WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWKA

.5

/14

si

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

Geometrie des Raumes

am.

Ą\

▼on

Dr. Max Simon

Mit 28 Abbildungen

fi

fi

“A

(A

xs

wM

tn

:0

i -13 s- а™⁸ В

" 5'|“ §•. L_.

i U-⁼? 5 ï If U <5

Ï giss

1 !»

f ?

ff

JO

OO

<=>

6. 3, Göscben’scbe Ueriagsbandlung, Leipzig»

^toecf unb 3icl ber „Sammlung ©öjdjen" tjt, bem gebilbeten Caien cine Hare, letd)tüerjtänMid}e (Einführung in fämtlid)e

(bebiete ber 10tjjenfd)aft unb £ed)ntï 3U geben. 3n engem Kähmen, auf ftreng mijjenjd)aftlicher (brunblage unb mit fteter Berüdftd)ttgung bes neueften Staubes ber Sorfdjung, aber babei bod) in leidjtüerjtänblicher 5orm, bietet [ie 3unerlä(fige Belehrung. 3ebesein3eIne(Bebiet ift in fid) gejdjlofjen bargejtellt, aber bennod) (tehen alle Bänbd)en in innerem Sufammenhange miteinanber, fo bag bas Фапзе, menn es nollenbet norliegt, eine einheitliche, ft|ftematifd|e Barjtellung unferes gefamten IDiffens hüben bürfte.

Oer^eicfyms 6er bis jetjt erfdpenenen Bänbe.

1    Qtv |Ubeluit(»e Itot in flustoal)! 8 gile pampfmorrijme. Кигзде»

unb mttteIl)ocf)beutfd)e (Brammatit    gefaxtes Celjrbud) mit Beifpielen

mit ïurçem IDörterbud) oon Dr.    für bas Selbftjtubium unb ben

ÏD. (Boltfyer, profeffor an ber Uni»    pra!tifd)en (Bebraud) oon 5riebrid)

oerfität Roftod.    Bartl), (Dberingenieur in Uürnberg.

2    $e№st0» ©milia ©alatti. mit    mit 48 Figuren.

(Einleitung unb flnmerlungen oon 9 glie glampfhelTel. Kurçgefafctes (Dberlei)rer Dr. Dotfd).    £eljrbud) mit Beifpielen für bas

3    £cflmgo fabeln, nebft flbljanb*    Selbftftubium unb ben praftifd)en

Iungen mit biefer Did)tungsart oer»    (Bebraud) oon 5riebrid) Bartl),

toanbten 3nt)alts. mit (Einleitung    (Dberingenieur in Uürnberg. mit

oon Karl (Boebefe.    67 Figuren.

4    geffme* gaakaan. mit (Ein« 10    **. gllcteirltepen. mit

Ieitung oon Karl (Boebefe.    (Einleitung unb mörterbud) oon

5    |еПтб*ЗШтт t»    m ~    '~3ef, profeffor an ber

6    $еП?и Biblioteka Politechniki Krakowskiej Дп^е> Всшедипд

mit fl    ....... 3 ber Ąimmelsforper

fefforei    tus, neu bearb. oon

icenus, profeffor an t Strasburg, einer Sternfarte. t (Brunbrif) oon Prof, ireftor bes päbagog. er Unioerfität 3ena.

arii

|Uurn 16. la flnmerl (B. Ber gpmnal

mit

100000295774

Sammlung Göschen

3ein elegantem £eim»anbbanb

80 t)f.

unb

25 fia* b*tttfdj* DolluUieb, aus-geroählt unb erläutert »on prof.

u. erläutert »on aumann i Berlin.

13    (ßreleai* o. profesor Dr. ©beri). 5raas Tn Stuttgart, mit 16 Hbbilbungen unb 4 ©afeln mit über 50 Slguren.

14    prt)d)al00i« wwb geeilt зиг (Einführung ln ble Philofophte non Dr.©h.©lfenl)ans. mit 13 Siguren.

15    fl eutfri)* fUtiłlreiegi* oon Dr. 5riebrld) Kauffmann, profeffor an ber Unioerfität KieL

16    &vitd)ifd)t ^Utertumolumb* non profeffor Dr. Шф. maifd}, neu bearbeitet »on Reftor Dr. £гапз PohUlûmmer. mit 9 Boïlbilbern.

17    ^«tflaJ;*ntnmrfe ». (Dberftubien* rat Dr. £. m. Straub, Reftor be s (Eberharb-£ubmigs-©pmnafiums In Stuttgart.

18    |)*r meu|Yliüd|c Herp*», f*lw $au unb f*in* tfbütiglmtc» ». (E. R mann, (Dberrealfchulbireïtor In $retburg t B. mit ©efunbheits-lehre »on Dr. med. ff. Seiler, mit 47 Hbbilbungen unb 1 ©afel.

19    ©*rd)id)t*, neu bearb. »on Realgqmnafialbireftor Dr. 3ulius Коф.

20    Peutfdje (»5 ramm at Ut unb fur3e ©efchichte ber beutfdjen Sprad)e oon Sdjulr. prof. Dr. Ф. £pon in Dresben.

21    PlulUtalirdie ^kuftllt ». Dr. Karl £. Szafer, mit oielen Hbbilbgn.

22    Datrtmatu» »eit Лиг, |Bo If ram n. СГфепЬаК; unb ©ettfr. ». §ti»aßbur0. Husmahl aus bem höf. (Epos mit Hnmerfungen mörterbuch oon Dr. K. Rlarolb, Prof, am fgL $riebr^sfoIlegium 3U Königsberg t. pr.

23    ЗД1аШ)*г new b*r îîegelnteibe mit Husmahl aus Rtinnefang unb SpruĄbidjtuna. mit Hnmerfungen unb einem mörterbuch. Bon (Dtto ©üntter, profeffor an ber (Dberreal* [фи!е unb an ber ©ефп. Е)оф1фи1е in Stuttgart.

24 gatte ^ad)*w.|l0l)awwgird)art

Jütten. Husgemählt unb erläutert ». profeffor Dr. 3uL Sahr.

Dr. 3ul. Sahr.

26    llhnftfd|* <0*e0»apł|i* »on Dr. Siegmunb Фйпфег, profeffor an ber Kgl. ©ефп^феп 1)оф1фи1е in ПШпфеп. mit 32 Hbbilbungen.

27    <$ricd)irdj« u. »entil'd)* ©ett*r-unb Hrlbenfag* »on Dr. Herrn. Steubing, profeffor am KgL ©tjm-nafium in Шигзеп.

28    3Utl)0d)b*utrd)e gtoratur mit ©rammatif, Ueberfetgmg unb (Erläuterungen ». ©h. Sdjauffler, profeffor am Realgpmnafium in Ulm.

29    pUw*ral00i* ». Dr. R. Brauns, Profeffor an ber Unioerfität ©iefjen. mit 130 Hbbilbungen.

30    HartenJutnb*. gefĄid)tI. bargeft. »on <E. ©elcid}, Direftor b. f. f. Hau-tifchen Schule in £uffinpiccoIo unb $. Sauter, profeffor am Realgpm* nafium in Ulm, neu bearb. »on Dr. Paul Dinfe, Hffiftent ber ©efellfdjaft f. (Erbfunbe in Berlin, mit 70 Hbb.

31    <$*ltt)id)t* b. beutfdr. f iterator »on Dr. Rîaj Коф, profeffor a. b. Unioerfität Breslau.

32    beutfd)* Helbcnfae* »on Dr. ©tto Cuitpolb 3iric3ef, Prof, an ber Unioerfität Rtünfter.

33    $eutfd)* ©*rd|id)t* im mittel-alter (bis 1500) oon Dr. $. Кигзе, ©berlehrer a.Kgl. Suifengpmnafium in Berlin.

36    fl er <£ib. Фefфiфte bes Bon Rup Bia3, ©rafen oon Bioar. Bon 3. Ф. fferber. Efrsg. prof. Dr. (Ernft Uc

37    ^nereantrd)* (Chemie oon Dr. 3of. Klein in malbhof.

38    @)reanird|* (Chemie »on Dr. 3of. Klein in malbhof.

39    Behhettfrifule »on Profeffor K. Kimmich in Ulm. mit 17 ©afeln in ©on-, $arben- unb ©olbbrud u. 135 Boll- unb ©ejtbilbern.

40    S*wtrd)*Pe*tik».Dr.K.Borinsfif Bo3ent an ber Unioerfität тйпфеп.

41    (Cbene (ßeemetrie о. ©. mahler, Profeffor berRtathematif am ©pm-nafium in Ulm. mit 111 $ig.

Utewbew!

42    Kv0*rdjid|te btv HiUnfdtlfrtt *>. Dr. tttorife Ifoernes, profesor a. b. Unioerfität urtb (Euftosabjunft am ï. u. !. naturfyiftor. ïjofmufeum in mten. mit 48 ЯЬЬ.

43    <ßefd)id)U bee alten IgUuvflcn-lanbv* non Dr. $t. pommel, pro* feffor an ber Unioerfität Шйпфеп. Xtîit 6 Bilbern unb 1 Karte.

44    glie fltlan?e, iljr Ban u. il)i non Oberlehrer Dr. <E. D

45

u. ^Igrkvrt

reu.

67

Sammlung ööschen

3e in elegantem £einwanbbanb

80 Jlf.

r £eben ennert.

mit 96 Ubbilbungen.

Itömifdrc ^.Itcrtum^lmnbe oon Dr. £eo Blod}, Do3ent a. b. Uni» oerfitât 3ürid). mit 8 Dollbilbern.

46    gla* gtlaltl) avilir b, imDersmafee ber Urfdjrift überfefet unb erläutert oon Profeffor Dr. 1). Ulthof, ФЬег* leerer a. Realgpmnafium i. IDeimar.

47    ^vitkwrtik unb ^Igrbva oon Dr. Iferrn. Sdjubert, profeffor an ber ©elehrtenfdjule b. 3olî^nneums in Hamburg.

48    gkifpiellamntl. f. ;\vitl)mctik 2765 Uufgaben, fpfte»

matifd} georbnet, o. Dr. Hermann Sdjubert, Profeffor a. b. ©elehrten» fdjule bes 3ot)anneums i. Hamburg.

49    (©vicdjifdjv (Sefdjidjtv oon Dr. Qeinrid} Stooboba, profeffor a. b. beutfdien Unioerfität Prag.

50    g»d)ul|m**i#. Rtethobiï b. Dolïs» fdmle oon K. Sepfert, Sdjulbireîtor in Ölsnife i. D.

51    lUatljemat. gavmviramntlmte u. Repetitorium ber ÏÏÏathematiï, entl). b. roid)tigften Formeln u.£ehr* fäfee b. Urithmetiï, UIgebra, algebra* ifcîjen Unalpfis, ebenen ©eometrie, Stereometrie, ebenen u. fphärifchen ©rigonorfietrie, math- ©eographie, analpt, ©eometrie ber (Ebene unb bes Raumes, ber Differential» unb 3ntegralred)nung о. Ф. ©h- Bürïlen, profeffor am tgl. Realgpmnafium in Sdno.»©münb. mit 18 Figuren.

52    <Ökfd)id)tv brv viwttfdfeu giШ-vatuv oon Dr. Hermann 3oa<him in Hamburg.

53    lliebcv« ^ualnft* oon profeffor Dr. Benebiît Sporer in CBÏjingen. mit 5 Figuren.

64 Ш*teavolcgie o.Dr.m.tErabert, Do3ent a. b. Unioerfität u. Seïretâr b. ï. ï. Sentralanftalt für Rteteoro* Iogieintöien. ПШ49Ubb.u.7©af.

56 glu* gvrmbnmrt im gleutrdjrn non Dr. Rubolf Kleinpaul.

56    glcutrdfe ^ttltm*0rrd)tK)te non Dr. Hetnl}. ©üntfeer.

57    Ite^rpektine nebft einem Unhang üb. Sdjattenïonftruïtion u. parallel» perfpeïtioe DonUrd)iteftE)ans5rep* berger, Fachlehrer an ber Kunft» getoerbefd). i. Rîagbebg. îlîit 88 ЯЬЬ.

58    ШеатеШГфеог ^eidinett non Ц, Beder, Urdjiteït unb teurer an berBaugetoerïfd}uIe in ÎÏÏagbeburg. mit 282 Ubbilbungen.

59    |tofe00£?mamrd)£ Stpvadj-n*irfenf4jaft o. Dr. R.ïlteringer, Profeffor an ber Unioerfität ©газ. ÎTUt einer tEafel.

60    çrivvkunbvo. Dr.5ran3o.tDagner, Profeffor an ber Unioerfität ©iefeen. XUit 78 Ubbilbungen.

61    glvutrdf* gt«bel*i}v*o.l}. probft, ©pmnafialleljrer in mündjen. mit einer ©afel.

62    gänfevvkunbv nan (Europa o. Dr. 5гапз tjeiberidj, prof, am Fran» cisco»3ofephinum in möbling. mit 14 ©ejtlärtdien unb Diagrammen u. einer Karte ber Ulpeneinteilung.

63    gänbvvkunbe brv augevruva-vätWrew (Erbteil* non Dr. 5гапз jfeiberid}, profeffor am Francisco* 3ofepl)inum in möbling. mit 11 ©eçtîârtdjen unb Profilen.

64    gUtttrdre* güâvtevburiî oon Dr. Ferbinanb Detter, profeffor an ber Unioerfität Prag.

65    ^Utalqtirdr* (Æeamvtvi* bev i&btttt o. profeffor Dr. m. Simon in Strafeburg, mit 57 $igu

66    $иПШ)е Grammatik non Dr. (Eridi Berneïer, profeffor an ber Unioerfität Prag.

gtufltrd}** gvfrfcudi mit ©loffar oon Dr. (EriĄ Berneïer, profeffor an ber Unioerfität Prag.

68 $urrtfdl-beut((Mc* i&tfpvM)#-bud) oon Dr. (Eridj Berneïer, Pro» feffor an ber Unioerfität Prag.

gaviftkung auf bev 4. ÿovfaMftlU

Sammlung Göschen

Analytische

II. Abschnitt.

f (xi + ft)== А + 2 fi Bi Ą-2 ej k fi fk •

§19. Polare.

§ 26. Die Hauptachsen.

Die eigentlichen zentralen Flächen zweiten Grades (Quadrics) in allgemeiner Behandlung.

Zwei konfokale Flächen F2 schneiden sich rechtwinklig-.

/1°х2 + Я°С2 + ^(^ + 2d(v/? + w^) + 2 p y)

Sammlung ^Ąubert.

Analytische

Geometrie des Raumes

von

Dr. Max Simon

Strassburg i. E.

Mit 28 Abbildungen

Zweite, verbesserte Auflage

Leipzig

G. J. GöschenJsche Verlagshandlung 1903

KO 5\<bCozî)

•У

Alle Rechte, insbesondere das'Übersetzungsrecht von der Yerlagshandlung Vorbehalten.

Àkc. Nh

Spamersche Buchdruckerei^ Leipzig.

фш

3>H< Jr SbXjp&iG ⁴

Inhaltsverzeichnis.

Seite

I. Abschnitt. Koordinaten.

§ 1. Das rechtwinklige dreiachsige Koordinatensystem .    5

§ 2. Ortsgleichung................. 7

§ 3. Der Strahl durch 0...............

§ 4. Zwei Strahlen.................

§ 5. Zwei Punkte und ihre Verbindungsgerade.....

§ 6. Die Ebene..................

§ 7. Die allgemeine Form der Gleichung der Ebene . . .

§ 8. Gerade u. Ebene, Ebene u. Ebene, Gerade u. Gerade § 9. Die gerade Linie in Linienkoordinaten .

II. Abschnitt. Das Dualitätsprinzip.

35

§ 10. Der Ebenenbtischel......

50

§ 11. Die Gleichung des Punktes in Ebenenkoordinaten .    44

§ 12. Die Punktreihe................

III. Abschnitt. Die Koordinatentransformation.

53

§ 13. Drehung.....•...........

IY. Abschnitt. Die Kugel.

57

14.    Die Gleichung der Kugel. Potenzsatz.......

15.    Tangentialebene, Polarehene..........

16.    Kugel und Kugel, Kugelkomplex, Kugelschar ....    64

17.    Die Inversion.................

59

73

У. Abschnitt. Die Flächen zweiten Grades und zweiter Klasse in allgemeiner Behandlung.

§ 18. Die homogene Gleichung zweiten Grades mit vier Variahein..................

§ 19. Pol8X6 ••••••

§ 20. Das Tangential-Element. § 21. Pol und Polare . - . . § 22. Geradlinige Quadrics . . § 23. Die Reyeschen Achsen .

VI. Abschnitt. Kegel und Zylinder.

§ 24. .Kegel...............

§ 25. Der zerfallende Kegel........

§ 26. Die Hauptachsen..........

§ 27. Die Transformation auf die Hauptachsen

§ 28. Zylinder..............

§ 29. Die Hauptachsen..........

§ 30. Der parabolische Zylinder ......

Seite . 105

109

113

117

121

127

VII. Abschnitt. Die eigentlichen zentralen Flächen zweiten Grades (Quadrics) in allgemeiner Behandlung.

§ 31. Die zentralen Flächen zweiten Grades......

§ 32. Die Kreisschnitte...............

§ 33. Die Reyeschen Achsen der zentralen Quadrics . . . 148 § 34. Fokalkurven, konfokale Flächen

130

140

VIII.    Abschnitt. Die zentralen Kegelflächen in spezieller Behandlung.

§ 35. Einteilung.......

36.    Das Ellipsoid......

37.    Das einschalige Hyperboloid

38.    Das zweischalige Hyperboloid

IX.    Abschnitt. Die Paraboloide.

§ 39. Die Gleichungen der Flächen, Pol und Polare . . . 178

§ 40. Ebene Schnitte..........

§ 41. Die Reyeschen Achsen der Paraboloide § 42. Die Gestalt der beiden Paraboloide . .

158

159

. 165

173

1S|

185

189

X. Abschnitt. Kubatur.

Oi VOi

43.    Die Kubatur der zentralen Flächen

44.    Die Kubatur der Paraboloide . .

I. Abschnitt.

Koordinaten.

§ 1. Das rechtwinklige dreiachsige Koordinatensystem.

Als einfachstes Koordinatensystem im Raum dient die Zusammenstellung von drei zu je zwei aufeinander senkrechten Ebenen (Fig. 1) ; alsdann bestimmt jeder Punkt P des Raumes seine drei Abstände von den drei Ebenen, bezw. deren Maßzahlen in Bezug auf die (beliebige aber feste) Längeneinheit. Die Ebenen selbst heißen Koordinaten-Ebenen, ihr Schnittpunkt 0: Anfangs- oder Nullpunkt; die Geraden, in welchen sich je zwei Ebenen schneiden, Koordinaten-Achsen, sie werden als x-, y- und z-Achse, bezw. Abszissen, Ordinaten und Höhenachse unter schieden ; die Ebenen selbst werden als xy-, yz-, zx-Ebene bezeichnet. Damit umgekehrt jene Abstände, bezw. ihre Maßzahlen den Punkt bestimmen, ist in Bezug auf jede der Koordinatenebenen eine Unterscheidung der beiden Teile nötig, in welche sie den Raum teilt (oben und unten, vorn und hinten, rechts und links). Diese Unterscheidung ist getroffen, sobald wir auf jeder der Achsen, wie in der Ebene (T. 1, S. 9), die beiden Richtimgen durch -f- und — unterscheiden. Ohne diese Unterscheidung würde es acht Pimkte geben, für welche die Abstände gleiche Werte hätten (dem absoluten Betrage nach gleich wären), entsprechend den 8 Fächern, in welche die drei Koordinatenebenen den Raum teilen. Die so mit Vorzeichen versehenen Maßzahlen der Abstände sind dann Koordinaten im Sinne der Definition T. 1, S. 9; sie können als parallele Strecken zwischen parallelen Ebenen (Fig. 1)

гз

Pt

+x

Pa

Fig- 1.

auch auf den Achsen selbst gemessen werden, so ist O A = PPi = xp; OB = P₂P = yp; OC = P₃P = zp. Die Punkte P₁ etc. sind die Projektionen des Punktes P auf die Koordinatenebenen, die Pimkte А, В, C die auf die Achsen. Die Koordinaten können auch, nachdem auf den Achsen die positiven Richtungen festgelegt sind, definiert werden als die Strecken, welche von den Achsen abgeschnitten werden durch Ebenen, welche durch P, den Koordinatenebenen parallel, gelegt werden ; z. B. wird die x-Koordinate OA abgeschnitten durch die Parallele zur y z-Ebene : P P₃ A P₂. Das hier bestimmte Koordinatensystem heißt: rechtwinkliges, dreiachsiges Koordinatensystem. Man legt jetzt mit Rücksicht auf die Elektrizitätslehre die Achsen wie in Fig. 1, so daß, wenn man eine Schraube von + x nach + y dreht, sie auf + z vorwärts schreitet (Rechts-Schrauben-System).

§ 2. Ortsgleicliung.

Gregeben P{(x1? yl5 z₁), kürzer P{x₁...; es soll die Entfernung r des Punktes P vom Nullpunkt (als absolute Länge) bestimmt werden. Es ist (Fig. 2): r² = OP₂²-f y₁²; OP₂² = x₁² + z±²; somit

1) r² = x₁² + y₁² + z₁².

Sieht man in dieser Gleichung r als festgegebene Zahl an und x₁; yx; zt; als einzeln betrachtet unbeschränkt variabel und nur der Beschränkung durch die Gieichung 1 unterworfen (was durch Weglassen der Marke 1 gekennzeichnet wird), so wird 1) erfüllt von allen Punkten, welche von О die Entfernung r haben und nur von diesen, somit ist 1), der man die Form x² + y² + z² — r² = 0 geben kann, im Sinne von T. 1, § 4 die Grleichung der Kugel mit Zentrum 0 und Radius r.

Man sieht, daß eine Gleichung zwischen den als variabel betrachteten Koordinaten f (x, y, z) = 0 (vgl. T. 1, S. 21, Anmerk.) im allgemeinen eine unendlichfach unendliche Menge von Lösungen hat und somit (wenn die Funktion stetig ist) eine Fläche darstellt. Zwei Gleichungen f = 0, (p = 0 haben eine einfach unendliche Menge gemeinsamer Lösungen und stellen somit eine Linie dar, was schon daraus erhellt, daß sie den Schnitt

der Flächen f = 0 und cp — 0 liefern. Drei Gleichungen haben eine endliche Menge von Lösungeh und ergeben daher eine bestimmte Anzahl von Punkten. So stellte die Gleichung 1) eine Kugel dar, die Gleichung y² z² — r² = 0 einen Zylinder, dessen Querschnitt ein Kreis mit Radius r, dessen Achse die x-Achse ist. Die

ßÄ

(У

+ CC

, /■

ni

ШИ!

X'

Fig. 2.

Gleichung x — xA = О ist { der Gesamtheit aller Punkte, welche von der yz-Ebene den Abstand Xjl haben, d. h. sie ist die Gleichung der Parallelebene zur yz-Ebene im Abstand xv Die Gleichungen x — xt = 0 ; у — J± = 0 stellen die Gerade dar, in welcher sich die Ebenen x = xL und J = Ji schneiden, d. h. die Gerade PP₃ der Fig. 1. Und das System x — xt = 0, у — yi = 0, z — zt = 0 liefert P als Schnitt der betreffenden drei Parallelebenen. Die Gleichung einer der Koordinatenebenen, z. B. der xy-Ebene ist z = 0, und wenn man die Gleichungen f (x, y, z) = 0 imd z = 0 kombiniert, so ergeben sie eine Linie in der z-Ebene, deren Gleichung f (x, y, 0) = 0 ; betrachtet man dauernd z = 0, so hat man es wieder mit der analytischen Geometrie der Ebene zu tun.

§ 3. Der Strahl durch 0.

Die Richtung des Strahls OP (Fig. 2) wird bestimmt durch die Winkel, welche er mit den positiven Zweigen der Achsen einschließt, wobei die Winkel > 0 und 180 genommen werden. Sie seien der Reihe nach a, /?, 7, P{x₁ . . . und OP, als bloße Länge betrachtet, gleich r. Es ist (Fig. 2):

2)    cos a = -¹; cos ß = cos y = —

oder x₁==r cos a etc. Setzt man diese Werte in 1) ein, so ergibt sich die wichtige Relation

3)    cos ²a -f cos ²ß -f- cos ²y == 1.

Diese Relation zeigt, daß durch zwei Winkel, z. B. a und ß bezw. deren Kosinus, der dritte Winkel bezw. sein Kosinus nicht völlig bestimmt ist. Dies ist geometrisch klar; derselbe Wert von a bezw. cos a kommt allen Kanten des Kegels zu, der durch Umdrehung eines Strahls entsteht, der mit OX den Winkel a bildet, desgl. ß allen des betreffenden Kegels mit der Achse OY. Beide Kegel schneiden sich, außer wenn « + /? = +90, in welchem Falle cos y = 0, y = 90, in zwei symmetrisch zur xy-Ebene gelegenen Kanten, deren Winkel mit OZ sich zu zwei Rechten ergänzen. Man sieht, daß cos a.

cos ß. und das Zeichen von cos y hinreichen, um die Lage des Strahls OP unzweideutig festzustellen; cos«, cos ß, cos y heißen dieRichtungskosinus des Strahls OP.

Durch r und die Winkel a, /?, y, zwischen deren Kosinus die Gleichung 3) besteht, wird die Lage des Punktes P bestimmt, diese Größen liefern daher ebenfalls ein Koordinatensystem, es heißt (T. 1, § 2): Polarkoordinatensystem (in der Potentialtheorie und der Integralrechnung werden mit diesem Kamen meist die sphärischen Koordinaten, Länge, Breite, Kugelradius bezeichnet).

Sind die drei Richtungskosinus eines Strahls nicht selbst gegeben, sondern drei Zahlen, o, p, q, denen die Kosinus proportional sein sollen, und sei о = Я cosa; p = 2cosß; q = 2cos/, so gibt 3) X = ]/o²-f p²-f q², und wenn der absolute Betrag der Wurzel w genaimt wird, und £, wie meistens, ]/1₅ d. h. also + 1 bezeichnet: 2 = £w. Man erhält daher zwei entgegengesetzt gerichtete Strahlen OP und OP', entsprechend den

beiden Systemen cos а = — etc. und cos a! =---— etc.

Die drei Zahlen o, p, q bestimmen also den Strahl OP nicht, wohl aber die Gerade PP'. Da jede Gerade g mit den Achsen dieselben Winkel bildet, wie eine durch О zu g gezogene Parallele, so ist die Richtung jeder Geraden bestimmt durch drei Zahlen o, p, q, denen die Kosinus der Winkel proportional sind, welche g oder eine ihr Parallele mit den positiven Zweigen der Achsen bildet. Man kann o, p, q ansehen als die Koordinaten ein Punktes P — Richtungspunkt —, dessen Abstand von О gleich w ist; die Gerade g ist dann OP parallel. — Die Gleichung 3) läßt sich geometrisch interpretieren.

Nach einem bekannten Satz der elementaren Stereometrie ist die Projektion Fp eines ebenen Flächenstücks F auf eine Ebene gleich F cos i, wo i der Neigungswinkel der beiden Ebenen ist; der Neigungswinkel zweier Ebenen ist aber gleich dem ihrer Lote, und somit liefert 3) den Satz:

Das Quadrat einer ebenen Figur ist gleich der Summe der Quadrate ihrer Projektionen auf die drei Koordinatenebenen.

Da sin ²a + ... = 2, so ist das Quadrat einer Strecke gleich der halben Summe der Quadrate ihrer Projektionen auf die Koordinatenebenen.

§ 4. Zwei Strahlen.

Seien OP und OP' zwei Strahlen; a, b, c und a'... ihre Richtungskosinus; OP und OP' der Länge nach gleich 1, Winkel POP' sei v: dann ist Dreieck P OP'= ¹/₂ sin v; seine Projektion, z. B. auf die zx-Ebene ist nach T. 1, S. 17 =¹/₂(c&' — ac'), somit liefert der letzte Satz die Formel:

4)    sin ²y = (ab'— a'b)² + (bc' - b'c)² + (ca'—c'a)². Projiziert man den geschlossenen Linienzug der

Fig. 2: OAP₂PO auf OP', so ist (T. 1, S. 37, 38) die Summe der Projektionen Null und somit cos v = a cos a + b cos/?'-{-c cos/, d. h.

5)    cos y = cos a cos a' -f cos ß cos ß' + cos y cos /.

Sind P und P' zwei beliebige Punkte auf denselben

5a) COS Y

Damit OP und OP' aufeinander senkrecht stehen, und also auch je zwei ihnen parallele Gerade g und g',

Strahlen, P (x.. P' (x'..., so ist x = r cos a etc., also xx' + yy'+zz'

rr'

muß cosv = 0 sein; also ist die Bedingung, daß irgend zwei G-erade, gleichgültig, ob schneidend oder kreuzend, aufeinander senkrecht stehen:

6) cos a cos o! + cos ß cos ß' + cos y cos / = О луо cos а ..., cos а'... die Richtungkosinus je eines der g und g' parallelen Strahlen sind. Die Formel 4) gibt

W///Â

Fig. 3.

beide Winkel, welche die beliebigen, der Richtung nach gegebenen Greraden einschließen, die Formel 5) nur einen. Diese Formel ist identisch mit der Grrundformel der sphärischen Trigonometrie, dem verallgemeinerten Pythagoras im Raume. Sei Fig. 3 ABC das sph. Dreieck, О Kugelmittelpunkt, r Radius, OB die positive y-Achse, О AB die xy-Ebene und die Bezeichnung der Seiten und Winkel die übliche. Es ist

für den Strahl OA: Winkel a = ^ — c; /? = с, у = 90.

Die Koordinaten von C ergeben sich, da COc = ---а

2

ist und cOa = B, als x' = r sin a cos B; y/ = rcosa; z' = r sin a sin В ; somit für die Richtungskosinus des Strahls О C, da z. B. cos o! = x': r ist: cos o! = sin a cos В ; cos ßf = cos a J cos/ = sin a sin В und für AOC oder b gibt 5) : cos b = sin c sin a cos В + cos c cos а.

§ 5. Zwei Punkte und ihre Yerbindungsgerade.

Seien (Fig. 4) Px (xx. . P₂ (x₂... zwei Punkte, man denke sich durch Px die Parallelen zu den positiven Achsen gezogen, so wird dadurch das Koordinatensystem parallel verschoben, die Koordinaten von P₂ in Bezug auf das neue System seien: £₂, ^₂, f₂, so ist z. B.

V2 ⁼⁼⁼ У2    У1 •

den neuen -[-"Achsen bildet, sind dieselben, welche er mit den alten bildet. Die Fig. 4 bezw. die Formel 1) gibt dann, wenn d die Länge von PXP₂ bezeichnet:

Die Winkel, welche Strahl РХР₂ mit

x₂ — Xl

etc.

x₂... und d variabel, den Strahl PtP₂ dar; gibt man d auch negative Werte, so erhält man in 2a) die Gleichungen der Geraden in der Form

7a) X =    -)- d cos a etc., wo nun d ein sog. Para

meter (v. T. 1, S. 176). Die Gleichungen 2a) lassen sich auch schreiben:

A*

7;,

Fig. 4.

Qx

Z — z'

cos a

cos ß

und wenn opq drei Zahlen wie in § 3, so hat man in

z — z'

X-Xl_y — 7l

0

die Gleichungen der geraden Linie, welche durch Px geht und deren Richtungskosinus den Zahlen o, p, q proportional sind.

Die Zahlen о etc. heißen die Richtungsfaktoren der Geraden; wenn x etc. unendlich groß, so verschwinden x± etc. gegen x etc., d. h. die Richtungsfaktoren sind den Koordinaten des in der Richtung der Geraden unendlich fernen Punktes proportional.

Die Gleichung 7) bestimmt die Gerade durch ihre Projektionen auf die к-Ebenen.

Betrachtet man, wie in T. 1, § 3, einen Punkt P {x..., der die Strecke Px P₂ im Verhältnis Я teilt, wo Я negativ, wenn P innerhalb der Strecke Px P₂ liegt, und positiv, wemi P außerhalb, so ist wieder nach den Streifensätzen :

8) x

xx — Я x₂

i —я ■■■

Insbesondere ist für die Mitte M von P₂ die Zahl Я gleich — 1 und somit:

8a) xm

Xl+X2

Die Formeln 8) gelten für jedes beliebige dreiachsige Koordinatensystem.

Beispiel: А, В, C, D seien vier Punkte im Raum, deren Koordinaten durch die Marken 1 bis 4 unterschieden werden sollen. Der Schwerpunkt o± von BCD ist { V3 (x-l -f- x₂ + x₃),... Sei S der Punkt, der A^ von A aus im Verhältnis — 3 teilt (so daß AS = ³/₄ Acq), dann ist nach 8)

d. h. S { ¹/i (xj + x₂

+ x₃ + x₄)...

S <x₁ + 3-¹/₈(x₁+x₂+x₃)

Damit ist n. a. der Satz bewiesen:

Die vier Schwerlinien eines Tetraeders schneiden sich in einem Punkte und, von der Ecke aus gerechnet, im Verhältnis 3 :1.

Man sieht sofort, wie der Satz sich durch Schluß von n auf n -f-1 auf jede beliebige Konfiguration von Punkten überträgt.

Analog beweist man den Satz:

Die drei Verbindungslinien der Mitten der drei Paare gegenüberliegender Kanten eines Tetraeders schneiden sich im Schwerpunkt.

Was in § 3 des ersten Teils über die harmonische Zuordnung von Punkten gesagt ist, behält Gültigkeit, nur daß noch zu den Formeln 2), T. 1, die entsprechende für die dritte Koordinate hinzukommt:

9)    (Zi + Za) (£ + £') = 2(Zlz₂+ ££')•

Auch der Schluß des § 3, T. 1 bleibt, und wenn wir zwischen den Gleichungen 8) die Größe A eliminieren, so erhalten wir in

у —У1

10)

*2— X1 У2— У1 Ъ— Z1 die Gleichungen der Geraden, welche durch die Punkte Px und P₂ geht.

Formel 10 gilt für jedes dreiachsige System.

Sei P₃ ein Punkt außerhalb der Geraden V₁P2 und A (xa... irgend ein Punkt auf der Geraden Px P₂, bestimmt durch 8), dann gibt 8) für irgend einen Punkt P {X... auf der Geraden P₃ А

und da

xa—A'x₃

X“ 1 —A'

, so wird

„ Xj —Ях₂

a_ 1 —Я

xx — A x₂ — A' (1 — A) x₃

X== .    (1 — A) (1 — Y) •••

und, wenn man A' (1 — A) = /и setzt,

11) X

X| — A X2 ju

1 —A — [л

welcher Gleichung man auch die symmetrische Form geben kann

lla) X

ax + fty + yz

a + ß + У

Indem man A und A' bezw. aßy als Parameter im Sinne von 1. S. 176 ansieht, welche die Werte von — 00 bis +00 durchlaufen, erhält man alle Punkte der Ebene P₁P₂P₃ und 11) bezw. lla) sind also die Gleichungen dieser Ebene mittelst zwei Parameter. Eliminiert man zwischen den drei Gleichungen 11) die Größen A und ja, so erhält man die Gleichung der Ebene als eine lineare Form

ax-|-by + cz-|-d=0,

wo die Konstanten a b c d Funktionen der Orte Px P.₂ P3 sind. Ygl. Schluß von § 8.

§ 6. Die Ebene.

Der Strahl OP (Fig. 2) wird bestimmt durch seine Richtungskosinus. Ist P { xt... und ist die Länge von OP gleich rl5 so ist die Formel 1 {mit:

i\ — xx cos а + yj cos ß + z₁ cos 7,

welche Formel sich auch unmittelbar daraus ergibt, daß OP gleich der Projektion des Linienzugs ОЛР₂ P, Fig. 2, des sogenannten Koordinaten-Umrisses von P

Simon, Analytische Geometrie des Raumes.

auf OP ist, bezw. daß die Projektion des geschlossenen Linienzugs OAP₂PO auf jede Gerade, also auch auf OP wieder geschlossen, d. h. gleich Kuli ist.

Die Gleichung einer Geraden, welche in О auf OP senkrecht steht, ist:

12) X cos а + у cos ß + z cos у = 0.

Die Gesamtheit aller dieser Geraden bildet nach § 2 eine Fläche e, und diese wird, da 12) vom ersten Grade, von keiner Geraden in mehr als einein Punkte geschnitten; da, wenn x± und x₂ die Gleichung befriedigen, auch xx — Ях₂ die Gleichung erfüllt, so fällt jede Gerade, die zwei Punkte verbindet, ganz in г, d. li. s ist eine Ebene.

man

Der Strahl OP bestimmt also durch seine Lage vollständig die in О auf OP senkrechte Ebene e und OP ist der Abstand des Punktes P von e. Verlängert OP über О hinaus bis P'{x'... (Fig. 5), so ist

OP' = x' cos о! + У cos ff -f z' cos /

= — (x' cos а + У cos ß + z' cos y).

Wenn wir aber den Gegensatz in der Lage der Punkte P und P' in Bezug auf s dadurch zum Ausdruck bringen, daß wir den Abstand im ersten Fall positiv, im zweiten Fall negativ setzen, so ist der Abstand r' des Punktes P' von e:

x' cos а + У cos ß + z' cos y.

Sei jetzt Q (Fig. 5) ein Punkt { f..., auf derselben Seite von e wie P, man fälle von Q auf e das Lot QC, und mache OP = QC, dann ist OPQO ein Rechteck, PQ steht auf OP gleich CQ senkrecht, und es gilt 6);

QP

dabei sind die Richtungskosinus von Q P : —

somit geht 6) über in:

(I — x) cos a + ... = О, der man auch die Form geben kann:

v:

Z/M

Fig. 5.

I cos а + fj cos ß + £ cos у = x cos а + у cos ß + z cos у

= r = QC = q,

луо q den Abstand des Punktes Q von e bezeichnet.

Liegt ein Punkt Q' mit P' auf derselben Seite von e, so erhält man wieder

% cos o! + ... = r' = q',

nur daß in diesem Falle q' negativ ist.

Sind also xyz die Koordinaten irgend eines Punktes oder Ortes P, so ist

X cos a + y cos ß -f- z cos y oder H (x, y, z)

eine Funktion des Ortes P, welche den mit seinem Zeichen versehenen Abstand des Punktes P von der Ebene e darstellt.

Auf der Ebene e und nur auf e ist H sowohl + als —, d. h. Null, was auch unmittelbar aus 6) hervorgeht, somit ist

H = x cos a + y cos ß + z cos y = О

die Gleichung von e und die Seite von OP die positive, die von OP' die negative von e, weil die Form H auf der Seite von P positiv, auf der von P' negativ, auf e Null ist, und diese Beziehungen nach dem Prinzip von Haubert (Drobisch - Möbius) (T. 1, S. 12) umkehrbar.

Da nach Festsetzung des Zeichens r denselben Wert hat für die Punkte der durch P zu e parallelen Ebene rj und nur für diese, so ist

x cos a + ... — r = О

die Gleichung von rj. Legt man durch P' zu e die Parallelebene r\\ so ist ihre Gleichung zunächst

x cos а + ...— r' = 0, diese ist { mit x cos (n — a) + ... — I F I — О;

aber n — а ... sind wieder die Winkel, welche OP' mit

den Achsen bildet, und | r' | ist die absolute Länge von OP', somit sieht man: die Gleichung jeder Ebene 7] kann die Form annehmen

12) X cos a + J cos ß + z cos y — n = 0,

wo n die stets absolut genommene Länge der Normale von 0 auf rj ist, und a... die Winkel, welche diese Normale von 0 ausstrahlend mit den Achsen bildet. Die

Form 12), kurz mit H bezeichnet, heißt die Hessesche (Goepelsche) oder Normalform der Ebene (T. 1, S. 33).

Setzt man in die Form H von r\ die Koordinaten irgend eines ortsfremden Punktes Q { xq..., so ist

H = xq cos a -f • • • — n ;

die drei ersten Glieder geben den algebraischen Abstand + d des Punktes Q von der durch 0 zu e gelegten Parallele л; er ist sicher + d und > n, wenn л und Q an verschiedenen Seiten von e liegen ; Hq = d — n ist dann auch positiv und gibt den Abstand des Punktes Q von e. Liegt Q zwischen e und л, so ist Hq = d — n, aber n > d, also Hq = — (n — d); setzen wir fest, daß Q in diesem Falle negativen Abstand von e haben soll, so ist Hq = — (n — d) dieser Abstand. Liegt л zwischen Q und г, so hat Q negativen Abstand von л, und es ist

Hq = — d — n = — (d + n) ;

gibt man auch in diesem Falle dem Abstand des Punktes Q, der absolut betrachtet d -f- n ist, das Zeichen —, so ist Hq auch in diesem Falle der Abstand des Punktes Q von e. Man kann die Zeichenregel vereinfachen: Q habe positiven oder negativen Abstand von г, je nachdem Q und 0 an entgegengesetzten oder gleichen Seiten von e liegen. Alsdann gibt Hq in allen Fällen den mit seinem Zeichen versehenen Abstand des Punktes Q von e.

Die Seite der Ebene, auf der der Kulipunkt nicht liegt, heißt die positive, die andere die negative. Daß bei dieser Festsetzung 0 von jeder Ebene, die nicht durch 0 selbst geht, negativen Abstand hat, ist eine natürliche Konsequenz davon, daß wir n stets positiv nehmen. Denn wenn wir PO, das von P auf n gefällte Lot, positiv nehmen, müssen wir OP, das Lot von 0 auf г, negativ nehmen.

§ 7. Die allgemeine Form der Gleichung der Ebene.

Die Gleichung der Ebene in Hessescher Form ist vom 1. Grade in den Koordinaten jedes ihrer Punkte (lineare Funktion des Ortes), umgekehrt stellt jede in Punktkoordinaten lineare Gleichung eine Ebene dar. Sei XT = а X + b у + c z + d = 0 die lineare Gleichung, man multipliziere sie — wodurch ihre Valenz (T. 1, § 4 . . .) nicht geändert wird — mit einem von x, y, z unabhängigen Faktor /x, dann können wir setzen:

ga = cos а ; /л b = cos ß ; /л с = cos y₎ jud = und ja so bestimmen, daß 1) die Gleichung 3 erfüllt wird, dies gibt /л = ]/a² + b² -f- c² = + w, und -f- 2) das Zeichen der Wurzel so bestimmen, daß ja d negativ ist. Dann wird durch diese Gleichungen nach § 3 eine ganz bestimmte Normale OP und damit auch eine, auf OP in P senkrechte Ebene e bestimmt, deren Gleichung U = 0 ist. Die Bestimmung von /и wird zweideutig, wenn d selbst zweideutig, d. h. 0 ist, die Ebene s durch О geht. Dies liegt in der Natur der Sache, denn wenn man, statt wie in § 6 von der Normale OP, umgekehrt

§ 7. Die allgemeine Form der Gleichung der Ebene. 23

von der Ebene e durch 0 ausgeht, ist es willkürlich, welchen von den Strahlen OP und OP' man als die Normale zu e ansieht. Wir setzen fest, daß es derjenige sei, für den fi das + Zeichen hat, also gleich w ist. Die Seite von г, auf der die Normale liegt, heißt die positive, und dann bleibt die Bedeutung von

EL auch für diesen Fall bestehen, und — gibt für ¹    w

den ortsfremden Punkt Q den mit seinem Zeichen versehenen Abstand von der Ebene U = 0.

