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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

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25 Gsemptare Iftm. 37.50; 50 (fo-emplare :ftm.20.—

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Statik

Von

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Professor Dipl.-Ina. W.

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II. Teil

Angewandte y (jpüjm.) Statik

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Berlin und Leipzfg¹*--« 5 Vereinigung wissenschaftlicher Verleger

Walter de Gruyter & Co.

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung - J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung - Georg Reimer - Karl J. Trübner - Veit & Comp.

1922

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Alle Rechte, insbesondere das Ubersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten

Plattendruck der Vereinigung- wissenschaftlicher Verleger Walter de Gruyter & Co. Berlin W. io

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

L Kapitel.

Starre Stabverbi ndungen mit beliebiger Belastung.

§ 1. Allgemeine Sätze........

§ 2. Methode der Berechnung......

§ 8. Beispiele ebener Stabverbindungen ....

§ 4. Beispiel einer räumlichen Stabverbindung

11

12

19

II. Kapitel.

Ebene Fachwerke.

§ 6. Statisch bestimmtes Fach werk.......

§ 6. Graphische Berechnung ebener Fachwerke, deren Ebene zugleich Kraftebene ist.......

À) Knotenpunktsmethode nach Cremona mit Beispiel B) Schnittmethode nach Ritter, am Beispiel erläutert S 7. Analytische Berechnung ebener Fachwerke nach der Schnittmethode ..... .

S & Balkenfachwerk (Trägerfachwerk). Einfluß der vertikalen Belastung eines Knotenpunktes auf irgend eine Stabkraft. Maximum derselben bei veränderlicher Belastung

ft 9. Statische Berechnung der Dach träger.....

I. Belastung der Träger........

II. Gang der statischen Berechnung .....

A)    Für Eigengewicht + Schneedruck .

B)    Für einseitigen Winddruck......

C)    Ermittlung der Maximalkräfte für jeden Stab

§ 10. Beispiel. Belgischer Dachstuhl.......

§ 1L Statische Berechnung der Brückenträger, am Beispiel erläutert ...........

25

27

27

31

35

SB

Beite

III. Kapitel.

Spreng- und Hängwerke.

À) Sprengwerke ..........

§ 12. Einfache Sprengwerke........

I.    Einfaches unsymmetrisches Sprengwerk mit Belastung

im Scheitel..........

II.    Symmetrisches und symmetrisch belastetes Sprengwerk

Г.

mit Spannriegel.........

§ 13. Gleichgewichtsform eines Sprengwerkes bei gleichförmig auf dessen Horizontalprojektion stetig verteilter Belastung § 14. Gleichgewichtsform eines Sprengwerkes bei nicht gesetzmäßiger Knotenpunktsbelastung.....

§ 15. Beispiel der Berechnung eines symmetrischen beliebig geformten Sprengwerkes von symmetrischer Knotenpunktsbelastung .........

B) Hängwerke .    '........

§ 16. Gleichgewichtsform und Berechnung der Hängwerke .

IV. Kapitel.

Standfestigkeit der Mauern (Pfeiler).

un un un

§ 20.

Bedingungen der Standfestigkeit......

Stützlinie...........

Beispiel für die graphische Konstruktion der Stützlinie an dem in Fig. 37 a dargestellten Pfeiler von 1 m Länge

(Tiefe) und konstantem Profil......

Analytische Bestimmung der Stützlinie.....

5о

V. Kapitel.

Standfestigkeit der symmetrischen Tonnengewölbe.

§ 21. Statische Unbestimmtheit bezw. Bestimmtheit der Drücke

in Kämpfer- und Scheitelfuge ......

§ 22. Spezieller Fall: Belastung symmetrisch, zur vertikalen Scheitelachse. Konstruktion von Kämpfer- und Scheiteldruck ...........

§ 23. Belastung der Tonnengewölbe. Belastungslinie .

§ 24. Drucklinie eines symmetrischen Tonnengewölbes für symmetrische Belastung........

VI. Kapitel.

Theorie des Erddruckes (für eben abgeglichenes Terrain und ohne Rücksicht auf Erdkohäsion).

§ 32. Bestimmung des Bruchprismas von größtem Druck .    .118

§ 33. Bestimmung des größten Erddruckes РШа* auf eine gegebene

122

Fläche ...........

§ 34. Graphische Konstruktion des Bruchprismas von größtem Druck 123

126

§ 35. Angriffspunkt des Erddruckes Pmax......

§ 36. Größe und Angriffspunkt des Erddruckes Pmas auf eine Teilfläche eines polygonal gebrochenen Mauerproflls .    .    129

§ 37. Erddruck bei gleichförmig und stetig belasteter Terrainfläche 132

VII. Kapitel.

Vom Gleichgewicht der seilartigen Körper.

sSS SS S SS

§ 38. Die Kette...........

§ 39. Das Seil............

§ 40. Beispiel der analytischen Berechnung einer Seilverbindung

mit festem Knoten........

§ 41. Gleichgewichtsform eines schweren homogenen an zweien seiner Punkte aufgehängten Seiles.....

§ 42. Der Riemen

Seite

§ 25. Konstruktion der Drucklinie für symmetrische Vollbelastung bei gegebenen Angriffspunkten der Drücke in Kämpferund Scheitel fuge.........

§ 26. Einfluß der Veränderlichkeit der Angriffspunkte von Kämpferund Scheiteldruck auf die Drucklinie. Einfachere Konstruktion derselben bei symm. Belastung § 27. Minimal- und Maximaldrucklinie infolge Ausweichens der Widerlager. Konstruktion derselben .

8 28. Einfluß einer beweglichen Belastung auf die Drucklinie § 29. Konstruktion der Drucklinie für gleichzeitig wirkende unveränderliche symmetrische Vollbelastung und einseitige gleichförmige Verkehrslast.....

§ 30. Bedingungen und Untersuchung der Standfestigkeit der

Tonnengewölbe........

§ 31. Untersuchung der Standfestigkeit der Gewölbepfeiler .

100

102

103

106

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I-H    I—t    r—t

À) Grundformel des Moments der Reibung am umschlungenen

Zylinder..........

ß) Beispiel...........

Literatur-Verzeichnis.....' .    .

1. KapiteL

Starr© Stabverbiudungen mit beliebiger Belastung.

§ 1. Allgemeine Sätze.

Eine Verbindung von starren Stäben heißt starr, wenn ihre Verbindungspunkte (Knotenpunkte) ihre gegenseitige Lage nicht ändern können.

An jedem Stab wirken außer den an ihm in beliebigen Punkten angreifenden äußeren Kräften in seinen Endpunkten Reaktionen, welche von den anstoßenden Stäben hervorgebracht werden. Die Knotenpunkte sind hierbei als Bolzen reibungsloser Scharniere gedacht, an denen die anstoßenden Stäbe drehbar befestigt angenommen seien.

Die Stäbe werden hierbei meist als gewichtlos vorausgesetzt. Bei Berücksichtigung des Eigengewichts eines Stabes läßt sich dieses in vielen Fällen durch zwei parallele Komponenten, die in den Stabenden angreifen, zweckmäßig ersetzen.

Zur Beurteilung der Sicherheit einer aus einer Stabverbindung bestehenden Konstruktion ist in erster Linie die Kenntnis der sämtlichen an irgend einem Stab angreifenden Kräfte erforderlich. Dire Bestimmung bildet die Aufgabe der „statischen Berechnung“ der Verbindung.

Zu beachten sind hierbei folgende Sätze:

I)    IsteineStabverbindungimGleichgewicht, so ist jeder Stab und jeder Knotenpunkt (Bolzen) unter Einfluß der an ihm angreifenden Kräfte im Gleichgewicht.

II)    Ein Stab, der nur in seinen Endpunkten von Kräften angegriffen wird, kann nur im Gleichgewicht sein, wenn die Resultante der Kräfte des einen Endpunktes derjenigen des anderen Endpunktes gleich und entgegengesetzt ist, also beide Resultanten die Stabachse zur Wirkungslinie haben. Suchen diese den Stab zu

so erleidet er

verkürzen, verlängern,

Fig. 1 a.

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Fig. lb

III) Jeder Stab wirkt in einem seiner Endpunkte auf den benachbarten Konstruktionsteil (Stab, Stabverbindung, Bolzen) mit einer Kraft, die nach dem Prinzip von Wirkung und Gegenwirkung gleich und entgegengesetzt ist derjenigen, welche er selbst von jenem Konstruktionsteil in diesem Knotenpunkt erfährt.

Es sei ABC ein zu einem starren Dreieck verbundenes Stabsystem (Fig. 2 a), das von den im Gleichgewicht befindlichen äußeren Kräften Pl5 P₂, P₃, Q1? Q₂, Qs angegriffen sei. Man nehme den Stab BC weg und ersetze seine Wirkung auf die anstoßenden Stäbe durch die geeigneten in В und C angreifenden Kräfte

S' und S", so daß der Gleichgewichtszustand des Ganzen erhalten bleibt. Verteilt man nun die im Knotenpunkt A angreifende Kraft in 2 in unendlich kleiner Entfernung voneinander befindliche, parallele und gleichgerichtete Komponenten APt und juPi (A und /*<1; А + /г=1), von denen APt am Stab AB unendlich nahe an A, fxV1 am Stab AC unendlich nahe an A angreife, so wird, falls Pt durch diese zwei Komponenten ersetzt wird, das Gleichgewicht des Ganzen nicht gestört. Man mache

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Fig. 2 a.

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Fig. 2 b.

Fig. 2c.

Fig. 2d.

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den Stab AB nun auch in A frei, indem man in A an ihm eine vom Stab AC her-rührende Kraft S anbringt (Fig. 2b), so sind die fünf Kräfte dieses Stabes P₂, S', Q₂, S und APt im Gleichgewicht. Vereinigt man P2 und S' zur Resultanten R₁, ebenso APt und S zur Resultanten Rj, so muß, da R₁, R₂ und Q₂ im Gleichgewicht sind, die Wirkungslinie von Rg (vergl. Statik Bd. I, § 13) durch den Schnittpunkt M derjenigen Rj und Q₂ hindurchgehen (Fig. 2 b) und die Kraft R^

bildet mit Rt und Q ein Kräftedreieck DEF (Fig. 2c). Bildet aber Rx mit den übrigen Kräften des aus den Stäben B A und АС bestehenden Zuges ВАС, bei unterteiltem Pj Gleichgewicht, so bleibt dieses auch erhalten, wenn man Px durch ihre beiden Komponenten Я Pi und jLi Pj ersetzt, d. h. R^^ ist unabhängig von der Art jener Verteilung bezw. von Я und fi. Daher ist auch Rg als dritte Seite des Dreiecks DEF, das aus den Größen und Richtungen von R₁ imd Q₂ bestimmt ist, unabhängig von Я und jli.

Zieht man (Fig. 2 c) durch F die Strecke F G gleich, parallel und gleichgerichtet ЯР₁₇ so muß, da —R₂, und S im Gleichgewicht sind und ein Kräftedreieck bilden müssen, die Strecke GD die Kraft S nach Größe, Richtung und Sinn darstellen.

Macht man auch Stab AC in A frei (Fig. 2d), so ist an ihm in A eine vom Stab AB herrührende Kraft anzubringen, die nach III) der Kraft S gleich und entgegengesetzt ist; außerdem wirkt an ihm in einem dem Pimkt A unendlich nahen Punkt die Last /aP₁. Man erhält die Resultante R₃ beider Kräfte, wenn man (Fig. 2 c) den Pfeil von S umdreht, durch G die Strecke GH gleich, gleichgerichtet und parallel juF{ legt; DH stellt diese Resultante R₃ nach Größe, Richtung und Sinn dar.

Da nun die ganze Strecke FH = ЯРХ + /гРх = P1? so ist Punkt H unabhängig von Я imd ji und daher gilt dasselbe auch von Rg. Somit:

Die Resultanten Щ und R₃ der im Endpunkt A beider Stäbe an ihnen angreifenden Kräfte sind unabhängig von der Art der Verteilung der Last P₁ auf beide Stäbe.

1st A. (Fig. 3) ein Knotenpunkt, in welchem drei Stäbe vereinigt sind, so hätte man für einen derselben, z. B. AB, an welchem unendlich nahe an A der Teil

APt wirken möge, dieselben Erwägungen, falls unter S die Wirkung des starren Dreiecks ACD auf Stab AB verstanden würde, d. h. die Resul-д tante R₂ von S und AP₁ ist un-! abhängig von Я und /л. Umgekehrt 'j, steht das starre Dreieck ACD in А imter Einwirkung der Kraft —S und der Last juFt. Nun läßt sich aber nach Obigem jede dieser Kräfte beliebig auf die zwei Stäbe AC imd AD verteilen, somit läßt sich auch die Oesamtkraft Ft als zu beliebigen Teilen an den drei Stäben in A angreifend betrachten.

Fig. a.

Die Fortsetzung der Betrachtung für Knotenpunkt mit vier Stäben u. s. f. ergibt allgemein:

IYa) Wirkt im Knotenpunkt einer ebenen starren Stabverbindung, in welchem beliebig viele Stäbe vereinigt sind, eine äußere Kraft P so ist für jeden dieser Stäbe die Resultierende aller in jenem Knotenpunkt an ihm wirkenden Kräfte unabhängig von der Art der Yerteilung jener Kraft auf die einzelnen in diesem Punkte verbundenen Stäbe.

Ist A der Knotenpunkt eines räumlichen starren Stabsystems, das von beliebigen Kräften imd in A von der äußeren Kraft Pi angegriffen sei, die mit den übrigen äußeren Kräften Gleichgewicht bilde, so projiziere man sämtliche Stäbe imd Kräfte auf eine beliebige X Y-Ebene. Die in den sechs Gleichgewichtsbedingungen der Kräfte des Raumes (vergl. Statik Bd. I, § 29) enthaltenen drei Gleichungen HX = 0 ; HY = 0 Mz = (Yx — Xy) = 0

(Momentengleichung der X und Y um den Ursprung)

drücken auch aus, daß das durch die Projektionen der Stäbe dargestellte ebene Stabsystem unter Einfluß der Projektionen der räumlichen Kräfte im Gleichgewicht ist. Daher ist die Art der Verteilung der Projektion pl von Px auf die in der Projektion a' des Knotenpunktes A verbundenen Stabprojektionen nach IVa) ohne Einfluß auf die Resultante der in a ' an irgend einem der Stäbe des ebenen Systems angreifenden ebenen Kräfte oder die Komponente der Resultanten der sämtlichen in A an einem der räumlichen Stäbe angreifenden räumlichen Kräfte nach der XY-Ebene ist imabhängig von der Verteilung der pi auf die in a' zusammenstoßenden Stabprojektionen.

Analoges gilt aber auch, falls auf jede der beiden anderen Grundebenen eines räumlichen Koordinatensystems projiziert wird, daher:

IVb) Obiger Satz a) gilt auch für den Knotenpunkt einer räumlichen Stabverbindung.

Anmerkung. Diese vorstehenden Sätze behalten auch ihre Gültigkeit für nicht starre Stabverbindungen, nachdem diese durch Anbringung geeigneter äußerer passiver Kräfte (Widerstandskräfte) in solche umgewandelt sind, die sich als starre betrachten lassen.

§ 2. Methode der Berechnung.

Hinsichtlich der praktischen Durchführung der Rechnung ist zu beachten:

1.    Man bestimme zuerst, indem man die Auflager wegnimmt und ihre Wirkung durch geeignete Kräfte, die Auflagerwiderstände, ersetzt, diese aus dem Gleichgewichtszustand des Ganzen und, wenn nötig, einzelner Teile.

2.    Man mache der Reihe nach die einzelnen Stäbe in ihren Endpunkten unter Anbringung geeigneter, die

Wirkung der abgetrehnten Konstruktionsteile ersetzender Kräfte frei und betrachte das Gleichgewicht des freigemachten Stabes. Oft ist es auch zweckmäßig, einen Knotenpunkt (Bolzen) freizumachen.

3.    Bei Momentengleichungen wähle man die Kraft in absoluter Größe, das Vorzeichen des Momentes dem Drehsinn entsprechend (Uhrzeigersinn positiv) und bei vertikaler Belastung das Koordinatensystem mit horizontaler X-Achse. Der Momentenpunkt bezw. die Momen-tenachse ist stets so zu wählen, daß möglichst viel unbekannte Kräfte ein Moment = 0 liefern.

4.    Die bei Freimachung eines Stabes bezw. Bolzens die abgetrennten Konstruktionsteile ersetzenden Kräfte werden gewöhnlich mittelst ihrer Horizontal- und Vertikalkomponente (H und V) angebracht; den Sinn ihrer Wirkung nimmt man auf Gnmd „statischen Empfindens“. Erweist sich im Laufe der Rechnung der Wert einer solchen Komponente als negativ, so ist die tatsächliche Komponente der gefundenen gleich und entgegengesetzt. Man setze die Rechnung mit der umgedrehten Komponente fort.

5.    Gewöhnlich erweist sich der letzte Stab (oder Bolzen) als unter Wirkung lauter bereits gefundener und gegebener Kräfte stehend. Die aus seinem Gleichgewicht sich ergebenden Gleichungen ergeben dann Identitäten, die zur Probe der Rechnung dienen.

§ 3. Beispiele ebener Stabverbindungen.

Beispiel 1.

Es sollen die an den einzelnen Stäben des in Fig. 4a dargestellten, unten in einem Spur-z'apfenlager, oben in einem Halslager befestig-

ten, in C mit 600 kg belasteten Krans angegeben werden.

Fig. 4 a.

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Auflösung:

A) Graphisch.

(Fig. 4 a, b, c, d, e.)

a)    Die Stabverbindung als ;

Ganzes: (Fig. 4a).

Die Auflager seien ihrer Wir- Ç kung nach durch die Kräfte W und Ho (horizontal) ersetzt. Die am frei- ; gemachten Stabsystem des Ganzen    *    g

angreifenden Kräfte W, Ho und P = 600 kg sind im Gleichgewicht.

Ihre Wirkungslinien schneiden sich daher (vergl. Statik Bd. I, § 13) in einem Punkte S, der als Schnitt der gegebenen Wirkungslinien von Ho    yfjf

und P bekannt ist. Die Verbindungs-    fr

linie von S mitE gibt die Wirkungs- ¹¹ ^ linie von W. Ein über MN = und *    . ^

parallel P nach den Richtungen von A°\

Ho und W konstruiertes Kräftedreieck p / y MN0 (Statik Bd. I, § 13, Beispiel 1) V ergibt in den Seiten NO und OM Fig.4c. /B Größe und Sinn von W und Ho (Fig. 4a). /в

b)    Freimachung des Stabes AC: (Fig. 4b und c).

Stab B G übt (§ 1, II und III) in В auf А C eine Kraft D aus, deren у Wirkungslinie in die Stabrichtung B G L fällt. Entfernt man in В den Stab B G und in A den Stab EF, so bilden die Flg> 4d-dafür am Stab АО angebrachten Kräfte Wi und D mit P Gleichgewicht.

Ihre drei Wirkungslinien schneiden sich daher in einem Punkte T, der sich als Schnitt der verlängerten B G mit der Wirkungslinie von P bestimmt. TA gibt die Wirkungslinie von Wi. Ein über P nach den Richtungen von Wi und D konstruiertes

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Fig. 4 b.

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Fig. 4e.

Kräftedreieck A0A1A2 liefert ¥, und D nach Größe, Richtung und Sinn.

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P. 600 kg

c)    Desgl. des Stabes BG: (Fig. 4d). In В ist die entgegen-gesetzte Kraft D anzubringen. Daher muß die in G vom Stab EF geübte Wirkung ebenfalls gleich jener und nach aufwärts gerichtet sein. BGerleidetDruckspannung.

Fig. 5 a.

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Vn

ZU-

P- 600

d)    Desgl. des Stabes EF: (Fig. 4e). An ihm wirken in A die entgegengesetzte Kraft Wi und in G die nach unten gerichtete Kraft D. Sämtliche an EF angreifende Kräfte sind bereits bekannt. Da sie im Gleichgewicht sind, so muß das aus ihnen gebildete Kräfte- und Seilpolygon sich schließen (vergl. Statik Bd. T, §12). Zeichenprobe.

Fig. 5 b.

B) Analytisch.

(Hierzu die Figuren 5 a, b, c, d.)

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Hs- «so

a) Stab Verbindung als Ganzes: (Fig. 5 a). W sei in die Komponenten H und V zerlegt. H, V, P, Ho sind im Gleichgewicht. Daher (Statik Bd. I, § 20)

1)    A'X = 0 :

Probe

Fig. 6 c.

H — Ho = 0 ; Ho = H.

2)    2Y = 0 :

—V + 600 = 0; V = 600 kg.

V- m

11-300

3)    -T-Momente um E = 0:

600-1,5 —Ho-3 = 0;

Fig. 5d.

Ho = 300 kg = H.

(Statik Bd. I, § 18.)

b) Freimachung von AG: (Fig. 5b). In В seien die Komponenten V* und H₂ der Wirkung D des Stabes GB, in

A EU und Уз derjenigen von EF auf AC angebracht. Gleichgewicht, daher:

1)

H₂ — Нз = 0; H₂ = H₃.

== 0' : - У₂ + Уз + 600 = 0.

2X — 0 :

2) 3) ^-Momente um В = 0: 600 • 0,5 — V₃ • 1 — 0; У г = 300 kg

und vermöge 2) V2 = 900kg.

H₂ und Нз bleiben zunächst unbestimmt.

c) Desgl. von BG: (Fig. 5c). In В sind die entgegengesetzten Kräfte H2 und У2, in G die Komponenten ЕЦ und V* der Einwirkung des Stabes EF anzubringen. Gleichgewicht, daher:

1)    2,X = 0: Bu — II2 = 0 ; H₂ = H4.

2)    SY — 0 : — У₄ + У₂ = 0; V₄ = Va = 900 kg.

3)

Y-Momente um G = 0:

900-1 —H₂-2 = 0; H₂ = 450 kg=H₄ = H₃.

d) Desgl. von EF (Probe): (Fig. 5d). In A sind die entgegengesetzten Kräfte Нз und V₃, in G die entgegengesetzten Kräfte H₄ und У 4 angebracht. Gleichgewicht, daher ergeben sich, da sämtliche Kräfte bereits bekannt sind, als Probe die folgenden Identitäten:

1) = 0 :

Нз + H — Ho - Ш = 0; 450 + 300 - 300 — 450 ЕЕ 0. 2) SY — 0\ — У+У₄-У, = 0; -600 + 900 — 300 = 0. 8) ^-Momente um G — 0 :

Нз • 2—H • 0,8—Но • 2,2=0 ; 450-2-300-0,8—300-2,2 ееО.

Beispiel 2.

Berechnung der in Figur 6a angegebenen Verbindung AjBCAg, die in At auf dem reibungslos gedachten Auflager frei gelagert sei.

(Fig. 6 a, b, c, d, e, f und 7.)

Fig. 6 b

Fig. 6 a.

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Fig. 6f.

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Fig. 6 о.

Auflösuüg:

a) Stabverbindung als Glanzes: (Fig. 6a). In Ai ist die Wirkung des absolut glatten Auflagers nur durch eine Vertikalkraft Vi zu ersetzen. Die Aufhebung der durch die horizontale an Stab IV angreifende Kraft (300 kg) erzeugten

Tendenz einer wagrechten Verschiebung kann also nur durch eine horizontale Widerstandskraft II des zweiten Auflagers bewirkt werden, so daß in A2 die beiden Kräfte H und V2 die Wirkung des Auflagers ersetzen. Gleich gewicht, daher (Statik Bd. I, § 20):

1)    2X = 0: 300 —H = 0; II = 300 kg.

2)    2 Y = 0: — Vi—V₂ + 600+ 1200 + 900 = 0.

3)    2-Momente um Аг = 0:

V, • 4 + 300-1-Я00-3 — 600*2 —1200-1=0; Vi = 1200kg

und vermöge 2) V₂ = 1500 kg.

b)    Freimachung des Stabes I: (Fig. 6b). Angebracht sind in В an Stelle von AiB die Kräfte Из und V3; gemäß Satz IVa des § 1 sei in C die volle Last 1200 kg als an Stab I wirkend angenommen. Die resultierende Einwirkung der Stäbe II und V sei durch die in C an I angebrachten Kräfte V4 und H4 ausgedrückt. Gleichgewicht, daher:

1)

2X = 0: Нз — Ш = 0; H₃ = H₄.

2)

3)

2Y = 0: 600+ 1200—V₃—V4 = 0. 2-Momente um 0 = 0:

V₈-2 — 600-1 =0; V₃ = 300 kg und vermöge 2) V4 = 1500 kg.

Из und H4 bleiben zunächst unbestimmt.

c)    Desgl. des Stabes IV: (Fig. 6c). In В sind anzubringen die entgegengesetztenKräfte H₃ und V₃. In Ai sei gemäß Satz IVa des § 1 der ganze Auflagerdruck Vi dem Stab IV zugeteilt. Die resultierende Einwirkung der Stäbe V und III, d. h. des starren Dreiecks A1CA2 sei H5 und Y&. Gleich-gewicht, daher:

1)

2’X = 0 : — Нб + 300 —H₃ = 0.

2’Y = 0: 300+Vô —1200 = 0; Уб = 900 kg.

2-Momente um Ai = 0 :

300 • 1 + 300 • 1 — Нз • 2 = 0 ; Ha=300kg = H4 (vermöge b, 1) und somit vermöge 1)

Ha über, Statik II.

2)

3)

H₅ = 0.

d)    Desgl. des Stabes III: (Fig. 6d). In Ai wirken am starren Dreieck C Ai A2 die entgegengesetzten Kräfte H5 und Y5 (Satz III, § 1). Dieselben seien (Satz IVa, § 1) ganz dem Stab III zugeteilt. Statt des wegzunehmenden Stabes Y greifen in Ai die Kräfte He und Ye an, statt des Stabes II H₇ und Y7. Die xVuflagerdrücke H und Y₂ seien (Satz IYa, § 1) ganz am Stab III angreifend gedacht. Gleichgewicht, daher:

1) A'X = 0: H; — 300 + 0 — H₆ = 0.

2)

3)

2Т = 0: 900 + Y₈+Y₇ - 900 — 1500 = 0. ^-Momente um Ai=0:

900-1 -1500-4 + Y₇- 4 = 0; V₇ = 1275 kg und vermöge 2) Ye = 225 kg.

H₇ und He bleiben zunächst unbestimmt.

e)    Desgl. des Stabes Y: (Fig. 6e). In Ai sind die entgegengesetzten Kräfte Не und Ye anzubringen (Satz III, § 1). Nach Satz II, § 1 erleidet Stab Y nur Zug oder Druck, daher steht er in 0 unter Wirkung von Kräften Hs und Ys, die den soeben angebrachten gleich und entgegengesetzt sind. Gleichgewicht, daher:

A’-Momente um 0 = 0: 225 • 3 — He • 2 = 0 ; Hs = 337,5 kg und vermöge d, 1): II₇ = 637,5 kg.

