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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

en

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

L. inw.

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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

lYiemoae aer Kleinsten Quadrate

Von ;|||||Г........

ProEWilh. Weitbrecht

II. Tell

Zahlenbeispiele

Mtl 8 Figuren

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Berlin 2B. 10 un b £ e i p ъ \ q

3toecf unb 3fei ber „Sammlung ©flfd)en" ifï, in C£in3efbarjMungen eine Паге, teid>t* t>erftanbftd)e unb überfid}Md)e ®nfffl)rung (n fämtftdje ©ebiefe ber 2BijTenfd)aft unb $ed)ntf su geben; in engem :ftaf)men, auf ftreng mijTenfdjaftttdjer ©runbïage unb unter :öerücfftd)figung beä neueren ©tanbeä ber Sorfd)ung bearbeitet, foil jebeé ЖпЬфеп 3UDeridfjîge 25elef)rung bieten. 3ebeä ein3e(ne ©ebiet iff in jïd) gefd)foffen bargeffettt, aber bennod) jTefjen atleiMnbdjen in innerem 3u* fammenfyange miteinanber, fo baß baä ©апзе, menn e$ Dotlenbef oartiegt, eine eint)eitiid)e, ft)ftemafifd}e ©arfMung unfereä gefamten 2Biffen$ hüben burfte.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

ber b

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BibliothekzurMhematïkunii Astronomie

aus

der Sammlung Göschen

Geschichte der Mathematik von Prof. Dr. H. Wieleitner.

2 Bände.....................Nr. 226,875

Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarith-misches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von Prof. Dr. Hermann Schubert. Neue Ausgabe von Prof. Dr. Robert Haubner. Nr. 81 Fünfstellige Logarithmen von Direktor Prof. Aug. Adler. Nr. 423 Mathematische Formelsammlung v. Prof. O. Th. Bürk-

len. Neubearb von Dr. F. Ringleb. Mit36Fig.......Nr. 51

Arithmetik v. Prof. Dr. H Schubert u. Prof. P. B. Fischer. Nr. 47 Elementare Algebra von Prof. P. B. Fischer. Mit 20Fig. Nr. 930 Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra von Prof. Dr. Hermann Schubert u. Prof. P. B. Fischer Höhere Algebra

IUUVI 1 U. I I VI. Ж •    .... Nr. 48

nonere Aigenra von Prof. Dr. H. Hasse. 2 Bände . . Nr. 931,932 Praktisches Zahlenrechnen v. Prof. Dr.-lng. P. Werkmeister. Mit 58 Figuren...............

Elementare Reihenlehre von Prof Dr. H. Falckenberg.

Mit 4 Fig. im Text..................

Determinanten von Prof. P. B. Fischer.........

Gruppentheorie von Dr. Ludw. Baumgartner Mit 6 Fig. Nr. 837 Niedere Analysis mit 6 Figuren von Prof. Dr. В. Sporer. Nr. 53 Höhere Analysis I: Differentialrechnung mit 68 Fig.

von Rektor Dr. Friedrich Junker............

Repetitorium u. Aufgabensammlung z. Differential« rechnung mit 46 Figuren von Rektor Dr. Friedr. Junker. Nr. 146 Höhere Analysis II: Integralrechnung m. 89 Figuren

von Rektor Dr. Friedrich Junker............

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Integralrechnung mit 50 Figuren von Rektor Dr. Fried. Junker. Nr. 147 Gewöhnliche Differentialgleichungen von G. Hohebel Nr. 920 Einleitung in die Funktionentheorie (Theorie der komplexen Zahlenreihen> v. Oberl. M. Rose. Mit 10 Fig. Nr. 581 Funktionentheorie von Prof. Dr. Konrad Knopp.

I.    Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen

Funktionen. Mit 9 Figuren...........

II.    Anwendungen d. Theorie zur Untersuchung spezieller

analytischer Funktionen- Mit 10 Figuren.....

Aufgabensammlung zur Funktionentheorie von Prof.

Dr. К. Knopp. 2 Bde...............

Einführung in die konforme Abbildung von Prof.

Dr. Ludwig Bieberbach................

Potentialtheorie v. Dr. W. Sternberg. 2 Bände. . .Nr. 901,944 Vektoranalysis mit 16 Fig. von Prof. Dr. Siegfr. Valentiner. Nr. 354 Graphische Integration v. Dr. F. A. Willers. Mit 53 Fig. Nr. 801 Numerische Integration von Dr. F.A.Willers. Mit 2 Fig. Nr. 864 Ebene Geometrie m. 110 zweifarb. Fig. v. Prof. G. Mahler. Nr. 41 Ebene und sphärische Trigonometrie mit 59 Figuren

von Prof. Dr. Gerhard Hessenberg...........

Sammlung v. Aufgaben aus d.ebenen u. sphärischen Trigonometrie mit 26 Fig. v. Studienrot Dr. Fritz Heiland. Nr. 848

Nr. 405

Nr. 943 Nr. 402

Nr. 87

Nr. 88

Nr. 668

Nr. 703

Nr. 877, 878

Nr. 768

Nr. 99

Stereometrie mit 81 Figuren von Prof. Dr. Robert Glaser. Nr. 97 Sammlung von Aufgaben aus der Stereometrie von

Nr. 779

Prof. Dr. Robert Glaser. Mit 54 Figuren........

Nr. 72, 876

ProjeKtive Geometrie in synthetischer Behandlung mit 91 Figuren von Prof. Dr. K. Doehlemann. 2 Bände . .. Darstellende Geometrie von Prof. Dr. Robert Haußner.

Nr. 142, 143

2    Bande mit 150 Figuren

Nr. 970

NichteuKlidische Geometrie von Prof. Dr. R. Baldus.

Mit 71 Fig.......................

Nr. 532

Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn. Nr. 58 Einführung in die geometrische Optik von Dr.

W. Hinrichs.....................

Nr. 65

Graphische Darstellung in Wissenschaft u. Technik von Obering. Privatdoz. Dr. Marcello Pirani. Mit 58 Fig. Nr. 728 Analytische Geometrie der Ebene von Prof. Dr. R.

Haußner. Mit 50 Fig. im Text.............

Nr. 89

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene mit 32 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen. Nr. 256 Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Figuren

von Prof. Dr. M. Simon................

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes mit 7 Figuren von Prof. O.Th. Bürklen. Nr. 309

Koordinatensysteme von Prof. P. B. Fischer.....Nr. 507

AlgebraischeKurven. Neue Bearb.v.Prof Dr.H.Wieleitner.

I.    Gestaltl. Verhältnisse. Mit 97 Figuren.......Nr. 435

II.    Theorie u Kurven dritter u. vierter Ordnung. Mit 52 Fig. Nr. 436 Wahrscheinlichkeitsrechnung von Prof. Dr. О. Knopf.

Mit 10 Figuren. 2 Bände..............Nr. 508, 871

Politische Arithmetik von Prof. Dr. E. Foerster .... Nr. 879 Ausgleichungsrechnung n. d. Methode d. kleinsten Quadrate von Prof. Wilhelm Weitbrecht. 2 Bände. Nr. 302, 641 Vermessungskunde von Prof. Dipl -Ing. P. Werkmeister.

Nr. 468, 469, 862 Nr. 102 Nr. 922

3    Bände mit 300 Figuren

Nr. 92

Geodäsie von Prof. Dr. G. Förster. Mii 32 Figuren . . Mathematische Instrumente von Fr.A.Willers. Mit 68 Fig. Astronomische Geographie mit 52 Figuren v. Prof. Dr.

Siegmund Günther..................

Nr. 11

Astronomie. Größe. Bewegung u. Entfernung d. Himmelskörper von A. F. Möbius, neubearbeitet von Prof. Dr. Hermann Kobold.

I.    Das Planetensystem. Mit 33 Figuren.......

Nr. 529

II.    Kometen, Meteore und das Sternsystem. Mit 15 Fig.

und 2 Sternkarten................

Nr. 91

Astrophysik von Prof. Dr. Walter F.Wislicenus Mit 15 Fig.

Neubearbeitet von Dr. H. Ludendorff.........

Nr. 30 Nr. 599

Kartenkunde von Dr. M . Groll, neubearb.v. Dr. Otto Graf.

I.    Die Projektionen. Mit 56 Figuren........

II.    Der Karteninhalt u. d. Messen auf Karten. Mit 39 Fig. Kartographische Aufnahmen u. geogr. Ortsbestimmung

auf Reisen von Prof. Dr.-Ing. R. Hugershoff u. Prof. Dr.-Ing. O. Israel. I. Topograph. Aufnahmen. Mit 66 Figuren Nr. 607 Photogrammetrie und Stereophotogrammetrie von

Nr. 699 Nr. 180,917

Prof. Dr. Hans Dock. Mit 59 Figuren.........

Versicherungsmathematik von Prof. Dr. Friedr. Boehm.

2 Bände

Sammlung Göschen

AusgleichungsrechnuDg

nach der

Methode der kleinstenQuadrate

*Von

Wilh. Weitbrecht

Professor der Geodäsie in Stuttgart

Zweite, veränderte Auflage

II. Teil

Zahlenbeispiele

Mit 8 Figuren

Neudruck

Berlin und Leipzig

Vereinigung* wissenschaftlicher Verleger

Walter de Gruyter&Co.

vormals G.J. Göschen’sche Verlagshandlung - J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg Reimer - Karl J. Trübner - Veit & Comp.

I92O

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Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

Druck

der Spamerschen Buchdruckerei in Leipzig.

Akc. Mr,

40

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Inhaltsverzeichnis.

L Abschnitt. Direkte Beobachtungen.

1. Kapitel.

Direkte Beobachtungen von gleicher Genauigkeit.

Seite

Formeln................

1.    Beispiel: Mit Rechenschieber erreicl

2.    Beispiel : Mittelwert und mittlerer Fel

teten Winkels.........

3.    Beispiel: Libelleneinstellgenauigkeit

2. Kapitel. Direkte Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

Rechengenauigkeit

Formeln..............................

4. Beispiel: Mittelwert und mittlerer Fehler eines mehrfach, mit

wechselnder Genauigkeit beobachteten Winkels......

6. Beispiel: Mittelwert und mittlerer Fehler einer mit verschieden artigen Geräten gemessenen Strecke............

6.    Beispiel: Berechnung der Höhe eines Punktes aus Neigungs

winkel und Länge mehrerer von Höhenfestpunkten nach ihm gerichteter Zielstrahlen................

7.    Beispiel: Ausgleichung eines verdunkelten Grenzzugs aus noch

vorhandenen Überresten früherer Grenzzeichen......

11

13

15

II. Abschnitt. Vermittelnde Beobachtungen.

1. Kapitel. Übertragung von Beobachtungsfehlern auf Funktionen der Beobachtungsgrößen.

Formeln..............................

8.    Beispiel: Mittlerer Fehler der Summe oder Differenz mit ver

schiedengroßer Genauigkeit beobachteter Einzelgrößen ...    24

9.    Beispiel: Mittlerer Fehler des Vielfachen einer beobachteten

Einzelgröße........................

10.    Beispiel : Mittlerer, von ungenauer Maßstablänge und ungenauem

Anlegen herrührender Fehler eines Streckenmaßes.....

11.    Beispiel: Mittl. Fehler einer ohne Überbestimmung aus beob

achteten Strecken und Winkeln berechneten Dreieckseite .    25

23

25

25

2. Kapitel. Ausgleichung vermittelnder, gleichgenauer Beobachtungen.

A. Auf graphischem Weg.

Erklärungen............................

12. Beispiel: Feststellung der Lage und Richtung einer Geraden auf Grund einer überschüssigen Zahl mehr oder weniger unsicherer Stützpunkte........................

27

28

B. Auf rechnerischem Weg.

Formeln

13. Beispiel: Ausgleichung einer in allen möglichen Strahlenkombinationen auf einem Punkt ausgeführten Winkelmessung . .    40

. 34

Seite

14. Beispiel: Koordinaten eines Punktes aus seinen Entfernungen

von gegebenen Festpunkten (Bogenschnitt)........

16. Beispiel: Koordinatenumformung................

3. Kapitel. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

Formeln....................

16. Beispiel: Ausgleichung einer Netzeinwägung

46

59

63

Einleitung

Tri gonom etrische P unkteinsch al tung.

. .    69

I. Graphische Fehlerausgleichung.

70

Erklärungen

Auswahl des endgültigen Punktes in der fehlerzeigenden Figur . .    72

Genauigkeitsuntersuchung................

17. Beispiel: Vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden

77

79

II. Rechnerische Fehlerausgleichung.

Einfluß kleiner Änderungen an den Koordinaten des Anfangs- oder Endpunktes einer Strecke auf deren Richtungswinkel. Richtungskoeffizienten .....................

86

Vorwärt seinschnitt.

Strahlengewicht

Fehlergleichungen, Normalgleichungen und deren Auflösung ....    90

18.    Beispiel: Bestimmung der Koordinaten eines Neupunktes ...    93

Rückwärtseinschnitt.

A. Im Falle der Winkelbeobachtung.

Ableitung der Fehler- und der Normal gl eichungen, sowie der mittleren Beobachtungs- und Koordinatenfehler........

19.    Beispiel: Bestimmung der Koordinaten eines Neupunktes . . . 103

ss

'.IS

B. Im Falle der Reichtungsbeobaehtung.

Ableitung der Fehler- und Normalgleichungen, sowie der mittleren Beobachtungs- und Koordinatenfehler...........

20.    Beispiel: Bestimmung der Koordinaten eines Neupunktes ... 113

Vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden.

Richtungskoeffizienten. Gewicht der Beobachtungswerte.....

Gegenüberstellung sämtlicher für die Punkteinschaltung mit rechnerischer Ausgleichung abgeleiteter Formeln........

21.    Beispiel: Rechnerische Behandlung des Beispiels 17......

III. Abschnitt. Bedingte direkte Beobachtungen.

Erklärung und Formeln......................

22.    Beispiel : Ausgleichung der drei gemessenen Winkel eines Dreiecks 136

23.    Beispiel: Ausgleichung zweier in entgegengesetzter Richtung aus

geführter, dieselben Zwischenpunkte erfassender Einwägungen eines Linienzugs..................

24.    Beispiel: Ausgleichung einer Netzeinwägung..........

106

117

120

130

136

I. Abschnitt.

Direkte Beobachtungen.

1. Kapitel.

Direkte Beobachtungen топ gleicher Genauigkeit.

Formeln:

Bezeichnen wir

dig Einzelergebnisse der nmal wiederholten Beobachtung einer Größe X mit llt l₂... ln,

deren nötigenfalls unter Zuhilfenahme eines Näherungswertes N daraus zu errechnenden Mittelwert mit X,

L ~ l-v und vom

die Abweichungen der einzelnen Beobachtungswerte l vom wahren Wert X —: X - 1 = vw, vom Mittelwert L Näherungswert N —: l - N = v,

den durchschnittlichen Fehler einer Beobachtung mit d, den mittleren Fehler einer Beobachtung mit m und den mittleren Fehler des Mittelwertes aus sämtlichen Beobachtungen mit M,

so ist

(i)

(3)

(2) u. (7)

(L - h) + (L - l₂) + •. • + (L - ln) = vi + v₂ + * * * + vn = [v] — 0 + 4 ^-----h 4_И

[abs.w]

(8)

M²

\v v\ = [vv] — n (L — N)² = [v v]--,

(4) u. (6) [v v] = Minimum ; [vw vw]= \vv\ + n • M² г

(6)

y'[vJ

l/JM_

\ n — 1

und

Ob

(12)

.Finax (d. h. unter 368 unabhängigen Beobachtungs-Wiederholungen wahrscheinlich einmal sich einstellende Höchstabweichung des jeweiligen Beobachtungswertes vom Mittelwert) = (L — Z)max = 3m.

1. Beispiel: Die mit der oberen Teilung gewöhnlicher (25 cm langer) Rechenschieber mit Glasläufer im Mittel erreichbare Rechengenauigkeit im Falle der Multiplikation zweier Faktoren soll durch Vergleichung einer Anzahl von damit errechneten Produkten mit den entsprechenden Sollwerten festgestellt werden.

Lösung: Rechnen wir eine Anzahl von Produkten (die wir wegen der Verschiedenheit der Teilungsintervalle zweckmäßigerweise je nach ihrer Größe in Gruppen zusammenfassen) zuerst mittels Rechenschiebers und dann genau aus, so erhalten wir im Unterschied je zweier zusammengehöriger Werte eine wahre Verbesserung vw, deren Gesamtheit den mittleren Fehler m einer Rechenschieberrechnung nach Gleichung 5 liefert.

Faktoren

Ergebnis der Multiplikation auf vier zählende Ziffern

Rechenschieber

vw

genau

in Einheiten der vierten Stelle

+ 1 -

Gruppe I.

854x1514 347X 458 1532 x 673 2124X 632 4221X 413

1293

1589

1031

1342

1743

16

™ = ±j/|* = ±2

Einheit en der vierten Stelle

2371x881 891x613 612x424 756 x 371 443 x 669

2089

2397

2595

2805

2964

2090

6 I 2

Gruppe IL

2400

2590

2808

2960

20

tH 05

±3,8

Einheiten der vierten Stelle

Faktoren

Ergebnis der Multiplikation auf vier zählende Ziffern

Rechenschieber

genau

in Einheiten der vierten Stelle

[VwV 3

423X 741 385X 854 342x1042 244x1538 1314X 303

3134

3288

3564

3753

3981

3140

Gruppe III.

3290

3560

3750

3990

,/146

=±hr=

±5,4

Einheiten der vierten Stelle

1891x221 1543 x 281 1313x333 723 x 653 1191x414

4179

4336

4165

7 i 17 Gruppe IV.

4372

4340

4380

4721

4931

4730

4920

14

-*rf-

±9,8

Einheiten der vierten Stelle

25 , 21

215 X 238 223X 234 1724 x 3152 325x1781 1426X 442

5117

5218

5434

5788

6803

Gruppe V.

5120

5230

5420

5780

6290

14

00 COCO

144

196

1766 x 387 1426 x 442 1975x327 236 x 279 284x242

6834

6303

6458

6584

6873

13

27 i 23 Gruppe VI.

169

±10,8

Einheiten der vierten Stelle

582

13

13

16

256

169

64

36

-*rf-

169

±11,8

Einheiten der vierten Stelle

34 I 22 Gruppe VIL

694

303X 236 206x 352 471x1592 249x 308 1582x 498

7151

7251

7498

7669

7878

7140

7240

7510

7700

7880

11

11

12

31

121

121

144

±16,4

1426 x 568 1942 x 436 2625x324 3075x286 376 x 228

8100

8467

8505

8795

8573

8090

2

22 I 45

Gruppe VIII.

8500

8830

10

33

35

961

1351

100

1089

1225

49

m=±

Einheiten der vierten Stelle

|/Ç-

±22,8

m =±

Einheiten der vierten Stelle

Faktoren

Ergebnis der Multiplikation auf vier zählende Ziffern

Rechenschieber

genau

in Einheiten der vierten Stelle

•l

\vw vu^\

Gruppe IX.

286 x 826 462 x 206 180x582 645x154 314x343

9320

9340

9517

9576

9933

10770

9530

9590

9910

10760

23

10

33

20

13

14

47

400

169

196

529

100

1394

1/Ï394

w = ±br=

±16,7

Einheiten der vierten Stelle

Die mittleren Fehler sind, wie angesichts der Verschiedenheit der Teilungsintervalle zu erwarten stand, nicht gleich, sondern zeigen ein gewisses Wachstum mit zunehmender Größe der ersten Ziffer des Produktes. Um das dafür geltende G-esetz zu ermitteln („vermittelnde Beobachtungen“) (was einwandfrei sich natürlich nicht aus einer so beschränkten Zahl von Feststellungen durchführen läßt), kann man zu den einzelnen, oder den mittleren Produktwerten als Abszissen die Abweichungen vw, oder die mittleren Fehler m als Ordinaten in beliebigem Maßstab auftragen. Verbindet man dann die erhaltenen Bildpunkte durch eine ausgleichende stetige Kurve, so gibt deren Verlauf einen Einblick in das Fehlergesetz: zur Abszissenachse paralleler oder unregelmäßiger Verlauf würde die Unabhängigkeit der Fehler- von der Pro-duktengröße anzeigen, geradlinige Divergenz: lineare Beziehung usw.

Das Ergebnis der obigen Untersuchung zeigt, daß bei Multiplikationen mit zwei Faktoren die dritte Stelle sich noch einigermaßen zuverlässig ergibt, wenn das Produkt mit den Ziffern 1 bis 3 beginnt, daß aber bei größerer Anfangsziffer schon die dritte Stelle normalerweise um 1 bis 2 Einheiten, im Maximum sogar bis zu fünf Einheiten unrichtig sein kann.

2. Beispiel: Ein Winkel wurde unter gleichen äußeren Umständen wiederholt gemessen, wobei sich die nachfolgenden in Spalte 1 eingetragenen Werte l ergaben. Wie groß ist dessen wahrscheinlichster Wert L, der mittlere Fehler m einer Messung und derjenige M des Endergebnisses?

N = 850 42' 00"

v"= l - N"

Vs

v" = (L-l)"

v*

<N

со

СП

CQO ^ СО 05 СО 00

to

Hi“ С5

О 05 С-

со

cn 05 СО M

42    !    12    406    24 I 24    316

[]=0

[]=+80

Endergebnis :

30"

L = 850 42' 00" + — = 850 42' 03" ± 1,9"

[v v] = 406 - 10 • 32 = 316

(übereinstimmend mit der direkten Rechnung)

±5,9"

1/Ш6

w==±br⁼

±1,9".

l/ 316 '    5,9"

Г9-10    ± yïô

3. Beispiel: Es soll die Genauigkeit der Einstellung einerKöhrenlibelleermitteltwerden. (Lösungs.S.10 unten.)

Tabelle zu

Luf tblasen-

Latten-

Ein-

stellung

I. Vorwärts

II. Rückwärts

III. Vorwärts

Luftblasen-

vorn

hinten

mitt.

vorn

hinten

mitt.

vorn

hinten

mitt.

2,246

2,248

2,250

0,8

2,0

8,4

30,2

31,4

33,0

15,5

16,7

18,2

0,8

2,1

3,8

30,8

32,1

33,8

15,8

17,1

18,8

1,0

2,5

3,6

30,4

31,8

33,0

15,7

17,15

18,3

2,252

5,2

35,0

20,1

5,0

35,0

20,00

5,5

35,0

20,25

2,254

6,8

36,0

21,4

6,0

36,0

21,00

6,4

36,0

21,2

2,256

7,8

37,3

22,55

7,3

37,2

22,25

7,8

37,2

22,5

2,258

9,2

38,6

23,9

8,9

38,9

23,9

8,9

38,3

23,6

2,260

10,4

39,8

25,1

10,1

40,0

25,05

10,8

40,0

25,4

2,262

12,2

41,6

26,9

11,7

41,5

26,6

11,8

41,2

26,0

2,264

13,2

42,7

27,95

13,0

43,0

28,0

13,5

42,8

28,15

2,266

14,5

44,2

29,35

14,3

44,0

29,15

14,8

44,2

29,5

2,268

15,8

45,5

30,65

16,0

45,6

30,8

16,8

46,0

31,4

Empfindlichkeit E" =

Al X c 2 X 206265 AW X d ~ 1,377 X 5000

= 5,99"

Lösung: Setzen wir die Wasserwage der Länge nach auf eine Fernröhre und stellen das Fadenkreuz der letzteren mehrfach auf bestimmte Teilpunkte einer in einiger Entfernung lotrecht aufgestellten Latte ein, so sollten die zu gleichen Einstellungen gehörigen Ablesungen an der Libellenteilung einander gleich sein. Aus etwaigen Abweichungen der letzteren von ihrem Mittel können wir nach Gleichung (5) den mittleren Einstellfehler berechnen. Im vorstehenden Beispiel, dessen Zweck die Untersuchung der Libelle zum Nivellierinstrument Nr. 29 der württembergischen Fachschule für Vermessungswesen in bezug auf Libellenschliff und -Empfindlichkeit s war, war die Latte d = 50 m vom Instrument entfernt aufgestellt. Die Einstellung auf ihr erfolgte, je um Al = 2 mm sich ändernd, mehrmals in beiderlei Richtung, d. h. vor und zurück.

0,18 Teilstriche.

Beispiel 3.

bewegung IV. Rückwärts

stand W

w w w

vorn ! hinten mitt.

Mittel aus den Luftblasenmitten

01

•i

0a

03

»!

04

»!

1,0

30,8

15,9

2,2

31,6

16,9

15,73

16,96

1,23

0,28    529

x93

49

9 x 83 289

4,0 I 33,5

18,75

18,51

1,55

0,26

676

X 86 196 x 81

361    6 36

5,0 I 34,6

19,8

6,6 j 36,0

21,3

20,04

21,23

1,53

0,31

961

x71 841    21

441 X 76 576

1,19

X 94

36

4    16 X 79 441    24 576

7,8

37,0

22,4

22,43

1,20

x83

289 23 529    3    9 x 93 49

9,0

38,6

23,8

23,80

1,37

x88

144    18 824

x93

49    3    9

10,5

40,0

25,25

25,20

1,40

x90

100

x90

100 20 400    00 00

12,0

41,2

26,6

26,65

1,35

10

100    15 225

x 80

400 x95 25

13,2

42,8

28,0

28,03

1,38

x 75

625

5 25| 15 225    5 25

14,8    44,2

29,5

29,38

1,35

64    3    9 x 88 144    3    9

15,9    45,4

30,65 30,88

1,50

9 23 529 x 88 144 x 88 144    *

23

529    8 64

x.48 2704    23! 529

à ^Mittel = -¹-⁵’¹⁵- = 1,377

4062    2907

5327    2267

11

14563 =r [vv]

mittlerer Einstellfehler m

2. Kapitel.

Ausgleichung direkter Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

Formeln:

Bezeichnen wir wieder

mit Ij, l-г ... ln die Einzelergebnisse der Beobachtung einer Größe X, mit Pu Pi • • -Pn deren Gewichte,

mit Ij deren (nötigenfalls unter Zuhilfenahme eines Näherungswertes N) daraus zu errechnenden Mittelwert,

mit vt, r-2 . .. deren Abweichungen (Ji~N), (7a-AT) ... vom Näherungswert,

mit vuv₂ ... vn deren Abweichungen (L - lj) , (L -1₂) ... лют Mittelwert,

mit ft den mittleren Fehler der Gewichtseinheit,

mit «jj, m.₂... den mittleren Fehler der Beobachtung llf l₂ .. •

mit Ж den mittleren Fehler des Mittelwertes L,

so ist:

(13) u. (18)

[P v\

[P]

[P] ’

cler^mittlere Fehler vor der Ausgleichung

(14)

wobei pr =

(21) u. (22) M = -!-=

mr

fp m j

m₁ : mg = Ур₂ : ]'pl,

\P г’] = 0,

(17) u. (1 9) [p vv] = [pvv\ — O] (L — Ny = Min.

Pl = Ы

(15)

(16)

(20)

und endlich

IX

=±1/

<[pvwvw]

der mittlere

Fehlern ach    , /x

(²³Jder Aus- j m’ = ± gleichung

- , 1 /М

— \n — 1’

\pvv\

(« — 1) pr ’

M ~ -Ar-

I'M

= ±]/-

[p г’ г;]

(» - u и ■

4. Beispiel: Die mittels verschiedenerlei Theodoliten und nach verschiedenerlei Verfahren mehrfach wiederholte Messung eines Winkels ergab für ihn folgende Mittelwerte l und mittleren Fehler m:

Ordnungs

zahl

Zahl der Wiederholungen

Mittelwert

Mittlerer Fehler m einer Messung

±10

±15

+ 20

±12

58°43'18 58° 43' 30 58°43'12 58° 43' 22

Wie groß berechnet sich unter Berücksichtigung aller Einzelmittel sein endgültiger Mittelwert L und dessen mittlerer Fehler M ?

Lösung: Aus den mittleren Fehlern jeder Messung gewinnen wir zunächst das Gewicht p jedes der Zwischenmittel l und (falls gewünscht) den mittleren Fehler Mx .. . der letzteren sowie des Endergebnisses L vor der Ausgleichung. Wählen wir zu diesem Zweck als Gewichtseinheit etwa eine Messung, welche den mittleren Fehler и = 10" erwarten läßt, so erhalten wir für die Zwischenmittel als

Mittleren Fehler der Zwischenresultate (vor der Ausgleichung) nnr

M'~ F»T

Gewicht pr

_ fl* nr * ^

M²r

Mt =

M₂ =

M₃ =

M₄ =

a?)|iS S||8S||$S||S

= ± 7,1"

= ±7,5"

= ±8,2"

= ±4,2"

woraus

sich ergibt

des Schlußergebnisses

Gewicht

/; =

mittl. Fehler vor der Ausgleichung Ж =

ŁP] = 10,9;

± -^=r = ±-~= =±3,03" Ff    Fl 0,9

Direkte Beobachtungen.

Der Näherungswert N = 58° 43' 20" liefert dann

pvv

woraus

und

10

18,0

11,2

4,0

8,0

12,0

180,0

96,0

22,4

29,2 I 16,0

806,4

18,2

[pvv] = [pvv]- [p] (L - N)2 = 306,4 - 10,9 • 1,2» = 200,7 13,2"

L = N +-^i = 580 43' 20" +

10,9

= 58°43'2V\

Direkte Rechnung liefert zur Probe:

V"

pv

pvv

SP я to to

8,8

6,4

0,8

13,8

15,8

20,5

4,5

139,0

127,0

3,6

20,2

20,3

/soll 0 \ U Gl. 16;

290,1

TT' (Abweichung 0,6 gegen den oben errechneten Wert infolge von Abrundungsfehlern)

woraus als mittlerer Fehler des Schlußergebnisses nach der Ausgleichung:

290

= ±3o",

10,9 • 3

letzteres selbst : X = 58° 43' 21a" ± 3",

Die beiden mittleren Fehler M des Schlußergebnisses y or und nach der Ausgleichung sind, wie dies der Fall sein soll, einander gleich. Ihre etwaige Verschiedenheit würde das Vorhandensein regelmäßiger oder grober neben den zufälligen Fehlern m, bzw. die nicht genügend sichere Bestimmung der letzteren beweisen.