Es läßt sich ganz direkt wie auf S. 18 zeigen, daß die Fläche U = 0 die Grundeigenschaften der Ebene hat.

Ein besonderes Interesse hat die Form A = ax + by + cz — 1 = 0, denn setzt man darin z. B. x = 0, z = 0, so wird j = b—1, d. h. man hat in A die Achsenform der Ebene (T. 1, S. 24) und abc sind die reziproken Werte der Stücke, welche die Ebene А = 0 auf den Achsen abschneidet. Die Form A ist wieder von den Winkeln der Koordinatenebenen unabhängig. А geht in H über durch Division mit + /а² + b² + c². Sind a, b, c, in der Form A alle drei 0, so rückt die Ebene mit drei Punkten ins Unendliche, ihre Gleichung nimmt die paradoxe Form an: — 1 = 0. Diese Gleichung ist für keinen Punkt im Endlichen richtig, man kann sie daher oder die ihr äquivalente d = 0 (d konstant) als die Gleichung einer unendlich-fernen Ebene ansehen (vgl. T. 1, S. 49). Sei В irgend ein Punkt im Unendlichen, d. h. ein Punkt, für den mindestens eine der Koordinaten, z. B. x^ über jedes Maß groß ist, so daß xb + d { xb ; wir können dies so auslegen, als genüge В der Relation d = 0. Wie wir annehmen, alle unendlich-fernen Punkte der Ebene liegen auf einer

Geraden, so können wir jetzt alle unendlich.-fernen Punkte im Raum auf einer Ebene, der Ebene d = 0, der unendlich-fernen Ebene annehmen.

§ 8. Gerade und Ebene, Ebene und Ebene, Gerade und Gerade.

so ist cos V = sin i

• •>

Sei g eine Gerade, gegeben durch, einen Punkt A und ihre Richtung, imd s eine Ebene, bestimmt durch ihre Kor malform ; es soll der Schnittpunkt S { f ?] £ bestimmt werden. A liege auf der positiven Seite von e, dann ist (§5) f == x₁ — r cos a ... Zur Bestimmung von r fällt man von A auf s das Lot AB und verbindet B mit S; da dies Lot nach § 7 Ha ist, so ist r = Ha : cos V, wo V der Winkel ist, den g in der Richtung SA mit der Normale von s bildet. Dieser Winkel ist das Komplement des Neigungswinkels i zwischen g und e. Ist H = cos а! x + ..

= cos a cos a' + ... nach Formel 5. Liegt A auf der negativen Seite von г, so wechselt r das Zeichen, aber H ebenfalls, so daß allgemein für den Schnittpunkt:

.......

wenn sini = 0, so ist g //г, ist dann noch Ha = 0, so liegt g in e] da, wenn x' ein beliebiger Punkt auf g

ist, auch x' die Gleichung der

ist, weil cos a! = X——^

Ebene erfüllt.

Ist Q irgend ein Punkt, so ist die algebraische Länge des von ihm auf £ gefällten Lotes Hq; die Gleichungen des Lotes sind, da das Lot der Normale OP

parallel ist: -—= -----p = -——. Hat man für s

cos a cos ß cos y

die Form U, so werden diese Gleichungen: ——Xq

a

Es seien und s₂ zwei Ebenen, ihre Schnittgerade s zu finden. Für und e₂ seien die Normalformen gegeben, die wir abgekürzt schreiben : ax-\- ßj y z — n = 0, a' X . . . . Die Richtungskosinus von s gibt die Tatsache, daß s auf beiden Normalen senkrecht steht, also, wenn wir die Kosinus von s, u, v, w nennen:

au + /?v + yw = 0; a'u + ^v + /w = 0; u² + v² -f- w² = 1.

wo

Wir bezeichnen ein für allemal die Differenz pq' — qp' mit [p q⁷]. Dann geben die beiden ersten Gleichungen: u = Щу'\] v = Л [/ а⁷] ; w = k[aßr\ und die dritte gibt für X nach Formel 4 § 4: X== (sini)⁻¹, i den Winkel zwischen den Normalen und also auch zwischen den Ebenen bezeichnet Statt u y w kann man nach § 4 auch tutvtw setzen; sind £ und e₁ in allgemeiner Form gegeben, so sind die Richtungsfaktoren ihrer Schnittgeraden: [bc⁷]; [ca⁷]; [ab⁷]. Am bequemsten bestimmen sich die Koordinaten eines Punktes, in denen s eine der Koordinatenebenen, z. B. die xz-Ebene schneidet. Für diesen ist

[na']

[7«T

b «']

У=0; z

Wenn sini = 0, so sind [aß']... alle 3 Null (vgl. Formel 4), die Richtung von s wird unbestimmt, und die Punkte, in denen sie die xy... Ebenen schneidet, liegen im Unendlichen; also rückt s ins Unendliche, die

Ebenen haben ihre unendlich ferne Gerade gemeinsam, sie sind parallel. Wir haben also als Bedingung des Parallelismus zweier Ebenen:

</

104 ±₌l₌L ’ a' ff V

wenn die Ebenen in der allgemeinen Form gegeben sind, da der konstante Faktor jii : // weggelassen wer-den kann.

Wenn zwei Ebenen aufeinander senkrecht stehen, so stehen auch ihre Normalen aufeinander senkrecht. Dies gibt als Bedingung

14) aa'-f bb' + cc' = 0.

Allgemein wird der Neigungswinkel zweier Ebenen gegeben durch

15) cosv

aa' +bb'-f cc'

[Xfj!

wo die Zeichen von /л und // sich nach den in § 7 gegebenen Regeln bestimmten.

Sind g und g' zwei Gerade, bestimmt je durch einen Punkt und die Richtung, so ist zunächst analytisch ebenfalls klar, daß die Geraden sich im allgemeinen kreuzen werden, da zur Bestimmung der drei Unbekannten vier Gleichungen vorhanden, so daß also eine Bedingung zwischen den Konstanten von g und g' erfüllt sein muß; wohl aber besitzen die Geraden stets einen kürzesten Abstand d, der im allgemeinen, in der Richtung von g nach g' genommen, mit den Achsen ganz bestimmte Richtungskosinus u v w bildet. Da d auf g und g/ senkrecht steht, so haben wir zur Bestimmung von u v w dieselben Gleichungen wie für s, nur daß i den Winkel zwischen g und g' bedeutet (gleichgültig, ob spitz oder stumpf, da nur der Sinus vorkommt). Da d der Abstand der beiden parallelen Ebenen ist, welche wir durch g ! g' und durch g' parallel zu g legen können, so ist

d = n₂ — iij = (x₂ — Xj) u + (y₂ — У1) у + (z₂ — zt) w oder

d sin i=(x₂ — xj) [ß y/] + (y₂ — y,) [y a'\ + (z₂ — zt) [aß'],

und die Bedingimg, daß die beiden Geraden sich schneiden, ist:

16) (x₂— xx)[ßy']+ ... = 0,

in welcher Formel die Richtungskosinus a ... a'... durch proportionale Zahlen о... o'... (§4), die Richtungsfaktoren, ersetzt werden können.

Die Gleichung 16) ist sicher erfüllt, wenn wir x₂—xx = la oder la' etc. setzen, da dies bedeutet, daß x₂ auf g bezw. auf g' liegt (§ 4; 7a); es ist daher identisch:

16a) a[ßy'] + ... oder o![ßy'] + ... = 0.

Aus 16) folgen sofort die Gleichungen einer Geraden 1 von bestimmter Richtung, welche zwei gegebene Geraden g und g' schneidet. Ist f rj f ein Punkt von 1, sind opq die Richtungsfaktoren, so sind nach 16) die Gleichungen von 1:

17) (f-Xl)[/?ql+... = 0; (|-x₂)[^q]'+... = 0,

wo also [/?q]=/?q—/p ist. Setzt man für o, p, q: l [/?/]..., so ist 1 die gemeinsame Senkrechte. Um den Schnittpunkt von 1 mit g oder g/ zu finden, hat man nur nötig, eine der Gleichungen 17 mit denen von g oder g' zu kombinieren.

Sieht man in einer der Gleichungen 17, z. B. der ersten, ÇrjÇ als variabel an, so stellt sie eine Ebene dar, welche die Gerade g enthält, denn diese Ebene enthält den Punkt x±..und wenn X ein anderer Pimkt von g, so ist x—xp= Xa .... und damit die Gleichung auch von x... erfüllt.

Ist außer der Geraden g noch ein Punkt A j xa

außerhalb g gegeben, so kann man als Gerade opq die Gerade ansehen, welche A mit dem Punkt x₁... verbindet; dann sind ot... proportional xa—xx... und man erhält als Gleichung der Ebene durch g und A

18)    (f—*i) [ß (za—Zl)] + .. .= 0.

Ist g eine der Achsen, z. B. die y-Achse, so sind a imd 7 = 0, ß = 1 ; xx z± können = Kuli gesetzt werden, und man erhält

18a) £xa— fza = 0 oder [fxa] = 0,

was man auch direkt ableiten kann.

Ist g durcli einen zweiten Pimkt x₂... gegeben, so sind a ... proportional x₂ — x1: und somit ist

19)    (I—Xj) [(y₂—yj) (za—zj)] + .... = 0.

Die Gleichung der Ebene durch die drei gegebenen Punkte und die Elimination vom Schluß des § 5 ist ohne Rechnung vollzogen.

§ 9. Die gerade Linie in Linienkoordinaten.

Setzt man in 18) für xa ya za Kuli, d. h. legt man durch die Gerade g und den Kullpunkt die Ebene (0, g), so erhält man

18b) (j_Xi)[yi?,] + --- = 0_

Die Größen fay—z₁ß)-, foc—Xly); (x,ß—y₁ a) sind also den Richtungskosinus der Ebene (Og) proportional.

Legt man durch g eine Ebene, welche einer der Achsen, z. B. x parallel ist, so ist о = 1 ; p = 0, q — 0 und 17) geht über in

{fl— У)у — (C— z')jff=0, oder r)y— £ß=y'y — z'ß = A.

Kombiniert man diese Gleichung mit der Gleichung x — 0, so stellt sie die Gerade dar, in welcher die Parallelebene durch g zur x-Achse die y z-Ebene schneidet, d. h. die Projektion der Geraden auf die yz-Ebene. Wir haben also als Gleichungen der drei Projektionsebenen das System

20) rjy— £/? = A; fa —fy = B; £ß — r}a = C,

worin a ; ß ; y ; den drei Richtungskosinus der Geraden g ; und A; В; C; den drei Riehtungskosinus der Ebene (0g) proportionale Zahlen sind. Durch zwei von diesen Gleichungen ist (was a priori klar) die dritte bestimmt, da identisch

21) Aa + B^ + C^^O.

Die sechs Größen a... A..., zwischen denen 21) besteht, bestimmen die Gerade g, es sind daher Koordinaten von g, sie heißen speziell Linienkoordinaten (Plücker), sie empfehlen sich durch die Allgemeinheit ihrer geometrischen Bedeutung für die Gerade. Da die Ebenen 20) durch Multiplikation der Gleichungen 20) mit einem beliebigen Faktor sich nicht ändern, so hängt die Lage der Geraden nur von den Verhältnissen der

H.

§■

pq

.., und da zwischen diesen

fünf Größen noch. 21) besteht (in der Form

a+B

A +"- = °)’ so sind nur vier von ihnen beliebig, und wir haben im Raum eine oo^fache Schar'von G-eraden.

Ist die Gerade in Linienkoordinaten gegeben, so ist es leicht, die Koordinaten von zwei ihrer Punkte auszudrücken; schneidet die Gerade g z. B. die xy-Ebene in C und die zx-Ebene in B (Fig. 6), und projiziert man BC in B'C' auf die x-Achse, so ist C' der Punkt, in welchem die Projektion von g auf die zx-

Ebene die x-Achse schneidet, also nach 20) OC'= •---

В Bß + Gy

ebenso OB'=

i В

, also Punkt C<--

1    7

; o,

C ist ein

oder nach 21) Punkt C j

Punkt der Projektion von g auf die xy-Ebene, und

tf*

gehört zu i ---und ebenso В

7

Der Zusammenhang zwischen den Linienkoordinaten und der Bestimmung der Geraden durch einen Pimkt und die Richtungsfaktoren ist evident; ist die Gerade durch zwei Punkte gegeben, so sieht man, daß

22)

X2—X1 Уз-У1 Z2—Z1

[У1 ²з]    [Z1 хз] [xi УзГ

da z₁(xa—Xi)—x₁(z₂ —z₁) = z₁x₂ —z₂x₁ = [z₁x₂] ist.

Die Bedingung 16), daß zwei G-erade a .. und o!... sich in einem Punkte schneiden, wird in Linienkoordinaten —

16a)    ßB± 4- yQi₁ -f- Aöi + Вß₁ -j- C^i = 0,

also sehr übersichtlich.

[Man wähle den Schnittpunkt selbst als x₂ und setze a für x₂—x₁ ein etc. und in [ß /] statt ß das proportionale (y₂ ■—jß) etc.]

*y

B'

C'

+x

Fig. 6.

Der Gleichung 16a) läßt sich auch nach 21) die Form geben:

16b) (a + ax) (A +Aß) + (ß + ßß) (B + Bß)

+ (У + 7i) (C + Cx) = 0.

Zwei parallele Gerade stimmen in den kleinen Linienkoordinaten überein, sie seien gegeben durch a etc. und A etc, Ax etc. Für eine Gerade, die auf beiden zugleich senkrecht steht und sie in x und x₀ schneidet, seien die Richtungsfaktoren u etc., dann ist: (p) ua + v/9 + wy = 0 und nach 16) : u(A—Aß) + .'.== Q. Setzt man A—A^^ = 31 etc., so ist

u = /?(£— y 33 = l (x—x₀).

Um l zu bestimmen, setze man in © und S3 für G bezw. C' etc. [y 7] bezw. [y₀y]. Man erhält dann für гг: (x—Xo) (ß² + У²) — a[ß{j~Уо)•+ У (z — z₀)].

Fügt man a²(x—x₀) — а² (x—x₀) hinzu und benutzt p, so ist u = (x—x₀), also À gleich 1 und somit für den Abstand d der Parallelen d² = (ßC — 7 33)² + ... oder

d2 ₌ (A—Aj)² + (B—Bj)² + (C-C,)².

Damit ist auch der Abstand eines Punktes von einer in Linienkoordinaten gegebenen Geraden sofort bestimmt.

Für die Ebene durch die beiden Parallelen findet man leicht

x(A—A₁) + ... — (BCX — C₁B₁):a = 0

(das konstante Glied ist auch — [CA-J :b etc.).

Jede Gleichung zwischen den sechs Linienkoordinaten hebt aus der 00⁴ fachen Schar aller Geraden eine 00 ³ fache Schar heraus, welche Linien- oder Strahlenkomplex heißt. Ist diese Gleichung vom ersten Grad, so heißt der Strahlenkomplex: linear. Zu bemerken ist, daß, da die Gerade durch die Verhältnisse der Koordinaten bestimmt ist, die Gleichung, welche den Komplex definiert, selbst nur von den Verhältnissen abhängig (homogen) sein darf.

Ein Beispiel liefert 16a), sie definiert den speziellen Komplex S aller Geraden, welche eine gegebene Gerade s { a, A schneiden.

Sei der Komplex definiert durch die Gleichung

23)    dja + d₂/? + d₃ 7 + <5iA + <5₂ В + <5₃ C= 0,

wo d und ô Konstanten sind. Damit eine Gerade des Komplexes durch den Punkt P { xx... gehe, muß 23) mit 22) kombiniert werden. Dies gibt

24)    d, (x—Xj) +... <3L [yi z] +.. = 0.

24) ist in x, y, z linear und ist erfüllt, wenn x = x₁....; sie stellt also eine Ebene e dar, welche durch P geht, außer wenn 24) identisch erfüllt ist; dann ist der Komplex der spezielle Komplex S und jede Gerade durch P gehört zum Komplex; also:

In jedem linearen Strahlenkomplex gehen durch jeden Punkt oo² viele Strahlen des Komplexes, welche eine Ebene bilden.

Die Ebene e heißt dem Punkt P zugeordnet. Man kami auch sagen, alle Strahlen (des Komplexes), welche in e liegen, schneiden sich in P, und so gehört zu e wieder P, zu jeder Ebene ist ein Punkt zugeordnet, (außer wenn jede Gerade in e zum Komplex gehört). Man kann dies durch die Rechnung bestätigen.

Es sei e { ux -)- vy + wz—1 = 0 ; gx und g₂ zwei Strahlen in e, P ihr Schnittpunkt: dann liegen alle Strahlen von P auf £ und die Gleichung von e ist (24); das gibt zur Bestimmung von P die Gleichungen

(dl — 0г ?! + ô₃ yx) = u (dx X! + d₃ yx + d₃ Zx)

(d₂ — dgXj + <5, z:) = V (dt Xl + d₂ yx + d₃ zx)

Os — yx + <3äx₁)=w(d₁x₁ + d.₂y! + dgZj), wodurch xt z₁ im allgemeinen eindeutig bestimmt sind. Das System enthält nichts, was den Geraden gx und g₂ eigentümlich ist, und gilt somit für alle; es schneiden sich also alle Strahlen des Komplexes auf £

Simon, Analytische Geometrie des Raumes.

m P. Die Strahlen des Komplexes durch einen Punkt erfüllen eine Ebene, die Strahlen einer Ebene wieder einen Punkt.

Man betrachte die Strahlen durch eine Gerade g. Seien A und В zwei Punkte auf g, und a und ß ihre konjugierten Ebenen; sei P ein Punkt auf der Schnittlinie s von a und ß: dann sind AP und BP Strahlen, also auch PA und PB; die Ebene von P, sie sei жj geht also durch A und В und somit durch g. Ist also C irgend ein Punkt auf g, so ist PC ein Strahl, folglich auch QC, wenn Q ein anderer Punkt auf s ist; also geht die Ebene у von C wieder durch s, d. h.: Jeder Strahl des Komplexes, welcher g schneidet, schneidet auch s und umgekehrt. Der Geraden entspricht also wieder eine Gerade. (Dualitätsprinzip.) Man kann auch sagen: Liegen die Punkte A, В, C . . . auf einer Geraden g, so schneiden sich ihre Ebenen a, /?, y .. auch in einer Geraden s, der Konjugierten von g.

;r Tetraeder SA S₂ S₃ S₄ ist dem BCD zugleich um- und ein-

Seien A В C D die Ecken eines Tetraeders, aßy ô ihre konjugierten Ebenen; ß y ô schneiden sich in Sx etc.: dann sind SXB; Sx C ; SXD Strahlen [weil BS₄ etc. Strahlen sind], also liegen sie in einer Ebene a, also liegt St in BCD und Tetraeder

geschrieben. Diese merkwürdige Beziehung ist von Möbius entdeckt.

II. Abschnitt.

Das Dualitätsprinzip.

§ 10. Der Ebenenbüschel.

von

Seien Hx = 0 und H₂ = 0 die Gleichungen zweier Ebenen s₁ und e₂ in Normalform (§ 6) und P ein beiden Ebenen ortsfremder Punkt. Die Substitution der Koordinaten von P in die Form H werde durch Hp bezeichnet; sie liefert den (algebraischen) Abstand zwischen P und e. Nennt man die betreffenden Abstände p₁ und p₂, so ist pi = Hp; p₂ = H|; es sei Pi : p₂ = Я. Sieht man in dieser Gleichung Я als feste Zahl an, P aber und seine Koordinaten als bis auf die Bindung durch den festen Wert Я. unbeschränkt variabel, (was man durch Weglassung der Marke p in den Formen H andeutet), so ist-Hx— ЯН₂ = 0 die Ortsgleichung des Punktes P. Diese Gleichung ist als lineare die Gleichung U₃ = 0 einer Ebene s₃, und da, wenn Hi und H₂ zugleich verschwinden, U₃ von selbst verschwindet, so geht e₃ durch die Schnittgerade «i und e₂. Man vergleiche T. 1, § 8, die Betrachtungen sind fast wörtlich dieselben, nur daß statt „Gerade“ Ebene gesetzt wird. Die Figur 7 zeigt sofort, daß

Pi sin (31)

p₂ sin (32)

Neigungswinkel zwischen den Ebenen bezeiclmet. Dieser Sinusquotient heißt wieder das Teilungsverhältnis des Winkels (12) der Ebenen ex und e₂ durch'%. Wir haben also den Satz :

Я ist, wemi (analog T. 1) (31) etc. den

3*

Der Ort der Punkte, deren Abstände von zwei festen Ebenen ein festes Verhältnis haben, ist eine Ebene durch ihre Schnittgerade.

Umgekehrt teilt jede Ebene ss durch die Schnittgerade von £± und e₂ den Winkel (12) in bestimmtem Teilungsverhältnis Я, und für jeden Punkt auf e₃ ist

— = Я, somit muß U₃ = Hx — Я H₂ = 0 die Gleichung P2

von e₃ sein. Der Beweis kann auch wie in T. 1 ge-

P,

ill

Fig. 7.

führt werden. U₃ = a₃ x -f- b₃ у + c₃ z + d₃ ; bestimmt man zwei Zalilen о und r, so daß

a₃ = (ja₁+ia₂; bs = aß₁rß₂,

so ist U₃ = о Hjl + T Hg + f z -j- g. Soll nun U₃ durch (H₁H₃) gehen, so muß fz + g für die unzähligen z aller Punkte dieser Geraden verschwinden; das ist nur möglich, wenn f = 0 und g = 0 ist, d.h.U₃ = öH₁+rH2l also U₃ = 0 (T. 1, § 4, Schluß) { Ht — ЯН₂ = 0.

Die Ebenen e₁ und s₂ teilen den Raum in vier Fächer, die zu je zwei und zwei als Scheitelräume gleich sind; in dem einen Paar, wir wollen sie den Außenraum nennen, haben die Abstände gleiches Zeichen, in dem andern Paar, dem Innen raum, entgegengesetztes. Dreht sich e₃ im Innenraum von e1 nach e₂, so nimmt A fortwährend ab von — 0 bis — oo; dreht sich e₃ dann weiter durch den Außenraum von s₂ nach г₄, so nimmt A ab von -f- oo bis -f- 0. Es gehört also zu jeder Ebene s₃ ein A und zu jedem A wieder diese Ebene. Man nennt eine solche Schar von Ebenen ein Ebenenbüschel; die gemeinsame Gerade heißt der Träger des Büschels, die Größe A der Parameter.

Zu jedem Wert des A im Innenraum gibt es einen entgegengesetzt gleichen im Außenraum, die zusammengehörigen Ebenen e₃ und e₄ heißen konjugiert. Man sagt, e₄ und e₂ werden durch e₃ und e₄ harmonisch getrennt; da, wie T. 1 bewiesen, auch umgekehrt e3 und £₄ durch et und e₂ harmonisch getrennt werden, so sind auch und e₂ konjugiert, imd die vier Ebenen, deren Gleichungen

1) H₄ = 0; H₂ = 0; H₄ — AĄ = 0; Н₄ + ЯН₂ = 0,

bilden ein harmonisches System. Die Harmonie der Ebenen wird auch ausgedrückt durch die Gleichung

2)

sin (31) sin (41) sin (32) ' sin (42)

Sind die Gleichungen der Ebenen e₄ und e₂ nicht in Normalform gegeben, sondern in allgemeiner, so bleiben die Gleichungen des harmonischen Systems bestehen. Von 2) versteht sich das von selbst, aber auch

la) üi = 0; U₂ = 0; U₄— KU₂; U₄ + Kü₂

sind die Gleichungen eines harmonischen Systems, denn da juV — H — (§7), so ist dies System äquivalent mit:

fh Ui — 0 ;    — 0 ;

. /^2 U₂ ;

/h K

fh

/*2

.fi₂ u

{ Hj = 0; H₂ = 0, Hj — ЯH₂; ą+ЯН, und dies ist nach 1) harmonisch.

Es bleiben die Sätze des T. 1, § 8 mit der angegebenen Yertauschimg alle bestehen, wir beweisen nur den Hauptsatz:

Ein harmonisches Ebenensystem wird von jeder Ebene, die nicht zum Büschel gehört, in vier harmonischen Strahlen geschnitten.

Die Ebenen seien 1^; U₂;    — Я U₂ ; T^ + AUg,

die fünfte Ebene sei V ; dann erkennt man zunächst, daß die vier Schnittgeraden sich auf dem Träger des Büschels schneiden, also einem ebenen Strahlenbüschel angehören. Wählt man die Ebene V=0 zur zx-Ebene, so erhält man die Schnittgeraden dadurch, daß man in den vier Formen der Ebenen у — 0 setzt; somit sind ihre Gleichungen iq = 0 ; u₂ = 0 ; iq — hi₂ = 0 ; iq + Au₂ = 0, d. h. aber die vier Geraden sind harmonisch.

Ein ausgezeichnetes System ist wieder das, in dem A den Wert 1 hat, e₃ und г₄ die beiden Halbierungsebenen der Raumwinkel zwischen e± und e₂ sind.

Aus dem eben bewiesenen Satz ergibt sich sofort der Satz:

Ein harmonisches Ebenensystem wird von jeder Geraden in einem harmonischen Punktsystem geschnitten. (Jede Ebene durch g schneidet das Ebenensystem in vier harmonischen Strahlen, und das Punktsystem ist ein Schnitt dieses Büschels.)

Diese Sätze sind umkehrbar: Sind ABCD vier harmonische Punkte und legt man durch eine Gerade und die vier Punkte die vier Ebenen (man sagt: projiziert man die vier Punkte von einer Geraden aus) a, ß, y, <5, so bilden diese ein harmonisches System. Die Koordinaten der harmonischen Punkte sind :

xa + Я хь

xa.... xb... .

xa — ^ xb

1 —Я    1 + Я

§ 5 (in T. 1 § 3) und die Formeln 18 § 8 beweisen den Satz, oder noch einfacher 18a), da man jede Gerade, also auch g als y-Achse ansehen kann.

Beispiel zu Formel U₃ =    —AH₂.

Es seien e₁ e₂ e₃ drei Ebenen, welche ein Dreikant S А В C bilden. S A, S B, S C seien die Kanten, S A B = es ... Man wähle den Anfangspunkt im Innern des Dreikants, dann sind — e₂ = 0 = H₃; e₂ — £₃ = Hx ; €s — sL — H₂; die Halbierungsebenen y₃; г}г) rj₂] der drei (inneren) Keile oder Winkel des Dreikants 7, a, ß [y der Winkel zwischen den Seitenflächen e± und c₂, die sich in der Kante SC schneiden, . . . ]. Da Hx -f- H₂ -f- H₃ = 0, so schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Die Sätze über die Drei- und Yiel-kante gewinnen an Anschaulichkeit, wenn man sie auf die Kugel überträgt, welche man um den Scheitel S des Vielkants mit beliebigem Radius, den man als Längeneinheit wählt, schlägt: den sogenannten Kugel-schnitt des Vielkants. Es kommt das darauf hinaus, die Ebenen des Büschels von einem beliebigen Punkt des Trägers S aus auf eine Kugel mit Zentrum S zu projizieren; die Ebenen des Büschels projizieren sich dann auf die Kugel als eine Schar von Meridianen, d. h. Hauptkreisen mit gemeinsamem Durchmesser (auf dem Träger des Büschels). Da für alle diese Hauptkreise der Kugelradius derselbe bleibt, so unterscheiden sie sich nur durch die verschiedenen Gleichungen der Ebenen des Büschels und können daher mit denselben Formen bezeichnet werden. Den Hauptkreis nennen wir Kugelgerade, seine Hälfte (Kugel-) Strahl; einen Bogen desselben, der kleiner als der Halbkreis : (Kugel-) Strecke, und als Länge desselben setzen wir den Sinus seines Zentrum winkeis bezw. seiner Amplitüde. Der eben bewiesene Satz heißt dann:

Im sphärischen Dreieck schneiden sich die Halbierungslinien der drei Winkel in einem Punkte, dem sph. Mittelpunkt des Inkreises.

(Heißt dieser //, so ist sein Gegenpunkt // ebenfalls Zentrum des Inkreises, da auf der Kugel jeder Kreis zwei Zentren hat.) Wir brauchen den Satz für die Nebenräume nicht erst zu beweisen; denn wenn wir den Gegenpunkt von A durch A' bezeichnen, so ist В CA' auch ein sphärisches Dreieck, und hat daher auch eine Mitte des Inkreises. [Es ist: (ex -f- ss) + O2 — ег)—0i + e*) = 0.] Bilden wir H=s± + e₂ + £₃, so ist H = 0 die Gleichung einer Ebene bezw. einer Kugelgeraden rj, welche 1) durch S geht, da H = 0 ist, wenn alle drei e Null sind, 2) durch die Schnittgerade von ex und (e₂ + £₃) bezw. durch den Schnittpunkt des Kugelstrahls und 0₂ + £з) geht. Wir haben, heißt das, auf der Kugel wie auf der Ebene den Satz:

Die Halbierungslinien der Nebenwinkel schneiden die Gegenseiten in drei Punkten, welche auf einer Geraden liegen.

Vier harmonische Ebenen bezw. Halbebenen des Büschels projizieren sich auf der Kugel in vier Geraden bezw. Strahlen, welche harmonische genannt werden sollen; vier harmonische Strahlen, vom Zentrum S ausgehend, projizieren sich in vier harmonischen Punkten. Sind ACPQ vier solche Punkte, so ist, wenn wir sin AP etc. kurz AP etc. nennen,

0.

AP AQ

CP ¹ CQ

Es gelten dann die Sätze § 7, 1 alle für das Ebenenbüschel bezw. für das Kugel-Strahlen-Büschel, z. B. Fig. 8. Legt man von einem Punkt Q auf einem der harmonischen Strahlen U^UgU* (Ebenen), z. B. von Q auf Ü4 zwei Querlinien (Ebenen) durch das Büschel, und verbindet ihre Schnittpunkte (Gerade) mit Ut und U₂ über Kreuz, so schneiden sich, diese Yerbindungs-Geraden (Ebenen) auf U₃. Der Satz ist eine unmittelbare Folge des Hauptsatzes auf S. 38. Wir haben ferner den Satz vom Yierseit wieder:

Im vollständigen Kugel-Yierseit teilen die Diagonalen einander harmonisch.

Zu bemerken ist, daß wir uns auf Strecken kleiner als л beschränken. Der Beweis ist genau derselbe wie in T. 1; er kommt auf den Satz zurück:

Zwei harmonische Systeme, welche einen Strahl (Ebene) gemeinsam haben, schneiden sich auf ein und derselben Geraden (Ebene) und es kann das vollständig verschiedene Paar über Kreuz kombiniert werden.

Seien Fig. 8 Ut U₂; ü, — HJ₂; JJ.+XJJ, ein harmonisches System, UÎ . . . ein zweites und    ;

schneiden sich auf derselben Geraden (Ebene). Da

dami ist U3 —Ü3=r U2 — X U₂=U₄ —U4, d. h. aber, da \J₁ r Ui, die vier harmonischen Strahlen- (Ebenen-) Paare

U₄ — ui = U'₄ - U₃ = A ü₂ -f X US und

so liegen auch die Schnittpunkte (Geraden) von U4 und U₃; U₄ und U₃; U₂ und Щ und JJ₁ und \J[ auf einer Geraden (Ebene). Dies ist wieder unser Satz in der Fassung:

Durch jede Ecke eines vollständigen Kugel-Vierseits (jede Kante eines vollständ. Vierkants) gehen drei Strahlen (Ebenen), die beiden Seiten und eine Diagonale; der (die) zur Diagonale zu-

И'""

Fig. 8.

geordnete 4-harmonische Strahl (Ebene) ist die Gerade (Ebene), welche die Ecke (Kante) mit dem Schnittpunkt (der Schnittgeraden) der nicht durch die Ecke (Kante) gehenden Diagonalen verbindet.

Den Menelaos und damit auch den Ceva (T. 1, S. 42 u. 43) beweisen wir mittelst eines fast evidenten Hilfssatzes: Das Verhältnis der Abschnitte einer

Sehne ist gleich dem der zugehörigen Bogenabschnitte.

(Es ist Fig. 9.

AB:BC = BD:BF =

BD BF sin A SP

SB‘SB sinCSP

AP : PC

nach der Festsetzung über die Länge eines Bogens.)

Projizieren wir die Punkte A'C'Q der Fig. 8 vom Zentrum S aus durch die Kugelradien auf die Ebene EAC in o! y' x und bemerken, daß a' / x als

,S

ft

'C

Fig. 9.

gemeinsame Punkte zweier Ebenen in einer Geraden, o! auf der ebenen Geraden AR, / desgl. CR liegt und * auf der ebenen Geraden AC als Punkt, der den Ebenen RAC und SAC gemeinsam, so gilt für das Dreieck RAC der ebene Menelaos. Es ist

Aar R/ Cx Ra' C y' Ax

und nach unserm Hilfssatz

AA' RC' CQ RA⁷' CC'ÂQ

-i,

womit der Menelaos auf der Kugel bewiesen ist, und da

CQ

CP

AQ

AP

auch der Ce va. Also:

Werden die drei Seiten eines sphärischen Dreiecks von einer sphärischen Geraden geschnitten, so sind die Produkte der Wechselabschnitte einander entgegengesetzt gleich und:

Schneiden sich die Ecktransversalen eines

sphärischen Dreiecks in einem Punkt, so sind die Produkte der Wechselabschnitte einander gleich.

Beide Sätze sind wieder, da wir uns auf Längen unter л beschränken, umkehrbar, weil infolge der Beschränkung der Tangentialsatz aus dem Sinusquotienten und der Summe oder Differenz der Bogen dieselben eindeutig bestimmt; es gelten daher die Bemerkungen auf S. 43 u. 44, T. 1 und wir haben dieselben Sätze fürs sphärische Dreieck; auch in diesem schneiden sich die drei Höhen in einem Punkte, die drei Mittellinien, die Geraden, welche die Ecken mit den Berührungspunkten des Inkreises verbinden etc., und ebenso gilt der mit dem letzteren in eine Gruppe gehörige Satz: Die drei Berührungssehnen des Inkreises schneiden die Gegenseiten in Punkten, welche auf einer Geraden liegen etc.

§11. Die Gleichung des Punktes in Ebenenkoordinaten.

In den Sätzen von der harmonischen Teilung tritt wieder, wie in T. 1, § 7 das Prinzip der Dualität

deutlich hervor, nur daß im Raum sich Punkt und Ebene dual entsprechen. Wie wir bisher den Punkt als Raumelement oder Grundgebilde angesehen haben, können wir jetzt die Ebene als Grundgebilde oder Element betrachten.

Es sei die Gleichung der Ebene in Achsenform

a₁x + b₁y + c₁z — 1 = 0,

dann ist durch die Werte von ax bx cx die Ebene et ebenso völlig bestimmt, wie ein Punkt durch seine drei Koordinaten x, y, z ; die Größen a₁ bx cx sind daher (T. 1, S. 9) Koordinaten der Ebßne. Sehen wir in unserer Gleichung die Zeichen xyz als Träger aller Zahlenwerte von —oo bis -f-oo an, d. h. als einzeln betrachtet unbeschränkt variabel, aber durch die Gleichung von gebunden, so zeigte sich diese Bindung geometrisch darin, daß der Punkt, der einem Wertsystem x... (war, an die Ebene et gebunden Avar. Wir können aber ebensogut xyz als fest gegebene Zahlen xl7 yx, zx ansehen, und a± bt Cj als variabel, a b c, aber durch die Gleichung ax! + by* + czx — 1 = 0 = А gebunden; dann stellt diese alle Ebenen dar, welche durch den Punkt Px ... gehen, und nur diese, d. h. also A ist die Gleichung des Punktes Px in Ebenenkoordinaten und zwar in ebenen Achsenkoordinaten, also

1) P₁{ax₁+by₁ + cz₁ —1 = 0.

Man sieht also, und darin liegt die analytische Formulierung des Dualitätsprinzips:

Dieselbe Gleichung stellt je nach der Auffassung eine Ebene in Punktkoordinaten oder einen Punkt in Ebenenkoordinaten dar.

Ist die Ebene in Normalform gegeben,

Kx + ßy + yz — n = 0,

wo 2)

CH2Jrß2Jr y² = 1,

so ist es zunächst bequemer für —n zu setzen ö; dann sind — a

<T’

. die Achsenkoordinaten, wir haben dann

vier Koordinaten für die Ebene, aber zwischen ihnen besteht die Relation 2). Die Gleichung des Punktes wird dann

Px {aXi + byi + yzt + Ô = 0

oder besser in homogener Form

P₁{aa-f-/?b + )/c+.<Sd = 0, лто —... die gewöhnlichen Koordinaten des Punktes Px

sind. Ist d=0, so rückt der Punkt ins Unendliche. Sieht man von der Relation 2) z\vischen aßy ab, so sind aßyd die allgemeinen Ebenenkoordinaten;

. be-

i"

die Ebene ist dann durch die Verhältnisse ^

stimmt, wie der Punkt durch ... Hat man zwei lineare

Gleichungen in Ebenenkoordinaten

aat + ... = 0 und aa₂ -f ... = 0,

so stellen sie zwei Punkte Px und P₂ dar, und damit ihre Verbindungsgerade; die Gerade wird also in Ebenen-wie in Punkt-Koordinaten bestimmt, sie entspricht sich dual selbst, sie ist ebenso Verbindungsgerade zweier Ebenen, als zweier Punkte.

Drei lineare Gleichungen in Ebenen-Koordinaten stellen (generaliter) drei Punkte und damit eine Ebene dar, wie drei lineare Gleichungen in Punkt-Koordinaten drei Ebenen und damit einen Punkt. Ist

a^i+biyi + CiZi — 1 = 0, d. h. soll der Punkt Px auf einer gegebenen Ebene liegen, so ist seine Gleichung

axx + ... — 1 = 0,

und wenn man subtrahiert:

4) (a — at) xx + (b — bj'ÿi + (о — Cj) zx = 0.

Hat man die Gleichung

4») (a — a₁)p + (b— \)q + (o — o₁)r=0,

wo ax h± c₁ die Achsenkoordinaten einer bestimmten Ebene, a, b, c, variable Achsenkoordinaten der Ebene bedeuten und p q r Konstanten sind, so stellt sie einen Punkt Px dar, der durch die Ebene aL \ c± geht und dessen Koordinaten p, q, r, proportional sind; es ist P₁ ..., wo xt = p : u... ; und u = ax p + \ q + ^ r ist.

Läßt man abc bezw. aßyd unbeschränkt variabel, so stellen sie alle oo³-Ebenen des Raumes dar; eine Gleichung zwischen den variablen Ebenenkoordinaten wie

cp (abc) = 0 oder cp {aßyd) = 0

hebt eine oo² fache Schar heraus, welche im allgemeinen eine Fläche cp umhüllen.

Zu bemerken ist, daß wenn aßyd die allgemeinen Koordinaten sind, die Form cp homogen sein muß, d. h. die Summe der Exponenten der Yariabeln muß in jedem Gliede dieselbe sein; oder, anders ausgedrückt, setzt man in cp für aß . . . ein: Aa, Aß . . ., so ist cp (Aa, A/?...) = An cp (a, ß...), so daß es gestattet ist, in cp = 0 eine der Yariabeln, z. B. d gleich 1 zu setzen.

Die Zahl n, die konstante Summe der Exponenten, heißt der Grad der homogenen Funktion.

Als Beispiel wählen wir die Schar der Ebenen, welche von einem festen Punkt M {xx... den festen Abstand +r haben. Sei e{a,b,c eine solche Ebene, dann ist nach § 7 der Abstand -j- r des Punktes Ж von e :

axi + bjt + czL — 1 У    ä4-b² + c²    ’

also haben wir nach Beseitigung der Wurzel als Gleichung 99 (abc) = 0:

I) (aXi + byt + czx — l)² — r² (a² + b² + c²) = 0.

Wir beweisen, zunächst an dem Beispiel, aber — so daß man die Allgemeingültigkeit sieht — den Satz:

Die Ebenen der Schar 99 = 0, deren Koordinaten sich nur unendlich wenig unterscheiden, die benachbarten Ebenen, schneiden sich in einem Punkt, dem Berührungspunkt, und der Beweis gibt dual sofort den entsprechenden Satz:

Die unendlich nahen Punkte der Schar f(xyz) = 0 liegen auf einer Ebene, der Berüh-rungs- oder Tangential-Ebene.

Zur Abkürzung sei axx + • • • — 1 = u. Sei e' eine andere Ebene der Schar 99 = 0 und /{a',... und

a' = a + h; b' = b -f k; c' = c-fl,

so ist die Form 99 nach Einsetzung von а'... : cp (a'...), und wenn man nach Potenzen von hkl ordnet, so ist 99 (ar...) — 99 (a •. •) + h <Pa + к 99b + 19?c +    + • • •?

wo 9?a. •. Abkürzungen für die Koeffizienten von hkl sind, welche deutlich machen, daß diese Größen die Zahlen h, к, 1 nicht enthalten. In unserm Beispiel ist

<Pa = 2 (uxi — r²a) ; cp'h = 2 (uft — r² b) ;...

Da nun e {a ... zur Schar gehört, so ist cp (a...) = 0, also cp (a+h; b+k; c +1)= h cp'& + kcp'b + lcp'c + h Va + ... Sind h, k, 1 unter jedes Maß klein, so können h², hk, hl, k²...

gegen hkl vernachlässigt werden [ist z. B. h = 0,001, so ist h² == 10~⁶] und cp (a + к...) — 0 reduziert sich auf

Ц)    + I99' = 0,

außer wrenn alle drei cp' verschwinden. Es ist II = mit (a' — a) cp'ä -f- ... = 0 ; diese Gleichung stellt aber, wenn a' b' c' frei veränderlich sind, einen Punkt P dar, der durch die Ebene e {a. . . geht und dessen Koordinaten ÇrjÇ, da a99^ -f- b 99^ -f- ccp'Q — u eine Konstante

<Pa

ist, gleich —... sind. Da die Gleichung II von allen

a b c unendlich nahen Ebenen der Schar cp = 0 erfüllt

wird, so gehen sie alle durch P. Hier ist f

11 — r²a

r²a

= Г²

V = . - ., also f — xx = —, und da nach I u2 [a² + b² + c²) ist, so ist

III) (f — Xl)² + (V — Yiy + (c — Zj)² = r².

Dies ist aber nach § 5 die Gleichung der Kugel mit Radius r und Zentrum M in Punktkoordinaten, also ist I die Gleichung dieser Kugel in Ebenenkoordinaten.

