шж

ш

к.

bi

~~Т

I:::' Ж."

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

III

iii

ШЖ Ï

si

щ

L. înw.

......

у- ■

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

У"

Шш к

РЯ11

: ■ . - . ; ~

ЫШШв&£Ёе8Ш Von Щщ

ł    г\ г т *7*

Drying. L Zipperer

В i ЩаврЩ^шаЮЙШИаИЩ.

■    i ниш«»®«» mmmmmi

■    I l^^^BwISSW®¹

1 :11 I Я ЩЁШ Ш I № 44 Abbildungen

Is

BK

...

(—lFL—i

2SI ZWIĄZKU STUDENTÓW INŻYNIERII W KRAKOWIE Liczba katalogu /.5

BIBLIOTEKA

г ~ ~.........■...................N

_j£ щ Г|Г1И|1|||# iii|i[ii|ii iiiifMn niii .

ИМЯ.

... ;

"ШШ

ii i wml

fe

____...______________|H .,f^„ ,

башшШпд бойеп

Uttfer heutige«* Riffen in fur§en, ffaren, üttgemeitmcrffanMtdKn (Sinjetoarflfeflungen

2B а И e r be © r u t? f e r & (So.

Dormafó ©. 3. ©оГфспТфе #ertogét)ûnbUmg / 3. ©uttentag, #crlag$<» bud)l)<mt>lung / ©eorg Reimer / Яаг! 3. Srübner / #eif 6 Gonty.

Berlin 23. 10 unb £ e i p 5 i g

3roecf unb 3ie( ber „©ammtung ©bfdjen" t|t, in (SnjetbarlMungen eine flare, leidjf« Der|Mnbtitf?e unb überfi'd?tlid?e (Sinfuljrung in fiîmttidje ©ebiete ber 2Bfffenfd?aft unb £ed?nif 3u geben; in engem Cabmen, auf ftreng mifienfd?afffid?er ©runblage unb unler iSerüiffidftigung bed neuefîen 6fanbeé ber Sorfdjung bearbeitet, foil jebed 2Mnbd?en Suoerld'ffige 2îetel?rung bieten. 3ebed einseine ©ebiet iff in fid? gefd?lof[en bargefïetlt, aber bennod? fïeffen alte 2Mnbd?en in innerem 3u< fammen(?ange miteinanber, fo baf bad ©anje, wenn cd uoltenbet oorliegt, eine einheitliche, fn<?i>mnłiTrh(> (Onritrllmia unfered aefamten Biblioteka Politechniki Krakowskiej

SI I

ber

100000298019

n if f e tb pofîfrei

i

I

[. :

ш

V

\

Pcfbl/M ?' W KRAK° "'c

Biblioteka i Czytelnia

Mrjsd

Sammlung Göschen

Technische

(ßi— 1,i) = ОЧг+l) ~-@iW2(ai),

юо

4 = 135,

2. Biegungsschwingungen.

Hydraulik

Technische

Sehwingungpehr

Von

Dr.-Ing. L. Zirffcprer

in Qppa|

Schwi ngungen Vn Maschinenanlagen (Torsions- uni Biegu^gsSchwingungen)

r<>

Mit M XbSildunj

\ir. 15 Ok

"äi

«**    £,.m

SS.

Berlin und Leipzig

Walter de Gruyter & Co.

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung . J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung . Georg Reimer . Karl J. Trübner . Veit & Comp.

1927

KRAKÓW

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung- Vorbehalten.

Äkc. Nr«

Ш&'i

Druck von G. G. Röder G.m.b.H., Leipzig. 807027.

2. Biegungsschwingungen.

97

99

а)    Welle mit einer Masse . . ß) Welle mit mehreren Massen y) Näherungsverfahren (Krause, Dunkerley, Kuli) 103

б)    Graphisches Verfahren nach Stodoła .... 107

II. Experimentelle Verfahren.

109

ff йа à

i

! а/з>

'V

n    /$?

Inhaltsangabe.

sV/

I. Analytische Verfahren.

1. Torsionsschwingungen.

a)    Geschichtlicher Rückblick . . .

b)    Bestimmung der Eigenfrequenzen

1.    Mittelbare Verfahren ....

tX) Eingespannter Stab mit Schwungscheibe 8 ß) Welle mit drei Schwungscheiben ....    9

y) Welle mit beliebig vielen Scheiben ...    13

ö) Näherungs verfahren..........

2.    Unmittelbare Verfahren nach:

a) Gümbel-Geiger............

ß) Tolle.................

y) Dreves................

3.    Berechnung der Wellenkonstanten.....

4.    Berechnungsbeispiele...........

oc) Welle mit drei Scheiben (berechnet nach

mittelbaren Verfahren, Gümbel-Geiger und

Tolle)................

ß) Durchrechnung einer Maschinenanlage nach Tolle................

Seite

17

18

23

42

47

50

1.    Torsionsschwingungen (Torsiographen nach Geiger und Frahm)

2.    Biegungsschwingungen (Vibrograph nach Geiger) . 113

Seite

III. Mittel zur Beseitigung der Schwingungen bei:

1.    Torsionsschwingungen.............

2.    Biegungsschwingungen (statisches und dynamisches

Auswuchten).................

116

117

Anhang.

Fundamentschwingungen.

1.    Theoretische Betrachtungen .

2.    Experimentelle Untersuchungen

3.    Mittel zur Beseitigung ....

Sachverzeichnis.........

120

122

122

124

Literaturverzeichnis.

Blaeß, Y., Zur graphischen Berechnung der kritischen Drehzahl rasch umlaufender Wellen. V. d. I. 1914, S. 183.

Heft 6. 1926.

—    Über den Massenausgleich raschumlaufender Körper. Z. f. angew. Math. u. Mech.

Borowicz, W. y., Beitrag zur Berechnung kritischer Geschwindigkeiten von zwei- und mehrfach gelagerten Wellen. Dissertation T. H. München 1915.

Dreyes, R., Neues graphisches Verfahren auf statischer Grundlage zur Untersuchung beliebiger Wellenmassensysteme auf freie Drehschwingungen. V. d. I. 1918, S. 588.

Föppl, 0., Berechnung der Biegungsschwingungszahl einer Welle, die mit mehreren Lasten behaftet ist. Z. f. angew. Math. u. Mech. Heft 1, 1927.

F rahm, H., Neue Untersuchungen über die dynamischen Vorgänge in den Wellenleitungen von Schiffsmaschinen mit besonderer Berücksichtigung der Resonanzschwingungen. V. d. I. 1902, S. 797.

—    Ein neuer Torsionsindikator mit Lichtbildaufzeichnung und seine Ergebnisse. V. d. I. 1918, S. 177.

Geiger, J., Über Verdrehungsschwingungen von Wellen. Dissertation T. H. Berlin 1914.

—    Der Torsiograph. ein neues Instrument zur Untersuchung von Wellen. V. d. I. 1916, S. 811.

—    Die Theorie des Torsiographen. E. T. Z. 1918.

—    Zur Berechnung der Verdrehungsschwingungen von Wellenleitungen. V. d. I. 1921, S. 1241.

—    Zur Theorie des Vibrographen. Zeitschrift: Werft — Reederei — Hafen 1924, Heft 11.

—    Mechanische Schwingungen und deren Messung. (Springer.) Berlin 1927.

Gümbel, L., Verdrehungsschwingungen eines Stabes mit fester Drehachse und beliebiger . zur Drehachse symmetrischer Massenverteilung unter dem Einfluß beliebiger harmonischer Kräfte. V. d. I. 1912, S. 1025.

—    Verdrehungsschwingungen und ihre Dämpfung. V. d. 1.1922, S. 252.

Hey mann, H., Die Auswuchtung rotierender Massen. Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft 1924.

Holzer, H., Torsionsschwingungen von Wellen mit beliebig vielen Massen. Schiffbau 1907, S. 823.

—    Berechnung der Drehschwingungen. (Springer.) Berlin 1921. Hort, H., Über neuere dynamisch-statische Wuchtmaschinen.

E. T. Z. 1925, Heft 29.

—    W., Neuere vereinigte dynamisch-statische Wuchtmaschinen. У. d. I. 1925, S. 1606.

Hummel, Ch., Kritische Drehzahlen als Folge der Nachgiebigkeit des Schmiermittels im Lager. V. d. I. 1926. Formungsheft 287.

Krause, M., Zur Berechnung der kritischen Drehzahlen rasch umlaufender Wellen. Y. d. I. 1914, S. 878 und 1276.

Kuli, G., Kritische Drehzahlen schnell umlaufender Wellen.

V. d. I. 1918, S. 249, 320 und 619.

Kutzbach, K., Untersuchungen über Wirkung und Anwendung von Pendeln und Pendelketten im Maschinenbau. V. d. I.

1917,    S. 917.

Lehr, E., Die umlaufenden Massen als Schwingungserreger.

У. d. L-Verlag. Maschinenbau 1922, S. 206; 1923, S. 62. Lorenz, H., Kritische Drehzahlen rasch umlaufender Wellen.

У. d. I. 1919, S. 240, 595, 866, 888.

Magg, J., Drillungsschwingungen in Kurbel wellen. V. d. I.

1918,    S. 743; 1919, S. 155.

Saß, F., Beiträge zur Berechnung kritischer Torsionsdrehzahlen. У. d. I. 1921, S. 67.

Schmidt, E., Untersuchungen über Fundament Schwingungen. V. d. I. 1923, S. 33.

Schröder, A., Zusammenhang der Indikator-Drehkraftdiagramme von Zweitakt-Dieselmotoren mit den Drehschwingungen ihrer Wellen. Dissertation T. H. Berlin, 1926.

Seel mann, Die Reduktion der Kurbel kröpfung. У. d. I. 1925, S. 601.

Stodoła, Dampfturbinen. (Springer.) Berlin.

Tolle, M., Regelung der Kraftmaschinen, 3. Aufl. (Springer.) Berlin 1921.

V. d. I. Sonderheft Mechanik 1925.

Wydler, H., Drehschwingungen in Kolbenmaschinenanlagen und das Gesetz ihres Ausgleiches. (Springer.) Berlin 1922.

Ein sehr ausführliches Literaturverzeichnis befindet sich in Hort, Technische Schwingungslehre.

T. Analytische Verfahren.

1. Torsionsschwingungen.

a) Geschichtlicher Rückblick.

von

war.

zur

von

Zahlreiche Wellenbrüche in den Maschinenanlagen Seedampfern in den letzten Jahren des vergangenen Jahrhunderts ließen aus den eigenartigen Verdrehungsstrukturen erkennen, daß der Bruch nur durch Zusatzbeanspruchungen infolge Resonanzerscheinungen möglich Die Werft Blohm & Voß in Hamburg ließ diese Erscheinungen durch Frahm¹) untersuchen, wobei sich ergab, daß von 21 untersuchten Maschinenanlagen 8 Anlagen im Gebiet der kritischen Drehzahlen liefen. Frahm ersetzte Berechnung der Eigenfrequenzen die Anlage durch ein System mit zwei Massen. Zwei Jahre später zeigte Roth²) wie man die Eigenfrequenzen für ein Wellensystem mit drei Massen berechnet. Die Berechnung bei beliebig vielen Massen veröffentlichte Holzer³) im Jahre 1907. Einige Zeit später lernte man ein graphisches Verfahren Gümbel⁴) kennen, das von Geiger⁵) vervollständigt wurde. In den Kriegsjahren zeigten Resonanzerscheinungen in den Maschinenanlagen von U-Booten, Luftschiffen und Riesenflugzeugen wieder die Notwendigkeit der dynamischen Behandlung der Wellenleitungen. Es entstand ein neues, vielseitiges Verfahren von Tolle⁶), das jedoch erst nach dem Kriege der Öffentlichkeit übergeben werden konnte⁷).

³) Schiffbau 1907.

x) V. d. I. 1902. ⁴) V. d. I. 1912.

Gegen Kriegsende fand die Literatur über Torsionsschwingungen eine Bereicherung durch ein Verfahren von Dr evesx). In den letzten Jahren erschienen weitere Werke, die in dem Literaturverzeichnis angegeben sind.

Die einzelnen Verfahren sollen im vorliegenden Band behandelt und durch Beispiele erläutert werden.

Der Luftschiffbau Schütte-Lanz in Mannheim-Rheinau hatte die Notwendigkeit der dynamischen Überprüfung der rein statisch berechneten Wellenanlage bald erkannt. Der Verfasser hatte bei diesen Untersuchungen Gelegenheit, die Vor- und Nachteile der oben angegebenen Verfahren in der Praxis kennenzulernen.

Während in den Kriegsjahren nur wenige Ingenieure das Gebiet beherrschten, ist es heute bereits ein Teil der Vorlesung über Mechanik geworden, so daß die Studierenden schon mit den Grundzügen vertraut die Hochschule verlassen.

b) Bestimmung der Eigenfrequenzen.

1. Mittelbare Verfahren²).

(x) Eingespannter Stab mit Schwungscheibe.

Die einfachsten Fälle der Torsionsschwingungen haben wir bereits im ersten Band der Technischen Schwingungslehre kennengelernt.

Für eine eingespannte Welle mit einer Schwungscheibe am freien Ende fanden wir auf S. 91, Bd. l:

T=2n

G-J

l.

(1)

Ü V. d. I. 1918.

²) Unter „mittelbare“ Verfahren sind diejenigen zu verstehen, die von der Schwingungs-Differentialgleichung ausgehen.

Torsionsschwingungen.

Die Schwingungsdauer einer Welle mit je einer Schwungscheibe am Ende ist nach S. 93, Bd. I:

(2)

0Г02    ¹

0! +0₂ C

worin c =

0-J

ist.

In den obigen Formeln bedeutet:

0: das Massenträgheitsmoment, bezogen auf die Drehachse, l: die Länge der Welle,

J: das polare Trägheitsmoment des Querschnittes,

G: der Gleitmodul des Wellenmaterials.

ß) Welle mit drei Schwungscheiben °

(Abb. 1).

Für ein Wellensystem mit . drei Scheiben erhält man die ^    ^

Differentialgleichungen :

d² срг

О,

Ot

о

Çt3

Abb. 1.

«Sw-

z' //

02

k> cs

ci2 (SPi — <Pa)

(3a)

03

c?

+" C12 (ÿl ⁽fî) C23 (S°2    S%) I (3 b)

d t²

+" C23 (%    9>₃) •

(3c)

Aus (За) ergibt sich:

d²çp! _ c₁₂

C12

dt* ą

S°2 — 7, - ⁽Pl.

0i

(4a)

Aus (3 b): ^² 5^2_ G2

dt²

02

d* cp₁ _ c₁₂ d² cp<> c₁₂ d² cßx dt* ~ 0] dt²

d⁶cpi _ с,,г d* (ß₂    c₁₂ d* cp,

dt⁶    (ff² 6»j dt* ‘

(ff² ’

(4 b)

(4 c)

{Pl--

Ç>2 +

^3 —

C23

02

^2>

(5 a)

^ ^2 ₌ <02    __fl2 ^²^2 , % ^² Уз __^23 <^2

d ć²    d t² 0₂ d t² 0₂ d t² 0₂ d t²

Aus (3 c):

• (5b)

03

^2~

C23

03

^3*

(6)

Durch Addition von (3b) und (3c) erhalten wir: d² cp₃

C12 tyl    <02 ф2 *

02

d² gj₂

+ 03

dt²

(7)

Aus (5b) wird:

d*çps =0j_d*g)₂ _c^ d²çp, Cj2 d² <p>₂ dtjfr i² ew dt² c₂₃ d t² + c₂₃ ~ dt² + dt* ‘

Tn (7) eingesetzt und geordnet erhält man: 0₂0₃ ä* cp2 C23 d t^

+ \0₂ + @3

<02

C23

+@₃)

d/²

(8)

C12 d² CPi

(9)

C12 <^1 + <12 <?2 — 0 .

-0*f

c23

Aus dieser Gleichung werden nun die Glieder mit cj)₂ eliminiert unter Verwendung von Gl. (3 a):

dt²

©i

d*9>i

0i

©i

dt²

C12 ^2    C12 tyl »

d² op₂

d* g)₂

°¹² d t2 — Г1г ■

(10)

C12

dt* ’

^⁴<pi

(ii)

(12)

Die letzte Gleichung (12) liefert:

d⁴ çp₂ __    g)x

d t²    <?₁₂ d ź⁶

(13)

Aus (11) ergibt sich:

^2    0i    i    <^1

^t²    c₁₂ dt²    dt²

(14)

und aus (10):

^2 =

@i

c₁₂ d t²

(15)

Setzt man nun (13), (14), (15) in (9) ein, so ergibt sich nach fallenden Differentialquotienten geordnet und durch

$1 $2 $3

C12 C23 <Pi

dividiert:

äicp₁

dt«

oder:

+ «и «23 (—¹ + —— + - —) d~ = 0; ¹²    \0₂©3    0J©3    6₁вг) <Ü²

(16)

+ ^«12

©l+©2

©1©2

■f «23

©2 + ©з | d* Cf j

©₂@3 J dt*

$1 4* 02 H⁻ 03

0102 03

In gleicherweise hätte man die Gleichung für cp₂ oder (p2 erhalten können.

Setzen wir zur Lösung:

cpi — Aeat,

(18)

d² cpx

oc² A eat.

(18 a)

di⁴

tx⁴Aeal,

(18b)

dte

a⁶ Aeat,

(18 c)

so wird aus Gl. 17 :

+ C12

0J 0₂

+ C23

— ——la⁴

ą@₃ 1

01 + 02    #3

01 @2 03

und schließlich durch a² dividiert:

j C12 C13 — 9

(19)

a⁴+[ci2

вг+в₂

0± 0₂

t" C23

02 03

-ja²

0\ H~ 02 + 03 01 02 03

(20)

C\2 C23 — 0 .

Nun ist nach den Ableitungen in Bd. I, S. 25 oc = ±ico. Damit erhalten wir:

0\ + 02 01 ’ 02

«⁴-[cX2

+ C23

02 * 03 J

01 + 02 "1" 03

(20 a)

C12 C23 — 0 ,

eine Gleichung, deren Lösung keine Schwierigkeiten bereitet.

y) Welle mit beliebig vielen Scheiben.

Für ein System mit n Schwungscheiben hat Holzer¹) das Bildungsgesetz aufgestellt und kommt zur folgenden charakteristischen Gleichung:

(21)

On^opfr-V+On-₂*2(n~²4-----b axOC²*

+ • • • ai ос²'¹ + a₀ — 0.

Den Aufbau der Konstanten аи_ь an_₂ usw. wollen wir für einige Beispiele angeben.

1. n = 2:

a±oc² + a₀ = 0,

(/o

*² + -=0,

ai

C12»

a0 _ ftt +

<h Bx • 0₂

a² +

2. n — 3:

6>i 0₂

C12 — 0 .

(22)

ct₂ ~b &² + % — 0,

“i

a₀

<x* + —<x² + —= 0,

a₂

«o __ b± + o₂ -ь ez

a₂ 0₁ в₂ 83 ax ^Sx + 02 a₂    8₁0₂

l) Schiffbau 1907, S. 823.

C12 "f

C12 C23 »

0₂ + 8₃

@₂ ®₃

(24)

C12 C23 C34 — 0 •

01+02+^3 0102 03

^12 ^23 — ^ *

3. n = 4:

Äe₊^a4 + %a2 + «o

«3

Л⁶ +

01 + 02

01 0₂

С12 +

02+03

02 03

С23 "+

03+04

03 04

«mJ «⁴

01 + 0₂ +^03 010₂ 0з

С12 С23 +

0!+0₂ 03 + 04

01 0₂    0₃ * 04

~    С12 С34

0₂ + 03 + 04

0₂ 03 04

С23 С34

а²

C12 +

@1 + 0₂

@₂+@3

01 + 02 + 03 + 04 0]. * 0₂ * 03 * 04

Die Gleichungen zeigen, wie mühsam das Aufstellen der charakteristischen Gleichung ist, deren Wurzeln die n — 1 Eigenschwingungszahlen der n Schwungscheiben ergibt.