5. Beispiel*): Eine Strecke L wurde je mit gleicher Genauigkeit gemessen:

a) mit Meßstangen t = 285,34 ' b) mit Meßband f lä = 285,40 c) mit Meßkette ( 4 = 285,30 „ zu ] 4 = 285,40    zu I 4 = 285,56    zu \ lt = 285,46    |

rg

о

-M

M* = il/vTT = ±3,1 cm. g

— ±4,7 cm. ö

ф

Kettenmessung LK — 285,38 mK = ±j/~j~ — ±11,3 cm MK = ±j/j~^ = +8,0 cm. g-

Zur Vereinigung der drei ungl eichwertigen Ergebnisse der Stangen-, Band- und Ketten- g'

messung haben wir zunächst deren Gewichte p8t, Pb und Ук festzustellen**).    g

—-:-

*) Das vorstehende Beispiel eignet sich strenggenommen nicht für die Vereinigung aller Beobach-    q

tungen zu einem Gesamtergebnis, weil den verschiedenen Meßgeräten abweichende Normalmeter zugrunde    ф

legen können, wodurch, wie auch durch die verschiedenen Messungsverfahren, regelmäßige Widersprüche in    g

den Teilresultaten (Stange, Band, Kette) erzeugt (oder teilweise aufgehoben) werden, die mit dem unregel-    &

mäßigen Beobachtungsfehler nichts zu schaffen haben. Es wurde aber trotzdem und zwar deshalb gewählt,    jq‘

um Tatsache und Größe des Unterschieds zwischen dem mittleren Fehler vor und demjenigen nach der

g;

**) Bei der Fehler- und Gewieftsbestimmung aus wenigen Beobachtungen (bei der Meßkette hier zwei!) kann der Zufall leicht eine verhängnisvolle Bolle spielen, indem er Ergebnisse an sich unzuverlässiger Beobachtungen einander nahezu gleich und daher das zugehörige Gewicht besonders groß erscheinen läßt. Es    |__a

ist in solchen Fällen besser, hierfür — statt der nach vorstehendem errechneten — als mittlere Fehler die-    qji

jenigen Beträge einzuführen, welche nach früher gemachten praktischen Erfahrungen zu erwarten sind.

die mittleren Fehler vor der Ausgleichung (Gleichung 11)

k = 285,80 11, = 285,44

Es liefert: Welches ist ihr bestmöglicher Wert und welches dessen mittl. Fehler? die Messungs- das Messungsergebnis (Gleichung 2)

Stangenmessung Lst = 285,37 mst

l. = 285,51

(Gleichung 5 b)

— ±|/^p = ±6,2 cm

= 285,49 mB =    = ±⁸-2 cm

gruppe

Bandmessung L

Wählen wir als Gewichtseinheit eine einmalige Kettenmessung, welcher der mittlere

13,2,

q|H

oo so*

CM

cm

4 • 128 f

со

CO

als Gewicht und mittlerer Feh-

1er des Endresultates vor der

Ausgleichung erscheint.

mK = 4+128 = +11,3

55.

4-2,5 cm

CO

S’A

00 b+

T—H

'|°î.

6

Fehler

anhaftet, so wird nach Gleichung (14)

<M

3 • 128

CO |<M

CM

fc4

woraus nach Gleichung (20) und (22)

55.

+1

■Pz = [p] = 20,9 ,

V ereinigung der drei Gruppenergebnisse: Fur N— 285,30 liefert Gleichung.(18) und (19)

p V V qcm

M !N H Ю (M i—i

I—I

iO

oo

I-

Abrundungs-

fehler gegen 583

(s. links) = 2.

cm

cm

P V V qcm

V \ p \ pv

cm

cm

oo

-f-

oo

i»

cT

rundungs

fehler +0,8.

00

oo_ o_ со t> oo" »o cm со о T—i CM

со О <м ad <o

05 O i—i

CM. l>-_

OO iO~ CM

05

OO

t- 05 OO OO "Ф oo io" lcT va oo oo oo

(M CM CM

2832,5

216,7

pvv = 2832ß —20,9 • 10,4²

2832k — 2250 == 583

als Endresultat aus den

drei Messungsgruppen.

4-10,4 cm

^05

S cf

^ CM

Ol

somit

Х=Ж+|| = 285,40, {

Direkte Beobachtungen топ verschiedener Genauigkeit. 17 Hieraus liefert als mittlere Fehler nach der Ausgleichung:

= + 17,2 cm

Gleichung (23 a)

,1/ 585

Mst

-±v

585

2-13,2

— +4,7 cm

Gleichung (23 b) MB

585

2-5,7

= + 7,2 cm

«-±1/

585

2-2

= +12,1 cm

=±i/

Gleichung (23 c) M

= ± 3,7 cm.

585

2 • 20,9

Die mittleren Fehler vor der Ausgleichung weichen von denjenigen nach der Ausgleichung erheblich ab. Diese Abweichungen haben ihre Ursache teils im Yor handensein solcher Beobachtungsfehler, die — ihrem Betrag nach zwar nicht erheblich genug, um zur Nachmessung zu veranlassen — nach ihrer Entstehung den groben Fehlern zugerechnet werden müßten und welche das Messungsergebnis und die Bestimmung der Gewichte und mittleren Fehler um so stärker beeinflussen, je kleiner die Wiederholun gszahl ist. Namentlich wird die Abweichung aber hervorgerufen (s. Fußnote S. 15) durch regelmäßige Fehler, die, bei den verschiedenen Beobachtungsgruppen in verschiedenem Betrag auf tretend, innerhalb jeder einzelnen Gruppe gleich wirken, in ihr selbst also überhaupt nicht bemerkbar sind.

6. Beispiel: Um die Höhe eines Punktes P zu ermitteln, wurden von ihm aus die Neigungswinkel nach 4 Höhenfestpunkten in der "Weise gemessen, daß auf

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. II.

jedem von ihnen eine Zieltafel im lotrechten Abstand gleich der Instrumentenhöhe aufgestellt und angezielt wurde. Aus den nachfolgend angegebenen Festpunktshöhen H, Neigungswinkeln oc und horizontalen Längen 5 der Zielstrahlen soll die Höhe von P samt ihrem mittleren Fehler abgeleitet werden.

Gegeben, bzw. gemessen

Höhenfest

punkt

Berechnet Neigungswinkel « aus H, oc und s berechnete Höhe (Zwischenmittel l)

Gegebene Horizontal- fS°î?enw.in.^eI_ ⁺ ) Höhe H entfernungs V Tiefen Winkel    /

in neuer Teilung

+ 14    87

+ 23    61

ОЭ to

26

47

50    354,73

20    354,72

73    354,84

56    355,09

Lösung: Jeder Zielstrahl liefert mittels folgender Gleichung einen Wert l für die gesuchte Höhe Hp\

27

(1 -k)-

Hp - HF _ s • tg oc - s

wobei r den Erdhalbmesser (log r = 6,80489 in m), und к den Refraktions-koeffizienten (0,13) vorstellt. Die Ausrechnung ergibt hiernach die in der letzten Vertikalspalte vorstehender Tafel eingetragenen Zwischenwerte l.

Zur Mittelbildung müssen wir zunächst deren Gewichte p feststellen, welche nach Gleichung (14) von ihren mittleren Fehlern ab-hängen. Der Bestimmung der letzteren, die ihrerseits wieder von den mittleren Fehlern von oc, s und к abhängen, werden wir in Abschnitt II näher treten. Hier wollen wir uns vorerst mit der (für große Ziellängen und starke Zielneigungen allerdings nicht richtigen) Annahme begnügen, die Unsicherheiten in den einzelnen Höhenbestimmungen werden nur von den (gleich großen) Fehlern in der Messung der Neigungswinkel oc erzeugt, wachsen also proportional zur Ziellänge. Damit verändern sich die Gewichte der Einzelbestimmungen l umgekehrt proportional den Quadraten der Ziellängen oder:

Die Konstante c und die Maßeinheit für die Ziellängen * können dabei beliebig gewählt werden. Schreiben wir z. B. einer Bestimmung aus s = 2000 m das Gewicht 1 zu und wählen als Maßeinheit für s in obiger Gleichung das km, so wird c = 2² und

Vi =

22

1,8122

= 1,2

Pi =

22

0,9842

= 4,1

Ps =

22

2,8082

= 0,75

Pi =

22

[P]

4,210²

= 0,2

= 0,25

Unter Annahme eines vorläufigen Höhenwertes N = 854,8 wird damit

zur Probe:

1 - N ~v

cm

pv

cm

pvv

L~l

cm

pv

cm

pvv

8,4

r»s.s

1,8

2,2

4,0

82.N

262,4

2,S

11,5

4    29

12,0

6.9

5.S

168,0

34,2

6,s

232,6

[] = 8,8

41,2

501,2

13,7

13,7

332,3*)

32,4

L = 354,8 -    = 354,8 - 5,2 cm = 354,748,

b,2o

0,0

[pvv] = 501,2 - (6,25 • 5,22 = 168,2) = 333*),

womit die mittleren Fehler nach der Ausgleichung werden:

= ±|/    = ± 10,5 cm = ± 0,11 m,

des Zwischenmittels lx: mx = ± |/-

a) •

b)

c)

der Gewichtseinheit: /г

333

3x1,2

= ±9,6 cm usw.

des Endwertes L: M Gewicht des Endwertes:

333

3-6,25

= ± 4,2 cm = ± 0,04 m.

Pl = 6,25,

d. h. dem Endwert wohnt die gleiche Genauigkeit inne, wie wenn er aus etwas mehr als 6 Beobachtungen je mit der Ziellänge 2000 m bestimmt worden wäre.

Für den Endwert erhalten wir also:

ZeeHp = 354,75 ±0,04.

*) Die kleine Differenz beider Werte rührt von der Abrundung des Wertes für Z her, welche bei der Berechnung von [pvv] aus [pvv] nicht berücksichtigt wurde. Sie beeinflußt den Wert von /« und M nicht.

7. Beispiel: Ein ursprünglich geradliniger, jetzt verdunkelter Grenzzug soll durch möglichste Anschmiegung an vorhandene für den fraglichen Zweck an sich gleichwertige Zaunüberreste P, welche an einzelnen Stellen aufgefunden und samt den ihnen anhaftenden Unsicherheiten mittels rechtwinkliger Koordinaten auf eine beliebige Abszisse aufgenommen wurden, wiederhergestellt werden. Die dazu nötigen Elemente sind durch Ausgleichung festzustellen.

Punkt Nr.

Abszisse x

+ 10,84 + 0,14 + 51,02 + 0,10 + 96,72 + 0,08 +144,06 + 0,05 +150,02 + 0,10 +198,34 + 0,10 +245,82 + 0,20 [] = +896,82

Ordinate y —42,97 + 0,10 —24,96 + 0,10 — 4,00 + 0,08 +17,10 + 0,05 +20,24 + 0,05 +42,00 + 0,10 +63,92 + 0,10 □ = +71,33

Lösung: Die gesuchte Ausgleichungsgerade geht (vgl. Beispiel 12) durch den Schwerpunkt S der aufgenommenen Stützpunkte, dessen Koordinaten sich ergeben aus:

Яя.Шт + ШЁ.ш + 1юм„ашЖт + ^.. ₊ 1оЛ9.

Ihre Richtung ergibt sich demnach als arithmetisches Mittel aus den Richtungen der У erbindungsgeraden dieses Schwerpunktes mit den aufgenommenen Stützpunkten.

Für die mittleren Fehler der Schwerpunktskoordinaten erhalten wir nach Gleichungen (9) und (10) (s. vermittelnde Beobachtungen) in Einheiten von cm:

V985 ±    7

ш\х] У14² + 10² + 8² + б² + 10² + 10² + 20²

m*s = — = ±---7-

= ± 4,5 cm,

V10² + 10* + 8² + 5² + 5² + 10² + 10² _ V~5Ü -± ₇ ~± ?

= ± 8,2 cm .

Zur Berechnung der Richtungswinkel cp der obengenannten Verbindungsgeraden und ihrer mittleren Fehler mittels der Formeln:

tg (p = tg {x - S - P) =

УР-ys_> algo log tg _ log (yp _ y g) _ log (Xp _

- Xs

Xp

und

bilden wir für die:

wlog tg cp - ± ym2log (vp - ys) + m2log (xp - xs)

Strecken

Xp - xs

die Koordinatenunterschiede und (mittels Rechenschiebers) ihre mittleren Fehler

m*P-*s ± cm

yp - ys.

myp~ys ± cm

-53,16 -35,15 -14,19 + 6,91 + 10,05 + 31,81 + 53,73

Wir erhalten daraus die Richtungswinkel cp samt ihren mittleren Fehlern my, für die Verbindungsstrecken des Schwerpunktes 5 mit den einzelnen Grenzstützpunkten P, z. B. für die Strecke 5 -1 :

Co Co Co Co

5-

5-

-117,28

-    77,10

-    31,40 + 15,94 + 21,90 + 70,22 + 117,70

15

11

11

11

11

11

11

21

11

Koordinaten

unterschiede

log

[Ay ₀    (

wlog<^x ™*\₀ААх ltg<p    {

tg <p

in Einheiten der 5ten Log.-Stelle

- 58,16 ±0,11 -117,28 ±0,15

Il II

1.72558 n 2.06923 n

H-H-

8g

8100

3136

cp = 2270 09,2' ± 5,8' tg cp

(in neuer Teilung)

9.65635

±106

11236

usw. für die übrigen Strecken.

Zusammenstellung der Einzelwerte von cp, ihrer mittleren Fehler und Gewichte. Berechnung von <pMittel.

Strecke

in neuer Teilung

Gewicht p der Werte cp für^tt = 10' *) als mittlerer Fehler der Gewichtseinheit

für N = 2270 wird:

100

P ml

r'

pv'

pw

5-1

5-2

5-3

5-4

5-5

5-6

5-7

wooöh^wto

+ H-H-H-I+H-H-

©O00|005G0üi qr w oo on;-J to oo

© tö ^ <N CO <M

w" гн¹ о © © r-T

IMNH ooocc

I

«0

г-^-j    000005

1660

11,Г

[] = 9,0

107,6    Q5,9 147,4    19,2 5093

128,2

31,7

Also mittlerer Fehler des Endwertes cp vor der Aus

г + о о - 5 о £ 2- о о о 2- s- г

C- 6,88)

.vC

(- 12,21).

([j3au] + [W?I])icc + (Lpab] + t2n8])d2/ + ([i>ai] + [2(q) = 01 flp« 6] + [31 ОД dx + ([pb Ъ] + [SB 58]) dy + ([^ 6 /] + [S3 Ц) = 0.

p’=uT;

■Il

Also mittlerer Fehler des Endwertes cp vor der Ausgleichung: 10'

M=±-— = ± 3,3'*),

19,0

<P

= 221«+= 227» 14,2',

[pvv] = 5093 - 9= 3267.

Mittlerer Fehler der Gewichtseinheit nach der Ausgleichung:

i/3267

^=±|/-g-=

±23,3'*).

Mqp — ±J

= ±7,8'*).

Mittlerer Fehler des Endwertes von qp nach der Ausgleichung: 3267

6x9,0

Probe:

Strecke

S-l

S -2

S-3

S-4

S-5

S-6

S-7

v' =

^Mittel " <Pr

pvv

5,0

12,1

9,0

110,1

6,4

24,8

12,1

IV s;

-J O 00 о

75

122

58

2422

184

49

851

49,5    ! 49,9    3261

v TT"' soil 3267 (s. oben) Abrundungseinfluß — : 6

Abrundungs

einfluß

Aus den Schwerpunktskoordinaten xs und ys und dem Richtungswinkel cp läßt sich nun die verlangte, durch den Schwerpunkt gehende Grenzlinie direkt, oder nach Berechnung anderer Absteckungselemente auf das Gelände übertragen. Am besten eignen sich dafür die in der Ordinatenrichtung gemessenen Abstände и der ausgeglichenen Grenzlinie von den aufgenommenen und durch Pflöcke ersetzten Zaunüberresten P:

Dp = oll - Щл = vs +    - Xs) tev ~ Vpl,l ■

Wir erhalten daraus:

üj = -0,11 ;

Ü4 — + 0,331

M - о.

•) Die großen Unterschiede zwischen den mittleren Fehlern vor und den entsprechenden nach der Ausgleichung weisen daraufhin, daß die Grenze ursprünglich nicht gerade verlief, oder daß die Zaunüberreste nicht genau auf der Grenze sich bsfinden.

Da — + 0,13 ; De — + 0,09 ;

d₃ = - 0,07 ; ü₇ = - 0,27 ;

d₅ = -0,10;

Anmerkung: Die Aufgabe läßt sich bequemer noch nach Art der Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen analog Beispiel 12 lösen, wenn man die Koordinaten der Grenzüberreste vorgängig auf eine zur Grenzrichtung ungefähr parallele Achse umrechnet.

II. Abschnitt.

Vermittelnde Beobachtungen.

1. Kapitel.

Übertragung yon Beobachtungsfehlern auf Funktionen der Beobachtungsgrößen.

.. mn behaftet, so erzeugen die

i, m₂ .

Sind die Beobachtungs werte Lx , L₂.. .Ln mit den mittleren Fehlern m letzteren am Wert einer beliebigen Funktion F der Beobachtungsgrößen den mittleren Fehler M, wobei

/dF \² , / dF \² ,    , (dF \²

(²⁴) 4^

oder, wenn wir kürzerer Schreibweise wegen setzen:

...in)

ÔF

dF

dLn

(24)

= 4- mmll].

MĄLl,L,...L„)

Für das Gewicht Px der berechneten Größe

X = F(Ll) x₂...Ln) ergibt sich daraus : Px =

[Л²

oder,

\m m 11]

wenn wieder ju den mittleren Fehler der Gewichtseinheit und pr das Gewicht des Beobachtungs wertes Lr darstellt:

in

Px

P²

Spezielle Fälle:

(9) Für X=a-L wird Mx=Ma.L=±a-mL-, Px=Pa.L=~

Für X = Lx + L₂ + • • • + Ln wird

Mx = M(Lx ±x₂±...± zn) == +    + wx₂ + * • * + ™²Ln ;

(10)

Px Ы/

woraus für gleiche mittlere Fehler m der n Einzel-summanden L:

Li±Li±"’±Ln

(10 a)    M,

8. Beispiel: Wie groß ist der mittlere Fehler Mund das Gewicht P eines Winkels DBR, dessen Größe durch Addition, bzw. Subtraktion von drei Einzelwinkeln AB C = 84° 93' 12" ± 12"

. AB В = 124° 84' 58" ± IQ"

CBR = 78° 15' 83" + 20"

zu bilden ist?

Lösung: Allgemein ist

DBR — ABC - ABD + CBR, also hier DBR = 38°24'37' und nach Gleichung (10)

Mdbr = ± Vl2² + 10² + 20² = ± ] 044 = ± 25,4".

Um das Gewicht des Winkels DBR festzustellen, müssen wir zuerst eine Gewichtseinheit wählen. Erklären wir dafür z. B. eine mit dem mittleren Fehler fi = ± 20" behaftete Winkelmessung, so erhalten wir unter Benutzung von

MRBR = ± 25,4" —: Pj)rr = -2542* = 0,62

oder aus den Einzelgewichten „ 20²    2 7 7.

Ab№=2,77,

-i¹ '

20-

Pr BR 2,77

102 4 ’ Pi 20a 1 *

+ P + i- = 0,36 + 0,25 + 1,00 = 1,61,

woraus wie oben

Pr BR = —— = Q’⁶² .

1,61

Übertragung von Beobachtungsfehlern.

25

9. Beispiel: Wie groß ist der mittlere Fehler Mund das Gewicht P einer mit einem Reichenbachschen Entfernungsmesser bestimmten Strecke d, wenn der Lattenabschnitt L xait dem mittleren Fehler mL = + 0,5 cm behaftet ist, und die Konstanten c und к als fehlerfrei angenommen werden?

Lösung:

Md = M{c + kL) = ±\ m²c + (Je . mLy = ± Je-mL, Pä = oderfür Pl = ¹

10. Beispiel: Mit welchem mittleren Fehler M ist das Maß einer Strecke von 150 m Länge behaftet, wenn sie mit 5 m langen Meßstangen gemessen wird und wenn die im jedesmaligen Anlegen begründete Unsicherheit im Mittel ma = + 2 mm, diejenigen der Stangenlange in Folge rohen Vergleichsapparates mv = +1 mm beträgt? Wie groß wird dieser Streckenfehler im Falle der Anwendung nur 3 m langer Maßstangen unter Voraussetzung gleich großer Fehlerelemente?

Lösung: Zur ersten Frage:

M = ± ]/we + • • • + ml + (30 mvy = ± У80 х2Ч 9(X) X 12 =i32mm .

Zur zweiten Frage:

M = ±^m²a + • • • + ml + (50mvy = ± УбО x 2* + 2500 x 1* = ± 52mm.

11. Beispiel: Wie groß ist der mittlere Fehler Me einer Dreieckseite AB — c und ihr Gewicht Pc, wenn gemessen wurde:

b = AC= 106,00 + 0,06 m <£/2 = 29°39/ ±1'

<£y = 120°07/±2/?

b

Lösung: Die Trigonometrie liefert die Beziehung: c = siny,

woraus mittels Gleichung (24 c)

м'⁼Шт¹⁺Шт^⁺Шту

со^НЧт^НЧ

=    m\ + c² ctg²/?. m²ß + c² ctg²у •

sin² у sin²/?

w& + (

& siny

sin²/?

(mß und in analytischem Maß ausgedrückt).

die mittleren Beobachtungsfehler mß und m^ durch Division mit q' auf analytisches Maß zurückzuführen, können wir auch die zugehörigen partiellen Ableitungen mit q dividieren und als Winkeleinheit die Minute, als Längeneinheit das cm wählen, wodurch wir erhalten:

c² ctg²r ₂o

Statt

₂ SinV

c sin²/? • £>'² ,

1³ +

e'a

90,25 = l\

1-9528

0-9704

E sinß siny

2-02531

0-80566

9-93702

sin/?

siny

9-6943

9-9870

•îtg/?

185.35-c

2-26799

3,06 = l\

0-2427

0-4854

Eq'

Ctg у

0-2447

4-2680

6-4637

9-7635

9,78 = l\

0-4952

0-9904

М\ = 3,06 • 36 + 90,25 • 1 + 9,78 • 4 = 110 + 90 + 39 = 239 — \mmll\, Mc = i У 239 = ± 15,5 cm.

Also ist

c = 185,35±0,15₅ m.

Einfacher noch, als wie in obiger Lösung gezeigt, läßt sich der mittlere Fehler eines aus fehlerhaften Faktoren gebildeten Produkts mittels Logarithmierens finden. Wir haben

loge = logb -f- log sinj' — log sin/?, somit nach Gleichung (10)

*4>gc i) miog& "1" w?log sin y    mlog sinß *

Man hat jetzt nur beim Aufschlagen von logЪ , log sin у , log sin ß gleichzeitig zu notieren, welchen Einfluß auf die letzte (hier die fünfte) Stelle des log eine Änderung des Numerus um ть, vriß, hier also 6 cm bzw. 2' bzw. Г ausübt.

log    wlog    mfog

185,35 ± 0,15 = c ! 2¹26799±34¹)

605

49 1138

Ein mittlerer Fehler am loge von ±34 Einheiten der fünften Stelle liefert (gleichzeitig mit dem Aufschlagen von c) den mittlerenFehler von c: Me= ±15 cm.

und

Pc =

Das Gewicht P der berechneten Seite c erhalten wir mittels Gleichung (24d) oder einfacher aus der Proportion Рс:(р = 1)=/г¹:м1. Geben wir der Messung der Seite ft das Gewicht 1, so wird ^=6 cm 36

Ш = 0’¹⁵'

Ein weiteres hierher gehöriges Beispiel, und gleichzeitig die wiederholte Anwendung des vorstehenden Lösungswegs zeigt die Berechnung der Richtungswinkel cp aus unsicheren Koordinatenunterschieden im 7. Zahlenbeispiel.

2. Kapitel.

Ausgleichung vermittelnder, gleichgenauer Beobachtungen.

A. Auf graphischem Weg.

Stehen zwei veränderliche Größen in (zum voraus bekannter, oder zunächst unbekannter) Abhängigkeit von einander, und sind zusammengehörige Wertpaare derselben durch Beobachtung ermittelt, so tragen wir die zu der einen gehörigen Werte als Abszissen x, die anderen als zugehörige Ordinaten у je in passendem (nicht notwendig für beide gleichem) Yerjüngungsverhältnis auf.

Die stetige Verbindung der dabei erhaltenen Bildpunkte liefert eine (durch die unvermeidlichen Beobachtu ngs ungenauigkeiten zunächst entstellte) Kurve, aus deren Gestalt die Form der zwischen x und fi d. h. zwischen den beiden veränderlichen Größen bestehenden Beziehung, falls sie unbekannt wäre, erschlossen werden kann (gerade Linie beweist lineare Form, jeder ЛУendepunkt einen weiteren algebraischen Grad). Ist das Wesen der Funktion zum voraus bekannt, so ist der Einfluß der Beobachtungsungenauigkeiten auf die Kurve direkt aus der gezeichneten Form ersichtlich, eine ihr anzuschmiegende, der tatsächlich vorliegenden Beziehung entsprechende Linie kann wohl den gezeichneten Bildpunkten möglichst genähert, aber keinesfalls so gezeichnet Aver den, daß sie die letzteren sämtlich genau erfassen würde. Die Abweichungen v beider stellen alsdann nach Vorzeichen und Größe die Beobachtungsfehler vor, deren Summe [v\ wir gleich 0 und deren Quadratsumme [vv] wir zum Minimum zu machen suchen. Andernfalls wird man suchen, eine möglichst einfache stetige Linie den gezeichneten Bildpunkten gleichfalls so anzuschmiegen, daß [v\ = 0 und [vv\ = Min. Die endgültige Wahl der Linienform wird man aber von der vorherigen Gewinnung und Benutzung einer genügend großen Zahl von Beobachtungspaaren abhängig machen müssen.

12. Beispiel (zum voraus bekannte Form der Funktionslinie) :

Zum Zweck der Wiederherstellung der wahrscheinlichen Lage einer Baulinie an einer bauplanmäßig 15,00 m breiten Straße wurde eine Anzahl sicherer Gebäudeecken auf eine vorläufige, zu ihr im Abstande von 3 m ungefähr parallel verlaufende Abszisse aufgenommen. Gesucht ist die Lage der allen Gebäudeecken möglichst sich anpassenden, endgültigen Parallelen.

Lösung: Die abgesteckte Abszisse sowohl, als die gesuchte endgültige Parallele zur wahrscheinlichen Baulinie sind gerade Linien. Wäre es daher möglich, die in der Ordinaten-richtung gemessenen Entfernungen irgendwelcher durch gleiche Abszissenmaße bestimmter Punkte beider Geraden zu finden, so könnte man sie als Ordinaten zur abgesteckten Linie als Abszissenachse und zu den zugehörigen Abszissenmaßen auftragen. Die Verbindungslinie der dadurch erhaltenen Punkte müßte dann eine Gerade sein und die Abszissenachse in demselben Punkt schneiden, in dem in Wirklichkeit die gesuchte Parallele die abgesteckte Aufnahmelinie schneidet. Daran würde nichts geändert, auch wenn die genannten Entfernungen (die nur klein sein können) in größerem Maßstab als die Abszissen aufgetragen würden. Solche Entfernungen zwischen beiden, nur um weniges divergenten Geraden lassen sich nun wie folgt berechnen: Setzen wir voraus, daß die aufgenommenen Gebäudeecken genau auf den Baulinien liegen, also genau den Sollabstand (a± = 3 m bzw, a₂ == 12 m) von der gesuchten Parallelen haben, setzen wir ferner voraus, daß ihre von uns aufgenommenen Ordinaten y fehlerfrei gemessen sind, so erhalten wir von de*r abgesteckten Abszisse aus je einen Punkt der gesuchten Parallelen, wenn wir (unter Beachtung, daß wegen der geringen Divergenz von abgesteckter und Sollinie die bezüglichen Ordinaten ihrer Lage nach zusammenfallen) im betreffenden Fußpunkt die Ordinate

fi = a — y

mit entgegengesetztem Vorzeichen auftragen. Die gesuchte gegenseitige Lage beider Geraden ist dann in der Figur direkt ersichtlich: Die Funktionslinie stellt die abzusteckende Solllinie vor. Da die berechneten und für die gesuchte Lage der Sollinie bestimmenden Ordinaten t) von Punkten der letzteren sehr klein sind im Verhältnis zu den zugehörigen Abszissen, so wird man beide in verschiedenem Maßstab (etwa die Abszissen im Maßstab 1:1000, die Ordinaten fi in 1:10) auftragen.

Würde nun die Verbindungslinie der gezeichneten Punkte (Funktionslinie), welche nach Obigem gerade gehen soll, in der Zeichnung tatsächlich gerade sein, so wären Lage der Gebäudeecken und eigene Messung fehlerfrei und eine Ausgleichung unnötig. Anderenfalls ^und dies wird infolge von Gebäudesetzungen, Absteckungs- und Messungsfehlem die

Regel sein) muß jetzt diejenige Gerade gesucht werden, für welche die algebraische Summe der in der Ordinatenrichtung gemessenen Abstände v von den Fehlerbildpunkten gleich 0 {[v] = 0) und, da die Zahl solcher Geraden unendlich groß ist, gleichzeitig [v v\ = Min. wird.

Alle die Geraden, für welche [v] — 0, gehen durch einen Punkt, den Schwerpunkt S des Systems gezeichneter Punkte, dessen Koordinaten

₌ _M

Zahlenbeispiel.

Gemessene

Punkt

.Nr.

Abszisse -*-x

Ordinate y \ Sollordinate а

i) = a-y

cm

h (M со Tt Ю CD t> QO Ol

53,95

57,02

72,54

94,86

140,22

161,05

212,84

221,95

245,36

—    3,06 + 11,94 + 11,98

—    2,94 + 12,08

—    2,95

—    3,00 + 12,07

—    2,90

—    3,00 + 12,00 + 12,00

-6

— 10

*8 =

1259,79

*)s

— 22

= 139,98 m

= — 2,44 cm

(Jm die Lage derjenigen durch S gehenden Geraden zu finden, für welche [w] = Min., kann man jetzt für 3 oder mehr verschiedene Versuchsgerade die Abstände v von den Fehlerbildpunkten (in der Ordinatenrichtung) abgreifen (wobei jedesmal [F] = 0 sein wird) und je [in?] berechnen. Trägt man dann diese Werte [vv] als Ordinaten in den Schnittpunkten I, II usw. dieser Versuchsgeraden mit irgend einer der ursprünglichen Ordinaten als Fußpunkten auf und zeichnet durch die erhaltenen Punkte eine zu dieser neuen Ordinäten-lichtung (4Ф zur alten ж-Achse) symmetrische Kurve, so stellt die Ordinate des unteren Kulminationspunktes den niedersten

■§

=1

- Soll-

•M

frv}

'i#*

<gk

\Чг—,

IT

а.

тчгШмi 2baeJte,

er Punkt der

cktén. Gerader^]

ëb

to— i

Fig. 1.

Wert für [p r], deren Fußpunkt (neben dem Schwerpunkt S) einen zweiten Punkt der Sollgeraden vor. Nach Einzeichnung der letzteren wird man für das gegenwärtige Beispiel aus der Figur ablesen: Die gesuchte Gerade schneidet die abgesteckte bei der Abszisse 98 m und ist gegenüber der letzteren um 6 cm auf 100m Länge im positiven Sinn verdreht.

Das gezeigte Verfahren zur rein graphischen Auffindung der Funktionslinie ist schwerfällig. Bequemer ist es, zu diesem Zweck das graphische Verfahren durch Rechnung zu unterstützen.

Zieht man durch S eine beliebige Gerade S — I und greift in der Ordinatenrichtung deren Entfernungen 7 von den gezeichneten Punkten ab, so wird für sie zwar f V] — 0, aber nicht [77] = Min. sein. Es ist vielmehr zu diesem Zwecke noch eine gewisse Verdrehung um den unbekannten Winkel £ und um den Schwerpunkt S nötig. Diese Verdrehung ändert sämtliche Entfernungen 7 um den Betrag £ • £, wenn £ die Entfernungen der Fußpunkte vom Schwerpunkt S darstellen. Es wird daher an Stelle von 7 der Abstand v der endgültigen Funktionslinie vom Fehlerbildpunkt treten, wo bei Einführung von Vorzeichen für die verschiedenen Richtungen von £, г, 7 und £ allgemein gültig

v = V— ££

und wobei wir verlangen:

[v v] = Min.