Ganz analog ist der Beweis, daß die einem Punkt der Schar f (xyz) = 0 benachbarten Punkte generaliter

Simon, Analytische Geometrie des Raumes.

auf einer Ebene, der Tangentialebene liegen. Wir haben also gezeigt, daß, von Ausnahmen im einzelnen (ç/a ... = 0; f'x... = 0) abgesehen, die Fläche 99 in der Umgebung einer ihrer Ebenen als Punkt, und die Fläche F in der Umgebung eines ihrer Punkte als Ebene angesehen werden kann.

Die Rechnung in unserm Beispiel würde sich vereinfachen, wenn man Normalkoordinaten braucht; alsdann ist die Gleichung der Kugel:

axi +ßji + УЧ + <5 = +r,

wobei die Zweideutigkeit durch Quadrieren beseitigt wird, und die Homogenität dadurch hergestellt wird, daß man r² mit 1 in der Form (a² + ß² + y²) multipliziert.

§ 12. Die Punktreihe.

Seien und P₂ zwei Punkte, pt = 0 und p₂ = 0 ihre Gleichungen in Normal form; dann ist

U» = Pi — Др₂ = 0

die Gleichung eines Punktes P₃ auf der Verbindungslinie von Px und P₂, wie man sofort sieht, wenn man u₃ in der Form schreibt:

a (xx — Ях₂) + ... + ó(l — Я),

welches { mit a —----+ ... + <5, welches die Glei-

1 —À

j _2 X

chung des Punktes —l---“ ... ist, der auf Px P₂ liegt

1 — /

und PLP₂ im Verhältnis Я teilt (nach § 5), wobei Я negativ ist, wenn P₃ innerhalb der Strecke Px P₂ liegt, positiv, wenn außerhalb. Dies läßt sich auch direkt

§ 12. Die Punktreihe.

ableiten. Setzt man in die Gleichung eines Punktes P in Normalform p die Koordinaten einer ortsfremden Ebene e ein, so ist p£ (§ 6) der Abstand des Punktes P von der Ebene г; ist die Gleichung von P in allgemeiner

51

Form U gegeben, so ist —der Abstand des Punkts,

wo

das Zeichen von /л nach der Regel in § 7 bestimmt wird. Legt man durch irgend einen Punkt P₃, z. B.

ШШШ'

SS

Fig. 10.

zwischen und P₂ irgend eine Ebene, und fällt auf sie von Рх und P₂ die Lote, so sind diese рх und p₂, und die Fig. 10 zeigt, daß:

Pi : Pi = P1P3 : рзР2 = À oder px — р₂Я = 0

für alle Ebenen durch P₃ und nur für diese, wo l das TeilungsVerhältnis von PxP₂ durch P₃ ist. Liegt P₃

4*

innerhalb, so sind die Lote von entgegengesetzten Zeichen, леей und P₂ an verschiedenen Seiten der Ebene durch P₃ liegen, aber auch die Strecken Px P₃ und P₂ P sehen wir als entgegengesetzt an; liegt P₃ außerhalb, so ist das Verhältnis der Lote, wie der Strecken РХР3 und P₂P₃ positiv; es ist also die Gleichung des Punkts P₃, der auf РХР₂ liegt und sie im Verhältnis Я teilt:

5) U₃ = Pi — Яр₂ = 0.

Sind Px und P₂ in allgemeiner Form ux und u2 gegeben, so sind zwar die Lote щ/ju; щ/ju, aber ihr Verhältnis ist щ/щ und wieder gleich dem Teilungsverhältnis Я, somit ist u₃ = \\±—Яи₂. Durchläuft Я alle möglichen Werte, so bekommen wir alle Punkte auf der Geraden PiP₂; wir nennen diese Punkte: Punktreihe, die Größe Я den Parameter, die Gerade den Träger der Punktreihe. Ist Я = — 1, so ist P₃ die Mitte von Рх P₂ ; ist Я = -f 1, so ist P₃ die Mitte der unendlichen Strecke Px P₂, d. h. liegt im Unendlichen. Nach Definition harmonischer Punkte sind px, p₂; px — Яр₂; Р1 + Яр₂ die Gleichungen vier harmonischer Punkte, oder in allgemeiner Form

u₂; ux — лп₂; + Яи₂.

Zwei Pirnkte, ihre Mitten im Endlichen imd Unendlichen, bilden also ein spezielles harmonisches System, entsprechend dem System zweier Ebenen imd ihrer Halbierungsebenen; durch Vermittlung des unendlich fernen Elements entsprechen sich also auch metrische Relationen dual. Da die Gleichungen des Punktes, der Pimkte einer Reihe, der harmonischen Punkte in Ebenenkoordinaten mit denen der Ebene, der Ebenen eines Büschels, der harmonischen Ebenen in Punkt-

§ 13. Drehung-.

53

Koordinaten völlig übereinstimmen, so bleiben alle Folgerungen bestehen und wir erhalten die betreffenden Sätze durch Vertauschung von Punkt und Ebene, worin eben das Dualitätsprinzip Hegt.

III. Abschnitt.

Die Koordinatentransformation.

§ 13. Drehung.

Schon in § 5 haben wir die Parallelverschiebung des Koordinaten-Systems benutzt und gesehen, daß, wenn xyz (Fig.4) die ursprünglichen, frçf die neuen Koordinaten desselben Punktes P bezeichnen und x₀ ... die alten Koordinaten des neuen Anfangspunkts,

1)    f = X — x₀ ; rj — y.— y₀ ... und umgekehrt

X = | + x₀ ...

so hat man zunächst das

Läßt man den Anfangspunkt fest, ändert aber die Richtungen der Achsen beliebig, doch so, daß das neue Koordinatensystem rechtwinklig bleibt, und nennt f rj £ die neuen Koordinaten, xyz die alten, und bezeichnet die Kosinus der Winkel, welche die Achse mit den alten Achsen macht, mit ßx y₁, die der iy-Achse a₂ ... und die der f-Achse    . .

Gdeichungssystem

²)    «i²+A²+7₁² = 1 ; und 2a) a₁a₂+ß,ß₂ + y₁y₂= 0

ö2²+A>² + 72² = 1 i «з²+&²+гз² = 1;

«2«3+^3 + Г2ГЗ = ° аза1+^з^1 + ГзУ1 ⁼ 0

Das System 2a) drückt aus (§ 4, 6), daß auch die neuen Achsen aufeinander senkrecht stehen. Da die

alten Achsen mit den neuen die Winkel a± a₂ a₃, ß₁ .., yt.. bilden, so hat das System 2) zur Folge das System

3)    ax² + a₂ ²+a₃ ²= 1 etc. 3&) a₁ß₁ + a₂ß₂ + ya3S = Q... Die Normalgleichung der £ £ - Ebene ist in alten Ko-

ordinaten

a₃x + /S₂y + y₂z = 0.

Setzt man die Koordinaten des beliebigen Punktes P darin ein, so ist sein Abstand durch die linke Seite in alten Koordinaten ausgedrückt, während er in neuen gleich r\ ist; somit haben wir die Transformationsgleichungen

ES N N

4)    £ = a₁x + ß₁y+y₁

V = «2 X + ß% У + У2

C = asx + /$₃y+7₃

Genau in derselben Weise erhalten wir ohne Kechnung

5)    x = ax f + a₂ rj + as £...

Das System 5) kann auch aus 4) abgeleitet werden dadurch, daß wir die Gleichungen 4) der Reihe nach mit a± a₂ a₃, dann mit ß₁ ß₂ ß₃ multiplizieren und addieren, und die Formeln 3a) an wenden. Eine beliebige Verlegung kann aus einer Parallel Verschiebung und Richtungsänderung zusammengesetzt werden; man sieht, daß dann die Gleichung 5) sich nur dadurch ändert, daß rechts die Konstanten x₀ . . . hinzukommen, d. h. die Koordinaten des neuen Anfangspunkts im alten System.

Da die Gleichungen 5) und 4) linear sind, so sieht man, daß durch eine Koordinatentransformation der Grad einer Fläche F { f (x у z) = 0 nicht geändert wird, und man kann jetzt auch zeigen, daß, wenn f(xyz) algebraisch und vom n. Grade, die Fläche Fn von keiner

Geraden in mehr als n Punkten geschnitten wird. Sei f in X vom Grade n und in keiner Koordinate von höherem Grade, so wird die Fläche Fn von der x-Achse (für die in f(xyz) = 0z und y = Null zu setzen sind) in höchstens n, und wenn man zusammenfallende und imaginäre Lösungen zählt wie in der Algebra, so wird F von der x-Achse genau in n Punkten geschnitten. Ist g eine beliebige Gerade, so kann man die Koordinaten so transformieren, daß die Gerade g zur f-Achse wird, der Grad von f (£rjÇ) wird durch die Transformation nicht geändert, und so wird F { f (f rj C) == 0 von g in n Punkten geschnitten, womit der Satz bewiesen ist. Hat eine Gerade mit einer Fläche Fn mehr als n Punkte gemeinsam, so müssen in Fn bei der Transformation auf die Gerade als f-Achse alle Koeffizienten verschwinden, die Gleichung der Fläche FD wird dann von jedem f erfüllt, die Gerade g, heißt dies, liegt ganz auf der Fläche.

Man unterscheidet bei Beibehaltung des Nullpunktes zwei Arten von Transformationen; entweder kann das neue System durch Drehung des alten erhalten werden oder nicht. Läßt man nämlich das Achsensystem unverändert, vertauscht aber die positive xmd negative Richtung auf allen drei Achsen, so kann das alte System mit dem neuen nicht zur Deckung gebracht werden, die Systeme sind nicht kongruent, sondern symmetrisch, wie auf der Kugel ein sph. Dreieck imd das Dreieck seiner Gegenpunkte. Zu jedem Achsensystem, mit dem man das alte durch Drehung zur Deckung bringen kann, gehört also immer eins, für das dies nicht geht.

Die Formeln 4) müssen bei beliebiger Transformation durch Zusetzen der Konstanten f₀ . . . erweitert werden, welches die neuen Koordinaten des alten Anfangspunkts sind. Ist die Gleichung einer Ebene e im alten System

ax-|-by4-cz-fd = 0,

und im neuen

a'f + b'^ + e'C + d'+O,

so ergibt sich durch Benutzung von 4) und Identifizierung der beiden Gleichungen von e

6) a = ct^ Sif -{- öl 2 br -j- otg (j j b = dü -f- b ßg c 5 ⁰ = 7i a/ + • • • ; d = f о a' + 7j₀ b' + £₀ G' + d'.

Wenn man sich also auf Drehung beschränkt, ist die Transformation der Ebenenkoordinaten völlig konform der Transformation der Punktkoordinaten.

Man sieht, der Grad der Gleichung

cp (a ß y ô) == 0

g auf der Fläche liegt, wieder aus-

wo

(wenn wir jetzt wieder die Ebenenkoordinaten wie sonst bezeichnen, statt wie eben mit a, b, c, d) wird durch Transformation der Koordinaten nicht geändert, und man beweist, wie oben für Fn, daß eine 99¹¹, d. h. eine Fläche n. Klasse die entsprechende Eigenschaft hat: Durch jede Gerade g gehen höchstens n Ebenen der Fläche, d. h. n-Ebenen, welche die Fläche berühren oder die zur Schar qpn(a ß y ö) = 0 gehören ; den Fall, genommen.

IV. Abschnitt.

Die Kugel.

§ 14. Die Gleichung¹ der Kugel. Potenzsatz.

Die Kugel wird definiert als Ort der Punkte, welche von einem gegebenen Punkt M { a, b, c die gegebene Entfernung r haben; dann ist

1) К = (x — a)² + (y — b)² + (z — c)² — r² = 0

die Gleichung der Kugel in Punktkoordinaten. Setzt man in К die Koordinaten eines ortsfremden Punktes P, so ist Kp = MP² — г² (T. 1, S. 58). Zieht man durch P { x₀ . . . eine Gerade g, welche die Richtungskosinus a ß у hat, so sind ihre Gleichungen nach § 5, 7a) x = x₀ -f 2a, . . ., wo X die Entfernung des laufenden Punktes von P bezeichnet. Die Schnittpunkte dieser Geraden g mit der Kugel К erhält man, wenn man diese Werte in K = 0 einsetzt. Wir haben also, wie in § 11, in K = K(xyz) für x, y, z zu setzen x₀ + h; Уо + к; z₀+l.

Da diese Aufgabe häufig wieder kehrt, wollen wir sie allgemein erledigen. Es sei f (x у z) eine Form 2. Grades; sie besteht aus Gliedern 2. Grades, 1. Grades - und einer Konstanten. Wir machen f(xy z) homogen, indem wir eine Hilfsvariable x₄ einführen, und setzen x = x₁/x₄ ; у = x₂/x₄ ; z = x₃/x₄. Setzt man x₄ = 1, so sind x₄ etc. mit xyz identisch. Nach Multiplikation mit x₄² ist dann x₄²f (xyz) = a₁₁x₁²-)-2a₁₂x₁ x₂

+ 2a₁₃x₁x₃ + 2a₁₄ xxx₄ + a₂ ₂ x₂² + 2 a₂ ₃ x₂ x3 + 2 a₂ ₄ x₂ x₄ + a₃ ₃ x₃² + 2 a₃ ₄ x₃ x₄ + a₄ ₄ x₄²

oder

kürzer: f (xy z){^ait XjXk, wo die Indices i und к der Reihe nach die Werte 1 bis 4 durchlaufen und ai к = ak i ist.

Setzt man in f ( x₄ . . .) für xj ein щ -f- Ц und ordnet nach Potenzen der f, so ist

f (xi + ft)⁼⁼ А + 2 fi Bi Ą-2 ej k fi fk •

Sind alle f = 0, so ergibt sich A = f (xj) ; sind alle x — 0, so ergibt sich 2 q k £    = f (fj), also

cik =aik*

Ist fi = Xi, so ist f(xi + |i) = f(2xi) = 4f(xi), somit

2) xi Bi + x₂ R, + x₃ B₃ + x₄ B₄ = 2 x; Bj = 2 f (x;)

und

Bi = 2 (xx ą ! + X, ą ₂ + x₃ Ej з + X₄ ą ₄ ) = 2 2 xk а; k,

wo i fest und к variiert von 1 bis 4 ; d. h. man erhält ¹/₂ Bi, wenn man Xj in der homogenen Form vor die Klammer nimmt, als zugehörigen Faktor. Es ist praktisch Bj zu bezeichnen als f xj, also

Das Resultat unserer Einsetzung erhalten wir, wenn wir xx = x₀, x₂ = y₀, z₃ = z₀, x₄ = 1 und |₄ = 0 setzen; somit

За) К (x₀ -f Я а ; ...) = К (x₀ . . .) + 2 X{a (x₀ — a) + ß (Уо — b) + У (zo — с) ) + Я² (et² + ß² + f) = 0. Der Faktor von л² ist 1, und nach den Sätzen über

die Wurzeln einer quadratischen Gleichung (Schubert, Arithmetik, S. 111):

Ag = K(x₀ ...) = PQ • PR = MP² — r²

— (MP + r) (MP — r),

d. h. der Potenzsatz (T. 1, S. 58) gilt auch für die Kugel:

Das Produkt der Abschnitte aller Kugelsehnen durch denselben Punkt ist konstant.

Setzt man in die Gleichung der Kugel in Form 1) die Koordinaten eines ortsfremden Punktes, so erhält man die Potenz der Kugel in diesem Punkte.

Die Gleichung der Kugel ist quadratisch, die Kugel gehört also zu den Flächen zweiten Grades, den Quadrics (nach dem Vorgang Reyes mit F² bezeichnet), aber nicht jede Form 2. Grades stellt eine Kugel dar. Es ist nötig, daß die Form sich mit 1 identifizieren lasse, also darf sie nur die Gestalt haben:

c (x² + y² + z²) — 2q X — 2 c₂ y — 2 c₃ z + c₄ = 0,

und da c^AOsein muß, so kann man auch c = 1 setzen. Vergleicht man diese Form mit 1), so sieht man, daß ci C2 сз (bezw. c₄ / c . . .) die Koordinaten des Zentrums und c₄ = a² -j- b² -f- c² — r², d. h. О M² — r², d. h. die Potenz des Nullpunkts (bezw. c₄ / c).

§ 15. Tangentialebene, Polarebene.

Die Gleichung 3a) zeigt, daß jede Gerade die Kugel höchstens in 2 Punkten schneidet; liegt der Punkt P { x₀ . . . auf der Kugel, so ist К (x₀ . . .) = 0, eine Wurzel von 3a) ist 0, was evident, da PP = 0 ist; wenn aber auch noch der Koeffizient von 1 verschwindet, so sind beide Wurzeln Null, und die Gerade hat nur P mit der Kugel gemeinsam, auch der zweite Schnittpunkt fällt auf P, die Gerade ist eine Tangente. Da in der Gleichung: a(x₀—a) + .... = 0 das Zeichen a durch x—x₀ ersetzt werden kann, wenn X einem beliebigen Punkt der Geraden angehört, und entsprechend ß durch y—y₀; y durch z — z₀ (§ 5), so genügen die sämtlichen Punkte aller Tangenten in P der Gleichung

⁴)    (x — xo) (Xo—a) + (y — Уо) (Уо— b) + (z ■— Z₀)

(zo— c) = 0,

welche infolge von 1, nachdem man (x—x₀) durch x—a — (xq—a) ersetzt hat, übergeht in

5)    (x—a) (x₀—a) + (y—b) (y₀—b) + (z — c) (z₀—e)

— r² = 0.

Dies ist die Gleichung einer Ebene, die sämtlichen Tangenten erfüllen also eine Ebene, die Tangentialebene, deren Gleichung ganz analog gebildet wird, wie die der Tangente des Kreises T. 1, S. 62.

Ist a) u x₀ -f- V y₀ -f- w z₀—1 die Gleichung eines Punktes P{x₀.... auf der Kugel, so sind u, v, w die Koordinaten seiner Tangentialebene, wenn

и = Я(х₀—a); v = Я(y₀—b)-----,

луо A durch a) bestimmt wird. Es ist

au + bv + слу—1 = — r²A,

somit A² = r~⁴N², wenn К=.аи-[-Ьу = слу — 1.

Es ist u² -f- у ² + w² == A² r² = N² r² : r⁴ oder

6)    (au + bv + cw — l)² = r² (u² + у² + w²).

Dies ist die uns schon bekannte Gleichung der Kugel in Ebenenkoordinaten, welche ausdrückt, daß die Tangentialebene vom Zentrum den Abstand des Kugelradius hat; sie ist wieder der betreffenden Kreisgleichung ganz analog.

Die Kugel ist also eine Fläche zweiter

Klasse.

Ist die Tangentialebene u, v, w gegeben, so erhält man für den Berührungspunkt

r² u

7) x₀ —a = -

Sei P { u xx + y j± + w z₁ — 1 = 0 ein beliebiger Punkt P{x₁.... und u, v, w irgend eine durch ihn gehende Tangentialebene der Kugel, x... ihr Berührungspunkt. Da zwischen den Größen u, v, w zwei Gleichungen bestehen, die des Punktes und die der Kugel — 6), so gibt es eine einfach unendliche Schar von Tangentialebenen der Kugeln durch den Punkt P und somit eine einfach unendliche Schar von Berührungspunkten. Wir haben für die Berührungspunkte:

Я [x± (x — a) +...] — 1 = 0 Я[х (x—a) + ...] — 1 = 0,

also durch Subtraktion

(x —a) (Xi — x) + ...= 0

(x — а) (хх—а—(x — a)) +... — 0

(x—a) (xx—a) — (x — a)² + ..., und da x . . auf der Kugel,

8) (Xi—a) (x — a) + (yt — b) (y ■— b) + (zx—c) (z — c)

—r² = 0,

d. h. aber: Alle Berührungspunkte liegen in einer Ebene, und da sie zugleich auf der Kugel liegen, so liegen sie auf einem Kreise. Die Ebene 8 hat wieder genau dieselbe Gleichung wie die Tangentialebene (T. 1, S. 62), nur daß an Stelle des Berührungspunktes der feste Punkt getreten ist; wir nennen sie die Chordale oder die (harmonische) Polare des Poles P; ihre Richtungskosinus sind proportional (xL—a)..., also steht sie auf MP senkrecht. Ist P₁=M, so ist 8): —r² = 0, d. h. die Polarebene des Mittelpunkts ist die unendlich ferne Ebene. Die Polarebene ist stets reell, gleichgültig, ob die Tangentialebenen durch P reell sind oder nicht, d. h. ob die Gleichung yon P und die der Kugel in Ebenenkoordinaten vereinbar sind oder nicht. Die Bedingung der Realität ergibt sich, wenn man 6) in die Form bringt : au + bv-f cw — 1 = r jj,, wo

^ = Уи² +v²4-w²;

subtrahiert man dann die beiden Gleichungen 6) und die von P, so erhält man

(Xi— a) u + (yx — b) V + (Zj—c) w = r jw,

und wenn man durch /x dividiert,

(xx — a) cos а + (yx— b) cos ß + (z₁— c) cos у = r,

wo a ßy die Richtungswinkel der Ebene u, v, w sind ; dividiert man durch MP oder d, so sind (xx—-a)/d... die Richtungskosinus der Geraden MP, also ist die linke Seite der Kosinus des Winkels zweier Geraden und muß als solcher < 1 sein; d. h. aber d^>r, wie bekannt.

Die Polar ebenen aller von M um d entfernten Pole sind Tangentialebenen an die Kugel um M mit Radius r² : d.

Die Gleichung 8) ist symmetrisch in Bezug auf xx . . und X . ..; daraus folgt, daß die Polarebene von X . . . durch x± . . . geht, d. h.: Bewegt sich ein Punkt auf einer Ebene, so dreht sich seine Polarebene um den Pol jener Ebene, und umgekehrt :

Dreht sich eine Ebene um einen festen

Punkt, so bewegt sich ihr Pol auf der Polarebene jenes Punkts.

Ist die gegebene Ebene in Achsenkoordinaten u v w gegeben, so findet man durch dieselbe Rechnung, welche die Koordinaten des Berührungspunkts gab, genau dieselben Ausdrücke für die des Pols:

u r²

xp a= —......,

wo N wieder au-j-bv + cw — 1 bezeichnet. Aus der vorstehenden Gleichung folgt sofort: Die Gerade, welche Pol und Zentrum verbindet, steht auf der Polarebene senkrecht.

Die Ausdrücke zeigen, daß, wenn Ebenen durch eine Gerade gehen, auch ihre Pole auf einer Geraden liegen, und v. v. Sei die erste Gerade bestimmt durch zwei ihrer Ebenen e± { \\ ... und e₂ { u₂..., deren Pole F₁ { x₁... und P₂ { x₂..., sei e₃ { u₃... eine dritte Ebene des Büschels und P₃ { x₃.. ihr Pol, so ist

.. imd

%— Au₂

хз —

Ns

- (U1 - ^ U₂) r2 .

N i—Ж₂

setzt man für — щ r² ein : (x₁ — a) und für— u₂ r2 ebenso (x₂—a) N₂, so erhält man

X3

xi Ni — x₂ N₂ Я

oder x₃ =

Xl~ /*X2

1 — fi

WO fl

Ni ’

also: Bilden die Polar-Ebenen ein Büschel, so bilden die Pole eine Punktreihe und v. v.

Die Geraden, welche Träger des Büschels und der Beihe sind, kann man konjugierte nennen, da sie sich dual entsprechen. Es läßt sich leicht zeigen, daß, wenn sich ein Paar konjugierter Geraden schneidet, ihr Schnitt auf der Kugel liegt und die Geraden Tangenten sind, ferner daß jedes Paar einen rechten Winkel bestimmt. Wenn Я das Zeichen wechselt, so wechselt es auch ju und v. у., d. h.: Bilden die Ebenen ein harmonisches System, so bilden es die Pole desgleichen und v. v.

§ 16. Kugel und Kugel, Kugelkomplex, Kugelschar.

Seien Kx = 0 und K₂ — 0 die Gleichungen zweier Kugeln, ihre Kombination liefert die Schnittlinie. Das System К-l = 0 ; K₂ = 0 ist { dem System Kt + K₂ = 0, Kx — K₂ = 0, die letztere Fläche ist aber eine Ebene ; somit ist die Schnittkurve zweier Kugeln ein Kreis, der sich auf einen Punkt reduzieren kann und auch imaginär werden kann.

Wenn X . . . über jedes Maß groß werden, reduziert sich die Form К auf

9) X² -f- y² -j- z² — 0.

Diese Gleichung hat, wenn x y z als beliebig variabel betrachtet werden, nur eine reelle Lösung x = 0y = 0z = 0 und stellt also als reelle Fläche eine Punktkugel um den Nullpunkt dar. Läßt man aber, wie in der Algebra, auch imaginäre Lösungen zu und ordnet diesen eine eigene Gattung uneigentlicher Raumpunkte, die imaginären, zu, und ist P {x, y, z ein solcher, so ist Ях, Я у, Яг ebenfalls eine Lösung, d. h. die ganze Gerade OP liegt auf der Fläche, sie stellt daher einen imaginären Kegel — Kugelkegel — dar, dessen (reeller) Scheitel der Nullpunkt ist. Die Gleichung der Kugel läßt sich schreiben

x¹ 2 3 4-hy¹ + z¹ — 2ax — 2bx — 2cx + (a¹ + b¹ + c¹ — r¹);

a¹ + b¹ -f c¹ — r¹ ist die Potenz p des Nullpunkts in Bezug auf die Kugel. Aus der Form 9) ist das Zentrum der Kugel verschwunden, alle Kugeln verschmelzen also im Unendlichen mit dem imaginären Kugelkegel, dessen Schnitt mit der unendlich fernen Ebene Konstans = 0, dem Ort der unendlich fernen Punkte ein imaginärer Kreis ist; man kann also sagen: Alle Kugeln gehen durch denselben imaginären Kreis im Unendlichen.

Die Form K=x¹+y¹-|-z¹—2ax—2 by— 2cz-(-p = 0 hat vor der früheren manche Vorzüge, und a b c p sind ebensogut Koordinaten der Kugel, wie a, b, c, r. Zunächst soll der Winkel bestimmt werden, unter dem sich zwei Kugeln К und schneiden. Man hat:

Insbesondere ist die Bedingung dafür, daß zwei Kugeln sich rechtwinklig (normal, orthogonal) durch-schneiden (cos cp — 0) :

10) a^ + bbj+cq — l(p + p₁) = 0.

Diese Formel kann man auch direkt ableiten durch die Bemerkung, daß in diesem Falle die Potenz des Zentrums M₄ in Bezug auf die Kugel К gleich rx², d. h.

ai² + ^i² + ci² — 2 aa₄— 2bb₄— 2 cc₄ -)-p = a₁²+b₁²

+ Ci²-Pi,

woraus 10) unmittelbar folgt.

Denken wir uns in 10) a; b; c: p; fest, a4 variabel, so stellt 10) alle oo³ Kugeln dar, welche die gegebene Kugel К { а.... p normal schneiden; sie bilden, da ihre Koordinaten durch eine lineare Gleichung gebunden sind, einen linearen Komplex. Sei:

11) d₄ a₄ + d₂ b₄ + d, c₄ + d₄ p₄ d₅ = 0

irgend eine lineare Gleichung zwischen den variablen Koordinaten einer Kugel, so kann man sie auf die Form 10) bringen, indem man setzt:

2 d₄

d₂

d₃

*5

; p = + —-, also :

2 d₄

Der lineare Kugelkomplex (Q) besitzt stets eine Kugel, welche alle Kugeln des ü normal schneidet; sie heißt die Hauptkugel (Normal-, Orthogonalkugel) des Komplexes.

Ist d₄ = 0, so geht die Hauptkugel in eine Ebene (Plankugel) über. Die Form 11) ist { der Form 10) und diese vereinfacht sich, wenn man den Nullpunkt in das Zentrum der Hauptkugel legt, und geht dann über in

2 d₄’

2 d₄

1 la) Pi = — p = Konstans, also :

Der lineare Kugel-Komplex ist die Gesamtheit aller Kugeln, welche in einem Punkt dieselbe Potenz haben.

Die konstante Potenz p (wo p jetzt für — p ein-tritt) ist gleich dem Quadrat des Radius q der Hauptkugel; ihr Zentrum hat in Bezug auf sie selbst die Potenz —q² oder —p; sie gehört also nicht zum ß, außer wenn q bezw. — p = 0, d. h. wenn sie zur Punktkugel wird ; dann besteht der Komplex aus den oo³-Kugeln, welche durch О gehen.

Ist p d. i. q² negativ, so wird die Orthogonalkugel imaginär, ihr Zentrum, der Kern des Komplexes, liegt innerhalb jeder Kugel; im entgegengesetzten Fall liegt der Kern außerhalb aller Kugeln.

Zum Komplex gehören Punktkugeln, d. h. Kugeln, deren Radius r gleich Niül ist; ihre Zentren genügen also der Gleichung

V + V + Ci² — p — a^-f bl² + c₁ —q² = 0.

In Worten:

Die Punktkugeln des Komplexes bestehen aus den Punkten der Normalkugel.

Die Ebenen des Komplexes erhalten wir, wenn wir die Koordinaten der Kugel in der Form

*4 o;

denken und nach. Multiplikation mit d diese Zahl gleich Null setzen; dann rückt der Mittelpunkt ins Unendliche und der Radius wird auch unendlich. Für diese

Ebenen, die Plankugeln des Komplexes, gelten dann die Gleichungen

— 2a'x — 2 b' y — 2 c' z -f p' = 0, und da

Il = P = Q², d- h. p' = 0,

so haben wir für sie

2a'x+2b'y-f 2c'z = 0

als Gleichung der oc²-fachen Ebenen oder Plankugeln des Komplexes. Die Gleichung wird durch О { 0 . . . für jedes Wertsystem a' . . erfüllt, d. h. also:

Alle Plankugeln des Komplexes schneiden sich im Kern.

Seien Kt { ax b± cx p und K₂ { a₂ b₂ c₂ p zwei Kugeln des Komplexes, so hat die Ebene ihres Schnittkreises die Gleichung

Ki — K₂ = 2 (ax — a₂) x + 2    — b₂) у + 2 (c± — c₂) z = 0,

sie geht also durch den Nullpunkt, d. h. den Kern des Komplexes. Allgemein, wenn K± = 0 und K₂ == 0 die Gleichungen zweier beliebiger Kugeln sind, ist Kp—K₂ = 0 die Gleichung ihrer Schnitt ebene, sie sagt nach § 14 aus, daß jeder ihrer Punkte in Bezug auf beide gleiche Potenz hat ; umgekehrt, hat ein Punkt P gleiche Potenz, so ist Kx = K₂, d. h. Kl—K₂ = 0. Die Schnittebene ist also der Ort der Punkte, welche in Bezug auf beide Kugeln gleiche Potenz haben, sie ist zugleich: Potenzebene. Sie ist als Potenz-ebene stets reell, gleichviel, ob der Schnittkreis reell, auf einen Punkt zusammenschrumpft, oder imaginär ist; jeder ihrer Punkte kann zum Kern eines Komplexes gemacht werden, dem beide Kugeln angehören. Ist

K₄ — K₂ = c, so ist dies die Gleichung einer Ebene, ■welche der Potenzebene parallel ist, also:

Verschiebt man die Potenzebene parallel, so erleidet die Differenz der Potenzen für alle Punkte die gleiche Änderung. Die Potenzebene steht auf der Zentrale (Achse) der Kugeln senkrecht und teilt sie so, daß die Differenz der Quadrate der Abschnitte gleich der Differenz der Quadrate der Radien ist. Sind Kt ; K₂; K₃ drei Kugeln, so sind K₄—K₂; K₂—K₃; K₃ — Kx die Formen ihrer Potenzebenen, und da identisch

(Ki - K₂) + (K₃ - K₈) + (K₃ - Kr) = 0,

so gehören die drei Potenzebenen dreier Kugeln zur selben Schar, oder:

Die drei Potenzebenen von drei Kugeln schneiden sich in einer Geraden, der Potenzachse.

Daraus folgt:

Die vier Potenzachsen von vier Kugeln schneiden sich in einem Punkt, dem Potenzpunkt.

K₃ =

; dann ist

Die Sätze erleiden eine Ausnahme, wenn

К₄—К₂Я

1—я

К₃ — К* = Я (Kj — К₂),

d. h. die drei Potenzebenen fallen in eine Ebene zusammen, also wenn

K₃=K₁—K₂ A = 0,

schneiden sich die drei Kugeln im selben Kreise, sie gehören zu einer Schar, Я heißt der Parameter der Schar; ist K₄ = KX — K₂ Я' und Я + Я' = 0, so bilden die vier Mittelpunkte ein harmonisches Punktsystem und man sagt, die vier Kugeln bilden ein harmonisches Kugelbüschel.

Seien jetzt K₄ und K₂ zwei Kugeln des Komplexes, M₄ und M₂ ihre Zentren; bei der völligen Willkür von a' b' c' einerseits und a₄ — a₂ andererseits ist es erlaubt, n' = /i(a₁ — a₂) . . . zu setzen. Seien K₃ und K4 zwei andere Kugeln, deren Zentren auf M₄ M₂ liegen, so ist

a₄ a₂ 1

.. a₄

a₄ a₂ A

1 — À' ’

.. und es wird

a₃ a₄ —

I — l'

(1—Я)(1-А0

(a₄ — a₂) = ju (a₄ — a₂ j — v a'.

Also:

Alle Kugeln des Komplexes, deren Zentren in einer Geraden, schneiden sich im selben Kreis, bilden eine Schar. Jede Plankugel kann als Potenzebene je zweier Kugeln angesehen werden, deren Zentrale auf ihr senkrecht steht. Die oo³-fache Menge der Kugeln des Komplexes schneidet sich in der oo²-fachen Menge seiner Plankugeln.

Seien K₄ • K₂ • K₃ drei Kugeln des Komplexes, welche nicht zur selben Schar gehören. Das System

K₁ = 0, K₂ = 0, K₃ = 0

ist { dem System

Kl — 0, K₂ K₃ — 0, K₃ K₄ — 0,

d. h. also:

Drei Kugeln, welche nicht zu einer Schar gehören, schneiden sich in zwei Punkten, welche auch zusammenfallen und auch imaginär werden können.

G-ehören die drei Kugeln zum Komplex, so geht die Schnittgerade der beiden Ebenen des Systems als Potenzachse durch den Kern; also:

Drei Kugeln des Komplexes, welche nicht zur selben Schar gehören, schneiden sich in einem Punktpaar, das mit dem Kern in einer Geraden liegt.

Sei AB ein solches Paar, so ist nach dem Potenzsatz OA‘OB = p = £>², wo q der Radius der Hauptkugel; schneidet AB diese Kugel in und H₂, so werden A und В durch und H₂ harmonisch getrennt. Auf jedem Strahl, der von О ausgeht, jedem Kernstrahl gibt es zu jedem Punkt A einen entsprechenden Punkt B, so daß OAOB = @². Ist А { X ..., und В { Xjl ..., so ist xt = OB cos a, wenn a der betreffende Richtungswinkel von O A ist, also

OBx xp

"ÖX^ÖÄ²*’’

und ebenso umgekehrt

T__xiP ⁻    OB²“*

Jede Komplexkugel, welche durch A geht, geht durch В u. V. V. ; denn wenn K { a, b, с, р die Kugel durch A und OA = r, OB = r₁, so ist

x-L²p²

— 2a^-5... -fp = 0, oder

ri²

ï(V+yi²+V) + --.

= 0, da aber

xiw + yi² + zi² = i,i²? so ist

ri

•. + p = 0,

oder durch p dividiert und mit i\² multipliziert und umgekehrt geschrieben :

V + У1² +    ² 2ax₁ — 2ЬУ1 — 2cZl + p = 0.

zu ver-

Die Punkte auf dem Strahl OA bilden eine involutorisehe Punktreihe oder kurz eine Involution, und zwar sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem g² positiv oder negativ ist. Im ersteren Falle ist p und damit die Hauptkugel reell; sie schneidet AB zwischen A und В und in der Verlängerung, die Punkte Hx und H₂ sind reell, sie heißen die Hauptpunkte der Involution, und die Involution selbst hyperbolisch. Ist p² negativ, so ist die Hauptkugel und damit Hj und H₂ imaginär, die Punkte A und В liegen schiedenen Seiten von 0, die Involution ist elliptisch. Ist die Hauptkugel reell, so schneiden sich zwei Komplexkugeln, deren Zentren auf einem Kernstrahl liegen, nicht; dann kann man wie in T. 1, S. 68 Kugeln konstruieren, welche denselben imaginären Schnittkreis haben; und dann schlägt man um jeden Punkt P die Komplexkugel, indem man von P an die Hauptkugel die Tangente zieht; im Innern der Hauptkugeln liegen dann keine (reellen) Zentren.

Ist die Hauptkugel imaginär, oder p =— p², so tritt an ihre Stelle als Vize-(Haupt-) Kugel die Kugel um den Kern 0 mit Radius p; sie gehört selbst zum

Komplex und wird daher von allen Kugeln des Komplexes in einem größten Kreis (Kugelgerade) geschnitten. Man schlägt dann um P die Komplexkugel, indem man auf PO einen senkrechten Radius der Yizekugel zieht und sein Ende mit P verbindet; hier ist jeder Punkt Zentrum einer (reellen) Komplexkugel.

§ 17. Die Inversion.

Man kann auf die Zuordnung der Punkte A und В durch die Relation OA • OB = p = p² eine geometrische Verwandtschaft, d. h. Zuordnung von Figuren gründen, welche von großer praktischer Bedeutung geworden ist. A und В heißen dann ein Paar inverser Punkte (T. 1, § 35); es ist zweckmäßig, das Punktpaar mit AAX etc. zu bezeichnen. Dann ist unmittelbar klar, daß, wenn p positiv, die Inversion: äußere, die Hauptkugel, die jetzt Inversator heißt, sich selbst in der Weise entspricht, daß jeder Punkt mit seinem entsprechenden zusammenfällt; ist p negativ, die Inversion: innere, so wird die Vizekugel zum Inversator, auch sie entspricht sich selbst, aber so, daß jeder Punkt seinem entsprechenden diametral gegenüber liegt. Jede Kugel des ü entspricht sich ebenfalls selbst, wie auch jeder Kreis, in dem sich zwei Kugeln des ü (also alle auf ihrer Zentrale) schneiden, sich selbst entspricht.

Sei К { а ... л eine beliebige Kugel, P { x... einer ihrer Punkte, dann ist nach dem vorigen § Pl{Xi..., wo

xi

^ (OP sei r; OP₁=r₁) und

OP²

x — —also geht К über in

ri

Xi²p²

ri⁴

■f ... — 2 a —... + я: == 0, oder in

ri²

ri² — 2ax± —

71

— =0, d. h.

TT

S. 1) Die inverse Fläche einer Kugel К ist wieder eine Kugel K',

Die Koordinaten von K' sind also

die Zentren M und M' liegen mit dem Kern daher (Proportionalität der Richtungsfaktoren von OM und OM') in einer Geraden, sie sind nicht inverse Punkte, aber da

OM'

a'

ß' _ / _ p

OM

71

so ist, wenn wir die Radien der Kugeln R und R' nennen :

R'

d. h.

OM'

! OM

S. 2) Der Kern (T. 1 Zentrum) der Inversion ist Ähnlichkeitspunkt für je zwei inverse Kugeln.

(Äußerer, wenn p und n gleiches Zeichen, innerer, wenn sie entgegengesetztes Zeichen haben.)

Ist TT = 0, d. h. geht die Kugel К durch 0, so rücken Zentrum und Radius von K' ins Unendliche, d. h. K' wird zur Ebene.

S. 3) Die inverse Fläche einer Kugel durch den Kern ist eine Plarikugel.

Die Gleichung dieser Ebene ist

«Xi + ßji + 74 — y = °>

d. h. ihre Richtungsfaktoren sind denen des Strahles OM proportional, also:

S. 4) Die einer Kugel durch den Kern, Kernkugel, inverse Plankugel ist parallel der Tangentialebene der Kernkugel im Kern.

«4'p

2R² “

. d. h.

Der Fußpunkt ¥₁ des vom Kern О auf die Plankugel gefällten Lotes ist

S. 5) Der Fußpunkt des vom Kern auf die Plankugel gefällten Lotes ist invers zum Schnittpunkt dieses Lotes mit der inversen Kugel.

Da die Inversion auf Gegenseitigkeit beruht (T. 1, S. 156), so gehört zu jeder Ebene oder Plankugel als inverse Fläche eine Kernkugel. Jedem Kreis (als Schnitt zweier Kugeln) entspricht wieder der Kreis, in welchem sich die inversen Kugeln schneiden. Jeder Geraden, als Schnitt zweier Ebenen, entspricht wieder ein Kreis als Schnitt zweier Kernkugeln, also ein Kreis durch 0, wie schon daraus folgt, daß 0 allen unendlich fernen Punkten und somit auch denen

der Geraden invers ist.

Sei w ein linearer Kugelkomplex, dessen Kern nicht 0 ist; seine konstituierende Gleichung sei (10) in der Form:

(10)

aa...

2 [n + k) — 0.

Es waren die Koordinaten der а.. .л inversen Kugel ax... л±, wo

«l

P    P²    i    n

= a —... щ = —, also а = ал —. л    л    p

P²

JTl

oder

tTI л

a ha

somit

аоо —

P

ас^р -f- • • • —

о” (P² -f kjTi) = О ; somit 2

0: in Worten:

>₃) vA + ...-i(₄ + ç)_

S. 6) Einem linearen Komplex entspricht invers wiederum ein linearer Komplex, und zwar sind die Hauptkugeln selbst entsprechende Kugeln, die Potenz der Inversion ist mittlere Proportionale zwischen den Potenzen der Komplexe (denn der Vergleich zwischen 10) und

Ol

S3

PT

■Pf

Wie man in der Ebene durch zwei Paare inverser Punkte, welche nicht in einer G-eraden liegen, einen Kreis legen konnte, der im Kern die Potenz der Inversion hat, so kami man im Raum durch drei Paar inverser Punkte, welche nicht auf einer Ebene liegen, eine Kugel legen, welche im Kern 0 die Potenz der Inversion hat; daher liegen zwei inverse Kreise (wenn sie nicht in einer Ebene liegen, in welchem Falle der Kern in dieser Ebene liegt) auf einer Kugel; die Inversionsstrahlen bilden einen (geraden oder schiefen) Kreiskegel und man hat den Satz:

S. 7) Ein Kreiskegel, welcher eine Kugel in einem Kreise schneidet, schneidet sie auch in einem zweiten Kreise.

Die auf S. 156, T. 1 gegebenen Sätze bleiben mit der für den Raum nötigen Erweiterung bestehen.