Mit zunehmender Anzahl der Scheiben wächst rasch die Anzahl der Summanden. So ist z. B. für eine Maschinenanlage eines Luftschiffes, bestehend aus einem 6-Zylinder-motor mit Schwungrad, einem Übersetzungsgetriebe und Luftschraube die Gleichung:

«О

--

e°°

00

».

cP I.P

|ea

zu

aA

lösen. Zur Berechnung des Koeffizienten - sind nun

a₈

so viel Summanden nötig, als es Kombinationen ohne Wiederholung von n —1=8 Elementen zur 4. Klasse gibt, also

8.7-6.

1.2.3T4

= 70 Summanden

von der Form:

C12 C23 C3i C45

bzw.

C12 C23 C34 C56

в₁-в^вг-вА-въ

Ог + в₂+в₃+вА вб + в₉

• в₂ * 0₃ * 0₄

Übersichtlicher wird die folgende Aufstellung der charakteristischen Gleichung.

Für drei Massen haben wir nach Gl. 3 folgende Glei

chungen :

d2(pi

dć²

F CliiÇPl— <Pï) = °>

(25 a)

d²ÿ>2

— c₁₂(gt),— gp₂)+ 023(^2

SPa)=-0, (25b)

(25 c)

_c2s(SPa — $Рз)=°-

Nach steigenden Indizes der ^-Werten geordnet erhält man folgende Form:

@x

d2 <ßi

df²

F c12<Pl—C12<P2= °>    (26a)

— Й12У'1 + @2

d²<p

dt²

4“ Cj2 </'2 “F C23 ÇPi C23 5^3 — ® »    (²®

<2²g>3

Setzen wir zur Lösung:

-co²Aeiwt,

(27)

(27 a)

so wird, wenn gleichzeitig durch — eiwt dividiert wird: 0₁(o²A₁ —    c₁₂ Аг + c₁₂ A₂=0

C12^1 “t“ $2 CO² A₂    C12^2    C23^2 "ł~ C23^3 = 0 , (28Ь)

C2S^2    $3 œ2^3    C23^3 ⁼ 0

(28 a)

und:

(28 c)

(0₁co²    c₁₂) Ą +

C12^2

G 2^1 “t” ($2 0j 2    612    ⁶2з) Л 2 +

= 0, (29 a) с2з^з⁼ (29b) C23 A+ (в₃С0² — С2г) As= 0. (29c)

Diese drei homogenen, linearen Gleichungen können nur bestehen, wenn die Determinante¹)

(@1 со² c₁₂)

6>12

. C12

{ß₂ CO²    c₁₂    c₂₃)

C2Z

= 0 (30)

C23

wird.

Die Auflösung der Determinante ist:

(0₃ CO² — c₂₃)

(0гы²— c₁₂)

iß2 W²    Ci2    C₂₃)

C23

C23

(@3 w² — c₂₃)

C12

C12

(©3 w² — c₂₃)

= (0, CO² — c₁₂) [(©2 W² — c₁₂ — %) (0₃ co² — c₂₃) — c²₃]

— Cl₂(©3«² — С2з)= 0-

x) Mies; Dinglers Journal 1915, S. 102; Tolle, Gutachten.

C23

(31)

Aus dieser Gleichung folgt:

0i + 02    , 02 + @3

ci2 i

01+02+03

01*02

C12 * C23 — 0 .

02*03

Die Wurzeln der Gleichung geben die zwei Eigenfrequenzen der drei Scheiben. Die Lösung der Gleichungen geschieht am besten graphisch durch Aufträgen der Werte der Gleichung für verschiedene со.

0i • 0₂ * 0₃

<J) Näherungsverfahren.

Es liegt nun nahe, ein System mit mehreren Schwungscheiben, dessen genaue Berechnung große Bechenarbeit erfordert, auf ein System mit wenigen Massen zurückzuführen. Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder vereinigt man mehrere Massen zu einer resultierenden Masse und bestimmt die dazu gehörende elastische Konstante der Welle oder aber man wählt eine bestimmte elastische Konstante c und berechnet eine Ersatzschwungscheibe, die die einzelnen Scheiben dynamisch ersetzt¹).

Das Ergebnis einer solchen Reduktion soll nach Wydler kurz angegeben werden.

Ein System von acht Scheiben ist ersetzt durch ein System von zwei, drei, vier und fünf Massen. Für die einzelnen Fälle ergeben sich folgende minütlichen Eigenschwingungszahlen:

bei Ersatz durch

8 Scheiben

Ue₂ =

1243

1304

2195

1350

2210

1361

Пег

4050

2214

4584

1367

2219

Пе{

6253

4935

7739

Пе,

Пе₆ —

Пе, =

10140

11970

13120

9 Vgl. Wydler S. 30.

Z i p p e г e г, Technische Schwingungslehre. II.

Näher soll auf das Verfahren nicht eingegangen werden, da wir später ein Verfahren kennenlernen werden, das rascher zum Ziele führt.

2. Unmittelbare Verfahren nach:

(x) Gümbel-Geiger.

Gümbel zeigt in seiner grundlegenden Veröffentlichung: „Verdrehungsschwingungen eines Stabes mit fester Drehachse und beliebiger zur Drehachse symmetrischer Massenverteilung unter dem Einfluß beliebiger harmonischer Kräfte“¹), wie man die Schwingungsausschläge eines Systems mit beliebig vielen Schwungscheiben mit Hilfe des Seilecks bestimmen kann.

Die Verdrehung zweier Wellenquerschnitte, die 1 cm voneinander entfernt sind, durch ein Moment Md ist:

cp =

Md

(1)

G- Jp'

In dieser Gleichung ist Jv das polare Flächenträgheitsmoment, G der Gleitmodul des Materials. Der Verdrehungswinkel cp wird gemessen als Bogen auf dem Einheitskreis. Beträgt die Entfernung der beiden Querschnitte l. so ergibt sich ein Verdrehungswinkel:

ф = cp • 1 =

Md

• l.

(2)

G • Jv

Hat weiter die Welle den Radius r, so ist die Länge des Verdrehungsbogens gemessen auf der Mantelfläche:

Ja = ф'г = ср'1-г =

Md

• l- r.

(3)

G • Jv

Das Drehmoment Md können wir ersetzen durch Md= P- r.

Damit wird:

(4)

Ja =

P-l-r²

G • Jp

und die Verdrehung, bezogen auf die Längeneinheit:

Ja

l G • Jv'

(5)

Г²

Denken wir uns auf der Welle im unbelasteten Zustand eine Mantellinie eingezeichnet, so entsteht durch Wirkung der Drehmomente eine Raumkurve, die an den Angriffs-ebenen der Momente Knicke aufweist. Beim Abwickeln

der Zylinderfläche erhalten wir einen aus geraden Linien mit Knicken versehenen Linienzug.

An einer beliebigen

Stelle г einer Welle    ______

(Abb. 2) betrage die щ

Verdrehung gegen- |jr____ ____

über der Ruhelage    r--—4

i+i

H-Q

fl«

Im Punkte i + 1 wirke eine Kraft Pi+1 am Hebelarm r. Die relative Verdrehung Ja ergibt sich aus Gl. (5):

Abb. 2.

J a    Pi+1

G-Jp'

r2

Tragen wir in einem Kräfteplan die Kraft Pi+1 auf, so erhalten wir ein ähnliches Dreieck, wenn der Polabstand G-Jp

und der erste Polstrahl parallel der wagrechten

Nullinie verläuft. Die Verdrehungskurve erhalten wir also aus der Seilkurve.

r2

Diese Methode läßt sich auch anwenden, wenn statt der statischen Momente harmonische Momente auf das System wirken ; diese erzeugen harmonische Schwingungen gleicher oder entgegengesetzter Phase, jedoch gleicher Periodenzahl. Vorausgesetzt ist dabei, daß keine Dämpfung vorhanden ist. Außer den harmonischen Kräften sind die Trägheitskräfte der Massen im Kräfteplan einzusetzen. Diese sind gegeben durch T = mco²a, setzen also die Kenntnis der Massenausschläge a voraus. Wir betrachten folgenden Fall (Abb. 3).

fl

Im Punkt 1 wirke die harmonische Kraft P. Links von 1 sind keine äußeren Kräfte

vorhanden, was sich im Seileck dadurch ausdrückt, daß die Schwingungskurve parallel der Stabachse ist. Wir tragen im Kräfteplan die Kraft P ein, wählen für eine bestimmte Kreisfrequenz о/den Ausschlag der ersten Masse ax. Wie oben gezeigt, ergibt sich hier-

Jv-G

Abb. 3.

aus, wenn man den Polabstand E =

wählt, der Ausschlag a₂. Damit wird die Trägheitskraft T₂ = т₂сэ²а₂, die als zweite Kraft im Plan einzutragen ist und die dann den Ausschlag az liefert. Mit Tz ergibt sich der letzte Polstrahl. Der Kräfteplan zeigt jedoch, daß kein Gleichgewicht vorhanden ist, wenn nicht im Punkt 3 noch eine äußere Kraft angebracht wird. Die Schwingungsform mit dem gewählten Ausschlag ax ist also nur möglich bei Vorhandensein dieser Zusatzkraft. Der Anfangsausschlag muß nun solange verändert werden, bis die Zusatzkraft zu Null wird.

Geiger¹) zeigte nun, daß es genügt, zwei Schwingungsbilder aufzuzeichnen, um die eindeutig bestimmte Schwingungsform für eine beliebige Kreisfrequenz zu finden (Abb. 4).

Es schneiden sich je zwei zugeordnete Seilstrahlen in einem Punkt, durch den auch der dritte hindurchgehen muß. Aus der weiteren Bedingung, daß der letzte Seilstrahl parallel der Achse werden muß, ergibt sich rückwärts die Schwingungsform mit dem zugeordneten An- p fangsausschlag.

•Ч--

Abb. 4.

Eine der wichtigsten Aufgaben ist die Bestimmung der Eigenfrequenzen. Äußere Kräfte wirken nicht ein. Bei der freien Schwingung stehen dann alle Momente im Gleichgewicht, und da alles auf den gleichen Hebelarm reduziert ist, sind auch alle Kräfte im Gleichgewicht.

Zur Bestimmung der Eigenfrequenzen wählen wir einen beliebigen Anfangsausschlag ax. Für eine bestimmte Kreisfrequenz œ ergibt sich die Trägheitskraft Тг, die im Kräfteplan einzutragen ist. Wir erhalten a₂ und hieraus T₂, mit dieser wieder a₃ usw. Um die Schwingungsform bei dem gewählten аг möglich zu machen, ist eine Zusatzkraft R erforderlich.

Mit dem gleichen Anfangsausschlag a₁ werden die Schwingungsformen für verschiedene œ aufgezeichnet; für jedes œ erhalten wir eine bestimmte Bestkraft R. Tragen wir die Bestkräfte R als Funktion von œ auf, so ergeben die

Schnittpunkte der Ä-Kurve mit der Abszissenachse die Eigenschwingungszahlen des Systems.

Bei praktischer Durchführung dieser Methode zeigt sich bei Wellenanordnungen mit mehreren Massen und großen Unterschieden der Größen l und m, daß der Maßstab oft geändert werden muß, um die Schwingungsform graphisch aufzeichnen zu können. In manchen Fällen muß an Stelle der Zeichnung die Rechnung treten. Aus diesem Grunde liegt es nahe, die ganze Durchführung rechnerisch vorzunehmen. Ein Schema hierzu ist¹):

a₁

аг • m₁ • со² =

Ti

a₂ - m₂ - co² —

T<

(Тг+ T₂) •(-?*)

«з • m₃ • со² =

ßj -— $2    /d Cl2

____ ₌__— Ла₂

(Ti + T₂ + T₃) • (— l*)    «4 = «з — Аа₂'

Т₃

dn * yyifi CO² —

Tn

Cln - dn—\ Л dn~ 1 ‘

Hierin ist z. B. l*₂ —

?12

J -G '

Im nächsten Abschnitt werden wir ein rein rechnerisches Verfahren von Tolle kennenlernen, das, ebenfalls von einem bestimmten Anfangsausschlag ausgehend, die Schwingungsausschläge zu berechnen gestattet.

Ein weiteres Schema gibt Holzer in seinem Buche an.

l) Vom Verfasser bei Durchrechnung für Luftfahrzeuganlagen angewandt, vor Kenntnis der Gutachten von Tolle, zeitlich nach deren Veröffentlichung.

ß) Verfahren von Tolle.

Wir betrachten aus einem Wellensystem mit n Schwungscheiben die itG Scheibe.

Auf diese Scheibe sollen wirken:

das äußere, erregende Moment,

1.    M{:

2.    OiCj²^: das Moment der Trägheitskraft der schwingen

den Masse,

3.    das elastische Moment des links anstoßenden Wellenstückes,

4.    e^i₊₁: das elastische Moment des rechts anstoßenden

Wellenstückes, das mit negativem Zeichen einzusetzen ist, da die Momente an beiden Enden des Wellenstückes gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet sind,

5.    ₊ die elastische Konstante der Welle.

Die dynamische Grundgleichung für dieite Scheibe lautet dann:

(i)

ei,i+1 — ег-1,г +    + Ж* = 0.

Das maximale elastische Moment erhalten wir aus den Wellenkonstanten und den relativen Ausschlägen zweier Massen. Damit erhalten wir die elastische Grundgleichung in der Form:

(2)

ei,i+1 — (ai+1 — ai) Ci,i+1-

Hierbei ist vorausgesetzt, daß die positive Richtung der äußeren Momente mit dem positiven Ausschlag übereinstimmt.

Die beiden gewonnenen Grundgleichungen formen wir, wie folgt, um:

ei,i+i =    — Mit

ei,i+1

(3)

ai+l — ai +

ci,i+1

(4)

Aus diesen Gleichungen folgt:

„Jede Amplitude a und jedes elastische Moment e läßt sich mit jeder anderen Amplitude und jedem elastischen Moment linear ausdrücken.“

Zur Durchführung des Verfahrens für ein bestimmtes со gehen wir von einem gewählten Anfangsausschlag a[ aus. Nach Gl. (3) erhalten wir, da e'0t i = 0 ist, e'lf2 = — co²a[ — M

«; = <+-k

(5)

Mit a[₂ wieder: und

Cl,2

(6)

(7)

#2,3 — —    — -4^2

a3 — a2 + 7^ ■

l12

= R’.

Bei richtiger Wahl von a[ würde R'= 0 werden für die angenommene Kreisfrequenz.

Wir führen die Kechnung nochmals durch mit einem Anfangsausschlag a[ und erhalten R".

Es läßt sich nun zeigen¹), daß der wirkliche Ausschlag sich ergibt aus:

Schließlich:

n,n+1

(8)

(9)

a₁ =

R"

ir

R" — R'

R"— R'

(10)

Allgemein gilt für jede Amplitude und jedes elastische Moment:

R"

R"— R’ R"

• a'k —

R'

R" —

(Ha)

R"— R'

• ek

R"— R'

(11b)

Dies ist jedoch die analytische Form für die von Geiger gefundene und auf S. 20 angegebene graphische Lösung.

Für die weiteren Betrachtungen setzen wir die äußeren Momente Ml9 M₂ usw. gleich Null und erhalten:

(12)

ei,i+1 =

(13)

ai+1 — ai +

г+1

ci,i+1

Für einen gewählten Anfangsausschlag ax ergibt die Durchführung für ein bestimmtes со ein Restmoment cn,n+i = R. Wir führen, wie beim oben beschriebenen graphischen Verfahren, für verschiedene со das Verfahren mit gleichem Anfangsausschlag аг durch und erhalten für jedes со ein bestimmtes Restmoment R. Diese Restmomente als Funktion von со als Kurve aufgetragen, liefert die n — 1 Eigenfrequenzen der n Scheiben. Um beim Aufträgen der Kurve Maßstabsänderungen zu vermeiden, empfiehlt Tolle,

R

—- als Funktion von со aufzutragen. oor

statt R die Werte

Bis hierher bedeutet das beschriebene Verfahren gegenüber dem graphischen nur insofern einen Fortschritt, als die rechnerische Durchführung bequemer ist.

Würde wegen Resonanzerscheinungen eine Verlegung der Eigenfrequenzen notwendig werden, so müßte das ganze Verfahren mit einem abgeänderten в oder c durchgeführt werden.

Tolle zeigt nun, daß dies nicht notwendig ist, sondern daß die Veränderung des Restmomentes durch eine Änderung des Massenträgheitsmomentes oder einer Wellenkonstanten aus den durchgeführten Rechnungen ohne weiteres möglich ist.

Zunächst führt Tolle die ganze Rechnung für ein bestimmtes со von rückwärts nochmals durch, d. h. mit einem

Ausschlag (an) der Scheibe n beginnend. Für diese Rückwärtsrechnung lauten unsere Hauptgleichungen:

(14)

(ßi— 1,i) = ОЧг+l) ~-@iW²(ai),

(15)

(ai) ~ (ai+1) +

(ei,i+1)

ci,i+1

Dabei soll die Klammer andeuten, daß es sich um die Rückwärtsrechnung handelt. Bei der Rückwärtsrechnung wird (en,n+i) = 0 und (e0łl) = (R). Zweckmäßig beginnt man nun mit dem Anfangsausschlag % = 1 und (an) = 1.

Für die praktische Durchführung gibt Tolle nebenstehendes Rechenschema an.

Die Durchrechnung gestaltet sich danach wie folgt. Nach den Grundgleichungen ist für die Yorwärtsrech-nung:

ei2 — eo,i ~~    ⁰⁾² * ai ?

oder, da e0łl = 0 ist und ax = 1 gewählt wird:

#12 — 0-• CO².

Wir addieren also —вга)² zu 0 und erhalten e₁₂. Ferner wird:

ct₂ — T⁻

ei2

bzw. mit аг = 1:

C12

a₂=l +ßl2

C12

Den Wert e₁₂ dividieren wir durch c₁₂, tragen in das Schema e₁₂ : c₁₂ ein und addieren den Wert des Quotienten zu L= 1,000, um a₂ zu erhalten. Dann wird a₂ mit —S₂œ² multipliziert und das Produkt —8₂œ²a₂ zu eh2 addiert, um e₂₎₃ zu erhalten usw., bis wir zum Schluß еП)П+1= R erhalten. In der gleichen Weise wird die Rück-

(a)

(«,)

(е1г): c\t

Hill IUI I (en-2.n —l): Cn-2tn-l

К-l)

000‘1 = ('•»)

l-W

Rechenscbema Tolle:

«i =+1,000

-0,o>²

eiî ' C12

:ci2

a*

«3 :

s»

e34 : C34

®4

an

— 0,1—1 • o/l

— &n * <L>²

« ?o :

wo:

•    —1, n

Ш²~‘

0,000

— в₁(о² ■ ax

elZ

—    • a₂

e23

— в₃(о² a₃

e34

ßn-i,n

u0 ■ гт*в —

=(Ä)

2,3

II!

R — Pn,n + l

('“) • г'"'в —

(е2з)

(t)

(en-2, n-l)

(ßn-l,n)

— впа>²- (o„)

wärtsrechnung mit (an) — 1,000 durchgeführt, die (e0tl) = (R) liefert.

Für eine Anzahl beliebiger œ ist das Schema in der angegebenen Weise durchzuführen.

Es bleibt nun noch zu zeigen, daß R = (R) ist.

Wir gehen von den Gleichungen

t+l ⁼ *v—l,i    * CO² • Uj

(**-!,») = (eiri+l) —    * (ai)

aus, eliminieren ft*«² und erhalten:

*i, г+l * (^г) (ßi, г+l) *    ⁼ *г—1,г(^г)    (ßi,i— l) *    *    (^)

Ferner ergibt sich aus den Gleichungen:

^i+l = di

und

*г,г+1 сг,г+1 ('ei,i+l)

ci,i+1

nach Elimination von +

*г,г+1 (^г+l) + (eM+l) ^г+l = ei,i+1 <A') + (*M+l) аг (1?)

und schließlich:

= *г,г+l (^г+l) + (*i,t+l) ai+1

= *г • М = konstant — С,

(18)

wobei wir C die Hauptkonstante des Systems nennen. Aus der Vorwärtsrechnung mit аг ergibt sich:

(19)

0 = e0il (u-jJ -f- (e0> i)    = (R) •    ,

da

e₀,i = 0 ist-

da

und

Für die Rückwärtsrechnung mit (an) wird:

@ ⁼⁼ ^n,n+1 fard ~f" fan,n+1)    — R fan) 4

fan,n+1) ⁼ 0 ist.

