WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

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BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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L. inw

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

Sammlung Göschen Band 260

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298026

SAMMLUNG GÖSCHEN BAND 260

Parallelperspektive

Rechtwinklige und schiefwinklige Axonometrie von

Professor J. Vonderlinn

Gewerbeschulrat und Baugewerkschuldirektor i. R.

Mit 121 Figuren

Neudruck

Walter de Gruyter & Co.

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

Berlin 1945

AlleRechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten

KD    2.3

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Archiv-Nr. 1102 60

Plattendruck von Walter de Gruyter & Со., Berlin W 35 Printed in Germany

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Inhaltsverzeichnis.

I.    Rechtwinklig© Axonometrie.

Entstehung eines axonometrischen Bildes eines Körpers, Konstruktion des Achsenkreuzes..........6

Herstellung eines axonometrischen Bildes eines Körpers ........

Die verschiedenen axonometrischen Projektionsarten .....

Isometrische Projektion . .

Dimetrische Projektion . .

Trimetrische Projektion . .

II.    Schiefwinklige Axonometrie.

Wahl des Achsenkreuzes, Projektions-Arten, Aufgaben.........

III.    Direkte Konstruktionen der Axonometrie.

Allgemeines

Aufgaben über Lagenbeziehungen ... 69 Darstellung von Punkt, Gerade, Ebene, Körper in rechtwinkliger und schiefwinkliger Axonometrie

Aufgaben über Maßbeziehungen .... 68 Darstellung in rechtwinkliger Axonometrie 68 Darstellung in schiefwinkliger Axonometrie 86

IV.    Schattenkonstruktionen in axonometrischer

Darstellung.

Wahl der Lichtrichtung, Schatten eines Punktes ............

Verschiedene Aufgaben.......

Seite

12

14

16

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31

41

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I. Rechtwinklige Axonometrie.

Entstehung eines axonometrischen Bildes eines Körpers, Konstruktion des Achsenkreuzes.

1. Ein rechtwinkliges Parallelepiped (siehe Fig. 1)

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Fig. 1.

Fig. 2.

läßt sich durch zwei Drehungen, eine um eine horizontale Achse, dann eine um eine vertikale Achse, in eine

Lage bringen, wie etwa die Figur 2 zeigt. Während in der Figur 1 nur je eine Fläche in der Projektion als ein Rechteck abgebildet erscheint, erhält man in Figur 2 drei Flächen sichtbar abgebildet. Außerdem erscheinen in der Figur 2 die drei Ausdehnungen des Körpers, Länge, Breite und Höhe, als endliche Strecken, freilich nicht in wahrer Größe, sondern verkürzt. Die Figur 2 gibt ein anschaulicheres Bild von dem Gegenstände, als die Figur 1. Es ist klar, daß zwischen den Längen o₂a₂, o₂b₂ und o₂(f₂ der Figur 2 und den wahren Längen dieser Strecken geometrische Beziehungen bestehen, deren Zusammenhang abhängig ist von der Größe der Drehungswinkel oc und ß und der durch einfache geometrische Betrachtungen sich feststellen läßt.

Die Figur 2, Aufriß, nennt man eine parallelperspektivische Darstellung des Parallelepipedes der Fig. 1 oder auch ein axonometrisches Bild des Körpers. Das Bild ist eine rechtwinklige Projektion des Körpers auf die vertikale Projektionsebene oder die Bildebene. Bestimmt man die Durchschnittspunkte der drei in der Ecke o' zusammenstoßenden Körperkanten o'o, o' b und о' c mit der Bildebene, so ergibt sich ein Dreieck xy%^ siehe Figur 2, in welchem die Seiten xy, x% und y % die Durchschnittslinien oder Spuren der drei Ebenen o' ab, о' а c und o'bc mit der Bildebene darstellen. Das Dreieck xyx soll für die Folge stets das Spuren -dreieck der Bildebene heißen. Als Spuren der Ebenen o'ab, о' a c und o'bc stehen die Seiten xy, x% und y% senkrecht zu den Bildern der Geraden o'c, o'b und o' a. Letztere bilden ein rechtwinkliges Achsenkreuz im Raume, dessen axonometrisches Bild durch die. drei Geraden o₂c₂₎ o'₂b'₂ und o₂ab gegeben ist

2. Das axonometrische Bild des Achsenkreuzes ist innerhalb gewisser Grenzen beliebig wählbar, d. h. es läßt sich für jedes innerhalb gewisser Grenzen beliebig angenommene Achsenkreuz die zugehörige Lage des räumlichen rechtwinkligen Achsenkreuzes feststellen.

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.Fig. a

Ist in Figur 3 X₀ Y₀ ZQ das axonometrische Bild eines Achsenkreuzes, so ergibt sich zunächst das Spurendreieck x₀ yQ Zq der Bildebene, indem man x₀ y₀ senkrecht zu Z₀₁ y₀z₀ senkrecht zu und x₀zQ senkrecht zu Y₀ zeichnet. Mittels der durch die Achsen X, Y und Z senkrecht zur Bildebene geführten Ebenen ergeben sich durch Umlegung dieser Ebenen in die Bildebene die Dreiecke £ о, я₀, b o„ Уо > Ь°тЧ un(* damit die Winkel &, ß, у der Achsen X, Y und Z sowie WyM, WXi und Wxy der Achsenebenen YZ, IZ und 17 mit der Bildebene. Hierdurch ist aber die Lage des Achsenkreuzes gegen die Bildebene festgestellt.

Überträgt man von den Punkten £, t) und 5 auf den Senkrechten durch o₀ zu %, x₀ x₀ und г/₀ Xq die Längen £0,, b °ff und Ъ°,„ nach £o'"i)0" und go' und verbindet die Punkte 0'", 0" und 0' mit den Ecken des Spurendreiecks, so erhält man die Umlegungen der Achsenebenen XY₎ YZ und XZ in die Bildebene.

Trägt man eine beliebige Strecke l auf den umgelegten Achsen nach o'a' — o'b'~ o"a” =o//c// = o'”c'" = ombm ab und bestimmt die zugehörigen axonometri-schen Bilder a₀, b0l c₀ auf Хд) Г₀, Z₀, so ergeben sich in den Längen o₀ a₀, o₀ b₀ und o₀ cö die der Projektionen einer vom Schnittpunkt der drei Achsen auf letzteren aufgetragenen Strecke l.

Anmerkung 1: Man kann die Länge der Projektionen einer von dem Achsenschnittpunkt auf den drei Achsen aufgetragenen Strecke l auch noch dadurch ermitteln, daß man die Strecke l von den Punkten оn 0 n und om auf den umgelegten Achsen 0, x₀, o„y₀ und °m 4 »ach o, a,, o„ bn und o,„ c,„ abträgt und ffl₀, b₀, c0 auf X₀, Y₀, Z₀ ermittelt.

3. Nennt man die Projektionen einer Strecke l auf die Achsen X₀, XQ, Z₀ bzw. lx, llf, ls, so hat man aus der Figur 3 sofort folgende Beziehungen:

4 = Icos# ; ly = /cos/1 und 4 = Icosy;

cos a = — ; cos ß == ~

l } cosy = -y .

oder

Ferner ist

cos²# 4 cos²/? + cos²y == 2.

(1)

Sind ПШ1 m, n,p drei Strecken oder drei Zahlen, die sich zueinander verhalten wie die Kosinus von #, ß, y, so daß also m = fccos&; n = kcosß und p = kcos y ist, so ist nt² 4 w² + J3² — 2&² und

2 W2²

COS ² # =

cos²/? =

W² + n² + p2 2 n²

m² +    + J?²

2 p²

m² -f »² + J°2 Hieraus folgt aber offenbar auch die Beziehung: m² + ?i² ;>

COS ² y —

(2)

(3)

?i² p2 ^ Ш²

Für die Projektionen lx, und lt einer auf den Achsen X, F und Z liegenden Strecke / ergeben sich nun folgende Ausdrücke:    __

= I j/ -

2 w²

»i² -J- я² + P*

ly — l cos ß — l

2 w²

m² n² -\-p²

l,= l COSV =/]/--^-

' p m*+ »»*+/>*

Die vorstehenden Entwickelungen lassen sich zu folgenden Ergebnissen zusammenfassen:

„Eine auf einer Achse liegende Strecke l hat ein axonometrisches Bild lX) ly oder lg. Die

Yerhältnisse — = cosa,

J = GOBß , y = cosy

nennt man die Yerkürzungsverhältnisse der axonometrischen Projektion. Zu jeder axono-metrischen Projektion gehören drei Yerhältnis-zahlen, m, n und p, die sich zueinander verhalten wie die Yerkürzungsverhältnisse.“

„Zu jeder axonometrischen Projektion gehören drei Yerkürzungszahlen, d. h. die in Nr. 4 angegebenen Wurzelausdrücke.“

Man erhält die Länge des Bildes einer auf einer Achse liegenden Strecke J, wenn man l mit der zugehörigen Yerkürzungszahl multipliziert

In dem gleichen Maße, in dem sich eine auf einer Achse gelegene Strecke verkürzt, verkürzt sich auch jede zu einer Achse parallele Strecke. Zieht man also durch einen Punkt a im Baume Parallelen zu den drei aufeinander senkrecht stehenden Achsen X, Y und Z, so erhält man für den Punkt a drei Koordinaten x, y und x. Den Achsen X, Y und Z entsprechen die Achsenbilder XQ) YQ, ZQ, den Koordinaten ж, y} x entsprechen die axonometrischen Koordinaten xQ , y₀, x₀, welche den Punkt a₀ als axonometrisches Bild von а liefern. Dabei bestehen zwischen den rechtwinkligen Koordinaten x₎ у und x und den axonometrischen Koordinaten x₀, y₀, x₀ die in den Gleichungen (4) aufgestellten Beziehungen.

4. Sind die Yerhältniszahlen m, n und p gegeben,

so ist damit auch das Bild des Achsenkreuzes der zugehörigen axouometrischen Projektion festgelegt, und es ist eine Grundaufgabe der Axonometrie, aus den gegebenen Yerhältniszahlen das Bild des Achsenkreuzes zu ermitteln. Diese Aufgabe läßt eine Reihe von Lösungen zu; es c sollen im nachstehenden nur einige der gebräuclilichsteu n und zweckmäßigsten Konstruktionen ausgeführt werden.

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Fig. 4.

Erste Konstruktion:

Ersetzt man die drei Verhältniszahlen m, n imd p durch drei Strecken m , n und p, zeichnet (siehe Pig. 4) aus m und n als Katheten ein rechtwinkliges Dreieck; a b e, nimmt а c imd p als weitere Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks a cd,

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so ist ad = ]/w² + n² + p². Nimmt man a d als Hypotenuse eines gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks ade, so ist de gleich der Strecke k. Nunmehr bestimmen sich mittels der rechtwinkligen Dreiecke edfy edg und edh, in welchen df=m, dg — n und dh = p ist, die Winkel ä, ß und y. Zeichnet man ferner in Figur 5 einen rechten Winkel а o₀ b, nimmt auf o₀ b den Punkt о beliebig an und zieht durch о die drei Geraden oc, od, оe bzw. unter den Winkeln oc, ß und у gegen o₀a geneigt, zieht о % senkrecht zu oe und durch I die Senkrechte durch o₀ а, so schneiden die um o₀ mit Halbmessern gleich o₀c und o₀d beschriebenen Kreisbögen auf dieser Senkrechten Punkte x₀ und y₀ aus, welche mit o₀ verbunden die Achsenbilder X₀ und Y₀ liefern, während das Achsenbild Z0 mit o₀ a zusammenfällt. Das Dreieck xQ yQ e ist daher das zugehörige Spurendreieck.

Zweite Konstruktion: Man zeichnet ein Dreieck, dessen Seiten gleich sind den Quadraten der Yerhältnis-zahlen m, n und p. Die Halbierungslinien dieses Dreiecks sind die Achsenbilder Xq , Y₀ und Z₀ und zwar halbiert den Winkel von n²p², Y₀ den von m²p² und Z₀ den von m²n².

Herstellung eines axonometrischen Bildes eines Körpers.

5. Soll von einem Körper ein axonometrisches Bild hergestellt werden, so bringt man ihn in Verbindung mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem, X, Y, Z (siehe Fig. 6), wählt hierzu ein axonometrisches Achsenkreuz, entweder ganz beliebig oder bestimmten Ver-hältniszahlen entsprechend, und verschafft sich zu genügend vielen Punkten a des Körpers die zugehörigen

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rechtwinkligen Koordinaten ж, у und %. Die entsprechenden axonometrischen Koordinaten lassen sich dann bestimmen und auf die Achsenbilder , Y₀ und Z₀ übertragen, wodurch sich das axonometrische Bild des Punktes a als Ecke eines Parallelepipedes ergibt, von welchem eine Ecke mit dem Achsenschnittpunkt o0 zusammenfällt, während die übrigen Ecken, mit Ausnahme des Bildes des in Rede stehenden Punktes, in den Achsenebenen liegen (siehe Fig. 7).