Es muß demnach sein

[* V] = [( V- Ï £) 4 = VI ■ - 2 V, £l £ + Й e>.+ •. • + V* - 2 V, S„ I

= Min.

Die einzige Veränderliche ist £, und man hat für deren Berechnung aus

-% = [(r-Sf)²] = Mm.:

4f-0- -2Vï, + 2 jf £-----2FnSn + 2 S»£,

oder

»    ■27i£₁ + 2F₂£₂ + -- + 27я£и    [F£]

2Й + 2£1 + ..'. + 2й fed"

Für die praktische Durchführung wird man natürlich nicht eine beliebige Gerade verwenden, von der aus der Verdrehungswinkel £ berechnet wird, sondern eine Parallele zur

Aufnahmelinie durch den Schwerpunkt S . Damit wird allgemein gültig;

Г = X — Xs — X —

r=D-ö, = t,-M.

Man hat also nur die Durchschnittswerte der Abszissen und der Ordinaten je von den letzteren abzuziehen, ein Verfahren, das wir noch des öfteren, z. B. bei der trigonometrischen Punktbestimmung durch Rückwärtseinschnitt anwenden werden. Die obige Tabelle liefert jetzt

Punkt

l=-x-xs

V=V-Vs

Nr.

cm

(Rechen

schieber)

COOO*005Cn^03l.Ot-*

0,24

86,03

82,96

67,44

45,12

21,07

72,86

81,97

105,38

со со СО со со ю_ю LO ю ю ffo'icTcd' -V |>Г

#*00 0° ^ ьй- 14^ ^

to

СО О to

СО О СП

7 401 6 882 4 548 161    2 036

444

178    5 309

6 719 И 105

281,52    281,55    23,80 23,76    2950 339    44 444

(4)    +2611

(Abrundungsfehler) oder 26,11 für v in m. 26,11 44 444

(3)

analytisch

= +0,000 587 ,

also: nötige Verdrehung* £ in positivem Sinn um 5,9 cm auf 100 m.

Schnittpunkt der Sollinie mit der Abszisse vom Schwerpunkt S rückwärts um

100 • 2,44

5,87

= 41,5 m,

d. h. bei Abszisse 139,98 — 41,5 = 98,5 m.

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. II.

Die Aufgabe hätte sich auch wie Nr. 7 nach der Methode der Ausgleichung direkter Beobachtungen behandeln lassen.

B. Auf rechnerischem Weg.

Zwischen den Beobachtungsgrößen L und den x Unbekannten X, Y, ... mögen Я Beziehungen bestehen von der in L expliziten Form:

(25)

Fr (X, T, Z...) — Lr =

Ist die Zalil Я der mit kleinen Beobachtungsfehlern behafteten Beobachtungsgrößen L größer als diejenige der Unbekannten, so können die Gleichungen (25) nicht scharf erfüllt sein. Es muß vielmehr, um dies zu erreichen, jedem Beobachtungswert L ein kleiner unbekannter Verbesserungszuschlag V erteilt werden, womit die Gleichungen (25) übergehen in

I Fr(x, y , z...) — {Lr + Vt) = 0 J

(25 a)

oder

I Fr (z, y, z...) — Lr = vr

Ersetzen wir der Bequemlichkeit der Bechnung sowohl, als (im Falle nicht linearer Form der bestehenden Beziehung F) der Möglichkeit der Beihenentwicklung wegen jede Unbekannte X, Y ... durch einen möglichst angenäherten Wert Nx, Ny und einen Zuschlag X, y . . . , so daß

Y=Nr+ У y

, ÔF ÖFr 6Nx + y‘ dNy +%dNz⁺ '

so geht (25 a) über in dFr

X • -—

(25 c)

+ {Ff (Nx > Ny ? Nz . . .) — Lr} = Vr

oder wenn wir zur Abkürzung setzen:

oFr

шГаг]

(25 d)

dFr , г Ny

{K (Nz > Ny ? JVz . . .) — A-} = К

in die Fehlergleichungen (deren wir ebenso viele haben, als Beobachtungswerte L):

' axx-\-\ у + ctz +----Hi = г>1

(25 e)

a₂x-\-b₂y + c₂z+----h 4 = v₂

«л ® + h У + ck z +----b h = П t

Die Minimumsbedingûng ([г> v] = Min.) liefert hieraus für die Bestimmung der к Unbekannten die к Normalgleichungen:

(26)

oder in abgekürzter Schreibweise

[aa] [ab] . . . [al\

~ [bh\ . . . [Ы]

[Щ

aus welchen mittels des Gaußschen Reduktionsverfahrens und in den Gaußschen Symbolen:

[Ы]-

[a b]

[a a]

[a l\ = [6 M]

[M — j“^j [« s] = [bs• 1] usw.

[ol.l]-

[bei]

(29)

[df. 1]

[bb-1]

[bd- 1]

[Ы- 1 ] = [cl-2]

[6b-1]

[b f - l] = [d f-2] usw.

[ef. 2] -

[ее-2]

[fl- 2]-

[ec - 2]

[СЛ 2]

\°f ' 2] = [«/"• 3]

[/•Z.3]

[ec - 2]

[d/-.3]

[c Z • 2] — [fl - 3] usw.

[/Z-4]-

[dd- 3] [в/. 4]

[ri Z • 3] = [/7 • 4] usw.

[e l - 4] = [/7 • 5] usw.

[e e - 4]

ausgedrückt, die zuhinterst stehende Unbekannte sich ergibt:

im Falle einer einzigen Unbekannten:

(27) u. (28) X = —

M.

[а а] ’

im Falle zweier Unbekannten:

(30)ii.(31) х₂ = -

[feM],

[66.1]

⁼ -ЛГл+!ж2> I

[аг>] = О [öü] = О

im Falle dreier Unbekannten:

[с г • 2]    _

\сс-Щ *

im Falle von vier Unbekannten:

[av\ = 0 « [6 v] = 0 [c v] = 0

\av\ = 0 p «] = 0 [e г>] = 0 [dv] = 0

Der mittlere Fehler der Beobachtungswerte L ist

(32) XL (33) x₃ = —

(34) u. (35) ж₄= —

[dl-3] e [rfd- 8] ’

; Ą ⁼ NXz + x₃ ;

Xé = NXi + x± ; «

usw.

(36)

К A-*

der mittlere Fehler der Unbekannten X im Falle Я = 1 :

l/ M

|/ (Я — 1) [a a]

(38) u.

(39)

und ihr Gewicht Px = [a a] der mittlere Fehler der Unbekannten Af₂ im Falle 1 = 2 :

und ihr Gewicht РХа=[ЬЪ» 1 ]

-±v

[v v\

(Х — 2)[ЬЪЛ]

der mittlere Fehler der Unbekannten X₃ im Falle 1 = 3 :

V:

[vv\

(Я — 3) [с c • 2]

und ihr Gewicht РХз = [с c • 2] .

usw.

Durchgreifende Rechenproben erhalten wir durch Einführung der Summengrößen

si = ai + bi + ci + ' * •

S2 — a2 + ^2 + C2 + * * *

(40)

• * ьГ-

womit die Koeffizienten der JSTormalgleichungen für sich die Gleichungen erfüllen müssen:

[a d]    -f- \p*    4“ \p>    d⁻ • • • + [d    l] —    [d s]

[d b] [p    Щ d~ \P    d~ * * * d~ [P ⁼

[al] + [ЪЦ + [с1] +... + [11] = [Is] [d s] -f- [b 5] + [c 5] -)- • * * d⁻ P ⁵] ⁼⁼ \ß s\

oder abgekürzt geschrieben:

(4i)    {

-->- Probe

[a a] [a fr] [a c] . . . [a Ц [a 5]

1Ü1

• [ft ft] [ft C] ... [ft?]

•    [£C] . . [c ]

[«]

Die Reduktion nach Gauß liefert daraus für die erste, zweite usw. Reduktionsstufe dieKontrollgleichungen: ' [bb • 1] + [b c • 1] + • • • -j~ [6^*1] = [b s • 1] [6 c • 1] + [e c • 1] -f • • • + [с l • 1] = [c s • 1]

[b l • 1] + [с l • 1] -\----+ PM] = [ls.1]

[Ъ s • 1] + [cs • 1] + • • • + [Is • 1] = [5 s • 1] oder abgekürzt geschrieben:

j Probe

[b Ъ . 1] [Ь c -1] . .. [b l-l] [bs . 1]

[ss-i]

•= M

Lassen sich zwischen den Unbekannten X, Y . . . und den Beobachtungsgrößen L nur Beziehungen von impliziter Form aufstellen, wobei wegen der den Beobachtungswerten L anhaftenden Ungenauigkeiten entweder die rechten Seiten der Gleichungen statt des Wertes . 0 die Werte —w annehmen:

(25 a')

[с c . 2] +----b [c l • 2] = [c s • 2]

[cl- 2H-----h [II-2] = [is-2]

[ce -2] + • • • + [/s • f] = [ss • 2]

(43)

oder abgekürzt geschrieben:

Probe

[c c • 2] . . . [c l • 2]

[c s • 2]

. . . [11.2]

[l s. 2]

und schließlich z. B. im Fall dreier Unbekannter

(44)

[II • 3] = [l s • 3] 1 oder abgekürzt \ll - 3] [7s • 3] [/5.3] = [55*3] J geschrieben:

[ss-3]

>•№, Ł,.....zx, x, r, Z, . . .) = — Wr

oder die Werte L der Beobachtungsgrößen in (L -f v) übergehen

Iw

er

у.

Für die zweite Klammer der linken Seite von Gleichung (25 c⁷) liefert (25 a⁷)

cFr

dFr

„    6Fr

Fr [Lx,L₂,...,,X, Y,Z,...) = ^ ^1 "h q)Jj ^2 ~ł“ * * * “bWr

womit die Gleichungen (25 c⁷) übergehen in die Fehlergleichungen (25e⁷)

£+ • • • + Fr{LXJL2}...,Fi, Xx, Nr,Nz,...) = wT

so liefert die Entwicklung nach Taylor nach vorgängiger Ersetzung der Unbekannten X durch Nx + x ; Y durch NT + y nsw. die Gleichungen (25c⁷):

Fr{LuL„...,Lk,Nx^y,N₂,...) + {

, dFr \ . f dFr .

cFr

■ ÔNy

ê Fr

ÔL,

ÔF,

£FZ

ÔFr

»i 4—

z -\----1 = 0

ÔNX ⁺ôNTy^ôNr

oder unter sinngemäßer Wiederverwendung der durch Gleichungen (25d) eingeführten Symbole in abgekürzter Schreibweise :

I ar X + br y + Cr z + • • • + lr = wr

Die Weiterbehandlung muß wegen der Ungleich-wertigkeit der Einflüsse w der Beobachtungsfehler v dem Kapitel 3 Vorbehalten bleiben.

13. Beispiel (lineare Beziehungen zwischen den Unbekannten und den Beobachtungsgrößen) : Zwischen vier von einem Punkte О ausgehenden Strahlen О А, OB, ОС, OD werden sämtliche mögliche Winkel je mit

gleicher Genauigkeit gemessen (Winkelmessung in allen Kombinationen) und zwar:

1)    AOB = 106° 52' 43" n. T. 7) BOD = 178° 74' 13" n. T.

2)    BOC = 99° 78' 12"

3)    COT) = 78° 95' 97"

4)    DO A = 114° 73'35"

5)    AOC = 206° 30' 68"

6)    AOD = 285° 26' 60"

Welches sind deren ausgeglichene Werte?

ff ff

ff ff

ff ff

ff ff

ff ff

8)    BOA = 293° 47'50"

9)    СО A =193° 69'29"

10)    COB = 300° 21' 78"

11)    DOB= 221° 25'90"

12)    DOC = 321° 04'00"

ff ff

ff ff

ff ff

ff ff

Lösung: Zur gegenseitigen Festlegung von vier Strahlen genügen drei voneinander unabhängige Winkel. Die Zahl der Unbekannten ist also 3, diejenige der überschüssigen Stücke 12-3 = 9 und die Zahl der Fehlergleichungen 12.

Als zu bestimmende Unbekannte wollen wir einführen den Winkel AOB = X,

„    „    BOC=Y,

„    „    COD = Z.

Die in § 14 auf gestellte Normalform der Fehlergleichungen (s. Gleichung 25 a) ist im vorliegenden Fall einfach durch Gegenüberstellung der gesuchten Soll- und der beobachteten Ist-Werte zu erreichen:

Soll - Ist = Verbesserung.

Im Interesse bequemer Rechnung [also nicht (wie im Falle nicht-linearer Funktion) zur Linearmachung der Beziehungen (25)] führen wir auch hier Näherungswerte für die Unbekannten ein und setzen:

Damit erhalten wir durch Subtraktion jedes gemessenen Winkelwertes je von dem durch entsprechende Zusammensetzung der Unbekannten gewonnenen Sollwerte die 12 Fehlergleichungen:

+ y + 2 -4"

+ 7"

+ 16"

+ 10"

- y - z+1"

- z+3"

1) x

2)

3)

+ 0 = v± + 0 — V2

г +0

Il II

7)

8)    - x

9)    - x - у

10)

И >1 II II II II

4)    - x - у - z +13"

5)    + x + у

6)    + x + у + z -8" = ve Die Koeffizienten der Unbekannten sind demnach alle gleich 1

oder 0. Zur bequemeren Rechnung ist es wünschenswert, daß auch die Absolutglieder l möglichst nahe dem Wert 1 liegen. Dies wird erreicht, wenn man als Einheit sowohl für die Absolutglieder l, als auch für die unbekannten Zuschläge x, y, z statt der Sekunden Dekasekunden (Zehnersekunden) wählt. Damit erhält man tabellarisch angeordnet folgende Koeffizienten der Fehler- und der Normalgleichungen:

-13" = vb

H)

12)

VlO

Я11

012

Is

2,89

0,49

4,84

2,56

0,09

0,16

8,61

0,49

18,18

2,21

0,91

1,76

0,64

0,21

0,64

0,19

0,21

6,77

I i S

1-1 О О 00

ш ш з ą ą ą

О тН 1-Г I о о*⁴ О С+

¹

łWiogć= ±VIÏ38= ±34.

г + о о - 5 о £ 2- о о о 2- s- г

’S I

о о s в s г- о о о I з з §

ООО

со    О Г" 0-1 О    ^    О    *0,

А + ОТНО1-Г0СО1-ГООО1-1ОО

СО СО оо Т*    СО    т*

©Of-ti-iOOOi-iTHO

ООО

о оо

as

1,7

0,7

2,2

0,3

0,4

6,8

al

1,3

1,3

0,8

0,7

9‘Т

ас

2 ] 5,7

ab

i; aa

+1

+1

+1

-1,7

+ 0,7

+ 2,2

+1,6

-0,3

-0,4

-1,9

-0,7

+ 2,5

+ 1,3

-1,3

-0,8

-0,4

+ 0,7

+ 1,6

+ 0,1

+ 0,3

+2,5

ООО

г—I

1—(

<N

оо

Зипцэ

-1Э1§

-1ЭЩЭД

Ausrechnung mittels Rechenschiebers:

It

(-5,42)

+ 8.33

+ 6,3 (- 4,2) + 9,5 (- 2,1) + 9,1 (+ 5,98) — 6,77 (- 6,62) + 18,13

Probe + 6,3

+ 9,5

+ 9,1

— 6,77

+18,13

+м

1. Reduktionsstufe und Reduktion

+ 5,3 (- 2,65) + 7,0 (+ 2,68) — 0,79 (- 5,27) + 11,51

+ 2f    -2,7

(—H)    (+1,35)

+ б£    -1,0

(-1,87)

+ 2,91

Probe + 5,3

+ 7,0

— 0,79

2. Reduktionsstufe und Reduktion

±L

+ 0,35

(-0,02)

+ 1.54

Hieraus

+ 4,35 (— 0,88) + 4,80 (-4,74) + 0,24

+11,51

Probe + 4,85

+ 1,89

+ 6,24

И-2]

[ce-2]

Z = 780 95'97" _o,9" Pa = [cc . 2] = 4 .

0,85

= - 0,09 Dekasekd. =

78° 95'96,1"

-0,9"

3. Reduktionsstufe und Schlußprobe [vv].

+ 1,51 + 1,50.

Mittlerer Fehler eines durch Messung erhaltenen Winkelwertes

1,52

m =±

|/~- = ±0,41 Dekasekd. = ±4,1",

mittlerer Fehler des Winkels Z -:-мг=“

4,1

yfc = ±~^ = ±'²" '

Zum Zweck der Berechnung der vorletzten Unbekannten y erfolgt Umstellung der Koeffizienten der Normalgleichungen und Wiederholung des Verfahrens:

Koeffiz. der Normalgleichungen u. Reduktion

+ 9,1 (- 3,0)

+ 6,3 (- 6,07)

+ 9,5 (+ 4,40)

— 6,77 (-13,8)

+ 18,13

It

(-1)

+ 4    -2,9

(-Ц)    (+0,97)

+ 4    -5,7

(-2|)    (+1,93)

— 6,5 (-1,40) + 8,33

Probe + 9,1

+ 6,3

+ 9,5

— 6,77

+18,13

1. Reduktionsstufe und + б| + 2f -4,73 (—Ił)    (+2,37)

±ü    “4,57

(-4,20) + 6,93

'О

o>

+TiÎ+T+

» SO » r «

8§ 3J 8$ S

Probe + 3,3

+ 3,43

— 2,37

2. Reduktionsstufe und Reduktion

+ 1,80 (+0,99) + 0,53 (-0,81) + 2,33

— 2,20 (-1,21) + 2,73

+ 4,33

Probe + 1,79

+ 0,53

+ 233

Hieraus

also

[bl- 2] _    -2,20

“ [bb- 2]

= + 0,55 Dekasekd. =

+ 5,5",

Y = 990 78' 12" + 5,5" = 99<> 78' 17,5" Py = [bb-2]=4.

3. Reduktionsstufe und Schlußprobe [»©]. + 1.52    +1,52

1,52

in Übereinstimmung mit der Reduktion für Z.

Die Berechnung ergibt für die Winkel y und z dasselbe Gewicht 4. Dies war angesichts der symmetrischen Anordnung der Winkelbeobachtung vorauszusehen, denn jeder der drei gesuchten Winkel erscheint

durch die zwölf gemessenen Winkel viermal bestimmt. Wir sind aber dadurch der nochmaligen Umstellung und Reduktion für die Berechnung von x enthoben. Diese letzte Unbekannte x werden wir durch Einsetzung von y und z in eine der Normalgleichungen enhitteln.

Z. B. liefert die erste Normalgleichung:

6x + 4,?/ + 2 г - 5,7 = 0

5,7 - 4 » 0,55 - 2 « ( - 0,09)

5,7-2,2 + 0,18 _ 8,68

und

5 .У*

= +0,61 Dekasekd. = +6,1"

= 1060 52' 48"+6,1" = 1060 52' 49,1"

= ±2".

(Fortsetzung s. S. 46 oben.)

Fehler

glei

chung

av

ov

cv

vv

0,61

0,61

0,37

0,55

0,55

0,30

0,09

0,09

0,01

0,23

0,23

0,23

0,23

0,05

0,14

0,14

0,14

0,02

0,27

0,27

0,27

0,27

0,07

0,06

0,06

0,06

0,09

0,09

0,01

0,44

0,44

0,44

0,19

10

0,45

0,45

0,20

11

0,86

0,36

0,36

0,13

12

0,39

0,39

0,15

[ ] = 0,88

0,90

1,24

1,26

0,69

0,71

1,50

0,02

0,02

-' statt

0,02    1,52

(Abrundungsdifferenz en)

Wir haben also als Schlußresultat : „

X= 106° 52' 49,1" ± 2" 'J F = 990 78' 17,5" ± 2" >PZ = PT =    = 4.

Z = 78° 95' 96,1" ±2" 1

Eine durchgreifende Probe erhalten wir schließlich durch Einsetzung der gefundenen Werte für x, y, z in die Fehlergleichungen. Die berechneten v müssen alsdann den Gleichungen (88) entsprechen:

[a v] = 0, [b v] = 0, [cv] = 0,

und es muß überdies

[vv\ = 1,52    (s. S. 45 unten).

Anmerkung: Hätten wir vorgängig den Beobachtungswert jedes Winkels mit demjenigen seines Implementes zu einem Werte vereinigt (gemittelt), so wäre die Zahl der Fehlergleichungen auf die Hälfte reduziert, das Gewicht jedes so gewonnenen Winkels auf das Doppelte gesteigert worden. Im übrigen wäre der Weg der Rechnung derselbe geblieben.

14. Beispiel (für nichtlineare Form der Beziehungen): Gegeben sind die nachfolgend aufgeführten Koordinaten der 5 auf dem Gelände vermarkten Festpunkte А, В, C, D, E, von denen ausgehend die unten angegebenen Horizontalentfernungen L nach einem Geländepunkt P gemessen wurden. Die Koordinaten X und Y des letzteren sollen samt ihren mittleren Fehlern Mx und MY berechnet Averden:

А + 8140,22 +. 2148,42; LÄ~ A P = 169,60 В + 8810,82    +    2084,43;    LB =    BP    =    166,58

С + 8258,37    -f    1883,38;    LceeeC P    =    169,61

D -f 3073,84    +    1844,23;    LD ==    DP    =    173,82

E + 3010,75    +    2012,47 ;    LE =    EP    =    170,55.

Auflösung: Zunächst haben wir Beziehungen zwischen den gesuchten Koordinaten und den gemessenen Strecken L aufzustellen von der Form F(X , Y) ~ L = 0, deren rechte Seite wegen der vorhandenen Überbestimmung übergeht in die Verbesserung v der jeweiligen gemessenen Strecke, so daß wir die Fehlergleichungen erhalten:

(25 a)

oder speziell:

F(X, Y) - L = v>

У(1 - ХЛУ‘ + (Y- yrf -Lä = Va

ï(-ï - XEÏ‘ + (У- уеУ -Le = ve,

wobei (p den Richtungswinkel der Verbindungsstrecke darstellt. Die nötigen Näherungskoordinaten für P erhalten wir (etwa durch Ab greif en a ùs einem Plan) zu:

Nx = + 3178,40, Ny = +1983,50. Wir berechnen daraus (s. S. 4S) die Strecken

F(nx, N^VWz- yy

von den Festpunkten zum vorläufigen Neupunkt NP, deren Richtungswinkel (p samt ihren sin- und cos-Werten, sowie die Absolutglieder l der Fehlergleichungen. Die erhaltenen Werte sind in den Spalten a, b und l der nachfolgenden Tafel zusammengestellt. Aus ihnen ergeben sich die dort berechneten Koeffizienten und Absolutglieder der Normalgleichungen. Deren Reduktion s. S. 49.

Koeffizienten und Absolutglieder der

Fehler gleichungen

Normal gleichungen

ss

Um die Gleichungen in X und F linear zu machen, führen wir wieder Näherungswerte Nx und Ny dafür ein, wobei X = Nx + x, F = Ny + y. Wir erhalten damit als Koeffizienten und Absolutglieder z. B. der reduzierten lten (und analog der übrigen) Fehlergleichung:

V(Z - a*)« + (Г- улу

r-y.«__

y (Z -    + (F- yA)*

^    , Ny)    ^^(vorläiiög berechnet) "^(gemessen) *

aA

ЬА

ÔF

~dX~

Axa

-j— = COS <PA Î

A yA

~lJ = sin 41 л ’

aa

+ 0,23    - 0,97    - 0,32    -1,06    0,0529    0,5476    0,0081    0,9409    1,6641    0,1024    1,1236

-0,80    - 0,61    -0,08    -1,49    0,6400    1,9881    0,7744    0,3721    0,4761    0,0064    2,2201

-0,47 +0,88 +0,48 +0,89 0,2209 0,1681    0,0001    0,7744 1,8496 0,2304 0,7929

+ 0,60    + 0,80    + 0,33    +1,73    0,3600    1,9600    0,8649    0,6400    1,2769    0,1089    2,9929

+0,99    - 0,17    - 0,41    +0,41    0,9801    0,6724    0,3364    0,0289    0,3364    0,1681    0,1681

[j +0,55 - 0,07    0    + 0,48 2,2539 5,8362

1,9839    2,7563

5,6031    0,6162 7,2976

- [аа]= X 7,7461 -[&&]= X 7,2437

Zur Bildung von 2 [а &]    +0,3260

[ab], La« und [Ы] [ab] +0,1630 aus [(а + Ь)²], Ua+iy-] und

[(Ъ+т,

X 7,7461 =_[аа; X 9,3838 =-[ll] X 9,1138j — 0,8862 -0,443lL[afl.

=2 [al]

X 7,2437 = _ [ЪЪ], X 9,3838 =-[11], + 2,2306    2[Ы\

+ 1,1153    [Ы],

Il ll

ar

3010,75

2012,47

167,65

28,97

22440

99361

23116ft

46195ft

76245ft

23079

170,14

170,55

Il II II

-f +    + I

3073,84

1844,23

104,56

139,27

01937

77844

90293

14386

87551

24093

174,15

178,82

Illl'll

+ 4-    -f- + w ® a w oi(M

3258.37

1833.38

79,97

150,12

90293ft

67225ft

94576

17644

72649ft

23068

170,09

169,61

Il II II

+    3310,82

+    2084,43

132,42

100,93

3140,22

2148,42

38,18

164,92

2    12195n

9    90054n

98866 и j 9    78261?г

21727ft    2    00402ft

58184

35323

86457ft    0    11798

22861    2    22141

166,50

166,58

169,28

169,60

! il il il

Il il II

05 05 (M' Ci (M

K)

Nx ¹ * * * ‘ Ях ⁽Vx

й?йГ

log (Nx - Ха, в.....E)

log COS cp log sin cp

log (Ny-yA> в.....E)

log cotg cp

log (La , В, . . E nach Np')

L(a , В.....E nach Np)

L soll (gemessen)

I ~ "paus Näherung berechnet— ■^gemessen a = COS cp

b = sin (p

und

Anschrieb und Reduktion der Normalgleichungen: + 2,25    +0,16

(-0,01)

+ 2,76

-0,44 (+0,08) • + 1,12 (-0,09) +0,62

+ 1,97 (-0,14) + 4,04 (+0,88) + 1,30

( -1,72)

+ 7,31 soll +7,30

1. Reduktionsstufe. + 2,75    +1,15

(-0,48)

+0,53

+3,90 soll +3,90 (-1,63)

+ 1,68 soll +1,68

Hieraus

(-5,52)

+5,58 soll +5,59

-^ł = -°’42m

T = +1983,50 - 0,42 = +1983,08 .

2. Reduktionsstufe.

+ 0,05 I +0,05

somit

und

I +°>ов

И] = [ll., 2] = 0,05

™Z = ±

+ 0,13m,

»7 u-

0,05    0,13

Г2/75 -r^=-±°»°8-

+2,76

Umgestellt (zur Bestimmung von X). + 0,16 (-0,01)

+2,25

+ 1,12 (-0,06) -0,44 (-0,41) +0,62

+ 4,04 (-0,23) + 1,97 (-1,64) + 1,30

(-5,91)

+ 7,31 soll +7,30

Hieraus:

und

1. Beduktionsstufe. + 2.24    -0,50

(-0Д2)

+ 0,17

+ 1,74    soll    +1,74

(+0,39)

-0,33    soll    -0,34

( -1,34)

+ 1,41 soll +1,40

-0,50

2,24

= +0,23

X = +3178,40 + 0,23 = +3178,63 .

2. Reduktionsstufe.

+ 0,05 I +0,06

+ 0,05

somit

[vv] = [ll- 2] = + 0,05;

mL = ±

j/?-

±0,13 (wie oben), Mx =

0,13

ypx 12,24

= ±0,09 ,

15. Beispiel: Die mit gewöhnlichen Hilfsmitteln (Zirkel, Transversalmaßstab, Schiebedreieck) erreichbare Zeichengenauigkeit ist aus den nachfolgenden rechtwinkligen Koordinaten einer Anzahl beliebiger Punkte zu berechnen, welche in bezug auf zwei beliebige Koordinatenachsen im Maßstab 1:1000 abgegriffen wurden :

Koordinaten in bezug auf das System:

Punkt Nummer

i—i    со m cd

+ 79,78

+ 42,80

Lösung: Formt man die Koordinaten aus dem einen System („Nebensystem“, z. В. B) ins andere („Hauptsystem“, z. В. A) um, so zeigen die Abweichungen v der umgeformten von den entsprechenden direkt

Ausgleichung vermittelnder, gleichgenauer Beobachtungen. 51 abgegriffenen Koordinaten den Einfluß beider zur Wirkung gelangender

V

Abgreif fehler, also — denjenigen einmaligen Eingreifens.

У 2

Zur Koordinatenumformung dienen die Gleichungen:

(a)

F(а,ъ, cp) = X= a + x cos cp - у sin (p F'(a, Ъ, cp) - Y = Ъ + X sin cp + y COS cp,

deren wir ebenso viele Paare haben, als Punkte benutzt wurden (hier also 6) und in denen die 3 Größen a, b und cp (die Koordinaten des Ursprungs und der Richtungswinkel cp der Abszissenachse vom System В in bezug auf das System Ä) zunächst unbekannt und durch Ausgleichung zu ermitteln sind. Am bequemsten ergeben sich a und b, wenn wir den Ursprung des Nebensystems in einen der benutzten Punkte (z. В. 1) unter entsprechender Paralielverschiebung der Achse В verlegen. Zu diesem Zweck haben wir lediglich sämtliche Koordinaten x und у dieses Systems um xx = - 26,55 bzw. yx = + 36,20 zu reduzieren, wobei wir gleichzeitig als Näherungswerte für a und b erhalten:

Na = - 29,70, AT& = -31,05.

Einen Näherungswert Ny für den Verdrehungswinkel cp erhalten wir als Unterschied beider Richtungswinkel cpH und cpN der Verbindungsstrecke zweier beliebiger von den 6 benutzten Punkten (z. B. 4 und 6) :

N cp = <РВ~ <PN~ ³⁷¹⁰ ⁴³ /

(siehe Abteilung 1 der Lösung). Den Gleichungen (a) geben wir nun die Form der Festergleichungen:

(b)

F(a, ъ, y) - a + x cos cp - у sin cp - X= v, F'(a, ъ, cp) - Y — b + x sin cp + y cos cp - Y = v',

welche wir durch Einführung der Näherungswerte Ntti Nbt Ny, denem die noch unbekannten Zuschläge da, db, dcp zu erteilen sind, reduzieren.. Die allgemeine Form der reduzierten Fehlergleichungen nimmt damit im vorliegenden Fall folgende Gestalt an:

~à<p+ {F(yatNb, Nv) - *} = ».

jäd a+fbdb+⁺ КК    V -Y)=

’ÔF

cF

Jada+Jbdb +

oder, unter Ausführung der partiellen Ableitungen:

da - (x sin cp + у cos cp) d cp + {^(va> Nb> N ) ~ *} = v,

(C)

db + (x cos cp - у sin cp)dcp + {-^'(va> àbtN<p) ~ r} = v\ + (b-T)dV + {F(Ka Nb>Nv)-X}=*> db+(X-a)d<p + {F\jfa >jyb>lCv)-r} = v '•

(A’a. Xb. Xv)

Zum Zweck der Ausrechnung der Absolutglieder - X

F\Xa, *», V " Y)

bzw.

muß nun unter Benutzung der Näherungswerte Na t N6 t A+ die Koor-dinatenumformung durchgeführt werden (siehe Abteilung 2, S. 53). Damit erhalten wir dann die in Abteilung 3 unten eingetragenen Werte.

