WYDZIALY POLITECBNICZNE KRAKÖW

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BIBLIOTEKA GtÖWNA JChen

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konstruktionen

Von

ProEJ. Vonderlinn

Mit 114 Figurea

Kriegseinband

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;hniki Krakowskiei

Sammlung Göschen

chattenkonstruktionen

Schatten des Kreiszylinders.

Schatten eines Umdrehungskörpers.

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Schatten einer ßölirenfläche.

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chattenkonstruktionen

Von

Professor J. Vonderlinn

Direktor der Kgl. Baugewerkschule irTMünster i. W.

Mit 114 Figuren

Durchgesehener Neudruck

Berlin und Leipzig

r. J. Göschen’sehe Verlagshandlung G. m. b. H. 1913

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Alle Rechte, namentlich das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

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der Spamerschen Buchdruckerei in Leipzig.

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

Allgemeine Bemerkungen ....

10

11

14

16

Schatten einer ebenen Figur, z. B. eines Dreiecks, auf die

Projektionsebenen.............

Schatten einer geraden Linie auf eine beliebige ebene Figur Schatten einer ebenen Figur, z. B. eines Dreiecks a&c, auf eine andere Ebene, z. B. die Projektionsebene Fi und eine

Ebene ST................

Schatten einer Kreisfläche...........

Schatten von Polyedern............

Schatten eines regelmäßigen Polyeders, z. B. eines Dodekaeders

Schatten eines Prismas............

Das Prisma steht zu einer Projektionsebene, z. B. Ei, senkrecht ................

Das Prisma ist geneigt zu den beiden Projektionsebenen

Schatten einer Pyramide............

Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Projektionsebene, z. B .Ex............ .

Angewandte Beispiele .............

17

18

18

21

23

23

24

24

25

26

26

Schatten des Kreiszylinders . .    -    ......

a)    Der senkrechte Kreiszylinder.........

b)    Der schiefe Kreiszylinder...........

Schatten des Kreiskegels...........

Schatten der Kugel.............

Schatten eines Uradrehungskürpers ........

Schlagschatten eines Umdrehungskörpers auf seine eigene

Oberfläche................

Schatten von Gesimskörpern ..........

Schatten der Schraubenlinie und der Schrauben flächen

Schatten der Schraubenlinie..........

Schatten der Schraubenflächen ....    .....

Schatten einer Röhrenfläche..........

a)    Allgemeine Bemerkung...... ....

b)    Beispiele .....    ...    .....

Allgemeine Bemerkungen.

1* Durch zwei rechtwinklige Projektionen auf zwei zueinander unter einem bestimmten, in der Regel einem rechten Winkel geneigten Projektionsebenen ist ein Körper sowohl hinsichtlich seiner Gestalt als auch seiner Lage zu den Projektionsebenen vollständig bestimmt, d. h. man ist in diesem Falle imstande, aus den vorliegenden Zeichnungen alle Maße zu entnehmen, welche zur Anfertigung des Körpers erforderlich sind. In der Regel zeichnet man einen Körper im Grund- und Aufriß; manchmal verfertigt man auch noch einen Seitenriß zur weiteren Klarstellung der Körpergestalt.

Zur Erhöhung der Bildlichkeit der Darstellung kann man auch die Beleuchtung des Körpers in den Bereich der Darstellung ziehen, indem man voraussetzt, die Beleuchtung auf dem Körper sei in bestimmter Weise fixiert und mit ihm auf die Projektionsebenen projiziert.

Hierbei ist die Lichtquelle als in unendlicher Feme liegend, der Körper also als durch parallele Lichtstrahlen beleuchtet vorausgesetzt. Yon der Berücksichtigung der physikalischen Beschaffenheit der Körperoberfläche wird abgesehen und lediglich das geometrische Bildungsgesotz der Körperoberfläche als bekannt vorausgesetzt. Man erhält auf diese Weise eine bestimmte geometrische Beleuchtung des Körpers, von der im folgenden die Bede sein wird.

Richtung der Lichtstrahlen.

2. Wenn auch die Richtung der Lichtstrahlen beliebig gewählt werden kann, so ist es doch üblich, bei technischen Zeichnungen eine bestimmte Lichtstrahlenrichtung vorauszusetzen. Man wählt sie parallel zu einer Hauptdiagonale eines Würfels, der mit seinen Seiten-

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Fig. 1.

flächen parallel zu den Projektionsebenen vorausgesetzt ist. Ist in Fig. 1 dieser Würfel im Grund-, Auf- und Seitenriß dargestellt, so gilt als Lichtriclitung die Diagonale ab, welche die obere, vordere linke Ecke a mit der unteren, hinteren rechten Ecke b verbindet. Die Lichtstrahlen sind also parallel zur Geraden ab, deren Projektionen mit den Projektionsachsen den Winkel von 45° einschließen. In Wirklichkeit schließt die Lichtrichtung mit den Projektionsebenen einen Winkel w ein, dessen Größe in der Fig. 1 durch Drehung des Lichtstrahles L parallel zur Projektionsebene E₂ ermittelt

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woraus

ist. Man erkennt aus der Fig. 1, daß tgro = Ü^I ist. Setzt man die Länge der Würfelseite gleich der Einheit, so wird: tg w = — —

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folgt cp = 35° 15'. Da die Würfeldiagonale gegen alle drei Projektionsebenen gleich geneigt ist, so bildet die Lichtrichtung mit jeder der Projektionsebenen Et, E2 und E₃ den gleichen Winkel cp.

Selbst- und Schlagschattengrenze.

Selbst schattengrenze.

3. Trifft ein Lichtstrahl in einem Punkte auf die Oberfläche eines Körpers, so wird dieser Punkt beleuchtet sein, wenn der Lichtstrahl nicht zuvor an einer anderen Stelle den Körper oder einen anderen getroffen und dort sein Licht abgegeben hat. So wird z. B. in Fig. 2—6 der Punkt a ein beleuchteter Punkt sein, nicht aber der Punkt 5, weil der den Punkt b enthaltende Lichtstrahl schon an anderer Stelle c sein Licht abgegeben, d. h. die Stelle c des Körpers beleuchtet hat. Es gibt somit auf der Oberfläche eines Körpers Punkte, welche beleuchtet sind, und solche, bei welchen dies nicht der Fall ist. Letztere Punkte liegen im Schatten. Die Oberfläche eines Körpers wird aus zwei Teilen, einem beleuchteten Teile und einem im Schatten liegenden Teile bestehen. Zwischen beiden Teilen liegt eine Grenzlinie, welche eine Schattengrenze heißt. Man unterscheidet eine Selbstschattengrenze und eine Schlagschattengrenze.

Die Selbstschattengrenze entsteht durch Bewegung eines Lichtstrahles als Tangente längs der Oberfläche eines Körpers, sie ist also die Berührungslinie eines Tangentenzylinders mit der Oberfläche des in Rede stehenden Körpers. Die Selbstschattengrenze ist durch das geometrische Bildungsgesetz der Oberfläche des beleuchteten Körpers ihrer geometrischen Beschaffenheit nach festgelegt; sie ist aber nicht von vornherein auf dem Körper verzeichnet, bzw. durch Begrenzungslinien des Körpers gebildet, sondern muß erst durch Konstruktion punktweise ermittelt werden. Bei einem Polyeder, d. h. einem nur von ebenen Flächen begrenzten Körper, kann von einer Berührungslinie eines Tangentenzylinders mit dem Körper nicht die Rede sein. Hier setzt sich vielmehr die Selbstschattengrenze aus bestimmten Körperkanten zusammen, die von vornherein vorhanden sind, also nicht erst konstruiert werden müssen. Bei einem solchen Körper handelt es sich lediglich darum, zu bestimmen, welche Körperkanten der Selbstschattengrenze angehören. Dies ist aber für jede Kante der Fall, welche eine beleuchtete Fläche von einer nicht beleuchteten trennt. Eine solche Kante soll für die Folge eine Schattenkante heißen. Führt man in der Lichtstrahlenrichtung durch einen Körper einen ebenen Schnitt, so kann als Schnittfigur z. B. eine der Figuren 2 bis 6 entstehen; hierbei erkennt man z. B. in Fig. 2 die Flächen ge, ga, af und fd als beleuchtet, als nicht beleuchtet aber die Flächen eb und bd. Die Kanten, auf welchen die Punkte e und d liegen, sind Schatten kanten und gehören somit der Selbstschattengrenze des Körpers an. In Fig. 3 gehören die Kanten, auf welchen die

Fig. 4.

Fig. 3.

Fig. 2. f

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Fig. 5.

Fig. ^G.

Punkte d und e liegen, gleichfalls der Selbstschattengrenze an, in Fig. 4 ist dies für die Kanten durch die Punkte e, /*, g und d der Fall. Lichtstrahlen, wie jene durch die Punkte d, e (Fig. 2 u. 3) oder e, /*, g, d (Fig. 4), welche durch eine Schatten kante des Körpers hindurch gehen, heißen Streif strahlen. Aus Vorstehendem ergibt sich für ein Polyeder folgende allgemeine Regel zur Bestimmung der Selbstschatten grenze: „Man führt parallel zur Lichtrichtung durch den Körper ebene Schnitte und zeichnet in den Schnittfiguren die möglichen Streifstrahlen. Die Ek-ken, durch welche diese Streifstrahlen hindurchgehen, gehören zu den Schattenkanten des Körpers, und letztere bilden dessen Selbstschattengrenze.“ Es wird sich später zeigen, daß in der Regel schon ein einziger, parallel zur Lichtrichtung geführter Körperschnitt zur Ermittlung der Selbstschattengrenze genügt.

Bei einem von einer krummen Oberfläche begrenzten Körper bestimmt sich die Selbstschattengrenze als Berührungslinie eines Tangentenzylinders parallel zur Lichtrichtung mit der Oberfläche des beleuchteten Körpers. Sind in Fig. 5 u. 6 ebene Körperschnitte parallel zur Lichtstrahlenrichtung dargestellt, so liefern die Tangenten parallel zur Lichtrichtung an diese Schnitte durch ihre Berührungspunkte d, e, f und g mit letzteren Punkte der Selbstschattengrenze.

Schlagschattengrenze.

4. Bei einem Polyeder besteht die Selbstschattengrenze aus einem unebenen Polygon, durch dessen Seiten die sämtlichen an den Körper möglichen Streifstrahlen hindurchgehen. Diese Streif strahlen bilden ein Prisma, das Lichtstrahlenprisma; dessen Strahlen können nun die Oberfläche des in Rede stehenden Körpers selbst oder die eines anderen Körpers treffen. Hierdurch entstellt auf dieser Oberfläche eine Durchschnittslinie, welche man als Schlagschattengrenze des ersten Körpers auf sich selbst oder auf den zweiten Körper bezeichnet; so trifft z. B. der Lichtstrahl durch f in Fig. 4 die Oberfläche des Körpers zum zweitenmal in einem Punkte h, dem Schlagschatten des Punktes f auf die Oberfläche des Körpers. Bei einem Körper mit krummer Oberfläche tritt an Stelle des Lichtstrahlenprismas ein Lichtstrahlenzylinder, gebildet aus den Mantellinien des Tangentenzylinders parallel zur Lichtrichtung an den betrachteten Körper. Der Durchschnitt dieses Lichtstrahlen-zylinders mit der Oberfläche des beleuchteten Körpers oder eines anderen Körpers bildet die Schlagschattengrenze des ersten Körpers auf sich selbst oder auf einen anderen Körper. So trifft z. B. in Fig. 5 der Lichtstrahl durch e die Oberfläche des Körpers ein zweitesma! in einem Punkte h, und h ist ein Punkt der Schlagschattengrenze des Körpers auf seine eigene Oberfläche.

Aufgaben der Schattenkonstruktion.

5. Bei der Ausführung der Schattenkonstruktionen handelt es sich stets um die Lösung der folgenden Aufgaben:

a)    Es ist die Selbstschattengrenze für einen Körper zu bestimmen. Ist der Körper ein Polyeder, so ist das Vieleck der Schatten kanten zu ermitteln; besitzt der Körper eine gekrümmte Oberfläche, so ist die Berührungslinie des Tangentenzylinders parallel zur Lichtrichtung mit der Körperoberfläche zu konstruieren.

b)    Es ist der Schlagschatten eines Körpers zu ermitteln. Hierbei kann es sich handeln:

oc) um den Schlagschatten des Körpers auf seine eigene Oberfläche,

ß) um den .Schlagschatten des Körpers auf die Oberfläche eines zweiten Körpers. Diese Oberfläche kann auch eine der Projektionsebenen sein.

Bei einem Polyeder ist der Durchschnitt des Lichtstrahlenprismas mit der Oberfläche, auf welcher der Schlagschatten entstehen soll, zu bestimmen; bei einem krummflächigen Körper ist der Durchschnitt seines Tangentenzylinders parallel zur Lichtrichtung, d. h. des Lichtstrahlen Zylinders mit der bezüglichen Oberfläche zu konstruieren.

Bei allen Schattenkonstruktionen ist stets zuerst die Selbstschattengrenze zu ermitteln; erst wenn diese bestimmt ist, erfolgt die Konstruktion des Schlagschattens

Schatten von Punkten, geraden Linien und ebenen Flächen.

6. Bei diesen Gebilden kann man von einem Selbstschatten nicht sprechen, wohl aber von einem Schlagschatten, den ein Punkt, eine gerade Linie oder eine ebene Fläche auf einer anderen Oberfläche hervorruft.

Schlagschatten eines Punktes auf die Proj ektionsebenen.

7. Unter dem Schlagschatten eines Punktes auf eine Projektionsebene versteht man- den Durchschnittspunkt des den gegebenen Punkt enthaltenden Lichtstrahles mit der betreffenden Projektionsebene. In den Fig. 7—9 ist ein Punkt durch seine Projektionen dargestellt und die Schattenkonstruktion ausgeführt. In Fig. 7 fällt der Schatten des Punktes auf die Projektionsebene Et1 in Fig. 8 auf die Projektionsebene E₂; im ersten Falle liegt der Punkt der Projektionsebene E₁₁ im zweiten Falle der Projektionsebene E₂ näher. Der Schlagschatten eines Punktes fällt stets auf die dem Punkte zunächst liegende Projektionsebene.

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Fig. 7.

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Fig. 9.

Liegt ein Punkt von beiden Projektionsebenen gleich weit entfernt, so fällt sein Schlagschatten in die Proj ektionsachse.

In Fig. 9 sind die beiden Durchschnittspunkte o! und a" des den Punkt a enthaltenden Lichtstrahles mit den Projektionsebenen E₁ und E₂ dargestellt. Auf Grund der gewählten Lichtrichtung erkennt man, daß die Verbindungslinie a! a" parallel zur X-Achse läuft. In Fig. 9 gilt als wirklicher Schlagschatten der Punkt a". Der Punkt a' wäre der Schlagschatten von a auf die

14 Schatten von Punkten, geraden Linien u. ebenen Flächen.

Projektionsebene Ex, wenn die Projektionsebene E2 weggenommen würde. Aus Vorstehendem erkennt man, daß, wenn man von einem Punkte seinen Schlagschatten a! auf die eine Projektionsebene, z. B. Ei, kennt, man den Schlagschattenpunkt auf die andere Projektionsebene sofort erhält, einmal auf einer Parallelen zur X-Achse durch den vorhandenen Schlagschattenpunkt a', und außerdem auf dem Lichtstrahle durch die Projektion des Punktes auf jener Projektionsebene, auf welcher der Schatten gesucht ist, also durch a₂. Wäre a" gegeben, so erhielte man o! auf der Parallelen durch a" zur X-Achse und auf dem Lichtstralile durch av

Schatten einer Geraden auf die Projektionsebenen.

8. Die Gerade steht senkrecht auf einer Projektionsebene, z. B. Ex (s. Fig. 10); ihr Schatten A' auf Projektionsebene Ex ist parallel zu L±. A" steht senkrecht zur X-Achse. Steht die Gerade B senkrecht zur Projektionsebene E₂, so ist B" parallel zu L₂ und B' senkrecht zur X-Achse (s. Fig. 11).

