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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

Raumkurven und Anfänge der Flächentheorie

Von

Prof. Dr. Rudolf Rothe

Mit 32 Abbildungen

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Bibliothek zur Mathematik u. Astronomie

aus der Sammlung Göschen

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Dr. H. Hasse ....................Nr. 1082

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Determinanten von Prof. P. B. Fischer.........Nr. 402

Gruppentheorie von Dr. Ludw. Baumgartner. Mit 6 Fig. Nr. 837 Praktisches Zahlenrechnen v. Prof. Dr.-Ing. P. Werk-

Nr. 405 Nr. 943 Nr. 1027 Nr. 1022 Nr. 87

Nr. 226,875

Nr. 51

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Text und 405 Beispielen und Aufgaben........

Integralrechnung von Prof. Dr. A. Witting. Mit 63 Figuren

und 190 Beispielen..................

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Integral-rechnung von Prof. Dr. A. Witting. Mit 32 Fig. u 305 Beisp. Nr. 147 Gewöhnliche Differentialgleichungenv.Dr.G.Hoheisel Nr. 92 ) Partielle Differentialgleichungen v. Prof. Dr.GJHoheisel Nr.1003 Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen von Prof. Dr.

G. Hoheisel.....................

Integralgleichungen von Prof. Dr. G. Hoheisel .... Variationsrechnung I. Von Prof. Dr. L. Koschmieder.

_ Mit 21 Fig.......................

Nr. 146

Nr. 88

Nr. 1059 Nr. 1099

ElementeTler Funktionentheorie von Prof.Dr.K. Knopp Nr.1109 I unktionentheorie von Prof. Dr. Konrad Knopp.

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Dr. К. Knopp. 2 Bde Einführung in die Konforme Abbildung von Prof. Dr. Ludwig Bieberbach. Mit 42 Zeichnungen

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Numerische Integration von Dr. F. A. Willers. Mit 2 Fig. Nr. 864 Ebene und sphärische Trigonometrie von Prof. Dr.

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Projektive Geometrie von Prof. Dr. H. Timerding. Mit

38 Figuren .....................

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Prof. Dr. H. Timerding. Mit 65 Figuren........

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Nr. 72

Nr. 1060

Nr. 970

Nr. 532

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Politische Arithmetik von Dr. E. Förster

Nr. 508, 871 . . Nr. 879

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2    Bände

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Quadrate von Prof. W.Weitbrecht. 2 Bde. Mit 16 Fig. Nr. 302, 641 Vermessungskunde von Prof. Dr.-Ing. P. Werkmeister.

3    Bände. Mit 294 Figuren

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Mathematische Instrumente v Dr. Fr.A.Willers. M. 68Fig. Nr.922 Astronomie. Gröbe, Bewegung u. Entfernung d. Himmelskörper v. A. F. Möbius, neubearb. v. Prof. Dr. Herm. Kobold.

I.    Das Planetensystem. Mit 33 Figuren.......

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und 2 Sternkarten................

Nr. 180,917

Nr. 463, 469, 862

Nr. 102

Nr. 11

Nr. 529

Sammlung Göschen

Differentialgeometrie

Raumkurven und Anfänge der Flächentheorie

Von

Dr. Rudolf Rothe o. Professor an der Technischen Hochschule Berlin

Mit 32 Abbildungen

Walter de Gruyter & Co.

vormals G.J.Göschen’sche Verlagshandlung . J.Guttentag, Verlagsbuchhandlung . Georg Reimer . Karl J.Trübner . Veit & Comp.

Berlin 1937 Leipzig

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Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

Archiv-Nr. 11 11 13

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Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. Printed in Germany.

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Inhaltsverzeichnis.

I. Raumkurven.

§ 1. Analytische Darstellung der Raumkurven

1.    Vorbemerkungen. Parameterdarstellung einer Raumkurve

2.    Andere Darstellungen einer Raumkurve................

3.    Beispiele............................................

4.    Komplexe Kurven....................................

5.    Bemerkungen über Minimalvektoren ....................

6.    Einführung eines anderen Parameters..................

10

11

12

§2. Tangente, Bogenlänge, Normale, Schmiegungsebene

7.    Tangente ................................................

8.    Linienelement, Bogenlänge..................................

9.    Beispiele..................................................

10.    Tangentenvektor...........................................

11.    Normalebene ..............................................

12.    Schmiegungsebene .........................................

13.    Ebene Kurven ............................................

14.    Schmiegungsebene als Ebene „benachbarter“ Tangenten ......

15.    Hauptnormale .............................................

§3. Krümmung und Windung

16.    Krümmung к einer Raumkurve .............................

17.    Krümmungsachse..........................................

18.    Binormale.................................................

19.    Windung x ...............................................

20.    Berechnung der Windung x ................................

21.    Ausdrücke für к und x bei beliebigem Parameter.............

§ 4. Hauptgleichungen und begleitendes Dreibein

22.    Die Hauptgleichungen der Kurventheorie ....................

23.    Anwendung: Allgemeine Schraubenlinien .....................

24.    Das begleitende Dreibein....................................

25.    Das begleitende Dreibein als Basis ..........................

26.    Die ganze Krümmung......................................

27.    Radiusvektor, entwickelt nach Potenzen der Bogenlänge ......

§5. Die sphärischen Bilder

28.    Die sphärischen Bilder.....................................

29.    Sphärisches Tangentenbild..................................

30.    Sphärisches Binormalenbild.................................

31.    Sphärisches Bild der Hauptnormalen ........................

§ 6. Differentialinvarianten

32.    Bewegungen im Raume. Invarianten........................

33.    Invarianten der Bewegung..................................

34.    Invarianten der Parameterdarstellung........................

35.    Einführung der Bogenlänge. Eigentliche und uneigentliche Invarianten der Darstellung ..................................

36.    Eundamentalinvarianten....................................

§ 7. Natürliche Gleichungen

37.    Natürliche Gleichungen.....................................

38.    Beispiel...................................................

39.    Bestimmung aller Kurven mit gegebenen natürlichen Gleichungen 55

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CO 05 03 СО tO K> СЛ ^ Ю h-L СО (X

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56

40.    Fortsetzung ...............................................

41.    Zurückführung der Aufgabe auf eine Riccatische Differentialgleichung ..................................................

42.    Beispiel: Bestimmung aller Kurven, bei denen das Verhältnis der

Krümmung zur Windung einen festen Wert m hat ...........

43.    Invariante Bestimmung einer Kurve aus ihren natürlichen Gleichungen ..................................................

44.    Fortsetzung ...............................................

45.    Beispiel...................................................

46.    Der Ausnahmefall m = 0...................................

47.    Sehne und zugehöriger Bogen ...............................

§ 8. Berührung höherer Ordnung

48.    Berührung w-ter Ordnung zwischen Kurve und Fläche.........

49.    Fortsetzung ...............................................

50.    Schmiegungsfläche in einem Kurvenpunkte...................

51.    Erstes Beispiel: Schmiegungsebene ..........................

52.    Zweites Beispiel: Schmiegungskugel .........................

53.    Sphärische Kurven ........................................

54.    Berührung w-ter Ordnung zwischen zwei Raumkurven ........

55.    Schmiegungskurve in einem Punkte einer gegebenen Raumkurve 81

5t. Schmiegungskreis ..........................................

§ 9. Evolventen und Evoluten

57.    Tangentenfläche einer Raumkurve...........................

58.    Fadenevolventen (Filarevolventen)...........................

59.    Fadenevoluten.............................................

60.    Planevolventen ............................................

61.    Bertrandsche Kurven ......................................

62.    Formel von Schell .........................................

§ 10. Minimalkurven

63.    Minimalpunkte und Minimalkurven erster und zweiter Art ....    89

64.    Gemeinsame Bedingung für Minimalkurven ..................

65.    Lehrsatz...................................................

66.    Parameterdarstellung der Minimalkurven erster Art...........

67.    Einführung eines invarianten Parameters ....................

68.    Parameterdarstellung einer Raumkurve mit integralloser Bestimmung der Bogenlänge......................................

69.    Anwendung auf Minimalkurven erster Art ...................

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II. Anfänge der Flächentheorie. Kurven auf § 1. Analytische Darstellung einer Fläche

70.    Parameterdarstellung einer Fläche...................

71.    Wechsel der Parameter.............................

72.    Kugel, bezogen auf Breitenkreise und Meridiane......

73.    Kugel, bezogen auf die erzeugenden Geraden.........

74.    Schraubenfläche ...................................

75.    Ebene in schiefwinkligen cartesischen Koordinaten ....

76.    Drehfläche ........................................

77.    Tangentenfläche einer Raumkurve...................

78.    Geradlinige Flächen („Regelflächen“).................

79.    Gerade Konoide ...................................

80.    Höhenlinien, Karte einer Fläche ....................

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Inhaltsverzeichnis. — Literaturverzeichnis.

§ 2. Berührungsebene, Linienelement, Flächennormale

81.    Berührungsebene...........................................

82.    Linienelement .............................................

83.    Beispiele..................................................

84.    Flächennormale............................................

85.    Oberflächenelement ........................................

86.    Begleitendes Dreibein der Fläche............................

87.    Zwei Formeln für [rMTi] und [rvTÎ].........................

§ 3. Kurven auf einer krummen Fläche ; Schnittwinkel ; Krümmungstheo rie

88.    Kurven auf einer krummen Fläche. Schnittwinkel ............

89.    Beispiel: Loxodromen.......................................

90.    Schichtlinien und Fallinien..................................

91.    Tangentialnormale einer Flächenkurve........................

92.    Normalkrümmung und Tangentialkrümmung, Normal Windung und

Tangentialwindung.........................................

93.    Satz von Meusnier (1776)    .................................

94.    Normalschnitte und Meusnierscher Satz......................

95.    Die Fälle n — 0, g = 0, y= 0..............................

§ 4. Bemerkungen über die Abwickelbarkeit zweier Flächen aufeinander

96.    Übereinstimmung der Linienelemente.........................

97.    Beispiel: Katenoid und Schraubenfläche .....................

98.    Tangentenfläche einer Baumkurve auf die Ebene abwickelbar ... 128

99.    Kegelflächen und Zylinder

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T—i г-l r-i H H n

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131

Literaturverzeichnis.

(Nur die deutsche Literatur ist berücksichtigt.)

1.    Blaschke, W., Vorlesungen über Differentialgeometrie I,

2.    Aufl., Berlin 1924.    •

2.    Duschek,A., und Mayer, W., Lehrbuch der Differentialgeometrie I, Leipzig und Berlin, 1930.

3.    Knoblauch, J., Grundlagen der Differentialgeometrie, Leipzig und Berlin 1913.

4.    Кommerell, V. und K., Allgemeine Theorie der Raumkurven und Flächen I, 4. Aufl. Berlin 1931.

5.    V. Lilienthal, R., Vorlesungen über Differentialgeometrie I, Leipzig 1908.

6.    Scheffers, G., Einführung in die Theorie der Kurven,

3.    Aufl., Berlin und Leipzig, 1923.

Hinsichtlich der wenigen in diesem Bändchen verwendeten Sätze aus der Vektorrechnung sei auf das Buch

Valentiner, S., Vektoranalysis, Nr. 354 dieser Sammlung, hingewiesen.

I. Raumkurveii.

§ 1. Analytische Darstellung der Raumkurven.

1. Vorbemerkungen. Parameterdarstellung einer Raumkurvc. Aus der Anschauung entnehmen wir, daß die Lage eines Punktes P in unserem (Euklidischen) Raume durch drei reelle geordnete Zahlen x, y, z bestimmt wird, die man als rechtwinklige Oartesische Koordinaten in bezug auf ein dreiachsiges räumliches Koordinatenkreuz deuten kann. Ist О der Ursprung dieses Achsenkreuzes, so sind x, у, г die Komponenten des Ortsvektors (Radiusvektors) OP = x = {x,y, z}, dessen Länge I OP I = I г I = J/x² y² z² ist, wobei der Quadratwurzel das positive Vorzeichen beizulegen ist. Sie kann für reelle Komponenten nur verschwinden, wenn alle drei Komponenten Null sind, oder wie man sagt, wenn der Vektor selbst Null ist.

Nun seien die Komponenten x, у, z des Vektors r eindeutige hinreichend oft differenzierbare Funktionen einer Veränderlichen (Parameter) t mit gemeinsamem Definitionsbereich ß). Die Menge aller Punkte P mit den Koordinaten x(t), y(t), z(t) oder mit dem Ortsvektor r (t), die sich ergeben, wenn t den Bereich (a ... ß) stetig durchläuft, heißt eine Raumkurve (genauer: ein Raumkurvenstück). Wenn jedem zulässigen Wert von t genau ein Punkt P entspricht, und wenn man sich die Werte von t in genügend dichter Folge (in runden Zahlenwerten) an die zugehörigen Punkte P herangeschrieben denkt, so entsteht eine Skala des Parameters t längs der Raumkurve.

Beispiel:

(1) x = a cos t, y — a sin t, z = et (0 t < 2n) stellt eine Windung einer gewöhnlichen Schraubenlinie

dar, die auf dem Kreiszylinder mit dem Halbmesser a und der г-Achse

«Z⁷y

'X

Abb. 1.

als Zylinderachse gelegen ist und die Ganghöhe h = 2лс hat; t bedeutet den von der positiven x-Achse aus gerechneten Zentriwinkel im Kreise x² + y² = a² der xy-Ebene (Abb. 1). Falls die ж-, y-, z-Achse in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, ist die Schraubenlinie rechtsgewunden¹) für c > 0, links gewunden für c < 0, und für c = 0 geht sie in einen Kreis über.

2. Andere Darstellungen einer Raumkurve. Wenn man aus der Gleichung x = x(t) die Umkehrungsfunktion t = t(x) bestimmt — nach dem Satz über unentwickelte Funktionen²) ist dazu notwendig

x' (t) Ф 0

— und in die beiden anderen Gleichungen y — y(t), z = z(t) einsetzt, so entstehen zwei Gleichungen von der Form y=f(x), z = g( x).

Dies sind die Gleichungen von zwei Zylinderflächen, die auf der xy-Ebene und auf der гя-ЕЬепе senkrecht stehen, und deren Schnittkurve die betrachtete Raumkurve ist. Entsprechend kann man, wenn y' (t) 4= 0 ist, zwei Zylinderflächen finden, die auf der xy-Ebene und auf der ^/г-ЕЬепе senkrecht stehen. Man kann auch sagen, daß diese Zylinder die Raumkurve auf die drei Koordinatenebenen projizieren. Eine solche Projektion ist nur dann unmöglich, wenn alle drei Ableitungen verschwinden, d. h. wenn der Vektor r' (t) ein Nullvektor ist.

P Rechts gewunden sind Schrauben, wie man sie gewöhnlich im Handel als Holzschrauben zu kaufen kriegt ; ebenso ist der Korkenzieher eine Rechtsschraube.

²) Vgl. z. B. des Verf. „Höhere Mathematik“, Bd. I, 4. Aufl. (1934) S. 113. (Leipzig und Berlin, B. G. Teubner.)

Wir wollen daher stets annehmen:

Z. B. liegt die Schraubenlinie (1) auf den Zylindern y = a sin z/c,

X = a cos z/c,

X² + y² — a² = 0.

Jede Gleichung F (x, y, 0) = 0, die zwischen x, y, z identisch, d. h. für alle Werte von t in dem betrachteten Bereiche besteht, stellt eine Fläche dar, auf der die Raumkurve gelegen ist. Z. B. ist die obige Schraubenlinie auf der Schraubenfläche

rv

Abb. 2.

--tg-=0 x c

gelegen (Abb. 2).

Wenn G(x, y,z) = 0 eine zweite solche Fläche darstellt, so ist die betrachtete Raumkurve das Schnittgebilde der beiden Flächen F(x, y, z) = 0 und G(x, y, z) — 0. Z. B. entsteht die Schraubenlinie

(2) »

(1) als Schnitt des Kreiszylinders x² + y² = a² und der Schraubenfläche (2). Dabei ist jedoch eine Voraussetzung zu machen. Denkt man sich x = x(t), y = y(t), z = г($) in die Funktionen F (ж, ?/, z), G(x, у, 2) eingesetzt und nimmt man die Differenzierbarkeit der so entstehenden Funktionen von t an, so folgt

dF

dF

oder

cy

dl = 0

und ebenso

r' G) grad F = 0

r' (£) grad G = 0.

Daher ist r' (t) dem Vektorprodukt [grad F grad G] proportional. Aus der Voraussetzung r' (t) 4= 0 folgt daher [grad F grad G] 4= 0,

d. h. von den drei Funktionaldeterminanten

d(F,Q) 8 (F,G) d(F,G)

3(^,2/)’    8 (y,z)’ д{г,х)

muß wenigstens eine von Null verschieden sein.

3. Beispiele. Wenn zwischen x(t), y(t), z(t) eine lineare Gleichung

(3)

Ax + By + Gz + D = 0 mit festen Vorzahlen А, В, C, D besteht, so liegen sämtliche Punkte der Kaumkurve in einer und derselben Ebene, deren Gleichung (3) ist. Die Kaumkurve heißt dann eine ebene Kurve. Die Gleichung (3) läßt sich natürlich auch in der Form Ш + D = 0

schreiben, wo % = {A, B,C} ein Vektor ist, der auf der Ebene (3) senkrecht steht.

Beispiel: r = a cos t + b sin t + c, wo a, b, c drei feste Vektoren sind, genügt der Gleichung

(4)

[ab] r — [ab] c = 0, also liegt eine ebene Kurve vor. Wir wollen sie für den einfachen Fall näher bestimmen, daß zwischen den Vektoren а und b die Beziehungen

а² = b² und ab = 0

bestehen, d. h. daß sie dieselbe Länge haben und aufeinander senkrecht stehen. Dann ist

(5)

(r — с)² = а².

Das ist die Gleichung einer Kugel vom Halbmesser | а | und dem Mittelpunkte c. Die vorgelegte Raumkurve liegt daher sowohl in der Ebene (4) wie auch auf der Kugel (5) und ist daher ein im Raum gelegener Kreis.

Wenn F (x, y, z) = 0 und G(x, y,z) = 0 zwei algebraische Gleichungen zwischen x, y, z sind, d. h. wenn F (x, y, z), G (æ, y, z) ganze rationale Funktionen ihrer Argumente bedeuten, so heißt die dadurch dargestellte Raumkurve algebraisch. Z. B. ist die beim sogenannten Florentiner Problem (Viviani 1692) vorkommende Schnittkurve einer Kugel mit

einem sie von innen berührenden geraden Kreiszylinder vom halben Halbmesser (Abb. 3) eine algebraische Raumkurve vierten Grades; denn es gilt, wenn a der Halbmesser der Kugel ist, x² + y² + г² = a²

-Ó-

[x~tj+y² = \a2-

Aufgabe: Man stelle hierin x, y, z _J_als Funktionen eines Parameters J t dar.

4. Komplexe Kurven. Wir

Abb. 3.

werden manchmal von der geometrischen Anschauung absehen und lediglich die Zusammenfassung von drei geordneten Zahlen x, y, z, die nun auch nicht mehr reell zu sein brauchen, als einen Punkt P bezeichnen, oder auch als einen komplexen Ortsvektor r = {x,y,z}. Ein beliebiger, aber bestimmter der beiden komplexen Werte, die die Quadratwurzel

]/ x² + y² + z²

annehmen kann, soll die (komplexe) Entfernung des Punktes P vom Nullpunkt oder die (komplexe) Länge | r | des Vektors r heißen. Unter der Länge eines komplexen Vektors ist also hier eine im allgemeinen komplexe Zahl zu verstehen. Es ist bemerkenswert, daß im Komplexen die Länge eines Vektors ö verschwinden kann, ohne daß der Vektor selbst identisch Null ist, d. h. ohne daß jede seiner Komponenten verschwindet. Solche komplexen von Null verschiedenen Vektoren, deren Länge den Wert Null hat, heißen Minimal Vektoren (isotrope Vektoren):

Wenn r eine komplexe Funktion einer komplexen Veränderlichen i ist, d. h., wenn x, y, z komplexe Funktionen von t mit gemeinsamem Definitionsbereiche sind, so liegt eine komplexe ,,Iiaumkurveu vor, der „geometrische Ort“ der komplexen „Punkte“ P.

Der Leser wird bemerken, daß es sich hier um eine Übertragung der Sprache der anschaulichen Geometrie auf rein analytische Gebilde handelt, und es ist daher nicht zu verwundern, wenn dabei Ergebnisse herauskommen, die sich mit der Anschauung nicht immer vereinbaren lassen.

Beispielsweise hat die komplexe Raumkurve r = {a cos t, a sin t, ai} die Eigenschaft, daß alle ihre Punkte vom Nullpunkt die Entfernung 0 haben ; denn es ist

111 = I/a² cos² t + я² sin²1 — а² = 0.

Man kann wegen x² + у² = а² diese Raumkurve als einen Kreis vom Halbmesser a betrachten, dessen Mittelpunkt auf der z-Achse liegt und dessen Ebene die Ebene z = ai ist. Er liegt auch auf der Nullkugel

X² + У² + г² = o.

5. Bemerkungen über Minimalvektoren. Nach dem eben Bemerkten ist 3k ein Minimalvektor, wenn 1) 5Ш² = 0,

2) Зкф 0 ist. Man sieht leicht ein, daß 3k komplex sein muß, aber nicht reell und auch nicht rein imaginär sein kann. Wir begnügen uns damit, hier über Minimalvektoren einige Eigenschaften zu notieren, von denen im folgenden Gebrauch gemacht wird:

1) Es sei 3k — 91 + гЗЗ, wo 31 und 33 reelle Vektoren (=f= 0) bedeuten. Aus 3k² = 0 folgt

(6)

31² = 33² und 3133 = 0

d. li. 31 und 33 müssen dieselbe Länge haben und aufeinander senkrecht stehen.

2) Es sei 3k = {Mx, My, Mz}, so läßt sich 3k stets in einer der folgenden Formen darstellen:

Ш= Mx{ 1, г cos $, i sin #}, falls Mx Ф 0,

МуФ 0,

Mz Ф0.

(7) 5Ш = My {i cos #, 1, i sin #},

Ш = Mz {г cos #, i sin #, 1),

3)    Von den drei Eigenschaften zweier Vektoren, erstens Minimalvektoren zu sein, zweitens aufeinander senkrecht zu stehen, drittens einander parallel zu sein, ist jede eine Folge der beiden anderen.

4)    Eine Ebene mit der Gleichung

9tr + Z) = 0,

worin 5t einen Minimalvektor bedeutet, heißt eine Minimal-ebene.

Eine Gerade mit der Vektorgleichung r = üt -f~ b,

worin a einen Minimalvektor bedeutet, heißt eine Minimal-gerade.

6. Einführung eines anderen Parameters. Wenn man statt t einen anderen Parameter и mittels t = t(u) einführt, so gehen x, у, 0 und damit auch der Vektor r (t) in gewisse andere Funktionen von и über. Wegen der vorausgesetzten Eindeutigkeit und Differenzierbarkeit in dem Bereiche oc^t^ß muß nicht nur die Funktion t(u) in dem entsprechenden Bereiche y^u^ ö, wo oc = t(y), ß = t(ö) ist, diese Eigenschaften haben, sondern auch die Umkehrungsfunktion u(t) in dem ursprünglichen Bereiche.

Beispiel: и — x; у = y(x), z = z(x) stellen eine Raurn-kurve dar, offenbar als Schnitt zweier Zylinder, die auf der xy-Ebene und auf der гя-Ebene senkrecht stehen.

§ 2. Tangente, Bogenlänge, Normale, Schmiegungsebene.

7. Tangente. Es seien P und P₁ zwei verschiedene Punkte der betrachteten Raumkurve

r = r (t)

Abb. 4.

ix — l

Wenn dieser Vektor für t^t einem bestimmten Grenzvektor r' (t) zustrebt,

i(y —r(<)

lim

d. h. wenn r (t) differenzierbar ist, so hat r' (t) die Richtung der Tangente der Raumkurve im Punkte P.

8. Linienelement, Bogenlänge. Der Differentialvektor di = i' (it) dt,

worin dt eine beliebige Zahl (ф 0) bedeutet, heißt der Vektor des Linienelements. Für kleine Werte von | dt | bedeutet dx reell-geometrisch ein kleines Stück der Tangente in P, dessen Richtungssinn zugleich den Fortschreitungssinn auf der Kurve bestimmen soll. In der Integralrechnung wird gezeigt, wie damit im reellen Falle die Bogenlänge eines Kurvenstückes AB bestimmt werden kann. Sind tA und tB die zu den Kurvenpunkten A und В gehörigen Parameterwerte, so ist die Bogenlänge

AB = f‘B ÿaf (О² + У' (<)² + г' (О² dt = [** I r' (t) I dt.

J lA    J tA

Unter dem Parameter s = s(t) der Bogenlänge selbst versteht man allgemein die Funktion

(8) s

mit den zugehörigen Parameterwerten t und tv also

OP = r (t), ОРг = г (У.

Der Sehnenvektor ist (Abb. 4)

PPi=r(y_r(0.

Er hat dieselbe Richtung wie der Vektor

Pu

y(t)

4Cft)

Urft,)

= s(0 = f‘ fx'itf + y' (,if + г' (О² dt = f‘ I r' (t) I dt,

worin t₀ ein willkürlicher, aber fester Anfangswert ist, die Quadratwurzel im Integrationsbereiche nicht verschwinden darf, und ihr ein beliebiger, aber dann bestimmter ihrer beiden Werte zu erteilen ist, im reellen Falle meist der positive Wert. Es wird

(9) ds = |/V (tf + yÜJf + 2²'(0 dt — J r' (<) I dt

oder

(10)

ds² = dx² + dy² ф dz² = di².

Dieses komplexe Differential ds heißt das Bogen- oder Linienelement der Kurve. Im reellen Falle ist das Vorzeichen von ds gleich oder entgegengesetzt zu dem von dt, je nachdem die Quadratwurzel positiv oder negativ genommen wird. Je nachdem ist also s(t) einsinnig zu- oder abnehmend.

Wenn t selbst schon den Parameter der Bogenlänge darstellt, ist

(11)    x'(t)²=x'(t)² + y'(t)² + z'(t)²=l,

wie aus (9) sofort hervorgeht, und diese Bedingung ist auch hinreichend.

Ist r' (0² = 0, so kann von einem Parameter der Bogenlänge s nicht die Rede sein. Auf diesen Fall, der für reelle Kurven wegen r' (t) Ф 0 nicht eintreten kann, soll später eingegangen werden. Vorläufig soll stets г'(0²ф0

angenommen werden.

9. Beispiele, a) Schraubenlinie. Es ist

a sin t, ct},

r = {a cos t, r' = (— a sin t, a cos t, c}.

Die Bogenlänge wird

^o) •

s — s(t) = J ]/а² ф c² dt = ]/а² ф c² (t

Es ist danach leicht, s als Parameter einzuführen.

b) Gerade Linie im Raume. Der Radiusvektor läßt sich als lineare Funktion von t mit festen vektorischen Koef-

fizienten darstellen:

r = a + Ы I b I Ф 0.

Man hat t' (t) = b, s (t) = ф | b | (t — t₀). Für eine reelle Gerade bestimmt der

Vektor b ihre Richtung, während et = r(0) einen ihrer Punkte festlegt (Abb. 5). Die Einführung der Bogenlänge als Parameter ergibt

4Г

4Jt>

r = а + Ы₀ ± b°s = a₁₌b b°s,

worin b° = b/| b I den zu b gehörigen Einheitsvektor bedeutet.

Abb. 5.

10. Tangentenvektor. Wir nehmen im folgenden an, daß sei, also r' (t) kein Minimalvektor. Dann existiert der Einheitsvektor

(12)

t' (t) _ dx I r' (t) I ds ’

der der Tangentenvektor heißen möge. Da t ein Einheitsvektor ist, so sind seine Komponenten die Bichtungskosinus der Tangente:

t = -(cosoc, cosß, cosy} mit t² = cos² oc + cos² ß + cos² у = 1.

Aus t² = 1 folgt

tdt = 0

oder

sin 2oc doc + sin 2ß dß + sin 2y dy = 0.

11. Normalebene. Die Ebene, die die Kurve, genauer die Tangente der Kurve, im Berührungspunkte P senkrecht durchsetzt, heißt die Normalebene der Kurve in diesem Punkte P (Abb. 6). Ihr Stellungsvektor ist also der Tangentenvektor t. Ist ÏÏÏ der Radiusvektor nach einem beliebigen von P verschiedenen Punkte Q dieser Ebene, so liegt der Vektor

PQ =    — r ganz in die

jsTof

ser Ebene, steht also senkrecht auf dem Vektor t, also ist

(a

Abb. 6.

(13) (3t — r)t = 0 die Gleichung der Normalebene. Da f ein Einheitsvektor ist, so hat die Gleichung (13) die Hessesche Normalform, und mit 31 = {X, 7, Z} läßt sie sich so schreiben:

(X — x) cos oc + (7 — y) cos ß + (Z — z) cos y = 0. Mithin ist

(14)

rt = X cos oc + у COS ß + 0 cos у der Abstand der Normalebene vom Nullpunkt, positiv, wenn der <3c rt ein spitzer ist, und das ist der Fall, wenn der Punkt О und der von P ausgehende Tangentenvektor t durch die Ebene getrennt werden.

12. Schmiegungsebene. Im folgenden werde r (t) als zweimal differenzierbar angenommen. Man betrachte außer dem Punkte P der Kurve noch zwei weitere hinreichend nahe

Pi

Abb. 7.

an P gelegene Kurvenpunkte Px und P₂ (Abb. 7). Durch drei Punkte ist genau eine Ebene bestimmt, wenn sie nicht in einer Geraden liegen, was hier ausgeschlossen sei. Es ist zu beweisen, daß sich die Ebene РРгР₂ einer bestimmten Grenzlage nähert, wenn Px-+P und P₂-> P konvergieren für P als festen Punkt.

Diese Grenzebene, wenn sie existiert, heißt Schmiegungs-ebene. Man sagt auch ungenau, aber in kurzem Ausdruck, die Schmiegungsebene sei die Ebene durch drei „benachbarte“ oder „unendlich benachbarte“ Kurvenpunkte. Man meint aber stets den vorher genau erklärten Sachverhalt.

(15)

Es seien x± = r (t +/?•), r₂ = r (t + k) die Radienvektoren von Px und P₂, und 9t sei der Radiusvektor nach einem beliebigen Punkte Q der Ebene PPXP₂, so lautet ihre Gleichung (9t — r) (xx — r) (t₂ — r) = 0, wobei unter der linken Seite das Spatprodukt (dreifaches skalares Produkt) der drei eingeklammerten Vektoren zu verstehen ist, nämlich das skalare Produkt aus dem Vektor 9t — r und dem vektorischen Produkt [(xx— r) (r₂ — r)] der beiden anderen.

= 0.

In Koordinaten lautet die Gleichung X — ж Y —y Z—z xx — x Vi — У h

x₂ — x y₂ — y Z₂ — 2

Nun hat man nach dem Zerlegungssatze der Differentialrechnung

xx — r = hx' (t) + M) (t, h), r₂ - r = kt' (0 + \ hh" (t) + m (t, k), worin f)(£, Ä)->0 für Л-> 0, und ï(t, Jc)-+ 0 für Jc^O. Führt man dies in Gleichung (15) ein und geht zur Grenze über für h-> 0, Jc-> 0, so verschwinden einige der entstehenden Spatprodukte identisch, andere konvergieren nach Null, und es bleibt

(16)

(9t —r) x'(t) X"(0 = 0.

(17)

Dies ist die Gleichung der Schmiegungsebene. Man kann sie auch in der vom Parameter unabhängigen Form (9t — r) dx d²x = 0 schreiben. Denn es ist dx = x' (t) dt, d²x = x" (t) dt² + r' (t) d²t, und das aus dem zweiten Summanden von d²x herrührende Vektorprodukt verschwindet. In Koordinaten geschrieben

Ii. liotlie, Differentialgeometrie I.

lautet die Gleichung (17)

dx

d²x

dy

dz

drz

Schließlich kann man die Gleichung (17) der Schmiegungsebene im Hinblick auf (12) auch in die Form (9? — r) tôt = 0 bringen.

13. Ebene Kurven. Wenn alle Punkte einer Raumkurve in derselben Ebene liegen, ist diese Ebene die Schmiegungsebene der Kurve. Denn ist

d*y

2I(9t—r) = 0

die Gleichung dieser Ebene, worin 9f ein fester Vektor, der Radiusvektor nach irgendeinem festen, nicht auf der Kurve gelegenen Punkte der Ebene bedeutet, so hat man 9fr'(0 = 0, 9tr" (0 = 0,

also ist 91 proportional zu [r' (t) t" (t)], daher geht die Gleichung der Ebene der Kurve in folgende über

(18)

(19)

die mit (16) übereinstimmt, w. z. b. w.

Wenn alle Punkte einer Raumkurve in derselben Ebene (18) gelegen sind, so folgt weiter

(20)

(21)

9tr' = 0, 9fr" = 0, 9fr'" = 0, mithin, wenn keiner, der Vektoren r', r", r"' verschwindet, r'r'Y" = 0.

Diese Bedingung ist aber auch hinreichend dafür, daß eine Raumkurve eben ist. Denn aus (21) folgt, daß es einen Vektor $ ф 0 der Art gibt, daß die Gleichungen

(22)    93t' = 0,    93t" = 0,    93t'" = 0

bestehen. Aus ihnen folgt durch Differentiation der beiden ersten

93't' = 0,

[n'(a)n(a)]=-A[n(ff)[n(cT)n"(«T)]]

?'(«)

F (x, y,z) = + D = 0,

!^(гг) = -1гг/"(гг) + 1/>),

§ 3. Kurven auf einer krummen Fläche; Schnittwinkel; Krümmungstheorie.

£±Zi,,

Geb. RM. 1.62

93'r" = 0

93't' = 0,

oder

93' = A[t't"]

wo D eine skalare Konstante ist. Das ist aber die Gleichung einer festen Ebene, womit die Behauptung bewiesen ist.

