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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

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Drying. Hans Polster

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Ingenieurbau

aus der Sammlung Göschen

Stand vom Frühjahr 1930

Jeder Band in Leinwand geb. RM. 1.80

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II.    Messung von Horizontal winkeln,Festlegung von Punkten im Koordinatensystem. Absteckungen. Mit 93 Abb. Nr. 469

III.    Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachymetrie und Topographie Mit 61 Abbild. ... Nr. 862

Nr. 984

Die Kostenberechnung im Ingenieurbau von Professor E. Kuhlmann und Dr.-Ing. H. Nitzsche. Mit 5 Tafeln. . . Nr. 750 Die Baustoffe des Beton- und Eisenbetonbaus von

Prof. Otto Graf. Mit 43 Abb...............

Baustoffverarbeitung und Baustellenprüfung des Betons von Prof. Dr.-Ing. A. Kleinlogel. Mit 22 Abb. . . Nr. 978 Der Grundbau I: Der Baugrund und die Baugrube von Privatdoz. Dr.-Ing. Joachim Schultze. Mit 58 Abbild. . . Nr. 990 Erdbau von Reg.-Baumeister Erwin Link. Mit 72 Abbild. Nr. 630 Erddruck, Futter- und Stützmauern vom Stadt. Bau-

rat Dr.-Ing. Felix Kann. Mit 102 Textabbild.......Nr. 1011

Nr. 976

Landstraßenbau von Ober-Ing. A. Liebmann. Mil 44 Abb. Nr. 598 Stadtstraßenbau von Dr.-Ing. Georg Klose. Mit 50 Abb. Nr. 740 Der Betonstraßenbau von Reg.-Baumstr. a. D. Dr.-Ing.

W. Petry. Mit 49 Abb..................

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Die Entwicklung des neuzeitlichen Eisenbahnbaues

von Dipl.-Ing. Prof. Alfred Birk. Mit 28 Abbild......

Nr. 623

Die Linienführung d. Eisenbahnen v. Prof. H. Wegele.

Mit 58 Abbild.....................

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I. Empfangsgebäude. Nebengebäude. Güterschuppen.

Lokomotivschuppen. Mit 91 Abbild.........

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Bahnhofsanlagen von Prof Dr.-Ing. H. Wegele.

I. Band. Mit 92 Abb. und einer Tafel.........

Die mechanischen StellwerKe der Eisenbahnen von Oberbaurat a. D. S. Scheibner. 3 Bande. Mit 143

Abbild, u. 2 Tafeln .............Nr. 674, 688,747

Die Kraftstellwerke der Eisenbahnen von Oberbau-rat a. D. 5. Scheibner. 2 Bände. Mit 70 Abb.u. 1 Taf. Nr. 689,690 Das elektrische Fernmelde^esen bei den Eisenbahnen von Geh. Baurat K... ink. Mit 54 Abbild. . . Nr. 707 Eisenbahnfahrzeuge v. Reg. Baumeister H. Hinnenthal.

I. Die Damptlokomotiven. Mit 95 Abbild, und 2 Tafeln. Nr. 107

II.    Die Eisenbahnwagen und Bremsen. Mit Anhang:

Nr. 108

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Nr. 524 Nr. 559

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F. Baltzer.

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Betrieb und Verkehr. Mit 22 Abbild........

Nr. 687 Nr. 803 Nr. 964

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106 Abbild.......................

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Sammlung Göschen

Kinematik

Von

Dr.-Ing. Hans Polster

Betriebsingenieur der Badischen Anilin- und Sodafabrik Merseburg-Leuna

Mit 76 Abbildungen

Zweite Auflage

/    Berlin und Leipzig

Vereinigung wissenschaftlicher Verleger

Walter de Gruyter & Co.

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung - J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg Reimer - Karl J. Trübner - Veit & Comp.

1920

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KRAKOW

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Alle Rechte, namentlich das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

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Druck

der Spamérschen Buchdruckerei in Leipzig

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§ 7.

§8.

§9.

§ io.

§ И.

§ 12.

§ 13.

§ 14.

§ 15.

§ 16.

§ 17.

§ 18.

§ 19.

§20.

§21.

§22.

§ 28.

§ 24.

Literaturverzeichnis

Allgemeines.

Die Kinematik in ihrer Stellung zur Geometrie und

Mechanik.......................

Geschichtliche Entwicklung der Kinematik .....

Theoretischer Teil.

I.    Ebene Bewegung eines Punktes.

Geradlinige Bewegung............... . .

Zusammensetzung zweier geradliniger Bewegungen . Krummlinige Bewegung . ...............

II.    Ebene Bewegung zweier Ebenen.

Schiebung.......................

Drehung um einen festen Punkt...........

Momentanpol zweier beliebig sich bewegender Ebenen

Geschwindigkeiten ..................

Polkurven.......................

Hüllkurven......................

Umkehrung der Bewegung..............

Beschleunigungspol..................

Zusammenhang zwischen Geschwindigkeits- und Beschleunigungspol. Wendekreis und Wechselkreis . . Bestimmung des Krümmungsmittelpunktes der Bahn

eines bewegten Punktes nach Hartmann.......

Konstruktion der Polwechselgeschwindigkeit aus den Geschwindigkeiten und Krümmungszentren zweier Punkte ........................

III. Ebene Bewegung dreier Ebenen.

Zwei Schiebungen gegen die feste Ebene......

Schiebung einer Ebene und Drehung einer andern um

einen festen Punkt der ersten...........

Drehung zweier Ebenen gegen eine dritte um feste

Punkte ........................

Die Pole dreier beliebig bewegter Ebenen ......

Geschwindigkeiten dreier beliebig bewegter Ebenen . Beschleunigungen dreier beliebig bewegter Ebenen . Coriolis-Beschleunigung .................

IV. Die Zykloiden.

Allgemeines Konstruktion der Zykloide als Hüllkurve

11

12

§ 28. Punktweise Konstruktion.............. .

§ 27. Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes nach

Bobillier........................

§ 28. Sonderfall: gleiche Rollkreise ............

У. Die Evolventen.

§ 29. Allgemeines........

§ 30. Konstruktion der Evolvente

62

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Anwendungen.

VI. Zahnräder.

§ 31. Allgemeines......

§ 32. Allgemeine Verzahnung § 33. Zykloiden-Verzahnung § 34. Evolventen-Verzahnung § 35. Grissongetriebe .... § 36. Spezifisches Gleiten . .

§ 37. Normaldruck.....

§ 38. Reibungsarbeit .... § 39. Beispiel........

63

65

69

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77

79

79

VII. Gelenkviereck.

§ 40. Allgemeines und Bezeichnungen...........

§ 41. Ermittelungen der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen nach Land .................

§ 42. Ermittelung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen unter Benutzung der Relativbewegungen .

VIII. Vom Gelenkviereck abgeleitete Getriebe.

§ 43. Antrieb eines Schwinghebels durch ein Exzenter mit

langer Exzenterstange.................

§ 44. Schubkurbelgetriebe mit ungleichförmig rotierender

Kurbel..........................

§ 45. Schubkurbelgetriebe mit gleichförmig rotierender

Kurbel.........................

§ 46. Mohrsche Konstruktion der Beschleunigung des Kreuzkopfes ........................

§ 47. Andere Ableitung der Mohrschen Konstruktion . . .

§ 48. Rotierende Kurbelschleife. Allgemeines.......

§ 49. Desgl. Ermittelung der Bewegung der Schleifkurbel § 50. Desgl. Ermittelung der Bewegung der Kurbel ....

§ 51. Sonderfälle der rotierenden Kurbelschleife .....

§ 52. Oszillierender Zylinder................

§ 53. Die Massenwirkung der schweren Schubstange im geraden Schubkurbelgetriebe. Allgemeines......

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Seite

5 54. Bestimmung des Rückdruckes der bewegten Schubstange auf den Kolben nach Mollier........

§ 55. Bestimmung der Resultierenden der auf eine schwere Schubstange wirkenden Trägheitskräfte nach Mohr .

IX. Steuerungen mittels Schubkurvengetriebe.

§ 56. Nockensteuerungen. Allgemeines ..........

§ 57. Analyse des Getriebes ................

§ 58. Beispiel........................

§ 59. Schwingdaumensteuerungen. Analyse des Getriebes

§ 60. Bewegungsverhältnisse................

§ 61. Beispiel........................

§ 62. Wälzhebelsteuerungen. Allgemeines.........

§ 68. Wälzhebel mit beweglichem Drehpunkt.......

§ 64. Wälzhebel mit festem Drehpunkt...........

X. Hilfskonstruktionen.

104

110

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§ 65.

Namen- und Sachregister

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Literaturverzeichnis.

A. Werke über Kinematik.

1.    F. Reuleaux, Theoretische Kinematik, I. Teil, Braunschweig 1875. Desgl., II. Teil, Braunschweig 1900.

2.    L. Burmester, Lehrbuch der Kinematik, Leipzig 1888.

3.    H. Weiß, Grundsätze der Kinematik, I. Teil, Leipzig 1900.

4.    К. He un, Lehrbuch derMechanik, I. Teil: Kinematik, Leipzig 1906.

5.    Christmann - Baer, Grundzüge der Kinematik, Berlin 1910.

6.    H. Polster, Kinematik, Sammlung Göschen, 1912.

7.    W. Hartmann, Die Maschinengetriebe, Berlin 1913.

8.    M. Grübler, Getriebelehre, Berlin 1917.

B. Werke über Sondergebiete der Kinematik und Dissertationen.

9. H. Lorenz, Dynamik der Kurbelgetriebe mit besonderer Berücksichtigung der Schiffsmaschinen, Leipzig 1901.

10.    Schubert, Theorie des Schlickschen Massenausgleichs bei mehr-

kurbligen Dampfmaschinen, Leipzig 1901.

11.    M. Schwabach, Dynamische Theorie der Verschwindlafetten und

kinemat. Schußtheorie, Diss., Berlin 1904.

12.    II. Meuth, Kinetik und Kinetostatik des Schubkurbelgetriebes, Diss.,

1905.

13.    Brandt, Die rotierende Kurbelschleife und die Schleppkurbel als An

trieb für Propellerrinnen, Diss., Berlin 1908.

14.    K. Doehne, Die Bewegungsverhältnisse von Steuergetrieben mit

Schwingdaumen, Diss., Berlin 1908.

15.    Essich, Über Steuerungsgetriebe mit Wälzhebeln, Diss., Berlin 1909

16.    Г. Dohne, Über Druckwechsel und Stöße bei Maschinen mit Kurbel

trieb, Diss., Berlin 1911.

17.    H. Polster, Experimentelle tlntersuchung der Druckwechsel u. Stöße

im Schubkurbelgetriebe, Diss., Dresden 1913.

18.    C. Herre, Bewegungsmechanismen.

19.    P. Moser, Druckwechsel bei Maschinen mit Kurbeltrieb, Diss.

Zürich 1917.

C. Aufsätze über Sonderprobleme der Kinematik.

a) Allgemeines.

20. Aronhold, Grundzüge d. kinemat. Geometrie, Gew. 1872.

2 1. C. Schadwill, Das Gliedervierseit als Grundlage der ebenen Kinematik, Gew. 1876.

22.    T. Kittershaus, Die kinemat. Kette, ihre Beweglichkeit und Zwang-

läufigkeit, Civ. 1876.

23.    Derselbe, Die Beschleunigung der ebenen Bewegung, Civ. 1878.

24.    L. Burmest er, Über d. Beschleunigungszustand ähnlichveränderlicher

starrer ebener Systeme, Civ. 1878.

25. 0. Mohr, Die geom. Konstruktion d. Beschleunigung d. ebenen Be-Civ. 1879.

wegung,

26. L. Burmester, Über die momentane Bewegung ebener kinemat. Ketten, Civ. 1880.    '

27.    A. Harnisch, Der momentane Beschleunigungspol und seine Kon

struktion, Gew. 1880.

28.    M. Grübler, Allgem. Eigenschaften der zwangläufigen ebenen kinema

tischen Ketten, Civ. 1883.

29.    R. Mehmke, Über die Geschwindigkeit beliebiger Ordnung eines in

seiner Ebene bewegten ähnlich veränderlichen ebenen Systems, Civ. 1883.

30.    A. Ramisch, Beiträge z. kinemat. Geometrie, Gew. 1884.

31.    M. Grübler, Allgemeine Eigenschaften der zwangläufigen ebenen kine

matischen Ketten, Gew. 1885.

32.    O. Mohr, Über Geschwindigkeits- und Beschleunigungsplan, Civ. 1887.

33.    A. Ramisch, Über ebene kinemat. Zylinderketten und deren mo

mentane Bewegung, Gew. 1888.

34.    M. Grübler, Wandlungen der Kinematik in der Gegenwart, Civ. 1889

35.    W. Hartmann, Geometrie, Mechanik u. Kinematik, Z. 1890.

36.    F. Re ul eaux, Über das Verhältnis zwischen Geometrie, Mechanik

u. Kinematik, Z. 1890.

37.    C. Bodenberg, Quadratische Verwandtschaft der Krümmungsmittel

punkte zweier Glieder einer ebenen kinemat. Kette, Z. d. Hannov. Arch.- u. Ing.-Vereins 1890.

38.    W. .Hartmann, Ein neues Verfahren zur Aufsuchung des Krüm

mungskreises, Z. 1893.

39.    Wittenbauer, Die Beschleunigungspole der kinematischen Ketten,

Z. f. Math. 1895.

40.    R. Land, Der Geschwindigkeits- u. Beschleunigungsplan für Mechanis

men, nebst Anwendung auf die Schubkurbel, Z. 1896.

41.    C. Bodenberg, Der Beschleunigungszustand kinematischer Ketten

und seine konstr. Ermittelung, Civ. 1896.

42.    F. Wittenbauer, desgl., Civ. 1896.

W. Hartmann, Konstruktion d. Normalen u. d. Krümmungskreise der Polbahnen d. Vierzylinderkette, Civ. 1902.

44.    Wittenbauer, Graphische Dynamik) Z. f. Math. 1904.

45.    H. Rieder, Kinetographische Verwandtschaft, Diss. 1907.

46.    W. Hartmann, Die Beschleunigung der rollenden Bewegung und ihre

von

Bedeutung für die Untersuchung der BewegungsVerhältnisse Maschinengetrieben, Gew. 1908.

47.    K. Hübsch, Eine kinetographische Verwandtschaft bei speziellen

Schleifschiebergetrieben, Diss., 1909.

48.    Wittenbauer, Das Gleichgewicht ebener kinematischer Ketten, 1916.

49.    M. Krause, Theorie der ebenen veränderlichen Systeme.

50.    Derselbe, Theorie der ebenen unveränderlichen Systeme.

51.    Derselbe, Theorie der affin veränderlichen Systeme.

b) Spezielle Kurbelgetriebe.

52.    T. Rittershaus, Das Kurbelgetriebe und seine Anwendungen, Civ.

1878.

53.    Derselbe, Die Beschleunigungen am Kurbelgetriebe, Civ. 1879.

54.    Derselbe, Die Interferenzkurbelkette, Civ. 1880.

55.    O. Mohr, Notiz betr. die Konstruktion d. Beschleunigung am Kurbel-

getriebè, Civ. 1880.

56.    A. Ramisch, Theoret. Untersuchung einiger in der Praxis angewandter

kinematischer Zylinderketten, Gew. 1881.

57.    Wehage, Über den ruhigen Gang der Dampfmaschinen mit Kurbel

weile. Z. 1884.

58.    J. Täubeles, Über die Beschleunigung des Kreuzkopfs eines Kurbel

mechanismus, Civ. 1886.

59.    Werner, Dampfmaschinen mit schnellem Umlauf, Z. 1886.

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d 1891.

60. Kirsch, Graphische Bestimmung der Kolbenbeschleunigung, Z. 1890

un

61.    W. Hartmann, Dynamische Theorie der Dampfmaschine, Z. 1892

und 1893.

62.    Stribeck, Die bei Dampfmaschinen auftretenden Stöße an Kurbel-

und Kreuzkopfzapfen, Z. 1893.

63.    J. Mi ss on g, Über die Steigerung der Arbeitsgeschwindigkeit v. Ma

schinen mit hin- u. hergehenden Massen, Z. 1893.

64.    R. Krause, Graphische Bestimmung der Kolbenbeschleunigung beim

Kurbelgetriebe, Z. 1894.

65.    0. Mohr, Die Trägheitskräfte einer Schubstange, Civ. 1895.

66.    E. Autenrieth, Beitrag zur Bestimmung der Trägheitskräfte einer

Schubstange, Z. 1895.

67.    Pflüger, dasselbe, Z. 1896.

68.    J. Wittenberg, Bestimmung des Massendruckes der hin- u. her

gehenden Teile d. Dampfmaschine, Z. 1896.

69.    0. Mohr, Die geometr. Bestimmung der Resultierenden der auf eine

Schubstange wirkenden äußeren Kräfte, Z. 1899.

70.    J. Meifort, Stöße und Momente in Dampfmaschinen, Z. 1899.

71.    R. Mollier, Der Beschleunigungsdruck der Schubstange, Z. 1903.

72.    J. Torka, Die Kegelabschnitte im Kurbelgetriebe, Gew. 1904.

73.    Derselbe, Die Flächen 2. Ordnung in d. mathematischen Getrieben,

Gew. 1905.

74. H. Meuth, Kinetik und Kinetostatik des Schubkurbelgetriebes, Dingl. 1905.

75.    Wittenbauer, Dynam. Kraftplan des Kurbelgetriebes, Z. 1906.

76.    M. Enßlin, Die Trägheitskräfte einer Schubstange, Dingl. 1907.

77.    C. Herbst, Analyt. Ermittelung der günstigsten Bewegungsverhält-

nisse eines Schwinghebelantriebes, Dingl. 1908.

78.    P. Brandt, Die rotierende Kurbelschleife u. die Schleppkurbel als An

trieb für Propellerrinnen, Dingl. 1908.

79.    J. Torka, Die Maschinengetriebe und ihre mathematischen Grund

gebilde, Gew. 1908.

80.    M. Kroll, Beitrag zur graph. Berechnung des Kurbelgetriebes, Dingl.

1911.

81.    H. Polster, Experimentelle Untersuchung der Druckwechsel u. Stöße

im Schubkurbelgetriebe, Forsch.-Arb. Hefte 172 und 173 sowie Z. 1914.

c) Steuerungen.

82.    S. M. Schoenelies, Kinematisch-geometrische Untersuchungen über

Hebedaumen, Diss. 1872.

83.    W. Schenker, Ventilerhebungsverlauf und Kraftwirkungen in Ventil

steuerungen, Dingl. 1902.

84.    W. Hart mann, Die Bewegungsverhältnisse von Steuergetrieben mit

unrunden Scheiben, Z. 1905.

85.    E. Dafinger, Graphodyn. Untersuchung einer Heusinger-Joy-Steue-

rung, Dingl. 1907.

86.    K. Doehne, Die Bewegungsverhältnisse von Steuergetrieben mit

Schwingdaumen, Gew. 1908.

87.    H. Holzer, Wälzhebel, Z. 1908.

88.    E. Essich, Über Steuerungsgetriebe mit Wälzhebeln, Gew. 1909.

89.    M. Osthoff, Die Lenzsteuerung an Lokomotiven, Dingl. 1909

90.    H. Götz, Theoret. Untersuchung einer Bonjour-Lachaussée-Dampi-

maschine auf Massendruck der Steuerung und Resonanz des Regulators, Gew. 1909.

91.    O. Mader, Konstruktion der Ventilbeschleunigung bei Füllungsände

rung, Dingl. 1911.

92.    R. Bestehorn, Die Form der Steuerungsnocken, Z. 1919.

d) Massenausgieich und Ungleichförmigkeitsgrad.

93.    Schlick, Vibrationserscheinung bei Dampfern, Z. 1894.

94.    Lorenz, Die Massenwirkung am Kurbelgetriebe u. ihre Ausgleichung

bei mehrkurbeligen Maschinen, Z. 1897.

95.    Fränzel, Das Taylorsche Verfahren zur Ausbalancierung der Schifts-

maschinen, Z. 1898.

96.    ВerlfngTSchiffsschwingungen, Ursachen u. Kritik der Mittel zu inrei

Verminderung, Z. 1899.

97.    Mollier, Der Ungleichförmigkeitsgrad von Gasmaschinen mit Aus-

setzer-Reguherung, Z. 1903.

98.    Rüdenberg, Die günstigsten Kurbelwinkel f. Mehrkurbelmaschinen,.

Dingl. 1904.

99.    Mollier, Ausgleich von Vierzylindermaschinen, Z. 1905.

100. Besfcehorn, Massenausgleich bei Kurbelgetrieben, insbesondere durch Gegengewichte, Z. 1920.

e) Geradführung und Indikatorschreibzeuge.

101.    Burmester, Über die Geradführung durch das Kurbelgetriebe, Civ.

1876.

102.    Kirsch, Zur Theorie der Geradführungen, Civ. 1876.

103.    A. Ramisch, Die allgemeine Konstruktion der Geradführungen.

Gew. 1879.

104.    Burmester, Die Geradführung und Proportionalität am Indikator,

Z. 1888.

105.    W. Hartmann, Die Geradführung u. Proportionalität am Indikator,.

Z. 1890.

f) Zahnräder und zyklische Kurven.

106.    R. Heger,*Eine kinematische Aufgabe, Civ. 1876.

107.    R. Stribeck, Die Abnutzung der Zahnräder und ihre Folgen, Z. 1894.

108.    M. Kohn, Zahnreibung, Z. 1895.

109.    J. Goebel, Die Reibung der Zahnräder, Z. 1896.

110.    E. Herrmann, Die Eingriffsdauer der Zahnräder bei äußerer Ver

zahnung, Dingl. 1898.

111.    O. Herre, Das exzentrische Kreisradgetriebe, Dingl. 1900.

112.    W. Müller, Das Grissongetriebe, Dingl. 1900.

113.    G. Lindner, Neuere Zahnformen, Z. 1900.

114.    К. Büchner, Abimtzungs- und Reibungsverhältnisse der Stirnzahn

räder, Z. 1902.

115.    Ebner, Elementares über die zyklischen Kurven, Dingl. 1902.

116.    Grisson, Über Grissongetriebe, Z. 1903.

117.    W. Hartmann, Genauigkeitsgrad und Geschwindigkeitsverhältnis

bei Verzahnungen, Z. 1905.

118.    P. Hoppe, Satzräder mit Evolventen Verzahnung, Gew. 1909.

119.    Bach, Maschinenelemente.

120.    Kutzbach, Entwicklung der Zahnrädergetriebe, Z. 1916.

121.    Hütte, Taschenbuch.

g) Verschiedenes.

122.    T. Rittershaus, Über Ellipsographen, Gew. 1874.

123.    Derselbe, Parallelräder u. verwandte Mechanismen, Gew. 1875.

124.    Brauer, Kinemat. Untersuchung der Passigdrehbank, Gew. 1876.

125.    A. Slaby, Beitrag zur Kenntnis des Ellipsographen, Gew. 1876.

126.    E. Reuleaux, Über die Sperrwerke ü. ihre Anwendungen, Gew. 1877.

127.    H. Wehage, Mechanismus zum Auflösen linearer Gleichungen mit

mehreren Unbekannten, Gew. 1878.

128.    R. Wirth, Über elliptische Bewegung, Gew. 1890.

129.    Koob, Das Regulierproblem in vorwiegend graphischer Behandlung,

Z. 1904.

130.    В urmester, Kinematische Aufklärung der Bewegung des Auges,1918.

Hierbei bedeuten:

Z. = Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure.

Gew. = Verhandlungen des Vereins zur Förderung des Gewerbefleißes in Preußen.

Dingl. = Dinglers polytechnisches Journal.

Z. f. Math. = Zeitschrift für Mathematik und Physik.

Civ. = Der Civilingenieur.

Forsch.-Arb. = Forschungsarbeiten auf dem Gebiete des Ingenieur-Wesens iVerein deutscher Ingenieure).

Kinematik, Geometrie und Mechanik.

11

Allgemeines.

§ 1. Die Kinematik in ihrer Stellung zur Geometrie und Mechanik.

Kinematik (von mvrjjua Bewegung) ist die Wissenschaft, die den räumlichen und zeitlichen Verlauf der Bewegungen von Körpern erforscht.

Soweit es sich nur um Lagenbeziehungen ohne Berücksichtigung der Zeit handelt, müssen sich naturgemäß die Gebiete won Kinematik und Geometrie decken.

Ziehen wir die Zeit mit in den Bereich unserer Betrachtungen, so kommen wir von den Raumgrößen „Strecke“ und „Winkel“ zu einer Anzahl neuer Größen, die die Geometrie nicht kennt. Es sind dies „Geschwindigkeit“ und „Beschleunigung“ sowie „Winkelgeschwindigkeit“ und „Winkelbeschleunigung“.

Während man nun im allgemeinen in der Mechanik noch einen Schritt weitergeht und zu Raum und Zeit auch noch den Begriff der Masse hinzunimmt, nimmt die Kinematik auf diese keine Rücksicht und, behandelt lediglich die Probleme, in denen Raum und Zeit eine Rolle spielen. Man kann daher die Kinematik als Sondergebiet der Mechanik, die Geometrie als Sondergebiet der Kinematik ansehen.

Ebenso wie für Geometrie und Mechanik gibt es auch für die Kinematik eine rechnerische und eine graphische Methode, die zu lösenden Aufgaben zu behandeln. In dem vorliegenden Bändchen soll vor allem die graphische Methode eingehend angewendet werden, die für den Ingenieur in den meisten Fällen wegen

Allgemeines.

12

ihrer Anschaulichkeit und Einfachheit die empfehlenswertere ist Das schließt jedoch nicht aus, daß teilweise auch zur Rechnung übergegangen wird, wo diese besondere Vorteile bietet.

§ 2. Geschichtliche Entwicklung der Kinematik.

Die Kinematik ist eine verhältnismäßig junge Wissenschaft und noch stetig im Ausbau begriffen.

Torricelli (1608 bis 1647) und Viviani (1622 bis 1703) haben sich, als sie sich mit dem Zykloiden-problem beschäftigten, wohl zum ersten Male mit rein kinematischen Aufgaben befaßt. Im Jahre 1742 wurde von Johann Bernouilli der grundlegende Satz vom Momentanpol einer ebenen Bewegung gefunden.

D’Alembert, Euler und Kant, sowie nach ihnen auch Car not behandelten die Bewegungspropleme rein geometrisch, indem sie sie von ihren Ursachen vollkommen loslösten, und begründeten damit „die geometrische Bewegungslehre“ als eine selbständige Disziplin, während Ampère, der geistvolle Franzose, dem die Wissenschaft auch auf anderen Gebieten vieles zu danken hat, in seinem Buche „Philosophie des sciences (1843“) zum ersten Male den Namen Kinematik einführte. In seinem Werke nimmt Ampère eine genaue Umgrenzung dieser Spezialwissenschaft vor und beleuchtet ihre Sonderstellung in dem großen Gebiete der Mechanik.

Für die praktische Anwendung der Kinematik im Maschinenbau war es ein bedeutender Schritt, als Ponceletl838 die kinematische Theorie der wichtigsten zur Bewegungsübertragung dienenden Mechanismen in seine Vorlesungen an der Sorbonne in Paris aufnahm. Damit wurde das Interesse an kinematischen Problemen

Geschichtliche Entwicklung der Kinematik. 13

in weite Kreise getragen und nun erst die Allgemeinheit auf die Wichtigkeit der neuen Wissenschaft für die Kenntnis der Maschinen aufmerksam gemacht.

Der beste Beweis für die Förderung der Kinematik durch Poncelets Vorlesungen ist wohl darin zu erkennen, daß in kurzer Zeit eine ganze Reihe von Werken erschien, die sich mit den Bewegungsvorgängen der Maschinenmechanismen befaßten.

Hierher gehören besonders die Namen von Willis, Giulio, Laboulaye, Rankine, Goodeve, Haton de la Goupillière, Bour, Resal, Morin, Girault, Belanger, Dwelshauers-Déry und Collignon.

Besonders tätig in der weiteren Entwicklung einzelner Theorien waren nach Ampère die Franzosen Poinsot, Chasles, Hachette, Savary, Bobillier u. a.

In Deutschland wurde zunächst außer einigen theoretischen Abhandlungen nichts geschaffen. Erst 1870 erschien ein größeres Werk von Schell, 1872 ein anderes von Aronhold und 1875 Reuleaux’ berühmtes Werk: „Theoretische Kinematik“. Eine umfangreiche Bearbeitung fanden die bisher erschienenen Abhandlungen in Burmesters „Lehrbuch der Kinematik“, das im Jahre 1888 herauskam.

Außer den schon Genannten haben noch eine Reihe anderer Männer durch eine große Anzahl von Abhandlungen über Sonderprobleme der Kinematik wesentlichen Anteil an deren stetiger Entwicklung gehabt. Es seien unter anderen hier die Namen genannt Cauchy, Steiner, Schellbach, Möbius, Breton, Transon, Stegmann, Bresse, Jonquières, Lamarle, Mannheim, Grashof, Gilbert, Nicolaidés, Küpper, Somoff, Proell, Sylvester, Saint-Loup, Lignine, Ball, Kempe, Rittershaus, Schadwill, Mohr,

Geisenheimer, Habich, Helm, Schumann, Grübler, Mehmke, Kraft, Rodenberg, Wittenbauer, Land, Koenigs, Mollier, Büchner, Hartmann, Weiß, Holzer, Doehne, Essich.

Theoretischer Teil.

I. Ebene Bewegung eines Punktes.

§ 3. Geradlinige Bewegung.

Weg;

Auf der geraden Linie f g (Fig. 1) bewege sich ein Punkt A. Wir wählen einen Bezugspunkt О auf der

0-

Geraden und wollen, um Ł. die Lage des Punktes А rechts oder links von О

Fig. 1.

unterscheiden zu können, den Abständen 0 A = s rechts von 0 ein positives, links von 0 ein negatives Vorzeichen geben. Die Bewegung in der Richtung f nach g soll entsprechend als Bewegung im positiven, die von g nach f als solche im negativen Sinne bezeichnet werden.

Die Bewegung ist eindeutig bestimmt, sobald man zu jeder Zeit t die Entfernung OA — s durch eine Funktion

angeben kann.

Markiert man auf der Bahnkurve die Stellen, wo sich der Punkt zur Zeit t — 0, 1, 2, 3, . . . sec befindet, so erhält man ein Bild vom zeitlichen Verlauf der Bewegung.

Viel anschaulicher wird der Vorgang dargestellt, wenn man in einem besonderen rechtwinkligen Koordinatensystem über der Zeit t als Abszisse den Weg s als Ordinate aufträgt. Diese Darstellung heißt die Zeit-Weg-Kurve (Fig. 2).

Geschwindigkeit :

Als Geschwindigkeit v des Punktes A zur Zeit t bezeichnet man das Verhältnis des in der unendlich kleinen Zeit dt zurückgelegten Weges ds zu diesem Zeitelement dt, also

Al ■

- Л(0 '

.f

-43«fr

rat

Aus Fig. 2 erkennt man, daß

//

г/

V = tan a .

Trägt man in einem rechtwinkligen Koordinatensystem über der Zeit t die Geschwindigkeit V auf, so erhält man das Zeit-Ge-schwindigkeits-Diagramm (Fig. 3).

Aus der Definition der Geschwindigkeit Gl.

(1) ergibt sich

ds = V • di , so daß wir den zwischen O-den Zeiten t — t₀ und t — tx zurückgelegten Weg

Ącc dB₀

Fig. 2.

/7

-ь-

А/du

///

CÉ

Fig. 3.

4i

~P

si

aus dem tv-Diagramm als Fläche A₀A₁B₁B0 entnehmen können.

Das Weg-Ge-schwindigkeits- <> Diagramm (Fig. 5)

Fig. 4.

P*

/Г

Ebene Bewegung* eines Punktes.

IG

erhält man, wenn man die Geschwindigkeit v als Funktion des Weges s aufzeichnet.

Beschleunigung :

Unter der Beschleunigung p des Punktes A zur Zeit t versteht man den Quotienten aus dem in der unendlich kleinen Zeit dt stattfindenden Geschwindigkeitszuwachs dv (nach Größe, Richtung und Richtungssinn) und dem Zeitelement dt, also

dv

d²s

Ą,

w......

<3>-

~P

(2) p dt ~'dt²

= Hf) ■

Aus Fig. 3 ergibt sich, daß

p = tan ß . Schreibt man

dv dv ds V = Jt⁼⁼d~s'Tt

V' ds r

so erkennt man aus Fig. 5, daß die Beschleunigung p im v/s — Diagramm als die Subnormale B G gefunden werden kann, da dv V'~ds

BC — v • tany =

= p ist.

Zeichnet man die Werte p als Funktion s der Zeit t in einem recht-

Fig. 5.

winkligen Koordinatensystem auf, so erhält man

iłJ_A

Fig. 6.

die Zeit-Beschleunigungs-Kurve (Fig. 4).

Aus der Definition der Beschleunigung Gl. (2) folgt dv — p dt ,

Zusammensetzung zweier geradliniger Bewegungen 17

«1 — f0 = Jp dt . *0

und daher läßt sich aus dem pit — Diagramm die Geschwindigkeit vt zur Zeit tx durch Planimetrieren der Fläche A₀A₁B₁B₀ finden, wenn man ihren Wert v₀ zur Zeit tQ kennt; denn es ist

vdv — pds,

Zum Weg-Beschleunigungs-Diagramm gelangtman durch Aufzeichnung der Beschleunigung p über dem Weg s (Fig. 6). Aus Gl. (3) folgt

'vl—vl = 2jpds, s0

so daß man, wenn freilich umständlicher, auch aus dem ps-Diagramm zur Zeit tx die Geschwindigkeit bestimmen könnte, sobald ihr Wert v₀ zur Zeit t₀ bekannt ist.

§ 4. Zusammensetzung zweier geradliniger Bewegungen.

Zusammensetzung der Wege:

Bewegt sich ein Punkt A (Fig. 7) in der Zeit t gegen eine Ebene E₁ geradlinig, wobei er den Weg A₀At = sr gegen den ursprünglich in der Ebene Ex innegehabten Punkt A0 zurücklegt, und wird die Ebene Ex in der gleichen Zeit t gegen eine feste Bezugsebene E₀ um' den Weg in gerader Richtung verschoben, so fällt der Punkt At nach diesen t sec mit dem Punkte A₂ der Ebene E₀ zusammen, den man als Endpunkt der Diagonale A₀A₂=s im Parallelogramm А₀АХА₂А[ erhält. Zu diesem Punkte gelangt man also durch Aneinandersetzen der Wege sr und unter Berücksichtigung der richtigen Wegrichtungen (auch dem Bewegungssinne nach).

Dieses Verfahren heißt „geometrische Addition“ und kann symbolisch geschrieben werden

s = sr + sj ,

Polster, Kinematik.

wobei das Zeichen л über dem + diese Summe von einer gewöhnlichen algebraischen Summe unterscheidet.

Wie man aus Fig. 7 sieht, ist es dabei gleichgültig, ob man den Linienzug A₀A₁A₂ oder A₀A[A₂ verfolgt,

0 ST,

Fig. 7.

d. h. die Reihenfolge der Summanden ist beliebig, und wir können auch schreiben

s = Sl + 8r.

Man kann das Verhältnis

Vm- t

die mittlere Geschwindigkeit der zusammengesetzten Bewegung nennen, nicht zu verwechseln mit der tatsächlichen Geschwindigkeit. Mit dieser würde sie nur dann übereinstimmen, wenn beide Bewegungen, sowohl die Relativbewegung des Punktes gegen die bewegte Ebene E±, als auch deren Bewegung gegen E₀ während der in Frage kommenden Zeit t gleichförmige Bewegungen sind.

Zusammensetzung der Geschwindigkeiten:

Das Parallelogramm der Wege für geradlinige Bewegungen gilt auch, wenn das Zeitelement dt, in dem wir die Bewegungen betrachten, unendlich klein wird. Da wir in dieser kurzen Zeit sogar die einzelnen Bewegungen als gleichförmig ansehen können, so wird die mittlere Geschwindigkeit im betrachteten Zeitelement zur tatsächlichen Geschwindigkeit der zusammengesetzten

r:

Zusammensetzung zweier geradliniger Bewegungen. 19

Bewegung, d. h. die Geschwindigkeit der zusammengesetzten Bewegung ist

dsr

ds dsr + dst

dt

dt

= «V + Vj

dst

die Geschwindigkeit des

Ci b

Punktes A relativ zur bewegten Ebene E₁ und die der letzteren gegen die ruhende Ebene sind.

wenn vr — —— und vx

dt

ds

4\>

dvn

\ pi'

ifc

dir

Av

Fig-. 8.

