t

■1,

mnse

ET,

^ ...

r

//

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000323018

BIBLIOTEKA POLITECHNICZNA TOM XXII.

PROF. K. SKIBIŃSKI.

TYCZENIE TRAS

DRÓB, KOLEI .ŻELRZnYCH, KRRRŁÓUJ SPŁRUinYCH, REBULOLURRYCH RZEK i t. ó.

PODRĘCZNIK OLA INŻYNIERÓW I GEOMETRÓW

CZĘŚĆ I: OPISOWA.

UJE LUJOILHE. nflKŁRDEm RUTORfl.

Z I. ZWIĄZKOWE] DRUKARNI WE LWOWIE. 1909.

O^ćt/CU

a

U-

Przedmowa.

Podręczniki używane przez inżynierów do tyczenia tras, zawierają przeważnie mało co więcej prócz tabel służących do tyczenia łuków dwoma metodami i do tyczenia parabolicznych krzywych przejściowych. A jednak gdy się rozejrzy w dotyczącej literaturze, okaże się, że w przedmiocie wynajdywania różnych metod tyczenia prostych i łuków, w rozwiązywaniu zawilszych zagadnień, nareszcie w tendencyi zastąpienia używanych krzywych przejściowych innemi krzywemi, — znacho-dzi się mnóstwo doskonałych prac rozrzuconych to w dziełach mniej znanych, to w czasopismach, szczególnie pracom geode-tycznym poświęconych.

Zebranie najważniejszych z tych prac w jedną całość w podręczniku polskim, któryby wyrugował dotychczas używane obce podręczniki, nadto podanie sposobów rozwiązywania trudnych zagadnień, ustalenie granic dopuszczalności stosowania różnych metod i t. d., — jest zadaniem niniejszej pracy.

Podręcznik składa się z dwóch części. Część pierwsza, opisowa, zawiera w I rozdziale opis i teoretyczne uzasadnienia wszelkich metod tyczenia, jakoteż wskazówki do rozwiązywania zagadnień; w II rozdziale są omówione krzywe przejściowe. Na dodanym zbiorze rachowanych przykładów może uczący się wjmwdczyć w przeprowadzaniu potrzebnych obliczeń.

Część druga, ujęta w mały format, wygodny do użycia w polu, zawiera tabele liczbowe, po części o wiele obszerniejsze niż zwykle używane.

Osądzenie, o ile sprostałem postawionemu zadaniu, należy do fachowych kolegów, których proszę o rzeczową krytykę, jakoteż o nadsyłanie uwag co do pożądanych zmian.

Za koleżeńską pomoc w układaniu tematu podręcznika, wyrażam profesorowi drwi Lasce szczere podziękowanie.

Autor.

Lwów, w kwietniu 1909 r.

Literatura

po części zużytkowana w niniejszym podręczniku :

Doleźalek (tunel przez Gottard), Ztscłir. des Arch. u. Ing. Yereines, Hannower, 1878 i 1880.

Dorflinger (tunel zwrotny koło Wasen), Ztschr. f. Yerm. Wesen 1877.

Gelpke (tunel przez Gottard), Zivilng. 1870 i Ztschr. f. Verm. Wesen 1880.

Graf (kolej Albula), Schweiz. Bauztg. 1902.

Hecht (łuki kołowe i krzywe przejściowe), Drezno 1893. Hecht (krzywe stożkowe), Drezno 1893.

Helmert (krzywe przejściowe), Akwizgran 1872.

Koppe (tunel przez Gottard), Ztschr. f. Yerm. Wesen 1875, 1876, 1880 i Eisenbahn 1880.

Koppe (siedem tunelów zwrotnych kolei Gottarda), Eisenbahn 1880.

Leber, Raccordements etc. Paryż 1892.

D?Ocagne, Leęons sur la Topometrie, Paryż 1901. Pestalozzi (tunel przez Gottard), Eisenbahn 1877.

Prevot, Topometrie, Paris, Dunod 1900.

Rosenmund (tunel przez Simplon), Schweiz. Bauztg. 1901,

1902.

Roczniki czasopisma: Zeitschrift fur Yermessungs-Wesen.

Niektóre bardziej używane podręczniki:

Hecht, jak powyżej.

Helmert, jak powyżej.

Knoll-Weitbrecht (tyczenie krzywych), Sztutgart 1902. Krohnke (tyczenie krzywych), Lipsk 1896.

Pernt (tyczenie krzywych kołowych i przejściowych, metodą biegunową), Wiedeń 1903.

Petrlik (bardzo obszerny zbiór tabel), Praga 1903. Sarrazin i Oberbeck (krzywe kołowe i przejściowe), Ber

lin 1899.

Polski podręcznik nieznanego autora, drukowany we Lwowie w drukarni Ossolineum w r. 1872.

SPIS RZECZY CZĘŚCI I.

Rozdział I.

Str.

Proste, luki kołowe i paraboliczne.

§    1. Tyczenie trasy......................

§    2. Tyczenie linij prostych....................

a) Tyczenie punktów pośrednich..............

V) Przedłużanie linii prostej................

§    3 Nomogram do tyczenia prostych..............

§    4. Tyczenie prostych w tunelach...............

§    5. Tyczenie łuków kołowych.................

§    6. Określenie elementów zasadniczych............

§    7. Tyczenie głównych punktów................

§    8. Postępowanie przy tyczeniu głównych punktów.......

§    9. Kontrola rachunków....................

§ 10. Tyczenie punktów pośrednich................

a) Metoda tangencyalna.................

fc) Tyczenie od cięciwy...................

c)    Tyczenie ze środka...................

d)    Metoda biegunowa...................

e)    Metoda stałych kątów.................

/) Metoda siecznych ...................

§ 11. Tyczenie łuku bez użycia przyrządu kątomierniczego ....

§ 12. Wyznaczenie kierunku stycznej w dowolnym punkcie łuku .

§ 13. Badanie łuku istniejącego toru...............

§ 14. Poprawka odchyłki łuków z dwóch stron tyczonych ....

§ 15. Zadania..........................

§ 16. Tyczenie serpentyn drogowych.........!.....

§ 17. Tyczenie łuków o małym kącie wierzchołkowym.....

§ 18. Przystosowanie wytyczonego łuku do trasy.........

§ 19. Do dwóch w polu wytyczonych łuków poprowadzić wspólną

styczną..........................

§ 20. Z dowolnego punktu wytyczyć stycznę do łuku w polu wytyczonego ..........................

§ 21. Tyczenie łuków budowli wodnych.............

§ 22. Tyczenie wypukłego brzegu.................

§ 23. Tyczenie wklęsłego brzegu.................

§ 24. Tyczenie łuków koszowych.................

§ 25. Tyczenie łuków koszowych o dwóch łukach.........

§ 26. Łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni.......

§ 27. Zastosowanie § 26.....................

§ 28. Łuk koszowy o małym kącie wierzchołkowym.......

§ 29. Łuk koszowy o trzech łukach ...............

§ 30. Łuk w zastępstwie krótkiej prostej.............

§ 31. Tyczenie łuku koszowego w trudniejszych warunkach . . .

§ 32. Tyczenie łuku w tunelu.......... .......

§ 33. Tyczenie łuku koszowego w tunelu.............

§ 34. Połączenie odchylonych prostych kierunków w tuuelu . . .

§ 35. Przykłady tras kolejowych z tunelami...........

§ 36. Parabola drugiego rzędu.................

§ 37. Tyczenie paraboli......................

Rozdział II.

Krzywe przejściowe.

Str.

Wstęp.............................

§ 38. Przechyłka toru kolejowego................

§ 39. Ogólna teorya krzywej przejściowej.............

§ 40. Krzywa przechyłki toru, której rzędne są proporcyonalne do

długości rzutu poziomego krzywej przejściowej.......

§ 41. Na podstawie krzywej § 40 wyprowadzone krzywe przejściowe 75

a)    Klotoida.........................

b)    Lemniskata.......................

c)    Parabola sześcienna..................•

§ 42. Krzywa przejściowa w założeniu, że przechyłkę toru przeprowadzi się podług zmiennego nachylenia..........

§ 43. Parabola sześcienna jako krzywa przejściowa........

§ 44. Łuk kołowy z krzywą przejściową............

§ 45. Łuk kołowy zostaje przesunięty ..............

§ 46. Położenie stycznych i środka łuku pozostaje nienaruszone .

§ 47. Łuk pierwotny pozostaje nienaruszony, natomiast styczna zostaje przesunięta ......................

§ 52. Tyczenie krzywej przejściowej od łuku kołowego......

§ 53. Łuk koszowy z krzywemi przejściowemi..........

§ 54. Zastosowanie krzywych przejściowych dla przypadku, gdy prosta nrędzy łukami jednakowo skierowałam jest krótka .

§ 55. Zastosowanie krzywej przejściowej na istniejących torach . .

r

§ 56. Zastosowanie wzorów z § 55i dla    .........

§ 57. Wyokrąglenie załomów spadków..............

§ 58. Zagadnienie.........................

Zbiór przykładów ........................

71

72

73

74

75

76

77

78

78

82

86

89

90

93

95

101

102

103

106

108

109

111

Uzupełnienia i ważniejsze usterki.

ROZDZIAŁ I.

i B na drugim kierunku. Następnie zmierzy się b,

§ 18. Przystosowanie wytyczonego łuku do trasy w tym przypadku, jeżeli przy wytyczeniu łuku nastąpiła zmiana położenia danych prostych kierunków. Rys. 47.

!inI =

ROZDZIAŁ II.

§ 47. Luk pierwotny pozostaje nienaruszony, natomiast styczna zostaje przesunięta. Rys. 86 i 87.

§ 57. Wyokrąglenie załomów spadków. Rys. 98 a i b.

Zbiór przykładów.

P;

11-355821

Uzupełnienia i ważniejsze usterki.

AB wyznaczyć z wzorów

Do §§ 2, 6, 7 i 10 należą numera 1 do 10 zbioru przykładów. Zastosowanie § lic znajduje się w numerze 11 zbioru przykładów. Str. 5 w wzorach na AB ma być yn i x]} zam. y i x. Można także XA . Va cos y sin y

Str. 11 wiersz 8 z góry, zam. dz rzutu, ma być d z rzutu.

a

Str. 13 wiersz 1 z dołu ma być cos —.

Str. IB w. 8 z dołu w wzorze na x ma być A zam. A.

Str. 18 w. 1 z dołu ma być Topometrie, zam. Topographie. Str. 23 w. 10 z dołu ma być AB'—x, zam. A‘B — x.

Str. 29 po wierszu 6 z góry dodać: Dla s — Sj jest ~

u

Str. 36 w. 12 z góry ma być AlPi> zam. A^P^.

Str. BO u góry dodać: Oznaczmy kąty przy Pi i P₂ literami a, i a₂. Str. B3 w. 13 z dołu opuścić: „punkt P₂", gdyż już był wytyczony. Str. B7 w. 5 z góry ma być raczej: o promieniu r₂ i kącie a₂.

Str. 60 w 4 z góry dodać: „Promień r łuków wyjęto z projektu*'. Str. 74 w. 8 z dołu po słowach: „przedstawi się", i w. 5 z dołu

po słowie: „krzywej" dodać: „prawie".

Str. 79 w. 4 z dołu ma

zam

( 3 dy\ • \2dx)

Str. 93 w. 7 i 8 z góry, zam. „niemożliwe", ma być: „utrudnione

(ob. § B4)“.

Str. 94 w. 1 z dołu zam. „wz. 23", ma być „nr. 23".

Str. 103 w. 9 z dołu zam. „prosta P", ma być „prosta p".

Str. 104 w. 1 z dołu po znaku — brakuje litery p.

Str. 120 w. 12 z dołu zam. P₂ 0₂, ma być P^O^

Str. 122 w. 6 z góry ma być x = 66 0763.

Str. 123 w. 10 z góry ma być 9-8814SS7, a w. 12 z góry być

9-6727341.

Str. 13B w. 6 z dołu ma być Ig tang — 9-1396820.

Str. 137 w. 2 z góry ma być WP‘₂, zam. WPi.

Str. 143 w. 7 z dołu ma być 31-97B3, zam. 31*9760.

Str. 144 w. 14 z góry ma być V = 2-0, zam. V = 20

Str. 146 w. 8 z góry ma być w kącie    26⁻2," zam. B6'2".

23 należy umieścić literę T na przecięciu prostych MN i SO.

IN a rys.

BOa na lewym końcu stycznej w P brakuje litery M.

ozna-

BI należy wierzchołek wieloboku opisanego między A i B czyć liczbą 1, między B i Q liczbą 2, a po $ liczbą 3.

BB prosta Oj On nie musi być przedłużeniem promienia P0t.

B7 należy środki kół oznaczyć przez Oj i 0₂

na

60    punkt Q/ ma leżeć na przecięciu prostych Oj¥ i OsQ; prostej W₂ W₃ ma być M‘, zam. M, zaś na końcu luku koszowego brakuje litery P₂.

61    na prostej W₂W₃ ma być zam. tu.

82 należy z i £₀ zamienić, zaś w punkcie, z którego wychodzi promień p, należy umieścić literę C.

84 na stycznej WWt należy umieścić literę O pionowo nad PŁ, zaś literę P‘ pionowo nad P.

97 należy umieścić literę A na początku krzywej przejściowej.

ROZDZIAŁ I.

Proste, łuki kołowe i paraboliczne.

§ I. Tyczenie trasy.

Pod trasą rozumiemy wytyczoną na gruncie oś drogi, kolei żelaznej, kanału spławnego , wodociągu lub brzeg regulowanej rzeki. Dla trasy opracowuje się projekt w sytuacyi (rzut poziomy trasy) i w profilu podłużnym (rzut pionowy trasy), a podług danych otrzymanych w tym projekcie, jakoteż podług punktów nawiązkowych , znajdujących się w naturze, przenosi się trasę z projektu na grunt. Tę czynność zowiemy tyczeniem trasy.

Każda trasa składa się :

1.    z linij prostych,

2.    z łuków kołowych, lub parabolicznych , a nadto na trasie kolejowej

3.    z krzywych przejściowych, łączących proste z lukami.

W niniejszej pracy przedstawimy w I. rozdziale tyczenie

na gruncie prostych i łuków, a w II. rozdziale tyczenie krzywych przejściowych.

§ 2. Tyczenie linij prostych.

Prosta jest dana przez dwa punkty przeniesione z projektu na grunt, leżące na tej prostej. Wytyczyć prostą znaczy wyznaczyć dowolną ilość punktów pośrednich, położonych bądżto między tymi dwoma punktami, bądź też poza nimi. Stąd powstają dwa zadania:

a)    Tyczenie punktów pośrednich.

b)    Przedłużanie linii prostej.

Tyczenie tras.

a) Tyczenie punktów pośrednich.

1.    Metoda zwykła. Rys. 1. Dane w polu punkty A i B. Ustawiamy teodolit w A i tyczymy żerdki dokładnie w kierunku celowej AB.

.1

Musimy o tern pamiętać, że wytyczyć linię prostą znaczy tyle, co wyznaczyć przekrój płaszczyzny pionowej, przechodzącej przez dwa dane, punkty tej prostej, z terenem. Jeżeli zatem oś A obrotu lunety nie jest ściśle poziomą, to oś celowa nie opisuje płaszczyzny pionowej, a rzut poziomy przekroju płaszczyzny, opisanej przez oś celową, z terenem, nie będzie identyczny z linią łączącą A i B.

Aby błąd stąd powstały wyrugować, tyczymy każdy punkt podwójnie, w obu położeniach lunety, a szukany punkt znajdziemy w połowie odległości 11', 22'. . .

2.    Metoda. Rys. 2. Tyczymy żerdki tylko w przybliżeniu w kierunku AB. W punkcie A odmierzamy kąty:

BAl = a₁, BA2 = a₂...

następnie mierzymy długość Al = et, A2 = e₂.. . Odchylenia 1, 2... od prostej AB wyznaczą się z wzorów:

NfiW

11‘= e₁tang , 22/=e₂tang a₂...

Rys. 2.

Ponieważ kąty alf a₂, są bardzo A małe, to możemy napisać:

11'

e\ ai"

206265 ’

22' =

e₂a₂"

206265 "¹

Te długości odczytamy z diagramu podanego na rys. 10. i tyczymy prostopadle do Al, A2..., przezco otrzymamy prawdziwe punkty 1', 2', 3'... prostej.

3. Metoda Ogólna. Rys. 3. Jeżeli między punktami A i B są przeszkody (las, etc.), to obieramy punkty dogodne C, D i mierzymy:

AC=a, BD = b, CD=c, i kąty: a, (3. A Dla wyznaczenia pośredniego punktu E leżącego na prostej AB mamy równania , gdy oznaczymy CE przez x, ED przez y:

xĄ-y=c= CD;

sin(a+<jp) y sin (/?+ęp) ¹)

.AhS............. b

Rys. 3.

(1)

następnie:

sin (p

sin (p

lub, gdy wykonamy dzielenie przez sin<p:

CC

—=sin a cotg cp -f- cos a, CL

= sin /3 cotg (p -f cos /3,

a stąd :

tang ęp = —

CC

a sin a

— a cos a

b sin/3

y—b cos/3

więc:

xb sin/3—ya sin a =—a&sin(a—/?).

(2)

Równania 1. i 2. są to równania zasadnicze tyczenia ogólnego; one pozwolą wyznaczyć x i y. Mianowicie, gdy się wstawi wartość y=c x z (1) równania w (2) otrzyma się :

c sin a—b sin (a— /3) a sin a + b sin /3

również:

^ c sin/3 + a sin (a—/3) a sin a + b sin (3

Dla a=/3 , jest

Jeżeliby długości a i & na rys. 3. nie można zmierzyć, (np. gdy A i B są wieżami), to zmierzymy kąty a, /3, y, d, jakoteż długość CD=A (Rys. 4.).

Punkt E na kierunku AB będzie wyznaczony, skoro wyznaczymy długość diy ewentualnie d₂. Oznaczmy tymczasem proste CB i BD literami m i «, to z trójkątów ACB, ADB i RCZ), znajdziemy:

sin (a + /3) AB

<*■

A"'T

Rys. 4.

VB

smx

sin y

sin (y+d) AB

sin d

sin/3

Wymnóżmy obie strony tych równań, a otrzymamy:

sin (a-|-/3) siny sin d ^ sin x sin (y + d) sin /3

Następnie z trójkątów AEC i AED :

sina;

AE

sin a

AE

smy

d~2

sin?/

a po obustronnem wymnożeniu:

d,

d₂

sin y sm x sin a ' sin y

Z (3) równania wynika, że: sina?

sin <5 sin (« + /?)

smy

sin/3 sin (y + ó)

więc:

sin ó sin y sin (a 4- /3) d₂ sin a sin /? sin (y + ó)

Podstawmy ten wyraz równy tang²y; jeżeli y jest kątem pomocniczym i dodajmy obustronnie +1, to:

1

d₂

d.₂

l+tang²y. A gdy di+d₂=A,

zaś :

1 -ptang²y

to:

cos²/?

d.₂=A cos²y, a podobnie d^=A sin²/?.

4. Metoda ogólna. Rys. 5. Jeżeli między punktami A iB

znajduje się las, to w celu wyznaczenia dokładnego kierunku AB położymy wokoło lasu wielobok AlllB i obierzemy dwa dowolne punkty M i N tak położone, aby do M można celować z A, I i II, zaś do A z I, II i B. Zmierzymy kąty: 1234567 8. Długość I, II obierzemy d o w ol nie, równą b. Przez wyznaczenie kątów x i y będzie kierunek AB ustalony.

sin 5

sin (3 +4 + 5)

Mrv

JA

t.

t.

'yS*/

Ł«-

Kys. 5.

I M=b

zatem :

AI=a=b

; AI=IM

sin 5 sin (1 + 2) sin(3 + 4 + 5) sini

sin (1 + 2 )

sin 1

sin 4 sin (7 + 8) sin (4 + 5 + 6) sin 8

Następnie obliczymy współrzędne wielobokn + IIIR, obrawszy początek współrzędnych w A, oś odciętych w AI, oś rzędnych prostopadle do 41:

podobnie :

BII = c=b

xA=0 xl~a xn=xl-srb cos (2 + 3 + 4—180°) Va=0 yt=0 yn=

być:

b sin (2 + 3 + 4—180°) xjB=xn-\-c cos (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7—360°) yjj=yn-\- C sin (2 + 3 + 4 + 5 + 6+ 7— 360°)

Ostatecznie jest tang£= —.

X/i

W podobny sposób obliczy się tang?/, a dla kontroli ma £+2/=(2 + 3+4+ 5+ 6 +7)—360°

Jeżeliby zależało także na poznaniu długości AB, wtedy nie można długości b przyjąć dowolnie, lecz trzeba jeden z boków a, b lub c zmierzyć, dwa inne boki podług powyższych wzorów obliczyć, następnie obliczyć xB, yn i tanga:. Długość AB obliczy się wzorów :

AB=-¥—

S1D X

lub AB= X cos x

5. Metoda. Rys. 6. Przybliżony kierunek trasy AB znajdziemy, odmierzywszy zmierzone w

4_b

Rys. 6.

taki przybliżony kierunek

na gruncie projekcie odstępy kilku przecięć linij AB z liniami parcel, od najbliższych granic parcel (a, 5, c...). Również można za pomocą busoli na gruncie wyznaczyć.

Al# 2.....a4

Rys. 7.

6. Metoda. Rys. 7. W celu wyznaczenia kilku punktów B> prostej + R, na której znajdują się przeszkody, tyczymy na wolnej przestrzeni pod małym kątem a prostą 1', 2', 3'... tak daleko, aż będzie możność odrzucenia

punktu B prostopadle na AB' i zmie

rzymy długość + V 2'. . . R', jakoteż BB'.

A2'... (z warunku

W diagramie rys. 10. wyszukamy linię kąta a, a na niej odczytamy wprost wartości Dl, 2'2,... przynależnych do odstępów Al'

wartości odniesione na prostopadłych do AB', wyznaczą punkty 1, 2, 3... prostej AB.

c....

cT

7. Metoda. Rys. 8. Jeżeli między punktami A i B znajduje się wyniosłość, to przyjmiemy na niej punkt C, w pobliżu prostej AB, a punkt O, leżący na prostej AB wyznaczymy w następujący sposób:

Rys. 8. -^r-{a-\-b)CC', zatem

tOi

Mierzymy kąt cp dokładnie , zaś długości a i b tachymetrycznie. Wtedy jest w przybliżeniu powierzchnia AACB =- - ab sin w —

CC

ab

aA-b

sm cp.

b) Przedłużanie linii prostej. Rys. 9.

D'

Rys. 9.

Błąd kolimacyjny (k) instrumentu wpływa oczywiście w całości na wynik. Jeżeli bowiem stojąc w punkcie B z instrumentem celujemy wstecz do A, poczem przerzucimy lunetę , to otrzy- a mamy zamiast kierunku BC, kierunek BP, przyczem ~^_ABD = \.80 — 2k. Jeżeli teraz obrócimy lim-bus o 180°, znów celujemy do i i przerzucimy lunetę, to otrzymamy kierunek BD' po drugiej stronie prostej BC. Punkt prostej BC leży pośrodku odległości punktów D i D'. Wogóle przy tyczeniu prostych jest najbardziej widoczny wpływ błędów instrumentu na wynik pomiarów.

§ 3. Nomogram do tyczenia prostych. Rys. 10.

Przy tyczeniu prostych wypada często obrachować ilości £=e.tang a

dla bardzo małych kątowa. Możemy napisać: tang a = a" sin 1"

a"

206265

więc:

e a"

206265

zaś £

Jeżeli więc narysujemy e w skali 1 : M jako ei w skali 1 :m jako £,, przyczem należy obrać liczbę M wielką w stosunku do m, to e=eiM, E=Epm.

Po wstawieniu tych wartości we wzór na e otrzymamy :

Ei m =

e^Ma"

206265

czyli:

Ma"

m206265

W^tanggp,

gdzie:

tang (p

Ma"

m 206265

. a.

W celu otrzymania nomogramu rysujemy od punktu O

promienie, nachylone do ¹⁴ prostej Ox pod kątami f2 <jp, których tangens obli-§§§» czy się z wzoru a. dla ¹⁰ a = l'

czymy końce tych promieni przynależnymi kątami a. Jeżeli następnie na linii Ox odetnie-my długość e w skali : 5    1 : M od O do A i wy-

_ ¹ stawimy w A rzędną aż x do przecięcia się z promieniem danego kąta a, w punkcie i?, to AB mierzone w skali 1 \ m da szukaną długość £.

::: ':::

........mm

; ----

; r::

Rys. 10.

2019 18

17

m

16 15

2', 3'. . . i ozna-

Przykład. W nomogramie na rys. 10., wykonanym na milimetrowym papierze, rysowano tang (p = 200 tang a, czyli M: m= 200, zaczem i rzędne są wykreślone w skali 200 razy większej niż odcięte. Niech będzie dane e — 44'35 m, a — 9'30". Przyjmijmy M= 1000, to znaczy, że odcinamy e w skali 1 :1000 od O do A, to Cb4=44-35mm. Rzędna w A przecina promień dla kąta 9'30'¹ w punkcie B. Na AB odczytujemy długość e^ = 24-5 mm. Ponieważ rzędne są kreślone w skali 200 razy większej niż odcięte, to £ mamy odczytać w skali 1:5, zatem £—e tang «==5 . £x —122-5 mm.

§ 4. Tyczenie prostych w tunelach.

Jeżeli oś tunelu jest prosta, to kierunek tej prostej ma być wprowadzony w podkop, który poprzedza wykonanie tunelu, następnie trzeba ten kierunek w miarę postępu podkopu przedłużać. Wyznaczenie kierunku osi podkopu może być dwojakie, zależne od długości tunelu.

a) Tyczenie 'prostych w krótszych tunelach. Rys. 11.

Trasę wytycza się przez górę, pod którą ma być wykonany tunel. Jeżeli punkty M iN są dokładnymi punktami trasy, z których N jest punktem dogodnym dla ustawienia teodolitu, zaś M punktem możliwie daleko położonym, natenczas celujemy do M i tę celowę wprowadzamy do podkopu

Rys. 11.

tak daleko, jak daleko niedostateczne światło w podkopie na to pozwoli. Tą celową ustalamy parę punktów jak O, P, z możliwą dokładnością, metodą podaną w § 2. pod a 1. (rys. 1.). Dalsze tyczenie w miarę postępu podkopu uskutecznia się przez przedłużanie linii OP, metodą podaną w §. 2. b. Podkop uskutecznia się przeważnie z dwóch stron, trzeba zatem wielkiej staranności w tyczeniu, aby w miejscu przebicia podkopu oś się zgodziła.

b) Tyczenie prostych iv długich tunelach. Rys. 12.

Tunele pod głównymi alpejskimi działami wód posiadają kilka do kilkunastu kilometrów długości²).

Przez tak wysokie szczyty i przepaściste tereny, z jakimi w tym wypadku ma się do czynienia, jest wytyczenie i pomiar trasy na gruncie zbyt uciążliwe, albo wprost niemo- / żliwe, dlatego ustala się w in- I , ny sposób kierunek osi tu-    1L

Rys. 12.

nelu. Po obu stronach działu A

wód obiera się dogodne punkty A i P, między którymi jest projektowane przebicie tunelu. Te punkty nawiązuje się albo do istniejącej, albo specyalnie w tym celu założonej sieci tryangulacyjnej, a za pomocą tej sieci oblicza się długość AB i kąty a i /?, zawarte między prostą AB a najbliższymi bokami sieci³). Podług tycli kątów tyczy się z dwóch stron oś tunelu w podkopie.

Kąty a i /? muszą być bardzo dokładnie wyznaczone, gdyż błąd w kącie wynoszący 10" powoduje :

na

1    10    20 km długości

odchyłkę 0*05 0*5    1'Om.

Dlatego używa się do pomiaru kątów siatki nadzwyczaj dokładnych teodolitów. Kąty siatki trzeba należycie wyrównać.

Jeżeli punkty katastralne, do których miałoby się nawiązać siatkę, nie były dostatecznie dokładnie oznaczone, to pomiar osobnej basis będzie niezbędny.

W łatwiejszych warunkach wyznaczy się kierunek AB metodą w §. 2. pod 4. podaną.

§ 5. Tyczenie łuków kołowych.

Kolejno po sobie następujące proste kierunki, przeniesione z projektu na grunt, o jakich mówiono w poprzednich paragrafach, przecinają się w punktach, które zowiemy punktami wierzchołkowymi. One są wierzchołkami kątów, w które mamy włożyć łuki kołowe, łączące proste kierunki trasy.

Dla tych łuków należy:

1.    określić elementa zasadnicze,

2.    wytyczyć punkty główne,

3.    wytyczyć punkty pośrednie.

§ 6. Określenie elementów zasadniczych.

PT

Elementami zasadniczymi i wystarczającymi dla tyczenia łuku są to kąt wierzchołkowy /?, który zawierają proste kierunki i promień łuku r. Wielkość promienia jest już dana z projektu, pozostaje zatem wyznaczenie kąta/?. Rozróżniamy różne przypadki.

Rys. 13.

aj Punkt wierzchołkowy W jest dostępny. (Rys. 13.). Ustawiamy się w punkcie W przyrządem kątomierniczym i wykonujemy

dokładny pomiar kąta /?, podług metod podanych w miernictwie. .Równocześnie należy wytyczyć kierunek prostej WO połowiącej ten kąt, bo się nam później przyda.

b) Punkt wierzchołkowy nie jest dostępny, alboteż bardzo oddalony, co nastąpi, gdy kąt /? jest mały. (Rys. 14.). Wtedy obieramy na danych prostych dowolne punkty 4 i 4₍, byleby dokładny pomiar długości d prostej AAt był możliwy. Następnie wykonamy dokładny pomiar kątów y i d /b i obliczymy:

Ai.

P,

P,

Rys. 14.

/? == y + ó — 180°

jakoteż długości:

-X-sinó,    W A

sm p

Jeżeli prostej AAt nie można wprost zmierzyć jak na rys. 15. z powodu przeszkody (np. rzeka), to odmierzymy dwie dowolne długości AB = a i Ax Bi =    ,

jakoteż kąty <jp, cpi, tp, tpi. Wtedy:    */

₇ asin^+^i) _ ajsin +ip) A/§&

lv    *    •    /

sin ip

Obydwa wzory należy obliczyć w celu kontroli.

WA=b =

d .

c = ——— sm y. sm p

1¥\

-----Jb,

AA

y.rĄA,

sin cpx

Rys. IB.

Następnie:

8= 180—{(p + ty), W A = b=—.—-¹    sm p

c) Zadanie jak pod 6, gdy z 4 do 4₄ nie można celować. Wtedy należy te punkty połączyć ciągiem polygonalnym, np. A 12 Ai rys. 16*).

Zmierzymy długości boków oraz zaznaczone kąty polygonu £ i cp a obliczymy AAx=d, jakoteż kąty ^ i v w następujący sposób:    /

Oś X-ów obierzemy na kierunku B Al, początek układu w A, wtedy:

*) Punkt 1 należy do kąta e, punkt 2 do kąta ®.

sm ip

W A, = c =

sin/?

sm (p.

/w

;y

ki(L_____d

Rys. 16.

W\

\A1

Zf...

Xa—0,    x₁—A1, x₂ =xi +1*2 cos e,

9jl=0, yi =0, y₂ =yx +12 sin £, Xjt=X₂ +-^1 2 COS (£+<p), yA=yt+A 1 2 sin (e + <p).

Z tych współrzędnych obliczymy: tang fi— znaczymy kąt fi, poczem :

łub d

sin (a,

y-i—yA .

Xa—Xa

i wy-

Xą—Xa COS fi !

Dla kontroli można obliczyć długość dz rzutu polygonu na kierunek AAX. Otrzyma się:

d^=A 1 cos y-\-12 cos (fi—e)    2 cos v.

Po zmierzeniu kątów JBAl i BiAi2 i doliczeniu do nich kątów fi i wyznaczą się kąty y i d, nareszcie :

^ = y+J_180⁰.

W celu osiągnięcia większej dokładności można niezależnie od ciągu Ai2Ai poprowadzić drugi ciąg polygonalny, najlepiej po drugiej stronie, aby mieć polygon zamknięty*).

v = e-\- cp—fi.

§ 7. Tyczenie głównych punktów.

Głównymi punktami nazywamy (patrz rys. 17) punkty styczności P i P₁ łuku z danemi prostemi, następnie punkt środkowy łuku S, leżący na przecięciu prostej połowiącej kąt

wierzchołkowy z łukiem; nareszcie punkty Q i Qi, punkty wierzchołkowe połówek łuku, leżące na przecięciu stycznej poprowadzonej w punkcie S z danemi prostemi.

Jak już wspomniano, jest wielkość promienia łuku OP=r dana z projektu, zaś kąt (3 został wyznaczony sposobami \ w § 6 podanymi. Na podstawie tych danych ustawimy następujące równania zasadnicze:

u.

\Qi

pAPi.

Rys .17.

kąt przy 0: a= 180°—/?,

PW=Pt W =t=r tang

zowie się krótko styczną

*) Kontrolę rachunków do rys. 14, 15 i 16 obacz § 9.

WO

cos —

zatem:

cc

ws=wo-so=-

r = r tang — tang

ćj

‘2

cos —

PQ=QS=SQi = QiI\ = tx —r tang

Qi

r—r tang -j- tang

cc a

cos —

to a

PT=I\ T=a = r sin

ST=h= SO-TO=r (l-cos

a-

2r sin²

©⁴>■

Nie trudno zauważyć, że prosta PS połowi kąt WPPX

Stąd wynika, że

i że zawiera z prostemi PW i PP₁ kąt

prosta SLJ poprowadzona prostopadle do PW równa się Ji, zaś PU równa się a.

p,

r"'

Jeżeli tyczenie głównych punktów sposobem powyżej podanym jest z powodu przeszkód niemożliwe, to można dowolny punkt łuku M w inny sposób na gruncie wyznaczyć (rys. 18). Obierzemy w pobliżu łuku dowolny punkt C i zmierzymy kąty fi i v, jakoteż długość: PPi=2a. Chodzi o wy- l znaczenie długości CM=x. Z rys. 18 wy- ' nika, że:

PC=2a—.

sin v

Rys. 18.

PM= 2r cos

(90_T⁺'t)’

zatem :

x==PM—PC=2r sin

o KM

sm v

sin    ³

co należy od punktu C w kierunku PC odmierzyć.

Liczba głównych punktów powinna być tern większa, im dłuższy jest łuk, aby skrócić partye, w których się tyczy punkty pośrednie (§ 10).

§ 8. Postępowanie przy tyczeniu głównych punktów.

