WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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26

щ Analytische

Щ Geometrie der Ebene

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Mit 45 Abbildungen»

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7. £сЩЩ$ profil, fabeln. KbtjanbL üb. Кипра. Hunfhoerfe. Dramaturg. KbbanbL Яфео» 1одЦфе polemit. ptjüofoph. <5е{ргйфе. Kpljortsmen 2. Kufl 8. CefßHgÖ 1ШеГ(ХГ^фе

u. bramaturg. ЗйфапЬЬ 9. £efßngs antiguar. u. epigrammat 2U>ÿanM.

\оа Der ITibelunge Kot 22 bartmann non Kue,

UMfram p. ффепЬаф u. ©ottfr. pon Strasburg. Kus®. а. &. bôfj

(Epos о. prof. Dr. И. Щаго1&. 2. Лир.

ереп    23XPaltt;er».6.Pogdmeibe

mit Kus®. aus Щпше|апд unb бргиф* bi<btung von prof. ф. ©untter. з. Kufi.

2$6eb. 25rant, £ut^er,

Ъаъъ 6афбло91(фаг! m.Si(&tungen be* 16. Jabpfc. non Dr. C. pariser.

25 ШгфепйеЬ u.PolfôUeb.

©eiftl. u. »eULCwit b. |7.u. J$.3ai?rb. bid Älopftotf von Dr. ©. (lüingep.

nnb mittelbocbbeutfcbe ©ranunatif oon prof Dr. ©oltber. 4- oerm. Kufiage.

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3. Derm Kufl

oon К. mobiu#. 8. Kuflage. 30 £ig. Don prof. Dr. Hem. 3. Kuflage.

{{Kffronomie 12pabagogtf ;з ©eologie Ą”.“ иРФФо!од1е unb £ogif.

(Einführung in bie Pbilofopbie oon Dr. £b. dlfenbaiw. 3. Kufiage

*5 Dentine îïtptbologie.

26 р^)^(11фе ©eograpbte

prof. Dr. бхедш. ©untper. mit 32 Kbbilbungen. 2. oerm. Kufl.

Don prof. Dr. #. Hauffmann. 2. Kafli.

i б©шф^фе Hltertumô» . ....    „ ...

funbeZÄH^'¹^“^: 27©пеф#е и. Komifée {7 Kiiffat>=(lutu>ürfe    ulçtçoiogte »suutmis. 2.m-

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D. Healfcbulbir. V^humnn mit ©ейшЬ^- —ШДШУЫ^йМЬ- 6(bauffleP. 2. Kufi.

EÄ "À Biblioteka Politechniki Krakowsk.e, щ

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7ł. Hriegeö. Kusto. о. Prof, ©.©untter. I    an ber Uniuerfttät öreslau. 2. Kufi.

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§erausg. oon ♦ Dr. d. Uaumaun.

ООП Dr. л of. ÄUtn. 2. Kufl.

oon Dr. а. ДЗогтаИ.

oon Prot. Dr. £r. Bommel.

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,,Hritbmetit и. Klgebra" von prof. Dr. В Schubert.

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Dr. ф. £. Jmeset. ши з Caf. г. Kufi.

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mittelaUer oon Dr. Каеде.

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Dr. Ло^. Älfin.

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beit ООП Dr.m.BÖmCd mit 48Kbbilbgn. 2 Kufi

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mtt 6 Ditbern and 1 Karte

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mit 96 Kbbtlbungen. 2. Kufi

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Dr* Ceo Д31оф mit 7 UlllUt DoHbilbern.

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mafte bet Urfrbrift ûberfefct a. erl. o. prof. Dr. B. KllbOf.

47Kritbmetif u. KIgebra

prof. Dr. В Sd?uberl.

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prof. Dr. B. Stooboba.

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Deulfcben oon Dr. Kub. aieinpaul.

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wiffenföaft von prof. Dr. я. Шеппдег.

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Bana Probfl. mit einer Cajel.

mit t<* Ccjtfârtdjen unb Diagrammen unb einer Karte ber Klpeneinteilang. Don Dr. £гапз Beiberûf?, profefor am 5raneisco»3ofepl]inum in möbling b.mie«.

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IPÖrterbud?. Don Dr. £. Detter, Pvtoatboj. a. b Unto. îDien.

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©übb. 331. f. höh- U n t e r r. - s2l n ft. : 9?ad)bem bie jmet erften Auflagen oon Nr. 10 ber ОДфеффеп Sammlung (Nibelungen unb Jhibrun m SluSmahO beifättige Aufnahme unb fehr rafchen ШЩ ge-fmtben haben, finb Herausgeber unb Verleger überemgefommen. biefe Nummer in jmei ВйпЬфеп jn jcrlegen: а) Фсг Nibelunge Nôt *c. b) Śiubrun unb ФйеМфереп. ФаЬигф tft eS möglich gemorben, ben Sert ju oermehren unb ihn, joroie baS Wörterbuch, mit größeren ßettern ju britden ....    -

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empfehlen.

©фгоаН|фет üfterfur: Фег befannte Seuaer Böbagog Bröf-Dr. W. Nein giebt in ber „Bäbagogif im ©runbrifc" eine nicht nur licht« toollc, fonbern gerabeju feffelnbe Śarftetlung ber praftifchen unb ber феоге-tifchen Bäbagogif. Qebermamt, ber fich für (SrjiehungSfragen intereffiert, barf man baS Вйф1еш niarm empfehlen. Nicht minber trefflich ift bie Bearbeitung, meld)e ber Ntarburger ©ermanift ^auffmann ber Seutfdje« Ntpthologie gemibmet hat. ©ie beruht burchauS auf ben neueren gorfchuugen, toie fich an nicht menigen ©teilen, j. 93. in bem frönen Kapitel über 93albr, erfennen läßt.

©taatêanjeiger: ®aS 20. ВапЬфеп, bas einen 31brif? ber bentfehen ®rammatif unb im Anhänge eine fur je ökfdjichte ber beut« fchen ©ргафе enthält, bietet аиф eine gute Ueberfidjt ber Ье^{феп ©ргаф!еЬге unb Ье^1феп ©praфge^фiфte. ®ie flare unb fnappe Фаг-ftellung giebt auf engem Naum einen iiberrafchenb reichen ©toff, fie ift mehr inS (Sinjelne eingehenb, als baS flehte ВапЬфеп ertoarten läfit.

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dem hochverdienten Schulmann dem Begründer des deutschen höheren Schulwesens in den Reichslanden in Dankbarkeit und Verehrung

gewidmet.

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Sammlung Göschen

4K

Analytische ^

Geometrie der Ebene

von

Max Simon

Strâssburg i. E.

Mit 45 Abbildungen

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung

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1897

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Inhaltsverzeichnis.

I. Abschnitt.

Seite

Koordinaten und Punkt

§ 1. Definition von Koordinaten.....

§ 2. Polarkoordinaten.......

§ 3. Punkte.........

§ 4. Definition der Kurvengleichung und der Koordi naten- oder Analytischen Geometrie

M N Ю

ft TH 03

II. Abschnitt.

Die gerade Linie........

§ 5. Die Gerade sei bestimmt

a)    durch 2 Punkte.....

b)    durch 1 Punkt und die Richtung § 6. Kombination zweier Geraden

§ 7. Die Hessische oder Normalform der Geraden § 8. Gerade durch denselben Punkt, harmonische Beziehung .......

23

23

23

28

32

36

III. Abschnitt.

Der Punkt als Träger der sich in ihm sohneidenden

Geraden...........

§ 9. Die Gleichung des Punktes......

§ 10. Punkte auf derselben Geraden.....

§ 11. Harmonische Punkte.......

§ 12. Zusammenstellung der wichtigsten Formeln über die Gerade.........

45

45

47

50

52

IV. Abschnitt.

Parallel-Ко ordinaten-Transformation

СЛ

Seite

§ 13. Transformation

54

Y. Abschnitt.

Der Kreis

59

§ 14. Die Kurve.....

§ 15. Kreis und Gerade § 16. Kreis und Kreis, Kreisschaar

59

61

65

YI. Abschnitt.

Die Kegelschnitte..........

§ 17. Die Kegelschnitte als Kurven 2. Grades und 2. Klasse § 18. Die Gleichung der Tangente und der Berührungssehne ..........

§ 19. Pol und Polare........

§ 20. Sehnenschaar und Durchmesser in Konjunktion .

69

69

77

82

86

YII. Abschnitt.

Die Parabel

91

§21. Gestalt der Kurve .

§ 22. Weitere Brennpunktseigenschaften § 23. Sehnen- und Polar-Eigenschaften § 24. Quadrierung, Potenzsatz

91

99

101

104

VIII. Abschnitt.

Ellipse

107

§ 25. Die Kurve .... § 26. Konjugierte Durchmesser § 27. Brennpunktseigenschaften .

107

111

115

IX. Abschnitt.

Die Hyperbel

118

§ 28. Die Kurve........

§ 29. Quadratur........

§ 30. Die Sätze von Pascal und Brianchon § 31. Die Kegelschnitte als Schnitte des Kegels

118

127

131

Seite

X. Abschnitt.

Höhere Kurven.........

§ 32. Definition der Tangenten, Doppelpunkte etc.

143

143

XI. Abschnitt.

Die Cissoïde des Diokles .    ......

§ 33. Erzeugung der Kurve.......

§ 34. Discussion der Kurvengleichung .    .    .    .

§ 35. Inversion oder Transformation durch reciproke

Radien.......

§ 36. Tangente, Evolute.......

§ 37. Die Quadratur........

147

147

151

151

159

XII. Abschnitt.

Cassini’sche Kurven oder Lemniscaten § 38. Die allgemeine Lemniscate § 39. Die schlichte Lemniscate

169

169

179

XIII. Abschnitt.

Die Spirale des Archimedes.......

§ 40. Die Spiralen.........

§ 41. Tangente, Normale, Subtangente, Subnormale .    189

§ 42. Quadratur der Spirale

185

185

192

XIY. Abschnitt.

Die Cycloïde oder Radlinie

§ 43. Die Rollkurven, Krümmung § 44. Die Cycloïde .

§ 45. Rectification und Quadratur

194

194

199

201

Druck von Carl Rembold in Heilbronn.

Holzfreies Papier aus der Gust. Schaeuffele n’schen Papierfabrik in Heilbronn.

I. Abschnitt.

Koordinaten und Punkt.

§ 1. Definition топ Koordinaten.

Unter den Koordinaten eines Punktes versteht manden Rechnungsregeln unterworfene Grössen (Zahlen), welche durch die Lage des Punktes bestimmt sind, und durch deren Werte umgekehrt dieLage ein es Punktes bestimmt werden kann.

Entsprechend ist die Erklärung von Koordinaten einer Linie, Fläche etc. Wir beschränken uns zunächst auf Punkte, und zwar auf Punkte einer Ebene.

Am gebräuchlichsten sind Parallelkoordinaten.

Man zieht in der Ebene durch einen beliebigen Punkt О (Eig. 1) zwei Gerade, die Axen; dann sind durch jeden Punkt der Ebene zwei Grössen (Zahlen) bestimmt, nämlich die Masszahlen der Längen seiner Abstände von den Axen, jeden gemessen parallel der andern Axe in einer willkürlich festgesetzten Längeneinheit. Damit auch umgekehrt zwei Zahlen einen Punkt bestimmen, dessen Abstände von den Axen sie messen, ist zunächst nötig, dass man weiss, auf welche

Axe sich jede Zahl bezieht. Man hat dann nur die gegebenen Abstands-Grössen vom Punkt 0 aus auf den Axen abzutragen und durch die Endpunkte dieser Strecken die Parallelen zu den Axen zu ziehen* die Schnittpunkte dieser Parallelen sind Punkte, deren Abstände von den Axen durch die gegebenen Zahlen gemessen werden. Die Konstruktion ergiebt aber vier Punkte (Eig. 1) : Pt ; P₂ ; P₃ ; P₄. Um durch die ge-

■R

p₂

7x*

Fig. 1.

gebenen Zahlen auszudrücken, welchen von diesen vier Punkten man bestimmen will, unterscheidet man die beiden von 0 ausgehenden Richtungen jeder Axe als positiv und negativ und fordert, dass diege-gebenen Zahlen dem Vorzeichen nach bestimmt sind. Die so mit Vorzeichen versehenen Masszahlen der Abstände sind Koordinaten gemäss der Definition und heissen: Parallelkoordinaten.

Der Punkt 0 (vom lat. Origo Ursprung) hat die

Koordinaten 0,0 und heisst Anfangspunkt oder Nullpunkt. Die Konfiguration beider Axen heisst Koordinatensystem oder Axensystem. Der Winkel zwischen den positiven Zweigen (Hälften) der Axen heisst Koordinatenwinkel, und zwar denkt man ihn dadurch erzeugt, dass sich der positive Zweig der als erste bezeichneten Axe um О entgegengesetzt dem Sinne des Uhrzeigers dreht, bis er mit dem positiven Zweig der zweiten Axe zusammenfällt; diese Art der Drehung (entgegengesetzt dem Sinne des Uhrzeigers) heisst positive. Der Koordinatenwinkel wird mit w bezeichnet ; ist w ungleich (Zeichen der Ungleichheit : =|=) 90°, so heisst das System ein schief es, ist w = 90°, so heisst es rechtwinklig oder orthogonal. Man beschränkt w auf spitze oder rechte Winkel, d. h. 90° nimmt man als Maximum für w. Meist zeichnet man die erste Axe horizontal, setzt als positiven Zweig den von О nach rechts gehenden fest und nennt die auf ihr hezw. in ihrer Richtung gemessene Koordinate: Abscisse, gewöhnlich mit x bezeichnet, die Axe selbst heisst Abscissenaxe oder X-Axe, ihre Zweige: + X und — X. Auf der andern Axe, der Ordinatenaxe, heisst die Koordinate: Ordinate (auch Applicate), sie wird meist mit y bezeichnet, und die Axe auch Y-Axe genannt, ihr positiver Zweig -f- Y wird meist nach oben gerichtet, links vom Strahl + X. Ist das System rechtwinklig und X horizontal, so ist Y vertikal. Diese Festsetzung ist aber keineswegs bindend, an und für sich ist das Axensystem betreffs seiner Lage in der Ebene keiner Beschränkung unterworfen.

Die Axen teilen die Ebene in 4 Teile, bei rechtwinkligem System sind die Teile gleich, also Quadranten, der Teil zwischen -f- X und -f- Y ist No. I, zwischen -f- Y und — X ist II, zwischen — X und — Y liegt III, zwischen — Y und -f- X: IY. Für alle Punkte in I sind X und y grösser als 0 (Zeichen für grösser > , für kleiner <), für alle in II ist x < о, y > о; in III ist X < о ; у < о ; in IY ist x > о, у < о. Nach dem sogenannten D г о b i s c h’schen Prinzip der Umkehrbarkeit eindeutiger Zuordnungen (das aber schon früher von Möbius aufgestellt ist) sind diese Sätze umkehrbar.

§ 2. Polarkoordinaten.

Durch einen Punkt 0, den Nullpunkt oder Pol (griechisch, so viel wie Drehpunkt), zieht man einen Strahl O A (Fig. 2), die P о 1 а г а х е (auch Axe schlechtweg);

L—

гЯ

Fig. 2.

dann bestimmt irgend ein Punkt P durch seine Lage die Länge von О P und den Winkel A O P zwischen der Axe O A und О Р. Dieser Winkel wird als durch Drehung im positiven Sinne (cf. § 1), durch positive Drehung, erzeugt betrachtet, und dieser Sinn wird, wenn nichts besonderes festgesetzt ist, stets vorausgesetzt, so dass z. B. A O P und P O A zusammen 4 Rechte sind. Lässt man, wie meistens, zu, dass der sich drehende Strahl die Ebene beliebig oft bedeckt, so ist Winkel A O P durch die Lage von P nur bis auf beliebige Vielfache von 4 Rechten bestimmt. Der Strahl OP heisst Leitstrahl oder radius vector, auch bloss radius oder bloss vector des Punktes P, und ebenso wird die absolute Länge von О P genannt und meist mit r bezeichnet. Der Winkel А О P wird nicht in Grad-, sondern in Bogenmass gemessen.

[Erklärung von Bogenmass: Da der Winkel sich zur Ebene verhält, wie jeder Bogen zwischen seinen Schenkeln, dessen Zentrum im Scheitel liegt (Zentriwinkel), zum Vollkreis, so hat man die Proportion

360

2 г л

1 den Bogen, r den Radius, я die Ludolph’sche Zahl bedeuten: also 1/r =• cp л\ 180.1/r wird als arcus cp (abgekürzt arc (p) bezeichnet und giebt das Bogenmass des Winkels. Man geht also vom Gradmass zum Bogenmass (besser absoluten Mass) des Winkels über, wenn man die Gradzahl mit я:, 180 multipliziert, umgekehrt vom absoluten zum Gradmass, indem man mit

» wo cp die Zahl der Grade des Winkels,

multipliziert. Dabei ist für jede Minute ¹jeo°, für

jede Sekunde

zu

setzen, so dass also ein

60 . 60°

Winkel von 20° 11' und 3" die Gradzahl q> = 20 +

3

-f- ^hat, dem rechten Winkel entspricht im Bogen-

mass ^ dem flachen Winkel n. —]

Der in Bogenmass gemessene Winkel A O P wird meist mit fr bezeichnet und heisst Phase, Amplitude oder Richtungsbogen des Punktes P. Die letztgenannte Bezeichnung rührt davon her, dass, wenn man

in der Proportion — = für r die Längeneinheit wählt,

cp ⁰ gehörigen Bogens im Kreise mit dem Radius 1 ist, und daher mit diesem Bogen identifiziert wird.

Hier ist sofort klar, dass, wie der Punkt r und fr — letzteres abgesehen von Vielfachen von 2 tz — bestimmt, so umgekehrt r und fr den Punkt bestimmen, sie sind daher nach Definition in § 1 Koordinaten und heissen : Polarkoordinaten.

Da Koordinaten und Punkt sich gegenseitig bestimmen, so müssen die Parallel- und Polar-Koordinaten

arc

<P

die Masszahl des zum Zentriwinkel von

desselben Punktes sich gegenseitig bestimmen. Bei gemeinsamem О und wenn -j- X zugleich die Polaraxe, ist : r sin (w—cp)

r sin

1) x =

und umgekehrt:

Г — + Ух² + у² + 2 XyCOSW, COt (p = mit der näheren Bestimmung, dass sin fr das Zeichen

sin w

sin w

(Sinussatz)

-V--[- cot w

у sin w

von y hat, so dass, wenn y > 0 für $ (abgesehen von Vielfachen von 2 л) nur der Bogen < л, und wenn у < 0 für & nur der Bogen > л genommen werden darf. Diese Festsetzung deckt sich mit der, dass # der Winkel

sein soll, der entsteht, wenn man O A im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers sich solange

drehen lässt, bis es mit О В zusammenfällt.

Ist w — 90°, so ist :

la) X — rcos #, у = r sin у, r = + Ух² + y², tgç> = у/х.

Während das Parallelkoordinatensystem ein geradliniges ist, ist das polare ein gemischtliniges, insofern r Strecke und <p Kreisbogen. Man kann auch beide Koordinaten krummlinig wählen, doch ist das in der Ebene selten von Nutzen, wohl aber auf der Kugel und andren krummen Flächen. Das Wesentliche jedes Koordinatensystems auf einer Fläche ist, dass man die Fläche mit 2 Systemen (Schaaren) von Linien überzieht, wie z. B. die Ebene mit den Parallelen zur X-und zur Y-Axe, oder mit den Strahlen, die von 0 ausgehen und den Kreisen, deren Centrum 0 ist, so dass jede Schaar für sich die Fläche ausfüllt, durch jeden Punkt, von Ausnahmen in einzelnen Punkten abgesehen, von jeder Schaar je Eine Linie geht, und jede Linie der einen Schaar jede Linie der andern in Einem Punkte schneidet.

§ 3. Punkte.

Gegeben ein Parallelkoordinatensystem, Axenwinkel w (Fig. 3). Sei A ein Punkt mit den Koordinaten

sagt abgekürzt A ist der Punkt (xx | yj,

Xj und Y и

indem man eine symbolische Gleichung ansetzt : Punkt А

man

Fig. 3.

{ (xi IУ 1)9 gelesen A äquivalent (xx | yj, was nichts andres heissen soll, als dass der Punkt A und die Werte xx yt der Koordinaten sich gegenseitig bestimmen. Sei В { (x2 IУ₂) e^u zweiter Punkt, dann ist sofort der Abstand d der Punkte A und B, die Streckenlänge AB gegeben, sowie der Winkel + X gezogenen Parallelstrahl (positiv) drehen muss, damit er in die Lage AB komme. Es ist dann 2) d² = (x₂ xj² -f (y₂— yj² + 2 x₂— XJ (y₂—y,)

= ———. Ist w = 90°, so ist: x₂—

2a) d² = (x₂— X,)² + (y₂—yj²; tg « =

um welchen man den durch A zu

cos w

sin а

sin (w—a)

У₂—У1

X2~X1

Pür den Inhalt J des Dreiecks О А В ergiebt sich 2°) J = + ¹/₂ sin w (x₁ y₂—x₂ yx); denn zieht man die

Hilfslinie OM, so ist 2 Д AMB = Parallelogramm AM BF; 2 Д O M В — Parallelogramm MB GH; 2 Д О M А — Parallelogramm К M A L, mithin 2 J = O G F L — O H M К ; 2 J = хх у₂ sin w—х₂ ух sin w.

Gi

Ta

4)

IFig. 4.

Sei M {(J| fj) die Mitte von A B, dann ist nach dem Satz von der Mittellinie im Paralleltrapez:

3) I = \ Oi + *,) ; n =    + y,).

Die Gleichung 3 gilt, wie alle bisherigen, allgemein, d. h. welche Werte auch x und y haben, bezw. in welchen Teilen der Ebene die Punkte A und В liegen mögen. — Ist J = 0, so liegt M auf der Y-Axe ; ist rj = 0, so liegt M auf der X-Axe, sind £ und rj : beide 0, so fällt M auf 0. Sei z. В. А В C D ein Parallelogramm, die Aufeinanderfolge so, dass man beim Umgang von A nach В, В nach C etc. stets das Feld Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

der Figur zur Linken hat. Wählt man die Axen so, dass -f- X parallel А В und -[- Y parallel A D, und seien die Koordinaten der Ecken xx yx etc., so ist die

{(?г (л + хз) (у. + Уз))

{    (x3 + XJ 2 (y₂ + У.))- Es

Mitte M von А C

und die

Mitte N von B D ist

ist aber = x₄ ; x₃ = x₂ ; yt = y₂ ; y₃ = yv somit M = N (= Zeichen für: identisch), d. h. die Diago- ; nalen des Parallelogramms halbieren sich gegenseitig. Ist P (Fig. 3) irgend ein Punkt auf А В zwischen

Fig. 3.

vom

A und В, und teilt P die Strecke AB im Verhältnis Л : 1> d. h. so dass A P : B P — A, so ergeben die Sätze Trapez, bezw. ergiebt die Aehnlichkeit der Dreiecke A P U und ABC, seine Koordinaten

L + ЛУЛ

1 + Л ‘

Sei z. В. А В C ein Dreieck, Strahl А В = -(- Y, Strahl А С = + X, А { (010), В { (0|Ь), С { о I 0). Die Mitten А, ; В, ; С, ; der Seiten ВС, С А, А В sind

{(НН:(Ь'°м°н

rH

dann resp.

Die Punkte, welche AAX; В В, ; CC, von den Ecken aus im Verhältnis 2 :1 teilen, seien S, ; S₂ ; S₃, dann ist:

S,

also S, == S₂ = S₃, d. h. die 3 Mittellinien des Dreiecks schneiden sich in einem Punkte und im Verhältnis 2 : 1.

Teilt Q { (l¹ I 7i¹) die Strecke А В ausserhalb im Verhältnis d. h. so, dass absolut genommen A Q : B Q = p : 1 ist, so ergiebt sich

X1 PX2

1 У1    r i.

; V = —z—!—£. Ist a г

bilden die Punkte ABPQ ein harmonisches

ЗЬ) =

¹ l*

= Xi so

Punktsystem, geschrieben [AB, P Q], A und В bilden das eine Paar, P und Q das andere Paar konjugierter Punkte. Eliminiert man Л zwischen den Gleichungen für f und Ç¹ bezw. für ^ und rfy hält man

so er-

4) (xi + x₂) (i +i¹) = 2 (x, x₂ -f- § i¹)

(У1 + y₂) (v + V¹) = 2 (у, y₂ + V V¹)-

ausser-

Weiss man, dass A B P Q auf derselben Geraden liegen, so ist jede der beiden Relationen 4) die nötige und hinreichende Bedingung dafür, dass die 4 Punkte ein harmonisches System bilden, d. h. dass P die Strecke А В innerhalb im selben Verhältnis teilt wie Q halb. Man sagt auch A und В sind durch P und Q

harmonisch getrennt und beweist mittelst der einfachsten Sätze aus der Lehre von den Proportionen, dass dann auch P und Q durch A und В harmonisch getrennt sind. —

Die Strecken А P und В P sind entgegengesetzt gerichtet, A Q und B Q dagegen gleichgerichtet ; um diesen Unterschied zu kennzeichnen, wollen wir sagen, P teile die Strecke А В im Verhältnis —Л : 1, d. h. wir wollen als TeilungsVerhältnis auch negative (gestrichene) Zahlen zutassen, und wissen, dass diese nur Punkten innerhalb AB zukommen, alsdann ist

p{(

j, d. h. die Formel 3a) oder 3b gilt

*1— à x2 I У1⁻

1—л

allgemein für jeden Wert des Л (oder p,), und es entspricht nicht nur jedem Punkt auf А В ein bestimmter Wert des Л, sondern auch umgekehrt, jedem Wert des Я ein bestimmter Punkt auf А В. Eliminiert man also p in 3b), so erhält man

5)

.X2TXl

als nötige und hinreichende Bedingung dafür, dass P in die Gerade А В fällt, und man sieht, dass die die Lage von В beschränkende Bedingung: auf der Geraden

У—Уг ₌ У2—У1 . s-*t

А В zu liegen, sich umsetzt in die Gleichung 5 zwischen den Koordinaten | und ^ von P, welche ebenfalls die freie Veränderlichkeit einschränkt, da nach Wahl z. B. von £ durch 5) der Wert der Koordinate rj bestimmt ist. Man sieht leicht ein, dass 5) nichts anders aussagt als die charakteristische Eigenschaft der Geraden in allen ihren Teilen gleiche Lichtung zu haben.

§ 4. Definition der Kurvengleichung.

21

§ 4. Definition der Kurvengleichung und der Koordinaten- oder Analytischen-Geometrie.

Kurve bedeutet eigentlich: krumme Linie, im Gegensatz zur Geraden, aber man braucht es gleich- * bedeutend mit Linie, indem man die Gerade als Grenzfall der krummen Linien, als Linie mit der Krümmung 0 ansieht. Die Kurven, welche die Geometrie betrachtet, sind fast ausschliesslich sogenannte geometrische Orte, d. h. Inbegriffe (Komplexe, Gesamtheiten, Mannigfaltigkeiten) aller Punkte, denen eine bestimmte Eigenschaft zukommt (proprietas specifica nach Fermât). Z. B. ist die Mittelsenkrechte (oder Symmetrieaxe) der Ort der Punkte, welche von 2 gegebenen Punkten gleichen Abstand haben, der Kreis der Ort der Punkte, welche vom Centrum den Abstand des Radius haben. Diese spezifische Eigenschaft kann auch durch die Mechanik gegeben werden, z. B. der Inbegriff aller Lagen (Orte) des Schwerpunktes eines Geschosses oder die Bahn eines Punktes eines rollenden Hades etc. Die bestimmende Eigenschaft erzeugt die Kurve [wieder] und giebt damit die Koordinaten ihrer Punkte, sie beschränkt, heisst dies, die Veränderlichkeit eines Punktes, der an und für sich in der ganzen Ebene liegen kann, auf die bestimmte Kurve, und damit die Veränderlichkeit der Koordinaten auf die jener Punkte. Eine solche Beschränkung äussert sich aber (man vergleiche den Schluss des vorigen Paragraphen) in Form einer Gleichung zwischen den Koordinaten, wie f (x, y) = 0;

(p (r, &) = 0,*) welcher die Koordinaten aller Punkte

*) Die Zeichen f; cp, sind sogenannte Funktionszeichen und bedeuten gleich Null gesetzt, dass zwischen den in Klammern hinter ihnen gesetzten Buchstaben wie x und y, oder r und irgend eine Gleichung besteht, wodurch sie gegenseitig in Abhängigkeit gesetzt sind.

der Kurve genügen. Nach der Definition in § 1 : A { (x|y) liegen umgekehrt die Punkte, deren Koordinaten dieser Gleichung genügen, wieder auf der Kurve. Die bestimmende Eigenschaft der Kurve und damit diese selbst, lässt sich also in eine Gleichung zwischen den Koordinaten umsetzen, und umgekehrt diese Gleichung wieder in jene Kurve, in derselben Weise wie wir ein Tonstück in Noten und die Noten wieder in das Tonstück umsetzen. Das Wesen der analytischen Geometrie (oder Koordinatengeometrie) besteht also darin: Die Gesetzmässigkeit geometrischer Gebilde in Gleichungen zwischen den Koordinaten umzusetzen, mit diesen nach den Kegeln der Algebra zu rechnen und die gefundenen Kesultate geometrisch zu deuten.

Wie also der Punkt äquivalent gesetzt wird einem Wertsystem x|y seiner Koordinaten, so wird die Kurve äquivalent gesetzt einer Gleichung f (x ; y) = 0 zwischen den Koordinaten, wobei allerdings noch hervorzuheben ist, dass wir Gleichungen von der Form f (x | y) = 0 und c f (x I y) — 0, wo c eine von 0 verschiedene festgegebene Zahl ist, als identisch ansehen, weil sie durch dieselben Wertsysteme von x und y erfüllt werden.

II. Abschnitt.

Die gerade Linie* § 5. Die Gerade sei bestimmt

a)    durch 2 Punkte,

b)    durch 1 Punkt und die Richtung.

Wenn zwei Punkte A und В gegeben sind, so be-

->

zeichne А В die Strecke zwischen A und В, А В den

Strahl, der von A über В ins Unendliche geht, und

AB die unbegrenzte Gerade, welche aus der Strecke А В vermöge der unbegrenzten Fortsetzbarkeit nach beiden Seiten hin entspringt.

In § 3 ergab sich die Gleichung der Geraden, welche durch 2 gegebene Punkte А { (xx | yj und В { (x21 У₂) geht. Insofern der Punkt P jeder beliebige Punkt der Geraden sein kann, nennt man ihn beweglichen oder laufenden Punkt, und bezeichnet ihn (genauer seine Koordinaten) mit x[y. Dann ist

y—Jt _ y₂—У1

X2 X1

I oder auch ^    —

7Xl

Die Gleichung 5) lässt sich umformen : man schafft die Kenner weg, streicht auf beiden Seiten xL j± und reduziert auf 0; das gieht

5a) (X1 y₂—x2 yj + (x2 У—x yj+ (x Ji—xi y) = о abgekürzt D = 0. Die Bedeutung der Form tritt

—X2

X1 X2

hervor, wenn man die Gleichung mit

T—I <N

sin w multipli-

ziert (w bezeichnet den Koordinatenwinkel). Man sieht dann, dass nach 2b) -jr sin w (xt y₂—x₂ jt) der Inhalt

des Dreiecks О А В ist und-^- D sin w nichts andres als der Inhalt des Dreiecks A B P. Die Gleichung 5a (äqui-

ч~>

valent mit 5) sagt also aus, dass wenn P auf А В Hegt, der Inhalt des Dreiecks A B P verschwindet, ist also

wieder die Uebersetzung einer charakteristischen Eigenschaft der Geraden in die Sprache der Algebra. Umgekehrt ist ebenso klar, dass, wenn Dreieck A B keinen-Flächeninhalt hat, der Punkt P in der Geraden А В liegt.

Ist А {(а I о) und В { (о | b) d. h. liegt A in de

r X-

Axe und B in der y-Axe, so geht 5) nach leichter Umformung über in

⁶⁾ Т ⁺ У-1;

das ist die sogen. Axengleichung der Geraden, oder auch Axenform (der Gleichung) der Geraden; schafft man die Nenner fort, so erhält man x b -f y a = ab, und daraus (nach Multiplication mit sin w) den bekannten Satz von der Gleichheit der Ergänzungsparallelogramme; und umgekehrt ist 6) die Uebersetzung dieses Satzes in die Koordinaten-Sprache.

У2 У1 ₌

x₂— xj

In § 3 ergab sich allgemein

sin a

sin (w—a)

und für ein rechtwinkliges System war dies tg a. Der

§ 5. Bestimmungen der Geraden.

25

bezw. tg cs heisst der Richtungs-

Quotient

sin «

sin (w—cs)

faktor der Geraden und werde mit x bezeichnet. Eine

Vertauschung von (xL | yt) mit (x₂| y₂) bewirkt nur eine Veränderung von cs um 2 Rechte, ändert also den Wert von x nicht, so wenig wie die Vertauschung von x₂1 y2 mit x₁|y₁. Durch Einführung von x geht die Gleichung der Geraden über in

X sin w

V У—У1 = ¹ (x-xi)-

bestimmt dann

Die Gleichung tg cs =

1 + X cos w

die beiden um 2. R. verschiedenen Winkel, welche die von (xjyj ausgehenden Strahlen der Geraden 7) mit + X bilden.

Der Parallelismus zweier Geraden ist äquivalent der Gleichheit ihrer Richtungsfaktoren.

Ist (Xj I yj = (О I b), so erhält man aus 7 7a) у—X X—b = 0.

Die linke Seite dieser Gleichung 7a bezeichnet man als Form L der Geraden, indem man у—xx — b = L setzt. Für die Punkte der Geraden nimmt die Form den Spezial wert 0 an, während für jeden Punkt P |(xp I yp), der nicht auf der Geraden liegt, der „ortsfremd“ ist, die Form Lp = yp—*xp—b von Null verschieden ist.

Die beiden Gleichungen 6 und 7a sind dadurch ausgezeichnet, dass sie die Gerade nur durch 2 Konstanten, d. i. fest gegebene Zahlen bestimmen. Durch alle Werte von a und b, ausgenommen 0, bezw. von X und b, ausgenommen + 00, ist eine und nur eine Gerade bestimmt; umgekehrt bestimmt jede Gerade, die nicht durch den Nullpunkt geht, ein Wertsystem von a und b, und jede Gerade mit Ausnahme der Y-Axe und ihrer Parallelen ein Wertsystem von z und b. Mit der angegebenen Einschränkung sind also a und b, bezw. ï’ und b Koordinaten der geraden Linie im Sinne der Definition, es sind Linienkoordinaten.

Die sämtlichen Gleichungen, welche für ei ne Gerade aufgestellt sind, stimmen darin überein, dass sie in x und y vom ersten Grade sin d. Umgekehrt ist .jede G1 e i c h ü n g vom ersten Grade in x und y: a x -f- ß y—y — О (abgekürzt: U = 0) die Gleichung einer Geraden. Denn wenn I—'0, so kann man U durch у dividieren und

erhält, wenn man

b setzt:

= a und =

ß

-f-    — 1 rr: 0, d. h. die Gleichung der

Geraden, die durch die Punkte (a|o) und (o|b) geht. Dividiert man U durch /?, und setzt man а / —z, so erhält man L = у—zx—b — 0, d. h. die Gleichung der Geraden, welche durch den Punkt (o|b) geht und den liichtungsfaktor z hat. Diese Gleichung giebt für

er

у = 0,x == — — — a, woraus die Identität der Ge-

raden А = 0 und L = 0 hervorgeht.

Ist in U die Grösse у — 0, so wird durch ß dividiertfist ßauch gleich 0, so hat man x =f 0 und dies ist die Gleichung der Y-Axe, wie y = 0 die Gleichung der XrAxe ist.

Da also jede Gleichung ersten Grades eine gerade Linie darstellt, so ist es gerechtfertigt, die Gleichungen ersten Grades lineare zu nennen, da linea ursprünglich nur die Gerade bedeutet. So stellt z. B. die Gleichung 2 X—3 y—1 = 0 die Gerade dar, welche die Strecke

ОС

— von + X und die Strecke - - von —Y abschneidet ;

2

2

der Richtungsfaktor г ist—-, wird w als 60° angenommen, so ist а = 23° 24/ 47".

Die Gleichung 10 x + 4 у—6 = 0, identisch mit 5 X -f- 2 у—3 = 0, stellt die Gerade dar, welche die Strecke 0,6 von -f- X und die Strecke 1,5 von -f- Y ab-schneidet, der Richtungsfaktor т ist —2,5 d. h. für w =--30° ist « = 47° O' 51".

Ist r = 1, so ist sin a — sin (w— a), also da w nicht gleich 2 Rechten sein kann, a = w/2 bezw. w/2-|-180. Die Gerade у—x — 0 halbiert also den Koordinatenwinkel und seinen Scheitelwinkel.

Ist T = —1, so ist sin а -— —• sin (w—a) , also а = w/2 -f- 90 bezw. w/2 -f- 270. Die Gerade y +x == 0 halbiert also den Nebenwinkel von w.