Um sich die axonometrischen Koordinaten eines Punktes zu verschaffen, kann man entweder die rechtwinkligen Koordinaten mittels eines Maßstabes durch Maßzahlen ausdrticken und diese Maßzahlen durch besondere, den YerkürzungsVerhältnissen entsprechende Maßstäbe wieder in Strecken umsetzen: diese Strecken sind dann die axonometrischen Koordinaten; oder man ermittelt die Yerkürzungszahlen, multipliziert diese mit den Maßzahlen der rechtwinkligen Koordinaten und verwandelt die Produkte mittels eines Maßstabes wieder in Strecken, welch letztere als axonometrische Koordinaten zu verwenden sind.

Die verschiedenen axonometrischen Projektionsarten.

6. Wenn drei Zahlen, als Maßzahlen dreier Strecken den Bedingungen unter (3) entsprechen, so können sie stets als die Yerhältniszahlen einer axonometrischen Projektion angesehen werden, zu welcher ein ganz bestimmtes Achsenkreuz gehört. Es gibt also unzählig viele axonometrische Projektionsarten, die sich in drei besondere Gruppen teilen lassen. Vergleicht man die Yerhältniszahlen ihrem Werte nach miteinander, so können :

1.    alle drei einander gleich,

2.    zwei einander gleich,

3.    alle drei verschieden groß sein.

Im ersten Falle spricht man von einer isometrischen, im zweiten Fähe von einer dimetrischen, im dritten Falle endlich von einer trimetrischen Projektionsart

Isometrische Projektion.

Die Ver-

7. Bei dieser Projektion ist m = n = p.

•jV’2 m³    i /~2

p p If

= 0,8165 ;

kürzungszahlen sind daher

Gewöhnlich verkürzt man diese Koordinaten

d. h. die axonometrischen Koordinaten eines Punktes sind alle drei gleichmäßig zu verkürzen und haben eine Länge gleich dem 0,8165 fachen der wirklichen Koordinaten.

bei der isometrischen Projektion aber nicht, sondern trägt sie unverkürzt als axonometrische Koordinaten auf. Hierdurch ergibt sich von einem Gegenstände ein gegenüber dem wirklichen Bilde etwas vergrößertes, diesem aber ähnliches axonometrisches Bild, das den gleichen Zweck wie das wirkliche Bild, nämlich den der Anschaulichkeit erfüllt, vor diesem aber noch den Vorzug besitzt, daß man aus dem Bilde parallel zu den drei Achsenrichtimgen die wirklichen Abmessungen des Körpers unmittelbar abgreifen kann.

Bei der isometrischen Projektion haben die Achsen X, Y und Z gegen die Bildebene gleiche Neigung und erscheinen darum auch die Achsenbilder uuter gleichen Winkeln von je 120° zueinander geneigt. Die durch das unverkürzte Abtragen der wirklichen Koordinaten im

—-— oder 1,2 2 fache des wirklichen axonometrischen

0,816 ’

Bildes.

Im folgenden sollen einige isometrische Darstellungen gegeben werden.

X,

/20°

8. Aufgabe 1. Es ist ein Würfel von gegebener Kantenlänge isometrisch darzustellen.

Fig. 8.

A u f 1 ö s u n g : Man trägt vom Anfangspunkte o0 (siehe Fig. 8) auf den Achsenbild emX₀ , Y₀ und Z₀ die Kantenlänge des Würfels nach o₀a,y, o₀b₀ und o₀ c₀ ab. Durch a₀, b₀

und c₀ sind weiter d₀ , e0 und f₀ bestimmt. Das isometrische Bild des Wür-£₀ fels ist ein regelmäßiges Sechseck, dessen Mittelpunkt mit o₀ zusammenfällt .Das in Figur 8 gezeichnete Würfelbild gibt eine Ansicht von unten oder eine Untersicht Nimmt man statt der Linien X₀, Y₀ (Fig. 8) ihre Verlängerungen über o₀ hinaus als Würfel-

kanten (siehe Fig. 9) und konstruiert das Würfelbild, so erhält man eine Ansicht von oben oder eine О bereicht

9. Aufgabe 2. Ein in der XFliegender Kreis ist isometrisch darzustellen.

Auflösung: Man legt durch den Mittelpunkt (siehe Fig. 10) zwei aufeinander senkrechte Durchmesser als Achsen X und F, denen isometrisch die Achsenbilder

ter

Fig. 10.

X₀ und F₀ entsprechen (siehe Fig. 11). Teilt man nun den mit X zusammenfallenden Durchmesser ein, etwa in 8 gleiche Teile, überträgt die Teilstrecken unverkürzt von o₀ aus auf X₀ (siehe Fig. 11), zieht durch die so auf Xq sich ergebenden Punkte 1, 2 usw. Parallelen zu F₀, macht diese gleich den zu Y (Fig. 10) parallelen Kreissehnen 1*1, 2*2 usw., so ergibt sich hierdurch das axonometrische Bild der Kreislinie.

Anmerkung 2: Die beiden Durchmesser 5 5 und 0 0 des elliptischen Bildes vom Kreise bilden zwei gleich Vonderlinn, Parallelperspefctive.

große konjugierte EUipsendurckmesser, ihre Halbierungslinien liefern somit die I^age der Hauptachsen von K₀ ; ihre Längen ergeben sich in einfachster Weise: Man

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Fig. 11.

zieht durch 6 die Linie bc unter 45° gegen die Horizontale, so wie in der Figur 11 angegeben, dann sind die Strecken 5 6 und 5 c bzw. gleich der großen und kleinen Halbachse der Ellipse KQ.

10. Aufgabe 3. Ein hohler kreisförmiger Halbzylinder ist isometrisch darzustellen, wenn die Zylinderachse mit der Z-Achse zusammenfallen soll.

Auflösung: Ist Y₀ und Z₀ (siehe Fig. 13) das Bild des Achsenkreuzes, so trägt man den inneren und äußeren Zylinderhalbmesser von o₀ aus auf den Achsenbildern X₀ und Y₀ nach o₀ a₀ , o₀ b₀ , o₀ c₀ , o₀ d₀ , o₀ e0 und o₀ f₀ ab und konstruiert die beiden Ellipsen K₀ und Nq ganz in gleicher Weise wie in Nr. 9. Ist o₀ Oq die Länge

Mg. 12.

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Fig. 13.

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der Zylinderachse, so zieht man durch o<J Parallelen zu Xq und Y₀ und trägt auf diesen Linien wieder dit Zylinderhalbmesser ab. Die Ellipsen K& und N& sind kongruent den Ellipsen K₀ und N₀ . In gleicher Weise

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Fig. 15.

konstruiert man, wenn der Zylindergrundkreis in dei FZ-Ebene (siehe Fig. 14) liegt und die Zylinderachse mit der X- Achse zusammenfällt. Man konstruiert dann wieder die konjugierten Halbmesser o₀ % bzw. o₀ b₀ und °o cx) ) ebenso o₀ d$, o₀ e₀ und o₀ f₀ , hieraus die Achsen

oder man verwendet die y- und ^-Koordinaten der Punkte der Kreise К und N (siehe Fig. 12).

11. Aufgabe 4. Der in Figur 15 durch Grund-und Aufriß dargestellte Mauerbogen soll in isometrischer Projektion, Untersicht dargestellt werden.

Auflösung: Wählt man das Achsenkreuz, sowie die Figur 15 zeigt, so ergeben sich für jeden Punkt im Aufriß

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Zo

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15,

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1b

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'o

Fig. 16.

(siehe Fig. 15) die x- und я-Kcordinaten, im Grundriß die y-Koordinaten, welche dann unverkürzt nach Figur 16 parallel zu den Achsenbildern , Z₀ und F₀ aufzutragen sind.

Z. Б. Punkt 1: 0 • 1 = 0 • 8 Figur 15 — 0о • 1 = 0₀ • 8 Fig. 16 1 . 1 = 8 . 8 Fig. 15 = 1.1 = 8*8 Fig. 16 oder Punkt 4: 0 * 4' Fig. 15 = ()₀ « 4' Fig. 16 4' • 4 Fig. 15 = 4' « 4 Fig. 16 usw.

12. Aufgabe 5. Es ist das isometrische Bild einer Kugel darzustellon.

Auflösung: Das isometrische Bild einer Kugel ist eine Kreislinie Kq (siehe Fig. 17) mit einem Halbmesser

Zo

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A.

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Fig. 17.

gleich jenem der Kugel. Bestimmt man aber das Bild der Kugel als Umriß der in den Koordinatenebenen liegenden Kugelschnitte, so erhält man gleichfalls einen Kreis K₀, aber mit einem größeren Halbmesser als jener von Kq. Zn diesem Zwecke trägt man auf den Achsenbildem X₀, F₀ und Z₀ den gegebenen Kugelhalbmesser nach o₀ a₀ = o₀ b₀ = o₀ c₀ ~ o₀ d₀ = o₀ e0 ^ °ofo а*> Uü<^ konstruiert die Ellipsen Kxy, und Kgx , deren Achsen die Winkel des Achsenkreuzes halbieren und deren Längen nach Nr. 9 zu ermitteln sind. Ein Kreis Z₀, der diese Ellipsen sämtlich berührt, bildet den Umriß des isometrischen Kugelbildes in der der isometrischen Projektionsart entsprechenden Vergrößerung (siehe Nr. 7).

Dimetrische Projektion.

13. Sobald zwei der Verhältniszahlen einander gleich werden, entsteht die dimetrische Projektion. Es sind hierbei zwei Achsen, in der Eegel die X- und Z-Achse,

Fig. ia

gegen die Bildebene gleichgeneigt; das Spurendreieck ist gleichschenklig. Unter den unzählig vielen Möglichkeiten für das Bild des Achsenkreuzes soll nur die eine herausgegriffen werden, für welche m — p -■* 1

und n = I ist. Diese Projektionsart liefert schöne Bilder und wird ans diesem Grunde vielfach zur Darstellung von Gegenständen aus dem Gebiete der Technik benützt

Erste Konstruktion des Achsenkreuzes: Man zeichnet ein Dreieck у j mit den Seitenlangen t) 3 = Ь £ = 1 und £ 3 = J- und verschafft sich darin die Winkelhalbierenden XQ} У₀, Zö (s. Fig. 18).

Es ist nicht schwer, die Winkel <5 und e der Größe nach zu ermitteln, welche eine zu Z₀ Senkrechte mit den Achsenbildem und Y₀ einschließt Im vorliegenden Falle findet man genau genug tg<5 = £ und tgf = I , woraus eine zweite zweckmäßige Konstruktion des Achsenkreuzes folgt

ft

£/

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cd

Fig. 19.

Zweite Konstruktion: Man nimmt die Lage von Z₀ an, wählt darauf o₀ und zieht durch o₀ eine Senkrechte zu Д,. Mac-ht man nun o₀ a == 8 , ab =? 7 Ein-

heiten und ac= 1 Einheit, so liefern die Verbindungslinien o₀c und o₀b die Achsenbilder X₀ und F₀ (s. Fig. 19).

14. Bei der dimetrischen Projektion wird man, wenn es sich nur um die Herstellung eines axono-metrischen Bildes eines Körpers handelt, für die beiden Achsen Xq und Z₀, zu welchen die gleichen Verkürzungsverhältnisse gehören, die zugehörigen axonometrischen Koordinaten unverkürzt abtragen, für die dritte Achse Y₀ aber die halben rechtwinkligen Koordinaten als axonometrische Koordinaten wählen.

Man erhält dann wieder ein vergrößertes, aber dem wirklichen axonometrischen Bild ähnliches Bild und kann aus letzterem nach zwei Achsenrichtungen die Ausmaße des Körpers in wirklicher Größe abgreifen, während die in der dritten Richtung abgegriffenen Maße zu verdoppeln sind, um die wirklichen Größen zu erhalten.

Anmerkung 3: Für die vorstehend besprochene dimetrische Projektion betragen die Verkürzungszahlen für die X₀- und Z₀-Achse:

“ /0^888 = 0,9428,

für die Г₀- Achse:

2.0,25

2,25 0,4714.

Die Vergrößerung des axonometrischen Bildes bei unverkürzter Benutzung der ж- und z- und Halbierung der «/-Koordinaten beträgt bei der in Rede stehenden

dimetrischen Projektion das wirklichen axonometrischen Bildes.

0,9428

= 1,00 fache des

15.    Aufgabe 6. Der in Figur 20 durch Grundriß und Yertikalschnitt dargestellte Hohlkörper ist dimetrisch 1 : x/₂:1 darzustellen, und zwar in Obersicht.

