у;

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

____v____

mm

ШШ1

en

I. 2d

L. inw. ...МЯ...\Ж..

il

’•Si

№

ШШ

Шум

St

Repetitorium

UUà

Aufgabensammlung

zur

ii

Integralrechnung

Y0E

•?

Prot Dr, Fr, Janker

Ш- \

II

Ш!г

Hit 50 Figuren im Text

УЛ

JR

rs

Ks

Äammfung (Böfcßen.

Unser heutiges ШШеп ^    in hurjen> klaren,

allgemcmverltändUcben

OC

Ginjeldar Heilungen.

Qebe Kummer in elegantem Seimtmnbbanb

<S. 2* <80|феп’|фе PerXassfyanMung, £eip5i$.

^mecf uub gtel ber „Sammlung <50[феп" ift, bem gebilbeten Qy £aien eine flare, 1е1фЬегрпЬПфе (Einführung in fämtl^e

(gebtete ber 2X>iffenfd?aft unb (Гефт! su geben. 3n engem Halmen, auf ftreng miffen^aftl^er (grunblage unb mit jteter Berücf* рфНдипд bes neueren Staubes ber ^ог[фипд, aber babei Ьоф in le^tuerftänblkher ,form, bietet fte 3m>erläfftge Belehrung. 3*bes etnselne (gebiet ift in Щ де(ф1о[|еп bargeftellt, aber Ьеппоф fielen alle ВапЬфеп in innerem gufammenhange miteinanber, fo bag bas (5апзе, menn es nollenbet norliegt, eine einheitliche, fvjte* та1^фе Darftellung unferes gefamten ÎDiffens bilben bürfte.

Uerzeicbnis der bis jetzt erschienenen Bände.

lX>er Hibelttttge Hot in SluSmahl unb ÜKittelhocbbeutjche ©rammatil mit furent SBörterbuch bon Dr. SB. ©olther, Sßrofefior an ber Unt* berfität Śłoftoct.

2 Ceffings (Emilia (Salottt. 9Rit Einleitung unb flnmerïungen bon Oberlehrer Dr. SSotfdj.

8 £effings fabeln, nebfl TOanb* lungen mit biefer 2)t<htung$art ber* manbten Inhalts. 90Ш Einleitung bon fîarl ©oebele.

4£efflr leitun

5    Ceffti 2Rit3J

6    JEefft Slnme Фепа<

7    Шаг tterr «u8g

berfehen bon ^rofeffor ®. SBerlit, Oberlehrer ant 9H!oIaigbmnafium SU Beißig.

8 fcefftngs Iitterarifdje ». brama-turgifche 2tb^anblungen. 3Rtt 8inmer!ungenb. SRettor DrvSBert&er. "71 9£effittgs anttg»artfdK u. tyt-grammat. Jlb^anblungett. äftit Slnmerïungen b. 3ïeïtor Dr. SBerther.

10 &»br»n unb ZHetriфереп. ЯУШ Einleitung unb SBörterbuch bon Dr.

-    ----- (mu №łn-

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

О. ß. Siriese!, ^rofeffor an ber

ar*Ab*nti<> fünfter.

iner

©röfce, SSemegung i ber фттеШйгрег biuS, neu bearb. bon Siicenu*, ißrofeffot an t 6tra&burg. SDtit 56 6tern!arte.

100000298015

tn ©runbrifc bon Çrof. Sireïtor beS Sßäbagog. ber Uniberfitüt 3ena.

ern.

80 W

^rttmnfung (Bófdkn.

3e in elegantem Cetnœanbbanb

13 (Seologie bon fßrofeffor Dr. ©berp. ftraaè in Stuttgart. 2Rit 16 älbbil* bungen unb 4 tafeln mit über 50 Figuren.

llpf^djolo^ie unb Cogiï gur ©in* füprung in bie fßhilofobhie bon Dr. Sh- ©IfenpanS. 9Jtit 13 ftiguren.

15    0eutfcl}e *îîttï}ôlo3ie bon Dr. ftriebricp kauffmann, äßrofeffor an ber Uniberfität kiel.

16    <Srie<J}if<fye2IItertuntsfunbebon f^rof. Dr. fRicp. fDiaifcp, neu be* arbeit. b. 9teftor Dr. ftrang fßobl* hammer. äJiit 9 SBoHbilb

17    Uuffa^entmürfe bon Dr. S. äß. Straub, fßrofeffor an b. Oberprima be§©berharb*£ubtt>ig§*®pmnafium§ in Stuttgart.

18    0er теп{фПфе Шгрег, fein 3au unb feine tl)ätiQleiten, bon ©. fftebmann, Oberrealfcpulbireîtor in ftreiburg i. $8. 2Jttt ©efuubheit§* lehre b. Dr. med. ф. Seiler. ШШ 47 älbbilbungen unb 1 Xafel.

i9Hömifd}e (Sefdjic^te, neu bearb. bon Dr. SuliuS Oberlehrer am ä3i§mardgpmnafium in Söerlin.

20Oeutfd}e (Srammatiï unb ïurge ©efchichte ber beutfcpen Sprache bon (Schuir. fßrof.Dr.O.ßpon in 2)re§ben.

21    lîïufiïalifdheîlîuftiï bon Dr. kari ß. Scpafer. 9ÏÏU bieleń älbbilbgn.

22    Hartmann non 2lue, XPoIfram non <£fфепЬаф unb (Sottfr. non Strasburg. Sluêtoahl au? bem bôf. ©po§ mit âlnmerïungen unb äßörterbuch bon Dr. k. Warolb, fjSrof. um ïgl. Sriebri^gfoïïegium gu könig§berg in fßr.

23    tOaltljer non ber Oogeltreibe mit SIuëmahl au§ fbtinnefang unb Sprudhbichtung. 90tit âlnmerïungen unb einem äßörterbuch bon Otto ©üntter, ffSrofeffor an b. Oberreal* fchule unb an ber $ed)n. |>ochfchuIe in Stuttgart.

24    ïfans Safys u. Эо^апп ^if^art nebft einem ВДапд: ä3rant unb Jütten. Sluêgemahlt unb erläutert b. Dr. Sul. Sahr, $rofeffor am kgl. kabettenïorpê in S)reêben.

25    Vas beutfdje Oolfslieb, auêgem. unb erläutert bou Dr. Sul. Sabr, fßrof. om königlichen kabettenforpä in S)reêben.

26    pinefifcfye (Seo^rapïjie bon Dr. Siegmunb ©itnther, fßrofeffor an ber ftgl. Sechnifcpen Cmcbïcbule in München. füïit 32 älbbilbungeu.

27    <5xK<$itfdie unb römifche (Setter* unb Çelbenfaçje bon Dr. £erm. Steubing, s45rofeffor am kg! ©put* uafiunt in äßurgen.

28    Ultljochbeutfdhe £itteratur mit ©rammatiï, Ueberfe£ung nnb @r= ïauterungen b. $£р- ©chauffier, *f$ro* feffor am 9îealghmnafium in Ulm.

29    fltineralogie bon Dr. 9t. ä3raun8, äßrofeffor au b. Uniberfität ©iejjen SWtt 130 älbbilbungen.

30    Hartenfunbe, gefcpichtlich bargeft. bon ©. ©elcich, ftireïtor b. 1.1. SJtau* tifcben Schule in Suffinpiccoïo unb ft. Sauter, fßrofeffor am fRealghm* nafium in Ulm, neu bearb. bon Dr. $aul Oiufe, SIfiftent ber ©cfeïïfdjaft f. ©rbïunbe tn Berlin. SKit 70 ШЪ.

31    (Befriste b. beutfcf>. Sitteratur bon Dr. 9Jtaj kocb, ffSrofeffor a. b. Uniberfität iôreêlau.

32    Vie beutfcfye ïfelbenfage bon Dr. Otto ßuitpolb ftiricjel, fßrofeffor an b. SIfabemie fünfter.

33    Oeutfcfye (Sefcfyidhte im îltittel-alter (biâ 1500) bon Dr. ft. kurge, Oberlehrer a. kgLSuifenghmnafium in Berlin.

86 Vev <£ib. ©efcpicpte be3 3)on fRup 2)iag, ©rafen bon SBibar. SSon S* ©. Berber. £r§g. u. erläutert bon fßrof. Dr. ©rnft Waumann i. Berlin.

37    ^norganif^e Chemie bon Dr. Sof. klein i. äßalbhof b. îftannbeim.

38    (Urganifc^e Chemie bon Dr. Sof. klein in äßalbhof b. Sftannheim.

39    Seidhenfrfyuïe bon äßrofeffor ft. kimmich in Ulm. 90Ш 17 tafeln in 2on-, ftarben* nnb ©olbbrud u. 135 äSoK* unb Sejtbilbern.

40    Oeutfdje poetiï b. Dr. k.ä3orin$li, logent an ber Uniberfität Шпсреп.

41    (Zbettc (Seometrie bon ©. SPtabler, fßrofeffor ber Sttatpematil am ©pm* nafium in Ulm. SJtit 111 ftig.

tPenben !

42 Itr

Dr.

^atnmfung <Ë>ôf$en.

3e in elegantem £etnmanbbanb

80 %

gefehlte бег Menfchheit bon i «Rorifc фсегпеё, fprofeffor a. b. Uniberfitât uub (SuftoSabiunît am l. ' un b f. naturfjiftor. £ofmufeum in 2Sien. 9Jcit 48 ЩЬЬ.

43    (Sefchichte Bes alien Morgen-lanBes bon Dr. gr pommel, «Pro* feffor an ber Unioerfitat Ründfen. «Rit 6 Silbern unb l ftarte.

44    ZHe pflange, iBr San unb ipr SeBen bon Oberlehrer Dr. ©. Tennert in fRiing^borf. Rit 96 fHbbilbungen.

45    2tômif<he UltertumsïunBe b Dr. üeo «SlocB, Togent a. D. Uniberfitât Zürich, Rit 8 SoUbilbern.

46    Vas WaltijarilieB, im SerSmafee ber Urfdjnft überfe^t unb erläutert bon Profeffor Dr. £. SlltBof, Ober» leprer a. RealgBmnafium i. Weimar.

47    2lrithmetif unb îllgebra bon Dr. фегт. ©epubert, Profeffor an ber ©eleBrtenfcpule beS SoBanneumS in Hamburg.

48    ^eifpielfammlung 5.2lrithmetif u. Ulgebra, 2765 Aufgaben, fpfte* matifep georbnet, bon Dr. фегтапп ©epubert,Profeffor au ber@eleprten» fcpule beê ^oBanneumê i. Hamburg.

49    (Erieçhifche (Eefcpichte bon Dr. «fjeinricp ©tooboba, Profeffor an b. beutfepen Uniberfitât Prag.

60    Schulpraxis. Reipobif b. SoltS* fcpule bon R. ©epfert, ©cpulbireïtor in ölSnifc in S3.

61    Mathemat.^ormelfammlung u. Repetitorium ber Ratpematiï, entp. bie micptigften Formeln u. Jßeprfäpe ber Slritpmetiï, SUgebra, algebra* ifepen Slualnfis, ebenen ©eometrie, (Stereometrie, ebenen u. fppârifcpen Trigonometrie, matpem.©eograpBie, analpt. ©eometrie ber ©bene unb beS Raumes, ber Tifferential* unb Sfntegralrecpnung b.O. Tp. Sürïlen, Profeffor am ïgl. Realgpntnafium in ©cptb.*@münb. Rit 18 giguren.

62    <Befchichte Ber römifchen Citte-ratur bon Dr. фешапп âteaepim in Hamburg.

бЗШеВеге 2ïnaltfts bon Profeffor Dr. Senebilt ©porer in ©pingen. Rit 5 giguren.

54 Meteorologie bon Dr. 233. Trabert, Togent a b. Uniberfitât u. ©elretar ber !. !. gentralanftaït für Reteoro* logie in S33ien. Rit 49 2tbb. u. 7 Taf.

65    Vas ^rem&mort im Tïeutfchen b. Dr. Rubolf Jîleinpaul in Seipgig.

66    Veutfdie Kulturgefchichte b. Dr. Reinb. ©üntper i. Surgbotf b. S3ern.

57    perfpeftive nebft einem Slnpang überScpattenïonftrufttonu.Paraïleb perfpeltioe bon Slrcpitett Jpanê ftrep* berger, gacpleprer an ber ®unft* getoerbefep. i. Ragbebg. «Rit 88 mb.

58    (Eeometrifches geichnen bon $. 83ecfer, Slrcpiteft uub Peprer an ber S3augemerffcpute i. Ragbeburg. Rit 282 Slbbilbungen.

59    ^nBogermanifche Sprachtviffen* fdjaft bon Dr. R. ÜReringer, «pro» feffor a. b. Uniberfitât 223ien. Rit einer Tafel.

60    ÎEierïmtBe b. Dr. $rang b. 233agner, Profeffor an ber Uniberfitât ©ie&eu. Rit 78 Slbbilbungen.

61    TeutfcheHeBelehre bon ©. Probft, ©pmnafiafïeprer in Rüncpen. Rit einer Tafel.

62    SanBerïunBe von €uropa b. Dr. ?frang jpeibericB, «ßrofeffor am fïran* ciSco*^ofepBinum in «Rohling. fRit 14 Tejttartdjen unb Tiagrammen u. einer ^arte ber ^Ipeneinteilung.

63    CânBerîunBe Ber außereuropâ* if^en (Sxbteïle bon Dr. grang ^eibericB, 2ßrofeffor am Francisco* ftofepBinum in «öiöbling. «Rit 11 TegtïartcBen unö «Profilen.

64    Z)eutf<hes Wörterbuch non Dr. gerbinanb Tetter, îprofeffor an ber Uniberfitât fprag.

65    Slnal^tifche (Seometrie B. (Ebene , bon fprofeffor Dr. R. ©imon in ©trafeburg. Rit 57 Figuren.

66    HuffifdBe (Erammatiî bon Dr. ©rid) Sernefer, fprofeffor an ber Uniberfitât «Prag.

67    Huffifches SEefеЬиф mit ©loffar bon Dr. ©ricB 23erneîerf «Profeffor an ber Uniberfitât «Prag.

68    »uffifch * Beutfches (Eefprächs* Ьиф bon Dr. ©ticB 23erneler, fpro* fefjor an ber Uniberfitât fPrag.

^ortfehung auf Ber vierten D orfa hf eite/

j^ammlung Göschen

KRA W ü ~

Repetitorium

^*4joteka ol^!L

und

Aufgabensammlung

zur

Integralrechnung

von

Dr. Fr. Junker

Professor am Realgymnasium und an der Realanstalt in Ulm

Mit' 50 Figuren im Text

Leipzig

D, E. FRIEDLEIN W KRAKOWIE.

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1902

\-ъ<мг?$

AlleRechte, insbesondere dasüebersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

Druck von

Akc. Nr.

Mi/50

feilbronn.

Inhalt.

I. Abschnitt.

Einfache unbestimmte Integrale.

§ l. Das Integral eines Differentials ......

§ 2. Die einfachsten Integralformen. Beispiele 1—11 § 3. Sätze und Integrationsmethoden. Beispiele 12—18. .

§ 4. üebungsbeispiele 19—40.........

Seite

II. Abschnitt.

Integration rationaler algebraischer Differentiale.

§ 5. Integration echt gebrochener algebraischer Differentiale.

Beispiele 41—42.........

§ 6. Üebungsbeispiele 43—53 ........

§ 7. Mehrfach vorkommende Wurzelfaktoren im Nenner. Beispiele 54—57    .........

§ 8. üebungsbeispiele 58-66    ........

11

13

15

19

III. Abschnitt.

Integration irrationaler Differentiale.

§ 9. Gebrochene Exponenten von x oder n^ Wurzel aus a + b x

in f (x). Beispiele 67—68    ......

§ 10. üebungsbeispiele 69—80    ........

§ 11. Ausdruck zweiten Grads unter dem Quadratwurzelzeichen.

Beispiel 81.........

§ 12. üebungsbeispiele 82—127 ........

20

21

22

25

IV.    Abschnitt.

Integration transcendenter Differentiale.

§ 13. Exponential- und logarithmische Funktionen. Beispiele

128—160 :.........

§ 14. Trigonometrische Funktionen. Beispiele 161—225    .

§ 15. Vermischte transcendente Integrale. Beispiele 226—241

V.    Abschnitt.

Bestimmte Integrale.

§ 16. Regeln und Lehrsätze über das bestimmte Integral. Beispiele 242—246    .........

§ 17. üebungsbeispiele 247—268    .......

31

34

41

43

Seite

VI. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die ebene Geometrie.

§ 18. Rektifikation ebener Kurven. Beispiele 269—271    .    .    50

§ 19. Uebungsbeispiele 272—278    .....

§ 20. Quadratur ebener Kurven. Beispiele 279—283 .

§ 21. Uebungsbeispiele 284—298    .....

53

56

61

VII. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie des Raums.

§ 22. Kubatur begrenzter Räume. Beispiele 299-301

§ 23. Uebungsbeispiele 302—318    ......

§ 24. Oberflächenberechnung der Körper. Beispiele 319-321

§ 25. Uebungsbeispiele 322—342    ......

§ 26. Rektifikation der Raumkurven. Beispiel 343 § 27. Uebungsbeispiele 344—349    ......

65

69

74

79

87

89

VIII. Abschnitt. Schwerpunktsbestimmungen.

92

§ 28. Schwerpunkt von ebenen Kurvenbögen. Beispiele 350—351    90

§ 29. Uebungsbeispiele 352—357    .......

§ 30. Schwerpunkt von ebenen Flächengebilden. Beispiele

т* О Т* О 0)0 О —

358-361    ..........

§ 31. Uebungsbeispiele £62—377    .......

§ 32. Schwerpunkt von räumlichen Gebilden. Die Guldinischen

Regeln. Beispiele 378—385    ......

§ 33. Uebungsbeispiele 386—404    .......

IX. Abschnitt.

Anwendung von Doppelintegralen zur Berechnung

von Flächen- und Raumgebilden.

§ 34. Quadratur und Kubatur mit Doppelintegralen. Beispiele 405—407 .........

§ 85. Oberflächenberechnung mit Doppelintegralen. Beispiele

408-409    ..........

§ 36. Uebungsbeispiele 410—417.......

129

Litteratur-Verzeichnis

§ 1. Das Integral eines Differentials.

Die Integralrechnung hat die Aufgabe, zu einem gegebenen Differential die ursprüngliche Funktion aufzusuchen. Sie ist in dieser Hinsicht als die Umkehrung der Differentialrechnung anzusehen.

Das Integral deś Differentials dy = f (x) dx, ge

schrieben

y = / f (x) dx = F (x)

und gelesen „Integral f (x) dx“ ist die Funktion, welche nach x abgeleitet f (x) giebt. Dasselbe ist somit definiert durch

dy _ d J* f (x) dx

dx

dx-- = fW = F'W-

Diese Beziehung ändert sich nicht, wenn man F (x) um eine beliebige Konstante C vermehrt (oder vermindert). Man nennt deshalb

y = / f (x) dx + C = F (x) + G

das unbestimmte Integral von f (x) dx und bezeichnet C als Integrationskonstante.

§ 2. Die einfachsten Integralformell.

Durch einfache Umkehrung der entsprechenden Formeln der Differentialrechnung gelangt man zu folgenden fundamentalen Integralformeln:

1.

J*a dx = ax + C

2.

xn dx

xn + x

n+1

3. J-- = lx + C

4.    J*ex dx — ex + C

5.    J*ax dx = ^- + C

6.    J*cos X dx = sin X + C

7.    J*sin X dx = — cos X + О = tg X + C

8.

dx

COS² X

9.

J^⁼-ct^⁺⁰

10.

dx

1 + х»

= arc tg X + С = — arc ctg x + С'

• dx

n* Jyi-x*

= arc sin X + 0 = — arc cos X + C'.

