vier Kanten des Achtflachs sind. Folglich liegen je vier der sechs Ecken des Achtflachs in den Eckpunkten dreier Quadrate, deren Ebenen aufeinander senkrecht stehen.

Sind zwei dieser Ebenen parallel zu J1₁ und TT so erhält man als Projektionen des Achtflachs zwei Quadrate mit der Seite sT deren Diagonalen _L bzw. || x sind; die Eckpunkte derselben sind die Projektionen von vier Ecken des Achtflachs, während die beiden übrigen Ecken sich in die Mittelpunkte der Quadrate projizieren (Fig. 92a). Dreht man nun das Achtflacii um die zu TT₂ senkrechte Diagonale DF um den

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Fig. 92 a> b> c un(l d.

Winkel dt, so erscheint C"E" (Fig. 92b) um den Winkel cc gegen seine frühere horizontale Lage geneigt; nach § 81 kann man dann leicht die neue Lage des Achtflachs erhalten, wie sie Figur 92b zeigt. Dreht man dann nochmals das Achtflach um eine durch seinen Mittelpunkt О und A^TJ₁ gelegte Achse b{b"_Lx) um den Winkel /?, so erhält man das Achtflach in beliebiger Lage zu TT₂, während es zu JJi noch die spezielle Lage hat, daß seine Diagonalebene ACDE A.TÏl ist (Fig. 92c). Deshalb nimmt man noch eine Drehung um eine durch. О gehende und zu TT₂ senkrechte Achse c(d_Lx) um den "Winkel у vor und erhält dann das Achtflach in allgemeiner Lage zu beiden Projektionsebenen (Fig. 92 d).

Wählt man oc und ß so, daß tang oc = 1, tang ß = /2 ist, so bilden in der Figur 92c die zweiten Projektionen der Kanten ein regelmäßiges Sechseck und die beiden ihm einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecke.

103. Aufgabe. Es ist ein Würfel von gegebener Kantenlänge 5 zu zeichnen.

Die sechs kongruenten Quadrate, welche die Oberfläche des Würfels bilden, stoßen zu je dreien in den acht Ecken desselben zusammen; die sämtlichen Flächenwinkel des Würfels sind also gleich 90°.

Ist der "Würfel mit zwei seiner Flächen parallel zu TTi und TT₂ gestellt, so sind seine beiden Projektionen Quadrate mit der Seite s. In der Figur 93 ist außerdem noch angenommen, daß die Würfelfläche AB CD in Tl₁ liegt; jede Seite dieses Quadrates ist die Projektion einer Seitenfläche (z. B. AB die Projektion von AB FE) und das ganze Quadrat zugleich die Projektion der oberen Endfläche EFGH. Das Analoge gilt für die zweite Projektion.

Um die Projektionen des Würfels in allgemeiner Lage zu erhalten, werde hier das Verfahren der Einführung neuer Projektionsebenen angewendet. Zuerst Aver de eine unter dem Winkel oc gegen TT₂ geneigte und auf TTi senkrecht stehende dritte Projektionsebene (xx = TTi X TT3, <£ (x I xf) = oc) eingeführt und nach § 84 die dritte Projektion des Würfels konstruiert. Eine vierte Projektionsebene sei unter dem Winkel ß gegen

Пх geneigt und J_TT₃ (x₂ = ïï₄ X TT₃ , <(x₁\x₂) = ß); eine fünfte Projektionsebene sei unter dem Winkel у gegen TT₃ geneigt und J_ TT₄ (x₃ = TT₅ X TT₄ , < (x₂1 x₃) =    . Während der Würfel gegen TT₃ noch in der

besonderen Lage sich befindet, daß zwei seiner Flächen

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JLTT₃ sind, liegt er zu TT₄ bereits in allgemeiner Lage und ebenso zu TT₅.

Durch passende Wahl der Winkel <%, /?, y kann man jede beliebige Stellung des Würfels zu TT₄ und TT5 erzielen. Wählt man z. B. TT₃ || A CGE, TT₄ _L A'" G"', also xt\\AC, x₂ LA'" G'", was tang ос — 1, tang/? = iß entspricht, so bilden die vierten Projektionen der Würfelkanten die Seiten und die Kadien eines regelmäßigen

Sechsecks, in dessen Mittelpunkt die vierten Projektionen von A und G zusammenfallen (s. die erste Projektion des Würfels in Fig. 99 auf S. 183).

Bei dem Achtflach und dem Würfel würde es keine Schwierigkeiten geboten haben, ihre Projektionen sofort für eine beliebige Stellung der Körper zu den Projektionsebenen zu entwerfen. Bei komplizierter gebauten Körpern dagegen empfiehlt es sich, dieselben zunächst in die möglich günstigste Lage zu den beiden Projektionsebenen zu bringen und dann eines der beiden vorstehend benutzten Verfahren anzuwenden, um ihre Projektionen in allgemeiner Lage zu erhalten. Beide Verfahren sind, wie die vorstehenden Beispiele zeigen, einander gleichwertig ; welchem man im gegebenen Falle den Vorzug gibt, hängt von dem darzustellenden Körper ab.

104.    Aufgabe.

Es ist das regelmäßige Zwanzigflach von gegebener Kantenlänge s zu zeichnen.

Von den zwanzig kongruenten gleichseitigen Dreiecken, welche das Zwanzigflach bilden, stoßen je fünf in einer der zwölf Ecken desselben zusammen. Die Endpunkte der von einer Ecke ausgehenden Kanten liegen augenscheinlich in den Eckpunkten eines regelmäßigen Fünfecks, dessen Seiten wieder Kanten des Zwanzigflachs sind, und zwar gehören je zwei verschiedenen Seitenflächen an. Dieses Fünfeck werde kurz das zu der Ecke gehörige Fünfeck genannt. Die zwölf Ecken des Zwanzigflachs liegen, wie in der Stereometrie gezeigt wird, zu je zweien auf sechs Achsen, welche sich im Mittelpunkte M des Körpers gegenseitig halbieren ; die Kanten, welche von den beiden auf einer Achse gelegenen Ecken ausgehen, sind paarweise einander parallel, und die von ihren anderen Eckpunkten gebildeten Fünfecke liegen in parallelen Ebenen, sind aber um 180° gegeneinander gedreht.

Das Zwanzigflach (Fig. 94) stehe mit der Achse .41)

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Fig. 94.

senkrecht auf TT^. Die Endpunkte der von A, bzw. L ausgehenden Kanten seien mit Bx, . . . , Bb, bzw. Сг , . .., (7₅ in der AVeise bezeichnet, daß zwei Punkte mit gleichem Index auf derselben Achse liegen. Nach dem Obigen sind dann die Ebenen der beiden zu A und D gehörigen Fünfecke Bt, . . ., Bb und Gt, ..., C₅ || TJ₁ ; ihre ersten Projektionen sind daher regelmäßige Fünfecke mit der Seitenlange s, deren Eckpunkte sich diametral gegenüber liegen. Der Mittelpunkt des Fünfecks liegt in dem Punkte A, in welchen sich auch D projiziert. Die Seiten des von den Ecken beider Fünfecke gebildeten regelmäßigen Zehnecks sind ebenfalls die Projektionen von Kanten des Zwanzigflachs. B[ CI ist _L X gezeichnet; d. h. die beiden Achsen AD und B₁ Ct liegen in einer Ebene _L x. Durch diese Annahme gestaltet sich die Konstruktion am einfachsten.

Um nim den Aufriß zeichnen zu können, ist es nur nötig, die Lage eines Punktes und eines Punktes C" zu bestimmen. Nun ist ABI -L B$Bi und B₃ B± y TT-L, folglich ist auch ABi _L Bs BL , d. h. jede von einer beliebigen Ecke ausgehende Kante steht senkrecht auf der gegenüber hegenden Seite des zu der Ecke gehörigen Fünfecks. Zu der Ecke B₂ gehört nun das Fünfeck Bi CL СьВг А; mithin ist auch B₂ Cb _L B₁А . Ferner hegen beide Kanten in zu x senkrechten Ebenen, und folglich ist BXA unter demselben AVinkel gegen TTL geneigt, wie die zu ihr senkrechte Kante B₂ C₅ gegen die zu TTt senkrechte Ebene TT₂. Hieraus folgt aber, da beide Linien gleiche Länge haben, daß B^Ci' = B[A und B"A" = В'ъС'ь ist.

Auf der Vertikalen durch B[ trägt man also von ihrem Schnittpunkte A" mit x aus die Länge B£ Ci ab und erhält so den Punkt B”. Auf der Horizontalen durch B[f hegen die Punkte J?g', . . ., B'b'. Senkrecht über B[' im Abstande B[A hegt der Punkt C{' und auf der durch ihn gehenden Horizontalen hegen Cÿ, .. ., С”. П' hegt ebenso hoch über der (7"-Horizontalen als A unter der B"-Horizontalen, da alle Ecken gleich weit von den Ebenen der zu ihnen gehörigen Fünfecke entfernt liegen.

Kontrolle: M" halbiert die Projektionen der sechs Achsen A"D", B" C{\ . . ., B” Ci'. Diametral gegenüber liegende Kanten müssen einander parallel sein.

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Fig. 95.

105. Um komplizierter gebaute Körper in scliiefer Parallelprojektion darzustellen, benutzt man mit Vorteil ihren Grundriß und Aufriß.

Figur 95 zeigt das Zwanzigflach in schiefer Parallelprojektion. Damit die Konstruktion möglichst einfach wird, sind beide Projektionsebenen parallel zu sich verschoben gedacht, so daß Grundriß und Aufriß in genau derselben Lage wie in Figur 94 zueinander bleiben, die Projektionsachse jetzt aber mit B% B f zusammenfällt.

In Figur 95 sind die ersten Projektionen der zwölf Ecken des Zwanzigflachs in ihrer Lage zu der neuen ж-Achse gezeichnet; bei den В fehlt der obere Akzent, da das B-Fünfeck jetzt in TJ₁ liegt, A hat ihn dagegen bekommen, da die zugehörige Ecke jetzt unterhalb TT-l liegt. Hierauf sind daim die schiefen Projektionen B{,..., I?₅S, G1} . .., Cb\ A = D dieser Punkte konstruiert (§ 35; z. B. B±BXJ_æ, <£(BlBx\x) = 150°, <^B±BIBX — 90°). Die Punkte B[, . . ., B$ geben bereits die schiefe Projektion des Б-Fünfecks; diejenige des (7-Fünfecks erhält man, wenn man auf den Vertikalen durch C^, ..., Cb den Abstand der Ebenen beider Fünfecke, welchen man aus dem Aufrisse = Bf Cf entnimmt, abträgt. Die Eckpunkte As und Z>s müssen auf der durch A gehenden Vertikalen liegen, und zwar ist AAS = B'{A" und ALP = B"D".

Kontrollen : Die Mittelpunkte der Fünfecke B[, ...,Z?5,

..., CI und der Mittelpunkt Ms des Zwanzigflachs müssen auf ASDS liegen; Ms muß jede der sechs Achsen halbieren; diametrale Gegenkanten sind parallel.

106. Aufgabe. Es ist das regelmäßige Zwölfflach von gegebener Kantenlänge s zu zeichnen.

Das Zwölfflach wird von zwölf kongruenten regelmäßigen Fünfecken gebildet, welche zu je dreien in zwanzig Ecken Zusammenstößen.

Das Zwölfflach stehe mit der Seitenfläche Ax ... A₅

auf TT!. Die Endpunkte Ą, . . Bb der von den Punkten A ausgehenden Kanten liegen ebenfalls in den Eckpunkten eines regelmäßigen Fünfecks, dessen Ebene || TJ1 ist, da die Kanten A₁B₁, . .., АЬВЪ gegen das Fünfeck At ... gleich geneigt sind. Die zu Ax . .. Ab parallele Seitenfläche Dx ... Ą ist um 180° gegen A± ... A₅ gedreht, und die Endpunkte Gu ..., Cb der von den Punkten D ausgehenden Kanten bilden ein dem ^-Fünfeck kongruentes regelmäßiges Fünfeck, welches auch ЦП*! liegt. Die Mittelpunkte dieser vier Fünfecke liegen in derselben Vertikalen zu TtL. Die zwanzig Ecken des Zwölfflachs sind also in TJl und drei parallelen Ebenen gelegen. Die mit gleichem Index versehenen Ecken A und D einerseits und B imd C andererseits liegen auf den zehn Achsen des Zwölfflachs, welche sich in seinem Mittelpunkte M halbieren.

Die eine Seite des rt-Fünfecks sei noch || x. (Fig. 96.) Man zeichnet dann zunächst das A- Fünfeck mit der Seite 5, so daß z. В. rtgrt₄||æ ist. Der Mittelpunkt M' desselben ist zugleich die erste Projektion des Körpermittelpunktes M. Das D-Fünfeek besitzt dann denselben Mittelpunkt M', ist aber um 180° gedreht gegen das rt-Fünfeck, also AxDi A^ASA^ usw. Die zehn Ecken A, D bilden mithin die Ecken eines regelmäßigen Zehnecks. Da die Kante A₁ B± mit den beiden anstoßenden Seiten A±A₂ und AXA₆ gleiche Winkel bildet, so muß es auch ihre Projektion tun. A±B[ fällt also mit der Halbierungslinie des überstumpfen Winkels A₂A₁A5 zusammen und geht folglich in ihrer Verlängerung durch den Mittelpunkt M' hindurch. Das gleiche gilt für die Projektionen der übrigen Kanten AB, sowie der Kanten DC. Da nun die Punkte C in der gleichen Weise zu der oberen Seitenfläche D₁ . .. Db liegen, wie die

Punkte В zu der unteren Ax ... Ab, so haben die ersten Projektionen aller Kanten AB und DG gleiche Länge. Wird das Fünfeck D₃D₄cG₄cB₁C₃ um D₃ D4 gedreht, bis es mit D₃DLD₆D₁D₂ zusammenfällt, so

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In diesem letzten Falle ergibt sich В = 90°; das Dreikant ist also ein rechtseitiges.

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Die Projektionsstrahlen streifen also auch das Vielflach, wenn Seitenflächen desselben ihnen parallel sind.

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Z. B. bei einem vierseitigen Prisma, aus welchem ein dreiseitiger prismatischer Kern herausgeschnitten ist.

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Fig. 96.

beschreibt Cg einen Kreis, dessen Ebene senkrecht auf DSDA steht. Da D₃Di || TT, ist, so projiziert sich dieser Kreis in eine zu Di Di senkrechte Gerade; diese muß auch durch Di gehen und fallt folglich mit Di A 6 zusammen. Folglich ist C» der Schnittpunkt von DiAy

mit M'D&. Hiermit sind, auch für die übrigen C- und D-Ecken die ersten Projektionen bestimmt; sie bilden die Ecken eines zweiten Zehnecks, dessen Seiten zugleich Projektionen von Kanten des Zwölf flachs sind. Zur Kontrolle dient hier, daß    sein und

ebenfalls durch C3 gehen muß.

Der Aufriß ist bestimmt, sobald die Abstände des B-j C- und D-Fünfecks von TJ₁ bekannt sind. — Da A5 Ci _L C3 Ci und С3С4ЦТТ1 ist, so steht auch J5C3J- C3C4. Hieraus folgt, daß von den sechs von C3 ausgehenden Flächendiagonalen je zwei, durch eine dritte Diagonale getrennte aufeinander senkrecht stehen. Das gleiche gilt für alle Ecken, und folglich ist auch C₃ Ab J-AbB±. Da ferner diese beiden Diagonalen in einer zu x senkrechten Ebene liegen und gleiche Länge haben, so folgt (genau wie auf S. 171) A!{ Cg = Аъ Bi und Ag Bg = A₅ 63. Da das D- Fünfeck ebenso hoch über dem (7-Fünfeck liegt als das Б-Fünfeck über dem .A-Fünfeck, so muß Cg Dg = A" Bg sein. Hiermit sind die drei Parallelen zu ж, in welchen die B-, C- und D-Ecken liegen, bestimmt.

Kontrolle : Die zweiten Projektionen der zehn Achsen müssen sich in M/r schneiden. Von zwei Gegenecken gehen parallele Kanten aus, also z. B. AgBg || Dg Cg usw.

107. Zum Schlüsse möge noch die Lösung einer komplizierteren Aufgabe folgen.

Aufgabe. Es ist ein regelmäßiges Vierflach zu zeichnen, von welchem die erste Projektion A'B' Cf einer Seitenfläche und eine Ecke С(С', C") gegeben sind.

Es handelt sich hierbei zunächst darum, die zweite Projektion eines gleichseitigen Dreiecks zu bestimmen,

dessen erste Projektion gegeben ist. Diese Aufgabe ist aber nur ein spezieller Fall der folgenden

Aufgabe. Die zweite Projektion eines Dreiecks ABC, dessen erste Projektion A'B'G' und dessen Ecke C (C", C") gegeben sind, soll so bestimmt werden, daß das Dreieck ABC einem gegebenen Dreiecke A₁B₁Cl ähnlich ist.

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Fig. 97.

Diese Aufgabe, welche zunächst gelöst werden soll, kann auch so gefaßt werden: Ein gerades dreiseitiges Prisma soll durch eine Ebene, welche durch einen gegebenen Punkt einer Seitenkante hindurchgeht, so geschnitten werden, daß die Schnittfigur einem gegebenen Dreiecke ähnlich ist.

108. Man denke sich in der Ebene des Dreiecks ABC (Fig. 97) durch seine Ecke C die erste Hauptlinie и und erste Falllinie u gezogen, welche AB in den Punkten R und S schneiden mögen; der von и und u gebildete rechte Winkel projiziert sich auf JJt wieder als rechter Winkel und die ersten Projektionen R, S' der Punkte R, S teilen A!B' in demselben Verhältnisse

12

Haußner, Darstellende Geometrie I.

wie R, S die Seite AB selbst: R'A': A'B': B'S' RA : AB : BS. Eine in der Dreiecksebene gezogene Parallele zu AB möge von den Seiten CA, CB und den Schenkeln CR, CS des rechten Winkels in den vier Punkten A₀, B₀, R₀, S₀ getroffen werden; dann verhält sich R₀ A₀ : A₀B₀ :B₀S₀ = RA : AB : BS und folglich auch R₀ A₀ : A₀ B₀ : B₀ S₀ = R'A' : A' Bf : B'S'. Zieht man die Parallele speziell so, daß A₀i?₀ = А'В' wird, so ist RqA₀ = R'A', B₀S₀ — B' S'. Denkt man sich ferner die Figur CR₀ A₀ B₀ S₀ in die erste Projektionsebene gelegt, so daß A₀, B₀ mit A', B' und also R₀, S₀ mit R', S' zusammenfallen, und C dabei in einen Punkt <7° fällt, so kann man C' und C° als affine Punkte und A'B' als zugehörige Affinitätsachse betrachten. Dann sind R' C' S' \mà R' C° S' die entsprechenden rechten Winkel in den affinen Punkten C' und <7°. Beachtet man noch, daß А А'C° В' ähnlich dem gegebenen Dreiecke A₁B₁C₁ sein muß, so ergibt sich aus den vorstehenden Betrachtungen die folgende Konstruktion der Punkte R' und S'.

Man zeichnet (Fig. 98) das dem gegebenen Dreiecke A± B₁ C± ähnliche Dreieck A'B' C°, welches mit A'B'C' die Seite A'B' gemeinsam hat, und konstruiert darauf (nach § 14) die entsprechenden rechten Winkel in den affinen Punkten C' und (7°, wodurch man die gesuchten Punkte R', S' erhält.

Es ist nun noch zu entscheiden, welcher von den Schenkeln des rechten Winkels in C' die Projektion der durch C gehenden ersten Hauptlinie и ist. Nach § 65 muß sich der von einer Hauptlinie и mit AB gebildete spitze Winkel in einen kleineren Winkel auf TT! projizieren. Da nun A R' C° S' <^° A R CS ist und in unserer Figur ^ (7° R' S' > ^ C'R' S' ist, so

folgt also, daß C'R' die Projektion uf der ersten Hanptlinie und C"E"\\x ihre zweite Projektion u" ist.

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0fSl ist dann die Projektion der ersten Falllinie u durch G. Da noch C'R' || CR und also gleich der wahren Länge

12*

von CR ist, so wird Ai?° C° S° ^ A RCS, wenn man C°R°—CR' macht und R° S° || R'S' zieht; folglich gibt C°S° die Avahre Länge von CS. Aus dieser und der ersten Projektion O' S' ergibt sich der vertikale Höhenunterschied der Punkte C und S {S'TA- S'C'} CT — C°S°)’j folglich liegt die zweite Projektion A”on S auf der Vertikalen durch &'in dem Abstande CT senkrecht über oder unter и" (US"= US"= S'T). Die zAveite Projektion von RS ist also entweder R" S" oder R"Sauf diesen Geraden müssen die zweiten Projektionen von und В liegen. Man erhält also zAvei Lösungen, je nachdem man A!'B"C" oder A"B"C" als zA\reite Projektion des Dreiecks ABC ansieht.

In der Figur 98 ist dem speziellen Falle der Anliegenden Aufgabe entsprechend A A'B'C⁰ als gleichseitiges Dreieck gezeichnet.

109. Nachdem jetzt die beiden Projektionen einer Fläche des Vierflachs bekannt sind, kann man die vierte Ecke D leicht konstruieren. Dieselbe liegt senkrecht über dem Mittelpunkte 71/\ron ABC, dessen Projektionen die Schnittpunkte der Mitteltransversalen von A'B'C und A"B"C" sind. Dann ist M'D'±u\ M"D"±v", wenn V (г/11 x) eine zweite Hauptlinie der Ebene des Dreiecks ABC ist. Aus den beiden Projektionen einer Seite von ABC bestimmt man die Avahre Länge s einer Kante des Vierflachs und findet dann die wahre Länge h von MD als Kathete eines rechtAvinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse 5 und dessen andere Kathete 2

gleich — der Höhe einer Seitenfläche, also gleich у Уз ist.

Um schließlich, noch die Punkte U, D" zu bestimmen, wählt man einen beliebigen Punkt E auf der J_ ABC durch M gezogenen Geraden und bestimmt die wahre Länge von ME, welche gleich И'Ед ist (M"F"\\x, Е'Е'д = E"F" und ±M'E'). Trägt man nun die Höhe des Tetraeders auf Mf Ед bis Пд ab (ЗГТУд = h) und fällt von ТУд ein Lot auf il/' E', so ist sein Fußpunkt der Punkt U] D" liegt vertikal über D' auf M"E".

Da der Punkt D auch auf der anderen Seite von ABC liegen kann, so erhält man zwei regelmäßige Vierflache mit der Seitenfläche (A'B'C'y A!'Bn C") und weitere zwei mit der Seitenfläche (A'B'C\ A"B"C"); die Aufgabe besitzt also im allgemeinen vier Lösungen.

Ebener Schnitt eines Vielflachs und Netz desselben.

110. Um die Schnittfigur eines Vielflachs mit einer Ebene E zu konstruieren, kann man entweder die Eckpunkte der Schnittfigur als Durchschnittspunkte der Kanten des Vielflachs mit E oder die Seiten der Schnittfigur als Schnittgerade der Seitenflächen des Vielflachs mit E bestimmen; das erstere heißt das Kantenverfall re n, das letztere das Flächenverfahren. Bei dem Kantenverfahren kommen nur die innerhalb der begrenzten Kanten gelegenen Schnittpunkte und bei dem Flächenverfahren nur die innerhalb der begrenzten Seitenflächen gelegenen Teile der Schnittlinien in Betracht. Die Anwendung des Fläclienverfahrens empfiehlt sich nur bei gewissen Klassen von Vielflachen, vornehmlich bei Prismen und Pyramiden. Bei dem Kantenverfahren nimmt man entweder eine dritte Projektionsebene TT₃, welche auf TJ₁ (oder U₂) und E senkrecht steht, zu Hilfe oder benutzt die projizierenden Ebenen der Kanten (§ 69). Bei Benutzung einer TT₃ fällt die dritte Projektion der Schnittfigur mit der dritten Spur von E zusammen; man sieht folglich unmittelbar, welche Kanten E treffen. Besonders bei komplizierten Vielflachen wendet man am vorteilhaftesten dieses Verfahren an.

111. Aufgabe. Ein mit einer Achse senkrecht auf TJ₁ stehender Würfel wird von einer Ebene E (e±, e₂) geschnitten; es soll die Schnittfigur und das Netz des Würfels konstruiert werden.

(Erste Art des Kanten Verfahrens.) (Eig. 99.) Es empfiehlt sich, hier eine dritte Projektionsebene TT₃ -LTt1 und iE zu benutzen (y = TTi X TT₃ , у _L e±) und (nach § 84) die dritte Projektion des Würfels, event, nur so weit als nötig, zu zeichnen. Die dritte Spur es von E erhält man leicht mit Hilfe einer ersten Hauptlinie и, z. В. derjenigen, deren erste Projektion u! durch G" geht; dann ist Щ U₃ = G" U₂ und e₃ die Verbindungslinie von Us mit Ey = e, X У • Die Schnittpunkte von e₃ mit den dritten Projektionen der Würfelkanten geben sofort die dritten Projektionen L"\ . .., 0" der Ecken der gesuchten Schnittfigur. Diese liât man nur noch rückwärts in die anderen Projektionen (L'"L'A- y, I/Z/'JLæ) zu übertragen. Hierbei ist zu beachten, daß zwei benachbarte Ecken der Schnittfigur auf zwei derselben Seitenfläche angehörenden Kanten liegen müssen. In der Figur sind auch die sonst sichtbaren Kanten so weit punktiert, als sie durch E verdeckt werden.

Für das Ausziehen der Linien der Schnittfigur ist zu beachten, daß nur diejenigen Linien sichtbar sind, welche auf sichtbaren Flächen liegen, und daß

von einer auf dem wahren Umrisse gelegenen Ecke der Schnittfigur stets eine sichtbare und eine unsichtbare Seite derselben ausgehen.

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Kontrolle: Man konstruiert den Aufriß besonders, indem man das Verfahren unter Benutzung einer zu TT und E senkrechten neuen Projektionsebene wiederholt;

die entsprechenden Punkte von Grundriß und Aufriß müssen dann vertikal übereinander liegen.

Die wahre Gestalt J₀ ... O₀ der Schnittfigur erhält man durch Umlegen von E in TTi (§ 79,1). J₀ .. O₀

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Fig. 100.

und J* achse.

O' sind affin in bezug auf e₁ als Affinitäts-

Legt man alle Seitenflächen des Würfels in einer Ebene so aneinander, daß jede mit der benachbarten längs einer Kante zusammenhängt, so erhält man das Netz des Würfels (Fig. 100). Die Kantenlänge s desselben erhält man aus der Diagonale einer Seitenfläche ; da

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Um die Seiten der Schnittfignr einzutragen, trägt man ihre Eckpunkte ein; z. B. findet man J auf AD leicht aus AD : AJ = A'Df : ÄJ' usw. Kontrolle: JK = J₀ K₀ usw.

112. Man benutzt oft die Schnittfigur eines Vielflachs mit einer passend gewählten Ebene, um sein Netz leichter konstruieren zu können, wie das folgende Beispiel lehren mag.

Aufgabe. Ein schiefes Prisma AB CD ist durch seine beiden Projektionen gegeben; es soll sein Netz entwickelt werden.