Die Gleichungen у—x—b = 0 und у -|- x—Ы = 0 stellen stets zwei Gerade dar, welche den Winkelhalbierenden des Axenkreuzes parallel sind, also aufeinander senkrecht stehen. Ist w rr 90, so teilen die beiden Schaaren von Geraden, welche man erhält, wenn man b und b¹ alle möglichen ganzzahligen Werte giebt, die Ebene in kongruente Quadrate mit der Diagonale 1 (die Mitten dieser Quadrate haben in der Theorie der komplexen Zahlen eine gewisse Bedeutung.)

§ 6. Kombination zweier Geraden.

Die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden JJ₁ = 0 und U₂ = 0 sind durch die Forderung, beiden linearen Gleichungen zu genügen, eindeutig bestimmt. Seien z. B. LL = у—тг x—Ц = 0 und L₂ = у—т₂ X—b₂ = 0 gegeben, so werden die Koordinaten des Schnittpunktes S { (xs | ys) bestimmt durch die beiden Gleichungen

ys—XS—bt = О ys—Г₂ xs—b₂ = 0.

Es ergiebt sich: xs = ——— und ys = ——-———-

T2 Tl    T2 Z1

S ist also völlig bestimmt, ausser für t₂ = тх. In diesem Falle werden xs und ys beide unendlich, der Punkt S existiert im Endlichen nicht, man sagt seit Desargues 1639, S liege im Unendlichen, und findet in r₂ = it die schon bekannte Bedingung für den Parallelismus von Lj und L₂ wieder.

Ist bx : b₂ = : t₂₁ so ist ys =? 0, d. h. S liegt auf der X-Axe, ist bj — b₂, so liegt S auf der Y-Axe, was a priori aus der Bedeutung von b klar ist.

Nächst dem Schnittpunkt interessiert der Winkel den Lx mit L₂ einschliesst. Um hier die Zweideutigkeit auszuschliessen, verstehen wir darunter den Winkel, um welchen man die Gerade im positiven Sinne drehen muss, damit sie in die Richtung von L2 gelange. Also ist dieser Winkel # gleich a₂—ar Für

w = 90° ist tg & =

. Ist tx — r₂, so ist # = 0,

r2~ri

¹ + vi гг

§ 6. Kombination zweier Geraden.

29

bezw. 2 E-eclite. Ist # — 90°, so ist 1 z₁ r₂ = 0, und umgekehrt ist S) h 4 + 1 = 0

für rechtwinklige Koordinaten die Bedingung dafür, dass zwei Geraden auf e in an d e r s enk-recht stehen.

Ist w =j= 90°, so erhält man sin w (r₂—rt)

1 + *1 r₂ + cos w {x₁ + r₂) dingung des Senkrechtstehens cos w

tg & =

und daraus als Be-

8a) 1 + r2 +

X. -fc X2

7e) v2 (|u0 + v y — 1) (I, u0 + Vl v0—1) = v2 у [(I,

81)

/(%

w \\

BIBU3TEKÄ Pi!

ih + *j) = 0.

ł-

8a) 1 + r₂ +

2

Beispiele: 1) Lx = y——x— о

L₂ = y—2x—3 = 0

xs = —2, ys = —1, wie sofort zu verifizieren dadurch, dass man diese Werte für x und у in beide Gleichungen einsetzt.

²) Li = У—2x + 1 = 0; L₂ = у + ух—1 = 0,

w sei 90°, dann ist 1 -f Tl r₂ = 0, also Я = 90°; xs = 0,8,

ys = 0,6.

Die Gleichung U₃ = Я Uj -(- p U₂ = 0, wo Я und fx beliebige Konstanten sind, ist linear und stellt eine Gerade dar, welche durch den Schnittpunkt S der Geraden U, r=r 0 und U₂ = 0 hindurchgeht.

Umgekehrt ist jede Gleichung U₃ = 0 einer Geraden, welche durch den Schnittpunkt S der Geraden Uj =0, U₂=0 hindurch-geht, von der Form Я Ux + p U₂ = 0.

Der einfachste Beweis dieses Satzes, der Methode

nach, wäre es, in die Gleichung (7) TJ₃ = y—ys— z (x—xs) = 0 der Geraden, welche durch S geht, für xs und ys ihre Werte einzusetzen; man erhält dann durch etwas Rechnung TJ₃ == (ß₂ z a₂) TJx — (ßx v -)- ccj TJ₂. Man sieht aber auch ohne Rechnung, dass, falls Uj und TJ₂ die Formen verschiedener Geraden sind, jede lineare Form U₃ = «x ßy—у sich in die Gestalt A Uj fz U₂ -f- c bringen lässt, wo die Gleichungen а = Aax -f- pa₂ und ß = Aß₁ f^ß₂ die Zahlen A und ^ bestimmen, und c von x und у unabhängig ist. LJ₃ = 0 stellt eine Gerade dar; soll sie durch S hindurchgehen, so muss U₃ für (xs|ys) gleich 0 sein, d. h. wenn TJ^ und U₂ beide gleich 0 sind, muss TJ₃ = 0 sein, d. h. c = 0.

Man kann die Relation zwischen 3 Geraden, welche durch denselben Punkt gehen, auch in die Form bringen :

9) vlj TJ₁ -j- A₂ TJ₂ -j- A₃ U₃ = 0 ; sie ist symmetrisch und folgt aus der Identität von f (x I y) — 0 mit c f(x| y) —0 (Schluss von § 4).

Kombiniert man eine Gerade L — у—zx—b = 0 mit einem ortsfremden Punkt P { (xp | yp) (Fig. 5), so — interessiert zunächst der Abstand P Q. Es ist P В =

P G—B G == yp—В С. ВС ist = гХр -|- b, also РВ = ур—гхр—b = Lp, wo Lp den Wert bedeutet, den die Form L für die Werte x — xp und y = yp annimmt.

Lp ist also der in der Richtung von —y gemessene Abstand des Punktes P von der Geraden, speziell ist ljo ~ —b.

Für die absolute Länge von P Q erhalten wir hier

+LP sin (a—w). Damit PQ, der Abstand im engern Sinne, immer das Zeichen von Lp habe, setzen wir ihn ' == Lp |sin (w—a)|, wenn wir nach Weierstrass den absoluten Betrag irgend einer Zahlengrösse z mit |z-| bezeichnen.

Fig. 5.

Die Gleichung der Geraden P Q ist (7 und 8) für rechtwinkliges Koordinatensystem :

10) y—yp =--- (x—xp).

Ist w —1= 90°, so ist

У — Ур =

1 Ą- г cosw

.(x — xp)

Z —I" COSW

Für die Parallele durch P zu L gilt bei beliebigem w die Gleichung

10a) y-yP    Xp)

§ 7. Die Hesse’sehe oder Normalform der Geraden.

Gegeben ein Parallel-Koordinatensystem mit dem Koordinatenwinkel w (Fig. 6). Sei O' ein beliebiger

\P

■O’

ci

Ч)

Fig. 6.

Punkt, die Mitte von О O' sei M | (Л \p) und ОМ = р. Alsdann ist O' ^ (2 Л12 fi).

Sei P I (x I y) ein Punkt, der von О und O' gleichen Abstand hat, alsdann ist nach 2)

(x— 2 Л)² + (y—2 fi)² + 2 (x—2Л) (y—2    cos w

=c= x² -f- y² -j- 2 xy cos w

also da : i² -[- ku² -f- 2 Лр cos w = p², folgt nach Division mit 4:

a) x (Л + p cos w) -f- у + Л cos w)—p² = 0.

Da aber Л : p = sin ß : sin w ; p : p = sin « : sin w, ferner sin ß = sin (w—«) und sin а = sin (w—/?), so folgt

b)    X cos a -(- y cos ß—p — 0 und nebenbei :

c)    cos ß = cos (w—a) cos a = cos (w—ß).

Da b) linear in x und y, so ist analytisch bewiesen, dass der Ort des Punktes P eine gerade Linie ist, die durch M geht.

Da mit Benutzung von a) sofort ersichtlich, dass 0 M² -]- M P² = О P² ist, so steht M P auf О O' senkrecht. Da nun zu jeder Geraden der Gegenpunkt O' in Bezug auf О konstruiert werden kann, so ist b) die Gleichung aller Geraden, wenigstens aller, für die О M in I liegt.

Damit b) für alle Geraden gelte, setzen wir fest:

1)    dass а, im positiven Sinne gezählt, gleich oder grösser als 0 und kleiner als n sei;

2)    dass p positiv oder negativ genommen werde, je

nachdem der Strahl О M selbst Schenkel des "Winkels a ist, oder seine Verlängerung über 0.

3)    dass ß den Winkel misst, um den man den beweglichen Schenkel von a im positiven Sinne drehen muss, damit er auf -f- Y fällt.

Danach gilt b) allgemein für jedes Parallelkoordinatensystem und jede GeradeM P, und wir haben in der linken Seite von b) die Hesse’sche oder Normalform der Geraden¹), wir werden sie mit H bezeichnen, so dass also

11) H = x cos a -f- y cos ß—p = 0 die allgemeine Gleichung der geraden Linie ist. Die Form H enthält die beiden Bichtungsfaktoren cos oc

und cos ßy zwischen denen die Relationen c) bestehen, und dazu noch den Abstand p, sie hängt also nur von 2 Konstanten ab, sie gilt auch noch, wenn p = 0 ist. Da von О auf alle Geraden, welche untereinander parallel sind, nur Eine senkrechte Gerade geht, so haben parallele Gerade gleiche Richtungsfaktoren, und unterscheiden sich nur durch die verschiedenen Werte des p.

Sind X cos a -f- у cos ß—p.==■0 und x cos а + У cos ß — p¹-£0 oder kürzer H = 0 und Hx = 0 die Gleichungen zweier paralleler Geraden, so misst Pj—p den Abstand der Parallelen Hj von H; derselbe ist positiv oder negativ, je nachdem die Rieh tung eines von Hj nach H gefällten Lothes der Richtung des Strahles OM entgegen gesetzt oder gleich ist.

Die Gleichung der Parallelen H¹ kann geschrieben

werden

Giebt

so genügt jeder Punkt P | (xp | yp) ungen und

x cos а + У cos ß—P — d* man hierin d alle Werte von —oo bis + oo, einer dieser Gleich-

dp = xp cos а + yP cos ß—p

misst den Abstand P Q des Punktes P von der Geraden H, wenn man P Q positiv oder negativ nimmt, je nachdem der Strahl P Q dem freien Schenkel des Winkels a entgegengesetzt oder gleichgerichtet ist.

Die Gerade. H erscheint hier als der Ort der Punkte, welche von ihr den Abstand d = 0 haben. Die Hesse’s che Form hat 3 Vorzüge,

sie gilt 1) für alle Koordinatenwinkel, 2) für alle Geraden, 3) giebt sie für jeden ortsfremden Punkt durch Einsetzung seiner Koordinaten in die Form den Abstand.

Der Uebergang von der allgemeinen Form U zur Hesse’schen Form Я vollzieht sich folgendermassen.

Sei U = ax -|— by—у eine beliebige lineare Gleichung, und ^U = H, wo ^ eine Konstante, so stellen U = Ô und H = 0 dieselbe Gerade dar (Schluss von § 4). Es muss dann ^a == cos a, pb = cos ß? py — p sein. Da nach Gleichung c) cos ß — cos (w—«), so ist

sin w

^    jU j/a² + b²—2 ab cos w*

Das Zeichen der Wurzel ist durch die Gleichung

b—a cos w

, so ist «,

a sin w

cos а = ^a bestimmt, da tg « =

weil < яг, völlig bestimmt; und somit auch cos a. Ist tg а > 0, so ist auch cos « > 0, [i hat das Zeichen von a, ist tga < 0, so ist cos a < 0, p hat das Zeichen von

rJQ cs

—a. Ist w = 90°, so ist tg « = - -, die Wurzel hat

das -f- Zeichen, wenn b und a gleiches Zeichen haben, das Minuszeichen im entgegengesetzten Falle. Ist b. = 0 und w = 90°, so gilt das Zeichen von a. Ist

CO CM

a = 0, so ist a — 90°, ß = - - я + wf

Ganz ähnlich vollzieht sich der Uebergang von der

X    V

Axenform — -4--r— —1 zur Hesse’schen , nur dass и a b    ⁷    r

gleich p ist.

§ 8. Gerade durch denselben Punkt, harmonische Beziehung.

Schon in § 6 ergab sich als nötige und hinreichende Bedingung dafür, dass drei Grade UA = О ; U₂ = 0A ; U₃ = 0 (kürzer: JJ₁ ; U₂ ; U₃) durch denselben Punkt S gehen, die Relation:

9) Xx В*! + Ą U₂ + 4 U₃ = 0, wo die X Konstanten ; sie sagt aus, dass jede der U verschwindet, wenn die beiden anderen U zugleich 0 sind. Da allgemein cTJ = 0 wenn c eine Konstante | U = 0 (§ 4 Schluss), so kann man der Relation 9 auch die Form geben :

12) U₃ = Uj — XV₂

Die Gleichungen der Geraden TJ₁ und U₂ mögen in der Normalform gegeben sein d. h. Uj = 13^ ; TT₂ = H₂, dann ist U₃ =    — iH₂ die Gleichung einer Ge

raden, welche durch den Schnittpunkt S von Hx und H₂ geht. Lässt man X von — со bis -|- variieren, so stellt — ylïï₂ alle durch S gehenden Geraden dar, sobald man festsetzt, dass für X = + ⁰⁰ ЬГ3 sei. Für eine bestimmte unter ihnen ist X konstant, und da für sie X = 33^ :H₂, so folgt, dass längst der Geraden TJ₃ auch 33^ :H₂, das ist das Verhältnis der Abstände aller Punkte auf U₃ von den Geraden Ht und H₂, konstant ist und umgekehrt folgt, dass der Ort aller Punkte, deren Abstände von zwei festen Geraden ein festes Verhältnis haben, eine durch S gehende Gerade U₃ = HA—ЛН₂ ist.

Bezeichnet man die Winkel, welche U₃ mit HA und H₂ macht (in Fig. 7 durch die spitzen Winkel zwischen

. IstTJ₃ = ЛН₂, so istU₄ = H,+ЛЯ₂

je nachdem die beiden Abstände und H₂ gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen haben, was von der Lage des Axenkreuzes abhängt. Innerhalb des Winkels (u -f- v) kehrt dasselbe Л für keine zweite Gerade U wieder, da Л das Zeichen nicht wechselt und die absoluten Beträge von i, wenn U sich von Hj durch den Winkel (u -f- v) nach H₂ dreht, fortwährend wachsen, von О bis <x>. Tritt dagegen die sich drehende Gerade in den Nebenwinkelraum, so behält der eine Abstand seine Sichtung und der andere wechselt sie d. h. Л wechselt sein Zeichen, die absoluten Beträge des Л fallen von oo bis 0. Zu jedem Wert des Л innerhalb (u -f- v) gehört also ein anderer zugeordneter Л¹ im Nebenwinkelraum, so dass Л¹-\- Л= Q ist. i4st wieder , sin u¹

— sin v¹

sein zugeordneter Strahl bezw. Gerade.

Man sagt : Die Geraden (Strahlen) ; H₂ ; IT₃ ; TJ4 bilden ein harmonisches Strahlenbüschel, oder auch: Die Geraden und H₂ werden durch U₃ und U₄ harmonisch getrennt.

Man sieht sofort, dass U₃ der zu

und H₂ gezogen) mit u und v, so ist Л =-J-

sin u

— sin v

Hi;H₂; IT₄ zu U₄ zugeordnete (konjugierte) harmonische Strahl ist. Aus U₃ —    Ш₂, U₄ = H₄ + ЛЯ₂ folgt:

Hj (V₃ (U₃ + TJ₄) {^₃H₃ +

^ {% (U₄ - U₃) {ft)H₃ _ ,*₄Н₄

Da allgemein (nach § 4 Schluss) p U = cH, so heisst dies:

\ (Ha - vH₄; H₂ (H₃ + vH4 d. h. die Geraden U₃ und TJ₄ werden auch umgekehrt durch und H₂ harmonisch getrennt, und man sieht, dass allgemein

üi = O; U₂ = 0;    Ux + ЛЪ₂

die Gleichungen vier harmonischer Geraden

sind.

Da die harmonische Beziehung von 4 Geraden nur von den Winkeln u, v, u¹, v¹ der Strahlen unter sich abhängt, so folgt: Die harmonische Beziehung ist vom Koordinatensystem.unabhängig, ist sie also für irgend ein Koordinatensystem nachgewiesen, so ist sie es auch für jedes andere.

ge-

Schneidet man ein harmonisches Büschel durch eine beliebige Gerade, so wird das Büschel in Vier harmonischen Punkten schnitten.

Beweis : Man kann die Schnittgerade A Q zur x-Axe machen, U₁ zur y-Axe. Dann haben wir für Uj : x=0;

U₂ sei i +

GT-M

— 1, dann ist U

x — A TJ₂;

U₄ = x-f-ylU₂. A ist dann (010), АС = а; C ist der Punkt auf TJ₂, für den у = 0, also C |(a 10) ;

AP =

-, woraus unter Berücksichtig-

a +Л

un g, dass P innerhalb und Q ausserhalb, sofort AP AQ "CP"⁻' "CQ *

Umgekehrt folgt:

Verbindet man irgend vier harmonische

Punkte mit einem Punkte S₇ so entsteht ein harmonisches Büschél. Zieht man von einem Punkt Q auf einen der Strahlen z. B. TJ₄ (Fig. 7) zwei Querlinien (Transversalen) durch das Büschel, und verbindet ihre Schnittpunkte auf den' nicht zu U₄ zugeordneten Strahlen über Kreuz, so schneiden sich diese Verbindungslinien auf dem zu U₄ konjugierten Strahl U₃.

S’

A.

,C

SI

fi

X

Fig. 7.

Der Satz ist eine unmittelbare Folge des vorigen und der Eindeutigkeit der harmonischen Beziehung. Der analytische Beweis giebt aber ein gutes Beispiel, welchen Nutzen die freie Verfügbarkeit über das Koordinatensystem gewährt

Sei (Fig. 7) 1Т₄ die X-Axe, TJ₂ die Y-Axe, so dass also Uj = y; U₂ = x; U₃ = y—Ax U₄ = y + Ax ferner

( (а ! 0) ; Л¹ { (a¹10); C [(6|c) ; 0‘[(0.c‘)

^^

Dann ist (Gerade AC = AC).

—1;

( а c

Ч“> / Л i У i. ч—>■ AC'ja    А¹ C

4-->

А¹ C

Ч-*

Da TJ₄ durch den Schnittpunkt Q von А C und

дТ çu hindurchgeht, so ist

u‘{

4—^    4"^

А C — /А¹ C¹, und da

IT₄ durch S I (О I 0) geht, so ist у = 1. Ebenso ist für die Gerade, welche den Schnittpunkt S¹ von AC¹ und

A!C mit S verbindet, deren Form AC¹ — y¹A¹G ist,

^^    4^    4~ V 4—V

/ = 1, und da А С¹-- А¹ C von AC-A¹^ (d. h. U₄) nur durch das Vorzeichen von у unterschieden, so ist

S S¹

Wird das Viereck S A¹ S¹ C¹ als System der 4 Geraden, welche seine Seiten bilden, aufgefasst, so gehören zum vollständigen Vierseit auch die Ecken A und C, während SS¹, А C und А¹ C¹ die drei Diagonalen sind und man hat den Satz :

Im vollständigen Vierheit teilen die Dia-gonalen einander harmonisch.

Der Satz lässt sich auch fast frei von Rechnung beweisen mit demselben Gedankengang wie in der gewöhnlichen Geometrie.

Seien: U₄ ; U₂ ; U, — Л U₂ ;    + Л U₂ ein harmonisches System, und JJl ; TJ¹, ; Uj — A¹ ; Uj + A¹ U1 ein zweites, welches mit dem ersten Einen Strahl, hier Uj gemeinsam hat. Es ist:

U₃ - U‘, = U‘₄ - r₄ = Л¹ JJ\ - л u₂

und daUj^U^, so heisst dies: Die 4 harmonischen Strahlenpaare schneiden sich auf ein und derselben Geraden.

<>>

U,

ÜÎ

Fig. 8.

Da ferner:

+ Л'U‘„ und Ùt==V\, so liegen auch die Schnittpunkte von U₄ und U^, U¹, und TJ₃, U₂ und U¹,, TJX und V\ (letzteres = 1^) auf Einer Geraden. Dies ist der Satz vom voll

ständigen Yierseit, und zwar in der übersichtlichen Fassung:

Durch jede Ecke eines vollständigen Yier-seits gehen 3 Strahlen, die beiden Seiten und eine Diagonale, der zur Diagonale zugeordnete

4. harmonische Strahl ist die Gerade, weiche die Ecke mit dem Schnittpunkt der beiden nicht durch diese Ecke gehenden Diagonalen verbindet.

Beim ersten Beweis ergiebt sich durch Vergleich

von Ui I y-Mx und Ui {"д Q__*01^

Л=—

A A¹. SC. SC¹

CC¹.SA. SA1 Da Л nach § 8 gleich dem (mit bestimmten Vorzeichen versehenen) Verhältnis der Abstände des Punktes Q von Uj und U₂ ist, so ist

+ Л = AQ sin a : CQ sin y,

wo a den Winkel SAQ und у den Nebenwinkel von SCQ bezeichnet. Nach dem Sinussatz ist sin а : sin у — SC:SA.

AQ SC CQ SA

also + Л =

AA¹ SC¹

oder

, AQ

somit + Cq — CC¹ SA¹

13) AA¹.SC¹.CQ SA¹. CC¹. AQ “

Das Minuszeichen ist eine Folge der Festsetzungen in § 3 über die Teilungsverhältnisse einer Strecke. Wir haben den Satz des Menelaos (98 p. Chr.) Werden die 3 Seiten eines Dreiecks von einer Geraden (Transversalen) geschnitten, so sind die Produkte der Wechselabschnitte entgegengesetzt gleich.

Geht man von U₃ aus, so findet man, dass entweder -f- oder —/£ auch gleich dem Verhältnis der Abstände des Punktes P von S A und S C ist, woraus sich ergiebt:

A A¹.SC¹.CP

= +1

SALCCLAP Dies Resultat ist auch eine unmittelbare Folge von 13), wenn man bedenkt, dass AP : CP — — AQ: CQ ist, Wir haben damit den Satz des Ceva (1699): Schneiden sich drei Ecktransversalen eines Dreiecks in einem Punkt, so sind die Produkte der Wechselabschnitte einander

gleich.

Beide Sätze, Menelaos und Ceva, sind umkehrbar, und darin besteht ihre Bedeutung. Also:

Liegen 3 Punkte auf den 3 Seiten eines Dreiecks so, dass die Produkte der Wechselabschnitte entgegengesetzt gleich sind, so liegen die 3 Punkte in Einer Geraden.

Liegen 3 Punkte auf den Seiten eines Dreiecks so, dass die Produkte der Wechselabschnitte glei ch sin d, so schneiden sich die 3 zugehörigen Ecktransversalen in Einem Punkte.

Man sieht, dass so bald man einen Teilungspunkt einer Dreieckseite durch seine harmonischen (in Bezug auf die Ecken) ersetzt, die Gleichungendes Menelaos und Ceva in einander übergehen, es gehören also immer 4 Sätze zusammen, als ein e G rupp e, welche durch Vertauschung eines Punktes, zweier Punkte, dreier Punkte, mitihren harmonischen auseinander folgen.

Es mag auch bemerkt werden, dass der Satz vom vollständigen Yierseit eine unmittelbare Folge des Menelaos und Ceva ist. Yon beiden Sätzen giebt es zahlreiche Anwendungen, so lassen sich z. B. die Sätze über die Winkelhalbierenden des Dreiecks, der Satz über das Schneiden der 3 Höhen, der drei Mittelsenkrechten etc. ohne Mühe mittelst des Ceva beweisen. Unmittelbar klar ist, dass die 3 Schwer- oder Mittellinien sich in einem Punkte schneiden. Ebenso leuchtet der Satz ein: Die Linien, welche die Ecken eines Dreiecks mit den Berührungspunkten des Inkreises verbinden, schneiden sich im selben Punkt.

Denn die Tangenten von einem Punkt an einen Kreis sind gleich. Aus diesem Satz folgt sofort, indem man alle 3 Berührungspunkte durch ihre harmonischen Punkte ersetzt, der Satz:

Die 3 Berührungssehnen des Inkreises schneiden die Gegenseiten in 3 Punkten, welche auf Einer Geraden liegen.

Analoge Sätze gelten für die Ankreise.

Das harmonische System, welches sich am natürlichsten darbietet, ist das System H^ ; H₂ ; HL—H₂ ; Hj-f-H₂ ; in welchem À den Wert 1 hat; nach der Festsetzung der Bedeutung von A in § 8 ist klar, dass Hx — H₃; Hj-J-Hg die Geraden sind, welche die 4 Winkelfelder zwischen Ht und H₂ halbieren. Also:

Zwei sich schneidende Geraden und die beiden Halbierungslinien ihrer Winkel bilden ein harmonisches Strahlenbündel, sowie die Umkehrung (die beiden Winkelhalbierenden stehen auf einander senkrecht, was auch analytisch sofort durch Gleichung 8 gezeigt werden kann).

Wenn von vier harmonischen Strahlen das eine Paar auf einander senkrecht steht, so halbieren diese den Winkel zwischen dem andern Paare.

III. Abschnitt.

Der Punkt als Träger der sich in ihm schneidenden Geraden.

§ 9. Die Gleichung des Punktes.

Seien cos a, cos ß, p die Koordinaten einer Geraden, wo nach c) cosß = cos(w—«), also wenn w — 90° cos²a + cos²ß = 1 ist; haben cos a, cos /?, p feste Werte, so bestimmen sie eine Gerade H j x cos a + y cos ß—p = 0, wo x und y, als veränderlich und als Punktkoordinaten aufgefasst, alle Punkte dieser Geraden H liefern. Sei P j (Xj |y₁) ein bestimmter unter ihnen, so dass xx cos a + Ух cos ß—P — 0, so sieht man, dass, wie auch cos a, cos ß und p sich ändern, wenn nur die Relation c) bestehen und die Gleichung xx cos a -f- yx cos ß—p erfüllt bleibt, diese stets eine der unzähligen Geraden darstellt, welche durch den Punkt P j (xŁ I yx) hindurchgehen. Bezeichnet man cos a, cos ß, p als variabel mit u, V, w, und Xj und yx als Konstante mit А, B, so liefern die sämtlichen zulässigen Wertsysteme von u,

V, w alle Geraden und nur die Geraden, welche durch den Punkt P erscheint als Träger der unzähligen Geraden, welche die Gleichung dar3tellt:

I (A i B) hindurchgehen und dieser

1) Au-f-Bv—w = 0.

Diese Gleichung heisst die Gleichung des Punktes P I (A i B) in (Normal)-L i n i e nk o o r d i-naten. Es liegen also alle Linien, deren Koordinaten 1) genügen, auf Einem Punkt, gerade wie alle Punkte, welche, der Gleichung H = 0 genügen, auf Einer Geraden.

Es tritt hier das zuerst von Poncelet formulierte wichtigste Prinzip der modernen Geometrie, das Dualitätsprinzip, scharf zu Tage, wonach zu jedem Satz über Punkte und Gerade (in der Ebene), dual ein zweiter durch Vertauschung der Elemente: Gerade und Punkt abgeleitet wird. Die Sätze von der harmonischen Teilung, Menelaos und Ceva, waren schon Beispiele dieses Gesetzes.

Gehen wir von der speziellen Form U — «x    1

aus, so bedeuten (cf. § 5, 6) a und ß die reciproken Werte der Abschnitte, welche die Gerade U auf den Axen bildet. Bezeichnet man dann die Grössen a und

/?, insofern jede Einzelne von ihnen unbeschränkt

veränderlich gedacht wird, mit u und v, so ist au + bv—1—0 die Gleichung jeder Geraden, welche durch den Punkt P I (a | b) hindurch geht, und nur dieser, somit ist

N = au    b v—1,

die Gleichung, des Punktes P in Linienkoordinaten.

§ 10., Punkte auf derselben Geraden.

47

bestimmt ist durch P J (alb), während er in M durch die Koordinaten a/c und b'c bestimmt ist ; die Linienkoordinaten u und v haben in beiden Formen die gleiche Bedeutung. Man sieht, dass es nur von der Auffassung abhängt, ob eine Gleichung ersten

Die Form N (die linke Seite der auf 0 gebrachten Gleichung) heisst die Normalform (der Gleichung) des Punktes, sie ist von der allgemeineren Form M p au 4- bv—c = 0 mir dadurch verschieden, dass in N der Punkt in Punktkoordinaten

Grades zweier Variabein (lineare) eine Gerade oder einen Punkt darstellt.

§ 10. Punkte auf derselben Geraden.

wo die A Konstanten. Für

= 0 sein, wenn der Punkt P auf der

muss

Seien Wj -== 0 ; W₂ 0 die Gleichungen zweier Punkte PL und P₂. Sei P j W ein dritter Punkt. W kann als lineare Gleichung (cf. § 6) die Form erhalten ¥j -f- >i₂W₂ 4- Л₃, diejenige Gerade des Punktes P, welche durch Pj geht, ist ausser W auch = 0, für die, welche durch P2 geht, ist ausser W auch W₂ == 0, fallen beide Gerade zusammen, so müssen alle drei W zugleich verschwinden, d. h. A₃

Geraden P₂ liegt, und Umgekehrt. Also ist Ax W, r+ Л₂ W₂ die Gleichung jedes Punktes, der auf der Geraden liegt, welche die Punkte Px j und P₂ J W₂ (oder kürzer die Punkte und W₂ verbindet. Man hätte auch wörtlich den Gang von § 6 befolgen können. Die Linienkoordinaten u₃ und v₃ der Verbindungsgeraden aus Wj = 0 und "W₂ == 0 berechnen können.

Man würde wörtlich bis auf Vertauschung der Worte Punkt und Gerade, die §§ 5 und 6 wiederholen können, und z. B. die Gleichung des Punktes P der auf zwei gegebenen Linien (ux | vj und (u₂|va) liegt, würde lauten:

y—Vl =

V1

Allgemein ist

u₂—u,

(u-uj

Wi Л₁ -f- W₂ Л₂ -|- W₃ A₃ — 0 die Bedingung dafür, dass drei Punkte W₁₉ W2 W₃ in einer Geraden liegen (cf. § 6, 9). Nach der Bemerkung vom Schluss des § 4 lässt sie sich auch auf die Form bringen:

W = Wt — Л W₂

wobei wieder festgesetzt wird, dass für Л = со, W = W, ist.

Setzt man in die Form der Gleichung eines Punktes N I au -f~ bv—1 die Koordinaten ue und ve einer

ortsfremden Gerade L, soistN₀=|—0, aberNe |

P

wo fi (cf. § 6 Schluss) nur von ue und ve d. h. von L abhängt; d. h. Ne ist, abgesehen von dem für dieselbe Gerade konstanten Faktor der Abstand des Punktes N von der Geraden L. Das Zeichen des Abstandes bestimmt sich nach der in § 7 gegebenen Kegel, aus der folgt, dass für 2 Punkte, welche auf derselben Seite von L liegen, bezw. für Geraden, welche die Verbindungsstrecke beider Punkte nicht schneiden, die Abstände dasselbe Zeichen haben, und im entgegengesetzten Falle entgegengesetztes.

Es sei für eine Gerade ue ve : Ni,e + N₂,e = 0, alsdann ist, wenn wir ue und ve, als, Einzeln betrachtet, beliebig variabel (u uod v) ansehen: N = N₁-|-N₂=0 1) die Gleichung eines Punktes; 2) eines Punktes auf der Geraden, welche Pj j Nx mit P₂ j N₂ verbindet ; 3) eines Punktes, dessen Geraden von PL und P₂ entgegengesetzt gleichen Abstand haben, d. h. :

Nj +N₂=0 ist die Gleichung der Mitte M von Pt P₂. Sei N = Nj—N₂ = 0, so ist dies die Gleichung

^---^ .

eines Punktes, der auf P₁ P₂ liegt, und dessen Geraden von Px und P₂ gleichen Abstand haben, d. h. aber n| Nl—N₂

4—^

ist der Unendlich ferne Punkt auf PLP₂. Man kann das leicht nachprüfen, da in der Form N = NX—N2 das konstante Glied 0 ist, d. h. aber der Punkt N = Л u -(- ^ v = 0 hat die Punktkoordinaten Л : 0 ; p : 0 id est oo.

Seien Nx = 0 ; N₂ = 0, N₃ = 0 die Gleichungen der 3 Ecken A, В, C eines Dreiecks, dann ist N₂ +

N₃ I der Mitte von В C ; ebenso N₃ -f | Bx ;

N, + N,( 0,

während

N₂-N₃ =0; N₃—N, = 0; Nx-Na = 0

die unendlich fernen Punkte auf BC, CA, AB darstellen. Es ist nun:

(N.-N.) + (N-NJ + (N,—Na) = 0

d. h.: (nach 9). Die unendlich fernen Punkte liegen auf Einer Geraden, der unendlich fernen Geraden.

Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

Ferner :

(N-N₃) + (N, + NJ-CN, + N₂) = 0

d. h.: die Verbindungslinie der Mittelpunkte zweier Seiten ist der dritten parallel.

Es ist W = N, + N₂ + N₃ = 0 die Gleichung eines Punktes P, (als lineare Gleichung in Linien

koordinaten) ; kurz P I Nj -f- N₂ + N₃, da aber auch

W = Nx -f (N₂ -f- N₃), so liegt P auf der Geraden,

welche A j N, mit { (Na -f N₃) W auch = N₂ + (Nj + N₃) und

verbindet. Da aber

= N₃ + (Nx + Ns),

so heisst dies: Die 3 Mittellinien einesDreiecks schneiden sich in Einem Punkte.

Die Höhenfusspunkte haben die Gleichungen N₂ cot ß + N₃ cot y ; N₃ cot y -f- Nx cot a ; Nt cot a -j- N₂ cot ß, somit schneiden sich die drei Höhen in dem Punkte.

H = cot« -f N₂ cot/? -f N₃ cot y- = 0.

§11. Harmonische Punkte.

Es seien A und C zwei Punkte, Nj und N₂ ihre Normalformen, alsdann ist

W = NX—ЛК₂ =0

die Gleichung eines Punktes P auf der Verbindungslinie von A und C der innerhalb AC liegt, wenn Л negativ, und wo Л sś, Nx : N₂ für alle seine Geraden konstant und somit gleich dem Teilungsverhältnis von AP : PC ist, da zu den Geraden des Punktes P auch die in P auf AC Senkrechte gehört. Dasselbe gilt, wenn Л positiv, nur dass dann P ausserhalb liegt. Ist Q ein Punkt ausserhalb, also j NL—^N2 wo positiv, und ist p -j- A = 0, so sind nach dem Yorhergesagten, die Punkte А, С, P, Q harmonisch, also sind

N, = 0; N₂ = 0;    = 0; Щ = 0

Die Gleichungen eines harmonischen Punktsystems А C P Q oder [А С P Q], wo A und C das eine Paar konjugierter Punkte, P und Q das andere bilden, oder A und C durch P und Q harmonisch getrennt werden. Es ist üblich, die Punkte in der Reihenfolge zu nennen, dass der die Strecke der beiden ersten innerhalb teilende an dritter Stelle genannt wird.

Man könnte immer die Rechnungen und Betrachtungen des § 8 wörtlich wiederholen und würde mit Vertauschung der Worte : Punkt und Gerade zu den dualen oder reciproken Sätzen gelangen, wobei zu bemerken, dass Menelaos und Ceva schon dual sind, da wir beim Beweis schon den Dualismus zwischen harmonischem

Strahl- und Punktsystem benützt haben; indessen sei noch einiges ausgeführt.

Zunächst ist, wenn N₁—>Ш₂ mit W₃, Nj -f- >Ш2 mit W₄ bezeichnet werden

W₃ = (1—>Î)N₃; W₄ = (1 + i)N4 wo N₃ und N* die Normalformen der Punkte P und Q [A ist hier negativ] alsdann folgt

Л + 1

2 N, = (1—Л)

[ N₃

/1—1

— 2 X N₃ = [1—X)

oder

0+

X -f 1

X—l

N, ]

W1 = N₃-^N₄; W₂ = N₃+,»N₄

d. h. also W₃ und W₄ werden durch und W₂ eben* falls harmonisch getrennt und das Teilungsverhältnis

der Strecke P Q ist abgesehen vom Zeichen

Л + 1

Л—1

Es werde noch der duale Satz zum Hauptsatz über die harmonischen Strahlen S. 37 direkt abgeleitet, er lautet: Wird ein Punkt mit einem harmonischen Punktsystem verbunden, so entstellt ein harmonisches Strahlensystem.

Sei [ACPQ] das harmonische System, und S der Punkt. Es werde die Distance eines Punktes z. B.

auf SA von einer Geraden z. B. SP mit ad bezeichnet.

Dann ist ad^ : ad^ längst des Strahles S A konstant

(cf. § 8) und sei gleich c, ebenso Cd^ : °d^ längst S C konstant und gleich c¹

'd °d

__ _P ₌ i

c¹ cd ad p a

Also c -j- c¹ m 0, womit der Satz bewiesen.

§ 12. Zusammenstellung der wichtigsten Formeln über die Gerade.

1) Gleichung der Geraden g, welche durch den I (x₄ J yj geht und mit -j- X den Winkel a

Punkt P bildet (S. 25.)

1) y—y₁ — r(x—XJ, wo T „der Bichtungsfaktor“ = sin «/sin (w—a).

la) Ist P I (O I b), so ist die Gleichung la) y—(*x + b) = 0.

