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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

von

Prot DipLsIng. W. Hauber

Mit 56 Figuren und einer Tafel

Hochbautechnische

Bibliothek

aus der Sammlung Göschen

Geologie von Dr. Edgar Dacqué.

I.    Allgemeine Geologie. Mit 75 Figuren.......Nr. 13

II.    Stratigraphie. Mit 56 Figuren und 7 Tafeln .... Nr. 846 Mineralogie von Prof. Dr. R. Brauns. Mit 132 Figuren. Nr. 29 Petrographie von Prof. Dr. W. Bruhns. Neubearb. von

Prof. Dr. P. Ramdohr. Mit 10 Abbild.........

Praktisches Zahlenrechnen von Prof. Dr.-Ing. P. Werkmeister. Mit 58 Figuren...............

Technische Tabellen u. Formeln v. Dr.-Ing. W. Müller.

Mit 106 Figuren.................. .

Materialprüfungswesen. Einführung in die moderne Technik der Materialprüfung von Dipl.-Ingenieur Prof.

K. Memmler.

I.    Materialeigenschaften. Festigkeitsversuche. Hilfsmittel

für Festigkeitsversuche. Mit 58 Figuren......

II.    Metallprüfung und Prütung von Hilfsmaterialien des

Maschinenbaues. Baumaterialprüfung. Papierprüfung. Schmiermittelprüfung. Einiges für Metallographie. Mit 31 Figuren....................

Statik von Prof. W. Hauber.

I. Die Grundlehre der Statik starrer Körper. Mit 82 Figuren. Nr. 178

Nr. 179

Nr. 173

Nr. 405

Nr. 579

Nr. 311

Nr. 312

II. Angewandte Statik. Mit 61 Figuren.........

Graphische Statik mit besonderer Berücksichtigung der Einflublinien von Dipl.-Ing. Otto Henkel. 2 Bfinde.

Mit 207 Figuren..............

Statische Berechnung des Bautechnikers von Dipl.-Ing. Walter Selckmann.

I.    Die statische Untersuchung der Bauteile des einfachen Wohnhauses. Mit 174 Figuren.......

II.    Die zusammengesetzte Festigkeit. Die statische Unter

suchung des eisernen Dachbinders. Die Standsicherheit. Mit 122 Figuren ...........Nr. 785

Festigkeitslehre von Prof. W. Hauber. Mit 56 Figuren. Nr. 288 Aufgabensammlung zur Festigkeitslehre mit Lösungen von Dipl.-Ing. R. Haren. Mit 42 Figuren .... Nr. 491 Hydraulik    ...

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МахЕпбМп. I Nomographic H

Max Mayer. I

Nr. 603, 695

Nr. 784

r.397

■fr. 584 2,903

Geometrisches Zeichnen von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn. Mit 290 Figuren und 23 Tafeln. Nr. 58 SchattenKonstruKtionen von Prof. J. Vonderlinn. Mit

Nr. 236

114 Figuren.....................

Nr. 57

Parallelperspektive. Rechtwinklige und schiefwinklige Axonometrie von Prof. J. Vonderlinn. Mit 121 Figuren. Nr. 260 Zentral-Perspektive von Hans Freyberger, neubearbeitet

von Prof. J. Vonderlinn. Mit 132 Figuren........

Nr. 142 Nr. 143

Darstellende Geometrie von Prof. Dr. Robert Haufener.

I. Mit 110 Figuren.................

II. Mit 88 Figuren..................

Die BaustoffKunde von Prof. H. Haberstroh. 3 Bände.

Nr. 506

I. Die Houptbaustoffe. Mit 35 Abbildungen.....

IL Die Baustoffe des Hochbaues. Mit 13 Abbildungen. Nr. 853

III. Die Baustoffe des Tiefbaues. Mit 26 Abbildungen . Nr. 854 Vermessungskunde von Prof. Dipl.-Ing. P. Werkmeister.

I.    Stackvermessung und Nivellieren. Mit 146 Figuren . Nr. 468

II.    Messung von Horizontalwinkeln, Festlegung von Punkten im Koordinatensystem. Absteckungen. Mit 84Fig. Nr. 469

Nr. 862

UI. Trigonometr. und barometrische Höhenmessung. Tachymetrie u. Topographie. Mit 61 Figuren . . .

Nr. 385

Das Veranschlagen im Hochbau. Kurzgefahtes Handbuch über das Wesen des Kostenanschlages von Architekt

B. D. A. Emil Beutinger. Mit 16 Figuren.......

Die Kostenberechnung im Ingenieurbau von Professor E. Kuhlmann und Dr.-Ing. H. Nitzsche. Mit 5 Tafeln . . Nr. 750 Bauführung von Arch. B. D. A. Emil Beutinger. Mit 20 Fig. Nr. 399 Maurer- und Steinhauerarbeiten von Prof. Dipl.-Ing.

W. Becker.

I.    Mauemu. Maueröffnungen;Fundamente. Mitl68Fig. Nr. 419

Nr. 420

II.    Bogen und Gewölbe; Steinerne Treppen. Mit

208 Figuren...................

Nr. 421

Nr. 761,762

Ш.FuSböden, Putz- und Stückarbeiten, Wandbekleidungen und Steingesimse. Mit 128 Figuren .... Schlosserarbeiten von Prof. E. Viehweger. 2 Bände.

Mit zahlreichen Figuren

Nr. 322

Eisenkonstruktionen im Hochbau von Ing. Georg

Janetzky. Mit 175 Abb................

Zimmerarbeiten von Prof. Carl Opitz.

Nr. 489

I.    Allgemeines, Balkenlagen, Zwischendecken u. Deckenbildungen, hölzerne Fufcböden, Fachwerkswände,

Hänge- und Sprenge werke. Mit 169 Figuren ....

II.    Dächer, Wandbekleidungen, Simsschalungen, Block-,

Nr. 490

Bohlen- und Bretterwände, Zäune, Türen, Tore,

Tribünen und Baugerüste. Mit 167 Figuren ....

Tischler- (Schreiner-) Arbeiten von Prof. E.Viehweger.

Nr. 502

I.    Materialien, Handwerkszeuge, Maschinen, Einzelverbindungen, Fuüböden, Fenster, Fensterladen,Treppen,

Aborte. Mit 628 Figuren auf 75 Tafeln.......

II.    Türen und Tore, Anordnung und Konstruktion,

Nr. 503

Haustüren, Tore, Balkontüren, Flurtüren. Mit 296 Figuren auf 105 Tafeln..............

III.Innere Türen, Pendeltüren, Schiebetüren, Drehtüren, Wandverkleidungen, Decken. Mit 323 Figuren. Nr. 755

Ländliche Bauten von Baurat Ernst Kühn.

1. Kultus- und Gemeinde-Bauten. Mit 64 Figuren . . Nr. 758 IL Das landwirtsch. Gehöft der Gegenwart. Mit 61 Fig. Nr. 759

Nr. 760

III. Landhäuser, Ferienhäuser, Arbeiterwohnungen, Gasthäuser und Wohnhäuser mit gewerblichen Anlagen. Mit 77 Figuren..............

Nr. 626

Militärische Bauten von Regierungsbaumeister R. Lang.

I. Mit 59 Figuren..................

Die Baukunst des Schulhauses von Prof. Dr.-Ing.

Ernst Vettcrlein.

I.    Das Schulhaus. Mit 38 Figuren..........Nr. 443

II.    Die Schulräume — Die Nebenanlagen. Mit 31 Figuren. Nr. 444 Märkte und Markthallen für Lebensmittel von Städt.

Baurat Richard Schachner.

I.    Zweck und Bedeutung von Märkten und Markthallen,

ihre Anlage und Ausgestaltung..........Nr. 719

II.    Markthallenbauten. Mit zahlreichen Figuren .... Nr. 720 Öffentliche Bade- und Schwimmanstalten von Geh.

Nr. 380

Der Eisenbetonbau von Regierungsbaumeister K. Rö&le.

Neubearbeitet von Dipl.-Ing. O. Henkel. Mit 77 Figuren. Nr. 349 Heizung und Lüftung von Ingenieur Johannes Körting.

I. Das Wesen und die Berechnung der Heizungs- und

Lüftungsanlagen. Mit 24 Figuren.........

II. Ausführung der Heizungs- und Lüftungsanlagen.

Mit 172 Figuren..................

Entwässerung und Reinigung der Gebäude von

Dipl.-Ing. Wilhelm Schwaab. Mit 92 Figuren.....

Gas- und Wasserversorgung der Gebäude von Dipl.-

Ing. W. Schwaab. Mit 119 Figuren...........

Wohnhäuser von Reg.-Baumeister Kurt Gabriel.

I.    Anlage und Konstr. des Wohnhauses. Mit 91 Fig. Nr. 839

II.    Die Räume des Wohnhauses. Mit 44 Figuren ... Nr. 840

Nr. 342

Nr. 343

Nr. 822

Nr. 412

Gasthäuser und Hotels von Architekt Max Wohler.

I. Die Bestandteile und die Einrichtung des Gasthauses. Mit 70 Figuren.............Nr. 525

II. Die verschiedenen Arten v. Gasthäusern. Mit 82 Fig. Nr. 526 Geschäfts- u. Warenhäuser von Baurat H. Schliepmann.

I. Vom Laden zum „Grand Magasin*. Mit 23 Figuren. Nr. 655 II. Die weitere Entwicklung d. Kaufhfiuser. Mit 39 Figuren. Nr. 656 Industrielle und gewerbliche Bauten (Speicher, Lagerhäuser und Fabriken) von Architekt Heinrich Salzmann.

I. Allgemeines über Anlage und Konstruktion der industriellen und gewerblichen Bauten.......

Nr. 511

II. Speicher und Lagerhäuser. Mit 121 Figuren .... Nr. 512

Nr. 513

III. Fabriken. Mit 154 Figuren

Oberbaurat Dr. Carl Wolff. Mit 51 Figuren Sportanlagen von Prof. Dr. E. Schmitt. I. Mit 78 Figuren. Nr. 684

Weitere Bände sind in Vorbereitung

Sammlung Groschen

Festigkeitslehre

Von

Professor Dipl.-Ing. W. Hauber

in Stuttgart

Mit 56 Figuren und 1 Tafel

Achter Neudruck

Berlin und Leipzig

Walter de Gruyter & Co.

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner — Veit & Comp.

1923

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KRAKÓW

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Hr.

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

Druck von

C. G. Röder G. m.b. H., Leipzig. 840223.

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Inhaltsverzeichnis.

I. Kapitel.

Physikalische Grundlagen.

§ 1. Elastizität und Festigkeit.......

§ 2. Zug- und Druckspannung. Elastizitätsgesetz der Dehnung § 3. Schubspannung. Elastizitätsgesetz der Schiebung § 4. Zulässige Beanspruchung für Zug, Druck und Schub bei ruhender und veränderlicher Belastung ....

Seite

10

15

18

II. Kapitel.

Trägheits- und Widerstandsmoment ebener Figuren.

22

§ 5. Definitionen...........

23

§ 6. Sätze über das Trägheitsmoment .....

25

§ 7. Werte von J und W für wichtige Querschnittsformen

31

§ 8. Graphische Bestimmung von Jj? für beliebig umgrenzte Figuren ...........

III. Kapitel.

Biegungs-(Angriffs-)Moment und Transversalkraft.

§ 9. Definitionen..........

§ 10. Biegungsmomentenlinien für den Träger mit zwei Stützen §11. Biegungsmomentenlinien für den einseitig eingespannten

Träger ...........

§ 12. Maximalbiegungsmoment il/max ......

§ 13. Graphische Ermittlung von Mm&x.....

§ 14. Л/ш&х und die Transversalkraft......

У. Kapitel.

Die Spannungen im stabförmigen Körper mit gerader Achse.

§ 22. Die Normalspannung bei axialem Zug oder Druck § 23. Die Spannungen bei Biegung......

A)    Neutral-(Null-)Achse des Querschnittes

B)    Normalspannung. Gefährlicher Querschnitt

C)    Horizontale und vertikale Schubspannung .

D)    Schiefe Spannung.......

§ 24. Die Schubspannung der Drehung (Torsion) .

§ 25. Die Normalspannung bei exzentrischer Belastung. Knik

kungsformel von Navier.......

§ 26. Die Normalspannung bei Mauera und Gewölben .

A)    Mauern mit konstantem Profil ....

B)    Mauern mit Strebepfeilern.....

C)    Tonnengewölbe........

§ 27. Die schiefe Spannung b. gleichzeitiger Biegung u. Drehung (Torsion) am zylindrischen Stab......

Anhang.

§ 28. Über die Aufgabe der Dimensionierung stabförmiger Körper mit Beispielen .    .    ......

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IV. Kapitel.

Die Biegungskurve und ihre Anwendungen.

§ 15. Gleichung der Biegungskurve (elastischen Linie)

§ 16. Die Wellenlinie als Gleichgewichtsform bei exzentrischer

Belastung...........

§ 17. Knickbelastung. Formel von Euler.....

§ 18. Kontinuierlicher Träger. Auflagerdrücke und Maximalbiegungsmoment .    .......

§ 19. Der Satz von Mohr .    .......

§ 20. Anwendung auf die Biegungspfeile einfacher Träger § 21. Numerisches Beispiel für die Bestimmung von Auflagerdrücken usw. bei kontinuierlichem Träger nach Mohr

Seite

55

59

62

66

74

77

80

Literatur -Verzeichnis.

Bach, Elastizität und Festigkeit. 6. Auflage. Berlin, 1911.

Brauer, Festigkeitslehre. Leipzig, 1905.

Castigliano, Théorie de l’équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Turin, 1880.

Clebsch, Theorie der Elastizität fester Körper. Leipzig, 1862.

F ö p p 1, Technische Mechanik, III. Band : Festigkeitslehre. 5. Auflage. Leipzig, 1914.

G.'inzer, Grundriß der Festigkeitslehre. Dresden, 1890.

Grashof, Theorie der Elastizität und Festigkeit. 2. Aufl. Berlin, 1878.

Keck, Vorträge über Elastizitätslehre als Grundlage für die Festigkeitsberechnung der Bauwerke. 2. Auflage. Hannover, 1905 und 1908.

Klimpert, Elastizität und Festigkeit. Stuttgart, 1889.

Kriemler, Aus der Festigkeitslehre. Vevey, 1893.

Kurz, Taschenbuch der Festigkeitslehre. Berlin, 1878.

Lamé, Leçons sur la théorie mathématique d’élasticité des corps solides. Paris, 1852.

Lauenstein, Die Festigkeitslehre, elementares Lehrbuch. 12. Auflage. Leipzig, 1913.

Love, Treatise on the mathem. theory of elasticity. 2 Bände. Cambridge, 1892/93.

Müller, Elementares Handbuch der Festigkeitslehre. Berlin, 1875.

Müller-Breslau, Neuere Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. 4. Auflage. Leipzig, 1913.

Na vier, De la résistance des corps solides, éd. par de Saint-Venant. Paris, 1864.

Peter, Tragfähigkeitstabellen für Säulen und Stützen, Träger und Balken. Dresden, 1900.

Rebber, Die Festigkeitslehre und ihre Anwendung auf den Maschinenbau. 5. Auflage. Mittweida, 1909.

Re ul eaux, Abriß der Festigkeitslehre für den Maschinenbau. Braunschweig, 1904.

Sim erka, Elemente der Festigkeitslehre. 3. Auflage. Pilsen, 1898.

Tetmajer, Die angewandte Elastizitäts- und Festigkeitslehre. 3. Aufl. Wien, 1905.

Todhunter, History of the theory of elasticity and of the strength of materials from Galilei to the present time, ed. by Pearson. Cambridge, 1886/98.

Uhlich, Die Festigkeitslehre und ihre Anwendung. Mittweida, 1885. Weitzel, Die Schule des Maschinentechnikers, 8.Band: Die Festigkeitslehre, bearbeitet von G. Winzer. 3. Auflage. Leipzig, 1909. Weyrauch, von, Die Festigkeitseigenschaften und Methoden der Dimensionenberechnung von Eisen-und Stahlkonstruktionen. Leipzig, 1889.

Winkler, Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit. Prag, 1867. Wittsack, Einführung in die Festigkeitslehre. Hildburghausen, 18S5.

§ 1. Elastizität und Festigkeit.

Steht ein fester natürlicher Körper unter Einfluß äußerer Kräfte, so bringen diese eine mehr oder weniger meßbare Verschiebung der gegenseitigen Lage der kleinsten Teile des Körpers und eine Veränderung der sichtbaren G-estalt desselben hervor. Hören jene Kräfte auf zu wirken, so nimmt der Körper in verschieden hohem Grade seine ursprüngliche Gestalt wieder an. Die neue Gestalt kann auch eine bleibende geworden sein.

Die Eigenschaft der natürlichen Körper, nach Aufhören der Wirkung dieser Kräfte bis auf einen gewissen Rest die ursprüngliche Gestalt wieder anzunehmen, heißt Elastizität.

Körper, bei welchen dieser Rest = 0 wäre, heißen vollkommen elastisch, solche, bei welchen von einem Punkte des Körpers ausgehend die Elastizitätsverhältnisse nach allen Richtungen dieselben sind, isotrop. Vollkommen elastische Körper gibt es in der Natur nicht.

In jedem Augenblick des Deformations Vorganges steht jeder kleinste Teil des Körpers unter Einfluß innerer, von den benachbarten Teilen ausgehender Kräfte, die fortgesetzt ihre Größe ändern und schließlich von solchem

Werte werden können, daß sämtliche kleinste Teile und damit der Körper selbst zur Ruhe und zu neuer Gleichgewichtsform gelangt. Übersteigt hierbei das zur Herbeiführung des Gleichgewichts nötige Maß jener inneren Kräfte an irgend einer Stelle des Körpers eine gewisse, von der physikalischen und chemischen Beschaffenheit, der Temperatur sowie der geometrischen Gestalt des Körpers abhängige Grenze, über welche hinaus der Körper jene Kräfte nicht mehr hervorzubringen vermag, so tritt eine Zerstörung des Zusammenhanges des Körperganzen, d. h. ein Bruch desselben ein.

Tragfestigkeit,

Der Höchstwert des Widerstandes, den ein Körper dieser Zerstörung entgegenzusetzen vermag, heißt seine Festigkeit (Bruchfestigkeit Bruchmodul t) (vgl. § 2, Anm. 4, Schluß).

Je nach Art der Wirkung der äußeren Kräfte unterscheidet man (unter Voraussetzung stabförmiger Körperform) :

1.    die Zugfestigkeit oder den Widerstand gegen Zerreißen,

2.    die Druckfestigkeit oder den Widerstand gegen Zerdrücken,

3.    die Biegungs- (relative) Festigkeit oder den Widerstand gegen Zerbrechen durch Biegung,

4.    die Schub-(Scher-)Festigkeit oder den Widerstand gegen Abscheren,

5.    die Knickfestigkeit oder den Widerstand gegen Zerknicken,

6.    die Drehungs-(Torsions-)Festigkeit oder den Widerstand gegen Verdrehung (Torsion),

7.    die zusammengesetzte Festigkeit oder den Widerstand gegen Beanspruchungen, die aus mehreren der zuvorgenannten zusammengesetzt sind.

Die Ermittelung der Zahlwerte der Festigkeit ist Gegenstand von Versuchen der Ingenieurlaboratorien (Werdersche Festigkeitsmaschine).

Bei manchen Materialien, z. B. Eisen, steht die Festigkeit wesentlich in Zusammenhang mit der chemischen Zusammensetzung. Innerhalb gewisser Grenzen erhöht die Zunahme des Kohlenstoffgehalts des Eisens dessen Festigkeit gegen ruhende Last, vermindert sie aber gegen Stöße. In ähnlicher Weise wirkt ein Gehalt an Phosphor, der das Eisen bei Stößen schon bei gewöhnlicher Temperatur kristallinisch und brüchig macht.