Po wyznaczeniu kątów /? i a i obrachowaniu ilości z § 7 odmierzy się długości WP=WPi==t (rys. 17), albo długości l—b — AP i t—c—AiPx (rys. 14), przez co początek i koniec łuku P i Pl będą ustalone. Następnie odmierzy się PQ=PX Q a na prostej QQx długości QS=SQU które mają być równe PQ. Dla kontroli punktu S powinno wypaść SU=h i PU=a: co należy zmierzyć.

równe 180—

Również dla kontroli możnaby zmierzyć kąty w Q i Qt ct

—, a jeżeliby na połowiącej tych punktów od-A

cięło się długości QSi, uzyskałoby się dalsze dwa główne punkty, co mianowicie przy długich łukach jest wskazane.

Między głównymi punktami wytyczy się punkty pośrednie podług wskazówek § 10.

Dla łuków o małym kącie środkowym zachodzi nieraz trudność wyznaczenia głównych punktów. Te przypadki są omówione w §§ 16, 17, 21, 22, 23, 31 i 32.

§ 9. Kontrole rachunków. Rys. 19.

Przypuśćmy, że prosta QQ₁ jest styczną do łuku w punkcie -ZV, wtedy wiemy, że :

$H>.

'*6

Bys. 19.

czyli:

i podobnie: jako próba rachunku.

Jeżeli:

PM⁷=ż=rtang- -, PQ=ti = r tang ^-= QN, P\ Q\ ⁼ t=i =r tang

Z trójkąta WQQi wynika, że :

WQ

QQ

sin (<jpt -f- <jp₂)

(t-ti) sin (cpi +(Pi) = (ti+ti) sin (p₂, sin (<px + 9>₂) = (*i +^) sin cpi

sin cp₂

CC

⁽P\ ⁼⁽Pi ⁼“2~> na rys> to punkt N przejdzie w środek łuku S, a próba opiewa:

(t—tx) sin a = 2^ sin

czyli: (t, — ^)cos U

AtA₃ =A₁A₂ cos -Ł~ = d sin ^

Z    Z

czyli:

(AiPi —AP) cos -Ł-=d sin -

Z

lub:

(b—c) cos -Ł~=d sin ^

^ —

Ten wzór należy obrachować dla kontroli rachunków. Dalszą kontrolę da nam warunek, że na rys. 17:

TS

SW

Obydwa stosunki obliczone mają mieć tę samą wartość. Nareszcie z trójkąta PTO wyprowadzi się warunek, że

wyjęta z tabel wartość: tang - - ma się równać -j-.

§ 10. Tyczenie punktów pośrednich.

Pomiędzy główne punkty, wyznaczone możliwie dokładnie, tyczy się punkty pośrednie co 5 m, do najwyżej 20 m, za pomocą następujących różnych metod.

a) Metoda tangencyalna (tyczenie rządnemi od stycznej).

MNi s ty-

Jeżeli M na rys. 21 jest głównym punktem, a czną do łuku w tym punkcie, to zachodzi związek:

Cl)

Jeżeli kąt /? został pośrednio wyznaczony, jak na rys. 14,

jest:

15 lub 16, to, gdy na rys. 20: PW=t=r tang

AP=t—b, AiP₁=t — c.

Odetnijmy: PiA₂=PA₁ to

to a

kąt:

*=(90- j-(<5-/?)=90+|— i,

b.

b£ co

AMŁ

*p-90, to. x=l

Z

-6

P,

Al

VA,

Rys. 20.

2 '

Spuśćmy z Al prostą A₁A₃, prostopadłą do AA₂,to z trójkątów AAiA₃ i AjA₂A₃ wynika:

(r—y)² + x²—r².

Z tego równania lub wprost z rysunku wyznaczy się: y = r—\r²—x²

(2)

jako dokładny wzór, podług którego dla obranych wartości x (np. co 2, 5 lub 10 m) obrachowano rzędne y w tabeli III. części II.

Z wzoru (1) otrzymamy :

O*

y=

tO;

4-

to

(la)

Dla płaskich łuków jest:    tak ma

że można ją opuścić,

/ łą ilością wobec

|y a wtedy otrzymamy prosty przybliżony nT⁻ wzór:

Rys. 21.

a:²

(3)

?/"2r-

Jestto równanie paraboli o parametrze r, którą zastąpiliśmy łuk kołowy. Rzędne rosną w kwadracie odciętych, więc: dla x=X\ jest y=yil „ x = 2xl „ x=Sx^ i t.

y=9yi

O. a

©zęści II.

Z wzoru (3) otrzymamy y mniejsze niż z dokładnego wzoru (2) lub (la), a błąd popełniony wynosi:

(4)

y 2

d = ^, a stąd: y^^2rA.

Jeżeli za

A wstawimy granicę dopuszczalnego błędu, ustaloną stosownie do dokładności, którą chcemy uzyskać, to znajdziemy z wzoru (4) granicę dla rzędnej y. Gdy w (4) wzór

00 ^

to się otrzyma: 4 = —■

8r³

x²

skąd: x^^8r²A

wstawi się: = ^

jako granicę dla x. Jednakże ten wzór nie jest wygodny do rachowania.

Np. jeżeli dopuścimy błąd: A = 0’01 m, to dla: r — 10,

20,    50,    100,    200,    300,    500,    1000 m,

m.

max y — 0-447, 0-632,    1-000,    1-414,    2-000,    2-450,    3-162,    4-472

Zróżniczkujmy wzór (3):

dy=--—dx.

r

To równanie zużytkujemy, aby dla pośrednich wartości #, nie znajdujących się w tabelach, szybko obliczyć y*). Np. chcielibyśmy obliczyć rzędną dla # = 31 m i r=400 m. W tabeli III. znajdziemy dla # = 30, y— 1T27. Tu dx--= 1 m,

³⁰ . 1=0-075

więc:

zatem :

dy 400

?/ = 1-127+0075= 1202 m, dla #=31 Wzór (3) może dać dokładniejszy wynik, przez wpro-

x² + y2 2 r

m.

wadzenie poprawki, do której użyjemy wzoru (la): y Obliczymy naprzód podług przy-

CC ^

bliżonego wzoru': yx =— i odmierzymy

'P,

p,

od P do Pi.

Następnie zmierzymy APi—sl, a gdy sl = \x2jry²i, to podług (la) drugie przybliżenie jest:

s²

y2 2r ’

co obliczymy i odmierzymy od P do P₂.

Rys. 22.

Np. dla r=400 i #=30, obliczy się: yj

Ody zmierzymy: Sj = 30*02. to:

901-2

S'²" 800

zgodnie z dokładną wartością 1-127.

1-1265

900

800

1-125.

b) Tyczenie od cięciwy. Rys. 23.

Zamiast tyczenia pośrednich punktów łuku od stycznej w iii, N lub S za pomocą rzędnych, opisanego pod (a), możemy te punkty tyczyć za pomocą rzędnych od cięciwy, łączącej dwa główne punkty M i N. W tym celu należy długość MN=<2d zmierzyć.

Przedłużmy dowolną rzędną z do przecięcia w O¹ z równoległą M4;--—A-do 31N, poprowadzoną z punktu O, to w prostokątnym trójkącie 0Q0‘, jest:

u,

-j

/ 0.’

_a_

" +

Rys. 23.

*) Ob. także rozprawę p. Schulze w Allg. Vermessungs-Nachrichten nr. 25 z r. 1902 p. t.: „Ueber das Stationiren von Kreiskrtimmungen“.

XOQO'=~—^=s^~2~> zatem: 0‘Q=r cos

Ci

0'Q‘ =r cos -p—=r cos

y+(5

zatem:

■» (6)

z=0‘Q—0'Q‘=ri cos ^

, + d\ ₀ . y ■ <5

-cos —— J=2r sm    sm ~

jestto wzór dokładny dla obrachowania rzędnych, z.

Dla płaskich łuków o małych kątach a można zastosować prostszy wzór przybliżony, podstawiając arcus kątów y i d za sinus. Wtedy:

ó 1

arc — = -g- r arc y arc o.

y

z=2r arc '

A

A jeżeli zważymy, że r arc y i r arc ó są to łuki MQ i QjV, to ostatecznie:

MQ.QN

2r

(7)

wzór przybliżony dający trochę

Wzór w tej formie bywa nieraz w innych przypadkach stosowany; dla celów tyczenia nie jest przydatny, gdyż długości łuków nie znamy.

Inny wzór przybliżony otrzymamy, zastępując płaski łuk kołowy parabolą podług wz. (3). Jeżeli NQ' oznaczymy literą a, to ten wzór przejdzie w następujący:

a dla punktu N :h = ST= d²—(d—a)²    a(2d—a)

(d—a)²

y=—«—

Otóż :

z=h—y

za

wielkie rzędne.

Oznaczmy MQ‘ = 2d—a=b, to ostatecznie:

d²

a dla środka : h=—⁵

z==

a. b

27’

(8)

2r

na polu obliczyć z dla dowolnych odcinków. Z (8) wzoru obliczone z daje cośkolwiek mniejszą wartość, niż z wzoru (6). Różnica A wyznacza się również wzorem (4), zatem granice dla z są te same, które poprzednio podano dla y. Metoda ta z powodu swej prostoty jest chętnie stosowana (Ob. nr. 11 zbioru przykładów).

Wzory proste, które dozwalają

c) Tyczenie ze środka.

Jestto to sposob pod (b) podany, gdy się uwzględni tylko rzędną w środku cięciwy. W tym celu zmierzy się długość cięciwy, wystawi w jej środku prostopadłą i odmierzy długość określoną wz. 2. I tak (rys. 24):

dla QQi=2d, jest MM^ =r—Yr²—d²    |

dla QM=l2d1: jest NNl=r—^r²—d'\

dla QN=2d₂, jest PP₁ = r — Yr² — d\ i t. d. )

M, N, P są wtedy punktami łuku.

Dla płaskich łuków stosujemy wzór 8:

(9*)

d\

za-

d\

i t. d.

(10;

Q~

M,"

_d

-A

.5-

Qi

Na podstawie tych wzorów skonstruował Moreau **) przyrząd do tyczenia łuków, o promieniach od 23 do 10 030 m. Na lineale L (rys. 25) jest umieszczona podziałka do nastawiania na różne promienie. P jest to balans, także w pochewce przesuwać się dający, a służący do zrównoważenia lineału, tak aby trzymając przyrząd za guzik l==:

A, lineały były poziome. Do guzi-_b

ka można przyczepić końce dwóch taśm mierniczych. Jeżeli długość lineału L została

Rys. 24.

L_

Rys. 25.

N

wyznaczona z wz. na podstawie długości taśmy d i promienia r, natenczas N (rys. 26) jest punktem łuku.

Przyrząd jest tak urządzony że dla promieni:

do 60 m wynosi długość cięciwy JOij 10 „ 1000 m „

1000 „ 10000 m „

(9) lub (10)

23

60

/M

Taśma

Rys. 26.

m.

20 m,

40 m.

M;

), NtN-r(l

*) Alboteż MMx = r ^1 nia podług tabeli II. części II.

) Ob. dzieło: Topographie p. Eugene Preyot, Paris Dunod 1900.

— cos

to

—cos

do obrachowa-

Dla tych długości cięciw i promieni są na podziałce zaznaczone przjmależne strzałki łuków.

Gdy się nastawi indeks na tę strzałkę, zrównoważy balansem i przyczepi taśmy, to tyczenie łuku tak się przedstawi :

Koniec jednej taśmy przykłada się do początku łuku P i wyciąga obie taśmy w kierunku stycznej do M-, w punkcie N{ wbija się kołek. ^X'2V₁ jest punktem łuku (ob. rys. 17, gdzie VS=ST). Następnie obróci się przyrząd tak, aby przy wyciągniętej taśmie PN₂, koniec strzałki padł Nil wtedy koniec taśmy wyznaczy drugi punkt łuku N₂. Podobnie gdy się wyciągnie taśmy od Ni ku -ZV₃, tak aby koniec strzałki padł na iV₂, to .N₃ jest nowym punktem łuku i t. d.

na

N2

°>

io₂

Rys. 27.

Ten sposób tyczenia wymaga bardzo mało miejsca a jest dosyć dokładny, może być zatem korzystnie stosowany w lesie, w zbożu, a szczególnie w podkopach tunelowych dla przedłużenia łuku w międzyczasie pomiędzy dokładnemi kontrolami trasy.

d) Metoda biegunowa (metoda promieniowania). Rys. 28.

Zasadza się na tej własności koła, że równym długościom cięciw Ml = 12 = 23... = d, odpowiadają przy biegunie M równe

kąty a. Z trójkąta MPO wyznaczy się, gdy O jest środkiem koła:

MP

«\

MP=MO sin a, więc: sina

(11*)

czyli:

Przyj ąwszy d w okrągłej liczbie, zwykle 10 lub 20 ni (długość taśmy), znajdziemy z tablic kąt a. Jeżeli od stycznej w głównym punkcie M łuku, z M jako bieguna wytyczymy kąt NMl = a, a równocześnie figurant przyłoży do M jeden koniec taśmy, zaś drugi koniec zaopatrzony w żerdkę wprowadzi w kierunek M1, to punkt 1 będzie punktem łuku.

Rys. 28.

sin a=—. 2r

Przykładając następnie taśmę do punktu 1 i wprowadzając jej koniec w celowę -M2, wyprowadzoną od stycznej o 2a, otrzyma się punkt 2 łuku i t. d.

Ta metoda jest szczególnie w terenie płaskim chętnie stosowana, gdyż dozwala wytyczyć łuk równie szybko jak prostą linię, zaś w podkopach tunelowych jest ona zawsze stosowana dla głównej kontroli punktów trasy łukowej.

(12*)

Długość łuku s, którego cięciwa d, wyznaczy się z wzoru: s—r arc 2a=2r arc a,

lub :

2 r a"

S=206265'

Zwykle obierze się tak małą długość cięciwy d, że ją można zastąpić długością łuku s. Nastąpi to wtedy, gdy różnica s — d jest mniejszą niż dokładność przyłożenia taśmy. Nazwijmy błąd przyłożenia taśmy A, to ma być s—d^A, ta znaczy:

2r arc a—2r sin a<^A,

lub gdy sin a rozwiniemy w szereg, z którego zatrzymamy tylko dwa pierwsze człony :

#³_

2r

g

Grdy ⁰⁵⁼⁼2^’ otrzymamy ostatecznie:

(IB)

s<2 V^/24r'-² A, a w przybliżeniu: d24r²A.

Przypuśćmy, że A wynosi 0'003 m, to dla:

r= 10, 20, 50, 100, 200, 300, 500, może byó s lub d<^ 1*9, 3*0, 5-6, 8⁻9, 14‘2, 18’6, 26‘0.

Dla głównych kolei żelaznych, na których stosujemy promienie większe niż 300 w, można zatem obrać d równe długości 20 metrowej taśmy (Ob. tabelę IY).

e) Metoda stałych kątów. Rys. 29.

Jeżeli M' i N są głównymi punktami łuku, a MM' i NN‘ styczne w tych punktach, to kąt PMM' równa się połowie kąta MOP, zaś kąt PNN' równy połowie kąta PON.

a gdy:

a stąd :

Z czworoboku MPNO wynika, że:

36O°-a-b^ + (9O⁰—y) + (90°-dj,

= 180°+(jP + « —(y + d),

to 360⁰=180⁰+<p+-|-, ę>=180°—-

y+d =

to a

to a

(14)

Taki sam kąt będzie przy innym dowolnym punkcie Q Jeżeli zatem mamy pryzmat podwójny, t. zw. \ arcograf, który dozwala na x takie ustawienie, że daje moż-

a

ność tyczenia kąta 180°——,

Z

wtedy każdy punkt, jak P, Q, na którym nastąpi w arco-grafie pokrycie obrazów tyczek M i N, jest punktem łuku. Ta metoda należy do najmniej dokładnych.

M/-'.

m;

N'

>a

Ó*'

Rys. 29.

f) Metoda siecznych, zwana także metodą przedłużania lub angielską.

Dla obranej długości d na rys. 30. obliczymy kąt a

z wzoru:

i'

sin

—\2

2’

to, a

d*)

(15)

Punkt 2 wyznaczymy za popi^ mocą współrzędnych:

\ (t

x = dcosa, y=d sin a. (16) Do stycznej MN głównego

to a

punktu M wytyczymy kąt

Rys. 30.

i odmierzymy Ml = d, to punkt 1 leży na łuku. Na przedłużeniu prostej Ml odmierzymy x=ll' i prostopadle y= 1'2, podobnie 22/ = « na przedłużeniu prostej 12 i 2'3=y, to punkty 2, 3... będą punktami łuku.

Bez użycia przyrządu kątomierniczego bywa ta metoda w praktyce w innej formie stosowana (rys. 31. a.):

Obieramy stosownie małą długość cięciwy d i obliczamy rzędną Al =y z dokładnego wzoru la. x²+y² _ d2 2r ~ 2r'

Długości 1'2 = 2'3... równają się

a.

A.

(y

\²y

d.

2’

M.

"d

2’

12y

dokładnie: 2?/ =—.

r

Taśmę MV o długości 2d od-suniemy od stycznej MA o dłu- y gość y w punkcie 1, wtedy otrzymamy pierwszy punkt łuku. Następnie będziemy kolejno odsuwali drugą taśmę 12' o 2y od 1', taśmę 23' o 2y od 2'..., wtedy punkty 2, 3, będą punktami łuku.

b.

Rys. 31.

3V3

Metoda siecznych jest mniej dokładna, wymaga za to mało czasu i mało miejsca.

§ II. Tyczenie łuków bez użycia przyrządu kątomierniczego.

W przypadkach, gdy się nie ma pod ręką przyrządu kątomierniczego, można tyczenie łuku uskutecznić wyłącznie za pomocą taśmy mierniczej.

Niektóre sposoby wymagają jeszcze bębenka lub pryzmatu, w celu tyczenia prostopadłych.

a) Wyznaczenie elementów zasadniczych, gdy promień łuku

jest dany.

1. Sposób. Rys. 32. Z wierzchołka W odmierzymy dowolne długości WA=WP=z, następnie zmierzymy AB=2#, przepołowimy w punkcie C i zmierzymy WC=y. Dla kontroli należy obliczyć z²—x²-\-y².

Z podobieństwa trójkątów PO W i W AC wynika t\r—y:x,

BK

cv

\W

więc t=r—, gdy t jest styczną p/_ x

łuku PW=WP

Odmierzywszy te długości, otrzymamy początek i koniec

aŁ/T* x

oŁ/ęT

'O

Rys. 32.

łuku. Dalszą kontrolę uzyskamy, gdy zmierzymy PP₁==2a

x

la leg

i z proporcyi a:x=t:s obliczymy a = t—. Nareszcie wyznaczy się D w połowie PP₁ i zmierzy 6'P, wtedy ma być: WD=yĄ-CD=t- jako dalsza kontrola. Jeżeli kąt wierzchoł-

kowy jest bardzo rozwarty, wtedy wygodniej będzie przedłużyć PjJF i odciąć obraną długość z—W A i TFR', zmierzyć AB‘=2y, przepołowić w C', nareszcie zmierzyć WC'=x.

W razie gdyby znajomość kąta środkowego a była pożądana, to wyznaczymy z wzoru:

tang

te! a

V⁶)

2. Sposób. Rys. 33. W dowolnych punktach A i B‘ jednego kierunku tyczy się prostopadłą na ten kierunek do A'

¹

Funkcye trygonometryczne kątów zawiera tabela II. części II.

²

Do najdłuższych należą tunele przez Mont Cenis 12.200 m dl., przez Gottard 14.900m dl., przez Arlberg 10.250m dl. i przez Simplon 19.730 m dl.

³

O przeprowadzeniu takiego obliczenia patrz: Rosenmund, tyczenie tunelu Simplońskiego i rozprawa o kolei „Albula“ w Schweize-rische Bauzeitung z r. 1903.

⁴

"Wszystkie powyższe wartości W3^znaczy się podług tabeli II.

⁵

Ob. także § 37. d.

⁶

Podług tab. II. części II.

b’

i B na drugim kierunku. Następnie zmierzy się b, b‘ i AB'. Jeżeli AJV=x, to:

7ĆT

Eys. 33.

B'

o¹

stąd : x—

AB‘. b'

1+6⁷⁻

AB‘—x

K lb    Grdy się obliczoną długość x

,XssJ odmierzy, to się otrzyma punkt W, który powinien wypaść dokładnie na kierunku A'B. Następnie znaj-

dziemy: WB' = a = A'B—x, zaś zmierzymy WB — c.

Styczna WP= TFP₁ — t=^r tang

tc a

, a gdy:

tang

te a

sin a

l + cos a

c. sin a c+c.cos a a + c’

co się odmierzy.

to nareszcie: t

rb

a + c

Prościej, choć mniej dokładnie dojdzie się do wartości t, gdy się wprost zmierzy a, c po ustaleniu wierzchołka W.

3. Sposób (rys. 34) zastosuje się wtedy, gdy punkt wierzchołkowy W nie jest dostępny. Przesuniemy jeden kierunek, np. AW równolegle i dokładnie o dowolny wymiar 7&, tak

aby przecięcie się tej przesuniętej prostej z drugą prostą w punkcie W' było możliwe.

Następnie odmierzymy dowolną długość W'A'=z‘ = W'B, i zmierzymy A/B—2x/ i W'C‘==y\

Jeżeli przedłużymy PA‘ do A i zmierzymy AA', to:

AB=2x=AA‘ + 2x' y'

y=—- x.

* x‘

W'

\h

z'

X'

**•

Znając te wartości nastąpi dalsze obrachowanie jak 1. sposobem.

Rys. 34.

b) Wyznaczenie głównych i pośrednich punktów łuku. Rys. 35.

Poprzednio zmierzyliśmy lub też obliczyli już PT=TP\ =a cc

i wyznaczyliśmy: tang Q , którą ilość nazwijmy k. Z trójkąta

POT wynika, że OT=a cotg ^    a gdy

2 fc

TS—h=r—OT, to ń=r—

'PT

Odmierzymy

tę długość na kierunku TW, a otrzymamy środek łuku S. Prostopadła z & na styczną PW równa się także h, gdyż prosta PS połowi kąt WPT\ z tego też powodu PTJ=a, zatem WU=t—a. Odmierzymy tę długość, to prostopadła z V powinna trafić punkt S, a nadto US ma być równe h, co posłuży do skontrolowania punktu S. Teraz możemy łuk wytyczyć albo od cięciwy (§ 10 b), albo od środka (§ 10 c). Można też dalsze główne punkty S^, S2 w ten sposób wyznaczyć, że się zmierzy PTi-=TiS-=b, wystawi w Tx prostopadłą na PS do punktu Q i zmierzy ją, a następnie zmierzy i skontroluje PQ= QS=ti. Po obliczeniu

tang ^

otrzyma się główny punkt X

Jeżeli łuk P>S^S jest dostatecznie płaski, to według

u.

\Q>

pAłJt

~1t

p.

obliczy się SiTi—hi

Rys. 35.

przezco

wzoru (8) § 10 jest hi=—, zaś OTi=r—Z podobieństwa

trójkątów 0PQ i OTiS wynika, że ti:r=b:r—hxi skąd obliczy się i₁

rb

-, co posłuży dla kontroli wyznaczenia punktów

r— ‘kj

i*

c) Wyznaczenie długości luku.

la |'a£

a    a

Ponieważ znamy tang    lub sin — = - to wy-

A    A

znaczymy a, a wtedy długość łuku równa ra. Można jednakże podług danych a i r wyprowadzić wzór na długość

to; a

łuku. Oznaczmy sin - - literą x, to:

1 3 a?⁵

“t" 2 4    "’ ⁼

/ 1 #³\

zatem długość łuku: ra=2r lx+-^--^-\ + r

Jeżeli dokładność pomiaru długości przyjmiemy na 1 :1000, to drugi wyraz powyższego równania można opuścić skoro będzie mniejszy niż ra: 1000, zatem:

arc sin x = x-\-

K, r-¹

co

ra

2r

(.+ £)

1000

1000

stąd : xi—

900

Jl_^₀ lub ^l + n + 10800 300 <U’ 1 b <    900

a gdy jedynki w czynniku opuścimy, to:

l/Y10800= V 900 ^

- 034 > sin    ,

stąd w okrągłych cyfrach:

a ICO

a<;40°, a<;-

Dla mniejszej dokładności pomiaru długości 1:213 otrzy-

. .    ___ T

ma

się a <60°, a <

Zatem tylko dla takich wartości można drugi człon we wzorze na ra opuścić, wtedy pozostanie długość łuku:

KG)’

ra=2a

Jeżeli kąt środkowy łuku jest większy niż 40°, to należy go podzielić na partye mniejsze niż 40°, i dla każdej osobno długość łuku obliczyć.

Jeżeli punkty główne lub pośrednie zostały wyznaczone w tak małych odległościach, że cięciwa między nimi mierzona czyni zadosyć równaniu (13) w § 10, natenczas przyjmujemy długość łuku równą długości cięciwy ¹).

d) Wyznaczenie elementów zasadniczych, gdy dany początek łuku.

Wtedy promień r nie jest znany, nie można zatem użyć wzorów pod a) i l>) podanych. Skoro położenie punktu P (rys. 35) jest dane, zmierzymy WP=t i odniesiemy tę samą długość od W do P,; następnie zmierzy się PPi = 2a i TW—p. Dla kontroli pomiarów obliczy się t² = a²+p². Ponieważ PS połowi kąt WPT, to w trójkącie WPT mają się do siebie odcinki WS i ST jak przyległe boki, zatem:

ap

t+a

Po odmierzeniu SD = h, otrzyma się punkt S. Długość promienia r wyznaczy się z trójkąta POT:

p—h:h = t:a, więc także: p: h=t-\-a : a, a stąd: h

a²+h²

r²—a²-\-(r—h)², a stąd: r

Jeżeliby zależało na zaokrągleniu promienia r na całkowitą liczbę r‘, to wtedy należy t, p i h pomnożyć stosunkiem

r‘

— i te zmienione długości wytyczyć.

Na podstawie tych wyznaczonych ilości nastąpi wytyczenie łuku jak pod b).

e) Dany mniej więcej środek łuku $²).

Ten przypadek zachodzi nieraz na drogach lub rowach, gdy się je chce oprowadzić około jakiejś przeszkody. Wtedy znajdzie się przez próbny pomiar krokami takie przybliżone położenie punktów Q i Qi (rys. 35), aby prosta QQt przeszła przez dany punkt S. Następnie zmierzymy dokładnie: WQ=WQ±=t—jakoteż długość QQ₁=2tif a w połowie tej długości ustalimy punkt S.

Jeżeli następnie odmierzymy PQ = PiQi=ti) to otrzymamy początek i koniec łuku. Dalsze tyczenie podług a), b), d).

§ 12. Wyznaczenie kierunku stycznej w dowolnym punkcie łuku.

Potrzeba wytyczenia stycznej w dowolnym punkcie łuku zachodzi bardzo często. Rozpatrzymy różne przypadki.

a) Jeżeli wytyczono łuk od A ku M (rys. 36)

metodą biegunową, to kąt MAN-- - jest znany. Przypuśćmy, że w celu dalszego tyczenia ^ łuku trzeba przestawić się przyrządem kąto-y mierniczym w punkcie J/, to wyznaczy się ~ położenie stycznej w tym punkcie przez wytyczenie kąta AMN^=^-. Prosta MN jest styczną w M. Od tej stycznej nastąpi dalsze tyczenie łuku. Potrzeba takiego częstego przestawiania zachodzi w tyczeniu osi sztolni (§ 32).

b) W pobliżu punktu JZ, w którym chcemy wytyczyć styczną, znajduje się wytyczona styczna w punkcie A (rys. 36). Jeżeli z poprzedniego tyczenia, lub też wprost z pomiaru

§

jest znana długość łuku AM—s, wtedy: arc ⁽P ⁼ ~

wyznaczymy (p i albo wytyczymy jak pod a), alboteż obliczymy i odmierzymy :

o.:--

Rys. 36.

to

to be

. Z tablic

hO-G

AN—r tang

Zamiast długości łuku można zmierzyć cięciwę AM=d i wyznaczyć (p z wzoru:

sin

2r'

Prosta MN jest styczną w M.

Wprost można punkt N wyznaczyć, jako punkt przecięcia prostopadłej do cięciwy, wytyczonej w jej środku P ze styczną AM*.

c) Jeżeli styczna w A jest dana, jednak punkt A nie jest pewnie oznaczony (np. na istniejącym torze kolejowym), wtedy spuścimy z M prostopadłą MMi do stycznej AM^ i zmierzymy jej długość y. Długość AMX = QM=x obliczymy z wzoru (ob. § 10 a) x='\](2r—y)y, która wyznaczy początek łuku A, poczem zastosujemy sposoby powyżej pod b) podane.

Alboteż można wprost wyznaczyć długość MiN. Z podobieństwa trójkątów OAN i AMXM wynika, że:

AN: r—y : x, czyli: AN=—

00

Znając długość AN, jest MiN=x—AN. Tę długość odmierzy się od Mi do A⁷, w celu otrzymania położenia stycznej MN.

B'

d) Jeżeli w pobliżu punktu M niema stycznej wytyczonej do łuku, wtedy obierzemy dowolny punkt A, wyznaczymy jak pod b) kąt cp z długości łuku AM=s, lub z długości cięciwy d i wy ty-czymy styczną MA'. Można przyjąć drugi ' ' punkt B (rys. 37) i wyznaczyć styczną j \

MB' dla kontroli; punkty A‘, M i B‘ ! mają leżeć na jednej prostej.

Bys. 37.

Bez pomiaru kąta można dojść do —4= położenia stycznej przez wyznaczenie długości prostej AA'=y, wyprowadzonej z punktu A prostopadle do cięciwy AM.

Z trójkąta MAA' otrzyma się MA¹=^d²-\-y²-

Z podobieństwa trójkątów MAA' i OPM wynika:

m.. .MA' : y=r :

to

, czyli: yr=MA'

Z

a po wstawieniu wartości za MA' wyznaczy się:

ii

f-m

Podobnie można wyznaczj^ć B'.

e) Jeżeli promień łuku nie jest znany, to można różnie

postąpić.

a) Obierze się możliwie dalekie punkty A i B i zmierzy długości łuków AM=s i MB—sr Ponieważ w mierze łukowej :

to : (pi==s : s₁

<P=y, <Pi =

Następnie zmierzy się dokładnie kąt AMB=fi. Otóż:

<P

^ =180°

Jeżeli się w to równanie wstawi za q)l wartość z powyższej proporcyi, otrzyma się:

180—[i

s-\-sx

Za pomocą tych kątów wyznaczy się kierunek stycznej. Gdy z górnych równań jest:

s

r——, zas :

<P

,    .    .    q>4    180—

s i analogicznie:    =

⁽(

<P

(p"

to:

206265.s

q)“

lub:

206265’

206265..s, r—--=

⁽P‘\

/?) Obierze się dowolny, możliwie daleki punkt A i zmierzy się MA=d i strzałkę łuku PQ=h.

CD

Otóż wiadomo (ob. rys. 17), że tang    . Stąd wy

znaczy się <jp i położenie stycznej ; albo obliczy się: AAi=y—d tang r

⁽P

2 sin

y) Bez wyznaczenia kąta (p można tak postąpić: Z § 11 d) wiadomo, że:

QB:PQ=MA' :d, lub: PQ + QB: PQ=MA'+d: d

Gdy:

PQ+QB=%

więc:

PQ= h,

dy = hd+h^d²+y*

MA‘=^d²+y²,

a stąd:

d²h

—h²

zaś z równania m pod d) wyznaczy się:

r_d^d²+y²' _( 2)

*) W § 13 podano jeszcze innj'- sposób wyznaczania promienia r z pomiaru rzędnych od cięciwy.

Podobnie obliczy się dla kontroli y\ i r dla punktu B.

Jeżeli w powyższych przypadkach okaże się, że albo punkty A¹, M i B¹ nie leżą na jednej prostej, albo że wartości promienia obliczone dla różnych punktów łuku nie są zgodne, to albo łuk nie jest w porządku, albo nie jest jednolity, a wtedy należy postąpić podług § 13.

§ 13. Badanie łuku istniejącego toru.

Powyżej w § 12 e) widzieliśmy, że mogą wypaść różne wartości promienia dla tego samego łuku. Nastąpi to wtedy, gdy łuk toru kolejowego został albo przez ruch pociągów zdeformowany, albo ma się do czynienia z łukiem koszowym, albo też wchodzi się w krzywą przejściową toru kolejowego, gdy jeden z punktów A lub B znajduje się w pobliżu początku łuku.

O tych stosunkach łuku można się najłatwiej przekonać, jeżeli od możliwie długiej cięciwy odmierzy się rzędne symetrycznie względem jej środka położone. Długości dwóch symetrycznie ułożonych rzędnych mają być równe, a różnić się mogą tylko w granicach dopuszczalnego błędu. Takie pomiary winno się uskutecznić w różnych partyach łuku. Z relacyi wz. (8) w § 10, gdy rzędne nie przekraczają dozwolonych długości:

ab

lub: /&=—

2r

obliczy się promień r, który ze wszystkich pomiarów powinien otrzymać tę samą wartość.

Jeżeli się znajdzie różnice w pomiarze rzędnych, lub w obliczonych wartościach promienia, wtedy trzeba łuk na nowo tyczyć. "W tym celu należy zmierzyć kąt wierzchołkowy /?, wyznaczyć punkt S na przecięciu połowiącej kąt /? z łukiem, następnie zmierzyć albo WS (rys. 17), albo SV=h. Wtedy wyznaczy się promień r z wzorów:

ero

et-

po

CTQ

lub h=2rsin²l-r

Tym promieniem wytyczy się luk. Teraz pokaże się czy łuk toru jest jednolity, czy koszowy, lub też czy były stosowane krzywe przejściowe. W tych ostatnich wypadkach należy tyczenie łuku przeprowadzić podług § 25 i dalszych, ewentualnie podług wskazówek zawartych w II rozdziale.

Jeżeliby wyznaczenie ilości zasadniczych. Inku nastąpiło podług § 11, to odnośnie do rys. 35 i 32 nie trudno ustawić proporcyę:

a stąd:

wo=

r,

WS= WO-r

z—x

--r,

x

a zatem:

r= WS~~ z—x

lub : r=h —-— z—x

§ 14. Poprawka odchyłki łuków z dwóch stron tyczonych. Rys. 38.

Przy tyczeniu łuków popełnia się nieuniknione błędy, które są przyczyną, że łuki z dwóch stron od głównych punktów A i B tyczone nie zejdą się dokładnie w tym samym

2d

A/³!.