Auflösung: Man zeichnet das Achsenkreuz, wie in Figur 21 angegeben, dem in Figur 20 das rechtwinklige Achsenkreuz X, Y, Z entspricht. Trägt man nun auf Y₀ von o₀ aus die Hälften der aus Figur 20 zu entnehmenden Strecken o₁a₁ = o₁ci, oL«■ nach o₀ a₀, o₀ c₀ , o₀ b₀ und o₀ d₀ ab, zieht durch a₀ bis d₀ Parallelen zu Xq und trägt auf diesen Linien die zu den Punkten 1 bis 8 gehörigen ж-Koordinaten ab, so ergeben sich in Figur 21 die Punkte 1 bis 8. Durch diese Punkte sind Parallelen zu Z₀ zu ziehen und darauf die zu den Punkten 1 bis 8 gehörigen ж-Koordinaten о f und ot abzutragen, wodurch sich die Punkte 1' bis 4' und 5" bis 8" bzw. 5' bis 8' ergeben.

16.    Aufgabe 7. Der in Figur 22 durch Orund- und Aufriß dargestellte Körper ist dimetrisch 1 : х/₂ :1 darzustellen.

Auflösung: Dem Achsenkreuz X, Г, Z (Fig. 22) entspricht axonometrisch das Achsenkreuz X₀, Y0y Z0 in Figur 23, die ж- und ж-Koordinaten eines Punktes werden unverkürzt, die y-Koordinaten zur Hälfte als dimetrische Koordinaten übertragen. Für den Punkt а z. B. hat man x = ox , у = ^    , ж = o₂ c. Es ist nun

= o₀ cQ = o₂ c Figur 22, ж₀ = c₀ b₀ = Figur 22, Уо = fy> ao = 4A% Figur 22.

17.    Aufgabe 8. Es ist eine Kreislinie der ATF-Ebene dimetrisch 1 : х/₂ :1 darzustellen.

Auflösung: Man legt durch den Kreismittelpunkt das Achsenkreuz X, Y (siehe Fig. 10) und trägt nun die ж-Koordinaten unverkürzt auf XQ ab nach o₀ • 1, o₀ • 2 usw.

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Fig. 20.

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Die ^-Koordinaten 1 • 1, 2 • 2 (siehe Fig. 10) sind zur Hälfte nach 1 • 1, 2*2 (siehe Fig. 24) parallel zu Tô abzutragen.

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Fig. 24.

18. Aufgabe 9. Es ist ein senkrechter Kreiszylinder, dessen Grundkreis in der XF-Ebene liegt, dimetrisch 1 : х/₂:1 darzustellen.

Auflösung: Die Z-Achse soll mit der Zylinderachse zusammenfallen (siehe Fig. 24), dann bestimmt sich das dimetrisehe Bild des Grundkreises in derselben Weise wie in der vorigen Aufgabe. Trägt man dann

von 0O ans auf ZQ die Zylinderhöhe ab, so ist Oq der Mittelpunkt der oberen Begrenzungsellipse welch letztere kongruent der unteren Ellipse Kq zu zeichnen ist.

Anmerkung 4: Mittels der beiden konjugierten Durchmesser 0 « 0 und 5 • 5 bestimmen sich wieder die Hauptachsen der elliptischen Kreisbilder. Die große Achse steht senkrecht zu Z₀, die kleine Achse fällt mit ZQ zusammen. Die Senkrechte o₀a zu o₀ 0 und gleich Oq • 0 liefert den Punkt a. Die Verbindungslinie a • 5 schneidet die Ellipsenachsen in b und c so, daß 6 • c gleich der Länge der halben kleinen, 6 • b gleich der Länge der halben großen Achse ist.

19. Im folgenden sollen einige Aufgaben aufgeführt werden, die der Leser selbst lösen wolle:

Aufgabe. Man zeichne eine isometrische Projektion bzw. dimetrische Projektion eines senkrechten Kreiskogels, dessen Grundfläche mit einer der Achsenebenen zusam» menfallen soll.

Aufgabe. Man zeichne den in Aufgabe 4 isometrisch dar ge stellten Mau erb о gen in dimetrischer Projektion 1 : х/₂:1.

Aufgabe. Man zeichne den in Aufgabe 3 isometrisch dargestellten Hohlzylinder di-metrisch 1 : х/₂ :1.

Trimetrische Projektion.

20. Auch bei dieser Projektionsart sind unzählig viele Möglichkeiten für das Achsenkreuz vorhanden. Eine sehr gebräuchliche und schöne Bilder liefernde Projektionsart ist die mit den Verhältniszahlen m = 9, n = 5 ^ p = 10.

Erste Konstruktion des Achsenkreuzes: Man zeichnet ein Dreieck 11) $ mit den Seiten $ t) = 100, t) à = 81 und 11 = 25 Einheiten, so liefern die Halbierungslinien der Dreieckswinkel die Achsenbilder XQ, Y₀ und Zc (s. Fig. 25).

■jKp

Fig. 26.

Zweite Konstruktion: Mit der Benutzung der Winkel ô und e, die sich aus den Verhältniszahlen berechnen lassen, und zwar tg<5 =*    , tge == ^/ergibt

sich eine zweite Konstruktion des Achsenkreuzes (siehe Fig. 26), Man trägt an die gewählte Linie Z₀ in a₀ die Senkrechte zu Z₀ an, macht o₀a =* 11 Einheiten, ab =1 Einheit, ebenso o₀ c = 3 , cd = 1, dann sind die Verbindungslinien o₀b und o₀d die Achsenbilder X₀ und Y₀, und zwar für Untersicht. Würde man die so bestimmten Achsenbilder über o₀ hinaus verlängern und die Verlängerungen als Achsen X$ imd Yq nehmen, so erhielte man die Figur Z₀ Xq Yq als Achsenkreuz für

Übersicht. Es ist hierbei wieder o₀ a = 3 , ab' = 1, o₀c— 11, cd' =1. Der Unterschied in den Konstruktionen (Mg. 26) besteht darin, daß im ersten Falle die Strecken ab und cd nach unten, im zweiten Falle nach oben von a bzw. c aus abzutragen sind.

j:—

o—

^d§ r r.

Fig. 26.

21. Bei der trimetrischen Projektion haben die Verkürzungszahlen die Werte:

2 . 81

81 + 25 + 100

1/162 f 206

= 0,88 und

2 . 25

= 0,98 .

== 0,49 und

2 . 100

206

206

Diesen Werten entsprechend müßten die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes verkürzt werden, um aus ihnen die axon ometrischen Koordinaten zu erhalten.

Aus Zweckmäßigkeitsgründen zeichnet man aber auch hier, wenn es sich nur um Herstellung eines

Vonderlinn, Parallelperspektive.

axoiioinetrischen Bildes handelt, eine vergrößerte Abbildung eines Körpers, indem man die %-Koordinaten unverkürzt abträgt, die ж-Koordinaten um Î/1Q, die «/-Koordinaten aber um ⁵/₁₀ verkürzt und die so verkürzten Strecken als axonometrische Koordinaten wendet.

ver-

Das auf diese Weise entstandene Bild ist

dem wirklichen axonometrischen Bilde ähnlich und um das 1:0,98 = 1,02 fache desselben vergrößert. Man kann aus einem solchen Bilde parallel zu den Achsenrichtungen die wirldichen Abmessungen des Körpers entnehmen, wenn man die %-Koordinaten in wirklicher Größe abgreift, während die «/-Koordinaten zu verdoppeln, die ж-Koordinaten aber um ¹/₉ der abgegriffenen Länge zu vergrößern sind.

22. Aufgabe 10. Der in Figur 27 durch Grund- und Aufriß dargestellte Körper ist trimetrisch 9:5:10 zu zeichnen.

Auflösung: Man wählt das Achsenkreuz so, wie in Figur 27 geschehen, und konstruiert das axonometrische Achsenkreuz Хц, Y₀, Z₀ (siehe Fig. 28) nach Nr. 20. Nunmehr bestimmt man mittels Koordinaten die axonometrischen Bilder der einzelnen Körperecken, z. B. der Punkte 2, 5 und 1, 6; für diese ist °o ao = °o К Figur 28 = тъ Oi «i Figur 27 = ж-Koordi-nate, ferner a₀, • 2 = a₀ • 5 = b₀ • 1 = b₀ • 6 Figur 28 =    2 Figur 27 = «/-Koordinate; Punkt 9 : in Figur 28

ist noch die %-Koordinate 2 • 9 = 2 • 9 Figur 27 anzutragen usw.

Anmerkung 5: Das Verkleinern der ж- und y-Koordinaten wird zweckmäßig mittels Hilfswinkel vorgenommen.

Macht man (siehe Fig. 29) cd = 10 Einheiten, beschreibt um c mit c d einen Kreisbogen und trägt die Sehne

te

"ff

'ï F

X,

з\

Z*

Fig. 28.

de — 9 Einheiten in diesen Kreis, so ergibt sich der Winkel <p\ beschreibt man nunmehr mit der Strecke °i <h (Eig. 27) den Kreisbogen f g in Figur 29, so ist

гв щ т эр

18 10

si

ГТ=7

19    \ 'Mil Z1

ÊL

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%126    ! i iS//№4;

—f4t~f

!    ; ‘ да !

19

te

f g = Ą Oi «i = o₀ a₀ Figur 28, gleich der axonometrischen «-Koordinate für die Punkte 2 und 5 bzw. 1 und 6.

Ebenso kann man für die F₀-Achse einen Hilfswinkel y> ermitteln, wenn man um h (siehe Fig. 30)

Ai

f?______

6'«

ä\

3-

-л

ft

.....-л

Z-

4>

Z~'

Fig. 32.

den Kreisbogen ik mit dem Halbmesser 10 beschreibt und darauf die Sehne ik = 5 Einheiten abträgt. Beschreibt man nun mit der Strecke • 2 (Fig. 27) den Kreisbogen Im (Fig. 30), so ist Im =» -^ax • 2 = o₀ • 2

(Fig. 28) gleich der axonometriscken «/-Koordinate der Punkte 2 und 5 bzw. 1 und 6.

23. Aufgabe 11. Der in Figur 31 durch Grund- und Aufriß dargestellte Körper ist trimetrisch 9:5:10 in Obersicht zu zeichnen.

Auflösung: Das Achsenkreuz ist so gewählt, wie die Figur 31 zeigt; ihm entspricht das axonometrische Achsenkreuz X₀, Y₀, Z₀ (Fig. 32), dessen Konstruktion nach Nr. 20 erfolgt. In der Figur 32 ist die Konstruktion mehrerer Punkte angedeutet, z. B. 2 und 5. o₀ a₀ Figur 32 = Д Oi Oi Figur 31,a₀ • 2 = aQ • 5 Figur 32 == ^ Oj • 2 Figur 31 oder Punkt 29 und 32o₀oó Figur 32 — o₂o2 Figur 31 OÓ b₀ Figur 32,= ox bt, Figur 31, b₀ • 29 = b₀ • 32 Figur 32 = -Ą-bj • 29 Figur 31.

Anmerkung 6: Die Verkürzung der x- und y-Koordinaten kann in gleicher Weise wie in der vorigen Aufgabe mittels der Hilfswinkel 90 und (siehe Fig. 33 und 34) vorgenommen werden.

Fig. 33.

Fig. 34.

24. Aufgabe 12. Eine in der Z7-Ebene liegende Kreislinie К ist trimetrisch 9:5:10 zu zeichnen.

Auflösung: Mittels Koordinaten erledigt sich die Aufgabe wie bisher, indem man auf (siehe Fig. 35) die aus Figur 10 zu entnehmenden ж-Koordinaten um х/₁₀ verkürzt abträgt, auf Y₀ aber die halben «/-Koordinaten.

Die Hauptachsen des elliptischen Bildes sind der Lage nach von vornherein gegeben; die große Achse steht senkrecht zu Z₀, die kleine fällt mit Z0 ihre Längen ergeben sich zu o₀e = o₀d = ob; o₀f = o₀g = oc; hierbei ist oQ a senkrecht zu und gleich o₀ 5.

zusammen;

\t

i i\

!/

ff

Fig. 35.

25. Aufgabe 13. Ein senkrechter Kreiskegel, dessen G-rundkreis in der АГГ-ЕЬепе liegt, ist trimetrisch 9:5:10 darzustellen.

Auflösung: Nimmt man Kq (Fig. 35) als axono-metrisches Bild des Grundkreises des darzustellenden Kegels, so braucht man nur von o₀ aus auf Z₀ die gegebene Kegelhöhe unverkürzt nach o₀ s₀ abzutragen und von s₀ aus Tangenten an K₀ zu ziehen, so ist damit das axonometrische Bild des Kegels gezeichnet.

П. Schiefwinklige Axonometrie.

Wahl des Achsenkreuzes, Projektions- Arten, Aufgaben.

26. Wählt man das axonometrisehe Bild eines rechtwinkligen Achsenkreuzes ganz beliebig, außerdem aber auch noch die Yerhältniszahlen, so läßt sich in gleicher Weise, wie im vorausgegangenen gezeigt wurde, ein axonometrisches Bild eines Körpers hersteüen und eine Bildebene festlegen, auf welche der Körper sich in Gestalt des eben genannten Bildes projiziert. Die Projektionsrichtung steht jedoch jetzt nicht mehr senkrecht zur Bildebene, sondern bildet mit letzterer einen von 90° verschiedenen Winkel, und es ist nicht schwierig, aus dem beliebig gewählten Achsenkreuze und den willkürlich angenommenen Yerhältniszahlen die Lage der Bildebene und die Projektionsrichtung geometrisch zu bestimmen*).