Druckkraft Sb in der Achse des Stabes V

Ss = fvj + Hjj = 405 kg.

f) Desgl. des Stabes П (Probe): (Fig. 6f). In Aa greifen (nach Satz Ш, § 1) an ihm die entgegengesetzten Kräfte H₇ und Y7 an, am starren Dreieck CA1A2 in C (vergl. b) die entgegengesetzten Kräfte EU und Y4 (Satz IH, § 1), welche dem Stab П ganz zugeteilt seien (Satz IYa, § 1); Stab V ist in C durch die umgekehrten Kräfte Hs und Ys zu ersetzen (H₈ = He, Ys=Ye). Gleichgewicht, daher ergeben sich als Probe die folgenden Identitäten, da sämtliche Kräfte nunmehr bekannt sind:

1)    A'X = 0: H8 + H4—H₇=0; 337,5+300 — 637,5=0.

2)    2 Y =*= 0: Y4 —Ye —Y₇ = 0; 1500-226 — 1275=0.

3) ^-Momente um Аг = 0:

H₈ • 2 + H₄ • 2 + V₈ • 1 - V₄ • 1 = 0;

387,5 • 2 + 300 2 + 225 • 1 - 1500 1=0.

Druckkraft S2 in der Achse des Stabes II :

S,=|/V? + H?= 1422kg.

Resultate:

Man setze bei jedem Stab die in demselben Knotenpunkt angreifenden H, sowie die in demselben Knotenpunkt angreifenden Y je zu einer Resultanten (R = algebr. Summe) zusammen, so erhält man die in Figur 7 dargestellten Resultate.

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V, -v.Lx»

Fig. 7.

§ 4. Beispiel einer räumlichen Stabverbindung.

Die in Fig. 8 a und b dargestellte, ans sechs Stäben bestehende räumliche Stabverbindung Ax A^ D C, die in D eine Knotenpunktsbelastung von P = 600 kg trägt, zu berechnen. Dieselbe sei in den Knotenpunkten Ax und A2 abgestützt und im Knotenpunkt C verankert (Fig. 8 a bis 1).

Auflösung: АзАх sei + Y-Achse, die durch A* senkrecht zu AXA^ gezogene Horizontale +X-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems (Fig. 8 a). Die Auflagerwiderstände in Ax bezw. A^ seien durch ihre Achsenkomponenten Xt, Yv \ bezw. X₂, Y₂, \ ersetzt, ebenso die Widerstandskraft der Mauer in C durch ihre Komponenten H, Y₀ imd Z₀. Dann bilden diese neun Kräfte Gleichgewicht mit P == 600 kg.

Zu ihrer Bestimmung (vergb Statik Bd. I, § 48) sind nur die sechs Bedingungsgleichungen des Gleichgewichtes (vergl. Statik Bd. I, § 29) vorhanden, daher ist die Ermittlung dieser neun Komponenten nur auf Grund von Annahmen möglich.

Wir denken uns zu diesem Zwecke die Befestigung in G derart, daß sie nur die Kraft II auszuüben vermöge, so daß also Y₀ = 0, Z₀ = 0. Dann liefert (Statik Bd. I, § 29):

a) Die Stabverbindung als Ganzes (Fig. 8a):

1)    2'X = 0: — H+Xi + X₂ = 0.

2)    XY=0: Yi + Y₂ = 0.

3)    2Z — 0 : Z1+Z2-600 = 0.

4) Mx = 0: Zi-2 —600-1=0; Zi = 300kg

(A-Momente um X-Achse)

Vergl. Statik Bd. I,

§ 28, Spez. Fähe.

und vermöge 3) Z₂ = 300kg.

5) My = 0 : 600 • 3 — H • 3 = 0; H=600 kg.

(A-Momente um Y-Achse)

6)

Mz=0: H-l—Xi-2=0; X.^-SOOkg

(A-Momente um Z-Achse) __£_

und vermöge 1) X2 = 300 kg.

Yi und Y2 bleiben unbestimmt. Da jedoch keine Tendenz zur Verschiebung des Ganzen in der Richtung der Y-Achse vorhanden ist, so treffen wir die weitere Annahme

Yi =Y₂ = 0.

b) Freimachung des starren Dreiecks A1CA2: (Fig. 8 c). Der Stab I ist durch eine Kraft mit der Wirkungs-hnie in der Stabrichtung zu ersetzen. Ihre Komponenten nach der X-Achse bezw. Z-Achse seien Hi bezw. Vi (Komponente nach der Y-Achse = 0). In Ai und A2 sind die Auflagerwiderstände und die Wirkungen der zu entfernenden Stäbe П und III anzubringen. Gleichgewicht ; daher Momentengleichung um A1A2:

Fig. 8a.

My =0:

Hl-3 —600-3 = 0; Hi = 600kg. ..

c)    Desgl. des Stabes I:

//G

/jlicnolą

V ł

4Г.

’S

z,

Лл

(Fig. 8d). In C sind die entgegengesetzten Kräfte Hi und Vi an- -zubringen, in D eine Anzahl weiterer Kräfte. Wählt man die durch D zur Y-Achse gezogene Parallele als Momentenachse, so liefern die letzteren j e ein Moment=0. Daher bei Gleichgewicht die Momentengleichung um jene Achse:

d*

M = 600 *1 — Vi • 3 = 0;    /

Vi = 200 kg. ^

d)    Desgl. des Stabes П:

3'

20

...... 40

Fig. 8 b.

(Fig. 8e). In D sind anzubringen statt des Stabes I die in gleichem Sinne wie vorher wirkenden Kräfte Hi und Vi, statt des Stabes III die den Achsen parallelen Нз, Y3, V3, außerdem sei die Last 600 ganz dem Stab H zugeteilt. Ferner sind in Ai eine Reihe Kräfte anzubringen, deren Moment jedoch = 0 wird, wenn die Y-Achse als Momentenachse gewählt wird.

Daher bei Gleichgewicht in Beziehung auf diese:

oder

My = 600 • 3 + 200 • 3 —Уз • 3 + IL • 4 - 600 • 4 = О — ЗУз + 4Нз = 0.

e)    Desgl. desKnotenpunktes (Bolzens)D: (Fig.8f). An ihm greifen außer der Last 600, an Stelle von I die im

Sinne von vorhin wirkenden Hi und Vi, an Stelle von III die wie vorhin gerichteten Kräfte Из, Уз und Уз und statt des Stabes II die noch unbekannten Kräfte EU, Y{ und У2 an. Sein Gleichgewicht liefert

i)

2X = 0: — 600 + H₃ + Ha = 0 und da wegen der Symmetrie Нз = EU genommen werden kann H» = H₂ = 300 kg

Уз = 400 kg.

und somit aus d)

2)    ZZ — 0 : V2 + 400 —200 —600 = 0; V₂ = 400kg.

3)    ^Y — 0 : Уз — Y₂r — 0.

/J-т

пЛ Fig. 8d.

V

Fig. 8 c.

v,h

f,

Fig. 8e.

p-\

\6JO

/Л *y

Knotenpunkt D

X/

Fig. 8f

Y, P.\

IßOO

'У

f) Desgl. des Stabes III: (Fig. 8g). In D seien (§ 1, HI) die entgegengesetzten Kräfte Нз, Уз, Уз angebracht (vergl. d). Nimmt man die X-Achse als Momentenachse, so liefern die in Aa anzubringenden Kräfte ein Moment je = 0, daher folgt aus dem Gleichgewicht des Stabes Ш

Mx = Уз • 4 — 400 ‘1=0; Y₃ = 100 kg und vermöge 3) in e) Y£ = 100 kg.

g) Des gl. des Stabes У: (Fig. 8h). In C sind an Stelle von I die Kräfte Hi und Yi, anstatt VI die Kräfte Ye und Ve angebracht (He = 0); ferner sei H ebenfalls diesem Stab zugeteilt. Nimmt man die durch Ai zur X-Achse gezogene Parallele als Momentenachse, so liefern die in Ai anzubringenden Kräfte ein Moment je = 0, somit bei Gleichgewicht Momentengleichung um diese Achse:

M = - 200-1 + Ye • 3 + Ye • 1 =0; 3Ye + Ye = 200.

Fig. 8 g.

Fig. 8h.

Fig. 8i.

Л- .wo

V*200

'V^tos

Л* 609 i

Л/в»

[С

*х’

Knotenpunkt

Yfioo

Л-300 Ą/Хцоо

Knotenpunkt Ai ?ччмк

Vfioo Â. .

Iff-*» /van

'Vf 400

Fig. 8 k.

x-M

rfm \г;ш

Fig. 81.

h) Desgl. des Stabes VI: (Fig. 8i). In C sind (§ 1, III) die entgegengesetzten Kräfte Ye und Ye anzubringen. Nimmt man die X-Achse als Momentenachse, so liefern die in Aa angreifenden Kräfte je ein Moment =0, daher bei Gleichgewicht

M = Ye* 1 — Y₆ • 3=0.

Ve= 100 kg Ye = 33¹/₈ kg.

Diese und die vorhergehende Gleichung liefern

. des Knotenpunktes A2:, (Fig. 8k). Ad Stelle von V sind die den vorigen gleichgerichteten Ve, Ye, an Stelle von III die mit f) übereinstimmenden Kräfte Нз, Уз und Уз, an Stelle von IV die Kraft Y4 angebracht; außerdem die Auflagerdrücke X2, Z2. Gleichgewicht, daher:

i)

CßbH

YY = 0: Y₄ + 337з — 100 = 0; Y₄ = 66²/3 kg.

Probe:

k) Desgl. des Knotenpunktes Ai : (Fig. 81). In Ai sind anzubringen die Auflagerwiderstände Zi und Xi, an Stelle von IV die Kraft Y₄, welche derjenigen in i) entgegengesetzt ist, an Stelle von II die Kräfte H2, У2 und Y£, die denjenigen in e) entgegengesetzt sind und an Stelle von V Kräfte, welche wegen der Symmetrie den in i) angeführten Kräften Уб und Ye/ gleich sind (Ye jedoch entgegengesetzt gerichtet). Gleichgewicht, daher:

300— 300 = 0.

YX = 0:

Xi — H₂ = 0;

Y    Y — 0 : Yf2 — Ye — Y₄ = 0; 100 - 337з — 66²/з = 0.

Y    Z = 0 : Уб+Zi — V₂ = 0; 100+ 300- 400 = 0.

Resultate:

Sämtliche Stäbe der Verbindung werden nur in ihren Endpunkten von Kräften in Anspruch genommen, erleiden demnach nach § 1, II nur Druck- oder Zugspannung S. Dieselbe ergibt sich für jeden Stab als Resultante der in einem Endpunkt des betreffenden Stabes angreifenden H, Y und V. Man setze daher für jeden Stab die H, Y und V eines Endpunktes je zu einem resultierenden Hr, Yr und Vr zusammen, dann

ist S =    + У²Г. Auf diese Weise ergeben sich

die in folgender Tabelle zusammengestellten Resultate in kg:

IY

66 ²/3

66²/3 (Zug)

33¹/«

100

105 (Zug)

VI

33 V«

100

105 (Zug)

510 (Druck)

Stab No.

Hr

Yr

Vr

s =/h? + y; + v;

600

200

632 (Zug)

II

300

100

400

510 (Druck)

III

300

100

400

П. Kapitel.

Ebene Fachwerbe.

ßV o.\

«к

Vom Gleichgewicht der seilartigen Körper.

Ebene Fachwerbe.

§ 5. Statisch bestimmtes Fachwerk.

Ein zu einer geschlossenen Figur vereinigtes System von Stäben, welche nur durch Kräfte, die in den (Schwerpunkts)-Achsen der (prismatisch gedachten) Stäbe wirken, beansprucht werden, heißt Fachwerk. Die Angriffspunkte dieser Kräfte sind die Endpunkte der Stäbe (Knotenpunkte). Die Stäbe und ihre gegenseitige Lage seien hierbei als unveränderlich gedacht.

Um diese Beanspruchung zu ermöglichen, dürfen die am Fach werk wirkenden äußeren (aktiven und passiven) Kräfte ebenfalls nur in dessen Knotenpunkten angreifen (Belastungen, Auflagerwiderstände). Yergl. § 1, II.

Über die Knotenpunkte gelte die Voraussetzung des § 1.

Zur gegenseitigen Festlegung dreier Knotenpunkte bedarf es dreier Stäbe von unveränderlicher Länge, zur Festlegung eines vierten Knotenpunktes derselben Ebene gegenüber dem erhaltenen starren Dreieck zweier weiterer Stäbe. In gleicher Weise erfordert jeder weitere Knotenpunkt derselben Ebene zu seiner Festlegung gegenüber der bereits vorhandenen starren Stab Verbindung je zwei weitere Stäbe, so daß also zur gegenseitigen Festlegung von n Knotenpunkten eines ebenen Fachwerkes erforderlich sind :

3 + (n — 3) 2 = 2 n — 3 Stäbe.

Fig. 9.

Ist eine ebene Stab Verbindung von geringerer Anzahl von Stäben als der angegebenen im Gleichgewicht, so kann dieses nur labil sein (Fig. 9), da eine Verschiebung der Knotenpunkte gegeneinander zu einer dauernden Störung der ursprünglichen Gleich -gewichtsform führt.

Ist das aus 2 n — 3 Stäben bestehende ebene Fachwerk in zweien seiner Knotenpunkte festgehalten und in beliebigen Knotenpunkten von gegebenen äußeren Kräften derselben Ebene von beliebiger Größe und Richtung angegriffen, so bilden diese mit den Widerstandskräften der festgehaltenen Punkte Gleichgewicht. Die zur Verfügung stehenden drei Gleichgewichtsbedingungcn von Kräften der Ebene gestatten die Bestimmung dreier auf diese Widerstandskräfte bezüglichen Unbekannten, und falls diese die Unbekannten nicht in höherer Anzahl

§ 6. Graphische Berechnung ebener Fach werke. 27

enthalten, ist das ebene Fachwerk damit statisch bestimmt, d. h. die Stabkräfte lassen sich ebenfalls ermitteln.

Enthält ein ebenes Fachwerk топ n Knotenpunkten mehr als 2 n — 3 Stäbe, so läßt es sich häufig in mehrere (einfache) statisch bestimmte Fachwerke zerlegen; andernfalls ist seine Berechnung nur mit Hilfe der Elastizitätslehre möglich.

Die Fachwerke zerfallen in Balken-(Träger-)fachwerke und Bogenfachwerke. Erstere ersetzen einen freiaufliegenden tragenden Balken und üben demnach auf die Auflager bei vertikaler Belastung nur vertikale Drücke aus, letztere außerdem noch horizontale Drücke (Schübe). Zu den ersteren rechnet man die freiaufliegenden Dach- und Brückenträger.

Im folgenden seien nur statisch bestimmte Fachwerke behandelt.

§ 6. Graphische Berechnung ebener Fachwerke, deren Ebene zugleich Kraftebene ist.

Gegenstand der Berechnung ist die Ermittlung der in den Stäben wirkenden Zug- oder Druckkräfte.

A) Knotenpunktsmethode (nach Cremona).

Das durch die Knotenpunkte I bis VI in Fig. 10 a dargestellte, in den Auflagerpunkten I und VI von den Auflagerwiderständen Wx und W₂, in den übrigen Knotenpunkten und in I und VI von beliebigen aktiven Kräften P angegriffene Fachwerk sei im Gleichgewicht, dann ist jeder einzelne Knotenpunkt unter Einfluß der an ihm angreifenden P bezw W und der die Wirkung der anstoßenden Stabe ersetzenden Stabkräfte im Gleichgewicht. Für jeden Knotenpunkt bilden daher diese Kräfte (vergL

Statik B<L I, § 8) ein sich schließendes .Kräftepolygon, das (vergl. Statik Bd. I, § 8, Beispiel 2) die Bestimmung zweier dieser Stabkräfte von gegebener Richtung gestattet.

IF

л,

°<r

л.

Fig. 10 a.

Fig. 10 b.

Ч0Г

J?n Kraft epl/nr Щ.Ю J

Druck-Zug-

ŹA

Knotenpun kt TT dien t a/s Zeichenprobe

куч

\ / ff \

\\

Macht man ' z. B. Knotenpunkt I frei, indem man \ die Stäbe U1 imd Ox durch die mit denselben Buch-t\btTcid,nu^*\ staben bezeichnten Stabkräfte ersetzt, so sind Wx, Pt, Uj, im Gleichgewicht. Setzt man daher die Kräfte W₁ und Px (Big. 10 b) mit sich folgenden Pfeilen zum o \a Zug Ad Al A₂ zusammen und legt durch die Endpunkte A₀ bezw. A₂

АЛ ж / je eine Parallele zu \Jt bezw. Ox 4?    № (vergl. Statik Bd. I, § 8, Bei-

N^JL/ • spiel 2), so ergeben diese die gesuchten Kräfte U₁ und Ox

rrJ

nach Größe, Richtung und einem Sinn, der mit dem der übrigen Pfeile des Polygons A₀A₁A₂A₃A₀ übereinstimmt. Dabei ist es gleichgültig, welche der Parallelen durch A^ bezw. A₂ gezogen wird.

§ 6. Graphische Berechnung ebener Fachwerke. 29

Die sich ergebende Kraft drückt auf den Knotenpunkt I (Bolzen); also erhält nach dem Prinzip von Wirkung und Gegenwirkung der Stab Ox vom Knotenpunkt die gleiche, aber entgegengesetzte Kraft, d. h. 04 ist für Stab 0₄ Druckkraft (Druckspannung) (vergl. Fig. la). Ujl wirkt vom Knotenpunkt weg; der Knotenpunkt wirkt auf den Stab Uj in entgegengesetztem Sinne, d. h. U₁ ist für Stab TJX Zugkraft (Zugspannung).

Man mache Knotenpunkt II frei. Aus dem Gleichgewicht des Stabes Or folgt die Gleichheit und der entgegengesetzte Sinn der Wirkungen der Knotenpunkte I und II auf ihn. Die Wirkung des Stabes Ox auf II ist also gleich und entgegengesetzt derjenigen, die er auf I ausübt. Bringt man diese umgekehrte Kraft 04 an II an, und ebenso an Stelle von D₁ und 0₂ die entsprechenden Stabkräfte D₄ und 0₂, so sind die umgekehrte Kraft Ojl, Dx und 0₂ mit P₂ im Gleichgewicht, d. h. das aus ihnen gebildete Kräftepolygon muß sich schließen. Dreht man also den Pfeil von A₈A₀ um und fügt in A₃ die Kraft P₂ nach Größe und Richtung an, so daß die Pfeile sich folgen, so bestimmen die Parallelen durch A₀ und A₄ zu DL und 0₂ die gesuchten Kräfte Dt und 0₂ nach Größe, Richtung und Sinn, wenn ihre Pfeile ebenfalls im Sinne АюА₃А₄АбА₀ genommen werden.

0₂ ergibt sich für Stab 0₂ als Druckkraft, Dt für Stab Dx ebenfalls als Druckkraft.

Analog ist für Knotenpunkt Ш Gleichgewicht, wenn außer P₃ an III die Stabkräfte U₂ und D₂, sowie Kräfte D₄ und и₄ angebracht werden, welche den bei den vorhergehenden Knotenpunkten gefundenen gleich und entgegengesetzt sind. Dreht man daher den Pfeil von U1 um, fügt in A₃ die Kraft P₃ und in deren Endpunkt A₆ die bereits gefundene umgekehrte Kraft an, so daß deren Pfeile sich folgen, legt durch L₂ und Ay Parallelen zu D₂ und U₂, so bilden diese die neuen Stabkräite D₂ und U₃ u. s. f.

Fährt man in dieser Weise fort, indem man aus dem Gleichgewicht jedes Knotenpunktes der Reihe nach je zwei unbekannte Kräfte findet, so erhält man eine Reihe von Kräftepolygonen, deren letztes häufig, da es weniger als zwei Unbekannte enthält, als Probe dienen kann. Dabei können die Polygone als verschränkte Polygone auftreten, wie z. B. in Fig. 10 b das Kontrollepolygon des Knotenpunktes VI.

Anmerkungl. Die einzelnen Kräftepolygone lassen sich auch getrennt voneinander konstruieren. Stehen sie im Zusammenhang wie in Fig. 10b, so bilden sie einen Kräfteplan.

gerichtete Stabkraft

gegen

im Stab.

Anmerkung 2. Eine auf einen Knotenpunkt wirkende Stabkraft ist gleich und entgegengesetzt derjenigen, welche der Stab vom Knotenpunkt (Bolzen) empfängt. Daher bedeutet bei dieser Methode eine im Kräfteplan den Knotenpunkt hin vom Knotenpunkt weg eine Druckkraft eine Zugkraft

In Fig. 10a und ff. sind die gedrückten Stäbe mit +, die gezogenen mit — bezeichnet und in Fig. 10 b u. ff. die Druckkräfte ausgezogen, die Zugkräfte gestrichelt.

Anmerkung 3. Die Methode läßt sich auch auf räumliche Fachwerke übertragen (vergl. Statik Bd. I, § 24, Beispiel 1, Auflösung 2).

Beispiel.

Konstruktion des Kräfteplanes für das in Fig. 11a dargestellte Faohwerk, das im Knotenpunkt IV

.....

§ 6. Graphische Berechnung ebener Fachwerke. 31

mit 600 kg vertikal belastet sei und in At und Аз frei aufliege.

Auflösung: Bestimme zuerst die vertikalen Auf-lagerdrücke — \V₂ aus

2T = 0: W₁+W₂ — 600 = 0, W₁=W₂ = 300kg,

wähle einen Kräftemaß stab und beginne mit dem Kräftepolygon A₀A₁A^ des Knotenpunktes I, indem man A₀A1 (Fig. 11b) im Kräftemaßstab = W4 macht, AoA^ HOi und A₁A₃||U₁ zieht.

Daraus bestimmen sich Oi und U₁.

Aus dem Knotenpunkt П bestimmen sich mit Hilfe des umgedrehten U₁ die zwei unbekannten Ki*äfte0₄(=0₁)und    J \

D.-o (a₁a₃=w₂    : D-

und A₃ A₂10₄). Aus dem folgenden Kno-    ¹

IF

wt

l°<

Fig. lia.

Stab

kraft D-o #unkl Y di mi 'ćhenprob*

tenpimkt III sind D und Os und aus IY O bestimmt. Für Knotenpunkt Y sind nun sämtliche Stabkräfte bestimmt, daher dient das Schließen des aus ihnen konstruierten

A XnoUnp ^ als Zeia

Fig. 11b.

Polygons als Zeichenprobe (A₀A₅ muß parallel 0₂ und gleich 0₂ oder 0₈ sich ergeben).

B) Schnittmethode (nach Ritter).

(Am Beispiel erläutert.)

Am Fachwerksträger Fig. 12 a (Kragdach) greifen in den äußersten Knotenpunkten des oberen Gurtes je

P

die vertikale Last —, an den zwischenliegenden Knoten-

u

punkten je die Last P an. Er sei in N an der vertikalen Wand horizontal so verankert, daß die Widerstandskraft der Mauer in N horizontal sei; im Knotenpunkt M sei der Träger gegen die Mauer abgestützt.

Führt man einen Schnitt I durch den Träger, der die Stäbe 0L und их durchschneidet, so bleibt der links

Fig. 12 a.

B-

LP

»,

, U₁ und

abgeschnittene Trägerteil im Gleichgewicht, wenn man an ihm in den Schnittstellen die entsprechenden Stabkräfte anbringt. Es sind P

4\\ Щ+\

и, Д ТТ, !■    \

also die Kräfte —

и

fl

Ą''

im Gleichgewicht und bilden daher ein Kräftedreieck. Ist Aq A₁ (Fig. 12 b) gleich, parallel imd gleichgerichtet der Kraft

so bestimmen dem-

u

Fig. 12 b.

nach die durch und Al zu bezw. gelegten Parallelen die Kräfte Ux und Ox nach Größe, Richtung und Sinn (Pfeile im Dreieck müssen sich folgen).

Ein weiterer Schnitt П treffe außer U₁ noch die Stäbe B₁ und 0₂, deren Kräfte noch unbekannt sind. Dann ist wieder nach Anbringen der Stabkräfte am links abgeschnittenen Trägerteil in den Schnittstellen

§ 6. Graphische Berechnung ebener Fachwerke. 33 P

dieser im Gleichgewicht, d. h. —, P, U1} D1? 0₂ sind

и

im Gleichgewicht. Daher muß wieder das aus ihnen gebildete Kräftepolygon sich schließen. Fügt man daher

P den

P

in A₄ die Kraft P an bis A₂, so bilden U₁, —

а

Zug    (Uj von gleichem Sinne wie vorher).

Die Parallelen durch A₂ zu 0₂ und durch В zu B₁ liefern die unbekannten Stabkräfte 0₂ und Dx (Pfeile folgen sich im Sinne BA^A^CB).

Ein weiterer Schnitt III treffe außer dem Stab 02 die zwei Stäbe mit den noch unbekannten Kräften D₂ und U₂. Die Kräfte 0₂, U₂ und D₂ sind, dann als am links abgeschnittenen Trägerteil wirkend wieder im Gleichgewicht mit den ebenfalls an diesem angreifenden

— und P. 0₂ ist von gleichem Sinne wie vorher. Die

P

Kräfte —, P und 0₂ bilden den Zug AqA^C, so daß

и

die Parallelen durch C zu D₂ und durch Aq zu U₂ die Kräfte D₂ und U₂ (=DA₀) bestimmen. Ein nächster Schnitt IV führt mittelst des Zuges DA₀A₁A₂A₃ in analoger Weise auf das Polygon DA₀ At A₂ A₃E und damit auf die unbekannten Kräfte D₃ und 0₃ u. s. f. Ein letzter Schnitt (VII) treffe 0₄ und D₆. Die entsprechenden

p

Stabkräfte 0₄ und D₆ sind im Gleichgewicht mit —,

и

P, P und P und dem ebenfalls am linksseitig abgeschnittenen Trägerteil in M angreifenden Auflagerdruck W.

Bestimmt man die Wirkungslinie von W in Bück-sicht darauf, daß W mit den übrigen der am Träger (als Ganzes) angreifenden Kräfte, nämlich den Lasten

Hauber, Statik II.

P

—, P, P und P und dem in N angreifenden Horizontal-2

zu g H im Gleichgewicht ist, dadurch daß man (yergl. Statik Bd. I, § 13) den Schnittpunkt S der Resultanten der P und der Wirkungslinie von H mit M verbindet, so findet man W und D₆ aus dem Gleichgewicht des Schnittes VII, indem man durch die Parallele zur gefundenen Wirkungslinie von W und durch den Endpunkt G von 04 die Parallele zu D₆ legt.