Wir sagen, daß zwei Flächen cp und F sich in Punkt P berühren, wenn sie in P eine gemeinsame Tangentialebene (§ 11) haben. Dieser Ebene e entspricht dann invers eine Kernkugel и, welche die inversen Flächen cpt und Fx in Px, dem inversen von P, berührt, wie aus der Eindeutigkeit und Gegenseitigkeit der inversen Beziehung sofort erhellt. Haben die zwei Flächen in P einen gemeinsamen Punkt, und sind e und e ihre Tangentialebenen in P, so entsprechen diesen zwei Kernkugeln durch P-L, deren Tangentialebenen in 0 den Ebenen e und e parallel sind (Satz 4). Die Tangentialebenen an die Kugeln in Px sind, wie eben bemerkt, zugleich die der Flächen cpx und Ft in Pl5 und da zwei Kugeln wegen der Kongruenz der Dreiecke aus den Radien und der Zentrale sich überall unter demselben Winkel schneiden, so schneiden sich auch die Flächen ąf und F' unter demselben Winkel wie die Flächen cp und F; wir haben somit den wichtigsten Satz der Inversion:

S. 8) Zwei beliebige Flächen oder Linien schneiden sich in jedem gemeinsamen Punkt unter demselben Winkel, wie ihre inversen Flächen im inversen Punkte.

Hieraus folgt sofort:

S. 9) Einem unendlich kleinen Tetraeder entspricht wieder ein unendlich kleines Tetraeder mit den gleichen Winkeln der Flächen und Kanten (denn im Dreikant bezw. sph. Dreieck bestimmen die Winkel die Seiten) oder:

Jedem unendlich kleinen Tetraeder entspricht invers ein kongruent- oder symmetrischähnliches.

Da, wenn der Hauptkreis reell, die inversen Punkte an derselben Seite des Kerns liegen imd stets, je näher der eine dem Kern, desto weiter der andere, so tritt Fall 2 bei positiver, Fall 1 bei negativer Potenz ein.

Die Inversion, auch Kreisverwandtschaft (Möbius) oder Transformation durch reziproke Radien (Liouville) genannt, ist daher eine winkeltreue oder konforme Abbildung des Raumes auf sich selbst, ja sie ist in gewissem Sinne die einzige; da die ähnliche Abbildung, das ist die Abbildung im veränderten Maßstab, durch zwei Inversionen desselben Punktes vom selben Kern aus ersetzt werden kann. Ist О А • OA₁ = p und О А • OBx = q, so ist

О А,

OBx q •

Die Ähnlichkeit ist äußere, wenn beide Potenzen gleiches Zeichen haben, sonst innere.

Yon der Inversion macht man Anwendung in der Theorie der höheren Kurven (vgl. T. 1 Cissoide und Lemniskate) und Flächen, z. B. der Dupinsehen Cykloiden, in der Potentialtheorie, in der Maschinenbaukunst zur wirklichen Geradführung und in der Kartenzeichnung bei der sogen, „stereographischen“ Projektion. Nimmt man О auf der Erdkugel an und projiziert sie durch einen von О ausgehenden Strahlenkegel auf eine Ebene e parallel der Tangentialebene an die Kugel in 0, so ist damit eine Abbildung durch Inversion gesetzt, sobald 0 mit der Potenz OF • 0Fł = -j-p ausgestattet wird (Fig. 11), wo Fr der Fußpunkt des von 0 auf e gefällten Lotes,

Fig. 11.

F der Endpunkt des von 0 ausgehenden Durchmessers ist; denn sind P und P₁ ein Paar entsprechender Punkte, so sind OP F und 0PX Ft cv>, da OP F als Peripheriewinkel auf dem Halbkreis ein Rechter, also OP • 0PX = OF • 0FX = p.

Die Meridiane verwandeln sich dann in Kreise durch die dem Nord- und Südpol N und S entsprechenden Punkte Njl und S₁, die Parallelkreise in Kreise, welche jene rechtwinklig durchschneiden. Man erreicht dadurch, daß alle Winkel auf der Karte richtig bleiben, d. h. denen der entsprechenden Linien auf der Erde gleich sind. Die Radien der inversen Meridiane wechseln, dem Meridian durch 0 selbst entspricht die Gerade Nt ; fällt 0 mit N zusammen, so werden die inversen Meridiane zu einem Strahlenbüschel durch

S-L und die Parallelkreise zu konzentrischen Kreisen um Sv

Alle diese Sätze sind synthetisch entwickelt von Reye in seiner leider wenig verbreiteten synthetischen Geometrie der Kugeln (Leipz. 1879).

V. Abschnitt.

Die Flächen zweiten Grades und zweiter Klasse in allgemeiner Behandlung.

§ 18. Die homogene Gleichung zweiten Grades mit vier Yariabeln.

Die Kugelgleichung war sowohl in Punkt- als Ebenenkoordinaten quadratisch; die Kugel gehört daher zu den Flächen zweiten Grades und zweiter Klasse, Flächen (§ 11), von denen nicht mehr als zwei Elemente zu einer Geraden gehören, wenn wir als Element der Fläche zweiten Grades einen ihrer Punkte, als Element der Fläche

zweiter Klasse eine berührende Ebene ansehen. Wir bewiesen schon in § 11 allgemein, daß bei einer Fläche n. Grades, Fn nach Reye (Geometrie der Lage), nicht mehr als n-P unkte auf einer Geraden liegen, und bei einer Fläche n. Klasse (pn nicht mehr als n-Ebenen sich in einer Geraden schneiden. Es ist

1)    a₀₀ r² + 2a₀₁ rs + 2a₀₂ rt + 2a₀₃ r -f- an s² + 2a₁₂ st

+ 2a₁₃ s + 2a₂₂1² -f- 2a₂₃1 -f- a₃₃ = 0

die allgemeinste Form einer Gleichung zweiten Grades in drei Variablen; wir machen die Gleichung homogen durch Einführung einer Hilfsvariablen, indem wir setzen: r gleich s₀ : s₃ etc.

Sollen r... Punktkoordinaten bedeuten, so schreiben wir dafür X, y, z, und setzen s₀ ... gleich x₀ ... ; wird für x₃ dann 1 gesetzt, so ist x = x₀; y = x₁; z = x₂. Sollen r, s, t Ebenenkoordinaten bedeuten, so schreiben wir dafür u, v, w, wenn es Achsenkoordinaten sind; die allgemeinen Ebenenkoordinaten sind homogen und werden dadurch gekennzeichnet, daß für s gesetzt wird o; ist a₀² + ut² + o₂² = 1, so haben wir Hessesche Koordinaten.

Durch Einführung der Hilfsvariablen geht 1) über in die bequeme Form

2)    2'aikSi sk = 0,

wo aik = aki und die Indices i und к der Reihe nach die Werte 0 bis 3 durchlaufen. Die linke Seite von 2) heißt ganze homogene Form zweiten Grades und werde mit G² bezeichnet. Werden durch die s Punkte bestimmt , so ist G² = 0 die allgemeine Gleichung der Fläche zweiten Grades, die wir mit Reye (Geometrie der Lage) F² nennen; liefern die s Ebenenkoordinaten, so

Simon, Analytische Geometrie des Raumes.

ist G² = 0 die Gleichung einer Fläche zweiter Klasse : <p² nach Reye; zusammenfassend sagen wir, G² = 0 stelle ein Gebilde zweiter Ordnung G² dar.

Die Form 2) enthält zehn Konstanten; da aber die Gesamtheit der Systeme s₀ ..., welche die Gleichung 2) erfüllen, sich nicht ändert (kurz: die Yalenz der Gleichung ungeändert bleibt), wenn man mit einer Konstanten multipliziert, und nicht alle a, ja sogar nicht alle Koeffizienten a₀₀ a₀₁ a₀₂ an a₁₂ a₂₂ verschwinden dürfen, so kann man durch einen von ihnen, z. B. a₀₀ dividieren und die Form 2) hängt also nur von den neun Quotienten ab. Bezeichnet man allgemein ein Wertsystem der s, welches die Gleichung 2) erfüllt, als Element des Gebildes G², so sieht man, daß im allgemeinen die Form durch neun Elemente und damit auch das Gebilde G² durch neun seiner Elemente bestimmt ist, da aus neun linearen Gleichungen im allgemeinen die neun Quotienten berechnet werden können als Funktionen der neun Wertsysteme s^ . . . bis s V . . Also: S. 1) Eine F2 bezw. cp² ist durch neun ihrer Punkte bezw. Ebenen im allgemeinen bestimmt.

Sind acht Elemente von G² gegeben, so kann das neunte beliebig gewählt werden, und es gibt unzählige Gebilde G², welche dieselben acht Elemente besitzen. Man erhält dann zur Bestimmung der neun Quotienten acht lineare Gleichungen und kann dann acht durch den neunten ausdrücken. Nehmen wir an, wir hätten durch

mit bit, dann kann

a₀₀ dividiert, und bezeichnen ^

aoo

man z. B. die acht ersten Quotienten durch den letzten b₃₃ ausdrücken, und es ist b^ =    ^ b₃₃, wo die S

ganz bestimmte Funktionen der acht gegebenen Elemente s sind, also ganz bestimmte Zahlen; wir erhalten also

G² (S) + b₃₃ G² (Sl) imd G² = 0 < G² (с)+A G * (d) >,

aoo

wenn wir Sik mit cik und S-k mit dik, und b33 mit Я bezeichnen, wo Я jeden beliebigen Wert haben kann.

Es sind aber G² (c) = 0, G² (d) = 0 die Gleichungen zweier Gebilde zweiten Grades C und D. Diese haben

von

zunächst die acht gegebenen Elemente gemeinsam, aber außerdem noch unzählig viele andere, welche eine einfach unendliche stetige Menge bilden, die als Schnittgebilde von C und D bezeichnet wird. Für jedes Element des Schnitts wird aber auch G² (a) = 0, d. h. G²(a) stellt ein Gebilde dar, das den Schnitt G²(d) und G²(c) enthält (durch den Schnitt hindurchgeht). Also:

S. 2) Soll das Gebilde G² durch neun seiner Elemente bestimmt werden, so dürfen die neun Elemente nicht auf dem Schnitt zweier Gebilde zweiten Grades liegen.

Zwei Gebilde, welche acht Elemente gemein haben, haben unzählig viele andere, die des Schnittgebildes, gemeinsam.

G²(a) — G² (Ь) + ЯН,К/ = 0 die Gleichung des Gebildes G², dies enthält die Ele-

Da ein Produkt zweier Formen ersten Grades eine Form zweiten Grades ist, so kann es Vorkommen, daß z. B. g² (c), d. h. die Form von G²(c) gleich H'K' ist, wo H' = 0 oder K' = 0 ein Gebilde erster Ordnung, also entweder eine Ebene oder einen Punkt darstellen; dann ist

mente, welche den Gebilden

G² (b) — 0    .....

Д/_Q j und diejenigen,

G²(b) = 0    .    . ,

j£/ q gemein sind.

welche

Umgekehrt ist klar, daß, wenn die zwei Gebilden G² (a) und G² (b) gemeinsamen Elemente einem Gebilde erster Ordnung H⁷ = 0 angehören , G² (a) = G² (b) + ЯН'К' sein muß. Also:

S. 3) Zwei Gebilde zweiten Grades, deren Schnitt einem Gebilde ersten Grades angehört, besitzen noch einen zweiten Schnitt, der einem zweiten Gebilde ersten Grades angehört.

Die beiden Schnitte und damit die beiden Gebilde ersten Grades können zusammenfallen, so daß G² (a) = G² (b) -\-l (H')²; dann zählt man diesen Schnitt doppelt, und sagt, daß G² (a) und G² (b) sich in diesem Schnitt berühren.

Ist G² eine F², so ist H' = 0 eine Ebene g; der Schnitt ist, wie man erkennt, wenn man eine Koordinatenebene parallel der Ebene e annimmt, ein Kegelschnitt (eine Kurve zweiten Grades, C² nach Reye). Ist G¹ eine cp², so ist IF = 0 die Gleichung eines Punktes P ; das Schnittgebilde wird gebildet von der Gesamtheit aller Ebenen der cp², welche durch den Punkt P gehen (und Tangentialebenen an die cp² sind), sie bilden den Tangentenkegel von P an die cp². Also spaltet sich Satz 3 in:

S. 3a) Zwei F², welche einen Kegelschnitt gemeinsam haben, haben noch einen zweiten Kegelschnitt gemeinsam.

S. 3b) Zwei cp², welche einen Tangentenkegel gemeinsam haben, haben noch einen zweiten Tangentenkegel gemeinsam.

Da ein Kreiskegel eine F² ist, weil er von keinen Geraden außerhalb in mehr als zwei Punkten geschnitten wird, so war der Satz von der Kugel ein Beispiel zu 3a).

Es braucht nicht erst bemerkt zu werden, daß einer oder beide dieser Schnitte auch imaginär werden können.

Sind von den Elementen des Gebildes G² oder G (a) sieben bekannt, so kann man neun der Quotienten durch zwei von ihnen ausdrücken und erhält, wie vorhin,

G² (a) { G² (b) + 2G² (c) + ju G² (d).

Man sieht, daß zu G² (a) alle Elemente gehören, welche G²(b) oder B, bezw. C, D gemeinsam sind; dies sind zunächst die sieben gegebenen, wie man sich überzeugt, indem man X und /л zuerst beide Null setzt, dann X = 0, dann /л allein ; aber außerdem noch ein achtes, das im allgemeinen von den sieben verschieden ist, da drei Gleichungen zweiten Grades, wie die Algebra zeigt, acht gemeinsame Lösungen haben. Also:

S. 4)

Zwrei Gebilde zweiter Ordnung, welche sieben Elemente gemeinsam haben, haben auch noch ein durch die sieben bestimmtes achtes Element gemeinsam.

Die Form von D kann wieder das Produkt zweier Formen ersten Grades sein, oder wie man sich ausdrückt, das Gebilde D kann in zwei Gebilde erster Ordnung IF und K' zerfallen; dann haben В, C und H' vier Elemente, В, C und K' auch vier Elemente gemeinsam. Der Schnitt zweier Gebilde zweiten Grades wird von einem Gebilde ersten Grades, das nicht ganz zu ihm gehört, in vier Elementen geschnitten. Sind die Gebilde zweiter Stufe F²’s, so ist H' eine Ebene, sind sie Ç9², so ist Щ ein Punkt; im ersten Fall nennt man den Schnitt der F’s eine Raum kurve, im zweiten Fall eine geradlinige oder Regelfläche; von der Raumkurve liegen nicht mehr als vier Punkte auf einer Ebene, bei der Regelfläche gehen nicht mehr als vier ihrer (Tangential-) Ebenen durch einen Punkt, beide Schnittgebilde nennt man daher vom vierten Grade.

¹

г t± cos cp = r¹ + rx¹ — M Mx¹ = a¹ + .. — p + ax¹

²

+ ... — Pi — (a — a₁)¹...

³

2rr₁cosç)=2^aa₁ + bb₁+cc₁— ^(p + Pi))-

⁴

imon, Analytische Geometrie des Raumes.

Sei

§19. Polare.

G ^aik ®i®k aOO ^ a01 ^0 ®1 4“ 2 a02 ®0

+ all sl¹ 2 3 4 + • • • = 0

Schon in § 4 ist bewiesen, daß

als Gleichung des Gebildes G gegeben; jedes Wertsystem der Variablen heiße Element des Gebiets, und wenn es die Gleichung 1) erfüllt, so heißt es Element des Gebildes; es wird kurz mit s bezeichnet; soll das Element hervorgehoben werden, so setzen wir statt G : G (s).

Aus 4) folgt sofort:

S. 5) Gehört das Element s zur Polare des. Poles s', so gehört das Element s' zur Polare des Elementes s.

Aus 5) folgt ebensoschnell :

S. 6) Liegen Pol und Polare ineinander, so gehört der Pol zum Gebilde G und umgekehrt.

Bestimmen die Variablen Punkte oder kurz ist

das Polelement ein Punkt, so ist die Polare eine Ebene, deren Koordinaten (G'sj) sind; ist das Polelement s eine Ebene, so ist die Polare ein Punkt, dessen Koordinaten G'(sj) sind. Also:

S. 7) Pol und Polare sind stets von entgegengesetzter (reziproker) Beschaffenheit.

Dieser Satz legt es nahe, diese Beziehung zu benützen, um zwischen Punkt und Ebenenkoordinaten zu wechseln, indem man G'(Sj) = 0[ setzt; also setzt:

6)    a00 S0 + a01 S1 + a02 S2 + a08 S3 ⁼ °0

al0 S0 + all S1 + al2 S2 + al3 S3 ⁼ °1

a20 S0 4" a21 S1 4" a22 S2 4" a23 S3 = °2 азо so 4- a₃₁ st + a₃₂ s₂ + a₃₃ s₃ = a₃

ein System von vier homogenen linearen Gleichungen.

Das System 6) gestattet im allgemeinen, die s umgekehrt durch die о auszudrücken, und man erhält

7) Sj = ai0 o₀ + <% ax + ai2 o₂ + ai3 as = H' (oj),

wo die a Funktionen der a^ sind, die alle denselben Nenner A haben. Nur wenn A = 0 ist, ist die Umkehrung der Beziehung zwischen den s und о nicht gestattet; dies kann nur eintreten, wenn die vier Gleichungen 6) miteinander unvereinbar sind, d. h. wenn eine der G'(si) schon durch die drei anderen bestimmt ist ; also A = 0 ist eine Gleichung zwischen den Koeffizienten aik, welche aussagt, daß, wenn drei der G'(S|) = О sind, die vierte es von selbst ist. Ist A = 0, so soll die Form und das Gebilde G- uneigentlich genannt werden.

Ist die Grundform G eigentlich, so gehört zu jeder Form H (s) eine Wechselform § (a), und zu jedem Gebilde H (s) = О ein Wechselgebilde & (o) = 0. Die Gebilde H und ф sind im allgemeinen verschieden, aber von gleicher Ordnung, nur in verschiedenen Raumelementen; sind sie identisch, so müssen Pol und Polare ineinander liegen. Also:

Das Gebilde G ist sein eigenes

S. 8)

Wechselgebilde Г.

bd cd

bD bn

S. 9) Ist о die Polare zum Pol s in auf G, so ist s die Polare zum Pol о in

auf Г.

Man erhält H und damit Satz 8 und 9, wenn man 5) in der Form schreibt 2 Sj = О = 2 o\ H' (q), und damit zugleich:

S. 10) Die Wechselform einer Wechselform ist wieder die ursprüngliche Form.

§ 20. Das Tangential-Element.

Es seien s' und s" zwei Elemente des Gebiets der s, dann nennt man den Komplex aller Elemente s {si + ^sf, wo 1 von —o© bis + oo läuft, die Gerade S'S", wenn noch festgesetzt wird, daß für Я gleich -j- oo Element s = s" sei. Setzen wir in G (s) diese Werte für sj ein, so gibt 2), wenn s zum Gebilde G gehören soll,

8) G (s) = G (s') + 2 Я P (s' s") + Я² G (s") - O.

Dies ist für Я eine quadratische Gleichung. Also:

S. 11) Ein Gebilde zweiter Ordnung hat mit einer Geraden außer ihr nicht mehr als zwei Elemente gemeinsam.

Eine F² wird von einer Geraden außer ihr in nicht mehr als zwei Punkten geschnitten.

S. 12) Eine F² wird von einer Ebene in einem Kegelschnitt geschnitten.

Eine cp² wird von einem Punkt in einem (Tangenten-) Kegel zweiten Grades geschnitten.

Ist s' auf G, so ist G (s') = 0, und eine Wurzel Я der Gleichung 5), wie vorauszusehen, ist Null; ist aber auch P (s's") = 0, d. h. lieget s" auf der Polare zu s', auf der s', weil zu G gehörig, ebenfalls hegt, so wird auch die zweite Wurzel Я zu 0, der zweite Schnittpunkt der Geraden S'S" (kurz g) fällt mit s' zusammen, die Gerade g heißt dann Tangente in s'. Die Polare zu einem Element s' des Gebildes G ist also der Ort aller Tangenten an G in s'. Als solche heißt sie: Tangentiale. Die Tangentiale läßt noch eine zweite Auffassung zu. Wenn Я s" unter jedes Maß klein, so verschwindet Я² G" (s") gegen Я.

Ist s' ein Element von G, s' -j-. Я s" irgend ein benachbartes, so ergibt 8) P (s' Я s") = 0, und wenn man Я s" beliebig variabel setzt, also Я s" = s^, so ist dies die Gleichung der Polare von s', der also alle s' benachbarten Elemente von G genügen, wie bereits im §11, S. 49 nachgewiesen. Wir formulieren:

S. 13) Alle Tangenten in einem Punkt s' einer Fläche F² liegen auf einer Ebene, der Tangentialebene an F² in s', welche zugleich die Polare (Ebene) von s' ist.

S. 14) Alle Tangenten in einer Ebene s' einer Fläche cp² liegen auf einem Punkt, dem Berührungspunkt, welcher zugleich Polare (Punkt) yon s' ist.

S. 15) Eine eigentliche Fläche zweiten Grades ist zugleich eine (eigentliche) Fläche zweiter Klasse und umgekehrt.

Es kann Vorkommen, daß ein Element s keine bestimmte Polare besitzt; dies tritt ein, wenn P (sa) identisch verschwindet, d. h. alle G' (st) gleich Null sind; da dann nach 5) auch G(s) verschwindet, so liegt ein solches Element stets auf G, und ist durch vier homogene lineare Gleichungen bestimmt, die vierte muß also von selbst erfüllt sein, es muß also zwischen den Koeffizienten die Gleichung A=0 herrschen; dies Gebilde G muß ein uneigentliches sein, und es gibt im allgemeinen nur ein solches Element s, das wir Doppelelement nennen. Verschwindet außer P (s' s") in der Gleichung 8) noch G (s"), d. h. liegt außer dem Berührungspunkt noch ein Element des Gebildes G auf der Tangente, so verschwindet 8) identisch, d. h. es liegt die ganze Tangente in s' auf G. Man sieht, daß jede Gerade durch ein Doppelelement entweder ganz in G liegt, oder mit G außer dem Doppelelement kein Element gemeinsam hat; das erstere tritt ein, wenn die Gerade ein Element von G mit dem Doppelelement verbindet. Also :

S. 16) Eine F² mit einem Doppelpunkt ist eine Regelfläche (geradlinige Fläche), deren sämtliche Gerade durch den Doppelpunkt hindurchgehen; sie heißt Kegel zweiten Grades, der Doppelpunkt Spitze.

S. 17) Alle Tangentialebenen des Kegels gehen durch die Spitze; jede Ebene durch die

Spitze schneidet den Kegel in einem reellen oder imaginären Kegelschnitt mit einem Doppelpunkt, d. h. in zwei Geraden.

S. 18) Eine cp² mit einer Doppelebene ist eine Regelfläche, deren sämtliche Gerade auf der Doppelebene liegen; die sämtlichen Berührungspunkte liegen auf der Doppelebene und bestimmen einen Kegelschnitt.

Es kann Vorkommen, daß G noch ein zweites Doppelelement besitzt, s' und s"; dann sieht man sofort, daß auch s' + As" ein Doppelelement, d. h. das Gebilde besitzt eine Doppelgerade und reduziert sich bei Punktkoordinaten auf zwei sich schneidende Ebenen, bei Ebenenkoordinaten auf zwei Punkte. Rückt die Spitze des Kegels ins Unendliche, so nennt man den Kegel: Zylinder.

Die uneigentlichenF² sind also: Kegel, Zylinder, System zwei Ebenen, Doppelebenen; die uneigentlichen cp²: Doppelebene, unendlich ferne Ebene, System zwei Punkte, (Doppelpunkt).

§ 21. Pol und Polare.

Sei jetzt s' ein beliebiges Element, s ein zweites und s'-f-As die Y erbindungsgerade ; die Größe A ist, wenn wir S3 und s₃ als 1 ansehen, das Teilungsverhältnis der Strecke s's, wenn wir den Begriff Strecke hier im erweiterten Sinne benutzen, so daß er auch den Winkel zwischen s und s' bedeuten kann. Zwei Elemente A und A' auf s' s heißen wieder harmonisch, wenn A + A' = 0 ist. Für die Schnittelemente von s's mit G gilt die Gleichung

8) A²G²(s) + 2AP(ss') + G(s') = 0,

92 Die Flächen zweiten Grades und zweiter Klasse etc. sie ergibt für 1

9) l

G^j(P (ss')±yP*(ss')-G(s) G(sO.

ge-

Die Größe unter der Wurzel ist selbst eine quadratische Form К in Bezug auf s; K=0, das Gebilde K, liefert die Gesamtheit aller von s' an G zogenen Tangenten. Das Element s' gehört selbst zu K, da P (s' s') = G (s') ist (5), und ist ein Doppelelement, da K' (sO = P (s s') G' (sQ — G' (s^ G (s') für s— s' identisch verschwindet; für die Berührungselemente selbst ist G(s) = 0, also ist für sie zugleich К —0 und G = 0, d. h. auch P(ss')=-0. Wir haben die Sätze:

S. 19) Die Tangenten von einem Punkt an eine F² bilden einen Kegel (zweiten Grades), den Tangentenkegel, der die F² längs eines Kegelschnitts berührt.

S. 20) Die Berührungspunkte liegen auf der Polare des Punktes.

[Die Tangenten von (in) einer Ebene an eine cp2 bilden diese Ebene, welche die cp² in einem Kegelschnitt berührt, die Berührungsebenen liegen auf dem polaren Punkt der Ebene.]

Die Gleichung 9) zeigt, daß, wenn s auf der Polare von s', (also auch s' auf der Polare von s), die beiden Werte des I entgegengesetzt sind. Also:

S. 21) Pol und Polare werden durch das Gebilde harmonisch getrennt.

Die Polare heißt daher auch: harmonische

Polare.

Sei jetzt s irgend ein Element auf s's", о seine Polare, so ist

Bewegt sich ein Pol auf einer Geraden, so bewegt sich seine Polare ebenfalls auf einer Geraden.

s=s'+As", ai—G' Si = Gr' (sQ+Я G⁷ (sf); o=oi+À a" oder :

Diese Geraden heißen reziproke Polaren.

Bei der Bewegung bleibt das Teilungsverhältnis Я intakt, also:

Vier harmonischen Polen entsprechen vier harmonische Polaren, die Trägergeraden beider Systeme sind reziproke Polaren.

Wir bezeichnen die Gerade der Pole mit g und die der Polaren mit y.

Es sind durch die Polarität zugeordnet: Punkt und Ebene, Gerade und Gerade. Jedem Punkt auf einer Geraden kann der Punkt zugeordnet werden, in welchem seine Polare die Gerade schneidet, jeder Ebene, welche durch eine Gerade geht, die Ebene durch die Gerade, welche den Pol enthält. Man kann daher die Gerade als Träger dieser Zuordnungen ebensogut als Baumelement ansehen, wie Punkt und Ebene, und diese Geometrie, welche von Pliicker und Kummer begründet, von Beye und Sturm ausgebaut ist, heißt Li nien-geometrie..

Wenn die beiden reziproken Polaren g und y sich in einem Punkt schneiden, so liegen sie auch zugleich in einer Ebene und umgekehrt; wir können dann sagen, sie besitzen ein Yerbindungselement s. Dann liegt s auf g, und somit geht seine Polare о durch y, also auch durch s; der Pol s fällt also in seine Polare, d. h. s gehört zum Gebilde G. Nimmt man irgend ein Element vom Charakter der s auf y, es sei A, so liegt A auf der Polare von s' und s", seine Polare geht also durch s' und s", d. h. die Polare a von A geht wieder durch g, und somit ist die Bezeichnung „reziprok“ gerechtfertigt; und zugleich folgt, daß die Polare о des gemeinsamen Elements s auch durch g geht, d. h. die andere Verbindung von g und y ist die Polare von s, d. h. die Tangentiale, und g und y sind Tangenten:

Zwei sich schneidende reziproke Polaren sind Tangenten; ihr Schnittpunkt ist ein Punkt der durch das Gebilde G gesetzten F², ihre Schnittebene Ebene der zugehörigen cp².

Zur Vereinfachung können wir jetzt festsetzen, daß die Variablen s Punkte, die Variablen о Ebenen bedeuten; denn die Formen G(s) und Г(р) stellen ein und dieselbe Fläche dar, abwechselnd aufgefaßt als Inbegriff ihrer Punkte oder (berührenden) Ebenen, und es ist jetzt leicht, zu zeigen, daß, wenn die Form G(s) eigentlich, die Form F (о) desgleichen und umgekehrt. Jeder eigentlichen Fläche zweiten Grades kommen also auch die Eigenschaften der eigentlichen Fläche zweiter Klasse zu, und man kann beide zusammenfassen in den Begriff: Fläche zweiten Ranges oder Quadric, und die Hauptsätze z. B. formulieren:

Bewegt sich der Pol auf einer Ebene, so bewegen sich die Polaren um einen Punkt, den Pol jener Ebene und v. v. (S. 5.)

7,

Bewegt sich der Pol auf einer Geraden g, so dreht sich die Polare um eine Gerade und bewegen sich die Pole auf y, so drehen sich ihre Polaren um g.

g und y heißen: reziproke Polaren.

Der Schnittpunkt S zweier reziproker Polaren ist ein Punkt des Quadrics, die sich

schneidenden selbst sind Tangenten an den Quadric in S, und ihre Ebene ist die Tangentialebene.

Zwei konjugierte Punkte werden durch den Quadric harmonisch getrennt.

Zwei konjugierte Ebenen werden durch den Quadric harmonisch getrennt.

Ausführlicher: Legt man durch die Schnittgerade zweier Tangentialebenen eine Ebene s und die Ebene rj des Büschels durch den Pol von г, so werden e und г] durch die Tangentialebenen harmonisch getrennt.

Nimmt man auf einer Sehne AB einen beliebigen Punkt P und konjugiert zu P den Pimkt Q der Punktreihe auf der Polarebene von P, so werden P und Q durch die Endpunkte der Sehne harmonisch getrennt.

§ 22. Geradlinige Quadrics.

Seien g und y zwei sich in S schneidende reziproke Polaren, zieht man in der Ebene (g, y), der Tangentialebene in S, eine beliebige Gerade, die nicht durch S geht, so wird sie g und y in A und a und die Fläche G = 0 in В und C schneiden ; die Linien B S und C S sind dann Tangenten, und da sie in S schon zwei zusammenfallende Punkte mit der Fläche gemeinsam, so haben sie alle Punkte mit der Fläche gemeinsam, wie Gleichung 8) auch zeigt, aus der Я ganz herausfällt, wenn G (s') = 0, P (s' s") = 0 und G(s") = 0, d. h. wenn die Tangente mit der Fläche noch einen Punkt außer dem Berührungspunkt gemeinsam hat, so liegt sie ganz auf der Fläche.

Die Tangenten S В und S C liegen also ganz auf der Fläche.

monische Punkte, ihre Polarebenen schneiden sich in einer Geraden v imd bilden ein harmonisches System (S. 21), und n und v sind reziproke Polaren. Die Gerade v ist keine Tangente, weil n keine Tangente ist, sie schneidet die Fläche also außer in S noch in S'; dann sind S'A und S'В Haupttangenten, [Tangenten, weil in der Polarebene eines Flächenpunkts und durch den Pol gehend; ganz in der Fläche, weil außer dem Berührungspunkt noch einen Flächenpunkt enthaltend]. Will man also im beliebigen Flächenpunkt S die Haupttangenten konstruieren, so verbindet man S mit einem andern Flächenpunkt S', konstruiert in S und S' die Polar-(Tangential-)Ebenen, indem man durch S bezw. S' zwei Schnittebenen legt und an die entstehenden Kegelschnitte in S bezw. S' die Tangenten zieht; die Polarebenen schneiden sich in CB, welche die Fläche in В und C schneidet, so sind S В und S C die Haupttangenten.

Die Tangenten SB und SC sind sich selbst reziproke Polaren, demi die Polarebene jedes Punktes auf S В geht durch S В und ebendasselbe gilt für S C, sie heißen Haupttangenten. Da die Punkte AaBC auf einer Geraden n liegen und Sa in der Polarebene von A (wie lungekehrt SA in der Polarebene von а), so sind nach Satz 21 die Punkte AaBC vier har

Zieht man in der Ebene (g y) irgend eine andere Gerade, welche nicht durch S geht, und die Fläche in B' und C', g und y in A' nnd a', schneidet, so liegen B' und C' wieder auf den Strahlen S В und C S ; denn die Ebene (gy) schneidet, wie jede andere Ebene, die Fläche G = 0 in einem Kegelschnitt, und dieser kann in nicht mehr als zwei Gerade zerfallen; es gibt also durch S nur die beiden Haupttangenten. Also:

S. 22) Durch jeden Punkt S einer (eig.) Fläche zweiten Grades gehen zwei Tangenten, welche ganz in der Fläche liegen. Jedes Paar reziproker Tangenten in S wird durch die Haupttangenten harmonisch getrennt.

Die Haupttangenten können reell oder imaginär sein.

S. 23) Sobald eine einzige Haupttangente existiert, existieren alle, und der Quadric ist eine Eegelfläche.

Denn zunächst geht durch jeden Punkt S der einen Haupttangente h noch eine zweite, da die Tangentialebene in S aus der Fläche einen Kegelschnitt ausschneidet, der h als Bestandteil enthält, also auch eine zweite Gerade h' ebenfalls enthält. Legt man durch h und einen beliebigen Punkt S' der Fläche eine Ebene, so sclmeidet sie die Fläche in einem Kegelschnitt, der h als Bestandteil enthält, also noch eine zweite Gerade durch S' enthält; es existiert also in jedem Punkt S' die eine Haupttangente, also auch die zweite. Die erste durch S' gehende schneidet h, die zweite muß dann kreuzen, weil sonst der Schnittkegelschnitt in drei Gerade zerfallen müßte, was er nicht kann. Also:

Durch jeden Punkt eines geradlinigen Quadrics gehen zwei Gerade, welche zwei Scharen bilden, so daß jede Gerade der einen Schar alle Gerade der andern schneidet, während sich zwei Gerade derselben Schar kreuzen.

Die Form G kann man für die geradlinige Kegelfläche a priori bestimmen. Sei g {u | v, d. h. u und y die Gleichungen zweier Ebenen durch g, und h{ut \xly und g und h schneiden sich nicht, d. h. u; v; ux ; xx verschwinden nicht gleichzeitig, so muß G = 0 sein,

Simon, Analytische Geometrie des Raumes.

u -f Я % = 0 u -f- Я v* = 0.

sobald u und y zugleich verschwinden und ux und v± ; d. h. also (von einem konstanten Faktor abgesehen) ist G = u — v u v

Die Form ändert ihre Yalenz nicht, wenn man 0 in der Form Я их v₁ — Я ux vx addiert, und geht dadurch über in (u Я u₁) vx — их (v + Я v₁), woraus man sieht,

daß G verschwindet, wenn gleichzeitig

Diese Gleichungen stellen zwei Ebenenbüschel dar, welche so aufeinander bezogen sind, daß jeder Ebene des einen Büschels die Ebene gleichen Wertes des Parameters im anderen Büschel entspricht. Solche Büschel heißen projektiv, die zugeordneten Ebenen konjugiert. Also

Die Regelfläche F² ist der Ort der Schnitte konjugierter Ebenen zweier projektiver Büschel.

Man sieht sofort, daß zwei Schnittgeraden der beiden Büschel sich nicht schneiden können; denn wenn

gleichzeitig

u + Я ux = .0    v-j- Я v₁ = 0

VL-fjbtUiT^O V+iaV₁ = 0,

so müßten gleichzeitig u ux v vt = 0, d. h. g und h sich schneiden. G hätte dann, wie man sofort sieht, im Schnittpunkt einen Doppelpunkt, wäre also ein Kegel.

Da man zur Form G ebensogut Я v vx — Я v v1 addieren kann, so sieht man, daß G auch

( (u + X у) Vi — К -f Я vŁ) v,

d. h. es liegt auf der Fläche noch eine zweite Schar Gerader, die entsprechenden Schnitte der projektiven Ebenenbüschel и4ЯЬт = 0, Щ + Я' vt = 0.

Für eine solche Schnittgerade bestehen diese beiden Gleichungen und es gibt auf ihr einen Punkt, in. dem sie von einer Ebene des ersten Büschels getroffen wird, für den also z. B. u + ^u₁ = 0; dann ist für diesen Punkt u— — Я %, — Я Uj + Я' y = 0 ; Я + Я Я'и₁ = О, also Я' (v -f- Я vŁ) = 0 ; v + Я vt = 0, d. h. aber:

Wenn drei dieser Gleichungen erfüllt sind, so ist es die vierte von selbst, oder:

Jede Gerade der einen Schar wird von jeder der anderen geschnitten.

Da jede Gerade ihre eigene Tangente, so muß die Ebene durch zwei sich schneidende Geraden die Tangentialebene im Schnittpunkt s,ein.

§ 23. Die Reyeschen Achsen.

10)

Wir können auch die anderen Resultate des vorigen Paragraphen durch die Rechnung bestätigen, s' {’So... und s" { s'o ... waren zwei beliebige Punkte von g, o' und o" ihre Polarebenen, dann ist g { s' + Я s" und у in Ebenenkoordinaten { о' + Я d'-, Für den Schnittpunkt von g und y ist P (s' + Я s", s') — 0 und P (s' + Я s", s") =д 0, d; h G (s') 4" Я P (s' s") = 0;

Я G (s") + P (s's") = 0.

Soll also ein Schnittpunkt existieren, so muß Я = Я sein, d. h. P² (s's") = G (s') G (s''), d. h. nach 9) s" auf dem von s' ausgehenden Tangentenkegel und V. V. oder: g muß eine Tangente sein.

zu entnehmen aus S { s' ohne weiteres, daß G (S) == 0.    (§21; $.}

und man sieht

Die Koordinaten des Berührungspunktes sind dann P(s's")s"

G(S")

Soll g siçh selbst reziprok, also mit y identisch sein, so muß Я aus dem Gleichungssystem 10) herausfallen, d. h. es muß gleichzeitig G (s'), P (s's") und damit auch G (s") == 0 sein, d. h. die ganze Gerade g liegt auf der Fläche. Daß auch y eine Tangente ist, folgt aus der Betrachtung der Form I) welche sich

(I)'

von G nur um eine Konstante unterscheidet

und wenn П (o o') so aus Г abgeleitet wird, wie P aus G, so sieht man, daß U(oo') sich um dieselbe Konstante von P(ss') unterscheidet, so daß also die Bedingung P² (s's") = G (s') G (s") sofort die Bedingung П² (o' о") = Г (о) Г (о") nach sich zieht.

Man kann die Gleichung von у in gewöhnlichen Punktkoordinaten fast ohne Bechnung ableiten: ein Punkt

_ i x"

von у ist S, dessen Punktkoordinaten —

wo Я

P(s's")

G (s')

G (s') P (s's")'

Die Richtungsfaktoren von

y erhält man aus der Bemerkung, daß, wenn die Koordinaten des unendlich fernen Punkts einer Geraden sind, Ç:rj:Ç— cos a : cos ß : cos y. (Vgl. S. 17.)

Der unendlich ferne Punkt auf y ist ein den Ebenen o' und o" gemeinsamer; wir erhalten ihn, wenn wir in den Gleichungen für о' und o" die Koordinate Sg = 0 setzen und s₀; sx; s₂ endlich lassen; alsdann ist

So Uo + Sx o[ + S₂ o'i — 0 So o'-i + S₁ o'i + s₂ 02 = 0.

Das System ist uns schon S. 26 u. begegnet; es gibt s₀ : Si : s₂ = x : у : z = [a( o'fl : о'г o'o] : [o'₀ o'!]

= cos a : cos ß : cos y, wo [a ß\ wieder a ß — ba bedeutet, also [ai a 2] = o[ o"₂ — o₂ o'[ ; wenn also f', r\\ Ç die Koordinaten des Schnittpunkts S sind, so ist die Gleichung von y

11)

X —I' j—rf

[ol</£ K^_[a₀Vfl-

Z-Г

— x'

Dag{x"-x' /'-/

..., so ist die Bedin

gung, daß g und y (welche ja S gemein haben) zusammen-fallen, die Proportionalität der Richtungsfaktoren also

N Ss] [sîs'a [4s%]

[oW'o\ Ko'd’

und man überzeugt sich leicht, daß dies System mit dem der Gleichungen G (s") = O, G (s') = 0; P (s' s") = О identisch.

Ist g keine Tangente, so ist es auch y nicht, aber bei der Ableitung der Richtungsfaktoren haben wir von dieser Bedingung gar keinen Gebrauch gemacht; somit gilt die Gleichung 11) für je zwei reziproke Polaren, wenn unter £'. . . die Koordinaten eines beliebigen Punkts von y verstanden werden ; insbesondere ist die Bedingung, daß zwei reziproke Polaren aufeinander senkrecht stehen.

12)

= 0.

Die Linien g und y besitzen stets eine gemeinschaftliche Senkrechte t, und Ebene (ty) steht auf g, Ebene t g auf y senkrecht, der Pol von (t y) liegt auf g, der Pol von tg auf y; somit kann man auch sagen: Eine * Gerade g, welche auf ihrer reziproken Polare

senkrecht steht, ist das vom Pol auf die Polare (Ebene) gefällte Lot, sie heißt nach Reye: Achse, und der Komplex der Achsen ebenfalls nach Reye: Achsenkomplex. Da zu jeder Ebene in Bezug auf eine gegebene (eigentliche) F² ein Pol gehört und stets durch den Pol eine Senkrechte zur Polare, so stellt der Achsenkomplex eine oo³fache Menge von Geraden dar. Liegt der Pol in der Fläche, so liegt er in seiner Polare und die Achse, deren Pol er ist, steht auf der Tangentialebene im Berührungspunkt senkrecht, es ist die Normale. Da die Richtungsfaktoren der Tangentialebene im Punkte s' gleich o'₀; af; 02 sind, so ist die Gleichung der Normale, wenn x', y', z' die Punktkoordinaten des Berührungspunktes sind,

x—x'

o'o

Ol

02

Ist x'... ein beliebiger Punkt, der als Pol einer Achse genommen wird, so ist seine Polare с/ und hat zu Richtungsfaktoren ebenfalls </ ; ... ; also ist die Gleichung jeder Achse, wenn die Koordinaten ihres Pols gegeben sind,

13a)

X — x'

У—У

z —z'

o'o

Ol

02

Man sieht, wie die Gleichungen der Tangential-■ ebenen und der Polarebenen von derselben Form und sich nur dadurch unterscheiden, daß der gegebene Punkt für die erstere auf der Fläche liegt; so hat man ebenfalls den Satz:

Die Gleichungen der Normalen und der Achsen sind von derselben Form, und unterscheiden sich nur dadurch, daß der Pol für die Normalen auf der Fläche liegt.

Die Normalen gehören zu den Achsen und bilden innerhalb des Achsenkomplexes eine Menge oo²-Stufe:

In der Gleichung der Achse für einen gegebenen Pol kommt a₃₃ nicht vor, G(s) == s₃²G(s') : s₃² ist eine Fläche F'², welche sich von F₂ nur durch den Wert des a₃₃ unterscheidet und auf der der Punkt s' liegt, und 13a) ist die Gleichung der Normale von F' im Punkte s'.

Man nennt F' und F homo the tisch. Also:

Der Achsenkomplex ist identisch mit dem Komplex der Normalen der mit der Fläche F2 homothetischen Schar (F² eingerechnet).

Als Komplex der Normalen ist der Achsenkomplex gelegentlich von Ampère bemerkt worden; das Verdienst, seine Bedeutung erkannt zu haben, gebührt ausschließlich Reye.