Die Gerade ist parallel zu einer Projektionsebene, z. B. zu E₂. Man bestimmt die Schatten zweier ihrer Punkte z. B. a und b auf die beiden Projektionsebenen, also o! a" und bf b" (s. Fig. 13). Die Verbindungslinien a' b' und a" b" geben die gesuchten Schatten auf die Projektionsebenen Ex und E₂. Beide Linien schneiden sich in einem Punkte c der X-Achse und als wirkliche Schatten gelten nur diejenigen Stücke von o! b' und o!’ 6", welche in den positiven Projektionsebenen liegen, also die Stücke a! c und b' c. In Fig. 12 ist der Schatten einer zur Projektionsebene Ex parallelen Geraden konstruiert. Man findet in beiden Fällen, daß

Fig. 10.

Fig. 11.

Fig. 12.

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Fig. 13.

Fig. 14.

der Schatten einer zu einer Projektionsebene parallelen Geraden auf diese Projektionsebene parallel zur Geraden selbst ist.

Die Gerade hat gegen beide Projektionsebenen eine beliebige Lage. Man ermittelt (s. Fig. 14) die Schatten der Endpunkte a und b der Geraden auf die beiden Projektionsebenen, also a'a" und b'b"\ so geben die Verbindungslinien a! b' und a"b" die gesuchten Schatten, die sich in c auf der Projektionsachse X durchschneiden und von' welchen nur die Stücke a' c und b" c als wirkliche Schatten gelten.

Schatten einer Geraden ab auf eine Gerade cd.

9. Soll der Schatten einer beliebigen Geraden, z. B, ab (s. Fig. 15), auf eine andere Gerade, z. B. cd, ermittelt werden, so handelt es sich darum, einen Licht-⁷z

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Fig. 15.

strahl zu zeichnen, der beide Geraden ab und cd schneidet. Zu diesem Zwecke bestimmt man den Schlagschatten der beiden Geraden auf eine Projektionsebene, etwa Ex, also die Linien a' b' und d d\ die sich in einem Punkte e' f schneiden. Der durch d f gehende Lichtstrahl trifft dann beide Geraden ab und cd und zwar ah in einem Punkte e und cd in einem Punkte f imd es ist, weil f von der Lichtquelle weiter entfernt liegt als der Punkt e, der erstere Punkt der Schlagschatten des letzteren Punktes, oder mit anderen Worten, es ist f der Schlagschatten der Linie ab auf die Linie cd.

Schatten einer ebenen Figur, z. B. eines Dreiecks, auf die Projektionsebenen.

10. Man ermittelt (s. Fig. 16) die Schatten 1'• 2' • 5' der Dreieckspunkte 1 • 2* 3 auf die Projektionsebene!^ ohne Rücksichtnahme auf die Projektionsebene E₂. Aus der Lage der Punktei'* 2'• 3' erkennt man, daß der Schatten der Ecke 2 auf die Projektionsebene E₂ fällt; man bestimmt also 2" und verbindet 2" mit den Schnittpunkten a und b der Dreiecksseiten 1’• 2' und 2'• 3' mit der X-Achse. Der Schatten der Dreiecksebene auf die beiden Projektionsebenen Ex und E₂ ist dann durch die schraffierte Fläche dargestellt.

Anmerkung 1. Bestimmt man auch die den Punkten 1' und 3' entsprechenden Punkte 1" und 3" und vervollständigt das Dreieck 2" 1" 3", so stellt dieses Dreieck den Schatten des Dreiecks 1 • 2 • 3 auf die Projektionsebene E₂ für den Fall des Nichtvor-handenseins der Projektionsebene Ex dar. Die beiden Dreiecke / • 2! • 3? und 1" • 2" • 3" sind affine Figuren hinsichtlich der X-Achse als Affinitätsachse und Richtung. Dies gilt für die Schlagschattenfiguren irgend

Vonderlinn, Schattenkonstruktionen.

eines Körpers auf die Projektionsebenen E₁ und E₂. Diese Affinitätsbeziehung kann man in vielen Fällen konstruktiv verwerten, wenn es sich darum handelt, aus der einen Schlagschattenfigur die andere abzuleiten.

Schatten einer geraden Linie auf eine beliebige ebene Figur.

11. Soll der Schatten einer Geraden, z. B. 4- 5 (s. Fig. 16), auf eine beliebige Ebene, z. B. die Dreiecksebene 1'2'3 (s. Fig. 16), ermittelt werden, so verfährt man in gleicher Weise wie in Nr. 10, d. h. man bestimmt den Schatten des Dreiecks 1 • 2 • 3 und den der Geraden 4 • 5 auf eine Projektionsebene, z. B. Projektionsebene E±; die Schlagschattenbegrenzungen treffen sich dann in den Punkten 6' und 7', denen auf der Linie 4 • 5 die Punkte £, 7 und auf den Dreiecksseiten die Punkte 6°, 7° entsprechen. Die Verbindungslinie £°, 7° stellt den Schlagschatten der Linie 4 • 5 auf die Dreiecksebene dar.

Schatten einer ebenen Figur, z. B. eines Dreiecks abc, auf eine andere Ebene, z. B. die Projektionsebene und eine Ebene ST.

12. Man bestimmt zunächst (s. Fig. 17) die Schlagschatten a\ b\ d der Dreieckspunkte a, b, c auf die Projektionsebene Ev Aus der Lage dieser Punkte erkennt man, daß der Schatten der Ecke b auf die Ebene S T fallen muß.

Man braucht daher nur den Schnittpunkt b₀ des Lichtstrahles durch b mit der Ebene ST mittels einer den Lichtstrahl durch b enthaltenden projizierenden Ebene

Fig. 16.

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zu bestimmen, um in b₀ den Schlagschatten des Punktes b auf die Ebene 8 T zu erhalten.

Die Schlagschatten a'b' und cfb' begegnen der Spur S± der Ebene S T in den Punkten f± und gu denen im Aufriß auf X die Punkte f₂ und g₂ entsprechen. Die Yer-bindungslinien fx b\, g₁ b\, bzw. f₂ b\ und g₂ b\ geben

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Fig. 17.

die Projektionen des Schlagschattens der Dreiecksseiten ab und bc auf die Ebene ST an.

Anmerkung 2. Die Ermittelung des Punktes b0 kann noch in anderer Weise als mittels einer den Lichtstrahl durch b enthaltenden projizierenden Ebene erfolgen. Man bestimmt nämlich den Schlagschatten einer Geraden der Ebene S T etwa gleich den Schatten von T auf die Projektionsebene E₁ und erhält hierfüi die Gerade T'. Es ist auf T der Punkt cl gewählt und dessen Schatten d' ermittelt. Zieht man nun durch V eine Parallele zu Sx bis zum Schnitt e! mit T\ so ist e' der Schatten eines Punktes e von P, dessen Aufriß e₂ auf einer Parallelen zur X-Achse durch e' liegt; auf dieser Parallelen liegt aber zu gleicher Zeit der Punkt b₂, weil genannte Parallele den Aufriß jener Geraden darstellt, deren Schatten auf der Projektionsebene Ex die Linie b' e' bildet. Dem Punkte e₂ entspricht als Grundriß der Punkt ei auf X und die Parallele zu S₁ durch e₁ liefert auf dem Lichtstrahle durch bt den Punkt bJ.

Schatten einer Kreisfläche.

13. Die Kreisfläche ist parallel zu einer Projektionsebene, etwa zu Projektionsebene Et, vorausgesetzt, ihre Entfernung von letzterer ist so gewählt, daß der Schatten der Kreislinie Kx (s. Fig. 18) vollständig auf die Projektionsebene E₂ gelangt.

Zur Ausführung der Schattenkonstruktion kann man auf K eine beliebige Anzalü von Punkten wählen und deren Schatten auf die Projektionsebene E₂ ermitteln. So liefern z. B. die Punkte 1 bis 8 ihre Schlagschatten in ln bis 8".

Anmerkung 3. Der Schatten von K ist eine Ellipse X", von welcher sich in einfacher Weise die Hauptachsen bestimmen lassen, wenn man den Schlagschatten von K auf die Projektionsebene Ei, welcher ein dem Kreise K kongruenter Kreis K' aus dem Mittelpunkt m' ist, zu Hilfe nimmt. Berücksichtigt man die Affinitätsbeziehung zwischen K' und K", so lassen sich in K' sofort zwei aufeinander senkrechte Durchmesser bestimmen, denen die Hauptachsen in K" entsprechen.

Man braucht zu diesem Zwecke ja nur den Kreis durch die Mittelpunkte mf und m" zu zeichnen, dessen Mittelpunkt a auf der X-Achse liegt; so trifft S¹ die X-Achse in zwei Punkten b und c, welche mit m' verbunden in K' zwei aufeinander senkrechte Kreisdurcli-

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Fig. 18.

messer d! d und /*' a' liefern, denen in X" die Hauptachsen d" e" und f" gff entsprechen. Sind die Hauptachsen von X" ermittelt, so können die einzelnen Ellipsenpunkte unabhängig von dem Grund und Aufriß von X gezeichnet werden.

Schatten yon Polyedern.

Schatten eines regelmäßigen Polyeders, z. B. eines Dodekaeders.

14. In Fig. 19 ist ein regelmäßiges Dodekaeder durch Grund- und Aufriß dargestellt. Es ist der Selbstschatten sowie der Schlagschatten auf die Projektionsebenen Ex und E₂ zu konstruieren. Man führt parallel zur Lichtrichtung und außerdem z. B. senkrecht zur Projektionsebene Ei einen ebenen Schnitt Ax durch den Körper und ermittelt das Schnittvieleck. Ln Grundriß erhält

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man die Schnittpunkte von At mit den Kürperkanten unmittelbar und kann sie in den Aufriß hinaufprojizieren; es ergibt sich im Aufriß das Yieleck a₂b₂c₂d₂e₂f₂a₂. Die parallel zu L₂ an dasselbe gezogenen Streifstrahlen gehen durch die Punkte d₂ und a₂ und bestimmen hierdurch die Körperkanten 1*10 und 5 * 6. Damit ist aber das Streifvieleck vollständig bestimmt, denn an die Kante 1*10 schließen sich an 10*9 und 1 * 2, hieran reihen sich 9 * 8 und 2 * 3, ferner 8 * 7 und 3 * 4, endlich 4 * 5 und 7 • 6. Das Streifvieleck ist also 1*2*3* 4*5 * 6*7*8*9*10, womit die im Selbstschatten befindlichen Begrenzungsflächen des Dodekaeders gegeben sind; sie sind, soweit sie als sichtbar erscheinen, in der Zeichnung durch Schraffur angedeutet. Konstruiert man nun die Schlagschatten der einzelnen Pimkte des Streifvielecks auf die Projektionsebenen Et bzw. E₂, so ergibt sich der Schlagschatten des Körpers so, wie er in Pig. 19 dargestellt ist. Die beiden Schlagschattenfiguren schneiden sich in den Punkten g und h auf der X-Achse.

Schatten eines Prismas.

Das Prisma steht zu einer Projektionsebene, z. B. Et1 senkrecht (s. Fig. 20).

15. Man zieht parallel zur Projektion des Lichtstrahles in die Ebene einer Grundfläche des Prismas, im vorliegenden Falle also parallel zu Li, die möglichen Streifstrahlen; diese enthalten die Ecken 7 und 3 und bestimmen dadurch die Seitenkanten 1 * 2 und 3 * 4 sowie die Grundkanten 4*5, 5*6, 6*2 als Schattenkanten. Die Seitenflächen durch die zuletzt genannten Grundkanten sind im Selbstschatten des Prismas; sichtbar hiervon

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Fig. 20.

ist im Aufriß die Fläche 1*2*6. Durch den Schlagschatten der Punkte 1—6 auf die Projektionsebenen ergibt sich der Schlagschatten des Prismas. Da die Punkte 1*6*5 und 4 der Projektionsebene E₂ näher liegen als der Projektionsebene Ei, so fällt der Schatten dieser Punkte auf die Projektionsebene E₂.

Das Prisma ist geneigt zu den beiden Projektionsebenen.

16. Man bestimmt den Schlagschatten der Seitenkantenrichtung des Prismas auf die Projektionsebene Ex, z. B. der Achse a b in ax b\ Parallel zu at b' zieht man die Streif strahlen an die Grundfläche, welche durch die Ecken 1 und 3 hindurchgehen, wodurch die Seitenkanten 1 * 2 und 3*4 als Schattenkanten sich ergeben. Weitere Schattenkanten erhält man in den Grundkanten 2 * £,

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Fig. 21.

6• 5, 5• 4, womit die Selbstschattengrenze 1*2>6*5*4*3 bestimmt ist. Als Schlagschatten auf die Projektionsebene Ex erhält man 1 • 2* £'• 5'• 4'» 3, welcher Linienzug die X-Achse in den Punkten c und d trifft. Auf der Projektionsebene E₂ entsteht noch die Schattengrenze c»2"»d.

Schatten einer Pyramide.

Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Projektionsebene, z. B. Ei (s. Fig. 22).

17. Man bestimmt den Schlagschatten s' der Spitze s in die Ebene der Grundfläche, also in die Projektionsebene Ev Yon s' aus zieht man an das Grundflächen-vieleck die möglichen Streif strahlen, d. h. solche Strahlen, welche durch eine Ecke des Vielecks hindurchgehen, aber sonst keine weiteren Punkte mit letzterem gemein haben. Es sind dies im vorliegenden Falle die Linien s'-l und $'• 2, wodurch die Seitenkanten s-1 und s>2

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Fig. 22.

als Schattenkanten festgelegt sind. Die Linien $'• I und s' • 2 sind zugleich die Schlagschatten der genannten Seitenkanten auf die Projektionsebene Ev Dem Punkte s' entspricht in der Projektionsebene E₂ der Punkt s" auf dem Lichtstrahle durch s₂ als Schatten der Pyramidenspitze auf Projektionsebene E₂. Die Yerbindungslinien s" a und s" b begrenzen den Schlagschatten der Pyramide auf die Projektionsebene E₂.

Angewandte Beispiele.

18. Aufgabe. Für die in Fig. 23 gezeichnete Körperzusammenstellung „Pyramide und Prisma“ ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Bei einer Zusammenstellung mehrerer Körper ist es stets zweckmäßig, die Schattenkonstruktion für jeden einzelnen Körper für sich, ohne .Rücksichtnahme auf den anderen Körper, auszuführen, d. h. für jeden Körper die Selbstschattengrenze und hierauf dessen Schlagschatten auf die Projektionsebenen zu ermitteln. Aus der gegenseitigen Lage der Schlagschattengrenzen ergibt sich dann in dem Umriß der Schlagschattenfiguren der Schlagschatten der ganzen Körpergruppe auf die Projektionsebenen, außerdem aber auch der Schlagschatten, den der eine Körper etwa auf dem anderen hervorruft.

Im vorliegenden Beispiele vollzieht sich die Schatten-konstruktion wie folgt:

a)    Schatten der Pyramide. Man ermittelt den Schlagschatten s' der Pyramidenspitze auf die Projektionsebene E± und damit die Geraden s' • 1 und s'*2, womit der Selbst- und Schlagschatten der Pyramide auf die Projektionsebene Ex bestimmt ist.

b)    Schatten des Prismas. Man verschafft sich die Projektion der Lichtrichtung in die Ebene C± der Prismengrundfläche. Zu diesem Zwecke projiziert man den Punkt s nach t und einen weiteren auf dem Lichtstrahle durch s gelegenen Punkt a nach b und erhält in tb die Projektion der Lichtrichtung in die Ebene C₁. Parallel zu t₂ b₂ zieht man an den Aufriß der in der Ebene Ct liegenden Prismengrundfläche die möglichen Streif strahlen, welche die Ecken 3 und 4 enthalten Hierdurch ist die Selbstschattengrenze des Prismas fest-

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Fig. 23.