Die Koeffizienten der Fehlergleichungen und die Absolutglieder sind sehr ungleiche Zahlen. Dadurch wird die Weiterbehandlung erschwert. Um dem abzuhelfen, drücken wir die Absolutglieder una damit sämtliche Streckenmaße statt in m in dm aus. Dadurch werden allerdings auch die Koeffizienten des bisher in analytischem Maß ausgedrückten Winkels dcp je 10 mal größer. Wir wählen daher als neue Einheit für diesen unbekannten Winkel 10 er-Minuten, wodurch auch die zugehörigen Koeffizenten £10er - Minuten, das ist 636,6 mal kleiner werden. Damit erhalten wir neue Koeffizienten und Absolutglieder (Abteilung 4, S. 54).

Abteilung* 1. Berechnung von Nq>.

A. Hauptsystem

B. Nebensystem

Punkt

log

log

+133,881 + 7,38 - 46,62 i -87,20

AY

1.97580 n

+ 104,12 +141,74 - 17,58 - 21,92

2.21394n

AX, AY -180,501-94,58 срн = 230° 72' 65" n.T.

AX

2.25648 n

9.71932

-121,701 -163,66 <pN = 259° Żd' 43"

2.08529n

tg <ph

N<p — фд - q>y = 371° 43' 22" oder genähert = 371° 43' n. T.

tg <px

J 0.12865

Abteilung 3.

Koeffizienten und Absolutglieder der Fehlergleichungen.

{I und V entnommen der Abteilung 2, S. 53.)

Abszissenfunktion F £j-r Koeffizienten für Pkt. da db

d cp

Absolut

glieder

Pkt.

Nr.

Ordinatenfunktion F' Koeffizienten für da I db

d cp

Absolut

glieder

ИНННН'

+ + + + + +

oooooo

-48,71 - 1,03 -38,43 + 94,21 +56,15

.0 1 + 0,09 i 2

oooooo

+ 38,84 + 98,50 + 163,58 + 72,50 - 16,92

-0,14 -0,10 -0,04 -0,18 ‘>0,11

(Fortsetzung s. S. 55.)

дэрэцЗ

-^njosqy

01

13

II-

A X sin Nç, A y cos Nrp

Y    berechnet

Y    gemessen

3ll05

5Ш

+ 54|45

+ 17 52 + 17 66 - 32 45

1519

9881 -SOlOS -3108 -

+ 55 82

_+_7    3£

+    7    38

+ 10.65*

- 143 38

-12539

- 125126

+ 42115

4 ОТ

0ZL8_

J818_

+_3189-

+ 52 36

-    3105

-    3105

дэрэцл

-jniosqy

-15

-28

Abteilung 2. Vorläufige Koordinatenuinformung.

9,95471

Il II

cos N

sin N

A X cos N(p - A y sin N(p

X berechnet X gemessen

- 29170 + 12121 + 2622

8|73 +    8j64

+ 67:39

Mk

0889 +

£188 +~ 08[89 +

+ 26[88

+133 81 + 133|88 - 22111

6905

+ 42|65

+ 42|80 -87154

ML

80i8    -

59|9fr -

+ 2522

- 29 70

2970

A y cos Ncp

я:

uis fi y

Ax cos N

AT UIS X y

1 08665    1    73603

1 13194    1    78132

0| 76929 n 1 41867 n 1 82861    1    18157n

1 87390    1    22686n

1 51125 n 0 86421 1 58126    1    74682

1 62655    1    79211

1 26890 n [T 42946 n Г 34458n 2 15649n 1 38987n 2 20178n 1 02722    1    83913

1 94220 n 0 60985 n 1_ 98749 n 0 65514n 1 62484    0    29249

0 90750 n 1 71904 0 95279 n 1 76483 0 59014    1    40168n

Ay

во 44J

13 155!

16 8C

159 14

4 52

<»

61 m

24 54

97 16

8 97 53 i l21

74 801

120

Î64

78

74

gemessen

98 + Ы

96 +100

80 + 79

12 +141

17 40

m xz

- 26

- 13

+ 61

+ 104

+ 79

17 58

\Щ+ 36 2d

- 26

P.

Nr.

Ox

1,0000

1,2996

0,9604

0,0900

1,1664

0,1024

1,0000

0,0400

2,4025

10,1124

0,7056

0,1369

19,0162

Abteilung 4.

Koeffizienten der Normalgleichungen

2191121 S31 SI© ! 511 I S3 58 j S3© ! S3 Z I ©© |(©+Z)²|    11

0,0196    0,8100

0,0004 О 1,6900    0,4900

0,0064    1,9С00

1,7424    4,8400

0,5776

0,0004

0,3600

2,1904

0,7744

ООО

'S- 3 и

0,6400    1,9600

0,3025    1,0000

4,7524    0,1600

0,0256    1,6900

1,8769    1,2100

0,3600

2,4025

6,6564

1,2996

0,0729

5 2- 2- 3 Э

(М

1—I

О О

+ 1,14 II 1| 0 -0,76 0 -0,02 - 0,301 1.| О -0,60 О +1,48 -0,32 ! 1    '0    +0,88

0 0 0

+0,2    0    0    0

+ 1,55    0    0    0

+ 3,18    0    0    0

+‘0,84    0    0    0

-0,37    о    о : о

+0,98

-1,08

+1

11,0562 14,1200

<N

Il H

11

i-

У*

/.

О I +0,98 I -8,4 +6 +5,60 I -5,20] 14,6942 [Щ = 14,1200 28.8142

|!

gleichungen für ® §■ d а ! d Ъ I d <р I bzw. ( = вд=33)| (₌g) V

05

О О о

L"    ■*+    (M

О* н N    Ф

I I I

Koeffizienten der reduzierten Fehler-

<-> O' О O' T-t О О О г—i Ol г—i о .I I I +    +    +    +    +    +

0 0 0 0 0.0

тН H

+ + + + + +

+ + + + +■ +

Pkt.

2Sr.

И М ч)1 Й о

Ий’#

[]- +6    + 6 + 6,58 - 8,6 + 9,98 +6

Koeffizienten und Reduktion der Normalgleichungen.

- 3,40

+ 0,98

(0)

+6

(0)

+ 5,60 (- 0,16) + 14,69

(0)

+ 8,58

-    5,20 (+ 0,56

-    8,88

(- 1.93)

(0)

+ 6,40 (- 0,58) + 12,39 (+ 2,03)

+ 14,12

- 3,36

+ 6    + 5,60

(- 5,22) .    +14,53

1. Reduktionsstufe.

-    5,20 (+ 4,85)

-    8,32 (- 4,51)

+ 12,19

(- 2,14)

+ 19,01 soll +19,02

+ 6,40    soll    + 6,40

(- 5,97)

+ 11,81    soll    +11,81

(+ 5,54)

- 1,33    soll    - 1,33

(- 6,83)

+ 16,88 soll +16,87

2. Reduktionsstufe. + 9,31    -3,47

(-1,29)

+ 7,68

+ 5,84    soll + 5,84

(+ 2,18)

+ 4,21    soll + 4,21

3. Reduktionsstufe.

+ 6,39 I +6,39

(- 3,66)

+ 10,05 soll +10,05

+ 6,39

^Tom Aufträgen + Abgreifen — ±

± 0,8 dm = ± 0,08 m

mAufträgen — у,—- — 0,06 m.

Damit ist die gestellte Aufgabe gelöst. Will man noch die Koordinatenumformung selbst endgültig durchführen, so bedarf es zunächst der Bestimmung der endgültigen Werte für a, b und rp, deren letzterer samt seinem Gewicht und mittlerem Fehler sich aus vorstehender Reduktion wie folgt ergibt:

- 3,47

dq> = —

9,31

= + 0,372 Dekaminuten,    P^ = 9,31,

mcp =±

6,39

also

= 0,28 Dekaminuten,

<p = 3710 43'+ 3' 72"= 3710 46' 72"± 2'80".

9 • 9,31

= ±2,8 Minuten.

Umsetzung der Koeffizienten ergibt:

+ 14,69    + 0,98    + 5,60    - 8,88

(-0,06)    (-0,87)    (+ 0,59)

-    3,40

(-2,14)    (+ 3,38)

-    5,20 (- 5,37)

+ 14,12

+6

+6

+ 12,39 (- 0,83) + 3,58 (- 4,73) + 6,40 (+ 7,50) - 3,36

(-10,44) + 19,01

+ 5,Q4

1. Reduktionsstufe. -0,37 (-0,02)

+ 3,86

-2,81 (-0,17) -1,82 (-1,83) + 8,75

+2,76 soll +2,75 (+0,17)

+ 1,67 soil +1,67 (+1,31)

+4,12 soll +4,14

(-1,28)

+ 8,55 soil + 8,57

2. Reduktionsstufe. +3,84    -1,99

(-1,03)

+ 7,42

+1,85 soll +1,84 (+0,96)

+5,43 soll +5,43

(-0,88)

+ 7,28 soll +7,27

3. Reduktionsstufe. + 6,39

+6,39

+ 6,39

db = -

-1,99

3,84

= + 0,51 dpi = + 0,05 m

Ръ — 3,84

mb=±

6,39

= 0,4 dm = ± 4 cm

9 • 3,84 (Max.-Fehler = 12 cm.)

b = - 31,05 + 0,05 = - 31,00 ± 0,04.

Nochmals umgesetzt:

+ 6    + o,60

(- 5,23)    (0)

•    +14,60    +0,98

-    5,20 (+ 4,85)

-    8,88

(0)

(0)

- 8,40 (" 4,51) +14,12

îsjéîfs

+ i +    + ^+ ¹

C- 6,88)

+ 19,01

+ 9,46

1. Reduktionsstufe. + 0,98 (-0,1.0)

-4,03 ( + 0,42) -3,40 (-1,72) + 9,61

+ 6,41    soll + 6,42

(- 0,67)

+ 3,58 (+ 2,74)

+ 2,18    soll + 2,19

(- 4,36)

+ 12,17 soll +12,18

+2,92    soll + 2,91

(+M8)

+4,91    soll + 4,92

2. Reduktionsstufe. + 5,90    -2,98

(-1,51)

+ 7,89

(-1,45)

+ 7,83 soll + 7,81

da = -

3. Reduktionsstufe.

+ 6,38 I +6,39

I +6,38 = + 0,51 dm = + 0,05 m

-2,98

daraus

5,90

a = -29,70 + 0,05 = - 29,65 m. Pa = 5,90

= 0,35 dm = ±3,5 cm

6,39

9 - 6,90 (Max.-Feh!er 10,5 cm.) a = - 29,70 + 0,05 - - 29,65 + 0,035 .

Zur Probe kann man nun mit den ausgeglichenen Werten von а, b, qj die Umformung wiederholt durchführen (s. Abteilung 5).

UD

vy vv⁹

cm

+ 6 36

-II; 121

- 4    16

- 7    49

+ 5 25

‘.MS

A x sin cp А у cos <p

Y gemessen

69 X

60

17

II

59

19 X

X 84 80 "x69j99

86169 X

66

6584

0749

18 X

Ml

——~ÜL

ЯС

X 8561

r:

Abteilung 5. Endgültige Koordinatenumformung.

d> ins A у -(b soo X у

log

p    entnommen    entnommen

м * der vorläufigen der vorläufigen | ^ x cos ЯР | A У cos 9³ | —w JNr*    Umformung    Umformung

cm

Hist lit-

6 36

ЩХ__L

W.8X    P

;+ s

X gemessen

A X sin cp I A y sin cp

oise

ЖЖ

X 12 73 I X 12|80

-13' 1691

6238 X 69joO X 68 95

+ & 24

{!-зо}зв9 '

35

X 70

12.21

Î9"

26[

08.75

67Î42

Is X

88

"26 85'

B5

88

133

X3lj

12 77" 42 80

44

ST X

X~53

X 53138

X 1|92

25

X7035

os

X 70

73617

Tj 61980

78132

41812 m

I8l71n

22686 м

86366

74696

79211

42891м

15663 м

20178n

83358

60999 n

65514м

29194

71918

76433

40113 m

13194 J_ 76874м 1

82875

87390    1

86 1

16

51070м 10

58140

62655

26335м |1

34472m 12

38987 n| 2

02667

94234 n 10

98749м 0

6242910

90764 nJT

95279n 1

58959 |l

[«»] = 617 in cm ausgedrückt

dm ausgedrückt statt 6,89 (s. Ausgleichung).

«17 in

14 1

II

52 1

lo

159

44

60

55

80

13

fL

96

12

61

32

4 || 42

54

24

16

97    58

67 II 180

97

бГПзо

3. Kapitel

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

Kommen den Я Beobachtungswerten L verschiedengroße mittlere Fehler m und daher verschiedene Gewichte p zu, und ezeichnen wir die an ihnen anzubringenden Verbesseru^gszuschläge wieder mit v, so sind die Unbekannten X, Y. . . so auszuwählen, daß die zwischen ihnen und den verbesserten Beobachtun gs wer ten L -f- v festgestellten Beziehungen streng erfüllt werden und gleichzeitig (17) [pvv] == Min. ist. Unter Wiederverwendung bzw. Erweiterung der Bezeichnungen und Symbole des 2. Kapitels, wodurch letztere z. B. folgende Form annehmen :

(29a) [pdl-3] = [pdl-2]

[pel- 2] us\v.

[pcd • 2]

[p с c • 2]

ergeben sich daraus für den Fall expliziter Form der Fehlergleichungen [(s. Gleichungen (25) und (25a)] die Normalgleichungen:

\paa\x + [pab\y -f- [pac\z Ą-----1- [pal] = (X

(26 a)

[pab\x + [pbb]y -f [pbc\%-\-----[pbl\ == 0

\pac\x + [pbc\y + [pcc]z H-----h IJ>cl] = 0 ’

woraus beispielsweise für den Fall der Bestimmung von 4 Unbekannten wird:

(34 a)

[pdl-S\

[pdd • 3]

Gewicht der bei der Reduktion jeweils rechtsstehenden Unbekannten :

(39a)

Px = [j9 d d • 3] .

Wurden die Beziehungen zwischen den Beobachtungsgrößen L und den Unbekannten X. . . und damit die Fehlergleichungen nach Gleichung (25') bzw. (25a') in impliziter Form aufgestellt:

:}

(250

(35 a)

[pav] = 0

[p d v] = 0

[pH. 4] = [рй].

Wir erhalten jetzt für die mittleren Fehler nach der Ausgleichung folgende Ausdrücke:

mittlerer Fehler der Gewichtseinheit:

(37 d)

(36 a)

i i/[pw] ±\ 1- 4

mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht p :

(36 b)

/ \pvv\

— 4)p ’

mittlerer Fehler der rechtsstehenden Unbekannten:

(38a) M— ±-    = ±j/

[pvv]

[p d d • 3] (Я — 4)

/ Fr(LuL2,...,Lx,X, Y...) =

bzw. wegen der Üb er be Stimmung,

(25a0

-^r(Li, Li,..., Li, X, Y...) + W\ =

so entstehen durch Einführung von Verbesserungszuschlägen V für die Beobachtungswerte L und Zerlegung jeder Unbekannten in die Summe eines Näherungswertes und eines zu ermittelnden Zuschlages : X = Nx + x usw. die Fehlergleichungen

{(dFr , dFr , dFr ;    , _

\ЩХ+ШУУ + Щх+-+Fr(h. U...LU Л. Л..0 = «v

(26 s')

oder in abgekürzter Schreibweise

I arx + bry +    -----\-l,= «V I

Hier sind diejenigen Werte für die unbekannten Zuschläge X, у.. . zu ermitteln, welche [pww\ zum Minimum machen. Das Gewicht _pf des Wiederspruches wr ist aber nicht mehr von der Genauigkeit einer einzigen, sondern von den mittleren Fehlern m aller in der jeweiligen Beziehung (25 e') verwendeten Beobachtungsgrößen und von dieser Beziehung abhängig:

(25 g')

*-№+<lS)‘«!+“+№

Konstante

M\

Die Verwendung der Fehlergleichungen (25 e') zur Bildung der Normalgleichungen und die Weiterbehandlung

ist nun dieselbe, wie im Falle expliziter Funktion. Ebenso verhält es sich für beide Fälle bezüglich der Rechen-proben.

Wenn die auf die Gewichtseinheit zurückgefühlten Fehlergleichungen lauten :

(25 f) (at\prx+br]ipr y+cr\i>T *+•••'+ lip, = vrYpr bzw. = wtfp, bzw. <

(25 f') I :

und wir setzen

(40 a)

ar jpr + ъЛРт + cr fPr Л-----h 4 iVr = SriP) \

so gehen daraus die Koeffizientenkontrollgleichungen hervor :

(41а)

’[pa a] + [p а b] + [р а с] + ••• + [р a l\ = [р a s] [Р а Ц + [р b Ъ] + [р Ъ е] -1-----1- [p bl] = [pb s]

[Pаs] + [рМ + [pcs] -1-----1- [pis] = [pss],

welche ebenso für die verschiedenen Reduktionsstufen gelten :

[pbb • 1] + [pbc •!]+•••+ [pbl • 1] = [pbs • 1]

(42 a)

[pbl -1] + [pci-1] H-----h [pll-1] — [p ls • 1]

1] + [pcs* 1] +•••+ |j)Zs«l] = [pss• 1]

' [p с c • 2] -|-----{- [p c l • 2] =*= [p c s • 2]

(43 a)

[pel - 2] -f • • • + [pll- 2] — [pis -2] , [pcs • 2]-f— • 4- [p ls • 2] = [p ss • 2]

usw.

Als Abschlußprobe des ganzen Reduktionsgeschäfts kommt schließlich z. B. im Fall dreier Unbekannter:

(44 a) [j9 l l • 3] = [p l s • 3] = [p s s • 3] = [p v v] .

16. Beispiel: Zur Bestimmung der Höhenunterschiede von vier Festpunkten A, R, D und E wurden deren direkte Verbindungen mit durchweg gleichen Ziellängen und nach gleichem Verfahren teils ein-, teils mehrmals eingewogen, wobei sich folgende Werte ergaben:

Höhenunterschied

+ 10,338 m + 3,965 + 3,930

—    4,952

—    4,957

—    9,328 „]

—    9,359 „ [ 9,343

—    9,342 „J

Zur weiteren Probe wurden sodann die Verbindungsstrecken jedes der genannten Punkte mit einem zu ihnen zentral gelegenen Punkt C auf dieselbe Weise mit folgenden Ergebnissen eingewogen:

Strecke

1. AB

2. BD

3. DE

4. EA

Strecke

AC

DC

8. EC

nivellierte Länge

4,2 km

5,1 km

2,8 km

3,6 km

nivellierte Länge

3,95 km 2,9 km 2,7 km

3,0 km

Mittel

3,9475

” ) 4,9545

ii I

Höhenunterschied ж

+ 14,087 m + 3,717 „ — 0,235 „ + 4,725 + 4,742

\ Mittel

” \ 4,7335

u J

Wie groß sind die ausgeglichenen Werte der Höhenunterschiede und wie groß ist der mittlere Fehler /г einer einmaligen Einwägung auf 1 km Entfernung?

Lösung: Der mittlere Fehler einer einmaligen Ein\¹ ägung wächst im vorliegenden Fall proportional zur Quadratwurzel aus der Verbindungsstrecke s. Erklären wir daher als Gewichtseinheit, welcher der mittlere Fehler p, zukommt, ein einmaliges Nivellement von 1 km Länge, so erhalten wir für den mittleren Fehler m bzw. das Gewicht p eines einmaligen skm langen Nivellements:

oder

„ _ ^ ^ m)

und

im Fall der n-maligen Wiederholung ps

Damit kommen den vorstehenden Beobachtungsergebnissen bzw. im Fall mehrfach wiederholter Einwägung ihren arithmetischen Mitteln folgende Gewichte zu:

Pi =    = 0}24:;

зЬг°’25;

^⁼5j = 0’39; ?e = ^ = 0,85;

V¹. = тгт¹ = 0,83 ;

З.г»

Vi = -Тф = 0,37;

3,0

Zur Feststellung der gegenseitigen Höhe der 5 Punkte А, В, C, D, E sind nun von den 8 beobachteten bloß 4 Höhenunterschiede nötig, aus denen die übrigen sich übereinstimmend ergeben müssen, gleichgültig, welche Zusammenstellung wir zu ihrer Bildung benutzen mögen. Denn die gegenseitige Höhe der Punkte wäre schon bestimmt gewesen, wenn man z. B. von C aus bloß nach A, B, D und E, oder von В aus nach A, C, D und schließlich von C nach E nivelliert hätte, usw. Setzen wir zum Zweck der Ausgleichung der Beobachtungsergebnisse die Höhenunterschiede¹)

und führen als N äherungswerte Nw, Nx, Ny, Nz die zugehörigen Einwägungsergebnisse ein, womit:

von A nach B = A = W „ В „ C = A lij} = X „ E „ 0=Ah° = Y » В „ D^Ah°Br=Z

Ah^=W= (+10, 338 + tv) AhcB = X=(+ 3,717 + z) JäJ = F=(+ 4,7335 + y) Ah%= Z = (+ 3,9475 +z)

so können wir die Fehlergleichungen in der Form:

Fr (W, X, Y, Z) -Lr = vr

oder, da sie von Haus aus linear sind, sogar sofort die Fehlergleichungen in reduzierter Form anschreiben:

Fr (w, X, у, г) + {Fr (N w, N X, N y, N г) - Lr} = Vr .

Wir.entwerfen zu diesem Zweck aus den Netzpunkten und den eingewogenen Strecken eine Skizze, in welcher wir die G e f ä 11 s richtungen durch Pfeile andeuten. Alsdann stellen wir der Reihe nach jeden beobachteten Höhenunterschied L mit so vielen der Unbekannten, als dabei in Betracht kommen, zu einer Schleife (geschlossenem Polygon) zusammen. Umgehen wir die Schleifen in irgendwelcher Richtung, so kommt jetzt in jeder von ihnen denjenigen Höhenunterschieden, deren Pfeilen wir beim Umgehen auf den Kopf treten, das Vorzeichen+, den anderen das Vorzeichen - zu. Die Summe aller in einer Schleife benutzten Höhenunterschiede soll 0 sein, ist aber wegen des Beobachtungsfehlers an L gleicht;. Daraus ergeben sich folgende Fehlergleichungen:

= Vi

= Щ

W - 10,338 Z- 8,9475

- X + Y - 4,9545 + Z=t'3 X - F - 9,343 + W= V X - 14,087 + W= vb X- 3,717

*■ X — 0,235 Z — v7 F- 4,7335

oder unter Einsetzung der Summe aus jedem Näherungswert und dem ihm beizufügenden unbekannten Zuschlag an Stelle der Unbekannten selbst :

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(1)

= v₆

= v₈

+ (10,338 - 10,338 = 0) z+ (3,9475 - 3,9475 = 0)

_x + y + z+ (3,717 + 4,7335 - 4,9545 + 8,9475 = -f 0,0095) = vs + (10,338 + 3,717 - 4,7335 - 9,343 = - 0,0215) = v4 + (10,338 + 3,717 - 14,087 = - 0,032)

+ (3,717 - 3,717 = 0) z+ (-3,717 - 0,235 + 3,9475 = - 0,0045)

+ y + (4,7335 - 4,7335 = 0)

Bezeichnen wir wie bisher den Koeffizienten

der 1. Unbekannten (hier w) mit a,

U    X) „ b,

( »    У) » « »

( „ z) „ d,

во erhalten wir daraus folgende Koeffizienten und Absolufcglieder der Fehlergleichungen samt den Gewichten der letzteren:

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. II.

(2)

(3)

(4)

(5)

(в)

(7)

(8)

-x +

2.

3.

4.

= v₂

= V₁

= V₃.

cm

0,24

0,39

0,71

0,83

+ 1,95 -1,15

+ 0,95

-2,15

I-

0,25

0,35

0,37

0,67

-1,2

-3,2

-0,45

-0,45

T-

I-

[]=|| +3 I +1 I +1 I +3 T -4,85 II +3,15 II 3,81 Koeffizienten und Absolutglieder der Normalgleichungen.

ssd

pdd pdl pll

paa pab рас pad pal pbb pbc pbd pbl pcc pcd \pcl

0,24

0,39

ooooooo

0    10 о I 0,39    0    0

0 10 0 0

0,24    0

0,71    -0,71    -0,71    -0.67    0,71 +0,71    +0,67    0,71    +0,67    0,бГ    2,70

0,83    + 0,83    - 0,83    0    -1,78    0^3    -0,83    "о    -1,78    0,83 ~0    +1,78    0    0    3,84    1,10

0,25    + 0,25    0    0    - 0,80    0,25    0    0    - 0,80    0    0    0    0    0    2,56    0,36

0,35

0,67

0,37 I-0,17 0,07 I 0,07 0 0

0,35    0    0

0,37    0    -0,37 +0,17    0

0,671 0

- 2,58 il + 2,511 - 1,54 I - 1,08 I - 3,0S || + 2,211 + 0,711 + 2,451| +1,47 | + 0,501 + 7,111 + 5,88

<N СО I ^ Ю

8 \\ 0

1 = 11+1,321 +1,08 I -0,83 I ±0

Hieraus:

+ 1,32    +1,08    - 0,83

(-0,88) (+0,68)

+ 2,51    -1,54

(-0,52)

+ 2,21

Reduktion der Nonaalgleichungen.

-1,01 (+0,83) -2,11 (-0,64) +3,00

(0)

(0)

+ 1,47    +0,50

(-6,04) + 7,11

(0)

+ 1,60 (-1,98)

+4,40

(-0,77)

+ 5,88 (stimmt)

+ 1,63    -0,86

(-0,43) .    +1,69

1. Reduktionsstufe. -1,08 (-0,57)

+0,71 (-0,72)

+ 1,47

-0,97

(-0,51)

+0,83

(-0,64)

+0,50

(-0,58)

+2,07

-1,28 (-0,68) +2,36 (-0,85) + 1,60 (-0,76) +2,42 (-1,01) + 5,11

+ 1,24

2. Reduktionsstufe. +0,14 (-0,02)

+0,75

+ 0,32 (-0,04) -0,14 (-0,08) + 1,49

+ 1,68 (-0,19) +0,75 (-0,43) + 1,66 (-2,28) + 4,10

-4 0,73

3.    Reduktionsstufe.

+ 1,39

5*

Die 3. Reduktionsstufe liefert die rechts stehende Unbekannte

-0,18

0,73

- + 0,25 cm,

womit

Ah% = Z = 3,9475 + 0,0025 = 3,9500.

Pz = 0,73.

Die 4. Reduktionsstufe liefert [pvv] = 1,37,

womit der mittlere Fehler einer einmaligen Einwägung auf 1km Länge:

f*=±

und

]ГШ.=

\ 8-4

±0,58 cm = ±5,8 mm

MZ = ±

= ±0,68 cm = ±6,8 mm .

(8-4) 0,73

Wollen wir die mittleren Fehler M und die Gewichte P auch der übrigen ausgeglichenen Höhenunterschiede kennen lernen, so muß jetzt Umstellung der Normalgleichungen und wiederholte Reduktion erfoigen, wobei sich zuerst y, dann nach Wiederholung des Verfahrens x und schließlich w ergibt. Andernfalls kann man den gefundenen Wert für z in die 1. Gleichung der 2. Reduktionsstufe einsetzen, wodurch sich у ergibt uhd so weiter rückwärts. Wir wollen einmal letzteren Weg gehen: 1. Gleichung der 2. Reduktionsstufe:

= -0,29 cm; F= +4,7335 - 0,0029 = +4,7306 ,

1,24 у + 0,14 z + 0,32 = 0, - 0,32 - (0,14.0,25)

1,24

1. Gleichung der 1. Reduktionsstufe:'

1,63 ж - 0,86 у - 1,08 z - 0,97 = 0,

* =    +    = +0,61 cm; T- +3,717 + 0,006= +3,723.

1,00

1. Normalgleichung.

1,82 w + 1,08 x - 0,83 y + 0 z - 2,58 = 0,

tp=-²A⁸ + 0’83ł(-⁰’²⁹⁾-¹-08t0>⁶¹₌ +1,27 cm:

1,32

W r= +10,338 + 0,013= +10,351.

Zur Probe kann man die erhaltenen Werte für w, x, y und z in Irgendeine der übrigen Normalgleichungen einsetzen, welche dadurch gleichfalls befriedigt sein muß.

Schwieriger als bei vorstehendem Beispiel gestaltet sich die Aufstellung der Beziehungen zwischen den Unbekannten X, Y... und den zu ihrer Bestimmung

dienenden beobachteten Größen L in der gewünschten Form (25) bzw. (25/) im Falle der in der Geodäsie am häufigsten auftretenden Ausgleichungsaufgabe, der trigonometrischen Punkteinschaltung.

Letztere bezweckt die Bestimmung der rechtwinkligen Koordinaten xP und yP von „Neupunkten“ Pauf Grund von Bestimmungsstrahlen, die von — auf dem Gelände sowohl, als ihren Koordinaten nach — gegebenen „Festpunkten“ A, В ... F ausgehen und deren Richtung durch Beobachtung der Winkel oc im Neupunkt zwischen den Neustrahlen selbst, oder der Winkel ß in den Festpunkten zwischen diesen Neustrahlen und den Yerbindungslinien nach anderen Festpunkten, den „Feststrahlen“ gewonnen wird. Sind solche Winkel ß nur in (mindestens zwei) Festpunkten gemessen, so hat man die Aufgabe des „V orwärts-“, sind nur Winkel oc im Neupunkt zwischen den (mindestens drei) Bestimmungsstrahlen gemessen, diejenige des „Rückwärtseinschnittes“. Wurden Winkel oc sowohl im Neupunkt zwischen den Bestimmungsstrahlen selbst, als auch Winkel ß in den Festpunkten zwischen Fest- und Neustrahlen gemessen, so wird der Neupunkt durch „vereinigtes Yor- und Rückwärtseinschneiden“ bestimmt. In jedem Fall suchen wir mittels der beobachteten Winkel oder Richtungen oc- oder ß die von den Festpunkten gegen den Neupunkt gerichteten Bestimmungsstrahlen, die Neustrahlen, zu „orientieren“, d. h. ihre Divergenz gegen die durch den Festpunkt gedachte Parallele zur Abszissenachse oder ihren „Richtungs- (Neigungs-) Winkel“ fx zu berechnen. Jede (gleichgültig, ob rein rechnerische oder durch graphische Hilfsmittel unterstützte) Lösung geht sodann aus von einem seinen Koordinaten xN und yN nach irgendwie ermittelten, möglichst nahe dem endgültigen Neupunkt gelegenen „Näherungs“- oder „vor-

läufigen“ Punkt N, so daß als neue Unbekannte nicht mehr die Koordinaten x und y des Neupunktes P selbst, sondern, in Übereinstimmung mit dem bisherigen, die Zuschläge dx und dy gelten, deren Addition die vorläufigen Koordinaten zu den endgültigen ergänzt.

(45)

xP — xN Ą- dx

Ур = Vn + dy

Diese unbekannten Zuschläge dx, und dy wollen wir im Falle des Vorwärts- und des vereinigten Vor- und Rückwärtseinschneidens zunächst mit Unterstützung graphischer Hilfsmittel zu bestimmen suchen.