Damit wird die Hauptkonstante:

C = (R) - аг = Rfan)

C = (R)

(20)

(21)

= Д,

(22)

wenn wir als Anfangsausschlag ax und (an) den Wert 1 wählen; d. h. Vor- und Rückwärtsrechnung ergeben das gleiche Restmoment für den Anfangsausschlag 1.

Wir erhalten durch die Rechnungsart von beiden Enden ausgehend eine Kontrolle unserer Rechnung. Um diese zu erhalten, wäre die doppelte Arbeit jedoch nicht notwendig, da sich Fehler in der Regel auch beim Auf zeichnen der R

R oder — -Kurve feststellen ließen. Den Hauptvorteil

der Vor-und Rückwärtsrechnung werden wir weiter unten sehen.

Reständerungsformeln.

Bei den bisher behandelten Verfahren mußte die Rechnung mehr oder weniger neu durchgeführt werden, um das Restmoment zu bestimmen, wenn irgendeine Scheibe oder ein Wellenstück geändert wurde. Tolle zeigt nun, daß die Änderung des Restmomentes mit Hilfe der Vor- und Rückwärtsrechnung in einfacher Weise möglich ist.

Das Massenträgheitsmoment в{ soll um ^ erhöht werden. Wie groß ist dann R' ?

Aus Gl. (18) folgt:

In dieser Gleichung ändert sich nur Weiterrechnung ergibt nach Gl. 12:

(24)

⁶M+i = ei-i, г — (ft + &i) со² a{.

Setzt man diesen Wert in die obige Gleichung ein, so erhält man:

R' = K'-1, г — (ft + #*) w² a<] (a<) + (e<, г fl) • (25)

Oer frühere Rest war:

(26)

R = К-1,г — ft w² aj (a*) + (eit i+1) a{.

Hieraus ergibt sich die Reständerung zu:

(27)

R' — R = q = — сл²а{(üi).

Aus den Berechnungstafeln sind also für die entsprechenden со die a{ und (at)-Werte herauszunehmen und deren Produkt mit d'i-со² zu multiplizieren. Die neue Ä'-Kurve ergibt sich dann aus:

(28)

Ä' = R + q.

Wir können weiter fragen: um welchen Betrag muß в{ verändert werden, damit ein bestimmtes со zur Eigenfrequenz wird?

In diesem Falle muß R'~ 0 werden. Aus R'= R+ 0

folgt:

oder

R — — Q — ~f* R'i (O² d{ (öq)

(29)

d ■ Д._______

г CO² di (di) *

In ähnlicher Weise findet man unter Anwendung der Gl. 23 die Reständerung, wenn citi+1 in    geändert

wird. Wird zur Abkürzung

ci,i- fl

gesetzt, so erhält man:

сг, t+1

= y>

^ Ä Ä — / ’ 6», г+1 (ег, г+l) •

Auch hier kann die Frage gestellt werden: für welchen Wert von у wird со zur Eigenfrequenz? Das Ergebnis der Ableitung ist:

(31)

(32)

ei,%+1 (ei,i+1)

Für die gleichzeitige Änderung zweier Größen gibt Tolle folgende Formeln an:

Wenn sich um вк um x% ändert (к > г), wird die Reständerung:

$ 'Ł

(33)

worin :

und

ist.

Ändert sich um ,V,: und C;tjJfc + 1 in 4,s+i, so erhält man:

Qi, к

(34)

Bei Änderung von ciii+1 in c[i+1 und вк um &k wird:

ei,i+1 e (%)1

(ei,i+l) J

Schließlich ergibt sich die Reständerung:

Qi, к

(35)

___________(efc, ь+1) 1

(ei,i+1) ek,k+1 J ’

für eine Änderung von ci<i+1 in <i+1 und eM+1 in clk+1.

Qi, к

ei,i+1

(36)

Für weitere Berechnungen benötigen wir noch die a-und e-Werte. Auch für diese gibt Tolle Änderungsformeln an, so daß eine Neuberechnung nicht notwendig wird.

1. 0i wird um erhöht:

4 = ^ Ч.+

д-i Ы² af

¹—R—

9-i(o² a\

ß \ek,k+V-

Diese Formeln gelten für die Vorwärtsrechnung für die Stellen rechts von i, also к > i. Für die Bückwärtsrechnung erhält man analog:

(37)

R'

(38)

R' WW

(ak) = ß (ak) H----------ß---ak »

&1(о²(аг)²

^    ek,k +1 •

(39)

Й'

(e^fc+i)'—    (^,/m)

2. citi+1 in geändert:

für Vorwärtsrechnung über    1 hinaus:

, Ä'

efc,fc+l = ~ßek,k+l

(40)

(41)

У—^(ек<к+1),

für Rückwärtsrechnung über i, i — 1 hinaus:

(4,fc+l)' = -g (eÄ,k+l) — / V ^

a7c>

rKw)²

(42)

(43)

Nullstelle.

Für irgendeine Stelle к soll für ein bestimmtes со der Ausschlag zu Null werden. Aus Gl. 37 folgt für a'k = Q:

n ² 2

(45)

7?' &iCo a.

+ —й-¹Ы = о,

und hieraus:

(*>*). (46)

ferner :

(«л)

(к < i). (47)

*_____

Cü² [«i (%) —(«») afc](a»)

Weiter erhalten wir eine Nullstelle in & durch Änderung von cki k+1 :

(48)

Die Anwendung dieser Formeln werden wir später kennenlernen.

Winkelamplituden.

Das Tollesche Verfahren gestattet weiter die Berechnung der Winkelamplituden und der elastischen Momente unter Einwirkung von erregenden äußeren Momenten.

Die Ableitung würde in Anbetracht des zur Verfügung stehenden Baumes zu weit führen, es muß auf die Originalarbeit verwiesen werden. Da die Ergebnisse jedoch sehr wertvoll sind, seien sie angeführt. In den folgenden Formeln bedeuten:

das in к wirkende erregende Moment, die wirkliche Amplitude in i unter Einwirkung des Momentes Mk in к,

Eiii+1.k: das elastische Moment in i, hervorgerufen durch Mk.

Z i p p e r e r, Technische Schwingungslehre. II.

Mjc :

к •

Damit ergeben sich folgende Formeln:

4 (o-k)

CO

Ak,k = Mk

Ai, к ~

wenn г <k.

(60)

(öi)

wenn i>k.

Ai}k = (Vertauschungssatz)¹).

*4—1, г (^/c)

(52)

, wenn i<k.

(53)

ak

, wenn i>k.

(54)

'Чу\

a-Kurve

Liegen die a- und (^-Kurven für ein beliebiges со vor, ^jmiirakryp g0 |gt nur notwendig, zu berechnen. Die Л-Kurve ist affin zur a- bzw. (a)-Kurve, wie aus Abb. 5 klar hervor-

5    6 geht.

Abb. 5.

Diese Formeln genügen nicht, um die Winkelamplituden zu berechnen, wenn die erregenden Momente von Mehrzylindermaschinen herrühren. In diesem Falle sind die Momente nicht mehr phasengleich. Die Phase ergibt sich aus den Versatzwinkeln der Kurbeln, außerdem aus der Zündfolge bei Verbrennungsmaschinen.

Wir haben im Verlauf der Abhandlung gesehen, daß harmonisch sich ändernde Größen sich am einfachsten als Pro-

jektion einer gleichförmig mit der Winkelfrequenz со rotierenden Drehstrecke auffassen lassen. Bekommt eine Stelle i durch die Momente Мг. M₂,..., die durch Größe und Eichtung gegeben sind (Vektoren), die Ausschläge .., so wird die resultierende Schwingung ebenfalls eine harmonische Schwingung mit der resultierenden Amplitude:

i, 2> •

— A{ i +>*• Äi2 +>■ • • • •

(55)

Das +>- Zeichen gibt dabei an, daß die Addition geometrisch zu erfolgen hat.

Wirken die erregenden Momente Mk, Mi, M

.. in den

Punkten к, m,..., so wird die jeweilige Winkelamplitude in i, wobei г <k, l, m, ... ist:

Ai'k = Mk

I _ ]Tr ai(al)

Ai,l — Mt—-—,

(56)

(57)

Ai, m — Mm

ai (am)

(58)

und die Gesamtwinkelamplitude wird:

und

für i <k,l,m ...

(59)

= ^-\мкак+^М,а1+*М

m am *

-]

(60)

In ähnlicher Weise erhält man:

— e*-M

я,-,-, ,•= R

R [мк(ак)+^М,(а}) +

für г < к,l,m . .

■]

(ei)

• • •

für г> к. ...

Aus diesen Formeln ist ersichtlich, daß es nicht erlaubt ist, die Momente einfach geometrisch zu addieren und mit dem resultierenden Moment zu rechnen.

(62)

Berechnung bei gleichmäßig verteilter Masse¹).

X dx

Abb. 6.

Das Massenträgheitsmoment der Ц ganzen Welle (Abb. 6) sei 0i, die elastische Konstante сг. Hieraus ergibt sich für:

Länge 1 : 0O =

01

und c₀ = C\ • l

dx ’

Länge dx:    0O • dx und c = °°

Für das Massenelement lauten die Grundgleichungen (Gl. 1 und 2, S. 23):

oder

0odx • со² а + de = О

e°wa+j-*⁼⁰

und

co

e = -- - d a

oder

(64)

Zur Lösung setzen wir:

а — A± cos у + A₂ sin y,

А    Л

D    X    T> • X

e Bx cos ---B₂ sin у »

Л    Л

worin A₁₉A₂, B₁, B₂ und Я noch zu bestimmende Konstanten sind.

Beide Gleichungen nach x differentiiert ergeben:

А . x A2 T“I ⁺ T“"

B, . x

T smJ

Setzt man diese Werte in Gl. (63) ein, so wird:

ßQ co² A cos y + Ąw² A sin А

— Tcos X '

Bi . ж

-ysinX

B₂

Ж А

--r=- cos — = 0

Я Я

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

oder

cos А

cü²A₁ —

у) + sin j (@° Ы² Ä₂ —    = 0. (70)

Diese Gleichung kann für jedes x nur zu Null werden, wenn beide Klammeraus drücke verschwinden.

Aus

воы*А₁--± = 0

folgt

в₀ oj² l = -*

und aus dem zweiten Klammerausdruck:

(71a)

@₀ со² Я =

Bi

(71b)

Ferner erhalten wir aus Gl. (64) und (67/68):

x

cos — = 0

z> ж т> - x ,    . X    Ä₂

Bi cos — в2 smx + Coxslnx~c°T

oder

Hieraus ergibt sich:

und

•M-S«

(72 a)

(72b)

Co В 2

X~~ v

Die Gleichungen (71) und (72) liefern: (9₀ со² Я =

und

*=]/ 5

oder Я со

-r

Bo'

(73)

Es bleibt nun noch übrig, die Konstanten A und В zu bestimmen.

Wir nehmen an, das elastische Wellenstück mit gleichförmig verteilter Masse befinde sich zwischen der Stelle г und г +1.

Es ist für die Stelle:

i : X = 0, г +1: x—l.

In Gl. (65/66) eingesetzt, wird:

ai = A₁ und ei-lti=B₁. Aus den Beziehungen Gl. (72) folgt:

(74)

B₂ — A±'

— di •

(75)

Damit lautet für eine beliebige Zwischenstelle unsere

Я . X — sm —

Gl. (65/66):

ai + l — ai cos у +    —

Л    Cq

X CQ . X

ei,i+1= e*_Mcos- — -di sm

(76)

(77)

Wollen wir die Werte für den Endquerschnitt berechnen, so ist x=l einzusetzen, womit wir erhalten:

(78)

di+1 = di COS у + вг— 1, г • —-Л    ć₀

I Cq . I = вг-1,г COS У — 8Ш j .

Я . I — sm —

(79)

^м+1

Befindet sich das Wellenstück am Anfang, so ist für: г —1=0,

= 1,

i + 1=2

zu setzen. Da e₀₁ = 0 ist, lauten die Gl. (78) und (79):

(80)

(81)

ei2 = —y%sin-.

In einem Zahlenbeispiel werden wir die Anwendung dieser Formeln noch näher erläutern.

Wellen Verzweigung¹).

Dieser Fall der Wellenverzweigung kommt vor, wenn zwei Motore auf eine gemeinsame Arbeitswelle wirken. Dabei wollen wir zunächst zur Vereinfachung annehmen, daß keine Übersetzung zwischen den Wellensträngen vorhanden ist.

Bisher rechneten wir das Schema durch bis zur letzten Schwungscheibe und fanden ein Bestmoment Ä, das zur Hervorrufung der berechneten Schwingungsamplituden für die Anfangsamplitude 1 erforderlich ist. Für R = 0 ergeben sich die Eigenschwingungszahlen.

Wir wählen nun zunächst die in Abb. 7 wiedergegebene Anlage, in der 3 und 4 Zahnräder (1:1) sein sollen. Beginnt man bei 1 mit а = 1, so ergibt die Rechnung in 3 ein Restmoment R' und die Amplitude a₃. Wir rechnen nun weiter,

in 6 beginnend, mit a₆ = 1 nach links zu und erhalten R" in 4 und a₄. Da in 3 und 4 Zahnräder 1:1 vorhanden sind,

а-t

Va

7am

vr;aH

Abb. 8.

Abb. 7.

muß az = u₄ sein. Es ist also erforderlich, die Restmomente auf gleiche Amplitude umzurechnen. Zweckmäßig wählt

R"

Rf

man a* = ax — 1 und erhält die Restmomente — und

az a₄

Im Getriebe wirkt nun das resultierende Restmoment:

Führen wir diese Berechnung für verschiedene œ durch, so erhalten wir wieder die Eigenfrequenzen, wenn R = 0 wird.

In gleicher Weise rechnen wir bei einer Verzweigung, wie sie Abb. 8 zeigt.

Für jeden Wellenstrang erhalten wir R\ R" und R"\ ferner a', a" und a"r. Hieraus ergibt sich das Restmoment zu:

R'

R"

R”'

а'

Ut ?

(82)

das zu Null wird für a)=coe, wenn we die Eigenfrequenz ist.

Es ist jedoch noch folgende Rechnungsart möglich. Man berechnet, vom freien Ende aus beginnend, die Wellenstränge I und II durch bis zur Verzweigungsstelle und von hier aus weiter mit den auf den Einheitsausschlag umgerechneten Restmomenten den Strang III und erhält am freien Ende von III das Restmoment R.

Bezeichnet man die Scheiben von III, von der Verzweigungsstelle an gerechnet, mit 1 bis 3, so gestaltet sich die Rechnung wie folgt. Auf S. 25 fanden wir:

^12 ⁼ @1 ^1 *

Für das freie Ende war e₀₁ = 0; in unserem Fall müssen wir einsetzen:

R'

eoi =. -ЗГ +

a'

R"

h⁷⁷'

und erhalten, da ax — 1 ist:

R'

e!2 — —T +

a'

R"

h⁷⁷

0г w² • 1

C12

«2=1 + —,

usf. bis

C34 — R.

Ist das Übersetzungsverhältnis nicht 1:1, so ist zuerst die Reduktion nach S. 50 vorzunehmen, womit dieses wieder 1:1 wird.

Ein Beispiel wird die Anwendung beider Rechnungsarten noch zeigen.

y) Verfahren von Dreves.

In Abweichung von den bisher beschriebenen mittelbaren und unmittelbaren Verfahren bestimmt Dreves die Schwingungsknotenpunkte für die einzelnen Eigenfrequenzen und berechnet hieraus die Größe der Eigenschwingungszahl.

Torsionsschwingungen.

Aus der allgemeinen Scłiwingungsgleiehung

Т=2тг

folgt, wie auf S. 92, Bd. I, abgeleitet ist:

"“Vf

worin / der Verdrehungsbogen unter Einwirkung der Eigenbelastung ist.

XX

Auf ein Drehpendel übertragen wird nach Abb. 9:

f=g)*r-x

Q-r

Abb. 9.

G-Jp

und mit Q = m-g und mr² = 0:

schließlich:

m»g»r² в-g

G»JpX~ G^Jp X

(3)

(4)

Für ein System mit zwei Massen (Abb. 10) ist der Knotenpunkt dadurch bestimmt, daß fx = /₂ ist. Hieraus folgt:

0X • xx = 0₂ • x2 xx + x₂=l

und, da

ist,

®x + 02 0X

² 0Л + 02

l.

f₂\yc

(b

r^f,

Abb. 10.

(6)

(6)

Einer dieser Werte in die Gl. (4) eingesetzt ergibt:

-y

G-JP _ ą + l • ©₂

(?)

Für ein System mit drei Massen gilt:

(8)

fi — /2 — /з-

Mit den Bezeichnungen der Abb. 11 wird:

also:

wr;e'-x>’

i l fi *^a * h G-JP ²xa + xb’

fi

/з

G‘ Jp

(9)

(10)

(И)

ßx xx = в 2

(12)

Mit den Scheibenabständen lx und l₂ erhalten wir:

@2 (#1 ~ h-^1 (^2 + ^з) ^1

ą ($1 + $2 + $з)

6^i • ^2 * h (h ^2) _q

^3 ($1 + $2 + $з)

#3 + жз

(13)

und daraus

(14)

xa — lx

Die Auflösung beider Gleichungen nach x₃ und xa gibt die Lage der Knotenpunkte und gestattet die Berechnung der Eigenfrequenzen.

Zur Lösung gibt Dreves ein graphisches Verfahren, das für ein System mit zwei Massen sich in folgender Weise gestaltet (Abb. 12).

Im Abstand l werden die Werte 0J und 0₂l auf getragen. Der Schnittpunkt S ergibt die Lage des Knotenpunktes.

)Ж*з

1-

Abb. 11.

Abb. 12.

Bezeichnen wir die Entfernung des Schnittpunktes $ von der Horizontalen mit у, so erhalten wir für diese nach Abb. 12:

0^1 _ у

also

Xi ’

У = ®i ‘ ж1-

Damit ergibt sich die Eigenfrequenz zu

•-T-;

(15)

Die graphische Lösung für ein System mit drei Scheiben zeigt Abb. 13 a—d. Wir tragen in einem beliebigen Maßstab die Wellenlängen l₁₂ und Z₂₃ auf, ziehen die erste und dritte Knotenpunktskurve y₁ = ß₁*l und y₃ — 0₃ • L ferner die Gerade y₂ = 0₂ • l im Punkte der Scheibe 2. Zu den Punkten der ersten Knotenpunktskurve sind nun die zugeordneten Punkte zu konstruieren. In Abb. 13 a soll der zugeordnete Punkt zu P gezeichnet wer-

a)

\z г Л/в

\>

cos.:*:.

Ш'⁴

l_py

den. Rechts von в₂ zeichnen wir zuerst eine Meß-c    senkrechte, vorteilhaft in

Aß-fylj 0₁. Die Gerade 6₂P er-AB=CD

lz3

Tx

b)

m.

AB-CD

P'

MS.

ùà

\D

d)

Я/1

/ ; \2/I

^Sr’. У-1’ "1-------■ I

too

Уг

⁰/

Abb. 13.

gibt auf dieser den Punkt C. Von C aus trägt man А В nach unten ab und erhält Punkt D, den wir mit 0₂ verbinden. Die Horizontale durch P ergibt z°° den zugeordneten Punkt P'¹). Auf diese Weise erhalten wir die zugeordneten Punkte zur Strecke в±1 und damit die zweite Knotenpunktkurve II. Grades (2/II), weil sie die Knotenpunkte für die zweite Eigenfrequenz liefert. Die Kurve nähert sich asymptotisch der durchgezeichneten Horizontalen. In Abb. 13b ist die Konstruktion angegeben für den Punkt P; und Abb. 13c zeigt die Durchführung des Verfahrens für die links von der Senkrechten 2 liegenden Punkte.

Mit diesen Kurvenpunkten ergibt sich die zweite Knotenpunktkurve I. Grades (2/1).