14. Schmiegungsebene als Ebene „benachbarter“ Tangenten. Diese ungenaue (aber kurze) Ausdrucksweise bedeutet genau folgende Behauptung : Man lege durch die Tangente in einem Kuryenpunkte P eine Ebene, die zu einer Tangente in einem hinreichend nahen Kurvenpunkte Рг parallel ist. Wenn Px sich dem Punkte P längs der Kurve unbegrenzt nähert, so nähert sich die Ebene einer Grenzlage, und die ist die Schmiegungsebene. Denn ist r' (t) zur Tangente in P, r' (t + h) zur Tangente in P± parallel (mit h Ф 0), so sind Э? — r, t' (t), r' (t + h) komplanar, also

(9t — x)x'(t)x'(t + h) = 0.

während aus den beiden ersten Formeln (22) auch

folgt. Also ist jedenfalls

Ж = /ф'г"]

(23)

»'= rSS,

worin г, ebenso wie A, ^ skalare Faktoren sind. Diese vekto-rische lineare homogene Differentialgleichung erster Ordnung hat die allgemeine Lösung

(23 a)

35 = 81 efvdt,

wo 3Ï ein konstanter Vektor ist. Damit geht die erste Gleichung (22) über in:

und durch Integration folgt

3fr'= 0,

3fr + D = 0,

Nun ist x'(t ф h) = x'(t) + hx"(t) ф hï)(t, h), wo der Vektor f) mit h nach Null konvergiert. Setzt man dies ein und geht zur Grenze h-> 0 über, so wird

(9t — r)r'r" = 0

erhalten, in Übereinstimmung mit (19).

Die Gleichung der Schmiegungsebene versagt, wenn [t't"l - 0

ist. Wenn das längs der ganzen Kurve zutrifft, muß sein, daher

t '(<) =

wo E ein konstanter Vektor ist, mithin

r = E f efÄ(t)dt dt + r₀ = Ем + r₀. r ist also eine lineare Funktion von и, die Kurve demnach eine Gerade. Wenn [r'r"] = 0 ist an einzelnen Punkten, so sind das solche Punkte, an denen die Tangente die Kurve von höherer Ordnung berührt (vgl. Nr. 54).

15. Hauptnormale. Alle vom Kurvenpunkt P ausgehenden Geraden der Normalebene stehen senkrecht zur Tangente und heißen daher Normalen der Kurve. Die von der Schmiegungsebene aus der Normalebene ausgeschnittene Normale heißt die Haupt norm aie der Kurve im Punkte P. Ist 9t der Radiusvektor nach einem beliebigen Punkte der Hauptnormale, so muß 91 zugleich den Gleichungen (9t —- r)t = 0 (9t — г)[Ш] = 0 genügen. Diese Gleichungen werden wegen Mt = 0 befriedigt, wenn

9t — r = Mt

gesetzt wird, wo Я einen willkürlichen skalaren Faktor bedeutet, oder auch

dt

81 r - P ds ’

wo [л eine entsprechende Bedeutung hat. Daraus folgt, daß der Vektor di/ds die Richtung der Hauptnormale hat. Der zugehörige Einheitsvektor

dt

dt

(24)

П ds ' ds

heißt der Vektor der Hauptnormale. Natürlich darf dt/ds kein Minimalvektor sein.

§ 3. Krümmung und Windung.

16. Krümmung einer Raumkurve. Da t stets eine feste Länge 1 behält, kann der Vektor dt/ds nur die Änderung der Richtung von t mit der Bogenlänge bedeuten, und

(25)

dt

ds

mithin nur die Änderung eines Winkels längs der Bogenlänge. Daher nennt man к die Krümmung der Kurve im Punkte P. Im reellen Falle ist к niemals negativ. Aus (24) folgt noch

(26)

dt

— = kn

ds

und hieraus wegen n² = 1

(27)

dt

n — =k. ds

Wegen nt = 0 ist aber n dt/ds = — tdn/ds, also auch (27 a)

Für welche Kurven ist die Krümmung in jedem ihrer Punkte gleich Null ? — Aus (26) folgt für к = 0

ds

daher ist t = dt/ds längs der Kurve konstant gleich c nach Größe und Richtung, mithin ist

r = cs + Cj

mit der vektorischen Integrationskonstanten cv also die Kurve eine Gerade.

Die aus (25) definitionsmäßig folgende Tatsache, daß für reelle Kurven stets к ^ 0 ist, scheint im Widerspruch zu stehen mit der Festsetzung für die Krümmung ebener Kurven, wonach auch negative Werte für к zugelassen werden. Man bedenke jedoch, daß wenn man die Ebene mit der darin

du

t — = — k.

ds

gelegenen Kurve von der entgegengesetzten Seite betrachtet, ihr Drehsinn und damit auch das Vorzeichen von к umge-

__u---    kehrt werden.

Schmiegwgsebene

Die Größe

Q к

Ji

/ heißt der Krümmungsradius, und der Vektor die Krümmungsstrecke (Graß-mann).' Der Radius-^ vektor

Abb. 8.

(28) 9t₀ = r + bestimmt den Krümmungsmittelpunkt¹) M, und der Kreis um M mit dem Halbmesser q in der Schmiegungsebene heißt der Krümmungskreis (Abb. 8).

17. Krümmungsachse ist der Schnitt „benachbarter“ Normalebenen. Dieser ungenaue aber kurze Ausdruck ist in ähnlichem Sinne zu verstehen wie der Satz bei der Schmiegungsebene in Nr. 14. Es seien OP = r(s), ОРг — r(s + Ä); die Normalebenen in P und Px haben nach (13) die Gleichungen

(9t— r(s)) x'(s) = 0,

(9t — i(s + h))x'(s + h) = 0.

Längs ihrer Schnittgeraden bestehen beide Gleichungen zugleich. Nun ist

(29)

r(s + h)= r(s) + hx'(s) + Щг(s, h), r'(s -f h) = t'(s) + hx"(s) + hi)₂(s, h), wo hi-^0, h₂->0 für A-> 0. Daher folgt aus (29) für 0 (SR — r(s)) r"(e) —1 = 0.

l) Bei Baumkurven ist der Krümmungsmittelpunkt nicht der Schnittpunkt „benachbarter“ Hauptnormalen, weil diese im allgemeinen ja zueinander windschief verlaufen.

Nach (26) ist t"(s) = t'(s) = kn, also werden

(30)

(SR — x)t =0

fc(9l—r)n = 1

die beiden Gleichungen, denen die Krümmungsachse (auch Polare genannt) genügt.

Setzt man für 3t den Vektor aus (28) in (30) ein, so werden diese Gleichungen befriedigt, also liegt der Krümmungsmittelpunkt auf der Krümmungsachse. Ist aber 9Î 4= 9to> so gilt Oft — 9Rp)t =0, (91 — 9î₀)n = 0, also liegt der Vektor 9t — 9t₀, somit auch die Krümmungsachse, senkrecht zur Schmiegungsebene, die sie, wie eben gezeigt, im Krümmungsmittelpunkte durchsetzt.

(31)

18. Binormale. Das äußere (vektorische) Produkt b = [tn]

ist ein Vektor, der auf t und n so senkrecht steht, daß t, n, b in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Er hat wegen b² = t²n² — (tn)² = 1 die Länge 1 und heißt der Vektor der Binormale. Nimmt man r(t) als dreimal differenzierbar an, so existiert db/ds, und man hat wegen b² = 1

b?-0.

ds

Wegen tb = 0, nb = 0 und im Hinblick auf (26) ist

.db    dt    y u

t — = — b — = — knb = 0; ds    ds

also steht db/ds senkrecht auf b und auf t, ist also proportional zu [bt] = n. Man setze

(32)

db

— = — xn, ds

wo к einen skalaren Faktor bedeutet.

19. Windung. Die linke Seite von (32) drückt wegen b² = 1 die Änderung allein der Richtung der Binormalen beim Fortschreiten längs der Kurve aus, oder auch die Drehung der Schmiegungsebene um die Tangente als Achse, denn b

ist ja der Stellungsvektor der Schmiegungsebene. Je nachdem ob diese Drehung senkrecht zu b entgegengesetzt zur Richtung

von n (Abb. 9) oder gleichgerichtet mit n erfolgt, ist X > 0 oder x < 0; x selbst mißt die Größe dieser Drehung und wird die Windung (Torsion) der Kurve genannt.

Wenn die Kurve eine A ebene Kurve ist, so ist nach Nr. 12 die Ebene

dl

Abb. 9.

konstant, also db/ds — 0, somit nach (32)

der Kurve zugleich ihre Schmiegungsebene. Also ist ihr Stellungsvektor b

x = 0.

Wenn umgekehrt x = 0 ist, so ist die Kurve eine ebene Kurve. Beweis: Aus (32) folgt, daß b ein konstanter Vektor ist, also ist wegen

bt = br'(s) = 0

auch

br = const,

d. h. alle Punkte der Kurve liegen in einer festen Ebene, die zu b senkrecht verläuft.

20. Berechnung der Windung x. Aus (32) und (26) folgt zunächst, falls ^ф0 ist,

(33)

db

1 dt db k ds ds'

n ds

Andererseits ergibt sich aus (31) und (26)

(34)

b = [tn] =

di

ds

und daher

dh

dH

1 dk

dt

rH i

k² ds .

Setzt man dies in (33) ein, so erhält man

1 dt d²t X~~k²dst ds²

ds

ds

t-r-

oder nach (25)

(35)

dt d²1 ds ds²

7dt\² '

w

Selbstverständlich müssen hierbei alle Punkte ausgeschlossen werden, für die

\ds) \dsV

dt d² r

ist, oder was dasselbe besagt, für die — = — - ein Minins    ds²

malvektor ist.

21. Ausdrücke für k und x bei beliebigem Parameter.

Man hat

dt dt ds ds dt * dt ’

d²t

ds²

(dt\ ds \ds) ' dt

dsd²1 — dtd²s

ds²dt

dH ds dt d²s dt² dt dt dt²

MS

mithin nach (26)

(36)

und nach (35)

X = t

dH ds dt d²s dt² dt dt dt²

иге*

Da bei der Auflösung der Klammern des Zählers der zweite Summand verschwindet, so wird

dt dH dt dt²

(37)

'dt)²ds ’ dt) dt

di ds dt dt ’

dh ds    di d²s

dt² dt    dt dt²

dh ds    di d?s

dt³ dt    dt dt³

wird das Spatprodukt im Zähler von x in (37) dt dH dt dt²

und wenn man di² = ds², didh = dsd²s benutzt, so erhält man im Nenner von (37)

Wegen t =

dt

dt

dH

dt²

«1-3

GH

а-

-Ш

l\dt)\

'dh ds Kdt² dt

<hdK\d²s\lds\* dt dt²) dt²f ’ \dt)

(didhdh) (ds)* \dt dt² dt*) \dt)

(dt)² _ U<PA²__(<Ps\²\ . (ds)2 \dt) ~\\dt²)    \dt²)f: \dt) ‘

Durch Division dieser beiden Ausdrücke wird aus (37) di dh dh dt dt² dt*

(38)

woraus sich für t = s

H f/A\² _ /dW) Ш² ’ IW) — W) 1 Xdt)

(39)

di dh dh ds ds² ds³

(dh)²

\ds)

ergibt, was man auch aus (37) unmittelbar hätte folgern können.

Die Ausdrücke von к und x lassen sich noch in einer von jedem Parameter unabhängigen Form schreiben. Dazu dienen die Differentiale, die das leisten. Es ist

dx ils

(*)

dt =

dsdH — dxd²s

ds²

d²t =

ds²dH — 2dsd²sdH + (2(d²s)² — dsd³s)dx

ds?

Damit wird

(40)

dt

dsdH — dxd²s

ds

ds³

mithin

k² =

ds²(d² r)² — 2dsd²sdxdH + dx²(d²s)²

ds⁶

Nun ist dx² — ds², dxdH = dsd²s; daher ist im Zähler von k² das letzte Glied gleich ds²(d²s)² = (dsd²s)² — (dxdH)², es läßt sich also mit dem mittleren vereinigen, und der Zähler wird dx²(dHf — (dxdH)² = [dxdH]². Daher wird

[^r dH]2 (dx²)³ '

(41)

k² =

Ebenso wird mit Benutzung von (38)

dx dH dH * ⁼ [<h¥cf'

Führt man auch in (41) und (37) ausdrücklich den beliebigen Parameter t der Kurvendarstellung ein, so erhält man

dx dH 2 dt dt².

(42)

(42 a)

k² =

dl dh dH dt dt² dt3 di dh ² *

.dt dt².

Man beachte dabei, daß zur Bestimmung von к das Ausziehen einer Quadratwurzel notwendig ist, und daß damit stets das Auftreten einer Zweiwertigkeit verbunden ist, während sich die Windung x eindeutig berechnen läßt, falls nur der Vektor [r\t)i"(t)] weder ein Minimalvektor ist, noch verschwindet. In solchem Falle ist die Schmiegungsebene eine Minimalebene oder zufolge der Bemerkung am Schluß von Nr. 14 garnicht vorhanden. In diesem Falle ist die Kurve eine Gerade, oder der betreffende Kurvenpunkt läßt für die Tangente eine Berührung höherer Ordnung zu.

Man beachte, daß in den Formeln (37), (39), (42 b) in den Zählern stets die dreifachen skalaren Produkte stehen, also, wenn man die Koordinaten statt der Vektoren einführt, die entsprechenden Determinanten. Z. B. wird (39) dann dx d²x d³x ds ds² ds3 dy d²y d³y ds ds² ds3 dz d²z d³z ds ds² ds³

(42 b)

(42 c)

( (d²x\² fd²y\² /d²z\²\

(wO ⁺(<fe*) ⁺(<p))'

§ 4. Hauptgleichungen und begleitendes Dreibein.

22. Die Hauptgleichungen der Kurventheorie. Aus

den Formeln (26) und (32), nämlich dt

— = kn,

(I)

ds

(HI)

dh

ds

= — xn

wollen wir zunächst noch eine weitere für dn/ds als Folgerung herleiten. Aus n = [bt] folgt durch Ableitung nach der Bogenlänge :

db

dt

ds

f + b — ,

J L ds\

und daraus ergibt sich mittels der vorhergehenden Gleichungen :

= — x[nt] + k[hn]

oder

du

(И)

ds

= xb — kt.

Diese drei Formeln spielen in der Theorie der Raumkurven eine Hauptrolle. Sie sind — wenn auch nicht in dieser kurzen vektorischen Form — 1847 von Frenet aufgestellt worden. Wir werden später noch ausführlich darauf zurückkommen. Man überzeugt sich leicht, daß jede von ihnen eine Folge der beiden anderen ist, wenn man nur t= [nb], Tt= [bt], b — [tn] berücksichtigt.

Da tnb = + 1 4= 0 ist, so bilden die drei Vektoren t, n, b eine Basis, durch die sich jeder beliebige Vektor £ linear darstellen läßt:

(43)

£ — Ott + ßn + yb ,

mit skalaren ot, ß, y. Man kann nun (II) auch so beweisen, daß man ansetzt

dn

ds-0it + ßn + rb _

und oc, ß, y bestimmt, was der Leser zur Übung durchführen möge. Man multipliziere beiderseits skalar mit geeigneten vektorischen Faktoren.

23. Anwendung: Allgemeine Schraubenlinien. Kurven, deren Tangenten mit einer festen Richtung einen unveränderlichen Winkel einschließen, heißen allgemeine Schraubenlinien¹). Man denke sich nämlich durch die Punkte einer solchen Kurve Parallelen zu der festen Richtung gelegt, so sind diese die erzeugenden Geraden einer Zylinderfläche, auf der die betrachtete Kurve gelegen ist, und diese schneidet die Mantelgeraden unter konstantem Winkel (Abb. 10). Die Basis dieses Zy\m-ders, d. h. seine Schnittkurve mit irgendeiner, die erzeugenden Geraden senkrecht schneidenden Ebene, ist die Projektion der gegebenen Raumkurve auf diese Ebene. Es sei t der Tangentenvektor der Kurve und E der Einheitsvektor, der die gegebene Richtung bestimmt ; dann ist (44) Et = c = cos Et konstant, t² = 1, E² = 1.

jC

Abb. 10.

Für Schraubenlinien und nur für diese ist das Verhältnis der Windung zur Krümmung konstant (Satz von de Saint-Venant, 1844).

(45)

Um dies zu beweisen, differenziere man (44) beiderseits nach der Bogenlänge und benutze die erste Frenetsche Hauptgleichung dijds = kn, so erhält man №n = 0,

d. h. entweder к = 0 oder En = 0. Im ersten Falle liegt eine Gerade vor (Nr. 16). Aus der zweiten Frenetschen Hauptgleichung dn/ds = — kt + кЬ und der dritten dbjds = — xn ergibt sich aber

(46)

an

ds

(47)

db

ds

Wegen ©n = 0 folgt aus (47) © ^ = 0, also ©b = c± konstant, in (46) verschwindet die linke Seite, und es wird kc = хсг, w. z. b. w.

(I b

(48)

Wenn umgekehrt kc — ксг ist mit konstanten c und cv so folgt aus der ersten und dritten Hauptgleichung

c Js Cl = С^П ~ °1>Cn = ^    n = ^ ’

daher ist

(49)

d + cxb = ©

ein konstanter Vektor, und daraus folgt durch skalare Multiplikation mit t

6t = c,

d. h. die Kurve ist eine Schraubenlinie.

Aus (49) folgt übrigens durch skalare Multiplikation mit n und mit b

©n= 0,

d. h. : Bei den Schraubenlinien steht die Hauptnormale auf der festen Dichtung senkrecht, während die Binormale mit ihr einen festen Winkel bildet, im allgemeinen natürlich einen anderen als die Tangente.

24. Das begleitende Dreibein. Die drei Einheitsvektoren 1 dt k ds

di

ds’

Xi — —

b = [tn]

bilden das begleitende Dreibein der Kurve im Punkte P. Wegen

tnb = [tn] b = b² = 1

bilden sie in der Keihenfolge t, n, b ein Bechtssystem. Für diese Vektoren gelten folgende, schon im vorhergehenden benutzte Formeln:

(50)

t²=l,

b² = 1,

tt² — 1,

weil sie Einheitsvektoren sind;

tn=0, nb = 0, bt = 0, weil sie aufeinander senkrecht stehen;

tnb = 1,

weil sie ein Rechtssystem bilden. Ferner ist noch zu merken (53)    t=[nb], n = [bt], b = [tn].

Da die Komponenten von t, n, b mit den Richtungskosinus der entsprechenden Richtungen der Tangente, der Hauptnormale und der Binormale übereinstimmen, so stellen die Formeln (50) bis (53) genau sechszehn Beziehungen zwischen diesen

neun Richtungskosinus dar. Wir wollen sie nicht erst besonders hinschreiben, sondern dies dem Leser überlassen. Der Vektor t steht senkrecht auf der Ebene der Haupt- und Binormalen, der Normalebene; der Vektor n auf der Ebene der Binormale ^ und der Tangente, der rektifizierenden Ebene; und der Vektor b auf der Ebene der Tan-

(51)

(52)

~№jSfSleB&y

khmiequngsebene-

gente und der Hauptnormale, der Schmiegungsebene. Das liest man aus den Formeln (53) ab, vgl. Abb. 11.

25. Das begleitende Dreibein als Basis. Aus (52) folgt, daß die Vektoren t, n, b nicht zu einer und derselben Ebene parallel sind, und daß sie also als Basis jedes beliebigen Vektors £ dienen können:

Abb. 11.

£ — od + ßu + yb,

wie schon in Nr. 22 bemerkt worden ist. Wir wollen davon

eine weitere Anwendung machen, indem wir für £ die Ableitungen des Radiusvektors nach der Bogenlänge einsetzen. Man findet mit Benutzung der Frenetschen Formeln

= kn

(54)

dk

dis

₀₇ dk    (d²k 7Q \    (-.dx _ dk \

= —3fc--t+    —Vг — Ы4n+ fc— + 2—и b

as    Vas²    /    V as    as /

usw.

Wegen

1 d²r kds²'

läßt sich £ auch so schreiben:

П = -ï-

b = [tn] =

1-1 Iriś

ds ds²

<h

dh

dx dh

mit ß₁ = ß:k, 7i = y : k,

und wenn man diese Darstellung auf die dritte u. f. der Formeln (54) überträgt, so erhält man

dh

ds³

(55)

dh

dx 1 dk d²x ⁼ dś ⁺ ~kdśdi? + >e dk dx /1 d²k

dx d²x .ds ds².

ds*

-~Skdsds ⁺

к ds²

— k² — к²

dh

ds²

dx

,ds

INS

dk

ds

*)

~dx dh jds ds².

usw.

Hieraus ist ersichtlich, daß sich die dritte und die höheren Ableitungen des Radiusvektors nach der Bogenlänge sämtlich durch die erste und zweite ausdrücken lassen, wobei dann noch das Krümmungs quadrat und seine Ableitungen sowie die Windung und ihre Ableitungen nach der Bogenlänge auftreten.

B. Bothe, Differentialgeometrie I.

2 d²k _ 1 d²(k)²    1 Id log (&²)\²

Denn es ist 1 dk Id log (Ä;²) к ds 2 ds

к ds² к² ds²    2 V ds )

usw.

Als Anwendung der Formeln (54) beweise man folgende Gleichung :

d² X dH dH ds² ds³ ds⁴

(55 a)

indem man zuerst

~d² r dH _ds² ds³

= k² (xt + kb)

(55 b) ableitet.

Aus (55 a) ergibt sich unmittelbar, daß die drei Vektoren dx/ds, d²x/ds², dHjds³ dann und nur dann komplanar sind, wenn die Kaumkurve ein konstantes Verhältnis der Krümmung zur Windung besitzt, d. h. nach Nr. 23. eine allgemeine Schraubenlinie ist. Die geraden Linien sind hierbei mitgezählt.

(56)

26. Die ganze Krümmung. Der Vektor © = xt + kb

ist der Ebene t, b, d. h. der rektifizierenden Ebene parallel. Es ist

©n = 0.

Der Betrag

(57)

\&\ = l/fc² + и² = G

heißt die ,,ganze Krümmung“ (oder Lancretsche¹) Krümmung).

Mit Hilfe des Vektors © der ganzen Krümmung lassen sich die Hauptgleichungen in sehr einfacher und symmetrischer Weise darstellen. Es ist nämlich

[@t] = fe[bt] = kn

[@n] = x[tn] + k[bn] = xb — kt

[@b] = ;*[tb] = —xn\

*) Lancret 1802.

(59)

K².

db

<n

1Г=[@Ч

ll.s-

(58)

dn

Daraus folgt

äs = ^'

Wenn nun £ = od + ßn + yb ein beliebiger, aber mit dem begleitenden‘Dreibein fest verbundener Vektor ist, so daß <x, ß, y von s unabhängige feste Zahlen bedeuten, so folgt aus (58) sofort

(60)

di

ir= [©d-

ds

Aus (55b) und (56) folgt noch

= m.

dt d²t

.ds ds²

27. Radiusvektor, entwickelt nach Potenzen der Bogenlänge. Die Formeln (54) erlauben eine Entwicklung von r(s) nach Potenzen von s — s₀, wenn man sich des Taylorschen Satzes bedient:

(61) r (в) - % + (|)# (8 ~S₀)+l (™)o (S - S₀f

(s — s₀f + • • • + 91,

■    3 ! W/₀

falls nur die Ableitungen hinreichend hoher Ordnung vorhanden sind. Darin bedeutet der Zeiger 0 die betreffenden Werte für s = s₀ und das vektorische Restglied. Die Formeln (54) ergeben jetzt

3*

(62) r (s) = r₀ + t₀ (s — s₀) + 1 fc₀tt₀ (s — s₀f

(-tfto + (^s ) no + ^o*o&oj (S-Sq)³ + • '

1—1 CD

• + gt.

Bezieht man den Sehnenvektor r (s) — r (s₀) = r (s) — r₀ auf das begleitende Dreibein als Basis und setzt r (s) — r₀ = ft₀ + rjn₀ + £b₀, so erhält man bis auf Größen dritter Ordnung

(63)

(64)

1 = (* — So) — ;Uo²(s — *o)³H----

£ = gfc₀«o(s — so)4----

7] =

-s₀)³+---

oder, wenn man nur die Anfangsglieder berücksichtigt:

(65)    —s₀;

y~\h(s—«о)²;

C Vo(s —*o)³-

Abb. 12.

Diese Gleichungen stellen in erster Annäherung den Verlauf einer regulären Raumkurve dar, wenn als |-l Achse die Tangente, als ^-Achse die Hauptnormale, und als £-Achse die

Binorraale im Anfangspunkte (s = s₀) gewählt werden. Die Projektionen auf die drei Koordinatenebenen, nämlich die (^)-Normalebene, die (£|) rektifizierende Ebene und die (i^)-Schmiegungsebene sind aus den Abbildungen 12 bis 14 ersichtlich.

Man erkennt, daß, wenn die Windung x₀ das Vorzeichen wechselt, dies auf dasselbe hinauskommt, als wenn die £-Achse ihren Bichtungssinn vertauscht. Diese Kurven haben der Reihe nach folgende Gleichungen:

<15. ^

(66)

§ 5. Die sphärischen Bilder.

28. Die sphärischen Bilder. Man denke sich nun durch den Ursprung 0 die zu t,n, b gleichgerichteten Einheitsvektoren gelegt, die ebenfalls mit t, n, b bezeichnet werden. Wenn der Punkt P auf der Raumkurve wandert, dann beschreiben die Endpunkte von t, n, b auf der Einheitskugel gelegene sphärische Kurven, die die sphärischen Bilder der Tangenten, Hauptnormalen, Binormalen der Raumkurve heißen.

Wenn der Ortsvektor r (s) der Raumkurve als Funktion der Bogenlänge gegeben ist, wodurch zugleich ein Fortschrei-tungssinn auf der Kurve festgelegt ist, so sind damit auch die Ortsvektoren t, rt, b der drei sphärischen Bilder gegeben. Denn es ist:

8- &

und

b = [tn] =

1 dx dH к ds ds²\ *

Bezeichnet man mit a die Bogenlänge des sphärischen Bildes der Tangenten, so hat man unter Anwendung der Formel (8) für die Bogenlänge

(67)

-/I

ds =

daher

S0

/

*0

kds,

da = kds,

wodurch, wenn к ein bestimmtes Vorzeichen, im reellen Falle das positive, beigelegt wird, zugleich der Fortschreitungssinn dés sphärischen Tangentenbildes bestimmt ist.

29. Sphärisches Tangentenbild. Man denke sich nun das sphärische Tangentenbild, d. h. t = t (er) gegeben, worin a seine Bogenlänge, von irgendeinem Anfangspunkte an gerechnet, bedeutet, und die Aufgabe gestellt : alle Kurven zu bestimmen, die dasselbe sphärische Tangentenbild haben, d. h. den Ortsvektor r (er) zu bestimmen. Es sei s = cp (a) die Bogenlänge einer beliebigen der gesuchten Baumkurven. Dann ist

ds

da~

und also

ql'S-

ds

■--= t(p'(o) = t(a) <p'{a) ;

da

mithin

(68)

r= f t(a) tp'(a) da = x(a).

Man kann nun zeigen, daß jeder Ortsvektor von der Form (68) bei willkürlicher Wahl von cp' (p) zu einer Baumkurve gehört, deren sphärisches Tangentenbild den Ortsvektor t (er) hat, wo о die Bogenlänge dieses Tangentenbildes bedeutet, also t' (a)² = 1 ist. Um den zu r (er) gehörigen Tangentenvektor zu berechnen, hat man zunächst noch die Bogenlänge der Baumkurve zu bestimmen. Man findet

= s(o) = f IU(er)I do =■ f \t(o) cp'(o)\do

ao

= f \<p'(<y)\do = ± <p(o),

= x'{a)7Vrt{a)<p,{a)V(ö) = t{a)'

wenn (p (cr₀) = 0 genommen wird, was man stets durch passende Wahl der unteren Integrationsgrenze erreichen kann. Nunmehr ist der Tangentenvektor di di do

ds do ds

unabhängig von (p(p), was zu beweisen war.

Aufgabe: Man bestimme für die Kurven des Ortsvektors (68) die Krümmung, die Windung, die Vektoren der Hauptnormale und der Binormale.

Lösung: к = 1:1 ç/(<r)|,

X = (t(<r)t'(ff)t"(a)): <p'(o),

it'(er):?»,

b = i[t(a)t'(er)]:y(<r).

Bemerkung : Für festes к hat auch cp' (о) einen konstanten Wert ± 1 : k. Jede Baumkurve konstanter Krümmung läßt sich daher nach (68) in der Form

(69) i(o) = ±

i⁻¹

d arst eilen.

J t (or) do

ao

, mit t(a)² = 1, t'(cr)² = 1

30. Das sphärische Binormalenbild. Es sei nun das sphärische Binormalenbild gegeben, b = b (er), wo a die Bogenlänge des Binormalenbildes bedeutet¹). Zu bestimmen ist der Ortsvektor r (er) der allgemeinsten zugehörigen Raumkurve. Es sei s deren Bogenlänge, und

(70)

ds

da

Ф0.

Nun ist nach (32)

dx

ds

г    ¹ \udb]

wo к die Windung der Raumkurve bedeutet. Daraus folgt dx da 1 da

oder

da ds к ds

da

(71)

dx

da

= l[b(ff)b»].

Es ist aber к als Funktion von a darstellbar. Man setze

(72)

-= У>(а)Ф °-

К

Dann folgt aus (71) durch Integration von einem willkürlichen Anfangswert a₀ aus:

а

(73) r = r (ff) = J y> (ff) [b (ff) b' (ff)] da.

Man kann nun zeigen, daß alle Kurven mit dem Ortsvektor (73) bei willkürlicher Wahl von гр(а) dasselbe sphärische Binormalenbild mit dem Ortsvektor b (or) besitzen, wo a die zugehörige Bogenlänge bedeutet, also b' (or)² = 1 ist. Aus (73) folgt zunächst für die Bogenlänge der Raumkurve

*(ff)= / It'ia)\da= J I f(o)I • I [6(ff) b'(ff)]! da

ao

0o

0o

Der Vektor [b (o) b' (o')] ist nämlich ein Einheitsvektor, weil b (er)² = 1, b (o') b' (o') = 0 und auch b' (o')² = 1 ist.

Daher wird

ds = + I y) (a) I da.

± I w(a) I da

ds

Infolgedessen ist der Tangentenvektor der Raumkurve (74) t(s) = — =    b('<x)] da

Demnach wird

also ist

(75) h = —

mit

dt=± [b(<r) b"(cr)] da,

И = I [b(cr) b"(cr)] I = /Ь"(ст)² — 1.

Den Binormalenvektor berechnet man jetzt am einfachsten nach Formel (34) und erhält

oder*)

b=i [* ä⁼ je[± [4a) b'{a)] [6(<T) b"(<T)]]

(76)

b = + -(b(<T)b'(a)b»)b(<r).

fj,

V(a) = A[b(o) b»],

Aus b (er)² = 1, b' (o')² = 1 folgt aber b (a) b' (a) = 0, b' (or) b'^o“) = 0. Daher ist (76 a)

wenn unter Я ein skalarer Faktor verstanden wird. Mithin wird

Ha) b'(o) V'(<r) = -\b'(af=-\.

Setzt man dies in (76) ein und quadriert sodann, so kommt

q Man erinnert sich der bekannten Identität    = (Щ)ЯЗ — (2Ш)(£.

AV²= 1.

wegen b² = 1 :

Aus (76) erhält man jedoch nur dann das gewünschte Ergebnis b = b(<7), wenn + Х/л den Wert —1 hat. Das ist aber dadurch zu erreichen, daß man den Fortschreitungssinn der Bogenlänge auf der Raumkurve passend wählt. Denn aus (76 a) folgt

und wenn man dies in (74) einsetzt, erhält man

t= H=A(b(cr)+b"(<x)).

Wählt man also den Fortschreitungssinn der Bogenlänge auf

der Raumkurve so, daß t =

— (b(o*) + b"(ff)) wird, dann

fi

fi

wird f A =---und also b = b (or). Damit ist der Beweis

völlig erbracht.

Bemerkung. Aus (71) ergibt sich sogleich folgender Satz: Jede Raumkurve mit fester Windung x läßt sich durch folgende Formel darstellen:

(77)

i{<y) = - f [b(a)b'(a)]da,

X J

wobei b (er)² = V (er)² = 1 ist.

31. Sphärisches Bild der Hauptnormalen. Drittens soll der Ortsvektor r aller Kurven bestimmt werden, deren sphärisches Bild der Hauptnormalen n=n(<r) gegeben ist, mit n'(or)² = 1. Es sei wieder s = (p(a) die Bogenlänge der gesuchten Raumkurve, so ist

ds

da

= 4>'(o) Ф0.

dn

ds

= «[bn] — Ц tn]

oder

dn

Y П

* Ws _

Man multipliziere nun (II) mit к und (78) mit x beiderseits und addiere, so schafft man b heraus und erhält

(78)

dn

= — xt — kb.

= — [k* + x²]t = —G4.

dsU

Ist бгф 0, so gibt es zwei Funktionen r(s) und der Art, daß man

ds

b ¹

к = — cos r

li

— sin r

/'■

setzen kann; dadurch wird

(79) t =

(    f ,dn

= I — cos r(s)

ds

— sin r (s)

~dn

_ds

Man führe jetzt die Bogenlänge er der sphärischen Bildkurve ein und setze

dann wird

r(s)=-&(a), ju(s) = v(a),

M)*¹'

dt (    ,dn

— = — cos та) da \

Angenommen, die Funktion #(cr) sei bereits bekannt, so ergibt sich daraus r = r (er) durch eine einfache Quadratur:

(80)

da

— sin &(a)

(81) x(a) = — f (cos'&(a)n'(a)-i~sinä(a)[n'(a)n(a)])v(a)da,

°0

wobei a₀ eine willkürliche Integrationskonstante bedeutet. Um $(<а) zu bestimmen, setze man zunächst

(82) к =    - cos #(а), X = sin ïï(a)

v(a)    v(a)

in (II) ein, so erhält man

(83)

du

v(o) — = — t cos /&(a) + b sin #(cr).

ds

Andererseits ist das Bogendifferential ds der Raumkurve (81) durch die Formel

(84) ds = + I x'(a) I do = ± | r’(cr) | ćfcr

gegeben. Danach läßt sich (83) in der Form

(85)

± tl'(<y) = —t cos #(cr) + b sin &(g) schreiben. Die Ableitung nach a ergibt

dft

+ n"(a) = (tsin#(cr) + b cos #(cr)) ^

+ (-cos&^î+sinê^î)î-

Nach den Frenetschen Formeln wird der zweite Klammerausdruck zum Vektor n proportional. Wenn man daher beiderseits mit

± [nn'^)] = t sin #(cr) + b cos &(o)

— wegen (85) — skalar multipliziert, so fällt das zweite Glied auf der rechten Seite weg, und es bleibt

d&

nn'(or) n”(p) = woraus sich $ (er) durch eine Quadratur bestimmen läßt :

(86)

da’

(87) ö{p) = / (tt(ff) n'(<x) n"(c7)) da,

o°

unter a₀ eine willkürliche Integrationskonstante verstanden.