(Fig. 101). Man schneidet das Prisma durch eine Ebene E, welche senkrecht zu den Kanten AB desselben ist; man zieht also durch einen beliebigen Punkt Ex von X die Spuren e₁J_A'B' und e₂ _L A" B". Darauf konstruiert man nach dem Verfahren des vorigen Paragraphen die Schnittfigur Cx C₂ C₃ CL mit Hilfe einer zu TJ₁ und E senkrechten Ebene TT₃, d. h. also 2/ = TTl X TT3 ist J_e₁. Da die Hilfsebene E sowohl auf den Kanten AB als auf TT₃ senkrecht steht, so ist e₃ _L A"f B"' Aus der dritten Projektion erhält man zugleich die wahren Längen der Kanten zwischen den beiden Endflächen des Prisma, sowie ihrer Teile zwischen jeder Endfläche und E. Ferner konstruiert man die wahre Gestalt der Schnittfigur durch Umlegen von E in ; die Kreise, welche die Punkte C beschreiben, projizieren sich auf TT^ in die Kanten ABA Zur Kontrolle dient, daß e₁ Affinitätsachse für A± A₂ A₃ Ai , C[ C'₂ C₃ C\ und Cl C₂ C₃ C4 ist, also entsprechende Seiten der drei Figuren sich auf e± schneiden.

Breitet man nun die prismatische Fläche, welche längs der Kante A₃B₃ aufgetrennt sei, in eine Ebene aus,

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so fallen (Fig. 102) die Seiten des Normal Schnittes С* C₂ С₃ (74 in eine Gerade, auf welcher die Kanten senkrecht stehen. Aus der wahrem Gestalt der Schnittfigur entnimmt man die Längen Ci C₂ = G[ C₂, . . . und aus der dritten Projektion die Längen Ai Ci = Ai"Ci", . .., A₄ C₄ = A^Ci", AxBi = . . . = A₄I?₄ = Aÿ'-Bg". Hierdurch ist das Hetz der Seitenflächen bestimmt, an welche man noch die beiden Endflächen, die aus dem Grundrisse unmittelbar zu entnehmen sind, in passender Weise anfügt. Faltet man die Netzfigur wieder zur Prismenfläche zusammen, so erhält man entweder das Prisma AB oder das ihm in bezug auf J]₁ symmetrische, je nachdem die eine oder

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die andere Seite der Netzebene nach außen zu liegen kommt.

113. Aufgabe. Es ist der Schnitt eines schiefen Prisma AB (ABr, A'rB") mit der Ebene E(e1? e₂) zu konstruieren (Fig. 103).

(Zweite Art des Kantenverfahrens.) Man bestimmt für jede Seitenkante des Prisma die Schnittlinie s ihrer ersten projizierenden Ebene N mit E und dann den Schnitt-punkt G von s mit der betreffenden Kante (§ 69), wie dies in der Figur 103 für die Kante AiB₁ = s' = AiB[, s” — S" S₂, Ci = s" X A'IB'O durchgeführt ist. Auf diese Weise erhält man den Aufriß der Schnittfigur,

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aus welchem man rückwärts die erste Projektion erhält. Ist C'i gefunden, so kann man die übrigen Punkte auch auf Grund der affinen Beziehung von A₁A₂A₃Aé und G'i G2 C'sCi (Affinitätsachse e{) finden. Zur Kontrolle dient im ersteren Falle, daß entsprechende Seiten der Grundfläche und der ersten Projektion der Schnittfigur,

z. B. Â3Â4 und C3C4 sich auf ег schneiden müssen, und im letzteren Falle, daß Ci (7Ï, C'2 C₂, . . . J_ x sein müssen.

114. (Flächenverfahren.) Man bringt jede Seitenfläche des Prisma zum Schnitt mit E, wozu man eine Hilfsebene ФЦТ^ benutzt. Die Spur von E in dieser Hilfsebene ist eine erste Hauptlinie и von E und also ex parallel. Das Prisma wird von TTj, und Ф in zwei kongruenten Vielecken Ax A₂ ... und BXB₂... geschnitten. Verbindet man die Schnittpunkte Eh2 = ex X W und FXj2 =    miteinander, so ist diese Gerade der

Schnitt der Ebene E und der Seitenfläche Ax A₂ B₂ Bx und das innerhalb dieser Seitenfläche gelegene Stück Cx C2 zugleich eine Seite der Schnittfigur. In dem vorliegenden Falle legt man Ф durch die obere Endfläche des Prisma (и" = В"В'з ,    = e₂Xu”, U2Ü2±x, и'||в! durch Щ.

In der Figur ist die Konstruktion nur für die Seitenfläche М3И4В4Б3 durchgeführt (Ез,4 = A₄ X > ^3,4 = B'zBiy^u', Ез,4^з,4 ist die Projektion des Schnittes, welche A3B3 in Ć3, A±Bi in Ci schneidet), und Сз(74 ist ihre Schnittgerade mit E. Auch hier läßt sich die affine Verwandtschaft von Ci C₂ Ci Ci mit A₁A₂A₃A4: (Achse ei) und mit B[B₂B'dBi (Achse vT) für die weitere Konstruktion verwerten, nachdem C₃ Ci bestimmt ist. Kontrolle: Je zwei benachbarte Seiten der Schnittfigur müssen sich auf der dazwischen liegenden Kante schneiden.

115. Aufgabe. Es ist die Schnittfigur einer Pyramide mit einer Ebene E (ex, e₂) und das Netz der Pyramide zu konstruieren.

Wenn die Pyramide mit ihrer Grundfläche nicht auf TJX oder TT₂ aufsteht und auch ihre Schnittfiguren mit denselben außerhalb der Zeichenfläche liegen, so wendet man das Kantenverfahren an; anderenfalls ist aber das Flächenverfahren vorteilhafter.

In Figur 104 steht die Pyramide mit ihrer Grundfläche auf TTi auf. Man legt dann durch ihre Spitze S

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Fig. 104.

eine Hilfsebene ФЦТТ^ welche Е in der ersten Hauptlinie и (и" durch S" und ||ж), die Seitenfläche SA₂A3 in der durch S gehenden Geraden t schneidet, welche ||^4₂M₃ (t’\\A₂A₃) ist. Die Punkte j67₂,s = А A₃ X h und ^2,з = t' X u' bestimmen dann die erste Projektion der gesuchten Schnittgeraden, deren innerhalb S’ A₂ A3 gelegener Teil C^Ci die erste Projektion einer Seite der gesuchten Schnittfigur ist.

Nun gehen die Verbindungslinien entsprechender Ecken der Grundfläche und der Schnittfigur (als Kanten der Pyramide) durch einen Punkt, S, und schneiden sich entsprechende Seiten auf einer Geraden, nämlich der Schnittlinie e± der Ebenen beider Figuren. Man nennt solche Figuren perspektiv-kollineare, S ihr Kollineationszentrum, e ihre Kollineations-achse und die Verbindungslinien entsprechender Punkte Kollineationsstrahlen. Diese geometrische Verwandtschaft, von welcher später noch ausführlicher die Rede sein wird, umschließt die Perspektive Affinität als speziellen Fall; rückt S in das Unendliche, so werden die Kollineationsstrahlen einander parallel, und die Figuren sind dann zueinander perspektiv-affin.

Dieselbe Verwandtschaft besteht augenscheinlich auch noch zwischen der Grundfläche und der ersten Projektion der Schnittfigur; e± ist die Kollineationsachse und S' das Kollineationszentrum. Nachdem also CŹ bestimmt ist, verbindet man -£3,4 = M3M4 X ei mit C3; diese Gerade schneidet A±S' in CI, und mithin ist Ci Ci die erste Projektion der Schnittlinie von mit E. In dieser Weise fortfahrend, erhält man die übrigen Pimkte C’. Als Kontrolle dient, daß die so entstehende Figur sich schließen muß.

Um die wahre Gestalt C\ C\ C3 C\ der Schnittfigur zu erhalten, legt man die Ebene E in TT₂ um (§ 79, II:

C2C2 JLe1? C\Y² = C'₂ P²+ C'zX²) Affinität zwischen C\ . . . C4 und C\ . . . C\ mit et als Affinitätsachse).

Das Netz der Pyramide entsteht durch Umlegen ihrer Seitenflächen in JJ₁. Hat man die Seitenfläche SA₂A₃ um A₂A₃ in TJ₁ umgelegt (§76: S'SA _L A₂ A₃,

SA P = S'P + &², луо h die Höhe der Pyramide bezeichnet), so ist CA der Schnittpunkt von A₂SA mit dem von C₂ auf A₂A₃ gefällten Lote. In gleicher Weise findet man GA.

Kontrolle: CACA = C°₂C°S und CACA muß G'₂C'Z und A₂A₃ auf et schneiden, also ebenfalls durch den Punkt Е₂,з gehen. Die Umlegung von SA₃A₄ findet man jetzt einfach in der 'Weise, daß man das von S' auf A₃A₄ gefällte Lot mit dem Kreise, dessen Kadius gleich A₃SA und dessen Mittelpunkt A₃ ist, sclmeidet.

Durchdringung zweier Vielflache.

116. Die Konstruktion der Schnittfigur zweier Vielflache kommt im allgemeinen auf eine wiederholte Anwendung der Verfahren hinaus, welche in den §§110 bis 115 für die Bestimmung der ebenen Schnitte von Vielflachen gegeben sind. Dementsprechend unterscheidet man auch hier Kanten- und Flächenverfahren.

Bei dem Kantenverfahren hat man den Schnittpunkt jeder Kante des einen Vielflachs mit jeder Fläche des anderen zu konstruieren und erhält dadurch die Ecken der Schnittfigur. Hierbei kommen nur solche Schnittpunkte in Betracht, welche innerhalb der begrenzten Kante und der begrenzten Fläche liegen. Es sind dann je zwei Eckpunkte, welche auf beiden Vielflachen ein und derselben Seitenfläche angehören, miteinander zu verbinden.

Bei dem Flächenverfahren bestimmt man die Seiten der Schnittfigur als Schnittlinien der Flächen des einen mit den Flächen des anderen Vielflachs. Nur so weit, als jede solche Schnittlinie innerhalb beider begrenzten Seitenflächen liegt, ist sie Seite der Schnittfigur, deren Ecken auf den Kanten der Vielflache hegen müssen.

Die Durchschnittsfigur besteht aus einem oder mehreren geschlossenen Vielecken. In dem ersteren Falle dringt das eine Vielflach entweder in das andere ein oder schneidet ein Stück aus ihm aus; in dem letzteren Falle durchdringt das eine Vielflach das andere. Jedes Vieleck der Schnittfigur ist eben oder windschief, je nachdem es auf einer einzigen Fläche eines der beiden Vielflache liegt oder nicht. Ob eine Seite der Schnittfigur sichtbar ist oder nicht, hängt davon ab, ob von beiden Vielflachen die Flächen, dessen Schnittlinie sie ist, sichtbar sind oder nicht. In den folgenden Figuren sind bei jedem Vielüach die Teile der Kanten, welche innerhalb des anderen liegen, gar nicht gezeichnet.

117. Aufgabe. Die Durchdringung einer dreiseitigen Pyramide und eines regelmäßigen Achtflachs zu konstruieren.

(Kantenverfahren.) Die beiden Vielflache seien durch ihre beiden Projektionen gegeben; eine Achse DJ des Achtflachs sei _L T1₁. Man benutzt, um die Ecken der Schnittfigur zu konstruieren, erste projizierende Ebenen durch die Kanten der Vielflache (§ 70). Bei der besonderen Lage des Achtflachs zu T1₁ gewährt diese Wahl der Hilfsebenen den Vorteil, daß die Kanten der beiden Quadrate DFJH und DEJG die gleichen projizierenden Ebenen besitzen (Fig. 105). Um auch für die Kanten des Quadrates EFGH den gleichen Vorteil zu haben, verwendet man für dieselben zweite projizierende Ebenen.

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Die Konstruktion gestaltet sich für die Kanten des Quadrates DFJH folgendermaßen. F'H' schneidet S'A’, S'B', S'C' in I/, M\ N'. Die zweiten Projektionen L", M", N” bestimmen die zweiten Projektionen der Geraden, in welchen die erste projizierende Ebene des Quadrates DFJH die Seitenflächen der Pyramide schneidet Die Schnittpunkte von L"M", M"N”, N"L" mit D"F", F"J", J"H", H"D" sind die zweiten Projektionen von Eckpunkten der Schnittfigur. Da nach dem Obigen nur Schnittpunkte zu nehmen sind, welche innerhalb der begrenzten Kanten und Flächen liegen, so sieht man aus der zweiten Projektion, daß keine der obigen vier Kanten des Achtflachs die Seitenfläche SAG der Pyramide schneidet, da L"N" keine Seite des Quadrates D"F"J"H" trifft und daß die beiden anderen Seitenflächen der Pyramide nur von der Kante JH in den Punkten 3, 8 getroffen werden, da allein J"H" die Linien L"M" und M"N" in den Punkten 3", 8" schneidet. — Analog gestaltet sich die Aufsuchung der Schnittpunkte einer Pyramidenkante mit den Flächen des Achtflachs: P' = S'A'X E'F' Q'= S'A' X E'G', P'= S'A' X F’J’, T'= S'A' X E'D'-1" = S"A"X P"R", 5"= S"A" X QnB"\ von P"T” und T"Q" wird S"A" nicht getroffen. Die Kante SA schneidet also nur die Flächen EFJ und FGJ des Achtflachs in 1 und 5.

118. Hat man in dieser Weise alle Schnittpunkte der Kanten und Flächen der beiden Vielflache konstruiert, so sind dieselben in richtiger Weise zu verbinden. In den meisten Fällen wird man — um Irr-tümer zu vermeiden — guttun, sich bei der Konstruktion eine Tafel anzulegen, welche neben jedem Schnittpunkte die Flächen beider Vielflache, in denen er

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liegt, angibt. Aus dieser Tafel erkennt man dann, welche zwei Punkte denselben Flächen auf beiden Vielflachen angehören und also zu verbinden sind. In unserem Falle gestaltet sich die Tafel folgendermaßen:

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Die Verbindungslinie je zweier durch aufeinander folgende Zahlen bezeichneter Eckpunkte ist eine Seite der Schnittfigur; da z. В. 1 und 2 den Flächen EFJ und SAB angehören. Der Linienzug 1 2 3 4 5 gehört SAB und den vier um J gelegenen Flächen des Achtflachs an. Blickt man in der Richtung -LT\₁, so ist SAB im Grundriß sichtbar, und das gleiche gilt für die vier Flächen des Achtflachs; daher ist der Linienzug l/2'3'4r5/ auszuziehen. Eine Ecke der Schnittfigur, in welcher eine sichtbare und eine unsichtbare Seite derselben zusammenstoßen, liegt stets auf dem

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sichtbaren Teile des wahren Umrisses des einen Vielflachs.

119. Das Verfahren ist für ganz beliebige Vielflache anwendbar; es erfordert aber unter Umständen erfolglose Versuche, wenn nicht aus der bloßen Anschauung zu erkennen ist, daß eine Kante des einen Vielflachs das andere überhaupt nicht schneidet; die Kante SB z. B. erforderte einen derartigen erfolglosen Versuch. Besonders bei der Aufsuchung des ersten Eckpunktes der Schnittfigur (oder jedes Teiles derselben, wenn dieselbe aus mehreren getrennten Teilen besteht) sind oft solche erfolglose Versuche nicht zu vermeiden.

Ist aber z. B. 1 = EFJ X SA gefunden, so können die von 1 ausgehenden Seiten der Schnittfigur nur den Flächen SAB und SA C angehören. Auf der Schnittgeraden von EFJ und SAB z. B. muß also ein weiterer Eckpunkt der Schnittfigur liegen. Man bringt also noch eine beliebige Kante der einen Fläche mit der anderen Fläche (z. B. SB mit EFJ) zum Schnitte und erhält dadurch die Richtung der Schnittlinie s beider Flächen bestimmt. Soweit diese Schnittlinie s innerhalb beider Flächen liegt, ist sie Seite der Schnittfigur und bestimmt in dem Punkte, in welchem sie die Begrenzung der einen Fläche überschreitet, einen weiteren Eckpunkt (s X EJ= 2). Von diesem geht man dann in gleicher AVeise weiter. Auf diese Art lassen sich, wenn ein Eckpunkt eines Schnittpolygons gefunden ist, erfolglose Versuche vermeiden.

Kontrolle: Nachdem der letzte Eckpunkt der Schnittfigur gefunden ist, bestimme man die letzte Seite noch als Schnittlinie der betreffenden Seitenflächen, welche dann durch den letzten und ersten Eckpunkt gehen muß.

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120.    Die nebenstehende Figur 106 gibt das Netz des Achtflachs mit eingezeichneter Schnittfigur. Die Kantenlänge s des Achtflachs ist gleich E'F'. Die Lage des auf der Kante EF gelegenen Punktes 12 kann man direkt dem Grundriß entnehmen, da EF\\TJi ist; die Lage des auf EJ gelegenen Punktes 2 findet man aus der Proportion : EJ : E 2 = E' J' : E' 2 Um einen nicht auf einer Kante liegenden Punkt, z. B. 1 in der Abwicklung zu bestimmen, kann man die Gerade J' 1', welche E'F' in Z' schneidet, ziehen und erhält dann in der Abwicklung Z auf EF und 1 auf JZ aus den Beziehungen EZ= E'Z't *71 : JZ= J' V : J'Z'.

121.    Aufgabe. Es ist die Durchdringung eines geraden und auf TT₂ senkrecht stehenden Prisma mit einem beliebigen anderen Prisma, dessen Kanten TTi parallel sind, zu konstruieren.

Das Kanten verfahren vereinfacht sich in diesem besonderem Falle bedeutend. In der zweiten Projektion (Fig. 107) liefern , die Punkte B", BŹ', B'f imd die Schnittpunkte der Kanten A" G" mit den Seiten des Dreiecks BjfBÿBS unmittelbar die zweiten Projektionen der Eckpunkte der Schnittfigur. Die ersten Projektionen der Punkte 2, 5; 7, 9 erhält man durch Loten aus 2", 5"; 7" 9". Um ferner z. B. die auf B₂D₂ gelegenen Eckpunkte zu bestimmen, zieht man durch B'f eine Parallele zu A"G" ||æ, welche A"A3, A3 A4 in den Punkten К", II" schneidet. Die durch K\ IF gezogenen Parallelen zu A^ C$ schneiden B2D2 in den gesuchten Punkten 1' und G'.

Während in der Figur 105 jedes Yielflach aus dem anderen ein Stück ausschnitt, findet hier der Fall der Durchdringung statt: Das Prisma BD durchdringt das Prisma AG.

Man konstruiere die Netze beider Prismen mit den Seiten der Durchdringungsfigur.

122. Aufgabe. Die Durchdringung zweier Pyramiden, deren Grundflächen in verschiedenen Ebenen liegen, zu konstruieren.

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Fig. 107.

Auch bei dieser Aufgabe benutzt man das Kantenverfahren, aber in abgeänderter Weise. Statt der projizierenden Ebenen verwendet man Hilfsebenen, welche durch die Verbindungsgerade g der beiden Pyramiden-spitzen S und T gehen. Vorausgesetzt, daß eine solche Ebene beide Pyramiden trifft, schneidet sie ihre Mäntel in Geraden, welche durch die Pyramidenspitzen gehen. Legt man insbesondere eine solche Ebene durch eine Kante der einen Pyramide, so sind die Punkte, in welchen diese Kante die von der Ebene auf dem Mantel der anderen Pyramide ausgeschnittenen Geraden trifft, Ecken der Schnittfigur beider Pyramiden.

\ Die Ebenen der Pyramidengrundflächen Ax A₂ A₃, BLB₂B₃ seien bzw. mit А, В bezeichnet. Die Gerade g = ST treffe die Ebene A in dem Punkte A, die Ebene В in dem Punkte B. Jede durch g gelegte Ebene schneidet A und В in durch A und В gehenden Geraden а, b, welche sich ihrerseits auf der Schnittgeraden s der Ebenen A und В schneiden müssen. Verbindet man andererseits A z. B. mit dem Punkte Al und den Schnittpunkt N=.AA₁ X $ mit B, so bestimmen die Geraden NA, NB eine durch die Pyramidenkante SA und die beiden Pyramidenspitzen gehende Ebene.

(Fig. 108.) Zunächst bestimmt man Dirndl? nach § 70,1 {C'^AA'tXö', £' = ^ДХУ, С'ф" ХУ'; E' = BiBi X g', E' = Bl Bi X 9\ B" — E"F" X g"). Hierauf sind die Projektionen von s== АХ В zu ermitteln, was am besten dadurch geschieht, daß man die Durchschnittspunkte von Geraden der einen Ebene mit der anderen Ebene aufsucht. In der Figur ist dies in der AVeise ausgeführt, daß (§ 70, I) die Schnittpunkte J von BBX mit A und M von AA₃ mit В konstruiert sind (G' = 44 X B'B[, IE = AUs X B'B[, J" = G "II" X В" ВЦ] E = BiBi X А'A3, IE = B'àB[ X A'A'₃, M" = L"К" X A"Ag; s' = EM', s" = J"AI"). Urn nun die Schnittpunkte der Kante SAi mit der anderen Pyramide zu finden, zieht man die Gerade A'A[, welche s' in N' schneidet; N'B' schneidet die Grimdfläche

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Fig. 108.

der anderen Pyramide in R', Q\ folglich, sind Q' 7V, R' T die ersten Projektionen der Mantellinien, in denen die Ebene A₁ST die Pyramide TBiB₂Bs schneidet. Die Punkte l'= SfA[ X R'T\ 3'^S'A'iXQ'T' sind mithin Eckpunkte des Grundrisses der Schnittfigur. Die durch g und A₂, bzw. A₃ gelegten Ebenen schneiden die andere Pyramide überhaupt nicht, da bereits Ж/В'(М/ = A'A'₃ X s') das Dreieck B[B'₂B₃ gar nicht trifft. In gleicher Weise verfährt man für die Kanten der Pyramide TBiB₂B₃ (in der Figur für die Kante Bt T durchgeführt; die anderen Kanten liefern keine Schnittpunkte).

Bestimmt man auch die zweiten Projektionen der Eckpunkte in dieser Weise (und nicht durch bloßes Loten aus den ersten Projektionen), so hat man die Kontrolle: l' l", 2'2",____L x.    *    ,

123. Das Verfahren bleibt auch dann noch anwendbar, wenn die Durchdringung von Pyramide und Prisma oder von zwei Prismen zu konstruieren ist. Da man ein Prisma als Pyramide, deren Spitze im Unendlichen liegt, ansehen kann, so benutzt man im ersteren Falle als Gerade g die durch die Spitze der Pyramide zu den Prismenkanten gezogene Parallele. Die von den Ebenen durch g auf dem Prisma ausgeschnittenen Mantellinien sind den Kanten desselben parallel.

Handelt es sich um die Durchdringung zweier Prismen, so nimmt man Ebenen zu Hilfe, welche durch die Kanten des einen Prismas parallel zu denen des anderen gelegt sind. Alle diese Hilfsebenen sind einander parallel, schneiden also die Ebenen A und В der Prismengrundflächen in parallelen Geraden a, 6, von denen sich je zwei zusammengehörige auf s = AXB schneiden. Als Beispiel für diesen Fall diene die folgende Aufgabe, in welcher noch die Prismengrundfläche A mit TTi zusammenfällt.

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Fig. 100.

124. Aufgabe. Es soll die Durchdringung eines auf TTj stehenden Prisma mit einem be-liebig gelegenen anderen Prisma konstruiert werden.

Zunächst bestimmt man die Schnittgerade s der Grundflächen, welche hier mit der ersten Spur der Ebene В identisch ist; s' ist als die Verbindungslinie der ersten Spurpunkte der Seiten B₁ B₂ , B₂ Bs konstruiert, sr,= X. Hierauf ermittelt man die Richtungen von а und b. In der Figur 109 ist a konstruiert als Schnittgerade einer durch A₂ C₂ parallel zu den Kanten BD gelegten Ebene (nach § 60, IV: g/= B^D^^ E'= B'₂ Д> g" Il B2D2 durch E"; a'= Ox Â₂) imd b als Schnittgerade einer durch B₂ D₂ parallel zu den Kanten AC gelegten Ebene (Parallele h zu AG durch den beliebigen Punkt II der Kante B₂ D₂, J= h X B, V= B'₂ J'). Hierauf verfährt man weiter wie in § 122 (z. B. B£N\\ b\ NQ\\a' ; die Parallelen zu A± C\ durch P und Q liefern auf BsDt die Eckpunkte 2', 5' der Durchdringungsfigur).

125. Aufgabe. Es soll die Durchdringung einer Pyramide und eines Prisma, welche beide auf TJ₁ stehen, konstruiert werden.

(Flächenverfahren.) Hier verwendet man vorteilhaft das Flächenverfahren, indem man die zu TJ1 parallele Ebene E (e₂ || x) durch die Spitze S der Pyramide zu Hilfe nimmt. E schneidet das Prisma in einer der Grundfläche kongruenten Figur Dt D₂ Ds (Fig. 110); die Schnittgeraden der Pyramidenflächen mit E gehen durch S und sind den Kanten der Pyramidengrundfläche parallel. Die Schnittlinie der Flächen A₁ A₂ C₂ Gx und SB₂ Bs z. B. erhält man dann als Verbindungslinie von E = At A₂ X B₂ B₃ und F = D₁D2 X SF, wo SF\\ B₂B₃ {F'=~ им X S'F') ist. Da EF die Kanten SB₂, SB₂ der Pyramide innerhalb der

Prismenfläche A₁A₂C₂G₁ schneidet, so sind 3 = SB2 X FF und 4 = SB₃ X FF Ecken und 3 4 ist eine

cj c ç;

S'

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ж-

r\

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4" 44

4\

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Fig.llO.

Seite der Durchdringungsfigur. In 3 und 4 beginnen die Seiten der Durchdringungsfigur, welche den Schnittlinien derselben Prismenfläche At A₂ C₂ Gx mit den beiden anderen Pyrmnidehfläehen angehören ; diese beiden Seiten enden auf der Kante A₂ 0₂. Fährt man in gleicher Weise fort, so erkält man den Grundriß der ganzen Durchdringungsfigur.

Kontrolle: Die Durckdringungsfigur muß eine (aus einem oder mehreren Teilen bestehende) geschlossene Figur sein.

Das Fl äclien verfahr en eignet sich auch für die Durchdringung von zwei Prismen oder zwei Pyramiden, wie man sofort erkennt. Es wird aber bei allgemeiner Lage der Vielflache nur dann vorteilhaft angewendet, wenn die Schnitte der Seitenkanten beider Vielflache mit zwei passend gewählten, entweder zu ТТ* oder zu TT₂ parallelen Ebenen zugänglich sind. Zwei Prismen werden von solchen Parallelebenen in kongruenten, zwei Pyramiden in ähnlichen Vielecken geschnitten.

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung G. m. b. H. in Berlin und Leipzig

In unserem Verlage erscheint:

Sammlung Schubert

Sammlung mathematischer Lehrbücher

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drittens durch eine leichtfaßliche Darstellung des Stoffes auch für den Nichtfachmann verständlich sind.

Wenngleich für jedes der einzelnen Gebiete der Mathematik Lehrbücher genug vorhanden sind, so fehlte es doch bisher an einem auf dem heutigen Standpunkt der Wissenschaft und der Lehrmethoden stehenden Lehrgänge der gesamten Mathematik, welcher, einheitlich angelegt, in systematisch sich entwickelnden Einzel-Darstellungen alle Gebiete der Mathematik umfaßte. Dieser Umstand bewog uns, die „Sammlung Schubert“ ins Leben zu rufen. Dieses Unternehmen soll sich in doppelter Weise brauchbar und nützlich erweisen: einerseits für den Mathematiker, der in Fächern, die nicht zu seiner Spezialität gehören, sich unterrichten oder auch nur nachschlagen will, anderseits für den Techniker und Naturwissenschaftler, dem in leichtfaßlicher Sprache alles geboten wird, was er von der Mathematik für seine besonderen Zwecke wissen muß. Die Form der Darstellung ist so gewählt, daß die einzelnen Bände in gleicher Weise für den Unterricht, wie für den Selbstunterricht oder zur Repetition geeignet sind.