*) S. Originalarbeit V. d. I. 1918, S. 588ff.

Die erhaltenen Knotenpunktkurven sind in Abb. 13 d nochmals besonders herausgezeichnet. Kurve 3 und 2/II liefern den Schnittpunkt Ац und die Horizontale durch ihn mit 1 den Punkt Вц . Damit sind die Knotenpunkte für die zweite Eigenfrequenz bekannt, ferner der Wert y₂, aus dem sich die Eigenfrequenz ergibt zu:

G-Jp

oj₂ =

Vb

Der Knotenpunkt der ersten Eigenfrequenz ergibt sich aus dem Schnittpunkt Ci der Kurven 1 und 2/1, und wir erhalten:

fn

G-Jp

Das Verfahren ist für Systeme mit wenig Massen, die wenig voneinander verschieden sind, einfach. Trifft dies nicht zu, so wird es unübersichtlich, wie Dreves selbst erkannt und deshalb ein besonderes Schema für die Konstruktion der Kurven angegeben hat.

3. Berechnung der Wellenkonstanten. a) Wellenkonstanten.

In den Ableitungen haben wir sowohl mit der Länge l der Welle, als auch mit dem Werte c gerechnet.

Besteht die Welle aus einzelnen Stücken mit den Abmessungen ly dx\ l₂,d₂; ld,dz usw., so geschieht die Durchrechnung wie folgt. Aus der Festigkeitslehre ist uns bekannt, daß die Verdrehung zweier um l entfernter Querschnitte durch ęin Moment M bestimmt ist durch den Winkel

а)

0 • Jr

ist, worin:

G: Gleitmodul,

Jv\ polares Trägheitsmoment

bedeuten.

Die Gesamtverdrehung der zusammengesetzten Welle wird:

ф — ф\ + фъ + ’ * *■— M

G - Jx ' G-J

Diese muß nun gleich sein derjenigen einer Ersatzwelle mit l, G und <7, also

G-J’

(»)

Hieraus folgt:

G-J G- Jx ' GJ oder, da nach S. 91, Bd. I

(4)

G-J c

(Ö)

Die Länge der Ersatzwelle, die also durch ein gleich großes Moment die gleiche Verdrehung erleidet wie die zusammengesetzte, ergibt sich für G = konstant zu

(6)

Schwieriger ist die Frage der Reduktion einer gekröpften Welle. Die ersten Berechnungen stammen von Geiger¹), die jedoch später aufgegeben und durch neuere²) und zugleich einfachere Formeln ersetzt wurden. 'Weitere Formeln sind von Holzer³) und Seelmann⁴). Die von Saß⁵) vor-

x) Dissertation.

⁴) V. d. I. 1925, S. 601.

²) V. d. I. 1921, S. 1242.    ³) Holzer S. 5.

⁶) Maschinenbau 1925, S. 1223,

genommene Nachprüfung obiger Formeln durch Verdrehungsversuche zeigt, daß sie keine gute Übereinstimmung mit dem Versuch ergeben, und daher diese Frage einer weiteren Klärung bedarf. Die Ergebnisse dieser Versuche seien kurz angeführt:

100,0

Versuch:

.    91,3

Geiger (neue Formel)

Holzer (abgekürzte Formel) . . .    62,5

95,4

Seelmann

Aus diesen Werten, die sich mit der Art der Wellenkonstruktion ändern, ergibt sich, daß die Berechnung nach Seelmann noch die besten Werte liefert. Weiter ist bemerkenswert, daß die Lagerreaktionen die reduzierte Länge verkleinern. Hierauf hat Holzer zuerst hingewiesen. Der obige Wert 100 ergibt sich aus einer Versuchsreihe mit nicht abgenommenen oberen Lagerschalen. Nimmt man diese ab, so ergibt sich der Wert 104,3.

Die Betrachtung zeigt, daß die Reduktion vorläufig noch auf experimentellem Wege ermittelt werden muß. Man beansprucht die Kurbelwelle durch ein reines Drehmoment und ermittelt mittels Spiegelabmessung die Verdrehung einer oder mehrerer Kröpfungen.

b) Massenträgheitsmomente.

Bei geometrisch einfachen Scheiben führt die rechnerische Ermittlung rasch zum Ziel. Wo diese zu umständlich wird, muß die Bestimmung aus einem Schwingungsversuch erfolgen. Am einfachsten ist die Anordnung des Bifilar-pendels, das wir im Bd. I, S. 75 kennengelernt haben. Die Berechnung folgt aus Gleichung:

T2

e²

⁹ ~4?r²'Q' l ‘

Zipperer, Technische Schwingungslehre. II.

2. auf II reduziert:

а***

Ш (23

Oj

С/

i..... ЕПг

Reduziert

auf:

в,

Übersetzungen in Wellenleitungen.

In den meisten in der Tech-Ojf nik vorkommenden Maschinenanlagen sind zwischen Kraft- und Arbeitsteil Übersetzungen einge-— schaltet. Abb. 14 zeigt zw ei Wellen mit einer Zahnradübersetzung. Nimmt man an, daß die Zähne starr, ferner, daß die Eingriffsverhältnisse gut sind, so daß keine Zusatzschwankungen in die Wellenleitung kommen, so kann man sich nach Bd. I, S. 82 das System durch folgende ersetzt denken:

в>Нгв} i-Щ

О fl О

вг+вз

Cz

Abb. 14.

1. auf I reduziert:

®i',    <9₂ + г²б^з; г²с₂; г²0₄,

6X cx 02 wenn i das Übersetzungsverhältnis ist.

4. Berechnungsbeispiele. ос) Welle mit drei Scheiben.

Die in dem vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Verfahren wollen wir nun an einem G3    Beispiel näher kennenlernen.

?    Wir wählen das in der Literatur

schon behandelte, in Abb. 15 wiedergegebene System und berech-i    nen deren Eigenfrequenzen nach

allen bekannten Verfahren.

Mit den in der Abb. 15 angegebenen Daten erhalten wir: G± — 200 kg, G₂= 600 kg, ß₃= 300 kg. Hieraus ergeben sich die Massen zu:

m₁ = 0,2039 kgsek²cm m₂ = 0,6118 kgsek²cm m₃ = 0,3059 kgsek²cm

-l

und die Massenträgheitsmomente mit r = 100 cm aus 0 = mr² zu:

0X = 2039 kgcmsek2 0₂ = 6118 kgcmsek2 0₃ = 3059 kgcmsek².

Aus den Wellenabmessungen ergeben sich folgende Werte:

J -2- —

Jv-L ₆₄

981,7 cm⁴

l₁₂ — 25 cm,

?₂₃ = 40 cm,

und mit G— 828000 kg/cm² erhält man: G-Jp

C12

hi

32,48 • IO⁶ cmkg,

C23

G-Jp

20,29 • 10⁶ cmkg.

Mittelbares Verfahren.

Aus der Determinante auf S. 12 ergibt sich für drei Massen die Gleichung:

#1 + 02 -0i * 02

«•-[

C12 +

02 + 03 02*03

<*23 «4

0J + 02 + 03

01 • 0₂ • 03

C12* C23~ 0-

Setzt man die Zahlenwerte em, so lautet die Gleichung: m⁴ — 3,129 • 10⁴ w² + 193.5 • 10⁶ = 0.

Zur Lösung führen wir co² = z ein und erhalten:

г² — 3,129 • 10⁴2 + 193,5 • 10⁶ = 0.

Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind:

Zb 2 —

i±

worin

ist.

2 *

p = — 3,129 • IO⁴ und q = + 193,5 • 10⁶

Die Ausrechnung ergibt:

= 2,276 • IO4 г₂= 0,852-IO⁴.

Die gesuchten Eigenfrequenzen ergeben sich aus:

zu:

ù) = 2 oq = 151,6,

(jj₂— 92,4.

Bei Gleichungen höheren Grades ist die direkte Bestimmung der Wurzeln nicht möglich. In diesem Falle setzen wir:

у = со⁴ — 3,129 • IO⁴ • со² + 1,935 • 10⁸ - 0, bestimmen den Wert у für verschiedene œ und erhalten œ0 als Schnittpunkt der Kurve mit der co-Achse.

Die Berechnung ergibt folgende Werte:

40

60

80

90

100

120

140

150

160

IO“⁸ -y +1,985 +1,470 +0,940 +0,343 +0,049 -0,194 -0,496 -0,353 -0,043 +0,48

Aus der Tafel sieht man bereits, daß die Wurzeln zwischen 90 und 100, ferner zwischen 150 und 160 liegen. In

Abb. 16 ist die Gleichung y = f(œ) graphisch aufgetragen; die Schnittpunkte mit der со-Achse liegen bei

und

cox = 92 co₂ = 152.

Die Werte stimmen mit den bereits gefundenen mit ganz kleinen Abweichungen überein, für praktische Fälle ge-

1t

y- tob-3,1Z9'10*tozH935K)⁸-0

1,6

гг

го

ot

0,6

ол

ОЛ

0)2=152

U)

20 ¥) 60 80 \100 120

160

Abb. 16.

nügen sie vollständig, um so mehr, als die Ausgangswerte auch keine absolut genauen Werte sind und die Ausrechnungen mit dem Rechenschieber erfolgt sind.

Sollte der genauere Wert doch bestimmt werden, so kann man weitere Kurvenpunkte im Intervall 90 -f-100 berechnen, oder man wendet eine der bekannten Näherungsmethoden an.

Verfahren Gümbel-Geiger.

Die Durchführung des Verfahrens ist in Abb. 17 wiedergegeben.

160

I О)=

¹

) Diese Berechnungsart hatte Hofrat Prof. Dr.-Ing. Tolle dem Verfasser in dankenswerter Weise im Jahre 1917 zur Verfügung gestellt.

юо

100

/Г

да

til*

''h-ôjzio**

- hfl

гг

-M-

Tz'

/О-SR

170

Ч    î*! sjs

Щ 160

юо по щ

го оо 60 so

Wir tragen in einem beliebigen Maßstab die Strecken l12 und l₂₃ ab und beginnen mit einem beliebigen Einheitsausschlag a = 1 am linken Ende.

Mit diesem Ausschlag erhält man für die erste Masse und co= 40 die Trägheitskraft:

T₁ = m₁- ce œ²= 0,2039 • 1,0 • 1600 == 326.

Diese Kraft tragen wir im Krafteck in einem beliebigen Maßstab auf, bestimmen den Polabstand mit dem Wert

гг_Jy

Г²

den bereits gewählten errechnet. Der erste Polstrahl ist wagrecht, weil am linken Ende keine äußere Kraft auf die Masse 1 wirkt. Zur Verbindungslinie a ziehen wir die Parallele a', die auf der Senkrechten im Punkte der Masse 2 den Ausschlag a₂ ergibt. Wir wollen diesen zur Kontrolle analytisch berechnen aus der auf S. 19 abgeleiteten Beziehung:

8,12-10⁴ und dessen Maßstab, der sich aus

Ja

Ti

oder

Ja =

l₁₂ H Тг • l₁₂    326*25

II “ 8,12 • Ю⁴

— 0,1002 cm.

Damit wird:

a₂ = 1,000 — 0,1002 = 0,8998 cm.

Nachdem der Ausschlag a₂ bekannt ist, ergibt sich:

T₂ = m₂ • a₂ • со² = 0,6118 • 0,8998 • 1600 = 880.

Diesen Wert tragen wir wieder im Krafteck ein, ziehen die Gerade Ъ und die Parallele dazu b\ womit sich a₃ zu 0,3078 ermittelt.

Die letzte Trägheitskraft wird:

T₃ = 0,3059 • 0,3078 • 1600 = 288.

Diese Kraft tragen wir im Krafteck auf und ziehen die Geraden c und c'.

Die ermittelte Schwingungsform ist nur möglich, wenn wir an der Masse 3 die Restkraft R anbringen, die gleich der Summe Tx + T₂ + T₃ — 1494 ist. Mit dieser Kraft wird das Krafteck geschlossen und damit die Endtangente im Punkte 3 wagrecht.

Sobald die Ausschläge dem Anfangsausschlag entgegengesetzt werden, also negativ, ändert sich auch die Richtung der aufzutragenden Trägheitskräfte. Wir wollen die Durchrechnung für œ = 160 nochmals näher verfolgen.

Es wird:

T1 = + 1,000 • 0,2039 • 2,56 • 10⁴ = + 0,523 • 10⁴.

Die Geraden к und k' liefern:

a₂ — — 0,608 cm.

Damit erhält man:

T₂ = — 0,955 • 10⁴,

die wir nach unten abtragen müssen. Mit den Verbindungslinien l und V ergibt sich:

und

as = + 1,517 cm T₈ = + 1,189 • 10⁴.

Diesen Punkt mit dem Anfangspunkt der Kraft Тг verbunden liefert wieder die Restkraft, unter deren Wirkung die aufgezeichnete Schwingung erst möglich wird. Ihre Größe ist:

10~⁴ • R = + 0,523 — 0,955 + 1,189 = + 0,757.

In dieser Weise wird die Restkraft für verschiedene со ermittelt.

Trägt man die ermittelten R-Werte als Funktion von со auf, so erhält man die in der Abb. 17 wiedergegebene Restkraftkurve.

Die Schnittpunkte mit der co-Achse ergeben die со-Werte, für die R== 0 ist, also die Eigenfrequenzen:

cox — 92 co₂ = 152.

Verfahren Tolle.

Aus den Ableitungen auf S. 23 erhalten wir für das Beispiel mit 3 Scheiben mit a₁= 1:

ßi,2 = — Oi • со² • ax,

da e0il = 0 ist, und

«2 = 1 + —,

СЪ2

mit unseren Zahlenwerten für со — 40:

a₂ = 1

1 — 0,1004 = + 0,8996,

eh2 = — 2039 • 1600 • 1,000 = — 3,26 • 10⁶ cmkg, 3,26 • 106 32,46 -TO⁶

e23 — ei2 — 6>₂ co² • a₂ = —11,96 • 10⁶ cmkg,

c2,z

— a2 H—~ ⁼ + 0,3114,

und

e34 — e23 — ввсо²' a₃ = —13,486 • 10⁶ cmkg, R = 0₃₄ = —13,486 • 10⁶ cmkg

—- — — 8430 cmkgsek². co¹

In der gleichen Weise beginnen wir die Rechnung von der Scheibe 3 ausgehend.

Diesen Rechnungsgang führen wir nun für verschiedene со unter Benutzung eines Schemas durch, das von dem auf

S. 27 angegebenen nur dadurch abweicht, daß die Rückwärtsrechnung getrennt von der Vorwärtsrechnung ausgeführt ist.

In der mittleren Spalte sind die Werte в со² enthalten. Die Produkte werden daher zweckmäßig vorher zusammengestellt. Die untenstehende Tafel enthält sie.

в со²- Werte in 10⁶ cmkg.

(X)

<9aw²

@₃w⁸

10

20

30

0,2039

0,8136

0,6118

0,3059

2,448

1,224

40

1,835

5,506

2,753

50

3,260

9,788

4,894

60

5,092

15,29

7,692

70

7,340

22,03

11,05

80

9,990

29,98

14,99

90

13,05

39,15

19,58

100

16,59

49,55

24,77

110

20,39

61,18

30,59

120

24,66

74,02

37,00

130

29,35

88,20

44,05

140

34,45

103,4

51,69

150

39,95

119,9

59,93

160

45,85

137,6

68,70

170

52,18

58,79

156,6

78,29

176,8

88,39

Die Durchrechnung des Verfahrens ist ausgeführt für со = 10, 20 ... bis 170, sie ergibt:

zv

a₃

(ai)

w² = 400

+ 1,0000

—0,0257

+ 0,9743

—0,1576

+ 0,8167

+1,0000

—0,0602

+ 0,9398

—0,1085

+ 0,8313

6 w ²

in 10⁶ cmkg

—0,8136

: 32,48

—2,448

: 20,29

ш*д.-

— 10494

— 1,224

: 20,29

—2,448

: 32,48

—0,8136

= —10500

CO*

w — 20

e in 10e cmkg

—0,8136

—0,8136

2,3840

—3,1976

— 1,0000

— 4,1976

—1,224

— 1,224

—2,301

—3,525

—0,678

—4,203

e₂₃

(ei.)

(e2s)

(R)

al

a₃

(«з)

(a₂)

a)² =100

+1,00000

—0,00627

+ 0,99373

—0,03400

+ 0,95973

+1,00000

—0,01508

+ 0,98492

—0,02797

+ 0,95695

Beispiel nach Tolle.

S(XJ²

in 10 e cmkg

—0,2039

: 32,48

—0,6118

: 20,29

—0,3059

— 11053

—0,3059

: 20,29

—0,6118

: 32,48

—0,2039

^ = —11031

со*

(XJ = 10

e in 10⁶ cmkg

—0,2039

—0,2039

—0,6079

—0,8118

—0,2935

—1,1053

—0,3059

—0,3059

—0,6022

—0,9081

—0,1950

— 1,1031

e₁₃

«a

(«i.)

(e„)

(ff)

«1

Яз

(«з)

со² = 1600

+1,00000

—0,1004

+ 0,8996

—0,5882

+ 0,3114

+1,00000

—0,2412

+ 0,7588

—0,3795

+ 0,3793

в(Х)²

in 10 е crnkg

—3,260

: 32,48

—9,788

: 20,29

—4,894

— 8430

= -s—

—4,894

: 20,29

—9,788

: 32,48

—3,260

—8470

CO²

w = 40

е in 10 е cmkg

— 3,260

— 3,260

— 8,702

— 11,962

— 1,524

— 13,486

— 4,894

— 4,894

— 7,428

—12,322

— 1,238

—13,560

012

023

(е1г)

1е2з)

(»)

«i

а₃

v«₂)

006 =

+1,00000

—0,0565

+ 0,9435

—0,3465

+ 0,5970

+1,00000

—0,1356

+ 0,8644

—0,2320

+ 0,6324

Beispiel nach Tolle.

& to²

in 10 е cmkg¹

— 1,835

: 32,48

—5,506

—2,753

w — 30

е in 10ecmkg

— 1,835

—1,835

—5,193

: 20,29

—7,028

— 1,643

= — 9640

—2,753

О)²

: 20,29

—5,506

: 32,48

—1,835

= —9660

(g)

CO ²

■8,671

—2,753

—2,753

—4,780

—7,533

—1,160

—8,693

012

023

(«12)

(е2з)

(Я)

«i

da

(«*)

(«i>

со² = 3600

+ 0,00000

—0,2260

+ 0,7740

—1,2000

—0,4260

+1,00000

—0,5499

+ 0,4501

—0,648

—0,198

в ш*

in 10⁶ emkg

— 7,340

: 32,48

—22,03

: 20,29

— 11,15

— 5440

— 11,15

: 20,29

—22,03

: 32,48

— 7,34

= —5450

СО ²

со =- 60

е in 10⁶ cmkg

— 7,340

— 7,340

— 17,005

—24,345

+ 4,750

— 19,595

— 11,15

— 11,15

— 9,91

—21,060

+ 1,454

—19,606

гхд

^23

(е1г)

(Я)

«i

(а*)

(а.)

(«i)

си² = 2500

+1,00000

—0,1568

+ 0,8432

—0,8870

—0,0438

+1,00000

—0,3791

+ 0,6209

—0,5290

+ 0,0919

Beispiel nach Tolle.

<9 со²

in 10 е cmkg

— 5,092

:32,48

—15,29

: 20,29

— 7,692

— 7060

— 7,692

: 20,29

—15,29

: 82,48

— 5,092

= —7060

СО²

w = 50

9ОТ Щ э!