Man muß noch umgekehrt beweisen, daß die durch (81) und (87) bestimmte Raumkurve, wobei v(a) eine willkürliche Funktion bedeutet, wirklich die Eigenschaft hat, den gegebenen Vektor n (er) als Hauptnormale zu besitzen. Aus (81) folgt (84) und demnach

di

(88) •— = t = i (— cos #(cr) nr(er) — sin #(g) [n'(ö') ti(a]).

ds

dt

(89b) - - =F cos ä(o) {n"(o) + [u'(<r) n(o)\ &(o)}.

Nun ist aber

[n'(a)n(a)]=-A[n(ff)[n(cT)n"(«T)]]

--A(n(cr) (rt(cr) n"(ff)) — tt"(ff))

= A(tt(ex) + n'») ;

denn aus n (er) n'(er) = 0 folgt nn" (er) + n' (er)² = 0 oder n (er) n" (a) = — 1. Setzt man dies in (89b) ein und berücksichtigt A#'(er) =—1, so kommt

dt

= ± cos # • n (er),

d(T

mithin nach (89)

Zur Ermittlung des Hauptnormalenvektors bediene man sich der Formel (I) oder wegen (84)

1 dt dt dt hds ds‘ ds

(89)

dt

da'

SÏ&

Es ist aber

dt

= ± {— cos &(o) • n"(er) — sin #(<r) [П» n(or)]

+ #'(a) (sin #(cr) n'(p) — cos &(o) [n'(cr) Tt(er)])}. Wegen rt² =? 1, n'(or)² = 1 ist mt'(er) = 0, n'n" (or) = 0, also n' (or) = A[mt" (er)] mit skalarem A, das man durch skalare Multiplikation mit n' bestimmt: 1 = —A(nn'(er) n"(cr)) = — A#'(or) nach (86). Also ist (or) n' (er) = [n"(or)n(er)], woraus folgt, daß in (89 a) das Glied mit sin # (er) wegfällt ; es wird also

(89 a)

n = ±n(cr).

Damit ist die Behauptung bewiesen, wofern nur, wie (88) zeigt, der Durchlaufungssinn der Kurve passend gewählt wird. Bemerkung: Aus (82) folgt

k² + G² ’

wo G die ganze Krümmung (57) bedeutet. Wenn daher die ganze Krümmung einen festen Wert hat, so hat auch v(a) einen festen Wert, und die Raumkurven dieser Eigenschaft lassen sich nach (81) in der Form

г (*) =

c I (cos n'^ s*n n((T)])

o₀

h-*

darstellen, wobei n(a)² = n' (а)² = 1 ist, und ft(p) durch die Gleichung (87) bestimmt wird.

§ 6. Differentialinvarianten.

32. Bewegungen im Raume. Invarianten. Ist OP = r,

OP' = r', so ist

_    ^ ⁼ t + Го»

wenn r₀ — PP' die Verschiebung von P nach P' bedeutet (Abb. 15). Wenn x(t) eine Raumkurve (C) darstellt, so bedeutet r' (t) = r(0 + r₀, wo r₀ von t unabhängig ist, die p/ Kurve (C') die aus (C) durch parallele Verschiebung ihrer sämtlichen Punkte um den Vektor r0 entstanden ist. Aus der analytischen Geometrie des Raumes ist ferner bekannt, wie man die räumliche Drehung zu behandeln hat. Wir wollen das hier unter Benutzung der vek-torischen Darstellung kurz ins Gedächtnis zurückrufen. Es seien x, у, г die Koordinaten von P in bezug auf ein Rechtssystem mit den Grundvektoren i, j, !; dann ist

r = XX + yi + ZÏ

Abb. 15.

mit

тН o

VT

woraus bekanntlich folgt:

(90)

(91)

[iï] = i. №] = i. [U] = ï-

Es seien f, r], £ die Koordinaten desselben Punktes P in bezug auf ein anderes Rechtssystem mit demselben Ursprung Ö, aber den Grundvektoren a, b, c. Die skalaren Komponenten von a, b, c in bezug auf das System x, y, z sind die Richtungskosinus der drei Achsen |, rj, £ gegen jene Achsen x, y, z. Man setze

CI — Cti -f- CL j -}- CL f,

(92)

b = M + &r+rf,

(93)

c = ci + c'i + c" f, so sind a, a', a", b,... c" eben diese neun Richtungskosinus. Da a, b, c Einheitsvektoren sind, aufeinander senkrecht stehen und ein Rechtssystem bilden, so gelten folgende Formeln: a² = l,    b² = 1,    c² = 1,

bc = 0,    ca = 0,    ab = 0,

abc = -|- 1,

woraus

(94)

(95)

[bc] = a, [ca] = b, [ab] = c folgt. Durch Auflösung von (92) nach t, j, ! erhält man \ = d a -f- Ъ Ъ -\- с c i = а' а + V b + ć c t = a"a + b"b + c"c.

Aus

(96)

r = XX + y\ + zl = |a + rjb + Cc ergibt sich durch Quadrieren

(97)

r² = X² + y² + Z² = i² + 'rj² + f² , was ja anschaulich geometrisch einleuchtet. Setzt man die Werte (92) in (96) ein und vergleicht die Komponenten beiderseits, so erhält man

ж=а| + Ь г] + c Ç = ir у = а’ I + V rj + с’ I = (г

? = a"f+6"^ + c"C= h

und daraus durch Auflösung nach mit Rücksicht auf (94) £ = ax + ß'y + a"z = at rj = bx + b'y + b"z = br £ = cx + c'y + c"z = er.

(99)

Man nennt bekanntlich (98) oder (99) eine orthogonale Substitution. Das wichtigste Ergebnis ist die Gleichung (97), nach der die Norm des Vektors r, nämlich x² + y² + z², eine Invariante der orthogonalen Substitution ist, d. h. in den formal gleichgebildeten Ausdruck £² + rf + £² übergeht. Ist J eine solche Invariante, so ist natürlich F (J) ebenfalls eine, unter F eine willkürliche Funktion verstanden. Diese braucht man also nicht besonders zu zählen. Man kann nun beweisen, daß J = x² + y² + & die einzige Invariante der orthogonalen Substitution ist. Das geschieht am einfachsten durch folgende Überlegung: Wenn Ф(х,у,г) eine Invariante sein soll, und man mittels (98) oder (99) £, rj, £ einführt, so muß das Ergebnis Ф(х, у, z) =Ф(£,г),С) sein. Das stellt eine von а, Ъ, c, a! ... c" unabhängige Relation dar. Diese muß sich unter den Beziehungen befinden, die man erhält, wenn man diese neun Größen aus den neun Gleichungen (93) und (99) zu eliminieren sucht. Das gelingt, und man erhält durch eine elementare Eliminationsrechnung eindeutig das Resultat (97) als einzige Beziehung. Diese Rechnung sei hier der Kürze wegen übergangen. Man findet sie ausgeführt in J. Knoblauch, Grundlagen der Differentialgeometrie, § 170, S. 549, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1913.

Wenn zugleich mit der Drehung von (x, y, z) in (£, rj, £) auch die Drehung von (xx, yx, zx) in (|1? rjv Çx) erfolgt, d. h. wenn außer (99) noch die Gleichungen

= axx + a'yx + a"zx = axx

(100)

Vi = bxi + b'Vi + b"zi “ bti cxx+ c'y₁ + c"z₁ = cxx vorliegen, so bestehen außer (97) noch die Beziehungen (101) xxx = xxx + yyx + zzx =    + r\r\x + CCi

und

(102) x\ = x\ + y\ + z\ = If + rjl + C! ; zu den Normen tritt dann noch das skalare Produkt, was ebenfalls geometrisch einleuchtet. In diesem Fall gibt es also drei, und wie man durch eine elementare Eliminationsrechnung nachweisen kann (J. Knoblauch, a, a. O. S. 551) genau drei Invarianten

/ = X² + y2, + Z² = X² ,

(103)

J = xx₁ + yy₁ + zz₁ = n₁, h= x\+y\ + z\ = x\.

Wird noch ein drittes System derselben Drehung unterworfen, so kommt zu den Normen und den Skalarprodukten noch das Spatprodukt

X y Z

(104)

ГГ1Г2 =

xi Vi zi

Ч У2 Z2

hinzu, das ja dem Volumen des Spates gleich ist.

Wegen des Zusammenhanges der orthogonalen Substitution mit der Drehung spricht man auch von den Invarianten der Drehung.

Eine Invariante der Verschiebung, die nur von den Koordinaten x, y, 0 selbst abhängt, gibt es nicht ; denn Ф (x, y, z) == Ф (x + x₀, y + уo, z + z₀) kann bei willkürlichen x₀, y₀, z₀ nur bestehen, wenn Ф eine Konstante ist.

Anders ist es, wenn noch Ableitungen von x, у, 0 nach einem Parameter (t) auftreten, denn diese sind unabhängig davon, ob x, у, ^ um additive Konstanten verändert werden. Offenbar gilt auch das Umgekehrte. Eine Invariante der Verschiebung darf also nur Ableitungen der Koordinaten enthalten, ist also eine Differentialinvariante.

33. Eine Invariante der Bewegung ist eine Invariante sowohl der Verschiebung wie auch der Drehung. Daher darf sie nur Ableitungen von x, у, z nach dem Parameter enthalten, und wenn diese nur von erster Ordnung auftreten, so muß die In-

п. Ho the, Differentialgeometrie I,

(105)

variante nach (97) eine Funktion des Ausdruckes r'² = ж'² + у'² + г'²

(106)

sein. Wenn Ableitungen bis zur zweiten Ordnung auf treten, ist sie zufolge (103) eine Funktion der drei Ausdrücke r'², t't",    r"²,

und wenn schließlich Ableitungen bis zur dritten Ordnung auftret en, nach (104) eine Funktion folgender Argumente (107) r'², r"², r'"²; Fr", t'Y", t"Y; tYY".

34'. Inyarianten der Parameterdarstellung. Wenn r = r (t) eine Eaumkurve in der Darstellung durch den Parameter t ist, und man führt einen neuen Parameter и = u(t) ein, so gibt es Größen, die einen davon unabhängigen Wert behalten. Dazu gehören z. B. die Koordinaten x, у, z eines beliebigen, aber bestimmten Kurvenpunktes selbst, ferner der Winkel des Tangentenvektors t mit der positiven æ-Achse usw. Solche Größen heißen Invarianten der Parameterdarstellung. Um sie alle zu bestimmen, bemerke man, daß cp (x, y, z) von selbst eine solche Invariante ist, weil ja x,y,z schon diese Eigenschaft haben, daß es also auf das Vorkommen von x, y, z überhaupt nicht ankommt. Enthält aber die Funktion (p noch Ableitungen erster Ordnung nach dem Parameter t, (p = cp (x, y, г, Y, у', г'), so muß cp eine homogene Funktion der Dimension 0 von x\y\ z' sein. Das beweist man leicht, indem man in (p den neuen Parameter и mittels t = t(u) einführt. Dann wird

(108) cp (x, y, z, Y, y\ z') = Ç? (ж, ÿ, i, Y • t', y' • t\ z' • *'), wo x(t) = x(u) usw. ist und die Striche auf der rechten Seite die Ableitungen nach и bedeuten. Wenn nun cp eine Invariante der Parameterdarstellung sein soll, so muß die rechte Seite in (108) der linken Seite formal gleichgebildet sein, d. h. sie darf sich von ihr nur in den Buchstaben (u statt t) unterscheiden, also darf Г nicht Vorkommen, mithin muß dcp/dt' — 0 sein. Das liefert die Gleichung

Von den Invarianten höherer Ordnung der Parameterdarstellung wollen wir der Kürze wegen nur das Ergebnis mitteilen: jede solche Invariante läßt sich durch wiederholte Bildung der invarianten Operation d/dx darstellen, also (110) cp (ж, у, z\ x', у', z'. .. x(n\ i/db,

/    dy dz d²y d²z dny dnz\

^ \    dx" dx' dx² ’ da;² ’ * ’ dxn' dxn) ’

35. Einführung der Bogenlänge. Eigentliche und uneigentliche Invarianten der Darstellung. Es ist fast selbstverständlich, aber für das folgende wichtig zu bemerken, daß man in (110) statt d/dx auch die Operation d/ds schreiben kann, wo s den Parameter der Bogenlänge bedeutet. Denn diese läßt sich ja auf d/dx zurückführen:

d/ds = d/dx : ds/dx,

l/i+(3+0

und ds/dx ==

0 (p

дер

0 (p

Mx' ⁺ Wy' ⁺ tee' = 0’

und diese bedeutet, daß cp hinsichtlich der Argumente x\y\ zf homogen von der Dimension Null ist. Man kann z. B. eine Invariante erster Ordnung der Param et erdarstellung so schrei

ben

(109) гр[х, у, z

s'

’ x’ ’ x'

)-v(

dy dz

X’y’Z'dx'dxJ-

ist eine Invariante der

Parameterdarstellung, weil von der Dimension Null in bezug auf x\ y', z'.

Jede Invariante der Parameterdarstellung läßt sich also in die Form

(111) x(x, y, z\ x', y’,z'\... xn\ y(n\ «<»>) bringen, wo jetzt aber die Striche die Ableitungen nach der Bogenlänge bedeuten. Nun sind x',y\z' die Komponenten des Tangentenvektors dx/ds = t, und für die höheren

Ableitungen nach der Bogenlänge gelten der Keihe nach die Formeln d² r    dt

dU    dk    i 7 у-    V2,

- = - n + kxb — k²t ds ds

<№⁼Js=lm dh dk d? ⁼ dsn + k

dH

= (k" — kx² — k*)n + (kx' + 2k'x) Ь — Ш t

dx d²x

usw., Formeln, die man leicht durch fortgesetzte Differentiation nach der Bogenlänge unter Benutzung der Frenetschen Formeln erhält. Diese Gleichungen sind schon in Nr. 25 aufgetreten, und es wurde auch dort schon darauf hingewiesen, daß darin nur die Krümmung und Windung, sowie deren Ableitungen nach der Bogenlänge auf treten. Man kann daher jede Invariante der Parameterdarstellung auch so schreiben : dk d²k

ds' ds²' ’’ K' ds' ds2 Hierzu ist aber eine wichtige Bemerkung zu machen. Da die Einführung der Bogenlänge als Parameter wegen der auftretenden Quadratwurzel mit einer Zweiwertigkeit verbunden ist, kann es sein, daß dabei das Vorzeichen der Invariante verändert wird. Wir unterscheiden daher zwischen eigentlichen Invarianten der Darstellung, die ungeändert bleiben, wenn s mit —s vertauscht wird, und uneigentlichen, die dabei das Vorzeichen wechseln.

36. Fundamentalinvarianten. Eine Funktion der Argumente X, у, z; x', y',z';... x^n\ y(n\ z^n\ die eine Invariante sowohl der Bewegung (im Euklidischen Baume) wie auch der Parameterdarstellung ist, heißt eine Fundamentalinvariante n-ter Ordnung. Nach (107) kann sie nur folgende Argumente enthalten:

Nach (111) bedeuten jetzt die Striche die Ableitungen nach der Bogenlänge, daher ist

(113) r'² = 1, r'r" = 0,    r"² = (kn)² = k² = — r'r'",

r'Y"

_]dk _ 1 d(k²) ds 2 ds

ferner nach (39)

r'r'Y" = xx"² = xk²

usw. Ein Vergleich mit (112) zeigt demnach, daß eine Fun-

damentalinvariante nur die Argumente к, x,

dk dx ds' ds'

enthalten darf.

Dabei bleibt es noch dahingestellt, ob eine eigentliche oder eine uneigentliche Fundamentalinvariante vorliegt. Um das zu unterscheiden, werde folgende Überlegung angestellt: Aus den vorstehenden Formeln (113) folgt, daß k² eine Fundamentalinvariante ist, und zwar gewiß eine eigentliche. Dagegen kann к durch eine Bewegung in —к übergehen. Auch können dk/ds, d4/dss,... das Vorzeichen wechseln, wenn s mit —s vertauscht wird. Aber

dk dzk d*k ' ds№' k№'"'

k²,

(114)

ldk\² d²k ld²k\²

Ш ’ k№' Ш/

^ = r'r'Y" : k²

bleiben sowohl bei der Bewegung als auch bei der Parameterveränderung ungeändert, selbst wenn s mit —s vertauscht wird, sind daher eigentliche Fundamentalinvarianten. Auch (115)

hat diese Eigenschaft, ebenso

(116) к,

dxV d²x ldsxV dxd?x d*x ds / ' ds² \ds³ / ds d& ds^'

Eine jede eigentliche Fundamentalinvariante ist daher eine Funktion der Argumente (114) und (116).

Die einfachsten eigentlichen Fundamentalinvarianten sind das Krümmungsquadrat k² und die Windung x.

§ 7. Natürliche Gleichungen.

37. Natürliche Gleichungen. Zwei Raumkurven heißen kongruent, wenn sie durch Bewegung im Raume mit einander zur Deckung gebracht werden können. Aus der Invarianzeigenschaft von k² und x folgt, daß zwei kongruente Raumkurven in zwei „entsprechenden“ Punkten dasselbe Krümmungsquadrat und dieselbe Windung besitzen. Dabei sind unter „entsprechenden“ Punkten solche zu verstehen, die nach der Bewegung zusammenfallen. Wenn man ferner die Bogenlängen beider Kurven von zwei „entsprechenden“ Punkten aus zählt, so sind k² und x jeweils für beide Raumkurven die gleichen Funktionen von s:

k² = (p{s)\ X = ip(s).

(117)

Da diese beiden Gleichungen für eine Kurve sowohl von der Parameterdarstellung der Kurve wie auch von ihrer Lage im Raume unabhängig sind, so heißen sie die natürlichen Gleichungen der Raumkurve.

Wenn weder к noch x einen festen Wert haben, so kann man sich s eliminiert denken und erhält eine Gleichung der Form

Ф (к², X) = 0,

(118)

die oftmals auch die natürliche Gleichung genannt wird.

38. Beispiel. Wir wollen von der in Nr. 27 betrachteten

Kurve

toi I—¹■

(119)

x = 8, у = k₀S² , 2 =

die den Verlauf einer allgemeinen regulären Raumkurve, die im Nullpunkt die Krümmung k₀ und die Windung x₀ hat, in der Umgebung des Nullpunktes angenähert darstellt, die natürlichen Gleichungen näherungsweise bestimmen. Dazu hat man nichts weiter zu machen, als das Krümmungsquadrat

/ dt d²t\ 1 ds tfs²)

: k² zu be-

k² = (idt/ds)² und die Windung

rechnen. Hierbei ist allerdings nicht zu vergessen, daß s nur näherungsweise die Bogenlänge der Kurve (119) darstellt; denn ist S ihre wahre Bogenlänge, so hat man

k² = k%( 1 + x%s²) = (p(s).

dS — j/l + Щ s² + \ Jcl x\ s⁴ ds « ds für hinreichend kleine Werte von s. Eine einfache Rechnung liefert weiter (120)

und

(121)

= f{s). ■

K 1 + x‘yS²

Da weder к noch x feste Werte haben, läßt sich s wegschaffen:

(122)

k²x =    = const.

Die Gleichungen (120) bis (122) gelten also näherungsweise für alle Kurven, die mit der durch die Formeln (119) bestimmten Kurve kongruent sind.

k² = <p (s) und X = tp(s)

39. Bestimmung aller Kurven mit gegebenen natürlichen Gleichungen. Es seien nun (123)

zwei gegebene Funktionen von s. Wenn sie in einer gewissen Umgebung der Stelle s = s₀ Ableitungen beliebig hoher Ordnung besitzen, so läßt sich sehr leicht zeigen, daß, falls es überhaupt eine Kurve gibt, deren Krümmungsquadrat und deren Windung den Formeln (123) genügen, diese Kurve genau eine analytische Darstellung durch eine Potenzreihe nach steigenden Potenzen von s — s₀ besitzt, woraus dann folgt, daß alle anderen Kurven mit den natürlichen Gleichungen (123) zu dieser Kurve kongruent sind. Das ergibt sich ohne weiteres aus den Formeln (64) u. f. in Nr. 27: Wenn man die Tangente, Hauptnormale und Binormale im Punkte s = s₀ als Koordinatenachsen X, у, z wählt, so gilt für diese Kurve die Entwicklung

g Ç*(0) (s — %)³ + .• • • + Rx

X — x₀ = s — s₀ —

У — Уо

(124)

= \]/<P<V) (S-S₀)²

(s — s₀)³ +----\- Ry

= ^^(Ö)V(0) 0s-s₀f+--. + Rz.

, 1 y'(0) 12^(0)

z — z₀

Man sieht, daß, wenn der J/V($₀) das entgegengesetzte Vorzeichen beigelegt wird, dann einfach y — y₀ und 0 — z₀ die Vorzeichen wechseln. Man hat es also durch passende Wahl der Achsenrichtungen in der Hand, immer eindeutige Entwicklungen der Form (124) herzustellen, die zu den Kurven mit den natürlichen Gleichungen (123) gehören, vorausgesetzt, daß diese überhaupt eine Kurve zulassen. Denn daß in (124) die Restglieder mit wachsender Gliederzahl gleichmäßig nach Null konvergieren und somit konvergente Potenzreihen entstehen, ist nicht bewiesen.

40. Fortsetzung. Daß es aber wirklich eine solche Kurve gibt, folgt aus der allgemeinen Theorie der Differentialgleichungen, wenn man sie auf die Frenetschen Formeln

fis

(125) f. = }/^)n,

db

ds ⁼ ~'p{s)n anwendet. Denn diese stellen einen Satz von neun gekoppelten homogenen linearen Differentialgleichungen für die neun Komponenten der drei Vektoren t, n, b dar. Dieses System besitzt aber genau drei vektorische Lösungen, die für einen Anfangswert s = s₀ mit drei gegebenen Anfangsvektoren t₀, tt₀, b0 übereinstimmen, wenn nur y (s) und у (s) stetige Funktionen sind. Nun ist aber weiter

dt

d(nb)

= — у) (s) n² — ]/y (s) tb + y) (s) b², as

(126) ^ = — 2J/V(s)tn + 2y<s)bn

d(U)

d(b²)

ds

<fe .= -²vOOnb,

d(tn)

^ = |/q3(s) (n² — t²) + y)(s)tb ;

und dieses System homogener linearer Differentialgleichungen für die Quadrate und die skalaren Produkte von t, n, b wird befriedigt, wenn man t² = n² = b² = 1, nb = nt = tu = О setzt. Das ist aber das einzige Lösungssystem, das für s = s0 mit einem gegebenen orthogonalen und normierten Dreibein t₀, n₀, b₀ übereinstimmt. Da ferner tnb eine stetige Funktion von s ist, und da für s = s₀ ja t₀n₀b₀ = + 1 sein soll, so muß für jedes s tnb = + 1 sein. Aus dem so eindeutig gefundenen t läßt sich aber r durch eine Quadratur bestimmen:

(127)

-f

J S₀

t ds,

r —r₀

womit die Existenz der gesuchten Kurve und zugleich die Eindeutigkeit der Lösung gezeigt ist.

41. Zurückführung der Aufgabe auf eine Ric-catische Differentialgleichung. In der vorigen Nummer ist lediglich die Frage nach der Existenz einer Kurve mit gegebenen natürlichen Gleichungen bejaht werden. Ein Weg zur Bestimmung des Radiusvektors einer Kurve, wenn ihr Krümmungsquadrat cp (s) und ihre Windung y>(s) als Funktionen der Bogenlänge gegeben sind, ist jedoch dadurch noch nicht bekannt. Lie und Darboux haben unabhängig voneinander die Integration des Systems (125) der Frenetschen Differentialgleichungen auf die Integration einer Riccatischen Differential-

gleichung zurückgeführt. Dazu braucht man allerdings die Komponentenzerlegung der drei Vektoren t, u, b. Es sei

t ⁼ У + У +

n = n₁\ + n₂\ + n₃f

ь = ьх\ Ъ₂\ + bsi,

so genügen natürlich auch die Komponenten th nh bд (А = 1, 2, 3) den Hauptgleichungen

= ]/(p{s) ия,

(128)

■dtx

ds

(129)    d^=-Ÿq>(s)h+y>(s)b„

ds

— = — y)(s) Щ.

ds

Aus (128) folgt (130)

Daher ist

У d⁻ ^rt b^b — i.

t\ + п\-\-Ь\ = 1.

Man kann diese Gleichung dadurch befriedigen, daß man 12    1 -f⁻ b^

1 —    — Wj

(131)

(132)

setzt. Führt man nun in

da

ds

1 Idt i    dnA

1 — bt \ds    ds I

tx + inx db± (1 —1J²1s

dt±

dnx

— in± ds — mx)² Ws

ds

auf den rechten Seiten die Hauptgleichungen (129) für X = 1 ein, so erhält man

*—W>1

= — *y 99 (s)

t± +

-bl

1 + ^1

tx — тг

i\ — anx

П~ъГ

ib^o — nx tx — щ

Zur Umformung der beiden rechten Seiten benutzt man wieder (132) und die sich daraus ergebenden Beziehungen

er² — 1 —

dann findet man, daß sie beide in denselben Ausdruck übergehen, und es ergibt sich die eine Gleichung

do

= — i]/<p(s)o + ^iy>(s) (er² — 1).

Andererseits kann man die Gleichung (131) auch dadurch befriedigen, daß man

(135)

i~\

tx + inY

1 + Ъг t± — m± setzt. Eine genau entsprechende Rechnung führt zu dem Ergebnis, daß r derselben Differentialgleichung (134) wie о genügt. Das ist aber eine Riccatische Differentialgleichung.

Hat man nun zwei verschiedene Lösungen о und r dieser Riccatischen Differentialgleichungen (134), so ergibt sich aus (132) und (135)

l+GT

--------, \ =

G — T

О + T er — T

(136) ^ =    щ

o — r

und diese Funktionen von s befriedigen wirklich die drei Hauptgleichungen (129), wie der Leser durch eine leichte Rechnung bestätigen möge.

Wenn man drei partikuläre Lösungen der Riccatischen Differentialgleichungen kennt, so hat man damit auch ihre allgemeine Lösung. Denn das Doppelverhältnis von vier ihrer Lösungen ist konstant¹). Man denke sich also drei Paare von Lösungen ermittelt (auf elementarem Wege ist das bekanntlich nicht immer möglich): ov x±\ cr₂, r₂; o₃, r₃, so kann man daraus auf Grund der obigen Formeln (136) die neun Komponenten G, bx und damit die Vektoren t, n, b bestimmen.

Der Radiusvektor der gesuchten Kurve ergibt sich nach (127) aus t durch eine Quadratur.

42. Beispiel: Bestimmung aller Kurven, bei denen das Verhältnis der Krümmung zur Windung einen festen Wert m hat. Es sei

к = xp(s), h = my)(s) ;

die Riccatische Differentialgleichung (134) lautet jetzt

<¹³⁷> *

Man führe statt s die Veränderliche

der

= ^— imo + ^ i(p² — 1) j f(s).

S = f yj(s) ds

So

ein; da tp(s) als stetig vorauszusetzen ist, existiert diese Veränderliche 8. Damit geht (137) über in

= — imo + \i(p² — 1),

и

und man kann sofort zwei Partikularlösungen dieser Differentialgleichung angeben, nämlich die beiden festen Werte von er, für die die rechte Seite verschwindet. Sie mögen a und b heißen. Man findet

(138)

(139)

dS

(140) а = m + j/m² + 1, Ъ = m — ]/m² + 1.

Wenn m² + 1 ф 0 ist, so ist а 4= b. Nun kann man aber die allgemeine Lösung der Differentialgleichung leicht ermitteln. Denn wegen

— ima + |г(а² — 1) = 0

und weil dieselbe Gleichung auch für b gilt, ist

d(o — a)

dS

und

d(o — Ъ)

dS

= — im (o — a) + i i(o² — a²) Ł

= — im{o — b) + L(ff² — b²).

и

Man dividiere beiderseits durch о — a und er — b und sub-

trahiere die entstehenden Ausdrücke, so erhält man — a

d _ a iSl0Sa

und daraus

= ^г{а — Ъ),

= Сехp ^г(а—• b)sj ,

wo C eine Integrationskonstante bedeutet. Daraus findet man iibS ^Qe l%as

e\ibS_Ce\iaS ’

und dies ist die allgemeine Lösung der Eiccatischen Differentialgleichung (139). Für G = 0 und C = oo erhält man wieder die Partikularlösungen a und b. Diese genügen, um nach (136) die Eichtungskosinus tv nv Ъг zu bestimmen. Man findet, indem man er = a,r = b setzt,

.1 + ab ni=%--jT

Um t₂, tz zu bestimmen, muß man in (141) für C andere Werte Ca, C₃; C₂C₃ einsetzen, die aber 4= 0 und Ф 00 seien und übrigens noch der Bedingung t\ + i\ + t\ = 1 gehorchen müssen, was natürlich stets möglich ist. Jedenfalls sind t2 und t₃ von s abhängig, während einen festen Wert hat. Das bedeutet, daß alle Tangenten an die Kurve mit der Eichtung der æ-Achse einen festen Winkel bilden. Die Parallelen zur Æ-Achse, die durch die Punkte der Kurve gehen, bilden die Mantellinien eines Zylinders, auf dem die Kurve gelegen ist, und sie schneidet diese Mantellinien unter demselben Winkel. Die Kurve ist also eine allgemeine Schraubenlinie¹). Bei der Abwicklung des Zylinders auf eine Ebene entsteht aus der Schraubenlinie eine Gerade, die die parallelen Geraden, in die die Mantellinien übergehen, alle

(141)

ae

(142) t₁₌ l a

— ab

x) Dieses Ergebnis ist schon in Nr. 23 gefunden worden, und zwar dort auf einem invarianten, d. h. vom Koordinatensystem oder, was dasselbe besagt, von einer Komponentenzerlegung unabhängigen Wege.

unter demselben Winkel schneidet. Das geht auch aus der Formel

(143)

1 —ab

ж — жо = ~~ь (S — So)

hervor, die aus der ersten Gleichung (142) durch Integration folgt.

Die Formeln (142) gelten nicht, wenn m² + 1 = 0 ist, weil dann а — Ъ wird. In diesem Ausnahmefall, wo also m — к : x = + i ist, geht die Riccatische Differentialgleichung (139) in folgende über:

SIS'

(144)

wenn man sich auf den Fall m = + г beschränkt. Diese Differentialgleichung läßt sich aber leicht durch Trennung der Veränderlichen integrieren. Ihre allgemeine Lösung ist

c-ts ;

Für C = oo ergibt sich die Partikularlösung — i, wie man auch unmittelbar aus (144) folgern kann.

а = — i

43. Invariante Bestimmung einer Kurve aus ihren natürlichen Gleichungen. Bei dem in den vorhergehenden Nummern behandelten Verfahren der betrachteten Aufgabe konnte man ohne Zerlegung der drei Vektoren des begleitenden Dreibeins in Komponenten eines festen Koordinatensystems nicht zum Ziele kommen. Es liegt das an der Einführung der komplexen Funktion а (г), bei der den Formeln (132) zufolge diese Komponenten unumgänglich gebraucht werden. Das folgende Verfahren verschmäht dieses, der „natürlichen“ Geometrie fremde Hilfsmittel, und bedient sich bei der Integration der Frenetschen Hauptgleichungen lediglich invarianter Schritte. Allerdings muß man dabei voraussetzen, daß die Funktion x = ip(s) differenzierbar, und die Funktion k² = q>(s) sogar zweimal differenzierbar sei, da

diese Ableitungen bei Aufstellung einer linearen Differentialgleichung für den Tangentenvektor t gebraucht werden. Es wird nämlich eine homogene lineare Differentialgleichung dritter Ordnung für t hergeleitet werden, deren Koeffizienten Fundamentalinvarianten der Kurve sind, da sie sich nur aus k² — cp (s) und x = y>(s) und deren Ableitungen nach der Bogenlänge zusammensetzen. Zu dem Zwecke gehe man von der ersten Formel (55) in Nr. 25 aus, die sich im Hinblick auf die angeführte Bemerkung folgendermaßen schreiben läßt : dH    ₂dx Id log (к²) dH

dx dH¹

_ds ds² J ’

ds³    ds ⁺ ~2 ds ds²

oder wenn man darin k² = (p (s), x = ip (s), dx/ds = t einführt und die Ableitungen nach der Bogenlänge durch Striche bezeichnet:

ds) *

Zwar ist dies schon eine Differentialgleichung mit der unbekannten Funktion t und mit invarianten Koeffizienten, aber wegen des auf tretenden Vektorproduktes scheint sie der Behandlung nicht einfach zugänglich zu sein.

Die zweite der Formeln (55) liefert aber

2 <p(s)

(145) t" = -9?(s)t + D'(s)

(146)

t'" = —

?'(«)

<p(s)

Die beiden Formeln (145) und (146) setzen außer der Existenz der Ableitungen noch xp (s) Ф 0, xp(s) Ф 0 voraus. Diese Ausnahmefälle sind aber schon besprochen worden. Schafft man nun ^(s)[tt'] aus beiden Gleichungen weg, so erhält man die lineare homogene vektorische Differentialgleichung dritter Ord nung

mit

(147) V" + л (s) t" + ß (s) t' + y (s) t =p 0

oc (s) =

V’

(148)

«s>- (9

M-

lç/ ip' 2 q) гр

y (*) = ?

2^'-

( +9HÉ- )

ç>.

