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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁOWNA

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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

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Owed unb 3iel ber „Sammlung ©öfcfyen" iff, in ©in* “O jelbarffetlungen eine tiare, lekf)toerftänbl^e unb überftфгИфе ©infüfwung in fämtlict)e ©ebiete ber <3BiffenfcE>aft unb ^ефпЯ ju geben; in engem ÇRafmten, auf ffreng wiffenfcbaftlicber ©runblage unb unter 93e* rüdftcfyfigung beê neueffen Stanbeź ber ^orf^ung be* arbeitet, foil jebeS 93апЬфеп juoerläfftge 93elef>rung bieten. 3ebe$ einjelne ©ebiet iff in ftct> gefd^loffen bar* geffellt, aber Ьеппоф fielen alle 93йпЬфеп in innerem

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Bibliothek zur Physik aus der Sammlung Göschen.

Jedes Bändchen eleg. in Leinwand gebunden 80 Pfennig.

Geschichte der Physik von A. Kistner, Professor an der Großherzoglichen Realschule zu Sinsheim a. E. I: Die Physik bis Newton. Mit 13 Figuren. Nr. 293.

Dasselbe. II: Die Physik von Newton bis zur Gegenwart. Mit 3 Figuren. Nr. 294.

Theoretische Physik. I: Mechanik und Akustik. Von Dr. Gustav Jäger, Professor an der Universität Wien. Mit 19 Abbildungen. Nr. 76.

Dasselbe. II: Licht und Wärme. Mit 47 Abbildungen. Nr. 77.

Dasselbe. III: Elektrizität und Magnetismus. Mit 33 Abbildungen. Nr. 78.

Dasselbe. IV: Elektromagnetische Lichttheorie und Elektronik. Mit 21 Abbildungen. Nr. 374.

Radioaktivität von Wilh. Frommei. Mit 18 Figuren. Nr. 317.

Physikalische Messungsmethoden von Dr. Wilhelm Bahrdt, Oberlehrer an der Oberrealschule in Groß-Lichterfelde. Mit 49 Figuren. Nr. 301.

Physikalische Aufgabensammlung von G. Mahler, Professor am Gymnasium in Ulm. Mit den Resultaten. Nr. 243.

Physikalische Formelsammlung von G. Mahler, Professor am Gymnasium in Ulm. Nr. 136.

Weitere Bände sind in Vorbereitung.

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Sammlung Göschen

Theoretische Physik

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Elektromagnetische Lichttheorie und Elektronik

Von

Dr. Gustav Jäger

Professor der Physik an der Technischen Hochschule in Wien

Mit 21 Figuren

Na składzie w księgami

Józefa Meinharta

w Jarosławiu.

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1908

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Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

Spamersche Buchdruckerei in Leipzig

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Elektromagnetische Lichttheorie.

§ 1. Coulombs Gesetz — Einheit der Elektrizitätsmenge und

der magnetischen Masse................

§ 2. Kraftlinien — Kraftfeld — Feldintensität........

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Inhalt.

Seite

§ 8. Homogenes Feld — Dielektrische Polarisation — Dielektrizitätskonstante — Magnetische Induktion......

§ 4. Elektrischer Strom — Stromstärke — Dielektrische Verschiebung — Verschiebungsstrom...........

§ 5. Elektromagnetismus — Ersatz des Stroms durch eine

magnetische Platte — Magnetische Arbeit.......

§ 6. Unterschied zwischen geschlossenem Strom und magnetischer Platte — Magnetische Arbeit bei einer Umkreisung des Stroms..................

§ 7. Elektromagnetische Induktion..............

§ 8. Elektrostatisches und elektromagnetisches Maßsystem — Grundgleichungen des elektromagnetischen Felds . . § 9. Die curl-Gleichungen bezogen auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem...................

§ 10. Die Bewegungsgleichungen der Elektrizität und des Magnetismus in ursprünglich neutralen Isolatoren . . . .

§ 11. Die Strahlgleichungen — Fortpflanzung elektromagnetischer Wellen....................

12.    Elektromagnetische Kugelwellen.............

13.    Harmonische elektrische und magnetische Schwingungen

— Lichtschwingungen .................

§ 14. Linearpolarisiertes Licht — Superposition der Wellen — Natürliches Licht....................

15.    Interferenz........................

16.    Elliptisch und zirkular polarisiertes Licht........

17.    Huygenssches Prinzip — Beugung des Lichts......

18.    Reflexion und Brechung.................

19.    Polarisation des Lichts durch Reflexion und Brechung — Elektrische Schwingungen senkrecht zur Einfallsebene

20.    Magnetische Schwingungen senkrecht zur Einfallsebene

21.    Totale Reflexion — Elliptische Polarisation durch totale

Reflexion........

Seite

§ 22. Farben dünner Blättchen § 23. Stehende Wellen .... § 24. Doppelbrechung .... § 25. Der Hertzsche Oszillator

52

55

59

67

Strahlung.

§ 26. Strahlen des Lichts, der Wärme, der elektrischen Kraft —

Prevosts Theorie....................

§ 27. Absorption — Emission — Hohlraumstrahlung.....

§ 28. Vollkommen schwarzer Körper — Lamberts Gesetz . . .

§ 29. Kirchhoffs Strahlungsgesetz...............

§ 30. Folgerungen aus dem Kirchhotfschen Gesetz......

§ 31. Energie der dielektrischen Polarisation.........

§ 32. Energie elektromagnetischer Stiahlen — Energiedichte

der Strahlung......................

§ 33. Energie der Wellenbewegung ponderabler Körper . . . .

§ 34. Strahlungsdruck.....................

§ 35. Der Druck schief auffallender Strahlen.........

§ 36. Der Druck der Hohlraumstrahlung............

§ 37. Das Stefansche Strahlungsgesetz.............

§ 38. Verschiebung der Spektrallinien nach Dopplers Prinzip

§ 39. Breite der Spektrallinien.................

§ 40. Interferenzfähigkeit des Lichts............ . .

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94

Elektronik.

§ 41. Theorien der Elektrizität — Elektronentheorie.....

§ 42. Gesetz von der Erhaltung der Elektrizität — Elektrostatik " 43. Konstitution der Lösungen — Ionen — Elementarquantum

44. Elektrische Leitfähigkeit verdünnter Lösungen — Abhängigkeit von der Konzentration und der Temperatur § 45. Die Loschmidtsche Zahl — Masse einer Molekel — Größe

des Elementarquantums................

§ 46. Die Hittorfschen Überführungszahlen — Geschwindigkeit

der Ionen........................

§ 47. Konzentrationsketten...................

§ 48. Der elektrische Strom — Rowlandeffekt — Eiementarstrom " 49. Energie des Elementarstroms..............

50.    Elektronen im elektrostatischen Feld..........

51.    Elektrostatische Ablenkung der Kathodenstrahlen in der

Braunschen Röhre...................

§ 52. Wirkung eines magnetischen Felds auf ein Stromelement

§ 53. Elektronen im magnetischen Feld............

§ 54. Magnetische Ablenkung der Kathodenstrahlen ..... § 55. Geschwindigkeit der Kathodenstrahlen — Verhältnis der

Ladung zur Masse eines Elektrons...........

§ 56. Masse und Größe eines Elektrons............

§ 57. Kinetische Energie des Elektrons............

§ 58. Die Ursache des Lichts..................

§ 59. Kreisbewegung eines Massenpunkts unter dem Einfluß einer elastischen Kraft.................

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Seite

§ 60. Zerlegung linear polarisierten Lichts — Drehung der Polarisationsebene — Schwingende Elektronen .... § 61. Kreisschwingungen der Elektronen im magnetischen

Feld — Zeemanphänomen...............

§ 62. Doublet und Triplet...................

§ 63. Die Größe — beim Zeemanphänomen —Kanalstrahlen —

a-Strahlen........................

64.    Die Wärmeleitung in Metallen..............

65.    Die Elektrizitätsleitung in Metallen...........

66.    Wiedemann-Franzsches Gesetz..............

67.    Die Beziehung des Gasdrucks zur Leitfähigkeit der Me

talle für die Wärme und Elektrizität.........

68.    Ionisation der Gase................... .

69.    Leitfähigkeit der Gase — Sättigungsstrom........

136

137

140

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05 I— О    CO 05 CO i—■

Anhang.

Elastizitätstheorie.

§ 70. Normal- und Tangentialspannungen...........

§ 71. Deformationen durch Normalspannungen — Längsdilatation — Querkontraktion — Volumsdilatation ....

§ 72. Deformationen durch Tangentialspannungen — Schiebungen .........................

§ 73. Beziehung zwischen Normal-, Tangentialspannungen und Schiebungen......................

74.    Gleichgewicht und Bewegung elastischer Körper ....

75.    Planwellen in einem unbegrenzten elastischen festen

Körper.........

Lehrbücher der elektromagnetischen Licht-, Strah-

lungs-, Elektronen- und Elastizitätstheorie 174

Elektromagnetische Lichttheorie.

§ 1. Coulombs Gesetz — Einheit der Elektrizitätsmenge und der magnetischen Masse.

Zwei elektrisierte Körper üben aufeinander entweder Anziehungs- oder Abstoßungskräfte aus. Das führt zur Annahme zweier Arten von Elektrizität, der positiven und der negativen. Coulomb hat gefunden, daß zwei sehr kleine Kugeln, welche die Elektrizitätsmenge m bzw. m' enthalten, aufeinander eine Kraft ausüben von der Größe

mm' -£    ^2    *

r ist dabei die Entfernung der Mittelpunkte der beiden Kugeln, e eine Konstante, deren Größe von der Wahl der Einheit der Elektrizitätsmenge abhängt. Setzen wir e = 1 und messen alle übrigen Größen im CGS-System, so erhalten wir die Elektrizitätsmenge im absoluten elektrostatischen Maß.

Dasselbe Kraftgesetz, welches Elektrizitätsmengen befolgen, fand Coulomb für magnetische Massen, indem er die Kräfte, weiche Magnetpole aufeinander ausüben, der Messung zuführte. Auch hier können wir die Kraft ausdrücken durch

m m'

wobei wir unter m bzw. m' jetzt magnetische Massen zu verstehen haben. Diese sind in der letzten Formel im absoluten elektromagnetischen Maß gemessen. Entsprechend den vorkommenden Abstoßungs- und Anziehungskräften haben wir es mit positiven und negativen Magnetismen zu tun.

Die Einheit der Elektrizitätsmenge bzw. der magnetischen Masse können wir jetzt als jene Menge definieren, welche in der Entfernung von einem Zentimeter auf eine gleichgroße Menge die Abstoßungskraft von einem Dyn ausübt.

§ 2. Kraftlinien — Kraftfeld — Feldintensität.

liebigen Entfernung r die Kraft

Jede elektrische oder magnetische Masse m übt auf eine gleichartige Masse von der Größe Eins in einer beaus. Dementsprechend

nennen wir den ganzen Kaum, in welchem sich die elektrischen oder magnetischen Kräfte geltend machen, ein elektrisches bzw. magnetisches Feld.

Gehen wir von irgend einem Punkt des Raumes aus in der jeweiligen Richtung der Kraft immer weiter, so beschreiben wir eine sogenannte Kraftlinie. Die Kraftlinien eines Alassenpunktes sind demnach Gerade, welche von ihm nach allen Richtungen des Raums ausgehen. Denken wir uns dieselben gleichmäßig über den Raum verteilt und wählen wir ihre Zahl gleich 4 n m, schlagen wir ferner um den Massenpunkt als Mittelpunkt eine Kugel vom Radius r, so gehen durch die Flächeneinheit

4 nm

dieser Kugel

können wir auch die Dichte der Kraftlinien in der

4 n r¹    r²

— Kraftlinien. Diese Größe

Kraftfeld — Dielektrische Polarisation.

Entfernung r vom gegebenen Massenpunkt nennen und erhalten so eine sehr anschauliche Darstellung der Kräfte in einem elektrischen oder magnetischen Feld.

Da sich Kräfte, welche im selben Punkt wirken, geometrisch addieren, so läßt sich dies auch bei den Kraftlinien durchführen. Dies gestattet, ein jedes Kraftfeld als einen von Kraftlinien erfüllten Kaum aufzufassen, deren Richtung mit der jeweiligen Richtung der Kraft zusammenfällt und deren Dichte die Größe der Kraft angibt, welche auf die positive Masseneinheit ausgeübt wird. Diese Größe nennt man auch die Feld-intensität.

§ 3. Homogenes Feld — Dielektrische Polarisation — Dielektrizitätskonstante — Magnetische Induktion.

Hat in einem Raum an allen Punkten die Kraft dieselbe Größe und dieselbe Richtung, so haben wir ein homogenes Feld. In einem solchen sind demnach die Kraftlinien alle parallel und gleichgerichtet.

Bringen wir in einen leeren Raum, der ein homogenes elektrisches Feld darstellt, einen Isolator, so zeigt sich, daß die Dichte der Kraftlinien im Isolator größer ist als im leeren Raum. Man kann sich eine Vorstellung davon machen, wenn man annimmt, ein jeder Isolator bestehe aus kleinsten Teilchen, innerhalb welcher unter dem Einfluß der elektrischen Kräfte eine Elektrisierung durch Verteilung entsteht, derart, daß sich positive Elektrizität in der Richtung der Kraftlinien, negative entgegengesetzt verschiebt. Von Teilchen zu Teilchen werden nun von den positiven Massen Kraftlinien zu den negativen führen und so die ursprünglich vorhandenen Kraftlinien des Feldes vermehren.

Wir wollen die ursprüngliche Intensität des homogenen elektrischen Feldes mit © bezeichnen, die Dichte der Kraftlinien im Isolator mit ®. Die Erfahrung lehrt nun, daß © und © einander proportional sind, daß wir also

© = w©

setzen können. Da im elektrischen Feld jedes Teilchen des Isolators elektrisch polarisiert wird und ein Isolator auch Dielektrikum genannt wird, hat man der Größe © den Namen „dielektrische Polarisation“ gegeben und nennt die Zahl К die Dielektrizitätskonstante, deren Wert wir für das Yakuum Eins setzen müssen, während sie sich für die verschiedenen Isolatoren ver

schieden, aber immer größer als Eins ergeben hat.

Dieselbe Überlegung gilt für ein magnetisches Feld. Ist dessen Feldstärke $, die Dichte der Kraftlinien in einem ins Feld gebrachten Körper S3, und setzen wir analog dem Früheren so nennt man S3 die magnetische Induktion und [л die magnetische Induktionskonstante, /л ist für die meisten Körper von Eins sehr wenig verschieden. Für starke magnetische Substanzen, wie z. B. Eisen, kann es sehr groß werden und ist dann nicht mehr konstant, sondern eine Funktion der Feldstärke. Bemerkenswert ist, daß es, wie die diamagnetischen Körper zeigen, auch kleiner als Eins werden kann.

§ 4. Elektrischer Strom — Stromstärke — Dielektrische Verschiebung* — Yerschiebungs-strom.

Geht durch einen Körper Elektrizität in bestimmter Bichtung, so sagen wir, er wird von einem elektrischen

Strom durchflossen. Als Maß der Stromstärke г sehen wir die Elektrizitätsmenge an, welche in der Sekunde denQuerschnitt derStrombahn passiert.

Ändert sich die dielektrische Polarisation in einem Dielektrikum, so gerät die Elektrizität in Bewegung, wir erhalten einen elektrischen Strom. Die Änderung der

dielektrischen Polarisation mit der Zeit ist durch

dt

gegeben. Dies ist gleichzeitig die Zunahme der Dichte der Kraftlinien in der Sekunde. Da wir nun vorausgesetzt haben, daß die Zahl der Kraftlinien, welche von einer Masse m ausgehen, 4 nm ist, so muß einer Zu-d%

dt

nähme der Kraftlinien —— eine Zunahme der Elek-

trizitätsmenge um -—

4я dt

entsprechen, von welcher

die Kraftlinien herrühren. Faraday und Maxwell fassen dies so auf, daß es eine direkte elektrische Fernwirkung nicht gibt, sondern die Wirkung von Teilchen zu Teilchen des Paumes erfolgt. Die freie Elektrizität, von welcher die Kraftlinien ausgehen, ist dann lediglich die durch Verteilung in den kleinsten Teilchen des Körpers auftretende Elektrizität. Denken wir uns demnach senkrecht zu den Kraftlinien eine Fläche gelegt, so strömt durch die Einheit derselben in der Sekunde die Elektrizitätsmenge

1 d® К d& 4 л dt 4 ii dt

Diese Größe nennen wir die Stromstärke, die Größe —— die dielektrische Verschiebung und den da-

CI t

durch entstehenden Strom den Verschiebungsstrom.

§ 5. Elektromagnetismus — Ersatz des Stroms durch eine magnetische Platte — Magnetische Arbeit.

Die Erfahrung hat gezeigt, daß jeder elektrische Strom in seiner Umgehung ein magnetisches Feld erzeugt. Haben wir einen geschlossenen Strom, etwa einen von Elektrizität durchflossenen Draht, der eine Fläche umschließt, so erzeugt er dasselbe magnetische Feld wie eine magnetische Platte von der sehr geringen Dicke <5, die mit der genannten Fläche zusammenfällt, und deren eine Seite positiven Magnetismus von der Flächen dichte o, die andere negativen von derselben Dichte enthält (Bd. III, § 42). Wählen wir u, <5 und die Stromstärke г so, daß

i — о Ô

ist, so können wir die magnetische Wirkung des geschlossenen Stroms immer durch die Wirkung der magnetischen Platte ersetzen, was um so wichtiger ist, da, falls man nur die Verschiebungsströme immer mit berücksichtigt, ungeschlossene Ströme überhaupt nicht Vorkommen.

Führen wir eine magnetische Masse durch ein magnetisches Feld, so müssen die magnetischen Kräfte Arbeit leisten. Beschreibt die magnetische Masse eine geschlossene Bahn, so ist die Gesamtarbeit gleich Null, da die Masse dabei ja wieder auf den Anfangswert ihrer potentiellen Energie zurückgebracht wird (Bd. III, §17). Teilen wir demnach irgend eine geschlossene Bahn in zwei Teile, so muß die Arbeit der magnetischen Kräfte in dem einen Teil gleich groß, aber entgegengesetzt bezeichnet der Arbeit im anderen Teil sein.

Wir bringen nun in unmittelbare Nähe der positiven Oberfläche unserer magnetischen Platte, durch welche wir einen geschlossenen Strom ersetzen, die magnetische Masseneinheit und gehen mit ihr um den Rand der Platte herum bis an die negative Seite, so werden die magnetischen Kräfte dieselbe Arbeit leisten, als wenn wir mit der Masseneinheit direkt durch die Platte hindurch von der positiven zur negativen Seite gehen. Letztere Arbeit ist aber leicht zu bestimmen. Von der positiven Flächeneinheit werden nämlich im ganzen 4 n о Kraftlinien ausgehen. Der Symmetrie halber werden 2 л о Kraftlinien nach außen, ebensoviel nach innen gerichtet sein. Dasselbe ist bei der negativen Seite der Platte der Fall; da dort die Kraftlinien aber negativ zu zählen sind, so addieren sie sich mit den positiven im Innern der Platte und ergeben eine Liniendichte oder, was dasselbe ist, eine Kraft 4 я <7, die von der positiven zur negativen Fläche gerichtet ist. Der Abstand beider Flächen ist ô . Bringen wir somit die Masseneinheit von der positiven zur negativen Seite, so leisten die magnetischen Kräfte die Arbeit 4 л о ô . Dieselbe Arbeit müssen sie aber auch leisten, wenn wir die magnetische Masseneinheit von der einen Seite der Platte um deren Rand herum nach der anderen führen.

§ 6. Unterschied zwischen geschlossenem Strom und magnetischer Platte — Magnetische Arbeit bei einer Umkreisung des Stroms.

Dieselbe Arbeit, welche die magnetischen Kräfte leisten, wenn die Masseneinheit sich von der positiven zur negativen Seite einer magnetischen Platte begibt, leisten auch die magnetischen Kräfte eines geschlossenen Stroms. Während jedoch beim Durchsetzen der Platte, die Arbeit wieder vollkommen aufgehoben wird, ist dies im magnetischen Feld des Stroms nicht der Fall. Wir haben nämlich zu beachten, daß ein geschlossener Strom durch eine magnetische Platte nur insofern ersetzt werden kann, als wir den Raum außerhalb der Platte in Betracht ziehen. Führen wir demnach die magnetische Masseneinheit einmal vollständig um den Stromleiter herum, so leisten die magnetischen Kräfte des Stroms dabei immer die Arbeit 4 л о ô oder, da jetzt о ô = i gesetzt werden kann, so ist die Arbeit bei einem Umlauf immer gleich 4 n i. Selbstverständlich hat der Umlauf in dem Sinne zu geschehen, in welchem die Kraftlinien den Leiter umkreisen. Denken wir uns den Strom gegen uns fließend, so umkreisen die magnetischen Kraftlinien, von uns aus betrachtet, in entgegengesetztem Sinn der Uhrzeigerbewegung den Leiter. Die Gestalt der geschlossenen Bahn, in welcher wir die magnetische Masseneinheit um den elektrischen Strom herumführen, ist nach dem Früheren natürlich ganz gleichgültig.

Wir wollen die Stärke des magnetischen Feldes wieder «£> nennen. Die Arbeit bei einem Umlauf hat man mit „rot$u (Rotation, Rotor) oder, wie dies jetzt fast ausschließlich geschieht, nach dem Englischen mit „curl $ “ bezeichnet. Das Wort curl läßt sich mit „Locke“ und „Quirl“ wiedergeben.

Wir erhalten somit die Gieichung

4 jii = curl $ .

Haben wir es mit einem Yerschiebungsstrom zu tun, so ist seine Dichte durch

1    _ К d©

4л dt 4 n dt

gegeben. Ist der Querschnitt des Stromleiters со, so ist die Stromstärke

coK d©

dt

Es besteht mithin zwischen diesem Strom und der Um-laufsarbeit die Beziehung

(i)

со К —— = curl $ .

dt

§ 7. Elektromagnetische Induktion.

Wird eine von einem Leiter der Elektrizität umschlossene Fläche von magnetischen Kraftlinien durchsetzt, so durchfließt den Leiter ein elektrischer Strom, sooft sich die Zahl der magnetischen Kraftlinien ändert, welche der Leiter umschließt (Bd. Hl, § 51). In dem Leiter wird somit eine elektromotorische Kraft hervorgerufen, in der Umgebung der magnetischen Kraftlinien wird ein elektrisches Feld erzeugt. Auch die Intensität © dieses Feldes nennt man die elektromotorische Kraft, da die Masseneinheit der Elektrizität in einem solchen Felde mit der Kraft © in der Richtung der Kraftlinien getrieben wird, doch ist diese elektromotorische Kraft formell verschieden von jener im Ohmschen Gesetz (Bd. III, § 48). Macht daher die Masseneinheit einen vollen Umlauf um die magnetischen Kraftlinien, so leisten die elektrischen Kräfte eine bestimmte Arbeit, welche wir nach der Bezeichnung im vorhergehenden Paragraphen curl© nennen wollen.

d(m S3)

~ИГ = (Л111л

(§ 3). Dadurch werden in der Umgrenzungslinie von со elektromotorische Kräfte geweckt, und zwar von uns aus betrachtet im Sinne der Bewegung des Uhrzeigers, wenn die magnetischen Kraftlinien auf uns zukommen. Die Erfahrung ergibt ferner, daß curl© der Größe

proportional ist. Vereinigen wir beide Größen

Denken wir uns nun eine kleine Fläche со, welche senkrecht von magnetischen Kraftlinien von der Dichte S3 durchsetzt wird, so haben wir со S3 magnetische Kraftlinien umschlossen. Deren Änderung in der Sekunde beträgt

d&

zur Gleichung

(2)

= —curl©

dQ

a/tTt

so sind wir durch das negative Vorzeichen dem Umlauf entgegengesetzt dem Sinne der Uhrzeigerbewegung gerecht geworden und haben, indem wir die Proportionalitätskonstante gleich Eins setzen, die elektromagnetische Kraft © im sogenannten „elektromagnetischen Maß“ gemessen.

§ 8. Elektrostatisches und elektromagnetisches Maßsystem — Orundgleichungen des elektromagnetischen Feldes.

Schon im § 1 haben wir die Einheit für die Elektrizitäts-menge und die magnetische Menge festgesetzt. Die Beziehung, welche wir im § 5 zwischen einem geschlossenen Strom und einer magnetischen Platte kennen gelernt haben, gestattet ebenfalls eine Maßeinheit für die Elektrizitätsmenge festzustellen, falls wir als Maßeinheit für den Magnetismus die aus § 1 gewonnene anwenden. Diese beiden Maßeinheiten für die Elektrizitätsmenge haben aber sehr verschiedenen Wert. Man muß daher zwischen zwei Maßsystemen unterscheiden. Messen wir die verschiedenen Größen in dem ersteren System, so beziehen wir alles auf das „elektrostatische Maßsystem “, während wir das zweite das „elektromagnetische Maßsystem“ nennen. Eine Elektrizitätsmenge im elektrostatischen Maßsystem gemessen ergibt eine 3 • 10¹⁰ mal größere Zahl, als wenn wir sie im elektromagnetischen System bestimmen. Ferner zeigt sich, daß die Dimensionen der elektrischen und magnetischen Größen in den verschiedenen Systemen verschieden sind (Bd. III, § 52). So ist z. B. für eine Elektrizitätsmenge das Verhältnis der Dimensionen im elektrostatischen und elektromagnetischen System eine Geschwindigkeit. Dieselbe beträgt somit 3 • 10¹⁰ cm/sek. Genau so groß ist die Lichtgeschwindigkeit V im leeren Raum.

Die Gewohnheit hat es mit sich gebracht, die elektrischen Größen im elektrostatischen, die magnetischen im elektromagnetischen Maß anzugeben. Will man dies beibehalten, so haben ф wir an den Gleichungen (1) und (2) noch eine geringfügige Änderung vorzunehmen. Gerade so wie bei der Elektrizitätsmenge ist auch bei der Stromstärke das Verhältnis der in beiden Systemen gemessenen Größen gleich der Lichtgeschwindigkeit V. Bei der elektromotorischen Kraft ist es hingegen umgekehrt. In diesem Falle ergibt sich das

Verhältnis

In Gleichung (1) haben wir links die Stromstärke ^ 7 welche wir in elektrostatischem, rechts die magnetische

Feldintensität $, die wir in elektromagnetischem Maß angeben. Um die Stromstärke in demselben System wie § zn messen, haben wir sie demnach durch V zu dividieren und erhalten so

(3)

= curl$ .

со К d ®

~v Ж

— curl® .

(4)

In Gleichung (2) hingegen haben wir rechts die elektromotorische Kraft ®, deren Maß wir elektrostatisch angeben. Um beide Seiten der Gleichung somit in Einklang zu bringen, haben wir nach dem Früheren ® mit V zu multiplizieren. Dies ergibt sodann со [л d£>

~V~~dt ⁼

Die Gleichungen (3) und (4) bestimmen die Bewegung der Elektrizität und des Magnetismus in Isolatoren. Sie sind die Grundgleichungen des elektromagnetischen Feldes, welche zuerst von J. CI. Maxwell aufgestellt und sowohl zur Darstellung der elektromagnetischen als auch der Lichterscheinungen in den Nichtleitern der Elektrizität benützt wurden.

§ 9. Die „eurl“-Gleichungen, bezogen auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

Dasselbe

Die Größen curl§ und curl® in den Gleichungen (3) bzw. (4) sind Yektorgrößen. Den Vektor haben wir uns dabei derart gelegt zu denken, daß er die Normale zur Fläche со bildet und zwar nach jener Seite gerichtet, von welcher betrachtet die Masseneinheit entgegengesetzt dem Sinne der Uhrzeigerbewegung um die Fläche geführt werden muß, damit die Arbeit eine positive werde. Wir können somit den curl in Komponenten zerlegen und wollen dies, da es im allgemeinen so üblich geworden ist, mit Bezug auf ein „englisches Koordinatensystem“ durchführen, unterscheidet sich von dem auf dem Kontinent gebräuchlichen Jäger, Theoretische Physik IV.

„französischen“ dadurch, daß, wie Fig. 1 zeigt, die Lage der Y-Achse mit jener der Y-Achse vertauscht ist.

Wir wollen die Komponenten der elektromotorischen Kraft (S mit X, Y, Y, jene der magnetischen Kraft § mit a, ß-, y bezeichnen. Wollen wir nun, daß sich die Gleichung (3) nur auf eine Strömung der Elektrizität parallel zur X-Achse beziehe, so können wir folgendermaßen Vorgehen.

Fig. 1.

Anstatt der Fläche со führen wir das Flächenelement dy dz

ein. An Stelle von —₇-r- kommt , wobei wir deshalb den dt    dt

partiellen Differentialquotienten zu setzen haben, weil wir ja die Komponenten Y und Y der elektromotorischen Kräfte jetzt als konstant betrachten, so daß eine dielektrische Verschiebung tatsächlich nur parallel zur er-Achse vorkommt.

Um die entsprechende Komponente des curl$ zu finden, haben wir die Arbeit aufzusuchen, welche die magnetischen Kräfte leisten, wenn die magnetische Masseneinheit längs der Begrenzung des Flächenelementes dydz dieses einmal umkreist. Um dabei in dem oben angedeuteten Sinne richtig zu verfahren, haben wir der Reihe nach die Strecken i, 2, 5, 4 (Fig. 1) zurückzulegen.

Die Intensität des magnetischen Feldes habe im Ursprung des Koordinatensystems die Komponenten ß parallel zur y-Achse, y parallel zur ж-Achse. Gehen wir vom Ursprung längs der у -Achse um die Strecke dy weiter, so wird sich dabei die Komponente у ändern in

dy. Gleicherweise wird eine Änderung des ß

vor sich gehen, wenn wir vom Ursprung längs der

d ß

z-Achse um die Strecke dz weitergehen, in ß + —-— dz.

о z

Wenn wir demnach das Elementarrechteck dy dz .in der Reihenfolge 1—4 durchlaufen, so haben wir in 1 die

Feldstärke ß, in 2 у -[

у. Durchläuft ein Punkt von der magnetischen Masse Eins nun wirklich den Umfang des Elementarrechtecks, so ist zu bedenken, daß in 3 und 4 der Punkt entgegengesetzt der Richtung der Koordinatenachsen sich bewegt, so daß wir die Arbeit der magnetischen Kräfte negativ in Rechnung zu setzen haben.

Indem wir nun immer die Kraft mit dem Wege multiplizieren, erhalten wir. als Gesamtarbeit bei einmaligem Umlaufe

dy

6y

dy

dy

dß

dy, in 3 ß + — dz, in 4

ß dy + (y + -4 dyj dz — [ß    dzj dy — у dz

dy dß

.dy. dz

j dy dz .

Gleichung (8) wird somit

dy dz

К дх

У UT

ду

ôy

съ! съ

К dX _ dy    dß

oder

V dt dy    dz

Durch zyklische Vertauschung der Buchstaben können wir aus dieser Gleichung ohne weiteres die Gleichungen für eine Strömung der Elektrizität parallel zur y-Achse bzw. %-Achse finden.

Ferner läßt sich auch Gleichung (4) in genau derselben Weise wie Gleichung (3) in drei Gleichungen entsprechend den Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems zerlegen, wobei jedoch das negative Vorzeichen der rechten Seite zu beachten ist. Wir gelangen so zu zwei Systemen von je drei Gleichungen, welche die elektrischen und magnetischen Vorgänge in einem Isolator bestimmen und folgendermaßen lauten:

dot

dy

(6)

dY ez

(6)

ex в y

x)-

dx

dy

. V dt

*) Im Bd. III, § 60 u. 61 haben diese Gleichungen wegen Benützung eines französischen Koordinatensystems entgegengesetztes Vorzeichen.

Aus diesen Gleichungssystemen geht bei Berücksichtigung der Gleichungen (Б) und (4) hervor, daß wir den Operator „curl“ auch rein mathematisch definieren können. Haben wir nämlich eine Yektorgröße § mit den Komponenten a , ß, y, so sind die Komponenten von curl§ auf dasselbe Koordinaten-dß da    dy dß    da

dz ''dz    dx ' dx    dy 1 wenn

wir den Umlauf auf eine Fläche von der Größe Eins beziehen.

system bezogen

dy

dy

§ 10. Die Bewegungsgleichungen der Elektrizität und des Magnetismus in ursprünglich neutralen Isolatoren.

Wir wollen die erste der Gleichungen (5) nach der Zeit differenzieren und erhalten so К d²X _ d²y V dt² dtdy dtdz Aus der zweiten und dritten der Gleichungen (6) fiu-VldX SY

(?)

d²ß

dy\dt ) dz\dt )'

den wir

dy

und

dt fi

со <©

tsj

dx

dX

t fi \ dx dz

Setzen Wir diese Ausdrücke in Gleichung (7) ein, so ergibt dies

K d²X _ V I d²X d²Y )

V dt² fi \ dy²    dxdyj

К fi d²X d²X d²X ~W dt² ~ ~dx² + Ihj²

d²Z d²X

dxdz

dz²

oder

d²X

dz²

ex

ÔY

ez'

dx \ dx

dy

dz) '

Mit Zuhilfenahme der Gleichungen (5) erhalten wir SX . SY SZ

S (

über den Ausdruck -r— л ox \ Sx

dy

Sz

näheren

Aufschluß. Differenzieren wir dieselben nämlich der Reihe nach nach x bzw. y und ж und addieren sie, so erhalten wir

Cb

« и

со

Cb Cb S ÎN3

SX

SY

SZ

ist also bezüglich der

Zeit konstant. Haben wir somit einen ursprünglich un elektrischen Isolator, in dem erst eine elektrische Bewegung hervorgerufen wird, so ist ursprünglich unser Ausdruck gleich Hull nnd muß immer gleich Null bleiben, so daß wir Gleichung (8) schreiben können

К jut S²X V² St²

wenn wir mit Л X den Ausdruck

Der Ausdruck -r— -f-

Sx

ôy

Sz

= AX, S²X

S²X . S²X Sz²

bezeichnen. In derselben Weise können wir auch die 2. und 3. der Gleichungen (5), sowie die Gleichungen (6) behandeln, so daß wir schließlich folgendes System von sechs Gleichungen erhalten:

г К^ S²X

~W

(Jäüi

l j i v* et*'

= AX

— AY

Sx²

(10)

dy

Kfx d*a

кfi e*ß ~eW

= Aa,

= Aß,

К /и S²Z

ч T² ~sW

= AZ.

К/Li S²y

V² St²

= Ay .

§ 11. Die Strahlgleichunsen — Fortpflanzung elektromagnetischer Wellen.

dX

= 0 , da ja nach § 10

dx

Wir wollen annehmen, daß wir einen elektrischen Zustand haben, der an allen Punkten einer zur (?/,я)-Ebene parallelen Ebene gleich ist und sich auch in gleicher Weise mit der Zeit ändert. Es müssen somit alle Glieder in den Gleichungen (5), (6), (9) und (10), welche Differentialquotienten nach у und % sind, Null werden. Desgleichen wird

dX dY dZ

dx

dy ^ dz

und nach unserer Voraussetzung auch dY dZ _

dy

dz

da,

ist. Ebenso wird —— = 0 . Auf diese Weise erhalten wir

dx

(11)

(13)

К dX л

T ~dT -⁰ ’

K dY _

T ~dt~

К dZ _ dß . V dt ~ 8x '

Кfi d*X F² dt* ~ ° ’

К fi d²Y    d*Y

F² ~dW ~ ~6x’ К fi d*Z _ d*Z , V² dt² dx²

F dt

Sx ’

(12)

(14)

fi dß

fi

Cb çv,

csj

dx ’

dY

dx

l F dt К fi d*x _

~W dt* ~ ’ d^ß d*_ß ~W dt² ~ da;² ’

К fi d*y _ d*y_

„ “F²“    ~~    '

dX    B²X

Aus diesen Gleichungen folgt, daß ^r— =    = 0 , also

et    ot²

auch X = 0 ist, da wir ursprünglich in unserm Isolator keine elektrischen Kräfte annahmen. Elektrische Kräfte können also nur senkrecht zur cc-Achse unseres Koordinatensystems auftreten.

Die Richtung, in welcher die dielektrische Verschiebung vor sich geht, welche ja mit der Richtung der elektromotorischen Kraft identisch ist, wollen wir mit der Richtung der y-Achse zusammen fallen lassen. Es wird dann Z = 0 . Von den Gleichungen (11), (12), (13) und (14) bleiben mithin nur

' К BY V ~ВТ

By

дх

Cb

Cb

(15)

Kju B²Y _ B²Y ~W ~dW ~ ~Bx?

К ja B²y    B²y

~T²~~dt²⁼⁼~e^² *

Wir erhalten somit das wichtige Resultat, daß jede elektrische Bewegung in einem Isolator von einer magnetischen Bewegung begleitet wird, welche senkrecht dazu steht, und vice versa.

Es läßt sich leicht zeigen, daß jede Funktion von X — at, welche wir an Stelle des Y bzw. des y setzen, eine Lösung unserer Gdeichung wird.- Wir wollen etwa die elektromotorische Kraft

Y — cp(x — at) ,

die magnetische Induktion

y = yj(x — at)

setzen, wobei also cp und xp ganz willkürliche Funktionen bedeuten sollen. Aus dieser Annahme folgt weiter

Kja

V²

dY

Cb

— —acp'(x — at) ,

d²Y

dt²

= a² op'\x — at) ,

Cb

d²Y

Cb Cb

Cb

= —a yj'(x — aż)

дж²

d²^

= op"(x — at) ,

dt²

= а² xp"(x — at)

Cb

d²y

= ip'(x — at) ,

= у"(ж - a0 •

Setzen wir diese Ausdrücke in die Q-leichungen (15) ein, so erhalten wir

dx

—— acp'(x — at) — —гр'(х — at) —Ł ay/(x — at) = —çp'(x — at) a² <p"(x — at) = (p"(x — at) , a² ip”(x — at) = yj"(x — at) .

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt unmittelbar, daß К ja a²

V²

sein muß. Dasselbe Resultat erhalten wir auch aus den beiden vorhergehenden Gleichungen, wenn wir die linken und die rechten Seiten miteinander multiplizieren und zu einer neuen Gleichung vereinigen. Demnach ist

a Vä> '

Das ist aber nichts anderes als die Geschwindigkeit, mit welcher sich ein bestimmter elektromagnetischer Zustand parallel zur a>Achse fortpflanzt (Bd. I, § 68).

Für den leeren Raum ist К = /а = 1, folglich

a = V.

Da aber nach unserer Voraussetzung V die Geschwindigkeit des Lichts im leeren Raum ist, so ist für diesen die Lichtgeschwindigkeit und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen identisch. Ferner haben wir es mit Transversalwellen zu tun, da die elektrischen Kräfte sowohl als auch die magnetischen immer senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung sind.

§ 12. Elektromagnetische Kugelwellen.

§ 21. Totale Reflexion —

§ 31. Energie der dielektrischen Polarisation.

§ 47. Konzentrationsketten.

§ 57. Kinetische Energie des Elektrons.

§ 74. Gleichgewicht und Bewegung elastischer Körper.

ЯИефапЦфе Sinologie.

§ 12. Elektromagnetische Kugelwellen.

Erzeugen wir in einem kleinen Raum eine elektromagnetische Bewegung, so werden sich elektromagnetische Wellen nach allen Richtungen fortpflanzen. In einem* isotropen Medium geschieht dies nach allen Richtungen mit derselben Geschwindigkeit. Wir erhalten also Kugelwellen, sobald wir die Erregerstelle als klein gegenüber dem Radius einer solchen Welle betrachten können. Daß unseren Gleichungen (9) und (10) durch Kugelwellen Genüge getan wird, läßt sich sehr leicht zeigen.

Machen wir den Wellenerreger zum Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems, so ist der Radius einer Kugelwelle gegeben durch

Г² = X² + y² + 2² . Danach können wir den Ausdruck

JX =

д²Х д²Х д²Х _ 1 d²{rX) +-6f⁺-

öx²

dz²

6r²

setzen, was wir nach dem Rechnungsvorgang erhalten, den wir bei einer punktförmigen Schallquelle (Bd. I, § 67) benutzt haben. Wir können jetzt die erste der Gleichungen (9) schreiben

К ii д²Х 1 d² (rX) V² dt²

K/n d²(rX) _ d²(rX) V² dt²

dr²

oder

dr²

Diese Gleichung entspricht aber der Form nach vollständig der 2. und 3. der Gleichungen (13) und (14). Die allgemeine Lösung, welche wir für diese Gleichungen angaben, wird daher auch eine Lösung unserer jetzigen Gleichung sein. Das heißt, wir können für rX jede beliebige Funktion von r — at setzen. Es ergibt sich für a daim wieder die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen, welche wir bereits im vorhergehenden Paragraphen kennen gelernt haben. Die Größe der elektromotorischen Kraft X kann daher dargestellt werden durch

x = y /> - at '>.

wo f(r — at) eine ganz willkürliche Funktion von r — at bedeutet. Das heißt: es nimmt die elektromotorische Kraft X und ganz analog Y und Z, sowie die magnetischen Induktionen «, ß, y verkehrt proportional mit dem Radius der Kugelwelle ab.

§ 13. Harmonische elektrische und magnetische Schwingungen — Liclitsehwingungen.

Wir wollen im folgenden die elektromotorische Kraft einer ebenen Welle immer mit E, die magnetische mit M bezeichnen. Wir wissen, daß beide aufeinander senkrecht stehen müssen. Als Fortpflanzungsrichtung wählen wir wiederum die x- Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems. Die Gleichungen (15) gewinnen sonach die Form

(16)

K SE _

v~sf-

Kjx S²E

~W ~eW

SM [л SM SE ~Sx' r~ST'

S²E Kfi sm _ sm

Sx² ’ ~W ёГ* ~ Sx² '

Sx

Da nun E sowohl als M durch jede beliebige Funktion von X — at genügt wird, wobei a die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle ist, so können wir

E = E₀ cos e (x — at)

setzen, wobei e eine willkürliche Konstante bedeutet.

Betrachten wir E an einer ganz bestimmten Stelle, etwa für x = 0, so wird

E = E₀ cos (— e a t) — E₀ cos e a t.