Rys. 38.

punkcie, okaże się jakaś odchyłka CD = A, która wymaga poprawienia łuków. Przyjmujemy, że odchyłka jest proporcyonalna do długości wytyczonego łuku. Jeżeli ^ zatem długości łuków AC i BD 'nazwiemy si i s₂, a ich odchyłki:

A i t0 4:4=s«i:«2i

Sj stąd: Al: At + A₂ =5^ si -f-s₂, a gdy : A^Ą-A^—A zmierzono,

to:

2 S1 + s2

si + S₂

Po odmierzeniu tych odchyłek otrzyma się wspólny punkt zetknięcia E. W celu poprawienia poszczególnych punktów

luku zważmy, że wyraz ^    —

na jednostkę długości łuku, że zatem poprawka np. dla punktu 2 wyniesie:

jest odchyłką przypadającą

S\ +S2

jeżeli s jest długością łuku A2 (Ob nr. 12. zbioru przykładów).

W ten sposób poprawi się mniejsze odchyłki. Dla większych odchyłek należy postąpić podług § 27.

§ 15³).

Zadanie. Położyć luk stycznie do trzech danych kierunków. Rys. 39. Dane kierunki AWU YtriW₂ i W₂B. Zmierzy się dłu-

Zadanie. Między dwa dane punkty A i B łuku wytyczyć trzeci punkt, jeżeli z A nie można celoicać do B. Punkty 1 i B są na gruncie dane, a pomiędzy nimi nie można celować z powodu istniejącej przeszkody. Rozróżnimy dwa przypadki.

a) Położenie stycznej w punkcie A jest dane. Rys. 40. Wtedy promień łuku r jest określony, nie można go zatem z góry obrać. Obierzemy dowolny punkt C tak. aby z tego punktu można celować i mierzyć ku A i ku B. Zmierzymy kąt £ i długości:

A/'

''ii

'-i- • '

"ó

Rys. 40.

gość Wx TF₂ = tx-\-t₂ i kąty i /3₂. TPjCWj i CW₂=t₂ są to-styczne dla kątów , d₂ i nieznanego promienia r, więc

(ob. § 7):

zatem:

+^2

₂ = r (cotg A + cotg

-¹- sin 2 2

sm

fii

8.

cotg 2 +c°tg %

(h +^2)

sm

Obliczy się:

w, t, c

tf_W₂

fil

fi-l

tx=r cotg-^, <₂=rcotgY»

przyczem snma mnsi się zgodzić / ze zmierzoną długością TTÓ, TP₂; A następnie odmierzy się:

WXC= WxP=tx i W₂C=W₂Px=t₂,

.t 2

r-

Rys. 39.

przezco otrzyma się początek i koniec łuku i punkt styczność C.

AC=li, CB=c. Z tych ilości obliczymy: AB=2a=^b²-*-c²—2bc cos £, następnie z warunku, że:

sin fi sin v sin e

b .

sm v=^- sm e.

obliczymy:

Dla kontroli ma być: ^+^ + £=180°.

ct

Następnie zmierzymy kąt WAC=y, to: —=fi + y} zaś:

Z

sm u=— sm e, 2 a

2 a.

. a

smT

ct ct

ten kąt z wzoru: sin    . (Ob. nr. 13. zbioru przykładów).

§ 16. Tyczenie serpentyn drogowych. Rys. 41.

Serpentyny drogowe należą do łuków o małym kącie wierzchołkowym, o których mowa w następującym paragrafie; gdy jednak promienie łuków w takich serpentynach stosowane są małe, w granicach od 10 do 25 m, to może być odmienna metoda tyczenia stosowana.

Jeżeli wierzchołek JF.

Pi

Eys. 41.

i kierunek WiA może być \ na polu ustalony, wtedy od-mierzy się długość WiPi wy--J jętą z projektu i na prostopa-J dłej z Pl odmierzy się dłu-/c gość PiO = r. Jeżeliby natomiast dwa punkty P i C łuku mogły być na gruncie ustalone, natenczas społowi-my prostą PC i wystawimy do niej z D prostopadłą, którą przetniemy długością PO=r. Dla niewielkiej długości łuku

PC można podług § 10 wz. (8) wyznaczyć: DO — r

długość od D odmierzyć.

Gdy w ten sposób środek O jest ustalony, odmierzy się wprost r na dowolnie obranych kierunkach do punktów P, F, 6r..., przez co otrzyma się szereg pośrednich punktów łuku.

Teraz można wyznaczyć np. punkt P, leżący na przedłużeniu PC\ przez obliczenie długości CD (gdy <p=180— podł. § 10 e):

CD=b

sin (e— 9?)

sin cp

a dla kontroli obliczyć:

, ,    .    sin (c—w)

podobnie: CE = c-—,

sm cp

AE=b+CE=2a

sin {[i + cp)

sm (p sin (v + cp) sin ą>

b) Dane są punkty A i P i promień r.

Postępowanie to samo co przed tern, tylko zamiast pomiaru kąta y, potrzebnego do wyznaczenia kąta a, obliczymy

PC=c + CD=2a

—=2r sin (vĄ-<p).

(PCy .

¹

To odmierzenie powinno hyć poziomo wykonane, więc dla punktów jak E, F, leżących w pobliżu linii największego spadu stoku, trzeba wykonać pomiar za pomocą łaty i libeli, sposobem schodkowym, zaś dla innych punktów wprost taśmą możliwie poziomo ułożoną.

Jeżeli punkt O wyznaczono pierwszym sposobem od Pi, trzeba będzie z następnego wierzchołka W₂ poprowadzić styczną do wytyczonego łuku i wyznaczyć koniec łuku P₂. Tę styczną poprowadzi się dostatecznie dokładnie podług oka, poczem prostopadła z O do tej stycznej poprowadzona wyznaczy P₂. Można też za pomocą pryzmatu wyznaczyć punkt P₂ jako wierzchołek prostego kąta W₂P₂0, a zarazem odległego od O na długość taśmy równej r. Jeżeli punkt O wyznaczyło się z punktów P, C, wtedy oba końce łuku trzeba w ten sposób wyznaczyć.

W tym wypadku może się zdarzyć, że punkty Wx i W2 nie będą na gruncie ustalone, lecz wyznaczone z warunku pewnej, w projekcie przewidzianej długości W₁ Pi i W₂P₂. Wtedy zużytkujemy pryzmat do wyznaczenia przez próby takiego kąta prostego, aby punkty P miały przepisane odstępy od W i od O.

Środek łuku powinien być za pomocą pala ustalony, aby, czy to podczas budowy, czy też po jej ukończeniu umożliwić szybkie, a pewne wytyczenie dowolnych punktów łuku.

§ 17. Tyczenie łuków o małym kącie wierzchołkowym.

Kierunki prostych przeniesione z projektu na grunt nie mają względem siebie dokładnie tego samego położenia co

Bi

W, ,W' i a

Rl

o’

4R'

■o " ""

4, • 4 •

PL _

r 4..... Vi

O’

o- - -

Ia

b\ 'b' \w

Rys. 42.

Rys. 43.

w projekcie. Różnice stąd powstałe między położeniem łuku

w projekcie i na gruncie będą nie wielkie, jeżeli kąt wierzchołkowy /J jest wielki, mogą być jednakże znaczne, gdy kąt /? zbliża się do zera, a kąt środkowy a do 180°.

Na rys. 42 jest /?i>0, a<Cl80°, zaś na rys. 43 /3<C0, a>»180°. Obydwa rysunki pokazują, że drobne przesunięcie prostych WB na gruncie wobec W‘B' w projekcie, powoduje znaczne przesunięcie łuku na polu wobec projektu.

Ponieważ takie znaczniejsze przesunięcie łuku jest nieraz z różnych powodów niedopuszczalne, zatem trzeba położenie łuku na polu usta 1 ió, przez przeniesienie jednego lub dwóch punktów łuku z projektu na grunt.

Tu mogą zajść różne przypadki.

a) Przez punkt łuku M dany na gruncie wytyczyć łuk łączący dwa proste kierunki, bez naruszenia ich położenia. Rys. 44.

Przez dany punkt M i dwa styczne kierunki jest łuk zupełnie określony; nie można zatem z góry obrać promienia lecz trzeba jego wielkość wyznaczyć. Przy małym

kącie wypada punkt wierzchołkowy daleko, a często jest niedostępny, więc dla wyznaczenia kąta wierzchołkowego zastosujemy sposób podany w § 6 pod b) lub c). \ą Prostę AAl położymy przez punkt \ M, zmierzymy kąty di y, poczem ¹ wyznaczymy /?=y-f d—180°. Następnie zmierzymy AM i MAi i obliczymy długości prostopadłych, wyprowadzonych z punktu M do •danych kierunków. Mianowicie jest:

,w

\M

b"

Rys. 44.

nAa

MN—p= AM sin y, MNi = q = MAi sin d.

Między długościami PN=x i PiNi=xi, a rzędnemi p i ą zachodzą związki:

q = ri —\r²₁—xl

p=r^ — Y'/-²1 —x²,

z których obliczy się:

z=V(2ri—xi=^(2ri—q)q.

Jeżeli wykonamy rzut zamkniętego wieloboku OPNMNxP^O na kierunek promienia OP, to otrzymamy równanie:

^ —p—q cos /?—aJj sin /? 4-^ cos /?=0,

a po wstawieniu za xx powyżej wyznaczonej wartości:

sin /3 y(2rx—q)q = —p—q cos @+rx (1-f-cos /?).

Po obustronnem kwadrowaniu i należytem uporządkowaniu, otrzyma się równanie dla niewiadomej rx:

r²₁(l + cos /?)²—2rx    q) cos q]-\-p²-\-2pą cos /3+g,2=0,

p + qńzi^pq(1 — cos /?)

a stąd : rx

p+q

1 + COS /?

2 cos²

to rca

1+2

p+q

Z dwóch znaków przed pierwiastkiem odnosi się znak -f- da przypadków przedstawionych na rys. 42 i 43 ; znak — odnosi się do uzupełnień do pełnego koła.

Podług wyznaczonego promienia rx obliczy się x i xxy jakoteż AN=—AM cos y i AxNx =— MAx cos d, co posłuży da wyznaczenia: AP=x—AN: AxP₂=xx—AXNX. Po odmierzeniu tych długości będą wyznaczone początek P i koniec łuku Pxr zaś łuk wytyczy się podanymi sposobami.

Promień rx tylko nieznacznie będzie się różnić od promienia r projektu. (Ob. nr. 14. zbioru przykładów).

W celu kontroli powyższych obliczeń należy z długości

AAx=d i z pomierzonych kątów y i ó obliczyć według wskazówek §6 6)

WA=b i WAx=c. Kontrolą będzie warunek, że :

8

PA-\-b—PxAxJrc=l=rx cotang

a

Prościej niż rachunkiem można dojść do przybliżonej wartości rx próbnym wykresem, wykonanym na podstawie w polu pomierzonych ilości y, <5, AM i MAX. Podług tej, wartości rx obliczymy wprost :

t=rx cotang

tO "Co

i AP= t—b,

AiPi =t—c.

Te ostatnie długości posłużą do wyznaczenia początku i końca łuku. Tą przybliżoną wartością promienia rx wytyczony łuk nie przejdzie dokładnie przez dany punkt M.

b) Zadanie jak pod a), lecz prosta Bx W może doznać równoległego przesunięcia. Rys. 45.

W tym przypadku przeprowadzimy przez M łuk o promieniu r z projektu, a wyznaczymy wielkość przesunięcia

prostej Bx W. Pomiary kątów i długości, jakoteż obliczenie długości p, ą i x uskuteczni się jak pod aj.

,w

A,\

ph-~

Oznaczmy przez qx długość MN2 i wykonajmy rzut tego samego wielo-boku co pod aj na kierunek promienia OPx, to otrzymamy równanie:

r - p cos /?—qx —x sin /3 + r cos (3—0,

qx = r (1 + cos (3)—p cos /?—x sin (3.

Znając qx, znajdziemy qx—q jako szukaną wielkość równoległego przesunięcia prostej Bx W.

Zmieniona długość PxN₂=xx=^{2r—qx)qx .

Dalsze obliczenia i kontrola rachunku jak pod aj. Zamiast równoległego przesunięcia można także inny kierunek nadać prostej przesuniętej, jak o tern będzie mowa w §§ 19 i 20.

Powyższe zadanie przedstawia się w prostszej formie jak następuje:

Po zmierzeniu kątów y i d, jakoteż długości AM, obliczy się p i x. Po odmierzeniu długości NP=x otrzyma się początek łuku i wytyczy cały łuk, który powinien dokładnie przejść przez punkt M. Połączenie tego łuku z dalszą trasą uskuteczni się podług §§ 19 i 20.

cj Przez dwa dane punkty C i D wytyczyć łuk bez naruszenia prostych BW i Bx W.

Prostę AAX przeprowadzimy przez dane punkty i zmierzymy AC, CD, DAx i kąty y id (rys. 46). Sposobem pod aj podanym wyznaczymy rachunkiem lub wykresem promień r[ dla luku przechodzącego przez C i promień // dla luku przechodzącego przez D, a podług średniej rx z tych dwóch

to rca

promieni wyznaczymy : t=rx cotang i odmierzymy AP=t—b

i AxPx = t—c, w celu otrzymania początku i końca łuku. Łuk promieniem rx wytyczony przejdzie w pobliżu danych punktów C i D. Prościej można tę średnią wartość rx wyznaczyć wprost z wykresu.

d) Przez dwa dane punkty C i D przeprowadzić łuk o danym promieniu r. Rys. 46.

W tym przypadku obydwa styczne kierunki doznają przesunięcia. Przez dane punkty wytyczymy prostą AAlT zmierzymy kąty y i d i długości AC, CD — e i DAj. Przesunięcia u i ux prostych DW i DiW wyznaczymy jak następuje Prostopadłe CC±=p i DDi=^ą wyznaczymy jak w poprzed: niach z długości AC i DAi. podług zmierzonej długości CD

obliczymy : sin ~    Znając (p, wy- ;

znaczymy z warunku, że:

•'u

ic zada- qiQ/    AMdi

WPF

CD

¹ Bj

Rys. 46.

⁽f

<jPi + ^ + 90-fy+90=360°,

(pi = 180°—y—

B- CM

podobnie: ęp₂ = 180°—ó—

tO

Długość: CC\ =r(l—cos (px)=p-\-u, więc :

u=r (1 — cos (jpj—p, wt=r( 1—cos <jp₂)—q,

przyczem dodatnia lub ujemna wartość u lub u{ wskazuje, że przesunięcie prostej następuje na zewnątrz lub na wewnątrz.

Punkta P i Pt wyznaczy się jak w poprzednich zadaniach podano, albo też z wzorów:

A'P— C\P— A‘C\ =r sin q)i —(p-\-u) cotang (180—y),

A\Pi — D\Pi — A\D\ =r sin qp₂—(p + u^ cotang (180— ó).

Kontrolę rachunku przeprowadzi się jak pod a) podano.

Jeżeli równoległe przesunięcie prostych nie jest pożądane, natenczas przez główne punkty C i D wytyczy się cały łuk o danym promieniu r i połączy obustronnie z dalszą trasą za pomocą stycznych podług §§ 19 i 20.

¹

Yogler w rozprawie „Zur Kreisabsteckung ohne Theodolit“ (Ztschr. f. Vermessungswesen z r. 1894) podaje na długość łuku wzór:

w którym t oznacza długość stycznej, zaś a połowę długości cięciwy. Ten wzór daje dla r — 1, a a = 30 do 90° wyniki zgodne na trzy dziesiętne.

²

Yogler, jak powyżej.

³

Zadania podług Yoglera.

§ 18. Przystosowanie wytyczonego łuku do trasy w tym przypadku, jeżeli przy wytyczeniu łuku nastąpiła zmiana położenia danych prostych kierunków. Rys. 47.

W zagadnieniach pod b) id) poprzedniego paragrafu przyjęliśmy, że jedna prosta lub obie proste zostały równolegle przesunięte. Takie równoległe przesunięcie nie będzie zawsze dopuszczalne. Jeżeli mianowicie przed uważanym łukiem P (rys. 47) był już wytyczony łuk Pt, to należy do

obydwu łuków poprowadzić wspólną styczną; lub też jeżeli w trasie po łuku Ł następującej wierzchołek W2 nie może zmienić swego położenia, wtedy należy z tego punktu poprowadzić styczną do łuku Ł

w,

w₂k

Te obydwa zagadnienia rozpatrzymy w następujących paragrafach.

Rys. 47.

§ 19. Do dwóch w polu wytyczonych łuków poprowadzić wspólną

styczną.

Obydwa łuki mogą być jednakowo lub odwrotnie skierowane. Rysunki 48 i 49.

a) Przeprowadzenie ogólne.

N’

Na dokładnie wyznaczonych głównych punktach M i Mi

wykonamy pomiar kątów a i zawartych między stycznemi w tych punktach, a prostą MMi i zmierzymy długość MMx=l. Następnie obliczymy:

MN=c=r sin «,

M,

oc

M’

m’

Pl

r>\

Mł

Rys. 48 a.

Rys. 48 b.

Mx Ni=cl= rx sm ai NN‘ =p=r( 1—cos a)

Ni N\ =px =rl( 1—cos a₁).

Oznaczmy przez l₀ długość stycznej PPj, a przez (p kąt zawarty między tą styczną a prostą iłPM\, to te dwie ilości należy wyznaczyć. W tym celu wykonajmy rzut wieloboku NN‘PPiN/iNiN na kierunek prostej MMi i na prostopadłą do tego kierunku, a otrzymamy dwa równania :

l—c—cx =r sin g) + l₀ cos (jpdhr., sin cp,

P±3>1 = r(l —cos cp) + l₀ sin (jPd: ^(1 —cos <p).

Z dwóch znaków odnosi się górny do rys. 48a, dolny do rys. 48ó.

Po wyłączeniu niewiadomej z tych równań, otrzy

ma się:

(r-\-rl —p-ł-Pi) cos cp + (l—c—ct) sin <jp = rdh?V Podstawmy dla pomocniczego kąta ip:

(a)

tang ip

l — C—Cy

a otrzymamy:

sin (i[) + cp)

r-\-rx

l—c —c₁

cos ip,

(P)

wzór dla wyznaczenia kąta cp. Po wstawieniu tej wartości w pierwotne równania znajdzie się:

l—c—cx—(r±r,) sin <p cos cp

Dla kontroli należy l₀ z obydwu wzorów obliczyć. Punkty styczności P i P, wyznaczy się w zastosowaniu do rys. 4Sa przez wytyczenie łuku o kącie aĄ-cp z M, zaś o kącie ax-\-cp z Mi] w zastosowaniu do rys. 48b wytyczy się z M łuk o kącie a-i-cp, tego, czy p~P\ jest dodatnie czy ujemne.

Uwaga. Jeżeliby obrany punkt, np. ii/, był położony po drugiej stronie punktu styczności P, np. w M\ wtedy przynależny kąt a należy wprowadzić z ujemną wartością, więc i c otrzyma znak ujemny.

b) W zastosowaniu praktycznem można podług oka ocenić położenie punktów styczności, a w pobliżu tych punktów wyznaczymy dokładnie punkty M i il/l7 zmierzymy MMX i kąty a i a₁ jak przedtem. Również obliczenie długości c, ci, p i px pozostaje to samo, tylko wyznaczenie kąta cp, który teraz będzie bardzo mały, dozna uproszczenia. Dla małego kąta możemy podstawić cos cp= 1 ma się wzór prosty:

albo: Z₀

PzLPi—(r-brj) (1 —cos cp)

sin cp

(c)

z M, łuk o kącie al-\-cp, podług

wtedy z równania (a) otrzy-

i

l—C—Cj

Podług tej wartości obliczy się l₀ z wzoru (e).

sin cp

Zamiast dokładnego pomiaru długości l wystarczy pomiar tachymetryczny, alboteż w następujący sposób:

Obierzemy na łuku dokładnie wyznaczony punkt N (rys. 49), zmierzymy kąty y i y1} jako-też długość MN=d, a wtedy obliczymy:

i sin (p z górnego wzoru, a l₀

'Ą

I'i

l=d

sin (y+yj

z wzoru c.

Aby długość obliczona z tego wzoru była dostatecznie dokładna dla wyznaczenia kąta (p, nie powinien być stosunek d:l zbyt mały.

\    Następnie wytyczy się punkty P i Pi jak

Rys. 49.

\ przed tern podano i zmierzy dokładnie 1₀. Nie / może ono zupełnie zgodzić się z wartością / obrachowaną podług wzoru e, gdyż l nie było dostatecznie dokładnie wyznaczone ¹).

§ 20. Z dowolnego punktu wytyczyć styczną do łuku w polu wytyczonego (np. z punktu W₂ na rys. 47).

To zagadnienie redukuje się do poprzedniego, skoro promień r₂ zmniejszy się do zera. Jeżeli zatem w wzory § 19. wprowadzimy ri<=ci=pl¹= 0, otrzymamy wzory potrzebne do wyznaczenia kąta (p i długości lQ.

§ 21. Tyczenie łuków budowli wodnych.

O ile tyczenie łuku uskutecznia się na suchym lądzie, mogą być stosowane metody podane w poprzednich paragrafach. W § 6. jest także podane jak sobie poradzić należy, jeżeli punkt wierzchołkowy nie jest dostępny, gdyż wpada w rzekę. Inaczej rzecz się przedstawia, jeżeli linia regulacyjna brzegu rzeki, wzdłuż której ma być zbudowana tama, leży w wodzie. W tym przypadku jest postępowanie odmienne dla wypukłego lub wklęsłego brzegu ²).

§ 22. Tyczenie wypukłego brzegu. Rys. 50. a i b.

Zastosujemy tyczenie rzędnemi od cięciwy, podług § 10 b). W tym celu obierzemy długość łuku PA, stosownie do wielkości promienia r tak, aby łuk był dostatecznie płaski, obliczymy przynależny kąt środkowy oą i długość cięciwy:

a.

PA—2r sin

iZ

A

Kąt: MPPX = 9O—^

A

wytyczymy, a na prostej PP\ odmierzymy taką długość hi, aby prosta PXAX równoległa do PA wypadła na wol-nem, suchem

b.

1*2

/ Jl2

,s

Bl

miejscu. Tę równoległą również

PS

Bi

wytyczymy za pomocą prostego kąta przy P1 i odmierzymy na niej obliczoną długość PA. Teraz obierzemy P\AX dowolną ilość punktów 1', 2', 3'... i obliczymy dla nieb podług § 10 b) rzędne Z] w tych punktach wystawimy prostopadłe do PXA{ i tak będziemy kierować łódką na wodzie, aby można wstawić w wodę tykę w kierunku tej prostopadłej i w odległości \ -\-z, mierzonej taśmą. Dla ustalenia tyki trzeba ją będzie nieraz otoczyć narzutem kamiennym.

W celu tyczenia następnego elementu łuku AB o kącio środkowym a₂, można po wykonaniu tamy PA ustawić się

Rys. 50.

na

w A, odmierzyć od iP kąt PAA₂ równy: 90—

5Ł+Ł, obrać A

AA₂ — k₂ i postąpić jak poprzednio. Gdyby jednak ustawienie w punkcie A przedstawiało trudności, to można prostą A₂BX wytyczyć za pomocą punktu C, leżącego na przecięciu prostych PXAX i A₂Bi. W celu wyznaczenia tego punktu wykonajmy rzut linii AAX C na kierunek AA₂ (rys. ^)? zważywszy,

że kąt przy A równy

a, + a₂

h₂—hi cos

a i +a₂

\-AxC sin-¹-^®²,

punkt C, a przez wytyczenie kąta P₁6r.Z?₁=180

Przez odmierzenie obliczonej długości A₁C otrzyma się

ai + a2

otrzyma się kierunek CBi, na którym odmierzona długość A₂G wyznaczy punkt A₂. Z A₂ odmierzy się A₂B₁ równe obliczonej długości AB etc.

ct

Dla a₁ = a₂ i h^=h₂, jest Ai B=A₂ C=h, tang -A-.

di

§ 23. Tyczenie wklęsłego brzegu.

Przy tyczeniu tam łukowych przy wklęsłym brzegu możemy tylko tak postąpić, że na podstawie elementu łuku tamy w wodzie już zbudowanego, wyznaczamy kierunek dla następnego elementu. Mniej dokładnie uskuteczni się tyczenie metodą w § 10 f) na rys. 316 podaną. Punkt 1 należy wytyczyć rzędną od stycznej, a po zbudowaniu elementu -Ml wyznaczymy tyczkami wstecz kierunek 1'1 i w jego przedłużeniu wybudujemy element 12 i t. d.

Ta metoda wystarczy na krótkie łuki. Dokładniejsze metody są następujące:

(rys. 51),

W M tyczymy prostą kierunkową MN, prostopadłą do PM. Na łuku obieramy równe długości s tak wielkie, żeby je można uważać za elementy proste. Styczne w punktach A, B..., pomyślmy sobie przedłużone ku stycznej PM i ku linii kierunkowej MN.

a stąd:

A.C

/*₂-/*₁cos^+a2

di

sm

i podobnie:

A₂C

\ —h₂ cos Ui a%

di

sin

<*1 +«₂

a)*) Tyczymy styczną w punkcie początkowym łuku na niej odmierzamy dogodnę długość PM=D.

Kąt a elementu łuku wyznaczymy podług a =

CCI 1

i obli

czymy :

a₁₌=rtang- a₂=r tang 2

., an—r tang n

Różnica długości dwóch po sobie następujących odcinków równa się:

r ^tang?^ —tang Ten wzór posłuży do kontroli rachunku.

(Xn    ctn—i -

(n — 1) a ]

2 _T

r sin

cos n cos -—;

(n—l)a

oV

W*'.

3’/-

Y3

'A

'B/,

/V*!

--- 'fi

fir

Rys. 51.

Teraz można obliczyć odcinki na linii kierunkowej : yi=(D—ai) tang a, y₂ = (D—a₂) tang 2a, y₃=(Z>—a₉) tang 3a

yn = (D—a„) tang na.

Te odcinki odmierzy się.

Postępowanie przy tyczeniu łuku jest następujące:

Naprzód zbuduje się element tamy PI" o długości ax w kierunku PM) następnie celując ku V buduje się element 1"1 o długości s; następnie celując z 1 ku 2' wykona się element 12 o długości 5 i t. d. W ten sposób tyczy się wie-lobok opisany 1"12..., który można uważać za łuk, jeżeli długość s obrano odpowiednio małą. Jeżeli się odmierzy długości au a2i a3 •••) to się ma kontrolę roboty w warunku, że punkty 1", 1, 1', lub 2", 2, 2' muszą leżeć dokładnie na jednej prostej.

Jeżeli łuk jest długi, to może jedna linia kierunkowa nie wystarczyć; natenczas możemy obrać dowolny już wytyczony styczny kierunek i do niego odnieść nową linię kierunkową. Np. obierzemy styczny kierunek 3"3', dokładnie wytyczymy, a na nim obrany punkt Q w środku boku 23 będzie nowym początkiem łuku, od którego w dogodnym odstępie D obierzemy punkt poprowadzimy linię kierunkową RS i t. d.

Aby błędy poprzednio tyczonego łuku na ten nowy układ się nie przeniosły, dobrze będzie punkty 2 i Q na nowo wyznaczyć. Mianowicie z trójkąta 2/23/ obliczy się:

cos 3a

22' = (y₃-y₂)—.-

sin a

i odmierzy dokładnie od 2‘ do 2, poczem odmierzy się:

a CM

2Q= Q3 = a₁ =r tang -

Metoda a) może byc korzystnie zastosowana dla tam faszynowych.

b) Można także zastosować metodę biegunową, podaną, w § 10 pod d) z tą różnicą, że i tu poprowadzimy jak przed-

N tern linię kierunkową (rys. 52),. obliczymy:

i—.

1*5

yi —D tang a, y₂ =Z> tang 2a

i odmierzymy te odcinki na linii

y„=D tang na

Rys. 52.

kierunkowej.

Teraz można poszczególne punkty łuku w wodzie tyczyć. Kierujemy z punktu P łódź tak, aby żerdka z łodzi trzymana weszła w kierunek PI' i miała od P odległość 5. Tę żerdkę wbijemy i otoczymy narzutem kamiennym. Następnie kierujemy łódź z żerdką w kierunek P2‘ i wbijamy ją w odległości s od punktu 1 i t. d.

Ta metoda może być z korzyścią dla kamiennych tam stosowana.

Dla długich łuków można przyjąć w dowolnym w-tym punkcie nową styczną i nową linię kierunkową. W celu otrzymania dokładnych podstaw dla dalszego tyczenia, należy punkt, w którym chce się poprowadzić styczną, dokładnie ustalić a styczną dokładnie wyznaczyć. Punkt n (rys. 53) ustalimy za pomocą współrzędnych: xn=r sin 2na,

yn = r (1 —cos 2na) = 2r sin² na,

zaś dla wyznaczenia kierunku stycznej obliczymy i odmierzymy albo:

PQ=r ta,ng na, albo z trójkąta PQP,

PR=PQ tang 2na=r tang na tang 2na.

JiiŁ.

in

,''Q

Rys. 53.

c) Jeżeliby linia kierunkowa w powyższych metodach stosowana wypadła również w rzekę, co się zdarzyć może przy przejściu z wklęsłego do wypukłego brzegu, lub też na tamie separacyjnej, budowanej na wylocie bocznego dopływu rzeki, natenczas trzeba styczną PM (rys. 54) poprowadzić wstecz pod bieg rzeki, a linię kierunkową obrać powyżej początku łuku. Jeżeli zastosujemy metodę a), to różnica w wzorach na y będzie tylko ta, że w nawiasach będzie znak +. Zatem: yi=(D + ai) tang a, y₂--=(D+a₂) tang 2a

«/„ = (Z) + a„) tang na.

Zresztą postępowanie przy tyczeniu łuku nie wymaga ‘ fe’ objaśnienia.

Rys. 54.

§ 24. Tyczenie łuków koszowych. Rys. 55.

W celu lepszego zastosowania się do trudnego górskiego terenu, lub też w celu obejścia jakiejś przeszkody, stosuje się nieraz łuki koszowe.

Jeżeli w łuku koszowym o n łukach połączymy środki kół, to otrzymamy wielobok Oi, 0₂, 0₃,...,0n o n bokach.

Przyjmijmy*), że z projektu są znane długości wszystkich promieni łuków, to długości boków tego wieloboku, z wyjątkiem boku OiOn równają się różnicy przylegających promieni. Długość boku Ox On wyznaczy się podług danych długości t i ^ z pię-cioboku OiPWPiOnOi.

■    Między kątami cp

,V*j a bokami wrieloboku \ zachodzą trzy związki, wyznaczone trzema równaniami. Jedno równanie otrzyma się z warunku, że 2<p=180—/?. Dwa inne równania otrzymamy z rzutów wieloboku 0i0₂0₃.,.0n na dwa dowolne kierunki. Należy zatem z projektu wyjąć wartości n—3 kątów qp, zaś pozostałe trzy kąty wyznaczy się z tych trzech równań. Przez to redukuje się wyznaczenie łuku koszowego o n łukach, na łuk koszowy o trzech łukach.

.-w

\t.

j.

^ '{&!

op

Eys. 55.

'Wi

/>

§ 25. Tyczenie łuków koszowych o dwóch łukach. Rys. 56.

Do rozwiązywania zagadnień dotycząch łuków koszowych potrzeba nam, jak to wykazano w poprzednim paragrafie,

trzech równań.

Jedno równanie wyznacza warunek, że :

,w

Wi

P₂

'A

Yot

/r*

>*0,

Eys. 56.

*) Podług Pullera w Ztschr. f. Yerm. 1892.

ax + a₂ = 180—/?.

Dwa dalsze równania uzyskamy z rzutu wieloboku 0₁P₁TFP₂0₂01 na dwa dowolne kierunki. Długości stycznych Pi W i P₂ W oznaczmy przez i t.₂.

Rzut wieloboku na kierunek WP₂ da równanie:

(1)

(2)

t₂ = ti cos ^+ri sin /3—(r₄ —r₂) sin «₂.

Rzut na kierunek 0.₂P₂ do poprzedniego prostopadły :

r₂ = ti sin /? — rx cos (i—(rj —r₂) cos a₂.

Rozpatrzymy następnie różne przypadki.

a) Początek Pi jednego tuku, kąt fi i obydwa promienie są dane.

Należy wyznaczyć koniec P₂ drugiego łuku i kąty i a₂. Z (3) równania otrzyma się wprost :

tx sin /?—r₁ cos (3—r2 ri ~ r₂    ’

a wstawiwszy wartość a2: stąd otrzymaną, do (2) równania, obliczymy t₂. Zaś: a₁=180——a₂.

Z rzutu wieloboku na kierunek 0₁P₁ uzyska się ró*

cos a₂

(3)

wname:

(4)

r₁=t₂ sin /3—r₂ cos +    —r₂) cos ai,

które dla kontroli należy obliczyć.

Dla tyczenia przydatne będą jeszcze długości:

Px W± — WiM—ri tang

które odmierzymy.

Równość długości P₁ Wx = WtM i P₂W₂ = W₂M będzie dalszą kontrolą. W ten sposób otrzymamy wspólny punkt M i koniec łuku P₂.

= W₂M=r₂ tang

b) Punkty P₁ i P₂ i promień rx są dane.

Oprócz tego dany jest kąt /?, a długości ti i t₂ są również dane, lub zmierzymy je w polu. Wyznaczyć należy alT

«2 ¹

Jeżeli z (2) i (3) równania wyłączymy niewiadomą r.2J to otrzymamy równanie:

cos a₂[t^ cos ^ + ri sin (3—t₂] + sin ^[^(l + cos /3)—ti sin /?] =

= ti cos ^ + ri sin {3—1₂.

Oznaczmy pierwszy nawias literą A, drugi literą P, to: A cos a₂ \-B sin a₂=A,

4(1 —cos a₂)=P sin a₂,

czyli:

lub:

A sin² =P sin -J 2 2

cos

«2

tang =

2rx cos²    sin /?

^ cos /3+^i sin /?— Z tego wzoru wyznaczy się kąt a₂. Następnie obliczy się z (1) równania:

ax = 180°—/?—a₂

a z (2) równania:

r₂=--rx

sin a₂

Dla kontroli rachunku obliczymy równanie (4). Również obliczymy P±WU PiW₂...

c) Punkt Pif promień r^ i kąty a₁ i /? są dane.

Styczną tx zmierzy się, zaś wyznaczyć należy t2l r₂ i a₂. Z (1) równania wyznaczy się:

a₂ = 180—/?—a₁.