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ШдеЬгаЦсЬе Wurden b. ©ugen 93eutel. ßberreallehrer in 93aihingen-©nj, I: ^urbenbiêfuffion. ЗДШ 57 gig. im Xejçt №. 435.

--II: Theorie u. Âurbeit britter

u. bierter Drbnung. 9ftit 52 gig. im Zetf. №. 436.

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Slltteftamentl. fReligiondgefdjichte bon D. Dr. $ta£ Söhr, $rofeffor an ber Uniberfität ®ônig§berg. 9lr. 292.

91mbhibien. da§ dierreicb III: Шр* tilien u. Slmbhihien b. Dr. grans SBerner, 9ßwf. an ber Uniberfität 9Bien. 9ttit 48 Slbbilb. №. 383.

9lnalbfe, dechn.*(£bettt., bon Dr. ©. ßmtge, 9$rof. a. b. ©ibgen. SMh* ted)nifchen ©djule in ,8ürid). Élit 16 9lbb. 9lr. 195.

9lnalbfi3, jähere, I: differential* rechnuug. 9$on Dr. grbr. gunter, SReftor be3 9tealgt)mnafium3 u. ber 0berrealfd)ule in ©bringen. 9ttit 68 Figuren. №. 87.

--ffiebetitorium unb Aufgaben*

fammlnng sur differentialrech* nnng bon Dr. grbr. gunter, IRettor b. fRealgtmtnaf. u. b. Oberrealfdh. in ©oppingen. Élit 46 §ig. №. 146.

bon

Anatpfid, 4?öf>ere, II: gntegralrerf)» mmg. SSon Dr. griebr. Runter, Aettor bed Aealgpmnafiumd u. b. Dberrealfdjule in ©öppingen. SAit 89 giguren. Ar. 88.

--Aepetitorium unb Aufgaben*

famntlung sur gntcgralrerfmung bon Dr. griebr. ^funîer, Aeltor bed Aeatgpmnafiumd unb ber Ober* realfdjule in ©oppingen. SAit 50 giguren. Ar. 147.

— fiebere, bon $rof. Dr. Söenebiüt (Sporer in gingen. SAit 5 gig. Ar. 53.

Arbeiterfrage, £>ie gewerbliche, bon SBerner ©ombart, ^Srof. an ber &anbeldt)od)fd)ute Berlin. Ar. 209.

Arbeiterberfirberung fief>e: ©osial* Perfid) erung.

Archäologie bon Dr. griebrid) toepp, SSrof. an ber Uniberfität fünfter i. SB. 3 ШпЬфеп. m. 28 Abb. im Zeçt u. 40 SCafeln. Ar. 538/40.

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metiï unb Algebra bon Dr. фегпт. ©djubert, Sßrof. a. b. ©elehrten* fcpule bed .gopanneumd in фат* burg. Ar. 48.

Armeepferb, 2>ad, unb bie SSerforgung ber mobernen фееге mit SSferben b. gelij bon Samnih, General ber taballerie s- 3). u. ebemal. ^Sreufc. Aemonteinfpefteur. Ar. 514.

Arutenwefeu unb Armenfi'trforge. ©nfüprung in b. foliale $ilf£arbeit b. Dr. Abolf SBeber, 45rof. an ber Jpanbefôl)od}id}uïe in töln. Ar. 346.

Aftïjetiï, Allgemeine, bon SSrof. Dr. SAa;r 3)ies, Sebrer a.b.tgl.Afabemie b. bilb. tünfte in ©tuttgart. Ar. 300.

Aftronomie. ©röfje, S5emegung u. ©nt* fernung ber фтстпеШогрег b. A. g. SAbbiud, neu bearb. bon Dr. фегт. tobolb, $rof. an ber Uniberfität tiel. I: 3)ad fßlcmetenfpftem. SAit 33 Abbilbungen. Ar. il.

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©ternfpftem. SAit 15 giguren unb 2 ©ternfarten. Ar. 529.

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Aftrophbfif. $ie 93efd)affenheit ber фтхтеШЬгрег b. fjSrof. SB. g. SBidticenud. Aeu bearbeitet bon Dr. ф. Subenborff in SSotdbam. SAit 15 Ab bilb. Ar. 91.

Atherifche 01e unb Aied)ftoffe Dr. g. Aod)uffen in SAiltit). SAit 9 Abbilbungen. Ar. 446.

Auffapenttoürfe b. Cberftubienrat Dr. £. SB. ©traub, Aettor bed ©berparb* £ubtbigd*©t)mnaf. i.©tuttg. Ar. 17.

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Auftralien. Sanbedïmtbe u. SBirt* ftfjaftdgeographie bed geftlaubed Auftralien bon Dr. turt £affert, Arof. b. Oeograpbie an b. фапЬеЙ* ^od)fd)ule in toln. SAit 8 Abb., 6 graph. £ab. u. 1 tarte. Ar. 319.

Autogened ©chweiff* unb ©cpneib* bcrfahren bon gngen. ^and Aiefe in tiel. SAit 30 giguren. Ar. 499.

93abe* u. ©chwimmanftalten, üffent* lidje, b. Dr. tari SBoïff, ©tabtober* baur., фаппоьег. SA.50 gig. Ar.38Q.

SJaben. ©abifdje ©efrpitbte bon Dr. ®arl Brunner, ^ßrof. am ©pmnaf. in S?forsf)eim u. fBribatbosent ber ®efd)id)te an ber 5te(Ąnifd)en $оф' fd)iile in Äarldrube. Ar. 230.

— Sanbedfmtbe bon S3aben bonArof. Dr. O. ^ienib i. tarldrube. Aiit profil., Abb. u. 1 tarte. Ar. 199.

93al)nt)öfe. £od)bauten ber S3af)nböfe b. @ifenbaf)nbauinfpe!t. ©. ©d)toab, Aorftanb b. tgl. @.*£od)baufe!tion ©tuttgart II. I: (Smpfangdgebäube. Aebengebäube. ©üterfd)uppen. Solomotibfd)uppen. SAit 91 Ab* bilbungen. Ar. 515.

S5allanftaaten. ©efdjirfjte b. thrift* lithen ©alfanftaaten (Bulgarien, ©erbien, Aumänien, SAontenegro, ©riedfenlanb) bon Dr. t. Aotb in tempten. Ar. 331.

S3anïtoefem ЪсфпП bed SBanftoefend bon Dr. SBalter (Sonrab, ftellbert. SSorfieber ber ftatift. Abteilung ber Aeidjdbant in Berlin. Ar. 484.

©с*

Poufübnmg. Kursgefafctes &anbbud) über bas SÖefeu ber Puufüprung b. 9lrd)it. ©mit Peutinger, 9lffiftent an b. Xed)n. £od)fd)ule in $armftabt. 9R. 25 gig. u. 11 Cabell. 92r. 399.

Paufuuft, $ie, beê 9tbenblanbeS b. Dr. К. (Schäfer, 9iffift. a. ©emerbe* mufeum, Bremen. 9ttit 22 9lbb. 9гг. 74.

—    be§ 8tbulbaufe3 b. prof. $r.*3ng. ©mft Petterlein, Sarmftabt. I:2)aS (SdjulbauS. 9R. 38 9lbb. №. 443.

--II: 2)ie <Sd)ulräume — 2)ie

9tebenanlagen. 9ft. 31 9lbb. №. 444.

Paufteine. Sie Stobuftrie bcr fünft* lieben Paufteine nnb be£ 9Rörtel§ bon Dr. ©. lauter in ©burïotten* burg. 9Rit 12 tafeln. №. 234.

Pauftofffunbe, Sie, b. prof. £. &aber* ftrob, Dberl. a. b. £ersogt. Pau* getoerffcbule ^olgminben. 9ttit 36 9lbbilbungen. 92r. 506.

Papern. Papcrifdje ©efdjirijte bon Dr. £anS Ddel in 3lugSburg. 9?r. 160.

—    SanbeSfmtbe be§ Kimigrcid)^ Papern b. Dr. 9ö. ©ö&, Prof. a. b. Ägl. Seepn. $od)fd)ule 9ftünd)eu. Ш. profit., 9lbb. u.l Karte. №. 176.

PefeftioungStoefcn. Sie gefdńtptlidje ©ntmidlung be3 Pefeftigungê* toefenê boni 9luffontnten ber Pulbergefdjübe b té sur «tfeuseit bon SReuïeauf, 9ttajor b. (Stabe b. 1. SGBeftpreufc.Pionierbataill. 9îr.l7. 9Rit 30 Silbern. 92r. 569.

Peftfjm erb ererbt. Sa£ Stésipïtuur* u. Pefcbmcrbererpt für £eer tt. «Ша* rine b. Dr. 9fta£ ©. 9Jtaper, Prof, a. b. llnib. Strafburg i. ©. №. 517.

PetriebSfraft, Sie stnerfmâfjiflfte, bon griebr. Partb, Dberingen. in 9гйгп* berg. 1. Seil: ©inleitung. Sampf* ïruftanlagen. Perfdjieb. Kraft* mafd)inen. 9ft. 27 9lbb. 9lr. 224.

--II: ©aS*, Staffer* u. SMnb*

Kraftanlagen. 9tt. 31 9lbb. №. 225.

--III: ©leïtromotoren. PetriebS*

ïoftentabellen. ©rapb- Sarftelt. Stapl b. PetriebStraft. 9R. 27 9lbb. 9гг. 474.

Petoegnngêfpiele b. Dr. ©. Koblraufd), prof. am Kgl. Kaifer SWbelmS* ©pmn. §u .£>annober. Ш. 15 9lbb. 9îr. 96.

Pieicperei. SestU*3«buftrie III: Stafdjcrei, Pieicperei, Färberei nnb ibre £ilfôftoffe b. Dr. Stab. SRaffot, «Prof. a. b. Preufc. bob-gacpfdjule für Sertitiubuftrie in Krefelb. 9ttit 28 gig. 9гг. 186.

Plütenpflausen, Sa3 (Spftem bcr, mit 9luêfrt)lufî ber ©pmnofpermen bon Dr. 9Î. Pilger, KuftoS am Kgl. Po* tanifd)en ©arten in Perlin*Sablem 9ftit 31 Figuren. 9гг. 393.

Pobenfunöe bon Dr. p. Pageler in Königsberg i. Pr. 9гг. 455. Pranbenburgifrb * preuf|ifd)e

fepiepte bon Prof. Dr. Ш. îbamm, Sir. beS Kaifer SHtpelmS*©pnt= nafiumS in 9ftontabaur. 9tr. 600.

Prafilien. ßanbeSfnnbc berfRepublil Prafilien bon Pel fftobolppo bon Sbering. 9ftit 12 9lbbilbungen unb 1 Karte. 9гг. 373.

Prouereiwefen I: 9Jlälserei bon Dr. Paul Sreberpoff, Sir. ber Prauer* u. 9Äälserfd)ule su ©rimma. 9?lit 16 9lbbilbungen. 9îr. 303.

РгШ1сЬ*9гогЬатегг1а. Sanbe^ïunbe bon Pritifrl)*9torbamerifa b. Prof. Dr. 91. Dübel in Premen. 9ftit 13 9lbb. unb 1 Karte. 9гг. 284.

Putbfübrnng in emfadjen u. boüpel* ten Poften b. Prof. fRob. (Stern, Dberl. b. Dffentl. ^>anbelSlebrauft. u. 2)os. b. $anbelSbodbfd)üle su SeiüstO- Ш. bieleń formuł. 9îr.H5.

Pubbba bon Profeffor Dr. ©bmuub £arbt). 9ir. 174.

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—    9tnatptifÿe, bon Dr. .ftobamteS форре in 9Ründ)en. I: Xbeorie unb ©ang ber 9lnalpfe. 9ir. 247.

--II: fReaf'tion ber 9Jtetalloibe unb

9Retalle. 9гг. 248.

—    «Kttorgantfrbe, bon Dr. ^of. Klein in 9Rannbeim. 9гг. 37.

Ф)ernte, ©efdjidjte bet*, bon Dr. |mgo Sauer, Slffift. am djemifcpen Labo* ratorium ber ад. Decpn. 4?od)fd)ule (Stuttgart. I: Sou ben älteften Beiten bi3 g. Serbrennuugätpeorie bon Laboifier. Яг. 264.

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©egenmart. Яг. 265.

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gen. Яг. 193.

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та i6 mbitb. яг. 195.

(Spriftlicpen Literaturen be§ Orienté, Die, bon Dr. 2lnton Saumftarî. I: ©inleitung. — Da3 cpriftlicp* aramäifche и. b. loptifcpe (Schrift* tum. Яг. 527.

--II: Da3 rf)riftl.=arab. unb ba§

ätpiop. (Scprifttum. — Da3 cpriftï. (Schrifttum b. Slrmenier unb ©eor* gier. Яг. 528.

Dampfleffel, Die. $urggefapte3 Lepr* bud) mit Seifpieten für baś (Setbft* ftubium u. ben praïtifcpen ©ebraucp bon Oberingenieur griebr. Sartp in ЯйгпЬегд. I: Äeffelfpfteme unb Neuerungen. ЯШ 43 Nig. Яг. 9.

--II: Sau unb Setrieb ber

Dampfleffel. Ш. 57 Niß- Яг. 521.

Dampfmafrpinen, Die. Äurgßefafcteê Lehrbucp mit Seifpielen für baê (Setbftftubium unb ben praïtifcpen ©ebraud) bon Nriebr. Sartt), Ober-ingénieur in ЯйгпЬегд. 2 Sbdjn. I: SJärmetpeoretifcpe unb bampf* tecpnifdje ©runbtagen. ЯШ 64 Niß. Яг. 8.

— -—II: Sau unb Setrieb ber Dampfmafcpinen. ЯШ 109 Niß. Яг. 572.

Dampfturbinen, Die, ihre SHrftmgg* meife u. Æonftrultion bon Bußen, фегт. SSilba, Srof. a. ftaatt. Deep* nitum in Sremen. ЯШ 104 ШЬ. Яг. 274.

Deêinfeltion bon Dr. ffî. ©priftian, (Stabśargt a. D. in Sertin. ЯШ 18 Slbbitbungen. Яг. 546.

Determinanten bon S- S. 3ri№er, Obert. a. b. Oberreatfcp. g. ©rofj= Lid)terfetbe. Яг. 402.

Deutfdje Altertümer bon Dr. N*ang Nuhfe, Dir. b. ftäbt. AÊufeunté in Sraunfcpmeig. Ш. 70 Abb. Яг. 124.

Deutfd)eN0rtbitbung§fdntItoefen,Da§, nad) feiner gefd)id)ttid)en ©nttoitf* lung и. in feiner gegenroärt. ©eftalt bon $. (Sierdfê, SRebifor gemerbt. Nortbitbunß£fcpulen in (Schleimig. Яг. 392.

Deutfdjeê Nreiubtoorterburp bon Dr. ЯиЬ. ЗНетраи! in Leipzig. Яг. 273.

Deutfrpe ©efcpitf)te bon Dr. N- Äurge, Srof. a. ®gt. Luifengpmnaf. in Sertin. I: fötittetalter (bi* 1519). Яг. 33.

--II: Seitatter ber ^Reformation

nnb ber fReligionêlriege (1517 bi§ 1648). Яг. 34.

--Ill: Som 2Beftfätifcpen NHe-

ben bté sur Auflöfung be§ alten üieiâfë (1648—1806). Яг. 35.

--fiepe audi: Ouettenlunbe.

Deutfcpe ©rammatil unb furse ©e* fd)id)te ber beutfdjen (Sprache bon (Scpulrat S^of. Dr. О. Lt)on in Dre^ben. Яг. 20.

I: 2:000 unb Kamerun bon $rof. Dr. Фоье. Mit 16 Safeïn u. 1 litïjogr. Âarte. 92r. 441.

—    II: 2>ad ©übfeeoebiet unb Шаи-tfdjou bon ^Srof. Dr. Й¹. Фоье. Mit 16 Xafeln и. 1 litt). ®arte. 9îr. 520.

—    III: Oitafrüa bon ^5rof. Dr. 2)obe. Mit 16 Safeln и. 1 lit^ogr. Âarte. 97r. 567.

—    1У: ©übloeftafrila bon $rof. Dr. Ä. Фоье. Mit 16 2af. и. 1 lit^ogr. Âarte. Ш. 637.

2>eutftbe ^uïtur0eftf)icbte bon Dr. IRein^. Günther. 9îr. 56.

Eeułftfje ^onbeldlorrefbonbeng bon sJSrof. 21). be 93eait£, Officier de l’Instruction Publique. Ш. 182. $eutfrf)ed 4?unbeldredjt bon Dr. ®arl ßebmamt, $rof. an ber Uniberfitât Gottingen. 2 58be. 9îr. 457 u. 458.

Seutfdie &elbenfage, Sie, bon Dr. Otto ßuityolb ^iricgef, ^5rof. an b. Uniberjität Sürgburg. 9îr. 32.

Seutfcbe ®irtbenlieb, Sad, in feinen charafteriftifchen Grfcheinungen audgetoählt b. D. $riebrid) ©bitta, $rof. a. b. Uniberfität in ©trafc* burg i. G. I: Mittelalter u. Ш* formationdgeit. Sftr. 602.

Seutfched śMonialrecht bon $rof. Dr. £. Gblet bon Hoffmann, ©tubieu* bireïtor ber Slîabemie für font* munale $8emattung in Süffeïborf. 9îr. 318,

Seutfdje Kolonien.

î^eutfthed Seben im 12» u. 13. $abr* h un bert. 9îealfommentar gu ben S5olïd^ u. Äunftepen u. gum Minne* fang. $8on ^Srof. Dr. ^ul. Sieffen* bad) er in Freiburg i. 58. I: Off ent* lidfed Seben. Mit gal)lreid)en Ш)* bilbungen. Ш. 93.

---II: 9$ribatleben. Mit ga^b

reid)en Slbbilbungen. 9îr. 328. 5t>eutfrfje ßiteratur bed 13. ^aljrfiun* bcrtd. $ie @bi0onen b. höfifchen ©bod. Sludmahl a. beutfd)en 2)id>* tungen bed 13. ftaljrbmtbertd bon Dr. aSiftor ^itn!, 9lftuariud ber Äaiferlid)en Slfabemie ber Ziffern fd)aften in Sien. 9îr. 289. Seutfthe ßiteraturbenlmüler bed 14. и. 15. ^ahrhunbertd. Sludgemählt unb erläutert bon Dr. germanu ^anhen, bireïtor b. Königin ßuife* ©chule in ^önigdberg i.f^r. 9îr. 181.

Seutfdje Siteraturbenïmâler bed 16. 3aljrf)unbertd. I: Martin Sutler u. Shorn. Murner. Sludgemählt u. mit Ginleitungen u. Slnmerlungen berieten bon $rof. G. 58erlit, Ober«» lehret am Sftilolaighmnafium gu ßeibgig. 9?r. 7.

--II:£and©acbd. Sludgemähltu.

erläut. b. fßrof. Dr. $. ©ahr. 9îr.24.

Seutfdje 2iteraturben!miiler bed 16. Sahrtjunbertd. III: J8on 58rant bid Sftollenbagen: 5Brant, Butten, fÇifrbart, fomie Sierebod u.$abcl. Sludgetb. u. erläut. bon 5£tof. Dr. 3uliud ©ahr. 9ir. 36.

—    bed 17. nnb 18. Sobrbunbertd bid Śliobftotf. Iî £t)riî bon Dr. $aul Segbanb in Berlin. Sftr. 364.

--II: $rofa b. Dr. §and ßegbanb

in Æaffel. Ш. 365.

Seutfdje Siteraturgeftfjidjte bon Dr. Ma£ ®od), $rof. an ber ttniberfitât SSredïau. 9îr. 31.

—    bcrmaffiïergeit b. GarlSeitbredjt, burchgefehen u. ergäbt b. Âarl Merger. 9îr. 161.

,— bed 19. Sabrbunbertd bon ©art Seitbred)t, neu bearbeitet bon Dr. SRid). Seitbred)t in Simbfen. I. II. 9îr. 134. 135.

Seutfdjen Mmtb arten, Sie, bon $tof. Dr. ô. śfteid in Maing. SRr. 605.

Seutfdje Mythologie. Germaniitfje Mythologie bon Dr. Gugen Mögt, $rof. a. b. Uniberf. ßeipgig. fftr. 15.

Seutfrhen ^erfonemtamen, Sie, b. Dr. fftub. Äletnbaul i. Seidig. 9tr. 422.

Seutftbelßoetif bon Dr. Ä. 58orindfi, fßrof. a. b. ttnib. Mündjen. 9?r. 40.

Seutfrlje 9tecbtd0efd)idite b. Dr.9ftid)arb ©dérober, 5j$rof. a.b.Uniberf. £eibel* berg. I: 58id g• Mittelalter. STCr. 621.

--II: Sie Sfteugeit. $ftr. 664.

Seutftbe 9îebelebre bon &and ^Srobft, Gymnafialyrof. i. Bamberg. 9îr. 61.

Seutfrfje Schule, Sie, im Sïudlanbe bon <t>nnd Slmrhein, ©eminarober* lehret in fHt)et)bt. $ftr. 259.

Seutfdjed Seeredjt b. Dr. Otto 58rart* bid, Oberlanbedgerid)tdrat in $am* burg. I: eiligem, ßehten: $erfonen u. ©ad)en b. ©eeredjtd. 9ir. 386.

--II: Sieeing.feered)tl.©d)ulbber*

hältniffe: Verträge bed ©eerectjtdu. aufcerb erträgliche Haftung. 5Rr. 387.

DeutfdjeStabt, Die, unb ibreSkroml* tung. ©ine©infübrungi.b.®ommu-nalpolitil b. ©egenm. Herauègeg. o. Dr. Otto SRoft, S3eigeorbn. b.Stabt Düffelborf. I: SJerfaffung u♦ 83er* ioaltung im allgemeinen; $inangen unb Steuern ; SMlbungê* unb $unft* pflege; ©efunbheitäpflege. Яг. 617.

--II: SBirtfchaftê* u. Sogialpolitiï.

Яг. 662.

--III: 5tecf>ntf : Stäbtebau, Dief*

u. Hochbau. mit 48 Slbb. Яг. 668.

Dentfche Stammeêfunbe o. Dr. Stub, much, a. o. S3rof. a. b. Unio. SBien. mit 2 $art. u. 2 Daf. Яг. 126.

Deutfcheêttnterrichtéüicfen. ©efdjichte beê beutfchcnttnterrichtêioefend o. 9$rof. Dr. ^riebrid) Seiler, Direltor be£ ®gl. ©pmnafiuntó gu Sutfau. I: S3on Slnfang an btè gum ©nbe beê 18. ^abrbunbertê. Яг. 275.

--Il: 83om beginn b. 19. ^aprb.

bté auf bie ©egemoart. Яг. 276.

Deutfcpe Urheberrecht, 35a§, an lite* rarifcpen, tünftlerifchen u. getoerb* ltd)en Schöpfungen, mit befonberer S3erüdficf)tigung ber internat. S3er* träge 0. Dr. ©uft. Sîauter, patent* anioalt in ©parlottenburg. Ter. 263.

Dentfche Sîolïëlieb, Da§, auâgeioâblt u. erläutert bon $rof. Dr. $pl. Sapr. 2 S3ânb<hen. Яг. 25 u. 132.

Dentfche SSehroerfaffung oon $arl ©nbreê, ©epeimer ftriegërat u. oor* tragenber Sîat im^riegèminifterium in müncpen. Яг. 401.

Deutfcpeê Söörterbncp о. Dr. Slid) arb Soeme. Яг. 64.

Dentfche .Seitungêtoefen, Da§, oon Dr. Stöbert SSruupuber in Шп a. Щ. Яг. 400.

Deutfcpcê Sioilprogef? recht oon $rof. Dr. SBilpelm ®ifcp in Strasburg i. ©. 3 SUinbe. Яг. 428—430.

Dentfchlanb in rontifeher £eit oon Dr. grang ©ramer, Sftoüingial* fcpulrat gu fünfter i. SB. mit 23 Slbbilbuugen. Я r. 633.

Dichtungen an§ mittelhochbeutfcher &rüt>geit. Зп Sluêto. mit ©inltg. u. SBörterb. perauêgeg. 0. Dr. §erm. Santjen, Direïtor b. Königin Shtife* Schule i. ®önig3berg i. Яг. 137.

Dietricpepen. ШсЬгип unb Dietrich» epen. mit ©inleitung u. SB Örter* Ьиф bon Dr. О. £. Sfiricgeï, S$rof. a. b. Uuioerfitât SBürgburg. Яг. 10.

Differentialrechnung oon Dr. $riebr. gunter, fReïtor b. fRealghmnafiumè u. ber Dberrealicpuleinööppingen. mit 68 giguren. Str. 87.

— Stepetitorium u. Slufgabenfanttn» lung gur Differentialrechnung oon Dr. $riebr. punier, fReftor b. Steal* gpmnafiumS u. b. Oberrealfchule in ©öppingen. mit 46 gig. Яг. 146. Drogenlmtbe oon Stich- Dorftetoip in üeipgig unb ©eorg Otterêbacp in Hamburg. Str. 413.

Drueftoaffer* unb DrncflufDSfnlagen* SSumpen, Drudtoaffer* u.Drudluft* Slulagen oon Dipl.*3ngen. Stubolf S?ogbt, Stegierungêbaumftr. a. D. in Slacpen. mit 87 giß- Яг. 290. ©bbaliebcr mit ©rammatit, Überjepg. u. ©rläuterungen oon Dr. SBilpelm Sîanifch, ©bmnafialoberlebrer in Oênabrüdi. Str. 171. ©ifenbapnbau. Die ©nttoidlung be3 mobernen©ifenbahnbaueê o.Dipl. $ng. Sllfreb S3irï, o. ô. $rof. a. b. ï. ï. Deutfchen Dechn. ^»ochfchule in SSrag. mit 27 Slbbilb. Str. 553. ©ifenbapnen, Die Sinienführung berr oon SBegele, ^Sxofeffor an ber Dechn. ^ochfchule in Darmftabt. mit 52 Slbbilbungen. Str. 623. ©ifenbabnfaprseuge oon Rinnen* thaï, Stegierung$baumeifter u. Oberingen. in фаппооег. I: Die £oïo-motioen. mit 89 Slbbilb. im Dejt unb 2 Dafeln. Str. 107.

--II: Die ©ifenbahntoagen unb

93remfen. mit Slnh-: Die ©ifen* bahnfahrgeuge im betrieb, mit 56 Slbb. im Deçt u. 3 Daf. Яг. 108. ©ifenbahnpolitif. ©efchichte b. beut* fcbcnŒifenbabnpolitif o. S3etrieb§* infpeïtor Dr. ©bioin $edj in £arlê-rube i. S3. Яг. 533. ©ifenbabnoerîebr, Der, 0. ^gl. ©ifen-bal)n*$echnung§birettor Dh- SBit^ branb inS3erlin*^riebenau. Яг.618. ©ifenbetonbau, Der, о. Яед.*93аит11г. ®arl Stöhle, mit 75 Slbbilbungen. Яг. 349.

©ifenbetonbrüden Oon Dr.*^ng. SB. Schaechterle in Stuttgart, mit 104 Slbbilbungen. Яг. 627. ©ifenhüttenïunbc oon SL Ärauft, bipl. Hütteningenieur. I: Da§ ЯоЬейеп. mit 17 $ig. u. 4 Daf. Яг. 152.