Die Stabkräfte sind nunmehr sämtlich bestimmt. Eine Zeichenprobe ergibt sich aus dem Gleichgewicht des Trägers als Ganzes: W, H und die Resultante R der P sind im Gleichgewicht und bilden demnach ein

an bis A₅,

P

Kräftedreieck. Fügt man daher in A₄ noch —

и

so daß АфА₅ =R ist, so muß demnach die Verbindungslinie von A₅ mit dem Endpunkt J von W die Kraft H darstellen, also horizontal sein.

Anmerkung 1. Ein Umkehren des Pfeiles einer gefimdenen Stabkraft beim Übergang von einem Schnitt zum nächstfolgenden ist bei dieser Methode nicht nötig.

A n m e г к u n g 2. Ist eine gefundene Stabkraft ihrem Sinne nach

IdemünksabgeschnittenenTrägerteil entgegen) . , , f (vom links abgeschnittenen Trägerteil wegj^ "    ’

{zug-k } Kraft (SPanmmS)-

so ist sie für den betr. Stab

Anmerkung 3. Die im Zusammenhang ausgeführte Konstruktion der Stabkräfte bildet einen Kräfteplan.

§ 7. Analytische Berechnung ebener Fachwerke. 35

§ 7. Analytische Berechnung ebener Fach werke nach der Schnittmethode (Momentenmethode nach Ritter).

Für jeden Schnitt ist unter Einfluß der am links abgeschnittenen Trägerteil angreifenden äußeren Kräfte P bezw. ЛУ und der Stabkräfte der durchschnittenen Stäbe dieser linksseitige Trägerteil im Gleichgewicht, daher ist nach Statik Bd. I, § 20 die algebraische Summe der statischen Momente der genannten Kräfte in Beziehung auf jeden beliebigen Punkt der Ebene gleich Null.

Man sucht nun die Schnitte so zu fuhren, daß sie möglichst nur drei Stäbe treffen. Um nun die Kraft in einem derselben zu bestimmen, wähle man den Schnittpunkt der beiden andern zum Momentenpunkt. Die Kräfte der beiden letzteren ergeben dann ein Moment je = 0 und die Momentengleichung enthält die gesuchte Kraft als einzige Unbekannte.

№\

Um z. B. 0₂ aus Schnitt П . (Fig. 13) zu bestimmen, nehme man C als Momentenpunkt und die Momentengleichung (für die im Gleichgewicht befind-P

liehen Kräfte —, P, 0₂, D1? U^:

и

Fig. ia

? • CA — P • CB + 0₂ • lj = 0 2

liefert, da der Arm lx bekannt (am einfachsten mittelst Maßstabes aus der Figur zu entnehmen) die gesuchte Kraft 0₂.

Zugleich erkennt man, daß die Gleichung nur befriedigt sein kann, wenn der Drehsinn des Momentes von 0₅ demjenigen der P entgegengesetzt ist. 0₂ wirkt

also vom abgeschnittenen Trägerteil weg, ist also Zugkraft (§ 6, Anmerkung 2).

Zur Bestimmung von U₂ z. B. aus Schnitt III liefert der Momentenpunkt E die nötige Gleichung (aus dem P

Gleichgewicht der Kräfte —, P, 0₂, D₂, U₂):

и

_|.EG —P-EF + Uj-EC=0.

Da die Arme EG, EF und EC bekannt sind, so ergibt sich hieraus U₂. U₂ ist Druckkraft (§ 6, Anmerkung 2), da ihr Moment demjenigen der P entgegengesetzt sein, sie selbst also gegen den abgeschnittenen Trägerteil hin gerichtet sein muß.

Zur Bestimmung von D₂ aus Schnitt III dient А als Momentenpunkt und liefert

p. AB-D₂ . AC = 0,

woraus D₂ als Zugkraft sich ergibt u. s. f.

Für praktische Fälle werden die Hebelarme mit hinreichender Genauigkeit aus der Figur mittelst Maßstabes entnommen.

Beispiel vergl. § 11.

§ 8. Balkenfachwerk (Trägerfachwerk). Einfluß der vertikalen Belastung eines Knotenpunktes auf irgend eine Stabkraft. Maximum derselben bei veränderlicher Belastung.

Ein Fachwerk heißt Balkenfachwerk, wenn es in zwei Knotenpunkten frei aufliegt.

Die Stäbe seien so angeordnet, daß ein Schnitt stets ein Glied des oberen Gurtes, ein Glied des unteren Gurtes und ein Füllglied schneidet.

a) Oberer Q-urt.

Der Schnitt 0₃D₄U₃ (Fig. 14) treffe die drei genannten Stäbe. Ein beliebiger Knotenpunkt rechts von diesem Schnitt trage die vertikale Last P, welche die nach oben gerichteten vertikalen Auflagerwiderstände W₁ und W₂ erzeugt (vergl. Statik Bd. I, § 47, Spez. F.). W₄, 0₃, D₄, U₃ sind im Gleichgewicht. Wählt man nach vorigem § den Knotenpunkt Y als Momentenpunkt, so kann, da WA ein positives Moment besitzt, die Momentengleichung nur durch ein negatives Moment von 0₃ befriedigt werden. 0₃ wirkt also dem abgeschnittenen Trägerteil entgegen, ist also Druckkraft.

,2T

JT,

Die Belastung eines Knotenpunktes links vom Schnitt mit der Kraft P liefert mit Wx eine Resultante R, die mit 0₃, D₄ und U₃ im Gleichgewicht ist. Aus dem Gleichgewicht des Trägers

als Ganzes folgt aber, daß \°7\i)\ \ W\n R mit W₂ im Gleichgewicht,    'j | у

also gleich und entgegengesetzt W₂ sein muß (R = —W₂). Die Momentengleichung um Y kann, da das Moment von R positiv ist, nur ein negatives Moment von 0₈ erzeugen, d. h. 08 ergibt sich wieder als Druckkraft.

Fig. 14.

b) Unterer Gurt

Dieselbe Betrachtung, je mit einer Last P rechts und links vom Schnitt für den Stab U₃ ausgeführt (Momentenpunkt YI) ergibt für jede der beiden Belastungsarten in U₃ einen Zug (Fig. 13).

Daher:

Bei einem wie oben angeordneten Fachwerks-träger (Balkenfachwerk) ruft jede vertikale Last

in jedem Stab des

Spannung hervor. Daraus folgt:

I. Das Maximum der

Joberen 1 \unterenj

Q-urtes

fDruck-1 \Zug- J

( Druck-)    ...

I Zug- }Spannung fur

irgend einen Stab des (

oberen unteren

Momentenpunkt'bei irgend einer Knotenpunktsbelastung stets innerhalb W₁ und W₂ liegt, tritt bei möglichster Vollbelastung des Trägers ein.

Anmerkung. Der Satz gilt auch für beliebige, nicht vertikale Belastung und nicht vertikale, jedoch nach oben gerichtete Auflagerdrücke.

Ghirtes, dessen

c) Füllglieder (Diagonalen, Vertikalständer).

1. Fall. Der Momentenpunkt für ein Füllglied (§7) liege innerhalb der Wirkungslinien von Wl und W2 (Fig. 15). Am rechtsseitigen Teil des durch den Schnitt

Fig. 15,

0₂D₂U₂ getrennten Trägers greife in einen beliebigen Knotenpunkt die Last P an, die wieder die beiden vertikal nach aufwärts gerichteten Auflagerdrücke Wj und W₂ erzeugt Der Momentenpunkt zur Bestimmung von D₂ ist nach § 7 der Punkt S. Wt liefert ein positives Moment, daher muß das Moment von D₂ negativ sein, also ist D₂ Zug.

Eine Belastung links vom Schnitt liefert mit Wt die Resultante R, die wie oben bei a) =—W₂ sein muß und also um S ein positives Moment liefert. D₂ liefert demnach wieder ein negatives Moment, ist also wieder Zug.

Daher:

П. Für ein Füllglied eines wie oben angeordneten Balkenfachwerks, dessen Momenten-punkt bei irgend einer Knotenpunktsbelastung stets innerhalb Wx und W₂ liegt, tritt das Maximum der Beanspruchung bei möglichster Vollbelastung des ganzen Trägers ein. Anmerkung wie bei L

.    2. Fall. Der Momentenpunkt S für ein Füllglied

liege außerhalb der Wirkungslinien von Wx und W₂

(Kg. 16).

J*

Fig. 16.

Eine vertikale Knotenpunktsbelastung P rechts vom Schnitt 0₂ D₂ U₂ ruft für S als Momentenpunkt ein negatives Moment von 'W₁ und somit ein positives Moment der Kraft D₂ hervor. D₂ ist also Zug.

Eine Belastung links vom Schnitt gibt wieder mit Wt die Resultante R = —W₂, die jedoch für S ein positives Moment liefert. Man erhält somit für D₂ ein

{Druck Ispannungbeimöglichster

negatives Moment. Es wird also für diesen Belastungsfall D₂ Druck.

Hätte D₂ die Lage der andern Diagonale des durch. 0₂ und U₂ bestimmten Trägerfeldes (in Fig. 16 punktiert), so hätten sich die gefundenen Resultate umgekehrt.

Daher:

TTT- Für ein Füllglied eines wie oben angeordneten Balkenfachwerks, dessen Momenten-punkt bei irgend einer Knotenpunktsbelastung stets außerhalb W₁ und W₂ liegt, tritt das

Maximum der

Vollbelastung desjenigen Trägerteiles ein, in

Knotenpunkt des Fü 11-

j untere) } obere J

welchem der

glieds liegt.

Anmerkung wie bei I.

§ 9. Statische Berechnung der Dachträger.

I. Belastung der Träger.

Die Belastung eines Dachträgers besteht aus einer unveränderlich und stetig, außerdem aus einer zufällig wirkenden. Die erstere (Eigengewicht) setzt sich aus dem (Eisen-)Ge wicht des Trägers und dem Gewichte der getragenen Konstruktion (Dachdeckung) zusammen; die zufällig wirkende ist das Glewicht einer auf der ganzen Dachfläche ruhenden Schneelast und der normal zur Dachfläche in den Knotenpunkten des oberen Gurtes angreifende einseitige Winddruck. Die zufällige Belastung heißt auch mobile Belastung.

Als Mittelwerte des gesamten Eigengewichtes (Eiserner Träger + Deckung) können gelten:

Wellblech

Mobile Belastung:

1.    Schneelast für unsere Breiten im Maximum 70 kg/qm Horizontalprojektion (Drundriffläche).

2.    Winddruck:

Fig. 17.

Die Windgeschwindigkeit y Meter pro Sekunde bilde mit der Dachfläche (Fig. 17) den Winkel a. Zur Wirkung gelangt nur deren Normal komponentę у • sina als Druck auf die Dachfläche. Nach der Erfahrung ist nun der Druck des Windes auf ^. eine zur Windrichtung senkrechte <K-L~

Fläche F (qm) proportional dieser und dem Quadrat der Geschwindigkeit; demnach kommt auf F qm Dachfläche der Winddruck

N = Я • F • (v sina)² (Proportionalitätsfaktor Я = ca. i)

= Я • F • sin²a • у² .

Nun bedeutet aber Я • 1 • у² nach Obigem den Winddruck auf die zur Geschwindigkeit v senkrechte Fläche von 1 qm. Bezeichnet man diesen Einheitsdruck mit w, so folgt

N = w • F • sin²a.

Deckung

kg/lqm

geneigter Dachfläche

Holzzement

Doppeltes oder Kronenziegeldach Einfaches Ziegeldach Schiefer samt Schalung Dias in Winkeleisen

220

120—150

105—120

85—95

Ein Maximalwert für w ist für unsere Gegenden nach der Erfahrung bei stärkstem Sturme 250 kg; ein

Mittelwert 200 kg. Mit diesem Wert ergibt sich der Winddruck n auf 1 qm (F = 1) geneigter Druckfläche (normal zu dieser)

n = 200 • sin²a kg.

Die Windrichtung kann um ca. 10° gegen den Horizont geneigt angenommen werden, so daß bei der Horizontalneigung <p der Dachfläche

a = 9?° + 10°,

also

n = 200 • sin 2(99° + 10°) kg.

(Winddruck auf 1 qm Dachfläche normal zu dieser gerichtet.)

П. Gang der statischen Berechnung.

Ihr Zweck ist die Ermittlung der in jedem Stab auftretenden Maximalkräfte hinsichtlich Druckes und Zuges. Da die Beanspruchung jedes Stabes eine aus derjenigen des Eigengewichts und der mobilen Belastung zusammengesetzte sein kann, so ist es bei genauen Rechnungen nötig, die erstere (unveränderliche), sowie die größten Werte der letzteren zu kennen. Sämtliche Belastungen sind hierbei an den Knotenpunkten des oberen Gurtes angreifend zu nehmen. Dabei erkennt man, daß die Schneelast, die ebenfalls über den ganzen Träger sich verteilt wie das Eigengewicht, die einzelnen Stäbe in gleicher Weise beansprucht wie letzteres, daher zerfällt die Berechnung der Maximalstabkräfte in drei Teile :

A)    Berechnung für Eigengewicht + Schneelast

B)    Berechnung für einseitigen Winddruck.

C)    Kombination der hieraus ermittelten Werte zur tatsächlichen, im ungünstigsten Fall eintretenden Maximal-kraft für jeden Stab, sowohl hinsichtlich Druckes als Zuges.

A) Berechnung bei Vollbelastung durch Eigengewicht + Schneelast.

/q kg pro qm geneigter Dachfläche\

\p kg pro qm Grundrißfläche /

Man bestimme zuerst die Belastung pro Knotenpunkt. Ist b met. (Binderweite) die horizontale Entfernung zweier Träger bezw. die horizontale senkrecht zur Trägerebene gemessene Breite des vom Träger zu tragenden Dachfeldes, smet. die schiefe Länge der Dachfläche (Sparrenlänge) und q die Belastung pro qm geneigter Dachfläche, so kommt auf einen Träger die Last 2 (b • s • q) kg. Bei gleicher Entfernung der oberen Knotenpunkte verteilt sich diese Last auf diese in der

(I)

der

Weise, daß die Auflagerpunkte nur die Hälfte

p 2(b.s-q)

auf einen der zwischenliegenden Knotenpunkte fallenden Last (P) zu tragen haben, so daß also z. B. bei m Feldern des ganzen oberen Gurtes die Belastung pro Knotenpunkt

kg

P

sich ergibt und demnach auch — bestimmt ist.

Ł

In manchen Fällen ist die Belastung p pro qm Grundrißfläche (Horizontalprojektion) gegeben. Ist 1 die horizontale Entfernung der Auflagerpunkte (Stützweite), so bestimmt sich analog

feg

p b • 1 • p

m P

und damit auch —. Ein Mittelwert für p bei Deckungen

и

in Glas und Metall ist 120 kg/qm.

Man bestimme nach Anbringung sämtlicher P aus dem Träger als Ganzes die beiden Auflagerdrücke Wx

IF

lind W₂. Für symmetrische Träger ist Wx = W₂ = ——.

и

Man konstruiere für die angebrachte Belastung nach § 6 A oder В einen Kräfteplan (I) (bei symmetrischen Trägern genügt die Konstruktion desselben für die Hälfte des Trägers) oder verfahre analytisch nach § 7.

B) Berechnung für einseitigen Winddruck.

(Fig. 18 a und h 19 a und b.)

Um die Auflagerdrücke statisch bestimmbar zu machen, treffen wir die Annahme, daß eines der Auflager z. B. Al nur einen vertikalen Druck Wt ausüben (Bollenlager), das andere dagegen außer der Ausübung eines vertikalen Drucks einer seitlichen Verschiebung des Trägers horizontalen Reibungswiderstand entgegensetzen könne (Gleitlager). Durch diese Annahme sind wir genötigt, zwei Windrichtungen in Rechnung zu nehmen: von links nach rechts und umgekehrt.

Es sei n=r 200 • sin² (99+ 10) bestimmt (I, 2) und der gesamte Winddruck auf die geneigte Fläche auf die einzelnen Knotenpunkte gleichmäßig verteilt (am Auflager und Scheitel je die Hälfte), so kommt auf einen derselben, normal zur Dachfläche gerichtet, der Winddruck

2(bsn)₁

——- kg

m

ЛТ b • s • n

N = —— kg

m

m Zahl der Felder des ganzen oberen Gurtes' b Binderweite in m s Sparrenlänge in m

n Winddruck pro qm geneigter Dachfläche ,

und damit ist auch für Scheitel und Auflager — bestimmt.

TfTj Ж

fl

Fig. 18 a.

Fig. 18 b.

Fig. 19 a. f Ж

'w j

i fA

Für beide Fälle ergibt sich (Fig. 18 a u. Fig. 19 a), da die Resultante R aller N mit Wi und W₂ im Gleichgewicht sein muß, also die Wirkungslinien der drei Kräfte in einem Punkt sich schneiden müssen, die Wirkungslinie von W₂ durch Verbindung von A₂ mit dem Schnittpunkt T der Resultanten R des Winddruckes und der vertikalen Wirkungslinie von Wx, wodurch Wt und W₂ sich mittelst Kräftedreiecks über R nach deren Richtungen ergeben ' (Fig. 18b, Fig. 19b).

Da der Winddruck gleichmäßig über die Dachfläche sich verteilt, greift seine Resultante R in deren Mittelpunkt an.

ф

(N Fig. 19 b.

Man konstruiere nun sowohl für den linksseitigen, als rechtsseitigen Winddruck je einen Kräfteplan (П u. III).

Die Kräftepläne sind jedoch nicht für den halben, sondern den ganzen Träger auszuführen.

П. Ebene Fachwerke,

46

C) Ermittlung der Maximalkräfte für jeden Stab.

Die durch die erste der beiden Belastungen (Eigengewicht + Schneedruck) hervorgerufene Beanspruchung irgend eines Stabes kann durch diejenige infolge einseitigen Winddruckes vermehrt oder vermindert werden, je nachdem die letztere der ersteren gleichartig oder entgegengesetzt ist. Im zweiten Fall kann sogar die letztere die erstere überwiegen, so daß der betreffende Stab für beide Arten der Beanspruchung (diejenige durch Eigengewicht -f Schneelast allein und die entgegengesetzte, aus der Kombination mit derjenigen infolge einseitigen Winddruckes hervorgegangene) genügende Sicherheit bieten muß. Sind die durch beide Belastungsarten hervorgerufenen Beanspruchungen gleichartig, so ist die im Stab herrschende Maximal kraft, für welche er genügende Sicherheit zu bieten hat, die Summe beider bezw. die größere der beiden Summen, welche in Berücksichtigung der beiden Fälle des Wind-druckes in dieser Hinsicht zu bilden möglich sind.

Im übrigen ist die Ermittlung dieser Maximalkraft für jeden Stab und jeden Fall Aufgabe einfacher Überlegung, die den Zweck hat, die größtmögliche Inanspruchnahme durch Kombination der ungünstigsten Fälle als Grundlage für die Dimensionsberechnung der Stabquerschnitte zu erhalten.

Besondere Fälle.

I. Dachträger von flacherHorizontalneigung des oberen geraden Gurtes, für welche bei allen drei Belastungsarten (also auch bei einseitigem Winddruck, vergl. Fig. 18a und 19a) und bei Belastung irgend eines Knotenpunktes die Wirkungslinie von W₂ stets ganz außerhalb des Trägers verläuft

Die Momenten punkte für die Stäbe des oberen und

unteren Gurtes sind die Knotenpunkte, liegen also in diesem Fall sämtlich imd zwar für alle drei Belastungsarten stets innerhalb der Wirkungslinien von Wx und W₂. Das Maximum der Beanspruchung der Gurtungsstäbe tritt also nach § 8, I, bei möglichster Vollbelastung ein, d. h. die durch die drei Belastungsarten erzeugten Kräfte sind für jeden Stab des oberen oder unteren Gurtes je gleichartig. Sind daher O', O", O'" bezw. U', U", U"' die Werte einer und derselben Stabkraft in den drei

Kräfteplänen I, П und Ш, so ist die größere der Summen

die Maximalkraft im betr. Stab

i oberen 1 \ unteren j

O' + 0" und O' + O'" 1 U' + U" und U' + U'"J

des

Gurtes.

Ist für den angenommenen Fall der untere Gurt eine nach unten konkave, gebrocheneLinie, deren Glieder gegen die Mitte hin immer flacher werden wie z. B. in Fig. 20, so liegen die Momentenpunkte auch

£ (    Fig. 20.    А

l;

für die Kräfte der Füllglieder für alle drei Belastungsarten stets innerhalb der Wirkungslinien von Wj und W₂. Nach § 8, П, tritt für diesen Fall das Maximum der Stabkraft des Füllgliedes ebenfalls bei möglichster Vollbelastung ein, d. h. die durch die drei Belastungsarten hervorgerufenen Kräfte irgend eines Füllgliedes sind gleichartig. Bezeiclmen D', D", D"' die Werte dieser Stabkraft in den drei Kräfteplänen. I, II und Ш, so ist wieder die größere der Summen D' + D" und D' + D'"    ⁸

die Maximalkraft in jenem Füllglied (vergl. unten II).

П. Dachträger, für welche beide Gurten gerade Linien bilden wie z. B. Fig. 18a. Für alle drei Belastungsarten und für jede Lage der Wirkungslinien von Wt und W₂ ergibt sich die Vereinfachung, daß die Momentenpunkte für die Füllglieder mit den Auflagerpunkten Ax und A₂ zusammenfallen.

Bei linksseitigem Winddruck (Fig. 18a) ergibt sich dann für ein Füllglied der rechtseitigen Träger hälfte: Die Resultante der am links abgeschnittenen Trägerteil angreifenden Kräfte ist gleich —W2 (folgt aus dem Gleichgewicht des ganzen Trägers). Daher Moment dieser Resultante um den dem betreffenden

Füllglied zugehörigen Momentenpunkt A2 = 0, also auch Moment von D = 0, daher D = 0.

Bei rechtsseitigem Winddruck (Fig. 19a) ergibt sich für ein Füllglied der linksseitigen Trägerhälfte: Am links abgeschnittenen Trägerteil greift nur Wx an; das Moment von W₁ um den dem betreffenden Füllglied zugehörigen Momentenpunkt = 0, somit Moment von D — 0, daher D = 0.

Anmerkung. Für Dächer mit flachem oberen Gurt genügt daher oft für sämtliche Stäbe die Konstruktion eines einzigen Kräfteplanes mit vertikaler Vollbelastung sämtlicher Knotenpunkte, in welcher die gleichzeitige Wirkung von Eigengewicht, Schneelast und Winddruck zum Ausdruck kommt. Mittelwerte der Belastung hierfür sind (Normen der Berliner Baupolizei):

kg/qm Grundrißfläche flach steil 125—150 200-240 250-300

Deckung

350

Metall oder Glas Schiefer Ziegel Holzzement

Beispiel.

§ 10. Belgischer Dachstuhl (Fig. 21 a). Spannweite 1=12 m.

Entfernung zweier Träger b = 4 m.

Oberer Gurt 2 :3 ; s = 7,2 m (Sparrenlänge) ; 99 = 33®. Unterer Gurt 1: 3.

Belastung: A) Eigengewicht + Schneedruck 125 kg/qm Grundrißfläche.

B) Winddruck pro qm Dachfläche (normal) n= 200 . sin²(33°+ 10°)= 100 kg.

für А) P

für B) N —

Belastung pro Knotenpunkt des oberen Gurtes: 12.4-125

1000 kg, an den Auflagen! 1 = 600 kg.

7,2.4.100

960 kg (einseitigerWinddiuck),

am Auflager und Scheitel je — = 480 kg.

и

6-P

₂ - 3000 kg.

A) Berechnung für Eigengewicht + Schneelast. Auflagerwiderstände Wx = W₂

Der Kräfteplan I (Fig. 21b) ist nach Cremona aufgezeichnet (§ 6, A).

P, Oi, Di, O2

V. U2, D3, Ib^Dt Db muß = D4, O4 — O3 sich ergeben. VI. P, O3, D4, Ds, Ö4

Kräftepolygone der einzelnen Knotenpunkte: Die aus jedem Polygon sich ergebenden gesuchten Kräfte sind durch П. die Wellenlinie bezeichnet. Dasjenige Ш. Ui, Di, U2, D2 für VI läßt sich zur Zeichenprobe be- IV. P, O2, D2, Ds, Ch nützen:

Fig. 21a.

Ф?*'

spy

AsSdJi

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sJ?*iOOOty

S'

-A

Vb

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W-xov

Cm.

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Cm------

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cM»

TTrâfteplaJl Г(nach. Cremona) füi- EigengcwUJit + SduuelasŁ I* = iOOO kg.

f(#/;SS*Лг

- *

O.

fOOO 9

iliilt------1---1-

6000

Mais 6 Uub der Uralte

=L

Waockę

Fig. 21 b.

В) Berechnung für Winddruck, a) Linksseitiger Winddruck.

Auflagerwiderstände WA undW₂ sind für die Voraussetzung linksseitigen Kollenlagers und rechtsseitigen Gleitlagers nach § 9, П, В bestimmt (Fig. 22a und b).

Kräfteplan П (Fig. 22 c) für linksseitigen Winddruck ist nach der Ritterschen Schnittmethode konstruiert (§ 6, B).

Kräftepolygone der Fig. 22 c:

1. Für Schnitt I:

Ao Ai Bi C

(а.A, =W, ; A, Bl = |; 0,, ü.).

2. Für Schnitt II: CA.A,BiB,d(a₁Bj = | + N;

3.    Für Schnitt Ш:

A.A.B,B₈De(a,B!I = | + 1I; K/fö).

4.    Für Schnitt IV:

bO|!zi

EAoAiBiB2B3F (AiB,= +N + N; KpCh).

6. Für Schnitt V:

A0A1B1B2B3FG ^AiBe4“*4“N; D4, U«j.

6. Für Schnitt VI:

Di,

GA.A.B, B*B₃B4h(a,B4=| + N + N + |;

-j

\1*S

\m

Hl

тч\ i

ж тгж

Л.с

W‘

Fig. 22 а.

:â>

Fig. 22 b.

Fig. 22 c.

XnSfteplazflir{tuuhJłiffrr)

/Sr linksseitigen Tfbiddru&b Hr-SSO kg.

Ц-°\ юуг.es

J)₇*0 V besondere ТаЛсЛ

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Z/fZ£ (Druck)

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A\ Цуф

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JD

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ТУ.....Г

МяЛииЫ tUrJ&dJÙL

63

7.    Für Schnitt VU :

Nach § 9, Besondere Fälle, IL, ist De = 0; somit muß die Parallele durch Ao zu XL durch den Endpunkt H yon O4 gehen (Zeichenprobe), also Polygon

A0A1 Bi B2 Вз B4H (Ai Bł = -JN; ÏÏi).