Wir beachten zu diesem Zweck, daß die Bestimmungsstrahlen infolge von Ungenauigkeiten in unserer eigenen Winkelmessung, sowie infolge von Projektionsverzerrungen und Mißstimmigkeiten zwischen den gegebenen Koordinaten der Festpunkte und dem Standort der letzteren sich nicht in einem Punkte und noch viel weniger gerade im Näherungspunkte N schneiden, sondern eine fehlerzeigende Figur miteinander bilden werden, in deren Nähe N liegt und innerhalb welcher wir den wahrscheinlichsten Punkt P auswählen müssen. Es wird sich also zunächst darum handeln, die gegenseitige Lage der Bestimmungsstrahlen und des vorläufigen Punktes N zu erkennen, — in möglichst großem Maßstabe aufzuzeichnen.

Zur Zeichnung der Strahlenlage und -Richtung in der Gegend des Neupunktes haben wir zwei Wege:

Entweder (s. Fig. 2) berechnen wir aus ihren orientierten Richtungswerten y die Entfernungen a derjenigen Punkte vom vorläufigen Punkt A, in denen die von den Festpunkten F ausgehenden Bestimmungsstrahlen die eine, oder die andere der durch N gezogenen Parallelen zu den beiden Koordinatenachsen (die Achsen der zu entwerfenden graphischen Darstellung) schneiden. Diese Entfernungen ergeben sich allgemein nach Vorzeichen und Wert:

für Abtragung auf der y -Achse zu:

(46 a)

a = Vf + (xn — *r) tg ß — yN, für Abtragung auf der x -Achse zu :

a — xf -f" (yN — y F) ct gß — xN .

Tragen wir die berechneten Entfernungen a im gewählten Maßstab (1 :10) von N aus auf den genannten Achsen in der durch ihr Vorzeichen bestimmten Richtung ab, -so erhalten wir je einen P unkt des zugehörigen, zu zeichnenden Reustrahls. Durch ihn ziehen wir letzteren.selbst, als Parallele zum rechten Schenkel des mit dem negativen Zweig der x-Achse als linkem

Parallèle^ à zzir+JCAthz* ^

ty

ri

"Лс

гС/

rie.PamUdeziir — -hу Achse;

F-

<Уп Ч

Fig. 2.

Schenkel und mit N als Scheitel (mittels eines Transporteurs, oder unter Verwendung einer Sehnen- oder Tangenstafel) aufgezeichneten Richtungswinkelwertes [л . (Zur —x -Achse, weil die jetzt zu zeichnenden, vom Reupunkt Pausgehenden Strahlen statt der Reigung ^F — nFP den Richtungswinkel ^4:2Р = nPF besitzen.) Oder wir berechnen außer den orientierten beobachteten Richtungen [л mittels der Koordinaten ihrer Endpunkte noch die entsprechenden Richtungs- (Reigungs-) Winkel v

von den Festpunkten F nach dem vorläufigen Punkt N und aus der Differenz

ô *= fl — V

und der Strahlenlänge s die senkrechte Querabweichung

(46 b)

(46 c)

des Bestimmungsstrahls vom vorläufigen Punkt N. Sie wird in dem für die Fehlerfigur gewählten Maßstab von N aus senkrecht zu der wie oben gewonnenen Richtung [a und zwar,

für ô — abge-

vom Festpunkt aus gesehen nach

links

rechts

tragen, um durch ihren Endpunkt den Bestimmungsstrahl wie vorhin parallel zu ebendieser Richtung \a zu zeichnen.

Ist jetzt auf die eineoder die andere Weise die gegenseitige Lage der Bestimmungsstrahlen unter sich und zum Näherungspunkt N zeichnerisch bekannt, so handelt es sich um die Auswahl des endgültigen Punktes JP in der entstandenen „fehlerzeigenden Figur“. Dabei ist zu beachten, daß bei gleichem Fehler in der Richtungsbeobachtung die lineare Abweichung des Bestimmungsstrahls vom wahren Punkt P wächst proportional der Strahlenlänge s und demgemäß das Strahlengewicht für die Punkbestimmung umgekehrt proportional zum Quadrat der Strecke s.

Folglich wird das Bestimmungsgewicht für die Punktauswahl innerhalb der Fehlerfigur sein:

(48 a)

wobei wir t — 1 setzen, wenn die Beobachtung des Strahls ein-, gleich zwei dagegen, wenn sie zweiseitig, d. h. sowohl im Fest-, wie im Neupunkt erfolgte. Wo ferner auch immer der endgültige Punkt P gewählt werden möge: seine Abstände h von den Bestimmungsstrahlen stellen deren Querverfehluog dar, aus welcher sich rückwärts die an den beobachteten orientierten Rieh-

tun gen [j, anzubringenden Yerbesserungszuschläge v nach "Richtung und Größe berechnen lassen:

(47)

v.

5

Gleiche Genauigkeit der Richtungsbeobachtung vorausgesetzt, ist das Richtungsgewichtgleich 1 oder 2 je nachdem ein- oder zweiseitige Beobachtung vorliegt, allgemein gleich t und wir müssen daher nach bisherigem verlangen :

h\

(43b) [tvv]= t^ Q* = Q²(t₁^f-\r t₂

oder unter Beachtung von (48 a)

(48c) [tvv\ = Q² (рг h\ + p₂ hl +•••) = Q² \p hh] = Min.,

d. h. wir haben in der Fehlerfigur den endgültigen Punkt P so auszuwählen, daß

[phh] = Min.

(48 c)

Yon den verschiedenen, auf (48c) sich stützenden Yerfahren der Punktauswahl in der fehlerzeigenden Figur benützen wir das von Bertot 1876 erstmals gezeigte.

Wir müssen aber, ehe wir auf die Lösung selbst ein-gehen, noch einige Sätze vorausschicken, deren Beweis wir hier übergehen wollen :

1. „Sind r Gerade LÄy LB ... LR vom Gewicht pA, pB . . . pR gegeben, so ist derj enige Punkt P, für welchen die Summe der Quadrate seiner Abstände h je multipliziert mit dem Strahlengewicht p ein Minimum ist, zugleich derSchwer-punkt des aus seinen eigenen Lotfußpunkten F gebildeten Systems von Massenpunkten, wenn jedem von ihnen das Gewicht des Strahls beigelegt wird.“

"Würden wir hiernach durch Schätzung in der Fehlerfigur zufälligerweise den richtigen Punkt P gefunden haben, für welchen [phh] = Min., so würden wir diese Tatsache daraus erkennen, daß er der Schwerpunkt S seiner eigenen Lotfußpunkte F⁷, d. h. daß

_ lP ■ Sr]

№ M

[P • Xf\

(49)

[P]

und

wäre.

Um P aufzusuchen, benützen wir den 2. Satz: „Sind mehrere Gerade L gegeben, und ist wieder für den Punkt P die Summe der Quadrate seiner Abstände h von ihnen je multipliziert mit dem Strahlengewicht p ein Min., so ist der Schwerpunkt der Lotfußpunkte • • • irgend eines anderen Punktes A₁ wenn diesen ebenfalls je das Strahlengewicht pA .. zugeschrieben wird, ein Punkt S, welcher zugleich der Schwerpunkt der mit denselben Gewichten bedachten Massenpunkte Q ist, in denen ein Kreis über AP als Durchmesser die von A nach den Strahlen gefällten Projektionslote schneidet.“

(Die in Satz 2 ausgesprochene Behauptung, auf Fig. 3 übertragen, lautet also: Die Punkte % und Q haben denselben Schwerpunkt S.)

Nun kennen wir zwar zunächst den Kreis M nicht, auf welchem P als gesuchter Gegenpunkt des beliebigen Punktes A liegt, also auch nicht die Schnittpunkte Q der Projektionslote mit ihm. Dagegen können wir einen beliebigen, den gesuchten Kreis M schneidenden zweiten Kreis 5DÎ durch A mit dem beliebigen Halbmesser r zeichnen, der dem ersten (wie alle Kreise untereinander) ähnlich ist. Erklären wir, was bei sich schneidenden Kreisen zulässig ist, A als inneren Ähnlichkeitspunkt

beider, so schneidet jede durch A gehende Gerade die letzteren nach einem homologen Punktpaar, folglich sind die Schnittpunkte Ö des Kreises 5Ш mit den Projektionsloten homolog den Schnittpunkten Q der letzteren mit

¹

Da von dem Zentralpunkt C aus die Höhenunterschiede nach Jedem der übrigen 4 Punkte eingewogen wurden und auch die Probeeinwägungen symmetrisch zu C angeordnet sind, wird man zweckmäßigerweise die 4 Höhenunterschiede CA, CB, CD, CE als Unbekannte setzen. Um (aus instruktiven Gründen) die dabei sich ergebende Gleichförmigkeit der Lösung zu vermeiden, wird jedoch im vorliegenden Fall von dieser (einfacheren) Behandlung abgesehen.

.vC

Jr

*S\

'•Ж'

V yrb

'XOjfQ

Fig. a

dem gesuchten Kreis M. Dann ist aber auch ihr Schwerpunkt © homolog dem Schwerpunkt S der Q und g. Die Mittelpunkte äft und M beider Kreise sind einander selbstverständlich homolog, während der auf dem Kreis ЭК liegende, zu A auf Kreis M homologe Punkt 21 der Schnittpunkt der Tangente in A an Kreis M mit Kreis ЗИ ist.

Bestimmen wir demnach in der fehlerzeigenden Figur auf Grund der ihr entnommenen Koordinaten jetzt die Schwerpunkte @ und S der beiden Punktgruppen О und g (wobei die g und die Q identischen Schwerpunkt besitzen) :    ^

as@ -

(49 a)

xs =

[P • «ft]

2/0 M \p • y%\ M ’

(s. Beispiel 12)

so haben wir in ihnen ein Paar homologer Punkte beider Systeme gefunden. Auch ohne den Schnittpunkt H des Ähnlichkeitsstrahles A£ mit dem Kreis M zu kennen, finden wir ferner seinen homologen Punkt $ auf dem Kreise Ш als Schnitt dieses Ähnlichkeitsstrahles mit ihm. Da die Verbindungslinien homologer Punkte in ähnlichen Figuren homolog sind und andere homologe Linien in homologen Punkten schneiden, so ist die Gerade HS homolog der Geraden $© und der dadurch zu findende Kreispunkt St homolog A. Dann ist aber ASt Tangente in A an den gesuchten Kreis if, sein Durchmesser AP steht somit _L StA und geht durch den Gegegrpunkt von St im Kreis 2R . Für die Strecke AP — 2 r folgt aus der Ähnlichkeit der Kreise M und 2k die Proportion:

d. h.

' (AP = 2r):2r = A£:St@

(50)

AS

St©

AP = 2r = —— • 2 r.

Ist mittels des berechneten Maßes AP der endgültige Punkt P in die fehlerzeigende Figur auf der Geraden A$ß eingetragen, so bilden seine der graphischen Dar-

Stellung analog Fig. 5 zu entnehmenden Koordinaten die Zuschläge dx und dy, womit man mittels Gleichung (a) die gesuchten Koordinaten xP und yP gewinnt.

Al§o Zusammenfassung der Lösung: Nach Aufzeichnung der Fehlerfigur folgt die Zeichnung eines beliebigen Kreises und Annahme eines beliebigen Punktes A auf seinem Umfang.

Zum Zweck bequemer Berechnung von AP wählen wir als Halbmesser dieses beliebigen Kreises:

r = 50 cm.

Die Kreisschnittpunkte О ergeben sich um so schärfer, ie mehr der Schnittwinkel zwischen Kreis und Lot sich einem Rechten nähert. Um dies zu erreichen, wählen wir den Punkt A auf dem gezeichneten Kreis, so, daß die von ihm ausgehenden Lote nach den Bestimmungsstrahlen möglichst durch 9Л gehen, also etwa im Schnittpunkt eines von den übrigen Strahlenrichtungen besonders stark abweichenden Bestimmungsstrahls mit dem Kreis.

Nun: Bestimmung der Schwerpunkte S (der g) und © (der Q). Zeichnung des Linienzuges ASQ,

und zuiyProbe A*ß J- AA. Abtragen der Strecke AS

AP= • 2r in dem für die Fehlerfigur gewählten

Maßstab, Abgreifen von dx und dy.

Will man sich über die bei der Winkelbeobachtung erreichte Genauigkeit Aufschluß verschaffen, so entnimmt man’ die Abstände h des gefundenen Punktes P von den Bestimmungslinien aus der fehlerzeigenden Figur und erhält unter Beachtung, daß 2 von den r beobachteten Strahlen zur Bestimmung nötig, also r — 2 überschüssig sind, die mittlere lineare Querverfehlung eines Strahls vom Gewicht p

К = + j/

[phh]

(r — 2)p ’

(51)

die mittlere lineare Unsicherheit in der Çunkt-bestimmung

^Mittel

und

[p h 7i]

(r — 2) [p\

den mittleren Fehler einer einseitig beobachteten Eichtling

±e"

«V"

Die nach (51) berechnete mittlere lineare Unsicherheit in der Punktbestimmung gestattet ebensowenig wie der Betrag des mittleren Richtungsfehlers einen erschöpfenden Einblick in deren Genauigkeit. Vielmehr kann die letztere nach verschiedenen Seiten eine durchaus verschiedene sein. Wird nämlich ein Punkt als Schnitt zweier oder mehrerer durch Beobachtungsfehler um einen gewissen mittleren Betrag mfl verschwenkter Strahlen bestimmt und sind diese Strahlen nicht gleich-

—........ -    mäßig über den Hori-

Fig. 4.

zont verteilt, so bildet die Gesamtheit derjenigen Punkte A, R, Cj D . . ., welche infolge jenes mittleren Richtungsfehlers an die Stelle des wahren Schnittpunktes P (für zwei Strahlen s. Fig. 4) treten können, eine

„Fehl er ellipse“ , deren    | Achse die Richtung der

und deren Achsen

kleinsten { Bestimmungsunsicherheit,

Verhältnis das Verhältnis dieser Unsicherheiten anzeigt. Um eine solcheFehlerellipse zu zeichnen, braucht man nur für verschiedene (am besten profilartig angeordnete) Punkte der Fehlerfigur nach Gleichung (51) die Werte für /^Mittel oder zu berechnen, sodann durch Interpolation die Lage von Punkten mit einem bestimmten runden Wert dieses h oder m aufzusuchen und die so konstruierten Punkte schließlich durch eine stetige Kurve zu verbinden. Je näher letztere der Kreisform kommt, die (nötigenfalls durch Ein Schaltung weiterer Bestimmungsstrahlen) anzustreben ist, wenn gleiche Bestimmungsgenauigkeit nach allen Richtungen erfordert wird, und je kleiner sie für einen bestimmten Betrag von &Mittel oder mą ist, umso , besser.

17. Beispiel: Im trigonometrischen Neupunkt 1 wurden Richtungen a nach benachbarten Dreieckspunkten und in letzteren solche nach dem Neupunkt und weiteren Festpunkten in je drei vollen Sätzen beobachtet. Die Koordinaten der benutzten Dreieckspunkte sind bekannt und als fehlerfrei anzunehmen.

Gemessen wurde:

399° 99' 64" 122° 19' 08" 189° 23' 41"

Im Neupunkt 1 nach Killesberg Feuerbach Eychen

Zuffenhausen 232° 97' 25"

In Sandäcker nach Eychen

Feuerbach Neupunkt 1 Killesberg

355° 00' 62"

399° 97' 65"

4° 68' 37"

16° 78' 41"

Gregebene Koordinaten:

+ +

Eychen

Falget

Feuerbach

Killesberg

Sandäcker

Zuffenhausen

32632,85 8101,42 31114,51 8061,89 31962,93 7858,74 31690,30 8485,65 31940,47 7360,85 34691,00 9175,86 Gesucht sind die rechtwinkligen Koordinaten des Neupunktes 1.

Lösung: Wir orientieren zunächst die in den Festpunkten beobachteten Richtungsbüschel oc nach den von ersteren ausgehenden, auf dieselben Strahlen sich beziehenden Richtungswinkeln cp und erhalten dadurch in nachfolgendem Formular die „orientierten Richtungen“ ß samt den Beobachtungsfehlern v der Richtungswerte für die Feststrahlen. (Die endgültigen Richtungswinkel <p, die Yeibesserungen v und die Streckenlängen s für die Neustrahlen, die ebenfalls im nachstehenden Abriß eingetragen sind, ergeben sich später.)

Mit Benutzung von zweien der im Abriß ermittelten, möglichst um 1R voneinander abweichenden orientierten Richtungswerte ß berechnen wir nun vorläufige Koordinaten für den Neupunkt, wobei wir erhalten mögen:

XN= + 31909,96, Yn = + 8128,22.

Sie benutzend, finden wir für die Richtungswinkel v und Längen s der Verbindungsstrecken von den Festpunkten zum vorläufigen Neupunkt N folgende Werte:

n - Sandäcker - N n - Eychen - N

= vs = 1010 81' 92" ; ss = 1068 m = vE = 1720 97' 06" : sE = 793,3 „ = vK = 3830 72' 00" ; sK = 227,1 „ = vFe= 105090'45"; sFe= 571,9 „ n - Zuffenhausen -N=vz = 216« 71' 93" ; sz = 2879 „

In Eychen nach

In Killesberg nach

Feuerbach 49° 14 ' 48 Neupunkt 1 399° 98' 99 Killesberg Feuerbach Eychen Neupunkt 1 Falget

2° 37' 63

0° 03' 93 49° 28' 01 57° 66' 26 314° 31' 56

n - Killesberg - N n - Feuerbach - N

(Fortsetzung des Textes s. S. 84.)

Abteilung 1. „Abriß“.

Ziel

punkte

Beobachtete

Richtungen

Endgültige

Richtungs

winkel

<P

Unterschiede cp - oi Orientierungswinkel

со =

[y - ft]

Orientierte Richtungen ß = <x + CO

Ver

besse

rung

V = q>- ß

länge

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Eychen Feuerbach . Neupunkt 1. Killesberg..

355

399

16

(MiOD-h CD CD CO ^

85822

ИЗ 93 25

97 13 97 15

97 14

52

97

101

113

Ю OO ОЬ ч* 1—I T—I Os CS

Ю «N <Sï (M T—I 1-1 oo OS

83

37

31

114

1014

498,4.

1068

1152

4 оо =

SS &

^ to 8

03 54

13 59

S3

- 37

3“

03 17 со — 97 14153

3 SJ¹⁵

114

114

Feuerbach . Neupunkt 1. Killesberg..

49

399

14

98

37

Standpunkt Eychen. 222 12 56    172 98

172    96 94

175 35 75    172 98

222

172

175

gigs

СО S OD

15

712,5

<м

793,3

1018

3(o =

51 10 94 30

45 25 со = 172 98 10 + 15

17

45 40

.bach uen • • • neupunkt1 Falget_____

49

57

314

03 93 28 01 66 26 31 56

45 Щ

15

rH CO CO

C5 -<г CO t—¹

— Oo 05 ©I OS OS K- CO

14

23

683,6

1018

227,1

59 93

1 80

os

14

4(o-

+ 23

60 16 a? = 326 07 60

■37

23

Killesberg.. Feuerbach . Eychen .... Züffenh.....

899

122

189

232

Qs cs со r>

05 Hgq OS

183 74 06 183 73 68 183 73 50 183 74 29

183

305

372

16

Vi «о to b* to Oo

O, K» Oo tK

OS S

10

37

227,0

571,9

793,3

2879

39 38

34 99

15 61

34 98    48    47

4 оз= 95 60 34 98

34\98\co = 183 73\90 Bemerkung: Die senkrechten Ziffern beziehen sich auf beobachtete oder aus gegebenen berechnete, die schrägen auf neu gewonnene Größen. Letztere werden mit roter Tinte eingesetzt und zwar die Werte cp, v und s für die Neustrahlen erst nach erfolgter Bestimmung der endgültigen Neupunktskoordinaten.

Weitbrecht, Ausgleichungsreclmung. II.

Abteilung 2.

Näherungskoordinaten :

Bezeichnung

der

Festpunkte

Orientierte Beobachtete Richtungen Richtungen vorwärts rückwärts

Unterschiede

ß- a

Orientierte Orientierungs- Richtungen rückwärts

Winkel

(s. Abriß)    I#-*]

у = ОС + (О

г ! //

/ //

1.    Killesberg .

2.    Sandäcker .

3.    Eychen.

4.    Feuerbach.

5.    Zuffenhau

383

sen

216

со    с- со    i—t

l>    05 05    С-

383    73 95

35

18

4 со =

35    18

Abtei-

Nr. des Strahles

Schwerpunkt <S der Lotfußpunkte g für A ( + 48,4 cm, +12,9 cm)

py%

a? JD, ;

ft)

cm

cm

tHOI со-^ю

0,9

3,1

0,1

+43,6 - 4,7 1683,0 -16,7 +11,0 +33,9 -17,6    108,5

-23,9 + 6,2 +39,8 +45,1

4,0

15,0    9,9

74,1    19,2

4,5

181,4    + 35,6    - 35,0

45,9

1795,5

89,1    33,6

237,7

xs =

+ 3706,4

45,9

= +37,2 cm

-204,1

45,9

= - 4,4 cm

Vs =

AS

AP =    • 2 r =

20,6

28,6

• 100 = 72,0 cm •

Neupunkt 1.

XN = + 31909,96 ; YN = + 8428,22.

Mittel

Aus

Näherung

berechnete

Richtungs

winkel

Wider

spruch

Ô = tu - V

Strahlen

länge

Querver

schiebung

6 =

Gewicht

t

P = ^r

(s in km)

//

rr

//

cm

383

73

101 82 172    97

72,5 388

90

101

72

00

81

92

172,5

98

227,1

1068

6,1

105

93

22,5

172

97

06

03

105

90

45

16,5

258

793,3

571,9

16,4

38,6

2,1

0,9

23,2

3,2

3,1

216

71

20

216

71

93

73

2879

33,0

0,1

18

08

13

36

472

72

18 08

lung 3.

der Kreisschnittpunkte Q А ( + 48,4 cm, +12,9 cm)

Proberechnung

Schwerpunkt der Lotfußpunkte F für P ( -23 cm , +12 cm)

px€X

py£l

VXF

РУ F

cm

cm

cm

cm

1881,9

69,1

44,2

4,8

154,7

1851,0    -22,9

-16,8 144,6    - 24,5

-24,4 - 27,0

+ + + + + WM    M¹ H⁴ 2

Mlb-OCtOIW) R MffiQWtO

-sfiü!

to £§    ^

Wo»

1455,8    198,9    23,0    1495,6

=•

+ 1256,9

-1472,6

45,9

- + 27,2 cm

45,9

= - 32,1 cm

1055,7    548,1

₌ -1055,7    +548,1

45,9    45,9

xP = - 23,0 cm +12,0 cm = yP

Die Querabweichungen Ъ der Bestimmungsstrahlen vom Näherungspunkt N, welche in der Tafel Abteilung 2 aus den Strahlenlängen *

ß + у

und den Winkelwerten ô = fi - v — r - - - v berechnet sind und welche

wir im gewählten Verjüngungsverhältnis (1:10) vom Ursprung eines Koordinatensystems aus senkrecht zur Richtung der Richtungswinkelwerte ß, y,ju oder v auftragen, bilden in Verbindung mit letzteren die Elemente zur Aufzeichnung der (fehlerzeigenden) Fig. 5, welche direkt die Größe der linearen Abweichungen der Bestimmungsstrahlen in der Gegend des Neupunktes voneinander zeigt.

Ist sie gezeichnet, so können wir in ihr je nach der Größe dieser Unstimmigkeiten den endgültigen Punkt P, dessen Abweichungen h von den Bestimmungsstrahlen die Bedingung (48 c) : [p h A] = Min. erfüllen müssen, entweder durch Schätzung ohne weiteres annehmen, oder nach dem Seite 74—76 gezeigten Verfahren konstruieren. Letzteren-falls zeichnen wir um den Ursprung N = 9ÏÏ einen Kreis von beliebigem Halbmesser r (z. B. 50 cm), auf dessen Umfang wir einen Punkt A beliebig annehmen. (In Fig. 5 zum Zweck möglichster Vermeidung schiefer Schnitte der Lote 4£l mit dem Kreis, z. B. als Endpunkt des zum Strahl 5, Zuffenhausen, parallelen Halbmessers.) Von ihm aus fällen wir Lote Aj* nach den Bestimmungsstrahlen, welche den Kreis in den Punkten £L schneiden. Für den Schwerpunkt © der £t liefern die Berechnungen Abt. 8, S. 82—88 auf Grund der Gleichungen:

[p • yd

[P •

[v]    '    “ [jp]

die Werte a;<g = + 27,2 cm, y& = - 32,1 cni, für den Schwerpunkt S der g (d. h. der Punkte Q in Fig. 3), xs = + 37,2 cm , ys - - 4,4 cm . Der Linienzug    $©9t; 919И; Alß. .. bildet in seiner Endrichtung schließlich

einen Ort für den Minimumspunkt P, den wir mittels der S. 82 unten

berechneten Strecke AP = —— • 2t = 72,0 cm (s. S. 82) jetzt konstruieren können.    ^ ®

Eine Probe für die richtige Konstruktion von P in der Fehler-figur erhalten wir schließlich durch Berechnung der Schwerpunktskoordinaten für die Lotfußpunkte F des Punktes P. Sie müssen mit denen von Punkt P selbst identisch sein (Abt. 3, S. 83 hinten).

Der Figur entnehmen wir jetzt direkt

dy = +0,12,

dz = -0.23,

woraus wir als endgültige Koordinaten des Neupunktes erhalten :

xP = XN + dx = + 31909,96 - 0,23 = + 31909,73 yp = YN+dy = + 8428,22 + 0,12 = + 8428,34

Zur schließlichen Feststellung der erreichten Beobachtungsgenauigkeit, d. h. der an den orientierten Richtungen ß oder an den Beobachtungswerten oc zum Zweck der Zusammenführung aller Bestimmungsstrahlen nach einem Punkt P anzubringenden Verbesserungen v, sowie zur Probe können wir jetzt noch die endgültigen Richtungswinkel tp = nFP der Verbindungsstrecken von den Festpunkten mit dem Neu-

150

160    170    180

\_\ \ \ \³°\ \ \

200    210    220    230

lii/ /о5/ / / /

24C

250

70    60    50    40    30    20    10_0

IQ_20    30    40    50    60 7Q

140x

ИК

50

40

120^

30

20

i    V T    i    i    i J

i.......;......j^rl........I.......i......j~‘"j.......;........i'Jf

..\......ш.кЖ.i.H-r.fTbJ..:.m±

60

/260

Sn

50

40

30

20

^270

280

HO—

4o

10

;oo—

rÿ

Ш-,

to

—290

— 300

90-

10

20

80'

30

$=№»p-aa ;    ; Д

5Г. -/. i -T..../. ....I.

10

20

"310

40

7IK

! ‘jfW

i.....;.....j -

30

40

320

SO

fł

50

^330

60^

60

.!

60

N.

; re>i

^340

70    60    50    40    30    20 iO 0

10    20    30    40    50    60    70    80

*4

I I l \ \«,\ \ \ \    \    \    \

O 390    380    370    360

Fig. 5.

35Q

berechnen. Sie in Abteilung 1, den Abriß, einsetzend, erhalten Spalte 6 die (mit schiefen Lettern gedruckten) Beobachtungsverbesserungen V = cp - ß auch für die Neustrahlen. Eine durchgreifende Probe für die richtige Berechnung der Näherungsrichtungswinkel v nicht bloß, sondern auch für die richtige Einzeichnung der Bestimmungsstrahlen in die Fehlerfigur liefern endlich die der Figur 5 entnommenen Querabweichungen h der Bestimmungsstrahlen vom endgültigen Punkt P,

h

denen wir die kleinen Winkelwerte u'{ = —q" berechnen können, welche, da die Koordinaten auf cm abgerundet sind, innerhalb der q , d. h. ±8" für s = 1000 m, übereinstimmen müssen

punkt wir in

aus

0,005

Grenzen ±

mit den Werten и = (p - ₍tt (s. Abt. 4, S. 86).

1.

Kill esb erg

о I /    //

Abteilung 4.

2.

Sandäcker

8.

4.

Eychen

⁰ IM"

Feuerbach

⁰ I ' I "

5.

Zuffenhausen о I /    //

<p (s. Abriß) ^ (s. Abt. 2)

ms 73 183 73

63

72,5

301    83 27

301    82 90

372 96 94 372 97 22,5

305 92 88 305 93 03

16 71 16    71

54

20

U = Cp — [A,

h cm

-9,5"

-0,4

-11"

+ 37"

+ 6,2

+37"

-28,5" - 3,7

-15"

-1,6

-30"

-18"

+34" + 15,6

+34"

Rechnerisches Ausgleichungsverfahren für trigonometrische Punkteinschaltung.

Zur rechnerischen Bestimmung der den Näherungskoordinaten Nx und Ny für den Neupunkt beizufügenden Zuschläge dx und dy [s. Gleichung (45)] wollen wir vorbereitend die Beziehung feststellen, welche zwischen kleinen Koordinatenänderungen dx und dy des Endpunktes JB einer Strecke AI> und der dadurch hervorgerufenen Änderung d<p ihres Richtungs-(Neigungs-) Winkels cp = n AB besteht. Für die Koordinaten des Endpunktes В einer unter dem Richtungswinkel n AB von A ausgehenden Strecke AB = s hat man allgemein:

(52)

Г Ув = Уа + AB- s inn AB 1 Xß = Хд -f- AB• cosnAB,

woraus

(52а) tgnAB =

У в — У а Ay

хв — ХА    А х

Ау

und п AB = arc tg.

Ах

Daraus folgt durch Differentiation, wenn man AB = s und n AB = cp setzt:

Bezeichnen wir

(54) ' den Koeffizienten von dy in den vorstehenden Gleichungen mit b, denjenigen von dx mit а, wobei also Ъ das Vorzeichen von cosnAB bzw. Ax, a das entgegengesetzte Vorzeichen des sin bzw. von А у zukommt, so erhalten wir für die Veränderung dip", welche der Richtungswinkel nAJB = ip dadurch erleidet, daß man den Endpunkt!? der Strecke AI> um die kleinen Beträge dx und dy parallel den Koordinatenachsen verschiebt:

(55)

Ax

(53)

dy — —dx , oder

d(n A B) = dcp =

analyt.

d<f" = ^rQ"äy ~^rQ"dx COS ip

s

COS² if

s²

s²

ç'd у —*Ш(Р_ q”dx

&

sin ²<p

Q"dy —

--o"dx

Ay ⁴

Ax

dip" = a dx + b dy .

Die Koeffizienten a ParaHeL&zur +æ Achse;

und h heißt man ^Rich-tungskoeffizienten“.

Verschiebt man statt des Endpunktes E den Anfangspunkt A der Strecke um dieselben Beträge, so ändert sich (wie auch geometrisch

d-у

тъ

A-(Ув-Ул)

Fig. 6.

klar) der Richtungswinkel 90 um denselben Betrag dcp, aber in entgegengesetztem Sinn. Die nach (54) zu berechnenden Werte für die Richtungskoeffizienten a und Ъ werden aber dadurch nicht beeinflußt. Sie bleiben vielmehr für jeden Strahl AB unverändert, gleichgültig, ob man ihn in der Richtung AB, oder in der Richtung В А verwendet. Durch die Vertauschung von Anfangs- und Endpunkt ändert sich nämlich der Richtungswinkel cp um 2 J?, womit dessen cos und sin wie die Koordinatenunterschiede Ax und А у ihr Vorzeichen wechseln.