An einer bestimmten Stelle des Baumes haben wir also eine elektromotorische Kraft, welche eine harmonische Funktion der Zeit ist. Wir haben eine sogenannte elektrische Schwingung. Das ist so zu verstehen, daß wir an einem ganz bestimmten Punkt des Baumes eine dielektrische Polarisation haben, welche von einem Maximalwert E₀ mit fortschreitender Zeit auf Null herabsinkt, sodann negativ wird und bis zum Betrag — E₀ ansteigt. Dann nimmt sie wieder ab, wird Null, positiv und erreicht schließlich den Wert E0i wonach sich derselbe Bewegungsvorgang von neuem abspielt. Die Bichtung der dielektrischen Verschiebung bleibt, abgesehen vom Vorzeichen, dabei immer dieselbe. Nach Analogie einer mechanischen Schwingung können wir E₀ die A mp lit ü de nennen. Es ist auch ohne weiteres klar, daß die Zeit t, welche zwischen zwei gleichen Zuständen verfließt, durch

еат = 2 n

ersetzt werden.

gegeben ist. r ist somit die Schwingungsdauer, und die Konstante e kann durch

Betrachten wir den elektrischen Zustand während einer bestimmten Zeit, etwa für t = 0 längs der ganzen æ-Achse, so ist die Erscheinung durch

E == E₀ cos e X

gegeben. Die elektromotorische Kraft fängt also mit dem Maximalwert E₀ an, sinkt dann mit wachsendem X auf 0 herab, wird negativ, erreicht den Wert — А/₀, wird dann wieder kleiner usw. Es wiederholt sich hier im Raum, was wir früher in der Zeit kennen gelernt haben. Die Strecke, welche wir zurücklegen müssen, bis wir wieder denselben Zustand erreichen, nennen wir die Wellenlänge, indem wir wieder, in Analogie zu einer Wasser- oder Schallwelle, die einzelnen Begriffe von dort auf die elektrischen Wellen übertragen. Die Wellenlänge A ist somit durch

s A = 2 л

2 71

gegeben. Es kann somit e nicht nur durch -, sondern

2л    ат

auch durch —— dargestellt .werden, woraus ohne wei-A

teres die bekannten Beziehungen A = а т

folgen. Die elektromotorische Kraft selbst können wir also folgendermaßen darstellen. Es ist

E = E₀ cose (x — at) = E₀ cos(e x — e a t)

тл (2я = E₀ COSl-y X

тЧ⁼^соа2л( - l) •

Diese Gleichung ist der Ausgangspunkt zur Erklärungder optischenErscheinungen. Yonganz derselben Gleichung geht auch die Fresnel sehe Licht-theorie aus. Nur ist dort die Deutung der Buchstaben eine andere.

Die beiden ersten der Gleichungen (16) zeigen nun einen innigen Zusammenhang zwischen der elektrischen und der magnetischen Welle. Bilden wir

dE

Tt

so folgt aus der ersten dieser Gleichungen 2 тс E₀ К

Ft

sin 2 Ti

SM

дх ’

oder integriert

2 n E₀K

Ft

sin 2 Ti

dx

2 л E₀ К

Ft

2 71

COS 2 71

Die willkürliche Konstante G wird gleich Null, wenn, wie wir annehmen wollen, ursprünglich keine magnetischen Kräfte vorhanden waren. Dann ist also

cos 2 л — —

E₀KX

Ft

Nun können wir aber

Mi-u

Ft ~    ⁰

wiederum die Amplitüde der magnetischen Schwingung nennen so daß also ganz analog der elektrischen

Polarisiertes und natürliches Licht.

Welle auch eine magnetische vorhanden ist, welche durch die Gleichung

M=M₀ cos 2 л

gegeben ist.

Beide Wellen stehen aufeinander senkrecht und außerdem senkrecht auf der gemeinschaftlichen Fortpflanzungsrichtung. Beide Wellen haben genau dieselbe Phase. Während somit die mechanische Lichttheorie mit einer einzigen Schwingungsrichtung senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung auskommt, braucht die elektromagnetische Lichttheorie deren zwei. Sie scheint also komplizierter zu sein als jene. Dafür umfaßt sie aber auch ein weitaus größeres Gebiet, nämlich neben der rein optischen auch noch die elektro-und magnetooptischen Erscheinungen.

§ 14. Linear polarisiertes Licht — Superposition der Wellen — natürliches Licht.

Den bisher betrachteten Strahlen „elektrischer Kraft“ entspricht in der Optik das sogenannte linear polarisierte Licht. Es gehen die elektrischen Schwingungen parallel zu einer ganz bestimmten Ebene vor sich. Wir wollen sie die Schwingungsebene nennen. Sie ist bestimmt durch die Richtung einer Schwingung und die Fortpflanzungsrichtung der Welle.

Fresnel (Bd. II, § 23), welcher die Theorie transversaler Lichtwellen begründete, wählte die Schwingungsebene in der Lage, welche durch die elektrischen Schwingungen bestimmt wird. Wir haben aber auch noch magnetische Schwingungen. Diese finden parallel einer Ebene statt, welche senkrecht zur Ebene der elektrischen Schwingungen liegt. Die Durchschnittslinie beider Ebenen gibt somit die Fortpflanzungsrichtung des Lichtes an. Wir begreifen jetzt, daß sich auch, wie es Franz Neumann (Bd. II, § 28) getan hat, eine Theorie des Lichtes

entwickeln läßt, welche die Lichtschwingungen senkrecht zu jener Lage annimmt, die von Fresnel eingeführt worden ist. In der Neumann sehen Theorie sind also die Lichtschwingungen identisch mit den magnetischen Schwingungen des Lichtstrahles. Man neigt heute wohl allgemein dazu, die elektrischen Schwingungen als jene anzunehmen, welche die optischen Erscheinungen bedingen.

Elektrische Kräfte addieren sich nach dem Satz vom Kräfteparallelogramm, desgleichen die magnetischen Kräfte. Treffen somit mehrere Wellenzüge gleichzeitig auf einen Punkt, so werden sich die einzelnen Kräfte geometrisch addieren, oder, wie man zu sagen pflegt, die Wellen superponieren sich. Es müssen die Wellen somit auch ungestört duicheinander hindurchgehen, gerade so wie es Schallwellen tun.

Denken wir uns nun einen Erreger elektrischer Wellen, welcher imstande ist, nach allen möglichen Richtungen Wellen auszusenden, deren Schwingungsebenen wieder alle möglichen Lagen haben können, so haben wir den Typus einer natürlichen Lichtquelle. Fassen wir, von der Lichtquelle ausgehend, eine bestimmte Richtung ins Auge, so wird damit ein Lichtstrahl fixiert sein, welcher nicht nur eine Schwingungsebene besitzt, sondern eine außerordentlich große Zahl, die sich alle im Lichtstrahl schneiden, untereinander aber alle möglichen Winkel einschließen. Auf diese Weise gehen gewöhnlich die Lichtschwingungen in den Lichtstrahlen vor sich. Man nennt daher derartige Strahlen „natürliches Licht“.

§ 15. Interferenz.

Aus dem Zusammenwirken mehrerer Wellenzüge in einem Punkt gehen jene Erscheinungen hervor, welche man mit dem Namen „Interferenzerscheinungen“ zu bezeichnen pflegt. Wir wollen speziell zwei Strahlen in Betracht ziehen, welche dieselbe Schwingungsebene besitzen. Die Wirkung des einen sei für einen gegebenen

Punkt — wir können etwa wieder den Ursprung eines Koordinatensystems also x = 0 annehmen —

E = E₀ cos — /, M = M₀ cos — /.

T    T

Die des zweiten sei

2л

If = J/^cos— (/-<5)

E' = Eq cos — (/ — (3) ,

wobei durch ô die Phasenverschiebung zur ersten Schwingung gegeben ist. Ziehen wir vorerst die elektrische Schwingung in Betracht, so haben wir als Resultat der Superposition der Wellen

E E' = E₀ cos

2л

/ + Eq cos — (/ — ô)

ТЛ    4 I Т7Г/ /    2л1 2лд

= ü/₀ cos -— / -f- En\ cos-cos-

T    \ T    T

2 л/

,    . 2л:/ . 2л0\

+ sm-sin-

t    r /

= (t?₀ + Eq cos

cos

. 2лд . 2л/ + Eq sm-----sin-.

Dies ist, wie man leicht zeigen kann, wiederum eine einfache harmonische Schwingung; denn wenn wir

(17)

(18)

2 л$

setzen, so wird E -f E; = Ei cos

2л$    2л/    _    .    2л$ . 2л/

--h E! sm-sm

T    TT

cos

= Ex cos-(/ — #) .

T

Jäger, Theoretische Physik IV.

Die Amplitüde Et der resultierenden Schwingung finden wir, indem wir die Gleichungen (17) und (18) quadrieren und addieren. Wir erhalten so

cos

El

Die Größe # können wir finden, wenn wir (18) durch (17) dividieren. Es ergibt dies

Eq sin

2nd

tg

2nïï

E₀ -f Eq cos —

2nd

Die Größe der Amplitüde ist nun bei optischen Erscheinungen von außerordentlicher Bedeutung, weil ja davon die Intensität des Lichtes abhängt. Haben unsere Wellenzüge gar keinen Phasenunterschied, ist also ô = 0

2nd

so ist T

— selbstverständlich wiederholt sich dasselbe für = 2 n, 4 7i, usw. oder <3 = т, 2 т ...

2nd

cos

sin

2 яд

= 0,

und es wird

El = (Я₀ + КУ ,

⁼ -Щ) ~b •

Das heißt, die Amplitüden addieren sich einfach, es ergibt sich eine Schwingung von größerer Intensität, als sie jede einzelne Schwingung besitzt.

oder

Wird ô =    . so ist

4

cos-= cos = 0 , sin

t    2    г

2nd

2nd

Dann wird

Щ = E\ + Ep .

In diesem Falle ist die resultierende Amplitüde ebenfalls größer als jede einzelne, aber sie ist kleiner, als wenn keine Phasendifferenz vorhanden ist.

Lassen wir nun ô =

cos

2nd

— werden, so ist

— COS TT = — 1 ,

sin

2nd

und es wird

E\ = (E₀ - ES)

oder Ex = E₀ — Eq .

In diesem Falle ist die Amplitü le also immer kleiner als die größere der Komponenten. Ist E₀ = Eq, so haben wir E^ = 0, d. h., wir haben in diesem Falle überhaupt keine elektrischen Schwingungen mehr vor uns. Es können sich also zwei gleich große Schwingungen in ihrer Wirkung vollkommen aufheben.

Wird ô größer als ~, so erhalten wir wieder eine

LJ

endliche resultierende Amplitude, welche mit wachsendem ô ebenfalls wächst, bis für ô = т derselbe Zustand erreicht ist, den wir für ô = 0 hatten.

Für die Interferenz der magnetischen Wellen gilt natürlich genau dasselbe wie für die elektrischen. Es ist somit die resultierende elektromagnetische Welle ihrer Zusammensetzung nach genau so gebaut wie jede Einzelwelle.

Dieser einfache Fall der Interferenz ist die Ursache einer großen Anzahl optischer Erscheinungen (Bd. II, § 15—22). Wenn wir auch nie zwei einzelne Lichtstrahlen, wie sie hier beschrieben worden sind, isolieren können, so basieren doch alle Interferenzerscheinungen des natürlichen Lichtes auf diesem einfachen Fall. Dieselben kommen nämlich immer so zustande, daß die Wellenfläche, welche ja für jede Schwingung über den ganzen Querschnitt des in Betracht kommenden Lichtbündels erstreckt gedacht werden muß, geteilt wird, so daß zwei Wellenzüge verschiedener Länge gebildet werden, die man sodann zu einem einzigen Zug vereinigt. In diesem neuen Wellenzug finden sich nun, so vielerlei Schwingungsarten von der verschiedensten Dauer und Richtung auch Vorkommen mögen, immer je zwei zusammen, die gleichartig sind und nur durch die Phasendiflerenz sich voneinander unterscheiden. Es sind das immer jene, welche durch Teilung aus ein und derselben Welle entstanden sind. Diese zwei zusammengehörigen Wellen bilden aber immer eine neue, deren Intensität so, wie oben auseinander gesetzt wurde, von der jeweiligen Phasenverschiebung abhängt.

Benutzen wir weißes natürliches Licht, etwa Sonnenlicht, zur Herstellung der Interferenzerscheinungen, so werden im allgemeinen die verschiedenen Farben des Sonnenlichtes verschiedene Phasenverschiebungen erfahren und infolgedessen nach der Interferenz mit relativ verschiedener Amplitüde, also auch relativ verschiedener Intensität auftreten. Die Folge davon wird sein, daß gewisse Farben durch ihre Intensität überwiegen und so farbige Erscheinungen hervorrufen, wie sie z. B. bei den Farben dünner Blättchen, bei der Beugung des Lichtes, beim Fresnel sehen Spiegelversuch usw. auftreten.

Die Superposition der Wellen ist für die Theorie deshalb außerordentlich wichtig, weil sie uns ermöglicht, immer mit der Untersuchung eines einzelnen W^llenzuges auszureichen, um alle Erscheinungen eines so überaus komplizierten Gebildes, wie es ein natürliches Lichtstrahlenbündel darstellt, interpretieren zu können.

§ 16. Elliptisch und zirkular polarisiertes Licht.

Wir denken uns zwei linear polarisierte Lichtstrahlen, deren Schwingungsebenen aufeinander senkrecht stehen. Und zwar sollen die elektrischen Schwingungen des einen Strahles parallel zur y-Achse, die des andern parallel zur г-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems erfolgen. Der eine ist also gegeben durch die Gleichungen

= T₀ cos2 л(у т) »

der andere durch

y — Уо COS 2 л:| Z = Z₀ cos 2

ł).

{)■

ß = —ß₀ cos2    ^

Beide Lichtstrahlen sind also parallel zur x-Achse (Fig. 2) gerichtet, haben dieselbe Schwingungsdauer r, mithin auch

-je

Fig. 2.

dieselbe Wellenlänge A. Wir wissen, daß, wenn wir eine elektrische Schwingung parallel zur ?/-Achse haben, gleichzeitig eine magnetische parallel zur £-Achse vorhanden ist. Dementsprechend wurden die Gleichungen für den ersten Strahl gewählt.

Denken wir uns nun den ganzen Vorgang von der (æ, y)-Ebene in die (j?, 2)-Ebene übertragen, so erfolgt die elektrische Schwingung parallel zur z-Achse und die magnetische muß dann parallel zur negativen y-Achse vor sich gehen. Daher mußten wir beim zweiten Strahle der magnetischen Schwingung das negative Vorzeichen geben. Übrigens ergibt sich die Richtigkeit der oben aufgestellten Gleichungen ohne weiteres durch Einsetzen derselben in die Gleichungen (5) und (6).

Wir haben ferner eine Phasenverschiebung zwischen unseren beiden Strahlen angenommen, derart, daß der zweite Strahl mit seiner zu jener des ersten Strahles gleichen Phase

um у Wellenlängen zurückliegt, oder, was dasselbe ist, er

erreicht im selben Punkt erst um — Schwingungsdauern später

%    Ô £

dieselbe Phase wie der erste Strahl, wenn wir ~    — setzen.

In der Tat erhalten wir für Z und ß dieselben Gleichungen, wenn wir, anstatt x um £ zu vermehren, t um <5 vermindern.

Wenn wir nun einen Querschnitt des Strahlenbündels senkrecht zu seiner FortpHanzungsrichtung, also parallel zur (у, гьЕЬепе ins Auge fassen, so haben wir zu jeder Zeit da-selbft eine elektromotoiische Kraft parallel zur y-Achse und eine parallel zur z-Aclse, die sich nach dem Kräfteparallelogramm zusammensetzen. Dies ergibt eine elektromotorische Kraft, die in der (г/, z)-Ebene beständig ihre Größe und Richtung ändert, doch in der Art, daß sie nach Verlauf der Zeit x immer wieder dieselbe Lage und Größe erreicht, also auch eine periodische Bewegung voll führt.

Wir wollen die weitere Untersucl ung auf den Fall be-

Wir nehmen also eine Phasen-

schränken, daß £ =

Verschiebung von ¹/i Wellenlänge an. Ferner wollen wir als Ebene, in welcher wir die elektromotoiischen Vorgänge betrachten, die (y. z)Ebene seihst wählen, «la sich in jeder zu ihr parallelen ja dasselbe, nur zu einer anderen Zeit ereignet. Wir werden also in den eingangs aufgestellten Gleichungen

x = 0 und £ = — setzen. Es unterscheidet sich somit das 4

Argument des Kosinus für die zweite Schwingung von jenem

i ist.

der ersten dadurch, daß es also

ist, so daß

cos 2 л

— sin2 л

j - t)

gesetzt werden kann. Unsere Gleichungen werden somit

V    V 2 л t

Y    = Y₀ cos % ~ i

2л t

Г = 7o cos - ,

Z = Z₀ sin ^ , o    ß . 2л t

ß =—ßo    *

Die Gleichungen für die elektromotorischen Kräfte können wir auch schreiben

2лt

⁽¹⁹⁾ Y₀

Quadrieren und addieren wir diese beiden Gleichungen, so erhalten wir

= cos

= sin

(20)

Y² Z²

ЛТ2 I n

Y2 JL 0

= 1.

Falls wir Y und Z als Koordinaten eines ebenen rechtwinkligen Koordinatensystems auffassen, haben wir hier die Gleichung einer Ellipse, welche besagt, daß der Vektor der elektromotorischen Kraft im Laufe der Zeit Lagen und Größen annimmt, welche durch Gleichung (20) bestimmt sind.

, Z Z₀

4<P = tF = —

Wie die einzelnen Lagen der Zeit nach folgen, erkennen wir sofort, wenn wir Z durch Y dividieren. Wir erhalten so die Tangente des Winkels cp (Fig 2), welchen der Vektor der elektromotorischen Kraft mit der ^/-Achse einschließt. Es ist somit

(21)

Y„ tg t •

Der Winkel (p wächst also beständig mit der Zeit, aber nicht gleichförmig. Wir haben ein rotierendes elektrisches Feld, das sich aber nicht gleichförmig bewegt. Wir könnten es in der Sprache der Technik ein pulsierendes elektrisches Drehfeld nennen.

Wird so wird die Gleichung (20) die Gleichung eines Kreises, die Gleichung ,(2l) ergibt

tg(p = tg —.

In diesem Fall haben wir ein elektrisches Feld von der Intensität Y₀, welches mit konstanter Geschwindigkeit rotiert, da

der Winkel cp = —gleichförmig mit derZeit wächst. Genau

denselben Vorgang befolgen natürlich die magnetischen Kräfte. Wir haben also im letzten Fall ein vollkommenes elektromagnetisches Drehfeld. Licht von derartigen Eigenschaften nennen wir „zirkular polarisiert“. Ist jedoch Y₀ von Z₀ verschieden, so haben wir es mit elliptisch polarisiertem Licht zu tun. Licht von der Schwingungszahl 500 Billionen erzeugt bei der Zirkularpolarisation ein Drehfeld von der Tourenzahl 500 Billionen.

Z = Zo Sin —J— ,

Z Zn 2 n X

~~~ r₀'tg~T~-

Der Vektor der elektromotorischen Kraft E beschreibt also mit fortschreitender Abszisse eine Art Schraubenlinie, deren Projektion auf die (?/, z)-Ebene eine Ellipse ist. Betrachten wir von der positiven x -Achse aus den vorwärtsschreitenden Vektor, so dreht er sich im Sinne der Uhrzeigerbewegung, also entgegengesetzt der Drehung, die der Vektor in der {y, z)-Ebene mit fortschreitender Zeit macht. Ist wieder Y₀ = Z₀, so erhalten wir eine gewöhnliche Schraubenlinie, deren Ganghöhe gleich einer Wellenlänge ist.

Betrachten wir zu einem bestimmten Zeitpunkt den elektrischen Zustand längs des Lichtstrahles, also etwa zur Zeit t = 0, so wird

Y=Y₀ cos

Es wird

t g<P = -y

§17. Huygens sches Prinzip — Beugung des Lichtes.

Bereits im § 12 haben wir erfahren, daß sich elektromagnetische Veränderungen, die auf kleinem Raume vor sich gehen, in Kugelwellen fortpflanzen. Ferner wissen wir aus § 11, daß die elektromotorische Kraft, sowie die magnetische Induktion senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung steht. Haben wir demnach im Erreger eine bestimmte Richtung der elektromotorischen Kraft, so wird bezüglich der Fortpflanzung nur jene Komponente derselben in Rechnung kommen, welche senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung wirkt. Denken wir uns somit durch den Erreger in der Richtung der elektromotorischen Kraft einen Durchmesser der Kugelwelle gezogen und nennen die Endpunkte desselben die Pole der Kugel, so finden auf derselben die elektrischen Schwingungen in der Richtung der Meridiane statt und ihre Amplitüde ist immer proportional dem Sinus des Winkels, welchen die Richtung des Strahles mit dem Pole einschließt. Die magnetischen Schwingungen stehen senkrecht zu den elektrischen, finden also in den Parallelkreisen statt und ihre Amplitüde ist natürlich immer proportional der Amplitüde der elektrischen Schwingung im selben Punkte. Wir können dies auch so ausdrücken: Die Amplitüde der elektrischen und magnetischen Schwingungen ist am Äquator der Kugelwelle am größten und nimmt gegen die Pole mit dem Kosinus der jeweiligen Breite ab.

Haben wir nun eine ebene Welle, so können wir zu einem gegebenen Zeitpunkte jeden Punkt der Welle als Erreger einer derartigen Kugelwelle auffassen. Suchen wir nach Verlauf einer bestimmten Zeit die gemeinschaft-liche Umhüllende aller dieser Kugel wellen auf, so erhalten wir wieder eine ebene Welle, welche mit der wirklich vorhandenen Welle identisch ist. Darin besteht aber das Huygenssche Prinzip, welches besagt: „Einen jeden Punkt einer Welle kann man als Erregungspunkt neuer Wellen betrachten. Die gemeinschaftliche Umhüllende dieser Wellen, der Elementarwellen, stellt die wirkliche Welle, die Hauptwelle dar.“ (Bd. И, § 12.)

Die Beugungserscheinungen des Lichtes werden alle unter Annahme der Gültigkeit des Huygens sehen Prinzips, und daß das Licht eine harmonische Wellenbewegung sei, abgeleitet. Welche Art von Wellen wir dabei vor uns haben, ist ganz gleichgültig. Die Beugungserscheinungen würden der Hauptsache nach ebensogut durch longitudinale wie durch transversale Wellen hervorgerufen. Wir erhalten daher auch genau dieselben Resultate, wenn wir den Lichtwellen elektromagnetische Natur zuerkennen. Wir können daher an dieser Stelle uns begnügen, auf die §§ 19—22 des II. Bandes hinzuweisen.

§ 18. Reflexion und Brechung.

Die Anwendung des Huygensschen Prinzips auf elektromagnetische Wellen ermöglicht uns auch ohne weiteres, für dieselben das Reflexions- und Brechungsgesetz abzuleiten (Bd. II, § 12). Wir gelai gen also auch hier in keinen Widerspruch mit der Erfahrung, wenn wir Lichtwellen und elektromagnetische identifizieren. Bezeichnen wir den Einfallswinkel mit oc, den Brechungswinkel mit ß, so gilt bekanntlich sinoc

~sinß П’

wobei wir n den Brechungsexponenten nennen. Es ist ferner

а'

wenn a die Geschwindigkeit des Lichtes im ersten, a' jene im zweiten Medium ist. Dasselbe gilt auch für elektromagnetische Wellen. Nun haben wir aber im § 11 gefunden, daß

a

ist. Analog wird die Geschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im zweiten Medium sich darstellen lassen durch

a' =

AV

wobei also K' und // die Dielektrizitätskonstante bzw. magnetische Induktionskonstante für das zweite Medium ist. Daraus erhalten wir weiter

ку

К ju ■

Gewöhnlich bestimmt man die Brechungsexponenten zwischen atmosphärischer Luft und einem anderen durch-sichngen Körper. Kür Luft ist aber sowohl die Dielek-trizitäts- als auch die magnetische Induktionskonstante so wenig von Eins versdiieden, daß wir immer

К = [л = 1

setzen können. Desgleichen können wir für alle uns bekannten durchsichtigen Körper ju'= 1 annehmen. So-

mit bleibt

n=fK' oder n² =- K'.

Es ist also die Dielektrizitätskonstante eines Körpers immer gleich dem Quadrat seines Brechungs-exponenten. Diese Folgerung ist der experimentellen Prüfung ohne weiteres zugänglich, und sie hat sich tatsächlich für eine große Zahl von Isolatoren bestätigt.

Das war neben dem Umstande, daß das Verhältnis der Maßzahlen einer Elektrizitätsmenge, wenn sie einmal im elektrostatischen, das andere Mal im elektromagnetischen Maßsystem (§ 8) gemessen wird, gleich der Lichtgeschwindigkeit ist, für J. CI. Maxwell der Hauptstützpunkt zur Begründung der elektromagnetischen Lichttheorie.

§ 19. Polarisation des Lichtes durch Reflexion und Brechung — Elektrische Schwingungen senkrecht zur Einfallsebene.

Die (;X, z)- Ebene eines rechtwinkligen Koordinatensystems (Fig. 3) sei die Trennungsebene zwischen Luft und Glas. Ein Lichtstrahl S О treffe in О die Glasfläche. Dort wird er teilweise nach В reflektiert, teilweise nach В gebrochen. Haben wir es mit natürlichem Lichte zu tun, so finden die elektrischen und magnetischen Schwingungen im einfallenden Strahle parallel einer Ebene statt, welche senkrecht zu SO ist. Die Ebene, welche durch SOY bestimmt ist, nennen wir die Einfallsebene. Wir können nun jede dielektrische Polarisation, welche im einfallenden Strahle vorkommt, in zwei Komponenten zerlegen, deren eine senkrecht zur Einfallsebene, deren andere in der Einfallsebene liegt. Die zugehörigen Komponenten der magnetischen Induktion werden dann in bzw. senkrecht zur Einfallsebene liegen.

Hach der Reflexion bzw. Brechung wird die Ampli-tüde der elektrischen Schwingung im allgemeinen eine Änderung erfahren haben. Kennen wir nun die Ände-

rung der Amplitüden der Komponenten, so können wir aus diesen die resultierende Schwingung wieder zusammensetzen, und erfahren so die wirkliche Änderung, welche der Lichtstrahl erfahren hat. Es ist uns also nur vonnöten, elektrische Schwingungen in der Einfallsebene und senkrecht zu ihr zu untersuchen. Wir wollen vorerst letztere in Betracht ziehen.

Al,

Fig. 8.

Haben wir einen Lichtstrahl, dessen elektrische Schwingungen senkrecht zur Einfallsebene stattfinden, so liegen die magnetischen in der Einfallsebene. Wir wollen die Amplitüde derselben mit M für den einfallenden Strahl bezeichnen, für den reflektierten sei sie M\ für den gebrochenen M₁. Außerdem müssen wir eine bestimmte Richtung der magnetischen Induktion als positiv annehmen. Wir wollen dies im Sinne der in der Fig. 3 eingezeichneten Pfeile tun. Da die magnetische Induktionskonstante [i für Luft und Glas

dieselbe, nämlich gleich Eins ist, so muß die magnetische Induktion an der Trennungsfläche, d. h. in der (ж,я)-Ebene beim Übergang von Luft in Glas sich stetig ändern.

Es hat nun an der Trennungsebene M die Komponente M cos я, If die Komponente — If'cos oc und Mt die Komponente Mt cos/5. Wir haben also in der Luft an der Trennungsebene die Komponente der magnetischen Induktion Mcos ос — M' cosa, im Glas Mt cosß, und es muß wegen der Kontinuität

(22)

If cos & — M' cos oc — Mxcosß

sein. Gleicherweise sind die Komponenten senkrecht zur Trennungsebene Usinée, If'sino;, M₁ sin/?, und es muß die Beziehung bestehen

(23)

M sin oc + M! sin oc = Mi sin/? .

Nennen wir die zu den magnetischen Amplitüden If, M' und Mt gehörigen elektrischen. Æ7, E' und Et, so folgt nach § 11, daß an der Trennungsebene die elektrischen Schwingungen ganz in die (ж, %)-Ebene hineinfallen und senkrecht zur (ж, у)-Ebene stehen. Die zu If, M' und Mt gehörige Richtung der Amplitüde der elektrischen Schwingung geht jedoch bei unserer Figur in die Bildebene hinein und zwar sowohl für E als auch für E' und Ex. In diesem Falle müssen sich beim Übergang von Luft in Glas die elektrischen Kräfte ebenfalls kontinuierlich ändern. Es muß somit

(24)

E+E'=E₁

sein.

In § 13 haben wir nun kennen gelernt, daß, wenn wir eine elektrische Welle /    .

= Я₀СО82я(!--)

haben, die dazu gehörige magnetische Welle durch E^Kl

cos 2 л

(t-t)

Vt

gegeben ist. Es besteht somit zwischen der'magnetischen Amplitude M₀ und der elektrischen E₀ die Beziehung

(25)

M₀ =

E₀Kl Vt '

E₀K а T

Dabei ist 1 die Wellenlänge des Lichtes in dem Medium топ der Dielektrizitätskonstanten К. Ist die Lichtgeschwindigkeit daselbst а, so besteht demnach zwischen der Wellenlänge Я und der Schwingungsdauer r die Beziehung 1 = ат (§ 13). Führen wir dies in die Gleichung (25) ein, so wird

Fr. *

M₀ =

V

Nun ist aber — = n nichts anderes als der Brechungsexponent des Glases und die Dielektrizitätskonstante К = n². Demnach ist

(26)

= nE₀ .

И.-Ш

n

Diese Beziehung besteht nach unserer Ableitung bei elektromagnetischen Wellen, welche sich in einem Medium vom Brechungsexponenten n bewegen. Ist dieses Medium Luft, so haben wir n = 1 zu setzen. Für die Amplitüden Ж, M' und Mx der magnetischen Schwingungen und A7, E\ Ex der elektrischen erhalten wir somit nach Gleichung (26)

Mx = nEx .

M—E, M'=E'

Danach können wir Gleichung (24) auch schreiben

Mx

II

oder, da n =

sin ос

sin/? ’

sin/?

sin л:

oder

Жsina + ATsina = Mi8mß .

Das ist aber die Gleichung (23). Folglich sagen die Gleichungen (23) und (24) ein und dasselbe aus.

Die Gleichung (22) können wir schreiben

sina cos/?

sin/?

Ecosot — E'cosoc = n E₁ cos ß = E₁

oder

(.E — E') cosa sin/? = (2£ + E') sina cos/? . Dies läßt sich weiter umwandeln in

E(cos a sin ß — sin a cos ß) = E sin (/?—a)=E' sin (a+ß)

(27)

E'=-E

sin(a — ß)

sin(a + ß)

„Es kehrt sich also die Amplitude im reflektierten Lichte um.“

Für die Amplitüde im gebrochenen Strahl finden wir auf ähnliche Weise, indem wir in unseren Gleichungen E' = E₁ — E setzen,

(28)

E,=E

2 cos a sin/?

sin (а + ß)

§ 20. Magnetische Schwingungen senkrecht zur Einfall sehene.

Denken wir uns in Fig. 3 die magnetischen Schwingungen senkrecht zur Einfallsebene gegen den Beschauer gerichtet, so nehmen die elektrischen die durch die Pfeile gegebenen Richtungen an. Wenn wir nun die Gleichungen der Kontinuität entwickeln wollen, so ist sie für die magnetischen Kräfte beim Übergang von Luft in Glas wiederum bedingungslos vorhanden, weil die magnetische Induktionskonstante in beiden Mitteln gleich Eins ist. Wir erhalten sonach die Gleichung

(29)

m+m'=mx.

Was jedoch die elektrischen Kräfte anbelangt, so braucht Kontinuität nur für die Komponenten, die in die (ж, z)-Ebene fallen, vorhanden zu sein, indem durch die Komponenten senkrecht zur (x, z)-Ebene in dieser auch freie Elektrizität hervorgerufen wird. Rat dieselbe die Dichte о, so gehen von der Flächeneinheit 4 я о Kraftlinien aus (§ 2). Da nun die Kräfte durch die Dichte der Kraftlinien gemessen werden, so herrscht beim Übergang von Glas in Luft keine Kontinuität zwischen den Komponenten der elektrischen Kräfte parallel zur у -Achse, sondern ihr Unterschied wird immer 4 по betragen. Wir haben also neben der Gleichung (29) für die Kontinuität nur noch die elektrischen Schwingungen zu betrachten, welche in die Trennungsebene fallen. Dieselben sind nach Fig. 3

Ecos(X — E'cosoc — Ex cos/?.

Da wir auch im jetzigen Falle wieder die Beziehungen M' = E',

(BO)

M=E

Mx = n Ex

Jäger, Theoretische Physik IV.

(§ 19) haben, so können wir Gleichung (29) auch E -f- E/ = h Ei

oder wegen n

sina

sin ß

(31)

E sin ß + E/ sin ß = Ex sin a

schreiben.

Aus den Gleichungen (30) und (31) lassen sich nun wieder leicht die Amplituden E' des reflektierten und Ex des gebrochenen Lichtes berechnen. „Wir multiplizieren die Gleichung (31) mit cos/5, hingegen die Gleichung (30) mit sina und subtrahieren beide voneinander. Es bleibt dann

(E + E') sin/5 cosß — (E — E') sina cosa = 0 woraus weiter folgt

sin 2 a — sin 2 ß

sin 2 a + sin 2 ß

cos(a + ß) sin(a — ß) sin(a + ß) cos(a — ß)

Wir erhalten sonach für die Amplitüde“ der reflektierten elektrischen Wellen

(32)

E' = E

tg(q — ß) tg(« + ß) '

„Ferner findet sich für die entsprechende Amplitüde des gebrochenen Strahles aus den Gleichungen (30) und (31) leicht

Ex = E

4 cos (X sin ß

(33)

sin 2 oc + sin 2 ß

2 cos oc sin ß

sin(a + ß) cos(a — ß)

Die Gleichungen (27), (28), (32) und (33) entsprechen nun genau den von Fresnel gefundenen Beziehungen (Bd. II, § 23). Um Übereinstimmung unter den von ihm auf gestellten Gleichungen zu erzielen, sah sich Fresnel genötigt, eine derselben als unrichtig hinzustellen. Es ist nun staunenswert, daß er dafür gerade jene annahm, welche nach der elektromagnetischen Lichttheorie tatsächlich keine Kontinuitätsgleichung ist. Andererseits wird durch die Maxwellsche Theorie Fresnels kühner Griff in wunderbarer Weise gerechtfertigt.

Alle Folgerungen der Fr e sn el sehen Theorie gelten nun ohne weiteres, wenn wir die elektrischen Schwingungen mit den Lichtschwingungen identifizieren. Aber auch die F. Neumannsche Theorie (Bd. II, § 23) umfaßt die elektromagnetische Lichttheorie, da die neben den elektrischen stets vorhandenen magnetischen Schwingungen den Neumann sehen Formeln folgen.

Wir gewinnen nun leicht aus den von uns abgeleiteten Gleichungen alle jene Erscheinungen, welche bereits von Fresnel und anderen für diePolarisation des natürlichen Lichtes bei der Spiegelung und Brechung abgeleitet worden sind. Wir können dies hier übergehen, nachdem wir bereits anderweitig (Bd. II, § 23) uns damit beschäftigt haben.

§ 21. Totale Reflexion —

Elliptische Polarisation durch totale Reflexion.

Die Gleichungen (27), (28), (32) und (33) führen zu interessanten Resultaten, wenn wir den Gang des Lichtstrahles nicht von Luft in Glas, sondern umgekehrt von Glas in Luft verfolgen. Nennen wir die Geschwindigkeit des Lichtes in Luft bzw. Glas a und a\ so folgt

■Ob я

a' ¹

Elektromagnetische Lichttheorie, wenn der Strahl von Luft in Glas geht, hingegen

52

a’

sina

sin/?

beim umgekehrten Weg. Da nun a > a' ist, so können wir für sina auch Werte wählen, nach welchen sin/? > 1 werden müßte. In diesem Fall kann das Brechungsgesetz keinen Sinn mehr haben. In der Tat zeigt die Erfahrung, daß .wir dann Totalreflexion des Lichtes erhalten. Gleichzeitig erleiden die elektrischen Schwingungen senkrecht zur Einfallsebene zu jenen in der Einfallsebene eine Phasen Verschiebung, welche vom Einfallswinkel abhängig ist. Man kann nun letzteren so wählen, daß die Phasenverschiebung der beiden Komponenten x/₄ Schwingungsdauer beträgt, was die Erzeugung elliptisch oder zirkular polarisierten Lichtes zur Folge hat. In welcher Weise die von uns erhaltenen Formeln für die Reflexion und Brechung zu handhaben sind, damit sie auch auf die Totalreflexion Anwendung finden können, hat ebenfalls schon Fresnel gezeigt. Wir wollen diesbezüglich wieder auf Bd. II, § 28 und 29 verweisen.

§ 22. Farben dünner Blättchen.

„Von dem leuchtenden Punkte 8 (Fig. 4) falle ein Strahl 8 A auf die planparallele Platte PP'. Im Punkte A werde er teilweise nach C reflektiert, teilweise nach В gebrochen. Dort findet ebenfalls Reflexion und Brechung statt; ein Teil geht nach 2£, der andere nach A', und das geht so fort, so daß eine Reihe von Strahlen nach oben, eine andere nach unten von der Platte weggeht. Das Auge wird daher sowohl von oben als von unten in der Platte Interferenzerscheinungen der nebeneinander verlaufenden Strahlen sehen können welche man mit dem Namen ,Farben dünner Blättchen belegt.“

Der einfallende Strahl sei natürliches Licht. Wir denken uns die Schwingungen in ihre Komponenten parallel und senkrecht zur Einfallsebene zerlegt und wollen vorerst den Fall untersuchen, daß die elektrischen Schwingungen senkrecht zur Einfallsebene stehen. Der Brechungsexponent zwischen Luft

und Platte sei n, beim Gang von der Platte in die Luft also ~ •

In A sei der Schwingungszustand der einfallenden Welle

.    2 л t

Ji₀ Sin

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit sei außerhalb der Platte a innerhalb a'. Der Schwingungszustand in A wird nach der A G

Zeit —- in G sein, nur mit dem Unterschied, daß er dort

aS

V/

Dy

Id

p'

Fig. 4.

mit geringerer Stärke auftritt, da seine Amplitude daselbst nach Gleichung (27) eine kleinere sein wird. Wir wollen die jeweilige elektromotorische Kraft daselbst mit E₁ bezeichnen, desgleichen in G' mit E₂, in C" mit E₃ nsw. Es ist also

E₀sm—(t    A°

t \ a

sin (a — ß) sin(a + ß)

AC

= —a, En sin - t------

г \ a

Wir haben also

sin(a — ß)

sin(a + ß)

= *1

gesetzt. In ähnlicher Weise können wir nun weiter schließen. Wir werden in C' den Zustand

jE₀ sin    [t

= ßi «i 7i -Ę) sin ~~ (< -

2 cos ß sin a

sin (a + ß)

2 cos a smß sin(a — ß) sin (a + ß) sin (a + ß)

2 AB A'C'\ a I

a'

2 AB A'C'\ a )

haben. Dabei ist zu bemerken, daß

2 cos a sin ß

sin(a + ß)

= ßi

dem Lichtverlust bei der Brechung in A nach Gleichung (28) Rechnung trägt. Dasselbe ist mit oc₁ bei der Reflexion in В und mit

2 cosß sina

sin(a + ß)

bei der Brechung in A' der Fall. Bei den letzteren Formeln ist noch zu erwähnen, daß die Winkel a und ß zu vertauschen sind, da es sich hier ja nicht um den Gang des Lichtes von Luft in die Platte, sondern um den entgegengesetzten Verlauf handelt. Auf ganz dieselbe Weise finden wir nun weiter

445

A"C"

Ег = ßl a® 7j E₀ sin ~ [t —

Wollen wir nun den resultierenden Schwingungszustand kennen lernen, d. h. den Eindruck, den das reflektierte Licht wirklich auf das Auge macht, so haben wir die Summe Ą + JSJ₂ + 2£₃ + ... zu bilden. Wir gelangen hier nun genau zu denselben Rechnungen, wie sie schon bei den älteren Lichttheorien zu finden sind. Auch sind die Resultate ganz dieselben. Man findet dies ausführlich im Bd. II, § 16.

Wie mit den elektrischen Schwingungen senkrecht zur zur Einfallsebene, können wir auch mit jenen in der Einfalls-

a'

ebene vorgeben, nnr haben dann für die Reflexion und Brechung die Formeln (32) und (33) zu gelten.. Das hat zur Folge, daß das Resultat nicht genau dasselbe wird. Wir haben zwar für beide Komponenten der elektromotorischen Kraft unter denselben Bedingungen vollkommenes Verschwinden des Lichtes oder das Maximum der Amplitüde, aber während im einfallenden natürlichen Lichte die Amplitüden beider Komponenten einander gleich sind, ist das beim reflektierten nicht mehr der Fall. Es ist somit das reflektierte Licht mehr oder weniger polarisiert.

Auch für das durchgehende Licht lassen sich nach Analogie des bereits Gesagten leicht die entsprechenden Formeln aufstellen. Wir gelangen wiederum zu ähnlichen Formeln wie die älteren Theorien (Bd. II, § 16). Das durchgehende Licht ist ebenfalls teilweise polarisiert.

§ 23. Stehende Wellen.

Aus der Superposition der Wellen folgt, daß verschiedene Wellenzüge, welche durch einen Punkt hindurchgehen, sich in ihrer Wirkung einfach geometrisch addieren. Wir wollen zwei Wellenzüge voraussetzen. Der eine sei gegeben durch

Y₁ = F₀cos2^(-I -

der andere durch

Y2 ⁼⁼ Pô cos 2 тс ^— -f-    ^ .

Die erste Gleichung entspricht einem Wellenzuge, welcher sich parallel zur x-Achse und zwar nach der positiven Richtung derselben bewegt; die zweite stellt einen Wellenzug dar, der entgegengesetzt wandert (§ 13). Die elektromotorischen Kräfte wirken nur parallel zur y-Achse. Es ist in den Gleichungen (5) und (6)

x =z=o,

<x = ß = 0 .

desgleichen

Für die resultierende elektromotorische Kraft parallel zur «/-Achse erhalten wir

Y= Y₁ + Г₂ = 7₀ cos 2 л (| - jj+cos 2 л (|+

. (34)

_    2 nx 2 nt

= 2 Y₀ cos —-—- cos-

к    X

wenn wir die bekannte Formel

oc + ß OC — ß cos oc + cos ß = 2 cos ——— cos ——— £

benützen.

wird nämlich Y = 0 für

Unsere Glleichung stellt nichts anderes dar als eine sogenannte stehende elektromagnetische Welle. Es ■ 2nx n 3n

~k~ ⁼ J’ ~2~ “ *    2

wobei к eine beliebige ganze Zahl ist. Das heißt, wir haben in diesen Punkten gar keine Elektrizitätsbewegung. Wir nennen sie Knotenpunkte der elektrischen Schwingungen. Für æ = 0, я, 2 n ... kn hingegen haben wir Maxima der elektrischen Schwingungen, sogenannte Schwingungsbäuche.

Aus den Gleichungen (6) und (34) folgt:

2 nx

cos

(i dy 4ti7₀ .

r 17 - ~r “

Wir haben also auch stehende magnetische Wellen, doch sind ihre Knoten und Bäuche gegen jene der elektrischen Wellen verschoben. Dort wo die elektrischen Wellen ihre Knoten haben, haben die magnetischen

ihre Bäuche und vice versa. Es unterscheiden sich also die stehenden elektromagnetischen Wellen wesentlich von den fortschreitenden, indem diese keine Phasenverschiebung der elektrischen und magnetischen Schwingungen aufweisen (§ 13).

Zwei einander entgegenkommende Wellenzüge gleicher Wellenlänge können wir auf die Weise erhalten, daß wir einen Lichtstrahl senkrecht auf eine spiegelnde Fläche fallen lassen. Der reflektierte Strahl ist dann entgegengesetzt gerichtet dem einfallenden, und es muß zu Interferenzerscheinungen von der eben besprochenen Art kommen. Allerdings wissen wir aus den §§ 19 und 20, daß die Amplitüde des reflektierten Lichtes kleiner ist als jene des einfallenden. Nach Gleichung (27) ist die Amplitüde des reflektierten Lichtes, wenn die elektrischen Schwingungen senkrecht zur Einfallsebene erfolgen,

E'=-E

sin(a — ß)

sin(a + ß)

Finden die elektrischen Schwingungen jedoch in der Einfallsebene statt, so ist nach Gleichung (32)

E' = E

tgQ — ß) tg(« + ß) '

Fällt der Lichtstrahl senkrecht ein, so ist die Einfallsebene unbestimmt, da durch das Einfallslot unendlich viel Ebenen senkrecht zur spiegelnden Fläche gelegt werden können. Es müssen dann die Formeln für die Intensität des reflektierten Lichtes einander gleich werden. In der Tat ist bei senkrechter Inzidenz Einfalls- und Brechungswinkel unendlich klein, so daß Sinus, Tangente und Bogen eines Winkels einander gleich werden. Darnach werden unsere Formeln

e' = -e?—Ą

(X + ß

Beide Formeln bedeuten tatsächlich dasselbe, weil nach Fig. 3 gleiche Vorzeichen für E' und E in unserer letzten Gleichung entgegengesetzt gerichtete Amplitüden bezeichnen. Wir können uns also auf die erste Formel beschränken. Da

und

E' =

p « — ß

E«~ Vß ■

sina

Damit ist die Amplitude I?' des reflektierten Lichtes gegeben. Für den Fall, daß n gegen Eins groß wird, können wir

= 1 setzen und es wird E/ = E. Dann haben wir

denselben Fall, welchen wir eingangs gerechnet haben. In vielen Fällen können wir für die Rechnung gute Leiter der Elektrizität, welche von Isolatoren umgeben sind, als Dielektrika von sehr großer Dielektrizitätskonstante, also auch von sehr großem Brechungsexponenten n auffassen. Wenn wir demnach einen Lichtstrahl an einer spiegelnden Metallfläche reflektieren lassen, so wird es zu stehenden Wellen in obigem Sinn kommen, wie es 0. Wiener tatsächlich experimentell nachgewiesen hat.

oder a = n ß, so wird

E' = E

nß — ß

nß + ß

= .E

Da nacli unseren Formeln an der reflektierenden Wand die einfallende und die reflektierte elektrische Welle entgegengesetztes Vorzeichen haben, so muß an der Wand für die elektrischen Wellen ein Knoten, für die magnetischen ein Schwingungsbauch entstehen. Die photographische Aufnahme zeigt an der Wand den Knoten, so daß die photographische Wirkung des Lichtes den elektrischen Wellen zuzuschreiben ist. Da die physiologischen Wirkungen des Lichtes wohl durch chemische Wirkungen entstehen dürften, so können wir auch fürs Auge mit größter Wahrscheinlichkeit die elektrischen Schwingungen als die Erreger der Lichtempfindung ansehen. Es hat demnach in seiner Theorie der Polarisation bereits Fresnel den richtigen Vorgang geahnt.

Auch auf folgende Art können wir leicht zur Erkenntnis kommen, daß bei der senkrechten Reflexion einer elektromagnetischen Welle an einer Metallwand eine Phasenverschiebung zwischen elektrischer und magnetischer stehender Welle vorhanden sein muß. Trifft eine elektromagnetische Welle auf eine

Metallwand auf, so müssen sich dort alle elektrischen Spannungen wegen der guten Leitfähigkeit des Metalls sofort aus-gleichen. Es werden also in der Metallwand elektrische Ströme, nicht aber erhebliche Spannungen auftreten. Die elektromotorischen Kräfte müssen daher daselbst einen Knoten haben. Infolge der elektrischen Ströme werden jedoch magnetische Kräfte, die senkrecht dazu stehen, wachgerufen, welche hier somit einen Schwingungsbauch bilden.

Auch für den Fall der Reflexion des Lichtes an schlechten oder Nichtleitern muß es zu stehenden Wellen kommen. Wir können uns die einfallende Welle von der Amplitüde E bestehend aus zwei Wellen gleicher Phase denken von den

indem ja

E-

+ E^—=E

n + 1

ist. Die reflektierte hat naeh dem Früheren die Amplitüde E —

Sie wird also mit der einen einfallenden Welle

vb + 1

stehende Wellen bilden, während außerdem eine fortschreitende

2

Welle von der Amplitüde —-n+1

E vorhanden ist.

§ 24. Doppelbrechung.

Wir haben bisher den Gang des Lichtes in isotropen Körpern betrachtet. In solchen besitzt die Dielektrizitätskonstante nach allen Richtungen denselben Wert. Anders ist es in Kristallen. Wir wollen uns auf den Fall der sogenannten optisch einachsigen Kristalle beschränken. Dieselben haben die Eigenschaft, daß für eine bestimmte Richtung die Dielektrizitätskonstante einen ganz bestimmten Wert K₀, in allen Richtungen senkrecht dazu jedoch einen andern Wert besitzt. Yon der magnetischen Induktionskonstanten wollen wir wieder, wie es tatsäch-lieh auch bei allen durchsichtigen Kristallen der Fall ist, annehmen, daß sie gleich Eins gesetzt werden kann. In jene Richtung, welche die Dielektrizitätskonstante Ii₀ besitzt, wollen wir die x-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems legen. Wir können dann die allgemeinen Gleichungen (5) und (6) des elektromagnetischen Feldes schreiben

fK₀dX_dy dß T~dt~~dy~ Tz' Kx ÔY    doc    dy

V dt    dz    dx ’

(35)

doc

(36)

dy

Wir denken uns mm eine ebene elektromagnetische Welle, deren Fortpflanzungsrichtung mit den drei Achsen des Koordinatensystems die Winkel Я, fi, v einschließt. Ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit sei a, die jeweilige Entfernung der Wellenflâche vom Ursprung des Koordinatensystems ist somit ж cos Я + ycos/i + zcosr, und wir können die elektromotorische Kraft etwa dar stell en durch

X cos Я + у COS fl + &cosU

E = E₀ cos

= E₀ cos ô

setzen (Bel. I, § 70 und 71). Analogerweise ist die magnetische Induktion durch

M = M₀ cos ô ,

die einzelnen Komponenten der elektrischen und magnetischen Kräfte durch

a = <x₀ cos ô , ß = ß₀ cos ó ,

7 --= /о cos ^

Al” -— Alq ^os (5 ч

Y = Y₀ cosd ,

Z = Z₀ cos ô ,

gegeben.

Es ist ferner

2 л:

wenn wir

<5 =

¥(•

XCOSÄ + y COSJU + zcosr

— X₀ sin ô ,

T

2 Л cos /л

ÔIJ

“Го sind ,

dß

2 71 COS V

— ß₀ sin ô . a

Die erste der Gleichungen (35) wird somit lauten

K₀ 2 Ti

X₀ sin ô =

2 л cos a . _

--— Гл sin 0

а

2 л cosr

— ß₀ sin ó а

oder

а Ko

-y-xo = Po cos^ — 7o cos/* .

In gleicher Weise lassen sich auch die übrigen Gleichungen (35) sowie (36) uniformen, und wir erhalten folgendes System:

x₀ = ß₀ COSr — 7₀ COSJbL ,

a

(37)

(38)

Y₀ = y₀ cosA — oc₀ cosy ,

a К _    _    .

—Y~ Z₀ = oc₀ cos fl — ß₀ cos/ ,

—y¹- = Z₀ cos [л — 7₀ cosr , a ß