Yon wesentlichem Einfluß auf die Festigkeit vor Eisen und Stahl ist (nach den grundlegenden Versuchen von Wöhler 1859—1870) die Art, Dauer und Häufigkeit der Beanspruchung und die Geschwindigkeit ihres Anwachsens auf ihren vollen Wert. Wenn die Beanspruchung eines prismatischen Stabes durch axiale Kräfte genügend oft und in rascher Aufeinanderfolge geschieht, findet ein Bruch schon bei weit geringerer Belastung statt als bei ruhender Last. Eine besonders starke Abnahme der Festigkeit findet statt, wenn, wie z. B. bei Maschinenteilen, der beanspruchte Zustand wiederholt in den unbeanspruchten übergeht oder, wie z. B. bei Brückenstäben, unter Einfluß der beweglichen Last Zug mit Druck abwechselt. Bei manchen Materialien, z. B. Gußeisen, Sandstein u. a., hängt die Festigkeit in hervorragender Weise von der geometrischen Gestalt des Versuchskörpers ab (vgl. Bach, Elastizität und Festigkeit).

Die Ermittelung der Größe jener inneren Kräfte (Spannungen), die bei gegebener Gestalt des Körpers und gegebenen äußeren Kräften den Zusammenhang des

Körperganzen vermitteln oder die Berechnung des Mindestmaßes gewisser Abmessungen desselben, die bei gegebenen äußeren Kräften und gewissen, die Festigkeit des Materiales zum Ausdruck bringenden, aus der Erfahrung geschöpften Zahl werten zum Zusammenhang nötig und hinreichend sind, ist Aufgabe der Festigkeitslehre.

§ 2. Zug- und Druckspannung. Elastizitätsgesetz der Dehnung.

Ein zylindrischer, dünner Stab aus elastischem Material von der Länge l cm und dem Querschnitt Pqcm (Fig. 1) stehe in seiner Schwerpunktsachse unter Wirkung von 2 gleichen, entgegengesetzten Zugkräften P, die so gewählt seien, daß sie weder bleibende Deformation noch Bruch des Stabes herbeizuführen vermögen. Die Wirkung der P verteile sich gleichförmig über die Endquerschnitte, so daß an jeder Stelle derselben die Belastung pro Flächeneinheit

— = o kg/qcm

von gleichem Werte sei.

Fig. 1.

Fig. 1 a.

Der Quotient о wird (Zug-Spannung genannt.

Nimmt man auf Grund von Beobachtungen die innerhalb gewisser Grenzwerte von о eintretende Längenänderung Я des Stabes proportional den Werten von l und о an und bezeichnet die auf die Einheit der ursprünglichen Länge unter Wirkung einer Spannung (7=1 kg/qcm entfallende Längenänderung mit a (Dehnungskoeffizient), so ergibt sich auf Grund obiger Proportionalität bei der ursprünglichen Stablänge l und der Spannung о die Längenänderung

Я = cc • !• а

oder

у = а • о .

I

Der Quotient у oder die auf die Längeneinheit des

l

Stabes entfallende Dehnung heißt relative (verhältnismäßige) Dehnung £, daher

€ = ос • a ,

d. h.: Die relative Dehnung ist gleich dem Produkt aus Dehnungskoeffizient und Spannung. (Hookesches Gesetz; Gesetz der elastischen Dehnung.)

Anmerkung 1. Sind, wie in Fig. la, die Kräfte P axiale Druckkräfte, so liefert dieselbe Betrachtung für die eintretende Verkürzung Я der Stablänge unter Annahme derselben Proportionalität von Я, l und о dasselbe Gesetz, о heißt dann Druckspannung, e auch relative negative Dehnung.

Anmerkung 2. Der Dehnungskoeffizient <x wird für ein und dasselbe Material unter Voraussetzung der in der Praxis üblichen Werte von о als unabhängig von о, d. h. als konstant und bei den meisten technisch wichtigen Materialien für Zug und Druck von gleichem Werte angenommen. Bei Gußeisen, Beton, Sandstein u. a. findet eine genaue Proportionalität zwischen e und о überhaupt nicht statt, und man pflegt dann an Stelle des Hookeschen Gesetzes die allgemeinere Relation

s « Ol . am

zu setzen, wo m einen von der Natur des Materiales und anderen Umständen abhängigen Exponenten bedeutet (vgl. Bach, Elastizität und Festigkeit).

Anmerkung 3. Elastizitätsmodul für Zug und Druck. Das Gesetz der Dehnung liefert

8 Я ’

wo

— als Elastizitätsmodul E (für Zug und Druck) be-ос

zeichnet wird, so daß

E=-r-

Wäre о diejenige Spannung, welche unter Voraussetzung physikalischer Möglichkeit eine Längenänderung Я gleich der ursprünglichen Stablänge l herbeiführen würde, so würde aus vorstehender Gleichung sich ergeben:

E — о ,

d. h.: Der Elastizitätsmodul (reziproker Wert des Dehnungskoeffizienten) ist gleich derjenigen Spannung a, welche eine Längenänderung des Stabes gleich seiner ursprünglichen Länge hervorrufen würde.

Mittlere Zahl werte für E:

kg/qcm

1000000

100000

2200000

Walzeisen (Schmiedeeisen) 2000000 Gußeisen

Holz (Faserrichtung)

Stahl (gehärtet)

Anmerkung 4. Proportionalitätsgrenze. Die Erfahrung lehrt die Gültigkeit einer Proportionalität von Я, l und a bei den technisch wichtigen Materialien nur

§2. Zug- u. Druckspannung. Eiastizitätegesetz d.Dohnung. 13

bis zu einem gewissen oberen Grenzwert von a (Proportionalitätsgrenze).

Überschreitet a, z. B. bei Flußeisen, diese Grenze, so tritt zunächst zwischen e und a eine andere Relation ein bis zu einem neuen Grenzwerte von о, von welchem an ein Wachsen von e bei einem fast gleichbleibenden a eintritt (Streckgrenze bei Zug, Quetschgrenze bei Druck). Schließlich führt ein immer mehr zunehmendes о zur Querschnittsänderung an irgend einer Stelle und zum Bruche (vgl. Bach, Elastizität und Festigkeit).

J)

Z>'

Ir

O A'B'G’ .Achse der Л

Fig. 2.

Ein Bild dieses Vorganges für einen Stab aus zähem Schmiedeeisen (Flußeisen) ist in Fig. 2 (Spannungs-d i a g r a m m) dargestellt :

Trägt man nämlich (Fig. 2) auf einer Geraden von einem festen Punkte О derselben aus die Werte von Я und im Endpunkt jedes Я senkrecht hiezu den zugehörigen Wert von P als Ordinate ab, so bezeichnet man die Kurve der Endpunkte der Ordinaten als Spannungskurve. Wegen der Proportionalität von Я und г, bzw. von P und a gibt sie auch ein Bild des Zusammenhanges von e und a. In Fig. 2 ist durch die von О

ausgehende Gerade OA die Proportionalität топ Я und P dargestellt. Der dem Endpunkt A entsprechende P

Wert von о = — bezeichnet also die Proportionalitätsgrenze. Die Kurve schließt sich dann in A tangentiell an O A an und verläuft nach anderem Gesetze weiter bis В, von welchem Punkte an sie im Teile B G nahezu parallel der Achse der Я bleibt. Das dem Punkte В P

entsprechende о = — gibt also die Streck- bzw. Quetsch-E

grenze an (das Material streckt sich bzw. quetscht zusammen vom Werte P = В И an bei nahezu gleichbleibendem P bis C). Yon G an steigt bei weiterer Zunahme von P die Kurve langsam an bis zu einem höchsten Punkte D. Nach Eintritt des entsprechenden Wertes von Я(= OU) beginnt der Stab an irgend einer Stelle bei Zug sich einzuschnüren (kontrahieren) bzw. bei Druck zu quetschen. Das zu weiterer Dehnung Я erforderliche P nimmt wieder ab, so daß das im Augenblick des Zerreißens tätige P(— ЕЕ') kleiner sich erweist als dasjenige, das die Kontraktion bzw. Quetschung herbeigeführt hat.

Die Bruchfestigkeit t des Stabes gegen Zug bzw. DU

Druck ist also durch о = —— dargestellt, falls auf die

Querschnittsänderung keine Rücksicht genommen wird.

Anmerkung 5. Bleibt о innerhalb der Proportionalitätsgrenze, so nimmt bei Aufhören der Wirkung von о der Stab eine neue Länge an, die nicht genau mit der ursprünglichen überein stimmt.

Die Differenz beider Stablängen heißt bleibende Dehnung.

Anmerkung 6. Diejenige Grenze von o, unterhalb welcher die bleibende Dehnung von solch geringem Werte ist, daß sie vernachlässigt werden kann, heißt Elastizitätsgrenze. In vielen Fällen läßt sie sich als mit der Proportionalitätsgrenze zusammenfallend betrachten.

§ 3. Schubspannung. Elastizitätsgesetz der Schiebung.

Der elastische stabförmige Körper (Fig. 3) stehe unter Einfluß äußerer Kräfte und befinde sich im Gleichgewicht. Ein Durchschneiden des Stabes längs der Querschnittsebene AB stört dasselbe.

в___-

Fig. а

Das Gleichgewicht kann jedoch г z. B. für den linksseitigen Körperteil wiederhergestellt werden, wenn u an ihm in jedem Flächenteil A F der Schnittfläche eine geeignete Kraft S angebracht wird, als deren Quelle der rechtsseitige Körperteil betrachtet werden kann.

Yon den beiden Komponenten N und T dieser Kraft normal und längs AB sucht die Normal kraft N den Flächenteil A F gegen den entsprechenden der rechtsseitigen Schnittfläche anzudrücken oder von ihm zu entfernen. N ist also Druck- oder Zugkraft. Die Kraft T sucht den Flächenteil A F in seiner Ebene zu verschieben, also vom entsprechenden Flächenteil der rechtsseitigen Schnittfläche zu trennen (abzuscheren) und heißt daher Schub- oder Scherkraft.

Unter Voraussetzung, daß bei kleinem A F sich die Wirkung von N und T gleichmäßig über diese Fläche A F verteile, nennt man den auf die Flächeneinheit von A F entfallenden Teil von N bzw. T

д-jp die Normalspannung a T

an jener Stelle.

-j— die Schubspannung г А .г

^ 'АГ*

"T

Fig. 3 a.

Nimmt man A F топ der Form eines sehr kleinen Quadrates, dessen eine Seite senkrecht zur Richtung von T steht, und schneidet man aus dem Stab ein kleines senkrechtes Prisma 0 PNM (Fig. 3 a) aus, dessen Grundfläche MN — A F sei (in Fig. 3 a projiziere sich A F in MN und das Prisma in dem Rechteck OPNM)₎ nimmt man ferner die andere Grundfläche OP als fest an, so tritt infolge der elastischen Wirkung von T eine Verschiebung von MN in seiner Ebene nach M'N' und eine Änderung der rechten Winkel bei О und P um den Winkel у ein, indem das senkrechte Prisma О PNM sich in das schiefe OPN'M' verwandelt. Die gegenseitige Verschiebung MM'= NN' der beiden Grundflächen MN und OP ist dann ausgedrückt durch

MM'= NN'= OM- tg у = PN- tg у .

Wählt man die Länge der Seitenkante OM = PN = 1 cm, so wird diese Verschiebung

MM'= NN'= tg у oder bei kleinem Winkel у nahezu MM'= NN'= у .

Bezeichnet man nun die gegenseitige Verschiebung MM'= NN' der beiden um die Entfernung 1 cm (Längen-

§ 3. Schubspannung. Elastizitätsgesetz der Schiebung. 1?

einheit) voneinander abstehenden Elemente MN und OP als relative Verschiebung oder kurz als Schiebung, so besagt obige Gleichung:

Die Schiebung ist gleich der (in analytischem Maß ausgedrückten) Änderung y des rechten Winkels zweier ursprünglich senkrecht zueinander stehender Flächenelemente (OP und OM).

Bezeichnet man ferner als Schubkoeffizient ß denjenigen Wert von y, um welchen der rechte Winkel der beiden senkrecht aufeinander stehenden Flächenelemente OP und О M unter Einfluß einer Schubspannung z = 1 kg/qcm sich ändert (bzw. die Strecke, um welche zwei um die Längeneinheit voneinander abstehende Flächenelemente OP und MN unter Wirkung einer Schubspannung г = 1 kg sich gegenseitig verschieben), so ergibt sich als Wert der Schiebung für die Schubspannung г, falls auf Grund von Versuchen у proportional т genommen wird:

(Elastizitätsgesetz der Schiebung),

i^_ß±

d. h. die Schiebung ist gleich dem Produkt aus Schubkoeffizient und Schubspannung.

Anmerkung 1. Der reziproke Wert von

heißt Elastizitätsmodul für Schub (vgl. § 2, Anmerk. 3).

Anmerkung 2. Hinsichtlich des Zusammenhanges von ß und oc ergibt sich nach Bach, Elastizität und Festigkeit für isotropes (vgl. § 1) Material

ß = I oc bis J oc .

Weiteres s. Bach, Elastizität und Festigkeit.

Hanber, Feetißkeitalehre.

§ 4. Zulässige Beanspruchung für Zug, Druck und Schub bei ruhender und veränderlicher Belastung.

Soll ein Bauwerk oder eine Maschine hinreichende Sicherheit gegen Bruch bieten, so darf vor allem an keiner Stelle irgend eines Konstruktionsteiles der Wert von о und г die entsprechende Bruchfestigkeit überschreiten. Hierzu tritt aber noch die Forderung, daß auch bleibende bzw. zu große Deformation des Materiales vermieden werden soll, d. h., daß die Werte von о und г die bezügliche Elastizitätsgrenze nicht überschreiten. Außerdem ist weiteren die Festigkeit beeinträchtigenden, der genauen Rechnung unzugänglichen Einflüssen wie Stößen, Rost, Mängeln des Materiales und der Berechnungsmethoden usw. Rechnung zu tragen. Man sucht all diesen Forderungen dadurch gerecht zu werden, daß man als praktische Bruchfestigkeit (zulässige Beanspruchung) des Materials nur einen Bruchteil der tatsächlich dem Material zukommenden Bruchfestigkeit annimmt. Das Verhältnis

-- (»»>i)

tn

zulässige Beanspruchung

tatsächliche Bruchfestigkeit

heißt Sicherheitskoeffizient.

Der Sicherheitskoeffizient ist im allgemeinen eine dem Ermessen des Konstrukteurs anheimgegebene Größe, der damit einem bestimmten Material gegenüber jeden beliebigen Sicherheitsgrad zum Ausdruck bringen kann. Bei Walzeisen und Stahl ist es üblich m = 3, bei Holz m = 10, bei Gußeisen m = 6 zu nehmen; man redet dann von 3 fâcher, 10 fâcher usw. Sicherheit.

Im folgenden sei die zulässige Beanspruchung stets mit к (bzw. кя auf Zug, к auf Druck, k₉ auf

Schub, kb auf Biegung, kd auf Drehung) bezeichnet, so

daß allgemein к =

— t ist (t vgl. § 1). m

Die Werte von t und к sind hur dann von einem von der Wirkungsweise der äußeren Kräfte unabhängigen Werte, wenn diese eine langsam auf ihren Höchstwert an wachsen de und dann eine bleibende ist.

Durch Erfahrung und Versuche ist aber bei axial beanspruchten prismatischen Stäben aus Walzeisen, Flußeisen, Stahl und anderen Materialien festgestellt, daß ein rascher und häufiger Übergang vom spannungslosen in den beanspruchten Zustand oder von Zug in Druck und umgekehrt die Festigkeit des Materials herabsetzt auf Werte, die von den Grenzwerten der äußeren Kräfte abhängig sind.

Die Festigkeit bei veränderlicher Belastung heißt Arbeitsfestigkeit.

Besondere Fälle der Arbeitsfestigkeit sind:

die Ursprungsfestigkeit w, d. h. die Festigkeit eines Stabes, der nach dem beanspruchten Zustand wieder in den unbeanspruchten übergeht;

die Schwingungsfestigkeit s, d. h. die Festigkeit eines Stabes, der eine aufeinander folgende Beanspruchung von wechselndem Sinne und gleicher Größe erleidet.

(Bei Fluß- und Walzeisen z. B. ist t : и : s = 3 : 2 :1.)

Mittlere Zahlwerte der zulässigen Beanspruchung к bei ruhender Belastung (kg/qcm):

Material

Zug (/<*)

Druck (к)

Schub (k₉)

Schmiede- (Walz-) Eisen Eisendraht Flußeisen

750—1000

750—1000

600—750

1200

900-1200

900-1200

720-960

Material

Zug (kt)

Druck (к)    Schub (ks)

Gußeisen Gußstahl Flußstahl Eichen-Buchen-Kiefern-Tannen-Granit Kalkstein Sandstein Kalkstein-Sandstein-Steine aus Zement Guter Baugrund aus festem Sand-, Lehmoder Tonboden

Holz

Holz

Gemäuer

300

1500

900

1200—1500

1500

300

1200—1500

1200

960—1200

100

100

80

20

60

10

45

25

15-30

8—10

12

2,5—5    —

Weitere Zahl werte s. Bach, Die Maschineneieinente, Taschenbuch der Hütte, die Normen der Berliner Baupolizei vom 21. Febr. 1887 und des preuß. Ministeriums der öffentl. Arbeiten vom 16. Mai 1890.

Anmerkung. Die zulässige Beanspruchung des Betons ist sehr schwankend und hängt vom Mengenverhältnis und den Eigenschaften der zur Mischung verwendeten Materialien sowie vom Wasserzusatz ab. Zunehmendes Alter erhöht die Druckfestigkeit, ebenso der Einbau von Eisenstäben die Zug- und Druckfestigkeit. Mit der Abnahme des Prozentsatzes des Zementgehaltes nimmt die Druckfestigkeit ab; sie nimmt zu, wenn an Stelle runden Kieses scharfkantiger Steinschlag tritt.

Mittlere Werte der zulässigen Beanspruchung bei veränderl. Belastung für Eisen und Stahl (in kg/qcm).

Für Maschinenkonstruktionen möge auf die in Bach, Die Maßchinenelemcnte, enthaltenen, mit Ъ und c be-

zeichneten Spalten der Tafel der zulässigen Beanspruchungen verwiesen sein.

Für Brückenkonstruktionen und Hochbauten aus Eisen und Stahl mit veränderlicher Belastung pflegt man häufig für Fachwerkstäbe folgende Werte zugrunde zu legen (bei dreifacher Sicherheit) :

1. Bei veränderlicher Belastung in gleichbleibendem Sinne: (Hmin der untere, PL axialen Kraft P).

Nach Launhardt:

Für Schmiedeisen (Walzeisen)

max

der obere Grenzwert der

Flußeisen

ka = к = 700

(l + i-jN

\    -Umax/

800

(i+t-jH

\    ^max/

Flußstahl

900(l+f.

Bei Übergang vom beanspruchten in den spannungslosen Zustand ist Bmin = 0, bei ruhender Belastung

Pmin = В

2. Bei veränderlicher Belastung in -wechselndem Sinne (Wechsel von Zug und Druck): (Bń&x der absolut kleinere der beiden entgegengesetzt gerichteten Höchstwerte der axialen Kraft P).

Nach Weyrauch:

Pmin

max

j kg/qcm.

max

zu setzen.

900 (l - I

BL

max

j kg/qcm.

max

(Vgl. Weyrauch, Festigkeitseigenschaften und Methoden der Dimensionenberechnung.)

П. Kapitel.

Triigheits- und Widerstandsmoment ebener Figuren.

8 6. Definitionen.

In der Festigkeitslehre bezeichnet man das Produkt eines Flächenelementes A F in das Quadrat seines senkrechten Abstandes y (Fig. 4) von einer festen Geraden (Achse) L

AF*y²

als das axiale Trägheitsmoment des Elementes in Beziehung auf diese Achse, und das Produkt des

Fig. 4.

Elementes in das Quadrat seiner Entfernung r von einem festen Punkt О (Pol) der Ebene der Figur (Fig. 4)

A F-r*

als das polare Trägheitsmoment des Elementes in Beziehung auf diesen Pol.

Dementsprechend bezeichnet die Summe dieser Produkte für alle Elemente einer ebenen Figur

ZAF-y* = Jj;

bzw.