Das axonometrisehe Bild, das auf Grund eines beliebig gewählten axonometrischen Achsenkreuzes und beliebiger Yerhältniszahlen gezeichnet wird, heißt ein schiefwinkliges axonometrisches Bild des Körpers, und das Yerfahren hierbei die schiefwinklige Axonometrie.

Letztere bietet die größte Freiheit in der. Herstellung eines axonometrischen Bildes, indem man sowohl die Winkel des axonometrischen Achsenkreuzes als auch die zugehörigen Yerhältniszahlen beliebig wählen kann. Als für die zeichnerische Praxis wichtigste Projektionsart erscheint die isometrische Projektion, bei

*) Siehe Yonderlinn, Lehrbuch des Projektionszeichnens, III. Teil, 2. Hälfte, S. 199.

welcher die Verhältniszahlen einander gleich und gleich 1 sind, für welche also die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes zugleich als axonometrische Koordinaten zu verwenden sind. Zur Herstellung eines isometrischen Bildes eines Körpers in schiefwinkliger Axonometrie wählt man also das Achsenkreuz ganz beliebig und trägt für jeden Punkt des Körpers die zugehörigen rechtwinkligen Koordinaten als axonometrische Koordinaten auf.

So zeigt z. B. Figur 36 das isometrische Bild eines Würfels von der Kantenlänge l in Untersicht, Figur- 37 in Obersicht.

z'

xv

X.

Y^

Zf "x

YL

Fig. 37.

Fig. 36.

27. Wählt man insbesondere einen der Achsenwinkel = 90°, z. B. den Winkel von X; und Z\ so erhält man in Figur 38 und 39 ebenfalls eine isometrische Projektion des Würfels. Diese Projektionsart wird vielfach zur Darstellung von Gegenständen aus dem Gebiete der Bautechnik, z. B. für Mauerverbände, für die Zeichnung einzelner besonderer Steine eines Bauwerkes für Holzverbindungen usw., verwendet; sie hat den Vorteil, daß für jene Achsenebene, für welche der Achsenwinkel 90° beträgt, die darin liegenden Gebilde in wahrer Gestalt erscheinen.

Dabei kann der Winkel der F'- Achse beliebig groß gewählt werden. Aus praktischen Gründen, um die Zeichendreiecke bequem benützen zu können, wählt

Z' X

X'

x"

*-------

10°,

Z'

/

JT

Fig. 38.

man diesen Winkel vielfach gleich 45° (siehe Fig. 39) oder auch gleich 30° (siehe Fig. 38) und bezeichnet erstere Projektionsart als eine Kavalierperspektive, letztere aber als eine schiefe Parallelprojektion.

Zur Erzielung besserer Bilder verkürzt man die y - Koordinaten um die Hälfte, zeichnet also eine schief-

Fig. 39.

Z'

X¹ j

WZy

Fig. 41.

Fig. 40.

winklige dimetrische Projektion ; die Figuren 40 und 41 zeigen je eine schiefwinklige dimetrische Würfeldarstellung, wobei die Darstellung in Figur 40 speziell als schiefe Projektion kurzweg bezeichnet wird.

Fig. 42.

Fig. 44.

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V

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X

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A

X

ш

ж

f

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\\

А

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28. Aufgabe 14. Die in den Figuren 42 bis 44 dargestellte Mauernische soll in all -

!i

У \ *’irSJ hi >*

•5

mTHLi

X~--------

'•Г

Fig. 45.

gemeiner schiefer isometrischer Projektion gezeichnet werden.

Auflösung: Wählt man das Achsenkreuz so, wie die Figuren 42 u. 43 zeigen, und läßt diesem axonometrisch das ganz beliebig angenommene Achsenkreuz X\ 7', Z/ (siehe Fig. 45) entsprechen, wobei nur Z' vertikal, d. h. parallel zum rechten oder linken Papierrand gewählt ist, so braucht man nur für jeden einzelnen Punkt des

Fig. 46.

St ein A.

Stein ß.

Stein C.

Fig. 47.

Fig. 48.

Körpers die zugehörigen Koordinaten ж, у und % zu ermitteln und diese als axonometrische Koordinaten parallel zu X\ 7', Z' anzutragen. In der Figur 45 ist für eine Anzahl Punkte, 1—19, die Konstruktion ersichtlich gemacht. In den Figuren 46, 47 und 48 sind die Steine А, B₎ C besonders herausgetragen.

29. Die Figur 49 zeigt eine Mauerecke im Block verbände, hergestellt in schiefer isometrischer Projektion,

М7Л

MW

TL

2?

]Z

JUL

ШЖ

У////Ш

Kù

Fig. 49.

Fig. 50.

speziell in Kavalierperspektive; in Figur 50 ist die Schichte I besonders herausgezeiohnet Figur 52

Fig. 51.

If В. In der Figur 51 Aufriß ist das Kopfband absichtlich nicht eingezeichnet. Der Leser ergänze diese Figur.

\Z

■ i

vA

stellt die in Figur 51 im Aufriß und Seitenriß dargestellte Holzverbindung in schiefer Parallelprojektion dar.

/CV,

Fig. 52.

i V. ц V-—,

In Figur 63 ist ein spitzbogenförmiges Kreuzgewölbe schief isometrisch gezeichnet, der hierzu gehörige isometrische Grundriß mit den auf

Vondorlinn, Parallelperspektive.

den Zylindern gezogen gedachten Mantellinien ist in Figur 54 besonders gezeichnet. Dieser Grundriß ist so zu verschieben, daß sein Mittelpunkt in den Punkt o'

Z’

11

c,

yj

........ÀÜ

yy:::

V'

^ . _

Ayyyy )

a у. i

■•-•у

Fig. 53.

Xi-

x’

УххххУ

1777

Fig. 54.

fällt, dann braucht man nur in den Grundrißpunkten die aus ab о zu entnehmenden %-Koordinaten aufzutragen; für die Punkte 1 ist dies in den Figuren 53 und 54 ausgeführt.

о—

-9—

ШЙ

7.

%

Г/у

-i_

xV

Fig 55.

шшш

4--,

-o

/.

mmmm Sr

Fig. 56. X'    4*

Die Figuren 55 und 56 zeigen Gesimse in schiefer Parallelprojektion; in Figur 57 (S. 56 und 57) ist ein ganzes Gebäude in dieser Projektion dargestellt.

30. Aufgabe 15. Eine in der XK-Ebene liegende Kreislinie ist in schiefer Projektion (siehe Nr. 26) darzustellen.

Y°

Fig. Б8.

Auflösung: Das Achsenkreuz hat die Gestalt, wie in Figur 58 angegeben; im übrigen bleibt die Konstruktion die nämliche wie in Aufgabe 12.

Anmerkung 7: Die Lage der Hauptachsen des elliptischen Bildes IC bestimmt sich nach der allgemeinen Konstruktion dieser Linien aus zwei konjugierten Ellipsendurchmessern. Im vorliegenden Falle macht man auf Zf die Strecke o' a = o' 5, zieht o a und beschreibt um den Halbierungspunkt m von o a einen durch o' gehenden Kreis, der die verlängerte o a in den Punkten b und c trifft, durch welche die Achsen von IC hindurch-

31. Aufgabe 16. Eine Kugel ist in allgemeiner schiefer isometrischer Projektion darzustellen.

gehen; ihre Längen sind o'd » o'e = ob und o'f = o' g — ос.

Auflösung: Ist X', Y', Z' das Bild des Achsenkreuzes, so bleibt die Konstruktion im wesentlichen die gleiche wie in Aufgabe 5 ; nur wird jetzt der isometrische Umriß kein Kreis, sondern eine Ellipse K' sein. Um

z'

I¹

К/ \Х

-VVr

Л'

Fig. 69.

diese zu erhalten, zeichnet man die isometrischen Bilder Kx’y’, Ky'/ und Kx'2' der in den Achsenebenen liegenden Kugelkreise (siehe Fig. 59) und hierauf eine diese Ellipsen umhüllende d. h. berührende Ellipse K'. Zu diesem Zweck zieht man parallel zu X' an Ky^ Tan-

genten, die in / und Ы berühren, ebenso an 7T*v Tangenten parallel Г', die in i' und № berühren. Nunmehr kennt man von der Umrißellipse Kf einen Durchmesser g'h', die Richtung des konjugierten sowie zwei weitere Punkte i' und woraus sich zunächst die Länge Vmr des zu gh konjugierten Durchmessers und hieraus die Lage und Größe der Hauptachsen der Ellipse K* ergeben.

32. Aufgabe 17. Eine Kugel ist in schiefer Parallelprojektion darzustellen.

Auflösung: Bei dieser Projektion ist der Winkel ' der A ohsenbilder X' und Zf gleich 90° (siehe Fig. 60).

jk

\ pt

r*ffl / >

■-pF—..V

Fig. 60.

Die Bildebene ist demnach die Ebene von X' und Z’ bzw. eine Parallelebene hierzu. Der in der ZZ-Ebene liegende Kugelkreis bildet sich als Kreis Кх>г' ab, mil einem Halbmesser gleich dem der Kugel. Die Ellipsen Kx y> und Ky't' ergeben sich wie in der vorigen Aufgabe Das Bild des Kugelumrisses ist wieder eine Ellipse K\ von der man aber die Lage der Hauptachsen sofort

Wahl des Achsenkreuzes, Projektions-Arten, Aufgaben. 55

kennt. Die große Achse fällt nämlich mit dem Bilde von Y' zusammen, die kleine steht senkrecht hierzu und ist der Länge nach gleich dem Kugeldurchmesser. Verbindet man den Endpunkt g' der kleinen Achse mit dem auf F' liegenden Punkte c'} so kann c'g' als der in die Bildebene umgelegte durch den Kaumpunkt c gezogene Projektionsstrahl angesehen werden. Eine zu g'c' parallele Tangente an Kx^ berührt in h' und schneidet F' in dem einen Endpunkt \f der großen Achse von K\

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58 Ш. Direkte Konstruktionen der Axonometrie.

Ш. Direkte

Konstruktionen der Axonometrie.

Allgemeines.

33. Die Herstellung eines axonometrischen Bildes eines durch rechtwinkligen Grund- und Aufriß gegebenen Körpers sowohl in rechtwinkliger wie auch in schiefwinkliger Axonometrie mittels der Koordinaten einzelner Punkte des Körpers ist nur ein Teil der Aufgabe der Axonometrie. Eine weitere Aufgabe der letzteren besteht darin, alle die Aufgaben der darstellenden Geometrie direkt in axonometrischer Projektion ohne Zuhilfenahme eines rechtwinkligen Grund- und Aufrisses zu lösen, lediglich unter Voraussetzung eines gegebenen Achsenkreuzes bei der rechtwinkligen, eventuell auch Festlegung der Bildebene und Projektionsrichtung bei der schiefwinkligen Axonometrie.

Im folgenden sollen nur einige Aufgaben dieser Art gelöst werden. Sie lassen sich so in zwei Gruppen teilen, daß in der einen Gruppe nur Aufgaben auftreten, bei welchen es sich um die gegenseitige Lage der geometrischen Elemente zueinander handelt, während in der andern Gruppe Aufgaben enthalten sind, bei welchen man es mit Maßbeziehungen zu tun hat.

Die Aufgaben der ersten Gruppe sind von der Lage der Bildebene zu den in Frage kommenden Gebilden vollständig unabhängig und lassen demzufolge sowohl für die rechtwinklige wie für die schiefwinklige Axonometrie die gleiche Behandlung zu. Bei den Aufgaben der zweiten Gruppe ist zur Lösung der Aufgabe die Bildebene selbst erforderlich, und die Durchführung der

Losung wird sich in rechtwinkliger axonometrischer Darstellung etwas bequemer und einfacher vollziehen, als das für die schiefwinklige Darstellung der Fall ist

Aufgaben über Lagenbeziehungen.

Darstellung von Punkt, Gerade, Ebene, Körper in rechtwinkliger und schiefwinkliger Axonometrie.

34. Wie schon früher auseinandergesetzt wurde, bilden das axonometrisehe Bild eines Punktes im Raume

äl

Wo

Fig. 62.