Wir können also die tatsächliche Geschwindigkeit einer zusammengesetzten Bewegung durch geometrische Addition der Geschwindigkeiten der Einzelbewegungen finden.

Zusammensetzung der Beschleunigungen:

Beobachten wir die zusammengesetzte Bewegung in zwei um dt zeitlich verschiedenen Punkten, und sind zunächst vr und vx die Geschwindigkeiten der Einzelbewegungen, während sie im 2. Punkte vr + dvr und vx + dvx sind, so erhalten wir die Geschwindigkeit v der zusammengesetzten Bewegung im 1. Zeitpunkte

v = vf + v₁,

im 2. Zeitpunkte

V    4- Av = (vr + dvr) 4- (»1 + dvrf ,

V    + Av = (г>, + ®j) -f (dvr + dvy) ,

Av = dvr + dvx ,

d. h. der geometrische Zuwachs der Geschwindigkeit oder die sogenannte „Elemeiitarbeschleunigung“ der zusammengesetzten Bewegung Av ist die geometrische Summe der Elementarbeschleunigungen dvr und dv₁ der Einzelbewegungen.

Die Beschleunigung der zusammengesetzten Bewegung kann daher geschrieben werden

Es lassen sich also auch die Beschleunigungen nach dem Parallelogramm zusammensetzen.

dt

dt

dt

Av dvr + dvx dvr ^ dvx

§ 5. Krummlinige Bewegung.

§ 18. Schiebung einer Ebene und Drehung einer anderen um einen festen Punkt der ersten.

Y. Die Evolventen.

e,i

§ 50. Rotierende Kurbelschleife. Ermittlung der Bewegung der Kurbel.

$ / V

Spezialfälle :

Geb. RM. 11.50

§ 5. Krummlinige Bewegung.

Das bei der geradlinigen Bewegung für den AVeg und die Geschwindigkeit Gesagte gilt sinngemäß auch für die krummlinige Bewegung.

A A'

7si

v⁹

V_2.

Fig. 9.

Für die Beschleunigungen treten jedoch allgemeinere Verhältnisse ein. Um die hierfür geltenden Beziehungen abzuleiten, denken wir uns zu einer Lage A des bewegten Punktes (Fig. 9) die Nachbarlage Ä ermittelt, in

die er von A aus nach Verlauf des Zeitelements dt gelangt ist. Die Geschwindigkeit in A sei v, die in A' sei v'. Da die Geschwindigkeiten in die Richtung der Bahntangenten der Punkte A und A' fallen, so müssen v und vf denselben Winkel dcp einschließen, wie diese Tangenten.

Um nach Größe und Richtung zur Geschwindigkeit v* zu gelangen, müssen wir nach dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten mit v eine kleine Geschwindigkeit A v, die oben mit „Elementarbeschleunigung“ bezeichnet wurde, zusammen setzen. Diese Elementarbeschleunigung wird durch eine Beschleunigung p verursacht, welche in gleicher Richtung und in gleichem Sinne wie Av auf den Punkt A einwirkt und die Größe hat

Av

p = iü-

An Stelle von A v können wir zwei Komponenten einführen dv in Richtung der Geschwindigkeit v\ also in der Tangentenrichtung, und

v dcp in dazu senkrechter Richtung, also in der Normalen-richtung,

was wir symbolisch schreiben können

Av — dv + v dcp .

Dann wird die Gesamtbeschleunigung

Av dv + vdcp    dv ^ dcp

dt

dt

-L--—. Л- v • —— У

dt ‘ dt

d. h. die Gesamtbeschleunigung läßt sich geometrisch aus zwei Einzelbeschleunigungen zu-sammen.setzen, von denen die Komponente

dv

in die Richtung von v\ also in die Tangentenrichtung fällt und daher Tangentialbeschleunigung genannt wird. Diese Komponente wirkt lediglich auf die Größenveränderung der Geschwindigkeit v ein.

Die andere Komponente

(5)

dcp

V* = 'o-rT

dt

fällt in die Richtung von vdq9, also steht sie senkrecht zur Tangente und heißt daher Normalbeschleunigung. Sie verursacht lediglich die Richtungsänderung der Geschwindigkeit.

Zieht man die beiden Normalen der Kurve in A und A so schneiden sie sich im Krümmungsmittelpunkt M und bilden den Winkel dop miteinander. AM = A'M = q ist der Krümmungsradius der Bahn im Punkte A. Wir können dann setzen

ds = q • dcp ,

. ds dcp —-

в

und mithin läßt sich der oben für die Normalbeschleunigung erhaltene Ausdruck [Gl. (5)] in der Form schreiben

vdop

Vn~ dt

ds

V²

V .-— = —

Q-dt Q

II. Ebene Bewegung zweier Ebenen.

§ 6. Schiebung.

Eine Ebene vollzieht gegen eine andere eine Schiebung, wenn eine in ihr liegende Gerade während dei Bewegung ständig einer festen Geraden parallel bleibt.

Schiebung. Drehung um einen festen Punkt. 23

Dann beschreiben sämtliche Körperpunkte kongruente, gleichliegende Bahnkurven und folgen dem gleichen Bewegungsgesetz. Kennt man daher die Bahn eines einzelnen Punktes der bewegten Ebene und seine Bewegungsgleichung auf ihr

s = f{о,

so ist damit auch die Bewegung eines jeden anderen Punktes bekannt.

§ 7. Drehung um einen festen Punkt.

Eine Ebene vollzieht gegen eine andere Ebene eine Drehung, wenn einer ihrer Punkte seine Lage ständig beibehält. Der feste Punkt heißt der Drehpunkt, Drehpol oder das Drehzentrum.

Drehwinkel :

N,

Mt

In Fig. 10 sei M der Drehpunkt der Bewegung. Wir wählen die durch M gehende feste Bezugsgerade MN und wollen, um den Drehsinn der Bewegung angeben zu können, die Drehung im Sinne des Uhrzeigers als Drehung im positiven, die im umgekehrten Sinne als solche im negativen Sinne bezeichnen.

Fig. 10.

Die Drehung der bewegten Ebene ist eindeutig bestimmt, wenn man zu jeder Zeit t den Winkel cp, den eine mit derselben fest verbundene Gerade M О mit MN einschließt, durch eine Funktion

<P = ДО

angeben kann. Es kann also cp positives oder negatives Vorzeichen haben, je nach dem Drehsinn.

Winkelgeschwindigkeit :

Als Winkelgeschwindigkeit со der Ebene Et zur Zeit t bezeichnet man das "Verhältnis des in der unendlich kleinen Zeit dt beschriebenen Winkels dcp zu diesem Zeitelement dt, also (7)

Da dcp je nach dem Drehsinn positiv oder negativ sein kann, so wird со entsprechend positiv, wenn die Drehung im Sinne des Uhrzeigers, negativ, wenn sie im entgegengesetzten Sinne stattfindet.

Winkelbeschleunigung :

Unter der Winkelbeschleunigung s der Ebene E₁ zur Zeit t versteht man den Quotienten aus dem in der unendlich kleinen Zeit dt stattfindenden Zuwachs der Winkelgeschwindigkeit dco und dem Zeitelement dt

f'{t).

(8)

dco d²cp

dt    dt²

Je nachdem die Winkelgeschwindigkeit zu- oder abnimmt, ist dco und damit auch e positiv oder negativ.

Bewegung eines beliebigen Punktes der rotierenden Ebene :

Alle Punkte der rotierenden Ebene beschreiben konzentrische Kreise um den Drehpunkt. Ist A₀ die Lage eines Punktes A der rotierenden Ebene zur Zeit t = 0, wobei MA₀ = r sein Drehradius ist, A seine Lage zur Zeit t und bezeichnet < A₀ MA = cp den bei der Drehung

Drehung um einen festen Punkt.

25

in t sec beschriebenen Drehwinkel, so ist der von A in dieser Zeit znrückgelegte Weg

s = r • cp .

Nach den für die krummlinige Bewegung eines Punktes in § 5 abgeleiteten Beziehungen erhält man aus dieser Bewegungsgleichung die Geschwindigkeit des Punktes A zur Zeit t

(9)

ds    dm

= r •    — — r • CD

dt

dt

dieTangentialbeschleunigung des Punktest zurZcit^

(10)

dv

dco

jpt = —— = r • —— = Г • £

dt

dt

die Normalbeschleunigung des Punktes A zur Zeit t V²    (r cd)²

an

Pn = —

— r CD ,

die Gesamtbeschleunigung

(12) p=pt+Pn=il),t+Pl=i{r£)²+(rM²)2==ri£²+CD*, den Winkel oc derselben gegen den Drehradius MA aus der Beziehung

Pt

tana = —

re

CD²

Pn

r CD ²

und wir erhalten somit den Satz:

Bei der Drehung einer Ebene um einen festen Punkt beschreiben alle ihre Punkte konzentrische Kreise. Ihre Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (auch Tangential- und Normalbeschleunigungen) sind den Drehradien proportional. Ihre Beschleunigungen schließen mit ihren Drehradien gleiche Winkel ein.

§ 8. Momentanpol zweier beliebig sich bewegender Ebenen.

\.

-Ц

Fig. 11.

Ist das Zeitelement dt unendlich klein, so gehen die Sehnen A₀A₁ und B₀B₁ in die Tangenten der Kurven a und 6, und ihre Mittelsenkrechten in die Normalen über. Die Bewegung läßt sich also im betrachteten Zeitpunkte als eine Elementardrehung um den Schnittpunkt P der Bahnnormalen auffassen.

Wir nennen dann P das Momentan Zentrum, den Geschwindigkeitspol, Momentanpol oder Pol der Bewegung. Der Momentanpol ist somit der einzige Punkt derbewegten Ebene, der im betrachteten Zeitpunkt in Ruhe bleibt. Alle anderen Punkte sind in Bewegung. Da es gleichgültig ist, welche beiden die Bewegung

Die ebene Bewegung einer Ebene Ex (Fig. 11) gegen eine feste Bezugsebene E₀ ist vollständig bestimmt, wenn man die Bewegung zweier ihrer Punkte A und В kennt. Nehmen wir an, diese Punkte hätten sich im Zeitelement dt aus ihren Lagen A₀ B₀ in die Lagen A₁Ą längs ihrer Bahnkurven a und Ъ bewegt. Ersetzen wir die Kurvenelemente A₀ Ai und B₀ Б1 durch ihre kleinen Sehnen A₀ A₁ und B₀ Bt, errichten auf diesen die Mittelsenkrechten, die sich in P schneiden mögen, und verbinden P mitM₀ und B₀ sowie mit A± und Bx, so folgt aus der Kongruenz der Dreiecke A₀PB₀ und MjPPj, >p daß man die Strecke A₀B₀ durch Drehung um P in die Lage A₁B1 überführen kann.

bestimmenden Punkte der bewegten Ebene herausgegriffen werden, so müssen die augenblicklichen Normalen der Bahnen aller Punkte sich im Momentanpol schneiden.

Alle diese Strahlen, welche die Punkte der Ebene mit dem Pol verbinden, heißen Hauptstrahlen.

§ 9. Geschwindigkeiten zweier beliebig sich bewegender Ebenen.

VA

vAa

Fi g. 12.

Wie man des weiteren bald einsehen wird, kann man die zeichnerische Ermittelung der Geschwindigkeiten sehr vereinfachen, wenn man die letzteren um 90° im Uhrzeigersinne dreht, so daß sie in die Haupt strahlen der Punkte fallen. Wir sprechen dann von den gedrehten, orthogonalen oder „normalen“ Geschwindigkeiten der Punkte.

Kennt man den Momentanpol P (Fig. 12) sowie die Geschwindigkeit vA irgendeines Punktes A der Ebene Ei, so ist die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit um den Momentanpol

со = —

und die Geschwindigkeit vB eines beliebigen anderen Punktes В der Ebene

гв

Vß — со • rB —--VA%

rA

d.h. wir erhalten zeichnerisch i^als die vierte geometrische

Sind z. B. AM = vA und BN = vB die Geschwindigkeiten von A und В in richtiger Größe und Lage, so sind AM' = vA und BN' — vB die gedrehten Geschwindigkeiten der Punkte A und В und es muß auf Grund der obigen Beziehung

Proportionale aus den drei bekannten Größen rAl rB und vÄ.

vä    r a ’

also auch M'N' || AB sein, d. h. wir finden vB, falls vA bekannt ist, wenn wir A mit В verbinden und M'N' || AB ziehen.

§ 10. Polkurven zweier beliebig sich bewegender Ebenen.

Während eines unendlich kleinen Zeitelements dt ist jede Bewegung eine Drehung um einen Momentanpol. Während einer endlichen Zeit muß also jede Bewegung aus einer unendlichen Anzahl solcher Elementardrehungen bestehen. Wenn wir es nicht mit dem Spezialfall der Drehung um einen festen Punkt zu tun haben, so muß der Pol in beiden Ebenen seine Lage stetig ändern und gegenüber jeder der beiden Ebenen eine Kurve beschreiben.- Diese Kurven heißen die Polbahnen oder Polkurven, und zwar wird die in der festen Ebene liegende Polbahn die ruhende Polkurve (Rastpolbahn), die in der bewegten Ebene liegende die bewegliche Polkurve (Gangpolbahn) genannt.

In jedem Zeitpunkt haben beide Polkurven den Pol gemeinsam. Durch eine Elementardrehung (Drehung um einen unendlich kleinen Winkel) um diesen gemeinsamen Punkt müssen die Nachbarpunkte der Polkurven zur

Deckung gekommen sein. Das ist nur möglich, wenn sich die Polkurven im Pol berühren und während der Bewegung aufeinander abrollen, ohne zu gleiten. Sie heißen aus diesem Grunde auch Rouletten oder Roll-kurven.

Sind die Polbahnen sowie das Gesetz bekannt, nach dem sie aufeinander abrollen, so ist hierdurch die Bewegung der Ebenen völlig bestimmt.

§ 11. Hüllkurven.

Es sei die Bewegung einer Ebene gegen eine andere bekannt. Mit der bewegten Ebene seien zwei Kurven a und ß verbunden und ihre Hüllkurven a und b in der ruhenden Ebene bestimmt (Fig. 13). A und В seien die momentanen Berührungspunkte der beiden Kurvenpaare.

iB

Fig, 13.

Wenn (X bzw. ß bei der Bewegung weder in a bzw. b eindringen, noch sich davon abheben sollen — und dies ist die Voraussetzung der Hüllkurven —, so müssen sich die Punkte A und В längs ihrer Tangenten bewegen. Das ist nur möglich, wenn die Bewegung eine momentane Drehung um den Schnittpunkt P der beiden Berührungsnormalen ist. P ist also der Pol der Bewegung.

§ 12. Umkehrung der Bewegung.

Da es bei der Bewegung zweier Ebenen stets nur auf die relative Lage der einen Ebene gegenüber der anderen ankommt, so ist es gleich, welche der beiden Ebenen als die ruhende angesehen wird. Die Lage der Pole ändert sich dadurch nicht, und die Rollkurven bleiben dieselben. Nur wird die ruhende Polbahn zur beweglichen, die bewegliche zur ruhenden Polbahn.

§ 13. Beschleunigungspol.

"Wie wir oben sahen, beschreiben bei der allgemeinen Bewegung einer Ebene gegenüber einer anderen alle ihre Punkte krummlinige Bahnen und haben daher Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. Nur der Geschwindigkeitspol allein besitzt keine Geschwindigkeit. Es liegt nahe zu fragen, ob es auch einen Punkt gibt, der keine Beschleunigung hat und den wir Beschleunigungspol nennen wollen.

Vorausgesetzt, es gäbe einen solchen, so darf er weder Tangential- noch Normalbeschleunigung haben; d. h. er muß den beiden Bedingungen unterworfen sein

dv

Pt = -TT = ⁰ >

dt

V²

Pn = — = 0 •

Der Geschwindigkeitspol befindet sich momentan in Ruhe. Im nächsten Augenblick nimmt er eine Geschwindigkeit an; er muß also eine Beschleunigung haben und kann daher nicht zugleich Beschleunigungspol sein.

Dann muß der Beschleunigungspol ein Punkt sein, der selbst eine endliche Geschwindigkeit besitzt. Die erste der beiden obigen Bedingungen sagt uns, daß seine Geschwindigkeit v augenblicklich einen Maxi-

+v

Pa,

&■

l-V

c t

Fig. 14.

mal-oderMinimalwert hat. Die zweite Bedingun g kann bei endlichem v nur erfüllt werden, wenn q = oo wird, d. h. wenn sich der Punkt in einem Wendepunkte seiner Bahn befindet.

In Fig. 14 sei J der Beschleunigungspol, v seine Geschwindigkeit. Da diese während der unendlich kleinen Zeit dt konstant bleibt, so ändert man an den

Beschleunigungen der einzelnen Punkte der Ebene nichts, wenn man allen Punkten der Ebene eine zusätzliche Geschwindigkeit erteilt, die gleich der Geschwindigkeit v des Punktes J und entgegengesetzt gerichtet ist. Auf diese Weise kann man die Bewegimg der Ebene in eine Drehung um den Punkt J verwandeln, der nun weder Geschwindigkeit noch Beschleunigung hat und also als fester Drehpunkt angesehen werden kann.

Sind pa und pb die Beschleunigungen zweier Punkte A und В der Ebene, JA = a und JB = Ъ die Abstände dieser Punkte vom festen Drehpunkt /, so erhält man nach früherem (§7) die Beziehung

(i)

Va : Ръ — а ' b i

(2)

<£JAA'=<JBB'=A:(x .

(3)

Ist S der Schnittpunkt von AA/ und BB\ so ist <£ASB = <£AJB =    .

Kennt man die Beschleunigungen pa und pb zweier Punkte A und В nach Größe und Richtung, so wird der Beschleunigungspol J somit als Spitze eines Dreiecks A JB mit

a)    der Basis AB, dem ihr gegenüberliegenden Winkel A JB = cp und

b)    dem Verhältnis der Seiten AJ : JB = a : b = pa : pb gefunden.

Die Bedingung a) ist erfüllt, wenn J mit А, В und S auf einem Kreise liegt, da dann <£ AJB — <£ ASB = <^9? gleiche Peripheriewinkel über der Sehne AB sind.

Die Bedingung b) wird erfüllt, wenn J auf einem Halbkreise liegt, welcher über der Verbindungslinie der Punkte U und V geschlagen ist, die Aß innen und außen im Verhältnis pa : Ръ teilen (Apollonischer Lehrsatz).

Zu einer bequemeren Ermittlung von J führt folgende Überlegung :

Trägt man die Beschleunigung pa und pb in wahrer Größe und Richtung von einem Punkte О aus in einem besonderen Beschleunigungsplan auf, so daß A₀ О = Pa, B₀0=pb, so ist

<£A₀OB₀ = <£ASB=<£AJB=<£(p .

Da nun

Pa • Pb = « : b so sind die Dreiecke A A₀OB₀ und A AJB ähnlich.

Trägt man für einen beliebigen anderen Punkt C mit Abstand CJ=c und der Beschleunigung pe — CC' im Beschleunigungsplan seine Beschleunigung C₀O =pc nach Größe und Richtung ein, so ergibt sich analog wie oben AC₀OB₀ co ACJB,

AC₀OA₀™ ДШ, und man erkennt, daß auch

AA₀B₀C₀ со AABC.

Kennt man also die Beschleunigung pa und pb zweier Punkte A und В und will man diejenige pc eines beliebigen anderen Punktes C der Ebene finden, so muß man im Beschleunigungsplan über A₀B₀ das dem Dreieck ABC ähnliche Dreieck А₀Б₀(7₀ errichten und findet sodann C₀O = Pc in richtiger Größe und Richtung.

Zu jedem Punkte der Ebene gehört somit ein bestimmter Punkt des Beschleunigungsplanes und umgekehrt. Zum Punkte О des Beschleunigungsplanes gehört die Beschleunigung p = 0 ; er muß also dem Beschleunigungspol J entsprechen. Diesen findet man demnach, wenn man über AB als Basis AAJB^AAqOBq konstruiert.

Da im Beschleunigungsplan stets ein einziger Punkt О existiert, zu dem es keine Beschleunigung gibt, so erkennt man hieraus, daß es stets einen einzigen Punkt J

Polster, Kinematik.

der bewegten Ebene gibt, der keine Beschleunigung hat; d. h.: Es gibt stets einen, aber nur einen einzigen Beschleunigungspol.

§ 14. Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsund Beschleunigungspol. Wendekreis und Wechselkreis.

Die relative Bewegung zweier Ebenen sei durch die Polkurven л und p, die sich zur Zeit t im Momentanpol P

_ Ж ,W

''T

.p'

\\

a>

JU

15

Fig. 15.

berühren, und durch den augenblicklichen Beschleunigungspol/gegeben. (Eig. 15). Es seien weiter durch P und Jzwei Kreise a und b so gezeichnet, daß die Polkurven in P von a berührt, von b dagegen senkrecht geschnitten werden.

Der Pol P hat momentan keine Geschwindigkeit, erhält aber nach der unendlich kleinen Zeit dt eine solche und zwar in Richtung der Normalen in P, die den Kreis a in W schneiden möge. P hat also eine Beschleunigung jt?₀, die in die Richtung der Normalen P W fällt und mit dem Strahl PJ den Winkel WPJ — oc bilden möge. Die Beschleunigung px jedes anderen Punktes X der Ebene muß mit dem Strahl XJ den gleichen Winkel oc bilden.

Verbinden wir einen beliebigen Punkte des Kreises a mit P, J und W, so ist < WAJ = <£ WPJ — oc als Peripheriewinkel über gleichem Bogen und damit AW die Richtung der Beschleunigung pa. Da nun < WAP = 90° als Peripheriewinkel über einem Halbkreis, AP die augenblickliche Bahnnormale des Punktes A und somit AW seine augenblickliche Bahn tangente ist, so fällt die Gesamtbeschleunigung des Punktes A in die Tangente seiner Bahn; d. h. der Punkt A hat nur eine Tangentialbeschleunigung und keine Normalbeschleunigung. Es muß also für ihn

Qa

Vn = - = 0

sein. Da seine Drehgeschwindigkeit va um den Pol P einen endlichen Wert hat, so kann pn = 0 nur dann werden, wenn der Krümmungsradius seiner Bahn ga = oo ist; d. h. der Punkt A und damit alle anderen Punkte des Kreises a befinden sich in Wendepunkten ihrer Bahnen. Der Kreis a heißt daher der Wendekreis.

Jeder beliebige andere Punkt A/ innerhalb oder außerhalb des Wendekreises, der auf AJ gelegen ist, hat eine Beschleunigung A' W' Il A W. Da aber seine Bahn-tangente A' T' _L A' P sein muß, so fällt A'Wf mit A'T'

nicht mehr zusammen, d. h. Ä muß eine Normalbeschleunigung haben und kann sich daher nicht in einem Wendepunkte seiner Bahnkurve befinden. Damit ist erwiesen, daß der Wendekreis der geometrische Ort aller Punkte überhaupt ist, die sich im betrachteten Augenblick in Wendepunkten ihrer Bahn befinden.

Verbinden wir einen beliebigen Punkt В des Kreises b mit P und /, so ist < JBP = < JPW = oc, weil Peripherie- und Sehnentangentenwinkel über gleichem Bogen gleich sind. Die Beschleunigung pb von Punkt В fällt also mit der Bahnnormalen BP zusammen. Der Punkt В und mit ihm alle Punkte des Kreises b haben daher nur eine Normalbeschleunigung, aber keine Tangentialbeschleunigung. Es muß also für diese Punkte

dv

Pt = ~rr = °

dt

sein; d. h. die Geschwindigkeiten aller Punkte des Kreises b haben augenblicklich einen Maximaloder Minimalwert. Da die Tangentialbeschleunigung in diesen Punkten in eine Verzögerung oder umgekehrt übergeht, also ihr Vorzeichen wechselt, so heißt dieser Kreis der Wechselkreis.

Analog wie vorher läßt sich zeigen, daß es weder innerhalb noch außerhalb des Wechselkreises Punkte B' gibt, deren Tangentialbeschleunigung pt = 0 wird, und wir erhalten damit den Satz:

Der Wechselkreis ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Geschwindigkeit einen Maximal- oder Minimalwert besitzt.

Sind P und P' zwei benachbarte Momentanpole (Fig. 16), wobei PP' — ds, und ist die momentane Winkelgeschwindigkeit um den Pol со, die Winkelbeschleunigung während der Pol selbst seine Lage auf den Polbahnen mit der Polwechselgeschwindigkeit

ds

dt

ändert, so hat P nach der Zeit dt die Geschwindigkeit Av — со • ds

<o

Fig. 16.

angenommen. Die Beschleunigung des Punktes P ist also

ds

(13)

=== CO • и .

Av

Jeder beliebige Punkt X mit dem Polabstand PX = x hat infolge der Drehung um den Pol die Normalbeschleunigung

pn — X CO²

und die Tangentialbeschleunigung pt = x s .

Außerdem muß er noch die Beschleunigung p₀ des Poles selbst haben.

Da со² = — и • со

Vom Punkte W im Abstand PW — Da wissen wir, daß er nur die Tangentialbeschleunigung’ Da • s haben kann. Daher müssen sich die übrigen Beschleunigungen aufheben, d. h. es muß

(14)

sein, woraus sich der Durchmesser Da des Wendekreises ergibt. Da = — .

CO

Die in P an die Polbahnen gelegte Tangente schneide den Wechselkreis im Punkte V. Wir wissen, daß Punkt V nur eine Normalbeschleunigung haben kann, also muß für ihn Db . g — U • CO

Db =

(15)

sein, und wir finden den Durchmesser Db des Wechselkreises и • со

Da <^JVP — 90° — <£JPV = <a ist und da T7, J und V auf einer G-eraden liegen, so erhält man auch noch

(16)

Da

tana = WP : PV =

Db

CO²

d. h. der Winkel, den die Gesamtbeschleunigung eines Punktes X gegen den Beschleunigungspol-strahl JX bildet, ist für jeden Punkt X der gl'eiche und ebenso groß wie der, den die Beschleunigung des Punktes X gegen den Greschwindigkeitspolstrahl PX bilden würde, wenn der Geschwindigkeitspol ein fester Drehpunkt wäre.

§ 15. Bestimmung des Krümmungsmittelpunktes der Bahn eines bewegten Punktes nach Hartmann.

Der Punkt A (Fig. 17) lege als Punkt einer bewegten Ebene Ex gegen die ruhende Ebene E₀ in der Zeit dt mit der momentanen Geschwindigkeit va = AVa das Wegelement AAX = ds seiner Bahnkurve c zurück, deren Krümmungsmittelpunkt in A mit Ca, deren Krümmungsradius mit ACa = В bezeichnet sei.

Krümmungsmittelpunkt der Bahn eines Punktes. 39

Man kann dann die Bewegung топ A allein als eine Drehung um Ca mit der Winkelgeschwindigkeit a>c an-sehen. Da

ds

dt

va = — = B-ooc

ist, so erhält man für den Krümmungsradius den Wert

va

Va

COc

\A

Fig. 17.

Auf ACa liegt der Momentanpol P von Ex gegen E₀. Dieser ändert seine Lage auf der ruhenden Polkurvep mit der „Polwechselgeschwindigkeit“ PU = die in die beiden Kom- ; : ponenten uaJ~PCa und uc || PCa zerlegt \ ; / werden kann ; d. h. der Pol P verschiebt sich auf dem sich drehenden Strahl ACa mit der Geschwindigkeit uc und dreht sich gleichzeitig um Ca mit ua. Da P während der Bewegung von A nach A± den Strahl ACa nicht verlassen kann, so muß

Ua = PCa' COc

oder

oder

(Oc =

Ua

PCa

ACa Va PCa Ua

sein; d. h. verbinden wir die Endpunkte Va und TJa miteinander, so geht diese Verbindungslinie durch den Krümmungsmittelpunkt Ca-

Man findet also aus der Geschwindigkeit AVa = va von A und der Polwechselgescłrwindigkeit и des Poles P den Krümmungsmittelpunkt (7a, indem man die Komponente ua = Püa von и senkrecht zu AP ermittelt und die Gerade AP und VaUa in Ca zum Schnitt bringt.

§16. Konstruktion der Polwechselgeschwindigkeit и aus den Geschwindigkeiten und Krümmungszentren der Bahnen zweier Punkte.

Es seien in Fig. 18 die Geschwindigkeiten va = AVa und vb = BVb der Punkte A und В einer bewegten

Va,

lu)

ос...

\ Ч; --------

Са

Fig. 18.

Ebene Ег gegenüber der ruhenden Ebene E₀ und die augenblicklichen Krümmungszentren Ca und Cb ihrer Bahnen a und Ъ bekannt. Dann ist der Momentanpol P von E₁ gegen E₀ als der Schnittpunkt der Bahnnormalen A Ca und BCb gegeben.

Zieht man durch P die Parallelen zu va und vb bis zu ihren Schnittpunkten Ua und Ub mit den Strahlen Va G a nnd Vb Cb und durch Ua bzw. Ub die Parallelen zu AP bzw. БР, die sich in U schneiden mögen, so ist PU = и die Polwechselgeschwindigkeit nach Größe, Richtung und Sinn ; damit ist auch P U die Tangente an die Pollmrven in P und die dazu Senkrechte in P die Richtungslinie der Beschleunigung pQ des Poles P

III. Ebene Bewegung dreier Ebenen.

§ 17.

Es mögen sich die drei Ebenen Ex, E₂, E₃ gegeneinander bewegen. Wenn wir uns als Beobachter auf eine der Ebenen stellen und damit alle ihre Bewegungen mitmachen würden, so müßte uns diese Ebene als eine feste Ebene erscheinen und wir könnten die Relativbewegung der beiden anderen gegen diese Ebene beobachten. Es steht uns frei, eine der Ebenen als eine solche „feste Ebene“ jederzeit anzusehen. Wir wollen die Ebene Ex als feste Ebene wählen und mit der Papierebene zusammenfallen lassen.

Denkt man sich während der Bewegung eine Stelle А durch einen plötzlichen Nadelstich auf allen drei Ebenen markiert, so sollen die drei übereinander liegenden Punkte je nach der Ebene, der sie an gehören, die Buchstaben

A₃ erhalten. Entsprechend mögen die Ge-

A> А

schwindigkeiten dieser Punkte v3l, v₂₁ und v₂₃, die Beschleunigungen p₃₁, p₂₁ und j9₂₃ heißen, wobei z. B. v31 die Geschwindigkeit bedeutet, die ein Punkt als Punkt der Ebene E₃ gegenüber der Ebene E₁ hat. Umgekehrt würde die Geschwindigkeit des Punktes als Punkt der

!■

Ebene E₁ gegen die Ebene E₃ mit % zu bezeichnen sein; hierbei muß offenbar werden.

Zwei Schiebungen gegen die feste Ebene.

Es sei zunächst angenommen, beide Ebenen E2 und Еъ machen gegen Ex Schiebungen. Dann bleiben ihre beiden sich augenblicklich mit ax deckenden (Geraden a₂ und a₃ während der ganzen Bewegung zu ax parallel. a₂ und a₃ bleiben also auch unter sich parallel und wir finden, daß die Relativbewegung zweier Ebenen, die gegen eine dritte Schiebungen vollführen, ebenfalls wieder eine Schiebung ist.

Umgekehrt können wir auch sagen, daß wir die Schiebung einer Ebene gegen eine zweite mit der Schiebung dieser zweiten gegen eine dritte zu einer Schiebung der ersten gegen die dritte zusammensetzen können.

Kennt man die Bahnkurve c₃₂ eines Punktes A3 gegenüber der Ebene E₂, sowie das zugehörigeBewegungs-gesetz s₃₂ — f₃₂ (t) und die Bahn c₂₁ eines Punktes A2 gegen Ex mit dem Bewegungsgesetz s₂₁ = f₂₁ (t), so kann man in jedem Zeitpunkte die Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen des Punktes A₃ gegen die feste Ebene Ex mit Hilfe der Parallelogramme der Wege, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen finden.

Infolge der Schiebung müssen alle anderen Punkte der Ebene E₃ sich vollkommen gleichartig mit A₃ bewegen.

§ 18. Schiebung einer Ebene und Drehung einer anderen um einen festen Punkt der ersten.

Die Ebene E₃ möge sich um den festen Punkt P der Ebene E₂ drehen, die ihrerseits gegen die feste

Ebene Ex eine Schiebung ausführt. Ein beliebiger Punkt A3 (Fig. 19) der Ebene E₃ im Abstand a vom Drehpunkt P hat gegen E₂ die Geschwindigkeit

VS2 — и '    ,

wenn со die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit der Drehung um P ist. Der sich mit A₃ deckende Punkt А

Я,

Со

iV32

vs

Fig. 19.

hat die Schiebungsgeschwindigkeit vs. Die wirkliche Geschwindigkeit v₃₁ des Punktes J₃ gegen Et wird daher als Resultierende aus v₃₂ und v₈ gefunden, d. h.

% = V32 + V8 •

Offenbar wird es einen Punkt 0₃ geben, der gegen Ebene Ex in Ruhe ist; für diesen muß

% + «» = 0

werden; d. h. v₃₂ und vs müssen von gleicher Größe und entgegengesetzt gerichtet sein, also

% • « = vs ?

V32 — vs

ao = —

Der Punkt 0₃ muß auf einer in P auf der Schiebungsgeschwindigkeit vs errichteten Senkrechten liegen und zwar nach der Seite hin, nach welcher vs bei einer im Sinne von со vorgenommenen Drehung um 90° zeigen würde.

Man erkennt leicht, daß es nur einen solchen Punkt 03 gibt, der sich gegen Ebene E₁ in absoluter Ruhe befindet. Wir erhalten also durch die Zusammensetzung der Schiebung von E₂ gegen Ex und der Drehung von E₃ gegen E₂ um P eine neue Drehung von E3 gegen E₁ um 0₃. Die Winkelgeschwindigkeit dieser Drehung co₀ erhält man, wenn man bedenkt, daß der Punkt P₃ die Drehgeschwindigkeit v₃₂ = 0 und daher als Punkt P₃ der Ebene E₃ gegen E₁ die absolute Geschwindigkeit

v₃₁ = vg

hat. Damit muß

(D₀ = —

«0

vs

= CO

CO

werden. Die neue Drehung um О findet also mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit statt, wie die ursprüngliche um P (auch dem Sinne nach gleich).

0 19. Drehung zweier Ebenen gegen eine dritte um feste Punkte.

Die Ebenen E₂ und E₃ (Fig. 20) mögen sich gegen die ruhende Ebene Ex um die festen Punkte P₂₁ und P3 mit den Winkelgeschwindigkeiten co₂₁ und co₃₁ drehen. Ein Punkt A mit den Abständen a₂ und a₃ von den

Drehpunkten P₂₁ und P₃₁ hat dann gegen Ex die Geschwindigkeiten

% —    * G>21 )

% ⁼    * ^31 ?

je nachdem er als Punkt Ä₂ der Ebene P₂ oder als Punkt A₃ der Ebene Ez angesehen wird. Hierbei steht

cP tP

Oy

“5\

W*,

ГУ

’k

Fig. 20.

v₂₁ J_ -4P₂₁ un(I % _L Д-Рз! • Infolge der Relativbewegung von Еъ gegen E₂ hat er als Punkt A₃ gegen E₂ die Geschwindigkeit г>₃₂. Offenbar muß man v3X als geometrische Summe von v₃₂ und v₂₁ erhalten, d. h.

% = V32 + % •

Ließe sich ein Punkt A so finden, daß er als Punkt А gegen Ebene E₂ in relativer Ruhe wäre, so würde sich dieser Punkt als Drehpunkt der Ebene E₃ gegen Ebene E2 auffassen lassen. Für einen solchen Punkt müßte also

^32 ⁼ 0 >

= +%

sein; d. h. er müßte sowohl als A₃ wie als A₂ gegen Ex gleiche nnd gleichgerichtete Geschwindigkeiten haben. Gleichgerichtet können diese beiden Geschwindigkeiten nur sein, wenn ihre Normalen AP₂₁ und APn in eine Gerade, also in die Richtung P₂₁P₃₁ fallen, d. h. der betreffende Punkt muß auf die Verbindungslinie der beiden anderen Drehpunkte in die Lage P₃₂ fallen. Bezeichnet man P21P32 = r2 , P31P32 = r₃, so sind die Geschwindigkeiten des Punktes P₃₂

gleich, wenn

% ~ Г2 œ21 VU = Г3 ^З!

r₂ со21 = rs 0)₃₁ ,

Г2 ^З! r3 ^21

d. h. der Punkt P₃₂ teilt die Verbindungslinie der beiden Drehpunkte P₂₁ und P₃₁ im umgekehrten Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten. Diese Teilung findet außen statt, wenn co₂₁ und co₃₁ gleichen brehsinn haben, innen dagegen, wenn beide Winkelgeschwindigkeiten in ungleichem Sinne drehen.