ZAF-r* =J°

das axiale bzw. polare Trägheitsmoment der Figur F in Beziehung auf Achse L bzw. Pol 0. Die Quotienten

ZAF-y*

У max

У max

bzw.

Jp

2 A F-r*

**max

= W°P,

**max

wo г/тах das absolut größte у, rmax das größte r aller Elemente der Figur bedeutet, bezeichnet man als axiales bzw. polares Widerstandsmoment W der Figur in Beziehung auf Achse L bzw. Pol O. (Gewöhnlich ist L eine durch den Schwerpunkt gehende Achse und 0 mit dem Schwerpunkt S der Figur zusammenfallend.)

§ 6. Sätze über das Trägheitsmoment.

1. Ist eine Figur vom Inhalte F gleich der Summe bzw. Differenz zweier Figuren von den Inhalten F: und F₂ (Fig. 5):

F=Ft±F₂,

rm

\jF

fijjt

Fig. б.

so liefert die Definition § 5 unmittelbar:

J у — Jpt i J Ft î

I. Das axiale Trägheitsmoment einer Figur,

d. h.:

deren Inhalt gleich der Summe bzw. Differenz der Inhalte zweier Figuren ist, ist gleich der Summe bzw. Differenz der Trägheitsmomente beider Figuren in Beziehung auf dieselbe Achse.

aF

____ш

2. Ist S der Schwerpunkt der Figur, e₀ dessen senk-

sTM~

____$ rechter Abstand von Achse L

(Fig. 6), so läßt sich mit Beziehung auf die Fig. 6, in der s durch S parallel L ge-- zogen ist, setzen:

Fig 6.

У = *o±2/i)

und mit diesem Wert wird

= 2AF-y² = 2AF-(е₀±У1)2 « 2 AF-el ± 2 2AF-e₀ y, + ZF-y\

= elZAF^ 2 e₀2AF-yY + Jf-

Da aber 2 A F • yx das Moment der Fläche F in Beziehung auf Schwerpunktsachse s bedeutet und somit gleich 0 ist (vgl. Bdchen. Statik I), so kommt:

d. h.:

Jp — eo F -f- J} ;

П. Das axiale Trägheitsmoment einer Figur ist gleich dem axialen Trägheitsmoment derselben in Beziehung auf die zur gegebenen Achse L parallele Schwerpunktsachse s vermehrt um das Produkt des Inhaltes F der Figui in das Quadrat ihres Schwerpunktsabstandes e0 von jener Achse.

3. Sind (xy) die Koordinaten des als Punkt gedachten Flächenelementes Д F in Beziehung auf ein rechtwinkliges

Koordinatensystem, dessen Ursprung der Pol О ist (Fig. 7), so kommt

r² = X² + У² >

J°F = 2AF-r² = 2 AF- (x² -f y²) — SAFx* + ZAF-y* = Ą

daher

-Achse

j ^c-Achee

somit :

iF]

Fig. 7.

Ш. Das polare Trägheitsmoment einer Figur ist gleich der Summe der beiden axialen Trägheitsmomente derselben, die in Beziehung auf zwei beliebige im Pole senk-recht aufeinander stehende Achsen gebildet werden können.

§ 7. Werte von J u. W für wichtige Querschnittsformen. I. Dreieck.

BL 1.

In Beziehung auf Seite a (Fig. 8) ist das axiale Trägheitsmoment eines unendlich schmalen Flächenstreifens von der Breite 5, der Höhe dy und dem Abstand у von jener Seite

Fig. 8.

Ъ : а = h — y : h (ÄHöhesenkr. zua), a(h-y)

b = —r~'

AF-yi — (b dy) y* ,

aber da also

so kommt für das Trägheitsmoment des ganzen Dreiecks in Beziehung auf Seite a

26 П. Trägheits- und Widerstandsmoment ebener Figuren. У-h

J$=ZAF-y*=*jl-

,, ,    , ahs

- ■ dy ■ уг = — ,

a (h — y)

und da nach Satz П, § 6

-*+(№

so kommt hieraus unter Benutzung des gefundenen Wertes von J%:

J>F==lk 1111,1 demnach Ю:= ijj = IjT (vsL§5)-

Die Biegungskurye und ihre Anwendungen.

(ta

^■(bdvW = 0

2=-^ t0’35 Мь+°>65 i •

J>F==lk 1111,1 demnach Ю:⁼ ijj ⁼ IjT (vsL§⁵)-

I*

II. Rechteck.

4- ъ -+D

In Beziehung auf Seite B G (Fig. 9) ist das axiale Trägheitsmoment des Flächenelementes von der Breite = B G = Ь, der Höhe dy und dem Abstand у von B G :

*___

AF-y* = (bdy)yi und somit für das ganze Rechteck :

„-i

st

c~

Fig. 9.

Г    hh 8

Jl=j(bdy)y* = — ₉

und da nach Satz П, § 6:

j™ = ą, ₊ Fą = Ą + (hK).(^\

so kommt hieraus unter Benutzung des gefundenen Wertes von Jfc

bk»

d F — "77Г

12

und nach § 5 das Widerstandsmoment des Rechtecks in Beziehung auf Achse s:

12

bh²

Spezieller Fall: Quadrat (b = h)

J’F - 12 ⁵ ^ ~ 6" •

Ш. Kreis.

Das polare Trägheitsmoment eines unendlich schmalen ringförmigen Elementes vom Radius g₎ der Breite dg

r*J

vd\

0\

Fig. 10.

in Beziehung auf seinen Mittelpunkt 0 (Fig. 10) ist:

AF• g² = (2 л g) dg • g² = 2 ng*dg ,

somit für den ganzen Kreis vom Radius r das polare Trägheitsmoment in Beziehung auf den Mittelpunkt:

j%-f2*e⁹de-j£    32

Л& dS —- = ca —

10

Q—0

я#

32    71 rP - caP

W2 =---„ „

—    IG

In bezug auf zwei senkrecht zueinander stehende senkrechte Durchmesser ist nach Satz III des § 6:

/£ = J} +

nr^ n№    d⁴

~Г ⁼ 'бГ= CÜ2Q

daher

und

\yd _ ⁷¹

6£_я#_

~ ¥"Mio *

IV. Halbkreis.

Jp ist die Hälfte des Wertes von J} für den Vollkreis, daher

d⁴

8 128

= ca — . 40

V. Kreisring.

Z) +

(Äußerer Durchmesser D, innerer Durchmesser d, Breite ^ ^ --- = d, mittlerer Durchmesser

Nach Satz I, § 6 ist in Beziehung auf einen Durchmesser d

7i dK

rd__Td Td _ ⁷¹D

JF — JFt — JFl — -gj“

Jf = ^(Z>⁴ - #) = ca 0,393 ô • rf⁸ .

64

Unter Benutzung dieser Resultate und der Sätze des § 6 bzw. der Definitionen des § 5 lassen sich die in Tafel I enthaltenen Werte von J und W leicht ableiten.

Numerische Beispiele.

1. Gesucht axiales J*F und WF für die in Figur 11 dargestellte schraffierte Figur (F = 29,5 qcm; Abstand des Schwerpunktes S vom unteren Ende des Steges 8,52 cm).

Auflösung:

F = AA'B'B - 2 CA'D'D ,

somit nach Satz I, § 6 in Beziehung auf Achse I:

Jf — JaäWB 2 JcA'&D und gemäß den Formeln der Tafel I

_ — гШШЯШЩVS L; |Ж;Г ;?

А.*—

«?

из

!§'

Fig. 11.

TI 12 • 12*

JF- 3

Nach Satz П, § 6 ist aber:

Ji =. J* + Fel = J> + 29,5 • 8,52»

daher

5,35 • 10,7« 3

= 2543 cm⁸.

Jl, = 2543 - 29,5 • 8,52» = 402 cm⁴

und

— 47,2 cm³.

402

8,52

2. Gesucht polares /$ und Wp der in Figur 12 dargestellten Fläche F.

Fig. 12.

Auflösung:

F-1+П+Ш,

daher

Jp = Z/¹ + «7/i + «/ш

2 • 12³    5.2s    5 • 2⁸

12

12

12

= 295 cm⁴.

Nach Satz Ш, § 6 ist aber:

jf = Jp + Jp = 2 Jp = 590 cm«

und

Wf.—

590

SA Уб⁸ + 1»

== 97 cm⁸.

§ 8. Graphische Bestimmung von J® für beliebig umgrenzte Figuren. (Nach Mohr.)

a) In Beziehung auf eine Schwerpunktsachse s. (Fig. 13 a und b.)

Man zerlege die gegebene Figur vom Inhalte F (Fig. 13 a) durch Parallelen zu s in schmale Streifen, bringe im Schwerpunkt jedes Streifens eine zu s parallele, dem Inhalt des Streifens gleiche Kraft f an und konstruiere für das erhaltene Kräftesystem ein Kräftepolygon A₀A^Ay..A₈. Wähle Ą.P einen beliebigen, am zweckmäßigsten einen zu dieser Strecke A₀A₈ symmetrisch gelegenen, von A₀A₈ um

и

senkrecht abstehenden Pol О und konstruiere hierzu das Seilpolygon ĄĄĄ...Ą.

Nach der Lehre vom Seilpolygon (Statik Bd. I, § 15) sind die in der Ecke B1 sich schneidenden Seilspan-iiungen Sq und 8tJ deren Größe und Sinn durch die

«r-

Fig. 13 a

!*

ft

ft

Ai

--

rtf

ч'чх

u*\ P /

D3 7°

ii

Fig. 13 b.

Polstrahlen ОA₀ und Ax О angegeben wird, mit /j im Gleichgewicht. Verschiebt man nun s₀ in ihrer Wirkungslinie mit ihrem Angriffspunkt bis zum Punkt Dt der Achse s, zerlegt sie dort in Komponenten V und H parallel und senkrecht zu der Richtung der f, so ist, wie aus Figur 13b ersichtlich, H gleich dem Abstand des Pols О von AqA₈₎ also

Der Gleichgewichtszustand der drei Kräfte ft, s₀ und s1 liefert die Momentengleichung um den Schnittpunkt Dt von sx mit Achse s:

—fixi + h-d₂d₁ = o

und durch Multiplikation mit xx

—fixi “I“    * A A) “ ^ *

also

fixi +    ’ A A) — Ö ,

woraus

ftx\ = F* ДА A A.

Bei geringer Breite des Streifens f± stellt fx x\ mit ziemlicher Annäherung das Trägheitsmoment des Streifens fx in Beziehung auf Achse s vor, also

Jfx ~= F • A A D₂ Bx .

Dieselbe Betrachtungsweise für jede folgende Ecke В des Seilpolygons angestellt liefert für die Trägheitsmomente der entsprechenden Streifen in Beziehung auf s

— F• AD₂D₃ B₂ ,

— F» AD₃DXB₃ usw.,

§ 8. Graphische Bestimmung von Jf usw. daher durch Addition

J*F = 2 Jf

= F( A D₁D₂ B₁ + A D₂ Ds B₂ + Д I)₃ D± Bs + . ..).

Da die durch B₈ gehende letzte Seilpolygonseite die Schwerpunktsachse 5 in demselben Punkte Dx trifft wie die erste, so stellt der Klammerausdruck den Inhalt F' der polygonal umgrenzten Fläche D₁B₁B₂ . . . B₈ vor, daher ist angenähert

J‘F= F-F'.

Fig. 13 c.

Dieser Wert nähert sich der genauen Größe von J*F um so mehr, je schmäler die Streifen sind. Bei оо schmalen Streifen wird das Seilpolygon zur Seilkurve (Fig. 13 c) und F' demnach von zwei Geraden und der Seilkurve begrenzt.

b) L sei eine beliebige Achse.

Man ziehe zu L die parallele Schwerpunktsachse 5 und bestimme nach Obigem J*F . JF ergibt sich dann nach Satz II, § 6:

JL = J*F -f F• (Fig. 13a und b).

Nun ist A OD₁Eco AOAqA₈, also, wenn DiJ senkrecht zu den Kräften f gezogen wird:

EO : D₁J = A₀A₈:ON

34 in. Biegungs- (Angriffs-) Moment und TransversaLkraffc. oder

EG = 2DiJ = 2 e₀

A „ ^ „ EG-D,J AGDXE =-

= «0,

somit

daher auch

Jj = Ą+ F- AGPXE = F(F' + AGP, E).

Ш. Kapitel.

Biegungs- (Angriffs-) Moment und Transversalkraft.

§ 9. Definitionen.

Ein prismatischer oder zylindrischer, als Träger dienender und an beliebigen Punkten abgestützter Stab

*Tr*

<-----о?

î:::I

--V?a

гп

Fig. 14.

ТА

Fig. 16.

te*

(Pig. 14) werde in Punkten seiner Schwerpunktsachse von beliebigen vertikalen Lasten angegriffen, die sämtlich in einer Ebene (Kraftebene) liegen und Auflagerreaktionen in derselben Ebene und normal zur Stabachse hervorrufen. Das linke Balkenende sei Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems mit der Stabachse als x-Achse. Ein Querschnitt AB im Abstande x vom Ursprung schneidet die durch die Stabachse gehende, zur Richtung der Lasten senkrechte Ebene längs UV (Fig. 15). Dann nennt man:

a)    die algebraische Summe der statischen Momente der sämtlichen an dem links von AB gelegenen Stabteil angreifenden Lasten und Auflagerwiderstände in Beziehung auf UV(oder in Beziehung auf Punkt S) das Biegungsmoment (Angriffsmoment) Mx in Beziehung auf Querschnitt x:

Mx = (x l±) -Pj_ (x %) P₂ (x    a₂) P₃ (x a₃)

(Kräfte in kg, Längen in cm, Mx in kgcm, Uhrzeigersinn positiv);

b)    die Resultante der am links von AB gelegenen Stabteil angreifenden Lasten und Auflagerwiderstände (gleich deren algebraischer Summe) die Transversal- (Vertikal-) Kraft Vx in Beziehung auf Querschnitt x:

Vx = W₁-P₁-P₂-Ps.

Die Kenntnis von Mx und Vx “setzt also diejenige der Auflagerwiderstände voraus. Wir beschränken uns daher zunächst auf Träger, für welche dieselben statisch bestimmbar sind oder für welche diese bei Berechnung von Mx und Vx nicht in Betracht kommen; ferner beschränken wir uns auf den Fall ruhender Belastung und den Stab mit geradliniger Achse.

§ 10. Biegungsmomentenlinien für den Träger mit zwei Stützen.

a).Bei konzentrierter Belastung.

Für einen beliebigen Querschnitt (Fig. 16) des konzentriert belasteten Trägers erhält man nach vorigem Paragraphen :

wenn X zwischen 1\ und P₂ : Mx = — Px x ,

wenn x zwischen P₂ und Wx: Mx = — Pxx—P₂(x — a₂)

— X( Px P₂) + P₂ a2 ) wenn x zwischen Wx und P₃\ Mx = —P₁x—P₂(x—a₂) + Wx(x - lx) = x(-Px -P₂ + Wx) + P₂a₂ - Wxlx, wenn x zwischen P₃ und P₄: Mx = —Pxx—P₂{x—a₂) + Wx (x - lx)- P₃ (x -a₃) = x(-Px- P₂ + Wx - Ps) + P₂a₂ — Wxlx + P₃a₃ usw.,

ip,

rfi

' 0t e «

♦ л*,

Fig. ia

wobei die a die Abstände der Angriffspunkte der Г vom linken Balkenende bezeichnen.

Diese Werte von Mx sind gültig, solange x je innerhalb der angegebenen Grenzlagen bleibt. Trägt man nun für irgend einen Querschnitt x das zugehörige Mx als Ordinate senkrecht zur ж-Achse ab, und zwar ein positives Mx nach unten, ein negatives Mx nach oben, so liegen, wie aus obigen Gleichungen ersichthch, die Endpunkte dieser Ordinaten, solange x innerhalb zweier aufeinander folgender Kräfte bleibt, auf einer Geraden. Diese ändert sich, wenn x in das benachbarte Intervall tritt. Der auf diese Weise entstehende polygonale Geradenzug О 0₂Qi0₃0iQ₂0bG heißt Biegungsmo-mentenlinie.

Für die Endpunkte des Trägers ist Mx = 0, daher geht die Biegungsmomentenlinie durch die Trägerenden.

Für konzentrierte Belastung ist die Biegungsmomentenlinie ein polygonaler, aus Geradenstücken bestehender Zug, dessen Ecken auf den Wirkungslinien der Lasten und der Auflagerwiderstände liegen.

by Bei stetig gleichförmiger Belastung von q kg/cm.

Für einen Querschnitt zwischen G₁ und Ai (Fig. 17) wird, da die Resultante der links vom Querschnitt angreifenden Belastungen gleich qx ist und in der Mitte von X angreift,

« <M

Mx = — qx •

für X zwischen AL und A₃ wird analog

Mx —

für X zwischen A₂ und C₂ wird analog qx²

2    Я⁷!(x — ^i) + ^2(x ~~ h) •

Diese Gleichungen enthalten x im zweiten, Mx im ersten Grad, daher liegen die Endpunkte der Ordi-naten Mx auf Parabelzweigen, die für jeden der drei

• * i

■x.* y.

..Lit!

kt

___N»

to

4--y

-a?

Fig. 17.

Zwischenräume verschiedenen Parabeln angehören. Die beiden äußeren Zweige haben die æ-Achse als Scheitel-tangenle. Daher:

Für stetig gleichförmige Belastung ist die Biegungsmomentenlinie ein aus Parabelbögen bestehender polygonaler Zug, dessen Ecken auf den Wirkungslinien von W₁ und W₂ liegen.

Spezieller Fall:

Stützen am Trägerende (Fig. 18).

Für irgend einen Querschnitt x wird

qx²    ql    qx

2    2    2 v    ;

Mx =

qx²

OQ

und für x

+ Wtx = -

0 oder ж == i M₀ = 0 bzw. Mi = 0 .

4Ą

Tif-Ą

7\

QOC

U'

+ 3!

—>1

Fig. 18.

Ferner für den tiefsten Punkt

d    - q I л

daher

also Scheitel der Parabel in Trägermitte und Biegungsmoment für x =

to| —

ql*

м,- V

c) Bei kombinierter, konzentrierter und stetig gleichförmiger Belastung.

Bei Biegungsmoinentenlinie ergibt sich dadurch, daß für irgend einen Querschnitt Mx gleich der algebraischen Summe der diesem Querschnitt entsprechenden Biegungsmomente der beiden Belastungssysteme ist (Fig. 19).

cv

ff*

. * i

Fig. 19.

Ist Mx das Biegungsmoment des Querschnittes x für konzentrierte, Mx dasjenige für gleichförmige stetige Last, so ist das kombinierte Biegungsmoment

Mx = Mx Mx (alg. Summe),

d. h. Mx wird wieder vom zweiten Grade in x. Daher :

Für kombinierte, konzentrierte und stetig gleichtörmigo Last ist die Biegungsmoinenten-linie ein aus Parabelbogen bestehender polygonaler Zug, dessen Ecken auf den Wirkuugs-

linien der konzentrierten Lasten und der Auflagerdrücke liegen.

§11. Biegungsmomentenlinien für den einseitig eingespannten Träger.

a) Bei konzentrierter Belastung.

Der Ausdruck Mx ergibt sich (Fig. 20) für

X zwischen C₀ und Px : Mx = 0,

X zwischen Pi und P₂: Mx = —-Px(x — ax) = x( — Px)

+ A ai ?

ж zwischen P₂ und P₃: Л4 — —Pi(x — ax) — P₂(x—a₂) = ж ( — P₁ — P₂) + ( P{ cti + p% a2) ) x zwischen P₃ und P₄: Mx = — Px(x —ax) — P₂(x—a₂) — P₃ (ж a₈) — ж ( PL P₂ — P₃)

+ (piai + P2<h + рз as) llsw‘

Da diese Ausdrücke vom ersten Grade sind, so folgt:

Bei konzentrierter Belastung ist die Biegungsmo-mentenlinie(bis zur Einspannstelle) ein aus Geradenstük-ken bestehender polygonaler Zug, der ganz auf der negativen Seite der Mg verläuft und dessen Ecken auf den Wirkungslinien der Lasten liegen.

ft.