2) Bedingung dafür, dass 4 Gerade durch P mit den Bichtungsfaktoren tq und xx einerseits und #₀ und # andrerseits einander harmonisch trennen (abgeleitet aus Formel 4).

2)    (ro + ri) (*o + *i) = 2 (Vi + W

3)    Winkel zweier Geraden bei w — 90° und positiver Drehung der ersten zur zweiten

¹ + Vl ’

Tt == r₀, senkrecht, wenn 1 +    — 0 ist.

4)    Gleichung, wenn g durch 2 Punkte P j (xL | }\) Q I (x₂1 y₂) bestimmt ist.

4) y—7i =    (x-xi);

3) tgg>

die Geraden parallel, wenn

und

У1— У2    У₂—У1

X2 X1

Xl—X2

5) Gleichung der Geraden in Hesse’s Form (S. 33.)

5)    H = X cos « + y cos ß—p = 0, wo, wenn w = 90°, cos²« + cos²/? — 1.

6)    Abstand d des Punktes P j

6)    £ cos a -f q cos ß—ô = d.

7)    Gleichung der Geraden A in Axenform (S. 24.)

von H.

У

+    —1 = 0, wo a und b die Ab

schnitte sind, welche A auf den Axen abschneidet; wird a~¹ mit u und b~¹ mit v bezeichnet, so hat man

7a) A = ux-f-vy—1 = 0, also t = —und, (wenn w = 90°) <5² (u² + v²) = 1.

7) A =

и i ce

1st u = О, v endlich und bestimmt, so ist A || der x-Axe, ist u beliebig, y = oo, so ist A die x-Axe selbst.

Ist v = 0, u endlich und bestimmt, so ist A|| der y-Axe, ist y beliebig, u = oo, so ist A die y-Axe selbst. Ist u = 0, V = 0, so istA die unendlich ferne

Gerade.

Ist u = oo, у = oo, so geht A durch den Nullpunkt und wird durch den Quotienten u : v bestimmt.

8) Ist A₀ { (u₀ I v₀) und A, [ (u, Iv,) punkt S I (||^), so ist

und ihr Schnitt-

⁸) i = (vi—vo):Ai V = 0¹o-^ui):A’ wo Л = U0V1

9) Ist w = 90 und cp der Winkel zwischen A₀ und Aj, so ist

10) Gleichung der Geraden g in allgemeiner Form. 10) ax + by—c = 0, also а : c = u ; b : c = v ; г — —a : b.

9) tg cp

also sin²cp = Л*б₀²    2.

IY. Abschnitt.

ParallebKoordiiiaten-Transformation.

§ 13.

Es ist häufig von Vorteil, das Axensystem zu wechseln. Seien 2 Axensysteme gegeben mit den Anfangspunkten 0 und O¹, den Winkeln w und w1 Fig. 9. Sei ein und derselbe Punkt P in Bezug auf

das

Erste I (xly), in Bezug auf das Zweite | (x^y¹)

so folgt aus der Aequivalenz des Punktes und seiner Koordinaten, dass (x|y) j (x¹, y¹), d. h. x und y müssen durch x¹ und y¹ unzweideutig bestimmt sein, und umgekehrt x¹ und y¹ durch x und y. Da ferner x und y bezw. x¹ oder y¹ nur unendlich werden können, für unendliches x¹ oder y¹ bezw. x oder y, so haben wir

°K

Fig. 9.

x = yx¹+<$y¹-|-e; y = y₁x¹ + 5,y¹4-e₁, wo die y, <5, e, etc. zu bestimmende Konstanten sind. Die Bedeutung von e und e₁ wird sofort klar, sobald man x¹ und y¹ gleich 0 setzt. Es ist, da 0¹ j (010) ist in Bezug auf das gestrichene System: x₀ = s- y0 — et d. h. e und e₁ sinddieAbscisse undOrdi-nate des neuen Anfangspunktes im alten System.

Zur Bestimmung von y und ô bezw. yt und dient die Bemerkung, dass x = 0 bezw. y = 0 die Gleichungen der y bezw. x-Axe sind. Ist der Winkel,

den + X¹ mit +y bildet (Fig. 9) «, so ist nach § 5 7a) (Form L der Gleichung der Geraden)

sin «

i    —У i s

У = Tx - T

X* + b₀;

sin (w¹—a)

also у = Л sin a* ô = —Л sin (w¹—a).

und da £ — —b₀<5, so ist: sin а

Um Л zu bestimmen, dient der Sinussatz demzufolge e    sin (w¹—a)

b„

sin w

sin (w¹—a) sin w

sin w

sin w

-, demnach у

Führen wir den Winkel oT als Winkel zwischen -f- X und -)- X¹ und ß als Winkel zwischen -f- x und + y¹ ein, so erhalten wir:

1*) x sin w = x¹ sin (w—ä) + У¹ sin (w—~ß) + e sin w.

Ganz ebenso ergiebt sich:

1) у sin w = x¹ sin ~a -f- У¹ sin/? + ei sin w.

Zu bemerken ist, dass ß—a = w¹ ist.

Sind die neuen Koordinaten den alten parallel und gleichgerichtet, so ist cT= O, J= w und man erhält x = x¹ + «; y = y¹ + *₁.

EineParallverschiebungdesAxenkreuzes ändert also Abscisse bezw. Ordinate nur um die konstanteAbscisse bezw. Ordinate des neuen Anfangspunktes in Bezug auf das alte System, was man auch unmittelbar sehen kann.

Sind w und w¹ beide = 90°, wie sehr häufig, so ist ~ß— 90 und man erhält

la) x = x¹ cos a—y¹ sin^e -f- e У —— x¹ sinVt + y¹ cos^ + er

Findet eine blosse Drehung eines rechtwinkligen Axenkreuzes um den Nullpunkt statt/ so sind e und ex beide 0 und man hat die am meisten gebrauchten Formeln

2) x^x^os«—y¹ sin ce y — X¹ sinä + y¹ eos~a.

Mit Rücksicht auf die grosse Bedeutung der Koordinatentransformation empfiehlt sich eine zweite Herleitung.

Oj

Fig. 10.

Sei jetzt ein Axensystem О, X, Y, w gegeben, + X werde (Fig. 10) in die Lage + X\ + Y in + Y1 gedreht (stets im positiven Sinn). Dann ist, wenn

P I (x|y) I (xMy¹) ist: x = OA; y = AP, x¹ = О А¹;

Projiciert man nun den Linienzug ОАРАЮ auf eine ganz beliebige Projectionsaxe -j- Z und bezeichnet den Winkel zwischen -j- Z und + X wie üblich mit (zx), so ist:

X cos (z x) -|- у cos (z y)—у¹ COS (z у *) —X¹ COS (z X¹) = 0 so dass

xcos (zx) -j- ycos(zy) = xxeos (zx!) + y cos (zy¹) Diese Gleichung umschliesst einen wichtigen Satz.

Die Summe der Projectionen der Koordinaten eines Punktes auf eine beliebige Axe ist von derRichtung der Koordinaten unabhängig.

Die völlige Freiheit in der Wahl der Axe Z kann man nun benutzen, um x und у durch x¹ und y¹, aber auch diese durch jene auszudrücken, je nachdem man cos (z y), cos(zx), cos(zy¹), cos(zx¹), verschwinden lässt, dadurch, dass man die betreffenden Winkel = 90° wählt. Unter Berücksichtigung, dass ganz allgemein, wenn a, b, c drei Geraden, (ab) -f- (b с) = (ac) ist, ergiebt sich sofort :

4) x sin w = x¹sin (w—~a) + y¹sin(w—ß) у sin w == x¹ sin а -f- у¹ sin ß⁻x¹ sin w¹ x sin ~ß— у sin (w—ß) y¹ sin w¹ = — x sin а + У sin (w—« )

Sind w und w¹ beide = 90°, so gehen die beiden letzten Gleichungen über in

x¹ = x cos a -f- у sin а ; у¹ = — x sin a -f- y cos a

Y. Abschnitt.

Der Kreis.

§ 14. Die Kurve.

Der Kreis wird definiert als Ort der Punkte, die von einem gegebenen Punkte, dem Centrum j (a | b)j eine gegebene Entfernung z. B. r haben. Dann ist nach § 3

К = (x—a)² + (y—b)² + 2 (x—a) (y—b) cos w—r² — 0 die Gleichung des Kreises.

Sind x, у die Koordinaten eines beliebigen Punktes P, so ist К = MP²—r² d. h. die Form К stellt für jeden beliebigem Punkt P dar die Differenz des Quadrates seiner Entfernung vom Mittelpunkt und des Quadrates des Radius d. h. Kp ist die Potenz des Punktes P in Bezug auf den Kreis K.²)

Ist w= 90, so geht K = 0 über in:

1)    (x-a)² + (y—b)²—r² - 0

die sogen. Normalform Kn, ist auch noch M j (OiO) d. h. fällt M mit 0 zusammen, so ist:

2)    K = x² + у²—r² = О

die Mittelpunktsgleichung. (Form M)

Die Gleichung des Kreises ist vom 2. Grade (quadratische Form), aber nicht jede Gleichung 2. Grades ist die eines Kreises. Sei f (x, y) = 0 eine solche, so muss sie j der Form К sein, d. h. sie kann sich nur durch einen konstanten Faktor von К unterscheiden, der durch Division beseitigt werden kann. Demnach muss f (x, y) die Form annehmen :

Q x²+ y² + 2 s x у—2 p x—2 q у + n = 0 Diese Vergleichung ergiebt 1) s muss < 1 sein, denn es muss s = cos w sein, 2) es muss : a -f- b cos w = p, b + a cos w = q sein, und hieraus :

1—s² ’

3) b =

q—ps _

1—s²

p—qs_

r² =

q² 4" p²—2 p q cos w

sin² w

Ist Punkt А I (p ! sin w), — (q / sin w) so ist r² =

OA²—n. Damit also eine beliebige quadratische Form Q die Form eines Kreises sei, ist nötig, dass 1) die Koefficienten von x2 und y² beide gleich; 2) nach Division mit diesen Koefficienten der Koefficient von 2xy kleiner als 1³) ist, 3) der Punkt A ausserhalb des Kreises bezw. OA² > nsei. Ist w = 90°, so muss der Koefficient s von xy gleich 0 sein, und q² + P² > n.

Um die Gleichung des Kreises aus der Form Q in die Form К zu transformieren, ist eine Koordinatentransformation erforderlich, wobei in der Formel 1 des § 13 für e und el die Werte a und b aus 3) ein-

zusetz en ~a — 0 und ß — 90, da ja К giltig bleibt für jede beliebige Richtung der X-Axe.

§ 15. Kreis und Gerade.

Sei 1) ux -f" vy—1 = 0 eine Gerade А 2) X² -|- y²—r² z= 0 ein Kreis К Die Kombination der Gleichungen 1 und 2 liefert, wenn u und V als gegeben betrachtet werden, die Koordinaten der Schnittpunkte. Da 1 linear und 2 quadratisch, so erhellt, dass ein Kreis und eine Gerade nie mehr als 2 Punkte gemeinsam haben können, und daher gehört der Kreis zu den Kurven 2. Ordnung oder 2. Grades. Da 1 und 2 symmetrisch in Bezug auf u und V einerseits und x und у anderseits, so erhellt, dass man aus den Werten des x die des у durch Vertauschung von u und V erhält und vice versa. Eliminiert man z. B. y, so resultiert:

3) cx²-j- dx-[-e = 0 wo c = u² -f- V² ; d — — 2 u. e — 1—r² v² ist.

Seien хг und x₂ die Wurzeln der dritten Gleichung (xL yx) und (x₂ y₂) also Kreispunkte, so ist (Arithmetik

2 u

und

v. Schubert etc. S. 111) хг -f- x₂ — —

c

ähnlich

У. + y₂ =

u

Also —

-, aber nach § 12, 7a ist

У1 + У2

der Bichtungsfaktor der Geraden, welche durch

die Punkte (x^yj und (x₂jy₂) geht, somit ist

4*) die Gleichung der S eline eines Kreises

¹

Die Festsetzungen weichen von denen Hesse’s ab, der p stets positiv nimmt und a von 0 bis 2 n zählt.

Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

²

Potenz nach Steiner; es gilt der Satz: Das Rechteck aus den Abschnitten aller sich im selben Punkt schneidenden Sehnen des Kreises К ist konstant und gleich + (MP¹—r²), je nachdem MP > oder < r ist. Beweis: Die halbe Sehne sei a, das Stück zwischen ihrer Mitte und P = z, so ist das Rechteck gleich + (z -fff) (z—0) = + (z’-a²) = ± < MP ⁸ —г²).

³

grösser als 0 ist.

(in der Form M) y—y₁ =

der man auch die Form geben kann 4a* (x Xj +y y, — Г²) + (x X₂ + y y₂—Г²) = Х,Хг + У!У₂—r2 ausser wenn у = 0 ist. Fallen xA und x₂ und damit auch jl und y₂ (in Folge von 1) zusammen, so wird die Sehne zur Tangente, ihr Richtungsfaktor wird — x₁ly₁ und ihre Gleichung ist:

5) xx, + УУ]—r² — o

Man sieht sofort (nach § 12 No. 3) dass die Tangente auf dem Radius durch den Berührungspunkt

(x-x,)

X. -fc X2

У1 + y₂

| Richtungsfaktor :    senkrecht steht.

Aus den Sätzen der Arithmetik S. 113, erhalten wir ohne Mühe als Bedingung dafür, dass xtyx und x₂y2 reell sind : r² (u² -f- v²)—1 > 0, dass ххух und x₂y₂ zusammenfallen : (u²-[-v²) r²—1 = 0, dass sie (komplex konjugiert) imaginär sind: (u² -f y²) r²—1 <0. Es ist aber entweder nach § 12 oder direkt klar, dass u² -]-v² =

i— wo

6 den Abstand der Geraden a| (u | v) vom 0-

Punkt also vom Centrum bedeutet, und wir erhalten somit die aus den Elementen bekannten Bedingungen für die Beziehung zwischen Kreis und Gerade wieder.

Die Gleichungen 1) und 2) lassen sich auch etwas anders auffassen. Wenn xx irgend ein Punkt В (xjyj auf dem Kreis ist und u und v beliebig, so ist 1) nach § 10 die Gleichung des Punktes.

Damit u und v dann die Koordinaten der Tangente durch В sind, muss u:v = x₁:y₁ sein, also haben wir

uxi + YJi—1 = o

vxj = 0

woraus sich u und y ergeben als u = xx : r², v = yt : r2 woraus sich ohne weiteres 5*) als Gleichung der Tangente durch den beliebigen Punkt В (xt |уг) ergiebt und ferner (u² v²)r²—1 = 0 als Bedingung dafür, dass die

Geraden А

I (u I v) eine Tangente an den Kreis M sei.

Die Gleichung 6) (u² -f- v²)r²—1 — О

ist also die Gleichung des Kreises (bei Form M) in Linienkoordinaten.

Geht man von der Form M zur Form Kn über, so sind nur die Pnnktkoordinaten x, y etc. durch die Differenzen (x—a); (y—b) etc. zu ersetzen, somit geht 5) über in :

(x—a) (Xj-a) + (y—b) (ух—b)—r² = 0.

Da u² -f- y² = <S~², so ist nach S. 53 für <5² (da 6 den Abstand des Punktes M und der Geraden (u | v) bedeutet) zu setzen (au-j-bv—l)², somit

6a(u²-f- v²) r²—(au-j-b v—l)² —0 die Gleichung des Kreises (bei Form Kn) in Linienkoor

dinaten. Ist P

(xjyj ein beliebiger Punkt von dem aus an den Kreis M Tangenten gelegt werden sollen, und sind u und v ihre Koordinaten, so hat

man zur Bestimmung von u und v :

a¹) uxL + vyj—1 — 0 (die Tangentengehören zu den Geraden des Punktes (xjyj b¹)    u²-f- v²—r~² = 0 (nach 6)

Da die Systeme sich von dem sub 1 und 2 dieses Paragraphen nur dadurch unterscheidet, dass x und у als Yariabele durch u und v ersetzt sind und r² durch l|r², so erhält man ohne weiteres die analogen Resultate, also :

1)    Durch keinen Punkt P gehen mehr als 2 Tangenten eines Kreises d. h. der Kr eis ist eine Kurve 2. Klasse.

2)    Es gieht von Paus 2 Tangenten, Eine, keine, j e nachdem y² — xL² -f- yx² > r²; = r² < r²; ist, d. h. also j e nachdem P ausserhalb des Kreises auf ihm, oder innerhalb liegt.

ry -f xp

Ul>2 =

Zur Bestimmung von ux, u₂ ; vlf v₂ hat man, wenn p² — d²—r² die Potenz von p bezeichnet: rx+jp

rd²

rd² ’ Vl’² ~

Sind r\x und |₂^₂ die Berührungspunkte, so ist

i, = yir2;    i2 = u2r2; % = v2r2

an

Als Gleichung der Tangenten von P j (x, (y,) den Kreis erhalten wir

7) r (x xt + у у,— d²) + p (x y,—y x,) = 0 welche leicht auf die Form К n eingerichtet wird.

Die Gleichung der Berührungssehne wird, da

li + I, =r2 К + u₂) und li it = r4u2 etc-

8) XX, + yy,—r² = 0,

sie stimmt also der Form nach völlig mit der der Tangente in einem Punkte (x^yj des Kreises überein, nur dass hier (xx jy^ der beliebige Schnittpunkt der Tangenten ist. Geht man von der Form Kn aus, so geht 8) über in

(x—a) (x,—a) + (y—b) (у,—b)—r² = O.

Wie aus dieser Uebereinstimmung die harmonischen Eigenschaften des Kreises sich sofort ergeben, findet sich in den Paragraphen 45 etc.

§ 16. Kreis und Kreis; Kreisschaar,

Seien KA — 0 und K₂ = 0 die Gleichungen 2. Kreise, ihre Kombination liefert die Koordinaten der Schnittpunkte; da beide К vom 2. Grade, so würde es 4 gemeinsame Lösungssysteme geben können; indessen ist das System Kx — 0, K₂ =0 identisch mit dem System Kj —0, Kj—K₂ =0, wie sofort klar; und die zweite Gleichung ist, da die quadratischen Glieder sich auf-heben, linear, somit existieren nur 2‘ gemeinsame Lösungen. Diese können zusammenfallen und auch imaginär werden. Wenn x und у sehr gross werden, reduziert sich für jeden Kreis К die Form К auf die quadratischen Glieder.

x² -|- y² + 2 x у cos w, der Radius und der Mittelpunkt fallen ganz heraus, somit kann man sagen, dass allen Kreisen die Lösungen vonx² у² -|- 2 x у cos w = 0 bei Annahme von x (und y) als unendlich gross identisch sind. Man sagt daher oft: AlleKreise haben dieselben beiden (imaginären) Punkte im Unendlichen gemeinsam. Sieht man von diesen ab, so bleiben nur 2 Schnittpunkte übrig, welche reell und getrennt, reell und zusammenfallend, getrennt und imaginär sind; je nachdem die Centrale zwischen Summe und Differenz der Radien, gleich Summe oder Differenz der Radien, grösser als die Summe oder kleiner als die Differenz der Radien ist.

Die Linie S = Kj—K₂ = 0 geht in allen 3 Fällen durch die Schnittpunkte, und ist stets reell auch im 3. Falle, also ist die Schnittgerade reell, auch wenn die Schnittpunkte als sichtbare Punkte nicht existieren.

Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

Da längs S : KL = K₂ ist^ so heisst dies, jeder Punkt von S hat für beide Kreise die gleiche Potenz und umgekehrt, hat ein Punkt für beide gleiche Potenz, so ist für seine Koordinaten Kt — K₂, also Кл—K₂ = 0, d. h. der Punkt liegt auf S, die Schnittlinie ist also zugleich Potenzlinie beider Kreise. Ist P ein Punkt auf S, dt seine Entfernung von Mx und d₂ von M₂, so ist, da K₁ = d₁²—r/² und K₂ = d₂²—r₂² ist, d/—гх2 = d₂²—r₂². Da der Gegenpunkt von P in Bezug auf die Centrale oder Axe auch von und M₂ die Entfernungen d₁ und d₂ hat, so liegt auch Px auf S, undS steht auf der Axe senkrecht und teilt sie so; dass die Differenz der Quadrate der Abschnitte gleich der Differenz der Quadrate der B. a di en ist.

Seien = 0, K₂ == 0, K₃ == 0 die Gleichungen 3. Kreise, S, = K₂—K₃ ; S₂ = K₃—KA ; S₃ = K₁— K₂, so ist St + S₂ -f- S₃ = 0.

Also: Die 3 Potenz- oder Schnittlinien dreier Kreise schneiden sich stets in Einem Punkt.

Dieser Satz giebt ein einfaches Mittel, die Potenzlinie zweier sich nicht (in reellen Punkten) schneidender Kreise zu konstruieren.

Haben Kx = 0 und K₂ — 0 die vorige Bedeutung, so stellt Kx -f- A K₂, wo A eine beliebige Konstante

einen dritten Kreis K₃ dar, wo K3 und da das Verschwinden zweier К auch von selbst

К. + ЛК, i8t

1+Л st’ 1 + Л

dem dritten К den Wert 0 giebt, so schneiden sich die 3 Kreise in denselben reellen (oder imaginären) Punkten, sie haben daher auch stets dieselbe Potenzlinie, wie schon daraus folgt, dass für einen Punkt auf

S : Kj = K₂ und somit K₃

K₂ ist. Jeder

Punkt auf S hat also dieselbe Potenz in Bezug auf alle 3 Kreise, und allgemein in Bezug auf die ganze Kreisschaar, welche durch die Schnittpunkte von Kt und K₂ hindurchgeht, die Potenzlinie S gehört selbst zur Schaar, sie ist anzusehen als Kreis mit unendlich grossem Radius, entspricht dem Wert Л gleich —1. Der Punkt N, in welchem S die Axe schneidet, hat für alle Kreise der Schaar die gleiche und die kleinste Potenz. Auch wenn die Kreise Kt und K₂ sich

Чч

•H,

k₃

K’ \

; K₂

Fig. 11.

nicht in reellen (sichtbaren) Punkten schneiden, lässt sich also durch ihre imaginären Schnittpunkte ein Kreis legen.

Man schlägt um N mit der Seite der Potenz (Pig. 11), die die Tangente von N an Kt oder K₂, einen Kreis, zieht darin einen beliebigen Radius NP; die Senkrechte in P auf N P trifft die Centrale in K₃, der Kreis um K₃ mit K₃ P gehört dann zur Schaar von Kj und K₂.

Der Kreis trifft die Axe Kj K₂ in den Punkten A und B, dann ist nach dem Potenzsatz :

NPa = NH₁a = N.A. NB, d. h. [ABB^HJ sind harmonische Punkte.

Da P beliebig auf dem Kreise N, so kann man zu

und H₂ — den Hauptpunkten — unzählige Punktepaare wie A und В konstruieren, welche Hj und H2 harmonisch trennen. Umgekehrt, wenn zwei Punktepaare Аг BŁ und Ag B₂ auf einer Geraden gegeben sind, und zwar so, dass die Strecken Al Bt und A₂ B₂ entweder ganz ineinander oder ganz auseinander liegen, kann man ein drittes Punktepaar Hj H₂ konstruieren, das zu beiden gegebenen Paaren harmonisch ist ; da durch irgend zwei Kreise der Schaar die Potenzlinie und damit N bestimmt ist.

Man sieht, dass die Hauptpunkte selbst zu den Kreisen der Schaar gehören, es sind die mit den Radien 0, während die Potenzlinie (und die Unendlichferne) den Radius oo haben; das ganze System der Punkte AB bildet eine Involution, NHX² heisst die Potenz der Involution (Kreisverwandtschaft).

§17. D. Kegelschnitte als Kurven 2. Grades u. 2. Klasse. 69

Yl. Abschnitt.

Die Kegelschnitte.

§ 17. Die Kegelschnitte als Kurven 2, Grades und 2. Klasse.

Es werde der Ort der Punkte bestimmt, welche von einem gegebenen Punkt E, Focus oder Brennpunkt genannt, und einer festen Geraden L, der Leitlinie (Directrix), Abstände haben, deren Verhältnis, ohne Rücksicht auf das Zeichen, konstant und gleich der Zahl e ist. Die Zahl e heisst numerische Ex-centricität.

Sei F { (a|b)

und L I (u₀ I v₀) in Bezug auf recht-

winklige Axen. Dann ist (Fig. 12) + ePA = PF oder PF² = e²P A².

"Werden P F² und P A² durch ihre Formeln aus § 3 und § 12 ausgedrückt, so ergiebt sich sofort

2 Kx + v₀y—l)².

1) (x—a)² + (y—b)² =

e²

V + \

Die Gleichung 1) ist 2. Grades, sie umschliesst 3 der Art nach verschiedene Kurven, je nachdem e < 1 oder = 1, oder > 1 ist; die betreffenden Kurven heissen Ellipse, Parabel, Hyperbel; gemeinsam: Kegelschnitte. Als spezielle Fälle umschliessen sie den Kreis, wenn e = 0, und u₀, sowie v₀ auch gleich 0, d. h. die Leitlinie die unendlich ferne Gerade ist, und ausserdem e² : (u₀²    v₀²) — r² gesetzt wird; ferner zwei ver

schiedene Gerade, oder auch Eine (doppelte) Gerade, da eine Form 2. Grades ja auch das Produkt zweier.

verschiedener oder gleicher, linearer Faktoren sein kann. Die Parabel ist ein Grenzfall der Ellipsen wie der Hyperbeln, sie ist Ellipse mit der grössten, Hyperbel mit der kleinsten Excentricität. Dass wir es hier mit 3 wohl definierten Arten zu thun haben, geht aus dem Verhalten der Kurven im Unendlichen hervor. Wir erhalten die unendlich fernen Elemente oder Punkte der Kurven, wenn wir nur die Glieder 2. Dimension in 1) beibehalten, da sowohl die Konstanten als auch

die ersten Potenzen von x bez. y, gegen x², xy, y2 verschwinden, sobald x und y über jedes Mass gross sind.

Wir erhalten dann, wenn zur Abkürzung (u₀² + v₀²):e² fortab mit y bezeichnet wird: la) X² o—V) + y² (у—О — 2 U₀ v₀ X у = 0.

Zieht man x* vor die Klammer und benennt y : x mit z, so giebt la) eine quadratische Gleichung für z, welche (Schubert, Arithmetik S. 113) zwei reelle Lösungen, eine, keine, hat, je nachdem u₀² v₀2 > = < (y—u₀²) (у—v₀²) ist, d. h. also je nachdem e > 1, = 1, < 1 ist. Die Hyperbel hat also 2 Punkte im Unendlichen, bei der Parabel fallen die beiden unendlich fernen Punkte zusammen, die Ellipsen (also auch der Kreis) haben keinen (sichtbaren oder reellen) Punkt in grenzenloser Ferne, es sind geschlossene Kurven.

Die Gleichung 1) enthält 5 Konstanten: e, u₀, v₀, a, b, die allgemeine Gleichung 2. Grades:

la) a₀₀ x² + 2a₀₁ xy+ any² + 2a₀₂x-f2a₁₂y + a₂₂=0 enthält deren 6 ; da aber nicht alle 3 ersten Koeffizienten zugleich verschwinden dürfen, ist es gestattet, (§ 4 Multiplication mit einem konstanten Faktor)

lb) a₀₁² = (l—a₀₀) (1—an) zu setzen, dann lassen sich die 5 Konstanten der Form 1 durch die 6 Grössen der

Form la ausdrücken. Wir haben, wenn e² : (u₀² -f* v₀²) gleich p gesetzt wird:

a00 = !—Puo² i а11 = 1—P V ; a₀₁ = —p u₀ v₀

a02=— a + pu₀; a!2 = —b+PV0> a22=a2+b3-P Es ergiebt sich sofort:

a)    e² = 1—a₀₀ + 1—an

jl aoo

aoi _

1—a,! _

Setzt man u₀ = Л a₀₁ ; v₀ = — Л (1—a^), so ist:

vo

aot

b) -Ъ-=^

c) P =

; «o² + vo2 = e2/l2(¹—au)

^ (1-aJ

d)    a + a02 = P Uoi Ь + % 2 = P V0

e)    Л² (1—aJ (a₂₂—a₀₂²—a₁₂²) + 2Л (aol a₀₂ + an a₁₂

— а1г) —(®²—'!) = 0

Die Gleichung e) ist quadratisch, sie liefert im allgemeinen zwei verschiedene Werte für Л ; Лх und Л₂* und damit zwei Wertsysteme u₀, v₀ und zwei desgl. a, b d. h. die Kurve 1 hat i. A. z w e i Leit linien und

zwei Brennpunkte.

so haben beide Leitlinien den

u¹    u¹¹

Da

V0    V 0

selben Bichtungsf aktor, d. h. die beiden Leitlinien sind parallel.

ara¹¹

t\ al + a02 u0 _ a¹¹ + a₀,___

b4-a₁₂ v₀ bu + aI2    b¹—b¹¹

so steht die Verbindungslinie der beiden Brennpunkte auf den Leitlinien senkrecht.

Die Gleichung e) giebt noch zu einigen Bemerkungen Veranlassung: 1) ist e = 1, so ist ein Wert des

A = 0, u₀ und v₀ sind 0, die eine Leitlinie ist die Unendlich ferne Gerade, die Parabel hat also nur eine Leitlinie im Endlichen, sowie einen

Brennpunkt im Endlichen.

2) Ist a₂₂—a₀₂²—\ ₂² = 0, so ist eine Lösung A = <x>, (Vgl. § 21.) Die eine Leitlinie geht durch den Nullpunkt.

Ist 1—a₁₁=0, so ist auch a₀₁ nach lb) = 0 und es verschwindet auch der Koeffizient von A². Ist dann e² nicht gleich 1, so sind beide Lösungen von Л unendlich, u₀ : v₀ wird 0 :0 also unbestimmt, und da A² (1—an) als endlich anzusehen, so sind u₀ und v0 gleich 0 zu setzen, es muss auch 1—a₀₀ =0 sein, also auch e = 0, und die Kurve ist ein Kreis. Ist e = 1, so verschwindet die Gleichung e) völlig, dann ist u₀ : v₀ = — (1—a₀₀) : a₀₁ unendlich, da a₀₀ gleich 0 und die Form la) ist y² + 2a₀₂ x + 2ax ₂ y -f a₂ ₂ und stellt eine Parabel dar, deren Leitlinie senkrecht auf der x-Axe.

Es erhellt somit:

Die Kurven 2. Gradessind mit den Kegelschnitten identisch.

Eine Gleichung 2. Grades und eine lineare haben höchstens 2 gemeinsame Lösungen, also :

Ein Kegelschnitt wird von einer Geraden höchstens in 2 Punkten geschnitten.

Sobald also mehr als 2 Punkte einer Kurve 2. Grades auf Einer Geraden liegen, muss diese Gerade ganz auf der Kurve 2. Grades liegen, d. h. der Kegelschnitt zerfällt in ein Paar gerader Linien, diese sogen, uneigentlichen Kurven 2. Grades schliessen wir hier aus.

Man sagt auch : Ein Kegelschnitt wird von einer Geraden stets in 2 Punkten geschnitten, die entweder beide reell und verschieden sind, oder in einen (doppelt gezählten) zusammenfallen und dann heisst die Gerade eine Tangente, oder unsichtbar (imaginär) sind, je nachdem die quadratische Gleichung, welche sich durch Elimination von y bezw. x zwischen den Gleichungen der Kurve und der Geraden ergiebt, für x bezw. y zwei reelle Lösungen, eine oder keine hat.

Den Kurven 2. Grades (2. Ordnung) entsprechen dual (S. 47) die Kurven 2. Klasse, d. h. solche, deren Gleichung in Linienkoordinaten vom 2. Grade in u und V zusammen ist, wie z. B. der Kreis, so dass also durch jeden Punkt nicht mehr wie 2 Tangenten der Kurve gehen bezw. genau 2, wenn wir zusammenfallende doppelt und imaginäre Lösungen mitzählen.

Fragt man, welche Eigenschaft der Geraden als Tangenten dual der fundamentalen der Punkte der ₄ Kegelschnitte entspricht, so sieht man leicht, wenn L wieder die Leitlinie, F den Focus bezeichnet, und 8 der Schnittpunkt der beliebigen Tangente t mit L ist, (Fig. 12), die Tangente t muss den Winkel zwischenLundSFnach konstantem Teilungsverhältnis teilen.

Sei 11 (u|v).

dann ist der Schnitt S von L und

uo—Ц

.{ (£1ч)

t bestimmt durch S und Л = uov—v₀u (cf. § 12, 8).

wo £

V~V

-Ä-’V= л

Fi g. 12.

(ua 4- vb—1)!

Л²

u² + v²

u²+V²

nach Multiplikation mit (u² -f- v²) über in

2) (y—vo—ai)² + («0—¹¹—Ъ ЛУ — (ua + Vb—1)V

Die Gleichung 2) enthält 5 Konstanten, und ist daher mit der allgemeinen Gleichung 2. Klasse identifizierbar.

Es soll nun gezeigt werden, dass die Kurven 2. Grades mit denen 2. Klasse zusammenfallen.

Sei P I (X I y) ein Punkt der Kurve О j Gleichung 1) und g I ux + vy—1 = 0 (oder g j (u|v)) eine Ge-

Nach § 12, 9 ist sin² (Lt) =

Л²

K²+V)<V +V²)

(ua + vb—l)²

u² + V²

SF² = (|—a)²+(v—b)²; somit geht die Gleichung sin² (t, SF) = e² sin² (Lt) oder

sin² (t, S F) =

FD²

SF² *

: FD²-

rade durch P. Eliminiert man zwischen 1) und der Gleichung für g die Grösse y, so erhält man für die Schnittpunkte von C und g

3) X² [A²—y (u² + V²) ] + 2 X [A (vo—v) + y V (a v—u b) + 7 u] + (v₀—v)²—y [v² (a² + b²) -2 v b + 1], wo A und y die alte Bedeutung haben. Entsprechend ist die Gleichung für y, nur dass u mit v, a mit b vertauscht wird, wobei A in —A übergeht; 3) ist eine quadratische Gleichung, welche 2 Lösungen für x giebt, zu denen dann g das zugehörige y liefert. Giebt man 3) die Form : x² q + 2 ux + z = 0, so ist (Schubert, Arithmetik S. 113): o²—qz > 0 die Bedingung dafür, dass 3) zwei reelle Lösungen hat, dass also g die Kurve C wirklich schneidet ; ist a²—q z — 0, so fallen beide Lösungen in eine zusammen, die Gerade g j (u | v) ist eine Tangente der Kurve C ; und ist <r—q z < 0, so sind beide x imaginär, die Gerade g hat mit der Kurve C keinen (sichtbaren) Punkt gemeinsam. Die Tangente stellt also den Uebergang von den schneidenden zu den nichtsclmeidenden Geraden dar. Davon durchaus verschieden sind die Geraden, für welche q — 0 ist, wenn solche existieren ; sie haben zwar auch nur Einen Punkt mit der Kurve gemeinsam, aber sie bilden keine solche Grenze; man kann, wie bei der Parabel noch näher ausgeführt wird, annehmen, dass sie von der Kurve im Unendlichen geschnitten werden, da x = a>, wenn q — 0 der Gleichung 3 formal genügt. Da q proportional e² sin ²w—1 ist, wenn w der Winkel zwischen

also nur, wenn

L und g, so heisst q = 0 : sin w = + e>l, d. h. also bei der Hyperbel, giebt es

nur in Einem Punkt schneiden; unter ihnen sind zwei, welche selbst den Charakter von Tangenten haben, die beiden, für welche

auch

(u² + V²) (u₀² + v₀²) man sagen kann, dass sie die Kurve im Unendlichen berühren; sie heissen: Asymptoten.

zwei Scharen von Geraden, bestimmt durch welche die Kurve im Endlichen

sin w —

+4

Oist, und von denen

Damit also die Gerade (u | v) Tangente sei, muss o'²—qt — 0 sein; man sieht sofort, dass Л² (v₀—v)² sowohl in o² als in qt vorkommt, also herausfällt, und der Ausdruck sich dann durch y dividieren lässt; die Glieder, welche dann noch y enthalten, geben zusammengefasst sofort y (ua + vb—l)², die übrigen, wenn man geschickt zusammenzieht, z. B. 2>î²vb mit 2>îvbu (v₀—v), fast ebenso mühelos die linke Seite von 2), also : Die Gleichung 2 ist die Gleichung der Kegelschnitte in Linienkoordinaten, oder auch : Die Kurven 2. Grades sind Kurven 2. Klasse. Bei der fast völligen Symmetrie der Gleichungen 1) und 2), sowie der der Geraden und des Punktes beweist man ganz ebenso umgekehrt: Die Kurven 2. Klasse sind Kurven 2. Grades, also : Die Kegelschnitte sind die einzigen Kurven 2. Grades und 2. Klasse.

§ 18. Die Gleichung der Tangente und der В erührungss elme.

Die fundamentale Eigenschaft der Tangente: den Winkel zwischen ihrem Brennstrahl auf der Leitlinie und dieser selbst in konstantem Verhältnis zu teilen — führt sofort zu dem Satz :

Der Brennstrahl nach dem Berührungspunkt steht auf dem Brennstrahl nach dem Leitlinienpunkt der Tangente senkrecht (oder: das Stück der Tangente zwischen Kurve und Leitlinie erscheint vom Brennpunkt aus unter rechtem Winkel).