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gestellt. Man erhält die beiden Seitenkanten 3 • 3 und 4 »4, desgleichen die Grundkanten 3*5, 5*6, 6»4, 3*7, 7« 8 und 8*4. Die Lichtstrahlen durch die Punkte der Selbstschattengrenze bestimmen durch ihren Durchschnitt mit der Projektionsebene Ei die Schlagschattengrenze 4 • 6'• 5'* 3'« 3'* 7r»8*4 des Prismas auf diese Ebene.

c)    Schatten der Pyramide auf das Prisma. Die Linien sr • 2 und s' • 1 werden von den durch die Schattenpunkte 4, 3', 5' und 3' gezogenen Parallelen zu der Prismenrichtung in den Punkten ii, kx, </, d', e', /■', g’ und /&' getroffen. Zieht man durch diese Punkte Lichtstrahlen parallel zu L±) so liefern diese auf den Prismenkanten 4 • 4, 6 • 3, 5*5 und 3 • 3 die Punkte h? V cn du eu fi 5 3i und als Schatten der Pyramidenkanten 5• 2 und S'l auf den Prismenmantel. Die Aufrisse der genannten Punkte ergeben sich durch Hinaufprojizieren.

d)    Schatten der Pyramide auf die Wandfläche D. Man erhält im Grundriß den Punkt sjn dem im Aufriß der Punkt s% entspricht. Die Linien s' • 1 und s' • 2 liefern im Schnitt mit Dx die Punkte ox und p₁, deren zugehörige Aufrisse o₂ und p₂ auf X liegen; ihre Yerbindungslinien mit begrenzen den Schatten der Pyramide auf der Wandfläche D.

e)    Schatten des Prismas auf die Wandflächen D und F. Von dem Prisma fällt ein Teil des Schattens auf die Wände D und F. Die Linie 3'* 5' schneidet F₁ in lX) Aufriß l₂ hegt auf X. Der Lichtstrahl durch 3 schneidet Fx in 3j, Aufriß 3\. Ein Lichtstrahl durch den Schnittpunkt m\ von Dx und F± hefert auf der Prismenkante 3 • 3 den Punkt mx im Grundriß und m₂ im Aufriß. Der Lichtstrahl durch m2 bestimmt auf der Schnittkante von D und F den Schatten

pnnkt m\. Ermittelt man endlich noch den Schatten 3" 3" der Prismenkante 3 • 3 auf die Projektionsebene R₂, so trifft 3" • 5" die Schnittkante der Wand D mit der Projektionsebene in n\, so daß m\n\ den Schatten der Prismenkante 3 • 3 auf die Wand D im Aufrisse darstellt.

19.    Aufgabe. Für den in Fig. 24 im Grund-und Aufriß, in Fig. 25 im Seitenriß dargestellten Strebepfeiler ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Als Selbstschattengrenze ergibt sich für den prismatischen Pfeiler A unmittelbar die Kante 1 • 2. Für den Körper B erkennt man die Selbstscliatten-grenze in dem Linienzug 3* 4* 5 • 6• 7• 8 • 9• 10 • 9» 11. Mittels der Seitenprojektion (Fig. 25) und dem Grundriß ergeben sich die Schlagschattenpunkte 3°•4° • 6° -7° - 8° - 8' • 9' • 11. Yon der Kante 7 • 8 fällt der Schatten zum Teil auf die Wand C, zum Teil auf die Projektionsebene E±. Es ist zunächst der Schatten auf die Wand Cin 7°•8° ermittelt worden. 7°« 8° schneidet die Projektionsachse X in 12, womit in 7° • 12 der Schatten auf G, in 12 • 8' der Schatten auf E₁ abgegrenzt ist.

20.    Aufgabe. In den Fig. 26 u. 27 ist ein Dachfenster im Auf- und Seitenriß dargestellt. Es ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Als Schattengrenze entnimmt man aus der Fig. 26 unmittelbar den Linienzug 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7; hiernach bestimmt sich der Schlagschatten auf die Flächen A, B und C, wie in den Figuren angegeben. Yon der Linie 6*7 ist nur die Strecke 7«501 Schattengrenze.

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Fig. 27.

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Fig. 26.

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ebenen sind in der Regel zwei vorhanden, die den Zylinder nach Mantellinien berühren. Man erhält sie, wenn man parallel zur Projektion der Lichtrichtung in die Ebene eines Grundkreises des Zylinders an den Grundkreis die möglichen Tangenten zieht.

Liegt der Grundkreis in einer Projektionsebene, z. B. Et (s. Fig. 28), so berühren die Tangenten parallel zu Li den Grundkreis K± in den Punkten 1 • 2 und 3 • 4, wodurch die Mantellinien 1 • 2 und 3 • 4 der Selbstschattengrenze bestimmt sind. Als weitere Schattenkanten sind diejenigen Hälften der beiden Grundkreise zu rechnen, welche die beleuchtete Grundkreisfläche von der nicht beleuchteten Zylinderfläche trennen und umgekehrt; im vorliegenden Falle ist dies der Halbkreis 2 • 5 • 6 • 7 • 4 der oberen beleuchteten Grundfläche. Bestimmt man den Schlagschatten der beiden Mantellinien 1 • 2 und 3»4 sowie jenen der Punkte 5*6 und 7, so ergibt sich der Gesamtschatten des Zylinders so, wie die Fig. 28 zeigt.

22. Aufgabe. Ein hohler Halbzylinder ist in Fig. 29 durch Grund- und Aufriß dargestellt. Es ist der auf dem inneren Zylindermantel auftretende Schlagschatten zu konstruieren.

Auflösung. Zunächst bestimmt sich durch eine Tangente parallel zu L± an den Grundkreis Kx die Mantellinie 1 • 2 der Selbstschattengrenze. Schlagschatten ruft hervor die Mantellinie 3 • 4. Der Punkt 3 hat seinen Schatten in 5°, die Mantellinie 3° • 6° gibt den Schlagschatten von 3 • 4 auf den Zylindermantel; ein Teil des Schattens von 3*4, nämlich jener der Strecke 6 • 4, gelangt auf die Bodenfläche des Zylinders. Der Kreisbogen 2 • 3 wirft seinen Schatten auf den Zylindermantel nach 3° • 5° • 2,

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23.    Aufgabe. Ein senkrechter Kreiszylinder liegt parallel zu den Projektionsebenen E{ und E₂ (s. Fig. 30 u. 31). Es ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. In der Seitenprojektion (Fig. 31) ergeben sich die Berührungspunkte 1 • 2 und 3 • 4 der parallel zu Ls an Ks gezogenen Tangenten; hierdurch sind die Mantellinien 1 • 2 und 3 • 4 der Selbstschatten-grenze im Grund- und Aufriß (Fig. 30) bestimmt.

Zur Schattengrenze gehören ferner die Halbkreise [• 7 • 9 • 3 von K und 2 • 12 • 10 • 4 von N. Bestimmt man von dem Linienzug 3 • 7 • 1 • 2 • 12 • 10 • 4 • 3 den Schlagschatten auf die Projektionsebenen Ex und E2) so erhält man die Schattenbegrenzung der Figur 30.

24.    Aufgabe. Für die in Fig. 32 durch Grund-und Aufriß dargestellte zylindrische Nische ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Es entsteht Schatten von der geraden Begrenzung 1 • 2 und von dem Kreisbogen K der Nische, und zwar auf die Wand A. Man bestimmt den Schatten m\ von m₂, zeichnet um m\ mit einem Halbmesser gleich jenem von K einen Kreisbogen K2l zieht m\ • 1⁰ parallel m₂ • 1 und durch 1⁰ die Parallele zu 1*2.

25.    Aufgabe. Ein Stück einer zylindrischen Röhre, mit der Achse senkrecht zur Projektionsebene E₂, ist in Fig. 33 durch Grund- und Aufriß dargestellt. Man soll die Schattenkonstruktion ausführen.

Auflösung. Man ermittelt im Aufriß die Berührungspunkte der parallel zu L₂ an die Zylinderkreise möglichen Tangenten und erhält hierdurch die

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schattengrenze beider Zylindermäntel. Bestimmt man nun für die Mittelpunkte m und n die Schlagschattenpunkte m" und n", so geben die Halbkreise 1) II, III, IV die Schlagschatten der Begrenzungskreise der zylindrischen Röhre auf die Projektionsebene E₂ an Durch die Verbindungen 1" 2", 3" 4”, 5" 6" und 7" S” ist der Gesamtschatten auf die Projektionsebene E₂ dargestellt. Aus den Schattenpunkten auf E₂ ermittelt man jene auf E{ nach Nr. 7.

2G. Aufgabe. In Pig. 34 u. 35 ist ein Vertikalschnitt durch die Achse eines senkrechten Kreiszylinders — Tonnengewölbe — geführt. Es ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Schatten wird hervorgerufen durch die Schnittkante 2*2, ferner durch einen Teil des Begrenzungskreises K. Man zieht parallel zu L.₂ an K2 eine Tangente, wodurch die Mantellinie 3 • 4 der Selbst-scliattengrenze bestimmt ist. Der Schatten des Bogens 1 • 3 ergibt sich in 1⁰ • 3; die Parallele durch 1° zu 1 • 2 liefert in 1° • 6 den Schatten von 1 • 2.

27. Aufgabe. In Pig. 36 u. 37 ist ein hohler Halbzylinder durch Grund- und Seitenriß dargestellt. Es sind die auftretenden Schattengrenzen zu ermitteln.

Auflösung. Schatten entsteht auf den Oberflächen der beiden Zylinder, und zwar Selbstschatten auf dem äußeren Zylinder von 1 • 2 bis 11 • 12, dann Schlagschatten auf dem inneren Zylinder, herrührend von der Kante 6 • 7 und dem Kreisbogen 7 • 3, endlich Schlagschatten auf die Projektionsebene E₁, herrührend von dem Linienzug 5 • 2 • 1 • 14 • 13 • 12 • 11 • 9 • 10 • 8 • 6 • 5. Für die genannten Punkte ist die Konstruktion des Schattens angegeben.

28.    Aufgabe. Ein senkrechter hohler Kreiszylinder, dessen Achse parallel zur Projektionsebene E± und geneigt zur Projektionsebene E2 liegt, ist im Grund- und Aufriß (Fig. 38) sowie durch eine Projektion senkrecht zur Zylinderachse (s. Fig. 39) dargestellt. Es ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Man ermittelt zunächst die ProjektionL3 der Lichtrichtung in die Ebene Kt (s. Anmerkung), in dem man durch den Punkt a der Zylinderachse einen Lichtstrahl L zieht und den Punkt a sowie einen zweiten auf L gewählten Punkt c auf die Ebene Kx projiziert. Parallel zu Ls zieht man Tangenten an die Zylinderkreise und erhält hierdurch die Berührungspunkte 1 • 2, 3• 4, 5*6 und 7* S, denen die gleichbezeichneten Mantellinien der Selbstschatten grenze auf dem Hohlzylinder im Grund- und Aufriß entsprechen. (Im Grundriß sind die Punkte 5 • 6 und 7 • 8 weggelassen.)

Schlagschatten entsteht durch den äußeren Zylinder und zwar durch den Linienzug 1 • 2 • 10 • 4 • 3 • 12 • 13 • 1 sowie von dem Begrenzungskreis 7 • 9 • 5 des inneren Zylinders auf dem Mantel des letzteren. Dieser Schatten kann gleichfalls mittels der dritten Projektion (Fig. 39) bestimmt werden. In Fig. 39 liefert der Lichtstrahl durch den beliebig auf dem Zylinderkreise gewählten Punkt 9 den Schlagschatten 9°. Die Mantellinie durch 90 enthält in Fig. 38 den Schlagschatten .9° vom Punkte 9.

Anmerkung 4. Als dritte Projektionsebene ist die Ebene Kx des Zylinderkreises K gewählt; sie ist parallel zu sich selbst nach Si T₂ verschoben und dann in die Projektionsebene E₂ um gelegt worden.

29.    Aufgabe. Ein senkrechter Kreiszylinder, dessen Achse zu den beiden Projektionsebenen E± und E₂ geneigt liegt, ist in Fig. 40 durch

Grund- und Aufriß dargestellt. Sehattenkonstruktion auszuführen.

Es ist die

Auflösung. Man ermittelt wieder die Projektion der Lichtrichtung in die Ebene eines Grundkreises K. Zu diesem Zwecke zieht man durch den Mittelpunkt a von K einen Lichtstrahl L, bestimmt den Schnitt Si der Ebene ab L mit der Projektionsebene Ei, ebenso den Schnitt rl\ der Kreisebene K mit der Projektionsebene Et. S± und Tt schneiden sich in elf und die Yerbindungslinie a₁ et oder Ux ist der Grundriß der Projektion der Lichtrichtung L in die Ebene K. Parallel zu ZTj zieht man an Kt die möglichen Tangenten, so bestimmen diese durch ihre Berührungspunkte 1 und 3 die Mantellinien 1 • 2 und 3 • 4 der Selbstschattengrenze. Hierdurch ist die Gesamtschattengrenze L2-6*5* 4 • 3-9>7»1 und damit auch der Schlagschatten auf die Projektionsebenen Ex und E₂ festgelegt.

Anmerkung 5. Man kann entweder die Berührungspunkte 1 und 3 hinaufprojizieren oder parallel zu TJ2 an K₂ die möglichen Tangenten ziehen.

30. Aufgabe. Für die in Fig. 41 u. 42 dargestellte Körperzusammenstellung ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Durch die Tangenten parallel zu L1 an die Grundrisse beider Zylinder ergeben sich die Berührungspunkte 1-2-3-4-5-6-7-8 und damit die gleich-bezeichneten Mantellinien der Selbstschatten grenze im Aufriß. Schlagschatten entsteht nur von dem Linienzug 1 • 2 • 9 • 10 • 11 • 4 • 3 auf die Fläche A, desgleichen von dem Linienzug 5* 6*12* 8*7 auf die gleiche Fläche, endlich von 7 • 13 • 14 • 15 • 5 auf den Zylindermantel' B. Die Konstruktion des Schlagschattens ist mittels einer Seitenprojektion (s. Fig. 42) durchgeführt.

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31. Aufgabe. Für die in Fig. 43 und 44 im Auf- und Seitenriß gezeichnete Körperzusammenstellung ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Mittels des Seitenrisses bestimmt man durch die Tangenten parallel zu L₃ an die Linie A die Punkte 1*2» 3*4 und damit die Linien 1 - 2 und 3- 4 der Selbstschattengrenze in Fig. 43. Schlagschatten werfen:

1.    die Kante 7-11 auf die Konsolen A nach 7°- 8° bzw. 9° »IO⁰, ferner auf die Wand B nach

2.    die Kantei/*12 »16 auf die Wand B nach 11'- 12'-12)

3.    die Kante 3*1* 2» 8° zum Teil auf die Konsole A nach 3 -14° -15°, zum Teil auf B nach 15'- 1'- 2'-8'\

4.    die Linie 13 - 5 - 6 - 15° auf die Wand B nach 13 -5'-6' und 15'.

32.    Aufgabe. Für die in Fig. 45 gezeichnete Körperzusammenstellung ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Für den Zylinder A erhält man als Schattengrenze die Mantellinie 1 - 2 und den Kreisbogen 2 »21 -22. Die übrigen Schatten sind in dem Linienzug 11-12-13-14-15-16-17-18-19-3-4-5-6-24 -9-10-23-7-8*25 und 2-22- 26 enthalten. Die Konstruktion der Schatten der genannten Punkte ist aus der Fig. 45 zu entnehmen.

33.    Aufgabe. In Fig. 46 ist ein senkrechter Kreiszylinder, dessen Grundkreis in einer Horizontalebene X Y liegt, in schiefer Parallelprojektion 1:¹/₂ :1 dargestellt. Man soll die Schattenkonstruktion ausführen.

Auflösung. Die Lichtrichtung ist gegeben durch den Grundriß Lv und die schiefe Projektion 77. Man zeichnet parallel zu Lx an Kx die Tangenten, erhält hierdurch die Berührungspunkte 1 und 2 und .damit die Mantellinien 7 • 3 und 2 - 4 der Selbstschatten grenze. Der Schlagschatten wird hervorgerufen durch den

Linienzug 1 • 3 • 7 • 6 • 5 • 4 • 2 und gelangt zum Teil auf die X*Y-Ebene, zum Teil auf die X-Z-Ebene. Der Schlagschatten eines Punktes, z. B. 7, auf dieEbene ergibt sich im Schnitt der durch den Grundriß von 7

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Fig. 46.

und durch die schiefe Projektion von 7 gezogenen Lichtstrahlen in 7'. Der Schatten eines Punktes auf die X*Z- Ebene, z. B. des Punktes £, wird erhalten, indem man durch den Grundriß 6 den Lichtstrahl bis zum Schnitt mit X zieht und diesen Schnittpunkt auf den Lichtstrahl durch die schiefe Projektion von 6 nach 6" projiziert.