--II: Da§ Schmieoeifen. m. 25

Ш. u. 5 Daf. Яг. 153.

au

©ifenïonftruftionen im £od)bau bön Sngen. ®arl ©chinb'er in meifjen. mit 115 gißuren. Яг. 322. ©tëseitaUr, trô. b. Dr. ©mil SBerth in SerlûHBilmerêborf. mit 17 2lb* bilbunßen unb 1 Âarte. Яг. 431. ©laftiäitatölehre für Ingenieure I: ©runblagenmtb2tllgememe§ über ©bamtung^uftänbe, Shlwber, ©bene glatten, torfton, ©e* frummte Präger, $8on tr.*Sng. ma^ ©nfclin, 2$rof. a. b. ftßl. ü8au* getoerïfchule ©tuttßart unb $ribat-bo^ent a.b. ted)n. |>od)fchule ©tutt* gart, mit 60 2tbbilb. Яг. 519. ©leïtrifdjen mefjinftrurnente, tie, bon S- èerrmann, 2$rof. an ber techn. £>od)jd)uie in ©tuttßart. mit 195 giguren. Яг. 477.

©leïtrifdje telegrabbie, tie, bon Dr.

£ub. æelïftab. mit 19 giß. Яг. 172. ©leïtrigitât. tljeoret. $hh fif III: ©leï» trigitat n. magnetiêrnnê bon Dr. ©uft. Säger, $rof. a.b. tedm.èoch* fuie in- SBien. mit 33 2lbbilbgn. Яг. 78.

©leïtrochemie bon Dr. §einr. tanneel in ©enf. I: theoretijehe ©teïtro* cĄemie u.ihre phtdiïalif f emifdjen ©runblagen. mit 16 gig. Яг. 252.

--II: ©rberiment. ©Ieftrod)emie,

mehmethoben, ßeitfähißleit, ßö-fungen. mit 26 giß. Яг. 253. ©leïtromagnet. Bidittljeorie. theoret. $hhfiï IV: ©leïtromagnet. 2idjt* théorie u.©leïtroniï bon 9$rofeffor Dr. ©uft. Säger in SBien. mit 21 giguren. Яг. 374.

©leîtrométallurgie bon Dr. griebrid) Яеде13Ьегдег, .^aiferl. Яед.^Яа! in ©teglih=33erliu. m. 16 gig. Яг. ПО. ©ieïtrotedjnif. ©inführung in bie ©tarïftromtedmiï b. S- феггтапп, ^Srof. b. ©leïtrotechniï an ber Äßl. Stechn. 6od)îd)ule ©tuttgart. I: tie bhhîilalijchen ©runblagen. mit 95 gig. u. 16 taf. Яг. 196.

--II: tie ©leichftromtecbnit. mit

118 gig. unb 16 taf. Яг. 197.

--Ill: tie 2Bechfetftromtechniï.

mit 154 gtg. u. 16 taf. Яг. 198. ©Ieïtrotechni!. tie materialien be§ mafthinenbaneë unb ber ©leïtro* ted)ni! bon Sngenieur $rof. ^>er« mann SBilba in Bremen, mit 3 Slbbilbgn. Яг. 476.

©Ifafj* goth ring en, Sanbeêïunbe bon, o. $rof. Dr. Я.- Sangenbed in ©trafcburg i. ©. mit il Slbbilb. u.

1    Âarte. Яг. 215.

©nglifdjsbeutfdjeê ©eforadiêbudj bon $rof. Dr. ©. Jpauëînecht in 2att= faune. Яг. 424.

©uglife ©efchidjte b. $rof. S.©erber, Oberlehrer in tüffelborf. Яг. 375.

©nglifdje &anDetéïorrefbonbens bort ©. ©. SBhitfieïb, M. A., Oberlehrer Шпд ©bmarb VII ©rammar (School in ft'ing’â gt)nn. Яг. 237.

©nglifdje giteraturgefchichte bon Dr. ®arl SSeijer in SBien. Яг. 69.

--©runb5üge nnb^aubttbben b.

engtifdjen Biteraturgefdjichte bon Dr. Blruolb m. m. ©d)tôer, $rof. on ber ^onbeléhod)id)ule in $otn.

2    Steile. Яг. 286, 287.

©nglifdje *4$t)onetiî mit gefeftütfen boit

Dr. 21. ©. tunftan, geftor an ber Uniberf. ftonigêberg i. $r. Яг. 601.

(SttUoidlung3gefd)id)te ber tiere bon Dr. Sohanneè meifenhetmer, ^Srof. ber goologie an ber Uniberfität Sena. I: gurdjung, 'ßrimitiban* laßen, Sarben, gormbilbung, ©m» brbonctlhüllen. mit 48 giguren. Яг. 378.

--II: Organbilbung. mit 46 giß.

Яг. 379.

(Spigonen, tie, beê Ijöfifcfjert ©poS* 2lu3tbat)l au3 beutfdjen tichtungen be£ 13. ^ahrhunbertś bon Dr. Ш* tor Sunt, ШйтгшЗ ber Äaifer* liefert gttabemie ber äBiffenfdjaften in äBien. Яг. 289.

©rbbau bon Яед.=$8аит. ©ribin Sint in Stuttgart. mit bieleń Slbbilb. Яг. 630.

©rbmagnettému§,©rbftrom u.$oIar= lidjt bon Dr. 2t. Я1до1Ь1, mitßlieb beê Äönigl. fßreuhifen meteoro» logifd)en Snftitutê in ijSotëbam. mit 7 tafeln unb 16 giguren. Яг. 175.

(£rbteilje,2âuberïunbe ber aufêereuros büifdjen, bon Dr. gran^ £>eiberid), fjkofeffor an ber ©ïbortaïabemie in Шеи. mit il te^ttärtdjen unb Profilen. Яг. 63.

©mährung unb ЯаЬтпдЗтШе! bon

Oberftab3ar§t $rofeffor ф. SEHfoff in Berlin, mit 4 2lbbilb. Яг. 464.

(Mjtï Don brof. Dr. Dhomaê Stchelté in Bremen. air. 90.

©uropa, Sânberïunbe bon, bon Dr. $raus Reibend), brof. a. b. Export* afabemie in aSien. aiiit 14 De^D ïàxtcpen u. Diagrammen u. einer Æarte ber ailpeneinteilung. air. 62. ©jlurftonêflora bon Deutfchlanb sum beftimmen b. häufigeren i. Deutfch* Ianb toübmachïenben bflausen bon Dr. SS. Piguła, brof. an ber gorft* aïabemie Eifenacp. 2 Dette aJiit je 50 aibôübungen. air. 268 unb 269. ©ïperimentalphbfiï b. brof. Ш. Sang in (Stuttgart. I: ÜSftedjanif berfeften, ftüffigen unb gafigen Äörper. ЗШ 125 Figuren. 3ir. 611. ©gplufibftoffe. Einführung in b. Ehe mie ber eçplofiben Vorgänge bon Dr. £. brunSmig in ©tegli£. aJiit 6 3lb6ilb. unb 12 Dab. 3ir. 338. Çamttienrecht Oietht b* a3ürgertithen ©efehbutheê. Viertes buch: $a* mitienrefht bon Dr. Heinrich Düse, brof. a.b. Unib.(Böttingen, 3ir.305. Färberei. DeEtilinbuftrie III: 2Sü* fcherei, bleitheret, Färberei unb ihre 4?üf£ftoffe bon Dr. aStthelnt aJiaffot, brof. an ber breufeifcpen höheren ftadjfchule f. Deçtüinbuftrie in Âtefelb. aJiit 28 Sig. 3ir. 186.

^ernfbre(hU)efen, Da§r oon Dr. Sub* loig fRettftah in berlin. aJlit47gig. nnb 1 Dafel. air. 155. Bteftigfeitôlehre b. as. Rauher, Dipt-s Ingenieur. a)iit 56 gig. air. 288. — ainfgabenfamtnlnng sur heftig* ïeitêlehre mit Söfnngen bon Ш. фагеп, Diplomingenieur in aftamtheim. a)iit 42 §ig. air. 491. I

5*ette, Die, unb £>ïe fomie bie ©eifen* u. Sïersenfabritât, u. b. &arse,Sacïe, gimiffe m. ihren toicpt. ^ttfêftoffen bon Dr. ®arl braun in berlin. I : Einf. in b. Ehernie, befpred). einiger ©aise u. b. gette u. tie. 3îr. 335.

--II: Die ©eifenfabrttation, bie

©eifenanalpfe unb bie $ersenfabri* ïation. aJiit 25 8lbbilb. 3îr.'336.

^elbgefthühr Daê moberne, b. Oberft* leutnant as. ôebbenreid), aJlttitür* lehrer a. b. aJIttitärtechn. aiîabemie in berlin. I: Die Entmicïïung be§ gelbgefchüheè feit Einführung be§ gesogenen ftttfanteriegemehrś btó einfchl. ber Erfinbung be3 rauchl-buloerś, etma 1850 biê 1890. 3Jiit 1 aiöhttb. air. 306.

--II: Die Eutmicîlung b. heutigen

fîelbgefchüheg auf ©runb ber Er* finbung be3 rauchïofen bulberê, etma 1890 bté sur ©egentoart. 3Jlit

ii aibhttb. air. 307

--III: £arse, Sade, fÇirniffe.

3ir. 337.

ftcuertoaffen. ©efchirhte b, gefamten 3-eueruiaffen bi§ 1850, Die Eut* toicflung ber geuertoaffeu b. ihrem erften aiuftreten btè sur Einführung ber gesogenen .fpinterlaber, unter befonberer berücïfichtig. b. феегеё* bemaffnung bon aïtafor a. D. SS. ©ohlfe, ©teglih^erlin. aJiit 105 aibbübungen. 3ir. 530.

$euermerïeret, Die, bon Direftor Dr. ailfonê buiarb, borftanb be£ ©tâbtifcpen EhemifĄen Saborato* riumê in Stuttgart. SDZit 6 gig. 3ir. 634.

^ilSfabriïation, Dejtilinbuftrie II: aSebevei, aBirïerei, bofuntentiere* rei, ©bihen* nnb ©arbinenfa&ri* ïation unb $ttsfabrifation bon

brofeffor $la£ ©ürtler, ©eh- fRe* gierungër. im $gï. Sanbeêgeioerbe* amt su Berlin. aJiit 29 Ofig. air. 185.

^inansfhftemc ber ©rofêmâdjte, Die, (internat, ©taatê* unb ©emeinbe-Banansmefen) b. D. ©djttmrs, ©eh-Cberfinansrat in berlin. 2 bänb* cpen. 3ir. 450 unb 451.

Binansmiffenfchaft bon bräfibent Dr. SR. ban ber borght in Berlin. I: allgemeiner Dett. air. 148.

--II: befonberer Dett (©teuer*

lehre), air. 391.

Binntfchntgrifche ©prajbuuffenfcheft bon Dr. ftofef ©sinnpei, brof. an ber Uniberfitât bubapeft. air. 463.

Binnlanb. Sanbc§fnitbe be§ ©nro* pütfdjett SRufilanbê uebft Birnt* ïanb§ bon brof. Dr. 51. bhttiPPÏon in фа11е a. ©. air. 359.

Birniffe. £<ще, Sade, Binttffe bon Dr. ®arl braun in berlin. (Brette unb £)le III.) air. 337.

Bifdje. Da§ Dierreich IV: fÇtfc^e bon brof. Dr. aJiaj SRauther in 3ieapel.

та 37 aibbiib. air. 356.

in

gifdjerei unb gifdjsudjt Don Dr. Start (Stfftein, Stof. a. b. gorftafabernte (Sberâloalbe, Slbteilungèbirigent bei ber £auptftation ЬеЗ forftlid)en Serfud)3mefen3. Sir. 159. glora. (Ejfurfiottêflora Don Seutfdp tanb gum Seftimmen ber häufige* ren in 55eutfd)Ianb milbmacbfenben Sflangen b. Dr. ЯВ. SRigula, Śtof. a. b. gorftafabemie (Sifenad). 2 £eile. SRit je 50 Slbbilb. Sir. 268, 269. gïufjbau Don fRegierungëbaumeifter Otto Słappolb in ©tuttgart. SRit 103 Slbbitbungen. Sir. 597. gorenfiftbe 45ft)ct)iotric Don Stofeffor Dr. SB. SBepganbt, 2)ir. b. ^rren= anftalt griebrid)śberg i. Hamburg. 2 Sänbcben. Sir. 410 u. 411. görftmiffenfdjaft D. Dr. Slb. ©d)toap* pad), <ßrof. a. b. gorftafabemie (Sberśmalbe, SIbteilungèbirig. bei b. £auptftation b. forftl. Serfucbê* mefenś. Sir. 106.

gortbitbungêirfjuDnefen, 2>aê beut* fd)e, nad) feiner gefd)idjtï. (Entmitf* tung u. i. fein, gegenmärt. ©eftalt b. £.©iercfô, Slebiforgemerbt. gortbil* bung3fd)ulenin ©d)Ie3mig. Sir. 392. granïen. ©efdjidjte granfen§ b. Dr. ©brift. SReper, Sîgt. preufe. ©taatè* ard)ibar a. ©., SRündjen. Sir. 434. granfreid). grangöfifdje ©efdjidjte b. Dr. SI. ©ternfelb, Stof. an ber Uniberfität Berlin. Sir. 85. granfreid). ganbeêï. b. granfreid) b. Dr. fRid). Sieufe, $ireft. b. Ober* reaïfd)ute in ©panbau. 1. Sänbd). S)i. 23 Stbb. im %e& u. 16 £anb* fdjaftöbilb. auf 16 £af. Sir. 466.

--2. Sânbcben. SRit 15 SIbb. im

Se£t, 18 Sanbfd)aft3bilb. auf 16 Za* fein u. 1 litbogr. Starte. Sir. 467. grangüfifcb*beutid)e3 @efprärfj3burf) bon (£. grancitton, geftor am orientatifd). ©eminar u. an b. £an* befót)od)fd)uIe in Berlin. Sir. 596. grangöfifriie ènnbetéforrefponbeng ь. Stof. Xb- be Seau;r, Officier de l’Instruction Publique. Sir. 183. grangöfifdjeä gefebnd) mit SBörter* bergeicbnté bon (Epptien grancilton, Settor a. oriental, ©eminar n. a. b. $anbeI§bod)fd)uIe i.Serlin. Sir.643. grembmort, $a§, im $>eutfdjen b. Dr.

Siub. Äleinpanl, Seipgig. Sir. 55. grembmörterbud), Seittfdjeê, bon Dr. fRub. Æleinpaul, geipgig. Sir. 273. j

guge. (Erläuterung u. Einleitung sur Stompojition berfetben b. Srof. ©tepban ®rebl in Seipgig. Sir. 418. gunftionentbeoric, (Einleitung in bie, (Theorie ber fompleren gabten* reifen) b. SRag Siofe, Oberlehrer an ber ©oett)efd)u!e in 2)eutfd)*SBil* merśborf. SJiit 10 gig. Sir. 581. guff artillerie, $ie, ihre Organifation, Semaffnung u. Sluâbilbg. b. ©plett, Oberleutnant im Sebrbataitlon ber guBartiUerie*©d)ief5fd)uIe u. 23ier=* mann, Oberleutnant in ber Ser« fud)3batter. b. Slrtillerie=Stüfmtgë« ïommiffion. SJiit 35 gig. Sir. 560. ©arbinenfa&rifation. $C£titinbuftrie II: SBeberei, SHrferei, Sofatnen« tiererei, ©pipen* u. ©arbinen* fabrifation u. gügfabrifation bon Srof. SJiaj ©ürtïer, ©eh- SReg.*fRat im Stgl. Sanbeègemerbearnt gu Serlin. SJiit 29 gignren. Sir. 185. ©a3* nnb SBafferiuftallationen mit (Einfd)!ufj ber Stbortanlagen bon Srof. Dr. phil. nnb 2)r.*,gngen. ©buarb ©djmitt in 2)armftabt. SJiit 119 Slbbilbungen. Sir. 412. ©aêfraf tmafdjincn, 2>ie, b.,gng. Stlfreb ®irfd)ïe in Ше1. 2 ШпЬфеп. SJiit bieleń giguren. Sir. 316 u. 651. ©aftljihifer nnb potelé bon Strd)iteît SRajç SBötjIer in S)üffeïborf. I: Ш SBeftanbteile n. bie (ïinrid)tung be§ ©aftbaufeś. SRit 70 gig. Sir. 525.

--II: 2)ie berfd)iebenen Slrten bon

©aftbäufern. 82 gig. Sir. 526. ©ebirgëartiUerie. 2>ie ©ntmidlung ber ©ebirg^artitlerie bon Stlufj* mann, Oberft u. Sïommanbeur ber 1. gelb^Irt.^rigabe in Stönig3= berg i. S5r. SJiit 78 Silbern unb Überfid)tètafeln. Sir. 531. ©enoffenfdjûftêmefen,

î>eutfd)tanb b. Dr. Otto Sinbede in 2)üffeIborf. Sir. 384.

©eobäfie bon Stof-Dr. (E fReinberb in фаппоьег. Sieubearbeitet bon Dr. &. görfter, Obferbatora.©eobâtifd). .gnft. Sotêbam. SR. 68 Slbb. Sir. 102. — Sermeffung§ïmtbe b. Siplom^gng. S. SBerïmeifter, Oberlehrer an ber Âaif. £ed)n. ©d)uIei.©irapurgi.(E. I: gelbmeffeit n. SiioeUieren. SRit 146SIbb. II: SerSbeobolit. Srigo* nometrifd)e unb barometr, ^öben»-meffnng. Saćfidmetrie. SRit 109 Slbbilbungen. Sir. 468, 469.

©efd)üftë* mtb Sföarenfeäufer b. фапЗ ©djltepmamt, Äönigt. S5aurat in Berlin. Il: 2>ie meitere Gnt* midetung ber ft'aufRaufer    Alit

39 Abbiibungen. Ar. 656. ©efdjidjtôuûfîenfdjaft, ©inleitung in bie, b. Dr. Grnft 93emt)eim, Arof. on ber Unib. ©reifêmatb. Ar. 270. ©efd)ütje, $ie ntoberncn, ber gufe* artillerie b. Alummenfeoff, Aiajor «.Serrer an b. gufeartiUerie*©djiefe* fcfeute in Jüterbog. I: 93om Auf* treten b. gesogenen ©efdjüfee bté jur Sßertoenbung ЬеЗ raud)fd)tt>a* cfeen ^utberś 1850—1890. Alit 50 STejtbitbern. Ar. 334.

---II: 2)ie Gntmidtung ber feeu*

tigen ©efdjüfee ber gufeartitterie feit Ginfüferung be3 raud)fd)load)en Autberè 1890 bté sur ©egentoart. Alit 33 Sejtbilbern. Ar. 362. ©efrijunnbigfeitSregler ber Æraft* maftfjinen, 2>ie, bon S)r.*gitg. &. àtbnev in griebberg. АШ 33 Figuren. Ar. 604.

©efeÇbtttfj, 23ürgcrtidie§, ftetje: Aedjt beâ 93ürgerïid)en ©ejefebudje». ©efmtbfeeitélebrc, 2>er menftfjlidje Färber, fein Sou unb feine Sätig* leiten b. G. Siebmann, Oberfdjuïrat in Sïarfêrufee. Alit ©efunbfeeifé* Iefere bon Dr. med. £>. (Seiler. Alit 47 Abbitb. и. 1 Safel. Ar. 18. ©etoerbetjbgiene bon Dr. G. Aottj in Aotêbam. Ar. 350. ©etocrbemefen bon SBerner ©ombart, Skofeffor an ber £anbefêtjod)fd)ule 93erïin. I. II. Ar. 203, 204. ©etoerbtidje Arbeiterfrage, $ic, bon SBerner ©ombart, Arof. a. b. £an-befôfeodjfdjute ©erïin. Ar. 209. ©etoerbïtdje tauten. gnbuftriette unb gemcrfelicfee 93auten(©beid)er, £agerf)âufer и. gabrifen) b. Ard)i* teft ôeinr. ©alsmamt in ©üffetborf. I: Attgemeineè über Anlage unb Âonftruïtion ber inbuftrieïten unb getoerbticfeen bauten. Ar. 511.

--II: ©beider unb Sagertjaufer.

Alit 123 Figuren. Ar. 512. ©emitfitëmefcn. Alafe*, Alüns* и* ©е* toidjtétoefen bon Dr. Аид. ЯЗИпЬ, SSrof. a. b. $aubefêfd)ute in ®öln. Ar. 283.

©tefeereimafdiinen bon $ibt.*gng. ©mit Treiber in ^eibentjeim а. 93. Alit 51 Figuren. Ar. 548.

©eograbfeie, ©efd)itf)teber, bon $rof. Dr. Äonrab Äret)d)meri.Gt)arIotten* bürg. Alit 11 Äart. im Xeçt Ar. 624. ©cotogie in fursem Au^sug f. ©cfeuten u. sur ©etbftbeteferung sufammen* geftetlt b. $rof. Dr. Gberi). graaê in ©tuttgart. Alit 16 Abbitb. u. 4 tafeln mit 51 Figuren. Ar. 13. ©eometrie, Analfetifdie, Der ©bene b. fßrof. Dr. Al. ©imon in ©träfe* bürg. Alit 52 Figuren. Ar. 65.

--AufgabenfantmUmg s«r Ana*

Ibtifdfeen ©eometrie b er ©bene bon 0. Zf), dürften, Arofeffor am ^gl. Aealgbmnafium in ©d)toäb.* ©mitnb. Alit 32 gig. Ar. 256.

--bc§ Aatttneê bon fßrof. Dr

Al. ©imon in ©trafeburg. Alit 28 Abbitbungen. Ar. 89.

--Aufgabeufammlung sur Ana*

©tifdjen ©eometrie be§ Aaunteê bon 0. £t). dürften, Ąrofeffor am ад. Aeatgbmnafium in ©cfertmb.* ©münb. Alit 8 gig. Ar. 309.

—    îmrftettenbe, bon Dr. Aobert ^aufener, fßrof. an b. Unib. gêna. I. Alit 110 giguren. Ar. 142.

--II. Alit 40 giguren. Ar. 143.

—    ©bene, bon ©. Alafeter, fßrofeffor am ©tymnafium in Utm. Alit 111 siueifarbigen giguren. Ar. 41.

—    tßrojetttbe, in ftjnttjet. 93efeanbïung bon Dr. $art Śoefetemann, ^Srof. an ber Uniberfitât Alündjen. Alit 91 giguren. Ar. 72.

©eometrifrfjc 0btif, ©tufüf) rung in bte, bon Dr. 9B. .t>iurid)ê in SSit* merêborf=93ertin. Ar. 532. ©eometriftfee§3cid)nen bon £. 93eder, Ardjiteft u. Seferer an ber 93au^ gemerffd)ute in Alagbeburg, neube* arbeitet bon S$rof. g. SSonbertinn in Alünfter. Alit 290 giguren unb 23 Safetn im Xeçt. Ar. 58. ©crntanifrfje Albtfeotogie bon Dr. G. Alogf, ÿrof. a. b. Unib. ßeipsiö* Ar. 15.

©ermantfcfee ©braifetoiffenfd^aft bon Dr. Aid). Soeme. Ar. 238. ©efangêtmtft. S'edjni! Der bentfd)en ©efangêïunft bon 0êl. Aoë u. Dr. фапё goad)im Alofer. Ar. 576. ©efdjftfté* unb SSarenfeaufer b. |>an§ ©cfetiebmann, Äönigt. 58aurat in SBertin. I: 93om 2aben sum „Grand Magasin“. Alit 23 Abb. Ar. 655.

©Xn§* itttb ïeramifdje Snbuftrie (Snbnftric ber ©iliïate, ber ïünft» lichen 58aufteine unb be§ 5Шог* tel§ I) b. Dr. ©uft. SRauter in Ehar* lottenburg. 9Rit 12 Xafeln. Wv. 233. ©leirfjftrommafchine, 2>te, bon 3ng. Dr. E. Âinsbrunner in Sonbon. 9Rit 81 fyiguren. 5ftr. 257. ©letfcherïunbe o. Dr. grih 9!ftad)acef in 5G3ien. 9ftit 5 Slbbiïbungen im Zext unb il tafeln, fftr. 154. ©otifche ©bradjbenïmâler mit ©ram* mati!, Überfefjung u. Erläutergn. b. Dr. Herm. Rauhen, SDireîtor b. Königin £uife*©d)ule in tônigê* berg i. $J3r. üRr. 79.

©ottfrieb bon Strasburg» Hartmann bon Slue* aSoIfram bon ©fdjen» bad) unb ©ottfrieb bon ©trap burg. 5Mu3)uahl a. b. hofifch.Epoś m. 2ïnmerf. u. 5B3ôrterbud) b. Dr. $. SRaroIb, $rof. am ÄgI. 3rriebrich$* Collegium su Königsberg i. 5)3r. 5Rr. 22.

©rabbtfrfjen fünfte, $te, bon (Sari Kantpmann, î. ï. Sebrer an ber f. f. ©rapl)ifd)en Sehr* unb 58erfud)ê* ftalt in SSien. 9Rit sat)ireid)en 9lb* bilbungen u. Beilagen. 5Rr. 75. ©ried)ifd)e 9UtertumSXunbe b. $rof. Dr. 9iid). flail'd), neu bearbeitet b. fRettor Dr. tyrans ^ohlhammer. 90Ш 9 58ollbilbern. 5Rr. 16. ©riedjifdje ©efdjitfjte bon Dr. Heinrid) ©tuoboba, ^rofeHor an b. beutfdjen Uniberfität $rag. 5Rr. 49. ©rietfiifcbe Siteraturgefdficbte mit S3e* rüdfidjtigung b. ©efd)id)te ber 5iSiffenfd)aften t>. Dr. Sllfreb ©erde, aSrof. an ber Unib. 58re3lau. 2 58anbd)en. 5Rr. 70 u. 557. ©rtecbifrben 5ßaphrt, SlitStoahl au§, bon «Èrof. Dr. Robert Helbing in Karlsruhe i. 58. 5Rr. 625. ©rierbifdjen ©bradje, ©eidjidjte ber, I: 58tè sum 5HuSgange b. ÏÏaffifd)en ^eit b. Dr. Otto Hoffmann, Sßrof. a. b. Unib. limiter. 5ftr. 111. ©riedjifrfie u. rômifdje 5»h)tboIogie b. 53rof. Dr. Herm. ©teubing, SReït. b. ©pmiiaf. in ©dfneeberg. 5ftr. 27. ©runbbudfredjt, 2>a§ formelle, bon Ob erlaub eSgeridjtSr. Dr.g.Krebfd)* mar in ФгеЗЬеп. 5ftr. 549. Houbelêpolitif, 5Hu§märtige, bon Dr. Heinr. ©iebeling, ^Srofeffor an ber Uniberfität $ürid). 5)?r. 245.

HanbelSrecbt, $eutfdje3, bon Dr. Karl Sehmann, 5£rof. an b. Uniberfität ©öttingen. I: Einleitung. 2>er Kaufmann u. feine Hilfêperfonen. Offene HanbelSgefellfchaft. Kom* manbit* u. ftille ©efellfd). 5Rr. 457.

--II: aittiengefellfdjaft. ©efellfd).

m. b. П- Eing. Een. HanbelSgefd). 5ftr. 458.

Hanbel£fd)ulmeien, 2>a§ beutfdje, bon 2)ire!tor Sheobor $8Utm in SDeffau. 5ftr. 558.

Hanbelöftanb, 2)er, bon 5fted)t3ann>alt Dr. jur. 58runo ©pringer in Seipsig (Kaufm. 5Red)têt. 58b. 2). Ш. 545.

HanbelStoeien, 2>a3, bon ©et). Cher* regierungSrat Dr. 5ШШ). £e?;i3, $ro* feffor an ber Uniberfität ©öttingeu. I: 3)tó .t)anbetóberfonal unb ber SBarenljanbel. 9ir. 296.

--II: ®ie Effettenbbrfe unb bie

innere ^anbelébolitit. 5Rr. 297.