Es ist nämlich (Fig. 12) PF = ePA nach 1) und das Loth von P auf S F nach 2) auch gleich ePA = PF. Der Satz ergiebt eine sehr einfache Konstruktion der Tangente, wenn P, L und F gegeben sind. Ferner:

Die Leitlinie, SF, und die beiden Tangenten von S an die Kurve bilden ein harmonisches Büschel.

Ist S, der Schnittpunkt zweier Tangenten, nicht auf L; und wird L von der Tangente SPj (Fig. 13) in Sj und von der Tangente SP₂ in S₂ geschnitten, so folgt aus 2) sofort, dass S von Sx F und S₂ F gleichen Abstand hat, und somit auf der Linie liegt, welche den Winkel SjFS₂ halbiert, da nun, wie eben gezeigt, S^Pj und S₂FP₂ rechte Winkel sind, also gleich, so folgt:

Der Brennstrahl nach dem Schnittpunkt zweier Tangenten halbiert den Winkel zwischen den Brennstrahlen nach den Berühr-

ungspunkten, oder auch: der Schnittpunkt hat von den Berührungsbrennstrahlen gleichen Abstand.

/ч

(F

Fi g. 13.

Seien u und v die Koordinaten einer Tangente, Xj und y₁ die des Berührungspunktes, so dass also u und v der Gleichung 2) genügen, so geht 3) nach Multiplikation mit Qj weil o² = qt ist, über in (x q -f- o)² = 0 also ist x^-J-o¹— 0; da q in u₀, v₀; u, v symmetrisch, so ist yx Q + a¹ = 0, wo a¹ aus a durch Tausch von u0 mit v₀, u mit v, a und b hervorgeht, also

[Л (y₀—y) + y v (a v—u b) -j- yu]

O¹* + v²)

У» =

[— Л (цо—и) + у u (b a—a v) + у у]

Л²—У (ц2 + V²)

hiermit sind und yx durch u und v ausgedrückt. Beachtet man, dass nach: 4a) x₁u-|-y₁v—1 = 0 ist; so ist

5)

_ — uoy-¹<l(xily₁) + (x₁—a) vo3'“¹i(x₁|y₁) — (у,—b)

wo q (x I y) oder q(xy)-u₀x-f v₀у— 1 ist. Also ist u = zf, v = nf, wo f durch 4a) bestimmt wird. Da

u

— — der Richtungsfaktor der Tangente, so ist ihre Gleichung

У—У1 =

(x—xi) °der

q('xilyi) q (x Iy)—fe— а) (x—а)—(у,— b) (y-b) =

У⁻² q(xil Ух) q(xt [yj—(xx—а) (x,—a)—(yL— b) (у,—b)

Die rechte Seite ist aber nichts anderes als die auf О gebrachte Gleichung 1) der Kurve, also ist die Gleichung der Tangente

6)

e²

y * (xi uo + У1 V—1) (x ¹¹ „ + У 1) = (xi а) (x-a)+ (у,—b) (y—b)

Die Gleichung derTangente wird erhalten, wenn man in der des Вerührungspunktes die Quadrate in ihre Faktoren auflöst, und in dem einenFaktor statt der Ko or dinat en de s Berührungspunktes diedeslaufendenPunktes der Tangenten einsetzt.

Das Besultat lässt sich ohne Rechnung ableiten.

Es ist PF.qF cos PF Q der rechten Seite von 6)

Fig. 12.

gleich (Fig. 12) aber nach 1) ist PF = ePA, und nach 2) ist Q F cos PFQr=QE=:eQB? somit 6) erwiesen.

(F

S<

S3

Lz

Fig. 13.

Da (Fig. 13) eSB = SFcos SFPj und ebenso eSB = SF cos SFP₂, so ist, wie schon oben bewiesen, SFP₁₌SFP₂. _

J (f | ff) ein beliebiger Punkt, und sollen von ihm aus an die Kurve 1) die Tangenten gelegt werden, so hat man die Gleichung des Punktes : |u -f- v—1 = 0 mit der der Kurve in Linienkoordinaten zu kombinieren, also mit 2), daraus berechnen sich die beiden Lösungen ut Vj und u₂ v₂, mittelst deren durch 4a) die Koordinaten der Berührungspunkte xx j₁ und x₂ y₂ bestimmt werden. Man kann auch in 6) x und y durch | und y ersetzen und 6) mit 1) kombinieren, um direkt xx jt und x₂ y₂ zu finden. Durch diese ist dann die Gleichung der Berührungssehne (Chordale) bestimmt, aber sie lässt sich direkt ableiten. Es gilt 6) sowohl für die Tangente Uj vx in A j (Xj yj, als für die in В | (x₂1 y₂). Durch Subtraktion erhält man für den Bichtungsfaktor г von А В Уа—Ух

1st Р

q(tq)v-у (I—а) _ __ чЦп) vo—г ОНb)

N ! fl

X2~X1

Also ist die Gleichung von А В

у—y₁₌r(x—xŁ) oder xz + yn = x₁ z + yxn oder, wenn man Identisches auf beiden Seiten hinzufügt

q (in) (xu + у V—1)—у [(x—а) (I—а) + (у—b) fa—Ъ)]

= q(in) (xt + У1 V—1)—y [fa—a) (I—a) + fa—b)

fa—b)].

Die rechte Seite ist aber nach 6) — 0, somit die Gleichung der Berührungssehne (Chordale)

e²

u₀² + vo

2 (XU₀ + У v₀ 1) (I u₀ + v₀ rj—1) = (x—a)

(i—a) + (y—b) 0?—b)

d. h. also die Gleichung der Berührungssehne ist dieselbe wie die der Tangente, nur dass statt der Koordinaten des Berührungspunktes die des Schnittpunktes P der Tangenten eintreten.

Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

§ 19. Pol und Polare.

Man bezeichnet den Punkt P, den Schnittpunkt der Tangenten, als den Pol der Sehne AB, und die Sehne AB als die Polare des Punktes P. Die Gleichung 7) wird als Gleichung der Polare gewöhnlich auf 0 gebracht, sie ist 1) völlig unabhängig davon, ob die Lösungen ux vt und u₂ v₂ reell sind oder nicht, sie geht in die der Tangente über, sobald (f | rj) ein Punkt der Kurve; die Polare existiert also immer, als reelle Gerade, gleichgiltig, ob sich von P die Tangenten ziehen lassen oder nicht, d. h. ob P A < PF oder > PF, ob P ausserhalb der Kurve oder innerhalb liegt, sie fällt mit der Tangente zusammen im Grenzfall, wo P auf der Kurve. 2) Gleichung 7) ist symmetrisch in Bezug auf ^ und (xy). Wir haben den wichtigen Satz:

Liegt ein PunktQ auf der Polare vonP, so geht die Polare von Q durch P. Oder: Dreht sich eine Gerade um einen festen Punkt P, so bewegt sich ihr Pol P auf einer Geraden, der Polaren von P.

Wir haben dadurch ein Mittel, um jedem Punkte dual eine bestimmte Gerade zuzuordnen: seine Polare in Bezug auf einen beliebigen Kegelschnitt als Grundoder Polarisationskurve; jeder Kurve n. Grades, d. h. deren Gleichung in x und y zusammen vom n. Grade, oder was dasselbe ist, jeder Kurve, die von einer Geraden in n Punkten (reell oder imaginär) geschnitten wird, entspricht eine Kurve n. Klasse, d. h. solche, bei der durch jeden Punkt n Tangenten gehen.

Den Kegelschnitten, und nur diesen, entsprechen wieder Kegelschnitte, die Grundkurve entspricht sich selbst; zu jedem Satz, der aussagt, dass p Gerade sich in Einem Punkt schneiden, gehört sofort dual der Satz, dass p Punkte, die Pole jener Geraden, auf einer Geraden, der Polaren jenes Punktes, liegen und v. v.

Die linke Seite der Gleichungen der Polaren und der Tangente verschwindet für alle Punkte A der Leitlinie L, die rechte ist dem Kosinus des Winkels zwischen den Brennstrahlen nach dem Pol und nach dem beliebigen Punkt (x I y) proportional, somit ist Satz 1 des § 18 S. 77 durch Rechnung bewiesen und zugleich seine Erweiterung:

Der Brennstrahl nach dem Pol steht auf dem Brennstrahl nach dem Leitlinienpunkt der Polaren senkrecht und ferner:

Wenn derPol auf L liegt, geht die Polare durch F, d. h. der Brennpunkt ist Pol der zugehörigen Leitlinie.

Die Analogie mit dem Kreis führt auf die harmonischen Eigenschaften der Polare.

reell oder ima-

Sei P I (I I vj) der Pol, g J (u | v) eine beliebige seiner Geraden und schneide die Kurve 1) in den Punkten C {(xjy,) und d{ (x,|ys) ginär, alsdann gilt für die Koordinaten des Schnittpunktes die quadratische Gleichung 3), und es ist wieder x² q —j- 2 x u —j— x = 0, also: (Schubert S. 113)

X1 + x2 == — 2 O: ei x₁ x₂ = t : Q

Fragt man nach dem Punkt Q j (fx 1^),

der mit P die

Punkte C und D harmonisch trennt, so ist nach §3. S. 19 (X1 + X₂) (l + ll) = ² (XX X2 + I ll)

oder

7a) iilQ + (i + i>)°+T = o

wo nach 3) : q = A²—y(u² -f v²) ; <r — i(v₀—v) + 7v²a— yu(vb—1); t = (v₀—v)²—yv²a²—y(vb—l)², also geht 7a) über in

?b) (1Л + v₀—v) (I, i + v₀—v) = у [v²(f—а) (I,— а) + (Iu 4- vb—1) (I, u + vb—1)].

Da Л = u₀ y—v₀u und (durch g) sowohl £u—1

—    — tjv als    u—1 — —цх v, so haben wir

7e) v² (|u₀ + v y — 1) (I, u₀ + Vl v₀—1) = v² у [(I,

—    a) (ii—a) + 0?—b)(^i—b)] woraus nach (erlaubter) Division mit v² wieder:

7) q (I V) q (It %) = y [ (I—a) (I,—a) + (17—b) (Vl— b)]

d. i. aber die Gleichung der Polaren. Damit ist der Hauptsatz der Kegelschnittslehre erwiesen:

Die Kegelschnittspunkte einer beliebigen Sehne werden durch einen Pol auf der Sehne

und seine Polare harmonisch getrennt.

Der Satz gilt völlig allgemein, gleichgültig, ob der Pol innen oder aussen, ob die sich um den Pol drehende Sehne die Kurve К schneidet, berührt, oder nicht schneidet (d. h. die gemeinsamen Lösungen der Gleichungen 1) und der Sehne imaginär sind).

Wir haben in diesem Satz ein Mittel, um von einem Punkt P (ausserhalb) die Tangenten an К zu ziehen und zwar mit alleiniger Hilfe des Lineals. Man hat nur nötig (Abschnitt 1 § 8), die Figur des vollständigen Yierseits herzustellen. Man zieht also von P die beiden Sekanten P 1, 2. P 3, 4, wo 1, 2, 3, 4 Punkte der Kurve sind, zieht 1, 3 und 2, 4, schneiden sich in Q, und 1, 4 und 2, 3 schneiden sich in PL, so ist KQ die Polare von P. Verbindet man die Punkte A und C, in denen KQ die Kurve К schneidet, mit P, so sind P A und P C die Tangenten.

Die Punkte PQK bilden ein sogen. Tripel, da PQ die Polare von К und PK die Polare von Q ist, das Dreieck PQK entspricht sich also bei Polarisation durch die Kurve К selbst. Zieht man von Q eine Tangente an die Kurve, so liegt also der Berührungspunkt auf PK; Wir haben die Sätze:

Das Stückjederdritten Tangente zwischen zwei festen Tangenten wird durch den eignen Berührungspunkt und die Polare desSchnitt-punkts der festen Tangenten harmonisch geteilt, und

In jedem Tangentendreieck schneiden sich die Ecktransversalen nach den gegenüberliegenden Berührungspunkten in Einem Punkt und liegen die 3 Schnittpunkte der Tangenten mit den nicht zugehörigen Polaren in Einer Geraden. Ebenso einfach er-giebt sich aus der harmonischen Eigenschaft des vollständigen Vierseits der Satz:

Die Diagonalen des einem Kegelschnitt eingeschriebenen Vierecks und die des zugehörigen umgeschriebenen Vierecks schneiden sich in Einem Punkt. (Die Seiten des Einen sind Polare zu den Ecken des anderen Vierecks.)

§ 20. Sehnenscliar und Durchmesser in Konjunktion.

Rückt der Pol P ins Unendliche, d. h. werden die Geraden, die auf ihm liegen, parallel, so rückt der zu ihm harmonische auf jeder Sehne in die Mitte der Sehne, also:

DieMitten aller parallelen Sehnen liegen auf Einer Geraden, der Polaren des in der Richtung der Sehnenschar unendlich fernen Punkts.

Polaren, deren Pol unendlich fern, heissen Durchmesser. Der einzelne heisst der Sehnenschar, die er halbiert, konjugiert (zugeordnet).

Der Durchmesser selbst schneidet die Kurve in zwei (reellen oder imaginären) Punkten ; die Tangenten in diesen Punkten gehören mit zu seiner Sehnenschar, es sind also die Tangenten zu je zwei parallel, und es ist jetzt leicht, eine Tangente von gegebener Richtung zu konstruieren.

Dieselbe Konstruktion, welche zum Pol P die Polare liefert, giebt auch den zur Sehnenschar konjugierten Durchmesser, nur sind 12 und 34 parallel ; also:

Die У erbindungsgeraden derEndpunkte paralleler Sehnen schneiden sich auf dem konjugierten Durchmesser und:

Die Tangenten in den Endpunkten einer Sehne schneiden sich auf dem konj ugierten Durchmesser.

Der Schnitt m zweier Durchmesser ist harmonisch zu zwei Punkten im Unendlichen, also liegt seine Polare ganz'im Unendlichen; es ist eine unendlich ferne Gerade, deren Koordinaten u = 0 v = 0 sind, und da wir gene-raliter völlige Aequivalenz zwischen der Geraden und ihren Koordinaten haben, so müssen wir auch zu u —0 v = 0 nur Eine Gerade zuordnen, somit ist die Polare von M die unendlich ferne Gerade, und da sie jeden Durchmesser im Unendlichen schneidet, so muss M die Mitte aller Durchmesser sein.

Der Punkt M ist also der Mittelpunkt oder das Gentrum des Kegelschnitts, d. h. ein Punkt, welcher jede durch ihn gehende Sehne halbiert-, M kann auch ins Unendliche rücken oder, was dasselbe ist, die Durchmesser können parallel sein. Da es zu jeder, also auch zur unendlich fernen Geraden, nur Einen Pol giebt, so giebt es auch nur Ein Centrum. Wir wollen nun diese Resultate durch die Rechnung bestätigen.

Es sei P I (I117) ein unendlich ferner Punkt, d. h. also I und rj oder doch eins von beiden über jedes Mass gross, alsdann ist sicher entweder 1 : | oder 1 : r\ = 0 und die Gleichung des Punktes P ist: u | -j- v^ = 0

U    7]

d. h. — — = —, der Richtungsfaktor aller Geraden

durch P ist konstant, die Geraden von P sind parallel, wie an und für sich klar. Es geht dann 7) über in:

8) Л q(x I y) = y [ (x-a) V— (y—b) u] wo Л wieder u₀v—v₀u ist: Da 8) in x und у linear, so ist 8) I einer Geraden tf, 8) hängt aber nur von u: v ab, und bleibt daher für alle parallelen Geraden, oder w. d. s., für alle Geraden von P, ungeändert. Ist I (u|v) eine bestimmte von ihnen, welche die Kurve К in (Xj yj und (x₂ y₂) schneidet, so ist ihr Richtungs-

У2 У1

d. h. es ist erlaubt, in 8) für

faktor

x2—X1

u zu setzen y₂—yt und für v — (x₂—xj. Weil aber (x₁|y₁) und (x₂|y₂) die Gleichung 1 der Kurve erfüllen, so wird 8) erfüllt, wenn 2x = x₁-|~x₂î 2y = y₁-j-y₂ gesetzt wird, d. h. die Gerade 8, die Polare 71 von P, geht durch die Mitte jeder Geraden von P d. h. sie halbiert die Schaar

paralleler Sehnen, deren Kichtungsfaktor — u : v ist.

Sei jetzt л¹ konjugiert zu ( — u¹ : v¹) ein zweiter Durchmesser, so ist für den Schnittpunkt M sowohl 71 — 0 als tv¹ = 0 und somit

_ (x—а) V— (y—b)u __

~ (x—a)v‘—(y—b)u‘ — u₀ v¹—v₀ u*

8a)

uo v~vo u

d. h.

aber    =«o

y—b

zr oder (x—a) = £.u ;    (y—b) = &v₀

Vo

folglich ergiebt 8) für die Bestimmung von #, da & == [ (x— a) v— (y—b) u] : i ist : q(x|y)=^(u₀² + v₀²)—1+ au₀+ v₀b=rd; d. h.

8b) S =

— e²(u₀a+v₀ b—1)

(V + V) (e²—1)

und (x—a) = & u₀ ; (y—b) = & v₀ ; x = a -f- # uo ;

y = b + ^v₀

d. h. aber aus den Koordinaten von M sind sowohl u und v als auch u¹ und v¹ völlig verschwunden, sie hängen nur von den Konstanten der Kurve ab, der Punkt M ist also für alle Durchmesser derselbe.

Ist e = 1, so ist & und damit x und у unendlich, d. h. also: beider Parabel liegt das Centrum im Unendlichen, ihre Durchmesser sind parallel.

No. 8 lässt sich auch schreiben 9) х(Ли₀—vy) + yWv₀ + ny)-(Л—yav+ybu) = 0 oder xa + yi?—n = 0; es sind also (iu₀—vy):n und (iv₀-f-uy):n die Koordinaten U und Y des Durchmessers, welcher der Richtung (u | v) konjugiert ist und

—    a:ß ist sein Richtungsfaktor. Für die Parabel ist

—    a:ß~ — v₀:u₀, d. h. nach § 12 S. 53.

Die Durchmesser der Parabel stehen auf der Leitlinie senkrecht.

Da für die Parabel das Centrum als Pol auf seiner Polaren liegt, so sagt man, dass die Parabel von der unendlich fernen Geraden berührt wird. Man zeigt umgekehrt, dass die Polare p von die unendlich ferne Gerade ist. Es ist

q= y also wird 7) nach Division mit yd q (x I y) = (X—a) u₀ + (у—Ъ) v0 x (uo—uo) + У (vo—vo) - (1 + a u₀ + b v₀) = 0 d. h. aber p hat die Koordinaten О | 0 oder (л ist die unendlich ferne Gerade.

-(§ 19 S. 83) nachgewiesen und ohne

Q

jede Mühe, wenn man den Koordinatenanfangspunkt nach F verlegt d. h. n = A setzt.

Unter der Sehnenschaar (u | v) welche der Durch-

Es ist ebenfalls sofort zu verifiziren, dass M auf jedem Durchmesser liegt, daU| + Y^ — 1 oder w. d. i. а £ + ß — n ist, man braucht nur die Gleichung #(u₀² -f- v₀²—y) = — (ua-f v b—1) zu benutzen ; dass dann M die Mitte jedes Durchmessers ist, folgt sofort daraus, dass sein 4. harmonischer im Unendlichen, wird aber auch direkt mit Benutzung von X1 +X2

messer (U | V) halbiert, ist Eine, welche durch M geht, also selbst ein Durchmesser (U¹ V¹) ist, zugeordnet der Richtung (u¹ V¹).

Aus den Gleichungen 9) folgt dann n¹!!¹ = >Pu₀—V¹/ = vu. n¹ Y¹— Л¹ v₀ -J-u¹ y= V у und hieraus u¹ == c(A u₀—y /); у¹ = с(Ду₀ + и у)

u¹

d. h. aber:

у¹ “ V

GehörteinDurchniesserzurSehnenschaar

also :

eines anderen, so gehört der andere zur Sehnenschaar des ersten.

Solche Durchmesser heissen к o n j u g i e r t. Diese Zuordnung ist für die Parabel gegenstandslos, weil nur die unendlich ferne Gerade als durch M gehend und dem Durchmesser nicht parallel angesehen werden kann, bezw. da alle Durchmesser parallel sind, jeder sich selbst konjugiert ist. Da der 2. Schnittpunkt des Durchmessers der Parabel mit der Kurve im Unendlichen liegt, so geht die Kurve mitten zwischen Pol und Polare hindurch, und dies ist die charakteristische Eigenschaft der Parabel. Ist M im Endlichen gelegen, so kann der Durchmesser auf seiner Sehnenschaar senkrecht stehen, die Bedingung dafür ist (§ 12 S. 53) uü + vY = 0, d. h. aber:

Д (u₀ u + v₀ v) = 0

Ist Л identisch 0 d. h. ist u₀ — 0 und v₀ =0, so sind alle konjugierten Durchmesser aufeinander senkrecht, dann ist aber die Leitlinie die unendlich ferne Gerade, d. h. die Kurve ist der Kreis, und wir treffen hier eine wohlbekannte Eigenschaft des

Kreises wieder. Ist Л nicht identisch 0, so haben wir nur die Lösungen u : y = u₀ : v₀ oder u : v — — (v₀ : u₀), beide Lösungen ergeben ein einziges Paar konjugierter Durchmesser, welche aufeinander senkrecht stehen: d er Durchmesser parallel der Leitlinie und der auf ihr senkrechte. Diese Durchmesser heissen die Axen der centralen Kegelschnitte: Ellipse und Hyperbel. Aus 8) folgt, dass Eine der beiden, die auf L senkrechte, durch den Brennpunkt geht, diese Axe heisst die Hauptaxe, die andere bei der Elipsę kleine — bei der Hyperbel Nebenaxe.

Auch bei der Parabel giebt es einen Durchmesser, der seine Sehnenschaar unter rechtem AVinkel halbiert, der, dessen Schaar die Hichtung der Leitlinie hat. Da für diesen Л = 0, so geht auch er durch den Brennpunkt und heisst die Axe der Parabel. Oft nennt man die Axen gemeinsam Hauptaxen.

VII. Abschnitt.

Die Parabel.

§ 21. Gestalt der Kurve.

Die Parabel ist der Kegelschnitt für den e = 1, d. h. sie ist der Ort der Punkte, welche von einer festen Geraden, — der Leitlinie (L) — und einem festen Punkt — dem Brennpunkt (P) — gleichen Abstand haben, bezw. ist sie die Kurve, welche von der Gesamtheit aller der Geraden umhüllt wird, welche L so schneiden, dass sie den Winkel zwischen L und dem Brennstrahl nach dem Schnittpunkt halbieren, oder, was dasselbe ist, sie ist der Ort der Symmetrieaxen aller Strecken, welche von F nach L gezogen werden können (Fig. 14). Den Berührungspunkt В selbst er-

Fig. 14.

halt man, wenn man in dem zugehörigen Punkte der Leitlinie auf ihr das Loth errichtet (Fig. 15). Ausgezeichnet ist die Tangente, welche L parallel ist, sie geht durch die Mitte S des von F auf L gefällten Lothes F Gr. Punkt S heisst : Scheitel der Parabel,

die Tangente in S : die 8 c hei tel tan gen t e, die Ge. rade G F ist nach Definition die Axe der Parabel. Die Senkrechten auf L, welche die Berührungspunkte liefern, sind die Durchmesser. Sie haben mit der Kurve zwar auch nur einen Punkt gemeinsam, aber ihr Schnittpunkt im Unendlichen kann als Parabelpunkt gelten, weil das Verhältnis P F : P A sich mit wach-

Fig. 15.

sender Entfernung des Punktes P mehr und mehr der Einheit nähert. Man sieht, die Kurve liegt ganz auf der Seite von L, hezw. der Scheiteltangente, auf der F liegt. Die Axe teilt L und damit die Kurve in zwei symmetrische Teile, die Tangenten drehen sich von der Scheiteltangente oberhalb und unterhalb fortwährend nach der Axe zu, bis sie in unendlicher Entfernung von S untereinander und der Axe parallel werden, und die Axe der Kurve und einander im unendlich fernen Punkt der Parabel treffen. Alles dies ist leicht durch die Rechnung zu bestätigen.

Wählt man S zum Anfangspunkt, die Axe zur X-Axe, die Scheitel tangente zur Y-Axe, nennt die Länge

von F G kurz p, und setzt als -|- X den Strahl S F fest, so ist:

и» = -2р; v₀ = 0; a == %p; b = 0; e = 1 und damit gehen 1) und 2) über in

1) y² = 2px; 2) V² = 2up-i wir haben also dieselbe Erscheinung wie beim Kreis.

Die Parabelgleichung enthält in Punkt wie in Linienkoordinaten nur die eine Konstante p von der die Gestalt der Kurve abhängt, sie heisst der Parameter, Grenzfälle sind p = 0 -- dann artet die Kurve in die (doppelt zu denkende) X-Axe aus — und p = oo, dann geht die Kurve in die unendlich ferne Gerade über. Da in Folge von 1) y = + /2 p x, dagegen y²

x = -— völlig bestimmt ist, so folgt, dass die X-Axe A p

d. h. die Kurvenaxe für die Kurve eine Symmetrieaxe ist, ferner dass auf jeder Seite der Axe die Punkte der Kurve sich von beiden Seiten fortwährend entfernen, aber so, dass die Abstände von der X-Axe sich immer schwächer und schwächer ändern, so dass die Kurve im Unendlichen als der X-Axe parallel angesehen wird. Zu x n=: -j— go gehört zwar auch y — -f-oo und y — — go, aber da wir die Gerade als im Unendlichen geschlossen denken, so können wir diese beiden Punkte (x|-j-oo) und (x|—со) als zusammenfallend ansehen und im verschwindenden Abstand von der X-Axe, weil };x gegen x verschwindet, wenn x über jedes Mass gross, so dass wir die Kurve als im Unendlichen geschlossen denken und den unendlich fernen Punkt in der Richtung der Axe. Es hindert ferner nichts, anzunehmen, dass zu jedem y ausser dem x, welches 1 liefert, noch der Wert x = oo gehört,

[l ist {

mit 0x²-J-2px—y²—0; woraus

entsprechend der Thatsache des vorigen §, wonach alle Durchmesser (deren Gleichung у = c ist) die Kurve im unendlich fernen Punkte schneiden.

Die Gleichung va = 2up>—:1 zeigt a), dass zu jedem u zwei gleiche und entgegengesetzte v gehören, d. h. dass zu jedem Punkt der X-Axe zwei symmetrisch gegen die Axe gelegene Tangenten gehören, die reell sind für alle negativen u, d. h, für alle Punkte auf dem

Strahl S G, für S selbst fallen beide v zusammen. Zu jedem v gehört nur ein u, es giebt scheinbar durch jeden Punkt der Y-Axe, d. h. der Scheiteltangente, nur Eine Tangente, dazu kommt aber wieder die Lösung u = oo, d. h. die Scheiteltangente selber. Die Gleichung 2 giebt eine bequeme Erzeugung der Kurve aus ihren Tangenten. Die Gleichung v²—2up~¹ = 0 ist hervorgegangen aus g²—qt des § 17, wir entnehmen daraus den Satz :

Eine Gerade schneidet die Parabel, berührt sie, schneidet sie nicht, je nachdem der Gegenpunkt des Brennpunkts in Bezug auf die Gerade auf die Brennpu]nktsseite der Leitlinie, auf die Leitlinie oder entgegengesetzt fällt.

Die Gleichungen der Tangente und der Polare folgen aus 7) und 9) des § 20.

3) УУ¹ = P (x + X¹) bezw. За) y fi = p (x + #). [Be-rührungspunkt { (xjyj; Pol { (||i?)].

Aus 3) bezw. 3a) folgt, dass wenn y — 0, so x = —x¹ (bezw. —V)} d- b. die Tangente (Polare) schneidet die Axe so, dass der Scheitel in der Mitte zwischen dem Schnitt und dem Pusspunkt der Ordinate des Berührungspunkts (Poles) liegt.

Aus 3) erhellt die für die Parabel charakteristische Thatsache, dass die Konstruktionsfigur ABF der Figur 15 sich zu der Kaute ABFT vervollständigen (Fig. 16) lässt, sowie der Satz:

Alle Parabeltangenten (bezw. Polaren) werden zwischen Kurve (Durchmesser) und Axe von der Scheiteltangente halbiert.

Die Senkrechte auf der Tangente im Berührungspunkt heisst bei allen Kurven Normale, das Stück der X-Axe zwischen dem Fusspunkt ß der Ordinate und dem Schnittpunkt T der Tangente heisst Subtangente, das Stück zwischen dem Fusspunkt ß und dem Schnitt der Normale N heisst die Subnormale.

Aus der Kongruenz der Dreiecke TAG und F В ß) GAF und /?BN folgt:

Die Subtangente ist doppelt so lang als die Abscisse und was wichtiger:

Die Subnormale ist konstant und gleich dem Parameter.

Schlägt man um F mit dem Brennstrahl F В den

\i

Fig. 16.

Kreis, so trifit er die Axe in T und N und liefert Tangente und Normale zugleich. Da die Tangente die Symmetrieaxe zu FA, so ist es leicht, von irgend einem Punkt P an die Parabel die Tangenten zu konstruieren. Man hat nur um P mit P F einen Kreis zu schlagen, der (wenn P ausserhalb, d. h. PF > PC) (Fig. 17) die Leitlinie in den Punkten A und schneidet; die Symmetrieaxen zu FA bezw. FA¹ sind Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

Da die Tangente den Winkel A BF halbiert, so halbiert die Normale den Nebenwinkel, d. h.:

dann die Tangenten und В und Br die Berührungspunkte.

AlleStrahlen, welche vonF her dieKurve treffen, werden inderRichtung der Axe zurückgeworfen, und alle Strahlen, welche in

B,

чч

-Vf

Fig. 17.

der Richtung der Axe von innen kommend die Kurve treffen, werden im Brennpunkt gesammelt.

Diese Eigenschaften, von denen der Brennpunkt seinen Namen hat, machen die parabolischen Spiegel so wichtig für Optik, Wärmelehre und Elektricität. Die Parabel hat ausserdem noch Bedeutung für die Mechanik als W u r f 1 i n i e und für die Astronomie als Kometenhahn.

§ 22. Weitere Brennpunktseigenschaften.

man

Vervollständigt man Fig. 17 dadurch, dass F mit В und Bx verbindet und zu A Ax die Axe zieht, welche durch P geht, lässt dagegen A, F weg, so entsteht Fig. 18. AjPF ist als Centriwinkel doppelt

в,

А,

Fig. 18.

so gross als der Peripheriewinkel Ax A F, welcher gleich ABP ist, weil beide den Winkel BAF zu 90° ergänzen; somit ist <£ Ax P F = <£ ABF d.h. die Dreiecke Aa P F und A B F, sowie ihre Hälften, sind ähnlich. Die Fig. 18 ist wie Fig. 16 für die Parabel charakteristisch, sie ergiebt eine Reihe von Sätzen (u. Aufgaben), von denen einige schon im vorigen § als allgemein giltig erwiesen sind.

Als speziell für die Parabel gelten:

1) Der Brennstrahl nach dem Pol ist

mittlere Proportionale zwischen denBrenn-strahlen nach den Berührungspunkten.

2)    Die Quad rate der Tangenten verhalten sich wie ihre Berührungsbrennstrahlen.

3)    Die Tangenten bilden mit dem Brennstrahl und dem Durchmesser nach ihrem Pol (Schnittpunkt) wechselweise gleiche Winkel.

4)    Der Tangentenwinkel ist die Hälfte des Winkels unter dem die Polare vom Brennpunkt aus erscheint.

Fig. 19.

Da Winkel BA P F gleich PB F, so hängt er von der Lage des Punktes P auf der Tangente PB picht ab, d. h. :

i : N i„-v/ «öi    *.i<I

5) Zieht man vom Brennpunkt aus nąch allen

Tangenten unter konstantem Winkel Strahlen, so bilden die Scheitel diejenige Tangente, welche mit ihrein,Berührungsbrennstrahl diesen Winkel bildet.

Sei AB G jetzt ein [ Von 3 Tangenten gebildetes

§ 23. Sehnen- und Polar-Eigenschaften.

rH

Dreieck (3 Parabeltangenten bilden stets ein Dreieck, da, weil M des vorigen § im Unendlichen, nie 2 Tangenten einander parallel sind) und zieht man durch A und В den Durchmesser, und verbindet A und B mit F, (Fig. 19), so folgt aus Satz 3 (Fig. 18) sofort, dass <ACB und AFB gleich sind, weil beide gleich a—ß, also:    ' : ? ~ ;

6) Das Stück jeder dritten Tangente zwischen zwei festen Tangenten erscheint von F aus unter dem festen Winkel, oder :

7) Der Brennpunkt liegt auf dem jedem Tangentendreieck unbeschriebenen Kreis.

Durch 3 Tangenten wird also der Brennpunkt auf den Umkreis ihres Dreiecks gebannt, während die zugehörige Leitlinie sich um den Höhenschnittpunkt dreht, durch 4 Tangenten ist also die Paraliel völlig bestimmt; 4 Parabeltangenten bilden stets ein vollständiges Vierseit mit 6 Ecken im Endlichen, die 4 Umkreise der 4 Dreiecke solcher Konfiguration schneiden sich stets in Einem Punkt. Also: An jedes vollständige Vierseit ohne parallele Seiten lässt sich Eine und nur Eine Parabel anschreiben.

Der Schnittpunkt zweier Umkreise zweier Dreiecke ist F, die Gegenpunkte von F in Bezug auf zwei Seiten bestimmen L.

§ 23. Sehnen- und Polar-Eigenschaften,

Die Gleichung der Sehne kann man entweder ebenso wie beim Kreis aus 1) des vorigen § ableiten, oder sie allgemein für д11е Kegelschnitte ableiten und dann spezialisieren.

Bezeichnet man die Form (die linke Seite der auf 0 gebrachten Gleichung) der Tangentengleichung mit

p den laufenden Punkt und b den Berührungs-

wo

m P b

punkt bedeute, und T sich nicht ändert, wenn man beide vertauscht, so ist die Gleichung der Sehne durch

{ (x₂1y₃): TjP + T₂P= T₂\ somit

und В

A {(sjy.)

für die Parabelsehne

4) У У,—P (x + x,) + У У₂—P (x + x₂) = y, y₂—p(x₁+x₂) oder y y,—p X + y y₂—p X = y, y₂

oder y (y, +У₂)—У, (y, +У₂) = 2рх—2px₁;(y₁² = 2px₁) d. h. 4») y-y, = -- ²^~ (x—X,).

Der Eichtungsfaktor jeder Sehne ist also —-—

4

wenn rj die Ordinate ihres Mittelpunktes bedeutet. Ist f die Abscisse zu % so ist, da (|| 17) auch auf AB liegt

4b)y—n=    (x—I).

Die Gleichung der Sehne ist in dieser Form mit der der Tangente völlig identisch und an Stelle des Berührungspunktes tritt der Mittelpunkt der Sehne; und sie gehen in einander über, wenn (| | rj) ein Punkt der Kurve d. h. wenn A und В zusammenfallen.

folgt

so

Da -5- der Bichtungsfaktor der Sehne,

hier direkt der Satz: Die Mitten der parallelen Sehnen liegen auf einer Parallelen zur X-Axe, d. h. auf einem Durchmesser.

Nennt man die Senkrechte auf der Sehne in der

I (||^) die Sehnennormale, so ist deren

Mitte M Gleichung

5) У—V

ÏT-

woraus wenn у = 0 gesetzt wird, erhellt, dass ganz allgemein für alle Sehnennormalen der Satz gilt: Die Subnormale ist konstant und gleich dem Parameter.

Bezeichnet man den Winkel, welchen die Sehnenschaar mit ihrem Durchmesser bildet, mit /?, so ist r\ — pcot/? die Gleichung des Durchmessers. Der Punkt S, in welchem er die Kurve im Endlichen trifft, heisst sein Scheitel, dessen Abscisse | nach 1) gleich ¹|₂ p cot²/?. Die Tangente im Scheitel S hat ebenfalls wie 5) zeigt, den Richtungsfaktor p/^ = tg/?, wie schon bekannt ist. Transformiert man die Gleichung 1 der Kurve auf den Durchmesser ^ = pcot/? als X*-Axe und die Tangente in S als Y*-Axe, so ergeben unsere Gleichungen aus § 13, da a = 0 und ß = ß und w = 90°, ist

x = x¹ -f y¹ cos ß + \ p² cot² ß) y = y¹ sin ß -j- p cot ß somit y¹ sin²/? + 2 p y¹ cos ß + p² cot² /? = 2px = 2p x1 + 2 p y¹ cos /? + p² cot² ß

also

6) у'^гр'х¹

wo p*= p/sin²/?. In Worten:

Die Parabelgleichung behält in Bezug auf einen beliebigen Durchmesser als X-Axe und seine Scheiteltangente als Y-Axe ihre Form, ja selbst p¹, der Parameter der Sehnenschaar oder des Durchmessers, behält die Bedeutung; da es gleich (*|₂p + f) 2, so ist es gleich dem doppelten Abstand des Scheitels S von der Leitlinie. Die Gleichungen 5 der Sehne und Tangente behalten also auch ihre Form, nur geht p in p¹ über und es bleiben also auch die Sätze die daraus folgen, z. B.

Jede Tangente schneidet jeden Durchmesser so weit hinter dem Scheitel, als die konjugierte Sehne durch den Berührungspunkt vorne.