§ 3. Sätze und Integrationsmethoden.

a) Konstante Faktoren unter dem Integralzeichen dürfen vor dasselbe gesetzt werden.

J a f (x) dx = a J f (x) dx.

b) Das Integral einer Summe von Differentialen ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Differentiale

t {f(x) + <p(x) + . . .} dx =/f(x)dx-f/ç>(x)dx+ .. _

c) Integration durch Substitution einer neuen Veränderlichen.

12. Beispiel. Das Integral [ (a + bx)ndx zu er

mitteln.

dy

Setze a + b x — y, so ist b dx = dy, dx = -g- und

J*(a + b x)“ dx =-^ J*yn dy =

1 yn+1

b 'n +1

+ C.

(a + b x)n +1 b(n + l)

13.    Beispiel.

f tg x dx geht mit cos x — y, — sin x dx = dy über in

J*tg x dx = —§ y =    = — 1 cos x*

zu be

{* dx

14.    Beispiel. Das Integral ) j/aa '

rechnen.

Setze

b² X² = a² sin² cp oder b x = a sin cp, b dx — a cos cp d cp) so folgt

У а² — b² x² = а У1 — sin² cp = a cos cp und geht das Integral über in

bx

=tarcsi“ ;•

d) Ist der Zähler eines Bruches gleich der Ableitung des Nenners, so ist das Integral desselben gleich dem Logarithmus des Nenners

f ' (x) dx

df(x)

f(x)

f(x)

= lf(x) + C.

15. Beispiel.

У ctg x dx = J*

COS X

sin x

dx

=J

d sin x

sin x

= 1 sin x + C.

16.    Beispiel.

= l(x⁴ — 7x² + 8).

(4 x³ — 14 x) dx x⁴ — 7 x² + 8

e) Die teilweise Integration beruht auf der Anwendung der Formel

— / V du,

/u dv = uv

wo u und у als Funktionen von x zu betrachten sind.

17.    Beispiel. [x cos x dx zu berechnen.

J x cos x dx = x sin x — J sin x dx = x sin x -f- cos x -f C,

18. Beispiel. J =/cos² x dx zu berechnen.

Es ist

J = J cos • x dx = J cos x d sin x = cos x sin x -j- f sin² x dx

= cos x sin x + J (1 — cos² x) dx = cos x sin x + x — J, woraus folgt

J = ^ (cos x sin x + x).

§ 4. Uebungsbeispiele.

t*⁸

20.    J*(a⁴ + X⁴) dx = a⁴ X -)-

21.    I 3 Sx dx = 2 Y4F

= 2 Ух

19.

22.

6 x⁷ dx =

dx

«Ч О.

23. J(1 + j/x’) dx = X + y j/V

to

оЗ

И О"

|-и

çu

сё

er

25.

2    ⁵    3    ⁸

dx= 4 x 2 - 4-X 3

17

51

26.

fa + x

36.

39.

u dv = uv— I V du

37.    j*(x — l)² e* dx =

38.    fx⁶ (1 + x)²

35

27.

.г

екх dx = т- екх

28

•X

dx

1 + (x — 2)²

= arc tg (x — 2)

29.

]/'x

30.

1 — ^x

x³ dx

dx = l — x — 21(1 — j/x) [ 1 — }/x = y J

a + 2 bx²

31.

32.

(a + bx²)3 2 x dx

Г+Х*

f ' (x) dx

4 b² (a + bx²)²

= arc tg x²

[x² = y]

f(x)

= 1 f (x)

•X

cos x dx

34

•X

a + b sm x ex dx

ex— a

1 (a + b sin x)

1 (ex — a)

dx

(1 + x²) arc tg x

= 1 (arc tg x)

ex (x² — 4 x + 5)

dx = — (1 + x)²--yf x⁶ (1 -f x) dx

J sin² X dx = - (x — sin x cos x) 40. j*x² cos x dx = (x² — 2) sin x + 2 x cos x.

Integration nicht gebrochener rationaler Funktionen. 11

II. Abschnitt.

Integration rationaler algebraischer Differentiale.

§ 5. Integration echt gebrochener rationaler Funktionen.

a) Zur Ermittlung des Integrals

f (x) dx

d,

b»

(x — a) (x — b) ... (x — n)

zerlege man in Partialbrüche

dann folgt

Е (x) x — a x — b

f(a)

(a — b) (a — c) . . . (a — n)

f(b)

(b — a) (b — c) . . . (b — n)

oder auch

f (n)

(n — a) (n — b) . . . (n — m)

f(a)

f(b)

f(n)

F'(b)’ ⁻ •

Nach Berechnung der Zähler A, В, . . . ergiebt sich für das gesuchte Integral der Ausdruck

¥' (a)

F' (n)*

jiF (x)    ^ (x — a) В1 (x — b) ... -f- N 1 (x — n).

12 Integration rationaler algebraischer Differentiale. 41. Beispiel.

f (x) X²— x + 4    _ А    В

F (x) ⁼ (x² — 1) (x + 2) “ x+1 ⁺ x — 1 ⁺ x + 2

1 + 1 + 4 (— 2) (+1)

_ 4 + 2 + 4 _ (—1)(—8)_ 3

3, B =

1—1+4    2

3'

2.3

10

daher ist

J'

x² — x + 4

(x² — 1) (x + 2)

dx —

10

+    1 (x + 2) + C.

b) Enthüllt der Nenner imaginär conjugierte Faktoren z. B. x — а — i b und x — а + i b, und ergiebt die Partialbruchzerlegung

für die Zähler

A _ f (a + i b)

F' (a + i b)

= p + iq, B —

f (a — i b) F' (a — ib)

so erhält man durch Vereinigung der Brüche

P + iq

₍    p — i q _ 2 p (x — a) — 2 b q

+" x — a + i b ” (x — a)² + b²

und hieraus durch Integration

jv

A dx

⁺jx

В dx

— a + ib

d (x — a)

(x — a)²+ b²

2 (x — a)

(x — a)² + b²

dx — 2 b q j*

= p 1 {(x — a)s + 1>²} — 2 q arc tg ,

-J

42.

Beispiel.

dx

x³+l

zu berechnen.

Man erhält

^3 x

k + T*

so folgt

Da nun f (x) = 1, F (x) = x³ -f 1, F' (x) = 3 x² ist,

F'(-l) = 3, F'(-- + yl/3) = -Y + Yil/3>

fcw i H-

t—*■

oc|

to| oc

co i

«I

und

c = —

Ç dx

J x³ + 1    3

FI

1 (x + 1) — — 1 (x² — x + 1) 2 x — 1

УЗ *

y arc tg

48.

4 X³ — 7 x + 2

2 X + 1

§ 6. Uebungsbeispiele.

АХ3_

3

+ yl(2x+l)

dx =

44.

31 X — 96 6 (xs - 3 x-18)

dx =

1 (x — 6) + -| 1 (X + 3)

45.

46.

р dx 1 Г dx ___ 1 x — a Jx — a 2 a J x 4- a 2a x 4~ a

x² —2x^5 dx = 21{(X_1)2 + 4}~2arctgX2

x² — a² 2 a

47.

— 2 x²4~8 x + 14

dx = 2 1 (x — 1) — 31 (x+1) 1 (x 3)

48.

2 x³ — 16 a x² — 8a*x+ 16 a³

(x² — a²) (x² — 4 a²)

dx = 1 (x² — a²)

-41X

x-j- 2a

49

5 x²+ 3a x+ 9a2 X³ — 3ax² + 2a²x

dx =

Ю CO

lx — 17 1 (x — a)

35

+ ql(x —2 a)

50

•J?Tidx =

to

CO

<3

erct

51.

dx

.) x(xa + x + l)

== 1 X —

-1 (xs + x + l) 2x+l

+ arc tg

Уз

52.

— 2xł + 6x+13 (x— l)(xa + 5x + ll)

dx = 1 (x — 1)

CO I CM

2x4-5

1 (x² + 5 x+11) + ~ У 19 arc tg

13

53.

2 x — x 4- 3 x³4-1

dx = 21(x4- 1)4- j/yarc tg

2 x-1

/3

§ 7. Mehrfach yorkommende Wurzelfaktoren im Nenner,

a) Das Integral J

zu ermitteln, wenn der

f (x) dx

(x — a)n

Grad von f (x) kleiner als n ist. J Man setze

f(x)

An

(x — a)n (x — a)

ÏÏ +

An—i

Ад — 2

(x —a)n-

(x — a) n — ² ' *

A,

dann ist

(x —a)²

--i__

x — a

f (x) — An An —i (x — a) -f- An —2 (x — a)" -f- . , . + A₁ (x —a)¹¹-¹

woraus folgt

№-i)(a)

(n 1) !

und ist das gesuchte Integral angegeben durch

An = f(a), An —i = yj f' (a) Af =

f (x) dx

An

J (x —a)n

(n — 1) (x — a)n—¹

An —i

(n — 2) (x — a)n

A.

+- A[ 1 (x — a).

54. Beispiel.

X³ + 1 _ A₄    —g

(x — l)⁴ (x — l)4 r (x — l)³

А,

(x-1)²

f(x) = x³+l = A₄ + A₃(x-l) + A₂(x-l)a

+ A₁(x-1Y

A₃ = f' (1) = 3, i-f»(l)=3; A,=|f'"(l) = l

f' (i) = 3s!= A₃ + 2 As (x — 1) + 3 A, (x — 1)’ f" (x) = 6 X = 2 A₂ -)- 6 Aj (x—1) f"'(x) = 6=6A somit folgt für x = 1 A, = f(l) = 2,

a₂ =

und

x³+l

(x —1)

i dx =

3 (x— l)³    2 (x — l)² x — 1

+ l(x-l).

55. Beispiel.

f    dx    1.x—1    x    1

J (x*+ l)*(xÄ^T)—"8 ^ x -j- 1 _4 (xa+ 1)    2 arR gX

b) Wenn der zu integrierende Bruch von der

Form

xm

ist, wo m < n ist, so kann auch die Methode

(x —a)n

der teil weisen Integration zur Reduktion des Integrals

angewendet werden.

Man erhält

xm dx

xm

xm_1 dx

(n — 1) (x — a)n

__!--f

-i    n— 1J (x — a)n-l

(x — a)n

56. Beispiel. Nach dieser Formel ist

(x —a)

-₄ dx

x³

Xй dx

3 (x — а у

(x — a)³

2 (x — a)

(x a)3 X dx

(x— a)s

X⁹ dx

X²

X dx

f⁹ dx

I ---— 1 (x — a), somit

J x — a

x³ dx

x³

x²

(x —а Г

3 (x — a)³    2 (x — a)³ x

+ 1 (x — a).

f (x) dx (x — a)k cp (x)’

c) Das Integral zu ermitteln J = Г Man setze

f (x)

Ak

Ak-l

(x — a)k cp (x) (x — a)k ^ (x — a)k—1 у (x)

A.

cp (x)

so folgt hieraus

f (x) = ç, (x) {Ak +Ak_i (x —a) + ... + A, (x — a)k-‘} + i> (x) (x — a)k

und erhält man zur Bestimmung von Ak, Ak—i, . . . die Gleichungen f (a) = Ak cp (a)

f' (a) = Ak cp' (a) + Ak-i cp (a)

f" (a) = Ak cp“ (a) + Ak-i . 2 <p‘ (a) + Ak_2.2?>(a)

f(n) (a) — Ak <p(n) (a) -|“ Ak-1. n <p(n *d(a) + Ak—2 . n (n — 1) cp (n-2) (a) + ... + Ak-n-f i • n \ <p (a).

Junker, Integralrechnung.

Das Integral der ursprünglichen gebrochenen Funk-tion ergiebt sich alsdann durch Integration der einzelnen Partialbrüche

i 3 x i 2

57. Beispiel. J = J    dx

Setze

dann ist

f (x)

x²(x—1)

x³ -)- 3 x -f* 2 _

'x* (X - ïf - (x - 1?

(x-1 )a

<ИХ)

Xй ’

f (x) — x³-[-3x-)-2 — x² {A₃ -]- A₂ (x 1) -f- Aj (x 1) I

+ V (x) (x — 1)

f(l) = 6 = A f'(l) = 6 = 2As + A, f"(l) = 6 = 2As + 4A₂ + 2A woraus folgt

A₃ = 6, A₂ = — 6, Aj = 9.

Setzt man ebenso

f (x)

x³ -f 3 x + 2

ip (x)

= T^ + 'x

f (x) = X³ + 3 X + 2 = ( — l)³ { в₂ + Bt x } + ф (x). Xs

Xs (x—¹)

so ist

x’(x — l)³

(x-"l)³’

und

f (0) = 2 = — B2 f' (0) = 3 = 3 B₂ — B woraus folgt B₂ = — 2, Bj — — 9.

,=j

Das gesuchte Integral ist somit 6 dx

6 dx

(x-1)⁸

J'

(x—1)

Г 9 dx T*² dx Г9 d

“Dx-r'J X⁸ “J X

(X-l)²

^+т+°,-7‘

§ 8. Uebungsbeispiele.

58.

x² —

(x+ 2)

4

2 (x 2)8 _r x + 2 + ¹ (x + 2)

59.

{‘(x+î)⁸

J (x — 1)* '

60.

x⁸ -f- 2 x² — 1

Xa(x-1)

6 X² -T 6 X + ₃;

(x —1)

• —lx — 21 (x — 1)

dx =x —

⁶¹- Si

dx

x (x — a)

a (x — a) a ’

ce

62.

,r

x⁴ — 5 x³ — 30 x² — 36 x

(x + l)³ (x² — 4)

.+ 2li⁺²

dx

. U + X)

Г2

63.

J⁻

+ l(x+l)

___    _    2 x — 1

(x — l)⁸ (x — 2)s x 2 (x— Jÿ

1    7

+ ²¹ (x — 1) — 4 1 x — X ¹ (x — ²)

dx

см

2 (x — 2)

64.

dx

4x-r- 7    ". i

(x — l)³ (x + 2)² ~ 54 (X^Î)

Iх-1 27 x + 2

27 (x-j-2)

65.

dx

(x²+lГ (x²~l)

x + 1    4 (x² + I)

— arc tg x

66.

x⁵ dx

(x³ + I )*

‘ 1 (x:! + 1) -f

B(x³ + iy

III. Abschnitt.

Integration irrationaler Differentiale.

§ 9. Gebrochene Exponenten von x oder n*e Wurzel aus a -j- b x in f (x).

a) Sind in dem Integral J f (x) dx neben ganzen Potenzen von x auch solche mit gebrochenen Exponenten vorhanden, deren kleinstes gemeinschaftliches Vielfache к ist, so setze man x — tk, dx = к t¹*“¹ dt, dann geht obiges Integral in ein rationales über

/ f (x) dx = к / f (tk) t*-l dt.

67. Beispiel.

p + l/x

, x — t⁶, dx = 6t⁵dt

t³ dt

*Ыа‘

= 2 (''T — 3 j/x +6 j/lT + 6 1 (j/'x + lj.

J-6j

-Л

t²-t + l4

b) Integrale von der Form J f (x, j a + b x) dx werden rational gemacht, indem man setzt

a -f- b x = y¹¹, x =

(yn a) > dx =    У¹¹⁻¹ dy.

68. Beispiel. Zu integrieren J = f x Уа — x dx a_x = y², x = a — y², dx = -2ydy

2/У² (a-y“)dy=- J ay³ + ~|y5 — Д (2 а + 3 x) V(a — x)s.

§ 10. Uebungsbeispiele.

69

1 +yx

1 — Ух

dx = — X — 4yx — 41 (yx — 1)

70.

Г:¹

dx = 2|/x-j-l + l

1 X+l — 1

fx~+ 1 — 1

У^-Их + 1

X — 1

+ l J'V + 3 y?+ 2 I'X + 6    + 6 j/x

+ 91^|/x — lj + 31^|/x + lj j- Va+Tx

73. Jl/(a + b x)-m dx = (m j^ У(а+Ъ х)ш + 2

71.

72.

.Г

.г

dx

dx = Ą

4X

X j/ X + X

74.

/ a + x dx =

105 Fa+X (8 a³—4 a² x

+ 3ax² 4" 15 x³)

75

x dx У a — x

| ya —x (x + 2 а)

76.

|*У а + Ьх

dx = l/a + bx +

Уа |Уа + Ьх — Уа

2 Уа + Ьх + Уа

77..

/г

x dx

j/a — x

4j4(a _х)² (2х + 3а)

78.

J?,

x dx

j/ а 4~ b x

"зУь² +Ь х)⁴ (4 ь X

-5 а)

79.

dx

Ух-pa — Ух —

80, J У1 + x ,ix = 1 1 — x“ + ¹

1 I    £    з i

= з а |(x + a) 2 + (x — a) г I

1+x

§11. Ausdruck zweiten Grads unter dem Quadratwurzelzeichen.

Das Integral zu ermitteln

J = Jf(x, Уа + 2Ьх + с x²) dx = J f (x, W) dx.

Kommt die Quadratwurzel W in irgend einem Glied der Funktion f im Zähler vor, so schaffe man sie in den Nenner, indem man mit W — У а -j- 2 b x -j- c x2 erweitert, dann bleiben nur Glieder von der Form

xn

oder

(x_«)k w

zu integrieren.

Ausdruck 2. Grads unter dem Quadratwurzelzeichen. 23

Da die letzteren durch die Substitution x — a —

in solche der ersten Art übergehen, so hat man nur noch Integrale von der Form zu behandeln

Яг ds oder/ welche sich mittelst der Methode der unbestimmten

dx,

a₀xn +    x“-¹ + • • ■ + an

dx

dx = («n—l xn—1

Koeffizienten zurückführen lassen auf das Integral J* ^ indem man setzt • a₀ xn + \ x¹¹-¹ + ... + an

+ «П—2 Xn-² + • •

woraus die Koeffizienten a und ß nach beiderseitiger Differentiation dieser Gleichung durch Koeffizientenvergleichung gewonnen werden.

Ç    dx

⁼ J Va + 2bs

x + cx²

In Betreff des Integrals J unterscheidet man folgende Fälle:

Erster Fall: Der Koeffizient von x² ist positiv gleich + c, dann ist

dx

/a + 2bx + cx²

+ ÿ^l {b + cx + ]/c fa + äbx + cx2}•

8 = a (a + r)-

io

4

+ ÿ^l {b + cx + ]/c fa + äbx + cx²}•

Zweiter Fall: Der Koeffizient von x* ist negativ gleich — c? dann ist

dx

1    . b—cx

• arc sin ., -......;---------.

У b + а c

so ist

Dritter Fall: Wird in dem Ausdruck

b² — ac = 0,

W = l/a + 2bx + cx²

J^a + Sbx + cx² |/c Ve + Va).

81. Beispiel. Zur Reduktion des Integrals setze man

9 X³ — 3 X² -f- 2 „

У1 — 2 x -f- 3 x2 wo a₂, a₀ und ß unbestimmte Koeffizienten bedeuten. Um dieselben zu bestimmen, differentiiere man vorstehende Gleichung und multipliziere mit

W = ]/l — 2x + 3xä durch, dann ergiebt sich die Gleichung

9 x³ — 3 X² + 2 == (2 «₂ X + <*i) (1 — 2 X + 3 X²)

+ («₂ X² + X + a₀) (— 1 + 3 x) + ß, woraus durch Koeffizientenvergleichung folgt

a₂ = l, =

Da nun der Koeffizient von x² in J/ 1 — 2 x + 3 x2 positiv ist, so folgt

dx = (a₂ x² -f-a.

dx

x+a₀)W + ßjw

rH i CO

, «o= —

TH CO

dx

F 1 — 2 x + 3 x²

Das gesuchte Integral ist daher м dargestellt durch *9x³ —3x* + 2 FT— 2 x + 3 x²

dx =

(x2+ 3

31/3 ^ {    1 + 3 x -f* У 3 W y.