~~~ = X₀ cosy — Z₀ cosA ,

«Го

= Г₀ cosA — X₀ cosfi.

Multiplizieren wir die drei Gleichungen (37) mit tx0 bzw. ß₀ und y₀ und addieren sie, so ergibt dies

р!>₀ + ^(г»А + гоЛ) = о

a K₀

oder

Ko Kq oc₀ + Kt (7₀ ß₀ + Z₀ y₀) = 0 .

Da im allgemeinen K₀ und Kx in keiner bestimmten Beziehung zueinander stehen, so ist die letzte Gleichung nur möglich, wenn

und

ist.

X₀ 0Cq — 0

Aus der Gleichung X₀ ot₀ = 0 folgt, daß die Lichtschwingungen so stattfinden müssen, daß entweder X₀ = 0

ist, oder daß oc₀ = 0 ist. Ist X₀ = 0, so heißt das : die elektrischen Schwingungen müssen senkrecht zur ж-Achse erfolgen. Die elektrischen Schwingungen müssen aber auch senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung des Lichtes sein. Sie müssen also senkrecht zu der Ebene erfolgen, welche durch die Fortpflanzungsrichtung und die æ-Achse bestimmt wird. Diese Ebene nennt man den Hauptschnitt. Die magnetischen Schwingungen werden für letzteren Fall also im Hauptschnitt stattfinden. Ist hingegen oc₀ = 0, so werden die magnetischen Schwingungen senkrecht, die elektrischen hingegen parallel zum Hauptschnitt sein. Wir erhalten also das wichtige Resultat, daß in den von uns gekennzeichneten Kristallen die elektrischen sowohl als die magnetischen Schwingungen nur parallel oder senkrecht zum Hauptschnitt stattfinden können.

Multiplizieren wir die Gleichungen (37) der Reihe nach mit cos2, cos/г, cosv und addieren sie, so erhalten wir

(39) K₀X₀ cos! + Kx Y₀ cos [л +    cosv = 0 .

Dieselbe Behandlung ergibt aus den Gleichungen (38)

OC₀ COS Я -f ßQ COS[A + y₀ cosv — 0 .

Wird nun oc₀ = 0, so ist

ß₀ COS[A = — y₀ COSV .

Wie wir von früher her wissen, stehen in diesem Falle die magnetischen Schwingungen senkrecht zum Hauptschnitt. Mit Rücksicht auf die letzte Gleichung können wir die Gleichung (37) jetzt schreiben:

oder

—X₀ = (cos²// + cos²r) Y₀ = — совЯ cosju •

ßo

cosr ’

ßo

cosr ¹

*o =

vßo

(cos²// ~f cos²r) ,

aüf₀cosr

__ZA

aKt cosr

»’Л.

a/fx cosr

Setzen wir diese Werte in die Gleichungen (38) ein, so ist die erste identisch erfüllt. Die beiden anderen ergeben

r„ =

zo = —

a ßo _ Vßo V a K₀

cos Я cos // ,

cos Я cosr .

(cos²// + cos²r) +

Vßo

aKx

cos² Я

Vß₀ COS² Я COS [Л    Vß₀ COS //

a Kx cos V    a K₀ cos v

(cos ²// + cos²r).

Wegen ß₀cos// = —y₀cosv ergeben die beiden letzten Gleichungen dasselbe Resultat, welches wir nach den leicht durchzuführenden Kürzungen schreiben können

cos²// + cos²r

a² = V²

cos² Я

к*

Wegen cos²Я + cos²[i + cos²y = 1 ist cos²/^ + cos²y = 1 — cos² Я = sin²Я, und die letzte Gleichung wird

sin² Я

(40)

а²

= V² (-

cos² Я

Ко

)■

Haben wir demnach in irgend einem Punkte des Kristalles eine elektromagnetische Erregung, so breiten sich die elektrischen Schwingungen, welche parallel zum Hauptschnitte erfolgen, nach den verschiedenen Richtungen mit verschiedener Geschwindigkeit aus. Eine jede Elementarwelle wird eine Rotationsfläche ähnlich einem Rotationsellipsoid sein, deren Rotationsachse parallel zur x- Achse ist.

Sind die elektrischen Schwingungen senkrecht zum Hauptschnitte, so ist X = 0, nach Gleichung (39) also

Y₀ cos ju = — Z₀ cos^ .

Danach ergeben die Gleichungen (38)

KY₀

<*0 =

ßo =

а cos у

VYo

(cos ²Jbi + COS²y) ,

a cosy

COS Я COS fl ,

cos Я cosy .

Го

YY₀

а cos у

Diese Werte in die Gleichungen (37) eingesetzt liefern dann die Beziehung

V²

a2 Ą ■

Das heißt: Licht, dessen elektrische Schwingungen senkrecht zum Hauptschnitte erfolgen,

Jäger, Theoretische Physik IV.

pflanzt sich m unserem Kristalle wie in einem isotropen Körper fort. Die Elementarwellen einer jeden Wellenfläche sind Kugelwellen.

Trifft demnach ein Lichtstrahl auf die Fläche eines optisch einachsigen Kristalles etwa eines Kalkspates, so werden im Kristalle nur Schwingungen senkrecht und parallel zum Hauptschnitte erfolgen können. Wir müssen also die Schwingungen des einfallenden Strahles in zwei dementsprechende Komponenten zerlegen. Diese hahen aber im allgemeinen verschiedene Fortpflanzungsgeschwindigkeit und daher auch verschiedene Brechungsexponenten. Es tritt Doppelbrechung ein. Dabei hat der eine Strahl, dessen Elementarwellen Kugelflächen sind, stets denselben Brechungsexponenten. Wir nennen ihn den ordentlichen Strahl. Seine elektrischen Schwingungen sind senkrecht zum Hauptschnitte. Der Brechungsindex des zweiten Strahles hängt von der Lage des einfallenden Strahles zum Hauptschnitte ab. Wir nennen ihn den außerordentlichen Strahl. Seine elektrischen Schwingungen erfolgen parallel zum Hauptschnitte. Seine Elementarwellen bilden kompliziertere Rotationsflächen mit einer zur X-Achse parallelen Rotationsachse.

In der Regel ist K₀ von wenig verschieden, so daß Kx = K₀( 1 + *)

setzen können, wobei also x gegen Eins klein ist. chung (40) wird sodann, indem wir die Glieder mit höheren Potenzen von x vernachlässigen, sin² Я    cos² Я

K₀    K₀( 1 + x)

wir etwa

Glei-

a²

=Y²[

[sin²Я + cos² Я • .(1 — x)\

(1 — x cos²A) .

Denken wir uns nun eine Elementarwelle, welche vom Ursprünge des Koordinatensystems ausgeht, und suchen wir für eine bestimmte Zeit deren Durchschnittskurve mit der (ж, y)-Ebene, so brauchen wir nur vom Ursprünge aus nach allen Richtungen in der (ж, y)-Ebene Strecken auftragen, welche a proportional sind. Das Quadrat einer solchen Strecke wird dann x² + y² sein, wenn wir mit x und y die Koordinaten ihres Endpunktes bezeichnen. Es ist also

x² y² — c²( 1 — x cos² Я) .

Da aber Я der Winkel ist, den unsere Strecke mit der ж-Achse

ж²

, und die Gleichung un-

einschließt, so ist cos² Я = serer Schnittkurve wird

l    Cß²    \

*■ + *• = c*(i    +    •

In erster Annäherung ist nun x² + y² = c². Wir können daher auch weiter schreiben

X² + y² — c² ^1

X² (1 + x)

oder

c²

t-- ₌

c²“

C² — XX²

Wir erhalten also eine Ellipse mit den Halbachsen

Vl + я

und c. Ist x positiv, so ist die Halbachse parallel zur ж-Achse kleiner als die senkrechte dazu. Dies ist z. B. beim Kalkspat der Fall.

Es hat nun schon Huygens die Erscheinungen der Doppelbrechung des Kalkspates dadurch erklärt, daß er zweierlei Elementarwellen, nämlich Kugeln und Rotationsellipsoide, annahm. Nach der elektromagnetischen Lichttheorie haben wir dasselbe erhalten. Wir können also auch hier alle weiteren Erscheinungen nach dem Vorgänge der älteren Theorie darstellen (Bd. II, §§ 24—27).

§ 25. Der Hertzsche Oszillator.

Es seien zwei gleich große Metallkugeln vom Radius a durch einen geraden Draht, dessen Kapazität wir vernach-

lässigen, miteinander verbunden. Die eine sei mit der Elektrizitätsmenge Qlx die andere mit Q₂ geladen. Die erste befindet sich somit auf dem Potential V-, — —

a

^ (Bd. III, § 9). Infolge der

ungleichen Potentiale wird eine Strömung der Elektrizität durch den Draht von einer Kugel zur anderen eintreten, die wir genau so berechnen können wie die oszillatorische Entladung eines Kondensators (Bd. III, § 58).

Wir können die Abnahme der Elektrizitätsmenge Q₁ in der Zeit dt gleich —i dt setzen, wenn wir unter i die Stromstärke im Drahte verstehen. Es ist also

dQ₁ — —i dt.

Ferner haben wir zwischen Potentialdifferenz, Stromstärke, Widerstand w und Selbstinduktion U des Drahtes die Gleichung

besitzt das Potential V₂

₌ Ош

di

V}-V₂ = wi + U-dl (Bd. III, § 54). Nun ist aber 7,-7,=»

Qi Q2

Qi

die zweite

(Bd. III, §*12). Nennen wir die Gesamtladung der Kugeln

Qi + Q2 — Q i

so ist Q₂ — Q — ft und Vx —V₂ = unsere Gleichung

. Danach wird

îQi-Q ₌

di

oder

und

wi+ UTt

- - al di 2    ⁺ 2 dt ⁺

, „    aw aU i

d Qi = — idt — — di + -j- fh2 dt ,

Qi =

awi

woraus sich ergibt

w di 2i _

⁺ Udt ⁺ aÜ~°-

Das ist aber dieselbe G-leichung, welche wir für die oszillierende Entladung eines Kondensators erhalten haben (Bd. III, § 58).

Üm zwischen den Kugeln eine Potentialdifferenz herzustellen, verfuhr H. Hertz so, daß er den Draht in der Mitte entzweischnitt und die so erhaltenen Enden mit kleinen Kugeln versah, welchen ein derartiger Abstand gegeben war, daß die Funken eines Induktoriums, mit dessen Polen die kleinen Kugeln verbunden waren, überspringen konnten. Zur Erzeugung der Funken müssen die kleinen Kugeln und damit auch die großen aut eine hohe Potentialdifferenz gebracht werden. Der überspringende Funke bildet zwischen den kleinen Kugeln eine leitende Verbindung, und es entsteht die oben berechnete alternierende Strömung im Verbindungsdraht der beiden Kugeln. Diese Ströme erzeugen oszillierende magnetische Felder in der Umgebung, diese wieder elektrische Schwingungen. Kurz, es ist so ein Hertz scher Oszillator nichts anderes als ein Erreger elektromagnetischer Wellen. Entfernen wir uns so weit vom Oszillator, daß seine Dimensionen gegenüber der gewählten Entfernung nicht mehr in Betracht kommen, so haben wir dieselben elektromagnetischen Wellen, welche wir in den §§ 12, 14 und 17 untersucht haben. Es war somit H. Hertz mit Hilfe des von ihm erfundenen Oszillators in der Lage, das gleiche Verhalten elektromagnetischer Wellen und der Lichtwellen nachzuweisen. Da man die Selbstinduktion eines geraden Drahtes mit genügender Genauigkeit berechnen kann, so ist auch die Länge der Wellen, welche der Oszillator aussendet, der Rechnung zugänglich.

Strahlung.

§ 26. Strahlen des Lichtes, der Wärme, der elektrischen Kraft — Prevosts Theorie.

Haben zwei benachbarte Körper verschiedene Temperatur, so geht immer von selbst die Wärme vom Körper höherer zu jenem tieferer Temperatur über, bis beide Körper dieselbe Temperatur besitzen. Dieser Temperaturausgleich wird durch Leitung und Strahlung der Wärme besorgt. In letzterem Falle haben wir anzunehmen, daß der höher temperierte Körper imstande ist, seinen Wärmeinhalt in eine andere Energieform, nämlich strahlende Energie, umzuwandeln und als solche auszusenden. Der Körper niedrigerer Temperatur hat hingegen die Fähigkeit, die Energie der ihn treffenden Strahlung aufzunehmen und dadurch seinen Wärmeinhalt, mithin auch seine Temperatur zu erhöhen.

Haben wir einen dritten Körper, dessen Temperatur noch tiefer ist als jene des kälteren der von uns betrachteten zwei Körper, so wird der kältere Körper gegenüber dem dritten als wärmer erscheinen und ebenfalls strahlende Energie aussenden. Der Körper mittlerer Temperatur nimmt also Strahlen auf und sendet gleichzeitig Strahlen aus. Das führt uns zu der Anschauung, welche zuerst von Prévost geäußert wurde, daß jeder Körper ohne Rücksicht auf die Temperatur seiner Umgebung Wärme ausstrahlt. Die in der Sekunde ausgestrahlte Wärmemenge ist um so größer, je höher die Temperatur des Körpers ist, und von der Art und Temperatur der Umgebung völlig unabhängig. Besitzt ein benachbarter Körper höhere Temperatur, so strahlt er dem ersten mehr Wärme zu, als er von diesem empfängt. Bei gleicher Temperatur strahlen die Körper einander gleichviel Wärme zu, so daß das Temperaturgleichgewicht nicht gestört wird.

Wir fassen die Wärmestrahlen genau so wie die Lichtstrahlen als elektromagnetische Strahlen auf, indem für Licht-, Wärme- und elektromagnetische Strahlen ein und dieselben Gesetze gelten. Im folgenden ist nur von diesen Strahlen die Rede.

§ 27. Absorption — Emission — Hohlraumstralilung.

Fallen auf einen Körper Strahlen auf, so werden sie zum Teil reflektiert, zum Teil hindurchgelassen, zum Teil vom Körper aufgenommen. Die Energie dieses letzten Teils der Strahlung setzt sich im Körper in Wärmeenergie um, vermehrt den Wärmeinhalt des Körpers und erhöht dessen Temperatur. Diese Umwandlung strahlen der Energie in Wärme nennen wir Absorption der Strahlung. Die Absorption und die Emission, die Ausstrahlung der Wärme, ermöglichen überhaupt die Umformung der Wärme in strahlende Energie und umgekehrt.

Befindet sich ein Körper auf der Temperatur seiner Umgebung, so strahlt er nach Prévost in der Sekunde ebensoviel Wärme aus, als ihm zugestrahlt wird. Unter Umgebung des betrachteten Körpers verstehen wir dabei alle Körper, welche von den Strahlen unseres Körpers getroffen werden können. Wir wollen noch voraussetzen, daß tatsächlich jeder ausgesandte Strahl, mag er auch noch so oft von den Körpern der Umgebung reflektiert und durchgelassen werden, schließlich doch von diesen gänzlich absorbiert wird, daß also alle ausgesandten Strahlen bis zu ihrer gänzlichen Umwandlung in Wärmeenergie nur endliche Wege zurücklegen können. Damit ist ein endlicher Baum gekennzeichnet, über welchen die von unserem Körper ausgesandten Strahlen nicht hinausgelangen. Wir wollen einen solchen Raum einen „Hohl-raum“ und die darin stattfindenden Strahlungsvorgänge kurz „Hohlraumstrahlunga nennen. Unser Hohlraum ist also nicht ein allseits geschlossener Raum im gewöhnlichen Sinn.

Auch für den Wärmeaustausch durch Strahlung müssen

die Sätze der mechanischen Wärmetheorie ihre Geltung haben, da die Erfahrung gezeigt hat, daß Körper, die bezüglich der Wärmeleitung im Gleichgewicht, es auch immer in bezug auf die Strahlung sind.

Unseren Körper treffen Strahlen von allen Seiten der Umgebung. Befindet er sich mit der Umgebung im thermischen Gleichgewicht, so muß er nicht nur ebensoviel Energie, als ihn trifft, wieder aussenden, sondern er muß auch nach einer bestimmten Richtung ebensoviel senden, als er aus derselben empfängt. Nach unserer früheren Annahme soll aber die Art der Ausstrahlung' von Energie nur von dem betreffenden Körper selbst abhängig sein und unabhängig von der Umgebung. Das zwingt uns zu dem Schluß, daß, wie immer die Umgebung gestaltet sein mag, die Strahlung im Hohlraum immer dieselbe sein muß, sobald nur alle Körper dieselbe Temperatur besitzen und wenigstens zum Teil fähig sind, alle möglichen Strahlen, d. h. Strahlen aller möglichen Wellenlängen auszusenden. Bei der Hohlraumstrahlung sind die Strahlen nach allen Richtungen des Raumes sowohl ihrer Wellenlänge als ihrer Intensität nach gleichmäßig verteilt.

§ 28. Tollkommen schwarzer Körper — Lamberts Gesetz.

Ein Körper muß alle Strahlen, die ihn treffen, teils reflektieren, teils durchlassen, teils absorbieren. Wir können uns nun einen Körper denken, welcher gar nichts reflektiert und gar nichts durchläßt, sondern sämtliche Strahlen absorbiert. Einen solchen nennen wir einen vollkommen schwarzen Körper. Lampenruß und Platinschwarz zeigen mit großer Annäherung ein derartiges Yerhalten.

Da auch ein vollkommen schwarzer Körper bei vorhandenem Temperaturgleichgewicht nach jeder Richtung ebensoviel Energie aussenden muß, als er empfängt, so läßt sich leicht die Abhängigkeit der Stralüung vom Emissionswinkel feststellen. Unter dem Emissionswinkel wollen wir jenen Winkel verstehen, den der von einem Oberflächenelement des Körpers ausgehende Streb] mit dem Lot zum Flächenelement einschließt.

Da nun die in einer bestimmten Zeit aus einer bestimmten Richtung kommende absorbierte Energie proportional dem Kosinus des Einfallswinkels ist (Bd. II, § 1), so muß auch die ausgestrahlte Energie eines vollkommen schwarzen Körpers proportional dem Kosinus des Emissionswinkels sein. Dieses Gesetz wurde zuerst von Lambert ausgesprochen und durch den Versuch bestätigt. So erscheint uns die Sonne als eine leuchtende Scheibe, die in allen ihren Punkten gleich hell ist, was unmittelbar aus dem Lambertschen Gesetz folgt.

§ 29. Kirchhoffs Strahlungsgesetz.

Die Energie, welche ein vollkommen schwarzer Körper von jedem Quadratzentimeter seiner Oberfläche in der Sekunde bei einer bestimmten Temperatur aussendet, wollen wir mit E bezeichnen. Denken wir uns nun einen Körper von der Oberfläche O im Temperatiirgleichgewicht mit der Umgebung, so wird ihm nach § 27 in der Sekunde die Energie OE zugestrahlt. Von derselben wird er einen Teil reflektieren, einen Teil eventuell durchlassen und einen Teil absorbieren. Letzterer sei a OE a ist also ein echter Bruch, es ist das Absorptionsvermögen des betreffenden Körpers. Während somit der Körper von der Energie OE die Menge OE — a OE reflektiert und durchläßt, muß er die Menge a OE ausstrahlen, da ja sonst das Wärmegleichgewicht gestört würde, was gegen den zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie (Bd. II, § 45) verstoßen würde. Hennen wir die durch die Einheit der Oberfläche ausgestrahlte Wärmemenge e, so ist die Gesamtstrahlung Oe. Dieselbe muß gleich a OE, oder es muß

e = aE

sein. Diese von Kirchhoff gefundene Beziehung sagt aus, daß das Emissionsvermögen eines beliebigen Körpers gleich seinem Absorptionsvermögen multipliziert mit dem Emissionsvermögen eines vollkommenen schwarzen Körpers ist, oder wir können kurz sagen: Das Verhältnis zwischen Emission und. Absorption eines jeden Körpers ist gleich der Emission des vollkommen schwarzen Körpers. Da wir unter dem Emissionsvermögen oder kurz der Emission eines vollkommen schwarzen Körpers die Energie verstehen, welche er per Quadratzentimeter der Oberfläche in der Sekunde ausstrahlt, diese aber gleich der von der gleich temperierten Umgebung unter gleichen Umständen zugestrahlten Energiemenge E ist, so ist das Emissionsvermögen eines beliebigen Körpers demnach nichts anderes als die Energiemenge, welche er in der Sekunde durch die Oberflächeneinheit ausstrahlt.

Das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz gilt nun nicht allein für die Gesamtmenge der Energie, welche ein Körper emittiert, sondern für jede Strahlengattung, ja für jeden Polarisationszustand derselben für sich. Das ist ohne weiteres klar, wenn wir uns die Hohlraumstrahlung, wie es wohl bei der vollkommenen Willkür der Umgebung kaum anders denkbar ist, so vorstellen, daß für eine bestimmte Temperatur nicht nur die ausgestrahlte Energiemenge, sondern auch die Energieverteilung über die Strahlen verschiedener Wellenlänge eine ganz bestimmte sein muß. Hätten wir nämlich einen Körper, der nur Strahlen von ganz bestimmter Wellenlänge absorbiert, ja wäre diese Absorption wie beim Turmalin vielleicht gar von der Schwingungsrichtung abhängig, so würde das Wärmegleichgewicht ebenfalls sofort gestört, wenn nicht Strahlen genau derselben Art in gleicher Menge ausgesandt würden, als absorbiert wurden, was wiederum gegen den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verstoßen würde.

Sehen wir jedoch von der Voraussetzung einer bestimmten Verteilung der Energie im Emissionsspektrum eines vollkommen schwarzen Körpers ab, so lassen sich leicht Körperkombinationen finden, welche Kirchholfs Gesetz für jede Strahlengattung als gültig erweisen. Denken wir uns etwa einen sehr kleinen Körper A (Fig. 5). Derselbe befinde sich

■S

B,

4-

Fig. 5.

im Mittelpunkt einer Hohlkugel, deren Innenwand aus einem vollkommenen Spiegel besteht, und die nur bei В eine sehr kleine Öffnung besitzt. Alles, was der Körper ausstrahlt, gelangt auf ihn durch Reflexion wieder zurück mit Ausnahme jener Strahlen, welche die Öffnung В passieren. A sei mit der Umgebung im Wärmegleichgewicht. Es soll jetzt vor В ein kleines Prisma P angebracht werden, welches ebenfalls mit der Umgebung im Wärmegleichgewicht ist. Dasselbe wird die von A kommenden Strahlen in ein Spektrum S zerlegen.

Gesetzt nun den Fall, der Körper A könnte nur rotes Licht aussenden, hingegen würde er nur blaues absorbieren, so braucht dadurch seine Temperatur nicht geändert zu werden, sobald nur wiederum absorbierte und emittierte Energie einander gleich sind. Man erkennt aber sofort, daß jetzt in der Umgebung das Temperaturgleichgewicht gestört wird, da ja in der Richtung der blauen Strahlen jetzt mehr gegen den Körper A herein, als von ihm hinausgeht, während das Umgekehrte in der Richtung der roten Strahlen stattfindet. Wo daher die austretenden roten Strahlen auf einen Körper stoßen, müssen sie eine Temperaturerhöhung erzeugen, in der Richtung der blauen Strahlen muß eine Temperaturerniedrigung ein-treten, was nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik wiederum ausgeschlossen ist.

Würden wir speziell noch einen Teil der aus dem Prisma austretenden Strahlen durch ein Nicolsches Prisma gehen lassen, so erkennen wir nach derselben Schlußweise leicht, daß das Kirchhoffsche Gesetz auch für jede beliebige Polarisationsrichtung gültig ist.

§ 30. Folgerungen aus demKirchlioffschen Gesetz.

Nach Draper beginnen alle Körper mit wachsender Temperatursteigerung bei etwa 525° C rot zu glühen. Da die meisten Körper fast alle sie treffenden Strahlen teilweise absorbieren, so müssen sie auch dieselben Strahlen aussenden, sobald es der vollkommen schwarze Körper tut. Da letzterer nun bei 525° Rotglut, bei 1000° Gelbglut, bei 1200° Weißglut zeigt, so tun dies auch die anderen Körper nur natürlich in verschiedener Intensität. Glas, welches wenig Licht absorbiert, sendet auch wenig aus; ebenso blanke Metallflächen, wie man leicht bei einem Platinblech sieht, auf das man einen Tintenfleck macht. Bringt man dieses in den Bunsenbrenner, so leuchtet bei der Glut der Tintenfleck heller als das blanke Platin.

Die wichtigste Folgerung hat Kirchhoff jedoch für die Spektralanalyse gemacht, indem aus seinem Gesetz sofort folgt, daß die hellen Linien des Emissionsspektrums mit den dunkeln des Absorptionsspektrums einer Flamme identisch sein müssen.

Es hat Kirchhoff auch gezeigt, daß glühender Turmalin, welcher linear polarisiertes Licht in verschiedenen Schwingungsrichtungen verschieden stark absorbiert, tatsächlich teilweise polarisiertes Licht aussendet.

§ 31. Energie der dielektrischen Polarisation.

Für die G-esamtenergie oder den Arbeitswert eines elektrisch geladenen Leiters fanden wir (Bd. III,

§17)

MV ~2~J

F=-zr

wenn M die vorhandene Menge der Elektrizität, V das Potential bedeutet, auf welchem sie sich befindet. Nach der Beziehung

GV²

wobei wir unter G die Kapazität des Leiters verstehen, können wir anstatt M auch VG setzen und finden somit für die Energie

Für die Kapazität eines Plattenkondensators der Elektrizität, dessen eine Platte zur Erde abgeleitet ist, ergab sich (Bd. III, § 15 u. 22)

KF

wenn F die Fläche einer Kondensatorplatte, ô der Abstand beider Platten und К die Dielektrizitätskonstante des Zwischenmittels ist. Zwischen den beiden Platten haben wir ein Potentialgefälle

Wir können demnach auch schreiben V = (ï ô und erhalten so für den Arbeitswert eines geladenen Kondensators GV² KF&Ô² KFÔ

^ = -2

(£2 ₌

Kv

— (S² ,

wenn wir unter Fö = v das Yolumen zwischen den Kondensatorplatten verstehen.

Nach Maxwell (§ 4) verlegen wir nun den Sitz der Energie gänzlich in das Dielektrikum. Soweit wir das elektrische Feld zwischen den Kondensatorplatten als homogen annehmen können, werden wir auch die Energie über das Yolumen zwischen den Kondensatorplatten gleichmäßig verteilt finden. Es ist somit die Energie der Yolumseinheit oder die Energiedichte. Genau dieselbe Formel erhalten wir für die Energie bzw. Energiedichte eines magnetischen Feldes, wenn wir (§ 3) anstatt К die magnetische Induktionskonstante [i, anstatt der elektrischen Kraft © die magnetische Q einführen.

§ 32. Energie elektromagnetischer Strahlen — Energiedichte der Strahlung.

Wir denken uns einen elektromagnetischen Wellenzug (§ 13) oder, wie wir auch sagen können, einen elektromagnetischen Strahl vom Querschnitte Eins. Die elektromotorische Kraft ist dann gegeben durch

©o cos 2 л I—

Zu einem gegebenen Zeitpunkte wird die gesamte elektrische Energie auf der unendlich kleinen Strecke dx

nach dem vorhergehenden Paragraphen -Ę— ©² dx sein.

8 л

Die gesamte Energie einer Welle ist somit indem der Sinus im Klammerausdruck für x = 0 und X = Я denselben Wert annimmt. Die Energie der Längeneinheit des Wellenzuges zu einem bestimmten Zeitpunkte

______ ___________ sein, da auf die Längeneinheit ja

^    16 л:

— Wellen gehen. Genau dieselbe Formel erhalten wir

wird demnach

auch für die Energie in der Yolumseinheit für die magnetische Welle, wenn wir wiederum die Dielektrizitätskonstante К durch die magnetische Induktionskonstante die elektrische Kraft (£₀ durch die magnetische £>₀ ersetzen. Für die Energie der Yolumseinheit oder, wie man kürzer sagt: für die Energiedichte eines elektromagnetischen Strahles ergibt sich somit

Befinden wir uns im reinen Äther, so wird K = ju = l

oder

mi

со !

OtO о

я

о Г    (t А

-Jcoe‘a*(₇-j)

О

dx

©'к W) ^

00 kj oo

t

\ + icos4 л I-

dx

CO &

00

'w

¹ mu

о 16 л ⁵

oder da für diesen Fall

8 я

Dies können wir direkt auf die Energiedichte in irgend einem Punkte eines durchstrahlten Raumes übertragen. Wir brauchen nur die Werte des E für sämtliche Wellen addieren, welche zu einer gegebenen Zeit einen bestimmten Punkt passieren. Daraus folgt, daß die Energiedichte der Hohlraumstrahlung (§ 27) lediglich eine Funktion der Temperatur ist.

§ 33. Energie der Wellenbewegung ponderabler Körper.

(i-)-

E₀KX

ist — im § 13 fanden wir

К = 1, X = Fr wird, so ist E₀ = M₀, was in unserem Falle durch ©₀ =    wiedergegeben wird —, so er

halten wir

Fr

da aber

Haben wir es mit der Wellenbewegung in einem ponderablen Medium, etwa mit Schallwellen in einem festen, flüssigen oder gasförmigen Körper zu tun, welche nach einer periodischen Funktion der Zeit yor sich gehen, so können wir den Weg, den ein Teilchen des Körpers macht, darstellen durch

s = A cos 2 я

Die Geschwindigkeit dieses Teilchens ist somit gegeben durch

ds

2 яА

dt

sin 2 я

(7- )■

Die kinetische Energie eines Teilchens, welche gleich dem Produkt aus der halben Masse und dem Quadrat der

Geschwindigkeit des Teilchens ist, ist also proportional der Größe

ds\²    4я²А²

dt

T²

sin² 2 я--

>4 H

td

Suchen wir nun die kinetische Energie einer Welle vom Querschnitte Eins, so haben wir genau so wie im vorhergehenden Paragraphen vorzugehen. Dieselbe wird also proportional dem folgenden Ausdruck:

4 л² А²

г²

р"3я(НгЬ

4 л² А²

т²

j 2 ~ ł C0S^ ⁷¹ (т “ )

dx

4 я²А²

т²

+ —— sin 4 я--

2 л²А² Я

т²

Da auf die Längeneinheit des Wellenzuges wieder

~ Wellen gehen, so wird die Energie der Yolumseinheit

¹    2 л²А²

proportional dem Ausdruck -—— sein. Ist die Fort

pflanzungsgeschwindigkeit der Wellen F, т die Schwin-

Я²

gungsdauer, so ist Я = Vz oder r² = —- . Folglich ist

у i

die Energiedichte E proportional

Я²

„ к

E~i?'

oder

2 л²А² V²

Jäger, Theoretische Physik IV.

wenn wir alles Konstante in dem Buchstaben к zusammenfassen. Es ist also unter sonst gleichen Verhältnissen die Energiedichte dem Quadrat der Wellenlänge verkehrt proportional.

§ 34. Strahlungsdruck.

Maxwell folgerte aus seiner Elektrizitätstheorie, daß elektromagnetische Wellen, welche auf einen Körper auffallen, auf diesen einen Druck ausüben, dessen Größe sich genau berechnen läßt. Wir wollen den Versuch machen, den Druck des Lichtes zu berechnen, den es

auf einen Spiegel ausübt, von dem es vollkommen reflektiert wird.

A-

Wir

Fig. 6.

Denken wir uns vorerst einen Wellenzug, der einen Spiegel S (Fig. 6) senkrecht trifft, wissen, daß am Spiegel bei der vollkommenen Reflexion ein Schwingungsknoten sein muß (§ 23). Die Elongationen der daselbst auftreff enden und ausgehenden Wellen müssen also zusammen immer gleich Null sein. Dies wird erfüllt, wenn wir uns zum einfallenden Wellenzug

î4 «

A COS 2 71 -

der also entgegengesetzt der Richtung der ж-Achse (Fig. 6) geht, einen zweiten

>4 «

-— A cos 2 л--

Strahkmgsdruck.

83

der in der Eichtling der ж-Achse geht, hinzufügen. Der zweite ist sodann der reflektierte Wellenzug. Die Summe beider ist für x = 0 tatsächlich immer gleich Null.

Nehmen wir nun an, der Spiegel S bewege sich in der Dichtung der ж-Achse mit der Geschwindigkeit v, und halten wir die Bedingung fest, daß am Spiegel immer ein Schwingungsknoten des lichtes sein muß, so werden wir dieser Bedingung durch zwei Wellenzüge genügen, deren einer fürs einfallende Licht durch

A cos 2 л: —|-

jener fürs reflektierte durch

( t

—A cos 2 л\ —г —

dargestellt werden kann. Die Lage des Spiegels ist nach unserer Annahme durch

x = v t

gegeben. Für dieses x muß aber die Summe beider Wellen immer gleich Null sein. Wir erhalten also

A cos 2 л

— M'cos2 л —г —

Я'

= 0.

- Diese Möglichkeit ist aber wiederum nur denkbar, wenn А = A'

ist. Das heißt, die Amplitude der reflektierten muß gleich der Amplitüde der einfallenden Welle sein.

Übt das auffallende Licht auf den Spiegel von der Größe f einen Druck p aus, so müssen wir bei der Bewegung des Spiegels eine Arbeit leisten, welche in der

Zeiteinheit fpv beträgt. Diese Arbeit wird sich in^der Vermehrung der Energie äußern, welche wir dem reflektierten Wellenzuge in der Zeiteinheit übermitteln.

Nennen wir die Lichtgeschwindigkeit F, so trifft unseren Spiegel, falls er ruht, in der Sekunde sämtliche Energie, welche in dem Raum fV enthalten ist. Bewegt sich aber der Spiegel dem Lichtstrahl mit der Geschwindigkeit v entgegen, so kommt zu dem Raum f V noch der Raum fv, welcher in der Zeiteinheit vom Spiegel bestrichen wird. Ist demnach die Dichte der Energie des auffallenden Lichtes E ₎ so empfängt unser Spiegel in der Zeiteinheit die Energie fE(V + v). Das reflektierte Licht wird sich vom bewegten Spiegel um die Geschwindigkeit v langsamer entfernen als vom ruhenden, da sich der Spiegel und das reflektierte Licht in derselben Richtung bewegen. Das in der Sekunde reflektierte Licht befindet sich daher in einem Raume von der Größe f(V— v), und die gesamte Energie in diesem Raume, soweit sie dem reflektierten Lichte zukommt, wird sein fE\V—v). Die Energieerhöhung, welche gleich der aufgewendeten Arbeit fpv für die Bewegung des Spiegels sein muß, ist somit

fpv = fE\V — v) — fE(V + v), was die Beziehung ergibt

(41)

pv = E\V — v) - E(V+ v) .

Ebenso wie das in der Sekunde einfallende Licht aus einem Raum f(V-\-v) kommt und in einen Raum f(V—v) übergeht, muß auch eine bestimmte Zahl ein fallender Wellen, welche der Länge F + v entsprechen, nach der Reflexion auf die Strecke V — v sich zusammenschieben.

85

Strahhmgsdruck.

Es ist demnach, das Verhältnis der Wellenlänge vor der Reflexion zur Wellenlänge nachher

_ V+v ~ V—v #

Nun wissen wir aber aus dem vorhergehenden Paragraphen, daß die Energiedichte

к

E = —

l²

ist, falls die Amplitüde und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle als konstant angesehen werden kann. Wir haben ferner bereits gesehen, daß die Amplitüde der reflektierten Welle gleich jener der einfallenden sein muß. Dies gilt natürlich auch für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit, da ja die einfallende und reflektierte Welle sich im selben Medium befinden. Es ist somit die Energiedichte des reflektierten Lichtes

к

E'=

l'²

oder es wird

Л²

V+v — J⁷^ ~ [V^v

Demnach können wir die Gleichung (41) folgendermaßen umwandeln. Es ist

pv = E'(V-v)- E(V+v) = E

(V—v)—(V+v)

V+vV

y—^\ {r-v)-(V+v)

V+v

V—v

. 2r .

Oder es ist

p = 2E

V+v V-V

Damit ist die Größe des Druckes gegeben, welchen senkrecht einfallendes Licht von der Energiedichte E auf die Flächeneinheit eines vollkommenen Spiegels ausübt, der sich mit der Geschwindigkeit v bewegt.

Da über die Größe der Geschwindigkeit v keine besondere Annahme gemacht wurde, so können wir sie auch verschwindend klein wählen. Dann erhalten wir den Druck auf einen ruhenden Spiegel. Derselbe wird also sein

p = 2 E .