7/''

-л4

¹ ja

23

Fig. 20.

b) Bei stetig gleichförmiger Belastung.

(<1 kg/cm.)

Für irgend einen Querschnitt wird (Fig. 21)

Mx =

-Vх- 2 ⁼

qliff/cm.

qx²

~T*

7//’

ОС ---у

г* .

Иг

+MJ

Fig. 21.

Daher:

Bei stetig gleichförmiger Last ist die Bie-gungsmomentenlinie eine ganz auf der negativen Seite der Mx verlaufende Parabel mit der rr-Achse als Scheiteltangente und dem Ursprung als Scheitel.

c) Bei kombinierter, konzentrierter und stetig gleichförmiger Belastung (Fig. 22).

Für diesen Fall ergibt dieselbe Betrachtung wie § 10, c:

Bei kombinierter Belastung ist die Biegungs-momentenlinie ein ganz auf der negativen Seite der Mx verlaufender polygonaler, aus Parabelbogen bestehender Zug, dessen Ecken auf den Wirkungslinien der konzentrierten Lasten liegen.

§ 12. Maximalbiegungsmoment Mm&x •

Im allgemeinen wird Mmax durch die absolut größte Ordinate der Biegungsmomentenlinie dargestellt.

Für den Träger mit zwei Stützen lehren die Figuren des § 10:

a) Bei konzentrierter Belastung tritt Mm&x an einer Ecke der Biegungsmomentenlinie auf, kann also

-Д&

Fig. 22.

nur über einer Stütze oder in der Wirkungslinie einer der Lasten .liegen.

dMx

b) Bei stetig gleichförmiger Belastung kann ifmax über einer Stütze oder dort liegen, wo die Biegungsmomentenlinie ihr Maximum (Tangente parallel ж-Achse) hat. Im letzteren Fall ergibt sich das zugehörige X nach den Regeln der Analysis aus dei Gleichung

dx

Spezieller Fall: Stützen am Trägerende (Fig. 18):

(vgl. § 10)

,f q^ . qi

m* = —r + Y-x

<IMX dx

also

daher wenn Q = q l die Gesamtlast bezeichnet.

c) Bei kombinierter, konzentrierter und stetig gleichförmiger Belastung. MmSLX liegt entweder an einer Ecke des polygonalen Zugs oder dort, wo einer der Bogen eine zur ж-Achse parallele Tangente hat.

Für den einseitig eingespannten Träger lehren die Figuren des § 11:

ql¹ 2    Ql

Für alle drei Belastungsarten liegt Mm&x an der Einspannstelle. Für stetig gleichförmige Belastung also

ql-₂

d/шах —

Beispiele:

für den in Fig. 23 dar-

max

und demnach für die Querschnitte an Stützen und Lasten

Жюо — —800 • 100 = —80000 kgcm (über der linken Stütze),

M₃₀₀ = -800 - 300 + 1600.200 = + 80000 kgcm , l/₅₀₀ = -800.500 + 1600 • 400 -300 • 200 — 180000 kgcm ,

Msoo = -800.800 + 1600.700 -300 . 500 —800 • 300 = 90000 kgcm ,

M₉₀₀ = —800 • 900 -f 1600.800 -300 • 600

max

-800.400-600 • 100 = 0 kgcm , also = \ 80000 kgcm am Querschnitt x — 500 cm .

£ao7f#

/боокр

... гио ZW JOOcm.

tûôTçç

mhj

soofy

Fig. 23.

2. Desgleichen für den in Fig. 24 dargestellten Träger.

h = Im;

⁼⁼⁼ 6 m j

Wx = 640 kg;

q = 2 kg/cm;

I = 8m;

W₂ = 960 kg .

liegt entweder über einer Stütze oder dort, wo das zwischen den Stützen liegende Stück der Biegungsmomentenlinie (Parabel) eine Tangente parallel ж-Achse hat. Demnach:

Mi00 = — (2 • 100)*    = —10000 kgcm (Stütze Ax)

Aufl.: M,

max

M₆₀₀ = —(2 • 600). Ц* + 640 - 500 = -40000 kgcm

(Stütze Ä₂).

Für einen zwischen den Stützen gelegenen Querschnitt X ist

daher

-(2-x)£ + 640 (x — 100),

а

= - 2x-j- 640 = 0, ax

Mx =

dMx

Р^бЮкд.

4- /v->

(f^zhgjcm

oc~ \3Z0

___V

+<*>

+лт

cc

— $oo

b -SZO

-4-—**«*-#

Fig. 24.

also

X = 320

und

3f₈₂₀ = -(2 - 320).^ + 640(320- 100)

= -f- 38 400 kgcm (relatives Maximum),

also Absolutwert des größten lfmax = 40000 kgcm über Stütze J₂.

§ 13. Graphische Ermittlung von Мтях.

Man konstruiere zu den gegebenen Lasten P (Fig. 25 a und b) das Kräftepolygon $l₀ 9L . . . $l₅ und mit beliebigem

Fig. 25 a.

iL_L

Wr

<F* ; h

to :

^psi

jP ■

:4

*7>

; J7

&Ork

гГМо-

£-,U -is-

^ JBi

rr7j

rll

•H

a,

4Ü

-Г

,5

//

CC₂

'C

/h T

4    >

»T

CL₄

Й/

Fig. 25 b.

Poi О das zugehörige Seilpolygon B₁B₂B₃... B₅₎ dessen erste Seite 1 und letzte Seite 6 die Auflagervertikalen in U und V schneiden, ziehe die Schlußlinie UF, so stellen die im Kräftepolygon 9t₀2I₅ durch den zu UV parallel gezogenen Polstrahl О T erzeugten Abschnitte und 2t₅ T nach Größe und Sinn die Auflagerdrücke Wt in Ät und JF₂ inA₂ vor. Das geschlossene Polygon UBLB₂... B₆ V ist ein Seüpolygon, das dem im Gleichgewicht sich befindlichen Gesamtkräftesystem der P und W zugehört.

Es sei X ein Querschnitt zwischen G₀ und Av Man schneide dieses Seilpolygon in denjenigen Stellen durch, in denen die durch diesen Querschnitt gezogene Vertikale dasselbe trifft, bringe in den Schnittstellen die den beiden durchschnittenen Seiten 1 und 3 entsprechenden Seilspannungen s₃ = 2l₂ 0 und = O$l₀ an, so bilden diese mit den zwischenliegenden Vertikalkräften Pt und P2 Gleichgewicht. Zerlegt man s₃ in die Horizontal- und Vertikalkomponente H und V₃ (U — Horizontaldistanz des Punktes О von 2t₀$l₅), dann liefert die Momenten-bedingimg des Gleichgewichts der fünf Kräfte s1} H, V₃₎ P₁ und P₂ in Beziehung auf S₁ als Momentenpunkt:

Mx + H • % == 0 (H und X absolut genommen),

Mx = -Hz

Dieselbe Betrachtung für einen zwischen Ax und A2 gelegenen Querschnitt x führt z. B., falls die Seiten UV und 4 von dem durch den Querschnitt geführten Vertikalschnitt getroffen werden, auf das Gleichgewicht der Kräfte s₄, suv, Px, P₂, P₈ und Wl. S₂ als Momentenpunkt liefert

— falls S₂ oberhalb Seite 4\ +    „ S₂ unterhalb „    4/¹

-°

MxTH-z Mx=±H-z.

Daher:

Liegt Querschnitt x in der dritten Teilstrecke A₂G^) so ergibt sich analog für die im Gleichgewicht befindlichen Kräfte s₅, s₆, P{, P₂, P₃, P₄, Wx und W2 und für den Punkt S₃ als Momenten punkt:

Mx+ H-z = 0 ,

Mx = — Hz .

Der absolute Wert des Biegungsmomentes Mx für irgend einen Querschnitt ist gleich dem Produkt des Horizontalzugs II des Seilpolygons in die Länge des in das geschlossene Polygon BlB₂B₃ . . . BLBbVU fallenden Stückes z der Querschnitts vertikal en.

Das Vorzeichen von Mx ist {-p}, je nachdem der

oberhalb

unterhalb

des

auf B^UVBh liegende Momentenpunkt j

anderen Schnittpunktes der Querschnittsvertikalen mit dem geschlossenen Seilpolygon liegt.

Das absolut größte Jfmax wird an demjenigen Querschnitt eintreten, für welchen der Wert von z ein Maximum ist, also entweder über einer der beiden Stützen oder zwischen denselben:

Дпах = Я*гшах (Я und zm&x absolut genommen) ,

wobei das größte zwischen Ai und A₂ liegende z sich leicht durch eine zu UV gezogene Parallele ergibt, die durch eine Ecke des Polygons (P₄) so gezogen wird, daß sie dasselbe nirgends schneidet.

Spezielle Fälle:

I. Träger an beiden Enden abgestützt (Fig. 26). Ax fällt mit (7₀, A₂ mit Ge zusammen. Die Punkte U und V fallen außerhalb B{ und Bb, somit UV und die

Hauber, Festigkeitslehre.

Momentenpunkte S oberhalb des Zuges BtB₂... Z?₅ • AL also stets positiv. üfmax zwischen Ax und A₂ :

max •

ALin3LX — H • %

Ąą-

Ai

rZr

,7s max

Ą\

Ж

If_i

5,

л_ tr 5.

6У

Fig. 26.

П. Einseitig eingespannter Träger (Fig. 27). A₂ fällt in unmittelbare Nähe von Ax. Pimkt V unbestimmt, also auch UV unbestimmt. Mx stets negativ,

da die Momentenpunkte sämtlich unterhalb des Zuges Bt ... B₅ liegen. Absolutwert des größten Mx an der Einspannstelle:

max •

^max — H-Z

AM/

4^-.

N.. I

\ 2, П1#л

st

JFl

>0

^jr

Fig. 27.

und die Transversalkraft.

max

§ 14. Mx

Die Figuren des § 10 lehren für den Träger mit zwei Stützen:

Bei konzentrierter Belastung kann Mm&x nur an einem Querschnitt auftreten, der einer Ecke der Biegungs-momentenlinie entspricht, also an einem Querschnitt, in welchem eine P oder W an greift.

Bei stetig gleichförmiger Belastung befindet sich Дпах an einem Querschnitt, für welchen die Biegungs-momentenlinie eine Tangente parallel der ж-Achse hat, oder über einer Stütze.

Bei kombinierter Belastung kann Мг oder W oder dort liegen, wo die Biegungsmomenten-linie eine horizontale Tangente liât.

шах

an einer P

-f

■ЬЛia>

Fig. 28 a u. b.

In allen Fällen liegt jedoch My

so, daß die Tangens des Richtungswinkels der Tangente derBiegungsinomenten-linie gegen die positive x-Achse in dem dem Werte MWSLX entsprechenden Punkte derselben einen Übergang von einem Vorzeichen in das entgegengesetzte aufweist. Dieser Übergang findet entweder sprungweise statt (Fig. 28 a), oder er geht stetig vor sich, d. h. die Tangens dieses Richtungswinkels ist für den dem Werte Мтях entsprechenden Punkte vom Werte =* 0 (Fig. 28 b).

шах

und die Transversalkraft.

§14 Щ

Nun ist die Tangens dieses Richtungswinkels aus-und da für jede Belastung des

53

max

dMx

gedrückt durch

ax

Trägers mit zwei Stützen (wobei eine stetig gleichförmige Last durch eine konzentrierte ersetzt gedacht werden kann) nach § 10:

Mx = x{ — P₁ — P₂ • . . + Wx — . . .) + Konst.,

so stimmt das Vorzeichen von    mit denjenigen

ax

von Vx überein. Daher:

Das Maximalbiegungsmoment eines beliebig (konzentriert oder stetig gleichförmig oder kombiniert) belasteten Trägers mit zwei Stützen liegt an demjenigen Querschnitt oder an einem derjenigen Querschnitte, für welchen die Transversalkraft Vx ihr Vorzeichen sprungweise oder stetig ändert, d. h. im letzteren Falle = 0 ist.

Beispiel.

für den in Fig. 29 dargestellten Träger (Wt = 1925 kg; W₂ = 1375 kg).

die Transversalkraft

max

Gesucht M,

Auflösung: Es sei mit

für einen dem Querschnitt x unendlich nahe gelegenen,

flinke 1 \rechtsj

von ihm sich befindlichen Querschnitt bezeichnet,

dann ergibt die Aufstellung des Wertes der Transversalkraft für die Querschnitte x =* 0 bzw. 200, 300, 400, 600 cm:

VI = — 600 kg ,

Zeichenwechsel,

^200 = -600 ks ;

FJ₀₀ = -600 + 1925 = +1325 kg ^зоо = + 1325 kg ,

^soo — +1326 kg j Vj₀₀ = -600 +    1925 -    3 • 100    =    1025 kg ,

V{₀₀ = -600 +    1925 -    3 • 100    -    300 = 725    kg ,

Zeichen-

Wechsel.

^600 = —600 +    1925 -    3 • 300    —    300

= 125 kg ,

Г»-₀₀ =—600 + 1925 - 3 300 - 300 - 900 = —775 kg

OOOcm,

IV

JL

ooolzg ,

\...г°0ш'к.--£°о -Ą-- zoo -Ą-2oo.---i »    зЬоЪд

ЬооТу

,zo< I

Ш Jt

Fig. 29.

Л/шах kann also stattfinden für x = 200 oder x = 600. Nun ist

M₂₀о = —600 • 200 == —120 000 kgcm ,

Мш = —600 • 600 + 1925 - 400 — 300 • 200

- (300.3) 150 = +215 000 kgcm ,

also Absolutwert des größten iTmax — 215000 kgcm (an der Last 900 kg).

IV. Kapitel.

¹

Gesucht Мл gestellten Träger.

²

Aufl.: Die Auflagerdrücke Wx und W₂ ergeben sich nach Statik Bd. I, § 47 :

TFj = 1600 kg 900 kg

Die Biegungskurye und ihre Anwendungen.

§15. Gleichung der Biegungskurye (elastischen Linie).

In Fig. 30 seien (xy) und (x + dx, y -f- dy) die Koordinaten zweier in unendlich kleiner Entfernung voneinander befindlicher Punkte S₀ und Sx der nach

+tZ*

u.

'o

+У

Fig. 30.

Eintritt der Biegung gekrümmten Stabachse in Beziehung auf ein beliebiges Koordinatensystem. Hinsichtlich der biegenden äußeren Kräfte mögen die Voraussetzungen des § 9 gelten. Die beiden Querschnittsebenen AqB₀ und AB, die in beiden Punkten normal zur Achse stehen, sind gegeneinander geneigt, und es schneiden sich diese beiden Linien, wenn die Biegungskurve als eine in der Kraftebene liegende ebene Kurve angenommen wird, im Kiümmungsmittelpunkt О der Stabachse für den Punkt S₀. Die ursprüngliche Lage A₁B₁ des Querschnitts AB vor der Biegung ist parallel zu A₀B₀₎ so daß eine zur Achse parallele, zwischen A₀ Bq und Ax B₁ gelegene Faserschicht p₀pt = dx eine Verlängerung oder Verkürzung Я = ptp erfährt. Nach dem Gesetz der elastischen Dehnung ist die relative Dehnung (oder Verkürzung) dieser Schicht

—— = ос • о (a-Spannimg in der Schicht)

PoPi

öder

dx •

Die Ähnlichkeit der Dreiecke ptpSx und S₀SxO liefert aber, wenn rj den senkrechten Abstand der Faserschicht von der durch S₀S₁ senkrecht zur Kraftebene gelegten Ebene bedeutet,

PtP ₌ PjSj

s₀si s₀o ’

oder

— = 1 dx ’

wenn q den Krümmungsradius im Punkte S₀ in absoluter Grüße bezeichnet. Daher kommt

sh о J

Ä(J =

Somit wird die an der Schicht wirkende gesamte Zug- oder Druckkraft, wenn b die Breite derselben (senkrecht zur Kraftebene) und dt] die Höhe, also bdrj den Querschnitt der Schicht bezeichnet,

(b dn) a — (b dri) .

OC • Q

Schneidet man nun den Stab längs A₀B₀ durch, so bleibt der von äußeren, in einer Ebene durch die Stabachse liegenden Kräften angegriffene linksseitige Stabteil im Gleichgewicht, wenn in sämtlichen Elementen (bdrj) von A₀B₀ die von den anstoßenden Faserschichten ausgeübten Zug- bzw. Druckkräfte desgl. Schubkräfte an ihm angebracht werden, und die Momentengleichung um die in S₀ zur Kraftebene senkrecht stehende Achse liefert für dieses Gleichgewicht, da die Momente der Schubkräfte je = 0 sind,

Mx — 2(b dr]) о • г) =0

(Summenzeichen erstreckt sich über alle Elemente von A₀Be) oder mit obigem Wert:

bdrj • rj²

-0,

мх-У

" <XQ

Mx

• 2(bdq)t]² = 0,

Mx--— = 0

(J axiales Trägheitsmoment des Querschnitts in Beziehung auf die Momentenachse bzw. Neutralachse, vgl. §§ 5 und 23).

Führt man nun für q den Wert der analytischen Geometrie:

Q =±

¹⁺Ш

sli

d*y

dx»

ein, jedoch mit der Modifikation, daß bei der flachen

Gestalt der Biegungskurve näherungsweise    = 0 ge-

dx

d²y

setzt werden kann, so kommt Mx • &

dx² ’

EJ•

oder wenn ^- — E (E/-Modul vgl. § 2), so kommt: d² y

—- = ^Mx (Gleichung der Biegungskurve)

Anmerkung 1. Ist bei positivem y die Kurve

d²y

konvex gegen die ж-Achse, also positiv, so muß,

da die linke Seite der Gleichung positiv wird, die rechte Seite ebenfalls positiv sein. Daher kann ohne Rücksicht auf das Doppelzeichen der rechten Seite für Punkte mit positivem у der Absolutwert von Mx als positiv in die Gleichung eingeführt werden, wenn Mx in jenen Punkten den Stab konvex gegen die ж-Achse biegt. Ist bei negativem у die Kurve konkav gegen

die ж-Achse, so ist ebenfalls positiv, somit muß dx²

auch in diesem Fall die rechte Seite positiv sein. Es müßte somit für Punkte mit negativem у der Absolutwert von Mx ebenfalls als positiv einzuführen sein, wenn in jenen Punkten das Moment Mx den Stab konkav gegen die ж-Achse biegt. Unter Voraussetzung der Definition von Mx (vgl. § 9) sind also die Momente derjenigen biegenden Kräfte desselben (in Be-

§ 16. Die Wellenlinie als Öleichgewichtsform usw. 59

ziehung auf Querschnitt x) alb positiv einzuführen, die den Stab in der Richtung der positiven i/-Achse konkav biegen (ohne jede Rücksichtnahme auf das Doppelzeichen der rechten Seite).

Sind die biegenden Kräfte von Mx vertikale nach unten gerichtete Lasten P und der linksseitige Auflagerdruck gleich W, und ist bei der Bildung von Mx der Uhrzeigersinn als positiv gewählt, sowie die positive y-Achse nach unten gerichtet angenommen so wäre

d²y

demnach die Gleichung der Biegungskurve : E J • —

dx²

— Summe der Momente der P — Moment von W in Beziehung auf Querschnitt x = — Mx (vgl. § 9).

Anmerkung2. Die Biegungskurve hat ihre W ende-

d²y

punkte in denjenigen Punkten, für welche —- = 0 und

daher auch gemäß der Gleichung der Biegungskurve Mx = 0 ist.

§ 16. Die Wellenlinie als Gleichgewichtsform bei exzentrischer Belastung.

Unter Zugrundelegung eines recht winkeligen Koordinatensystems (Fig. 31) liefert die Gleichung der Biegungskurve für einen einerseits festgespannten Stab, der am freien Ende die exzentrische (außerhalb der Achse angreifende Belastung) P trägt (vgl. § 15, Anm. 1):

d²y

und falls

also

d²y

- !==

dx²

dH

dx²

gesetzt wird,

60 IV Die Biegungskurve und ihre Anwendungen.

= -Pz.