Z (3) równania:

r2 =

^ sin /?—r, (cos /?+cos a₂)

1—cos a₂

albo w formie wygodniejszej dla rachunku logarytmami :

/?+«2 «2

ti sin/?—2^008 —^ A

COS

»2

2 sin²

(»)

Podług tych wartości obliczy się t₂ z (2) równania.

§ 26. Luk koszowy o najmniejszej różnicy promieni. Rys. 57³).

To zadanie jest ważne szczególnie dla trasy kolei.

Dane są punkty Pi i P₂ i -kąt /?, zatem tt i t₂ zmierzy się. Do wyznaczenia mamy ri i r₂ i kąty ai i a₂.

Potrzebne czwarte równanie uzyskamy z założenia, że różnica promieni ma być jak najmniejsza, które wprowadzimy

V

w tej formie, że stosunek — ma byó jak największy.

cos a?—cos a₂

W punkcie wspólnym M poprowadzona styczna niech zawiera z prostą P,P₂ kąt x, to z trójkąta PiMP₂ wynika, że: . a. +x

sm 2

. a, —x

,mV

zaś z trójkątów P,MO^ i P₂M02 wyznaczy się:

P₁M==2r₁ sin — _ —

A

P₂M=2r₂ sin a%^X-

co wstawiwszy w poprzednie równanie wyznaczy:

. a, +*

sm —

P2jM

P^

Rys. B7.

,+

d-' M

'"O

>*2

, „ . a.~x 2 Sln 2

cos o:—cos aA

. a₉—x . a₉+x sm P — sm -

W tym wyrazie jest tylko x ilością zmienną. Znajdźmy jego pochodną podług x:

-fi)

— sin x(cos x—cos a₂) + sin a: (cos a:—cos at)

dx

(cos a:—cos a₂)²

Dla max

fi)

cos a₂—cos a,

(cos x—cos a₂)

ma ten wyraz równać się zeru, co nastąpi,

sin x

gdy a:=0, czyli gdy styczna w punkcie M będzie równoległa do prostej ■P₁P₂-

Wobec tego wyniku, są kąty Cti i a₂ przy P₁ i P₂ zarazem kątami środkowymi łuków. Można je albo wprost zmierzyć, jeżeli z Pi do P₂ można celować, alboteż można je wyznaczyć.

Mianowicie z trójkąta PiWP₂ otrzyma się:

sin a₂

sin (/?+«!)

sm ai

sm

-J—cos /?

-f—“ COS /?

czyli: cotang a₁

podobnie cotang a₂

sin /?

sin |8

przyozem ma być    + a₂ = 180°—/3.

W celn wyznaczenia wielkości promieni, zużytkujemy wzór powyżej ustawiony, w który wstawimy x=0:

r2

—— ==r

sin²

(?)

(a)

PiP₂, to:

Jeżeli zważymy, że prosta MOi stoi prostopadle do

PiP₂ = 2d=ri sin ai Ą-r₂ sin a₂.

(b)

Wartość dla d otrzymamy albo wprost przez zmierzenie

sin /? sin a₂

sin sin aj

Jeżeli z wzoru (a) otrzymaną wartość za r₂ wstawimy w wzór (6), to otrzymamy równanie:

albo z wzoru: 2d=t.

B-

2r, ^sin ~ sin    cos

z którego ostatecznie wyznaczy się:

dsin ^

Ł

r =--

sin ~

2d sin²

(?)

d sin

Z

—, podobnie r2 P

fi

. a2 r sm cos ~

Dla kontroli rachunku należy obliczyć wzór (2) lub (3) z poprzedniego paragrafu*).

Dla tyczenia łuków obliczymy (ob. rys. 56) styczne PiWi=‘WiM i MW₂ = W₂P₂.

cos

§ 27. Zastosowanie § 26. Rys. 58.

Dłuższe łuki tyczone z dwóch stron nie zejdą się w jednym wspólnym punkcie, z powodu nieuniknionych błędów

popełnionych przy tyczeniu. Jeżeli odchyłka A jest mała, to ją równomiernie na obydwa łuki rozdzie-limy podług § 14. Jeżeli zaś jest większa, to pomiędzy dwa dokła-

— HB —

-„Sz

A/fi

2d

Rys. 58.

dnie wytyczone punkty A i B wstawimy łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni. W tym celu zmierzymy kąty a1 i a₂ zawarte między stycznemi w tych punktach a prostą AB, następnie zmierzymy albo długości stycznych, albo AB=2d. Dalsze obliczenie jak w § 26.

§ 28. Łuk koszowy o małym kącie wierzchołkowym. Rys. 59.

Odwołując się na to, co powiedziano w § 17, należy ustalić na polu choć jeden punkt łuku koszowego. Jeżeli M jest tym punktem, to spuścimy prostopadłą do stycznej i zmierzymy MMi =p; alboteż dojdziemy do wartości p przez postępowanie wskazane w § 17a.

Długość promienia ri weźmie się z projektu, wtedy obliczymy i odmierzymy :

w-

121

MiPi — ]p (2rx—p)

przezco otrzyma się punkt P1? a po wyznaczeniu długości iłfj W, wyznaczy się: tx =MiPi + Mx 'W. Dalsze tyczenie łuku nastąpi podług § 25.

''•i

Rys. 59.

§ 29. Łuk koszowy o trzech łukach *).

Rozpatrzymy dwa różne przypadki.

a) Dane początek i koniec łuku i wszystkie trzy promienie.

Rys. 60 i 61.

Styczne tx i t₂, jakoteż kąt /?■ zmierzy się na gruncie.

Wyznaczyć mamy kąty ax, a₂ i a₂. Nazwijmy różnice promieni 0i0₂—di a 0₂0s = d₂. Poprowadźmy na rys. 60a OzQ\\OxPx, zaś 0XQ J_0₃Q i wykonajmy rzut wieloboku 0iPxWP₂0₃Q0i na kierunek P₁W i na prostopadłą do tęga kierunku, a otrzymamy:

OiQ=ti—t₂ cos /?—r₃ sin/?,

OsQ=t₂ sin jd—r₃ cos /?—r{.

Jeżeli te ilości obliczymy, to będzie (rys. 60&): OxQ

tang ip=

0₃Q

OxQ

C =-7—-

sin ip

*) Fuller, Zeitschr. fur Vermessungswesen Abstecken von Kreisbogen“.    •    ^ r.rxq ..-i

z r.

1893: „Ueber da&

W trójkącie 0X0₂0₃ oznaczmy s=

to:

«2

tang =

'(s — dA)(s-d₂)

s (s—c)

Z trójkąta 0±0₃wynika, że kąt 0₂ Oi 0₃ = ai+ ip,

<3. ty

zatem:

/_ M w /i? '

tv

w₂

(s—dtYs—c)

s(s—^₂)

wreszcie:

/ N\W₃

W miarę zwiększania się kąta ai zmniejsza się kąt tp, a staje się zerem, skoro promień OiPi spadnie z kierunkiem 0i0₃, czyli gdy kąt PjOjOg osiągnie 180°. Dla kąta Pt Oi 03 większego niż 180°, staje się kąt tp ujemny, na co przy obliczaniu należy zwrócić uwagę.

b. /Hf

Ł.___

O!

rj

Q 'X

/ XQ /<$

a - i o-

di /

o₃

°o₂

Rys. 60.

Gdy kąt /? jest ujemny, jak np. na rys. 43 lub 63, na-360°—at —a₂ — a₃=180°—/?, czyli: al+a₂+a₃== 180-f/?, więc: a₃ = 180+/?— ai — a₂.

Podług wyznaczonych kątów aj, a₂ i a₃ obrachuje się i wytyczy styczne okalające łuki, punkt P₂ i punkty wspólne M i M‘.

tenczas jest:

W,

Z czworoboku stycznych (rys. 61) możemy otrzymać dwa równania, wykonując rzut tego czworoboku na kierunki prostopadłe do głównych stycznych WWt i WW₃:

(*i— 4) sin/?=(£,-H₄) sin (a₂+a₃)-f

+ (4 + 4)sin aa,

(t₂ —1₅) sin /?= (t₃ + tk) sin ai -f + (^₄+Ą) sin (a₁ + a₂).

Te równania należy obliczyć dla kontroli*).

,w

I,

0(2,.

Rys. 61.*

W₃

b) Dane wszystkie trzy promieniey kąt ax i koniec luku P₂.

Zmierzymy kąt (3 i WP₂=t₂, a wyznaczyć należy tix a2 i a₃. Podług wzoru pod (a) obliczy się:

0₃Q=t₂ sin /?—r₃ cos [3—rx.

Z trójkąta 0₃0₂Q" otrzymamy:

stąd:

0₃ Q" = QQ"— 0₃Q=di cos a₁ — 0₃Q=d₂ sin x, di cos ai — 0₃Q

sin x

d₂

wreszcie:

Znając x, wyznaczy się z trójkąta 0₂Q'Q": 05 ₂ = 90°—ai —x, a₃ —180°—/?—G5₁— os₂.

W celu obliczenia stycznej ti wyznaczymy z czworoboku 0₂OxQQ" :

Oi Q=d₂ cos x—di sin ax,

a po wstawieniu tej wartości w wzór na Oi Q pod (o) podany:

ti =d₂ cos x—di sin 05₁ -\-t₂ cos (3+r₃ sin (3.

Dla kontroli rachunku obliczy się te same równania, co

pod (a).

c)    Jeżeliby zamiast t₂ było dane tlf wtedy obliczenie redukuje się do łuku koszowego o dwóch łukach.

d)    Jeżeliby jeden punkt, np. pierwszego łuku był ustalony, natenczas wyznaczy się tx jak w § 28, a dalsze obliczenie uskuteczni się jak pod (a) lub (b).

§ 30. Luk w zastępstwie krótkiej prostej. Rys. 62

Na trasie kolejowej należy unikać krótkich prostych między łukami jednakowo skierowanymi *); lepiej utworzyć łuk koszowy, a więc zastąpić prostę łukiem stycznym do danych łuków. j Na rysunku obok zastąpi- r liśmy prostę l łukiem PP / ' o promieniu r. Ten promień musi być większy niż rx i r₂, jest jednakże pożądane, aby różnica mię-

P’

rp

r\-

W*

"Q"

Rys. 62.

dzy promieniem r i danymi promieniami była niewielka. Jeżeli taki łuk zastępczy chcemy wprowadzić w projekcie, to obieramy wielkość promienia r, a punkty styczności P i P; wyznaczy się w następujący sposób. Ze środka Oi kreślimy łuk promieniem r—rx i przecinamy go łukiem zakreślonym z 02 promieniem r—r₂. Punkt przecięcia jest środkiem łuku zastępczego, zaś proste 00^ i 00₂ przedłużone do łuków, wyznaczą punkta styczności P i P'. W celu wytyczenia tego łuku koszowego na gruncie należy wyznaczyć kąty q)i i cp₂.

Oznaczmy: r—ri=dl) r—r₂ — d₂, r±—r₂ = c, 0i0₂—m, to z trójkąta 0i0₂Q, w którym 0₂Q poprowadzono równolegle

do l, wyznaczy się m=yP + c². Jeżeli dla trójkąta 00i0₂ ozna,-

czymy s

d^ -f- d₂ -j- w

to się wyznaczy:

■~ł-V

(s—d₂) (s — m)

sin

(s — d^) (s—m)

mdi

md₂

Jeżeli jeszcze obliczymy ’2£_Q0X0₂ z tang xp = ^—, to:

^ = 180°—ip—ó, cp₂ = ip — y.

Dla kontroli rachunku można wyznaczyć kąt e z wzoru:

(s d^) (s d₂)

. E

¹

Do tego § ob. nr. 15. zbioru przykładów.

²

Następne paragrafy 22. i 23. głównie podług dziełka: Inżynier Regiec: „O wytyczaniu łuków przy budowlach lądowych i wodnych", Kraków 1895. Tam też obszerne tabele ułatwiające tyczenie budowli wodnych.

³

Inne rozwiązanie patrz: D’Ocagne, Leęons sur la Topometrie.

Tyczenie tras.

di d₂

!inI ⁼

Kąt € ma się równać cpi-\-q)₂.

Znając kąty i <p₂ wyznaczymy punkt P tycząc albo z P₁ łuk o kącie <jp1} albo z P\ łuk o kącie a^~cp^.

Podobnie wyznaczy się P', poczem wytyczy się łuk PP

Uwaga. Dowolność w obiorze wielkość promienia r jest ograniczona kątami i a₂. Bowiem w miarę zmniejszania tego promienia zwiększają się kąty ąi qp₂, których wielkość nie może oczywiście przekroczyć wartości ax i a₂. Jeżeliby zatem z powyższego obliczenia wypadło (p^> lub <jp₂>>a₂, to trzeba obrać większy promień r*). (Ob. nr. 18 zbioru przykładów).

*) Nie trudno wyprowadzić wzór dla najmniejszego jeszcze dopuszczalnego promienia r; mianowicie dla <Pi= jest 8 — 180°—^—<*if

a wtedy z powyższego wzoru dla sin — wyznaczy się:

i podobnie: min d₂

min dx

l²

2 [c—m cos (1+ai)]

2[m cos (4>—a₂)—c]

1. Łuk o jednym ‘promieniu r.

odmierzymy je i wytyczymy łuk z dwóch

§ 31. Tyczenie łuku koszowego w trudniejszych warunkach. Rys. 63.

Na trasie kolei żelaznych czy to w serpentynach, czy "też w miejscach, gdzie mają być wykonane tunele zwrotne, mamy nieraz do czynienia z lukiem o jednym promieniu, lub też z lukami koszowymi, których kąt środkowy jest wię-kszy niż 180°. Przy-tem, z powodu trudności terenu bywa pomiar kątów jak /?1?

a tembardziej pomiar stycznych albo

bardzo utrudniony, albo wprost niemożliwy. Wtedy postąpimy w inny sposób. Przyjmiemy, że tylko kierunki końcowych stycznych BW i B± W są dane, a kąt /? może być zmierzony.

...w₂

@2'“

p.

WWlf Wi W₂..

B;

\r₂

*1

' 0₂

Eys. 63.

,-ri

U-

R.

Dla zmierzonego kąta obliczymy długość stycznych RT₁ = RT₄=r cotg

stron. Jeżeli w punkcie zetknięcia będzie różnica mała, to ją wyrównamy.

Jeżeliby zaś różnica była większa, to obierzemy dwa dokładnie wytyczone punkty, np. P₂ i P₃ i włożymy łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni, podług § 26.

2. Łuk koszowy o kilku tukach.

Dla dokładnie zmierzonego kąta /?, który będzie się cokolwiek różnić od kąta /? projektu, wyrysujemy przez próby łuk koszowy, któryby możliwie dokładnie zgodził się z pro-* jektem. Z tego wykresu wyjmiemy długość WPi: odmierzymy ją i wytyczymy łuk    dla promienia i kąta wyję

tych również z wykresu. Tyczenie tego łuku może nastąpić

aj Po wyznaczeniu położenia stycznej w P₂ (§ 12), tyczymy łuk P₂P₃ promieniem r₂ i kątem a₂ wyjętymi z wykresu i to znów przy pomocy wierzchołka W₂ lub bez jego pomocy. Po wyznaczeniu położenia stycznej w P₃ wyznaczy się W3 i zmierzy P₃W₃. Kąt /?₃ lub a₃ jest dany, gdyż :

albo przy pomocy wierzchołka Wlt albo też bez jego pomocy. Otrzymamy w ten sposób punkt P₂. Dalsze postępowanie może być różne.

/?₃ =360°—(3—(3t—/?₂, zaś: a₃ = 180°+/?—ax — a₂.

Dla kontroli można kąt /?₃ na miejscu zmierzyć. Ponie-

ct

waż zmierzona długość P₃ W₃ =r₃ tang więc wyznaczy się:

r3=P3^3 cotang

Gdy się jeszcze odmierzy VF₃P₄ — P₃ JV₃, to można wytyczyć łuk P₃P₄ o obliczonym promieniu r₃.

Jeżeliby jednak wierzchołka W₃ nie można wyznaczyć, a drobna zmiana w położeniu końcowej stycznej TFP₄ była dopuszczalna, natenczas z punktu P₃ tyczymy łuk o promieniu r₃ wyjętym z wykresu i o kącie a₃ powyżej wj^znaczo-nym. Ten łuk w ogóle nie będzie styczny do    wtedy

z następnego wierzchołka położonego na prostej WJBX wytyczymy styczną do łuku podług § 20.

b) Można jeszcze inaczej postąpić. Mianowicie wyjmiemy z wykresu długość TTP₄ i odmierzymy w polu. Następnie tyczymy z dwóch stron, więc łuk P\P₂ i łuk P₄P₃, dla promieni i kątów wyjętych z projektu, następnie włożymy między P₂ i P₃ łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni podług § 26.

małą niedokładność, która się pokaże przy zetknięciu, poprawimy, zaś przy większej różnicy włożymy łuk koszowy podług § 26.

c) Jeżeli łuk koszowy składa się z trzech łuków, to zamiast powyższych sposobów można dla zmierzonego kąta /? i wyjętych z wykresu długości promieni, wyznaczyć dokładnie kąty a1} a₂ i a₃, na podstawie przyjętych w wykresie długości WPi=ti i TFP₄ = tf₂, podług § 29 a). Tyczenie nastąpi z dwóch stron

§ 32. Tyczenie łuku w tunelu.

Robotę tunelową rozpoczyna się przebijaniem podkopu (sztolni), w którym w miarę postępu tyczymy oś. Dla głównego tyczenia stosuje się tu zawsze metodę biegunową (§ 10 d) jako najdokładniejszą i najlepiej nadająoą się do tyczenia w sztolni. Natomiast do prowizorycznego przedłużenia łuku w sztolni zastosuje się korzystnie metoda siecznych (§ 10/). Przy takiem tyczeniu niema mowy o wyznaczeniu punktu wierzchołkowego i głównych punktów łuku. Jeżeli łuk zaczyna się dopiero wewnątrz tunelu, wtedy wyznacza się jego początek za pomocą dokładnego pomiaru prostej poprzedzającej ten łuk, a od tego punktu na podstawie prostej jako stycznej łuk się tyczy Jeżeli zaś łuk już z zewnątrz wchodzi w tunel, to się wyznacza dokładnie punkt łuku w bliskości wlotu sztolni położony, wyznacza położenie stycznej w tym punkcie, a na jej podstawie wprowadza się łuk do sztolni. "W celu późniejszej kontroli należy położenie tej stycznej za pomocą wbitych pali dokładnie ustalić. Tyczenie łuku metodą biegunową odbywa się krótkiemi partyami, na jakie ograniczona szerokość sztolni pozwala. Jeżeli szerokość sztolni, jak to zwykle bywa, nie wiele przekracza 2 m, wtedy z jednego stanowiska można wytyczyć łuk tylko o takiej długości, jaka odpowiada strzałce 1 m. Jeżeli przez a nazwiemy kąt środkowy tego łuku, to strzałka:

rl 1—cos    1 =2r sin¹ 2

skąd:

sin -T- =

2r

Dla różnych wartości r

r—50

niemy poprawką łuków. Przy większej odchyłce włożymy łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni podług § 26.

§ 33. Tyczenie łuku koszowego w tunelu.

Łuk koszowy jak na rysunku 63. wytyczy się z dwóch stron, dokładnie jak § 31 c) podano.

§ 34. Połączenie odchylonych prostych kierunków w tunelu.

Proste kierunki tyczone z dwóch stron nigdy w punkcie

przebicia sztolni się nie zgodzą, należy je zatem za pomocą włożonych łuków ze sobą połączyć. Mogą tu zajść dwa przypadki.

a) Prostą BD (rys. 64) przedłużymy po za punkt zetknięcia D aż do przecięcia z kierunkiem AC w punkcie W, zmierzymy kąt @ i włożymy łuk o dowolnym promieniu.

b) Jeżeli punkt przecięcia W wypadnie po za obręb prostej AC, albo jeżeli odchylenie " prostych nastąpi po obu stronach prostej trasy tunelu, natenczas może nastąpić połączenie prostych tylko za pomocą odwrotnych łuków. Między odwrotne łuki żądane jest wstawienie prostej o pewnej długości, zależnej od wielkości promieni łuków. Mamy więc zadanie włożyć między dwie proste dwa odwrotne łuki o przyjętym promieniu r i prostą l zawartą między nimi. Na danych prostych obierzemy dwa punkty Wi i TF2? zmierzymy dokładnie kąty i fl2 i włożymy w nie łuki. Ażeby między łukami zmieściła się żądana prosta l, wypada długość WiW₂ obrać conajmniej na 50 m dla wielkich promieni r, a na 70 m dla najmniejszych na danej trasie stosownych promieni.

w*

Pl

!C

'D

Eys. 64.

.Hi

Sł¹-

w₂

Eys. 65.

§ 35. Przykłady tras kolejowych z tunelami.

Jako przykłady tyczenia tras w trudnych warunkach, przytoczymy kilka przykładów z kolei Albuli, między Thusia

a St. Moritz w Szwajcaryi ³). Wszelkie tyczenia łuków wykonano metodą biegunową.

yfc'.....

1. Tunel zwrotny Greifenstein. Rys. 66. Na polu ustalono proste kierunki TP1? TF₃P'₂ i wierzchołek W%. Ze zmierzonego kąta (S₃ obliczono i odmierzono styczną WZP\. Po przedłuże-W₂_

--- wt •?-> ł

\<

JL-

>3

5³''

^g_st.Moyta

z Thusis

Pi

.Rys. 66.

niu prostych P±T i P'₂JF₃ wyznaczono W i zmierzono kąt /?, jakoteż długość WPi=a i WP\ = b. Dla tyczenia potrzebna znajomość kątów i a₂, jakoteż długości P\P₂ — l- Pomiędzy kątami zachodzą związki:

^ = 1800—a₂ "^ISO⁰—/?₂> /? + /?!+/?₂ = 180°,

a stąd:

ai + a2—/?= 180°.

Z rzutu wieloboku TPP₁P,₁P₂P/₂ TF na kierunek prostopadły do l otrzymamy jedno równanie:

a sin (1 + cos fi\) = b sin /?₂ -ł-r(l + cos /?₂),

a po wstawieniu 180°—/?—& za /?₂ i uporządkowaniu:

cos /8₁(r—b sin /?+/• cos /?)—sin    cos /3 + r sin /?—a)=0,

z którego wyznaczy się nareszcie :

tang &

r—b sin /3-f r cos /?

r—« sin jS-j-r cos (3

• i podobnie:

przyczem ma się zgodzić, że Bx -|-/?₂ = 180°—8,

tang /?₂ =

a cos /J-j-r sin (3—b

Z rzutu tego samego wieloboku na kierunek l wyznaczy się:

l—ci cos Pi—r sin Px+b cos /?₂—r sin p₂.

W celu kontroli rachunku można jeszcze l wyznaczyć z trójkąta JRkF) W₂. Mianowicie jest:

zaś:

WWi — WBX -j- P₁    + r cotg ^

iFkR w, w.

sin fi

czyli: WiW^WWi

sin /?

sin p₂

sin p₂

Wstawmy za WWX powyższą wartość i zważmy, że:

kr.,TF₂ = Z + ^cotg|k₊cotg ^

A+A

sin

•• 'J

zaś:

cotg ~-+cotg Y ⁼

• A • A

m sm ~

to będzie ostatecznie :

sm

—-:--r

sin

sm /?₂

lub analogicznie:

Z“(& + »-cotgAj

cc

t—¹ •

• A +A

sm

Si“ft sin-ft

11 oi-n

2 2

Tyczenie uskuteczniono z dwóch stron, od strony góry na krótszej partyi, a przebicie nastąpiło w naznaczonym punkcie, z odchyłką wynoszącą tylko 002 m i różnicą długości 00B m.

2. Tunel zwrotny w Rugnux. Rys. 67. Dane było położenie stycznych Wt W i P₂kF, jakoteż punkt P₂, jednakże punktu przecięcia stycznych W nie można było wyznaczyć, trzeba więc było wytyczyć i zmierzyć pomocniczą prostą AR, zmierzyć kąty przy A i B (ob. § 66) i obliczyć kąt (3, jakoteż długość BW i AW. W ten sposób była długość WP₂=a wyznaczona.

Ponadto były dane promienie i r₂, pozostaje zatem dla tego łuku koszowego o dwóch łukach do wyznaczenia kąty a,i i “27 jakoteż długość P₁T'F=a\

To zadanie może byc całkowicie rozwiązane podług § 25 a), gdy wzory tam podane będą należycie zastosowane. Jednakże dla ćwiczenia czytającego przeprowadzimy obliczenie cokolwiek inaczej.

Wi

£ V³- \

p \.

Z trójkąta WWX W2 wynika, że p2=P+P\> a gdy:

Oj—180° + &,

05₂ = 180°—/3₂,

to: a₁ + a₂=B60°—0,    \

Rzut wieloboku WP₂0₂0iPiWn& kierunek prostopadły do TFP₁ wyznacza równanie :

'''Si--

OK

\\

< ar

rs

/W

Rys. 67.

a sin 04-r₂ cos p—{rx—r₂) cos (at — 180°)—rx =0,

A — a sin 0—r₂ cos 0 *1“*2

zatem znane a₂, 01? 0₂. Z rzutu tego samego wieloboku na kierunek TPPj, otrzymamy wprost:

#=a cos 0—r₂ sin 0—(a — r₂) sin (o^—180°),

#=« cos 0— r₂ sin 0+(a —r₂) sin ai.

Dla kontroli rachunku wyznaczymy z trójkąta W Wl W₂:

stąd:

lub:

cos ai =

= — COS 0j,

02

« + r₂cotg Y

sin 0t

A cotg y sin 0₂

Z tego wzoru obliczone a: powinno się zgodzić z poprze* dnio obliczonem.

Tyczenie rozpoczęto od P₂ położeniem stycznych do łuku P₂GDE, aż do punktu P położonego w bliskości projektowanego wylotu tunelu, poczem przedłużono styczną ED wstecz aż do przecięcia się ze styczną WPi w punkcie S. W tym punkcie ustawiono murowany sygnał, na który brano celową

przy wszystkich kontrolach w tunelu, tak łuku P^M, jak też łuku P₂M. W punkcie przebicia skonstatowano odchyłkę łuków O-IO m i skrócenie długości 0-30 m.

3. Dolny tunel Toua. Rys. 68. Trasa tunelu jest łukiem koszowym o trzech łukach, dla którego ustalenie ilości zasadniczych przedstawiało pewne trudności. Mianowicie na gruncie można było z projektu wyznaczyć tylko krótkie partye 45 i 67 końcowych stycznych. Zmierzono również 57 i 46, jakoteż wszystkie kąty, poczem wyznaczono rachunkiem długości hW i 7 W i kąt (3 (Ob. § 6 h). Później po przecięciu

4r>

*>’

Gr¹

dt

5a

. - -Q" "

\

-Mw,

i*

Rys. 68.

lasu wykonano jeszcze pomiar 67a i 5a7a i kąty przy la i 4, co posłużyło do kontroli pierwszego rachunku. Następnie obrano z projektu położenie punktów Pt i P₂, więc długości WPx=t± i WP₂ = t₂ były znane. Gdy i promienie rit r₂, r3 zostały z projektu przyjęte, pozostało tylko do obrachowania «i, a₂, a₃.

To obrachowanie jest zawarte w § 29, myje jeszcze raz przeprowadzimy. Poprowadźmy więc O^Q i 0₃Q prostopadle i równolegle do promienia O^P^ i nazwijmy kąt 0i0₃Q = ip. Z rzutu wieloboku PiWP₂0₃Q0iP₁ na te same dwa kierunki otrzymamy:

OiQ~t₁ —t₂ cos /?+r₃ sin /?, 0₃Q=t₂ sin /?+r₃ cos /?—r.

tang ty

0,Q

Jeżeli di=r₂ — ril d₂—r₂—rz, a s

0₁0₃=c=-?^-sin ty

d] -ł- dtj -4- c

«2

tang y =

s (s —- c)

tang ai₂ ^

S(«—Ą)

«i—

, bo kąt 0₂0₁0₃ = a₁—Te wzory wy-

Tu jest znaczą a₍ i a₂,

Nareszcie między kątami istnieje taki związek:

#=180°—/3₂=/?₃ +£= 180°—/? — /?! +/?₃, A+/?2-^3=180⁰-^

A gdy wstawimy: oą = 180°—a₂ = 180°—/?₂, 05₃ = 180°+/9₃. w poprzednie równanie, to otrzymamy:    +a₂+a₃=36O⁰-ł-/?r

skąd wyznaczy się a₃.

Tyczenie nastąpiło z dwóch stron, a w punkcie przebicia okazała się odchyłka łuków 003 m, zaś różnica w długości O02 m (Ob. nr. 19 zbioru przykładów).

czyli:

.2

§ 36. Parabola drugiego rzędu. Rys. 69.

Na trasach dróg, rowów, kanałów spławnych i linij regulacyjnych rzek można z korzyścią zastąpić łuk kołowy parabolą, z powodu łagodniejszego przejścia z prostej do krzywizny łuku*). Szczególnie kołowy łuk koszowy, dla którego obie styczne mają różne długości, wygodniej zastąpić parabolą. Rozpatrzmy jakie stosunki zachodzą między zasadniczemi ilościami paraboli drugiego rzędu.

p.

s;

h_

Parabola PSPi * będzie wyznaczona, skoro będzie znany kąt i położenie początku P i końca Px paraboli. Kąt /3 zmierzy się wprost, albo pośrednio podług § 6.

Jeżeli można zmierzyć PP^=2d i kąty y id, wtedy:

sin d

75—

)i .

Bys. 69.

+    180°, WP=t=2d

WPi=ti=2d

sin y

sin /?

sin

*) Tylko na trasach kolei żelaznych, gdzie się stosuje przechyłkę toru, nie można zastąpić koła parabolą.

Styczne t i ^ mogą byc ewentualnie wprost zmierzone. W ten sposób wyznaczymy podstawowe ilości /?, t i które w zupełności parabolę wyznaczają. Na ich podstawie wyznaczymy inne ilości, które się nam w dalszym ciągu przydadzą. Gdy PPi=2d, to z trójkąta PWPX wynika:

Ad² = t²Ą-t²i—2tticos^, więc: d=~^t²-\-t²^—2tticos(3 (1)

Jeżeli oznaczymy TFC=2h, zważywszy, że dla paraboli jest WS=SC=h, to z trójkątów WPC i WP^C ustawimy równania:

t²=d²-\-Ąh²—4dh cos cp, t²i=d²-\-4:h²-{-4:dh cos cp. Po zesumowaniu otrzyma się:

(a)

P+t\=2d²+8h²,

(2)

skąd:

W=±-(t²+t\-2d²).

O

Wstawmy w ten wzór za d wartość z wz. (1), to: ^²=—[^d-ź²! Ą-2ttx cos /?], lub    t²-\-t²i + 2^ cos /? (2a)

Dla t=\ jest fl!=i(sin

isorcb

h=YcosY.

Jeżeli równania (a) odejmiemy, to otrzymamy: t\—t²*=8dh cos cp,

i\—t2 8dh~ ’

a z tego wzoru, z uwzględnieniem wz. (1) i (2a):

tti sin

_ mit

skąd:

cos cp—

sin cp

Przez podzielenie wzoru (36) przez (3a):

2tL sin 8 tang V=-t2—jr

2tti sin (i

(A + O (A <0

Z trójkąta PTPG znajdziemy:

.    '    . d

sin ^ = sm cp

Z

A sin |8

4/i    ’

(Ba)

(36)

(Bc)

a analogicznie:

.    t sin/S

sm (/3-^)=    -

Tyczenie tras.

Dla spółrzędnych w kierunkach SC i ST i dla początku układu $, jest równanie paraboli:

y² = 2p'x

zatem:

Jeżeli p jest parametrem paraboli, to p‘= . ₂    ,

,    2px

Dla punktu P₁ jest x=h, y=d, zatem:

2/i/i

= - ₂ , sin"¹ cp

a stąd wartość parametru paraboli:

(5)

c7² sin² cp

P = —-7—

Parametrowi równa się promień krzywizny (>₀ w wierzchołku O, zatem podług wz. (5), po wstawieniu wartości za sin² cp:

<>o

d² sin² gp

P7², sin² /?

2A

82 h³

(6)

Jestto zarazem najmniejszy promień krzywizny paraboli.

W dowolnym innym punkcie paraboli równa się promień krzywizny:

Qo sin³ a

jeżeli a jest kątem, który styczna w tym punkcie poprowadzona zawiera z osią paraboli; zatem promień krzywizny:

dla punktu S:

2 d³

sin³ (p

2A sin (p

2t³

ri

Q~-—-- = _

sin³ip sin /?

o —    9*

sin³(/3—ip)

(7)

21\

t sin /?

i stosunki:

(>

t³

d³’

_£i _ jfj. d³

Obliczenie promienia (>₀ będzie nieraz potrzebne, w celu przekonania się czy nie przekracza się najmniejszej dla danej trasy dozwolonej wartości.

Wyznaczenie ilości h, d, <p rachunkiem, czy też wprost pomiarem, będzie ewentualnie potrzebne, stosownie do metody użytej do tyczenia paraboli ⁴ ⁵).

§ 37. Tyczenie paraboli.

i?

Skoro ilości /?, t i tx są ustalone, można wyznaczyć położenie punktu S, leżącego na prostej WC równoległej do głównej osi paraboli, z następujących własności paraboli: Końce stycznej UT (rys. 69) połowią styczne WP i WP

zaś punkt S połowi prostą C/T, przyczem : IJS=ST=~. Następnie punkt S połowi prostą łączącą W z punktem C połowiącym prostą PPl7 przyczem WS=SC=h.

Do tyczenia punktów pośrednich służą różne metody.

a) Tyczenie rzędnemi od stycznych. Rys. 70.

Jeżeli obierzemy W jako początek układu spółrzędnych, których kierunki spadają ze stycznemi WP i WPi, to równanie paraboli:

(8)

^=1

t,

'''„Ac

SI,;/

/y

Z tego równania wyznaczy się wzór:

i—\

Rys. 70.

podług którego obliczono następującą tabliczkę:

**)

ot ot

01    .    .    046

02 . . 0-30 0-25 . . 0-25000 0-3 . . 0-20456 04 . . 0-13509 0-5 .    .    0-08578

0-6 . . 0-05081

0-7 . . 0‘02668 08 . . 001115 0-9    .    .    0-00263

1*0 . . 0-00000

Stosując tę tabelę, wytyczy się parabolę z dwóch stron

OC %!

od punktu S, dla którego — = —-=0 25. Rzędne trzeba ty-

T/    ij

czyó pod kątem /?, za pomocą przyrządu, który umożliwia nastawienie na dowolny kąt. Jeżeli takiego przyrządu niema pod ręką, to można na podstawie proporcyi :

WD: WP^P.E.PiP

podzielić P^P na tyle części, na ile WP zostało podzielone, a przynależne punkty podziału wyznaczą kierunki rzędnych. Ten sposób tyczenia paraboli należy do najdokładniejszych. Zwykle wytyczy się jedną połowę od stycznej JFP, drugą połowę od stycznej WPi.

b) Tyczenie przy użyciu cięciw. Rys. 71.

w.