Wir können nun zur eigentlichen Aufgabe der Punkteinschaltung übergehen, und zwar wollen wir zunächst den reinen Vorwärtseinschnitt betrachten.

Die in jedem der nv zur Neubestimmung benutzten Festpunkte nach dem Neupunk’te beobachteten „äußeren“ oder „Yorwärts“-Richtungen a seien auf Grund von riy von den ersteren nach anderen Festpunkten beobachteten Richtungen oder Winkeln oc und den zugehörigen, aus den Koordinaten ihrer Endpunkte berechneten Richtungs-(Neigungs-) Winkeln 99 orientiert. Die orientierten Richtungswerte ß nach dem Neupunkt erhalten dabei das Gewicht 1, 2 ... riy, wenn zu ihrer Gfewdnnung 1, 2 ... % gemessene Winkel zwischen dem Neustrahl und 1,2 ... nf Feststrahlen verwendet worden sind und wenn der Bestimmung durch einen Winkel las Gfewicht 1 beigelegt wird. Wurde die Beobachtung satzweise ausgeführt, und sind in die Sätze außer dem Neustrahl noch Richtungen oci . . . nach Festpunkten (Feststrahlen) auf genommen worden, so ist das beobachtete Richtungsbüschel ос zum Zweck seiner Orientierung um den Winkel со zu verdrehen, der sich ergibt als arithmetisches Mittel

«f

(56 a)

Damit wird die orientierte Richtung тот Fest- nach dem Neupunkt P:

ß — яр +

nf

(56 b)

und ihr mittlerer Fehler (56 c)

Setzt man die Richtungswinkel cp der Fest strahlen als fehlerfrei voraus, so ist der mittlere Fehler von (cp — oc) gleich demj enigen von oc, somit, da zur Bildung von w

Damit Avird

CO

Werte verwendet wurden, m

ml

(56 d) niß = +j/ ml + —= m

4 »,

und wir erhalten aus der Proportion (15) pß :pa = m\ : mfr das Gewicht der in den Festpunkten satzweise beobachteten „äußeren“ oder „YorAvärts“-Richtungen ß nach dem Neupunkte:

(56 e)

nf+ 1

ml

Uf

nf

nf

Für Pa — 1 Avird

(56)

Vß =

П/+ 1 '

Die Gleichung (56) zeigt, daß die Orientierung der Neustrahlen im Falle der Ausführung von Richtungsbeobachtun gen durch Vermehrung der in die Beobachtung aufgenommenen Feststrahlen über 2 oder 3 hinaus kaum mehr verbessert Avird, letztere also unwirtschaftlich wäre.

Sind statt der nf Richtungen Winkel je zAvischen einem Fest- und dem Neustrahl beobachtet, so kommt der

Orientierung des letzteren das Gewicht Щ- zu, Avenn die Beobachtung einer Richtung als GeAvichtseinheit gilt.

Wir kommen nun zur Aufstellung der Beziehungen zwischen den gesuchten Koordinaten X₉ Y des Neupunktes (oder den Verbesserungszuschlägen dx, dy zu ihren Näherungswerten Nx, Ny) und den beobachteten Richtungen ß der Neustrahlen von der Form lT(x, T) — L = V : oder womöglich in linearer Form: (25 e)

adx + bdy + l = V .

Dabei haben wir dreierlei von jedem der Festpunkte А, В ... ausgehende, gegen den Neupunkt P gerichtete Strahlen zu unterscheiden. Die

aus welchen mittels Orien-

1)    lte Gruppe ist bestimmt durch die Richtungs- oder Winkelbeobachtungen in jedem der benützten Festpunkte A, P, . . tierung nach den mitbeobachteten Feststrahlen die „orientierten Richtungs werte“ ßÄ = nAP, ßB = nBP, . . . der „Neustrahlen“ berechnet werden. Letztere werden sich infolge von Ungenauigkeiten (in der Messung, den Festpunktskoordinaten usw.) nicht, wie es sein sollte, in einem Punkte schneiden. Die nächste Strahlengruppe bilden:

2)    die Verbindungslinien der Festpunkte mit dem vorläufigen Punkt W, deren aus den Koordinaten zu berechnende Richtungs- (Neigungs-) Winkel mit (wiP), (n BP) . .. bezeichnet sein mögen, die letzte:

3)    die Verbindungslinien der Festpunkte mit dem endgültigen, seiner Lage nach zunächst noch unbekannten Neupunkt P, deren zunächst unbekannte Richtungswinkel wir mit [:nAP], [wPP]*)... bezeichnen wollen.

*) [] hat hier und im folgenden jeweils nicht die dem Zeichen bisher allein zugeschriebene Summenbedeutung, sondern auch noch die Aufgabe, endgültige Winkel- oder Richtungswerte als solche zu kennzeichnen! Ob die eine oder andere Bedeutung in Frage kommt, ergibt sieh aus dem Sinne der Ableitung.

Die nähere Betrachtung dieser Strahlen liefert fol-, gende. Gleichungen für die auf tretenden, je in Sekunden ausgedrückten, von der Überführung der oben unter (1) und (2) in die unter (3) genannten Strahlen verursachten kleinen Winkeländerungen (linksläufige Drehung, s. z. B. den Verbesserungsbetrag vc der Richtung CP in Fig. 2 bzw. dcpA des Strahls AN in Fig. 7 bedeutet negativen Wert) :

ßA=vX=lnAP\ — nAP~(pA — ßA,

Veränderung dq> der vorläufigen Richtungswinkel v, welche eintritt, wenn man den vorläufigen Strahlenendpunkt N um die zunächst unbekannten Beträge dx, dy nach P verschiebt

(b)

d<p%= nAP — nAN = [nAP] — (n AP) d(pß= nBP — nBN = [nBP] — (nBP)

Ersetzt man die endgültigen Richtungswinkel [nAP], ... in Gleichungen (b) durch nAPArvÄ, .., aus Gleichungen (a), so erhält man

'd<pA === nAP — (nAP) -|- v'j^ dcpß = nBP — (nBP) Vg

<c),

oder

Vh' == d(pA + (nAP) — nAP Vß — d(pß -f- (nBP) — nBP

Die Änderungen dcp der Richtungswinkel können wir mittels Gleichung (55) in den Koordinatenzuschlägen dx

und dy aus drücken. Bezeichnen wir ferner die Unterschiede (n AP) — n AP . . . zwischen den (Näherungs-) Richtungswinkeln nach dem vorläufigen Neupunkt N und

Parallele z

dy

72^

V

Ш; z?,

,\v

/5г

o)C

\Ы^

Fig. 7.

den gemessenen, orientierten Richtungen ß analog Gleichung (25 d) mit lA,    dann gehen die obigen G-lei-

chungen (c) in die gewünschte Form der Fehlergleichungen (25 e) über:

adx-\-bdy-{-l = v,

deren wir zur Berechnung der Koordinaten Zuschläge dx und dy ebenso viele (nämlich nv) erhalten, als orientierte gemessene Richtungen ß nach dem Neupunkt vorhanden

sind. Die Gewichte p der Absolutglieder l sind gleich denen der orientierten Richtungen ß, welche wir oben abgeleitet haben.

"Wir können daher jetzt die Koeffizienten der Normalgleichungen

[p aa]dx [pa b] dy + [p a l] = 0 [p a fr] dx + [p b b] dy [p b l] = 0

und die zur Rechenprobe und zur Fehlerermittlung weiter erforderlichen Produkten- und Quadratsummen

(26 a)

[pli] , [pas], [pbs] , [pis], [p s s]

ermitteln, alsdann zuerst die Unbekannte dy —

[pbl-1] [рЬЬЛ]

und deren Gewicht Py=\pbb* 1] und darauf, nach erfolgter Umstellung der Koeffizienten der Normalgleichungen, den Zuschlag dx berechnen. Schließlich ergibt Gleichung (45) die gesuchten Koordinaten xP und yP. AUir erhalten weiter

(37 b)

[pvv] — [pll• 2]

und, da zur Punktbestimmung zwei Strahlen nötig, also (nv — 2) davon überschüssig sind

' (57) Ж

-2 )P%

.=4''Г'²¹

[pll-2]

(nv — 2) [p b b <1 ‘

Zum Schluß liefert die Gleichung (55) eine durchgreifende Rechenprobe für die richtige Einführung und Verwendung jedes einzelnen Bestimmungsstrahls. Mittels der gewonnenen Koordinaten Zuschläge erhal ten wir nämlich

aR • dx + bR- dy =*й<р£ = [пВР\ — (n-RF)'-==<pR — rR.

18. Beispiel: Auf den trigonometrischen Festpunkten -Halde, Egart, Lauch und Tal wiesen wurden folgende

Richtungen ос nach Festpunkten und nach dem Neu« punkt 9, Haide in je drei vollen Sätzen beobachtet:

107° 26'74" 182° 75'75" 289°18'72" 169°51'71"

= + 34059,05 У-+    419,27

in 1) Haldej* in 2) Egart[

in 3) Lauch ^

,v m i .    /# = + 33559,19

in 4) Talw>esenÇ    ^

Г9) Haide nach < 5) Berg (6) Gralgen

+ ³⁴³|H!)nach (?) Stumpen 289° 14' 92"

2/=+ Ът) |9)Haide 114„₉₄,₃₃„

£= + 34465,54 y = + 1649,18

8) Schloßberg 255° 11' 82" )nach]5) Berg    189° 19'78"

19) Haide    253° 69' 17"

176° 16' 42" 289° 68' 26" 26° 95'76"

[5) Berg

) nach < 6) Galgen 19) Haide

Gegeben sind ferner die Koordinaten von

5)    Berg

6)    Galgen

7)    Stumpen x = +34157,42 у = —1359,25

8)    Schloßberg £ = +31425,32 у = —1928,84

Gesucht sind die Koordinaten von Haide und ihre mittleren Fehler.

£ = +2.9699,93 у — +2462,28 x = +33014,51 у = —2559,92

Lösung: Zum Zweck der Orientierung der in den Festpunkten nach dem Neupunkt beobachteten Richtungen ot berechnen wir aus den Koordinaten der ersteren zunächst die Richtungswinkel cp und die zu-gehörigen Streckenlängen s der beobachteten Feststrahlen, wobei wir erhalten für:

»-Halde-Berg n-Halde-Galgen »-Egart-Berg n-Egart-Stumpen

n-Lauch-Schloßberg 255°16'18". „ n-Lauch-Berg

n-Talwiesen-Berg 176° 79'36". „

»-Talwiesen-Galgen 290° 30'68". „

172°09'86". Die Strahlenlängen s ergeben sich dabei zu: 4814m 278053'20". „

170015'81". „

289° 78'61". „

„ 3157,,

189024'17". „

11

11

11

tt

*t

„ 5259,, » 1465,, ,, 4695,, „ 4835,,

„ 4131,, „ 3591,,

Aus : ß = со + а =

+ ос erhalten wir jetzt die orientierten

nf

Mittel

Richtungswerte für die Neustrahlen:

^Halde

50°68'06" - 71094'47"

+ 1070 26'74"= 960 61'04",

/hsgart

590 94'42" - 58066'68"

+ 1140 94'33" = Ибо 58'23",

Lauch

44040'35" - 44ОЗГ60"

+ 2530 69' 17" = 2530 73'55",

ß Talwiesen —

67010'04" - 65084'68"

+ 260 95'76"= 270 58' 44".

Zwei der orientierten Richtungen ß (z. B. /?Egart und ^Taiwiesen) samt den Koordinaten ihrer Ausgangspunkte benutzend, erhalten wir durch Berechnung im Dreieck nun Näherungskoordinaten für den Neupunkt 9, Haide, nämlich xn = + 34102,97, ^=+1241,23, und äus ihnen die Richtungswinkel v der Verbindungsstrecken der Festpunkte mit dem vorläufigen Punkt N und die Richtungskoeffizienten « und b für die Neustrahlen:

= w-Halde-Haide-V 13 n-Egart-HaideV

= w-Lauch-HaideV

rHalde rEgart *

’'Lauch

’'Talwiese = я-Talwiese-Haide^ = 27058'44", « = - 446,2, b = + 964,5

Wir haben damit die Möglichkeit des Anschriebs der Koeffizienten und Absolutglieder der Fehlergleichungen gewonnen. Im Interesse vereinfachter Rechnung wollen wir diese Werte jedoch möglichst einander gleich groß haben. Wir erreichen dies, wenn wir statt der Unbekannten dx und dy neue Unbekannte 10 dx und 10 dу (d. h. beide Zuschläge in dm ausgedrückt) überdies als Winkeleinheit 10" (Dekasek.) wählen, womit wir erhalten:

. Strahl

V - ß = l Summe Dekasek.

Halde .. Egart ... Lauch... Talwiese

- 7,72 -5,19 + 8,72 -4,46

-8,65

+ 0,41

-    1,30

-    7,75 + 9,61

+ 10,00

JO ©GO Ci GO

Die Gewichte у der Absolutglieder ergeben    sich hier aus

Gleichung (56) durchweg gleich, und zu ²/s, weil die Beobachtung auf jedem Festpunkt neben dem Neustrahl 2 Feststrahlen erfaßte, können daher dem aus 2 Feststrahlen orientierten Bichtungswert ß einfacher das Gewicht 1 zuschreiben, womit die Ausgleichung auf diejenige von Beobachtungen mit gleicher Genauigkeit zurückgeführt ist.

Wir

259,53

42,12

111,72

26,83

aa

(а + Ьу (a + iy ЪЬ + ¹) + ¹) +

(Ъ + iy + ¹)

182,47    123,33 655,36    154,85    168,43    169,60    440,20

[ab] =

123,33 - 182,47 - 154,85

= - 107,00¹),

= + 151,65¹),

655,36 - 182,47 - 169,60

[Ы] =

168,43 - 154,85 - 169,60

= - 78,01 ¹).

Koeffizienten der Normalgleichungen und Reduktion.

+227,12 (+133,18)

- 30,16 (-188,76)

+ 243,24 (-282,70)

+ 440,20 soll +440,20

+182,47    -107,00    +151,65

(- 62,75)    (+ 88,93)

+ 154,85    - 78,01

(-126,04)

+ 169,60

1. Reduktionsstufe. +92,10    +10,92

(- 1,30)

+43,56

+ 103,02 soll +103,02

¹

Die Produkte ab, al und Ы könnten wir, soweit die mittels Rechenstabs erreichbare Genauigkeit nicht genügt, Produktentafeln entnehmen oder mittels einer Rechenmaschine ermitteln. Wir wollen hier Quadrat tafeln verwenden unter Beachtung, daß

(a + &)² = «a + 2 ab + Ы, also ab =

[a6] m £{[(a + ô)2] _ [aa] - [bb]} usw.

(- 12,21).

+ 54,48    „    + 54,48

(-115,23)

+ 157,50    „    +157,50

2. Reduktionsstufe.

+ 42,26    !    +42,27

I +42,27

{a + by -a a - 5¹

und

dy = -    = - 0,12 dm = - °,°1 m ,

y = + 1241,28 - 0,01 = + 1241,22,

Py = 92,1,

[v V] = 42,27,

rriß = mittlerer Fehler einer in drei Sätzen beobachteten und nach zwei Feststrahlen orientierten Richtung

= ± I= ± У21Д35 = ± 4,6 Dekasek. = ±46" ,

= ± 0,48 dm = ± 0,05 m also y = +1241,22 ± 0,06 .

My = ±

42,27

2 + 92,1

Durch Umstellung erhalten wir die Normalgleichungen zur Bestimmung der bisher linksstehenden Unbekannten:

- 80,16 (- 20,84)

+227,12 (- 15,19)

+248,24 (-    5,87)

+440,20 soll +440,20

+154,85    -107.00    - 78,01

(- 73,94)    (- 53,90)

+182,47    +151,65

(- 39,30) + 169,60

1. Reduktionsstufe. +108,53    + 97,75

(- 88,04)

+130,30

+206,28 soll +206,28 (-185,79)

+228,05    „ +228,05

(-392,08)

+434,33    „    +434,33

2. Reduktionsstufe.

+42,26 I +42,26 I +42,25

dx=-

97,75

108,53

= - 0,90 dm = - 0,09 m

X = + 34102,97 - 0,09 = + 34102,88, Px = 108,53,

* Mx = ±

42,26

2 -108,53

= ±0,44 dm = ±0,04,

sc = +34102,88 ± 0,04.

Zur Probe für die richtige Berechnung der Werte v und l erhalten wir jetzt unter Benutzung der ausgeglichenen Neupunkskoordinaten als

endgültige Richtungswinkel der Neustrahlen je vom Neupunkt ausgehend: nach :    1) Halde

2) Egart 3) Lauch 4) Talwiesen

<p — 296° 60'85" 315° 58'78" 53° 73' 80" 227° 58'74".

Ihnen stellen wir gegenüber die früher aus Näherungskoordinaten ermittelten Werte:

v ±2 R = 296° 60' 16" 315° 58'23" 53°74'51" 227°58'44",

woraus: Einfluß der Verschiebung des Näherungspunktes N nach P um dx und dy auf die Richtungswinkel:

+ 69"

dcp" = rp - {v ± 2 R) =

Dieselben Werte muß die Ausrechnung nach Gleichung (55) liefern: + 4,65 + 0,16

+ 50"

71"

+ 30".

adx

bdy

Il II

+6,93

-0,05

-7,85 + 0,93

+ 4,02 Dekasek. - 1Д6

d<p= +6,9    +4,8*)    -6,9*)    +2,9*) Dekasek.

Der Vergleich der endgültigen Richtungswinkel cp mit den orientierten Richtungen ß liefert (unter Voraussetzung fehlerfreier Festpunktskoordinaten) die Größe v der Beobachtungsfehler und gleichzeitig eine durchgreifende Probe der Reduktionsarbeit:

ß±2R =296°61'04" 315°58'23" 53°73'55" 227°58'44"

v = cp - (ß±2R) = v* =

-1,9

+ 3,0 Dekasek.

+ 2,5

+ 5,0 25,0

und [vv] = 43,86 (gegen 42,26, vgl. das Schlußglied der Reduktion der Normalgleichungen).

Wir gehen jetzt über zur rechnerischen Behandlung des Rückwärtseinschnittes (Beobachtung nur im Neupunkt).

Für die Lösung ist wieder zu unterscheiden zwischen A) Winkel- und B) Richtungsbeobachtung.

3,61

6,25

9,0

A) Lösung bei Winkelbeobachtung.

Wie bisher setzen wir wieder voraus, daß uns die Koordinaten xNl yN eines vorläufigen Punktes N möglichst nahe dem gesuchten Punkt P bekannt und daß nur die

*) Die kleinen Abweichungen entspringen Abrundungseinflüssen Eine Koordinatenungenauigkeit um Va cm erzeugt z. B. auf 1000 m

= 3".

Strahlenlänge einen Richtungswinkelfehler von im Max. :    Q-

kleinen Zuschläge dx und dy gesucht sind, durch deren Addition wir nach Gleichung (45) die Koordinaten xP und yP des Neupunktes erhalten. Wären letztere schon gefunden, so könnten wir die endgültigen Richtungswinkel

Parallele zur +æAchs&

Tb

o-O

V.

ТЛУ А

Д¹*"

Fig. 8.

[п PAJ, \п PB]... der Verbindungslinien vom Neupunkt nach den benutzten Festpunkten ableiten und aus ihnen durch Subtraktion die endgültigen Werte [aj = [4 PB] — [n PB] — [n PA]

0₂] = [BPC] = [n PC] — [n PB]

der gemessenen Winkel. Dann könnten wir auch die den Messungsergebnissen ocx — AP В, oc₂ =BPC usw.

zuzufügenden Verbesserungszuschläge vl7 v₂, ... ermitteln :

rvx «= [<xj — a₁ = [APB] — a₁ == [n PI?] — [n PA] — ocx (a) < ^2 = [«*] — «2 = [PPCJ — *₂ = [» PC] — О PP] — <x₂

Nun können wir aus den Koordinaten des Näherungspunktes N die vorläufigen Richtungswinkel (nPA), (nPB). . .vom Neupunkt nach den Festpunkten (Scheitel in N), und aus ihnen durch Subtraktion Näherungswerte (a^), (oc₂) • . • für die beobachteten Winkel ableiten:

(«t) ее A NP = (iPF) ее (w PP) — (л PA)

(b)

(«a) ЕЕ PNC = (PPC) ее (л PC) — (n PP)

Wir können weiter die Veränderungen    dcpB...₇

welche die vorläufigen Richtungswinkel (n PA), (n PB)... dadurch erleiden, daß man den vorläufigen Punkt N um die kleinen, noch unbekannten Koordinaten Zuschläge dx und dy nach P verschiebt, mittels Gleichung (55) in ebendiesen Verschiebungen dx und dy ausdrücken, wobei wir allerdings beachten müssen, daß wir jetzt nicht den Endpunkt, sondern den Anfangspunkt der Strecke verschieben, wodurch dop das entgegengesetzte Vorzeichen erhält. Setzen wir daher (s. S. 87 u. 88)

sing) „

а =-— о

(54 а)

s ⁴

Ъ = -Ъ =

COS (p

so wird

(c)

d<pA = [n PA] — (n PA) == о л dx Ą- Ьл dy d<pB = \n PB] — (n PB) = clb dx + bB dy

oder

’ [w PA] = (n PA) -f- aA dx + bA dy (c) . [nPB] = (n PB) -f- aB dx + bB dy

Setzen wir die gewonnenen Werte für [nPA] ... in Gleichung (a) ein, so erhalten wir die Fehlergleichungen :

r v₁ = (nPB)-\-aBdx-{-bBdy—(nPA) — <xAdx—bAdy—ax d) < v₂ = (nPC)-{-acdx-\-bcdy—(nPB) — aBdx—bBdy—oc

Wenn wir endlich, unter Benutzung der Gleichungen (b) wie bisher setzen : l = Näherungswert — gemessener Wert des beobachteten Winkels:

(e)

(n PB) — (nPÄ) — at — OJ — a₁ = l1 (nPC) — (nPB) — «₂ = (<*₂) — «₂ = l₂

und ferner

(e)

**des rechten Schenkels **des linken Schenkels des linken Schenkels

Il II

des rechten Schenkels

so erscheinen die Fehlergleichungen (d) in der gewöhnlichen Form:

v₁ = % dx + dy + \

(25 e)

Normalform

V₂ = % dx + $₂ dy + l₂ > der Fehler-

♦ gleichungen.

Bare Zahl nr, ist gleich derjenigen der im Neupunkt beobachteten Winkel ос. Letztere, folglich auch die Absolutglieder Z, sind gleichgewichtig. Wir erhalten daher

die gesuchten Koordinatenzuschläge dx und dy aus den zwei Normalgleichungen :

(26 a)

[Ш] doc + [m] dy+[Wl] = 0 [2Ш] dx + [«S8] dy + [S8 T\ = ».

Zum Zweck von Rechenproben und zur Fehlerberechnung führen wir analog Gleichungen (40) bis (44) in die Reduktion weiter ein die Produkt- und Quadratsummen:

Г U],    [И©], [85®], [i@], [06]

und erhalten

die rechts stehende Unbekannte dy = —

und ihr Gewicht Pdy =    = [35 33 • 1] ,

[зззз • i]

ferner (37 b)

und (weil zwei der nr in P gemessenen Winkel oc zur Bestimmung von P nötig, also (nr — 2) überschüssig sind)

тг = m

(58)

.=±\/—

f nr

My

-2) [»».Ц '

Die zweite Unbekannte dx, ihr Gewicht und mitt-lerer Fehler ergibt sich nach erfolgter Umstellung der Normalgleichungen auf dieselbe Weise wie dy.

Eine durchgreifende Rechenprobe erhalten wir schließlich wie beim 18ten Zahlenbeispiel (s. Schluß der zugehörigen Erklärungen) aus den Gleichungen (25 c), (e) und (a) durch Bildung der Unterschiede zwischen den

ausgeglichenen und den Näherungswerten der gemessenen Winkel * :

%ldx+%₁dy=vl —^ = {[a,] —а,} —{Ю—a,} = [<*J-Ю

19. Beispiel: Zum Zweck der Bestimmung der Koordinaten des trigonometrischen Neupunktes 4 und ihrer mittleren Fehler wurden auf ihm die Winkel zwischen folgenden Strahlenpaaren nach trigonometrischen Festpunkten gemessen:

von Heinrizau •„ Himmelreich „ Zazenhausen „ Freiberg I „ Postweg

nach Himmelreich — Zazenhausen a₂ =

Freiberg I = Postweg Heinrizau

Н_1    t-Ł

СП Ю to О ЬО ^    СЛ ^ Üi

î:    ^    V    V    5:

О О со о

t> Ч¹ ОО to

V    V    V    V    V

О-    СО    О    СО    т—i

CD    H    Н    СО    ^

о    о    о    о    о

Die Koordinaten der angezielten Festpunkte sind:

Heinrizau 35892,09    9855,10

Himmelreich 36414,27 10775,70 Zazenhausen 35791,80 10805,81 Freiberg I 35406,07 11272,56 Postweg 35549,58 10089,90

Lösung: Auf irgendwelche Weise seien die Näherungskoordinaten des Neupunktes gefunden:

4Л = + 85799,18    + 10872,81.

Sie benutzend rechnen wir die vorläufigen Richtungswinkel von nach

Heinrizau Himmelreich Zazenhausen Freiberg I Postweg (<p) 311Ö 31' 53" 36° 95'30" 101° 08'37" 126« 21' 04" 253° 92'12"

- 1266 + 1119,

u.d.Richtungs- / a = - 1192 koeffizienten \ ь =

+ 474,7 - 723,8

+ 1468 + 25,0

+ 593,9 + 259,4

woraus wir die Absolutglieder l sowie die Richtungskoeffizienten 31 und 58 der Fehlergleichungen wie folgt berechnen:

Winkel

Nr.

i:

*\8S

bz

S3

125 63 77 125 67 70

+ 474,7 - 1192

-    723,8

-    214,2

3 93

+ 1667

- 510

64 13 07 64 13 70 - 63

+ 1468 + 474,7

+ 25,0 - 723,8

+ 993

+ 749

25 12 67 25 10 46

+ 598,9 + 1468

+ 259,4 + '25

+ 2 21

874

+ 234

127 7108 127 66 84

+ 4 24

- 1266 + 593,9 - 1860

+ 1119 + 259,4

+ 860

57 39 41 57 41 30

-    1192

-    1266

- 214,2 + 1119

1 89

+    74

- 1333

6 45

+ 6 45

- 2734 + 2734

-1843 + 1843

zur Probe.

Zusammenstellung.

ÿ Gleichung

Absolutglieder St und S3' und Koeffizienten l der Fehlergleichungen (Winkel in Sekunden, Strecken in m ausgedrückt)

3t

S3

Zum Zwecke der Rechenvereinfachung (ungefähr gleichgroße Werte für 31, 58 und l) wählen wir als Winkeleinheit die Minute und drücken dx und dy in dm aus, wodurch S3 I l

3t

1    +1667

510    - 393    +1,67    - 0,51

- 3,93

-2,77

2    + 993    + 749

63    +0,99    +0,75

- 0,63

+ 1,11

874    + 234    + 221    -0,87    + 0,23

+ 2,21

+ 1,57

4    - 1860    + 860    + 424 ‘ I -1,86    + 0,86

+ 4,24

+ 3,24

+    74    - 1333    - 189    + 0,07    - 1,33

- 1,89

- 3,15

Bildung der Koeffizienten und Absolutglieder der Normalgleichungen.

311

Kl

ll

(21+ ©)²; (21+Z)²j(© + 0²

2,79

-0,85

- 6,57

0,26

+2,01

15,41

7,67

1,35

5,11

19,71

0,98

+ 0,74

- 0,62

0,56 -0,47

0,40

1,28

3,03

0,13

0,01

0,76

-0,20

- 1,92

0,05+0,51

4,88

2,46

0,41

1,80

5,95

3,46

-1,61

- 7,89

0,74

+ 3,64

17,98

10,50

1,00

5,66

26,01

0,00

-0,09

- 0,13

1,77

+ 2,52

3,57

9,92

1,59

3,31

10,37

+ 7,99

-2,01

-17,13

+3,38

+ 8,21

+42,27

+ 31,78

7,38

16,01

-7,99

-8,38

- 7,99 -42,27

Produktensumme = V2 von -3,99 -34,25

62,05 - 3,38 -42,27

+16,40

Koeffizienten der Normalgleichungen und Reduktion derselben zur Bestimmung von d y.

-17,13 (- 4,30)

+ 8,20

(-36,67)

+ 42,27

+ 7,99

-2,00

(-0,50)

+3,38

-11,14 (- 2,80) + 9,58 (-23,84) +38,34

1. Reduktionsstufe. + 2,88    + 3,90

(-5,35)

+5,60

(-15,58)

+31,78 soll 31,78

+ 6,78    soll    6,78

(- 9,26)

+ 9,50 ( -15,98)

+ 16,20 „    16,21

9,48

2. Reduktionsstufe. + 0,25

+ 0,24

+ 0,22 soll 0,21 (nach 2. Reduktion)

mittlerer Kehler der gemessenen Winkel

y = + 10372,31 - 0,13 = +10 372,18 ± 0,02,

Py - 2,88 ,

A* = ±

/¥-

±0,27',

Mv=±

0,22

3-2,88

= ±0,17 dm.

Koeffizienten der Normalgleichungen nach erfolgter Umstellung und Reduktion zur Bestimmung von dz.

+3,88

-2,00 (-1,20) + 7,99

+ 8,20 (- 4,97) -17,13 ( -19,96) +42,-7

+ 9,58 (+ 5,68) -11,14 (-23,28) +33,34

(-27,18)    •

31,78

1. Reduktionsstufe. + 6,79    -12,25

(-22,10)

•    +22,31

- 5,46 soll - 5,48 (- 9,86)

+ 10,06 (- 4,39)

+ 4,60

+ 10,07

+ 4,58

2. Reduktionsstufe.

+ 0,20

+ 0,21 soll 0,24 (nach 1. Reduktion)

+ 0,21

dx = -

- 12,25

= + 1,81 dm,

x = + 35799,18 + 0,18 = + 35 799,36 ± 0,01, Px = 6,79

6,79

Mx=±

1-

0,22

3 • 6,79

= ± 0,10 dm.

Schlußprobe:

Heinrizau Himmelreich Zazenhausen Freiberg I Postweg Heinrizau

[nPF] 311° 29' 67" 36« 97'10" Ю1» 10'98" 126« 21'77" 253» 88'39" 311° 29' 67" 125° 67'43" 640 13'88"    25» 10'79" 127° 66'62"    57« 41'28"

125° 63'77" 640 13'07"    25« 12'67" 127° 71' 08"    57° 39'41"

+ 0' 81"

+ 1' 78"

- 0' 98"

[*]

(«)

dix

51 dx 53 dy

+ 3' 66" + 3' 00" + 0' 69"

- 1' 88"

- 1' 57"

- 0' 31"

51 d z + 93 d y

+ 3' 69"    + 0' 80"

- 1' 88"

-    4' 46"

-    3' 35"

-    1' 16" - 4' 51"

+ 1' 87" + 0' 13" + 1' 80"

+ 1' 93"

В) Lösung bei Richtungsbeobachtung.