EJ-

so kommt

dx*

Das allgemeine Integral dieser Gleichung ist von der Form:

[хУш)+а*™{*Ут)'

A-S

•V»

Oé

i.

Fig. 31.

deren Konstante Ci sich daraus bestimmt, daß für x = 0 y = 0 , also ж = f + d ist :

/* + <5 =Ci ,

und daher wird dieses Integral:

z=f+ö-y

§ 16. Die Wellenlinie als Qieichgewichtsform usw. 61

Da ferner wegen der vertikalen Tangente an der Ein-

dy

spann stelle für x = 0 auch — = 0 wird, so folgt aus der Ableitung vorstehender Gleichung:

daß

dy

dx

+ C₂ cos

(H-,))«„(* j/^).j/Z

ВД-Уи.

C₂ — 0 ,

und daher wird die Gleichung der Biegungskurve :

oder

У = (/■ + <*) 1 — COS

Berücksichtigt man, daß für x =* / y — ô (Ausbiegung) ist, so kommt aus vorstehender Gleichung:

f=(f+ <5) cos^j,

EJ) ’

woraus die Ausbiegung

fl — COS

1)

<3 =

COS

62 IV . Die Biegungskurve und ihre Anwendungen, sich ergibt. Aus der vorletzten Relation folgt ferner:

f+ö =

cos

und damit ergibt sich:

f 1 — cos

²) У —

cos

(ta

COS

(t?)

als Gleichung der Stabkurve.

Da durch Zunahme des Winkels x\ um 2л

] EJ

der Wert des cos, also des Zählers und somit auch der Wert von у derselbe bleibt, so stellt die Gleichung eine Wellenlinie vor, mit der Wellenlänge

'Рос

EJ

§ 17. Knickbelastung. Formel von Ruler.

(f — 0 oder nahezu =0.)

1. Stab an einem Ende eingespannt, am anderen freischwebend (Fig. 32).

Aus Gleichung 1) des vorigen Paragraphen folgt:

Ô • cos

1 — cos

(ta

§17. Knickbelastung.

63

Fig. 33.

Ist nun /*=0, so wirkt P zunächst als reine axiale Druckkraft. Hat aber der Stab relativ große Länge und geringen Querschnitt, so bewirkt die geringste Abweichung der Kraftrichtung aus der Achse, seitlicher Stoß, Unvollkommenheit des Materials usw. eine seitliche Durchbiegung, die so groß sein kann, daß der Stab den Fig. 32 Charakter eines tragenden Konstruktionsteils verliert oder ein ^ stabiles Gleichgewicht zwischen P und den Elastizitätskräften des Stabes nicht mehr besteht und, falls die Wirkung von P nicht aufgehoben wird, ein Bruch ein-treten kann (Knickung).

Für f — 0 müßte nun

и.

sein. Da aber ô im Falle einer seitlichen Ausbiegung von 0 verschieden ist, so muß, um der vorstehenden Gleichung zu genügen,

Ô • cos l

ГУ-.-;

777 7У/77ГГ

W

COS

m-

Fig. 34.

Fig. 3Ł

d. h. da l nicht größer als die halbe Wellenlänge

also

71

i/z

y EJ

ll/E

\ EJ

nicht größer als л sein kann, so muß

l-

EJ 2

sein. Der aus dieser Relation sich ergebende Wert von P: n²EJ n²-J 2,5 EJ 4/² “ loc i²

I)

= ca.

bezeichnet also diejenige Grenze von P, bei welcher die geringste Abweichung f dieser Kraft aus der Stabachse gemäß Gleichung 1) des vorigen Paragraphen ein endlich großes <5 liefert, wobei das Gleichgewicht von P mit den elastischen Kräften des Stabes schon vor Eintritt der unendlich großen Durchbiegung zerstört werden kann (aber nicht muß).

Man nennt diesen Wert von P die theoretische Knickbelastung oder die theoretische Tragkraft des Stabes.

2. Stab an beiden Enden drehbar (Fig. 33).

Die Biegungskurve hat in ihrer Mitte eine vertikale Tangente. Es kann daher die obere Hälfte als ein Stab betrachtet werden von halber Länge, der am unteren Ende vertikal eingespannt ist. Die Formel I) gilt

daher auch für diesen Fall, wofern statt l der Wert ~ eingeführt wird, und sie liefert als theoretische Tragkraft

10 EJ

un-

П)

n²EJ n²J

I²

ocl²

= ca.

t²

(Eulersche Gleichung.)

3. Stab am einen Ende eingespannt, am anderen drehbar (Fig. 34).

Eine vertikale Tangente hat der Stab in ca. ²/₈ der Höhe und es verhält sich das obere Stabdrittel wie der

§ 17. Knickbeladtimg.

65

Stab unter 1). Daher erhält man aus Gleichung I),

wofern statt l der Wert — eingeführt wird, als theo-o

retische Tragkraft angenähert

9л²E J    9л² J

Ш)

AP

AocP

= ca.

22 EJ

*)•

20J57

genauer

4. Stab an beiden Enden festgespannt (Fig. 35). Die elastische Linie hat zwei Wendepunkte, die mit dem Scheitelpunkt die Stablänge in vier gleiche Teile teilen. Es läßt sich daher, wegen der vertikalen Tangente am Ende, jedes der vier Viertel als ein am einen Ende eingeklemmter, am anderen freier Stab betrachten. Daher ergibt sich die theoretische Tragkraft aus I) unter

Einführung von statt l :

IV)

4 n² EJ    4 л² J

ocP

= ca.

40 EJ

Anmerkung 1. Ist die Belastung P kleiner als diese Werte, so tritt bei geringer Exzentrizität von P eine Durchbiegung ô von endlichem Werte ein; ist P gleich diesen Werten, so wird die Durchbiegung ô unendlich groß. In den meisten praktischen Fällen wird jedoch vor Erreichung dieses Wertes von ô ein Aufhören des Gleichgewichtszustandes der inneren Kräfte mit den äußeren stattfinden, d. h. Bruch eintreten. Für lie Knicksicherheit des Stabes ist es deshalb nötig, daß P kleiner als der aus obigen Formeln folgende Wert der Knickbelastung ist.

Han her, Festigkeitslehre

Anmerkung 2.. Da die Durchbiegung nach der Seite hin erfolgt, nach der die Abmessungen des Querschnittes am geringsten sind, so ist die Ebene der Durchbiegung senkrecht zu derjenigen Schwerpunktsachse des Querschnittes, in Beziehung auf welche das Trägheitsmoment J des Querschnittes seinen kleinsten Wert hat, d. h. man nimmt in obigen Formeln:

für Jdas kleinste Trägheitsmoment des Querschnittes, das in Beziehung auf eine Schwerpunktsachse desselben zu bilden möglich ist. Anmerkung 3. Für die Praxis ist für P noch

ein Sicherheitskoeffizient — in Rechnung zu nehmen, so daß die    m

praktische Tragkraft = — der theoretischen

m

Tragkraft ist,

Gußeisen

und man pflegt für Schmiedeeisen

Holz

10 zu wählen.

Anmerkung 4. Werte von E vgl. § 2.

§ 18. Kontinuierlicher Träger.

Auflagerdrücke und Maximalbiegungsmoment.

Die Biegungskurve stellt nur so lange eine stetige Kurve dar, als Mx eine stetige Funktion von x bleibt. Bei Trägem mit zwei endseitigen Stützen oder dem einseitig eingespannten Träger erhält die Biegungskurve demnach an jeder konzentrierten Last insofern eine Unstetigkeit, als in jenen Stellen Mx sich plötzlich ändert, bei Trägem mit zwei oder mehr als zwei Stützen (kontinuierlicher Träger) außerdem noch an jeder

Stütze. Die Biegungskurve besteht demnach v bei konzentrierter Belastung aus einzelnen Zweigen, deren jeder eine andere Gleichung besitzt, die aber in den gemeinsamen Punkten, also an den Lasten bzw. Stützen dieselbe Tangente haben. Die analytische Aufgabe der Gestaltsbestimmung des durchgebogenen Stabes und die sich anschließenden Aufgaben sind daher auf Grund der Gleichung der elastischen Linie und ihrer Integration wegen der oftmaligen Konstantenbestimmung häufig sehr kompliziert.

Ist z. B. ein endseitig abgestützter Träger von der Länge l im beliebigen Punkte x = a von der Last P ergriffen, so entspricht jedem der beiden Trägerteile eine andere Gleichung der elastischen Linie. Die zweimalige Integration jeder derselben erfordert die Bestimmung von 2*2 = 4 Konstanten, die sich aus den Bedingungen ergeben, daß im linksseitigen Teil für x = 0 y = 0, im rechtsseitigen Teil für

x = l y = 0

dy

wird, sowie daß für x = a die Werte ~ und y in

dx

beiden Gleichungen von gleicher Größe sind.

Wir beschränken uns daher auf die Durchführung weniger, praktisch wichtiger Fälle:

Träger mit zwei gleichen Öffnungen (Weite /) und stetig gleichförmiger Belastung q kg/cm. (Kg. 36.)

a) Gleichung der Biegungskurve der linksseitigen Öffnung.

Die Biegungskurve besteht aus zwei stetigen Zweigen, die über der Mittelstütze eine gemeinsame horizontale

5*

Tangente besitzen. Für den Zweig der linksseitigen Öffnung erhält man nach § 15:

d²y

EJ-ää=~M* =

und durch Integration:

— WXX + qx-j

dx

4M¹

wix* ,qx*r 2 ' 6 ' )

TÇ- % yl

cc

qJtg/cm

г ~ч|

■Ш.Ь.

+x

Fig. 36.

deren Konstante Ct aus der Erwägung, daß für x =-- I

4^- = 0 ist, sich zu dx

Wx P    q P

°^~2

ergibt. Durch nochmalige Integration folgt unter Benutzung dieses Wertes von Ct :

EJ-y —

deren Konstante C₂, da für x = 0 y = 0 ist, sich zu C₂ = 0

ergibt. Die Gleichung der Biegungskurve (el Linie) für die linksseitige Öffnung ist demnach:

EJ • у =

Wxx³ qx⁴ iWtl²    ql⁸

6~ ⁺ “24 ⁺\~2

b) Auflagerdrücke.

Da für ж = / у = 0 ist, so kommt aus voriger Gleichung:

Wxl³ ql⁴    Wxl⁸

24

"Г 7ГТ I

und hieraus

В⁷! = I q l = TFg

und da

somit

W₁+W% + W₉-2l-q,

c) Absolut größtes Biegungsmoment. Für die linke Öffnung ist

daher

dMx

_ = ^-?x = 0,

woraus

q t

und das zugehörige Biegungsmoment

2h

=* d q 0 f ^ —!" (10² — tIs q i² (reiatives Дли) •

Dagegen das Biegungsmoment für den Querschnitt über der Mittelstütze:

qi'

qi'

Das absolut größte Biegungsmoment liegt also

qP

über der Mittelstütze und hat den Wert--—

d) Wendepunkte der BiegungskurVe. d² y

Sie ergeben sich für = 0 oder vermöge der

Gleichung

dx²

EJ-=—M.

auch für

Mx=0

2,

d. h. für

woraus

2 Wx

Weitere Beispiele

bilden die in den Fig. 87 u. 38 dargestellten Träger, Sie liefern:

a) Für den Träger Fig. 37: Gleichung der Biegungskurve wie oben:

WlX⁸    qx⁴    /WVP    qP\

⁺ ~ ⁺ Г2—ТГ»

EJy =

24

relatives if,

max

TT

= rhq¹² (bei * = 10;

absolut größtes Mm{LX ---— (an der Einspannstelle).

qi*

Wendepunkt:

/^»_____

+л*

E.L.

« /Tu.    «

Fig. 87.

b) Für den Träger Fig. 38:

Die Wirkung der Einspannung kann man sich bei jeder Einspannstelle ersetzt denken durch vertikale nach unten gerichtete Kräfte, die bewirken, daß die Stabachse an den Einspannstellen horizontal gerichtet ist. Es sei für die linksseitige Einspannstelle die Resultierende dieser Kräfte gleich J?, und es greife dieselbe im Abstande c links von Av an, so ruft die Belastung durch die beiderseitigen В einen Auflagerdruck in Ai und A2 je gleich В hervor, und für einen beliebigen Querschnitt X ergibt sich das aus dieser Belastung hervorgehende Biegungsmoment

M'x = — B(x + c) -f Bx = —Bc ,

das also unabhängig von x und demnach konstant ist. Sein absoluter Wert sei mit M bezeichnet. Dann wird die Gleichung der elastischen Linie, da M dem Uhrzeigersinn entgegengesetzt gerichtet ist,

q X²

= -JV₁x + —

_T d² y Ej'dx*

(vgl. § 15, Anmerkung 1),

i—

4-t\

%E=

1Ш

TKP

+a>

ßKi

-кг?

Fig. sa

wo Wx den der Belastung ql entsprechenden Auflagerdruck

qi

bezeichnet. Die Integration liefert:

-Ц^ + ^ + Х-г + Ь,

EJ- — =»

dz

dy

0, und

und da für X = 0 — = 0, so kommt Сл = dX    Idv

da ferner für die Stabmitte x = -- —- = 0, so folgt

2 dx

aus

да&Мт)

Wtl ql² q l2 ~ “ 12 ¹

also

12 '

Das gesamte Biegungsmoment im beliebigen Querschnitt x ist somit

ql'

12 ’

also

und

^ — 12 dMx _

- = ^-^ = 0,

|CQ

woraus

daher größtes Biegungsmoment in der Stabmitte:

toi

"r

V_if!--if!._if!_.if!_-?i!

/    12 “X ~8~    12 ~ 24

(relatives lfmax).

Daher absolut größtes i/max an der Einspänner /2

stelle vom Werte — —-.

12

74 ГУ. Die Biegungskurve und ihre Anwendungen,

Die Gleichung der Biegungskurve erhält man durch weitere Integration:

EJ • у =*

W₁x³ qxx    M X¹

⁺ 24 ⁺ ~2~ + Ci ’

und da für X = 0 auch у = 0, so kommt C₂ = 0 und unter Benutzung des Wertes von M

EJ у —

Wtxs qxK ql²x2 “6    ~24~ ^ 24~

als Gleichung der Biegungskurve.

с?²г/

Die Wendepunkte folgen aus -z-j = 0 oder aus

12

« 0,2113 j und Xg = 0,7887 i.

§ 19. Der Satz von Mohr.

In Fig. 39 sei die Kurve MN ein stetig verlaufender Zweig der Biegungsmomentenlinie für das Intervall X — a bis X — b. Die von ihr und der ж-Achse gebildete Fläche (Biegungsmomentenfläche) sei in unendlich viele unendlich schmale Streifen von der Breite dx zerlegt, in deren Schwerpunkten vertikale Lasten je gleich dem Flächeninhalt des betreffenden Elementes, also — Mxdx angreifen. Für positive Mx sei der Sinn dieser Kräfte nach unten, für negative Mx nach oben gerichtet Für dieses Lasten system werde ein Seilpolygon konstruiert, über dessen Pol wir zimächst keine Voraussetzung treffen, und das bei unendlich vielen Lasten in eine Seilkurve M'N' übergeht

Schneiden wir diese Seilkurve in ihrem Anfangspunkt M! und in einem beliebigen Punkte U (xy; Koordinatenursprung im linksseitigen Balkenende) durch, bringen in den Schnittstellen an dem zwischenliegenden Teil M'U der Seilkurve die tangentiell gerichteten Seilspannungen S₀ und S an, so bilden diese mit den zwischenliegenden Lasten Gleichgewicht Bezeichnen

b-~A

---a -

'Ы.цг W'

ar

Fig. 39.

Äq und (X die Richtungswinkel der Tangenten in АГ und ü mit dem positiven Zweig der ж-Achse, so folgt aus diesem Gleichgewicht:

2y = 0 :

£osin(180 + <x₀) + Seinoc + ^Mxdx = 0 ,

x-a

woraus, da

sina = ~~, ds

x=x

— j"Mxdx — S₀ sin(180 + Л₀) •

76 IV« Die Biegungskurve und ihre Anwendungen.

Ist nun H der zum Kräftepolygon der Lasten Mxdx senkrechte Abstand ОСУ des Pols 0, so ist die Horizontalkomponente von S = daher

oder

Scosot = H

2)

dx

S— = H.

ds

Durch Division der Gleichungen 1) und 2) folgt:

dy

— fMx dx — S₀ sin(180 + a₀)

x-a

dx

woraus durch nochmalige Ableitung nach x:

d?y _M, dx² ** H

oder

Н--Л = — M,

dx²

Dies ist die Gleichung der Seilkurve. Wählt man nun den Pol 0 so, daß

H= E-J} '

so geht die Gleichung über in die Gleichung der Bie-gungskurve (elastische Linie):

(vgl. § 15, Anm. 1, Schluß).

Daher:

Die Biegungskurve ist ein Seilpolygon (Seilkurve), dessen Belastungsfläche die Biegungs-mom ent en fläche und dessen Horizon ta lzug tf = E-J ist.

Auf der positiven Seite der Mx liegende Biegungs-raomentenflächen sind hiebei als im Sinne der positiven у -Achse wirkende Lasten einzuführen.

§20.

Anwendung auf die Biegungspfeile einfacher Träger.

Unter dem Biegungspfeil f versteht man die Ordinate у des tiefsten Punktes der Biegungskurve.

a) Der in den Endpunkten abgestützte Träger bei stetig gleichförmiger Belastung q kg/cm (Fig. 40).

Die Biegungsmomentenlinie ist eine Parabel auf der positiven Seite der Ж*. Ihre Gleichung ist:

_ _    ___    x ql

Mx = W₁x-qx- — = —x —

qx*

~2~-

Schneiden wir nun die Biegungskurve (elastische Linie) in und ihrem tiefsten Punkte N durch, bringen in den Schnittstellen gemäß dem    L

ist, dann liefert das Gleichgewicht dieser Spannungen mit den zwischenliegenden, unendlich vielen, unendlich kleinen Lasten Mxdx die Momentengleichung um Al:

Щ¥ —

2 hg/cm ;

n-e-J

Ijc

Fig. 40.

— EJ• /’+ ^(Mx dx)x == 0

oder

Г¹

-EJ.f+j(^z-^dz.x- 0.

x—0

- EJ-f+    ¹⁼

“i-

= 0,

-EJ.fĄ *îiî-o,

384    ’

woraus

5 ql*

5 q l* • ä

5 Ql*x

384 Ej_J_ 384/    384/

= —, Q = ql gleich Gesamtlastj .

Anmerkung. Für den Fall einer in Stabmitte angreifenden konzentrierten Last P ergibt sich für einen Querschnitt der linken Trägerhälfte

Mx = W₁x — —X

и

und somit bei gleichem Verfahren wie oben:

|<M

dx • X — 0

woraus

(tiefste Einsenkung in der Stabmitte),

PP PP.<x 48EJ~ 48/ *

b) Der einseitig eingespannte Träger für eine konzentrierte Last P am freien Endo (Fig. 41).

Die Biegungsmomentenlinie ist eine auf der negativen Seite der Mx verlaufende Gerade. Die Belastungen Mxdi

sind demnach nach oben wirkend angebracht zu denken. Zweckmäßig ist es in diesem Fall, die unendlich vielen unendlich kleinen Belastungen durch ihre Besultante R zu ersetzen, deren absolute Größe durch den Inhalt des A&DAA':

PP

R=\l.AA’=\l.{Pl) = —

angegeben wird und deren Wirkungslinie durch den Schwerpunkt dieses Dreiecks geht.

Schneiden wir die Biegungskurve an der Einspannstelle A durch, bringen in D und A die tangentiellen Seilspannungen an (in A horizontal und gleich EJ)₎ so bilden diese mit R Gleichgewicht.

gleichung um D liefert:

Die Momenten-

* -4

-M*

ТУГ-

4"

Fig. 41.