Prosty sposób tyczenia uzyskuje się na podstawie własności paraboli, ze jej punkty połowią prostą łączącą punkt wierzchołkowy z punktem połowiącym cięciwę.

W</w₂ i s

źćgćT:

p,

Rys. 71.

Jeżeli C połowi PPU to S połowi TPC'; jeżeli Wi połowi WP, zaś Ci połowi P/S', to Si połowi Wx P,; W₂ połowi W\ S, C2 połowi S\S, to S₂ połowi W₂C2 i t. d. Proste WiC₁₎ W₂C₂ są równoległe do WG.

c) Tyczenie za pomocą stycznych otaczających parabolę. Rys. 72.

Polega na znanej konstrukcyi podziału stycznych na jednakową liczbę równych części i połączenia należytego punktów podziału. Jeżeli tę liczbę obierze się wielką, to punkty przecięcia się stycznych jak 1, c, d... można uważać za punkty paraboli.

Można jednakże rzeczywiste punkty paraboli A, B... na stycznych wyznaczyć, jeżeli się odmierzy:

5.

J'

lA=l'a, 2B=2'b, 4'(7=46, 5'Z)=5a.

2’

.Cr

iąn

D '

\5’

P,

Eys. 72.

stosować do tyczenia wklęsłych brzegów rzek.

Przy parzystej liczbie podziału otrzyma się punkt S na przecięciu prostej Wab ze p, styczną 33'.

Sposoby pod a i c

podane dadzą się za-

d) Tyczenie od cięciwy. R,ys. 73 i 74.

Ten sposób tyczenia poznaliśmy już w § 10 pod ój, gdyśmy płaski łuk kołowy zastąpili parabolą.

Jeżeli jak tam oznaczymy (rys. 73):

T,

\s

tM

\h

Py

N    C

Eys. 73.

PO—CP, =d, 80—h, PN=a,

NPi =b=<źd—a, to możemy zużytkować 1 wzór (8) tego paragrafu dla wyznaczania rzędnych z:

ab

h=~

a po wyłączeniu ilości r:

albo:

dl    h

Podług tego wzoru obliczono następującą tabliczkę, przy-' jąwszy podział prostej PC lub CPi na 10 części:

z=

a /2d—a\    a / a\

~ j \d~) ~~d\    ~d)

(9)

z*)

i-l

*) Ta tabliczka jest powtórzona na tab. V&.

1-0 . . 1-00

Kierunek rzędnych wyznaczy się jak pod a) podano, przyczem zamiast na TW można podział na przedłużonej prostej TS uskutecznić.

\s

Ten sposób tyczenia można zastosować do tyczenia wypukłego brzegu rzeki, podobnie jak w § 22. z pewną modyfikacyą.

\z

Po ustaleniu ilości (3,    //

t obliczmy d,h i kąt cp, a zmierzymy kąt y.    AĄ ^

In: . b’ Rys. 74.

A’'L

Z P tyczymy kierunek PA{PA‘) pod kątem y—(p do stycznej i odmierzymy dowolną długość PA = a.

Następnie z A tyczymy kąt PJ.Z? = 180°—cp. Od AB można tyczyć rzędne MN'=a-\-s dla połowy paraboli. Tyczenie rzędnych pod kątem cp można przezto ominąć, że się wytyczy A‘B‘\\AB i podzieli tak samo jak AB, a wtedy przynależne punkty podziału, jak N' i N". wyznaczą kierunek rzędnej.

¹

la p — 1 m jest sin ~ =

⁴    \2r

otrzyma się następujące kąty a i długości łuku w zaokrąglonych wartościach:

100,    200,    300, 400, 500 m

a=22°57', 16° 13', 11°28', 9°22\ 8°6' 7° 15' łuk = 20-0.    28-3.    40-0.    49-0. 56-6. 63-3 m.

Po wytyczeniu tak niewielkiej długości trzeba się z instrumentem przestawić.

²

Jeżeli sztolnię pędzi się z dwóch stron, to w punkcie przebicia sztolni łuki się nie zgodzą. Drobną odchyłkę usu-

³

Wyjęte z Schweizerische Bauzeitung z r. 1902, tom 40, str. 284 i dalsze, Sposób obliczania podany przez autora niniejszego podręcznika.

⁴

Ob. nr. 20. zbioru przykładów.

⁵

Ta tabliczka jest powtórzona na tab. Vo.

ROZDZIAŁ II.

Krzywe przejściowe.

Wstęp. Przejście trasy bezpośrednie z prostego kierunku do krzywizny łuku powoduje przerwę ciągłości ruchu wody na drogach wodnych, lub ruchu wozów na torze kolejowym, co ujemnie oddziaływa tak na budowle trasy jak na środki przewozowe. Te ujemne objawy występują tern silniej, im ostrzejsza krzywizna łuku. Dlatego staramy się przejście z prostej do łuku o małym promieniu złagodzić za pomocą krzywej, której promień krzywizny od nieskończoności stale maleje aż do wartości r łuku. Taką krzywę zowiemy- krzywą przejściową. Dla dróg wodnych byłoby korzystne łuk kołowy w całej rozciągłości zastąpić taką krzywą, lecz skomplikowane tyczenie krzywej przejściowej musi w wielu wypadkach, mianowicie gdy tyczenie odbywa się w wodzie, ustąpić prostszemu tyczeniu łuku kołowego. Jeszcze bardziej byłoby wskazanem na trasie kolejowej zastąpić cały łuk krzywą przejściową, jednakże ze względów, które później poznamy, jest to niedopuszczalne; zadowalamy się zatem łukiem kołowym, a tylko krótszą partyę takiej krzywej wkładamy na przejściu z prostej do łuku. To samo moglibyśmy uczynić także na trasie drogi wodnej, na co w należytem miejscu będzie zwrócona uwaga czytelnika.

Równie ważnem jak łagodne przejście z prostej w krzywiznę łuku jest na torze kolejowym racyonalne sprowadzenie przechyłki toru do zera; ono też daje podstawę do wyprowadzenia matematycznego kształtu krzywej przejściowej. Obecnie stosuje się bezwarunkowo na wszystkich ważniejszych kolejach żelaznych krzywe przejściowe, normowane odpowiednimi przepisami.

§ 38. Przechyłka toru kolejowego.

Masa m poruszająca się po drodze krzywolinijnej zostaje pod wpływem działania siły odśrodkowej, określonej wzorem:

n mv²

{J=    —,

w którym ę oznacza w uważanym punkcie promień krzywizny, zaś v chyżość ruchu. W zastosowaniu do wozu poruszającego się po torze kolejowym, otrzyma ten wzór formę:

o_«l’

99

Q oznacza ciężar wozu, g przyśpieszenie siły ciężkości.

Rys. 75.

z uwzględnieniem

Siła O wywiera szkodliwy nacisk na tok zewnętrzny toru, dlatego staramy się ją zrównoważyć przez pochylenie toru o taki kąt a, aby wypadkowa W z ciężaru Q i siły odśrodkowej 0 wpadła w środek toru (rys. 75).

Z trójkąta sił wynika, że tang a = -^

górnego wzoru:

tang a =

9Q

Przechyłkę toru urabiamy przez podniesienie zewnętrznego toku ponad wewnętrzny o wymiar li, który, jak z rysunku widać równa się s. sin a, gdy s jest szerokością toru. Ponieważ kąt a jest mały (dochodzi ledwie do 6°) można za sin a postawić tang a, określone powyższym wzorem, więc przechyłka toru :

(1)

sv2¹)

h — s tang a =—-9Q

Dla danej linii kolejowej jest v ilością stałą, s i g są również stałemi ilościami, zatem:

a dla łuku o promieniu r:

k ,    , sv'z

—, gdy k=—. Q'    9

(2)

*=i

(3)

Ten wzór okazuje związek między przechyłką toru a promieniem. Żądamy, aby na początku łuku Bt (rys. 766) była

C tok zewg

pełna przechyłka toru, trzeba ją więc w prostej partyi AB (rys. 76a) sprowadzić do zera. Mamy wtedy wprostym torze zmienną przechyłkę toru, gdzie jej wcale nie potrzeba, a nawet jest szkodliwą. Dlatego właśnie, a także w celu łagodnego wprowadzenia wozu w krzywiznę łuku, na partyi A'B‘ układamy krzywą przejściową.

a.

b.

: tokwewn

A’

Rys. 76.

§ 39. Ogólna teorya krzywej przejściowej. Rys. 77a i b.

Stosownie do rozważań poprzedniego paragrafu przechyłkę li przynależną do promienia łuku r zagubi się na par-

tyi BA (rys. a, rzut tłowy) podług dowolnej krzywej AC, dla której ustawimy pewne warunki. Dowolna rzędna lix tej krzywej jest funkcyą odciętej, zatem lix—f(x).

Zakrzywiony rzut osi toru A‘B‘ ma być styczny w A‘ do stycznej Wi W

C tok zewn

Wi

a.

A’ b.

!r

i tok węwn

iB’

Rys. 77.

a w B' do łuku kołowego.

Ta w dwóch rzutach AC i A'B‘ przedstawiona krzywa jest krzywą przestrzenną. Jej rzut tłowy AC zowiemy krzywą przechyłki toru. zaś rzut poziomy A'B‘ osi toru zowiemy krzywą przejściową. Żądamy, aby w każdym punkcie rzędnej hx odpowiadał w krzywej przejściowej promień krzywizny q podług związku wykazanego wzorem (2), mianowicie :

Jeżeli literą y oznaczy się rzędną krzywej    to oczy

wiście jest y=F(hx), zaś ogólny wzór na promień krzywizny, z uwzględnieniem wz. (4):

łlx

Jestto w najogólniejszym kształcie równanie różniczkowe krzywej przejściowej, czyniącej zadość warunkowi wyrażonemu równaniem (4).

Ilość F‘(hx), oznaczająca tangens kąta nachylenia stycznej do osi #, jest dla krzywych przejściowych stosowanych w praktyce małą, gdyż ten kąt nachylenia osiąga z reguły nie więcej jak 6°, a w ogóle nie przekracza 9° tak, że podniesiona do kwadratu może być w pewnych wypadkach (ob. § 48.) wobec jedności opuszczoną. Wtedy powyższe równanie różniczkowe uprości się na:

t—I Or

= F"(hx)=

(6)

i w tej formie będzie w dalszym ciągu stosowane.

Na początku krzywej A jest hx=0, zatem ,F"(ńx) =0, czyli A' jest punktem przegięcia krzywej, posiada więc promień krzywizny nieskończenie wielki, który stale malejąc

=r. W A jest także F'(hx)~0, z po-

osiąga w wartość:

wodu styczności do WWU również F(hx) = y=-0.

Te stosunki omówione już we wstępie, zachodzą przy wszystkich rodzajach krzywych przejściowych rozpatrywanych w dalszym ciągu.

Linię Jix przyjmuje się dotychczas w praktyce zawsze tak, że rzędne hx są dokładnie lub w przybliżeniu propor-cyonalne do długości krzywej przejściowej.

Takie przyjęcie upraszcza wprawdzie zastosowanie tej kzzywej, nie jest jednakże najlepsze. Odmienne przyjęcie, z wykazaniem wad powyższego uproszczenia omówimy w § 42.

§ 40. Krzywa przechyłki toru, której rzędne hx są proporcyonalne do długości krzywej przejściowej. Rys. 78.

Ponieważ zakrzywienie krzywej przejściowej jest małe, to krzywa przechyłki toru przedstawi się jako linia prosta, a z powodu proporcyonalności rzędnych do długości krzywej przejściowej, jest spadek tej krzywej ilością stałą.

Oznaczmy go 1: i.

A’-.....

Rys. 78.

W praktyce obiera się spadek mały, zatem i wielkie, wynoszące 200 do 500, stosownie

do ważności linii kolejowej. Jeżeli łuk A'C‘ oznaczymy literą S, to warunek proporcyonalności wyrazi się wzorem:

~h²X    1²    1 ■    7    ^

S = T’ czyh: h=T

co, gdy wstawimy w wzór (5), otrzymamy:

hi

(7)

Q S S

Stałą ilość hi oznaczyliśmy literą C; uwzględniwszy wzór (2) ma ona wartość:

(8)

c=svH

Zależnie od szerokości toru s, największej chyżości pociągów i od liczby i jest wielkość stałej C różna.

Np. na austryackich państwowych kolejach żelaznych przyjmuje się w okrągłych cyfrach:

Chyżość pociągu _

. w km na godz.    ’

Te liczby należy jeszcze uzupełnić dla większych chy-źości kolei normalnotorowych, przyczem i należy przyjąć około 500:

Normalna szerokość toru 1 435 m

Szerokość toru l'0m

Szer. toru 076 m

chyź. pociągu

f chyż. pociągu

chyż. w hm na godz. =80,

90

(7=36000, 45000

§ 41. Na podstawie warunków ustalonych w § 40. wyprowadzone

krzywe przejściowe.

a) Dokładne równanie. Klotoida. Rys. 79.

Warunek proporcyonalności rzędnej lix do długości krzywej przejściowej, doprowadził do zasadniczego wzoru (7), który z uwzględnieniem wzoru (5) posłuż}r do ustawienia równania różniczkowego krzywej. Obierzemy jednak inną drogę²). Jeżeli (p oznacza kąt, który w dowolnym punkcie

C poprowadzona styczna zawiera z osią x, a, S łuk A‘C krzywej, to wiemy, że dS = ędę>, zaś po wstawieniu za q wartości z wzoru (7):

d(p =

SdS

S²

B'

jhjh

Następnie jest:

dx=dS cos cp, dy=dS sin cp,

K-

-³ i

A’

więc:

ęs /s²\

H ₀cosM

Ly i

dS

CNJ

P . / S²\

H₀smb)

dS

(9)

<?/

Rys. 79.

Jestto równanie krzywej zwanej klotoidą,— krzywej spiralnej o punkcie przegięcia w A. Dla praktyki użyłoby się tylko małą część tej krzywej, dla której p. d’0cagne³) obliczył tablice, zawierające wartości x i y dla różnych stałych C. Dotychczas ta krzywa nie została do praktyki wprowadzona.

b) Pierwsze uproszczenie. Lemniskata. Rys. 80.

Zamiast dokładnej krzywej pod a) podanej możemy dopuścić uproszczenie, że zamiast do długości krzywej przejściowej są rzędne hx propor-cyonalne do długości cięciwy A'C—p. Jeżeli będziemy uważali p za promień wodzący a kąt, który ten promień zawiera z osią x, nazwiemy <n, to na podstawie wzoru (7), który obecnie zmieni się na :

B’

:A

co

;hx

•►i

:y

i;

Rys. 80.

dojdziemy do równania:

(10)

p² = A3C sin (2co)

Jestto równanie biegunowe lemniskaty. Ta krzywa przez p. Lebera bardzo zalecona, również nie znalazła dotychczas praktycznego zastosowania.

Klotoidę i lemniskatę przedstawia rys. 81.

c) Drugie uproszczenie. Parabola sześcienna.

Jeżeli w chęci dalszego uproszczenia wzoru na krzywę przejściową przyjmiemy, że rzędna przechyłki toru hx jest proporcyonalna do odciętej x zamiast do długości łuku krzywej, to wzór (7) przejdzie w następujący:

(U)

a.

b.

Bys. 81.

z którego wyprowadzi się (ob. § 43) parabola trzeciego rzędu, jako dziś powszechnie stosowana krzywa przejściowa. Powyższe uproszczenie jest dopuszczalne, ponieważ dla tych krótkich partyi krzywych, które się w praktyce stosuje, różnica między długością krzywej a odciętą x jest bardzo mała.

Z powodu proporcyonalności rzędnych hx do odciętych x jest AB' (rys. 80) linią prostą, nachyloną pod przyjętym spadkiem 1: i.

§ 42. Krzywa przejściowa w założeniu, że przechyłkę toru przeprowadzi się podług zmiennego nachylenia.

W poprzednim paragrafie przyjęto przeprowadzenie przechyłki toru stałym spadkiem. To przyjęcie wraz z uproszczeniem S=x doprowadza wprawdzie do prostych wzorów na krzywę przejściową i wystarcza dla małych chyżości pociągów; jednakże przy wielkich chyżościach następuje rzucanie wozu przy przejściach przez punkty A i JB‘ (rys. 80) ponieważ tok zewnętrzny posiada w tych punktach załomy. Wypada zatem dla linii iix zastosować krzywę, któraby w A i stycznie przechodziła do sąsiednich partyi toru (jak na rys. 77). Równanie tej krzywej obierzemy w ogólnym kształcie: hx=a₀ alxa₂x²azx³ + aixia₆x5 Dalsze przeprowadzenie znajdzie czytelnik w rozprawie ogłoszonej drukiem *), z której podamy tylko ostateczne wyniki. Krzywa przechyłki toru jest piątego rzędu:

2² ₄

z⁴ +

2¹⁰

(z³

h* 3³.5². i³ ./a2 jzaś krzywa przejściowa siódmego rzędu:

x ⁶ -j-

5. i. h

2⁶

3.6³. i². h²

(12)

2⁸

(x⁵

2³

2⁷

x(13)

V 3³.5². Ci²h²

Te krzywe powinneby znaleźć zastosowanie na liniach o wielkiej chyżości pociągów.

3.5 .i.h

3².5².7 .P.h²

§ 43. Parabola sześcienna jako krzywa przejściowa. Rys. 82.

W § 41 pod c) rozważaliśmy uproszczone przyjęcie pro-porcyonalności rzędnej hx do odciętej x, które doprowadziło do zasadniczego wzoru:

z ktorego wynika, że promień krzywizny w dowolnym punkcie krzywej jest odwrotnie proporcyonalny do odciętej x. Znaczenie stałej C podano w § 40.

Jeżeli x i y oznaczają spółrzędne krzywej, to promień krzywizny wyraża się ogólnym wzorem (ob. także wz. 5):

z r. 1906.

*) Inż. K. Wątorek, Krzywe przejściowe, Czasopismo techniczne

ę'=

hffll

V)

dhj

(14a)

dx²

Jak już w § 39 powiedziano, możemy w zastosowaniu

do krzywej

•» •    / dy \ ^    .    .    ., .

przejściowej 1^1 wobec jedności opuścić i

na

B’

VI

pisać :

;hx

(146)

^ d²y dx%

a po wstawieniu za q wartości z wz. (11):

/r

Rys. 82.

(15)

jako równanie różniczkowe krzywej. B,az całkując będzie:

dy x

dx²

c&c

26f

(16)

= 0.

cly

przyczem stała całkowa odpada, gdyż dla x=0 jest: —

CtJC

Jeszcze raz całkując, otrzymamy:

a:³

y"6C

(17)

Stała całkowa odpada, bo dla x—0 jest y=0.

Wzór (17) okazuje równanie paraboli sześciennej, powszechnie używanej dla krzywych przejściowych.

Zastanówmy się teraz nad błędem popełnionym przezto, żeśmy zamiast dokładnego wzoru (14«), zastosowali przybliżony (146). Z tych wzorów wynika, że :

Q' = Q

Ms)?

W dostatecznem przybliżeniu możemy napisać:

więc błąd popełniony wynosi:

*) Podług tego dokładnego wzoru wyprowadził równanie krzywej przejściowej p. Leber w dziele jak wyżej.

3 (dy\²

p'-?=irU] *■

lub, gdy się uwzględni wz. (16) i (11):

3 xk

Q‘-Q=8"^

Dla kolei główniejszych osiąga x najwiękzsą wartość 40 do 60 ni) dla tych wartości obliczy się z wz. (18):

gdy (7=45000, najw. x =    45

^=1? =0-00076(0.08%), 0-00375 (0-4%), 0-0138(1-4%), 0-027(2-7%).

Są to różnice praktycznie dopuszczalne.

Dla kolei podrzędnych można, w uwzględnieniu mniejszej chyżości pociągów, dopuścić większą różnicę.

Jeżeli przyjmiemy: q‘—    to z wzoru (18) otrzy-

36000,

60

8 C'¹

(18)

12000.

6000

48

40 m

ma się :

q sit    __ _

-|-^-<0-lę, a stąd: £^\/3-75Cr2> 13911/(7 Podług tego wzoru obliczno graniczne wartości dla q :

gdy (7=4500,    3000,    1500,    750

(>>94

Te wartości zostały uwzględnione w tab. VI. części II. Drugi błąd popełniamy w pomiarze długości przezto, że zastępujemy zwykle długość krzywej S, odciętą x.

7j wzoru ogólnego dla długości krzywej :

76

54,

39 m

dS=

iMsr

. dx

dy

rozwiniętego w szereg, po wstawieniu wartości za ~ z wz. (16):

&AJ

dS=

otrzyma się przez całkowanie wzór:

o    #⁵

b==x+40Ć² ~ 1152(7*

Po wstawieniu za x wartości z wz. (11), otrzyma się:

(19)

S—x

(73

C⁵

40(>⁵    1152()⁹

(19a)

Drugi człon z prawej strony daje dla najmniejszych promieni, wykazanych w tab. VI., różnicę dochodzącą ledwie do OOOl m, może być więc zawsze opuszczony. Co do pierwszego członu, to jeżeli dopuścimy w praktyce różnicę S—x mniejszą niż pół centimetra, natenczas mamy warunek:

G’³ _

40?

-    <>004 m

a stąd : i następujące zestawienie:

£> \^6-25G³> 1-4426\^C³

(196)

782,    404,    267,    224,    176, 116,    77 m

dla (7=45000, 36000, 12000, 6000, 4500, 3000, 1500, 750 <?3>894,

Zatem dla promieni większych, niż powyższe, możemy podstawić S=x, zaś dla mniejszych promieni należy zastosować wzór ogólny:

s=*(¹⁺35^)

(20)

Tabela VI. zawiera długości krzywej dla S—aj^O'001 m. To poprzedziwszy, powróćmy do wzorów (11) i (14) do (17), które w zupełności określają krzywę przejściową.

W punkcie końcowym P krzywej osiąga q wartość promienia r łuku kołowego, zaś x długość l, więc podług wz. (11):

l= —

a ponieważ wiemy, że linia A'B‘ przechyłki toru jest prostą nachyloną spadkiem 1: i, to :

x=ihx, zaś: l = ih

jako drugi wyraz dla długości krzywej przejściowej.

Z wz. (16) otrzymamy, gdy <p jest kątem nachylenia

2 r²

stycznej, tang = a dla końca w P: tang ⁽Po~2C⁼⁼

Jeżeli końcową rzędną w P oznaczymy literą e, to z wz. (17):

P C²

~    ⁶ 6C 6r³

zaś rzędna w połowie krzywej, dla a;=— równa się :

4g£, czyli równa: —

Tyczenie tras.

Oznaczmy podstyczne w punktach Ci P przez z i z₀, to:

00    Is

z = y cotang <jp=—, zaś: z₀ —e cotang (p₀ = — O    o

Te wzory są tak proste, że je można wprost na polu do obliczenia zastosować.

Dla lepszego przeglądu zestawiamy powyższe wzory, określające zupełnie krzywę przejściową :

tang op =

x²

o

(także l — ih)

i ^ng <p₀ =~c

: 1=

C __ 3e ” 2r²~' l

Z = —~

8 ’ "8

___P _ C²

(21⁴)

V~6C’ e~6Ć ~ 6r?’

Rzędna w połowie długości

K)

równa

(granice stosowania podaje wz. (196)

U (ob. § 44)

a=(podług wz. 24a, b lub c w § 44).

Uwaga. Dla wielkich promieni r wypada l małe; można zatem dla głównych kolei przyjąć jako najmniejszą długość 1=20 m. Wtedy jest C zmienne z r, mianowicie (7=20. Jest to uwzględnione w tabeli VII.

§ 44. Łuk kołowy z krzywą przejściową. Rys. 88.

Jeżeli między łuk kołowy P₀PK, a prostę styczną do łuku włożymy krzywę przejściową AP, to ponieważ ta krzywa jest łagodniej zakrzywiona, niż łuk, jej przebieg wypada po zewnętrznej stronie łuku.

Z tego powodu styczna do łuku P₀K' i styczna do krzywej przejściowej AP‘ muszą być względem siebie równolegle przesunięte o pewien wymiar v. Styczne przejście krzywej do łuku następuje w tym punkcie P, w którym promień q r e=—

(23)

więc:

4    4

Zatem wielkość przesunięcia stycznej łuku względem stycznej krzywej równa się jednej czwartej końcowej rzędnej krzywej przejściowej.

Jeżeli w wz. (22) wyrazimy sin <p₀ przez znaną wartość tang <p₀, to otrzymamy:

(24)

r tang ffo

V1 + tang² <Pa    2YI + tang² qp₀

Jestto dokładny wzór dla obliczenia a jednakże nie używamy go, gdyż dla promieni stosowanych w praktyce wystarczą wzory przybliżone. Rozwińmy prawą stronę wz. (24) w szereg:

a=U

krzywej osiąga wartość r łuku, a kąt styczności wartość <jp₀, określoną wz. (21). Należy przedewszystkiem wyznaczyć ów odstęp stycznych v. Z trójkąta OPQ wynika (O środek koła):

-*jp’ K"

1- a

Zo

QP=CP' = a=r sin <p₀ (22)

P₀Q jako strzałka pła-

$ *7 ~ "    Q,

ip y:y' skiego łuku, równa się ^

to

A    (ob §10&),agdyv=c—P₀Q}

Wymiar v

więc

jest zawsze mały, można

Q

zatem za a zamiast r sin <p₀ wprowadzić r tang ęp₀ =—- (wz 21).

2 r

Wtedy jest:

Rys. 83.

a² C* 6 C2 2r 8r³ 8 ’6r³

3

= — e (ob. wz. 21).

3    \

2 tang²    tang⁴ cpA

lub:

3/

(24o)

tang² <p₀ tang⁴ qp₀

Drugi wyraz po prawej stronie można opuścić, gdyż dla najmniejszych w praktyce stosowanych promieni daje ledwie 0-001 m. Natomiast pierwszy wyraz opuścimy wtedy, jeżeli zajdzie warunek:

— tang² <jp₀< 0-004

Wstawmy za l i tang cp₀ wartość z wz. (21), natenczas:

<7/ 6y\²_

\2r²j ⁼

Ar

C³

16 r⁵

^ 0-004,

<1

a stąd:

(7³

0 064

Podług tego wzoru obliczono następującą tabliczkę: (7=45000,    86000,    12000,    6000,    4500,    8000,    1500,    750

>■>1074,    939,    486,    321,    270,    212,    140,    92 m

Zatem dla promieni mniejszych, niż ta tabliczka wykazuje, zastosujemy wzór:

^(i—^tang2^°)

——a=—tang²qp₀, lub: a = zaś dla większych promieni wzór:

(24c)

W tabeli VI. uwzględniono różnicę: ——a ;> 04)01 m.

Z powyższego rozpatrywania wynika :

1.    Włożenie krzywej przejściowej między prostą i luk kołowy jest tylko wtedy możliwe, jeżeli styczna A PQ w początku tuku i do niej równoległa styczna do krzywej przejściowej posiadają odstęp v, określony wz. (23), względnie (21).

2.    Odstępy początku i końca krzywej przejściowej od punktu (7, który jest rzutem początku łuku P₀ na styczną do tej krzywej, wynoszą l—a, względnie a₎ określone wzorami 24a, b lub c.

Tyczenie krzyioej i łuku. Jeżeli względne położenia stycznych, jakoteż punkty 4 i P zostały na polu wyznaczone (ob. dalsze paragrafy), to się tyczy krzywę przejściową za pomocą rzędnych od stycznej, wyjętych dla odległości co 5 lub 10 m aż do długości x — l, przynależnej do danego promienia r.

Wszystkie potrzebne dane są zawarte w tab. VI., ewentualnie VII., zaś dla promieni w tabeli nie zawartych, obliczy się je podług wz. (21) na polu.

W dalszym ciągu ma być od punktu P, a stycznie do krzywej przejściowej tyczony łuk o promieniu r.

To tyczenie łuku można różnymi sposobami uskutecznić.

a)    Za, pomocą rzędnych od stycznej. W tym celu wyznaczy się początek łuku P₀, a wtedy dla dowolnej odciętej P₀K' wytyczy się przynależną rzędną KK=y, wyjętą z tabeli III. Także od stycznej AP' i punktu C, jako początku można wyznaczyć punkt K₎ przez wytyczenie rzędnej KK" =yi=y-\-v, zatem przez dodanie ilości v do wartości y wyjętej z tabeli III. Łuk w ten sposób tyczony, aż do najbliższego głównego punktu, musi dokładnie przejść przez punkt P. Tę zgodność można skontrolować warunkiem, że PP‘ — e ma się równać y-\-v, jeżeli y jest rzędną łuku, obliczoną dla odciętej CP' =

b)    Przy użyciu stycznej BP (rys. 83). Podług wz. (21)

jest: BP/=z₀ =—; jeżeli tę długość odmierzymy od punktu

O

P‘ do B, to prosta łącząca punkt B z punktem Pjuż poprzednio wyznaczonym, jest styczną do łuku kołowego, od której ten łuk za pomocą metod podanych w rozdz. I. może być wytyczony.

— p’W\ /p

"U

/r

-ih-

Rys. 83 a.

Jednakże styczna w ten sposób ustalona jest zanadto krótka dla dokładnego tyczenia łuku, trzeba ją zatem jeszcze przez jeden punkt ustalić. Jako taki dobrze się nadaje punkt V (rys. 83 a), leżący na przecięciu stycznej BP z linią syme-tryi WS. Mianowicie jest:

US= UO-SO=

Wartość sec

— 1 wyjmie się z tab. II.

Gdy się US odmierzy, otrzyma się styczną BU, która musi przejść dokładnie przez punkt P. Ten sposób ustalenia stycznej nadaje się dobrze dla wielkich kątów /?. Dla małych kątów jest wyznaczenie punktu U niepewne, gdyż proste BU i przecinają się pod ostrym kątem. Wtedy użyjemy punktu V, leżącego na przecięciu stycznej BP z pomocniczą styczną łuku S.

Mianowicie są PV i F$ stj^cznemi do łuku o kącie środ

kowym :    —(p₀, zatem:

PV= VS=r tang

Odmierzymy VS i skontrolujemy zgodność VS-=PV. Styczna BV powinna przejść przez P. Długość VS obliczymy podług tab. II.

Widzieliśmy, że warunkiem możliwości przystosowania krzywej do łuku kołowego jest względny odstęp punktu P0 od stycznej AP‘ o wymiar v.

Ten względny odstęp można w trojaki sposób uzyskać:

a)    Przez przesunięcie łuku kołowego, a pozostawienie stycznej w jej pierwotnem położeniu. Ten sposób jest najczęściej stosowany.

b)    Przez pozostawienie stjmznej i środka łuku S w ich pierwotnem położeniu, a zmiejszenie promienia łuku.

c)    Przez pozostawienie łuku, a przesunięcie stycznej.

Te przypadki rozpatrzymy w następujących paragrafach.

§ 45. Luk kołowy zostaje przesunięty. Rys. 84.

Jeżeli są w polu wyznaczone kierunki proste Wt W i WW₂, które mają być połączone łukiem kołowym, to wiemy już z I. rozdziału, że w celu wytyczenia łuku należy zmierzyć kąt /?, wyznaczyć a = 180—/?, obliczyć i odmierzyć:

0_

50

<33. <M

bC

boi a

nareszcie wyznaczyć S₀ na linii połowiącej kąt wierzchołkowy, która jest linią symetryi dla całego układu. Przesunięcie łuku potrzebne w celu uzyskania odstępu P₀C—v może nastąpić tylko wzdłuż osi symetryi o pewną długość S₀S=f. Ponieważ każdy punkt łuku w tym samym kierunku i o tę samą długość się przesunie, więc też pierwotny początek łuku P'o przesunie się w kierunku P'₀P₀ równoległym do S₀S i o długość P‘₀P₀=f, którą obliczy się z trójkąta P₀CP‘₀, skoro v już poprzednio wyznaczono. Mianowicie:

LC

(26)

- = v sec —

f—v cosec

W,

- 1-a

...A...

rVy7

v;

r,-

Sq

t)’

w₂

Rys. 84.

O tę długość należy przesunąć S₀. Położenie punktu C i linii CP₀ wyznaczy się przez odmierzenie długości t‘—P'₀ C:

<N

(27)

—v tang

t' = v cotang

Długość:

WC=t-\- t'=r tang <*rĄ-v tang-^-=(r-f v) tang

czyli, że długość WC jest styczną dla łuku o promieniu r + v.

Możemy zatem punkt C wyznaczyć od razu, bez pomocy pierwotnego początku łuku P'₀. Powyższe ilości obliczy się podług tabeli II. Z tabeli VI. wyjmie się ilości l, a i e i odmierzy się a od C ku P, l -a.od C ku A, przezco otrzyma się początek i koniec krzywej przejściowej, zaś e od P' ku P. Tyczenie tej krzywej nastąpi podług § 44.

Podobnie można od razu wyznaczyć punkt S. Mianowicie jest podług § 7. WS₀~*r sec r, zaś:

Nadto jeżeli się wytyczy przesuniętą styczną P₀T, to można punkt S, położenie stycznej w S, jakoteż dowolną ilość głównych punktów łuku wyznaczyć sposobem w I. rozdziale podanym.

W celu kontroli powyższych rachunków uzyska się równanie, gdy się wykona rzut linii P'PSW na kierunek P'P; mianowicie rzut linii JUS na ten kierunek ma się równać rzutowi linii PPS, czyli:

0®

QC

4-

tn

CD

boi a

7.

o>

to a

WS cos ~=e-\-r ^cos cp₀ —cos

)-

a + 2(p₀ . a—2<jp0 — sin--

e + 2r sin

Środek łuku S można także wyznaczyć przez styczną DD'\ mianowicie równa się CD stycznej E₀E=ES, mniej rzut prostej DE na styczną A W. Zatem:

CD=r tang —

o_

to a

Gdy się CD obustronnie odmierzy, to punkty D, S i D' mają leżeć na jednej prostej.

Dla kontroli można jeszcze obliczyć i zmierzyć:

c-t-

crq

CD

toi a

Jeżeli kąt /? staje się ujemny, to znaczy a)>180⁰ (jak na rys. 48), wtedy / i V otrzymują ujemną wartość.

Przesunięcie luku powoduje zmianę pierwotnie projektowanej trasy, która nie zawsze jest dopuszczalną.