Wir finden, heisst dies, durch Bechnung den Satz bestätigt :

Die Tangenten im Endpunkt einer Sehne schneiden den konjugierten Durchmesser so weit hinter S als die Sehne vorne, oder : Der Pol liegt auf seinem Durchmesser soweit hinter dem Scheitel als die Polare vorne.

Wenn also PQR ein Tripeldreieck (§ 19 S. 85) ist, so bestimmen die Mitten der drei Seiten die 3 den Polaren parallelen Tangente n.

§ 24. Quadrierung, Potenzsatz.

Auf dem eben bestätigten Satz beruht die Quadrierung der Parabel. Sei P ein Punkt ausserhalb der Kurve, AB seine Polare (Fig. 20), S der Scheitel seines Durchmessers. Die Tangente in S halbiert als Parallele zu AB Strecke PA in Pj und PB in P₂, also ist: D rei eck A S В — 2 Dreieck Ax P Bx (sie haben gleiche Höhen und AB ist = 2 Аг BJ.

Man kann nun ebenso durch Pj und P₂ die Durchmesser Pj Sx und P₂ S₂ ziehen, dann wieder in Sx und S₂ die Tangenten, welche wieder Px A und Pj S bezw.

P₂ В und P₂ S halbieren, und so fort in infinitum ; stets ist das Sehnendreieck das Doppelte des Tangentendreiecks. Die Sehnendreiecke füllen dann schliesslich das Parabelsegment ASB aus, und die Tangentendreiecke die Fläche zwischen der Kurve und den Tangenten in A und B. Da alle Glieder der einen

B,

■Si

Fig. 20.

Summe doppelt so gross als die einzelnen Glieder der anderen sind, so ist auch die ganze erste Summe doppelt so gross als die zweite. Also :

Die Parabel teilt das Dreieck des Pols und der Polare im Verhältnis von 1:2 oder Das P ar ab eise gm ent A S B i s 1²|₃ desDre i-ecks APB.

Man kann auch sagen (da SMB ebenso ²|₃ von PMB ist)

Die Parabel teilt das Parallelogramm aus den Koordinaten eines ihrer Punkte, (bezogen auf irgend einen Durchmesser und seine Scheiteltangente als Axen) von innen nach aussen im Уerhältnis 2 zu 1.

Potenzsatz.

Sei (Fig. 21) AB eine Sehne, P ein beliebiger Punkt auf ihr, M die Mitte, S M der konjugierte Durch-

->

Pr

Bj

IQ

Fig. 21.

messer. Die Polare von P schneidet AB in Q, so dass also A und В durch P und Q harmonisch getrennt sind, sie schneidet den Durchmesser durch P in D, so dass

D Sj und Sj P gleich sind und trifft M S im Pol С А В, so dass С S und S M gleich sind. Alsdann ist, wenn В M = y¹ nach 6) yl2 = 2 pbt¹, wo p¹ nur von der Sehne AB abhängt; es ist aber y¹ =MP.MQ = 2 p*x* und wegen der Aehnlichkeit 2x:QP = MQ:PD, also MP. PQ = p¹ PD = 2 p¹ p¹¹ wenn p11 den Abstand des Punktes P vom Scheitel seiner Durchmesser bedeutet-, MP .PQ ist aber BP.PA und somit:

von

Das Bechteck aus den Abschnitten der Sehne im Punkte P ist gleich dem Produkt aus dem Parameter der Sehnenschaar und dem doppelten Scheitelabstand des Punktes P.

Die Rechtecke aus den Abschnitten zweier sich in P schneidenden Sehnen verhalten sich wie die Parameter.

Das Verhältnis der Rechtecke bleibt un-geändert, wenn beide Sehnen parallel verschoben werden.

VIII. Abschnitt.

Ellipse.

§ 25. Die Kurve.

Die Ellipse ist der Kegelschnitt, dessen numerische Excentricität e kleiner als 1 ist. Sie besitzt ein Centrum M, eine Hauptaxe die durch E geht und eine kleine Axe, welche senkrecht auf jener, der Leitlinie L parallel ist. Wählt man die Hauptaxe zur X-, die kleine Axe

(d. h. den absoluten Betrag

a)/T=V

Ersetzt man

durch B, so geht

von a : e) durch A und l¹ über in

X²

la) -jj

Dies ist die Gleichung der Ellipse für das Haupt-axensystem. Da wenn y— 0, x — H~ A, und wenn x = 0 jr. = Hh B, so sind2 Aund2B dieLängen der Haupt-oder grossen Axe und der kleinen Axe.

In la) kommen nur die Quadrate von x und y vor, daraus folgt, dass die Kurve sowohl in Bezug auf die X- als auch Y-Axe symmetrisch ist; die Hauptaxen teilen die Kurve in 4 kongruente Teil-Quadranten. Die Symmetrie in Bezug auf die Y-Axe erfordert, dass die Kurve symmetrisch zu F und L noch einen zweiten Brennpunkt Fj und eine zweite Leitlinie Lt besitzt. (Fig. 22). Man sieht sofort, dass ausserhalb des Parallelogramms (-f- A| -J- B); (—A | -f-B) ; (—A | — )B ; (+ A|—B) kein Punkt der Kurve liegen kann. Die Punkte S und S¹ resp. <y und a¹ heissen die Scheitel der Kurve. Die Länge von FM, welche [a| ist und daher Ae ist,

uo

zur Y-Axe, so ist in 1) des Abschnitts VI zu setzen : v₀ = 0, b = 0; e = 0, ferner ist in den Gleichungen

8 : a +    = 0, somit u₀

1) x²(l—e²) +y²= a²e~² (1—e²) oder y² e²

a² (1—e²)

l¹)

X² e²

e²

, dann geht 1) über in:

== 1

der Abstand der Leitlinien von M, gleich Ae⁻¹ ist. Die Ellipse ist eine geschlossene ganz im Endlichen verlaufende Kurve, deren nahe Verwandtschaft mit dem Kreis schon aus la) hervorgeht, sie wird zum Kreis, wenn A = B d. h. aber e = 0 ; dann fallen beide Brennpunkte auf M und beide Leitlinien ins Unendliche. Umgekehrt sieht man, dass die Ellipse aus dem Kreis um M mit dem Durchmesser 2 A, dem Hauptkreis,

\\

б¹

Si

F¹

fS

Fig. 22.

durch Druck gegen die X-Axe (bez w. aus dem Kreis um M mit Durchmesser 2 В durch Zug) hervorgeht, bei dem alle Abscissen ungeändert bleiben, die Ordinaten alle im Verhältnis A/В zusammengedrückt (bezw. wie B:A ausgedehnt) werden. Diese Bemerkung ist zuerst von S t e V i n (1585) benutzt worden, um die Geometrie der Ellipse aus der des Hauptkreises abzuleiten. Da alle Rechtecke, deren Grundlinien auf der X-Axe liegen, und deren Ecken entsprechende Punkte sind, d. h. deren Ordinaten sich wie A/В verhalten, auch sich wie A/В verhalten, so sieht man, dass jedes Ellipsen-

flächenstück sich zu dem entsprechenden Kreisflächenstück wie B : A verhält insbesondere ist derln-halt der Ellipse АВтг.

Man konstruiert unabhängig vom Hauptkreis beliebige Kurvenpunkte, innerhalb und ausserhalb im Verhältnis e teilt und über

wenn

man EA der Eig. 12

die Teilpunkte als Durchmesser den (Apollonischen) Kreis schlägt, der die Senkrechte auf L in A in den Kurvenpunkten В und Bj schneidet.

Die Gleichung der Ellipse in Linienkoordinaten wird (nach Abschnitt VI)

2) A² u² -)- В² V²—1 = 0,

und man sieht, dass mit ganz unwesentlicher Aenderung die Rechnung sich wie beim Kreis gestaltet. Die Koordinaten der Tangenten von P j (xt | Ух) siad wieder Fxj+pAByj

A²yi² + B²Xl²

also die Gleichungen der Tangenten УУ1¹

U12 =

; vi2 =

A² yi² + B²Xl²

(x y,—у xj =P²

wenn wieder p² das Resultat der Substitution von xp yp in die Eorm deç, Ellipsengleichung bezeichnet, und Potenz heisst. Ist p² = 0, d. h. P auf der Kurve, so giebt es nur Eine Tangente, deren Gleichung daher

x X¹

3a) —ДТ

ist. Wenn p²> 0 d. h. P ausserhalb der Ellipse, giebt es zwei reelle Tangenten, und wenn p² <0, d. h. P innerhalb der Kurve, so sind die Tangenten imaginär. Die Gleichung der Polaren ist der Eorm nach mit der der Tangenten identisch, nur dass x¹ und y¹ die Ko-

B²

yyL

B²

—1=0

ordinaten des Poles sind. Da wenn y = 0, x₀ x¹ — A² so ergiebt 3a) eine einfache Konstruktion der Tangente in P, mittelst des Pythagoras; man schlägt um M mit A den Kreis (dessen gedrücktes Abbild die Ellipse ist) verlängert die Ordinate bis sie den Hauptkreis im entsprechenden Punkte trifft, legt an diesen die Kreistangente, schneidet die Grosse Axe in der Entfernung x₀ von Mj im Puukte T, so ist T P die Tangente. (Eig. 22.)

§ 26. Konjugierte Durchmesser.

Wir fanden S. 51 zwischen den Bichtungsfaktoren konjugierter Durchmesser die Beziehung

u¹

Я U₀—V у

; wo у —

v+v

V¹ i V₀ + u₀ у 0

da hier v₀ = 0, u₀ ==--so ist у — a~², wenn der

а

e²

ly

2 b bezeichnet werden; da i = u₀v, so ist

4) tang# tang=

—b²

Aus dieser einfachen Beziehung entspringen eine Reihe von Folgerungen.

1) Der Quotient ändert sich nicht, wenn beide Axen den Faktor ô erhalten. Fasst man also M als Aehnlichkeitscentrum und bildet die Ebene, in der die Ellipse liegt, von M aus im Grundverhältnis <5 ähnlich ab, so entspricht der Ellipse um M mit den Halb-Axen a und b, die Ellipse mit den Halb-Axen ô a und <5 b ; konjugierte Durchmesser der vonM aus ähnlichen und ähnlich liegenden Ellipsen sind als gerade Linien identisch, undfolglich sind die beiden Abschnitte jeder Secante zwischen solchen Ellipsen einander gleich.

——d. h. diese

2) Wenn tg# =

-jsoisttg#¹^

sin² #

beiden Durchmesser liegensymmetrisch zur kleinen Axe und zur grossen, und sind die Diagonalen des in den Endpunkten der Axen d. h. also in den Scheiteln der Ellipse umgeschriebenen Parallélogrammes. Sie haben der Symmetrie wegen gleiche Länge, was auch rechnerisch sofort erhellt, denn nennt man die Länge des Durchmessers mit dem Winkel # „2 a¹“ (zu #x „2 blw) so sind für einen der Endpunkte x = a¹cos#; y = a¹ sin #, somit cos² #

b²

a¹*

a²

Da 5 nur die Quadrate des Cosinus und Sinus enthält, so bleibt die linke Seite für den Supplementwinkel ungeändert, und es haben ganz allgemein 2

Durchmesser, welche symmetrisch zur kleinen (und damit auch zur grossen) Axe liegen, gleiche Länge. Man kann 5) auch, weil b² = a²—a² e² ist, die Form geben :

—2

5a) 1—e² cos²# = b² a¹ . Dies ist die Gleichung der Ellipse in Polarkoordinaten für M als Pol, und die grosse Axe als Polar-Axe ; aus ihr folgt sofort, dass die grosse Axe der grösste, die kleine Axe der kleinste Durchmesser; dass die Durchmesser der Schaar # von 0 bis 90 fortwährend fallen, der Schaar У von 90 bis 180 fortwährend wachsen, bei # -|- У = 180 Gleichheit stattfindet.

Ist b = a, so sind alle Durchmesser gleich, die konjugierten stehen aufeinander senkrecht.

3) Der Gleichung 4 lässt sich, da b² = a² (1—e²) ist, die einfache Form geben (wenn У—# — w gesetzt wird)

4a) cos w = e² cos # cos #' auch lässt sich 4) ohne weiteres schreiben als 4b) b² sin # sin У -|- a²cos# cos У = 0.

4) Kombiniert man 5a) (nach e² cos² # bez w. e² cos² У aufgelöst) mit 4a) so ergiebt sich fast unmittelbar

6¹) a¹ b¹ sin² w = b² (a¹ -j- b¹ —b ) a² b²

Es ist aber а

i²_

;b

a² b²

wo n (#) —

п{У)

b² cos²# -f- a² sin² # zu Folge 4); n (#) n (#*) ist (Subtraction der aufs Quadrat erhobenen Relation 4bj) = a² b² sin² w, somit erhalten wir 6) a‘² b¹* sin² w = a² b²

Der Vergleich von 6) mit 6¹) ergiebt sofort

!²

7) a¹ + V = a² + b²

Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

und somit 7a) n(#) -j- n(#!) =(a² -)- b²) sin² w; 6) und 7) lauten in Worten:

AllederEllipseinden Endpunkten konjugierter Durchmesser um - und eingeschrie-beneParallelogramme haben gleichenlnhalt (nämlich 4 a b und 2 a b).

Die Summe der Quadrate konjugierter Durch- (Halb)-messer ist konstant.

Die Länge konjugierter Durchmesser ist durch den Win к elzwisch en ihnenbestim mt.

Die Beziehung der Ellipse zum Kreis giebt unmittelbar den Satz, dass die Gleichung ihre Form nicht ändert, wenn man ein beliebiges Paar konjugierter Durchmesser zu Axen wählt.

Sei Durchmesser # die X-Axe, #г die Y-Axe, die positiven Bichtungen werden durch die positive Drehung der alten Axen gegeben. Dann ist der Abstand eines Punktes z. B. von der linken Leitlinie L unmittelbar gegeben, da sich die Gleichung von L in der Hesse’schen Normalform sofort hinschreiben lässt, es ist <5=[u₀|;

cos a — — cos #, cos ß = — cos #J, somit — L j — x cos #

—y cos S'¹—a e—1) also geht 1) S. 69 über in

8) (ex cos# -f- ey cos#¹ -f- a)² = [(x sin w-f- ae sin#¹)2 -f- (y sin w— a esin#)² -f- 2 (x sinw -f- ae sin#¹) (y sin w— a e sin #) cos w] sin—² w oder

sin² w [x² (1—e²ćós² #) -|- y² (1—e² cos²#¹) -j- 2xy (cos w—e² cos# cos#¹)] -[-2ae sinw [x (sin#¹—(sin# cosw -|- cos# sin w) -f- У (—sin# -f- sin #ł cos w—cos#¹ sin w)]

+ c.

Der Faktor von xy ist 0 in Folge von 4a), die

Faktoren von x und y desgl., weil sin#¹ = sin (# w) und sin# = sin^¹—w) ist.

c = a² e² sin² #¹ -f a² e² sin² #—2 a² e² sin # sin #¹ cos w— a²sin²w; weil a²e² —a²—b², so ist

a² e² sin²#¹ = a²sin²#¹ + b²cos² #x—b2 a² e² sin²# ±= a² sin² # -|- b²cos²#—b2 ihre Summe nach 7a) = (a² -|- b²) sin² w—2 b², somit c = b² sin² w—2 b²—2 a²e² sin# sin#¹ cos w Es ist aber nach 4) und 4a) a²e² sin# sin#¹ — —b²e² cos# cos#¹ = —b² cos w c = b² sin² w —2 b² 2 b² cos² w = —b² sin² w Nach Division mit b² und Benutzung von 5a) geht 8) über in

¹

eisst die lineare Exc en tri ci tat, während

²

b bezeichne

Fig. 23.

Einfachheit halber die Hauptaxen fortab mit 2 a und

u¹ u V¹ V

e²—1, also wenn man (Fig. 23) die Winkel, welche die Durchmesser mit -(-X bilden, # und Æ¹ nennt.

x²

i*

8¹)

q. e. d.

§ 27. Brennpunktseigenschaften. Unterscheidet man die Brennpunkte wie in Fig. 21 als F und F¹ und die Brennstrahlen von F und F¹

G'

F'

Fig. 24.

nach dem beliebigen Punkt P der Kurve als q und q¹, so ist nach der Fundamentaleigenschaft der Ellipse wenn -|-X wie üblich nach rechts gerichtet ist, (Fig. 24). q¹ — e (MG¹—x) — a—xe und ebenso q = a -f xe, somit 9) ç-|- (Л = 2 a. In Worten:

Die Summe der Brennstrahlen ist konstant und gleich der grossen Axe.

Bezeichnet man den Winkel РБ¹^¹ mit p, so ist X—ae = q¹ cos p\ xe = e^¹ cos cp -f- ae²; somit qx (1 + e cos cp) = а (1—e²). Es ist aber а (1—e²) = eF¹ G¹ = p, wenn p die Ordinate durch den Brennpunkt (für das Hauptaxensystem) bedeutet. 2p heisse Parameter; also

9a) Q

l-j-ecos<p r‘

Dies ist die Gleichung der Kurve in Polarkoor-diuaten für E¹ als Pol und E¹^¹ als Axe, sie gilt für alle Kegelschnitte, und ist historisch wichtig, er-weil Kepler aus ihr die Gestalt der Marsbahn erschlossen hat.

Setzt man in 9a) für cp ein cp¹ = 180 p, so geht cos qp¹ in —cos p über, somit

₉Ъ) -- + 1.

тЧ

•-i

r¹

Das harmonische Mittel aller Sehnen durch einen Brennpunkt ist konstant.

Multipliziert man q¹ = а—xe mit ^ = a-fxe, so ¹ = a²—x² e² ; nach 5a) ist aber x²e² — a¹ —b², • = bl2, d. h.:

ее

kommt

somit : ç q

Das Rechteck aus den beiden Brennstrahlen einesKurvenpunktes ist gleich dem Quadrat des konjugierten Halbmessers.

Die Formel 9 wird meist ausgesprochen:

Die Ellipse ist der Ort aller Punkte, für welche die Summe der Abstände von

zwei festen Punkten konstant ist.

Der Satz giebt die mechanische Erzeugung der Kurve-, man schlingt um zwei feste Stifte lose einen Faden, und bewegt eine (einschneidende oder abfärbende) Spitze so am Faden entlang, dass der Faden stets gespannt bleibt. — Geometrisch gestattet der Satz die Konstruktion beliebig vieler Kurvenpunkte (es ist nur ein Dreieck zu konstruieren aus der Basis, einem Basiswinkel und der Summe der beiden andern Seiten). Man schlägt um F mit 2 a einen Kreis, verbindet einen beliebigen Punkt 9p¹ des Kreises mit F¹ und F, zieht zu F¹^¹ die Symmetrieaxe, welche F 9p¹ im Kurvenpunkte P schneidet. Diese Axe ist die Tangente in P, denn da sie den Aussenwinkel des Dreiecks F PF1 halbiert, so ist, wenn sie die Hauptaxe in T schneidet F¹ T : F T = q¹ : q = (a—x e) : (a + x e), und somit :

-i-(FT + FlrT) (oder x₀) — a² : x¹ oder x₀x* = a², d. h.

jU

aber nach § 25 TP ist die Tangente. Wir haben also die Sätze:

Die Gegenpunkte Eines Brennpunkts in Bezug auf alle Tangenten, liegen auf dem um den andern Brennpunkt mit der Hauptaxe geschlagenen Kreise.

Die Fusspunkte aller Lote von den Brennpunkten auf die Tangenten liegen auf dem Hauptkreis.

Diese Sätze geben auch eine einfache Konstruktion der Tangente von einem Punkt Q ausserhalb an die Kurve ; man schlägt um Q mit Q F¹ einen Kreis, welcher den um F mit 2 a geschlagenen Kreis in 9p1 und 9p\ schneidet, so sind die Symmetrieaxen zu F¹^¹

bezw. F¹^ die Tangenten. (Man kann auch den Hauptkreis benutzen).

Wir haben auch den Satz :

Die Normale in P halbiert den Winkel zwischen den zugehörigen Brennstrahlen.

Von dieser Eigenschaft haben die Brennpunkte ihren Namen, das leiseste in einem Brennpunkt geflüsterte Wort wird im andern vernommen.

IX. Abschnitt.

Die Hyperbel.

§ 28.

Für die Hyperbel war e >1, die Konstruktion von Kurvenpunkten mittelst des Apollonischen Kreises bleibt bestehen, sowie die Gleichungen 1 und l¹ der Ellipse. Da aber yi—ë² imaginär, so setzen wir |/e²— 1

= В und erhalten, wenn man für A und В sofort a und b schreibt

1)

=    l¹) a*u*-b*v*=-l.

Man sieht, die Hyperbel unterscheidet sich von der Ellipse nur dadurch, dass b² durch —b² ersetzt ist, d. h. b durch bi und sie kann als Ellipse mit imaginärer Nebenaxe angesehen werden. Alle Sätze, die wir für die Ellipse errechnet haben, bleiben, abgesehen von der Verwandlung von b² in —b² bestehen, so z. B. ist a¹—b¹ = a²—b² etc. Genau wie die Ellipse als Abbild des Kreises bei Zusammendrückung der Ebene

gegen die Hauptaxe im Verhältnis a : b betrachtet werden kann, kann die Hyperbel als Abbild der gleichseitigen Hyperbel angesehen werden, d. h. derjenigen, für welche a — b ist * deren Geometrie ganz so elementar wie die des Kreises abgeleitet werden

F¹

Fig, 25.

kann (cf. Milinowski : Element.-Synth. Geom. der gleichs. Hyp.)

Entscheidend für die selbständige Behandlung der Hyperbel ist die grosse gestaltliche Verschiedenheit und besonders das Auftreten der Asymptoten. (S. 76). Zuerst ist klar, dass die Kurve (cf. Eig. 2 5) ganz

ausserhalb (die Ellipse ganz innerhalb) des Parallelogramms (+ a I + b) ; (—a | + b) ; (—a | —b) ; (+ a | —b) ; liegt; auch ganz ausserhalb des Streifens zwischen den Geraden x—a = 0 und x -f- а = 0. Die Kurve besteht aus zwei getrennten Z weigen oder Aesten; die sich symmetrisch zu beiden Axen ins Unendliche erstrecken. Die Symmetrie in Bezug auf die Y-Axe verlangt wieder einen zweiten Brennpunkt E¹ und eine zweite Leitlinie L¹. Die Nebenaxe schneidet die Kurve in zwei imaginären (nicht sichtbaren) Punkten, da wenn x — 0, у — + b i ist (i = ]/—i), man kann daher eigentlich von keiner bestimmten Länge dieses Durchmessers reden, kommt aber überein, 2 b als die Länge desselben festzusetzen. Die Asymptoten gehören zu den beiden Schaaren Gerader, welche mit L, also auch mit der Y-Axe Winkel w bilden, bestimmt durch sin ²w = e~²f und daher die Kurve im Endlichen höchstens in Einem Punkt schneiden ; die beiden Winkel w ergeben symmetrisch zur Y-Axe, also auch zur X-Axe. liegende Gerade; nennt man die Winkel, welche sie mit der X-Axe bilden, (p und if>, so ist cos²<jp bezw. cos²^ “ e—2, d. h.

o-

tg V = tg ²v> =

; tgv =

a²

; wir setzen tg (p =

---. Die Gleichungen der Asymptoten sind also von

X V

der Form —+    c. Aus 1) ergiebt sich, da ja für

die Asymptoten gar kein Schnittpunkt im Endlichen liegen darf, c = 0 (ebenso aus S. 76

ц2 J y2 ⁼ 0), d. h. also u²:v² = b²: a² und u und v = oo. Die Asymptoten sind also die beiden Geraden der Schaar, welche

durch M gehen, und in welche die Diagonalen des Parallelogramms (+ a | + b) etc. hineinfallen (cf. Fig. 26). Die Asymptoten sind also anzusehen als Tangenten in den beiden unendlich fernen Punkten der Hyperbel. Man sieht aus l¹) sofort, dass, wenn u und v sehr gross sind, 1 gegen die linke Seite verschwindet, so dass, wenn u und v über jedes

Fig. 26.

Mass gross, l¹) übergeht in a u—b²v² —0, d. h. also die Geraden u — go , v = oo , aber u² : v² = b² : a², erfüllen die Tangentengleichung. Man kann auch direkt aus 1) sehen, dass wenn x (und y) sehr wachsen, 1 gegen x² und y² verschwindet, so dass, wenn x (und y)

x² y²

über jedes Mass wachsen, 1) übergeht in    —p = 0,

d. h. aber

0, d. h. also die

Hyperbel geht im Unendlichen über in das

er

= o;

System der beiden Geraden 2)--1-

a

er m

= 0, und das sind die Asymptoten. Wir

haben uns den Verlauf so zu denken, dass, wenn ein Punkt vom Scheitel S¹ aus die Hyperbel durchläuft, so dass er erst auf dem rechten oberen Zweig sich bewegt, er im Unendlichen auf die Asymptote der Richtung cp gelangt', von da aus in den linken unteren Ast gelangt, zurück zum Scheitel S, auf den linken oberen ins Unendliche, dort die Asymptote der Richtung ty trifft, auf ihr in den rechten untern Ast zurück nach S kommt: Die Hyperbelzweige hängen, heisst dies, so zusammen, dass im Unendlichen der rechte obere mit dem linken unteren zusammenhängt, und im zweiten unendlich fernen Punkt der linke obere Ast mit dem rechten unteren.

Man kann das Asymptotenpaar auch anseh en als eine Hyperbel, welche der ursprünglichen ähnliches Abbild vom Centrum M im Grundverhältnis 0 ist. Die Gleichung der ähnlichen Hyperbel für den

Massstab <5 lässt sich schreiben

X²

7if

V²

-p— <5² und geht,

wena 6 = 0, über    = 0 oder    *

У_

— -j = 0, diese Gleichung spaltet sich in --- -f-

= 0 und -X—

er:^

— 0, und stellt daher die beiden

Asymptoten dar. Damit ist gleich bewiesen, dass jede Sehnenschaar der Hyperbel auch zwischen den Asymptoten

ihrem konjugierten

von

Durchmesser halbiert wird oder ;

Die Abschnitte jeder Sekanten zwischen Hyperbel und Asymptoten sind einander gleich.

Da für ein Paar konjugierter Durchmesser die Beziehung gilt:

b²

a²

3) tg# tg#¹ =

b²

ist, sofällt in

und sowohl tg²gp als tg²^ gleich jederAsymptote ein Paar konjugierter Durch-

a²

messer zusammen.

Die Axen halbieren die Winkel zwischen den Asymptoten und es ist tgV (bezw. tg== tg#tg#x; also :

Jedes Paar konjugierter Durchmesser wird durch die Asymptoten harmonisch getrennt.

Man kann dies auch ohne Trigonometrie sofort nachweisen. Die Gleichungen der Asymptoten sind

0 = Uj = y—X — ; 0 =TJ₂ = y + x_”

Die eines Paars konjugierter Durchmesser:

0 = U₃ = y—X tg & ; 0 = TT₄ = У—X tg X>1 Da sie alle 4 durch M gehen, so ist

also tg# —

U₃ = U-i U₂; TT₄ = TJX —Us

und weil tg#tg#¹

b²

a²

muss Л = sein, d. h. aber

die 4 Geraden bilden ein harmonisches Büschel (nach § 8). Damit ist aber bewiesen, dass alle Sehnen zwischen den Asymptoten von ihren Durchmessern halbiert werden, also auch

Alle Tangenten werden zwischen den Asymptoten im Вerührungspunkt gehälftet.

Die Durchmesser der Hyperbel bilden also eine Involution, deren Hauptstrahlen die Asymptoten sind, auch die Durchmesser der Ellipse sind, wenn man je einen Durchmesser um die kleine Axe klappt, harmonisch zu den beiden gleichen Durchmessern auch eine solche Anordnung eines Strahlenbüschels heisst Involution, die erste hyperbolische, die zweite Elliptische.

b²

Da tg# tg#¹ = ^2“, so sind г> und entweder

beide spitze oder beide stumpfe Winkel, d. h. die positiven Zweige eines Paares konjugierter Durchmesser liegen stets auf derselben Seite von +X bezw. + Y;

Ist |tg#| < — a

, so ist |tg #| >

und V. V. ; wir

wollen aber stets die Richtungswinkel für welche

1% »\ < -

mit S- und die andern mit гР bezeichnen.

Die Bedingung, dass eine Gerade die Hyperbel schneide, ist (S. 75) a²—qt> 0, also hier u²a²—v²b²<l <0, und für die Geraden durch M für die u und v über jedes Mass gross, geht sie über in u² a²—v² b² <0, d. h.

» er

also :

Nur die Durchmess.er der Schaar# schneiden die Hyperbel.

Die Durchmesser der Schaar &¹ schneiden nicht in reellen Punkten, sie werden von der anderen Schaar durch die Asymptoten getrennt, und es ist für ihre

Endpunkte x¹ = b¹cos#¹; y^b'sin#¹, also: sin²#¹

cos²#¹

a²

, also b¹ = ^ r. Es haben

b²

ßl

b*²

also nur die Durchmesser der Schaar # bestimmte Länge 2a¹, wir setzen fest, dass die anderen die Länge 2 ß haben. Man sieht dass die Durchmesser der Schaar # die Asymptotenwinkel ausfüllen, welche von der Hauptaxe halbiert werden, in denen die Hyperbel liegt, während die Durchmesser der Schaar #x die Winkel, welche von der Nebenaxe halbiert werden, ausfüllen. Wächst # von 0 bis <p, so nimmt #x ab von 90 bis (p] nimmt #x zu von 90 (genauer 90 -f 0) bis y so nimmt # ab von 180 bis t/>. Man sieht ferner :

Die Geraden, welche einen Durchmesser der Schaar # parallel sind, schneiden beide Aeste der Hyperbel; die Geraden, welche einem Durchmesser der Schaar #J parallel sind, schneiden oder berühren nur Einen Ast oder scheiden gar nicht.

ln der gleichseitigen Hyperbel, für welche e² = 2, und b = a ist, stehen die Asymptoten aufeinander senkrecht, alb Durchmesser haben gleiche Länge, # + #x ist 90 oder 270 (im Kreis #¹—#=90).

Trägt man auf den Durchmessern der Schaar #x nach beiden Seiten von M aus ihre Halblängen ß ab,

_

so erhält man Punkte, für welche x² = ß² cos²#¹ ; y² — /Psin²#¹, sie genügen also der Gleichung

y²

—1 oder -t-ö

x²

= 1. Diese Punkte

b² a⁹

a² b² ~

bilden also eine Hyperbel, für welche die alte Hauptaxe zur Nebenaxe, die Nebenaxe zur Hautaxe geworden sind, sieheisstdiekonjugierten Hyperbel, liegt ganz im Heben winkelraum 180—2 (p die Figur 26 stellt sie punktiert dar, ihre konjugierten Durchmesser sind dieselben, wie die der Schaar #*, die Nebendurchmesser der gegebenen sind zu schneidenden, zu Hauptdurchmessern geworden, und umgekehrt ; die Beziehung ist eine gegenseitige. Die Brennpunkte behalten ihren Abstand von M, da a² e² — a² -f- b2 ist, sich also durch Vertauschung von a und b nicht ändert. Die Sätze über die ein- und umgeschriebenen Parallelogramme der Ellipse behalten ihre Giltigkeit, wenn man die Endpunkte der Nebendurchmesser durch diebetreffenden Punkte der konjugiert en Hy per bei ersetzt.

Die Brennpunktseigenschaften ändern sich gegen die der Ellipse nur insofern, als z. B. für den ersten Ast xe—a; ^ = xe-fa, also q¹—q = 2sl, d. h.:

Für die Hyperbel ist die Differenz der Brennstrahlen konstant.

Im übrigen bleiben die Sätze des § 27 bestehen, nur halbiert die Tangente den nach der Kurve gerichteten Winkel der Brennstrahlen.

§ 29. Quadratur.

Transformiert man die Hyperbel auf die Asymptoten als Axen, und so dass als -f- X¹ der rechte untere Strahl der Asymptoten, und als -f- Y¹ der rechte obere Strahl dient, so ist in den Formeln der § 13 ce gleich 360—qp, ß gleich (p zu setzen, somit:

cos ²(p

a²

X = (x¹ -j- у*)соз g>; y = (y¹—X¹) sing?, und da

sin² cp

b² a²+b²

, so ergiebt sich aus 1

X ₁ 1 a² + b²

4) x‘y‘=

= c²

als Gleichung der Hyperbel, bezogen auf die Asymptoten als Axen; es ist die denkbar einfachste Gestalt einer quadratischen Form, und da c² sin 2 so gut konstant ist wie c², so sagt sie aus :

Ziehtmandurch einenPunkt derHyperbel dieParallelenzudenAsymptoten,soschliessen sie mit den Abschnitten auf den Asymptoten Parallelogramme von konstantemlnhalt ein.

Da der Berührungspunkt jeder Tangente zwischen den Asymptoten in der Mitte liegt, so kann man auch sagen :

Jede Tangente schneidet von dem Asymptotenwinkel ein Dreieck von konstantem Inhalt ab.

Da das Dreieck einer Scheiteltangente die Fläche a b hat, so haben alle diese Fläche, und man sieht ohne Beehnung, dass c² sin 2 cp = \ a b.

Man kann auch sagen:

Bewegt sich eine Gerade so, dass sie von einem festen Winkel ein Dreieck von festem

Inhalt abschneidet, so umhüllt sie eine Hyperbel.

Da die ganzen Parallelogramme flächengleich sind, so sind auch ihre Hälften gleich, d. h. also die Dreiecke MRC und MAP und MBQ (Fig. 27) sind flächengleich.

V>

ГЛ \ \

Fig. 27.

Damit folgt der Satz :

Der Hyperbelsektor MPH ist flächengleich dem Flächenstück zwischen seinem Bogen, der einen Asymptote, und den Parallelen durch die Endpunkte des Bogens zur andern СЕРА.

Dies Flächenstück bezeichnen wir als Hyperbeltrapez T.

Quadratur des Hyperbeltrapezes und Sektors. (Fig. 27.)

rv

Es sei MA = a, MB = jj, AB — ß—a = d;

Man denke sich AB in n gleiche Teile geteilt, die Teilpunkte seien A1? A₂ etc., die Abscissen MA₁; MA₂ etc. seien x1? x₂ etc., die zugehörigen Ordinaten y1? y₂ etc., und die Kurvenpunkte P₄, P₂ etc. Da die Abscissen x von A nach В beständig wachsen, und xy = c², so müssen die Ordinaten beständig fallen. Der Inhalt jedes Hyperbeltrapez, z. B. des к ten, liegt zwischen den Parallelogrammen aus Strecke Ak_i Ak und yk_i bezw. Ak_! Ak und yk. Sei Tk das Trapez, so haben wir

d    d

— sin 2 (p > Tk > yk — sin 2 у ;

Ук—1

Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

somit muss es im Innern von Tk einen Punkt Qk

{ (|k|*?k) geben, so dass

d .    m .

^k — sin 2 cp = Tk ist.

"Wird die Anzahl n ins Grenzenlose vermehrt, so fallen Ak_i und Ak, yk—l und yk mehr und mehr zusammen , schliesslich ist es erlaubt, jeden Zwischenwert zwischen yk und yk—i als zu brauchen. Es ist aber sowohl yk = c²Xk—1 als — c² Ik““¹ und somit ist

П C2

p P-.

n d

sin 2 cp = c² sin 2 cp .

T = 2 Tk =

i

Wir behaupten nun, dass, wenn wir — log — k

setzen, £k stets zwischen Xk_i und xk, und somit auch ^k zwischen yk und yk~i fällt. Es ist xk : xk—i

1 -f- z, also log k

f gt

= Iog(l+z)

na-f (к—1) d z² z^

= z--—+ -g-. * * a^so (1 + z) kleiner als z, also

d    d

nz) lk > « + (k—f) “5 ?k> xk—l«

z²

Andrerseits ist log (1-f z) grösser als z — —, also

А

£k grösser

erst recht grösser

Xk-l

oder z¹, wenn n а + к > 2,

na + k d

d. h. a merklich von 0 verschieden, also £k kleiner

; £k kleiner xk.

nz’ ^z“ + k

Damit ist bewiesen : setzt man

d    xk

-r- = log-

n § к    Xk_L

und ist n hinlänglich gross und a von 0 merklich ver-

schieden, so liegt *?k zwischen yk und yk—1. Lässt man nun n unendlich werden, so ist

2 Tk = c² sin 2 cp flog + log ~ + log + . . 1    V W    X1    X2

= c² sin 2 (p log — = T.

Wir haben das wichtige Resultat:

Das Hyperbeltrapez ist gleich dem halben Rechteck aus den halben Hauptaxen multipliziert mit der Differenz der Logarithmen der Abscissen oder Ordinaten der Endpunkte.

Der Hyperb elsect or ist gleich dem halben Rechteck aus den halben Hauptaxen multipliziert mit der Differenz der Logarithmen der Projectionen der Radien auf die eine Asymptote in der Richtung der anderen.

§ 30. Die Sätze von Pascal und Brianclion.

Setzt man in die Ortsgleichung 1 der Kegelschnitte die Koordinaten eines beliebigen, also im Allgemeinen ortsfremden Punktes P | (x|y) ein, so heisst der Wert

e²

von

v+v

P F2_e2 p A2 ₌ (X_a)2 ₊ (y_b)2

Кх + уоУ—!)2 die Potenz des Punktes P in Bezug auf die Kurve 1, und werde mit К (p), auch blos mit К bezeichnet.