44. Fortsetzung. Um die Differentialgleichung (147) allgemein zu integrieren, betrachte man die entsprechende skalare Differentialgleichung

(149)    y"' + oc(s) y" + ß(s)y' + y(s)y=0;

es seien y^s), y₂(s), ys(s) drei linear unabhängige Partikularlösungen dieser Differentialgleichung, so ist die allgemeine Lösung von (147)

(150)

t = ei?/l(S) + ß₂y₂(s) + ®32/s(s),

worin ©l5    drei vektorische Integrationskonstanten

bedeuten.

Man muß nun zeigen, daß sie sich so bestimmen lassen, daß die Lösung der Differentialgleichung (147) den Bedingungen

(a)

t² = 1

t'² = k² = (p (s)

= X = ip(s)

genügen, die aussagen, daß t ein Einheitsvektor ist, der als Tangentenvektor einer Baumkurve als Funktion ihrer Bogenlänge genommen, bewirkt, daß ihr Krümmungsquadrat gleich der gegebenen Funktion q>(s) und ihre Windung (nach (35)) gleich ip(s) wird. Nun folgt aus (a) tt' = 0 tt" = — t'2 tt'" = — 3t't",

(b)

(c)

(»')

tt't"

t'²

aus (b)

(b')

und aus (c)

(o')

tt't" = (p(s)yj(s).

Bezeichnet man die linke Seite der Differentialgleichung (147) mit 5£(t), so hat man

t $ (t) = tt"' + л (s)tt" + ß (s)tt' + y (s)t², und das wird zufolge (a), (<a') und (У) in

t$(t) = — 1<P' (s)—a(s)<p (s) + y(s) übergehen. Aus den Gleichungen (148) folgt aber, daß die rechte Seite identisch verschwindet. Es ist also

(151)

Sodann ist

tS(t) = 0.

Benutzt man (c') und die daraus durch Differentiation folgende Gleichung

(C")

so wird

tt't'" = ç>'(s) v>(s) + <p(s) y>'(s) ,

tt'ï (t) = <p' {s)f (s) + <p (s)y>' (s) + « {s)<p (s)f (s). Aus (148) folgt aber, daß identisch tt'S(t) = 0

ist.

(152)

Schließlich hat man

t'2(t) = t't'" +oc{s) t't" + ß(s)t'²

oder nach (Ъ) und (&')

t'2(t) = t't'" + \ <%(s)ç/(s) + ß(s)<p(s).

Um t't'" zu bestimmen, greife man auf die zweite Formel (55) zurück und schreibe sie in der Form

t'" = —

R. Rothe, Differentialgeometrie I.

Durch skalare Multiplikation mit t' erhält man wegen (Ъ) und («')

t't

,„ ₌ /1<р"(8)    1 (ср'Щ

\2 <p(s)    4 I <p{s)J

t'£(t) = 0.

Aus der Gleichung (152) folgt nun, daß t, t', £(t) komplanar sind, oder

Setzt man dies in den obigen Ausdruck für t'2 (t) ein, so erhält man mit Rücksicht auf die Formeln (148) durch eine einfache Zwischenrechnung (153)

2(t) = 'Xt + pV.

Aus (151) ergibt sich aber Я = 0 und aus (153) [л = 0, so daß

£(t) = 0

sein muß. Ein den Bedingungen (a), (&), (c) genügender Vektor t ist also eine Lösung der Differentialgleichung (147), und da diese lineare Differentialgleichung keine singuläre Lösung besitzt, so muß der betrachtete Vektor t in der Form (150) enthalten sein.

Im praktischen Falle ermittelt man natürlich die vek-torischen Konstanten Kl5 Ё₂> dadurch, daß man in die Gleichung t² = 1 für s passende besondere Werte einsetzt. Nach der Bestimmung von t ergibt sich r durch eine Quadratur nach (127). Wir wollen das an einem Beispiel verfolgen.

45. Beispiel, к = a/s, x = Ъ/s, wo а, b reelle feste Werte Ф 0 bedeuten mögen. Man hat

a²

(154)

damit wird nach (148)

a(s) = + p ß(«) = und die Differentialgleichung (149) wird

r + ]y" + iy' =

а² + Ь² + 1

s²

, y(s) = 0,

(155)

wenn zur Abkürzung c² = a² + b² + 1 gesetzt wird. Das ist eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für z = yf:

(156)

3 c²

N²

z" + -z' + -z = 0.

r² + 2r + c² = 0.

Zu ihrer Integration mache man in bekannter Weise¹) den Ansatz z = sr und bestimme die Konstante r aus der Hauptgleichung (157)

Die beiden Wurzeln dieser Gleichung seien rx = — 1 -f im, и = — 1 — im, wo (158)

(159)

= Ÿf* — 1 = ]/«2 + b2 reell ist und positiv sein soll. Damit wird das allgemeine Integral der Differentialgleichung (156), da m 4= 0 ist, z = cxsri + c₂sr2,

unter cv c₂ zwei willkürliche Konstanten verstanden. Der Ausnahmefall m = 0 wird später behandelt werden. Daraus ergibt sich die allgemeine Lösung von (155) durch eine Quadratur:

y = O^+i + C^i+i + C₃= ClS™ + C₂s~™ + C₃, und wegen

sim _ cos jog _|_ {₈|п (m }₀g    = cos S -j- isin S

mit S = m log s :

y = A cos S + В sin 8 + C.

Mithin wird

t = (£, cos£ + g₂ sinS-f^.

Urn nun 6X, Ё₂, g₃ der Gleichung t² = 1 entsprechend zu bestimmen, erteile man dem Parameter der Bogenlänge s der Reihe nach Werte, die cos S = 0 und sin $ = ± 1 machen, sodann sin # = 0, cos S = i 1, so erhält man folgende Gleichungen:

L) Eulersche Differentialgleichung; vgl. u. a. Höhere Mathematik III, S. 198 (Leipzig 1935).

(±©₂ + ©з)²=1, (±©1 + ©з)² = 1,

woraus sich sofort

(160)

©₂©3 = 0 ©Ä = 0

©1 + 61 = 1

©? + ©l=l ergibt. Damit wird

(£$2=0.

t² = (£² cos²£ + 2(£$₂ cos 8 sin 8 + (£1 sin² 8 + (£1=1, woraus — man vertauscht 8 mit — 8 — folgt (lei)

Aus (160) und (161) ersieht man, daß (£1? (£₂, (£₃ drei aufeinander senkrechte Vektoren sind. Es bedeutet also keine

Einschränkung der Allgemeinheit, wenn man

©1 = с+ ©₂ = cy >    ©3 = <V

setzt, wobei nach (160) zwischen den skalaren Größen G\, C₂, C₃ die Beziehungen

c\ + ci = c\ + c\ = i

bestehen, und i, j, f ein willkürlich zu wählendes orthogonales Dreibein aus drei Einheitsvektoren bedeutet. Man setze daher

C₃ = A cos у,

wodurch diese Beziehungen identisch erfüllt sind, so hat man t = A sin у cos S t + A sin у sin S j + A cos у f.

Die Integration nach s ergibt

/1A04    +ssiny

(162) r — r₀ = -

Oi = A sin у =    0₂,

(cos 8 + m sin S) i

(sin 8 — m cos 8) j + As cos y f.

1 + m2 As sin у 1 + m²

Die in dem Ergebnis (162) noch vorkommenden Integrationskonstanten A und у lassen sich aus den Gleichungen (b) und (c) bestimmen. Eine leichte Rechnung, die dem Leser überlassen sei, führt auf

i= il, sin y — a/m, cos у = Ъ\т.

Diese Raumkurve liegt auf einem Zylinder, dessen Mantelgeraden zur 2-Achse, d. h. zum Vektor f, parallel laufen

und dessen Leitlinie in der xy-Ebene, d. h. der q-Ebene, die logarithmische Spirale

{x—x₀f+(y — y₀f

A² s² sin² y    A² sin² y

1 A-m² 1 + m2 ist, wo oc = arctg m. Sie wird aus dem Zylinder ausgeschnitten durch einen geraden Kreiskegel, dessen Achse der z-Achse parallel läuft, dessen Scheitel im Punkte (r₀) liegt. Denn man hat

Jg²r

1+m²

Man nennt diese Kurve daher eine konische Schraubenlinie. Daß sie zu den schon in Nr. 23 untersuchten allgemeinen Schraubenlinien gehört, folgt aus

h: X= a:b.

exp

(— (arctg -\m \ X

xo

fa

))

(x—x₀f+(y — y₀f =

(г-г₀у.

46. Der Ausnahmefall m = 0. Die bisherigen Betrachtungen galten für den Fall, daß die quadratische Hauptgleichung (157) der Differentialgleichung (156) zwei verschiedene Wurzeln rx = — 1 + im, r₂ = — 1 — im mit = ]/a² + b² hatte. In dem Ausnahmefall m = 0 oder b = + ia

oder auch (163)

hat die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (156) nicht die Form (159), sondern sie lautet Z = C^—¹ + c₂s—1 log s mit den Integrationskonstanten cv c₂. Hieraus findet man durch Integration mit Übergang zum vektorischen Ausdruck t = g₁iogS + e₂ (log s)² + e₃, und man hat nun die konstanten Vektoren 61? (S₂, (£₃ der Bedingung t² = 1 gemäß zu bestimmen. Das ergibt das Verschwinden einer biquadratischen Funktion von log s. Indem man deren Vorzahlen einzeln gleich Null setzt, erhält

(164)

ia

>■

к = Az —, &:и = + г

>■

man die Gleichungen

(165)    61=1, 6j6₃ = 0, 6| + 26₂6₃ = 0,

6^=0, 61 = 0;

wegen ©I = 0, ©₂ Ф 0 ist ©₂ ein Minimalvektor. Wir nehmen ©з = i, ©! = Я! (Я ф 0) und ©2 - od + ß\ + yï mit ос² + ß2 + у² = 0, so ist die erste, zweite und letzte der Gleichungen (165) erfüllt, und aus der vierten folgt у = 0, aus der dritten danach oc = — |Я², somit ß ~ ф ^Я²г, und ©2 = —1Я2 (t =F *i), also

(166)    t = Я! log s - \l² (i =F <i) (log sf + i,

wo Я eine skalare Konstante bedeutet. Natürlich läßt sich Я durch die gegebene Konstante a bestimmen entweder mittels der Gleichungen (b) und (c) oder auch so : man hat aus (166)

= j(ï-Alogs(i=Fo)),

dt

ds

(167)

und da der Vektor in der Klammer die Norm 1 hat, ist er auf Grund der ersten Hauptgleichung dt/ds = kn gleich dem Vektor der Hauptnormale

n = ï — Я log s (i =F<i),

(168)

und ferner ist

-я=*

die Krümmung, also ist wegen (163)

Я = а.

Integration von (166) nach s ergibt

(168 a) r — r₀ = aï (s log s — s) — ^a² (t ф ц) f (log s)²ds + is = (s — I a² f (log s)²ds)i    J(logs)²^si

+ a(s log s — s)!.

Aus (163) ergibt sich noch eine Eigenschaft der gefundenen komplexen Kurven (168 a). Ein jeder zur ic^-Ebene paralleler (d. h. mit ihr komplanarer) Minimalvektor läßt sich in der

Form

3Ri = yWi(i + Ч) oder $№₂ - jlc₂(\ — ij) darstellen. Wählt man in (168) das obere Vorzeichen, so hat man

nSR₂ = 0 für jeden Wert von s.

Also sind alle Hauptnormalen der Kurve zu 3K₂ senkrecht, also zu einer festen Minimalebene

H~ ja — o

parallel, wo ja ebenso wie jav ja₂ feste Zahlen sind.

47. Sehne und zugehöriger Bogen. Es sei OP = s ein Bogen einer Kaumkurve von der Länge s, und OP = r der zugehörige Sehnenvektor (Abb. 16). Es werde angenommen, r= r(s) lasse sich nach Potenzen von s entwickeln. Wir wollen die Koeffizienten der Anfangsglieder dieser Entwicklung aus der Krüm-rnung k₀ und der Windung    q

АЫ). 16.

x₀ der Kurve im Punkte О bestimmen. Man hat

* — ro + M + gl §2 "I” * * * ’

worin der Zeiger 0 sich auf den Punkt О bezieht, und die Striche die Ableitungen nach der Bogenlänge bedeuten. Nun ist r₀ = 0 und nach den Formeln (54) in Nr. 25 ist

t’o ⁼ io

*0 ⁼ Mo

C = — M> + Mo +

С' = — ³МУо + (К — Ц — M?)Tt₀ + (Mó + ²Mo)&o

und demnach

t = t₀s + \k₀\{ ₀s² + 4(— klt₀ + &0П₀ + k₀x₀b₀)ss + 2V (    ^0^0 ~b (^0    ^0    ^0 «0) ^0

+ {K xo + xo) &o)s4

+ тЬг ((*4 - 4^0К - щ² + fcg »g)to

~h (~~ 6/^0 *0    3*₀ ^0    3*₀ xo ^0 ”Ь ^0 )

+ (3*o «о + fco < + ³*ó' *0 — Ц*о — К «S) b₀)s⁵ + • * *

Die Norm dieses Vektors ist г² = s² — Т2 *o§4 + îKKs5

+ (зто^о — AMo + ЗТО^О^О AW + • * ■ Man sieht, daß die Windung x₀ erst in dem Gliede mit s6 auftritt. Die im reellen Falle positiv zu nehmende Quadrat

wurzel liefert die Länge der Sehne OP:

111 = s{ 1 — X2 *os2 + T^0^0s3

+ (зТГО^О-iWo' + ITÖ^O^O — AftV + • • -}² •

Für hinreichend kleine Werte von s läßt sich die Klammergröße nach der binomischen Reihe entwickeln, und man erhält : (169) IXI = 8(1 —    ~b t*o^os3 "h

(t 9V0 ^0 TbKK 4

Hieraus ergeben sich folgende Formeln:

s — c

^0 xo — wo K²)ß4 + * * * ) •

kl = lim

Р-уО

wo c = |r| die Sehne des Kurvenbogens OP der Länge s bedeutet,

(171)

(170)

24

s³ ’

T—I

*0 =

Äip(e->+ä*s,*-iw)

_ ¹ ¥ , I^ó , i4i*

1920 ⁰ ‘ 80 ' 90 &<,- ' Für die Raumkurve konstanter Krümmung (4= 0) vereinfacht sich die Formel (171) etwas:

ö xo ~

(172)

. Ol

Berührung höherer Ordnung.

§ 8. Berührung höherer Ordnung.

(c)

48. Berührung n-ter Ordnung zwischen Kurve und Fläche. Wenn eine Kurve (C) und eine Fläche (P) einen regulären Punkt A gemeinsam haben, so sagt man, sie berühren sich im Punkte A von n-ter Ord-

m.

nung, wenn sich jedem Punkte P der Kurve, der hinreichend nahe bei A liegt, ein Punkt Рг der Fläche so zuordnen läßt, daß für P -> A der Quotient

(173) РРг:(АР) einem von Null verschiedenen

n+1

Abb. 17.

Grenzwert zustrebt (Abb. 17).

sei OP = r = {X, у, z), OPx = rt = {x₁, yv %}, O A — r₀ = {#₀, Уо> го}> ferner r = r (t) die Darstellung der Kurve (C), F(x, y, z) = 0 die Gleichung der Fläche (P). Ist PPX == l, so hat man (174)

РРг = хг — r = le, wo e = {г^, г>, w} der Einheitsvektor der Richtung PPX sein soll. Da Px auf (P) liegt, so gilt wegen (174)

F (xv yv %) — F (x + lu, y + Iw, z + Iw) = 0.

Wenn die partiellen Ableitungen dF/dx, dF/dy, dF/dz, die Komponenten des Vektors grad P, im Punkte Â, stetig sind, und grad РФ 0, so hat man nach dem Taylorschen Satze

(175) F (x, y, z) + ((^ +    w + г)

1= О,

worin е-»-0 mit Р-+А. Nun ist e(gradP)^ nur Null, wenn e parallel zur Berührungsebene der Fläche in A ist. Wenn also für 0 die Richtung e des Vektors РРг nicht parallel zu dieser Berührungsebene wird, was man ja immer durch passende Zuordnung des Punktes Рг zu P erreichen kann, wird

F(x,y,z)~* 0 von derselben Ordnung wie PPV also wie (AP)n+1 wegen (173).

Nun liegt A auf der Kurve (C) und t — t₀ sei der zugehörige Parameterwert, also r₀ = r (t₀); t = t₀ + h sei der Parameterwert für den Punkt P auf (C). Dann ist F(x, У, г) = F(x(t₀ + h), y(t₀ + h), z(to + h))^0 wie (^P)M+1, also auch wie hn+1. Die Entwicklung von F nach Potenzen von h mittels der Taylorschen Formel muß also beginnen mit dem Gliede mit hn+1, also müssen die vorhergehenden Glieder verschwinden. Also ist in Richtung der Kurve

(176) F= 0, dF = 0, d*F= 0,.. ,dnF = 0, <Г⁺¹Рф 0 an der Stelle t₀.

F(x, y, z) =

49. Fortsetzung. Die Kurve (C) durchsetzt die sie von n-ter Ordnung berührende Fläche im Berührungspunkte A, wenn n gerade ist; andernfalls bleibt sie auf derselben Seite der Fläche. Das folgt unmittelbar aus der Darstellung dn+1F

dtn+1

denn wenn ein stetig und einsinnig wandernder Punkt auf der Kurve (C) den Punkt A passiert, verändert der Parameter t seinen Wert stetig von t₀ — h bis t₀ + h, d. h. h geht mit Zeichenwechsel durch Null. Also geht auch F (x, y, z) durch Null, und zwar mit oder ohne Zeichenwechsel, je nachdem n + 1 ungerade oder gerade, d. h. je nachdem n gerade oder ungerade ist.

50. Schmiegungsfläche in einem Kurvenpunkte. Die

Formeln (176) enthalten n-\-1 Bestimmungsgleichungen dafür, daß die Fläche F(x, y, z) = 0 im Punkte А = (ж₀, y₀, z₀) mit der Kurve r = r (t) eine Berührung w-ter Ordnung besitzt.

Es sei F(x, y, z; pv p₂,... Pn+1) eine Flächenschar mit n + 1 Parametern pv ... p . Wenn es möglich ist, die Werte dieser n + 1 Parameter aus den eben genannten n + 1 Bedingungen für die Berührung n-ter Ordnung zwischen Fläche und Kurve zu bestimmen, so ergibt sich die Schmiegungsfläche der Kurve aus der Flächenschar.

Dieselbe Fläche aus dieser Schar erhält man, wenn man die Parameterwerte von pvp₂ - • • Vn+X dadurch bestimmt, daß man die Fläche außer durch A noch durch n andere Punkte Av A₂,. . . An der Kurve (C) gehen und dann diese sämtlich unbegrenzt sich dem Punkte A nähern läßt. Denn wenn t₀, tv t₂- • -tn die Werte von t für die Punkte A, Av A₂,. . . An sind, und wenn man

F(x(t),y(0,2(0; vvvv • • • vn+1) = Ф(0

setzt, so lauten die Bedingungen dafür, daß diese Punkte auf einer Fläche dieser Schar liegen:

0(to) = 0, Ф(У = 0, Ф(t₂) = 0,... 0(tn) = 0. Nach dem Satz von Bolle müssen auch die Gleichungen gelten:

Ф' (r) = О, Ф' (Tl) = О, Ф' (r₂) = 0,. . . Ф' (rn—x) = 0, wo г, r1? r₂,. . . rw_i geeignete Zwischenwerte zwischen t₀, tv t₂,... tn sind. Durch wiederholte Anwendung dieser Überlegungen ergeben sich die Gleichungen

Ф" (#) = О, Ф" (#x) = 0,... Ф" (ên_₂) = 0,

Ф(и)(|) = 0,

wo #,    ... I ebenfalls solche Zwischenwerte

bedeuten. Für    t₂->t₀,... tn-+t₀ konvergieren aber

sämtliche Zwischenwerte ebenfalls nach t₀, also bleiben die Gleichungen

(177) Ф (t₀) = О, Ф ’ (<₀) = 0,... Ф(ге) (<₀) = 0, die mit (176) übereinstimmen, womit die Behauptung bewiesen ist.

51. Erstes Beispiel: Schmiegungsebene. Die Ebene 2tr + D = Ax + By + Cz + D = 0

enthält drei wesentliche Parameter, da man ja durch eine der vier Konstanten dividieren kann. Es ist0 (t) — Str (t) + D. Die Bedingungen dafür, daß die Ebene mit der Kurve r = r (t) eine Berührung zweiter Ordnung hat, sind nach (177)

2fro + £ = 0, 9lró = 0, 3tiJ' = 0.

Wenn

(178) ist, wird

daher

D = — А(Го^Го),

und die Gleichung der gefundenen Schmiegungsebene lautet tróto — 4o*ö = 0,

in Übereinstimmung mit (16).

52. Zweites Beispiel: Schmiegungskugel. Eine Kugel hängt von vier Parametern ab. Die Schmiegungskugel einer

Raumkurve besitzt mit dieser also eine Berührung dritter Ordnung. Ihre Gleichung sei

Abb. 18.

(r — et)² — Й² = 0, worin a der Ortsvektor ihres Mittelpunktes M, R ihr Halbmesser ist (Abb. -%■ 18). Man nehme als Unabhängige die Bogenlänge s der Kurve und setze

so bestehen nach (177) folgende Formeln Ф{з)= (t — а)² — R² = 0 |0'(s)= (r — tt)r' = 0

(179)    i<Z>"(s)= (r — a)fcn + l=0

/(ft    \

\Ф'"(s) = (t-a) (- n-m + kxbj = 0.

Aus den drei letzten Gleichungen läßt sich der Vektor r — et, somit auch a bestimmen, und danach aus der ersten R². Man benutze das begleitende Dreibein der Kurve als Basis und setze r — et = od + ßn + yb,

so ergibt sich aus den drei Gleichungen (179) der Reihe nach ос = 0, ßk + 1 = 0,

ilk

ils

— txk²-\-ß -\-ykx = 0,

also

oc = 0, ß = — l:k,

_ l^äk

y~k²xds’

denn es muß к =(= 0 und x 4= 0 sein. Daraus folgt

(180)

r — a= —

T—I

n + Tv-

b,

und weiter

(181)

R² =

rH

dk\²

k² 1 №x² \ds)

Aus (180) ersieht man unmittelbar, daß r — a und also auch der Mittelpunkt der Schmiegungskugel in der Normalebene der Kurve gelegen ist (Abb. 18). Formel (181) wird noch etwas einfacher, wenn der Krümmungsradius q = 1 : к eingeführt wird:

(182)

53. Sphärische Kurven. Im allgemeinen sind der Mittelpunkt und der Halbmesser der Schmiegungskugel längs der Kurve veränderlich, d. h. а und R sind Funktionen von s. Wenn alle Schmiegungskugeln denselben Mittelpunkt haben, ist dajds = 0. Aus (180) folgt

а = r +    +

1 dq к ds

b,

ds

Andererseits folgt aus (182) d(R²) __ 2 dq ds к ds

Daraus ergibt sich: Wenn da/ds = 0 ist, d. h. wenn

dl 1 dq\ ds\x ds)

(183)

= 0

ist, so verschwindet auch d{R²)/ds, d. h. wenn alle Schmiegungskugeln konzentrisch sind, so haben sie denselben Halbmesser, sie fallen also zusammen; die Kurve liegt mit allen ihren Punkten auf einer Kugel (sphärische Kurven). Die Gleichung (183) ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür.

Der Badius der Schmiegungskugel kann aber auch konstant sein, ohne daß da/ds verschwindet, nämlich wenn dq/ds = 0 ist, d. h. wenn die Kurve konstante Krümmung hat. In diesem Falle ist (184)

daher

da

(I-4A

\x dsl

dn dg

= t + Q , + rt Ą--

as as

1 dq db x ds ds

und wenn man die Frenetschen Formeln benutzt,

ds

b,

da

a=l + qn,

d. h. der Mittelpunkt der Schmiegungskugel liegt auf der Hauptnormalen im festen Abstand q = ^. Ein Beispiel dafür

П/

ist die gewöhnliche Schraubenlinie, was der Leser prüfen möge. Ein Vergleich zwischen (184) und (28) zeigt, daß für die Kurven unveränderlicher Krümmung о = ist, d. h. Mittelpunkt der Schmiegungskugel und Krümmungsmittelpunkt zusammenfallen, oder daß der Krümmungskreis ein Großkreis der Schmiegungskugel ist.

54. Berührung n-ter Ordnung zwischen zwei Rauin-kurven. Zwei Kurven (C) und (Cx) haben in einem gemeinsamen Punkte A eine Be- . rührung n-ter Ordnung, wenn sich zu jedem Punkte P auf (C), der hinreichend nahe an A Hegt, ein Punkt (CJ P± auf (C^) so zuordnen läßt, daß für P^A der Quotient

ЛГ/

Abb. 19.

(185) PP₁ : (AP)n+1 einem von Null verschiedenen Grenzwert zustrebt (Abb. 19).

Es sei O A = r₀ = {ж₀, y₀, z₀}, OP = r = {x, y, z}, OPx = xx = {xv yv %}, ferner r = r (t) die Darstellung der Kurve (0), während die Kurve (C₁) als Schnitt zweier Flächen F (ж, y, z) = 0 und G (ж, y, z) = 0 gegeben sei. Ist РРг = l, so hat man

PPX = x₁ — x = le,

wo e = {u, v, w} der Einheitsvektor der Richtung von PP± ist. Da Рг auf (C₁) liegt, hat man

F (xv yv Zi) = 0 und G(x₁,y₁,z₁) = 0

oder

F (x -\- ul, y vh zJr wl) == 0, G (ж + ul, y + vl, z + wl) = 0, oder nach dem Taylorschen Satze, falls grad F und grad G im Punkte A stetig und 4= 0 sind,

F{x, у, z) + (e(gradF)j. + e) I = О G (x, у, z) + (e (grad G)a + Ç) I = О, wo £-> 0 und £-* 0 für Р-> A. Man kann es immer einrichten, daß e nicht parallel zur Tangente der Kurve (C-Q in A ist, so daß nicht beide Größen e grad F und e grad G in A verschwinden. In diesem Falle verschwindet wenigstens eine der Größen F (ж, у, z) oder G (ж, y, z) von derselben Ordnung wie l = PPV also wegen (185) von derselben Ordnung wie APn+1, während

die andere von höherer Ordnung verschwinden kann. Ist r₀ = r (£₀), r = r (t) = r (t₀ + A), so verschwindet mindestens eine der beiden Größen F (x, y, z) und G(x, y, z) wie AÄ+1, die andere kann von höherer Ordnung unendlich klein werden. Bei der Entwicklung von

F (x, y, z) = F (x (t₀ + A), y (t₀ + A), г (t₀ + A))

G (x, y, г) = G (x (t₀ + A), y (t₀ + A), 2 ft, + A)) nach Potenzen von h müssen also die Faktoren von Ji, A²,... Aw verschwinden, während der Faktor von hn+1 wenigstens in einer der beiden Entwicklungen von Null verschieden sein muß. Also ist in Richtung der Kurven für t = t₀

F = 0,    dF = 0,    d²F =

] G= 0,    dG = 0,    d²G =

...    dnF= 0,

. ..    di!¹ G — 0,

während wenigstens eines der beiden Differentiale dn+1F oder öF⁺¹G von Null verschieden ist.

Die Kurve (Сг) sei beispielsweise eine Gerade, der Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen

F (x, y,z) =    + D = 0,

G(x, y, z) = 93r + E = 0,

wo -ff- S3 sein soll. Wenn sich die Kurve (C) und die Gerade (Gj) von %-ter Ordnung berühren sollen, muß nach (186)

Шх = о,    ад²г = о,...    ад”г = о,

Шг = О,    Ш²г = 0,...    = О

sein, während Ши+1г oder 35(Г⁺¹г von Null verschieden ist. Da nun % nicht proportional zu S3 ist, so folgt daraus [dvfi] = [d²u\] = • • • = \tf~\dnx] = 0.

Das sind die Bedingungen dafür, daß eine Gerade die Kurve von n-ter Ordnung 2) berührt. Ist die Berührung von erster Ordnung, so bestehen nur die Gleichungen Шх = 0 und Шх = 0,

woraus folgt

[Ш] = Mi.

[2Щ] hat aber die Richtung der Schnittgeraden beider Ebenen. Diese ist also parallel zum Vektor dx, wie es sein muß.

55.    Schmiegungskurve in einem Punkte einer gegebenen Raumkurve. Die Formeln (186) enthalten 2n + 2 Bedingungsgleichungen dafür, daß zwei Raumkurven sich in einem gemeinsamen Punkte A von n-ter Ordnung berühren. Es sei nun eine Raumkurve ((7) gegeben, während die andere (Cx) einer Schar angehört, die von 2n + 2 Parametern pv p₂,. . . p2n+9 abhängt. Diese lassen sich im allgemeinen nach den Bedingungen (186) bestimmen. Die so ermittelte bestimmte Kurve heißt die Schmiegungskurve (aus der gegebenen Schar) der gegebenen Raumkurve (G) im Punkte A. Man kann wie in Nr. 50 zeigen, daß sie die Grenzlage ist, der sich eine Kurve nähert, die mit (C) außer dem Punkte A noch n andere gemeinsam hat, wenn diese sich A unbeschränkt nähern. Wir wollen uns damit begnügen, dies an zwei Beispielen durchzuführen.

56.    Schmiegungskreis. Ein Kreis im Raum hängt von sechs Parametern ab, nämlich von den drei Koordinaten des Mittelpunktes, dem Halbmesser und den zwei Konstanten, die noch die Stellung seiner Ebene bestimmen. Ist r der Radiusvektor eines beliebigen seiner Punkte, о seines Mittelpunktes, R sein Halbmesser, 21 der Stellungsvektor seiner Ebene, so hat man

(187)

(188)

F = 2t( t —ct) = 0 G = (r — a)² — Ä² = 0.

Der Schmiegungskreis an die Kurve r = r (t) wird also wegen 2n -f- 2 = 6 eine Berührung zweiter Ordnung haben. Um ihn zu bestimmen, hat man nach (186)

(189) dF = Шх = 0, d²F = ШН = 0 (190) \dß = (r — a) dx = 0, \d²G = (r — a) dH + dv¹ = 0. Aus (189) folgt 21 = Я [dxdH], also ist die Ebene des Schmiegungskreises die Schmiegungsebene (17). Die Formeln (190) lassen sich mit dx/ds = t, dH/ds² = kn auch so schreiben

1t. Rothe, Differentialgeometrie I.

(191) (r — û)t = 0, (ï — a) Änt + 1 = 0.

(r — ci) — к [In] (r — et) = kb (r — a) = 0

Setzt man г — û = ai + ßn + yb, so folgt aus (191) sofort ос = 0, und ßk = — 1, und aus (187) oder ~dt d²t _ds ds²_

auch y = 0, also r — a = —— n = — ptt,

rC

schließlich aus (188)

R² = q².

Der Schmiegungskreis hat also den Krümmungsradius als Halbmesser und sein Mittelpunkt liegt auf der Hauptnormalen. Er heißt daher auch der Krümmungskreis und stimmt mit dem in Nr. 16 erwähnten überein.

§ 9. Evolventen und Evoluten.

57. Tangentenfläche einer Raumkurve. Das ist die Fläche, die von der Menge der Tangenten einer Raumkurve

eingehüllt wird (Abb. 20). Es sei и der Parameter längs der Raumkurve (K) mit r = t (u); dagegen sei r der Ortsvektor nach einem Punkte der Tangente der Kurve, so daß

di

VT du

der Vektor vom Berührungspunkte der Kurventangente nach einem Punkte dieser Tangente selbst ist. Für dt/du = r'(^) hat man also (192)    r = r (u) + vt' (u).

Wenn и festgehalten wird, dagegen v sich ändert, so erhält man die Punkte auf einer bestimmten Tangente. Wenn dagegen v festgehalten wird und и sich ändert, erhält man eine be-

r —r =

Abb. 20.

stimmte, die Tangenten von (K) querende Kurve. Für die verschiedenen Werte von и ergeben sich die verschiedenen Tangenten, für die verschiedenen Werte von v eine Schar von Kurven, die sämtlich diese Tangenten queren.

58. Fadenevolventen (Filarevolventen). Wir suchen nun die Kurven auf der Tangentenfläche einer Kaumkurve (K), die deren Tangenten senkrecht durchschneiden. Zur Vereinfachung nehme man in (192) statt и den Parameter s der Bogenlänge der Kaumkurve (.К) und suche für v eine solche Funktion von s, daß der dann entstehende Ortsvektor f, der nun nur noch von s abhängt, eine Kurve auf der Tangentenfläche darstellt, die die Tangenten von (К) sämtlich senkrecht durchschneidet. Der Tangentenvektor der gesuchten Kurve ist parallel zu

dx

dv

-r=x\s) + vt"(s) + -i\s)

ds

ds

und steht dann senkrecht auf den Tangenten von (K), wenn

i^=°

ist, d. h. wenn

r'² + vt't" + Fr'² = 0

ist. Wegen r'² = 1, r'r" = 0 entsteht daraus 1 + F = 0

oder integriert

V — s₀ s,

mit s₀ als Integrationskonstante. Das ergibt als Schar der senkrechten Schnittkurven der Tangente

(193)

r = r(s)+ (s₀ — s) i'(s).