Es ergibt sich somit die überaus einfache Beziehung, daß der Druck des Lichtes, welches senkrecht auf eine vollkommen spiegelnde Fläche auffällt, gleich der doppelten Energiedichte der einfallenden Strahlen ist.

§ 35. Der Druck schief auffallender Strahlen.

Der Spiegel S (Fig. 7) bewege sich in der Richtung A X mit der Geschwindigkeit v. Im Punkt A falle ein Lichtstrahl unter dem Winkel oc auf den Spiegel. Wir denken uns in A eine sehr kleine Fläche dS des Spiegels, so befindet sich das Licht, welches in der Sekunde d S trifft, falls der Spiegel ruht, in dem Raum VdS cos oc, unter V wieder die Lichtgeschwindigkeit verstanden. Bewegt sich jedoch der Spiegel mit der Geschwindigkeit V in der genannten Weise, so kommt er in einer Sekunde von A nach A'. Das Licht, welches ihn in A' trifft, war also vor einer Sekunde um V von A' entfernt. Das gesamte auf den Spiegel auftreffende Licht befand sich daher auf einer Strecke, welche gleich ist V vermehrt um die Strecke

AB = r cos oc .

Dieser Eaum ist somit

( V + V cos oc) d S cos oc .

Analog erhalten wir nach dem Vorgänge des vorhergehenden Paragraphen für den Raum, in welchem sich das in der Sekunde reflektierte Licht befindet,

( V — V cos oc) d S cos oc .

/?

-V-

Fig. 7.

Ferner muß die Wellenlänge des einfallenden und reflektierten Strahles in dem Verhältnis stehen

Я V + vcosoc

TT ⁼ '

V — vcos&

Das Verhältnis der Energiedichten wird schließlich sein

F+ v cos a \2 V — v cos oc )

Übt das einfallende Licht auf die Fläche dS den Druck p aus, so muß bei der Bewegung des Spiegels

E' Я²

Я'²

wieder in der Sekunde die Arbeit pvdS geleistet werden, die gleich der Energieerhöhung des Lichtes ist. Diese ist nach dem Obigen

E\V — V cos oc) d S cos oc — E(V + wcosoc) dScosoc , wonach wir die Gleichung erhalten

p V = [E'(V — V cos oc) — E ( V -f V cos &)] cos oc

= JB7

( V — V cos oc) — ( V + V cos oc) cos oc

V+ V cos oc

F— V cos oc

(F-—flcosa) —- (F+pcosä) cos&.

Daraus findet man nach leichter Reduktion

cos² oc

F -f- £>cos&

V — V cos oc

oder wenn wir v unendlich klein werden lassen, d. h. für den ruhenden Spiegel

(42)

p = 2Ecos²oc .

§ 36. Der Druck der Hohlraumstrahiuug.

Rach § 27 haben wir uns bei vorhandenem Temperaturgleichgewicht vorzustellen, daß in einem Hohlraum die Strahlung nach allen Richtungen des Raumes gleichmäßig erfolgt. Haben wir eine vollkommen spiegelnde Fläche in unserem Hohlraum, so wird sie einen bestimmten Druck erfahren, den wir folgendermaßen berechnen wollen.

Die Dichte der Strahlungsenergie sei wieder E. Yon dieser Energiemenge wird ein gewisser Teil dE jenen

Strahlen angehören, die mit dem Einfallslot OE (Fig. 8) unseres vollkommenen Spiegels einen Winkel zwischen tX und a + da einschließen.

((к

CC

US

Fig. 8.

Denken wir uns nun sämtliche Richtungen vom Mittelpunkt einer Kugel vom Radius Eins ausgehend, so treffen jene von uns ins Auge gefaßten Strahlen die Oberfläche der Kugel innerhalb der Zone ZZ\ und es verhält sich ihre Zahl zur Gesamtzahl der Richtungen wie die Fläche der Zone zur Gesamtfläche der Kugel, also wie 2 jrsina da zu 4я. (Vgl. Bd. II, § 57.) Die Energiemenge dE übt aber nach Gleichung (42) den Druck

dp = 2discos²a == Ecos²a sina da

aus. Den gesamten Druck, den somit die Flächeneinheit eines vollkommenen Spiegels durch die Hohlraumstrahlung erfährt, erhalten wir, indem wir die letzte Gleichung

7t

zwischen den Grenzen 0 und — integrieren, da ja sämtliche auftreffende Strahlen mit dem Einfallslot Winkel

7t

bilden, die zwischen 0 und — liegen. Es ist daher

и

J*

COS³ (X

гг

= Е J cos²a sin<x da = E о

Es resultiert der wichtige Satz: Der Druck derHohl-rauinstraJilung auf einen vollkommenen Spiegel ist gleich dem dritten Teil der Energiedichte.

§ 37. Das Stefansche Strahlungsgesetz.

Von J. Stefan wurde auf empirischem Wege das Gesetz gefunden, daß die Wärmemenge, welche von einem Körper in der Sekunde ausgestrahlt wird, proportional der vierten Potenz seiner absoluten Temperatur ist, oder es ist die Wärmezufuhr W, welche ein Körper von der Temperatur T' durch einen Körper von der höheren Temperatur T in der Sekunde erfährt, W=a(n-T'±) ,

wobei a eine Konstante ist, deren Größe durch die Lage Gestalt, Oberflächenbeschaffenheit der Körper usw. bestimmt wird. Es ist Boltzmann gelungen, durch Anwendung der Sätze der mechanischen Wärmetheorie auf die Strahlung das Stefansche Gesetz für vollkommen schwarze Körper zu beweisen, wobei er ungefähr folgendermaßen vorging.

Wir denken uns einen Zylinder (Fig. 9) vom Querschnitt Eins mit einem verschiebbaren Stempel SS\ der

''S'

'эе,

Fig. 9.

innen vollkommen spiegelt. Das abgeschlossene Volumen ist somit x, und wenn E die Energiedichte der Hohlraum-Strahlung, so ist x E die gesamte im Hohlraume vorhandene Energie. Auf ц den Stempel SS' wirkt der Strahlungsdruck p = — . Aus § 27 wissen wir,

daß die Energiedichte lediglich eine Funktion der Temperatur ist. Wir setzen deshalb E = <p(T),

wobei T die absolute Temperatur bedeutet.

Dadurch, daß wir die Temperatur um dT erhöhen, können wir dem Hohlraume eine Wärmemenge dQ zuführen. Dieselbe wird verwendet zur Erhöhung der Energie der Hohlraumstrahlung und zur Arbeitsleistung, falls der Stempel etwa um dx verschoben wird. Wir haben somit

E

dQ = d(xE) + p dx — Edx -f xdE + -5- dx ,

О

E

da ja p = — , oder

dQ = xdE + %Edx = xcp'(T)dT-J- |-(p(T)dx .

Bilden wir das Differential der Entropie (Bd. il, § 44), so erhalten wir

T    ' 3 T

dQ

Da ein vollständiges Differential, so hat es die Eigenschaft (Bd. II, § 46), daß

д Г4 (p(T)

Jt [3" ~T~~

d \x<p'(T)

Jx L T

sein muß. Dies ergibt

<p'(T)    4 <p'(T)    4 <p(T)

3 T²

3 T

oder nach leichter Reduktion

<p'(T)    4

cp(T)    T ■

Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit d T und integrieren wir, so erhalten wir l<p(T) = 4:lT + IA,

wobei IA eine willkürliche Konstante ist. Die letzte Gleichung läßt sich nun noch verwandeln in <p (T) = A .

Unter çp (T) verstanden wir aber die Energiedichte der Hohlraumstrahlung. Da die in der Zeiteinheit auf die Flächeneinheit auffallende Energiemenge bei der Hohlraumstrahlung aber gleich ist der von der Flächeneinheit eines vollkommen schwarzen Körpers ausgestrahlten Menge und proportional der Energiedichte ist, so muß auch die in der Zeiteinheit ausgestrahlte Wärmemenge proportional der vierten Potenz der absoluten Temperatur sein, was nichts anderes als der Inhalt des Stefanschen Strahlungsgesetzes ist.

§ 38. Verschiebung der Spektrallinien nach Dopplers Prinzip.

Hach dem Do pp 1er sehen Prinzip (Bd. I, § 72) sendet ein Körper, von dem eine Wellenbewegung mit der Schwingungszahl n ausgeht, auf einen zweiten, gegen welchen er sich mit

der Geschwindigkeit v bewegt, in der Sekunde ^ a.....- n Wellen,

wenn a die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen ist. Ist die Quelle der Wellenbewegung in Ruhe, und es nähert sich ihr ein Körper mit der Geschwindigkeit v, so

empfängt er in der Sekunde ~~~~n Wellen. Wenden wir

dies auf die Lichtwellen an, so empfangen wir von einer Lichtquelle, die sich uns mit der Geschwindigkeit v nähert, Licht von der Schwingungszahl

»' = F

F _ у- у n'    n

wenn F die Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Die Wellenlänge des Lichtes ist

Die Wellenlänge ist also kleiner geworden, wir haben Licht stärkerer Brechbarkeit im Vergleich zu jenem des ruhenden Körpers. Entwerfen wir daher ein Spektrum, so werden die Spektrallinien gegen das violette Ende verschoben erscheinen. Aus _der Größe der Verschiebung sind wir aber in der Lage die Änderung der Wellenlänge und daraus die Geschwindigkeit v zu berechnen, mit welcher sich uns die Lichtquelle nähert. Bei entgegengesetzter Verschiebung der Spektrallinien schließen wir natürlich analog auf eine sich entfernende Lichtquelle.

Ist die Lichtquelle in Buhe, und wir nähern uns ihr mit der Geschwindigkeit v, so ist die scheinbare Schwingungszahl des Lichtes, welches wir empfangen,

n'

oder

F²

n' (F + v)w

=î(>-f)=

F²

F'

wobei wir voraussetzen, daß unsere Geschwindigkeit gegenüber der Lichtgeschwindigkeit eine kleine Größe ist. Bei deu unserer Beobachtung zugänglichen Geschwindigkeiten ist tatsächlich V gegenüber F immer als sehr klein anzunehmen, so

V

daß höhere Potenzen von y vernachlässigt werden können.

Es handelt sich also bei der Verschiebung der Spektrallinien immer nur um die relative Geschwindigkeit des Beobachters zur Lichtquelle. Derartige Verschiebungen zeigen z. B. die Spektrallinien der Fixsterne, und man kann daraus die Geschwindigkeit finden, mit welcher sie sich uns nähern oder von uns entfernen.

§ 39. Breite der Spektrallinien.

Stellen wir uns ein Gras nach der kinetischen G-astheorie vor (Bd. II, § 50 — 52), so gehen die Lichtwellen eines leuchtenden Gases von den Molekeln aus, die mit großer Geschwindigkeit umherfliegen, sich bei Wasserstoff etwa mit 2 km Geschwindigkeit uns nähern oder von uns entfernen können. Dazwischen liegen natürlich noch alle möglichen anderen Geschwindigkeiten relativ zu einem ruhenden Körper. Wir werden somit nach dem vorigen Paragraphen in einem Spektroskop Licht von allen möglichen Wellenlängen zwischen

V— V

und Я₂ =

¹ n

beobachten können. Man pflegt den Unterschied dl = Я^ — Я₂

die Breite der Spektrallinien zu nennen, welche somit gegeben ist durch

V + V    V — V    27

dl =

Besitzt ein leuchtender Körper mehrere Spektrallinien, so müssen jene mit kleinerer Schwingungszahl breiter als jene mit größerer sein, also die roten Linien breiter als die blauen, was tatsächlich beobachtet werden kann.

§ 40. Interferenzfähigkeit des Lichtes.

Lassen wir homogenes Licht von einem Newtonschen Farbenglas (Bd. II, § 17) reflektieren, so sehen wir in der Mitte einen dunklen Fleck, der von einer großen Anzahl dunkler Kreise umgeben ist. Heben wir mit Hilfe einer Schraube die Linse langsam von dem planparallelen Glas ab, so werden der dunkle Fleck sowie sämtliche Kreise kleiner. Schließlich verschwindet der dunkle Fleck, es tritt an seine Stelle ein heller. Die Kreise ziehen sich aber im.mer mehr zusammen, der innerste wird zum dunklen Fleck Es ist

Я

dann der Mittelpunkt der Linse von der Planplatte um — entfernt. Dieselbe Erscheinung zeigt sich bei der Entfernung 2A ЗЯ

. . Je weiter wir die Linse von der Platte ent-

T" ’ 2 *

fernen, desto mehr Kreise werden gegen die Mitte wandern und dort verschwinden.

Hätten wir vollkommen homogenes Licht, also Licht von einer ganz bestimmten Wellenlänge, so müßte der geschilderte Versuch bei jedem beliebigen Abstand der Linse von der Platte gelingen. In Wirklichkeit zeigt sich jedoch, daß die dunklen Kreise des Newtonschen Farbenglases mit wachsender Dicke der Luftschicht immer blasser werden und schließlich verschwinden. Es zeigt sich ferner, daß für verschiedene Lichtquellen dieses Verschwinden bei verschiedener Schichtdicke eintritt. Je größer die Schichtdicke werden kann, bis die Interferenzkreise verschwinden, desto größer, sagen wir, ist die Interferenzfähigkeit des Lichtes.

Die Interferenzfähigkeit steht in innigem Zusammenhänge mit der von uns im vorigen Paragraphen definierten Breite der Spektrallinien. Hätten wir z. B. Licht, welches aus zwei Sorten von nahezu gleicher Wellenlänge Я₁ und Я₂ besteht, so werden anfänglich deutliche Interferenzringe auf dem Farbenglas auftreten. Es sei nun

h Я₁ _ (к + 1) Я₂

wobei к eine größere gerade Zahl sein soll. ’ In diesem Falle к Я

wird für die Schichtdicke —- des Farbenglases das Licht von

der Wellenlänge Я₁ ausgelöscht, jenes von der Wellenlänge Я2 besitzt ein Helligkeitsmaximum. Wir werden daher keine Interferenzringe mehr wahrnehmen. Bei größerer Schichtdicke können jedoch wieder sichtbare Interferenzringe auftreten. Diese Beobachtung wurde tatsächlich von Fizeau bei Natriumlicht gemacht, und er zog daraus bereits den Schluß, daß das Natriumlicht aus zwei Lichtsorten bestehen muß, was vom Spektroskop ja tatsächlich bestätigt wird.

Haben wir nun Licht von einer bestimmten spektroskopischen Breite, so muß aus demselben Grunde von einer gewissen Schichtdicke des Farbenglases die Interferenzmöglichkeit aufhören und zwar um so früher, je breiter die Spektrallinien sind. Nach unserer Betrachtung im vorigen Paragraphen

werden wir um so breitere Spektrallinien erhalten, je kleiner das Molekulargewicht des glühenden Dampfes ist. In der Tat hat sich bestätigt, daß das Quecksilberlicht weitaus interferenzfähiger ist als das Licht des in einer Geißlerröhre glühenden Wasserstoffes.

Elektronik.

§ 41. Theorieu der Elektrizität — Elektronen-theorie.

Man hat ursprünglich, ähnlich wie die Wärme, so auch die Elektrizität als einen Stoff behandelt, der wie eine Art Fluidum die Körper erfüllt. Die uni tari sehe Theorie nahm nur ein Fluidum an und nannte einen Körper negativ elektrisch, wenn sein elektrostatisches Potential niedriger als jenes der Umgebung, positiv, wenn es höher war. Die dualistische Theorie nahm zwei Fluida entgegengesetzter Eigenschaft, die positive und die negative Elektrizität an (Bd. III,

§ i).

Durch J. CI. Maxwell wurde eine neue Theorie der elektrischen und magnetischen Erscheinungen gegeben, die gleichzeitig die Erscheinungen der Optik mit umfaßt. Diese Theorie versetzt die Elektrizität nicht als Fluidum in einen Leiter, sondern sucht die wesentlichen Ursachen der elektromagnetischen Erscheinungen in einem bestimmten veränderlichen Spannungszustand in den Nichtleitern, zu denen in erster Linie der Äther gehört. Die Maxw eil sehe Theorie wurde besonders durch die Hertz sehen Experimente (§ 25) gestützt.

Trotzdem gab es noch verschiedene Erscheinungen, welche mit Hilfe der Max well sehen Anschauungen zu erklären man nicht in der Lage war. Es stellte deshalb H. A. Lorentz eine Art Vereinigung zwischen der Fluidums- und der Maxwellschen Theorie her, indem er der Elektrizität wiederum eine bestimmte Substanz zugrunde legte, welche wir als eine Art Fluidum betrachten können, das, ähnlich den Anschauungen, die wir über die Materie haben, nicht bis ins Unendliche teilbar ist, sondern bei welchem wir nach fortgesetzter Teilung schließlich zu konstanten, nicht mehr teilbaren Elektrizitätsmengen gelangen, die untereinander der Größe nach gleich sind. Ein solches kleinstes Teilchen — wir nehmen deren sowohl positive als negative an — führt den Namen „Elektron“.

Jene Theorie, welche den elektrischen Erscheinungen die Elektronen zugrunde legt, nennen wir die Elektronentheorie oder Elektronik.

Ein Elektron ist nicht gleichzusetzen einem sehr kleinen Elektrizitätstei] chen der alten Fluidumtheorie, sondern man legt jedem Elektron ein elektromagnetisches Feld im Maxwellschen Sinne bei.

§ 42. Gesetz топ der Erhaltung der Elektrizität — Elektrostatik.

Nach der Elektronentheorie muß ein Gesetz der Erhaltung der Elektrizität existieren, gerade so wie wir ein Gesetz von der Erhaltung der Materie oder der Energie haben. Es kann Elektrizität weder willkürlich vernichtet, noch aus nichts erzeugt werden; denn die Zahl der positiven sowohl als der negativen Elektronen ist eine fix gegebene.

Jäger, Theoretische Physik IV.

Die Lehre von der ruhenden Elektrizität, die Elektrostatik, kann vom Standpunkte der Elektronik in genau derselben Weise entwickelt werden, wie nach der Fluidumstheorie. Wir haben hier ein vollkommenes Analogon in der Theorie der wägbaren Materie. Es kommt bei der Hydrostatik auf ein und dasselbe hinaus, ob wir uns eine Flüssigkeit als Kontinuum vorstellen oder aus Molekeln bestehend, deren Zahl auch in den kleinsten von uns herstellbaren Räumen eine derartig große ist, daß die Erscheinungen nicht als Erscheinungen der einzelnen Molekeln, sondern als Durchschnittsresultat einer sehr großen Zahl derselben anzusehen sind.

§ 43. Konstitution der Lösungen — Ionen — Element arquantum.

Nach Clausius nimmt man an, daß sich im allgemeinen ein Elektrolyt, d. i. ein Salz, eine Säure oder eine Basis, welche wir in Wasser lösen, in zwei Teile spaltet, die sogenannten Ionen, deren einer positiv, deren anderer-negativ elektrisch geladen ist. Es ist nicht nötig, daß sich die gesamte gelöste Substanz zerlegt, es ist sogar die Regel, daß nur ein Teil der Molekeln in Ionen zerfällt, welche wir in der Lösung als selbständig vorhanden annehmen müssen. So spaltet sich die Salzsäuremolekel HCl in einfache Wasserstoff- und Chlormolekeln, H und CI, deren letztere negativ, erstere positiv geladen sind. Ebenso spaltet sich die Kochsalzmolekel NaCl in das positive Na-Ion und das negative Cl-Ion. ln den genannten Fällen und ähnlichen, bei welchen die Ionen, wie man zu sagen pflegt, chemisch einwertig sind, nimmt man an, daß jedes Ion eine ganz bestimmte elektrische Ladung besitzt,

die für alle Ionen denselben Wert hat, nur mit dem Unterschied, daß sie für das eine Ion, das Anion, negativ, für das Kation positiv ist.

Diese Ladung -\-e oder — e, welche auf einem einwertigen Ion einer Molekel sitzt, stellen wir uns als die kleinstmögliche Elektrizitätsmenge vor. Wir haben hier also Elektronen (§41) vor uns. Speziell die Menge +e oder — e der Elektrizität, welche ein Elektron besitzt, nennen wir das „Elementarquantum“ der Elektrizität.

§ 44. Elektrische Leitfähigkeit verdünnter Lösungen — Abhängigkeit von der Konzentration und der Temperatur.

In einem würfelförmigen Gefäß von der Kantenlänge 1 cm befinde sich eine verdünnte Lösung; das ist eine Lösung, die nur eine sehr geringe Menge des Elektrolyten in der Volumseinheit enthält. In solchen Lösungen denken wir uns alle gelösten Molekeln in ihre Ionen zerlegt. Wir sagen: das Salz ist vollständig dissoziiert.

Zwei gegenüberliegende Seiten unseres Würfels seien die Elektroden eines elektrischen Stromes. Zwischen denselben wird daher eine bestimmte elektromotorische Kraft (£ vorhanden sein, welche jedes Kation mit der Kraft © e zur Kathode, jedes Anion mit derselben Kraft zur Anode treibt. Infolge der Zähigkeit der Lösung finden die wandernden Ionen einen Widerstand, der proportional ihrer Geschwindigkeit ist (Bd. I, § 64). Letztere wird konstant, sobald der Widerstand, den die Ionen erfahren, gleich der Kraft ist, welche sie bewegt. Es wird somit die Maximalgeschwindigkeit, die übrigens praktisch in

einer Zeit erreicht wird, welche wir vernachlässigen können, immer proportional .(£ e sein und wird außerdem von der Natur, und zwar wesentlich von der Größe des Ions abhängen.

Die Geschwindigkeit, mit welcher die positiven Teilchen, die Kationen, wandern, sei ux, die der Anionen v±. Sind N Molekeln in der Yolumseinheit gelöst, so gelangen in dem von uns betrachteten Falle infolge der Wanderung der Kationen allein Nu₁ Kationen in der Sekunde an die Kathode. Gleichzeitig entfernen sich die Anionen mit der Geschwindigkeit v₁ von der Kathode. Dadurch entsteht in der Sekunde an der Kathode ein von Anionen freier Kaum von der Größe v₁, der also Nv₁ freie Kationen und damit ebenfalls freie Elektrizität enthalten muß, weiche an der Kathode neutralisiert wird. Es wird also in der Sekunde an die Kathode die Elektrizitätsmenge

(Nut -f NV)) e = N(u± v±)e

abgegeben. Dieselbe Menge geht durch die Anode scheinbar in die Lösung über, indem dort aus der Lösung die Menge — N(u±-{- v^e frei wird und eine gleichgroße Menge positive Elektrizität, die der Anode von außen zugeführt werden muß, neutralisiert. Das Ganze gestaltet sich also so, als würde die Lösung einfach von einem Strom von der Intensität N(ut Ą- v^e durchflossen.

Nach dem Ohmschen Gesetz (Bd. III, § 48) ist die Stromstärke wenn wir unter E die elektromotorische Kraft, unter w den Widerstand des Leiters verstehen. Für unseren Fall ist

E= ©

i = N(ut + vx) e ,

und w ist der Widerstand des Würfels von 1 cm Seitenlange. Setzen wir so verstehen wir unter L das spezifische Leitvermögen der Lösung. Wir können also auch die Gleichung bilden

(43)

N(u± + v±) e = LÉ .

Nennen wir die Geschwindigkeit der Ionen beim Potentialgefälle Eins u bzw. V, so ist

ui + vi = iu + v) ® »

und es folgt aus Gleichung (43)

N(u + v) e = L .

Die Zähigkeit verdünnter Lösungen ist von jener des Lösungsmittels wenig verschieden. Wir können daher für verdünnte Lösungen die Geschwindigkeiten и und v als unabhängig von der Konzentration N der Lösung annehmen. Setzen wir ferner voraus, daß alle gelösten Molekeln vollkommen dissoziiert sind, so ist die Leitfähigkeit L einer verdünnten Lösung einfach proportional der Konzentration.

Die Zähigkeit der Flüssigkeiten nimmt mit der Temperatur ab. Die Leitfähigkeit muß daher zunehmen, und zwar für verdünnte Lösungen desselben Lösungsmittels unabhängig von der Natur der gelösten Substanz. In der Tat zeigen alle verdünnten wässerigen Lösungen, für welche unsere Voraussetzungen zutreffen, eine Abhängigkeit der Leitfähigkeit von der Temperatur, die für alle Lösungen dieselbe ist.

§ 45. Die Loschmidtsehe Zahl — Masse einer Molekel — Größe des Elementarquantums.

Die kinetische Gastheorie liefert für die mittlere Weg-länge einer Molekel die Formel

4 Nno²

(Bd. II, § 57), wobei N die Zahl der Molekeln in der Volumseinheit, о den Durchmesser einer Molekel bedeutet. Da wir nun in der Lage sind, sowohl Я als die Größe о zu berechnen (Bd. II, § 58 u. 60), so ist damit auch die Zahl der Molekeln in der Volumseinheit gegeben. Dieselbe beträgt für einen Kubikzentimeter eines Gases unter dem Drucke einer Atmosphäre bei 0 ⁰ C etwa 21 Trillionen. Ein Gramm Wasserstoff nimmt unter den genannten Bedingungen etwa 11 Liter ein. Eine Grammolekol Wasserstoff, das sind 2 Gramm, da ja die chemische Formel des Wasserstoffes H₂ lautet, ist also ungefähr 22 000 cm³, was mit 21 Trillionen multipliziert die Zahl der Molekeln einer Grammolekel ergibt. Dieselbe ist ungefähr 5 • 10²³, die wir, da LoSchmidt zuerst den Weg dazu gezeigt hat, die Loschmidtsehe Zahl nennen.

Dividieren wir nun 2, das ist das Molekulargewicht des Wasserstoffes, durch 5 * 10²³, so erhalten wir das Gewicht bzw. die Masse einer Wasserstoffmolekel. Die Hälfte davon ist dann die Masse eines Wasserstoffatoms, wofür wir die Zahl erhalten. Es kann sich dabei natürlich nur um die Größenordnung handeln.

Wir sind jetzt auch in der Lage, die Größe des Elementar quantu ms der Elektrizität zu berechnen. Man kann ja die Elektrizitätsmenge bestimmen, welche eine Grammolekel eines Ions bei der Elektrolyse an die Elektrode abgibt. Man fand dafür 96 540 Coulomb (Bd. III, §53) oder 9654 absolute elektromagnetische Einheiten. Rechnen wir diese Elektrizitätsmenge in elektrostatisches Maß um, so haben wir die genannte Zahl mit 3 • 1010 zu multiplizieren (Bd. III, § 52). Dividieren wir die abgegebene Elektrizitätsmenge durch die Loschmidtsche Zahl, so erhalten wir die Größe der Ladung einer Molekel oder das Elementarquantum e der Elektrizität. Dafür ergibt sich also

= 5*8.10-¹⁰

9654-3.10¹⁰

5 - 10²³

elektrostatische Einheiten. Auch die Genauigkeit dieser Zahl ist natürlich so aufzufassen, daß sie lediglich die Größenordnung des Elementarquantums angibt.

§ 46. Die Hittorfschen tiberfülirungszahlen — Geschwindigkeit der Ionen.

Wir denken uns einen prismatischen Trog (Fig. 10) von 2 cm Länge und 1 cm² Querschnitt. Die beiden Endflächen AA' und BB' seien die Elektroden eines Stromes. Das Potential ge fälle von A gegen В bezogen auf die Längeneinheit sei Eins. Es bewegen sich dann die Anionen mit der Geschwindigkeit v gegen Б, die Kationen mit der Geschwindigkeit и gegen А. Die Zeit, während welcher der Strom die Lösung durchfließt, sei t. Es verschieben sich dabei sämtliche Kationen um die Strecke ut, sie befinden sich danach in dem Raume aa' bb'.

Sämtliche Anionen wandern in der Richtung BA und legen in der Zeit t den Weg v t zurück. Sie befinden sich nachher in dem Raume at a[ \ h[. Sind ursprünglich in der Volumseinheit N Molekeln der gelösten Substanz, so hätten wir, vollkommene Dissoziation vorausgesetzt, nach der Zeit t unzerlegte Substanz nur innerhalb des Raumes а а'Ъ₁Ъ[, wenn sich die gelöste Substanz nicht durch Diffusion weiter verbreiten würde.

7,_B J

UĆ

/07

7' /У 7/

C'

Fi g. 10.

Ca : C= N(1 - ut):N,

0,= C(i-ut).

In derselben Weise finden wir

Trennen wir nun den Trog durch eine Wand CG' in zwei Hälften, so enthält die eine Hälfte AA'CC' N( 1 — и t) Molekeln gelöste Substanz, die andere Hälfte N(1 — vt) Molekeln. Nennen wir die ursprüngliche Konzentration der Lösung (7, Ca die mittlere Konzentration im Raume AA'CC' und Cjc die mittlere Konzentration in der Hälfte CC'BB\ so haben wir die Beziehung

oder es ist

Ck= C{ 1 -vt) .

Wir sind also in der Lage, die absolute Geschwindigkeit der Ionen zu bestimmen.

Hittorf, der sich hauptsächlich um die Klarlegung der Vorgänge bei der Elektrolyse verdient gemacht hat, bestimmte aus seinen Versuchen die Größe

и + V

und nannte n die Überführungszahl. Dieselbe wird nach den Gleichungen (44)

G — Ck

2(7- G a — Ck •

Da es sich bei der Überführungszahl nur um das Verhältnis der Geschwindigkeiten der Ionen handelt, so ist es gleichgültig, bei welcher elektromotorischen Kraft, Stromstärke und über welche Zeit die Versuche gemacht werden. Es handelt sich, wie aus der rechten Seite unserer Gleichung hervorgeht, nur um die Bestimmung der Konzentrationen (7, Ga und (7fc.

Im § 44 fanden wir für die Leitfähigkeit einer verdünnten Lösung

L = Ne(u -f v) .

Oder es ist

(44)

C-Ca

G- Cjc

Ct

Gt

Daraus folgt

“+'⁼Ж-

Die Leitfähigkeit ist leicht zu messen, desgleichen ist die Größe Ne bestimmbar. Sie ist ja nichts anderes als die gesamte Elektrizität, welche das Kation in einem Kubik-

Zentimeter der Lösung trägt. Diese Größe ist aber nach den Angaben des vorhergehenden Paragraphen aus der Konzentration der Lösung ohne weiteres zu bestimmen. Wir erhalten somit für die Überführungszahl

vNe

и + V

oder für die Geschwindigkeit

nL

V==~Ne ’

wobei alle Größen auf der rechten Seite der Gleichung der Messung zugänglich sind. Kennen wir v, so ist natürlich auch и durch den bekannten Wert von и + v gegeben. Nach dieser Methode bestimmte F. Kohlrausch die Geschwindigkeit der Ionen. Für ein Potentialgefälle von einem "Volt liegen sie etwa zwischen 0,003 und 0,0001 cm.

§ 47. Konzentrationsketten.

Lassen wir zwei Zinksulfatlösungen verschiedener Konzentration einander berühren, in welchen Zinkstäbe als Elektroden stecken, so erhalten wir ein galvanisches Element, dessen elektromotorische Kraft durch die verschiedene Konzentration der Lösungen verursacht wird. Man nennt daher solche Ketten Konzentrationsketten. Wir betrachten als Ursache des elektrischen Stromes das verschieden schnelle Diffundieren der Ionen nach den Stellen geringerer Konzentration. Legen wir senkrecht zum Konzentrationsgefälle eine Fläche, so wird durch dieselbe mehr Elektrizität von der einen Art hindurchgetrieben als von der entgegengesetzten, was direkt einer elektrischen Strömung entspricht.

Um die Größe der elektromotorischen Kraft einer Konzentrationskette zu finden, wollen wir folgendermaßen verfahren. Wir denken uns einen vertikalen Zylinder (Fig. 11), welcher eine Lösung mit nach oben abnehmender Konzentration enthält. Die Diffusion wird daher nach oben in der Richtung der ж-Achse stattfinden. Wir wollen ein Element des Zylinders von der Länge dx betrachten. An seiner unteren Fläche sei der osmotische Druck der Lösung^, an der oberen pr. Da sich die Konzentration stetig ändern muß, so können wir p' darstellen durch

oder

p' =P +

dp

dx

dx ,

V-p' = -

dp

ß'

dx

dx .

Das ist die Kraft, welche auf die gelöste Substanz in dem Zylinderelement vom Volumen dx ausgeübt wird.

Fig. 11.

Haben wir im Zylinderelement eine Lösung von einer Konzentration, welche N Molekeln der gelösten Substanz im Kubikzentimeter enthält, so befinden sich Ndx Anionen und ebensoviel Kationen in dem Element dx, vorausgesetzt natürlich, daß wir wieder vollständige Dissoziation haben und sich jede Molekel des Elektrolyten in zwei einwertige Ionen zerlegt. Wir haben also im ganzen 2 Ndx⁷ireie Molekeln im Volumen dx. Auf sämtliche

dx

wirkt die Kraft —^-dx, auf eine also

2 N dx dx

Ai* =

1 dp 2~N'dx *

Die Geschwindigkeit, welche ein Kation bei dem Potentialgefälle Eins erlangt, nannten wir и, jene des Anions V. Die Kraft, welche dabei auf die Ionen wirkt, ist e bzw. — e, da ja e die Ladung eines Ions ist. Erreicht also bei der Kraft e ein Kation die Geschwindigkeit и, so erlangt es bei der Kraft Eins die Geschwindig-

die Geschwindigkeit

keit —, bei der Kraft

dp

2 N dx

1 dp 2N dx

. Gleichzeitig besitzt das Anion die Ge-

—Î— • ~ • —. Beide Geschwindigkeiten 2N dx e

sind gleich gerichtet, da sie ja beide nur durch den osmotischen Druck erzeugt werden. Da in der Volumseinheit iV Kationen und ebensoviel Anionen vorhanden sind, so erhalten wir die Zahl der Kationen, welche in der Sekunde den Querschnitt unseres Zylinders von unten nach oben passieren, wenn wir N mit der Geschwindigkeit multiplizieren. Diese Zahl ist somit

schwindigkeit

te;

CO

i—I CM

Die Zahl der passierenden Anionen ist analog —

1    dp v

2    dx e '

Die Kationen tragen somit in der Sekunde die Elektrizitätsmenge

1 dp и

2 dx e

1    dp

---и ,

2    dx

die Anionen

1    dp

2    dx

1    dp

. —e = — —— V

2    dx

durch den Querschnitt des Zylinders. Die Stromstärke in der Richtung der x-Achse ist daher

‘-■ïi¹-’¹'

Nach dem Ohmschen Gesetz haben wir

a-

■>

wenn wir mit dE die elektromotorische Kraft auf der Strecke dx und mit dw den Widerstand des Zylinders von der Länge dx bezeichnen. Für unseren Fall ist somit

dE — i dw= —

DO| t—

dp

(u-v)dw.

Nennen wir den Widerstand der Längeneinheit w, so ist dw = w dx .

Nach § 44 ist aber

folglich

L Ne(u + v) ’

dE = —

2 dx v

1 dp и + v 2 Ne dx

Ne {u + v)

dx

dx .

Die Größe des osmotischen Druckes, welche ganz analog dem Gasdruck gefunden wird, ist nach der kinetischen Theorie (Bd. II, § 51)

nmc²

wenn n die Zahl der in der Lösung vorhandenen Molekeln der gelösten Substanz, m die Masse-einer solchen Molekel, c deren thermische Geschwindigkeit und v das Volumen der Lösung bedeutet. In unserem Falle ist

n

— = 2 N

das ist die Zahl der Molekeln in der Volumseinheit, daher 2 Nmc²

und

dp

2 m c² dN

dx

3 dx

Danach wird

1 dN 3 e N dx

dx .

и — v m c2 и + v

Integrieren wir jetzt über die ganze Länge des Zylinders, so erhalten wir für die gesamte elektromotorische Kraft

и — v m c²

1 dN 7 -j— dx N dx

(45)

U — V ШС²

и + v 3 e и — v mc² Nt и + v Зе

Wir können nämlich das Verhältnis der Konzentrationen

«>

N₀

m с² и — v p0 3 e и v pi

am Anfang und am Ende der Lösung

Nx

durch das Ver-

hältriis der dort herrschenden osmotischen Drucke — ersetzen.

Pi

mc²

_ läßt sich experimentell bestimmen. 3 e

Die Größe

Denken wir uns z. B. eine bestimmte Menge Wasserstoff elektrolytisch gewonnen, so wissen wir genau, welche Elektrizitätsmenge wir dazu brauchen. Haben wir n Atome abgeschieden, so benötigte dies eine Elektrizitätsmenge

M = ne .

Denken wir uns nun diesen abgeschiedenen Wasserstoff, der, wenn er die Elektrizität abgegeben hat, aus zweiatomigen Molekeln besteht, auf einen Kubikzentimeter zu-

n

sammengepreßt, so haben wir in diesem Volumen — Molekeln, welche einen Gasdruck

erzeugen. Nun ist

p    nmc²    1 mc²

M 6 ne 2 3 c ’

oder es ist mc²

2p _ 2p₀(l + oct)

2p₀oc (1

(X

aT

wobei also a ein experimentell bestimmbarer Faktor und T die absolute Temperatur ist. Die elektromotorische

•я*.

Kraft einer Konzentrationskette ist nach Gleichung (45) somit

U + V p₁

Messen wir die elekromotorische Kraft durch Yolt und führen wir den Briggschen Logarithmus von — ein, so wird а = 0*0002 .

§ 48. Der elektrische Strom — Rowlandeffekt — Elementarstrom.

Kommen Elektronen nach irgend einer Richtung in Bewegung, so entsteht ein elektrischer Strom. Dieser ist im wesentlichen also ein sogenannter Konvektionsstrom. Es war daher für die Elektronentheorie sehr wichtig, daß Rowland den Nachweis geliefert hat, daß mechanisch bewegte Elektrizität sich gerade so verhält wie ein gewöhnlicher galvanischer Strom, indem eine rotierende elektrisch geladene Scheibe die Magnetnadel ebenso ablenkt wie ein Kreisstrom.

Unter der Stromstärke verstehen wir natürlich wie immer die Elektrizitätsmenge, welche in der Zeiteinheit den Querschnitt eines Leiters passiert. Nehmen wir an, wir hätten in der Yolumseinheit des Leiters N Elektronen, v sei ihre Geschwindigkeit bei der Bewegung durch den Leiter, q der Querschnitt des Leiters, so ist qNv die Zahl der Elektronen, die in der Sekunde den Querschnitt passieren, und Nqv e — i die Stromstärke, da ja Nq v e die in der Zeiteinheit passierende Elektrizitätsmenge darstellt. Für ein lineares Stromelement ids erhalten wir die Gleichung

ids = Nqveds .

Nqds ist nun nichts anderes als die Zahl der Elektronen, deren Wirkungen nach außen, d. h. ihre elektromagnetischen Felder sich einfach addieren, ev können wir daher füglich einen Elementarstrom nennen. Seine Stärke ist also proportional dem Elementarquantum e und der Geschwindigkeit v des Elektrons.

§ 49. Energie des Elementar Stromes.

Ist die Intensität eines magnetischen Feldes in irgend einem Punkte $, so folgt für die Energie in der Yolums-einheit des Feldes an diesem Punkte die Größe

(§31 und 32).

Die Wirkung eines elektrischen Stromes können wir uns immer zusammengesetzt denken aus der Wirkung' der einzelnen Stromelemente. Ein Stromelement ids, welches von einem bestimmten Punkte M um die Strecke r entfernt ist und mit r den Winkel # ein schließt, erzeugt

in M (Bd. III, § 39) eine magnetische Kraft

ids sin#

Г²

In dem Volumelement di im Punkte M wird daher die magnetische Energie

i²(ds)² sin²#

dr

8 nrL

vorhanden sein, falls im Punkte M sich eine Substanz von der magnetischen Induktionskonstante Eins befindet. Ist dieselbe ja, so ist die? Energie

dE =

dr .

jai²{ds)² sin²#

8 7ГГ⁴

Jäger, Theoretische Physik IV.

Denken wir uns anstatt ids einen Elementarstrom ev (§ 48), so wird

(46)

dE

jue²v² sin²#

dz .

Wollen wir die gesamte Energie eines solchen Elementarstromes kennen leinen, so müssen wir bestimmte Annahmen machen, über welchen Raum dE zu integrieren ist. Wir wollen daher voraussetzen, wir hätten es mit einer kleinen Kugel vom Radius a mit der Gesch windig

st!

Fig. 12.

keit V zu tun, deren Ladung e gleichförmig über die Oberfläche der Kugel verteilt ist. Die Kugel bewege sich in der Richtung Ov (Fig. 12). Die Ladung der Kugel wirkt nach außen so, als wäre ihre Elektrizität im Mittelpunkte vereinigt. Nach innen ist die Wirkung gleich Null (Bd. III, § 3). Wir werden daher auch annehmen können, daß die magnetische Wirkung sich nur auf den Raum außerhalb der Kugel bezieht. Im Punkte M in der Entfernung r von О werden wir in dem Yolumelement dx daher jene magnetische Energie haben, welche durch die Gleichung (46) gegeben ist.

Denken wir uns nun r um dr, ft um dft vergrößert, so beschreibt der Punkt M die Seiten dr und r dft eines unendlich kleinen Rechteckes, dessen Fläche sonach rdrdft ist. Nun soll die ganze Fig. 12 um Ov als Achse rotieren, so wird M einen Kreis beschreiben vom Halbmesser rsin#, also vom Umfang 2jrrsin#, und das Flächenelement r dr dft hinterläßt als Spur ein Volumelement von der Größe 2 л r² sin ft dft dr. In diesem

. Die darin enthaltene Energie ist daher

Volumelement haben wir die konstante Energiedichte jae²v² sin²#

8 яг⁴

dE =

ja e² V² sin²#

• 2 л r² sin# dftdr

fi e²v² sin³# dft dr

4 r2

Wollen wir nun die gesamte Energie wissen, welche die bewegte Kugel im Raume besitzt, so haben wir einfach dE über den unendlichen Raum, das ist nach r von a bis oo, nach # von 0 bis л zu integrieren. Die Integration nach r ergibt

oo

n°°

Г Ja

jue² V² sins ft dft / dr    jue² v² sin³# dft

r2

fji e² v² sin³# dft

Integrieren wir diesen Ausdruck noch nach #, so erhalten wir die gesamte Energie

jue²v² f "

4a

cos²# sin# g£#

jue² V²

sin³# d& =

jue² V²

1^(1 — cos²#) sin# dft о

Jsin# g?# —Je

-о    0

jue²v²

/cos³#W] ^e²?;²/    2\

2 + l 3 J„i 1, l²~3.)

jue²v2 3 а

Wir wollen nun annehmen, unsere Kugel habe die

ш V²

Masse m, ihre kinetische Energie ist sonach------------. Gleich-

jue² V²

и

zeitig besitzt sie infolge ihrer Ladung die Energie Die Gesamtenergie ist somit

V²

гг+

2 jue²

Die Kugel wird sich also unter dem Einfluß äußerer Kräfte

so bewegen, als hätte sie die Gesamtmasse m +

2 jue²

3 а

Denken wir uns die gravitierende Masse unendlich klein, so wird sich die Kugel trotzdem nach den Regeln der

2 jue²

Mechanik bewegen, als hätte sie die Masse

ö CL

. Diese

Anschauungsweise können wir auch auf die Elektronen übertragen. Ob sie nun mit Massenatomen fix verbunden auf treten oder vollkommen frei, immer werden sie sich so bewegen, als hätten sie eine bestimmte Masse.