Wzór (26) okazuje, że f jest zależne od v, które jest tern

to

które jest tern

większe, im mniejszy promień r, i od cosec

większe, im mniejszy kąt wierzchołkowy. Zatem dla małych promieni i małych /3 (wielkich a) może otrzymać / bardzo znaczną wartość, dochodzącą do nieskończoności dla /?=0. Jeżeli zatem obliczona długość f wypadnie znaczna, należy w projekcie wrysować przesunięty łuk i przekonać się, czy przesunięcie jest dopuszczalne; w przeciwnym razie należy postąpić podług § 46 lub § 47 (Ob. także § 49)⁵).

tabeli VI.

§ 46. Położenie stycznych i środka łuku pozostaje nie naruszone.

Rys. 85.

W tym przypadku należy zmniejszyć promień r na taką wartość rit ażeby odstęp P₀C otrzymał wymiar vi) obliczony dla promienia ri. Ti rzutu linii OO^P^C na kierunek OP‘0 otrzyma się, zważywszy, że 00i=r—r₁₅ równanie:

z którego wyznaczy się :

ri —r—

1 —cos —

2 sin²

(ł)

(28)

Z tego równania nie można E w obliczyć r1; gdyż nie znając rl, nie jest znana wartość vi, zaś podstawienie za ^wartości z wz. (23) doprowadziłoby dla do równania czwartego rzędu. Tę trudność ominiemy przez wyznaczenie przybliżonej wartości dla rl. Wzór (28) okazuje, że dla małych promieni r i małego kąta a może otrzymać wyraz:

a nawet

z różnych względów niedopuszczalną wartość. My jednak stosujemy rozważony przypadek tylko dla wielkich kątów a, t. j. dla takich, dla których przesunięcie łuku podług § 45 jest niedopuszczalne. Otóż dla wielkich kątów a zbliża się wy-

do jedności, którą osiąga dla a = 180°, wtedy

wt Fi ic D

Tfr

W,

raz: 2 sin²

T>’

Rys. 85.

Vy 2 sin²    wielką

(i)

różnica między promieniami r i ą jest niewielka, a różnica między vi a v obliczonem podług r wprost praktycznie znikoma.

Możemy zatem w przybliżeniu podstawić v za vi i obliczyć z wzoru:

rx =r

2 sin²

(28a)

Podług tego promienia obliczymy vi i nie troszcząc się o dane położenie punktu S wyznaczymy P₀. Mianowicie jeżeli styczną w P₀ przedłużymy do punktu P, z F spuścimy prostopadłą do stycznej w P, to P₀P jest styczną do łuku o promieniu t\, zaś: PTP=v₁tangwięc:

(29)

CC

CW=(ri -f v±) tang(zgodnie z § 45)

£

Po odmierzeniu tej długości otrzyma się G'iP₀, od którego wytyczy się łuk. Ten łuk nie przejdzie całkiem dokładnie przez punkt S, gdyż promień nie był zupełnie dokładnie wyznaczony ⁶).

Krzywę przejściową wytyczy się podług wskazówek § 44. Styczną DD‘ wyznaczy się jak w § 45. (Ob. przykład rachowany przy tabeli YI).

¹

W praktyce stosuje się trochę odmienny wzór. Przechyłki stosowane na austr. państwowych kolejach żelaznych są zestawione w tabeli XI., do której jest dodana tabela dla rozszerzenia toru w lukach.

²

Podług Leber, Paccordements, Paris 1892.

³

Lecons sur la Topometrie etc. Paris 1904.

⁴

Ob. tabelę VI. w II. części.

⁵

Do §§ 43, 44, 4B ob. zbiór przykładów, jakoteż przykład przy

⁶

Helmert w swojem dziełku: „Die Uebergangscurven“, podaje inny bardziej skomplikowany sposób rozwiązania tego zagadnienia.

§ 47. Luk pierwotny pozostaje nienaruszony, natomiast styczna zostaje przesunięta. Rys. 86 i 87.

Jeżeli przesunięcie pierwotnej stycznej WWi jest dopuszczalne, to warunek, aby między styczną do krzywej przejściowej a łukiem był odstęp v będzie zawsze uzyskany, jeżeli

;s

JEtys. 86.

tę styczną poprowadzimy jako prostą styczną do łuku zakreślonego promieniem r + v, a współśrodkowego z danym łukiem. Jeżeli P₀S na rys. 86 jest łukiem pierwotnym o pro- w mieniu r, a zakreślimy łuk (kreskowany) promieniem rĄ-v, to w dowolnym punkcie tego łuku poprowadzona styczna, powyższemu warunkowi zadosyó

uczyni.

Rozróżnimy różne przypadki.

a) Styczna zostaje przesunięta równolegle do pierwotnego kierunku. Rys. 86.

Jeżeli dalsza trasa nie jest jeszcze tyczona, a zmiana położenia następującego wierzchołka TFj jest dopuszczalna,

wtedy otrzyma się najprostsze rozwiązanie, gdy prostę P₀ Wi przesunie się równolegle o wymiar v. Wprost otrzyma się punkt C, który posłuży do wytyczenia krzywej przejściowej podług § 44.

b) Przesunięta styczna ma być wspólną do dwóch łuków. Rys. 87.

Łuki mogą być odwrotnie skierowane, jak na rys. 87, alboteź jednakowo skierowane. Wspólna styczna łuków jest

P₁P₂=p. Jeżeli zamierzamy między luki a prostę włożyć krzywe przejściowe, to podług powyższych wskazówek pomyślimy sobie ze środków 0X i 0₂ zakreślone łuki o promieniach :

0+vi i r₂ + v₂, a styczna wspólna do tych łuków odpowie warunkowi potrzebnemu dla włożenia krzywych przejściowych. Do wyznaczenia położenia tej nowej stycznej posłużą punkty Bi i P₂, leżące na przecięciu tej stycznej z przedłużonymi promieniami OiPi i 0₂P₂. Jeżeli ze środków łuków spuścimy na nową styczną prostopadłe do punktów i C₂, to kąt Bi0iCi=B₂0₂C₂ równy kątowi £ zawartemu między pierwotną a nową styczną.

Otóż z rysunku wynika, że:

W~T~'

"--'i

?°²

!t\

i ;r2

i:

Ol

Rys. 87.

P₁ P₁-ł-P₂ Ttz = P₁P₂ tang e=p tang e

Znak dolny odnosi się do przypadku, gdy łuki są jednakowo skierowane.

Następnie wynika z trójkątów: P₁ Oi Oj i B₂0₂C₂, że: rj 4-v₁

PP

COS £

O) P2^2

COS £

Jeżeli te wartości wstawi się w poprzedni wzór, to będzie: (Ł + «₁)=bp-₂+«₂)

COS £

— (r₁₌fcr₂)=.p tang £,

lub:

(rlZk.r₂) cos £ + P sin £ = (rx-ł-r₂) + (vi-4-tO

v\±x ₂

(a)

Gdy się podstawi: tang cp

to się otrzyma:

(r₁₌b»*₂) + («i±tf₂)

COS (p

Z tego równania wyznaczy się dokładną wartość kąta e. Gdy jednak kąt £ jest nie wielki, to dla znaczniejszych długości p można w równaniu (a) podstawić cos s= 1, a wtedy otrzyma się prostszy, praktycznie dokładny wzór:

sin £

v₁ +v₂

Podług wyznaczonego kąta e obliczy się długości B^Bt i P₂P₂, które należycie odmierzone wyznaczą punkty Pt i B2 nowej stycznej. Następnie obliczy się:

Cj — (**i +«i) tang £,    B₂C₂=(r₂+v₂) tang e,

B,C^B₂C₂

c,c₂

COS £

Punkty Ci) C₂ są takie same jak C na rys. 88; na ich podstawie nastąpi tyczenie krzywej przejściowej podług § 44. Kontrolę rachunków da równanie, uzyskane z rzutu łuków i prostej CiC₂ na kierunek P,P₂:

P=(ri±_r₂) tang £+6^ C₂ sec £

Na prostej Ci C₂ ma się pomieścić, oprócz długości t‘ (§ 45) po połowie długości (a raczej l—a) krzywej przejściowej jednego i drugiego łuku, a nadto, jeżeli łuki są odwrotnie skierowane, żąda się pewnej długości Z₀*) między początkami krzywych przejściowych. Zatem powyższe rozwiązanie będzie możliwe, jeżeli:

CtC,>l,+^±h

dla łuków odwrotnie skierowanych;

dla łuków jednakowo skierowanych**). (Ob. także § 54).

*) l₀ wynosi conajmniej 10 m dla kolei głównych, a 7 m dla kolei podrzędnych.

**) Ob. nr. 22 zbioru przykładów.

§ 48. Przypadek, gdy kąt wierzchołkowy zbliża się do 180°. Rys. 88.

W miarę zwiększania się kąta /?, zmniejsza się długość łuku kołowego. Kąt środkowy tego łuku wynosi a—2<jp₀ (ob. rys. 83 i 84), zatem łuk zniknie, skoro a — 2ęp₀=O. Wtedy obustronne krzywe przejściowe AE i A^E (rys. 88) zetkną się

m w

\r

Rys. 88.

w jednym punkcie E na wspólnej stycznej EBi. Dla kąta a mniejszego niż 2<p₀ jest włożenie krzywych przejściowych niemożliwe, gdyż one się przetną. Zatem musi zajść warunek:

«>2 <p₀

C

Ponieważ tangqp₀= —~₂, to zatem ma być:

, a

2 r²

tang

Ten wzór okazuje, że czem mniejszy promień, tern większy powinien być kąt a, Np. dla głównych kolei, gdy C= 12000, ma być :

dla r= 300,    400,    500,    1000 m

a5> 7°38', 4° 18', 2°45', 0°42/

Z tego przykładu widzimy, że ze zmniejszającym się promieniem kąt a jeszcze dopuszczalny bardzo szybko rośnie. Jeżeliby kąt a był tylko nieco mniejszy, niż powyższymi

CC

wzorami określony, to przyjmiemy: <jp₀=—, a w celu umożli-

Z

wienia włożenia dwóch stykających się krzywych przejściowych, należy do tego warunku C lub r zastosować. Zatem z powyższego wzoru obliczy się, albo zmniejszoną wartość:

to, a

C=2r² tang

albo zwiększoną wartość:

r-f CM

C cotang

Podług tych zmienionych wartości obliczymy długość krzywej AM=l i rzędne krzywej przejściowej. Ustalenie początku A krzywej nastąpi albo zwykłym sposobem, albo wprost przez wyznaczenie długości A W. Ponieważ kąt MEW równy <jp₀ , to : AW=l-\-e tang <p₀, a gdy z wz. (21) jest:

= -|-tang <p₀, to    + —tang² qp₀=^l+y tang²

Po odmierzeniu długości A W, otrzyma się punkt A, po-czem nastąpi wytyczenie krzywych.

Rys. 89.

Uwaga. W tym przypadku, gdy krzywe przejściowe stykają się stycznie bez pośrednictwa łuku kołowego jest ta niewłaściwość, że przechyłka toru wzrastając z jednej i z drugiej strony tworz}^ w punkcie zetknięcia D (rys. 89) załom, który, mianowicie na liniach o wielkiej chyżości pociągów jest niedopuszczalny. Należy zatem obrać większy promień r, tak, aby między krzywemi przejścio-wemi pośredniczył łuk kołowy o długości c, zależnej od największej chyżości pociągów. Dla obranej długości c (np. od 10 do 50 m) można wyznaczyć związek między promieniem r a potrzebnym kątem środkowym a Mianowicie jest w tym przypadku:

c — r arc (a — 2<p₀)

Ponieważ obrana wartość c nie musi być dokładnie dochowana, to możemy arcus zastąpić przez tangens i napisać powyższy wzór w tej formie :

c=2r |^tang tang (p₀ j

Zważywszy, że tang <p₀ =l²: 2C=l: 2r, to otrzyma się: tang-|-

Dla różnych wartości C i im odpowiednich c obracho-wano tabelę, umieszczoną na końcu tabeli YI. części II¹).

Wobec powyższej uwagi lepiej już przy projektowaniu unikać wielkich kątów wierzchołkowych z lukami o małych promieniach.

§ 49. Przypadek, gdy kąt wierzchołkowy jest bardzo mały.

Wzór (26) okazuje, że dla małych kątów /? wypada długość przesunięcia łuku f wielka i może być ze względu na zmianę położenia trasy niedopuszczalna, Jeżeli w danych warunkach może wielkość przesunięcia osiągnąć co najwyżej wartość q, to z wz. (26) wynika, że ma być:

fi

sin~o> —

2 q

Jeżeli kąt /? jest mniejszy, to należy albo zmniejszyć promień łuku podług § 45, alboteż przy zachowaniu promienia uskutecznić przesunięcie stycznych, podług § 47²).

§ 50. Zastosowanie krzywej przejściowej do budowli wodnych.

Dla kolei żelaznych doprowadził warunek przeprowadzenia przechyłki toru do paraboli sześciennej jako krzywej przejściowej. Dla łuków budowli wodnych tego warunku niema, mogłyby więc różne krzywe posiadające punkt przegięcia (ę= oo) być obrane jako krzywe przejściowe, umożliwiające ciągłe przeprowadzenie krzywizny od prostej aż do danego promienia łuku. Gdy jednakże parabola sześcienna jest dla obliczenia i wytyczenia bardzo prosta, nadaje się więc doskonale także do budowli wodnych.

O ile tyczenie łuków uskutecznia się na stałym lądzie, mogą wszystkie metody opisane w poprzednich paragrafach znaleźć tu zastosowanie.

Rozchodzi się tylko o to, jak wielką stałą C przyjąć należy. Ponieważ do budowli wodnych obok małych także wielkie promienie się stosuje, dla których, przy przyjęciu jednej tylko wartości C wypadłyby zanadto krótkie krzywe przejściowe, powinno się przyjąć C zmienne z wielkością promienia.

W jakim stosunku najkorzystniejszym mają stać te dwie ilości, wykaże dopiero doświadczenie ³).

Dla wytyczenia tam w wodzie rozróżnimy znów brzeg wypukły i wklęsły. Najlepiej zastosować przesunięcie łuku

str. 100.

podług § 45, ale to przesunięcie już w projekcie wrysować i podług projektu początek A krzywej przejściowej na polu wyznaczyć.

Na wypukłym brzegu (rys. 90) poprowadzimy równoległą A‘BE do stycznej AP' w dowolnym odstępie h, a od A‘B wytyczymy krzywę przejściową rzędnemi h—y. Na tej pod-

AT

*ip’

PT*

'h-y

>r~

.1----V

B    E^vA*

Rys. 90.

stawie, że podstyczna równa jednej trzeciej długości odciętej, jest DP' = ¹/₃?. Otóż z trójkątów BPP‘ i PBE wynika, że:

zatem:

BE:h—e= V₃Z: e, l[h—e)

BE

Se

Tę długość odmierzymy, wtedy PE jest kierunkiem stycznej, od której możemy wytyczyć łuk kołowy podług § 22.

Na wklęsłym brzegu (rys. 91) postąpimy inaczej ; mianowicie wytyczymy wielobok krzywej przejściowej. Boki tego wieloboku odcinają na stycznej odcinki f, które nie trudno obliczyć. Mianowicie np. dla cięciwy 34 jest:

£3 • *®4    £3 ~y% ‘Hk

a stąd :

-35;

ys

4~

tftt

Rys. 91.

2/4—

lub ogólnie:

•^nDnĄ-1    +

Hn+1 Vn

(C ^

Jeżeli w tym wzorze wstawimy: y=--^y to otrzymamy: Xn XnĄ.\ (Xn "b    1)

%²n + %nZn+l + X²n+i

in

(«)

jako wzór ogólny.

Odstępy rzędnych obierzemy zawsze równe; oznaczmy je literą a, to: xn—na, xn+±-{n-\-l) a,

zatem :

im

n(n-\-l) (2n+1)

(rc+l)²+w(2w-fl)

Tylko dla końcowej rzędnej, która od poprzedzającej może mieć odstęp od a odmienny, zastosujemy ogólny wzór (a). Jeżeli w wzór (6) wstawimy za n kolejno wartości od 1 do 9, otrzymamy następującą tabliczkę:

£l ^2    £3    £4    £5    ^6    £7    ^8    9

6    30    84    180    330    546    840    1224    1710

Ta 19a    37a    "6T°    91 ^    127a    169®    Wa    ~27Ta

Podług tej tabliczki obliczono tabelę VIII dla a = 5 1 10 m.

^3

Wytyczymy naprzód punkt 1, odmierzywszy a i y,l—njj

(wartość yi wyjęta z tabeli VI).

Następnie odmierzymy ^ i w kierunku 1'1 wybudujemy element 12 tamy o długości a Po odmierzeniu £₂ zbudujemy w kierunku 2'2 drugi element tamy i t. d. Dojdziemy w ten sposób aż do końcowego punktu krzywej przejściowej, który za pomocą obliczonej rzędnej skontrolujemy, ewentualnie drobny błąd poprawimy.

W tym końcowym punkcie wyznaczymy dokładnie styczną, podług wskazówek § 44, a od tej stycznej wytyczymy łuk sposobami podanymi w § 23.

§ 51. Krzywa przejściowa styczna do dwóch łuków kołowych.

Pys. 92.

Zbadamy naprzód warunki, kiedy krzywa przejściowa może być styczną do dwóch łuków kołowych. Niech ADE jest tą krzywą. W dowolnym punkcie Z), o współrzędnych xx i 7^, jest promień krzywizny zarazem promieniem koła styczności C\DF. Jeżeli to koło przedłużymy do punktu G\ w którym promień jest prostopadły do stycznej AW, to jak nam z § 45 wiadomo jest odstęp C₁C\=v₁, zaś długość g₁=ACi równa 'l₂xi, z dostateczną dokładnością. Spółrzędne środka Ot są i 0^=^.

Podobnie dla drugiego dowolnego punktu E jest C\GE kołem styczności o promieniu r₂, o dstępie C\C₂=v₂ i o spół-rzędnych środka ^₂=il₂x2 i

Tyczenie tras.

Te dwa koła przedłużone aż do wspólnego promienia 0^0₂GF otrzymają na tym promieniu odstęp GF=c, który należy wyznaczyć. Nie trudno zauważjm, że :

Oi 0₂ = d=Y(£₂ —    +

a ponieważ:

in r

²~ 2

i7i=ri+Vi,

więc:

+ K—r2~(^2—Vl)]2 =

-ypp)-

= (ri-r^

(x₂—Xi)²

—r₂)

,2+1¹

v₂-v, \²

r₂

(30a)

(^2—^1^ 2 (^1—r₂)

(^2-^1) 4(^1—r₂)²

-3

-JC,

ii

.-'tr

i?

-rc

#<'

'■>r' ćT

<N '

t-i/

>1

c?

Rys. 92.

Ilość

(t>₂—l^)² .

7-T2 jest tak małą wobec jedności, że ją można

vi‘ ri)

opuścić. Pozostałe dwie ilości są wobec jedności także bardzo małe, możemy więc napisać:

GF=c=ri—r₂—d,

(31a)

d={rx— r₂Vl

vi~vi *1 *2

Z rysunku widać, że: 0iF=*0i0₂-j-0₂(r+6rF, więc:

8(/-i-r₂)

(306)

a gdy za d podstawimy wartość z wz. (30b), to :

(^2—^)2

c=v₂-vi

zatem ilość bardzo mała. Jeżeli jeszcze podstawimy:

8(7*1—r₂)

xi =— , x₂ -

ri

^(§ 41) i vi '2

C²

C²

24r³

¹²    24r³₂

(wz. 23),

to:

C² (r³! —t*³₂)

C² (ri t*₂)

24r³₁r³₂

8 r\r\ ’

lub :

C² (t! — 7*2)³

24r³₁7*³₂

(316)

Następnie wyznaczymy kąt £, który zawiera wspólny promień z prostopadłą do stycznej A W. Z rysunku widać, że:

x₂ #i

tang e

_₌_. ₌

^1-^2    2[n-^2—(V₂ —)]    ^r\rAr\—r2— (V2 — *>l)]

Jestto dokładny wzór dla tang e. Dla dalszych celów wprowadzimy wzór dostatecznie przybliżony, jeżeli małą ilość v₂—vi wobec t*!—7*2 opuścimy. Wtedy jest :

tang e

2*i 7j

Jeżeli uwzględnimy, że podług wz. (21) jest:

(32)

tang <p₂- sS

tang

tang e=y tang (jPjtang (p₂

Zatem tang ęp₄ <; tang e tang <jp₂, zaś <Pi <C £ <C <p₂•

tgg-tg 1 + tang e tang

i wstawmy w ten wzór powyższe wartości, to otrzymamy:

to:

2t*²,

2t* 2₂ ’

Przypatrzmy się ilości: tang(ć — <px)

tang (e—(px)

27*i7*2

2t*i

2ó^(t*²₁    7*i 7"₂)

_₌____₌ 26>i (7*₁-r₂)

C 4r ³i 7*2 + 6²    4t*³! t*₂ + C²

2t*i r₂'2t*²!

W mianowniku jest Ć7² wobec 47*³₁r₂ zwykle ilością małą, tak, że gdy ją opuścimy, otrzymamy:

W praktyce są różnice kątów e—q)i lub <jp₂—e bardzo małe, tak, że zamiast tangens, możemy podstawić arcus, a wtedy otrzymamy :

Civ\—r₂)

tang (e—ipi)

2 r\r₂

podobnie: tang(<p₂ — c) =

C(ri—r₂) 2r₁r²₂

arc (s—(pi) = r₂ arc (<jp₂ — e)

(84)

to znaczy, że długości łuków DF i EG są sobie równe.

Doszliśmy więc do następujących, dla dalszego zastosowania ważnych wyników :

1.    Do dwóch łuków o różnych promieniach można tylko wtedy przystosować stycznie krzywę przejściową, jeżeli te łuki są na wspólnym promieniu przesunięte o wymiar c, wyznaczony wzorem (316); o ten wymiar jest łuk o mniejszym promieniu przesunięty ku środkowi koła.

2.    Punkta styczności krzywej przejściowej z łukami są równo oddalone od wspólnego promienia o długość wyznaczoną wzorem (34).

Ponieważ prostsze w zastosowaniu wzory (306), (316), (32) i (34) są tylko przybliżone, należy przekonać się o ile wyniki obliczeń różnią się podług dokładnych i podług przybliżonych wzorów. Różnice będą tern większe, im mniejsze są promienie łuków i czem większa różnica między tymi promieniami. Obierzemy więc dla przykładu, przy (7=12000, najmniejszy promień r₂=300 m i dwa razy tak wielki promień    m. Dla tych wartości obliczyliśmy następującą

tabliczkę:

podług dokładnych podług przybliżonych wzorów:

wzorów:

różnica:

d= 299-9723 0-0277 £=1°55' 6-9" rt arc (e— 9^) = 100924 r₂arc(<p₂—e)= 9-9248 suma tych łuków = 20⁻0172 różnica tych łuków= 0-1676

299-9722 0-0278 1⁰ 54' 32-9" 9-9935 9-9742 19-9677 0 0193

0-0001

o-oooi

34"

+ 0-0989 -0-0494 +00495

Podług wz. (34) są obydwa łuki równe, o długości lO^OOO m.

Ta tabliczka okazuje, że różnice są praktycznie za małe, aby miały wpływ na przebieg krzywej przejściowej. Następnie wykazuje nawet dla tak niekorzystnego przykładu bardzo małe przesunięcie łuków c.

§52. Tyczenie krzywej przejściowej od łuku kołowego. Rys. 98⁴).

W punkcie P krzywej przejściowej poprowadźmy koło krzywizny CDPE o promieniu r. W dowolnym punkcie 7) poprowadźmy promień 07)7)', to rzędnę 7)1)'= £ potrafimy w przybliżeniu wyznaczyć.

Mianowicie jest:

v + r=y-fi(r-j-£) cos (DOC),

stąd (porównać wz. 21):

£ cos (7)00) =

co

240

\r

/7E

,P

!e

■y

X -----

Rys. 93.

Podstawmy w tern równaniu cos (7)00) = 1, a za sinus podstawmy arcus (tośmy obie strony nieco powiększyli), to otrzymamy :

tr e

P—4z³

240

f 2r

|arc CZ)\², P—4x³ { (CD)²

240

l    0

Za łuk CD możemy podstawić x—zaś r—

&    t

=    —12Z²a? + 12ńr²—4x³],

zatem:

l³—4x³

(- -)

CM

.1

240

20

czyli:

(l—xy'

60

tecznie :

A gdy za l—x wstawimy łuk PD, to otrzymamy osta

(PD)³

66"

(85)

to znaczy, że rzędna krzywej mierzona na prostopadłej do łuku kołowego równa się długości łuku, mierzonej od punktu styczności koła z krzywą, a podniesionej do trzeciej potęgi, zaś dzielonej przez 60. Ten sam wynik otrzymalibyśmy' dla rzędnej EE‘ po drugiej stronie punktu styczności. Zastosujemy powyższy wzór do punktu Q (rys. 92), położonego na wspólnym promieniu między punktami F i G, to jego rzędna tyczona od łuku DE, lub od łuku GE otrzyma wartości :

(EG)³

FQ

(DF)³

60

a ponieważ podług wz. (34) DF=EG, zatem :

w !<m

co

■_

§ 53. Luk koszowy z krzywemi przejściowemi. Rys. 94.

Obliczenie i ustalenie łuku koszowego na gruncie nastąpi podług § 25. Następnie wytyczymy łuk PiM, w M uskutecznimy równoległe przesunięcie stycznej MW₂ o wymiar c (wz. 31 b) do położenia M‘W‘₂, a od tej stycznej wytyczymy łuk M‘P\. W celu wytyczenia krzywych przejściowych na początku i końcu łuku, to znaczy około punktów P± i P'₂ nie wolno zmieniać położenia łuków, zastosujemy zatem przesunięcie stycznych podług § 47. Krzywę przejściową wspólną do obydwu łuków około M wytyczymy za pomocą rzędnych od tych łuków, podług § 52, po wyznaczeniu kątów e, 90, i 90, (§ 51) i długości łuków DF i EG (rys. 92).

Możnaby wprawdzie i w tym wypadku zastosować przesunięcie łuków podług § 45, jednakże tylko kosztem zawiłych obliczeń, których nie przeprowadzamy.

W,

Wj

,W?'

ty

Rys. 94.

Zupełnie analogicznie postąpimy, jeżeli łuk koszowy składa się z większej ilości łuków.

§ 54. Zastosowanie krzywych przejściowych dla przypadku, gdy prosta między łukami jednakowo skierowanymi jest krótka.

Rys. 95 i 96

W § 47b omówiono przypadek, gdy prosta między łukami jednakowo skierowanymi jest przynajmniej tak długa, że dwie połówki obustronnych krzywych przejściowych, wraz z długościami V na niej się zmieszczą. Jeżeli jednakże ta prosta P jest krótszą, to obustronne krzywe przejściowe się przetną, a wtedy należy je ciągle ze sobą połączyć⁵).

Niech przedstawia linia MPiP₂N te dwa łuki z prostą PiP₂=p. Pomyślmy sobie obydwa łuki podług § 45 należycie przesunięte i do nich wykreślone krzywe przejściowe AlBly A₂B₂, które się przecinają. Obierzmy na krzywych takie punkty Di i Ą, w których promienie krzywizny przechodzą przez A₂ i Ai} to te promienie q są równe, gdyż równają się

Łuk o promieniu q styczny w Di do krzywej ma

A\ A₂

w środku długości AtA₂ styczną poziomą, to samo łuk w D₁, zatem ten łuk jest obydwu krzywym wspólny, może być zatem włożony dla ciągłego przejścia z jednej krzywej do drugiej. Długość 4,4, możemy wyznaczyć.

Na długość PiAi składa się wymiar t,\ i połowa długości krzywej Z, (ob. § 45), zatem:

więc:

podobnie    A₂ =p—1\—J-,

A,At=p-Atr.Ł- P, A,=t\+t\ + lA±h _p

(37)

cc

"'Jo'---

1-2

/W

Bł ' /N

Lo

A, P₂

Rys. 95.

Znając AiA₂ obliczymy q

mieniu q od stycznej P, P₂ wynosi

-, a odstęp łuku o pro-AxA₂

(A,A₂y

24 C

(jako v dla l=AxA₂).

Jeżeli promień ri'^>r₂, to krzywa A{P^ jest krótsza niż A₂B₂. Otóż rozwiązanie będzie niemożliwe, skoro punkt Di wypadnie po za punkt P,, coby wtedy nastąpiło, gdyby było AxA^>lx. Zatąm musi nastąpić:

Aj A2<11} czyli: t\ +1\ +

Widzieliśmy w § 48, że dla należytego przeprowadzenia przechyłki torn łuk włożony między dwie krzywe przejściowe nie powinien być krótszy niż pewien wymiar c, zatem mamy jeszcze drugi warunek do spełnienia, że A₁A₂z>c, skąd:

P^l+Ż'2+^p- — C

(39)

Jeżeliby długość AiA₂ wypadła niniejsza o 4 niż c (lub, co na jedno wyjdzie, p było o A większe niż wypada z wz. 39), to możemy ją o ten wymiar A zwiększyć przez zastosowanie większej wartości C‘ przy tej samej wartości k (ob. § 40), to znaczy zwiększyć i na i‘. AiA₂ zwiększy się o 4, jeżeli

(37) o A się zwiększy, to znaczy że, jeżeli l\ i 1'₂

w wz.

a stąd :

p>t\+t'₂ + ^Y±

(38)

h + h

są długości zmienione stosownie do nowej wartości 6, ma nastąpić równanie :

+^2 _ h +h ą 2

Gdy l₂=ih^ l₂ = ih₂₁ to:    V ₂ =i'h2} zatem:

¹‘ Oh ~b^2) _*(^1+^2)

+ 4, a stąd : i¹=i-\

24

a C‘ = C.-.

hi -\-h₂

Podług tej nowej wartości C", zaokrąglonej na najbliższą całkowitą większą liczbę, rozwiąże się powyższe zadanie. (Ob. nr. 25 zbioru przykładów).

To zadanie można także rozwiązać pod warunkiem, że

łuki mają pozostać na swo-jem miejscu. W tym celu pomyślmy sobie na rys. 96 z tych samych środków zakreślone łuki promieniami    i r₂-\-v₂, następ

nie poprowadźmy do nich wspólną styczną (podług § 47) i wyznaczmy punkty styczności P₃ i P₄. Otrzymamy teraz nową prostę P,P₄=p, a zadanie przeprowadzimy zupełnie tak jak dla rys. 95.

Z powyższego wynika, że należy przy projektowaniu unikać krótkich prostych między łukami jednakowo skierowanymi (Ob. także § 30).

Rys. 96.

r₂;

§ 55. Zastosowanie krzywej przejściowej na istniejących torach.

Rys. 97.

Włożenie krzywej przejściowej w istniejący tor powinno być tak uskutecznione, aby nie wymagało przekształcenia toru na znaczne długości. Przedewszystkiem więc pozostawimy łuk przeważnie na swojem miejscu.

Włożenie krzywej przejściowej można w dwojaki sposób uskutecznić.

a)    Sposobem podanym w § 47 przez przesunięcie stycznej wspólnej dwom po sobie następującym łukom. Wtedy największe przesunięcie wpoprzek toru wynosi v, to znaczy na głównych kolejach najwyżej 022 m. Na takie przesunięcie zazwyczaj jeszcze szerokość podtorza wystarczy. W tym przypadku nastąpi jednakże przesunięcie toru na większe długości, zwłaszcza jeżeli prosta między łukami jest długa. Dla małych promieni podrzędnych kolei tego sposobu stosować nie można.

b)    Na znacznie mniejszą długość zredukuje się przesu nięcie toru, jeżeli się zastosuje następujący powszechniej używany sposób :

o*

C²

r,

Róź-

24»-y

nicę promieni r—rx oznaczmy literą d.

Oprócz vx obliczymy dla promienia rt długość l=—. Z warunki

ku CGX =vx wynika położenie punktu styczności M} które znajdziemy, skoro wyznaczymy kąt POM—a.

Z trójkąta 00x0.₂ wynika 00'lx — 00²₂, a gdy OOx—d, zaś: 0O₂=r—rx—vi=d—vi, to:

W dany łuk PM o promieniu r włożymy łuk MPC o mniejszym promieniu rx tak, aby odstęp punktu C od stycznej AMX wynosił vi

\B

!®i

M,

B.

C_____

:P

h.......—- l- a

Rys. 97.

(42)

(43)

(44)

więc:

b=^d²—(d—i\)² =Vv₁ (2 d—vJ

Rzędna h r (1 — cos a), ale równa się także rt (1 —cos a) + vx ,

1    Vi

1 —COS 05 = —7-

d

Następnie z trójkąta 00₁0₂ wynika:

(40)

vi

COS 05 = 1--.

(41)

sin G5=—

a gdy BMX =c^=r sin a, to:

rb

c——

Nareszcie gdy h — r( 1 — cos 05), to podług (41):

h=rZ'

Ilościami c i ń jest wyznaczony punkt M, zaś początek krzywej przejściowej dany jest przez AP=l — a -b. Przesunięcie toru redukuje się na długość AM, a w bok o długość

nie wiele większą niż

Czem mniejszy obierzemy promień rx, tern większa długość AB krzywej przejściowej, tern bardziej zbliżają się punkty B i M, aż dla pewnej wartości rx spadną razem.

Wtedy jest ex=h=-A, a gdy ei=4v₁ (ob. wz. 21), to: a stąd graniczna wartość:

(45)

ri=Tr

Dla tej wartości rx uzyskuje się krótki układ, mimo to nie stosuje się jej w praktyce, gdyż przy tak wielkiej róź-

następuje w punkcie M zanadto raptowny skok w przechyłce toru. Stosuje się więc znacznie mniejszą różnicę d.

Gdy tę wartość wprowadzimy do wzoru: vx

nicy promieni, wynoszącej

C²

24r³.

to:

vi

C² C²

24(n—l)³ * r3    y r

jeżeli: y

n³

24 (w —1)

lub też :

M£)*

(46)

Wzór (40) przejdzie w następujący:

C²\

(47)

Dla obranej wartości w jest my ją #, to wzory (46) i (47) przejdą w następujące:

zmienną ilością. Nazwij-

vi

— nyz²

Ilość

r ¹

~ osiągnie swoją graniczną wartość, gdy:

(48)

V2—nyz² =0, to znaczy dla

sdy to ^ gra_

niczną wartość osiągnie się dla:

r=\C\!«l

(49)

Dla mniejszych wartości r trzeba C lub n stosownie zmniejszyć.

Skoro vx i b obliczono, wtedy :

c=nb

sm a =

k(t)

h=nv, *).