EJ-f—R.($l) = 0

und mit Benutzung obigen Wertes von R

woraus

PP PP-oc 3 EJ 3 J #

Anmerkung. Ist der Träger gleichförmig und stetig mit q kg/cm belastet, so wird dem absoluten Werte nach für beliebigen Querschnitt x

mx =

qx²

und somit liefert die Momentengleichung um 7), da das Moment einer unendlich kleinen Last Mx dx sich zu

X ergibt:

x=l

EJ-f-

f(^Ydx)'x = 0>

woraus

ql*

ql*a

Ql*a

8 EJ    8 J

(~ )•

(Q — ql = Gesamtlast.) § 21. Numerisches Beispiel für die Bestimmung von Auflagerdrücken usw. bei kontinuierlichem Träger nach Mohr.

Aufgabe:

Gesucht Auflagerdrücke, A7max, Wendepunkte der Biegungskurve für den in Fig. 42 dargestellten Träger.

Auflösung:

1. Wir zerlegen die gegebene Belastung in die Belastungssysteme /, II und III (siehe Figur), außerdem ersetzen wir die Wirkung der Einspannstelle durch vertikale Kräfte 0, die dort die horizontale Tangente an die Stabachse herbeiführen. Diesen Systemen entsprechen die Biegungsmomentenlinien 7, /7, 777 und JF, von denen nur die letztere unbekannt ist und die wir durch Auffinden der Ordinate А₂А'₂ zu bestimmen suchen. Ihr absoluter Wert sei M.

Schneiden wir die Biegungskurve (elastische Linie) in Al und A₂ durch, bringen nach dem Verfahren von Mohr in A₉ die horizontale Spannung EJ und in Ал die schiefe Spannung an, bestimmen zunächst für jedes Belastungssystem das zwischen den Schnittstellen gelegene Stück der Biegungsmomentenfläche und bringen in den Schwerpunkten derselben Kräfte gleich den be-züglichen Inhalten dieser Flächen an. Diese sind:

~/,80~kg/cm

■f,80~kg/e>n J

400 cm

!•

(у

R,

JL

Ч bt~i}Wo

ч.___

7ókg !

Jé:

SUS

ЖР A,El

A,

uu

Fig. 42.

Rj = Parabel At NA₂ = f • 400 •

1,80- 400²

9600000

Rn = Д AiAlAs = Ц* * Ai Ai = ±£*(1,2.100 • 50)

= 1200000,

Я//7 = Д AiA'Ut -ЦАА₁ A!{ = ^(75 - 100)

= 1500000,

4 =

Dann liefert das Gleichgewicht dieser Kräfte R mit

— 200 И.

Hauber, Festigkeitslehre.

TV. Die Biegungskuiwe und ihre Anwendungen.

82

den Spannungen in Ai und A₂ die Momentengleichung um Ax:

# y — Rin * ß" Riv •

Вц Вт

Ri

<M I CO

/ = 0,

²r

JEiv

4800000 - 400000 - 500000 + ^-M— 0, M = 29250 kgcm .

woraus

= 0,

400

2. Bezeichnet nun Wx den resultierenden Auflagerdruck aller Belastungssysteme in AX) so ist das wahre Biegungsmoment für den Querschnitt Aa:

Мш = - 75*500 - (1,2 • 100) * 450 + Wx * 400 - (1,8 • 400) 200 ,

— — 235500 + 400    .

Andererseits ist aber if₅₀₀ gleich der algebraischen Summe der Biegungsmomente der einzelnen Systeme für A₂, und da die Biegungsmomente der Systeme /, II und III für Aa je gleich 0 sind, so ist

Mboo — M

und somit

woraus

-235500 + 400 Wx = — 29250 Wx = 515,625 kg,

und demnach

W₉ = 75 + 120 + 720 - 515,625 , W₂ = 399,375 kg.

3. Für einen Querschnitt x zwischen At und A? findet sich:

Mx = — 75ж - 1,2 • 100(ж - 50) + Wx • (x - 100) 1,80 (ж — 100)²

— — 0,9ж² + 500,625ж - 54562,5

und somit

dMx

= —1,8ж -f- 500,625 — U, ax

woraus

x = 278 cm,

daher relatives

Mm&x=M21s = -0,9 - 278² + 500,625 • 278 - 54562,5 == +15056 kgcm.

Nun lehrt der Verlauf der wahren Biegungsmomenten-linie, deren Ordinaten für irgend ein x gleich? der algebraischen Summe der diesem x zugehörigen Ordinaten der Biegungsmomentenlinien der einzelnen Systeme sind, daß ein größtes Biegungsmoment auch über At oder vorhanden sein kann, und wir berechnen daher für Ax das Biegungsmoment

M₁₀₀ =* -75 -100—(1,2.100). -Lp = —13500 kgcm. Für A^ ist das Biegungsmoment, wie bereits berechnet, Мш = — M =» —29250 kgcm,

daher absolut größtes

MmAX=—2 9 250 kgcm (an der Einspann stelle).

4. Die Wendepunkte der Biegungskurve ergeben sich aus

Д.-0,

d. h.

— 0,9æ² + 500,625# — 54562,5 = 0,

woraus

X = 408 cm X = 149 cm

(vom linken Balkenende an gerechnet).

V. Kapitel.

Die Spannungen im stabförmigen Körper mit gerader Achse.

§ 22. Die Normalspannung bei axialem Zug oder Druck.

Durchschneidet man den unter Einflu_ß der Axialkraft P, die der Voraussetzung des § 2 genüge, stehenden prismatischen oder zylindrischen Stab (Fig. 43) nach Eintritt des der Deformation folgenden neuen Gleichgewichtszustandes längs der Querschnittsebene AP, so bleibt z. B. der obere Teil im Gleichgewicht, wenn wir in sämtlichen Elementen seiner unteren Grenzfläche Normalkräfte anbringen, von einem der P entgegengesetzten Sinn. Treffen wir die Annalime, daß sämtliche Elemente dieser Grenzfläche vor der Wirkung der P ebenfalls in einer Querschnittsebene lagen, die relative (positive oder negative) Dehnung für alle Teilprismen vom Querschnitt =« 1 qcm demnach dieselbe sei, so muß die diese Dehnung bewirkende Spannnung о (vgl. § 2) für alle Teilprismen dieselbe, also über den ganzen Querschnitt konstant sein.

Die aus dem Gleichgewicht des oberen Stabteiles sich daher ergebende Gleichung:

liefert

F-o = P

i)

p*g

Jfqcm

(er «.= kg/qcm Zug- bzw. Druckspannung).

dcr6

Linit

Limt defö

Trägt man in jedem Flächenelemente des Querschnittes А В die zugehörige Normalspannung о als Ordinate senkrecht zur Querschnittsfläche ab, so liegen die Endpunkte dieser Or-dinaten in einer zum Quer- A schnitt parallelen Ebene, die im Aufriß als eine zu AB parallele Linie erscheint (Linie der a).

Fig. 43.

Anmerkung. Ist F auf die ganze Länge des Stabes konstant, so ist auch о an jeder Stelle des Stabes von gleichem Werte.

Ist der Stab an einer Stelle z. B. durch Nietlöcher geschwächt, so tritt am Querschnitt mit kleinster wirksamer (nutzbarer) Fläche das größte о ein:

O'max — ^

^min

§ 23. Die Spannungen bei Biegung.

A) Neutral-(Null-)Achse des Querschnittes.

Ein von vertikalen Lasten .ergriffener, zweiseitig abgestützter oder einseitig eingespannter horizontaler Stab unterliegt der Biegung.

Die Angriffspunkte der Lasten und Auflagerdrücke seien als in der Schwerpunktsachse des Stabes liegend vorausgesetzt, so daß die vertikale Kraftebene auch die Ebene der Durchbiegung darsteht.

Die Schwerpunktsachse der Gieichgewichtsform nach der Durchbiegung ist dann eine ebene Kurve (Biegungskurve, elastische Linie, vgl. § 15). Die oberhalb dieser Achse gelegenen Fasern werden bei einer Durchbiegung nach unten zusammengedrückt, die unterhalb derselben gelegenen gezogen. Bei einer Durchbiegung nach oben findet das umgekehrte statt. Die Größe der Dehnung bzw. Kürzung dieser Fasern nimmt von den horizontalen Außenrändem des Stabes gegen die Mitte hin stetig ab. Es gibt daher eine ursprünglich in einer horizontalen Ebene gelegene Faserschicht, bei welcher die Zug- in Druckkräfte übergehen und in welcher weder eine Verlängerung noch eine Verkürzung der Fasern eintritt (neutrale Faserschicht).

Für die in der Praxis gebräuchlichen geringen Werte der Durchbiegung pflegt man ferner die Annahme zu treffen, daß die vor der Durchbiegung in einer Querschnittsebene liegenden Flächenelemente auch nach derselben wieder in einer Querschnittsebene liegen (Navier-sche Hypothese).

Der Stab (Fig. 44) sei nach Eintritt des neuen Gleichgewichtszustandes längs des Querschnittes AB durchgeschnitten, dann bleibt der linksseitige Stabteil nach Anbringung einer geeigneten Kraft S' in jedem Element der linksseitigen Schnittfläche im Gleichgewicht. Zugrunde lege man ein räumliches rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem Ursprung im linken Ende der Stabachse und vertikaler nach unten gerichteter z-Achse, dessen xz-Ebene in die Kraftebene falle, zerlege S' in Komponenten normal und längs AB, ebenso die Komponenten, die in der Querschnittsebene AB liegen, je

*---

ar---*

+JC

y..*

Fig. 44.

in Horizontal- und Yertikalkomponente H und F, so ist, da die H, N und V mit den linksseitigen P und W im Gleichgewicht sich befinden:

Hx = 0 : 2N = 0 (da die N nahezu parallel der x-Achse),

2 у — 0 :    211 = 0 ,

2% = 0 : 2Т + (Р₁ + Р₂ + ...-Ж₁-...) = 0

(da die F nahezu parallel der *-Achse)

oder 2Г- -Px - P,... + TPi + ... = Vx (vgl. § 9), d. h. die Resultante der V (vertikale Schubkraft S) gleich Transversalkraft Vx) ferner liefert das Gleichgewicht: Summe der Momente dieser Kräfte um jede beliebige Achse = 0 .

Es sei nun (Fig. 45) А^В₀ die Lage des Querschnitts AB(x) vor der Biegung, ebenso А±В± die Lage eines unendlich nahe gelegenen Querschnittes vor der Biegung, dann läßt sich der zwischen beiden gelegene Stabteil von der imendlich kleinen Länge dx auch nach der Biegung als geradlinig betrachten. Nach der Biegung

>dx

b\

zJfeLâ_iV

л    -У_._

/й>

Fig. 45.

habe AXBX die neue Lage A[B[, die A₁Bi längs der Geraden RT schneidet, die senkrecht zur Kraftebene steht. Eine zwdschen A₀B₀ und AiBi liegende, der Achse parallele Faserschicht o₀ oi (in Fig. 45 schraffiert) von der Breite b des Querschnittes an jener Stelle und im senkrechten Abstand rj von RT erleidet die Verkürzung ox о, eine analoge Faserschicht u₀ ux unterhalb der Achse die Verlängerung ux и. Die Verkürzung bzw. Verlängerung wird bewirkt durch eine Normalkraft N (in der Richtung der Faser), von der wir annehmen, daß sie bei der unendlich kleinen Höhe drj der Schicht sich gleichförmig über deren Querschnitt {b drj) verbreite.

Nach § 22 erleidet die Faserschicht die

Normal- (Druck- bzw. Zug-) Spannung:

° bdrj f N = a • b drj .

woraus

Da nun 2N = 0, so muß

^c.bdr, = ^,(bvdv)=-0

sein, wobei das Summenzeichen sich über alle Elemente der Querschnittsfläche erstreckt Nun ist die relative Kürzung der Faserschicht o₀o₁:

oto    oto

o₀ox    dx ’

daher nach dem Hookeschen Gesetz (§ 2)

0₁ О

ос • dx

—= (X • о , woraus о = dx

1 1

г] ос • dx ^

und

(X • dx y

— ist also unabhängig von rj, daher V

^~(bdt]-r]) =    drj)t] = 0 ,

2(b drj) г) — 0 .

wo op den Winkel der Ebenen A₁B₁ und A[B[ bezeichnet

also

Letzterer Ausdruck ist aber (Statik, Bd. I, § 38) das Moment der ganzen Querschnittsfläche A₁ Bl in Beziehung auf RT, somit muß RT durch den Schwerpunkt der-

90 V. Die Spannungen im stabförmigen Körper us w.

selben gehen. Da nun RT den Schnitt der neutralen Faserschicht mit A₁B₁ darstellt, so heißt RT die Neutralachse (Nullachse) dieses Querschnittes. Somit:

Die Neutralachse eines Querschnittes geht durch den Schwerpunkt desselben.

B) Normalspannung. Gefährlicher Querschnitt.

Aus dem Gleichgewicht des links vom Querschnitt А В gelegenen Stabteils folgt die Momentensumme aller an diesem Stabteil angreifenden Kräfte P, IF, W, H und V in Beziehung auf die Neutralachse = 0, d. h., da die H und V die Neutralachse schneiden, also ein Moment je = 0 liefern:

Mx - SNrj = 0 ,

wo das Summenzeichen sich über alle Elemente des Querschnittes erstreckt. Mit Benutzung des Wertes aus A:

N — о * (bdrj)

kommt:

Mx — 2a • (bdrj)rj = 0 ,

^■(bdvW = 0

und wegen der Konstanz von — :

rj

² = o.

Da aber 2(bdrj)»rj² das Trägheitsmoment J der ganzen Querschnittsfläche AB in Beziehung auf die Neutralachse darstellt (vgl. § 6), so folgt

-•«/= Mx,

woraus

I)

(Formel der Normalspannung),

+CPruci2)

wobei о für die Fasern oberhalb der Neutralachse von entgegengesetztem Sinne ist, wie bei denjenigen, die unterhalb derselben liegen; a bedeutet also.auf der einen Seite der Neutralachse Druckspannung, auf der andern Zugspannung. Trägt man den Wert von о (Fig. 45 a) für jedes zugehörige Flächen- ~ element in demselben senkrecht zur Querschnittsebene als Ordinate ab, so liegen die Endpunkte dieser Ordi-M

naten, da -y für denselben

и

~(2u9)

Fig. 45 a.

Querschnitt konstant und somit о proportional rj ist, in einer Ebene, die die Querschnittsebene längs der Neutralachse schneidet. Im Aufriß erscheint diese Ebene als eine Gerade (Linie der a), die den Aufriß der Querschnittsebene in der Projektion des Querschnittsschwerpunktes schneidet.

Bei einem Querschnitt, der symmetrisch zur Neutralachse ist, sind die beiden größten о für Druck und Zug einander gleich:

mx

J w '

T]m&x

a = ~r-

Folgerung.

Da beim Stabe mit konstantem Querschnitt auch J für alle Querschnitte von gleichem Werte ist, so treten in demjenigen Querschnitt die größten Normalspannungen auf, für welchen der absolute Wert von Mx ein Maximum ist (gefährlicher Querschnitt). In einem beliebigen Querschnitt wird a für dasjenige Flächenelement von größtem Werte, für welches rj ein Maximum ist, d. h. für ein Element in dem am weitesten von der Neutralachse entfernten Balkenrande. Daher :

Das absolut größte о des ganzen Trägers findet sich an der von der Neutralachse am ₄ weitesten entfernten Stelle des gefährlichen Querschnittes und zwar ist für diese Stelle

^max *

max

^mai —

^Imax

^max

' CT

to

V. Die Spannungen im stabförmigen Körper usw.

oder nach § 5

ui)

max

Ornai — w

( W Widerstandsmoment der Querschnittsfläche in Beziehung auf die Neutralachse oder kurz Widerstandsmoment der Biegung, vgl. Tafel I).

Folgerungen: Mit wachsendem Wnimmt amax ab; in einem zur Neutralachse symmetrischen Querschnitt ist о für beide Balkenränder von absolut gleichem Werte.

Anmerkung 1. In vorstehenden Formeln ist für MmAX dessen Absolutwert einzuführen, falls nur der Absolutwert von о erhalten werden will.

Anmerkung 2. Stabförmige Körper mit derart veränderlichem Querschnitt, daß in allen Querschnitten die

größte Normalspannung gleich der zulässigen kb ist, heißen Träger von gleicher Biegungsfestigkeit.

Unter Voraussetzung z. B. eines rechteckigen Querschnittes von gleichbleibender Breite b, aber veränderlicher Höhe h wäre demnach die größte Normalspannung in den äußersten Stellen eines Querschnittes

Mx

oder

„ bhi i

= -r- • kb,

woraus

h² = — . Mx .

bkb

Ist z. B. der Träger einseitig eingespannt und am freien Ende mit P belastet (Fig. 41), so ist Mx = Px (absolut)

und demnach h² =

6    h

• Px oder, falls y = ^ gesetzt

3

. Px, also die Begrenzungskurve

2 b kb

des Trägers (im Aufriß) eine Parabel.

Ist die Belastung gleichförmig und stetig, also

Q X²

Mx =* —- (absolut),

и

wird.

so wird

h² = —

6 qx²

bkb 2

also

A=l/H

X ! Ъкь

= konstant,

oder

= konstant ;

d. h. der Aufriß des Trägers ist geradlinig begrenzt (nach dem freien Ende hin zugeschärfter Keil).

94 V. Die Spannungen im stabformigen Körper nsw.

Beispiele:

a) Gesucht omax für den in Fig. 29 dargestell-tenTrägervonrechteckigemQuerschnitt 20/30 cm. Auflösung: Nach § 14, Beispiel ist für diesen Träger

ifmax = 215000 kgcm (im Querschnitt x — 600 cm)

und nach § 7, П

bh²    20.30²

= 3000 cm³,

6

M,

j    ,    ^max

demnach Umax — гг?

215000

= 72 kg/qcm

3000

(im Querschnitt x = 600 cm)

(am oberen Rand Druck-, am unteren Zugspannung).

4--

Fig. 46.

von größtem

b) Gesucht die Gestalt des aus einem runden Baumstamm vom Durchmesser d sich ergebenden rechteckigen Querschnittes, für welchen bei gegebener Belastung des Trägers das zugehörige amax von kleinstem Werte, d. h. dessen W bei gegebenem Mn Werte werde.

Auflösung (Fig. 46): Nach § 7, П ist

w bh*    b(d*-b²)

~ 1Г

also für W= Maximum : dW    d²    6²

woraus

~db~~6    2 “

also ä²

= ca.

= & d² und somit ~

Л /2

sich ergibt.

C) Horizontale und vertikale Schubspannung. Aus dem zwischen den Querschnitten AB{x) und A₁ Ą (x + d X) liegenden Stabteil von der Länge d x (Fig. 47) werde im Abstand rj von der Neutralachse

f /74

Чтпасс

vM

"2g

W t’ I

So/////////AfS////'

JET

MA.

”J3< ш> >B'

Fig. 47.

parallel zu dieser und durch die ganze Breite b des Stabes hindurch senkrecht zur Kraftebene eine Faserschicht 31 S3 S'31' von der oo kleinen Höhe drj ausgeschnitten. Diese Schicht bleibt im Gleichgewicht, wenn an den Flächen 3133 und 3t'ЭЗ⁷ die Normalkräfte N und N' und in ihnen selbst wirkend vertikale Schubkräfte V und F', ferner in den horizontalen Schnittflächen 3131' und SS' horizontale Schubkräfte V und T angebracht werden. Dann liefert die Momentengleichung um die durch 31' gehende zur Kraftebene senkrechte Kante:

Tdr, + (N'~ N)^- = 0 ,

oder wenn mit т die vertikale, r₀ die horizontale Schubspannung in den Flächenelementen 21© bzw. 5353' bezeichnet wird:

(bdrj)r • dx — (bdx)r₀ • drj (bdrj • o'—bdrj • o)^- — 0,

и

oder da

</= а + da ,

ô fi

(bdrj)rdx — (bdx)r₀dr) -\-{bdrj • da) •    = 0

Û

und wenn das letzte Glied gegenüber den ersten als unendlich kleines höherer Ordnung vernachlässigt wird:

(bdrj)rdx — (bdx)r₀dr] = 0 ,

woraus

d. h.: Die der Stabachse parallele und die vertikale Schubspannung sind für irgend eine Stelle des Stabes gleich.