Legt man durch P irgend eine Sehne, welche die Kurve (reell oder imaginär) in den Punkten C

{ (X! ! У1)

IX. Abschnitt. Die Hyperbel, und D I (x₂1 y₂) schneidet, und macht P zum

Nullpunkt und PC zu -f X, so ist PC.PD = XjX2 = г : q (§ 19 Seite 83).

-. Erinnert man sich, dass

Da V — 00 ; so ist z: q — (1—y(a² -f b²) ) : (u₀²—y) (a* + b’-y-i)

V + vo

1—u₀ V-¹

= öQ² — P A² ist, sowie dass a²-|-b² = PF², so ist PE²—e² PA2 l-u₀²eTf

wo w den Winkel bezeichnet, den die Leitlinie L mit PC bildet. Wir haben den Potenzsatz:

1) XlXa

K(P)

1—e² sin² w

Das Hechteck aus den Abschnitten aller durch denselben Punkt P gehenden Sehn en ist gleich der Potenz des Punktes P, multipliziert mit einem Faktor, der nur von der Sehne als gerader Linie abhängt.

Ist [PF| > e |PA|, so sagt man, P liegt ausserhalb der Kurve, dann ist К (P) positiv, C und D liegen, wenn reell, an derselben Seite von p, ist К (P) negativ, so liegt P zwischen C und D ; Xj x₂ ist negativ. Für den Kreis wird x₁x₂=:PF²—r² —MP²—r², ist also, wie bekannt, für alle durch P gehende Sehnen konstant. Für die Parabel ist e = 1, somit

1) TC.PD =

S. 103) sin² ß = |j ,

leicht zu zeigen, dass, wenn S der Scheitel des durch P gehenden Durchmessers, also SA = SF ist: PF²

cos² w sin² ß'

also PC.PD =

Es war aber (§ 23

p'K

. Es ist aber

PC.PD = 2p¹p¹¹,

—P A² = К (P) = 2pp¹¹, wo p^^PS (also positiv, wenn P ausserhalb), also

wie schon im Abschnitt YII § 24 bewiesen ; wir bähen dazu den Satz:

Die Potenz eines Punktes in Bezug auf eine Parabel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Parameter der Kurveund dem Abstand des Punktes vom Scheitel seines Durchmessers.

Bezeichnet # wieder den Winkel des der Sehne parallelen Durchmessers mit der Hauptaxe der Ellipse oder Hyperbel, so ist sin² w = cos² und somit für die Centralkegelschnitte :

K(P)

X1X₂

1—e² cos² #

Es ist aber 1—e²cos²# bezw. e^os²#—1 nach 5) § 26 gleich b² a1_2, wo a¹ den Halbmesser bezeichnet, welcher der Sehne CD parallel ist; also für die Ellipse:

K (P) ai²

b²

Zieht man durch P den Durchmesser, der die Kurve in C¹ und D¹ schneidet und bezeichnet PC¹ mit und PD¹ mit |₂, so ist

K(P)CM²

b²

|CM] = |DM| werde mit p bezeichnet, so ist == P M²—p² = d²—p², und somit

(d² p²)

ai²

2) Xi. x₂ =

Diese Formel gilt auch für die Hyperbel; also;

Das Produkt aus den Abschnitten einer durch den Punkt P gehende Sehne eines Centralkegelschnitts ist gleich dem Product aus den Abschnitten des zu P gehörigen Durchmessers multipliziert mit dem Verhältnis der Quadrate des der Sehne parallelen und des zuPgehörigen Durchmessers.

Die Rechtecke aus den Abschnitten aller durch P gehenden Sehnen verhalten sich wie die Quadrate der den Sehnen parallelen Durchmesser.

ver-

Das Verhältnis dieser Rechte cke bleibt ungeändert, wenn die Sehnen parallel schoben werden.

Diese Sätze gelten auch für die von P gezogenen Tangenten (ohne Rücksicht, ob P aussen oder innen liegt).

Das Wesentliche ist, dass das Rechteck aus den Abschnitten aller durch P gehenden Sehnen s die Form hat (p (P) f (s) wo die Funktion <p allein vom Punkt P, die Funktion f allein von der Sehne als Geraden abhängt.

Seien (Fig. 28) A, ; A₂ ; A₃ ; A₄ ; A₅ ; A„ irgend 6 Punkte eines Kegelschnittes, es werde für dieselben eine bestimmte Reihenfolge z. B. die angegebene festgesetzt und die Punkte in dieser Reihenfolge zu einem Sehnensechseck verbunden. Es werden Punkte, deren Index um 3 verschieden ist, als Gegenpunkte bezeichnet, wobei 6 = 0 gesetzt wird, also Аб+з = A₃, A54.3 = A₂ etc. Seiten, deren Ecken paarweise Gegenpunkte sind, also A₆A₁ und A₃A₄; A₁A₂ und A₄ A₅ ; A₂A₃ und A₅ A₆ heissen Gegenseiten. Der Schnittpunkt eines Paares Gegenseiten heisst Hauptschnittpunkt. Entsprechend ist die Bezeichnung wenn man statt von 6 Punkten von 6 Geraden a₄ . . a₆ ausgeht, dann heissen die Y erbindungsgeraden eines Paares von Gegenpunkten Hauptdiagonalen.

u.

A>

Fig. 28.

Wir betrachten irgend ein Dreieck, dessen Seiten drei nicht in einer Ecke zusammenhängende Seiten des Sehnensechsecks sind wie A₆ Ax ; A₂A₃; A₄A₅; es sei UVW.

Für dieses Dreieck ist jede der 3 übrigen Seiten eine Transversale und daher nach dem Menelaos (§ 8. S. 42). UA₁ ,YA₂.¥P = ¥A₁ .UA₂.VP UR.YA₃ .¥A₄ = ¥E.UA₃ .VA, UA₆.YQ.¥A₅=¥Ae .UQ.YA5 Multipliziert man diese 3 Gleichungen und benutzt

^—У

den Potenzsatz, wonach z.B.UAj TJ A₆. = cp (TT) f (Ax A₀)

und U A₂ . TJ A₃ = (p (U) f (A₂ A₃), so heben sich alle 3 Faktoren cp und alle 3 Faktoren f und man hat

ч->

3) UE.YQ.WP = ¥E.IJQ.VP

d. h. nach der Umkehr des Menelaos:

Die3Hauptschnittpunkte eines Sehnensechsecks eines Kegelschnitts liegen in Einer Geraden.

Dieser Hauptsatz heisst nach seinem Entdecker der Pascal’sche Satz, (kurz: der Pascal); Pascal soll aus ihm über 400 Folgesätze hergeleitet haben, und gründete auf ihn die ganze Lehre von den Kegelschnitten.

Der französische Artilleriekapitän Brianchon wandte auf den Pascal 1806 die damals gerade durch Poncelet eingeführte Polarisation (cf. § 19) an, und erhielt sofort den nach ihm benannten dualen Satz zum Pascal den Satz des Brianchon:

In jedem Tangentensechseck eines Kegel-schnitts schneiden sich die drei Hauptdiagonalen in Einem Punkt.

bis A

Sein Beweis beruht darauf, dass wenn der Kegelschnitt selbst als Polarisationskurve benutzt wird, die Polaren von Al bis A₆ die Tangenten ax bis a₆ in A, sind. Die Ecken des Tangentensechsecks sind die Pole zu den Seiten des Sebnensechsecks, die Hauptdiagonalen jenes die Polaren zu den Hauptschnittpunkten dieses, und wenn die Pole in Einer Geraden liegen, so schneiden sich (§ 19) die Polaren in Einem Punkte.

Die Gerade PQK der Fig. 28 heisst Pascals’che Gerade, der Schnittpunkt der Hauptdiagonalen

Brianchon’scher Punkt. Die sechs Punkte bezw. Tangenten gestatten 6 ! = 720 verschiedene Anordnungen, da aber das Sechseck (bezw. Sechsseit) sich durch cyclische Vertauschung seiner Ecken, d. h. eine solche, bei der jeder Punkt seine Nachbarn behält, sich nicht ändert, und ebensowenig, wenn man die ganze Folge umkehrfc, d. h. das Sechseck rückwärts durchläuft, so ergehen die 6 Punkte 60 Pascal’sche 6-Ecke und damit 60 PascaPsche Geraden und die 6 Tangenten 60 Brian-chon’sche Punkte.

Die Folgerungen aus Pascal und Brianchon finden sich zusammengestellt in Beye’s Geometrie der Lage 7. Vortrag; Spezielle Fälle haben wir schon im § 19 gegeben, wenn zwei oder drei Paar Punkte Zusammenfällen, also das Sechseck zum Viereckbezw. Dreieck wird. Zunächst sind die Sätze umkehrbar:

Ist ein Sechseck ein Pascal’sches bezw.

Brianchon’sches, so liegen seine 6 Ecken (Seiten) auf (an) Einem Kegelschnitt.

Der Beweis beruht darauf, dass die Gleichungen 1 und 2 je 5 Konstanten enthalten, welche durch die Koordinaten von 5 Punkten bezw. 5 Geraden generaliter linear bestimmt sind. Einen eigentlichen Kegelschnitt erhält man nur, wenn keine 3 Punkte in Einer Geraden liegen.

Die beiden grossen Sätze gestatten, wenn 5 Punkte bezw. 5 Tangenten eines Kegelschnitts gegeben sind, den 6. Punkt bezw. die 6. Tangente mit dem Lineal zu konstruieren, und damit alle.

Man hat z. B. für die erstere Aufgabe nur nötig Ax A₂ und A₄ Ag zum Durchschnitt in Q zu bringen, durch Q eine beliebige Gerade (als Pascal;sche) zu ziehen, A₃ A₄ schneidet sie in P₁₅A₂A₃ in R1? dann schneiden sich A₄ P und A₅ E, in A₆ auf der Kurve.

Ebenso lasst sich mit dem Lineal, wenn 5 Punkte gegeben sind, in Einem von ihnen z. B. A₅ die Tangente konstruieren bezw. wenn 5 Tangenten gegeben sind, auf Einer von ihnen z. B. a₅ der Berührungspunkt finden. Man braucht nur A₄ . . . A₆ als Pascal’sches Sechseck zu betrachten, bei dem A₆ und A₅ zusammenfällt, bezw. aL . . a₅ als Brianchon’sches. Man kombiniert A₁ A2 und A₄ Ag zu Q, A₃ A₄ und A₆ — ₆AX zu P, P Q schneidet A₂ A₃ in B, so ist В A₅ die Tangente.

Man kann auch 4 Punkte geben und die Tangente in Einem von ihnen, oder 3 Punkte und die Tangenten in zweien bezw. 4 Tangenten und den Berührungspunkt auf Einer etc.

Dass der Kreis schon durch 3 Punkte bestimmt ist, liegt daran, dass alle Kreise (§ 16) durch dieselben beiden unendlich fernen imaginären Punkte gehen, ebenso ist bei der Parabel stets Ein Bestimmungsstück die unendlich ferne Gerade als Tangente gegeben.

§ 31. Die Kegelschnitte als Schnitte des Kegels.

Schon Apollonius v. Pergae (etwa 250 v. Chr.) hat die Kegelschnitte unter dem gemeinsamen Gesichtspunkt der Schnitte eines Kegels durch eine Ebene aufgefasst, und diese Auffassung ward die Grundlage der projektiven Geometrie Poncelet’s.

ASB sei der Hauptschnitt eines beliebigen Kreiskegels mit der Spitze S; d. h. der Schnitt durch S

und die Mitte des Grundkreis, welcher auf der Ebene des Grundkreis senkrecht steht. Es werde durch den Kegel ein Schnitt senkrecht zur Ebene ASB und parallel S В geführt (Eig. 29) ; durch einen beliebigen

A{

ж’ 'Л

Zj2

p

Fig. 29.

y²=xb

2 px

Punkt P der Schnittkurve werde die Parallelebene zum Grundkreis gelegt, welche SA in A, S В in В und den Kegel in dem Kreis AP BP¹ schneidet. Es steht alsdann PDP¹ als Schnittgerade zweier Normalebenen auf ASB senkrecht. PD werde mit y, OD mit x, AD mit x¹ bezeichnet, < S AB = a, <^ASB = c, alsdann ist nach dem Potenzsatz: y²=x¹DB, aber DB ist konstant und als Parallele zwischen Parallele gleich der durch О zu AB gezogenen Parallele OQ (gleich b) somit x¹ : x = sin о : sin a, also sin o* sin а

d. h. die Schnittkurve ist eine Parabel.

0 ist der Scheitel, den Brennpunkt findet man, wenn man in Q an OQ Winkel a anlegt, sodass der freie Schenkel OD in G trifft, die Mitte von OG ist

1 — COS <7

F. Ist der Kegel ein Rotations- oder Gerader Kegel, so ist F der Fusspunkt des von Q auf OD gefällten

Lothes. Dann ist OS =

d. h. der Ort von

S ist, wenn die Parabel gegeben ist, eine Parabel, deren Brennpunkt 0 ist, deren Parameter p und die in der Ebene liegt, welche durch die Axe der Parabel senkrecht

zur Parabelebene gelegt ist.

Sei jetzt (Fig. 30) OPO^¹ eine Ebene senkrecht

\Q

/(%

—■\~y~xp*

А'

O'

Fig. 30.

zum Hauptschnitt ASB, welche alle Kegelkanten schneidet. [Man erhält sie, indem man in S auf ASB das Loth errichtet, durch S eine Gerade у im Aussen-raum des Kegels zieht, durch S und у die Ebene legt und zu ihr irgend eine Parallele konstruiert.] Es werde noch Winkel 0 0*S mit 0¹, und AOD mit 0, ABS mit ß, О O¹ mit 2 a bezeichnet. Dann ist wieder

X¹ sinO

BD

у² = X¹ BD;

sinO¹

sin а

somit

sinO sinO1 sin a sin ß

Der Faktor von x(2a—x), kurz #, ist a) konstant, b) kleiner als 1, da er sich (durch Erweitern mit 2 und Anwendung der Formel 2 sin x sin у — cos (x—y)—

cos (x -f- y) auf die Form ^ bringen lässt. Damit

ist bewiesen: Die Schnittkurve ist eine Ellipse, deren grosso Axe 00¹ ist, denn aus dem Potenzsatz des vorigen Paragraphen folgt unmittelbar die sogen. Scheitel-

y² = x (2 а—x)

gleichung der Ellipse y² = x(2a—x)

b²

a²

Wörtlich ist der Beweis für die Hyperbel derselbe, nur dass die Schnittebene parallel einer in den Kegelraum eindringenden Ebene geführt wird, welche aus

dem Kegel zwei symmetrisch zu S B (u. S A) gelegene Kanten ausschneidet, welche die Richtungen der Asymptoten geben.

Ist der Kegel ein gerader Kreiskegel, so ist 2 sinO sinO¹

da a und ß gleich sind, oder: c

2 sin² а

cos(0—0¹)—cos(0 + ^') _ C0Sa — cosfO + O¹)

* “    2 sin² «

0 — О¹ = о (0 ist Aussenwinkel) а

2 sin² а

— 90—    sin а

о*

cos

2 cos² -

-—1—cos^O+O¹)

1 -f cos (0 + 0¹

о О

2 ccs “тг⁻

2cos²

и

(O + O¹) )2

cos

COS

(O-O¹)

Zieht man durch 0 wieder zu AB die Parallele OQ, so ist QO^StP-SO. Winkel QOO¹^^)—

(O + O¹)

COS

cos

Winkel OQO¹ = 90 + also

A

(O + O¹)

SO¹—SO

2a

(O-O¹)

b²

y² — x (2 a—x) — wo 0 O¹ = 2 a und b² = a²—a² e² und

2 ae = S O¹—S 0.

Also der Abstand der Brennpunkte, die doppelte lineare Excentricität der Ellipse ist gleich der Differenz der Abstände der Scheitelvon der Spitze des Kegels. Bei der Hyperbel tritt an Stelle der Differenz die Summe.

Wir haben die Sätze:

Der Ortder Spitzen aller Bot at ionskegel auf denen eine gegebene Ellipse (Hyperbel) liegt, ist eine Hyperbel (Ellipse), deren Hauptaxe gleich der doppelten gegebenen linearen Excentricität ist, deren Brennpunkte die Scheitel der gegebenen Kurve sind, und welche in der Ebene liegt, welche in der Hauptaxe aufder gegebenen senkrecht steht.

Da die Parabel sowohl Grenzfall der Ellipse als der Hyperbel, so folgt der für die Parabel bewiesene entsprechende Satz hier ohne Pech nun g.

X. Abschnitt.

Höhere Kurven.

§ 32. Definition der Tangenten, Doppelpunkte etc.

Alle Kurven, deren Gleichungen in Punkt- oder Linienkoordinaten nicht vom ersten oder zweiten Grade sind, fasst man zusammen unter dem Kamen „höhere Kurven“. Schon von den Kurven 3. Grades giebt es über 100 Arten. Wir werden uns daher auf einige Beispiele höherer Kurven beschränken.

zusammen-

Zuvor sind einige Begriffe festzulegen; vor allem der der Tangente. Für die Kurven 2. Grades genügt es zu sagen, die Tangente ist die Gerade, welche mit der Kurve nur Einen Punkt gemeinsam hat; dazu war nötig, dass die beiden gemeinsamen Lösungen der Gleichungen der Geraden und der Kurve in Eine zusammenfielen. Man kann auch sagen, die beiden Lösungen haben einen verschwindenden Unterschied. Hieran anknüpfend definieren wir Tangente im Punkte P der Kurve, als eine Gerade, welche mit der Kurve ausser P noch einen P unendlich nahen Punkt gemeinsam hat, der also für die Anschauung mit P fällt. Da die Gleichung der Geraden nur 2 Konstanten enthält und die Bedingung, durch P | (xx |yj zu gehen

schon eine Relation zwischen den Koordinaten der Linie giebt, so giebt die Forderung auch noch durch einen zweiten, p unendlich nahen Punkt zu gehen, eine zweite Relation, durch welche im Allgemeinen die Linienkoordinaten bestimmt sind, ausser wenn die zweite Relation identisch erfüllt ist. Im Allgemeinen haben also selbst die transcendenten Kurven (deren Gleichung als von unendlich hohem Grade angesehen werden kann) in einem beliebigen Punkt P nur Eine Tangente. Im besonderen kann die Eine Tangente in P mit der Kurve nicht blos zwei zusammenfallende bezw. unendlich benachbarte Punkte gemeinsam haben, sondern drei und mehr ; ist diese Anzahl eine uugerade, so heisst die Tangente eine Wende- oder Inflexions-Tangente und der Punkt P ein Wendepunkt oder In flexionspunkt, da in diesem Falle die Kurve ihre Tangente in P durchschneidet. — Gewöhnliche Wendepunkte (bei denen 3 und nicht mehr unendlich nahe Kurvenpunkte in Einer Geraden liegen) giebt es bei jeder Kurve von höher als den 2. Grad.

Es kann aber auch Vorkommen, dass die Kurve in P unzählig viele Tangenten hat, dass jede Gerade durch P die Kurve in zwei unendlich nahen Punkten schneidet; dies tritt ein, wenn die Kurve sich selbst in P schneidet, eine sogen. Schleife bildet. Dass dann in P zwei unendlich benachbarte Punkte zusammenfallen, sieht man ein, wenn man die beiden Zweige, welche sich in P durchschneiden, unendlich wenig von einander entfernt, den Knoten in P durchschneidet.

Der Punkt P zählt dann doppelt, P heisst daher

Doppelpunkt, und analog ist die Erklärung von Dreifachen etc. Punkten. Die beiden Zweige, im Doppelpunkt P, welche die Schleife bilden, haben dann jeder einzeln in P eine Tangente, welche P mit einem unendlich nahen Punkt auf dem Zweige verbindet, diese beiden Tangenten heissen die Haupttangenten; für jege einzelne zählt P nur einfach, so dass die Haupttangenten nicht notwendig auch Wendetangenten sind; P heisst in diesem Fall Knotenpunkt.

Es kann auch die Schleife sich zum wirklichen Knoten in P zusammenziehen, so dass beide Kurvenzweige sich in P berühren, und die beiden Haupttangenten in P zusammenfallen, dann durchläuft die Kurve in P gewissermassen einen Kreis mit dem Kadius 0, sie hat in P eine unendlich grosse Krümmung, P ist ein Doppelpunkt mit Spitze, ein solcher Punkt heisst Eüc к kehrpunkt. Er ist erst er Ar t, wenn, wie bei der Cissoide, beide Zweige, welche sich in P berühren, an verschiedenen Seiten der gemeinsamen Haupttangente liegen; zweiter Art oder Schnabel, wenn sie an der gleichen Seite der Haupttangente

liegen, wie der Nullpunkt der Kurve у = x² -f- ]/ x5 Beide Tangenten im Doppelpunkt können auch imaginär sein, dann liegt der Punkt P isoliert wie bei der Kurve: y²z=(x—a)² (x—b), wenn a kleiner als b, der Punkt a; y—0. Die Figuren finden sich für Kückkehr-

X =

punkte erster und zweiter Art bei Becker, Geom. Zeichnen. Die Tangente lässt noch eine zweite, für die Mechanik allein in Betracht kommende Auffassung zu: sie ist die Gerade, welche mit der Kurve an der Berührungsstelle eine unendlich kleine Strecke, ein

io

Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

Linienelement, gemeinsam hat; die Wendetangente hat dann deren zwei gemeinsam. Die Tangente giebt daher die Richtung der Kurve im Berührungspunkt an, und man kann die Principien der Mechanik, speziell das Parallelogramm der Geschwindigkeiten zu ihrer Kon-struction benutzen, wie das gleichzeitig Roberval und Toricelli gethan.

Rein geometrisch definiert man die Tangente, so dass man eine Sekante sich um einen Schnittpunkt P drehen lässt, bis der P nächstliegende Schnittpunkt mit P zusammenfällt. Für einen Doppelpunkt ode^ allgemein für einen vielfachen Punkt erleidet diese Definition eine Ausnahme, man muss dann die einzelnen Zweige der Kurve trennen. Man sieht, dass es Vorkommen kann, dass die Tangente in P zugleich Tangente an einen oder mehrere andere Kurvenpunkte ist, dann heisst die Tangente Doppeltangente bezw. mehrfache Tangente.

Die Tangenten in den unendlich fernen Punkten der Kurven heissen Asymptoten (vergl. die Hyperbel).

Für algebraische Kurven kann man auch algebraische Definitionen geben, z. B. die Tangente in P definieren als die Gerade, für welche in P mindestens zwei gemeinsame Lösungen zusammenfallen, den Doppelpunkt als einen Punkt, durch welchen jede Gerade die Kurve in höchstens nach n—2 Punkten schneidet etc.

XI. Abschnitt.

Die Cissoïde des Diokles.

§ 33. Erzeugung der Kurve.

Man zeichne einen Kreis um M, den Leitkreis mit Radius a und ziehe darin den Durchmesser 2 a oder d, genannt SS¹. Man ziehe A Bund A¹ B¹ senkrecht auf SS¹ (Fig. 31) und symmetrisch in Bezug auf die Symmetrieaxe von SS¹; ziehe SB¹, schneidet SB in P, es soll der Ort des Punktes P bestimmt werden, wenn A^¹ sich von S¹ nach S bewegt (allgemein: unbegrenzt in der Richtung S^), und daher AB von S nach S¹.

S sei Nullpunkt, SS¹ sei -]-X, das Axensystem rechtwinkelig -f- Y wie gewöhnlich, SA ist x, PA ist y y, die Länge von AB und АгВх oder AC sei z, alsdann ist (Pythagoraische Satzgruppe).

d—x ¹ d—x

(Dreieck SPA^SB^¹) also durch Multiplikation

V²

—s oder

x²

d—x

1) x³ = y² (d—x); 1») (x*-f y²)x = dy2 Der Ort des Punktes P ist also eine Kurve 3. Grades, sie heisst Cissoïde (vom griech. Kissos-Epheu) und ist etwa um 200 v. Chr. von Diokles erfunden, um das „Delische Problem“ der Würfel Verdoppelung (bezw. Vervielfachung) zu lösen; als welches gelöst ist, sobald es gelingt, zwischen zwei Strecken a und а У n

/

R

D¹

A

S

M

A¹

c

Fig. 31.

zwei mittlere Proportionalen p und q einzuschalten, so dass ₌ P

_-r— dann ist

a²n

oder q³

p q a]/n = n a³. Nun sind bei der Kissoïde z und x zwischen

a—x und y mittlere Proportionalen.

Die Gleichung der Cissoïde kann ohne weiteres aus der Bemerkung abgeleitet werden, dass SC und S*BL parallel sind, also PSC ein bei S rechtwinkeliges Dreieck, somit unmittelbar x²=y z, x⁴=y²z² also x³=y2 (d — x). Man erhält also eine zweite Erzeugung der Kurve. Errichtet man über der Hypotenuse SS¹ alle rechtwiukeligen Dreiecke, fällt in ihnen die Höhen und errichtet in S auf den anliegenden Katheten die Lothe, so ist der Ort ihrer Schnitte mit den Höhen die Cissoïde.

Eine noch bequemere Erzeugung erhellt daraus, dass wenn SB¹ in D¹ zum Schnitt mit der Tangente in S¹ gebracht wird SB = B¹D¹ ist (entsprechende Querstrecken in kongruenten Streifen) d. h. also:

Zieht man von S aus nach allen Punkten der Peripherie des Leitkreises die Yectoren, und trägt das Stück zwischen Kreisund der Tangente in S¹ топ S aus auf die Yectoren auf, so ist der Ort dieser Punkte die Cissoïde.

Aus der ersten Erzeugung folgt eine vierte von Newton herrührende, welche gestattet, die Kurve auf mechanischem Wege herzustellen (Eig. 32). Denkt man sich Dreieck A BM in dem kongruenten Streifen zwischen den Senkrechten durch M und A¹ parallel verschoben, bis M in den Cissoïdenpunkt P¹ auf A^¹ kommt, also in der Lage A¹^¹¹?¹ und B¹¹?¹ um sich selbst verlängert bis Q, so sind SP¹ und MQ parallel; verlängert man MS über S hinaus, bis M¹, so sind nach den elementarsten Streifensätzen M¹B" und SP¹ ebenfalls parallel, das Trapez M¹MQB¹¹ ist ein symmetrisches Trapez, also da M^B¹¹ ein Bechter, so ist es auch CQB¹¹; wir haben den Satz:

B”

B'

А M A’

Fig. 82.

Bewegt sich ein rechter Winkel, dessen einer Schenkel die konstante Länge d hat, so, dassderandereSchenkelstets durch den festen Punkt M¹ hin dur ch geht, während der Endpunkt des Schenkels konstanter Länge auf einer Geraden gleitet, welche von M1 den Abstand d hat, so beschreibt die Mitte dieses Schenkels die Cissoïde.

§ 34. Discussion der Kurvengleichung.

Gleichung 1 bleibt bestehen, wenn x; y; d mit irgend einem Zahlenfaktor multipliziert werden, also alle Cissoïden, (wie alle Kreise, Parabeln, gleichseitige Hyperbeln) sind ähnlich. Yergrössert man also die Vektoren SP von S aus auf das nfache, so ist der Ort der neuen Endpunkte eine ähnliche und ähnlich liegende Cissoïde, deren Leitkreis den Durchmesser n d hat.

Die Kurvengleichung enthält nur y², d. h. zu jedem Wert x der Abscisse gehören zwei entgegengesetzt gleiche Werte der Ordinate.

Die Kurve, heisst das, ist symmetrisch in Bezug auf die X-Axe. Giebt man der Gleichung die Form

lb)y²=^br

so sieht man zunächst, dass y mit wachsendem x rapid zunimmt und für x = d unendlich ist, ferner dass für x> d und x <0 die Ordinate y imaginär ist, d. h.:

Die Cissoïde liegt ganz in dem Streifen zwischen den Tangenten an den Leit к reis in S und Sl.

Sie besteht aus 2 symmetrischen Zweigen, die sich und die Axe in S berühren, und im unendlich fernen Punkt der Tangente in S¹ Zusammenkommen. Punkt S ist eine Spitz e erster Art, denn zieht man durch S irgend eine Gerade y = rx, wo z = tg<p ist, so hat man für den Schnitt mit der Kurve:

x³ = r² x² (d—x)

also x = 0 und damit y = 0 ist eine doppelte Lösung, und ausserdem giebt es noch die Lösung

i²d

*³d

X “ l + ra’ У_ 1+*²

und für г = 0 d. h. für die x-Axe, fällt auch die 3. Lösung mit der doppelten x = 0, у = 0 zusammen.

1 +

sin² 9 ist, x=dsin²ç>, у = d sin²qp tgq> und da x = r cosçd, so ist

2) r = d sinçptggp

die Polargleichung der Kurve (für den

Wird SP mit r bezeichnet, so ist da

Pol S, die Polaraxe SS¹). Diese Gleichung könnte auch direkt abgeleitet werden aus dem rechtwinkligen Dreick SD^¹ mit der Höhe S^¹.

Wenn x und y beide sehr gross (aber proportional) so geht la) über in (x² H— y²) = 0 (Division mit x³ giebt dy² 1    1

—« ♦ — und — wird 0). Die Kurve hat

xJ    X    X    '

also in keiner von den Axen verschiedenen Richtungen einen reellen Punkt im Unendlichen; wenn y endlich bleibt, ist es x auch, aber wenn x = d ist, wurde y unendlich, d. h. :

Die Kurve hat eine reelle Asymptote, die Tangente an den Leit к reis in S¹.

(Das folgt schon aus der Konstruktion.)

Errichtet man im Punkte P j (xi |y* ) der Cissoïde auf den Vector SP die Senkrechte g, so ist deren Gleichung

У—У1 =

У1

(x—XJ

oder

àjl

XX! + УУ1 =X1²+ У,

Die Linienkoordinaten der Geraden, u und v, sind

und у = ~^L

xi

also u = —L

dyi

dyi

somit 3) у² =

Fig. 33.

Dies ist aber die Gleichung der Parabel in Linienkoordinaten, (S. 94).

Der Parameter derselben ist 2 d und ihr Scheitel ist S, die Axe fällt in die Gerade SS¹ und aus der Bedeutung von u für die Parabeltangente folgt, dass sie die Bichtung SXS hat; wie Fig. 33 zeigt. Also:

Die Cissoide ist der Ort der Fusspunkte der Lothe, welche man vom Scheitel der Parabel auf die Tangenten derselben fällen kann.

Die Cissoide gehört demnach zu den sogen. Fuss-punktenkurven. Berücksichtigt man die Bemerkung am Anfang des Paragraphen, so sieht man, dass auch der Gegenpunkt des Parabelscheitels S in Bezug auf irgend eine der Tangenten eine Cissoide beschreibt (ähnlich und ähnlich liegend, mit dem Durchmesser 2d). Dieser Gegenpunkt ist aber der Scheitel einer der ursprünglichen kongruenten Parabel, welche auf dieser aussen rollt, wir haben den Satz :

Rollt eine Parabel aussen auf einer ihr kongruenten, so beschreibt der Scheitel der rollenden Kurve eine Cissoide.

Die Cissoide gehört also zu den Rollkurven (vergl. Abschnitt XIV).

§ 35. Inversion oder Transformation durch reciproke Radien.

Die Cissoide steht mit der Kurve, deren Scheitel-fusspunktskurve sie ist, in noch einfacherer Beziehung (wie im allgemeinen die Fusspunktskurven).

Verlängert man (Füg. 31) den Vector SP = r über S hinaus, bis er die Parabel in Q schneidet, und setzt

SQ — und P I (x I y) ;    (£ I fl?), wo, da die | auf der

und mit Benützung von 2)

negativen Seite der X-Axe liegen rf¹ — — 2 p | = — 4 d | ist, so ist ri -- p sin (180 + q>)\ f = q cos (180 + cp) also 4d cos cp

sin² cp

§ 35. Inversion od. Trnsfrmtion. durch reciproke Radien. 155 4) Q г = 4 d²

Kennzeichnet man den Umstand, dass q dem r entgegengesetzt gerichtet ist, durch das Minuszeichen, so ist q r — 4 d². Diese Beziehung drückt sich kurz aus durch den sofort zu erläuternden Satz:

Eine Cissoide ist die entgegengesetzt inverse Kurve der Parabel.

zu-

man

Wählt man nämlich einen festen Punkt S als Centrum der Inversion und eine Grösse 4 d² als Potenz, und ordnet jedem Punkt P einen Punkt Q zu nach dem Gesetz, dass 1) Q auf dem S P entgegengesetzten Strahle, der von S ausgeht, liegt; 2)SP.SQ = 4 d², so heisst diese Art der Zuordnung oder Transformation „Inversion“. Den Gegensatz in der Richtung der „In vers ionsstrahl en“ SP und SQ, kennzeichnet man dadurch, dass man q das Minuszeichen giebt, so dass q r = — 4 d² gesetzt wird, und bezeichnet diese Art der Inversion als entgegengesetzte oder innere, im Gegensatz zu derjenigen, bei der P und sein geordneter auf demselben Strahl liegen und pr = 4d2 ist. Da die Längeneinheit willkürlich, so kann

2d als solche wählen, und dann ist q— +--- und daher

heisst die Inversion meist „Transformation durch reciproke Radien, welche auch in der mathem. Physik, besonders in der Potentialtheorie eine hervorragende Rolle spielt.

Es gelten folgende Gesetze:

1) Jedem Punkt P entspricht Ein Punkt Q, und diesem umgekehrt wieder P, die Inversion gehört also zu den Punkt-Verwandtschaften (Zuordnungen, Trans-formationen) welche auf Gegenseitigkeit beruhen, was z. B. bei der gewöhnlichen ähnlichen Abbildung nicht der Fall ist.

2)    Je zwei Punktepaare liegen auf einem Kreis (in dessen innerem S bei innerer Inversion), zufolge des Potenzsatzes.

3)    Es sind die Dreiecke deren gemeinsame Ecke S und deren anderen Ecken je 2 Punktepaare sind, also SPP¹ und S Q Q¹, ähnlich, aber so dass P in Bezug auf die Aehnlichkeit Q¹ und P¹ über Kreuz Q entspricht.

4)    Daher entspricht jeder Kurve p von Punkten P eine Kurve q von Punkten Q als inverse Kurve, und umgekehrt ist p die inverse Kurve von q.

5)    Der Kreis um S mit Radius 2 d heisst Hauptkreis oder Inversator, er entspricht sich selbst, jedem Punkt im Innern entspricht ein Punkt im Aeussern u. V. V.

6)    Jeder Geraden g, welche nicht durch S geht, entspricht ein Kreis durch S, dessen Centrum auf dem von S auf g gefällten Lothe SP¹ liegt. Ist P ein laufender Punkt von g, so ist Winkel Q¹QS = PP¹S = 90°, also der Ort von Q ein Kreis um den Durchmesser (^S.

7)    Berühren sich 2 Kurven in P, so berühren sich die entsprechenden in Q, oder einfacher berührt eine Gerade g eine Kurve p in P, so berührt der g inverse Kreis die p inverse q in Q, dem inversen Punkt von P. Dreht man die Sekante der Kurve p um P, so entsprechen der sich drehenden Sekante Kreise

durch S und Q, welche die Kurve q in Q und Q1 schneiden, fällt P¹ mit P zusammen, so Q¹ mit Q, da zu jedem Punkt P nur Ein inverser gehört.

Da Cissoide und Parabel inverse Kurven sind, so lässt sich die Tangente an die Cissoide in P j (x| y) sofort konstruieren. Der Tangente in P entspricht der Kreis, welcher durch S geht und die Parabel in Q jdl^) berührt. Sein Centrum liegt also auf der Parabelnormalen in Q und auf der Normalen in der Mitte von SQ. Es ist bequem für die folgende Rechnung die Richtung der Parabelaxe als die der -f- X anzusehen; wir haben dann für die Koordinaten I¹ und ц1 des Mittelpunkts die Gleichungen beider Normalen

14 + Vp = £ n + n p Vn + 2    = V, i n + i? p

und erhalten hieraus I¹ = p -j- ³/₂ £.

Folglich für Abscisse 2|* des Punktes U, in welchem der Kreis die Parabelaxe schneidet : S U = 2 p -|- 3£, und hiermit, da S U. S T = 4d² ist, für S T d. i. das Stück, welches die Cissoïdentangente von deren Axe

4d²

2p + 3 g

X    4d²

Da p = 2d und 11| = q cos g>, und cos cp— —, q = ——

dr² X

S S¹ abschneidet: S T =

so ist S T

dr²

dy:

r² + 3dx r²x + 3dx² y² + 3x²

dx

i + 3|i

3d — 2x

und damit die Subtangente

X (d — x)

T A _ 2x (d_+ _x)

1 A 3d - 2x

Da x (d — x) = z² = А В² war, so ergiebt sich

also 5) T A=sn=x — ST

% d-x*

/ P.

S‘

^ A M

L' -

'N

Fig. 34.

hiermit sofort die einfache Konstruktion der Tangente: Man verlängere S Sl über S¹ um den Radius bis zu dem festen Punkte 0, verbindet 0 mit B; errichtet in В auf О В das Loth, schneidet SS¹ in T, so ist P T die Tangente. (Fig. 34).

Auch der Richtungsfaktor x und damit die

Gleichung der Tangente ist sofort bestimmt, da x — - -

=    ^ ist.

x (d — x)

§ 36. Tangente; Evolute.

Aus den Gleichungen der Normalen von В und der Mittelsenkrechten von S Q ergiebt sich für die

Koordinaten at ; ßl des Centrums des Kreises der durch S geht und die Parabel in Q berührt ax — p = ³/₂ | ;

ft =

2p

wenn

Q { (IIn) ist.