Sie werden Fadenevolventen (Monge) der gegebenen Kurve (.K) mit t = r (s) genannt. Offensichtlich entstehen sie auch, wenn eine starre Gerade (g) auf (K) ohne zu gleiten, so abrollt, daß sie dabei stets Tangente von (К) bleibt; jeder Punkt von (g) beschreibt dabei eine Fadenevolvente von (К).

kb — xt

Die Tangenten der Fadenevolventen sind also den entsprechenden Hauptnormalen der ursprünglichen Kurve parallel. Es macht keine Schwierigkeit, aus (193) die übrigen Vektoren des begleitenden Dreibeins sowie Krümmung und Windung der Fadenevolvente zu berechnen. Die Ergebnisse sind Id + xb

Ł- g

Hs-s,)’

-f )

G² (s — s₀) ds \ Г

mit G als ganzer Krümmung, was der Leser beweisen möge.

x — ocx -p ßn -f- yb,

Aus (193) folgt

(194)

dx = (s₀ — s)x" (s)ds, also, wenn man das positive Zeichen bevorzugt, (195)

daher

ds = I s₀ — s I • I x" (s) I ds,

(196)

dx

t"(«)

ds

|t"WI

59. Fadenevoluten. Die Formel (193) gibt die Lösung der Aufgabe, zu einer gegebenen Kurve die Fadenevolventen zu bestimmen. Nun sei die umgekehrte Aufgabe vorgelegt, zu einer gegebenen Kurve die zugehörigen Fadenevoluten zu bestimmen, d. h. Kurven, die die gegebene als eine ihrer Fadenevolventen haben. In der Formel (193) ist also jetzt r der gegebene, r der gesuchte Ortsvektor, und s sei ein solcher Parameter, daß r' (i)² = 1 wird. Um r zu bestimmen, benutze man r, n, b als Basis, was immer möglich ist, außer wenn r² = const, d. h. wenn die Kurve auf einer Kugel um О als Mittelpunkt gelegen ist. Man braucht aber dann diesen Ursprung nur etwas zu verschieben. Man setze also (197)

wobei sich aus (193) sofort ос = 1 ergibt. Daraus folgt, mit s als unabhängiger Veränderlichen,

(199)

und aus den beiden letzten

Aus der ersten Gleichung ergibt sich ß = l:k,

dy

oder

Durch Integration folgt hieraus

arctg - = J x d$ + const, und daraus weiter wegen (199)

у = — ctg (f к ds + const).

(200)

Aus (197) erhält man als Ergebnis

(201) r = r + —n+- ctg ( f и ds + const) b kk

di dï du dß db dy Ts ⁼ ds ⁺ * ß ⁺ dlU + ⁷ <5 ⁺ dTsb ’

oder wenn man die Frenetschen Formeln auf der rechten Seite anwendet :

⁽¹⁹⁸⁾ ! = (!-Wt + (fs~V>C)n+^i + ßx)b-

Nun ist aber wegen (195) di/ds proportional zu di/ds = r' (s), und dieses nach (193) proportional zu r — r, also zu ßn + yb. In (198) muß also sein:

l — ßk = 0,

ds

— у к = Xß,

dy

ds

+ ßx = Xy.

wodurch die gesuchte Fadenevolute, durch den Parameter ś der Bogenlänge der Evolvente dargestellt, gegeben ist. Wegen der Integrationskonstanten handelt es sich um eine Schar von oo¹ Kurven.

r = r +

Aus (201) kann man insbesondere schließen, daß für eine ebene Fadenevolvente die zugehörige Evolutenschar, wo ja к = 0 ist,

(202)

r-i 1^

er

lautet und für C = 0, und nur dann selbst eine ebene Kurve ergibt, die Evolute der gegebenen Evolvente.

60. Planevolventen. Die Kurven, die die Schmiegungsebenen einer Kurve (K) senkrecht durchsetzen, heißen Planevolventen der gegebenen Planevolute (.К). Es sei r der Ortsvektor nach einem Punkte der Planevolvente, so liegt der Vektor r — r in der Schmiegungsebene, und der tangential gerichtete Vektor dx/ds, wo aber s die Bogenlänge von (.К) bedeuten soll, steht senkrecht auf ihr, also ist

r — r = oct + ßn,

dx л dx = 0,    n — = 0.

(203)

fis

ils

(204)

dx

ßkj t +    + ockj n + ßxb,

Aus (203) folgt aber unter Benutzung der Frenetschen Formeln

doc

ds

ds

und daraus ergeben sich mittels (204) zwei gekoppelte Differentialgleichungen zur Bestimmung der skalaren Faktoren oc imdß:

doc

äs-P^-¹'

dß

ds

+ ock = 0.

Man kann sie weiter in eine Gleichung verknüpfen:

— (л: + iß) + ik (oc + iß) + 1 = 0,

deren Lösung sich leicht ergibt:

oc + iß = — e~iS (f eis ds + c),

wo c = a + ib eine komplexe Integrationskonstante bedeutet und zur Abkürzung

(206)

j к ds = S

gesetzt worden ist. Trennt man in (205) Reelles und Imaginäres und setzt die gefundenen Werte in (203) ein, so ergibt sich nach leichter Rechnung

(207) r—r = —(cos8(f cos 8 ds + a) + sin 8(f sin#ds-\-b))t + (sin S(f cos S ds + a) — cos S (f sin 8 ds + 6))tt. Hierin kommen zwei Integrationskonstanten vor, also gibt es zu jeder Kurve (K) oo²-Planevolventen.

Man kann beweisen, daß alle diese Planevolventen mitsamt der Kurve (К) denselben geometrischen Ort der Mittelpunkte ihrer Schmiegungskugeln haben, was der Leser zur . Übung zeigen möge. Daraus folgt übrigens, daß alle diese Kurven abstandsgleich zueinander verlaufen.

(208)

61. Bertrandsche Kurven. Es gibt Paare von Kurven mit gemeinsamen Hauptnormalen. Um das zu zeigen, sei r(s) die Darstellung der einen Kurve (K) mit s als Parameter der Bogenlänge von (К) und r(s) die der anderen Kurve (K). Da sie dieselbe Hauptnormale haben sollen, muß r — r = An

sein, wo Я = A (s) einen skalaren Faktor bedeutet. Aus (208) folgt

di

du dX

---1 = Л -—f-

ds

,    , ■ y-tt

ds ds

du

oder mit Benutzung der Hauptgleichung (II) — = xb — kt:

ds

di

dX

(209)

Die linke Seite ist parallel zur Tangente der Kurve (K), und da diese ebenfalls n als Hauptnormalenvektor hat, so muß das

— — (1 — Xk) t + — rt + Xxh.

ds

ds

skalare Produkt mit n verschwinden, also folgt — = 0, d. h. X = const.

(210)

ds

Ist nun s die Bogenlänge der Kurve (K), so ist dx/ds = t ds/ds. Wegen In = 0 und I² = 1 ist aber

I = cos (pt + sin cpb zu setzen. Leitet man nach der Bogenlänge ab und benutzt die Hauptgleichungen, und zwar für beide Kurven (К) und (K), so erhält man weiter _ fis

к — n — (k cos cp — к sin (p) n — (sin (pi — cos cp b)

Weil aber t, n, b nicht komplanar sind, müssen die Faktoren von t, n, b einzeln verschwinden.

Das ergibt

(211)

d(p

ds '

= к cos cp — к sin cp

und

ds

der Winkel <p ist also konstant. Aus (209) folgt aber wegen (210) und (211)

(212)

ds

(cos (p t + sin cp b) — = (1 — Xk) t + Я xb,

ds

mithin

ds

cos (p — = 1 — Xk,

(213)

ds

sin w — = Xx, ds

und daraus unter Wegschaffen von ds/ds Xk + X cotg cpx = 1.

In Hinblick auf (210) und (212) kann man das Ergebnis in der Form

(214)

(215)

schreiben, wo X und [л = X cotg у zwei willkürliche Konstanten bedeuten. Kurven, bei denen zwischen Krümmung und Windung eine lineare natürliche Gleichung (vgl. Nr. 37) besteht, werden Bertrands che Kurven genannt.

Kennt man umgekehrt eine Bertrandsche Kurve (K), so kann man dazu nach (208) eine zweite Kurve (К) bestimmen, die dieselben Hauptnormalen hat. Natürlich ist auch (K) eine Bertrandsche Kurve.

62. Formel von Schell. Wir wollen noch eine von Schell gefundene Formel zwischen den Windungen von (К) und (K) herleiten. Aus (211) folgt durch vektorische Multiplikation mit n = rt

(216)

b = — sin yi + cos у b, und daraus durch Ableiten nach s und Benutzung der Hauptgleichungen

ds

xn-= (x cos у + к sin y) n,

also

(217)

X y = X cos y + k sin у.

CIS

Entnimmt man nun aus der zweiten Gleichung (213) den Wert von ds/ds und aus (214) den Wert von к, so heben sich auf der rechten Seite von (217) die Glieder mit x heraus, und man erhält

(218)

XX

sin ²y

rH

X² + /г²

Das Produkt der Windungen zweier Kurven eines Bertrand-schen Paares ist also konstant. Das ist die Formel von Schell.

X²

§ 10. Minimalkuryen.

63. Minimalpunkte und Minimalkuryen erster und zweiter Art. Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich auf solche Kurvenstücke, die ausnahmslos aus regulären Punkten bestehen. Insbesondere waren die Punkte, für die (219) dx² = 0, dx 4= 0 oder für die (dH)² = 0, dH Ф 0 war, von der Betrachtung auszuschließen. Solche Kurvenpunkte heißen Minimalpunkte erster oder zweiter Art, weil dx oder dH an ihnen Minimalvektoren sind.

Minimalkurven (isotrope Kurven) erster oder zweiter Art sind solche Kurven, deren sämtliche Punkte Minimalpunkte sind. Längs der Minimalkurven erster Art verliert der Parameter der Bogenlänge und damit der Begriff des Tangenteneinheitsvektors seine Bedeutung, und für die Minimalkurven zweiter Art ist dies der Fall für die Windung (vgl. die Formeln Nr. 21). Die Minimalkurven erster Art heißen wegen dx² = ds² = 0 auch ,,Linien der Länge Null“, auch „ametrische Kurven“.

64. Gemeinsame Bedingung für Minimalkurven. Aus (219) folgt, daß die Bedingung

[dxd²xf = 0, [dxdH] ф 0

(220)

sowohl für Minimalkurven erster, als auch zweiter Art erfüllt ist. Denn es ist

(221)

[dxdH]² = dx²(dHf — (dxdH)² = 0 und aus (dx)² = 0 folgt ja dxdH == 0. Andererseits folgt aus (220) entweder dx² = 0, ^гф 0, oder (dH)² = 0, dH Ф 0. Denn aus (221) folgt wegen dxdH = 0 auch dx²(dH)² = 0, wonach die Behauptung richtig ist.

Die Bedingung (220) ist also für Minimalkurven erster Art und für solche zweiter Art und nur für Minimalkurven erfüllt.

65. Lehrsatz. Die Minimalkurven zweiter Art sind übereinstimmend mit den gekrümmten (к Ф 0) Kurven in Minimalebenen.

№= [r'r"],

Beweis: Zunächst können die Minimalkurven zweiter Art keine Geraden sein. Denn es ist ja dH Ф 0, während für eine Gerade dH = 0 sein müßte. Setzt man nun (222)

so ist ЭЛ wegen (220) ein Minimalvektor, äft² = 0. Mithin ist ДО=0, ш = Шх" = 0.

Durch Differentiation folgt weiter

ШШ' = 0 Wt' = 0;

Daher kann man

W = [rY"] - Я Pr']

setzen, und es wird

Wx" = — rYY" = Ж[ r'r"] = Ж*= 0, also rYY" = 0. Nach Nr. 13 ist also die betrachtete Minimal

kurve eben. Um zu beweisen, daß die jeweilige Ebene, in der sie liegt, eine Minimalebene ist, braucht man nur wie in Nr. 13 zu verfahren. Aus rYY" = 0 folgt, daß es einen den Gleichun

gen

(223)

(224)

genügenden Vektor gibt (Ж Ф 0), so daß * = /4rY']

ist, und überdies wegen 3SY=0,    $ß'i" = 0, also

S3' = /4tY'] die Differentialgleichung »' = v%

besteht, wo /и, v Skalare bedeuten. Die Integration liefert æ = 9tefrdt.

(225)

Wegen (222) und (224) ist aber $8, also auch % ein Minimalvektor, und zwar dieser ein konstanter. Durch Integration der ersten Gleichung (223) oder Ш' = 0 erfolgt

Яг+Z)=0,

(226)

wo D eine skalare Konstante ist. Das ist aber eine Minimal-ebene, in der die Minimalkurve zweiter Art gelegen ist.

Man muß noch zeigen, daß umgekehrt alle krummen Linien in Minimalebenen Minimalkurven zweiter Art sind.

(227)

In der Tat : Stellt (226) eine Minimalebene dar, so ist Я² = 0, aber % ф 0. Wegen der Konstanz von Я folgt aber weiter Яг' = 0, 2Ir" = 0 ,

also

Я= A[rY'],

mithin wegen АфО:

[r'r"J² - 0.

Also ist nach (220) die Kurve eine Minimalkurve. Erster Art kann sie aber nicht sein, dann wäre t'l" = 0, also wegen 9lt' = 0 gewiß r' = [M (nach Satz 3 in Nr. 5), so wäre r — r₀ = 9X f fi dt,

also die Kurve eine Minimalgerade, also nicht krumm.

66. Parameterdarstellung der Minimalkurven erster Art. Da für diese Kurven dx ein Minimalvektor ist, kann man ihn nach Nr. 5, Satz 2, in der Form dx = dz [i cos #, i sin #,1}

darstellen, worin # eine komplexe Funktion von 2 bedeutet. Durch Integration erhält man

(228) r — r₀ = {г f cos & dz, if sin â dz, z — 2₀|.

Hierin ist z der Parameter. Führt man einen anderen A ein, indem man setzt

z — Zq = f AF (A) dA, also dz = AF (A) dA und nimmt ferner iA = é\

so wird

1 —A²

cos fi —

und (228) geht damit in

sin & —

1 +A²

~2Ä

TH Icq

(1 —A²)F(A) dA,

jf(l + P)F(k)dX, JlF(k)dX)

über. Das sind die von Enneper und von Weierstraß entdeckten Formeln ; hierin bedeutet F (A) eine integrable, sonst aber willkürliche Funktion (Ф 0) ihres Argumentes. Die Integration ist in allen drei Integralen auf einem beliebigen, wenn auch demselben Wege der komplexen А-Ebene zu erstrecken.

(229) r-r₀ =

Führt man eine analytische Funktion

/(A)= fffFß)dV

ein, für die /"' (A) = F(X) .=f= 0 ist, so geht die Formel (229) in die ebenfalls auf Weierstraß zurückzuführende integrallose Form über:

X— Xq =

(230)

У

— 2/o =

DOi «s>. DO ^

(1-A²)/"(A) + A/'(A)-/(A)

(1 +A*)/"(A)-iA/'(A) + i/(A)

= яга)-/'(А).

Beispiel: /(А) = A³; /"'(Я) = 6ф0. Man erhält aus (230) ' X — x₀ = ЗА— A3 У — Уо = »(3 A +A³)

0 — z₀ = ЗА².

Die Elimination von A liefert

(231)

27(X — æ₀)² = (z — г₀) (9 — (г — z₀))2 — 21 {у — t/o)² = (г — г₀) (9 + (г — г₀))².

Von den beiden Flächen, auf denen diese Minimalkurve liegt, ist stets eine imaginär. Aus (231) überzeugt man sich sehr leicht, daß tatsächlich

ist.

äs² = dx² + dy² + dz² = 0

67. Einführung eines invarianten Parameters. Wir

leiten zunächst einige Identitäten für Minimalkurven erster Art her. Es sei t irgendein Parameter. Aus l'(t)² = 0

folgt

(232)

r'r" = 0,    r'r"' + r"² = 0.

Ist b 4= 0 ein beliebiger Vektor, so gilt also t'² t'x" Ï Ü (233) (rY'ti)² = t'Y t"² t"b bt' br" b2 und im besonderen für b = t'"

0 0 r'b

0 r"²t"b = — (r'b)²t"², bt'bt" b²

(234) (r'r"r"J = — (rY")²r"² - — t"⁶ = — (r"²)³. Wenn man in (233) beiderseits einen bestimmten Wert der Quadratwurzel wählt, so erhält man

[r'r"] 0 = (ï'b) /-T⁷*

oder

([r'r"] — r' ]/ — r"²)b = 0.

Da nun diese Gleichung für jeden beliebigen Vektor t) gilt, so muß notwendigerweise (235)

[r'r"] = r' 1/ — r"²

Da aber r' und nach (220) auch [r'r"] ein Minimalvektor, also Ф 0 ist, so kann r"² nicht verschwinden, also ist jedenfalls i" kein Minimalvektor.

Nun führe man nach Study einen neuen Parameter p ein, indem man t = cp (p) setzt, wo cp eine analytische Funktion ihres komplexen Argumentes sein soll. Dann wird

dt , dH

p ⁺*?f•

sein.

di

r" =

mithin

dp

dx

dpV

= t"2_2r ”-tp" +

V

weil ja r'² = 0 ist. Man wähle jetzt den neuen Parameter p so,

p"² = r"²,

daß

UH\²

Xdpv

wird. Dann muß p'⁴ = — t"² oder

(237)

V = J\/-X"²dt

(238)

genommen werden, wobei es auf die Integrationskonstante nicht ankommt. Übrigens läßt sich p wirklich als Parameter benutzen, weil wegen (235) r"² =j= 0 sein muß.

Jetzt gelten folgende Formeln:

dxY = 0 dx dH = 0 Лр) ’ dp dp2 dx dH dp dp³

dH А

'A\²

= -l,

(239)

= + 1»

dH dH

ф²

= 0,

di dH

_/ft\

xdpp/'dpdp*

Ferner ergibt sich aus (233) wegen (237) dx dH di

dp dp² ^    ~ dp ^ ’

woraus wie oben wegen der Willkürlichkeit von t) \di dH'

[dp dp²_

und daher weiter wegen (239) di dH dH

dp² dp⁴

(240)

di

dp

(241)

dp dp² Ą?³

folgt.

Nach den Betrachtungen in Nr. 32 u. f. ist es einleuchtend, daß nach (238) p eine Integralinvariante der Parameterdarstellung und der Bewegung, also eine Fundamentalinvariante ist. Dasselbe gilt von der Differentialinvariante dhdh_ UHV dp² dp* \dpV die von dritter Ordnung ist. Es werde 14= 0 angenommen.

Wie die Gleichung (241) zeigt, bilden die darin vorkommenden drei Vektoren eine Basis. Aber sie sind weder normiert, noch orthogonal. Das wird man auch nicht verlangen können,

(242)

di

denn der erste, —, ist ein Minimalvektor. Um eine Nor-dp

mierung möglichst zu erwirken, setze man

dx

dh

1 dH

(243)    $==-, W=i—,    93 = — — .

J!l df

dp

dp²

Dann ist wegen (239)

2? = о,    9i² = i,    æ² = i,

(244) £9î = o,    m = o,    ж = -i

yr

zm = ±

Aus (243) ergibt sieh sofort (245)

dZ

dp

= -Ш,

(246)

Um noch dVß/dp zu berechnen, setze man dï8/dp = oc% + ßftl + yS3. Nun ist

dï8 1 dl dH 1 dH dp    2]/P dp dp³ J/7 dp*

ftft_ 1 dl dp³ dp* 2 dp ’

andererseits nach (239) di dH _

dp dp⁴

damit erhält man schließlich 1 dl

(X = —t= — ,

2j/Z#

so daß die gesuchte Formel lautet:

1 d/

1 dl

21 dp

(247)

dS8

z-iym-

dp 2 yi dp

Bei Minimalkurven erster Art entsprechen die Formeln (245), (246), (247) den Frenetschen Formeln. Die einzige darin auf tretende skalare Fundamentalinvariante ist 1.

21 dp

Man zeigt durch dieselben Schlüsse wie in Nr. 39, daß wenn 1 = Ф{р)

gegeben ist, hierdurch die Kurve bis auf eine Bewegung im Raume bestimmt ist.

68. Parameterdarstellung einer Raumkurve mit integralloser Bestimmung der Bogenlänge. Die Gleichung (10) dx² + dy² + dz² = ds2 läßt sich in folgender Form schreiben:

(dx + idy)(dx — idy) = (ds + dz)(ds — dz).

Mithin gibt es zwei komplexe Veränderliche u,v der Art, daß man zugleich

и (dx + idy) = ds + dz dx — idy = u(ds — dz),

(248) und entsprechend

V (dx + idy) = ds — dz dx — idy = v(ds + dz)

(249)

setzen kann.

Man betrachte nun, dem Ansätze (248) folgend, x, y, z, s als Funktionen des Parameters и und setze demnach

dx + idy = 2 (p(u)du ds — dz = (u)du,

so folgt aus (248)

dx — idy = %mp (u)du, ds + dz = 2ucp (u)du,

Durch Integration ergibt sich aus den vier vorstehenden Gleichungen leicht

x — J (q)(u) + uyj(u))du iy = J ((p (u) — mp(u))du z = J (u(p (u) — yi(u))du s = J (ucp (u) + ip(u))du,

wobei vier additiv auftretende Integrationskonstanten weggelassen worden sind. Man kann daraus eine integrallose Darstellung gewinnen, indem man.

(р(и)=Ф"(и) яр (и) = W" (и)

setzt und die Regel der unvollständigen Integration benutzt.

' X = Ф'(гг) + uW'(u) — W(u) iy = 0\u) — uW\u) + W(u) z = ггФ' (гг) —Ф (гг) — W'(и) к s = ггФ'(гг^)—Ф(гг) + ^'(гг).

Das ergibt

(250)

(Formeln von de Montcheuil, 1905).

In entsprechender Weise kann man aus (249) folgende integrallose Darstellungen ableiten:

(261)

r X = Ф' (v) + vW[(v) — ^(г;) iy = Ф{ (г;) — г;^(г;) + У^г;) z =    (v) — vO[ (v) + Фг (г;)

s = W[ (г;) + v0[ (v) — Фх(г;).

Diese Formeln unterscheiden sich von (250) nur durch das Vorzeichen in z.

69. Anwendung auf Minimalkurven erster Art. Aus

(250) folgt

ds = (ггФ" (гг) +S⁷" (и))du,

ггФ"(гг)+У/,» = 0

und das verschwindet, wenn (252)

ist. Dies ist also die notwendige und, wie man sofort sieht, auch hinreichende Bedingung dafür, daß die durch die Gleichungen (250) bestimmte Kurve eine Minimalkurve erster Art ist. Wir wollen nun zeigen, daß diese Gleichungen mit der Weierstraßschen Darstellung (230) übereinstimmen. Aus (252) folgt zunächst durch Integration, wobei die additive Integrationskonstante unterdrückt ist,

иФ' (и) —Ф (гг) = —W (гг).

Kun setze man

so wird

ф(и) =

!^(гг) = -1гг/"(гг) + 1/>),

daher, wieder mit Weglassung der additiven Integrationskonstanten,

W(u) = — I гг/' (гг) + / (гг).

Setzt man diese Werte für Ф(и) und W(u) in (250) ein, so erhält man

x — x₀ = \ (1 — u²)f" (u) + uf ('и) — f(u) *(У — Уо) = Ь (1 + “²)Г («) — uf («) + / («)

г — 2₀ = uf'(u) — /' (w) ,

und das sind die Formeln (230).

II. Anfänge der Flächentheorie. Kurven auf Flächen.

§ 1. Analytische Darstellung einer Fläche.

70. Parameterdarstellung einer Fläche. Wenn die drei rechtwinkligen cartesischen Koordinaten x, y, 0 oder, was auf dasselbe hinauskommt, der Ortsvektor r = {x, y, z] eines Punktes P im Baume Funktionen zweier voneinander unabhängiger Parameter и und v in einem gemeinsamen Definitionsbereiche (oc^ ß; y^v^ßÖ) sind, so heißt die Menge aller Punkte P mit den Koordinaten x(u, v), y(u, г>), г (и, v) oder mit dem Ortsvektor

(253)

г - r(w, v) ,

die sich ergeben, wenn и den Bereich (oc • • • ß) und v den Bereich (y • • • ö) stetig durchläuft, eine (krumme) Fläche (genauer: ein Flächenstück).

Z-Tz

Abb. 21.

Wenn v einen festen Wert beibehält und nur и sich stetig ändert, so durchläuft P eine auf der Fläche gelegene Baumkurve, eine M-Linie. Wenn für verschiedene feste Werte von v auch verschiedene ^-Linien herauskommen, so gibt es eine Schar von oo¹ ^-Linien. Entsprechend gibt es für jeden festen Wert von и bei veränderlichem v eine Schar von oo¹ ^-Linien. Wenn beide Scharen

getrennt verlaufen, bilden sie ein auf der Fläche gelegenes Kurvennetz (Abb. 21). Die analytische Bedingung für die soeben gemachten Voraussetzungen ist, daß für alle и, v in den Bereichen (oc • • • ß und (y • • • (5) die Matrixx)

Ф 0,

%u Уи Zu %v Vv Zv

oder was dasselbe besagt, daß der Vektor

(254)

ïfl] Ф b

ist. Denn andernfalls wären entweder xu = 0 oder xv — 0 oder drittens würden die drei Determinanten der Matrix, d. h. die Komponenten des Vektorproduktes, nämlich die Funktionaldeterminanten 0 (y, z)/d (u, v), 0 (z, x/d (u, v), 0 (x, yjd (u, v) zugleich verschwinden. Das würde aber bedeuten, daß die ^-Linien in eine einzige Baumkurve zusammenfallen, oder die ^-Linien, oder drittens, daß es eine Funktion t (u, v) der Art gibt, daß r (u, v) = x (t) gesetzt werden kann. In allen diesen Fällen würde sich also die Fläche auf eine Raumkurve zusammenziehen.

Wenn я, у, г eindeutige Funktionen von u, v, sind, so entspricht jedem Wertepaare u, v genau ein Punkt P der Fläche ; и und v heißen die krummlinigen Koordinaten von P. Wenn für das Netz u, v die Bedingung (254) in P erfüllt ist, heißt P ein regulärer, andernfalls ein singulärer Punkt dieses Netzes. Singuläre Punkte sollen nur vereinzelt oder längs einzelner Kurven auftreten.

z=f(x,y).

Wenn (254) erfüllt ist, also etwa d(x, y)/d(u,v) Ф 0 ist, so lassen die Gleichungen x = x (и, v), у = у (и, v) eine Auflösung zu : и = u(x, y), v = v (x, y). Setzt man dies in z— z(u, v) ein, so erhält man die Flächendarstellung

(255)

Diese ist natürlich in (253) als Sonderfall für и = x, v = у enthalten. Eine Verallgemeinerung von (255) ist die unent-

x) Unter xu soll die partielle Ableitung dxjöu verstanden werden.

wickelte Darstellung

(256)

F{x, y,z) = 0.

71. Wechsel der Parameter. An Stelle der Parameter

r\ — rj(u, г;)

и, V mögen andere f, rj durch die Gleichungen

(257)

eingeführt werden. Dann ist

mithin

Vu — Vç£u~\~ Vf] 'Ци Vv — Vç 4“ VfjTjv,

(258)

Э (гг, v)

Aus (254) folgt aber, daß sowohl [r^ xv] =f= 0, als auch

(259)

Ф0

W>rj)

Э (гг, v)

sein muß. Dies ist aber die Bedingung dafür, daß sich die Gleichungen (257) umkehren lassen:

u = n(f, rj), v = v(S, rj),

und daß auch (£, rj) ein Kurvennetz auf der Fläche bilden. Wenn insbesondere

rj = rj{v)

ist, so stimmt das Netz (|, rj) als Ganzes mit dem Netze (гг, v) als Ganzem überein, nur die Bezifferung der einzelnen Kurven innerhalb der beiden Scharen ist geändert worden. In den folgenden Nummern 72 bis 79 werden einige Beispiele von Flächen besprochen.

72. Kugel, bezogen auf Breitenkreise und Meridiane:

(260) r = a{cos и cos v, cos и sin v, sin гг}, а > 0.

Wegen

r² = а² (cos² и (cos² v + sin² г;) + sin² гг) = а², also |r| = a, ist die Fläche eine Kugel vom Halbmesser a, deren Mittelpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt. Für jeden festen Wert von гг hat auch z = a sin гг einen festen Wert. Daher sind die Kurven гг = const, oder die v-Linien, die

Sclmittkurven der Kugel mit den Ebenen г = const, also die Breitenkreise der Kugel, и selbst ist der Winkel, den der Kugelradius nach einem Punkte des betreffenden Breitenkreises mit der Ebene des Äquators (u = 0) einschließt. Aus X — a cos и cos v, y = a cos и sin v folgt у = tg v • x. Daher sind die Kurven v = const, oder die w-Linien, die Schnittkurven der Kugel mit den Ebenen des Büschels, das die z-Achse zur Büschelachse hat, also die Meridiane der Kugel, v selbst ist der Winkel, den die betreffende Meridianebene mit der Ebene у = 0 einschließt, и ist die geographische Breite, v die geographische Länge. Das Netz (u, v) ist das der Breitenkreise und Meridiane, wie es auf dem Globus sichtbar ist. Nun ist

xu = a{— sin и cos v, — sin и sin v, cos u}, r„ = a{— cos и sin v, cos и cos v, 0 }.

Danach wird

[rw Гг,] = a²{— cos и cos v, — cos и sin v, — sin и} cos и, und das verschwindet dann und nur dann, wenn cos и = 0, also и = ^ \n ist. Das ergibt die beiden Pole. Diese sind also singuläre Punkte des Netzes (u, v) der Breitenkreise und Meridiane. Man bemerke, daß sich die Fläche selbst auch an diesen Stellen geometrisch durchaus regulär verhält.

73. Kugel, bezogen auf die erzeugenden Geraden.

Es sei

(261)

_ S + rj X~Çrj + 1 è — rj

iЦ + 1

Schafft man daraus £ und rj weg, so ergibt eine leichte Bech-nung

Æ² + У² + & = 1-

Die Fläche ist also die Einheitskugel um den Ursprung. Um die geometrische Bedeutung des Netzes (f, rj) zu bestimmen, berechne man

x + iy =

èr) +1 ’

woraus folgt

x — iy =

h) +• 1 ’

1 _L_

1 + z =--------

&I + 1

2

£»? + 1 ’

1 + z = i(x — iy),

x — iy = ^(l — z)

у (* + *y).

* + ty= — (1 + г).

>1

Für I = const liefert die erste Zeile zwei komplexe Ebenen, die sich längs einer komplexen Geraden schneiden. Dasselbe gilt für rj = const für die zweite Zeile. Das Netz besteht also aus zwei oo¹ Scharen komplexer Geraden. Diese Geraden sind aber Minimalgeraden. Um das zu zeigen, berechne man die Stellungsvektoren ^ und 3l₂ der beiden komplexen Ebenen der ersten Zeile; man findet

-t£, -1},

= {y j, +l}-

Übrigens ist Щ = 1, Щ = 1,    = 1. Die Schnittgerade

der beiden Ebenen ist eine Gerade der Schar f = const und steht auf und auf senkrecht, ist also parallel zum Vektor №$₂]- Es ist aber

[ВД={г(у-|),

daher

[ад² = о,

also ist [51x312] е^п Minimalvektor, also die Schnittgerade eine Minimalgerade. Ebenso zeigt man, daß die Geraden rj = const Minimalgeraden sind. Auf der Kugel sind also zwei Scharen von Minimalgeraden gelegen. Sie heißen die geradlinigen Erzeugenden der Kugel.

Aus (261) ergibt sich

rf = Щ ^ ₁₎₂ i¹    1 + If), 2f]},

(Й7 + 1)

r₄ =

das sind die Tangentenvektoren der f-Linien und der ^-Linien. Man überzeugt sich leicht, daß es Minimalvektoren sind, wie es nach den vorhergehenden Überlegungen auch sein muß. Der Vektor

{—(£ + »7), »(£ — »?), 1—1»?}

(Sri + 1)

Ui*₄] =

kann für kein Wertepaar f, rj verschwinden. Daher hat das Netz (£, rj) keinen singulären Punkt.

In welcher Beziehung steht das Netz (|, rj) der Minimalgeraden zu dem in Nr. 72 betrachteten Netze (u, v) der Breitenkreise und Meridiane? Man setze den Kugelhalbmesser a = 1 und betrachte auf der Kugel den Punkt mit den geographischen Koordinaten u, v. Er habe im Netz (£, rf) die krummlinigen Koordinaten Dann ist nach (260) und (261)

x + Щ = cos и eiv =

2£

£y +1

x—iy = cos и e~iv —    ^

£y + 1

£*7 + 1

1 + 2=1 + sin и =

£*7 +1 ’

woraus sich ergibt

(262)

tO| bO\ g

eiv

v = *s(j- )

—IV

Da и, V reelle Winkel darstellen, so ersieht man, daß J und rj konjugiert komplexe Veränderliche sind.

74. Schraubenfläche. Es sei

(263)

Г = {u cos V, u sin V, cv}.

Für jeden festen Wert von и ergibt sich nach Nr. 1 eine Schraubenlinie von der Ganghöhe h — 2лс. Für jeden festen Wert von V ist r eine lineare Funktion von u, also die Kurve eine Gerade, die, weil г = cv konstant ist, parallel zur xy-Ebene verläuft und für и = 0 die г-Achse schneidet. Die betrachtete Fläche enthält also ein Kurvennetz, das aus einer Schar von Geraden (^-Linien) und einer Schar von Schraubenlinien mit der г-Achse als

gemeinsamer Achse und derselben Ganghöhe (v-Linien) besteht. Es ist ^ [xu rv] = {c sin V, — c cos V, u} stets von Null verschieden.

Durch Wegschaffen von и und v erhält man leicht

z = c arctg у/x

Abb. 22.

als Gleichung der Schraubenfläche (Abb. 22).

75. Ebene in schiefwinkligen cartesischen Koordi

naten.

(264)

wo 5t, 93, Ê konstante Vektoren bedeuten, von denen 5t -[f 93 sein soll, stellt eine Ebene dar. Denn es ist 5t93r = 5193®,

und das ist die Gleichung einer Ebene mit dem Stellu ngs-

vektor [ШЗ] Ф 0. Da r in bezug auf и und v linear ist, bilden die Kurven и = const und v = const ein Netz von zwei Scharen gerader Linien, die je untereinander parallel sind, nämlich die ^-Linien parallel zum Vektor 91, die v-Linien parallel zu 93. Wenn 9t und 93 keine Minimalvektoren sind, so wird der Winkel со (0 < со < тс), unter dem sich die beiden Geradenscharen schneiden, durch

|ИМ»1

cos со =

bestimmt. Wegen

[r«rj = m+o

enthält das Netz keine singulären Punkte (Abb. 23).

///// / / / / / / / /

/ / / / /

/ / / Z Z iZ /

/ / 7 / / 7 /

Abb. 23.

Abb. 24.