8.    Für'Schnitt VITE:

Nach § 9, Besondere Fälle, П., ist D₇ = 0, daher Kräfte

polygon    __

H Ao Ai Bi B2 Вз B4 (identisch mit dem vorigen, also Oe = Oi)*

9.    Für Schnitt IX:

Analog De=0; somit Kräftepolygon

Ao Ai Bi B2B3B4H (identisch mit dem vorigen; also ТТГ = TL)*

10.    Für Schnitt X:

H Ao Ai Bi B2 Вз B4 (identisch mit dem vorigen ; Oe = Об — O4) •

b) Rechtsseitiger Winddruck.

Auflagerwiderstände WL und W₂ sind für die Voraussetzung linksseitigen Rollenlagers und rechtsseitigen Gleitlagers nach § 9, EL, В bestimmt (Fig. 23a und b).

Kräfteplan III (Fig. 23 c) für rechtsseitigen Winddruck ist nach der Ritterschen Schnittmethode konstruiert

(§ 6, B).

Kräftepolygone der Fig. 23 c:

1.    Für Schnitt I:

Ao Ai В (AoAi — Wi; Oi und Ui)*

2,    Für Schnitt II :

BA0A1 (identisch mit dem vorigen;

Di =0, Ö2 — Oi, vergl. § 9, Besondere Fälle, IL).

(!

Ч'°1

4.

-У

'А

Jarir г¹¹

Fig. 23 а.

jF

fi

А/

У 7?=9бо7сд

Ж/Д

йг

Fig. 23 b

'JT

Ov

i»

J&àft/pUm HTfnadl Ritte^-furrec/Usciägcn Wbiddruck jV=9C0Jiq

Ц'01

Д= о } ver$l §*

* л Bes.Fälle 1Г

pj°o)

somit O^O/Oj (Bruck)

Цт &2 (Zug)

öyp"i •*&

Fig. 23 c.

Kräüemxt/sstab

SCôO>ÿ

3. Für Schnitt Ш:

AoAiB (identisch mit dem vorigen; Ü2 = 0; ü7==Ui)*

4. Für Schnitt IV:

BAoAi (identisch mit dem vorigen; Ьз=0; Оз^Оз)*

6. Für Schnitt V :

Ao Ai В 0 (Ao Ai = Wi ; D4, Us)*

6.    Für Schnitt VI:

CA0A1B1F |AiBi= ; De, 04^.

7.    Für Schnitt VII:

U«).

; De,

' AoAiB.FG (äiB,=

8.    Für Schnitt УШ:

GA0A1B1B2I (a,B₂ = | + N; KTcR).

9.    Für Schnitt IX :

А.А.В.ВЛК (AiB, = | + N; D^m).

10.    Für Schnitt X:

N

Das aus —, N, N, Wi, Ue, Oe gebildete Kräftepolygon

N

muß sich schließen. Daher muß, wenn A1B3 =    + N + N,

die Verbindungslinie der Punkte К und Вз parallel Oe sein (Zeichenprobe) und Oe vorstellen. Also Kräftepolygon:

K Ao Ai В. B2 B.i (a,B₃ = | + N + K; Oe).

C) Kombination

der aus den Kräfteplänen I, II und III erhaltenen Resultate zur Maxinialkraft.

+ bedeutet Druckspannung, — Zugspannung, die Zahlen bedeuten kg.

Stab

Eigengewicht -f Schneelast

linksseit.

Winddruck

rechtsseit.

Winddruck

II

III

Maximal

kraft

Ol

+ 7800

+ 8550

+ 2850

+ 11 350

O2

+ 7200

+ 3550

+ 2850

+ 10 750

O3

+ 5400

+ 1950

+ 2850

-f- 8 250

O4

+ 5400

+ 1250

+ 3800

+ 9 200

Ob

+ 7200

+ 1250

+ 4800

+ 12 000

Oe

+ 7800

+ 1250

+ 4800

+ 12 600

Ui

— 6750

— 2850

— 2450

9 600

Ü2

— 5400

- 1150

— 2450

7 850

Ü3

— 3300

+ 500

-*2000

5 300

Ü4

— 5400

+ 600

— 4000

9 400

Ü6

— 6750

+ 600

— 5500

- 12 250

Di

+ 750

+ 1000

+ 1750

D₂

— 1500

- 1700

— 3200

D₃

+ 1200

-f 1500    0

+ 2700

+ 950

+ 750

D₈

+ 1700

Stab

Eigengewicht + Schneelast

linksseit.

Winddruck

rechtsseit.

Winddruck

II

III

Maximal-kraft

D₄

- 2700

- 1750

800

— 4450

D₅

— 2700

+ 200

— 2550

— 5250

D₆

+ 1200

+ 1450

+ 2650

D₇

— 1500

- 1600

— 8100

Vorstehende Resultate sind erhalten worden unter Annal une eines Rollenlagers am linken Auflager imd eines Gleitlagers am rechten Auflager. Trifft man die umgekehrte Anordnung, so würden sich die oben gefundenen Maximalwerte entsprechend vertauschen. Da nun für die meisten Fälle der Praxis der Träger auch hinsichtlich der Stabquerschnitte symmetrisch angeordnet wird, so ist für die Sicherheit der Konstruktion der größte der beiden auf diese Weise auf zwei symmetrisch gelegene Stäbe entfallenden Maximalkraftwerte für diese maßgebend. Daher sind zur Berechnung der Stabquerschnitte die in Fig. 24 eingeschriebenen Zahl werte zugrunde zu legen.

,{

■w\

-53M

§ 11. Statische Berechnung der Brückenträger.

Die Aufgabe ist wieder die Ermittlung der größten in den Stäben wirkenden Kräfte.

Die Belastung ist wieder eine unveränderlich und stetig wirkende, zu welcher noch eine zufällig wirkende hinzutreten kann. Die erstere besteht aus dem Eigengewicht, d. h. dem Eisengewicht + Gewicht der getragenen Konstruktion, als welche bei Straßenbrücken das Gewicht der Chaussierung zu betrachten ist; die letztere ist die Yerkehrslast (mobile Last).

Die Methode möge an folgendem analytisch durchgeführten Beispiel ersehen werden.

Straßenbrücke (Fig. 25a).

Stützweite 1 = 16 m, Höhe des Trägers h — 2 m. Felderbreite e = 2 m, Entfernung beider Träger

b = 4m.

Fahrbahn unten; Angriffspunkte sämtlicher Kräfte die Knotenpunkte des unteren G-urtes.

Unveränderliche Belastung:

Eisengewicht pro qm Brückenfläche empirisch für Straßenbrücken bis 35 m Stützweite: 6,31+ 100 = 200 kg.

Gewicht der Chaussierimg (20 cm hoch, spez. Gew. = 2,25) pro qm Brückenfläche 1 • 1 • 0,2 • 2250 = 450 kg. Yerkehrslast (Menschengedränge)

pro qm Brückenfläche 400 kg.

Gesucht die in den Stäben 0₃, V₄, D₄, U₆ wirkenden größten Beanspruchungen (Fig. 25 a, b, c, d).

§11. Statische Berechnung der Brückenträger. 59

Auflösung.

Die Belastung verteilt sich gleichförmig auf die Knotenpunkte des unteren Gurtes (in den Auflagerpunkten je die Hälfte). Daher:

Unveränderliche Belastung pro Knotenpunkt

P-

2600 kg

b • e (200 + 450)

O'

/    P

(in den Auflagerpunkten — =

b • e • 400

Verkehrslast pro Knotenpunkt Q =

и

1600 kg

^in den Auflagerpunkten ~ = 800 kgj.

O.

\ \i

1- /6,0171

-2 Om

éf* *

-mohj

P+<i

- k200 leg

= 4200ty

Fig. 25 a.

A) Oberer Gurt (0™ax).

Nach § 8, I tritt die größte Beanspruchung eines Gliedes des oberen Gurtes (Druck) bei möglichster Vollbelastung ein. In sämtlichen inneren Knotenpunkten sind also die Lasten

p 4- о

P + Q = 4200, in den Auflagerpunkten —^ = 2100 kg

8(P+Q)

anzubringen (Fig. 25 a).

Auflagerwiderstände Wi^W?

16800 kg.

Schnitt MN: Оз, D3, Us im Gleichgewicht mit Wi nnd den drei linksseitigen Belastungen (Gleichgewicht des links abgeschnittenen Trägerteiles).

Momentenpunkt (nach Ritter): Knotenpunkt IV: Momentengleichung :

Wi • 3e

^i-S-3e-(P+Q)2e-(P+Q)e-O“ai'h=0,

0“ax • h = (P + Q)e,

0™ax = 7,5 • 4200 = 31500 kg (Druck).

B) Unterer Gurt (ü“ax).

Nach § 8, I tritt die größte Beanspruchung eines Gliedes des unteren Gurtes (Zug) ebenfalls bei möglichster Vollbelastung ein. Belastung demnach wie oben (Fig. 25 a).

Auflagerwiderstände wie oben.

Schnitt M'N': Об, Dô, Uö im Gleichgewicht mit Wi und den fünf Belastungen des linksseitigen Trägerteiles.

Momentenpunkt (nach Ritter) : Knotenpunkt V ;

Momentengleichung :

Wt •4e -

= 0,

£±Q.4e-(P+Q)8e - (P+ Q)2e - (P+Q)e - U““- h U““ - h = 8(P+ Q)e, иГх= 83600 kg (Zug).

Zug).

Zur Bestimmung von, D4 dient der Schnitt M" N" (Fig. 25 b). Momentenpunkt liegt im Schnitt von O4 und U4, also außerhalb W' und W". Nach § 8, Ш tritt daher die Maximalbeanspruchung von D4 durch die Verkehrslast bei einseitiger möglichster Vollbelastung des Trägers ein.

C) Diagonalen (DJ

max Druck

тлтах i

§ 11. Statische Berechnung der Brückenträger.

61

Die Verkehrslast erzeugt in D4 (vergl. § 8, Ш):

D™ax Druck bei linksseitiger Vollbelastung mit Q

bei rechtsseitiger Vollbelastung mit Q.

j^max Zug

Außerdem erzeugt das Eigengewicht eine stets in gleicher Größe wirkende Stabkraft D4. Von den genannten drei Kräften kann die letztgenannte einzeln tätig sein oder in Kombination mit einer der ersten wirken, daher ist die Kenntnis der drei auf diese Weise entstehenden Kräfte D4 einzeln nötig.

a) Beanspruchung von D4 bei durchgehender Belastung mit P (Eigengewicht) == 2600 kg.

SchnittM"N" (Fig.25b): W, =W₂=^=10400kg;

o

O4, D4, Ü4 im Gleichgewicht mit Wi und den P des linksseitigen Trägerteiles.

W- юш

и' *

к xmN\N\

£=4090

P-2600

Р“2Ш

£-4309

Fig. 25 b.

.TY = 0:

—Wi + ^-+ ЗР + D4 • sina = О,

2’

D4 Sina =

*)

1300

sin 45

= rd • I860 kg (Zug).

b) Beanspruchung von D4 (Druck) bei linksseitiger Vollbelastung mit Q (Verkehrslast).

Schnitt M"N" (Fig. 25 c): Momentengleichung um das rechtsseitige Auflager zur Bestimmung des linksseitigen Auflagerdruckes Wi*. Wi-8e— ~8e— Qe(5 + 6 + 7) == 0. Daher:

Wi *8 — 22Q = 0 Wi = ^=

4400 kg.

O4, Ü4, Ü4 im Gleichgewicht mit Wi und den Q des linksseitigen Trägerteiles, daher analog wie oben:

M*

\N\TO\

f Q-ißOO Q

•800

2Y = 0:

Fig. 25 c.

— W1 -f- 2” ~j~ 3Q — D4 sina — 0, __ 3Q

D4 • sina

**) D4 =

1200

sin 45

= rd • 1715 kg (Druck).

c) Beanspruchung yon D4 (Zug) bei rechtsseitiger Vollbelastung mit Q (Verkehrslast).

Schnitt M"N" (Fig. 25d): Momentengleichung um das rechtsseitige Auflager zur Bestimmung des linksseitigen Auflagerdruckes Wi': Wi'* 8e — Qe(l + 2 + 3 + 4) = 0.

§11. Statische Berechnung der Brückenträger. Daher:

Wi'=^^=2000kg;

O4, D4, Ü4 im Gleichgewicht mit W", daher analog wie oben:

2Y = Q:

— Wi'+ D4 sina = 0,

D4 sina =

***) D₄

2000

sin 45

= rd • 2860 kg (Zug).

АТ ЛГ

ßV o.\

J\KNR\\K\

Q*i6O0

Fig. 25 d.

Durch Kombination der Resultate *) und **) ergibt sich ein Zug von 145 kg, durch Kombination derjenigen von *) und ***) ein Zug von 4720 kg. D4 ist also, da auch das Eigengewicht allein nur Zug in ihr erzeugt, nur Zugdiagonale mit dem Maximabug D“ÄX Zug= 4720 kg

= 0).

^Qmax Druck

max Druck

ym&x Zug^

D) Vertikalständer (V

Zur Bestimmung von V4 dient Schnitt M,/,Ny,/ (Fig. 25 b). Der zugehörige Momentenpunkt liegt im Schnitt von O3 und Ü4, also außerhalb Wi und Wa. Nach § 8, Ш tritt daher die Maximalbeanspruchung von V4 durch die Verkehrslast bei ein-

шах Zug

64

II. Ebene Fachwerke, seitiger möglichst voller Belastung ein. Da nun diese Be-

ymax Zug —max Druck

lastung nach § 8, III für

dieselbe ist wie füi

max Druck

so ergibt sich:

a) Beanspruchung von V4 bei durchgehender Belastung mit P (Eigengewicht).

Schnitt    (Fig. 25b): Wi — 4P = 10400 kg;

Оз, Vi, U4 sind im Gleichgewicht mit Wi und den P des linksseitigen Trägerteiles. Daher :

2Y = Q:

-W,+! + 8P+V4 = 0,

*)    V<=    = 1300kg (Druck).

b) Beanspruchung von V4 (Zug) bei linksseitiger Vollbelastung mit Q (Verkehrslast).

Schnitt    (Fig. 25c): W) =--^ = 4400 kg

(siehe C, b); Оз, V4, Ü4 sind im Gleichgewicht mit W'i und den Q des linksseitigen Trägerteiles. Daher:

2Y = 0:

—W'i+^ + 3Q—V. =0,

**) Y< = jQ = 1200 kg (Zug).

c) Beanspruchung von V4 (Druck) durch rechtsseitige Vollbelastung mit Q (Verkehrslast).

Schnitt M"'N'" (Fig. 25d): Wi'=^ = 2000 kg

(siehe C, c); O», V4, U4 im Gleichgewicht mit W'/. Daher:

IY = 0:

-w'{ + V₄ = 0,

***) y₄ = 2000 kg (Druck).

Die Kombination der Resultate *) und.**) liefert einen Druck von 100 kg, diejenige von *) und **) einen Druck von 3300 kg; das Eigengewicht allein erzeugt einen Druck von 1300 kg.

V4 wird also nur auf Druck beansprucht mit dem Maximalwert

max Druck

= 3800 kg (V”a* Zug = O).

Ш. Kapitel.

Spreng- und Hängwerke.

fSprengwerk,! \Hängwerk, J

Eine an sich nicht starre Verbindung starrer vertikal belasteter Stäbe, die bei Gleichgewicht außer den vertikalen Widerstandskräften V der Auflager an jedem derselben noch eine horizontale Auflagerreaktion H er-

fordert, heißt

wenn die Kräfte H

gerichtet sind.

einander entgegen voneinander weg

A) Sprengwerke,

§ 12. Einfache Sprengwerke.

1. Einfaches unsymmetrisches Sprengwerk (Fig. 26) mit Belastung im Scheitel.

Berechnung der an den beiden Stäben tätigen Kräfte.

Man ersetze die Auflager durch ihre Widerstände V₁ und Ht bezw. V₂ und H^, so folgt aus dem Gleichgewicht des Ganzen:

Hauber Statik II

^-Momente um Ax:

3)

P • a— V₂ (a + b) + H₂ • e == 0.

4-

vtÙ

Fig. 26.

Aus dem Gleichgewicht des in G freigemachten, in 0 mit P belasteten (yergl. § 1, III u. Yla) und an Stelle der Wirkung des Stabes II mit den Kräften H und V versehenen Stabes I folgt:

^-Momente um C = 0 :

4)

ZX^O:

1)

ZY = 0:

ą—н₂=о

2)

— Vi — V₂-fP = 0

Va—ą.h = 0.

Aus den Gleichungen 1) —4) sind die vier Unbekannten Hl7 H₂, Yl und Y₂ bestimmt. Da beide Stäbe nur von Kräften in den Endpunkten angegriffen werden, so erleiden sie Druckspannung (vergl. § 1, II). Für Stab AXC ist diese S₁ = ]/Hî + Yî, für Stab A₂C S₂ = УЩ + Y*.

Spezieller Fall: Einfaches symmetrisches Sprengwerk mit Auflagern in gleicher Höhe.

Aus 2):

e = o,

Yja Pa “łT^ŚTh

Aus 4):

Hj = II,

II. Symmetrisches und symmetrisch belastetes Sprengwerk mit Spannriegel.

Das Gleichgewicht des aus den Stäben I, II, Ш bestehenden Sprengwerks (Fig. 27) als Ganzes liefert:

TI

ftj ft

’TS

Up

Fig. 27.

-2X = 0:

1)

X’Y = 0:

Ht—H₂ == 0; ą = ą

2)

2Y — 2P = 0; Y = P.

Freimachung des Stabes I: In C ist statt П eine in der Richtung von П angreifende Kraft H anzubringen. P sei ebenfalls Stab I zugeteilt. Dann folgt aus dem Gleichgewicht dieses Stabes Momenten-Gleichung um C:

3)

Va~-ą .h- 0; ą ==Ç - ą.

5*

2X = 0:

*)

Hj—H = 0 H Hj = Hjj =    •

Resultate :

Stab I Druckspannung Sj — /V² + HJ =    = S₃,

Pa P

Stab H Druckspannung H = — = — •

§ 13. Gleichgewichtsform eines Sprengvverks bei gleichförmig auf dessen Horizontalprojektion stetig verteilter Belastung.

Die Belastung betrage q kg/m Horizontalprojektion. Sie werde (Fig. 28) mittelst Vertikalständer auf die Knotenpunkte übertragen, so daß bei Gleichgewicht die qkj;Tn,    Stäbe Druckspannung er-

шшмм leiden. Der Koordinaten-Ursprung liege in der Mitte О eines beliebigen Stabes (die x-Achse sei horizontal). Man schneide diesen in О und einen beliebigen anderen Stab, z. В. III, in beliebigem Punkte durch, so bleibt der zwischen beiden Schnittstellen befindliche Teil des Sprengwerks im Gleichgewicht, wenn an ihm in den Schnittstellen die betreffenden Stabkräfte bezw. ihre Komponenten H₀ und V₀, H und V angebracht werden.

Jeder Knotenpunkt erhält eine konzentrierte Last, die gleich der auf die beiden Hälften der anstoßenden Felder kommenden gleichförmigen Belastung ist. Die

<LĆ

'У

i 1

ж

№)---

■ty

Fig. 28.

И*

Resultante der an den Knotenpunkten 1, 2 und 3 angreif enden P ist daher gleich der gleichförmigen Last von O' bis 3 + der Hälfte der gleichförmigen Last des Feldes 3 bis 4, daher

Pi + P₂ + P₈ = qx₃ + q(x₄ —x₃) q(x₄ + x₃)

Nun folgt aus dem Gleichgewicht des betrachteten Konstruktionsteiles :

= 0:

1)

Ho H — 0; H — Ho,

d. h. Horizontalschub H ist für jede Schnittstelle des Sprengwerks konstant.

2T = 0:

2)

daher auch

-Y + (P₁+P₂+P₈) + Yo-0

, v qfo+xg) v₀

oder

Analog

ą⁼⁰’

У': - У, = | ( — H-X-' ) + (*. si ) tgo*

У4 Уз

x₄ —x₈

У 4—Уз

Уз Уг

2H

addiert:

У4 ~ У1 — ~2

q/x*—X?

+ (x₄ — Ii)tga₀.

Nimmt man (x₁y₁) als gegeben, (x₄y₄) als laufenden Koordinaten (xy) einer durch die Knotenpunkte gezogenen stetigen Kurve, so ist demnach deren Gleichung

1)

q /^2_X^\

7 = Ji + z[.......H f +(x — xx)tga₀

und die Kurve der Knotenpunkte erweist sich als eine durch (x₁y₁) gehende Parabel (Gleichgewichtsform des Sprengwerkes).

zum

Bei sehr großer Anzalil von Stäben mit sehr kleiner Länge wird das Sprengwerk zum parabolischen Gewölbe. Letzteres kann daher näherungsweise als Gleichgewichtsform bei belastenden Aufschüttungen angesehen werden, deren Höhe sehr groß ist im Verhältnis Gewölbepfeil.

§ 14. Gleichgewichtsform eines Sprengwerks bei nicht gesetzmäßiger Knotenpnnktsbelastung.

Nach Bd. I, § 15, I ist die Gleichgewichtsform ein durch die Auflagerpunkte gehendes Seilpolygon für die gegebenen P. Es gibt also unendlich viele Gleichgewichtsformen, die durch die Auflagerpunkte Ax und A₂ gehen. (Über die Konstruktion eines Seilpolygons durch zwei gegebene Pimkte vergl. Statik Bd. I, § 15, IV.) Die Gleichgewichtsform wird erst dann eine bestimmte, wenn noch ein dritter Punkt C des Polygons gegeben ist. (Über die Konstruktion eines Seilpolygons durch drei gegebene Punkte, vergl. Bd. I, § 15, VI.)

Die Aufgabe der Konstruktion eines Seilpolygons, das durch die drei gegebenen Punkte A₄, Ag und C geht, läßt sich auch dadurch lösen (Fig. 29a und b), daß man für die gegebenen P ein beliebiges Seilpolygon (I) durch die beiden Auflagerpunkte At und Ag

konstruiert (Bd. I, § 15, IV). Die Polarachse aller durch A₁ und Ag gehenden Seilpolygone ist Ax A₂. Bringt man daher (yergl. Statik Bd. I, § 15, III) die Seiten des konstruierten Polygons (I) zum Schnitt ndt der Polarachse (Fig. 29 a) in D, E, F, G, so läßt sich leicht das gesuchte (П) aus dem konstruierten (I) mit Hilfe dieser Schnittpunkte ableiten (Statik Bd. I, § 15, III), indem man zuerst durch Verbindung yon C mit dem entsprechenden Schnittpunkt D der Seite 3 von I mit der Polarachse die durch C gehende Seite desselben findet.

Fig. 29b.

N.

v;

SS

'vi'

S'

XwSs---..

-V

":V;

Fig. 29 a.

Bei-symmetrischemund symmetrisch belastetem Sprengwerk läßt sich bei gegebenen Scheitelund Auflagerpunkten C, At und A^ die Gleichgewichtsform des halben Sprengwerks einfacher wie folgt konstruieren :

I. Fall. C ein Knotenpunkt. (Fig. 30a und b.) Die in C angreifende P₄ sei zu gleichen Teilen auf die beiden anstoßenden Stäbe verteilt (§ 1, IYa u. Anm.). Man schneide in C das Spreng werk durch und ersetze an der linken Hälfte die Wirkung der rechtsseitigen durch H und Y,

desgleichen das linksseitige Auflager durch Rx und Vl5 dann folgt aus dem Gleichgewicht des ganzen Sprengwerks:

2 Yx — 2 P₀ — 2 Pj — 2 P₂ — 2 P₃—P₄ =* 0 und aus demjenigen der linken Hälfte

-P₀ -Px-P₂-P₃ -    + V = 0,

Fig. 30 a.

⁴ В

woraus aus beiden Gleichungen

\₄

p

P\ Mg/ p

ГЧЩ' Zn/*/

1"'/

v4

Щ f"

4T .,/ '<*л 0 *

•'Учш/L

j.

sich ergibt. In C wirken

p

also nur H und —. Setzt 2

man nun P₀, Pl7 P₂, P₃,

Ą p₄

I —- zu einer Resultanten R

zusammen, so ist diese im Gleich-gewicht mit H imd dem resultierenden Auflagerdruck Wr Die Richtungslinien dieser drei Kräfte müssen sich daher (Statik Bd. I, § 13) in einem Punkte T schneiden, der als Schnitt der Wirkungslinien von H und R bestimmt ist. T Ax gibt die Wirkungslinie von Wv Ein über MN = R nach den Wirkungslinien von H und W₁ konstruiertes Kräftedreieck MN O (Fig. 30b) liefert OM = H imd NO-W^

Fig. 30 b.

P.

Ist nun MD==~^, so ist OD die Resultante von

и

p

H und daher bei Gleichgewicht (§ 1, II) Stab IY 2

§ 14. Gleichgewichtsform eines Sprengwerks. 73

parallel OD. Ferner muß bei Gleichgewicht der Stab I in die Wirkungslinie der Resultanten von und P0 fallen. Letztere ist aber durch die Strecke G О vorgestellt, somit muß Stab I parallel GO sein. Daher muß О der Pol des gesuchten Seilpolygons sein, das sich somit, wenn DE = P₃, EF = P₂ usf. gemacht wird, durch Parallelen zu OE, OF usf. leicht konstruieren läßt.

П. Fall. C im Mittelpunkt eines horizontalen Scheitelstabes. (Fig. 31a und b.)

'sr-

vzz

>?

Aus dem Gleichgewicht der durch Durchschneiden in C hergestellten linksseitigen Hälfte läßt sich wieder H und Wl mit Hilfe des Punktes T und des Kräftedreiecks MNO wie oben ermitteln. Da wieder der Stab I in die Wir- ' v kungslinie der Resultanten von Wj und P₀ fällt, also parallel G О sein muß, ferner der Scheitelstab parallel OM = H    Äfi

»CT

M JET О

ist, so ist wieder die    p₀'

Fig. 31 a

W/к

Fig. 81 b.

Po

Ecke О des Kräftedreiecks MNO der Pol des Seilpolygons, das sich analog wie oben aufzeichnen läßt durch Parallelen zu den Polstrahlen OE, OF usf.