Vermöge der Parahelgleichung erhalten wir:

_ i («1 — P)⁸

Dies ist die Gleichung einer Neil’sehen Parabel

deren Scheitel F¹ vom Brennpunkt F um entfernt ist.

À

Lässt man die Bedingung durch S zu gehen fallen, verlangt aber, dass der Kreis die Parabel ausser in Q

noch in einem Q unendlich nahen Punkte К {(f + ³/₂1 ^ + h) berühre, so hat man aus der Parabelgleichung y. — ph, unter Vernachlässigung von и², und zur Bestimmung der Koordinaten a¹, ß¹ des Centrums К¹ dieses Kreises, des sogen. Krümmungskreis der Parabel in Q (vgl. Cycloïde) dient die Gleichung der Normale in Q ünd der in R, woraus

2È r)

p— ; also a¹ — p = 2 («! — p) ; ß¹ = Aß.

a'~ p = 3|;0* = —

Nennt man den Radius dieses Kreises (>p, so ist

(p+2£)³

Cp² = (§-ay +

und Ia) ß ₂₇

_ 8 (al — p)³

für den Ort der Krüm-

mungscentren die sogen. Evolute der Parabel.

Hieraus folgt zunächst die einfache Konstruktion von K¹: Man trage von der Normale N (Fig. 16) aus auf der Axe die Strecke ß T ab bis ß*, errichte dort das Loth auf der Axe, welches die Normale im K1 schneidet.

Soll der Berührungskreis durch S durch einen beliebigen Punkt А<^(|а|^а) gelegt werden, so hat man ausser I noch die Gleichung der Symmetrieaxe von S A zur Bestimmung von ax und ß₁ ; da sie linear ist, so folgt, dass sich für    , oder besser für ²/₃

(«i — p) oder |, die Abscisse des Berührungspunkts, und damit für oq und ßl drei Paar Werte ergeben, also sind durch einen Punkt drei solcher Kreise möglich, also auch von dem A inversen Punkt aus 3 Tangenten an die Cissoïde, d. h. also:

Die Cissoïde ist eine Kurve 3. Ordnung.

Hiebei ist die Lösung ß = 0 nicht berücksichtigt, sie führt auf den stets möglichen Kreis der durch A geht, und die Parabel in S berührt; ihm entspricht der Strahl, welcher den A inversen Punkt mit S verbindet, der auch (vgl. § 32) den Charakter als Tangente hat.

Die Gleichung 3. Grades selbst lautet, wenn

(ja,² ~f~ ??a² " 2p ga) 2^a²

v und

2»?a² -3 = Л.

3 pla² '

gesetzt wird : Л³ — ЗЛ (9 — 2v — ^ (9 — v)² — 27

Pia³

)-

0.

Ihre Discriminante (vgl. Schubert Arithmetik S. 68)

D ist y³ (-ÿ- — 1), sie hat also 2 gleiche reelle Wurzeln,

wenn V — О und v = 4. Das erste gibt £a² +. ^a2 = 2p fa> d. h.: den Kreis der um E¹ mit p geschlagen ist. Dieser Kreis, der die Parabel im Scheitel vierpünktig berührt, zählt also doppelt, und ausserdem giebt es für seine Punkte nur noch Eine Lösung: 9 p |a 4p — 2|a *

Scheitelkreis, entspricht invers die Asymptote der Cissoïde, (die Leitlinie der Parabel), von ihren Punkten giebt es also (ausser der Asymptote) noch Eine Tangente. JstJ I (d Iyi) der A inverse Punkt, so findet man leicht 9 d2 dyi²

Hieraus ergiebt sich sofort die Konstruktion dieser Tangente. Man verschiebt die Asymptote parallel der Axe um den Radius des Leitkreises; J rückt dann nach J¹, zieht den Vector J¹ S, so schneidet er die Kurve im Berührungspunkt P. Ist die Kurve nicht gezeichnet, so zieht man den Vector von S¹ nach dem Punkt in dem die Mittelsenkrechte von S S¹ den Vector S J¹ schneidet, und dieser Vector trifit den Leitkreis in B, und das von В gefüllte Loth S J¹ in P. Koch einfacher: Man trägt das Stück des Vector S J¹ zwischen Kreis und Asymptote von S auf S J¹ ab, giebt P.

Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

i = % (<*, — p) =

Diesem Kreis, dem

X²

777 ч

yi

il

Für die Punkte im Innern des Scheitelkreises ist

V    negativ, also D positiv, also giebt es für sie nur Einen reellen Berührungskreis; dem Innern des Kreises entspricht das Aeussere der Asymptote, also lässt sich von Punkten jenseits der Asymptote nur Eine Tangente an die Cissoïde legen. D wird dann wieder 0, wenn

V    = 4 d. h. aber 7?a² — 2p |a. Für die Punkte zwischen dem Scheitelkreis und der Parabel ist D negativ, also giebt es für sie 3 Kreise; also für die Punkte zwischen Cissoïde und Asymptote 3 Tangenten.

Für die Punkte Q auf der Parabel fallen 2 Kreise in den Berührungskreis bei Q zusammen, und es giebt ausserdem noch Einen , der die Parabel in Q durchschneidet. Für die Punkte ausserhalb der Parabel ist D positiv, also giebt es nur Einen (reellen) Kreis. Daher gehen durch jeden CissoïdenpunktP zwei Tangenten, die eigene (doppeltzuzählende) und eine, welche in einem andern Punkt berührt und bei P schneidet. Für die Punkte aber, ausserhalb des Baumes zwischen Cissoïde und Asymptote giebt es nur Eine Tangente. Die Gleichung I ist mit Ia identisch, wenn in Ia p durch 2p ersetzt wird, und dann der Anfangspunkt um p in der Axe nach dem Scheitel zu verschoben wird. Also :

Verschiebt man die Evolute einerParabel parallel der Axe um den halben Parameter nach dem Scheitel zu, so wird sie zur Nebenevolute der Parabel mit halbem Parameter.

Liegt der Punkt A { (|a | iya) auf der Parabel selbst, so ist V = 4, so hat man : A³ — 3 Л -j- 2 = 0 = (A — l)2 (A -j~ 2), welche Gleichung ausser der a priori klaren

doppelten Lösung Л — 1, d. h. £ = £a, noch die Lösung Л = — 2 d. h. £ =7₃ (at — p) = \ £a bat. Also : Der die Parabel in Q { (£|^) schneidende

№ ?)■

Berührungskreis, berührt in q

Da das Yerhältniss der Koordinaten durch Inversion

2x

y¹

sich nicht ändert, so ist — —- —, d. h. tg (p¹ = — 2 tg cp. x    У

Also:

Durch jeden Punkt der Cissoïde geht ausser der Tangente in ihm noch eine zweite Tangente an den entgegengesetzten Zweig, man erhält den Berührungspunkt, wenn man die Ordinaten über ihren Pusspunkt hinaus um das zweifache verlängert und den zugehörigen Vector zieht.

Will man also im Cissoïdenpunkt P die Tangente ziehen, so verlängert man (Fig. 34) die Ordinate um ihre Hälfte bis L, zieht den Vector nach dem Endpunkt, schneidet die Cissoïde in P¹, so ist P¹ P die Tangente.

Liegt die Kurve nicht gezeichnet vor, so kann man die alte Konstruktion benützen, oder die Abscisse im

Verhältniss —

A

: d — x teilen, oder was das eleganteste:

Man zieht den Vector von S nach L, bis an die Asymptote nach N ; der Scheitelkreis schneidet SN in Ut trägt UN von S aus auf den Vector ab, so ist P*P die Tangente.

Bei der Inversion bleiben die Berührungseigenschaften der Kurven erhalten, einem Kreis entspricht ein Kreis, somit entspricht dem Krümmungskreis der

Parabel, der der Cissoïde. Die Centren sind nicht entsprechend, die Radien nach entsprechenden Punkten antiparallel, das Inversionscentrum S ist der innere

/ p;

s*

''N

Fig. 34.

Aehnlichkeitspunkt. Sind K¹ und К die Centren, und schneidet der Inversionsstrahl S Q den Kreis K¹ noch in Q¹, so sind К P und K¹ Q¹ parallel. Werden die

Koordinaten von K mit a und ß, der Krümmungsradius der Cissoïde mit pc bezeichnet, so ist:

ec    SP SP.SQ ол ОЛ1 д,

— = SQi ⁼ SQ‘.8Q; S Q • S Q lst die Potenz des Punktes S in Bezug auf den Krümmungskreis. Die Potenz des Scheitels derParabel inBe-zug auf den Krümmungskreis im beliebigen Kurvenpunkte Q {(||iy)ist — 3|²; SP.SQ“ — 4d²;

! 0c _ 4d²

also : - — ó »v«

0P

S P wieder r ist, | = q cos cp —    ₅— =

dx²

Nach der Cissoïdengleichung ist r² = g—- also:

4 (d — x)

0P

Es ist allgemein, wenn S Q wieder q ;

4d²x

И)

also :

— X3

_ d²x (4d — 3x)3 36 (d — x)⁴ ‘

Die Konstruktion des Krümmungscentrums ist nach dem Vorstehenden einfach. Eür die Koordinaten a und

ID) <?c²

ß ergiebt sich :

0P 3 I²

|r; ausIa war:

4|³

= -j-, also:

64 d³ _ 16 d² x _ 16 y2 9 g 9 d — x 9 x²’

---= - - tg <p,

woraus sich eine höchst einfache Konstruktion des Krümmungscentrums ergiebt.

IP>) ß² -

4 d²

3

/2d² , d\

СГ + 3 TP

пЗ

9ß²

64 d²

<N [C*

пЗ \

(P + 3l)-yd

also :

Q { (|"₂ V') und Q { (£ \v) bestehen die Relationen :

~4d²;    — 8d². Der Punkt ^3 und der zu

P gehörige P¹ sind daher konjugierte Punkte, d. h. ihre Abscissen sind zusammen d, ihre Amplituden zusammen 90°, dies giebt ein Mittel an die Parabel mittelst des festen Leitkreis die Tangente linear zu ziehen.

III) — 512« d³ = 27/?⁴ + 288ß² d2 die G leichung derEvolute der Cissoïde, welche sich demnach als eine Parabel-artige, bis auf S ganz im negativen Teil der Abscissenaxe liegende Kurve 4. Grades ausweist. Die Nebenevolute der Cissolde, d. h. der Ort der Centren aller Kreise, welche die Cissoïde berühren und durch S gehen, ist eine zu ihrer Parabel ähnlich liegendePara-bel mit halbem Parameter; denn berührt das in P auf S P errichtete Loth die Parabel in Q, so ist der dem Dreieck S P О umschriebene Kreis invers zur Parabeltangente in dem P inversen Parabelpunkt Q, er berürt also die Cissoïde in P und die Linie, welche P mit der Mitte von S Q verbindet, ist die Normale der Cissoïde in P. (Beweis: Denkt man sich zu Q den inversen (Cissoïden) Punkt ^)3, so ist S ^ O = S P О = 90°, also Q die Parabeltangente in Q). Es ist leicht dies durch die Rechnung zu bestätigen. Zwischen den Koordinaten von

Centriwinkel —, also: Fk =

§ 37. Die Quadratur,

Zieht man den Radius vector S P aus bis er die Taugente in 8¹ (die Asymptote) in D¹ (Fig. 31) schneidet, und denkt sich die zugehörige Amplitude cp in n gleiche Teile geteilt und die zu den Teilpunkten gehörigen Yectoren rl r₂ . . rk . . . gezogen und verlängert bis sie die Asymptote in Dt D₂ . Dk . . treffen, und bezeichnet 8 Dk mit Rk, so ist das Element der inneren Fläche zwischen rk—i und rk die Differenz der Kreissektoren mit den Radien Rk und rk und dem gemeinsamen

_! jp_

2 n

(Rk² — rk²). Be-

cos k'ip

zeichnet man q> : n mit *ip , so ist, da Rk und rk = d sin кгр tg k'ip ist:

d² (1+sin ²k^.)

( 1 — sin ék^) =

!

*    2 cos² kip

Für F selbst also d. h. für das Flächenstück zwischen Kurve, Axe, Asymptote und den Vector zwischen Kurve und Asymptote — Cissoïdenviereck — ist

d² cp H—d² яр 2 sin ²k гр. d    к = 1

1    ¹¹

yj 2 cos 2 k

*    i

Es ist aber sin ²k у = */₂2 sin ²k у = ¹/₂ (1 — cos 2 к 'also гр 2 ~: -i- cp —

и

— s*n (n + V₈) 2 гр

2 sin q

Nach einer bekannten Trigonometrischen Formel n

— 1 und

ist a = 2 cos 2 к гр

toi h-

% гр, und wenn n

гр°~ Y

1 ip sin (n + V₂)

2 sin гр

über jedes Mass gross: ¹/₂    = ¹L sin 2 <p, also

D¹

шт

_\_

A³

Fig» 31.

6) F = ³/₄ d² — V₈ d sin 2 y; in Worten:

Das Cissoïdenviereck ist gleich dem doppelten zugehörigen Sector des Leitkreises (B¹ M S¹) vermehrt, nun das zugehörige Segment desselben (S¹ B¹).

Nimmt man vom Kissoidenviereck das Trapez

d² sin 2 q> +

4—I

A P D¹ S¹ weg, welches =

sin³ (p, so ist die Fläche J, begrenzt von Kurve, Abscisse und Ordinate:

6a) J = ³/₄ d² — ³/₈ d² sin 2 у — ¹/₂ d² cos cp sin ³ <p. n

Ist cp — —, so ist А

d² cos <p

7t

7) J = ³/₄ d² — d. h., wie Huygens gefunden:

и

Das Flächenstück zwischen der ganzen Cisso'ide und ihrer Asymptote ist dreimal so gross als der erzeugende Kreis. Die vorstehende Methode der Quadratur ist ohne weiteres auf die aus der Ellipse hervorgegangene Cissoïde anwendbar.

XII. Abschnitt.

CassinPsche Kuryen oder Lemniscaten.

§. 38.

Gegeben seien die Punkte F und F1? „die Brennpunkte“, es soll der Ort des Punktes P bestimmt werden, für den das Produkt (Rechteck) seiner Entfernungen von F und Fx gleich dem konstanten Quadrat c² ist.

Die konstante Entfernung FF¹ sei 2a (Fig. 35) (a die „Brennweite“). Der Axenwinkel sei 90°, die Mitte M von F Fj sei Nullpunkt, M (Fj rechts von M) sei tJ- X ; ferner P F = q ; P Fx =    ; P M = r.

Winkel PMFj = <p. Nach dem Cosinussatz ist a) im Dreieck P M F

Q² =: (r² + a²) + 2a r cos g>. b) Im Dreieck P M Ft

= (r².+ a²) — 2 ar cos q>. Multipliziert man, so erhellt

Ch

-\

cu

S*

Fig. 35.

1)    ^i² — (r² + a²)² — 4 a² r² cos² y = c⁴

oder:

2) r⁴ — 2 a² r² cos 2g> — c⁴ — a⁴ — d⁴.

Die Gleichung 2 ist die Gleichung der Ortskurve in Polarkoordinaten mit M als Centrum oder Pol und M Fx als Polaraxe.

Man sieht sofort, dass 3 Fälle zu unterscheiden: c> a; c <a; getrennt durch c = a. Die Kurven heissen gemeinsam: Cas sini’sehe Kurven oder Lemnis-caten; sie spielen in der Optik eine Polle und er-§ 38. Cassini’sehe Kurven oder Lemniscaten. 171

scheinen im Polarisationsapparat, wenn aus einem optisch zweiaxigen Krystalle eine zur Winkelhalbierenden der Axen senkrechte Platte geschnitten wird.

Da cos (p = und r² = x² + y²; so hat man

3) 4a² x² —(r²-f-a²)²— c⁴=(r² + a²-|-c²)(r² -[-a² — c²) 4a² y² = c⁴ — (r² — a²)² = (r² -f- c² — a²) (c² + a² — r²).

Jede der Gleichungen 3) zeigt, dass die Kurven vom 4. Grade sind. Benutzt man beide Gleichungen 3), so sind die beiden Variabein x² und y² mittelst der Grösse r² einfach ausgedrückt, r heisst dann ein Parameter und die Einführung eines Parameters ist für höhere Kurven, besonders für Transcendente oft sehr zweckmässig. Ersetzt man r² durch x² + y², so erhält man

4)    (x² + y² + a²)² = c⁴ + 4 a² x² oder

5)    (x² + y²)² — 2 a² (x² — y²) = d⁴.

Die Gleichungen 4 und 5 enthalten nur die Quadrate von x und y, daher sind beide Axen Symmetrie-axen der Kurven und es gehören immer 4 Punkte zusammen, deren Koordinaten sich nur durch die Vorzeichen unterscheiden (cf. § 1), wir wollen sie ein System „gep a art er“ Punkt e nennen. Man kann sich also bei der Untersuchung der Gestalt der Kurven auf den Quadranten I (-f x, -f y) beschränken.

Für die Konstruktion der Kurvenpunkte kann man sich entweder des Potenzsatzes beim Kreise bedienen oder (Fig. 36.), man schlägt nun F und Fx mit Badien q und q₁ Kreise, so dass ç ^ = c² ist. Ist z. B* A В C D ein Quadrat mit der Seite c und verbindet nun В mit einem beliebigen Punkt G auf AD, so schneidet B G die Seite C D in E so, dass A G. E C = c² ist. Durch Drehung des Strahles B G erhält man alle zusammenpassenden Werte von q und von 0 bis со . Die Kreise, die man um E und Ej mit A G und E C schlägt, schneiden sich im Allgemeinen in 2 Punkten, und durch Vertauschung von A G und E C erhält man die beiden anderen mitgepaarten Punkte.

Fig. 36.

Wie auch c sein mag, so hat eine Schaar jener Kreise immer reelle Schnittpunkte, denn wenn der Badius Q sehr gross, so ist sehr klein und der Kreis um E schliesst jenen um Ex ein, wenn aber q sehr klein und sehr gross, so ist’s umgekehrt, dazwischen muss also der Eall eintreten, dass die Kreise sich schneiden.

Die Gleichung 3 zeigt, dass wenn y = 0 ist, X² = c² -|- a² oder a² — c² ist, die Kurve muss also, wie auch c sei; die X-Axe in den zwei (reellen) Punkten y = 0,x = i c² + a² schneiden; die beiden anderen Schnitte sind imaginär (unsichtbar), wenn c> a, reell wenn c < a, und fallen, wenn c == a in M zusammen, der dann doppelt zu zählen ist. Man sieht aus jeder der Gleichungen, dass M das Centrum der Kurve ist, allerdings im eigentlichen Sinne d.h .so,dassjedeStrecke, welche durch M geht und zwei (reelle) Kurvenpunkte verbindet, in M halbiert wird, nur wenn c^ a ist ; da, wenn c < a Gerade durch M, deren Gleichung also von der Form y = ту ist, die Kurve in zwei Paar reellen Punkten schneiden können (Л I/*), (— ЛI — ^), (Л ¹1 ^P), (— Л¹1 — ft¹) und nur die Verbindungssehnen von Punkten mit entgegengesetzten Koordinaten werden in M halbiert.

Ist X = 0, so ist y² = c² — a² oder (c² + a²)} zwei Schnittpunkte der Kurve mit der Y-Axe sind also stets imaginär, die beiden andern nur reell, wenn c > a. Ist c = a, so fallen auch diese beiden in M zusammen. Wenn aber c < a, so besteht die Kurve aus zwei ganz getrennten symmetrischen Teilen, die sich auf der Grenze, wenn c = a, in M vereinen ; wenn c > a, so bildet die Kurve nur einen Zug. Die Kurven liegen, wie 2) oder 3) zeigt, stets im Endlichen, da r² in die Grenzen c² -f- a² und c² — a² eingeschlossen, und wie 5) zeigt auch X² — y²; sie haben also keine reellen Asymptoten. Gleichung 3) zeigt, dass 4a² y² und damit y² und damit der absolute Betrag von y „|y|" am grössten, wenn r² — a², r = a ist, d. h. also in den 4 Punkten, in denen der Kreis um M mit Kadius M Ej die Kurve

c²

schneidet, und dass dort |y| = — ist. Da aber x²

nur positiv, x reell, wenn r² > c² — a² ist, so sind diese Punkte nur dann vorhanden (reell), so lange a² > c² — a² "ist, d. h. c²^ 2a² ist. Die Kurven haben

Я';

w \\

I и 1 '

тт

\^ч

V-

ч Vv

V"

"V-

Fig. 37.

dann in diesen Punkten 2 Doppeltangenten, welche der X-Axe parallel sind.

Die Gleichung 4) lehrt, dass der kleinste Wert von r² + a² und damit von r² und r eintritt, wenn x = 0, r² = c² — a² ist. Es ist leicht zu zeigen, dass so lange c² < 2a ist, die Kurve an diesen Stellen, wo sie die Y-Axe schneidet, eine Einsenkung hat, die sich je näher c² an 2a² kommt, verliert und umgekehrt immer stärker wird, wenn c² abnimmt und sich a² nähert, bis für c = a die beiden Einsenkungsorte sich zu einem Doppelpunkt in M vereinen. Wird c² noch kleiner, so reisst die Kurve auseinander und bildet zwei getrennte Ovale, wrährend, wenn c² — 2a² die Kurve die Gestalt eines Ovals hat, wie die Eigur 37. zeigt, in der die beiden Grenzfälle c = a und c² = 2a² ausgezogen, die anderen punktiert gekennzeichnet sind.

Den Beweis der Einsenkung giebt Gleichung 3; da wie 4) zeigt, r sich für von 0 aus wachsende oder abnehmende Beträge des x stets um positive Beträge ändert, so ändert sich 4a² y² in der Nähe .von x — 0, bezw. r² = c² — a² um 2e (2a² — c²), wo s die in dieser Umgebung stets positive Aenderung von r² bezeichnet. So lange also 2a² > c², wächst 4a² y² und damit |y | zu beiden Seiten der Stelle x = 0 und |y hat dort ein Minimum У c² — a². Wird c² = 2a², so wird für x = 0 y² = a² und der Kreis um M mit a berührt die Kurve in den Punkten, wo sie die Y-Axe schneidet und |y| zugleich sein Maximum hat. Die Kurve hat dann mit den beiden Parallelen zur X-Axe y “ —j— a nur den Punkt x = 0 y — + a gemeinsam, und keine weiteren reellen oder imaginären, d.h. alle 4 gemeinsamen Lösungen fallen in die Eine zusammen, die Kurve hat dort eine Doppeltangente, deren beide Berührungsstellen zusammenfallen, (aber keine Wendetangente).

d⁴

Der Gleichung der Kurve Hess sich die Form geben:

5)    (x² + y²)² - 2a² (x² - y²) = c⁴ - a⁴ = d⁴.

2a²

Setzt man darin x² у² = у¹ ; x² — y² = x so geht 5) über in 6) y¹* — 2a² x¹.

Dies ist die GJeichung einer Parabel, deren Parameter a² ist.

bemerken, dass x²-, y²; a² Mass-

(Dabei ist

zahlen sind, also Zahlen, und wieder auf eine Strecke als Einheit bezogen werden können). Wir haben den wichtigen Satz:

zu

„Alle Cassinischen Kurven derselben

„Brennweite a gehen aus derselben Parabel „mit dem Parameter a² durch eine einfache „Transformation 2. G-rades hervor.

Da, wenn x = 0 und J — 0 ist, y¹ = 0 und x¹

dé

ist, so hat diese Parabel, wenn -|- X als ihre

Hauptaxe angesehen wird, den Scheitel auf dem Punkt, der in Bezug auf die alten Koordinatenaxen

d⁴

die Koordinaten y = 0,x = ——^ hat. Je nach dem Wachsen von c² entfernt sich also der Scheitel auf der

2a²

a²

X-Axe vom Punkte -|- — aus nach links, bei c = a ist

er in M. Jedem Parabelpunkt (x¹ y¹) entspricht ein System gepaarter Cassinischer Kurvenpunkte, die man einfach konstruieren kann als Schnitte des Kreises x² -J- y²=y₁ und der gleichseitigen Hyperbel x²—y²

Jeder Parabelsehne entspricht ein cen-

⁼⁼ x¹-

d*

2a²*

traler Kegelschnitt, der die Kurve in 2 Systemen schneidet, er ist bestimmt durch die Gleichung 7) x² (rt ² + r₂ ²—2a²) + y² (ri ² + r₂ ² + a²) - (y, y₂ + d ‘) = 0. Einer Schaar paralleler Parabelsehnen entspricht eine Schaar ähnlicher Kegelschnitte. Der Tangente an

§ 38. Cassini’sche Kurven oder Lemmscaten. 177

die Parabel entspricht ein Kegelschnitt, der die Kurve in den 4 Punkten des entsprechenden Systems berührt, die Tangente an jenen Kegelschnitt in einem dieser Punkte ist zugleich Tangente an die Kurve in jenem Punkte, und dies giebt ein Mittel, die Gleichung der Tangente fast ohne Rechnung abzuleiten.

Es sei P у (хр|Ур) der Punkt der Kurve, P1 I (x^i |yV) der entsprechende der Parabel, die Gleichung der Tangente an die Parabel in P¹ ist (S. 96)

у¹ у ¹p i —— a^ (x¹ "j~ XLp i), also die des Kegelschnitts, der die Cassini’sche Kurve in P berührt:

8)    x² (r’ — а²) + у² (г*' + а²) = а² (х*—у®) + d⁴

гЧ <N

= (Гр + d⁴).

(Man braucht nur in 7) rx und r₂ — rp zu setzen.) Die Gleichung der Tangente an diesem Kegelschnitt im Punkte P ist (cf. S. 80).

9)    x xp (i-p — а²) + у yp (г* -f а²) = а² (х* — у*)+d⁴.

Pies ist also die Gleichung der Tangente für alle Lemniscaten.

Der Richtungsfaktor т = tga ist — ——

Xp

(V-a²)

rp²+ a²"

УР

Da xp:yp == cot ç) ist, so führt man lieber den Richtungsfaktor t¹ = — у der Normale ein, und erhält, wenn der Winkel, den die Normale mit-J-X bildet, ce¹ genannt wird :

Simon, Analytische Geometrie der Ebene, moon,

sin (ct¹ -f- Ф) r2 sin (ct¹—cp)

tg ce¹ r² + a2 -~    oder I0a)

10)

tg <P

Auf beide Formeln lässt sich eine einfache geometrische Konstruktion der Tangente in P gründen (Mg. 38).

M ist der Mittelpunkt, P der Kurvenpunkt, N P die Normale, P T die Tangente, P Q die Ordinate yp oder y, M Q die Abscisse x, N Q die Subnormale, Q T die Subtangente s, PNT ist et¹, PMN ist cp. Man mache Q N¹ — Q N, so dass also auch PN = PN‘, dann

MN

giebt der Sinussatz aus dem Dreieck M P N :----

SP+i

<P

nA q

JP

!t m¹

Fig. 3S.

_sin (ct¹—cp)

sin ct¹

und aus MPN¹:

MN¹    sin (а' + ф) _

.-----.    , also

sin er    ⁷

r²

Da aber M N¹ -f- M N = x

MN a²*

sin (ct¹ -f- <p) _MN1 sin (ct¹—cp)

+ NQ + x — N Q = 2x, so hat man nur nötig, MQ zu verdoppeln bis M¹ und MM¹ in N so zu teilen, dass MNiNM^ahr² ist, so ist NP die Normale und PT die Tangente. Diese Konstruktion ist ebenso allgemein wie die Steiner’sche, welche auf geometrischen Betrachtungen beruht. — Man kann auch die Subnormale NQ benutzen, ebenso wie die Subtangente. Es ist

; führt man den Hilfswinkel # ein durch

X    r² ₊ a²

tg# — — j so ist N Q — X cos 2 #, woraus die Konstruk

tion sich leicht ergiebt.

Schlägt man über MT einen Halbkreis, der PQ in S trifft, so ist SQ² = MQ.QT, aber y² NQ.QT, somit

SQ²

r²—a²

У²

r² + a²

oder

r²—a²

r²+a²’

§ 39. Die schlichte Lemniscate.

Diese

Der Name Lemniscate stammt aus dem Griechischen und bedeutet „Schleifenlinie“, er passt daher nur für die Kurve c = a, und ist von dieser auf die andern Cassini’schen Kurven übertragen ; für sie ist d = 0, und es vereinfacht sich besonders die Polarg]eichung 2, welche übergeht in r² (r²—2a² cos 2$) = 0. Gleichung stellt eigentlich den Punkt r = 0, d. h. also M doppelt dar, und ausserdem die Kurve r²—2a² cos 2# = 0. Da aber für # = 45° bezw. 135° r auch = 0 ist, so geht diese Kurve durch den Punkt M ohnehin doppelt und wir haben als Polargleichung der Lemniscate

11) r²—2a² cos 2 # = 0.

Die Gleichung zeigt sofort, dass wenn # von 0 bis 45 geht, r² und damit r abnimmt von 2a² bezw. а У2 bis 0, für & = 30 ist r = a, also ist der höchste

Abstand von der Hauptaxe    gleich -^-a, das zu-

gehörige x ist die Höhe des gleichseitigen Dreiecks (Fig. 39), von ^ = 45 bis 135 ist r² negativ, also schneidet der Leitstrahl r die Kurve in diesem Intervall nicht (sichtbar), von 135 bis 225 (d. h. von 180—45 bis 180 -f- 45) wächst r von 0 bis а f2 und nimmt wieder ab bis 0, von 180 -J- 45 bis 270 -(- 45 ist r2 negativ, von 270 -f- 45 bis 360 wächst r von 0 bis a ]-2. Der Punkt M ist Doppelpunkt, denn jede Gerade durch M, deren Polargleichung S' = a für den oberen Strahl, und # = 180 -)- a für den unteren ist, schneidet

Fig. 39.

die Kurve ausser in M in zwei reellen (oder imaginären) entgegengesetzten Punkten. Für die Geraden ^ = 45—(45 + 180) — und & = 135 bezw. (135 + 180) fallen alle 4 Schnittpunkte in M zusammen, und da M zu beiden Aesten der Kurve gehört, so hat jede von ihnen mit dem betreffenden Ast drei Punkte gemeinsam, di es e Geraden $ — 45 und #=:135, sind daher ¥endetangenten (Fig. 39).

Die verwandte Parabel hat ihren Scheitel in M, der berührende Kegelschnitt ist Ellipse, so lange r > a d. h. yon # = 0 bis & = 30 und Hyperbel von & = 30 bis # = 45, für r = a artet dieselbe aus in das Doppeltangentenpaar 4y²—a² = 0. Die Gleichung der Tangente wird

12) xxp (rp²—a²) + yyp (V + a²) = y rp⁴

= а²

(xp²—Ур²).

Die Gleichungen 10 und 10a enthalten c nicht, bleiben also bestehen, da aber r² = 2a² cos 2$, so geht 10a) über in sin (a¹ + #) = 2 sin (a¹—#) cos 2 # = sin (al -f- -f- sin (a¹—3$), d. h. aber sin (a¹—3$) = 0 und daraus folgt der merkwürdige Satz a¹ = 3'&, d. h. in Worten:

Die Normale schliesst mit dem Leitstrahl nach dem Berührungspunkt die doppelte Amplitude ein.

Der Satz gilt seinem Wortlaut nach eigentlich nur für den 1. Lemniscatenquadranten, man sieht an der Figur sofort, wie er in den andern Quadranten abzuändern. Aus ihm folgt sofort eine sehr einfache Konstruktion der Normale und damit der Tangente.

Wählt man die beiden Wendetangenten als Axen, d. h. also, dreht man das Axenkreuz um 45° im Sinne des Uhrzeigers, so bleibt r ungeändert und wenn die rechte untere Wendetangente zur Polara xe gemacht wird, so ist # —    —45 und die Gleichung der Lemnis-

cate wird

13) r² = 2a² sin 2 г)¹ ;

und

т—I

gleichzeitig ist x = r cos (&¹—45) = (y¹ + x¹) |/-~ y = r sin (&¹—45) — (y¹—x¹) j/- -.

(Die Benützung der Polarkoordinaten ist ein sehr einfaches Mittel, die Koordinatentransformationsformeln aus § 13 herzuleiten). Die Gerade, welche in P auf MP senkrecht steht, schneidet (Fig. 40) die neuen Koordinatentangenten in A und C und es ist M A — q

sin#¹

und MC-

— —somit Dreieck M A C, cos &

-s¹

'"'Г

°\Q

Fig. 40.

r²

r²

weil gleich    2sia;rcoad, = sTn2^ =

14) M A C — 2a²: Die Senkrechte auf den Leitstrahl im Lemniscatenpunkt schneidet von den Wendetangenten ein Dreieck vom konstanten Inhalt 2a² ab.

Diese Senkrechte umhüllt, heisst dies, eine gleichseitige Hyperbel von der die Wende-

2a².

tan gen ten die Asymptoten sind und deren Axen mit denen der Lemniscate zusammenfallen und die Länge a ÿ 2 der Hauptaxe haben, oder: (Fig. 41)

Fig. 41.

Fällt man vom Centrum einer gleichseitigen Hyperbel auf die Tangenten die Lothe, so ist der Ort der Fusspunkte, die Fusspunktenkurve, die Lemniscate mit derselben Hauptaxe,

Die Brennpunkte der Lemniscate liegen dort, wo die Leitlinien der Hyperbel die Hauptaxe schneiden.

Da die Hyperbeltangente in der Mitte von A C, im Punkte Q, ihre Kurve berührt, und Dreieck QM C, bezw. QM A gleichschenklig, so werden P und Q durch die Hauptaxen harmonisch getrennt und man kann auch sagen:

,,Die Lemniscate ist der Ort der Punkte „der Tangenten der gleichseitigen Hyperbel, „welche durch die Axen harmonisch vom Berührungspunkt getrennt werden.

Da, wenn man M Q, den Badius vector der gleichseitigen Hyperbel mit q bezeichnet, ^r = Dreieck A M C = 2a¹ ist, so steht die Lemniscate zu derselben Hyperbel in noch engerer Beziehung. Da M Q und M P symmetrisch zur Hauptaxe liegen, welche sowohl für die Hyperbel als die Lemniscate eine Symmetrieaxe ist, so liegt, wenn wir auf M P die Strecke M Q¹ gleich M Q abschneiden (Fig. 40) Q¹ auf der Hyperbel und ebenso der Gegenpunkt P¹ von P auf M Q wieder auf der Lemniscate, also, wenn man von M aus auf jedem Badius vector M Q¹ der Hyperbel die M Q¹ umgekehrt

proportioned oder inverse Strecke

schneidet, so ist der Ort aller Punkte P die Lemniscate und wir haben den Hauptsatz:

Die Lemniscate ist die inverse Kurve der gleichseitigen Hyperbel.

Diese Beziehung gestattet in einfachster Weise, vgl. § 35, die Eigenschaften der gleichseitigen Hyperbel auf die Lemniscaten zu Übertragern

Quadratur der Lemniscate. — § 40. Die Spiralen. 185

Quadratur der Lemniscate.

Da r von (p = 0 bis cp = 45° fortwährend abnimmt, so liegt im ersten Quadranten jeder Sector zwischen den beiden gleichschenkeligen Dreiecken, welche denselben Winkel bei M haben und deren Schenkel der grössere oder der kleinere Radius ist. Denkt man sich den Winkel, den der Vector M P nach einem beliebigen Lemniscatenpunkt M im ersten Quadranten mit der Axe bildet, in n gleiche Teile geteilt und n über jedes Mass gross, so füllt der Inhalt des Sectors zwischen dem Vector P und der Axe mit der Summe der gleichschenkeligen Dreiecke zusammen und man erhält ganz wie für die Cissoïde S. 167.

~ a² sin 2 q> = a² x y : r‘². Ä

15) S cp —

In Worten:

Der Lemniscatensector, von der Axe an gerechnet, ist gl e ich d em gl e ich s ch enkelig e n Dreieck, dessen Schenkel a und dessen Winkel an der Spitze gleich der doppelten Asymptote ist. DasFeld der L emnisca te ist gleich dem Quadrat ihrer halben grossen Axe.

XIII. Abschnitt.

Die Spirale des Archimedes.

§ 40. Die Spiralen.

Transformiert man die Gleichung algebraischer Kurven aus Parallelkoordinaten in Polarkoordinaten, so enthält die so umgeformte Gleichung wegen der

Beziehungen des § 2, nur die trigonometrischen Funktionen des Richtungswinkels, bezw. der Amplitude (Anomalie) und es genügt wegen der Periodicität dieser Funktionen, die Amplitude von 0 bis 2^ zu nehmen. Anders liegt die Sache hei transcendenten Kurven, unter diesen sind Klassen denkbar, hei welcher in der Polargleichung der Kurve 0 selbst vorkommt mit oder ohne trigonometrische Funktionen von 0, dann erhält der Radius r für 0, 0 + 2^, 0 + 4^ etc. im Allgemeinen verschiedene Werthe, und die Kurve umzieht den Pol (Anfangspunkt) in unzählig vielen Windungen. Diese Kurven heissen Spiralen — auch Schnecken (haus) linien — unter ihnen hat die einfachste Gleichung die Spirale des Archimedes. Diese Kurve wird von einem Punkt P beschrieben, der sich vom Pole О aus auf einem Strahl gleichförmig vorwärts bewegt, während der Strahl selbst sich gleichförmig um den Pol О dreht. Nennt man die Strecke (Fig. 42) О 01? welche P während einer vollen Umdrehung des Strahles О P auf dem Strahle durchläuft, den Haupt vector, c, so verhält sich О P oder r, wenn der Strahl sich um den Bogen 0 gedreht hat zu c, wie © zu 2 я; und wird c:2^ mit a bezeichnet, so ist die Gleichung der Kurve in P ol ar к о or di n a t en

l)r = a@.