— 5,092

— 5,092

— 12,900

— 17,922

+ 0,337

— 17,655

— 7,692

— 7,692

— 9,488

— 17,180

— 0,468

—17,648

z\d

б23

(ехг)

(е2з)

(■ß)

ах

О/ 2

«з

(аз)

С»)

(Ху)

to² = 6400

+1,00000

—0,4080

+ 0,5920

— 1,7960

— 1,2040

+1,00000

—0,9645

+ 0,0355

—0,6452

—0,6067

<9 tu²

in 10е crakg

— 13,22

: 32,48

—39,15

: 20,29

— 19,58

— 2010

— 19,58

: 20,29

—39,15

: 32,48

— 13,22

^ = —2020

w²

to = 80

e in 10® cmkg

— 13,22

—13,22

—23,19

—36,41

+ 23,56

— 12,85

— 19,58

— 19,58

— 1,39

—20,97

+ 8,03

— 12,94

гтэ

бгз

(е1г)

(егз)

(ar)

«i

0*2

а₃

(«а)

(а₂)

(ах)

со² =* 4900

+1,00000

—0,3032

8969*0 +

— 1,5230

—0,8262

+1,00000

—0,7380

+ 0,2620

—0,706

—0,444

Beispiel nach Tolle.

О ni²

in 10⁶ cmkg

— 9,990

: 32,48

—29,98

: 20,29

— 14,99

— 3780

— 14,99

: 20,29

—29,98

: 32,48

— 9,99

—3760

“te)

(У²

со = 70

е in 10® cmkg

— 9,990

066*6 —

—20,89

—30,88

+12,38

— 18,50

— 14,99

—14,99

— 7,85

—22,84

sr‘» +

—18,41

ßl2

е₂з

(е1г)

(в2з)

(R)

000 0T = zm

+1,00000

—0,628

+ 0,372

—2,127

— 1,755

+1,00000

—1,5080

—0,5080

+ 0,0148

—0,4832

& tu²

in 10 e cmkg —20,39

: 32,48

—61,18

: 20,29

—30,59

= — 1052

ca²

—30,59

: 20,29

—61,18

: 32,48

—20,39

—10,33

(гг)

W²

e in 10 e cmkg

—20,39

—20,39

—22,77

—43,16

+ 53,68

+10,52

—30,59

—30,59

+ 31,07

+ 0,48

+ 9,85

+10,33

0X2

e23

(«и)

(е2з)

(2Г)

at

⁸»

(«з)

(Ош)

(«i)

0018 = zm

+1,00000

—0,5106

+ 0,4894

—2,0140

— 1,5246

+1,00000

— 1,221

—0,221

—0,425

—0,646

Beispiel nach Tolle.

в со²

in 10e cmkg

—16,59

: 32,48

—49,55

: 20,29

—24,77

— 381

—24,77

—49,55

— 16,59

(a — 90

e in 10 e cmkg

— 16,59

— 16,59

—24,25

— 40,84

+ 37,76

— 3,08

—24,77

: 20,29

—24,77

+10,96

: 32,48

— 13,81

+10,72

= — 381

(гг)

(X) ²

— 3,09

023

(е12)

(е2з)

(R)

«i

а₂

а₃

(«з)

(а,)

(«i)

oom =

+1,00000

—0,904

+ 0,096

— 1,864

—1,768

+1,00000

—2,171

-1,171

' +S8‘T +

+ 0,653

<9 м²

in 10⁶ crnkg

—29,35

: 32,48

—88,20

—44,05

: 20,29

^= + ²⁷,⁸⁰

—44,05

—88,20

: 20,29

: 32,48

—29,35

= + 2790

to²

CO = 120

e in 10® cmkg

— 29,35

— 29,35

8,47

— 37,82

+ 77,85

+ 40,03

— 44,05

— 44,05

+103,29

+ 59,24

— 19,07

+ 40,17

гхэ

сзэ

(е1г)

(е2з)

(R)

ах

@2

а₃

(а₃)

(аг)

(«i)

to² = 12100

+1,00000

—0,759

+ 0,241

—2,094

—1,855

+1,00000

—1,826

—0,826

+ 0,742

—0,084

Beispiel nach Tolle.

S lx)²

in 10 e crnkg

e in 10® cmkg

—24,66

: 32,48

—74,02

—37,00

+ 2160

—37,00

—24,66

—24,66

17,83

: 20,29

—42,49

+ 68,61

zid

ezd

Ж.

+ 26,12

—37,00

: 20,29

—37,00

(е1г)

—74,02

+ 61,12

: 32,48

—24,66

(X) ²

+ 24,12

+ 2,06

+ 26,18

(в2₃)

(R)

Torsionsschwingungen.

to² = 19600

6» СО²

in 10® cmkg

— 39,95    +1,00000 ах

— 1,2295

а₂

а₃

e in 10® cmkg

— 39,95

е₁₂ I — 39,95    :32,48

— 119,9    —0,2295

—0,6130

+ 27,51

е₂₃    — 12,44    :20,29

— 59,93    —0,8325

+ 49,90

+ 1910

R + 37,46

— 59,93    +1,00000    (а₃)

(«₂)

— 59,93

—2,955

(е₁₂)    — 59,93    :20,29

—119,9 I —1,955

+ 5,371

+ 234,49

(е₂₃)    + 174,56    :32,48

— 39,95    +3,416 (aj)

(R)

— 136,65

{R) I + 37,91 I -^ = +1930

0069T = z™

Beispiel nach Tolle.

6* со²

in 10 е cmkg

— 34,45    +1,00000 аг

— 1,0608

to = 130

e in 10® cmkg

— 34,45

а2

л₃

Cu

CD

^ * е₁₂ I — 34,45    :32,48

—103,40    —0,0608

— 1,3885

+ 6,28

— 28,17    :20,29

— 51,69    —1,4493

+ 74,88

е23

со

« I й | + 46,71    — = + 27,60

— 51,69    +1,00000    (а₃)

—2,5460

— 51,69

(е₁₂)    — 51,69    :20,29

— 103,4    —1,5460    (а₂)

+159,00

+ 3,301

O' (e₂₃)    +107,31    :32,48

— 34,45    +1,755    (a0

— 60,48

(Ä) I + 46,83 I    +2770

ах

Cl 2

(«з)

(аг)

(«О

w² = 25600

+1,00000

—1,607

—0,607

+ 2,112

+ 1,505

+1,00000

—3,858

—2,858

+ 11,361

+18,503

Sw²

in 10⁶ cmkg

— 52,18

: 32,48

— 156,6

: 20,29

— 78,29

— 2925

— 78,29

: 20,29

—156,6

: 32,48

— 52,18

= —2920

(В)

О)²

09Т = fo

e in 10® cmkg

— 52,18

— 52,18

+ 95,07

+ 42,84

— 117,80

— 74,96

— 78,29

— 78,29

+ 474,30

+ 369,01

—443,8

— 74,8

zxd

баз

(е1г)

(баз)

(R)

а\

а₃

(«з)

(аг)

(ai)

œ² = 22500

+1,00000

— 1,4115

—0,4115

+ 0,5302

+ 0,1187

+1,00000

—3,386

—2,386

+ 7,990

+ 5,604

Beispiel nach Tolle.

вы²

in 10⁶ cmkg

— 45,85

: 32,48

— 137,6

: 20,29

— 68,70

+ 116

— 68,70

: 20,29

—137,6

: 32,48

— 45,85

W²

w = 150

e in 10® cmkg

— 45,85

— 45,85

+ 56,61

+ 10,76

8,15

+ 2,61

— 68,70

— 68,70

+ 328,30

+ 259,60

—257,00

+ 2,61

Zig

е23

(е1г)

(б2з)

(R)

CU² —

в О)²

in 10⁶ cmkg

'■

= 00

e in 10⁶ cmkg

ai

&2

ая

(«з)

(<*x)

w² = 29900

+ 1,00000

— 1,8095

—0,8095

+ 4,1560

+ 3,3465

+ 1,00000

— 4,3550

—3,355

+ 15,540

+ 12,185

Beispiel nach Tolle.

#ąuio ₈0Т nt гтв

— 58,79

: 32,48

— 176,8

: 20,29

— 88,39

— 7320

— 88,39

: 20,29

— 176,8

: 32,48

— 58,79

— 7320

(Æ

(1) = 170

e in 10® cmkg

— 58,79

— 58,79

+ 143,10

+ 84,31

—295,80

— 211,49

— 88,39

— 88,39

+ 593,10

+ 504,71

— 716,10

—211,39

012

ггэ

(е1г)

(егз)

(ar)

Aus den Berechnungen ergeben sich demnach folgende R und R/oj²-Werte:

tu

10«

(emkg)

(cmkgsek²)

10

1,105

20

30

4,100

8,671

40

50

60

— 13,49 - 17,65

—11053

—10250

—    9640

—    8430

7060

70

19,60

80

-    18,50

-    12,85

—    5440

—    3780

2010

90

100

3,08

381

+ 1052

+ 10,52 + 26,12 + 40,03 + 46,71 + 37,46 + 2,61 — 74,96 —211,49

Für (ß — 0 gilt ~ = — J£ß= — 11216¹).

(O¹

110

120

130

140

150

160

170

+ 2160 + 2780 + 2760 + 1910 + 116

—    2925

—    7320

Die Rjcj²-Kurve ist in Abb. 18 aufgetragen, sie liefert als Schnittpunkte mit der w-Achse die Eigenschwingungszahlen :

oj₁ = 92, co₂ = 152.

Bis hierher bringt das behandelte Verfahren von Tolle nichts Neues. Die Rückwärtsrechnung, die als Kontrolle dient, ist zur Bestimmung der Й-Werte nicht notwendig, denn Rechenfehler würden sich beim Aufträgen der Werte zeigen.

Im folgenden werden wir nun sehen, weshalb die Rückwärtsrechnung ausgeführt wird.

R/üSiO/w*

+100

mkgsekz

+во

Restmomenten -Kurven

+60

+20

Qn/uz

Vi¹

ш    ■/ Ш'

№8

то

ü)

~20

-40

///

//

ч'

\'

\'

-00

\i

_^ für Q-200kg ; ü),    152

---für Gj 300kg

-----üFtflir

---^ für Gj - 300kg a)rS8; wz =135

-----^⁷‘ G/ = 0    (V/ =100

Abb. 18.

Wir stellen uns die Aufgabe: Welches sind die Eigenschwingungszahlen, wenn 6rx = 200 kg um 100 kg auf 300 kg erhöht wird.

-SO

-100

-по

Æ/<y*

wy/

SIS*

//

Bei der Anwendung der früheren Verfahren müßten wir zur Aufzeichnung der neuen R-Kurve die ganze Rechnung nochmals durchführen, mindestens jedoch in der Nähe der zu erwartenden neuen Eigenfrequenzen.

Auf S. 30 ist eine Reständerungsformel abgeleitet:

Qi —    oj² flq • (+),

d. h. um den Wert verändert sich das für ein bestimmtes o) gefundenes Restmoment R, wenn die erste Masse um d \ erhöht wird.

Für unser Beispiel ist:

= + 1019 kgcmsek².

Für die Weiterbehandlung ist es zweckmäßig, die in den Tafeln gefundenen Werte für die Ausschläge zusammenzustellen.

a\

0/2

a₃

(a₃)

+ 0,957 + 0,879 + 0,632 + 0,379 + 0,092

—    0,483'

—    0,084 + 0,653 + 1,755 + 3.416 + 5,604 +18,503 + 12,185

+ 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 +1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 î +1,000 + 1,000 [ +1,000 + 1,000 i +1,000

+ 0,994 + 0,979 + 0,943 + 0,899 + 0,843 + 0,774 + 0,697 + 0,592 + 0,489 + 0,372 + 0,241 + 0,096 + 0,061 —0,229 —0,412 —0,607 —0,809

+ 0,985 + 0,981 + 0,864 + 0,759 + 0,621 + 0,450 + 0,262 + 0,036 —0,221 —0,508 —0,826 —1,171 —1,546 —1,955 —2,386 —2,858 —3,355

+ 0,960 + 0,826 + 0,597 + 0,311 —0,044 —0,426 —0,826 —1,204 —1,525 —1.755 —1,855 —1,768 —1,449 —0,833 + 0,119 +1,505 + 3,346

+ 1,000 + 1,000 +1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 + 1,000 +1,000

Mit diesen Werten berechnet sich z. B. für со = 60 die Reständerung zu:

q = — 1019 • 3600 • 1,000 • 0,198 = — 0,726 • 10⁶,

so daß

R' = R — q' = (—19,595 — 0,726) 10⁶ = — 20,321 - IO⁶. Ferner wird:

₂ = — 1019 • 1,000 • 0,198 = — 202

und damit:

R'

— = — 5642.

CO²

In folgender Tafel sind die Qf/co²-Wexte für = 1019 für die verschiedenen со eingetragen.

Qh²

(cmkgsek²)

für

aJ= + ioi9

10

20

975

30

896

40

643

50

386

60

94

70

80

90

100

110

,sf>

120

130

666

140

150

- 1785 — 3480

160

5720

—    18830

—    12400

Die Kurve q'/co² für    + 1019, entsprechend

G[ = 200 + 100 = 300 kg, ferner eine neue Kurve für =—2038, entsprechend 0" = 0,ist in Abb. 18 aufgetragen. Wir erhalten damit folgende Ergebnisse:

G1- 300 kg:

oji = 88,

4 = 135,

ff? = 0:

oj'I -100,

also nur eine Eigenfrequenz, entsprechend einem System mit nur zwei Scheiben.

Die Berechnung nach der analytischen Formel, S. 9, liefert:

со =

02 + 03

. c₂₃ = 99.

02*03

Die Abb. 19 enthält die Kurven q"/со² für 10 & entsprechend G'" = 1200 kg, und für = 100 entsprechend G"n = 10200 kg. Aus der Addition der R/w² und q/co² Ordinaten erhalten wir folgende Eigenfrequenzen:

coT= 68, со" = 115, co’{"= 55,

(O 2 — 112.

ffj"= 1200 kg:

GT= 10200 kg:

nn

Mit weiter zunehmender Größe von Gx verschwindet R/co² immer mehr gegenüber q/co², so daß für unendlich großes Gewicht der Scheibe die Schnittpunkte der q/co²-Kurve mit der co-Achse selbst die Eigenfrequenzen ergeben. Wir haben früher schon gesehen, daß eine unendlich große Masse gleichbedeutend mit Einspannung ist. Aus der Kurve ergeben sich für diesen Fall die Eigenfrequenzen zu:

G, = со:

53,

(w₂)= 111.

î'f

C,

coj = 92, œ₂ =/52

-n/(x)z

Olaf

1«$

S'

XT'

«v

mkgsek

СЧ

Abb. 19.

«y

u\

QW

5:

600-

ZOO

-zoo-

Auf S. 30 ist abgeleitet, um welchen Betrag Si verändert werden muß, damit œ zur Eigenfrequenz wird. Die Formel lautet:

со² ai (аЛ *

Es soll со = 100 zur Eigenfrequenz werden, wie groß muß 0₂ werden?

Für со = 100 ergibt sich aus den Berechnungen auf S. 63:

CO²

4 = +1052,

«₂ = + + 0,372, (a₂) = — 0,508

со² a₂ (a₂) Wir erhalten also

= —1052

0,372 • 0,508

5580.

0% = 6118 — 5580 == 538

oder

»2 = 52,6 kg.

In der gleichen Weise könnten die Veränderungen der Eigenfrequenzen durch Abändern der Wellenabmessungen untersucht werden. Die hierzu erforderlichen Formeln sind auf S. 31 zusammengestellt.

Im folgenden berechnen wir nun noch die Ausschläge der einzelnen Massen unter der Einwirkung äußerer harmonischer Momente. Nach den Ableitungen auf S. 34 ist:

für i < к ,

für i>lc,

für i = к.

А _ M ^k,k— Mjç ß

Wirkt das äußere Moment im Punkte г = 1, so ergeben die obigen Gleichungen für die Scheiben 1, 2, 3 folgende Ausschläge:

:/

'n

/00

Abb. 20.

fa7)faz)(a3)

ЛЙ

t;

Л,

-■===

*4

+0,7-

+0,6-

+0,5-

00+

+0/3-

+0,2

+0,1-

-0,1

-0.2 -

-03

-VO-

-0,5-

-0,6-

-07-

+3 -

'V

fiuj/uu₉_0l] V

>4

r 4*    *?

[luj/iujJ (vj

^=«Aÿ!,

Ч (®з)

^31 — ^1

Wir haben also die Produkte ^(tq) usw. zu bilden, die im vorliegenden Fall, da ax — 1 ist, gleich den Ausschlägen («i), (a₂) und (a₃) sind. Diese (A)-Werte, die in Abb. 20 auf getragen sind, durch das Restmoment R dividiert, ergeben die jeweiligen Ausschläge für Мг = 1 mkg. In Abb. 20 sind die Ausschläge A aufgetragen. Für die Eigenfrequenzen werden die Ausschläge, da R = 0 wird, unendlich groß.

mkg

Wirken im Punkte 1 zwei Momente mit gleicher Frequenz, aber mit einer Phasenverschiebung, so berechnet man die Ausschläge nach Größe und Richtung für jedes Moment und addiert die erhaltenen Ausschläge geometrisch.

VI

Abb. 21.

In der Technik sind die erregenden Momente in den weitaus größten Fällen durch eine periodische Kurve gegeben.

Für diesen Fall wollen wir das Beispiel noch durch-rechnen.

Im Punkte 1 wirke das in Abb. 21 wiedergegebene äußere Moment M— /(со). Mit Hilfe der Fourierschen Reihe¹)

») Vgl. Bd. I, S. 58.

läßt sich die gegebene Funktion in eine Summe von Sinusfunktionen zerlegen. Wir erhalten:

M = 8,22 + 3,59 sin (1Ы + 278°),

+ 1,91 sin (2cot + 285°),

+ 0,586 sin(3 cot + 265°),

+ 0.088 sin (4 cot + 234°),

+ 0,075 sin(5w/+ 89°),

+ 0,028 sin (6 со / + 303°),

+ • • • usw. mkg.

Die Abb. 22 zeigt die ersten drei sin-Kurven; die Summierung ergibt bereits eine gute Übereinstimmung mit der ge- f 3 gebenen Funktion.

mente auf Scheibe 1, also A₃₁, für die Grundschwingung mit со = 50.

1. tu = 50 : R — —17,65 • 10⁶ cmkg,

1,0 *1,0

— 17,65 -IO⁶

ASi — Мг •

t4 mkg

-i

2Л

Abb. 22.

Nun ist Mx — 359 • sin(l • со t + 278°) cmkg, folglich wird:

AS1 — — 20,4 • IO“⁶ • sin (со t + 278°) cm/cm.

Außer dieser Grundschwingung führt die Masse nun noch Oberschwingungen aus für со = 2 со und 3 со. Wir müssen

also die Restmomente aus den Berechnungstafeln für 100 und 150 entnehmen und erhalten:

2. со = 100 :

R — -f- 10,52 • 10⁶ cmkg,

1,0 -1,0 + 10,52 • IO6 oder mit M[ = 191 sin(2 œ t + 285°) cmkg:

Ąi = 18,1 • IO“⁶ sin (2 ißt + 285°) cm/cm ,

= 0,095-10 ~*M{

schließlich für:

3. со = 150 : R = -f 2,61 • IO⁻⁶ cmkg,

A'ś) = 0,383 • 10~⁶Afi, und da A/" = 58,6 • sin (3 со t + 265°),

^3! = 22,5 • 10~⁶ • sin (3 œ t + 265°) cm/cm,

Die erhaltenen Kurven sind in Abb. 23 aufgetragen. Wir

10 ^cm/cm

50

sehen, daß die dritte Harmonische trotz der kleineren Am-

:u)

A3,1

/А

/о

:w

-30

-W

plitude noch große Ausschläge hervorruft, was damit zusammenhängt, daß sie nicht weit von der zweiten Eigenfrequenz entfernt ist. Addiert man die erhaltenen drei

Sinuskurven, so ergibt sich das Schwingungsbild für die

Abb. 2B.

dritte Scheibe unter Einwirkung der in Abb. 21 gegeb periodischen Funktion.

Damit wollen wir diese Betrachtungen schließen. Ein weiteres ausführliches Beispiel findet sich in der Literatur¹).

enen

ß) Durchrechnung einer Maschinenanlage nach dem Verfahren von Tolle.

Die Maschinenanlage¹) besteht aus zwei 6-Zylinder-motoren mit Schwungrad und elastischer Kupplung, die

-u-

J_LaJ"Lru^JJjla——M-=|

\k\ e \ d ; c 6

Motor I wirkt allein auf Ш

987654    3

Ж 111 i

Abb. 24.

mittels Zahnradgetriebe auf eine einzige Welle arbeiten, an deren Ende sich der Propeller befindet. Abb. 24 zeigt die Anlage schematisch.