(50)

r

§ 56. Zastosowanie wzorów § 55 b) dla d = ^Q

W nowszych czasach weszło w użycie stosowanie n=20,

V

zatem = —

19

20’ ri 20 r‘

Dla tych wartości jest:

20³

y 24.19³

0-0485979492

*) Ob.

nr.

26 zbioru przykładów.

IC

Ci

Graniczną wartość wzoru (49) osiągnie się dla:

Dla różnych wartości C obliczono z tego wzoru następującą tabelę:

(7=45000    36000    12000    6000    4500    3000    1500    750

r= 177-1    1584    91-5    64-7    56-0    45 7    324    22-9

Ponieważ w praktyce stosowane promienie są większe, niż te, które wykazuje tabela, zatem wzór (48a) ma nieograniczone zastosowanie dla n — 20.

Podług powyższych wzorów dla n = 20 obliczono ta

¹

Ob. wz. 28 zbioru przykładów.

²

Ob. nr. 24 zbioru przykładów.

³

Ob. także Handb. d. Ing. Wiss. Flussbau, yierte Aufł. 1907,

⁴

Podług dziełka : Helmert, Uebergangscuryen.

⁵

Ob. Helmert: Uebergangscuryen.

belę IX¹).

§ 57. Wyokrąglenie załomów spadków. Rys. 98 a i b.

Przy zmianie spadku niwelety powstaje załom, który podług istniejących przepisów powinien być wyokrąglony

a.

lii

ot'

\r

oc

b.

cv+p

\r

Rys. 98.

łukiem kołowym. Na drogach uskutecznia się to wyokrąglenie podług oka łukiem o niewielkim promieniu, lecz na kolejach żelaznych stosuje się promienie bardzo wielkie ²), a w celu dokładnego ułożenia nawierzchni należy wyznaczyć

ma

długość, a więc stycznę AC=CB=t i strzałkę CD=z łuku zaokrąglenia.

Jeżeli na rys. a lub b w C następuje zmiana spadku z l:& = tanga na 1: ^ =tang/?, to podług § 7 jest:

t=r tang —^

W tym wzorze odnosi się znak górny do rys. a, t. j. do przypadku, gdy spadki po sobie następujące są jednakowo skierowane, zaś znak dolny do rys. b, gdy spadki są odwrotne.

Ponieważ kąty a i /? są małe, wprowadzimy w tym wzorze pewne uproszczenia. Naprzód napiszemy:

i—I CM

r tang («=Rt) - ' . +g«Ttang/?

B ^    2 1+tang a tang (3

Następnie opuścimy w mianowniku iloczyn tangensów wobec jedności i otrzymamy prosty wzór:

(i-i)

ź=— (tang a -i-tang /?) =

00)

Jeżeliby spadki były dane w pro mille, więc s°/₀₀ i s₁⁰/ wtedy trzeba je jeszcze przez 1000 podzielić, czyli:

' = 2000 (Wl)

Strzałka CD=z będzie dostatecznie dokładnie wyznaczona jako rzędna łuku dla odciętej t, zatem:

j5²

£=^-~ (ob. wz. 3 w § 10).

Np. niech w zastosowaniu do rys. a dla głównej kolei będzie s=20, s₁ =120/₀₀, r=6000 m, to:

t=2-h (20—12) = 20 m,

20²

10000

0 04 m

A w zastosowaniu do rys. b podrzędnej kolei niech będzie s=15, si =12°/₀₀, r=1000 m, to:

t=0*5 (15 + 12)= 13-5 m,

(13-5)²

2000

0'09l m

Dla promienia r=1000 są ilości t i z zestawione w ta

beli X.

§ 58. Zagadnienie.

Zmiana osi przy projektowaniu drugiego toru.

Jeżeli do istniejącego, powiedzmy lewego torn, ma się zaprojektować drugi, prawy tor, to mianowicie w terenie górzystym zachodzi nieraz potrzeba zmiany osi toru w ten sposób, że istniejący tor staje się prawym, a zaprojektować należy lewy tor. Następuje więc przesunięcie osi kolei dwutorowej o odstęp torów d, a połączenie pierwotnej osi z przesuniętą nastąpi za pomocą prostych i łuków.

I. Przypadek. Rys. 99 i 100. Rozpatrzymy naprzód najogólniejszy przypadek, gdy tor istniejący jest w łuku, a po-

o/

-p

/'

TD

Oz

/■/My

•/ /

-—i

Rvs. 99.

łączenie osi pierwotnej z przesuniętą nastąpi za pomocą odwrotnych łuków, w celu osiągnięcia najkrótszego układu. Niech na rys. 99 łuk ABCD przedstawia istniejący lewy tor, a NP tor projektowany, tak że łuk EF jest osią kolei dwutorowej, to w dalszym ciągu staje się istniejący tor CD prawym, zaś QS jest projektowanym lewym torem, gdy LM jest przesuniętą osią. Pierwotna oś EF i przesunięta LM są połączone za pomocą prostej FG, łuku Gil, prostej HI, łuku IK i prostej KL. Znaczenie prostych FG, i?J, KL, jakoteż ich długości są rozpatrywane w §§ 47 i 54.

Rys. 100 przedstawia linię osi, wyjętą z rys. 99.

W celu możliwego skrócenia układu, należy przyjąć długości u, v, ux prostych i promienia r dopuszczalnie najmniejsze. Dla promienia rx nie można przyjąć małej wartości, gdyż wypadnie kąt (3 mniejszy, niż podług § 48 jest dopuszczalny, dla pomieszczenia krzywych przejściowych.

Do wyznaczenia pozostają kąty a i /?. Potrzebne dwa równania uzyskamy z rzutu zamkniętego wieloboku OFGHIKLO na dwa kierunki. Najkorzystniej wypadną równania, jeżeli jako osie rzutów obierze się kierunek III i do niego prostopadły. Rzut na kierunek III:

u cos a-\-r sin a + v + ri sin (}-\-u± cos P + —d) sin —B sin a=0.

O*.

O³/

k/*k

'.r,

'-te.

<°i

'^.Oz

'O

P'?r

*°fna

Fu 'G

Eys. 100.

Rzut na prostopadłą do HI:

u sin a + r(l —cos a) + ui sin /?+r,( 1 —cos /?) +

+ B cos a—(B—d) cos /?=0.

Po należy tern uporządkowaniu otrzymuje się równania: (■B—r) sin a — u cos a-(B—d-\-rx) sin cos /?—®=0,    (1)

u sin a + (B—r) cos a + «j sin $—{It—d+rx) cos /?+(r+r₁)=0. (2)

Po wyrugowaniu z tych wzorów raz a, drugi raz /?, otrzyma się dla wyznaczenia tych kątów następujące równania *) :

sin (<p—/5)

(72—d+r^)²—(72— r)² — u²-\-u²x + (r-f r% )2jrV²

2 [v(R—d + r^ + u^r+r^]

cos (p (8)

Kąt (p jest określony wzorem:

tang q>

v (R—d+ri) + u{(r + rt)

(4)

sin (ip—a)

(R—d+ri)²—(R—r)²—u²Ą-u²₁ —(r Ą-r^)²—v²

cos ip (5)

gdy kąt ip jest określony wzorem:

tang xp

(72—r) {rĄ-r^)-\-uv

(72- r)v— u(r-\-r±)

(6)

Podług tych wzorów obliczy się kąty a i /?.

Kontrolę obliczeń znajdziemy, jeżeli podług tych kątów obliczymy długość promienia 72. Mianowicie z rzutu tego samego wieloboku na promień OF wyznaczy się:

(7)

R—r— (r-f rt) cos ct + v sin a + Wjsin (a—/3)-f-+ (72—d+rjcos (a—/?)**)

*) Przeprowadzenie, cokolwiek zawiłe, tak się przedstawia:

Gdy się oznaczy: sinawa;, cos a— y, sin (3 = i, cosp = r) U—r—a, u — b, i?—iż-J-rj— c, w₁=e, v — v, {r-\-rd) — f, to równania (1) i (2) przejdą w następujące:

ax — by—c\—er\ — v = 0, bx-\-ay-\-e'r— cr\-\-f = 0.

Jeżeli się pomnoży raz górne równanie przez b, dolne przez a i odejmie, a następnie pomnoży górne przez a, a dolne przez b i zesumuje, to się otrzyma dwa nowe równania:

x(az-\-b²) = ij(ac— be)-\-r\ (ae-\-bc) — bf-\-av, y(a²-\-b²) — — ^(ae-j-&c)+r) (ac—be)—af— bv.

Po obustronnem kwadrowaniu i zesumowaniu, zważywszy, że x’l-\-y² = 1, otrzyma się ostatecznie równanie:

r\ (cf—ev)—^{ef-\-vc) =    —a²—&²-|-e²+/²+v²).

Jeżeli w tern równaniu podstawi się tang cp = -

cf—ev

ef+vc ’

to się otrzyma:

c²—a²—6²+e²+/²+v²

sin («p—P)

z którego kąt (5 się wyznaczy. Po wstawieniu napowrót wartości otrzyma się wzory 8 i 4. W podobny sposób doszło się do wzorów 5 i 6.

**) Ob. nr. 27 zbioru przykładów.

2 (ef+vc)

COS cp,

To zagadnienie z zastosowaniem odwrotnych łuków jest możebne pod warunkiem, że (3^0, to znaczy, gdy sin cp jest większe niż prawa strona wzoru (3). Jeżeli wtedy obie strony podzielimy przez cos cp, otrzymamy tang cp, więc powyższy warunek wyrazi się także wzorem:

(R—d-\-rx) (rĄ-rx)—uxv v(JR—d+ri)-ł-ui(r+ri)

— (JR—d+r^²—(i?—r)²—m² + m²j +(r-}-r₁)²-ł-v²

2 [(i?—d+rx)v-\-ui (r+r,)]

który po uproszczeniu wyznaczy warunek, że:

(8)

2c2(ii—r)—ć2²+w² — (m₁ -f v)² >0 Ten warunek zajdzie zawsze, jeżeli różnica R—r jest wielka i wtedy zastosowanie łuków odwrotnych powoduje skrócenie układu tern większe, im większa jest ta różnica. Jednakże trasa o łukach odwrotnych jest nieładna i dla ruchu niekorzystna. Dlatego jeżeli skrócenie układu nie jest znaczne, albo też na takiem skróceniu nie zależy, uskuteczni się przesunięcie osi za pomocą jednego łuku podług rys. 103. To rozwiązanie nie ma zastosowania do przypadku, jeżeliby istniejący tor na rys. 99 był prawnym, a trzebaby zaprojektować lewy tor. (Ob. przyp. IVó).

II. przypadek. Tory są proste. Rys. 101.

Jestto szczególny przypadek poprzedniego zagadnienia, gdy i? = oo . Kąt a jest wtedy równy kątowi /?, a wyznaczy się albo podług wzorów (5) i (0), jeżeli się w nie wstawi

cc \

os nowa

oś pierwotna

•a

60,

Rys. 101.

R = go i w = Mj =0, albo z rzutu linii AJBCD na kierunek d: d=r( 1 —cos a)-f v sin a-f rt(l—cos a),

a stąd:

(r+fj) cos a—v sin a=r-\-rx— d

Podstawmy: tang cp

r+rx

^    , a otrzymamy :

r+ri — d

(9)

sin ((p—a)

wzór do obliczenia kąta a.

W celu otrzymania krótkiego układu, obierze się v dopuszczalnie najmniejsze, natomiast r i rx nie zbyt małe, aby zadosyć uczynić warunkowi § 48.

Jako kontrolę obliczymy d z pierwszego równania, które w tym celu tak napiszemy:

d=V(r + i\) sin² ^ ^

+ v sin a

(10*)

III. przypadek, a) Tor istniejący lewy przechodzi z łuku w prostę. Rys. 102.

°9

D oś nowa

,C

i---- o.

^ofn.

\ oc

Rys. 102.

Łuk NA, prosta AM. Wtedy dany łuk o promieniu B przedłuży się (AB), zresztą rozwiąże się zagadnienie podług poprzedniego, gdy za r wstawi się B.

b) Jeżeli istniejący tor jest prawym torem, to jest to przypadek identyczny z przypadkiem V a).

IY. przypadek, a) Tor istniejący lewy jest w łuku. Rys. 103 a.

Przypadek ten sam, co pod I., lecz rozwiązanie ma być uskutecznione za pomocą tylko jednego łuku. Obierze się małe długości dla Mir, a wyznaczy się kąt a i długość v stycznej do łuku przesuniętej osi. To rozwiązanie jest zawsze możliwe, tylko dla małej długości r może wypaść kąt a mniejszy, niż podług § 48 jest dopuszczalny.

Równania pod I. podane możemy wprost zastosować, gdy podstawimy ^=0, /?=0 i ux =0. Równania (1) i (2) przejdą w następujące:

(U)

(B —r) sin a—u cos a — v—0 (B—r) cos a+M sin ct=B—r — d Gdy się podstawi w wzorze (12) kąt pomocniczy <jp, któ-

, to się otrzyma wzór:

rego tang qp =

Ii —

0<9

i?

(12)

0,9^

/\

lr wolna

ftys. lOBa.

sin (ęp + a)

B — r—d

cos ęp,

(IB)

z którego wyznaczy się kąt a. Długość v obliczy się z wzoru (11). Jeżeli równanie (8) zrównamy ze zerem, co nastąpi właśnie dla /?=0, to możemy z tego wzoru wyznaczyć:

(14)

v=±^2d (Brr)-\-u‘z—d², które obliczy się dla kontroli rachunku.

Jeżeli się wykona rzut wieloboku OAJBCDO na kierunek OA, to się otrzyma równanie :

B=r-\-(B—d—r) cos a-\-v sin a

Jeżeli od tego równania odejmie się równanie (12), otrzyma się:

(v — u) sin a—d(l +cos a)=0,

lnb:

(y—u) sin

ro a

a J    2

cos —a cosz

LJ

to a

a stąd :

tang

bC\ S5

(15)

v—n

Po wyznaczeniu ilości v z poprzednich wzorów, można z wzoru (15) dla kontroli obliczyć kąt a*).

b) Istniejący prawy tor jest w łuku. Rys. 103 6.

Z rzutów wieloboku AJBCDO na kierunki promieni OA i OD uzyska się dwa równania:

_ft=r (1 —cos a)-\-v sin a + (R + d) cos a,

R-\-d=r (1 — cos a) + w sin a-rR cos a Napiszmy je w tej formie:

(R — r) (1—cos a) — d cos a—v sin «=0,

(«)

(R—r) (1 —cos a) + d—u sin a = 0

(b)

\V

o,

%■

o°

o.

Rys. 103 i.

Z tych równań wynika, że u będzie zawsze większe niż v Dlatego obierzemy v i r w wartości dopuszczalnie najmniej, szej, a z powyższych równań wyznaczymy u i a.

Jeżeli się napisze równanie (a) w tej formie: (R-\-d— r) cos a-\-v sin a—(R—r)=0 RĄ-d—r

i podstawi: tang cp

to się otrzyma : R—r

cos w

V

wzór dla wyznaczenia kąta a. Z równania (ó) wyznaczy się u. Jeżeli się odejmie równanie (a) od (&), to się otrzyma

równanie :

a gdy: 1 + cos a = 2 cos znaczy:

^(1 + cos a)—(u—v) sin a —0,

sin a = 2 sin cos to się wy-

to a

, a tang — =

Ten wzór należy obliczyć dla kontroli.

Jeżeli powyższą wartość dla tang (a) lub (b), to się otrzyma wzór:

u²-v²=d[2R—2rĄ-d\, lub: u=^2d(R — r)Jrv²+d², z którego dla kontroli obliczy się u.

Y. przypadek, a) Przesunięcie osi ma się uskutecznić, gdy lewy tor przechodzi z prostej do łuku. Rys. 104. Prosta MA, łuk AR.

Wzory potrzebne do rozwiązania tego zagadnienia uzyskamy przez rzut wieloboku EDCBAE na kierunek MA i na prostopadłą do tego kierunku.

Rzut na MA:

to a

wstawi się w wzór

u-\-R sin a—Ri sin a—v cos a — d sin a=0.

Rzut na prostopadłą do MA:

R (1—cos a)-\-d cos a—v sin a—RA( 1—cos a)=0. Najkrótszy układ otrzyma się, jeżeli się obierze Ri i v, a wyznaczy z pierwszego równania:

(16)

u=(Ri—R+d) sin    cos a,

a z drugiego równania kąt a. To równanie w tej formie:

(Ri—R-\-d) cos a—v sin a=Ri—R,

wzór:

wyznaczy, gdy tang (p =

Rt —RĄ-d

sin (qp—a)

R.—R

COS (p

(17)

dla obliczenia kąta a.

Wzór (14) ma i w tym przypadku zastosowanie. Jeżeli z tego wzoru wyznaczymy:

u=’zh\2d(R₁ -R) + v²Ą-d2 to się obliczy u dla kontroli rachunku.

(18)

0.9,

L^\ flC \

0<*

Of \

\ 4%

:s>y

oV<C

v\

oś pierwotna

Rys. 104.

Co do długości w, którą obrać należy, to jeżeliby się przyjęło R± równe, lub mało różniące się od R, toby można podstawić v = 0, lecz wtedy wypada wielki kąt a i długość układu. Dlatego należy obrać nie wielką długość v) podług wskazówek § 54, a równe, lub trochę większe niż R*). może być Rl obrane znacznie mniejsze niż R, bo u wypadnie urojone. Mianowicie wynika z wz. (18), że u otrzyma wartość rzeczywistą, jeżeli będzie: R—Ri^

znaczna

wtedy jest korzystne obrać Ry Natomiast nie

. Np. dla ^=30,

J=4, ma być R—Ri

<; 114 5 m.

b) Istniejący prawy tor przechodzi z prostej w łuk. Jestto przypadek przedstawiony na rys. 103 Z), jeżeli łuk przed punktem A przejdzie w prostą. Rozwiązanie zagadnienia podług IV b.

§ 59. Zadanie o łukach koszowych z §§ 25 i 29 można inaczej postawić i uzyskać prostsze rozwiązanie³).

Do § 29. Rys. 60 Między kierunkami głównych stycznych, przeniesionych z projektu na grunt, zmierzy się kąt /?. Dla tego kąta, który od kąta /? projektu będzie się cośkolwiek różnić, wrysuje się promieniami ri, r₂ i r₃ wyjętymi z projektu, łuk koszowy, możliwie zgodny z projektem, na

stępnie wyznaczy się z projektu stosunki a, ó, c, środkowych kątów oą

a2>

a₃. Gdy więc ai: a₂: a₃—a :b : c, to:

CC

j- — —- jest stałym stosunkiem, który oznaczmy literą co. 0 c

Jeżeli co będzie znane, to obliczy się a₁=aw, a₂ = bco,

a₃ = cco.

Kąt co wyznaczy się z warunku, że:

+a₂+a₃ =180°— p=co(a + b + ć), stąd:

Dwie dalsze niewiadome są to położenia początku i końca łuku, zatem należy wyznaczyć PiW=ti i P₂W—t₂.

Można to uskutecznić albo wzorami podanymi w dziele, z którego to zadanie wyjęto, albo też z równań kontrolnych, podanych w § 29 przy rys. 61, jeżeli się przedtem obliczy:

180 °—d

co =-=-

a + b + c

a₂

a.

4 = r₂tang-^, t₅=r₃ tang-^

Moźna też wykonać rzut wieloboku na kierunki skrajnych promieni Pi0₂ i P₂0₃:

rz + d₂ cos a₃ —di cos (a₂ + a₃) — cos (oą + «₂ +-a₃) —

— ti sin (aj + a₂ + a₃) = 0,

ri-\-di cos —d₂ cos (al -\-a₂) — r₃ cos (ai -f- a₂ +a₃)—

— t₂ sin (a, + a₂ +a₃) = 0.

Z tych równań można ti i i₂ dla kontroli obliczyć.

Do § 25. Rys. 56. Podobne rozwiązanie. Tu jest:

co =    ^^ , aj=a<u, a₂=b(Oi zaś z równań (3) i (4) obliczy się

h i t₂.

Dla kontroli można zużytkować np. wzór na tang pod

b) podany.

¹

P. Leber w swojem dziele p. t. „Raccordements“ proponuje dla istniejących torów krzywę przejściową złożoną, któraby osiągnąwszy pewien promień krzywizny rx<ir, potem stale ten promień aż do wartości r zwiększała. Wtedy powstaną jednakże w przechyłce toru odwrotne spadki, których wadliwość wykazano w końcowej uwadze § 48.

²

) Podług norm związku niemieckich zai-ządów kolejowych ten promień wynosić conajmniej 6000 m na głównych, a 1000 m na podrzędnych kolejach żelaznych.

³

Z Handb. d. Jng. Wiss. Der Flussbau, 1907, str. 99.

Zbiór przykładów.

Na szeregu rachowanych przykładów podano uczącemu się, a jeszcze niedostatecznie z przedmiotem obznajomionemu, możność ćwiczenia w rozwiązywaniu zagadnień dotyczących tyczenia tras. Wątpliwe przypadki przerobione w przykładach, posłużą do głębszego wniknięcia w niektóre zagadnienia, przedstawione w tekście części I.

Rachowanie przykładów można uskutecznić albo w całości za pomocą tabel podanych w II części, jak to wskazano na str. 7 części II, alboteż posiłkując się logarytmami, co zazwyczaj szybciej prowadzi do celu.

Następne przykłady rachowano logarytmami siedmiocyfrowymi.

Przykład 1. Do § 2 punkt 3. Rys. 3.

Zmierzono: a —180 w, b — 230 m, c = 80 m, a = 76° 24'10", 8 = 94° 17'40". Zatem: a—p =—17° 53'30", sin(«—0 jest ujemne.

= 9-9876539 = 9-9987790

lg a = 2-2552725 lg b = 2-3617278 lg c = 1-9030900

Ig sin a lg sin P

lg sin (a—p) — 9-4874469

lg c = 1-9030900

lg = 2-2552725

lg c = 1-9030900

lg sin «= 9-9876539 -10 lg sin p = 9-9987790-10 lg sin =9-9876539—10

2-2429264

1-8907439

1-9018690

c. sina = 77-7578

c . sin p = 79-7754

a . sin a = 174-9549

lg a = 2-2552725 lg sin (a-p) = 9-4874469-10 1-7427194

lg b = 2-3617278 lg sin p = 9 9987790—10 2-3605068

lg b = 2-3617278 lg sin (a—p) = 9-4874469 — 10 1-8491747

b . sin P = 229-3543

148-4180, licznik dla x\ log liczn. = 2-1714866

a . sin (a—3) = 55-2993

c . sin a =    77-7578\

-b . sin (a—p) = + 70-6602/

b. sin (a-p) = 70-6602

«. sto = -86-2993}24-«61, licznik dla y; log liczn. = 1-3887422

a . sin a = 174-9549 b. sin 6=229-3543

lg a = 2-2552725 lg liczn. = 2-1714866 4-4267691 lg mian. = 2-6067136 lg x = 1-8200455 x = 66-0763

2 6067136

j 404-3092, mianownik ; log mian. —

Kontrola: x-\-y = c. x = 66-076 y = 13-9238 x+y = 80 0001 zgodnie ze zmierzoną

długością c.

lg b = 2-3617278 lg liczn. = 1-3887422 3-7504700 lg mian. — 2 6067136 lg y = 1-1437564 y = 13-9288

Przykład 2. Do § 2 punkt 3. Rys. 4.

Zmierzono: A = 120 m, a = 83° 43' 30", (3 = 47° 14' 10"; y = 56° 27'20" 8 = 64° 31'20". Zatem <x+[3 = 130° 57' 40", y+8= 120° 58'40". sin (a+p) == sin 49° 2' 20", sin (y+3) = sin 59° 1' 20".

lg sin a = 9-9973902 lg sin p = 9-8657895 lg sin (y+8) = 9-9331668 lg mian. = 0-7963465 — 1

tang² [a =0-908116 1+tang² ^ = 1-908116 lg (1-f tang² p.) = 0-2806048

lg sin B = 9-9555686-10 lg sin y = 9 9208834—10 lg sin (a+p) = 9-8780359—10 lg liczn. = Ó-7544879—1

Ponieważ sin²|A =

COS² [A

więc:

1+tang² [a

lg 1 = 0-0000000 lg (1+tang² ja) = 0-2806048

lg cos² [a = 0-7193952—T lg A =2-0791812 lg ^=1-7985764 d₂= 62-8893

lg liczn. = 0-7544879—1 lg mian. = 0-7963465 —1 lg tang² [a =0-9581414 — 1 tang² ja 14-tang² [a. lg tang² [j. = 0-9581414—1 lg (1+tang² [a) = 0-2806048

lg sin² [a = 0-6775366—1 lg A = 20791812 lg dx = 1-7567178 dx— 57-1107

Kontrola: d, +oL — A 571107 62-8893 120-C000 = A

Przykład 3.

Zmierzono kąty: 1= 38° 12'00" 2= 77° 43'10"

3    = 110° 6'10"

4    =    8° 53' 40"

5= 11° 26'20" 6= 96° 4'00" 7= 81° 12'30" 8= 27° 5' 10"

Do § 2 punkt 4. Rys. 5.

Ponieważ żąda się także wyznaczenia długości AB, więc zmierzono c = 360tm.

Sumy kątów:

180°—(1+2) = 64° 4'50" 180°-(3+4+5) = 49° 33' 50" 180°—(7+8) = 71° 42' 20"

(1+2) = 115° 55' 10",

(3+4+5) = 130° 26' 10",

(7+8) =108° 17' 40",

(4+5+6) = 116° 24' 0", 180°—(4+5+6) = 63° 36' 0" (2+3 + 4-180°) = 196° 43' 0"—180° = 16° 43' 0" (2+3+4+5+6+7— 360°) = 25° 25' 50"

(5 + 6+7—180°)= 188° 42' 50" —180° = 8° 42'50"

Naprzód obliczy się długości a i 6. Z wzoru dla c:

sin (4+5+6) sin 8 ° sin 4 sin (7+8)

2-1667962

9-1667253-10

lg c = 2-5563025 lg sin (4+5+6) = 9-9521683-10 lg sin 8 = 9-6583254-10

lg sin 4 = 9-1892505-10 lg sin (7+8) = 9 9774748-10

9-1667253—10

lg b = 3 0000709

lg b = 3 0000709 lg sin 5= 9-2973722—10 lg sin (1+2) = 9-9539575-10

zatem b = 1000164. Teraz obliczy się a:

lg sin (3+4+5) = 9-8814588—10 lgsin 1 = 9-7912754—10 9-6787341-10

2-2514006

9-6727341-10

lg a = 2-5786665

więc a = 379 024. Teraz przystąpi się do obliczenia xB i yB.

lg b = 3-0000709

}gb= 3-0000709

lg cos (2 do 4-180°) = 9-9812471—10 lg sin (2 do 4-180°) = 9-4588480-10

2-9813180

b. cos(2 do 4—180°) = 957-895

2-4589189

b sin (2 do 4-180°) = 287-686

2-5120414

2-1891816

lg c = 2-5563025

lg cos (2 do 7—360°) = 9-9557389 — 10

lg c = 2-5563025

lg sin (2 do 7-360°) = 9-6328791-10

c.cos(2 do 7—360°) = 325-118 Zatem xB:

379-024 957-895 325-118 xb = 1 662-037

c sin (2 do 7-360°) = 154-590

y ir

287-686

154*590

yH = 442-276

B = 2-6456934 B = 3-2206406 lg tang a; — 9-4250528—10 Kąt cc — 14° 54'4 9"

cr<? crcf

Jeżeli teraz postąpimy symetrycznie odwrotnie i obrawszy w B początek układu współrzędnych, a w B6 oś odciętych, to dla punktu A znajdzie się:

XB =

xn =xi-\-b . cos (5+6+7—180°) yn — b. sin (54-6+7—180°) xA = ccu+a cos (2+3+4+5+6+7—360°) y^ — 2/jj+flf sin (2+3+4+5+6+7—360°)

xi= c)

y, = o

2-9950288

2-1804848

lg b = 3 0000709

lg cos (5 do 7 -180°) = 9 9949579 — 10

1 gb = 3-0000709

lg sin (5 do 7-180°) = 9-1804139-10

b . cos (5 do 7-180°) = 988-619

b . sin (5 do 7-180°) = 151-525

lg a = 2-5786665

lg a = 2-5786665

lgcos (2 do 7-360°) = 9-9557389-10 lgsin(2 do 7-360°) = 9-6328791—10

Przykład 4. Do § 2 punkt 7. Rys. 8.

lg 231 = 2-3636120 lg 351 = 2-5453071 lgsin 0 = 8-2271335-10 3-1360526 lg 582 = 2-7641761 0-3718765 CC = 2 354

Zmierzono o = 179°2'0". Długość a=230 i 6 = 350 m zmierzono z dokładnością ±1 m. W celu przekonania się jak wielki wpływ ma ten błąd na ostateczny wynik, obliczymy CC‘ raz podług a = 229 i b = 349, dx-ugi raz podług a — 231 i b = 351. lg 229 = 2-3598355 lg 349 = 2-5428254

lg sin 0 = 8-2271335-10

3-1297944 lg 578 = 2-7619278 0-3678666 CC = 2 333 m

Różnica wynosi zatem 21 mm] jest ona dla zagadnień tyczenia tras przeważnie dopuszczalna. Dla subtelniejszych zagadnień należałoby a i b dokładniej zmierzyć.

Przykład 5. Do § 6 Rys. 14 i do § 9.

Zmierzono: <2 = 468-12 m, y = 132° 42' 30", o = 157° 33' 10", zatem: P = y-j-o —180° = 110° 15' 40".

lg d = 2-6703572 lgsin y = 9-8661786—10 2-5365358

lgsin p = 9-9722603—10 lg c = 2-5642755 c = 366-670

Zatem:

XA:

Va:

lg yA = 2-4973223 lg xA= 3-2281226 Ig tang y — 9-2691997—10 Kąt y — 10° 31' 45-1" Suma x+y = 25° 25' 50" zupełnie zgodnie ze sumą (2 do 7—360°) podaną powyżej.

Długość AB obliczy się z wzorów:

360000

988-619

342-299

151-525

162-759

xA = 1690-918

yA = 314-284

AB

x/j

sin x

cos x

albo:

AB

Va

XA

sin y cos y W celu kontroli obliczymy AB podług yB i yA:

lg yB = 2-6456934 lg sin x = 9-4101962—10 lg AB = 3-2354972”

AB = 1719-876 Zatem zgodność zupełna.

]g yA=> 2-4973223 lg sin y = 9’2618253—10 lg AB = 3-2354970 AB = 1719-876

a . cos (2 do 7—360°) = 342-299

a . sin (2 do 7-360°) = 162-759

Ig d = 2-6703572

lgsin 8 = 9-5818726—10 2-2522298

lgsin p = 9-9722603—10 lg b = 2-2799695 b = 190-533

W celu kontroli obliczymy d z trójkąta AWAi\ d = ^b²-\-c²—2bc cos 3 lg 2 = 0-3010300 lg 6=2-2799695 lg c = 2-5642755 lg cos 3 = 9-5394512—10 4-6847262

26c . cos 3 = —48386-72

lg6² = 4-5599390 6² = 36302-71 lg c² = 5-1285510 c² = 134447-00

36302-71 134447-00 +48386-72 219136-43 = d²

lg d² = 5-3407146 lg d = 2-6703573 d = 468-12 m

tO|-CD

Wynik zupełnie zgodny z pomiarem.

Inną kontrolę można przeprowadzić podług § 9. Mianowicie jest ¹^-=-(l2°25-20"),    6-c = —176-137.

u

lg d = 2-6703572

lgsinY~° =9-3326691-10 2-0030263

= 550 7/ 50'^

lg (6-c) = 2-2458506

lg cos

= 9-7571746-10

2-0030252

(b—c) cos

Y—8

d sin

Z

100-699

= 100 699

Zatem i tu zgodność zupełna.

Przykład 6. Do § 6. Rys. 15.

Zmierzono : 9 = 42° 6' 20",

<h= 18° 24' 50", zatem : p = 180-70° 19' 20" = 109° 40' 40".

W celu wyznaczenia długości d zmierzeno a = 76-03 m.

Znajomość długości cą jest tylko dla kontroli pożądana.

Z powyższych danych wyznaczymy:

9+^1= 60° 31' 10"

lg a = 1-8809850 lg sin (9++) = 9 9397801—10 1-8207651

lg sin lt = 9-4995207—10 lg d = 2-3212444

Obliczenie 6 i c i kontrolę, przeprowadzi się jak w 5 prrykładzie. Przykład 7. Do § 6. Rys. 16. To zagadnienie jest identyczne z zagadnieniem w § 2 punkt 4, tylko przeprowadzenie jest odmienne. Na podstawie danych, lub wyznaczonych ilości w 3 przykładzie, urobimy następujące ilości:

Y = 180—(1+cc)

8    = 180 —(8+y)

£ = (2+3+4)—180= 16° 43' 0"

9    = (5+6+7)—180 =    8° 42' 50"

xA (równe xB z prz. 3) = 1662 037, yA (równe y£) = 442.276 [x(równe x z prz. 3) = 14° 54'5" lg (41) = 2-5786665

lgcos [1 = 9 9851434—10 lgcos+-e) = 9-9997820-10 lg cos v=9-9926212—10

2-9998529

~2

2 5638099

ó = 28° 13' 0",

= 126° 53' 55" = 142° 23' 5"

o₁=20°16' 40",

?1+^ = 48° 29' 40"

’ d = 209-529

41 = a = 379-024 12 = b = 1000-164 24j=c= 360-000

v(równe y) — 10° 31'45"

lg (12) = 3 0000709    lg (24j) = 2-5563025

2-5489237

(Al) cos ijl = 366-277

(12) cos(fj—e) = 999 661

(2^!) cos v — 353-985

Nareszcie d = 366-277~|-999-661-|-353-935 = 1719-873 zgodnie z długością AB z przykł. 3.

/? = T+S-180° = 890 17- o-'

Przykład 8. Do § 7. Rys. 17.

Przykład przeprowadzony na str. 5 i 6 części IJ, wyłącznie za pomocą tabeli II.

Przykład 9. Do § 7. Rys. 18.

Dane: r = 400?w, a = 54° 12'40", punkty P i Pt. Zmierzono: = 47626,    [>. = 15° 17' 20", v = 8°12'20", zatem:    = 23° 29' 40",

9-3112892-10

—fA=ll°49'0".

Ig 2r — 2-9030900

2-2143792

lg 2a = 2-6778441

lg sin v — 9-1544998—10 1-8323439

2r sin

163 825

lg sin ([a-}-v) = 9 6006028—10 2-2317411

2a sin v

sin(|i-ł-v)

170-506

Zatem x = 163-825—170-506 = —6-681.