Da 2 яг, das Verhältniss der Kreisperipherie zum Radius, nur annähernd berechnet werden kann, so sind c und a inkommensurabel, d. h. eine Strecke lässt sich aus der andern nur annähernd konstruieren, doch hindert nichts a, d. i. der Radius des Kreises, dessen Umfang c ist, als Längeneinheit zu wählen und r:a,

d. i. die Masszahl des Radius OP, als Vector einzu-fiihren und mit q zu bezeichnen, wodurch 1 übergeht in la) ç — e}

wo nun q und © beides Zahlen sind.

Giebt man dem © zuerst nur positive Werthe, zuerst von 0 bis 2 яр, dann von 2 n bis 4 n etc. und be-

■i

Fig. 42.

zeichnet mit Archimedes das Stück der Kurve zwischen © = (k — 1) 2 яр und © = к . 2 яг, das also einer einmaligen ganzen Umdrehung des erzeugenden Strahl entspricht, als Spirale к . Ordnung oder besser к Windung und bezeichnet die Fläche zwischen zwei aufeinander folgende Windungen als Spiral-Intervall, so folgt aus 1, bezw. la) sofort, dass die Schnittpunkte jedes Vectoren-

Strahls mit der Kurve immer um 2 л von einander entfernt sind, oder kurz :

Die Breite jedes Intervalls ist gleich dem Umfang des Einheitskreises, bezw. gleich dem Hauptvector.

Man sieht sofort, dass die erste Windung ganz umschlossen wird vom Kreis, dessen Radius der Hauptvector, die zweite vom Kreis, dessen Radius 2c und sofort. Zieht man in derselben Windung zwei Yectoren und teilt den Winkel zwischen ihnen in n gleiche Teile und nennt die zugehörigen Yectoren r rx r₂ . . . r¹,

(r¹ - r).

Insbesondere ist der Yector, der den Winkel zwischen zwei Yectoren r und r¹ derselben Windung halbiert gleich dem arithmetischen Mittel aus beiden. Ist speziell

so ist rk =    0 +

kc

r — 0, г¹ = с = 2л, so ist rk = —.

Diese Bemerkungen geben ein Mittel, um, wenn der Hauptvector gegeben, beliebig viele Kurvenpunkte zu konstruieren. Man teilt den Einheitskreis in n gleiche Teile (hier 24), teilt dann den Hauptvector in n gleiche Teile, zieht vom Pole aus nach den Teilpunkten des Kreises die Strahlen und trägt auf ihnen

1 2C

vom Pole aus der Reihe nach — c, — etc. ab, so gehören die so erhaltenen Punkte zur Spirale ; dabei giebt n

— c den Punkt (X und man erhält , wenn man dann n    1    ;

c etc. wieder abträgt, oder was dasselbe auf

(n + 1)

§ 41. Tangente, Normale, Snbtangente, Snbnormale. 189

jedem Strahl von dem erhaltenen Punkte der ersten Windung aus die Strecke c einmal, zweimal etc. abträgt die entsprechenden Punkte der 2., 3. etc. Wendung. Durch fortgesetztes Halbieren der Winkel zwischen 2 aufeinander folgenden Eadien und Abtragen des arith metrischen Mittels der entsprechenden Yectoren auf den Halbierungslinien kann man die Punkte verdichten. — Giebt man 0 negative Werte, so wird auch r negativ, dies ist dahin zu interpretieren, dass die zugehörige Strecke auf der Verlängerung des zu © — — Л gehörigen Vectors über den Pol hinaus abgeschnitten wird, man erhält also dieselbe Spirale, die zu positiven Werten der © gehört, nur um die auf О C in О errichtete Senkrechte als Axe herumgeklappt. (Linksgewunden.)

§ 41. Tangente, Normale, Subtangente, Subnonnale.

Zur Bestimmung der Tangente bedient man sich ganz allgemein bei Spiralen und überhaupt hei auf Polarkoordinaten bezogenen Kurven der Roberval-Torricelli’schen Methode, welche auf den Principien der Mechanik, speziell auf dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten beruht. Wenn ein Punkt irgend eine Bahn (Kurve) durchläuft, so hat er in jedem bestimmten Augenblick eine Bewegung in bestimmter Richtung, welche die Resultierende der einzelnen Bewegungen darstellt; diese Richtung ist die Tangente an die Bahnkurve, welche nach dieser Auffassung die Gerade ist, welche in dem betreffenden Punkt für eine verschwindend kleine Strecke mit der Kurve zusammenfällt und die Richtung der Kurve an dieser Stelle darstellt.

Man kann nun eine in Polarkoordinaten dargestellte Kurve dadurch erzeugt denken, dass der Strahl O P sich um 0 mit einer gewissen im Allgemeinen veränderlichen Geschwindigkeit dreht und gleichzeitig Punkt P sich auf dem Strahl selbst, mit einer gewissen Geschwindigkeit bewegt. In einem hinlänglich kleinen Zeitmoment г beschreibt also P einen verschwindend kleinen Kreisbogen çe, wo e die Zunahme der Amplitude 0 bezeichnet und rückt auf О P um die verschwindende

(Fig. 43.)

ist, da der Kreisbogen

so

Strecke r\ vorwärts, also bewegt er sich nach dem Parallelogramm der Bewegung (Fig. 43) von P nach P¹ und PP¹ ist ein Bahnelement und zugleich ein Element der Tangente. Nennt man den Winkel, welchen die Tangente, auf P in der Richtung der Bewegung zulaufend, mit О P bildet p, auf dem Radius senkrecht steht, und also P QP¹ ein

rechtwinkeliges Dreieck : tang и —    .

V

Errichtet man im Pole 0 auf dem Vector О P die

§ 41. Tangente, Normale, Subtangente, Subnormale. 191

Senkrechte und zugleich im P auf der Tangente die Normale und bringt Normale und Tangente in N und T zum Schnitt mit dem Loth in О, so heissen O N und О T Polar-Subnormale und Polar-Subtangente, sn und st und man hat:

St = Г tgfl, Sn = r COt.

Bei der Spirale des Archimedes sind Yector und Bichtungsbogen gleich, also auch ihre Aenderungen e und ff, und wir haben für sie 2) tg fi = q ; st = e²; sn — 1 ;

Das giebt die Sätze:

Die Tangente an die Spirale in irgend einem Punkte macht stets mit dem zuge-hörigenVector in dem vor den Beruh rungspunkt liegen den Teil der Kurve einen spitzen Winkel, dessen trigonometrische Tangente gleich der M asszahl des V ec tors ist.

2)    Die Subtangente hat durch den Badius des Einheitskreises gemessen, das Quadrat der Masszahl des Vectors zur Masszahl.

3)    Die Subnormale ist konstant und gleich dem Badius des Einheitskreises.

Die letztere Eigenschaft weist sofort auf die Parabel hin und durch Ausnützung dieser Beziehung hat insbesondere Pascal tiefliegende Eigenschaften der Spirale verhältnissmässig einfach abgeleitet.

Die Konstruktion der Tangente ist in Folge vom Satz 3 völlig elementar, sobald der Badius des Einheitskreises als gegeben angesehen wird. Das ist indessen, wenn der Hauptvector gegeben ist, die Kurve punktweise konstruirt ist, nur annähernd der Fall.

Da die Tangente mit der Kurve nach ihrer Erzeugung nur eine verschwindend kleine Strecke gemeinsam hat, so kann zwischen ihr und der Kurve keine andere Gerade hindurchgehen; der Kreis mit 0 P schliesst, da die Vectoren fortwährend wachsen, den dem Punkt P vorangehenden Teil der Kurve ein und wird von dem auf P folgenden Teil umschlossen, die Kurve kann also keine Wendetangente haben und es kann die Tangente in P die Windung, zu derP gehört, nur in P berühren. Diese Eigenschaft der Tangente ist vom Archimedes ihrer Definition zu Grunde gelegt. Die Auffindung der Spirale steht vermutlich in Zusammenhang mit dem Problem der Kreis- bezw. Winkelteilung, denn wenn auf mechanischem Wege die Spirale gegeben ist, so kann, da die Vectoren sich wie die zugehörigen Pichtungsbogen verhalten, die Kurve umgekehrt benutzt werden, den Bogen in vorgeschriebenem Verhaltniss zu teilen.

§ 42. Quadratur der Spirale.

Die von einer Spirale beliebig hoher Windung

umschlossene Fläche lässt sich auf ähnliche Weise,

wie bei der Hyperbel berechnen. Seien r und r¹ zwei

Vectoren der к. Windung 8 und 8¹ die zugehörigen

Amplituden, 8¹ — 8 — r¹ — r, also das Mass des von

den Strahlen О P und О P¹ eingeschlossenen Winkels.

Denkt man diesen Winkel in n gleiche Teile geteilt

und die zugehörigen Vectoren der Kurve, so ist

Гк — r -j-

к    к

(r¹ — r), oder Гк = r 4- d : Macht man n 4 n    n

n über jedes Mass gross, so kann man den Spiralvector

Der Spiralsektor zwischen 2 Vektoren derselben W in dun g und dem verbindenden Spiralbogen ist nur von den Vector en abhängig, und gleich */₆ der Differenz ihrer Kuben.

Dabei sind r¹ und r als Masszahlen der Vectoren in Bezug auf die Einheit a gedacht; und als Flächen-mass dient a².

Setzt man r = 0 und г¹ = 2я (d. i. also = 2^a — OCj)j so hat man für die Fläche der ersten Windung

ïi =

. 4 TP².

13

Sk zwischen rk und rk + i, als Yector des mit dem Radius rk ansehen, und es ist Sk =

Kreises

lH KM

rk²

und der ganze Spiralvector selbst: S =

= - - d^-n

00

•pH Dl

rie²

oder: S = -

f Гк

F^c+!r)!ł-łd

к² d²

rk d

n²

n³

Es ist, wie aus der Berechnung der elementaren oo к

Körper und Flächen bekannt 2

>²_

~ also : о

S=^-d(r² + rd+|²); S =

Also:

3) S =

(r,-r)[r² + /-] = \ (г¹—r¹) (r² + rr¹ + r’²) = g

I3    Зч

(r¹ —r ).

r (r¹—r)

т-ł KD

(r¹—r) (r² -f r r¹ -j- rl²) =

(ri³_.r³).

Simon, Analytische Geometrie der Ebene.

F₃ = — . 4 л² und allgemein :

3n (n—1) + 1

19

3a) Fn

ЛГ.4 71*

für den Inhalt der ganzen von der n-Windung umschlossenen Fläche.

6 71

Wird also c² als Flächenmass gewählt, so ist Fj

(als Masszahl gedacht) =

К со

. Es wird F₂ = ^ „

Das erste Intervall = F₂—Ft =-^ . 4 л:², das 2.

12

Intervall J₂ = F₃—F₂ = ^ л , 4 тг², allgemein das (n—1).

Intervall Fn—Fn_i = ^ (n—1) 4 л:², oder J₂ =2Jt ;

J₃ = 3 Jj ; Jn—i = (n—1) J1? also :

Die aufeinander folgenden Spiralintervalle verhalten sich wie die aufeinanderfolgenden Zahlen der Zahlenreihe.

XIV. Abschnitt.

Die Cycloïde oder Radlinie.

§ 43. Die Rollkurven, Krümmung.

Eine Kurve К rollt auf einer festen Kurve f, wenn die Kurve К die Kurve f beständig berührt und dabei ihren Bogen auf der festen Kurve abwickelt, so dass, wenn man die bewegliche Kurve in zwei Momenten t und t¹ betrachtet, in denen sie f in В und B¹ be-rührt, der Bogen BB¹ der festen Kurve gleich dem Bogen BB¹ der beweglichen Kurve ist, also gleich dem Bogen; den В inzwischen auf der beweglichen Kurve (scheinbar) durchlaufen hat. — Die Kurve, welche bei dieser Bewegung ein mit der rollenden fest verbundener Punkt beschreibt, heisst : Rollkurve; meist betrachtet man die Kurve, welche ein Punkt der beweglichen Kurve selbst beschreibt.

Ist A irgend ein Punkt der Kurve К (oder mit ihr festverbunden) und В der augenblickliche Berührungspunkt von К und f, so ist die Bewegung dieselbe, als drehte sich А В für einen Moment um das Centrum В, das im nächsten Moment auf f sich verschiebt, d. h. der um B mit B A beschriebene Kreis muss die Rollkurve К des Punktes A in A berühren und AB ist die Normale der Rollkurve in A.

Der Kreis um В mit А В hat aber mit R im Allgemeinen nur die Eine Tangente in A (Zwei unendlich nahe Punkte, bezw. Ein Kurvenelement) gemeinsam, es lässt sich aber ein Kreis konstruieren, der bei A zwei Tangenten, oder w. d. i. drei unendlich nahe Punkte, A mitgezählt, mit der Kurve gemeinsam hat. Dieser durch 3 Punkte, also völlig, bestimmte Kreis heisst :DerKrümmungskreisder Kurve in A, sein Radius Krümmungs-Radius, sein Centrum: Krümmungscentrum, es ist der Schnittpunkt der Normale in Aund einer unendlich nahen zweiten Normale.

Zur Erklärung folgendes: Ein Kreis ist in sich verschiebbar und daher auch überall gleich gekrümmt;

er weicht von der Geraden um so stärker ab, ist um so stärker gekrümmt, je kleiner sein Radius ist, deshalb setzte Newton den reciproken Wert des Radius als Mass der Krümmung, zunächst des Kreises. Da aber für jede Kurve in jedem Punkte A sich generaliter ein Kreis wie oben beschrieben konstruieren lässt, der sich der Kurve in A enger anschmiegt als jeder andere Kreis, weil er mit der Kurve in A drei unendlich benachbarte Punkte gemeinsam hat, so setzt man seit Newton die Krümmung der Kurve in A der besagten Kreises gleich, und daher heisst er Krüinmungskreis.

Es ist klar, dass, wenn die Kurve in A eine Wendetangente hat, d. h. eine Gerade, die ausnahmsweise an der Berührungsstelle drei unendlich nahe Punkte mit der Kurve gemeinsam hat, der Krümmungskreis dort den Radius unendlich hat, d. h. in eine Gerade, die Wendetangente, übergeht. Die Kurve, welche der Ort aller Krümmungscentren ist, heisst die Ab gewickelte oder Evolute, denn wenn ein um sie gelegter Faden so abgewickelt wird, dass er stets gespannt bleibt (und sein Endpunkt in der Anfangslage auf der gegebenen Kurve liegt), so beschreibt sein Endpunkt die gegebene Kurve, welche die abwickelnde oder Evolvente heisst. Die charakteristische Eigenschaft der Evolute ist, dass ihre Tangente stets Normale der Evolvente ist.

Wir betrachten näher nur die historisch und physikalisch merkwürdigste Rollkurve, die Bahn, welche ein Punkt eines Kreises beschreibt, der auf einer Geraden rollt (die Kurve, welche ein Radnagel beschreibt, wenn das Rad auf gerader Schiene rollt, ohne zu gleiten) und verfolgen die Bahn von einem Augenblick an, wo dieser Punkt die Gerade berührt.

Die Gerade oder Axe sei die X-Axe, + X in der Richtung der Bewegung, der anfängliche Berührungspunkt sei Nullpunkt 0 ; + Y der auf der Axe in 0 senkrechte Durchmesser des rollenden Kreises, dessen Radius r ist. (Eig, 44). Es ist von vornherein klar, dass die Bahn aus lauter kongruenten Zügen besteht, deren jeder Einzelne einer vollen Umdrehung des Rades entspricht, und jeder Zug wieder aus zwei symmetrischen Teilen, entsprechend der ersten und zweiten halben Umdrehung. Wo der beschreibende Punkt die Axe berührt, ruht er einen Augenblick, und daher entstehen an diesen Stellen Spitzen. Die Kurve heisst Rad finie oder, seit Galilei, Cyclo ï de, doch wird jetzt dieser Name häufig auf alle durch Rollen von Kreisen entstandenen Kurven ausgedehnt.

§ 44. Die Cycloïde.

Sei P ein beliebiger Punkt der Bahn, der erzeugende Kreis (Eig. 44) berühre die Axe in B, dann ist die „specifische Eigenschaft“ der Kurve, dass OB gleich Kreisbogen P В ist. Nennt man den Massbogen (Bogen im Einheitskreis, Argument) des „Wäl zungswink e 1 s“ PMB den Wälzungsbogen (Zeichen p)7 so ist X = О В—B J = arc P В—P Q = rp—r sin p == r (p - sin p) und y = r-f MC. = r—r cos p = r (1—cos p). Also sind die Gleichungen der Kurve 1) X —r(p—sinp); y —r(l—cosp).

Man kann p zwischen diesen beiden Gleichungen eliminieren, da

p = arc cos

aber diese Elimination ist nutzlos, und wir haben hier den Fall, wo es durchaus zweckmässig ist, beide Koordinaten mit Hilfe eines Parameters (vgl. Lemniscaten) auszudrücken, hier ist der Parameter der Wälzungsbogen p.

Die Gleichungen lehren, was a priori klar, dass X beständig wächst, da p seinen sinus mit zunehmen-ßi

V'ÿŒ..

\ M\ X\:

ÏV

B'

Fig. 44.

dem Werte immer mehr Übertritt, sowie dass у eine periodische Punktion von p ist, und durch Vermehrung von p um Vielfache von 2 л (volle Umdrehungen) nicht geändert wird, und in jedem einzelnen Intervall jeden Wert zweimal annimmt (für p = 2k^-J-^ und p = 2 к л -(- (2 л—#)), nur der Maximalwert für p = 2 к p -f-тс ist seinem korrespondierenden gleich, und gleich 2r.

Die Parallele zur Axe im Abstande des Durchmessers berührt die Kurve in allen Höhepunkten, und die Kurve liegt ganz in dem von der Axe und dieser

Parallelen begrenzten Streifen, wir wollen sie die Gegenaxe nennen.

Der Mittelpunkt des Kreises beschreibt die Streifen-axe, man kann daher auch sagen: Die Cycloïde wird erzeugt dadurch, dass ein Punkt P sich gleichförmig auf einem Kreise bewegt, während der ganze Kreis sich mit gleicher Geschwindigkeit auf einer Tangente verschiebt.

Diese Bemerkung liefert B. Sei (Fig. 44) B¹ P¹ ß1 das Bad nach einer halben Umdrehung, und die Bogen P¹ B¹ und P В gleich, so ist P В parallel und gleich P¹ B¹ und P P¹ der Axe parallel. Zieht man also durch P die Parallele zur Axe, welche den Kreis um B¹ ß¹ in P¹ trifft und durch P zu P¹ B¹ die Parallele, so trifft sie die Axe in B, dem momentanen Berührungspunkt und damit auch dem momentanen Drehungscentrum. Also ist PB die Normale (n) und P ß die Tangente. Also:

Die Tangente ist die Gerade, welche den Kuryenpunkt mit dem zum Berührungspunkt diametralen des erzeugenden Kreises verbindet.

Diese Konstruktion dankt man Descartes, man kann die Tangente aber auch wie Boberval, nach seiner im vorigen Abschnitt besprochenen Methode konstruieren. Punkt P hat gleichzeitig zwei gleich schnelle Bewegungen, die eine in der Bichtung P P¹, die andere in der Tangente des Bades in P, also muss P die Bichtung einschlagen, welche den Winkel zwischen jenen beiden halbiert; dies ist aber nach den elementarsten Kreissätzen (Sehnentangentenwinkelsatz) die Ge-

XIV. Abschnitt. Die Cycloïde oder Radlinie, rade P ß. Der Winkel, welchen die Tangente mit der Axe bildet, ist also gleich 90 —

200

1    7t    1

~2 w, bezw. — — — p.

Man kann dies durch die Rechnung bestätigen.

Die Roberval-Toricelli’sche Methode ist von Barrow und Newton zu einer für alle Kurven gütigen ausgebildet worden.

Das Krümmungscentrum der Cycloïde für P ist der Punkt K, in welchem sich die unendlich nahen Normalen

JL

Br

K)

Fig. 45.

P В und p b (Pig. 44 und 45) schneiden. Diesen sind P¹ B¹ und p¹ В parallel. Der verschwindend kleine Bogen P p der Radlinie sei a, der entsprechende kleine Bogen des Rades, den P auf dem Rade beschrieben, wenn er nach p gekommen, sei a¹. Es ist dann ff¹ —Bb, gleich P¹ p¹. Nach Definition des Krümmungskreises ist о — PK J, wo # das Mass des kleinen Winkels P K p ist. P К sei q. Der Bogen er wird aber auch dadurch erzeugt, dass P В sich um В dreht, und zwar ist der Drehungswinkel gleich dem Winkel, um den das Kad sich gedreht, also gleich der Aenderung des Wälzungswinkels und sein Mass gleich (5 p. Nach Definition des Krümmungskreises sind die Tangenten in P und p an diese zugleich die Tangenten an die Padlinie, somit hat der

тН

ô p. Also

Winkel P К p das Mass <pp — Фр =

te г-*-

of= Q *

ô p und a == P B . â p, also:

2) ç = 2 P B.

Der Krümmungsradius der Cycloïde ist das Doppelte der Normale.

Bildet man den erzeugenden Kreis in dem Augenblick, wo er die Axe in В berührt, von В als innerem Aehnlichkeitspunkt in gleichem Massstab ab (Big. 45), so entspricht dem Punkt P der Krümmungsmittelpunkt K, dem Bogen P ß entspricht der Bogen К C und da С С¹ = В В¹, so ist Bogen CK = Strecke С¹ C, d. h. also, wie Huygens gefunden :

Die Evolute der Cyclo ï de ist eine ihr gleiche Cyclo ï de. Das die Evolute erzeugende Kad rollt in entgegengesetzter Sichtung und ist um eine halbe Umdrehung verschoben.

§ 45. Rectification und Quadratur.

Das Dreieck P К p ist als gleichschenkelig zu betrachten, weil К P und К p Kadien des Krümmungs-. kreises, das Dreieck P¹ E¹ Bl, dessen Seiten denen des ersten parallel sind, ist ihm ähnlich, also P¹ B¹ = E В к

Dreieck P¹ p¹ E¹ ist ebenfalls gl èischscheuklig, da P¹ p1 Tangente an den Kreis in P* und P¹ ß¹ den Winkel zwischen Tangenten- und Axenrichtung halbiert, somit ist p¹ B¹ die Gerade, welche die Spitzen zweier gleichschenkligen Drei ec ek über der Grundlinie P¹ e¹ verbindet, steht also auf P¹ e¹ senkrecht und halbiert es in F¹. Die Strecken p¹ ß¹ und E¹ ß¹ sind als gleich zu betrachten, da der unendlich kleine Kreisbogen auf seinem Kadius senkrecht steht, somit ist die Zunahme der Sehne p¹ ß¹, wenn sie von p¹ ß¹ in P¹ ßv übergeht, halb so gross, als die Zunahme des Kurvenbogens, von p ß bis P ß und da dieser Schluss für alle folgenden Lagen bis zu ß bestehen bleibt, und der Bogen P ß die Summe aller seiner Teile ist, so haben wir den Wren’sehen Satz:

DerBogen der Cycloïde zwischen einem Punkt P und dem zugehörigen Höhenpunkt der Kurve ist doppelt so gross, als die zugehörige Sehne des erzeugenden Kreises, d. h. also doppelt so gross, als die Kurventangente zwischen Berührungspunkt und Gegenaxe.

Ein ganzer Zug der Cycloïde ist das vierfache des Durchmessers des Bades.

Noch einfacher gestaltet sich die Quadratur.

Der blosse Anblick der Figur 41 zeigt, dass Trapez P p s S = Trapez P p q Q ist. (Dreieck P S ß = P Q /?, p s ß = p q ß, als Hälften des Beclitecks, Gleiches von Gleichem giebt Gleiches). Trapez P p q Q ist aber nur das parallel verschobene P¹ p¹ q¹ Q¹, somit ist der Flächenraum ausserhalb, begrenzt vom

Kurvenbogen P /?. den Strecken PS und S ß gleich dem halben vom Pad durch die zu P gehörige Padsehne abgeschnittene Segment.

Der ganze Aussenraum ist gleich der Kreisfläche.

Das Kechteck zwischen Axe und Gegenaxe und den Tangenten in den Endpunkten des Zuges ist: 2r . 2r я?, d. i. 4г²лг, der Aussenraum ist r²?r, also:

Die Fläche (Eines Zuges) der Padlinie zwischen Kurve und Axe ist das dreifache des erzeugenden Kreises.

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Qegr. 1838.

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5ßfälg. Kurier: 51u<p in ber griecpiftpen 31ltertnmmfunbe oon Dr. ш. Sttaifdj ift bie Sarftellung concim unb, opne ben miffenfcpaft* ïicpen ©parafter gu oerleugnen, popular im beften ©inne bem 5® ortem.

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5lumianb: Sîatttn je ift mtr ein 53ucp gn ©eficpt gefontmeit, bam mie OïebntannTm „ber ntettfcpltcpe Körper nnb ©efnttbpeitmiepre" auf fo fleinem 9îaum ein fo flarem 53ilb üon bem 53au nnb ben Spätigfeiteu bem menfcplidjen törperm geboten pätte. 3d) ftepe uicpt an, bam SSerfcpen aim ein für ben Untcrricpt pöcpft brauchbarem gu begeicpnen.

Sit t bl. b. btfcp. Seprergtg.: $>ie beibeit 53ânb(pen ,,£art= manu Bon 9ïtte n." unb „SSaltper oon ber SBogchoeibe" geben eine 91ummapl bem S3eften attm bem 83eften unferer altflaffifcpett beutfcpen Sitteratur im urfprüngïicpen £ejct unb gemäpren fomit für ein Mittigem einem jeben ©ebilbeten bie SSJtöglicpteit, bie alten perlen nuferer Sitteratur in tprer fernigen, fraftoollen Ur|prad)e felbft femten gu lernen.

5111g. geitung (Шипреп): ©üittger bietet in „ШгсрспНсЬ unb SBolfmiicb, geiftlicpe unb meltlidje Sprit bem 17. unb 18. Saprpunbertm bim auf ftlopftod" ben ©cpülern ein Çanbbucp, bam ben SSerftanbigeren für ben beutfcpen Unterridit aemifc porijmtlllomntcn ift.

53er 1. ppilolog. SSocpenfcprift: ©teubittg, griecpifcpe unb romifdjc 3)tptpotogie« ®ie iiberaum fcpmierige Aufgabe, beit mefent* ïicpfteu Qnpalt auf nur 140 fôïeinoftaofeiten überficptlicp unb gemein* Oerftänblicp barguftetlen, ift Oon bem SBerfaffer bem Oorftepenben, in ber befannten 51rt ber „©ammlung ©öfcpett" aumgeftatteten 53ücpleinm in pöcpft auerfeunenmmcrter 29$cifc gclöft morbett.

Seitf cpr. f. btf cp.Unterrid)t: ^„Slltpocpbeutfcpe Sitteratur' ©cpaitfflerm ift eine pocpcrfrculicpe ©abc; fie berupt überall auf ben neueften gorfcpuugen unb giebt im 51nfcplufj an 53raune, ©ieoerm, ÿauï, Sftütienpoff unb ©djerer u. a. überall bam SSicptigfte unb SSiffenm* mertefte in tnappfter gorm.

9? a t u r : ©m ift gerabegu erftaunlicp, mie em ber rüpmlicpft befannte SBcrlag ermöglicht, für fo enorm billige greife fo oorgüglicp anêge= ftattete Böcrfcpctt gu liefern. J&am oorliegenbe 53änbcpen bringt in fnapper unb oerftänblid)er gorm bam 9®iffenmmertefte ber SHitteralogie gum 51umbntd. ©aubere 5lbbilbuugen erleichtern bem ©(püler, für ben em in erfter Sinie beftimmt ift, bam SBerftänbnim.

©lobum: ©m ift erftannlid), mie oicl biefe fleiue Œartenfuubc bringt, opne an Älarpeit gu oerlieren, mobei noep gu berüdfieptigen ift, bah oicle 5(bbilbungen ben Sfiaum ftart beengen. SBortrefflicp mirb bie ^artenprojcftionmiepre unb bie Żopograppie gefepilbert.

Nation a lg ei tg.: ©m ift bim jept in ber beutfcpen ßitteratur mopl noep niept bagemefen, bab ein Seinmanbbanb Oon faft 300 ©eiten in üorgüglicper î)rud^ unb ÿapieraumftattung gu einem $reim gu paben mar, mie ibn bie ^©ammlung ©öfepen" in iprem neueften 55anbe, 3Hag $оф’£ ©efcpicpte ber beutfdjen Sîitteratur für ben betrag uon füge adjtäig Pfennige ber bentfĄen Sefermelt bietet.

$raft. 6фи!mann: ©tu $lciftcrftütf furzen uub bünbigen, uub bocp Harcu uub oielfagenben 2lnëbrucfë tute bie „Sentie £Шега1игде(ф1ф1е" uon $rof. ÏÏR $оф ift аиф bie uorliegenbe „Seutfdje ©е|ф*ф1е im Mittelalter".

Statur: Qu ber ©pentie uon Dr. Шет empfängt ber 6фй!ег faft mepr, mie er alë Anfänger bebarf, minbeftenë aber fo biel, Ьа(з er baë Sôiffenëmürbigfte alë mtentbeprïicpe ©runbïage ^um SSerftänbniffe ber ©pemie empfängt. . .

$un ft f. s2l lie (Топфеп) ft ftimmicp bepanbelt in (einem $апЬфеп, „Qe^enf фи1с” benannt, in fuapper, ferniger, fadjlicp* âielbemufêter gorm bas mette ©ebiet beê bübmâfngeu Qeicpnenë unb SOZalenë. .    . ©1аф nupbrtngenb unb tit teidpftem 9Яа{зе bilbenb

-Saë flar де(фпе-

für Üeprer. 0фй1ег unb £iebpaberfüuftler, т0ф!е id} baë toirflidj ш?г5йдИфс tZöerf mit marmen anerfennenben Shorten ber ©in* füprung in 6фи!е, .£>aus unb Söerfftatt ^идаидИф тафеп. Sie 2luë-ftattung ift habet ettte fo uornepme, bap mir ber fßrei£ bon 80 Pfennigen für baë gebuubeite 28erf bon 138 Seiten !I. 8° ппгШф lödjerlicp billig erlernt. УЬф! meniger alë 17 Safeln in Son*, garben* unb ©olbbrucl, (omie 135 58oïï* unb Sejtbilber illnftrieren beu âufêcrft gefunben £epr= gang btejer ЗеМ)еи(фи1е ut feinfüplcnber SüBeife.

Qapreëber. üb. b. pbp. Sфulm.: . . . bene unb йЬегЗДШф georbnete Щфе1феп mirb mte für бфШег pöperei klaffen, (о аиф für jeben ©ebilbeten eine an^tepenbe Seftüre fein. . . •

бфтab. Vertue: 4$rof. ©♦ 2Jtapler in Ulm legt unê eine Sarftelluug ber ebenen ©eometrie uor, bie biê ^nr 2lu3meffmtg beë ftreifeë ет(фПе(з11ф gept. Söejonbere Sorgfalt ift ber ЭДиётар! uub Slnorbttung ber gigureit ^n teil gemorben, bereu (aubere 2lusfüprung tn 2 garben angeitel)nt berührt.

© 1 o b и § : фоегпеё, Hvgcfdjidjtc. Ser bemäprte ^ог(фег auf bor* gefcp idjtlirijem ©ebiete giebt pier tu fnappfter gorm bie 1ергтфе Qu* jamm euftelluug be£ Sôiffenëmerteften ber 11где(фир1е. SSortrefflicp geeignet 5ttr ©infill)rung nnb ₍yun Ucbcrblirf.

43геи f31f фе Sdjul^tg.: Sie Sфrtft non фоттс! „©efipidjte b её alten Morgenlanbeê" tanu nur nmrm empfoplen т erb en, benn ber SSerfaffer pat её uerftanben, auf gebrängtem Raunte etnen auf ben neueften gorfeputtgen berupenbett treffl^en s2lbrt& ber ©е1ф1ф!е ber alten ftulturuölfer 5lfienë uub sllegppten§ ^u liefern.

Sp5tgr. Qtg. (©iMcnitp.öeii.): „Sie ^flan^e" uon ür.©.Sennert fönncit mir befteitê empfeplen. Qn tür^efter, fnappefter, (epr flarer unb berftänblicper gornt meifs fein Serfaffer аЙеё SBiffenëmertefte über ben inneren uub äuperett 23au uub über bie 2еЬепё0етф1иидеп ber fPflange §ur 51и(фаиипд §u bringen, mo^u (eine дап5 uortrefflitpen, felbftgc* Seitpncteu Segtabbilbungcn агфегогЬепШф uiel beitragen pelfen.

Sфmäb. SJZerfur: Sie fHömifdje 3lltertumë!unbe bon Dr. Seo S3lodj bepaubelt tur^ unb flar bie $8еф((иидёде(ф{ф1е, bie Staatë-gemalteu, §eermcfen, Шеф1ёр(1еде, ginan^mefeu, Mtuë, baë фаи£, bie

Reibung, bie SÖeftattung unb anbere öffentliche uub hâuèliche Einrichtungen ber Körner ....

SBeimarfcße Seit g.: SBaltßarilieb, 90Ш btefer tteberfeßmtg mtrb unë eine hodjmiüfomntene unb non Sitteraturfreunben langft er-feßnte Eabe geboten. . . . $8on einer guten Ueberfeßung ift oer-langen, baß fie, finn= unb gugleid) möglicßft mortgetreu, ohne bent Urtext, mie ber beutfCßen (Sprad)e Eemalt anptßun, ben Eeift beë Originate flar unb ungetrübt mieberfpiegele. btefer gorberung geredjt 51t merbcn, hat 211tljof in meiftcrhafter Steife oerftauben.

Blätter f b baßr.    ©moboba, ®riccß. ®e*

fcßicßtc. ©cßott ber Spante unb ber ЗЗД beë Sßerfaffer^ bürgt bafür, baß mir nicßt etma bloß eine troefene Kompilation oor unë haben, überall 5cigcu fid) bie ©puren felbftänbigcr Arbeit.

raft ©cßul mann . ©epfert, ©djuïprajië. Её mirb in ge* brangter $>arftelluug ein reidjer, moßlburdjbadjter, ben neueften pöbagogtfeßen ^Bestrebungen gerecht merbenber Inhalt geboten unb für ben, ber tiefer einbrtngen fóill, ift geforgt burd) reichhaltige Sitteratur-naeßmeife

geitfeßr \ b SHealfcßulm.: Её mar eut glüdücßer Eebanfe bet rührigen $8erlagëï)anbïung, bie 5Ibfaffung beë ber Einführung in bie $lritßmetif unb Algebra bienettben ШапЬфепё ihrer „Sammlung" bem hochgeaĄteten gaeß* unb ©d)ulmanne $rof. I)r. ©djubert gu übertragen .... Фег Sßerfaffer mußte bie ©chmierigfeiten mit großem Eefdßid gu bemältigen, inbern er burd) einen ftreug fpftematifcßeu $uf-bau beë aritßmetifeßen Sehrgebâubeë ber gaffmtgëtraft beë tofüngerë möglichft SRedjnung trug uub babei nur baë £auptfäcßlid)e iuë 2Utge faßte. — gormclfammlmtg uub 9îcpetitorium ber 9>îathcmatiï 0ou *ßrof. Xi}. «itrflen .

E)te burd) reinen $>rud unb gefdjmadoolle 2luëftattuug fid) auëgetd)nenbe „gorntelfammluug" mirb infolge ißre§ reid)cit öiclfcitigcn gnljalteê, tßrer gmetfeutfpredjenbcn 31uorbuung unb orientiereitbcu EUiebermtg alë -ftacßfcßlagebud) öorgüglicße 2)ienfte leiften.

Erengboten: $>aë grembmort im $cutfd)en oou Dr. 9iub. Kleinpaul. Ein leßrreidjeS ÏBüdjlcin, baë in jeinen engen Söänben ... eine gülle oon ©pradjbelcßrung bietet, bie jeben feffeln muß, ber nur einigermaßen baë SBebürfnië fühlt, ftd) über ©praeßbinge 51ufflürung gu üerfcßaffen. E)er SSerfaffer hat fid) jd)on burd) gaßlreidje Oolfëtümliche Щсрег über bie ©prad)e uub ihr fiebert befannt gemacht, er hat eine auêgebreitete, fießere Keuntnië ber ©pradj- unb SSortgejcßicßte, ßat mit s2luêbauer auf biefem Eebiete gejammelt unb meiß feinen Stoff immer aefeßieft gu gruppieren unb öorgutragen. . . .

©taatëangeiger: ®ie ^ömifeße Sitteraturgefdjicßte tft etne getftoolle glönjenbe Arbeit. Einfenber ßat biefelbe oon Anfang bië Enbe mit größtem Eeuuß burcßgelefen unb babei 21rt unb Entmidluug beë römtfeßen Schrifttum« unb bamit beë römifdjen Eeifteëlebenë überhaupt beffer unb grüublicßer oerfteßen gelernt, alë burd) тапфеё Oiel-ftüubige Uniberfitâtëfoïïeg ober bidleibige §aitbbücßer.

в. J. (Bofcßen’fcße (iïertageQanitunQ,

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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