Die Normalkraft N auf 21© ist

(bdr]) о ,

daher die Normalkraft auf die ganze oberhalb © gelegene Querschnittsfläche 33.4 (in der linksseitigen Figur schraffiert)

N=]?(bdri)o ^^(bdrj).^ = ^^(bdV)r,,

wo das Summenzeichen sich über alle Querschnittselemente oberhalb © erstreckt, oder wo Mn das Moment des oberhalb © befindlichen Teiles der Querschnitts fläche in Beziehung auf die Neutralachse ist.

üiis dem Gleichgewicht des ganzen Teilkörpera A$ö%5'A' (für welchen T'= 0) folgt aber

N+ T-N'= 0,

N + T-(N+ dN) = 0,

T — dN= 0,

(b d x) r₀

oder da nach § 14

dMx

-~-Mv = 0

dMx = Vx- dx ,

so folgt:

!o =

Vx-M₇₎

b-J

Anmerkung. Die Transversalkraft Vx — — P₁ — P2 . . . + Wt — . . . ist gleich der vertikalen Schubkraft S im Querschnitt x (§ 23, A), daher läßt sich vorstehende Formel auch schreiben:

S-Mv

i⁰⁼⁼TTT

Folgerungen:

Für г] = rjmax fällt 53 5F in den Trägerrand, die * über 5353' sich befindliche Querschnittsfläche wird gleich 0 und daher auch Mv = 0. Daher auch:

In den äußersten Fasern des Querschnittes ist t₀*=t = 0.

Für г] = 0, d. h. 5353' in der Neutralachse, wird die über S53/ befindliche Querschnittsfläche und daher auch Mv von größtem Wert. Daher auch:

In der neutralen Schicht ist т₀ = т ein Maximum.

Ha über, Festigkeitslehre

Spezielle Fälle:

SS

in der neutralen Schicht,

Rechteckiger Querschnitt: тша1 = ——

2 F

Kreisförmiger Querschnitt: rmax = ——

3 F

wo F den Inhalt der Querschnittsfläche bedeutet

D) Schiefe Spannung.

Bei der gleichzeitigen Wirkung der Normal- und Schubkräfte entsteht außer der Dehnung bzw. Kürzung des Elements 5195 33'81' (Fig. 47) in seiner Längs- und Querrichtung eine gegenseitige Verschiebung der Endflächen 9183 und 81'83' gegeneinander in ihren vertikalen Ebenen. Die Folge ist eine Dehnung bzw. Kürzung der Diagonalebene 8193', deren neue Länge von den verschiebenden Kräften und der ursprünglichen Neigung dieser Ebene gegen die neutrale Schicht abhängt. Fingiert man eine in dieser Ebene wirkende (schiefe) Spannung 2, welche eine Maximaldehnung der schrägen Länge der Diagonalebene nach dem Gesetz der elastischen Dehnung herbeizuführen imstande wäre, so ergibt sich für diese auf Grund der Elastizitätslehre nach Bach der Absolutwert :

0,35 о + 0,65 /о² + 4 (a₀ r)²,

wo

*0-

1,3 . k,

(=ca. 1 bei Flußeisen und Stahl; bei isotropem Material = 1)

und ß'^die zulässige Beanspruchung auf^^u^

sowie о die Normalspannung ~~~ und r die Sehub-S-Mv    J

Spannung Elastizität und Festigkeit).

b.J

an der Stelle 8Ш bezeichnet (vgl. Bach,

§ 24. Die Schubspannung der Drehung (Torsion).

In der Ebene der unteren Endfläche A'B' des zylindrischen, mit einem Ende eingespannten Stabes (Fig. 48) wirke ein drehendes Kräftepaar vom Momente Md. Wir nehmen an, daß sämtliche Elemente einer Querschnittsebene nach der eingetretenen Verdrehung (Torsion) wieder in einer Querschnittsebene liegen, durchschneiden den Stab längs des Querschnittes AB, bringen in sämtlichen Elementen der Schnittfläche am unteren Stabteil die zur Erhaltung des Gleichgewichts desselben nötigen inneren Kräfte an, so können wir unter Vernachlässigung der zur Querschnittsebene normalen Komponenten derselben die Verdrehung im Querschnitt AB als eine Schub Wirkung der Komponenten nach dieser Ebene betrachten. Da hiebei der Schub, den ein Flächenelement von AB bei kleinem Drehungswinkel erleidet, proportional zu dessen Entfernung q von der Drehachse, aber ebenso proportional der Schubspannung т an jener Stelle angenommen werden kann, so ist auch x proportional g, so daß

//// ////////////

/у/////

V////

Aj    В[

г" j?

. V

Рб

JP\ 4- Z Г *

Fig. 48.

x —C» q (C Konstante)

gesetzt werden kann. Für die Schubspannung % an der Peripherie ist daher

t* = G• r (r Radius des Zylinders),

X = ~ • xf ₎

woraus

daher die Schubkraft am Element A F des Querschnitts AB:

Л F-t'q

AF-t =

und deren Moment in bezug auf die Achse des Zylinders

A F-F-g*

Aus dem Gleichgewichtszustand des unteren Stabteiles folgt aber die Momentengleichung um die Drehungsachse :

AF-tS-q

oder

(J° polares Trägheitsmoment des Querschnitts in Beziehung auf seinen Mittelpunkt),

r • Md

also

eMd

— r

jf ist demnach die größte im Querschnitt auftretende

und demnach

jo *

Schubspannung. Sie sei mit zmax bezeichnet. Dann ist also

rMd

raax jo JO wo

( W° polares Widerstandsmoment des Querschnitts in Beziehung

л d^

auf dessen Mittelpunkt = vgl. § 7) lb

oder

Мд 16 Ж

^max — jo

- n d³

Ti d³

16

(am Umfang des Zylinders)

5 Md

«* ca.-.

d³

§ 25. Die Normalspannung bei exzentrischer Belaetnng. Knickungsformel von Na vier.

Ein einerseits festgespannter vertikaler Stab heißt exzentrisch belastet, wenn die Last P in der Entfernung f von der Schwerpunktsachse am oberen Ende angreift (Fig. 31). f heißt Exzentrizität der Last Durchschneiden wir den Stab nach der Durchbiegung in einem beliebigen Querschnitt AB, so bleibt der obere Trägerteil im Gleichgewicht, wenn wir in den Elementen seiner Schnittfläche die geeigneten Normal- und Schubkräfte anbringen. Dieses Gleichgewicht wird nicht gestört, wenn wir ferner an ihm im Schwerpunkt der Schnittfläche zwei gleiche und entgegengesetzte Kräfte P anbringen. Eine derselben bildet mit der gegebenen Last P ein Kräftepaar (Fig. 31) vom Momente Py', die andere wirkt als axiale Druck-

kraft, die den oberen Stabteil auf den unteren drückt. Die Normalspannungen im betrachteten Querschnitt sind also zusammengesetzt aus denjenigen, die durch die Biegung durch das Kräftepaar, und denjenigen, die durch die axiale Druckkraft erzeugt werden, so daß

о = Op ±oB

imd gemäß Gleichung I, § 22 und I, § 23, B:

+ Druckspannung — Zugspannung.

„ P , n(Pin

⁰ =    j

r) (Py/)

__l füp Zug und Druck von gleichem J

In einem zur Neutral-Achse der Biegung symmetrischen Querschnitt ist das größte von der Biegung herrührende Glied

Werte, daher ist für einen solchen Querschnitt die absolut größte Normalspannung eine Druckspannung vom Werte

P . (Ptf)

Die am ganzen Stabe vorkommende größte Druckspannung amax-Druck tritt an der von der Neutralachse am weitesten entfernten, gedrückten Stelle desjenigen Querschnitts ein, für welchen seinen größten Wert ô + f erreicht, also im Punkte A! der Einspannstelle. Ist für diesen Punkt rj =    , so wird

_P в,[Р(й + Л]

Umax-Druek — тл \

Dieser Wert gibt überhaupt die absolut größte Normalspannung bei symmetrischem Querschnitt für den ganzen Stab an.

§ 25. Die Norinalspannung bei exzentr. Belastung. ЮЗ Aus der Gleichung der Biegungskurve des Stabes :

à + f — У = {à + f) cos

(vgl. § 16) ergibt sich, da für x = l (Stablänge) y = 6 wird,

f = (ö + f) e°s

woraus

<5 + f =

COS

(iS)

und mittels dieses Wertes die größte Druckspannung des Stabes (in A')

I)

<?max-Druck —

et Pf

J cos

(Bei symmetrischem Querschnitt absolut größte Normalspannung des Stabes.)

Anmerkungl. Bei dicken Stäben (Mauerpfeilern usw., vgl. § 26), die keine oder nur eine sehr geringe seitliche Ausbiegung <5 erleiden, kann ohne großen Fehler (5 = 0 und somit

io

tfmax-Druck — тл ~Ь

P el (Pf)

genommen werden.

Anmerkung 2. Bei unsymmetrischem Querschnitt ist für den ganzen Stab die absolut größte Normal-

J cos

vom Charakter des überwiegenden Vorzeichens und im Querschnitt der Einspannstelle.

Spezieller Fall. f klein; y'=f.

Knickungsformel von Navier.

Für diesen Fall läßt sich das Biegungsmoment P]f=* Pf (konstant) annehmen und daher wird

„ -р + еi(pf>

Umax-Druck — jp I j

Setzt man diesen Wert gleich der zulässigen Beanspruchung к auf Druck, so folgt

= F-

kJ- F

J + ei fP

Bezeichnet man den Quotienten mit r² (und r als

F

Trägheitsradius), so kommt

hf'

P*=F-

r²

Aus den Gleichungen für die größte Druckspannung der Biegung

„    «. (Pf)

° ⁼ —r~

Spannung der absolut größere der beiden Werte

e₂Pf

\Pf

bzw.

und dem G-esetze der elastischen Dehnung <x о = e

folgt durch Elimination von o:

eJ

« • h f

Da nach der Gleichung von Euler (vgl. § 17)

c-J

(X-l*

(c eine von der Befestigungsart der Stabenden herrührende Konstante),

so folgt durch Gleichsetzung beider Werte für P:

hf

und damit

i + i-

-t = F.

1 -f- X

fâ"

Diese Formel gibt die praktische Tragkraft P des Stabes an und wird als Knickungsformel benutzt, x heißt Knickungskoeffizient. Gebräuchliche Werte von x

für Schmiedeeisen u. weichen Stahl 0,00005 bis 0,0001

für Gußeisen

für Holz

0,0002 bis 0,0003 0,0002

Da mit abnehmendem r auch P abnimmt, wählt man zur Berechnung von P den kleinsten Trägheitsradius, den in Beziehung auf eine Schwerpunktsachse zu bilden möglich ist.

Die Tragkraft ist um so kleiner, je größer das Verhältnis der Stablänge zum kleinsten Trägheitsradius des Querschnittes ist.

§ 26. Die Normalspannung bei Mauern und Gewölben.

A) Mauern mit konstantem Profil (vgl. Statik, Bd. П, §§ 17 und 18).

An dem über der Lagerfuge AB (Fig. 49) stehenden Stück einer Mauer von konstantem Profil und der Länge / cm greifen die in einer vertikalen Symmetrieebene, in der auch der Schwerpunkt des Mauerstücks liegt, gelegenen Kräfte P an. Dieselben seien mit dem Eigengewicht Q desselben zu einer Resultante R vereinigt. Diese sei mit ihrem Angriffspunkt in den Stützpunkt Gt dieser Fuge (Statik, Bd. II, §§ 17 und 18) verschoben und dort in Horizontal- und Vertikalkomponente Hx und Nx zerlegt. Nimmt man an, die Wirkung der Hx werde durch die Reibung in der Fuge aufgehoben, und bringt man an dem über AB stehenden Mauerstück im Schwerpunkt S der Fugenfläche zwei gleiche und entgegengesetzte Kräfte gleich Nx an, so erhält man ein biegendes Kräftepaar vom Momente Nx» f, wo CS = f und eine axiale Druckkraft Nx, die das über AB stehende Mauerstück auf seine Unterlage drückt. Es lassen sich demnach für die in der Fuge entstehenden Normalspannungen die Formeln des vorigen Paragraphen (exzentrische Belastung) in Anwendung bringen und man erhält demnach für irgend eine Stelle der Lagerfuge im Abstand rj von der iV-Achse der Biegung:

V{Nx-f)

N.

-f Druckspannung — Zugspannung

(J Trägheitsmoment der Fuge in Beziehung auf die Neutral-achse der Biegung),

V.

V-

"У

: ‘Л

Гг

!И

7/

mi-f-K

! !

'///M/Ą//////Z.

*е1 ł eL >

Fie. 4ft

^ С тпегТюН? des р äußeren Drittels von А В

éffe,

'    Bruât

jg    Fig. 49 a

остгги

if

V4

lug

<r^*'

“3>    <7 innerhalb des

§ у, mittleren Drittels van А В

/>

Fig. 49 b.

«2t Druck

z*s?

Ćmax(DrucH)

Cim (rrenzputücb des mittleren Drittels von А В

Й«.

Drtech

pkitfc^

"f / ?

Fig. 49 c.

und die Linie der о hat im allgemeinen den in den Fig. 49 a, b, c angegebenen Verlauf

°=°N

.

F ’

Stellt man die Forderung auf, daß die Normalspannung an keiner Stelle des Querschnitts Zugspannung sein dürfe (da dem Mörtel keine Zugfestigkeit zugeschrieben werden kann), also a selbst an den Stellen größter, durch die Biegung erzeugter Zugspannung (in B) nicht negativ werden soll, so ergibt sich, da für diese

Stellen rj =*    , dafür die Bedingung:

oder

Nx

l-b

(b, l und /“in cm ; F =1-b qcm ; Nx in kg)

oder

QNxf^ Nx

Ib²

lb ’

woraus oder

Daher:

Liegt der Stützpunkt C innerhalb des mittleren Drittels der Fugenbreite oder in dessen Orenzpunkten, so erleiden sämtliche Elemente

der Fuge nur Druckspannung. Im letzteren Fall ist die kleinste Druckspannung gleich 0 (in dem dem Stützpunkt abgewandten Fugenende Б, da für dieses in diesem Falle oNx — oB= 0 wird).

Die Linien der о für die drei Fälle, die hinsichtlich der Lage des Punktes C innerhalb der Fugenbreite AB möglich sind, zeigen die Fig. 49 a, b, c.

Größte Druckspannung der Fuge, а) 0 liegt innerhalb des mittleren Drittels der Fugenbreite.

~ (für die Stelle A). Daher gemäß der Gleichung

Li

zu Anfang dieses Paragraphen

г«'Л

Nx

Omax-Druck —    Ь

(in A wenn C links von S, in В wenn C rechts von S liegt), und falls das Mauerstück eine Tiefe /= 100 cm hat, also F — 100 • b qcm ist:

^max-Druck —

— 4-

100b    1006»

I)

^max-Druck —

1006V ^ bi

(vgl. Anmerkung 1).

b) G liegt im Grenzpunkt des mittleren Drittels der Fugenbreite

HO V. Die Spannungen im stabförmigen Körper usw.

Aus I):

^max-Druck —

2Д. 2Jr„

1006    100-3/*

co| Cr

= АС

(vgl. Anmerkung 1).

c) G liegt im äußeren Drittel der Fugenbreite, aber nahe am Grenzpunkt des mittleren Drittels.

Man pflegt in diesem Falle die Strecke AG zu verdreifachen bis D (Fig. 50) und die Annahme zutreffen, daß nur AD die wirksame Fugenfläche darstelle. Man rechnet dann umax aus obiger Formel II)

2NX

^max-Druck —

100 •3/r’

1 indem nimmt.

Anmerkung 1. In den vorstehenden Formeln I und П sind f und Ъ in cm zu nehmen, tfmax bedeutet kg/qcm. Die Formeln I und II sind gültig bei einer Tiefe des Mauerstückes /=100 cm.

Anmerkung 2. Der Wert von Nx nimmt mit zunehmendem Mauergewichte, also mit der Veränderung der Lage von AB nach der Tiefe hin zu, daher auch tfmax-Drack, somit ist bei Stabilitätsuntersuchungen von Mauern <jraax-Druck besonders für die Fundamentfuge A!Bf zu berechnen.

Anmerkung 3. Da der Baugrund nur Druckspannungen bis zu einer gewissen Größe aufzunehmen

Fig. 6u.

man

f'=AC

vermag, so ist bei Stabilitätsuntersuehungen von Mauern <Wx-Druck auch für die Fundamentsohle zu berechnen.

Anmerkung 4. Für dieselbe Fuge nimmt (vgl. Gleichung I) amax-Druck mit wachsendem f ebenfalls zu, daher ist die Berechnung von amax.Druck auch für die Fugen der größten Annäherung der Stützlinie an das Mauerprofil (Bruchfugen) vorzimehmen.

Anmerkung 5. Da das Moment Nx • f gleich dem Moment von R, d. h. gleich der algebraischen Summe der Momente von Q und aller P (Fig. 49) in Beziehung auf die Neutralachse der Biegung für den Querschnitt AB, also gleich dem Biegungsmoment Mx ist, so folgt für die größte Druckspannung der Fuge:

0max-Druck —

■ffie i

F J »

und da ex = — , und falls die Tiefe l = 100 cm,

J= ₁ir. 100. ft®

ist, so kommt

1 Лг , 6ЖД = mb\N*⁺—)

Ömax-Druck —

6 мх

1006 ¹ 10062 (b in cm; Mx in kgem; omax-Druck in kgqcm),

wobei Nx sich am einfachsten als algebraische Summe der Yertikalkomponenten der Q und aller P berechnen läßt.

B) Mauern mit Strebepfeilern.

Zu beiden Seiten des Pfeilers schneiden wir je in der Mitte das anstoßende Mauerfeld mittels der vertikalen Ebenen AB und HD (Fig. 51) durch und wenden auf eine beliebige Lagerfuge EO dasselbe Verfahren

wie vorhin an. ' Dann ergibt sich für ein beliebiges Element dieser Fuge im Abstand Yj von der Neutralachse der Biegung, falls GS — f: Nx, r) (Nx • f)

° = y±—j-+ Druckspannung — Zugspannung.

Stellt man wieder die Bedingung auf, daß о an keiner Stelle des Querschnittes Zugspannung werden dürfe, d. h. daß an der Stelle größter Zugspannung der Biegung, also an der Stelle <?, wo rj = e₂, о noch Druckspannung bleibe, so ist der Ausdruck dieser Bedingung

Nx e₃(Nxf)^n J ^U’

Ei

УФ

#< ;

? 'ТГ

hieraus folgt:

/V

(г Trägheitsradius von F in Beziehung auf die N А = j/,

also

r²

Macht man daher auf der Neu-

Fig. 61.

-YÏ

zieht

tralachse £IK= r GW, und in W senkrecht hierzu WC₉, so bestimmt C₀

diejenige Grenzlage für C, außerhalb welcher auf der Strecke EC₀ der Punkt G nicht liegen darf, wenn Zugspannungen in der Fuge vermieden werden sollen. In analoger Weise ist Cq konstruiert, so daß, wenn C innerhalb G₀Cq liegt, an keiner Stelle der Fuge Zugspannung auf tritt.

Liegt G innerhalb CqGq , so folgt für die größte Druckspannung der Fuge (in E, falls C links von S liegt)

_K,el(Nxf)

Umax-Druck — rrr i

(J Trägheitsmoment der schraffierten Querschnittsfläche F in Beziehung auf die N • A* der Biegung)..

Liegt G rechts von S und innerhalb C₀ Cq , so findet die größte Druckspannung in G statt und sie ergibt sich aus obiger Gleichung mit e₂ statt ex.

C) Tonnengewölbe.

Ist aus einem zylindrischen Tonnengewölbe durch zwei zur Achse senkrechte Ebenen ein Stück von der Länge (Tiefe) l=lm = 100cmausgeschnitten (Fig. 52) und für dieses Stück die Stützlinie konstruiert (vgl. Statik, Bd. П,

I-''S

Fig. 62.