Fig. 61.

und der Koordinatenanfangspunkt die Endpunkte des Bildes einer Hauptdiagonale eines rechtwinkligen Parallelepipedes, von welchem drei Kanten mit den Achsen X, Y und Z zusammenfallen und außerdem die Ecken    und % in den Achsenebenen liegen

(siehe Figur 61). Die letzteren Punkte kann man als

den axonometrischen Grund-, Auf- und Seitenriß oder mit dem gemeinsamen Namen Rißbilder des gegebenen Punktes bezeichnen. Es ist klar, daß die Lage eines Punktes im Raume vollständig bestimmt ist, wenn man von dem Punkte sein axonometrisches und ein Rißbild kennt, also z. B. a₀ und % oder a0 und Og oder a₀ und аъ (siehe Figur 61). In gleicher Weise wird auch eine Gerade in ihrer Lage im Raume bestimmt durch ihr axonometrisches Bild und eines ihrer Rißbilder, z. B. A₀ und A₁ (siehe Figur 63).

Pig. 63.

Eine Ebene wird zweckmäßig dargestellt durch ihre Schnittlinien mit den drei Achsenebenen, d. h. durch die Bilder ihrer Spuren, Spurbilder (siehe Figur 64). Selbstverständlich kann die Ebene auch durch andere Bestimmungsstücke dargestellt werden, z. B. durch drei nicht in einer Geraden liegenden Punkte, durch zwei sich schneidende oder parallele Geraden usw. Hat die Ebene spezielle Lagen gegen die Achsenebenen, so werden

auch ihre Spurbilder besondere Lagen gegen die Achsenbilder eiunehmen, z. B. die Ebenen in den Figuren 65 bis 67, welche bzw. parallel zu den Achsen X} Y und Z gerichtet sind.

Fig. 67.

Fig. 64.

Fig. 66.

______%

ж;

«г

Л‘ч

Zt

\.

A.

Fig. 65.

Aufgaben der Gruppe I, welche in rechtwinkliger und schiefwinkliger axonometrischer Darstellung in gleicher Weise gelöst werden,

35. Aufgabe 18. Eine Gerade ist gegeben durch ihr axonometrisches Bild A₀ und ihr Rißbild A₁. Gesucht die übrigen Rißbilder und die Spuren der Geraden.

Auflösung: Die Gerade Ax (siehe Figur 63) schneidet die Y- und X- Achse in den Punkten und tx, denen auf A^ die Punkte uz und t₂ entsprechen. Der

CO

to

Schnittpunkt sx von A₀ und Ax ist das Bild des Durchschnittpunktes von A mit der ZF-Ebene, d. h. das Bild der ersten Spur der Geraden. Dem Punkte sx entsprechen auf Xq und Y₀ die Punkte s₂ und s₃. Dem Punkte щ entspricht auf Z₀ der Punkt u₂, die Yer-bindungslinie s₂ t₂ щ und s₃ щ geben die Rißbilder Ä2 und A₃, welche A₀ in den Bildern sx, t₂ und щ der Spuren der Geraden treffen.

г__Л

'-А

Fig. 68.

36. Aufgabe 19. Für eine durch zwei sich schneidende Geraden A und В gegebene Ebene (siehe Fig. 68) sind die Spurbilder zu konstruieren.

Auflösung: Ganz so wie in der Aufgabe 17 bestimmt man die Spurbilder st, tx und U von А bzw. si, t[ und t% von B, dann sind die Yerbindungs-linien sx si und t₂1'₂ die gesuchten Spurbilder Sx und T₂ der Ebene; sie schneiden sich in x auf X₀ und außer-

dem die Achsen Y₀ und Z₀ in y und ж, wodurch aucli das dritte Spurbild Uz bestimmt ist.

37. Aufgabe 20. Eine Ebene ist durch ihre Spurbilder gegeben. In der Ebene ist a) eine beliebige Gerade zu zeichnen, b) ein beliebiger Punkt anzunehmen.

Auflösung a: Zeichnet man (siehe Figur 69) die Gerade A₀ ganz beliebig, so müssen ihre Schnittpunkte

olS

//>

/А ą

\s

Z,

Fig. 69.

und b₀ mit den Seiten xy und x ж des Spurendreiecks die Spurbilder mit den Achsen ebenen XY und X Z darstellen. Das erste Rißbild \ von b liegt daher auf X₀, während das erste Rißbild % von a mit zusammenfällt. % \ ist somit das erste Rißbild Jt der Geraden A, welche in der Ebene xy% liegt.

Auflösung b: Um einen beliebigen Punkt der Ebene anzunehmen, wählt man, wie in Auflösung a gezeigt wurde, eine Gerade A der Ebene beliebig und auf ihr einen Punkt c, es muß dann c₀ auf A₀ und cx auf Ax liegen (siehe Figur 69).

38. Aufgabe 21. Gegeben die beiden Ebenen St T₂ und Sm, gesucht ihre Schnittlinie.

Auflösung: Die gleichnamigen Spurbilder schneiden sich in Punkten ax und b₂ der gesuchten Schnittlinie (siehe Figur 70).

!*

^ .....

------ /

s:

Fig. 70.

39. Aufgabe 22. Eine Ebene ist durch ihre Spurbilder gegeben, eine Gerade A durch ihr axonometrisches Bild A₀ und ihr Rißbild At (siehe Fig. 71); gesucht der Schnittpunkt der Geraden A mit der Ebene.

Auflösung: Das Rißbild Ax ist zugleich Spurbild einer zu Z₀ parallelen Ebene, deren Spurbild auf XZ durch tx parallel zu Z₀ hindurchgeht und T₂ in t2 schneidet. Die Verbindungslinie sx t₂ liefert auf A0 das axonometrische Bild v₀ des Schnittpunktes v yon A mit der Ebene ST.

Ъ.

⁴\

“4L"

>1

Fig. 71.

40. Aufgabe 23. Ein mit seiner Grundfläche in der ХГ-ЕЬепе aufliegendes Prisma ist durch sein axonometrisches Bild (siehe Fig. 72) gegeben. Man soll den Schnitt dieses Prismas mit einer durch ihre Spurbilder Sx und T₂ gegebenen Ebene konstruieren.

Auflösung: Die Aufgabe wird mittels Hilfsebenen gelöst, welche durch die Seitenkanten des Prismas etwa parallel zur Geraden T gelegt werden. Die Schnittlinien dieser Ebenen mit X Y gehen durch die Ecken 1 bis 6 der Grundfläche des Prismas parallel zu X₀ und schneiden Sx in Punkten, durch welche parallel zu T₂ die Schnittlinien der genannten Hilfsebenen mit der Ebene Sx T2 zu ziehen sind, die dann auf den axonometrischen Bildern

Vonderlina, Parallelperspektive.

66 HI. Direkte Konstruktionen der Axonometrie.

der Seitenkanten die gesuchten Schnittpunkte der letzteren Linien mit der Ebene S T ausschneideri.

Die Parallele durch 3 zu X₀ liefert auf St den Punkt ßj, die Parallele durch \ zu T₂ schneidet die Prismenkante durch 3 in 3₀. Punkt 3₀ gehört der Schnittfigur an.

\i

' \\ :

-TVs i

iV

Fig. 72.

41. Aufgabe 24. Zwei senkrechte Kreiszylinder, von denen der eine senkrecht zur 17-Ebene, der andere senkrecht zur XZ-Ebene gerichtet ist, sind axonometrisch darzustellen unter der Annahme, daß die Zylinderachsen sich schneiden. Außerdem ist die Durchdringungskurve beider Zylinder zu zeichnen.

Auflösung: In der Figur 73 ist die Darstellung in schiefer Projektion 1:¹/₂:1 gewählt. Die axonometrischen Grundrisse beider Zylinder sind in Figur 74 angegeben.

ft

Ql

IĄ

» Ж

з:

if

Fig. 7a

Hieraus ergeben sich die axonometrischen Bilder selbst, wenn man Ax nachAi und A" verschiebt, durch den Mittelpunkt m₀ von o₀ o₀ die Parallele zu Y₀ zeichnet, darauf a₀ und bQ als axonometrische Bilder der Endpunkte a

Fig. 74.

und ft der Zylinderachse ermittelt und um a₀ und b0 Kreise C₀ und D₀ mit einem Halbmesser gleich jenem des Zylinders В beschreibt. Die gemeinsamen Tangenten an C₀ und D₀ vervollständigen das axonometrische Bild des Zylinders B. Nunmehr nimmt шал eine Anzahl von Mantellinien auf dem Zylinder В an und sucht deren Schnittpunkte mit dem Zylinder A. Im axono-metrischen Grundriß sind diese Schnittpunkte unmittelbar zu ersehen, woraus sich auch das axonometrische Bild selbst ergibt durch Hinaufprojizieren auf die axono-metrischen Bilder der betreffenden Mantellinien. Die in den Figuren 73 u. 74 gewählte Bezeichnung läßt die Konstruktion deutlich erkennen.

Anmerkung 8: Man löse die Aufgabe 24 auch in anderer Darstellung, z. B. rechtwinklig isometrisch oder dimetrisch oder trimetrisch, und zeichne auch andere Durchdringungen, etwa zweier Prismen, zweier Kegel, zweier Pyramiden usw., in axonometrischer Darstellung.

Aufgaben über Maßbezfeimngen.

Darstellung in rechtwinkliger Axonometrie.

42. Aufgabe 25. Es ist der Aostand eines Punktes a (siehe Fig. 61) von der Bildebene zu ermitteln.

Auflösung. Ist x₀ y₀ x₀ das Spurendreieck der Bildebene, so denkt man sich durch die Z-Achse eine Ebene senkrecht zur Bildebene gelegt und deren Schnitt mit der 17- Ebene ausgeführt und diesen Schnitt in die Bildebene nach Figur 62 umgelegt. In dieser Figur ist Eq die Projektion der Bildebene, auf welcher die den Punkten x₀ und $ entsprechenden Punkte x und % liegen. Ein über % % beschriebener Halbkreis liefert auf der Parallelen durch o₀ (Fig. 61) zu x₀y₀ den Punkt о und damit in o% die Projektion der X- Г-Ebene. Sucht man nun auf (Fig. 62) den dem Punkte ax (Fig. 61) ent-

sprechenden Punkt %, errichtet a^a senkrecht zu 17 bis zur Parallelen durch oQ (Fig. 61) zu x₀y0t so liefert die Strecke a₀ a (Fig. 62) den Abstand e des Punktes a von der Bildebene.

Anmerkung 9: Die Strecke axa (Figur 62) gibt den Abstand des Punktes a von der X- 7- Ebene in wahrer Größe an.

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Fig. 75.

43. Aufgabe 26. Es ist der Schnitt einer durch ihre Spurbilder gegebenen Ebene mit der Bildebene zu ermitteln.

Auflösung: a) Die Ebene steht auf einer der Koordinatenebenen senkrecht.

In Figur 75 steht die Ebene senkrecht zur-Х-Г-Ebene. Die Spurbilder St und T₂ schneiden die Seiten x₀ y₀ und xQ %₀ des Spuren dreiecks der Bildebene in den

70 HI. Direkte Konstruktionen der Axonometrie.

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Fig. 7ü.

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Fig. 77.

Punkten a₀ und b₀ der gesuchten Schnittlinie S₀ (siehe Anmerkung 10).

In Figur 76 steht die Ebene senkrecht zur XZr Ebene. T₂ und Us liefern auf ^ und yQ %Q die Punkte a₀ und b₀ der gesuchten Nullspur SQ.

In Figur 77 steht die Ebene senkrecht zur ZT-Ebene. St und U₃ liefern auf xö y₀ und y₀ xQ die Punkte a₀ und bQ der Nullspur SQ.

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b) Die Ebene ist gegen alle drei Koordinatenebenen geneigt (siehe Fig. 78).

Die Spurbilder Sx, T₂ und UB liefern auf x₀ y₀, x₀ z0 und y₀z₀ die Punkte a₀, b₀, Cq der Nullspur S₀.

Anmerkung 10: Die Schnittlinie einer Ebene oder einer (Geraden mit der Bildebene soll für die Folge die Nullspur der Ebene bzw. der Geraden heißen. In gleicher

72 ni. Direkte Konstruktionen der Axonometrie.

Weise kann man auch die Schnittlinie irgend einer Körperoberfläche mit der Bildebene als die Nullspur dieses Körpers bezeichnen.

44. Aufgabe 27. Es ist die Nullspur einer gegebenen Geraden zu ermitteln.

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Pig. 79.

Auflösung: Ist x₀y₀z₀ (siehe Fig. 79) das Spurendreieck der Bildebene, so legt man durch A₁ eine Ebene senkrecht zur XF-Ebene und bestimmt nach Nr. 43 deren Nullspur a₀ b₀, welch letztere A₀ in Cq , der Nullspur von A, durchschneidet.

45. Aufgabe 28. Es ist die wahre Länge einer Strecke pq und ihr Neigungswinkel mit der Bildebene zu ermitteln.

Auflösung: Man bestimmt (siebe Fig. 80 u. 81), wie in Aufgabe 27, den Schnitt einer durch die Z- Achse senkrecht zur Bildebene geführten Ebene mit letzterer und der XY-Ebene und ermittelt nach Nr. 42 die Abstände pp₀ und q q₀ der Punkte p und q von der Bildebene. Errichtet man nun über p₀ q₀ Figur 80 das Trapez PoP'q'q₀, wobei p₀p' Figur 80 = pp₀ Figur 81 und q₀ q' Figur 80 = qq₀ Figur 81 ist, so stellt das Trapez Po P' Я' % *die Umlegung des räumlichen Trapezes p₀pqq0 in die Bildebene dar, und folglich ist die Strecke p' q' die wahre Länge von p q.