*■

§ 12. Uebungsbeispiele.

W bedeutet die zu dem betr. Integral gehörige Wurzel, a) Reduktionen.

C 4x⁸ + 7x + 5

J l'2x' + 6

82.

83.

1 + 2 X + 2 X²

I 1 —2x —4x*

84.

85.

86.

87.

dx = (x —1)

4 Bc —3Cb\

dx= -

GO И

⁺ 32

A + 2Bx + Cx²

l/a + 2bx + cx²

- (¹¹

c²

jW

+(

Cac + 4Bbc —3Cb²

2 c²

ff

X dx

a-f-2bx-)-cx²

x² dx

]/a + 2bx + cxż \2c

О ; а"

pdx

J w

3b

2 c²

3 bs — ac

2 c²

f* dx

J W

J |/a-|-2bx-)-cx² dx =

a + 2bx + cx²

ya+2bx-f-cx²

dx

-(t+ÄMt

b^\ fdx 2c/J V

88. jV 7 + 8 x

dx

b) Integrale von der Form I ■

— 5 x³ dx =

⁸⁹- /="

dx

Vl + x + x²

i(ł+’i+w)

90.

dx

У— 3 + ‘2x + xa

c dx

J

= 1 (1 + X+7—3 + 2 x + x⁸)

= + ( ь 1 (b X +1 b У a + b X )

92< J |2Ьх-|-,х! = у7 1 (b + c X + f e W}

1    . b — ex

■=aro smyb* +

arc sin ^

A

93.

94.

95.

96.

97.

98

.f

dx

У a + 2 b x— ex² Ус

y a² — X²

j'

— 4 X-

y 21

= arc sin —

dx

Ус + ya 1(хУс-[-Уа) für b² — ac = 0

У a + 2 b X + c X²

Ус

dx

ос;

оэ|

— 2x4-

со

cc

c) Weitere Integrale mit Reduktionen.

. I У a -j- b X² dx —

%)

to и

У a -j- b X²

+ 2 i/ b 1 { Ь X + У b У a + b X² J

H.

о.

toj и

j/a — bx²

arc sin X

100. Г ^ 2 a X -j- X² dx =

я |<N

1 (a + X + W)

101.

2 a x — x² dx

W — — arc sin

102.

x/2ax — x² dx =

X² ax

a³

arc sin

Г X dx

J

= У a² + X²

/ * X dx    ,-----—-

lw-Jÿ7=ï* -¹'

103.

F X dx

¹⁰⁵-Jft+¥F = V

У a + b xa

106.

jVîÏT? = 2TW-2b?bl(bx + l,bW»

f X³ dx _/x²    2 aN

¹⁰⁷‘ J |/ a + b X²-\3b    3 ba

W.

d) Integrale von der Form J — |

dx

(x —a) W

^ werden

ermittelt, indem man setzt

x — a ==

dx = -dy

У²’

womit das Integral übergeht in

j-~j

у c + 2 (b + с a) у + (a + 2 b a + c ctz) j worin a + 2b«-fca²> 0 oder < 0 und gleich Null

sein kann und dann die oben behandelten Fälle ein-treten können.

108.

J (x — 2) V'x²— 4x + l J

dy

У 1 — 3 y*

-уз

arc sin

VT

109.

110.

J (x — 3) У x² — 8 x -f~ 10 —

x + 1

(x-ijye

x + 4 (x-3)1/8

Allgemein ist für a + 2b« + ea²>0 und = p:

te

fl

arc sin

111.

dx

_ 1 ^a + ba-f(b + ca)x + W

f n

Für a+2ba + ca²<0 und = — q, wo q positiv ist, erhält man

112.

dx

(x — а)]/а + 2Ьх + сх²

= гf= arc sin

H

a-)-ba-f-(bH-ca)x

(x — а) У b* — ас

dx

J xfa + 2bx + cx²

Уа

а -f- b x + У a W

a positiv.

114

■/

dx

x У — а + 2 b x + c x²

= i arc sin

у a

x У b² f a c

Uebungsbeispiele.

Auch die Integrale von der Form j werden durch die Substitution x — a = — in solche von

J W

dx

(x — a)k W

übergeführt. Letztere werden wie

das Integral 81 reduziert und schliesslich integriert. Man erhält z. B. mit dieser Substitution

der Form

115

•j

dx

(x — a)n V а + 2 b x -j- c x*

yn—1 dy

]/ c + 2 (b + с о) у + (а + 2 b я -|- с «*) у"

116.

Ç    dx

J (x - 1)* V 6 — 6 y + y* x

Ç    dx    _ W

^ ' J x² V a + 2 b x -f- c x² a x

xW

118.

dx

J x⁸ïl-4x-2x²

—(++i)w

+ 71-

— 2x—W

119

■J

dx

(x + 1)М'х² — 2 x — 2 x + 1

+ 21 —

— 2x — W

e) Integrale von der Form J = j*

f(x)

dx werden

dadurch ermittelt, dass man

f(x)

F(x)

F (x) W in Partialbrüche zerlegt,

wodurch das Integral J in eine Summen von solchen der seitherigen Arten übergeht.

" dx

120.

J (x² — 4) W

=-H-

4 J |x

dx

x+2 W

_ 1 Г dx

~т.г

121.

(x + 2) dx

(x — 3)² W

4 J (x — 2) W

= ⁵J WirsTw +J

i p dx

4 J (x + 2) W ■

dx

(x — 3) W

122.

j'

2 W

x² y’x² + 6 x + 45 ~~ 45 x

(x — 2) dx

1    , x + 15 — /5 W

3 ÿ5

f) Besondere irrationale Integrale. Durch Einführung neuer Veränderlichen lassen sich folgende Integrale auf einfachere zurückführen und integrieren.

= ■ 2 JyÆy ⁼ -taa-x2 ["“У]

123.

|/ a + c x⁴

124.

(* x dx Ç x³ dx

J У a + cx⁴ 2 c

125.

CO; to

dy

]/a³-y

= -jj- arc sin |/

x⁸

а³

[x³ = У]

126.

JV

dx

f dx

= aJ

Va² — x*

⁺Jya²

= — У a² — x² + a arc sin

--— arc sin

a⁴

127

•J*³ УТ+Тdx

X¹ — 2 a¹

Va⁴—⁻?

4

IV. Abschnitt.

Integration traiiscendenter Differentiale.

§ 13. Exponential- und logarithmische Funktionen,

a) Grundformeln.

ex dx = ex

128.

ax dx =

ax

Ta

b) Integration durch Substitution.

129. j*f (e k x) e k x dx = ~ J f (y) dy

Г

ekx — У» e k x dx = dy

130.

131.

ekx    kekx

ex dx

(ex + a)n    (n — 1) (ex + a)¹¹“¹

132. J f (ekx) dx = y j f (y) dyy

ekx = y, dx =

dy

кУ

133.

134.

135.

136.

137.

= 1 01+ ox — 1) - 1 (fl + ex + 1)

ax dx = J f (y) dy ax == y, ax la dx = dy

= 2lï1(a** + 1)

J f (ax) dx = ™ j f (y) y

^ ax dx

ax = y, ax 1 a dx = dy

138.

[*ax +1

ax

139. j f (ax) dx = /f (ekx) dx a = ek, к = 1 a ekx dx

140.

ax —

i"i

ekx— 1

k 1 (ekx — 1)

141.

dx _ ₌ j* dx

= ~ arc tg ax j f (lx) ^ = j f (lx) dix =» J f (y) dy

J ax+ a-

ekx e _kx

arc tg ekx

142.

dx

143.

144.

lx - y, x = dy

d,_JVdJ = <¹fï

•(1 i)4-l

Я*

.1

dx —

y(l*)³ + lx

145.

dx

x(lx + l)

-J

* dy

y+i

= 1 (1X +1)

c) Die Methode der teil weisen Integration nach der Formel Judv = uv —J vdu wird mit Vorteil angewendet, wenn es sich darum handelt, Integrale von folgender Art zu ermitteln.

146.    /X² ex dx = j x² d ex = x² ex — 2 J x ex dx

j X ex dx = |x d ex — X ex — jex dx = x ex — ex Jx² ex dx = ex (x² — 2 x -f- 2)

147.    J x³ ex dx = ex (x³ — 3 x² + 6 x — 6)

148. j xn ex dx = xn ex — n J xn~¹ ex dx

149.

150.

151.

152.

= ex {xn — n xn_1 + n (n — 1) x — n (n — 1) (n — 2) xn 3 + ....}

II—2

x¹¹ ek x dx =

Гх² e³

«У

x dx =

xn ekx

îj

ekx xn -¹ dx

CO

e3x

Г    ekx

J (a -f- b x)n ekx dx = —^ - (a + b x)n

— к J^(a bx)n_l ekx dx:

ekx dx

ekx

b (n — 1) (а-j- bx)n—1 к Ç    e k x dx

b (n — 1) J (a + bx)n~¹

Integrale von der Form I

durch Reihenentwicklung ermitteln.

Junker, Integralrechnung.

(a -j- bx)n

ekx dx

a+bx

lassen sich nur

гЧ X

тН

+ ^л

p->

eX ₊ ç*

X J X

ех dx

J,

155.    jlx dx = X (lx — 1)

156.    /(lx)² dx = x|(lx)² — 21x 4" 2}

157.    J (lx)n dx = X (lx)n — n f(lx)n—1 dx

xn+llx 1 Ç

n+1 n+lj

хп+х

⁼ n+ï

154.

158.

xn 1X dx =

dx usw.

lx —

n+1

xn dx

159.

lx

J,.

—— dx = —

160.

|*(a + b x)² 1

(n — 1) xn~¹

(a + b x)³ 1X

x dx =

3b

§ 14. Trigonometrische Funktionen, a) Grundformeln.

161.    J cos xdx = sin x

162.    ( sin x dx = — cos x

— sin n x

163.

cos nx dx =

164.

sin n x dx = — cos n x

= tg X

166.

dx

= — ctg X

sin² X

b) Integration durch Substitution.

167. f f (sin x) cos X dx = J f (y) dy

sin x = y, cos x dx = dy

d cos x cos x

168.

J*tg X dx =J*

sin x

dx

COS X

= — 1 cos x

169. J (tg x 4" ctg x) dx = 1 sin x — 1 cos x = 1 tg x

170.

cosn x sin xdx =

n+1

COS¹^¹ X

171.

sin x dx

COSn x

(n — 1) COS¹¹“¹ X 172. f f (sin x) cos² И-¹ x dx = f f (sin x) (1 — sin²x)n d sin x

sin⁶ x

173. J sin³x cos³x dx =Jsin³x (1 — sin²x) d sin x sin⁴ x

=---

174.

sin⁴x cos³x dx =

тЧ ! О

sin⁵x —

sin⁷x

175.

sin⁴ x cos⁵ x dx =

sin⁵ x —

sin⁷x — sin⁹x

176.

sin³x

------dx = —

cos x

sin² x

1 COS X

177.

sin⁵ x dx

cos x

= cos²x

cos⁴ x

— 1 cos X

178.

sin³x dx

COS² X

, 1

— COS X H---

COS X

179.    fsin^-Hx dx = — J(1 — cos²x)n d

180.    J sin³ X dx = — J (1 — cos² x) d

cos³ x

cos x

cos x

cos x

182.

(1 — cos²x)n

183. J*tg2n+‘x dx = —J*

^tg³ x dx = — tg- x —J— 1 cos x X dx = ~ tg⁴ x — 1- tg² x =J*f (tgx) dtgx

184.

185.

jv

186.

Jf (tg x)

dx

COS² X

cos²¹¹—¹ x

d cos x

— 1 cos x

187.

sin x

COS³ X

dx

188.

sin³ x

COS⁵ X

dx

7*    dx (*    tg²

= JtgX^os^⁼J tgxdtgx=^2

tg³ x

=J tg² x d tg x = —j

189.

sinn x

cosn4-²x

dx

xdtg x

tgn+l X

n+1

190.

dx

sin x cos x

-X

tg x cos² x

-X

d tg x

tg X

= ltgx

dx

2 sin g cos

Durch die Substitution

tg⁸* _____

1 + tg² X _ 1 + y²

2’

sin²x —

У*

, cos² X =

dx

COS² X

= d tg X = dy

werden folgende Integrale rational gemacht und leicht integrierbar

192.

dx

d tg X

sin2mx cos2nx

193.

dx

sin² x cos² x

194.

dx

(1 + tg² x)m+n (1 + y²) m-f-n—1

tg2m x

⁼J

=J

y2m

dy

1 + tg² X

dtgx

= —tgX + tgx=— ctg 2x = tg x — 2 ctg x — ctg³ X.

tg²x

sin⁴ x cos² x

Setzt man sin x = y, cos x dx = dy, so ergeben sich folgende Integrale, die durch Partialbruchzerlegung weiterzuführen sind.

195

f (sin x) dx Ç

2„ -l x -=J f (S1D X)

d sin x

cos

(1 — sin² x)n

f (y) dy U-y*)"

196.

sin¹¹ x dx

cos x

sinn x d sin x

J 1

— sin² x

У¹¹ dy 1-У*

197.

sin² x

cos x

dx = — sin x —

sin x — 1

2 sin x + 1

38

198.

Integration transcendenter Differentiale. sin⁴ X

cos X

dx = —

sin³ X

;---Sin X -

Mt- )

199.

sin⁶ X

sin⁵ X sin³ X

COS X

200.

sin⁴ X cos³ X

dx = — r о

/    +1 tg (--+--)

¹    ^— sin³ x + -~- sin X ^

/ X , n

ltg (t + +

= У giebt Y²

tg X =

V²

—, dx =

dx =

cos² X

CO <M

Die Substitution tg

sin X =

l + y²’

И <N

cos X =

1 + y²

i-y²’

ctg X =

2 dy

l + y²

201.

202.

J=Wf)

l*    X

J dy = у = tg-g-

dx

1 + COS X

to и

203.

dx

sin а

„u*

r[i=otg“]

J a cos X + b sin X

c) Integration durch allmähliche Reduktion nach J u dv = uv —f v du.

204. [sin¹¹ X dx = —/sin¹¹“¹ x d cos x = — cos x sin¹¹”¹ x -f- (n— 1) ( sin¹¹—²x cos² x dx

der Formel

= — cos X sin¹¹⁻*х -f~ (n — 1) J sin¹¹—²x (1 — sin² x) dx = — cos x sin¹¹⁻¹ x (n — 1) J sin¹¹⁻²x dx — (n — 1 ) I sin¹¹ x dx.

Hieraus folgt sin¹¹ xdx = —

cos x sin11—1 x-f"

sinn“²x dx.

to a

— y, dx — — dy und schreibt nachher wieder x für y, so folgt hieraus

Setzt man x =

205. |*cosnxdx =

cosn~ ²x dx.

n — 1

cos¹¹⁻¹ x sin x 4-    I

n J

Werden diese Formeln umgekehrt und wird alsdann n — 2 durch — n ersetzt, so ergeben sich hieraus die weiteren Formeln

206.

sin¹¹ x

cos X

n — 1 sin¹¹⁻¹ x

г/

dx

sin¹¹⁻² x

207.

1 sin x

cos¹¹ X n — 1 cosn_1x

I n~² Ç dx

Tn-1 J

COSn—2X

208.

sin² x dx =

— sin x cos x

209.

Г dx

J sin² x ⁼-CtgX

f* dx

J cos²x

tg x

210.

sin³ x dx = —

(sin² x + 2) cos x

211.

j^sin⁴ x dx =

— cos X

'sin³ x

Jsin x)

212.

sin⁵x dx = — cos x

sin² x +

GO

J sin"x dx = — X —

COS X

(1 sin5x+

sin X

214.

dx

cos x

sin³ x

2 sin² x

+ 2ltg

to! И

215.

Г dx

- COS X

\3 sin³ x

3 ,sin xy

rH ТО

= — ctg x —

ctg³ x

Auf Integrale dieser Art lassen sich auch die folgenden zurückführen, wie folgt:

216.    ( cos2mx sin2nx dx = J (1 — sin²x)m sin2nx dx

217.    I sin²x cos²x dx =J (1 — cos²x) cos²x dx

= J cos² x dx —J cos⁴ x dx

cosx

sinx^

V 4    8 /

218

•J

sin⁴ x cos² x dx =

+ C°SX(- ₁₆

sin x sin³ x , sin⁵ x

24

219.    I f (sin x) cos2n x dx = j f (sin x) (1 — sin² x)n dx

220.    ( sin⁵ x cos² x dx = J sin⁵ x ( 1 — sin² x) dx = ( sin⁵x dx —[ sin⁷x dx

1 — cos²x cos⁵x

221

sin² x dx cos⁵x

cos⁵x

f* dx

J cos³x

Die teilweise Integration führt auch zu folgenden

Formeln :

Vermischte transcendente Integrale.

x —J*tgn-2x dx

¹¹ x dx =------.

n—1

tgn-l

223. f tg² x dx = tg x — x

j*tg⁸ x dx = £ tg² x + 1 cos x

tg³x — tgx + x

224.

225.

x dx =

ot t-¹

§ 15. Vermischte transcendente Integrale, a) Integration durch Substitution.

226.

J f (arc sin x)

dx

VI — x"

= f f (y) dy

arc sin x = y,

dx

= dy

227.

arc sin x

П — x*

dx

arc sin x d arc sin x

(arc sin x)‘

228. ('f (arc tg x)    = J*f (у) <*У

arc tg x = у,

dx

1 + х»

= dy

229.

arc tg x

dx

Г+Х»

=arc tg x d arc tg x

~ {arc tg x}²

Vermittelst der teil weisen Integration ergeben sich die Integrale.

230. I arc sin x dx = x arc sin x -f- ]/ï — x²

231. j arc tg x dx = x arc tg x — 1 ]/l + x²

²³\0;-

233.

xn arc sin x dx

arc sin x dx = x — ]/i — x² arc sin x х’И⁻¹

n+ï

arc sin x

xn+l

234.

xn arc tg x dx

n₊lJVl —*

xn+i

n+ 1

arc tg x

1 Г xnti

n+l J T+x²

dx

dx

235. I sin x dx == — xn cos x + n ( xn—1 cos x dx sin x

236.

sin x

dx — —

(n — 1) x¹¹-¹

237.

J,.

cos X

dx =

cos X

.'i

(n — 1) x¹¹“¹

238.    j ex sin x dx = — ex cos x + Jex cos x dx

239.    J ex cos x dx = ex sin x — Jex sin x dx

COS X

— 7 dx xn—¹

sinx

n-l dx

Aus den beiden letzten Integralen folgt

240.

Г    ex

I ex sin x dx = — (sin x — cos x)

241.

ex cosx dx

(sin X + cos x)

V. Abschnitt.

Bestimmte Integrale.

§16. Regeln und Lehrsätze über das bestimmte Integral.

a) Regel. Das bestimmte Integral Jf(x)dx

b

zwischen den Grenzen a und b wird erhalten, indem man ohne Rücksicht auf die Konstante C das unbestimmte Integral F (x) ermittelt und hierauf die Differenz der Werte bildet, welche dasselbe für x = a und x=b annimmt.

ff (x) dx = F (a) — F (b).

b

242. Beispiel.

x³ dx = —

x4 2

16 _ 1 _ 15 4 i 4    4    4

b) Satz. Ein bestimmtes Integral geht in seinen entgegengesetzten Wert über, wenn man die Grenzen miteinander vertauscht.

j f (x) dx = — J f (x) dx.

b    a

Satz. Ein bestimmtes Integral verschwindet, wenn die Grenzen einander gleich werden.

Satz. Anstatt die Integration von der Grenze bbiszur Grenzeadirektauszuführen, kann man eine (oder mehrere) Zwischengrenze c einführen und znnächstvon b bis c integrieren und nachträglich die Integration von c bis a fortsetzen.