Elastische Konstanten c.

J-G

Nach Gl. 2 ist c — —

Wir erhalten für Welle a:

ca= 1,4 • 10⁶ cmkg, ¹ = 0,715-10-«.

Ca

Welle b:

= 0,0296-10-⁶.

Welle c:

= 1,58 - IO-⁶.

Welle d (Kupplung):

Im Federkreis der Kupplung mit r — 132 mm ergibt (nach Versuch) ein Drehmoment von 12800 cmkg eine Durchfederung / — 3,86 mm.

Für die Verdrehung um den Einheitsbogen ist demnach ein Moment erforderlich von:

0,439 • 10⁶ cmkg

12800*0,386

13,2

woraus sich ergibt:

i-i I

= 2,27 • 10-⁶.

Welle e:

Dieser Wellen teil setzt sich zusammen aus einem Wellenstück und einer halben Kröpfung der Kurbelwelle.

Aus dem Verdrehungsversuch der Kurbelwelle nach S. 48 ergibt sich für eine Kröpfung, also von Mitte zu Mitte Kurbelzapfen:

c = 6,15 • 10⁶ cmkg. Für das Wellenstück allein wird:

- = 0,0644 • 10-« c

ferner für die halbe Kröpfung:

2 • 6,15 • 10⁶

== 0,081 • IO-⁶.

Mit diesen Werten ergeben sich die elastischen Konstanten zwischen den einzelnen Scheiben, wenn die Übersetzung 1:1 wäre, zu:

Strecke 1 -f- 2 :

C12

Strecke 2^-3 :

= 0,7446-IO-⁶,

c₁₂ — 1,34 • 10⁶ cmkg,

6>23

Cc

= 3,85-10-«,

cd

c₂₃ = 0,26 • 10« cmkg,

Strecke 3 -f- 4 :

111

C34

= — +—= 0,1457-10-«, ce cf

cu — 6,86 • 10« cmkg,

Strecke 4-f-5 bis 8 -f- 9 :

c₄₅ bis c₈₉ = 6,15 • 10« cmkg.

Trägheitsmomente.

Propeller. Das Trägheitsmoment des Propellers wurde durch Schwingungsversuch bestimmt. Dazu wurde der Propeller an drei Fäden im Abstande e von der Propellerachse aufgehängt. Aus der Schwingungsdauer T ergibt sich das Trägheitsmoment zu:

(Bd. I, S. 77),

T2 p2

⁰=4^7’

ausgerechnet zu 650kgcmsek².

Zipperer, Technische Schwingungslehre. II.

Getriebe, a) Großes Zahnrad:

8 — 4.18 kgcmsek²,

b) kleines Zahnrad:

8 = 0,33 kgcmsek².

Die Bestimmung des Trägheitsmomentes gelingt in den meisten Fällen rechnerich durch Zerlegung in geometrisch einfache Teile oder aber durch Schwingungsversuch.

Kupplung.

a)    Mit Schwungrad: 8 = 7,02 kgcmsek²,

b)    ohne Schwungrad: 8= 6,50 kgcmsek².

Kurbelwelle.

Die experimentelle Bestimmung des Massenträgheitsmomentes ergab für eine Kröpfung den Wert:

8 — 0,635 kgcmsek².

Zu diesem Wert kommt nun noch ein Betrag der hin- und liergehenden Massen des Kolbens und der Schubstange.

Die Masse der Schubstange kann ersetzt werden durch eine Masse

im Kurbelzapfen

und eine Masse

m₂ = M — m₁ im Kreuzkopf bolzen bzw. Zylinderbolzen,

wenn M die Schubstangenmasse und 8 das auf die Kreuzkopfbolzenmitte bezogene Trägheitsmoment der Schubstange ist. Diese Reduktion ist für unendliche Stangenlange vollkommen, für endliche Länge noch hinreichend genau. Mit 8 = 3,55, G = 4,08 kg und l = 36 cm wird:

Ist der Kurbelradius r = 100 mm, so ergibt sich ein Trägheitsmoment des Schubstangenanteils m₁ zu:

0 = mL • r² = 0,274 kgcmsek².

Zu den hin- und hergehenden Teilen gehören:

0,00348 kgsek²cm -¹,

1. Kolbenmasse:

0,00143

2. Zylinderbolzenanteil der Schubstangenmasse:

insgesamt: 0,00491 kgsek²cm -¹.

Hiervon ist als Mittelwert¹) der h al b e Betrag einzusetzen, und zwar wirkend im Kurbelzapfen. Damit wird das für die Schwingungsberechnung einzusetzende Trägheitsmoment:

ß — m • r² = 0,245 kgcmsek².

In der Kröpfungsmitte wirken nun: a) Rotierende Massen:

0 - 0,635

m₁ =

3.55

1296

— 0,00274 kgsek²cm -¹,

m₂

4,08

981

0,00274 = 0,00143.

1.    Kurbelkröpfung:

2.    Schubstangenanteil: 0=0,274

0 — 0,909 kgcmsek².

b) Hin- und hergehende Massen:

1.    Schubstangenanteil: 0=0,143

2.    Kolbenmasse:

0 = 0,348

hiervon ¹/₂:

0 = 0,491 kgcmsek², 0= 0,245.

г) Siehe Geiger, Mech. Schwingungen (Springer) 1927.

Für eine Kröpfung ist also für die Schwingungsberechnung einzusetzen:

0 = 0,909 + 0,245 = 1,154 kgcmsek².

Da zwischen Motorwelle und Propellerwelle eine Übersetzung 32/68 eingeschaltet ist, sind die c- und 0-Werte

bei Reduktion auf die Propellerwelle mit multiplizieren.

Nach diesen Berechnungen ergibt sich folgende

32 = 4’52 ZU

68\²

Zusammenstellung:

1. Wellenkonstanten.

Auf Propeller welle bezogene Werte: 1,34 • 10⁶ cmkg 1,75

00 00 OO 00 00 о

Wirkliche Werte:

c₁₂ — 1,34 • 10⁶ cmkg, c₂₃ = 0,26 C34 ⁼ 6>86 C45 = 6,15

C5ß ~ 6Д5

c₆₇ == 6,15 c₇₈ — 6,15 ^89 ~ 6Д5

2. Massenträgheitsmomente. Wirkliche Werte :

Propeller

großes Zahnrad 0 —    4,05

kleines Zahnrad 0 =    0,33

0± = 650

Auf Propellerwelle bezogene Werte:

kgcmsek²

— 650

=    4,05

-    1,49

=    5,54

03 =

0 л "F в a =

= 29,40 -    5,22

Zur Vereinfachung der Rechnungen soll die Kurbelwelle als Wellenstück mit gleichförmig verteilter Masse betrachtet werden. Hierzu werden die sechs Kröpfungen auf fünf Felder verteilt. Für ein Feld wird dann:

0' = 5,22 • l- = 6,27.

5

Damit wird mit c = 27,8 • 10⁶ nach Gl. 73, S. 38:

Ico—

27,8 • 10⁶

6,27

2106.

Bestimmung der Eigenfrequenzen.

Für die Durchführung des Verfahrens berechnen wir zu verschiedenen <o die в со²-Werte und erhalten:

1O“⁶-0oA

6»! CO²

@z (X)²

(6>i= 650)

(6»₂ = 5,54)

<9₃w²

(6>₃ = 29,4)

20

0,26

40

1,04

60

2,34

0,0022

0,0089

0,013

0,061

80

4,15

90

100

5,26

110

6,50

0,020

0,035

0,045

0,055

0,106

0,187

0,238

0,294

120

7,88

0,067

0,356

160

9,35

0,080

0,426

200

16,6

0,142

0,75

300

26,0

0,222

1,18

400

58,5

104

0,499

2,64

500

162

0,89

4,70

1,38

7,35

600

234

700

318

1,99

10,6

2,71

14,4

800

416

900

526

3,54

4,48

18,8

23,8

1000

650

5,58

29,4

Die Durchrechnung des Verfahrens auszuführen würde zu weit führen, es sollen daher nur die Werte für со — 60 berechnet werden, um die Anwendung der vereinfachten Formeln für die gleichmäßig verteilte Masse kennenzulernen.

(O ==

60

ÜJ ² =

3600

(«)

Oec)²

—    1,7038 (R)

—    1,4712

—    0,2326    1,2

—    2,340    —2,34    +1,000

—    2,340 :1,34

+■0,016    —0,020    —0,745

-1,978 + 0,290    —0,106    —2,723

— 0,066

— 0,0160

—    0,2166    2,3 —2,325 :1,175

—    0,1044

—    0,1122    3,4 —2,035 :31,0

tH

— 1,745

DO

CO j

— 2,789

+ 0,6287

—    0,1734 + 0,8021

—    0,1842 + 0,9863

—    0,0036 + 0,9899

— 3,121    9    +1,000

R —1,703

= — 4,79 mkgsek2 (в со², c, e-Werte in 10⁶ cmkg).

Vorwärtsrechnung. 2106

Aus lœ = 2106 folgt: Я —-Zur Weiterrechnung benötigen wir:

60

- 35,18.

cos

und sin

Da l = 5 ist, weil die Länge der Kröpfung als Einheit angenommen war, wird:

0,1422 - 8° 9'

l _ 5 X “ 35,18

und damit:

sin y — 0,1420. л

cos у — 0,9899,

A

Unter Anwendung der Gl. 78/79, S. 39, erhält man:

a) e₄₅ = R == cos

l Cp    . I

- — 2,035 • 0,9899 — R = —1,703,

27,8

35,18

. (— 2,789) -

0,142oj,

sin у л

b) a₉ = a₄ cos -■ + e₃₄ •

35,18

• 0,142,

27,8

= — 2,789 • 0,9899 + (— 2,035)

a₉ =.— 3,121.

Die Werte В und a₉ werden in das Schema eingetragen. Rückwärtsrechnung.

Nach GL 80 ist:

W = (e₉) cos = + 1,000 • 0,9899 = + 0,9899. л

Ferner :

27,8 35,18

Diese erreehneten Werte trägt man ins obige Schema ein und rechnet in der bekannten Weise weiter.

(e3ł)

я Wsil1 j=

• 1,000 • 0,1420 = 0,1122.

Für die praktische Durchführung benutzt man zweckmäßig folgendes Schema:

Я OJ —

я==

OJ

= . . .0 . .

COS — =

sin — == • •

Ы- — xsinX ⁼

(a₄) = cos j

cos -

co

— a₄ у sin

Summe = R ==

u₄ cos — «34 г sin T =

⁶0 л_

Summe — a₉ —

Die Durchrechnung des Verfahrens für den Fall, daß die Teilanlage I oder II allein auf die Propellerwelle arbeitet ergibt folgende Kestmomentenwerte:

со

10“ ⁶

• R (cmkgO

й/си² (mkgsek²)

40

60

0,97

6,06

80

1,70

4,73

90

1,84

2,89

100

3,39

1,80

0,59

— 0,59 + 0,73 + 2,13 + 8,43 + 15,75 + 33,2 + 41,0 + 34,7/*

ïb

+Щ

Für со = 0 ist ~ = — 20 = — 7,16. coa

Aus der Tafel ersehen jo^R/R wir bereits, daß Eigenfre- anigyÜgsàz quenzen liegen    zwischen

1.    100    und    110

2.    600    und    700

3.    700    und    800    usw.

Die Kurven R und R/co2 sind in Abb. 25 wiedergegeben.

Wir berechnen nun im folgenden die Eigenfrequenzen für die ganze Anlage, d. h. wenn beide Mo- 4Ö0\00 toren zusammen auf die gemeinsame Propellerwelle arbeiten.

110

120

160

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

+ 666

+    874

+    511

262

+ 108 + 5828 -f 23586

800 SO

600 60

m oo

ZOOM

wozo

/'n

'I

\(Oz \ 0)₃

Q)

m m боо^т wob

Abb. 25.

Nach den Betrachtungen auf S. 40 beginnen wir mit der Durchrechnung jeweils an den drei freien Enden und erhalten dann für jeden Wellenstrang an Stelle 2 ein Restmoment R und einen Ausschlag a. Beim reduzierten System müssen wir jedoch an der Stelle 2 die gleichen Ausschläge bekommen, deshalb sind die erhaltenen Restmomente umzurechnen, am einfachsten auf den Einheitsausschlag.

Es liegt Resonanz vor, wenn die Summe der jeweiligen Restmomente zu Null wird.

Zu beachten ist, daß die Trägheitsmomente der beiden Zahnräder einzeln einzusetzen sind.

Im vorliegenden Fall kann, da die Anlage symmetrisch ist, das Restmoment einer der Teilzweige I oder II verdoppelt werden.

Wir berechnen zuerst den Zweig III, (в±, c₁₂ und @₂), nach dem Schema, das für o— 60 durchgeführt ergibt:

со — 60.

6co²

1,2

—    2,340

-    2,340

+ 0,001

— 2,34

:1,34

- 0,0146

+ 1,000 —1,745 — 0,745

— 2,339

Ein Vergleich mit S. 86 zeigt, daß nur die letzte Ausrechnung mit dem Wert des großen Zahnrades durchzuführen ist, also:

ei2

a₂ • &2 со² = Summe ==

- R,

mit den Werten für со — 60 also:

— 2,340

0,745 • (— 0,0146) == + 0,001

Ä = — 2,399.

Auf den Einheitsausschlag umgerechnet, wird:

Ä'=

2,399

0,745

— + 3,16 • IO⁶ cmkg.

Der Vollständigkeit halber sollen die Produkte в со² für das große und kleine Zahnrad noch zusammengestellt werden :

kleines

Zahnrad

großes

Zahnrad

60

80

100

120

160

200

300

0,0054

0,0073

0.0149

0,0215

0,0382

0,0596

0,0146

0,0198

0,0405

0,0584

0,104

0,132

400

0,134

0,162

500

0,238

0,364

600

0,372

0,65

700

0,536

1,01

800

0,73

1,46

900

0,95

1,99

1,21

2,59

Hierbei ist das Massenträgheitsmoment des kleinen Zahnrades natürlich auf die Propellerwelle reduziert.

Führt man die Rechnungen durch, so erhält man:

60

80

100

120

200

300

400

500

600

700

800

900

10 -"R (cmkg)

+. 152 + 388 + 759

a₂

(cm/cm)

10    • R/a²

(cmkg)

ОО О

VobVi^boob^

■O 05 Ф СИ

236,0

310

392

+ 3,16 + 1,96 + 1,64 + 1,51 + 1,25 + 1,01 + 0,705 + 0,345 — 0,110

—    0,645 —1,25

—    1,93

In Abb. 26 sind als Kurve В die Werte R/a₂ aufgetragen; die Kurve ergibt die Eigenfrequenz der Propellerwelle mit Propeller und großem Zahnrad, es ist:

со = 575.

Die Restmomente des Zweiges I oder II ergeben sich in ähnlicher Weise aus der Rückwärtsrechnung. Es ändert sich nur der Wert für die Zweigstelle. An Stelle des Trägheitsmomentes des ganzen Getriebes tritt das des kleinen Zahnrades.

Zu berechnen ist also nur:

Summe = (a₂)

(%)

— С23 : (⁶2з)

■ • 8₂oj² = Summe =

= R.

Für a) = 60 ergibt dies :

— 0,2245

+ 0,8021 • (— 0,0054) = - 0,0048

R = — 0,2288 •

z(

und -ß- = — 0,276 • 10e cmkg.

(«)a

i !"

006

V'A''

ft

-e

/00 cm/ęrn

200    300    000    500^600

\ ____-

Л------[R/(az)Jl,n E----Ä

[R/azJjH ER - ZA/Ö

Abb. 26.

■>

13

'A/GO

i'Vb

/<? г

J*?⁷“⁴³

V*]

Г

Ч-Л7;

f-

-ji

hH

Die erhaltenen Werte zusammengestellt ergibt folgende Tafel und Kurve A in Abb. 24.

OJ

10— • R (cmkg)

(cm/cm)

10—⁶ • R![ag) (cmkg)

60    — 0,229    + 0,802

80 ! —0,386    + 0,651

100    — 0,600    + 0,457

120    — 0,853    4- 0,225

200    — 2,145    —1,022

300    — 3,95

400 —5,19    —4,97

500    — 5,17    — 6,18

3,04

600

700

3,60

5,83

800

—    3,79 + 2,10 + 1,30 + 1,04 + 0,84 + 0,61 + 0,30 + 0,93 + 0,087

3,59

— 1,06 + 0,99 + 0,70

+ 1,06 + 8,04

Zur Feststellung der Eigenfrequenzen ist nun zu bilden:

2JR=2[R/(a₂)]I+[R/a₂]in-

In Abb. 26 sind die einzelnen Werte allein aufgetragen und dann addiert. Die Schnittpunkte der Summenkurve C mit der w-Achse liefern die Eigenfrequenzen.

Wird die Rechnung in der Weise durchgeführt, daß man in der Zweigstelle die auf den Einheitsausschlag errech-neten Restmomente addiert und dann, wie auf S. 42 angegeben, weiterrechnet bis zum Ende, so benutzt man zweckmäßig folgendes Schema:

900

\R/a]i

[R/a]₂

- ©₂ (I)² * 1

1,000

: (^12)

©! W²*

R=--

Die auf diese Weise errechneten Restmomentenwerte sind in folgender Tafel eingetragen.

(X)

io “⁶я

(cmkg)

(cmkgsek*)

60

80

531

100

248

120

200

300

400

500

600

700

800

900

+ 36,8 — 101

—    144 -236

—    277

—    271 116

—    384 + 414

+ 374 +• 2560

-    2530 -1600 —1470

—    610 + 510

In Abb. 26 sind die Werte wiedergegeben in Kurve E, Aus den Schnittpunkten mit der co-Achse ergeben sich folgende Eigenfrequenzen :

О CD Ol zo

co₁= ,

(ü₂= 7 , co₃ = 815.

Die minütlichen Eigenschwingungszahlen ergeben sich aus der Beziehung:

60

zu:

nx= 94ö, n₂ = 6740, n₃ = 7780.

Die kritischen Drehzahlen ergeben sich durch Division mit den Ordnungszahlen der Harmonischen der erregenden

Momente. Diese sind beim vorliegenden Verbrennungsmotor: 1 х/₂, 2, 3, 4¹/₂, 6, 7х/₂, 9, . . .

Die folgende Tafel erhält die auf diese Weise errech-neten kritischen Drehzahlen.

Harmonische

Ordnung

**!==

n₂=

945

6740

n₃=

7780

1V₂

630

472

4490

315

3370

5195

2245

3890

2592

4V₂

210

1496

1729

157

7¹/₂

126

1124

105

890

750

1296

1036

865

Im Bereich der Motordrehzahlen mit normal 1400 Umdrehungen liegen die umränderten Zahlen. Diese müssen gemieden werden, beim Anfahren ist möglichst rasch darüber wegzukommen. Welche von den kritischen Drehzahlen besonders in Erscheinung treten, ist ohne harmonische Analyse des Tangentialkraftdiagramms und ohne Berechnung der Produkte nach S. 34

A = Ma-^,

nicht möglich. Dabei sind die Kurbelversatzwinkel und die Beihenfolge der Zündungen natürlich zu beachten.

Beim vorliegenden Beispiel war deutlich nur die kritische Drehzahl 1060 wahrnehmbar, herrührend von der zweiten Eigenfrequenz und von der sechsten Harmonischen. Man bezeichnet sie als kritische Drehzahl zweiten Grades sechster Ordnung und schreibt dies:

nj¹ = 1060 min⁻¹.

2. Biegungsschwingungen.

c%) Welle mit einer Masse.

Abb. 27.

Eine elastische Welle trage eine Scheibe mit dem Gewicht G, deren Schwerpunkt um e von der Wellenachse entfernt sei (Abb. 27). Die =— durch die Dotation hervorgerufene Fliehkraft sucht den Ausschlagzu vergrößern. Auf die Scheibe wirken folgende Kräfte:

с y : Rückwirkende Kraft,

(y + e)moj²: Zentrifugalkraft.