Wenn die Normalen in zwei Flächenpunkten A und В sich schneiden, so ist AB auch eine Achse,

denn ihre Reziproke ist die Schnittlinie der beiden Tangentialebenen in A und В und steht als solche auf der Ebene der beiden Normalen und somit auch auf AB senkrecht.

Eine Linie einer Fläche, deren benachbarte Normalen sich schneiden, heißt eine Krümmungslinie, also

die Tangenten an eine Krümmungslinie einer F² sind Achsen.

Die den Achsenkomplex definierende Gleichung 12) ist vom zweiten Grade in den Koordinaten der Linie, der Achsenkomplex ist also ein Linienkomplex zweiten

Grades; die Gleichung ist ferner in den Koordinaten s" (bezw. s') vom zweiten Grade, sie zeigt, daß der Ort der s" eine Fläche zweiten Grades ist, wenn s' gegeben, also ein Kegel    mit    der    Spitze s'.    Man sieht ohne

weiteres, daß, wenn    sie    von s'    und    s" erfüllt ist, sie

auch von s' und s' + 2s" erfüllt wird. Man kann dies auch direkt zeigen.

Sei S der Punkt, so geht durch ihn zunächst die Achse g, für welche S der Pol ist; die zugehörige Polarebene sei o, es gehe durch S eine zweite Achse g' mit dem Pol S' und Polarebene o', dann ist die Schnittlinie / von о und o' die Reziproke von g', und у' steht    auf    der    Ebene    (gg')    — s— senkrecht.

Würde nun in    der    Ebene e noch    eine dritte Achse

durch S liegen, g", so müßte /' auch auf der Ebene e senkrecht stehen; es müssen sich aber /, /, y" im Pol von e schneiden, es müßte also der Pol von e im Unendlichen liegen. Dann ist jede Gerade t in e eine Achse, denn ihre Reziproke muß durch den Pol von £ gehen, also der Linie y parallel sein, d. h. auf der Ebene £ und somit auch auf t senkrecht stehen. Verbindet man dann den Pol mit einem Punkt К dieser Ebene, welche Gerade die Fläche in В und C schneidet, so werden В und C durch N und den unendlich fernen

Pol harmonisch getrennt, d. h. N ist die Mitte von BC, welches als parallel zu у auch auf £ senkrecht steht, d. h. die Ebene г ist eine Symmetrieebene der

Fläche.

Sieht man also von Symmetrieebenen ab, so kann das Achsenbüschel durch S von einer Ebene nur in zwei Geraden geschnitten werden ; es ist also ein Kegel, der im Falle, daß seine Spitze auf einer Symmetrieebene liegt, in zwei Ebenen zerfällt.

Die Achsen sind für rechtwinklige Koordinaten in einer aus dem Reyeschen Seminar hervorgegangenen Arbeit Herm Emil Schilkes, Schlömilch Bd. 19, 1874 behandelt, allgemein (mit Linienkoordinaten) in S. S. XXY, § 7. Nachdem ich diese Behandlung im Math. Kolloquium mitgeteilt, ist eine analoge von Herrn Huntingdon in einer amerikanischen Zeitschrift veröffentlicht worden.

VI. Abschnitt.

Kegel und Zylinder.

§ 24. Kegel.

Das Auftreten des Tangentenkegels und Achsen-kegels zwingt uns, den Kegel als den wichtigsten Fall einer uneigentlichen F² genauer zu betrachten.

G(s) = 0 sei die Gleichung des Kegels; seine Spitze, d. h. der Punkt, für welchen alle vier G'(Sj) verschwinden, sei S { s'. Wir verlegen den Nullpunkt nach S, nehmen also an, daß S nicht im Unendlichen, also s'₃ nicht 0; dann haben wir zu setzen:

(d. ix) = — +    ,

oder

гз

Si = г^з + s(r₃ wo i = 0, 1, 2 s₃ — 0s3 + s₃r₃; also:

G(s) = s'₃² G (r₀ ; t± ; r₂ ; O) + 2r₃ s'₈ P (rs') + r²₃ G (s').

G (s') ist О ; Р (г s') — r₀ o'₀ + rt o[ + r₂ + r₃ o₃ identisch Null, somit:

G(s) = S3² Gr^o^rgO), und da S3 nicht 0:

G(S){G(rorir₂0):

Verlegt man den Nullpunkt in die Spitze des Kegels, so verschwindet die Koordinate S3, es bleiben nur die Glieder zweiter Dimension in den Punktkoordinaten mit unveränderten Koeffizienten.

Wir schreiben jetzt G (r₀1\ r₂ 0) = 0 in der Form

U) K(s) = a₀₀ s³₀ + 2a₀₁ s₀sk + 2 a₀₂ s₀s₂ + au s\

+ 2 a₁₂ Sj_ s₂ + a₂₂ s²₂ = 0 oder kurz К (s) = s, sj-, wo jetzt Index i und к nicht mehr den Wert 3 erhalten.

Die Gleichung 12) ist also identisch mit der allgemeinen Gleichung der Kegelschnitte in homogenen Koordinaten; man sieht, wie eng der Kegel mit den Kegelschnitten Zusammenhang^ die Rechnung bleibt dieselbe, nur die Interpretation ändert sich.

Die Gleichung 14) bleibt bestehen, wrenn die s mit dem gemeinsamen Faktor I multipliziert werden, d. h. also: Wenn ein Punkt P auf dem Kegel liegt, so liegen alle Punkte der Geraden SP auf dem Kegel. (Fig. 12.)

Da K(s) eine quadratische Form ist wie G(s), nur von drei Variablen s₀ Sj_ s₂, so bleiben alle Sätze, die auf den Eigenschaften der quadratischen Form beruhen, bestehen, insbesondere die ganze Lehre von Pol und Polare, welche sich somit zugleich auf die Kegelschnitte überträgt (diese Übertragung hätten wir allerdings auch schon dadurch leisten können, daß wir durch einen Punkt als Pol eine Ebene legen, welche die F₂ schneidet). Auch die Lehre von den Reyeschen Achsen bleibt fast unverändert.

Es ist, wenn s' den Pol bedeutet,

14a) P (s s') = s₀ (a₀₀ So + a₀₁ si + a₀₂ s₂) + • •.

— so °o H- si °1 4~ S2 °2 und die Polarebene des Pol s', für welche P(ss') = 0, hat die Koordinaten:

aó;    o₂'; 0.

Fig. 12.

Die Gleichung 14aj der Polarebene (und Tangentialebene, wenn s' auf dem Kegel) wird für jedes s', also für jeden Pol durch die Koordinaten der Spitze 0,0, 0, s3 erfüllt, und damit ist durch Kechnung der Satz bewiesen :

Alle Polarebenen eines Kegels gehen durch die Spitze.

Da die Menge der Ebenen, welche durch einen Punkt gehen, eine oo² fache (zweifach unendliche, d. h. oo^oofache) ist, während die Zahl der Pole, d. i. der Punkte des Raumes eine oo³fache ist, so muß zu oo vielen Punkten dieselbe Polarebene gehören, und dies zeigt sich dadurch, daß 14a) erfüllt bleibt, wenn man ^Sj statt Sj setzt, d. h.:

AllePunkte, welche auf einerGreraden durch die Spitze liegen, haben dieselbe Polarebene.

Alle Punkte des Kegels auf derselben Geraden durch die Spitze — Kante — haben dieselbe Tangentialebene.

Um die reziproke Form x von К zu erhalten, d. h. die Gleichung des Kegels in Ebenenkoordinaten, müssen wir die Gleichungen

15) o₀ = a₀₀ s₀ + aoi si H~ a02 s2

°1 — a01 S₀ all S1 al2 S2

⁼ a02 So + a12 Si “f" a22 S2 1 ^3 ⁼ ^ nach den s auflösen, dies gibt:

a0i °0 + aii °i + a2i °2

a33

si —

wo a₃₃ die uns schon bekannte Größe (S. 29), (der Koeffizient von a₈ in der Form Г(о)):

a00 (an a22    ai2²) H“ a01 (ai2 a02    a01 а2г)

+ a20 (a01 ai2 a02 ail)-

Die Auflösung ist also nur gestattet, wenn

**зз

Wir erhalten dann, da a₃₃ konstant :

и (а) « a₀ (а₀о °o + «oi + a02 o₂) + .... eine Form zweiten Grades in den a.

Man sieht, daß x (о) = 0 wieder ein Doppelelement enthält, nämlich die Lösung a₀, ₂,₃ = 0, welche eine beliebige durch die Spitze gehende Ebene darstellt.

Die Gleichung x (p) = 0 stellt also nicht bloß den Komplex der Tangentialebenen des Kegels dar, sondern auch jede durch die Spitze gehende Ebene; sie ist also nicht die Polar-gleichung des Kegels, sondern die Gleichung der Spitze, und der Kegel hat, streng genommen, keine Gleichung in Ebenenkoordinaten.

Abstrahiert man von der Lösung 0, 0, 0, 0, so ist x(g) = 0 die von den Tangentialebenen umhüllte Fläche, d. i. der Kegel; die Gleichung x(o) = 0 kann auch als Polargleichung der Kegelschnitte in homogenen Koordinaten aufgefaßt werden.

Daß dem Kegel die Gleichung in Ebenenkoordinaten fehlt, wird noch deutlicher, wenn man die Spitze nicht zum Nullpunkt wählt, wo dann x (o) das Quadrat der Gleichung der Spitze wird.

§ 25. Der zerfallende Kegel.

Es kann Vorkommen, daß der Kegel außer der Spitze noch einen Doppelpunkt enthält s' { sj ..., d. h. daß die Gleichungen 15), in denen a* — 0, eine gemeinsame von Null verschiedene Lösung besitzen; dann ist auch As' eine Lösung, d. h. der Kegel besitzt eine Doppelgerade durch die Spitze. Es braucht wohl kaum bemerkt zu werden, daß, da s₃ in der Gleichung des Kegels fehlt, die Größen s₀, sl7 s₂ direkt als die Punktkoordinaten x, y, z eines Kegelpunktes betrachtet werden können. Da eine der Größen, z. B. s₂, willkürlich bleibt, so sieht man, daß in diesem Falle der Faktor von s₂, den man erhält ? wenn man s₀ und aus zwei Gleichungen durch s₂ ausdrückt und diese Ausdrücke in die drei Gleichungen ein setzt, verschwinden muß, was nichts anderes aussagt, als daß die dritte Gleichung eine notwendige Folge der beiden andern ist und daher nichts anderes gibt, als

16) ctgg — 0.

Man sieht ohne Rechnung, daß in diesem Falle der Kegel in zwei, sich in der Doppelgeraden durch die Spitze schneidende Ebenen zerfallen muß, da die Ebene, welche einen Punkt des Kegels mit der Doppelgeraden verbindet, dann ganz in den Kegel hineinfällt; man kann dies aber auch leicht durch die Rechnung bestätigen.

Um die Zerfällung zu bewirken, bemerkt man, daß die Gleichung jeder Ebene erfüllt, d. h. jeder Faktor verschwinden muß, wenn man für s₀, sl7 s₂, d. i. X, y, z, die Koordinaten w eines Punktes der Doppelgeraden setzt.

mit der Bedingung a₃₃ = 0 = a.

Wir führen Abkürzungen ein und setzen:

an a₂₂ - a^₂ ~ — ^oo ? ag₂ ^12    ^01 ^22 — ^qi ®tc.

(also a₁₀a₂₀    a₁₂ a₀₀ = b₁₂ ; a₂₁ a₀₁    a₂₀an = b₀₂),

so erhalten wir, wenn wir w₂ aus (1) und (2); (2) und (3); (3) und (1) eliminieren, und dann ebenso w₀,

\o_

(NI (M <M I <N O i—I тН <M

îLûæLo

,17) w₀

Ьц

wi

Wi

w₂

ol

01

bn

b₀₂*    b₁₂

und damit

18) V : wL² : V = b₀₀ : bu : b₂₂; w₀ • Wi : w₂ = b₀₂1 b₁₂ i b₂₂ etc.

Da das System a) nur die Verhältnisse der w bestimmt, so setzen wir

W₀

und erhalten, dann:

20*

18a). WoW^bo!;    =b₁₂; v₂w₀ = b

(Es ist bij^bki.)

Hinsichtlich der w zeigt а): 1) Wenn eines der w verschwindet, z. B. w₂₂, so verschwinden b₀₂ und b₁₂. 2) Das Zeichen der w’s ist durch das eines von ihnen bestimmt. 3) Sobald ein w reell ist, sind es die andern — 18a) — d. h. alle w² sind gleichzeitig 0 oder <C 0, die Zahlen b₀q, bn, b₂₂ haben das gleiche Zeichen.

Sind alle drei a₂₂ nicht zugleich 0 und z. B. a₀₀ ф 0, so ist jetzt

a00

19)    K(s)=-1- [a^o s₀+(a₀₁+iw₂) s, + (a₀₂ — iwx) s₂]

[aoo so+Kl—i w₂) Si + (a₀₂+i wx ) s₂ J,

wo i=y—1; man siebt sofort, daß jeder Faktor für 2wö; 2w₁ ; Xw₂ verschwindet.

Wenn also a₀₀^ 0 und a₃₃ = 0 und A=0 und der Doppelpunkt im Endlichen, so zerfällt die Fläche zweiten Grades in zwei sich schneidende Ebenen, deren Gleichung durch 19) gegeben ist.

Man kann, um eine Lücke im 1. Teil auszufüllen, hinzusetzen:

Wenn a₀₀^0 und a₃₃ = 0, so zerfällt der Kegelschnitt in zwei Gerade, deren Gleichungen in 19) gegeben sind.

Es kann Vorkommen, daß die beiden Ebenen imaginär (die beiden Geraden des Kegelschnitts imaginär), aber dann ist die Doppelgerade (der Doppelpunkt) doch reell, da sie die Spitze mit den reellen Punkten Awx; Aw₂; Aw₃ verbindet.

Die Ebenen (Geraden) werden imaginär, sobald eine der w²’s, also auch die andern positiv sind, also z. B. weim w₀²^>O; die Zerfällung ist reell, wenn w₀ ² <C О ; sind zwei der w gleich Null, so zerfällt der Kegel in eine Doppelebene K (s) (a₀₀ s₀ + aoi si + ao2 s2)²* Zu bemerken ist, daß, wenn alle a^ =f= 0, scheinbar drei verschiedene Zerlegungen auf treten; man überzeugt sich leicht, daß sie äquivalent sind.

Fehlen alle drei Quadrate in der Form K bezw. G, so reduziert sich К auf

a₀₁xy + a₀₂xz + a₁₂yz = 0

und a₃₃ auf 2 a₀^ a₀₂ a₁₂; also muß, wenn a₃₃ = 0, einer der drei Koeffizienten, z. B. a^ = 0 sein, dann ist

K = x(a₀₁y + ao₂z).

Der Kegel zerfällt in die Ebene x = 0, die yz-Ebene, und die Ebene a^y + a^z, welche der x-Achse parallel ist.

(Der Kegelschnitt zerfällt in die y-Achse und die Gerade a₀₁y + aü2, welche der x-Achse parallel ist.)

Zu der Zerfällung ist aber noch eine Bemerkung zu machen: es ist vorausgesetzt, daß der Kegel seme Spitze im Endlichen hat, d. h. daß alle vier G'(sj) (S. 87)

für einen Punkt im Endlichen verschwinden ; dies setzt aber voraus, daß die Verhältnisse s₀ : s₁ : s₂ : s₃ endlich bleiben, wir erhalten aber durch eine ganz analoge Rechmmg

s₀² : sl² : s₂² : s₃² — a₀₀ : an : a₂₂ : a₃₃,

wo z. B. a₀₀ aus a₃₃ durch Vertauschung der Marken 0 und 3 abgeleitet wird; soll also

(M I "M

J?

CO ! CO CO I И#

<N I <N

£

endlich sein, so muß, wenn a₃₃ = 0 ist, auch aoo? an 5 a22 ⁼⁼ 0 sein,

wir können also sagen:

Eine F² zerfällt in zwei sich schneidende Ebenen, wenn

A — 0 ; a₃₃ — a₂₂ — «и — «oo — 0 »

sind dann noch zwei der w = 0, so fallen die Ebenen zusammen.

Man sieht, daß, wenn der Kegel zerfällt, seine Spitze unbestimmt wird, nur auf der Doppelgeraden liegen muß.

¹

G (s + s') - G (s) + 2 2 s[ G⁷ fa) + G (s'),

wo

²

G' (Sj) — aj₀ s₀ + ац -f- щ₂ s₂ -f- a]₃ s₃ — Ą aik sk

(2 G⁷ (Sj) heißt die Ableitung von G (s) nach Si).

Die Form 2 s- G⁷ (sj) sowie jede äquivalente heißt Polarf orm P (s⁷ G) des Pol(elements) s⁷ für die Form G; sieht man darin s⁷ als gegeben, s als variabel an, so ist P(s⁷G) = 0 ein Gebilde erster Ordnung imd heißt die Polare von s⁷ in Bezug auf das Gebilde G= 0.

Es ist G (s + s⁷) = G (s⁷+ s) und somit

³

   P (s⁷ G) = 2* s- G⁷ (sj) = 2Si G⁷ (sj) = P (s, s⁷); ferner war (§ 4)

⁴

   2 Si G⁷ (sj) = G (s).

§ 26. Die Hauptachsen.

Jede Gerade durch die Spitze ist Achse (Reyesche), deren Pol die Spitze; es fragt sich, ob auf solcher Achse noch ein zweiter Pol liegen kann, dann sind alle ihre Punkte Pole. Es muß dann, wenn x'y'z' der Pol ist,

. X — x' у — у' z — z'

'    о(х') а (у') о [г')

Simon, Analytische Geometrie des Raumes.

erfüllt werden durch x = 0, y = 0, z = 0, d. h. es muß

о(х') = Ях'; a (y') = Ay'; a(z') —Яг',

ein Gleichungssystem, das, wenn für x'y'z' erfüllt, ersichtlich auch für ex', су', cz' erfüllt ist. Wir schreiben das System in der Form:

20)    (a₀₀

Я) s' + aoi y' + a₀₂ z' = 0 aoi x' + (au — Я) y' + a₁₂ z' = 0 a02 x' + ai2 /+ (a22 — Я) z' = 0.

20) ist aber von a) nur dadurch verschieden, daß an Stelle von aü gesetzt ist аи — A. Bezeichnen wir die' Verbindungen, die wir im System a) mit b bezeichnet haben, hier mit ß, so erhalten wir:

x': y': z'— ß₀₂ :ß₁₂ :ß₂2.— ißoo : УДл:УД22 — An: Д1 :Ai • • •

und wenn wir a'₃₃ (oder a') mit — H(A) bezeichnen und nach Potenzen von A ordnen:

21) A³ — A²s + Aa — a=0,

wo s = a₀₀ + %i + a₂₂ und о = b₀₀ + bn + b₂₂. Bies ist für A eine Gleichung dritten Grades, und wenn wir den Fall а = 0, in dem der Kegel zerfällt oder zum Zylinder wird, zunächst ausschließen, ist keine Wurzel А = 0.

Es gibt also im allgemeinen drei solcher Achsen, sie heißen Hauptachsen.

Ein Kegel hat im allgemeinen drei Haupt

achsen.

Bie Gleichungen c) dieser Achsen vereinfachen sich und werden

J z    X

i ßoo i ßl 1    У/^22

ßo2

— =    — oder —

12    Г 22 wo das Zeichen einer der Wurzeln willkürlich, die der andern dadurch bestimmt sind. Unterscheiden wir die drei Wurzeln der Gleichung 21) durch A⁰, A', A", und untersuchen den Winkel zweier dieser sich in der Spitze schneidenden Achsen, so haben wir z. B. das Produkt

ßo2 ßo2 + ß\2 ß'\2 + ßf22 ß'22 ~ Po

zu bilden. Berücksichtigt man, daß (Schubert, Arithmetik, S. 111)

A' + A"=s — A° und A'A" =

so findet man mit geringer Mühe, daß, da

ßo2 ⁼ ^02 “Ь ^a02 * * * 5 ^22 ~ ^22 -^ (®- ^22) “f~ А ² Ulld

fy)22 = ^22 fy)0 a * all 1ШС^ a = a01 V ~Ь a02 ^02 “Ь a22 ^22:

21a)    Po⁼⁼(^ob₂₂+a)M(A⁰),

d. h. gleich Null ist; also:

Die drei Hauptachsen des Kegels stehen aufeinander senkrecht.

Die Ebene durch je zwei Achsen — Hauptebene — ist Polarebene zu jedem Punkt auf der dritten oder:

Die Hauptachsen bilden ein Pol-Dreikant. Jede Gerade einer Hauptebene durch die Spitze ist reziproke Polare zur dritten Achse:

Kegels.

Die Hauptebenen sind Symmetrieebenen des

Es fragt sich, ob Achsen und Hauptebenen anschaulich existieren, d. h. ob die A reell sind; es könnten höchstens zwei, z. В. A' und A" imaginär sein, dann sind sie konjugiert komplexe Zahlen (Schubert, Arithmetik,‘ S. 168); dann sind aber auch ß'2k und ß₂\ konjugiert

komplexe Zahlen, da sie sich ja nur durch den Wechsel

des Zeichens von i = ]/— 1 unterscheiden, also geht p0 über in

(u' + iu") (u'— iu") + (v' + iv") (vr— iv")

+ (w' + i w") (w' — i w")

= u'² + u"² + y'² + V'² + w'² + w"²,

und da Po = 0 ist, so müssen alle Quadrate und damit alle u, y, \y, d. h. alle ß verschwinden, also:

ihr die Form gibt:

man

DieHauptachsen eines Kegels sind stets reell. Man kaim dies auch direkt aus der Gleichung А (Я) = 0 ableiten, indem

aoi a02

___ai2 aio_

a₁₂2 + bi₂ a20^ + ^20

+ ...-1 = 0,

denn diese Funktion von Я wechselt zwischen Я gleich — oo und Я gleich + oo ihr Zeichen dreimal.

Es kann Vorkommen, daß zwei der Я, z. В. Я' und Я" einander gleich sind; dann ist evident, daß man das Achsenkreuz der zwei Achsen um die dritte drehen kann; das zeigen aber auch die Formeln mühelos: p₀ ist stets

Wo ^22 + a) А (Я⁰) = О,

und geht über in

ßo2 ² -f" ßl2²ßi2 ² — 0 ,

es müssen also ß₀₂, ß₁₂ und ebenso ß₂₂ = ü sein; die Richtungsfaktoren der zweiten und dritten Achse werden unbestimmt, aber wegen p₀ = 0, px = 0, p₂ = 0 müssen sie nach wie vor aufeinander und auf der zum ungleichen Я gehörenden Achse senkrecht stehn:

Jede Ebene durch diese ist eine Symmetrieebene; der Kegel ist ein Rotationskegel, ent-

standen durch Rotation eines Winkels um seine Halbierungsachse und die Bedingungen dafür sind ohne Rechnung gewonnen ; wir haben:

IC

<N i <N

4?l

Sind alle drei к gleich, so ist jede Gerade durch die Spitze Rotationsachse, der Kegel reduziert sich (sichtbar) auf die Spitze und wird zur Punktkugel bezw. zum imaginären Kugelkegel (vgl. S. 64).

§ 27. Die Transformation auf die Hauptachsen.

Es liegt nahe, das Hauptachsensystem als Koordinatensystem zu wählen ; wir fassen die Aufgabe allgemein und transformieren die Koordinaten beliebig unter Beibehaltung des Anfangspunkts. Die alten Koordinaten seien x, y, z, die neuen $rj f.

Ist Gf = Gr (s₀ ...) irgend eine homogene quadratische Form, setzt man für sk ein uk + vk + wk, so erhält man, wie in § 14, S. 58,

G = G (u) + G(v) + G(w) + 2P(u; v) + 2P (v; w)

+ 2P(w; u),

wo P die Polarformen und u{u₁...

Es war § 13, wenn wir cos (xf) = y₀₀ ; cos (xrj) = y0Ł ; cos (x f) = y₀₂ etc. setzen,

x = 7oo f + 7oi *? + 7o2 f У = 7io £ + 7u *7 + У12 £

Z = 720 1 + 721^+ 722^

und das System gilt allgemein, wenn nur das alte System als rechtwinklig vorausgesetzt wird ; das neue kann beliebig sein, also:

22&) K(xyz)=f2K(/oo; 7ш 722)+V'2K(roü hi; Vn)

+f2K(/o2; /12! yM)+af,p(y₀; yi)+2,?fp(3'₁; h)

+ 2f|P(j,2) 7o))

wo

7o; 7i> 72 bedeuten, daß wir j>₀₀; j>₁₀; j>₂₀ als die alten Koordinaten eines Punkts y₀ auf der neuen f-Achse ansehen (der von 0 den Abstand 1 hat; entsprechend yx mit den Koordinaten y₀₁] yn; y₂₁ etc.).

Unter einem Pol-Dreikant verstehen wir ein Dreikant (dessen Spitze in 0 liegt), bei dem die Verbindungsebene zweier Kanten die Polarebene für alle Punkte der dritten Kante ist. Solcher Pol-Dreikante gibt es 00². Man kann einen Durchmesser, d. h. eine Gerade durch die Spitze (oder das Zentrum) des Kegels beliebig wählen, als Kante 1, einen andern Durchmesser in der Polarebene des ersten beliebig als Kante 2; dann ist die Kante 3 bestimmt als Schnittgerade der Polarebene von 1 mit der Polarebene von 2. Solche 3-Kanten heißen ein System konjugierter Durchmesser, die freie Kante: konjugierte Richtung, die drei Ebenen durch je zwei: konjugierte Diametralebenen. Da die Ebene 12) die Polarebene für 3 und somit auch für den in dieser Richtung imendlich fernen Punkt, und Pol und Polare auf jeder Geraden durch den Pol die Schnittpunkte mit der Fläche harmonisch trennen, so hat man den Satz (vgl. T. 1, S. 86):

Jede Diametralebene halbiert alle der konjugierten Richtung parallelen Sehnen.

Man sieht sofort, daß, wenn man die Punkte 7o 7i 72 auf denKanten einesPol-Dreikants wählt, also die drei Kanten eines Pol-Dreikants zu Koordinatenachsen macht, die drei P aus der transformierten Form К verschwinden und sie

§27. Die Transformation auf die Hauptachsen. Ц9

sich auf die Summe der drei quadratischen Glieder reduziert:

Aus dieser Form folgt der eben bewiesene Satz direkt; man sieht, daß jede Diametralebene für die konjugierte Eichtung Symmetrieebene ist.

Die Hauptachsen bilden ebenfalls ein Pol-Dreikant, und zwar das rechtwinklige. Die Gleichung des Kegels wird:

I²

2 k(A₂⁰Ä2⁰Ä2⁰)+^k (ß'oi...) + Ąk(/% ...) = о П1 n2

wenn n² — ß₀₂² -f ßl2² + ₂₂² und die Marke des n die betreffende Wurzel 1 an gibt. Es ist nun K(^₀₂°) (oder kurz K°)

K° — ßo2 °Q (ß°) + ßl2 °1 (ß°) + Ä2 °2 (ß°\

B. Oq (/5°)    a₀₀ /?Q2° + a₀₁ ßi2° + a2o /^22°* aber

wo z.

x' : y' : z' = ß₀₂ : ß₁₂ : ß₂₂ w^ar, so ist a₀ (ß°)=^ß₀₂⁰ zufolge des Systems 20) und wir haben

K° — A° (ß₀₂² + ß₁₂² + ß₂₂²) = no²> somit erhalten wir die Haupt form 23) Л°£² + Л'г]2 + Л"С² = 0.

In der Hauptform treten die drei Wurzeln der Gleichung Л (A) = 0 als Koeffizienten auf und nur diese.

Die Hauptform ist so einfach, daß man alle bisherigen Resultate aus ihr mühelos errechnen kann ; insbesondere sieht man, daß, wenn z. В. A' = A", alle Schnitte parallel zur Ebene f = 0 Kreise sind, deren Zentren auf der £- Achse liegen, sowie daß die Schnitte

durch je zwei Hauptachsen, die Hauptschnitte, Symmetrieebenen sind. Für die Tangential- bezw. Polarebene finden wir 1° ff' + )! rj rf + Я" f f' = 0. Soll die Ebene u, v, w, d Tangentialebene sein, so muß d = 0, f' = u À°~¹ etc. Also ist

u²

²⁴) XÔ +

w²

Я"

die Gleichung des Kegels in Ebenenkoordmaten, weim man die Lösung u = 0 ; v = 0 ; w = 0 ausschließt.

(oder zwei

Haben alle drei 1 gleiches Zeichen, was jedenfalls erfordert, daß in 22) die Zahl о (als Summe der Produkte je zweier Wurzeln) ^>0 ist, so wird der Kegel imaginär und nur seine Spitze ist reell. Haben zwei der 1 das + Zeichen und das dritte das — Zeichen und eins +, was gleichbedeutend, da man die Form 23) mit — 1 multiplizieren kann), so *

c²

a²

erhalten wir, wenn wir A° = — ; Я' = — ; )!' =—

setzen und für f . . . wieder x . . . schreiben,

Die Sclmitte parallel der Ebene z = 0 sind Ellipsen, parallel den Ebenen у = 0 und x = 0 Hyperbeln. Die Zentren der Schnitte liegen auf der betreffenden Achse, die Asymptoten der hyperbolischen Schnitte sind den beiden durch den zugehörigen Haupt schnitt aus dem Kegel ausgeschnittenen Kanten parallel.

§ 28. Zylinder.

Es soll das Gleichungssystem der vier Gr' (sj) = 0 oder 0[ — 0 für einen unendlich fernen Punkt erfüllt werden. Nennen wir die Koordinate der Spitze Sj, so ist s₀ . s₁ : s₂ *. S3 = a₀3 : a₁₃ : а₂з *. «33, wo die а die Koeffizienten von a₀₃ etc. in der Entwicklung von А = 0 bedeuten. Es muß also s^bezw. ö₃g = 0 sein, und es dürfen nicht alle a₀₃ etc. zugleich verschwinden. Ist a₀₃ = 0, so liegt die Spitze in einer Parallelebene zur у z-Ebene; ist auch noch a₁₈ = 0, so liegt die Spitze in einer Parallele zur z-Achse. Da s₃ — 0 ist, so ist s₀ : sx : s₂ = b₀₂ : b₁₂ : b₂₂, wenn die b wie in § 25 definiert werden, d. h. der unendlich ferne Doppelpunkt der Spitze liegt in der Richtung der Geraden, deren Richtungsfaktoren b₀₂ . . . sind. Jede Gerade, welche diese Richtung hat, ist Achse; die Kosinus seien y₀₂ y₁₂ y₂₂. Man drehe das Koordinatensystem so, daß die neue z-Achse in diese Richtung fällt, setze also (§13):

S0 ⁼ 7oO s0 + 7oi + У02 S2 + 0 S3

si ⁼ 7io so + 7n öi + 712 s2 + 0 S3

⁵2    = 720 S0 + 721 S'l + 722 S2 + 0 S3

53    = 0 So -j- 0 s^ 0 S2 —|— 1 S3,

wo 7oo 7oi • • • die Kosmus der Winkel sind, welche die alte x-Achse mit den neuen Achsen der Reihe nach bildet etc. Man setze Punkt:

7o { 7oo> 7io? 720 05 7i y7oi5 7n 5 721 ^5 72 { 702 ; 7i2 ; 722 05 Punkt 0' { 0 0 0 1,

so daß y₀ und yt beliebige unendlich ferne Punkte, y2 die Spitze. Dann ist, wenn G(s) die gegebene Form,

G (s) = SÓ² G (y₀) + s',² G (7l) + s'₂² G (y₂) + s?

+ 2 s'o si P (y₀ yL) + 2 si s'₂ P (y₀ У₂) + 2 só s'a P (y₀ 0)

+ 2 Si s₂ P (yx y₂) + 2 si s₃ P (yx 0) -f- 2 s₂S3 P (y₂ 0).

Weil y2 die Spitze, sind G (y₂); P(y₀y₂); P (/i y₂)î P (y₂ 0) aile = O.

(Satz: Die Polarebenen aller Punkte gehen durch die Spitze wie beim Kegel; etc.)

G (s) reduziert sich also (die Striche sind weggelassen) auf:

1) s₀² G(y₀) + Sjl ² G (ft) + 2 s₀ s₁ P (y₀ yt) + 2 s₀ s₃ P (y₀ 0) + 2s₁s₃P(y₁0) + s₃²a₃₃:

Dreht man die z-Achse in die Richtung nach der Spitze, so ist die z-Koordinate aus der Form verschwunden.

Die Gleichung 1) zeigt also, daß der Zylinder durch alle parallelen Ebenen, welche nicht durch die Spitze gehen, d. h. der Zylinderachse nicht parallel sind, in kongruenten Kegelschnitten geschnitten wird. Gehen die Ebenen durch die Spitze, so zerfällt der Schnitt in zwei parallele Gerade.

Nimmt man y± in der Polarebene von y₀ an, so ist P (y₀ yt) = 0 und es verschwindet in 1) das Glied s₀ sL.

Setzt man nun infolge Parallelverschiebung des Koordinatensystems

%р(Уо 0).

s₃ p (7i 0)

Si = s'x

s₀ = s'o

so fallen die Glieder, welche die Koordinaten x und у in der ersten Potenz erhalten, weg und G(s) reduziert sich auf

G(7o)

G(7i) ’

2)

wo

P²faQ) I P’M)

&W ⁺ <*W '

Der Kegelschnitt, den 1) bei festem z darstellt, ist dann ein zentraler, Ellipse oder Hyperbel; der Punkt, dessen Koordinaten

s'

— und —, das Zentrum. Es kann aber Vorkommen,

s3    S3

daß dadurch, daß P (y₀ yx) = 0 gesetzt wurde, von selbst G(y₀) oder Н(у₁) verschwindet, und dann rückt der Mittelpunkt ins Unendliche, der betreffende Kegelschnitt wird zur Parabel.

Es ist

G (Уо) G Ы — P² (n 7i) = (tt>o <*о° + Ую °i° + У20 o₂°) (Л o'o + Г11 öl + У2i о'г) — (уoo Oo + 710 02 + У20 <4)

(Л °о° + Уп öi° + Уп V)>

und wenn wir dieselben Verbindungen der y’s, die wir bei den a’s mit bik bezeichneten, hier <5^ nennen,

3)G(7o)G(/₁)—p2(7ori)

b₂₂

(Ьо2^02+^12^12 + ^22^22)²^-р

mit Benutzung der Formeln 18 und 18a des § 24. Da aber b₀₂; b₁₂; ô₀₂; ô₁₂ den Faktor yb₂₂ haben, so ist G O'o) & (Zi) — p2 (Zo Zi) = °> wenn b22 gleich ⁰, imd wrenn b₂₂ > 0, F > 0 ; wenn b₂₂ <1 0, F 0, d. h. also wenn b₂₂ = 0 und P(y₀y₁) = 0, so ist G (y₀) oder G (ft) auch 0. Ist b₂₂ > 0, so haben G (y₀) und G (ft) das gleiche Zeichen; ist b₂₂<^0, so haben G(y₀) und G (ft) entgegengesetzte Zeichen, also:

d i.

a₁₁²>0 = 0<0

a02 ai2

ist, wird der Zylinder von jeder Ebene in einer

Je nachdem b

Ellipse, Parabel oder Hyperbel geschnitten und je nachdem heißt der Zylinder: elliptisch, parabolisch, hyperbolisch.

Der elliptische Zylinder wird, wenn C dasselbe Zeichen hat wie Gr(y₀), imaginär; der parabolische hat die Eigenschaft, daß die Polarebene eines unendlich fernen Punktes der Fläche, d. h. also die Tangentialebene desselben durch jeden andern unendlich fernen Punkt hindurchgeht, d. h.:

Der parabolische Zylinder wird von der unendlich fernen Ebene berührt.

Da jede Ebene, welche den Zylinder berührt, ihn in einer Kante berührt, so hat der parabolische Zylinder eine unendlich ferne Kante. (Der elliptische hat keine, der hyperbolische zwei.)

§ 29. Die Hauptachsen.

Jedes System konjugierter Durchmesser eines Schnittkegelschnitts bildet mit der Kantenrichtung ein System konjugierter Achsen des zentralen Zylinders und ebenso wieder ein Pol-Dreikant. Um das rechtwinklige zu finden, schlagen wir denselben Weg ein wie beim Kegel: wir betrachten eine Reyesche Achse durch den Nullpunkt, auf der ein unendlich ferner Pol a { só s' S2 0 bezw. a { x' y⁷ z' 0 liegt; es ist dann wieder

o₀ (a) = Я x' ;    (a) = Я y'; o₂ (a) = Я z'

und wir erhalten dasselbe Gleichungssystem 20) des §26 und somit für Я dieselbe Gleichung dritten Grades § 22, welche hier aber die Wurzel 0 hat, da nach Yoraussetzung a₃₃ — 0 ist. Sie reduziert sich auf Я (Я² — Я s + a) = 0. Wir erinnern daran, daß s == a₀₀

+ аи + а₂₂ und о = b₀₀ + Ьп + b₂₂ ist. Die Wurzel А = 0 gibt, wie vorauszusehen, als eine dieser Achsen die Kantenrichtung mit den Faktoren b₀₂ ; b₁₂ ; b₂₂. Wir nehmen zunächst an, daß b₂₂ =/= 0 ; dann sind die beiden Größen A' und X" von 0 verschieden. Die Resultate des § 26 bleiben bestehen; die drei Hauptachsen stehen aufeinander senkrecht. Wir wählen ihr Dreikant als Koordinaten-Achsen-Dreikant und ordnen die neue x-Achse der Wurzel A', die у-Achse der Wurzel X" und die neue z-Achse der Wurzel A = 0 zu. Es wird dann P (y₀ 7i) von selbst 0 infolge von 21a) des § 26.    G(y₀) und G(x) werden wieder zu A'

und A", und wir erhalten

4) s₀ ² X' + sA ² A"+s₃ ²a₃₈ + 2 s₀ s₃ P (y₀ 0}+ 2 st s₃ P (y₁0) ;

für P (y₀ 0) und P (y₁ 0) können wir auch schreiben °АУо) und os(yi)-

in den Punkt M

; z beliebig, so

Verschieben wii* nun das Koordinatensystem parallel I рв(Уо). «3 (7i).

erhalten wir die Normalform des zentralen Zylinders 5) s₀²A, + s₁²A" + C-0.

Die Richtungsfaktoren der drei Hauptachsen sind

fy)2 1 ^12 1 ^22 5    ^02 ^ ^02 J ^12 “P^ %2 5 ^22    G~\~ A a₂₂ etc.

(zur Vereinfachung von ß₂₂ und ß₂₂ ist die Gleichung der A benutzt). Der Zylinder ist elliptisch, wenn Xr und X" das gleiche Zeichen haben, was verlangt, daß а > 0, aber

0 = \o + \i + b₂2 = b₂₂—1 (b₀₂² + b₁₂² + b₂₂²), d. h. also b₂₂> 0, wie bereits bewiesen; hyperbolisch, wenn b₂₂ < 0; ob er imaginär ist, hängt davon ab, ob C

das gleiche Zeichen wie X imd A" hat; die Berechnung von C vereinfacht sich zwar dadurch, daß

a03 fy)2 + »13 ^12 4~ »23 ^22 ~ 9* indessen ist es bequemer, den Satz zu benutzen, daß ein Zyhnder von allen Ebenen, welche die Kanten schneiden, in gleichartigen Kegelschnitten geschnitten wird. Die Ebene z = 0 schneidet den Zylinder in dem Kegelschnitt

aoo x2 + 2a«! xy + an у ² + 2a₀₃ x + 2als у + a₃₃ = 0

und dieser ist Ellipse und reell, wenn b₂₂ > 0 und a₀₀a₂₃^>0, Ellipse und imaginär, wennb₂₂>0, a₀₀a₃₃<^0; Hyperbel, wenn b₂₂ <1 0, Parabel, wenn b₂₂ = 0. Man sieht aus dem Anblick von C sofort, daß, wenn s, d. h. aoo + »ii + a22 0 und a₃₃ auch > 0, dann C 0, d. h. der Zylinder ist imaginär. Die Berechnung von C gestaltet sich höchst einfach, wie folgt: •

Es ist

ЖО

о² ы

n/2 — ßo2² + ß'l2² 4“ ßn² — ßwißoO 4" ßll 4“ ß'22) — ß22 x = o — 2 /f s -J⁻    — — A/ s,

also :

n'² = — ßf22^ S.

°3 (Я = a03 ßo2 = al3 ßl2 + »23 ßf22-

Weil a₃₃ = 0, gelten die Gleichungen аоз ^00 ~t“ ai3 fy)i 4” ai3 ^02 ⁼ 0

a03 4l + a03 ^11 + a23 ^12 ⁼ 0

a03 fy)2 4" al3 ^12 “b a23 Ц2 ~

also a₀₃ : a₁₃ : a₂₃ = b (b₀₂) : b (b₁₂) : b (b₂₂), wo das b vor

der Klammer andeutet, daß wir dieselben Verbindungen mit den b^ vorzunehmen haben, wie früher mit den a^, um die b^ zu bilden. Die drei Koeffizienten sind einzeln 0, aber sie verhalten sich wie a₀₂ : a₁₂ : a₂₂, folglich

a23“

a₂₂“ s

я² (Уо)

ß'z ■, also

und

0₃(ß') = ^

d22

6) C =

Щ>3 ~ /S a22    ^ (^00 H“ ^ll)

%2²

) + a33*

§ 30. Der parabolische Zylinder.

Wenn о = 0, d. h.

b₂₂ — 0 — a₀₀ an a₀i² ;

so wird generaliter eine zweite Wurzel k' der Hauptachsengleichung 0, (eine Ausnahme tritt ein, wenn b₂₂ = 0 und b₀₂:b₁₂ endlich und bestimmt bleibt, dagegen b₂₂:b₀₂ und b₂₂ : b₁₂ = 0 sind, d. h. also wenn die Zylinderachse auf der z- Achse senkrecht steht), und alle b^ sind 0. Wir wollen dies geometrisch beweisen.

Die Richtungskosinus der 3-Achse k" sind den Größen a₀₂ a₁₂ agg proportional, die Richtungskosinus X у z der Achse к = к' — 0 genügen den Gleichungen

aoo x + *oi У + a02 z    =    ⁰ ;    aoi x + au У +    z    = 0 ;

a02 X "f" ai2 У a22    Z    = 0 ]

d. h. die Achse steht auf den drei Geraden gt    {    a₀₀ a₀₁ a₀₂ ;

g₂ { a₀₁ au a₁₂ ; g₃    {    a₀₂    a₁₂ a₂₂ senkrecht,    Die    drei

Richtungen gehören also einer Ebene e an. Ist

nunb₂₂ = 0, d. h. — = -°-, so sind die xy-Projektionen aoi an

von g₂ und g₁ der Richtung nach identisch, d. h. also die Ebene e enthält die z-Achse (der Richtung nach), die Zylinderachse X steht also auf der Ebene e senkrecht. Die Gleichheit zweier Achsen ist aber vom Koordinatensystem unabhängig, ist invariant, und es müßte also die Zylinderachse X (A') auf jeder beliebigen Geraden senkrecht stehen. Dieser Widerspruch hört nur dann auf, wenn die drei Geraden g₃ g₁ g₂ in eine einzige zusammenfallen, d. h. also, wenn alle b = 0, d. h. a₀₀ : a₀₁ : a₀₁ = a₀₂ : a₁₂ : a₂₂ = a₀₁ : a₄₁ : a₁₂. Dies sind also die nötigen und hinreichenden Bedingungen für den parabolischen Zylinder.