J f (x) dx = J f (x) dx + j f (x) dx. ь    b    c

c) Integration bis x = oo. Wird eine der Grenzen, z. B. die obere, unendlich gross, so wird der Grenzwert

X

lim J f (x) dx = lim { F (x) — F (b) }

X = CO

X = 00 b

als der Wert des Integrals bezeichnet für die obere Grenze x — oo.

243. Beispiel.

X = GO

arc tg X — arc tg b |

£ км

— arc tg b.

(Siebe Fig. 1.)

y ⁼ lhc2

°чГ    Voc

Fig. 1.

244. Beispiel.

Jdï

= lim arc tg x — lim arc tg x =

X = -(-00

1 + x²

(Siehe Fig. 2.)

X = — ос

fcoj а

t+oo

- oo

Figr. 2.

d) Integration bis zu einer Unstetigkeitsstelle von f (x).

Wird f (x) für eine der Grenzen, z. B. die obere x = a selbst unstetig durch Unendlich werden, so heisst

x = а

( f (x) dx = lim ( f (x) dx = lim { F (x) — F (b) } b    x = ab    x = a

rjfac2

der Wert des Integrals für den Fall, dass sich hiebei überhaupt ein bestimmter Grenzwert ergiebt. Ist dies nicht der Fall, so darf die Integration auch nicht bis X = a ausgedehnt werden.

245. Beis

dx

}/a* — x²

= lim arc sin X- =

x = a

e) Integration über eine Unstetigkeits. stelle von f (x).

Wird f (x) für einen Wert x = c, der zwischen den Grenzen b und a des Integrals liegt (b < c << a), unstetig, so ist der Wert des bestimmten Integrals dargestellt durch den Grenzwert

lim Гf (x) dx + lim Pf (x) d

x=cj    x=ej

b    x

Un = Д x {f (x) + f (x + Д x) + .. .

+ f (x + [n-i] Д x)}

der n elementaren Flächenstreifen (Fig. 3) hei unendlich wachsendem n zustrebt und stellt geometrisch den In-

+lJ

CL

CL

Fig. ЗЬ

2a

2 a

.IV

dx s f dx

)» J (X 0

8    3    3

= 3]a + 3J'a = бУа. f) Geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals.

Das bestimmte Integral zwischen den Grenzen a und X lässt sich als Grenzwert definieren, welchem die Summe

246. Beispiel.

(x — а)з

__2 _L_

а ,,з

dx

__2

— a) 3

Fig. За.

halt der Fläche P A B Q = U dar, der von der Abscissenaxe, den Ordinaten PA und Q В und der Curve y = f (x) begrenzt wird.

Satz. Das bestimmte Integral Jf (x) dx

X

zwischen den endlichen Grenzen a und x lässt sich, wenn f (x) innerhalb derselben endlich und stetig ist, in eine konvergente nach Potenzen von (a — x) fortschreitende Potenzreihe entwickeln, deren Koeffizienten durch Ableitung von f (x) gewonnen werden:

J* f (x) dx =

X

(a —x) f (x) + ₂\ (a — x)² fv (x) + ~(a-x)3f" (x) + ...

17. Uebungsbeispiele.

CO to

247. j xu dx =

-i

248.

J*(x³ — 3 X² 4" 2 x) dx = —

249.

250

Г+х’“Т

X dx = kTa (ak- L>

251. J x ex dx = 1.

(n + 1)²

252. J*xn 1 x dx = —

о

253.

00

0

1

(n-i )f

7T

254.

I sin²ç> dqp =

0

2 71

255. J (1 — cos (pf d cp = 6

256.

’⁴ dx

COS⁴ X

257.

QO

/•

e~ kx dx =

tH Lid

--00

258.

ax dx = —

+⁰⁰

259.

dx

71

— CO

a² -j~ X² a

00

260. J xn e~x dx == n!

261.

00 #

^sin X

dx

Ÿx

=1/

262.

i'

X dx

]/a² — X²

= a (Fig. 21.)

263.

f X dx

y

32

уз X + 4    27

264.

X⁴ dx

]/a² — X² 16

я a⁴

265

•J

Уа³ — X³

dx = *

266.

JY

О

a + X dx

-(и- ).

71

267.

f x2n

J fl

о

ry.

dx = I sin2n cp àcp о

к 3.5.7... (2n — 1) “ T ’ 2.4.6...

268.

x2n+i

]/l - X²

dx

= J'sin²^¹ cp d cp о

2.4.6...

2n

3.5.7... (2n + l)

Junker, Integralrechnung.

VI. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die ebene Geometrie.

§ 18. Rektifikation ebener Kurven, a) Für rechtwinklige Koordinaten.

Die Länge s des Bogens P Q der Kurve y = f (x) (Fig. 4) zu bestimmen.

Die gesuchte Länge ist dargestellt durch das bestimmte Integral

s — Jfl + y'² dx = I yi -ff' (x)² dx b    b

Fig. 4.

269. Beispiel. Die Länge des Kreisbogens zu berechnen.

Es ist die Gleichung des Kreises x² + У² — a² = 0,

woraus folgt

y² = a² — x², y = f (x) = |/a* —x², y' = —

ds = y i -f y'² dx =

a dx

У7—Х

J/a* — x²

г) somit

X а

=.fä*=

о

а.

a arc sin — = а о

a + r r <p a + r

у = (a + r) sin cp — r sin -■

270. Beispiel. Die Länge des Bogens der Epicy-kloide mit den Gleichungen

X = (a + r) cos cp — r cos

cp

zu berechnen.

Vorstehende Gleichungen geben

= — (a + r) |sin (f>

dy = (a + r) I

dx

COS cp — cos

a + r \

r" <PJ d?>,

daher ist

ds² = dx² + dy '

= 2,(a + r)²|l

— COS

a?i

f}d*'

= 4 (a + r)² sin²

a cp

dy>!

ds = 2(a + r)sin-^dy,

= 2 (a + r) I*

0

** .«Q

r (a + r) 11 — e°s    I = y (a + r) sin²    .

Der Winkel

hängt mit dem Wälzungswinkel des rollenden Kreises durch die Gleichung zusammen

r

a m = r y. Wird nun y — 2 я, also cp — 2 n —, so erhält

а

Anwendung der Integralrechnung, man hieraus als Länge einer Epicykloide

¹

+ e-x)

⁸ = a (a + r)-

Ist der Kadius des rollenden Kreises n-mal so gross als der feste Kreis a = nr, so schliesst sich die Kurve;

und

n -j⁻ 1

man erhält als Länge eines Zweiges s = 8 r---------- somit als ganze Länge der Kurve

8 = ns = 8r(n + l).

Für den Fall n — 1 geht die Kurve in eine Kardioide über, deren Länge nach Beispiel 271 S = 16 r ist.

b) Für Polarkoordinaten.

Die Länge des Bogens AB der Kurve r = f (<p) (Fig. 5) zu berechnen.

Man erhält als Länge des Bogens AB

cp.

■B

Fig. 5.

271. Beispiel. Die Länge des Bogens der Kardioide (Fig. 6) r = 2 a (1 + cos cp) zu berechnen.

Es ist

r' = — 2 a sin cp,

ds = 2 а У 2 (1 + cos cp) d <p — 4 a cos ~ d cp

Fig. 6.

Für (p — n ergiebt sich hieraus als halber Umfang der Kardioide

to¹ GÜ

iÖ

га

и.

га

COS

<P

-$л-ч

о о

,P₂ dg> —8 a, sin

= 8 a; somit ist S — 16 a.

§ 19. Uebungsbeispiele.

272. Die Länge des Parahelbogens (Fig. 7) zu berechnen,

f (x y) = Xs — 2 P у = О, у' =

тН

J Ур’ + х² dx

jr

Fig. 7.

s=₂Xpfp²+^ +

P 1 ( X + V P² •+- X² (

2¹ i

273. Die Länge der Evolute der Ellipse (Fig. 8)

zu berechnen, wo

a² — bł

Äl =    und b, =

9i

a²- b²

gesetzt ist.

⁺y

l+x

Setzt man x = ax cos³ cp, so folgt y = bt sin³ (p und

ai

V » i (V sin² <P + b/ cos² <pf — \\

D1

274. Den Bogen der Neilschen Parabel f = ау²-х³ = 0

zu berechnen.

te! W>

275. Die Länge der Kurve г — 2 a (cos (p + sin cp) zu berechnen.

r' = 2a (cos cp — sin <jp), ]/ r² + r/2 = 2 a V 2

2 а У 2 à cp = 2 a ]/ 2 . cp

Danzer Umfang S2 n — 4 л a ]/2.

Die Kurve ist ein Kreis vom Radius r = 2 a ÿ 2 •

276. Zu beweisen, dass die Kreisevolvente mit den Gleichungen

4P

x = a (cos cp -f- cp sin ç>), y = a (sin 4P — (jp cos qp), die Länge besitzt

277. Die Länge der Hypocykloide mit den Glei

chungen

x = (a — r) cos cp -j- r cos

4P

y = (a — r) sin cp — rsin -~—

zu berechnen. Man erhält

' sin² , 4 r

8 r (a — r)

woraus für <p = —als Länge einer Hypocykloide folgt a

8 г (a — r)

278. Den Bogen der archimedischen Spirale r = ay zu rektifizieren.

1+<p*+

T-H cn

l(y + fl + -Pa)]

§ 20. Quadratur ebener Kurven.

a) Für Parallelkoordinaten.

Den Flächeninhalt U zu bestimmen (Fig. 9), der von der x-Axe, der Kurve y f (x) und den Ordinaten der Punkte A und В begrenzt ist.

Zwei Parallelen zur y-Axe, in der Entfernung X und X + dx gezogen, schneiden aus der Fläche einen elementaren Streifen heraus, der näherungsweise gleich d U = у dx = f (x) dx

JL

CLxT

Fig. 9.

ist. Der gesuchte Inhalt ist daher angegeben durch das bestimmte Integral

Da man nur das obere Zeichen zu nehmen braucht, ist

x₂    x₂

— X² dx

IT= Jy dx = ff(x) dx. b    b

279. Beispiel. Den Flächeninhalt der Ellipse von X — Xj bis X = x₂ zu berechnen.

Die Gleichung der Ellipse ist

X²

a²

+ т1

b²

— 1=0,

woraus folgt

У = ± Y У а⁸ —

=Дах==т/,/аТ

X1

a²

so : и

J 2 У a" — x' + у arc sin

ab    x x2

— arc sin —

У* и"

X1

= 2    У 2 — х> У,)+ ₂ i

Marc sin*²

— arc sin

280. Beispiel. Den Inhalt der gleichseitigen Hyperbel x у = a² zwischen den Geraden xx = a und x₂ = x zu berechnen. (Fig. 10.)

Man erhält

=J*у dx = а² I — = a² |l x — 1 a|

Setzt man а = 1,

man

= 1 und x₂ = x, so erhält = 1 x

jx

Fig. 10.

281. Beispiel. Den Flächeninhalt der Cykloide zu berechnen.

Die Kurve ist dargestellt durch die Gleichungen X = a (<jp — sin qp), y = a (1 — cos cp).

Es ist daher dx = a (1 — cos cp) dqp, also

TJ<p =jy dx = a² j(l — cos<jp)² à cp oder 6

U cp = g {З cp — sin cp (4 — cos

Der Inhalt eines Cykloidenabschnitts ergiebt sich

hieraus für cp = 2 n JJ27l — 3 n a².

»

c) Für Probekoordinaten.

Den Flächeninhalt des Sektors О AB (Fig. 11) zu

►Б

х:

IT

ГУ

bestimmen, der von den Radi en vektor en O A und О В und dem Bogen А В der Kurve r = f (cp) begrenzt ist. Der gesuchte Inhalt ist, da

d U = r d<p .

U = ~ jr² dV

r²

— -g- dg) ist, angegeben durch а

= - - I f² 0) df

282. Beispiel. Den Inhalt der Fusspunktskurve der Ellipse (Fig. 12) r² = a² cos² cp + b² sin² cp zu berechnen.

Man erhält

2 71    2 71    2 Jl

= ~-J* r² dç> =    J*cos² cp d ₍p + ~J*sin²(p d cp

и    о    о

s»

= y (a² + b²).

+x

Fig. 12.

d) Für schiefwinklige Koordinaten ist der Flächeninhalt (Fig. 13), der von der x-Axe,

der Kurve y = f (x) und den Ordinaten der Punkte A und В begrenzt ist, angegeben durch

rA

Т7

Fig. 13.

U = sin у {у dx = sin у Jf (х) dx,

wo у den Winkel der Koordinatenaxen bezeichnet.

zu

283. Beispiel. Den Flächeninhalt der Ellipse bestimmen, wenn von derselben zwei konjugierte Durchmesser von den Längen 2 \ und 2 bekannt sind, die miteinander den Winkel у machen.

Bezogen auf diese Durchmesser als Koordinatenaxen, erhält die Ellipse die Gleichung

X²

ai

y²    __________________

+ jpj — 1 = 0 oder у = + - У² — x².

Lp⁻

Daher ist

ai

a,

^ = siny у dx ⁼⁼ ^ sin у JVax 2 Ü    ¹ и

— x² dx

somit ist

= -J- siny a₁ bj, U = n sin y ax b .

§ 21. Uebungsbeispiele.

284. Allgemeine parabolische Kurven yn = pxm.

L Г ra    n

= pn xn dx = —Г X у J    m+ n ³

285. Die Kurve

f (x у) = X² y² + a² y² — b² x² = 0

zu quadrieren.

a).

_ к C xdx _

- bJ yiF+v -

0

2 (fa* + x² —

286. Quadratur der Kurve (Fig. 14) y² = x³ — x² von x = 1 bis x = x.

^Fx-l(x+l) (x 2).

♦У

0-

+x

(Г

Fig. 14.

Fig. 15.

287. Den Inhalt der Kurve (Fig. 15) а (у² — x²) + x³ = О

zu berechnen.

— X dx =

⁴ a².

15

288. Quadratur der Kurve (Fig. 16)

f (x y) = y² (a² — X²) — a² x² = 0

* ax dx

Va² — x²

= a²

I/O

Di

Fig. 17.

Fig. 16.

289.    f = У² (а² - X²) - а⁴ = 0 (Fig. 17),

’’-■JV'

о

290.    Quadratur der Cissoide y² (2 a — x) — x³ = 0

X x dx = 3 a² arc tg |/

3 a -f- x у—

—    1 2 a x —

Für x = 2 a folgt hieraus als halber Inhalt der Fläche zwischen Kurve und Asymptote

^    - ™ a², somit ist U

А    А

-И

ü

— x²

2a —

= a² arc sin

la n 0 |o⁼Ta-

2a-x

291. Der Flächeninhalt der Asteroide

f = x3 4" У³ — a"s = 0

ist angegeben durch

a².

U-T”

292. Den Inhalt des gemeinschaftlichen Flächenstücks der beiden Parabeln y² — 2 p x, x² = 2 p y zu bestimmen.

=J*jÿ2px

' ÇL,

dx =

293. Archimedische Spirale, r = a cp

ÜÇ)

-i

о

r²d cp =

294. Logarithmische Spirale r = a ek 9

a²

r² — a²

ßX

295. Quadratur der Kurve r == 2 a cos cp sin² (p. (Fig. 15 a.) Inhalt einer Schleife ist

p j<N

a²

16 ’

somit ergiebt sich als Inhalt der ganzen Kurve

296. Die Fläche der Kreisevolvente r = a/l-|-<jp2 zu bestimmen.

a²

TJ =

<P

6 *

297. Die Fläche der Parabel y² — 2 p x = 0 durch eine Parallele zur y-Axe im Verhältnis m : n zu teilen. Die Abscisse x der teilenden Parallelen berechnet

sich aus

/ y dx : J y dx = 0    x

m : n oder aus

womit sich ergiebt

3/3    3\

XY : ^ aF — x aj =

m : n,

оэ| CO

- (-ÏT-) »•

\m + n/

298. Den Quadranten der Lemniscate r² = a² cos 2 cp durch einen Radiusvektor r, (p zu halbieren.

Man erhält als Bedingungsgleichung zur Berechnung von (p

71

cp

J cos 2 cp d (p = J ⁴ cos 2 q> d cp, о    ф

woraus sich ergiebt

sin 2 ф = 1 — sin 2 cp oder 2 sin 2 cp = 1,

о _ П    я _ a i/o

² <P — “0"» ⁽p— 12’ r — 2 Г A

womit eine einfache Konstruktion angezeigt ist.

Soll die Fläche durch einen Radiusvektor im Ver

hältnis m : n geteilt werden, so berechnet sich das zugehörige Azimut cp aus

n sin 2 (f = m (1 — sin 2 q>)

sin 2 cp —

m + n’ womit r den Wert erhält

cp —

m

arc sin-----г ,

m + n

(2 m n + n²) 4.

г“*кУ‘

VII. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie des Raums.

g 22. Kubatur begrenzter Räume,

a) Von beliebigen Flächen.

Schneidet eine Ebene parallel zur y z-Ebene aus «der Fläche (Fig. 18), deren Gleichung F(xyz) = 0 sei,

OC'CL

æb

XX

Ua

B\IJX

Fig. 18.

Junker, Integralrechnung.

eine Scheibe vom Inhalt TJX = f (x) aus, so ist der Rauminhalt des ganzen Körpers zwischen den Ebenen x == a und x = b dargestellt durch

V = j Ux dx = J f (x) dx.

299. Beispiel. Den Rauminhalt des dreiaxigen Ellipsoids von der Gleichung

, y²

+ b²

x²

F (xyZ) =

z²

c²

— 1 =-0

zu berechnen.

Eine Ebene, parallel zur yz-Ebene in der Entfernung x gelegt, schneidet dasselbe nach einer Ellipse mit den Halbaxen

p__g

]/a² — x*, — ]/a² — x2 a    a

und dem Inhalt

(a² — x²).

Ux =

⁷⁷ a²

Der Inhalt des ganzen Ellipsoids ist somit angegeben durch

dx =

—- л a b c, о

woraus sich für c — b = a als Inhalt einer Kugel vom Radius a ergiebt

a³.

v = |»

b) Von Umdrehungsflächen.

Eine Kurve y = f (x) (Eig. 19) beschreibt bei der

Drehung um die x-Axe einen Rotationskörper, dessen Inhalt angegeben ist durch

я J y² dx = *J'{f (x)}² dx.

b    b

l/A

л>а

XI/

JC

Fig. 19.

300. Beispiel. Die Parabel y² = 2px erzeugt bei der Drehung um die x-Axe, bzw. y-Axe einen Umdrehungskörper vom Inhalt

Ух =

Vy

n Jy² dx = n j 2 p x dx ~ о    о

ày=£

rcpx², bzw.

20

X²y.

c) Von cylindrischen Räumen.

Der Rauminhalt, der von den beiden Cylinder-flächen (Pig. 20)

у = f (x), Z = <p (x),

der xy-Ebene, zx-Ebene und den beiden Parallelebenen x = a und x = b begrenzt wird, ist angegeben durch

Y = j y z dx = Jf (x) cp (x) dx. b    b

7/

_ x=b\

/D

X-CL

Fig. 20.

301. Beispiel. Den Rauminhalt zu bestimmen, der von der Cylinderfläche x? + z² — a‘² = 0, der x y-und y z-Ebene und von der Ebene x + y — a = 0 begrenzt wird. (Fig. 21.)

Fig. 21.

Es ist y = f (x) = a — X, z = cp (x) = ]/ а² — x

somit ist

=J*(a — x) V' a*

О

— x² dx

⁼ (ï~ з)а3 = 0’452а3-

§ 23. Uebungsbeispiele.

302. Den Inhalt des Kreiskegels von der Gleichung F (x y z) = y² + z² — px² = 0 zu berechnen.

Es ist Ux = n p x², also

У = n j*p x² dx = - pa³, о

303. Den Inhalt des elliptischen Kegels, dessen У² z² x²

Gleichung F = ^ "b c*—    — 0 ist, zu bestimmen.

b с X²

==: Л ~..... о

а    а

be X³

bx ex

Ux = ^    .