(1)

Im Gleichgewichtszustand sind beide einander gleich, also: m(y+e) со² — cy

oder

(2)

meat²

У с — та)²'

Wir erhalten unendlich große Ausschläge, wenn der Nenner Null wird. Daraus folgt:

c — m со² = 0,

(3)

Dies ist jedoch der Ausdruck für die Eigenfrequenz des Systems. Die durch die Zentrifugalkraft hervorgerufenen Durchbiegungen werden also unendlich groß, wenn die Winkelgeschwindigkeit mit der Eigenfrequenz zusammen-

fällt, wenn Resonanz eintritt. Für den Wert

1/ - führte

] m

Z i p p e г e г, Technische Schwingungslehre. II

7

Stodoła den Ausdruck „kritische“ Winkelgeschwindigkeit ein. Bringt man die statische Durchfederung durch das Eigengewicht ein, so erhalten wir die kritische Drehzahl:

= 300 У y min-¹.

Aus der Betrachtung folgt weiter, daß alle ähnlichen Fälle auf die Aufgabe zurückgeführt werden können, die Biegungseigenfrequenzen zu bestimmen.

Zur weiteren Untersuchung formen wir die Gl. (2) um,

indem wir für— — cot setzen und erhalten:

m

(4)

CJ‘

2e

wl — co

oder nach Addition von e auf beiden Seiten der Gleichung:

(5)

Berechnet man für verschiedene Verhältnisse von — die

m₀

Werte y + e, so erhält man die in Abb. 28 aufgezeichnete

y+e

e[

0,5 p 15 W

Kurve. Aus dieser geht hervor, daß für äußerst langsame Schwingungen, m~0, der Gesamtausschlag e ist. Für — = 1 m₀

' Abb. 28.

(Resonanz), würden die Durchbiegungen unendlich groß, falls durch die

großen Biegungsbeanspruchungen kein Bruch der Welle stattfinden würde. Mit weiterem Wachsen der Drehzahl nimmt der Ausschlag ab, die Welle läuft ruhiger als vor dem Kesonanzgebiet. Diese Erscheinung spielt besonders im Turbinenbau eine große Rolle. Die Größe von e beeinflußt die Eigenschwingungszahl nicht, selbst der kleinste Wert kann Ausschläge hervorrufen, die die Welle gefährden.

(6)

Wir kehren nochmals zum einfachsten Fall (Abb. 27) zurück. Die in einer Ebene stattfindende Biegungsschwingung können wir auffassen als die Projektion einer Kreisbewegung der Masse m mit dem Halbmesser y und der Winkelgeschwindigkeit со. Auf die Masse wirkt die rückwirkende Kraft c y, wenn c wieder die Kraft ist, die den Einheitsausschlag hervorruft; ferner die Zentrifugalkraft myco². Gleichgewicht ist vorhanden, wenn су = ту со².

Q

Setzen wir für — — cot m

so erhält man:

0)

y(co² — co-₀)= 0.

Für со = coq wird со² — co^ = 0 und für у erhalten wir den

unbestimmten Ausdruck , d. h. im Falle der Resonanz

kann der Ausschlag jeden beliebigen Wert annehmen.

Im folgenden werden wir nun Verfahren kennenlernen zur Ermittlung der Eigenfrequenzen.

ß) Welle mit mehreren Massen.

m<

i’

Die obige Betrachtung gibt uns die Möglichkeit, den Fall einer mit mehreren Massen belasteten Welle zu untersuchen¹). Wir wollen den Fall für drei Massen m und m₃ behandeln (Abb. 29).

¹) Nach Tolle, Gutachten und Vorlesung an der T. H. Karlsruhe.

Nach den Formeln der Fesligkeitslehre können wir die Einflußzahlen oc und damit

Abb. 29.

der Kraft P~1 an der Steile 2.

die Durchfederungen berechnen. Es bedeutet och2 die Einflußzahl, die Durchfederung an der Stelle 1 bei Wirkung

Wir erhalten insgesamt folgende Einflußzahlen:

(8)

Würden die Kräfte Q₁, Q₂ und Q₃ wirken, so erhielten wir z. B. an der Stelle 1 die Durchfederung:

(9)

— осц Qi -j- (%in Q₂ ~b &13 Q3 •

An den einzelnen Stellen sollen nur die Zentrifugalkräfte:

(10)

m₁ хг' со² ; m₂x₂ • œ² ; m₃ x₃ • œ wirken, worin xlt x₂, x₃ die noch unbekannten Durchbiegungen sind.

(И)

Die Durchbiegungen können ausgedrückt werden durch : x₁ = ocn m₁ хг со² + oc₁₂ m₂ x₂ со² + oc₁₃ ЩХ₃оэ2 x₂ — oc₂₁m₁x₁a)² + oc₂₂m₂x₂co² oc₂₃m₃x₃co x₃ = oc₃₁ m₁ x₁ со² + oc₃₂ m₂ x₂ со² + oc₃₃ m₃x₃œ2 oder nach Division mit со² durch:

(% Щ — F j % + a₁₂ m₂ x₂

+ oc₁₃m₃x₃

OC2i Wli Xi

+ 1^22^2    ^2 ) Ж2“Ь

OC 23 Ш₃ X₃

, (12)

CXßi mi Xi

ос₃₂ш₂х₂

also durch drei Gleichungen mit den drei Unbekannten

%!, x₂,

Die drei Wurzeln ergeben sich aus der Bedingung:

«13%

«11% о «12% CO

«21%

«22%    ~~2 .«23%

= 0.    (13)

«31%

«32^2

Cüoo TYln —

33 3 ада

Durch Umformung erhalten wir weiter:

« IV

шг(0²

«12

«13

«21

«22

m₂(o²

«23

— 0.    (14)

«31

«32

Ä33 m₃w²

Führen wir in GL 13 an Stelle der Einflußzahlen die statischen Durchfederungen / ein, die gegeben wird durch:

/п “ «n * % 9 у

/12 — «i2 * % g у

so können wir die Determinante schreiben in der Form:

/l3

/__Ł. f

îii    œ2    /12

/21

(J

“ ы2 /23

= 0.    (15)

/33-^

(0‘

nach Tolle Frequenzhöhe, erhalten wir

CO²

ganz allgemein für eine Welle mit n Massen: /11    ^ /12    /13

/21    /22    ^ /23

/bl

/ 32

. . . fin • •    /2W

/33    ^ /зп

— o. (16)

• • • fnn h

Die Lösung dieser Determinante gibt eine Gleichung von der Form:

hn + % ün_1 + a₂ hn~² + • • • + an-i h + an = 0.

/nl

/n2

fn 3

(17)

Die Koeffizienten «n_! usw. sind Ausdrücke mit den Durchfederungen /ц.../nn* Die charakteristische Gleichung besitzt n Wurzeln, deren Ermittlung am einfachsten auf graphischem Wege geschieht.

Wir wollen die Anwendung für den bereits betrachteten Fall mit zwei Massen durchführen.

Die charakteristische Gleichung ergibt sich aus:

(18)

I /11 h /12 ! /21

zu

(19)

(20)

(/и А) (/₂₂    /г)    /12/21 — 6

oder weiter ausgerechnet und geordnet durch:

(/11 + /22) ^    /12 /21 + /11 /22⁼ D.

Die Wurzeln sind:

mit den Abkürzungen:

und

V-—(fa + Ui)

Ц— “/12 /21 + /11 /22*

y) Näherungs verfahr en.

Die Lösung der Determinante erfordert für mehrere Massen langwierige Ausrechnungen. Es lag deshalb nahe, Näherungsgleichungen aufzustellen, die im folgenden betrachtet werden sollen.

Die charakteristische Gleichung hat für n Massen die Form:

hierin ist:

hn + a^-4-----b a« = 0;

(22)

(23)

ai — — (/11 + /22 + * * * + /nn) > wie sich leicht ausrechnen läßt.

Für die n Wurzeln Tix, h₂,...,hn einer Gleichung nten Grades besteht die Beziehung:

(h —•■ Äj) (fi — h₂) (h — h₃). . . (h — К) = 0.    (24)

Die Klammern ausgerechnet ergibt wieder Gl. 22, also: hn + at h"-¹ + a₂ hn~² +_... + an-t h + an= 0.    (25)

Nach dem Koeffizientengesetz ist nun:

(26)

(26 a)

Führen wir die Betrachtung fürn = 3 durch, so erhalten

— a± = h± -j- fi₂ + hs ~b • • * + hn ( l)w * än — hi • h₂ •    • • • • fin.

wir:

oder ausgerechnet:

(Äx + k₂ -f- hs) k² + (^1 ^2 + ^1    \ h₂) k

^2 *3    ^ *

Vergleichen wir diese Gleichung mit der aus der Determinante gewonnenen:

(29)

~ (/n + /22 + /зз) /t² +.••• + = 0, so erhalten wir die Beziehung:

(30)

\    \    \= /11 + /22 + /зз»

also

(31)

21k — fn + /22 + /зз * • • •

Die Näherung besteht nun darin, daß man die Wurzeln k₂, Ag, • • • • gegenüber \ vernachlässigt, man also kx = Amax ^ 2f setzt. So erhält man:

(32)

^max = /и 4~ f 22 H“ /зз

oder mit k= die niedrigste Eigenfrequenz:

tOmin =

/ll + /22 + /зз

(33)

oder allgemein:

OJmin ==

zf

(34)

eine von Krause¹) aufgestellte Formel. Aus Gl. (34) folgt:

(35)

co uii д²    9    9    9

Für — können wir iedoch setzen — 9    Щ

, worin щ die Eigenfrequenz ist, wenn die Masse 1 allein wirken würde.

-¹) V.d.I. 1914, S. 878 und 1276.

w₀

(39)

Im folgenden soll nun an einigen Beispielen noch gezeigt werden, welche Fehler durch Anwendung der angegebenen Näherungsformeln entstehen können. Abb. 30 enthält die von Kuli²) berechneten Fehler für verschiedene Belastungsfälle. Diese sind angegeben für den Wert /, und zwar sind die Methoden Kuli (K/F) und Dunkerley (DIF) mit den genauen Werten von Föppl verglichen. In der dritten Spalte ist für einige Fälle der Fehler berechnet, wenn man die kleinere Kraft P vernachlässigen würde und für Q allein die statische Durchfederung berechnen würde. Es zeigt sich, daß dieses Verfahren in den meisten Fällen noch genauer ist als das Dunkerleysche. Die Werte nach Kuli geben gute Übereinstimmung mit den genauen Werten.

*) V. d. I. 1918, S. 249.

Wir erhalten damit schließlich die Formel:

_I ¹

Wmin² (Ą CO'I

die von Dunkerley im Jahre 1895 experimentell aufgestellte Formel. In der Literatur findet man diese Formel meistens in der weniger übersichtlichen Form:

_Щ co₃_

oĄ + co\ oĄ "b œl

Kuli¹) gibt 1918 ein weiteres Verfahren an. Er berechnet:

_gi/î + ga-/aa + --- + 6n.-Æ

Ql fl + ^2 /2 + • • • + On • fn

Wm„ =

/*

und erhält:

+ “2 »

m3

(36)

(37)

(38)

x) Vgl. Föppl, Z. a. M. M. 1, 1927.

Ol=ZP

~Ł

d/f

ąs

IŁ

a-эр

1,15

0,86

а игр

am

VL

Viol iP

Vz l \

\QrP

0,98

1,09

0,94

1Ł

■If

-a=v&p

Q975

1,Z4

iP

(к~4/5Р

1,07

1,Z4

iMJ

l_j p-a

099

1,07

091

Viol

\0

/»-47ft

0,98

fc3P

asp

0,91

093

,0.341 ]

ОЛ71

0,93

ô) Graphisches Verfahren nach Stodoła.

Nach den Betrachtungen auf S. 97, die zur Gleichung: су = ту со²,

führen, ist das unten angegebene Verfahren von Stodoła ohne weiteres verständlich.

In Abb. 31 ist die Welle mit ihren Lasten schematisch dargestellt.

Man zeichnet nun für eine Winkelgeschwindigkeit w, die in der Nähe der zu erwartenden Eigenfrequenz co₀ liegt, die vermutliche elastische Linie yx der rotierenden Welle ein. Im Kräfteplan werden die Zentrifugalkräfte m₁œ²y₁

jL

jL\

; ! Jo

m,y,a>z

Jmh L

-r •

b\

yt

тгуцш²

17

Mlfarw

Ym.

ElastUnie

уп

Çj', >*5> Cj

Abb. 31.

und m₂œ²y₂ aufgetragen und nach dem Mohrschen¹) Verfahren die Momentenkurve konstruiert. Sind die Wellenabmessungen verschieden, so ist durch Multiplikation mit J₀/J die reduzierte Momentenfläche zu zeichnen. Mit der

M Göschen Bd. Nr. 603.

Momentenfläche als Belastungskurve ergibt sich die elastische Linie ylv Ist diese ähnlich der angenommenen elastischen Linie yv so ergibt sich die gesuchte Eigen frequenz zu

coQ =

У ii

«у*¹

Trifft dies nicht zu, so ist mit der erhaltenen elastischen Linie das Verfahren nochmals durchzuführen, bis die Forderung der Ähnlichkeit erfüllt ist. In Abb. 31 ist

y J

y'n = yu eingetragen als punktierte Kurve. Man sieht.

Ут11

daß die Ähnlichkeitsforderung erfüllt ist, daß sich eine nochmalige Durchführung des Verfahrens erübrigt. Es braucht wohl kaum erwähnt zu werden, daß bei der Durchführung des Verfahrens die Maßstäbe zu beachten sind. Die Durchführung eines größeren Beispiels findet der Leser bei Stodoła¹) und im Taschenbuch von Dubbel²).

Das angegebene Verfahren ist trotz seiner Einfachheit ziemlich mühsam. In vielen Fällen genügt es, die elastische Linie unter Wirkung der Gewichte G zu ermitteln und die Schwingungszahl aus der bekannten Gleichung

n₀

= 300 y A- min⁻¹

! /max

zu bestimmen. Es ist klar, daß diese Methode nur die Schwingungszahl für die Grundschwingung liefert.

>) Stodoła, Dampfturbinen.

²) Dubbel, Taschenbuch.

II. Experimentelle Verfahren.

1. Torsionsschwingungen.

(Torsiographen nach Geiger und Frahm.)

¹ I ¹ I

; :

jut

Os

вг

Abb. 32.

Die experimentelle Feststellung von Schwingungen in Wellenleitungen hat Frahm¹) bereits im Jahre 1902 ausgeführt. Das verwendete Instrument bestand, wie in Abb. 32 schematisch angegeben ist, aus einer schweren Schwungscheibe 0s und einer leichten Riemenscheibe 0r. Beide sind durch ein elastisches Zwischenglied c miteinander verbunden. Die Riemenscheibe wird durch ein um die zu untersuchende Welle gelegtes Band angetrieben. Durch das elastische Zwischenglied wird auch die schwere Schwungscheibe in Drehung versetzt.

Während die Riemenscheibe die Schwingungen der Welle mit ausführt, dreht sich die Schwungscheibe bei richtiger Wahl der Größen <9S, 0r und c mit großer Annäherung gleichförmig. Die relative Verdrehung beider Scheiben ist ein Maß für die Schwingungsausschläge der Welle.

Den mathematischen Nachweis der gleichförmigen Rotation der Schwungscheibe führt Tolle²) und kommt zu folgender Beziehung:

ocs= осл—

worin ос die Winkelamplituden, 0 die Massenträgheits-

U V. d. I. 1902, S. 797

a) Regelung S. 173.

momente, œ die Winkelgeschwindigkeit beider Scheiben und coq deren Eigenfrequenz ist.

Mit 0S = 10 0r und со — 10 co₀ ergibt obige Gleichung

OCg —

ocr.

1000

Nach diesem Prinzip ist der von Geiger¹) erfundene und von Lehmann und Michels in Hamburg hergestellte Torsiograph gebaut.

In Abb. 33²) ist der Torsiograph in Ansicht wieder-

;v

E

Их'"'    А

шя

iff

Abb. ЗВ.

q V. d. I. 1916, S. 811.

²) Die Abb. 33—39 sind von der Firma Lehmann u. Michels in Hamburg-Schnelsen zur Verfügung gestellt.

gegeben; seine innere Bauart zeigt Abb. 34. Wir sehen rechts die Riemenscheibe R, in dieser eingebaut die

У

Г>

u -

'fiT

fl О о I

s Ms¹

о

ID

0

о

Abb. 34.

«

¥

и

•»о

a '' ii

i

T~1

о

И II

ŁO

TZ-755

9. Ordnung

ßunupjß zc

<0.s. Ordnung

ff. Ordnung

■'ЧЛ-

JA»A4<W*WVW«.

7,5. Ordnung

eOrdnurj

' n-VOO

ff. Ordnung    n~¥06

ЖЛA/^лЛд/v/v\yИЛЛЛЛЛAлA/\AЛЛЛAЛ/^ЛЛ/VЛЛЛЛЛ^лЛллЛAлAЛЛЛЛЛUwvAлAAЛЛ/'Лл^ллЛ/vvлл'Vv^ллллллЛAлялллл

Abb. 85.

schwere Schwungscheibe 8, beide sind durch die Spiralfeder F verbunden. Die relative Verdrehung beider Scheiben wird durch das Hebelwerk H auf die Achse A übertragen und von dieser auf den Schreibhebel R. Der Papierstreifen F wird normalerweise so fortbewegt, daß seine Geschwindigkeit proportional der Umdrehungsgeschwindigkeit der Kiemenscheibe ist. Ein zweiter, in der Abbildung nicht eingezeichneter Hebel markiert die Umdrehungen. Durch diese Anordnung ist es möglich, die Schwingungsvorgänge während einer Umdrehung zu verfolgen. Das Instrument gestattet weiterhin die Beobachtung zeitlicher Drehzahlschwankungen. In diesem Falle wird der Papier streif en durch ein Uhrwerk bewegt, also unabhängig von der Drehung der Scheiben.

Es scheint, daß durch das elastische Band Ver-

Zerrungen bei der Aufnahme der Schwingungen eintreten. Versuche haben jedoch gezeigt, daß durch Anwendung eines Spezialbandes mit‘dem Torsiographen Schwingungen bis zu 8000 in der Minute zerrungsfrei aufgezeichnet werden können.

In Abb. 35 sind einige Torsiogramme wiedergegeben, die deutlich die kritischen Drehzahlen zeigen.

Der von Frahm¹) entwickelte optische Torsiograph ist als eine Weiterentwicklung des Föttingerschen Torsionsindikators²) anzusehen. Durch Anwendung des masselosen Lichtstrahles zum Sichtbarmachen der Verdrehungen zweier Wellenquerschnitte ist es möglich, selbst rasch verlaufende Schwingungen ohne Verzerrung wiederzugeben. Wegen der Einzelheiten muß auf die Originalarbeit verwiesen werden.

2. Biegungsschwingungen.

(Vibrograph nach Geiger.)

Die experimentelle Bestimmung der Biegungseigenfrequenzen ist möglich mittels des Geigerschen Vibrograph en. Dieser unterscheidet sich vom Torsiographen grundsätzlich nur dadurch, daß an Stelle der Schwungscheibe ein exzentrisch angeordnetes Gewicht verwendet wird. Er diente ursprünglich zur Aufzeichnung linearer Schwingungen, ist jedoch für weitere Verwendungszwecke ausgebaut worden. Seine Bauart geben Abb. 36 u. 37 wieder; die theoretischen Grundlagen sind in der Zeitschrift: „Werft — Reederei — Hafen“³) zu finden.

*) Göschen Bd. 880, S. 55.

*) V. d. I. 1918, S. 177.

⁸) 1924, Heft 11.

Zipperer, Technische Schwingungslehre. II.

*

mmmm

7?.

Abb. 36.

.<?

® ®

4U

4

0

/

/

/

<£

Die Anwendung des Vibrographen zur Ermittlung der Biegungsschwingungszahlen ist in Abb. 38 schematisch angegeben. Wir sehen hieraus schon, daß die Feststellung

a.