34. Aufgabe. Ein senkrechter Kreiszylinder, dessen Grundkreis in einer Horizontalebene liegt, ist in zentral-perspektivischer Darstellung (s. Fig. 47) gegeben. Es ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Die Lichtrichtung ist gegeben durch die Fluchtpunkte e und e' der Grundrißrichtung und der Lichtstrahlenrichtung selbst, e und e' liegen in einer

Senkrechten zum Horizont H. Der Abstand ee' kann beliebig gewählt werden, wenn die Lichtrichtung selbst beliebig angenommen sein soll. Zieht man durch e an K' die möglichen Tangenten, so gehen durch deren

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Fig. 47.

Berührungspunkte 1 und 2 die Mantellinien der Selbstschattengrenze hindurch. Der Schlagschatten des Zylinders auf die Horizontalebene G • II entsteht durch den Linienzug 2>4»5*6>3»1 und wird erhalten, indem man die Punkte auf IC mit e, jene auf IT mit e' verbindet; je zwei durch gleichbezeichnete Punkte, z. B. 5, gezogene Lichtstrahlen schneiden sich im zugehörigen Schlagschattenpunkte 5'.

b) Der schiefe Kreiszylinder.

35. Aufgabe. Es ist die Schattenkonstruktion für einen schiefen Kreiszylinder (s. Fig. 48) auszuführen.

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Fig. 48.

Auflösung. Man legt parallel zur Lichtrichtung an den Zylinder die möglichen Tangentialebenen. Zu diesem Zwecke zieht man etwa durch den auf der Achse des Zylinders gewählten Punkt b einen Lichtstrahl, bestimmt dessen erste Spur V und verbindet V mit ax. Die Tangenten an Kx parallel zu aL V begrenzen den Schlagschatten des Zylinders auf die Projektionsebene Ei. Durch die Berührungspunkte 1 und 3 dieser Tangenten mit Kx gehen die Mantellinien der Selbstschattengrenze hindurch. Der Schlagschatten des Kreises M ist ein Kreis M\ Aus dem Schlagschatten auf der Projektionsebene E₁ bestimmt sich jener auf E₂ mittels der Affinitätsbeziehung, die zwischen den beiden Schlagschattenfiguren besteht (s. Anmerkung 1).

Schatten des Kreiskegels.

36. Zur Ermittelung des Selbstschattens eines Kegels hat man parallel zur Lichtrichtung an den Kegel die möglichen Tangentialebenen zu legen; zu diesem Zwecke zieht man durch die Kegelspitze einen Lichtstrahl, bestimmt dessen Durchschnittspunkt mit der Ebene des Grundkreises K und legt von diesem Punkte aus die möglichen Tangenten an K] durch deren Berührungspunkte mit K gehen die Mantellinien der Selbstschattengrenze hindurch. Der Schlagschatten dieser Mantellinien bildet zugleich den Schlagschatten des Kegelmantels.

In Fig. 49 ist ein senkrechter Kreiskegel durch Grund- und Aufriß dargestellt. Man zieht durch die Kegelspitze s einen Lichtstrahl, bestimmt dessen Schnitt s' mit der Projektionsebene Ex und legt von s' aus die Tangenten an K±1 welche in 1 und 2 berühren. Die Mantellinien durch 1 und 2 bestimmen die Selbstschattengrenze. Die Yerbindungslinien s' 1 und sf 2 stellen den Schlagschatten des Kegels auf die Projektionsebene Et dar und treffen die Projektionsachse X in den Punkten a und b. Die Yerbindungslinien a s" und b s" begrenzen den Schlagschatten des Kegels auf die Projektionsebene Ü7f.

Fig. 49.

Fig. 50.

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Anmerkung 6. Die Konstruktion bleibt die gleiche, wie eben angegeben, für einen beliebigen Kreiskegel, dessen Grundkreis in der Projektionsebene E± liegt.

37. Für den senkrechten Kreiskegel läßt sich noch eine zweite Konstruktion der Selbstschattengrenze, welche von der Zugänglichkeit der Kegelspitze unabhängig ist, wie folgt ableiten: Zieht man durch den Punkt a (s. Fig. 50) zur Mantellinie s₂ a eine Senkrechte, so trifft diese die Kegelachse in einem Punkte b und b bildet die Spitze eines Kegels, dessen Mantellinien auf den Tangentialebenen des gegebenen Kegels senkrecht stehen und der darum der Normalenkegel des gegebenen heißt. Beide Kegel, der gegebene und sein Normalenkegel, haben den Grundkreis K gemeinsam. Denkt man sich nun die Mantellinien der Selbstschattengrenze des gegebenen Kegels, wie auf Fig. 49 angegeben, konstruiert, so bilden die Mantellinien des Normalenkegels durch die Punkte 1 und 2 eine Ebene, welche senkrecht steht zur Lichtrichtung. Diese Ebene schneidet die zur Projektionsebene E₂ parallele Achsenebene der beiden Kegel nach einer zu L₂ senkrechten, den Punkt b enthaltenden Geraden, deren Aufriß b c₂ die Ebene von K in c₂ trifft.

Die Ebene K des Grundkreises wird von der genannten Ebene nach einer durch c gehenden und senkrecht zu L stehenden Geraden getroffen und diese enthält die beiden Punkte 1 und 2.

Um die Punkte 1 und 2 zu erhalten, braucht man also nur durch b die Senkrechte zu L₂ bis zum Schnitt c₂ mit K₂ zu ziehen, cx im Grundriß zu bestimmen, so liefert die Senkrechte durch cx zu Lt auf K± die beiden Punkte 1 und 2, durch welche die Mantellinien der Selbstschattengrenze hindurchgehen.

38.    Aufgabe. In Fig. 51 ist ein abgestumpfter senkrechter Kreiskegel, dessen Spitze im Aufriß unzugänglich ist, dargestellt. Man soll die Schattenkonstruktion ohne Benutzung der Kegelspitze ausführen.

Auflösung. Man zeichnet zur Mantellinie ad im Aufriß die Senkrechte ab, durch b die Senkrechte bc2 zu L₂, bestimmt cx und zeichnet durch cx die Senkrechte zu Lx, welche Kx in den Punkten 1 und 2 trifft, durch welche die Mantellinien der Selbstschattengrenze hindurchgehen; sie schneiden im Grundriß den zweiten Begrenzungskreis Mx in den Punkten 3 und 4. Hierdurch ist auch der Aufriß der Selbstschattengrenze des Kegels festgelegt. Der Schlagschatten kann nun punktweise konstruiert werden und wird hervorgerufen durch den Linienzug 1 • 3 • 7 • 6 • 5 • 4 • 2. Der Schlagschatten der Mantellinien 1 • 3 und 2 • 4 auf die Projektionsebene Ex ergibt sich durch die Tangenten an Kx in den Punkten 1 und 2, diese Tangenten treffen die X-Achse in den Punkten e und f. Bestimmt man nun die Schatten der Punkte 3 und 4 auf die Projektionsebene E₂ in 3" und 4'\ so sind damit auch die Linien e 3” und f 4" bestimmt.

39.    Aufgabe. Für die in Fig. 52 gezeichnete Zusammenstellung von Kegel und Zylinder ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Schatten entsteht von dem kreisförmigen Rande K des Kegels. Um den schattenwerfenden Teil von K zu ermitteln, zieht man durch die Kegelspitze s einen Lichtstrahl, bestimmt dessen Schnittpunkt a mit der Ebene von K und zeichnet von a₂ aus an K₂ die möglichen Tangenten, welche in 1 und 2 beführen. Per schattenwerfende Teil von K ist nun der

Bogen 1 • 7 • 8 • 3 • 5 • 2. Der Schatten dieses Bogens fällt zunächst auf den Kegelmantel und wird dadurch erhalten, daß man durch die Gerade as Ebenen parallel zur Lichtrichtung durch den Kegel führt; eine solche Ebene schneidet z. B. die Ebene von K nach einer Geraden a₂ • 3 • 4 und den Kegel nach den beiden Mantellinien s₂ 3 und s₂ 4. Der Lichtstrahl durch 3 bestimmt auf s₂ 4 den Schlagschatten 3⁰ von 3 auf den Kegelmantel im Aufriß.

Eine zweite solche Hilfsebene liefert eine Gerade s₂ 5X 6, die beiden Mantellinien s₂ 5 und s₂ 6 und auf letzterer den Schlagschatten 5° des Punktes 5. Der Aufriß der Schlagschattenkurve ist eine Ellipse, welche die Gerade s₂ a₂ als Symmetrieachse besitzt. Dem Punkte 5° entspricht z. B. als Symmetriepunkt der Punkt 7°. Die oben angegebene Konstruktion versagt f ür die Schnittebene a₂ 8 s₂. In diesem Falle bestimmt man den Grundriß 8 von <5, zieht hierdurch einen Lichtstrahl parallel zu Lx und bestimmt dessen Sclmitt c mit der Kegelachse. Dreht man nun den Lichtstrahl 8 c um die Kegelachse, bis er parallel zur Projektionsebene E₁ wird, so erhält er im Grundriß die Lage 7 c und schneidet die in derselben Horizontalebene liegende Kegelmantellinfe sd in einem Punkte e, dessen Grundriß e± ist. Die Parallele durch ex zur X-Achse liefert auf dem Lichtstrahle 8 c den Schattenpunkt 8° im Grundriß, dem im Aufriß der Schattenpunkt 8° entspricht.

Anmerkung 7. Die Schlagschattenkurve 2 • 5°»8°»7° ist affin zum Kreise K₂ hinsichtlich der Geraden 1>2 und O als Affinitätsachse und L₂ als Affinitätsrichtuug. Zieht man daher 8 • 5 bis zum Schnitt b mit O, so liefert die Verbindungslinie b 5° auf 8s₂ den Punkt 8°.

Im Aufriß ist nur ein Teil der Bodenfläche B des Zylinders im Schlagschatten.

Im Grundriß ist ein Horizontalschnitt durch die Kegelachse dargestellt und der Schlagschatten des Schnittrandes auf den Körper gezeichnet. Schatten wird geworfen durch den Bogen 1 • 7 nach 1*7°, durch die Gerade 7 • 10 zum Teil auf den Kegel nach der Mantellinie 7° 9°] zum Teil auf den Zylinder nach 9° 10°; endlich durch die Mantellinie 10 • 11 auf den Zylinder nach der Zylindermantellinie durch 10°.

Schatten der Kugel.

40. Die Berührungslinie eines Tangenten Zylinders an eine Kugel ist ein größter Kugelkreis, dessen Ebene senkrecht steht zur Zylinderrichtung. Die Selbstschattengrenze der Kugel ist somit der zur Lichtrichtung senkrechte größte Kugelkreis. Dieser wird sich, da die Lichtrichtung mit den beiden Projektionsebenen den gleichen Winkel cp einschließt, im Grund- und Aufriß als eine Ellipse projizieren, deren große Achse senkrecht zu L₁ bzw. L₂ gerichtet und gleich dem Kugeldurchmesser d sein wird, während die kleine Achse zur Lichtrichtung parallel und gleich d sin cp sich dars teilt.

Zur Ausführung der Schattenkonstruktion (s. Fig. 53) benützt man zweckmäßig eine dritte Projektionsebene parallel zur Lichtrichtung und senkrecht zu einer Projektionsebene, etwa zu Et. Wählt man also Y als neue Projektionsachse parallel zu L± und ermittelt die dritte Projektion der Kugel und der Lichtrichtung, so erscheint die dritte Projektion der Selbstschattengrenze als der zu Lz senkrechte Kreisdurchmesser D₃.

Aus D₃ bestimmen sich unmittelbar die Punkte 1 und 2 von Dt auf Lu ebenso 3 und 4 auf Bt. Für den Grundriß D₁ sind die Punkte 1 • 2 und 3 • 4 die Achsenendpunkte der Ellipse, diese kann somit nach irgend einer Ellipsenkonstruktion punktweise bestimmt werden. Für den Aufriß ergeben sich die Achsenendpunkte 5 und 6 als Endpunkte des zu L₂ senkrechten Kreisdurchmessers, die Endpunkte 7 und 8 der kleinen Achse liegen auf L₂ und zwar ist m₂ 7 = m₂ 8 = m^l ^=m₁ 2.

Durch Hinauf projizieren erhält man außerdem von D₂ die Punkte 1 • 2 und 3 • Z, desgleichen durch Herabprojizieren die Pimkte 5 • 6 • 7 • 8 von Dv Der Grundriß D₁ liegt symmetrisch zu Z^, daher erhält man zu den Punkten 6 und 5 die Symmetriepunkte 9 und 10; ebenso ist D₂ symmetrisch zu A₂, es entsprechen somit den Punkten 3 und 4 die Symmetriepunkte 9 und 10 Außerdem liegen im Aufriß die Punkte 5 und 10 sowie 9 und 6 je auf einer Horizontalen.

Bestimmt man die Schlagschatten m' und m" des Kugelmittelpunktes m auf die Projektionsebenen El und Z7₂, so sind diese Punkte die Mittelpunkte für die Schlagschattenellipsen D' und D'\ deren große Achsen bzw. mit Ll und L₂ zusammenfallen; ihre Längen sind gleich ab. Die kleinen Achsen stehen senkrecht zu

bzw. L₂ und haben eine Länge gleich dem Kugeldurchmesser.

Anmerkung 8. Handelt es sich lediglich darum, im Aufriß oder Grundriß den Selbstschatten der Kugel darzustellen, so kann dies auch ohne Benützung einer weiteren Projektion der Kugel geschehen. Soll z. B. 4er Selbstschatten im Aufriß konstruiert werden, so

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zeichnet man den zu L₂ senkrechten Kreisdurchmesser 5 • 6 (s. Fig. 54) und nimmt ihn als Diagonale eines dem Kreise A₂ eingeschriebenen Quadrates; dessen Seiten liefern dann auf dem horizontalen und vertikalen Kreisdurchmesser die Punkte 3 • 4 und 9 • 10. Damit ist • aber auch die kleine Achse von D₂ bestimmt, denn zieht man etwa durch 10 eine Parallele zu L₂ bis zum Schnitt a mit A₂, desgleichen eine Parallele zu 5 • 6, so trifft diese die Yerbindungslinie ma in einem Punkte b so, daß m₂ b die Länge der kleinen Halbachse von D darstellt. Man macht also m₂ • 7 = m₂ • 8 = m₂ • b . Eine analoge Konstruktion besteht für den Grundriß der Selbschattengrenze.

41. Aufgabe. Für die in Fig. 55 u. 56 dargestellte halbkugelförmige Nische ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Schlagschatten entsteht durch die kreisförmige Begrenzung A. Man zieht parallel zuL₂ an A₂ die Tangenten, welche in c₂ und d₂ berühren. Hierdurch wird der Kreis A₂ in zwei Haliten geteilt, von welchen die eine Hälfte c₂ a₂ d₂ den Schatten auf der Kugeloberfläche hervorruft. Zur Bestimmung dieses Schattens zeichnet man einen Kugelschnitt durch den Kugelmittelpunkt parallel zur Lichtrichtung und senkrecht zur Projektionsebene E₂. Dieser Kugelschnitt ist in Fig. 56 besonders herausgezeichnet. Ein Lichtstrahl, dessen Aufriß L₂ durch m₂ hindurchgeht, projiziert sich im Grundriß in L±, im Seitenriß in L₃ und schneidet den Kreis C₃ im Schlagschatten a\ des Punktes a. Dem Punkt a₃ entspricht auf L₂ der Punkt a\. Die Schlagschattenkurve F₂ ist eine Ellipse mit der großen Achse c₂ d2 und der kleinen Halbachse m₂ a₂ und kann daher

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Fig. 57.

punktweise nach irgend einer EUipsenkonstruktion ermittelt werden. Man kann aber auch mittels der dritten Projektion (Fig. 56) beliebig viele Punkte von F₂ konstruieren. Führt man z. B. durch einen beliebig auf A₂ gewählten Punkt e₂ einen Schnitt parallel zu (7, so liefert dieser auf der Halbkugel einen Halbkreis D, dessen dritte Projektion D₃ ist. Der Lichtstrahl durch e₃ parallel zu L₃ bestimmt auf D₃ den Punkt eij, dem auf D₂ der Punkt e\ entspricht. Der Lichtstrahl durch den Symmetriepunkt f₂ zu e₂ hinsichtlich C₂ liefert den Schlagschattenpunkt als Symmetriepunkt zu ^ hinsichtlich C₂.