76. Drehfläche, bezogen auf Breitenkreise und Meridiane. Die 0-Achse sei die Drehachse, и der Abstand eines Flächenpunktes von der Drehachse. Der durch diesen Punkt gehende Meridian, durch dessen Umdrehung die Fläche erzeugt wird, sei durch 0 = f(u) bestimmt. (Abb. 24.) Bezeichnet man mit v den von einer bestimmten Meridianebene, der æz-Ebene, aus gerechneten Drehwinkel — der Drehungssinn ist so gewählt, daß zusammen mit der positiven Richtung der z-Achse eine Rechtsschraubung entsteht —, so hat man r = {u cos v, и sin v,

Die w-Linien (v = const) sind die Meridiane, die ^-Linien (u = const) die Breitenkreise. Es ist

xu = {cos v, sin v, f'(u)}, xv = {— и sin v, и cos v, 0},

also

[xu xv] = u{— cos v f (u), — sin v /' (u), 1)}.

Ein singulärer Punkt des Netzes (и, v) liegt also bei и — 0, wo X = у = 0, z = /(0) ist, d. h. wo die Meridiane sämtlich die Drehachse schneiden.

Für / (u) = J/l — и² liefert r den Ortsvektor einer Kugel vom Halbmesser 1, auf der и = const die Breitenkreise, v = const die Meridiane sind. Aber im Vergleich mit (260) bedeutet jetzt, wo

(266)

X = {u cos v, и sin v, /l -— и²} die Kugeldarstellung durch Meridiane und Breitenkreise ist, и nicht wie dort die geographische Breite, sondern den Halbmesser des betreffenden Breitenkreises, und man geht von

(266) nach (260) über, indem man cos и statt и setzt.

r = 91(w) + v?ft' (u),

77. Tangentenfläche einer Raumkurve. Es sei r = $R(m) eine Baumkurve. Ihre Tangente im Berührungspunkte (w) hat die Vektorgleichung

(267)

wo v ein längs dieser Tangente veränderlicher Parameter ist. Die hierdurch erklärte Tangentenfläche der Kaumkurve ist bereits in Nr. 57 betrachtet worden. (Vgl. Abb. 20.) Die ^-Linien sind die Tangenten der Kaumkurve, die ^-Linien entstehen, indem man auf den Tangenten die Stücke |г$1/(м)| abträgt. Man hat

xu = 9t' (u) + vW (u),

ry = 9t' (u),

mithin

[xuxv] = v[?R''(u)W(u)].

Also hat das betrachtete Netz (u, v) singuläre Punkte erstens, wenn v = 0 ist, d. h. längs der gegebenen Kaumkurve,

und zweitens längs jeder Kurventangente, für deren Berührungspunkt [9t" (и) 9t' (w)] = 0 ist. Das bedeutet aber (Nr. 54), daß die Tangente dort die Kurve von höherer als erster Ordnung berührt.

78. Geradlinige Flächen („Regelflächen“¹)).

r = 9t (m) + vQ(u).

(268)

Die Kurven и = const sind gerade Linien, die „Erzeugenden“ der Fläche, da t von v linear abhängt. Die Kurven v = const, zu denen für v = 0 auch die Leitkurve r = 9t (w) gehört, queren diese Geraden. Ist © (u) ein Minimalvektor, so sind die erzeugenden Geraden Minimalgeraden. Beispiele von geradlinigen Flächen sind:

(E = const).

(269) Zylinder: t = Щи) + tä

(270)

Kegel: r = Щи) + v(9t₀ — 9t (w)) (9t₀ = const), ferner die vorher betrachtete Tangentenfläche (267) einer Baumkurve (mit <5(u) = 9t'(w)), die Flächen zweiten Gerades, z. B. das in Abb. 25 dargestellte hyperbolische Paraboloid und die Kugel, auch die 79. Geraden Konoide.

Abb. 25.

(271) r= {ucosv, wsinv, (p{v)}. Auf diesen sind die Kurven v = const die geradlinigen Erzeugenden, die hier die z-Achse sämtlich senkrecht schneiden. Die Kurven и = const liegen auf einem Kreis-Zylinder vom Halbmesser и, dessen Achse die z-Achse ist; z = 9o(v) gibt die Kurve an, in der die erzeugenden Geraden den Zylinder durchstoßen. Ein sehr einfacher Fall ist das Plückersche Konoid (Abb. 26, Karte der Fläche, vgl. Nr. 80), bei dem (p(v)= sin 2v ist.

Noch einfacher ist der in Nr. 74 betrachtete Fall der gewöhnlichen Schraubenfläche mit cp{v) = cv. Jn der Flächendar-stellung (255) lautet die Gleichung des geraden Konoids (272)

2= cp (arctg y/x)= y>(y/x).

-0,5 ⁰ 0,5

-0,:

Z-0,5

Z*0

*0,5-

7,5

Ç?o

-1

0,5 о ~0>⁵

Abb. 26.

Abb. 27.

2= f{x, У)

80. Höhenlinien, Karte einer Fläche. Für jeden festen Wert von г ergibt die Gleichung (255)

eine Kurve, die durch Schnitt der Fläche mit einer zur xy-Ebene parallelen Ebene in der Höhe z entsteht, wobei man diese Ebene als waagerecht betrachtet. Diese Schnittkurven heißen Höhenlinien ( Jsohypsen) oder Schichtlinien der Fläche. Projiziert man die Fläche mitsamt den Höhenlinien lotrecht auf die Grundebene z = 0, so entsteht die Karte der Fläche. Sie gibt eine vollständige und genaue Beschreibung der Fläche, wenn man sie „kotiert“, d. h. die projizierten Höhenlinien mit den zugehörigen Werten von 0 beziffert (Abb. 27).

Die Karte eines geraden Konoids in der in Nr. 79 gegebenen Darstellung besteht aus Geraden, die sämtlich durch den Ursprung gehen, die Karte einer Umdrehungsfläche besteht aus konzentrischen Kreisen um den Ursprung.

Selbstverständlich hängt die Karte einer Fläche von deren Lage bezüglich der Grundebene ab.

§ 2. Berührungsebene, Linienelement, Flächennormale.

81. Berührungsebene. Es sei г = г(м, v) die Darstellung einer Fläche mittels der Parameter u, v. Irgendeine auf der Fläche gelegene Kurve kann analytisch durch eine funktionale Beziehung zwischen и und v, etwa (p(u, v) = 0, oder v = v(u), oder dadurch dargestellt werden, daß и und v als Funktionen eines Parameters t gegeben sind: и — u(t), v = v(t). Denkt man sie sich in x(u, v) eingeführt, so erhält man in jedem Falle r als Funktion eines Parameters, der auch mit и oder v selbst übereinstimmen kann.

(273)

Man setze r als differenzierbar voraus, d. h. es existiere di = xu du + r„ dv.

Die beiden Vektoren auf der rechten Seite bestimmen die Richtungen der Tangenten an die w-Linie und an die w-Linie, die sich im Punkte (/и, v), der als regulär vorausgesetzt sei, kreuzen; dx dagegen ist zu einer beliebigen, durch denselben Punkt gehenden Flächenkurve tangential. Wenn sich das Verhältnis dv : du ändert, so ändert sich auch die Richtung

Berührunqsebene

Abb. 28.

von dx. Aber in jedem Falle besagt die Gleichung (273), daß dx mit xudu und xvdv komplanar ist. Sämtliche durch einen Flächenpunkt hindurchgehende, differenzierbare Kurven der Fläche haben

also Tangenten, die in einer Ebene, der Berührungsebene der Fläche liegen (Abb. 28).

(r — г) [га] = 0, denn [га] steht senkrecht auf ihr.

Nach Nr. 77 ist zum Beispiel die Berührungsebene in einem regulären Punkte der Tangentenfläche einer Raum-

Ist r der Ortsvektor eines beliebigen ihrer Punkte, r der Radiusvektor nach dem Berührungspunkte, so ist die Gleichung der Berührungsebene (274)

kurve t = 9? (u) +    (и) gegeben durch

oder

(х — х)[Ж{и)Ж'(и)] = 0

Ш (u)lR" (u) = JR (u) 91' М9Г (m) .

Da diese Gleichung von v unabhängig ist, so haben alle Punkte derselben Kurventangente и = const auch dieselbe Berührungsebene der Tangentenfläche. Denkt man sich die gegebene Raumkurve, ohne sie zu dehnen, irgendwie so verbogen, daß alle ihre Tangenten in dieselbe Ebene fallen, während sich dabei die Berührungsebenen nur um die Tangenten drehen, so enthält diese Ebene auch alle Berührungsebenen der Tangentenfläche. Man sagt daher, die Tangentenfläche einer Raumkurve ist in eine Ebene verbiegbar, oder sie ist eine auf eine Ebene abwickelbare Fläche x). Man überzeugt sich leicht, daß diese Eigenschaft den in Nr. 78 besprochenen Flächen im allgemeinen nicht zukommt, wohl aber den Zylindern und Kegeln. Vgl. Nr. 98.

82. Linienelement. Nach Nr. 8 ist dx der Vektor des Linienelementes und ds = ]/dx² das Linienelement der betrachteten Flächenkurve, woraus man ihre Bogenlänge durch eine Quadratur ermitteln kann. Aus (273) ergibt sich dx² = ds² — Xydu + 2xuxvdudv + r %dv².

Nach Gauß setzt man

(275)

Damit wird

r l = E, XyX v = F> t| = 0.

(276)

ds² — Edu² + 2 Fdudv + Gdv².

Diese quadratische Differentialform heißt die erste Grundform der Fläche, ihre Beiwerte E, F, G, die Gaußschen Fundamentalgrößen erster Ordnung. Wegen (277) [xuxvf = xlxl — (гл)² = EG —F² = T2 ist die erste Grundform für reelle Flächen positiv definit, wenn unter T die positive Quadratwurzel ]/ÉG — F² verstanden wird. Im Komplexen soll unter T ein beliebiger, aber

x) Von manchen heute „Torse“ genannt.

bestimmter der beiden Werte von }/EG—F² verstanden werden. Außer an singulären Punkten des Netzes, wo [гл] = 0 ist, kann T nur verschwinden, wenn [xuxv] ein Minimalvektor, also die Berührungsebene eine Minimalebene ist. Solche Punkte, für die [xu xv] ² = 0 ode rT = 0 ist, aber [xuxv] Ф 0, heißen Min imalp unkte der Fläche. Darw#=0, rv+0ist, wenn anders die Fläche sich auf eine Kurve oder einen Punkt

zusammenzieht, so bedeutet E = 0, daß die ^-Linien, und G = 0, daß die v-Linien eine Schar von Minimalkurven bilden.

Damit das Netz (u,v) aus zwei Scharen von Minimalkurven bestehe, ist also notwendig und hinreichend, daß zugleich

E = 0 und G = 0

ist.

Es sei nun E =j= 0, G Ф 0 und co = <£ (rM, r„), so hat man

(278)    cos co = F : ]/EG, sinco = T : |/Ш;

co heißt der Maschenwinkel des Netzes (0 < со < л). Ist F = 0,

so schneiden sich die Netzlinien senkrecht (orthogonales Netz). Ein Netz aus zwei Scharen von Minimalkurven kann nicht orthogonal sein. Denn außer E = 0, G = 0 kann nicht noch F = 0 sein.

83. Beispiele. Ebene im schiefwinkligen carte-sischen Koordinaten (vgl. Nr. 75):

r = Жи ф ф g

mit festen Vektoren % 93, ©, % -ff 93. Man findet

(279)    dx² = ds² = %² du² ф 2Wßdudv ф S3² dv².

Das Netz ist rechtwinklig für = 0. Setzt man |2l| = А, |33| = B, und co = <ÿ (Щ, $8), so wird

ds² = A²du² ф 2 AB cos co du dv ф B² dv². Drehfläche (vgl. Nr. 76): Man findet aus (265)

E = x²u=l + f'(u)²,

F = rwr„ = 0,

G = x²v = u²,

also

(280) ds² = (1 + /' (и)²) du² + w² , woraus zu entnehmen ist, daß die ^-Linien und die v-Linien, d. h. die Meridiane und die Breitenkreise sich überall senkrecht schneiden.

Gerade Konoide (vgl. Nr. 79). Es ist nach (271) xu = {cos V, sin V, 0)} xv = {— u sin V, u cos V, 9/ (v)},

daher

E= 1

also

F — 0,    (7 = и² + 99' (у)²,

ćfe² == d^² + (w² + 9/ (v)²) dv².

Die Netzlinien schneiden sich senkrecht. Bei der Schrauben*

(281)

fläche ist 99 (t?) = cv, 99' (v) = c, also

(282)

ds² = du² + (w² + c²) dv² :

Es sei z = f (X, 2/) die Darstellung der Fläche, oder X = {ж, y, f(x, i/)}. Dann ist

r* = {1, 0, p}

% = {0, 1, ?},

wenn ^ = df/dx, q = Эf/dy gesetzt wird. Daher wird E =    = 1 + p²

F = гжгу = до G = r² = 1 + g²

und

(283) ds² = (1 + jp)dx² + 2 pqdxdy + (1 + g²)^². Kugel, bezogen auf ihre erzeugenden Geraden (vgl. Nr. 73). Aus den dort berechneten Werten von und xv findet man

also

(284)

°’ F (fi? +1)²’ °

= 0,

ds² =

П. Rothe, Differentialgeometrie X.

4 di-drj

(fq + i)²’

woraus ersichtlich ist, daß (£, rj) ein Netz von Minimalkurven darstellt.

84. Flächennormale. Das Lot auf der Berührungsebene in ihrem Berührungspunkte heißt die Normale der Fläche. Man verbindet damit einen bestimmten Bichtungssinn, der durch den Vektor [гл], den Stellungsvektor der Berührungsebene (274) bestimmt wird. Der zugehörige Einheitsvektor

\ [ГЛ],

(285)

Ж = [XuXvT =

wegen (277), heißt der Normalenvektor der Fläche, seine Komponenten sind die Richtungskosinus der Flächennormale. An Minimalpunkten der Fläche (Nr. 82) gibt es keinen Vektor 5Ł

Abb. 29.

Wenn man и mit v vertauscht, oder и mit — и und v mit — v, wodurch der Drehungssinn des Winkels von der positiven Richtung der ^-Linien nach der der ^-Linien verändert wird, so verändert der Vektor 9Î seinen Richtungssinn. In hinreichend naher Umgebung eines regulären Flächenpunktes hat also jedes Flächenstück zwei Seiten, die durch die Vektoren 51 und —51 unterschieden werden, und bei jedem berandeten hinreichend kleinen Flächenstück kann man von der einen auf die andere Seite nicht anders gelangen, als daß man den Rand überschreitet. Es gibt aber Flächen, bei denen es möglich ist, bei hinreichend weiter Erstreckung auf der Fläche von der einen auf die andere Seite zu gelangen, ohne den Rand zu überschreiten. Ein Beispiel ist das Möbiussche Band (Abb. 29).

Wegen W = 1 sind die Komponenten von 5£ die Richtungskosinusse der Flächennormalen:

(286) 9t = {X, Y,Z} = (

1д(у,г) 1Э (z,x) 1Э (x,y)\ T d(u, v)’ T d(u, v)’ Td{u, v)f'

1/и² + c²

Beispiel: Bei der Sehraubenfläche (Nr. 74) ist E= 1, F = 0, G = u² + c², T = )/W+c²,

{c sin V, — c cos V, u].

(287)    97 =

85. Oberflächenelement. Die beiden Vektoren rUdu und xv dv, die die ^-Linien und die v-Linien in ihren Schnittpunkten berühren, bestimmen den Vektor

(288)

do = [гл] dudv = 97 T dudv, der der Vektor des Oberflächenelements genannt wird, weil sein Betrag

(289) I do I = do = T dudv = ]/EG sin со dudv zur Bestimmung des Flächeninhalts O — f J T dudv

eines berandeten Flächenstückes dient, wobei wie in Nr. 82 unter со der Maschenwinkel (rw, rv) des Netzes у erstanden

ist.

86. Begleitendes Dreibein der Fläche. Die drei normierten Vektoren

tu

fE

J/G

(290)

bilden ein Dreibein, dessen eine Seitenebene die Fläche berührt, während die dritte Kante die Flächennormale bestimmt.

Da

(291) txt₂97 =

= sin со

r„r„9î _ WT ÿEG - ]/ËG

von Null verschieden ist, bilden t1? t₂,97 eine Basis, und jeder Vektor £ läßt sich in der Form

£ =    + ßi₂ + y 97

(292)

oder auch

£ —    + /л iv + у 97

(293)

darstellen, vorausgesetzt natürlich, daß weder die w-Linien

noch die v-Linien Minimalkurven sind, denn es muß E 4= 0, G 4= 0 sein.

87. Zwei Formeln für    und [rv9l]. Wir wollen

als Beispiel zwei in der Flächentheorie oft benutzte Formeln ableiten. Nach dem eben Bemerkten hat man \Xu 9Î] — A xu + [Л Xv + V 9Î ?

daher wird

= 0= lE + iiF

und

mithin

x= -WT = - T = IF + /iff

4Rvu9l = 0= V,

// = —

, V = 0,

also

г «л FXu — Exv

MM = - T

(294)

Gxu — Fxv

und entsprechend

[г Л] =

(295)

Man bemerke, daß die beiden Formeln auseinander durch Vertauschung von и mit V hervorgehen, denn dabei gehen

E, F, ff, T, % in G, F, E, T, —9t

(296)

über, was zu merken auch sonst ganz nützlich ist.

¹

— 2 = 1 — sin и =

§ 3. Kurven auf einer krummen Fläche; Schnittwinkel; Krümmungstheorie.

88. Kurven auf einer krummen Fläche. Schnittwinkel.

Sind die krummlinigen Koordinaten u, v auf einer Fläche (F) Funktionen eines Parameters t, oder besteht zwischen ihnen eine funktionale Beziehung cp(u, v) = 0, so wird dadurch eine Kurve (C) auf der Fläche (F) bestimmt. (Vgl. Nr. 81.) Ist

Kurven auf einer krummen Fläche; Schnittwinkel. 117 dx = tudu + t Vdv

eine diese Kurve berührender Vektor, so hat man , I du dv\

dx= IXu VT + t® TT) dt,

<11

<lt

oder wegen

und also (297)

auch

(pu du + (pvdv= 0 du = Xcpv, dv= — X(pu

. 5(t, (p)

Э (u, v) *

Für eine zweite Kurve (Г) auf (F) ergebe sich entsprechend

Ôt= XuÔU + XvÔV.

Zur Bestimmung des Schnitt winkeis a der Kurven (C) und (jT) hat man zunächst

(299) dx ÔX = cos a • | dx | • | ör | = cos a • ds ös.

Nun ist

(298)

dx= À (tu (pv — Xv Cpu) =

und

dx öx = (t и du + xvdv) (r Uàu + xvöv)

= E du ôu + F (du ôv + dv àu) + G dv dv,

daher wird

dx² = ds²= E du² + 2F du dv + G dv2 dr² = ôs²= E du² + 2F ôu ôv + G ôv² ;

(300) cos g =

dx dr

ds ôs

E du ôu + F (du öv + dv ôu) + G dvöv

YE du² + 2F du dv -\-G dv²1/Е ôu² + 2F du ôv -\-G öv2 Ebenso kann man aus dem Vektorprodukt [^rdr] den sin er entnehmen und erhält

(301) sin а =

ds ös

T (du öv — dv ôu)

УК du* + 2F du dv +G dv* ]/E Ôu* + 2F Ôu Ôv + GÔé ’

wobei der Winkel о in demselben Sinne zu messen ist wie со = <£ (и, v). Sind cp (u, v) = 0 und гр (и, v) = 0 die Gleichungen der beiden Kurven (C) und (Г) in bezug auf die krummlinigen Koordinaten des Netzes (u, v), so setzt man wie in (297)

dv= — Xcpu dv = — juipu,

(302)

du = Xcpv, du = [i\pv, und erhält aus (300) und (301)

(303) cos er

Ecpvxpv—F(cpu\pv + cpv\pu) + Gcpuxpu

ŸE<p$—2Fcpucpv + G<plŸЕгр²—2Fipuy)v + Gxpl ’

(304) sina

________

У Ecpl— 2Fcpucpv + Gcp² ]/Expl—2Fyjuyv + Gxpl Da in (303) und (304) nur die Ableitungen von cp und гр Vorkommen, gelten diese Formeln auch für die Kurvenscharen cp(u,v) = const, ip(u,v) = const. Insbesondere ist die Bedingung dafür, daß die beiden Kurvenscharen cp (и, v) = const, гр (и, v) — const sich senkrecht schneiden:

(305) Ecpv\pv — F (cpuyjv + cpv'ipu) + Gcpuxpu = 0.

89. Beispiel: Loxodromen. Eine Loxodrome auf einer Drehfläche ist eine Kurve, die die Meridiane unter einem konstanten Winkel schneidet. Längs der Meridiane v = const hat man <5r = rUdu, öv = 0, somit nach (300) und (280) E dudu

yW&F+GM ÿE ÓU²    }/<I + /'(uf)du? +

cos a =

j/i + /' (uf du

oder

1 + /'M²

tg²<r

oder wegen der Konstanz von a

du² = dv²

(306)

f Ÿi+1'W

J и

du,

wo v₀ eine Integrationskonstante bedeutet. Es gibt also zweimal oo¹ Loxodromen, die sich durch eine Quadratur bestimmen lassen. Für die Kugel hat man (vgl. Nr. 76)

Damit wird

/(«)= j/l— M².

n — v₀ = ±tg<7

du

d. h.

1 — ]/l — u? l + j/i—w²

(307) V — v₀ = + tg a ■ log {(1 — /l — иг) : м} .

Das Ergebnis wird noch einfacher, wenn man statt и, des Halbmessers des Breitenkreises, den Winkel der geographischen Breite selbst benutzt. Wie in Nr. 76 bemerkt, braucht man nur cos и statt и zu setzen. Dann werden die Loxodromen

(308) V—^₀=±tga-log

1 — sin и

COS и

=Ftgff-logtg( — ).

mit den Bezeichnungen in

90. Schichtlinien und Fallinien. Indem man die xy-Ebene z= 0 als Grundebene auf faßt, kann man eine Fläche z=f(x,y), falls nur f(x,y) eine eindeutige Funktion ist, als eine Darstellung eines Geländes betrachten. Die Kurven г — const sind darauf die Schichtlinien oder Höhenlinien, ihre Differentialgleichung ist Nr. 83 —

dz= p dx + qdy = 0 .

(309)

Die Kurven, die die Schichtlinien г — const senkrecht queren, heißen Fallinien der Geländefläche. Um ihre Gleichung w(x, y) = const zu bestimmen, benutze man die Formel (305) mit и — X, V — у, E— 1 + p², F = pq, G = 1 + q², (y(u, v) = z(x, у), гр(и, v)= w(x, y), so wird daraus einfach qwy+pwx — 0 .

Diese Differentialgleichung ist erfüllt, wenn man

{hvx = q, d'Wy = — f

setzt, wo R = &(x, y) einen Proportionalitätsfaktor bedeutet. Damit wird (310)

Rdw = qdx — p dy = 0

die gesuchte Differentialgleichung.

Betrachtet man die Projektionen der Schicht- und Falllinien auf die Grundebene, wodurch die „Karte“ der Fläche entsteht, so zeigt ein Vergleich der beiden Differentialgleichungen (309) und (310), daß auch diese Projektionen sich senkrecht schneiden.

Man nehme noch die Schichtlinien und die Fallinien als

Netzkurven eines krummlinigen Koordinatennetzes auf der Fläche. Durch Quadrieren und Addieren folgt aus (309) und (310)

dz² + {Pdw² = (p² + q²) (dx² + dy²)

oder für

V² +    ^²:

(311) dx² + dy² + dz² = ds² =

dz² -1—- dw².

/<

Um noch die geometrische Bedeutung von [j, zu ermitteln, bezeichne man mit e den Winkel, den die Fallinie durch einen

Punkt P mit der durch P gehenden Schichtebene z= const bildet.

dz

Das Linienelement PQ (Abb. 30) dieser Fallinie ist nach (311):

ds₁ =

seine Projektion auf die Schichtebene, weil ja RQ = dz ist, daher

£±Zi,,

/'

Abb. 30.

PR = dz/jbi; mithin ist

tge = QR: PR= ju.

Man nennt daher pc das Gefälle der Fläche oder ihr Einfallen (aus der Bergmannssprache).

91. Tangentialnormale einer Flächenkurve. Es sei (C)

%= [t5R]

eine auf der Fläche (F) gelegene Kaumkurve (keine Minimalkurve), t, rt, b das begleitende Dreibein von (0), und 31 der Vektor der Flächennormale von (F). Der Vektor (312)

liegt sowohl in der Normalebene der Kurve, da er auf t senkrecht steht, als auch in der Berührungsebene der Fläche, da er auf 9^ senkrecht steht. Die durch % bestimmte gerichtete Gerade heißt daher die Tangentialnormale der Flächenkurve¹). Aus (312) folgt

£2=t2Sft2_(tÇft)2 ₌

Die drei Einheitsvektoren t, 9ß, % bilden also ein orthogonales und normiertes Dreibein, wobei

m%= + 1

ist. Dasselbe ist der Fall mit dem Dreibein t, — 9^.

In der Normalebene von (C) liegen die Vektoren n, b, 3Î und %; sie sind also komplanar, und wenn cp = <£ (tt, 9^i) ist, so hat man

(313)

woraus

(314)

folgt.

n = 9£ cos cp + % sin (p, b = % cos cp — SK sin <p,

31 = n cos (p — b sin X — n sin (p + b cos q>

92. Normalkrümmung und Tangentialkrümmung, Normalwindung und Tangential Windung. Wir betrachten nun unter allen durch denselben Flächenpunkt P gehenden Flächenkurven mit derselben Tangente t, also auch derselben Tangentialnormale X, diejenige einfach unendliche Schar, deren Haupt normalen und Binormalen durch die Formeln (313) gegeben sind. Es sei s der Parameter der Bogenlänge dieser Kurven. Für <p = 0 wird n in 9t, b in X übergehen, und für çp=\n ebenso n in % und b in — 9^.

122 Anfänge der Flächentheorie. Kurven auf Flächen.

Nun sind Krümmung und Windung durch die Formeln

dt Uds

~nds

db

gegeben, oder nach (313) durch

k = SR ^ cos 99 + 2 3^sin cp

(315)

ds

und

x = — (31 cos cp + 2 sin cp)

(ä%

dSR

- COS 99 — —

ds

ds

sin cp — (2 sin 99 + SR cos 99)

Bei der Ausmultiplizierung der rechten Seite von x beachte man, daß

also

*?=0,

ds

SR²=1,    2SR=0,    2² = 1,

dX 3-® = 0

dSR

2 4:= —3i-~

i/,s

ist, so erhält man (316)

dSR dcp ds ds '

In den Sonderfällen 99=0, wo t, SR, 2 und cp=\n, wo t, 2, — SR die begleitenden Dreibeine der beiden Kurven sind, entstehen aus k und x

(317)

dt

kr = SR —

dX

ds’

ds

und

(318)

dt

*"= +2

dSR

fc"=2f,

ds

k' heiße die Normalkrümmung von (C), и' ihre Normalwindung; k" heiße ihre Tangentialkrümmung, x" ihre Tangentialwindung. Damit wird aus (315) und (316)

ds ’

(319)

(320)

Kurven auf einer krummen Fläche; Schnittwinkel. 123 к = к' cos cp + k" sin cp, и= и' +

dcp

dcp

ds ’

yj = y"

woraus (321)

folgt, d. h. die Normalwindung und Tangentialwindung stimmen überein. Der gemeinsame Wert werde mit у bezeichnet und aus einem später einzusehenden Grunde geodätische Windung genannt.

(322)

(323)

Aus (317) und (318) folgt wegen dijds— h\ к' = к cos cp = n к" — к sin cp = g. n—k' heißt die Normalkrümmung von (0), g=k" statt Tangentialkrümmung auch geodätische Krümmung. Man hat also schließlich

(324)

(325)

к — n cos cp + g sin cp k²= n² + g²

(326)

93. Satz von Meusnier (1776). Die Formel

(327)

n = к cos cp

bildet den Inhalt des Meusnierschen Satzes. Man kann ihn in verschiedener Art geometrisch deuten, zum Beispiel so:

Man betrachte alle Flächenkurven mit derselben Tangente t und demselben Berührungspunkte P und trage von P aus auf der jeweiligen Hauptnormalen n die Strecke k=PQ<p

ab, wobei der Zeiger cp den Winkel andeuten soll, den die Hauptnormale n mit der festen Flächennormalen 97 bildet. Dann ist der geometrische Ort der Punkte Q^ eine zur Tangentialnormalen %— [t97] parallele Gerade; denn die Projektionen aller Punkte    die die Flächennormale ent-

haltende Normalebene fallen alle in den einen Punkt zusammen, für den PQ₀ = n ist (Abb. 31).

Eine andere Deutung des Meusnierschen Satzes ist folgende : Man trage von P aus auf der jeweiligen Hauptnormalen n den Krümmungshalbmesser

4-= pm к

'/

ab und errichte im Krümmungsmittelpunkte Mф in der Normalebene auf n das Lot. Dann gehen alle diese Lote durch

».

<?

¹/n

si

//

Abb. 31.

Abb. 32.

denselben Punkt M₀ der Flächennormalen, für den PM₀= 1 \ n ist. Das ist unmittelbar aus dem rechtwinkligen Dreieck PM^Mq ersichtlich (Abb. 32).

94. Normalschnitte und Meusnierscher Satz. Eine dritte, und zwar die ursprüngliche Fassung des Meusnierschen Satzes erhält man durch die Bemerkung, daß die Krümmung к denselben Wert behält für alle auf der Fläche gelegenen Kurven mit derselben Tangente t und derselben Schmiegungsebene in P. Diese Kurven haben ja auch dieselbe Hauptnormale n, also ist auch der Winkel (p = <)C (tt, 31) für sie derselbe. Aber

n= 97

dt

dW

ds

ds ⁵

hängt der Wert von n nur von der Kurventangente und von der Änderung der Flächennormale längs dieser ab, ist also ebenfalls für alle betrachteten Kurven derselbe. Aus (322) folgt also für к = n ; cos (p die gleiche Eigenschaft, wie behauptet.

Daher hat auch die ebene Kurve, die durch die Schmiegungsebene einer beliebigen doppelt gekrümmten Flächenkurve (C) aus der Fläche ausgeschnitten wird, dieselbe Krümmung wie die Kurve (C).

Eine durch eine Ebene aus einer Fläche ausgeschnittene Kurve heißt im allgemeinen ein ,,schief er Schnitt“, und wenn die Ebene die Flächennormale 97 enthält, ein Normalschnitt der Fläche. Danach heißt der Meusniersche Satz auch so:

Der Krümmungsradius eines schiefen Schnittes in einem Punkte P der Fläche längs der Tangente t hat zur Projektion den Krümmungshalbmesser des Normalschnittes längs derselben Tangente t durch denselben Punkt P.

95. Die Fälle n = 0, g = 0, y = 0. Eine Flächenkurve, für die in jedem ihrer Punkte die Normalkrümmung n— 0 ist, heißt eine Asymptotenlinie der Fläche. Nach (322) muß dann к — 0 oder cos cp = 0 sein, d. h. die Kurve ist eine Gerade, oder ihre Hauptnormale steht auf der Flächennormale stets senkrecht, ihre Binormale fällt stets mit der Flächennormale zusammen, ihre Schmiegungsebene berührt stets die Fläche.

Wenn die geodätische Krümmung längs einer Flächenkurve verschwindet, <7=0, so heißt sie eine geodätische Linie der Fläche. Nach (323) muß dann к = 0 oder sin cp = 0 sein, d. h. die Kurve ist eine gerade Linie, oder ihre Hauptnormale fällt stets mit der Flächennormale zusammen, ihre

Schmiegungsebene enthält stets die Flächennormale. Wenn daher ein ebener Schnitt überall ein Normalschnitt der Fläche ist, so ist seine Schnittkurve eine geodätische Linie der Fläche. Beispiele: Die Meridianschnitte einer Drehfiäche, die Großkreise einer Kugel.

Wenn längs der Flächenkurve die geodätische Windung у — 0 ist, heißt die Kurve eine Krümmungslinie. Längs einer Krümmungslinie ist wegen (326)

dw

ds

Zum Beispiel sind die Breitenkreise einer Drehfläche Krümmungslinien. Denn nach Nr. 76 ist

91= -г

,-¹-----{— COS V f (u),

— sin V f (и), 1} .

Längs eines jeden Breitenkreises u= const bildet also die Flächennormale mit der Ebene des Breitenkreises einen konstanten Winkel (p, für den

L+/'M²

cos cp —

ist. Also ist dcp/ds = 0. Andererseits ist, weil die Breitenkreise ebene Kurven sind, auch к = 0. Die obige Bedingung ist also erfüllt. Man zeigt leicht, daß auch die Meridiane Krümmungslinien sind.

Die flächentheoretische Bedeutung der in dieser Nummer genannten Kurven wird erst später hervortreten.

§ 4. Bemerkungen über die Abwickelbarkeit zweier Flächen aufeinander.

Zwei

96. Übereinstimmung der Linienelemente.

Flächen heißen aufeinander abwickelbar, wenn sich zwischen ihren Punkten eine solche Beziehung auf stellen läßt, daß die Längen entsprechender Kurven auf beiden Flächen gleich groß sind.

Bemerkungen über die Abwickelbarkeit zweier Flächen. 127

Sind x₁=    und r₂ = 4(<*>/?) die beiden Flächen,

bezogen auf die Parameternetze (u,v) und (ot,ß), so soll es also möglich sein, eine solche Beziehung

ot — ot (u, v), ß = ß (u, V)

punktweise herzustellen, daß je zwei entsprechende Kurvenstücke auf beiden Flächen dieselbe Länge haben. Diese Übereinstimmung muß daher auch für die Linienelemente gelten. Ist also

ds\ — Exdu² + 2Fxdu dv + G₁ dv² , ds\ = E₂ dot² + 2F₂dot dß + G₂dß² ,

wo Ev Flt Gx Funktionen von щ v dagegen E₂, F₂, G₂ solche von oc, ß sind, so muß es möglich sein, ot = ot(u,v), ß = ß (u, v) so anzugeben, daß

wird.

ds\ = ds₂

97. Beispiel: Katenoid und Schraubenfläche. Unter dem Katenoid versteht man die Umdrehungsfläche einer Kettenlinie

у = c ©of - -

um ihre Achse y— 0. In Abänderung der Bezeichnung werde die Drehachse als z-Achse genommen, mit ot der Abstand eines Punktes der Kettenlinie von der Achse, und mit ß der Drehwinkel bezeichnet. Dann hat man

« = e ®of — ,

c

also

z=c%

= ein —

+ ]/** — c²

/(*).

und das Quadrat des Linienelementes ergibt sich nach (280) zu ds\= (1 + f (ot)²) dot² + ot²dß²

oder

Nun setze man

<X= I/и² + C², ß— V ,

so wird ocdoc = udu, mithin

ds\ = du² + (u² + c²) dv² .