У//////////////////У///Л Abb. 37.

nicht wie bei den Torsionsschwingungen im Betriebe vorgenommen werden kann, daß sogar das Gehäuseoberteil der Turbine abzunehmen ist. Die Welle wird nun durch An-

O-

I.

Abb. 38.

schlagen in Schwingung versetzt. Infolge der großen Empfindlichkeit des Instrumentes genügen bereits schwache Anschlagskräfte. Wird der Diagrammstreifen gleichförmig

Abb. 39.

bewegt und nach jeder Sekunde mit einer Zeitmarke versehen, so gestaltet sich die Bestimmung der sekundlichen Schwingungen sehr einfach. Durch die Wahl der Anschlagstelle ist es möglich, auch die höheren Eigenfrequenzen zu ermitteln (Abb. 39). Die Schwingungsausschläge werden zweckmäßig in der Nähe des Schwingungsbauches abgenommen, dessen Lage durch Probieren festzustellen ist.

III. Mittel zur Beseitigung.

1. Torsionsschwingungen.

Als Ursache der Schwingungen haben wir die periodischen Schwankungen in der Kraft- und Arbeitsmaschine kennengelernt. Die Schwankungen des Drehmomentes in der Kraftmaschine entstehen durch die Kolben- und Massenkräfte.

Durch Anwendung mehrerer Zylinder bei zweckmäßiger Wahl des Kurbelversatzes und der Zündfolge bei Verbrennungsmaschinen, ferner durch Anwendung von Schwungrädern, lassen sich Schwankungen des Drehmomentes stark verringern, jedoch nicht ganz beseitigen.

Trotz relativ großer Gleichförmigkeit des Drehmomentes der Kraftmaschine können die Schwingungsausschläge im Resonanzgebiet erhebliche Werte annehmen. Hieraus ergibt sich die Forderung, die Resonanzgebiete zu meiden und beim Anfahren der Maschine rasch über diese hinwegzugehen. Durch Änderung der Schwungmassenverteilung und der Wellenabmessungen können diese Forderungen in vielen Fällen erfüllt werden. Wir finden in der Patentliteratur Anordnungen, bei denen beim Durchfahren des Resonanzgebietes Zusatzmassen automatisch eingeschaltet werden, und die dadurch das Resonanzgebiet verschieben.

Ein weiteres Mittel zur Verkleinerung der Schwingungsausschläge haben wir durch die Anwendung starker Dämpfung.

Die Entscheidung, welche der angegebenen Mittel anwendbar sind, muß von Fall zu Fall getroffen werden.

2. Biegungssehwingungen.

(Statisches und dynamisches Auswuchten.)

Nach den Betrachtungen auf S. 97 ist auch hier die Hauptforderung die, die Betriebsdrehzahl möglichst von den kritischen Drehzahlen zu entfernen. Aber auch außerhalb der Resonanzgebiete ruft die Exzentrizität des Schwerpunktes des rotierenden Teiles Schwingungen hervor, die mit zunehmender Exzentrizität größer werden. Dies liefert die zweite Forderung: Beseitigung der Schwerpunktsexzentrizität.

Mittel zur Beseitigung.

118

Das Verfahren, dies zu erreichen, kennen wir unter dem Namen Auswuchten. Hierbei ist zu unterscheiden zwischen dem statischen und dem dynamischen Auswuchten.

М/

Abb. 40.

Legen wir die in Abb. 40 gezeichnete Welle mit flacher Scheibe auf die zwei horizontal gerichteten Schneiden, so pendelt die Scheibe so lange um ihre Achse, bis sich der Schwerpunkt S senkrecht unter der Achse befindet. Durch Anbringen von Gegengewichten kann erreicht werden, daß der Schwerpunkt in die geometrische Achse fällt. Dies ist erreicht, wenn die Welle in jeder Lage in Ruhe bleibt. Die Scheibe ist statisch ausgewuchtet.

Denken wir uns einen langgestreckten Zylinder (Abb. 41) statisch ausgewuchtet und bringen wir in einer Ebene in

V.

Л¹/'

m reo²

X.

Vco .

mrcoz

Abb. 41.

gleicher Entfernung von der Achse zwei Zusatzgewichte m an, so verschiebt sich der Schwerpunkt dadurch nicht. Der Zylinder ist statisch einwandfrei ausgewuchtet. Versetzen wir den Zylinder in Rotation, so stellen wir dennoch starke Erschütterungen in der Lagerung fest. Dies ist klar, denn die Zusatzmassen verursachen durch die Fliehkraftwirkung ein Moment. Dieses wieder erzeugt Zusatzkräfte im Lager, die mit der Welle rotieren, weil die Momenten-

ebene durch die Wellenachse hindurch geht. Wir sehen hieraus, daß dieses Moment zu Null werden muß, soll der Gang der Maschine erschütterungsfrei sein. Ist dies durch Zusatzgewichte erreicht, so nennen wir den Zylinder dynamisch ausgewuchtet.

In Abb. 42 ist eine dynamische Auswuchtmaschine schematisch wiedergegeben. Der zu untersuchende Rotor ist in

L1

Rotor

IK- ELM.

Abb. 42.

schwingungsfähigen Lagern L leicht drehbar gelagert. Eine ausrückbare Kupplung К verbindet den Rotor mit dem Elektromotor El. M.

Durch den Motor wird der zu untersuchende Rotor auf eine Drehzahl gebracht, die über der Eigenschwingungszahl des aus dem Rotor und den Federn bestehenden Systems liegt. Die sonst beweglichen Lager sind festgeklemmt. Nun wird die Kupplung ausgerückt und die Feststellvorrichtung eines Lagers gelöst. Die Drehzahl des Rotors nimmt langsam ab, das freie Lager führt Schwingungen aus, die bei einer bestimmten Drehzahl besonders stark sind. Aus den aufgenommenen Diagrammen ergibt sich die Lage und Größe der das Moment hervorrufenden Zusatzmasse. Durch Anbringen von weiteren Zusatzgewichten kann das Moment zum Verschwinden gebracht werden, was sich dadurch zeigt, daß das schwingungsfähige Lager während der Auslaufperiode praktisch in Ruhe bleibt.

Auswuchtmaschinen der beschriebenen Art stellt Carl Schenk in Darmstadt nach dem System Lawaczeck-Hey-mann¹) her. Von den Kruppwerken wurde eine vereinigte statisch-dynamische Auswuchtmaschine²) entwickelt, die von der Düsseldorfer Maschinenbau A.-G., vorm. Losenhausen, bezogen werden kann.

Anhang.

Fundamentschwingungen.

1. Theoretische Betrachtungen.

Die Kolben- und Massenkräfte in Kolbenmaschinen, exzentrisch sitzende Massen in Turbinen, rufen nicht nur Schwingungen in den Wellen und der Maschine selbst hervor, sondern sie bringen auch die Fundamente und Maschinengebäude, selbst entfernt liegende Häuser, in einen mehr oder weniger starken schwingenden Zustand.

Neben der unangenehmen Wirkung der Erschütterungen auf die Menschen, dem frühzeitigen Verfall der Gebäude durch Ermüdungserscheinungen im Baustoff, bedingen die Erschütterungen eine Verschlechterung des Wirkungsgrades der Maschinenanlage. Die Entnahme der zur Hervorrufung der Fundamentschwingungen notwendigen Energie aus der der Antriebsmaschine zugeführten Energie zeigte Sommerfeld³).

Die Versuchsanordnung bestand aus einem kleinen Elektromotor, auf dessen Welle eine kleine Masse exzentrisch angebracht war. Der Motor war auf einer Tischplatte befestigt. Die Drehzahl des Elektromotors wurde durch Änderung der Klemmenspannung variiert. Bei

x) Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft 1924.

a) ETZ. 1925, Heft 9. Maschinenbau 1923, Heft 25/26, Krupp, M.-H. April

1922.

a) V. d. I. 1902, S. 391. Hort S. 193.

n — 310 konnte man starke horizontale Schwingungen der Tischplatte beobachten. Trotz Erhöhung der Klemmenspannung und damit Steigerung der Energieaufnahme blieb die Motordrehzahl die gleiche. Erst bei starker Steigerung stieg die Drehzahl bei gleichzeitiger Abnahme der horizontalen Schwingungen. Bei n = 750 fing die Tischplatte selbst an vertikal auszuschwingen, auch hier zeigte sich ein längeres Verweilen bei dieser Drehzahl trotz größerer En ergiezuf iihrung.

B:\no-rso ly-310

Die Versuchsanordnung ist schematisch in Abb. 43 wiedergegeben. Die analytische Bestimmung der beiden minütlichen Eigenfrequenzen 310 und 750 erfordert verschiedene Annahmen, wie Einfluß der Massen der elastischen Teile und Art der Einspannung.

Schließlich kann der den Tisch tra-

Abb. 48.

gende Boden nicht als starr aufgefaßt werden; das Haus selbst steht auf einem elastischen Grund, dem Boden.

\\\\

дШШ......

Selbst der einfachste Fall, die Schwingungen einer auf einem im Boden befindlichen Fundament errichteten Maschine (Abb. 44), ist noch nicht vollständig gelöst. Für die Eigenfrequenz der mit dem Fundament verbundenen Maschine gibt Hort folgende Beziehung an:

Abb. 44.

- (l + —\. n \ ' 2М/

]/“ die Eigen-

Hierin ist m die Masse der rotierenden Scheibe, M die Fundamentmasse, c die Wellenkonstante und

F undamentschwingungen.

122

frequenz der Maschine. Ausführlichere Arbeiten sind veröffentlicht von Sommerfeld¹), Stodoła²), Mintrop³), Sauer¹).

2. Experimentelle Untersuchungen.

Zur Untersuchung von Yibrationserscheinungen auf Dampfschiffen hat Schlick² 3) einen dem Seismographen nachgebildeten Pallographen gebaut.

Für Schwingungen höherer Frequenz leistet der Geiger-sehe Yibrograph, den wir bereits kennengelernt haben, gute Dienste. Es ist nur notwendig, die Riemenscheibe am Gehäuse festzuklemmen.

In manchen Fällen genügt zur Frequenzbestimmung bereits der Frahmsche Yibrationstachometer, der als bekannt betrachtet werden kann.

An neueren Apparaten ist zu erwähnen der Vibrometer der Firma C. Schenk, Darmstadt, und der mechanische Schwingungsanzeiger Patent Thyssen (Regelein u. Glaubitz), der durch Lehmann & Michels in Hamburg hergestellt wird.

3. Mittel zur Beseitigung.

Wir haben gesehen, daß das Gebiet der Fundamentschwingungen noch ausführlicher Erforschung bedarf. Aus diesem Grunde ist es auch nicht möglich, allgemein Mittel zu ihrer Beseitigung oder Abschwächung anzugeben.

²) Stodoła, Dampfturbinen.

Mittel zur Beseitigung.

123

Durch geschickte Änderung der Fundamentmasse oder der allgemeinen Massenverteilung durch Versteifung des Fachwerkes, also Veränderung der Federungskonstanten des Baues, kann manches im gewünschten Sinne erreicht werden. In einigen Fällen kann eine elastische Verbindung zwischen Maschine und Fundament nützlich sein.

^'OT&q

KRAKÓW J

c h n»

Sachverzeichnis.

Seite

Auswuchten.....117

Biegungsschwingungen Dreves, Verfahren von 42 Dunkerley,Formel von 105 dynamisches Auswuchten elastische Konstanten 47 Fundamentschwingungen ......

Geiger, Torsiograph

nach.......

Geiger, Verfahren von 19 Vibrograph

97

118

120

109

nach

Gümbel, Verfahren

von.......

Heymann, Auswuchtmaschine nach . . 119 Holzer, Verfahren von 13

113

19

Seite

Krause, Formel von . 104 Krupp, maschine von . . . 120 Kuli, Formel von . . 105 Lawaczeck, Auswuchtmaschine nach . .119 Massenträgheitsmomente

Masse, verteilte ... 36 N äherungsverf ahren Biegungsschwingungen .....

N äherungsverf ahren Torsionsschwingungen .....

Nullstelle (Tolle) . . 33 Rechenschema nach Tolle .... Reständerungsformeln (Tolle) ... 29

Seite

Auswucht-

49

103

17

Schwingungsmesser (Thyssen).... statisches Auswuchten 117 Stodoła, Verfahren

von

122

107

Tolle, Verfahren von 23 Torsiograph nach Frahm .... Torsiograph nach Geiger .... Torsionsschwingungen 7 Übersetzungen in der Welle . • •

Vibrograph nach

Geiger......113

Vibrometer (Schenk) 122 W eilen Verzweigung (Tolle) .... Winkelamplituden (Tolle) ....

113

. 109

40

. 33

Walter de Gruyter & Со. .

Postscheckkonto: f

Berlin W 10 und Leipzig

Berlin NW 7 Nr. 59533

Statik

Von Prof. Dipl.-Ing. W. Hauber. 2 Bände. Mit 143 Figuren. (Sammlung Göschen Band 178u. 179.) Jeder Band geb. M.1.50

Graphische Statik

mit besonderer Berücksichtigung der Einflußlinien. Von Dipl.-Ing. Otto Henkel. 2 Bände. Mit 207 Figuren. (Sammlung Göschen Band 603 u. 695.) Jeder Band geb.M. 1.50

Die Statische

Berechnung des Bautechnikers

Von Dipl.-Ing. Walter Selckmann. 2 Bände. Mit 296 Abb. (Sammlung Göschen Band 784 u. 785.) Jeder Band geb. M. 1.50

¹

V. d. I. 1912.

²

³)    Dissertation Göttingen.

⁴)    Dissertation Darmstadt, vgl. Literaturverzeichnis in Hort, Technische Schwingungslehre.

³

) Hort S. 80, hergestellt von Maihak, Hamburg.

Hydraulik

Von Prof. Dipl.-Ing. W. Hauber. Mit 45 Figuren. (Sammlung Göschen Band 397.) Gebunden M. 1.50

Kinematik

Von Dr.-Ing. Hans Polster. Mit 76 Abbildungen. (Sammlung Göschen Band 584.) Gebunden M. 1.50

Dynamik

Von Dr. Wilhelm Müller. 2 Bände. Mit 121 Figuren. (Sammlung Göschen Band 902 u. 903.) Jeder Band geb. M. 1.50

Elastizitätslehre für Ingenieure

Von Prof Dr.-Ing. Max Enßlin. 2 Bände. Mit 104 Figuren. (Sammlung Göschen Band 519 u.957.) JederBand geb. M.1.50

Walter de Gruyter & Со.

Postscheckkonto:

Berlin W 10 und Leipzig

Berlin NW 7 Nr. 595 33

Einführung

in die theoretische Physik

VonClemensSchaefer,o.Professora.d.UniversitätMarburg.

I.    BAND: Mechanik materieller Punkte. Mechanik starrer Körper und Mechanik der Kontinua (Elastizität und Hydrodynamik). Mit 249 Figuren im Text. Zweite, unveränderte Auflage. Grog-Oktav. XII, 926Seiten 1922. M. 23.—, geb. 25.-

II.    BAND, I. Teil: TheoriederWärme. Molekularkinetische Theorie der Materie. Mit 71 Figuren im Text. Grog-Oktav.

M. 15.—, geb. 16.20

In Vorbereitung

X, 562 Seiten. 1921.

II. BAND, II. Teil.

Einführung

in die theoretische Physik

mit besonderer Berücksichtigung ihrer modernen Probleme. Von Arthur Haas, a. o. Professor an der Universität Wien. Dritte u. vierte, völlig umgearbeitete u. vermehrte Auflage

I. BAND: Mit 58 Abbildungen im Text. Grog-Oktav.

M. 7.50, geb. 9.—

X, 307 Seiten. 1923.

II. BAND: Mit 72 Abbildungen im Text und auf 2 Tafeln. Grog-Oktav. VIII, 379 Seiten. 1924.

M. 8.50, geb. 10,—

Lehrbuch der Mathematik

für Studierende der Naturwissenschaften und der Technik. Eine Einführung in die Differential- und Integralrechnung und in die analytische Geometrie. Von Dr. Georg Scheffers, Professor der darstellenden Geometrie an der Technischen Hochschule Berlin-Charlottenburg. Sechste, verbesserte Auflage. Mit 438 Figuren. Grog-Oktav. VIII, 743 Seiten. 1925.

M. 30.—, geb. 33.—

Walter de Gruyter & Со.

Postscheckkonto:

Berlin W 10 und Leipzig

Berlin NW 7 Nr. 595 33

Siemens=Handbücher

Herausgegeben von der Siemens & Halske A.-G. und den Siemens-Schuckertwerken G. m. b. H.

Bisher erschienen:

Geb. M. 5.—

I. BAND: Allgemeine Grundlagen der Elektrotechnik. 1925. Oktav. 167 Seiten. Mit 153 Abbildungen.

Geb. M. 6.50

V. BAND: Das Kraftwerk Fortunall. Monographie eines Dampfkraftwerkes in systematischer Darstellung. 1925. Oktav. XVI, 175 Seiten. Mit 141 Abbildungen im Text und auf 7 Tafeln.

Geb. M. 5.40

VIII. B A N D: Elektrisches Schaltzeug. 1926. Oktav. XII, 192 Seiten. Mit 314 Abbildungen.

XIII. BAND: Elektrizität im Bergbau. 1926. Oktav. XII, 390 Seiten. Mit 335 Abbildungen und 3 Tafeln. Geb. M. 11.50

Weitere Bände in Vorbereitung.

Elektrische

Installation für Licht und Kraft

(Siemens-Handbuch)

Geb. M. 4.—

Bearbeitet von Dipl.-Ing. P. Stern, Oberingenieur der Siemens-Schuckertwerke. 1922. Oktav. XII, 224 Seiten. Mit 365 Abbildungen und 50 Zahlentafeln.

Ausführlicher Prospekt durch jede Buchhandlung oder direkt vom Verlage kostenlos.

Elektrische

Stromerzeugungsmaschinen und Motoren

Kurzer Abriß ihres Aufbaues und ihrer Wirkungsweise. Leichtfaßlich dargestellt von Richard Vater, Geh. Bergrat, o. Professor an der Technischen Hochschule Berlin. Herausgegeben von Dr. Fritz Schmidt, Privatdozent an der Technischen Hochschule Berlin. Mit 116 Abbildungen im Text. Groß-Oktav. VIII, 128 Seiten. 1920. M.3.—, steif karton. 3.60

Lehrbuch der Elektrotechnik

Von Professor E. Stöckhardt, Diplomingenieur und Studienrat. Dritte, umgearbeitete Auflage. Mit mehreren hundert Abbildungen. Oktav. VIII, 327 Seiten. 1925. Geh. M. 13.—

Einführung in die Elektrotechnik

Hochschulvorlesungen von Dr. C. Heinke, o. Professor der Elektrotechnik an der Technischen Hochschule München, Geh. Reg.-Rat. Zwei te, neubearbeitete Auflage. Mit 560 Abbildungen. Oktav. 490 Seiten. 1924. In Leinen geb. M. 18.—

Die Kommutatormaschinen

für einphasigen und mehrphasigen Wechselstrom. Von Dr.-Ing. e. h. M. Schenkel, Oberingenieur der Siemens-Schuckert-Werke. Mit 124 Abbildungen. Oktav. VII,259 Seiten.

1924.

Walter de Gruyter & Со.

Postscheckkonto:

Berlin W 10 und Leipzig

Berlin NW 7 Nr. 59533

M. 10.50, in Ganzleinen geb. 12.—

s-?c

'

.

■

Biblioteka Politechniki Ki akowskiei

ши»

:

iiiiiiiiiiBigiттттШштШшЁШ11Ш^

;:    - I j® I

1№У~ aBa*B«pfŁ^ggi:S;ffl I ' '

Il И НЯШМПРШ1 iiiHfeü

V

:;a-

émûtes —

H - :

li "

g: S Мй:к?Ш1;Й

?*; tłiSlISSlSS

lüi

Я5 ■ IhnHHHflffll&i

[ ;i

a.;

1-301296

- • ’•• :-â‘.

II

lia

i US

mm

ZSI ZSI Z SI ZS! zs

t*

zsi zsi zsi zsi zs ;

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298019

:Hi %

mm

Stm

%&