^anbfeuertoaffen, $ie Entmtdlung ber, feit ber 5ШШе beê 19. ЗДг* bunbertś u. ibr heutiger ©taub bon ©. XBr^obeï, ^aubtmann u. Âom* bagnied)ef im ^nf.*5Reg. Freiherr piller bon©ärtringen(4.aßofenfd)eS) 9ïr. 59 in ©olbau. 5ИШ 21 Slbbilbgn. 5Rr. 366.

Harmonielehre bon 5t. Holm. 5Dtit bieleń SRotenbeifbielen. 5Rr. 120.

Hartmann bon aine, 233oXfram bon Efdjenbad) unb ©ottfrieb bon ©trapurg* 5Muêmahl auâ b. hbfi^ fdjen Eboê mit 5ttnmerf. u. avorter-bud) bon Dr. SRarolb, 53rof. am ß'önigl. ^riebrid)ê*^ollegium gu ^önig^berg i. 58r. 5Rr. 22.

Horse, Sade, ftirniffe bon Dr. ^arl 58raun in 58erlin. (SDie fÇette unb Ole III). 5ftr. 337.

Hebeseuge, ®te, ihre Âonftruïtion u. 58ered)nung bon ^ng. 5)5rof. Herm. 5SBilba, 58remen. SRit 399 2lbb. 5ftr. 414.

Heereêorganifatton, ^te Enttoidlung ber, feit Einführung ber ftehenben Heere bon Otto 5Reufd)ter, feaupU mann u. 58atteried)ef in Ulm. I: ©efd)id)tl. Entmidlung btô sum 5Ru3gange b. 19. ^ahrh. 5Rr. 552,

Heisung n. Stiftung b. Sug. ^ohanneä Körting in Süffelborf. I: ®aä 5E3efen u. bie 58ered)nung ber Hei* sungê* u. Süftungëanlagen. wlit 34 Figuren. 5Rr. 342.

^effem

Weisung tu Süftmtg b. gng. gopanueâ Körting in Süffelborf. II: Sie Ruèfüprung b. &ei$ung§* u. ßüf* tungêanlagen. Ritt 191 Figuren. Rr. 343.

Sanbeêfunbe be§ ©roff» perjogtumê Reffen, ber grooms éeffen*Raffau unb be§ gürften* tumê 333albed b. $rof. Dr. ©eorg ©reim in Sarmftabt. Rtit 13 Rb* bilbungen unb 1 ®arte. Rr. 376. £ieroglpppen bon ©ep. Regier.*Rat Dr. Rb. ©rrnan, $rof. an ber Uni* berfitât S3erlin. Rr. 608. 4?od)fpanmmg§ted)ni?,©ittfüpr.in bie mob erne, bon Sr.*gng. gifdper in £amburg*33ergeborf. Rtit 92 gig. Rr. 609.

^pols, Sa£. Rufbau, ©igenfepaften u. SBertoenbung b. gng. 3Srof. фегт. 333ilba in ЗЗгетеп. Rtit 33 Rbb. Rr. 459.

4?otel§» ©aftpäufer unb &otel§ bon Rrcpit. Rtaj 333öpler in Süffelborf. I: Sie S3eftanbteile u. b. ©inrieptg. b. ©aftpaufeś. RL 70 gig. Rr. 525.

--II: Sie betriebenen Rrten bon

©aftpaufem. Rtit 82 giguren. Rr. 526.

фрЬгаиШ b. 393. £auber, Sipl.*gng. in ©tuttgart. Rtit 44 giguren. Rr. 397.

4?pgiene be§ ©tdbtebauê, Sie, bon 3ßrof. ^>. ©pr. Rupbaum in фап«« nooer. Rtit. 30 Rbb. Rr. 348.

— be§ SSopnungêmefenê, Sie, bon $rof. $. epr. Rupbaum in |>an* no b er. Rtit 5 Rbbilb. Rr. 363. gberifdje&albinfel. Sanbeêfunbe ber gberifd)en .^albinfet bon Dr. grip Regel, 3$rof. a. b. Unib. SUürjburg. Rt. 8 śMrtcpen u. 8 Rbb. im Sejt u.

1 ^arte in garbenbruef. Rr. 235. gnbifcpe Religionêgefdjitpte bon $rof.

Dr. ©bmunb ^arbp. Rr. 83. gubogermam ©pracpmiffenfdjaft bon Dr. R. Rteringer, Rrofeffor an ber Uniberf. ©rag. Ш. 1 Safel. Rr. 59. gnbuftrielle u. gemerbtiepe 33auten (©peieper, Sagerpäufer u.gabrifen) bon Rrcpitett ^einr. ©al^mann in Süffelborf. I: Rllgemeineś üb. Rn* läge u. ^onftruïtion b. inbuftriellen u. getoerblicpen 33auten. Rr. 511.

--II: ©peidper unb Sagerpäufer.

Rîit 123 giguren. Rr. 512.

gttfettionêîranïpeiten, Sie, mtb ipre SBerpütung bon ©tabśar^t Dr. 393. Hoffmann in 33erlin. Rtit 12 oom SBerfaffer gegeiepneten Rbbilbungen unb einer giebertafel. Rr. 327. gnfelten. Sa§ Sierreicp V: gnfeïteu bon Dr. g. ©rofj in Neapel (©ta* âione goologica). Rlit 56 Rbbit* bungen. Rr. 594.

gnftrumentenlepre o. Rhtfitbir. grans Rîaperpoff in (Spemnip. I: Se£t. Rr. 437.    •

--II: Rotenbeifpiele. Rr. 438.

gntegralredjnung bon Dr. griebr. gunter, Reft. b. Reatgpmnafiumë u. b. Cberrealfcpule in ©öppingen. Rtit 89 Figuren. Rr. 88.

— Repetitorium u. Rufgabenfamm* lung surgntegralrerijuung bon Dr. griebr. gunter, Reft. b. Realgpm* nafiumâ u. ber Oberrealfdpule in ©öppingen. RL 52 gig. Rr. 147. gfrael. ©efd>id)te gfraelê Ш auf bie grieepifepe 3eit bon Lie. Dr. g. 33engager. Rr. 231. gtalienifdje £anbel§forrefponbens b. 3ßrof. Rlberto be 33eauç, Oberleprer am ®önigl. gnftitut ©. ©. Rnnun* Siata in glorens. Rr. 219. gtalienifdje Siteraturgefdiicpte bon Dr. ®arl 33opler, ^Srofeffor an ber Uniberfitât Rtündpen. Rr. 125. Sîalïulation, Sie, im Rlaffpinenbau bon gngen. §. 33etpmamt, Soient am Sedpnifum Rltenburg. Rtit 63 Rbbilbungen. Rr. 486. $ältemafd)inen. Sie tpermobpna* mifdjen ©runblagen ber ЗЗЗагте* ïraft» unb $âltemafcpinen bon Rt Röttinger, Sipl.*gng. in Rfann* peint. Rtit 73 giguren. Rr. 2. Kamerun» Sie beutfdjen Kolonien I: Sogo unb Kamerun bon 3ßbof. Dr. ®arl Sobe. Rtit 16 Xafeln unb einer litpogr. ®arte. Rr. 441. ®anal* uttb ©(pleufenbau bon Re* gierungêbaumeifter Otto Rappolb in ©tuttgart. RUt 78 Rbb. Rr. 585. ®ant, Emmanuel, (©efcpidpte ber 3Spilofoppie 33b. 5) bon Dr. 33runo ЗЗаиср, $rof. a. b. Unib. gêna. Rr. 536.

karteli u. Sruft b. Dr. ©. Sfcpietfdpfp in Süffelborf. Rr. 522 ®artenïunbe bon Dr. RL ©roll, ®atio* grapp i. Berlin. 2 33änbdpen. I: Sie ЯЭДеШошт. Rttt 56 gig. Rr. 30.

$ersenfabrifattou. Die Seifenfabrik ïation, bieSeifenanalpfe unb bie ^ersenfabritation pou Dr. ®arl 23raun in Berlin. (Die gette u. Öle II.) SERit 25 9lbb. 5Rr. 336.

SMouialgeftpicpte pou Dr. Dietridp Scpäfer, fjhofeffor ber ©efepidpte an ber. Unioerfität Berlin. №. 156.

tôartenïunbe pou Dr. 9R. ©roll, 8arto* graph in Berlin. II: Der harten* inpalt unb baê flReffen auf harten. ШИ 39 gig. №. 599.

Startograppifcpe Slufnaptnen u. geo* grapp. Ortgbeftimmung auf Reifen bon Dr.*gng. fR. DugerShoff, fßrof. an ber gorftafabemie su Dparanbt. SDłtt 73 giguren. № 607.

Äaufmämtifcpe fRedjtgfunbe* I: Dag 28edpfelmefen p. fRecptganmalt Dr. fRub. SRotpeg in £eipsig. №. 103.

— II: Der ^aubefôftanb P. fRecptgan* matt Dr. jur. $8runo Springer, Öeipsig. fRr. 545.

Äaufntännifrpeg fRecpnen Pou f£rof. SRidjarb guft, Oberlehrer a. b. öffentl, фапЬеШергапйаНЬ. Dreg* bener Äaufmannfcpaft. I. II. III. 5Rr. 139, 140, 187.

^eramifrfie gnbuftrie. Die gnbuftrie ber Sitilate, ber tituftlUpcn 23au* fteine unb beg föiörtetg bon Dr. ©uft. lauter. I: ©lag* u. teram, gnbuftrie. ЭДШ 12 Daf. «Rr. 233.

ßiautfrpou. Die beutfdien Kolonien II: Dag Siib feegebiet unb Шаи* tfepou P. ff3rof. Dr. Dope. flRit 16 Daf. и. 1 litpogr. ^arte. fRr. 520. ^inematif bon Dipl.*gng. £ang ^5ol* fter, 9lffift. a. b. ®gl. Dedpn. фоф* fdpute Dregben. m. 76 9lbb. fRr. 584. Äirdjenrecpt P. Dr. ©. Sepling, orb.

f^rof.b.fRedpte in ©rtangen. $Rr.377. Шша unb Seben (Sioflimatologie) Pon Dr. Шр. Ж. ©darbt, 9lffift. an ber öffentl. Döetterbienftftelle in SÖSeitburg. fRr. 629.

Älimafunbe I: Sttlgemeine Ätimalepre ponf^rof. Dr. 28. Joppen, SReteoro* loge ber Seemarte Hamburg. fERit 7 Daf. u. 2 giguren. fRr. 114.

^olonialred)t,Deutffbeg,Pon 25rof.Dr. ф. ©bler pou фoffmann, Stubien* bireltor b. ШаЬетт für ïommunate 25ermaltung in Düffelborf. fRr. 318.

Kometen. Slftroitomie. ©röfee, $8e* megung u. ©ntfernuug b. 4?immetô* förper P. 91. g. fJRöbiug, neu bearb. P. Dr. фегтп. Jftobolb, fßrof. an ber UniP. fttel. II: Kometen, Meteore u. bag Stemfpftem. 90Ш 15 gig. u. 2 Sterntarten. 9?r. 529. kommunale 28irtfrf)aftgpflege pou Dr. 2llfong fRiep, ÜRagiftratgaffeffor in 93erlin. fRr. 534. ßompofitiongtepre* füRufitalifcpe gor* menlepre p. Stepp. Ärepl. I. II. 9R. Piet. fRotenbeifpiel. ÜRr. 149, 150. Äontrapuntt Die Sepre pou ber felb* ftänbigen Stimmführung P. Stepp. $rept in Seipsig. №. 390. Shmtrollmefen, Dag agrituiturrijenti* fd)e, bon Dr. fßaul Äirfdje in £eo* polbgp alt* Stapf urt. fRr. 304. ßoorbinatenfpfteme o.fJSaitt SS.gifcper, Oberl. a. b. Oberrealfdpule su ©rop* Süpterfetbe. 9Rit 8 gig. *Rr. 507. Körper, Der menfcplirpe, fein 23au unb feine Dätigteiten Pon ©. fReb* mann, Oberfcputrat in ^arlgrupe. 9Rit ©efunbpeitgtepre P. Dr. med. ф. Seiler. 9Rit 47 9lbb. n. 1 Dafet. №. 18.

®oftenanf(plag fiepe: 95eranfcplagen. Erieggfdjiffbau. Die ©ntwirflmtg beg ftrieggfepiff baueg Pom Altertum big jur fReuseit $on Djarb Scpmars, ©ep. ÜRarinebaurat unb Schiffbau* Direttor. I. Seit: Dag Zeitalter ber fRuberfcpiffe n. ber Segelfcpiffe für bie Ärieggfüpnmg gur See oom 9lltertum big 1840. StRit 32 Slbbilbungen. №. 471.

--II. Deil: Dag Zeitalter ber

Dampffchiffe für bie Ärieggfüprung Sur See pou 1840 big sur fReuseit. fJRit 81 Slbbitbungen. fRr. 472. ßrieggmefeng, ©efdjicpte beg, Pon Dr. ©mit Danielg in Berlin. I: Dag antite ®rieggmefen. fRr. 488.

--II: Dag mittelalterliche Äriegg*

mefen. fRr. 498.

--III: Dag Ärieggtoefen ber fReu*

Seit, ©rfter Deil. №. 518.

--IV: Dag ®rieggmefen ber fReu*

Seit. 3weiter Dell. $Rr. 537.

--Y: Dag ®rieggmefen ber SReu*

Seit. Dritter Deil. fRr. 568. ®riftaltograppie P. Dr. 28. 23rupn§, ^5rof. a. b. 23ergatabemie ©laug* tpal. 9Rit 190 9lbbitb. fRr. 210.

Äriftallobtif, ©infübntng in bte, toon Dr. ©berïjarb Sucbtoalb i.SJiünd)en. SJÎit 124 Slbbiïbungen. Sir. 619. $ubrun nnb 2)ietrid)etoem SJiit ©in* leitung unb SBörterbud) toon Dr. ö. £. giricael, ^Srofeffor an ber Uni* toerfität SBüraburg. Sir. 10. kultur, $ie, ber Sienaiffance. ©e* fittung, gorfcbung, Sichtung to. Dr. Robert g. Slrnolb, Srofeffor an ber Unitoerïitât SBien. Sir. 189. $ulturgefrf)tcbte, $eutfd)e, toon Dr.

Sieinb. ©ünther. №. 56. ÄurtoenbiSlufftom Sllgebraifdie йиг* to en toon ©ug. Seutet, Ôberreal* lebrer in Saibingen*©na. I: Æur* toenbiSïuffion. StJiit 57 gig. im Xext №. 435.

Shtrafdjrtft fiebe: ©tenogratobie. Hüften artillerie. 2)ie©ntwidlung ber ©tfUffê* nnb Hüftenartillerie bi£ jnr ©egemoart b.Hortoettenlapitân Huning. SJiit Slbbilbungen unb Tabellen. Sir. 606.

Sade, фагае, Sade, girniffe toon Dr. Harl Sraun in Serlin. (SDie gette unb Ole III.) Sir. 337. Sagerljâufer. gnbuftrielle nnb ge* mertolidje bauten. (©peidjer, Sagerbäufer u. gabrifen) toon 5lrd)iteft Heinrid) ©alamann, 2)üf* felborf. II: ©peidjer u. Sager* bäufer. SJiit 123 gig. №. 512. Säuber* unb Söllernamen oon Dr.

Siub. Hleinpaul in Seitoaiß- Sir. 478. Sanbftrafienbau toon Hgl. Oberlehrer 51. Siebmann, SetriebSbirelt. a. 3). i. SJiagbeburg. SJiit 44 gig. №. 598. Sanbmirtfcbaftlicbe SetriebSleljre ö. ©. Sangenbedin ©rofj*£id)terfeIbe. №. 227.

Sanbujirtfdjaftlidien SJiafrîjtnen, $ie, toon Harl SBaïtber, 2>itoIom.*gng. in SJiamtbeim. 3 Sanbdien. SJiit toielen Slbbilbgn. Sir. 407—409 Sateinifcbe ©rammatiï. ©mnbrifc ber latein. (©pracbïebre ü. S*of. Dr. SB. Sotfd) in SJiagbeburg. Sir. 82.

— ©brarbe. ©efdjitf)te ber lateini* fcben ©bredje toon Dr. griebrid) ©tola, Stofeffor an ber Unitoerfitât gnnSbrud. Sir. 492.

Sidjt. Sbeoretifdje Sbbfiï ID Seil: Sidjt unb SSärrne. Son Dr. ©uft. gager, 5Srof. an ber £ed)n. Hodj* fcbuïe in SBien. SJi. 47 SIbb. №. 77.

Sogaritbtnen. Sierftellige Stafeln unb ©egentafeln für logaritbmifdjeS u. trigonometrifcbeS fRedjnen in ^roei garben aufammengeftellt toon Dr. Herm. ©cbubert, Srof. an ber ©e* Iëbrtenfcbule beS gobanneumS in Hamburg. Sir. 81.

—    gtinfftellige, toon Srofeffor Sluguft Slbler, 2)ire!tor ber 1. 1. ©taatSober* realfdmle in SBien. Sir. 423.

Sogil. Sfbdjologtemtb Sogilaurfôin* fübrnng in bie Sbilofobbte toon Srofeffor Dr. £b. ©IfenbanS. SJiit 13 giguren. Sir. 14.

Solomotitoen. ©ifen&aljnfabraeuge toon H. ^innentbal. I: 3)ie Solo* motitoen. SJiit 89 Slbb. im £e£t u. 2 Xafeln. Sir. 107.

Sotbringen. ©efdjicbte SotbringenS toon Dr. Herm. ŚericbStoeiler, ©eb. SiegierungSrat in ©trafjburg. Sir. 6.

—    Sanbeêïunbe to.©lfafi*£otbringen to. Srof. Dr. Si. Sângenbed in ©trafjburg i. ©. SJiit 11 SIbb. u. 1 Harte. Sir. 215.

Sötrobrbrobierlunbe. Dualitatitoc Slnaltofe mit .^ilfe btè Sütrobrê toon Dr. SJiart. §engïein in greiberg i. ©a. SJiit 10 giguren. Sir. 483.

Sübcd* Sanbeëfunbe b. ©robboraog* turner SJiedlenburg u. ber greicit u.^anfeftabt Sübed to. Dr. ©ebalb ©cbioara, 2)ireltor ber Sîealfcbuïe aum 2)om in Sübed. SJiit 17 9lb* biïbungen unb Marten im Xeçt unb 1 ïitbograbbtfcben Âarte. Sir. 487.

Snftelcftriaitât üon Dr. Âarl Câbler, toiffenfdbaftïicbem Hilfsarbeiter am Äönigl. Sïeub- SJieteorologifd)* SJiagnetifdjen Obfertoatorium in SotSbam. SJiit 18 Slbbiïbungen. Sir. 649.

Suftfatycter. ©eine ©eminnung burd) ben eïeltrifcben glammenbogen toon Dr. ©. Srton, Stof. an ber ÂgI. Sergalabemie in greiberg. SJiit 50 giguren. Sir. 616.

Suft* unb SJiecreSftrômungcn bon Dr. grana ©djulae, 3)ire!tor ber Siatoi* gationSfd)ule au Sübed. SJiit 27 2lb* biïbungen unb STafeln. Sir. 551.

Süftung* Hctanng unb Süftung bon g'ng. Johannes Körting in îüfîel* borf. I: S)aS SBefen unb bie Se* recbnung b. Hetaimgê* u. SüftungS* anïagen. SJiit 34 gig. Sir. 342.

Lüftung. Neigung unb Lüftung bon

3ng. ^ohanned Körting in Tüffel* borf. II: Tie Rudführung ber £eigungd* unb Süftungdanlagen. Mit 191 Figuren. Rr. 343.

Luther, Martin, unb 2^ош. Murner. Rudgetoählt unb mit Einleitungen u. Rnmertungen berieten b. Srof. ©. Sertit, Oberlehrer am Ritolai* gpmnaiium gu Leipgig. Rr. 7.

Magnetidmud. Theoretifdje $ßbbfi!f

III. Teil : Eleftrigität u. Riagnetid* mud. Son Dr. ©uftab ^âger, Rrof. an ber Techniken &od)fd)ule SCSien. Mit 33 Rbbilbmtgen. Rr. 78.

Mälgerei. Srauereimefen I: Mälgerei bon Dr. R. Treberhoff, Tirettor b. Öffentlichen unb l.©ad)f. Serfud)d* ftation für Srauerei unb Balgerei, foioie ber Srauer* unb Mätgerfchule gu ©rimma. Rr. 303.

Mafdjtneitbau, Tie Ślalfulattan tnt, bon Ingenieur ф. Seemann, Tog. am Technilum Ritenburg. Mit 63 Rbbilbmtgen. Rr. 486.

— Tie Materialien bed Mafthinen* batted unb ber Eleltrotechniî bon Ingenieur Srof. Hermann SMlba. Mit 3 Rbbilbungen. Rr. 476.

Mafthinenelemente, Tie. śhtrggefafc* te» Sehrbud) mit Seifpielen für bad ©elbftftubium u. b. praïtifd)en ©e* brand) bon gr. Sarth, Oberingen. in Nürnberg, Mit 86 gig. Rr. 3.

Mafdjinengeirijnen, Rraftifdjed, bon $ng. Richarb ©chiffner in SSarrn* brunn. I: ©runbbegriffe, Einfache Mafdjinenteile bid gu ben ®uppe* ïungen. Mit 60 Tafeln. Rr. 589.

--II: Sager, Riemen* unb ©eit*

fcheiben, ßahnräber, Kolbenpumpe. Mit 51 Tafeln. R r. 590.

Maffanalpfe bon Dr. Otto Rohm in Tarmftabt. Mit 14 &ig. 91 r. 221.

MafK Tous* uttb ©etbichtdinefen bon Dr. Ruguft Slinb, Rrofeffor an ber £anbeldfd)ule in Köln. Rr. 283.

Materialprüfungdmefen. Einführung in bie moberne Tedjnif b. Material* Prüfung bon K. Temmler, Tipi.* Ingenieur, ftänb. Mitarbeiter am $gl. MateriaDRrüfungdamte gu ©rofc*Sid)terfelbe. I: Material* eigenfd)aften.— geftigleitdberfudje. — £ilfdmittet für geftigï'eitdber* fudje. Mit 58 ÿiguren. Rr. 311.

Materialprüfungdtoefen. Einführung in bie moberne Techniï b. Material* Prüfung oon K. Memmler, Tipi.* Ingenieur, ftänb. Mitarbeiter am Kgl. Material*Srüfungdamte gu ©roj3*Lid)terfelbe. II: Metatlprü* fung unb Prüfung bon £ilfdmate* rialien b. Mafd)inenbaued. — Sau* materialprüfung. — Rapierprü* fung. — ©d)miermiitetprüfung. — Einiged über Metallographie. Mit 31 $ig. Rr. 312.

Mathematiï, ©efchidjte ber, bon Dr. 91. (Sturm, Rrof. am Obergpm* nafium tu ©eitenftetten. Rr. 226.

Mathematifche $orntelfantmlung unb Repetitorium ber Mathematit, ent* haltenb bie toichtigften Formeln u. Lehrfähe b. Rrithmetit, ШдеЬга, algebraifdhen Rnalpfid, ebenen©eo* metrie, ©tereometrie, ebenen unb fphärifd)en Trigonometrie, math, ©eographie, analpt. ©eometrie ber Ebene unb bed Raunted, ber Tiffe* rential* unb $ntegralred)nung bon O. Th. Sürflen, Rrofeffor am ад. Realgpmnafium in ©d)ib.*©münb. Mit 1й Figuren. Rr. 51.

Maurer* unb ©teinhauerarbeiten bon Srof. Dr. phil. unb Tr.*3ng. Eb. ©chmitt in Tarmftabt. 3 Sänbdjen Mit bieten Rbbilb. Rr. 419—421.

Methanif. Tljeoret. Rhhfif I. Teil: Mechanic unb Rfuftif. Son Dr. ©uft. ftäger, Srof. an ber Ted)* nifdjen £od)fd)ule in SBien. Mit 19 Rbbilbungen. Rr. 76.

Meihanifthe Tedutologie bon ©eh-^of* rat Srofeffor R. Sübide in Sraun* fdhtoeig. 2 Sänbcpen. Rr. 340, 341.

Metflettburg. Sanbedlunbe b* ©ro^ hergogtümer Medienburg tt. ber freien u. ^anfeftabt 2übed bon Dr. ©ebalb ©d)№arg, Tireïtor bet Realfd)ule gum Tom in Sübed. Mit 17 Rbbilb. im Teęt, 16 Taf. unb 1 Äarte in Lithographie. Rr. 487.

Medlenburgifthc ©efdiidjtc bon Ober* lehret Otto Sitenfe in Reubranben* bürg i. M. Rr. 610.

Meeredtunbe, ißhbfiftfje, bon Srof. Dr. ©erharb ©chott, Rbteitungd* borfteherbei b. Teutfchen ©eetoarte in Hamburg. Mit 39 Rbbitbungen im Tejt unb 8 Tafeln. Rr. 112.

Mîeeredftrônumgen. 2uft* u. Mteered* ftrömungen b. Dr. grang ©cputge, Sir. b. Mabigationdfcfeuïe gu Sübed. Яги 27 2165. u. Safeln. Яг. 551.

Mîenfdtfidje Mürber, Ser, fein S3au u. feine Sätigleiten bon E. Mebmann, ©berfcfeulrat in Äartdrulje. Яги©е-funbfeeitdleljre b. Dr. med. £. (Seiler. Яги 47 ЯЬЬ. u. 1Saf et. Яг. 18.

Яге1а11од rap feie. Äurge, gemeinfafe-lidfee Sarftellung ber Sefyre bon ben Metallen u.iferen Segierungen unter befonb. $8erüdiid)tigung ber Jetait-mUroffopie b.Sßrof. E. ферп u. Sßrof. O. S3auer a. ®gl. Mîaterialprüfungd-amt (®r.-£id)terfelbe) b. $. Sedjn. 4>od)fd)ute git Berlin. I: ЯПдет. Seil. «Kit 45 ЯЬЬ. im Se£t unb 5 £id)tbilbern auf 8 tafeln. Яг. 482.

— — II: ©peg. Seil. 3Rit 49 ЯЬЫ1-bungen im Sert unb 37 Sicfetbilbem auf 19 Safeln. Яг. 433.

«Metallurgie bon Dr. ^uguft Eeife in Äriftiandfanb (Mormegen). I. IL äßit 21 Figuren. Яг. 313, 314.

«Meteore. Mftronomie. Eröfee, S3eme-gung и. Entfernung ber 4?immeld-törper bon SI. g. bobiné, neu bearbeitet bon Dr. фегтп. $obolb, «Prof. a. b. Unib.^iel. II: Kometen, SJłeteore u. bad ©ternenfpftem. Яги 15 gig. и. 2 ©terntarten. Яг. 529.

Mieteorologie b. Dr. SS. Srabert, $rof. an ber Uniberfitât SSien. ЯШ 49 Sibbilb. u. 7 Safeln. Яг. 54.

«Militiiriftfee S3auten bon Яед.-ЗЗаи-meifter Я. Sang in ©tuttgart. SOÎit 59 ЯЬЬ. Яг. 626.

MtilitiirftrafrerfU bon Dr. ЗЯаг Emft Ягарег, «Prof. an b. Unib. ©trafe-burg i. E. 2 23be. Яг. 371, 372.

«Mineralogie bon Eefeeimer S3ergrat Dr. Я. SSraund, Sßrof- an b. Unib. «ftonn. Яги 132 ЯЬЬйЬ. Яг. 29.

«Minnefaug unb ©prucfebirfUung. SSaltfeer bon ber 2$ogetn>eibe mit Mudtoafel and Ягinnefang unb ©prurf)biriUung. Яги Яптег!ипдеп u. einem SSörterb. bon ©. Emitter, «Prof, an b. ©berrealfcpule u. an b. Sed)n.$od)fd)ulei.©tuttgart.Mr.23.