Ух =J*IJX dx = п о

Für x

Ya =

a folgt hieraus л

a b с.

304. Der Inhalt des Paraboloids zwischen den Ebenen x = 0 und x = a ist

=JV dx

0

- f*

0

bex _ ---------dx =

to Я

abc.

305. Den Inhalt des Körpers zu bestimmen, der von der Fläche F = xy² +cz²-a²x = 0 und den Ebenen x = 0 und x = x begrenzt wird.

Ux ist eine Ellipse von den Halbaxen a und a

daher ist

9

Für x = a folgt V а = Q rc a³.

ó

zur

Vx

x dx =

l"a2x|v-

306. Ein Kreis bewegt sich stets parallel у z-Ebene mit seinem Mittelpunkt auf der Ellipse

V²    V²

a^+F~1=0 und berührt beständig die x-Axe. Welches ist der Rauminhalt des erzeugten Körpers?

b²

⁼/я

Ux = n z² = n (a² — x²)

n b² a, Y = л b² a. о

z² dx =

307. Tritt an Stelle der Ellipse in der letzten Auf-2 2 2

gäbe die Asteroide x » + z з — а з~ = 0, so ist

= Л Z⁸ =

I 2_    2\3

n \ аз — хзj und ist

dx =

16

- а³ =

Ti а³.

308. Eine Gerade (Fig. 22) bewegt sich parallel zur у z-Ebene und schneidet beständig die beiden Ellipsen

x² z²

— 1=0 und ^ + p- — 1 = 0

in der xy- bzw. zx-Ebene. Gesucht ist der Rauminhalt des erzeugten Körpers.

x²

a²

+ У2

^ b²

lz

' ,/i \ /: \ /l\

; ! \ / ; ' ! ! '

X.

■ipft/h'y--!

I/

Fig. 22.

309. Ein sich ähnlich bleibendes Rechteck (z : у = Л) bewegt sich parallel zur yz-Ebene mit einer Ecke A auf der x-Axe, einer anderen Ecke D auf dem Kreis x²+ y² — a² = 0 in der xy-Ebene. Gesucht ist der Rauminhalt des erzeugten cylindrischen Raumes.

~b a

=у z dx = A j*(a² — X²) dx = — А а³.

— a

zu berechnen, c + li

310. Een Inhalt der Kugelzone von der Höhe h Ux = я (а² - X²)

— c (c + h) .

У²

= g ba*C(a*-n V=[UX dx =

05 l—i

a b c.

=    (a² — X²) dx = n h j a'²--g

Für c = 0 und h = a folgt hieraus als Inhalt der Halbkugel vom Radius a

05 bO

311. Dreht sich die Ellipse

X²

a*

f“

— 1 = 0 um

die x-Axe, bzw. y-Axe, so beschreibt sie einen Rotationskörper vom Inhalt

4    4

^ Tr a b², bzw. У = ÿ л a² b.

312. Den Rauminhalt zu berechnen, den die Schleife der Kurve 9 a y² — x (x — 3 a)² = 0 bei der Drehung um die x-Axe beschreibt.

=fj

и

x (x — 3 a)² dx =

n a³.

313. Welchen Rauminhalt beschreibt die Kurve x² y² + a² y² — b² x² = 0 bei der Drehung um die x-Axe ?

У = яЬ²

Ja4^?~*b2(x

0

— a arc tg

И ! св

314. Den Rauminhalt des Körpers zu bestimmen, der von den beiden Cylinderflächen z² = 2 p x, x² = 2 p y, der x y- und z x-Ebene und der Ebene x — x begrenzt ist.

/• x² r........-, ■

Рн

315. Den gemeinschaftlichen Raum der beiden Cylinderflächen (Fig. 23)

zu berechnen.

dx

16

128

105

а3’ V = ÎÔ5 а3-

о.Ч-?-

Fig. 23.

316. Welchen Rauminhalt schneidet die Ebene X + z — а = 0 von der Cylinderfläche 2 2 2 X 3 + y3 — а 3 = 0 ab ?

а — x) dx

= (*yzdx=J(al-xl)l( о    0

3 71

32    105 / aS*

317. Die Durchdringung der Flächen 2p(z-c) + x² = 0 und у a — b x = О (Teil eines Klostergewölbes) zu bestimmen.

X²

GO

¹ k— U c — —

Für x = ]/ 2 p c ergiebt sich als Inhalt des ganzen

Raumes

V =    — pc².

2 a r

318. Den Inhalt des kreisförmigen Klostergewölbes zu bestimmen.

Derselbe bildet den Raum, der von den Koordinaten-

ebenen, dem Cylinder x² + z² — а² — 0 und der Ebene b x — а у = 0 begrenzt ist.

⁼Я&-Я*

о    и

fa⁵⁴ — x² dx

a² b

§ 24. Oberflächenbereclmung der Körper,

a) Oberfläche von Rotationskörpern. Die Oberfläche zu berechnen, welche eine Kurve y = f (x) bei der Drehung um eine der Axen erzeugt.

Irgend ein Punkt P (x y) der Kurve y = f (x) (Fig. 24) beschreibt bei der Drehung um die x-Axe

xb

ij

,.j#

JC: CL

T\

JC

às

Fig. 24.

einen Kreis vom Radius y = f (x), dessen Umfang 2 ci y = 2 я f (x).

Der Bogen P P' = ds beschreibt hiebei eine reifförmige Fläche vom Oberflächeninhalt

d О = 2 тс y ds = 2 n f (x) ds

und der Kurvenbogen B A einen Umdrehungskörper, dessen Oberfläche ist:

dx.

О = 2 nJ^y ds = 2 n Jf (x) ]/1 -f- y'2 b    b

Bei der Drehung um die y-Axe wird ein Rotationskörper erzeugt vom Oberflächeninhalt y = d

X ds

y = c    c

319. Beispiel. Die Oberfläche des Ellipsoids zu berechnen, das hei der Drehung der Ellipse um eine ihrer Axen entsteht.

Bei der Drehung um die x-Axe ist, wenn a² — b² = e²

gesetzt wird:

= 2*Jxj/l + (!)V

X² , y²

a«': Ir

0 = 2.

2 b 7C

a²

a⁴ — e² X² dx

2 b n \

=---------<

X l' a⁴ — e² X* +

г* (N

C3 I ©

arc sin

exp a² jo

oder

a² b . e

0 = 2 n h 4- n-----arc sm —.

e    a

Bei der Drehung um die y-Axe entsteht ein Ellipsoid vom Oberflächeninhalt

л 2 a я

0 = 2. -bi -

JV b⁴ + e² f dy 0

b⁴

lb

oder

V" j У fF+ e - y² +    Г(е²у + e fb⁴ + еЩ

ab² ₁ a + e

0 = 2 n a² + Ti

e

Für b = a wird e = 0 und geht die Oberfläche beidemal in diejenige einer Kugel vom Radius a über.

b) Oberfläche von Cylinderflächen.

Stirn- und Scheitelfläche des Durchdringungskörpers (Fig. 25) der beiden Cylinderflächen

У = f (x)>

y (*)

zu berechnen.

J)

0,

wQ

Fig. 25.

Durchschneiden sich beide Flächen nach der Raumkurve PQ und ist T ein Punkt derselben mit den Koordinaten x yz, so ist das Element der Stirnfläche P A B Q angegeben durch

d O x у = T R . ds

dx

und das der Scheitelfläche PCDQ durch

=y]/¹⁺(S)²

d O z x = T S . ds₁

dx.

Hieraus ergiebt sich als Gesamtoberfläche :

sy-/Z!'1 + (dx) dx

Stirnfläche P A B Q = О

b

Scheitelfläche PCDQ = О

zx = Jyl/¹ + (^)⁸

b

dx

= J f (x) У1 -h Ç>'² (x) dx.

320. Beispiel. Es sollen Stirn- und Scheitelfläche der Durchdringung der beiden Cylinderflächen

y = f (x) = ]/ a x — x², z = cp (x) = 2 i a x berechnet werden. (Fig. 25 a.)

2/

tf

je

'ta.o)

Fig. 25 a.

Es ist

dy

a — 2 x dx“2Fax-x²

2 У a x — x²

dz

somit Stirnfläche

Oxy — a]/aj^ о

dx

У а X — X²

= 2 а²,

Scheitelfläche

О «=JV

о

ах — X²

оЗ И

=JY?

О

— X² dx

с) Ist an Stelle der einen Cylinderfläche, z. В. z = cp (x), eine allgemeinere Fläche z = F (x y) gegeben, welche die Cylinderfläche nach der Kurve PQ durch-schneiden möge, so lässt sich nur die Oberfläche dieses Cylinders, nicht aber diejenige der Fläche F (x y) in der obigen Weise berechnen. Man findet

O = J z ds =J F (x у) У1 -f ï/îâ (x) dx oder

О = JF (x, f) У 1 -j- f'² (x) dx. ъ

321. Beispiel. Die Oberfläche der Cylinderfläche у = У а² — x² zwischen den Koordinatenebenen und der Kugelfläche

z = F (x у) = 1 a² ka — x² — y²

zu berechnen. Es ist

dy

dx

= —F(x,f) = У а² к² — а² = а У к³ — 1,

somit

Uebungsbeispiele.

79

=/

|/k²— 1

}/l4

a*

a²—X²

dx

Si

= a*/F=ïf dx

I a²— X-

= a² l^k⁸— 1 arc sin

= -^а²Ука-1.

0 2

§ 25. Uebungsbeispiele.

a) Rotationsflächen.

322. Die Mantelfläche eines Kegels zu berechnen, den die Gerade

bei der Drehung um die x-Axe beschreibt. Es ist

daher

b(a-x), dy = —

-Q ' c3

dx, ds =

▼H I CÔ

У a² -f- ba dx,

0 = 2 n J*у ds = 2 n a2 У a² + b² J*(a о

— x) dx

= яЬ| a² + b².

323. Die Oberfläche einer Kugelzone von der Höhe h zu berechnen.

Es ist

У = У а⁸ — x², y' =

b-f h

ds =

]/ а² — x²

dx

0 = 2 л j*y ds = 2 я а j*dx = b    b

2 л h.

324. Die Umdrehungsfläche der Parabel y² = 2px zu berechnen.

a) Drehung um die x-Axe:

0* = 2*ypJ7p'+ 2 0

X dx =

-у-Ур{(р + 2х)1-р*}

h) Drehung um die y-Axe:

Oy

y

= y JWpM-y² äy

ü

fr(p² + 2y²) lp' + y² -    У-⁺ f +Г.

325. Die Oberfläche des Körpers zu berechnen, welchen die Cykloide bei der Drehung um ihre Axe erzeugt.

x = a (y — sin y), y = a (1 — cos y)

27V

0 = 2 n a² J(1 — о

2 71

= 8 71 a² J sin³ ~ d cp = о ^

326. Die Rotationsoberfläche der Asteroide zu be-

cos

y) У 2 (1 — cosy) dy

я а².

rechnen.

х'з -f у з — аз = 0,

dx == — п а*;

somit ist

12

. 4 n a².

81

Uebungsbeispiele.

327. Kotationsoberfläche der Sinuslinie y = sin x

Ux

= 2 я/у ds о

Es ist y' = cosx, ds = j/l + cos^x dx, somit

— 2л <cos x

Ein Abschnitt der Sinuslinie beschreibt somit bei der Drehung die Oberfläche

Urc = 4яг)/2 — rcl(3 — 2jfê).

328. Die Oberfläche des Wulstes zu berechnen, der bei der Drehung des Kreises x²-f-y³— 2ay = 0 oder r = 2 a sin cp um die x-Axe entsteht.

Es ist ds — 2 a d cp, somit

О = 2 л J r sin (p . 2 a d cp = 4 я² а².

329. Fläche, erzeugt durch Drehung der Schleife der Lemniscate um die x-Axe.

Es ist

r² = 4 a² cos cp sin somit r' = а

cos² cp — sin ² cp )cos (p sin cp

und

ds =

womit sich ergiebt

^cos cp sin qp’

— 2 л J* у ds — 4 л a² J о    0

B.⁴t*

= 4тг а².

Junker, Integralrechnung.

330. Den Flächeninhalt zu berechnen, den die Lem-niscate r² = 2 a² cos 2 cp bei der Drehung um die x-Axe, bzw. y-Axe beschreibt.

Man findet ds =

a ]/2

fcos 2 cp

, somit

Ux

— 2 л y ds = 2 л |*r sin cp ds = и    и

4 a²

Die ganze Oberfläche, die von beiden Schleifen beschrieben wird, ist daher angegeben durch

Ux = 8a²

(->)

Ebenso ist

Uy г i — 2л \ X ds

и

— 2 n J г cos cp ds = 2 л a² j/2,

Uy = 4 я: a² j/27

331. Fläche, erzeugt durch Drehung der Cardioide r = 2 a (1 + cosçp) um die Polaraxe.

Es ist

ds — 4 a cos — d ç>, y = r sin cp = 2 a (1 + cos <p) sin <jp somit

7Г

32

0 = 2^Jyds= 0

b) Oberfläche von Cylinderflächen.

332. Stirn- und Scheitelfläche der Durchdringung der beiden Kreiscylinder (Fig. 26)

Uebungsbeispiele. y — ^a² — X², z = Уа² — X²

za berechnen.

Ozx = 0Xy =J z ]/l + y" dx = а².

0\--

~ä

ч+—

■ /et

JC

Fig. 26.

333. Die Oberfläche der Durchdringung der beiden Flächen 2p (z — e) + x² = 0 und a ÿ — bx = 0 zu berechnen.

^-]/(a² + b²)2pc a

b    ³

--(p² + 2pc)T.

Stirnfläche Oxy =

Зар

Scheitelfläche Ozy =

334. Desgl. für die Flächen

x²+ z² — a² = 0, a y — b X — О (kreisförmiges Klostergewölbe).

Stirnfläche 0Ху

К+ь*

■у-'

о

— X² dx = ^ а |/а²    Ь²

335. Die Oberfläche der Durchdringung der beiden Flächen (Fig. 27)

X² + y² — a² — О- x² + (z — a)* — a² = 0 zu berechnen.

Stirnfläche 0Xy

Scheitelfläche 0

zx — ( yyï + z'* dx =J* 0 0

b dx

|/a²—X²

ab.

- a/(|aW

0

Scheitelfläche O z x = a ( dx = a².

Fig. 27.

336. Desgleichen für z = }V²— x², у = ]4ix— x2 (Fig. 27 a).

Stirnfläche 0

xy

-JV

ü

tO P

a±Xdx

a²

= 2^-

a² j/2 — 1

4 1/2 + 1

Scheitelfläche 0Zx

-JVif

0

dx

a² V2 — 1

= а21/2+Т¹Г2+1

JC

85

Uebungsbeispiele.

'i

-i_____

/ f

<У

Fig. 27 а

337. Die Oberfläche des gemeinschaftlichen Raumes der beiden Cylinderflächen zu berechnen.

Man erhält als ganze Oberfläche

О = 8 ОXу = 8 J z ÿL -j- y'* dx

= 8 as

JVH

O

2    2 \ 3

аз _ хф dx

oder

0 = 8.

338. Stirn- und Scheitelfläche der Durchdringung der beiden Cylinderflächen (Pig. 28)

; cs

zY-f xlf — аз = 0, y = b —

zu berechnen. Man findet

io

Fig. 28.

c) Besondere cylindriscbe Oberflächen.

339.    Die Oberfläche des Kreiscylinders

у = У2 а X — X²

zu berechnen, der unten durch die x y-Ebene und oben durch die Kugelfläche z = ]/4a² — x² — у² begrenzt ist

O-JzjA + g-J 0

Оху

Уа*+ПЬ*

2    2 \ 3

в _ xTjr dx = ^ a ]/a²+ b²

3 яр

wj-

P : er

J(b — xj X 3 dx = -~r ab. о

10

(* dx

<k = 2a|/2aj^? = 4a\

0

340.    Das Stück der Cylinderfläche y=}/2ax— x2 zu berechnen, welches von der x y-Ebene und der parabolischen Fläche x² + y² — 2 a z = 0 begrenzt ist.

О I®*

x dx

|/2 a x — x²

— n a², 0 = 2 n a².

341. Berechne ebenso die Stirnfläche des Cylinders y = |/2ax — x², der oben durch die Kegelfläche x'² + y

z²

a²

begrenzt ist.

О = c ]/ 2 a j

Ü

dx

J'2 а — x

4 a c.

342. Die Stirnfläche des Cylinders

2 2 xï + уз

2

— aï = О

zu berechnen, der oben von der Kugelfläche x² + y² + z² — a² = ü und unten von der xy-Ebene begrenzt ist

fl = уз аз I |/аТ _ x3 dx = 3 fd ^ a*>

CO

УЗ п а².

§ 26. Rektifikation der Raumkurven.

Eine Kaumkurve (Fig. 29) kann als Schnittkurve zweier Flächen F (x y z) = О, Ф (x y z) = 0 oder als Schnitt zweier Cylinderflächen y = f (x), z = cp (x) betrachtet werden. In letzterem Fall ist

dx =f'W' dx =    (x>

und ist das Linienelement der Kaumkurve angegeben durch

ds

dx.

Hieraus ergiebt sich als Länge des Kurvenbogens zwischen den Punkten P und Q mit den Abscissen x₀ und X

= /У l + y'² + z,1! dx.

Xo

7.

oy

X₀

/lJ

Fig. 29.

Werden die Koordinaten eines Punkts der Raum-kurve in Funktion eines Parameters t ausgedrückt * = <P{t), y = ÿ(t), z = #(t),

so ist

X = cp (t)

- JlV² + V-'² -+- Ï* dt.

Х₀ = Ф(Уо)

343. Beispiel. Die Länge der Schraubenlinie

X = a cos t, y = a sin t, z

zu bestimmen. Es ist

somit

dx

dt = —äsmt, dt

dy _

dz

a cos t, -3-¹ dt

in- dt = 7 > h²+4*a².t.

Uebiingsbeispiele.

89

§ 27. Uebungsbeispiele.

344. Die Länge der Schnittkurve der beiden Cylinder-fiächen 2 x³ — 3 a² y = 0, x² — az = 0 zu berechnen. 2 X²

y' — —z' = —?

J a²    a

ds

=]/.4

4xj , 4 x⁴ , — dx a

⁼⁼J(¹⁺ï)dx=x

= (i+~-)<k

= X + y.

2 x³

За²

345. Die Schnittlinie der beiden Cylinder fläch en 16 y² — 9 a x = 0, 9 z⁴ — 16 a x³ = О zu rektifizieren. Man findet

ds = i+ ³ j/

, 3    , 9    ,

= X + — yax + —- alx.

64 x

, also

346. Wird die archimedische Spirale als Cylinder-fläche angesehen, so schneidet dieselbe den Kegel x² + y² — z* = 0

nach einer konischen Spirale, welche die Gleichungen erhält

x = a cp cos qp, у = a sin <p, z — a cp.

Ihre Länge wird für cp = 0 bis cp —cp

(p ~h Уу* 4~ 2

FT

J^|/y + 2 + al

347. Die parabolische Schraubenlinie ist die Schnittlinie der beiden Flächen

x² -f- y² — 2 a z = 0, z = 2 a arc tg

und kann durch die Gleichungen dargestellt werden X = 2 a ]/ cp cos cp, y = 2 a ]/ cp sin cp, z = 2 а Ф. Ihre Länge wird

1 rz

= l/2az + 4j/f^ =

348. Die Länge der konischen Spirale X = a efeCp cos y = a ekcP sin z = aek^

zu finden.

Man erhält ds = а екФ ]/1 + 2 к² à cp und

cp

-1).