Das soeben vorgeführte Verfahren ließe sich ohne weiteres auch auf Richtungsbeobachtungen an wenden, wenn man die als gemessen vorausgesetzten Winkel

durch. Subtraktion j e z weier Richtungs werte ge win nen wollte. Die Zahl der zu verwendenden Winkel und Fehlergleichungen wäre aber dann beim Vorhandensein von nr beobachteten und gleichmäßig zu berücksichtigen-

den Richtungen ==    ^ )

, also sehr groß. Wir suchen

daher f ü r die Ausgleichung von Richtungs beobachtun gen ein einfacheres Verfahren. Wie bisher mögen die Koordinaten xN, yN eines in möglichster Nähe des gesuchten Neupunktes P gelegenen vorläufigen Punktes N bereits berechnet, also nur noch die ihnen zuzufügenden Zuschläge dx und dy [s. Gleichung (45)] gesucht sein.

Außer diesen beiden Unbekannten tritt aber jetzt noch eine dritte auf, nämlich derVerdrehungswinkelZ, um den das beobachtete Richtungsbüschel zu verdrehen, d. h. der j edem beobachteten Richtungs wert zugeschlagen werden muß, um ihn — ohne Änderung der zwischen den einzelnen Neuslrahlen beobachteten Richtungsunterschiede — möglichst zur Übereinstimmung zu bringen mit dem endgültigen Richtungswinkelwert des zugehörigen Neustrahls. Diese drei Unbekannten stellten gewissermaßen den Effekt der Schiebungen und Drehungen eines auf Pauspapier gezeichneten (dem gemessenen entsprechenden) Richtungsbüschels dar, welche das letztere erleiden muß, wenn man es auf einen Plan, der die Lage der Festpunkte enthält, so legen will, daß jedes Individnum des Büschels möglichst scharf durch den entsprechenden Festpunkt geht. Wären die Richtungsbeobachtungen fehlerfrei ausgeführt, die Koordinaten der Festpunkte fehlerfrei gegeben und Projektionsverzerrungen nicht vorhanden, so müßte schließlich eine Lage des Büschels gefunden werden, bei der sämtliche Strahlen genau durch die entsprechenden Festpunkte gehen : die Unterschiede zwischen den endgültigen

Richtungswinkel [nPÄ] . . . und den endgültig orientierten Richtungswerten [ocA]. . . wären gleich 0. Trifft dies nicht zu, so stellt der Unterschied beider direkt die am endgültig orientierten Richtungswert [ocA]. . . anzubringende Verbesserung'vA dar. Den unbekannten Verdrehungswinkel Z zerlegen wir, wie gewohnt, in einen Näherungswert со und den unbekannten Zuschlag z, womit wir erhalten:

(59)

Z — со -f- %

und womit die im Neupunkt P endgültig orientierten gemessenen Richtungen werden:

[aA] = (xA + со + %

(60)

[&ß] —    + CO -f- z.

Den Näherungsbetrag со gewinnen wir, wenn wir das im Neupunkt gemessene Strahlenbüschel mit dem Scheitel statt auf den endgültigen,aber unbekannten Punkt P vorerst auf den vorläufigen Punkt N legen und dann so verdrehen, daß die Summe der Abweichungen V der vorläufig orientierten Richtungswerte ocA-P со, ocB + со, .. . von den zugehörigen vorläufigen Richtungswinkeln (nPA)^vÄJ (n PB) = vB. . . gleich 0 wird, d. h. daß:

(60a) («Pi) — (otA -f со) -f (nPB) — (aB -j- со) -f- ...

aA

OiB

Vb

= VA

winkel :

In diesem Falle ist also der vorläufige Verdrehungs

€0 —

(n PA) cxA -j- (n P B) — flg -)-••• -f- (n PP) — ocR

nr

oder

(61) tо — 2 der vorl- Rieht.-Winkel —■ Uder geniess. Rieht,

nr

Die durch Addition von со zu den gemessenen Richtungswerten oc vorläufig orientierten, aber in ihrer gegenseitigen Lage dadurch nicht veränderten Richtungswerte öc + cu mögen heißen oc°. Wir haben für jeden Bestimmungsstrahl jetzt vier Werte zu unterscheiden, nämlich

1)    die im Punkt N vorläufig orientierte, im Neupunkt gemessene Richtung <%°,

2)    den Richtungswinkel (wPi), (?iPB). . . der Verbin-dungsstrecke vom vorläufigen Punkt N zum Festpunkt A, B. . .,

3)    die im Neupunkt P endgültig orientierte gemessene Richtung [oc] — oc-\-coJrz = oc°.-\~z und

4)    den Richtungswinkel [wPi], [nPB] . . . der Verbindungsstücke vom endgültigen Neupunkt P zum Festpunkt А, В. ..

Die Werte (2) und (4) unterscheiden sich voneinander um die Änderung d cp" am Richtungswinkel (n PA). . welchen eine Verschiebung des Anfangspunktes Ń der Strecke NA,. . . um die Koordinaten zu schlage d x und d у, d. h. nach P hervorruft. Nach Gleichung (c) ist also [n PA] = (n PA) + aA d x -f- bA dy [n PB] = (nPB) d x -f- bB d у

Bezeichnen wir endlich, wie gewohnt und schon oben angegeben, den Unterschied : vorläufiger Wert — Beobachtungswert,

hier {(n PA = v) — aj} = v — а

= CO - CO

Mittel

— CO

gemessen Mittel

mit V und die am endgültig orientierten Beobachtungs-wert [oc] noch anzubringende Verbesserung mit«;, so erhalten wir die Fehlergleichungen:

vA = [n PA] — [aA] = (n PA) -f aAdx + bAdy — я o — z = aAdx+bAdy -z+l'A

vB = [n PB] — [a£] = (n PB) -f aB dx -\-bB dy —    — z

= aB tZ ос + bB d у — z + l'B

Ihre Zahl ist gleich derjenigen der beobachteten inneren Bichtungen, also gleich nr. Setzen wir, um den Koeffizienten der dritten Unbekannten positiv zu erhalten, dœ =—%, so daß der gesuchte Verdrehungswinkel

(59)

Z=ü) + z = (o — da), so gehen die Fehlergleichungen über in:

vA = dco + aAdx + bAdy + ГА (25e) vB = d œ + йв d X + Ьв d y + Ib

Die inneren Richtungen oc, folglich auch die Absolutglieder V sind in der Regel gleichwertig. Man erhält dann untei Beachtung, daß der Koeffizient der ersten Unbekannten dœ (sonst d) jetzt 1 heißt, für die Bestimmung der drei Unbekannten dco, dx, dy an Stelle der Form (26) (s. S. 35) folgende Form der drei Normalgleichungen:

nr-dœ + [ü\dx +[b]dy + [Г] =0 (26a) < [a\dœ + [ad\dx + [ab]dy + [аГ\ = 0 [b] dœ + [ab] dx + \bb]dy + [Ы'\ = 0.

Der normale Weg der Auflösung würde nun eine zweimalige Reduktion der Normalgleichungen erfordern.

Der Umstand aber, daß alle Koeffizienten der ersten Unbekannten dco in den Fehlergleichungen (25 e) einander gleich sind, ermöglicht eine Vereinfachung durch vorausgehende Eliminierung dieser ersten und Zurück* führung der Aufgabe auf den Fall zweier Unbekannter.

Addiert man nämlich sämtliche Fehlergleichungen und beachtet, daß nach Gleichung (33) allgemein \av\ = 0, also bei aA = aB = . . . aR = 1, hier [v] = 0, so erhält man

[v] = nr . dco + [a] dx + [b] dy + [V] = 0, woraus die Durchschnittsgleichung

— dx 4

+ !П_о.

nr    nr

»]

nr

(62) hl = doj 4

v Ur

Subtrahiert man diese Durchschnittsgleichung von jeder Fehlergleichung, so erhält man ein System reduzierter Fehlergleichungen mit nur zwei Unbekannten.

Setzt man noch die dabei entstehenden Differenzen, nämlich:

usw., so gehen die Fehlergleichungen (25e) über in

Va = [aÄ — ~) dx + (бл ~Щ(1у+ U - hl\

\ »r /    \ nr)    \ nj

B=$\Adx + 58 Ady +

<⁶³> '

nr

Das Absolutglied 2 der Gleichungen (63) unterscheidet sich dabei in keiner Weise von dem Absolutglied V der Gleichungen (25 e), weil infolge der Orientierung des gemessenen inneren ßichtungsbüschels oc nach den vorläufigen Richtungswinkeln v wird: [V] = 0, also auch

nr

Aus den Fehlergleichungen (63) erhält man jetzt zwei Normalgleichungen für die Berechnung der bekannten Koordinatenzuschläge, nämlich

un-

(64)

[2Ш] dx + dy + [9(2] = 0 [ШЩ dx+ [%%]dy+ [532] =0

und durch Beduktion

dy= —

[252-1]

(65)

[58S-1]

( Pdv = Py= [SB SB - 1J

und, da die Zahl der nötigen Bichtungen = 3, die der überschüssigen also = nr — 3 ist:

(66)

*)/ (nr

[22-2]

— dx —1— — dy —

7lr    flr    ilr

0 = —dt» = -1—L dx + 1^

(67)

n,.

(59)

Wollen wir schließlich noch den Verdrehungszuschlag X = —dco berechnen, so liefert Gleichung (62)

₇ M

z = —dco =

und da [Г] = 0 :

s:Ay>

womit später im Abriß noch die Probe sich ergibt, daß der bei der Bichtungsorientierung im endgültigen Neupunkt P auf tretende Verdrehungswinkel sein muß

Z = со z = со — dœ .

Umstellung der Koeffizienten der Normalgleichungen liefert auf gleiche Weise die zweite Unbekannte dx, ihr Gewicht Px und ihren mittleren Fehler Mx.

Rechenproben. Werden mittels der ausgeglichenen Neupunkts-Koordinaten X und Y zum Schluß noch die end-

gültigen Eichtlingswinkel [nPA] = (pA) [nPB] = cpB... der Neustrahlen berechnet und mit deren vorläufigen Werten (den Kichtungswinkeln nNA^vÄ] nNB=vB.. der Yerbindungsstrecken des Näherungspunktes N mit den Festpunkten) verglichen, so muß sein: f dcp'A ~ (pA — vÄ= aA dx + bA dy < d(pß = <pB — vB — aB dx + Ъв dy

(s. S. 87 u. 100).

Endlich erhalten wir für den ausgeglichenen Verdrehungswinkel Z des im Neupunkt beobachteten Rich-timgsbüschels ot 2 Werte, welche miteinander übereinstimmen müssen, nämlich:

— [«gemessen! = o:> + 2 = <a + dx + ^ dy

20. Beispiel: Der Neupunkt „Talwiese“ wurde durch Beobachtung vollständiger Richtungssätze nach trigonometrischen Festpunkten rückwärts eingeschnitten. Gesucht sind seine Koordinaten, ihre mittleren Fehler und der mittlere Fehler einer Richtung nach der Ausgleichung.

In „Talwiese“ wurden beobachtet У die Richtungen

Gegeben bzw. gemessen:

1)    Berg (Kircht. Helmstange) —17621,09 +2576,85    0°Ö0/00//

—    19851,27 —2435,86    13°50'62"

—    19408,96 +1207,01    13 ° 88 ' 40"

2)    Galgen (Д mitten)

8) Koppental (Д nördl.)

4)    Hohe Anwand (Д östl.) . —28234,48 —1841,31 102° 28'79"

— 17903,76 —8587,76 252° 70/40//

5)    Haide (Д westl.)

[] = 38' 21"

Lösung: Irgendwie seien die vorläufigen Koordinaten von Talwiese : źjt = - 20109,86 und уя = - 4 409,97

ermittelt worden.

oo

Aus ihnen und den Koordinaten der Festpunkte F ergeben sich für die vorläufigen Richtungswinkel v = n NF, die Streckenlängen 8 sowie die Richtungskoeffizienten a und 6 der Neustrahlen (unter Annahme des dm als Maßeinheit für d x und d y) folgende Werte :

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. II.

Koeffizienten der Normalgleichungen und Reduktion zur Bestimmung der Unbekannten dy.

+ 1000,0    - 17,2

(-    0,3)

•    +106,3

+ 556,7 (+ 9,6) +106,5 (+237,2) -211,7

-426,1 (~    7,3)

+ 17,4 (-181,6)

+ 197,0

(-309,9)

+ 151,5 soll 451,5

+ 116,1 (- ПД)

+ 25,5

78° 21' 91" 91° 72' 39" 920 io' 25" 1800 50' 70" 330« 92' 35"

logs

3.87021

3.29905

3.75285

3.98051

3.67433

7417

1991

5661

8521

4724

+ 80,9 +317,1 + 111,6 + 22,5 -119,2

-28,8

-41,5

-13,9

+71,2

-62,9

[6]

Wir erhalten daraus:

+ 82,6 — = -15,2

(v - а) - со

V - ос = со

Mittel

= r=ß

nr

21 Ъ -

»r

93

780 21' 91" 78° 21' 77" 780 21' 85" 780 21' 91" 780 21' 95"

3"

3"

7"

11"

3"

231,5

29,0

1,7

1,3

60,1    86,4

201,8

13,6

26,3

47,7

to = 78° 21' 88"

Mittel

13"

14"

1"*)

und als Koeffizienten der Normalgleichungen

263,5    263,6    87,7 87,6

~ ОД*) 0,1*7“

[91 91] = + 1000,0 [21 £] = - 426,1 [93 ß] = +    17,4

[©©] = + 451,5

[2193] = - 17,2 [93 23] = + 106,3 [ß ß] = = 197,0

1. Reduktionsstufe: + 106,0 +10,1 (- 1,0)

+ 15,4

(-127,2)

_ •    •    +141,6

*) Die kleinen Abweichungen vom Sollwert 0 entspringen Abrurdungsfehlern.

2. Reduktionsstuf e : + 14,4

+ 14,4

+ 14,4

dy =-Py = 106,

10,1

106,0

= - 0,1 dm = - 0,01,

=±|/¥=

±2,7",

My = ± -SŁ = ±0,26 dm = ± 0,03 , y = - 4409,98 ±0,03.

У106

Nach erfolgter Umstellung zum Zwecke der Berechnung der Unbekannten d x

Koeffizienten der Normalgleichungen und Reduktion: + 106,3

17,2

(- 2,8)

+ 1000,0

+ 17,4 (+ 2,8) - 426,1 (- 2,8) + 197,0

+ 106,5 (+ 17,2) + 556,7 (- 17,4) -211,7

(-106,7) + 451,5

+ 573,9 (+243,6) -229,1

1. Reduktionsstufe: + 997,2    -423,8

(-179,7)

+ 191,2

(-330,3)

+344,8

2. Reduktionsstufe:

+ 14,5

+ 14,5

dx - -

- 423,3

Px — 997',

997,2

= ■+ 0,4 dm = + 0,04

+ 14.5

Mx = ±

-2~⁴q1₇ = ± 0,09 dm = ±0,01, x = — 20109,32 ± 0,01,

dM = + (8,3.0,4) + ( - 1,5). ( - 0,1) =* + 3,32 + 0,15 = +3,5"

Z = "Mittel* dco = 78° 21' 88" + 3₆" = 780 ₂V 91₅".

(Dieser Wert muß — eine Rechenpröbe — mit dem im Abriß zu bildenden Verdrehungswinkel übereinstimmen.)

Probe- und Schlußrechnung.

Endgültige Richtungswinkel cp und Verbesserungen dcp".

1)

2)

Berg

о I ' I "

Galgen

о I ' I "

3)    4) Hohe 5)

Koppental Anwand    Haide

° I ' I "    ° I ' I " ° I ' I "

Endgültige Richtungswinkel cp Vorläufige Richtungswinkel V

-J    -3

оо    оо

to    to

I—I■    f—¹‘

CO    CO

I—¹    H*

LO    to

8    S

о    о

T—I    T—!

<M    Ol

С5    05

330 92 30

330 92 35

d cp" = cp — V

adx

bdy

+4

+ 13

-5

+ 3,2    +12,7

+ 0,3    + 0,4

+ 4,5

+0,1

+0,9

-0,7

-4,8

+0,6

dcp"~ adx + 6 dy =

+3,5    +13,1

+ 4,6

+0,2

-4,2

Abriß für den Neupunkt „Talwiese“.

Gemessene Endgültige Rich- Richtungs-tungen Winkel

Z — cp — cc

Orientierte

Rich

tungen

1 // O I / rr

о I / I //

Verbesse

rungen

V"=(p-ß

//

1) Berg

00

00 78

21    95 78

21

95    78

21

91    4

16

2) Galgen... 13

50

62 91

72 52

21

90    91

72

53

3) Koppen-

tal

13

88

40 92

10 30

21

90    92

10

31

4) Hohe Anwand .... 102

28

79 180

50 70

21

91 180

50

70

6) Haide... . 252

70

40 330

92 30

21

90 330

92

31

38

21

5oj = 09 55 [ß\ = 47 76

47 77 Z = 78 21 91

Mittel

in Übereinstimmung mit dem Reduktionsergebnis (s. S. 115)

-1

47 76

47

76    4

19

(soll 14,5 s. S. 115)

Rechnerisches Ausgleichungsverfahren für vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden.

Sind zur Bestimmung der Koordinaten xP und yP eines Neupunktes P Winkel oder Richtungen sowohl in den Festpunkten A , В. . . nach dem Neupunkt („äußere“ oder ,,Vorwärts“richtungen), als auch im Neupunkt nach den Festpunkten beobachtet („innere“ oder „Rückwärts“-richtungen), so kann man für die ersteren die Fehlergleichungen S. 92, für die letzteren diejenigen S. 101 und 110 gleichzeitig zur Anwendung bringen.

Man hat also statt nv, wie im Falle des Vor-, oder nr, wie im Falle des Rückwärtseinschnittes, jetzt (nv + nr) Fehlergleichungen, wenn von den Festpunkten zum Neupunkt herein nv, vom Neupunkt zu den Festpunkten hinaus nr Stralilen beobachtet wurden. Die Koeffizienten der Unbekannten in den Normalgleichungen setzen sich also aus {nv -f- nj) Summanden zusammen. Wir erkennen ferner, daß die Richtungskoeffizienten а und a, bzw. b und b der Fehlergleichungen nach Vorzeichen lind Größe einander gleich sind, wenn sie sich auf denselben Bestimmungsstrahl beziehen, d. h. wenn dieser zweiseitig, sowohl von außen nach innen, als von innen nach außen beobachtet wurde. Für den Strahl MP ist z. B.:

sinn PA „

cos n PA .. r -~AP~e' = b4,

aA =

•sinnMP „

bA = Ą

cosnAP ,,

AP ⁶ *

ebenso für den Strahl BP bzw. PB usw.

Nur die Gewichte^ der Absolutglieder lAl lB. .., lx, 4. . ., 1'a,Ib- • • bzw.    . . . verlangen jetzt, da

gleichzeitig innere und äußere Richtungen zur Be

Stimmung der Unbekannten verwendet werden, noch eine vergleichende Untersuchung.

Als Gewicht p einer äußeren Richtung oder der Absolutglieder lA,lB. • • haben wir S. 88 u. 89 für den Fall des Vorwärtseinschnittes festgestellt:

a)    im Falle der Winkelmessung: pt = 1, 2. . . nf, wenn der Neustrahl durch 1,2. . .nf gemessene Winkel mit 1, 2. . .Uf Feststrahlen verbunden ist;

щ

b)    im Falle der Richtungsbeobachtung: pt =Pß——f—-

П/+ 1

wenn außer dem Neustrahl noch nf Feststrahlen dem beobachteten Richtungsbüschel an gehören.

Die Gewichte^ der inneren Winkel und Richtungen oder der betreffenden Absolutglieder l±, l₂ . . . bzw. lA, lB undS^S# sind für denFall desRückwärtseinschnittes je unter sich gleich, also nicht weiter zu berücksichtigen. Sollen sie aber mit äußeren Richtungen in Verbindung gebracht werden, so müssen wir das Verhältnis der beiderseitigen Gewichte feststellen.

Dies ist bei vorhandener Winkelmessung sehr einfach, da bei gleich genauer Beobachtung jedem Winkel — gleichviel, ob sein Scheitel im Festpunkt oder im Neupunkt liegt — gleiches Gewicht zukommt.

Anders ist es bei der Richtungs beobachtung. Denken wir uns das innere Richtungsbüschel mit dem Scheitel im endgültigen Neupunkt P nach den benützten fehlerfreien Festpunkten A, В. . . orientiert, so wird jede beobachtete orientierte Richtung um einen gewissen Fehlerbetrag von ihrem wahrscheinlichen Wert, dem Richtungswinkel [n PA], [nPB]. . . ab weichen, der sich wie bei der Ableitung S. 89 zusammensetzt aus dem Beobachtungsfehler ma einer inneren Richtung imd aus dem

Fehler mz—^L des Verdrehungswinkels Z [s. Glei-

ynr

chung (59)]. Daher ist der mittlere Fehler einer orientierten inneren Dichtung (im Falle der Beibehaltung dreier Unbekannten dco, dx, dy gleich demjenigen des Absolutgliedes V) analog S. 89):

=»#?■

nii = mv

und da für innere und äußere Dichtungen gleich ist analog Gleichung (56)

(68)

Pi = Pf =

nr

7lr 1* 1

Wendet man das Verfahren der vorgängigen Eliminierung von dœ an, so wird das Absolutglied statt Г :

und sein mittlerer Fehler

mß

= y mï+~ = тУ

nr -b 1

nr

nr -f- 1

= •

nr

Damit wird

(68 a)

14 =

nr

7lr + 1 /

nr

Mit wachsendem nr konvergierten —-

nr + 1

gegen 1. Da nun nr> 4, wenn im Fall des Dückwärts-einschnittes überhaupt von Ausgleichung die Dede sein soll, so setzen amtliche Vermessungsanweisungen der Einfachheit halber

und

nr + 1

Pi = Vv = Pq = 1.

Die Zahl der überschüssigen Richtungen zum Zwecke der Fehlerberechnung ergibt sich aus der Betrachtung, daß im Falle der Richtungsbeobachtung zur Berechnung der drei Unbekannten dx, dy und % jedenfalls drei Bestimmungsstücke, nötig, also (nv Ą- nr — 3) Stücke überschüssig sind.

Wir haben also bei vereinigtem Vor- und Rückwärts-einschneiden:

A. Im Falle der Winkelbeobachtung

Fehlergleichungen

nv Gleichungen für [ va = aAdx + bA dy + lÄ nv Zielungen vorwärts

Gewicht p

vB = aB dzc + Ъв dy + lB

nU

nfß

nr Zielurigen rückwärts

nr G-leichungen für [ vi — %: dx -f- ^ dy -f- lt v₂ = % dx +SS₂dy + l₂

¹

Die Produkte ab, al und Ы könnten wir, soweit die mittels Rechenstabs erreichbare Genauigkeit nicht genügt, Produktentafeln entnehmen oder mittels einer Rechenmaschine ermitteln. Wir wollen hier Quadrat tafeln verwenden unter Beachtung, daß

(a + &)² = «a + 2 ab + Ы, also ab =

[a6] m £{[(a + ô)2] _ [aa] - [bb]} usw.

N ormalgleichung en

([j₃au] + [W?I])icc + (Lpab] + t2n8])d2/ + ([i>ai] + [2(q) = 01 flp« 6] + [31 ОД dx + ([pb Ъ] + [SB 58]) dy + ([^ 6 /] + [S3 Ц) = 0.

Führt man für die Koeffizienten von dx, und dy in den Normalgleichungen wieder die bisherigen Bezeichnungen ein, und setzt z. B.

([pae]-f [919t]) = [pad] usw.,

so erhält man

dy =

[pfrM] [pbb-l] : Ру = [рЪЪ-\]

[рЪЪ* l]-(nv + nr — 2) '

» = +]/

[pl I • 2]

B. Im Falle der Richtungsbeobachtung und:

1) der Beibehaltung der dritten Unbekannten dco:

Fehlergleichungen

Gewicht p der Beobachtung oder des Absolutgliedes

nv Gleichungen für nv Zielungen vorwärts

Va=

vB=

aÄ dx-\- hA dy -)- lA

%+*

cißdoc—|— bBdy —|— Iß

nrB+1

nr Gleichungen für nr Zielungen rückwärts

vA — dm-f- aÄdx-\-bAdy-\-l^

vB = d со —J- CLßdx —j— bBdy —}- lB

Jformalgleichungen

[pra\ dx+

nr

*> + '1

nr

nr+ 1

oder genähert 1

[pr]dco +

IPr a\dco + ([pva «] + [pr aa])dx+{[pv ab] + [pr a b]) d y + {[pv al] + [pr a l'])=0 ,

[prb]dm + ([pvab\ + [prab])dx+([pvbb] + [prbb])dy+([pvbl\ + [prbr]) = 0.

[Prb] dy+[prn

= 0,

Führt man für die Koeffizienten der Unbekannten in den Normalgleichungen wieder die bisherigen Bezeichnungen ein und setzt:

[Pr] = [P a a], [pr a] = [p a b], [рг Ь] = [р а с],

{[Pv аа\ + [Pr a a]) = [р Ь Ь] ([pv а Ь] -f [pr a Ь]) = [р Ъ с] usw.,

so hat man

[pci • 2]

dy —

Py — [pce-2] ,

[pcc • 2] ’

[pcc • 2] (nv + nr —- 3)*

,=±|/

[pli • Щ

Normalgleichungen.

([Pvaa] + [pr9l$C]) dx+([pvab] + [prVW]) dy + ([vva4 + [PrW-Sl])=0 .

([pvab] + [Pr^mdx+([Prbb] ₊ [pr^])dy+{[prbl] + [Pr^^]) = 0.

Führt man für die Koeffizienten der Unbekannten in den Normalgleichungen wieder die bisherigen Bezeichnungen ein, setzt also

([pv a a] -f- \pr 21 §1]) = [pa a] usw.,

so wird wieder

dy =

Im Falle der Richtungsbeobachtung und:

2) der vorgängigen Eliminierung der Unbekannten dœ:

Fehlergleichungen

uv Gleichungen für nv Zielungen vorwärts

VA = aAdx + bAdy + lA

VB — aBäx + hßdy + lB

Gewicht p der Beobachtung oder des Absolutgliedes

nfA+¹

*rM

nrJI+¹

nr Glei-chungen für nr Zielungen rückwärts

vA = StAdx + ЪАд,у 4-

Vß — SUßdx -f- S&ßdy -j- Qß

i «r Y)

Wr + 1/

l n, \4

U +1/

oder genähert 1

[Pbl-1] [pbb-1] 1 Ą = [pbb • 1] ,

[pbb-l]{nv + nr — Z]'

i = dh|/

[p ll • 2]

21. Beispiel: Zur Bestimmung der rechtwinkligen Koordinaten des trigonometrischen Neupunktes 1 wurden auf ihm Richtungen nach benachbarten Dreieckspunkten

und in letzteren solche nach dem Neupunkte beobachtet. Die Koordinaten der benutzten Dreieckspunkte sind bekannt und als fehlerfrei anzunehmen.

Gemessen wurde:

Im Neupunkt 1 nach Killesberg Feuerbach - Eychen

355°00'62" 399° 97' 65" 4° 68'37" 16° 78'41"

399°99'64" 122° 19' 08" 189° 23' 41" Zuffenhausen 232° 97' 25" In Sandäcker nach Eychen

Feuerbach Neupunkt 1 Killesberg*

In Eychen nach

Feuerbach 49° 14' 48" Neupunkt 1    399°    98'    99"

0° 03' 93" 49° 28'01" 57° 66' 26" 314°31'56"

Killesberg 2° 37' 63" In Killesberg nach Feuerbach Eychen Neupunkt 1 Falget

Gegebene Koordinaten:

8101,42

8061,89

7858,74

8485,65

7360.85

9175.86

32632,85

31114,51

31962,93

31690,30

31940,47

Eychen Falket Feuerbach Killesberg Sandäcker Zuffenhausen 34691,00

Lösung: Für den Neupunkt 1 seien auf irgendwelche Weise die Näherungskoordinaten:

Yn=+ 8128,22

Xn= +31909,90,

ermittelt worden.

Mittels der Formel:

tg п А В =

У в-У A

Ах

хв-хА

seien ferner wie bisher die in Spalte 3 von Formular 1 (Abriß s. S. 81) mit senkrechten Ziffern eingetragenen Richtungswinkel cp der Verbindungsstrecken zwischen den durch obige Koordinaten bestimmten Festpunkten berechnet. Damit erfolgt die Orientierung der in den Festpunkten beobachteten und in Spalte 2 des Formulars 1 eingetragenen Richtungsbüschel «.

Vß nf+1

Der hierfür nötige Verdrehungswinkel со ist in Spalte 4, die orientierten Richtungen ß (worunter auch diejenige des Neustrahles) sind in Spalte 5 und die hiernach sich ergebenden Beobachtungsverbesserungen v für die Feststrahlen in Spalte 6 berechnet.

Die in den Festpunkten beobachteten orientierten Richtungen ß für die Neustrahlen werden jetzt aus Formular 1 als „Richtungen vorwärts“, die im Neupunkt beobachteten Richtungen <x direkt aus dem Feldbuch als „Richtungen rückwärts“ in das Formular 2 S. 126, Abteilung 1, Spalte 2 übertragen. Gleichzeitig erfolgt der Eintrag der im- Formular 1 zur Orientierung der Vorwärtsrichtungen benutzten Zahl rif von Feststrahlen in Spalte 4 S. 126 und die Berechnung der Richtungsgewichte nf

(den Richtungen rückwärts möge durchweg das Gewicht 1

zugeschrieben werden). Hieraus ergeben sich die Gewichtsfaktoren Vjö in Spalte 7 des Formulars 2 (Abteilung 1). Durch die Orientierung der Vorwärtsrichtungen (Verdrehung des ganzen Büschels der in den Festpunkten beobachteten Richtungen um den Winkel со) in Formular 1 ist an deren gegenseitiger Lage, also an ihrer Eigenschaft als Beobachtungswerte, materiell nichts geändert. Mit ihnen werden nun die aus den Näherungskoordinaten für den Neupunkt abgeleiteten Richtungswinkel v = (NAP), (NBP)... (s. Spalte 3 der Abteilung 1 von Formular 2) verglichen, wobei sich in Spalte 5 die Absolutglieder l der Fehlergleichungen für die Vorwärtsrichtungen ergeben.

Auch die Rückwärtsrichtungen <x sollten, und zwar zunächst nach den vorläufigen Richtungswinkeln v (s. Spalte 3 von Formular 2), vorläufig orientiert werden:

CC₀ = OC + CO,

wodurch sich dann die Absolutglieder V ergeben würden aus:

Г = V - 0i₀ = (v - Oi) - CO .

der Einzelwerte (v-ix) für den Verdrehungs-

Die letztere Gleichung zeigt aber, daß zur Bildung dieser Absolutglieder die Durchführung der vorläufigen Orientierung entbehrlich ist: wir finden sie kürzer als Überschuß Winkel über dessen Mittelwert со.