$tittetljod)beutfd)e SirfUmtgen aud mittelfjocpbeutfdier griiljgeit. gn Mudmafel mit Einleitg. u. SSörter-bucp peraudgeg. bon Dr. Hermann ganpen, Sir. b. Königin Suife-©cpule i. ®önigdberg i.«ßr. Яг. 137.

Miittelpodjbeutfrfje Erammati!. Ser Mibelunge Mot in Mudmapl unb mittelporfjbeutftfje Erammatil mit frirg. SSörterb. b. Dr. SS. Eoïtper, «Prof. a. b. Unib. Moftocf. Яг. 1.

SMorgentanb. Eefcfeicfete bed alten Miorgentanbed b. Dr. gr. Commet, Sßrof. an b. Uniberfitât Ягйпeben. «Mit 9 ЯЗйЬегп и. 1 ®arte. Яг. 43.

SMorfefjotogie unb ©rganograppie ber Wangen b. SSrof. Dr. яг. Morb-baufen i. Æiet. Яг. 123 ЯЬЬ. Яг. 141.

Mlörtel. Sie gnbuftrie b. fünftlicpen S3aufteine unb bed MÜôrteld bon Dr. E. Mauter in Eparlottenburg. Яги 12 Safeln. Яг. 234.

ЯгипЬ arten, Sie beutfrfjen, bon $rof. Dr. 4?. Meid in Mtaing. Яг. 605.

SMunbarten, SUattbeutfrfje, bon Dr. Hubert Erimme, «JSrofeffor an ber Uniberf. Mtünfter i. SB. Яг. 461.

SMiingmefen. Я7а£*, SMting* unb Ее* toirfUdioefen ь.Ьг.Яид.ЯШпЬ, «Prof, a. b. 4?anbeBfcfeuïe in Æôln. Яг. 283.

Ягигпег, Spotnad. ягагНп Sutper и. Sfeontaê ягигпег. Sluâgemâfett и. m. Einleitungen u.Sïnmert. berfefeen bon Sßrof. &. SSertit, ©berteferer am Mi!olaigt)mnaf. gu Seipgig. Яг. 7.

Mtufif,Eefd)id)te ber alten unb mittel* alterlirfeen, b. Dr. Я. Mtöfeler in ©teinfeaufeen. 2 ^bd). Яги gafelr. ЯЬЬ. и. ЯгиШЬеН. Яг. 121 и. 347.

Miufiïalifcfee Slfuftif bon SSrofeffor Dr. 4îarl £. ©dfeäfer in S3erlin. Яги 36 ЯЬЬйЬипдеп. Яг. 21.

Ягии1а1^огтеп1е1)ге(41отЬо1Шоп§* ïeljre) bon ©tepfean Ärefel. I. IL Яги biel. Motenbeifp. Яг. 149, 150.

Mlufilâftfeetiî bon Dr. ®arl Erunèfp in ©tuttgart. Яг. 344.

MlufifgefdiUfete bed 17. unb 18.gafer* ffunbertd bon Dr. ^arl Erundfp in ©tuttgart. Яг. 239.

MlufifgefdjidUe feit beginn bed 19. gaferljunbertd b. Dr. Erundïp in ©tuttgart. I. II. Яг. 164f 165.

Miufiîlefire,2ttigeuteine, bon ©tepfean Préfet in Seipgig. Яг. 220.

Mabelfeötger, Sie, bon Dr.g. SS.Meger, SSrof. an ber éônigt. gorftafabemie gu Sfearanbt. Яги 85 Mbbilbungen, 5 Säbelten unb 3 harten. Яг. 355.

Maferungdmittet. Ernäfernng n. «Maty» rungdmittel b. ©berftabdargt «Prof, ф. S3ifcfeoff in Berlin. Яги 4 ЯЬ-bilbungen. Яг. 464.

Obtbiuë Dtafo, Sie 9Retamorbhofen beë. ^n aiuëloahl mit einer ©inleit, u. ainmerî. herauëgeg. b. Dr. ^ul. 3iehen in granffurt a.3R. Жг. 442. ^äbagagilf im ©runbrife bon a$rofeffor Dr. Ж5. 9lein, Sirettor b. ЖаЬадод. (Seminarë a. b. Unib. ftena. 9îr. 12. — ©efchirfjte ber, bon Oberlehrer Dr.

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Stoutiï. &1щег aibrifj b. täglich an Porb bon ^anbeïèîcgiffen angeln. Seilë b. (Schiff ahrtëfunbe. Жоп Dr. Errang &фиЦе, Sir. b. ÜRabigationë* fchule su Sübecï. «Otit 56 aibbilbgn. 9îr. 84.

9teugried)ifrf)*beittfdjeë ©efbrâdjë* budi mit befonb. Perücïfichtigmtg b. Umgangëfprache b. Dr. ^ohanneë f alitfunafië, S03. ant (Seminar für orient. (Sprache in Perlin. 9tr. 585.

ÜReunsetjnteb Suljrhunbert. ©efchirhte beë 19. Safirtjtmbertë bon Oëtar Säger, o. ftonorarprof. a. b. Unib. Ponn. l.Pbcf).: 1800—1852.9ir.216.

--2. Pânbchen: 1858 bië ©nbe beë

Sahrhmtbertë. 9tr. 217.

fJteuteftamcntliche 3eitgefrf)irf)te bon Lie. Dr. as. (Staerî, Prof. a. ber Unib. in Sena. i: 2)er ï)iftorifcf)e u. fuïturgefchichtl. |>intergrunb b. Ur-chriftentumë. Ш. 3 Marten. 9tr. 325.

--II: Sie Religion b. Subentumë

im 3eitaïter b её £>eüeniëmuë unb ber 9tômerherrf<haft. 90Ш 1 pian-fti33e. 9?г. 326.

ÜRibelunge 9îôt, Ser, in aiuëtoahl unb mitteit)od)beutjcE)e ©rammatiï mit turpem SBörterb. b. Dr. aS.©oltl)er, Prof. an ber Unib. 9toftotf. 9tr. 1.

SRorbifrhe Siteraturgefcbirhte I: Sie iëlânb. u. normeg. Siteratur beë ÜRittelalterë b. Dr. aSolfg. ©olther, Prof. an ber Uniberfitât 9toftotf. 9tr. 254.

fRubpftansen bon Prof. Dr. S. Peh* renë, Porft. b. ©rofîhersogl. lanb-toirtfchaftl. Perfuchëanft. Siuguften-berg. 9Rii 53 Figuren. 9tr. 123.

Ole. Sic ftette u. Ole fotoie b. (Seifen» u. Âer^enfabrilation u. b. фагзе, Saiie, ftirniffe mit ihren toichtigften ^ilfëftoffen bon Dr. f arl Praun in Perlin. I: ©inführung in b. ©hernie, Pefprechung einiger (Salsę u. ber $ette unb Ole. 9tr. 335.

Ole unb fftierfjftoffe, aitherifrfje, bon Dr. Or. 9tod)uffen in 9Riltife. 9Rit 9 Slbbilbungen. 9tr. 446.

Optiï. Einführung in b. geometrifrfje DW bon Dr. 2S. £inrid)ë in Ш1-merëborf-Perlin. 9tr. 532.

Orientait frf) e Siteraturen. Sie Site* raturen b её Orienté bon Dr. 9R. ^aberlanbt, Pribatbos. an b. Uni-berfität SBien. I: Sie Siteraturen Oftafienë unb $nbienë. 9ïr. 162.

Orientalifdje Siteraturen. Sie Site* raturen b её Orienté bon Dr. £aberlanbi, Pribatbos. an b. Uni-berfitât SBien. II: Sie Siteraturen b. Perfer, ©emiten unb Sürïen. 9tr. 163.

—    Sie rfjrifttirfjen Siteraturen beë Orienté bon Dr. Slnt. Paumftarï. I: ©inleitg. — Saë chriftl.-aramâi-fche u. b. fopt. (Schrifttum. 9tr. 527.

--II: Saë <hriftlich=arabifche unb

baë ätf)iopifd)e (Schrifttum. — Saë « chriftliche (Schrifttum ber atrmenier unb Georgier. 9tr. 528.

Orténamen im Seutfchen, Sie, ihre ©nttoitflung u. ihre ^erfunft bon Dr. 9tubolf fleinpaul in Seidig-©орИё. Ш. 573.

Oftafriïa. (Sie beutfch- Kolonien III) bon Prof. Dr. f. Sobe. 9ftit 16 Saf. u. 1 lithogr. .farte. 9tr. 567. Ofterreirh. Ofterreidjifche ©efchichte bon asrof. Dr. $ran§ b.froneë, neu-bearb. bon Dr. far! Щ1щ, ^rof.

a.    b. Unib. ©газ. I: SSon b. Urzeit

b.    з. Sobe fönig ailbrechtë II. (1439). lit 11 (Stammtaf. 9îr. 104.

--II: ЖотSobe fönig ailbrechtëII.

bië 3. aßeftf. ^rieben (1440—1648). aRit 3 (Stammtafeln. 9ir. 105.

—    Sanbeëïnnbe b. Ofterreich »Ungarn bon Dr. ailfreb ©runb, $rof. an b. Uniberfitât фгад. Ш1 10 Sejt-illuftrationen и. 1 farte. 9ir. 244.

45alâi)!limatotogie bon Dr. aSilh- 9t.

©rfarbt i.aSeilburg (Sahn). 9tr. 482. Paläontologie bon Dr. 9tub. фоегпеё, Prof eff or an ber Uniberfitât ©газ. 9ftit 87 atbbübungen. 9tr. 95.

— unb atbftammungëlehre bon Dr. fart Siener, Prof, an ber Uniberf. aSien. «0tit 9 aibbilb. 9tr. 460.

43aläftina. Sanbeê* unb SSolfêfmtbe 4$atäftinad bon Lic. Dr. ©uftab £ôtfd)er in £alle. SRit 8 »ollbit-bern unb 1 $arte. Rr. 345. fßaraltetyerfbettibe. Red)tn>inftige u. fd)ieftt>inftige Stfonometrie b. fjßrof. S- SSonberlinn in fünfter. Rtit 121 Figuren. Rr. 260. ^erfonennamen, Sie beutfrfjen, ь. Dr.

9tub. Æteinpaut in Seipgig. Rr. 422, 43etragrabbie b. Dr. SB. S3rubn§, SBrof. , an ber S3ergatabemie ©tauêtbat. 9Rit 15 Stbbilbungen. Rr. 173. 4$fïanse, Sie, ibr S3au unb ibr Beben bon SSrof. Dr. ©. Sennert. StRit 96 Slbbitbuugen. Жх. 44. ^ftansenbautebre. Stderbau* unb ^ftanscnbanlebre bon Dr. SSaut 9tit3bert in (Щеп u. @rnft Sangen^ bed in @rof3*£id)terfelbe. 9/r. 232. iPflanàenbiotogie b. Dr. S55. 9Rigitta, SSrofeifor an b. ^orftaîabemie Щс* nad). I: Slltgemeine biologie. 9Rit 43 Stbbitbungen. 9?r. 127. ^ftansenernäbrnng.Stgritutturdjemie I: SSftangenernabruug b. Dr. ifarï ©rauer. Жх. 329.

^ftansengeograbbic bon Sßrofeffor Dr. Subioig Śietó in SRarburg (Reffen). «Rr. 389.

43ftanâenïranïbeiten bon Dr. Sßerner Sriebr. S3rud, fßribatbo^. i. ©iefeen. SRit 1 farb. Safe! unb 45 Sïbbilbgn. SRr. 310.

^ftansemnorbbbtogie. SRorbboïogie n. Śrganograbbte b. ^flanjen bon Sßrof. Dr. m. 9îorbbaufen in Ше1. 9Rit 123 9tbbitbungen. Rr. 141. ^ftansenbbbfibtogie bon Dr. 9Iboïf Raufen, ÿrof. an ber Uniberfität ©iefjen. 9Rit 43 Stbbitb. «Rr. 591. 43fïangenreirbd, Sie Stämme be§, bon 43ribatbog. Dr. 9tob. ^Siïger, ^uftoê am ®gï. S3otan. ©arten in S5ertin-Sablent. 9Rit 22 9ibb. Жх. 485. ^flanjentbelt, Sie, ber ©emâffer bon Dr. SB. 9Riguïa, ^rof. a. b. fîorftaï. ©ifenacb. SRit 50 Stbb. «Rr. 158. SßftansenseUentebrc. Bettentebre unb Slnatamie ber SSftanjen bon SSrof. Dr. ф. 3Riebe in Beibsiô- fïRit 79 Stbbitbungen. SRr. 556. îPbarmaïagnofic, S3on Slpotbeter g. <êd)mittbenner, Slffift. a. S3otan. Suftitut b. Secbn. ÿocbfcbute Âartê^ rube. Rr. 251.

SHjarmaseutifdje Œïjetnie Don SStibaD bogent Dr. 9Rannbeim in S3oun. 3 SSänbdjen. $Rr. 543/44 U. 588.

43bilologie, ©eftbitbte b. Haffifcben, o. Dr. SBilb- toll, orb. $rof. a. b. Unib. fünfter in Sßeftf. «Rr. 367.

4?biïofbbbie, ©infitbrung in bte, bon Dr. 9Rag SBentfdjer, fßrofeffor an ber Uniberfität Söonn. Жх. 281.

^^ilofobftie, ©efdjirbte b., 1У : teuere SSbitnfobbie bfê àant bon Dr. S3. S3aud), ÿrofeffor an ber Uniberfität Зепа. Rr. 394.

--Y: Emmanuel ®ant bon Dr.

S3runo 93aud), fjkofeffor an b. Uni* berfitât Зепа. Rr. 536.

--VI: Sie SSbitofobbie itn erften

drittel be§ 19. ftabrbunbertd bon Strtbur Sretbâ, $rof. ber SSbito* fobbie an ber Sed)n. $od)fd)ule in Âarfêrube. Rr. 571.

—    £aubtbrobtcmc ber, b. Dr. ©eorg Simmel, fßrofeffor an ber Uniber* fität S3ertin. Rr. 500.

—    ÿfbdjotugie unb fiogiï gur ©inf. in b. SSbitofopbie bon SSrof. Dr. Sf). ©If eut) anè. Rüt 13 gig. Rr. 14.

4$botograbbie, Sie. S3on ф. ®efjter, S3rof. an b. !. ï. ©rabbifcben Sebr= unb S$erfutf)êanftalt in SBien. 9Rit 3 Saf. unb 42 Rbbilb. Rr. 94.

$f>t)fifr Sbeoretifdjc, bon Dr. ©uftab Säger, fßrof. ber S$bbfif an ber Sedjn. &od)fd)ute in SBien. I. STeil: «Redbanit unb Siïuftiï. 3Rit 24 9lb* biïbungen. Rr. 76.

--II. Seit: ßitfjt u. SBärme. 9Rit

47 Stbbilbungen. Rr. 77.

--III. Seit: ©leïtrigitâtu. Riagne*

tiâmuè. 9Rit 33 Stbbitb. Rr. 78.

--IV. Seit: ©teftromagnet. £id)t*

tbeorie unb ©teftronif. Rüt 21 $ig. Rr. 374.

^bbfif, ©efdjidite ber, bon $rof. 91. Äiftner in SBertbeim a. 9R. I: Sie S$bbfiï btè Retoton. 9Rit 13 $ig. Жх. 293

--II: Śie $bbftf bon Retoton biê

g. ©egentoart. 9Rit 3 $ig. Rr. 294.

$bbfifottf<b »©bentifcbe Retbenauf* gaben bon SSrof. Dr. 91. Slbegg unb SSribatbogent Dr. 0. ©atfur, beibe an ber ttnib. 93re3tau. Rr. 445.

tßbbfifaltfdieSlufgabenfatmnlmtg bon ©. Riabter, S$rof. ber 9Ratbematif u. S$bbfiï ant ©timnafinm in Utm. 2Rit ben Ülefuttaten. Жх. 243.

gormetfammlung bon ©. SJtahter, Sßrof. am ©bmnafium in Utm. SJiit 65 gig. Sir. 136. i^Ufiïaliftfie SJieffungdmethoben bon Dr. $ШШ). SBaïjrbt, Oberlehrer an b. Oberreatfchute inErofc-ßichterfetbe. SJiit 49 Figuren. Sir. 301. SJhhfiîattfcheXabeUen b. Dr. SIJ£eid, Oberlehrer an ber Eomeniudfd)ute gu S3ertin-©d)ôneberg. Sir. 650. $hhftologif^e ©hernie bon Dr. med. SI. Segahn in S3ertin. I: Slffimila-tion. SJiit 2 Xafetn. Sir. 240.

--II: fciffimilaiion. SJiit 1 £af.

Sir. 241.

fßfftfifdJ* ©eograbhie bon Dr. ©iegrn. ©ünther, S$rof. an ber tgt. £ed)n. £od)fd)uIeinSJiünd)en. SJiit 32 31b' bitbungen. Sir. 26.

^hhftfrhe SJieeredtunbc bon ^JSrof. Dr. ©erb- ©chott, Slbteitungdborft. b. b. SDeittfd). ©eetoarte in Hamburg. SJi. 39 Slbb. im SCeçt u. 8 îaf. Sir. 112. fjHïge, 2>te* ©ine Einführung in bie tenntnid ihrer gormenreihen bon Sßrof. Dr. ©. ßinbait in Berlin.

10 gigurengrubben i.SCert. Sir. 574. ^tanetenfbftem* Siftronontie (©röfce, SSeïoegung u. Entfernung b. £im-metdtörber) bon SL g. SJlübiud, neu bearb. bon Dr. £erm. tobotb, fjßrof. a. b. Unib. fiet. I: SDad Planeten* fhftem. SJiit 33 Stbbitb. Sir. 11. fßtaftif, 2)te, bed Stbenbtanbed bon Dr. £and ©tegmamt, 2)irettor bed 99at)er. Siationatmufeumd in SJÎün-djen. SJiit 23 Stafetn. Sir. 116.

— 2>ie, feit beginn bed 19. gaftrhmt» bertd bon SL £eümet)er in SJiün-eben. SJiit 41 Sßottbitbern. Sir. 321. fßlattbeutfcheSJimtbarten bon Dr.^ub. ©rimme, fßrofeffor an ber Uniber-fität SJiünfter i. SS. Sir. 461. $oetif, $eutfche, b. Dr. t. S3orindïi, Sßrof. a. b. Unib. SJiüncben. Sir. 40. fßolarticht. ©rbmagnetidutud, ©rb* ftrom u. ^otarlirht bon Dr. SI. Siibbolbt, SJiitglieb bed tgt. SSreufj. SJieteoroIog. gnftitutd gu fßotdbam. SJiit 7 £af. u. 16 Figuren. Sir. 175. SJoIntfche ©efcbtdjic bon Dr. Elemend SSranbenburger in S$ofen. Sir. 338. Sommern. Sanbedïmtbe bon $om* mern bon Dr. SS. 5)eede, $tof. an ber Uniberfität Freiburg i. S3. SJiit 10 Slbb. unb Marten im £ejt unb 1 tarte in £ithograpbie. Sir. 575.

fJJortugiefifche ©efchtrhte b.Dr. ©uftab $>ierdd in S3erlin-©tegtib. Sir. 622. SSortugiefifthe fiiteraturgefdjidite bon Dr. tart bon SReinbarbftoettner, SSrofeffor an ber tgt. £ed)n. £od)-fchule SJiündhen. Sir. 213. ’pofamentiererei. $e|iU*gnbuftrie И: Sßeberei, SBtrferet, ^ofamentiere* rei, ©bihen* unb ©arbinenfabri* ïatton nnb gitgfabrtïation b. $rof. SJiaj ©iirtter, ©eh- SRegierungdrat im tgt. Sanbedgetoerbeamt gu SSerlin. SJiit 29 gig. Sir. 185. SSoftrecht bon Dr. Sllfreb SBotde, ^3oft-infpettor in S3omt. Sir. 425. ^refjiuftiberlgeuge, 2>ie, bon 2)ipIom-gng. S3- gltid, Oberlehrer an ber taif. Stecbn. ©djute in ©trafcburg. SJiit 82 giguren. Sir. 493. $reuf$ifd)e ©efdjichte. 33ranbenbur* gifcb*43reufHfrf)e©efchirf)te b. S3rof. Dr. SJi. Stbamm, S)ireïtor b. taifer 2Bttbetmd-©bmnafiumd in SRonta-baur. Sir. 600.

SJreuhifdjed ©taatdredjt bon Dr. grih ©tier-©omto, Sßrof. an ber Unib. S3onn. 2 Steile. Sir. 298, 299. ^fbrhiatrie, gorenfifebe, bon SSrofeffor Dr. SS. SBebganbt, 2)ir. ber grren-anftalt griebrichdberg in Hamburg.

2    S3änbchen. Sir. 410 unb 411. S?fhd)bIogie unb ßogi! gur Einführung

in b. Wlofobhie b. Sßrof. Dr. ^h* Elfenhand. SJiit 13 gig. Sir. 14. SSfbtbobbbfif, ©tunbrif? berf b. S3rof. Dr. ©. g. £ibb^ in Siiritf).

3    giguren. Sir. 98.

SSumben, ^ritdioaffer* unb SrutfUtft* SInlagcn* Ein furger Überblid bon 2)ipL<?ng. Siubotf S3ogbt, Slegie-rungdbaumeifter a. Ф. in Stachen. SJiit 87 Slbbtlbungen. Sir. 290. Ouellenlunbe b. beutftfjen ©efehichie bon Dr. Earl gacob, S3rof. an ber Uniberfität Tübingen. 1. S3anb. Sir. 279.

Slabioaïtibitât bon ©ipt.-gng. SBilh. grommet. SJiit 21 Slbbilbitngen Sir. 317.

^Rechnen, ®adf in ber Serfmiï u. feine |)itfdmittet (Siechenfd)ieber,Sled)en-tafeln, 9ied)enmafd)inen uftb.) bon gng. got). Eug. SJiaher in greiburg i. S3r. SJiit 30 Slbbitb. Sir. 405.

ШеЬeiehre, Xeutfdje, b. §and «ISrobft, Ehmnafialbrof. тЖатЬегд. Яг.61. föebefchrift fiehe: Stenographie* JReirfjdfinansen, Xie Enttoirflung ber, bon ffSräfibent Dr. Я. ban ber Жогд1и in ЖегНп. Яг. 427. ^Religion, X>ie Enttoidlung ber thrift-lichen, innerhalb bed Яеиеп Xefta« mentd bon ^ßrofeffor Dr. Lic. Earl Elemen. Яг. 388.

«Rechnen, ®aufntänuiiched, bon ^rof. ЯпрагЬ 3uft, Oberlehrer an ber Öffentlichen èanbeldlehranftalt ber Xredbener Äaufmannfrfjaft. I. II. III. Яг. 139, 140, 187.

«Recht bed ЖйгдегИфеп ©efehbuchd. Erfted S3ucf> : Allg. Seit. I: Einleitung — Sehre b. b. «ßerfonen u. b. b. «Sachen t). Dr. Ж* Oertmann, f^rof. a. b. Unib. Erlangen. Яг. 447.

--II: Erwerb u. SSerluft, Eeltenb-

machnng u. Schuh ber Яес^е bon Dr. $aul Oertmann, ^Srofeffor an ber Uniberfität Erlangen. Яг. 448.

—    3toeited Жиф: Schulbrecht. I. Abteilung: Allgemeine Sehren bon Dr. Жаи1 Oertmann, ^Srofeffor an ber Uniberfität Erlangen. Яг. 323.

--II. Abt. : Xie einzelnen Schulb-

berhältniffe b. Dr. «ßaul Oertmann, «JSrof. an ber Uniberfität Erlangen. Яг. 324.

—    Xritted Жиф: Sachenrecht bon Dr. $. ^rebfchmar, Oberlanbedgerichtd-rat in Średben. I: Allgem. Sehren. 93efih nnb Eigentum. Яг. 480.

--II: Жедгеп^е Яес^е. Яг. 481.

—    SBierteä ЖшЬ: Sfamilienrecht bon Dr. .Heinrich Xihe, fßrofeffor an ber Uniberfität Eöttingen. Яг. 305.

IRecht ber SSerficherung^unterneh« mungen, Xad, bon fRegierungśrat a. Ф. Dr. jur. Seibl, erftem ®ireftor ber ЯйгпЬегдег Sebend-berftcherungdban!, früher «Ritglieb bed Äaiferlichen Auffichtdamtd für «Ikibatberficherung. Яг. 635.

«Rechtdfchuh, Фег internationale ge* werbliche, bon $. ЯепЬегд, Æaiferl. Яegierungdrat, «Ritglieb b. Äaifert. ^Satentamtś au ЖеШп. Яг. 271.

«Rechtdmiffenfchaft, Einführung in bie, bon Dr. ФЬеоЬог Sternberg in Berlin. I: ÜRethoben- unb Oluellenlehre. Яг. 169.

--II: ®ad Sbîtern. Яг. 170.

Religion, Xie, bed ^ubentumd im Zeitalter bed ^ellcnidmud u. ber ^ömerherrfchaft bon Lic. Dr. AS. Staerf ^euteftamenttiche 3eit* gefchichte II.) «Rit einer Ж1ап-ffще. Яг. 326.

^Religionen ber ЯШигЬШег, Xie, bon Dr. ФЬ- Acheltó, «Profeffor in Bremen. Яг. 449.

fReligiondwiffenfdjaft, Abri# ber ber« gleichenben, bon ^Srofeffor Dr. ФЬ. Arfjelid in Жгетеп. Яг. 208.

ЯепаЩапсе. Xie kultur ber Яе« naiffance. ©efittung, ^orfchung, Dichtung b. Dr. ЯоЬег! Arnolb, $rof. a. b. Uniberf. ASien. Яг. 189.

ЯерННеп. Xad Xierreich III: Яер» tilien unb Amphibien. Жоп Dr. grans ASerner, Ж»!* a. b. Uniberf. ASien. «Rit 48 Abb. Яг. 383.

fRheittbrobinj, Sanbedlmtbe ber, bon Dr. Ж. Steinecïe, 3)ireltor b. Яеа1-ghmnafiumd in Effen. mit 9 Abb., 3 Bärtchen unb 1 Âarte. Яг. 308.

$ied)ftoffe. üttfferifdje öle unb ^iedjftoffe bon Dr. g. Яофи^еп in «Riltib. «Rit 9 Abb. Яг. 446.

Яотап. EefdjidUe bed beutfchen fRomand bon Dr. §ellm. «Rielfe. Яг. 229.

fRomanifdje Sprachtoiffenfrfiaft bon Dr. Abolf Заипег, «5rof. a. b. Unib. Eras. 2 ЖапЬе. Яг. 128, 250.

SRötnifche Attertumdîunbe bon Dr.Seo Ж torf) in ASien. «R. 8 ЖоИЬ. Яг. 45.

ЯотЦсЬе ©efd)id)te bon Яеа1дрт-nafial-Xireïtor Dr. gut. $orf) in Erunemalb. Яг. 19.

fRömifdje Siteraturgefdiichte bon Dr. фегт Joachim in Hamburg. Яг.52.

«Rötnifdje unb griechifche «Rhthologie bon flStofeffor Dr. Hermann Steu-bing, Яе^ог bed ©hmnafiumd in Schneeberg. Яг. 27.

«Römifrfje ^edjtdgefchichte bon Dr. Aobert bon «Rabr, «Srof. an ber Xeutfchen Uniberf. Ж*ад* 1. Жпй): ®ie 3eit b. ЖоШгей^. 1. Hälfte: Xad öffentliche Яей)1. Яг. 577.

--2.Hälfte : $>ad«JSribatrecht. Яг.578.

— 2. Жиф: Xie 3eit bed Amtd-unb Жег!еЬ^гес!^. l. Hälfte: Фаз öffentliche 9ted)t. Яг. 645.