Anmerkung. In beiden Fällen geben die von О ausgehenden Polstrahlen OD, OE usf. die Größe der in den einzelnen Stäben herrschenden Druckkräfte S au (wie sich aus der Betrachtung des Gleichgewichtszustandes jedes Knotenpunktes ergibt).

lst H die

Größe des Horizontalschubs MO und a die Horizontal

neigung eines Stabes, so ist, wie aus den Fig. 30b und 31b ersichtlich, die in jenem Stab herrschende Druckspannung

cos а §15. Beispiel der Berechnung eines symmetrischen beliebig geformten Sprengwerks von symmetrischer Knotenpunktsbelastung.

Weicht die Gestalt eines Sprengwerks von der Gleichgewichtsform (Seilpolygon) ab, so ist durch geeignete Konstruktionsmittel für Aufhebung des in den Knotenpunkten wirkenden Horizontalschubs H zu sorgen. Im folgenden Beispiel (Fig. 32 a und b), welchem ein quadratisches Kuppeldach von gegebenem Diagonalschnitt zugrunde liegt, dessen Diagonalebenen die Spreng werksträger enthalten, ist dies durch Yerbinden je zweier aufeinanderfolgender, in gleicher Höhe liegender, einander entsprechender Knotenpunkte der beiden Träger durch horizontale Zugstangen zu geschlossenen Pfettenringen (in Gr-Riß Quadrate) bewerkstelligt.

Belastung 150 kg/qm Horizontal-Projektion. Belastung einer Seitenfläche des Daches

6-6

— .150 = 2700 kg,

и

hiervon entfällt auf.

Teil CEE' —7— • 150 = 75 kg, * .2

Teil CDD' —— • 150 = 675 kg,

3-3

û

Teil CBB' • 150 = 1876 kg,

u

75 kg, 75= 600 kg,

somit auf Dachteil a:

Dachteil ß: 675 —

Dachten y: 1875— 675 = 1200 kg, Dachteü ô: 2700- 1875= 825 kg,

daher auf Knotenpunkt

375 kg (P,),

/ 600

\V

1200

825

A, 2 • —

900 kg (P₂). = 1012,5kg (P₃), = 412,5 kg (P₄).

Man entferne an einem der Träger die seitlichen Zugstangen (Pfetten) und ersetze ihre Wirkung je durch eine in die Trägerebene fallende horizontale Resultante HL bezw. H', H", H"', desgl. die Wirkung des Aullagers durch Yt, so ist V₁ mit sämtlichen P und H der linken Trägerhälfte im Gleichgewicht. Daher

I. Trägerhälfte als Ganzes:

2Т = 0:

Vi = 2700 kg.

Vi - (375 + 900 + 1012,5 + 412,5) = 0;

П. Freimachung von Stab AiB: (Fig. 32 c). In В sei die Last Рз ganz diesem Stab zugeteilt. Statt des folgenden

Fig. 32 я.

Fig. 32 с.

</* 2    2-^i* JP*375

t-X-^

41

s

-it

*

4

4-

f

'-10/2,5

fan.s

J^27C0 у !

f/

Г4

4 4

-Ç= «V

5.

4

<4

4

y

4

Fig. 32 b.

Ц*№2,5

Fig. 32d.

W!

*/275

r₂

■1275

* 4

н~

J1

Я irJl[?/273

7**sm

Fig. 32 e

PrJ7S *

|1 s.

Jf

af

Ш

Щ25

/mjs

7.W

J75

'1

«/-*- г

Z *

. . О

i./+r 2 -*r 2    -*/*

Fig. 32 f.

§ 15. Beisp. d. Berechng. e. bei. geformten Spreugwerks. 77

Stabes BD greifen in В H₂ und V₂ an; außerdem sei H' ganz dem Stab AiB zugeteilt (§ 1, IV a).

= 0:

1)

2T = 0:

Hi — H₂ + H' = 0.

2)

- 2700 + V₂ + 1012,5 + 412,5 = 0, V₂ = 1275 kg.

3)

A-Momente um В = 0 :

(2700-412,5)1-Hi-2 = 0; Hi = 1143,75 kg

somit

Druckkraft sa, Bim StabAiB = )/(V,-P₄)M-= 2560 kg.

Ш. Desgl. von Stab BD: (Fig. 32d). In В sind die entgegengesetzten Kräfte H₂, V₂ anzubringen (§ 1, Ш), ebenso in D gewisse Kräfte. Werden die Kräfte P₂ und H" nicht als am Stab BD, sondern als am Stab DE angreifend gedacht, so läßt sich die Wirkung des wegzunehmenden Stabes DE durch eine Kraft ersetzen, die bei Gleichgewicht von B D nur in der Richtung dieses Stabes liegen kann und der in В angreifenden Kraft SgjQ gleich und entgegengesetzt sein muß

(§ 1, H). Daher sind ihre Komponenten gleich und entgegengesetzt H₂ bezw. V₂ zu nehmen. Wählt man jedoch D zum Momentenpunkt, so ist deren Moment je = 0 und die Momentengleichung liefert: l'-Momente um D = 0:

— H₂ • 2 + 1275 -2 = 0; H₂ =.1275 kg

daher

SB D = Ун[+у[ = 1800 kg (Druck).

Ferner liefert Gleichung H, 1):

1143,75 — 1275 +H'=Q; H'= 131,25 kg.

IV. Desgl. von Stab D E : (Fig. 32 e). In D ist die Wirkung des Stabes B D (S^ durch deren nach oben und rechts gerichteten Komponenten Li* und Va ersetzt. Außerdem teile man

III. Spreng- und Hängwerke.

78

gemäß III die Kräfte H" und P2 ganz dem Stab DE zu, ebenso die in E angreifenden Pi und EP". Aus dem Gleichgewicht des Stabes folgt:

2-Momente um I) = 0:

1)

375-2 — H'"-1=0; H"' = 750 kg.

2,X = 0:

2)

1275 + H"- 750 = 0, H" — — 525 kg.

H" ist negativ gefunden, wirkt also dem angenommenen Sinn der Figur entgegen, also nach außen.

Ferner si) E = У(Н'") * + P? = 850 kg (Druck).

Probe (Fig. 32f):

Gleichgewicht der ganzen Trägerhälfte unter Einfluß von Vi und sämtlicher P und H. Diese Kräfte seien nach Maßgabe obiger Resultate angebracht:

2X = 0: Hi + H'— H"-H'"=0;

1143,75 + 131,25 — 525 - 750 = 0.

2Y = 0: -Vi + P₄ + P₃ + P2 + Pi=0;

- 2700 + 412,5 + 1012,5 + 900 +375 = 0. ^-Momente um Ai = 0:

Рз • 1 + P₂ • 3 + Pi • 5 + H'- 2 — H"- 4 — H'"- 5 = 0; 1012,5 • 1 -f 900 • 3 + 375 • 5 + 131,25 • 2 - 525 • 4 - 750 • 5 = 0.

B) Hängwerke.

§16. Gleichgewichtsform und Berechnung der Häng* werke.

Dreht man in einem unter Einfluß vertikaler nach unten gerichteter Lasten im Gleichgewicht sich befindlichen Sprengwerk den Sinn der Lasten bei unveränderter Größe und Wirkungslinien derselben um,

so bleibt ein Gleichgewichtszustand desselben erhalten, jedoch so, daß sämtliche Stabkräfte, sowie die Auflager die entgegengesetzte Beanspruchung erleiden. Dreht man diesen zweiten, nach unten konkaven Träger, samt allen angreifenden aktiven Kräften um irgend eine in seiner Ebene gelegene horizontale Gerade ąus seiner Ebene heraus, jedoch so, daß Träger und Kräfte stets in derselben Ebene bleiben und ihre gegenseitige Lage nicht verändern, so bleibt für jede neue Lage der Ebene das Gleichgewicht ungestört. Erfolgt eine Drehung um 180°, so daß die Trägerebene wieder mit der ursprünglichen zusammenfällt, so bildet die Konstruktion ein Hängwerk.

et

Durch diese Drehung (Fig. 88) werden die Lasten wieder vertikal nach unten, somit die vertikalen Komponenten der Auflagerdrücke ₄    wieder nach oben gerichtet. Die

Kl    Horizontalkomponenten dersel

be. ben bleiben jedoch nach außen /1 gerichtet und die in den Stäben ²*'_ tätigen Kräfte sind Zugkräfte.

•    Für die Hängwerke gelten

Fig. 33.

daher die analogen Betrachtungen wie für die Spreng-werke. Sie liefern entsprechend dem § 13:

Die Gleichgewichtsform eines Hängwerkes mit stetiger, gleichförmig auf dessen Horizontalprojektion verteilter Belastung, die in den Knotenpunkten mittelst Zugstangen angreift, ist eine Parabel.

Bei einer sehr großen Anzahl von Stäben von sehr kleiner Länge geht das Hängewerk über in die Trügerform einer Kette (Hängebrücke). Bei gleich

förmig und stetig über deren Horizontalprojektion verteilter Belastung ist daher deren Gleichgewi chtsform eine Parabel.

Ist das Hängwerk sehr flach, so daß die Stablängen nahezu gleich ihrer Projektion betrachtet werden können, und befindet sich dasselbe nur unter Einfluß seines Eigengewichts, dessen Wert pro Längeneinheit überall konstant ist, so nähert sich die Parabel der Gleichgewichtsform eines schweren überall gleich dicken homogenen Seiles (Kettenlinie, Seilkurve, vergl. § 41).

's₄

l.-W

öL

’hl" • г

г-ж

IV

' CT II

ür

-//

CH

Л //CT

W-

Fig. 36 a.

P Fig. 34 a.

:r,

<-r\

⁴'.

' Fig. 34 b.

Fis-36 b

Die Gleichgewichtsform eines Hängwerkes für nicht gesetzmäßige Knotenpunktsbelastung ist ein durch die beiden Aufhängepunkte gehendes Seilpolygon.

Die Konstruktion desselben geschieht analog der entsprechenden Konstruktion des § 14.

Die nebenstehend gezeichneten Figuren 34 а und b und 35 a und b geben die den Konstruktionen

des § 14 analogen Konstruktionen der Gleichgewichtsform eines symmetrischen und symmetrisch belasteten Hängwerkes an und zwar für die Fälle:

1.    im    Scheitel    ein Knotenpunkt (Fig. 34 a    und b),

2.    „    „    ein ' horizontaler Stab (Fig    35 a und    b).

Anmerkung. Die Polstrahlen stellen wieder die

Größe der in den bezüglichen Stäben herrschenden

Zugkräfte S vor; S =

Horizontalneigung des betreffenden Stabes).

cos a

(H Horizontalzug und a

IV. Kapitel.

Standfestigkeit der Mauern (Pfeiler).

§ 17. Bedingungen der Standfestigkeit.

Eine Mauer (Pfeiler) steht außer ihrem Eigengewicht stets unter Einfluß weiterer äußerer (aktiver und passiver) Kräfte (Druck liinterfüllter Erde,Wasserdruck, Winddruck, ferner der Widerstandskräfte des Bodens usf.) Wir setzen hier stets nur Mauern voraus, deren Grundriß der Länge nach durch vertikale zur Längsrichtung senkrechte Querebenen so geteilt werden kann, daß sämtliche an dem zwischen zwei solchen Querebenen liegenden Mauerstück angreifende äußere Kräfte in einer einzigen, zur Längsrichtung ebenfalls normalen Vertikal-ebene (Kraftebene) liegen.

Bei Mauern von gleichbleibendem Profil (Fig. 36 a), wie wir sie im folgenden stets voraussetzen, schneiden wir ein Stück von der Länge (Tiefe) = 1 m heraus, dann sei die den vertikalen Begrenzungsflächen ОТ und ML parallele vertikale Mittelebene UV die Kraftebene.

Hanber, Statik II.

Es sei ML OT (Fig. 36 a) die Bodenfuge eines solchen Mauerstückes von der Länge = 1 m, in dessen Mittelebene UY die aktiven Kräfte Pl5 P₂ usf. und die Gewichte Qt usf. angreifen. Man betrachte den übereiner beliebigen Lagerfuge A"B" stehenden Teil A"B"C"D" dieses Mauerstückes, so wirken an ihm außer den auf

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Fig. 3ßa.

Qm entfallenden Kräften P, z. B. Px und P₂, noch das in seinem Schwerpunkt Sx angreifende Gewicht Qx desselben, außerdem die Widerstandskräfte der Unterlage A" B". Da wir dem Mörtel keine Zugfestigkeit zuschreiben, so können deren Yertikalkomponenten nur nach oben gerichtete Druckkräfte sein. Diese Widerstandskräfte müssen mit Qx, Fi und P₂ im Gleichgewicht sein.

Die gegebenen Kräfte P₁ und P₂ lassen sich mit Qt entweder auf eine Einzelkraft oder auf ein Kräftepaar zurückführen. Im letzteren Fall wäre aber Gleichgewicht nur dann, wenn die Widerstandskräfte der Unterlage A" B" ebenfalls auf ein Kräftepaar derselben oder einer parallelen Ebene von gleichem aber entgegengesetztem Moment zurüekgeführt werden könnten. Dies ist aber nach der oben gemachten Voraussetzung über die Art der Vertikalkomponenten der Widerstandskräfte, die stets eine nach oben gerichtete vertikale Resultante liefern, unmöglich, daher muß bei Gleichgewicht Q1} P₁ und P₂ stets eine Resultante Rt liefern.

Nach Statik Bd. I § 49 ergibt sich, daß ein Kippen -des betrachteten Mauerstückes um eine der durch A" bezw. B" gehenden horizontalen Längskanten nicht stattfindet, wenn der Schnittpunkt der Wirkungslinie von mit der Fuge A" В" innerhalb der Fugenbreite А" B" liegt. Verscliiebt man für diesen Fall mit ihrem Angriffspunkt nach Ct und zerlegt sie dort in die Komponenten H₁ und V1? so wird bei Gleichgewicht VL durch die Resultante N der Normalkomponenten der Widerstandskräfte und Hj durch die Resultante von deren Komponenten nach der Fugenfläche aufgehoben. Die letztere Bedingung wird aber nur erfüllt, wenn Ht < dem Grenzwert des einer Verschiebung des Mauerstückes auf seiner Unterlage A"B" widerstehenden Reibungswiderstandes derselben ist. Daher:

Das (als starrer Körper gedachte) Mauerstück A" B"C"D" ist statisch im Gleichgewicht, wenn

1.    der Punkt Cx innerhalb der Fugenbreite liegt;

2.    der Winkel der Richtungslinie von Rt mit der Normalen zur Fugenfläche < Reibungswinkel ist (Statik Bd. I § 50). ”

In der Festigkeitslehre (Elastizitätslehre) wird jedoch gezeigt, daß die Voraussetzung durchgehende nach oben gerichteter Vertikalkomponenten der Widerstandskräfte (Druckwiderstände) für sämtliche Elemente der Fugenfläche A"B" nur dann erfüllt wird, wenn innerhalb gewisser Grenzen zwischen A" und B" liegt. Bei einer durchgehende prismatischen Mauer von konstantem Profil darf Ci aus diesen Gründen nicht innerhalb eines der beiden äußeren Drittel der Fugenbreite A"B" hegen. Liegt nämlich Cx innerhalb eines der beiden äußeren Drittel der Fugenbreite, so tritt an dem dem Punkte abgewandten Ende der Fuge Zugspannung, also ein Klaffen der Fuge ein. Außerdem darf die größte Inanspruchnahme des Mauerwerkes in jener Fuge, die mit zunehmender Annäherung des Punktes Cj an A" dezw. B" zunimmt (vergl. Bändchen Festigkeitslehre), bie zulässige nicht überschreiten.

Da diese Bedingungen für jede Fuge A"B" gelten, so ergeben sich als Bedingungen der Standfestigkeit der Mauer :

1.    Die Resultante R sämtlicher äußerer (aktiver) Kr äfte (einschl. Eigengewicht), welche an dem über einer beliebigen Lagerfuge stehenden Mauerteil angreifen, muß diese Fuge innerhalb des Mauerprofils treffen.

2.    Die Wirkungslinie dieser Resultanten darf von der Normalen zur Fugenfläche um keinen größeren Winkel als den Reibungswinkel cp (gewöhnlich zu 30° genommen) abweichen.

3. Der Treffpunkt der Resultanten mit der Fugenfläche darf dem Mauerprofil nicht zu nahe kommen (vergl. Festigkeitslehre). Für

durchgehende prismatische Mauern von konstantem Mauerprofil darf er nicht innerhalb eines der beiderseitigen äußeren Drittel der Fugenbreite liegen (vergl. Festigkeitslehre).

4. Die Inanspruchnahme des Mauerwerkes darf an keiner Stelle der Mauer die zulässige überschreiten, ebenso darf die größte Beanspruchung in der Fundamentsohle nicht größer als die zulässige des Untergrundes sein.

Die Untersuchung einer Mauer hinsichtlich der Erfüllung der Bedingungen 1. bis 3. wird am einfachsten auf graphischem Wege (vergl. § 18) durchgeführt; diejenige bezüglich der Bedingung 4. ist Aufgabe der Festigkeitslehre und kann hier nicht weiter behandelt werden.

§ 18. Stiitzlinie.

Man nennt (Fig. 36a) Cx den Stützpunkt der Lagerfuge A" B". Es sei A"' B'" eine benachbarte tiefer gelegene Fuge. An dem zwischen beiden Fugen gelegenen Mauerteil IÎ greifen in seinem Schwerpunkt S2 sein Eigengewicht Q₂, in CL die vorher gefundene Resultante Ra , und am Profil weitere Kräfte P, z. B. P₃, an. Setzt man Q₂, Rj und P₈ zu einer neuen Resultanten R₂ zusammen, so liefert diese auf k"' B'" den neuen Stützpunkt C₂. Fährt man auf diese Weise fort, indem man nach unten vorwärtsschreitend die Mauer durch weitere Fugen in die aufeinanderfolgenden Teile III, IY, Y usf. zerlegt, für jeden derselben die Resultante seines Eigengewichts, der vorhergehenden Resultanten R und der an ihm angreifenden P konstruiert, so erhält man für jede dieser Fugen den Stützpunkt C. Die Yerbindung dieser sämtlichen Stützpunkte C durch einen gebrochenen polygonalen Zug liefert die Stütz linie der Mauer (in Figur punktiert).

Die Seiten dieses Zuges stimmen nicht überein mit den Wirkungslinien der betreffenden Resultanten; die Stützlinie gibt also nicht die Richtungslinie der Fortpflanzung des Druckes von einer Fuge zur anderen an. Sie hat nur den Zweck, diejenigen Fugen, in denen die größte Annäherung der Stützpunkte an das Mauerprofil stattfindet — В ruch fugen — rasch erkennen zu lassen. In letzteren findet die größte Inanspruchnahme des Materials statt.

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Die Bedingungen 1. und 3. für die Standfestigkeit einer Mauer sind demnach erfüllt, wenn die Stützlinie an keiner Stelle außerhalb des Mauerprofi les tritt und auch in diesem Fall dem Profil nirgends zu nahe kommt. Bei prismatischen Mauern von konstantem Profil darf sie an keiner Stelle innerhalb eines der beiden äußeren Drittel der Fugenbreite treten.

Fig. 86b.

Anmerkung. Die Zusammensetzung der an einem der Mauerteile wirkenden Kräfte zu einer Resultanten R geschieht allgemein mit Kräfte- undSeilpolygon.

Wirken jedoch an einem Mauerteile außer seinem Eigengewicht Q nur noch zwei Kräfte, z. B. R₁ und P, so läßt sich die Resultante Rg von Q, 1^ und P zweckmäßig folgendermaßen konstruieren (Fig. 36b):

Konstruiere aus 1^ und P das Kräftepolygon A0 At A₃ so ist Аф Ag deren Resultante R' nach Größe,

Richtung und Sinn und die durch den Schnittpunkt U der Wirkungslinien von Rj und P zu A^ A₂ gezogene Parallele deren Wirkungslinie. Um nun R' und Q zu einer Eesultanten R₂ zusammenzusetzen, füge man im Kräftepolygon im Sinne der folgenden Pfeile A₂ A₃ = Q an, so ist A₀ A₃ die Resultante E^ der drei Kräfte und die durch den Schnittpunkt Y der Wirkungslinien von Q und R' zu Аф A₈ gezogene Parallele die gesuchte Wirkungslinie der E^.

§ 19. Beispiel für die graphische Konstruktion der Stiitzlinie an dem in Fig. 37 a dargestellten Pfeiler von 1 m Länge (Tiefe) und konstantem Profil.

Gegeben die äußeren (aktiven)Kräfte: P₁ = 3000 kg

P₂ = 1200 kg P₈ = 9000 kg

ferner das Gewicht von 1 ebm Mauer werk = 2000 kg.

Der Pfeiler sei durch geeignete Horizontalfugen in die Teile I, II, Ш,... УШ zerlegt, deren in den eigenen Schwerpunkten an greifende Gewichte zu

Qi = 1 • 1,2 • 1 •

' Q. = 1 • 1,2 • 1 •

Qs = 1 • 1,2 • 1 •

²-£~ • 1 • 2000 = 3200 kg

Q₅=    2-Ы • 2000 = 4000 kg

2-1.1.2000 = 4000 kg 2 -1 • 1-2000 = 4000 kg Qg = 2,4 • 1 • 1 • 2000 = 4800 kg

bestimmt seien. Die Schwerpunkte S liegen in dei Kraftebene (Mittelebene) und sind zugleich die Schwerpunkte der ebenen Teilflächen I, II usf., als welche

to to to

= 2400 g ±= 2400 g =2400 kg

Q.6 —

Q7 —

sie bestimmt werden (graphisch ; Schwerpunkt eines Trapezes (IV) (vergl. Statik Bd. I § 42).

Die Resultante 1^ (Fig. 37 a) der am Teil I wirkenden Kräfte P1? P₂, Qt ergibt sich durch das Kräftepolygon (vergl. Statik Bd. I §11) Aq AL A₃ in der Strecke A₀ A₃ und ihre Wirkungslinie im allgemeinen mittelst Seilpolygon (Bd. I § 11), die Resultante Rg der an II angreifenden Kräfte 1^ und Q₂ mittelst Kräftepolygons A₀ A₃ A₄ und Seilpolgons usf., die Resultante R₄ der an IV angreifenden Kräfte R₃,P₃, Q₄ mittelst Kräftepolygons A₀ A₅ A₆ Ay und Seilpolygon u. s. f. Die Resultanten bilden im Kräftepolygon ein System von A^ ausgehender Strahlen.

Im gegebenen Beispiel vereinfacht sich die Konstruktion der Wirkungslinie von 1^ jedoch dadurch, daß P₂ und Q₄ in derselben Wirkungslinie liegen, somit Rj durch den Schnittpunkt U derselben mit der Wirkungslinie von P₄ gehen muß. Eine Parallele durch U zu A₀A₃ liefert demnach die Wirkungslinie von R₁.

Die Resultante 1^ von R₄ und Q₂ geht durch den Schnittpunkt dieser Kräfte, also ebenfalls durch U, ebenso geht aus gleichen Gründen R₃ durch U. Die Wirkungslinien von Rg und R₃ sind also die durch U zu A₀A4 und A₀ A₅ gezogenen Parallelen.

Die Resultante R₄ der am Teil IV angreifenden Kräfte R₃, Q₄, P₃ ist in Figur mittelst Kräftepolygons A₀A₅ A₆A₇ und zugehörigen Seilpolygons B₁B₂B₃ (mit beliebigen Pol 0) konstruiert, dessen erste und letzte Seite sich in В schneiden. Durch В die Parallele zu A₀ A₇ ist die Wirkungslinie von R₄.

Die Resultante R₅ von R₄ und Qö geht durch den Schnittpunkt V dieser Kräfte, ebenso gehen aus gleichen Gründen die folgenden Resultanten R₆,

R₈ je durch denselben Punkt V. Die Parallelen durch V zu den Strahlen A^A₈,    A₉, A₀A₁₀, A^ An sind

die Wirkungslinien von R₅, R^R^Rg.

Durch die Wirkungslinien der Kräfte R ist auf jeder Fuge ihr zugehöriger Stützpunkt C und durch die Verbindung sämtlicher Stützpunkte bis zur Fundamentsohle die Stützlinie konstruiert.

§ 20. Analytische Bestimmung der Stützlinie.

In Statik Bd. I, § 19 Beispiel ist gezeigt worden, wie sich der Stützpunkt der Bodenfuge rechnerisch finden läßt.

Dasselbe Verfahren läßt sich für jede beliebige Fuge A" B" anwenden, wofern man nur den über dieser Fuge stehenden Mauerteil A"B"C"D" (Fig. 36 a) und die an diesem angreifenden aktiven Kräfte in Betracht zieht und auf diese das dort angegebene Verfahren überträgt.

Anmerkung. In vielen Fällen genügt jedoch die Bestimmung des Stützpunktes der Bodenfuge und der Fundamentsohle zum Zweck der Ermittlung der größten Inanspruchnahme des Mauerwerkes und des größten vom Terrain aufzunehmenden Druckes in der Fundamentsohle (vergl. Bd. Festigkeitslehre).

У. Kapitel.

Standfestigkeit der symmetrischen Tonnengewölbe.

§ 21. Statische Unbestimmtheit bezw. Bestimmtheit der Drücke in Kämpfer- und Scheitelfuge.

In einem zur vertikalen Scheitelebene des Profils symmetrischen Tonnengewölbe (Teil eines Kreiszylinders mit horizontaler Achse) sei durch zwei vertikale, zur G-ewölbeachse senkrechte Ebenen ein Stück von 1 m

Länge (Tiefe) ausgeschnitten. Die Belastung sei der Länge des Gewölbes nach gleichförmig, so daß sie sich für jeden von zwei Fugenebenen begrenzten Teil des ausgeschnittenen Stückes des Gewölbes von der Länge (Tiefe) == 1 m durch eine in der Mittelebene desselben liegende Resultante ersetzen läßt. Diese Mittelebene wird dann zur Kraftebene, in der auch die Widerstandskräfte der Kämpfer und der Scheiteldruck liegen.

Nach Ersatz der Auflager durch die Kämpferdrücke Wx und W₂ sind Wt und W₂ und die Resultante R aller Lasten P, die am Gewölbestück von der Länge = 1 m angreifen, im Gleichgewicht. Ihre Wirkungslinien (Fig. 38 a) schneiden sich (Statik Bd. I §13) daher in einem Punkte S und Wx und W₂ bilden über R (=ЭД₀ЭД₂) ein Kräftedreieck (2l₀2I₂O) nach den Richtungen SAX und SA3 (Fig. 38 b).

Die Bestimmung von Wx und W₂ aus diesem Dreieck ist aber unmöglich, da die drei Punkte S, Ax und Аз unbekannt sind.