§ 50. Elektronen im elektrostatischen Felde.

Es sei ein elektrisches Feld gegeben durch die drei Komponenten X. Y, Z der elektromotorischen Kräfte parallel zu den drei Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems. Die Ladung eines Elektrons sei e, seine Masse ш, wobei sich nach dem vorigen Paragraphen m zusammensetzen kann aus „mechanischer“ und „elektromagnetischer“ Masse. Als Bewegungsgleichung des Elektrons erhalten wir somit nach den gewöhnlichen Regeln der Mechanik (Bd. I, § 6)

d²x

dt²

= ßZ,

d²y __ mTp=°Y-

dx eX ⁴

Unter der Voraussetzung eines homogenen elektrostatischen Feldes lassen sich die Gleichungen leicht integrieren. Wir erhalten

dt

=-1 -j- b

dy eY

dt dz e Z dt

Es sind dies die Geschwindigkeitskomponenten des Elektrons zur Zeit t, wenn zu Beginn die Komponenten a, b und c vorhanden waren. Eine nochmalige Integration dieser Gleichungen ergibt dann

t² + cl t +    ,

el

eY

t²+bt+bl

eZ

X=2^t2+Ct + C'-

Damit ist die Lage zur Zeit t gegeben, während zur Zeit Null das Elektron die Koordinaten at, b{, hat. Es bewegt sich somit ein Elektron im homogenen elektrostatischen Felde genau so wie ein geworfener Körper unter dem Einfluß der Schwerkraft (Bd. I, § 7). Die Bahn ist eine Parabel.

§ 51. Elektrostatische Ablenkung der Kathoden-strahlen in der Braunschen Röhre.

Wir gehen von der Voraussetzung aus, die Kathodenstrahlen seien nichts anderes als von der Kathode ausgeschleuderte negative Elektronen. Ein solches Elektron wird sich demnach mit einer gewissen Geschwindigkeit V im Raume vorwärts bewegen. In der Braunschen Röhre ist nun eine derartige Anordnung getroffen, daß ein dünnes Bündel Kathodenstrahlen KK' (Fig. 13) zwischen zwei elektrisch geladenen Metallplatten PP hindurchgeht und so eine Ablenkung von seinem ursprünglich geradlinigen Wege erfährt. Diese Ablenkung h kann auf einem Fluorés'enzschirme S gemessen werden. Zwischen den Kondensatorplatten P sei die elektromagnetische Kraft vorhanden. Das heißt, die Kraft © ist von oben nach unten gerichtet. Die negativen Eiektronen erfahren daher

Elektrostatische Ablenkung der Kathodenstrahlen. 119

eine Ablenkung h nach oben. Die Elektronen sollen mit der Geschwindigkeit v parallel zur æ-Achse in das elektrische Feld eintreten. Für die Gleichungen des vorigen Paragraphen ist daher zu jeder Zeit

d‘ly

d²x

dt    dt²    dt²

y-d4

K-

p_

jâr'-Л

cc

>fl

Fi g. 18.

dz

Wir rechnen die Bahu der Elektronen von dem Zeitpunkte an, wo sie in das elektrische Feld eintreten. Es ist also für t = 0 auch

dt

daher

ax = Ъ = b± = c = cx = 0 und es bleiben nur folgende Gleichungen:

d²z

m-w

— —e Z = g (5

— wir müssen — e schreiben, weil wir negative Elektronen haben —, ferner

dx

dz    e ©

dt

dt

e©

z = —-t².

2 m

Die Länge unserer Platten P sei À, d. h. für x = l sollen die Elektronen in ein kraftlinienfreies Feld übertreten. Sie müssen sich dann geradlinig weiterbewegen. Für x = X sei ж = % . Es ist somit

«i =

e©

ti,

2 m

wenn tt die Zeit ist, welche die Elektronen zum Durcheilen des Kondensators brauchen. Es ist also auch Я = v tt

oder U = — , mithin v

е©Я²

2 mv² '

In der Entfernung l von den Kondensatorplatten befinde sich der Schirm S. Schließt der geradlinige Teil des Kathodenstrahles mit der OX den Winkel <x ein, so ist die Ablenkung

Es ist aber tg& =

dz

was wir erhalten, wenn wir für

dx ’

ć = ćx 4“ durch 4~~ dividieren. Dies ergibt

r/ć

c/ć

tg a =

e©

ći ~

е©Я

e&U [ e (S Я2 mv²    2 mv²    m v²

oder

К)

Wir sind also durch einen elektrostatischen Ablenkungsversuch der Kathcdenstrahlen imstande, die Größe

tOi

zu bestimmen. Das heißt, wir können das Yerhältnis der elektrischen Ladung zum Produkt aus Masse und Geschwindigkeitsquadrat eines Elektrons bestimmen, oder es ist uns das Yerhältnis der Ladung zur kinetischen Energie des Elektrons bekannt.

§ 52. Wirkung eines magnetischen Feldes auf ein Stromelement.

Denken wir uns (Fig. 14) ein Stromelement i äs und einen Magnetpol m in der Entfernung r vom Stromelement, so ist die Kraft dS, welche der Magnetpol erfährt, m i sin & d s

dS =

r2

ni

Fig. 14.

(Bd. II, § 39). Dabei ist die Richtung der Kraft senkrecht zur Ebene, welche r und ds bilden, und nach der Ampère-schen Schwimmregel in die Bildebene hineingerichtet. Dieselbe Kraft, nur entgegengesetzt gerichtet, also aus der Bildebene heraus, erfährt das Stromelement durch den Magnetpol m, was einfach eine Folge des Prinzips der Gleichheit von Aktion und Reaktion ist. Wird d = 90°, so ist

dS =

ni i ds

r²

Wir können nun ~ die magnetische Feldstärke in der Umgebung des Stromelementes nennen. Wir wollen sie mit

§ bezeichnen. Es ist somit die Kraft, welche das Stromelement erfährt, $ ids . Für die Richtung derselben können wir folgende Regel aufstellen:

Denken wir uns mit der Richtung des Stromes schwimmend und blicken in der Richtung der Kraftlinien des magnetischen Feldes, so wird der Strom nach der linken Hand abgelenkt.

Wir denken uns jetzt ein Stromelement ids, welches parallel den drei Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems die Projektionen i dx, idy, id z hat. Es befinde sich in einem magnetischen Felde, dessen Intensität die Komponenten «, ß, y besitzt. Die Kraft, welche dann ids erfährt, besitzt die Komponenten

A = i(ß dz — ydtj) ,

В = i(y dx — a dz) ,

C = i(oc dy — ß dx) , was leicht aus obiger Regel zu finden ist.

§ 53. Elektronen im magnetischen Felde.

Setzen wir anstatt des Stromelementes ids im vorigen Paragraphen den Elementarstrom eines Elektrons ev, so wird

dz

dx    dy

’    %d» = eit

wenn wir unter A- ^-J    die Komponenten der Ge-

dt dt dt

schwindigkeit v verstehen. Danach ergibt sich weiter

^ l dx dz .

idx =

e—-

dt

idz =

(47)

wobei А, Б und C mit der Feldstärke als auch mit der Geschwindigkeit des Elektrons veränderlich sind, so daß im allgemeinen der Weg eines Elektrons in einem magnetischen Felde ein sehr komplizierter sein wird.

Für ein homogenes Feld sind die Gleichungen jedoch leicht lösbar. Nehmen wir z. B. an, die Kraftlinien des magnetischen Feldes seien parallel zur x-Achse. Es ist also

(X = fe , ß = y = 0 .

Zur Zeit t = 0 befinde sich das Elektron an einem Punkte, für welchen x = у = 0 ist, d. h. es passiert gerade die ^-Achse in einer Höhe z₀, die wir einstweilen noch unbestimmt lassen. Zur Zeit t = 0 habe ferner das Elektron die Geschwindigkeitskomponenten

dx

—z— — а

dt

Hat ein Elektron die Masse m, so werden wir für die Bewegung desselben die Gleichungen haben

d²x

тЖ~А’

(48)

*£?

dt²

d²z m —— dt²

dy -h dx _ n dt ~ b ’ dt ~ ° '

Es bewegt sich also zu dieser Zeit parallel zur (ж, у)-Ebene. Unter den gemachten Annahmen folgt aus den Gleichungen (47) und (48)

o

(49)

d²x

£>e dz

d²z

fee dy

dt²

dt²

m dt

dt² m dt

Durch Integration ergeben diese Gleichungen

dx

-r- = а

dy

■be

dt

=--% + bl

dt    m

dz fee

м-Ж!1 + с‘-

Da die Geschwindigkeit parallel zur x-Achse von der Zeit unabhängig ist, so muß sie natürlich gleich der von uns gewählten Anfangsgeschwindigkeit a sein. Die Höhe z0 wollen wir nun so wählen, daß die Konstante bt gleich

Null wird. Da für t = so folgt

dt

0 ,    — Ъ angenommen wurde,

oder

Schließlich ergibt sich aus unseren Voraussetzungen, daß auch die Integrationskonstante cx gleich Null sein muß. Somit bleiben uns für у und % die Beziehungen

dz __&e dt m У *

dy

dt

Qe

z,

dy

dz

Setzen wir diese Werte für —— und -r- in die Glei-

dt

chung (49) ein, so erhalten wir $²e²

(50)

d²y

dt²

dt

%²e²

m²

Diese zwei Gleichungen besagen, daß die Koordinaten у und z harmonische Funktionen der Zeit sind (Bd. I, § 9). Da für t = 0 auch у = 0 sein muß, so können wir

у = G sine t

setzen. Daraus folgt

d?y

dt²

— —G E² sin £ t

Elektronen im Magnetfeld, und nach, der ersten der Gleichungen (50)

folglich.

y = G sin--1.

Da nun H- =

dt

z, so auch

G$e

•Ö e

cos-1 =

•6 e

oder

Qe

z = — G cos-1 .

Es ergibt sich ferner

• y* -j- z² — G² , oder die orthogonale Projektion der Bahn des Elektrons auf die (y, г)-Ebene ist ein Kreis vom Halbmesser 6r. Für y = 0 wird % = +6r. Es muß also auch sein.

Der Halbmesser des Kreises ist, abgesehen von den konstanten Größen $ , e und m, wesentlich bedingt durch die Geschwindigkeit b, welche zu Beginn das Elektron parallel zur у -Achse besitzt. Bilden wir die Summe

, so erhalten wir das Quadrat der Geschwindigkeit, welche das Elektron senkrecht zur x-Achse oder senkrecht zu den mit der x-Achse gleichgerichteten

magnetischen Kraftlinien besitzt. Nach dem Obigen ist diese Summe

= b².

Q2$2e2 m2h2 $2e2

m²

&²e² m²

Die Geschwindigkeit selbst ist also gleich b, sie ist konstant und gleich der Anfangsgeschwindigkeit parallel zur 2/-Aehse. Das Elektron bewegt sich also parallel zur æ-Achse mit der konstanten Geschwindigkeit a, parallel zur (y, &)-Ebene beschreibt es Kreislinien mit der konstanten Geschwindigkeit b. Die Bahn des Elektrons in einem homogenen magnetischen Felde ist eine Schraubenlinie, die zur Kreislinie wird, wenn anfangs keine Geschwindigkeit des Elektrons in der Dichtung der magnetischen Kraftlinien vorhanden ist. Die Geschwindigkeit des Elektrons v = ya² + b² wird durch das magnetische Feld nicht geändert. Das gilt übrigens für jedes beliebige magnetische Feld, da die Kraft Wirkung desselben ja immer senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, eine Beschleunigung in dieser, mithin eine Vermehrung der Geschwindigkeit des Elektrons nie hervorgebracht werden kann.

§ 54. Magnetische Ablenkung der Kathodenstrahlen.

Ein dünnes Bündel Kathoden strahlen passiere ein homogenes magnetisches Feld, dessen Kraftlinien senkrecht zur Bildebene (Fig. 15) stehen sollen, die wir gleichzeitig zur (X, &)-Ebene eines rechtwinkligen Koordinatensystems machen. Die Kraftlinien sind also parallel zur y-Achse, sollen aber entgegengesetzt gerichtet sein. Das homogene magnetische Feld von der Intensität $ reiche

Kathodenstrahlen im Magnetfel

von der (?/, %)- Ebene bis zu einer parallelen im Abstand Я'. Das Kathodenstrahlenbündel KK! soll in seiner Anfangsrichtung mit der æ-Achse zusammenfallen. Wenn es die (?/, г)-Ebene bei О passmrt, tritt es in das magnetische Feld und erfährt eine Ablenkung nach oben, indem es nach dem vorigen Paragraphen jetzt eine Kreisbahn vom .Radius

IC

>A'

cc

gl

-X

Fig. 15.

beschreibt. Unter v verstehen wir also die Geschwindigkeit der Kathoden strahlen.

Die Höhe , welche die Strahlen beim Yerlassen des magnetischen Feldes erlangt haben, finden wir leicht aus Fig. 16. Es ist

% =r — AB.

Nach dem Pythagoreischen Lehrsatz ist aber

AB = У г² — Я'² =

’УЧУ-4

1 Г²

*2 г²

Wir haben also bei der Entwicklung die höheren Glieder der unendlichen Reihe vernachlässigt, was wir für die geringe Ablenkung, welche in praktischen Fällen yorkommt, ohne weiteres tun können. Es ist also die Höhe

tH (M

1    Г²

2    r²

Befindet sich (Fig. 15) in der Entfernung V vom magnetischen Felde ein Fluoreszenzschirm, so können wir

die Ablenkung h' der Kathodenstrahlen ablesen. Diese ist aber

h' =    + V tg ос

-Ó-

l'

Fi g. 16.

wobei (X (Fig. 16) der Winkel ist, den die beiden Radien einschließen, weiche zum Anfangs- und Endpunkte der Kreisbahn der ^ Kathoden strahl en gehören. Nach unseren Voraussetzungen muß aber oc ein kleiner Winkel sein. Es kann daher die Tangente durch den Sinus ersetzt werden, d. h. wir können

t goc =

einführen. Damit wird

vr

1 Г²

vr

$еГ mv

oder

h'

mv

«4'+ 2)

Auf der linken Seite dieser Gleichung haben wir eine Größe, welehe nur von den Eigenschaften der Elektronen abhängt. Rechts sind Größen, die alle der Messung zugänglich sind, so daß der Ausdruck — bestimmt werden kann.    m v

§ 55. Geschwindigkeit der Kathodenstrahlen — Verhältnis der Ladung zur Masse des Elektrons.

Aus der elektrostatischen. Ablenkung der Kathodenstrahlen fanden wir (§ 51) die Gleichung

ei(/+ -J

aus der magnetischen Ablenkung im vorhergehenden Paragraphen

h'

mv

(■

r\ ■

Dividieren wir diese Gleichung durch die erste, so erhalten wir

h'

K)

Jäger, Theoretische Physik IV.

Wir sind somit in der Lage, die Geschwindigkeit der Kathodenstrahlen experimentell zu bestimmen. Auf diese Weise hat man erkannt, daß die Geschwindigkeit der Kathodenstrahlen sehr variieren kann. Die auf gewöhnlichem Wege in der Crookes sehen Bohre erzeugten Kathodenstrahlen haben eine Geschwindigkeit, die etwa ein Viertel der Lichtgeschwindigkeit beträgt.

Quadrieren wir die zweite der obigen Gleichungen und dividieren wir sie durch die erste, so erhalten wir

«л (/ + -!)*'* %4'*(i'+Çj²h

Wir können also auch das Verhältnis der Ladung zur Masse eines Elektrons berechnen, eine Größe, die ungefähr 10⁷ elektromagnetische Einheiten (Bd. III, §52) beträgt.

Auch dieBecquerelstrahlen, die Strahlen radioaktiver Substanzen, können wir zum Teil als ausgeschleuderte Elektronen ansehen, da sie sich ebenfalls elektrostatisch und magnetisch ablenken lassen. Man hat für eine bestimmte Strahlenart, die sog. /^-Strahlen,

gefunden, daß ihre Geschwindigkeit als auch die Größe ~

den entsprechenden Größen der Kathodenstrahlen vergleichbar ist.

§ 56. Masse und Größe eines Elektrons.

Führen wir für die Größe des Elementarquantums jenen Wert ein, den wir im § 45 kennen gelernt haben, nämlich 5*8 • 10⁻¹⁰ elektrostatische Einheiten, so können

wir auch die Masse eines Elektrons bestimmen. Da

— = 10⁷, so m =

e—-, falls e in elektromagnetischen m    i0⁷

(Bd. III, § 52). Führen wir

3*10¹⁷

noch für e seinen Wert 5*8 «IO⁻¹⁰ ein, so Avird

Einheiten gegeben ist; in elektrostatischem Maß haben wir hingegen m =

5-8* IO"¹⁰ 3.10¹⁷

oder rund

m — 2 • 10 ~²⁷ Gramm.

Da Avir nun für die Masse eines Wasserstoff atoms, der kleinsten gravitierenden Masse', die Avir kennen (§ 45), 2.10"²⁴ g fanden, so zeigt sich, daß die Masse eines Elektrons in den Kathodenstrahlen etAva ein Tausendstel von der Masse eines Wasserstoffatoms ist. Halten wir die von uns gemachten Überlegungen überhaupt für bindend, so ist dieses Resultat bereits ausschlaggebend, die Masse der in den Kathodenstrahlen vorkommenden Elektronen überhaupt nur als elektromagnetische Masse (§ 49) aufzufassen. Da von der Kathode negative Elektrizität ausgeht, so haben Avir es hier mit negativen Elektronen zu tun.

Ausdruck

. In unserem Falle ist, falls wir elektromagnetisches Maß einführen, die magnetische Induk-

Unter der Annahme bloßer elektromagnetischer Masse der Elektronen und der Voraussetzung, daß die Elektrizität auf einer Kugeloberfläche verteilt ist, können wir nach § 49 auch die Größe eines Elektrons berechnen. Dort fanden Avir für die elektromagnetische Masse den 2 jue²

. 2 e²

tionskonstante [x gleich Eins, mithin die Masse m = —— oder der Radius des Elektrons

2e²

Da im elektrostatischen Maß e^ô’ô.lO⁻¹⁰ gefunden wurde (§ 45), so ist es im elektromagnetischen

5.8* 10-¹⁰

3 -1010    5

oder ungefähr

also

e = 2- 10-²⁰

'2(2-10-²⁰)2 a ~ 3 • 2 • 1(F²⁷

= I «IO⁻¹³ cm.

Für den Durchmesser eines negativen Elektrons -erhalten wir also rund

d 3 • IO⁻¹³ cm.

Es haben somit die Molekeln (Bd. II, § 60) einen Durchmesser, der gegen zehn- bis hunderttausendmal größer ist als jener der negativen Elektronen.

§ 57. Kinetische Energie des Elektrons.

Bringen wir eine elektrische Masse e in ein elektrisches Feld, und gelangt sie von einem Punkte mit dem Potential Vt zu einem anderen vom Potential V₂, so haben die elektrischen Kräfte des Feldes dabei die Arbeit

Ä = e(V₁-V₂)

geleistet (Bd. III, § 17). Ist nun e ein Elektron, so wird es dabei seine kinetische Energie um einen Betrag ver-großem, welcher gleich der von den elektrischen Kräften geleisteten Arbeit ist. Nehmen wir z. Б. an, das Elektron sei ursprünglich in Ruhe und gehe von einem Punkte mit dem Potential V aus, komme jedoch sodann in einen Raum vom Potential Null, so leisten die elektrischen Kräfte die Arbeit eV. Die erlangte kinetische Energie muß dieser Größe gleich sein. Wir erhalten somit die Gleichung

m V²

-₂- = er

oder

mv² 2 V

Dieselbe Größe, welche wir (§ 51) durch die elektrostatische Ablenkung der Kathodenstrahlen bestimmen konnten, läßt sich also auch auf anderem Wege gewinnen. Erzeugen wir z. B. die Kathodenstrahlen mit der Influenzmaschine, so sind wir in der Lage, das Potential der Kathode zu bestimmen, und können dann, wenn die Elektronen in einen Raum vom Potential Null gehen, die

zu bestimmen.

mv²

Machen wir dazu noch die magnetische Ablenkung (§ 54),

welche uns -G— gibt, so können wir wieder — und v mv    m

berechnen. Auch nach dieser Methode wurden Werte erhalten, die mit dem früher angeführten überein stimmen.

letzte Gleichung benützen, um

§ 58. Die Ursache des Lichtes.

Um die Bewegung der Elektronen als die Ursache des Lichtes annehmen zu können, müssen sie in der Lage sein, schwingende Bewegungen zu machen. Da freie Elektronen, wie sie etwa in den Kathoden strahlen Vorkommen, nicht leuchten, so dürften schwingende Bewegungen nur möglich sein, wenn die Elektronen an materielle Atome gebunden sind.

Nehmen wir nun an, ein Elektron sei mit einem körperlichen Atom vereinigt, so ist die einfachste Vorstellung davon die, daß in einer bestimmten Lage die Kräfte, welche das Atom auf das Elektron und umgekehrt ausübt, im Gleichgewicht sind. Wir wollen sie die Ruhelage nennen. Entfernt sich das Elektron aus der Ruhelage, so soll es gegen dieselbe mit einer Kraft zurückgezogen wei den, welche, gleich einer elastischen Kraft, proportional der Entfernung von der Ruhelage ist. Ein solches Elektron ist dann in der Lage (Bd. I, § 75), harmonische Schwingungen zu vollführen.

Da wir nun jedes in Bewegung befindliche Elektron als einen Elementarstrom aufgefaßt haben, so ist ein schwingendes Elektron nichts anderes als eine Reihe aufeinanderfolgender elektrischer Schwingungen, welche sich durch den Raum in Form elektrischer Wellen fortpflanzen (§ 13). Jedes Elektron wird somit zur Lichtquelle, sobald seine Schwingungszahl zwischen 400 und 700 Billionen liegt.

§ 59. Kreisbewegung- eines Massenpunktes unter dem Einfluß einer elastischen Kraft.

Auf einen Massenpunkt m wirke eine elastische Kraft — «r, mit welcher sie ihn in die Ruhelage zurückzuziehen strebt, r ist die Entfernung des Punktes von der Ruhelage, oc eine Proportionalitätskonstante. Soll der Punkt eine Kreisbewegung um die Ruhelage als Mittelpunkt vollführen, so

Ш V>²

muß seine Fliehkraft gleich der Anziehungskraft (x r sein. Wir erhalten also die Gleichung mv²

-= a r .

r

Ist y die Winkelgeschwindigkeit des Punktes, so ist v = ry , also ту² r — a r, oder ту² — а . Es ist somit die Winkelgeschwindigkeit

Wenn wir die Winkelgeschwindigkeit durch 2 л dividieren, so erhalten wir die Tourenzahl der Masse m.

\i/

Ai

-.AT

Unsere Kreisbewegung finde nun in einem ebenen rechtwinkligen Koordinatensystem statt, dessen Ursprung der Mittelpunkt des Kreises ist. Wie jede Bewegung, können wir auch die Kreisbewegung in zwei Komponenten parallel zu den zwei Achsen des Koordinatensystems zerlegen. Die Bewegung erfolge (Fig. 17) von der x- gegen die y-Achse, so daß im Punkte M die Geschwindigkeit v des Massenpunktes die Komponenten

dx

dt=-vSmV,

dt

Fig. 17.

besitzt. Nun ist aber <p = y t, oder wenn wir nach der Zeit integrieren,

cosy t

У

= rcosy t ,

y = — siny t — r siny t .

Das heißt, wir können uns die Kreisbewegung des Punktes zusammengesetzt denken aus zwei harmonischen Schwingungen, die aufeinander senkrecht stehen und eine Phasenverschiebung von ¹/₄ Schwingungsdauer besitzen (Bd. I, § 72 u. 73). Soll der Punkt die beiden Schwingungen

X = r cos y t f

y — —r sin yt

machen, so resultiert daraus eine Kreisbewegung in entgegengesetzter Richtung.

Zwingen wir schließlich einem Punkte die beiden genannten Kreisbewegungen auf, so resultiert daraus wieder eine geradlinige parallel zur x-Achse, indem sich die Bewegungen parallel zur y-Achse aufheben. Man kann sich also auch jede geradlinige harmonisch schwingende Bewegung zusammengesetzt denken aus zwei entgegengesetzten Kreisschwingungen, oder sie in zwrei Kreisschwingungen zerlegen.

§ 60. Zerlegung linear polarisierten Lichtes — Drehung der Polarisationsebene — schwingende Elektronen.

Was wir im vorhergehenden Paragraphen über die Zerlegung der geradlinig schwingenden Bewegung eines Punktes in zwei Kreisschwingungen usw. kennen gelernt haben, können wir ohne weiteres auf die Lichtschwingungen übertragen. Einen linear polarisierten Lichtstrahl können wir uns zusammengesetzt denken aus zwei zirkular polarisierten, deren Drehungsrichtungen aber entgegengesetzt sind. Wir können demnach auch jeden geradlinig polarisierten Strahl in zwei zirkular polarisierte zerlegen, ohne dabei in der Gesamt Wirkung etwas zu ändern. Diese Überlegung hat schon Fresnel zur Erklärung der Drehung der Polarisationsebene im Quarz, in einer Zuckerlösung usw. benützt. Er nahm an, daß linear polarisiertes Licht beim Eintritt in ein Medium, das die

Polarisationsebene dreht, immer in zwei zirkular polarisierte Strahlen entgegengesetzter Drehung zerlegt wird, die sich mit verschiedener Geschwindigkeit fortpflanzen. Nach dem Verlassen des drehenden Mediums werden die Strahlen wieder mit gleicher Geschwindigkeit fortschreiten, sich also wieder zu einer linearen Schwingung ergänzen. Infolge der gegenseitigen relativen Verzögerung der Strahlen wird aber die Lage der neuen Schwingungsebene mit der Lage der alten nicht mehr identisch sein, sie wird eine Drehung erfahren haben, die um so größer ist, je größer die relative Verzögerung der Strahlen.

Daß diese Zerlegung linear polarisierten Lichtes in zwei zirkular polarisierte Strahlen verschiedener Geschwindigkeit und entgegengesetzter Bewegung nicht nur eine theoretische Annahme ist, sondern sich in der Tat bewahrheitet, hat ebenfalls Fresnel experimentell nachgewiesen. Lassen wir nämlich die Strahlen nicht senkrecht, sondern schief aus dem drehenden Medium austreten, so müssen sie wegen der verschiedenen Geschwindigkeit verschieden gebrochen werden. Diese Art von Doppelbrechung des Lichtes kann man beobachten, und es sind tatsächlich die beiden austretenden Strahlen entgegengesetzt zirkular polarisiert.

Nach § 58 nehmen wir als Ursache des Lichtes schwingende Elektronen an. Diese Schwingungen können in geradlinigen, kreisförmigen oder elliptischen Bahnen vor sich gehen und werden dadurch Anlaß zu linear, zirkular oder elliptisch polarisiertem Licht geben (§14 und 16). Jede lineare Schwingung können wir uns aus zwei kreisförmigen zusammengesetzt denken oder in solche zerlegen usw.

§61. Kreisschwiugungen der Elektronen im magnetischen Felde — Zeemanphänomen.

Nach den Erörterungen des vorhergehenden Paragraphen können wir annehmen, daß ein Elektron auf einer Molekel Kreisschwingungen vollführen kann. Bringen wir das Elektron in ein magnetisches Feld, so wirken außer

den elastischen noch die magnetischen Kräfte auf dasselbe. Bewegt sich ein Elektron senkrecht zn den Kraftlinien, so erfährt es senkrecht zu seiner Bewegung eine Kraft feev (§ 53). Ist die Bahn des Elektrons eine Kreisbahn, deren Ebene senkrecht zu den Kraftlinien stehen soll, und bewegt es sich so, daß die Kraft feev gegen das Zentrum des Kreises gerichtet ist, so addieren sich die elastischen und magnetischen Kräfte und wir erhalten nach § 59 für die Größe der Fliehkraft die Gleichung

mv²

Bewegt sich das Elektron in entgegengesetzter Bichtung, so kehrt sich die Wirkung des magnetischen Feldes ebenfalls um, und wir erhalten

= ос r — ß ev .

m V²

Ersetzen wir v wieder durch ry (§ 59), dann ergibt dies • in dem einen Falle

im anderen

my²r = oc r $ ey r

my'²r = ocr — fyey' r .

Dividieren wir noch die Gleichungen durch m r, so bleibt

und

У²

a , У + «6 ß—

и/

у'²

Wir setzen nun ß e

§. N

g-

со

Qi    О

&&    ев

<D

r,

CD

y'² als sehr klein voraus, so daß wir in diesen Gliedern

i/-

f m

mit großer Annäherung y sowohl als auch yf durch ersetzen können. Dann haben wir

f-

] m

y² =--------b

m

und

« i/

m ]

yl = -

Dividieren wir die Gleichungen noch durch 4 л², so erhalten wir zwei verschiedene Schwingungszahlen n und n' aus den Gleichungen

n² = nl + n'² = nl —

wenn wir unter die Schwingungszahl des Elektrons ohne Magnetfeld verstehen. Es zeigt sich also, daß das Elektron, welches im gewöhnlichen Zustand Licht von der Schwingungszahl n₀ aussendet, im magnetischen Feld zwei verschiedene Lichtarten von den Schwingungszahlen n und n' erzeugt, deren eine um einen gewissen Betrag größer, die andere um denselben Betrag kleiner ist als die Schwingungszahl des normalen Lichtes.

Wollen wir dies tatsächlich beobachten, so haben wir die Lichtquelle mit einem stark dispergierenden Spektroskop (Rowlands Gitter) in der Art zu betrachten, daß die Sehlinie mit der Richtung der magnetischen Kraft zusammenfällt, Man erblickt dann die ursprünglich einfachen als doppelteLinien, welche zirkular polarisiertes Licht mit entgegengesetzter Schwingungsrichtung aussenden.

Es wurde diese Erscheinung von Zeeman entdeckt, weshalb man sie das Zeeman-Phänomen nennt.

§ 62. Doublet und Triplet.

Wir haben im vorigen Paragraphen erfahren, daß das Licht, welches von einer Flamme im starken Magnetfeld in der Richtung der magnetischen Kraftlinien ausgeht und von einem Spektroskop in die Spektrallinien zerlegt wird, jede Linie in zwei getrennt zeigt. Je zwei derartig zusammengehörige Spektrallinien, die aus einer entstanden sind, nennt man Doublet.

Anders wird die Erscheinung des Zeeman-Phänomens, wenn wir nicht in der Richtung der magnetischen Kraftlinien, sondern senkrecht dazu die Lichtquelle beobachten. Zur Klarstellung der dabei auftretenden Erscheinung wollen wir uns eine geradlinig schwingende Bewegung nach zwei senkrecht aufeinander stehenden Richtungen zerlegen. Die eine gehe horizontal, die andere vertikal vor sich. Horizontal von links nach rechts sollen gleichzeitig die magnetischen Kraftlinien gehen. Eine in dieser Richtung gehende Schwingung erfährt also keine Veränderung. Es werden uns diese Elektronenschwingungen geradlinig polarisiertes Licht von derselben Wellenlänge ins Auge senden, als wenn gar kein magnetisches Feld vorhanden wäre. Die Schwingungen senkrecht dazu erfolgen auch senkrecht zu den magnetischen Kraftlinien. Wir zerlegen sie in zwei Kreisschwingungen, deren Ebene ebenfalls senkrecht zu den magnetischen Kraftlinien steht.

Die Größe — .

ш

Von diesen beiden Schwingungen wissen wir aber, daß die eine eine Verzögerung, die andere eine Beschleunigung erfährt. Das, was unser Auge empfindet, sind zwei verschiedene Lichtsorten, welche im Spektroskop Linien erzeugen, die links und rechts zur normalen Spektrallinie liegen. Das heißt, wir sehen jede Spektrallinie, wenn wir das Licht senkrecht zur Richtung der magnetischen Kraftlinien beobachten, dreifach. Wir nennen diese Erscheinungen ein Triplet.

Die geschilderte Zerlegung der Spektrallinien in Doublets und Triplets ist nur der einfachste Fall. In Wirklichkeit kommen noch viel kompliziertere Zerlegungen vor, welche durch weniger einfache Bewegungen der Elektronen als die geschilderten entstanden gedacht werden müssen.

§ 63. Die Größe e beim Zeeman-Phänomen.

Kanalstrahlen — я-Strahlen.

In der Formel

Qe

2^ П°

(§ 61) können wir die Größen n und n₀ aus der Lage der Spektrallinien mit Hilfe des Beugungsgitters (Bd. II, §22) bestimmen. Desgleichen ist die Feldstärke des Magneten meßbar. Es läßt sich somit auch ein Schluß

auf die Größe —, das Verhältnis der Elektrizitätsmenge zur elektromagnetischen Masse eines Elektrons, ziehen. Es ist nun von großer Bedeutung für die ganze Elektronentheorie, daß wir-auch in diesem Falle denselben Wert erhalten wie früher aus der elektro-

statischen und magnetischen Ablenkbarkeit der Kathodenstrahlen (§ 55).

Aus dem Sinne, in welchem die Schwingungen des zirkular polarisierten Lichtes beim Doublet vor sich gehen, können wir nun bestimmen, ob das Licht von einem positiven oder von einem negativen Elektron herrührt. Würden sowohl positive als negative Elektronen in ganz demselben Mengenverhältnis vorhanden sein und gleich große Masse besitzen, so müßten bei der Beobachtung in der Richtung der magnetischen Kraftlinien sich die Spektrallinien zwar auch in Doppellinien zerlegen, aber es könnten diese Linien keine Zirkularpolarisation auf weisen, weil ebensoviel Schwingungen nach der einen wie nach der anderen Richtung in jeder Spektrallinie vorhanden wären. In Wirklichkeit ist dem aber nicht so, sondern die Beobachtung hat gezeigt, daß wir es tatsächlich mit zirkular polarisiertem Lichte zu tun haben von einer Schwingungsrichtung, wie sie den negativen Elektronen entspricht. Das eigentlich Bewegliche in der Flamme ist also das negative Elektron, während das positive sich in verhältnismäßiger Ruhe befindet. Das läßt sich auf die Weise erklären, daß die positiven Elektronen fest mit den Körperatomen verbunden sind, also gegenüber den negativen Elektronen mehr als tausendmal so große Massenkomplexe repräsentieren (§ 56).

Wie wir im Zeeman-Phänomen als auch in den Kathodenstrahlen als Ursache die negativen Elektronen fanden, deren Größe aus beiden Erscheinungen sich als dieselbe ergab, so zeigen auch die positiven Elektronen ein Analogon zu den Kathodenstrahlen in den sogenannten Kanalstrahlen, welche von der Anode einer Crookes-schen Röhre ausgehen. Da wir uns die positiven Elektronen mit den Körperatomen fest verbunden denken, so spielt bei der Bewegung derselben die Masse des Atoms eine wesentliche Kolie. Demzufolge sind die Kanalstrahlen sowohl im elektrostatischen als im magnetischen Felde viel weniger ablenkbar als die Kathodenstrahlen, und es resultieren aus der Größe der Ablenkung tatsächlich Massen für die Elektronen, welche mit den Massen der Körperatome übereinstimmen. Dasselbe Verhalten zeigen die ^-Strahlen radioaktiver Substanzen.

§ 64. Die Wärmeleitung in Metallen.

Wenn wir das Wärmeleitungs vermögen nicht metallischer Körper, z. B. Glas, Marmor, Schiefer, Kreide usw., mit jenem des Wassers und anderer Flüssigkeiten vergleichen, so finden wir, daß es für alle Substanzen von ungefähr derselben Größenordnung ist. Stellen wir uns die Wärmeleitung als eine Übertragung von Energie durch die Bewegung der Molekeln vor, wie wir es bei den Gasen (Bd. II, § 59) getan haben, so ist dieses Verhalten nur natürlich, da wir ja sowohl bei den festen als flüssigen Körpern annehmen müssen, daß die Molekeln sehr nahe aneinander liegen, ihre Wärmebewegung sich also auf sehr kleine Räume beschränken muß und der Wärmetransport sich für beide Aggregatzustände in ähnlicher Weise vollziehen muß. Vergleichen wir aber mit dem Wärmeleitungsvermögen der genannten festen und flüssigen Körper jenes der Metalle, deren Molekularkonstitution wir wohl ähnlich wie jene anderer fester Körper annehmen müssen, so zeigt sich, daß sie durchaus nicht ein ähnliches, sondern ein weitaus größeres Wärmeleitungs vermögen besitzen. So leitet das Kupfer die Wärme fast tausendmal besser als das Wasser. Es ist ferner auffallend, daß auch bezüglich der Elektrizitätsleitung wir die früher genannten Körper als Isolatoren, die Metalle hingegen als sehr gute Leiter der Elektrizität kennen.

Es liegt nun nahe, die Elektrizitätsleitung den in den Metallen vorhandenen Elektronen zuzuschreiben. Ferner steht zu vermuten, daß, falls Elektronen vorhanden sind, sie auch an der Wärmeleitung teilnehmen werden, und es ergab die nähere Untersuchung, daß wir in der Tat das abnorm hohe Wärmeleitungsvermögen der Metalle zum großen Teile den Elektronen zuschreiben müssen, während wir infolge der bloßen Molekularbewegung nur Wärmeleitungsfähigkeiten von der Größenordnung der Nichtmetalle erhalten könnten. Wir wollen daher jenen Teil der Wärmeleitungsfähigkeit berechnen, der den Elektronen zugeschrieben werden muß, und dagegen den Anteil, den die Molekularbewegung hat, vernachlässigen.

Wir stellen uns ein Metall folgendermaßen vor: Im unelektrischen Zustande muß es ebensoviel positive als negative Elektronen enthalten, und zwar seien die positiven fix an die Körperatome gebunden, während die negativen sich völlig frei zwischen den Metallatomen bewegen können wie die Molekeln eines Gases in einem porösen Körper. Wie bei diesen (Bd. II, § 52) sei die mittlerekinetisclieEnergie einesnegativen Elektrons durch die Temperatur bestimmt. Um die Rechnung zu vereinfachen, sei angenommen, sämtliche Elektronen besitzen dieselbe Geschwindigkeit c. Die kinetische Energie eines Elektrons ist somit

m c² mcl /<4

₂    g⁰ (1 + a 0 ,

wenn wir unter oc den Ausdehnungskoeffizienten der Gase verstehen. Führen wir die absolute Temperatur T ein, so können wir auch schreiben

mc²

m cl oc 11

oc

m c\ (X

ist die Zunahme der Energie eines Elektrons, wenn die Temperatur um 1⁰ C steigt. Wir können diesen

Ausdruck die Wärmekapazität des Elektrons nennen. Ziehen wir die Masseneinheit der Elektronen in Betracht, so ist deren Wärmekapazität, d. i. die spezifische Wärme der Elektronen, da wir jetzt anstatt m die Größe Eins zu setzen haben.

Wir setzen nun weiter voraus, daß die Metallatome nahe aneinander liegen. Die Elektronen werden daher sehr viele Zusammenstöße“ mit den Metallatomen machen, während die Stöße, welche sie untereinander vollführen, dagegen sehr selten sein sollen. Für den Weg /, welchen ein Elektron zwischen zwei Zusammenstößen im Mittel zurücklegt, werden also in erster Linie die Zusammenstöße mit den Metallatomen in Betracht kommen, weshalb wir auch nur diese bei der Berechnung berücksichtigen.

Wir können nun die Wärmeleitungsfähigkeit к eines Metalls genau so finden, wie jene eines Gases. Es ergibt sich somit (Bd. II, § 59)

Nmcl c\(X,

2~*

_ Nmcl

к =-у ==

3 r 3

In dieser Formel können wür außer N und l alle Größen bestimmen. Da die Geschwindigkeit c proportional У T ist, so verursacht dies eine Erhöhung der Wärmeleitung bei steigender Temperatur. Da aber auch die mittlere Weglänge l sich mit der Temperatur ändern muß, so wird die Beziehung zwischen Wärmeleitungsfähigkeit und Temperatur verwickelt. Durch die größeren Schwingungen, welche mit wachsender Temperatur die Metallatome machen, ist es nicht ausgeschlossen, daß die mittlere Weglänge der Elektronen dadurch kleiner wird. Es ist also aus der von uns gewonnenen Formel nicht zu erkennen, ob mit steigender Temperatur die Wärmeleitungsfähigkeit größer oder kleiner wTird. Tatsächlich wurde beides beobachtet.

10

Jäger, Theoretische Physik IV.

§ 65. Die Elebtrizitätsleitung in Metallen.

Nach dem Ohmschen Gesetz haben wir zwischen der Stromstärke г, der elektromotorischen Kraft E und dem Widerstand w eines Leiters der Elektrizität die Beziehung

Denken wir uns einen Würfel von 1 cm Kantenlänge, der parallel zu einer Kante vom elektrischen Strom durchflossen wird, und besitzen die Ein- und Austrittsfläche des Stromes den Potentialunterschied (£, so haben wir im Würfel selbst auch die Feldintensität (£ und die Strom-

stärke i — —. Wenn wir

-1 = L

setzen, wobei wir L jetzt die elektrische Leitfähigkeit der Substanz nennen, aus welcher der Würfel besteht, so haben wir die Beziehung

i = L®.

Nach den Vorstellungen des vorhergehenden Paragraphen können wir uns nun den Vorgang der Elektrizitätsströmung in einem Metall folgendermaßen vorstellen. Infolge der Wärmebewegung sind die Geschwindigkeiten der Elektronen nach allen Richtungen des Raumes gleichmäßig verteilt. Der damit verbundene Elektrizitätstransport ist daher gleich Null, da ebensoviel Elektrizität nach der einen Richtung getragen wird wie nach der entgegengesetzten. Wirkt hingegen eine elektrische Kraft, so wird auf dem Wege, welchen ein Elektron zwischen zwei

Zusammenstößen zurücklegt, dasselbe eine Beschleunigung in der Richtung der Kraft erfahren. Nach dieser Richtung wird somit mehr Elektrizität getragen als nach der entgegengesetzten. Wir erhalten einen elektrischen Strom.

Machen wir nun die Richtung der elektromotorischen Kraft in unserem Würfel zur x-Achse eines Koordinatensystems, so wird jedes negative Elektron durch die elektrische Kraft g parallel zur x-Achse eine negative Beschleunigung, d. h. eine Verzögerung erfahren, welche sich aus der Kraftgleichung

d²x

dt²

m —— = — e ©

ergibt. Es ist also

d²x

eg

dt²

oder

dx

eg

—— =*= и-----t,

dt

wobei и die Geschwindigkeitskomponente infolge der Wärmebewegung bedeutet. Die elektrische Kraft wirkt ungestört auf das Elektron während der Zeit t, welche zwischen zwei Zusammenstößen verfließt. Dieselbe ist

im Mittel — (§ 64). Die mittlere Geschwindigkeit, mit c

welcher sich das Elektron während dieser Zeit parallel zur x-Achse bewegt, wird daher sein

1_ fdx x J dt

— dt =

1 /eg , и dt —— / tdt

eg

eg l

2mc *

Summieren wir diese Geschwindigkeitskomponenten für sämtliche Elektronen und dividieren wir durch die Zahl N derselben, so erhalten wir die mittlere Geschwindigkeit, mit welcher sich die Elektronen parallel zur x-Achse bewegen. Dieselbe wird also

Ti^-TfU

e$l 2 mc

egZ

2 mc

sein, da ja ebenso viele positive als negative и vorhanden

e®l 2 mc

Elektronen den

sind, während für alle N Elektronen die Größe

dieselbe ist. Es werden also

Ne®l 2 mc

Querschnitt des Würfels in der Sekunde passieren, wobei das negative Vorzeichen sich natürlich nur auf die Bewegungsrichtung bezieht. Jedes führt die Elektrizitätsmenge —e mit sich, die Stromstärke i wird daher sein

Ne ® l.