§18), so wird der auf eine Radialfuge wirkende Fugendruck s annähernd durch denjenigen Polstrahl s nach Größe und Richtung dargestellt, welcher zu der von der Fuge geschnittenen Seite des Seilpolygons parallel geht. Verschiebt man diesen Fugendruck s mit seinem Angriffspunkt in den Stützpunkt G der Fuge, zerlegt dort s

Hauber, Festigkeitslehre.

114 У- Die Spannungen im stabförmigen Körper usw.

in die zwei Komponenten Nx und Tx normal und längs der Fugenebene, so lassen sich hinsichtlich beider Komponenten dieselben Betrachtungen anstellen, wie in A) hinsichtlich der analogen Kräfte bei der Lagerfuge, wofern man nur statt des über der Lagerfuge stehenden Mauerstückes den links von der Fugenebene befindlichen Gewölbeteil in Betracht zieht.

Daraus ergibt sich die resultierende Normalspannung wieder als eine kombinierte des axialen Druckes Nx und des biegenden Kräftepaares vom Moment Nx» f (/* = GS) und somit, wenn auch beim Gewölbe Zugspannungen vermieden werden sollen, analog wie bei A):

Liegt der Stützpunkt G innerhalb des mittleren Drittels der Fugenbreite AB oder in dessen Grenzpunkten, so erleiden sämtliche Elemente der Fuge nur Druckspannung. Im letzteren Fall ist die kleinste Druckspannung = 0 (in dem dem Stützpunkt abgewandten Fugenende В, da für dieses in diesem Falle oNx — oB= 0 wird).

Für die größte Druckspannung der Fuge (in dem dem Stützpunkt C zugekehrten Ende A der Fuge) gelten dieselben Formeln wie bei A) (für 1= 100 cm):

a) wenn C innerhalb des mittleren Drittels der Fugenbreite liegt:

Umax-Druck —

M'i + LA

ioo6\ ^ b I

1006V    6 / ’

wo Mx die algebraische Summe der Momente aller am linksseitigen Gewölbeteil angreifenden Kräfte in Beziehung auf S bedeutet;

b) wenn G im Grenzpunkt des mittleren Drittels der Fugenbreite liegt:

, (wo f-AO)ï

^max-Druck —

2 Nx 2 Nx 100 Ъ 100-3f

(wo f = AG).

^max-Druck —

c) wenn G wenig ins äußere Drittel tritt:

2NX 100 • 3 f

§ 27. Die schiefe Spannung bei gleichzeitiger Biegung und Drehung (Torsion) am zylindrischen Stab.

Wird für einen Querschnitt x eines zylindrischen Stabes das Biegungsmoment mit Mb, das Moment der Drehung mit Md bezeichnet, so erhält man für ein Element dieses Querschnittes im Abstand rj von der Neutralachse und Entfernung q vom Mittelpunkt:

die Normalspannung der Biegung: a =    (§23, В)

J

(§ 24).

und die Schubspannung der Drehung: т == ®

Diese Spannungen liefern analog § 23, D am Element eine schiefe Spannung vom Höchstwert

^ = 0,35 а + 0,65 Yo* + 4(<%₀ 7)²,

wo

1,3 kd

(Jcb zulässige Beanspnichung auf Biegung, kd auf Drehung, vgl. Bach, Maschinenelemente, Tafel der zulässigen Beanspruchungen).

Führt man die Werte von о und x in die Gleichung für 2 ein, so ergibt letztere:

116 V. Die Spannungen im stabformigen Körper usw,

0,35 rj Mb

j + 0,65

2 wird demnach für diejenige Stelle des Querschnittes ein Maximum, für welche rj und g ihren größten Wert

d

erreichen, also am Umfang, für welchen rj = g = —

a

(id Durchmesser des Stabes) ist. Berücksichtigt man ferner die Werte

n d*

64 ’

: /° =

so kommt für das größte 2 des Querschnittes

2⁼-^ t⁰’35 Мь+°>⁶⁵    i •

Das absolut größte 2 des ganzem Stabes ist demnach ams Umfang desjenigen Querschnittes, für welchen der Wert der Klammer ein Maximum ist, und hat den Charakter von Zug- oder Druckspannung.

Anmerkung: Bezeichnet man den Wert der Klammer mit JŁf, so wird das größte 2 des Querschnittes:

2- ³²

32

( W axiales Widerstandsmoment des Querschnittes in Beziehung auf den Durchmesser),

und der Vergleich dieser Relation mit den Formeln der Normalspannung der Biegung lehrt den Charakter von M als den eines ideellen Biegungsmomentes, das die Normalspannung 2 der Biegung am Umfang des Querschnittes erzeugen würde.

Anhang.

§ 28. Über die Aufgabe der Dimensionierung stabförmiger Körper mit Beispielen.

Der Gegenstand dieser Aufgabe ist meist die Ermittlung der Mindestdimensionen des Querschnittes solcher Körper, die bei gegebenen äußeren Kräften nötig sind, damit der Höchstwert gewisser innerer Spannungen die zulässige Beanspruchung к derselben Art nicht überschreite, d. h. es muß

Maximalspannung ^ к sein.

Um die Tragfestigkeit des Materials voll auszunützen, wählt man möglichst das obere Zeichen. In den wenigsten Fällen läßt jedoch die entstandene Gleichung die direkte Bestimmung einer Querschnittsabmessung zu, da es in den meisten Fällen unmöglich oder zu kompliziert ist, die Gleichung auf eine solche mit nur einer Unbekannten zurückzuführen. Man verfährt dann auf indirektem Wege, indem man eine aus der Erfahrung geschöpfte Form und Größe des Querschnittes zugrunde legt, für diesen angenommenen Querschnitt nach den Formeln des vorhergehenden Abschnittes die größten am Stab auftretenden Spannungen zu ermitteln sucht, und falls diese einen Wert ergeben, der größer ist als die entsprechenden zulässigen Beanspruchungen, den gewählten Querschnitt vergrößert, für den neuen Querschnitt diese Rechnung aufs neue anstellt usw. und so lange fortfährt, bis die größte Spannung den entsprechenden Wert von к nicht mehr überschreitet.

Ober die Werte von к vgl. § 4. Die dort enthaltenen Werte sind nur Mittelwerte. Bei wichtigen Konstruktionen ist es nötig, für das in Aussicht genommene Material die Werte von к durch Versuche am Material selbst oder auf Grund von Berechnungen an ausgeführten und bewährten Konstruktionen zu ermitteln. Namentlich ist dies bei Stahl und Beton der Fall, bei welchen der Wert von к großen Schwankungen unterliegt.

Es kann nicht Aufgabe dieses Bändchens sein, die zahlreichen besonderen Aufgaben zu lösen, welche der Maschinenbau, die Hochbau- und Ingenieurtechnik m Hinsicht auf die Dimensionierung stellen, und wir beschränken uns deshalb auf wenige allgemeine Beispiele:

— iz cm

ii)

Beispiel 1. Ein schmiedeeisernerStab aus Flacheisen erleidet eine ruhende axiale Zugkraft von 10000 kg. Welcher nutzbare und welcher wirkliche Querst« schnitt ist nötig, wenn eine Schwächung v durch einNietloch von einer Breitegleich der doppelten Stabdicke in Rechnung zu nehmen ist (ks = 1000 kg/qcm)? (Fig. 53.)

Fig. 53.

Auflösung: Der nötige nutzbare Querschnitt ergibt sich aus

(vgl. § 22)

Ömai =    = kt

10000

= 1000

F — 10 qcm = 10/1 cm.

Diese Fläche ist aber zu vergrößern wegen der Schwächung durch das Nietloch. Durch Probieren ergibt sich als tatsächlich nötiger Querschnitt 12/1 cm.

Beispiel 2. Welchen Quer schnitt muß eine runde eiserne Zugstange erhalten, die einen axialen Zug von 10000 kg auszuhalten hat (kt = 1000 kg/qcm)? Auflösung:

Omax —    у;, — к>я ,

10000

= 1000 ,

— 3,6 cm.

Beispiel 3. Der Mittelpfeiler einer Brücke (Fig. 54) von gegebenen Dimensionen erhält bei Vollbelastung der beiden anstoßenden Gewölbe von beiden Seiten einen gleich großen und gleich geneigten Gewölbeschub. Die Resultante beider Schübe, die in die vertikale Pfeilerachse fällt, beträgt 150000 kg. Welche Pressung erleidet die Fundamentsohle (Gewicht von 1 cbm Mauerwerk des Pfeilers * 2200 kg)?

Auflösung: Die Fun-damentsohle erleidet einen axialen Druck von

c- 2

- tu Ç

f - 3\m. - )

3 l,n

0,6

Г"''

c*

i.

ŁjŁLU ŁŁLU

0.6

Fig. 64.

P = 150000 + Gew. d. Pfeilers + Gew. d. Fundamentes,

= 150000 + (2.4 - 6 + 3.5.6) • 2200

+ (4,2.7,2.1). 2200 kg,

= 520128 kg.

Die Fläche der Fundamentsohle ^=420-720 qcm, daher Pressung in der Fundamentsohle

520128 л nu .

F ~ 1ЙГ~780 - 1,7

Beispiel 4. Eine hohle gußeiserne Säule von 4 m Länge hat eine ruhende Belastung von 10000 kg aufzunehmen. Welcher Querschnitt, wenn beide Enden als drehbar angenommen werden (k = 500 kg/qcm; E = 1000000 kg/qcm, Sicherheitskoeffizient = -£-)?

Auflösung: Nach § 17 ist die theoretische Tragkraft der Säule für die genannte Befestigungsart der Säulenenden

10 EJ

und die praktische Tragkraft

1 10 EJ

~ 6 ’ P '

Nach Einsetzen der gegebenen Werte folgt hieraus das gegen Zerknicken nötige (kleinste) J:

== 960 cm⁴ .

6 * 10000 • 4002 10-1000000

Wir wählen nun versuchsweise einen Querschnitt vom äußeren Durchmesser D = 13 cm und der Wandstärke <5 = 1,5 cm und berechnen nach Tafel I

J= 0,393- 1,5 •

896 cm⁴,

/13 + 10\⁸

\ 2 /

finden also J zu klein. Wir vergrößern den Querschnitt auf D = 14, ô = 1,5 cm, berechnen aufs neue

1151 cm⁸

/= 0,393- 1,5

•m-

und finden nun den Querschnitt genügend stark gegen Zerknicken.

Wir haben jetzt nur noch die Sicherheit der Säule gegen axialen Druck zu untersuchen. Wir berechnen

= 170 kg/qcm

10000

<7max — T7T

und finden diesen Wert < к (к = 500). Daher ist auch Sicherheit gegen Zerdrücken vorhanden.

Anmerkung: Säulenenden, die mit Yerstärkungs-rippen oder Fußstreben versehene Fußplatten besitzen oder verschraubt sind, lassen sich als eingespannt betrachten und es kommen dann statt der benutzten Formel für P die diesbezüglichen übrigen Formeln von § 17 zur Anwendung.

Beispiel 5. Gesucht das Profil des in Fig. 23 dargestellten Trägers aus Walzeisen mit IQuer-schnitt

(kb = к, = к = 1000 kg/qcm ; vgl. § 4). Auflösung:

Die größte Normalspannung (Zug = Druck) ist

max

ömax —

w taL § 23, B),

daher, wenn ömax = К = кя — к — 1000 kg/qcm und Imai = 180000 kgcm (vgl. § 12, Beispiel 1), so folgt

für das nötige Widerstandsmoment des Querschnittes 180000

= 180 cm³ .

1000

Diesem Widerstandsmoment entspricht in den Tafeln deutscher Normalprofile das Profil Nr. 19 ( JF= 187 cm⁸).

Beispiel 6. Gesucht der Querschnitt eines an beidenEnden abgestützten rechteckigenHolz-balkens von 5 m Länge, der mit der gleichförmig stetigen Last von 1,2 kg/cm beansprucht ist

(kb = ka = к = 60 kg/qcm.)

Auflösung:

qP

M,пах = "7Г (VSL § ¹²)>

1,2 - 500²

= 87 500 kgcm,

daher das nötige Widerstandsmoment des- Querschnittes 37500

m&x

60

— 625 cm⁸ .

Zur Bestimmung der Dimensionen b und h des Querschnittes hat man also die zwei Gleichungen:

bh²

-у- - 625    (§ 7),

Ю |r-

(§ 23, B, Beispiel b),

aus welchen ä = 18 cm, 6=13 cm sich ergibt.

Beispiel 7. Welchen Querschnitt muß die in Fig. 55 dargestellte Welle aus Flußeisen erhal-

ten, deren Belastung durch das Gewicht Q des endseitig angebrachten Zahnrades und den nach unten gerichteten Zahndruck P gegeben sei? (Zulässige Beanspruchung auf Torsion kd = 500 kg/qcm, auf Biegung kb — kz = 400 kg/qcm, siehe Bach, Masch.-El., Tabelle der zulässigen Beanspruchung, Spalte b u. c, vgl. Anmerkung.)

c'

- I.J.

Fig. 56.

Auflösung: Da das Moment Md der Drehung für alle Querschnitte zwischen Lagermitte und Radmitte konstant ist vom Werte

Md = P • E (E Halbmesser des Zahnrades),

so wird die bei gleichzeitiger Beanspruchung durch Biegung und Drehung in jedem Querschnitt (am Umfang) entstehende größte Spannung

[0,35 Mb + 0,65 ЙЧКЧ’] (gfy)

VT

' ■ nd³

in demjenigen Querschnitt von größtem Werte sein, für welchen Mb ein Maximum ist. Dies ist der Querschnitt in der Lagermitte (eingespannter Träger). Wir berechnen daher für diesen Querschnitt

Md — P * R ,

2)

Mb = (P + Q)l,

führen die berechneten Werte in den Klammerausdruck der in § 27 mit M bezeichnet wurde, ein und berechnen also

3)

M = 0,35 Mb + 0,65 pI?+(oc₀Mdy ,

wobei

<x₀ =

400

— 0,7

1,3 kd 1,3 • 500

zu nehmen ist. Da nun das größte 2 an der Einspann-stelle = kb sein muß, so kommt aus

kb =

32

nd³

unter Benutzung des eben berechneten Wertes von M und des gegebenen Wertes von kb1 der gesuchte Wert d.

Anmerkung: Da durch die Drehung der Welle die der Biegung unterworfenen Fasern in raschem Wechsel bald oberhalb bald unterhalb der Neutralachse zu liegen kommen, so findet in jeder derselben ein fortgesetzter Wechsel von Druck und Zug statt und der entsprechende Wert von kb ist daher der Spalte c der Bachschen Tabelle der zulässigen Beanspruchungen zu entnehmen. Hinsichtlich der Beanspruchung auf Drehung findet nur ein Wechsel von beanspruchtem und un-beanspruchtem Zustande statt, also ist kd der Spalte b der genannten Tabelle zu entnehmen.

Beispiel 8. Gesucht die größte Druckspannung in der Fundamentfuge des in Fig. 56 dargestellten Mauerpfeilers von 4 m Tiefe (Länge)

und konstantem Profil, dessen vertikale Symmetrieebene Kraftebene ist. (Gewicht von 1 cbm Mauerwerk =» 2000 kg.)

5000

if*

SQOpfcg ⁴

4-

Q~

72000ty

CAS

>/?

i*

Fig. 56.

Auflösung: Außer den in Fig. 56 eingezeichneten äußeren Kräften greift im Schwerpunkt des Profils das

Eigengewicht des Pfeilers

Q = (4.6.1,5) 2000 = 72000 kg

an. Nun ist das Biegungsmoment Nx • f = Mx in Beziehung auf die Neutralachse der Fundamentfuge (vgl. § 26, A, Anmerkung 5) gleich der algebraischen Summe der Momente aller P und Q in Beziehung auf diese Achse bzw. auf S:

Mx = —5000.5 + 5000 * 4 - 10000 - 0,75 + 8000-0,75

= —6500 kgm = —650000 kgcm

und Nx= 72 000 + 8000 + 10000 = 90000 kg (vgL § 26, A, Anmerkung 5), daher folgt nach § 26, A, An-merkung 5 für die Fundamentfuge

400- 150 = 60000 qcm ^-400- 150³ cm⁴

= 1,5 + 0,43

90000    75-650000

Umax-Druck —

60000 -îV- 400 -1508 == 1,93 kg/qcm (in Ax) .

4'-\>

,Л* ■■

• fM

Werte von J und TF für zusammengesetzte Figuren iu Beziehung auf eine Schwerpunktsachse 5 bzw. auf den Schwerpunkt S.

Axiales

Polares

Jp

J§

Wf

Auf andere Achsen bezogenes axiales Jj?

« a>

- —S

I«

b h²

ЪЦЬ² + Л²) & frfo² + fe²

12

5S-

05

л-ьл

•а »

12

CO

■/г- тг

■4M*-

ah³

ah²

36

24

./i= — * 12

Я⁴ л Я³

——=са

64

20 32

ca

d* nd‘⁴

10 32

ca

dŁ л<№

10 16

Я³

ca-—

..A..,

л d⁴

128

= ca —-

40

?• A

< 77    ,

— Ш4 64 ¹

= ca 0,393

'32 D

D⁴-d⁴ 71

л D⁴ — d⁴

32^-d‘)ïe • —

■* в y *s *

4fMir-:*

BH* — bh* BH³ — bhs

12

6Я

M³ + 6/&³ БЯ³ + &Я³

12

аг

6Я

"S

tel

to

"bo

tg

cs-

г->

bo

tej

Cr-

5s-

(1ЧЧ-1НЯ:) 9

CS-

s-

to

ii

bo

tej

C5-

tej

tej

to

Ul

<ъ>

^⁴/3 16 r

5&³

71 (X³ ß

64

Л ix²ß

32

<x³ß

~ ca20

(X²ß — ca-—r-

>

\

г

Register.

Die

tsform

105.

83.

13.

Spannungskurve 18. Streckgrenze 13.

Torsion 99. Trägheitsmoment 22. Sätze 23.

—, Werte für verschiedene

Ermitt-

Arbeitsfestigkeit 19.

>gung 86 u. ff. Normalspannung 90.

—, Schiefe Spannung 98.

—, Schubspannung 95.

Biegungsfestigkeit, Träger von gleicher, 93.

Biegungskurve 55.

Biegungsmoment 34 u. ff.

Biegungsmomenten-linien 36 u. ff.

Biegungspfeil 77.

Bruchfugen 111.

Dehnung, relative 11.

Dehnungskoeffizient 11.

Druckkraft, axiale 84.

Elastische Linie 55.

Elastischer Körper 7.

Elastizität 7.

Elastizitätsgesetz der Dehnung (Hooke-

* sches Gesetz) 10.

Elastizitätsgesetz der Schiebung 17.

Elastizitätsgrenze 15.

Elastizitätsmodul für Zug und Druck 12.

— für Schub 17.

Eulersche Gleichung 64.

ExzentrischeBelastung 59, 101 u. ff.

—, Normalspannung 101 u. ff.

ExzentrischeBelastung, Durchbiegung 61.

—, Gleichgewich

Festigkeit 8.

Gefährlicher Querschnitt 90.

Isotroper Körper 7.

Knickbelastung 62. Knickung 63. Knickungsformel von Navier 105. Knickungskoeffizient

Kontinuierlicher Träger 66.

Maximalbiegungsmoment 48, 46, 53, 69,

Mohr scher Satz 74.

Navier sehe Hypothese

86.

N eutral-(N ull-) Achse 86. Neutrale Faserschicht

Proportionalitäts-grenze 12.

Quetschgrenze 18.

Schiebung, relativeVer-Schiebung 17. Schub-(Scheer-)Kraft 15, 88.

Sicherheit, Sicherheit» koeffizient 18. Spannung: Druckspannung 10. Normalspannung 16, 84, 90, 101, 106. Schiefe Spannung 98, 115.

Schubspannung 16, 95, 99.

Zugspannung 10. Spannungsdiagramm

Querschnittsformen 25 u. Tafel I, Anhang.

—, Graphische lung 81.

Wellenlinie als Gleichgewichtsform 59.

Widerstandsmoment22. Werte für verschiedene Querschnittsformen 25 u. Tafel I, Anhang.

Wöhlersche Versuche 9.

Zugkraft, axiale 84. Zulässige Beanspruchung 18 u. ff.

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