Wir erkennen daraus, daß die Relativbewegung zweier sich gegen eine dritte Ebene drehenden Ebenen wiederum eine Drehung ist. Der Drehpunkt liegt auf der Verbindungslinie der beiden anderen Drehpunkte und teilt sie im umgekehrten Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten.

Die Umkehrung dieses Satzes ergibt, daß sich die Relativdrehung einer Ebene gegen eine zweite mit deren Drehung gegen eine dritte zu einer Drehung der ersten gegen die dritte zusammensetzen läßt.

Ist P₂1P31 = rt, so finden wir die Abstände r₃ und л* aus der Beziehung:

a) wenn co₂₁ und co₃₁ gleichen Drehsinn haben:

**2 — гз = ri 1 r3 = «31

Г3    «21

r2=ri-

«31

«31    «21

гз = ri *

«21

«31 — «21    ’

b) wenn co₂₁ und o>₃₁ entgegengesetzten Drehsinn haben: r₂ + r₃=:r₁,

Г2 ₌ «31

h «21

«31

«31 + «21 ’

Г3 =

«21

^    «31 + «21 ’

Die Winkelgeschwindigkeit co₃₂ der Relativdrehung von P₃ gegen E₂ erhält man, wenn man bedenkt, daß für den Punkt P₃₁ die Beziehung bestehen muß

v₃i = v₃₂ t v₂₁ ⁼⁼ 0 ,

V32 = —V21 •

Nun sind im Falle a)

also

^32    ГЪ «32 1

% =*    ri «21 1

**₃ «32 — ri «21 1

0>oi

rx—— =

^3

«32 =

«3    7“ «a >

wogegen im Falle b)

^32 - r3 «32 1

*41 = Г1 «21 1

PW- •

48 also

W32

= W3l +

wird. Die Relativdrehung von E₃ gegen P₂ erfolgt also mit einer Winkelgeschwindigkeit im Falle a) gleich der Differenz, im Falle b) gleich der Summe der beiden anderen Winkelgeschwindigkeiten.

§ 20. Die Pole dreier beliebig bewegter Ebenen.

Die drei Ebenen Ev P₂, P₃(Fig. 21) mögen sieh beliebig gegeneinander bewegen. Ex soll wieder als feste Ebene angesehen werden. Dann kann man die angenblickliche Bewegung von E₂ gegen Ex als Drehung um einen Momentanpol P₂₁ und ebenso die Bewegung von Еъ gegen E₂ als Drehung um einen Momentanpol P₃₂ auf-fassen. Wir können diese beiden Momentandrehungen .auf Grund des vorigen Abschnitts zu einer resultierenden Drehung von E₃ gegen Ex um einen Drehpunkt P₃₁ zusammensetzen, der auf die Verbindungslinie P₂₁P₃₂ fallen und der Momentanpol der Ebene Еъ gegen Et sein muß. Wir erhalten damit den sogenannten Polsatz:

Die drei Momentanpole von drei sich beliebig bewegenden Ebenen liegen stets auf einer Geraden, der Polgeraden der drei Ebenen.

§ 21. Die Geschwindigkeiten dreier beliebig bewegter Ebenen.

Die drei sich momentan in A (Fig. 21) deckenden Punkte A₁, J₂, A₃ der drei Ebenen haben je nach der Ebene, der sie angehören, und der Ebene, gegen die »sie sich bewegen, die folgenden sechs verschiedenen 'Relativgeschwindigkeiten :

V'

Fig. 21.

Hierbei sind je zwei Geschwindigkeiten dem absoluten Weite nach gleich, aber entgegengesetzt gerichtet, und zwar sind

v12 —    г21 7    v23 —    ^32 7

*

Wie früher (§ 9) mögen alle Geschwindigkeiten im Uhrzeigersinne um 90 ° gedreht werden, so daß sie in die Polstrahlen fallen. Die Einzeichnung der sechs Geschwindigkeiten in die Figur liefert dann das Geschwindigkeitssechseck und man erkennt, daß sich je zwei Geschwindigkeiten geometrisch, d. h. nach dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten, zu der dritten zusammensetzen lassen. Es sind nämlich

»12 + »23 = »13 »31    »12 ⁼ »32

»23 + »31 = »21 •

Pole. Geschwindigkeiten.

Punkt At besitzt v₁₂ gegen Ebene E₂ ,

77 Ą ?

7, Ą

у) Ą

77

77 А •

49

V13

77

,1

77

77

77

^23

«и

»32

77

77

)>

£У

4.-........../2Р

4—-

*s*

«fw

»32 + »21 = »31

»21 + »13 = »23

»13 + »32 = »12 Polster, Kinematik.

Man achte auf die Gesetzmäßigkeit in der Reihenfolge der Indizes. Jede Geschwindigkeit hat zwei Ziffern als Index, von denen die erste die Ebene angibt, der der Punkt angehört, die zweite jene Ebene bezeichnet, gegen die seine Geschwindigkeit zu ermitteln ist. Will man wissen, zu welcher resultierenden Geschwindigkeit sich zwei Geschwindigkeiten, z. B. v₃₂ und v₂₁, zusammensetzen lassen, so schreibe man ihre geometrische Summe in der Reihenfolge, daß ihre gleichen Indizes in der Mitte stehen, also

V32 “b V2l

I-1

und lese als resultierende Geschwindigkeit diejenige ab, die sich aus den beiden anderen Indizes in ihrer Reihenfolge von links nach rechts ergibt, nämlich

so daß also

V31 5

V32 + V21 ^ V31 •

Kennt man die drei Pole der drei Ebenen, so kennt man für jeden Punkt A auch die Richtungen seiner drei Polstrahlen und damit auch die Richtungen seiner gedrehten Geschwindigkeiten. Ist eine Geschwindigkeit dann der Größe nach gegeben, so sind damit alle anderen Geschwindigkeiten des Geschwindigkeitssechsecks bekannt.

§ 22. Die Beschleunigungen dreier beliebig bewegter Ebenen.

Die drei sich momentan in A deckenden Punkte A₁A₂ A₃ der drei Ebenen haben analog den Geschwindigkeiten die folgenden sechs Relativbeschleunigungen:

Punkt At hat p₁₂ gegen Ebene E2 55 А

55

55 А

wovon ebenfalls wieder je zwei einander dem absoluten Werte nach gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sind; nämlich

P12 —    P21 5    P23 ⁼    P32 ? Pn⁼ Pis •

Im Gegensatz zu den Geschwindigkeiten ergeben aber zwei dieser sechs Beschleunigungen im allgemeinen nicht eine andere dieser Gruppe; sondern es gehört zu jedem Paar noch eine weitere Zusatzbeschleunigung, die von ihrem Entdecker Coriolis den Namen „Coriolis-Beschleunigung“ trägt. Erst mit dieser zusammen geben die beiden ersten eine andere der sechs oben angegebenen Beschleunigungen.

§ 23. Die Coriolis-Beschleunigung.

Um die Größe und Richtung der Cqriolis-Beschleu-nigung zu ermitteln, möge ein Punkt A₂, (Eig. 22) der zur Zeit t₀ die Lage A₀ gegenüber der festen* Ebene E inne hat, während seiner im Zeitelement dt vor sich gehenden Bewegung beobachtet werden.

Als Punkt J₂ bewegt er sich relativ zur Ebene Ex auf einer Bahnkurve o₀ und besitzt zur Zeit t₀ die Geschwindigkeit vGo gegenüber Ex. Als Punkt Ax bewegt er sich mit Ex innerhalb der unendlich kleinen Zeit dt auf einem Kreisbogen o₀ um den Momentanpol О der Ebene Ex gegen E und zwar mit der Geschwindigkeit

dm

= r • —— . dt

Hierin bedeuten: A₀O = r der Polabstand, dop der in der Zeit dt um О beschriebene Drehwinkel und œQo die momentane Winkelgeschwindigkeit der Ebene Ex um О gegenüber E.

Die tatsächliche Bahn des Punktes A₂ gegen E ist das Resultat aus den beiden Einzelbewegungen auf o0 und q₀ und möge mit r bezeichnet werden. Zur Zeit t0 ist nach früherem die tatsächliche G-eschwindigkeit vTq des Punktes A₂ gegen E

К = V„₀ + veo.

Wenn E< gegen E in Ruhe wäre, würde A₂ in dt sec

м-

Л°Л

г:

ui А%-

«*

шс

il'к

tJ

Fig. 23.

Fig. 22.

nach. Al -wandern und dabei das Wegelement A₀A'=vaodt zurücklegen. Wenn dagegen A₂ gegenüber E₁ in Ruhe wäre, so müßte A₂ nach dieser Zeit nach A" gewandert sein und dabei das Wegelement A₀ A"= veo • dt beschrieben haben. In Wirklichkeit finden beide Einzelbewegungen gleichzeitig statt und der Punkt A₂ bewegt sich tatsächlich innerhalb dt sec längs seiner Bahn г in

die Lage A'". Hier sei seine tatsächliche Geschwindigkeit gegenüber E vT geworden. Diese muß offenbar jetzt die Resultierende aus der Relativgeschwindigkeit v₀, die J2 gegen Ex auf seiner Bahn o im Punkte Â" besitzt, und der Drehgeschwindigkeit vQ sein, die A₁ im Punkte Am gegen E hat.

Damit sich während der Zeit d t die Geschwindigkeit v4 nach Größe und Richtung in vz verändern kann, muß sie mit einer Elementarbeschleunigung А r zusammengesetzt werden, die ihrerseits die wirkliche Beschleunigung des Punktes A\ gegen E zur Ursache hat.

Offenbar kann man Ar in zwei Komponenten А о und Aq zerlegen, von denen die erstere lediglich die Größen- und Bichtungsänderung von vOQ in v₀ bewirkt, während die zweite lediglich die Geschwindigkeit vQo in die Geschwindigkeit vQ nach Größe und Richtung verwandelt.

Zunächst ist in Eig. 23 А о aufgesucht. Bei ruhender Ebene Et würde sich vOQ in v'a infolge der Elementarbeschleunigung Ava ändern; da aber die Bahn o₀ nach dt sec in die Lage о gekommen ist und damit auch ihre Tangentenrichtungen um den kleinen Drehwinkel dy verdreht worden sind, so muß v„ mit der Elementar-beschleunigung v'₀ dcp zusammengesetzt werden, um va zu ergeben. Um vO0 in v₀ zu verwandeln, bedarf es also der beiden Elementarbeschleunigungen:

1.    A va = die natürliche Elementarbeschleunigung, um die Geschwindigkeit des Punktes A₂ auf о zu verändern,

2.    v'₀ dcp = va dcp = va со dt = eine zusätzliche Elementarbeschleunigung, deren Richtung senkrecht auf voQ steht und zwar nach der Seite hin, nach welcher vGq bei einer Drehung um 90 ⁰ im Sinne von coQ() zeigen würde.

In Fig. 23 ist auch die andere Komponente Aq = OJ ermittelt. Schneidet OA'" den Kreis q₀ in I?, wird

RA"' = dr, <£ A₀ OA'" = d<x, <A!'OÄ" = genannt und ist endlich A" A'" R = < /5 der Winkel der Relativbahn a gegen CM"', so ist

A"A'" = AQA'=vGo.dti

A"R = r • dyj = A"A'"smß — vOQ dt sin/? , RA"',= dr = M'M'" cosß = vaodt • cos/? .

Weiter folgt

dip —

vaodt sin ß

Vp₀dt sin/?

Nun ist ^₀_LCM₀, ^10/'; mithin ergibt sich der von vQo und vQ eingeschlossene Winkel <£ CriL/ = A: doc . Man erhält vQ aus v6o, wenn man letzteres mit der Elementarbeschleunigung GJ = Aq zusammensetzt. Letztere aber kann wieder in die beiden rechtwinkligen Komponenten zerlegt werden:

(3)    GH = vQo • dot, welches die Richtungsänderung

von v6o in vß bedingt, und

(4)    HJ = ve — vQo, welches die Größenänderung von

vQo in vQ hervorruft.

Man kann diese Elementarbeschleunigung weiter um-ormen, wenn man bedenkt, daß

⁽⁰Qo

VQo

== r •

= (r + dr) (C0ç₀ + dcoe) = rcoeo + (Oeodr + rdcoe gesetzt werden kann. Führt man noch die Winkelbeschleunigung eQo = der Ebene Ex gegen E um

Die Coriolis-Beschleunigung.

55

den Drehpol 0 ein, so kann man weiter schreiben:

vOQdt sinß

(За)

G11= veJ /х = r œeo dcp +

= Г Wg₀dt + v„₀œeodt sinß ,

(4 a)

HJ=ve — veo = coeodr + rdco

= v^œ^dt cosß + rseitdt.

Die Elementarbeschleunigung GH wirkt in Richtung des Pohlstrahls OA'" und zerfällt in die beiden Teile ra)²Qodt und vOQœeodt sinß .

Die Elementarbeschleunigung HJ wirkt senkrecht zum Polstrahl und besteht aus den beiden Teilen

reQodt und v0oœeodt cosß .

Dann lassen sich rw²Qodt und re6odt zur Elementarbeschleunigung

(5)

ive =    + r²co^J dt

des Punktes A\ zur Zeit t₀ und ebenso vO0coQ0dt sinß und vaocoQodt cos ß zu einer Elementarbeschleunigung

(6)

v„₀ csJ^ßT^ß dt = vaoсов0 dt zusammen setzen, die gegen den Polstrahl О Ä" und im Gbrenzfall auch gegen CE4₀ den Winkel (90—ß) bildet, also senkrecht auf vao steht. Da diese Elementarbeschleunigung nach Größe, Richtung und Richtungssinn mit der unter (2) gefundenen völlig übereinstimmt, so kann sie mit dieser in eine doppelt so große vereinigt werden.

Somit ergeben sich insgesamt die folgenden Elementarbeschleunigungen :

Ia. Ava (siehe 1) = ist die natürliche Elementarbeschleunigung, um die Geschwindigkeitsänderung der Relativbewegung des Punktes A₂ auf о zfi bewirken,

IIa. Avq (siehe 5) = die natürliche Elementarbeschleu-nigung, um die Geschwindigkeitsänderung des rotierenden Punktes Аг auf q zu bewirken, lila. 2vaowQodt[siehe2)und6)],eineZusatz-Elementar-beschleunigung, die auf vGq senkrecht steht und nach der Richtung zeigt, nach der vao bei einer im Sinne von œQo vorgenommenen Drehung um 90° zeigen würde.

Um diese Elementarbeschleunigungen zu erzeugen, müssen die folgenden 3 Beschleunigungen, die mit ihnen gleiche Richtung und gleichen Sinn haben, im Punkte A₀ auf A₂ wirken, um diesen Punkt längs seiner Bahn z von A₀ nach A'" zu bringen:

A va

I. pa =    = die Relativbeschleunigung von

J₂ gegen Ą,

A V

II. pQ = -jj- = die Rotationsbeschleunigung von gegen E,

2vaoœeo = Coriolisbeschleunigung in dem unter lila angegebenen Richtungssinn.

Besonderer Fall.

Der besondere Fall, bei welchem die Bewegung der Ebene Ex gegen E eine Schiebung wird, tritt ein, wenn der Drehpunkt О beider Ebenen unendlich fern fällt und damit die Drehradien unendlich groß, die Winkelgeschwindigkeit coq₀ aber unendlich klein werden. In diesem Sonderfall nimmt die Coriolisbeschleunigung den Wert

РУ = 2 Va₀ • соeo=0

an, d. h. sie verschwindet, und man hat nur noch die beiden ersten Komponenten I und II zur Resultierenden zusammenzusetzen, wenn man die tatsächliche Beschleunigung des Punktes A₂ gegen die Ebene E finden will.

IV. Die Zykloiden.

§ 24. Allgemeines.

Läßt man einen Kreis kt (Fig. 24) auf einem andern k2 abrollen, ohne daß er gleitet, so beschreibt ein beliebiger

PA

JM

Fig. 24.

in seiner Ebene liegender Punkt P eine Zykloide c gegen k₂. Je nachdem kt außen oder innen auf k₂ rollt, unterscheidet man Epizykloiden und Hypozykloiden; je nach der Lage des erzeugenden Punktes P innerhalb, außerhalb oder auf der Peripherie des rollenden Kreises kx ergeben sich „verkürzte“, „verlängerte“ oder „gemeine“ Zykloiden.

Eollt \ innerhalb eines doppelt so großen Kreises k2 ab, so entartet die Zykloide zu einem Durchmesser des großen Kreises k₂, wenn P auf kt lag.

Wird der Mittelpunkt M± des Rollkreises als erzeugender Punkt gewählt, so gehen die vpn ihm beschriebenen Zykloiden in Kreise um M₂ über.

In allen diesen Fällen ist k₂ die feste, kt die bewegliche Polbahn der beiden Kreisebenen Et und E₂ . Da der augenblickliche Berührpunkt О beider Kreise der Momentanpol der Bewegung ist, so muß die augenblickliche Bahnnormale der von P beschriebenen Zykloide c durch О gehen.

Hieraus ergeben sich folgende beiden Konstruktionen der Zykloide:

§ 25. Konstruktion der Zykloide als Hüllkurve.

Trägt man vom momentanen Berührpunkte 0₁ (Fig.25) aus auf Roll- und Grundkreis gleiche Teile ab 0± 0[ = 0₂ 0₂, 0[ О" = О £ О 2 us w., so kommen während des Abrollens die entsprechenden Teilpunkte beider Kreise als Pole in Deckung und die Geraden P Ox, P 0[, P 0" usw. sind nacheinander Normalen der Zykloide. Schlägt man daher mit ihnen als Radien Kreise um 0₂,0₂', 0₂' usw., dann müssen diese Kreise sämtlich die gesuchte Zykloide berühren und letztere kann auf diese Weise als Hüllkurve der ersteren gefunden werden.

§ 26. Punktweise Konstruktion der Zykloide.

Ist in Fig. 25 beim Abrollen von kt auf k₂ beispielsweise 0" mit 0₂'in Deckung gekommen, so hat sich 02 in die Lage 0" begeben, die man findet, wenn man A 0" 0^ 0₂' ^ А 0" O'JOi macht. Das Dreieck P Ox 0” verändert

Konstruktion des Krümmungsmittelpnnktes.

59

zwar seine Lage, nicht aber seine (restait und Größe während des Rollens, so daß es, über 0" 0₂ als Basis errichtet, den Punkt P” der Zykloide ergibt, in welchem

P"

Jfc

. -k..

г g«

Fig. 25.

0? Pol

sich der erzeugende Punkt P befindet, wenn geworden ist.

§ 27. Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes nach Bobillier.

Lassen wir in Fig. 24 die beiden Kreise kx und k2 sich so um ihre beiden festen Mittelpunkte Mx und M2 drehen, daß sie ohne Gleiten aufeinander rollen, so beschreibt der erzeugende Punkt P der ruhenden Ebene gegenüber einen Kreis л ит1₁₅ gegen die Ebene E2 dagegen die Zykloide c. Die Normale PO bewegt sich mit ihrem Fußpunkt P daher auf dem Kreise я, während sie ständig durch О hindurchgleitet. Ihr momentaner Drehpunkt gegen die ruhende Ebene wird daher als Schnittpunkt N der in 0 auf P О errichteten Senkrechten ON mit dem Radius PMX des Kreises л gefunden.

Der Krümmungsmittelpunkt Q für den Punkt P der Zykloide c muß auf der Normalen P О liegen und daher wie alle deren Punkte gegenüber der festen Ebene einen Kreisbogen um N beschreiben. Da er sich aber gegen die Ebene E₂ als Schnittpunkt zweier Nachbarnormalen momentan in relativer Ruhe befindet, so muß er sich gegen die ruhende Ebene auf einem Kreisbogen um M2 bewegen. Eine gleichzeitige Elementardrehung^ um N und um M₂ ist nur denkbar, wenn Q auf NM₂ liegt. Daher wird Q als Schnittpunkt von PO und NM2 gefunden.

Rollt man k₂ auf kt ab und wählt Q als erzeugenden Punkt, so beschreibt er gegenüber kt eine Zykloide e, deren Normale Q О ist und deren Krümmungsmittelpunkt nach der soeben angegebenen Konstruktion mit P zusammenfallen muß. Man erkennt daher, daß c der ge о -metrische Ort der Krümmungsmittelpunkte, d. h. die „Evolute“ von e ist. Umgekehrt stellt e die Evolute von c dar.

§ 28. Sonderfall: gleiche Rollkreise.

Es seien in Fig. 26 M₁ und M₂ die Mittelpunkte der beiden gleichen Kreise \ und k₂, О ihr momentaner BerührpunLt, Q die Lage desselben, nachdem kx auf k₂ bis in die Stellung M[ abgerollt ist. Dann ist О nach O' gekommen und es ist OQ = O'Q und damit auch <£ OM₂Q = <£ 0'M{Q . Ist P1 der erzeugende Punkt, so hat er sich nach dem Abrollen in die Lage P( auf M{0' begeben. Zieht man durch M2 die Parallele zu M{0' und durch P{ die Parallele zu M(M₂, so schneiden sich beide im Punkte R und RP{ trifft die Zentrale M₁M₂ im Punkte P₂. Man erkennt, daß M₂ RP{M[

ein Parallelogramm, M₂P₂P{M{ ein gleichschenkliges Trapez ist, und daher ergibt sich

und

RP{ = M₂ M{ = M₁ M2 M₂R = M₂P₂ = M'P' = P₁M₁.

Wählt man daher P₂ auf M₂M₁ so, daß M₂P₂ — M₁P1 wird und zieht um M₂ durch P₂ den Kreis jt, so findet man alle Punkte Р/ der Zykloide c als Endpunkte von Strahlen durch P₂, deren Anfangspunkt R auf л liegt und deren Länge RPl gleich dem Abstand M₁M₂ ist. — P[Q ist die Normale

ci

//<4

Fig. 26.

der Zykloide in Р/, da Q der Momentanpol für die betreffende Lage ist.

Verlängert man R M₂ über M₂ bis zum Schnittpunkt S mit der Normalen P{Q, so ist M₂Q = Q Ж/, M₂R || M(P[ und daher gilt auch wegen der Kongruenz der Dreiecke A Q M₂ S und A QM{P{ die Beziehung M₂S = M'P[ —RM d. h. S liegt auf dem Kreise л.

Man findet somit die Normale der Zykloide im Punkte Р/, wenn man den Schnittpunkt S von RM₂ und dem Kreise л mit dem Zykloidenpunkte P{ verbindet.

P₂ heißt der Gegenpunkt, л der Gegenkreis zum erzeugenden Punkte Рг.

Y. Die Evolventen.

§ 29. Allgemeines.

Läßt man eine Gerade# (Fig. 27) ohne Gleiten auf einem Kreise к (Grundkreis) abwälzen, so beschreibt jeder ihrer Punkte Peine Kreisevolvente e. Die Evolvente ist der-

!e

<9

à'M

~h

-Aa

KP'

Fig. 27.

jenige Spezial fall der Zykloide, bei welchem der Radius des Rollkreises oo wird.

Der augenblickliche Berührpunkt Л von Gerade und Kreis ist der Momentanpol der Bewegung zwischen Ebene der Geraden und Ebene des Kreises. Daher ist auch der Kreis die ruhende, die Gerade die bewegliche Polkurve.

Der Pol Ä ist gleichzeitig der Krümmungsmittelpunkt der Evolvente für ihren Punkt P' und daher ist к die Evolute der Evolvente e.

§ 30. Konstruktion der Evolvente.

Da die abgewickelte Gerade A'P' gleich dem Ab-wälzungsbogen A'A ist, so erhält man einen Punkt P' der Evolvente, indem man die in A' an к gelegte Tangente Ä P = A'A macht. Diese Tangente an den Kreis ist die Normale der Evolvente im Punkte P\ der mit ihr um A' geschlagene Kreis der Krümmungskreis.

Anwendungen.

VI. Zahnräder.?)

§ 31. Allgemeines.

Drehen sich zwei einander ständig berührende Körper um zwei Achsen, die ihre relative Lage gegeneinander nicht ändern, so daß eine Bewegung des einen eine eindeutig bestimmte des andern Körpers erzwingt, so bilden sie eine allgemeine Verzahnung.

Es soll im folgenden nur der einfache und in der Technik bei weitem häufigste Pall paralleler Achsen behandelt werden, bei welchem wir es mit einer ebenen Bewegung zu tun haben. Die beiden sich um M₁ und M2 (Fig. 28) drehenden Zahnräder mögen dann durch die Ebenen E₁ und E₂, d#s feste Gestell durch die zu den Achsen Mx und M₂ senkrechte feste Ebene Еъ ersetzt werden.

Die beiden sich ständig berührenden Zahnprofile cx und c₂ berühren einander im „Eingriffspunkt“ A, der während der Bewegung der Räder seine relative Lage zur festen Ebene längs der sogenannten „Eingriffslinie“ e ändert.

l) Weiteres siehe Bach, Masch.-Elem.

Den Momentanpol P der beiden Räder findet man als

Schnittpunkt der Verbindungslinie der beiden andern

ÜP

Pole M₁ und M₂ mit der in A auf ct bzw. c₂ errichteten Senkrechten (als Folge des Polsatzes § 20 und des in § 11 gezeigten Satzes von der Berührungsnormalen).

ct

Der Momentanpol P kann sich während der Bewegung relativ zur festen Ebene nur auf der Polgeraden Mt M2 verschieben. Gegenüber den Zahnkörpern verändert er seine Lage kontinuierlich längs der beiden Polkurven px und p₂, die sich in P berühren.

Fig. 28.

Wir können nun zwei verschiedene Anforderungen an die Verzahnung stellen:

1.    Wir verlangen, daß eine gleichförmige Drehung des einen Zahnes eine bestimmte ungleichförmige des andern erzwingt. Diese Aufgabe muß häufig beim Entwurf von Steuerungen gelöst werden. Ihre Behandlung soll daher in den Kapiteln „Steuerungen“ erfolgen.

2.    Wir wünschen, daß einer gleichförmigen Drehung des einen Zahnkörpers eine ebensolche des andern entspricht. Diese Forderung konstanten Übersetzungsverhältnisses müssen fast alle ,,Zahnräder im eigentlichen Sinne“ erfüllen. Sie soll daher in diesem über Zahnräder handelnden Kapitel stets vorausgesetzt werden.

§ 32. Allgemeine Verzahnung.

Es sei in Fig. 2 9 der Momentanpol der Zahnrad ebenen Ег und E₂ mit P, seine Abstände yon Ml und M₂ mit R₁ und , die Winkelgeschwindigkeiten der Eäder mit co₁ bzw. co₂, ihr Verhältnis, das sogenannte Übersetzungsverhältnis, mit co₁ : co₂ ==>£ bezeichnet.

J'\

Da die Relativgeschwindigkeiten des Poles P als Punkt der Räder gegenüber der festen Ebene gleich, also

«■

P-£ 0)± — P₂ O)2 sein müssen, so erhält man

IP

COi

=■—=e=konst,

iß

Fig. 29.

d. h. der Pol der beiden Räder behält seine Lage gegenüberP₃stets bei. Relativ zu den sich um bzw. M₂ drehenden Radebenen muß er sich also auf den Kreisen kx und k₂ bewegen. Diese sind also die Polkurven der beiden Radebenen und heißen Teilkreise.

Da die Berührungsnormale der beiden Zahnkurven stets durch den Pol gehen muß, so gilt für eine Verzahnung mit konstantem Übersetzungsverhältnis das wichtige „Verzahnungsgesetza:

Polster, Kinematik.

Die Normale im jeweiligen Berührpunkte beiderZahnflanken geht stets durch denBerühr-punkt der beiden Teilkreise.

Aufgabe: Es sei das Zahnprofil c₁ des treibenden Rades I bekannt, es möge die Eingriffslinie e und das Gegenprofil c₂ des getriebenen Rades ermittelt werden.

Der Fußpunkt des von P auf cx gefällten Lotes sei A. Dann ist dieser Punkt der momentane Berührpunkt und ein Punkt der Eingriffslinie. Errichten wir in einem weiteren beliebigen Punkte Bx des Zahnprofils ct die Senkrechte auf diesem, so schneidet sie den Teilkreis kx in einem Punkte G₁ und wir wissen, daß Punkt Ą im Eingriff sein muß, wenn Gx nach P gekommen ist. Seine neue Lage В während des Eingriffs wird gefunden, wenn man bedenkt, daß sich B₁ auf einem Kreise um M₁ so weit bewegen muß, bis sein Abstand BP== B₁C₁ geworden ist, d. h. В ist der Schnittpunkt der um Mx mit Mx Ą und um Pmit Ą als Radien geschlagenen Kreise.

Die Wahl verschiedener Profilpunkte Bx führt so zu verschiedenen Punkten В der Eingriffslinie e.

Der entsprechende Punkt B₂ des Gegenprofils c2 muß auf einem mit M₂B um M₂ geschlagenen Kreise liegen. Macht man den Bogen C₂ P auf k₂ gleich Cx P auf kx, so ist C₂ der Punkt von k₂, welcher zur gleichen Zeit mit Сг in den Pol P fällt. Die auf c₂ im gesuchten Punkte B₂ errichtete Normale muß durch C₂ gehen und es muß B₂ C₂ = Ą Cx sein. Also liegt B₂ auf dem um C₂ mit B₁ Сг geschlagenen Kreise und wird als dessen Schnittpunkt mit dem obenerwähnten um M₂ geschlagenen Kreise gefunden.

Dieses Verfahren wurde zuerst von Reuleaux angewendet.

Ein anderes Verfahren, zu einem gegebenen Zahnprofil das andere zu finden, ohne jedoch die Eingriffslinie bestimmen zu müssen, rührt von Poncelet her.

• jb:-----

l-b

—©-----

Fig. 30.

Sind nämlich (JTig. 30)^ und &₂die Teilkreise, AVBX, C± usw. beliebige Punkte des Profils x₁ und zieht man in diesen die Normalen auf x₁ Ax ax , B₁ Ъх, Сг сг usw. bis zu ihren Schnittpunkten аг, Ъх, сг mit Teilkreis к macht man ferner auf k₂ die Bögen P a₂ — Pax, Pb2 — P Ьг, Pc₂ — Pcx, ... und schlägt um die neuen Teilpunkte a₂ , b₂, e₂ Kreisbögen mit den entsprechenden Kadien Ax ax, Bxbx, (7X c₁ usw., so ergibt die Einhüllende aller dieser Kreisbögen das gesuchte Gegenprofil x₂.

Wie man erkennt, läßt sich als eine Zahnflanke jede beliebig gestaltete Kurve verwenden, vorausgesetzt, daß alle ihre Normalen den Teilkreis schneiden.

Ein sehr allgemeines Verfahren, richtig (d. h. mit

c.

konstantem Übersetzungsverhältnis) arbeitende Zahnflanken Cj, c₂ zu erhalten besteht darin, daß man irgend eine Hilf s-9z Az kurve h₀ sich auf beiden Teilkreisen kx und k₂ abrollen läßt (ohne Gleiten) und die Relativbahnen ct c₂ eines beliebigen fest mit ihr verbundenen Punktes A ermittelt.

Fig. 31.

Läßt man nämlich h₀ auf k± bis in die Lage \ rollen, so kommt der erzeugende Punkt A₀ nach A₁ und \ berührt kY in ax ; da at der Momentanpol dieser Rollbewegung ist, so muß die augenblickliche Normale der von A₁ erzeugten Zahnkurve ct durch аг gehen.

Rollt man h₀ auf k₂ bis zur Lage h₂, wobei a₂ der neue Berührpunkt und A₂ die Stellung des erzeugenden Punktes A₀ ist, so geht aus dem gleichen Grunde die •augenblickliche Normale der von A₂ erzeugten Zahnkurve c₂ durch a₂.

Ist der Bogen Pa₁=Pa₂ und dreht man beide Eäder so weit, bis die Punkte a₁ und a₂ ihrer Teilkreise in P zusammenfallen, so erkennt man, daß in dieser gedrehten Lage auch \ und h₂ in h und Ax mit A₂ im Punkte A der Eingriffslinie zur Deckung kommen und die Normalen Ax ax und A₂ a₂ übereinander fallen. Die beiden Zahnflanken haben dann also den Punkt A gemeinsam, ihre beiden Normalen fallen in eine AP zusammen, gehen also durch den Pol P und das Verzahnungsgesetz ist demnach erfüllt.

Die Eingriffslinie erhält man, wenn man die Hilfskurve h₀ in allen Lagen zeichnet, in denen sie die Teilkreise im Punkte P berührt, und dann die Lagen des erzeugenden Punktes A dabei ermittelt.

§ 33. Zykloidenverzahnung.

Wählt man (Fig. 32) als Hilfskurve h₀ einen Kreis, den sogenannten Bollkreis,so erhält man als Zahnflanken die in Кар. IV behandelten Zykloiden, die in der Technik als Zahnkurven eine große Rolle spielen. Als erzeugenden Punkt benutzt man hierbei wohl stets einen auf der Peripherie des Rollkreises liegenden Punkt, so daß man es mit gemeinen Epi- oder Hypozykloiden zu tun hat.

Jedes Zahnprofil wird aus zwei Teilen, dem „Kopf“ und dem „Fuß“ zusammengesetzt und zwar benutzt man zur Erzeugung des Kopfes des treibenden und Fußes des getriebenen Rades einen Rollkreis h₂ (Radius p₂), zur Erzeugung des Kopfes des getriebenen und Fußes des treibenden Rades einen andern Rollkreis hx (Radius pA).

Ist t die „Teilung“ des Zahnrades, d. h. der von „Zahn“ und „Zahnlücke“ auf dem Teilkreis

begrenzte Bogen, so macht man gewöhnlich die Kopfhöhe 0,3 tf, die Fußhöhe 0,4t.

Aus dem in § 32 (S. 69) Gesagten ergibt sich, daß die Eingriffslinie der Zykloidenverzahnung

a)    mit dem Rollkreis zusammenfällt, wenn der erzeugende Punkt auf diesem liegt,

b)    ein zum Rollkreis konzentrischer Kreis sein muß, wenn der erzeugende Punkt außerhalb oder

innerhalb des Rollkreises liegt.

inrep¹

\h

::Ж

mR

Ti

°P f kreis Ц ;

zwischen

Da wir gewöhnlich zwei Rollkreise benutzen und somit die Flanken eigentlich aus zwei ver-‘ ' * schiedenen Zahnkurven bestehen, so setzt sich auch die Eingriffslinie B₁B2 aus den beiden Rollkreisbögen BXP und PB₂ zusammen, die

I/

f M₂

Fig. 32.

den Kopfkreisen der Räder abgeschnitten werden.

Während die Kopfprofile P bzw. oc₂P in ihrer ganzen Ausdehnung zwischen Kopf-und Teilkreisen arbeiten, wird von den Fußprofilen nur das kurze Stück ßxP bzw. ß₂P zur eigentlichen Zahnkurve herangezoge'n. Das übrig bleibende bis zum Fußkreis reichende Stück des Fußes kann daher auch durch jede andere Kurve erzetzt werden, wenn sie nur außerhalbder Relativbahnen o₁a₂ der Kopfkanten oct und a₂ liegt.

§ 34. Evolventeirverzahnung.

Legt man (Fig. 33) durch den Berührpunkt P der beiden Teilkreise kt und k₂ zweier Räder unter einem beliebigen Winkel cp zur Zentrale M₁M₂ eine Gerade und zeichnet um M₁ und M₂ die beiden sogenannten „Gr und kr eise“ \

<pj.

'г

-f

mĄ

Fig. 33.

und h₂, welche die Gerade in den Punkten B₁ und B2 berühren, so erkennt man, daß ihre Radien q± und q₂ in der Beziehung stehen

É?1 œl ⁼ @2 W2 1

d. h. die beiden Grundkreise haben gleiche Umfangsgeschwindigkeit. Man kann daher vom Kreise h₂ einen Faden B± B₂ abwickeln und gleichzeitig auf hx aufwickeln, während sich die Räder drehen, ohne daß er zerreißen oder schlaff werden würde. Der Punkt P des Fadens bewegt sich dann mit konstanter G-eschwindigkeit, die gleich der Umfangsgeschwindigkeit der Kreise hx oder h₂ ist, auf Bx B₂ und beschreibt den beiden Rädern gegenüber die beiden Evolventen e± und e₂, weil er ein Punkt einer sich auf den Kreisen hx und h₂ abwälzenden G-eraden ist. Da nach⁷ § 80 diese Gerade die Normale der Evolvente darstellt und da sie ständig durch P geht, so ist das Grundgesetz der Verzahnung mit konstantem Übersetzungsverhältnis erfüllt, die beiden Evolventen sind richtig arbeitende Zahnflanken.