Im Grundriß der Fig. 55 ist ein Horizontalschnitt der Kugelnische durch den Kugelmittelpunkt m dargestellt. Schatten entsteht einmal von dem Kreisrande B und dann von einem Teile des Kreises A. Der Schlagschatten von A ist eine Ellipse Ox, kongruent der Ellipse F₂; ihre große Halbachse m₁ g₁ steht senkrecht zu Lt, ihre kleine Halbachse m₁ h ist gleich m₂ a₂. Yon dieser Ellipse gilt als Schatten nur der Bogen g±fu der durch den Lichtstrahl durch f± abgegrenzt wird.

Ein weiterer Schatten entsteht von dem Kreisbogen df. Man wählt auf d₂ f₂ den Punkt i₂, zieht den Lichtstrahl durch i₂ und erhält auf F₂ den Punkt i\, dem als Grundriß iJ auf dem Lichtstrahl durch i± entspricht.

42. Aufgabe. Für den in Fig. 57 dargestellten Halbzylinder mit kugelförmigem Abschluß ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Eine Tangente parallel zu Lt berührt Bx in 1, eine Tangente parallel zu L₂ berührt A₂ in 4. Schatten wird hervorgerufen:

1.    durch den Kreisbogen 1 • 2 von B auf dem Zylindermantel ; man erhält hierfür (s. auch Nr. 22) den Bogen 1 • 2°;

2.    durch die gerade Begrenzung 2 • 3, und zwar zum Teil auf den Zylindermantel, z. T. auf die Kugelfläche; der erstere Schatten ist geradlinig und durch die Mantellinie 2° • 5° dargestellt, der letztere Schatten entsteht als Schnitt der durch die Kante 2 • 3 parallel zu L± und senkrecht zur Projektionsebene Et geführten Ebene mit der Kugel fläche. Dieser Schnitt ist eine Kreislinie, deren Grundriß durch die Kreissehne 2 • 2° dargestellt ist. Der Aufriß ist eine Ellipse F₂ mit der Strecke 3 • 5⁰ als der einen und der Strecke a b₂ gleich der halben Kreissehne 2 • 2° als der anderen Achse. Durch Annahme einer Reihe von Parallelkreisen, z. B. (7, D, auf der Kugel und Ermittelung von deren Schnittpunkten mit der Ebene Ft erhält man ebenfalls Punkte, z. B. 6, <5, 7, der Schnittkurve Ft und damit ihres Aufrisses F₂. Als wirkliche Schattengrenze gilt von Fttj nur das Stück 5° 3°; außerdem kommt als weiterer Schatten der des Bogens 3*4 in Betracht. Man erhält hierfür im Aufriß wieder eine Ellipse mit den Halbachsen 5° • 4 und 5° • e, deren Konstruktion nach Nr. 41 erfolgt.

Jm Grundriß der Fig. 57 ist ein Horizontalschnitt durch den Zylinder mit Ansicht der Kugelfläche und der hierbei auftretende Schlagschatten gezeichnet. Der Schatten verläuft auf der Strecke 2°»3° geradlinig und schließt im Punkte 4 an Ax an, als Schatten des Bogens 3 • 4 auf die Kugelfläche.

Schatten eines Umdrehungskörpers.

43. Um den Tangenten Zylinder parallel zur Lichtrichtung an einen Umdrehungskörper zu konstruieren.

braucht man nur zu berücksichtigen, daß es längst eines Parallelkreises des Umdrehungskörpers stets einen dessen Oberfläche berührenden senkrechten Kreiskegel bzw. eine berührende Kugel gibt. Die Berührungslinie des Tangentenzylinders an diesen Hilfskegel bzw. die Hilfskugel schneidet den angenommenen Parallelkreis in Punkten, in welchen die Tangenten an den Hilfskegel bzw. die Hilfskugel auch Tangenten an die Oberfläche des Umdrehungskörpers sind, ihre Berührungspunkte mit letzterer also der Selbstschattengrenze angehören.

Ist in Fig. 58 durch A der Hauptmeridian eines Umdrehungskörpers, dessen Achse senkrecht zur Projektionsebene Et gewählt ist, dargestellt und bezeichnet B einen beliebigen Parallelkreis auf der Oberfläche des Umdrehungskörpers, so zeichnet man in a₂ eine Tangente T und eine Normale N zu J₂; N trifft die Achse C₂ in einem Punkte 5, dem Mittelpunkte eines Kreises K, der den Punkt a₂ enthält. Bei der Drehung des Meridians A um die Achse G beschreibt T einen senkrechten Kreiskegel, der Kreis K eine Kugel. Kegel und Kugel berühren den Umdrehungskörper nach dem Parallelkreise B. Für den Kegel, wie für die Kugel erhält man aber die Punkte der Selbstschattengrenze auf B, wenn man durch b die Senkrechte zu L₂ bis zum Schnitt c₂ mit B2 zieht und ct auf At projiziert. Die Senkrechte durch ct zu Lt liefert auf B₁ die beiden Punkte 1 und 2 der Selbstschattengrenze, welche auf B₂ nach 1 und 2 zu projizieren sind. Durch Annahme beliebig vieler Parallelkreise lassen sich beliebig viele Punkte der Selbstschattengrenze ermitteln. Aus der vorstehend beschriebenen Konstruktion folgen einige Eigenschaften für die Projektionen der Selbstschattengrenze, die für die zeichnerische Darstellung der letzteren von Wichtigkeit sind.

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Die Punkte der Selbstschattengrenze auf einem Parallelkreise liegen symmetrisch hinsichtlich des zur Lichtrichtung parallelen Meridians des Umdrehungskörpers,

Dieser Meridian, der Lichtmeridian, ist somit eine Symmetrieebene für die Selbstschattengrenze. Für eine Projektion der Selbstschattengrenze in eine Ebene senkrecht zur Achse des Umdrehungskörpers ist die Projektion des Lichtmeridians in diese Ebene eine Symmetrieachse. Steht die Achse G des Umdrehungskörpers senkrecht zur Projektionsebene Et, so ist der durch Cx gehende Lichtstrahl Lx eine Symmetrieachse für den Grundriß der Selbstschattengrenze.

Im Lichtmeridian selbst liegen Punkte der Selbstschattengrenze, die man erhält, wenn man den Lichtmeridian um die Körperachse mit der Lichtrichtung parallel zur Projektionsebene E₂ dreht. Mach der Drehung fällt der Lichtmeridian im Aufriß mit dem Hauptmeridian A₂ zusammen, der Aufriß der Lichtrichtung wird parallel zu L₂. Zieht man also parallel zu L2 an A₂ die möglichen Tangenten, so gehen durch deren Berührungspunkte mit A₂ jene Parallelkreise, welche den Lichtmeridian in Punkten der Selbstschattengrenze treffen; ihre Grundrisse liegen auf Lx. Die im Lichtmeridian liegenden Punkte der Selbstschattengrenze bilden im Aufriß deren höchste bzw. tiefste Punkte, d. h. die Aufrisse der sie enthaltenden Parallelkreise sind Tangenten an die Selbschattengrenze.

Unter den Tangentialebenen parallel zur Lichtrichtung an den Umdrehungskörper befinden sich auch solche, welche zur Projektionsebene E₂ senkrecht stehen; ihre Vertikalspuren sind Tangenten parallel zu L₂ an den Hauptmeridian A₂₎ und ihre Berührungspunkte mit A2 gehören ebenfalls der Selbstschattengrenze an. Desgleichen befinden sich unter den Tangentialebenen parallel zur Lichtrichtung an den Umdrehungskörper auch solche senkrecht zip* Projektionsebene E^; ihre Horizontal-

spuren sind Tangenten parallel zu Lx an den ersten scheinbaren Umriß des Umdrehungskörpers. Dieser Umriß besteht aus einem Kreise oder aus mehreren Kreisen mit dem Mittelpunkte G₁. Man erhält diese Kreise^ wenn man im Aufriß parallel zur Körperachse G an J₂ die möglichen Tangenten zieht, welche in Fig. 56 z. B. in d₂ und f₂ berühren. Die Grundrisse Dx und Fx der Parallelkreise durch d und f bilden den scheinbaren Umriß des Umdrehungskörpers.

Bei der Ermittelung der Punkte der Selbstschattengrenze für einen Umdrehungskörper wird man auf Grund des Yorangegangenen zweckmäßig folgendes Yerfahren einschlagen (s. die Fig. 60—63):

1.    Man bestimmt die Punkte auf dem Hauptmeridian A₂, dem zweiten scheinbaren Umriß des Umdrehungskörpers, in dem man parallel zu L₂ an A₂ die möglichen Tangenten zieht; sie berühren in den Punkten 1 und P, deren Grundrisse auf A₁ liegen; hierauf bestimmt man die Symmetriepunkte 3 und 4 zu 1 und 2 hinsichtlich des Grundrisses des Lichtmeridians L± . Die zugehörigen Aufrisse von 3 und 4 liegen auf den Horizontalen durch 1 und 2 und auf C₂.

2.    Man konstruiert die Punkte auf dem ersten scheinbaren Umriß B₁ , indem man parallel zu L± an diesen Umriß die möglichen Tangenten zieht; sie berühren in den Punkten 5 und 6 und liegen auf der Senkrechten zu Lx durch Cx. Die Aufrisse ergeben sich auf B2 durch Hinaufprojizieren.

3.    Man ermittelt die Punkte auf dem Lichtmeridian, indem man parallel zu L'₂ an A₂ die Tangenten zieht; durch deren - Berührungspunkte 7' und 8 gehen diejenigen Parallelkreise hindurch, auf welchen die im Lichtmeridian befindlichen Punkte 4er Selbstschattep-

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Fig. 62.

grenze liegen; die Grundrisse dieser Parallelkreise schneiden auf Lx die Punkte 7 und 8 aus, welche in den Aufriß nach 7 und 8 zu projizieren sind.

Vonderlinn, Schattenkonstruktionen.

4. Man wählt einen beliebigen Parallelkreis 7) und wendet auf diesen das allgemeine Verfahren an, d. h. man zieht die Normale a₂ b zu i₂, hierauf durch b die Normale bc₂ zu L₂, bestimmt cx auf A± und zeichnet durch cx die Senkrechte zu Lt, welche auf D₁ die Punkte 9 und 10 ausschneidet, die auf I)₂ zu projizieren sind.

Schlagschatten eines Umdrehungskörpers auf seine eigene Oberfläche.

44. Bei Umdrehungskörpern mit konkaver Oberfläche, wie z. B. bei dem in Fig. 64 dargestellten Beispiel, kann es Vorkommen, daß die Mantellinien des Tangentenzylinders die Oberfläche nicht nur in einem Punkte berühren, sondern auch noch ein zweitesmal auf die Oberfläche treffen und diese dort durchschneiden, also Schlagschatten hervorrufen. In diesem Falle konstruiert man den Schlagschatten mittels des Schnittverfahrens, d. h. man wählt auf der Selbstschattengrenze (s. Fig. 64) etwa den Punkt 7 beliebig, führt durch ihn einen ebenen Schnitt D parallel zur Lichtrichtung und etwa senkrecht zur Projektionsebene 7^ und konstruiert die Schnittkurve unter Annahme einer Anzahl von Parallelkreisen 7, 77, B, welche die Schnittebene treffen. Man erhält hierdurch im Aufriß die Schnittkurve 7)₂, welche von dem Lichtstrahl durch 7 in einem Punkte 7° getroffen wird, dessen Grundriß auf 7)₁ liegt. Der Punkt 7° ist der Schlagschatten des Punktes 7 auf die Körperoberfläche. In der Fig. 64 ist noch ein zweiter Schnitt F± geführt, dessen Aufriß F₂ von dem Lichtstrahl durch 9 in 9° getroffen wird; der zugehörige Grundriß £° liegt auf 7\. Die Schlagschatten grenze ist im Grund-

riß gleichfalls symmetrisch zu Lx und beginnt in den Berührungspunkten 3 • 4 der parallel zu L± an die Selbstschattengrenze gezogenen Tangenten. Eine streng geometrische Konstruktion dieser Punkte soll hier nicht

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Fig. 64.

angegeben werden; es genügt, diese Punkte 3 • 4 nach dem Augenschein zu ermitteln.

45. Außer dem durch die Selbstschattengrenze auf der Körperoberfläche hervorgerufenen Schlagschatten entsteht noch ein weiterer Schlagschatten durch den obersten Begrenzungskreis C des Umdrehungsköpers (s. Fig. 65). Dieser Schlagschatten läßt sich ebenfalls mittels des

Schnittverfahrens konstruieren, indem man auf G eine Anzahl Punkte a, fr, c wählt, hierdurch ebene Schnitte parallel zu Lt und senkrecht zu Ex führt und deren Schnittlinien JD, F und G mit dem Umdrehungskörper ermittelt mit Zuhilfenahme einer Anzahl von Parallelkreisen

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Fig. 65.

7, //, ZZI und 7F. Die Aufrisse 7)₂, i^₂ und Cr₂ werden von den Aufrissen der Lichtstrahlen durch a₂, b₂, c2 in den Schlagschattenpunkten a£, b₂, c₂ getroffen. In der Regel reichen drei nebeneinander geführte Schnitte zur Verzeichnung der Kurve vollständig aus. Man verlängert diese dann nach rechts bis zur Selbstschattengrenze nach links bis zum Umriß J₂ des Körpers.

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Anmerkung 9.

Fig. 66.

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Ein anderes Verfahren besteht darin, daß man auf dem Umdrehungskörper einen beliebigen Parallelkreis, z. B. IV, wählt, durch diesen einen Zylinder parallel zur Lichtrichtung legt und dessen Schnitt IV' mit der Ebene des Kreises C bestimmt. Der Kreis IV' schneidet Ci eventuell in zwei Punkten bi und b[. Die Lichtstrahlen durch b\ und b[ liefern auf IV die Schlag-

scliattenpunkte b\ und b\', welche in den Aufriß nach b°₂ und b^' zu projizieren sind. Durch Annahme weiterer Parallelkreise kann man so viel Punkte der Schattenkurve konstruieren, als zu deren Verzeichnung erforderlich sind.

46.    Aufgabe. Für den in Fig. 66 dargestellten Umdrehungskörper ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Man ermittelt zunächst die Selbstschattengrenze nach dem Verfahren Nr. 43. Auf die konkave Oberfläche des Körpers gelangt noch Schlagschatten, der mittels des Schnittverfahrens konstruiert wird. Für den Punkt 7 ist die Konstruktion ersichtlich gemacht. Den Schlagschatten auf die Projektionsebenen Ex und E₂ bekommt man mittels der Punkte der Selbstschattengrenze. Auf der Selbstschattengrenze des konkaven Teiles gibt es Punkte 15 • 16 und 17 • 18, in welchen die Lichtstrahlen die Selbstschattengrenze selbst berühren. Diesen Punkten entsprechen im Schlagschatten sogenannte Rückkehrpunkte 16' bis 18', d. h. Punkte, in welchen die Schlagschattengrenze Spitzen aufweist. Im vorliegenden Falle ist der Schlagschatten des konkaven Teiles vollständig überdeckt von jenem der konvexen Körperoberfläche.

47.    Aufgabe. Für das in Fig. 68 dargestellte Säulenkapitäl ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Bei derartigen zusammengesetzten Umdrehungskörpern wendet man zur Herstellung der Schattengrenzen zweckmäßig das Schnittverfahren an. Es sind die Schnitte Ax bis F± parallel zu Lx und senkrecht zur Projektionsebene Ex geführt und mittels derselben sowohl Selbstschatten, als auch die auf der

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Fig. 68.