--2. Hälfte: Xad Ж^а+геф! I.

Яг. 646.

--2. Hälfte: Xad ffSribatrecht II.

Яг. 647.

fHufUanb

Dr.

am

föuififdie ©efdjidjte bon SSBfflj. ЯееЬ, Oberlebrer Oftergtjmnafium in -Spaing. Яг. 4.

—    ßanbe^tunbe be§ ©urodäifdjen fftuf?lanb§ nebft fÿimtlanbê bon ^rofeffor Dr. A. ^£)iIippfon in &alle a. ©. Яг. 359.

fHuififdj*$eutfdje3 ©efbradiêbudj bon Dr. ©rid) Demeter, ^rofeffor an ber Uniberfitât München. Яг. 68.

9tuffifdie ©rammatiï bon Dr. ©rid) SSemefer, ^rofeffor an ber Uni» berfität Münrfjen. Яг. 66.

îHuffifctpe &anbetôforrefvonben5 bon Dr. ЗДеоЬог bon Âa№rat)êft) in fieipgig. Яг. 315.

9îuffifd)e3 üefebudj mit ©loffar bon Dr. ©rid) 93erneter, ^rofeffor an ber Uniberfitât München. Яг. 67.

iKuffifdjc Literatur bon Dr. ©rid) Soefjme, Oettor a. b. ,£>anbefêf)od)» fdjute SSerïin. I. Zeü: Ausmaljl то» berner $rofa u. s£oefie mit auê» füïjrlidjen Anmerïungen u. A^ent» beseidjnung. Яг. 403.

—    — II. 5£eil: Всеволодъ Гаршинъ, Разсказы. Mit Anmerïungen unb Aïsentbeâeidjnungen. Яг. 404.

iRuffifdje 2iteraturgcfd)id)te bon Dr. ©eorg fJSolonèïij in Atüncfyen. Яг. 166.

fHuffifdjeê «oïabelbud), Шешеё, bon Dr. ©rid) SSoebme, £eïtor an ber £anbefêf)od)ïd)uie Berlin. Яг. 475.

©adienredjt. IHcc^t b» Sürgerl. ©e* febbudie§. $ritte§ ©ud): ©ad)en* redit bon Dr. g. Ârei3ïd)mar, Ober» Ianbe3gerid)tërati.2)re3ben. I: AU* gemeine £eljren. 93efi£ u.Eigentum.

--II: Söegrenste 9ted)te. №. 480,

481.

©atbê, £an§. Auêgemâfilt u. erläut.

b. $rof. Dr. ^uliu§ ©abr. Яг. 24. ©adifen. ©âdjfifdje ©efdjiĄte b. $rof. Otto Âaemmel, bettor b. ЯШзЫ* gbmnafiumê ^u Seibâig. Яг. 100. — Sanbeêînnbe beê Mmigreidi3 ©atbfen b. Dr. ^emmnd), Ober» leerer am ^ealgdmnaf. in flauen. Mit 12 Abb. u. 1 Æarte. Яг. 258. ©äugetiere. $a§ 2:ierreid) I: ©äuge» tiere bon Oberftubienrat ^Srof. Dr. Äurt Sampert, 35orftel)er beë Ägl. Яай1гаНеп!аЬ{пе1Ь5 in (Stuttgart. Mit 15 Abbitbungen. Яг. 282.

©djaiteufonftruïtioneu bon $rofeffor $. SSonberlinn in fünfter. Mit 114 Figuren, Яг. 236.

©d)iff§» unb Mftenartillerie bté sur ©egenmart, $ie ©ntmidlung ber, bon Horbettenfapitän tuning. Mit Abbilb. unb Tabellen. Яг. 606. ©d)le§ibig*&olftein. Saubeêïuube bon ©d)leêu>ig*&olftein, &etgolanb u* ber freien unb £anfeftabt £<m= burg bon Dr. fßaul 4?ambrud), Ab* teilungêborfteljer am Mufeurn für SBblïerïunbe in Hamburg. Mit Abb., planen, Profilen unb 1 Äarte in ßittjograbüfe- №. 563. ©djleufenbau. $anal* u. ©djleufen* bau bon fftegierungêbaumeifter Otto Яа£фо1Ь in (Stuttgart. Mit 78 Abbilbungen. Яг. 585. ©djmalfburbaljnen (Mein», Arbeite* u. gelbbafynen) b. SDipl.^ng. Aug. üôoêüart in Nürnberg. Mit 99 Ab* bilbungen. Яг. 524.

©djmarober unb ©djmarobertum in ber Śiermelt. ©rfte ©infüïjrung in bie tierifdje ©djmaroberïunbe bon Dr. grans b. 28agner, a. o. $rof. a. b. Unib. ©ras. Mit 67 Abb. Яг 151. ©d)reiner=Arbeiten. $ifd)ler* (©dim* ner*) Arbeiten I: Materialien, &anbtojerï§5euge, 99tafd)inen,©in* jelberbinbnngen, gupöben, gen* fter,genfterlaben,$rebben, Aborte bon $rof. ©. 3$ief)toeger, Arcfyiteït in Шп. Mit 628 gig. auf 75 £a* fein. Яг. 502.

©cbulbredjt Oiedjt be§ SM'trgerl. ©e* febbucbeê. BmeiteS 23udi: ©tfulb* redit. I. Abteilung: Allgemeine Sefjren bon Dr. s$aul Oertmann, fjkof. a.b.Unib. ©rlangen. Яг. 323.

--II. Abteilung: $ie einzelnen

(Sd)ulbberf)ältniffe bon Dr. $aul Oertmann, ^rofeffor a. b. Uni* berfitât ©rlangen. Яг. 324. ©(bule, bie beutfdje, im Auêlanbe bon &an3 Amrbein, (Seminar* Ober* leerer in ^betibt. Яг. 259. ©djutbauê. î>ie Śautnnft ЬеЗ ©dinl= baufed bon ^rof. Фг^Зпд. ©mft S5etterlein in S)armftabt. I: 2)as ©dmlüauâ. ЯШ 38 Abbitb. II: 2>ie ©d)ulrâume — 2)ie ЯеЬепап!адеп. Mit 31 Abbilb. Яг. 443 unb 444. ©cbulbra^iê. Metbobit b. 58omfd)ule bon Dr. Я. ©et)fert, (Seminarbireï* tor in 3ftf)obau. Яг. 50.

©cbtoeif?« unb ©cbneibberfabren, %a§ autogene, bon Ingenieur &anâ «Riefe in Stiel. 9Rit 30 Sig- Ш. 499. ©ebtoeig. ©rfdueigcriftbe ©eftfjicbte non Dr. St. 2>anbliter, Stofeffor an ber Uniberfität gürid). $Rr. 188. — Sanbeêtunbe ber ©tbiueig bon ^5rof. Dr. Sq. Saïfer in Sent. 9Rit 16 9lbb. unb 1 Starte. «Rr. 398. ©rbtoimmanftalten. Offentl. Sabe» unb ©rbbmnmanftalten bon Dr. Star! Solff, ©tabt-Oberbaurat in фаппоьег. ЯШ 50 Siß- fRr. 380. ©eemadjt, 2>ie, in ber beutfeben ©e« fri)i(t)te bon SirtI. Slbmiralitâtérat Dr. ©rnft bon §alle, Stofeffor an ber Uniberfitât Berlin. SRr. 370. ©eercdjt, 2>a§ beutfebe, bon Dr. Otto Sranbté, OberlanbeSgericbtêrat in Hamburg. I: Sllïgemeine Sebren: Serfonen unb ©ad)en be3 ©ee-redjfê. 5Rr. 386.

--II: 2>ie einzelnen feered)tïidjen

©djulbberbältniffe: Verträge bee ©eered)t£ unb aufterberträgliche Haftung. «Rr. 387. ©eifenfabriîation, Sie, bte ©eifen* auatbfe unb b. Stergenfabritation b. Dr. Starl Sraun in Serlin. (Sie Set te u. Ole II.) 2Rit 25 fdbbiïbgn. SRr. 336.

©eutitifrfje (S^rar^tuiffeufrijaft bon Dr. (ï. Srodelmamt, Srofeffor an ber Uniberf. Stônigâberg. fRr. 291. ©erbofroatiftfjc ©rantmatif bon Dr. Slabimir Corobić, Sibliotbetar be3 boën.-bergego №. £anbe3mufeum3 in ©araiebo (Soênien). iRr. 638. ©ilifate. Snbuftrie ber ©ilitate, ber tünftlirîien Saufteine unb bcê 9Rôrtetë bon Dr. ©uftab fRauter in ©barlottenburg. I: ©ïaê u. terami-fd)e Snbuftrie. Ш. 12 SCaf. $Rr. 233.

--II: Sie Snbuftrie ber fünftlicben

Saufteine unb ЬеЗ 3Rörtel£. «Diit 12 Safein. №. 234.

©imbliciuë ©imbliciffitmrê bon фап§ $atob ©btiftoffel b. ©rimmeBbau-fen. 3n SluSmabl ЬегаиЗдед. bon Srof. Dr. S- Sobertag, logent an ber Uniberfitat Sreślau. 9?r. 138. ©ïanbinabien, Sanbe^ïunbe bon, (©djmeben, fRormegen u. Säne-mart) bon £einrid) Sterp, Streté-fcbuïinfpettor in Streugburg. 9Ш Il ШЬ. unb 1 Starte. Ш. 202.

©labifdje 2iteraturgefcbid)te oon Dr. Sofef Starâfet in Sien. I: ältere Literatur btè gur Siebergeburt. $Rr. 277.

--II: Sa§ 19. ftabrb. №. 278.

©ogiale Stage. Sie ©nttoitflung bet fogialen Stage bon Srofeffor Dr. Serbin. Sönnieä. fRr. 353. ©ogialberfidjerung bon Srof. Dr. Ш-freb 9Rane3 in Berlin. Ш. 267. ©ontologie bon $rof. Dr. Sbonta» Sldjeltè in Sternen. SRt. loi. ©bait« unb ©djleimbilge. Sine ©in-füîjrung inibte Stenntnté bon Srof. Dr. ©uftab Sinbau, Sîuftoë am Stgl. Sotanifdjen SRuieum unb Sribat-[bogent ber Sotanit an ber Uniberfitat Berlin. 2Rit 11 Stbbil-bungen. $Rr. 642.

©bantem ©bûntftbe ©efd)irf)te bon Dr. ©uftab 2)ierd^. №. 266.

— ^anbeêtunbe bcrSberifd)en^alb= infel b. Dr. Sïib Siegel, $rof. an ber Unib. Sürgburg. 9Rit 8 Cartel) en unb 8 Slbbilb. im Xext unb 1 Starte in Sarbenbrud. Sir. 235. ©bantfdje ^aubeldîorrefbonbeng bon Dr. fdlfrebo Slab al be SRariegcur-rena. №. 295.

©banifd)C Siteraturgefcbicbte b. Dr.

9ïub. fBeer, Sien. I. II. Ш167,168. ©Heidjer, Snbuftrielle unb geioerb» lidje Sauten (©peidjer, ßagerbäu-fer u. Sabriten) b. 51rd)itett §einr. ©aïgmann in SDi'tffelborf. II: ©bei-d)er u. Sagerbäufer. ШИ 123 Sie-Sir. 512.

©bùmeret. Xeïtilinbuftrie I: ©bin« nerei unb BbJtrnerei bon Srof.

©ürtler, ©eb- fRegierung^rat im Stönigl. 2anbe§gemerbeamt gu S erlin. ffllit 39 Sißuren. №. 184. ©bibenfabritation. SejtUinbnftric II: Seberei, Sirterei, Sofamen« tiererei, ©biben* unb ©arbtnen« fabriïat n. Sü5fabrt!ation bon Śrof. fDîaç ©ürtler, ©eb. Slegie-rungèrat im Ägl. ßanbe3gen>erbe-amt gu Serlin. SRit 29 Si0- Sir.l85. ©brntbbid)tung. Saltber bon ber Sogelmetbe mit 51u§mabi ou§ SWinnefang unb ©brufbbiibtung. ^Rit Slnmertgn. u. einem Sörter-bud) b. Otto ©üntter, Stof. a. b. Oberrealfd)ule u. an ber Stedjnifdjen $od)fcbule in ©tuttgart. fRr. 23.

Staatslehre, Elltgemeine, bon Dr. Hermann 9tehm, ESrof. a. b. Uni-berfitât StraBburg i. ©. Etr. 358.

StaatSredjt, Elllgetneineê, bon Dr. âuliuS Hntfdje!, ^rof. b. 9îed)te an ber Uniberfität ©ottingen. 3 Söänbdjen. 9îr. 415—417.

StaatSrecht, ESreußifcheS, bon Dr. grit* Stier-Somlo, Êkof. a. b. Uniberfi-tât S3onn. 2 Seile. №. 298, 299.

StammeSfunbe, Seutftfje, bon Dr. Sftubolf EJhtd), a. o. ESrof. a. b. Unib. SBien. m. 2 ®art. u. 2 Saf. №. 126.

Statiï bon EB. dauber, Sipl.-^ng. I. Seil: Sie ©runblehren berSta» ti! ftarrer Mürber. EJlit 82 gig. Etr. 178.

---II. Seil: Elngetoanbte Statiï.

Ettit 61 Figuren. Eżr. 179. ©rabhifchCr mit befonb. 33erücf-fidftig. ber ©influßlinien bon ft'gl. Oberlehrer Sipl.-âng. Otto Henïel in EîenbSburg. l.Seil. 90Ш 121 gig. Eîr. 603.

Steinhauerarbeiteu. Eftaurer* unb Steinhauerarbeiteu bon E$rof. Dr. phil. unb Sr.-Sng. ©buarb Sdjmitt in Sarmftabt. 3 $8ânbd)en. Eïïit bieleń Elbbilbungen. Eîr. 419—421.

Stenographie. ©efdjichte ber Stenographie bon Dr. Etrthur EttenB in Königsberg i. $r. Eîr. 501.

Stenographie n. b. Shftem b. ft. £. ©abelSbcrger bon Dr. Eltbert Schramm, £anbeSamtSaffeffor in SreSben. Eîr. 246.

—    SieEiebefchrtft beS ©abelSberger» fdjett SpftemS bon Dr. Ellbert Schramm, SanbeSamtSaffeffor in SreSben. Eîr. 368.

Stenographie. Seljrbutl) b. ESerein-fad)ten Seutfchcn Stenographie (©inig. - Shftem ©tolje - Sdjreh) nebft Schlüffel, Sefeftüden u. einem Elnhang bon ESrofeffor Dr. Elmfel, Oberlehrer beâ KabettenïorpS in Sidfterfelbe. E?r. 86.

—    fRebefdjrift. Seprbud} ber SRebe-fdjrift b. ShftemS Stolae-Sdjreh nebft KüraungSbeifp., Sefeftüden, Schlüffel unb einer Einleitung sur (Steigerung ber ftenograppifchen fyertigîeit bon Heinrich Sröfe, amtl. bab. SanbtagSftenograph in Karlsruhe ($.). №. 494.

Stereodjemic bon Dr. ©. EBebeïiub, E5rof. an ber Uniberfität Sübingen. Eïïit 34 Elbbilbungen. Eîr. 201.

Stereometrie bon Dr. 3Î. ©lafer in Stuttgart. EJiit 66 gig. Eîr. 97.

Sternfhftem. Elftronomie. ©röße, $8e* megung u. ©ntfernung b. HintmelS-ïôrper b. El. $. EJtöbiuS, neu bearb. b. Dr. Herrn. Kobolb, ESrof. a. b. Uniberf. Kiel. II: Kometen, Meteore u. bas Sternfhftem. Eftit 15 3ig. u. 2 Sternfarten. E?r. 529.

Steuerfhftemc beS EluSlanbeS, Sie, b. ©et). Oberfinansrat O. Scbioars in Berlin. Eżr. 426.

Stilïunbe b. Eßrof. Karl Otto Hartmann in Stuttgart. Ettit 7 SSolIbilb. u. 195 Sejtilluftrationen. №. 80.

Stöchiomctrifdje Elufgabenfammlung bon Dr. EBiïp. E3ahrbt, Oberl. an b. Oberrealfchule in ©roß-£id)ter-felbe. Ettitben Sftefultaten. Eîr. 452.

Straßenbahnen bon Sipl.-^ng. Elug. 35oêl)art in Nürnberg. Ettit 72 Elb-bilbungen. E?r. 559.

Strategie bon Söffter, Ettajor tm Kgl. Sâd)f. Âriegêmin. i.Sreêb. Eîr.505.

Ströme unb Sbannmtgen in Starï= ftromneßen b. 3of. Herzog, Sipl.-©leïtroing. in SSubapeft u. ©latence fyelbmann, E5rof. b. (Sleïtotedjnit in Seift. ШИ 68 Elbb. №. 456.

Sübamertfa. ©efrhtdjte Sübamertîaâ bon Dr. Hermann £łufft. I: Sa§ fbanifd>e Sübamerifa (©hile, Elrgen-tinien unb bie Heineren Staaten). Eîr. 632.

Sübfeegebiet. Sie beutfdjen Kolonien II: Saâ Sübfeegebiet unb Шаи-tfthou b. E^rof. Dr. Sobe. Ш. 16 Saf. и. 1 litlj. Âarte. Eir. 520.

Salmub. Sie ©ntftehung be§ Sal-mub§ bon Dr. S. èunï in S3oêto-tbiB. Eîr. 479.

Salmubbroben bon Dr. S. 3?unf in S3oâ!omiB. 9?r. 583.

Scdjnifdj=(£l}emifd)e Elnalljfe bon Dr. ©. ßunge, Eßrof. a. b. ©ibgenöff. ESolt)ted)n. Schule in ^uriĄ. EKit 16 Elbbilbungen. 9îr. 195-

Sedjnifrfje Säbelten unb Formeln bon Dr.-^ng. EÖ. EJiüller, Sibl.-^ng. am Ägi. EftateriatprüfungSamt gu ©roB-£id)terfelbe. EJiit 106 Figuren. Eîr. 579.

Sbermobbnamiï (Sedjnifcbe SBarme«* tebre). Sie tbermobpnantifeben ©rmtblagen berSôârmeîraft* unb $âttemafcbinen bon SG. Göttinger, Sipt.-gng. in «JGamtbeim. Gr. 2.

Sbüringifdje ©efd)id)te b. Dr. ©rnft Sebrient in ßeipgig. Gr. 352.

Sierbiotogie. Gbrifj ber biologie ber Siere b. Dr. Jminrid) Simrotb, $rof a. b. Unib. £eipgig. Gr. 131.

Siere, (SntmitflungSgefrîùdjte ber, bon Dr. gofyL «Geifenbeimer, «Prof, ber Zoologie a. b. Uniberfitat gêna. I: gurebung, «Primitibantagen, £arben, gormbitbnng, ©mbrponal-bütlen. «Git 48 gig. Gr. 378.

--II: Grganbilbung. «Git 46 gi-

gnren. Gr. 379.

Siergeograpbie b. Dr. Grnolb gacobt, «Profeffor ber goologie a. b. ÂgI. gorftafabemie gu Sbaranbt. SGit 2 harten. Gr. 218.

Sierfitnbe bon Dr. grang b. ЯВадпег, «Prof. a. b. Uniberfität ©rag. 9Git 78 Slbbitbungen. Gr. 60.

Sierreid), Sa§, I: Säugetiere b. £ber-ftnbienr. «Prof. Dr. ®urt Sampert, «Sorft. b. ЗД. Gaturatienïabinettè in Stuttgart. Gt. 15 2lbb. Gr. 282.

—    III: Gcptitien unb GntPbibien bon Dr. grang ferner, «Prof. a. b. Xtnib. S33ien. Gîit 48 2lbb. Gr. 383.

—    IV: gifdje bon «Prof. Dr. Gtaç Gautber in Geapel. Gr. 356.

—    Y: gnfelten bon Dr. g. ©rofj in Geapet (Stagione gootogica). «JGit 56 Gbbitbungen. Gr. 594.

—    VI: Sie mirbettofen Siere bon Dr. £ubm. Sööbmig, ÿrof. b. goot. a. b. Unib. ©rag. I: Urtiere, Sd)mämme, Geffettiere, Gippengualten unb SBürmer. SGit 74 gig. Gr. 439.

--II: ^rebfe, Spinnentiere, Sau-

fenbfüber, Söeicbtiere, SGooètier-d)en, Grmfüfjer, Stadbetbäuter unb «Gantettiere. SG. 97 gig. Gr. 440.

Siergurijtlebre, Gttgemeine unb fpe» giette, bon Dr. «Pant Gippert in ©ffen. Gr. 228.

Sifdjter* (Scbreiner*) Arbeiten I: «Ga-teriatien, ^anbmerlêgeuge, SGa-fd)inen, ©ingetberbinbnngen, gn§-bö b en, genfter, genfterla b en,Srep-pen, «Äborte bon 53rof. @. 93ieb-meger, 5trd)ite!t in ®öln. SGit 628 giguren auf 75 Safetn. Gr. 502.

Serfjnifdjeê 2ßörterbttd), entbattenb bie micptigften Gusbrüde b. 9Gaf cfunen-baue«?, (Schiffbaues u. b. ©teïtro-tedjnif bon èrtd) ÄrebS in Berlin.

I. Seit: Stfd).=©ngt. Gr. 395.

--II. Seit: ©ngl.-Stfcp. №. 396.

--III. Seit: Stfcb-*grang. Gr. 453.

--Iv- Seit: grang.-Stfd). Gr.J&i.

Sertjnofogte, шТдетсте djcnüfdje, b. Dr. ©uft. lauter in ßtjarlottenburg №. 113.

—    «Ged)anifdje, b. ©eh- £>ofrat ^Srof. 5t. Sübicfe in $raunfd)meig. Gr. 340, 341.

Seerfarbftoffe, Sie, mit bef. SSerücî-fichtig. ber fpntbetifcb- SGetboben b. Dr. ^anS ЯЗисрегег, fProf. a. b. $gl.

, Sedbn. фосЭДфШе, Sreêb. Gr. 214.

Selegrapbeurerbt b. «Poftinfpettor Dr. jur. Sttfreb SBotcfe in ЯЗопп I: ©in-ïeitnng. ©efcpicbtticbe ©ntmidtung. Sie Stellung b. beutfd). Setegra-pbentoefenä im öffentl. Steckte, allgemeiner Seit. Gr. 509.

--II: Sie Stellung b. beutfcb-Sele-

grapbenmefenś im öffentt. Ged)te, befonberer Seit. SaS Setegrapben-Strafrecht. Gecptèberbaltnté b. Setegrapbie g. fPubtitum. Gr. 510.

Setegrapbie, Sie elettrifcbe, b. Dr. Sub. Gettftab. «Git 19 gig. Gr. 172.

Seftament. Sie(£ntftebung be§ ЗШеп Seftamentê b. Lie. Dr. S®. Staert, $rof. a. b. ttnib. gêna. №. 272.

—    Sie ©ntftebung beê Geucn Sefta* mentS b. «Prof. Lie. Dr. ©art (Sternen in ЯЗопп. Gr. 285.

Sestilinbuftrie. I: Spinnerei nnb gmirnerei b. «Prof. «Ga£ ©iirtler, ©eb- Geg.-Gat im $gt. Sanbeège- | mer beamt, Berlin. SGit 39 gi-gnren. Gr. 184.

—    Ils SSeberei, Sfôirïerei, spofanten* tiererei, Spipen- nnb ©tarbinen* fabriïation ttnb gitgfabriïation b. «Prof. «G. ©ürtler, ©eb. Gegie-rnngSrat i. $gt. £anbe3gemerbe-amt gu ЯЗеШп. «G. 29 gig. №. 185.

—    Ill: äöäfcberei, 23teirberei, gärbe-rei unb ihre ^itfêftoffe bon Dr. ЯВШ). SGaffot, «ßrof. a. b. «Preu&. böberen gadjfcbute f. Seçtitinbuftr. in Ärefelb. 9Git 28 gig. №. 186.

Sbermobpnami! (Secbnifdje ЯЗЗагте-tebre) b. Ä. SBaïtber и. Ш. Göttinger, Sipl.-gng. «G. 54 gig. Gr. 242.

an Я3ег!еп ber r Sonïunft, baâ 58erlagdretf)t unb ba§ Urheberretf)t an 5fôerïen b. bilbenben Künfte u. Photographie b. ©taatëanlb. Dr. & ©d)littgen in ©hemni^. Яг. 361.

$000. Sie beutfthen Kolonien I: Sogo unb Kamerun bon prof. Dr. Karl Sobe. 9Rit 16 Safeln unb einer lithographifchen Karte. Яг. 441.

Sosilologtfdje ©hemie bon Pribat* bogent Dr. ©. Ptannheim in 58onn. TOtt 6 Slbbilbungen. Яг. 465.

Srigonometrte, ©bene uitb fpljärifdje, bon Prof. Dr. ©erf). 4?effenberg in 58reêlau. Яги 70 gig. Яг. 99.

Sropenbbgiene b. 9Jiebiäinafrat Prof. Dr. ^ocf)t, Siref'tor beâ ftnftitutä für ©cfjiffê^ unb Sropentranl* beiten in Hamburg. Яг. 369.

Sruft. kartell unb Sruft bon Dr. ©. Sfćhierfcpft) in Süffelborf. Яг. 522.

Surnen, Sa§ beutfdje, b. Dr. ЯиЬо© ©afcf), Prof. a. König ®eorg=©t)mn. in Sreèben. Яги 87 ШЬ. Яг. 628.

Snrnlunft, ©efdjidjte ber, bon Dr. Яи* boff ©afdf), Prof. a. König ©eorg* ©pmnafiumin Sreêben. ЯШ: 17 2lb* bilbungen. Яг. 504.

Ungarn» 2anbe3ïnnbe bon Oft emid)* Ungarn bon Dr. 5>llfreb ©runb, Prof. an ber Uniberfität Prag. Яги 10 Sejrtiïluftr. и. 1 Karte. Яг. 244.

ttngartfthe fiiteratur, ©cfchichte ber, bon Prof. Dr. Bubmig Katona unb Dr. grang ©ginnt) ei, beibe an ber Uniberfität 58ubapeft. Яг. 550.

Ungarifche ©brad) leb re b. Dr. ^ofef ©gimtpei, o. ö. USrof. an ber Uni* berfität 58ubapeft. Яг. 595.

Unterrid)t§toefen. ©efdiichte b. beut* fcben Unterrichtêmefenê bon Prof. Dr. griebricb ©ei1er, Sireftor beä Kgl. ©pmnafiumä gu Sudau. I. Seil: 5Bon Anfang an bté gutn ©nbe b. 18. tfabrb. Яг. 275.

--II* Seil: 5Bom 58eginn beä

19. ^abrbunberfê bté auf bie ©egentoart. Яг. 276.

Unterfuchung3methoben, 2lgriïnltnr* djetnifcpe, bon Prof. Dr. ©mil ^afethoff, 58orftef)er ber lanbtoirt* fcbaftlicben 58erfud)êftation in Marburg in Reffen. Яг. 470.

Urgefdjidjte ber Söienfdjbeit bon Dr. 3Rori& фоетеё, Profeffor an ber Unib. теп. ЯШ 85 ШЬ. Яг. 42.

Urheberrecht, Sa§,

Literatur unb be

UrheberrcdU, Saêbeutfthe, au litera* rifeben, tünftlerifcpen u. gemerbl. Schöpfungen, mit befonberer 58 e* rüdfidbtigung ber internationalen Verträge bon Dr. ©uftab Яаи1ег, Patentanwalt in ©harlottenburg. Яг. 263.

Urgett. Kultur ber Urgeit bon Dr. ЯШпЬ фоегпеЗ, о. ö. Prof. an ber Unib. Шеп. 3 58änbd). I: ©tein* geit. Яги 40 58itbergrupp. Яг. 564.