Die Gerade BXB₂ selbst ist die Eingriffslinie; die Punkte Bx und B₂ sind die letzten möglichen Eingriffspunkte. Daraus folgt, daß ßt und ß₂ die letzten Punkte der Fußflanken und <xx und a₂ die letzten der Kopfflanken sein dürfen.

Verändert man den Achsenabstand МгМ₂ beider Räder unter Beibehaltung der Grundkreisradien q₂ , so ändern sich zwar die Teilkreisradien Rt und i?₂, doch ihr Verhältnis bleibt konstant und die Evolventen bleiben dieselben. Daher kann mann die Achsen von Evolventenrädern nähern oder entfernen, ohne daß die Verzahnung unrichtig arbeitete.

§ 35. Grissongetriebe.¹)

Bei diesem Getriebe (Fig. 34) besitzt das große Rad an Stelle der sonst üblichen Zähne eine Anzahl sogenannter „Triebstocke“, das sind kreisrunde Bolzen (Radius r), deren Mittelpunkte in gleichen Abständen auf einem mit dem Teilkreis k₂ konzentrischen Kreise к liegen und die den

*) Siehe Grisson, Über Grissongetriebe, Z. 1903 und Bach, Masch.-Elemente.

Teilkreis k₂ von innen berühren. Das kleine Rad ist mit zwei Zähnen ausgerüstet, die um 180° versetzt sind und in zwei parallelen Ebenen liegen. Das Profil dieser Zähne ist die im Abstand r gezeichnete Äquidistante zu derjenigen Zykloide, welche vom Mittelpunkt B0 eines Bolzens beim Abrollen der Teilkreise aufeinander gegen das kleine Rad beschrieben wird.

ip

Die Eingriffslinie e wird in folgender Weise gefunden. Beim Arbeiten der Räder wandert der Mittelpunkt des Bolzens auf dem Kreise x z. B. in die Lage B. Nachdem

Fig. 3-4.

Y erzahnungsgesetz muß die Normale im Eingriffspunkt durch den Pol P gehen, also ist BP die augenblickliche Normale und der auf ihr liegende Eingriffspunkt E muß als Punkt des Bolzens von В um BE = r entfernt sein. Durch mehrmalige Wiederholung dieser Konstruktion erhält man beliebig viele Punkte der Eingriffslinie.

Die Eingriffslinie e kann man sich auch als die Bahn des Punktes E einer Geraden BP erzeugt denken, die beständig durch P hindurchgleitet, während sich ihr Punkt В auf dem Kreise x bewegt. Hieraus ergibt sich das Momentanzentrum dieser bewegten Geraden als

74

Schnitt C der in P auf BP errichteten Normalen mit dem durch В gezogenen Radius M₂B. Die Verbindungslinie CE ist mithin die Normale der Eingriffslinie e im Punkte E.

Das Zahnprofil des kleinen Rades erhält man wie folgt: Zieht man M₂B bis zum Schnitt 0₂ mit k₂, so ist Bogen 0₂P der auf dem Teilkreis k₂ abgerollte Bogen. Macht man auf kx den Bogen OxP= 0₂P, so ist Ot die ursprüngliche Lage des in P liegenden Punktes des Kreises kx. Der in E zum Eingriff kommende Punkt E₁ des Zahnes hat von 0{ die Entfernung der Normalen EP, von Mt den Abstand EM±, wird also als Schnitt der mit Mt E um M₁ und mit 0₁E₁ = PE um Ox geschlagenen Kreise gefunden. Durch Wiederholung läßt sich das gesuchte Zahnprofil punktweise konstruieren.

Das G-rissongetriebe wird für große Übersetzungen von 5:1 bis 50:1 gebaut. An Stelle der festen Bolzen werden Rollen angeordnet, um die Reibung zu vermindern.

§ 36. Spezifisches Gleiten der Zahnräder.¹)

Das Zusammenarbeiten zweier Zahnflanken besteht zum Teil aus einem Abrollen, zum Teil aus einem Gleiten derselben. Würde nur reines Rollen stattfinden, so könnte eine Abnützung der Räder lediglich durch ein Zerquetschen des Materials eintreten, das aber ganz ver-* mieden werden kann, wenn die durch den Zahndruck hervorgebrachten kleinen Deformationen der Planken innerhalb der Elastizitätsgrenze bleiben.

Das Gleiten dagegen ruft auch schon bei geringeren Drücken eine Abnutzung hervor. Bezeichnet man die in

D Siehe Büchner, Abnutzung der Zahnräder, Z. 1902.

Spezifisches Gleiten.

der unendlich, kurzen Zeit dt vom Eingriffspunkt auf den Flanken durchlaufenen Strecken mitd^ bzw.ds₂, so würde, falls ds₁ = ds₂ wäre, reines Köllen stattfinden. Das Gleiten wächst mit der Zunahme des Unterschiedes ds₁ — ds₂ und macht sich für die Ab-nutzung um so mehr < bemerkbar, je kleiner \ die Strecken dsx bzw. ds₂ sind, auf die es sich verteilt. Daher ist das sogenannte „spezifi- . sehe Gleiten“ /

dsx — ds₂

I^    ’

ds₁ — ds₂

75

e;

АЖ

vpj)

72

ds₂

1£г i

ein Maß stab für die Abnutzung. Durch Division mit der unendlich kleinen Zeit dt erhält man unter Berücksichtigung, daß

Fig. 35.

dst

-dt=v"

ds₂

-dt=v•

die Geschwindigkeiten darstellen, mit denen der Eingriff spunkt sich längs der Flanken bewegt, die Werte

vi - V2

vi

vi-v₂

Um das spezifische Grleiten in einem Punkte der Zahnflanken zu bestimmen, ist es daher nötig, die obenerwähnten Geschwindigkeiten v₁, v₂ zu ermitteln.

Es seien in Fig. 35 die Zahnflanken cvc₂ und die Eingriff ślinie e einer Verzahnung bekannt. IstM der momentane Eingriffspunkt, P der Momentanpol, so ist AP die Normale auf dem Zahnprofil und fällt daher mit der Richtung der gedrehten Geschwindigkeiten vx und v₂ zusammen. AM₁ bzw. AM₂ sind die Richtungen der gedrehten Umfangsgeschwindigkeiten ux und u₂, welche die Räder momentan im Punkte A haben. Die gedrehte Geschwindigkeit w des Eingriffspunktes längs der Eingriff ślinie fällt in die Normale AE derselben und wird erhalten, wenn man die Geschwindigkeiten ux mit v1 bzw. u₂ mit v₂ geometrisch addiert.

Kennt man die Winkelgeschwindigkeiten œ₁ bzw. co₂, so sind aus den Radien AMX = rx und AM₂ = r₂ auch die Umfangsgeschwindigkeiten

AB = u₁ = r₁(o₁,

DB — u₂ — т₂ CO 2

bekannt. Zieht man В СII AE und BD\\AM₂ bis zu ihren Schnittpunkten C bzwr. D mit AP: so hat man die gesuchten Geschwindigkeiten

С А = vt, CD = v₂]

denn

CB = w resultiert aus CA = v₁ und AB = nx

oder aus

CD = v₂ und DB = u₂.

Normaldruck.

77

Also wird das spezifische (xleiten dargestellt durch den Quotienten

V1

7\ =

V1~V2

CB

v₂

Der Bequemlichkeit halber nimmt man stets co₁ — 1 an, weil dann

AB = ux — r₁co₁ = AMX wird, also В mit Mx zusammenfällt.

§ 37. Normaldruck.

Außer vom spezifischen Gleiten у ist die Abnutzung A in einem Punkte der Flanke abhängig vom Normaldruck 2V, dem Reibungskoeffizienten /x, der Zahnbreite ö, der Tourenzahl w, der Eingriffsdauer r [= Verhältnis des Eingriffsbogensг) zur Teilung], der Betriebsdauer # und einer Materialkonstanten c (von der Härte, der Oberflächenbeschaffenheit usw. abhängig), so daß

У

А = c ja¹ • Nnft .

Der Normaldruck N der Flanken (Fig. 36) ergibt sich aus der Forderung, daß er mit der durch ihn erzeugten Radreibung /1 N eine resultierende Kraft N' ergeben muß, die auf das getriebene Rad 2 ein konstantes Drehmoment Md ausübt.

Zahnräder.

78

Da N in die Richtung der Flankennormalen AP fällt und juN dazu senkrecht und mit N ständig in der Beziehung steht

juN= tan@ • N,

wobei q der Reibungswinkel ist, so ist die Richtungs-

JV'

jtlN;

¹

Der Eingriffsbogen ist der vom Beginn bis znm Ende des Eingriffs eines Zahnes auf dem Teilkreis durchlaufene Bogen.

e,i

s\

Ù) f\ “f

⁸ * Щ

Fig. 36.

linie der Kraft N' stets um diesen Winkel q gegen N geneigt, also der Lage nach und daher auch ihr Hebelarm a, unter dem sie am Rade 2 angreift, der Größe nach bekannt. Da nun

a- N' — M,

Reibungsarbeit. Beispiel.

79*

so ist auch.

jy*—

berechenbar.

Will man die Rechnung umgehen und graphisch arbeiten, so hat man N' aus einer am Teilkreisumfang des zweiten Rades wirkenden konstanten Kraft P₂, die aus Md

P₂ — —— bekannt ist, und einer durch die Achse M₂. R₂

gehenden Kraft Z₂, die also kein Drehmoment auf Rad 2 ausübt, zusammenzusetzen.

§ 38. Reibungsarbeit.

Zerlegt man N' in eine am Umfang des treibenden Rades 1 angreifende Kraft P₁ und eine durch Mx gehende Kraft Zx, so ergibt Px — P₂ diejenige Kraft, die am Teilkreisumfang von Rad 1 aufzuwenden ist, um die Reibung zu überwinden.

Ist ds das Bogenelement des Teilkreises für die Zeit dt, so ist

dA = (Px — P₂) • ds

die in der Zeit dt aufzuwendende Reibungsarbeit; die gesamte Reibungsarbeit wird also

A= fft-PJd,,

wenn über dem gesamten Eingriff eines Zahnes integriert wird. Trägt man Pt P₂ als Ordinate über dem abgewickelten Teilkreise auf, so ist die entstehende Fläche ein Maß der Reibungsarbeit.

§ 39. Beispiel.

Ein Beispie 1 einer Untersuchung von spezifischem Gleiten, Normaldruck und Reibungsarbeit ist in

Fig. 37 an einem Grisson-getriebe mit festen Bolzen ohne Rollen durchgeführt.

-4'

■'V;

чу

Fig. 37.

Naturgemäß sind die V dabei erhaltenen Resultate nicht gültig für ein mit Rollen armiertes Getriebe, —-i— dessen Abnutzung und Rei-bungsverlust weit geringer ausfällt. Nach Versuchen von Roser haben solche Getriebe Wirkungsgrade bis 90% ergeben.

Die dem Beispiel zugrunde gelegenen Daten sind die folgenden:

B₂ = 110 „ b =45 „

Übersetzungsverhältnis s = 5 Kleiner Teilkreishalbm. R± — 22 mm Großer Bolzenbreite Reibungskoeffizient . .    =0,1

Umdrehzahlen

Übertragene Leistung N =2,75 PS n± = 400 1/min n₂ = 80    „

VII. Grelenkviereck.

§ 40. Allgemeines und Bezeichnungen.

Vier im Viereck liegende, an ihren Enden durch Gelenke miteinander verbundene Stäbe AR, BC, CD, DA, die sich in einer Ebene bewegen, bilden ein sogenanntes Gelenkviereck oder eine Vierzylinderkette (Fig. 38).

81

Allgemeines.

Jeder Stab kann als Repräsentant einer Ebene aufgefaßt werden. Hält man einen von den Stäben, z. B. AD fest, so heißt er das (jestell; die beiden an ihn angrenzenden AB und CD werden als Kurbeln oder

JO

K<

jk

ll

Ji

iE

Fig. 38.

Schwingen bezeichnet, und den letzten die beiden Kurbeln zusammenkuppelnden Stab BC nennt man die Kuppelstange oder Koppel.

Die einzelnen Stablängen seien AB — к, BG—l CD = m, die Diagonale А C — n (Fig. 40). Die Winkelgeschwindigkeit, mit der ein Stab sich gegen seinen Nachbarstab um den gemeinsamen Gelenkpunkt dreht, möge mit demselben kleinen lateinischen, die entsprechende Winkelbeschleunigung mit demselben kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet werden wie der Gelenkpunkt, so daß a, b, c, d die Winkelgeschwindigkeiten und oc, ß, y, ô die Winkelbeschleunigungen um die Punkte А, Б, <7, D bedeuten.

Polster, Kinematik.

Gelenkviereck.

82

Zur Ermittelung der Geschwindigkeits- bzw. Beschleunigungsverhältnisse kann man zwei verschiedene Wege einschlagen, je nachdem man entweder

a)    lediglich die Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung der einzelnen Ebenen gegen das Gestell oder aber

b)    auch die Relativbe wegungen der Glieder gegeneinander festzustellen wünscht.

§ 41. Ermittlungen der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen nach Land.¹)

Als bekannt sei vorausgesetzt die Winkelgeschwindigkeit a, bzw. die Winkelbeschleunigung oc. — Gesucht werden die entsprechenden Größen d und <5. (Fig. 38.)

Da sich die beiden Punkte В und G der Schubstange auf Kreisbögen um A bzw. D bewegen, so stellt der Schnittpunkt P der augenblicklichen Bahnnormalen, d. h. der Kurbeln B A und (7D, den Geschwindigkeitspol der Stange Bö dar. Die Stange macht also eine Momentandrehung mit der vorläufig unbekannten Winkelgeschwindigkeit со bzw. Winkelbeschleunigung s um P. Man kann nach bekannten Grundsätzen der Mechanik diese Drehung ersetzen durch eine Schiebung der Stange B G mit der Geschwindigkeit vB bzw. Beschleunigung pB des Punktes В (Ersatzschiebung), verbunden mit einer gleichzeitigen Drehung um diesen Punkt mit der Winkelgeschwindigkeit œ bzw. der Winkelbeschleunigung e (Ersatzdrehung).

Geschwindigkeiten :

Mit a ist auch die Geschwindigkeit BE = vB = к a des Kurbelzapfens В, also des Punktes В der Schubstange B G bekannt. Im Geschwindigkeitsdreieck BLF ergibt sich die Geschwindigkeit FE=ve — md als Resultierende, wenn man die bekannte Geschwindigkeit BE — vB der Ersatzschiebung mit der Geschwindigkeit F В — I со zusammensetzt, die der Punkt G infolge der Ersatzdrehung um В besitzt und die in die Richtung CB fällt. Die Richtung von FE = vc ist die des Polstrahls CD. Zieht man daher EF II CD bis zum Schnitt F mit BC, so ist tatsächlich

F В + BE = FE, d. h. es ist FE = vc — md.

Beschleunigungen :

Mit a und ос kennt man auch die Beschleunigung BJ = pB des Punktes Б, die sich aus den beiden Komponenten

BH = к a²= Normalbeschleunigung, HJ = hoc — Tangentialbeschleunigung

zusammensetzt.

Die Beschleunigung MJ = pc des Punktes C findet man als Resultierende aus der bekannten Beschleunigung BJ = pB der Ersatzschiebung und der Beschleunigung MB = y(il/L)² + (LB)² der Ersatzdrehung um Б, wobei

LB = lco² die Normalbeschleunigung, ML = Z e die Tangentialbeschleunigung dieser Drehbewegung bedeuten.

Die Beschleunigung MJ = pc muß sich andererseits aus den beiden Komponenten

NJ — md²= Normalbeschleunigung,

MN = m ô = Tangentialbeschleunigung

der Drehung des Punktes G um D zusammensetzen lassen.

Zum Punkte M kann man also längs zweier verschiedener Beschleunigungszüge gelangen

a)    längs des Linienzuges JHBLM,

b)    „

Nach L kommt man, wenn man LB = Ico² aus

CB = l und aus FB = Ico in der in § 65 an gedeuteten Weise konstruiert. Yon LM ^ — le ist nur die Richtung _L B G bekannt.

Yon J gelangt man nach W, wenn man 1Y/= CR = md² in gleicher Weise aus CD =m und aus С О — FE — m d ermittelt. Yon NM = m ô ist wieder nur die Richtung _L CD bekannt; daher wird M als Schnitt von NM mit ML gefunden und die Beschleunigung pc ist somit als MJ bekannt.

Besonderer Fall:

VEJ

JNM.

<T

\B

Fig. 39.

a = const; ос — 0.

Rotiert die Kurbel B A (Fig. 39) mit konstanter Winkelgeschwindigkeit a, so empfiehlt es sich, den Geschwindigkeitsmaßstab 1 :a zu wählen, da dann die Punkte A, E, G, H, J sämtlich mit A, zusammenfallen.

Man kann dann die Ermittlung von JN — md2 gleich mit an den Punkt A verlegen, indem man AF über F bis S verlängert, so daß AS = DC = m, dann über AS den Halbkreis und um A mit A F den Krei& schlägt, der den ersteren in T schneidet, und von T das Lot TN-L AT bis zum Schnitt M mit KL zieht.

Will man auch über die Relativbewegungen der einzelnen Glieder des Gelenkvierecks gegeneinander Aufschluß haben, so ist die in § 41 genannte Methode nicht anwendbar. Man muß dann vielmehr den folgenden Weg einschlagen..

§ 42. Ermittlung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen unter Benutzung der Relativbewegungen.

Geschwindigkeiten:

Der Punkt C (Fig.40) deckt sich momentan mit einem Punkte O,, der der Ebene к angehört und die Geschwindigkeit CG = na (Bezeichnungen siehe § 40) gegen das Gestell besitzt. Setzt man diese mit der Geschwindigkeit l*b zusammen, die C gegen die Ebene к hat und die in die Richtung CB fällt, so erhält man in der Resultierenden beider die gesuchte Geschwindigkeit von C gegen das Gestell, deren Richtung mit CD zusammenfällt. Daher- schneidet die durch G zu CD gezogene Parallele auf BC den Punkt II so an, daß

IIC=hh,

und

HG = m-d HC+CG = HG ist.

Beschleunigungen :

Als bekannt sei vorausgesetzt die Winkelgeschwindigkeit a und Winkelbeschleunigung oc. Es möge die Beschleunigung pc des Punktes C gegen das Gestell aufgesucht werden. G ist ein Punkt der Schwinge m und

~Y bn

J{‘

js:

Lp

Fig. 40.

seine Beschleunigung setzt sich daher zusammen aus

Aa) der Normalbeschleunigung rad²,

Bb) der Tangentialbeschleunigung mb.

Erstere Aa) läßt sich in der auf S. 147 geschilderten Weise aus den bekannten Strecken CD = m und CF= m d finden, indem man über CD den Halbkreis, um C mit CF den Kreisbogen bis J schlägt und von J das Lot JK auf CD fällt, so daß CK = md² wird.

Letztere Bb) steht senkrecht auf der vorigen, ist aber der Größe nach vorläufig noch nicht zu ermitteln.

Betrachten wir die Ebenen к, l und das Gestell, so können wir nach § 23 die Beschleunigung j9c auch finden, wenn wir sie als Resultante der folgenden drei Beschleunigungen ermitteln:

1.    Absolutbeschleunigung von C als Punkt Ck der Ebene к

gegen das Gestell, bestehend aus den beiden zueinander rechtwinkligen Komponenten:

a)    Normalbeschleunigung wa²,

b)    Tangentialbeschleunigung n oc ;

2.    Relativbeschleunigung von C als Punkt der Ebene l

gegen Ebene к, bestehend aus den beiden rechtwinkligen Komponenten:

a)    Normalbeschleunigung Z&²,

b)    Tangentialbeschleunigung l ß ;

3.    Coriolis-Beschleunigung 2 l b • а.

Yon diesen Beschleunigungskomponenten lassen sich, alle außer 2b) wie folgt konstruieren: la) Aus BE — ka und AB = к findet man nach S. 147 BM = к • а², wenn man um В mit BE den Kreisbogen bis zum Schnitt L mit dem über AB geschlagenen Halbkreis schlägt und von L das Lot LM auf AB fällt. Zieht man noch MNWBC bis zum Schnitt N mit А (7, so ist CN — na². b) Die bekannte Tangentialbeschleunigung MO — кос wird um M in die Lage MP geklappt, durch P die Parallele zu B G bis zum Schnitt Q mit AG gezogen und AöumAum90° bis in die Lage NR herumgeklappt. Dann ist NR = noc.

2 a) Aus CH= Ib und B G = I findet man nach S. 147 CT = lb², wenn man um C mit GE den Kreisbogen bis zum Schnitt S mit dem Halbkreis über B G zieht und das Lot ST auf B G fällt. Da CT = lb² von C nach dem Drehpunkt В gerichtet ist, so muß es als (JC= CT= l b² an die Beschleunigungen (Wund NB angesetzt werden, um im Beschleunigungsplan im richtigen Sinne zu erscheinen.

3. Die Coriolis-Beschleunigung steht senkrecht zu der nicht gedrehten Belativgeschwindigkeit l b und zwar in dem Richtungssinn, in welchem l b zeigen müßte, wenn man es im Sinne der Winkelgeschwindigkeit а um 90 ° dreht. Sie fällt daher in die Stabrichtung В (7, von В nach G zeigend. Ihre Größe 2 Iba findet man,

wenn man GH =lb\m Yerhältnis    ver-

GA

kleinert und die dabei erhaltene Strecke verdoppelt. Verbindet man A mit H und zieht durch G dazu die Parallele G V bis zum Schnitt V mit B G, so ist

CG

GV = CH• -rr-r = Iba .

CA

Schlägt man um V mit VT den Kreisbogen bis zum Schnitt W mit B G, so ist

Wü= 2(VT+TC)=*y2lba nach Größe, Lage und Richtungssinn.

2 b) Die in W auf B G errichtete Senkrechte fällt mit der Richtung der noch unbekannten Tangentialbeschleunigung Iß zusammen. Wäre ihr Anfangspunkt X bekannt, so wäre die Resultierende XB des Beschleunigungszuges XWUCNB die gesuchte Beschleunigung pc. Diese muß sich aber auch aus den beiden Komponenten Aa) und Bb) zusammensetzen lassen.

Trägt man daher im Punkte В YB= CK=md2 во an, daß es von Y nach В im Sinne wie von G nach JD

zeigt, und errichtet man in F auf Fi? die Senkrechte, entsprechend der Richtung der noch unbekannten Tangentialbeschleunigung m ô, so schneidet sie sich mit der in W errichteten Normalen im gesuchten Punkte X und X Fist nach Größe, Lage und Richtungssinn die Tangentialbeschleunigung m ô.

Wie man erkennt, ist der Punkt U zwar zur Überlegung unerläßlich, aber zur Konstruktion selbst nicht nötig. Seine Bestimmung kann daher ohne Schaden fortgelassen werden.

Besonderer Fall :

\x

Imio

SD

A GQNR

Fig. 41.

konstanter Winkel- \\ geschwindigkeit a rotiert. Wählt man dann B\\t den Geschwindig- \ ^ /у"" keitsmaßstab 1 : а der natürlichen Größe, so fallen, wie der Vergleich der Fig.40 und 41 zeigt, die Punkte P, P, Ж, О und G, 0, W, R sämtlich im Punkte A zusammen, und da V nach H fällt, so kann man nach der auf S. 149 beschriebenen Ersatzkonstruktion den Punkt TFeinfacher finden, indem man, anstatt die Punkte S und T zu ermitteln und mit VT um F den Kreis bis W zu schlagen, einfacher mit BR um В den Kreisbogen bis zum Schnitt Z mit dem über В C geschlagenen Halbkreise schlägt und das Lot ZW auf BC fällt.

Da in diesem Spezialfall auch E mit A zusammenfällt, so ist es bequem, die Ermittlung von CK = md2 gleich an den Punkt A zu verlegen, indem man AH über H bis zum Punkte x verlängert, so daß Ax = DG ist, dann den Halbkreis über Ax und einen mit AH um A geschlagenen Kreisbogen in y zum Schnitt bringt und das Lot y Y von y auf A x fällt. Dieses schneidet sich mit der in W errichteten Senkrechten im Punkte X. Ein Vergleich mit der auf S. 84 gegebenen Konstruktion Fig. 39 zeigt, daß beide identisch sind, obwohl sie auf zwei völlig verschiedenen Wegen abgeleitet worden sind.

Bemerkung :

Ergibt sich die Strecke l »b>l, so läßt sich die oben angewandte Hilfskonstruktion (s. S. 147 b) nicht durchführen, es muß vielmehr die Größe lb² in der auf S. 147 b angegebenen Weise ermittelt werden. Die übrige Konstruktion ist aber ganz analog wie sonst vorzunehmen.

VIII. Vom Gelenkviereck abgeleitete Getriebe.

§ 43. Antrieb eines Schwinghebels durch ein Exzenter mit langer Exzenterstange.

Bei den meisten Ventilsteuerungen haben wir den Fall, daß die Bewegung eines Schwinghebels vermittels einer Exzenterstange von einem Exzenter aus erfolgt, dessen Welle (die Steuerwelle), wenn man vom Ungleichförmigkeitsgrade der Maschine absieht, mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert. Im allgemeinen ist die Länge der Exzenterstange gegenüber der Exzentrizität so groß (etwa das20 —3 0 fache), daß man sie mit guter Genauigkeit bei der graphischen Untersuchung als unendlich annehmen kann. Dann vereinfacht sich die auf S. 83 unter Fig. 39 angegebene Konstruktion noch etwas.

>C

Fi

J)

Ist nämlich in Fig. 39 AB die Exzenterkurbel. B G die Exzenterstange und CD der Schwinghebel und lassen wir B G unter Beibehaltung der mittleren Exzenterstangenrichtung sowie der Größe und Richtung der Glieder AB und CD immer größer und größer und schließlich unendlich lang werden, so rücken die Punkte G und D natürlich immer weiter weg, aber die Punkte A,B, F, S, T, N behalten hre Lage bei und der Punkt L fällt im Grenz fall mit В ß zusammen. Die in L errichtete Senkrechte geht in die in В auf der Exzenterstangenrichtung B G errichtete Senkrechte über.

Fig. 42.

Wir erhalten dann die folgende in Fig. 42 wiedergegebene Konstruktion der Geschwindigkeit und Beschleunigung des Schwinghebelpunktes G:

Man verlege den Schwinghebel CD nach Größe und Richtung an den Mittelpunkt A der Steuerwelle, so daß D mit A zusammenfällt und S den freien Endpunkt bezeichnet, bringe A S in F zum Schnitt mit der durch das Exzentermittel В gezogenen mittleren Exzenterstangenrichtung und schlage mit A F um A den Kreis bis zum

Schnitt T mit dem über AS gezeichneten Halbkreis. Errichtet man dann in В die Normale auf der mittleren Exzenterstangenrichtung und fällt von T das Lot TN auf AS, so ist ihr Schnittpunkt M. FA stellt dann die Geschwindigkeit, MA die Beschleunigung des Punktes G dar, MN ist die Tangential-, NA die Normalbeschleunigung.

§ 44. Schubkurbelgetriebe mit ungleichförmig rotierender Kurbel.

Lassen wir im Gelenkviereck Fig. 40 die Schwinge CD unendlich lang werden, so daß sich Punkt G auf einer

'L

J?

sr

Fig. 43.

Geraden g g anstatt auf einem Kreis um D bewegt, so erhalten wir das in Fig. 43 wiedergegebene allgemeine Schubkurbelgetriebe AB G und wir nennen AB die Kurbel, B G die Pleuelstange und das in Czur Führung nötige Gleitstück den Kreuzkopf.

Wird CD = oo, so erkennen wir, daß in Fig. 40 Punkt К nach C und so auch Y nach R fällt, daß also in der Konstruktion der Beschleunigung pc des Kreuzkopfes C eine kleine Vereinfachung eintritt, weil man nicht erst CK=md² ermitteln muß, sondern gleich durch R die Parallele RX zur Gleitbahnrichtung g g bis zum Schnitt X mit der in W errichteten Normalen ziehen kann.

Im übrigen bleibt aber die für das Gelenkviereck entwickelte Konstruktion unverändert bestehen, wobei natürlich an Stelle der früheren Parallelen zum Lenker CD die Normale zur Gleitbahn g g tritt.

Wesentlich einfacher gestalten sich jedoch die Verhältnisse, wrenn wir den nächsten sehr häufigen Fall voraussetzen:

§ 45. Schubkurbelgetriebe mit gleichförmig

rotierender Kurbel.

/

Gehen wir von der in § 41 Fig. 39 für das Gelenkviereck bei gleichförmiger Drehung der Kurbel AB entwickelten Konstruktion aus und lassen die Schwinge CD unendlich groß werden, so erkennen wir, daß N nach A fällt und somit der Punkt M gefunden wird, indem man durch A die Parallele zur Gleitbahn g g zieht und sie mit der in L auf BC errichteten Senkrechten in M zum Schnitt bringt. (Fig. 43.)

§ 46. Mohrsche Konstruktion der Beschleunigung des Kreuzkopfs.¹)

Aus der Konstruktion des Punktes L (Fig. 43) folgt, daß

BL • BC = {BK)² = (BF)²

*) O.Mohr, Konstr. der Beschl. am Kurbelgetriebe, Civ.1880.

Wir können daher an Stelle der in Fig. 43 zur Ermittlung von L angewandten Konstruktion auch die Hilfskonstruktion S. 149 (Fig. 7 5) benutzen, indem wir Punkt И als den Punkt betrachten, von dem aus die drei Strahlen nach den Punkten B, F und G gezogen sind. Wir haben dann durch F parallel AC bis zum Schnitt E mit AB und durch E parallel A F bis zum Schnitt L mit B G zu ziehen, auf В C in L die Senkrechte zu errichten und sie mit der durch A parallel zur Gleitbahn g g gelegten Geraden in M zum Schnitt zu bringen.

§47. Andere Ableitung der Mohr sehen Konstruktion.

Eine etwas andere Überlegung führt ebenfalls zur Mohr-schen Konstruktion.

Die bekannte Geschwindigkeit В A = к a des Kurbelzapfens B (Fig. 43) läßt sich zerlegen in die beiden Komponenten:

1.    FA = vc = Geschwindigkeit, die В als Punkt des Kreuzkopfs hat,

2.    BF — I • c — Relativgeschwindigkeit des Kurbelzapfens В gegenüber dem Kreuzkopf.

Die bekannte Beschleunigung BA = ka² des Kurbelzapfens läßt sich in ähnlicher Weise zerlegen in:

1.    die Beschleunigung MA — pc, die В als Punkt des Kreuzkopfs hat,

2.    die Relativbeschleunigung БМ, die В gegenüber dem Kreuzkopf besitzt, bestehend aus den beiden rechtwinkligen Komponenten :

a)    BL = lc² = Normalbeschleunigung,

b)    LM = l • у = Tangentialbeschleunigung.

Man kann nun

(lc)² _ (BF)'

BL — lc²

BG

in der vorher (§ 46) angegebenen Weise durch Ziehen von FE II AG und EL WA F finden, in L die Senkrechte auf PC

errichten und durch A die Parallele zu g g ziehen, die sich in M schneiden. Dann ergibt der Beschleunigungszug BLMA der obigen drei Komponentenbeschleunigungen 1), 2 a), 2 b) die Resultierende BA und die Strecke MA stellt wieder die gesuchte Kreuzkopfbeschleunigung pc dar.

§ 48. Rotierende Kurbelschleiîe. Allgemeines.

Halten wir im Schubkurbelgetriebe AB G (Fig. 43) die Kurbel AB fest und lassen sich dafür das (jestell AG

\n

Fig. 44.

bewegen, so gelangen wir zur rotierenden Kurbelschleife ABG (Fig. 44).

Wir nennen jetzt AB das (jestell, B G die Kurbel AG die Schleifkurbel und das in G befindliche und gegenüber AG die Führung besorgende Stück das Gleitstück.

Wir wollen die Antriebskurbel B G —h und den augenblicklichen Abstand AG = l nennen. Die Winkelgeschwindigkeit bzw. -beschleunigung der Kurbel B G

um В soll wie bisher immer b bzw. ß, die der Schlei f-kurbel ÂG um A entsprechend a bzw. a, heißen. Die Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung des Gleitstücks gegenüber der Schleifkurbel sei mit vc bzw. jpc bezeichnet. Dann können wir folgende Aufgaben stellen:

I. Es sind die Bewegungsverhältnisse der Kurbel bekannt, es sollen die entsprechenden , Größen für die Schleifkurbel ermittelt werden. {Lösung in § 49.)

П. Es sind die Bewegungsverhältnisse der Schleifkurbel Abgegeben und die der Kurbel BG aufzusuchen. (Lösung in § 50.)

§ 49. Rotierende Kurbeschleife. Ermittlung der Bewegung der Schleifkurbel.

Sind die Winkelgeschwindigkeit b und die Winkelbeschleunigung ß bekannt, mit der sich die Kurbel k um В dreht, so kennt man auch in Fig. 44

a)    die Geschwindigkeit CD = kb,

b)    die Normalbeschleunigung CE=kb², die mit der vorigen in der Beziehung steht

СЕ=к-Ь² =

(к-b)²    (CD)²    (CF)²

BC ”.BG ’

c)    die Tangentialbeschleunigung EG — kß, mit denen sich C um В bewegt.

Geschwindigkeiten :

Die Geschwindigkeit CD kann man zerlegen in:

1. die Geschwindigkeit vc des Gleitstücks C gegenüber der Schleif kurbel; sie fällt in die Richtung g g und steht — nach der üblichen Drehung aller Geschwindigkeiten um 90 ° — senkrecht zu g g ;

2. die Geschwindigkeit la, mit der sich der augenblicklich mit C zusämmenfallende Punkt der Schleifkurbel um A dreht. Sie fällt nach der Drehung in den Polstrahl AG der Schleifkurbel. Zieht man daher yon I) das Lot auf die Gleitbahn g g bis zum Schnitt H mit AG, so ist im Geschwindigkeitsdreieck CDH HD = ve,

CH = l» а .

Da uns l und nun auch l • a bekannt sind, so kennen wir auch die gesuchte Winkelgeschwindigkeit a.

Beschleunigungen :

Die aus GE und EG resultierende bekannte Beschleunigung CG des Punktes C kann man zerlegen in:

1.    die Beschleunigung jpe des Gleitstücks G gegenüber der Schleifkurbel AG; sie fällt in die Richtung gg;

2.    die Beschleunigung des mit G zusammenfallenden Punktes der Schleifkurbel gegen das Gestell, bestehend aus den beiden rechtwinkligen Komponenten :

a)    la² = Normalbeschleunigung in die Richtung GA fallend,

b)    ha = Tangentialkomponente, senkrecht zur vorigen;

3.    die Coriolis-Beschleunigung von der Größe 2vc»a, senkrecht zur wirklichen Richtung von ve in dem Sinne zeigend, in dem vc bei einer im Drehsinn von a vorgenommenen Drehung um 90° zeigen müßte. Diese Beschleunigung steht also senkrecht zu g g und zeigt im Sinne von H nach D.

Da die Beschleunigungskomponenten pc und l oc vorläufig nur der Richtung nach bekannt sind, so werden sie in dem nunmehr aufzuzeichnenden Beschleunigungsplan bis zuletzt auf gespart. Zunächst wird die Beschleunigung CK = la² aus АС — l und CH = la in

Polster, Kinematik.

der gewohnten "Weise (s. Hilfskonstruktion S. 147) er-• mittelt, indem man über AG den Halbkreis und um C mit HG den Kreisbogen schlägt und vom gemeinsamen Schnittpunkt J das Lot JK auf AG fällt; denn es ist

(laf

CK =

(CJ)

(GH)

GA

GA

= la².

Dann kann die Coriolis-Beschleunigung 2 vc • a gefunden werden, indem man HD = vc im Verhältnis a : 1 verkleinert und das Resultat verdoppelt. Zieht man zu diesem Zwecke KL II HD bis zum Schnitt L mit CD, so findet man .

KL = HD .

CK

la²

GH

verlängert man KL über L um sich selbst bis Ж, so ist KM = 2 vc a und der Linienzug CKM stellt die Beschleunigungen 2a) und 3) nach Größe, Richtung und Richtungssinn dar.

Zieht man noch durch G die Parallele zu g g und durch M die Senkrechte zu AC, die sich in N schneiden mögen, so stellt NG die Gleitbeschleunigung pe, MN die Tangentialbeschleunigung lde dar und zwar beide nach Größe, Richtung und Richtungssinn.

Da nun sowie l bekannt sind, so sind auch die gesuchte Winkelbeschleunigung ot und damit die Bewegungsverhältnisse der Schleifkurbel gefunden.