Körperoberfläche auftretenden Schlagschattengrenzen bestimmt worden. So liefern z. B. die Lichtstrahlen durch a₂ und d₂ auf A₂ bzw. B₂ die Schlagschattenpunkte a% und d%. Die Lichtstrahlen, die berührend an die Schnittkurven Ä₂, B₂ usw. gezogen werden, bestimmen Punkte der Selbstschattengrenze, z. B. e₂ , f₂ auf den Schnittkurven C₂ und D₂. Der Schlagschatten der Kante J projiziert sich im Aufriß als eine Gerade parallel -zu L₂ in a₂a\. Der Schlagschatten der Kante H fällt zum Teil auf den Umdrehungskörper AT, zum Teil auf den Zylinder N. Der Schlagschatten auf Af kann sowohl mittels des Schnittverfahrens bestimmt werden, z. B. Punkt 9%, als auch noch in folgender Weise: Die Geraden /und i/erzeugen auf dem Umdrehungskörper kongrente um einen Winkel von 90° gegeneinander verdrehte Schlagschatten G und G₁ als Schnitte von Ebenen, welche gegen die Körperachse gleiche Neigung haben. Hierbei projiziert sich der Aufriß G₂ des Schlagschattens von J als Gerade b₂ c₂ . Bestimmt man den Grundriß Gt von G mittels beliebiger Parallelkreise auf dem Umdrehungskörper — Parallelkreis K liefert z. B. den Punkt 9 von G —, so erhält man die der Kurve Gx entsprechende Kurve G\ durch eine Drehung der letzteren um einen Winkel = 90° in der angegebenen Pfeilrichtung um den Punkt m gibt sich durch Hinaufprojizieren; so liegen die Punkte 9 auf K₂, die Punkte b₂ und c₂ auf den Horizontalen durch b₂ und c₂ .

Der Aufriß von G'i er-

Die Selbstschattengrenze auf M schneidet G₂ in den Punkten e₂ und i₂ und es fällt nun von dem Bogen e i Schlagschatten auf den Zylinder N nach

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Anmerkung 10. Die Punkte a\ • d® • e\ liegen auf einem Kreise aus dem Mittelpunkte m₂ mit einem Halbmesser gleich jenem des Zylinders N.

48. Aufgabe. Für den in Fig. 69 dargestellten Säulenfuß ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

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Fig. 69.

Auflösung. Zur Schattenbestimmung verwendet man wieder das Schnittverfahren. Es ist eine Reihe von Schnitten    Ft parallel zu L± und senkrecht

zur Projektionsebene E₁ durch den Körper geführt und mittels derselben die Selbstschatten grenze sowie der entstehende Schlagschatten konstruiert worden; z. B. liefert der den Aufriß E₂ berührende Lichtstrahl einen Punkt 7, dessen Schlagschatten nach 7° fällt. Der Lichtstrahl, berührend an B₂ geführt, enthält den Punkt 4, dessen Schlagschatten in 4 ⁰ auf der zylindrischen Platte K erscheint. Ein Teil der unteren Begrenzung von K erzeugt Schatten auf /, z. B. der Punkt 10 in 10°.

Schatten von Gesimskörpern.

49.    Die Oberfläche eines Gesimskörpers setzt sich entweder aus einer Anzahl von Zylinderflächen zusammen oder sie besteht aus Umdrehungsflächen, oder aber sie ist, wenn die Leitlinie des Gesimskörpers weder eine Gerade noch ein Kreisbogen ist, eine allgemeine Gesimsfläche. Man kann somit für die Schatten-konstruktion das Verfahren zur Anwendung bringen, das für die Oberflächen von Zylindern bzw. Umdrehungskörpern gilt, oder aber, wenn kein Teil des Gesimskörpers solche Oberflächen besitzt, das allgemeine Schnittverfahren.

50.    Aufgabe. Für den in Fig. 70 dargestellten Teil eines Gesimses ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Im vorliegenden Beispiele setzt sich die Oberfläche des Gesimskörpers aus Ebenen und Zylinderflächen zusammen. Man zieht daher parallel zu L₂ die berührenden Lichtstrahlen an das Profil des Gesimskörpers und erhält hierdurch die Linien !• 1:

Fig. 70.

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2*2, 3 * 3, 4*4, 5 • 5 der Selbstschattengrenze. Damit sind aber auch die übrigen Schattenkanten bestimmt, Diese sind die Kanten 9*9, 2 »2, 12 *12, sie bringen die Schattengrenzen 10*10, 11*11, 13*13 hervor; ferner die Linien 6*7* 8*9, 10*2, 11*12, 13*14*14, sie bringen Schatten auf der Wand A in 0"... 24" hervor.

51. Aufgabe. Für das in Fig. 71 dargestellte Gesims ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Das gezeichnete Gesimsprofil kann zugleich als Seitenprojektion des Gesimskörpers dienen. Man zieht daher parallel zu Ls die möglichen Tangenten an das Profil und erhält hierdurch die Mantellinien 1*2, 3*4, 5*6, 7*8 der Selbstschattengrenze. Schlagschatten wird hervorgerufen durch 9 * 10 auf die vertikale Wand A, die in dritter Projektion durch A' an gestellt ist, nach 9" 10", wovon nur der ausgezogene Teil als Schattengrenze gilt. Schatten entsteht ferner durch 11*12 auf A in 11" *12". Die Kante 12*13 wirft Schatten sowohl auf die Körperoberfläche wie auf die Wand A; ersterer Schatten ist durch 13°' *14°, letzterer durch 12" * 14" angegeben. Die Kante 13 * 15 ergibt den Schatten 13°'* 15°. Die Linie 3*4 hat ihren Schatten in 3"* 4", der Bogen 3 * 14° bringt den Schatten 3" * 14" hervor. Yon dem Bogen 4 * 6 der Begrenzung B gelangt Schatten auf die Karniesfläche C nach 6*16°, auf den Rundstab D nach 16°' *17°, endlich auf die Wand F nach 17°'* 18°, Die Kante 16° * 19 erzeugt auf D den Schatten 16°'* 19°, der Bogen 8*20 liefert auf O den Schatten 8° * 20, die Kanten 8° * 21 und 8* 7 liefern die Schatten 8°'* 21° und 8°'* 17 ^ auf F. Endlich entsteht noch Schatten auf der Wand A durch den Linienzug 22*23*18⁰ in 22" * 23" * 18". Der

Schatten 18" • 4" auf die Wand A rührt von einem Teil des Bogens 4 • 16 her.

52. Aufgabe. Für den in Fig. 72 dargestellten Gesimskörper ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

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Auflösung. Schatten wird hervorgerufen von dem mit den Ziffern 1—16 bezeichneten Linienzug sowie von dem Profile F\ und zwar entsteht Schatten auf den Oberflächen A, B, C, D, E und G. In den Figuren 73

Fig. 74.

Fig. 73.

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Fig. 75.

Fig. 76.

bis 76 sind für die einzelnen Teile die Schatten in größerem Maß stabe konstruiert.

Fig. 73 u. 74 zeigt die Konstruktion des Schattens des Profils F auf die Wand A. Fig. 75 zeigt die Schattenkonstruktion der Bogenlinie H auf die Wand D. Fig. 7 6 stellt endlich die Schattenkonstruktion der oberen Pfeilerbegrenzung 3 • 14 auf die Fläche E dar. Um den Schatten der Kante 3 • 14 auf die Ebene E zu bestimmen, ist durch 3-14 eine Ebene parallel zu L2 und senkrecht zur Projektionsebene E₂ angenommen und ihr Schnitt ab mit der Ebene E aufgesucht; auf ab liegt der Schatten 5° vom Punkte 3. Die Linie 3°b ist der Schatten der Linie 3 • 14 auf E. Die übrige Schattenkonstruktion ist aus Fig. 72 zu ersehen.

53.    Aufgabe. Für das in Fig. 77 dargestellte Gesims ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Die Teile A und B sind teils von ebenen, teils von zylindrischen Flächen begrenzt, der Teil G ist ein Umdrehungskörper. Die Schatten grenzen auf der Zylinderfläche B ergeben sich mittels des Profiles N₂, die Schattengrenze auf dem Umdrehungskörper G bestimmt man mittels des Schnittverfahrens (s. die Schnitte D bis K). Der Schlagschatten auf die Wand ist mit Zuhilfenahme des Grundrisses ausgeführt worden.

54.    Aufgabe. Für das in Fig. 78 dargestellte Gesims ist der Schatten zu konstruieren.

Auflösung. Der Körper ist zusammengesetzt aus den Zylindern A, B, C und D, sowie aus dem Umdrehungskörper F. Die Schattenkonstruktion für die Zylinder vollzieht sich mit Hilfe der Profillinien A₂ und C₂ , diejenige für den Umdrehungskörper A'nach dem allgemeinen Verfahren (s. Nr. 43). Für die Zylinder A, B, G und B

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Vonderlinn, Schattenkonstruktionen.

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Fig. 79.

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dies für einen ähnlich gestalteten Körper in Fig. 79 gezeigt ist. Es ist hier in gleicher Weise wie in Kr. 43 die Konstruktion ausgeführt worden. Dies ist für den Parallelkreis K, längs welchem der konkave und konvexe Teil der Körperoberfläche Zusammenhängen, gezeigt.

Infolge der Einziehung unterhalb des Parallelkreises K entsteht auf diesem Teile der Oberfläche noch Schlagschatten, der mittels eines Schnittes J parallel zu Lx und senkrecht zu Ex zu bestimmen ist. Die Konstruktion ist für den Punkt 11 ausgeführt.

Ganz entsprechend ist der Schatten auf dem Umdrehungskörper F (s. Fig. 78) zu ermitteln; der sonst noch auf F treffende Schlagschatten ist mittels des allgemeinen Schnittverfahrens zu erhalten, ein solcher Schnitt ist in H dargestellt.

55.    Aufgabe. Für die in Fig. 80 dargestellte Fensterumrahmung ist der Schatten zu konstruieren.

Auflösung. Schatten entsteht auf den einzelnen Flächen des Gesimses sowie auf der Wand A.

Mittels der Profile B} C, D, F und der Seitenansicht Al der Wand A bestimmt sich der Schlagschatten auf den Gesimsflächen und auf der Wand A. In den Figuren 81 und 82 ist die Schattenkonstruktion für die Stellen G und D in größerem Maßstabe besonders dargestellt. Im übrigen ist die Konstruktion der einzelnen Schattengrenzen aus der Fig. 80 zu ersehen.

56.    Aufgabe. Für die in Fig. 83 dargestellte Fensterumrahmung ist der Schatten zu konstruieren.

Auflösung. Mittels der Profile M, B, C erhält man die Schattengrenzen für die zugehörigen Gesimsflächen. Um den Schatten auf der Fensterverdachung darzustellen, zeichnet man senkrecht zur Kichtung der Verdachung und senkrecht zur Wand J die Schnitte

Fig. 80.

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Fig. 81.

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D₂ und F₂ bzw. ihre Umlegungen in die Wand J. Projiziert man in diese Ebenen 1)₂ und F₂ auch die Liehtrichtung L nach L$ und Z/₄ (Fig. 84 und 85), so erhält man mittels der Profile JD₃ und F±, wie die

Fig. 84 und 85 zeigen, die erforderlichen Punkte der Schattengrenzen.

57.    Aufgabe. Für das in Fig. 86 und 87 gezeichnete Fenstergesims ist der Schatten zu konstruieren.

Auflösung. Mittels der Profile A, B, C, D (s. Fig. 86) und des vertikalen Durchschnittes (s. Fig. 87) bestimmen sich die Schattengrenzen, wie dies aus den ‘ Figuren zu ersehen ist. Für einzelne Punkte sind auch die Bezeichnungen angegeben.

58.    Aufgabe. Für den in Fig. 88 gezeichneten Erker ist der Schatten zu konstruieren.

Auflösung. Es ist angenommen, daß die Profillinie B zugleich eine Seitenprojektion des Erkers darstellt auf eine Projektionsebene, in welcher sich die Wand A als die Gerade A' projiziert. Mittels der Profile (7, Z), Ü7, F und G bestimmen sich, wie aus der Figur zu entnehmen ist, die Schattengrenzen auf den einzelnen Flächen des Erkers. Mittels des Profiles B und der Geraden A' ergibt sich der Schlagschatten der Erkerbegrenzung auf die vertikale Wand A. Die Konstruktion ist aus der Figur wohl ohne weitere Erklärung zu verstehen.

59.    Aufgabe. Für die in Fig. 89 gezeichnete Nische ist der Schatten zu konstruieren.

Auflösung. Schatten entsteht durch den Nischen-rand 1 • 2 • 6. Der Schatten vom Kreise 1 • 4 fällt zum Teil auf die Kugeloberfläche und wird nach Nr. 41 bestimmt; im vorliegenden Falle ist der durch L₂ senkrecht zur Projektionsebene E₂ gelegte Kugelschnitt gleich um L₂ umgelegt, so daß der umgelegte Schnittkreis mit der Kugel mit K₂ zusammenfällt. Der umgelegte Lichtstrahl Ls (m₁ =a₂as) trifft K₂ in bS) dem auf

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Fig. 88.

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L₂ der Punkt b₂ entspricht. a₂ • 1 und a₂ b₂ sind die Halbachsen der Schlagschattenellipse, welche die Horizontale durch a₂ in einem Punkte 7°, dem Schlagschatten des Punktes 7, trifft.

Fig. 90.

Fig. 91.

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Bogens 7 • 4 gelangt auf die Zylinderoberfläclie B und wird mittels des Grundrisses konstruiert. Der Schatten von 4 • 6 ist durch 4° • 5° und 5° • 6 im Aufriß, durch 4-4° im Grundriß dargestellt. Der Schatten der auftretenden Gesimsflächen kann nach dem Yorangegangenen ohne weiteres bestimmt werden.

Mittels des Profiles G und der Seiten projektion A'A' der Wand A ergibt sich der Schatten auf dem Gesims D und auf der Wand A. Für die Stelle F ist die Konstruktion des Schattens in den Fig. 90 u. 91 in größerem Maßstabe durchgeführt. Für die Stelle G ist der Schatten mit Zuhilfenahme des Grundrisses konstruiert worden.

Schatten der Schraubenlinie und der Schraubenflächen.

Schatten der Schraubenlinie.

60. Der Schlagschatten einer Schraubenlinie in eine Ebene senkrecht zur Schraubenachse ist eine gewöhnliche, verkürzte oder verlängerte Zykloide, je nachdem der Winkel cp der Lichtrichtung mit der zur Schraubenachse senkrechten Ebene gleich, größer oder kleiner angenommen ist als der Neigungswinkel oc der Schraubenlinie.

In Fig. 92 ist cp = oc gewählt und außerdem die Lichtrichtung parallel zur Projektionsebene E₂ vorausgesetzt. Zur Konstruktion der Schattengrenze A' auf die Projektionsebene Ei verzeichnet man etwa im Punkt X an die Schraubenlinie A die Tangente P, indem man in X die Tangente Tt, an den Grundriß A± zieht und die Länge X • X' gleich der Länge des Kreisbogens I • IV • X abträgt. Die Projektionen der Lichtstrahlen

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Fig. 92.

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Parallele zu den Kreishalbmessern ml • 77, m₁ • III.....

zu ziehen und auf ihnen die Länge des Kreishalb-messers von At abzutragen; so bilden die Punkte IF, III' .... eine gewöhnliche Zykloide und sind die Schlagschatten der Punkte II, III... der Schraubenlinie A auf die Projektionsebene Ex.

In Fig. 94 ist der Winkel cp > oc; man konstruiert wieder die Tangente T an die Schraubenlinie etwa im Punkte X, gerade so wie vorhin. Zieht man nun durch den Punkt X einen Lichtstrahl und bestimmt den Schlagschatten X' auf die Projektionsebene Eu macht m₁ *10' = X»X\ teilt die Strecke m₁ • 10' in zehn gleiche Teile und überträgt auf die Yerlängerung von m₁>10f über 10' hinaus noch drei Teile 10'• 11', 11' • 12', 12' •!', so braucht man nur durch die Teilungspunkte 2'... & Parallele zu den Kreishalbmessern mi *7/,    • 111. . .

zu ziehen und auf ihnen die Länge eines Kreishalbmessers von A₁ abzutragen; so gehören die Punkte 77', 777' ... einer verkürzten Zykloide A! an und sind die Schlagschatten der Punkte II, III. . . der Schraubenlinie A auf die Projektionsebene Ex.