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Fig 81.

Fig. 80.

46. Aufgabe 29. Es ist der Neigungswinkel einer Geraden pq mit der Bildebene zu ermitteln.

Auflösung: Man verfährt in gleicher Weise wie in voriger Aufgabe und erhält in dem Winkel w₀ (siehe Fig. 80), welchen die Seiten^ q₀ undq' des Trapezes p₀p'q'q₀ miteinander einschließen, den Winkel der Geraden pq mit der Bildebene in wahrer Größe.

Anmerkung 11: Die Linien/#' undp₀q₀ (Fig. 80) schneiden sich in der Nullspur cQ der Geraden pq.

47. Aufgabe 30. Yom Koordinatenanfangspunkte ist auf eine in der ХГ-Ebene liegende Gerade A₁ eine Senkrechte zu fällen und deren axonometrisches Bild zu zeichnen.

Auflösung: Ist x₀ y₀ z₀ das Spurendreieck der Bildebene (siehe Figur 82), so zieht man durch o₀ eine

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Fig. 82.

Parallele zu Ax bis zum Schnitt y'₀ mit x₀y₀ und betrachtet die Linie o₀ yó als Achse Yq zu einem Achsenkreuze Z0y 7o, Xi’ für dieses ist dann Уо ©ine Seite des Spurendreiecks, zu welcher die dritte Achse Xq geometrisch senkrecht steht, Xq oder Bx ist also das axonometrische Bild einer zur Geraden Ät senkrechten Geraden.

Anmerkung-12: Die Linien At und Ą sind die axonometi-ischen Bilder zweier in Wirklichkeit aufeinander senkrecht stehenden Geraden A und В der ZF-Ebene. Der Winkel von A± und Bx ist also das axonometrische Bild eines rechten Winkels, und man sagt, die Geraden At und Bx stehen axonometrisch senkrecht aufeinander.

Liegt die Gerade in einer der beiden anderen Koordinatenebenen, wie z. B. die Gerade В der ZF-Ebene

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Fig. 83.

(siehe Fig. 83), so kann die oben gegebene Lösung sinngemäß auch hier Anwendung finden. Man zieht durch o₀ eine Parallele zu Bg und nimmt diese als neue Achse Xi für ein Achsenkreuz F₀, Xi, Д5, dann steht Zq oder C₂ senkrecht zur Seite yoxi des zugehörigen Spurendreiecks. C₂ ist das axönometrische Bild einer Senkrechten zur Q-eraden B₂.

76 Ш. Direkte Konstruktionen der Axonometrie.

Die in der Aufgabe 30 gegebene allgemeine Konstruktion einer axonometrischen Senkrechten zu einer in einer Koordinatenebene liegenden Geraden läßt sich noch vereinfachen: Ist nämlich (siehe Fig. 84) Ax die gegebene Gerade der XY-Ebene, zu welcher eine

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Fig. 84.

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Fig. 85.

axonometrische Senkrechte gezeichnet werden soll, so braucht man nur zu bedenken, daß z. B. in dem Dreieck o₀yx die von у auf o₀ % gefällte geometrische Senkrechte zugleich das axonometrische Bild dieser Senkrechten ist; zieht man außerdem durch % eine Parallele zu Xq bis zum Schnittpunkt и mit der vorhin ge-

nannten Senkrechten, so ist и das axonometrische Bild des Höhenschnittpunktes im Dreieck o₀yz] daher steht die Verbindungslinie o₀u axonometrisch senkrecht zu At. Mit Benutzung des Dreiecks o₀zx (siehe Fig. 85) ergibt sich eine weitere Konstruktion. Durch z zieht man zu parallel Y₀, durch x die Senkrechte xu zu Z₀₎ dann ist и Höhenschnittpunkt im Dreieck o₀zx und o₀u axonometrisch senkrecht zu Ax.

Zieht man endlich (siehe Fig. 86) o₀z senkrecht zu Z₀ und ж и parallel X₀₎ у и parallel Z₀, so ist и Höhenschnitt im Dreieck yoQz, also o₀ и oder Bx axonometrisch senkrecht zu At.

Fig. 86.

48. Aufgabe 31. Von einem Punkte at (siehe Fig. 87) ist eine Senkrechte auf eine durch ihre Spurbilder gegebene Ebene zu konstruieren.

Auflösung: Man verschafft sich die Nullspur y₀ b0 der Ebene ST} dann steht das axonometrische Bild A0 der gesuchten Senkrechten geometrisch senkrecht zur Nullspur S₀ . Das erste Bihbild A} steht axonometrisch senkrecht zum Spurbilde St und kann nach Nr. 47 und Anmerkung 12 bestimmt werden.

78 HI. Direkte Konstruktionen der Axonometrie.

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Fig. 87.

49. Aufgabe 32. Es ist der Neigungswinkel einer Ebene ST mit der Bildebene zu ermitteln.

Auflösung: Man konstruiert die Schnittlinie *einer durch die Z- Achse senkrecht zur Bildebene geführten Ebene mit der Bildebene und der ZF-Ebene und ermittelt den Abstand eines in der Ebene gewählten Punktes, z. B. pQ von der Bildebene gleich der Strecke p₀p (Fig. 89). Fällt man nun von p₀ (Fig. 88) die Senkrechte p₀q₀ zur Nullspur der Ebene ST, macht p₀p' senkrecht pQq₀ und gleich p₀p (Fig. 89), so ist in dem Dreieck^ q₀p\ bei q₀ der 'Winkel W₀ der Ebene ST mit der Bildebene in wahrer Größe enthalten.

Fig. 88.

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50. Aufgabe 83. Es ist die wahre Gestalt einer ebenen Figur, z.B. des Dreiecks 5ed(Fig. 90), zu ermitteln.

Auflösung: Man bestimmt sich wieder (siehe Fig. 91) den Schnitt der durch die Z- Achse senkrecht zur Bildebene geführten Ebene mit der Bild- und ZF-Ebene, ferner die Nullspur a₀y₀ der gegebenen Ebene und außerdem so, wie in Aufgabe 32 angegeben, den Winkel W₀ der Ebene abc mit der Bildebene. Wird nun die Ebene ST um. ihre Nullspur a₀y₀ in die Bildebene umgelegt, so kommt der Punkt p nach jp", so daß PqP" senkrecht zu y₀a₀ und q₀p" = q₀p' ist. Die Verbindungslinien pf/y₀ und f⁷aö liefern die Umlegungen S" und T" der Spurbilder St und T₂. Zieht man nun durch b₀, e₀ und dö Parallelen zu T₂ bis zum Schnitt e, f und g mit Sö und hierdurch Parallelen zu P", so treffen die Senkrechten durch b₀, c₀, dQ zu S₀ die zuletzt genannten Parallelen in den Punkten b", c", d", den Umlegungen der Punkte 6, c, d. Somit ist b're"d" die wahre Gestalt des Dreiecks bed.

Anmerkung 13: Das axonometrisehe Bild bQc₀d0 des Dreiecks bed und die Umlegung b"c"d" sind affine Figuren mit S₀ als Affinitätsachse und der Senkrechten zu S₀ als Affinitätsrichtung, folglich liegen auch die Schnittpunkte von b₀e₀ und b" e'\ c₀ d₀ undc"d", endlich

d₀ b₀ und d"b" auf SQ.

Anmerkung 14 : Man hätte die Punkte 6", e", dff auch mit Benutzung des Winkels W₀ erhalten können, indem man die Längen hb", ic" und kd” als Hypotenusen von rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten b₀ h, c₀i und dQ к und dem anliegenden Winkel W₀ bzw. konstruiert und diese Hypotenusen dann von Л, », к nach hb"} io” und kd" abgetragen hätte.

51. Aufgabe 34. Es ist der Abstand eines Punktes a von einer Ebene ST zu ermitteln.

Auflösung: Man ermittelt wieder Figur 93 aus Figur 92 wie früher und bestimmt mittels des Punktes p0 den Winkel W₀ der Ebene StT₂ mit der Bildebene. Konstruiert man ferner den Abstand a₀ a (siehe Fig. 93) des Punktes a von der Bildebene, zieht durch a₀ (Fig. 92) die Senkrechte a₀ a' zu p₀ q₀ und macht afa" (Fig. 92)

Fig. 93.

Fig. 92.

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— a₀ a (Fig. 93), so gibt die Senkrechte a"c von an auf q₀p' den gesuchten Abstand des Punktes a von der Ebene ST an.

Anmerkung 15: Die im vorstehenden behandelten Aufgaben bilden die Grundaufgaben der darstellenden Geometrie, und es lassen sich mit ihrer Hilfe nunmehr alle weiteren Aufgaben, bei welchen es sich um Lagen oder Maßbeziehungen zwischen den geometrischen Ele-

Vo n d e r 1 i n n, Parallelperspektiva

menten handelt, in axonometrischer Darstellung ausführen. Im folgenden sind einige solche Aufgaben behandelt.

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Fig. 94.

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52. Aufgabe 35. In einer durch ihre Spurbilder S± und T₂ gegebenen Ebene (siehe Fig. 94) liegt ein regelmäßiges, sechsseitiges, hohles Prisma mit seiner Grundfläche so auf, daß der Mittelpunkt der letzteren mit einem gegebenen Punkte m₀ zusammenfällt, und außerdem eine Grundkante parallel zur Bildebene sein soll Die Längen der Grundkanten und die Pnismen-höhe sind bekannt Man soll das axonometrische Bild des Prismas darstellen.

Auflösung: Man bestimmt zunächst den Neigungswinkel WQ der Ebene ST mit der Bildebene (siehe Nr. 49); wählt man nun den Punkt m₀ in der Ebene S T beliebig, zieht m₀ n₀ senkrecht zur Nullspur г/₀ a₀ , ferner durch n₀ eine Parallele zu q₀p' und durch m0 eine Senkrechte mQ mf zu m₀ n₀, so ist m₀ mr der Abstand des Punktes m von der Bildebene, und man kann nun die Ebene ST um die Nullspur in die Bildebene umlegen; dann gelangt der Punkt m nach m", wobei m₀ m" senkrecht y₀ % , n₀ m"= n₀-m' ist. Um m" lassen sich mit den gegebenen Strecken die beiden Sechsecke 1—6 und 7—-12 konstruieren. Überträgt man die Punkte 1 bis 12 auf die Linie n₀ so sind damit die axonometrischen Bilder der Sechseckspunkte 1 bis 12 bestimmt; sie liegen auf den Senkrechten durch die umgelegten Sechseckspunkte zu y₀ a₀ und auf den Senkrechten durch die Punkte 1 bis 12 auf n₀ m' zu m₀ n₀ . Macht man m'r' senkrecht zu n₀m' und gleich der Höhe des Prismas, so bestimmt sich hieraus r₀ auf 7n₀ n₀] damit sind auch die übrigen Ecken der oberen Prismengrundfläche festgelegt, indem man ja nur die Strecke m₀ r₀ auf den durch die Sechseckspunkte 1 bis 12 zu a₀ yQ gezogenen Senkrechten abzutragen hat

53. Aufgabe 36. Es ist ein Kreisring rechtwinklig axonometrisch darzustellen, wenn seine Achse mit der Z-Achse zusammenfallen soll.

Auflösung: Man verschafft sich wie früher den Schnitt %o% (siehe Fig. 97) und zeichnet die Projektion des Kreisringes in die Ebene %o%. Man erhält hierfür die beiden gleichweit von Z abstehenden Kreise К und K' mit den Mittelpunkten m und n und deren gemeinsamen äußeren Tangenten. "Wählt man auf dem Kreisringe einen beliebigen Parallelkreis, etwa F⁷, so gibt es längs dieses Kreises eine den Kreisring berührende Kugel A mit dem Mittelpunkt c. Der axono-metrische Umriß dieser Kugel ist ein zur Bildebene paralleler Kreis, der sich in Figur 97 als eine durch g zu % i gezogene Parallele darstellt, welche F in einem Punkt d trifft. Das axonometrische Bild d₀ bzw. di in Figur 96 liegt auf einem um cQ, dem axonometiischen Bild von c, mit einem Halbmesser gleich jenem von A in Figur 97 beschriebenen Kreise A^ und außerdem auf der Senkrechten durch d (Fig. 97) zu Z₀.

Nimmt man eine Anzahl von Parallelkreisen auf dem Kreisringe an und wiederholt das angegebene У erfahren, so erhält man hierdurch hinlänglich viele Punkte des axonometiischen Umrisses C₀ bzw. D₀ des Kreisringes.