Es sei EF (Fig. 38 a) eine beliebige Fuge und das Gewölbe in ihr durchgesehnitten. Dann bleibt der linksseitige Gewölbeteil im Gleichgewicht, wenn man an ihm in einem gewissen Punkte C der durchgeschnittenen Fuge den Fugendruck s anbringt. Setzt man die am linksseitigen Gewölbeteil angreifenden P zu einer Resultanten Rj zusammen, so ist auch W*, s Fig. 38 a.    imd Rx im Gleich

&...Ж

Päf *

f*

gewicht. Ihre Wirkungslinien schneiden sich daher in

einem Punkte Tt. Analog ergibt sich Gleichgewicht des rechtsseitigen Trägerteiles, wenn man an ihm nach ^ - *—    dem Prinzip von Wir

kung und Gegenwir-

das

"ГЧ

T"

..I

ц    kung in demselben Punkte C den

Fig. 38 b

Rx

entgegengesetztenFugendruck—s anbringt. Da — s, W₂ und R^ (Resultante der am rechtsseitigen Gewölbeteil angreifenden P) im Gleichgewicht sind, so schneiden sich auch die Wirkungslinien dieser drei Kräfte in einem Punkte T₂.

Wäre nun Punkt C und die Wirkungslinie von s gegeben, so wären hierdurch die Punkte Tx und T₂ bestimmt. Wäre ferner Punkt A₁ bekannt, so wäre durch A₁ Tt der Punkt S und mittelst ST₂ der Punkt A^, also nach obigem die Kämpferdrücke und W₂ konstruierbar (mittelst des über ?1₀ЭД₂ = R nach den Richtungen von und W2 konstruierten Kräftedreiecks 2l₀ % 0). Daher:

§ 22. Belastung symmetr. zur vertikalen Scheitelachse. 93

Wt und W₂ sind bei gegebener Belastung bestimmt, wenn für irgend eine Fuge EF der Angriffspunkt C und die Wirkungslinie des Fugendruckes s und der Angriffspunkt At einer der Kämpferdrücke gegeben sind.

Macht man im Kräftedreieck 21₀2I₂O (Fig. 38 b) die Strecke 2^212 = 1^, so ist demnach 02lx == s. Es ist somit der Zug A₂ T₂ TA Ax (Fig. 38 a) ein zu den Belastungen B^ und ^ gehöriges Seilpolygon (Pol 0). Nach Statik Bd. I, § 15, VI ist aber ein Seilpolygon ein ganz bestimmtes, wenn es durch drei gegebene Punkte geht, daher ist durch die drei Punkte At, C, A^j das genannte Seilpolygon bestimmt, somit auch durch die Richtungen seiner äußersten Seiten die Kräfte Wt und W₂. Daher auch:

Wj und W₂ sind bei gegebener Belastung bestimmt, wenn die Angriffspunkte der Fugendrücke in den beiden Kämpferfugen und einer dritten beliebigen Fuge (allgemein dreier Fugen) gegeben sind.

Anmerkung: In Brückengewölben neuerer Konstruktion sind daher die Punkte Ax, A^ und C (in der Scheitelfuge) als Gelenke konstruiert, die in unveränderlicher Lage innerhalb der betreffenden Fuge sich befinden.

§ 22.

Spezieller Fall.

Belastung symmetrisch zur vertikalen Scheitelachse. (EF Scheitelfuge; At symmetrisch A^)

Ht und bezw. und V₂ seien (Fig. 39 a) die Horizontal- und Vertikal-Komponenten von Wt bezw. W₂,

H und V₀ diejenigen des Druckes s der Scheitelfuge, so folgt aus dem Gleichgewicht des Ganzen, da Yt — V₂

— 2 Vx + R = 0

1)

und aus dem Gleichgewicht der linksseitigen Gewölbehälfte

2T = 0:

— Yt +    + V₀ = 0.

BXP

ч*Г

Яг*

nCTt

IT

tO

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Fig. 39 a.

Fig. 39 b.

toi и

Vermöge 1) folgt hieraus, da =

v₀ = o

d. h. s ist horizontal. Daher:

Der Fugendruck im Scheitel eines symmetrischen und symmetrisch belasteten Tonnengewölbes ist horizontal. Er sei im folgenden mit H (Horizontalschub) bezeichnet.

§ 23. Belastung der Tonnengewölbe.

95

Anmerkung: Konstruktion von Wt und H bei gegebenen' Angriffspunkten C und Av (Fig 39a und b.)

Die Horizontale durch C gibt im Schnitt mit der Resultanten der an der linksseitigen Gewölbehälfte angreifenden P den Punkt Tx und Tx Ax die Wirkungslinie von Wj. Das über 2I₀ 2^ = 1^ nach den Richtungen von H und Wt gezeichnete Kräftedreieck 2l₀ 2lx 0 liefert H und Wt.

§ 23. Belastung der Tonnengewölbe. Belastungslinie.

Ein Gewölbe trägt als unveränderliche Belastung außer seinem Eigengewicht in der Regel eine Material-anfüllung und bei Brückengewölben darüber die Fahrbahn. Bei letzteren tritt noch als zufällig wirkende Last die Verkehrslast hinzu.

jft

M z\

Die unveränderliche Belastung der Auffüllung bezw. Chaussierung wird durch eine äquivalente ersetzt, die durch eine Aufschüttung von gleichem Material wie das Gewölbe hervorgerufen würde, d. h. man verwandelt die gegebene Belastung in eine Steinbelastung in folgender Weise:

Fig. 40.

Man zerlege das Gewölbe samt Aufschüttung durch Vertikalen in schmale Streifen (Fig. 40) von beliebiger, aber so geringer Breite, daß die entstandenen Teilfiguren als Trapeze sich behandeln lassen. Eine der Vertikalen gehe durch den Scheitel. Ist nun z' die Höhe eines

solchen schmalen Streifens der Aufschüttung von der sehr geringen Breite ЛЬ (sämtliche Längen in Meter), / das Gewicht von 1 cbm des Materials der Aufschüttung, у dasjenige von 1 cbm des Gewölbematerials (Stein), У die Höhe eines Elements vom Material des Gewölbes und derselben Breite ЛЬ, dessen Gewicht demjenigen des ersten Elements gleich (äquivalent) ist, so bestimmt sich aus

rnet.

(/• ЛЬ) • 1 • у = (z'- ЛЬ) 1 • / У= zü

Reduziert man demnach alle Ordinaten z' im Ver-

hältnis

— und trägt die erhaltenen Werte von y' von

der äußeren Leibung aus auf den Richtungslinien der z' auf (als z' dienen die der betreffenden Auffüllung entsprechenden Abschnitte der gezogenen Vertikalen), verbindet die Endpunkte der / durch eine stetige Kurve MNO, so bildet diese die der Aufschüttung entsprechende „Belastungslinie“.

In analoger Weise verfährt man mit dem Gewicht der Chaussierung. Ist z" die Höhe derselben in Meter (Fig 40), so ist, wenn y" das Gewicht von 1 cbm Chaussierung und y" die äquivalente Belastungshöhe im Material des Gewölbes bedeutet,

(у" Д b) • 1 • у = (z" • Л b) • 1 • y",

.ü

met.

У" = z"

Ist z" überall von gleichem Werte, so ist auch y" konstant.

§ 24. Dmcklinie für symmetrische Belastung.

97

Ebenso läßt sich die gleichförmig stetige Verkehrslast (Fig. 40) auf eine äquivalente im Gewölbematerial zurückführen. Beträgt diese Verkehrslast q kg/qm,-so entfällt auf die Breite A b und die Tiefe 1 m die Verkehrslast Ab« 1 «qkg; daher, wenn f" die äquivalente Belastungshöhe im Material des Gewölbes bezeichnet

W • Ab) 1 • y = (Ab • 1) q,

/"=- met.

Wirken mehrere dieser Belastungen gleichzeitig, so addieren sich die entsprechenden y und die durch Kombination derselben sich ergebende Belastungslinie bildet mit der inneren Leibung die Belastungsfläche. In Fig. 40 ist die untere durchgehende Belastungslinie diejenige der Aufschüttung, die obere durchgehende die für Aufschüttung + Chaussierung, die oberste rechtsseitige für Aufschüttung + Chaussierung + halbseitige Verkehrslast.

Mittlere Werte für

y (Stein): ÿ (Erde):

y" (Chaussierung): 2000 — 2500 kg/cbm.

2000 — 2500 kg/cbm, 1600 — 2000 kg/cbm,

Die Belastungsfläche für Aufschüttung, Chaussierung und rechtsseitige Verkehrslast ist in Fig. 40 durch stark ausgezogene Umgrenzung angedeutet.

§ 24. Drucklinie eines symmetrischen Tonnengewölbes für symmetrische Belastung.

Es sei (Fig. 41a) für die gegebene Belastung die Belastungslinie konstruiert. Dann ergeben sich die Belastungen P als die Gewichte der durch je zwei be-

Ha über, Statik II.

nachbarte Vertikalen begrenzten prismatischen Belastungskörper von der Länge (Tiefe) == 1 m, der trapezförmigen Grundfläche F qm, welche die zwei benachbarten Vertikalen aus der stark ausgezogenen Belastungsfläche ausschneiden:

P = F • 1 • y kg = F . y kg.

■ Die Angriffspunkte der P sind die Schwerpunkte der zugehörigen F (in Fig. 41a ist eine solche Fläche F

АР®'

«к

Fig. 41 а. Р'

Fig. 41b. ja

schraffiert). Sie werden am einfachsten graphisch als Trapezschwerpunkte bestimmt (Statik Bd. I § 42); bei sehr schmalen Teilflächen lassen sie sich ohne großen Fehler in der Mitte der Breiten der F annehmen.

Da y für alle P dasselbe ist, so genügt es für jedes P so viele Krafteinheiten zu wählen, als sein zugehöriges F Flächeneinheiten besitzt, aber die auf Grund dieser Annahme sich ergebenden Kräfte durch Multiplikation mit y in ihre wahre Größe in kg umzuwandeln.

Es sind dann

Gegeben seien (Fig. 41a) die Angriffspunkte Al7 Aj, (Ax symmetrisch zu A^) der Kämpf erdrücke und der Angriffspunkt C des Drucks in der Scheitelfuge. Aus dem Gleichgewicht der linksseitigen Gewölbehälfte sei H und bestimmt (§ 22 Anmerkung), nachdem zuvor mittelst Kräfte- und Seilpolygon die P der linken Gewölbehälfte zur Resultanten Rj zusammengesetzt sind.

Wir betrachten das Gleichgewicht des ersten Gewölbeteiles (I) links von der Scheitelfuge, welche mit einer der vertikalen Teilungslinien zusammenfallend gedacht sei. An ihm greift (in C) der Horizontalschub H, die Last Px der entsprechenden F und der Fugendruck sx der linksseitigen Vertikalfuge an. Die Wirkungslinien dieser drei Kräfte müssen sich daher in einem Punkte schneiden. Ist ferner (Fig. 41b) 0 2l₀ = H und 3t₀ В = Pt, so ist В О = sx, da das aus den drei Kräften gebildete Kräftepolygon sich schließen muß.

Am nächstfolgenden Gewölbeteil II greifen analog die Last P₂, der Fugendruck s₂ der linksseitigen Vertikalfuge und die Kraft — s₁ an der rechtsseitigen Fuge an. Die Wirkungslinien dieser drei Kräfte schneiden sich bei Gleichgewicht ebenfalls in einem Punkte. Ist BC = P₂ (Fig. 41b), so ergibt sich, da das aus den drei Kräften gebildete Kräftepolygon sich schließen muß, С О = s₂.

Setzt man diese Betrachtung über sämtliche Gewölbeteile fort, so erhält man als Zug der Wirkungs-iinien der s ein Polygon, das durch die Punkte C und

7*

Da seine Seiten parallel den bezüglichen von 0 ausgehenden Strahlen O9I₀, OB, OC usf. sind, so ist es ein Seilpolygon mit dem Pol О für die gegebenen P.

Aj geht und dessen Ecken auf den Wirkungslinien 'der P liegen.

Man nennt dieses Polygon Drucklinie, da in ihm der Fugendruck sich fortpflanzt. Daher:

Für symmetrische Belastung eines symmetrischen Tonnengewölbes ist die Drucklinie ein zur Scheitelvertikalen symmetrisches Seilpolygon, für dessen Hälfte der Pol О den senkrechten Abstand 21₀O = H vom Anfangspunkt 2l₀ des Kräftepolygons der P hat, wofern diese in der Aufeinanderfolge von Scheitel zum Kämpfer aneinander getragen werden (Fig. 41b).

§ 25. Konstruktion der Drucklinie für symmetrische Vollbelastung (bei gegebenen Punkten Ai und C).

(Fig. 41a und b.)

Man bestimme die Wirkungslinie der Resultanten R₁ der an der linksseitigen Oewölbehälfte angreifenden P und mittelst RA nach § 22 Anmerkung die Kräfte Wx und H.

Wähle die Ecke О des hierbei erhaltenen Kräftedreiecks 3l₀ zum Pol und konstruiere von C ausgehend ein den Polstrahlen O9l₀, OB, OC usf. entsprechendes Seilpolygon, dessen Ecken auf den P liegen. Die letzte Polygonseite geht durch At.

(Einfachere Konstruktion. § 25.)

L Bestimmung des Fugeńdruckes einer beliebigen Radialfuge.

Dieser wird nach Größe und Richtung näherungsweise durch denjenigen Polstrahl s angegeben, der

parallel derjenigen Seite der Drucklinie geht, welche von der gegebenen Fuge getroffen wird.

In Figur 41a und b erhält z. B. Radialfuge G К den Fugendruck s₃.

П. Stützlinie.

Diese erhält man (vergl. § 18) durch Verbinden der Angriffspunkte der Fugendrücke je zweier aufeinanderfolgender Vertikalfugen (Stützpunkte). In den meisten Fällen weicht die Stützlinie so wenig von der Drucklinie ab, daß man von ihrer Konstruktion absieht.

III. Unveränderlichkeit des Werts des (horizontalen) Gewölbeschubs für jede Vertikalfuge.

wenn man diese Zerlegung im Kräftepolygon

Zerlegt man den Druck s einer beliebigen Fuge in eine Horizontal- und Vertikalkomponente, so erkennt man

Fig. 41b ausführt, daß die Horizontalkomponente stets - H ist.

Anmerkung 1. Legt man durch die Eckpunkte der Drucklinie Radialfugen und ersetzt den zwischen je zwei solchen befindlichen Gewölbteil durch einen Stab, der mit der entsprechenden Polygonseite der Drucklinie zusammenfällt, so läßt sich die Drucklinie betrachten als Gleichgewichtsform eines Sprengwerkes, dessen Stäbe durch die Gewölbsteine ersetzt sind (vergl. § 14).

Anmerkung 2. Die Drucklinie, die durch die Mitten von Scheitel - und Kämpferfuge geht, heißt mittlere Drucklinie.

§ 26. Einfluß der Veränderlichkeit der Angriffspunkte von Kämpfer- und Scheiteldruck auf die Drucklinie. Einfachere Konstruktion derselben bei symm. Belastung.

Ist bei gleichbleibender Lage von C der Punkt Аг veränderlich, so ergibt sich nach § 22, Anmerkung, für jede Lage    von    At    ein    anderer    Wert    von H, ein anderer

Pol    0    und    eine    andere    Drucklinie.    Da    hierbei der

veränderliche Pol О auf der Geraden 2I₀ O (Fig. 41b)

sich    bewegt, so

haben die sämtlichen durch C gehenden, zugehörigen Drucklinien die    durch C

gehende Horizontale zur

Fig. 42 a.

Polarachse (Statik Bd. I, § 15, П).

Es läßt sich somit nach

V\ «

Fig. 42 b.

Statik Bd. I, § 15, Ш aus jeder Drucklinie unter Benutzimg dieser Polarachse eine zweite unmittelbar ableiten, die durch P* denselben Punkt C geht.

Diese Betrachtung führt zu einer einfacheren Konstruktion der Drucklinie (bei gegebenen Punkten A₁ ' imd C):

Man wähle zur Bestimmung von R₁ ein durch C gehendes Seilpolygon (I) dessen Pol 0' (Fig. 42 a und b) ein beliebiger Punkt der Senkrechten in 2I₀ zu 2l0 ist (in Figur gestrichelt) und bringe seine Seiten zum

Schnitt mit der durch C gehenden horizontalen Polarachse (Schnittpunkte Tv C₃, C₂, usf.). Dann ist die Verbindungslinie von At mit T₁ die erste Seite der Drucklinie. Sie bestimmt auf P₄ den Punkt 0; Q-C3 gibt die zweite Seite und auf P₃ den Punkt M, M C₂ die dritte Seite und auf P₂ den Punkt J, J Cx die nächste Seite, der sich C₄ C an schließt (Polygon II und Ш in Figur 42 a).

Ist bei unveränderlicher Lage von der Punkt C veränderlich, so liegen die den einzelnen zugehörigen Drucklinien entsprechenden Pole ebenfalls auf der Senkrechten in 3t₀ zu 3I₀ tyiv Diese Drucklinien haben daher die durch A₁ gehende Horizontale zur Polaraxe (Statik Bd. I, •§ 15, II).

Ist C und A₄ gleichzeitig veränderlich, so erhält man demnach oo² viele statisch mögliche Drucklinien. Nach der Elastizitätslehre ist hiervon diejenige die richtige, welche sich der Mittellinie des Gewölbes durchschnittlich (im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate) am meisten nähert (Mittlere Drucklinie, § 25, Anmerkung 2).

Sind die Punkte A₁ und C durch Gelenke festgelegt, so erhält man nur eine, durch die Pimkte Ar und C bestimmte Drucklinie.

Ist die Mittellinie des Gewölbes selbst eine statisch mögliche Drucklinie, so heißt das Gewölbe Drucklinien -gewölbe.

§ 27. Minimal- und Maximaldrucklinie infolge Aus-weichens der Widerlager. Konstruktion derselben.

Es seien in einem Gewölbe auf Grund des vorstehenden Satzes die Angriffspunkte von Scheitel- und Kämpferdruck in der Mitte der zugehörigen Fugen ge-

wählt und die entsprechende Drucklinie konstruiert. Diese Annahme genügt aber nicht zur Beurteilung der Sicherheit eines Gewölbes, da durch Ausweichen der Widerlager die Stützpunkte der einzelnen Fugen gegen die Leibungen hin gerückt werden.

Fig. 43 a.

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Ч--:^    /

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Ç/

Fig. 43 b.

Ein Ausweichen der Widerlager nach außen hat eine Drehung beider Gewölbehälften nach innen um die Widerlager zur Folge, was eine Verschiebung des Punktes C nach oben und des Punktes Ax nach unten (innen) zur Folge hat. Man nimmt hierbei auf Grund der

Elastizitätslehre anr daß im ungünstigsten Fall, bei welchem das Gewölbe eben noch standfest ist, C sich der oberen Leibung bis zu х/₃ der Scheitelfugenbreite und Ax der imteren Leibung bis zu х/₈ der Kämpferfugenbreite nähern könne:

C'F = -J-EF; A₁,M = |KM. (Fig. 43a u. b.)

Diese Verschiebungen der Punkte C und At haben aber (§22, Anm.) eine Abnahme der Kräfte H und Wx und der übrigen Fugendrücke zur Folge; letztere haben daher bei der obigen Grenzlage C' und Ai ihr Minimum.

Die für diese Grenzlagen konstruierte Drucklinie heißt Minimaldrucklinie.

Ein Ausweichen der Widerlager nach innen hat eine Verschiebung топ C nach imten und von Ax nach oben zur Folge (Gewölbhälfte sucht um die Auflager sich nach außen zu drehen). Dies bewirkt (§22 Anm.) eine Zunahme der Kräfte H und Wx und damit auch sämtlicher übrigen Fugendrücke. Man nimmt auf Grund der Elastizitätslehre als Grenzlage der Punkte C imd Al5 bei welcher das Gewölbe eben noch standfest ist, wieder je den Endpunkt des äußeren Drittels der betreffenden Fuge an, so daß

C"E = £EF Ai'К = |KM.

Die Werte der diesen Punkten Ai' und C" entsprechenden Kräfte H undW₁ und die übrigen Fugendrücke bilden demnach ein Maximum, die ihnen entsprechende Drucklinie heißt Maximaldrucklinie.

Die Minimal- und Maximaldrucklinie nähert sich, namentlich bei steilen Gewölben, den Leibungen stärker als die mittlere Drucklinia

(Fig. 43 a u. b)

Konstruktion der Minimal- und Maximaldrucklinie (Fig. 43a u. b).

Man benutze wie in § 26 zur Konstruktion der Minimaldrucklinie C'A{ ein beliebiges durch C' gehendes Seilpolygon, dessen durch C' gehende Seite horizontal ist, (Pol 0; 9t₀O senkrecht Seiten 1, 2, 3, 4, 5, 6), das die Resultante der P der linksseitigen Oewölb-hälfte liefert, bringe dessen Seiten zum Schnitt mit der durch (У gehenden horizontalen Polarachse in Tf, C3, C2, Cf, Co, verbinde mit A{, so ist dies die erste Seite der Minimaldrucklinie. Den Schnittpunkt derselben mit der Wirkungslinie von P₅ verbinde man mit C3, so ist dies die zweite Seilpolygonseite bis P₄ usf. wie in § 26.

Zur Konstruktion der Maximaldrucklinie C" AJ' wäre analog das Hilfsseilpolygon 1, 2, 3,4, 0, 6 in gleicher Weise durch C" zu legen und die Schnittpunkte seiner Seiten mit der durch C" gehenden Horizontalen zu bestimmen. Da aber unter Benutzung desselben Poles 0 * das neue Hilfsseilpolygon dem vorigen kongruent würde, so liegen die gesuchten Schnittpunkte T{', C3, С£ usf. seiner Seiten mit der Horizontalen durch C" auf den Vertikalen durch Tf, C3, C2 usf., sind also aus den Punkten Ti, C3, C2 usf. leicht unmittelbar durch Herunterloten zu bestimmen, worauf das Auf zeichnen der gesuchten Drucklinie analog wie das der vorigen erfolgt.

§ 28. Einfluß einer beweglichen Belastung auf die Drucklinie.

An dem gewichtslos und ohne ruhende Belastung gedachten Gewölbe (Fig. 44 a) wirke außer der beweglichen Verkehrslast Q, die an der linksseitigen Gewölbhälfte angreift, keine weitere Belastung. Im

Scheitel EF sei durchgeschnitten; dann wirken an der rechtseitigen Gewölbhälfte nur die zwei Kräfte W₂ und der Fugendruck —s₀ in C. Da diese Hälfte unter Einfluß dieser zwei Kräfte im Gleichgewicht ist, so muß

— s„ = W

von

sein und beide Kräfte müssen in der Verbindungsgeraden CAg wirken. Durch diese Gerade ist aber auch der Schnittpunkt von s₀ und Q und durch die Verbindungslinie T₁ Aj auch die Wirkungsgerade Wjl bestimmt (s₀, Q, W₁ sind in Gleichgewicht).

Fig. 44 a.

ГЧ

Fig. 44 b.

Ein Kräftedreieck über Q (Fig. 44 b) nach den Richtungen von Wj und s₀ bestimmt diese zwei Kräfte.

Läßt man nun zu der Belastung Q noch die symmetrische unveränderliche Vollbelastung als gleichzeitig wirkend hinzutreten, welche für sich allein in der Scheitelfuge den horizontalen Fugendruck H hervorruft, so entsteht in C ein resultierender Scheitelfugen -druck S₀, dessen Komponenten die bekannten Kräfte s₀ und H sind.

Jede weitere an der linksseitigen Gewölbehälfte angreifende Verkehrslast Q erzeugt ein s₀ von derselben

Wirkungslinie und Sinn, vermehrt also die Größe von S₀ und deren Horizontalneigung a. Daher:

Die möglichst volle Belastung einer Gewölbehälfte (einseitige Belastung durch Verkehrslast) liefert in Verbindung mit der gleichzeitig wirkenden unveränderlichen symmetrischen Vollbelastung ein Maximum desScheitel-druckes S₀ nach Größe und Ablenkung von der Richtung der Horizontalen.

§ 29. Konstruktion der Drucklinie für gleichzeitig wirkende unveränderliche symmetrische Vollbelastung und einseitige gleichförmige Verkehrslast.

(Bei gegebenen Punkten A1? und C; A* symmetrisch Aj.) (Fig. 45a, b, c, d.)

Eine der beiden Gewölbhälften trage gleichförmig verteilte Verkehrslast (qkg/qm Horizontalprojektion).

Man konstruiere (nach § 23) die Belastungslinie der einen Hälfte für unveränderliche Belastung (P) und diejenige der anderen Hälfte für unveränderliche Belastung + Verkehrslast (P + Q), bringe in den Schwerpunkten der Belastungsteilflächen der P die P und in denjenigen der P + Q die P + Q als Lasten an. Man denke sich zunächst nur die auf beide Gewölbhälften sich erstreckende Belastung der P wirkend und konstruiere (nach § 22 Anm.) den horizontalen Scheitelfugendruck H (Fig. 45 a u. b). In Figur 45 a ist diese Konstruktion, um die linke Gewölbhälfte nicht mit Linien zu überlasten, an der rechtsseitigen, von der Verkehrslast freien Gewölbhälfte ausgeführt. Dann lasse man die einseitige (linksseitige) Verkehrslast der

Q wirken, bestimme deren Resultante R{ =    • 1 j • q

§ 29. Dnicklinie für kombinierte Belastung.

109

= q —-kg (1 Spannweite des Gewölbes in met, q Ver-

a

kehrslast pro qm), deren Wirkungslinie in der Mitte der betreffenden Gewölbhäifte liegt (Fig. 45 a), bestimme auf ihr durch die Gerade CA₂ den Punkt T1 und die Yerbindungslinie Tx Av Konstruiere den durch die Resultante Ri der Q hervorgerufenen Scheitelfugendruck s₀ mittelst eines Kräftedreieckes Щ Щ O' (Fig. 45 с) über 2ló Щ = R/ nach den Richtungen der Tx C und

T, A,.

Konstruiert man nun aus den kombinierten Lasten P + Q (die Q sind bei gleicher Breite der Belastungsteilflächen ebenfalls gleich) ein Kräftepolygon 916' W{ (Fig. 45 d), macht 916'J — dem gefundenen H und 0"J = dem gefundenen s₀ (nach Größe, Richtung und Sinn), dann ist 0"916' deren Resultante, also der Scheitelfugendruck S₀ bei kombinierter Belastung. Daher ist 0" der Pol der Drucklinie für kombinierte Belastung.

Die Aufzeichnung derselben beginne man von C aus für die mit P + Q belastete Hälfte durch Parallelen zu den von 0" ausgehenden Polstrahlen derP + Q (Seilpolygon); fügt man dann im Kräftepolygon (Fig. 45d) von Wo ausgehend nach oben die Belastungen P der anderen Hälfte in der Reihenfolge von Scheitel zum Kämpfer an, so bestimmen die von 0" ausgehenden, ihnen entsprechenden Polstrahlen der P die Drucklinie in der mit den P belasteten anderen Hälfte (Seilpolygon).