Nach (282) ist aber

ds\ = du² + (u² + c²) dv²

das Linienelementquadrat der Schraubenfläche mit der Ganghöhe 2ж, bezogen auf das Netz der Schraubenlinien und der geradlinigen Erzeugenden.

Katenoid und Schraubenfläche sind also in der Weise auf

einander abwickelbar, daß dabei die Breitenkreise des Kate-noids in die Schraubenlinien der Schraubenfläche und; die Kettenlinien in die erzeugenden Geraden übergehen.

Wenn man sich ein Katenoid aus dünnem, biegsamem, unausdehnbarem Blech herstellt und es längs eines Meridians auf schneidet, so kann man es so verbiegen, daß daraus ein Gang einer Schraubenfläche entsteht. Zwei aufeinander abwickelbare Flächen nennt man daher auch ineinander verbiegbar.

98. Tangentenfläche einer Raumkurve auf die Ebene abwickelbar. Nach Nr. 77 ist

r = 3t(tt) + vdl'(u)

die Tangentenfläche der Baumkurve r = 9ft(w), wo и ein beliebiger längs dieser Baumkurve veränderlicher Parameter ist. Wenn die Baumkurve keine Minimalkurve erster Art ist,

kann man и als Parameter ihrer Bogenlänge nehmen, also

9t»² = 1,9t' (м)9Р» = 0

setzen. Dann wird

mithin

ds\ =

a²

(X² — c²

d(x²+oc²dß².

xu= 9t' (u) + v9t'», xv = 31' (u),

Bemerkungon über die Abwickelbarkeit zweier Flächen. 129

l + fl^'»², F= 1, 0=1, ds² = (1 + a²91" (w)²) du² + 2 du dv + dfl².

Übrigens ist, da и die Bogenlänge bedeutet,

W(u)²=k²

das Krümmungsquadrat der Baumkurve. Damit wird ds² = d (u + v)² + v²k²du².

Um nun zu zeigen, daß dieses Linienelementquadrat auf eine solche Form gebracht werden kann, die einer Ebene zukommt, setze man

/ k(u) du= l (и) J о

und führe sodann zwei neue reelle Parameter oc, ß mittels der Gleichung

veil{u) J eil(u) (ly,.— (X ą_ iß

ein. Daraus folgt durch Differentiation

eil№ (du + dv + ikvdu) = dot + idß, und wenn man beiderseits die absoluten Beträge nimmt, (du + dv)² + k²v²du² = doc² + dß².

Links steht aber ds², rechts das Linienelementquadrat der Ebene, bezogen auf gewöhnliche rechtwinklige cartesische Koordinaten. Damit ist die obige Behauptung bewiesen.

99. Kegelflächen und Zylinder. Wenn der Ursprung mit der Spitze des Kegels zusammengelegt wird, und wenn r — 91 (У) eine Leitkurve des Kegels ist, d. h. eine Baumkurve, die sämtliche Erzeugenden des Kegels schneidet, so ist (vgl. (270)) die Gleichung des Kegels

r = uïR(v).

Nun ist

daher

dx = 91 (fl) du + u\R' (v) dv,

ds² = 91 (fl)² du² + 2u 91 (a)91' (a) du dv + u²91' (v)²dv².

Um zu zeigen, daß der Kegel auf die Ebene abwickelbar ist, nehme man als Leitkurve die Schnittkurve des Kegels und der

B. Rothe, Differentialgeometrie I.

Kugel um 0 mit dem Halbmesser 1 ; d. h. man nehme 9t (fl)² = 1, mithin 9t (fl) 9t'(fl) = 0. Überdies wähle man, Minimalkurven ausschließend, v als Parameter der Bogenlänge der Leitkurve, d. h. 9t' (fl)² = 1. Dann wird

ds² = du² + u²dv².

Die rechte Seite stellt bekanntlich das Quadrat des Linienelementes der Ebene in Polarkoordinaten dar.

Es sei t = 9t (fl) eine Leitkurve des Zylinders, und der Einheitsvektor c(c²=l) bestimme die Richtung der erzeugenden Geraden des Zylinders. Dann ist (vgl. (269)) r = uc + 9t (fl)

seine Parameterdarstellung. Aus

di — cdu + W (fl) dv

folgt

ds² = du² + 2c 9t' (fl) du dv + 9t' (v)²dv².

Nun nehme man als Leitkurve eine Schnittlinie des Zylinders mit einer seine Mantelgeraden senkrecht schneidenden Ebene, so ist c9t'(fl)= 0; ist schließlich noch v der Parameter der Bogenlänge dieser Kurve, also 9t' (fl)² = 1, so folgt ds² = du² + dv² .

Der Zylinder ist also auf die Ebene abwickelbar.

Man kann zeigen, daß die Zylinder, die Kegel und die Tangentenflächen der Raumkurven die einzigen auf die Ebene abwickelbaren Flächen sind. Aber dieser Nachweis erfordert

tieferliegende Hilfsmittel der Flächentheorie und kann erst im zweiten Bande erbracl

^öoukTv

KRAKÓW J

Register.

3?

52

eigentliche 51 —, Integral- 95 invarianter Parameter bei

114

Abwickelbarkeit auf die Ebene 111

— zweier Flächen aufeinander 126 ff. algebraische Baumkurven

Asymptotenlinien 125

benachbarte Kurvenpunkte 17

—    Tangenten 19 Bertrandsche Kurven 87 Berührung höherer Ordnung 73 ff.

—    n-ter Ordnung zweier Baumkurven 79

Berührungsebene 110 Bewegungen im Baume 46 Binormale 23 Binormalenbild, sphäri-. sches 40 ff.

Bogen und Sehne 71 Bogenlänge 13 •—, integrallose Bestimmung 97

Böschungslinien 30

Darboux 57 Differentialinvarianten 46 ff.

Drehfläche 106, 112 Dreibein, begleitendes, als Basis 32

einer Fläche 115 einer Baumkurve

Ebene in schiefwinkligen cartesischen Koordinaten 105, 112 ebene Kurven 9, 18 Enneper 92 Evoluten 82 Evolventen 82

Fadenevoluten 84 Fadenevolventen 83 Fallinien 119

Filarevolventen siehe Fadenevolventen Florentiner Problem 9 Frénet 29

Fundamentalgrößen erster Ordnung 111 Fundamentalinvarianten ganze Krümmung 34 Gauß 111

Gefälle der Fläche 121 geodätische Linien 125 gerade Linie im Baume 14 geradlinige Flächen 108 Graßmann 22 Grundform, erste, einer Fläche 111

Hauptgleichungen 28 ff. Hauptnormale 20 Hauptnormalenbil d, sphärisches 42 ff. Höhenlinien 109 integrallose Bestimmung der Bogenlänge 97 Invarianten 46 f.

Minimalkurven 93 Isohypsen siehe Höhenlinien

isotrop siehe Minimal-

Karte einer Fläche 109 Katenoïd 127 Kegelflächen 108, 129 Knoblauch 121 komplexe Kurven 10 kongruent 54 Konoid, gerades 108, 113

Krümmung 21 ff. ganze 34 geodätische 123 Normal- 121

Kiümmung, Tangential-121

Krümmungsachse 22

—    linien 125

—    radius 22

—    strecke 22

Kugel, bezogen auf Breitenkreise und Meridiane 101

--die erzeugenden

Geraden 102, 113 Kurven auf einer Fläche 116ff.

Kurvennetz 100

Lancret 34 Lie 57

Linienelement einer Fläche 111

— einer Baumkurve 13 Loxodromen 118

Maschenwinkel 112 Meusnier 123 Minimalebene 12 Minimalgefade 12 —- auf der Kugel 103 ff. Minimalkurven 89 ff. Minimalpunkte einer Fläche 112

Minimal Vektoren 10, 11 Möbius 114 Monge 83 Montcheuil 98 Müller, E. 30

Natürliche Gleichungen e.

Kurve 54 ff. Normalebene 15, 32 Normalen einer Fläche — einer Kurve 20 Normalschnitte 124 Nullkugel 11

orthogonales Netz 112

Parameter der Bogenlänge 13, 14

Wechsel der — 101

Parameterdarstellung einer Fläche 99

--einer Raumkurve 6

Pianevolventen 86 Pliicker 108 Polare 23

Radiusvektor, entwickelt nach Potenzen der Bogenlänge 35

Regelflächen siehe geradlinige Flächen rektifizierende Ebene 32 Riccati 57

de Saint-Venant 30 Scheffers 30 Schell 89

Schichtlinien 109, 119 Schmiegungsebene 16, 19, 32, 75

Schmiegungsfläche in einem Kurvenpunkte 74

Schmiegungskreis 81 Schmiegungskugel 76 Schmiegungskurve 81 Schnittwinkel von Kurven auf einer Fläche 116 ff. Schraubenfläche 8, 105, 115, 127

Schraubenlinie 6ff., 14

allgemeine 29, 61

--, konische 69

Sehne und zugehöriger Bogen 71

sphärische Bilder 37 ff.

— Kurven 77 Study 94

Tangente 12 Tangentenbild, sphärisches 38

Tangentenfläche einer Raumkurve 82, 107, 108, 128

---, auf eine Ebene

abwickelbar 111, 128 Tangentenvektor 15 Tangentialnormale 121 Torsion siehe Windung

unendlich benachbarte Kurvenpunkte 17

Viviani 9

Weierstraß 92, 98 Windung 23 ff.

geodätische 123 Normal- 121 Tangential- 121

Zylinder flächen 108, 130

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RM. 16.—

2.    Band. Mit 23 Figurentafeln. X, 743 Seiten. 1882. . . . RM. 18.—

Festschrift zur Feier des 20jährigen Bestehens der Calcutta Mathematical Society. Groß-Oktav. VIII, 310 Seiten. 1930    .... Geb. RM. 20 —

Dieser stattliche Festband enthält 27 wertvolle Beiträge hervorragender Mathematiker aus Amerika, Deutschland, Frankreich, Großbritannien, Japan, Indien, Italien, Österreich, Polen, Rußland, der Schweiz und Ungarn.

Geschichte der Mathematik. Von Oberstudien-Dir. Prof. Dr. H. Wieleitner. 2 Bde. I: Von den ältesten Zeiten bis zur Wende des 17. Jahrhunderts. 136 Seiten. 1922. II: Von 1700 bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts. 154 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Nr. 226, 875) . . Geb. je RM. 1.62

Geschichte der Mathematik. I. Teil: Von den ältesten Zeiten bis Cartesius. Von Professor Dr. S. Günther in München. Mit 56 Figuren. VIII, 428 Seiten. Neudruck 1927. (Samml. Schubert Bd. 18) . Geb. RM. 17.40

II. Teil: Von Cartesius bis zur Wende des 18. Jahrhunderts. Von Ober-studien-Dir. Prof.Dr. H. Wieleitner in München. 1. Hälfte: Arithmetik, Algebra, Analysis. Mit 6 Figuren. VIII, 251 Seiten. 1911. (Samml. Schubert Bd. 63.) Geb. RM. 8.40. 2. Hälfte: Geometrie und Trigonometrie. Mit 13 Figuren. VI, 222 Seiten. 1921. (Samml. Schubert Bd. 64.) Geb.RM.3.50

Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung. Von

Professor Dr. Johannes Tropfke, Oberstudiendirektor i. R., Berlin. Lexikon-Oktav.

Band 1: Rechnen. VII, 222 Seiten. 3. Aufl., 1930.

RM. 12.—, geb. RM. 13.20

Band 2: Allgemeine Arithmetik. IV, 266 Seiten. 3. Aufl., 1933.

RM. 12.—, geb. RM. 13.20

Band 3: Proportionen, Gleichungen. IV, 239 Seiten. 3., verbesserte u.

vermehrte Aufl., 1937 ......RM. 10.—, geb. RM. 11.—

Band 4: Ebene Geometrie. IV, 240 Seiten. 2. Aufl., 1922.

RM. 9.

geb. RM. 10.—

Band 5: I. Ebene Trigonometrie. II. Sphärik und sphärische Trigonometrie. IV, 185 Seiten. 2. Aufl., 1923. RM. 7.50, geb. RM. 8.50 Band 6: Analysis, Analytische Geometrie. IV, 169 Seiten. 2. Aufl., 1924.

RM. 7.

geb. RM. 8.—

Band 7: Stereometrie. Verzeichnisse. V, 128 Seiten. 2. Aufl., 1924.

Mathematikers.“

RM. 6.50, geb. RM. 7.50 „Dem Verfasser gebührt unser Dank für sein die neuesten Ergebnisse historischer Forschungen berücksichtigendes, durch Vollständigkeit und Klarheit sich auszeichnendes Werk. Es verdient seinen Platz im Bücherschrank eines jeden

N aturwissenschaften.

Mathematische Forschung in den letzten 20 Jahren. Rede, gehalten am 31. Januar 1921 vor der Mathematischen Gesellschaft Benares von deren Vorsitzendem Ganesh Prasad. Aus dem Englischen übersetzt von Dr. Friedrich Lange. Groß-Oktav. 37 Seiten. 1923 .... RM. 0.80 Dasselbe in englischer Sprache. 1923

Neue Rechentafeln. Für Multiplikation und Division mit allen ein- bis vierstelligen Zahlen. Herausgegeben von Professor Dr. J. Peters. Observator am Astronomischen llecheninstitut. Folio-Format. VI, 378 Seiten.

1909    ......................Geb. KM 20.—

Diese Rechentafeln von Peters sind ebenfalls in französischer wie englischer Ausgabe zu haben.........Geb. je RM. 20.—

Dr. A. L. Grelles Rechentafeln, welche alles Multiplizieren und Dividieren mit Zahlen unter Tausend ganz ersparen, bei größeren Zahlen aber die Rechnung erleichtern und sicherer machen. Neue Ausgabe. Besorgt von O. Seeliger. Mit Tafeln der Quadrat- und Kubikzahlen von 1—1000.

VII, 501 Seiten. Folio. 1930 ...........Geb. RM. 26.—

Geb. je RM. 26.—

Diese Rechentafeln von Crelle liegen auch in englischer und französischer Ausgabe vor

Fünfstellige Logarithmen. Mit mehreren graphischen Rechentafeln und häufig vorkommenden Zahl werten. Von Reg.-Rat Prof. A. Adler. Zweite Aufl. 117 S. u. 1 Taf. 1929. (Samml. Göschen Bd. 423) Geb. RM. 1.62 Der Band enthält die gemeinen Logarithmen der ganzen Zahlen bis iooo, die der goniometrischen Funktionen, die wirklichen Werte dieser Funktionen und die Reihe von mathematischen, physikalischen und astronomischen Hilfstafeln, wie sie fünfstelligen Logarithmentafeln gewöhnlich beigegeben sind.

Geb. RM. 7.—

Fünfstellige Logarithmentafeln der trigonometrischen Funktionen für jede Zeitsekunde des Quadranten. Herausgegeben von Prof. Dr. J. Peters, Observator am Astronomischen Recheninstitut. Lexikon-Oktav. IV, 82 Seiten. 1912

Geb. RM. 2.—

Vollständige logarithmische und trigonometrische Tafeln. Von Professor Dr. E. F. August, weiland Direktor des Köllnischen Realgymnasiums, Berlin. Neunundvierzigste Auflage in der Bearbeitung von Dr. F. August, weiland Professor an der Artillerie- und Ingenieur-Schule, Berlin. Oktav. VII, 204 Seiten. 1931

„Die Anordnungen des Zahlenmaterials in den Tafeln, der klare Druck, handliches Format und gediegene Ausstattung empfehlen das Buch allein.“

A llgemeine Vermessungs-Nachrichten.

. . Geb. RM. 1.62

Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt. Von Professor Dr. Hermann Schubert. Neue Ausgabe von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. 175 Seiten. Neue Auflage. 1934. (Samml. Göschen Bd. 81) . . .

„Die vierstelligen Logarithmen sind in der Form recht handlich und gefällig. Besonders zu empfehlen sind die Tafeln für Schulen, wo es von Vorteil ist, die Lernenden nicht mit umfangreichen Büchern zu belasten.'¹

Zeitschrift d. Osten. Ingenieur- und Architekten-Vereins.

Vierstellige Logarithmentafeln. Von Dr. Max Zacharias, Studienrat am Vereinigten Friedrichs- und Humboldt-Gymnasium in Berlin, und Dr. Paul Meth, Studienrat an der Herderschule in Charlottenburg. Groß-Oktav. 44 Seiten. 1927 ...........Geb. RM. 1.50

Logarithmische Rechentafeln für Chemiker, Pharmazeuten, Mediziner und Physiker. Gegründet von Professor Dr. F. W. Küster t- Für den Gebrauch im Unterrichtslaboratorium und in der Praxis berechnet und mit Erläuterungen versehen. Nach dem gegenwärtigen Stande der Forschung bearbeitet von Dr. A. Thiel, о. ö. Professor der physikalischen Chemie, Direktor des Physik.-Chem. Instituts der Universität Marburg. Einundvierzigste bis fünfundvierzigste Auflage. Oktav. 216 Seiten. 1935

Fünfstellige Tafeln der Kreis- und Hyperbelfunktionen sowie der Funktionen

ex und e~x mit den natürlichen Zahlen als Argument. Von Dr.-Ing. Keiichi Hayashi, Professor an der Kaiserlichen Kyushu-Universität Fukuoka-Hakosaki, Japan. Oktav. IV, 182 Seiten. Neudruck 1931.

KM. 9.—

„Der bekannte japanische Verfasser hat aus der Notwendigkeit die Werte beider Funktionsarten gleichzeitig zur Verfügung zu haben, Tafeln berechnet, in denen nicht nur die Hyperbelfunktionen, sondern auch die Kreisfunktionen mit verschieden großen Abstufungen, auf fünf Dezimalstellen angewendet sind. Die Anordnung dieser Tafeln ist äußerst praktisch, Druck und Papier sind ausgezeichnet, so daß die Benutzung sich bequem und einfach gestaltet. Für alle, die zahlenmäßige Rechnungen mit den genannten Funktionen häufiger auszuführen haben, ist der Gebrauch der Tafeln als praktisch und zeitsparend zu empfehlen.¹¹

Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure.

Mathematische Formelsammlung. Von Professor O. Th. Bürklen f. Vollständig umgearbeitete Neuausgabe von Dr. F. Kingleb. Mit 37 Figuren. Dritte, verbesserte Auflage. 272 Seiten. 1936. (Sammlung Göschen

Bd. 51)

Geb. KM. 1.62

Formelsammlung zur praktischen Mathematik. Von Dr. Günther Schulz. Mit 10 Abbild. 147 S. 1937. (Sammlung Göschen Bd. 1110.) Geb. KM. 1.62

Mathematische Mußestunden. Eine Sammlung von Geduldspielen, Kunststücken und Unterhaltungsaufgaben mathematischer Natur. Von Prof. Dr. Hermann Schubert. Fünfte Auflage, neu bearbeitet von Professor Dr. F. Fitting, München-Gladbach. Oktav. 260 Seiten. 1935. Geb. KM.4.80

Dieses bekannte hier in der 5. Auflage erscheinende Buch wendet sich in erster Linie an den mathematischen Laien, den es in leicht faßlicher und spannender Form in das Wesen der verbreiteten mathematischen Spiele einführen will. Doch sind auch einzelne Abschnitte auf genommen, welche sich, oft durch kleineren Druck gekennzeichnet, hauptsächlich an den mathematisch interessierten Leser wenden und diesem Anregungen zu eigenen Untersuchungen auf dem Gebiete der Unterhaltungsmathematik geben wollen.

Lehrbuch der Mathematik für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik. Eine Einführung in die Differential- und Integralrechnung und in die analytische Geometrie. Von Dr. Georg Scheffers, Geh. Regierungsrat, Prof. a. d. Techn. Hochschule Charlottenburg. Mit 438 Fig. Sechste, verb.Aufl. Neue Ausg. Lex.-Okt. VIII, 743 S. 1932.Geb.RM.15.— Dieses vor allem für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik geschriebene Lehrbuch ist in erster Linie für den Selbstunterricht bestimmt und geht daher von dem denkbar geringsten Maß von Vorkenntnissen aus: der Leser braucht nur im Buchstabenrechnen, in der Auflösung von Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten und in der niederen Geometrie bewandert zu sein.

Lehrbuch der höheren Mathematik für Universitäten und Technische Hochschulen, bearbeitet nach den Vorlesungen von Dr. Gerhard Kowalewski, о. Prof, an der Technischen Hochschule zu Dresden, o. Mitglied der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. 3 Bände. 1933.

Jeder Band ist einzeln käuflich.........Geb. je KM. 3.80

I. Vektorrechnung und analytische Geometrie.

II. Hauptpunkte der analytischen Geometrie des Raumes. — Grundbegriffe der Differential- und Integralrechnung.

III. Fortsetzung der Differential- und Integralrechnung. — Differentialgleichungen. Differentialgeometrie. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. — Probleme der Variationsrechnung.

„ . . . Klare und anschauliche Darstellung, mathematische Strenge, pädagogisches Geschick in der Verwertung der jeweils geeigneten Methoden (ich weise auf die durchgängige Verwendung der Vektorrechnung hin), Geschlossenheit in dem Sinn, daß alle Hilfsmittel, die für die Darstellung nötig sind, in dem Werk selbst bereitgestellt werden, Allgemeinheit der leitenden Gesichtspunkte und Weite des Blicks sowie Veranschaulichung der vorgetragenen Theorien durch geeignete Anwendungen zeichnen es aus.t(

Unterrichtsblätter für Mathematik, Nr. 5, 1935.

Mengenlehre. Von Dr. E. Kamke, Professor an der Universität Tübingen. Mit 6 Figuren. 160 Seiten. 1928. (Samml. Göschen Bd. 999)

Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 13.50

Mengenlehre. Von Dr. F. Hausdorff, em. o. Professor an der Universität Bonn. Dritte Auflage. Mit 12 Figuren. 303 Seiten. 1935. (Göschens Lehrbücherei Bd. 7)

Einführung in die Axiomatik der Algebra. Von Dr. H. Beck, o. Professor an der Universität Bonn. X, 198 Seiten. 1926. (Göschens Lehrbücherei

Bd. 6)

RM. 9

geb. RM. 10.50

Das vorliegende Buch enthält im wesentlichen den Stoff einer an der Bonner Universität gehaltenen Anfängervorlesung; es erschöpft sich nicht in axiomatischen Dingen, sondern bringt darüber hinaus eine Reihe anderer Gebiete, die der Studierende braucht.

Höhere Algebra. Von Dr. Helmut Hasse, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Göttingen.

I: Lineare Gleichungen. Zweite, verbesserte Auflage. 152 Seiten 1933

(Samml. Göschen Bd. 931)    ..........Geb. RM. 1.62

II: Gleichungen höheren Grades. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 5 Fig. 158 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 932) Geb. RM. 1.62 „Es ist dem Verfasser gelungen, in engstem Rahmen das Gebäude der allgemeinen' Algebra vor den Augen des Lesers aufzurichten, einer Algebra, die auf dem Fundament der Definitionen der Ringe, Körper und Integritätsbereiche auf gebaut ist."    Zeitschrift für mathem. und naturw. Unterricht.

Aufgabensammlung zur höheren Algebra. Von Dr. Helmut Hasse, o. ö Professor der Mathematik an der Universität Göttingen. 160 Seiten* 1934. (Sammlung Göschen Bd. 1082)........Geb. RM 1 62

RM. 9.

Algebraische Theorie der Körper. Von Prof. Dr. Ernst Steinitz. Neu herausgegeben, mit Erläuterungen und einem Anhang: Abriß der Galoisschen Theorie versehen von Dr. Reinhold Baer und Prof. Dr. Helmut Hasse. Oktav. 134 Seiten und 27 Seiten Erläuterungsheft. 193o!

geb. RM. 10.20

Algebra I : Die Grundlagen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 4 Figuren. VIII, 301 Seiten. 1932. (Göschens Lehrbücherei Bd. 8) Geb. RM. 11.50

Algebra II: Theorie der algebraischen Gleichungen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 5 Figuren. VIII, 261 S. 1933. (Göschens Lehrbücherei Bd. 9)

Geb. RM. 9.50

Band I enthält die Grundbegriffe, es folgt ein Kapitel über den polynomischen und den Taylor sehen Satz und der für den Ingenieur wichtige Abschnitt über Determinanten. Anschließend folgen Kapitel über symmetrische Funktionen, Teilbarkeit und über die Existenz von Wurzeln. Band II ist der Gleichungstheorie gewidmet.

Praxis der Gleichungen. Von Dr. C. Runge, Professor an der Universität Göttingen. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 8 Figuren. V, 172 Seiten. 1921. (Göschens Lehrbücherei Bd. 2) ... . RM. 6.—, geb. RM. 7.—

Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra. Von Professor Dr. Hermann Schubert. Vierte, neubearbeitete und erweiterte Auflage von Professor P. B. Fischer, Studienrat am Gymnasium in Berlin-Steglitz. Mit 8 Figuren. 139 Seiten. Neudruck. 1931. (Samml. Göschen Bd. 48) Geb. RM. 1.62

Gruppentheorie. Von Dr. Ludwig Baumgartner in München. Mit 8 Figuren.

120 Seiten. 1921. (Samml. Göschen Bd. 837)

Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Determinanten. Von Studienrat Professor Paul B. Fischer. Dritte, verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. 136 Seiten. 1932. (Samml. Göschen Bd. 402)

. . RM. 14.—, geb. RM. 15.50

Einführung in die Determinantentheorie einschließlich der Fredholmschen Determinanten. Von Dr. Gerhard Kowalewski, о. Professor an der Technischen Hochschule in Dresden. Zweite, verbesserte Auflage. Groß-Oktav. IV, 304 Seiten. 1925 . .

„Die Kowalewskische Darstellung des umfangreichen Gebietes zeichnet sich durch die anschauliche Kraft und Klarheit der Sprache vor anderen aus. Die Beschäftigung mit diesem Buche gewährt neben dem wissenschaftlichen Gewinn einen reichen ästhetischen Genuß.“    Schulwart.

Grundlehren der neueren Zahlentheorie. Von Professor Dr. Paul Bachmann. Dritte, neu durchgesehene Auflage. Herausgegeben von Dr. Robert Haußner, ord. Professor an der Universität Jena. Mit 10 Figuren. XVI, 252 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 3) RM. 9.50, geb. RM. 10.50 Der erste Abschnitt umfaßt die klassische Theorie der rationalen Zahlen, der zweite eine Einführung in die Theorie der algebraischen Zählen, deren verschiedene Methoden am Beispiel des quadratischen Körpers zu einem harmonischen, in sich geschlossenen Bau zusammengefügt werden.

Synthetische Zahlentheorie. Von Dr. Rudolf Fueter, o. Professor an der Universität Zürich. Zweite, verbesserte Auflage. VIII, 277 Seiten. 1925.

(Göschens Lehrbücherei Bd. 4)......RM. 10.—, geb. RM. 12.—

Die vorliegende zweite Auflage des bewährten Lehrbuches weist gegen die erste zahlreiche Änderungen und Ergänzungen auf.

RM. 2.50 von den

Das Fermatproblem in seiner bisherigen Entwicklung. Von Professor Dr. Paul Bachmann. Oktav. VIII, 160 Seiten. 1919 . . . . ^

In der vorliegenden Abhandlung gibt der Verfasser eine Übersicht Beweisverfahren und den Theorien, welche Euler, Legendre, Gauß, Dirichlet, Kummer und andere Forscher in ihren Studien über das allgemeine Fermatproblem angewandt und entwickelt haben.

Irrationalzahlen. Von Dr. Oskar Perron, o. ö. Professor an der Universität München. VIII, 186 Seiten. 1921. (Göschens Lehrbücherei Bd. 1)

RM. 6.—, geb. RM. 7.—

Punkt- und Vektor-Rechnung. Von Dr. Alfred Lotze, Professor für Mathematik an der Technischen Hochschule Stuttgart. Mit 7 Figuren. 192 Seiten.

1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 13) . . . RM. 12.

geb. RM. 13.—

Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis. Von Professor Dr. Hermann Weyl. Unveränderter Neu-

druck. V, 84 Seiten. 1932.

RM. 3.—

Differentialrechnung. Von Prof. Dr. A. Witting, Oberstudienrat i. R. in Dresden. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 94 Figuren und 189 Beispielen. 191 Seiten. 1986. (Samml. Göschen Bd. 87) . . Geb. RM. 1.62

Integralrechnung. Von Prof. Dr. A. Witting, Oberstudienrat i. R. in Dresden. Mit 63 Figuren und 190 Beispielen. 176 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 88)

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Differentialrechnung.

Professor Dr. A. Witting. Mit 58 Figuren und 405 Beispielen und Aufgaben. 136 Seiten. 1935. (Samml. Göschen Bd. 146)    . Geb. RM. 1.62

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung. Von Prof' Dr. A. Witting, Mit 32 Figuren und 305 Beispielen. 118 Seiten. 1934.

Geb. RM. 1.62

Elementare Reihenlehre. Von Dr. Hans Falckenberg, Professor an der Universität Gießen. Mit 4 Figuren im Text. 136 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 943)

Komplexe Reihen nebst Aufgaben Uber reelle und komplexe Reihen. Von

Dr. Hans Falckenberg, Professor an der Universität Gießen. Mit 3 Figuren im Text. 140 Seiten. 1931. (Samml. Göschen Bd. 1027) . Geb. RM. 1.62

Fouriersche Reihen. Von Dr. W. Rogosinskl, a. o. Professor an der Universität Königsberg i. Pr. Mit 4 Figuren. 135 Seiten. 1930. (Samml Göschen Bd. 1022)

(Samml. Göschen Bd. 147)

Geb. RM. 1.62

Von

Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Lebesguesche Integrale und Fouriersche Reihen. Von Professor Dr. L. Schlesinger und Dr. A. Pleßner. Groß-Oktav. VIII, 229 Seiten. 1926.

RM. 14.

geb. RM. 16.—

Reihenentwicklungen in der mathematischen Physik. Von Dr. Josef Lense, o. ö. Professor der Technischen Hochschule München. Mit 30 Abbildungen. 178 Seiten. 1933. . .

. . Geb. RM. 9.50

Lehrbuch der Differentialgleichungen. Von Dr. Heinrich Liebmann, o. Professor an der Universität Heidelberg. Groß-Oktav. VI, 226 Selten. Mit 31 Figuren. 1901 . . .

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. Zweite, verbesserte Auflage. 159 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 920)

Geb. RM. 1.62

Gewöhnliche Differentialgleichungen. Von Dr. J. Horn, o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Zweite, völlig umgearb. Auflage. Mit 4 Figuren. VIII, 197 Seiten. 1927. (Göschens Lehrbücherei Bd. 10)

RM. 9.

Partielle Differentialgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. 159 Seiten. 1928. (Samml. Göschen Bd. 1003)

. . RM. 6.

geb. RM. 8.—

geb. RM. 10.50

Geb. RM. 1.62

Partielle Differentialgleichungen. Von Dr. J. Horn, o. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt. Zweite, umgearbeitete Auflage. Mit 8 Figuren. VIII, 228 Seiten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 14)

geb. RM. 12.—

RM. 11.

Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen. Von Professor Dr. G. Hoheisel. 148 Seiten. 1933. (Samm-

Geb. RM. 1.62

lung Göschen Bd. 1059)

Integralgleichungen. Von Prof. Dr. G. Hoheisel. 136 Seiten. 1936. (Samml. Göschen Bd. 1099).................Geb. RM. 1.62

Grundzüge und Aufgaben der Differential- und Integralrechnung nebst den Resultaten. Von Dr. H. Dölp. Neu bearbeitet von Dr. Eugen Netto, 18. Auflage. Oktav. 214 Seiten. 1935. (Verlag von Alfred Töpelmann.

Berlin W 35.)

RM. 1.95

Das Bändchen stellt eine elementare Aufgabensammlung zur Differential- und Integralrechnung mit eingefügten Erläuterungen dar. Der erste Abschnitt, Differentialrechnung für Funktionen einer und mehrerer Veränderlichen, bringt die Differentiation der elementaren Funktionen, einschließlich implizite Funktionen, die Ermittlung der Werte unbestimmter Formen, Maxima und Minima, Taylor -sehe Reihe. Der zweite Abschnitt, Integralrechnung, führt das Integral als unbestimmtes ein, entwickelt die Integrationsformeln im Bereiche der elementaren Funktionen und geht dann kurz auf das bestimmte Integral ein. Schließlich werden noch verhältnismäßig ausführlich geometrische Anwendungen der Infinitesimalrechnung gebracht: Tangentenbestimmung, singuläre Punkte, Krümmung; Quadratur, Rektifikation, Kubatur.

Integralgleichungen. Von Dr. Gerhard Kowalewski, о. Professor an der Technischen Hochschule Dresden. Mit 11 Figuren. Groß-Oktav. 302 Seiten. 1930. (Göschens Lehrbücherei Bd. 18)    . . RM. 15.—, geh. RM. 16.50

Geb. RM. 1.62

Variationsrechnung I. Von Dr. Lothar Koschmieder, o. Professor an der Deutschen Technischen Hochschule in Brünn. Mit 21 Fig. 128 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1074)

Funktionentheoretische Vorlesungen. Von Heinrich Burkhardt. Neu herausgegeben von Dr. Georg Faber, о. Professor an der Technischen Hochschule in München.

I. Band 1. Heft.    Dritte,    umgearbeitete    Auflage.    Groß-Oktav.    X,

182 Seiten. 1920 . .

I.    Band 2. Heft.    Fünfte,    umgearbeitete    Auflage.    Groß-Oktav.    X,

286 Seiten. 1921 . . .

II.    Band. Dritte, vollständig umgearbeitete Auflage. Groß-Oktav. VI,

444 Seiten. 1920 ............RM. 14.—, geb. RM. 15.50

. . RM. 6.—, geb. RM. 7.20

. . RM. 9.

geb. RM. 10.50

Elemente der Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp, о. Prof, an der Universität Tübingen. Mit 23 Fig. 144 Seiten. 1937. (Samml. Goschęn

Bd. 1109.)