Anmerkung 11. Zur Ermittelung der Länge des Umfanges eines Kreises dient folgende Konstruktion. Man zieht (s. Fig. 93) einen Durchmesser a 6, trägt an ab in m den Winkel von 30° an, errichtet in a eine Kreistangente und trägt auf ihr von c aus den Kreishalbmesser dreimal nach cd ab; so ist die Länge db gleich dem halben Kreisumfange.

Anmerkung 12. Zieht man in Fig. 94 die Verbindungslinie m₁ und durch b₂ die Projizierende bis nach bx, zeichnet \ c parallel zur X-Achse bis zum Schnitt mit m₁ X, so geht durch c ein Kreis K mit dem Mittelpunkt ml7 der beim Abrollen auf der Geraden c \ als Weg des Punktes I die verkürzte Zykloide A! liefert.

Schatten der Schrauben flächen.

Schatten einer scharfen Schraubenfläche.

61. Wenn eine Gerade B sich so bewegt, daß sie stets eine Schraubenlinie A (s. Fig. 95) sowie deren Achse, letztere unter konstantem Winkel kleiner als 90 °, schneidet, so entsteht eine windschiefe scharfe Schraubenfläche. Ist G eine beliebige Mantellinie dieser Fläche und auf ihr ein beliebiger Punkt a gewählt, so gibt es in a eine Tangentialebene an die Schraubenfläche, welche einmal die Mantellinie G, dann aber auch die Tangente an die den Punkt a enthaltende Schraubenlinie der Fläche enthält. Der Grundriß dieser Tangente ist die Tangente a₁c₁ an den um m₁ als Mittelpunkt mit dem Halbmesser am[ beschriebenen Kreis Kv Macht man % ^ gleich dem Kreisbogen b, so ist c± ein Punkt der Tangente an die Schraubenlinie K, welcher um den so vielten Teil der Ganghöhe der Schraubenfläche unterhalb von a liegt, als der Kreisbogen a₁ b Teil der Peripherie von K± ist, im vorliegenden Falle ²/₁₂ dieser Peripherie; der Aufriß c2 liegt also auf einer Horizontalen D₂, welche um ²/12 der Ganghöhe II tiefer liegt als a₂. Bestimmt man

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den Schnittpunkt d der Mantellinie G mit der Horizontalebene D₂, so ist die Verbindungslinie c± d₁ die Schnittlinie der Tangentialebene im Punkte a der Schrauben-

fläche mit der Horizontalebene D₂. Zieht man durch die Senkrechte zu cx dx und durch mx die Senkrechte mx zu Cx, so ergibt sich hierdurch auf der genannten Senkrechten der Punkt ex, so daß die Länge ex von der Lage der Mantellinie G unabhängig ist. Infolge der Ähnlichkeit der Dreiecke ax cx dx und mx ax ex hat man die Beziehung

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Hierbei ist mit r der Halbmesser von Kx bezeichnet.

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Die Länge — ist für ein und dieselbe Schrauben-

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fläche von unveränderlicher Größe und wird als die reduzierte Ganghöhe H₀ der Schraubenfläche bezeichnet. Man hat also mx ex — H₀ • cotg cc.

Der Punkt ex ist somit für sämtliche Tangentialebenen, die längs einer Mantellinie an die Fläche möglich sind, ein fester Punkt. Zu jeder anderen Mantellinie gehört gleichfalls ein fester Punkt ex und alle diese Punkte ex liegen auf einem Kreise K₀ mit dem Halbmesser gleich E₀ • cotg <x . Will man nun durch eine Mantellinie G der Fläche eine Tangentialebene parallel zur Lichtrichtung legen, so wird deren Berührungspunkt auf G liegen und ein Punkt der Selbstschattengrenze sein. Zu diesem Zwecke braucht man nur etwa durch den Schnittpunkt f der Mantellinie G mit der Flächenachse einen Lichtstrahl zu ziehen und dessen Schnitt g mit der Ebene D₂ aufzusuchen. Die Verbindungslinie dig₁ ist dann der Schnitt der genannten Tangentialebene mit der Ebene D₂. Fällt man durch e₁ eine Senkrechte zu d₁g₁, so trifft diese die Mantellinie G1 im Grundrisse \ des Berührungspunktes h der zur Lichtrichtung parallelen Tangentialebene längs der Mantellinie G. Die Senkrechte durch zu dx g₁ schneidet auf der Senkrechten durch m₁ zu Lv einen Punkt k aus, der für sämtliche Tangentialebenen parallel zur Lichtrichtung an die Schraubenfläche ein fester Pimkt ist; denn man erkennt aus der Fig. 95 unmittelbar die Ähnlichkeit der Dreiecke m₁ dt g₁ und mle₁k₁ aus welcher die Gleichung folgt:

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Bezüglich der Lage des Punktes k ist zu bemerken, daß k stets auf der Senkrechten durch m₁ zu L± liegt und zwar bei in Fig. 95 angenommener Lichtrichtung auf der linken Seite von L± für die rechtsgehende Schraubenfläche, dagegen rechts von Lx bei links ansteigender Schraubenfläche. Würde Lt der Pfeilrichtung entgegengesetzt gerichtet sein, so läge k rechts von Lx bei rechtssteigender und links von Lt bei linkssteigender Schraubenfläche.

Anmerkung 13. Mittels des Kreises K₀ und des festen Punktes k lassen sich in einfacher Weise Punkte des Grundrisses der Selbstschattengrenze konstruieren. Man braucht ja nur durch k eine beliebige Gerade zu ziehen, z. B. die Gerade kex\ sie schneidet

K₀ in ex und ei, die Senkrechten durch mx zu m₁e1 und rrii e[ liefern auf k e₁ zwei Punkte hx und h[ des Grundrisses der Selbstschattengrenze. Aus dieser Konstruktion folgt zunächst, daß der Punkt k selbst der Schattengrenze angehört und die Gerade m₁ k eine Symmetrieachse für die Kurve ist. Die Kurve besteht aus zwei Zweigen, Fi und i^i, die zu den beiden Mänteln der Fläche gehören. Zu dem dargestellten Flächenmantel gehört der ausgezogene Zweig Ft. Die Tangenten durch k an K₀ bilden für die beiden Zweige Fx und F[ zwei Asymptoten.

Anmerkung 14. Aus der Symmetrie der Kurve Fx Fx hinsichtlich der Achse m₁ k ergibt sich noch eine weitere, sehr einfache Konstruktion der Kurve für den Fall, daß die Grundrißpunkte auf gegebenen Kreisen mit dem Mittelpunkte die Punkte selbst also auf Schraubenlinien der Fläche liegen sollen. Dem Punkte 1 (s. Fig. 95) entspricht als Symmetriepunkt der Punkt 1\ Zieht man die Linie &•!, welche K₀ in l schneidet, so ist l senkrecht zu mx • 1. Wird nun die ganze Figur • 1 • l • k um m₁ gedreht, bis 1 nach 1" gelangt, so kommt der Punkt 1" nach T und die Linie mx 1" fällt zusammen mit m₁ • 1'. Der Punkt k kommt also nach kf auf die Linie mx T. Der Punkt l gelangt nach n auf m b. Die Linie k • 1 geht über in die Linie T'»n. Will man also die Punkte der Selbstschattengrenze konstruieren, welche auf einem Kreise, etwa A liegen, so bestimmt man den Schnittpunkt 1" von A mit der Linie m₁ k und zwar jenen Schnittpunkt 1", welcher mit m₁ k auf der gleichen Seite von Lx liegt, und zieht 1" • n, welche Linie den um m₁ als Mittelpunkt mit einem Halbmesser gleich ml Iz beschriebenen Kreis K' in den Punkten k' und k" schneidet. Die Yer-

Yojiderlini*, Schattenkonstruk^ionen.

bindungslinien m₁ Je' und m₁ Je" liefern auf A' zwei Punkte T und 2f der Selbstschattengrenze; zu T und 2? gehören die Symmetriepunkte 1 und 2. Letztere hätten sich auch direkt ergeben unter Benutzung des zweiten Schnittpunktes von A₁ mit der über m₁ hinaus verlängerten m₁ Je.

62. Die Kurve Ft F[ besitzt verschiedene Q-estalten, je nach der gegenseitigen Größe der Winkel cp und oc. Folgende Fälle sind bemerkenswert.

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Fig. 90.

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1. Es ist cp = a. Die Kurve hat die Gestalt der Fig. 96. Yon jedem Zweige F₁ und F[ ist ein Teil geradlinig. Es fallen die Kreise K₀ und K' zusammen. In der Figur ist die Konstruktion der Punkte auf dem Kreise At angegeben. Die Linie an trifft K₀ in ö, m₁ b liefert auf At den Punkt 1. Sein Symmetriepunkt ist 2. Macht man Jec = mx Je, so ist die Senkrechte durch c zu mx c eine Asymptote der Kurve.

2. Es ist cp > oc. Die Kurve erhält die Gestalt der Fig. 97. Beide Zweige F₁ und F[ sind im Endlichen geschlossen. Es ist eine Grenzlinie At vorhanden, auf welcher gerade noch Punkte der Kurve

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Fig. 97.

liegen. Die Tangente von n an K' liefert auf m± k den Punkt a1? durch welchen die Kreislinie A± hindurchgeht, welche von der Kurve F₁ F[ in den Punkten c und d berührt wird.

3. Es ist (p~o. Die Kurve erhält die Gestalt der Pig. 98. Die Tangenten in n und n± an iT₀ sind Asymptoten der Kurve. Für die Kreislinie At ist die Konstruktion der auf ihr liegenden Punkte angegeben. Man zieht an und durch m₁ eine Parallele hierzu, welche auf At den Punkt 1 der Kurve ergibt. Man kann auch b c parallel zu m₁ k ziehen. Die Senkrechten durch % zu    bzw. mi c enthalten die Kurven

punkte 2 und i.

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Fig. 98.

4. Es ist <x = o. Die Mantellinien der Schrauben-fläche stehen senkrecht zur Schraubenachse. Man erhält die flache Schraubenfläche, auch Wendel-

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Fig. 99.

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fläche genannt. Die Kurve Fx geht in eine Kreislinie über (s. Fig. 99), welche die Punkte mx und k als Endpunkte eines Durchmessers enthält.

63. Aufgabe. Für den in Fig. 100 dargestellten Teil einer Wendelfläche ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Der Halbmesser der äußeren Begrenzungsschraubenlinie A sei r=20mm, die Ganghöhe E betrage 36 mm; dann ist die reduzierte Gang-36

= 5,73 mm. Aus der Fig. 101 er

höhe E₀ =

gibt sich die Länge von H₀ • cotg cp = bc, welche Strecke in Fig. 100 auf der Senkrechten durch mx zu Lx nach mx k anzutragen ist. Der Kreis über mx k als Durchmesser gibt den Grundriß der Selbstschattengrenze der Wendelfläche. Im vorliegenden Falle trifft nür ein Teil ckd auf den dargestellten Mantel der Fläche. Im Aufriß ist von diesem Teile nichts zu sehen. Die Wendelfläche ist von zwei senkrechten Kreiszylindern abgeschlossen, deren Grundrisse die Kreise Ax und Bx sind. Für den äußeren Zylinder ist die Selbstschattengrenze durch die Mantellinien ef und gh angedeutet.

Schlagschatten entsteht:

1. auf den Projektionsebenen durch die Begrenzungs-Schraubenlinien A bis D. Man erhält hierfür die Zykloiden A', B\ G\ D'. Ferner durch die Mantellinien ef und gh in e'f' und g'h', endlich durch die Begrenzung qip in q'i'p'. Hieraus ergibt sich der auf die Projektionsebene E₂ treffende Teil des Schattens. Als Schattengrenze gilt A nur der vollausgezogene Umriß der Schattenfigur;

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Fig. 100.

2. auf der Schraubenfläche (7Z), herrührend von einem Teil der Linie iq, dann von dem Teil gd der Schraubenlinie D, endlich von dem Bogen der Selbstschattengrenze. Der Schatten des Punktes ^ ergibti sich mittels eines ebenen Schnittes parallel zu L₁ und senkrecht zur Projektionsebene Ex. Dieser Schnitt liefert auf der Schraubenfläche CD die Linie 9 • 10, welche von dem Lichtstrahl durch q im Schlagschatten q 0 getroffen wird. In gleicher Weise erhält man einen weiteren Punkt d°, Grundriß d\, mittels eines durch d geführten Schnittes parallel zu Lt und senkrecht zur Projektionsebene E₁. Der Bogen d\ k ist der gesuchte Schatten von d k auf die Schraubenfläche;

3. auf dem Zylinder DB und zwar von den Linien q i und ip. Dieser Schatten ist im Aufriß durch 10 • i₂ • o\ dargestellt und ergibt sich unmittelbar aus dem Grundriß.

64. Aufgabe. Für die in Fig. 102 u. 103 dargestellte flache Schraubenspindel ist der Schatten zu konstruieren.

Auflösung. Die Selbstschattengrenze für die Wendelfläche fällt im vorliegenden Falle nicht mehr auf den dargestellten Teil der Fläche, weil die Strecke ab = H₀ • cotg cp kleiner ist als der Halbmesser des Kreises Bl. Selbstschatten entsteht im vorliegenden Falle auf dem Zylinder A C; er ist begrenzt von der Mantellinie 1 • 2.

Schlagschatten entsteht durch die Schraubenlinie A und zwar sowohl auf der Zylinderfläche BD als auch auf der Wendelfläche CD. Ersterer Schatten ist durch 3 o . 4 o . g o? letzterer durch 6 ⁰ • 7 ⁰ • 9 ⁰ begrenzt. Die Konstruktion des Schattens auf die Zylinderfläche ist unmittelbar aus der Figur zu ersehen, der Schatten auf die Wendelfläche bestimmt sich mittels des allgemeinen Schnittverfahrens; z. B. ist durch 7 parallel zu L± und senkrecht zur Projektionsebene Ex ein Schnitt geführt und dessen Aufriß a₂ b₂ eingezeichnet. Der Lichtstrahl durch 7 im Aufriß liefert auf a₂ b₂ einen Punkt 7° des Schlagschattens.

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Fig. 103.

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Fig. 104.

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Fig. 102.

65. Aufgabe. Für das in Fig. 105 dargestellte Muttergewinde der Wendelfläche ist der Schatten zu konstruieren.

Auflösung. Schatten entsteht durch den Schnittrand des Muttergewindes, sowie von einzelnen Teilen der begrenzenden Schraubenlinien sowohl auf die Zylinderflächen wie auch auf die Wendelfläche.

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Fig. 105.

1.    Selbstschatten der inneren Zylinderfläche D, begrenzt durch die Mantellinie a b, Aufriß a₂ b₂.

2.    Schlagschatten auf die innere Zylinderfläche D entsteht durch den Kreisbogen bc in b₂ e®, ferner durch die

Begrenzungslinie cd; im Aufriß ist hiervon sichtbar die Gerade 1° • 2°, ferner von dem Bogen 1 • b der Schraubenlinie G in b'₂1°; endlich gelangt noch Schatten von der Geraden 9 • 10 • 11 auf die Zylinderfläche (7D, die Konstruktion hierzu ist unmittelbar aus dem Grundriß der Figur zu ersehen.