Die Drucklinie als Ganzes ist also ein unsymmetrisches Seilpolygon mit dem Pol 0". In der mit P + Q belasteten Hälfte kommt sie der oberen Leibung, in der anderen der unteren Leibung näher als die Drucklinie für alleinige symmetrische Yollbelastung der P.

НО V. Standfestigkeit der symmetr. Tonnengewölbe.

Fig. 46 a.

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Fig. 45 b.

Fig. 45 e.

§ 30. Beding“, u. Untersuchung der Standfestigkeit. Ш

§ 30. Bedingungen und Untersuchung der Standfestigkeit der Tonnengewölbe.

Ein Tonnengewölbe ist standfest, wenn für jede beliebige radial gerichtete Fuge in Beziehung auf den an ihr tätigen Fugendruck, der den einen der durch sie getrennten dewölbeteile auf* den anderen als Unterlage zu drücken sucht, dieselben vier Bedingungen erfüllt sind, welche in § 17 für die Standfestigkeit der Mauern bezüglich irgend einer Lagerfuge aufgestellt % worden sind. Es darf also bei ungünstigster Belastung:

1.    die Stützlinie bezw. die von ihr nur sehr wenig abweichende Drucklinie an keiner Stelle die Leibungen überschreiten,

2.    die Abweichung der Wirkungslinie des Fugendruckes von der Fugennormalen für keine Radialfuge größer als der Reibungswinkel (<p — 30°) sein,

3.    die Stützlinie bezw. Drucklinie an keiner Stelle innerhalb eines der beiden äußeren Drittel der Fugenbreite (Radialfugen) treten,

4.    die Inanspruchnahme des Materials an keiner Stelle des Gewölbes die zulässige überschreiten und die größte Beanspruchung in der Kämpferfuge auch nicht größer als die zulässige des Widerlagermaterials sein.

Die Bedingung 2. ist fast immer von selbst erfüllt.

Die Untersuchung betreffend der Bedingung 4. ist Aufgabe der Festigkeitslehre (vergl. Festigkeitslehre).

Die statische Untersuchung beschränkt sich auf 1., 2. und 3. und wird mit Hilfe des Vorstehenden graphisch geführt, nachdem zuerst die Gewölbstärke auf Grund statischen Empfindens oder auf Grund ähnlicher Vorgänge angenommen wurde.

Trägt das Gewölbe nur die unveränderliche symmetrische Vollbelastung durch Eigengewicht + Gewicht der Materialanfüllung, so konstruiere man für diese kombinierte symmetrische Vollbelastung die Drucklinie, die durch die Mitten der Scheitelfuge und der Kämpferfugen geht, ebenso die Maximal- und Minimaldrucklinie.

Hat das Gewölbe auch noch Verkehrslast zu tragen,

so konstruiere man für die symmetrische Vollbelastung durch Eigengewicht + Gewicht der Materialanfüllung + Gewicht der Fahrbahn + der über beiden Gewölb-hälften symmetrisch angebrachten Verkehrslast die oben genannten drei Drucklinien.

Außerdem konstruiere man in diesem Falle für die unveränderliche symmetrische Vollbelastung durch Eigengewicht^- Gewicht der Materialanfüllung+Gewicht der Fahrbahn und die gleichzeitig wirkende, nur über einer GewÖlb-hälfte angebraehteVerkehrslast die Drucklinie, die durch die Mitten der Scheitelfuge und der Kämpferfugen geht (§29).

Einem seitlichen Ausweichen der Widerlager wird durch diese in der Praxis wohl kaum eintretende ungünstige Annahme der Belastung bereits Rechnung getragen.

Tritt eine der genannten Drucklinien außerhalb des Gewölbeprofils oder an den Stellen größter Annäherung an eine Leibung innerhalb eines der äußeren Drittel der radialen Fugenbreite, so ist das Profil zu erbreitern oder durch eine neue Form desselben zu ersetzen und die Untersuchung aufs neue durchzuführen.

An diese statische Untersuchung hat sich diejenige hinsichtlich der Bedingung 4. anzuschließen. Nach der Elastizitätslehre tritt in denjenigen Fugen, in denen die Drucklinie innerhalb eines der äußeren Drittel der Fugenbreit'e tritt, am entgegengesetzten Ende der Fuge Zugspannung und damit dort ein Klaffen der Fugen ein. Bleibt die Drucklinie innerhalb des mittleren Drittels, so treten in denjenigen Fugen, in denen ihre größte Annäherung an eine der Leibungen erfolgt, die größten Beanspruchungen des Materials auf Druck ein (Bruchfugen). Die Untersuchung betreffend 4. ist also für diese Bruchfugen durchzuführen (vergl. Festigkeitslehre). Ergibt sie eine Beanspruchung, die größer ist als die zulässige, so ist das Gewölbeprofil ebenfalls zu erbreitern.

§31. Untersuchung der Standfestigkeit der Gewölbepfeiler.

Elin Gewölbepfeiler ist standfest, wenn für ihn unter Wirkung der ungünstigsten Verhältnisse ebenfalls die Bedingungen erfüllt sind, welche am Schlüsse des § 17 auf ge stellt sind. Für die statische Untersuchung ist also die Stützlinie in ihm zu konstruieren (vergl. § 18). Dabei unterscheiden wir:

I. Widerlags-(Ort-)Pfeiler (zwischen Gewölbe und Terrain stehend, Fig. 46 a).

П. Freistehende (Mittel-)Pfeiler (zwischen zwei anstoßenden Gewölben sich befindend, Fig. 48a).

I. Widerlagspfeiler.

da er nicht nur

max ?

Elin solcher soll den Bedingungen der Standfestigkeit auch ohne den Gegendruck etwa hinterfüllter Erde genügen, also nur durch sein Eigengewicht den Kämpferdruck auszuhalten imstande sein. Der für den Pfeiler imgünstigste Kämpferdruck ist W am größten ist, sondern auch am wenigsten von der Horizontalen abweicht. Er tritt bei der Maximaldrucklinie ein. Für diesen wäre also nach §§ 18 u. 19 bezw. 20 die Stützlinie im Pfeiler zu konstruieren.

Gehen die Radialfugen des Gewölbes langsam in die Horizontalfugen des Pfeilers über und liegen die Wirkungslinien der Gewichte Gx, G₂, G₈ usf. der 1 met. tiefen Teilkörper I, П, Ш usf. (Fig. 46 a) des Pfeilers nicht in einer und derselben Vertikalen, so lassen sich die Stützpunkte Ct, C₂, C₃ usf. der Hórizontalfugen einfacher dadurch auffinden, daß man die Drucklinie des Gewölbes durch den Pfeiler hindurch (unter Benutzung desselben Poles О) fortsetzt (Fig. 46a und b).

Hnubor, Statik II

Dieselbe Betrachtung wie in § 24 führt nämlich zu dem Resultat, daß die Seiten des Seilpolygons im Pfeiler die Wirkungslinien der Fugendrücke s des Pfeilers darstellen (der Pfeiler läßt sich demnach als erweitertes

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Fig. 40 a.

Ftg 46 b.

and verlängertes Gewölbe betrachten, dessen Fugen horizontal sind), so daß also der Schnittpunkt einer Horizontalfuge mit der entsprechenden Seilpolygonseite der Stützpunkt in dieser Fuge ist.

In Fig. 46 b ist (Шо^ die der Maximaldrucklinie im Gewölbe entsprechende Polstrahlenfigur mit dem Kräftepolygon 2l₀ SIjl, ferner 3I₁ S3 = und parallel Gx, 332) = und parallel G₂ usf. gemacht. Den neuen Polstrahlen 0 33, О 2) usf. entspricht das hierzu konstruierte Seilpolygon 1, 2, 3 usf., wobei die erste neue Seilpolygonseite 1 durch den Schnittpunkt U von Gx und W zu ziehen ist. (W gekehrtem Pfeil, also im Sinne 0 wirkend, anzunehmen.) Du* Schnitt mit der Fuge A'B' ist deren Stützpunkt Сг. Analog findet man in den Schnittpunkten der Drucklinienseiten 2, 3 usf. mit den Fugen A"B", A'"B"' usf. deren Stützpunkte C₂, C₈ usf. (Fig. 46 a), deren Verbinden die Stützlinie im Pfeiler liefert.

max

ist auf den Pfeiler mit um-

max

Die Drucklinie im Widerlagspfeiler weicht yon der Stützlinie um so mehr ab, je mehr die Wirkungslinien der G sich derselben Vertikalen nähern und kann

daher im allgemeinen nicht, wie die Drucklinie im Gewölbe, für sich allein die Stützlinie bei der Beurteilung der Standfestigkeit des    ₄

Pfeilers ersetzen.

Fig. 47.

Fallen Gx, G₃, G₈ usw. in eine und ^ dieselbe Vertikale, so fallen sämtliche Ecken des Seilpolygons im Pfeiler mit U zusammen und man hat dann nur durch U die Parallelen zu 033, 025 usf. zu ziehen, welche die Horizontalfugen in deren Stützpunkten , C₂ usw. L schneiden.

Bei niederen

Anmerkung.

Pfeilern genügt die Bestimmung des Stützpunktes der Bodenfugo A'"B"' (Fig. 47), indem man im Schwerpunkt S des ganzen über A'" B"' befindlichen Mauer-

körpers dessen Gewicht G anbringt und die Resultante R von G und Wmax konstruiert, deren Schnitt mit A'" B'" der gesuchte Stützpunkt C₈ ist.

П. Mittelpfeiler.

Der ungünstigste Fall für einen solchen ergibt sich durch die Tendenz eines Kippens des Pfeilers um eine der Längskanten A'" oder B'" (Fig. 48 a), wodurch in

<5

Är -

Л-

G3

-lir

w

& Ifi Ф’

Fig. 48 b.

Fig. 48 a.

einem anstoßenden Gewölbe die Maximaldrucklinie, im anderen die Minimaldrucklinie (§ 27), also in der einen

in der anderen WJ

Kämpferfuge des Pfeilers W hervorgerufen würde.

Ist nun (Fig. 48 b) 2t₀^i — W

max?

min

^ «.-vu,

so ist 2lg Slg deren Resultante. Ihre Wirkimgslinie ist die zu St₀ Stj durch den Schnittpunkt U der Wirkungslinien beider Kräfte gezogene Parallele, die Gt in Y schneidet. Ist ferner SL Sls = und parallel G1? so ist Sl₀ 2ls die

max?

Resultante R₁ von Wmax, W^m und Gt. Man findet ihre Wirkungslinie mittelst einer Parallelen zu St₀ 9l3 durch V. Diese bestimmt den Stützpunkt Cx auf A'B'.

Macht man ferner (Fig. 48 b) % % = G₂, so gibt 2l₀ 3I₄ die Resultante R₂ von R₁ und G₂ und ihre Wirkungslinie ist die durch den Schnittpunkt beider, also wieder durch Y gezogene Parallele zu 3l₀5l₄, die den Stützpunkt C₂ auf A"B" bestimmt usw.

Man ziehe also durch Y der Reihe nach die Parallelen zu R2, Rg usf., so liefern diese die Stützpunkte C₂, C₃ usf.

Anmerkung 1. Bei niederen Pfeilern genügt die Konstruktion des Stützpunktes der Bodenfuge. Er bestimmt sich mittelst der durch Y zu 21₀ 9I₅ gezogenen Parallelen, nachdem 9l₂ 3l₅ = und parallel dem Gewichte G = G₄ + G₂ + G₃ das über A'"B'" sich befindlichen Mauerkörpers gemacht worden ist.

Anmerkung 2. Haben beide Gewölbe nur unveränderliche Belastung zu tragen, so genügt statisch die vorstehende Untersuchung.

Tragen die Gewölbe auch Yerkehrslast, so ist diese Untersuchung zweimal durchzuführen und zwar für das

linksseitige Gewölbe vollbelastet (ruhende Belastung + Yerkehrslast) und Minimal-

1.    drucklinie in demselben;

rechtsseitige Gewölbe mit ruhender Belas tun g und Maximal drucklinie in demselben;

linksseitige Gewölbe vollbelastet (ruhende Belastung + Yerkehrslast) und Maximal-

2.    drucklinie in demselben;

rechtsseitige Gewölbe mit ruhender Belastung undMinimaldruckliniein demselben.

Anmerkung 3. Der statischen Untersuchung hat sich diejenige auf Inanspruchnahme des Materials in jedem dieser Fälle anzuschließen (vergl. Bd. Festigkeitslehre).

Anmerkung 4. Aus Vorstehendem ergibt sich die Wichtigkeit einer guten Fundierung der Pfeiler, welche ein einseitiges Senken derselben zur Unmöglichkeit macht Der Eintritt eines solchen ruft nicht nur im Gewölbe, sondern auch im Pfeiler selbst Änderungen der Druck- bezw. Stützlinie hervor, welche für die Sicherheit der Konstruktion gefährlich werden können.

VI. Kapitel.

Theorie des Erddruckes.

(Für eben abgeglichenes Terrain und ohne Rücksicht auf Erdkohäsion.) § 82. Bestimmung des Bruchprismas von größtem Druck.

Entfernt man die einen aufgeschütteten Erdkörper seitlich stützende Mauer, so löst sich ein prismatischer Teil desselben los, der sich auf einer ebenen Gleitfläche nach unten zu bewegen sucht. Betrachtet man dieses Erdprisma auf eine Länge (Tiefe) von 1 Meter, ersetzt die Wirkung von Mauer- und stützender Gleitfläche auf dieses Prismenstück durch deren Normaldrücke und die in diesen Flächen wirkenden, dem Gleiten des Prismas widerstehenden Reibungswiderstände, so bleibt das Prismenstück ABX (Fig. 49a), welches außerdem unter Einfluß seines Eigengewichts Q steht, im Gleichgewicht.

Die resultierende Widerstandskraft der Mauer sei P, diejenige der Gleitfläche (Unterlage) T, dann bilden

im Grenzzustand des Gleichgewichts die Kräfte P bezw. T mit den Normalen zu den betr. Flächen die Reibungs-winkel 9/ (Erde auf Mauer) bezw. 95 (Erde auf Erde) (Statik Bd. I, § 50).

Die drei Kräfte P, Q, T sind im Gleichgewicht, ihre Wirkungslinien schneiden sich daher in einem Punkte U und die beiden Kräfte P und T bestimmen

гг

\o

Fig. 49 b.

Уг

-uw

Fig. 49 a.

sich aus einem Kräftedreieck MN0 (Fig. 49b), das über Q nach den Richtungen von P und T konstruiert wird.

In diesem Dreieck M N 0 ist < N = < (P, Q) = 360° — (90° + а + 90° + <p') = 180° — (а + 9/) = 180 — а — 9/ (Viereck U YAW),

<M = <(Q, T) = (90° Ô) — (90° + 99) = ô — <p (Dreieck USZ).

Zieht man mm (Fig. 50) AC unter der Horizontalneigung 99, ferner AD so, daß «£BAD = 9? -f- <p' und durch den Endpunkt X des Bruchprismas die Parallele XG zu AD, so ist <XAG = S — 9? = < M

<XGA = 180° — <GAD = 180°—[(p+yO+fa — 9?)] - 180° — cp' — а ==■ <N,

also Д AXG cv> Kräftedreieck MON, daher

P XG

Q”ÄG’

und wenn XX' parallel AC,

1)

P AX'

Q“XX'‘

......

se

ХИЛ

Fig. 50.

Nun ist das Gewicht Q des Bruchprismas vom Querschnitt ABX und der Länge =~ 1 m (y Gewicht von 1 cbm Erde):

Q == ^AE • BX • y kg

(wenn AE und BX in met und AE lotrecht DC), somit vermöge 1)

AX'

BX

2) P - *AE. BX    = *AE • у . — • AX'.

Ist nun BB' ebenfalls parallel AC, so ist BX __ DO BT⁼ DA

DX' DA

XX' AC

oder

BX DX' DC B'X⁷ * ХГ ~ AC BX DC B'X' XX⁷_ÄC‘ Df und damit gibt Gleichung 2)

3)

DC B'X'

• AX'

B'X'

DX'

• AX

')•

Da der Wert des ersten KLammerausdruckes nur abhängig ist von gegebenen Größen, so ändert sich der Wert von P nur mit dem Wert der zweiten Klammer.

Für die Sicherheit der Mauer ist es jedoch notwendig, dasjenige Bruchprisma zu kennen, für welches P ein Maximum wird. Für dieses muß also der Wert der zweiten Klammer ein Maximum sein.

Bezeichnet man den konstanten Wert der ersten Klammer mit C, AD mit a, B'D mit b und X'D mit X, so kommt

7"

((a — *)•-

x)

ab

a + b — —

X

und nach den Regeln der Differentialrechnung, wonach dP

für Pmax der Wert—= 0 sein muß,

dP

—- S= C

ab

dx

X²

o,

X = yab

der Wert für x, der P zu einem Maximum macht, d. h. X mittlere Proportionale zu a und b, oder

woraus

DB' DX'

aber

und

DX'“ DA ’ DB' _ DB DT “ DX DX' DX

somit

DX DC

d. h. auch

DX mittlere Proportionale zu DB und DC.

§ 33. Bestimmung des größten Erddruckes P eine gegebene Fläche.

Nach Obigem ist (Fig. 50)

DA DX'

шах auf

DX' DB'

DX' DX

DB'

DB

DA DX DX'~ DB '

§ 34. Graph. Konstr. des Prismas топ größtem Drnck. 123 BX' parallel AX,

daher

somit

АХАВ = АХАХ' = A XAG

oder

AE • BX = XF • AG (XF lotrecht AC) =* XF • XX', somit nach § 32 Gleichung 2)

AX'

Ртах =*XF.XX'.r = |XF-X(by

= |XF-AX'.y

(y—1600—2000 kg, XF und XG in met, P

max

in kg).

§ 34. Graphische Konstruktion des Bruchprismas von größtem Druck.

Die durch A (Fig. 50) unter der Horizontal-neigung (p (im Mittel für geschüttete imd trockene Erde tgcp = 2:3 = 1:— 0,67) gezogene Gerade AC der natürlichen Böschung trifft die Terrainfläche in C; die Gerade AD werde so gezogen, daß BAD = 99 + 9?'. (Yergl. Anmerkung.)

Sind beide Punkte C und D zugänglich, so Lege man durch C und В einen beliebigen Kreisbogen, an diesen von D aus die Tangente DU und mache DX = DU.

Ist D unzugänglich, so ziehe man BH parallel DA;, dann ist auch

AG mittlere Proportionale zu AH und AC.

Lege daher (Fig. 50) durch H und C einen beliebigen Kreisbogen, ziehe an ihn die Tangente AV, mache AG = AY, so bestimmt die Parallele GX zu AD den Punkt X.

Ist C unzugänglich, so lege man, da auch DX' mittlere Proportionale zu DB' und DA, durch B' und A einen beliebigen Kreisbogen, von D aus an ihn die Tangente D¥ (Fig. 50) mache DX'= DW, so bestimmt die Parallele X'X zu AC den Punkt X.

bestimmenden Daher erhält man das

шах

Anmerkung: Je kleiner cpdesto näher rückt D und somit auch X dem Punkt B. In demselben Maße nehmen aber die den Druck P Strecken XF und XH zu. größtmögliche Pmai, wenn

cp'= 0

ist dann normal zu AB.

max

gewählt wird. Dieser ungünstigste aller Fälle tritt in der Praxis selbst bei Eindringen von Wasser, das die Mauerwand AB schlüpfrig macht, wohl kaum ein; bei der Beurteilung der Standfestigkeit der Mauer geht man jedoch bei Zugrundelegung dieses Wertes am sichersten. Man ziehe also AD stets so, daß <BAD ebenfalls = <p wird. Die Wirkungslinie von P

Besondere Fälle.

o)

1. Horizontal abgeglichenes Terrain,

man

durch Halbierung des < ВАС.

An Stelle der allgemeinen obigen Methode findet für diesen Fall (Fig.. 51) den Punkt X einfacher

Denn, da

XX' parallel AC,

so ist

< BXX' = (py somit, da auch, wenn 9/ = 0, < BAX'= 99,

§ 34. Graph. Konstr. des Prismas von größtem Druck. 125 Viereck BX'AX ein Kreis viereck,

daher

<XAB = <BX'X.

J)

J?

Д Фу

"Фу-

Fig. 51.

Da aber

so ist auch

somit

BX' parallel AX, < XAC = <#BX'X <XAB = <XAC.

2. Terrainfläche in natürlicher Böschungs-linie.

Die Terrainfläche ist parallel AC (Fig. 52); C fällt ins Unendliche und somit auch Punkt X. XF = dem senkrechten Abstand e beider Parallelen; XG = AD;

= je-AD-y.

somit

Pmax

tK'è

JL

\f

2f

P~|XF -XG.y. (Fig. 53)

çL

'aY'

z/ч \

\a

Fig. 5&

Ebenso sei für den Mauerteil B A' von der Länge X met das Prisma BX'A' des größten Druckes ebenfalls konstruiert, dann ist der Druck auf BA'

P'^X'F-X'GF.y,

also

§ 35. Angriffspunkt des Erddruckes Pmax-

¥ = o; P

1st qf = 0, so wirkt P Wandfläche AB. In folgendem sei dieser Wert von Pmax mit P, die Länge von AB mit 1 (met) bezeichnet, dann ist

max

normal zur gedrückten Fläche.)

normal zur stützenden

max

P : P' = XF • XG : X'F • X'GK

= (X G)² • cos Я : (X'GO² • cos Я

= (XG)²:(X'GK)S

«= (BA)²:(BA0².

§ 35. Angriffspunkt des Erddruckes Ршах.

127

Es sei nun z eine Strecke von so viel Längen-z • 1

einheiten, daß das Produkt ₇— so viele Flächeneinheiten

Ł

zählt, als P Krafteinheiten, also

~~2~ ⁼ P’

z ®= —

Diese Strecke z sei in A senkrecht B A als Ordinate AE in einem beliebigen Maßstab (Ordinatenmaßstab) aufgetragen, dann ist ihren Maßzahlen nach der Inhalt von

ЛВАЕ = P.

In analoger Weise sei in A die Strecke A/E/ = z' senkrecht BA' auf getragen, so daß

z'x

— = F (Л BA'Ef = P') 2

also

2F

z' =-

dann ist

z : z'

2P 2P' )(:£ T '■ ~г>‘ ■■■=»

t

&&'mą

tfP;

•>

fv

f 1; !

aber nach 1)

p,_P^²

l* ’

//

daher

z : z' =

2P 2Px²

= l:x

somit liegt E⁷ mit E und В in einer Geraden.

Es sei nun A" ein zu A' benachbarter Punkt in der Entfernung A x, so entspricht die in A" errichtete Ordinate A"C" dem Erddruck P" auf BA" und es ist

P" = Dreieck В A"E",

aber

somit

P' = Dreieck В A'E',

P"— F = ÄP== Trapez EA'A^E" = AF.

Ist A x imendlich klein, so ist das Trapez unendlich schmal und der Erddruck AP auf das Element Ax, der gleich dem Inhalt A F des Trapezes ist, kann als in dem zu einem Punkte zusammengeschrumpften Elemente Ax angreifend angenommen werden.

Ist nun die Mauerlänge 1 in unendlich viele solcher unendlich kleinen Elemente Ax und dementsprechend das Dreieck ABE durch die zugehörigen Ordinaten in die gleiche Anzahl entsprechender Trapeze von unendlich kleiner Breite zerlegt, in jedem Element den an . ihm angreifenden Erddruck A P normal zum Element angebracht, dann ist das statische Moment der Be-sultanten P sämtlicher AP in Beziehung auf В = der Summe der statischen Momente der letzteren in Beziehung auf denselben Punkt (Statik Bd. I, § 18).

Es ist also, wenn den senkrechten Abstand der Wirkungslinie des Erddruckes P auf AB von В bezeichnet

x=i

Px^ItAP-x)

x = 0

-A(AF.x)

x = 0

(AF bezeichnet den Inhalt des Trapezes von der Breite

Ax).

AF*x ist aber (Statik Bd. I, § 38) das Moment des Flächenelements AF in Bezug auf die zu AB in В errichtete Senkrechte,

X =1

somit I(AF • x) = dem Moment des Dreiecks BAE in

x=0

Beziehung auf diese Achse,'also, wenn s den Abstand des Schwerpunktes dieses Dreiecks von jener Achse bezeichnet,

P • ^ = Dreieck BAE • s,

woraus

Xo = s,

*o = I¹-

d. h. P geht durch den Schwerpunkt des Dreiecks BAE somit

D. h.: Der Druck eines eben abgeglichenen Terrains auf eine Mauerfläche, deren oberes Ende in der Terrainlinie liegt, greift in einer Entfernung = I der Mauerlänge vom oberen Endpunkt an.

§ 36. Größe und Angriffspunkt des Erddruckes auf eine Teilfläche eines polygonal gebrochenen Mauerprofils.

Um für die ebene Teilfläche A'A" (Fig. 54) des gegebenen Mauerprofils den Erddruck zu bestimmen, verlängere man A'A" bis zum Schnittpunkte M mit der Terrainfläche und bestimme nach § 34 und 33 den Erddruck P" auf die ganze Fläche MA". Mache in A" die senkrechte Ordinate A"E" == z", so daß (vergl. § 35)

z"* MA"

--— = P" (P" = Dreieck M A"E"),

2 P"

(Maßstab für z" beliebig)

Hanber, Statik II

ziehe ME" und A'E' senkrecht MA", so wird (§ 35) der Erddruck auf Fläche A'A"

P — Inhalt des Trapezes E'A/A"E".

Letzterer läßt sich mittelst Abgreifens der Ordinate A'E' im gewählten Ordinatenmaßstab leicht ermitteln. Daher : Der Erddruck auf eine Teilfläche ist gleich dem Inhalt der ihr entsprechenden Teilfläche der Druckverteilungsfigur.

j'

Mt'-

V ■ Л

S'\9

Jpj

j¥

toea

Л—и

I    t \    f f ?    1”* MnJb.vtaA (FerLänjc»

Г°Mesial der.

3/M3Û

Fig. 54.

Ferner führen, wenn x₀ die senkrechte Entfernung der Wirkungslinie der Kraft P von M bezeichnet, analoge Erwägungen wie in § 35 zu der Gleichung:

/МА" = a₂\ \MA' = aj/

Pxo «l(AF-x)

X = ai

=*= Moment des Trapezes E A'A"E" in Beziehung auf die zu MA" in M gezogene Senkrechte

woraus

§ 36. Größe u. Angriffspunkt d. Erddr. auf e. gebr. Profil. 131

«= Trapez E'A'A"E''*s (s Abstand des Schwerpunktes S des Trapezes E/A'A"E// von dieser Senkrechten),

Xq=S.