1/ 1 +2k- j*ek? dç> = 4»' 1 + 2-k²"(e^

Ô

349. Die Schnittlinie der beiden Flächen c z = j/2 (x² — y²), z (x — y) = 2 (x² + y²) zu rektifizieren. Man erhält für den Bogen vom Ursprung bis zum Punkt P (x y z) die Länge s = 3 x — 3y + z.

VIII. Abschnitt.

Schwerpunktsbestimmuligen.

§ 28. Schwerpunkt von ebenen Kurvenbögen, a) Für rechtwinklige Koordinaten.

Die Schwerpunktskoordinaten | rj des Kurvenbogens AB (Fig. 30) bestimmen sich aus

f I ds = ( x ds, rj ( ds = ( y ds b    b    b    b

wo

/ds die Länge des Bogens AB bedeutet.

f:

Fig. 30

350. Beispiel. Den Schwerpunkt des Vierfcels-kreisbogens zu bestimmen.

Die Gleichung des Kreises sei x²-f-y² — a² — 0t

dann ist

yiCT-J ds =

0

tNl I 3

a und

J*x ds = J y ds = aj^

ü    о    о

X dx

V a² — X²

= a²,

somit ergiebt sich

§ = *1 = a² :

te a

to

b) Für Polarkoordinaten.

Wenn die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten gegeben ist r = f (<jp), so gelten für f, 17 die Ausdrücke (Fig. 31)

ą-.....?s

\«*

Fig. 31.

I r cos cp ds : J ds, y = fr sin cp ds : j ds,

wo a und ß die Azimuts der Radienvektoren O A und О В bedeuten.

351. Beispiel. Den Schwerpunkt eines Kreisbogens zu bestimmen, dessen Gleichung r = a ist.

Man erhält ds = a dgp, somit i = J a² cos cp dqp:Jadqp, ^ = fa² sinqp d <p : (ad (p oder

sin a — sin ß

cos ce — cos ß

| = a

71

Hieraus ergeben sich für ß — 0, a = — als Schwerpunktskoordinaten des Viertelskreisbogens

71

§ 29. Uebungsbcispiele.

352. Den Schwerpunkt des Asteroidenbogens zu

bestimmen. Die Gleichung der Kurve ist

2    2 Ä

X 3 —|— y 3 — аз = о.

Man setze x = a cos³ cp, rj = a sin³ cp, dann folgt für cp — 0 bis cp = cp

а (1 — cos⁵ cp),

a sin⁵ cp.

=J\d,:Jd,_

Für

5P

л

— 0 bis cp = - — folgt hieraus 2

ź =    ₅ а.

353. Den Schwerpunkt des Bogens der Cykloide X = a (cp — sin <jp), у = а (1 — cos cp) für cp — 0 bis cp — cp zu bestimmen.

Man findet

»in-£- ¹ sin1 ,p-,p 2    3    2    2

cos

<P

— — cos

¹ ~ ⁰⁰⁹ 2

* _Asin3 *

2    3    2

¹ - cos ₂

Für cp = 2 л ergeben sich hieraus als Koordinaten des Schwerpunkts eines Cykloidenzweigs

! = л а, у — —

354. Den Schwerpunkt des Bogens der Kurve 9 a y² — X (x — 3 а)² = 0 zwischen x = 0 und x = x zu bestimmen.

_ x (3 x -j- 5 a) 5 (x -f~ 3 a)

1 -i / x x² — 3 a x — 9 a2 = 1Га'

Für x

x + 3 а

4    а _

— За folgt | = -g- a, rj — — ^ УЗ.

355. Den Schwerpunkt des Bogens r A der Kurve (Kreis) r — 2 a cos cp für cp — 0 bis cp = cp zu bestimmen. (Fig. 32.) Es ist

. So

— ergeben sich hieraus als Schwerpunkts-

z

Für

koordinaten des Halbkreisbogens

(p —

! = a, ч = —

Fig. 32.

356. Kettenlinie. Den Schwerpunkt des Bogens von X = 0 bis X = X zu bestimmen.

/ 2x

4x-)-a[ea

X ; ad

CD

8>' *

CD

X ; св

CD

357. Den Schwerpunkt des Bogens der Kurve y² = 2 a X — X² von X = 0 bis x = x zu bestimmen.

У 2 а X — X²

— arc sin

n

----arc sin

Für x = 2a folgt hieraus, wie in 355 2 a

¹ - a’ 4 - V

§ 30. Schwerpunkt von ebenen Flächengebilden,

a) Den Schwerpunkt des Flächenstücks P AB Q (Fig. 33) zu bestimmen.

Das Moment des schraffierten elementaren Flächenstreifens in Bezug auf die y-Axe, resp. x-Axe ist

y dx . X resp. y dx . y, a

daher ist, wenn U = J* y dx den Inhalt der Fläche

b

P AB Q und t] die Koordinaten des Schwerpunkts bezeichnen

I TJ = I X y dx,

woraus folgt

У dx : IT, n

f dx : TJ.

y

чЛ

CL

Fig. 38.

358. Beispiel. Den Schwerpunkt des Kreisquadranten zu bestimmen. (Fig. 34.)

Für die Kreisgleichung x² + y² — a² = 0 erhält man

у = к-i?;

-Jydx=

-а2 4 a’

daher ist

еб *

io

ec

о-.

a³

3 /о

4a

'дп'

к

W/z/A///////,

Fig. 34.

b) Den Schwerpunkt des Flächenstücks (Fig. 35) zu bestimmen, das von zwei Ordinaten und den Kurven у = f (x) und у = cp (x) begrenzt wird.

je

Fig. 35.

Man erhält für die Koordinaten | und rj des gesuchten Schwerpunkts die Ausdrücke

Mx

- TT ’

My

U = J{f (x) — q> (x)} dx

wo

b

den Flächeninhalt und

Mx =Jx{f (x) — q> (x)| dx, bzw.

b

а

=

b

My

to! i—l

— <P² (*)} dx

die Momente des Flächenstücks P AB Q in Bezug auf die x-Axe, resp. y-Axe darstellen.

2p x und x² = 2pу zu bestimmen.

359. Beispiel. Den Schwerpunkt des gemeinschaftlichen Flächenstücks der beiden Parabeln (Fig. 36) 2 _

Man setze

y = p X = f (x) und у =

x²

dann ist

2p=5P(x)>

2p

=J|)'2p x О

-llä"

СО

p² und

X= [*x^]/2px о

x²

2p

ZD |ю

.3

2p

My

X⁴

4p

rj dx =

P³,

somit ergiebt sich

Mx My 6

^р3;тр

io p-

Junker, Integralrechnung.

O zp bv'ïnP

Fig. 36.

360. Beispiel. Den Schwerpunkt des (kleineren) Kreissegments (Fig. 37) zu bestimmen, welches durch die Gerade x + y — a =₍ 0 von dem Kreis X² + ya — а* = 0

abgeschnitten wird. Man erhält

a*

a³

— (^ — 2), Mx = My = —, daher ist 2 a

n = 3 (?T — 2)

I Vs

Fig. 37.

с) Für Polarkoordinaten. Den Schwerpunkt eines Flächensektors (Fig. 38) zu bestimmen, der von der Kurve r = f (cp) und zwei Badienvektoren bestimmt ist. Die Entfernung p des Schwerpunkts des Sektors

AOB von der Polaraxe (Big. 38) ist angegeben durch

r²dy

P = JГг³ sin y dy : JJ

Das Azimut ^ des Vektors nach dem Schwerpunkt wird durch die Bedingung bestimmt, dass die beiden Sektoren А О C und СОВ gleich sein müssen :

Jr⁹ à<p =/r² à(p

Der zugehörige Radiusvektor erhält die Länge

₌ P ^ sin ^

pf

JO

Fig. 38.

361. Beispiel. Den Schwerpunkt eines Kreissektors zu bestimmen.

Die Gleichung des Kreises ist r = a, somit ist

p = ~J a³ siny dy : JJ 0 0

a⁸ d

<P

— ₀ cos (p :

ьо'-з

\<P

oder

3 71

§ 31. Uebungsbeispiele.

362. Den Schwerpunkt der Parabelfläche vom Ursprung bis zur Ordinate des Punkts P (xy) zu bestimmen.

l=Tx’ r/ = ¥ y-

363. Den Schwerpunkt der Fläche der allgemeinen parabolischen Kurve yn = axm zu bestimmen.

m+n

1    m + n

2    п + 2тУ'

364. Den Schwerpunkt des Halbkreises zu er

mitteln.

365. Den Schwerpunkt der Fläche der Cykloide mit den Gleichungen x = a (cp — sin qp), у = а (1 — cos ç>) zu bestimmen.

a.

2 sin²

to| Й

4a

. a 3a

Sm2

— sin

3a

to &

a

sin-

Für a folgt hieraus wie oben No. 358 als Schwerpunktsordinate eines Kreisquadranten

4a

ce CO

(1 — cos a) :

^(1-cosa)

i = »a, n =

366. Den Schwerpunkt des Asteroidenquadranten zu bestimmen. Gleichung der Asteroide:

222 X3 -j- y3    a»' = 0.

256 a 3l5 n

367. Den Schwerpunkt des Ellipsenquadranten zu berechnen.

Es ergeben sich als Koordinaten des Schwerpunkts

4b

4a

3 ’

368. Den Schwerpunkt der halben Schleife der Curve ay⁹ = ax¹ 2 — x³ zu berechnen.

7~a’ ^ ⁼ Wa-

369. Den Schwerpunkt der Fläche der Neil’schen Parabel ay² — x³ zu bestimmen.

(Гг p

2 (4 л — 3 |'3j’    ⁴

to; p

iß

ШЖ

371. Den Schwerpunkt der halben gemeinschaftlichen Fläche der Parabel x² = 2py und des Kreises X² — y⁸ — 8 p² = 0 zu bestimmen.

Man erhält

2p

dx

2Pj

JK'

0

—p *_\ dx _ _X _ 2p/dx_

².p

* =J j* l'5p²

0

16 ('2 —14 8 -........3—P’

2p

My

- JV

0

Т-i I

— X²

x‘\

4 p²|

88

dx = —— p³.

Io

somit ist

Mx

16 /2 — 14

2 “f“ 3 n

p> n =

My

88 p

372. Den Schwerpunkt der Fläche (Fig. 40) zu be-bestiminen, die von den Parallelen x = a und x = 0 sowie den Parabeln x² — 2 p (y — b) — 0 und x² — 2 p у — 0 begrenzt ist. — Man findet a² b

U == ab, Mx womit sich ergiebt

My

a³b

ab²

6p

fcO! P

71 =

a² + 3 b p

6p

373. Den Schwerpunkt des Flächenstücks (Fig. 41)

X³ y²

zu bestimmen, das von der Ellipse    ^ — 1=0,

dem Kreis x² -f- y² — a² = 0 und der Ordinatenaxe begrenzt ist. — Man findet

U = ^a(a-b), Mx =

somit ist

«I

(a — b), My — a

(a² — b²)

irr*

CO

4 (a + b) 3 л

Fig. 41.

374.    Den Schwerpunkt der Fläche der archimedischen Spirale r = a (p zu bestimmen.

Man findet

2 а (

p = —3- [ — (p³ cos cp + 3 (p² sin (p + 6 cp cos cp — 6 sin cp) <P l

Für das Azimut des Schwerpunkts erhält man

375.    Den Schwerpunkt der Fläche r = a cosç> sin y zu bestimmen.

Man erhält

64 a 105 л '

376. Den Schwerpunkt der Fläche r² = a² sin y zu bestimmen.

p 3 a.

377. Den Schwerpunkt der halben Fläche der Car-dioide r = 2 a (1 + cos <p) zu bestimmen.

Man erhält

32 a

§ 32. Schwerpunkt von räumlichen Gebilden.

Die Guldinischen Regeln.

a) Schwerpunkt eines beliebigen Körpers.

Schneidet eine in der Entfernung x senkrecht zur x-Axe gelegte Ebene von dem Körper, dessen Oberfläche durch die Gleichung F (x y z) = 0 oder z = f (x y) dargestellt ist, eine scheibenförmige Figur vom Inhalt TJ aus, so berechnet sich die Schwerpunktsabscisse | desjenigen Teils des Körpers, der zwischen den Ebenen x = a und x = b liegt, aus

f J U dx = Jx U dx,

woraus folgt

I = fxUdx : J U dx

b    b

378. Beispiel. Den Schwerpunkt einer Zone des Ellipsoids

Xa V² z²

P(xyz)= a2-+ bi+v-l

zwischen den Ebenen x und x + h zu berechnen.

Eine Ebene, senkrecht zur x-Axe, in der Entfernung X gelegt, schneidet aus dem Körper eine Ellipse von

X²

den Halbaxen h j/l---*₂, c j/

aus, welche dem-

X²

nach den Inhalt II = я b c ^1 — hat. Es ist daher

die Abscisse des Schwerpunkts der Zone angegeben durch

x-j-h

dx,

wofür man erhält

CO

(2x + h)

2x² + 2hx + h²-2a²

3 Xй -f- 3 h X -f~ h² — 3 a²

Für x = О und h = a ergiebt sich hieraus als Schwerpunktsabscisse des halben Ellipsoids

ś 8 a'

b) Schwerpunkt von Rotationskörpern.

Wird die ebene Kurve y = f(x) um die x-Axe gedreht, so beschreibt sie einen TJmdrehungskörper, für welchen U = ягу² — л f² (x) ist und dessen Schwerpunkt demnach vom Ursprung die Entfernung hat

£=Jx f² (x) dx =/ f² (x) dx ь    b

379. Beispiel. Die Parabel y² = 2px erzeugt bei der Drehung um die x-Axe einen Rotationskörper, dessen Schwerpunktsabscisse J ist

XX    XX

§ =} x ya dx : ( y² dx oder | = J x² dx : x dx,

woraus folgt

c) Erste Gruldiniscłie Regel.

Der Rauminhalt У eines Rotationskörpers, der durch Drehung einer Eigur — Meridian figur (Fig. 42) — um eine in ihrer Ebene liegende Axe erzeugt wird, ist gleich dem Flächeninhalt II dieser Figur multipliziert mit dem Weg 2 я 17, den ihr Schwerpunkt S bei der Drehung beschreibt.

У = 2 * n .U.

:⁷/

Fig. 42.

Dieser Satz heisst die erste Guldinische Regel und gilt für jede beliebige Figur, welche Umgrenzung dieselbe auch haben möge.

Wenn У und U bekannt sind, lässt sich hieraus auch die Ordinate rj des Schwerpunkts der Meridianfigur berechnen

2 л U

380. Beispiel. Den Rauminhalt zu bestimmen, den ein gleichseitiges Dreieck von der Seite a bei der Drehung um eine Seite beschreibt.

a²

Flächeninhalt des Dreiecks U = УЗ,

Schwerpunktsordinate ц =

cö

somit ist

08 CT:

V = 2ti7j.TJ = 2^

381. Beispiel. Den Schwerpunkt der Kalbkreisfläche zu bestimmen.

n a³. Die

Wird dieselbe um den Durchmesser gedreht, so erzeugt sie eine Kugel vom Inhalt V =

Fläche des Halbkreises selbst ist U =

a², daher

ist, wenn 77 die zu suchende Schwerpunktsordinate ist

2 n r\

71    4

• 2 a2 = T*ä3>

4a

woraus folgt

d) Schwerpunkt von Umdreliungsflächen.

Das Bogenelement d3 der Kurve y = f (x) erzeugt bei der Drehung um die x-Axe eine reifförmige Fläche vom Inhalt 2 л у ds, dessen Moment in Bezug auf eine durch den Ursprung senkrecht zur x-Axe gelegte Ebene ist x . 2 n у ds. Ist daher f die Schwerpunktsabscisse der Rotationsfläche zwischen den Ebenen x = a und x = b, so ist I j y ds = ( x у ds, woraus folgt

ъ    b

СЯГТ

J*xy ds: j у ds. ÎI    b

382. Beispiel. Den Schwerpunkt der Kegeloberfläche zu bestimmen, die erzeugt wird, indem sich x    У

die Gerade---f- t⁻ — 1=0 um die x-Axe dreht.

a    b

Es ist

dx,

-, ds =

j/a² + b²

somit

— x) dx

Jy ds = ~ I a² + P J*(a о    0

ax

— x²) dx

l'x y ds =

0

yp+p J(

ü

Уа² + b² а

somit ist

3 a*

383. Beispiel. Den Schwerpunkt der Halbkugelfläche zu bestimmen, die bei der Drehung eines Viertelskreises um einen Halbmesser erzeugt wird.

Man findet

J*y ds = 0

a²,

j*x у ds = 2 0

, somit ist i = -

e) Zweite Guldinische Kegel.

Eine geschlossene oder offene ebene Kurve (Fig. 43) (oder irgend eine Figur) beschreibt bei der Drehung

um eine ausserhalb ihres Umfangs liegende Axe einen Flächeninhalt 0, der gleich dem Produkt aus der Länge S dieser Kurve mal dem Weg 2 nr\ ihres Umfangschwerpunkts ist 0 = 2 n rj S.

Fig. 43.

Dieser Satz kann auch dazu dienen, den Umfangsschwerpunkt einer Kurve zu bestimmen, wenn ihre Länge S und die Oberfläche 0 bekannt ist, welche sie bei der Drehung um eine Gerade erzeugt.

384. Beispiel. Die Oberfläche zu berechnen, welche ein gleichseitiges Dreieck von der Seite a bei der Drehung um eine Seite beschreibt.

ih=-

0 = 2 л y . S = л УЗ а².

S = 3 a, ri —

Уз = 4-УЗ,

385. Beispiel. Den Schwerpunkt des Halbkreisbogens zu berechnen.

Der Halbkreis erzeugt bei der Drehung um den Durchmesser eine Kugelfläche vom Inhalt 0 = 4^a²; da ferner S = n a ist, so folgt

2 a

4 л; a² = 2 л rj . n a, rj =    ,

wie sich auch weiter oben schon ergeben hat.

§ 33. Uebungsbeispiele.

a) Schwerpunkt von beliebigen Körpern.

386. Den Schwerpunkt des Paraboloids

z²

с²

ll

b²

von X = 0 bis X = X zu bestimmen.

Ein Schnitt parallel zur yz-Ebene ist eine Ellipse

]/+ ++ ’ somit ist

von den Halbaxen b

Ux — 2 я

be X

/*

[I dx = 71

bcx²

X U dx = 2 п ------

л 2

X³ dx = —

X³ und

—J*X U dx :    dx = х.

boloids

387. Den Schwerpunkt des einmantligen Hyper

X²

a²

СГ*

tC ! to

z²

c²

zu bestimmen.

Udx = *+(3a²x-x³)

_яЪc Ux~ a²

(x² — as), Y

x U dx

■^+(2asx² —x⁴), $

Зх 2 а² — x²

4 За³ — x²*

г а.

Für x = a folgt hieraus

388. Die Schwerpunktsabscisse des gemeinschaftlichen Raumes der beiden Cylinderflächen y = ya² — X², z = }V — X2 zwischen x = 0 und x = a, sowie y = 0 und у = а zu bestimmen.

Ux = y z = a² — x², Y =

a³,

x Ux dx

-jv

0

a⁴

— X³) dx =

2    ₃    3

: Y a Y a-

b) Schwerpunkt von Umdrehungskörpern. Erste Guldinische Regel.

389. Schwerpunkt der Halbkugel, erzeugt durch Drehung eines Kreisquadranten um einen Halbmesser

Ux = я (а* — x²), у=уя x U x dx = -g- a⁴, I = -jj- a.

a'\

390. Den Schwerpunkt des Rotationskörpers der

Hyperbel

x²

zu bestimmen.

a) Bei der Drehung um die x-Axe:

n b²

b²

Ux=* — (x²-a²), V

cl

3 a²

(x³ — 3 a² x),

x U dx = —

я b²

4

(x⁴    2 a² x*), j = -

3 x³ — 2 a⁸ x

x*-3ar'

b) Bei der Drehung um die y-Axe ist Uy = я    (y¹' + b*), V = y ^ (y³ + 3 b» y),

J*y U dy = -y y- (y⁴ + 2 b* ys),

woraus folgt

3 y³ + 2bsy n~ 4 y⁸ + 3b² *

391. Den Schwerpunkt des Körpers zu bestimmen, den die Schleife der Kurve a (y² — x²) + x³ = 0 bei der Drehung um die x-Axe beschreibt.