Anmerkung 16: In Fig. 97 liegen die Schnittpunkte d der Umrißprojektionen der berührenden Kugeln A mit den zugehörigen Parallelkreisen F usw. auf den Kurven C und D. Diese Kurven treffen die Kreise К und K' in den Punkten f, g, h und i, denen in Figur 96 die Punkte f₀, gQ, h₀ und i₀ auf Z₀ entsprechen. Die Kurven G und D treffen sich in Figur 97 in kl, gelegen auf der Verbindungslinie mn\ diesen Punkten entsprechen die Punkte ko und ki bzw. l₀ und Iq auf

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der Senkrechten durch kl zu ZQ, wobei p₀ kQ — p₀Ц Figur 96 = к q Figur 97 \mdp₀ lQ = pö Ц Figur 96 = kr Figur 97 ist. An die Linie D (Figur 97) sind zwei Tangenten senkrecht zu %i möglich; sie berühren in den Punkten s und t, denen in Figur 96 die Punkte sq und sq bzw. to und ti entsprechen, welche für die Kurve D₀ Rückkehrpunkte oder Spitzen darstellen. Sie werden in gleicher "Weise wie die übrigen Punkte ermittelt. Durch s z. B. geht ein Parallelkreis, der auf К den Punkt и liefert, woraus sich durch den Schnitt von mu mit Z der Punkt v ergibt, dem auf Z₀ (Fig. 96) der Punkt vQ entspricht. Ein Kreis um vQ als Mittelpunkt und vu (Fig. 97) als Halbmesser enthält auf der Senkrechten durch s (Fig. 97) zu %i die Punkte s₀ und só.

Darstellung in schiefwinkliger Axonometrie.

54. Die Aufgaben über Maßbeziehungen zwischen den geometrischen Elementen lassen sich auch in schiefwinkliger Darstellung ausführen; doch ist hierbei die Kenntnis des Spurendreiecks und damit auch der Projektionsrichtung erforderlich. Das Spurendreieck kann beliebig gewählt werden. Ist z. B. o', X', Y', Z' (siehe Fig. 98) das gegebene Achsenkreuz und ж, у, % das Spurendreieck der Bildebene, so erhält man im Höhenschnittpunkt o₀ des Dreiecks xyz den Koordinatenanfangspunkt für ein Achsenkreuz X₀, Y₀, Z₀ in rechtwinkliger Darstellung auf die nämliche Bildebene. Hieraus ermittelt sich aber sofort die Projektionsrichtung für die schiefwinklige Darstellung, indem man mittels des Dreicks o₀ $ 0" den Abstand des Koordinatenanfangspunktes von der Bildebene in der Strecke o₀o" feststellt, o₀ 0'" senkrecht o₀ o' zieht und o₀ o'" *= o₀ 0" abträgt. o₀ or ist das axonometrische Bild der Projektionsrichtung und о ihr Winkel mit der Bildebene. Ein Punkt a / gegeben durch Rißbild a[ und axono-metrisches Bild a', kann nun auch iir rechtwinkliger Darstellung a₀ angegeben werden, indem man die

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Fig. 93.

Affinität zwischen den in der Z Г-Ebene liegenden rechtwinkligen und schiefwinkligen Darstellungen mit der Xу-Seite als Affinitätsachse und dem Bild der Projektionsrichtung als Affinitätsrichtung berücksichtigt. Zieht man also durch a{ eine Parallele zu F und durch ihren Schnitt b mit xy eine Parallele zu Г₀, so liefert letztere im Schnitt % mit dem durch a[ gezogenen Projektionsstrahl das Rißbild % des Punktes a in rechtwinkliger Darstellung; die Parallelen durch zu Zf und durch a' zur Projektionsrichtung liefern das axono-metrische Bild aö des Punktes a in rechtwinkliger Darstellung.

Es ist klar, daß auf die angegebene Weise zu jeder schiefwinkligen Darstellung die zugehörige rechtwinklige sich ermitteln läßt; in letzterer kann dann die geforderte geometrische Aufgabe gelöst und hierauf in die schiefwinklige Darstellung übertragen werden. Diese Darstellungsweise findet eine praktische Verwendung nur für den speziellen Fall, daß die Bildebene mit einer Koordinatenebene zusammenfällt, wie dies ja für die sogenannte schiefe Projektion der Fall ist. Für diesen besonderen Fall der Darstellung erledigen sich dann aber die Grundaufgaben in einfacher Weise.

Im folgenden sollen nur einige dieser Aufgaben behandelt werden.

55. Aufgabe 37. Ein Punkt a (siehe Fig. 99) ist in schiefer Projektion durch axonometri-sches Bild d und erstes Rißbild a{ gegeben; es ist sein Abstand топ der Bildebene zu ermitteln.

Auflösung: Bestimmt man mittels der Parallelen a{ ax und a'a₂ zu Y' und ax a₂ zu Z' das Rißbild , so ist der gesuchte Abstand des Punktes a von der Bildebene gleich der doppelten Länge von a[ax oder a\ . Zieht man axa^ senkrecht X' und gleich 2 axa[, so ist dxO^ gleich dem Abstand des Punktes a von der Bildebene.

Anmerkung 17: Verbindet man so ist aia[ senkrecht zu Y'.

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Fig. 99.

56. Aufgabe 38. Ein Punkt т'г (siehe Fig. 100) der X7-Ebene ist als Mittelpunkt eines regelmäßigen Achtecks von bekannter Seitenlänge gegeben. Es ist das axonometrische Bild des Achtecks zu zeichnen, wenn zwei Seiten desselben parallel zur X-Achse sein sollen.

Auflösung: Man legt die X7-Ebene in die Bildebene um, dann gelangt der Punkt m\ nach mi . Um щ konstruiert man nun mit der gegebenen Länge als Seite das regelmäßige Achteck 1 ... 8 in der vorgeschriebenen Lage und bringt hierauf die X7-Ebene in ihre ursprüngliche Lage zurück. Dann ergibt sich das Achteck V bis 8' als schiefe Projektion des verlangten Achtecks. Zur Bestimmung einer Ecke dieses Achtecks sind drei Linien erforderlich: einmal

die Senkrechte zu X durch die betreffende Ecke z. B, 1 dann die Parallele durch lx zu Y', hierauf die Senkrechte durch 1 zu Y'

Fig. 100.

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57. Aufgabe 39. In einer beliebig gegen die Koordinatenebenen geneigten Ebene (siehe Fig. 101) ist ein regelmäßiges Sechseck mit dem Mittelpunkte m zu konstruieren, wenn die Länge einer Sechseckseite und ihre Lage bekannt sein solL

Auflösung: Ist xyz das Spurendreieck der gegebenen Ebene, so kann die Aufgabe in doppelter Weise gelöst werden; man kann nämlich die gegebene Ebene um ihre Spur S oder auch um ihre Spur T in die Bildebene umlegen. Zunächst soll das erstere geschehen.

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Fig. 101.

In diesem Falle legt man zuerst die ZF-Ebene mit der Spur S₁ in die Bildebene um, dann gelangt die Spur Sx nach 5'. Fällt man nun von V eine Senkrechte zu S\ so wird diese von einein um x mit einem Halbmesser gleich x z beschriebenen Kreisbogen in einem Punkte %■ durchschnitten, so daß die Yerbindungslinie z'z oder T' die Umlegung der Spur T der Ebene ST in die Bildebene bezeichnet.

Zieht man durch m eine Parallele zu St bis zum Schnitt b mit T2y macht xb' auf T — xb und zieht durch b' eine Parallele zu S', so muß hierauf m' liegen. Zieht man durch m eine Parallele md^ zu T₂, durch dt eine Senkrechte zu Y' bis zum Schnitt d' mit S', so durchschneidet die Parallele durch d! zu V die durch b' zu S' gezogene Parallele in m'. Um m' als Mittelpunkt zeiclmet man nun das regelmäßige Sechseck V bis 6' von bekannter Seitenlänge, und zwar so, daß zwei Seiten parallel zu S' werden. Das axono-metrische Bild des Sechsecks läßt sich mittels der Affinität bestimmen, die zwischen der Umlegung und dem axonometrischen Bilde besteht. Man zieht also durch die Ecken 1' bis 6' Parallele zu S' bis zum Schnitt mit T\ macht xe = xd xa — xa', zieht durch c und a die Parallelen zu S₁, so werden diese Linien von den Parallelen zu mm' durch die Ecken 5'* 4', bzw. 1' • 2' in den entsprechenden Ecken 5*4, 1*2 getroffen, die noch fehlenden Ecken 6 • 3 liegen auf mb.

Die Umlegung der Ebene S T in die Bildebene könnte aber auch um die Spur T₂ vorgenommen werden; wie in diesem Falle vorgegangen wird, ist in der folgenden Aufgabe gezeigt.

58. Aufgabe 40. In einer Ebene ST (siehe Fig. 102) liegt eine Figur abcd. Man soll ihre wahre Gestalt durch Umlegung der Ebene um die Spur T₂ in die Bildebene bestimmen.

Auflösung: Ist xyz das Schnittdreieck der gegebenen Ebene mit den Koordinatenebenen und liegt in ersterer das Viereck abcd, so bestimmt man zunächst mittels des Punktes a den Winkel PF' der Vierecksebene mit der Bildebene und erhält hierdurch auf der Senkrechten durch a₀ zu xx in a'", wobei pa'" =*pa" ist, die Umlegung am des Punktes a in die Bildebene. Die Umlegung des Yierecks und sein axonometrisches Bild sind nun affine Figuren hinsichtlich der linie жя als Affinitäts-

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Fig.102,

achse und der Yerbindungslinie afam als Affinitats-richtung. Die verlängerten Yierecksseiten afb\ o* df ) V & und a'df treffen die Affinitätsachse in Punkten e, i, h und к, durch welche die Umlegungen aw bm usw. hindurchgehon; a'"bmcf"d'" ist die wahre Gestalt des Yierecks ab cd.

59. Aufgabe 41. Bm senkrechter Kreiskegel, dessen Grundfläche in einer gegebenen Ebene xyx liegt (siehe Fig. 108), und von welchem der Mittelpunkt und der Halbmesser des Grund-

kreises sowie die Kegelhöhe bekannt sind, ist in schiefer Projektion darzustellen.

Auflösung: Dem Punkte m entspricht in rechtwinkliger Projektion der Punkt m₀. Zeichnet man 7n₀p senkrecht zu %x und m₀ m" senkrecht zu mQp und

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Senkrechten durch s" zu m₀p und hierauf s' auf dem Projektionsstrahl durch s₀ und auf der Verbindungslinie des Schnittpunktes a' von m" s" und m₀s₀ mit m'. Die Tangenten von s' an K' geben die Umrißmantellinien des schiefen Bildes des Kreiskegels.

60. Aufgabe 42. Ein Kreisring, dessen Mittelebene mit der ATF-Ebene zusammenfällt, ist in schiefer Projektion darzustellen.

Auflösung: In Figur 104 ist der rechtwinklige Grundriß des Kreisringes in halber Größe dargestellt. Man zeichnet zunächst (siehe Fig. 105) dieaxonometrischen Bilder A', B' ₎ G' der Kreise A, J9, О und hierauf die Bilder einer Anzahl von Meridianschnitten des Ringes. Eine diese Bilder umhüllende Kurve gibt den axono-metrischen Umriß des Ringbildes. In der Figur 105 trifft die X'-Achse die Ellipsen A', B', G' in den Punkten c, a, b bzw. c', a\ b\ Die Kreise um b bzw. bf mit dem Halbmesser ab bzw. a'b' sind die in der X Z-Ebene liegenden Meridianbilder. Die F'-Achse liefert auf Ä, B' und C/ die Schnittpunkte f, d, e bzw. f, d\ e'. Zieht man durch e und d Parallelen zur Z'-Achse und trägt hierauf von e bzw. e' nach oben und unten die Strecke ab nach ei, eh bzw e'i' und e'h' ab, so bilden d f und ih bzw. d' f und i' h' konjugierte Durchmesser der Meridianbilder D und D'.

In der Figur 105 ist ein weiterer Durchmesser f'f” gezogen, woraus sich die konjugierten Durchmesser d"f",i"h” und d'"    h'" für die Meridianbilder D"

und D'" ergeben.

Wahl der Lichtrichtung, Schatten eines Punktes. 97

IY. Schattenkonstruktionen in axonometrischer Darstellung.

Wahl der Liehtrichtung, Schatten eines Punktes.

61.    Die Liehtrichtung wird dargestellt durch ihr axonometrisch.es Bild und ein Rißbild. Ist X' Yf Z' ein Achsenkreuz, gleichviel ob in rechtwinkliger oder in schiefer Darstellung, und I/ das axonometrische Bild, Lx das erste Rißbild eines Lichtstrahles, s.Fig. 106, so liefert der Schnittpunkt <x'" der Geraden U mit der Z 7-Ebene einen Punkt des Rißbildes Lz ; ein weiterer Punkt ergibt sich in dem dritten Rißbilde ocz des Setmittpunktes <x' von U und Lx. Bestimmt man oci als zweites Rißbild von oc' auf X' und als zweites Rißbild von <x'" auf Z', so liefert die Yerbindungslinie ocioci" das Rißbild L₂ der Liehtrichtung.