Geb. RM. 1.62

Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp, о. Professor an der Universität Tübingen.

Erster Teil : Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. Mit 8 Figuren. Fünfte, verbesserte Auflage. 136 Seiten. 1987.

(Samml. Göschen Bd. 668)

Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Zweiter Teil: Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie. Mit 7 Figuren. Vierte, verbesserte Auflage. 138 Seiten. 1931. JSamml.

Göschen Bd. 703)..................

„Die beiden vollständig neubearbeiteten Bände seien allen Studierenden der Mathematik als Muster klarer und strenger Darstellung aufs wärmste empfohlen.“ Monatsschrift für Mathematik und Physik.

Aufgabensammlung zur Funktionentheorie. Von Dr. Konrad Knopp о. Professor an der Universität Tübingen.

Erster Teil: Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie. Zweite, verbesserte Auflage. 136 Seiten. 1931. (Samml. Göschen Bd. 877)

Geb. RM. 1.62

Zweiter Teil: Aufgaben zur höheren Funktionentheorie. 143 Seiten. 1928. (Samml. Göschen Bd. 878).............

Einführung in die konforme Abbildung. Von Dr. Ludwig Bieberbach, o. ö. Professor an der Universität Berlin. Dritte Auflage. Mit 42 Zeichnungen. 136 Seiten. 1937. (Samml. Göschen Bd. 768). Geb. RM. 1.62

geb. RM. 9.20

Automorphe Funktionen. Von Professor Dr. L. Schlesinger. X, 205 Seiten. 1924. (Göschens Lehrbücherei Bd. 5) .... RM. 8.

Elliptische Funktionen. Von Dr. R. König, o. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. M. Krafft, а. о. Professor an der Universität Marburg i. H. Mit 4 Figuren. 263 Seiten. 1928. (Göschens Lehrbücherei Bd. 11)

. . RM. 13.—, geb. RM. 14.50

Elliptische Funktionen. Von Dr. Karl Boehm, Professor an der Technischen Hochschule Karlsruhe.

I. Teil: Theorie der elliptischen Funktionen aus analytischen Ausdrücken entwickelt. Mit 11 Figuren. Oktav. XII, 356 Seiten, Neudruck 1930. (Samml. Schubert Bd. 30) . . Geb. RM. 20.— II. Teil: Theorie der elliptischen Integrale. Umkehrproblem. Mit 28 Figuren. Oktav. VII, 180 Seiten. 1910. (Samml. Schubert Bd. 61)

Geb. RM. 7.80

Einführung in die Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen. Von Heinrich W. E. Jung, o. ö. Professor an der Universität Halle-Wittenberg. Mit 35 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. VI, 246 Seiten. 1923 .........

Potentialtheorie. Von Dr. W. Sternberg.

I. Die Elemente der Potentialtheorie. Mit 5 Figuren. 136 Seiten. 1925.

Geb. RM. 1.62

II. Die Randwertaufgaben der Potentialtheorie. Mit 1 Figur. 133 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 944)

Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen. Von Professor Dr. A. Wangerin in Halle a. d. S.

I. Teil: Mit 46 Figuren. VIII, 255 Selten. Unveränderter Neudruck.

1922. (Samml. Schubert Bd. 58)    . .

II. Teil: Mit 17 Figuren. VIII, 286 Seiten. 1921. (Samml. Schubert Bd.59)

Geb. RM. 4.—

Numerische Integration. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 2 Figuren. 116 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 864)

(Samml. Göschen Bd. 901)

RM. 3.50, geb. RM. 4.—

Geb. RM. 1.62

. . Geb. RM. 4.—

. . Geb. RM. 1.62

Graphische Integration. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 53 Figuren. 142 Seiten. 1920. (Samml. Göschen Bd. 801)    .... Geb. RM. 1.62

. . RM. 20.

geb. RM. 21.50

Methoden der praktischen Analysis. Von Professor Dr. Fr. A. Willers a. d. Bergakademie Freiberg (Sachsen). Mit 132 Figuren. 344 Seiten. 1928. (Göschens Lehrbücherei Bd. 12)    . .

Der Band gibt dem Mathematiker einen Einblick in die Anwendungsmöglichkeiten der Methoden und macht den Naturwissenschaftler und Ingenieur mit den theoretischen Grundlagen bekannt.

Praktisches Zahlenrechnen. Von Professor Dr.-Ing. P. Werkmeister in Dresden. Mit 60 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 136 Seiten.

1929. (Samml. Göschen Bd. 405)

Geb. RM. 1.62

Mathematische Instrumente. Von Professor Dr. Fr. A. Willers. Mit 68 Figuren. 144 Seiten. 1926. (Samml. Göschen Bd. 922) . . Geb. RM. 1.62

Geodäsie (Landesvermessung u. Erdmessung). Von Prof. Dr.Gustav Förster. Mit 33 Figuren. 122 Seiten. 1927. (Samml.Göschen Bd.102) Geb. RM. 1.62

Vermessungskunde. Von Dr.-Ing. P. Werkmeister, o. Professor an der Technischen Hochschule Dresden.

I: Stückmessung und Nivellieren. Mit 146 Figuren. Fünfte Auflage.

Geb. RM. 1.62

163 Seiten. 1932. (Samml. Göschen Bd. 468) . . . Geb. RM. 1.62 II: Messung von Horizontalwinkeln, Festlegung von Punkten im Koordinatensystem. Absteckungen. Mit 93 Figuren. Dritte Auflage. 148 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 469) . . . Geb. RM. 1.62 III: Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachymetrie und Topographie. Mit 63 Figuren. Dritte Auflage. 144 Seiten. 1934. (Samml. Göschen Bd. 862)

. . RM. 6.50, geb. RM. 7.80

Grundlagen der Geometrie. Von Professor Dr. Gerhard Hessenberg. Herausgegeben von Dr. W. Schwan. Mit 77 Figuren. 143 Seiten. 1930. (Göschens Lehrbücherei Bd. 17)    . .

Inhalt: I. Gleichheit, Ordnung und Stetigkeit. II. Die Messung durch Zahlen. (Streckenmessung, Winkelmessung, Flächenmessung.) III. Die projektive Geometrie in der Ebene. (Der Fundamentalsatz. Analyse des Fundamentalsatzes. Beweis des Fundamentalsatzes.) IV. Die projektive Geometrie im Raume. (Der Fundamentalsatz. Der Desarguessche Satz. Die Koordinatengeometrie.) V. Künstliche Geometrien.

Grundzüge der ebenen Geometrie. Von Professor Dr. F. Bohnert in Hamburg. Mit 220 Figuren. VIII, 223 Seiten. 1915. (Samml. Schubert Bd. 2)

Geb. RM. 3.90

. . Geb. RM. 4.40

Ebene und sphärische Trigonometrie. Von Prof. Dr. F. Bohnert in Hamburg. Zweite Auflage. Dritter Neudruck. Mit 63 Figuren. VIII, 167 Seiten. 1919. (Samml. Schubert Bd. 3) . .

Ebene und sphärische Trigonometrie. Von Professor Dr. Gerhard Hessenberg. Mit 59 Figuren. Vierte Auflage. 171 Seiten. 1934. (Samml. Göschen Bd. 99)...................Geb. RM. 1.62

„Der Verfasser hat seine Aufgabe, in dem engen Rahmen nicht bloß alle wichtigen Formeln mitzuteilen, sondern auch die Grundgedanken, auf welchen dieselben beruhen, klar darzustellen und den Zusammenhang derselben, ihre Bedeutung und Anwendbarkeit hervorzuheben, vortrefflich gelöst.“

Archiv der Mathematik und Physik.

Einführung in die analytische Geometrie. Von Professor Dr. Gerhard Kowalewski. Mit 112 Figuren. Dritte, unveränderte Auflage. Lexikon-

Oktav. VIII, 360 Seiten. 1929    ..........Geb. RM. 11.20

Das aus Vorlesungen entstandene Buch ist namentlich zum Gebrauch für Studierende bestimmt.

Geb. RM. 7.70

Lehrbuch der analytischen Geometrie. Von Professor Dr. Friedrich Schur. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 81 Figuren. Groß-Oktav. XII, 248 Seiten. 1912

Geb. RM. 1.62

Analytische Geometrie der Ebene. Von Dr. R. Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. Zweite, verb. Auflage. Mit 60 Figuren. 164 Seiten. 1934. (Samml. Göschen Bd. 65)

Die Darstellung beginnt elementar und setzt nur die nötigsten planimetrischen und algebraischen Schulkenntnisse voraus. Es ist nicht nur die allgemeine Theorie der analytischen Gebilde ersten und zweiten Grades vollständig gegeben, sondern auch eine größere Zahl von speziellen Sätzen vornehmlich über die Kegelschnitte.

Sammlung von Aufgaben und Beispielen zur analytischen Geometrie der Ebene mit den vollständigen Lösungen. Von Dr. R. Haußner, o. ö. Professor an der Universität Jena. Mit 22 Figuren im Text. 139 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 256)..........Geb. RM. 1.62

Analytische Geometrie des Raumes. Von Dr. Robert Haußner o. ö. Professor an der Universität Jena. Mit 36 Figuren im Text. 132 Seiten.

1935. (Samml. Göschen Bd. 89)

Geb. RM. 1.62

Elementargeometrie der Ebene und des Raumes. Von Professor Dr. Max Zacharias, Studienrat in Berlin. Mit 196 Figuren im Text. 252 Seiten. 1929. (Göschens Lehrbücherei Bd. 16) . . . RM. 13.—, geb. RM. 14.50 Die Elementar geometrie wird nicht vom Standpunkte des Schulunterrichts, sondern von dem der Wissenschaft aus behandelt. Ausgangspunkt ist das (etwas modifizierte) Hilbertsche A xiomensystem. In der Darstellung treten zwei Momente in den Vordergrund : die geschichtliche Entwicklung und die prinzipielle Begründung der einzelnen Gebiete.

Koordinatensysteme. Von Professor Paul B. Fischer, Studienrat am Gymnasium zu Berlin-Steglitz. Mit 8 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 128 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 507) . . . Geb. RM. 1.62

Nichteuklidische Geometrie. Von Professor Dr. Richard Baldus. Mit 71 Figuren. 152 Seiten. 1927. (Samml. Göschen Bd. 970) . . Geb. RM. 1.62

Nichteuklidische Geometrie. Von Prof. Dr. H. Liebmann in Heidelberg. Mit 40 Figuren. Dritte Auflage. 150 Seiten. 1923. RM. 6.—, geb. RM. 7.—

Kreis und Kugel. Von Dr. Wilhelm Blaschke, o. Prof. a. d. Univ. Hamburg. Mit 27 Fig. im Text. Groß-Oktav. X, 169 S. 1916. RM. 4.40, geb. RM. 5.50

Algebraische Kurven. Neue Bearbeitung von Prof. Dr. H. Wieleitner, Oberstudiendirektor in München.

Erster Teil: Gestaltliche Verhältnisse. Mit 97 Figuren. Durchgesehener Neudruck. 146 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 435) Geb. RM. 1.62 Zweiter Teil: Allgemeine Eigenschaften. Mit 35 Figuren. Neudruck. 123 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 436).....Geb. RM. 1.62

Liniengeometrie mit Anwendungen. Von Professor Dr. Konrad Zindler in Innsbruck. I. Teil. Mit 87 Figuren. Neudruck. VIII, 380 Seiten. 1928.

(Samml. Schubert Bd. 34)

Geb. RM. 18.—

II. Teil. Mit 24 Figuren. VII, 252 Seiten. 1906. (Samml. Schubert Bd. 51)

Geb. RM. 9.50

Projektive Liniengeometrie. Von Dr. Robert Sauer, Prof, an der Technischen Hochschule Aachen. Mit 36 Abbild. Groß-Oktav. 194 Seiten.

1937. (Göschens Lehrbücherei Bd. 23.)

Geb. RM. 9.—

Projektive Geometrie. Von Dr. H. Timerding, Prof, an der Technischen Hochschule Braunschweig. Mit zahlreichen Figuren. 1937. (Samml.

Göschen Bd. 72.)

Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Aufgabensammlung zur projektiven Geometrie. Von Dr. H. Timerding, Professor an der Technischen Hochschule Braunschweig. Mit 65JFiguren. 140 Seiten. 1933. (Sammlung Göschen Bd. 1060).

Geometrische Transformationen. Von Dr. Karl Doehlemann. weil. Professor an der Technischen Hochschule München. Zweite Auflage, herausgegeben von Dr. Wilhelm Olbrich, Professor an der Hochschule für Bodenkultur in Wien. Mit 89 Figuren im Text und 4 Abbildungen. 254 Seiten. 1930. (Göschens Lehrbücherei Bd. 15) RM. 13.—, geb. RM. 14.50

Vorlesungen über allgemeine natürliche Geometrie und Liesche Transformationsgruppen. Von Dr. Gerhard Kowalewski, о. ö. Professor der reinen Mathematik an der Technischen Hochschule zu Dresden. Mit 16 Figuren. Groß-Oktav. 280 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 19)

RM. 15.50 geb. RM. 17.—

Affine Differentialgeometrie. Von Dr. Erich Salkowski, o. Professor an der Technischen Hochschule Berlin. Groß-Oktav. Mit 23 Figuren. 200 Seiten. 1934. (Göschens Lehrbücherei Bd. 22) ... .

. . Geb. HM. 10.—

Die vorliegende Darstellung ist aus Vorlesungen hervor gegangen, die der Verfasser an den Technischen Hochschulen Hannover und Berlin gehalten hat. Das Ziel dieses neuen Bandes von Göschens Lehrbücherei ist, den Anfänger, dem die Grundtatsachen der Vektorrechnung und der Differentialgeometrie geläufig

nur

sein müssen, mit den Begriffsbildungen der Tensorrechnung vertraut zu machen, die für das Verständnis der neueren differential-geometrischen und mathematischphysikalischen Forschung unentbehrlich sind. Dabei wurde darauf Bedacht genommen, von den einfachsten, allgemein bekannten Tatsachen ausgehend und in dauernder Verbindung mit der geometrischen Anschauung den Formelapparat der Ricci-Rechnung allmählich so zu entwickeln, daß er dem Lernenden nicht als ein analytisches Kunststück entgegentritt, sondern sich als ein naturgemäßes Hilfsmittel der geometrischen Forschung auf baut. Aus diesem Grunde wurde die Untersuchung auf die einfachsten Gegenstände beschränkt und grundsätzlich nur zweidimensionale analytische Gebilde betrachtet.

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie. Von

Dr. Georg Scheffers, Geh. Reg.-Rat, Professor an der Technischen Hochschule Charlottenburg. I. Mit 107 Figuren. Dritte, verbesserte Auflage.

XII, 482 Seiten. 1923 ..........RM. 13.—, geb. RM. 14.50

II. Mit 110 Figuren. Dritte, verbesserte Auflage. XI, 582 Seiten. 1922.

RM. 15.—, geb. RM. 16.50 Theorie der Raumkurven und krummen Flächen. Von Oberstudiendirektor Prof. Dr. V. Kommerell in Tübingen und Prof. Dr. К. Kommerell in Tübingen. I: Krümmung der Raumkurven und Flächen. Vierte Auflage. Mit 38 Figuren. 205 Seiten. 1931. (Göschens Lehrbücherei Bd. 20)

Geb. RM. 10.—

II: Kurven auf Flächen. Spezielle Flächen. Theorie der Strahlensysteme. Vierte Auflage. Mit 22 Figuren. 1931 . . Geb. RM. 10.—

. . RM. 5.—, geb. RM. 6.—

Vektoranalysis in ihren Grundzügen und wichtigsten physikalischen Anwendungen. Von Dr. Arthur Haas, a. o. Professor an der Universität Wien. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 37 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. VI, 147 Seiten. 1929 . . .

Vektoranalysis. Von Dr. Siegfried Valentiner, Professor für Physik an der Bergakademie Clausthal. Mit 16 Figuren. Vierte, umgearbeitete Auflage. 136 Seiten. 1929. (Samml. Göschen Bd. 354) . . . Geb. RM. 1.62

Darstellende Geometrie. Von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena.

Geb. RM. 1.62

Erster Teil: Elemente; Ebenflächige Gebilde. Vierte, verbesserte Auflage. Mit 110 Figuren im Text. 207 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 142)

Zweiter Teil: Perspektive ebener Gebilde; Kegelschnitte. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 88 Figuren im Text. 168 Seiten.

1930. (Samml. Göschen Bd. 143)

Geb. RM. 1.62

Dritter Teil: Zylinder, Kegel, Kugel, Rotations- und Schraubenflächen, Schattenkonstruktionen, Axonometrie. Von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena, und Dr. Wolfgang Haack, Privatdozent für Mathematik an der Technischen Hochschule Danzig-Langfuhr. Mit 65 Figuren im Text. 141 Seiten. 1931. (Samml. Göschen

Bd. 144)    .................... Geb. RM. 1.62

Vierter Teil: Freie und gebundene Perspektive, Photogrammetrie, kotierte Projektion. Von Dr. Robert Haußner, o. ö. Professor der Mathematik an der Univ. Jena, und Dr. Wolfgang Haack, Privatdozent für Mathematik an der Techn. Hochschule Danzig-Langfuhr. Mit 76 Figuren im Text. 144 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1063). Geb. RM. 1.62

Lehrbuch der darstellenden Geometrie. Von Dr. Karl Rohn, Geh. Rat, weiland Professor an der Universität Leipzig, und Dr. Erwin Papperitz, Geh. Rat, Professor an der Bergakademie in Freiberg i. Sa. Drei Bände. Groß-Oktav. I. Orthogonalprojektion. Vielflache, Perspektivität ebener Figuren, Kurven, Zylinder, Kugel, Kegel, Rotations- und Schraubenflächen. Vierte, erweiterte Auflage. XX, 502 Seiten. Mit 351 Figuren. Neudruck 1932..................Geb. RM 18.90

II.    Axonometrie, Perspektive, Beleuchtung. Vierte, umgearbeitete Auflage. VI, 194 Seiten. Mit 118 Figuren. Neudruck. 1932. Geb. RM. 8.55

. . .Geb. RM. 12.—

III.    Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, Regel-, abwickelbare und andere Flächen. Flächenkrümmung. Vierte, unveränderte Auflage. X, 334 Seiten. Mit 157 Figuren. 1923 . .

Darstellende Geometrie. Von Theodor Schmid, о. ö. Professor an der Technischen Hochschule in Wien. I. Teil: Eckige Körper, Kugel, Zylinder, Kegel, Plankurven und Raumkurven mit den zugehörigen Torsen im Normalriß verfahren und in orthogonaler Axonometrie. Dritte Auflage. Mit 170 Figuren. 283 S. 1922. (Samml. Schubert Bd. 65) Geb. RM. 6.— II. Teil : Schiefe und zentrale Projektion. Dreh-, Rohr-, Schrauben- und Regelflächen. Geländedarstellung, Kartenprojektion, Nomographie. Zweite Auflage. Mit 163Fig. 340S. 1923.(Samml. Schubert Bd. 66) Geb.RM. 7.50 Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von Dr. Otto Knopf, o. Professor der Astronomie an der Universität Jena. I. 112 Seiten. 1923. II. Mit 10 Figuren. 112 Seiten. 1923. (Samml. Göschen Bd. 508 und 871) Geb. je RM. 1.62 Eine knappe, klare Darstellung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, deren Wert für die mathematischen Grundlagen des Versicherungswesens, für die statistische Mechanik und neuerdings auch für das Fernsprechwesen auf der Hand liegt. Ausgieichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Von Wilhelm Weitbrecht, Professor der Geodäsie in Stuttgart. Zweite, veränderte Auflage.

I.    Teil: Ableitung der grundlegenden Sätze und Formeln. Mit 8 Figuren. Neudruck. 127 Seiten. 1919. (Samml. Göschen Bd. 302) Geb. RM. 1.62

II.    Teil: Zahlenbeispiele. Mit 8 Figuren. Neudruck. 141 Seiten. 1920.

(Samml. Göschen Bd. 641)

Geb. RM. 1.62

Versicherungsmathematik. Von Dr. Friedrich Boehm, Professor an der Universität München.

I.    Elemente der Versicherungsrechnung. 2., vermehrte u. verbeserte Auflage. 144 Seiten. 1937. (Sammlung Göschen Bd. 180) Geb RM. 1.62

II.    Lebensversicherungsmathematik. Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 171 Seiten. 1926. (Samml. Göschen

Bd. 917)

Geb. RM. 1.62

Der erste Band behandelt den Zins als erste, die Sterbetafel als zweite Rechnungsgrundlage, die Prämienreserve und die Versicherung verbundener Leben. Der zweite Band enthält außer einer eingehenden Behandlung der Lebensversicherungsmathematik eine Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung.

Politische Arithmetik. (Zinseszinsen-, Renten- und Anleiherechnung.) Von Dr. Emil Foerster, Honorardozent an der Technischen Hochschule in Wien. Mit 7 Figuren. 155 Seiten. 1924. (Samml. Göschen Bd. 879)

Geb. RM. 1.62

Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik. Von Professor Dr. M.Pirani. Zweite, verbesserte Auflage, besorgtdurch Dr. J.Runge. Mit 71 Abbildungen. 149 Seit. 1931. (Samml. Göschen Bd. 728) Geb. RM. 1.62 Von der einfachen Darstellung von Größen mit unbekanntem Zusammenhang in Form von Kurven oder Skalen ausgehend, geht der Verfasset zur Darstellung von Größen bekannter Abhängigkeit (Funktionsskalen, insbesondere logarithmische projektive Teilung) über und bespricht dann die Aufstellung von Rechentafeln namentlich mit der Methode der fluchtrechten Punkte oder mit Hilfe mehrerer gekreuzter Linien.

Graphische Statik mit besonderer Berücksichtigung der Einflußlinien. Von Dipl.-Ing. Otto Henkel, Bauingenieur und Studienrat an der Baugewerkschule in Erfurt. 2 Teile. 1929. (Samml. Göschen Bd. 603 u. 695).

Geb. RM. 1.62

Statik. I. Teil: Die Grundlagen der Statik starrer Körper. Von Professor Dr.-Ing. Ferd. Schleicher in Hannover. Mit 47 Abbildungen. 143 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 178)..........Geb. RM. 1.62

Ballistik. Von Dr. Theodor Vahlen, o. ö. Professor der reinen und angewandten Mathematik in Berlin. Mit 53 Abbildungen. Groß-Oktav.

XII, 231 Seiten. 1922

RM. 9.—, geb. RM. 10.—

Geb. RM. 1.62

Getriebelehre I: Geometrische Grundlagen, Von Dipl.-Ing. P. Grodzinski u. Dr.-Ing. H. Polster. Mit 127 Figuren. 138 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1061)

Getriebelehre II: Angewandte Getriebelehre. Von Dipl.-Ing. P. Grodzinski. Mit 196 Figuren. 142 Seiten. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1062).

Geb. RM. 1.62

Geb. RM. 1.62

Dynamik. Von Prof. Dr. Wilhelm Müller. I: Dynamik des Einzelkörpers. Mit 70 Figuren. 160 Seiten. 1925. (Samml. Göschen Bd. 902) Geb.RM. 1.62 II: Dynamik von Körpersystemen. Mit 51 Figuren. 137 Seiten. 1925. (Samml. Göschen Bd. 903)

Flugtechnisches Handbuch. Unter Mitarbeit zahlreicher Fachleute herausgegeben von Roland Eisenlohr.

4 Bände. I: Aerodynamik und Flugzeugbau. II: Flugzeugführung. Luftverkehr und Segelflug. III: Triebwerk und Sondergebiete des Flugwesens. IV: Flugwetterkunde, Ballone, Luftschiffe.

Jeder Band kart. RM. 7.50

Deutschlands Luftfahrt und Luftwaffe. Entwicklung — Leistung — Gliederung — Aufgaben — Berufe. Von Ministerialrat H. Geyer (Samml. Göschen Bd. 1107).

Das Kriegsflugzeug. Flugzeugarten, militärische und technische Anforderungen. Von Oberleutnant a. D. Georg W. Feuchter und Ingenieur Richard Schulz. Mit 33 Abbildungen (Samml. Göschen Bd. 1108).

Mechanik des Motor- und Segelfluges. Von Prof. Dr. Emil Everling und Dr.-Ing. Horst Müller. Mit 42 Abbildungen (Samml. Göschen Bd. 841).

Konstruktion der Motorflugzeuge. Von Dipl.-Ing. Hermann Landmann. Mit 100 Abbildungen. (Samml. Göschen Bd. 1105).

Konstruktion der Segelflugzeuge. Von Dipl.-Ing. Waldemar Beyer. Mit 50 Bildern. (Samml. Göschen Bd. 1106).

. . RM. 15.—, geb. RM. 16.50

Aerodynamik des Fluges. Eine Einführung in die mathematische Tragflächentheorie. Von Professor Dr. Harry Schmidt. Mit 81 Figuren. VII, 258 Seiten. 1929 . . .

Hydraulik. Von Professor Dipl.-Ing. W. Hauber in Stuttgart. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Neudruck. Mit 45 Figuren.

156 Seiten. 1925. (Samml. Göschen Bd. 397).....Geb. RM. 1.62

Das Buch enthält eine Darstellung der Hydrostatik und bringt aus der Hydrodynamik: Ausfluß des Wassers aus Gefäßen; Überfall des Wassers über Wehre; Die Bewegung des Wassers in Flüssen und Kanälen; Die Bewegung des Wassers in Röhren mit konstantem Querschnitt; Stoß eines zylindrischen oder prismatischen Wasserstrahls auf eine Zylinder fläche.

Geb. je RM. 1.62

Elastizitätslehre für Ingenieure. Von Professor Dr.-Ing. Max Enßlin an der Höheren Maschinenbauschule Eßlingen. 2 Bde. (Samml. Göschen Bd. 519 und 957)

Einführung in die geometrische Optik. Von Dr. W. Hinrichs, Berlin-Wilmersdorf. Mit 56 Figuren. Zweite, verbesserte Auflage. 143 Seiten. 1924. (Samml. Göschen Bd. 532).............¹

Geb. RM. 1.62

. . Geb. RM. 1.62

Technische Tabellen und Formeln. Von Reg.-Baurat a. D. Prof. Dr.-Ing. W. Müller. Mit 105 Figuren. Dritte, verbesserte und erweiterte Auflage. 151 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 579) . .

Einführung in die Differentialgleichungen der Physik. Von Professor Ludwig Hopf. Mit 49 Abbildungen. 1933. (Samml. Göschen Bd. 1070)

Geb. RM. 1.62

Theoretische Physik. Von Dr. Gustav Jäger, Professor der Physik an der Universität Wien. 5 Bände.

Geb. RM. 1.62

I.    Band: Mechanik. Mit 25 Figuren. Sechste, verbesserte Auflage. 150 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 76)

II.    Band: Schall und Wärme. Mit 7 Figuren. Sechste, umgearbeitete und vermehrte Auflage. 133 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 77)

Geb. RM. 1.62

III.    Band: Elektrizität und Magnetismus. Mit 35 Figuren. Sechste, verbesserte Auflage. 151 Seiten. 1930.(Samml.Göschen Bd.78) Geb. RM. 1.62

IV.    Band: Optik. Mit 44 Figuren. Sechste, umgearbeitete und vermehrte Auflage. 148 Seiten. 1930. (Samml. Göschen Bd. 374) Geb. RM. 1.62

V.    Band: Wärmestrahlung, Elektronik und Atomphysik. Mit 16 Figuren. Sechste, umgearbeitete und vermehrte Auflage. 128 Seiten. 1930.

(Samml. Göschen Bd. 1017)

Geb. RM. 1.62

Einführung in die theoretische Physik. Von Dr. Clemens Schäfer, Professor an der Universität Breslau. I. Band: Mechanik materieller Punkte, Mechanik starrer Körper, Mechanik der Kontinua (Elastizität und Hydromechanik). Mit 272 Figuren im Text. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage. Groß-Oktav. XII, 991 Seiten. 1929.

RM. 45.

geh. RM. 48.—

II.    Band: Theorie der Wärme. Molekular-kinetische Theorie der Materie. Mit 88 Figuren im Text. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Groß-Oktav. X, 660 Seiten. 1929 .... RM. 28.—, geb. RM. 30.—

III.    Band. Erster Teil: Elektrodynamik und Optik. Mit 235 Figuren im Text. Groß-Oktav. VIII. 918 Seiten. 1932. RM. 37.50. geb. RM. 40 — Der zweite Teil des III. Bandes erscheint im Herbst 1937.

„Das vorliegende Werk füllt eine merkbare Lücke in der bisher vorliegenden Literatur über theoretische Physik aus. Was es von seinen Vorgängern unterscheidet, ist einmal die Verwendung aller modernen Methoden und zum zweiten die klare und ausführliche Darstellungsweise, welche auch das Studium schwieriger Kapitel zu einem Genuß macht.¹¹    Annalen der Physik.

Die Prinzipe der Dynamik. Von Dr. Clemens Schäfer, Prof, an der Universität Breslau. Mit 6 Fig. Oktav. 76 Seiten. 1919. . RM. 2.50

Einführung in die theoretische Physik mit besonderer Berücksichtigung ihrer modernen Probleme. Von Dr. Arthur Haas, a. o. Professor a. d. Universität Wien. I. Band. Fünfte und sechste, abermals völlig umgearbeitete und wesentlich vermehrte Auflage. Mit 67 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. X, 396 Seiten. 1930. RM. 8.50, geb. RM. 10.— II. Band. Fünfte und sechste, abermals völlig umgearbeitete und wesentlich vermehrte Auflage. Mit 85 Abbildungen im Text und auf sechsTafeln. Groß-Oktav. VIII,448 Seiten. 1930. RM.8.50, geb.RM.10.—

Das Naturbild der neuen Physik. Von Dr. phil. Arthur Haas, a. o. Professor a. d. Universität Wien. Mit 8 Figuren im Text. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. Groß-Oktav. V, 129 Seiten. 1932.

RM. 5.—, geb. RM. 6.—

Kleiner Grundriß der theoretischen Physik. Kleine, besonders bearbeitete Ausgabe der Einführung in die theoretische Physik. Von Dr. Arthur Haas, Professor für Physik a. d. Univ. Wien. Mit 22 Figuren.

Oktav. VII, 183 Seiten. 1934

Geb. RM. 5.BO

em

Dieser „Kleine Grundriß“ ist für die Leser bestimmt, die die Physik nicht als Hauptstudium, sondern nur als Ergänzung eines anderen Faches betreiben und deshalb auf die umfangreiche, zweibändige, schon in 6. Auflage vorliegende „Einführung in die theoretische Physik“ desselben Verfassers verzichten können. Für Studierende der Physik selbst soll der „Kleine Grundriß“ als erste Einleitung oder als Repetitorium dienen. Selbstverständlich ist der „Kleine Grundriß“ in sich abgeschlossenes, einheitliches und selbständiges Buch.

Die Umwandlungen der chemischen Elemente. Von Dr. Arthur Haas, Professor für Physik an der Universität Wien. Mit 31 Abbildungen, Oktav, VIII, 118 Seiten. 1935 ...........RM. 4.30, geb. RM. 5 —

Unter den wissenschaftlichen Leistungen der letzten drei Jahre (1932 bis 1934) haben vielleicht wenige so viel Interesse in weitesten Kreisen erweckt wie die umwälzenden Entdeckungen, die in dieser Zeit der physikalischen Forschung glückten: die Auffindung neuer Urbausteine der Materie (Neutron und Positron), der experimentelle Nachweis der Entstehung von Materie aus Licht, die Feststellung und Isolierung des schweren Wassers, die ungeahnten und durch neue Methoden ermöglichten Erfolge der Atomzertrümmerung und die künstliche Erzeugung von Radioaktivität.

Von diesen neuen Entdeckungen berichtet zusammen fassend, kurz und möglichst leicht verständlich das Büchlein von Haas in der Form von fünf Vorträgen: I. Die Materialisation des Lichtes — II. Die Grundstoffarten — III. Die Mittel der Atomzertrümmerung — IV. Die Ergebnisse der Atomzertrümmerung — V. Die künstliche Radioaktivität. 31 Abbildungen, fast durchweg Wiedergaben nach Photographien, gewähren einen anschaulichen Einblick in die Welt der Atome.

Atomtheorie. Von Dr. Arthur Haas, Professor für Physik an der Universität Wien. Mit 81 Figuren im Text und auf 5 Tafeln. Dritte, völlig umgearbeitete und wesentlich vermehrte Auflage. Oktav. VIII, 292 Seiten. 1936 ............RM. 8.50, geb. RM. 10.—

In dieser neuen Auflage haben auch die neuesten wissenschaftlichen Fortschritte, vor allem der Kernphysik, der Teilchenstrahlung, der Spektroskopie, der Struktur der Atomhüllen, sowie der neuen Anwendungen der Wellenmechanik Berücksichtigung gefunden.

Radioaktivität. Von Dr. Karl Przibram, Professor an der Universität Wien. Mit 31 Abbildungen. 142 Seiten. 1932. (Sammlung Göschen Bd. 317).

Geb. RM. 1.62

Teilchenstrahlen (Korpuskularstrahlen). Von Dr. H. Mark, Professor an der Universität Wien. Mit 59 Abbildungen. 152 Seiten. 1934. (Sammlung

Göschen Bd. 1083)

Geb. RM. 1.62

. . Geb. RM. 1.62

Spektroskopie. Von Dr. Karl Wilh. Meißner, o. Professor d. Experimentalphysik an der Universität Frankfurt a. M. Mit 102 Figuren. 1935. (Sammlung Göschen Bd. 1091) ....

Vorlesungen über Thermodynamik. Von Dr. Max Planck, Professor der theoretischen Physik an der Universität Berlin. Mit 5 Figuren im Text. Neunte Auflage. Groß-Oktav. XI, 288 Seiten. 1930. Geb. RM. 11.50

VERLAG VON WALTER DE GRUYTER & CO. IN BERLIN W 85 UND LEIPZIG CI

V. 1937.

Buchdruckerei Otto Regel G. m. b.H., Leipzig

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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