§    ₅ a.

392.    Welchen Kauminhalt (Wulst) beschreibt ein Kreis vom Kadius a bei der Drehung um eine Gerade, welche vom Mittelpunkt desselben die Entfernung p hat?

y = 2 n p . n a² = 2 я² p a².

393.    Den Kauminhalt zu bestimmen, den das gemeinschaftliche Elächenstück der beiden Parabeln y² = 2 p x und x² = 2 p y bei der Drehung um eine

der Axen beschreibt.    12    „

Y = y ЯР³.

394. Den Kauminhalt des Körpers zu berechnen, den das gemeinschaftliche Flächenstück der beiden Kurven

X²

y²

4- -- — 1 -I" bi

x² + y² —a² = 0,

bei der Drehung um die Axen beschreibt, a) Bei der Drehung um die x-Axe ist:

a²

V = y яа(а* —b*).

b) Bei der Drehung um die y-Axe ist: у = Аяа²(а— Ъ).

О

Für b = 0 folgt hieraus beidesmal :

a³

'r-T"

als Inhalt einer Kugel vom Radius a. Für b = a dagegen ist У = 0.

395. Den Rauminhalt zu bestimmen, den das Segment des Kreises r = 2 a cos cp, welches durch den Vektor zum Azimut a abgeschnitten wird, bei der Drehung um die Polaraxe beschreibt.

Man erhält

4 71

V = -g- cos³ а . а³.

Für а = 0 folgt hieraus als Inhalt der Kugel

Y-4

зг*

a³.

396. Den Rauminhalt zu berechnen, den das schraffierte Flächenstück in Fig. 41 No. 373 bei der Drehung um die x-Axe beschreibt.

V = я а (а² - b²).

Für a = b folgt hieraus У = 0 und für b = 0

тяа3

(Halbkugel), wie es sein soll.

397. Den Schwerpunkt des Ellipsenquadranten zu bestimmen.

Junker, Integralrechnung.

2

a⁵ 6 b.

Bei der Drehung um die y-Axe ist Yt = ..

²    П2

зяаЪ-

Da U = “- a b ist, so folgt nach der ersten Grul-dinischen Begel

„    „ x-Axe „ V₂ =

Vt=2^|U, V, = 2*₄U,

woraus sich ergiebt

4b

l= 3^"’ ⁴

398. Den Bauminhalt zu berechnen, den eine Cykloide bei der Drehung um die Bahnlinie beschreibt.

2 TT

к a³ J (1 — cos cp)* d<p = 5 л⁶ а³, о

a, so giebt auch die

3 71

05! СЛ

Da U = 3 n a⁶ und ^ = Gruldinische Begel denselben Wert

Y = 2 7i.

c) Schwerpunkt von Umdrehungsflächen. Zweite Gruldinische Begel.

399. Den Schwerpunkt der Kugelzone zu berechnen. (Big. 44.)

*2

0. £ = Tr J X у ds = 2 Tr (а X dx = ^ a (x2⁶ — xt ⁶).

XI

Da О = 2 n а (x₂ — xj ist, so folgt

I = -g- (a, + x) und für die Halbkugelfläche f =

cs CM

Fig. 44.

400. Den Schwerpunkt der Oberfläche des Rota-tionsparaboloids zu bestimmen.

,    1 (p + 2x)2 (6x’ + p x — p*) + PT

» “ *    3    3

(p + 2x)2_pT

401. Die Oberfläche zu berechnen, die eine Cykloide

bei der Drehung um die Bahnlinie beschreibt.

5    л 80

а . 8 а = — л а² = о    о

20

0 = 2^1?.S = 2rc.

. 4    а³.

о

402. Die Oberfläche zu berechnen, die das gemeinschaftliche Flächenstück der beiden Kreise

x2 + ya — a² = 0, (x — a)² -j- (y — a)² — a² = 0 bei der Drehung um eine der Axen beschreibt

а

0 = 2^^S = 2^. -g- ла = ж“,а!,

403. Den Schwerpunkt des halben Asteroidenbogens zu bestimmen.

У —

~ n a² = 2 5

a.

Es ist

3a

somit

404. Den Schwerpunkt des Bogens der Cykloide zu berechnen.

64

n a², S = 8 a,

4

0 = 2tt^.S, rj = — a.

IX. Abschnitt.

Anwendung von Doppelintegralen zur Berechnung von Flächen- und Raumgebilden.

§ 34. Quadratur und Kubatur mit Doppelintegralen.

a) Den ebenen Flächeninhalt (Fig. 45) zu berechnen, der von der Kurve у — f (x) und den beiden Koordinaten-axen begrenzt wird.

dx

cc

Fig. 45.

Zieht man in der Entfernung x und x + dx zwei Parallelen zur y-Axe, so wird hiedurch aus der zu berechnenden Fläche ein Streifen ausgeschnitten, der als eine Summe von Hechteckchen von der Breite dx und der Höhe dy angesehen und demgemäss durch das Integral

y

d U =J dy dx о

dargestellt werden kann, in welchem dx als konstant zu betrachten ist und у aus der Gleichung у = f (x) der begrenzenden Kurve in Funktion von x ausgedrückt werden kann. Will man alle derartige elementare Streifen von x — 0 bis x = a summieren, so kann dies durch Integration von d U nach x geschehen. Auf diese Weise erhält man das bestimmte Doppelintegral a y = f(x)

U = / { / dy} dx, 0 0

durch welches der gesuchte Flächeninhalt angegeben ist.

405. Beispiel. Den Kreisquadranten zu be

rechnen.

y = l/aa-xa a

cö »

У a² — X² dx = — a².

Zusatz. Hiebei ist zu bemerken, dass man ebenso gut auch zuerst nach x integrieren und hernach durch Integration nach y alle horizontalen Flächenstreifen summieren kann.

b) Den ebenen Flächeninhalt (Fig. 46) zu berechnen, der von der Kurve r = f (ç>) und den Vektoren der Azimuts cp = 0 und cp = a begrenzt ist.

Fig. 46.

Werden zu den Azimuts cp und cp-\-àcp die zugehörigen Vektoren gezogen und um den Pol О zwei Kreise von den Radien r und r + d r beschrieben, so begrenzen diese vier Linien ein elementares FJächen-stück, das näherungsweise gleich einem Rechteck von der Breite r à cp und der Höhe dr und dem Inhalt r öcp dr gesetzt werden kann. Die Summe aller derartigen elementaren Flächenstücke zwischen der Kurve und den Vektoren der Azimuts <p = 0 und cp —a ist angegeben durch das Doppelintegral a r = f(<?)

U = f {jr dr} Acp, 0 0

das nach Ausführung der Integration nach dr direkt in das bekannte einfache Integral

übergeht.

c) Den Rauminhalt (Fig. 47) zu bestimmen, der von der Cylinderfläche y = cp (x), den Koordinatenebenen und der Fläche z = f (x y) begrenzt ist.

Legt man in der Entfernung x und x + dx zwei Ebenen senkrecht zur x-Axe, so schneidet die erste derselben den zn berechnenden Körper nach der Fläche CDEF vom Inhalt

\Z

Z-ffXl/L

F/ I

x-a

"y-b c

Fiff 47.

У = Ф(х) У = Ф(Х)

CDEF = fz dy =Jf (xy) dy

und beide zusammen aus dem Körper eine Scheibe aus, welche näherungsweise den Inhalt

У = Ф(х)

Udx={ff(xy) dy} dx

(j

hat. Die Summe aller derartigen elementaren Scheiben zwischen den Ebenen x = 0 bis x = a ist alsdann angegeben durch das Doppelintegral x = a у = Ф (x)

V=.f { Jf (x У) dy } dx, 0 0

womit der gesuchte Rauminhalt ermittelt ist.

406. Beispiel. Zur Berechnung eines Oktanten des dreiaxigen Ellipsoids

x² у² z²

1F + W-¹-⁰

setze man

z = f(xy) = c]/l — *,-y

Die Fläche schneidet aus der xy-Ebene eine Ellipse aus, deren Gleichung ist

X²

y = <P (x) = b j/l

Der gesuchte Rauminhalt des Oktanten ist daher

У = Ф(х)

⁼^JVb*(i-S-y2 dy}dx-

0 ü

Für das innere Integral, in welchem x als konstant anzusehen ist, ergiebt sich der Ausdruck

JY"’!¹

X²

a²

<M

arc sin

ЬГ

x²’

1 — -Г

а²

71

der nach Einführung der Grenzen übergeht in 4 W¹ ~ a²)’ daher ist

Das Gesamtvolumen des Ellipsoids ist also

¹

= 7 X> , = l6y-

²

370. Den Schwerpunkt der halben gemeinschaft

³

lichen Fläche O A P (Fig. 39) der beiden Kreise

⁴

y = f (x) = ^a² — x² und y = cp (x) = а — |/a² — x² zu bestimmen.

⁵

" 2 (x* X2^’

⁶

Für die Kugelhauhe x₂ = a und xt = x folgt hieraus

4

-5- я а Ъ с. о

d) Den Rauminhalt (Fig. 48) zu berechnen, der von der Cylinderfläche r — f (<jp), der xy-Ebene und von der Fläche z = F (r, <p) begrenzt wird.

Der gesuchte Rauminhalt ist ausgedrückt durch das Doppelintegral

2 л r = f(?)

V = J { ] F (r, <p) r dr } dqp. о о

z F(r/f)

О.

jr ⁼a

i 9/

Fig. 48.

407. Beispiel. Den Rauminhalt zu bestimmen, der von der Cylinderfläche r = a, der x y-Ebene und der Fläche des Paraboloids 2pz = x‘-f yä begrenzt wird.

r²

Setzt man x = r cos cp₎ y = r sin <p, so folgt z = — .

A p

Der gesuchte Inhalt ist daher angegeben durch 2 7i r = а

=Jlfêr4rK-

0 0

§ 35. Oberilächenberechnung mit Doppelintegralen.

a) Um die Oberfläche desjenigen Teils der Fläche (Fig. 49) z = f (x y) zu berechnen, welches senkrecht über der Kurve y = <p (x) oder х = гр (у) in der x y-Ebene liegt, zerlege man die letztere durch Ebenen parallel

(LU

4?:

°>

dx*y

X'CL

Fig. 49.

oder d TJ

zur yz- und zx-Ebene in unendlich kleine Rechtecke dx dy. Das senkrecht über einem solchen Rechteck liegende Element d U der Fläche z = f (x y) kann ohne Fehler als eben und in der Tangentialebene liegend angesehen werden. Ist alsdann у der Neigungswinkel desselben gegen die x y-Ebene, so ist dx dy = d TJ cos у dx dy cos у ‘

Da nun у auch der Winkel ist, den die Flächennormale mit der xy*Ebene macht, so folgt

dU = dx dy УI -(- p² + q²,

wo p — “Z und q — ist, woraus sich U in Form des ¹ dx    o\

Oberflächenberechnung mit Doppelintegralen. Doppelintegrals ergiebt

a y = cp (x)    _

U = /{jfVl + p²-f* q² dy} dx oder

о о

b х = Щу)___

и = J { /1/1 + Pr+ 'i* <|х } 'ly-

О О

408. Beispiel. Die Oberfläche der Kugel zu berechnen x² -J“ y² 4" z² — a² = 0.

Schreibt man die Gleichung der Kugel in der Form

z = f (x y) — } a² — x* — y², so folgt

dz

P = 0X⁼⁼

У а² — x² — у²*

Da ferner y = y (x) = У a² — x² ist, so ergiebt sich für die Oberfläche des Kugeloktanten der Ausdruck

a yaa-x⁸

dy

GO

dx.

-Л/

0 0

Das innere Integral ist

JW

dy

-x*-y* womit U übergeht in

=TaJ dx = îa2>

somit ist U — 4 n a².

b) Eine zur z-Axe parallel laufende Cylinderfläche habe in Polarkoordinaten die Gleichung r = f (cp) und werde nach oben durch die Fläche z — F (r, cp) begrenzt,

Den Flächeninhalt der oberen Begrenzungsfläche zu bestimmen.

dU =

Bezeichnet d U den Inhalt des senkrecht über dem schraffierten Element r à cp dr der xy-Ebene liegenden Elements der Fläche z = F (r, <p), so ist wie in a) r dr dcp cos y

Die Oberfläche TJ selbst ist somit ausgedrückt durch

r dr|

cosy J

2 7t f(?)

-я/

о 0

à cp,

₂ ist.

wo cos y =

Vl + p’ + q

409. Beispiel. Die Oberfläche der Kugel X² + y² + z² — а² — 0

zu berechnen.

Führt man Polarkoordinaten ein

X = r cos cp, y = r sin cp,

so ist

z = F (r; cp) = У a² — r², r — f (cp) = a und

dz

r cos cp /а²—r²' ^ д у

r sin ф

:т=Г=1 und

У a² — r²

cos у =

]/l + p² + q²

== — >/ aa — r².

Daher ist 2 л а

HU

о и

ar dr I

2 7Г

У a² — r²/

d^ = |*a²d(jp = 27i:a² und

U = 4 * а².

§ 36. Uebungsbeispiele.

410. Inhalt und Schnittfläche des Körpers zu berechnen, der von der x y-Ebene, der Kugelfläche

x² + y²

z²

ca 0

und der Cylinderfläche y² — a x + x² = 0 begrenst wird. Werden Polarkoordinaten eingeführt, so folgt

a²

z = E (г,ф) = ~ j/x² + y² = r = f (qp) = a cos ф, а    а

то a cos ф

. г dф

I d ф = с a² cos³ ф d ф = и

(N ; со

с а²,

з саЛ

Ferner ergiebt sich

dz

dz

p ⁼ 0ï = tcos’’ ч ⁼

cos у =

УЦ-р' + Я* I a" + с"’

somit ist

HIT

о о

то асовф

|аа+ с²

г dr j d ф = ^ а Уа² + с²,

гг =

Yа № +с“-

411. Inhalt und obere Begrenzungsfläche des cylin-drischen Raumes zu berechnen, der von der x y-Ebene, der Cylinderfläche r = b und von dem Paraboloid az = x² y² begrenzt ist.

Für b = a folgt hieraus

а³? U = |a²|/5.

412. Den Kauminhalt zu berechnen, der durch die beiden Cylinderflächen

X² — ax + y² = 0 und X² + ах + у² = 0 aus der Kugel x²+y² + z² — a² = 0 ausgeschnitten wird. Gemeinschaftlicher Kauminhalt der drei Flächen

v,=-t

Kest des .Kugelinhalts

z²

413. Kauminhalt und Scheitelfläche des Körpers zu berechnen, der von der x у-Ebene, der Cylinder-fläche x² + y² — а² = 0 und der Kegelfläche x²+ y¹

a²

-яг

о о

d ср =

:/{jVrdrW⁼

о о

« l<M

b⁴

г dr

u+p’+q’J

-а|/а² + 4Ь².

c²

begrenzt wird.

2 71

V = ca², U = n a j/c² + a².

414. Dieselbe Aufgabe fläche г — к cp und die Kegelfläche

zu

lösen für die Cylinder-

(x² -f- y²) = —г r* oder z = — r.

a    a

г = кф

⁼J{JarVdr)dtP =

r dr

?i,=

k²

я* — }'ca + a².

415. Ein veränderlicher Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung dreht sich um die z-Axe und schneidet beständig den Kreis x² + y² — 2 ах = 0 in der xy-Ebene. Gesucht ist der Kauminhalt des erzeugten Körpers. Als Gleichung desselben ergiebt sich z² (x² + y²) + (x² + y²)² - 4 a² x² - 0.

Führt man Polarkoordinaten ein, so ergiebt sich als Kauminhalt

16

4 =\ lJl/4aaOOS>

0 ü

— r² . r dr j d ç> = — a³,

64

somit V =

9 a3‘

416. In der xy-Ebene liegt der Kreis r = 2a cos<p. Eine veränderliche Gerade P Q scheidet beständig den Kreis in P und die z-Axe in Q, so dass 0 Q = к О P ist. Gesucht ist der Kauminhalt (und die Oberfläche) des erzeugten Körpers. (Fig. 50.)

1"V + f)

Als Gleichung der Fläche erhält man 2 ax

Fig. 50.

Für X = r cos (pj j — r sin g> ergiebt sich für den gesuchten Rauminhalt der Ausdruck л r = 2acosq>

irka-

-y = kJ* I J*(2 a cos cp — r) r dr I d qp = о 0

somit ist

16

crka-

417. Inhalt und Scheitelfläche des Körpers zu bestimmen, der von der Cylinderfläche x² + y²—а² = 0 und der Ebene

;<<j

begrenzt ist.

■*.h.

Verzeichnis

von neueren Lehr- und Uebungsbüchern der Differential-und Integralrechnung.

Autenheimer, Fr., Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung. 5. Aufl. 1901.

Czub er, E., Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. 2 Bde. Leipzig 1898.

D i e n g e r, J., Die Differential- und Integralrechnung. 3. Aufl.

2    Bde. Stuttgart 1868.

Dölp, G., Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung.

9. Aufl., bearb. von E. Netto. 1901.

Fr icke, R., Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung. 3 Teile. Braunschweig 1897. Genocchi-Peano, Differential- und Integralrechnung.

Deutsch von G. Bohlmann. Leipzig 1899.

Harnack, A., Die Elemente der Differentialrechnung. Zur Einführung in das Studium dargestellt. Leipzig 1881. Kiepert, L., Grundriss der Differential- und Integralrechnung. I. Differentialrechnung. 9. Auflage 1901. TT. Integralrechnung. 7. Aufl. 1900.

Kleyer, A., Lehrbuch der Differentialrechnung. 2. Aufl.,

3    Teile. Stuttgart 1888, 1893 und 1894.

„    „ Lehrbuch der Integralrechnung. 2 Bde. 1889

und 1900. (Bd. TT. herausgeg. von A. Haas.) Lipschitz, R., Lehrbuch der Analysis. I. Grundlagen. 1877. II. Differential- und Integralrechnung. 1880. J u и к e r , Integralrechnung.

Lorentz, H. A., Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Deutsch von C. G. Schmidt. 1900.

Meyer, W. F., Differential- und Integralrechnung. Bd. I Differentialrechnung. Leipzig 1901.

Na vier, L., Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Deutsch von Th. Wittstein. 4. Aufl. 2 Bde. 1875.

„ Lehrbuch der höheren Mechanik. Deutsch von L. Mejer. Suppl, zum Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Hannover 1858.

Nernst, W. und Schönflies, A., Kurzgefasstes Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung mit besonderer Berücksichtigung der Chemie. 3. Aufl. 1901.

Pasch, M., Einleitung in die Differential- und Integralrechnung. Leipzig 1882.

Schlömilch, O., Compendium der höheren Analysis. 5. Aufl. 2 Bde. Braunschweig 1895.

„ Uebungsbuch zum Studium der höheren Analysis. 4. Aufl. 2 Bde. Leipzig 1888.

Serret, J. A., Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Deutsch von A. Harnack. 2. Aufl. Bd. I, II. Leipzig 1897—99.

S о h n с к e, L., Sammlung von Aufgaben aus der Differential-und Integralrechnung. 5. Aufl. 2 Teile. Halle 1885.

Stolz, 0., Grundzüge der Differential- und Integralrechnung. 3 Teile. Leipzig 1893, 1896, 1900.

W e n с к, J., Die Grundlehren der höheren Analysis. Leipzig 1872.

Verlag der G. J. Göschen’schen Verlagshandlung in Leipzig.