62.    Ist ein Punkt im Raume gegeben, so versteht man unter seinem Schatten auf irgend eine Fläche den Durchschnittspunkt des den Punkt enthaltenden Lichtstrahles mit der betreffenden Fläche.

Verschiedene Aufgaben.

62. Aufgabe 43. Eine Gerade ah ist gegeben (siehe Fig. 106). Es ist ihr Schatten auf die Ebenen X Y und XZ gesucht.

Auflösung: Man zeichnet durch die Endpunkte a und b von a b Lichtstrahlen und bestimmt deren Schnittpunkte mit den genannten Ebenen. Die Lichtstrahlen durch a und b schneiden die XY-Ebene in den Punkten <x' und ß'. Die Yerbindungslinie ß' ist also der

Voüderlinn. Parallelperspektrre.

Schatten von ab auf die ZF-Ebene unter der Voraussetzung, daß letztere als unbegrenzt gedacht ist. Beim Vorhandensein der ZF-Ebene gilt als wirklicher Schatten

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y-

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X/

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Гщ. 10Ö.

von ab auf die Z F-Ebene nur die Strecke ß' y, und der Schatten des Punktes a fällt auf die ZF-Ebene nach cc”. Der Schatten von ab auf die beiden Ebenen ZF und ZF ist somit dargestellt durch den Linien“ zug ß'ycc".

63. Aufgabe 44. Für den in Fig. 107 in schiefer Projektion dargestellten Gesimskörper ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung: Als Lichtrichtung ist die bei Schattenkonstruktionen allgemein übliche Richtung, bei welcher

Grund- und Aufriß der Lichtrichtung mit der Projektionsachse den Winkel von 45⁰ einschließen, gewählt. Trägt man daher auf der X-Achse (siehe Fig. 107) die Strecke ab = 2 auf Г', ac = 1 und auf der durch в zu Z' gezogenen Parallelen cd = 2 ab, so geben die Verbindungslinien db, cb und da die Bilder L', Lx und L₃ der Lichtrichtung. Zeichnet man nun parallel

П rfflrRT

Fig. 107.

zu Ls an das zu A! parallele Profil Bf die möglichen Tangenten, die in w', gf und r' berühren, so ergibt sich hierdurch die Begrenzung des Selbstschattens und damit auch der Schlagschatten auf den Gesimskörper, der in der gleichen Weise wie bei der gewöhnlichen rechtwinkligen Darstellung mit Benützung von L' und L8 konstruiert wird. Z. B. der Lichtstrahl durch e' parallel zu L₃ liefert den Punkt f', durch welchen der Schlagschatten der Gesimskante durch ef auf die Sima hin«

7*

100 IV. Schattenkonstr. in axonometrischer Darstellung.

durchgeht Der Bogen n'm' ist der Schlagschatten des Bogens mV auf die Gesimsfläche. Der Lichtstrahl durch У parallel zu LB liefert den Punkt hf und damit die Schattengqenze durch h\ Der Lichtstrahl durch gf parallel zu U liefert den Punkt 0' und damit in pf 0 den Schatten des Bogens g'p' usw.

64.    Aufgabe 45. Für den in Fig. 108 dargestellten Gesimskörper ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung: Die Konstruktion erledigt sich in gleicher Weise, wie in Aufgabe 43 angegeben.

65.    Aufgabe 46. Für den in Figur 110 in schiefer Projektion dargestellten konsolartigen Körper ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung: Die Konstruktion wird wieder mit Benutzung der Lichtstrahlen U und Ls ausgeführt und ist aus der Zeichnung wohl zu ersehen.

66.    Aufgabe 47. Für den in Figur 112 in rechtwinklig dimetrischer Darstellung gezeichneten Körper ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung: Man bestimmt sich Lt, Ls und L₀. Die Selbstschattengrenzen für die Zylinder I und ÏÏI bzw. II und IV ermitteln sich mittels der Tangenten parallel zu bzw. LB an die Bilder der zugehörigen Zylindergrundkreise. Die Schlagschattengrenzen, ergeben sich unter Benützung der Lichtstrahlen Lt und L0 für die Zylinder I und Ш bzw. Lz und L₀ für die Zylinder II und IV ; so liefert z. B. der Lichtstrahl durch 1 des Zylinders Ш den Schlagschattenpunkt l’ auf I, der Lichtstrahl durch 2 liefert den Schlagschatten 2" usw.

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Fig. 112.

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67. Aufgabe 48. Für die in Figur 113 in

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schiefer Projektion dargestellte Schraubenspindel ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

104 IV. Schattenkonstr. in axon (metrischer Darstellung.

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Auflösung: Zur Darstellung der Schraube zeichnet man die axonometrischen Grundrisse der beiden Schraubenlinien A und B} so daß den Punkten 0 bis 12 bzw. 0' bis 12' die Teilpunkte der entsprechenden in 12 gleiche Teile geteilten Kreise entsprechen. Trägt man nun auf der Schraubenachse Z' eine Strecke gleich dem zwölften Teil der Ganghöhe nacheinander nach o'7, IIIy Il III usw. ab, so braucht man nur die Punkte ly II y III auf Zf Parallelen zu den Verbindungslinien 11', 22', 33' usw. zu ziehen, so werden diese Parallelen von den durch die Punkte 11', 2 2', 3 3' zu Z' gezogenen Parallelen in Punkten 7, 1, 7/, IT, 7Z7, 777' der Schraubenlinien A und В getroffen.

Die Schattenkonstruktion erledigt sich mittels der Lichtstrahlen Lx und 7/,

Schatten entsteht:

1.    von der Schraubenlinie A auf den Zylinder (7; der Punkt d z. B. liefert den Schatten c";

2.    von der Schraubenlinie A auf die Schraubenfläche 7); der Punkt d liefert den Schatten d". Man bestimmt auf dem Grundriß von A, zieht durch d{ einen Lichtstrahl parallel zu Lx, legt durch diesen Lichtstrahl eine Ebene Et parallel zu Zf und bestimmt deren Schnitt E' mit der Schraubenfläche 7). Der Lichtstrahl durch d parallel zu L' liefert auf F/ den Schattenpunkt d".

3.    von der oberen horizontalen Begrenzung F auf die Sehraubenüäche; er wird in gleicher Weise bestimmt wie bei 2;

4.    von der Linie ef auf den Zylinder G bzw. auf die Schraubenfläche; er bestimmt sich, wie bei 1 und 2 angegeben.

68. Aufgabe 49. Es ist die Schattenkonstruktion für einen Kegelstumpf auszuführen, der a) in schiefer Projektion (Fig. 116), b) in rechtwinkliger Projektion 1 : */з :1 (Fig. 117) dargestellt ist.

Fig. 116.

ic

Fig. 116.

e'\

4.....i-........

-T

Auflösung a): Ist aa' (Fig. 116) die in der X' Z'-Ebene liegende Mantellinie, so zeichnet man durch a die Senkrechte ab zu a af bis zum Schnitt b mit Zf, durch h eine Senkrechte zu L₂ (siehe Fig. 115), endlich durch c eine axonometrisohe Senkrechte zu Lx, d. h. eine Parallele zur Linie o'd (Fig. 115) (o’df senkrecht zu üb*)у diese liefert auf K! zwei Punkte d und e der Selbstschattengrenze. Dieselbe Konstruktion führt man für die obere Begrenzung ffl des Kegelstumpfes aus

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Fig. 117.

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Fig 118.

108 IV. Schattenkonstr. in axonometrisch er Darstellung.

und erhält hierdurch die Punkte df und e' der Selhst-schattengrenze. Die/ Verbindungslinien d df und e e; bilden die Selbstschattengrenze des Kegels.

Auflösung b): Die Konstruktion erledigt sich in gleicher Weise wie unter a); ab ist axonometrisch senkrecht zu aa', bc ist axonometrisch senkrecht zu L₂ (Fig. 118), cde ist axonometrisch senkrecht zu Lx (Fig. 118).

Anmerkung 18: In Figur 118 ist die Konstruktion der axonometrischen Senkrechten zu den in Auflösung b) genannten Linien aa', L₂ und Lx durchgeführt. Es ist o₀e (Fig. 118) parallel zu aa' (Fig. 117), Px senkrecht zu yQe, daher ab (Fig. 117) parallel zu Px (Fig. 118). Es ist ferner o₀f parallel L₂, Qx senkrecht y₀f, daher bc (Fig. 117) parallel zu Qx (Fig. 118), endlich ist o₀d parallel LXy Nx senkrecht zu z₀dy daher c d (Fig. 117) parallel Nx (Fig. 118).

69. Aufgabe 50. Für die in schiefer Projektion dargestellte Kugelnische (siehe Fig.119) ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

Auflösung: Der Kreis A' stellt den Schnitt der Kugel mit der ZZ~ Ebene, die Ellipse B' jenen mit einer Parallelebene zur ХГ-Ebene dar.

Man zeichnet parallel zu L₂ an Af eine Tangente, so ist ihr Berührungspunkt k' ein Punkt der Schattengrenze. Zieht man senkrecht zu o'k' den Halbmesser o’ f und legt durch f einen Lichtstrahl, so gibt-dessen Schnitt mit der Kugeloberfläche einen zweiten Punkt if, welcher mit o' verbunden den zu o' k' konjugierten Halbmesser fllr die Schlagschattenellipse G' liefert. Um V zu konstruieren, bestimmt man den axonometrischen Urundiiß fx von f in der Ebene B', zieht durch fx

einen Lichtstrahl parallel zu Lt, welcher den Lichtstrahl durch f parallel zu U in gx schneidet.

Fig. 120.

1P-.

MC

’Г*‘⁼*е

o7

t=

Pig. 119.

Die Verbindungslinie Vgi schneidet В' in h\ und die Parallele durch h' zu o'b' liefert auf dem Lichtstrahle durch fx den Grundriß \ von V ; die Parallele

durch \ zu Zr bestimmt auf dem Lichtstrahle durch f den Punkt i'. Nunmehr kann die Ellipse (/'konstruiert werden, welche В' in nr schneidet. Der Bogen k'ef n' ist. der auf die Kugel treffende Schlagschatten топ A'. Die Konstruktion des Schattens auf die zylindrische Begrenzung der Nische ist aus der Figur zu ersehen.

70. Aufgabe 51. Für die in Figur 121 in rechtwinkliger isometrischer Projektion dar-gestellte Kugel ist die Schattenkonstruktion auszuführen.

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Auflösung: Bei der gewählten Projektionsart ist die Lichtrichtung gegeben durch das Bißbild Lj und das axonometrische Bild L₀ parallel zu X₀. Der Mittelpunkt der Kugel soll mit dem Achsenschnittpunkt o₀ zusammenfallen. Zur Ermittelung der Selbstschattengrenze legt man durch die Xü-Achse eine Ebene senkrecht zur Bildebene, bestimmt ihren Schnitt mit der Kugel und legt diesen Schnitt samt der Lichtrichtung um x₀x in die Bildebene nach Kf und JJ um, so erhält man in dem zu U senkrechten Kreisdurchmesser df d die Projektion der Selbstschattengrenze. Den Punkten df und ef entsprechen auf o₀æ0 die Punkte dQ und e₀ als Endpunkte der kleinen Achse der Selbstschattenellipse M₀. Die große Achse f₀ g0 ist gleich dem Kugeldurchmesser und steht senkrecht L₀. Der Schlagschatten der Kugel auf die Bildebene ist eine Ellipse N₀, deren Mittelpunkt mit dem Schnittpunkt mQ des durch o' parallel zu U gezogenen Lichtstrahles mit der Bildebene zusammenfällt. Die kleine Achse steht senkrecht zu L₀ und ist gleich dem Kugeldurchmesser; die große Achse fällt mit dem durch o₀ gehenden Lichtstrahle L₀ zusammen und ihre Endpunkte ergeben sich in den Schlagschattenpunkten Ą

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Fig. 121.

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und e₀ (in der Figur ist nur d'₀ vorhanden} der Punkte d₀ und e₀. Punkt d'₀ ergibt sich als Schnittpunkt des durch d' parallel zu U gezogenen Lichtstrahles mit X#

Anmerkung 19. *In der Figur sind die Achsenebenen X 7, X Z und YZ als wirklich vorhandene Ebenen dargestellt und ihre Schnittlinien mit der Kugel verzeichnet Der Schlagschatten der durch die drei Achsenebenen imd die Bildebene begrenzten Pyramide ist in der Figur 121 gleichfalls angedeutet. Die zugehörige Konstruktion ist aus der Figur zu ersehen.

Anmerkung 20: Der Leser führe die Aufgabe 51 in schiefwinkliger Axonometrie durch und zwar:

a)    in schiefer Parallelprojektion,

b)    in schiefer Projektion.

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