Ne²®/

2 mc

woraus sich für die Leitfähigkeit selbst ergibt _ NeH

Jj — —--.

2m c

sein, also mit wachsender Temperatur

Wir können hier ebenfalls wie bei der Wärmeleitung bis auf N und l alle Größen bestimmen. Da die Erfahrung ergeben hat, daß für viele Metalle die Leitfähigkeit verkehrt proportional der absoluten Temperatur ist, d. h. verkehrt proportional der Größe c², so müßte für dieselben die Weglänge l proportional

abnehmen. Wir sind damit in Übereinstimmung mit dem Schluß des vorigen Paragraphen, indem wir auch dort zu dem Resultate gekommen sind, daß die mittlere Weglänge l für viele Metalle mit wachsender Temperatur abnehmen muß.

§ 66. Wiedemann-Franzsches Gesetz.

Von G. Wiedemann und Franz wurde das Gesetz

gefunden, daß für die Metalle das Verhältnis der Wärmeleitungsfähigkeit zum elektrischen Leitvermögen nahezu konstant sei. Sind unsere Rechnungen richtig, so müssen wir aus den Resultaten der zwei vorhergehenden Paragraphen dieses Gesetz sofort

к

herleiten können. Bilden wir das Verhältnis —, so ergibt dies

N m cl clot

Ж ² C² cl oc

3 e²

Ne²l

2 mc

Nun ist aber wieder

c² = Co(l + aO = Co*( + <)

= cltxT

daher

к m²c\(x2 L ⁼⁼    3 e²

T.

Wir erhalten also tatsächlich das Resultat, daß das Verhältnis der Wärmeleitungsfähigkeit und des elektrischen Leitvermögens eine von der Natur des Metalles unabhängige Größe ist, und ferner, daß dieses Verhältnis mit der absoluten Temperatur proportional wächst. Gerade diese letzte Folgerung haben die Experimente sehr befriedigend bestätigt.

§ 67. Die Beziehung des Gasdruckes zur Leitfähigkeit der Metalle für die Wärme und Elektrizität.

Elektronen ent-

Die Elektrizitätsmenge Eins wird —

e

halten. Ein Coulomb scheidet bei der Elektroiyse (§ 44) eine bestimmte Menge Wasserstoff ab, welche, da jedes

Wasserstoffatom die Ladung e besitzt, — Atome oder

1 e

Molekeln enthält. Der Druck eines Gases ist 2 e

Nmc²

wobei N die Zahl der Gasmolekeln in der Yolumseinheit bedeutet. Haben wir in einem Kubikzentimeter die obige Wasserstoff menge, so ist daher

mc²

wobei die Größe mc² unabhängig von der Natur des Gases ist, nach unserer Annahme also auch den Elektronen zukommt. Wir können die Formel auch schreiben

oder

mci ot

ßp

3 kT

Dieselbe Größe ergibt aber auch die letzte Formel des vorigen Paragraphen in der Form

mci (X

-fk

Wir erhalten somit die Beziehung

ц-f*

LT '

LT

oder

Qj) =

eine Gleichung, die sich, soweit zu erwarten steht, in der Tat sehr gut bestätigt.

§ 68. Ionisation der Gase.

So wie die reinen Flüssigkeiten haben wir auch die Gase als vollkommene Nichtleiter der Elektrizität aufzufassen. Erst bei Vorhandensein von Ionen werden sowohl Flüssigkeiten als auch Gase zu Leitern. Wir müssen uns eine unelektrische Gasmolekel, ja vielleicht überhaupt jede Molekel so vorstellen, daß sie mindestens ein positives und ein negatives Elektron enthält. Wir übertragen also die Vorstellung der elektrolytischen Ionen ohne weiteres auf die Gase. Zur Zerlegung einer Substanz in elektrolytische Ionen dient gewöhnlich der Vorgang der Auflösung und zwar hauptsächlich, indem wir Wasser als Lösungsmittel benützen. Dies ist aber nicht immer notwendig, um Salze in ihre elektrolytische Ionen zu spalten. So leitet z. B. Jodsilber auch im festen Zustande elektrolytisch. Bei anderen Salzen, wie etwa Chloraluminium, genügt es, sie zu schmelzen, um sie zu elektrolytischen Stromleitern zu machen. Auch die Gasmolekeln können auf die verschiedenste Weise in Ionen gespalten werden. Denken wir uns nämlich die Elektronen mehr oder weniger fest mit den Molekeln verbunden, so wird wegen der elektromagnetischen Masse, die wir ihnen zuschreiben müssen (§ 49), der Zusammenhalt der Elektronen mit den Molekeln um so lockerer werden, je heftiger die Stöße werden, welche nach der kinetischen Theorie die Gasmolekeln untereinander vollführen. Da die mittlere kinetische Energie der Molekeln mit der Temperatur steigt, so können schon entsprechend hohe Temperaturen genügen, um ein Gas zu ionisieren. Weitaus wirksamer sind jedoch andere „Ionisatoren¹¹, so z. B. ultraviolettes Licht, welches das Gas durchstrahlt, Röntgen-, Becquerelstrahlen, hohe elektrische Spannungen u. a.

Unter gegebenen Umständen zerlegt ein Ionisator in jedem Kubikzentimeter Gas in der Sekunde eine ganz bestimmte Anzahl Molekeln in Ionen. Bei der großen Beweglichkeit der Gasmolekeln werden die Ionen aber auch einander wieder begegnen und sich wieder zu neutralen Molekeln vereinigen können. Ist nun die Zahl der Molekeln, welche in der Sekunde ionisiert werden, gleich der Zahl der sich neu bildenden neutralen Molekeln, so haben wir einen Gleichgewichtszustand, der durch die Zahl der ionisierten Molekeln in der Yolumseinheit gegeben ist.

Die Geschwindigkeit, mit welcher sich die Ionen wieder zu neutralen Molekeln vereinigen, wird wesentlich von der Zahl der Zusammenstöße abhängen, welche ein Ion mit einem zugehörigen anderen macht. Rehmen wir an, jede sich ionisierende Molekel spalte sich in ein positives und ein negatives Ion, so ist die Zahl der positiven und der negativen freien Ionen gleichgroß, sie sei für jede Art n. Die Zahl der Zusammenstöße, welche ein positives Ion mit den negativen macht, ist proportional der Zahl n (Bd. II, § 57). Wir können sie, wenn die entsprechende Konstante ist, mit \n bezeichnen. Die n positiven Ionen werden daher mit den negativen \n² Zusammenstöße in der Sekunde machen. Dieser Zahl wird die Zahl der sich in der Zeiteinheit neu bildenden neutralen Molekeln proportional gesetzt werden können, oder es bilden sich in der Sekunde kn² neutrale Molekeln, wo к eine neue Konstante ist.

Werden nun in der Sekunde Д- Molekeln ionisiert, so muß für den Gleichgewichtszustand gelten

kn² = Ni

oder

Ni

Da wir die Stärke, den Wirkungsgrad des Ionisators, oder wie wir es sonst nennen wollen, der Zahl Д- der in der Zeiteinheit sich ionisierenden Molekeln proportional setzen können, so wächst also die Anzahl der in der Volumseinheit des Glases vorhandenen positiven bzw. negativen Ionen nicht, wie man meinen könnte, proportional mit der Stärke, sondern mit der Quadratwurzel aus der Stärke des Ionisators.

§ 69. Leitfähigkeit der Gase — Sättigungsstrom.

Wir denken uns einen Würfel von 1 cm Kantenlänge. Zwei gegenüberliegende Flächen seien Elektroden von der Potentialdifferenz ®. Befindet sich in diesem Würfel ein ionisiertes Gas, so werden die positiven Ionen gegen

die Kathode, die negativen gegen die Anode getrieben. Es entsteht ein Elektrizitätstransport; das ionisierte Gas ist ein Leiter der Elektrizität. Der Einfach

heit halber nehmen wir wieder an, wir hätten n positive und ebensoviel negative Ionen. Jedes Ion besitze das Elementarquantum e der Elektrizität als Ladung. Wir können den Elektrizitätstransport und somit die Leitfähigkeit der Luft jetzt genau so berechnen wie die Leitfähigkeit der Metalle (§ 65), nur ist zu beachten, daß hier nicht nur die negativen, sondern auch die positiven Elektronen am Elektrizitätstransport teilnehmen.

Ist die mittlere Weglänge der positiven Ionen lp, ihre Masse шр, die Geschwindigkeit der Wärmebewegung sind die entsprechenden Werte der negativen Ionen lnj rrtni cn, so wird nach § 65 die Zahl der positiven Ionen, welche in der Sekunde den Querschnitt des Leiters

nestln

passieren

ne®l

, die Zahl der negativen

2 mncn

sein.

’ 2 rripCp

Da jedes Ion die Elektrizitätsmenge e mit sich führt, so wird die gesamte Elektrizitätsmenge, welche in der Zeiteinheit den Querschnitt des Leiters passiert, das ist die Stromstärke

sein. Setzen wir

i _ ne²® / lp

2 \ШрСр

ln

mncn

e²ln

so wird

2mncn

i = n ® (u + v) .

In dieser Form erkennen wir die große Ähnlichkeit zwischen der Elektrizitätsleitung in Lösungen (§ 44) und in Gasen.

Diese Ähnlichkeit gilt jedoch nur für kurz andauernde Ströme. Während wir nämlich bei der Elektrizitätsleitung in Lösungen die Zahl der Ionen in der Yolumseinheit durch längere Zeit als konstant an sehen konnten, woraus ohne weiteres die Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes folgt, ist dies bei Gasen nicht mehr der Fall. Hier ändert sich die Konzentration der Ionen infolge ihrer Wanderung relativ rasch, wir müssen die in der Yolumseinheit vorhandene Ionenzahl als eine Funktion des Potentialgefälles (£ betrachten. Erst wenn die Zahl der in der Sekunde sich ionisierenden Molekeln Д- den verschwindenden Ionen das Gleichgewicht hält, erhalten wir konstante Ionenkonzentration. Die Zahl der verschwindenden Ionen ist aber gegeben erstens durch die sich bildenden neutralen Molekeln, deren Zahl wir im vorigen Paragraphen kn² setzten, zweitens durch den Elektrizitätsausgleich an den Elektroden. Da hier je zwei Ionen wieder eine neutrale Molekel bilden, so ist die Zahl der dadurch in der Sekunde entstehenden neutralen Molekeln

hi

1    nefë l lp

2    L 2 \mpcp mncn

Die Konzentration n der Ionen in unserem Gas wird also gegeben sein durch

Ni — kn² —J— = 0 .

Für den Strom i ist also der Widerstand gleichzeitig eine Funktion der elektromotorischen Kraft, oder, wie man gewöhnlich sagt, er befolgt nicht das Ohmsche Gesetz. Mit wachsender elektromotorischer Kraft steigt auch die Stromstärke, aber nicht in gleichem Maße wie die elektromotorische Kraft. Der Yersuch zeigt sogar, daß man mit steigender Stromstärke die Größe kn2 gegen vernachlässigen kann, so daß wir nur noch die

и 6

Gleichung haben oder

i= 2 e Ni.

In diesem Falle ist der Strom konstant und unabhängig von der Größe der elektromotorischen Kraft. Man nennt-ihn den Sättigungsstrom. Es ist die. größte Stromstärke, welche erzielt werden kann. Die durch zufällige Begegnung sich neutralisierenden Ionen spielęn in diesem Falle keine Rolle mehr, sondern alle durch den Ionisator erzeugten Ionen werden an die Elektroden geführt. Durch Messung der Stromstärke läßt sich somit die Größe erfinden, welche wir wieder proportional der Stärke des Ionisators setzen können, so daß wir auf diese Weise Ionisatoren in ihrer Wirkung miteinander vergleichen können.

Anhang.

Elastizitätstheorie.

§ 70. Normal- und Tangentialspannungen.

Wirken auf einen elastischen Körper Zug- und Druckkräfte, so wird er deformiert, und in seinem Innern treten Spannungen auf. Fassen wir ein Elementarpat allelepiped, dessen Kanten parallel den drei Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems sind, ins Auge, so werden wir die Kräfte, welche auf eine Fläche des Parallelepipeds wirken, immer in eine Normal- und eine Tangentialkraft zerlegen können. Die Größe der Kraft wird proportional der Größe des Flächenelementes sein, auf welches sie wirkt. Wir können daher auch von der Kraft per Flächeneinheit sprechen. Diese Kräfte per Flächeneinheit wollen wir im folgenden in Betracht ziehen.

Die Kraft, welche normal zu einem Flächenelement, das senkrecht zur x-Achse steht, wirkt, wollen wir, weil sie parallel zur x-Achse gerichtet ist, mit Xx bezeichnen. Analog werden wir die Normalkräfte parallel zur y- und я-Achse Yy bzw. Zz schreiben. Die Tangentialkraft, welche in das Flächen element selbst hineinfällt, können wir immer in zwei Komponenten parallel zu den Koordinatenachsen zerlegen. Nehmen wir z. B. die Tangentialkraft, welche ein Flächenelement, das senkrecht zur æ-Achse steht, angreift, so erhalten wir eine Komponente parallel zur y- und eine parallel zur %-Achse. Wir wollen sie dementsprechend mit Yx und Zx bezeichnen. Analog werden wir die Tangentialkräfte, welche auf ein Element wirken, das senkrecht zur y-Achse steht, mit Xy und Zy, die für ein Flächenelement senkrecht zur %■-Achse mit Xz, Yz bezeichnen. Man pflegt gewöhnlich die Kräfte per Flächeneinheit Xx, Yyi Zz die Normalspannungen, die Kräfte Xy, Xz, Yx, YZ) Zx, Zy die Tangentialspannungen zu nennen.

§71. Deformationen durch Normalspannungen — Längsdilatation — Querkontraktion — Volumsdilatation.

Nach dem Hook eschen (jesetz ist die Dehnung eines Prismas proportional der dehnenden Kraft. Gleichzeitig zeigt sich, daß neben der Dehnung eine Querkon-traktion eintritt, weiche zwar kleiner als die Dehnung, aber proportional derselben ist. Denken wir uns einen Würfel von 1 cm Kantenlänge, die Kanten parallel den Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems. Es wirke auf ihn lediglich die Normalspannung Xx, welche wir normal zur linken und rechten Seitenfläche in entgegengesetzter Richtung wirkend annehmen müssen. Die Kanten parallel zur x-Achse erfahren dadurch eine Verlängerung, die sogenannte Längsdilatation

Xx E ’

hingegen jene, die senkrecht zur x-Achse stehen, das sind die Kanten parallel zur у- bzw. %-Achse, eine Verkürzung, die Querkontraktion

kXx

Deformationen durch Normalspannungen.

159

wobei к ein Bruch ist, der nach der Erfahrung zwischen V₂ und */₄ liegt, und die Konstante E gewöhnlich der Elastizitätsmodul genannt wird.

Wirken auf den Würfel die drei Spannungen XX) Yy, Zz, so erfahren die Kanten parallel zur ж-Achse die Verlängerung (51)

Yy k(Xx+Zz)

Analog ist die Verlängerung der Kanten parallel zur у -Achse

yv- E

und parallel zur я-Achse

zz =

Z* k(Xx + Yy)

Während im neutralen Zustande unser Würfel den Inhalt von einem Kubikzentimeter hat, ist sein Volumen nach Einwirkung der Normalspannungen

(1 -f- Хэ) (1 + yy) (1 + я*) = 1 + xx + уу + %z da wegen der Kleinheit der Dehnungen Produkte derselben vernachlässigt werden können. Die Volumszunahme

(52)

0 — xx yy zz nennt man die Volumsdilatation.

§ 72. Deformationen

durch Tangentialspannungen — Schiebungen.

Wir denken uns einen Elementarwürfel (Fig. 18) eines elastischen Körpers. Soll er unter dem Einfluß der Tangentialspannungen im Gleichgewichte sein, so genügen

die Spannungen Xz nicht, da dieselben, wie man sieht, ein Drehungsmoment ergeben würden. Es müssen daher auch die Tangentialspannungen Zx vorhanden sein, welche ein entgegengesetzt gerichtetes Drehungsmoment ergeben.

-V

,Y<

■-ЛГ

Fig. 18.

Nur wenn

ist, wird Gleichgewicht vorhanden sein. Analog muß immer gelten

und

Ys=Zv.

Die Tangentialkräfte deformieren ebenfalls den Körper. Stände ein Würfel von der Kantenlänge Eins nur unter dem Einfluß der Tangentialkraft Xz (Fig. 19), indem seine untere Fläche etwa festgehalten würde, so würde die Seitenfläche AB CD die Form A'B'CD annehmen. Die Strecke A A' =BB' = xz nennen wir die Schiebung oder Scherung, indem man die Tangentialkräfte auch scherende Kräfte nennt. Die Schie

= AA' = <£ACA'. в в'

bung xz gibt für einen Würfel von der Kantenlänge Eins direkt den Weg an, um welchen sich durch den Einfluß der Kraft Xz die Punkte der oberen Würfelfläche relativ zur unteren verschieben. Da die Strecke AG = 1 ist, so ist

Fig. 19.

Gleicherweise wird die Kraft Zx die Schiebung zx hervorbringen, und da Xz — Zx, so auch

xz — zx

und analog

Яу - Ух

§ 73. Beziehung zwischen Normal-, Tangential-spannungen und Schiebungen.

Denken wir uns einen Würfel unter dem Einfluß der Tangentialspannungen Xz und Zx, so nimmt die Seitenfläche A BCD parallel zur (x, &)-Ebene des Koordinatensystems (Fig. 20) die Form A' B'C' D' an. Diese Deformation können wir in einem Körper aber auch noch auf

11

Jäger, Theoretische Physik IV.

andere Weise, nämlich durch Normalspannungen erzielen. EFGH (Fig. 21) sei der Querschnitt eines quadratischen Prismas von der Höhe Eins. Parallel den Seiten E G, FH sei die Normalspannung N vorhanden. Es wirkt somit auf die Fläche GH nach abwärts ein Zug N • GH, ein gleich großer in entgegengesetzter Richtung auf FF.

l\°°

B'

>JC

JD'

Fig. 20.

Dadurch erleidet das Quadrat EFGH eine Deformation und geht über in das Rechteck E' F' G'H\ während sich das Quadrat AB CD in den Rhombus A'B'C'D' verwandelt. Dieselbe Deformation erzielen wir, wenn wir den Zug, der an der Fläche GD angreift, gleichmäßig über AD verteilen. Diesen Zug können wir bezüglich AD in eine Tangential- und eine Normalspannung zerlegen, die gleich groß sind, da der Winkel cp = 45 °. Dasselbe,

was wir mit der Fläche AD taten, können wir bei den Flächen AB, BC und CD wiederholen. Wir erhalten so vier einander im Gleichgewicht haltende Normalkräfte, die keine Verschiebung hervorrufen können, ferner die durch Pfeile angedeuteten Tangentialspannungen T⁷, welche also die Schiebung verursachen.

<T

B/

B'

B'

Л*'

<p

cr

IJ

II

D'

Fig. 21.

Die ursprüngliche Normalspannung W, welche auf die Fläche EB die Kraft N• EB ausübt, wird per Einheit der Fläche AB eine Kraft S zur Folge haben, welche gegeben ist durch

oder

N-EB = S-AB= S-EB-^2 ,

Somit ist die Komponente

T « я S ■ N T= S cos— = —

4 у 2

Durch die Deformation des Quadrates EFGH in das Rechteck E'F' G'H' geht der Winkel cp in cp' über. Es ist

EA

EB

tgcp =

^11 +

tgcp' =

EB

l¹ E

kN'

= t g<p-

kJST '

(§71.) Wegen der Kleinheit von — können wir schreiben

tgcp'

/ N\ / к N\

=ts<p{i+E)[i+-lf)=ts<P

l + (l + k)-~

oder

tgcp' — tgcp = d (tgcp)

= 2 dcp — (1 + k) ß

dcp

COS ² Ç9

was man alles sofort erhält, wenn man bedenkt, daß cp' und cp sehr wenig voneinander verschieden sind, daß

7t

ferner cp = —, also tgcp = 1, cos² 99 = -J- ist. Es ergibt sich somit

dcp — (1 + Щ

da wir ja T =— fanden.

Durch eine Drehung um 45° können wir das Quadrat AB CD (Fig. 21) mit dem Quadrat (Fig. 20) Deckung bringen und sehen ohne weiteres, daß die Tangentialspannungen T dann mit Xz bzw. Zx, die Winkelveränderung d(p mit der Schiebung xz — %x identisch wird. Danach erhalten wir also

zur

(53)

Xz — %x —

АГ,=

E Zx]

ebenso ergibt sich

1 + k

ХУ = Ух = ■■ ~"E -

Yx

und

§ 74. Gleichgewicht und Bewegung elastischer Körper.

Auf ein Elementarparallelepiped eines elastischen isotropen Körpers — nur für solche haben wir unsere Untersuchungen angestellt — sollen Normal- und Tangentialspannungen und außerdem äußere Kräfte wirken. Letztere seien, wie etwa die Schwerkraft, proportional der Masse des Körpers. Nennen wir die Komponenten der äußeren Kräfte auf die Masseneinheit X, K, Z, so wirkt parallel zur x-Achse auf unser Prisma die äußere Kraft q (X ß y X, wenn wir mit q die Dichte des Körpers, mit ос, ß, y die Prismenkanten bezeichnen, welche parallel den Achsen des Koordinatensystems zu denken sind. Es wirkt ferner auf die linke Seite des Prismas infolge der Normalspannung Xx die Kraft — ß y Xxi auf

die rechte analog ß y Xx. Da wir die Spannungen als stetige Funktionen der Koordinaten auffassen, so ist

exx

aT*’

X' = xx +

also

Xi - Xx =

ax*

dx *

dXx

resultiert.

woraus für das Prisma die Kraft a ß y Ganz ebenso steht es mit den Tangentialspannungen Xy

exz

dz

Für den Fall des Gleichgewichtes muß die Summe aller dieser Kräfte gleich Null, für den Fall der Bewegung gleich der Masse multipliziert mit der Beschleunigung des Elementarparallelepipeds sein. Im ersten Falle erhalten wir somit

und Xz. Sie ergeben die Kräfte aß y

dXy

öy

dx

und aßy

Sb    ex,    iix

dx dy    dz

dx y

Im Falle der Bewegung muß der vorletzte Ausdruck

d²f

gleich a ßy q —— oder es muß

QjXù

»ßy[

^ + ez) = o,

oder

(54)

ex,

dz

f ez = o.

(55) q

Orr

exx

dXz

dt²

, exy , —. ,

dx dy dz ®

*Tt

sein, indem wir mit die Beschleunigung parallel zur

dt²

X-Achse bezeichnen, während aßyQ die Masse des Yo-

liimselementes ist. Dabei haben wir angenommen, daß nicht nur, wie wir im § 72 bewiesen haben, im Ruhezustand, sondern auch bei der Bewegung für jeden Punkt des Körpers

zx

usw. gilt. Daß dies tatsächlich zutrifft, ergibt uns sofort die Fig. 18. Hat der Elementarwürfel daselbst die unendlich kleine Kantenlänge oc, so ist das Drehungsmoment der Xz gleich ocsXz, jenes der Zx gleich ocsZx. Das Trägheitsmoment des Würfels ist Xmr² (Bd. I, § 28), wird also, wie man leicht findet, von der Größenordnung oc⁶. Sollen demnach keine unendlich großen Winkelbeschleunigungen Vorkommen, so ist das nur möglich, wenn Xs und Zx im physikalischen Sinne einander gleich sind.

Nach Gleichung (51) (§ 71) können wir bilden Xx — E xx    к (Xx -J- Yy Zg) — к Xx ,

aus den Gleichungen (51) und (52)

0 = Xx + У y + %g = -jß--------(Де + Yy + Zg) .

-2k

Danach ergibt sich für die frühere Gleichung

Exx 1 + k ’

Xx =

kEO

(1 + k) (1-2 k)

oder

(56)

Xx = Л 0 -f- 2 fixx

wenn wir

kE

(1 + к) (1 - 2 k) ¹

Anhang-. Elastizitätstheorie, setzen. Gleicherweise erhalten wir

168

Yy — X 0 -f* 2 ja у у ,

Zz = Я 0 -{- 2 ja zz.

Ferner ergeben die Gleichungen (58) (§ 73) für die Tangentialspannungen

(57)

Xy — Yx — 2 fx Xy — 2 fxyx , Xz — Zx = 2 [i Xg = 2 [л zx , Yg = Zy = 2 juyz = 2 juzy .

Wir denken uns nun wieder ein Elementarparallel-epiped eines elastischen Körpers. Im neutralen Zustande habe es die Kanten oc, /?, у . Nach der Deformation soll der Anfangspunkt der Kante oc einen Zuwachs der æ-Koordinate um f. der Endpunkt um f ' erfahren haben. Die Kante oc hat dadurch eine Verlängerung f' — | erlangt, und wir können wiederum setzen, so daß also

SS

die Verlängerung von oc,    — daher die Verlängerung

der Längeneinheit, d. h. die Dehnung parallel zur ж-Achse ist. Analog erhalten wir für die Dehnung parallel zur

Wir

dt]    d £

y- und ж-Achse die Ausdrücke und .

cy    dz

können somit die Gleichung (56) und die zugehörigen auch schreiben

Хх = Я в + 2 и

со ;co

Y у = I в + 2 /л

с г]

еу ’

dz

Desgleichen ist

ас

в==^С ⁺

дг)

ас

ду

⁺ дх '

Ist infolge der Tangentialspannung Xz (Fig. 19) der Punkt A um die Strecke AAf = xz verschoben worden, so können wir, da xz nichts anderes als die Tangente

Jlrc

ist,

des Winkels AGA' gleich

ac __a_c

"dz dx

oder auch

Xz = Zx =

xz = zx = —

¹    (Ü ₊ l£)

2    \dz    dx)

setzen. Danach lassen sich schreiben

Xy — Yx — [л

Xe — Zx — [л

Cb Oj Cb

auch

S- H ^

со со

dz

dx) ’

Xg = Zy = /л

drj

de

dz

dy) ’

und wir finden unmittelbar

dXx _ дв

— /, ——

dx

dx+2fl

dx² ’

dXy

Xrr

d²rj

6y

dy²    dxdy

ехг

Пгт

г-f

dz

dz² dxdz

Durch Addition dieser drei Gleichungen ergibt sich dXx , dXy , dXg

dx

dy

dz

öx+fiA^ + y

JLIll

dx \dx

drj

dy

ев

= {XĄ- y) -g— + fi A£,

ец

dx²    d«/²

verstehen. Sonach erhalten wir nach Gleichung (54) für das Gleichgewicht eines elastischen Körpers die Beziehungen

wenn wir unter zlf den Ausdruck

J>r

de

de

(Я + ^)^ +jLiArj + QY = 0,

+ и) + pAÇ Ar = 0

für die Bewegung hingegen

de

( d2£    n ■ ^

⁶Ж' = {^и)'дх

(58)

de

+ ILtAÇ + QZ.

,J J_ 4

1 еж = (я + /<)

§ 75. Planwellen in einem unbegrenzten elastischen festen Körper.

Um spezielle Beispiele sowohl des Gleichgewichtes als der Bewegung elastischer Körper zu berechnen, ist es in der Regel angezeigt, nicht von den allgemeinen Gleichungen auszugehen, sondern die Gleichungen für die Kräfte direkt aus der Gestalt des Körpers anzusetzen. So haben wir z. B. die Gleichung für die Längsschwingungen in Stäben direkt entwickelt (Bd. I, § 86). Wir wollen deshalb an dieser Stelle nur noch den Fall einer Planwelle in einem unbegrenzten Medium betrachten, der sich in sehr einfacher Weise unmittelbar aus den allgemeinen Gleichungen (58) ergibt.

Wir denken uns ein dreiachsiges rechtwinkliges Koordinatensystem und nehmen an, daß in jeder Ebene parallel zur (?/, z)-Ebene alles konstant sei, sowohl die Dehnungen als die Verschiebungen. Äußere Kräfte sollen überhaupt keine vorhanden sein, so daß

Y=Z=0

wird. In den Gleichungen (58) müssen somit alle Ableitungen nach y und z gleich Null werden. Da allgemein

d£

drj

dz ¹

so wird für unseren Fall

dt

дв __ d²Ç ôx dx²

daher

Ferner wird

d²t

d²rj

d²C

~dx² 1

und die Gleichungen (58) vereinfachen sich in folgende:

dx² 1

d²Ç

d²Ç

вии-^+2г1)дп

d²rj

d²ri

⁸ dt²    ** dx² ’

d4 дЧ

⁸ dt²

die wir auch noch schreiben können

¹¹ dx² ’

æi

dt2 a <9cc2 1

d²?;    ₂ d²?;

HF ~c HF '

an = a

dt²

<9æ²

1 -f- 2 jM

indem wir

gesetzt haben.

Die erste dieser Gleichungen ist gelöst durch £ = f(® — at) ,

die zweite und dritte durch

bzw.

r) = <p(x — c t) t; = ip(x — ct)

(Bd. I, § 79). Die Verschiebungen £ einer Planwelle pflanzen sich in der Richtung der Verschiebung mit der Geschwindigkeit

a=^U±Jl

fort. Es ist dies also die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Longitudinalwellen. Die Verschiebungen ц und £, welche parallel zur Wellenebene erfolgen, pflanzen sich senkrecht dazu mit der Geschwindigkeit

-Vf

fort. Dies ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Tr ans vers,al wellen.

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Longitudinalwellen im unbegrenzten Raume darf nicht verwechselt werden mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Longitudinalwellen in einem Stabe. Die Verschiedenheit rührt daher, daß hier Querkontraktion eintritt, also keine Transversalspannungen im Stabe auftreten, während im unbegrenzten Raume keine Querkontraktion, infolgedessen entsprechende Transversalspannungen bei jeder Dilatation bzw. Kompression eintreten.

К k AKÓw

- щ

*!^*ehnic

Lehrbücher der elektromagnetischen Licht-, Strahlungs-, Elektronen- und Elastizitätstheorie.

C. Christiansen, Elemente der theoretischen Physik. 2. Aufl. Braunschweig 1891.

J. C. Maxwell, Lehrbuch der Elektrizität und des Magnetismus. Berlin 1883.

L. Boltzmann, Vorlesungen über Maxwells Theorie der Elektrizität und des Lichtes. Leipzig 1891.

H. V. Helmholtz, Vorlesungen über die elektromagnetische Theorie des Lichtes. Leipzig 1897.

—> Dynamik kontinuierlich verbreiteter Massen. Leipzig 1902,

P. Drude, Lehrbuch der Optik. 2. Aufl. Leipzig 1906.

Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Bd. V₂, Heft 1.

G. J, Göschen⁵sehe Verla gshandlung in Leipzig.

Zwölf Vorlesungen

über die

Natur des Lichtes

von

Dr. J. Classen

Professor am physikalischen Staatslaboratorium zu Hamburg

Mit 61 Figuren

In Leinwand gebunden M. 4.—

n diesen Vorlesungen, die im Winter 1904/05 im Auftrag der Oberschulbehörde in Hamburg vor einem gebildeten Laienpublikum gehalten wurden, hat der Verfasser den Versuch gemacht’, in allgemeinverständlicher Weise an der Hand einer Reihe von Experimenten die Begründung der Wellentheorie des Lichtes und ihrer Weiterentwicklung zur Auffassung der Lichtwellen als elektrische Erscheinungen, also die Begründung dessen, was wir heute die elektromagnetische Lichttheorie nennen, darzustellen. Da ein derartiger Versuch bisher noch wenig gemacht sein dürfte, unseres Wissens wenigstens noch nirgends veröffentlicht ist, so hoffen wir, daß das Buch in den Kreisen der Gebildeten, die Freude daran haben, einen Blick in die Werkstatt der physikalischen Wissenschaft zu tun, freundliche Aufnahme findet.

G. J. Göschen’sche Verlagshandlimg in Leipzig

Thermodynamik

von

Geh. Regierungsrat Dr. W. Voigt

Professor der theoret. Physik an der Universität Göttingen

2 Bände

In Leinwand gebunden M. 20.—

I. Einleitung: Thermometrie, Kalorimetrie, Wärmeleitung

In Leinwand geb. 10 M.

Erster Teil: Thermisch-mechanische Umsetzungen. Mit 43 Figuren. [Sammlung Schubert Bd. XXXIX.] (XV, 360 S.) 1903.

II. Zweiter Teil: Thermisch-chemische Umsetzungen. Dritter Teil: Thermisch-elektrische Umsetzungen. Mit 44 Figuren und 1 Kurventafel. [Sammlung Schubert Bd. XLVIII.] (XI, 370 S.) 1904.

In Leinwand geb. 10 M.

as Werk behandelt die Thermodynamik im weiteren Sinne des Wortes, nicht nur — wie man nach dem Titel vielleicht vermuten könnte — den ehemals als „mechanische Theorie“ be-zeichneten Teil der Wärmelehre. Der (früher gebräuchlichen) Absonderung der sogenannten „mechanischen Wärmetheorie“ von dem Gesamtgebiet lag die Vorstellung zugrunde, daß es Vorgänge in der Natur gäbe, bei denen nur thermische Veränderungen sich abspielten ; zu diesen wurden insbesondere die Erscheinungen der Wärmeleitung und -Strahlung gerechnet. Man weiß jetzt, daß jene Betrachtungsweise irrig ist, daß jede thermische Veränderung mit andersartigen Vorgängen verknüpft ist, und daß das volle Verständnis einer jeden von ihnen nur durch Anwendung der Prinzipien’ der allgemeinen Thermodynamik oder mechanischen Wärmetheorie zu gewinnen ist.

Sammlung Göschen

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6. 7* GöfcbetiTcbc Verlagsbandlung, Leipzig.

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Meteorologie . . . Müitärtotffenfdpaft .

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12

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16

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18

17

15 U. 19

22

SBibKotpeï äut $piU>foppte.

9fr. 281.

(Sinfüprung tu bte fßpitofoppie bon Dr. 9fta£ 2Benifd)cr, ^Srofeffor an bec Uniberfitât tônigêberg.

©efd)icpte ber Wtofoppie IV: teuere fßfiitofoppie bté tant bon Dr. Sruno Saudp, fßribatbos. an ber Unfberf. |>alle a. S.    fftr. 394.

fßfpdjotogie unb Sogif sur ©infitprung in bie fßpilofoppie bon ^Srofeffor Dr.

Xp. (ЩепрапЗ. Sftit 13 Figuren.

Sir. 14.

©runbrif? ber SHpdjopppfif bon fßrofeffor Dr. ©. g. Sippâ in Seipsig. SRit 3

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©tpif bon $rof. Dr. Xpomaê Stdfeltè in Sremen.

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SUIgemeine Stftpctif bon $rof. Dr. ЭДа£ Xiej, Seprer an ber tgl. Slïabemie

ber bilbenben tünfte in «Stuttgart.

Rr. 300.

Weitere Bänbe finb in Vorbereitung.

®ibltotpet 3ur Spracpwiffenfcpaft.

gubogermauiidje Spradnuiifcnidiaft bon Dr. 9Î. Geringer, ^Srofefjor an bet

Uniberfitât ©ras. fWit l Xafcl.

©ermanifdjc Spradpuiffeitidjaft bon Dr. 9îicp. Soeioe in Serlin. Rr. 238. Üiomanifd)e Spradpoiffcufcpaft bon Dr. Slbolf gunner, Skibatbojent an ber

Rr. 128, 250.

Semitifdje Spradpüiffenfdjaft bon Dr. ©. Srodelmann, ffkofeffor an ber Uniberfitât tönigSberg.    Sir. 291.

Xcutfdjc ©rammatif uub furse ©efcpkpte ber beutfdjen Spracpe bon Scpulrat Skofeffor Dr. ö. ßpon in Xreêbcn.

Xcuticpc^uetif bon Dr. t.Sorinêïi, fjkofeffor an ber Uniberfitât fDîüitdfen. Rr.40. Xeutfcpe fHcbclepre bon £>an§ fßroöft, ©pmnafialprof. in Samberg. Rr. 61. Stuffapentwiirfe bon Oberftubienrat Dr. Ś. 2S. Straub, fReïtor beâ ©berparb*

Rr. 17.

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fRr. 20.

SubK>ig3=©pmnafium3 in Stuttgart. SSôrterbudjnadpberneuenbeutfcpenfRecptfcpreibung b. Dr. £einricp tiens. fRr.200. 2>cutfd)e§ SBiirterbud) bon Dr. gerb. Xetter, $rof. an ber Uniberfitât $rag. gfr. 64. 2>aê grembtuort int Xcutfcpeu bon Dr. SRub. tleinpaut in Seipjig. fRr. 55. 2>eutftpe§ grembuiürterôud) bon Dr. fRuboIf tleinpaul in Seipsig. SRr. 273. Xie beutfdten ffSerionennaincn bon Dr. fRuboIf tleinpaul in Scipsig. SRr. 422. ©nglifd)*beutfd)c§ ©efprâdjSburf) bon ^Srofeffor Dr. ©. £au3ïnecpt in Sau*

fanne.

$Rr. 424.

©runbrifê bcrtatcinifd)enSpra(ptcpre b. $rof. Dr. 20.Sotfdpi.SRagbeburg.9îr.82. fRuffifd)e ©ratmnatiï bon Dr. (Sricp Serneïer, $rof. an ber Uniberfit. ^3rag. $Rr. 66. 9iufîifd)*$cutf(pe§ ©efprâd)§bucp bon Dr. ©ricp Serneïer, ffkofeffor an ber Uniberfitât Srag.    SRr. 68.

fRuffifdjeê Scfcbud) mit ©(offar b. Dr. ©ricp Serneïer, $rof. a. b. Unib. <£rag. fRr.67.

fRuffifdie 2iteratnr b. Dr. Ericf) SSoeljme, Seftor an b. £>anbeidbod)fd)ule Berlin. I. Seil: 3lu§raal)I mobemer ißrofa unb fßoefie mit audfübrlidfen 3lnmer*

SRr. 403.

--II. Steil: Всеволодъ Гаршшгь, Разсказы. TO SInmerfungen unb

2IÏ3entbe3et(f)nung.    fRr. 404.

©efdjirfjte ber flaffifcfjcn filologie bon Dr. 3BiIf>. Kroll, orb. ffßrof. an bet Uniberfität Mnfter.    SRr. 367.

(SieÇe аиф „£anbeldtoiffenf<f>aftIicf)e SSibliotSef".

Weitere Bänbe finö in Vorbereitung.

fungen unb aifaentbeseicbnung.

Citeroturgcf(!)id)tIiff)e $tbliotf)ef.

Seutfrfje 2iteraturgefrf)irf)te bon Dr. 2Ra£ Kodj, fßrofeffor an ber Uniberfität

9łr. 31.

Seutfdje 2iteraturgefrf)itf)tc ber Klaffiferjcit bon ffßrof. Earl 2Beitbretf|t. ißt. 161. Seutfcbe 2iteraturgefdjidjte bed 19. ftabrSuttbertd bon (Sari 2Beitbred)t. Surcfa gefeben unb ergänzt bon Dr. fRicbarb Söeitbrecfjt in SSimbfen. 2 Seile.

9ft. 134, 135. 5Rr. 229.

©redlau.

©efd)id)te bed bcntfrfjen fRotnand bon Dr. £etlmutl) ШеНе.

©otifebe Sb*ad)beitfmäler mit ©rammatiï, Überfettung unb Erläuterungen bon Dr. Hermann Sfanfcen, Streïtor ber Königin £uife*(5tf)ule in Königd* berg i. $r.

3Utf)orf)bentfd)c 2iteratur mit ©rammatiï, Überfettung unb Erläuterungen bon

iRr. 28.

Ebbnlieber mit ©rammatiï, überfefcung unb Erläuterungen bon Dr. ШЩ.

iRr. 171.

St). ©djauffler, ^Srof. am fRealgbmnafium in Hlm.

$Rr. 79.

fRanifdj, ©bmnafialoberlebrer in Odnabrücï.

Sad 2Baltf)ari-2ieb. Ein £elbenfang aud bem 10. ftaïjrbunbert im Sßerdma&e ber Urfdjrift überfe^t u. erläutert b. $rof. Dr. £. 2lItï)of in SBeimar. 97r. 46.

Stdftungen and mittelfj о tf) heutiger ftrtiljseit. $n Sludmafit mit Einleitungen unb Sßörterbud) ïjeraudgegeben bon Dr. Hermann Sanken, Sireïtor ber Königin £utfe*<5d)ule in Königdberg i. $r.

Set fRtbelmtgc 9îôt in Sludtoafil unb ntittelljorfibeutfrije ©rammatiï mit ïurgem SBôrterbudj bon Dr. 5Ш. ©oïtber, fßrof. an ber Uniberfität fRoftod. ÜRr. 1.

Kubrun unb Sietrirfjeben. 9Rit Einleitung unb SBorterbud) boit Dr. O. 2. Sirtcjeï, $rof. an ber Uniberfität 9Rünfter.

Kortmann bon 2lue, fföolfram bon Efrfjenbarf) unb ©ottfrieb bon (Strasburg. StudmabI aud bem böfifcfyen Epod mit SInmerïungen unb SESorterbud) b. Dr. K. aRaroIb, ffSrof. a. Kgl. gfriebrid)dïoIlegium su Königsberg i. $r. fRr. 22.

SBaltber boit ber 3?ogeïmetbc mit 2ludmaf)l aud aRinttefang unb Sbtutf}* bitfjtung. 9Rit Slnmerïungen unb einem SBörterbudf) bon 0. ©üntter, f)Srof. an ber Oberrealfdfule unb an ber Sedjn. $od)fcf)ule in (Stuttgart. SRr.23.

Sie Ebtgonen bed Pfiffen Ebod. 9ludmaï)l aud beutfeben Sichtungen bed 13. ftabrbunbertd bon Dr. $iïtor Sunf, Blïtuariud ber Kaif. Blïabemie ber SBiffenfdfaften in SBien.    SRr. 289.

2 iteratur ben finaler bed 14. unb 15. 3at|rbnnbertd, audgemäljlt unb erläutert bon Dr. Hermann Sanken, Sireïtor ber Königin Suife=<Sd)ule tnKônigd* berg i. fßr.

$Rr. 137.

SRr. 10.

fRr. 181.

Literaturbcnïmiiler bel 16. 3abrbunbcrtl. I: 9Hartin Lutber, Sbornal 9Rurner unb bal 5îtrtbcnlieb bel 16. 3abrb««bertl. Slulgemäblt unb mit ©Weitungen unb Slnmerïungen berfeben bon ^rof. ®. Öerlit, Ober* leerer am 9frïoIaigbmnafium su Leidig.    9fr. 7.

—    II: &anl ©ad)l. Slulgemäbltu. erläutert b. ^rofeffor Dr. ftutiul ©abr. 9fr. 24.

—    Ш: Son Srant bil fftollenbagen: Srant, Jütten, ftifdjart, fomie Stercbol

unb fÇabel. Slulgemäblt u. erläutert bon $rof. Dr. 3uliul ©abr. 9fr. 36. Seutfcbe Literaturbenfmälcr bel 17. unb 18. 3abrbunbcrtl bon Dr. Saul Leg*

9fr. 364.