Analytisch kann derselbe Beweis dadurch geführt werden, daß aus den Gleichungen 18 und 18a des § 25 folgt, daß, wenn b₂₂ = 0, auch b₀₂ = 0 und b₁₂ = 0 sind; wemi aber die Achse eine bestimmte Richtung hat, so sind b₀₂ : b₁₂ und b₀₂ : b₂₂ bestimmt (den Fall, daß diese Richtung auf einer Achse, z. B. der z-Achse senkrecht steht, werden wir bei den Kreisschnitten näher betrachten) und folglich b₀₀ = b₀₂ (b₀₂ : b₂₂) = 0 und bn desgl. und ebenso b^.

Die Richtung der Zylinderachse bestimmt sich sofort daraus, daß sie auf g₃ und der Linie g₄ {a₀₃ a₁₃ a₂₃ senkrecht stehen muß; letzteres, weil für ihren unendlich fernen Punkt als Spitze alle vier o₂, also auch <j₃ verschwinden muß.

Die Gleichung 4) des vorigen § geht über, da P (y± 0) = 0 ist, in

s₁²A"+s₃²a₃₈ + 2 s₃ssP(y₀0), wo A"=s = a₀₀ + an woraus ohne Schwierigkeit die Gleichung A'V + 2fn = 0,

die Normalgleichung des parabolischen Zylinders, abgeleitet wird.

Man kann die Probe direkt anstellen.

Die Bedingungen sagen aus, daß Gr(s) in diesem Falle die Form annimmt

г =    + /ä^ у + Уа₂₂ z)² + 2x + 2у

+ 2 a^g z -j- a₃₃ = 0,

F=

со , w

(]/a₀₀ x₁ . . .)² -J-. . .

Setzt man

’-’‘Рг+'Ут + 'рг

d. h. also, da (18, § 25)

]/a₀₀ : ]/a₁₁ : ]/a₂₂ — a₀₂ : a₁₂ : a₂₂, setzt man die neue rj- Achse parallel g₃, so kommt F = s »7²-f- 2 a₀₃ x + 2 a₁₃ у + 2 z + a₃₃. Setzt man nun

WO

À £ — ^оз x ”ł~ ai3 У “Ь a23 ZJ Я² = а,₃² + а₁₃² + а,₃²,

so ist a) F = s^² + 2Af+ аз₃.

Die f-Achse ist also parallel g₄. Die Form a) stellt, gleich 0 gesetzt, bei bestimmtem z eine Parabel dar, bezogen auf ein Paar konjugierter Achsen. Die Zylinderachse z hat die Bichtungsfaktoren

ai2 a23    a22 ^13 ? ^22 аоз ao2 %2 und a₀₂ a₁₃ — a₁₂ a₀₃.

Simon, Analytische Geometrie des Raumes.

a03 *^02 “t“ а13 ai2 "t" a23 ^22 ⁼

Ist

so stehen auch g₃ und g₄ aufeinander senkrecht und die f-, rj- imd z-Achse bilden ein dreiachsiges rechtwinkliges Koordinatensystem.

VII. Abschnitt.

Die eigentlichen zentralen Flächen zweiten Grades (Quadrics) in allgemeiner Behandlung.

§ 31. Die zentralen Flächen zweiten Grades.

Die allgemeine Form zweiten Grades besteht aus der in den Koordinaten s₀ sx s₂ homogenen Form zweiten Grades К (s₀ sx s₂) oder К (x у z) und der Form E (s) = 2 a₀₈ s₀ s₈ + 2 a₁₈ st s₈ + 2 &,₈ s₂ ss +a3S s₈².

К stellt im allgemeinen einen Kegel (zweiten Grades K²) dar, außer wenn die Spitze ins Unendliche rückt; E (s) läßt sich generaliter durch Achsentransformation auf die Konstante a₃₃ reduzieren (wo dann E (s) = 0 die unendlich ferne Ebene darstellt) und zwar durch ParallelVerschiebung, wodurch K (s) ganz un-geändert blieb. Wir erhalten für die Koordinaten des neuen Anfangspunkts M die Gleichungen (vgl. § 5)

°0 № = a00 f + %)1 V + a02 C + a02 = ö

°1 C^) = a01 f + aH V + al2 £ + ai3 ⁼ 0

G2 C^-) ~ a02 £ H“ а12 V ^22 £ + a23 ⁼ ^ 5

woraus sich die Koordinaten von M ergeben, als z. B. (аоз bpp ai3 b₀i + f\>3 b₀₂) ^

Nur wenn «33 = 0, rückt M ins Unendliche, aber das war gerade die Bedingung dafür, daß der Kegel K (s) in einen Zylinder übergeht. Die Polarebene des Punktes M hat die Gleichung s₃ 03 (M) = 0, d. h. also, da оз(М)^0, weil sonst А — 0 und E (s) ganz verschwinden würde, s₃ = 0, d. h. also die Polar ebene von M ist die unendlich ferne Ebene; jede durch M gehende Sehne der Fläche K(s) + E(s) ⁼ 0 wird also in M halbiert, die Fläche hat also in M einen Mittelpunkt im eigentlichen Sinne. Wenn also A^AO und a₃₃^0, so haben wir eine eigentliche Fläche zweiten Grades F mit Mittelpunkt. Ihre Gleichung ist 1) К (s) — C = 0.

Die charakteristische Eigenschaft des Punktes 31 { f, ?/, £ läßt sich auch direkt dartun.

Es war G(s + s') = G(s) + 2P(s,s')-f G(s').

Setzt man s = s₀ ... und s₀ = x; st = y; s₂ = s₃ = 1 und s' = So ... und So == a r ; s[ == ß r, s£ = у s₃ == 0 und s' = r s", so ist

G (s + s') = G (s) + 2 r P (s s") + r² G (s").

Es ist aber

G (s") = K (a ß y) und P (s s") = a a₀ + ß o₁ + y o₂ .

G (s + s') = 0 enthält dann die Bedingung, daß ein Punkt der Geraden, welche mit den Richtungsfaktoren a ßy durch den Punkt x y z geht imd von diesem die Entfernung r hat, auf der Fläche G (s) = 0 liegt. Man erhält, wie bekannt, zwei Werte von r und damit zwei Schnittpunkte (generaliter) ; soll nun x... in der Mitte beider liegen, so müssen die beiden Werte von r aus G (s + s') = 0 einander gleich sein und entgegen-

9*

gesetzt, d. h. es muß

sein. Dies ist aber die Gleichung einer Ebene und zwar die Gleichung der Polar ebene des in der Richtung aßy unendlich fernen Poles, da die Richtungsfaktoren einer Geraden den Koordinaten ihres unendlich fernen Punktes proportional sind. Der Ort der Mittelpunkte aller der Richtung aßy parallelen Sehnen ist also die Ebene P (s s") = 0 und umgekehrt jede Sehne, die in dieser Richtung durch einen Punkt der Ebene gezogen wird, wird in ihm halbiert. Für den Punkt M {f rj f, für den o₀ ox o₂ gleichzeitig verschwinden, ist die Gleichung P(ss") = 0 unabhängig von aßy erfüllt; also gehen alle diese Ortsebenen durch M und jede durch M gehende Sehne wird in M halbiert; somit ist M der Mittelpunkt. Die Ebenen P (s s") = 0 = a o₀ -f ß oî -f- y o2 heißen Durchmesserebenen (Diametral-), der von M nach dem Pol (d. h. in der Richtung aßy) gezogene Durchmesser heißt der Ebene P (s s") konjugiert.

Sind s' und s" zwei Punkte (Elemente) des Gebildes G(s) = 0, so gilt für jeden Punkt s{s'-f-2s" ihrer Yerbindungs-(Schnitt-)Geraden, und nur für diese, die Relation

P (s s') + P (s s") = P (s' s"). (1 + X),

weil P (u + V, x) = P (u x) + P (v x) ist, und P (s' s') etc. = 0. Ferner

P (s, s' + s") — P (s' s").(l + X)

s'-f-s"{m, wenn mit m der Mittelpunkt von s's" (bezw. die Winkelhalbierende) bezeichnet wird; also m { So + s о • • • { xo + xo • • • 2, somit :

a)    P(sm) = P(s's") • (1 + Л),

b)    .P (m m) = G (m) = 2 P (s' s"),

= ¹/₂G(m).

c)

P (s m)

T+T

Bezeichnet man die gewöhnlichen Punktkoordinaten von m mit ÇrjÇ und die von s mit x, y, z (es ist

g

so

⁰ ... und s₃ = 1 + Я, wenn s₃ = 1 ; s 3 = 1),

S3

haben wir

d)    G (I rj £ 1) = P (f г] £ 1, x y z 1), oder wenn wir m { £ rj £ 1, s { x y z 1 setzen,

e)    G (m) = P (s / m).

Sehen wir s als festen Punkt an, so haben wir

den Satz:

Die Mitten aller Sehnen eines Quadrics, welche durch einen festen Punkt P gehen, liegen auf einem ähnlichen Quadric mit parallelen Achsen, auf dem P liegt.

Der Berührungskegelschnitt des von P an G gelegten Kegels liegt auf diesem Quadric, da P(sm) die Polarform von G(s).

Die Ableitung zeigt, daß der entsprechende Satz zugleich für die Kegelschnitte gilt.

Wird s als Ebene, G(s) als 99² gedeutet, so haben wir den dualen Satz:

Die Halbierungsebene des Winkels zweier Tangentialen, deren Schnittgerade auf einer festen Ebene liegt, umhüllt eine ähnliche <p².

Bewegt sich m, so daß G (m) konstant bleibt, so ist P(sm) = G (m), die Gleichung der Tangentialen an

das ähnliche Gebilde, m das Berührungselement; dies tritt z. B. ein, wenn sich ein dem Quadric eingeschriebenes (umgeschriebenes) Dreieck so bewegt, daß zwei Seiten (Ebenen) parallel bleiben; die dritte umhüllt dann einen ähnlichen Quadric, der homothetisch ist, und m ist das Berührungselement.

Das Zentrum M der Fläche ist zugleich (§ 24) Zentrum des Kegels K; transformiert man den Kegel auf ein System konjugierter Achsen, so hat man F auf ein gleiches System transformiert; die Hauptachsen des Kegels sind die Hauptachsen der Fläche, denn die Größen o₀ ox o₂ sind für F und К identisch. Damit die Identität sich auf o₃ erstrecke, muß s₃ — 0 gesetzt werden, d. h. der Kegel К und die Fläche haben im Endlichen keinen Punkt gemeinsam, aber im Unendlichen verschmelzen der Kegel und die Fläche. Der Kegel К heißt Asymptoten kegel. Dies erhellt auch aus der Gleichung G(s + s') = 0. Für die Richtungen, welche der Gleichung K (a ß у) = 0 genügen, d. h. den Kanten des Kegels К parallel sind, verschwindet r² aus der Gleichung. Gerade in dieser Richtung haben also im allgemeinen nur einen Punkt im Endlichen mit der Fläche gemeinsam (der andere liegt im Unendlichen T. 1, S. 95). Liegt der Punkt x... einer solchen Geraden auch noch auf der Ebene P(ss") = 0, d. h. auf der Tangentialebene an den Kegel (a o₀ + ... = x а о + У + z so hat sie keinen Punkt mit der Fläche gemeinsam, außer wenn G (s) = 0, d. h. der Punkt x ... auf der Fläche ; dann aber verschwindet G (s + s') identisch, die Gerade liegt ganz auf der Fläche. Schneidet also die Tangentialebene an den Kegel К (welche nicht zugleich die Tangentiale an F sein kann) die Fläche, so schneidet sie die

Fläche in zwei der Berührungskante parallelen Geraden.

Wird К zum Rotationskegel, so wird F zur Rotationsfläche; wird К zum Kugelkegel, so wird F zur Kugel und man braucht die betreffenden Bedingungen nur aus Abschnitt VI abzuschreiben. Man sieht sofort, daß alle Schnitte von К und F durch eine Ebene homothetische Kegelschnitte ergeben (T. 1, S. 112, d. h. solche, für welche die Lage und das Verhältnis der Achsen ungeändert bleibt, oder die sich nur durch den Wert der Konstanten unterscheiden, d. h. die unendlich ferne Gerade in denselben Punkten treffen); kurz, man brauchte die zentralen Quadrics rechnerisch kaum zu behandeln, wenn nicht die gestaltlichen Verhältnisse interessierten. Die Konstante C kann auch gleich 1 gesetzt werden, da ein Kegel sich durch Änderung des Längenmaßes nicht ändert.

Es sei G (s) die auf die Hauptachsen transformierte Form eines zentralen Quadrics, d. h.

G (s) = А⁰ X² + A' y² 4- A" z² — 1 = 0

seine Gleichung. Sind alle drei A negativ, so heißt die Fläche: imaginäres Ellipsoid; sind die A alle positiv: Ellipsoid; sind zwei A negativ, eins positiv, so heißt die Fläche: einschaliges Hyperboloid; zwei positiv, eins negativ: zweischaliges Hyperboloid.

zu

Sei E (s) eine Ebene mit den Richtungsfaktoren b₀₂ b₁₂ b₂₂. Um den Schnitt von E (s) und G (s) untersuchen, kann man entweder die Koordinaten so transformieren, daß E (s) zu einer Koprdinatenebene wird, oder eine passende Spezialfläche zweiten Grades durch die Schnittkurve legen. Wir wählen einen Zylinder, dessen Achse auf der Schnittebene senkrecht steht, also

die gleichen Richtungsfaktoren hat. Wir haben dann

2) C(s) = G(s) + E(s)H(s) = 0.

Denn C(s) muß verschwinden, sobald G(s) und E(s) gleichzeitig verschwinden; H(s) stellt dann eine zweite Ebene — Nebenebene — dar mit den Richtungsfaktoren 2 u 2 V 2 w. Es hat dann C (s) die Koeffizienten der Glieder zweiten Grades (in xyz):

a00    2 b₀2 W a01 ⁼fy)2 V-b^l2 W a02 “fy)2 W~Ь^22 W

au = A' + 2b₁₂v; a₁₂ =b₁₂w +b₂₂ v ; a₂₂ =A" + 2 b₂₂ w.

Man sieht sofort, daß C (s) sich nicht ändert, wenn man b₀₂ . . . mit u . . . vertauscht. Setzt man wieder, wie in § 26, a₀₀ + a₁₁ + a^ = s; b₀₀ -f- bu + b₂₂ = a, so haben wir für die Richtungsfaktoren der Zylinderhauptachsen

^02 ^12 ^22 ? * * * J Ц)2    ^02 1 ^12    ^ al2 5 ^22    a22

wo II und L" die Wurzeln der Gleichung L² — L s -j- ö = 0.

[Zu bemerken, daß die b in о sich von den b’s der Ebene E (s) durch einen gemeinsamen Faktor unterscheiden, solange dieser nicht 0, ist es erlaubt, sie zu identifizieren.]

Da a₃₃ = 0, weil C (s) Form eines Zylinders, so haben wir wieder die schon oft benutzten Relationen 18 des § 25 und es ist

^22

^12

__b₀₂² + b₁₂² + b₂₂²

cos² у cos ß cos у

b₂₂

ho 2

cos a cos у

wo a ßy die Richtungswinkel von E (s) sind.

§ 31. Die zentralen Flächen zweiten Grades. 137 Es ist ferner

s = (A^ -f- Ï! -J- A/r) -f- 2 (u bQ2 v b|2 "w b.>9) = % -{- 2 d.

Wir haben zur Ermittlung von u v w die Glei-clumgen (§ 25):

a00 ^02    a01 ^12 H“ a02 ^22 ⁼ ^ 5 a01 ^02 “Ь all ^12 “t“ al2 ^22 ⁼ ^ 5

Щ)2 fy)2 “t“ %2 ^12 H” ^22 ^22 ^ ^ > oder

u о b₂₂ + b₀₂ (n b₀₂ + V b₁₂ + w b₂₂) + b₀₂ A° = 0 y a b₂₂ + b₁₂ (u b₀₂ + v b₁₂ + w b₂₂) + b₁₂ A' = 0 w a b₂₂ + b₂₂ (n b₀₂ + v b₁₂ + w b₂₂) + b₂₂ A" = 0.

Man sieht, verschwindet ein Richtungsfaktor, z. B. b0 so verschwindet u und damit a₀₁ imd a₀₂, d. h.:

Ist die schneidende Ebene einer der drei Hauptachsen parallel, so ist es auch die Hebenebene und die eine Hauptachse der Schnittkurve ist der betreffenden Hauptachse parallel.

Ist keins der b₁₂ gleich Hull, so kann man durch b₀₂ etc. dividieren, und wenn man u b₀₂, v b₁₂, w b₂₂ als Unbekannte x, y, z einführt, so hat man, wenn man sich der Bedeutung der b₂₂ erinnert (den Richtungskosinus der Schnittebene proportional),

-Л + # + A° = 0 etc., cos² а

und diese Gleichungen bleiben auch für den Fall des parabolischen Zylinders richtig. Das System gibt, da û = x + у + z ist,

2)    — 2 $ = A° cos² a -f- A' cos² ß -f- A" cos² у.

Hieraus erhält man sofort für den Fall, daß der Schnitt eine gleichseitige Hyperbel, d. h. die

beiden in der Schnittfläche liegenden Hauptachsen entgegengesetzt gleich, also s = 0 ; 2 # = — r,

2a) A° + A' + A" = A° cos ²a + X' cos ²ß + X" cos ²y

oder

2е) A° Sill ²Ö + A' sin ²ß + Г Sin = 0.

Man sieht, wenn alle drei X positiv, ist diese Gleichung (für reelle Schnittebenen) unerfüllbar. Die Gleichung 2a) kann auch die Form annehmen (durch Multiplikation mit cos ²a -f cos ²ß -f- cos ²у = 1) :

2Ъ) cos ²a (А' + X") + cos ²ß (A" + A°)

+ cos²7(A°+A/) = 0.

Also (24) des § 27):

Die Ebenen, welche aus einer zentralen Fläche F² gleichseitige Hyperbeln ausschnei-den, sind den Tangentialebenen des Kegels mit den Achsen (A' + A")⁻¹;    (A" + A⁰)“¹; (A°-fA/)~¹

parallel (also auch den Tangentialebenen an das Ellipsoid (X°)~¹ ; (X')—¹ ; (A")— ¹ im Abstande ]/A°-f- A'+ X‘")• Die Ebenen dieser Schar, welche durch einen festen Punkt P gehen, umhüllen einen Kegel mit der Spitze P, der sich von den vorigen nur durch Parallelverschiebung unterscheidet.

[Wird eine der Achsen, z. В. A" gleich Null, ist also M im Unendlichen, so bleiben die Relationen 2a) 2b) 2C) bestehen, nur geht die Symmetrie verloren. Die Sätze gelten daher z. B. auch noch für den Zylinder, bei dem eine Achse 0 ist 5 doch sind die Schnitte nur für den hyperbolischen Zylinder reell.]

Wenn der Schnitt parabolisch, so ist der Zylinder ein parabolischer (§ 30). Die Zylinderachse {b₀₂ b₁₂ b₂₂

§ 31. Die zentralen Flächen zweiten G-rades. 139

steht senkrecht aut der Achse { a₀₂ a₁₂ a₂₂ hezw. ]/a₀₀ yä11 ]/&^ und die dritte Achse auf beiden, ihre Richtungsfaktoren sind pqr, wo P = b₁₂ /a₂₂ — b₂₂ ]/au ; q = b₂₂

sofort somit, da

Уа₀₀ — b02 i&2-2 ; Г = Ь02 У% 1 — b12 УаОО- Es ^gibt SlCll p*=i'Vłl"V-

P b02 + q b12 + Г b22 = 0 ist)

3)    УЯ"Ь₁,2 + Я'Ь₂₂2Ь₀₂ + -.. = 0.

Befreit man diese Gleichung von den Irrationalitäten durch Quadrierung, wie bekannt, so ergibt sich als Bedingung für die Richtungskosinus der Schnittebene die Gleichung

cos ²a cos*/? , cos ²y ³⁾ Я” '• Я' + Я" "°

[ {A' A" cos ²a + А" A° cos ²ß + А⁰ A' cos ²y = 0] d. h. (24) des § 27):

Die parabolischen Schnitte einer Zentralfläche zweiten Grades sind den Tangentialebenen des Asymptotenkegels parallel.

[Ist eins der A, z. В. A", gleich Null, rückt M ins Unendliche, wie beim Zylinder, so sondert sich aus 3) der Faktor b₂₂ Unks ab, also muß entweder b₂₂ = 0 sein, oder der andere Faktor ist 0; letzteres führt zu b₀₂ = 0 oder b₁₂ = 0. In jedem dieser beiden Fälle müßte aber der Schnitt senkrecht zur Achse 0, der also im allgemeinen die Achsen A° und A' enthält, eine Parabel sein; es bleibt also, wenn man vom parabolischen Zylinder absieht, nur b₂₂ = 0, d. h. wenn in einer Fläche F² eins der A verschwindet, schneiden die Schnitte parallel der zugehörigen Achse Parabeln aus.

Ist die Fläche ein Zylinder, so zerfallen diese Parabeln in zwei parallele G-erade.J

Um die Natur eines ebenen Schnittes allgemein zu beurteilen, muß man sich entsinnen, daß der Zylinder elliptisch, parabolisch, hyperbolisch, der Schnitt also Ellipse, Parabel, Hyperbel, je nachdem b₂₂>0, = 0, <0. Es ist aber b₂₂ gleich a₀₀ alt—a₀₁² und es ergibt sich

ßb) b₂₂ = cos ²y (A₀ A' cos ²y -f- Xr X" cos ²a

+ X₀ X" cos ²ß).

Somit hängt die Natur des Schnitts vom Zeichen des Faktors von cos²/ ab, wir wollen ihn R nennen, und der Schnitt ist Ellipse, Parabel, Hyperbel, je nachdem R> 0, = 0, <0 ist. Die Hauptachsengleichung des Schnitts, wodurch aber die Achsen des Schnittkegelschnitts nur bis auf einen gemeinsamen Faktor bestimmt werden, ist:

3e) L² — L2,A₀sin²a + R = 0.

§ 32. Die Kreisschnitte.

Es fragt sich, ob und wann der Schnitt zum Kreis wird ; es muß dann der Zylinder zum Rotationszylinder

s²

werden, L' = L" = ----2

; о = -- und nach § 30

b02    ^1 %2 — ^ 5 b22 “Ь bjl %2 — b j

boi — « + Ц = 0 ; V + s/ 2 = 0

also

b()2 U2 ^01

außer wenn eins der b, z. B. b₂₂ gleich 0; daraus folgt

u : v : w = b₀₁ : b₁₂ : b₂₂, dann geben unsere Gleichungen

C(sHG(s) + cE²(s),

d. h. die beiden Schnittkurven sind parallel, und unser System gibt

Â) + c (b₀₁² + b₁₂² + b₂₂²) = 0 ; Я' + ... = 0 ;

Я" + с... = 0, d. h.

Wenn also keins der b gleich Null, so muß G-(s) eine Kugel sein; die b sind willkürlich, und wir finden die bekannte Eigenschaft der Kugel wieder, von jeder Ebene in einem Kreis geschnitten zu werden.

Ist Gr(s) keine Kugel, so muß eins der b gleich 0 sein, d. h. die schneidende Ebene einer der Hauptachsen parallel sein; dann werden an sich alle b gleich Null, aber da die schneidende Ebene eine bestimmte Richtung haben soll, so können wir, wenn z. B. b₂₂ = 0, d. h. die schneidende Ebene der z-Achse parallel, setzen : b₂₂ : b₀₂ == b₂₂ : b₀₂ und unsere Systeme bleiben, nur

w und b

sind 0,    = Я".

Li

Wir haben dann:

a) + %1 ⁼ ^ >

b)    aoo a₁₀ = (weü b₂₂ = 0) ;

c)    a^Q b₀₂    b₁₂ = 0 ;    b₀₂ -|- an b₁₂ = 0 ;

oder mit Benutzung топ Ъ):

а00 ^02 2 = а11 Ь12²5

Cl. h.

%)0 + а11

ł ^02 ² ~Ь ^12 ²

Es- stellt nichts im Weg,

b₀₂ = cos a, b₁₂ = cos ß, (sin a)

zu setzen, wodurch

aoo = bi 2²Я" ; au = Я" b₀₂ ²,

und damit sind 2ub₀₂ und 2vb₁₂ als Funktionen von b₀₂ und b₁₂ bestimmt, die Gleichung a) gibt dann

а) Я"=Я°Ь₁₂² + Я'Ь₀₂².

; V²

4) ь₀₂² =

Я" — Я⁰

Я'—Я⁰

Я' —Я"

Я' — Я° '

Hierin stecken zwei Scharen von Ebenen, je nachdem wir die Wurzeln mit gleichen oder entgegengesetzten Zeichen nehmen, und da wir ebensogut b₀₂ = 0 oder b₁₂ = 0 setzen könnten, so gibt es im allgemeinen, d. h. von der Kugel und dem Kugelkegel abgesehen, sechs Scharen von Kreisschnitten, deren Realität wir später untersuchen wollen.

Die Kreisschnitte lassen sich, wenn einmal feststeht, daß die schneidende Ebene einer der Achsen parallel ist, weit schneller erledigen, wenn man durch den Schnitt eine Kugel legt. Es müssen dann G(s) und E(s) = ax + ^y+(5, oder wenn wir von der Konstante absehen, G(s) und E(s) = ax + jä.y so kombiniert werden können, daß die Gleichung der Kugel

ax² + ay² + az² + ...

erhalten wird, d. h. die Quadrate der Variablen gleiche Koeffizienten haben und die Produkte verschwinden. Da а X = — ß у, so ist für alle Punkte von E :

а² X² = ß² y², und es wird

(Я⁰ X² + Я' у² -f Я" z²) -f- (а² X² — ß² у²) zur Kugelform, wenn

Я° + а = Я"; Я'—/Р = Я"; ос² = Я"—Я⁰:

ß² = Я' — Я", а² + ß² = Я' — Я⁰,

Also:

d. h. b₀₂²

Я"—Я⁰

Я'—Я⁰*

Auf jeder zentralen Kegelfläche, den Kegel selbst eingeselilossen, gibt es drei Paar reeller oder imaginärer Kreisschnittscharen, ausgeschnitten von Ebenen, welche je einer der Hauptachsen parallel sind und mit den andern die durch die Formeln 4) und ihre entsprechenden bestimmten Winkel einschließen; die Winkel zweier zur selben Achse gehöriger Ebenen werden durch die beiden andern Achsen halbiert.

Die Formeln 4) zeigen, daß b₀₂² und b₁₂² nur dann positiv imd kleiner 1), die Ebene E nur dann reell, wenn Я die mittlere Achse repräsentiert.

so fallen die beiden

Es sind also, abgesehen von der Kugel und dem Kugelkegel, nur zwei der Kreisscharen reell, welche zur selben Achse gehören. Sind zwei der Я gleich, ist die Fläche eine Rotationsfläche Scharen zusammen.

Den zu einer Schnittebenenschar b₀₂ ; b₁₂ ; b₂₂ konjugierten Durchmesser finden wir dadurch, daß wir ihn für den Kegel K (s) bestimmen ; da haben wir für den Pol x'yV

c fy>2 -— öq ; c b₁₂ — Oi ; c b₂₂ — 02 ] 0 — 03, also x'= cb₀₂ Я⁰“¹ ; y' = cb₁₂ Я'⁻¹ ; z' = сЬ₂₂Я"_1?

wodurch wir für den Durchmesser, auf dem die Zentren einer Kreisschnittschar liegen, erhalten:

; z' = 0 etc.

Я°х Я'у

^12

ableiten.

Wir können dies auch ohne Hilfe des Kegels

Sei

xa + y/S+z7 = <5

also, wenn (/,')

eine Ebene, so haben wir für ihren Pol с а = Я⁰ x', . . . c à = 1, — A~'¹ gesetzt wird,

x' = ca A~°, ...; x' =. а A~° <5~¹ ; y' = ßA~' b~' ;

zï = y A~" ô~l

oder

x'

У'

z!

// ?

da ô hierin nicht vorkommt : .

Die Pole aller parallelen Ebenen liegen auf einem Durchmesser.

Ist (5 = 0, wird die Ebene zur Diametralebene % so rückt der Pol ins Unendliche; aber da die Verhältnisse der Koordinaten von ô unabhängig, so ist dieser Punkt in der Richtung a A~° . . . und alle durch einen Punkt der Diametralebene in dieser Richtung gezogenen Parallelen werden zwischen der Fläche in ihm halbiert:

Zieht man durch einen Pimkt x'. . . des Durchmessers eine Gerade mit den Richtungsfaktoren uvw in der durch x' . . . gehenden Ebene der Schar a ß 7, so ist u a -f V ß + w y = 0, weil das Lot auf der Ebene auf u V w senkrecht stellt. Die Gleichungen der Geraden

x = x/ + i*u; y = y'-fry; z = z' + rw, und für die Schnittpunkte mit der Fläche haben wir

sind

Gr(x,y,z) = G(xr.. ,) + rc(ua + v^ + w/)

+ r¹ Gr (u y w) = 0,

und da der Koeffizient von rc verschwindet, so wird die Gerade zwischen den Schnittpunkten mit der Fläche im x', ... halbiert, oder:

Der Punkt, in welchem der konjugierte Durchmesser die Ebene der Schar schneidet, ist der Mittelpunkt des Schnitts zwischen Fläche und Ebene.

Die Konstante ô bestimmt sich durch die Tatsache, daß, wenn man eine der Koordinatenachsen in die Richtung der Zylinderachse dreht, die betreffende Koordinate aus der Gleichung des Zylinders herausfällt. Dreht man also z. B. das Koordinatenkreuz in der x y-Ebene (Fig. 13), so daß die x-Achse in die Richtung b₀₂b₁₂ fällt, setzt also, daa₀₁ = —Ь₀₂Ь₁₂Я" ist,

x = b₀₂f — b₁₂i?; У = b₁₂ £ + b₀₂17 ; z = z, so erhält man

C = A/,z¹ + A'V + f <5 + 2d(ub + vb₁₂)

+ 2 rj d (v b₀₂ — u b₁₂) — 1 + d ô = 0.

Da der Koeffizient von f verschwinden muß, so ist

6) <5 = d (Я₀ + Я' — Я").

Das Verhältnis der Konstanten des zum Kreisschnitt gehörigen Schnitts und des Kreisschnitts ist konstant und Я°-{-Я/ — Я".

10

(Es war 2 u b₀₂ = b₀₂² Я" — Я⁰ . ..), also С = Я" z² À" rj² rj à v

1 + d Ô = 0.

Yerscbiebt man den Anfangspunkt in das Zentrum des Schnittkreises bezw. in dessen Projektion auf die Ebene z*b so ist У = у' + Ус ™d

*7c = —

2 Я"

d b₀₂ b₁₂ (Я° — Я')

Я"

+ ar

Fig. 13.

Da fc, wie die Fig. 13 zeigt, =—d, so hat das Zentrum des Kreisschnitts der Schnittebene im Abstande d die Koordinaten

fc = — d; >?c = —₂y,; zc = 0,

woraus sich in den ursprünglichen Koordinaten ergibt

7) xe= —

d b₀₂ X'

? Ус

db₁₂ A⁰

A"

zc = 0,

wie man auch direkt erhält aus Kombination der Gleichung des Durchmessers, auf dem die Zentren liegen, mit der Gleichung der Sclmittebene

X V + у b₁₂ + d = 0.

(Benutzung der Gleichung 5, S. 125.) C wird A"z²+A"»/² — l+à.ô + r)lX" + t)cAv, da aber rjc d v = — 2 rjl A', so ist

с = X" z² + X" v'² — (l — d²

Also das Quadrat des Radius r des Schnittkreises

8) r² =

M¹

-a.ïA\

X"

hieraus folgt, daß, wenn 9) d² —

X"

Я° A'

d₀², der Schnitt-

X"

kreis zum Punktkreis wird, und sobald d²^>-ft    , der

Schnitt imaginär wird; die Ebene wird für den Grenzfall zur Tangentialebene, die vier durch die Gleichungen

7) imd d = d₀ bestimmten Punkte fallen bei Rotationsflächen in die Endpunkte der Rotationsachse paarweise zusammen; sie werden imaginär, sobald eine ungerade Anzahl A negativ ist, sie heißen Kreispunkte der Fläche.

10*

unsere

§ 33. Die Rey eschen Achsen des zentralen Quadrics.

Für die Achsen einer Fläche F ergeben

Formeln aus § 23, S. 102, wenn x' y' z' die Koordinaten des Pols P sind,

в) x

— x' y — y' z — z'

Я" x'

Я" z'

die Hauptachsengleichung des Achsenkegels, der durch P geht, erscheint zugleich in der Cardanischen Form, d. h. das Glied mit Я² fehlt; man sieht ferner, daß die Konstante C gar nicht in die Achsengleichung eingeht, also:

Eine Gerade, welche (Reyesche) Achse der Fläche F ist, ist zugleich Achse für den zu F gehörigen Asymptotenkegel und damit für alle Flächen, welche sich von F nur durch den Wert von C unterscheiden, d. h. ähnlich und ähnlich liegend (homothetisch) sind; auch die Pole bleiben unverändert.

Die Gleichung der Achse ist, wenn P auf F liegt, zugleich die Gleichung der Normale der Fläche F im Punkte P; liegt P nicht auf F, so läßt sich der Wert von C als G (P) bestimmen, und es gibt also eine homothetische Fläche F, auf der P liegt, und für welche die Achse, deren Pol P ist, zugleich Normale in P ist, d. h.:

Der Achsenkomplex einer Fläche F ist identisch mit dem Komplex der Normalen aller mit F homothetischen Flächen.

(F selbst mitgerechnet.)

Da die Achsen (§ 23, S. 102) eine Mannigfaltigkeit dritter Stufe bilden, während die aller Geraden des Raumes von vierter Stufe ist, so muß zwischen den

Raumkoordinaten einer Geraden eine Bedingung bestehen, damit sie Achse von F sei.

Wir haben (§ 9, S. 29):

a = X°x/; ß = X'j'\ у = X"z'; A = y/z'(2'— X")]

B = z'x'(r — Я⁰); С = х'у/(Я°— Я');

hieraus wie stets

7)

Я° -1- Я' ^ Я"

= 0,

oder mit Benutzung von a), wenn gesetzt wird,

-с    в

- =р und —

"Ob

-л

PhI cr<

к—Я⁰ Я" Я" — Я⁰* Я®’

und wenn — = a² etc. gesetzt wird,

Я°

Рн er¹

b² —а²

с² — а² *

Gleichung 7) zeigt, daß der Achsenkomplex von F mit denen der homothetischen Flächen F' identisch ist; 7a) daß er sich nicht ändert, wenn die reziproken Werte der Größen X alle nm dieselbe Zahl geändert werden. Diese Flächen heißen nach Analogie von T. 1 kon-fokal, doch verschieben sich im zweiten Fall die Pole.

Um die Koordinaten des Pols aus denen der Achse zu bestimmen, haben wir (Gleichung 20, § 9):

, Я°х' y⁼T~’

, а , c

x= тг/—-k‘, x =

z' + -;

f. ß

_T_q_Z

7i =

А" —А⁰ а'

Diese Gleichungen zeigen direkt, daß die Pole für alle liomothetischen Flächen dieselben sind.

Die Bedingung 7a) läßt sich geometrisch interpretieren; die Figur 6 zeigt, daß eine Gerade, welche eine der Koordinatenebenen, z. B. die x у-Ebene in C, eine zweite, die xz-Ebene in В schneidet, Achse ist, wenn die Projektionen von OC imd OB auf die dritte Achse im konstanten Yerhältnis (b² — a²) : (c² — a²) stehen.

§ 34. Fokalkurven, konfokale Flächen.

Wir haben für die Achsen die Gleichungen 6) und daraus folgt, daß die Achse eine der Symmetrie-(Haupt-) Ebenen, z. B. y = 0 im Punkt ÇrjÇ so schneidet, daß

(Я"— Я')

= — z'

somit

8) х'

рЯ' _ Я"д

А'—А⁰ А"

А°р ß'

А'—А⁰ а’

(Я⁰ — if)

A'

die der Achse konjugierte Ebene

2°xx' + 2'yy' + rzz'— 1 = 0 schneidet die Ebene y = 0 in der Geraden g {^xx' + Tzz' — 1 oder

Я⁻⁰ — я

^Я

— Я-'

(wenn (Я*) ¹ = Я *), also (T. 1, S. 81):

Eine Achse und ihre normale Ebene schneiden eine Symmetrieebene, z. В. у = 0 in Pol und Polare in Bezug auf den in der Symmetrieebene liegenden festen Kegelschnitt.

z²

C²

1.

X²

Я-⁰ —Я“'

A~"— A“/

Diese Kurven, deren es in jeder Haupt- oder Symmetrieebene eine gibt, heißen Fokalkurven, sie sind für F und alle mit ihr konfokalen identisch (und gehören selbst zu dieser Flächenschar).

Ihre Gleichungen sind:

X²

Z²

о;

я—⁰ — Я {я У'

X²

i;

ff

я—⁰ — Я

Г,= 1;

<N И

Setzt man fest, daß bei dreiachsigen Flächen, d. h. wenn je zwei A voneinander verschieden sind,

A“⁰

so ist die Fokalkurve in у = 0 — Су — eine Ellipse, die in z = 0 eine Hyperbel, die Fokalkurve in x = 0 imaginär.

Sind zwei A gleich, z. В. A" und Ar, d. h. ist die Fläche eine Rotationsfläche mit der Rotationsachse A°, so arten die reellen Kurven in zwei der Rotationsachse

parallele Gerade aus; bei der Kugel ist das Zentrum der einzige reelle Punkt.

Auf den Fokalkurven liegen die Brennpunkte der Achsen- oder Hauptschnitte; diese Punkte heißen die Brennpunkte (Foci) der Fläche F und der konfokalen.

Legt man durch die Tangente in einem Punkte P { xx 7X einer Fokalkurve Cy irgend eine Ebene so steht die Achse dieser Ebene nach Definition der Fokalkurve in P auf senkrecht und daher liegt der Pol Pjj der Ebene e^ auf a^. Alle diese Lote a^ bilden aber die in P auf der Tangente (und damit auf der Fokalkurve) senkrechte Ebene v. Die Ebene v schneidet F (und jede konfokale) in einem Kegelschnitt C² und der Pol jeder Sehne von C² durch P liegt auf der zugehörigen Achse a^; somit steht die Linie, welche P mit dem Pol verbindet, auf der Sehne senkrecht, d. h. aber P ist der Brennpunkt (oder Fokus) des Schnitts C². Yon dieser Eigenschaft hat die Fokalkurve den Namen; wir haben den Satz:

Die Ebene, welche im Berührungspunkt einer Tangente der Fokalkurve auf der Tangente senkrecht steht, schneidet die Schar konfokaler Flächen in Kegelschnitten, deren einer Brennpunkt der Berührungspunkt ist.

Die Flächenschar

X²

У²

z²

a² + p b² -f- p c² + p

hat identische Fokalkurven und daher rechtfertigt sich der Namen konfokal, sie hat denselben Achsenkomplex, die Koordinaten der Pole haben gleiches Yerhältnis. Will man die Flächen, welche in der Schar enthalten sind, klassifizieren, so kann man von jeder beliebigen ausgehen; man kann daher, unbeschadet der Allgemeinheit, annehmen, °, X~r, A~", d. h. a², b², c² wären positiv und a>c^>b, imd p die Werte von —oo bis -j-oo durchlaufen lassen.

Ist 1) p= —oo, so sind a²-fp, b² + p, c² + p alle gleich p und a) geht über in x² + У² + ² ² = und stellt eine Kugel mit unendlich großem imaginären Radius dar.

— oo

Ist 2) p zwischen — oo und — a², so sind alle drei Hauptachsen Я negativ, die Flächen sind imaginäre Ellipsoide (vgl. achten Abschnitt).

Ist 3) p = —a², so wird die Fläche mit der imaginären Fokalkurve Cx identifiziert.

Ist 4) p zwischen —a² und —e², so sind die Flächen, da zwei Hauptachsen negativ sind, zwei-schalige Hyperboloide.

Ist 5) p = — c², so soll die Fläche die Fokalhyperbel C²Z darsteilen.

Ist 6) p zwischen — c² und — b², so ist eine Achse negativ, die Flächen sind einschalige Hyperboloide.

Ist 7) p = — b², so soll die Fläche in die Fokal-ellipse Cy übergehen.

Ist 8) p zwischen —b² und + oo, so sind alle drei Achsen positiv, die Flächen sind Ellipsoide.

Ist 9) p = + °°? so ist x² -f- y² + z² = oo imd die Fläche geht in die Kugel mit unendlich großem Radius über.

Die Gleichung a) ist für p, wenn xyz als festgegeben angenommen werden, eine Gleichung dritten Grades, also gehen generaliter durch jeden Punkt P im Raume drei konfokale Flächen der Schar a). Die Gleichung wird vom zweiten Grade, wenn P auf einer Fokalkurve liegt, z. B. Cy, aber dann ist eine Wurzel p = — b².

Liegt P auf keiner Fokalkurve, so erhält man eine Gleichung dritten Grades, welche nach Fortschaffung der Nenner die Form annimmt:

L = (a²+p) (b²+p) (c²+p) - 2x² (b2+p)(c2+p) ₌ o.

Für p=-[~°° wird L positiv, für p =— b² ist L negativ, für p==— c² ist L positiv, für p = — a2 ist L negativ und bleibt es, wenn p < — a² wird ; also liegt eine Wurzel zwischen + oc und —b², eine zweite zwischen — b² und — c², die dritte zwischen — c² und — a², wobei es Vorkommen kann, daß eine Wurzel mit einer der Grenzen zusammenfällt.

Damit ist bewiesen:

Durch jeden Punkt im Raum gehen drei und nur drei konfokale Flächen der Schar, von jeder Art je eine, wenn wir die Fokalellipse zu den Ellipsoiden, die Fokalhyperbel zu den einschaligen Hyperboloiden rechnen.

Zwei konfokale Flächen derselben Art schneiden sich nicht.

Dagegen können wir beweisen:

Zwei konfokale Flächen verschiedener Art haben stets eine (reelle) Schnittkurve.