Sammlung¹ Schubert,

Sammlung* mathematischer Lehrbücher,

die erstens auf wissenschaftlicher Grundlage beruhen, zweitens den Bedürfnissen des Praktikers Rechnung tragen, und

drittens durch eine leicht fassliche Darstellung des Stoffs auch für den Nichtfachmann verständlich sind.

Verzeichnis der erschienenen und projektierten Bände.

Erschienen sind bis Januar 1902:

Band I: Elementare Arithmetik und Algebra von Prof.

Dr. Hermann Schubert in Hamburg. Mk. 2.80. „ II : Elementare Planimetrie von Prof. W. Pflieger in Münster i. E. Mk. 4.80.

* III: Ebene und sphärische Trigonometrie von Dr.

F. Bohnert in Hamburg. Mk. 2.—. n IV : Elementare Stereometrie von Dr. F. Bohnert in Hamburg. Mk. 2.40.

„ VI : Algebra mit Einschluss d. elementaren Zahlentheorie von Dr. Otto Pund in Altona. Mk. 4.40. „ VII: Ebene Geometrie der Lage von Professor Dr.

Rud. Böger in Hamburg. Mk. 5.—.

„ VIII: Analytische Geometrie der Ebene von Prof.

Dr. Max Simon in Strassburg. Mk. 6.—.

,. IX: Analytische Geometrie des Raumes I. Teil:

Gerade, Ebene, Kugel von Prof. Dr. Max Simon in Strassburg. Mk. 4.—.

г X: Differentialrechnung von Prof. Dr. Franz Meyer in Königsberg. Mk. 9.—.

„ XII: Elemente der darstellenden Geometrie von Dr. John Schröder in Hamburg. Mk. 5.—.

„ XIII : Differentialgleichungen von Prof. Dr. L. Schlesinger in Klausenburg. Mk. 8.—.

„ XIV : Praxis der Gleichungen von Prof. C. Runge in Hannover. Mk. 5.20.

„ XIX: Wahrscheinlichkeits- und Ausgleichungsrechnung von Dr. Norbert Herz in Wien. Mk. 8.—. „ XX: Versicherungsmathematik von Dr. W. Grossmann in Wien. Mk. 5.—.

Band XXV: Analytische Geometrie des Raumes II. Teil :

Die Flächen zweiten Gradesvon Prof. Dr. Max Simon in Strassburg. Mk. 4.40.

„ XL : Mathematische Optik von Dr. J. Classen in Hamburg. Mk. 6 —.

In Vorbereitung bezw. projektiert sind:

Niedere Analysis von Prof. Dr. Herm. Schubert in Hamburg.

Integralrechnung von Prof. Dr. Franz Meyer in Königsberg.

Elemente der Astronomie von Dr. Ernst Hartwig in Bamberg.

Mathematische Geographie von Dr.Ernst Hartwigin Bamberg.

Anwendung der darstellenden Geometrie von Dr. John Schröder in Hamburg.

Geschichte der Mathematik von Prof. Dr. A. v. Braunmühl und Prof. Dr. S. Günther in München.

Dynamik von Prof. Dr. Karl Heun in Berlin.

Technische Mechanik von Prof. Dr. Karl Heun in Berlin.

Geodäsie von Dr. F. В. Messerschmitt in Hamburg.

Allgemeine Funktionentheorie von Dr. Paul Epstein in Strassburg.

Räumliche projektive Geometrie.

Geometrische Transformationen von Dr. Karl Doehlemann in München.

Theorie der höheren algebraischen Kurven.

Allgemeine Theorie der Flächen und Raumkurve I vonj Prof. Dr. Victor Kommerell in Calw u. Dr. Karl Kommerellf in Gmünd.

Elliptische Funktionen von Dr. Paul Epstein in Strassburg.^

Hyperelliptische und Abelsche Funktionen von E. Landfried in Strassburg.

Theorie und Praxis der Reihen von Prof. C. Runge in Hannover.

Invariantentheorie von Dr. Jos. Wellstein in Strassburg.

Liniengeometrie von Prof. Dr. Konrad Zindler in Innsbruck.

Mehrdimensionale Geometerie von Prof. Dr. P. H. Schonte in Groningen.

Allgemeine Theorie der Flächen und Raumkurven II von Prof. Dr. Victor Kommerell in Calw und Dr. Karl Kommerell in Gmünd.

Kinematik von Dr. Karl Heun in Berlin.

Potentialtheorie von Oberlehrer Grimsehl in Hamburg.

Mechanische Wärmelehre von Prof. Dr. W. Voigt in Göttingen.

Theorie der Elektrizität und des Magnetismus I und II von Dr. J. Classen in Hamburg.

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung

Leipzig.

S|    ©rafiicben Setyr* unb Же^ифЗ*

I    anftalt in SBien. 2Kit 3 ЖеЦадеп

⁴    unb 40 Slbbilbungen.

80 Щ.

^mnmCung <t5ófdkn.

in elegantem £etnmanbbanb

69    <£tigli)die £itteraturgefd)id)te b. Dr. star! SBeiier in SBien.

70    <5riedjifd?e £itteraturgefd)id)te mit SBerfidfLdjtigung ber ®efd)id)te ber SBtffenfcbaften boit Dr. SUfreb ©erde, «jßrofeffor on ber Uniberfitat ©reifêmolb.

71    Ungemeine unb pt^fitalifcfye <Zt\evxie bon Dr. SJłag Kubolf i, dogentan berdedjnifd)en$odjfd)ule in darmftabt. «Kit 22 giguren.

72    profettine (Seometrie in fbntlje* tifdjer ЖеЬапМипд bon Dr. Sari doet)lemonn, «ßrioatbogent an ber Uniberfitat «Kunden. «Kit 85 gum dcii gmeifarbigen giguren.

73    Dôlïerïmtbe oon Dr. «Kid). £aber* lanbt, t. u. t. SuftoS ber etbnograbh-©ammluug b. natury, £ofmufeum§ u. «ßribatbogent an ber Unib. SBien. siat 56 Slbbilbungen.

74    Die 3auïunft bes llbenblanbes bon Dr. S. ©Ąafer, SIffiftent am ©emerbemufeum in Жгетеп. «Kit 22 Slbbilbungen.

⁷5    Die grapĄifdKn Kiinfte b. Sari Sambmann, gadjleljrer an b. !. !.

76Ztieovetifdje pl^fil. I. Seil: «Kedjani! u. «ïuftil. Жоп Dr. ©uft. Säger, «ßrofeffor a. b. Unib. SBien. «Kit 19 Slbbilbungen.

77 tEfteoretifàe pfttfK. И. Же«: £idjt unb SBärme. Жоп Dr. ©uft. Säger, «ßrofeffor an ber Uniberfität SBien. «Kit 47 Slbbilbungen.

78üfyeoretifdje pl)tfiï. ill. Же«: ©leftricität unb SKagnetiSmuê. Жоп Dr. ©uftab Sager, «|$rofeffor a. ber Uniberfitat SBien. «Kit 33 Slbbilbgn.

79 (Sotifdje Spradjbentmäler mit ©rammatif, Ueberfe^ung unb ©r* Iauterungen bon Dr. фегт. Sunken in «Жге§1аи.

80Stühin&e bon Sari Otto £art* mann, ©emerbefdjulborftanb in 9Jîoëbad&. «Kit 12 ЖоЦЬЦЬегп unb 179 dejtilluftrationen.

81 DierfteUi$e tafeln unb Федеп* tafeln für Iogaritbmifdjeâ unb tri* gonometrifc^eg Kedjnen in atoei

Farben gufammengeftellt bon Dr. £erm. ©Hubert, «ßrofeffor on ber ©eleljrtenfĄule be§ SoIjanneumS in Hamburg.

82    (Brunbrifêb.IatetnifdKttSprad}* lettre bon «ßrofefjor Dr. SB. SSotjc^ in «Kagbeburg.

83    ^nbifdje 2teligionsgefd?id)te bon Dr. ©bmunb 6arbt), '45rofeffor a. b. Uniberfitat SBürgburg.

84    Utautif. Surger Slbrifi be§ tagtic^ an ЖогЬ bon ^>anbe§?cf)iffen auge* toanbten deil§ ber ©d)iffat)rt§ïunbe. Жоп Dr. grang ©diulae, dircïtor b. Kabigation3=©dmle gu Sübed. 90Ш 56 Slbbilbungen-

85    ^гапзоЩфе <&efd)id)te bon Dr. Si. ©ternfelb, ^roteflor on ber Uni* berfitot Berlin.

86    &ur5fd}rift. Selirbudj ber Жеr* einfachen deutfdjen Stenografie (©tnigung§*©bftem ©tolge* ©cftret)) nebft ©dilüffel, Sefeftüden u. einem Slnbang bon Dr. Slntfel, Oberlehrer beê SabettefaufeS in Oranienftein.

87    Rotiere ilnatyfis 1 : differential* redjnung. Жоп Dr. grbr. Sunfer, SSrofeffor om Kealgtjmnafium u. on ber Kealanftalt in Ulm. «Kit 68 gig.

88    Rotiere HnaltfisII: integral* redjnung. Жоп Dr. grbr. Sunïer, fßrofeffor om Keaïgbmnafium u. an b. Kealanftalt in Ulm. «Kit 89 gig.

89    2lnatytifd)e (Seometrie bes Haumes bon «ISrofeffor Dr. Sft. ©imon in ©trafjburg. «Kit 28 fÇig.

90    (Ztttil bon Dr. Ж^отаЗ SldjeliS in Жгетеп.

91    Hftroybtftî# bie SefdjaffenïjeU ber $immeld!drÿet bon Dr. SBalter g. SBi§Iicenu§, «ßrofeffor an ber Uni* berfitot ©tra&burg. «Kit 11 Slbbilb.

92    fltaf entatifdje (Seograjfie, gu* fammenfjüngenb entmidelt unb mit georbneten denfübungen berfehen b. Dr. Jfurt ©eitler in ©ijarlottenburg. «Kit 14 Figuren.

93Deutfd?es Gebert tnt 12. 3aïjr* Ąunbert. Sulturljiftor. ©rlaute* rungen gum Kibelungenlteb unb gur Subtun. Жоп ißrofeffor Dr. Sul. dieffenbadjer in greiburg i. Ж. «Kit 1 dofel unb 30 Slbbilbungen.

ZDenben !

ЯуоО

^ammfwnß (Bófdfen.

Je tn elegantem £emman5banb

80 Щ.

94    photographie. Son ф. Æefjter, Fadjtebrec an ber ï. !. ©rapbifcben &ebr* unb Serfudjëanftalt in SSien. Mit 4 ©afeln unb 52 Slbbitbungen.

95    Paläontologie. Son Dr. 9iub. £oerne§, ^ßrofeffor an ber Uniberfi* tôt ©rag. Mit 87 Slbbilbungen.

96    SewegungsfpielebonDr.E Jtobl-raufd), ^Srofeffor am Jfgl. ßaifer* SStibeImê-®pmn gu фаппоьег. Mit 14 Stbbitbungen.

97    Stereometrie bon Dr. ©ïafer in Stuttgart. Mit 44 FiQuren

98<5runbrifè ber pf-^djop^fiî bon

I Dr. ©. F- £ipł>3 in Stra|burg. Mit

Y 3 Fluren.

!дд (Ebene unb fpfyärifcfye Œrigono* metrie bon Dr. ©erb- fteffenberg in Ebarlottenburg. Mit 69 ein- u. gmeifarbigen Figuren.

100    Sachfifche <5efchi<hte bon ^ßrof. Dr. Otto ftaemmel, bettor beg tRicolaigbrnnafiumS gu ßeipgig.

101    Sociologie bon fßrof. Dr. ©bout. 8ld)eli8 in Sremen.

I02(5eobâfie bon Dr. E. SReinberfc, Srofeffoc an ber ©ecbnifcben £od)* tetmle £annober. Mit 66 Sibbilb.

108 ZDechfelîunbe bon Dr. ©. Funï in Mannheim. Mit bieten Forntul.

104    (Defterreichifche (Sefcbicbtel :Son ber Urgeit btê 1526 bon $ofrat Dr. Frg. b. ®rone§, SSrofeffot an ber Uniberfitüt ©cag.

105    (Defterreicfy. (Sefchichte II : »Son 1526 bi§ gttr ©egentuart bon $of-rat Dr. FfJ- b Æroneë, ^Srofeffor an ber Uiiiberfität ©rag.

106    ^orftwiffenfehaft bon Dr. Ш>. Scbmappacb, Srofeffor an b. Forft* afabemie Eberêmalbe, Slbteilungê-birigent bei ber £auptftation be3 forftl. Serfucbêtuefenë.

107    (SefchWe ber Alalerel I bon Dr. fRid). Mutber, fßrofeffot an b. Uniberfitât Sreëlau.

108    ©etctjictjte ber Ataleret II bon Dr. tRidj. Mutber, ^rofeffor an b. Uniberfitât Sreëlau.

109    <J5efd}ict?te ber Ша1еге{ П1 bon Dr. SRicb Mutber, ffSrofeffor an b. Uniberfitât Sreêlau.

110    (Sefcfyicbte ber ttlaUvei IV bon Dr. JNldj. Mutber, Srofeffot on b. Uniberfitât Sreëlau.

111    <5efcfyicfyte ber îîîaleret Y bon Dr. fRid). Mutber, ^rofeffor on b. Uniberfitüt Sreëlau.

114    ßlimalefyre bon Srofeffor Dr. SB. Äöppen, Meteorologe b See» hmrte Hamburg. Mit 7 ©afeln u 2 Figuren.

115    ^ucfyfütjrung. Sebrgang ber eim facben unb hoppelten Sudjbattung bon Robert Stern, Oberlehrer ber Oeffentl. ^anbelêlebranftalt unb Soient ber $anbeëbocbfcbuîe gu Seipgig. Mit bieleń Formularen.

116    T>ie plaftil bes Abenblanbes bon Dr. £anë Stegmann, ftonferbator ant ©eman.- Wationalmufeum gu Nürnberg. Mit 23 ©afeln.

117    <Sriecbifd?e (Srammatif 1 : Fot> menlt'bre bon Dr. £an§ Melker, fßrof.a b.ßlofterfcbuLg Mautbronn.

118    <5rted}ifcf}e (Srammatiï 11 : Se* beutungëleljre unb Styntag bon Dr. ®an§ Melker, Srofeffor o. b. ftloftericbule gu Maulbronn.

119Abrifê ber ^urgentunbe b. £of* rat Dr. Otto Siper in München. Mit 29 SIbbitbungen.

120    Harmonielehre bon Щ. $alm, Mufitbireftor in Stuttgart. Mit bieten ÜRotenbetlagen.

121    (Befdjicbte ber alten unb mittel* alterlicfyen AXufiï bon Dr. SL Möbler in Tübingen. Mit gabl» reisten SIbbilbgn. u. Mufübeilagen.

122    Z>as pftangenreid?. Einteilung b. getarnten ^ftangenreic^ë mit ben midjtigften unb befanntetten Strten bon Dr. g. fReinede in Sreëlau u. Dr. SS. Migula, ißrofeffor an ber ©edjnifdben ftocbfdjule Æarlërutje. Mit 50 Figuren.

123    Aut^flangen bon Dr. $. SebrenS in SSeinêberg. Mit 53 SIbb Übungen.

124    X>ie beutfdjen Altertümer bon Dr. Frang Fubfe, ©ireftor b. ftâbt Mufeum« in Sraunfdjraeig. Mit 70 Slbbilbungen.

125    ^talienifdje £itteraturgefct}i<fyte bon Dr. ßarl Sofjler, tßribatbogent о. b. Uniberfitüt £>eibelberg.

^ammfung <Böfc$en.

3e tn elegantem Semmanbbanb

80 ff.

am

126    Deutfche Stamtneslunbe bon Dr. Kubolf ЯЛиф, Snbatbojent an ber Uniberfität SBien. SDiit 2 harten unb 2 tafeln.

127    pflan3enbiologie bon Dr. SB. Ш* gula, Srofeffor an ber Eechnifd&en |»ochfdhule Karlsruhe. fülit 50 8lbb.

128    Romanifche Sprachmiffenfchaft bon Dr. Slbolf Sauner, l. Ł Keal* fchutyrofeffor in SBien.

129    Die Ripen bon Dr. Kob. Sieger, Seibatbojent an ber Uniberjität и. Swfeffor an ber ©jportalabemie beS l. Ï. $anbelSmufeiiraS in SBien. 3JHt 19 Slbbilbungen unb 1 Karte.

180Z)as öffentl. Rnterrtdjtswefen Deutfchlanbs in ber <5egenu>art bon Dr. Sßaul Stöfcner, ©hmnafial* Oberlehrer in Sroicfau.

131    Rbrifc ber Riologie ber IClere I : ©ntftehung unb SBeiterbilbung ber ïiermelt, Sejiehungen &ur orga* nifehen Katur bon Dr. фешг. Sim* roth, S^ofeffor an ber Uniberfität Seidig. SJiit 33 Slbbilbungen.

132    Rbrift ber Riologie ber ttiere II : Schiebungen ber Eiere jur orga* nifdhen Katur bon Dr. $einr. Sim* roth, Srofeffor an ber Uniberfität ßeibhig. SOÎit 35 Slbbilbungen.

133    Dolîstrirtfd}aftslel?re bon Dr. ©arl Soifs. ftuchs, Srofeffor an b. Uniberfität ftreiburg i. S.

134    O eutf d}e £itteraturgefd?id?te b. 19. ^nhthmtberts I. bon Dr. ©arl SBeitbrecht, Stofeffor an ber STedj* nifeben ipochfchule Stuttgart.

135    Deutfche JTitteraturgefchtdhte b. 19. 3ahrhunberts II b. Dr. ©arl SBeitbrecht, SSrofeffor an ber Eedj* ntfehen фоф|фи1е Stuttgart

136    pïn?fiïalif<^c ^ormelfammlung bon ©. aJia^Ier, Sßrof. am ©t)m-nafiutn in Шш. ЭДШ 67 ftig.

137    Dichtungen aus mittelhochbeut* (фег ^rti^eit. $n Sluêmahl mit (Einleitungen u. SBörterbucb hrrauë* gegeben bon Dr. Hermann âtenfcen in Sr её lau.

138    Simplicius Simplłciffimus bon ф. 3aïob ©liftoffei b. ©rimmels* häufen. 3n SluStoabl h*8fl. b. Sro* feffor Dr. %. S3obertag, Soient an ber Uniberfität Sreêlau.

139    Eaufmannifches Rennen I bon Kicharb Sufi, Oberlehrer an ber Öffentlichen ^anbelSlehranftalt ber ®reSbener Kaufinannfdjaft.

141    SRorphologie, Rnatomie unb phyfiologie ber pflan5en. Son Dr. SB. Sttigula, Srofeffor an ber Sechnifdjen £ocbfchule Karlsruhe. ШШ bieleń SIbbilbuugen.

142    Darftellenbe (Geometrie I. Son Dr. Kob. фаи&пег, fßrofeffor a. b. Uniberfität ©ie&en. SRit 100 gfig.

145    <£efchi<hte ber päbagogil bon Oberlehrer Dr. ф. SBeimer in SBieS* baben.

146    Repetitorium unb Aufgaben* fammlung jur Differentialrech* nung bon Dr. griebr. punier, Srofeffor am JRealghmnajium unb an ber Kealanftalt in Ulm. 97iit 42 giguren.

147    Repetitorium unb Rufgaben* fautmlung 3. Integralrechnung bon Dr. griebrtch $unïer, SSrofeffor

Kealghmnafium unb an ber Kealanftalt in Ulm. 9Kit 50 $ig.

148    ^inan3U)iffenfdhaft bon Srof. Dr. K. ban b. Sorght in gfriebenau.

шт

ъжсчт&т*.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

та

1-301299

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298015

шщ