©imbliciul ©tntbUctffimul bon £anl ftaïob ©briftoffel bon ©rimmellbaufen. 3n 9ïultoabl beraulgegeben bon $rof. Dr. $. Sobertag, So3ent an ber Uniberfität Srellau.

Sal beutfebe Solfllicb. Slulgetoäblt unb erläutert bon Srofcffor Dr. 3uliul ©abr. 2 ШпЬфеп.

©ngliftbe 2iteraturgcfcbitf)te bon Dr. ®arl 2Beifer in SBien.

©runbsiige unb &aubttt)ben ber englifcben ßitcraturgefcbidjte bon Dr. Sirnolb 9ÏL9K.©$rôer, Srof. anber$anbeIlbod)fcbuIein®ôln. 2Seile. 9fr. 286,287. 3talienifcbc Literaturgefcbicbte bon Dr. ®arl Soûler, $rof. an ber Uniberfitât $eibelberg.    9fr. 125.

Sboniftbe Siteraturgcfcbicbte bon Dr. IRuboIf Seer in SBien. 2 Sbe. 9fr. 167,168. Soïiugteftfcbe Siteraturgefdjicbte bon Dr. ®arl bon 9frinbarbftoettner, $rof.

an ber Äönigl. Sedjnifcben £ocbfd)ule Шпфеп. fRufftfdje Literaturgefcbicbte bon Dr. ©eorg Solottlïii in Шпфеп. 9fr. 166. ©labifdje Literaturgefcbicbte bon Dr. ftofef ®arüfeï in SBien. I: ältere Lite* ratur bil sur SBiebergeburt.

—    II: Sal 19. Säfjrijmtbert.

9îorbifcbe Literaturgefcbicbte. I: Sie tllänbifcbe unb norm egifdje Literatur bel

SDfrttelalterl bon Dr. SBolfgang (Soltner, $rof. an ber Unib. Iftoftod. 9fr. 254. Sie fcaubtliteraturcn bel Orienté bon Dr. 9ftid). £aberlanbt, Sribatbosent an ber Uniberfität SBien. I: Sie Literaturen Oftafienl unb gubieni. 9fr.l62.

—    U: Sie Literaturen ber Serfer, ©emiten unb Sürïen.

©rieebifebe Literatnrgefcbicbte mit Serüdficbtigung ber ©efcbidjte ber SBlffen*

fdjaften bon Dr. 9llfreb ©erde, $rof. on ber Uniberf. ©reiflmalb. 9fr. 70. ŚRiłmifdje Literaturgefcbicbte bon Dr. £erm. 3oad)im in Hamburg. 9fr. 52. Weitere BänÖe finb in Vorbereitung.

banb in Serlin. 1. Seil.

9fr. 138.

9fr. 25, 132. 9fr. 69.

9fr. 213.

9fr. 277. 9fr. 278.

9fr. 163.

(ИфгфШфе Sibliotbcï.

©Weitung in bie ©efcbicbtlmiffenfcbaft bon Dr. ©ruft Sernbeim, Srof. an

97r. 270.

ttrgefcbicbte ber üJfrufrbbeit bon Dr. füfrris $oernel, Srof. an ber Uniberfität in SBien. 9ftit 53 Slbbilbungen.

©efebiebte bei alten 'JÜfrrgenlanbcl bon Dr. %t. Rommel, o. ö. fßrof. ber femi* tifeben ©brachen an ber Uniberfität in Ш’тсЬеп. 9Jiit 9 Soll* unb Sejt* bilbern unb 1 ®arte bei 9ttorgenIanbel.

©cfcbicbtc 3fraell bil auf bie griedjifcbe Seit bon Lic. Dr. 3. Sensinger. 9fr. 231. 9îeuteftamentlicbe 3citgcid)id)ie I: Ser biftorifebe unb ïulturgefcbicbtlicbe hinter* grunb bel Urd)riftentum! bon Lic. Dr. SB. ©taerï, ^ßcofeffor an ber Uni*

9fr. 325.

ber Uniberfität ©reifimalb.

9fr. 42.

9fr. 43.

berfität 3ena. SRtt 3 harten.

Aeuteftamcutlidic 3citgcfd)irf)tc H* 2)ie Aeligion beS gubeittumS im 3eitalter beè Hellenismus unb ber Aömerherrfchaft. Mit einer fßlanfüsse- Ar. 326. 0>rïcrf)ifrf|c ©efd)id)tc bon Dr. ^eiitrid) (Stooboba, fßrof. an ber 2)eutfd)en Unio. fßrag.

Ar. 49.

Acltor Dr. gtans fjSohlhamnter. Mit 9 Aollbilbent.

Aümifdic ©cfd)iri)tc bon Aealghmnafialbireîtor Dr. gttliuS ®otf) in ©rime*

Ar. 19.

©rtcrhifdjc AltcrtumSfunbc bon ^?rof. Dr. Aid). Maifdj, neubcarbeitet bon

Ar. 16.

tonlb.

Ar. 33.

Aümiidie Altcrtumyfuubc bon Dr. £eo 93lod) in SBicit. Mit 8 Aollbilb. Ar. 45. (^cfd)iditc bc§ ÜMnnntintfriicu ActtfjcS bon Dr. SI. Aotl) in tenptcn. Ar. 190. Scittfdjc Okfrf)irf)tc 1: Mittelalter (bis 1519) bon ^Srof. Dr. g. îil'urse, Oberlehrer am ffigï. Suifengbinnafiimt in SBerlin.

—    II: 3citaltcr ber '.Reformation nub ber AeligitmSfricgc (1500—1648)

bon fjïrof. Dr. g. Sturze, Oberlehrer am ®gl. Sttifenghmn. in Berlin. Ar. 34.

—    Ill: JBom SBeftfitlifdjcu gricbcu bi§ sur Auflöfmtg Ьс§ alten AcirfjS (1648

Ar. 35.

bis 1806) bon «Rrof. Dr. g. fturse, Oberlehrer am ftgL Sttifengbmnafium in Berlin.

Scutfdic Stammcyfmtbc bon Dr. Dîitboïf Mud), f£rof. an ber Uniberfität in

Sien. Mit 2 Marten unb 2 Xafeln.

Sic beutidjeu Altertümer bon Dr. grans gtthfe, Sireltor beS (Stabt. MttfeumS

Ar. 124.

Ar. 126.

in £Braimfd)t9ei0. Mit 70 Abbilbungen.

Abrtfî ber 35urgcnfimbc bon £>ofrat Dr. Otto ^Siper in München. Mit 30 Ab* bilbungen.    Ar. 119.

Sentfthc Siulturgcfrtiidttc bon Dr. fReinh- ©üntljer.    Ar. 56.

ScutfdjcS geben im 12. u. 13. gahrljimbcrt. Aealïommentar su ben JBolïS* unb Sunftepen unb зит Minnefang. I: Öffentliches Sebcn. Aon Arof. Dr. gui. Sieffenbacher in Freiburg i. Â. Mit 1 Safel u. Abbilbungen. Ar. 93.

Ar. 328.

—    Il: fjkibatleben. Mit Abbilbungen.

Ciuellentuubc sur Scutftftcu ©efd)irf)tc bon Dr. Sari gacob, Arof. an ber

Ar. 279.

Uniberfität in Tübingen. 1. Aanb.

Ofterrcid)ifd)c dîcfdjirîjtc. I: Aon ber Urseit bis sum Sobe teig Albrechts II. (1439) bon ffSrof. Dr. grans bon StroneS, ncubearbeitet bon Dr. tari Hljlirs, Arof. an ber Unib. ©ras. Mit H (Stammtafeln. Ar. 104.

—    II: Août Sobe Slonig AlbredftS IL bis sum Seftfälifdjen grieben (1440

Ar. 105.

bis 1648) bon Arof. Dr. grans bon troneS, ncubearbeitet bon Dr. tel Ul)ïirs, 93rof. an ber Uniberfität ©ras. Mit 2 (Stammtafeln.

©nglifdjc 0)Cfd)idjtc bon Arof. £. ©erber, Oberlehrer in Süffclborf. Ar. 375. gransôfifdjc ©eidiidjtc bon Dr. A. (Sternfcïb, Arof. an ber Unib. Aerlin. Ar. 85. Auififdjc ©cfdiidjtc bon Dr. Silhclm Aeeb, Oberlehrer ant Ofterghmnafium

in Mains.

4?olnifd)C Oicfd)id)tc bon Dr. Siemens Aranbcuburger in Aofen.

Sbauifdic ©cfrt)id)tc bon Dr. ©lift. SierdS.

0ri)tuctsertfd)c ©cfrhidjtc b. Dr. Sänbliler, Arof. a. b. Unib. 3ürid). Ar. 188-©cfd)id)tc ber deutlichen Aalfanftaatcu (Bulgarien, Serbien, Aumänien, Montenegro, ©riechenlanb) bon Dr. Aoth in Kempten, öaücrifdje ©cfd)td)te bon Dr. £anS Odel in Augsburg.

Ar. 4.

Ar. 338. Ar. 266.

Ar. 331.

Ar. 160.

©cfdjidjte granïenS bon Dr. (Shriftian Metjer, ftgl. prettfe. ©taatSarchibar а. Ф. in München.    Ar. 434.

Sädjfifdje ©efdjidjte bon Srof. Otto fôaemmel, Dieïtor beâ Diiïolaigtjmnafiumâ SU ßeitotß.

Dir. 100. V2r. 352.

SPringifibe ©efd)id)te bon Dr. ©ruft Debrient in geua.

Sabifdje ©cfß)id)tc bon Dr. ®arl Stunner, Srof. am ©ptnafium in Sforsbeim unb Srtbatbosent bet ©efcbidjte an bet Sedjn. £od)fd)ule in ®artërul)e.

Dir. 230.

Dir. 6.

©efdjidjte SotfjringenS bon ©elf. 3ieg.=Di. Dr. феш. DeridjStueiler in ©traft« burg.

Sie Äultur ber tRenaiffance. ©efittung, gorfdmng, Didjtung bon Dr. Robert g. Slrnolb, Srofeffot an ber ttniberfität 23ien.    Dir. 189.

©efdjidfte be3 19. gappubertê ö01t £)§>(аг ^äger, 0. ftouoratprofeffor an ber Uniberfität Sonn. 1. Sänbdjen: 1800—1852.    Dir. 216.

— 2. Sänbdjen: 1853 btè ©nbe bc§ .^aïjr^unbertâ.    iTZr. 217.

Dir. 156.

$olonialgefd)idjte bon Dr. Dtetrid) ©djafer, Srof. ber ©efd)id)te an ber Unib. Serlin.

Sie 6eetnad)t in ber bentfdjen ©cfrfjidite bon 23irïl. Slbmiralitâtèrat Dr. C^ruft bon £alle, Srof. an ber Uniberfität Serlin.    Dir. 370.

Weitere ßänöe fini) in Vorbereitung.

©eograpljtfcfje SibHotïjeï.

ißpfifdje ©eograpie bon Dr. ©iegrn. ©üutljer, Srofeffor an ber $öuigl.

Xedjnifdjen |>od)fd)ule in DJiündjen. DJiit 32 Slbbilbungen.

Stftronomifdje ©cograpie bon Dr. Siegm. ©üntljer, Srofeffor an ber ®önigl.

Secbntfdjen £od)fd)ule in DJiimdjen. DJiit 52 Slböilbungen.

Älimafunbe. I: Slllgemetne Ælimalcbre bon Srofeffor Dr. 23. ftöpen, SReteorologe bet ©eetuarte Hamburg. DJiit 7 Safelit u. 2 Figuren. Dir. 114. äßeteorologie bon Dr. 23. Erobert, Srofeffor a. b. Uniberfität in gnn§&rud.

DJiit 49 Slbbtlbungen unb 7 Eafeln.

$pftfd)e Dïleereêlunbe bon fßrof.Dr. ©erwarb 6d)ott,2lbteUung3borfteber an ber Deutfd>en ©eetoarie in Hamburg. DJiit 28 2tbb. im Eejt u. 8 Safcln. Dir. 112. Seläogcograpie. ©eologifdfe ©efdfidjte ber DJieere u. gcftlauber b. Dr. grans ftoffmai in 2Bien. DJiit 6 harten.    Dir. 406.

SaS etâscitalter bon Dr. (fcrnil 2Berib in S erlin * 2Bilmer3borf. DJiit 17 Ш*

Dir. 431.

Sie Silben bon Dr. fRob. (Sieger, Stof, an ber Uniberfität ©ras. DJiit 19 Slöbil* bungen unb 1 $arte.

©Ictfdjerlunbe bon Dr. gri& DJiadjaće! in 2Bien. DJiit 5 Slbbilbungen im Eejt unb 11 Eafeln.

^flanjcngcograbbie bon fßrof. Dr- ßubtoig Siefê, Sribatbos. an ber Uniberf. Serlin.

Siergeograpte oon Dr. Slrnolb Jgacobt, ^Srofeffor ber äoologie an ber ®önigl.

gorftaïabemie su Epranbt. DJiit 2 harten, ßänberlmtbe bon éuroba bon Dr. grans Reibend), Srofeffor am granctèco* gofepinum in DRöbling. DJiit 14 Eejttärtdjen unb Diagrammen unb einer Äarte ber Sltyeneinteilung.

— ber aufjercuroböifd)en ©rbtctle bon Dr. grans £>eiberid>, fßrofeffor am granciäco=gofebljiuum in DRöbling. DRitll Ee^itärtdjen u. profil. Dir. 63.

bübungen unb 1 tote.

Dir. 26.

Dir. 92.

Dir. 54.

Dir. 129.

Dît. 154.

Dir. 389.

Dir. 218.

Dir. 62.

ganbcêfmtbe unb 2Birtfd)ûft§fleo6ïûbftic bed geftlanbed 2tuftraiien bon Dr. Surt $affert, ©rofeffot an ber $anbelàhochfchuie in Soin. Ш 8 2lb»

SRr. 319.

—    bon ©aben bon ©rofeffot Dr. D. Sienih in Sarlêruhe. Ш ©rofüen,

Slbbilbungen unb 1 Sarte.    3ir. 199.

—    beê Stônigrcicbd ©atjern bon Dr. SB. Ш&, ©rofeffot an ber Sönigl. £ефп^

£>ochfchule fKündjen. ШШ Profilen, TOilbungen unb 1 Satte. 9ir. 176.

—    ber fReimbltï ©rafilien bon IRobotyho bon String. ФШ 12 Slbbilbungen

unb einer Sarte.

—    bon ©ritiftb«9îorbameriïa bon ©tofeffor Dr. SI. Oppel in ©reuten. 2JUt

13 Slbbtlbungen unb 1 Sarte.

—    bon fêlfafc'fiotbrtngen bon ©rof. Dr. JR. ßangenbed in (Strasburg i. @.

ÜRr. 215.

—    bed ©rofcbersogtumd Reffen, ber drobina fccffen-Waffau mtb bed gtirften*

fcratd SBalbcd bon ©rof. Dr. (Seorg ©reim in 2)armftabt. 2Jîii 13 ШЫи

Ш. 376.

—    ber gberiftben Üalbinfel b. Dr. grih fftegel, ©rof. a- b. Unib. SBüraburg.

3Rit 8 Sdrtdfen unb 8 Stbbilb. im Sejt unb 1 Sarte im garbenbrud. SRr. 235.

—    bon Cfterretd)'Ungarit bon Dr. Sllfreb ©runb, ^Srofeffor an ber Uniberfitdt

SRr. 244.

-- ber 9ibetnbrobins bon Dr. ®. Steinecfe, 2)ireïtor bed ÜRealghmnafinmd

9Zr. 308.

—    bed ©nrobdifthen fRnfêlattbd ncbft gimtlanbd bon Dr. SUfreb ©htïiübfon,

orb. ^Srof. ber ©eogtabbie an ber Uniberfitdt £alle a. S. 2Rit 9 Slbbilbungen, 7 ïejtïarten unb einer litbograbbtfdjen Starte.    9Rr. 359.

—    bed Sünigreidjd Sathfen bon Dr. g. gentmrich, Oberlehrer am Öteal»

ghmnafium in flauen. 90Ш 12 Slbbilbungen unb 1 Starte. 9it. 258.

—    ber Schtoeia bon ©rofeffot Dr. ф. SBalfer in ©em. ШШ 16 Slbbilbungen

unb einer Starte.

—    bon Stanbinabien (Sd)toeben, iftortoegen unb 2)dnematf) bon Heinrich

Serb, ßehrer am ©tymnafium unb Sekret ber ©rbïunbe am ©onteniud» Seminar au ©onn. 11 Slbbilbungen unb 1 Sorte.

—    ber bereinigten Staaten bon Sîorbamerifa bon ©rof. Heinrich gifcher,

Oberlehrer am Buifenftdbtifchen fRealgtjmnafium in ©erlin. 9Jlit Sorten,

9îr. 381, 382.

—    bed Süntgreithd SBÜrttcmberg bon Dr. Sturt ^offert, ©rofeffot an ber

fcanbetëhochfchule in Söln. 3Rit 16 ©ollbübern unb 1 Sorte, ftr. 157. Eanbed- «nb ©olfdïunbe ©aläftinad bon ©ribatboaent Dr. <ü. &ölfchet in фаПс a. S. SDHt 8 ©ollbilbem unb einer Sorte.

SHHlerlunbe bon Dr. 9ВДае1 jpaberlanbt, ©rioatboaent an ber Uniberfitdt SBien. 90Ш 56 SlbbUbungen.

Sertenfunbe, gefchichtlich bargeftellt bon (S. (Selctch, $>ireïtor ber ï. I 9ïau» tifdhen éthuïe in ßuffinbtccolo, g. Sauter, ©rofeffor am SRealgtjmnafium in Ulm unb Dr. ©aul 5)infe, Slffiftent ber ©efellfchaft für fêrbïunbe in ©erlitt, neu bearbeitet bon Dr. 3ft. ©roll, Sartogcabh in ©erlin. Ш

3tr. 30.

bilbungen, 6 grabhi)<hen Tabellen unb 1 Sarte.

90Ш 11 Slbbilbungen unb 1 Sarte.

bungen unb 1 Sarte.

©erlin. ЗДШ 10 Üejtilluftratiouen unb 1 Sarte.

in Offen. 9Ш 9 Sibb., 3 Sdrtchen unb 1 Sarte.

giguren im Xejt unb Safeln. 2 ©dttbehen.

71 Slbbilbungen.

Weitere ßänbe finb in Vorbereitung.

Ш. 873.

9ft. 284.

9ft. 202.

9ft. 345.

mi. 73.

Ш^етаЩе «ibliothef.

©efrftitfite bcr SWathematil bon Dr. 51. ©turnt, «JBrofcffor am OBerghmnaftum

9?r. 226.

SKrittimctit unb 9ttgcbra bon Dr. Hermann ©djubert, $rof. an ber (gelehrten* fchitle ЬеЗ SohanneumS in Hamburg.

SBeifbielfammluttg S«r 3lrithmctif nttb 2Ugebra bon Dr. Hermann ©Hubert, 5$rof. an ber (èeleîjrtenfrf)itîe beâ Sohamteumâ in Hamburg. 9ir. 48. Sllgcbratfdjc Würben bon ©ttgen 53eutel, Cberreallehrer in $aihingen*(ïnj.

9ir. 435.

in ©eitenftetten.

9ir. 47.

I: .vïurbenbtéïuifion. 9JW 57 Figuren im Xc£t.

Determinanten bon 93aul 53. Çifcher, Oberlehrer an ber Oberrealfchule §u (grofcSidjterfelbe.

©bene (geometrie mit 110 jtocifarb. Figuren bon (g. 5D?aI)Ier, $rof. am ©but* nafium in Hlm.    9h. 41.

Darftcllcitbc (geometrie I mit 110 gtßuren bon Dr. 9îob. $auf$ner, 3ßrof. an ber Uuibcrfität $cna.

--II. 9)îit 40 gieren.

©bette itnb fbl)ârtfrf)C Drigunomctrte mit 70 $ig. bon Dr. (gerbarb -fjeffenberg, s]ii’ofefior an ber Sanbmirtfdjaftl. 5Ifabemie 23onn = $opbefêborf. 9ht. 99.

Stereometrie mit 44 Figuren bon Dr. 9t. (glafer in ©tuttgart.

9iicbcre 3tnaü)fté mit 6 $ig. bon ^3rof. Dr. 53enebiït ©porer in gingen. 9ir. 53.

JBierftclligc Dafcltt itnb (gcgcntafeltt für Iogaritt)mifrf)c§ nnb trigonometrifihcS 9icrf)ncn in sioei Farben suïammengeftellt bon Dr. Hermann Schubert,

9tr. 81.

9tr. 402.

9tr. 142. 9tr. 143.

9ir. 97.

s^rof. an bcr (gelehrtcnfd)ule be§ Sohanneitnrê in Hamburg. fttinfftcHigc Sogarittjmen bon ^rofeffor 5lug. 5lblcr, Direïtur ber ï. !. Staate oberrealfchule in SBien.    9îr. 423.

Slnalgtifche (geometrie bcr ©bette mit 57 giguren bon $rof. Dr. 9Л. ©imon in ©trafjburg.    9tr. 65.

2ïufgabettfammluttg jitr analgtifchcit Geometrie bcr ©bette mit 32 gig.

O. Dh- 53ürilen, ^rofeffor am Ötealgtjmnafium in ©djmâb.*(gmünb. 9tr. Stnaltjtifdte (geometrie bc§ 9iaumc§ mit 28 9lbbilbungen bon ißrofeffor Dr.

iöi. ©imon in ©tra&burg.    9tr. 89.

2lufgabenfammluttg sur analbtifdjen (geometrie bcê 9lantnc§ mit 8 gig.

bon 0. Dh- 33ürïlen, 53rof. am 9tealgbmnafium in ©d)tbâb.=(gntünb. 9ir. 309. фЭДеге 2tnalgftë I: Differcntialrerfmmtg mit 68 Figuren bon Dr. griebrid) Runter, 53rof. am .tarfêgbmnafium in ©tuttgart.

—- II: tfntcgraïrertjmtng mit 89 giguren bon Dr. griebrid) punier, $rof. am Starlëgbmnafium in ©tuttgart.

9icbctitorinm uttb 3lufgabcnfammlung sur Differcntialredgtung mit 46 $ig.

bon Dr. gtiebr. Runter, ^rof. am ®arfêgbtnnafium in ©tuttgart. 9tr. 146. SJicbctitorium ttnb Stufgabenfammlimg sur 3ntegralrcd)nnng mit 52 ftig. bon Dr. fÇriebr. ^unïer, 5Srof. am ®arfêgbmnafium in ©tuttgart. 9tr. 147. ^rojeftibe (geometrie in fgnthetifdjer S3ehanblung mit 91 gig. bon Dr. St.

Dochlentann, $rof. an ber Uniberfitât ШпсЬеп.    9h:. 72.

3Jîatlicmatifrhe ftormelfammlung uttb $ebetitorium ber 3)îatî)cmatif, enth-bte toid)tigftcn Formeln unb Behrfäbe ber 3lrithmetiï, Sflgebra, aïgebraifdjen 2ïnalbftè, ebenen (geometric, Stereometrie, ebenen unb fphürifdjen Drigono* metrie, math. (geographic, analgt. (geometrie ber ©bene unb be3 9taume$, ber Differential* unb Sntegralrcdjnung bon 0. Dh- 53ürflen, fßrof. am ftgl. 9îealghmnafium in ©d)tu.=(gmünb. 9Jtit 18 Säuren.

bon

9?r. 87.

9tr. 88.

9îr. 51.

Scrfidjerungêmatbcmatif bon Dr. ?tlfreb £oetot), Stof. an ber Uniberfitât

91г. 180.

Freiburg i. Sr.

2lu§gfeid)ung3red)itung nad) ber 2Kctf)obc ber flcinftcn £uabratc mit 15 gig. unb 2 Xafeln bon 2ВШ}. SBeitbred)t, Stofeffor ber (Seobafie tn Stuttgart.

Seftorauatyfiê bon Dr. Siegfr. Salenttner, Stibaiboaent für ^S^Dfif an bet

ftt. 354-

2lftronomifd)e ®eograbf|ie mit 52 giguren bon Dr. Siegm. Günther, Stof. an ber Zedfn. £od)frf)uie in 9)îündjen.

îtftrobbUfif. 2)ie Sefcfyaffenïjeit ber £>immetéfôrber bon Dr. Stalter g- S3të-licemrè, Stof. an ber Uniberfitât Strasburg. 9Jiit 11 Slbbilbungen. sJir. 91.

ïïftrouomic. Gröfce, Setoegung unb Entfernung ber фштеШогрег bon 51. g. ШЬшЗ, neubearb. bon Dr. 2B. g. 2BiêIicenu§, Stof. an ber Unib.

№. 11.

Uniberfitât Serlin. 90Ш 11 Figuren.

№. 302.

№. 92.

Strasburg. 93lit 36 Slbbilbungen unb 1 Sternfarte.

Geobnfie mit 66 5lbbilbungen bon Dr. G. flïcinljcrtj, Stof. an ber Xedjn. £>od)*

№. 102.

Keutif. Kuraer 5lbri& be§ täglidj an Sorb bon £aubclôfd)iffen angemaubten ïeifê ber Sdjiffafyrtëïunbe mit 56 5lbbilbungen bon Dr. grana Sdgdae, Zireftor ber 9tabigationêfd)ule au Sübed.    №. 84.

dkometrifdjeê 3eirî)iien bon &. Seder, Strdjiteït unb Serrer an ber Sau» getoerïfdjule in TOagbeburg, neu bearbeitet bon Stof. g. Sonberlinn, Sireîlor ber Kgl. Saugeioerffdjule ju 'fünfter i. 28. ЮШ 290 Figuren unb 23 Xafeln im Ze£t.

fd)ule фаппоьег.

9ir. 58.

Weitere ßänbe finb in Vorbereitung. Gleichseitig macht bie Verlagsbanblung auf bie „Sammlung Schubert“, eine Sammlung matbematifeber Cebrbücber, aufmerhfam. €in vollftänbiges Ver-3eicbnis biefer Sammlung, fowie ein ausführlicher matbematifeber Catalog ber G. J. Göfcben’fcben Verlagsbanblung können hoftenfrei bureb jebe Bucbbanblung besogen werben.

SRatumiffenfd)afHid)e ©ibliot^ef.

2er tnenfd)lid)e Körbet, fein Sau unb feine Zätigfeitcu, bon E. ШеЬтапп, Oberfdjulrat in Karfêrutje. 90Ш ©efunbljcitäleljre bon Dr. med. £>. Seiler.

№. 18.

ttrgefd)id)tc ber Söteufd)t)cit bon Dr. Sftoria фоешеЗ, Stof, an ber Uniberjitat 2Bten. SDttt 53 Ölbbilbungeu.

Sölferfuubc bon Dr. üDiidiael £aberlanbt, I. u. I. Kuftoê ber etljnogr. Sammlung ,bcê naturljiftor. ^ofmufeumè u. Stibatboaent au ber Uniberfitdt 28ien.

№. 73.

tierfunbe bon Dr. grana b. Stagner, Stof, an ber Uniberfitât Graj. ШШ 78 Slbbilbungen.

Âbrtff ber Siologie ber Ziere bon Dr. £einridj Simrotlj, Stofcffor an ber

№. 131.

Ziergeograbf)te bon Dr. îtmolb gacobt, Stof. ber Soologie an ber Kgl. gorft-aïabemie au ïljaranbt. 9Jiit 2 Karten.    9tr, 218.

îii Zierrcid}. -I: Säugetiere, bon Oberftubienrat Stof. Dr. Kurt Saniert, Sorfteljer beë Kgl. -KaturalienlabinettS in Stuttgart. SDîit 152ibbilb. 9?r. 282.

ïRit 47 Slbbilbungen unb 1 Xafel.

9Ш 51 Stbbilbungen.

Uniberfitât Seidig.

№. 42.

№. 6a

î>a$ SicrrctĄ. Ш: Sleptitien unb Stmphibicn. Жоп Dr. $ranj ЗВегпет, $ribat« bojent an ber Uniberfität SBiett. SJlit 48 Stbbilbungen.

Sir. 383.

Sir. 356.

—■ IV: fttftfK, bon Dr. SJiaj: Slauther, fßrtbaibojcnt ber 3ooIogie an ber Uni-berfität ließen. SJlit 37 Stbbilbungen.

guallen unb SBürnter. SJlit 74 Figuren.

— VI: 2)ie toirbetlofen Store bon Dr. Subtoig ЖЗЬпид, $rof. ber 3ooIogie an ber Uniberfität ©raj. I: Urtiere, ©djioämme, Sleffeltiere, Stippen*

Sir. 438.

©nttoitffongSgefdiirfjte ber ïtore bon Dr. ftoh§. SJleif entfeint er, ^Srofeffor bet 3ooIogte an ber Uniberfttät Marburg. I: fturdjung, fJŚrimitibanlagen, Farben, ftorntbilbung, Embrhonathütlen. SJlit 48 ftig.    Sir. 37S,

— II : Crganbilbung. SJlit 46 fttguren.

эгг. 37«.

©ihmaroper wnb ©rifmarohcrtum in ber îtortoelt. Erfte Einführung in bte tterifdje <Sd)tnaroberïunbe bon Dr. ftranj b. SBagner, ^rofeffor an ber

Uniberfität ©raj. SJlit 67 Slbbilbungen.

Sir. 151.

©efdjidjte ber Zoologie bon Dr. Stub. S3urd^arbt, ioeil. $ireïtor ber З⁰^** giften ©tatton be? S erlin er Aquariums in Stobigno (ftftrten). Sto. 357. île ^flanjc, tt>r Жаи unb ttjr fieben bon Sßrofeffor Dr. E. 2)ennert in ©obei-berg. SJtit 96 Stbbitbungen.    Sto. 44.

Sir. 122.

$a8 ffjflanjcttrcid). Einteilung be? gefamten fßflanjenrcich? mit ben tot<$* tigften unb befannteften Strten bon Dr. ft. Stełnede in Жге?1аи unb Dr. SB. SJltguta, ^3rof. an ber ftorftaïabemie Eifenad). SJtit 50 ftig. J*ftrtnScnbtologte bon Dr. SB. SJiiguta, fjkof. an ber ftorftaïabemie Eifenad).

SJtit 50 Stbbilbungen.    Sto. 127.

Sir. 389.

^fïanjengeographto bon fßrof. Dr. Subtoig $ieI3, Stoibatboj. an ber Untberf. ЖегНп.

Slorpbologie, Anatomie mtb $hPftoIogte ber fßftanjen bon Dr. SB. SJttgula,

Eifenach. SJlit 50 »Übungen.

SSrof. an ber ftorftaïabemie Eifenad). SJtit 50 Stbbilbungen. Sir. 141. îto fPftanjcnioeït ber ©cioäifcr bon Dr. SB. SJttgula, fßrof. an ber ftorftaïabemie

Sir. 158.

Sto. 268, 269.

2)ie Slabdhölscr bon fßrof. Dr. ft. SB. Sieger in Xljaranbi. SJlit 85 Slbbil-bungen, 5 Tabellen unb 3 Starten.

9îtt<5t»fl«ttt3en bon ißrof. Dr. ft. Ж ehren?, SJorjt. ber ©rofth- Ianbtoirtfchaftl.

8$erfud)3anft. Stuguftenberg. SJlit 53 fttguren.

$a8 ©pftem ber SJIiitenpftansen mit 9lu3fd)Iu& ber ©hmnofpermen bon Dr. SI. $Uger, Stffiftent ant ®gt. Sotanifchen ©arten in S3erlin*î)ahlem. SJlit 31 fttguren.

Uflanjcnfranïtieitcn bon Dr. SBerner ftriebrid) Жгай in ©tefcen. SJlit 1 farb.

Sir. 310.

EîTurfionêftora bon $eutfrf)tanb junt SSeftimnten ber häufigeren in 2)eutfd)-Ianb mtlbmachfenben fjsftanjen bon Dr. SB. SJiiguta, fjkof. an ber ftorft« aîabemie Eifenad). 2 Steile. SJtit 100 Slbbilbungen.

Sir. 355.

Sir. 123.

Sir. 393.

5£afel unb 45 Slbbilbungen.

SJHneratogie bon Dr. SI. ЖгаипЗ, ^Srofeffor an b. Uniberfität Жопп. SJlit 130 Stb-

bilbungen.

Slr. 29.

Sir. 13.

©eologie in furjem StuSjug für ©djulen unb jur ©elbftbelehnmg jufammen» geftellt bon fjtoof. Dr. Ebert). ftraa? in Stuttgart. SJlit 16 »Übungen unb 4 ïafeln mit 51 Figuren.

JJatöontotogte bon Dr. Slub. фоегпеЗ, SJ?rofeffor an ber Uniberfität ©raj. SJlit

87 »Übungen.

Sir. 95.

Sir. 173.

f etrographie bon Dr. SB. ЖгиЬпЗ, fßrofeffor an ber Uniberfität ©trafjburg l. E. SJlit 15 »Übungen.

ÄriitoHogrobbie bon Dr. SB- ©rubng, ©rof. on ber Uniberfität Strasburg.

9Mt 190 SIbbilbungen.

* 9fr. 210.

©efrf)itbtc ber ©bbftf bon 51. Äiftner, ©rof. on ber ©rofcb- 9?eolfd)uIe su Sin«*

beim о. ©. I: $ie ©^t)fiï btè 9frmton. M 13 Figuren.

9fr. 293.

—    II: $>ie ©bbfi! bon 9frtoton bi§ sur ©egentoart. 90Ш 3 giguren. 9fr. 294. îbeorctifcbe ©bbfiï- I. Sett: ЗДопК unb Slïuftiï. ©on Dr. ©uftab 300er,

©rof. ber ©bbfiï w ber Xed)nif$en |wcbfd)ule in 9Bten. 9ftitl9 9lbb. 9fr. 76.

—    II. Xeil: £tcf)t unb SBärrne. ©on Dr. ©ufiab Säger, ©rof. ber ©bbftf an ber

£ed)ntfd)en £>od)fd)ule in SBien. 9ttit 47 SIbbilbungen.    9fr. 77.

—    III. iett: ©leïtrtsitüt unb 9ftagnettémug. ©on Dr. ©uftab Säger, ©rof.

ber ©bbftf on ber Xecbntfdjen ^ocbfdjule in Шеп. 9Jîit 33 2Ibbüb. 9fr. 78.

—    IV. Xeil: ©Ieïtromagnetifdbe Sidjttbeorie unb ©leïtronlf. ©on Dr. ©uftab

9îr. 374.

Säger, ©rof. ber ©bbftf on ber $ed)nifd)en £od)fcbuIe in SBien. 2УШ 21 Siguren.

9fr. 317.

©bbfifaliîcbe 9Jfrffnngêmetbobcn bon Dr. SBtlbelm ©aljrbt, Oberlehrer on ber Oberrealfdfule in ©rofcSicbterfelbe. 9Ш 49 Siguren.    9fr. 301.

©cfd)id)tc ber (Hjcmie bon Dr. фидо ©auer, Slffiftent от djem. Soborotorium ber ÄgI. Xedjntfdjen $od)fcbuIe Stuttgart. I: ©on ben älteften Seiten bi§ jur ©crbrennungêtbeorie bon Soboifier.

— II: ©on Saboifier btè jur ©egenfoart.

SInorgonifdjc ©bemie bon Dr. Soi. Âlein in 9ftannbelm.

9T(CtoUoibc (Slnorganifdje ©Ijemie I. 5£eil) bon Dr. OSÏar Scbmtbt, btpl. 3b* genieur, Slfiiftent on ber ÂgI. ©augetoerïfdjule in Stuttgart, fôfrtolle (Slnorganifdje ©bentie П. SCeil) bon Dr. Oêïar Sdfmibt, bipt. 3nge=

9fr. 212. 9fr. 38.

fHabiooïtibitiit bon SBtH). Srommel. ШШ 18 Siguren.

9fr. 264. 9fr. 265.

9fr. 37.

9fr. 211.

nicur, 9lfiiftent on ber ÄgI. ©augetoerïfdjule in Stuttgart. Orgnnifrfje ©betnic bon Dr. Soi- Älein in 9)îannbeim.

©bemtc ber Âoblcnftoffbcrbinbuugen bon Dr. фидо ©auer, SIffiftent am cbem. Moratorium ber ÄgI. £edjn. £>ocbfd)uïe Stuttgart. L II: ЩЩа*

9fr. 191, 192. 9fr. 193. 9fr. 194.

9(nolbtifd)c Œbentic bon Dr. SobanneS фоДОе. I: Xbeorte unb ©ang ber

9fr. 247. 9fr. 248. 9fr. 221.

tifcfje ©erbinbungen. 2 Xeile.

—    III: Âarbocbfliîcbe ©erbinbungen.

—    IV: £eterocbïItfd)e ©erbinbungen.

SInaïbfe.

—    II: ©eaïtton ber SDfrtalIoibe unb 9MaÏÏe.

9JlobonoIbfe bon Dr. Otto Ш^т in Stuttgart. 9JMt 14 $ig. £ed)ntftf)s©bemifd)C SInaïbfe bon Dr. ©. Sunge, ©rof. an ber ©ibgen. ©olbtecbn.

9fr. 195.

Sdjule in Säridb. 9ïïit 16 9EbbiIbmtgen.

Stcreodjcmie bon Dr. ©. SBebeünb, ©rofeffor an ber Uniberfität Tübingen.

9Jîit 34 SIbbilbungen.    9fr. 201.

9fr. 71.

2UIncmcinc unb bbbfiWifdje ©bentte bon Dr. 9ïïa£ IRubotybt, ©rofeffor on ber $ed)n. $ocbfd)uIe in ÎDarmftabt. 9JW 22 $iguren.

©Icftrorf)cmic bon Dr. $einrid) $anneel in Sriebrid)§bogen. I. ïeil: XT)eorctifd)e ©leîtrocbemie unb ttjre bbbi^ûlif^^emifdjen ©cunblagen. 9Kit 18 Figuren.

9fr. 252.

—    II: ©ïperimentelle ©Ieïtrocbemie, Sflefcmetboben, Seitfäbigfcit, Söfungen.

9Jttt 26 Siguren.

Slgnïitltttrdjemic. I: ©îloiteenernôbrtmg bon Dr. Äarl ©rauer.

9fr. 253. 9fr. 329.

£nv agrifulturtficmifdjcSoutrollwcfcnb. Dr. 9Saulftriid)eiit©öttingen. Лг. 304.

'i;I)i)fioIonifrf)c Œjcmic Don Dr. ined. 91. 2cgaf)it in Berlin* I: 9lffimilation.

Лг. 240. Лг. 241.

Mctcorulogie Doit Dr. SB. Srabert, Sßrof. an ber Uniberfitât gmrêbrud. Mit 49 91bbilbungen unb 7 Safclit.

Grbmanucttémuê, (frbitrom nnb 2?ulnrlitf)t Doit Dr. 91. ЛЦфоГМ jrv Mitglieb Ьсу ftönigl. 93reu|tfd)cu Mcteorologijdjeu gnftitufê ju ^otâbam. Mit 14 9lbbilbungen unb 3 tafeln.

2(ftr ou omie.    ©röfje, Söctuegung unb (Sutfernung ber ^tntmeBïôrber bon

91. g. Mübiuâ, neu bearb. boit Dr. 28. g. 23téliecnu§, fßrof. au ber Unib.

Лг. 11.

9(ftrobl)i)iif. Sie S3cfd)affeul)eit ber фшииеШогЬег Doit Dr. 23alter g. 2ВШЬ ceuuâ, $rof. an ber Uniberf. (Strafcburg. Mit il 91bbilbungen. Лг. 91.

2(ftrouomiirf)c Üieograbbic Doit Dr. ©icgnt. ©üntljer, $ïof. an ber Sedjn. .\>od))d)uIe in Münrtjeit. Mit 52 9lbbilbuugett.    Лг. 92.

2?0t)fiirf)c ©eograMie bon Dr. (Siegm. @üntljcr, $rof. an ber $ôntgl. Sed)it. ,V)ocl)trf)itie in Mündjen. Mit 32 91bbÜbungen.

'|4)t)!ifd)c Mccrcêfuubc bon ^Srof. Dr. (Serljarb <Sd)ott, 9lbteiIung§borftef)er au ber Seutfdjcu ©eetoarte in Hamburg. Mit 28 2lbbilbungen im Se£t unb 8 Safeln.

iUimafunbe I: Slllgemeitte Âlimaleljre bon SSrof. Dr. SB. Robben, Meteorologe ber Seetoarte Hamburg. Mit 7 Saf. и. 2 gig.

ЙГ Weitere Bänöe finb in Vorbereitung.

Mit 2 Safeln.

— II: Siffiittilation. Mit einer Safcl.

Strasburg. Mit 36 Slbbtlbuttgeit unb 1 (Sternfartc.

SBtbliotljeï зиг ^l)i)fit.

Лг. 54.

Лг. 175.

Лг. 26.

Лг. 112.

Лг. 114.

G)cfrf)id)te ber    bon 91. Śtiftuer, ^rofe^or an ber (Srofcl). 9ïealfd)ule зи

<Sin3f>eim a. ©. I: Sie    btè ЛеШ1оп. Mit 13 gig. Лг. 293.

—    H: Sie $l)t)fiï Doit ЛеМоп bi§ gur (Segentoart. Mit 13 giguren. Лг. 294. SOcorctifdjc "Bbbfit boit Dr. ©uftab gager, $rof- ait ber Sedjnifdjen $od)*

fdjule 28ien. I: Medjaniï unb Stïuftiï. Mit 19 91bbilbungen.

—    II: Sidjt unb SBärme. Mit 47 91bbilbuugeit.

—    Ill: (Sleftriäität unb Magncttèmuê. Mit 33 Slbbilbuitgeu.

—    IV : Cleïtromagnetifdje Sidjttljeorie unb ©leïtronif. Mit 21 giguren. Лг.374.

Лг. 317.

Лг. 76.

Лг. 77. Лг. 78.

iKobioaftibität bon 2БШ). grommel. Mit 18 giguren.

2>l)ljfifalifrf)c Mcffungytuctljobcu bon Dr. 23ill)elm SSaljrbt, Obcrleljrer an ber Oberrealfdjule in ®rof3=£idjterfelbe. Mit 49 giguren.    Лг. 301.

2$t)bîiMiîtf)c Slufgabcufammïmtg bon ©. Makler, ^Śrcfeffor atu ©ijinitafium tu Ulm. Mit ben Dîefultaten. v14)l)îifûtifd)C gormclfammlung bon 05. Marier, ^Srofeïfor am (Styittitafium in Ulm.

2>cftoranaIt)ftë bon Dr. ©icgft. Sßaleittiuer, fßribatboseitt für f)31)t)fiï <*n ber Uuiberfität S3 erlitt. Mit 11 giguren.    Лг. 354.

ЙГ Weitere ßänbe finö in Vorbereitung.

Лг. 243.

Лг. 136.

©ibliotbeï jur Kremte.

(Sefdjidjtc ber Chemie bon Dr. фидо Sauer, 2lffiftcnt am djent. Sa&oratorium ber ®gl. Xed)niid)cn $od)id)ule Stuttgart. I: Son ben alteften Seiten btè sur Ser6rcnnung§il)eorie bon Saboifier.    Яг. 264.

— Il: Son Saboifier &tè sur (Segenmart.    Яг. 265.

'Hnorganifdje lernte bon Dr. gof. Шет in SRannÇetm.    Яг. 37.