Wir wollen diesen Satz nur für die Hyperboloide beweisen, da er für Ellipsoid-Hyperboloid anschaulich klar :

d)

X²

У²

z²

a² + P    b² + p c² + p

sei einschaliges Hyperboloid, d. h. p zwischen —c2 und —-b²;

ß)

X²

У²

z²

a² + ü b² -f q ^ c² + q

zweischalig, d. h. q zwischen — c² und — a².

§ 34. Fokalkurven, konfokale Flächen. Wir subtrahieren ß) von a), gibt

X²

z²

^ (а² + P) (а² + q) ' (c² + P) (c² + q)

У²

(b² + p) (b² + q)

0,

oder x²u — z²v+y²w = 0, wo u, v, w nicht negativ sind, oder z² = x²u' + y²w', wo u' und w' im allgemeinen > 0, jedenfalls nicht < 0 sind.

a) gibt dann: x²/^ + y²v= 1, wo [л sicher positiv und v sicher nicht negativ.

Diese Gleichung wird aber von allen Punkten der

Ellipse mit den Achsen

fo.fc erfüUt Also:

Zwei konfokale Zentralflächen zweiten Grades (zentrale Quadrics), schneiden sich in einer Kurve, deren Projektionen auf die Hauptebenen Kegelschnitte sind, deren Zentrum das Zentrum der Flächen und deren Hauptachsen in die Hauptachsen der Flächen fallen.

Die Gleichung y) enthält den Hauptsatz, der Punkt P { x₀ ... sei den Flächen a) und ß) gemeinsam ; dann gilt auch y), das wir in der Form schreiben können:

xo

+ _Zo___

a² + p a²-(-q b²-fp b²+q

+    ---5l_ ₌ 0 .

c²-fp c² + q

Es sind aber -X°    ... die Richtungsfaktoren der

a² — p

a²+q

Tangentialen an die Fläche a) in P, desgl. X° die der Tangentialen an ß) in P, und wir haben den Satz :

¹

(v b₀₂ — u b₁₂) = 2 b₀₂ b₁₂ (Я⁰ — X') = V.

Simon, Analytische Geometrie des Raumes.

Zwei konfokale Flächen F² schneiden sich rechtwinklig-.

Da durch jeden Punkt im Raum drei Flächen der Schar gehen, welche sich rechtwinklig schneiden, so hat die konfokale Flächenschar dieselbe Eigenschaft, wie das System der orthogonalen Koordinatenebenen: den Raum in unendlich kleine rechtwinklige Pa-rallelepipeda (Balken) zu teilen, und daher haben Lame und Jacobi die drei zu jedem Punkt gehörigen "Werte des p zu Koordinaten des Punktes gemacht, die sogen, elliptischen Koordinaten, ein krummliniges Koordinatensystem, das sich für theoretische Physik imd Integralrechnung als äußerst brauchbar erwiesen.

Die Gleichung L = 0 bestimmt zu jedem Punkt P seine elliptischen Koordinaten, von denen, wie bewiesen, p zwischen + 00 und. —b²; q zwischen —b² und — c², r zwischen —c² und —a² liegen muß, falls P ein reeller Punkt ist. Der Wert des p (einschließlich des Minimum —b²) bestimmt das durch P gehende Ellipsoid, der des q (einschließlich — c²) das einschalige Hyperboloid, der des r (dessen untere Grenze —a²) das zweischalige Hyperboloid. Die elliptischen Koordinaten sind also beschränkt.

Man muß nun aus den elliptischen Koordinaten die orthogonalen bestimmen. Es ist, wenn das variable p in L mit n bezeichnet wird, L identisch mit (n — p) (я— q) (я— r), wo p, q, r die Wurzeln von L = 0. (Schubert, Arithmetik.)

p q r = X² b² c² -f- y² c² a² z² c² b² — a² b² c². P + q + r = x2 + У² + 2² — (a² + b² + c²) p q -f- q r -j- r p = a² b² + b² c² c² a² — x² (b² + c²)

— y² (c² + a²) — z² (a² + b²).

Es ist, wenn л = — b² ist, y² (a² —b²) (c² —b²) = (—b² —p) (—b² —q)

(— b² — r) = L(— b²)

= (—b²)³ — (—b²)² (p + q + r)..., wo L(—b²) den Wert bedeutet, den die Form L an-nimmt, wenn man für die Variable л einsetzt — b², also

L (— b²)

У²

(c² — b²) (a² — b²) ’

<N

csa

L (    a²)

(b² — a²) (c² — a²)’ L (— c²)

(a² — c²) (b² —c²)’

woraus sich die schon bekannten Beschränkungen von p qr aufs neue ergeben, da x²y²z² nicht <0 sein dürfen.

Man sieht, daß zu ein und demselben Wertsystem p, q, r generaliter acht Punkte gehören, d. h. :

Drei verschiedenartige konfokale zentrale Quadrics schneiden sich in acht Punkten.

Soll Bestimmtheit erzielt werden, so müssen auch hier durch Festsetzung der Wurzelzeichen die verschiedenen Oktanten kenntlich gemacht werden.

Man sieht, daß

P + q + r = Konstans

die Gleichung einer Kugel in eil. Koord., p q r = Konst.

die Gleichung eines Ellipsoids, das mit dem Grund-ellipsoid homothetisch,

pq4-qr = rp = Konst, die Gleichung eines Ellipsoides.

Die Fokalellipse schneidet die zweischa-ligen Hyperboloide der Schar und die Fokalhyperbel die Ellipsoide in ihren Kreispunkten.

VIII. Abschnitt.

Die zentralen Kegelflächen in spezieller Behandlung.

§ 35. Einteilung*.

Die Gleichung Я°х² + Л'у² -f- Я" z² = 1 enthält vier wesentlich verschiedene Flächen: a) Alle drei Â sind negativ; die Fläche hat keine reellen Punkte, sie ist imaginär (imaginäres Ellipsoid), b) Alle drei l sind positiv, dann ist der Asymptotenkegel, abgesehen von der Spitze, imaginär; die Fläche hat ihre sämtlichen Punkte im Endlichen; ihre unendlich fernen Punkte sind imaginär, diese Fläche heißt Ellipsoid; man gibt ihrer Gleichung meist die Form:

<M

N I О

1)

X² V²

a²

b²

+ -+ =1-

Spezielle Fälle sind: die Kugel (wenn a = b = c) und das Rotationsellipsoid oder Sphäroid

c) Zwei l sind > 0, eins < 0, z. B. A° und h" > 0,

(Ai-#).

A'<0.

2) î!_L*+^=l.

; a² b² ^ c²

Der Asymptotenkegel liegt innerhalb der Fläche, alle Schnitte parallel den Hauptebenen sind reell, die Fläche heißt einschaliges Hyperboloid (elliptisches Hyperboloid).

§ 36. Das Ellipsoid,

d) Zwei 1 sind negativ, eins positiv.

У²

X²

z²

³⁾ a² b² c²

Der Asymptotenkegel liegt außerhalb, Schnitte parallel zur yz-Ebene sind imaginär bis (x) >a. Die Fläche zerfällt in zwei durch einen Streifen von der Breite 2a getrennte symmetrische Stücke, sie heißt: zweischaliges Hyperboloid.

§ 36. Das Ellipsoid.

Die Hauptschnitte, d. h. die Schnitte durch je zwei Hauptachsen sind Ellipsen. Ist x = 0, so ist

y² z²

— -\--

b²^ c²

= 1 eine Ellipse mit den Halbachsen b und c.

Die Größen +a, + b, +c heißen die Halbachsen der Fläche (s. Fig. 14 u. 14 a). Der Anfangspunkt M ist Mittelpunkt im eigentlichen Sinne, jede durch ihn gehende Sehne wird in ihm halbiert, denn die Polarebene des Punktes M ist die Unendlichferne, weil ihre Gleichung 1 = 0. Dies folgt auch ohne die Lehre von Pol und Polaren; denn sieht man durch M eine Gerade { a, /?, y, so ist r² = d² und r= + d für die Schnittpunkte mit der Fläche. Jeder Hauptschnitt ist Symmetrieebene, wie schon daraus folgt, daß nur die Quadrate der Variablen in 1) Vorkommen.

Bewegt sich die schneidende Ebene parallel zum Hauptschnitt, so werden die Schnitte ähnliche Ellipsen mit beständig kleiner werdenden Achsen ; ist x = + a, so werden die Schnitte parallel yz zu Ellipsen mit den Halbachsen 0, d. h. sie werden zu Punkten x = -]-a, y = 0, z = 0; sie heißen Scheitel, deren das Ellipsoid

Fig. 14.

also sechs hat. Ist der Abstand > als die zugehörige Halbachse dem absoluten Betrage nach, so wird der Schnitt imaginär. Das Ellipsoid liegt also ganz innerhalb eines geraden Parallelepipedons, dessen Ecken die Koordinaten +a; +b; -f c; + a, +b, —c,... haben,

mg

Fig. 14 a.

und berührt die Seitenflächen desselben in den Scheiteln. Die Schnitte des Ellipsoids durch eine beliebige Schar paralleler Ebenen sind Kegelschnitte, welche keinen Punkt im Unendlichen haben, d. h. Ellipsen. Die Hauptachsen dieser Schnittellipsen geben die Formeln des § 32. Ist die Schnittebene

xb₀₂ + yb₁₂ + zb₂₂ + d=0,

so liegen die Zentren der Schnittellipsen auf dem Durchmesser (S. 143)

Рх_Гу_Гг ty)2 ^i2    Ь₂₂

und wir erhalten für die Koordinaten des Zentrums

г (а² Ьо2 4~ Ь² Ь|2 4~ с² ^22) 4" d = 0 ; г =

x = rb₀₂a²; y = rb₁₂b²; z = rb₂₂c².

Die Mittelpunkte sind also stets reell, auch wenn die Schnittellipse imaginär ist; dies tritt ein, sobald d²>n ist. Ist d² = n, so liegt das Zentrum auf der Fläche, die Schnittellipse wird zum Punkte, die Ebene zur Tangentialen in diesem Punkt.

Damit eine Ebene (b₀₂, b₁₂, b₂₂, d) Tangentiale an das Ellipsoid sei, ist die Bedingung zu erfüllen:

d² = a² b₀₂² 4- b² b₁₂² 4- c² b₂₂²,

und in Achsenebenen-Koordinaten u, y, w, 1 ist die Gleichung des Ellipsoids

11

a² u² 4~ b² y² 4- c² w² — 1 = 0 Simon, Analytische Geometrie des Raumes.

und die Koordinaten des Berührungspunktes sind

b₂2 C²

b₁₂b²

Um an einen Punkt A der Ellipse die Tangentiale zu konstruieren, benutzen wir den Umstand, daß die Tangentiale der zum Durchmesser MA konjugierten Ebene parallel ist. Man zieht zwei dem Durchmesser MA parallele Sehnen der Fläche, legt durch M und die Mitten P und Q der Sehnen die Ebene und durch A zur Ebene M P Q die Parallele.

Hyperbolische und parobolische Schnitte existieren nicht, die Kreisschnitte werden gegeben durch die Formeln

cos ²a = b₀₂²

Г—Я⁰

A'— A°

; cos ²/? = ь₁₂² =

X— Г

A' —• A° ’

b2S² = cos² у

= 0=^ A'— A°

und die entsprechenden

b₀₀²= cos ²a

— A°

; cos²y — b₂₀ ² =

A"—A°

A"—i!

b₁₀³ = cos ²ß

А"— А⁰

А"-А'

Ью²

А⁰—А'

А⁰-А"

cos²a; bu² = cos ²ß = 0 ;

b₂₁² = cos ²y

А' - А" А⁰—А"‘

Damit das erste System reelle Werte ergebe, muß A°<A"<A' sein, dann ergeben alle übrigen imaginäre

Werte (meist setzt man Я⁰ < i! < )”). Bei der Festsetzung a > c > b ergibt sich :

cos а

Ьт /а² — c²

a² — b²

w.

c²— b²

a²—b²‘

Für die Durchmesser, auf denen die Zentren der Kreise liegen, ist

хР_уЯ'

Ь₀2

b 12

= 0,

und dies ergibt für die Endpunkte des Durchmessers

a² — c²

c² — b²

xi =

a² —b²

a² —b²

x² = —xl5

Уа = —У1-

хз=xi; Уз =—.Yi; x4 = —хз; У4 = — у₃ •

Diese vier Punkte heißen die Kr eis punkte des Ellipsoids, der Abstand d₀ ergibt sich aus 9) § 32 als

ab ±t-

Ist P { X . . . ein Punkt der Fläche, setzt man

— = cos a ..., so sind cos a; cos ß] cos y\ oder kürzer: a

aß у die Richtungskosinus eines Strahls r, PM ist ein Halbmesser der Fläche. Schlägt man um M eine Kugel mit der Längeneinheit, so schneidet Strahl r die Kugel im P entsprechenden Punkte jt; die Fläche ist somit auf die Kugel eindeutig abgebildet, und dem Halbmesser PM entspricht der Radius 71M. Ist a' die

11*

Länge von PM, sind b₀₂ . . . seine Richtungsfaktoren, so ist x = a' b₀₂ = a cos а . . . Die P M konjugierte Ebene ist die Diametralebene

»TV

О I *®1

Ist P ein Punkt dieser Ebene auf der Fläche, hat M P' die Richtungsfaktoren bo₂ • • •, so ist M P' ein M P konjugierter Durchmesser bezw. Halbmesser; ist P der ihm entsprechende, o!ß'/ seine Richtungskosinus, so geht d) über in aa' -\- ß ß' Ą-y / = 0, d. h.:

Die zwei konjugierten Halb-(Durch-) messern entsprechenden Kugelradien (Durchmesser) stehen aufeinander senkrecht.

Es ist leicht zu P das л zu konstruieren.

Die drei konjugierten Durchmessern entsprechenden Kugeldurchmesser stehen zu je zweien aufeinander senkrecht und bilden daher ein System orthogonaler dreiachsiger Koordinaten; wir können die Folge so festsetzen, daß es aus dem der Hauptachsen durch Drehung abgeleitet werden kann, es gelten also die Formeln aus §13, d. h. es ist

а² + «/2 +    =1 . . . a ß' + o! ß' + a! / = 0 . . .

Aus dieser Quelle fließt eine Fülle von Sätzen über konjugierte Durchmesser, z. B.:

Die Summe der Quadrate dreier konjugierter Durchmesser ist konstant, also:

4 (a² + b²-f- c²).

Es ist

X² + x'² + x"² = a²; y²+y/2 + y//2 = b²;

z²+z'² + z"²-c².

§ 37. Das einschalige Hyperboloid. a'² = X² -f- y² -f- z²; b'² = x'² -f- y'² -f- z'²;

C'2 = X"2 ₊ y"2 + z"2.

Die Summe der Quadrate der Seitenflächen eines dem Ellipsoide in den Endpunkten dreier konjugierter Durchmesser umschriebenen Parallelepipedons ist konstant (also gleich 4²a²b² + 4²b²c² + 4²c²b²).

(Die Projektionen von OPP' und Блл' auf eine der Koordinatenebenen, z. B. die xy-Ebene, verhalten sich wie ab: 1*1, da x : f = а : 1, y : rj — b : 1, und Schluß von § 3.)

Das dem Ellipsoid in den Endpunkten dreier konjugierter Durchmesser umschriebene Parallelepiped ist konstant (imd also = 8abc).

Diese Sätze sind die Erweiterung der Sätze T. 1, § 27.

Die Summe der Quadrate der Projektionen dreier konjugierter Durchmesser auf eine beliebige G-erade (oder Ebene) ist konstant. (Hat die Gerade die Richtungskosinus uvw, so ist diese Summe

(u x + V у + w z)² -(- u x' + V У + w zQ²

+ (u x" + V y" + w z")² = u² a² + V² b² + w² c²,

da xy = abajö.)

Diese Sätze erleiden für die Hyperboloide nur die durch den Zeichenwechsel der Я nötige Änderung.

§ 37. Das einschalige Hyperboloid.

Seine Gleichung Avar:

X² V²

z²

a²

b²

c²

= i;

166 Die zentralen Kegelflächen in spez. Behandlung, schreibt man sie in der Form:

X²

У²

z²

a*    oder e

c²

(и) (и)

4t

-MM

\N

Fig. 15.

und setzt

oder

1 + ?

in welcher g und о beliebige Konstanten — Parameter — sind, so liegen sowohl alle G-eraden

in welchen sich die zugeordneten Ebenen der Doppelschar a) schneiden, als auch alle Geraden, in welchen sich die zugeordneten Ebenen der Doppelschar b) schneiden, auf der Fläche, oder:

Das einsehalige Hyperboloid ist ein geradliniger Quadric (§ 22, S. 98), Fig. 15.

Die Ebenen beider Doppelscharen sind unter sich projektiv bezogen (S. 98) und zwar gehören die Ebenen gleichen g’s bezw. ö’s zueinander.

Es kreuzen sich also (S. 98) die Schnittgeraden der Doppelschar a) und ebenso die der Doppelschar b), dagegen schneidet jede Gerade der Doppelschar a) jede Gerade der Doppelschar b) und v. v., d. h. (Fig. 15):

Durch jeden Punkt P des einschaligen Hyperboloids gehen zwei reelle Gerade, je eine der durch a) gegebenen Schar und eine der durch b) gegebenen Schar.

Die Ebene beider Geraden ist dann die

Tangentialebene der Fläche, da jede Gerade ihre eigne Tangente ist.

Dies zeigt auch die Gleichung der Tangential

ebene r:

XX⁷ у/

z z'

a²

b²

C²’

in der sowohl die Gerade der Schar a)

168 Die zentralen Kegelflächen in spez. Behandlung, als die Gerade der Schar b)

(И) (H)44 43

H»

z'

Ь'у

''l'

Fig. 16.

liegt, und es ist

0 + q) ‘ (p — o) = C : z'.

Die Konstruktion der beiden Geraden und damit

der Tangentialebene der Fläche in P ergibt sich durch folgende Betrachtung: Die Ebene r schneidet die Ebene у = 0, d. i. die Symmetrie- oder Hauptebene x z in der Geraden y:

xx' z z/ a² ¹ c²

= £ gesetzt, so ist die Gleichung des

•wird

d. i. (T. 1) in der Polare des Pols (x'z') л in Bezug auf die Ellipse

<N !

И ! Св

z²

c²

welche der Schnitt der Fläche durch die Ebene y = 0 oder xz-Ebene ist (Fig. 16), die Kehlellipse.

Dieser Pol л ist aber die Projektion des Punkts P auf die xz-Ebene.

Man hat also nur nötig, die Polare des Punkts л in Bezug auf die Kehlellipse zu konstruieren, und durch sie und P die Ebene zu legen. Da vermöge der Gleichung der Fläche

x'²

z'²

a²

c²

>1,

so ist л außerhalb der Kehlellipse, die Polare ist zugleich Chordale oder Berührungssehne; also man ziehe von 7t an die Kehlellipse die Tangenten л у und л ô und verbinde die Berührungspunkte y und ô mit dem Punkte P, so sind P y und P ô die beiden Haupttangenten in P. Die Schnitte parallel der xz-Ebene sind Ellipsen ; hat die schneidende Ebene den Abstand y = -J- ô von у = 0, so ist die Gleichung des Schnitts

X² z²

<5²

a2+₀2    ¹⁺b2;

Schnitts

X²

z²

a²£² c² £²

Yon der ganzen Schar ähnlicher Ellipsen hat also die Kehlellipse die kleinsten Achsen und nach beiden Seiten nehmen die Achsen fortwährend zu (s. Fig. 17). Die Endpunkte der Achsen der Kehlellipse heißen Scheitel.

fei

WM:-

ii

■m

"ii

ii

■ 1Î

Fig. 17.

Die Schnitte parallel der у z-Ebene sind ähnliche Hyperbeln mit den Gleichungen

z²

У²

C²£²    b²£²

1, WO E² = 1 -

Die Schnitte parallel der x y-Ebene sind Hyperbeln mit den Gdeichungen

X²

У²

1, WO £² — 1 -

Ó²

a² e²    b² £²

Die Hauptschnitte selbst sind: z² y2 c²"“ b²

.    _ X² y²

-¹ "nd

Zu bemerken ist, daß die Schar der yz parallelen Ebenen Hyperbeln ausschneidet, deren Hauptscheitel auf der Kehlellipse liegen und welche dem y z-Hauptschnitte ähnlich sind, bis ô bezw. x = + a ; dann wird die Ebene zur Tangentialen in den Haupt scheiteln der Kehlellipse, die Hyperbel geht in die Asymptoten über, und von da ab wird sie der dem Hauptschnitt adjun-gierten Hyperbel (T. 1) ähnlich, und ihre Hauptscheitel liegen auf dem Hauptschnitt xy. Entsprechend liegt die Sache bei den x y-Schnitten. Der Asymptotenkegel

x² y² z²

ä*⁻Ъ2 ⁺ ~сГ²⁼ ’ еГ ist ein elliptischer Kegel; sein Schnitt durch eine Ebene у = + <5 ist eine Ellipse, welche dem Schnitt der Fläche homothetiseh, aber kleinere Achsen hat, d. h. der Asymptotenkegel liegt ganz innerhalb der Fläche. Für die Punkte außerhalb ist K (s)    1 ; denn, wenn Q ein

Punkt außerhalb, so schneidet MQ die Fläche in P zwischen O imd Q, es ist daher

Xq = Xp; Уц — [АУу] zq = fl Zp,

wo fl > 1 und K (Q) = fl² К (P) = fl². Für die Punkte innerhalb ist К (s) < 1, für die Punkte auf der Fläche gleich 1, und diese Beziehungen sind umkehrbar.

der Fläche (Fig. 18) ist K (s)

Da die Schnitte einer Ebene mit E denen mit К ähnlich und ähnlich liegend sind, so sind die Schnitte Hyperbeln, wenn sie zwei Kanten des Kegels parallel, Parabeln, wenn sie einer Kante parallel, d. h. also einer Tangentialen von К parallel sind; unter den hyperbolischen Schnitten gibt es gleichseitige laut § 32. Die Schnitte sind Ellipsen, wenn sie keiner Kante des

gjgglXW \ ' 1 ) / /7777ZZ2g^

Fi g. 18.

Kegels parallel; wenn die Schnitte Tangentialen des Asymptotenkegels sind, so artet die Parabel in zwei parallele Gerade aus, welche die Kehlellipse in den Endpunkten eines Durchmessers berühren.

Sie werden zu Kreisschnitten, wenn ihre Richtungsfaktoren die durch die Formeln § 32 gegebenen Werte

haben; damit die Formeln passen, muß l" 2°, d. h. c²    a² angenommen werden.

Wir haben dann für den Radius die Formel: r²

woraus ersichtlich, daß der kleinste Kreis sein Zentrum in M, der Mitte der Fläche, hat und den Radius c.

Da ein Я 0, so existieren Kreispunkte auf der Fläche nicht.

§ 38. Bas zweischalige Hyperboloid.

Das zweischalige Hyperboloid habe die Gleichung y² X² z2 b² a² c²

X² z²

d. h.

a² c²

Der Hauptschnitt у = 0 gibt —

eine imaginäre Ellipse; die Parallelschnitte bleiben imaginär, bis der Abstand von у = 0 den Wert + b erlangt; in diesen beiden Fällen wird der Schnitt

X²

z²

^+^⁼⁰’

d. h. er reduziert sich auf die Punkte X = 0, z = 0, у = + b.

Diese beiden ausgezeichneten Punkte heißen die Scheitel der Fläche. Die Fläche besteht also aus zwei voneinander durch einen Streifen parallel у = 0 und mit der Breite 2 b voneinander getrennten Stücken oder Schalen (Fig. 19). Die Schnittellipsen werden, wenn |y| von b an beständig wächst, beständig größer, und bleiben stets ähnlich.

Der Hauptschnitt z = 0 ist die Hyperbel

1

b² a² ’

|P;-

If

шЁш

ж.

Г.Т шш

si

--

к i

Fig. 19.

und die Parallelschnitte sind ähnliche Hyperbeln mit beständig wachsenden Achsen. Der Hauptschnitt x = 0 ist die Hyperbel

y 2 z2

b² c²

— =1.

щв

|p

Sv

I /7777

r/M / / '■/&

tWß

Fig. 20.

Die Hauptscheitel der Hyperbeln der ersten Schar liegen auf dem Hauptschnitt der zweiten Schar und v. v. die Nebenscheitel beider Scharen auf dem imaginären Hauptschnitt у == 0.

Der Asymptotenkegel hat die Grleichung

У²    X² z²

P_^~c“²

er ist hyperbolisch und liegt ganz außerhalb der Fläche; denn ein Schnitt parallel der xz-Ebene im Abstande ô ist

= 0:

X²

z²

<5²

a² + c² b²’

während der entsprechende der Fläche

X² z² (5²

a² + c²

b²

ist, also eine ähnliche und ähnlich liegende Ellipse mit kleineren Achsen (Fig. 20).

Da R des § 32 jedes Zeichen annehmen kann, so existieren Schnitte aller Arten, wie beim einschaligen Hyperboloid, nnd die Bedingungen sind dieselben. Damit unsere Formeln 4) (§ 32) die reellen Kreisschnitte liefern, muß c² > a² sein ; alsdann ist

cos ²a

c² — a² b2 b² + a² c²’

und da zwei Я < 0, so existieren Kreispunkte für die Ebenen im Abstande

d² =

Я" _a²b².

Я°Я'~_^_;

wird

d²>

a²b²

so werden die Kreise imaginär.

Die Koordinaten der vier Kreispunkte sind, da diese die Endpunkte der Durchmesser,

ab c² b c b² c

c² — a² т __ bä + a²“’ У —'

0.

b² + a²

= 0 :x = +

хЯ° jX\

Ч2 ^12

d. h. X = + а

-./c²— a².

I Ьг + а²’ У ~ ]

Die Kreisschnitte sind also der absolut größeren der beiden imaginären Achsen parallel.

Die Gleichung der Tangential- (bezw. Polar-) Ebene des Punktes x'y'z' ist

zz'

a²

b² c²

-= 1;

aus dem Vergleich mit der Gleichung der Ebene in Hessischer Form (§ 6) folgt für das von M auf die Tangentialebene gefällte Lot die für alle drei zentralen Quadrics gültige Formel

x'²

4)    — =

¹ Ô² a⁴ ¹ b⁴

c⁴

Was die Konstruktion der Tangentialebene in P (x'y'z' betrifft, so kann man P auf die yz- oder yx-Ebene projizieren und die Polare des Projektionspunktes in Bezug auf den betreffenden Hauptschnitt konstruieren und durch sie und P die Ebene legen. Man kann aber auch die xz-Ebene benutzen. Die Spur der Tangentialen auf der xz-Ebene ist die Polare des Punktes — x⁷; — z' (d. h. des in Bezug auf die Projektion von P diametralen)

für die Ellipse

x² z²

Man hat also nur notig,

durch P und diese Polare die Ebene zu legen.

12

Simon, Analytische Geometrie des Raumes.

IX. Abschnitt.

Die Paraboloide.

§ 39. Die Gleichungen der Flächen, Pol und Polare.

Wenn (VIL Abschnitt, § 31) A =f= 0, dagegen a₃₃ = 0, so rückte der Mittelpunkt der Fläche ins Unendliche; die Form G(s) der Fläche ist dann die Summe der Zylinderform Cy {a₀₀ x² -f- ... + a₃₃ ; — (a₃₃ = 0) —, und der linearen (Ebenen-) Form

E(s){2a₀₈x+2alsy+2a₂₈ z.

Der Zylinder kann elliptisch oder hyperbolisch sein ; wäre er parabolisch, so wäre A = 0 gegen die Voraussetzung und Gr (s) = 0 ein parabolischer Zylinder.

Transformieren wir den Zylinder auf seine Hauptachsen nach § 29 und so, daß wir wieder die Zylinderachse, die Achse nach dem unendlich fernen Doppelpunkt, zur neuen z-Achse wählen, so wird

0(s) = Px2 + ^/y² + E/(s);

verschiebt man den Anfangspunkt nach dem Punkt

S{

a03

a13    a33

Я₀

so erhält man für G-(s) die Gleichung

1) O (s) == A⁰ x² + Я' y² + 2 pz = 0,

die Normalform der Paraboloide.

In dieser Gleichung sind zwei der Gestalt nach wesentlich verschiedene Flächen enthalten, je nachdem

§ 89. Die Gleichungen der Flächen, Pol und Polare. 179

A° und )! gleiches oder entgegengesetztes Zeichen haben. Als Zeichen kann man im ersten Fall das +-Zeichen wählen, im zweiten Fall annehmen, daß A' negativ; p kann negativ gesetzt werden; wenn es sich als > 0 ergibt, braucht man nur die Eichtungen auf der z-Achse zu vertauschen. Im ersten Fall kann man für G (s) schreiben :

2)

X² y²

a¥ + p+²Pz = ⁰-

Diese Fläche heißt: elliptisches Paraboloid; im zweiten Falle

2a)

X² y²

~--+2pz = 0

heißt die Fläche: hyperbolisches Paraboloid.

Beide zusammen: Paraboloide.

Um das Verhalten der Flächen im Unendlichen zu betrachten, schreiben wir G(s) in homogener Form:

A°s₀²-f A' s₁²-+ 2ps₂ s₃ = 0.

Der Schnitt von G(s) mit der unendlich fernen Ebene s₃ = 0 ist das Gebilde A° s₀ ² + A' sx ² = 0 ; dies stellt zwei Gerade dar, deren Horizontalprojektion

(/l°x + i}/ry) (|/I*x — ij/^y) = О

ist und deren Schnittpunkt x == 0, у = 0, z unendlich ein Doppelpunkt der Schnittkurve. Die Tangentialebene in diesem Punkte enthält die beiden Geraden, die Fläche wird also von der unendlich ferneu Ebene in diesem Punkte berührt.

Man sieht auch direkt ein, daß für hinlänglich große Werte der Koordinaten, welche in bestimmter Eichtung liegen, d. h. so, daß die Verhältnisse x : у : z

12*

bestimmt sind, z gegen x² und y² verschwindet und Gr(s) im Unendlichen mit seinem (Asymptoten-) Zylinder /1° x² + Я' y² = 0 zusammenfällt. Bei der Wahl dieses Zylinders herrscht insofern eine gewisse Willkür, als das konstante Glied ganz willkürlich ist; der Zylinder Я°х² + Я'у² = с fällt selbst im Unendlichen mit dem Zylinder A°x²-f/y² = 0 zusammen; es ist sogar in mancher Hinsicht zweckmäßig, als Konstante von G-(s) nicht 0 zu wählen.

Der Asymptoten-Zylinder zerfällt aber in die beiden

der z-Achse parallelen Ebenen (l/Px+i /Л'у), welche sich in der z-Achse schneiden, und schneidet daher die unendlich ferne Ebene in zwei Geraden, deren Schnittpunkt auf der z-Achse liegt.

Zur Bestimmung der Tangentialen im Punkte P {x'y' z' gehen wir von der homogenen Form aus; es ist

Gr'(so) = Я⁰s₀; G'(s₁) = A/s₁; G/(s₂) = ps₃; G'(S₈) = PS2I somit die Gleichung der Tangentialen т (V. Abschnitt, § 20) im Punkte P:

3) T = A°xx' + Ayy/ + p(z + z') = 0.

Wenn P nicht auf die Fläche beschränkt wird, ist 3) zugleich die Gleichung der Polarebene des Poles P.

Als Bedingimg, daß eine Ebene a, b, c, d Tangentiale sei, erhalten wir :

2pg+b>=»-

Der Pol dieser Ebene wird bestimmt durch

—, wo у = p

ày

A°

so daß also z' = —. Man sieht :

Ist c=0, d. li. ist die Ebene der z-Achse parallel, so rückt der Pol ins Unendliche.

T wird erfüllt, wenn x' = 0, ^=0, z' = oo, durch z = — oo, d. h. also durch die unendlich ferne Ebene, die wir uns als parallel zur xy-Ebene vorstellen. Die z-Achse, in deren Richtung der Doppelpunkt des Asymptotenzylinders liegt, heißt im engeren Sinne: Achse der Paraboloide.

Da, wenn x'y'z' der Pol, die Richtungsfaktoren der Tangentialen proportional Л°х', Я'у⁷; p sind, so ist die G-leichung der Normale bezw. der Achse für x'y'z'

— x' _ у — У z — z'

2°x'

§ 40. Ebene Schnitte.

Sei E(s){b₀₂x + b₁₂y + b₂₂z + d = 0 eine Schnittebene; wir betrachten wieder den Zylinder durch die Schnittkurve, dessen Achse auf E senkrecht steht; so ist wieder (vgl. VH. Abschnitt, § 31)

C = G(s) + E(s)H(s) = 0, für die Koeffizienten der Form C haben wir a₀₀ =Л° + 2ub₀₂; a₀₁ = b₁₂u + b₀₂ v... etc. a₂₂ = 2 wb₂₂, d. h. also genau dieselben Werte wie oben, nur Я" = 0; wir erhalten also auch dieselben Konsequenzen, nur muß Я"=0 gesetzt werden. Dies gibt die Sätze:

Die Ebenen, welche aus einem Paraboloid gleichseitige Hyperbeln ausschneiden, sind den Tangentialebenen des Kegels

(M I о

и 1-^

oj

parallel.

Die Ebenen, welche aus einem Paraboloid Parabeln ausschneiden, sind der Achse des Paraboloids parallel.

Die Nebenebenen paralleler Ebenen sind

parallel.

Unter diesen Ebenen sind zwei, welche zugleich als Kreisschnitte gelten können, die Ebenen

h₂₂ — 0 ; b₀₂

Я'-Я°

Я'

Я' — Я⁰*

Für diese Ebenen, welche nur beim hyperbolischen Paraboloide reell sind, reduzieren sich die Schnitte auf eine Gerade; denn diese kann sowohl als Parabel mit dem Parameter 0, wie als Kreis mit dem Eaclius oo angesehen werden. Es bleiben dann noch die Kreisschnittdoppelscharen.

/1°

Я'

6) b₀₂ = 0, Ъ²22 = ^7] b₁₂'= 0; bl₂ =

3Ian sieht, wenn Я negativ ist, d. h. für das hyperbolische Paraboloid sind alle Kreisschnittscharen imaginär, für das elliptische die beiden Scharen reell, bei denen das größere Я im Nenner von b₂2 steht; man kann imbeschadet der Allgemeinheit annehmen, daß Я°<ЯГ.

Die Formeln für ô₁ r etc. erleiden Änderungen, da G-(s) hier noch z enthält, doch sind dieselben für die Rechnung gering. Es wird, wenn man das Kreuz der у z-Achsen um die x-Achse dreht, so daß die rj-Achse in die Zylinderachse fällt, also setzt:

Z = rjy + £/?,

у = ^b₁₂ — £ b₂₂ oder kürzer: у = r\ß — £ у z = *?b₂₂+ £ b₁₂

/1°х² + Я°С² + ^(^ + 2d(v/? + w^) + 2 p y)

+ C(2d (\vß — у у) + 2 p/в) oder :

Рх* + Р^ + г)(0 + с\(Р — l') + 2Vy)

+ 2 С (Л/d ß у -|- р/5) + dó=0.

Hieraus bestimmt sich

7) ô = — d (Я⁰ — Г) — 2p7

^yd + p^

*?c =    1 ^ ' Ce ⁼

und hieraus für die Koordinaten des Zentrums in den Koordinaten x, y, z:

x = 0, yc = ^T-; zc = —

d_ A>

7    7^'

und

— d — p (Д' — A°)

r2_ ~ d<5 Cc

Die Koordinaten des Zentrums kann man wieder direkt ableiten ans Kombination der Gleichung der Schnittebene ^y + /z + d = 0 imd denen des Durchmessers, auf dem die Pole der Schnittebenen und damit die Zentren Hegen. Unter Durchmesser verstehen wir beim Paraboloid jede nach dem unendlich fernen Punkte der z-Achse, d. h. der Achse des Paraboloids im engsten Sinne gerichtete Gerade. Das elhptische Paraboloid, für das allein die Kreisschnitte geometrischen Sinn haben, hat nur in dieser einen Richtung einen reeHen unendheh fernen (uneigentlichen) Punkt und kann daher gerade wie die Parabel als im UnendHchen geschlossen betrachtet werden.

Die Gleichungen des Pols bestimmen sich durch das System:

Я°х' = па; X'y' = nß] pz' = nd; p = n 7 als

Ll. z'₌i

у A°’

Also: Die Pole aller parallelen Ebenen liegen auf einem Durchmesser.

Für die reelle Kreisschnittschar ist а = 0, diese liegen

daher auf dem Durchmesser у = —

8) x' =

y Я⁰’

; y' =

in der yz-Ebene.

r² wird Null, wenn das Zentrum auf der Fläche, d. h. wenn der Pol auf der Fläche, die Ebene zur Tangentialebene wird, d. h. also

z - ^²Р²

7 Г с 2руХ'

Die beiden Punkte, welche denselben Abstand von der yz-Ebene haben und entgegengesetztes у und in der Ebene x = 0 liegen, heißen : Kreispunkte des Paraboloids.

Dasselbe Resultat ergibt sich, wenn man aus r = 0

Ус = ±

AP.

(Г — Я⁰)

ХЧ' •

do

Г² =

X°

Zur Kontrolle legen wir wieder durch den Kreisschnitt eine Kugel; es ergibt sich sofort, daß, wenn man die Form Gr (s) der Fläche und die Form der Schnittebene so kombinieren will, daß man die Form einer Kugel erhält, einer der Richtungsfaktoren О werden muß, weil in Bezug auf jedes orthogonale System die Kugel keine Produkte von Koordinaten enthält ; wir setzen а — 0, dann ist

d₀ bestimmt.

y z = — (ßj + d); y² z²— (ßj + d)² = E⁽²⁾ (s) = 0, G (s) + E⁽²⁾ (s) = Я°х² + у² (Я' — ß²) + y² z² + 2pz

— 2ßjä — d² = 0,

also:

hieraus :

Я'-/?² = А0; у² = Я<>;

i 2 Г

; b₁₂ — —

Ь₂2 —

Я⁰

Я'

Я'

; wie oben.

Die Koordinaten des Kugelzentnuns sind:

;T llnd 6*

Das vom Kugelzentrum gefällte Lot hat die Gleichung

d²^ + P2 -™-----* x

Я⁰

= 0.

2_£

-—— und schneidet die Ebene ßy-iryz-\-6.=0 У

im Mittelpunkt des Schnittkreises, wodurch wir für dessen Koordinaten die schon bekannten Werte erhalten.

§ 41. Die Reyeschen Achsen der Paraboloide.

Da die Gleichungen der Achsen und der Normalen dieselbe Form haben, so ist eine Ebene mit den Richtungsfaktoren a ßy und der Abstandskoordinate d Polarebene des Pols x'y'z', wenn ihre Gleichung lautet:

Я°хх' + Я'у у' + Р (z + z') = 0 ;

die Gleichungen der Achse sind die der Normale, also bei gegebenem Pol x'y'z'

x — x' y — У z — z'

Ях'

Я°х'

Wenn der Pol P nicht auf der Fläche liegt, so hat Я°х'² + Яу² + 2ря'

einen von О verschiedenen Wert K; d. h. P erfüllt die Gleichung

Я°х² + Я'у² + ² p — Aj = О

und wenn man

2p

setzt, d. h. den Ursprung ohne Richtungsänderung der Achsen auf der Asymptoten-Zylinder-Achse verschiebt um К

so erhält man ein dem ursprünglichen kongruentes

2p’

Paraboloid, dessen Scheitel auf der z-Achse um-—ver-

2p

schoben ist. Die ganze Schar dieser Flächen kann man als vom unendlich fernen Punkt der z-Achse durch Parallelstrahlen projiziert ansehen, und dieser Punkt vertritt völlig das Zentrum des zentralen Quadrics; die Schar heiße wieder homothetisch; also:

Der Achsenkomplex eines Paraboloids ist identisch mit dem der Normalen der homo-thetischen Schar.

Es ist in mancher Hinsicht vorteilhaft, von einer beliebigen Fläche der Schar auszugehen und zu setzen: Px² + 2'y² + 2pz = K,

wodurch die Gleichung der Polarebene übergeht in:

Я° X x'+ Я'у / + P (z + z') = K, die Gleichungen einer (Reyeschen) Achse aber ganz unverändert bleiben, d. h.:

Eine Gerade, welche für eine Fläche der Schar Achse ist, ist es auch für alle übrigen und mit demselben Pole.

Sei die Achse durch ihre Plückerschen Koordinaten gegeben. Es ist dann:

а = Я°х'; ß = X'Y] y = p; А = y'(p —г'Я');

В = х'(г'Я° — p); С = x' у⁷ (Я' — Я⁰),

hieraus wieder

Aa + ßB + C/^O,

wie stets, und indem man z' doppelt ausdrückt und mit 7, welches =f= 0 ist, dividiert, ergibt sich

^т = Я-° — я-¹

9) A₌₌ji_¹

’ aß Я° Я'

als G-leichung des Achsenkomplexes.

Da für jede Parallele zur z-Achse а = 0, ß = 0 und C = 0, so ist jede Parallele zur z-Achse Reyesche Achse.

Alle parallelen Achsen liegen in einer Ebene, welche der z-Achse parallel ist.

Die Flächen, für welche — Я⁻¹ konstant, sollen wieder konfokal heißen, also:

Konfokale Paraboloide haben denselben Achsenkomplex.

Zur Bestimmung des Pols haben wir:

cq i о

welche Gleichungen von К unabhängig sind.

Firn den Fußpunkt der Achse haben wir die Gleichungen der Achse mit der ihrer Polar- (Normal-) Ebene zu kombinieren, welche in den Konstanten der Achse lautet:

ax + ßj + yz = K — p

Die konfokalen Flächen, für welche d konstant,

also К — p² A0 und dieselben Normalebenen, also auch dieselben Fußpunkte.

konstant, haben dieselben Achsen

Die allgemeine Form koaxialer Paraboloide ist (wenn A~⁰ = A²,    = B²):

10)

X²

f 2pz

/М = 0 = f (fi),

A² -f- [л В² -f- [л

worin p als negativ angesehen werden kann, А В und > 0, В² positiv, da sich [л so groß wählen läßt, daß В² + /*> 0.

Durch jeden Punkt gehen wieder drei Flächen der Schar, zwei davon sind elliptisch, eine hyperbolisch, denn i(ju) ist -j-oo für ju== — oo; —oo für ju = -—A²

—    £, [wo s eine beliebig wenig von О verschiedene

Zahl bedeutet];    -j- oo für ju= — A² -f- г,

B JU= -В²-£] -b°° für JU = — В² + £ und — oo

für ^=4-00. Also liegen die drei Lösungen für /л zwischen — oo und — А² — elliptisches Paraboloid — ;

—    A² und — В² — hyperbolisches — und — В² und + 00 — elliptisches Paraboloid —.

Die drei konfokalen Paraboloide, welche durch denselben Punkt gehen, schneiden sich wieder rechtwinklig, doch sind die parabolischen Koordinaten von geringer praktischer Bedeutung.