¹

R. Land, Geschw.- und Beschl.-Plan für Mechanismen usw., Z. 1896.

§ 50. Rotierende Kurbelschleife. Ermittlung der Bewegung der Kurbel.

Sind die Winkelgeschwindigkeit a und Winkelbeschleunigung ot bekannt, so führt die gleiche Überlegung wie in § 49 zur Ermittlung von Ъ und ß. Nur

Rotierende Kurbelschleife.

99

sind diesmal als unbekannte Beschleunigungen im Beschleunigungsplan

die Gleitbeschleunigung pc und die Tangentialbeschleunigung к • ß

anzusehen.

Geschwindigkeiten :

Durch den Endpunkt H (Fig. 44) der bekannten Geschwindigkeit CH= la legt man die Senkrechte HD JL g g bis zum Schnitt D mit der Kurbel BG. Das dadurch gebildete Geschwindigkeitsdreieck CHD enthält dann als Seite CD die Geschwindigkeit к • b des Punktes (7, aus der in Gemeinschaft mit BC=k die gesuchte Winkelgeschwindigkeit b hervorgeht.

Beschleunigungen :

Mit der Winkelgeschwindigkeit a und der Winkelbeschleunigung ос sind auch die Normalbeschleunigung CK = l а² und die Tangentialbeschleunigung l oc bekannt. Wie in § 49 erhält man die Coriolis-Beschleunigung KM = 2 vc a, indem man durch K KL II HD bis zum Schnitt L mit CD zieht und KL bis M über L hinaus verdoppelt. MJSf — loc wird nun senkrecht zu AC gezogen unter Beachtung des richtigen Richtungssinnes. Die durch N parallel zu g g gelegte Gerade fällt dann in die Richtung der Gleitbeschleunigung pc und muß zum Punkte G führen, der einerseits der Endpunkt des Beschleunigungszuges CKMNG, andererseits der Endpunkt der Gesamtbeschleunigung des Punktes C ist. Yon letzterer ist die Normalkomponente CE = к b² aus CD = kb und ВС — к in gewohnter Weise zu finden, indem man über В C den Halbkreis, sowie um C mit CD den Kreisbogen bis .zum gemeinsamen Schnitt F zieht und von F auf BC das Lot FE fällt. Dieses gibt zugleich die Richtung der Tangentialbeschleunigung к ß an, welche durch G gehen muß. Somit wird G als Schnitt von EF und NG gefunden.

§ 51. Sonderfälle der rotierenden Kurbelschleife.

1. Die Gerade g g geht durch den Drehpunkt A der Schleifkurbel. Dann haben wir das übliche

Schleifkurbelgetriebe.

Wendet man die eben für die rotierende Kurbel-

i/e№

<N

Fig. 45.

schleife abgeleitete Konstruktion der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen an, so ergibt sich eine Vereinfachung insofern, als die Coriolis-Beschleunigung und die Tangentialbeschleunigung des Schleifkurbelpunktes G in ein und dieselbe Richtung fallen, so daß die Punkte KL MN auf einer einzigen zu AG senkrechten Geraden liegen.

Wir konstruieren also (Fig. 45) zunächst das Geschwindigkeit sdreieck CD//, indem wir DH J- AG ziehen. Dann wird der Endpunkt К der Normalbeschleunigung CK — l a² wie bisher ermittelt, indem man vom Schnittpunkt J des über A.C geschlagenen Halbkreises und des um C mit CII = l a geschlagenen Kreisbogens das Lot JK auf AC fällt. Yerlängert man dieses

YL

Fig. 46.

über К bis zum Schnitt N mit der durch О zur Gleit-richtung AC gezogenen Parallelen QN und macht LM= KL, so ist

KM = 2 KL = 2 ve • a die Coriolis-Beschleunigung, MN = Z öc die gesuchte Tangentialbeschleunigung des Schleifkurbelpunktes C,

HO = pe die Gleitbeschleunigung des Gleitstücks.

Gleichförmige Drehung der Kurbel Je.

b = const; ß = 0 .

Dann vereinfacht sich die Konstruktion noch mehr, da bei Wahl des Geschwindigkeitsmaßstabes 1:6 die

Punkte E, F, G mit В zusammenfallen und daher anstatt durch G durch В die Parallele BJSf bis zum Schnitt N mit KL zu ziehen ist.

2. Der Lenker CB wird unendlich lang. Dann erhalten wir die in Pig. 46 skizzierte

Rotierende Kurbelsehleife mit gerader Führung des Punktes C.

Es ist dieselbe Betrachtung wie bei der rotierenden Kurbelschleife mit Kreisführung von G (Fig. 44) anzustellen. Nur wird die Normalbeschleunigung CE=Jc»b² der Fig. 44 gleich Null, so daß sich die Konstruktion des Beschleunigungsplanes in der aus Fig. 46 ersichtlichen Weise vereinfacht, weil EG durch C geht.

§ 52. Oszillierender Zylinder.

Hält man im Getriebe (Fig. 45) die Kurbel BC fest und läßt AB um В rotieren, während die Stange AG ständig durch den Punkt C geht, so erhält man das in Fig. 47 skizzierte Getriebe, wie es bei einem „oszillierenden Zylinder“ vorliegt.

Es seien b und c bzw. ß und у die Winkelgeschwindigkeiten bzw. Winkelbeschleunigungen der Kurbel AB um В und des Zylinders um G; ferner sei AB — m, die veränderliche Länge AG — l.

Als bekannt seien vorausgesetzt b und ß, also auch die Geschwindigkeit AD — mb, Normalbeschleunigung AE=mb² und Tangentialbeschleunigung EG — mß des Kurbelzapfens A.

Geschwindigkeiten :

Die bekannte Geschwindigkeit AD = mb des Kurbelzapfens A setzt sich zusammen aus:

HD = va = Geschwindigkeit des Kolbenstangenpunktes A relativ zum Zylinder {HD -L AG), AII—lc = Schwingungsgeschwindigkeit des Punktes A der Zylinderebene gegenüber dem Gestell.

Beschleunigungen :

J)

IF

Die Gesamtbeschleuni-gung^l 6r des Kui beizapfen s ist nach Größe und Richtung der Voraussetzung / nach bekannt, ließe sich    /

aber auch durch Zusammen-    l

Setzung folgender Beschleu- Js nigungen erhalten:    '

1.    der Beschleunigung NG = pa des Kolbenstangenpunktes A gegenüber dem Zylinder, in die Richtung CA fallend,

2.    der Beschleunigung des Zylinderpunktes A, bestehend aus den beiden zueinander rechtwinkligen Komponenten:

a) AK

(.AJУ    (АП)² (le)

AG

Fig. 47.

= K ormalbeschleuni-

gung, in Richtung AG fallend, b) MN = l у = Tangentialbeschleunigung, senkrecht AC fallend,

3. der Goriolis-Beschleunigung

AK    Ic²

Ic

KM = 2 KL = 2 HD • —— = 2 vc -y— = 2 ve»c . AH

Zur Konstruktion der Geschwindigkeiten bzw. Beschleunigungen fällen wir daher DHA_AC und erhalten das Geschwindigkeitsdreieck AHD. Dann bringen wir den Halbkreis über AG mit dem um A mit AH geschlagenen Kreisbogen zum Schnitt /, ziehen das Lot J K _L AC und bringen es in N mit der durch G zu AG gezogenen Parallelen zum Schnitt. Ist L der Schnitt von JK mit AB und macht man LM= LK₎ so enthält der Linienzug AKMNG die einzelnen Beschleunigungen AK=lc\ KM=2va-c₁ MN=ly, in wirklicher Größe und Richtung, auch dem Richtungssinn nach.

§ 53. Die Massenwirkung der schweren Schubstange im geraden Schubkurbelgetriebe. Allgemeines.

Infolge der außerordentlichen Bedeutung des geraden Schubkurbelgetriebes, bei dem die Gleitrichtung durch die Kurbel welle geht, für die Praxis seien im folgenden noch einige etwas weitergehende graphische Methoden zur Ermittlung der Massen Wirkung der schweren Schubstange angeführt, von denen die erste von Mollier, die zweite von Mohr angegeben worden ist.

§ 54. Bestimmung des Bückdrucks der bewegten Schubstange auf den Kolben nach Mollier.¹)

Bei der Bewegung des Schubkurbelgetriebes äußert sich die fortwährende Änderung der in der Schubstange enthaltenen kinetischen Energie E in einem variablen

*) R. Mollier, Der Beschleunigungsdruck der Schubstange.

Z. 1903.

NG=pa

Rückdruck P auf den Kolben. Die Änderung dE der kinetischen Energie während der Zeit dt muß hierbei gleich der in dieser Zeit von der Kraft P auf ihrem Wege dx geleisteten Arbeit Pdx sein, wobei dx = wdt den in der Zeit dt vom Kreuzkopf G mit der Geschwindigkeit w durchlaufenen Weg darstellt. Es ist also

dE == P • w • dt,

(18)

1 dE

P=---.

w dt

Die Bewegung der Schubstange (Fig. 48) kann aufgefaßt werden entweder

1. als eine Schiebung längs der Gleitbahn g g des Kreuzkopfes G mit der Kreuzkopfgeschwindigkeit w, verbunden mit einer gleichzeitigen Kelativdrehung um G

E

s/v/T

)CC

Ъ ÿ ^^9

Fig. 48.

gegenüber der Kreuzkopf ebene mit der Winkelgeschwindigkeit “, wenn и die Relativgeschwindig-

i

keit des Punktes В gegenüber der Kreuzkopfebene bedeutet; oder

2. als eine Schiebung mit der Geschwindigkeit s des Schwerpunktes S imd eine gleichzeitige Drehung um

den Schwerpunkt mit der gleichen Winkelgeschwindig-u

keit — wie vorher.

Bezeichnet M die Masse, J₈ das Trägheitsmoment der Stange nm ihren Schwerpunkt, so ergibt sich die gesamte kinetische Energie der Stange

(19)

— $² + -2 2

Zieht man A F _L g g bis zum Schnitt F mit БС, so ergeben nach Früherem im Geschwindigkeitsdreieck BFA die Komponenten:

ч$-

BF — и ,

FA = w

als Resultierende die Geschwindigkeit des Kurbelzapfens В BA — V .

Die Geschwindigkeit s des Schwerpunktes setzt sich zusammen aus der Geschwindigkeit w des Kreuzkopfs

und der Relativgeschwindigkeit h • gegenüber der

Kreuzkopfebene, wobei h = SC* Man findet diese, wenn u im Verhältnis —

man BF —

verkleinert, d. h. durch

S ST II AC bis zum Schnitt T mit der Kurbel und TU W A F bis zum Schnitt U mit BC zieht. Dann ist

UF —

ъ u

h‘i'

und da

ÜF+FA= UA

ist, aber auch sein muß, so ergibt sich, daß

UA = s

ist. Bezeichnet man die Winkel der Kurbel bzw. der Schubstange gegen die Gleitbahn g g mit oc bzw. /5, so wird

<AFB = 90 - ß ABF = oc -f- ß

und wir können aus den beiden Dreiecken AUF und AB F die Beziehungen ableiten

S" = W² -|-

V* = w² + u² — 2 w • и • sinß .

Die Elimination von ß hieraus führt zu der Gleichung

/    u\² 1ъ

(20) s² = tv² + ( h • —)--— (w² Ą- u² — V²) .

Führt man an Stelle von Js das Trägheitsmoment J um den Kreuzkopfzapfen C und dafür wieder den

Trägheitsradius к = j/~ijj e^nj so kann Inan schreiben

(21)

Js = J-Mh² = M(k²-h²).

Setzt man (20) und (21) in (19) ein, so erhält man als Gesamtenergie der Schubstange

l-h

k²

l l²

■) + 7- •

Die Differentiation von E nach der Zeit t ergibt hiernach

, dv h~ 4- V — • — ,

^ dt l j

dE

dw l — h

du

fh__ &²\

\T~~W)

_    - - /ц__

dt l    dt

so daß die Gleichung (18) übergeht in die andere dw l—h    и du

.dt l    w dt

Da hierin noch keinerlei beschränkende Voraussetzung für die Winkelgeschwindigkeit œ der Kurbel gemacht wurde, so gilt diese Gleichung auch für variable Kurbelzapfengeschwindigkeit v.

Spezialfall ; o> = konst.

In den meisten Fällen wird man die vereinfachende Annahme machen können, daß die Kurbel mit konstanter Geschwindigkeit rotiert. Dann wird

dt

(23) P=M

(h k²\

v dv h' w dt l.

dv

v = konst.,    —— = 0 ,

dt

und Gleichung (23) geht in die einfachere über dw l — h и du [h k²Y . dt l

Wählen wir als Maßstab der Beschleunigungen wie üblich 1 : со² und wenden wir die Mohrsche Konstruktion an, nämlich AF±gg, FE II AG, EL\\ AE, LM_L BC und AMWgg, so stellt

(24) P=M

w dt

I l²)/

1 dw

—ir -Pc = —г• —гг die Beschleunigung des (x)A    аг    dt

LM = -i- • 4— die Tangentialbeschleunigung des со² dt    dt

Punktes В relativ zum Kreuzkopf dar.

AM=.a =

Kreuzkopfs,

Nun ergibt sich aus A A BF die Beziehung

COS&

sin(& + ß) *

Zieht man daher MNW AB, NO _L g g bis zum Schnitt 0 mit AM, so ist LM

sin(« + ß) ’

MO = b = MN cos oc = LM-

MN=

cos я

du

sin(<% + ß) CD

dt ’

(25)    P = M-a>² а •

und wir können daher für (24) schreiben l~h

wobei a und b die oben angegebenen Strecken AM und MO bedeuten, die in m zu messen sind, wenn das Kurbelgetriebe im natürlichen Maßstabe aufgezeichnet worden ist.

Größe von a und Ъ in den Totlagen л = 0, а = 180°.

a) In beiden Totlagen wird BF—u = AB — r, also

-— = г Я und daher

auch BL = А H

(26)    ao° = [AB\qo -f- [BL]₀o = r + rl — r( 1 + Я) ,

(27)    alao. = — [AB]₁₈₀. + [BEU» = —r + rX = —r[ 1 — *J,

r

wobei Я = у das Schubstangenverhältnis bedeutet.

b) Rechnerisch ergibt sich aus Fig. 48: 1. allgemein:

,    „,,r    . t> MC    AC—а

AG

b = MJS cosa = AB-r-^r cosa = r——cosa ,

(28)    6 = r • [l

r cosa -f- l cosß

cosa ;

2. für die Totlagen: a = 0° :

b₀ = r[ 1 — X] ,

(29)

(30)

« = 180°; ß = 0°; Ът° = — r[l + X] .

§ 55. Bestimmung der Resultierenden der auf eine schwere Schubstange wirkenden Trägheitskräfte nach Mohr.¹)

Ist со die konstante Winkelgeschwindigkeit der Kurbel CB (Fig. 49), $ der Schwerpunkt der Schubstange AB, ferner m • BS• SD die Größe des Trägheitsmoments der Schubstangenmasse m in bezug auf den

JJ

JL

I)

Fig. 49.

Schwerpunkt S, woraus die Bedeutung und Lage des Punktes D hervorgeht, und zieht man СЕА_АСч, EF II AC, FCA^AC, GHÄ-AB, und außerdem SJ und DK parallel zu AC, CK parallel zu AB, bezeichnet ferner den Schnittpunkt von KJ und AB mit L, so geht die im Zeitpunkt der Betrachtung den äußeren auf die Stange einwirkenden Kräften das Gleichgewicht haltende Trägheitskraft R durch den Punkt L, ist parallel zu CJ, hat çlen Sinn CJ und die Größe

(31)

R = m • со² CJ in kg,

!) O. Mohr, Z. 1899.

wenn im natürlichen Maßstab gezeichnet und CJ in m gemessen wird.

Der Beweis der Richtigkeit dieser Konstruktion ist von Mohr zuerst im Civiling., Bd. XLI, Heft 8 gegeben worden.

IX. Steuerungen mittels Seliub-kurvengetriebe.

§ 56. Nockensteuerungen. Allgemeines.

Eine auf einer Achse A (Fig. 50 und 51) festgekeilte unrunde Scheibe, die mit der Achse rotiert, bietet ein sehr einfaches Mittel, aus der Dreh-bewegungder „Steu er-w e 11 eu A eine bestim mte hin und her gehende Bewegung der Rolle C i / Г5 abzuleiten. Man kann dabei den Rollenmittel-punkt G zwingen, entweder

I.    sich auf einer Ge- / raden g g (Fig. 50) zu bewegen, indem man die Rolle an einem auf der Geraden auf und nieder gehenden Gleitstück befestigt, oder

II.    einen Kreis um einen Punkt D (Fig. 51) zu beschreiben, indem man die Rolle mittels des Lenkers CD = l an dem Punkte D befestigt.

V ' VM /

О, A\

v"

ft

IŁ \

Fig. 50.

Man wird in allen Fällen die Bewegungsverhältnisse (d. h. die Winkelgeschwindigkeit со und die Winkelbeschleunigung e) des Nockens bzw. der Steuerwelle А kennen. Es besteht die Aufgabe, Weg 5, Geschwindigkeit V = l со' und Tangentialbeschleunigungpt — le; des Rollenmittelpunktes C zu untersuchen, wenn das Profil des Nockens bekannt ist. Hierin sind со', e' die Winkelgeschwindigkeit bzw. Winkelbeschleunigung von l um I).

§ 57. Analyse des Getriebes einer Nockensteuerung.

Das Profil des Nockens besteht in den meisten Fällen aus mehreren tangential ineinander übergehenden Kreisbögen. Der tangentiale Übergang ist unbedingt erforderlich, wenn man harte und gefährliche Stöße zwischen Nocken und Rolle vermeiden will.

In den Figuren 50 und 51 setzt sich das Profil der unrunden Scheibe aus den Kreisbögen aumi, 6, undb2 um Bx und B₂ und b₃ um B₃ zusammen. Es ist leicht einzusehen, daß man die Rolle, ohne die Bewegung ihres Mittelpunktes G dabei zu ändern, in den Punkt C zusammenschrumpfen lassen kann, wenn man gleichzeitig das Profil des Nockens zu der im Abstande des Rollenradius gestrichelt gezeichneten Äquidistanten erweitert, die aus den Kreisbögen b[, b₃, b₂ zusammengesetzt ist. Es seien x, 2/, ж, и die Trennpunkte, in denen diese Kreisbögen tangential aneinander stoßen.

Man erkennt, daß Punkt (7, während sich der Nocken im Uhrzeigersinne dreht, zunächst eine Zeitlang (zwischen и und x) mit dem Kreis ar in Berührung und somit selbst in Ruhe war. Yon x bis у erhebt er sich dem Kreisbogen b[ entsprechend bis in die gezeichnete Lage und darauf weiter bis zum Scheitel S des Kreises Ц längs

N ockensteuenmgen.

113

des letzteren in seine höchste Lage, sinkt darauf längs 63 bis ж und längs &2 bis и in die Ruhelage zurück, die er wieder bis x beibehält, um von neuem sich zu erheben.

Im Intervalle x — у bleibt offenbar die Entfernung GBX zwischen G und dem sich mit dem Nocken drehenden Punkte Bx dauernd dieselbe, so daß man die gleiche Bewegung von G auch erhielte, wenn man durch eine Kuppelstange GBX das Rollenmittel G mit dem Nockenpunkte Bl verbinden und dafür die unrunde Scheibe

6\

“5 >

a ta'

У'

Fig. 61.

ganz fortlassen würde, d. h. wir können den Nocken im Intervall x — y im Falle I durch das Schubkurbelgetriebe ABtG (Fig. 50), im Falle II durch das Gelenkviereck AB^GD (Fig. 51) ersetzen.

Im Intervall у — ж bleibt die Entfernung GB₃ dauernd die gleiche; an Stelle des Nockens kann somit das Schubkurbelgetriebe AB₃G (Fig. 50) bzw. das Gelenkviereck ABSCD (Fig. 51) treten.

Polster, Kinematik.

Im Intervall я — и endlich ändert sich der Abstand zwischen C und B₂ nicht, sondern behält ständig den Wert B₂z; also kann man hier den Nocken durch das Schubkurbelgetriebe AB₂C (Fig. 50) bzw. das Gelenkviereck AB₂CJD (Fig. 51) ersetzen, wobei in beiden Fällen die Schubstange I?₂ (7 die Länge B₂z hat

Besteht das Profil des Npckens nicht aus Kreisen, sondern aus anderen Kurven mit veränderlicher Krümmung, so kann man sich dasselbe gleichwohl als aus einer großen Anzahl kurzer Kreisbögen zusammengesetzt denken, die ihre Mittelpunkte auf der Evolute (Krümmungsmittelpunktskurve) der Profilkurve haben. Dann gilt dieselbe Betrachtung wie oben, aber nur für unendlich kleine Intervalle x — у. Wir erhalten infolgedessen an Stelle des Nockens eine unendlich große Anzahl Schubkurbelgetriebe bzw. Gelenkvierecke mit stetig veränderlicher Kurbel AB und Schubstange В (7, von denen wir für eine Reihe in gewissen (praktisch gleichen) Intervallen aufeinander folgender Nockenstellungen die diesen entsprechenden Ersatzgetriebe herausgreifen und untersuchen.

Da in § 41—47 sowohl das Schubknrbelgetriebe wie auch das Gelenkviereck hinsichtlich ihrer Bewegungsverhältnisse eingehend behandelt und die zu ihrer Untersuchung nötigen graphischen Verfahren angegeben und begründet sind, so erübrigt es sich, hier nochmals darauf einzugehen.

Besteht das Profil einer unrunden Scheibe zum Teil aus geradlinigen Stücken, so kann man den Nocken nicht mehr durch ein Schubkurbelgetriebe oder Gel en к viereck ersetzen. Wie man aus Fig. 52 und 53 vielmehr erkennt, erhält man in diesem Falle das Getriebe einer rotierenden Kurbelschleife, die mit der bekannten Winkelgeschwindigkeit со bzw. Winkelbeschleunigung e der Steuerwelle A rotiert, während das Gleitstück C

Nockensteuerungen.

gezwungen wird, sich, entweder auf der Geraden ss oder auf dem Kreise um В zu bewegen. Wir erhalten also

115

cf

\D_Ъ

■J

Fig. 52.

Fig. 53.

die Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung von (7, indem wir in der in § 48—51 angegebenen Weise verfahren.

§ 58. Beispiel.

Es sei nur auf Fig. 54 aufmerksam gemacht, in der für den dort gezeichneten Nocken einer Hochofengebläsemaschine, dessen Maße weiter unten angegeben werden, die Geschwindigkeits- und Beschleunigungskonstruktion für die Lage у des Punktes G eingezeichnet sind; und zwar sind die ausgezogenen Linien die Konstruktionslinien für das Kurbelgetriebe ABXCD, die punktierten diejenigen für das Kurbelgetriebe AB^CD. Da dieselben Buchstaben gewählt sind wie früher beim Gelenkviereck, so wird es leicht sein, durch Vergleich mit Fig. 39 die Konstruktion zu verfolgen und die einzelnen Linien zu deuten. Es sei noch bemerkt,

daß die nur für das Getriebe ABXCD in Frage kommenden Buchstaben mit dem Index 1, die nur für AB₃CD gebrauchten mit dem Index 3 versehen sind, während die für beide Getriebe gemeinsamen keinen Index tragen.

Die hauptsächlichsten Vektoren im Geschwindigkeits-bzw. Beschleunigungsplan sind FA = lœ' = Geschwindigkeit des Punktes 0,

MN — le' — Tangentialbeschleunigung des Punktes G\ Aus ihnen sind damit auch das gesuchte со' und s' bekannt.

.л:

f/зк

"'fjD

iu

Fig. 54.

In Fig. 55 sind Weg s, Geschwindigkeit v — \cof und Tangentialbeschleunigung pt = le' über dem der Zeit proportionalen Kurbelwinkel als Abszisse aufgetragen. Man erkennt, daß in den Punkten я, г/, z, и in bezug auf den Verlauf der Beschleunigungen Unstetigkeiten auf treten, indem nämlich in x die Beschleunigung plötzlich vom Werte 0 auf einen verhältnismäßig großen positiven Wort, in у von

Beispiel der Untersuchung- einer Nockensteuerung-. Ц7

einem positiven auf einen negativen, in z umgekehrt von einem negativen auf einen positiven Wert springt, bis sie schließlich in и von einem positiven auf den Wert 0 plötzlich zurücksinkt. In der Geschwindigkeitskurve macht sich naturgemäß diese Unstetigkeit in einem plötzlichen Wechsel der Tangentenrichtung, in der Wegkurve in einem

Pt

Я]

Fig. 55.

freilich dem Auge nicht so auffallenden plötzlichen Wechsel der Krümmung bemerkbar.

Für die Berechnung der Yentilfedern kommt in der Hauptsache nur die größte negative Beschleunigung (zwischen у und z) in Frage.

Die wirklichen Maße des Nockens (Fig. 54) waren die folgenden :

Radius der unrunden Scheibe 41= 150 mm „    „ Rolle

Krümmungsradius

CF= 75 „ B, Y = 535 „ AB, = 98 „ CD = l = 250 „ <£XAU= 99 ..

§ 59. Schwingdaumensteuerungen. Analyse des Getriebes.

Bei einer großen Anzahl moderner Ventilsteuerungen für Dampf und Gasmaschinen verwendet man sogenannte Schwingdaumen, das sind unrunde Scheiben, die keine beständige Drehung, sondern nur eine mehr oder minder kurze Schwingung ausführen. Aus diesem Grunde stellen sie auch körperlich fast stets nur ein Stück einer der in § 56—58 behandelten unrunden Scheiben dar.

Bedenken wir, daß man mittels der Steuerung eine periodische Bewegung des Ventils erreichen will, derart, daß das Ventil während einer möglichst kurzen Zeit angehoben, dann während der knappen Zeit der Füllung offen gehalten, hierauf schnell geschlossen werden und relativ lange geschlossen bleiben soll,, so ergibt es sich, daß man ein Steuergetriebe braucht, welches zum mindesten aus zwei ev. auch drei Teilgetrieben bestehen muß, falls man nicht den direkten Antrieb mittels unrunder Scheiben von der Steuerwelle wählen will wie im vorigen Kapitel.

Von den Teilgetrieben hat

Getriebe I aus der kontinuierlichen Drehung der Steuerwelle eine beständige Schwingbewegung des Schwinghebels zu erzeugen;

Getriebe П muß aus dieser beständigen Schwingbewegung eine periodisch durch längere Ruhepausen unterbrochene Schwingbewegung entweder des Ventils direkt oder erst eines Zwischenhebels ableiten. Im letzteren Falle macht es sich nötig, daß auch noch

Getriebe III diese zweite Schwingbewegung auf das Ventil selbst überträgt.

§ 60. Bewegungsverhältnisse.

Was die Bewegungsverhältnisse anlangt, so ist stets die in den meisten Fällen konstante Winkelgeschwindigkeit со der Steuerwelle A (Fig. 56—61) bekannt. Man hat daraus die Bewegung, d.h. Weg 5, Geschwindigkeit v und Beschleunigung p eines Punktes derVentilspindel ä 5 zu finden.

Dies geschieht, indem man der Reihe nach in den Getrieben I, II, III die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen graphisch ermittelt.

Fig. 56.

Getriebel. In allen Fällen wird die Bewegung von der Steuerwelle A durch ein Exzenter, d. i. kinematisch eine kleine Kurbel AB = r, mittels einer langen Schubstange B G — I auf den Punkt C übertragen, der, wie aus den Figuren 56, 57, 58, 60, 61 ersichtlich ist, durch einen Hebel CD zu einer Drehung um einen festen Punkt D gezwungen wird. Wir haben somit als erstes Getriebe ein Gelenkviereck AB CD, dessen Antriebskurbel mit der bekannten, aus der Tourenzahl n ermittelten

Winkelgeschwindigkeit со = ^ rotiert. Wir können

o0

daher die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes C finden, wenn wir die in § 41, 42 angegebene

в/л

'V

*Т I ■

•П&-

fi

Fig. 57.

II

II

«у

Konstruktion an wenden. Da r : l sehr klein ist und meist unter 1:20 liegt, so genügt es praktisch, die Näherungskonstruktion § 43, Fig. 42 zu benutzen, die für den Fall r : / == 1 : oo absolut genau wäre.

In Fig. 5 9 beschreibt C eine Äquidistante zu der schwarzen Schub-— kurve (siehe auch Fig. 62), die aus Kreisbögen und geraden Stücken zusammengesetzt ist. D. h. G bewegt sich auf Kreisbahnen um die Krümmungszentren A bzw. A₂ der Schubkurve (Fig. 62) oder geradlinig längs b' c', so daß wir entweder ebenfalls ein Gelenkviereck ABCAX bzw. ABCA₂ oder ein Schubkurbelgetriebe AB G haben.

Getriebe II. Mit

der Geschwindigkeit und Beschleunigung des

»    Fig. 58.

Punktes G ist auch die Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung des Schwinghebels CD um D bekannt. Wir haben nun zwei Fälle zu unterscheiden:

1. Entweder trägt der Schwinghebel CDdieSchub-kurve, wie in Fig. 56, 57, 60,

T'N

Fig. 59.

Q-|l

61. Dann haben wir als zweites Getriebe eine unrunde Scheibe, die mit bekannter, aber veränderlicher Winkelgeschwindigkeit und Winkelbe- В schleunigung sich 'X ; dreht und eine Rolle E entweder (Fig.

56) auf gerader Bahn ss oder (Fig.

57, 60, 61) auf einem Kreisbogen um E bewegt, so so daß wir wieder wie bei den unrunden Scheiben (§57) ein Schubkurbel-

getriebe (§ 44, Fig.

43) oder Gelenkviereck (§ 41, Fig.    _______

38), bei geradli- В • nigem Profil der i

Fig. 60.

Schubkurve eine rotierende Kurbelschleife mit geradlinig bewegtem Punkt C (§ 51, Fig. 46) oder mit kreisförmig bewegtem Punkt C (§ 50, Fig. 44) haben, diesmal mit variabler, aber bekannter Windgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung der Antriebskurbel.

2. Oder der Schwinghebel trägt am Ende eine Rolle G (Fig. 58, 59), die ihre Bewegung auf eine Schubkurve überträgt, welche entweder (Fig. 58) sich um einen festen Punkt E dreht oder (Fig. 59) sich längs einer

\h

Fig. 61.

Das

Getriebe П in Fig. 58 stellt somit ein Gelenkviereck dar, das entsprechend § 41, Fig. 39 zu untersuchen wäre.

In Fig. 59 kann sich die weiße Schubkurve nur in der geraden Richtung der Ventil Spindel bewegen. Dieser Fall erfordert eine besondere Betrachtung. In Fig. 62 ist das Getriebe nochmals vergrößert aidgezeichnet. Die schwarze Kurve besteht aus den beiden Kreisbögen a — b und c — d um AY bzw. A₂ und der Geraden b — c, tangential an beiden Kreisbögen. Die weiße Schubkurve setzt sich aus den Kreisbögen oc — ß und y — ô um C\ und C₂ und ihrer gemeinsamen Tangente ß — y zusammen.

Geraden ss hin und her bewegen kann. Wir haben also in Fig. 58 wieder dasselbe Getriebe wie bei einer unrunden Scheibe, nur geht der Antrieb nicht von der unrunden Scheibe, sondern von der Rolle C aus, so daß in Fig. 54 im Gelenkviereck AB CD der Lenker CD zur Antriebskurbel, die Kurbel AB zum Gegenlenker wird.

Der Mittelpunkt G der Rolle bewegt sich relativ zu beiden Profilen auf deren Äquidistanten im Abstand des Rollenradius, nämlich auf a'VVd' und oc'ß'y'd'.

Die Rolle ist in der Lage gezeichnet, in der sie das schwarze Profil in Ъ berührt. Das weiße Profil kann

\s

./

El

Fig. 62.

nun entweder noch auf dem Kreise oc — ß oder schon auf der Geraden ß — у berührt werden. In der Zeichnung ist die Zwischenlage ß angenommen, die beide Fälle in sich vereinigt. Es ergeben sich damit vier verschiedene Möglichkeiten, die zu ebensoviel verschiedenen Getrieben führen :

а) C wird als Punkt des Kreises a'V um At angesehen Gegenüber dem weißen Profil bewegt sich C auf dem Kreise oc'ß' um Cx, wobei sich Gx selber in der Richtung ss der Yentilspindel bewegt. Dann können wir

Iß’

-4

das Getriebe als ein Schubkurbelgetriebe A₁GC1 (Fig. 62a) auffassen, dessen Kurbelzapfen C sich mit bekannter, aus Getriebe I ermittelter Geschwindigkeit und Beschleunigung bewegt. Nach § 44, Fig. 43 läßt sich dann auch die Geschwindigkeit und Beschleunigung von Cx finden.

b) G ist Punkt des Kreises a'—Ъ' um Ax, bewegt sich

aber gegenüber dem weißen Profil schon

62 a.

,E

$ / V

au^ ^er Geraden ß'y'->

II

c'

G,

62 d.

A>

/

•ч

'HS

II

с'

die ihrerseits sich in der Ventilspindelrichtung verschiebt. Wir haben dann das inFig. 62b skizzierte Getriebe A₁Cß/y ', wo die antreibende Kurbel At G das Gleitstück G so an das Profil ß'y ' drückt, daß dieses in Richtung ss gehoben wird.

!/

62 b.

62c.

Fig. 62 a—62 d.

Die bekannte Geschwindigkeit von C um At (die Geschwindigkeiten seien hier einmal ausnahmsweise nicht gedreht) vB = DCA. AXC läßt sich zerlegen in die gesuchte Ventilgeschwindigkeit v₈ = DE in Richtung ss und die Relativgeschwindigkeit vr = EC des Punktes G auf der Geraden ß'y'.

Desgleichen kann man die bekannte Beschleunigung pc — CF des Punktes (7, die aus dem Getriebe I nach Größe und Richtung ermittelt worden ist, in die

gesuchte Ventilbeschleunigung p₈ = G F in Richtung s und die Relativbeschleunigung pr= CG des Gleitstücks C gegenüber ß'y' in Richtung ß'yf zerlegen.

c)    C befindet sich schon auf der Geraden b'c\ bewegt sich aber relativ zum weißen Profil noch auf dem Kreise oc'ß\ dessen Mittelpunkt Cx selbst sich in der Richtung ss verschiebt. In diesem Palle können wir an Stelle der Schubkurven das in Fig. 62 c angegebene Getriebe b' c' CCX setzen.

Zeichnen wir wie üblich die Geschwindigkeiten in ihrer um 90° gedrehten Lage, so setzt sich im Geschwindigkeitsdreieck CDE die bekannte Geschwindigkeit vc = DC _L b'c' aus der Ventilgeschwindigkeit DE = vs J_ ss und der Relativgeschwindigkeit vr = EC des Punktes C um Cx zusammen.

in bekannter Weise konstruiert

als der Ausdruck

In gleicher Weise kann man die bekannte Beschleunigung p₀ = CF im Beschleunigungsplan CH G F in die gesuchte Ventilbeschleunigung ps = G F in Richtung ss und die Relativbeschleunigung pr = C G von C um Cx zerlegen, wobei deren Nonnalkomponente^n= CH (CE)*

CCX

werden kann, indem über CCX der Halbkreis und um C der Kreisbogen mit dem Radius CE in J zum Schnitt gebracht werden und das Lot JH _L C Cx gefällt wird. Dieses schneidet dann auf der durch F zu ss gezogenen Parallelen die gesuchte Ventilbeschleunigung ps — G F ab.

d)    C bewegt sich auf der Geraden &У, während er gegenüber dem weißen Profil die Gerade ß'y' beschreibt, die sich mit der Ventilspindel in der Richtung ss geradlinig verschiebt. Wir haben dann das Getriebe

Fig. 62d. Die bekannte Geschwindigkeit vc = CD (nicht gedreht) zerfällt in die gesuchte Yentilgeschwin-digkeit vs — ED in Richtung s s und die Relativgeschwindigkeit vr — CE des Punktes C gegen ß'y'.

Genau so kann man die bekannte Beschleunigung pc = CFm die gesuchte Yentilbeschleunigungjt?s = CF in Richtung s s und die Relativbeschleunigungpr — CG von C gegen ß'y' zerlegen.

Ganz dieselben Betrachtungen hat man für diejenigen Lagen anzustellen, in denen die Rolle die Profile auf den Strecken b c und y ô oder c d und ß y oder c d und y ô gleichzeitig berührt. Man kommt dann auf dieselben Getriebe wie unter a), b), c) erörtert und in Fig. 62 a), b), c) skizziert. Natürlich erhält man andere Abmessungen der Getriebe als vorher.