--И: 58rongegeit. Я111 36 58ilber*

gruppen. Яг. 565.

--III: ©ifehgeit. Яги 35 Silber-

gruppen. Яг. 566.

Peïtoranalhftè bon Dr. ©iegfr. 58alen* tiner, Prof. an ber 58ergafabemie in ©lauêthal. Яги 16 gig. Яг. 354.

58eranfd)lagen, Sa3, im ^o(bban. Kurggefafjteé ^anbbud) üb. b. 5Ше* fen b. Koftenanfchlagê b. 9lrd)ite!t ©mil 58eutinger, tilffiftent an ber Secbnifdben ëochfchule in Sarm-ftabt. Яги bieleń gig. Яг. 385.

Pereinigte Staaten. Sanbe^ïnnbe ber 5Bereinigten Staaten bon ЯогЬ-ameriïa bon Profeffor &einrid) gifeper, Oberlehrer am Suifenftäbt. fRealgpmnafium in 58erlin. I. Seil: Яги 22 Karten unb giguren im Sejt unb 14 Safeln. Яг. 381.

--II. Seil: Яги 3 Karten im Segt,

17 Saf. и. 1 litt). Karte. Яг. 382.

Pergil. Sie ©ebidjte be§ p. 58ergiliu£ Ягаго. gn Sluêtoahl mit einer ©in* leitung u. Slnmertungen herauägeg. bon Dr. guliuê giefjen. I: ©in* leitung unb ШпеЫ. Яг. 497.

fBermeffmtgêïunbe bon Sipl.^ttß-5J5. SBerfmeifter, Oberlehrer an ber Kaif. Sed)n. ©dfule in Strasburg i. ©. I: fïelbmeffen unb ЯЬе1* lieren. ЯШ 146 ЯЬЬ. Яг. 468.

--II: Ser Sheobolit. Srigono*

metrifehe u. barometr, ^öhenmef* fung. Sachpmetrie. Яги 109 5lb* bilbungen. Яг. 469.

33erfid)erung§ntatf)ematiï bon Dr. iMlfreb Йоетр, ^Srofeffor an ber Uniberfität Freiburg i. 58. Яг. 180.

58erfichernng§U)efen, Sa§, bon Dr. iur. Яаи1 ЯгоШепЬаиег, flSrofeffor ber 58erficherungè№iffenfd)aft an ber. ^anbefóhodhfchule Köln. I: Ш1де* meine 58erfid)erungèlehre. Яг. 262.

--Il: Sie eingelnen 58erfid)ermtgë*

gineige. Яг. 636.

SSürenbäufer. ©efdjäftd* u. Saren* bäufer oon £anm Sd)ïiepmann, Äönigl. Saurat in Serlin. I: Som ßaben sum „Grand Magasin“. Glit 23 Abbilbungen. Gr. 655.

--II: $ie weitere ©ntwidelung

ber Äaufbäufer. Giit 39 Abbilbungen. Gr. 656.

Sarenfunbe bon Dr. $arl £ań'aćf, Grof. u. ßeiter ber t. !. £>anbelm-afabemie in ©ras. I» Xeil: Unorganische SJaren. Gi. 40 Abb. Gr. 222.

--II. Seil: Organice SBaren.

Gtit 36 Abbilbungen. Gr. 223.

233arenseitf)entert, $ad. Gad) bem ©ejeb 3. ©djub b. SBarćnbeseicb-nungenb. 12.Gtail894. SonGeg.-Gat $. Geuberg, GHtglieb bed ®aif. Gatentamtd su Serlin. Gr. 360.

SBärnte. Sbeoretire Gbbfü II. £♦: Slicfft tt. 2Bärme. Son Dr. ©uftab Säger, Srof. a. b. ïedjn. $od)fcf)ule men. mt 47 Abbtlbgn. Gr. 77.

2Bärtne!raftmafdjinen. $ic thermo* bbnamifrijeu ©rmtblagcn ber SBärmetraft» u. $tältcmafd)inen bon Gl. Göttinger, 2)iplom-Sng. in Gtannbeim. Gl. 73 gig. Gr. 2.

SBärmclebre, Sednttfdje, (Sljcrtnobt)« namiî) b. SBaltber u. Gl. Göttinger, 2)i*)l.-Sng. Gtit 54 giguren. Gr. 242.

2Bäfrberci. Scjtilinbuftric III: 2öä* fdjcrei, Sleidjerei, Färberei unb ihre ^itfêftoffc bon Dr. S33ilf). Giaffot, Grof. an ber Greufc. t)öt). gadbfdjule für £e£tilinbuftrie in $refelb. Glit 28 Figuren. Gr. 186.

SBaffcr, $ad, unb feine Serwenbung in gnbuftrie unb ©ewerbe b. Dr. ©rnft Seher, Eipl.-gng. in Saal-felb. Gtit 15 Abbilbungen. Gr. 261.

Staffer unb Abwäffer. gbte Sufam-menfebung, Seurteilung u. Unter-fud)ung b. Stof. Dr. ©mil &afel-Ijoff, Sorft. b. lanbmirtftf). Ser-fudbdftation in Glarburg in Reffen. Gr. 473.

Sßafferinftallationen. ©ad* unb 2Baf* ferinftallationen mitSinfdjlufê ber Abortanlagcn b. Stof. Dr. phil. u. SDr.-Sug. ©buarb Schmitt in 2)arm-ftabt. Glit 119 Abbilb. Gr. 412.

SSafferturbinen, $ie, bon Süpl.-gng. S. $oll in S erlin. I: Allgemeinem. ®ie greiftrabïturbinen. Glit 113 Abbilbungen. Gr. 541.

SMferfunbe b. Dr. Glichaeï £aber-lanbt, !. u. !. luftom b. etbnogr. Sammlung b. naturbift. §ofmu-feumd u. Sribatbosent a. b. Unib. SBien. Glit 56 Abbilb. Gr. 73.

Sôlïernanten. Sänber* u. Sölfer* namen bon Dr. Guboïf Âleinpaul in ßei^stß- Gr. 478.

Solïdbibliotbefen (Südjer- u. £efe-baïlen), ihre ©inridjtung u. Ser-waltung b. ©mil gaeftfjfe, Stabt-bibliotljefar in ©Iberfelb. Gr. 332.

Solfdlieb, $ad beutftbe, auêgewâblt unb erläutert bon Gtof. Dr. gui. Sabr. 2 Sânbdjen. Gr. 25, 132

Soüdwirtfcbaftdlebre bon Dr. ©arl gobd. gudjd, Stofeffor an ber Uniberfität Tübingen. Gr. 133.

Solïdwirtfrfjaftdboliti! b. Gräfibent Dr. G. ban ber Sorgbt, Serlin. Gr. 177.

2Baffen, $ie bïanîen, unb bie(Srbub-Waffen, ibre ©ntwicflung bon ber .Seit ber ßanbmfnecbte biê sur ©egen-wart m.befonberer Serüdjicbtigung ber SBaffen in 2)eutfd)lanb, Ofter-reid)^Ungarn unb gtcmtreid) oon SB.©obite, ^euerWertm^Gtaior a. 2). in Serlin-ètegliis. Gtit 115 Ab-bilbungen. Gr. 631.

2Babrfd)einïicb!eitêretf)nung bon Dr. grans Stofeffor am ©berbarb-£ubwigm-©t)mnafium in Stuttgart. Giit 15 gig. im %ext. Gr. 508.

SBalberf. 2anbe§!unbe be§ ©roPcr-Sogtumm Reffen, ber Srobius .t»cf* feu*Gaffau unb bed gürftentumd ÎBalbecf bon Srofeffor Dr. ©eorg ©reim in SDarmftabt. Gtit 13 Ab-bilbungen unb 1 iîarte. Gr. 376.

SSûltburilicb, im Serêmafce ber Urfcbrift überlebt u. erläutert bon Srof. Dr. ф. Altbof, Oberlehrer am Geaïgt)mnaf. in SBeimar. Gr. 46.

Sßaltber bon ber Sogclweibe, mit Aumwabl a. Gtinnefang u. Sprucb-bid)tung. Gtit Anmertgn. u. einem SBörterbucb b. Otto ©üntter, Srof. a. b. Oberrealjcbuïe unb an ber STedbn. &od)ïcb. in Stuttgart. Gr.23.

2Bal3toerle. 2>ie, ©inrid)tung unb Se* trieb. Son 2)ibl.-$ng. A. ^polber-fcbeib, Oberlehrer a. b. $gl. Gta-fdbinenbau- u. èüttenfdbule in 2>uim-burg. Giit 151 Abbilb. Gr. 580. !

fßSafferturbtnen, Ste, bon Stbl-^nß- j %. $oII in S3erlin. II: Sie Über- ! brudturbinen. Sie SBafferfraftan-laßen. Mit 102 Slbbilbgn. 9?r. 542. SBafferberforgung ber ©rtfrfjaften b. Sr.-tfng. Stöbert SSetjraud), $rof. an ber tgl. Sedjnifdjen &od)fd)uIe Stuttgart. Mit 85 Ш- 9ir. 5. Söeberei. Sejtüinbuftrie II: SSeberei, SSirferei, ^ofamentiererei, ©bit* jen* u. ©arbinenfabrifation unb ftilsfabrifation bon Sßrof. Ma£ ©ürtler, ©ef). SRegierungdrat im tönigl. Sanbedgemerbearnt su 23erlin. Mit 29 Figuren. Str. 185. asedjfelftromerseuner bon $щ. tari 9ßid)elmader, Üßrof. an ber f. f. Sechnifdjen £od)fd)uïe in SSien. Mit 40 Figuren. 9tr. 547.

ennetuiejcn, A)u&, u. yieu;u>uiwu. Dr. fRuboIf Motfjed in Seipsig. 9îr. 103. ebrberfaffung, Sentftfje, bon ©el). triegdrat tari ©nbred, bortr. fRat i. triegdminift. i. München. 9tr. 401.

aSerfseugmaftfjinen für 4?olsbear* beitung, Sie, bon 3mg. ^rofeffor ^ermann SBilba in Bremen. Mit 125 Slbbilbungen. 9tr. 582.

2ßerfseugntafd)inen für Metallbear* beitung, Sief bon Stoß. ^Srof. §er-mann SBilba in Bremen. I: Sie MedEjantémen ber SSerfseugmafdeinen. Sie Sreljbänfe. Sie $räd-mafdjinen. Mit 319 Slbb. 9ir. 561.

--II: Sie SSobr- unb ©djleif-

mafcf)inen. Sie &obeI-, ©habing-u. ©tofcmafdjinen. Sie ©ägen u. ©djeren. Antrieb u. traft-bebarf. Mit 199 Stbbilb. 9tr. 562.

SSeftbreufêen. Sanbedfnnbe ber $ro* bins SSeftb reuten bon $rih S3 raun, Oberlehrer am tgl. ©bmnafium in ©raubens. Mit 16 Safeln, 7 Sejt-farten u. 1 litb. tarte. 9tr. 570.

SSettbemerb, Ser unlautere, bon 9ted)tdanmaït Dr. Martin SBaffer-mann in Hamburg. I: ©eneralflau-fel, iReflameaudtbücbfe, Sludber-faufdmefen, Slngeftelltenbeftediung. 9tr. 339.

--II: trebitfd)äbigung, girmen-

unb SRamenmifjbraud), Sßerrat bon ©eheimniffen, Sludlanberfdji©. 9tr. 535.

SBirbcllofe Siere. Sad Sierreitb Vis Sie mirbellofen Siere bon Dr. Subtoig S3öbmig, SMf. b. $oologie an ber Unib. ©ras* I: Urtiere, ©d)toämme, Steffeltiere, ŚRibben-gualïen u. SBürmer. Mit 74 gig. Str. 439.

--II: trebfe, ©binnentiere, Sau-

fenbfüfcer, SBeid)tiere, Moodtier-djen, Slrmfüfjer, ©tad)elf)öuter u. Manteltiere. Mit 97 ^ig. Str. 440.

SSirferei. Se^tilinbuftrie II: SSebe* rei, SSirfcrei, ^ofamentiererei, ©biben* u. ©arbinenfabrifation unb ftilsfabrifation bon $rof. Maç ©ürtler, ©ef). fRegierungdrat im tönigl. Sanbedgetoerbeamt su Berlin. Mit 29 Figuren. Str. 185.

SBirtfrfjaftlidfen SBerbänbe, Sie, b. Dr. SeoMüffelmannin fRoftod. 9tr.586.

SSirtfrfjaftdbflege. kommunale SSirt* frfjaftdbflege bon Dr. Süfond fRiefj, Magiftratdaff. in Berlin. «Rr. 534.

2öobnungdfrage, Sie, b. Dr. 2. $of)Ie, fcrof. ber ©taatdmiffenfdjaften su granffurt a. M. I: Sad SSobnungd-mefen in ber mobernen ©tabt. fRr. 495.

--II: Sie ftäbtifdje SSobnungd*

unb SBobenbolitif. 9ir. 496.

SSolfram bonßfibcnbadb Hartmann b. Slue, SSolfram b. ©fdjeitbacb mtb ©ottfrieb bon ©trafjburg. Sludtoabl and bem bbf. ©bod mit Stnmerfungen unb Sßörterbud) bon Dr. t. Marolb, $rof. am tönigl. griebricbdfollegium su Äönigd-berg i. ^Sr. fRr. 22.

äöürterbutfj nach ber neuen beutfdjen SRedjtfdjreibung bon Dr. ^einriĄ tiens. 9tr. 200.

—    Seutfd)e§, bon Dr. Ütidfarb Soeme in Berlin. 9tr. 64.

—    Sethnifdied, enthaltenb bie mistig-ften itludbrüde bed Mafd)inenbaued, ©thiffbaued unb ber ©leftroted)nif bon ©rid) trebd in S3 erlin. I. Seil: Seutfd)-©nglifd). 9tr. 395.

--II. Seil: ©ngt.-Stfd). 9tr. 396.

--III. Seil: Stfd).-^rans. 9tr. 453.

--IV. Seil: 5rans-*Stfd}. fRr. 454.

SBürttemberg. SSiirttembcrgifdie ©e* fchithte b. Dr. tari Sßeller, fïSrof. am tarldgbmnafium in ©tuttgart. ÜRr. 462.

--II: 25äd)er, SSanbbefteibungeu,

©imèfcbalungen, 93Iod>, 93obïen* unb 93retterraanbe, Bäune, Züten, Sore, Sribünen unb 93augerüfte. 9ttit 167 Slbbilbungen. Яг. 490. 3ibityrose#reibt, $eutfdjeê, bon $rof. Dr. SBüfjetm Äifd) in ©trafeburg i. ©.    3 93ânbe. Яг 428—430.

3ootogie, ©eftbtrfite ber, bon 9ßrof.

Dr. 9tub. Surdbarbt. Яг. 357. 3ünbmaren bon Sireftor Dr. Ш^пЗ 93ujarb, SSorftanb be3 ©tabtijcbeu ©bent. Saboratoriumê ©tuttgart. №. 109.

3to>ang§berftetgernng, Sie, unb bte 3n»angêbermaltung bon Dr. %. Ârebîcbmar, Dbertanbeôgerid)tèrat in Sreèben. Яг. 523.

3toirneret. SestUinbuftric I: ©bin* nerei unb 3*birnerei bon $rof. Sttaç ©ürtïer, ©eb. Stegierungśrat im Äöniglicben Sanbeśgemerbe-amt su 93ertin. üftit 39 Figuren. Яг. 184.

28ürttcmberg. Sanbeêfunbe beê $imtgreitfj3 äBürttemberg bon Dr. ü‘. £>ajfert, $rofeffor ber ©eo* grabbie an ber £>anbefêbo<ï)ïd}uïe in Жп. Wtit 16 æollbiïbern n. 1 Æarte. №. 157.

3ct^enfrbule non $rof. $. Æimmicb in Шт. 9ttit 18 ïafeht in Son*, garben* unb ©otbbrud unb 200 SSoït* unb Se^tbilbern. 9îr. 39.

3etdjnen, ©eometrifcbe3, non £. 93ecîer, 2lrcfyiteit unb Serrer an ber 23augemerficbule in SDtagbeburg, neu bearbeitet non $rof. 3. $on* berlinn, Sireïtor ber fönigl. 93 au* gemerfïcbuïe su fünfter. ЭДШ 290 §ig. u. 23 5Caf. int Zeit. 9îr. 58.

3eitung§u>efen, 2>aê beutirije, bon Dr. 9t. 93runbuber, ®öln a. 9tb- 9tr. 400.

3eitung3n>efen, 2>aê ntoberne, (©bft. b. 3eitung3Iebrej bon Dr. 9tobert 93runbuber in ЗШп a. 9tb- 9?r. 320.

3eitung3n)efen, ЗШдетете ©efdjirbte ЬеЗ, bon Dr. ßubttrig ©aïomon in âena. 9tr. 351.

3ellenlebre unb Anatomie ber 9$itan* jen bon 9Srof. Dr. ф. ШеЬе in Seibsifl- 9Cftit 79 Ш>ЬШ). 9tr. 556.

3cntrat=^erfbeïtibe bon 9Ird)itett &an3 $ret)berger, neu bearbeitet bon ^rofeffor $. 93onberlimt, Zi“ reftor ber ®ônigï. 93augeiberïfcbuïe in fünfter i. æseftf. mit 132 $ig. Яг. 57.

Sintmerarbeitenbon ©art £)#£, 0ber* lebrer an ber $aif. Sedjn. ©cbute in ©trafcburg i. ©. I: ЗШдететеё, 93attenlagen, 3n>ifcbenbecfen unb Secfenbilbungen, Щь- Orufcböben, gadjtberfôïbânbe, föänge* unb ©brengmerte. 95lit 169 2lb* biïbungen. Яг. 489.

===== 2ßeitere S3änbe finb in SSorbereitung. ==

3n unfern SBerlctg erfcfyen foeben:

©efdftdfte ber Aufteilung unb ftolonifcition Afrifas feit bent 3eitalter ber ©ntbetfungen ©ïfter Sanb: 1415—1870

»on Dr. фаи1 Darmftäbter

$rofeffor an ber Hnioerfität ©öttingen 93rofd)tert m. 7.50, деЬипЬеп Ш. 9.50

<T\aê ЗЗиср beabsichtigt, in ïurgen Bügen, bureptoeg an ber &anb ber ^ Quellen, einen Überbïitf über bie ©efepiepte ber Aufteilung unb Kolonisation Afriïaë, boni Beitalter ber ©ntbedungen bië in unfere Stage gu geben. 3öie ber Xitel anbeutet, ift bie Aufgabe .eine hoppelte : её foil bie Aufteilung beë ©rbteitë gefdjilbert toerben, ein Vorgang, ber fiep gum grofjen Xeil in ©uropa abgefpielt bût unb ein toieptigeë Kapitel ber aSeltgefcpicbte ber neueren Beit bilbet; её foil babei gegeigt toerben, n>ie bie 2Bert-fcpäbung Afriïaë in ber Meinung ber europäifepen Hölter ietoeilë eine üerScpiebene getoefen ift, natürlich unter bem ©influp ber berrfepenben ïolonialpolitifcpen Anschauungen, unb toie baburch ber mehr ober minber rafepe ©ang ber Aufteilung beftimmt tourbe. Xann aber foil auch bie Kolonisation, bie aSertoaltung unb Auënupung ber bon ben europäischen Nationen in a3efip genommenen ©ebiete bargeftellt unb gegeigt toerben, toelche a3ebeutung bie afriïanifcpen Kolonien für bie europäischen aSöller gemonnen haben.

Xer oorliegenbe erfte 33anb bebanbelt bie ©poche ber portugiefifchen aSorperrfcpaft (15. unb 16. Baptpunbert), bie ©efipicbte Afriïaë in ber Beit beë ©ïlaüenpanbetë (17. unb 18. Babrpunbert), unb auëfithrlicper ben Beitraum oom ©nbe beë 18. Baprpunbertë bië 1870, in bem namentlich bie Xarftellung ber âgt)ptifchen ©jçpebition Aapoleonë fotoie bie ©efcpichte Algerienë unb ©übafriïaë ^ntereffe ertoeöen toerben. Bn einem gtoeiten aSanbe Soll bie ©efepiepte ber Aufteilung unb Kolonisation Afriïaë bië in bie unmittelbare ©egentoart fortgefübrt toerben. ©in beträchtlicher unb nicht untüchtiger Xeil ber ©efchichte ber neueften Beit — её fei nur an Xunië unb Agppten, Xripolië unb SWaroïïo, bie ©rünbung beë Kongo* ftaatë unb ber beutfepen Kolonien, ben aSurentrieg unb bie ©inigung (Sübafriïaë erinnert — toirb in bem ЗЗисре gur Xarftellung gelangen, baë ebenfo bem Kolonialpolitiïer toie bem £iftoriïer gu bienen beftimmt ift.

3n unferm SJerlag erfdjten ferner:

£iftoriï

©in Organon gef$id)tlid)en Oenfens u. gorfdjens

S3on

Dr. ßubtotg 9Uejj

^riaatboaent an ber Unioerfitat SBerltn

©rfter 23artö

25 SBogen gr. 8°. 23rofd)tert Ш. 7.50, in §albfran5 geb. AL 9,50

5)te Aufgabe ber „£)iftorik" ift uon ASilhelm uon§umbolbt unb non 3oi>nnn Euftau 2)ropfen am klarften erfaßt tnorben. ©ie mug bie probuktiue Ausprägung ber allgemeinen CDebanken fein, bie in ben muftergültigen gefcbicbtlicben ^Betrachtungen übereinftimmenb als Ausgangspunkt ober 3telpunkt ber Sor[d)ung unmittelbar norausgefe&t tnerben. Es bnnbelt щ babei nicht um bie methobifchen ßunftgriffe ber gjeuriftik, Kritik unb Interpretation, fonbern um bas Einbringen in ben £ern aller menfchlichen Geäiehungen unb in bie SBirkfamkeit ber Kräfte, auf benen bie Ab* manblungen ber hiftorifchen Gegebenheiten beruhen, tiefes Element ber ASirklichkeit geiftig gu burchbringen ift bie Aufgabe, bie hier gum erften Alale gu löfen uerfucht mirb. ©o geftaltet fich bie 2)arftellung gu einer Ьигф fdjarfe Gegriffsbefümmungen unb ап?фаиИфе Geifpiele auf ber §öhe roahrer АЩеп[фа^ gehaltenen Engpklopäbie ber Erunbübergeugungen ber Е^ф^з* unb ЭД1епГфепкеппег.

30

у L Ям

K il A IC O W

3it unferm Verlag ersten ferner:

©runbrtfe einer ^Ijtlofopljie bes Schaffens

als 5tuïturp^iIofop^te (Einführung in bie ^)SĘ)irofopFjie als äBeltanfdjauungsIeljre SSort

Dr. Otto Staun

Vribatbozent ber !p^iIofop^te in fünfter i. 2B.

$rofdjtert Ж 4.50, gebunben Ш. 5 —

Tver Verfaffer finbet ba3 2Befen ber    barin, bafc fie ©efamt-

^ toiffenfebaft, Ь. b- 2Beltanfcbauung31ebre ift: fie erbebt ficb auf bem gunbament aller übrigen 2Biffenf<baften unb fuebt (inbuftiü) ąu einem Sßeltbilbe oorzubringen, beffen „Sßabrbeit'⁴ bureb feine perfonale ©inbeitlicb-ïeit bebingt ift. Sftacbbem ber Verfaffer ficb eine erfenntntétbeoretifcbe Vafté gefebaffen — eâ toirb ein fReak^bealtömuä bertreten —, fudft er an ein ©runberlebntè anzuïnüpfen, baè er bureb ben Segriff „Schaffen'⁴ bezeichnet. S)iefeë ©Raffen führt zur ©nttoidlung einer Kultutpbilofopbie — bie Форшей unb Stoffe be§ Schaffend ioerben unterfucht unb bann bie Qaupt* gebiete beê Kulturleben^ in ben ©runbzügen bargeftellt: SSiffenfcbaft, Kunft, Religion, fozialeè Seben, Staat, 9ie<bt, Sitte, ©tbit finben ihre SSitrbigung. So toirb ber Verfucb gemacht, au§ bem Söefen be£ mobernen ©eifte£ beraub eine fhftematifcfie SSeltanfdjauung zu gemimten, mobei ber tulturimmanente Stanbpuntt auêfchïaggebenb ift, menn auch eine toêmifdpmetapbbfifcbe Vertiefung fich cité notmenbig zeigt, ber Segrtff beê Schaffend mirb bureb einen gefchiif>t§bbiIofopbifcben Überblid über ba£ 19. ^abrhunbert afê not-toenbig unb berechtigt ermiefen.

Sit unfern 93erlag ersten ferner:

Der beutfdje Stubent

S5on

$rof. Dr. D^eobalb 3^gler

©Ifte unb 3toöIftc Auflage ©ebunben 5Ш. 3.50

'Tsiefe „Stubentenprebigten“, ioie fie Wulfen genannt fiat, Mafien fidj unter ^ ber ftubierenben ftugenb biete greunbe ertoorben. Unb fo шаг eê nicht gu bertounbem, baß baë S3udt) feit feinem ©rfdjeinen faft alljährlich eine neue Śluflage er lebte. фегаиёдешасЭДеп шаг её anë ber fin-de-siècle-(Stimmung bor ber 3at)rt)unbertn>enbe, bie befonberë in ftubentifdjen Greifen bie bergen bober fd)lagen nnb baë S31ut rafetjer Greifen lieb, eben Ьеёшедеп aber aud) nad) befonnener Rührung fid) feinte, ©ine foteße fanben fie bier. Den 9luf* tagen im neuen ftabrbunbert fügte ber $erfaffer eine 9ïad)tragëborlefmtg bingu gur Überleitung in ruhigere Sahnen unb gur ©rgängung burdj manebeë ingioifdjen ^еидешогЬепе. hinter 1905/06 aber bot er in (Strasburg bie Sorlefung über ben beutfdjen (Stubenten noch einmal gebalten unb hier bor altem bie Vorgänge jener betoegten $eit, beë fogenannten „^ocbfcbul* ftreiteë'⁴ unb beë Âatnpfeë gegen bie fonfeffionellen Korporationen freimütig unb tritifd) befproeben. Der neuen Auflage ift bie Sorlefung in bief er fpäteren Raffung, menigftenë in ber erften gröberen Hälfte, gugrunbe gelegt шогЬеп. Die fin-de-siècle-Stimmung ift berfd)tbunben, bafür finb bie Probleme, bie baë (Stubentenleben im erften ftabrgebnt beë 20ften ftabrbunbertë beioegt haben unb bemegen, in ben Sorbergrunb gerüdt unb fo baë Such burdjauë mobernifiert unb toieber gang altuell дешогЬеп. Dabei bot её eine nicht un* beträchtliche ©rtoeiterung erfahren. Unb bod) ift ber ©eift beë Sitdieë ber alte geblieben, её ift ber ©eift ber Freiheit, bie alë afabemifdfe Stubenten unb ^rofefforen gleichmäßig am bergen liegt, unb ber ©eift eineë träftigen fittlicßen ЗЬеаШтиё, ber fid) nicht fürchtet, Jünglinge gu шадеп, bamit Männer аиё ihnen toerben. Unb aud) ber alte gute §reunb beë beutfeben Stubenten ift ber Serfaffer geblieben, ber ihn oerftebt, шей er ihn liebt. Daë getgt gleid) bon bomberein bie SBibmung beë Sudjeê an bie Straßburger Stubentenfdjaft. So ift её beim Abgang gieglerë non Straßburg gu einem $Bermâd)tniê an feine jungen greunbe auf allen beutfdjen £od)fd)ulen ge* morben, unb foil nun aud) in ber neuen ©eftalt tnieber bieleń eine £ilfe Шerben unb ein £att.

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