3.    Schlagschatten auf die äußere Zylinderfläche A B. Dieser Schatten rührt her einmal von einem Teile 2°4 der Schraubenlinie Z), sowie von einem Teile der vertikalen Begrenzung cd. Die Schattengrenze 2^ • 3° • 4° schneidet die Schraubenlinie A in einem Punkte 5°, dem Schatten des Punktes 5. Vom Bogen 5 • 4 gelangt somit der Schatten auf die Wendelfläche A C, z. B. ist 4°' der Schatten des Punktes 4\ seine Ermittelung erfolgt durch einen durch 4 parallel zu Lt und senkrecht zu E₁ geführten Schnitt durch die Wendelfläche. Die Kante 4 • 6 ruft Schatten auf der Zylinderfläche B in 6 • 8° hervor, desgleichen auf dei Wendelfläche in dem Bogen 8° • 4°'.

auch

4.    Ein Teil des Bogens 9 • 4 der Schraubenlinie D ruft Schatten auf der Wendelfläche A G hervor; z. B. gelangt der Schatten des Punktes e\ nach dieser Schatten bestimmt sich durch das allgemeine Schnittverfahren.

66. Aufgabe. Für die in Fig. 106 dargestellte scharfe Schraubenfläche ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung. Da im vorliegenden Falle der Winkel 99>& ist, so erhält der Grundriß der Selbstschattengrenze die Gestalt der Fig. 97. Auf dem zur Darstellung gebrachten Mantel der Schraubenfläche liegt die Selbstschattengrenze nicht mehr, weil jene Schraubenlinie, auf welcher es gerade noch Punkte der Selbst-

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schattengrenze gibt, einen etwas kleineren Halbmesser besitzt als die Begrenzungsschraubenlinie B und C der Fläche. Es ist somit der obere Mantel der Schraubenfläche vollständig beleuchtet, der untere Mantel aber ganz im Schatten.

Der Schlagschatten ist im vorliegenden Falle nur in der Projektionsebene E₁ konstruiert worden; er setzt sich zusammen aus dem Schatten A', R, Gr der Begrenzungsschraubenlinien Aj H, (7, sowie aus jenem der Seiten der Dreiecke abc und def. Die Konstruktion wird nach Kr. 60 ausgeführt. Auf dem Zylindermantel B G entsteht ein Schlagschatten, herrührend von der Seite ed, sowie von einem Teile der Schraubenlinie G. Der Punkt g₂ entspricht dem Berührungspunkte gt der parallel zu Lx an G± gezogenen Tangenten. Das übrige ist aus der Fig. 106 unmittelbar zu ersehen.

In Fig. 106 ist auch der Grundriß F für den zweiten Umriß der Schraubenfläche konstruiert worden. Die auf den Schraubenlinien A und G liegenden Punkte o, Z, p, q dieser Kurve sind im Grund- und Aufriß angegeben.

Im Aufrisse sind die Punkte o₂1₂ und p₂ q₂ wegen zu geringer Krümmung der Kurve einfach durch gerade Tangenten verbunden. Die auf dem unteren Mantel liegenden Punkte der Umrißkurve sind hiermit gleichfalls bestimmt; sie liegen auf derselben Vertikalen wie die Punkte o bis l auf den Aufrissen der Schraubenlinie A und B.

67. Aufgabe. Für das in Fig. 107 u. 108 dargestellte scharfe Gewinde ist der Schatten zu konstruieren.

Auflösung. Im vorliegenden Falle ist a = cp angenommen; der Grundriß der Selbstschattengrenze erhäll

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sonach die Gestalt der Kurve (s. Fig. 96). Es ist m₁1c (Fig. 107) gleich ab (Fig. 109). Die Kurve Fl schneidet die Kreislinien A₁ und Bt in den Punkten 1 • 2, 5*6, 3 • 4 und 7*8, welche auf die Aufrisse A₂ und B₂ zu projizieren sind. Im Aufrisse kommen nur die Punkte 1 • 2 und 5 • 6 in Betracht, deren Verbindungslinien geradlinig angenommen wurden.

Schlagschatten entsteht auf dem oberen Mantel der Fläche und zwar von der Schraubenlinie A, sowie von der Schnittkurve G der Schraubenfläche mit der Horizontalebene C₂. Dieser Schlagschatten wird am einfachsten mit Benutzung des Schlagschattens der Begrenzungsschraubenlinien auf eine horizontale Ebene konstruiert. So ist in der Fig. 107 der Schlagschatten Ar der Schraubenlinie A auf die Projektionsebene El als verkürzte Zykloide A' mit dem Doppelpunkte b' bestimmt. Dem Punkte V entsprechen auf A₂ zwei Punkte b2 und b₂, von welchen b₂ als Schlagschatten von b auf die Schraubenlinie erscheint. Zeichnet man nun von einer Anzahl von Mantellinien der Fläche, z. B. 9 • 10, den Schlagschatten 9' 10' auf Ex, so trifft 9' • 10' die Linie A' in einem Punkte a!, dem auf 9 • 10 im Aufriß der Punkt a\, auf A₂ der Punkt a₂ entspricht, und es ist a₂ der Schlagschatten von a₂. Man erhält so den Kurven zweig 2 • a₂b₂ als Schlagschatten der Schraubenlinie A auf die Schraubenfläche. In gleicher Weise bestimmt man unter Zuhilfenahme einer Horizontalebene D₂ den Schlagschatten von G auf den Flächenmantel. Man ermittelt C' als Schatten von G auf die Ebene J)₂, desgleichen den Schatten 9' -10' von einer Mantellinie 9 • 10; 9' • 10' und C' treffen sich in </, welchem Punkte auf 9 • 10 der Punkt c₂, bzw. auf C₂ der Punkt c% entspricht. c₂ ist der Aufriß

des Schlagschattens vom Punkte c auf den Flächen-mantel.

Anmerkung 15. Die Ebene D₂ ist so gewählt, daß der Schatten 9' • 10' von 9 • 10 auf D₂ und jener von 9 • 10 auf die Projektionsebene E₁ zusammenfallen. In Fig. 108 ist ein Schnitt durch das Schraubengewinde dargestellt.

Schatten einer ßölirenfläche.

a) Allgemeine Bemerkung.

68. Eine Röhrenfläche entsteht durch Bewegung einer Kugel derart, daß ihr Mittelpunkt eine gegebene Leitlinie durchläuft. In jeder Bewegungslage hat die Kugel mit der Röhrenfläche eine Kreislinie, Charakteristik genannt, gemeinsam, deren Ebene zur Leitlinie senkrecht steht. Konstruiert man für die bewegliche Kugel in jeder Lage die Selbstschattengrenze, so durchschneidet diese die mit der Röhrenfläche gemeinsame Kreislinie in Punkten der Selbstschattengrenze der Röhrenfläche.

b) Beispiele.

69. Aufgabe. Für die in Fig. 110 dargestellte Röhrenfläche, für welche die Leitlinie A aus zwei zur Projektionsebene E± parallelen Kreisbogen mit den Mittelpunkten nt und n₂ besteht, ist die Selbstschattengrenze zu konstruieren.

Auflösung. Die Charakteristiken der Fläche projizieren sich im Grundrisse als nach den Mittelpunkten und n₂ gehende gerade Linien. Die Aufrisse sind Ellipsen (7₃, D₂ usw.

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Zeichnet man in Fig. 111 eine der beweglichen Kugel kongruente Kugel im Grund- und Anfriß und für diese die Selbstschattengrenze, so vollzieht sich die Konstruktion der Schattengrenze für die Röhrenfläche wie folgt;

Man zieht durch den Mittelpunkt m der Hilfskugel eine zur betreffenden Charakteristikebene parallele Ebene und bestimmt ihren Schnitt mit der Ebene der Selbstschattengrenze der Hilfskugel. Ein Parallele zu dieser Schnittlinie durch den Mittelpunkt der zugehörigen Charakteristik liefert auf letzterer Punkte der Selbstschattengrenze der Röhrenfläche.

Für die Charakteristik G ergibt sich z. B. mittels der Parallelen zu Gt durch mL (Fig. 111) auf Sl der Punkt bl, dem auf X der Punkl b₂ entspricht. Die Schnittlinie m b mit der durch m gehenden Ebene der Kugelselbstschattengrenze liefert auf letzterer den Punkt 1. Zeichnet man nun durch den Aufriß 1 des Mittelpunktes von G (Fig. 110) die Parallele zu m₂ b2 und macht im Grund- und Aufriß bzw. die Strecken I • 1 = m₁ • 1 bzw. —m₂l₁ so erhält man hierdurch die Punkte 1 der Selbstschattengrenze der Röhrenfläche auf der Charakteristik G. In gleicher Weise verfährt man für die übrigen Charakteristiken der Röhrenfläche.

Anmerkung 16. Der Grundriß der Röhrenfläche ist begrenzt durch konzentrische Kreise aus den Mittelpunkten nx und n₂ im Abstande gleich dem Halbmesser der beweglichen Kugel von der Leitlinie A. Der Aufriß ist hierdurch bestimmt. Im vorliegenden Falle besteht der Umriß des Aufrisses aus zwei zur W-Achse parallelen Geraden und einem Halbkreise F₂ als Aufriß der zur Projektionsebene E₂ parallelen Charakteristik F und außerdem aus einem Teile von C₂,

Die Selbstschattengrenze besteht aus zwei Zweigen H und J; ihre Grundrisse berühren den Grundrißumriß der Röhrenfläche in den Punkten 9; der Aufrißumriß wird von dem Aufriß der Selbstschattengrenze in den Punkten 6 berührt.

Vonderlinn, Stehattenkonstruktioaen.

70. Aufgabe. Für die in Fig. 112 dargestellte Röhrenfläcbe, für welche die Leitlinie eine Schraubenlinie sein soll, ist die Selbstschattengrenze zu konstruieren.

Auflösung. Die Charakteristikkreise besitzen die gleiche Neigung zu einer zur Achse der Schraubenlinie A, d. i. die Projektionsebene Ei, senkrechten Ebene; ihre Grundrisse sind daher kongruente Ellipsen B₎ deren große Achsen gleich dem Durchmesser ä der beweglichen Kugel und normal zu Ax gerichtet sind. Die kleinen Achsen besitzen eine Länge gleich ä cos/?, unter ß den Steigungswinkel der Schraubenlinie A verstanden.

Der Umriß der Röhrenfläche besteht im Grundriß aus zwei konzentrischen Kreisen G₁ und Dx, im Aufriß aus zwei Parallelkurven F₂ und G₂ zu A₂ (s. Anmerkung 17).

Zur Konstruktion der Selbstschattengrenze zeichnet man in Fig. 113 Grund- und Aufriß einer der beweglichen Kiigel kongruenten Kugel und ermittelt deren Selbstschattengrenze. Legt man nun durch den Mittelpunkt m der Hilfskugel Ebenen parallel zu den Charakteristiken der Röhrenfläche, so schneiden diese die Ebene der Selbstschattengrenze der Kugel nach Geraden. Zieht man zu letzteren durch die Mittelpunkte der zugehörigen Charakteristiken Parallelen, so treffen diese die Grund-bzw. Aufrisse der ersteren in Punkten der Selbstschattengrenze der Röhrenfläche. Für die einzelnen Charakteristiken vollzieht sich die Konstruktion wie folgt:

Ist in Fig. 113 Grand- und Aufriß der Hilfskugel mit der zugehörigen Selbstschattengrenze dargestellt, so bestimmt man zunächst in Fig. 112 etwa für den Punkt a der Leitschraubenlinie die Tangente, indem man ax cx

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Fig. 112.

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= arca₁5₁ abträgt, c₂ auf der Horizontalen durch 7 ermittelt und a₂c₂ zieht. Hierdurch ergibt sich der Steigungswinkel ß der Leitschraubenlinie. Nunmehr beschreibt man um m₁ (Fig. 113) mit einem Halbmesser gleich de (Fig. 112) — rsinß den Kreis K. Führt man nun durch m₁ (Fig. 113) eine Parallelebene zur Charakteristik B (Fig. 112), so wird deren erste Spur eine Tangente an K parallel zum Halbmesser m₁ VII (Fig. 112) sein und zwar im Punkte f von K. Diese Tangente schneidet die Spur St der Ebene der Selbstschattengrenze der Kugel im Punkte gly dem auf X der Punkt g₂ entspricht. Die Yerbindungslinie m g ist die Schnittlinie der Ebene der Selbstscliattengrenze der Kugel mit der durch m geführten Parallelebene zu B. Zieht man also in Fig. 112 im Grund- und Aufrif durch den Punkt VII eine Parallele zu m₁ gi bzw. m₂g₂ (Fig. 112), so erhält man hierdurch auf Bl bzw. B₂ die Punkte 7 der Selbstschattengrenze der Röhrenfläche.

Entsprechend läßt sich die Konstruktion für jede Charakteristikebene ausführen. Für die Charakteristik B' z. B. ergibt sich die Tangente ikx an K und damit die Schnittlinie mk. Die Parallele zu m₁ kt bzw. m₂ k2 (Fig. 113) durch den Punkt I im Grund- und Aufriß der Fig. 112, liefert auf B[ bzw. B£ die Punkte 1 der Selbstschattengrenze.

Die Selbstschattengrenze besteht aus zwei getrennten Kurvenzweigen H und /, welche den Umriß der Fläche sowohl im Grund- wie im Aufriß berühren. Im Grundriß liegen diese Berührungspunkte auf der durch ml (Fig. 112) gezogenen Senkrechten zu im Aufriß sind es die Berührungspunkte der parallel zu L₂ an die Kurven F₂ bzw. 0₂ gezogenen Tangenten.

Anmerkung 17. Die Linien F₂ und 6r₂, welche den Umriß des Aufrisses der Röhrenfläche darstellen, ergeben sich entweder als Berührungslinien aller Charakteristikaufrisse 1?₂, -#2, B'2 usw. oder auch als Berührungslinien von Kreisen, welche aus recht vielen und nahe beieinanderliegenden Punkten des Aufrisses A₂ der Schraubenlinie A als Mittelpunkte mit einem Halbmesser, gleich jenem der beweglichen Kugel, beschrieben werden.

In der Fig. 112 sind auch die Grundrisse Ft und Ot der Kurven F und O konstruiert worden, indem man durch die Punkte I bis XII von A₁ Parallele zur X-Achse zog und deren Schnittpunkte mit den Grundrissen der zugehörigen Charakteristiken bestimmte.

Anmerkung 18. Die in Nr. 70 angegebene allgemeine Konstruktion der Punkte der Selbstschattengrenze der Röhrenfläche vereinfacht sich noch etwas, weil die Grundrisse der zu den Schnittlinien m₁ gx, m₁ki (Fig. 113) usw. gezogenen Parallelen VII7, II (Fig. 112) usw. sich in einem festen Punkte k (s. Fig. 112), gelegen auf der Senkrechten durch m₁ zu L1? schneiden; denn ist z. B. (s. Fig. 114) n± 0 die Spur einer Parallelebene zu einer Charakteristikebene der Fläche, z. B. zu der Ebene X, so isi mL 0 der Grundriß der hierzu gehörigen Schnittlinie von Charakteristikebene und Ebene des Kugelselbstschattens. Zieht man nun durch IVdie Parallele zu mx 0, so erkennt man sofort die Ähnlichkeit der Dreiecke m₁n₁p (Fig. 114) und mikIV (Fig. 112), woraus folgt:

Wj 7it : m₁ p=m₁ k : m₁ IV

oder

konstant,

mt nx • mt IV

m₁p

und zwar ist, wenn mit R der Halbmesser von Ax

bezeichnet wird,

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unter 90 den Winkel der Lichtrichtung mit der Projektionsebene Ex verstanden.

Man braucht also nur den Punkt k (Fig. 112) auf der Senkrechten durch m₁ zu Lx zu ermitteln und die Punkte von mit k zu verbinden, so liefern diese Verbindungslinien auf den Grundrissen der zugehörigen Charakteristiken Punkte der Selbstschattengrenze der Röhrenfläche. Die Aufrisse ergeben sich durch Hinaufprojizieren auf die Aufrisse der zugehörigen Charakteristiken.

Auf der Röhrenfläche entsteht noch Schlagschatten, hervorgerufen durch die Selbstschattengrenze. Er wird nach dem allgemeinen Schnittverfahren ermittelt.

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Verlag der 0. J.Göschen’schen Verlagshandlung 0. m. b. H. in Berlin W 10 und Leipzig

In der „Sammlung Göschen“ sind ferner erschienen:

Darstellende Geometrie von Dr. Robert Haußner, Professor an der Universität Jena. I: Mit 110 Figuren. Nr. 142.

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