Getriebe III. In Fig. 57, 58, 60, 61 haben wir mit der Geschwindigkeit vR und Beschleunigung pR des Punktes В noch nicht die der Yentilspindel selbst gefunden.

In Fig. 58 und 61 haben wir vR in die gesuchte Yentilgeschwindigkeit vs in Richtung ss und die Relativgeschwindigkeit von A? gegen die Yentilspindel, nämlich vr J_5S zu zerlegen. Nur in der Mittellage EBJLss wäre vR = v₈. Doch sind die Yentilhübe gegenüber EB meist so klein, daß die Abweichung der Richtung EB von der zur Spindel s s senkrechten Lage vernachlässigt und die Geschwindigkeit vR an Stelle der Yentilgeschwindigkeit vs gesetzt werden kann.

Desgleichen wäre eine Zerlegung der Beschleunigung von pR in Richtung s s und senkrecht dazu auszuführen. Auch hier bleibt man in der Regel innerhalb guter Genauigkeit, wenn man die Tangentialbeschleunigung von pR an Stelle der Yentilbeschleunigung pg setzt.

In Fig. 57 hat man zunächt aus vR und pR die Geschwindigkeit vs und Beschleunigung ps des Punktes S vom Rollenhebel ER zu ermitteln, indem man vR bzw. pR im Verhältnis ES : ER vergrößert. Dann kann man analog dem eben für Fig. 58 und 61 Gesagten vs für die Ventilgeschwindigkeit v₈ und die Tangentialkomponente von ps für die Ventilbeschleunigung ps setzen.

In Fig. 60 haben wir ein anderes Getriebe. Man erkennt, daß der Hebel ER als eine unrunde Scheibe mit geradem Profil angesehen werden kann, welche die Rolle S in Richtung der Ventilspindel ss geradlinig bewegt. Daher stellt das Getriebe ERS wie bei den unrunden Scheiben eine rotierende Kurbelschleife dar, bei welcher das Gleitstück sich auf einer Geraden verschiebt, während sich die Kurbelschleife mit einer aus vR und pR bekannten Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung um E dreht. Wir haben damit das in § 51, Fig. 46 behandelte Getriebe und können in der dort besprochenen Weise die Geschwindigkeit und Beschleunigung von S finden.

§ 61. Beispiel.

Als Beispiel ist in Fig. 63 und 64 die Untersuchung einer Pröllsteuerung älterer Art (Fig. 58) angegeben. Fig. 63 zeigt oben den Schwinghebel, dessen Profil aus den beiden Kreisbögen ab um At und cd um A₂, sowie aus der Geraden bc tangential an diese Kreise zusammengesetzt ist. Die entsprechenden Punkte der Äquidistante durch C zu ab cd sind a'b'c'd'. Die zu diesen Punkten gehörigen Lagen a"b"c"d" des Rollenmittels C liegen auf Kreisen durch a'b'c'd' um E und außerdem auf dem Kreise durch G um D.

Der Exzenterkreis e (= Kurbelkreis der Kurbel AB in Fig. 58) ist an den Punkt D verlegt Die Kurbelstel-lungen <x? und <x" bei „Anheben“ und „Aufsetzen“ des Ventils liegen symmetrisch zur mittleren Exzenterstangenrichtung mm, die aus den Maschinenabmessungen bekannt

bemriGDO-

ist. Der Winkel a'Da" ist die Summe der Kurbel winkel, die zu den im Beispiel als 4,4 °/₀ und 35,9 °/₀ (für Kurbelseite) angenommenen Kolbenwegen gehören. Die zu b"c"d" gehörigen Stellungen ß'/ö'/'ß" findet man, wenn man den

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Fig. 63.

Kreisbogen o'b" d'd" parallel zu sich selbst nach dem Punkte a" verlegt und von b"ć"d" aus lotrecht zu mm den Exzenterkreis e anschneidet.

Die in Fig. 63 von D aus nach den Kurven vc bzw. pc gezogenen Strahlen geben die Geschwindigkeiten bzw.

Beschleunigungen des Rollenmittels C an, die unter Voraussetzung konstanter Winkelgeschwindigkeit со = 1 für die Steuerwelle und unter Vernachlässigung der endlichen Exzenterstangenlänge in der in § 43, Fig. 42 angegebenen Weise gefunden wurden. Hiervon sind vc und die Tangentialkomponente pt von pc in Fig. 64 über der Zeit aufge-

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ce' ä’

Vi

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~<ь.

Fig. 64.

getragen, die den Wegen des Kurbelzapfens auf dem Exzenterkreis proportional ist.

In der weiter oben erörterten Weise (§ 50) ist aus vc und pc mittels der für das Getriebe DCE zu benutzenden Konstruktionen der Weg 5, die Geschwindigkeit vs und die Tangentialbeschleunigung ps des Punktes S vom Hebel ES ermittelt und im Diagramm Fig. 64 aufgezeichnet worden. Polster, Kinematik.

Ähnlich dem bei den unrunden Scheiben erhaltenen Resultat erkennt man, daß die Punkte ab cd Unstetig-keitspunkte des Getriebes sind, in welchen sich die Beschleunigungen ps sprungweise ändern.

Zur Berechnung der Yentilfeder ist die Beschleunigung ps für die Zeitpunkte / bzw. y" zugrunde zu legen. Ist man über den ungefähren Verlauf der Beschleunigung ps bei einer ähnlichen Steuerung orientiert, so wird praktisch in den meisten Fällen die genaue Aufsuchung derselben im Punkte Y oder y" zur Berechnung der Feder genügen.

§ 62. Wälzhebelsteuerungen. Allgemeines.¹)

Außer Nocken- und Schwingdaumensteuerungen

werden in der Technik noch in ausgedehntem Maße Wälzhebel als Steuergetriebe benutzt. Es sind dies nach bestimmten Kurven geformte Körper, die sich stets paarweise aufeinander ab wälz en und dabei

in geeigneter Weise die ständige Bewegung des sogenannten T r eib-punktes (7, welcher mittels einer längeren

•Ç4TT

Fig. 65.

Exzenterstange an den Kurbelzapfen В einer Exzenterkurbel AB angeschlossen ist, auf einen Punkt S der Ventilspindel, den sogenannten Hubpunkt, übertragen.

In den Figuren 65—68 sind einige typische Fälle solcher Steuerungen schematisch wiedergegeben.

0 Siehe auch H. Holzer, Wälzhebel, Z. 1908.

Man unterscheidet nun zwei wesentlich verschiedene Anordnungen, nämlich:

jLs

])

II

Fig. 66.

II

Il

-t

Fig. 67.

I. Wälzhebel mit beweglichem Drehpunkt (Fig. 65 und 68), bei denen der Drehpunkt mit dem Hub-punkt/Sidentischist und sich auf der Y entilspindelachs

9*

verschiebt. Bei diesen ist die eine Wälzkurve (in den Figuren die schwarze) fest und unbeweglich mit dem Gestell verbunden.

II

US

II

Fig. 68.

П. Wälzhebel mit festem Drehpunkt (Fig. 66 und 67), bei denen sich beide Wälzhebel um feste Punkte D und E drehen und der Hubpunkt S vom getriebenen Wälzhebel unter Zwischenschaltung eines Gleitstücks seine Bewegung erhält.

§ 63. Wälzhebel mit beweglichem Drehpunkt.

In Fig. 69 sei n die feste „Wälzbahn“, p der bewegliche „Wälzhebel“, dessen Treibpunkt C vom Exzenter AB aus durch die Stange B G angetrieben und in ständiger Schwingbewegung erhalten wird. Im Hubpunkt S ist p mit der Yentilspindel ss gelenkig verbunden. E sei der momentane Berührungspunkt der Wälzkurven, Q und 0 ihre Krümmungszentren für den Punkt E.

Ebenso wie mittels der Schwingdaumensteuerungen wünscht man mittels der Wälzhebelgetriebe aus einer ununterbrochenen Schwingbewegung des Treibpunktes C eine periodisch durch längere Ruhepausen unterbrochene Schwingungsbewegung des Ventils abzuleiten. Diese Aufgabe könnte durch unendlich viele verschiedene Wälzkurvenpaare gelöst werden. Die Auswahl unter dieser Fülle von Möglichkeiten wird durch folgende drei hauptsächlich en Anf or derungen beschränkt,die imlnteresse ruhigen Ganges und geringer Abnutzung des Triebwerkes eine ideale Wälzhebelsteuerung erfüllen müßte:

1.    Die im Hubpunkt S auf die Ventilspindel ausgeübte Kraft soll möglichst keine zu ihr senkrechte Komponente haben, um die Spindelführung nicht zu belasten.

2.    Um die Abnutzung der Kurven auf einen Mindestwert zubeschränken, soll zwischen den Hebeln reines Rollen ohne Gleiten stattfinden.

3.    Um Stoßwirkungen, sogenanntes „Klatschen“, zwischen den Wälzkurven zu vermeiden, muß ein Aufeinandertreffen der Wälzkurven mit endlicher Geschwindigkeitsdifferenz verhindert werden.

Wie wir sehen werden, ist es unmöglich, allen diesen Anforderungen gleichzeitig vollkommen zu genügen. Die für ihre Erfüllung maßgebenden Gesichtspunkte mögen jedoch im folgenden betrachtet werden.

Zu 1: Die auf p wirkenden Kräfte sind die in C in Richtung der Exzenterstange CB wirkenke Zugkraft dieser Stange, die in E senkrecht zu den Wälzkurven stehende Stützkraft, die also in die Richtung EO fällt, und schließlich der im Gelenk S auftretende Zapfendruck in vorläufig noch unbekannter Richtung.

Da diese drei Kräfte ständig im Gleichgewicht sein müssen, so müssen sie sich in einem Punkte schneiden. Die Richtung des Zapfendrucks in S wird also gefunden, indem man S mit dem Schnittpunkt D der Exzenterstange B G und der Stütznormalen EO verbindet. Soll der Zapfendruck in S keine Komponente senkrecht zur

II

XA

II

b Si

Fig. G9.

Yentilspindel haben, so muß ständig D auf die Spindel 55 fallen.

Zu 2: Die Bewegung des Wälzhebels p ist durch die Bahn s s seines Punktes S und durch die Hüllkurve n seiner Kurve p festgelegt. Nach § 8 und § 11 ergibt sich daher der Momentanpol P als Schnitt der in S auf 5 5 errichteten Senkrechten und der Berührungsnormalen in E. Soll augenblicklich zwischen den Kurven p und n reines Rollen stattfinden, so muß der Momentanpol P in den Berührungspunkt E fallen. Soll diese Bedingung ständig erfüllt sein, so muß p die bewegliche, n die ruhende Polkurve sein, oder auch es muß beständig ES J- 55 stehen.

Zu 3: Die Ebene p dreht sich momentan um P. Daher sind die Geschwindigkeiten vom Treibpunkt C und Hubpunkt S ihren Polstrahlen CP und SP proportional und das Verhältnis SP: CP ist das Übersetzungsverhältnis. Im Augenblick vor dem Hubbeginn hat C eine endliche Geschwindigkeit, S die Geschwindigkeit Null. Damit die Bewegung von S mit unendlich kleiner Geschwindigkeit, einer endlichen Beschleunigung entsprechend, beginnen kann, wie durch Bedingung 3 vorgeschrieben wird, muß beim Hubbeginn dieses Übersetzungsverhältnis = 0 sein, d. h. S muß der Pol sein oder die Berührungsnormale EP muß durch S gehen.

Um zu brauchbaren Wälzkurven zu kommen, möge zunächst aus der Anfangslage SQ und C₀ des Hub- und Treibpunktes die Anfangslage E₀ des Berührungspunktes E und seine Anfangsberührungsnormale E₀ P₀ auf Grund obiger Anforderungen ermittelt werden.

Bedingung-1, 2 und 3 sind im Anfangshubpunkt S₀ erfüllt, wenn E₀ mit P₀ zusammenfällt, P₀S₀ = 0 wird, also auch E₀ mit S₀ zusammenfällt und die Berührungsnormale E₀O₀ in die Ventilspindelachse и zu liegen kommt. Diese Anordnung hat aber den großen praktischen Nachteil, daß im Moment des Niedersetzens des Ventils der Hubpunkt S₀ ein Punkt der festen Wälzbahn und gleichzeitig der nunmehr in Ruhe bleibende Drehpunkt des Wälzhebels ist, so daß sich Wälzhebel und Wälzbahn von nun an ständig in S₀ berühren, also

Fälle:

während der Ruhelage des Yentils nicht wieder auseinandertreten können. Bei der geringsten Ungenauigkeit der Einstellung kann daher das Yentil nicht auf seinen Sitz gelangen und völlig dichten, ein Zustand, der unbedingt vermieden werden muß und nur dadurch vermieden werden kann, wenn man E₀ und S₀ nicht zusammenfallen läßt, d. h. wenn man für den Anfangshubpunkt die Forderung fallen läßt, daß Bedingung 2 und 3 gleichzeitig erfüllt sein sollen.

Damit erhalten wir die beiden praktisch ausführbaren

a)    Bedingung 1 und 2 sind erfüllt, wenn EQS₀i-ss und E₀ O₀ mit C₀B₀ sich in D₀ auf ss schneiden. Wir haben dann entlastete Yentilspindel, reines Rollen, aber endliche Anfangsübersetzung, also Stoß, der um so geringer und ungefährlicher wird, je weiter E₀ nach 55 zu liegt. Dieser Fall wird praktisch häufig ausgeführt.

b)    Bedingung 1 und 3 sind erfüllt, wenn E₀ auf ss liegt und E₀ O₀ in s s hineinfällt. Wir haben dann entlastete Yentilspindel, stoßfreien Anhub, aber an Stelle des Rollens reines Gleiten, das um so weniger störend wirkt, je näher E₀ bei S₀ liegt. Konstruktiv hat man die Unbequemlichkeit, die Wälzkurven in der Nähe der Yentilspindel gabeln zu müssen, um die Spindel hindurchzulassen. Dieser Fall wird praktisch ebenfalls ausgeführt, wenn auch nicht so häufig wie der vorige.

Nachdem der Anfangsberührpunkt E₀ festgelegt ist, sind die Kurven der Wälzhebel so zu bestimmen, daß sie die drei obengenannten Bedingungen ganz oder annähernd erfüllen, daß aber auch noch außerdem ein brauchbares Yentilerhebungsdiagramm zustande

kommt. Zu diesem Zwecke kann die Methode von Holzer (Z. 1908, S. 2043) empfohlen werden, die aber hier nicht wiedergegeben werden soll.

Es mag dagegen im folgenden die Aufgabe gelöst werden, für zwei gegebene Wälzhebel p und л (Fig. 69) die Bewegungsverhältnisse des Hubpunktes S zu ermitteln, wenn die Steuerwelle A mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert* Hierfür ist es nötig, die Krümmungsmittelpunkte О und Q der Wälzkurven zu kennen.

Für eine unendlich kleine Bewegung des Hebels p lassen sich die Kurven p und л durch ihre Krümmungskreise um О und Q ersetzen. Man kann dann die Bewegung von p als die Zusammensetzung einer momentanen Drehung des Punktes О um den Punkt Q mit der Geschwindigkeit mit einer gleichzeitigen Drehung von p um О ansehen. Es läßt sich also anstelle der beiden Wälzhebel ein Schubkurbelgetriebe QOS setzen, in dem QO die Antriebskurbel, ÖS d. h.p die ‘ Schubstange, S der Kreuzkopf ist.

Da G ein Punkt von p, in unserm Getriebe QOS also ein Punkt der Schubstange O S ist, so haben wir den bisher noch nicht gehabten Fall, daß die Bewegung der Antriebskurbel AB auf einen beliebigen Punkt C- der Schubstange OS anstatt auf einen Punkt der Kurbel Q О übertragen wird.

FürdieErmittlung der Geschwindigkeiten (Fig. 70) treten keine weiteren Komplikationen auf, da man den Pol P als momentanen Drehpunkt der Schubstange OS, also PC als den Gegenlenker in einem Gelenkviereck AB CP ansehen und damit die Geschwindigkeit vG— CF des Punktes C in gewohnter Weise konstruieren kann. Stellt B A die Geschwindigkeit des Punktes В dar, so zieht

man durch A die Parallele zu ВС bis zum Schnitt F mit CP. Die Geschwindigkeit v₈= SH von S ist das SP : CP- fache der von C, wird also gefunden, indem man FEW CS bis zum Schnitt H mit SP zieht oder, wenn so spitze Schnitte eintret en wie in Fig. 70, lieber F G II CO und G HW OS legt.

II

'Kuł

/Г₀

-Or

L/\ G'

\p

*ЛГ\

OS

S2

Fig. 70.

Wag die Beschleunigungen anlangt, so ist zu beachten, daß der Geschwindigkeitspol P selbst eine Be-schleunigungpohat (siehe § 14), so daß die Beschleunigung irgendeines andern Punktes der Stange SO, beispielsweise des Punktes (7, sich aus p₀ und der Beschleunigung zusammensetzt, die C infolge der Momentandrehung um P hat. Letztere Beschleunigung besteht aus

der Normalbeschleunigung CP• со², in Richtung des Polstrahls CP, und

der Tangentialbeschleunigung CP*e, senkrecht auf CP stehend,

wenn unter œ bzw. e die Winkelgeschwindigkeit bzw. Winkelbeschleunigung der Momentandrehung um P verstanden wird.

Um die Richtung der Polbeschleunigung p0 zu finden, bedenke man, daß die Geschwindigkeiten vg und der Punkte S und 0, ebenso die Krümmungszentren ihrer Bahnen — das von S liegt unendlich fern, das von 0 ist Q — bekannt sind. Nach der in § 16 angegebenen Weise findet man die Pol Wechsel geschwindigkeit u, indem man die Endpunkte H₀ bzw. O₀ der nicht gedrehten Geschwindigkeiten von /Sund 0 (SH₀= SH, O O^—O ff) mit den entsprechenden Krümmungszentren verbindet, d. h: H₀K\\ SP und O₀Q bis zu den Schnittpunkten К und J der durch P zu SH₀ bzw. OG₀ gelegten Parallelen zieht. Die in К auf PK und in J auf PJ errichteten Senkrechten schneiden sich im Punkte U und PU=tt ist die gesuchte Pol Wechselgeschwindigkeit. Die dazu senkrechte Gerade PL ist die Richtung der Polbeschleunigung p₀.

Die Größe der Polbeschleunigung p₀ findet man, wenn man den Beschleunigungsplan für den Punkt S aufzeichnet. Bekannt ist von vornherein die * Richtung s s der Gesamtbeschleunigung p₈ von S, die Richtungen der drei Komponenten p₀ II PL, PS • со² It PS und PS • e -L PS. Außerdem läßt sich PS • со² aus SH

[p-s-«»i

= PS • œ und PS in' bekannter Weise auf Grund der Beziehung

PS

PS • m² =

graphisch ermitteln, indem man über PS den Halbkreis

und um S mit SH einen Kreisbogen schlägt, die sich in M schceiden. Das Lot MH -L PS schneidet dann auf PS die Normalbeschleunigung SH — PS • со² ab. Zieht man HQ II PL bis zum Schnitt Q mit ss, so ist HQ = p₀ die gesuchte Polbeschleunigung, da sich andernfalls nach Zufügung der letzten Komponente PS• s II ss keine Resultierende ps ergeben könnte, die in die Richtung ss fällt.

Die Normalbeschleunigung CP • со² wird analog dem Obigen aus CF = CPœ und CP konstruiert. Es soll jedoch aus Gründen bequemer Konstruktion diese Ermittlung an den Punkt A verlegt werden. Wir verschieben daher FC parallel sich selbst an den Punkt A in die Lage AB. Dann ist R auch der Schnittpunkt von CB mit der durch A zu CP gelegten Parallelen und es ist AB — CP со . Verlängern wir AB über В bis T, so daß AT = PC, schlagen über AT den Halbkreis und um A mit AB einen Kreisbogen, die sich in V schneiden, und fällen dann VW J_ AB, so ist WA = CP» со² der Größe, der Richtung und dem Sinne nach. Verlegen wir HQ =p₀ parallel sich selbst nach dem Punkte W so, daß — auch dem Sinne nach — XW — HQ, und ziehen durch X die Senkrechte zu AW, die mit der Tangentialbeschleunigung CP • s des Punktes C parallel geht, so liegt auf dieser der Anfangspunkt Y der Beschleunigung von C und diese hat die Größe, die Richtung und den Sinn YA. Doch ist Y selbst vorläufig noch unbekannt.

Nun kann man aber die Beschleunigung pe von C auch finden, wenn man die Momentandrehung der Stange BC um ihren Pol (Winkelgeschwindigkeit со', Winkelbeschleunigung s') durch die Schiebung ihres Punktes В und gleichzeitige Drehung um В mit der Winkelgeschwindigkeit ao> und der Winkelbeschleunigung s ersetzt. Man kommt dann auf die in § 41 für das Gelenk-viereck abgeleitete Konstruktion, die hier in folgender Weise durchzuführen wäre:

Man schlage über B G den Halbkreis und um В mit В В einen Kreisbogen, die sich in D schneiden mögen, und fälle das Lot DZ_L BC\ dann ist ZB = ВС - со'2 die Normalbeschleunigung, DZ die Richtung der Tangentialbeschleunigung BC • £ und B A die Beschleunigung des Punktes Б, also muß der Anfangspunkt Y der Gesamtbeschleunigung jpc — Y A auf ZD liegen, d. h. wir haben einen zweiten geometrischen Ort für Y. Y ist somit der Schnitt von X Y und Z Y und es ist YX = CP-e .

Vergrößert man YX im Verhältnis SP : (7P, trägt die so erhaltene Strecke S₀S = [SP : CP] • YX auf ss so an, das S₀S im gleichen Sinne um P dreht, wie YX, so stellt S₀Q die Beschleunigung des Ventilpunktes S dar; denn es ist dann S₀S = SP • £, SN=SP»co²: NQ=jp₀ nach Größe, Richtung und Sinn.

§ 64. Wälzhebel mit festem Drehpunkt.

In Fig. 71 sei л: der treibende, p der getriebene Wälzhebel; beide berühren sich in E und drehen sich um feste Punkte D und F. Im Treibpunkte C wird die Bewegung von der Antriebkurbel AB mittels der Schubstange В C ein geleitet. А В CD stellt dabei ein g e w ö h n -liches Gelenkviereck dar. Im Hubpunkt S wird die Bewegung unter Zwischenschaltung eines Gleitstückes auf die Spindel übertragen.

Diese Anordnung dient dem gleichen Zweck wie die mit beweglichem Drehpunkt. Auch die Anforderungen für betriebssichere Konstruktion bei geringem Verschleiß decken sich im wesentlichen mit denen der Anordnung I

WD

\B

Fig. 71.

und lassen sich hier wie dort durch drei Bedingungen

festlegen, nämlich:

1.    Die Berührungsnormale EP der Wälzkurven p, я soll vom festen Drehpunkt F einen nicht zu geringen Abstand a haben, damit das zur Öffnung des Ventils erforderliche Drehmoment des getriebenen Hebels p keinen zu großen Normaldruck zwischen den Hebeln bedingt.

2.    Die Hebel sollen aufeinander rollen, ohne zu gleiten, um die Abnutzung gering zu halten.

3. Die Anfangsübersetzung soll den Wert Null haben, um Stoßen zu vermeiden.

Zu 1 : Bedingung 1 ist im allgemeinen leicht erfüllbar und bedarf keiner weiteren Erklärung.

Zu 2: Die beiden Wälzhebel sind als eine allgemeine Verzahnung aufzufassen, bei welcher A⁷, D die festen Drehpunkte, p und л die Zahnflanken sind. Ihr gegenseitiger Momentanpol P liegt also zugleich auf der „Zentralen“ DF wie auf der Berührungsnormale EP. Sollen die beiden Kurven ständig aufeinander rollen ohne zu gleiten, so muß immer P mit dem Berührpunkt E zusammenfallen, d. h. A/mußständig auf der Zentralen liegen, oder p und л müssen die beiden Polkurven derWälzhebel sein. FälltE mit D zusammen, so tritt nur dann reines Rollen ein, wenn die Wälzkurven in E die Zentrale berühren.

Zu'S: Da der Pol zweier Zahnräder die Zentrale im umgekehrten Übersetzungsverhältnis teilt, so stellt das Verhältnis PD : PF das Übersetzungsverhältnis der Wälzhebel dar. Damit die Anfangs-Übersetzung Null werde, ist es nötig, daß für die An-hublage P mit D zusammenfällt.

Zunächst möge auf Grund dieser drei Bedingungen die Anfangslage E₀ des Berührpunktes und die seiner Berührungsnormale festgelegt werden, wenn die festen Drehpunkte D und F gegeben sind.

Bedingung 2 und 3 sind für die Anhublage erfüllt, -wenn E₀ auf die Zentrale fällt und die Berührungsnormale E₀P durch D hindurchgeht, d. h.: a) Entweder fällt E₀ nicht mit D zusammen; dann fällt aber die Berührungsnormale E₀ P in die Zentrale, geht also durch den festen Drehpunkt des getriebenen

Hebels, was im schärfsten Widerspruch mit der Bedingung 1 steht. Es tritt ein „Festklemmen“ der Wälzhebel ein. Dieser Fall ist somit praktisch unbrauchbar.

b) Oder E₀ fällt mit D zuśammen; dann geht die Berührungsnormale von selbst durch D. Man hat hierbei nur dann reines Köllen, wenn das Anfangselement der Wälzkurven tangential zur Zentralen, also die Berührungsnormale in E₀ senkrecht zu ihr liegt. Dieser Fall schließt den großen praktischen Nachteil ein, daß nach Schluß des Ventils die beiden Wälzhebel in ständiger Berührung bleiben, daß also bei den geringsten Montageungenauigkeiten ein dauernd sicherer Schluß des Ventils nicht gewährleistet ist. Somit scheidet auch dieser Fall für die praktische Anwendung aus.

Wir müssen uns daher für die Anhublage begnügen, außer der Bedingung 1 nur eine der beiden anderen 2 und 3 vollkommen zu erfüllen.

Bedingungl und 2 sind erfüllt, sobald der An fangsberührpunkt Eq auf der Zentralen liegt und die Berührungsnormale nicht mit ihr zusammenfällt. Man . wird, um auch der Bedingung 3 nicht zu sehr zu widersprechen, Eq möglichst nahe an D heranlegen. Dieser Fall ist praktisch gut brauchbar.

Bedingung 1 und 3 sind erfüllt, wenn die Berührungsnormale durch D geht, ohne mit DF zusammenzufallen, E₀ also außerhalb der Zentrale liegt. Das Gleiten wird um so geringer, die Abnutzung daher um so unschädlicher, je näher man E₀ an die Zentrale heranlegt. Auch dieser Fall findet häufig Anwendung in der Praxis.

Nachdem der Anfangspunkt F₀ gewählt ist, kann man mit der früher erwähnten Methode von Holzer (Z. 1908) die Wälzkurven so bestimmen, daß sie den obigen Bedingungen Genüge leisten und ein brauchbares Ventilerhebungsdiagramm ergeben.

Hier soll noch die Aufgabe behandelt werden, für zwei gegebene Wälzhebel p und л (Fig. 71) die Bewegung^Verhältnisse des Hubpunktes zu ermitteln, wenn die Steuerwelle A mit konstanter Winkelgeschwindigkeit cd rotiert.

Dabei ist es nötig, die Krümmungsmittelpunkte О und Û der Wälzkurven p und л zu ihrem jeweiligen Berührpunkt C zu kennen.

Da man für ein kleines Stück die Wälz kurven durch ihre Krümmungskreise ersetzen kann, so kann man л momentan als einen sich um D drehenden Kreis mit dem Mittelpunkt Û, p als einen sich um F drehenden Kreis mit dem Mittelpunkt О auf fassen. Man erkennt, daß in der betrachteten kleinen Zeit der Abstand OÛ konstant bleibt, während sich Û um D, О um F drehen. Damit ergibt sich, daß das G eien к-viereckDß O F augenblicklich ein gleichwertigerErsatz für das Wälzhebelgetriebe ist. Dû ist dabei fest mit dem treibenden, F О fest mit dem getriebenen Wälz-liebel verbunden.

Der treibende Hebel л bildet, wie schon oben erwähnt, mit MH, B G und dem Gestell AD ein Gelenkviereck AB CD. Man kann daher zunächst nach § 41 oder wenn man die Länge der Exzenterstange gegenüber der kleinen Antriebskurbel AB als unendlich groß annimmt, nach der vereinfachten Konstruktion § 43 die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes C aufsuchen und beide dann im Verhältnis Dû: DC vergrößern. Dann hat

10

Polster, Kinematik.

man Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes Q, d. h. des Kurbelzapfens der Antriebkurbel DQ im Gelenkviereck D Q OF und kann in der in § 41 angegebenen Weise Geschwindigkeit und Tangentialbeschleunigung des Punktes 0 finden. W erden beide im Verhältnis SF: OF vergrößert, so hat man Geschwindigkeit und Tangentialbeschleunigung des sich mit dem Ventilpunkt S momentan deckenden Punktes des Wälzhebels p, die man . bei geringen Winkelausschlägen von p mit guter Annäherung für die Ventilgeschwindigkeit bzw. Beschleunigung setzen kann, falls SF nicht zu weit von der Senkrechten auf ss abweicht. Sonst ist in der auf S. 126 für die SchwingdaumenSteuerungen besprochenen Weise zu verfahren.

Spezialfälle :

a)    Fällt PunktO unendlich fern, d. h. wird p eine Gerade, so wird aus dem Gelenkviereck DQOF die rotierende Kurbelschleife DQF ; denn die Gerade p behält während einer kleinen Zeit ihren Abstand von Q bei, d. h. die ihr parallele Gerade p₀ gleitet durch Q hindurch.

Da man die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Antriebkurbel DQ kennt, so kann man nach § 49 Geschwindigkeit und Tangentialbeschleunigung des Punktes Q der Schleifkurbel und damit auch durch entsprechende Vergrößerung im Maßstabe SF:QF die ihres Punktes S finden.

b)    Fällt Punkt Q unendlich fern, d. h. wird л eine Gerade, so wird aus dem Gelenkviereck DQOF die rotierende Kurbel -schleife DOP, da die Gerade л für kurze Zeit ihren Abstand von О beibehält, also die zu ihr parallele Gerade л0 durch О hindurchgleitet.

Man kennt mit der Geschwindigkeit und Beschleunigung von C auch die der antreibenden Schleifkurbel DO und kann nach § 50 daraus die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Kurbel PO bzw. ihres Punktes S finden.

X. Hilfskonstruktionen.

§65.

1. Es seien zwei Strecken l und Ico bekannt: es soll eine dritte von der Größe lao² gesucht werden.

Es können zwei Fälle eintreten.

C'

a(Fig. 72.)

Fig. 72.

Man schlage über А В — I den Halbkreis und um A mit A C = Ico einen Kreisbogen, fälle vom Schnittpunkt C' beider Kreise das Lot C'D auf AB. Dann ist AD = Ico². Л Denn zieht man noch G' A und C'B, so ist in dem rechtwinkligen Dreieck ABC' nach dem pythagoreischen Lehrsatz

(АС')² = AD . AB

AD =

(AC')²

AB

b) l < Z со . (Fig. 73.)

Man errichte im Endpunkt A der Strecke AB = l die Senkrechte, schlage um В mit BC — lœ den Kreisbogen und errichte in ihrem gemeinsamen Schnittpunkt C' die Senkrechte auf C'B . Diese schneidet auf AB die gesuchte Strecke BD = Ico² ab. Denn es ist nach dem pythagoreischen Lehrsatz

(BC')² = AB • BD,

l CO².

(BC')² (Ico)²

ßB = rF = T ⁼

Dieselbe Aufgabe kann auch auf andere Weise ohne Benutzung eines Zirkels gelöst werden. (Fig. 74 und 75.)

c) Liegen in einem Geschwindigkeits- oder Beschleunigungsplan die beiden Strecken AB = l und BO = 1 со schon in derselben Geraden und haben sie den Endpunkt В gemeinsam, so findet man BE = 1 со², wenn man von einem beliebigen Punkte О Strahlen nach А, В und C zieht, durch C parallel O A bis zum Schnitt D mit OB und durch D parallel OG bis zum Schnitt E mit AB zieht.

Denn es ist BE _ BD __ BC BC~ Bö - Ш' also

BE = —,

(BC)

M*

= 1(0.

Fi g. 78.

"Wie man erkennt, ist es dabei gleichgültig, ob die beiden Strecken l und l со aufeinander oder nebeneinander in derselben Geraden liegen. (Fig. 74 bez. 75.)

2. Bei der Untersuchung der Beschleunigungen in Getrieben kommt öfters (§ 42) die folgende Konstruktion vor:

BA

1)

Fig. 74.

Eine Strecke AB (Fig. 76) sei durch einen Punkt P in die beiden Teile AP = a und BP = b geteilt. Man schlage übet AB den Halbkreis und um A mit AP — a den Kreis bis zum Schnittpunkt beider 0, fälle von G das Lot GD auf AB und schlage mit PD = x den Kreis um P bis zum Schnitt-nunKt E mit AB.

Dieses Verfahren läßt sich durch folgendes einfachere ersetzen :

Man schlage um В mit BP = b den Kreis bis zum Schnittpunkt C' mit dem über AB geschlagenen Halbkreis

СЕВ

J)

Fig. 75.

und fälle von C' das Lot G'D' auf AB. D' wird dann mit dem Punkte E in einem Punkt zusammenfallen.

Beweis: Es möge PD = x, PB' — у heißen. Dann gelten nach Pythagoras in den rechtwinkligen Dreiecken ACB und AG'В die Beziehungen:

(AG)² = AD-AB, also

a² — (a — x) (a -f b),

а + Ъ 1 (ВСО² = BD' • AB, also

л\ В

РФ'

It

Fig. 76.

mithin

x =*=■ у.

Da nun РЕ = PD Ł x, PD' — y, so fallen E und D' in einen Punkt. Die obige Ersatzkonstruktion ist also richtig.

II    W

Namen- und Sachregister.

30.

17.

26.

Bewe-

D’Alembert 12. Allgemeine Verzahnung 63—69.

Ampère 12.

Apollonischer Lehrsatz

Aronhold 13.

Bahnnormale 26.

Ball 13.

Belanger 13.

Bernouilli 12. Berührungsnormale 29. Beschleunigung 16. Beschleunigungsplan 33.

Beschleunigungspol 30 bis 34.

Bewegungsumkehr Bobillier 13, 59.

Bour 13.

Bresse 13.

Breton 13.

Büchner 14.

Burmester 13.

Carnot 12.

Cauchy 13.

Chasles 13.

Collignon 13. Coriolis-Beschleuni-gung 51, 88, 98.

Doehne 14.

Drehpol 23.

Drehsinn 23.

Drehung 23. Drehwinkel 23. Dwelshauers-Dery 13.

Eingriffsbogen 77. Eingriffsdauer 77. Eingriffslinie 63, 66.

Eingriffspunkt 63. Elementarbeschleunigung 20.

Elementardrehung 26. Ep i zykloide 57. Ersatzdrehung 82. Ersatzschiebung 82. Essich 14.

Euler 12.

Evolute 60.

Evolvente 62. Evolventenverzahnung 71—72.

Exzenter 119. Exzenterantrieb 90. Exzenterkreis 127.

Gangpolbahn 28. Gedrehte Geschwindigkeiten 27.

Gegenkreis 62. Gegenpunkt 62. Geisenheimer 14. Gelenkviereck 80—90. Geometrie 11. Geometrische Addition — Bewegungslehre 12. Geradlinige Bewegung 14.

Geschichtliches 12—14. Geschwindigkeit 15. Geschwindigkeitspol

Geschwindigkeitssechseck 49.

Gestell 81.

Gilbert 13.

Girault 13.

Giulio 13.

Gleitbahn 93. Gleitstück 95.

Goodeve 13.

Grashof 13.

Grissongetriebe 72—74, 80.

Grübler 14.

Grundkreis 62, 71.

Habich 14.

Hachette 13.

Hartmann 14, 38.

Haton db la Goupillière 13.

Hauptstrahlen 27. Helm 14.

Hilfskonstruktionen

147—149.

Holzer 14, 130, 137. Hubpunkt 130. Hüllkurven 29. Hypozykloide 57.

Jonquières 13.

Kant 12.

Kempe 13.

Kinematik 11.

Koenigs 14.

Kopfkreis 70.

Koppel 81.

Kraft 1*.

Kreisevolvente 62. Kreuzkopf 92. Krummlinige gung 20. Krümmungsmittelpunkt 38, 59. Kuppelstange 81. Küpper 13.

Kurbel 81.

Kurbelschleife 95—100.