Die Grenzwerte ju = — A² und [л = — В² haben wieder eine ganz ähnliche Bedeutung wie für die zentralen Flächen; für sie arten die Flächen in die Kurven

— oo für

H)

У²

В² —A²

f2pz = A²;

X²

A² —B²

F 2 p z = B²

aus, welche zwei kongruente Parabeln darstellen in den

Symmetrieebenen x = 0 nnd у = 0, deren Achsen der z-Achse parallel, aber untereinander entgegengesetzt sind ; sie haben die analogen Eigenschaften und heißen: die Fokalparabeln der konfokalen Schar.

§ 42. Die Gestalt der beiden Paraboloide.

Das elliptische Paraboloid (s. Fig. 21) hat die Gleichung:

12)

X²

У²

+ —

A² ^ B²

+ 2pz = 0,

шт

■>-

.V;

Ш:

i

шт

У'

|Ш

кш

Fig. 21.

wo A > В ; В > 0 ; p 0 angenommen wird ; es steht auch nichts im Weg, p = — 1 zu setzen, wodurch nur der Längenmaß stab geändert wird. Die Fläche hat zwei Symmetrieebenen, die Hauptebenen x=0 und y—0; die xy-Ebene ist Tangentiale im Scheitel S {0, 0, 0. Die Schnitte parallel z = 0 sind ähnliche Ellipsen mit stets wachsenden Achsen (s. Fig. 21), deren Zentren auf der z- (oder Flächen-) Achse liegen. Der Hauptschnitt у = 0 ist die Parabel x² = — 2 p A² z, deren Scheitel S, deren Achse die z-Achse, deren Parameter — 2pA² ist; der Hauptschnitt x=0 ist die Parabel y² = 2pB²z, deren Achse ebenfalls + z₅ deren Scheitel S, deren Parameter pB² ist. Die Schnitte parallel y = 0 sind dem zugehörigen Hauptschnitt kongruente Parabeln, deren Scheitel sich auf dem Hauptschnitt x=0 bewegt; das entsprechende gilt für die Schnitte parallel x = 0.

Das elliptische Paraboloid wird also erzeugt durch eine Parabel, deren Scheitel sich auf einer festen Parahel bewegt und zwar so, daß die Achsen parallel und gleichgerichtet sind, die Ebenen der festen und beweglichen Parabel aufeinander senkrecht stehen, und die Ebene der beweglichen Parabel ihre Stellung nicht ändert (Fig. 22.)

Ist A² = B², so ist die Fläche ein Rotationspa raboloid, das entsteht durch Umdrehung einer Parabel um ihre Achse.

Die Kreisschnitte sind der x-Achse parallel, stehen also auf der yz-Ebene senkrecht, liegen symmetrisch zu den beiden andern Achsen, schließen mit der xy-

B

Achse die Winkel ein, bestimmt durch cos ß = h₂₂ =

Die zugehörigen Kreis-

und cos (180 — /?)=+ — .

punkte haben die Koordinaten x = 0, y=+b]/A²—B²,

z = — (A² — B²) und x = 0, у = — В У А2 2

— (А² — В²). Hyperbolische Schnitte existieren 2

nicht, wie schon daraus hervorgeht, daß die Fläche als im Unendlichen geschlossen betrachtet werden darf, d. h. sich nur in der Richtung ihrer (z-) Achse ins Unendliche erstreckt.

— B²,

Fig. 22.

Das hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung

S3 ! И U) I w

er ^

К/ r.

+ 2 p z = 0.

Hieraus erkennt man (wie beim einschaligen Hyperboloid), daß auf der Fläche zwei Scharen von Geraden liegen; setzt man

a)    * +    = — 2pg; q

Ol

b)    - + a

er

= o z; a

И I cö

|) = -²p,

liegen sowohl die Geraden

in welchen

sich die Ebenen der ersten Doppelschar a)

so

yrt

...

Fig. 23.

schneiden, als die Schnittgeraden der Doppelschar h) auf der Fläche.

Das hyperbolische Paraboloid gehört also zu den geradlinigen F² (s. Fig. 23); die Ebenen jeder Schar sind imter sich durch die gleichen Parameter projektiv bezogen; es kreuzen sich also die Geraden jeder Schar unter sich, während jede Gerade der einen Schar jede der andern schneidet; durch jeden Punkt der Fläche gehen also zwei Gerade. Hervorzuheben ist, daß von jeder Doppelschar der Ebenen die eine Schar der Flächenachse (z-Achse) parallel ist, also vertikal zur xy-Ebene ist; die Projektionen der Geraden der Schar a) auf dieser Ebene sind also alle parallel der Geraden

— +    = 0, die der andern b) alle parallel der Ge-

a о

Fig. 24.

X у

raden--— *== 0. Diese beiden Geraden g₀ und h₀

a b

bilden aber zusammen den Hauptschnitt z = 0 [und schneiden sich im Scheitel (s. Fig. 24). Die Ebenen X у

der Schar —f- — = — 2 p p und die der Schar ab

о    = — 2 p sind, da für sie b₂₂ = 0, bo2

13

Simon, Analytische Geometrie des Kaumes.

Я₀

, zugleich die Ebenen, welche aus der

Ï — A₀

Fläche eine Gerade (im Endlichen) ausschneiden. Man findet dieselbe leicht, wenn man einen beliebigen Punkt P auf die Ebene z = 0 projiziert (Fig. 24) in P' und durch P' zu g₀ bezw. h₀ die Parallelen g' und h' zieht und durch P und g/ bezw. P' und h' die Ebenen legt, welche die Fläche in den durch P gehenden Geraden g und h schneidet. Die Ebene durch g und h ist wieder die Tangentialebene an die Fläche in P. Man kann auch hier wie § 37 den Nachweis direkt führen.

Die Gleichung der Tangentialebene in P { x' y' z' ist :

=—p(z + z');

xx' у у'

Ü* ])2

sie ist sowohl erfüllt, wenn gleichzeitig

= — 2 p z' ;

(H)ë4)

Qj

N-4

d. h. also für eine Gerade g der Schar a); als wenn

(ï+f) £~Ç)

= — 2 P z' ;

2p    .У'

x' У a b

т!

d. h. für eine Gerade h der Schar b). Es ist q:o = z' : — 2 p.

Da die Gerade g ganz in der zur xy-Ebene ver-X y

tikalen —[- — = — 2 p p liegt und die Ebene z = 0 a b

x y

im Punkte--— =0, d. h. auf h₀ schneidet, so er-

a b

gibt sich die einfache Konstruktion (s. Fig. 24). Man fälle von P auf die Ebene z = 0 das Lot PP', ziehe durch P' die Parallele g⁷ zu g₀, schneidet h₀ in A, so ist AP die Gerade g; entsprechend wird h konstruiert, und die Ebene durch g imd h ist die Tangentiale in P.

Der Hauptschnitt z = 0 ist keine Symmetrieebene (da er nicht durch das unendlich ferne Zentrum — den

И I св

Schnitt der Geraden z = oo ;    -f-    — 0 und z = oo ;

zer-

X y

--— = 0 — geht), er stellt die in g₀ und h₀

a b

X² - y²

fallende Hyperbel    - — — = 0 dar.

a² b²

Die Hauptschnitte x = 0 und y = 0 sind Parabeln: y² = 2 p b² z ; x² = — 2pa²z. Unter der Voraussetzung p <C 0 hat die erstere zur (Parabel-) Achse — z, die andre -f- z; beide berühren sich im Scheitel. Die Schnitte parallel x=0 sind kongruente Parabeln, deren Scheitel auf der Symmetrieparabel y = 0 liegen; die Schnitte parallel y == 0 umgekehrt.

Es gilt also derselbe Satz, wie für das elliptische Paraboloid, nur daß die Achse der beweglichen Parabel und die der festen einander entgegengesetzt sind (Fig. 25).

Die Schnitte parallel der Ebene z = 0 sind Hyperbeln, deren Asymptoten g₀ und h₀ parallel sind, die auf der gleichen Seite der Ebene z = 0 liegenden sind untereinander ähnlich; bei unserer Annahme liegen die

1!

ЯЯШ1

Fig. 25.

Schnitte, für welche z > 0, im spitzen Winkelraum der Asymptoten, die, für welche z 0, im stumpfen (konjugierte Hyperbeln, T. 1). Die Gleichung der Fläche nimmt eine besonders einfache Form an, wenn man h₀ zur x-Achse, g₀ zur y-Achse wählt, und die z-Achse unverändert läßt; sie wird dann 2    — — z(a² + b²)p.

Es existieren keine elliptischen Schnitte, also auch keine Kreisschnitte, dagegen gleichseitige Hyperbeln. Die Ebenen parallel der z-Achse schneiden Parabeln

X. Abschnitt.

Kubatur.

§ 43. Die Kubatur der zentralen Flächen.

Es würde das einfachste sein, die Kubatur der F2 auf die Simp son sehe (Newton-Cotes-) Regel zu gründen; aber die Ableitung der Regel ist nicht einfacher, als die direkte Kubatur. Wir zerschneiden die Körper durch Parallelschnitte zu einer Hauptebene in Schichten, die, wenn die Schnitte hinlänglich dicht aufeinander folgen, als Zylinder betrachtet werden können. Sei die Fläche ein Ellipsoid :

c²

î!₊^₊?!₌i a² + b²

Wir nehmen als Grundfläche den Hauptschnitt z — 0, legen zu ihm parallel den Schnitt z = h, teilen h in n gleiche Teile, legen durch die Teilpunkte Parallelen zu z = 0, lassen n über jedes Maß wachsen; dami weicht die Schicht von dem Zylinder, dessen Grundfläche der

Schnitt und dessen Höhe

aus, die, wenn bo₂ =

Я⁰

b²

V—A°    a²-fb²’

in ihre Achsen

ausarten.

Zum Schlüsse dieses Abschnitts sei auf die vorzüglichen Modelle der Quadrics oder Konoide von Martin Schilling in Göttingen hingewiesen.

— ist, nur ab um eine

in Bezug auf die Schicht selbst verschwindend kleine Größe, so daß wir die Zone zwischen z = 0 und z = h als Grenzsumme der Zylinder ansehen können. Die k.-Zylinclerschicht hat zur Grundfläche die Ellipse mit

den Halbachsen a

h²k²

h²k²

c²n²’

c²n²’

ihr Inhalt

ist also a b n 1

h²k²

c²n²

\    h

und der Zylinder Сп = аЬл: — 7    "    y    n

/    h²k²\

\1_ c^n²/

und der ganze Körper

h³ k2N c²n³,

=ab7ïh(i-^S)-

Die letzte Summe ist, wie aus den Elementen der Stereometrie bekannt, wenn n über jedes Maß groß, gleich ein Drittel, also:

1) Zh==abjrh^l

h²

3 c²/'

Dieselbe Formel, wie für die Kugelzone, abgesehen von der Yerschiedenheit der Achsen. Ist h = c, so er-

2

hält man für das halbe Ellipsoid 2b) x/₂ E = — a b c n und für das ganze 4

2) Y = — a b с n.

Man hätte 1) und 2) auch aus der Abbildung des Ellipsoids auf die Kugel (s. Schluß des § 36) herleiten können.

Für das einschalige Hyperboloid geht man von der Kehlellipse y = 0 aus ; die Gleichung ist

X²

z²

a²

+-„=1.

c²

Man legt im Abstande y = h die Parallele zu y = 0, und sieht, daß sich nichts ändert, als daß das Vorzeichen von h² von — in -f- übergeht, also:

3) Zp = ac7ïh(l +

und das Stück zwischen Kehlellipse und h = b ist

4

4) V = — a b с л.

ö

Für das zweischalige Hyperboloid berechnen wir die Kappe zwischen y=b und y = b + h, wenn

<N I

И I ce

z²

c²

hk

seine Gleichung ist. Der Schnitt in der Höhe b -|--hat

zum Inhalt

ik = a c n

2kh kz²

n² b²,

und die Schicht ist к — n

also

5) K„ = ac*h(jL ₊ !i)

ach ? л:

3 b²

(3 b + h),

und wenn h = b

6) Kh =

a cb л.

ist also wiederum dem Ellipsoid mit den Achsen abc raumgleich.

Für die Kappe des Ellipsoids zwischen z = c und z = h ergibt sich durch Subtraktion von 2b) und 1), wenn c — h = d gesetzt wird,

7) Kc =

a b n d²

3 c²

(3 c— d).

Die Formeln für das Ellipsoid sind denen für die Kugel ganz analog und unterscheiden sich von den Formeln für die Hyperboloide auch nur durch das Zeichen.

Der Ellipsoidsektor, begrenzt von der Fläche der Kappe und den Radien nach der die Kappe abschneidenden Ellipse, besteht aus dem Kegel mit der Höhe h und der Kappe, ist also gleich

lhg-fKe=lhg + l-E —Zh, also 2

8) Se = — a b n d,

О

Formel you Archimedes

wenn d die Dicke der Kappe; für die Kugel ist die 2

— а. а. л d ; beide Formeln sind identisch, wenn man den Inhalt des zur Kappe gehörigen Hauptschnitts als i einführt, nämlich

8*) Se = |fd.

Der Sektor des zweischaligen Hyperboloids ist (Fig. 26) gleich dem Kegel, der auf der Grundellipse der Kappe steht, vermindert um die Kappe

2

9) Sh — -acjrh.

О

Die Formel ist also dieselbe wie beim Ellipsoid. Kennt man f den Inhalt der Ellipse, in welchem der Asym-

Fig. 26.

ptotenkegel die Tangentialebene im Scheitel S schneidet, so ist f = acjr und

9*) Sp = |fd;

10) ß

hölilt man die Kappe durch den inneren Kegel vom Scheitel S als Spitze aus, so ist für den Fest ася h²

Das elliptische Paraboloid schneiden wir durch eine Ebene parallel zur Tangentialebene im Scheitel. War die Gleichung

X² y²

a2 + p = — 2pz = 2p'z,

so ist das durch die Ebene z = h abgeschnittene Stück eine Kappe, die Schnittfläche selbst eine Ellipse, deren Inhalt abyr2p/h ist. (Zu bemerken ist, daß p' als reziproke Maßzahl einer Strecke angesehen werden muß.) Zerschneidet man die Kappe durch n — 1 Parallelschnitte in gleichen Abständen in n Teile, so

ist der kte Querschnitt die Ellipse abc2p'h-, die

betreffende Schicht, wenn n wieder oo groß wird, der

p

Zylinder abc2p'h²- und die Summe n

11) Kp = 2 p' a b h² n -- = p' a b h² n.

и

Die Formel zeigt in der ersten Form, daß die Kappe die Hälfte des Zylinders ist, der ihre Grenzellipse auf die Tangentiale im Scheitel projiziert.

Die Ableitung dieser und der früheren Formeln kann auch ohne Anwendung der Formel limes

_

о ПР+¹ p+1

erfolgen, oder richtiger, diese Formel kann auf geometrischem Wege hergeleitet werden. Die к Schicht z. B. des Ellipsoides liegt zwischen dem Zylinder mit der Höhe — und der Grundfläche gk_i und dem

Zylinder mit der Höhe — und der Grundfläche gk, da

die Schnittflächen vom Scheitel aus beständig wachsen und so, daß die Zunahme im einzelnen unmerklich ist. Es gibt daher zwischen gk_i und gk einen Schnitt

so daß — уъ genau gleich der Körper Schicht ist. "Wenn

gk und gk_i unendlich nahe beieinander, so kann jeder Zwischenwert zwischen beiden als /k benutzt werden. Ein Zwischenwert zwischen (k — l)² und k² ist aber

I (3 (к -1) + 3 (k - ly +1) = i [(к⁸) - (к - l)⁸], daraus folgt unmittelbar

n ¹ К²

lim^— =    .

0 n⁸

Ebenso ist

— (2 к — 1) = к² — (к — l)² ein Zwischen-

u

Avert zwischen к und к — 1, also

n—1 U

2 ’ 'md

Ит^- = о n²

~ (k⁴ — (k — 1) ⁴) ein Zwischenwert zwischen k³ und (k—l)³, also:

r-i I

П—1 V3

lini]; 2 — —    ..

0 P⁴

Das hyperbolische Paraboloid:

X²

= — 2 p z.

У²

a² b²

Man legt einen Schnitt parallel der y z-Ebene bezw. X = 0 im Abstande h und berechnet den Sattel zwischen den Ebenen x = 0, x = — h und der Fläche (Fig. 27).

■.......... '

llJpF

Fig. 27.

Der Querschnitt ist das Stück der Parabel:

zn

h²

= 2 p z--- = 2 p £

a²

|wo £ =

z-f

h²

2 a² p,

Ij

welches zum Wert des £ für z = 0,

d. h. zu £₀ =

h²

2 a²p

g = I Уо £o =

gehört, also seine Fläche

4 h² b 3 2a"²!)

2ph²_ h»

2a²p    а ⁸ p

OO I ro

also:

ГоЗ

2    h³b k³ ₃ TT 2 b

3    a³p n⁴    3 p

b _lh⁴b p G a³ p *

Die Formel 12) zeigt in der ersten Fassung den

gk = ö

12) V=

см I со

■Li's:

sa

Satz:

Der Sattel des hyperbolischen Paraboloids, welcher durch einen Parallelschnitt zur Tangentialen im Scheitel abgeschnitten wird, ist ein Viertel des Zylinders, welcher die Grenzparabel auf die Tangentiale projiziert.

0uo?

KRAKÓW

Kleine mathematische Bibliothek

aus der Sammlung Göschen.

Jedes Bändchen elegant gebunden 80 Pfennig.

Arithmetik und Algebra v. Prof. Dr. Hermann Schubert. No. 47

Beispiel-Sammlung zur Arithmetik und Algebra von Prof.

Dr. Hermann Schubert.

Ebene Geometrie mit 111 zweifarbigen Figuren von Prof. G. Mahler.

Darstellende Geometrie I mit 100 Figuren von Professor Dr. Rob. Haussner.

Ebene und sphärische Trigonometrie mit 69 ein- und zweifarbigen Figuren von Dr. Gerhard Hessenberg

Stereometrie mit 66 Figuren von Dr. Robert Glaser

Niedere Analysis mit 6 Figuren von Dr. Benedikt Sporer

Vierstellige Logarithmen von Professor Dr. Hermann Schubert. In zweifarbigem Druck.

Analytische Geometrie der Ebene mit 45 Figuren von Prof. Dr. M. Simon.

Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Abbildungen von Prof. Dr. M. Simon.

Höhere Analysis I: Differentialrechnung mit 68 Figuren von Prof. Dr. Friedr. Junker.

Höhere Analysis II: Integralrechnung mit 89 Figuren von Prof. Dr. Friedr. Junker.

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Differentialrechnung mit 42 Figuren von^Prof. Dr. Friedr. Junker

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung mit 50 Figuren von Prof. Dr. Friedrich Junker.

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung mit 57 Figuren von Dr. K. Doehlemann.

Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik mit 18 Figuren von Prof. Bürklen.

Astronomische Geographie mit 52 Figuren von Prof.

Dr. Sigm. Günther.

Geodäsie mit 66 Abbildungen von Prof. Dr. C. Reinhertz,

Astronomie mit 86 Abbildungen und einer Karte von Prof. Dr. Walter F. Wislicenus.

Astrophysik mit 11 Abbildungen von Prof. Dr. Walter F. Wislicenus.

Geometrisches Zeichnen mit 282 Figuren von H. Becker.

„ 48

« 41

„ 142

„ 99 „ 97 „ 53

„ 81

„ 89

„ 87

„ 88

„ 146

„ 147

» 72

„ 51

„ 92

„ 102

„ 91

„ 58

Als ausführlichere Lehrbücher empfehlen wir:

Sammlung Schubert Band IX:

Analytische Geometrie des Raumes

IM- Gerade, €bene, Kugel

Von

Professor Dr. Max Simon.

sä? Preis: gebunden Mk. 4.—.

Sammlung Schubert Band XXV:

Analytische Geometrie des Raumes

n.ceiir Die flächen zweiten Grades

Von

Professor Dr. Max Simon.

xxxxxxs Preis: gebunden Mk. 4.40. oco

G. J. Gösehen'sehe Verlagshandlung in Leipzig.

Ferner empfehlen wir:

Sammlung Göschen No. 65: flnalptiscbe Geometrie der ebene

Von

Professor Dr. Max Simon.

Preis: gebunden 80 Pfennig

Sammlung Schubert Band VIII: flnalptiscbe Geometrie der €bene

Von

Professor Dr. Max Simon«

Preis: gebunden Mk. 6.—.

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung in Leipzig.

Sammlung eä$cb«n

gitetnttnvgeFdtirfjte I IBeifer in mien, ifdte gitevntuv0efd)idtte mit BerUdfiĄtigung ber ©efdjidłte ber tDiffenfdjaften non Dr. Hlfreb ©erde, profesor an ber Unioerfitât ©reifsmalb.

71    JUigemeine tinЬ pirtirtknlifdie ©Ifentie non Dr. îîtaj Kubolpfei, Dojeni a. b. ©edptifdjen fjodifcfeule in Darmftabt. mit 22 Siguren.

72    $)voiehttue (Promettie in fqn»

Ci о

ÇO I>

oon Dr. Kar

tfeetifdjer Befeanblung oon Dr. Karl Doeljlemann, profesor an ber Uni» oerfitât КШпфеп. mit 85 зит ÎTeil 3toeifarbigen Figuren.

73    |)tfUtevkunbe o. Dr.midj.lfaber* lanbt, f.u.f.©uftos ber etfenograpï). Sammlung b. naturt). Ifofmufeums u. Prioatbo3ent an ber Unioerfitât ÏDien. mit 56 Hbbilbungen.

74    fie giaulmnft b. ^benManbe* oon Dr. K. Sd)äfer, Hffiftent am ©emerbemufeum in Bremen, mit 22 Hbbilbungen.

75    gite gvnpbifdjen fünfte Kampmann, $ad)Iel)rer a. ©raphifdjen £el)r» unb Berfudjs» anftalt in mien, mit 3 Beilagen unb 40 Hbbilbungen.

76    ©ireovetirdtv lUrnJtU. I. Ge«: medjani! u. Hfuftif. Bon Dr. ©uft. 3äger, profeffor an ber Unioerfitât mien, mit 19 Ubbitbungen.

77    ©4**vetird)e $Uwrtk U Geil: £id}t unb märrne. Bon Dr. ©uft. 3äger, profeffor an ber Unioerfitât mien, mit 47 Hbbilbungen.

78    ©Ijeovetirdj* WnftJt. III. ©eil: <Eleftri3ität u. magnetisrnus. Bon Dr. ©uftao 3&qzx, Profeffor Unioerfitât mien. mit33Hbbilbgn.

79    (fôoti|*dje gpvadibenJwtiüev mit ©rammatif, Ueberfefeung unb (Er» Iäuterungen o. Dr. perm. Sanken in Breslau.

80    g»tilltunbe o. Karl (Dtto partmann, ©etoerbefdiuloorftanb in Ittosbad). mit 12 BoIIbilbern unb 179 ©e£t» illuftrationen.

81    $ÜevßeUi0e ®afeln n. <*5e0en-tafeln für Iogaritl)mifd)e$ unb tri» gonometrifdjes Кефпеп in tmei

o. ©arl b. Ï. f.

a. b.

5arben 3ufammengeftellt oon Dr. permann Schubert, profeffor an ber ©elehrtenfdjule b. 3ohanneums in Hamburg.

82    (tfvnnbvift bev Uteinifdjen l*»p va d| lehre oon profeffor Dr. m. Botfd) in Ittagbeburg.

83    fnbifthe PeU0i«m*0erd)id|ie oon Dr. ©bmunb parbt), profeffor an ber Unioerfitât тйгзЬигд.

84    Itcmtik. Кигзег Hbrife bes täglid) an Borb oon panbelsfd)iffen ange» toanbten ©eils ber Scfyiffaljrtshmbe. Bon Dr. 5гапз Schule, ber Uaoigations»Sd}uIe зи £übed. mit 56 Hbbilbungen.

85    gvan;ö|tf*he <ßefrijidjtv oon Dr. H. Sternfelb, profeffor an ber Uni» oerfität Berlin.

86    f£nr$rdtvift. £el)rbuĄ ber Ber» einfachen beutfdjen Stenographie (©inigungs » Spftem Stol3e»Sd)ren) nebft Sd)Iüffel, £efeftüden u. einem Hnhaitg oon Dr. Hmfel, Oberlehrer bes Kabettenhaufes inOranienftein.

87    i)'ûhere Aim h) ft* I : Differential» гефпипд. Bon Dr. $rbr. Sunler, profeffor am Healgpmnafium u. an ber Kealanftalt in Ulm. mit 685ig.

88    Dityw* Amtlpft* II: 3ntegral» redjnung. Bon Dr. $rbr. Sunfer, Profeffor am Realgqmnafium u. an b. Kealanftalt in Ulm. mit 89 $ig.

89    ^m»U}tird)* (fôeametvie be* gtanme* o. Prof. Dr. m. Simon in Strafeburg. mit 28 Figuren.

90    ©tijik oon Dr. ©homas Hdjelis in Bremen.

91    ^ßvopiwltk, bie Befdjaffenheit ber pimmelsförper oon Dr. matter S mislicenus, profeffor an ber Unioerfitât Strafeburg, mit 11 Hb* bilbungen.

92    ^Ißvmurotird)* (tfeo^rankie oon Dr.Siegm. ©iintfeer, profeffor a. b. ©ed)nifd)en pocbfdjule in mündjen. mit oielen Hbbtlbungen.

f entfdje* geben im 12. fabv-pnnbevt. Kulturljiftor. ©rläute» rungen зит Hibelungenlieb ипЬзиг Kubrun. Bon Profeffor Dr. 3ul. Dieffenbadjer in Sreiburg i. B. mit I ©afel unb 30 Hbbilbungen.

Direftor

93

Sammlung ßöscben

94    $fl;ot*0rapl;ie. Don prof. 1).Ке&» 1er, Fad)lel)rera. b. !. !. ©rapl)if$en £el)r* unb Derfud)sanftalt in tDien. îîîit 4 ©afetn unb 52 Abbilbungen.

95    llaläantaloeb* Don Dr. Rub. ïjoernes, Prof, an ber Unberfität (Бгаз. tUit 87 Abbübungen.

96    $ew>remte*fViel*o. Dr.(E.Kot)l* raufd) profeffor am Kgl. Katfer* U) Ш) e Ims=© tpnnaf ium зи lj annooer. XRtt 14 Abbilbungen.

97    gtferrametric oon Dr. R. ©lafer ln Stuttgart. Rtit 44 Figuren.

98    ©rtwbriß ber prodjoplpjltlt o. Dr. Ф. 5. £ipps in £eip3ig. mit 3 Figuren.

99    Ш»епе и. ГрЬтГфе ®rie*tta-ntctric uon Dr. Феri). Jfeffenberg ln <El)arlottenburg. mit 69 ein» u. 3toeifarbigen Figuren.

100    óddjftrdje ©eMidtfe Dr. (Dtto Kaemmel, : Hlfolatgqmnaftums зи £eip3ig.

101    âaeialagie oon prof. Dr. (Et)om. fldjelis in Bremen.

102    <$eobä|te non Dr. (E. Reinsert}, Profeffor an ber ©cd)utfd)en f)od)* fd)ule ffannooer. mit 66 Abbilb.

110    <ßtfü)iA)it ber ÎUalerei IV non Dr. Rid). mutier, Profeffor an b. Unberfität Breslau.

111    <$efd)id)te ber lUalerei V oon Dr. Rid), mutter, profeffor a. b. Unberfität Breslau.

112

ООП Prof. Reftor bes

103    gjßrdilrUtunbr oon Dr. Ф. Fünf in mannljeirn. mit oielen Formul.

104    ©ejterreidtirdje ©efdjidjte I: Don ber Uneit bis 1526 o. ffofrat Dr. Fr. o. Krones, Profeffor an ber Unberfität Фгаз.

105    ©cjterreidiifdie ©efdjidite II: Don 1526 bis зиг ©egenmart oon fjofrat Dr. Fr3- o. Krones, prof, an ber Unberfität Фгаз.

106    garftmiflrenrdjaft oon Dr. ЯЬ. Sdjmappad), profeffor an ber Forft* afabemie (Ebersroalb birigent bei ber ffauptftation bes forftl. Derfudjsroefens.

107    <$«rdfid)t£ ber pialerei I Dr. Rid). Rtutfyer, profeffor a. b. Unberfität Breslau.

108    ($erdtidite ber |Ualerei II oon Dr. Rid), mutier, profeffor a. b. Urberfität Breslau.

109    ©erdiidjte ber Malerei III oon Dr. Rid), mutier, profeffor a. b. Unberfität Breslau.

e, Abteilungs*

oon

ÏUjtjfirdje |$teerr#lmttbe oon Dr. (berljarb Sd)ott an ber Deutfd)en Seetoarte in Hamburg, mit oielen Abbilbungen unb ©afeln. Allgemeine djentifdje iftedjno-lagte oon Dr. ©uft. Rauter in ©Ąarlottenburg.

114    gUintaleJ}re oon profeffor Dr. V0. Koppen, Rleteorologe ber See* marte Hamburg, mit 7 tEafeln u. 2 Figuren.

115    ^ud)fiU;rnng. £el)rgang ber ein* fad)en unb hoppelten Bud)l)attung oon Robert Stern, (Dberlefyrer ber (Deff. f}anbelslel)ranftalt u. Do3ent ber l)anbelsl)od)fd)ule зи £eip3ig. mit oielen Formularen.

116    glte {UaßUt be* Ab*«blanbe* oon Dr. Ijans Stegmann, Konfer* oator am (berman. Uationalmufeum 3U Uürnberg. mit 23 ©afeln.

117    dßriedjifdje (Orammaitit I : For* menlel)re oon Dr. ffans melier, Prof. a.b. Klofterfd). з.Шаи1Ьгопп.

118    (ftriediifdre ©rammatilt II: Be* beutungslel)re unb Spntaj oon Dr. Ifans Rtelfjer, profeffor an ber Klofterfdjule зи Rtaulbronn.

119    Abriß ber $wrgenltwtbe ff of rat Dr. (Dtto Piper in Rtündjen. mit 29 Abbilbungen.

120    $armiwtelel;re oon Я. Ifalm, mufiïbireïtor in Stuttgart, mit Dielen Uotenbeilagen.

121    1&6fA)iA)U ber alten u. ntittel-alierltdien Utuli к oon Dr. Я. möl)ler. mit 3al)lreiĄen ЯЬЬКЬдп. unb mufübeilagen.

122    Da* Pflanjenreid). (Einteilung b. gefamt. Pflan3enreid)s m. b. toid)* tigften u. oefannteften Arten o. Dr. F.Reinede in Breslau unb Dr. U), mtgula, Prof. a. b.©ed|n.f)od)fd)uIe Karlsruhe, mit 60 Figuren.

113

ООП

Sammlung Göschen

8« jjf.

126

pcutrdjc Stammcolmnbc

Dr. Kubolf тиф, Prioatbo3ent an b. Unioerfität mien, mit 2 Karten

139 ^aufntânnifd)«^ $erir«en 1 o. ШфагЬ 3uft, (Dberlefyrer an bcr (ЭДепШфеп Ifanbelslehranftalt ber Dresbener Kaufmam^aft.

146

123    llttifpftottfett Don prof. Dr. 3-Behrens, Dorft. b. Oro&h. lanbmirt* fdjaftlid}. t)erfud)sanftalt Huguften» berg. mit 53 Hbbilbungen.

124    Diebrutrd]en2Vltrvtümci о Dr. 5ran35ul)fe, Dir. b.ftäbt.mufeurns in Braunfdjtoeig. mit 70 Hbbilb.

125    |ltalieuird)e giteraturocfYli. non Dr. Karl üo&ler, prioatbo3ent a. b. Unioer{ität fjeibelberg.

non

unb 2 (Tafeln.

127    ItftonienbtDlogie o. Dr. Ш. Rti» aula, profeffor an ber (ЕефпЦфеп 1)оф1фи1е Karlsruhe, mit 50 Hob.

128    $l0manirdre$prad)wifTeitrdmft oon Dr. Hbolf Sauner, f. t. Real» fchulprofeffor in mien.

129    gl te ;\lpen oon Dr. Rob. Sieger, prioatbo3ent an ber Unioerfität u. profeffor an ber (Ejportafabemie oes 1.1. Ifanbelsmufeums in mien, mit 19 Hbbilbungen unb 1 Karte.

130    фл* oflfentl. |1п1еггЫ)1*теГеп Dcittl'djlanbo i. b. ©egcitnmrt oon Dr. Paul Stötpter, (bpmnafial* Oberlehrer in 3mtcfau.

131    b. ^ioloaic b. Шеге I: (Entftehung unb meiterbilbung ber Oiermelt, Be3iel)ungen зиг orga* т!фепНа1иг o. Dr. Ąeinr. Simroth, Profeffor a. b. Unioerfität £eip3ig. mit 33 Hbbilbungen.

132    b. biologie b. ftieve II: Be3iehungen ber Œiere зиг organ. Uatur oon Dr. §етпф Simroth, Profeffor a. b. Unioerfität £eip3ig. mit 35 Hbbilbungen.

133    £t0lU$n)irtrd}aftÿUl}t** oon Dr. (Tari 3ohs. Зифэ, profeffor an b. Unioerfität Jreiburg i. B.

134    gïeutfdie gitcratttrge fdjidjte be* 19. |tûht*hииЬег*г> I oon Dr. (Tari П)еШ>гефЬ profeffor an ber Фефп1{ф. БoфfфuIe Stuttgart.

135    gUntfdie £ttevatm*ôcrrijid|tr be* 19. mhrljunbevt* II о. Ш. (Earl теКЬгеф!, prof. а. Ь.Жеф-nifфen 1)оф1фи1е Stuttgart.

136    $U}t)fütaUrdte

oon (Б. Rtahler, prof, am (5t)m* nafium in Ulm. mit 67 5ig

137    £Jid)tun0en nu* ntitteUjorii-beutrdjcv friUjmt. 3n Husroahl m. (Einltg. u. tDörterb.Ijerausgegeb. o. Dr. Hermann 3anfcen i. Breslau.

138    ^tmpiiriu# $impUriritnm* o. Ej. 3nlob (El)riftoffel ». (Brimmels* Raufen. 3nHusroal)Il)erausgegeb D. prof. Dr. $. Bobertag, Do3ent an ber Unioerfität Breslau.

140    g&aufmännirrije* Heri)uett II о. R^arb 3uft, Oberlehrer an ber Фе^епШфеп Ifanbelslehranftalt ber Dresbener Kaufmam^aft.

141    gttovphelagie, Anatomie unb |U)t)ft0l*0ie be* Pflaitfru. Don Dr. m. migula, profeffor an ber (ГефпЦфеп 1)оф{фи1е Karlsruhe, mit Dielen Hbbilbungen.

142    glarfteUettbe (ötametri« I. Don Dr.Rob. ïfaujjner, prof. a. b. (Еефп. 1}оф1фи1е Karlsruhe. ÏTtitlOOSig.

145 (iïtfdiidjtc btv gtöbaecgiU oon Oberlehrer Dr. ïj. tDeimer in miesbaben.

glepetitavium unb l\ufgabcn-jammlung fur gliffcvential-rcdjnmtg oon Dr. Sriebr. 3un!er, Profeffor am Realgpmnafium unb an ber Realanftalt in Ulm. mit 42 Siguren.

147    glepetitatrium uub 3luf0abrn-lammhmg f. glntegralredm©. oon Dr. $rtebr. 3unfer, profeffor am Realgpmnafium unb an ber Realanftalt in Ulm. mit 50 $îq.

148    ginan; mille nfihaft o.(5eh. Rcg.* Rat Dr. R. oan ber Borght in

$riebenau*Berlin.

149    Щ1иГг1и»1. Ifctftnenleljre (fom-politi cmolcljrc > o. Stephan Krehl. I. Œeil. Die reine 5ormenïehre. mit oielen Uotenbeifpielen.

ÜUttbett!

J ,'0/P

Sammlung ööscben

150    gtlufthal. ^arntenleljre (gtant-р#|Ш#п#1еЬге) oon Stephan Krel)I. II. ©eil: Die angetoanbte 5ormenlel)re. XTXit oielen Roten* beifpielen.

151    §d}tnar#1?er t*. Ddjntaroiier-tunt lit ber ©iertuelt. (Erfte (Ein* füljrg. i. b. tierifdje Sdjmarofcerfunbe о. Dr $гапз о. magner, a.o. prof. a.b.Unioerf.Cbiejjen. ÎTUt 67 Hbbg.

152    ©ifen*£)iitten*Rnnbe o.H Krau§, bipl. Hütteningenieur. I.(Teil: Das Roljeiîen. mît 17 $ig. u. 4 ©afeln.

153    ©iren-âiWten-fmnbe o.A.Krauf), bipl. Hütteningenieur. II.©eil: Das Sdjmiebeifen. mit 25$ig. u. 5©af.

154    ©letrdierlmnbe oon Dr. Srifc madbacef in mien. TtUt 5 Abbilb. im ©eçt unb

Da# |;ernrvredtw»eren oon Dr. Cubroig Rellftab in Berlin, mit 47 5tguren unb 1 ©afeï.

156 D#l#nialoerd|idîte oon Dr. Diet* rid) Sdjäfer, profeffor ber®efd)id)te an ber Unioerfität H^belberg.

158 Die $Iflanjcnn»elt b. (öetuÄfler . m. IRigula, Prof, an ber Hod)îd)ule Karlsruhe.

11 ©afeln.

oon Dr ©ed)n.

50 Abbilbungen.

159 ^ifdjcrei nnb gifdifttdit о Dr. Karl (Edftein, Prof, an ber 5orft* alabemie (Eberstoalbe, Abteilungs* birigent b. b. Hauptftation b. forft-Iidjen üerfud)sroefens.

mit

160    ^ati^rirdfe ©efdjidjte non Dr. Hans (Ddel in Augsburg.

161    gUutrdje giteratiuröefdjidjte ber gUaflTikerfeit oon Dr. (Earl EDeitbreĄt, profesor a. 6. ©edjn. f)od)idjule Stuttgart.

162    Die    Sauptliteraturen    be#

©rient# I. ©eil: Die Citeraturen ©Italiens unb Snbiens o. Dr. îît Haberlanbt, Prioatbo3ent Unioerjität mien.

163    Die    Dauptliteraturen    be#

©rient# N.©eil: Die Citeraturen ber perfer, Semiten unb ©ürlen D. Dr. Ш. Haberlanbt, prioatbo3ent a. b. Unioerfitat mien.

164    Plurtiteerd)id)te be# 19. Jaljr-trnnbert# I. ©eil non Dr. K. (Brunsîp in Stuttgart.

PlttJtitaerdjidjte be# 19. |al|r-Ifunbcrt# П. ©eil oon Dr. K. (Brunsft) in Stuttgart.

166 ituHirdT* giteraturaerd)id)te o. Dr. ©eorg polonsfif i. Rîünd)en.

giteratnraefdjidjte Dr. Hubolf Beer in

an ber

165

167 $panird>e i. ©eil oon mien.

$pau\fń)t gitevatureerdjidtte II. ©eil oon Dr. Rubolf Beer in mien.

168

Die Sammlung mirb in rafĄer 5о*9* fortgefetjt.

Sammlung ^Ąubert.

Sammlung matfyematifdjer £eï)rbüd)er,

Me, auf mifjenfcf)aftliĄer (BrunMage berufyenb, ben Bebürfntfjen bes praftüers Rechnung tragen unb 3ugletd) burd) eine leirfjt fa&Iidje Darjtellung bes Stoffs aud) für ben llid)tfad)mann Der* ftänblid) jinb.

6. 3. 65$cl)cn’sc1)t Verlagspandlung, Leipzig.

öerjeidjnis ber bis jefet erfdjienenen Bönbe:

1    Elementare glritljmetik unb Algebra oon prof. Dr. Hermann Sdjubert in Hamburg. Ш. 2.80.

2    Elementare Planimetrie D. Prof. Ш. Pflieger in Rtünfter L (E. ITT. 4.80.

3    Ebene unb fpljärirdje «Erigono-metrie oon Dr. $. Bofenert in tfamburg. Ш. 2.—.

4    Elementare Stereometrie oon Dr.5.Bohnert in Hamburg. Ш.2.40.

5    ttiebere^naitiM l.®eil: Kombinatorik, IttaOiTdjcinlidjkeita-redjnmtg, Kettenbrüdje unb bioyljantird)c Eleidfitttgeu oon Profeffor Dr. Hermann Schubert in Hamburg. Ш. 3.60.

6    ćUgebra mit Einfluß ber elementaren §al|lentł)eorie о. Dr. (Dtto punb in flltona. Ш. 4.40.

7    Ebene Eeontetrie ber gage o. Prf. Dr. Rub. Böger l. Hamburg. ITC.5.

8    ;\naltjtird|e Eeontetrie ber Ebene oon prof. Dr. RTaj Simon in Strafeburg. ITC. 6.—.

9    Ä\nah)t. Eeontetrie b.

14 Prari# ber Eieidjungett non jProfeffor <E. Runge in fjannooer.

19    piakrrdjeiulidjkeito- unb 3lu*-glchtjmtgo - llcdimutg non Dr. Itorbert £)сгз in tDien. ПТ. 8.—.

20    £ter[td)erungomntJrcntatik oon Dr. Ш. (brofemann in tDien. ttt.5.—.

25 ^nalt)iird;c Eeontetrie beo Hu um ca il. ®eil: pie Fliidfcn »meiten Etabca oon prof. Dr. îîîaj Simon in Strafeburg. ТП. 4.40. 27 Eeometrirdje ®rait*formatio-nen I« ®eil : glie yiojcktittcn ®ranoformationen nebft ilfren ^nwenbuttgru oon priuatboient Dr. Karl Doel)Iemann in Шйпфеп.

m. io.—,

gebraifdfen gunk-krer integrale o. (Dberleferer <E. Canbfrfebt in Strafe* bürg. ÎÏÏ. 8.50.

34    giniengeometrie mit ^Inmen-buttgen I. ®eil oon profeffor Dr. Konrab 3tnbler ln Smtsbrud. Ш.12.

35    Htel)rbinten|touale Eeometrie I. ®ell: glie linearen glöunte oon Profeffor Dr. p. tf. Sdjoute in (Broningen. Ш. 10.—.

40 2llatl)ematird|e Eptik oon Dr. 3. (Haffen in Hamburg, tlt. 6.—.

46 ®l)etafunktionen unb ktjpcrel-iiptifdie Funktionen oon <E. Canbfriebt in Strafeburg. 1

31 följeorie b. a!

Hotten unb i

Раите*

oon

I. ®eil: Eerabe, Ebene, ftugel Profeffor Dr. Шар Simon in Strafeburg. ПХ. 4.—.

10 gUtferentialredntung oon prof.

(Dberl. m. 4.50.

Dr. 5гз. Rîeqer in Königsberg. Ш. 9. 12 Elemente ber barltellenben Eeometrie oon Dr. 3ofyn Sdjröber in fjamburg. Ш. 5.—. Pilferentialgleidiungen o. Prof. Dr. £. Sdjlefinger i. Klaufenbrg. Ш. 8.

nws

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

1-301264

■ô

Biblioteka Politechnik. Krakowskiej