'JJÎctalloibe (SInorgauiidjc Gljcmic I) bon Dr. Oêïar Sdjmibt, btpl. gngeuieur,

Яг. 211.

2tffiftent an ber ®gl. Saugemerïfdjule in Stuttgart, ajîetatle (Stnorganifdjc (Sficmie II) bon Dr. Oâïar Sdpnibt, bipl. gngenieur, Slîfiftent an ber ftgt. Saugemerlfdjule in Stuttgart.

Crganifdje (Efjemie bon Dr. gof. Stlein in äßarndjeim.

(Sternie ber Äot)lcuftutfbcr0inbungcu bon Dr. £ugo Sauer, ^Iffiftent am d)em. Sa&oratorium ber ÂgI. Xed)n. £>odtfdjuIe Stuttgart I, II: UUipIja* tife^e Serbinbungen. 2 Xeile.

—    III: Sïarôocpïlifdje Serbinbungen.

—    IV: £>eteroctjïIifd)e Serbinbungen.

Änahjtifdjc 6i)ćmie bon Dr. goljanneS форре. I: Xbeorie unb (Sang ber

Яг. 247. Яг. 248. Яг. 221.

Яг. 212.

Яг. 38.

Яг. 191, 192. Яг. 193. Яг. 194.

2lnalt)fe.

— II: ЯеаШоп ber SKetalloibe unb Metalle.

9Kaf?aualljfe bon Dr. Otto ЯШ)т in Stuttgart. ЯШ 14 gig. $ed)mfd)*6fjcmifd)e Sïnalpfe bon Dr. (S. Sunge, Srofeffor an ber ©ibgenöff.

Яг. 195.

Solptedjn. Schule in Sürid). ЯШ 16 Slbbilbungcn.

Stcrcodjcmic bon Dr. (5. SBebeïinb, Swfeffor un ber Uniberfitai Xübingen.

ЯШ 34 SIbbilbungen.    Яг. 201.

SUÏgcmeine unb pbpftfalifdie peinte bon Dr. 9ftaç $ubolpt)i, ^rofeffor an ber Xedjnifdjen £odbfd)ule in Xarmftabt. ЯШ 22 gig.    Яг. 71.

©Icftrodjcmic bon Dr. £einrid) Xanneel in griebrid)§f)agen. I. Xeil: Xljeoretifcfje Gleftrodjemie u. itjre pbtdtfalifd^d)emifd)en (Sruublagen. 9J7it 18 gig. Яг. 252. — U: experimentelle Glettrod)emie, $tejjmctl)oben, Seitfäljigfeit, Söfungen. gjiit 26 giguren.

2tgrifnltuvri)nuie I: Sflüusenernäbrung bon Dr. $arl ©rauer.

ngrifulturrficmifdic ÄuntroUiucfen b. Dr. Saul$rifd)e tn (Söttingen. Яг.304. 43l|ï)îiotogifd)e (П)пте bon Dr. med. 21. Segaïju in Serlin. I: Slffimüatlon.

Яг. 240.

Яг. 253. Яг. 329.

mit 2 Xafeln.

— II: Xifiimilation. ЯШ 1 Xafel.    Яг. 241.

Siebe aueb „Oecbnologie“. Weitere Bänbe finb in Vorbereitung.

îHbüotfjeï jur Ichtiologie.

tŁbcitii t фс 2cd)iiologie.

Allgemeine diemifd)e£ed)Holugieb. Dr. (Suft.ЯаШег inGbarlottenburg. Яг. 113. 2>ie gette unb Ole fomie bie Seifen« unb ßersenfabrifation unb bie fcarsc, finde, girniffc mit tfjren midjtigften ^ilfêftoffen bon Dr. $arl Srann. I: (£infü0ruug in bie GÇemic, Sefpredjung einiger Salsę unb bie gette unb Ole.

-- II: 2)ie Seifenfabrilation, bie Seifenanalpfe unb bie Äersenfabrilation. ЯШ 25 ЯЬШипдсп.

— Ш: £arse, Sade, girniffe.

Яг. 335.

Яг. 336. Яг. 337.

Sie Œgplofibftoffe. etnführung łn błe ©hemie bet ejploftben ©otgünge bf« Dr. ф. ©runSmig in 9frubabel8berg. Mit 16 9tbbtïbungen.

9fr. 333.

9fr. 803.

©tanereimefen I: Mitlierei bon Dr. ©auł Sreberïjoff, Sireltor bet ©rouet* unb Mftlserfchule łn ©rtmma. Mit 16 8lbbtlbungen.

î>a§ S3 offer unb feine ©ertoenbung łn Snbuftrte unb ©etoetbe ben StpI.Ofog.

Dr. ©mft fielet. Mit 15 Slbbllbungen.

9fr. 261.

Ânorganiftpe d)entifc^e Snbuftrie bon Dr. ©uft. Sauter ht Porlottenburi. I: Sie Seblancfobatnbuftrte unb tljre 9frbenîtoetge. Mit12 Safeln. 9fr.205.

—Il: ®altnentoefen,$alifal8e,Süngertnbuftrieunb ©ertoanbteS. Mtt6Saf.9fr.206.

9fr. 207. mx. 313,314.

— III: Slnorgantfcpe ©hemifehe Präparate. Mit 6 Safeln.

Metallurgie bon Dr. Slug. ©etfc. 2 ©be. Mit 21 ftig.

Sie Snbuftrie ber 6ili!ate, ber fünftliihen ©auftetne unb bel Mörtcll bon Dr. ©uftab Stautet. I: ÖHaS* unb ïeramtfche Qnbufttie. Mit 12 Saf. 9fr. 233.

П: Sie Snbuftrte ber Jünftltchen ©auftetne unb bes Mörtels. Mit 12 Saf. 9fr. 234.

Sie Seerfarbftoffe mit befonbetet ©erüdftchttgung bet fpnthetifdhen Metpoben bon Dr. HanS ©ueperer, ©tof. a. b. ÂgI. Sechn. Hochfchule SteSben. 9fr. 214.

ЯИефапЦфе Sinologie.

MetpanifXe Sexuologie bon ®ер. Hofrat ©rof. 81. Sübtcïe in ©raunfXfcetg.

9fr. 340, 841.

Sejtil«3nbuftrie I : Spinnerei unb ßtoirnetei bon ^Stof. Maj ©ürtler, ®eh-IRegierungSrat im ftbnigl. SanbeSgetoerbeamt äu©erlln. Mit 39 $ig. 9fr. 184.

—    II : 28 eher ei, SBirïerei, ©ofamentiererei, Spipen» unb ©arbtnenfabrtïatton

9fr. 185.

unb gilsfabrilation bon ©rof. Mas ©ürtler, ©eh- 9iegierung$rat im ftönlgl. SanbeSgemerbeamt ju ©erlin. Mit 27 Figuren.

-    III: SBäfXetei, ©lederet, Färberei unb ihre HtlfSftoffe bon Dr. 8ЗД.

9fr. 186.

Maffot, Serrer an ber ©reufc. höh- ÇachfXuïe fût Sejtil^bbuftrie ht Ære* felb. Mit 28 Figuren.

Weitere ßänbe finb in Vorbereitung.

5BtbHotbeïîubcn®au*u.3t»9cnteurt»tîfeni(bafteit

9fr. 405.

Sal SîeXnen in ber Sedjui! и. feine Hilfsmittel (IRechenfdjteber, ^Rechentafeln, SteXenmafXinen ujm.) bon Śugenteur 3oh. @ugen Maper in Karlsruhe i. ©. Mit 30 8lbb.

MatertalprtifungSmcfen. ©Inführung in bte moberne Sedjnl! bet Materialprüfung bon Ü. Memmler, Siplom^ngenteur, ftänb. Mitarbeiter am ßgl. Material« prüfungSamte ju ©rofcßtchterfeibe. I: Materialelgenfchaften. — gefttgleits* berfuepe. — Hilfsmittel für geftigleitSberfucpe. Mit 58 Figuren. 9fr. 311.

—    II: Metallprüfung unb ©rüfung bon Hilf?materlalten beS MafcpinenbaueS.

— ©aumaterialprüfung. — ©apicrpritfung. — ©Xmiermittelprüfung. — Einiges über Metallographie. Mit 31 Figuren.    9fr. 312.

9fr. 432.

Metallographie.. Æurse, gemeinfafjltche Sarftellung ber fiepte bon ben Me» tollen unb ihren Segierungen, unter befonberer ©erüdfiepttgung ber MetallmiîroSïopte bon ©rof. ©. Пери unb ©rof. £). ©auer am ftgl. Materialprüfungsamt (©rofcfiicpterfelbe) ber Ägl. Secpntjcpen H°XfXuIe §u ©erltn. I: 2lllgemetner Seil. Mit 45 Slbbilbungen im Sejt unb 5 Stcptbilbem auf 3 Safeln.

—    II : Spezieller Seil. Mit 49 2lbbilbungen im Sejt unb 37 fitcptbilbem auf

9fr. 433.

19 Safeln.

ettttiï. I: %\e Głrunbłełfren ber Stati! ftarrer StarJet ben SB. dauber, Фф1от-Ingenieur. ШИ 82 gtguren.

9h. 17S. 9h. 179.

—    II: Slngemanbte Stahl. 9JMt 61 giguren. geftigfeitèleÇre bon SS. Räuber, S)ipIom*3ngenteur. 9Jttt 56 Figuren. 9h. 8M. ФЬЬгаиШ b. SS. Räuber, $tblom*3ngenteur in Stuttgart. 9JMt44 gtg. 9h. 397. é«0meftifd)e$ 5etdjnen bon ф. ©ecïer, Slrdjttelt unb Serrer en ber ©eu*

9h. 58.

getoerlfd&ule in 9Jlagbeburg, neubearbeltet bon ©rofeffor 3* ©onbetlhm in fünfter. 9JMt 290 gtguren unb 23 ïafeln im ïest. edjatienlonftru Wonen bon ©rof. 3. ©onberlhtn in fünfter. 93Ш 114 glg. 9h. 281. ©aralletyerfheftibe. 9ted)ttohtïltge unb fdjtefmlnfltge ffeonometrte bon ©tof.

9h. 260.

3. ©onberlhtn in Mnfter. 9JHt 121 gtguren.

3entral-©erfbefttbe bon 5lrd)ltelt фапЗ grerçberger, neu bearbeitet bon ©ref. 3. ©onberlhtn, 5)ireltor ber Stgl. ©augetoerïfcïmle in 9Jlünfter i. SB.

9JMt 132 giguren.

9h. 57.

9h. 395. 9h. 396.

£ed)nifd)e& Sßörterbudh entlfaltenb bie totdjttgften SluSbrüde be0 9Jiafcï)hten« boue#, ©dftffbaue« unb ber ®Ieltroted>niI bon ©rtd& Streb* in ©erlht. I. ïetl: $euifcfc(SngItfdb.

-    П. Же«: Œngltfcfc$eutf$.

(Słeftrotedjntf. Œhtfüljrung ht bie ntobeme ©leid)- unb 5Betf)feIftronttedjnl!

bon 3* Hermann, ©rofeffor cm ber Stönigltä) Xedjntfclfen фоф|фи1е Stuttgart. I: $te pïftjftlaltfcïjen ©runblagen. 9Jht 42 gtg. u. 10 ïaf. 9h. 196.

—    II: $te @Ieid)ftromtect)niI. 9Kit 103 Figuren unb 16 ïafeln.

—    Ill: 3)ie SSedjfelftromtedjnt!. 9ttit 109 Figuren.

9h. 197. 9h. 196.

île dUeidjftromtnafdjhte bon (S. Sthtjbrunner, 3ngenieur u. Posent für ©Ieïtro.

9h. 155.

tedjnt! a. b. «municipal School of îetfjnologt) in 9ftantf)efter. 9ttit 78fjtg. 9h.257. $ef Sfemfhredjmcfen bon Dr. Subtnig btellftab in ©erlht. 9Ktt 47 Figuren unb 1 STafel.

©ie elcftrifdje Selegrabljie bon Dr. Subtotg IRellftab. SDWt 19 Figuren. 9h. 172. SWauter- u.Steinbancrarbeiten bon ©rof. Dr. phil. u. $)r.*3ng. ©buarb Sdjmttt

in SDarmftabt. 3 ©änbdjen. 9JMt biełen Slbbtlbungen.

9h. 419—421.

9h. 322.

©ifenïonftruftionen im £ orf) bau. StuQgefafjte* фапЬЬиф mit ©etfbtelen bon 3ngenieur Starł Scfjinbler in ^Reißen. 9JHt 115 gtguren.

3)er (Bfenbcton&a* bon fReg.»©aumetfter Starł Stöhle in ©erltn-Steglifc.

ШШ 77 21bbtlbungen.

9h. 349.

9h. 342.

— II: 5Die9Iu*füï)rung ber Neigung*-unb Süftung*anlagen. 9JMtl91gtg. 9h. 343. @a8* unb SSaffcrinftalïattonen tnttCFhtfdjluf? ber 9ïbortanlagen bon ©rofeffor Dr. phil. и. Фг.-Зпб- ©buarb Sdfntiti in Mmftabt. 9ttttll99lbbtłb. 9h. 412. $a$ ©etanfd)Iagen im фофЬаи. Sturjgefafjte* фапЬЬиф über ba* SSefen bei Stoftcnanfdjlage* bon ©mil ©eutinger, Slrdjttelt ©.Ф.91., Slffiftent an bet Хеф* nifdjen $otf)fd)uIe ht ®armftabt. 9Jtit bieleń Figuren.

©a«füi)rung. Äursgefaßte8 ^апЬЬиф über baS SSefen ber ©aufü^rung bon 2ïrd)tteït (ïmil ©eutinger, füffiftent an ber $ecf)nifdjen ^ocbfd)uIe in 2)arm»

9h. 399.

Dffentlidje©abe»unb Schibimmanftalten bon Dr. Starł SSoIff, ©tabt=£)berbaurat ht фаппоьег. 9Mt 50 gig.

$ei*mtg unb Sfiftung bon 3ngenieur gołfanne* Starting, 2>treItor bet 9Ш.-®ef. Oebrüber Starting in 2)üffelborf. I: Фа* SSefen unb bie ©eredjnung ber Weisung?- unb Jßüftungäanlagen. 2Wt 34 gtguren.

9h. 385.

ftabt. 9Ktt 25 giguren unb 11 Mellen.

9h. 380.

Die SDÎafrfjincnclcmentc. Sturjgefafctei ßeprbud) mit Seifpieleit für baä (SelbjV ftiibium unb ben praïtifd)en (Bebraucp bon griebricp 83artp, Oberingenieur in Nürnberg. 93ht 86 Figuren.

©tfeupütienfunbe bon %. ®rau&, biplomterter Hütteningenieur. I: Daê 9îop* eifen. 9Ш 17 Figuren unb 4 Dafein.

— U: Daâ (Scpmiebeifen. 90Ш 25 Figuren unb 5 Dafein.

Detpntftpe Sßörmeteprc (Dpermobpnanti!) bon SBaltper unb 3R. Göttinger, Diplomingenieuren. 9ftit 54 Figuren.

Die Dampfmafditttc. fiursgefafjteS ßeprbucp mit SBeifpielen für ba3 6elbft* ftubium unb ben praftifdjen ©ebraud) bon ftriebridj ®artp, Oberingenieur

9h. 8.

9h. 3.

9h. 152.

9h. 153.

9h. 242.

in Nürnberg. ®Ш 48 Figuren.

Die Damp ff cf fei. śhtrsgefafjteS ßeprbucp mit ©eifpielen für baê (Selbftftubium unb ben praftifepen (Gebrauch bon ^riebrid) SBartp, Oberingenieur in

9h. 9.

Die ©ayfrnftmafrfjincn. ®ursgefa&te Darftellung ber toieptigften ©a§mafd)inen* Bauarten b. Ingenieur Sllfreb Äirfcpfe in Halle а. ©. Ю 55 Figuren. 9h.316.

Die Dampfturbinen, ipre SBirfungêtoeife unb Æonftruïtiou bon Ingenieur Hermann SBilba, fßrofeffor am ftaatl. Decpnifum in Öremeu. 9Jłit 104 Ш»= bilbungen.    9h. 274.

Die &n>ctfmnüigftc öctricbSfraft bon griebridj ©artp, Oberingenieur in 9hmt= berg. I: Die mit Dampf betriebenen 9Kotoren nebft 22 Dabellen über

9h. 224.

9himberg. 9)tit 67 Figuren.

ipre 9Infd)affung§* unb Setriebêïofteit. 9Jïit 14 9(bbilbungeu.

— II: SScrfd)iebene 9Jhtoren nebft 22 Dabellen über ipre 5Infd)affuug3* unb ©etriebêfoften. 9Jiit 29 Slbbilbungen.

Die Hcbejcugc, ipre ftonftruïtion unb 23ered)nung bon Ingenieur .^ermann SBilba, fjkof. am ftaatl. Decpnifum in Bremen. 9Jtit 399 9Ibbilbuuöen.

9h. 414.

9h. 225.

jumpen, ppbraulifd)e unb pneumatifepe Zulagen. (Sin turner Überblid bon Dhgierungâbaumeifter 9lubolf 9$ogbt, Oberlepret an ber ftdttigl. pöperen 9Jtafd)inenbaufd)ule in fJSofen. 9ftit 59 Slbbilbungen.

Die lanbnnrtfdjaftlûpen 9)1 affinen bon $arl SBaltpcr, Diplomingenieur in SKannpeint. 3 S8änbd)en. 9Jtit bieleń 9tbbilbungen. ftautü. Shtrser Slbrifj beê täglicp an S3orb bon ^anbelêfdpiffen angemaubten Deitô ber ©cpiffaprtëfunbe. $on Dr. Çrans ©djulje, Direftor ber 9tabt*

9h. 84.

9h. 290.

9h. 407—409.

gationâfcpule ju ßübetf. 9Jtit 56 Slbbilbungen.

Weitere Bänöe finb in Vorbereitung.

®ibUotl)et 3U feen ‘Redjtssu.Staatstmffenfcpüfteit.

Ш1детсше Diecptètcpre wn Dr. Dp. (Sternberg, ^rioatbojeut an ber Uniberf.

ßaufanne. I: Die 9)htpobe.

— II: DaS (Spftem. üeept bc§ löürgerlicpen ©efepbiupcê. 3^eite8 S3ud): ©cpulbredjt. I. $lb* teilung: Allgemeine ßepren bon Dr. $aul Oertmann, i)3rofeffor an ber Uniberfität ©dangen.    9h. 323.

--IL Abteilung: Die einzelnen (Scpulbberpältniffe bon Dr. ffjaul Oertmann,

9h. 324.

9h. 169.

9h. 170.

^rofeffor an ber Uniberfität ©dangen.

fRccpt bc§ ©Ärgerlichen Ojefebbuthcê. ©iertcl ©ucp: gamilienrecpt bon Dr.Heinrich Xipe, ©rofeffor an ber Unib. (Böttingen.

35eutfd)cô £ibüpro5cfjredjt bon ©rofeffor Dr. Silpelm ftifcp łn Strasburg i. 3. 3 ©änbe.

2>aê bcutfdjc ©ccrcdjt bon Dr. Otto ©ranbté, OberlanbeSgeriiptërat ht Hamburg. 2 ©änbe.    9гг. 386, 387.

9łt. 425.

©Hgemciuc Staatslehre bon Dr. Hermann SRepm, qgrof an ber Uniberfitât (Strasburg i. 3.    $Rr. 358.

HUgemcincS StaatSrccpt bon Dr. Quitus Hatfcpel, ©rof. ber Rechte an ber ftgl. ШаЬегте ln ©ofen. 3 ©änbcpen.

©renfnfrf)c§ StaatSrecpt bon Dr. grip ©tier*©omlo, ©rof. an ber Uniberf.

$Rt. 298, 299.

SHrd)cnrcd)t bon Dr. ©mil ©cpling, orb. ©rof. ber Rechte in ©rlangen. ÜRr. 377.

XaS bcutfdjc Urheberrecht an literarifefjen, ïünftlerifcpen unb gemerblicpen (Schöpfungen, mit befonberer ©erüdfieptigung ber internationalen ©ertrage bon Dr. (Buftab fRauter, ©atentamoalt in ©parlottenburg. 9ft. 263.

$er internationale gemcrbttcbc fRcd)t§fd)uh bon %. SReuberg, Æaiferl. SRe-gierungSrat, 9RitgIieb bel ®aiferl. ©atentamtè ju ©erlin.

XaS Urheberrecht an Serïen ber Literatur unb ber Xonïunft, bal ©erlaglrecpt unb bal Urheberrecht an Serïen ber btlbenben fünfte unb ber ©holographie

5Rr. 361.

©oftrcdjt bon Dr. Siïfreb Solde, ©oftinfpeïtor in ©omt.

©onn. 2 Xeile.

9îr. 305.

$Rr. 428—430.

9lr. 415—417.

$Rr. 271.

bon ©taatlanmalt Dr. $. ©cplittgen in ©hemnip.

$a§ Sarensctchenredjt. 9îa<h bem (Befep §um ©срир ber Sarenbepicpnungen bom 12. 9Rai 1894 bon Q. SReuberg, éaiferl. SRegierunglrat, SRitglieb bel

fRr. 360.

$>cr nnlautere Scttbcmcrb bon ©ecptlantoalt Dr. SRartin Saff ermann in

9îr. 339.

ft'aiferl. ©atentamtel p ©erlin.

Hamburg.

2>eutfipcS ft'ohmiatrctht bon Dr. H- ©Mer b. Hoffmann, ©rofeffor an ber $gl. 9Ifabentie ©ofen.

2Riiitârftrafrcd)t bon Dr. 9Rar ©ruft 9Raper, ©rof. an ber Uniberfitât Strasburg i. ©. 2 ©änbe.

Xcutfcpe Sehrberfaffung bon ShiegSgericptlrat ©arl ©nbrel i. Sürjburg. 9h. 401. ftorenfifepe ©fpepiatrie bon ©rof. Dr. S. Sepganbt, Xircïtor ber Srrenanftalt

SRr. 410 u. 411.

9ît. 318.

9tr. 371, 372.

ftriebricplberg in Hamburg. 2 ©änbcpen.

Weitere Bänbe finb in Vorbereitung.

®olïsu)irt}d)aftHd)e «Bibliotbcf.

»ollSmirtfchaftSlchre bon Dr. ©arl ЗорЗ. Sfucpl, ©rofeffor an ber Uniberfitât Xüblngen.

©ol!3mirtfd)aftlpoIitil bon ©räfibent Dr. fR. ban ber ©orgpt in ©erlin. SRr. 177. (Bemerbemefcn bon Dr. Senter ©ombart, ©rofeffor an ber $anbefêbocpfcbule ©erlin. 2 ©änbe.

Xal (Bcnoffeniipaftlmefcn in Xcutfdjlanb. ©on Dr. Otto Sinbede, ©etretär

©r. 384.

Xal ^aubetêmefen bon Dr. SiÏÏ). Se^il, ©rofeffor an ber Uniberfitât (Böi-

©r. 296.

Xaê HanbclSmcfcn bon Dr. Sitp. Sefil, ©rofeffor an ber Uniberfitât (Böttingen. II. Xie ©ffeïtenbôrfe unb bie innere ^anbellpoliti!. SRr. 297.

$Rr. 133.

9îr. 203, 204.

bel ^»auptberbanbeâ beutfeper gemerblicper ®enoffenfd)aften.

tingen. I: Xal ^anbefêperfonal unb ber Sarenpanbel.

Huimartige fcaubclibolitil bon Dr. fteinridj ©iebeling, ©rofeffor cm ber Uniberfttćtt SürtcÇ.

Sir. 245.

Sir. 262.

f*l ©erfidjermtgêroefen bon Dr. jur. ©auł 9ïiolbenI)auer, fo§ent ber ©er* fidferungitmffenfcbaft an ber £>anbeIi&odjfct)ule Köln, fie getterfcHdje Sïrbeiterfrage bon Dr. SBerner ©ornbart, ©rofeffor an ber

$anbeliborf)fd)ule ©erlin.

Ш. 209.

Seil.

— П. ©efonberer Seil (<Steuerlef>re).

fie ttrbeiterberfidjerung bon «ßrofeffot Dr. Stlfreb SJianei In ©erlln. Sir. 267. fittansttiffenfdjafi bon ©räfibeni Dr. K. ban ber ©orgljt i« ©erlin. I. SUIgemeiner

Sir. 148. Sir. 391.

fie eteuecfcfteme bei Sluêtanbe# bon <0e&. £>&erfinan*rat О. ©cfytoarî in ©erlin.    Sir. 426.

fie Sntmitflung ber 9teid)Sfinanjen bon ©räfibeni Dr. K. ban ber ©orgfft in ©erlin.    Sir. 427.

fojiologie bon ©rof. Dr. bornai Slcbelii in ©remen.    Sir. 101.

fie Œntttitfïung ber fojialen ftrage bon ©rof.Dr. fterb.fönniei in Suttn. Sir. 353-ürmenwefen nnb Strmenfärforge. Stnfütyrung in bie fojtale äilfiarbett bon Dr. 8lboIf SBeber, ©rofeffor an ber £anbelil)oct)fd)uIe Köln. Sir. 346. Weitere Bänbe finb in Vorbereitung.

1^еоЦ10Мфе unb геНд1оп5ш1Нсп{фа|Шфе »ibliotbef.

fie Sntftebung bei SUten feftamentb bon Sic. Dr. SB. ©taerf, ©rofeffor an ber Uniberfität 3ena.

mtteftarnentUĄe tReligtoniaefdjidjte bon D. Dr. SKaj Sübc, ©rofeffor an ber Uniberfität ©reêlau.

®efdjid)te 3fraeti bti auf bie grtedfifdje Sett bon Sic. Dr. 3. öenjinger. Sir. 231. £enbe§* u. ©olülunbe ©aläftiitai bon Lie. Dr. ©uftab $ölfctyer in £alle.

Sir. 345.

fieöntfteljung b. SïeuenSeftamenti b. ©rf. Sic. Dr. Sari Siemen in Sonn. Sir.285. fie Sntwidlung ber djriftlidjcn Słcligion innerhalb bei Sieucn Seftamenti

Sir. 388.

»eweftamentlidje äeitgeföjidfte bon Sic. Dr. S3, ©taerl, ©tofeffor an ber Uniberfität Зепa. I: fer Ijifiortfcbe u. lultyrgefĄtdjtlidje $intergrunb bei UrĄrifientumi.

— П: fie Religion bei 3ubentumi im Seitalter bei $elleniimui unb ber

Sir. 826.

äbrtfj ber bergteidjenben Sleligionènnffcnfrfjaft bon ©rof. Dr. 2$. ЭДфеИ* in ©remen.

3nbifdje »Jleligionigef^i^te bon ©rof. Dr. Sbmunb $arbÿ.

©ttbbtftt bon ©rofeffor Dr. Sbmunb £arbtj.

®rie*if^e unb riimif^e ÜRbtftologie bon Dr. Hermann ©teubtng, Sieltor

Sir. 27.

»ermanif^e ©Urologie oon Dr. S. Sïiogï, ©rof. an ber Untb. Seidig. Sir. 16. fie beutfdje $etbenfage bon Dr. Otto Suitbolb Звде1, ©rofeffor an ber

Sir. 82.

SJitt 8 ©ollbübem unb 1 Karte.

bon ©rof. Sic. Dr. Sari Siemen in ©onn.

Kömerberrfcbaft.

bei (Stymnaftumi in ©djneeberg.

Uniberfität SJiünfter.

Weitere Bänbe finb in Vorbereitung.

Sir. 272.

Sir. 292.

Sir. 325.

Sir. 208. Sir. 83. Sit. 174.

ЩЬадодНфе SibUotbeï.

Päfeagogi! im ©runbrifi bon »rofeffor Dr. ЯВ. Kein, Sireïtor bei Päba» gogifdjen Seminar! an bet Untöerfität in 3«««*    9fr. 12.

©efihidjte bet »äbagogif bon Oberlehrer Dr. ф. SBeimer in 9Bte!baben. 9fr. 146.

$d)ttlpra£i£. ЗЛефоЬй ber »ollföfchule bon Dr. bi. Sepfert, Seminarblreltor in Sfdjopau.

Saô öffentliche ttnterrieptêtuefen Seutfdjlanbè in ber ©egemoart bon Dr.

9fr. 130.

@efd)id)te bel beutfdjen Unterrid)têtbefen£ bon »rofeffor Dr. ftriebrid) (Seiler. Streiter be! ftönlglidjen ©bntnafimn! §u ßudau. I: »on 9lnfang an btë Sum ©nbe be! 18. ftahrhunbert!.

— II: »out »egtnn be! 19. Sahrhunbert! bi! auf bie ©egentoart. 9fr. 276.

Фай beutfepe gforiôilbungèfthultbefcn nadj feiner gefchtdjtltdjen ©nttoidlung unb in feiner gegenwärtigen ©eftalt bon ф. Sierd!, Sireïtor ber ftäbt.

9fr. 392.

Sie beutfdje 3d)ule im «lanbe bon £>an! 9lmrhein, Sireltor ber beutfdjen

9fr. 259.

jJeUpenfchule bon »rofeffor ft. fttmmich in Ulm. 9Ktt 18 ïafeln in Son»,

9fr. 39.

»etoegungêfpiele bon Dr. ©. ftohlraufd), »rof. am ftgl. ftaifer Шре1тЗ= ©hnmafium su фаппоьег. 90Ш 14 9Ibbübungen.

Weitere Bänbe finb in Vorbereitung.

Paul Stoner, ©tjmnafialoberlehret in Stbtdau.

ftortbtibungSfchulen in ^>eibe i. Holftein.

Schute in Süttidj.

gfarben* u. ©olbbrud u. 200 »oll* u. Xejtbilbern.

sibliotbeï jur jlunft.

9fr. 50.

9fr. 275.

Sfr. 96.

©efepiepte bet 3ttaîerei L II. III. IV. V. bon Dr. Шер. SRutper, Prof. an ber Uniberfitât »re!Iau.

Ctiüunbe bon Prof. ftarl Otto Hartmann in Stuttgart. ÜJÎit 7 öollbilbern unb 195 $e£tilluftrationen.

Sie »autunft beb Slbenblanbeè bon Dr. ft. Schäfer, 9lfftftent am ©etoerbe»

9fr. 74.

Sie Plaftif be! «nblanbeê bon Dr. £an! Stegmann, Sireltor bei »at)г.

9fr. 116.

Sie Plaftil feit »egimt be! 19.Sahrpunbert! bon 91. феИтерег in SHündjen. 3Kit 41 »ollbilbem auf ameriïantfdjem ftunftbrudpapier.

Sie graphifepen fünfte b. ©art ftampmann, !. ï. Sepret an ber !. f. ©rappifepen Sehr* u. »erfucp!anftalt in 2Bien. 9ttit saplreicpen «üb. u. »eilagen. 9fr.75.

SU Photographie bon £. ftefjler, Prof. an ber !. !. ©rapptfepen Sehr* unb »erfucpëanftalt in SBten. ШШ 4 ïafeln unb 52 2lbbilbungen. 9fr. 94. Weitere Bänbe finb in Vorbereitung.

mufeum in »renten. 2Rit 22 2lbbübungen.

9lationaImufeum! in Штфеп. fflttt 23 tafeln.

9fr. 107—111.

9fr. 80.

9fr. 321.

»ibliothet jut äRuf«.

ЗШдетеше aRufiflepre bon Stephan ftrehl in ßelpsig.

ÜRuftfalifcpe Slfuftif bon Dr. ftarl £. Schäfer, Sosent an ber Uniberfitât »erlin. 9)Ht 35 «Übungen.

Harmonielehre bon 91. £>alm. ШШ bieleń Sfrtenbeüagen.

9fr. 220.

9fr. 21. Sfr. 120.

SJÎufifalifdje Formenlehre (tompofitiondlchrc) bon (Stepan trepl. I. II.

5гг. 149, 150.

tontrnpunft. Xie Sehre bon ber felbftmtbigen Stimmführung bon Stephan trehl in Seipzig.    Яг. 390.

F»tge. ©rläuterung unb Anleitung зиг fompofition berfclben bon Stephan trehl in Seip3ig.    Яг. 418.

Fnftrumentenlehre bon üüftufilbtreltor Franz 9J?ahcrhoff in Ghemnilj. I: Xe;rt.

Яг. 437, 438. Яг. 344.

©cfdjirfjtc ber ölten unb mittelolterlid)en SDhifiï bon Dr. Я. 9Ш)1ег. ЯШ zahlreichen Abbilbungen unb 9Äufilbeilag en. I. II.

9Aufifgcfd)irt)te be§ 17. u.18. Fabrhunbcrtë b. Dr. t. ©rmrêït) i. Stuttgart. Яг.239.

— fett beginn be§ 19. Fehrljimbertê bon Dr. t. ©runâlp in Stuttgart I. И.

Яг. 164, 165.

ЯШ bieleń Aotenbeifpielen.

II: Яо1епЬе^р1е1е.

SWufifâfthctif bon Dr. t. ©runêft) in Stuttgart.

Яг. 121, 347.

Weitere Bänöe finb in Vorbereitung.

Arfcrbau* unb ^Tlanzrnbaulchre bon Dr. $aul 3ïippert in Berlin unb ©rnft Sangcnbed in Sochum.

Sonbwirt!d)oftlt(fie Sctriebêlchre bon ©rnft Sangenbec! in SBodjum. Яг. 227. Allgemeine unb fpcziclIcXierzud)tlchrc bon Dr. fßaul Dïippert in Berlin. Яг.228. Agrifulturriicmic I: 5?flanzenernährung bon Dr. tari ©rauer.

agrifultnrd)cmifrt)c tontrollmefcnb.Dr. SJßavtl trifepe in©öttingen. Яг. 304. Fifdferei nnb Fifd)Znd)t bon Dr. tari ©elftem, $rof. an ber Forftafabemie ©berêmalbc, Abteüuugâbirigent bei ber ^auptftation beä forftlidpen 2$er*

Яг. 159.

Forftwiiicufrijaft bon Dr. Ab.Schtoappatf), $rof. an ber Forftalabem. ©berSioalöe, Abteilung§birigeutbeiber$auptftation b. forftlidjen $8erfud)3ibefen3. Яг. 106. Weitere Bänbe finb in Vorbereitung.

Яг. 232.

Яг. 329.

fud)3toefen§.

#апЬе15шЩеп|фа|Шфе ®ibItotl)el.

S3uri)führung in einfodjcn unb boppcltcn Soften bon $rof. Üîobert Stern, Ober* lebrer ber Öffentlichen £ianbetëlehranftalt unb Xozent bet ^anbelshod)*

Яг. 115.

îcutfrbe i^oubclylorrcfponbens bonfßrof. Xh- be S3eau£, Offizier be l'Fnftruc* tion ЯиЫкше, Oberlehrer a. X). an ber Öffentlichen ^aubelëlehranftalt unb Seltor an ber £anbefêhod)fchule zu Seipzig.

Fronzöfifdje &anbcl§forrcfponbcnz bon ^Srofejfor Xh- be 93eau£, Offizier be l’Fnftruction publique, Oberlehrer a. X. an ber Offcntlidjcn #anbel3= Iehranftalt unb Seltor an ber $anbeI§hodjfchule zu Seipzig.

©ngliftpe £anbcl£forrcfpuubcns bon ©. ©. SSpitfielb, 9Я.=А., Oberlehrer am ting ©bmarb VII ©ramrnar School in tingä Spnn.

3tolienifdie ôanbclëlurtcfpoubcnz bon fjkofeffor Alberto be 83eau£, Ober» lehret am königlichen 3'nftitut SS. Annunziata zu Florenz.

fdntle z« Seipzig. ЯШ Formularen.

Яг. 182.

Яг. 183.

Яг. 237.

Яг. 219.

©bcmifthe&anbelêïorrefbonbens b. Dr. 2lIfrebo9tabal be Variescurrena. 9fr.295. föuffifche üattbeiêfomfbonbeits bon Dr. $h- b. tatorahSïb ln Seipsig* 9fr. 315. 5ïûufmanntftf>eê Dfrchnen bon ©rof. fRidjarb ^uft, Oberlehrer an b. öffentlichen 4?anbelSleIjranftaIt ber SreSbener taufmannfchaft. 3 23be. 9fr. 139,140,187. SBarenfunbe bon Dr. tari £>affadf, ©rofeffor an ber 2Biener $anbelSaïabemie.

I: Unorganifdje 2Baren. 9ftit 40 Slbbilbungen.    9fr. 222.

— II: Organifche 2Baren. 9Jiit 36 2lbbilbungen.    9fr. 223.

Srogenfunbe bon 9Hd). Sorftetoih in Setysiß unb ®eorg OtterSbad) in $am-

bürg.

9fr. 413.

lüiafc*, äftüns- unb ©etoidjiêtbcien bon Dr. Slug. ©linb, ©rofefjor cm ber

4?anbelSfchuIe in töln.

9fr. 283.

SaS SSedjfelwefen bon fftechtSantoalt Dr. IRuboIf 9ftotheS in Seidig. 9fr. 103.

Weitere Bänbe finb in Vorbereitung. Siebe aucb „Volks-wirtfcbaftlicbe Bibliothek“. €in ausführliches Ver3eicbnis ber aufeerbem im Verlage ber 6. ]. Böfcben’fchen Verlagsbanblung erfcbienenen banbelswiffenfcbaftlicben Werbe bann burcb jebe Bucbbanblung boftenfrei Ьезодеп werben.

Sa§ moberne Selbgefthüh. I: Sie Enttoicflung beS gelbgefdjüfceS feit Einführung beS gezogenen SnfanteriegetoehrS bis einfchlie&lich ber Erftnbung beS rauchlofen ©ulberS, ettoa 1850—1890, b. Oberftleutnant 28.4?ebbenreid), gjîilitarlehrer an ber 2ttilitartechn. Slïabemte in Berlin. Ш1 Slbbilb. 9fr. 306.

—    II: Sie Enttoicflung beS heutigen gelbgefdjübeS auf ©runb ber Erfinbung

2fr. 307.

beS rauchlofen ©ulberS, ettoa 1890 bis sur Eegentoart, bon Oberftleutnant 28. ^etybenreich, Sftilüärlehrer an ber 9JMIitärtechn. Sllabemie in 23erlin. № 11 Slbbilbungen.

Sie mobernen ©efdjühe ber Sufcartillerie. I: ©om Auftreten ber gesogenen ©efchüfce bis sur ©ertoenbung beS rauchfchtoatfjen ©ulberS 1850—1890 bon SWummenhoff, 9Jîajor beim Stabe beS $u&artillerie=9?egiments, Eeneral-felbseugmeifter (23ranbenburgifcheS 9fr. 3). 9DWt 50 Se£tb ilbern. 9fr. 334.

—    II: Sie Enttoicflung ber heutigen Eefdjübe ber gufjartillerie feit Einführung

beS rauchfdjtuachen ©ulberS 1890 bis sur Eegentoart. 9JUt 33 Sejtbilbern.

9fr. 362.

9fr. 366.

Sie Enttoicflung ber üaitbfeuertoaffen feit ber »te beS 19. SahrhunbertS unb ihr heutiger Staub bon ©. 2Brsobeï, Oberleutnant im 3nf.-fRegt. Freiherr piller bon Eärtringen (4. ©ofenfcheS) 9fr. 59 unb 2lffiftent ber tönigl. ®e-toehrbrüfungSfommiffion. ^Jiit 21 2tbbilbungen.

9fr. 371, 372.

Mitärftrafrecfjt bon Dr. 9fta£ Érnft 9ftaher, ^5rof. an ber Uniberfität Strasburg i. E. 2 S3änbe.

Seutfche 2Behrberfaffuug bon tari EnbreS, triegSgerichtSrat bei bem Eeneral-

fommanbo beS tgl. bahr. П. SlrmeeforbS in 28ürsburg.

9fr. 401.

Sie Seemacht in ber beutfchen ©efrf)ichte bon 28irll. 2lbmiralitätSrat Dr. Ernft bon £alle, ©rof. an ber Uniberfität ©erlin.,    2fr. 370.

(Betriebenes.

Sibliotyeb* unb 3^йшд$ше?еп.

Яг. 332.

S?i>Ifd6ł6Hotf)efcn (93ücber* îmb SefebaÜen), ibre ©inrtdbtung unb Sertoaltung bon ©mil 3aefd)!e, ©tabtbibliotbefar in ©Iberfelb.

$ad beutfcbe 3eitnngêttjefcn b. Dr. Robert SSrunbuber in $Шп a. ЯЬ- Яг. 400. 2)ed mobcrne Seitungdiocfen (©bftem ber 3eitungdlebre) bon Dr. Robert 83runbuber in $bln а. Щ.    Яг. 320.

Sena.

ЯИдетеше ©efrbitfjtc bed .Seitungduicfend bon Dr. Subtoig (Salomon, in

Яг. 351.

£t)gtene unb ЧЭДотазге.

2>ie 3nfcftion£franft)citen unb itjrc 23crbütung bon ©tabdargt Dr. 5Ш. -$off* mann in ©erlin. 9Ш 12 bom SSerfaffer gezeichneten Slbbilbungen unb einer giebertafel.

Srobenbbgtene bon 9Jleb.--9îat $rof. Dr. SRodjt, 2>ireïfor bed Snftituted für (Scbtffd* u. Xrobenfranïbetten in Hamburg.

2>te fèbgtenc bed ©tiibtcband bon £>. C£br. Яираит, fßrof. an ber Sedjn. $odjfd)uIe in фаппоЬег. SRtt 30 Sïbbtlbungen.

2)te ftugtenc bed 2$ot)nungdmefcnd bon ф. ©ïjr. Яираит, $rof. an ber Śedfrn. фосЭДфи!е in фаппоьег. ЯШ 20 QIbbilbungen.

@ctberfjcf)t)gienc bon ©el). Sftebiginalrat Dr. $otf| in $otdbam.

fßfyarmafognofte. SSon Sfyotljeïer $. ©djmittbenner, Ölfftftent am SSotan.

Яг. 251.

î'rogenïitnbe bon fRidf). Sîorftemih in Seipgig u. ©eorg Otterdbatf) in Hamburg.

Яг. 413.

Snftitut ber 5Eed)nifd)en ^>ocf)fcf)UÏe Äarldrulje.

Яг. 327.

Яг. 369.

Яг. 348.

Яг. 363.

Яг. 350.

^Photographie.

$te ^fjotograbbic. 2$on ф. ®e&Ier, $rof. an ber f. î. ©rabf>tfd)en Sehr* unb $erfud)danftalt in SBien. ЯШ 4 ïaf. unb 52 BIbbilb.    Яг. 94.

Stenographie.

Яг. 246.

Stenografie nad) bem (Stiftern bon $. X. ©abefêberger bon Dr. Albert (Schramm, Sanbedamtdaffeffor in 2)redben.

Яг. 368.

Sic fRebefrijrift bed ©abcldbergcrfrf)cn Sbftcmd bon Dr. Albert (Schramm, Sanbedamtdaffeffor in Sredben.

Scbrbucb ber Sßereinf achten Scutftbcn Stenograf ic (CSinig.=<St)ftem (Stoige* ©фгеЬ) nebfi ©djlüffel, Sefeftüden unb einem Slfang bon Dr. 3CmfeI, (Stubienrat bed tabettenforpd in $8fndberg.    Яг. 86.

Weitere t3änbe biefer eiri3elnen Rbteilungen finb in Vorbereitung.

G. J. Göschen’sehe Verlagshandlung in Leipzig

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