Laboulaye 13.

Lamarle 13.

Land 14, 82.

Lignine 13.

102.

der

137.

24.

Mannheim 13. Mechanik 11.

Mehmke 14.

Mittlere Exzenterstangenrichtung 91.

— Geschwindigkeit 18. Möbius 13.

Mohr 13, 110.

Mohrsche Konstruktion 93—95.

Mollier 14, 104. Momentanpol 26.

Morin 13.

Nicolaidés 13.

Nocken, Ersatzgetriebe

113—114.

Nockenprofile 112, 114. Nockensteuerungen 111 bis 117.

Normalbeschleunigung

22.

Normaldruck 77. Normale Geschwindigkeiten 27.

Orthogonale Geschwindigkeiten 27. Oszillierender Zylinder

Parallelogramm Beschleunigungen

--Geschwindigkeiten 19.

--Wege 17.

Pleuelstange 92.

Poinsot 13.

Pol 26.

Polbahnen 28.

Polbeschleunigung 37, 41.

Polgerade 48.

Polkurven 28.

Polsatz 48.

Polwechselgeschwindigkeit 39—40.

Poncelet 12, 67.

Proell 13.

Rankine 13. Rastpolbahn 28. Reibungsarbeit 79. Resal 13.

Reuleaux 13, 66. Rittershaus 13. Rodenberg 14. Rollkreis 58, 69. Rollkurven 29. Rückdruck der Schubstange 104—110.

Saint-Loup 13.

Savary 13.

Schadwill 13.

Schell 13.

Schellbach 13. Schiebung 22. Schleifkurbel 95. Schleifkurbelgetriebe 100.

Schubkurbelgetriebe

92-95.

Schubkurvengetriebe 111-146. Schubstange 104—111. Schumann 14. Schwingdaumen, Ersatzgetriebe 121—126. Schwingdaumensteuerungen 118—130. Schwinge 81.

Somoff 13.

Spezifisches Gleiten 74. Stegmann 13.

Steiner 13.

Steuerwelle 90, 111, 119. Sylvester 13.

Tangentialbeschleunigung 22.

Teilkreise 65. Torricelli 12. Trägheitskräfte der Schubstange 110. Transon 13. Treibpunkt 130.

Triebstock 72.

Übersetzungsverhältnis 65, 135, 143. Unrunde Scheiben 111 bis 117.

Verzahnungsgesetz 65. Vierzylinderkette 80. Viviani 12.

Wälzbahn 132. Wälzhebel 132.

— mit beweglichem Drehpunkt 131—141. ---Ersatzgetriebe

--festem Drehpunkt

141-146.

---Ersatzgetriebe

145-146.

Wälzhebelsteuerungen

130-146.

Wechselkreis 36.

W eg-Beschleunigungs-kurve 17.

W eg-Geschwindig-

keitskurve 15.

Wendekreis 35.

Weiß 14.

Willis 13.

Winkelbeschleunigung

Winkelgeschwindigkeit 24.

Wittenbauer 14.

Zahnfuß 69.

Zahnkopf 69.

Zahnlücke 69.

Zahnräder 63—80.

Zeit - Beschleunigungskurve 16.

Zeit-Geschwindigkeitskurve 15.

Zeit-Wegkurve 14.

Zentrale 60, 143.

Zykloide 57.

Zykloidenverzahnung

Sammlung Schubert

Eine Sammlung mathematischer Lehrbücher, die einheitlich angelegt, in systematisch sich entwickelnden Einzeldarstellungen alle Gebiete der Mathematik umfaßt. Ein Verzeichnis der zur Zeit vorliegenden Bände wird gern versandt.

Als 37. Band erschien:

Lehrbuch der Mechanik

I. Band:

Kinematik von

Professor Dr. Karl Heun

in Karlsruhe

Preis: Gebunden M. 8.— und 100% Verleger-Teuerungszuschlag

VEREINIGUNG WISSENSCHAFTLICHER VERLEGER

WALTER DE GRUYTER <S CO., vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung - J.Guttentag, Verlagsbuchhandlung -Georg Reimer - Karl J. Trübner - Veit & Comp.

BERLIN W 10

Mathematische Literatur

in Auswahl

WALTER DE GRUYTER & CO. / BERLIN W 10

Journal für die reine und angewandte Mathematik. Gegründet von A. L. Crelle 1826. Herausgegeben von K. Hensel, H. Hasse, L. Schlesinger. Wissenschaftlicher Beirat: H. Brandt, M. Dehn, G. Doetsch, A. Fraenkel, 0. Haupt, F. Hausdorff, E. Hellinger, G. Kowalewski, H. Rademacher, K. Reidemeister, A. Rosenthal, C. Schaefer, W. Schmeidler, F. Schottky, 0. Toeplitz. Band 1—140 Preise auf Anfrage, Band 141—144 je RM. 16.- , Band 145—147 je RM. 12.—, Band 148—151 je RM. 10.—, Band 152 RM. 12.—, Band 153 RM. 17.50, Band 154 RM. 30.-, Band 155—156 je RM. 36.—, Band 157 u. 158 (Jubiläumsband I/II), Band 159—162 je RM. 36.— Das von A. L. Crelle gegründete ,,Journal für die reine und angewandte Mathematik“ darf auf eine über hundertjährige ruhmvolle Vergangenheit zurückblicken. Seit seiner Gründung im Jahre 1826 wurde es der Sammelplatz für die Arbeiten der großen Männer, welche seit dieser Zeit der Mathematik einen neuen Aufschwung gaben.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik. Gegründet von Karl Ohrtmann und Felix Müller, fortgeführt von Emil Lampe. Im Verein mit anderen Mathematikern und unter besonderer Mitwirkung von H. Hahn, E. Hecke, G. Herglotz, O. Holder, A. Loewy, L. Neder, 0. Perron, E. Sal-kowski, G. Szegö, A. Wangerin, H. Weyl herausgegeben von Leon Lichtenstein. Band 1—50 : Jahrgang 1868—1924. Band 1—44 Preise auf Anfrage, Band 45 RM. 75.—, Band 46 RM. 92—, Band 47 RM. 74.—, Band 48 RM. 121.—, Band 49 RM. 77.—, Band 50 RM. 78.-. Von Band 51 ab (Jahrg. 1925 ff.) erfolgt die Herausgabe durch die Preuß. Akademie der Wissenschaften in Berlin. Im Druck: Band 51 (1925) und Band 53 (1927).

Ausgabe in Sonderheften.

Sonderheft I: Geschichte, Pilosophie, Pädagogik. Mengenlehre. Sonderheft II : Arithmetik und Algebra. Sonderheft III : Analysis. Sonderheft IV : Geometrie. Sonderheft V : Anwendungsgebiete (Mechanik, mathem. Physik). Es liegen bisher vor : Aus Band 53 (Literatur 1927) Sonderheft I (II, 75 S.) RM. 8.60; Sonderheft II (II, 99 Seiten) RM. 11.20.

Sommer

19 3 0

Das ,,Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik“ bringt eingehende Besprechungen sämtlicher periodischen und nichtperiodischen Neuerscheinungen auf dem Gebiete der reinen Mathematik, Mechanik, Relativitätstheorie, Astronomie und mathematischen Physik. Auch die Geschichte und Philosophie der Mathematik wie die Fragen der Didaktik finden sorgfältige Berücksichtigung.

Geschichte der Mathematik. Von Oberstudien-Dir. Dr. H. Wieleitner. 2 Bde. I : Von den ältesten Zeiten bis zur Wende des 17. Jahrhunderts. 136 Seiten. 1922. II: Von 1700 bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts. 154 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Nr. 226, 875) . . Geb. je RM. 1.80

Geschichte der Mathematik. I. Teil: Von den ältesten Zeiten bis Car-tesius. Von Professor Dr. S. Günther in München. Mit 56 Figuren. VIII, 428 Seiten. Neudruck 1927. (Samml. Schubert Bd. 18.) . Geb. RM. 17.40 II. Teil : Von Cartesius bis zur Wende des 18. Jahrhunderts. Von Oberstudiendirektor Dr. H. Wieleitner in München. 1. Hälfte: Arithmetik, Algebra, Analysis. Mit 6 Figuren. VIII, 251 Seiten. 1911. (Samml. Schubert Bd. 63.) Geb. RM. 8.40. 2. Hälfte : Geometrie und Trigonometrie. Mit 13 Figuren. VI, 222 Seiten. 1921. (Samml. Schubert Bd. 64.) Geb. RM. 3.50

Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung. Von Professor Dr. Johannes Tropfke, Direktor der Kirschner-Oberrealschule zu Berlin. Zweite, verbesserte und sehr vermehrte Auflage. Lexikon-Oktav.

Band 1: Rechnen. VII, 177 Seiten. 1921..    . RM. 7.20, geb. RM. 8.20

RM. 8.50, geb. RM. 9.50

Band 2: Allgemeine Arithmetik. IV, 221 Seiten. 1921.

Band 3 : Proportionen, Gleichungen. IV, 151 Seiten. 1922.

RM. 6.—, geb. RM. 7.-

Band 4 : Ebene Geometrie. IV, 240 Seiten. 1922. RM. 9.—, geb. RM. 10.— Band 5: I. Ebene Trigonometrie. II. Sphärik und sphärische Trigonometrie. IV, 185 Seiten. 1923.....RM. 7.50, geb. RM. 8.50

Band 6 : Analysis, Analytische Geometrie. IV, 169 Seiten. 1924.

RM. 7.—, geb. RM. 8.—

Band 7 : Stereometrie. Verzeichnisse. V, 128 Seiten. 1924.

RM. 6.50, geb. RM. 7.50 „Dem Verfasser gebührt unser Dank für sein die neuesten Ergebnisse historischer Forschungen berücksichtigendes, durch Vollständigkeit und Klarheit sich auszeichnendes Werk. Es verdient seinen Platz im Bücherschrank eines jeden Mathematikers.“

Naturwissenschaften.

von

Mathematische Forschung in den letzten 20 Jahren. Rede, gehalten am 31. Januar 1921 vor der Mathematischen Gesellschaft Benares deren Vorsitzendem Ganesh Prasad. Aus dem Englischen übersetzt von

Dr. Friedrich Lange. Groß-Oktav. 37 Seiten. 1923......RM. 0.80

RM. 0.80

In leichtverständlicher Darstellung berichtet der Verfasser über den Aufbau der Theorie der Integralgleichungen und ihre Anwendungen, die Erforschung der Grundlagen der mathematischen Physik, die Verallgemeinerung des Begriffs der konvergenten Reihen und die Entwicklung der modernen Relativitätstheorie. Dasselbe in englischer Sprache. 1923

Neue Rechentafeln. Für Multiplikation und Division mit allen ein- bis vierstelligen Zahlen. Herausgegeben von Professor Dr. J. Peters, Observator am Astronomischen Recheninstitut. Folio-Format. VI, 378 Seiten.

1909 .........................Geb. RM. 20.—

Diese Rechentafeln von Peters sind ebenfalls in französischer wie englischer Ausgabe zu haben.........Geb. je RM. 20.—

Dr. A. L. Crelles Rechentafeln, welche alles Multiplizieren und Dividieren mit Zahlen unter Tausend ganz ersparen, bei größeren Zahlen aber die Rechnung erleichtern und sicherer machen. Neue Ausgabe. Besorgt von O. Seeliger. Mit Tafeln der Quadrat- und Kubikzahlen von

1—1000. VII, 501 Seiten. Folio. 1930    ........Geb. RM. .6.-

vor.

Diese Rechentafeln von Crelle liegen auch in englischer Ausgabe

Geb. RM. 26.-

Fünfstellige Logarithmen. Mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig vorkommenden Zahlwerten. Von Regierungsrat Professor A. Adler. Zweite Aufl. 117 Seiten und 1 Tafel. 1929. (Samml. Göschen Bd. 423)

Geb. RM. 1.80

Der Band enthält die gemeinen Logarithmen der ganzen Zahlen bis iooo, die der goniometrischen Funktionen, die wirklichen Werte dieser Funktionen und die Reihe von mathematischen, physikalischen und astronomischen Hilfstafeln, wie sie fünfstelligen Logarithmentafeln gewöhnlich beigegeben sind.

Fünfstellige Logarithmentafeln der trigonometrischen Funktionen für jede Zeitsekunde des Quadranten. Herausgegeben von Prof. Dr. J. Peters, Observator am Astronomischen Recheninstitut. Lexikon-Oktav. IV,

82 Seiten. 1912....................Geb. RM. 7.-

In den vorliegenden Tafeln bietet der Herausgeber, unter Benutzung des wertvollen Materials, das ihm als Resultat der mit J. Bauschinger ausgeführten Bearbeitung der 8stelligen Tafeln der trigonometrischen Funktionen zur Verfügung stand, der rechnenden Astronomie ein Hilfsmittel von großem Nutzen.

Vollständige logarithmische und trigonometrische Tafeln. Von

Professor Dr. E. F. August, weiland Direktor des Köllnischen Realgymnasiums, Berlin. Achtundvierzigste Auflage in der Bearbeitung von Dr. F. August, weiland Professor an der Artillerie-wid Ingenieur-Schule,

Berlin. Oktav. VII, 204 Seiten. 1927 .........Geb. RM. 2 —

„Die Anordnungen des Zahlenmaterials in den Tafeln, der klare Druck, handliches Format und gediegene Ausstattung empfehlen das Buch allein.''

Geb. RM. 1.80

A llgemeine Vermessungs-Nachrichten. Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt. Von Professor Dr. Hermann Schubert. Neue Ausgabe von Dr. Robert Haussner, o. ö. Professor an der Universität Jena. 175 Seiten. Neudruck 1926. (Samml. Göschen Bd. 81)

„Die vierstelligen Logarithmen sind in der Form recht handlich und gefällig. Besonders zu empfehlen sind die Tafeln für Schulen, wo es von Vorteil ist, die Lernenden nicht mit umfangreichen Büchern zu belasten."

Zeitschrift d. Osten. Ingenieur- und Architekten-Vereins.

in Charlottenburg. Groß-Oktav.

....... Geb. RM. 1.50

„Diese Logarithmentafel zeichnet sich durch übersichtliche Anordnung und Reichtum des Gebotenen aus."    Deutsche Schulzeitung in Polen.

Vierstellige Logarithmentafeln. Von Dr. Max Zacharias, Studienrat am Vereinigten Friedrichs- und Humboldt-Gymnasium in Berlin, und Dr. Paul Meth, Studienrat an der Herderschule 44 Seiten. 1927 .

Logarithmische Rechentafeln für Chemiker, Pharmazeuten, MedU ziner und Physiker. Gegründet von Professor Dr. F. W. Küster f. Für den Gebrauch im Unterrichtslaboratorium und in der Praxis berechnet und mit Erläuterungen versehen. Nach dem gegenwärtigen Stande der Forschung bearbeitet von Dr. A. Thiel, о. ö. Professor der physikalischen Chemie, Direktor des Physik.-Chem. Instituts der Universität Marburg. Fünfunddreißigste bis vierzigste, verbesserte und vermehrte Auflage. Oktav. 188 Seiten und eine Tafel. 1929 ........Geb. RM. 7.50

„Die wohl allseitig bekannten Küsterschen Rechentafeln sind dem Chemiker, der sich ihrer einmal bedient hat, zum ungern entbehrten Werkzeug geworden, das sich in seiner bewährten Anordnung des Stoffes zu einem wirklich nützlichen und fast notwendigen Hilfsbuch entwickelt hat. Die Neuauflage erscheint wie üblich nach dem neuesten Stande der Forschung."

Zeitschrift für angewandte Chemie.

Fünfstellige Tafeln der Kreis- und Hyperbelfunktionen sowie der Funktionen ex und e—x mit den natürlichen Zahlen als Argument. Von Dr.-Ing. Keiichi Hayashi, Professor an der Kaiserlichen Kyushu-Universität Fukuoka-Hakosaki, Japan. Oktav. IV, 182 Seiten. Neudruck 1928

RM. 9.-

„Der bekannte japanische Verfasser hat aus der Notwendigkeit, die Werte beider Funktionsarten gleichzeitig zur Verfügung zu haben, Tafeln berechnet, in denen nicht nur die Hyperbelfunktionen, sondern auch die Kreisfunktionen mit verschieden großen Abstufungen, auf fünf Dezimalstellen angewendet sind. Die Anordnung dieser Tafeln ist äußerst praktisch, Druck und Papier sind ausgezeichnet, so daß die Benutzung sich bequem und einfach gestaltet. Für alle, die zahlenmäßige Rechnungen mit den genannten Funktionen häufiger auszuführen haben, ist der Gebrauch der Tafeln als praktisch und zeitsparend zu empfehlen."    Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure.

Hauptsätze der Elementar-Mathematik zum Gebrauch an höheren Lehranstalten. Von Dr. F. G. Mehler. Neu bearbeitet von Oberstudiendirektor A. Schulte-Tigges. Oktav.

Ausgabe A. 31. Auflage des Stammbuches. Mit 107 Figuren im

Text und auf 1 Tafel. XII, 280 Seiten. 1921.........Г...

Ausgabe В mit Übungen. Unterstufe. 13. Auflage.

6 Tafeln. IX, 223 Seiten. 1927

RM. 2.80

Mit

RM. 2.80

Ausgabe В ohne Übungen. 12. Auflage. (Sonst wie die vorige.)

Unterstufe. Mit 3 Tafeln. 156 Seiten. 1923 .........RM. 1.80

Oberstufe. 8. Auflage. Mit 6 Tafeln. VII, 254 Seiten. 1925. RM. 4.— Geometrische Aufgaben und Übungen (aus der Ausgabe B).

Unterstufe. Mit 2 Tafeln. 58 Seiten. 1923 ..........RM. 0.60

Oberstufe. 89 Seiten. 1925.    ................RM. 1.50

Hierzu sind erschienen :

Rechentafeln für höhere Lehranstalten. 2. Auflage. 18 Seiten.

1929

RM. 0.30

Arithmetische Aufgabensammlung (aus der Ausgabe B).

Unterstufe. Mit 4 Tafeln. V, 100 Seiten. 1927 .......RM. 2.50

Oberstufe. 106 Seiten. 1929 ................RM. 3.—

Ergebni ss e zur Unterstufe. 42 Seiten. 1928 ......RM.3.—

Auflösungen zur Oberstufe. IV, 92 Seiten. 1929. . . . RM. 4.— Ferner folgende Einzelteile der Oberstufe mit Übungen :

RM. 1.-

Grundzüge und Anwendungen der Differential- und Integralrechnung mit zahlreichen Übungsaufgaben für höhere Schulen. Mit 1 Tafel. 63 Seiten. 1925

für höhere Schulen. Mit 4 Tafeln. 63 Seiten. 1925

Grundzüge der darstellenden Geometrie mit zahlreichen Übungsaufgaben

RM. 1.50

Mathematische Formelsammlung. Von Professor O. Th. Bürklen f. Vollständig umgearbeitete Neuausgabe von Dr. F. Ringleb. Mit 36 Figuren. 241 Seiten. 1928. (Sammlung Göschen Bd. 51) .... Geb. RM. 1.80

Fortschritte der Mathematik.

„Eine sehr geschickt aus gewählte und recht reichhaltige Sammlung, welche wohlgeeignet ist, die Abiturienten der Gymnasien und Oberrealschulen bei den Repetitionen zu unterstützen und ihnen einen klaren Überblick über das ganze System der Elementarmathematik zu geben.¹¹

Mathematische Mußestunden. Eine Sammlung von Geduldspielen, Kunststücken und Unterhaltungsaufgaben mathematischer Natur. Von Prof. Dr. Hermann Schubert. Vierte Auflage, neu bearbeitet von Professor Dr. F. Fitting, München-Gladbach. Oktav. 245 Seiten. 1924. Geb. RM. 6.— „Das kleine, auch äußerlich hübsch aus gestattete Buch wird allen Lesern Freude machen, und insbesondere der Lehrer wird in ihm eine Fülle von Anregungen für den Unterricht vorfinden. Wir empfehlen die ,Mußestunden allgemeiner Beachtung.“    Zeitschrift für das Realschulwesen.

Arithmetik nebst Gleichungen l. und 2. Grades. Von Professor Dr. Hermann Schubert. Dritte Auflage, neubearbeitet von Professor P. B. Fischer, Studienrat am Gymnasium zu Berlin-Steglitz. Mit 5 Figuren. 132 Seiten.

1923. (Samml. Göschen Bd. 47)............Geb. RM. 1.80

Die neue Bearbeitung des vorliegenden Bandes ist durch einen Abschnitt über Kombinatorik bereichert.

Mengenlehre. Von Professor Dr. E. Kamke. Mit 6 Figuren. 160 Seiten.

1928. (Samml. Göschen Bd. 999)    ...........Geb. RM. 1.80

Der Band behandelt die grundlegenden Tatsachen der Mengenlehre, die für alle Zweige der Mathematik so große Bedeutung gewonnen hat. Die Definition der Menge erfolgt im Anschluß an Cantor. Besondere Vorkenntnisse werden nicht vorausgesetzt.

Lehrbücherei Bd. 7)...........

Das Lehrbuch setzt beim Lesen keine höheren die Anfangsgründe der Differential- und Integralrechnung, allerdings aber eine gewisse Schärfe des abstrakten Denkens voraus und wird von Studierenden in mittleren Semestern mit Erfolg gelesen werden können.

Mengenlehre. Von Dr. F. Hausdorff, о. Professor an der Universität Bonn. Zweite, neubearbeitete Auflage. Mit 12 Figuren. 1927. 285 Seiten. (Göschens

RM. 12.—, geb. RM. 13.50

mathematischen Kenntnisse als

Einführung in die Axiomatik der Algebra. Von Dr. H. Beck, o. Professor an der Universität Bonn. 1926. X, 198 Seiten. (Göschens Lehr-

bücherei Bd. 6) .

... RM. 9.—. geb. RM. 10.50

Das vorliegende Buch enthält im wesentlichen den Stoff einer an der Bonner Universität gehaltenen Anfängervorlesung; es erschöpft sich nicht in a xiomatischen Dingen, sondern bringt darüber hinaus eine Reihe anderer Gebiete, die der Studierende braucht.

Lehrbuch der Algebra. Von Dr. Alfred Loewy, o. Professor an der Universität in Freiburg i. Br. I. Teil : Grundlagen der Arithmetik. Groß-Oktav. VI, 398 Seiten. 1915.......RM. 12.-, geb. RM. 13.20

Geb. RM. 1.80

Elementare Algebra. Von Professor P. B. Fischer, Studienrat am Gymnasium in Berlin-Steglitz. Mit 20 Figuren. 149 Seiten. 1926. (Sammlung Göschen Bd. 930)

,,Der erste Teil des Bandes behandelt die allgemeine Theorie der algebraischen Gleichungen, der zweite besondere Gleichungen und Lösungsverfahren. Dem Text sind gut gewählte Zahlenbeispiele beigegeben.“ Allg. Vermessungs-Nachrichten.

Höhere Algebra. Von Dr. Helmut Hasse, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Halle.

I: Lineare Gleichungen. 160 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 931)

Geb. RM. 1.80

II : Gleichungen höheren Grades. 160 Seiten. 1927. (Samml. Göschen

Bd. 932).......................Geb. RM. 1.80

auf gebaut ist.“

,,Es ist dem Verfasser gelungen, in engstem Rahmen das Gebäude der allgemeinen‘ Algebra vor den Augen des Lesers aufzurichten, einer Algebra, die auf dem Fundament der Definitionen der Ringe, Körper und Integritätsbereiche Zeitschrift für mathem. und naturw. Unten.

Algebra I : Die Grundlagen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Mit 4 Figuren. VIII, 307 Seiten. 1927. (Göschens Lehrbücherei Bd. 8).......RM. 10.—, geb. RM. 11.50

Algebra II: Theorie der algebraischen Gleichungen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Mit 5 Figuren. VIII, 243 S. 1927. (Göschens Lehrbücherei Bd. 9.) RM. 8.—, geb. RM. 9.50 Band I enthält die Grundbegriffe, es folgt ein Kapitel über den polynomischen und den Taylorschen Satz und der für den Ingenieur wichtige Abschnitt über Determinanten. Anschließend folgen Kapitel über symmetrische Funktionen, Teilbarkeit und über die Existenz von Wurzeln. Band II ist der Gleichungstheorie gewidmet.

Praxis der Gleichungen. Von Dr. C. Runge, Professor an der Universität Göttingen. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 8 Figuren. V, 172 Seiten. 1921.

(Göschens Lehrbücherei Bd. 2)........RM. 6.—, geb. RM. 7.—

Eine erschöpfende Darstellung der Verfahren zur numerischen Auswertung der linearen und nichtlinearen Gleichungen mit einer und mehreren Unbekannten. Dient das Werk auch in erster Linie den Bedürfnissen des praktischen Rechnens, so findet doch auch der Lehrer viele wertvolle Anregungen darin.

Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra. Von Professor Dr. Hermann Schubert. Vierte, neubearbeitete und erweiterte Auflage von Professor P. B. Fischer, Studienrat am Gymnasium zu Berlin-Steglitz. Mit 8 Figuren. 139 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 48.) Geb. RM. 1.80 Die bekannte Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra von H. Schubert erscheint hiermit in einer neuen Bearbeitung. Änderungen gegen die alten Auflagen sind neben unerheblichen Kürzungen und mehrfachen Verbesserungen insofern eingetreten, als die Aufgaben zur Algebra ganz erheblich erweitert wurden.

Gruppentheorie. Von Dr. Ludwig Baumgartner in München. Mit 8 Figuren. 120 Seiten. 1921. (Samml. Göschen Bd. 837).....Geb. RM. 1.80

Determinanten. Von Professor Studienrat Paul B. Fischer. Zweite, verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. 136 Seiten. 1928.

(Samml. Göschen Bd. 402)    ..............Geb. RM. 1.80

Der in einer wesentlich um gearbeiteten Auflage vorliegende Band soll die Studierenden der Mathematik, Physik und technischen Wissenschaften in die Grundzüge der Determinanten einführen.

Einführung in die Determinantentheorie einschließlich der Fred-holmschen Determinanten. Von Dr. Gerhard Kowalewski, о. Professor an der Technischen Hochschule in Dresden. Zweite, verb. Aufl. Gr.-Okt. IV, 304 Seiten. 1925 ....

. . . RM. 14.—, geb. RM. 15.50

„Die Kowalewskische Darstellung des umfangreichen Gebietes zeichnet sich durch die anschauliche Kraft und Klarheit der Sprache vor anderen aus. Die Beschäftigung mit diesem Buche gewährt neben dem wissenschaftlichen Gewinn einen reichen ästhetischen Genuß.“    Schulwart.

Zahlentheorie. Von Dr. Kurt Hensel, o. ö. Professor an der Universität Marburg. Groß-Oktav. XII, 356 Seiten. 1913. RM. 10.—, geb. RM. 12.—

Grundlehren der neueren Zahlentheorie. Von Professor Dr. Paul Bachmann. Zweite, verbesserte Auflage. Herausgegeben von Dr. Robert Haußner, ord. Professor an der Universität Jena. Mit 10 Figuren. 1921. XV, 246 Seiten.

(Göschens Lehrbücherei Bd. 3). . ......RM. 8.50, geb. RM. 9.50

Der erste Abschnitt umfaßt die klassische Theorie der rationalen Zahlen, der zweite eine Einführung in die Theorie der algebraischen Zahlen, deren verschiedene Methoden am Beispiel des quadratischen Körpers zu einem harmonischen, in sich geschlossenen Bau zusammengefügt werden.

Synthetische Zahlentheorie. Von Dr. Rudolf Fueter, o. Professor an der Universität Zürich. Zweite, verbesserte Auflage. 1925. VIII, 277 Seiten.

(Göschens Lehrbücherei Bd. 4).......RM. 10.—, geb. RM. 12.—

Die vorliegende zweite Auflage des bewährten Lehrbuches weist gegen die erste zahlreiche Änderungen und Ergänzungen auf.

Das Fermatproblem in seiner bisherigen Entwicklung. Von Professor

Ш. 2.50

von den

Dr. Paul Bachmann. Oktav. VIII, 160 Seiten. 1919.....7

In der vorliegenden Abhandlung gibt der Verfasser eine Übersicht Beweisverfahren und den Theorien, welche Euler, Legendre, Gauß, Dirichlet, Kummer und andere Forscher in ihren Studien über das allgemeine Fermat-problem angewandt und entwickelt haben.

Irrationalzahlen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. 1921. VIII, 186 Seiten. (Göschens Lehrbücherei Bd. 1.)

RM. 6.—, geb. RM. 7.— Inhalt : Die Grundlagen — Der Begriff der Grenze — Potenzen und Logarithmen — Verschiedene Darstellungsformen irrationaler Zahlen —Approximation irrationaler Zahlen durch rationale — Algebraische und transzendente Zahlen.

Punkt= und Vektorrechnung. Von Dr. Alfred Lotze, Privatdoz. für Mathematik an der Technischen Hochschule Stuttgart. Mit 7 Figuren. 192 Seiten.

1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 13) ... . RM. 12.—, geb. RM. 13.— Das Buch gibt eine Einführung in die Punktrechnung, einschließlich der Vektorrechnung, welche dabei als Teilgebiet der umfassenden Punktrechnung erscheint. Neben der ursprünglichen Großmannschen Darstellung, die sich auf den Fall der Euklidischen Geometrie beschränkte, wird auch eine rein projektive Begründung der Punktrechnung durchgeführt. Der zweite Teil enthält zahlreiche Anwendungen auf Algebra, projektive und Differentialgeometrie sowie auf Mechanik und zeigt daran die Vorzüge und die Tragweite der entwickelten Methoden.

Lehrbuch der Mathematik für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik. Eine Einführung in die Differential- und Integralrechnung und in die analytische Geometrie. Von Dr. Georg Scheffers, Geh. Regierungsrat, Prof. a. d. Techn. Hochschule Charlottenburg. Mit438Fig. Sechste, verb. Aufl. Lex.-Okt. VIII, 743 S. 1925. RM. 30.—, geb. RM. 33.— Dieses vor allem für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik geschriebene Lehrbuch ist in erster Linie für den Selbstunterricht bestimmt und geht daher von dem denkbar geringsten Maß von Vorkenntnissen aus : der Leser braucht nur im Buchstabenrechnen, in der Auflösung von Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten und in der niederen Geometrie bewandert zu sein.

Geb. RM. 1.80

Niedere Analysis. Von Professor Dr. Benedikt Sporer. Mit 5 Figuren. Zweite verbesserte Auflage. Sechster Abdruck. 179 Seiten. 1919. (Sammlung Göschen Bd. 53.)

Ohne den wissenschaftlichen Boden zu verlassen, war es das Bestreben des Verfassers, alle Ableitungen in den verschiedenen Kapiteln dieses umfangreichen Gebietes so einfach und verständlich wie möglich darzustellen und durch Beispiele klarer zu machen.

Höhere Analysis. Von Dr. Fr. Junker, Rektor des Realgymnasiums und der Oberrealschule in Göppingen (Württemberg). Erster Teil: Differentialrechnung. Mit 167 Übungsbeispielen und 67 Figuren im Text. Dritte, verbesserte Auflage. Neudruck. 204 Seiten. 1929. (Samml. Göschen

Bd. 87)........................Geb. RM. 1.80

Zweiter Teil: Integralrechnung. Mit 50 Figuren im Text. Vierte, verbesserte Auflage. Neudruck. 132 Seiten. 1929. (Samml. Göschen Bd. 88)

Geb. RM. 1.80

„Die Bändchen sind eine wahre Hochschule des abstrakten Denkens, und das Werk genießt in Fachkreisen mit Recht das höchste Ansehen.“

Magazin für Pädagogik.

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Differentialrechnung.

Von Rektor Dr. Fr. Junker. Vierte, verbesserte Auflage von Oberstudienrat Professor Dr. A. Witting. Mit 47 Figuren im Text. 130 Seiten.

1928. (Samml. Göschen Bd. 146)...........Geb. RM. 1.80

Der Band, der sich als vorzügliches Mittel zur Einübung der elementaren Sätze und Formeln der Differentialrechnung bewährt hat, erfuhr bei seiner Neuauflage eine bedeutende Verbesserung und Erweiterung.

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung. Von Rektor Dr. Fr. Junker. Mit 52 Figuren im Text. Dritte, verbesserte Auflage. Neudruck. 135 Seiten. 1929. (Samml. Göschen Bd. 147)

Geb. RM. 1.80

„Die reichhaltige Aufgabensammlung ist für den Selbstunterricht sehr geeignet. Das nützliche Büchlein wird weiterhin die verdiente große Verwendung finden.¹¹

Schweizer Pädagogische Zeitschrift.

Geb. RM. 1.80

Elementare Reihenlehre. Von Dr. Hans Falckenberg, Professor an der Universität Gießen. Mit 4 Figuren im Text. 136 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 943)

Das Bändchen will mehr bieten als das, was in jedem Lehrbuch der Infinitesimalrechnung über unendliche Reihen enthalten ist, und fügt deshalb z. B. der Erörterung über das Cauchy sehe Divergenz- und Konvergenzkriterium auch solche über das Raabesche, das lo gar ithmische und das Gaußsche an.

Komplexe Reihen nebst Aufgaben über reelle und komplexe Reihen.

Von Dr. Hans Falckenberg, Professor an der Universität Gießen. Mit 2 Figuren im Text. 1930. (Samml. Göschen Bd. 1027) . Geb. RM. 1.80

Bd. 1022)

Fouriersche Reihen. Von Dr. W. Rogosinski, a. o. Professor an der Universität Königsberg i. Pr. Mit 4 Figuren. 1930. (Samml. Göschen

Geb. 1.80

RM. 16.-

Lebesguesche Integrale und Fouriersche Reihen. Von Dr. L. Schlesinger, o. Professor an der Universität Gießen, und Dr. A. Pleßner. Groß-Oktav. VIII, 229 Seiten. 1926 .... RM. 14.—, geb.

„Das System ist so durchgeführt, daß fast keine Vorkenntnisse gefordert und trotzdem das volle Beherrschen des Materials erzielt werden kann.“

Allgemeine Österr. Chemiker- u. Techniker-Zeitung.

Lehrbuch der Differentialgleichungen. Von Dr. Heinrich Liebmann, o. Professor an der Universität Heidelberg. Groß-Oktav. VI, 226 Seiten. Mit 31 Figuren. 1901............RM. 6.-, geb. RM. 7.20

Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf funktionentheoretischer Grundlage. Von Dr. Ludw. Schlesinger, o. Professor an der Universität Gießen. Dritte, neubearbeitete Auflage. Groß-Oktav. VIII, 326 Seiten. 1922    .... RM. 10-, geb. RM. 11.—

Es war das Bestreben des Verfassers, durch die hier gegebene Darstellung die Theorie der Differentialgleichungen auch denjenigen leichter zugänglich zu machen, die es mit den Anwendungen der Analysis zu tun haben.

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. Zweite, verbesserte Auflage. 159 Seiten. 1930. (Samml. Göschen

Bd. 920)    ......................Geb. RM. 1.80

Der Band beginnt mit einer elementar gehaltenen Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, geht aber in den späteren Teilen über die Anfangs gründe hinaus. Bei der Auswahl des Stoffes wurden Gegenstände, welche Anwendungen zulassen, bevorzugt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von Dr. J. Horn, o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Zweite, völlig umgearb. Auflage. Mit 4 Figuren. 1927. VIII, 197 Seiten. (Göschens Lehrbücherei Bd. 10)

RM. 9.-, geb. RM. 10.50 Inhalt: Elementare Integrationsmethoden, Existenzbeweise, Methode der schrittweisen Annäherung, numerische und graphische Näherungsmethoden, lineare Differentialgleichungen, elementare Integrationsmethoden und weitere Untersuchungen im reellen Gebiet, Existenzbeweise im komplexen Gebiet, Abhängigkeit der Lösungen von Parametern und Anfangswerten, Singularitäten nichtlinearer Differentialgleichungen.

Partielle Differentialgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. 159 Seiten.

1928. (Samml. Göschen Bd. 1003)

Geb. RM. 1.80

Das Buch enthält alle wichtigen Lehrsätze und Methoden für die Integration der partiellen Differentialgleichungen. Trotz der Kürze sind alle wesentlichen Ideen und Wege auf gezeigt.

Partielle Differentialgleichungen. Von Dr. J. Horn, o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Zweite, umgearbeitete Auflage. Mit 8 Figuren. VIII, 228 Seiten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 14.)