Gleichzeitig mit der Berechnung der Richtungswinkel v der Verbindungsstrecken vom vorläufigen Punkt 1 nach den zu seiner endgültigen Bestimmung zu benützenden Festpunkten, oder umgekehrt mögen die Strecken selbst

A it Ax

s = -А- =-

sin*' cosv

und die Richtungskoeffizienten sinv

а = -    —о,

_ cosv

Ъ = --Г~е

(v vom Neupunkt zum Festpunkt) logarithmisch oder mittels eines speziellen Hilfsmittels (Zahlentafel, Rechenschieber, Diagramm) gewonnen worden sein. Letztere werden in Spalte 6 des Formulars 2 eingetragen. Zur Erzielung bequemer Rechnung sind dabei möglichst gleiche Zahlenwerte für die Âbsolutglieder l bzw. V und für die Richtungskoeffizienten a und b (Koeffizienten der Fehlergleichungen) erwünscht. Dies wird erreicht durch Wahl solcher Maßeinheiten, welche der nor-

malen Beobachtungsgenauigkeit und der mittleren Strahlenlänge angepaßt sind oder durch Ersetzung der Unbekannten dx und du etwa durch 10 dx und 10 d y . [Letzteres kommt in der Wirkung der Wahl des Dezimeters statt des Meters als Streckeneinheit für diese Unbekannten (aber auch nur für siel) gleich.] Als Winkeleinheit (für l, l', q) wählen wir im vorliegenden Fall die Dekasekunde.

Nun bilden wir in den Spalten 8-^10 des Formulars 2, Abteilung 1 durch Multiplikation der Koeffizienten a und b und der Absolutglieder l j« mit Ypß die Koeffizienten aVpß, ЬУ/pß, ß der Fehler'gleichungen für die Vorwärtsrichtungen, durch Subtraktion der Durchschnittswerte [ar]    [br]

nr

nr

tio =- und b₀ =- für а und Ъ von diesen Richtungskoeffizienten

und Multiplikation mit Ур* diejenigen für die Rückwärtsrichtungen

(SI = (а-a₀)VpÎ; ® = (6-6„)УЙ 2 = 1’Ш.

Für letztere besteht die Probe:

[21] = 0, [93] = 0, [2] = 0.

Schließlich erfolgt die Bildung der Summenglieder

Wß = aYp~ß + ьУр^+ lYp-ß

für die Vorwärts-, bzw.

sVpß = 21 + 23 + ß

für die Rückwärtsrichtungen, wobei die Rechenprobe sich ergibt:

(Durch Benutzung dekadischer Ergänzungen wird die Summierung hier, wie auch später in Abteilung 2 des Formulars 2, erheblich bequemer.)

Die Berechnung der Koeffizienten der Normalgleichungen erfolgt in Abteilung 2 des Formulares 2. Zur Ausrechnung der einzelnen, hernach zu addierenden Quadrate und Produkte werden Logarithmen-, Quadrat- und Produktentafeln, Rechenmaschinen, oder — bei ungefähr gleich- und nicht allzu großen Koeffizienten — Rechenschieber benutzt. Die in Abteilung 2 gebildeten Koeffizienten der Normalgleichungen werden nach Abteilung 3 des Formulars 2 übertragen, wo die Reduktion der Gleichungen unter Beachtung der Rechenproben entsprechend dem Vordruck und den früheren Ableitungen erfolgt. Abteilung 4 ist für die Berechnung der mittleren Fehler der Beobachtungswerte und der Unbekannten bestimmt.

Cp - V

= adx + b dy abweichen, der zur Probe aus letzterer Gleichung mittels Rechenschiebers ermittelt wird und in den hier vorliegenden Fällen beträgt :

Eine durchgreifende Rechenprobe erzielt man schließlich in Formular 1 S. 81 nach Gewinnung der endgültigen Koordinaten des Neupunktes durch Aufstellung des „Abrisses“ auch für ihn und Abschluß desselben für die benutzten Festpunkte. Die endgültigen Richtungswinkel cp vom Neu- nach den benutzten Festpunkten oder umgekehrt (welche von den früher berechneten, vorläufigen Werten v, um den_Betrag dcp

für Killesberg „ Feuerbach „ Eychen „ Zuffenhausen -    39"

„ Sandäcker + Г35"

+ 1'63" bzw. + Г62" +2' 43"

+2' 43"

12"

12"

39"

+ 1'36")

mögen nach den in der Einleitung hierfür angegebenen Formeln berechnet, und nach Spalte 3 des Abrisses sowohl zu den Festpunkten, als zum Neupunkt übertragen sein (vgl. schräge Ziffern). Nun wird das auf letzterem beobachtete Richtungsbüschel <x zum Zweck seiner Orien

verdreht, wobei die orientierten Richtungswerte /?, wie früher für die Festpunkte, so jetzt auch für den

tierung um den Winkel co =

nr

P. Neu-

Näherungskoord. : XN = +81909,96, TN = +8428,22; Verbesserg. : dx = - 0,23,

Formular 2. Abt. 1 : Bildung

1.

2.

8.

4.

Г».

Bezeichnung

der

Bestpunkte

Anzahl

Beobach-    dbetete Rieh-    nutzten

tungen    Aus festen

vorwärts Näherung Rich-berechnete tungen Richtungs- ni winke!--

Gewicht

nf

=ß,

nt +1

beob. Richtungen rückwärts

Unterschied v-ot

l = v- ß l' — {у — ot) — со

= 0i

V-oc

co = ---

nr

tt

! Dekali; I sek.

Sandäcker, Eychen ... Killesberg

т-1 тН СО

О С5 СО 05© 00

(М 1> со

00 05 t>

00 03 со

1=0,8 f = 0,7 1 = 0,8

Richtungen

9,8

0,3

Killesberg... Feuerbach ..

Eychen.....

Zuffenhausen

1111

[[*] =

ё

СО    Ю О 05

оо    си i—* ос ^

05 to СИ со

ho

liii

iS cc S со

12 06

Richtungen

6,6

16,5

+ 6,8

+ 16,6

- 28,1 I + 22,9 j

co —183

73

02

Neupunkt erscheinen. Dabei muß dieser endgültige Verdrehungs-winkel со von dem in Spalte 4 der Abteilung 1 vom Formular 2 benutzten vorläufigen um den Betrag

nr

nr

г — dx +    = n₀ dx + 6₀ dу

ab weichen :

^endgültig — ^vorläufig + ² •

[pvv] = [yll* 2].

Bildet man schließlich sämtliche Differenzen v = <p - ß, und multipliziert jede Verbesserung v mit dem zugehörigen У у, so muß, als Schlußprobe, sein:

punkt 1.

dу = +0,12; Endgült. Koord. : X = +31909,78 ± 0,03, Г = +8428,34 ± 0,01.

der Fehlergleichungen.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Koeffizienten der Unbekannten

dx

dy

[ar]

[Ьг]

aVpß

Я = (а-а₀)У^

b\vß

® = (Ь-Ьо)Ур7

iVpß s=i'VPi

ÜO= —

nr

= "TT“

nr

±1

±1

H-

— 8Уу = (аУр+ъУр+1Ур) bzw. =31 + 58 + 2

*ii+ ;2 + i i +

111 +

7,7    +    27,1

14,4

10,4

a. ¹⁶’⁷

-г *»=+.— = -1,7    =+4,2

ü₀--

6,7

оЬЪ

+ 11 +

00 05^00

seiel

05 05 05 05    05 О 00

05 СО СЛ 05    -J to CO

+ 11 +

to 05 £2    CO

ЪОБИН    HbV

Probe

II

SSjfejS Й s

CD ОБ (fi b-‘ ÇD

Form. 2. Abt. 2 : Bildung der Koeff. für die Normalgleichungen.

pßaa Vßbb    VßU

2Ш    ее    22 !

PßO-b

sie

Pßdi    Pßbl

212

e2

29,16

0,04

77,44

6,76

40,96

33,64

595,36

0,04

278,89

207,36

198,81

47,52

1,76

73,96

15,08

156,16

0,52

1,16

106,88

407,48

1    77,44    524,41    43,56    630,01

2    88,36    27,04    272,25    967,21

3    2,56    132,25    39,69    46,24

4    5,29    39,69    275,56    158,76

(MQOHCÖ lO QO ^ ^

250,53 11352,43    987,43    2282,35 ]| + 426,64 | +

= [pad] [pbb] [pll\ [pss]

[pab]

66,28

[pal]

646,93

[pbl]

Normale Bezeichnung.

Formular 2. Abt. 3: Auflösung der Normalgleichungen.

I. Für die Unbekannte dy

a]

*1

•3

Probe

[pss]

[pa

250,5

[pb

426,6

1852,4

[;paa]

726,5

[pl

66,3 +

646.9    +

112.9    -987,4 +

[pal]

[paa]

[pa

17,5

743,4

1132,1

1266,0

406,8

196,7

ist +2282,3 soll +2282,3

ö-l]

M]

s-l]

dy = -

\pbl. 1]

[Pbb-1]!

Il II

-759,8 625,9 +1,2 dm

II. I. Ped.-Stufe

[pb

[pl

[pbb-1]

625,9

759,8

969,9 +

133,9 (statt -133,9) 210,1 (statt+210,1)

922,4

162,6

l- 2]

[pl

+ | 47,5 +| 47,5

[pa

[Pb

WL [pu

[pad]

VVi

[pad]

dx — -

[pbl-1]

[Vbb. l]n

II

270,4 115,9 -2,3 dm

Formular 2. Abt. 3.

II. Bestimmung der Unbekannten dx (nach Umstellung der Ko eff.)

a]

b]

•]

1352,4

426,6    -    646,9    1132,1

250.5    +    66,3    743,4

134.6    +    204,1    -    357,1

+ ш’4 + 406’⁸ 'Un ÜI1

309,5 + 541,5

b . 1]    1.1]

»•ч

I. Red.-Stufe

[pb

[pl

[pbl-1]

[pbb-l]

[pb

115,9 + 270,4 +

+ 677,9 + -    630,9 -

386.3    (statt +386,3)

948.3    (statt+948,3) 901,2

l- 2]

[pl

+ I 47,0 j + I

s • 2]

Ąrj i soll n. lied. I

47,5

Formular 2. Abt. 4:

Berechnung der Verbesserungen und mittleren Fehler.

dx= - 0,23 m Mx= ±0,03 m

[pvv] = [pli] • 2 п = nv + nr - 3 [pli-2]

Il II

m² =

dy— +0,12 m    ±0,01 m

Zuschlag zum vorläufigen Verdrehungswinkel des im Neupunkt gemessenen Rich-tungsbüschels

z=a₀dx + b₀dy

1Грх=У[рЪЪ • l]u =

Урт=*У[рЪЪ. i]i =

mx =-

Гдг

(-1,7) (-2,3)+ (4,2x1,2)

+3,9+5,0 = 8,9 Dekasek.

= +89"

soll (s. Abriß S. 81, bzw. Spalte 4 von Formular 2, Abt. 1):

183° 73' 90" - 183° 73' 02"

= +88"

(Abrundungsfehler 1")

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. II.

Il II

+ ++    +-H    +1    +1    +1

47,5

11,9

3,5 Dekasek. УЩ9 = ± 10,8

Уб25,9 = ± 25

3,5

—i—- = ± 0,32 dm

10,8

3,5

25 = ± 0,14 dm

III. Abschnitt.

Bedingte direkte Beobachtungen.

Müssen die Â Beobachtungsgrößen, deren bestmögliche Werte X, Y. . . wir aus den mit kleinen Ungenauigkeiten behafteten Beobachtungsweiten LVL₂. . . ermitteln sollen, gleichzeitig ß in Grleichungsform ausgedrückte Nebenbedingungen streng erfüllen, so eliminieren wir entweder mittels der letzteren ß von ihnen, indem wir sie in den к — ß übrigen ausdrücken und berechnen alsdann diese nach dem Verfahren der Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen, oder wir gesellen den к ursprünglichen noch ß neue, vorgängig zu bestimmende Unbekannte, die „Korrelaten ku hinzu, mit denen die к ersteren in möglichst einfacher Beziehung stehen. Aus ihnen leiten wir hernach die eigentlichen Unbekannten, nämlich die ausgeglichenen Werte AT, Y. . . der Beobachtungsgrößen ab. Das letztere, der Ausgleichung bedingter Beobachtungen speziell zugehörige Verfahren ist das einfachere jedenfalls dann, wrenn die Zahl ß der Bedingungsgleichungen kleiner ist, als die

halbe Zahl

(ir) ^еГ ursPr^n^^c^ien Unbekannten und

wenn

die Elimination von ß der letzteren mit Hilfe der Bedingungsgleichungen unbequem ist.

Den Bedingupgsgleichungen

Fx{X\ 7,...) = 0

(78 a)

Fß(X, 7,...) =

werden die Beobachtungswerte L wegen der ihnen anhaftenden Ungenauigkeiten nicht scharf genügen. Vielmehr werden bei Einsetzung der letzteren in die Bedingungs-gleichungen Widersprüche w sich einstellen, welche an Stelle der 0 in (7 3 a) treten und welche letztere G-leichungen überführen in:

' Fl(LU L21 ■ ■ •)=«’!

(73 b)

l Fß{Lv L₂,...) = Wß.

Zur Annullierung der Widersprüche w werden wir den Beobachtungswerten L kleine positive oder negative Verbesserungszuschläge V erteilen müssen, wodurch (7 3 a) und (73b) übergehen in:

Fx + vv L₂ + v₂, . . . )

(73c)

—    ^25 • • *)+Vl

öFt 8F₁

SL

8L₂

+ vv + %, • • •)

dFß , dF,-dLx +V28L₂

Durch Subtraktion der beiden zusammengehörigen Gleichungen jeder der beiden Gruppen (73 c) und (73 b) erhalten wir daraus unter gleichzeitiger Benutzung der Substitutionsgleichungen

öFt

= Oy,

дЛ = ъ

/ dFx

Qi Cb

dLx

(25 d) die reduzierten Bedingungsgleichungen:

' [av\ — — w₁

’ a\ vl + a2 V2 "ł" * * * "t“ W1 — ö (73d) bt v₁ + 6₂ v₂ H-----h w₂ = 0 \ oder [bv] = — w₂

Da die Zahl к der unbekannten YerbesserungsZuschläge V jedenfalls größer ist als die Zahl ß der Bedingungsgleichungen (73a)bis (73d), so reichen letztere zur eindeutigen Berechnung der v allein nicht. aus. Wir Laben aber diese Yerbesserungszuschläge überdies noch der allgemeinen Minimumsbedingung (4) zu unterwerfen, welche für den

Fall gleicher Beobachtungsgenauigkeit lautet:

\vv\ = Min.

Um diese Hauptbedingung mit den Bedingungen (73 d( gleichzeitig zu erfüllen, verbinden wir sie alle miteinander zu einer neuen Funktion, in welcher wir „Korrelaten“ k als zunächst unbestimmte Koeffizienten jeder Bedingungsgleichung zugesellen, letzteren damit die Form erteilend :

—    2 /% [av\ = — 2k₁a₁v₁ — 2k₁a₂v₂ —---2 k₁w₁ = 0

(73e)

—    2 k₂[bv] =—2 k₂ bxvt — 2k₂ b₂v₂ — ----2 k₂w₂ = 0

Wir erhalten damit für den Fall gleichgenauer Beobachtungen die neue Beziehung:

<P(vuv........    = {vv\ — 2kl [av] — 2k₂ [bv\-----2&, w₁

— 2 k₂ w₂ — • • •

oder auseinandergezogen und nach v geordnet:

<P(.vuv2,...vh) = v\ — 2v± (ax k± + k₂ H----)

(74)

+ v\ — 2 v₂ (a₂ k± + b₂k₂ + • • •) H-----2 (k₁w₁ + k₂w₂ H----) .

Diese Funktion cp ist nun durch passende Auswahl der Zuschläge v zum Minimum zu machen, eine Bedingung, welche durch die annullierten partiellen Ab-

leitungen von cp nach den einzelnen Zuschlägen v, die „Korrelaten gleichungen“ erfüllt wird:

dvi

= 2vx — 2 kt + \k₂ -j----) = 0

dcp

—г— = 2v₂ — 2{ci₂    + b₂k₂ -f⁻***) = 0

dv₂

(75)

dcp

— 2(axk₁ bxk₂ +•••) — 0

oder vereinfacht: vi = a₁kl-1- b± k₂ c₁k₃ -f- • • •

v2 = a2 К ~b ^2 ^2 + c2 ~\------

V„ = ахкг + bxk₂ + cxk₃ +-■-

Aus den Korrelatengleichungen (75) können wir die к unbekannten Yerbesserungszuschläge v berechnen, sobald uns die ß Korrelaten k bekannt sind. Um letztere zu finden setzen wir die v aus (75) in (73 d) ein. Horizontale Addition liefert uns dann zur Berechnung der Korrelaten ß Normalgleichungen:

( \a a\ k± -f- [a b] k₂ + [ac]k₃ -)-----f- = 0 \

(76) < \a Ч \ + \P Щ ^2 \b c] k₃ + ••• w₂ — 0 i die wir zur Bestimmung der k genau ebenso benutzen, wie die Normalgleichungen in Kapitel 2 bzw. 3 des II. Abschnittes zur Bestimmung der x, y usw.

Bilden wir schließlich entweder aus den berechneten Verbesserungszuschlägen v direkt, oder mittels

noch die Fehlerquadratsumme, so erhalten wir, da ß überschüssige Beobachtungen vorhanden sind (die wir mittels der Bedingungsgleichungen hätten eliminieren können), für den mittleren Fehler einer Beobachtung

(77)

1/

\vv\

Im Fall

ungleich genauer Beobachtungswerte Lx, L₂ ...

denen bzw. die Gewichte jcq, p₂. . . zukommen, ändert sich nur die Minimumsbedingung (4) in

, [p v v\ = Min.

Damit geht (74) in folgende Form über:

n«uft — 2v₁(a₁k₁ +btk₂-\----)

+ Pi rl — 2 v₂ (a₂ \    \    -)- • • •) ■+• • • •

— 2(k₁w₁ + k₂w₂ 4----),

woraus für Berechnung der Zuschlägen aus den Korrelaten к sich durch partielle Ableitung nach jedem dieser gesuchten Zuschläge die Korrelatengleichungen ergeben:

' vi ⁼    —~^2 +    4" * * •

(17)

(74a)

Pi

Pi

Pi

f,2

°2

(75 a)

v₂ = -^kt H--k₂ H--*3 H----

Pi

Pi

Pi

aK

vx = — кл +

Vx

Px

k₂ + k₃ + • • •

Px

Setzen wir die Ausdrücke für v aus (75 a) wieder in die reduzierten Bedingungsgleichungen (73d) ein, so erhalten wir für die Berechnung der Korrelaten к die

Normalgleichungen :

^3 4* ••• + wi — 0

ac

(76a)

ab '

bb •

yr ⁺

— kd + ••• + w₂ = 0

г

Statt wie vorstehend jeden der Koeffizienten a, 5 usw. erst bei Bildung der Korrelatengleichungen mit dem zugehörigen Gewicht p zu dividieren, kann man dies schon in den reduzierten Bedingungsgleichungen vorbereiten, indem man jeden Summanden derselben gleichzeitig mit der Wurzel aus dem zugehörigen Gewicht multipliziert und dividiert. Diese Gleichungen bleiben dabei natürlich unverändert, man erhält aber durch Sub-

stitution von Cü = -p, b aus (73d)    [Pi

., t>j = vx •rfp₁ usw.

Vp₂

sofort

öi bi û₂ t)₂ -f- * • • -f-    — 0

bi bx -f- b₂ b ₂ -f- • • • -f- Щ = 0

wodurch die weitere Behandlung nach Ersetzung der a, b usw. durch a, b usw. wie im Fall gleichgenauer Beobachtungen verläuft. Nur am Schluß sind die dabei erhaltenen Verbesserungszuschläge Ъг auf ihren

bt

wirklichen Betrag vr = —==^ zurückzuführen.

22. Beispiel (für den Fall gleichgenauer Beobachtungen): Die Beobachtung der drei Winkel eines Dreiecks habe für sie — an Stelle der unbekannten bestmöglichen Werte ß und y — die mit gleichgroßen Ungenauigkeiten behafteten Werte L±, L₂ und Z/₃ geliefert, die zusammen, statt des Sollbetrags 2 R den Betrag 2 R-\-w ergeben. Wie groß ist der an jedem von ihnen anzubringende Verbesserungszuschlag v?

1. Einzige Bedingungsgleichung:

F {ос, ß, у) = ос + ß + y - 2i2=0.

2. Einsetzung der Beobachtungswerte liefert:

F (-Łj ) L₂, L$) — L\ + L₂ + L₃ — 2 R — w .

3.

ÔF

—— = 1 = a± ;

ÔF

dLx

dL₂

= 1 = «2;

ÔF

dL₃

= 1 = a₈,

so daß die reduzierte Bedingungsgleichung lautet v₁ + v₂ + vä = - w.

4. Hieraus kommt [aä\ =3 und die Normalgleichung 31ci + w = 0,

woraus

5.

6.

7    w

Nun liefert die Korrelatengleichung (75) die Unbekannten: w "

"T

7    W

v₂ — d₂ fc₁ — ——

v± = a₁Jc₁ =

und

damit

T    T    W

oc = L₁ + vl = L₁--₍-

¥-

*3 *

T*

7.

W²

“X*

8.

23. Beispiel: Als verbindender Linienzug zwischen zwei Höhenfestpunkten A und E, deren als fehlerfrei anzunehmende Höhen gegeben sind zu :

HA = 278,354, HE = 292,380, wurden die Teilstrecken А — 1, JL — 2, 2 — 3 und 3 — E mit den in nachfolgender Tafel eingetragenen Ergebnissen je einfach eingewogen :

Gemittelter Gewicht p Teilstrecke eingewogener Höhenunterschied

+ 18,402

—    9,706

—    1,204 + 6,514

о ю о ю w ся q o’ o' o' н

1    =Â— 1

2    = 1 — 2

3    = 2 — 3

4    = 8 — E

[A h] = + 14,006 [] = 10    [] = 2,08

Wie groß sind die ausgeglichenen Höhenunterschiede der Teilstrecken und ihre mittleren Fehler?

Lösung: Die einzige Bedingungsgleichung lautetim vorliegenden Fall: ÏÏ-A Ah^ Ah₂ -\- Ahg Ah± — Hjn = w,

oder in Zahlen ausgedrückt:

278,354 + 18402 - 9,706 - 1,204 + 6,514 - 292,880 = - 20 mm = w. Wir erhalten daraus nach Gleichung (76 a), da a = 1:

[ aal

L V J

Je + w = 0 oder Je - -

- 20

~⁻‘2ДГ = +9’6 mm'

Daraus liefern die Korrelatengleichungen die Verbesserungszuschläge

H    pvv

278,854

S-Ö I = +18,407    296,761    4,6

II

:-S ü

9,6

v± = + -g- = + 4,8 mm 9 6

v₂ = H—+ = + 8,2 mm

Sa = - 9,703    287,058    30,6

9,6

v₈ = + —g- = + 2,4 mm 9 6

1>4 = + - + = + 9,6 mm +20,0 mm

S3

a>

'ö So

gw

*s = - 1,202    285,856    23,2

ж₄ = + 6,524    292,380    92,1

+ 24,931 - 10,905 + 14,026

U = 191,9 = - Je. го.

Mittlerer Fehler der Gewichtseinheit

F=±

= ± 13,8 mm.

13,8

m₁ = ±    - = ± 9,8 mm usw. für m₂, m₃, m₄.

У2Г

24. Beispiel: Mittels geometrischer Einwägung wurden folgende Höhenunterschiede zwischen fünf Punkten А, В, (7, Z>, E bestimmt:

Strecke

Nr.

von

nach

Ah

Länge der nivellierten Strecke

Zahl der №v. Wiederholungen

OO О CJ о, ^ 03 ЬЗ

JD

+10,194 m + 10,659 „ +20,871 „ +40,791 „ + 19,930 „ -f- 38,460 ,, + 28,248 „ + 69,076 „

3,5 km

2,6 „ 1,7 „ 1,0 „ 2,3 „

4,2 „

1,9 „

2,8 ,,

Cn (N (N

Die Höhe des Festpunktes A ist zu 201,754 m gegeben. Welches sind die Höhen der übrigen Punkte?

Lösung: Die eingewogenen Strecken bilden zusammen vier geschlossenen Figuren:

EDB , CDA , ADE , BDC.

Bezeichnen wir die ausgeglichenen, zunächst noch unbekannten Werte für die eingewogenen Höhenunterschiede der Strecken mit X, wobei jeder dieser Unbekannten die in der Aufgabe gewählte Streckennummer als Index zukommt, so erhalten wir hieraus vier Bedingungsgleichungen, nämlich :

Ft (X...) ЕЕ X± + X% — X₃ = 0 ,

Fg ( X...) ЕЕ X₄ — Xg + X<j = 0 ,

Fs (X...) ЕЕ Xi — Xg + Ху = 0 ,

F₄(X...) = X₃-X₄ + X₆ = 0.

Durch partielle Ableitung der Bedingungsgleichungen nach den Unbekannten erhalten wir für den Fall gleichwertiger Beobachtungen dei Koeffizienten der Korrelatengleichungen :

HF, .

«f. ,, n ^T = 6s = 0

ÖJ,

öl,

ÖFX

^r = ai = + 1;

eFx

-^r⁼^=0;

dFx

= “2- + ¹;

dF₁

6FX

exb

= «₅ = 0

ж = а* ⁼ ~¹'

dFx

6Xa

= «₆ = 0;

ÔFX

-^ = ^ = °

6FX

dXa

= «₈ = 0;

4^=n=o;

45-=*a=o

ô F₃    л

«17 * = + !

Ć>F₃

Ć>Z₇

= &7 = + i;

<9Е₂

Ö>F₈

7^ = Cl = +1;

<9F₃

dz7 = C4 = 0;

«9F₃

Tzrca=0;

<9F₃

-*zrc6=0;

dF3

Ć)Z₃

= c₃ = 0;

j?Zl ₌

<JZe

c₆ = - 1;

<?X,

ÖFS

= c₇ = + 1 ;

<9F,

«7 = <% = 0:

Й**-

Ä-*-*

ÔF, j

•^ = d»=⁺¹‘>

<9 b\ _

ć>Z₅

<*6 = + i;

ô F^ J л ÜXe =<*e = 0:

<9 >4

44 = ^ = 0;

Ć>X₇

йх₈ * °-

Die Einsetzung der beobachteten an Stelle der ausgeglichenen (zunächst unbekannten) Werte von X... liefert die Widersprüche:

Fx = 10,194 + 10,659 - 20,871 = wx = - 18 mm = - 1,8 cm,

F₂ = 40,791 - 69,076 + 28,248 = w₂ = - 37 mm = - 3,7 cm,

F₃ = 10,194 - 88,460 + 28,248 = w₃ = - 18 mm = - 1,8 cm,

F₄ = 20,871 - 40,791 + 19,930 = w± = + 10 mm = + 1,0 cm .

Setzen wir als Gewichtseinheit eine einfach eingewogene Strecke von 1 km Länge fest und beachten, daß (gleiche Zielweiten vorausgesetzt) der mittlere Fehler einer geometrischen Einwägung wächst proportional zur Wurzel aus der Länge, ihr Gewicht also umgekehrt proportional zur Länge, so erhalten die beobachteten Höhenunterschiede die Gewichte:

Pi =

3,5

Ра = Ж;

Ps = T7T;

Pb 2,3 ;

?в = ж;

p’⁼uT;

Рв=ж-

Damit gehen die Koeffizienten der Korrelatengleichungen über in:

0a = -^ = T^6;

Vp.

a₈ =

^ = -УГ7;

УК

0₄ — Oß — Oß — 0₇ — Og — 0.

bt = b₂ = b з = 0;

ь₄ = —= = 1 ;

Ь₅ = Ь₆ = 0;

b₇ =

V ₌ i/l,9

УК~ V ²

b₈ = -=Éz

ÏPs

*г-У5б;

C₂ = C₃ = c₄ = c₆ = 0;

Ce = —izrr

4,2

-Ś-;

] ,9 .

* =l/₂

Ce = 0.

bi = ba - 0; b,—-Lr = yv7;

УР₃

d₄

b4 VpT “1s

Ь₆ = -^ = У2ГЗ;

VVb

be ⁼ b₇ = bg = 0.

Wir haben damit die Koeffizienten der reduzierten Bedingungsgleichungen gefunden, welche uns diejenigen der Normalgleichungen zur Berechnung der vier Korrelaten vermitteln.

ab

bb

bb

bb

1.

+ 1,87

+ 1,87

3,5

3,5

3,5

2.

+1,61

2,6

3.

-1,30

+ 1,30

1,7

1,7

1,7

4.

-1,00

1,0

5.

+ 1,52

2,3

6.

-1,45

2,1

7.

+ 0,97

+ 0,97

0,95

0,95

0,95

8.

-1,18

1,4

7,8

3,5

1,7

3,35|0,95 1,0 16,55

5,0

Aus den Normalgleichungen:

7,8 Tc\ + 0 &2    +    3,6 Jcs — 1,7 Jc^. — 1,8 = 0,

0 żfcj ■+■ 3,35 lc% ■+■ 0,95 Jc$ — 3,0    —    3,7    ==    0,

3,5    + 0,95 &2 -f- 6,55 fcg -|- 0 lc± — 1,8 ⁼ 0,

-1,71*—1,0 h + 0 k₃ + 5,0 fc₄ + 1,0 = 0

ergeben sich auf bekannte Weise die vier Korrelaten    und aus

ihnen mittels der Korrelatengleichungen die eingewichtigen Verbesserungen ü , welche durch Division mit Ур in die gesuchten, den Beobachtungswerten zuzuschlagenden Verbesserungen v übergehen.

J( haków

ED

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Geodäsie

Von Prof. Dr. A. Galle

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100 °/₀ Verleger-Teuerungszuschlag

Das Werk behandelt die Anwendung der Mathematik hauptsächlich auf die niedere Geodäsie und unterscheidet sich von andern Lehrbüchern dieses Gegenstandes durch den Verzicht auf die Abbildung und Beschreibung der Instrumente. Indessen wurde nach Möglichkeit auch auf die praktische Ausführung der Messungen und auf die Fehler der Instrument« hingewiesen.

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Der Inhalt schließt sich bezüglich der Horizontalmessungen in der Hauptsache den preußischen Vermessungsanweisungen an, gelegentlich wurde aber auch auf ausländische Vorschriften Rücksicht genommen. Die Meßtischaufnahmen wurden trotz einzelner mathematischer Aufgaben, zu denen sie Anlaß geben, übergangen, dagegen die Photogrammetrie, die zwar auch noch selten Anwendung findet, als neuere, für besond Geländeverhältnisse bedeutungsvolle Methode aufgenommen. Das für Ingenieure wichtige Kapitel über Kurvenabsteckungen enthält einen ^Überblick der wichtigsten Verfahren. Bei den Vertikalmessungen ist das Nivellement möglichst umfassend behandelt, die trigonometrische und barometrische Höhenmessung aber ausgelassen worden. Im ersten Abschnitt, welcher die Flächenmessung und Flächenberechnung begreift, und im dritten, den Methoden der Punktbestimmung gewidmeten Abschnitte wird jedesmal am Schlüsse (Kapitel IV und XII) die Krümmung der Erde anhangsweise berücksichtigt, während im zweiten, den Linien eingeräumten Abschnitte hiervon abgesehen wurde, da die Einfügung der Theorie der geodätischen Linie ein umfangreiches, der höheren Geodäsie zugehörendes Kapitel erfordert hätte. Die Einflüsse der Beobachtungsfehler auf die Methoden und auf die Ergebnisse und die Ausgleichung der letzteren wurden besonders ins Auge gefaßt.

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