D. h.: Die Wirkungslinie des auf die Teilfläche A'A" wirkenden (normalen) Erddruckes geht durch den Schwerpunkt der ihr entsprechenden

Teilfläche der Druckverteilungsfigur.

Anmerkung: Ist das Profil der gedrückten Fläche eine krumme Linie, so zerlege man sie in Teilflächen, die ohne großen Fehler als eben betrachtet werden können, d. h. man ersetze den gekrümmten, dem Erdkörper zugekehrten Teil des Mauerprofils durch einen geradlinig polygonalen und bestimme für jeden Teil desselben (nach oben) Größe und Angriffspunkt des (normal zur Teilfläche stehenden) Erddruckes.

//

/4

In vielen Fällen genügt es auch, den polygonal gebrochenen, dem Erdkörper zugekehrten Teil des Mauerprofils durch eine vom unteren Ende desselben ausgehende gerade Ausgleichslinie zu ersetzen und für diese den Druck P zu bestimmen.

Fig. 65.

In Fig. 55 ist CE parallel AB gezogen, dann ist AE die Ausgleichslinie (/N А В С=Д А В Е), für welche Р zu bestimmen wäre.

Beispiel: In Fig. 54 ist A'A" = 2,2 m und MA" = 4 m. Der Erddruck P auf die ganze Fläche A"M ergibt sich

P»|XF-XG.y.

Mit dem Längenmaßstab abgegriffen, findet sich XF = 2,7 m, XG = 2,9 m; somit wird

P = |<2,7 -2,9- 1800 = 7047 kg.

Man berechne nun

z" = A"E" =

3523,5

2 P 2•7047

MA" und trage diese Strecke in beliebigem Maßstab (Ordinaten-maßstab) senkrecht MA" in A" an, ziehe ME" mache A'E' senkrecht MA', so ergibt sich mittelst Ordinaten-maßstabes abgegriffen

z' = A'E' = 1500.

Daher Erddruck auf A'A"

A'A"E"E'=

P = Inhalt des Trapezes 1500 + 3523,5

• 2,2 = 5525,8 kg.

Seine Wirkungslinie geht durch den (graphisch nach Statik Bd. I, § 42 zu ermittelnden) Schwerpunkt S dieses Trapezes und ist lotrecht zu A'A".

§ 37. Erddruck bei gleichförmig und stetig belasteter Terrainfläche.

Die Belastung sei q kg/qm Horizontalprojektion. Man ersetze sie durch die Last einer überall gleich hohen, dem Terrain aufgeschütteten Erdschicht UV (Fig. 56) von der Höhe hmet., so daß

1.1 -h.y = q,

Lq

met.

(y Gewicht von 1 cbm Erde; y = 1600—2000 kg)

Durch Aufschüttung dieser Erdlast wird die Gleitebene AX nicht verändert und ist diese nach § 34 für UY als Terrainfläche zu ermitteln. Man bestimme d en Schnittpunkt U der gedrückten Fläche А В mit der oberen BegrenzungslinieUV der Erdlast, suche den Erddruck Pu а auf die ganze Fläche UA (unter Annahme von UY als Terrainfläche) und bestimme nach § 36 den auf das Stück А В dieser Länge entfallenden Teil desselben mittelst Inhalt und Schwerpunkt des diesem Stück AB entsprechenden Trapezes А В FE, wenn BF senkrecht AB gezogen wird.

\\

UA

Fig. 56.

YH Kapitel.

Vom Gleichgewicht der seilartigen Körper.

§ 38. Die Kette.

Fig. 57.

Die Kette ist ein aus starren stabartigen Gliedern von kleiner Länge zusammengesetzter Körper, von welchen je zwei um einen als Scharnier wirkenden Knotenpunkt mit vollkommener Beweglichkeit drehbar sind (Fig. 57). Sie dient als Hängewerk oder in geradliniger Form als Zugstange.

Wirken in sämtlichen Knotenpunkten aktive Kräfte, so ist nach § 16 die Gleichgewichtsform ein Seilpolygon für jene Kräfte und die Zugkraft in irgend einem Kettenglied gleich dem zugehörigen Polstrahl. Gewöhnlich sind diese aktiven Kräfte vertikale Lasten und die Kette samt Lasten ist symmetrisch angeordnet. Rühren diese Knotenpunktslasten von einer stetigen, über die Horizontalprojektion gleichförmig verteilten Belastung her, so ist nach § 16 bei Gleichgewicht die Kurve der Knotenpunkte eine Parabel (Konstruktion und Berechnung § 16).

§ 39. Das Seil.

Das Seil läßt sich betrachten als eine Kette mit unendlich vielen Gliedern von unendlich kleiner Länge. Unter Voraussetzung vollkommener Biegsamkeit um die unendlich vielen Knotenpunkte, die jedoch in der Praxis nicht zu trifft, folgt aus obigem:

Zwei benachbarte Seilelemente, in deren gemeinsamem Knotenpunkt keine aktive Kraft wirkt, fallen bei Gleichgewicht in eine Gerade.

Ist eine endliche Anzahl von Knotenpunkten von aktiven Kräften ergriffen, so ist die Gleichgewichtsform ein Seilpolygon für jene Kräfte. Ein zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ecken desselben in einer Polygonseite liegendes Seilelement erleidet Zugspannung. Für alle Seilelemente derselben Polygonseite ist diese Spannung (Seilspannung) von von gleichem Wert. Sie ist gleich dem jener

/ H \

entsprechenden Polstrahl =-)•

\ cos а /

Seite

Ein unter Einfuß von äußeren Kräften im Gleichgewicht sich befindliches Seil läßt sich für die statische Berechnung in diesem Zustand als starr betrachten und

gestattet demnach die Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen starrer Körper.

§ 40. Beispiel der analytischen Berechnung einer Seilverbindung mit festem Knoten.

Im festen Knoten C der in Figur 58 dargestellten Seil Verbindung greife die Last P = 60 kg an; die von den Auflagern ausgeübten Zugkräfte (Seilspannungen in I und П) anzugeben.

6m

VL—

!J5

rr

te

*- -2' \P.GOhg

Pig. 58.

Auflösung: Im Gleichgewichtszustand läßt sich die Verbindung als starrer Körper betrachten, daher (vergl. Kapitel I):

1. Seilverbindung als Ganzes: Yv Rv P = 60, V₂, H2 im Gleichgewicht l’X-O:

1)

2T-0:

— Hi+ILj-0

2)

3)

— Vj — V₂ + 60 = 0 ^-Momente um A₂ = 0 :

VlV6 —Ht. 2 — 60-2 = 0

2. Freimachung des Seilstückes I in C und Al5 Momentengleichung um C:

4)

V, *4 —H, -3 = 0.

Aus 3) und 4) ergeben sich die Unbekannten Vj

und Hx :

V₁ = 36 kg

H, - 48 kg,

H₂ == 48 kg

- 24 kg.

somit vermöge 1 ) und vermöge 2)

Probe: Freimachung des Seilstückes П in C und A₂; Momenten-Gieichung um C:

— V₂.2 + H₂ . 1 = 0; —24.2 + 48- 1 = 0, Seilspanmmg in I: St = ]/V? + H|= 60 kg, Seilspannung in П: S₂ = У VJ -|-    = 53,5 kg.

§41. Gleichgewichtsform eines schweren homogenen an zweien seiner Punkte aufgehängten Seiles.

Durch den tiefsten Punkt der Gleichgewichtskurve gehe die vertikale y-Achse eines rechtwinkligen Koordi-

ds/Щ)

ff

0^\q<fs

+ JC

Fig. 69-

natensystems (Fig. 59). Wir schneiden im beliebigen Punkte (xy) und im tiefsten Punkt das Seil durch

und bringen am zwischenliegenden Seilstück von der Länge s in diesen Punkten die von den benachbarten Seilelementen ausgeübten Zugkräfte (Spannungen H und S) an. Die Wirkungslinien derselben fallen in die Richtungen der bezüglichen Tangenten; die Spannung H im Ursprung ist also horizontal. Außer diesen zwei Kräften greifen am zwischenliegenden Seilstück an jedem Element desselben von der Länge ds dessen Gewicht q d s an (q Gewicht der Längeneinheit des Seiles). Die unendlich vielen, unendlich kleinen Lasten qds des ausgeschnittenen Seilstückes sind, wenn das Seilstück im Gleichgewichtszustände als starr betrachtet wird, mit H und S im Gleichgewicht, daher:

2,X = 0:

S • cos а — H = 0

dx

S--r- = H

ds

d. h. Horizontalzug an jeder beliebigen Stelle des Seiles = H, also konstant.

s

2T = 0:

S sin а —

I qds = 0 0

со

oder

02

со

о.

somit

* KO-⁴*

mid mit Benutzung des Wertes für S aus 1)

138 VII. Vom Gleichgewicht der seilartigen Körper

H3 ru¹

РЧ p^ и Ы

woraus durch Integration

=¥+o,

und da für x = 0

dy

^- = 0

dx

(Tangente im tiefsten Punkte horizontal)

somit

sich ergibt, so kommt

dy

dx

1А+Ш!

ix

= e“H

(e Basis des natürlichen Logarithmensystems 2,71828 ...

]Mg)

qx

= e ¹¹

dy

dx

zqx

= e ¹¹ -2eH .^ +

qx

dy

dx

ro из

t>s ! К T3 1чЗ

CD

CD

§ 42. Der Riemen, woraus durch abermalige Integration

+ 0.

H / -K-

, =    ₊. h)

so, daß für X == 0

Wählt man den Ursprung des Koordinatensystems ^ wird ;

so kommt

und

H / f ,

y-2-(e»+e

Dies ist die Gleichung einer Kettenlinie oder Seil kurve. Sie ist ein Seilpolygon von unendlich vielen Seiten, in dessen Knotenpunkten die unendlich kleinen Gewichte der Seilelemente angreiien.

§ 42. Der Riemen.

A) Grundformel des Momentes der Reibung am umschlungenen Zylinder.

St

Fig. ßO.

An dem um den ruhenden Zylinder M (Fig. 60) geschlungenen Riemen seien die geradlinigen tangentiellen Enden in beliebigen Punkten ^ durchgeschnitten, am zwischen- 4 liegenden Riemenstück in den Schnittstellen die Spannungen S₂ und Sj angebracht und letztere in ihren Wirkungslinien mit ihren Angriffspunkten bis in die Berührungspunkte A und В am Zylinder verschoben. Wäre keine Reibung zwischen Riemen imd Zylinder vorhanden, so würde die größere der beiden Kräfte, z. B. Sx, ein Gleiten des Riemens über seine Unter-

läge iin Sinne dieser Kraft herbeiführen. Die Reibung wirkt der angestrebten Bewegung jedoch entgegen. Es sei nun der obere Grenzwert jener Kraft Sj bei welcher der Riemen eben noch im Gleichgewicht sich befindet, wenn der Reibungswiderstand seinen größten Wert (Statik Bd. I, § 50) angenommen hat, so daß jede Vermehrung dieses Wertes von St ein Gleiten des Riemens im Sinne von S₁ zur Folge hätte.

An dem ausgeschnittenen Riemen element vom Zentriwinkel d cp wird bei Gleichgewicht des ganzen Riemens ebenfalls Gleichgewicht herrschen, wenn an ihm in den Schnittstellen die Spannungen s und s + ds angebracht werden. Diese Kräfte sind im Gleichgewicht mit dem ebenfalls am Element angreifenden Normaldruck dn des Zylinders imd dem auf das Element entfallenden Reibimgswiderstand dR.

In Beziehung auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem, dessen Ursprung in der Mitte des Elementes liegt und dessen x-Achse in die Richtung desselben, also mit der Tangente zusammenfällt, ergeben somit die zwei Gleichgewichtsbedingungen (wofern als Projektionen von s und s + ds auf die x-Achse bei dem geringen Unterschiede dieser drei Richtungen die Kräfte s und s + ds selbst, und sämtliche Kräfte als in einem Punkte sich schneidend angenommen werden mögen):

2x = 0:

(s + ds) — s — dR=0; dR^ds,

2)

dn —

dqp    d w

s sin — (s + ds)* sin—~ = 0. u    Ł

Woraus, wenn für den sin des sehr kleinen Winkels

der Bogen —gesetzt und das unendlich kleine

d (p

dç)

и    О

Glied zweiter Ordnung ds^sin-—^ gegen die übrigen Glieder erster Ordnung vernachlässigt wird,

dn = 2s—₍y- — sdcp.

и

Da nun (Statik Bd. I § 50)

so kommt also vermöge 1)

dB = f• dn (f Reibungskoeffizient), dR = f «s-dq?, ds = f «s-dç?

ds

woraus durch Integration

1 s = f op -f- О,

so kommt

und da für op = 0, s == S₂, also C = 1S₂, ls =f(p + 1S₂

S₂

= f(p

S    -

5    = e'f

s = S₂efv,

also für

und

çp = a (Umschłmgungs winke) AMB) s = Sj :

i)

Si -s₂ef^.

(St bedeutet die größere, S₂ die kleinere der Spannkräfte an den Seilenden.)

142 VIL Уош Gleichgewicht der seilartigen Körper

Aus 1) folgt

dH == ds,

somit das Moment der Reibung am Element ds

dM = rdR = rds,

am Um-

daher das Gesamtmoment der Reibung schlingungsbogen

S=S!

M=/rds = r(S₁ — Ss)

8 = Sa

oder unter Benützung der Gleichung I)

П)

M = (Sj — S₂).r = S₂ (eta —1 )r

(f Reibungskoeffizient; e die Basis des natürlichen Logarithmensystems = 2,71828...).

Anmerkung 1. Ist der Riemen in unveränderlicher Lage und wirkt am Zylinderumfang eine tangen-tielle Kraft P (Umfangskraft) vom Momente Pr (r Radius des Zylinders), so darf deren Moment dasjenige der Riemenreibung in Beziehung auf die Drehachse nicht' übersteigen, wenn ein Gleiten des Zylinders unter dem Riemen hinweg nicht eintreten soll. Ist also der obere Grenzwert des Moments P • r der Drehkraft = dem Moment der Reibung, also

P-r = S₂ (efa — 1) • r,

so befindet sich der Zylinder und Riemen in der Grenzlage des Gleichgewichts und der hieraus sich ergebende Wert

Ш)

P-S₂(efa—1)

bezeichnet demnach die obere Grenze von P, welche bei gegebenem S₂ diese Kraft nicht überschreiten darf, wenn ein Gleiten nicht eintreten soll.

Umgekehrt bezeichnet der aus III) folgende Wert

rv)

efa — 1

d. h. denjenigen Wert,

die untere Grenze von S welchen bei gegebenem P S₂ mindestens annehmen muß, wenn ein Gleiten nicht eintreten soll. Diesem Wert entspricht ein zugehöriger Wert von Sj :

P • efa

V)

St = S₂ efa =

efa — 1

Anmerkung 2. Für Hanfseile läßt sich f = 0,33 (auf Holz) annehmen; man erhält somit bei nmaliger Umwicklung

a = n • 2л

und somit

Sx = S₂ • e⁰’³³ * n * 2я = annähernd 8n • S₂. Weiteres vergl. Bach, Maschinenelemente, Stuttgart

B) Beispiel.

Es soll die im Zustand der Ruhe in einem über zwei Wellen geschlungenen Riemen herrschende Spannung angegeben werden, die mindestens vorhanden sein muß, damit bei eintretender Bewegung der treibenden Welle kein Gleiten des Riemens erfolgt.

Auflösung: Es sei (Fig. 61) die größere (L) die treibende Welle, dann kann ein Gleiten des Riemens nur an der getriebenen Welle stattfinden, weil dort der kleinere Umschlingimgswinkel a₂ und somit nach Gleichung II) auch der kleinere Reibungswiderstand vorhanden ist

Nach Vorigem ist der untere Grenzwert S₂ (Minimum) der Spannung im gezogenen Riemen, bei welchem unter Annahme eines tangentieilen konstanten Widerstandes W, den die getriebene Welle zu überwinden hat, ' ein Gleiten des Riemens bei eintreten-Л der Bewegung an dieser nicht stattfindet :

«

So =

ef“> — 1

'* «

r- № w Л -<Ф> к

und der zugehörige Wert von Sj im ziehenden Riemen:

St

W • ef“J

et«2 - 1

Fig. 61.

Im Falle gleichförmiger Bewegung (s. Bändchen Dynamik) muß aber für die getriebene Welle die algebraische Summe der Momente sämtlicher an ihr angreifender Kräfte = 0 sein,

daher

woraus

Sj - r — W-r — S₂-r = 0, w = S₂ — Sj

d. h.: Die Spannungsdifferenz ist für die ganze Dauer der Bewegung konstant.

Nimmt man für den Ruhestand den Widerstand W = 0, so kommt für diesen Zustand

Si-S,.

Es sei diese Spannung im Ruhezustand im folgenden mit S₀ bezeichnet. Nimmt man an, daß der Teil Aj A₂ des elastisch gedachten Riemens beim Anwachsen der Spannung S₀ um AS auf den Betrag Sx eine Verlängerung erfahre und der Teil B^g eine Verkürzung von gleichem Wert erleide, die durch eine Abnahme von S₀ um den gleichen Betrag Л S bis zur Erreichung des Grenzwertes S₂ herbeigeführt werde, so muß

sein, woraus

So

Sj — AS = S₀, s₂ + AS = S0 Si + S₂

und unter Benutzung der obigen Werte 1) und 2) von Si und So

3)

S° = ¥-

W efft‘ + l

ef«2 - l

Die Riemenspannung muß also im Ruhezustand bei gegebenem W mindestens von diesem Werte sein, wen n bei ein tretender Bewegung kein Gleiten des Riemens über die getriebene Welle stattfinden soll.

Anmerkung 1. Bringt man die Gleichimg 3) auf die Form

14

efaa

efaa

so erkennt man, daß mit wachsendem Winkel a₂ der Wert von S₀ sich vermindert.

Anmerkung 2. Wirkt der Widerstand nicht tangentiell an der Welle П, sondern wie z. B. die Kraft P am Arm a (Fig. 61), so ersetze man diese durch

10

H&uber, Statik II

eine tangentielle Umfangskraft W von gleichem Moment, so daß also

W *r = P • a,

Pa

also

woraus aus 3)

4)

Pa efaa + 1 Ьо= 2r V* —Ï

Anmerkung 3. Zur Berechnung des nötigen Riemenquerschnitts dient die größere der Spannungen S, also Sx und zwar der Wert aus Gleichung 2).

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fachen Träger. Leipzig, 1873.

—    Theorie der statisch bestimmten Träger für Brücken und Dächer

Leipzig, 1887.

—    Beispiele und Aufgaben zur Berechnung der statisch bestimmten

Träger für Brücken und Dächer. Leipzig, 1888.

Winkler, E. Neue Theorie des Erddruckes. Wien, 1872.

—    Vorträge über Brückenbau. 3 Bde. Wien, 1873/87.

Bibliothek

zur Mathematik und Astronomie

aus der Sammlung Göschen

Nr. 226

Geschichte der Mathematik von Prof. Dr. A. Sturm.....

Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von Prof. Dr. Hermann Schubert. Neue Ausgabe

von Prof. Dr. Robert Haußner...............Nr. 81

Fünfstellige Logarithmen von Direktor Prof. Aug. Adler. Nr. 423 Mathematische Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik mit 18 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen. Nr. 51 Gruppentheorie von Dr. Ludwig Baumgartner. Mit 6 Fig. Nr. 837 Arithmetik und Algebra von Prof. Dr. Hermann Schubert Nr. 47 Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra von Prof.

Dr. Hermann Schubert...................Nr. 48

Versicherungsmathematik von Prof. Dr. Alfred Loewy ... Nr. 180 Determinanten von Prof. Paul B. Fischer Vektoranalysis mit 16 Fig. von Prof. Dr. Siegfried Valentiner Nr. 354 Niedere Analysis mit 6 Figuren von Prof. Dr. В. Sporer Nr. 53 Höhere Analysis I: Differentialrechnung mit 68 Figuren von

Rektor Dr. Friedrich Junker................

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differentialrechnung

mit 46 Figuren von Rektor Dr. Friedrich Junker.....Nr. 146

Höhere Analysis II: Integralrechnung mit S9 Figuren von

Rektor Dr. Friedrich Junker................

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung mit 50 Figuren von Rektor Dr. Friedrich Junker .... Nr. 147 Graphische Integration von Dr. F. A. Willers. Mit 53 Fig. Nr. 801 Einleitung in die Funktionentlieorle (Theorie der komplexen Zahlenreihen) von Oberl. M. Rose. Mit 10 Fig. Nr. 581 Funktionentheorie von Prof. Dr. Konrad Knopp.

I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. Mit 9 Figuren........

II. Anwendungen der Theorie zur Untersuchung spezieller analytischer Funktionen. Mit 10 Figuren. Nr. 703 Ebene Geometrie m. 110 zweifarb. Fig. von Prof. G. Mahler. Nr. 41 Stereometrie mit 81 Figuren von Prof. Dr. Robert Glaser Nr. 97 Sammlung von Aufgaben aus der Stereometrie von Prof.

Dr. Robert Glaser. Mit 54 Figuren...........

Ebene und sphärische Trigonometrie mit 59 Figuren von Prof. Dr. Gerhard Hessenbe Sammlung von Aufgaben aus Trigonometrie mit 26 Fig. v. Studienrat Dr. Fritz Heiland. Nr-848

Nr. 402

Nr. 87

Nr. 88

Nr. 668

Nr. 779

rg...............N.. 99

der ebenen und sphärischen

Analytische Geometrie der Ebene mit 57 Figuren von Prof.

Dr. M. Simon...........................

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene

mit 32 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen.........

Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Figuren von

Prof. Dr. M. Simon.......................

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes

mit 7 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen..........

Algebraische Kurven. Neue Bearbeitung von Prof. Dr.

H. Wieleitner.

I.    Gestaltliche Verhältnisse. Mit 97 Figuren.....

II.    Theorie und Kurven dritter und vierter Ordnung

von Prof. E. Beutel. Mit 52 Figuren.........

Einführung in die konforme Abbildung von Prof. Dr.

Ludwig Bieberbach.......................

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung mit

91 Figuren von Prof. K. Doehlemann............

Darstellende Geometrie von Prof. Dr. Robert Haußner.

I.    Mit 110 Figuren......................

II. Mit 40 Figuren.......................

Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn .... Nr. 58 Praktisches Zahlenrechnen, V. Prof. Dr.-Ing. P. Werkmeister.

Mit 58 Figuren..........................

Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik von Obering. Privatdoz. Dr. Marcello Pirani. Mit 58 Figuren Nr. 728 Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate von Prof. Wilhelm Weitbrecht. 2 Bände Nr. 302, 641 Vermessungskunde von Prof. Dipl.-Ing. P. Werkmeister.

2 Bände mit 255 Figuren.................

Geodäsie von Prof. Dr. G. Reinhertz, neubearbeitet von

Dr. G. Förster. Mit 68 Figuren...............

Photogrammetrie und Stereophotogrammetrie von Prof. Dr.

Hans Bock. Mit 59 Figuren.................

Kartenkunde von Dr. M. Groll, neubearb. v. Dr. Otto Graf.

I. Die Projektionen. Mit 56 Figuren ....

II.    Der Karteninhalt u. d. Messen auf Karten. Mit39Fig. Nr. 599 Astronomie. Größe, Bewegung u. Entfernung d. Himmelskörper von A. F. Möbius, neubearbeitet von Prof. Dr. Hermann Kobold.

I. Das Planetensystem. Mit 33 Figuren........

II. Kometen, Meteore und das Sternsystem. Mit 15 Fig.

und 2 Sternkarten.....................

Astrophysik mit 15 Fig. v. Prof. Dr. Walter F. Wislicenus.

Neubearbeitet von Dr. H. Ludendorff............

Astronomische Geographie mit 52 Figuren von Prof. Dr. Siegmund Günther........................

Nr. 65

Nr. 256

Nr. 89

Nr. 309

Nr. 435

Nr. 436

Nr. 768

Nr. 72

Nr. 142 Nr. 143

Nr. 405

Nr. 468, 469

Nr. 102

Nr. 699

. ... Nr. 30

Nr. 11

Nr. 529

Nr. 91

Nr. 92

Weitere Bände sind in Vorbereitung

Vorlesungen über graphische Statik. Von Dr. Friedrich Schur, o. Professor an der Universität Breslau. Herausgegeben unter Mitwirkung von Wolfgang Vogt. Groß-Oktav. VIII, 219 Seiten mit 123 Figuren. 1915.

Geh. M. 7.-***, Einband M. 5.-**

Geb. M. 10.-***

Lehrbuch der Mechanik. Von Professor Dr. Karl Нерп in Kar's-ruhe. I. Kinematik mit einer Einleitung in die elementare V^ ktor-rechnung. Mit 94 Figuren. XVI, 339 Seiten. 1906. (Sammlung Schubert Nr. 37.)

M. 26.-*

Analysis der ebenen Bewegung. Von Dr. Martin Krause, Geheimrat, Professor an der Technischen Hochschule Dresden. Unter Mitwirkung von Dr. phil. et rer. techn. Alexander Carl in Leisnig. Oktav. VII, 216 Seiten. 1920.

Einführung in die theoretische Physik. Von Dr. Clemens Schäfer, Professor an der Universität Breslau. 2 Bände.

I. Band: Mechanik materieller Punkte, Mechanik starrer

Körper, Mechanik der Kontinua (Elastizität und Hydromechanik) mit 249 Figuren im Text. Groß-Oktav. XII, 925 Seiten. 1914.

Geh. M.30.-***, Einband M. 6.-**

II. Band, Erster Teil : Theorie der Wärme, Molekular-kinetische Theorie der Materie. Groß-Oktav. X, 562 Seiten mit 71 Figuren im Text. 1921.

Geh. M. 75.-

geb. M. 90 —

Einführung in die theoretische Physik mit besonderer Berücksichtigung ihrer modernen Probleme. Von Arthur Haas, Dr. phil. a. o. Professor an der Universität Leipzig. Erster Band. Mit 50 Abbildungen. Zweite, unveränderte Auflage. Groß-Oktav. VII, 384 Seiten. 1921.

Geh. M. 50 —, geb. M. 60.—

Zweiter Band. Mit 30 Abbildungen. Erste und zweite Auflage. Groß-Oktav. VI, 286 Seiten- 1921.

geb. M. 53.—

Geh. M. 45.

Teuerungszuschläge: * = 50%, ** = 100%,

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Vereinigung wissenschaftlicner Verleger

Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung/ J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung / Georg Reimer / Karl J. Trübner / Veit & Comp. /

Berlin W. 10 und Leipzig

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