RM. 11—, geb. 12.—

In diesem einführenden Lehrbuch, das seine Eigenart ganz aus dem bewährten Programm von ,,Göschens Lehrbücher ei¹¹ herleitet, werden sowohl lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, wie sie in der mathematischen Physik Vorkommen, als auch nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung behandelt, sowohl Randwert- als auch Anfangswertprobleme, durchweg unter Beschränkung auf zwei unabhängige Veränderliche; es wird auch eine Einführung in die häufig benutzte Theorie der Integralgleichungen gegeben. Funktionentheoretische Vorlesungen. Von Heinrich Burkhardt. Neu herausgegeben von Dr. Georg Faber, о. Professor an der Technischen Hochschule in München.

I. Band 1. Heft. Dritte, umgearbeitete Auflage. Groß-Oktav. X, 182 Seiten.

1920    ....................RM. 6.—, geb. RM. 7.20

I.    Band 2. Heft. Fünfte, umgearbeitete Auflage. Groß-Oktav. X, 286 Seiten.

1921 ....................RM. 9.—, geb. RM. 10.50

II.    Band. Dritte, vollständig umgearbeitete Auflage. Groß-Oktav. VI,

444 Seiten. 1920    .............RM. 14.-, geb. RM. 15.50

Das Buch will in einer für Studierende geeigneten Form den Zugang zu den Funktionentheorien von Weierstraß und von Riemann zugleich erschließen. Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp, о. Professor an der Universität Tübingen.

Erster Teil : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. Mit 8 Figuren. Zweite, vollständig neubearbeitete Auflage. Durchgesehener Neudruck. 140 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 668)

Geb. RM. 1.80

Zweiter Teil : Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie. Mit 7 Figuren. Zweite, vollständig neubearbeitete Auflage. Durchgesehener Neudruck. 138 S. 1926. (Samml. Göschen Bd. 703.) Geb. RM. 1.80 ,, Die beiden vollständig neubearbeiteten Bände seien allen Studierenden der Mathematik als Muster klarer und strenger Darstellung aufs wärmste empfohlen.“ Monatsschrift für Mathematik und Physik. Aufgabensammlung zur Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp, о. Professor an der Universität Tübingen.

Erster Teil : Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie. 136 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 877)    ...........Geb. RM. 1.8C

Zweiter Teil : Aufgaben zur höheren Funktionentheorie. 143 Seiten. 1928.

(Samml. Göschen Bd. 878)...............Geb. RM. 1.80

Die Mehrzahl der in den beiden Bänden enthaltenen Aufgaben beziehen sich auf Knopps „Funktionentheorie“ (Samml. Göschen Bd. 668 und 703). Sämtlichen Aufgaben sind die Lösungen beigegeben.

Einführung in die konforme Abbildung. Von Dr. Ludwig Bieberbach, 0. ö. Professor an der Universität Berlin. Zweite, neubearbeitete Auflage. Mit 38 Figuren. 131 Seiten. 1927. (Samml. Göschen Bd. 768.)

Geb. RM. 1.80

„Der Autor faßt seine Aufgabe, eine Einführung in die konforme Abbildung zu geben, in doppeltem Sinne auf. Er vermittelt dem Leser die eigentlich elementaren Teile der Theorie der konformen Abbildung; andererseits eröffnet er durch Eingehen auf einzelne neue Entwicklungen den Zugang zu den modernsten und tiefsten Untersuchungen der gesamten Funktionentheorie.¹ ‘

RM. 8.

RM. 9.20

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik. Automorphe Funktionen. Von Dr. L. Schlesinger, 0. Professor an der Universität Gießen. X, 205 Seiten. 1924. (Göschens Lehrbücherei Bd. 5.)

—, geb.

Im ersten Abschnitt wird die Kernfrage an einfachen Beispielen behandelt, darauf die notwendigsten Sätze aus der nichteuklidischen Geometrie unter Heranziehung der Kreisverwandtschaften. Es folgt der Diskontinuitätsbeweis der zugehörigen Gruppe von Verschiebungen und der Existenzbeweis für die zu einem Normalpolygon gehörigen automorphen Funktionen.

Elliptische Funktionen. Von Dr. R. König, 0. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. M. Krafft, а. 0. Professor an der Universität Marburg i. H. Mit 4 Figuren. 263 Seiten. 1928. (Göschens Lehr-

bücherei Bd. 11)

Das Buch will den Studierenden und Fachmann die

RM. 13.—, geb. RM. 14.50 elliptischen Funktionen als Glied eines großen Organismus verstehen lehren, der mit den einfachsten analytischen Funktionen, den rationalen, beginnt und schließlich zu den Riemannschen Funktionensystemen emporwächst.

Elliptische Funktionen. Von Dr. Karl Boehm, Professor an der Technischen Hochschule Karlsruhe.

I.    Teil : Theorie der elliptischen Funktionen aus analytischen Ausdrücken

entwickelt. Mit 11 Figuren. Oktav. XII, 356 Seiten, Neudruck.

1930. (Samml. Schubert Bd. 30).......Geb. RM. 20.—

II.    Teil : Theorie der elliptischen Integrale. Umkehrproblem. Mit 28 Fi

guren. Oktav. VII, 180 Seiten. 1910. (Samml. Schubert Bd. 61.)

Geb. RM. 5.—

Einführung in die Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen- Von Heinrich W. E. Jung, 0. ö. Professor an der Universität Halle-Wittenberg. Mit 35 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. VI,

246 Seiten. 1923...............RM. 3.50, geb. RM. 4.—

Potentialtheorie. Von Dr. W. Sternberg, а. 0. Professor in Breslau.

I.    Die Elemente der Potentialtheorie. Mit 5 Figuren. 136 Seiten. 1925.

(Samml. Göschen Bd. 901).............Geb. RM. 1.80

Geb. RM. 1.80

1926.

II.    Die Randwertaufgaben der Potentialtheorie. Mit 1 Figur. 133 Seiten. (Samml. Göschen Bd. 944)

„Die Bände geben einen klaren Einblick in die Gedankengänge und Beweismethoden der Potentialtheorie. Da es dem Verfasser gelungen ist, trotz der räumlichen Enge alle erforderlichen Beweise exakt durchzuführen, ist das Werk als Hilfsbuch neben einer Vorlesung durchaus zu empfehlen.¹¹

Zeitschrift für den mathem. u. naturw. Unterricht. Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen. Von Professor Dr. A. Wangerin in Halle a. d. S.

Bd. 58)

Geb. RM. 4.—

I.    Teil : Mit 46 Figuren. VIII, 255 Seiten. Unveränderter Neudruck. 1922.

(Samml. Schubert

II.    Teil : Mit 17 Figuren. VIII, 286 Seiten. 1921. (Samml. Schubert Bd. 59.)

Geb. RM. 4.—

Numerische Integration. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 2 Figuren.

116 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 864)..... Geb. RM. 1.80

Die Darstellung ist sehr übersichtlich und so elementar als möglich gehalten. Sie setzt nur die Kenntnisse der Grundgesetze der Differential- und Integralrechnung voraus und wendet sich an Mathematiker, Physiker und vor allem an Ingenieure, für die das Buch eine gute Anleitung und Einführung ist.

Graphische Integration. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 53 Figuren.

RM. 1.80

Geb.

142 Seiten. 1920. (Samml. Göschen Bd. 801)

Methoden der praktischen Analysis. Von Dr. Fr. A. Willers, o. Professor a. d. Bergakademie Freiberg (Sachsen). Mit 132 Figuren. 344 Seiten.

1928.    (Göschens Lehrbücherei Bd. 12.) . . . RM. 20.—, geb. RM. 21.50 Der Band gibt dem Mathematiker einen Einblick in die Anwendungsmöglichkeiten der Methoden und macht den Naturwissenschaftler und Ingenieur mit den theoretischen Grundlagen bekannt.

Praktisches Zahlenrechnen. Von Professor Dr.-Ing. P. Werkmeister in Dresden. Mit 60 Figuren. Z w e i t e , verbesserte A u f 1 a g e. 136 Seiten.

1929.    (Samml. Göschen Bd. 405)    ...........Geb. RM. 1.80

Das Buch gibt eine übersichtliche Auskunft über die in der Praxis angewendeten Arten des Rechnens. Es wird daher in allen Kreisen der Technik und Naturwissenschaft ein willkommener Führer und Ratgeber sein.

Mathematische Instrumente. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 68 Figuren. 144 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 922.) Geb. RM. 1.80 Der Band bringt nicht nur eine Beschreibung der mathematischen Instrumente, sondern auch eine genaue Theorie, aus der die Anwendungsmöglichkeiten, die beste Art desGebrauchs sowie dieGröße der auftretenden Ungenauigkeiten abgeleitet werden.

Vermessungskunde. Von Dr.-Ing. P. Werkmeister, o. Professor an der Technischen Hochschule Dresden.

I : Stückmessung und Nivellieren. Mit 140 Figuren. Vierte Auflage.

156 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 468) .....Geb. RM. 1.80

II: Messung von Horizontalwinkeln, Festlegung von Punkten im Koordinatensystem. Absteckungen. Mit 93 Figuren. Dritte Auflage.

136 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 469).....Geb. RM. 1.80

III: Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachymetrie und Topographie. Mit 61 Figuren. Zweite Auflage. 136 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 862)    ..............Geb. RM. 1.80

Grundlagen der Geometrie. Von Professor Dr. Gerhard Hessenberg. Herausgegeben von Dr. W. Schwan. Mit 77 Figuren. 143 Seiten. 1930.

(Göschens Lehrbücherei Bd. 17).......RM. 6.50, geb. RM. 7.80

Inhalt: I. Gleichheit, Ordnung und Stetigkeit. II. Die Messung durch Zahlen. (Streckenmessung, Winkelmessung, Flächenmessung.) III. Die projektive Geometrie in der Ebene. (Der Fundamentalsatz. Analyse des Fundamenialsatzes. Beweis des Fundamentalsatzes. IV .Die projektive Geometrie im Raume. (Der Fundamentalsatz. Der Desarguessche Satz. Die Koordinatengeometrie.) V. Künstliche Geometrien.

Ebene Geometrie. Von G. Mahler, Professor der Mathematik am Gymnasium in Ulm. Mit 110 zweifarbigen Figuren. Vierte, verbesserte Auflage. Neudruck. 166 Seiten. 1922. (Samml. Göschen Bd. 41.)

Geb. RM. 1.80

Grundzüge der ebenen Geometrie. Von Professor Dr. Fr. Bohnert in Hamburg. Mit 220 Fig. VIII, 223 Seiten. 1915. (Samml. Schubert Bd. 2.)

Geb. RM. 3.90

Ebene und sphärische Trigonometrie. Von Prof. Dr. F. Bohnert in Hamburg. Zweite Auflage. Dritter Neudruck. Mit 63 Figuren. VIII, 167 Seiten.

1919. (Samml. Schubert Bd. 3)    ............Geb. RM. 4.40

Das Buch enthält die Grundbegriffe der Trigonometrie. Die beigegebenen Beispiele sollen den unentbehrlichen Übungsstoff liefern und gleichzeitig einen Überblick über die vielfache Verwendbarkeit und Bedeutsamkeit der Trigonometrie gewähren. Das letzte Kapitel bietet die wichtigsten Anwendungen der Sphärik auf die mathematische Geographie.

Ebene und sphärische Trigonometrie.. Von Dr. Gerhard Hessenoerg, o. Professor an der Technischen Hochschule Berlin. Mit 59 Figuren. Dritte, neubearbeitete Auf läge. Durchgesehener Neudruck. 171 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 99)

Geb. RM. 1.80

„Der Verfasser hat seine Aufgabe, in dem engen Rahmen nicht bloß alle wichtigen Formeln mitzuteilen, sondern auch die Grundgedanken, auf welchen dieselben beruhen, klar darzustellen und den Zusammenhang derselben, ihre Bedeutung und Anwendbarkeit hervorzuheben, vortrefflich gelöst.“

Archiv der Mathematik und Physik.

Sammlung von Aufgaben aus der ebenen und sphärischen Trigonometrie. Von Dr. Fritz Heiland, Studienrat am Gymnasium in Jena. Mit 26 Fig. 152 Seiten. 1922. (Samml. Göschen Bd. 848.) Geb. RM. 1.80 Die Sammlung schließt sich nach Anordnung und Bezeichnung dem Lehrbuch Hessenbergs (Samml. Göschen Bd. дд) an. Wichtigere Formeln sind vorangestellt, zum Teil mit Ableitung. Zu sämtlichen Aufgaben sind die Lösungen angegeben.

Stereometrie. Von Professor Dr. Robert Glaser. Dritte, verbesserte Auflage. Neudruck. Mit 81 Figuren. 139 Seiten. 1920. (Samml. Göschen Bd. 97)........................Geb. RM. 1.80

Sammlung von Aufgaben aus der Stereometrie. Von Professor Dr. Robert Glaser. Mit 54 Figuren. 168 Seiten. 1917. (Samml. Göschen

Bd. 779)

Geb. RM. 1.80

Aufgaben über Prisma und Zylinder — Projektionszeichnen — Pyramiden und Kegel — Kugel und Kugelteile — konoidartige Körper — Prismatoide — schief ab geschnittene Prismen und Zylinder — Guldinsche Regel.

Einführung in die analytische Geometrie. Von Professor Dr. Gerhard Kowalewski. Mit 112 Figuren. Dritte, unveränderte Auflage. Lexikon-

Oktav. VIII, 360 Seiten. 1929    ............Geb. RM. 11.20

Das aus Vorlesungen entstandene Buch ist namentlich zum Gebrauch für Studierende bestimmt.

Lehrbuch der analytischen Geometrie. Von Dr. Friedrich Schur, o. Professor an der Universität Breslau. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 81 Figuren. Groß-Oktav. XII, 248 Seiten. 1912.

RM. 6.50, geb. RM. 7.70

Analytische Geometrie der Ebene. Von Dr. R. Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. Mit 60 Figuren. 164 Seiten. 1928. (Samml.

Göschen Bd. 65)....................Geb. RM. 1.80

Die Darstellung beginnt elementar und setzt nur die nötigsten ptanimetrischen und algebraischen Schulkenntnisse voraus. Es ist nicht nur die allgemeine Theorie der analytischen Gebilde ersten und zweiten Grades vollständig gegeben, sondern auch eine größere Zahl von speziellen Sätzen, vornehmlich Über die Kegelschnitte.

Sammlung von Aufgaben und Beispielen zur analytischen Geometrie der Ebene mit den vollständigen Lösungen. Von Dr. R. Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. Mit 22 Figuren im Text. 140 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 256)......Geb. RM. 1.80

Analytische Geometrie des Raumes. Von Professor Dr. Max Simon, Straßburg i. E. Mit 28 Abbildungen. Dritte, verbesserte Auflage. Neudruck. 208 Seiten. 1922. (Samml. Göschen Bd. 89.) Geb. RM. 1.80 Das Werk besitzt den Charakter eines ausführlichen Lehrbuches; es gibt eine übersichtliche und abgeschlossene Darstellung der analytischen Geometrie des Raumes nach dem gegenwärtigen Stande der wissenschaftlichen Forschung und bietet zuverlässige Belehrung über die analytisch-geometrischen Theorien.

Aufgaben zur analytischen Geometrie des Raumes. Von O. Th. Bürklen, Professor am Realgymnasium in Schwab.-Gmünd. Mit 8 Figuren. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Neudruck. 109 Seiten. 1923.

(Samml. Göschen Bd. 309)..... •    ......Geb. RM. 1.80

Die vorliegende Sammlung ist für die erste Einführung bestimmt. Sie soll dem Schüler oder Studierenden Gelegenheit geben, die analytischen Methoden anzuwenden, die Gebilde in ihren verschiedenen Lagen und ihren besonderen F allen sowie ihre Beziehungen zueinander zu erfassen und zugleich seine Raumanschauung zu bilden.

Elementargeometrie der Ebene und des Raumes. Von Professor Dr. Max Zacharias, Studienrat in Berlin. Mit 196 Figuren im Text. 252 Seiten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 16) ... RM. 13.—, geb. RM. 14.50

Die Elementar geometrie wird nicht vom Standpunkte des Schulunterrichts, sondern von dem der Wissenschaft aus behandelt. Ausgangspunkt ist das (etwas modifizierte) Hilbertsche A xiomensystem. In der Darstellung treten zwei Momente in den Vordergrund: die geschichtliche Entwicklung und die prinzipielle Begründung der einzelnen Gebiete.

Koordinatensysteme. Von Professor Paul B. Fischer, Studienrat am Gymnasium zu Berlin-Steglitz. Mit 8 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 128 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 507.) Geb. RM. 1.80 Der Verfasser versucht den Koordinatenbegriff von einem allgemeinen Standpunkt aus darzustellen. Durch sorgfältig ausgewählte, zahlreiche Literaturangaben wird der Wert des Bandes erhöht.

Nichteuklidische Geometrie. Von Professor Dr. Richard Baldus. Mit 71 Figuren. 152 Seiten. 1927. (Samml. Göschen Bd. 970.) Geb. RM. 1.80 Wenn auch der Band durch möglichste Klarheit und zahlreiche Figuren, auf die besondere Sorgfalt verwendet wurde, zunächst auf den Neuling auf diesem Gebiet Rücksicht nimmt, so dürfte doch auch der Fachmann manches Neue darin finden. Daß bis zu den Übergängen aus dem mathematischen in das rein philosophische Gebiet vorgedrungen wird, dürfte philosophisch interessierten Lesern willkommen sein.

Nichteuklidische Geometrie. Von Prof. Dr. H. Liebmann in Heidelberg. Mit40Figuren. Dritte Auf läge. 150 Seiten. 1923. RM. 6.—, geb. RM. 7.— Das vorliegende Buch will, möglichst wenig an mathematischen Kenntnissen voraussetzend, in die nichteuklidische Geometrie einführen, und zwar nur auf einem Gebiete — dem der Ebene —, auf diesem aber gründlich dar gestellt. Kreis und Kugel. Von Dr. Wilhelm Blaschke, o. Prof. a. d. Univ. Hamburg.

Mit 27 Fig. im Text. Grofc-Oktav. X, 169 S. 1916. RM. 4.40, geb. RM. 5.50 Algebraische Kurven. Neue Bearbeitung von H. Wieleitner, Oberstudiendirektor in München.

Geb. RM. 1.80

Erster Teil : Gestaltliche Verhältnisse. Mit 97 Figuren. Durchgesehener Neudruck. 146 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 435.) Geb. RM. 1.80 Zweiter Teil : Allgemeine Eigenschaften. Mit 35 Figuren. Neudruck. 123 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 436)

Liniengeometrie mit Anwendungen. Von Professor Dr. Konrad Zind-ler in Innsbruck. I. Teil. Mit 87 Figuren. Neudruck. VIII, 380 Seiten. 1928.

(Samml. Schubert Bd. 34)..............Geb. RM. 18.—

II. Teil. Mit 24 Figuren. VII, 252 Seiten. 1906. (Samml. Schubert Bd. 51.)

Geb. RM. 9.50

Ein besonderer Vorzug dieses vorliegenden Lehr- und Einführungsbuches sind die jedem Bande bei gegebenen Übungsaufgaben, zu deren Lösung sich am Schluß eine Anleitung befindet.

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung. Von Dr. Karl Doehlemann, weil. Professor an der Technischen Hochschule München. Fünfte Auflage.

Erster Teil. Mit 59 Figuren. 132 Seiten. 1922. (Samml. Göschen Bd. 72.) Zweiter Teil. Mit 55 Figuren. 138 Seiten. 1924. (Samml. Göschen Bd. 876.)

Geb. je RM. 1.80

„Die Darstellung ist musterhaft klar und leichtverständlich und wird durch übersichtliche Zeichnungen und zahlreiche Aufgaben aufs trefflichste illustriert.“ Bayerische Blätter für das Gymnasialschulwesen.

Geometrische Transformationen. Von Dr. Karl Doehlemann, weil. Professor an der Technischen Hochschule München. Zweite Auflage, herausgegeben von Dr. Wilhelm Olbrich, Professor an der Hochschule für Bodenkultur in Wien. Mit 89 Figuren im Text und 4 Abbildungen. VIII. 246 Seiten. 1930. (Göschens Lehrbücherei Bd. 15) . . Im Druck

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie.

Von Dr. Georg Scheffers, Geh. Reg.-Rat, Professor an der Technischen Hochschule Charlottenburg. I. Mit 107 Figuren. Dritte, verbesserte Auflage. XII, 482 Seiten. 1923 ........RM. 13.-, geb. RM. 14.50

II. Mit 110 Figuren. Dritte, verb. Auflage. XI, 582 Seiten. 1922.

RM. 16.50

RM. 15.—, geb.

Die besprochenen Probleme werden alle mit großer Ausführlichkeit behandelt. Die am Schluß bei gefügten Formeltafeln und Register erhöhen den Wert des Werkes das nicht nur einführen, sondern auch zu selbständigen Forschungen anregen soll.

Allgemeine Theorie der Raumkurven und Flächen. Von Oberstudiendirektor Dr. Viktor Kommereil in Tübingen und Prof. Dr. Karl Kommerell in Tübingen. I. Teil. Dritte Auflage. Mit 28 Figuren. VIII,

184 Seiten. 1921. (Samml. Schubert Bd. 29)......Geb. RM. 3.—

Geb. RM. 3.—

II. Teil. Dritte Auflage. Mit 13 Figuren. IV, 196 Seiten. 1921. (Samml. Schubert Bd. 44)

In der neuen Auflage werden u. a. die Untersuchungen Salkowskis über die Raumkurven und die Bertrandschen Kurven berücksichtigt.

Spezielle Flächen und Theorie der Strahlensysteme. Von Oberstudiendirektor Dr. Viktor Kommerell in Tübingen und Professor Dr. Karl Kommerell in Tübingen. Mit 9 Figuren. VI, 171 Seiten. 1911.

(Samml. Schubert Bd. 62)...............Geb. RM. 7.30

Vektoranalysis in ihren Grundzügen und wichtigsten physikalischen Anwendungen. Von Dr. Arthur Haas, a. o. Professor an der Universität Wien. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 37 Abbildungen im Text. Gr.-Okt. VI,

147 Seiten. 1929 ...............RM. 5.—, geb. RM. 6.—

Das Buch stellt die Grundzüge der Vektor analyse in engstem Zusammenhänge mit ihrer Anwendung auf Mechanik, Hydrodynamik, Elektrizitätslehre und Relativitätstheorie dar.

Vektoranalysis. Von Dr. Siegfried lalentiner, Professor für Physik an der Bergakademie Clausthal. Mit 16 Figuren. Vierte, umgearbeitete Auflage. 136 Seiten. 1929. (Samml. Göschen Bd. 354). . Geb. RM. 1.80 Darstellende Geometrie. Von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena.

Erster Teil: Elemente; Ebenflächige Gebilde. Vierte, verbesserte Auflage. Mit 110 Figuren im Text. 207 Seiten. 1930. (Samml.

Göschen Bd. 142)...................Geb. RM. 1.80

Zweiter Teil: Perspektive ebener Gebilde; Kegelschnitte. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 88 Figuren im Text. 168 Seiten.

1930. (Samml. Göschen Bd. 143)...........Geb. RM. 1.80

In vier Abschnitten werden die Parallelprojektion ebener und räumlicher Gebilde, die Darstellung von Punkt, Gerader und Ebene in senkrechter Projektion auf zwei zueinander senkrechte Ebenen sowie ebenflächige Gebilde behandelt. Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Von Dr. Karl Rohn, Geh. Rat, weiland Professor an der Universität Leipzig, und Dr. Erwin Papperitz, Geh. Rat, Professor an der Bergakademie in Freiberg i. Sa. Drei Bände. Groß-Oktav. I. Orthogonalprojektion. Vielflache, Perspektivität ebener Figuren, Kurven, Zylinder, Kugel, Kegel, Rotations- und Schraubenflächen. Vierte, erweiterte Auflage. XX, 502 Seiten. Mit 351 Figuren. 1913. Anastatischer Nachdruck. 1921.......RM. 16.50, geb. RM. 18.—

II.    Axonometrie, Perspektive, Beleuchtung. Vierte, umgearbeitete Auflage.

VI, 194 Seiten mit 118 Figuren. 1916    ... RM. 6.20, geb. RM. 7.20

III.    Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, Regel-, abwickelbare und

andere Flächen. Flächenkrümmung. Vierte, unveränderte Auflage. X, 334 Seiten. Mit 157 Figuren. 1923    .... RM. 10.80, geb. RM. 12.—

Darstellende Geometrie. Von Theodor Schmid, о. ö. Professor an der Technischen Hochschule in Wien. I. Teil : Eckige Körper, Kugel, Zylinder, Kegel, Plankurven und Raumkurven mit den zugehörigen Torsen im Normalrißverfahren und in orthogonaler Axonometrie. Dritte Auflage. Mit 170 Figuren. 283 S. 1922. (Samml. Schubert Bd. 65.) Geb. RM. 6.—

Untenichtsblätter f. Maihem. u. Naturw. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von Dr. Otto Knopf, o. Professor der Astronomie an der Universität Jena. I. 112 Seiten. 1923. II. Mit 10 Figuren. 112 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 508 und 871.) Geb. je RM. 1.80 Eine knappe, klare Darstellung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, deren Wert für die mathematischen Grundlagen des Versicherungswesens, für die statistische Mechanik und neuerdings auch für das Fernsprechwesen auf der Hand liegt.

II. Teil: Schiefe und zentrale Projektion. Dreh-, Rohr-, Schrauben- und Regelflächen. Geländedarstellung, Kartenprojektion, Nomographie. Zweite Auflage. Mit 163 Fig. 340 S. 1923. (Samml. Schubert Bd. 66.) Geb. RM. 7.50 ,,Unter den zahlreichen guten Lehrbüchern der darstellenden Geometrie steht das vorliegende mit in erster Reihe. Ausgezeichnete Figuren, klare Darstellung, reicher Inhalt sind seine besonderen Kennzeichen.“

Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Von Wilhelm Weitbrecht, Professor der Geodäsie in Stuttgart. Zweite, veränderte Auflage.

I.    Teil : Ableitung der grundlegenden Sätze und Formeln. Mit 8 Figuren. Neudruck. 127 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 302.) Geb. RM. 1.80

II.    Teil : Zahlenbeispiele. Mit 8 Figuren. Neudruck. 141 Seiten. 1920.

(Samml. Göschen Bd. 641)..............Geb. RM. 1.80

Jeder der beiden Teile bildet ein das ganze Gebiet umfassendes, für sich geschlossenes Ganzes. Der erste enthält die Ableitung der grundlegenden Sätze und Formeln, während im zweiten die fertigen Ergebnisse dieser Ableitungen zusammen gestellt und auf hauptsächlich dem Gebiet der Geodäsie entnommene Zahlenbeispiele an gewendet werden.

Versicherungsmathematik. Von Dr. Friedrich Boehm, Professor an der Universität München.

Seiten. 1925. (Sammlung .....Geb. RM. 1.80

I : Elemente der Versicherungsrechnung. 144

Göschen Bd. 180).........*.....

II. Lebensversicherungsmathematik. Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 171 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 917.)

Geb. RM. 1.80

Der erste Band behandelt den Zins als erste, die Sterbetafel als zweite Rechnungsgrundlage, die Prämienreserve und die Versicherung verbundener Leben. Der zweite Band enthält außer einer eingehenden Behandlung der Lebensversicherungsmathematik eine Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung.

Politische Arithmetik. (Zinseszinsen-, Renten- und Anleiherechnung.) Von Dr. Emil Foerster, Honorardozent an der Technischen Hochschule in Wien. Mit 7 Figuren. 155 Seiten. 1924. (Samml. Göschen Bd. 879.)

Geb. RM. 1.80

In 6 Kapiteln wird der Reihe nach die einfache Zinsenrechnung, die Zinseszinsenrechnung für Einzelkapitalien und Renten, das Rechnen mit vorschüssigen Zinsen, die Schuldentilgung sowie die Kurs- und Rentabilitätsrechnung behandelt.

Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik. Von Professor Dr. Marcello Pirani, Privatdozent an der Technischen Hochschule in Charlottenburg. Mit 58 Figuren. Neudruck. 126 Seiten. 1922. (Samml.

Göschen Bd. 728)

Geb. RM. 1.80

Von der einfachen Darstellung von Größen mit unbekanntem Zusammenhang in Form von Kurven oder Skalen ausgehend, geht der Verfasser zur Darstellung von Größen bekannter Abhängigkeit (Funktionsskalen, insbesondere lo gar ithmische projektive Teilung) über und bespricht dann die Aufstellung von Rechentafeln namentlich mit der Methode der fluchtrechten Punkte oder mit Hilfe mehrerer gekreuzter Linien.

Graphische Statik mit besonderer Berücksichtigung der Einfluj3linien. Von Dipl.-Ing. Otto Henkel, Bauingenieur und Studienrat an der Baugewerkschule in Erfurt. 2 Teile. (Samml. Göschen Bd. 603 u. 695.)

Geb. je RM. 1.80

Statik. I. Teil: Die Grundlagen der Statik starrer Körper. Von Dr. Ing. Ferd. Schleicher in Karlsruhe. Mit 50 Abbildungen. 143 Seiten. 1930.

(Samml. Göschen Bd. 178). . ...............Geb. RM. 1.80

II. Teil: Angewandte (techn.) Statik. Von Professor Dipl.-Ing. W. Hauber in Stuttgart. Mit 61 Abbildungen. Sechster Neudruck. 149 Seiten. 1922. (Samml. Göschen Bd. 179)...............Geb. RM. 1.80

Kinematik. Von Dr.-Ing. Hans Polster, Betriebsingenieur der Badischen Anilin- und Sodafabrik Merseburg-Leuna. Mit 76 Abbildungen. Zweite Auflage. 151 Seiten. 1920. (Samml. Göschen Bd. 584.) Geb. RM. 1.80 Der Band bietet dem Studierenden eine Einführung, will aber darüber hinaus den in der Praxis stehenden Ingenieuren, die sich in die schwierigen Be-Degungsvevhältnisse von Nocken-, Schwingdaumen- und Wälzhebelsteuerungen oder von anderen Gebieten tieferen Einblick verschaffen wollen, ein bequemer Führer sein.

Festigkeitslehre. Von Professor Dipl.-Ing. W. Hauber in Stuttgart. Mit 56 Figuren und 1 Tafel. Achter Neudruck. 127 Seiten und 1 Tafel. 1923.

(Samml. Göschen Bd. 288)...............Geb. RM. 1.80

In dem Band gibt der Verfasser eine kurze Übersicht über die Fundamentalsätze der elastischen Kräfte in ihrer Anwendung auf die einfacheren Fälle der Festigkeit, soweit sie für die gewöhnlichen Aufgaben des praktischen Lebens in Frage kommen.

Aufgabensammlung zur Festigkeitslehre mit Lösungen. Von

R. Haren. Dritte, vollständig neubearbeitete Auflage von Josef Furtmayr, Dipl.-Ing. in Stuttgart. Mit 43 Figuren. 116 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 491)    ..............Geb. RM. 1.80

1.80

Hydraulik. Von Professor Dipl.-Ing. W. Hauber in Stuttgart. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Neudruck. Mit 45 Figuren.

156 Seiten. 1925. (Samml. Göschen Bd. 397)......Geb. RM.

Das Buch enthält eine Darstellung der Hydrostatik und bringt aus der Hydrodynamik: Ausfluß des Wassers aus Gefäßen; Überfall des Wassers über Wehre; Die Bewegung des Wassers in Flüssen und Kanälen; Die Bewegung des Wassers in Röhren mit konstantem Querschnitt; Stoß eines zylindrischen oder prismatischen Wasserstrahls auf eine Zylinder fläche.

Elastizitätslehre für Ingenieure. Von Professor Dr.-Ing. Max Ensslin an der Höheren Maschinenbauschule Eßlingen. 2 Bde. (Samml. Göschen

Bd. 519 und 957)..................Geb. je RM. 1.80

Band 1 bespricht die Grundlagen der Elastizitätslehre sowie Allgemeines über Spannungszustände, Zylinder, ebene Platten, Torsion und gekrümmte Träger. Band II gibt eine Einführung in die Methoden zur Berechnung der statisch unbestimmten Konstruktion des Bau- und Maschineningenieurs.

Geb. RM. 1.80

Einführung in die geometrische Optik. Von Dr. W. Hinrichs, Berlin-Wilmersdorf. Mit 56 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage.

143 Seiten. 1924. (Samml. Göschen Bd. 532)......

Nach der Einleitung über die Grundgesetze der geometrischen Optik folgen die Abschnitte über die Reflexion an ebenen Flächen und sphärischen Flächen. Dann wird die Brechung an ebenen Flächen, an einer Kugelfläche und durch ein zentriertes System von Kugelflächen behandelt. In Kapitel VI finden die Linsen und Linsensysteme Beachtung.

Theoretische Physik. Von Dr. Gustav Jäger, Professor der Physik an der Universität Wien. 5 Bände.

I.    Band : Mechanik. Mit 25 Figuren. Sechste, verbesserte Auflage.

150 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 76)......Geb. RM. 1.80

II.    Band: Schall und Wärme. Mit 7 Figuren. S e ch st e , umgearbeitete und vermehrte A u f 1 a g e. 133 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 77.)

Geb. RM. 1.80

ГП. Band : Elektrizität und Magnetismus. Mit 35 Figuren. Sechste, verbesserte Auflage. 151 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 78.)

Geb. RM. 1.80

IV.    Band : Optik. Mit 44 Figuren. Sechste, umgearbeitete und vermehrte Auflage. 148 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 374.)

Geb. RM. 1.80

V.    Band : Wärmestrahlung, Elektronik und Atomphysik. Mit 16 Figuren.

Sechste, umgearbeitete und vermehrte Auflage. 128 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 1017)...............Geb. RM. 1.80

Allen, welche sich ein Kompendium der theoretischen Physik anschaff en wollen, seien diese Bändchen empfohlen. Der Verfasser hat den Stoff aus dem Gesamtgebiet sorgfältig ausgewählt und dabei die neuesten Resultate der Forschung berücksichtigt.

Einführung in die theoretische Physik mit besonderer Berücksichtigung ihrer modernen Probleme. Von Arthur Haas, a. o. Professor a. d. Universität Wien. I. Band. Fünfte und sechste, völlig umgearbeitete und vermehrte Auflage. Mit 67 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. X,

396 Seiten. 1930 .............RM. 15.—, geb. RM. 16.50

II. Band. Dritte und vierte , völlig umgearbeitete und vermehrte Auflage. Mit 72 Abbildungen im Text und auf zwei Tafeln. Groß-Oktav. VIII, 379 Seiten. 1924 ...........RM. 8.50, geb. RM. 10.—

,,Der Vorzug des Buches liegt zweifellos in dem Umstande, daß es dem Verfasser gelingt, den Leser unter Vermeidung jedes überflüssigen Wissensballastes bis an die Probleme der modernen theoretisch-physikalischen Forschung heranzuführen. Es gibt gewiß kein anderes Buch ähnlichen Umfanges, das den Studierenden gleichzeitig mit den Elementen der theoretischen Physik und mit den wichtigsten modernen Forschungsergebnissen, wie Röntgenspektroskopie, Kristallanalyse, Isotopenbestimmung usw. vertraut macht.“

Monatshefte für Mathem. u. Physik.

Einführung in die theoretische Physik. Von Dr. Clemens Schäfer, Professor an der Universität Breslau. I. Band: Mechanik materieller Punkte, Mechanik starrer Körper, Mechanik der Kontinua (Elastizität und Hydromechanik). Mit 272 Figuren im Text. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage. Groß-Oktav. XII, 991 Seiten. 1929.

RM. 45.—, geb. RM. 48.—

II.    Band: Theorie der Wärme. Molekular-kinetische Theorie der Materie.

. . RM. 28.—, geb. RM. 30.—

Mit 88 Figuren im Text. Zweite, verbesserte und vermehrte Au f 1 a g e. Groß-Oktav. X, 660 Seiten. 1929    . . .

III.    Band : Erscheint Mitte 1930.

,,Das vorliegende Werk füllt eine merkbare Lücke in der bisher vorliegenden Literatur über theoretische Physik aus. Was es von seinen Vorgängern unterscheidet, ist einmal die Verwendung aller modernen Methoden und zum zweiten die klare und ausführliche Darstellungsweise, welche auch das Studium

schwieriger Kapitel zu einem Genuß macht.“

Annalen der Physik.

Atomphysik. Von Dr. Hans Leßheim in Breslau. I. Band. Mit 36 Abbildungen. 134 Seiten. 1929. (Samml. Göschen Bd. 1009.) Geb. RM. 1.80

Vorlesungen über Thermodynamik. Von Dr. Max Planck, Professor der theoretischen Physik an der Universität Berlin. Mit 5 Figuren im Text. Neunte Auflage. Groß-Oktav. XI, 288 Seiten. 1930.

Geb. RM. 11.50

VERLAG VON WALTER DE GRUYTER & CO. IN BERLIN W10 UND LEIPZIG

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