Ponieważ x wypadło ujemne, więc punkt C leży na zewnątrz

łuku.

Kontrola na miejscu przez zmierzenie np. kąta PMPU który pod-

a

ług § 10 e ma się równać 180°— ^ •

Przykład 10. Do § 10 a. Rys. 21.

Dla promienia 520 m, dla którego w tabeli III niema podanych wartości na y, chcemy obliczyć rzędne. Podług tabeli na str. 15 możemy rachować rzędne podług przybliżonego wzoru y = x² :‘2r, jeżeli ich długość nie przekroczy około 3-2 m; zatem dla x = 10 do 50 m obliczy się y podług przybliżonego wzoru, zaś od x = 60 począwszy zastosuje się wzór dokładny: y — r— \r²—x² •

Wzór dokładny:

Wzór pi*zybliżony:

10

20

30

40

50

0-096

0-385

0-865

1- 538

2- 404

Przykład 11. Do § 10 6. Rys. 23 i § lic.

Między głównymi punktami M i N łuku o promieniu r — 600 m należy wytyczyć 10 punktów łuku od cięciwy MN.

Zmierzono 2d = 118-64 m.

Dla 10 punktów jest w zastosowaniu do wz. 8:

0’5 razy (2d)

0⁻5 razy (2d)

0-25 razy (2d)²

o = 0-1

0-2

co

0-4

0-6

5 = 0-9    0-8

ab = 0-09    0-16    0-21    0 24

28 73 35 59 47-46    59-32 m

Zatem dla a = 11-86 jest z —1-056

1-877 2-547    2-915    2 932 m

Ponieważ rzędne nie przekraczają wartości podanych w tabelce na str. 15, przeto ich obliczenie na podstawie wz. 8 jest dopuszczalne.

Jeżeliby długość łuku MN była żądana, to trzeba wyznaczyć kąt a

z wzoru sin

lg = 1-7732011 lg =2 7781513

d 59-32

!g sin ₂

= 8-9950498-10

“ = 5° 40' 26",

Podług I tabeli jest arc « = 0-1980561, więc długość łuku r arc a = 118-834 m.

zatem:

a = lio 20' 52"

Można długość łuku także wyznaczyć podług § lic:

(a v—f⁵⁹⁻³²y_

\7- /    \ 600/ —

długość łuku = 118-64.1-0016291 = 118-833 m.

0-0097746:

07 h-⁴

= 0-0016291, więc:

Przykład 12. Do § 14. Rys. 38.

Łuk tyczono z A i B o długości st— 148-64 i s₂= 180-00 m, przy-czem znaleziono odchyłkę A = 84 mm. Więc A : (sj -\-s.₂) = 0 2556 mm, zaś Aj = 148’64.0-2556 = 38 mm, A₂= 180.0'2556 = 46 mm. At —J—A₂ == 84 mm. Poszczególne punkty, mające od A lub B odległość:

20    40    60    80    ICO

10    15    20    26

należy przesunąć o 5

120    140    160 m

31    36    41 mm

Przykład 13. Do § 15. Rys. 40. Dane punkty A i B i styczna w A. Dla stosownie obranego punktu C zmierzono: 6 = 478-15, c = 386-84w, e = 135°2'40", zatem 180—e = 44°57'20"; również zmierzono y = 29°48/20". Obliczenie długości 2a:

lg b = 2-6795642

lg 6² = 5-3591.284 6² = 228627-47

lgc = 2 5875314 lgc² = 5-1750628 c² = 149645-21

lg2 = 0 3010300 lg b = 2-6795642 lg c = 2-5875314 lg cos e = 9-8498216-10 jg 2bc cos e = 5-4179472

2bc cos e = —261786*42

Zatem wyraz pod pierwiastkiem :

228627-47 149645-21 261786-42

640059-10 logarytm tego wyrazu = 5-8062201. Logarytm pierwiastka: 2-9031101 = lg2a, zatem 2a = 800-037. Obliczenie |x i v:

lg c = 2-5875314 lg sin e = 9-8491479 —10 2-4366793 lg2a = 2-9031101 lg sin u. = 9-5335692—10

lg b = 2-6795642 lg sin e = 9-8491479—10 2-5287121 ]g2a= 2-9031101 lg sin v = 9-6256020— 10

Przykład 14. Do § 17 a. Rys. 44.

Zmierzono: AM = 126-42, il/^^837-53, y = 96°42'10", 8=85°53'20". Więc p = +2035' 30", AM-\-MAl== d = 968-95, 180-y = 83° 17'50".

lg i¥^= 2-9230004 lg sin 8 = 9-9988811—10 lg q = 2-9218815 q = 835-375

lg nawiasu = 0 0065703 lg(P+2) = 2-9826923 2-9892626 lg 2 = 0-3010300

lg cos²-|~ = 9-9997780—-10 lg ri— 2*6884546 rt = 488 039

p-\-q = 960‘931 lg pq = 5-0207187 lgVM = 2-6103694

2r sin (v-j-®) = 439-533 zaś b-\-CE = 520-780,

r = 523-858 m,

Co do tyczenia tym promieniem ob. tekst do tabeli IV.

zaś c-j- CD = 439-533

lg sin

Igr = 2-7192135 lg sin (v+a>) = 9 6227480 — 10 lg 2 = 0-3010300 2-6429915

=--- 190 58' 37 7"

= 240 58' 43-3"

y-j-jj. = ~ = 49® 46; 57-7"

= 180—== 130° 13'2-3"

Obliczenie długości CD i CE: lg 6= 2-6795642 lg sin (e—«p) = 8-9250533—10 11*6046175—10 lg sin ® = 9-8828666—10 lg CD= 1-7217509 CD = 52-693

4«49' 37-7' = 150° 11' 40'0" v —j— cp = 155° 11' 45 6"

lg c = 2-5875314 lg sin (s—cp) = 8'9250538—10 11-5125847-10 lg sin o = 9-8828666—10 lg CE= 1-6297181 CE — 42-630

Obliczenie r:

lg a = 2-6020801

= 9-8828666-10

Igr = 2-7192135

Kontrola:

Igr =2 7192135 lg sin (u.-j-«p)=9-6964071 —10 lg 2 = 0-3010300 2-7166506

2r sin (^+9) = 520⁻776

Obliczenie p i q: lg Alf =2-1018158 lg sin y = 9-9970214—10 lg p = 2-0988372 p = 125-556

Obliczenie promienia rt:

lg Vm = 2-5103594 lg sin    = 8 3543892—10

u

lg 2 = 0 3010300 1-1657786 lg (2>4-2)= 2-9826923

Ó-1830863-2 liczba = 0-0152436

1-

nawias = 1-0152436

Obliczenie x i xl:

2^=976-078 p = 125-556 2rt —p — 850*522

Obliczenie AJV i Aj!Nj:

]g AM = 2-1018158 lg cos y = 9-0671411—10 1-1689569 AiV= +14-756 lg MAi = 2-9230004 lg cos 8 = 8-8554639 —10 1-7784643

AiNi= -60-043 A, Pj = ay — At JVj = 402-884.

Kontrola, jak w tekście podano. Tu przyprowadzi się jednakże inną prostszą kontrolę, równaniem uzyskanem z rzutu wieloboku PAAjPj O na kierunek promienia PO:

2^=976-078 q = 835-375 2rt — q = 14Ó:703

lg (2rj —p) = 2-9296855    lg (2rx —q) — 2 1483034

lg q = 2-9218815 6-0701849 lg xt= 2-5350925

xt= 342-841

lg p = 2-0988372 50285227

lg x = 2-5142614

x = 326-784

AP = x-AN = 312-028,

j+l+cos j3) = d cos (y—90^+AjPj sin [3.

CO|-t*>

rj(l+cos 8) = 2rx cos² y

lg 2 = 0-3010300 lg ri = 2-6884546

lg cos²- - = 9-9997780-10 2-9892626

co -do

d cos (y—90°): lg d = 2-9840545 lgcos (y—90°) = 9-9970214—10 2-9810759 liczba = 957-361

AjPj sin (3: lg At Pt= 2-6051800 Igsin p = 8-6553084—10 i'2604884 liczba = 18-218

rj(l+cos p) = 975-580

957-361+18-218 = 975-579

Przykład 15. Do § 19o. Rys. 48 a.

Dane: r = 600, rt=450łw. Obrano stosowne punkty M i Mi i zmierzono: l = 1436-27 m, a = 41°36'20+ «t= 33°24'10</.

Obliczenie c i ct:

Igr, = 2-6532125 Igsin «j= 9-7407740-10 —2-3939865

t-j= 247-734

Igr = 2 7781613 Igsin a = 9-8221672-10 2-6003185

c = 398-399 Obliczenie p i

lg rx =2-6532125 lg 2 = 0-3010300

Igsin = 9-4584622-10

LI

Igsin -J. = 9-4584622-10 1-8711669

lg r = 2-7781513 lg 2 = 0 3010300

Igsin ~ = 9-5504146—10

lg sin = 9-5504146-10 ²    2-1800105

l— c -* c,= 790-147, r \-r^ —p —pt = 824-310, (f+.ri ~V ~ V\) — 2-9160906 ]gÓ-c-c,)= 2-8977079 lg tang i = 10 0183827 -10 Ig (r-frt)= 3*0211893 lgcos ^ = 9-8400991—10 2-8612884 lg (J-c-O — 2-8977079 Igsin = 9-9635805—10 l₀ z pierwszego wzoru: lg (r+rj) = 3-0211893 Igsin ® = 9-5473486—10 2-5685379

p= 151-360

p₄= 74-330 4 = 46° 12' 44-1" lg cos ({< = 9-8400991 —10

<{,-f<p = 66°5l'43-l" = 46 12 44-1 <p = 20° 38' 59-0"

l₀ z drugiego wzoru: lg 2 = 0-3010300 lg (r+r,) = 3-0211893

lg sin = 9 2534085-10 £

lg sin -J- = 9-2534085—10 1-8290363 liczba = 67-458 pĄ-px= 225690 158-232

lg == 2-1992943 Igsin ® = 9-5473486—10 lg I₀ = 2-6519457 l₀ = 448-689

liczba = 370-287 l — c — ci— 790-147 419-860

log = 2-6231045 lg cos cp = 9-9711616-10 ]g lQ = 2-6519429

l₀ = 448"686

Przykład 16. Do § 26. Rys. 57.

Łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni.

Dane: punkty P, i P₂. Zmierzono: #j = 686 24, /₂ = 507-16, kąt |3 = 82° 16'30/y. Zatem lg sin (3 =9-9960406, lgcos 3 = 9-1284593, cos (1 = 0-134419.

Wyznaczenie kątów aj i a₂:

lg fj = 2-8364760 lg t₂= 2-7051450 0-1318310

£j: t₂ = 1-353103 cos 3 = 0 134419 1-218684

log = 0-0358911 lg sin 3 = 9-9960406—10 lgcotg at— 10 0898505—10 04=39° 6' 53-7“ a₂ = 58 36 36-4 «,+a₂ = 97 43 30-1

równe 180°—3

lg t₂ — 2 7051450 lg ti = 2-8364760

Ó-8686690 —1

f₂ -. #j= 0-739042 cos (3 = 0-134419 0-604623

lg = 0-7814847—1 lg sin 3 = 9-9960406 — 10 lgcotg a₂ = 9-7854441 — 10

-^ = 19°33'26-8"

-^ = 29 18 18-2

= 41 8 150

lg cos    = 9-8768717 — 10

lg r₂ «= 2-5583447 r₂ = 361-6968

Są to promienie o najmniejszej różnicy.

Kontrolę rachunku przeprowadzi się np. podług 2 równania w § 25

lg t,= 2-8364760 lg cos 6 = 9-1284593-10 1-9649353 —

lg d = 2 6002103

Igsin “ = 9 5247227 —10 2-1249330

lg sin ~ = 9-6897166 — 10

Obliczenie ilości d, r, i r₂:

lg f₂= 2-7051450 lg sin p = 9-9960406-10 2-7011856

Igsin «,= 9-7999453-10 lg 2d = 2-9012403

2tf = 796-60 d = 398-30

lg d = 2-6002103

lg sin — 9-6897166—10 2-2899269

Igsin-§- = 9 6247227—10

u

lg cos 1 = 9-8768717-10 Igr, = 2-8883325 r,= 7732724

Igr, = 2-8883325 Igsin p = 9-9960406—10 2-8843731

cos (3 = 92-243

r, sin p = 766-254

lg (»i —r₂) = 2-6144496 Igsin a₂ =9-9312762 — 10 2-5457258 (r,—r₂) sin a₂ = 351-334

Zatem 766-254-j-92"243—351-339 = 507-158, zgodnie z wartością t₂: Przykład 17. Do § 29 a. Rys. 60 i 61.

Dla ćwiczenia obierzemy pi-zypadek o tyle odmienny od tego, który przedstawia rys, 60, że przyjmiemy r₂ mniejsze niż r, i r₃, a kąt p > 90°. Wtedy wypada kąt P, 0, 0₃ > 180°, zaś ilości <J< i O, Q wypadają ujemnie.

Uczący się powinien, dla lepszego zoryentowania, zrobić szkic rysunku, podług ilości poniżej obliczonych.

Dane: punkty P, i P₂, promienie r, = 600, r₂ = 450 i r₃ = 800 m. Zmierzono : ź, = 507-36, t₂ = 561 -47, p = 97⁰ 58' 20".

Obliczenie O, Q:

lg r₃ = 2-9030900 Igsin p = 9-9957823—10 2-8988723 r₃ sin P = -f-792*2684

lg h = 2-7493266 lg cos P = 9-1420545-10 1-8913811

ż₂ cos P = —77-8720

507-36 #₂ cos p = +77-8720 585-2320 r₃ sin p = - 792-2684 0{Q = -207-0364

*i =

Obliczenie 0₃Q\

lg t₂ = 2-7493266 lg sin 8 = 9-9957823—10 2-7451089

ł₃ sin p = 556-0438

lg r₃ = 2-9030900 lgcos p = 91420545 —10 20451445

r₃ cos p = —110-9544

f₂ sin p =    656-0438

r₃ cos P = 4*110-9644 666-9982

600-

ri =

0₃ Q = + 66-9982

s = 358-8035 s-dx =208-8035 s—d% —

s-c = 141-1965

8-8035

lg O, Q = 2-3160467 lg 0₃ Q = 1-8260631 lgtang ij> = 10-4899836—10

== —72°4'5 2"

lg Oi Q ^ 2-3160467 lg sin 4 = 9 9783737-10 lg c = 2-3376730

c = +217-6071

Ponieważ Oj Q jest ujemne, więc tang i kąt ^ są ujemne; jednakże ujemnej wartości tang <J» odpowiada jeszcze druga wartość: ^ =+107° 55'54-8" i tylko ta wartość jest dla naszego przykładu przydatna.

Obliczenie kąta a₂:

]g (s -dj ) = 2-3197377 lg (s — d₂) — 0-9446554 3-2643931 lg * = 2-5548566 lg (s—c) = 2*1498239

0-5597126—2 połowa = 0-2798563— 1

lgtang = 9-2798563-10

Obliczenie kąta a,:

lg (s—d,) = 2-3197377 lg (s—c) = 2-1498239 44695616 2;5548566 •9446554 ■9700496 połowa =3T( -4850248

ai+ł

lg * = lg (s-d₂) =j

lg tang

= 1 >41

10° 47' 4-9"

to +

«₂ = 21 34 9-8 ^ = 71 52 32-1

ai +4¹ = 143 45 4-2 4 = 107 55 54-8 «j - 35 49 9-4

«₃ = 24 38 20-8 lg r₃ = 2 9030900

lg tang J = 9-3392383-10 2-2423283

4 = 174-7142

#i —4 = 813-4538,    #₂—% = 386 7558,    4+4 = 279-6236,    4+4 = 260-4316,

04 + *, = 57°23'19-2", «₂+«₃ =46° 12'30-6".

Kontrola:

lg (4 + 4) = 2-4465738 lgsin (a₂ + *₃) = 9-8584547-10 2-3050285

lg(4~4) = 2-4961735 lg sin [5 = 9-9957823—10 2-4919558

lg (4+4) = 2-4156937 lg sin «₃ = 9-6200332—10 2-0357269

(4 — 4) sin P = 310 424 = f'4+4) sin (®2 + *3) ⁼

= 201 850]+[(4+#₅) sin «₃ = 108-574]

lg (4-4) = 2-5874369 lgsin 15 = 9-9957823-10 2-5832192

lg (4+4) = 2-4465738 lgsin at = 9-7673260—10 2-2138998

lg (4+4) = 2-4156937 lg sin («!+«2) = 9-9254905—10 2-3411842

(4—4) sin P = 383-018 = [(4+4) sin «t = = 163-644]+[(4+4) sin («₁+a₂) = 219-374] 163-644+219-374 = 383-018

Przykład 18. Do § 30. Rys. 62

Dane luki o promieniach rt=550 i r₂ — 500 m, między nimi prosta l = 42⁻0 m, zaś oą = 24° 16'10", a₂ = 15° 42'20". Więc c — ri—r₂ = 50 m. Chcemy się naprzód przekonać jak wielką wartość należy obrać dla r, aby kąty <p nie były większe niż kąty a. W tym celu obliczymy naprzód min <4 i min d₂, podług wzorów podanych w odnośniku.

| = 40° P49-0" 4+“i — 34 17 59-0 «]>—a₂ = 22 19 29-0 Obliczenie min d₂:

lg m= 1-8149086 lg cos (^ — a₂) = 9*9596259 1-7745345

Obliczenie stycznych: lg n =2-7781513

lg tang = 9-5094404 —10 2-2875917 4 = 193-9062

lg r₂ = 2-6532125

lgtang J — 9-2798563-10 J 1-9330688 4 = 85-7174

Przed tem wyznaczy się m = ^P+c² = 65-2993; następnie <]>: lg Z= 1-6232493 lgc = 1-6989700 lgtang ł = 9 9242793—10 Obliczenie min dl:

lg m = 1 -8149086 lg cos (']'+«!) == 9-6371628 1-4520614

21-6821

9-5024

m cos (^-4"ai) •— 28 3179 c = 50-

w cos (<J/—a₂) = 59-5024 c — 50

mianown. == 43-3642

mianown. == 19-0048

lg P = 3-2464986 Igmian. = 1-6371313 Igmind, = 1*6093673 min dt = 40-679 min r = r, -j-d, = 590-68

lg P = 3-2464986 Igmian. = 1-2788633 lg min d₂ = 1 9676353 min <?₂ = 92819 min r = r₂-f-d₂ — &92-82

Obierze się więc za r najbliższą wyższą okrągłą cyfrę r = 600. Zatem dx— 50, d₂ = 100, s— 107-6497, s—di— 57-6497, s—d₂ =7-6497, s—m = 42 3504.

lg (s—d,) = 1-7607971 lg (a—w) = 1-6268575 3-3876646 lg m = 1-8149086 lg c?₁₌= 1-6989700

1-8737760—2

Obliczenie kąta y: lg (a—<*,) = 0-8836444 lg (s—m) = 1-6268575 2-5105019

0-6955933—2

lg m = 1-8149086 lg^2 = 2-_

lg sin J = 9-3477967—10

u

lg sin -

- = 9-9368880—10

12° 52' 11-9"

u

- = 59 51 130

= 25 44 23 8 = 119 42 26-0 <pt = 20 15 45 0 92 = 14 17 26-2

Dla kontroli obliczy się kąt e: lg (a-d, ) = 1-7607971 lg (s—d₂) = 0-8836444 2-6444415 lg dtd₂ = 3-6989700

09454715—2

lg sin -1 = 9-4727358-10

-1 = 170 16' 35-7"

e = 34 33 11-4 1    , .

> zgodnie.

oj -j-cp₂ = 34 33 11-2 / ⁶

Punkty P i P' wyznaczy się na polu, jeżeli się wytyczy od P\ łuk o promieniu r₁₍ a kącie środkowym —©, = 4° 0' 25'', a od P'₂ łuk o promieniu r₂, a kącie środkowym «₂—©₂ = 1° 24' 54".

Łuk P'P'₂ wypadł tak krótki, że dla niego nie można zastosować krzywej przejściowej (ob. § 48); wypada zatem przyjąć większy promień r. Jednakże przezto zwiększy się różnica promieni, co powoduje inną trudność w przeprowadzeniu krzywej przejściowej w punktach P i P'.

Wszelkie trudności ominie się, a zarazem uzyska się ładniejszą trasę, jeżeli linię między P\ i P'₂ zastąpi się jednym lukiem, włożonym w kąt utworzony przez styczne w punktach P\ i P'₂, jak to na rysunku obok uwidoczniono. Kąt wierzchołkowy utworzony przez te dwie styczne jest [3 = 180°—at —«2 = 140° 1'30" *). Przytem chcemy rozwiązać inne zagadnienie, mianowicie dobrać promień tego łuku tak, aby odstęp AB łuku od prostej PtP₂ nie przekroczył pewnej z góry ustalonej granicy, np. około 1 m.

W tym celu wyznaczy się naprzód długość:

Wi    = r, tang ^ + J+r₂ tang    :

W,

P;

C,

S’ : A

\W₂

Pu

P/'

r,

r?

\Pz

P’

H+-"

O?

>o

■OT

Rys. 105.

Igr, =2-7403627

Ig tang -§■ = 9-3324695 2-0728322

r, tang ~ = 118-258

Ci

lg r₂ = 2-6989700

lg tang

r₂ tang = 68-961 1T, W, = 118-258+42-0+ 68-961=229-219

= 9-1396020

1-8386020

Następnie gdy Wt B= WB cotg an BW₂ — WB cotg a₂, to: W₂BĄ-BWa = W₁ W₂ = WB (cotg aj-fcotg a₂), a stąd:

WB=

W, W₂

cotg aj-fcotg a₂

= W, w₂

sin aj sin a₂

sin (aj+aj)

zatem:

lg Wx W₂ = 2-3602506 lg sin ^ =9-6138717—10 lgsin »2 = 9 4324782—10 1-4066005

lg sin (a, -j-“2) — 9-8078416—10 lg WB = 1-5987589 _

WB = 39-697

Ponieważ chcemy mieć strzałkę około 1 w, to obierzemy 10=38-5 m. Jeżeli CD jest równolegle do Wt W₂ poprowadzone przez punkt S, to

W A

CD : Wt W₂ = W A : WB, zatem CD = Wx W2 1TrT):

WB

lg Wt W₂ = 2-3602506 lg WA = 1-5854607

CD = 222-3066

3-9457113 lg WB = 1-5987589 lg CD = 2-3469524

Teraz mamy przed sobą zagadnienie z § 15: włożyć łuk styczny do trzech prostych P\ C, CD i DP\. Gdy tu CD równa się t{-\-t₂ rysunku 39, to szukany promień:

sin

''o = CD

tolj®

02

sin2-

cos

a]

cos

*2

= CD

~2

sin

«!+«!

lg CD = 2-3469524 lg cos = 9-9901860—10

u

lg COS -J²- = 9-9959081 -10 Z 2-3330465

9-5337912 lg r'₀ = 2 7992553

WP\ równa się W Wi-\-WiP\ = Wx W₂

. S3n **—r+r₂ tang :

Sin (at -fa₂)~    2

r'₀ = 629-88 m. Tę wartość zaokrągli się na r₀ = 630 m i wyznaczj⁷ się początek i koniec łuku P \ P'. W tym celu należy obliczyć długości:

PP\= PW- P\ W i P\ C‘ = WP‘— WP'₂.

, ■ «1 + «2 Igsm ₂

WP\ = Wl w₂

sin a₂

Sin (at a₂)

frj tang , zaś:

lg IFj W₂ = 2-3602506 lgsin a₂ = 9-4324782—10 1-7927288

lgsin («i + «2)— 9-8078416—10 1-9848872 ~

WWt = 96-580

lg TFj W₂ = 2 3602506 lg sin at = 9 6138717—10

1- 9741223

lg sin (at -J-a₂) = 9-8078416—10

2- 1662807

WW₂ = 146-650

Przez odmierzenie tych długości otrzyma się początek i koniec łuku, którego wytyczenie nastąpi jak wiadomo.

W celu kontroli obliczeń, urobimy równanie z rzutu wieloboku PWXW₂P'O na kierunek promienia PO:

PO = Wj W₂ sin at -j-(W₂ P‘₂ \-P‘₂P‘) sin (180— <xt —a₂)—P‘ O cos (180—at —»₂)

lg (W₂ P'₂+P'₂P') = 1-9164329 lgsin (ai+«₂) = 9-8078416-10 1-7242745

(P\-fP\ P') sin («, + «₂) = 53-000

lg Wx W₂ = 2-3602506 lgsin aj =9-6138717—10 1-9741223

Wx W₂ sin «! = 94 216

lg r₀ = 2-7993405 lg cos (^ +a2) = 9 8844129—10 2-6837534 “

r₀ cos («i+«2) = —482-785

Suma tych ilości 94-216 +53-000+482-785 = 630-001 zgodnie

z r₀ = 630 0.

Przykład 19. Do § 35, 3. Rys. 68.

Z projektu były dane promienie rx — r₃ = 120 m, r₂ =300 m. Powiedzmy, że sposobem w tym paragrafie podanym wyznaczono: tt = 283-7, t₂ = 282-2, 3 = 14° 26' 15".

' lg r₃ = 2-0791812 lgsin 3 = 9-3967637—10 1-4759449 _ r₃ sin 3 = 29-9188

Styczne WXP\ i W₃P\ są już powyżej obliczone; zatem:

WP j = 96-580-j-118'258 = 214 838, WP'₂ = 146-650-1-68-961 = 215-611 a. 4-a,

PW — JFP' = r₀tang—-—, gdyż kąt a przy 0 równa się «i+a2:

U

PW — 229 146, zatem:

PP't = 229-146—214-838 = 14-308, P'₂P' = 229 146—215-611 = 13-535

lg tang ai^g2

lg r₀ = 2-7993405

= 9 5607710

lg pw = 2-8601115

Obliczenie OxQ, 0₃Q i kąta lg t₂ = 2-4505570 lg cos 3 = 9-9860639-10 2-4366209 t₂ cos 3 = 273'2883

t₂ sin 3 = 70-3592 r₃ cos 3 = 116-2104 186-5696

rx = 120-0₃() = 66-5696

lgr₃ =2-0791812 lg cos 3 = 9 9860639—10 2-0652451

r₃ cos 3 = 116*2104

lg t₂ = 2-4505570 lg sin 3 = 9 3967637-10 1-8473207

t₂ sin 3 = 70-3592 /, = 283-7 r₃ sin 3 = 29-9188 313-6188 t₂ cos 3 — 273-2883 OiQ = 40-3305

lg O, ę = 1-6056336 ]g 0₃Q—\ 8232760 lgtang ty = 9-7823576-10

^ = 31° 12' 32 9" lgsin = 9-7144668—10

10

Tyczenie tras.

Ig Ot Q = 1-6056336 lg sin <!* = 9-7144668—10 1-8911668 _ c = 77-8335

dx = 300—120 = 180 — d₂

180+180+77-8335

218-9168; s -dj = s—d₂ = 38-9168, s—c = 141 0833

9-9045983—10

Obliczenie kątów at, a₂, 03-.

lg (s_d,) = 1-5901372 lg ls-d₂) = 1-5901372 3‘1802744 lg * = 2-3402791 lg (s—c) = 2-1494756

~ 8-6905197—40

Igtang    = 9-3452599 — 10

u

lg (s - d,) = 1-5901372 lg (s—c) = 2-1494756

3-7396128 lg a = 2-3402791 ]g(s-d₂) = 1-5901372

9-6091965—10

Igtang*^

-^ = 12³ 29' 103"

u

38 45 24-9

«₂ = 24 58 20-6 «i—ł _

= 15 86 16-4

« to Lp

= 64 21 41-3 = 108 43 22-6 «₃ =360+p—«j—a₂ = 240° 44'31-8",    = 120° 22' 15‘9"

Ci

W celu kontroli rachunku obliczymy np. drugie równanie kontrolne z § 29: (#₂    f₆) sin P = (<₃+^₄) sin aj+^+fg) sin («₁+a₂).

Naprzód wyznaczymy: t₃ = rt tang -J, #₄ = r₂ tang f₅=r₃tang -J.

lg r₂ = 2-4771213

Igtang ~ = 9-3452599—10 1-8223812 tk = +66-4326

lg r, = 2-0791812

Igtang = 0-1445127 2-2236939 ł₃ = +167-3763

t₂ —    282-2

% = —204-7718 + 486-9718

lg r₃ = 2 0791812

lg tang == 0 2320889 Z 2-3112701 tb = -204-7718

h =

t₅ = -204-7718 -138-3392

t₃ = 167-3763 = 66-4326 +233-8089

66-4326

«, = 108° 43' 22-6" «a = 24 58 20 6 oą+a, = 133 41 43-2

lg (4+4) = 2-1409453 lg sin (*i+«2) = 9 8591524—10 2 0000977

(4+4) sin (“i +*2)    —100-0225

suma 221-4362-100 0225 = 121-4137 zgodnie z lewą stroną równania.

Przykład 20. Do § 36. Rys. 69.

Na podstawie danych z 16 przykładu zastąpimy łuk koszowy parabolą drugiego rzędu. Zatem podług rys. 69 dane są punkty Pi Pi, a zmierzono * = 686-24, 4=507-16, p = 82° 16'30".

728136*60 2^4 cos p = 93564-32 4d² = 634572 28

t*+t\= 728136-60 2<4cos p = 93564-32 16k² = 82I7ÓÓ-92

lg t = 2-8364760 lg 4=2-7051450 lg 2 = 0-3010300 Igcos p = 9-1284593—10 4-9711103

]g (f, -*₆) = 2-6875038 lg sin p = 9-3967637-10 2 084267B

lg (h 4- 4) = 2-3688611 lg sin aj = 9-9763875—10 2-3452486

(4 — *₅) sin p = -J-l‘21'4136

(*3+4) sln ai — +221-4362

Naprzód wyznaczymy długości d i h. t² = 470925-338 t\= 257211-266 t³+t\ ₌ 728136-604

2*4 cos p = 93564-32

lg Ad³ = 5-8024811 lg 2d = 2-9012405 2d — 796-600 (zgodnie z prz. 16) Obliczenie kątów ? i ^: lg * = 2-8364760 lg 4 = 2-7051450 lg sin p = 9-9960406—10 —5-5376616 lg d = 2 6002103 lg 4h = 2-9573569 lg sin © = 9-9800944

]g 16** = 5-9147138 lg 4* = 2-9573569 Ali = 906-477 li = 226-619

lg 4 = 2-7051450 lgsin S = 9-9960406—10 2-7011856 lg Ah = 2-9573569 lgsin ^ = 9-7438287—10

^ = 33° 40' 11-6"

? — 72° 47' 5-5", lub © = 107° 12'54-5". Podług powyższych danych jest © > 90°, zatem ta druga wartość ma tu zastosowanie.

Kąt WPC równa się kątowi at w przykł. 16; otóż jest kąt WPC— 180 — © — <{1 = 39° 6' 53'9", zgodnie z at z przykładu 16. Obliczenie promieni krzywizny:

lgd = 2-6002103 lg d³ = 7-8006309 lg 2 = 0-3010300 81016609 lg #4 sin p = 5-5376616 lg ps = 2-5639993 ps = 366-437

lg ttj sin P = 5-5376616 lg tH\ sin² p = 11-0753232 lg 16*² = 5-9147137 lg 2* = 2-6563269 lg Po = 2-5042826 Po = 319-362

lg t² = 5-6729520 lg 2 = 0-3010300 5-9739820 lg tt =2-7051450 lg sin (3 = 9-9960406-10 lg p = 3-2727964 P = 1874-116

Ig t\ = 5-4102900 lg 2 = 0-3010300 5-7113200 lg t = 2-8364760 lg sin p = 9-9960406—10 lg Pt = 2-8788034 pt = 756-490

Przykład 21. Do §§ 43, 44 i 45. Rys. 83 i 84.

Do tych paragrafów rachowano przykład podany przy tabeli VI, za pomocą tabel. Tu podamy inny przykład rachowany logarytmami.

Dany promień łuku r = h00m dla głównej kolei żelaznej, dla której (7= 12000. Zmierzono J3 = 137° 48' 40", zatem a = 42° 11'20",

^- = 21° 5' 40".

Z tabeli VI wyjmiemy dla r — 500: l — 24-0, e — 0-192, zatem v==-£- — 0-048. Następnie a = 12-0 = i/il, <p₀ = 1° 22' 29", S = 24-0.

Wyznaczenie położenia punktów C i S: lg (r+e) = 2-6990117

lgtang = 9-5863132 — 10 lg (<+*') = 2-2853249 t+t' = 192-897

lg(r+t>) = 2*6990117

lg cos 4 = 9-9698762—10 2 7291355 ~

sec 4 = 535-964

535-964 r = 500"

WS= 35 964

Kontrola punktu S: lg r = 2-6989700

lgtang 4 = 9-2699603—10 1-9689303

r tang ~ = 93⁻096

lg v = 0-6812412-2

lgsin 4 = 9-5561895-10 0-12Ó0517—1“

lg v = 0-6812412—2

lgtang =9-5863132—10 00949280-1

8 <M

93-096

0-124

CD = 92-972

v tang —

- 0-124 = V

r tang 4 = 93 096

v : sin 4 = 0-133 DS = 93-229

Kontrola na miejscu: ES = r tang *- = 93-096, DSD‘ jedna prosta.

Dla ustalenia stycznej BU (rys. 83a) obliczy się US:

lg 2r = 8‘

lgsin²    = 8-4672048-10

⁴    1-4672048

= 190 43' 11"

a    9° 61' 35-5"

lgsin

— 2®0 4

= 9-2336024-10

Igcos (-|—^0) =

9 9737531—10

lg US = 1-4934517 US— 31-150

Przykład 22. Do § 47b. Rys. 87.

Łuki odwrotne kolei głównej, dla której (7=12000. Dane: ^=600, r₂ = 400. Zatem podług tabeli VI jest Zt=20, «₁= 0*111, ^=0 028, Z₂ = 30, e₂ =0-375, «;₂ = 0*094. Gdy l₀ = 10, to musi być p > 35. Obierzemy p = 40 m. r^-\-vi = 600-028, r<^Ą-v2 = 400094.

^ (ri +r2+vi +®a) = 3'0000528

lg cos © = 8-6017130-10 1-6017658

lg p = 1 6020600

lg sin (©+£) =T9 9997058-10

lg(rt+r₂)= 3-

lg p =    1*6020600

Ig tang © = 11-3979400—10 9 = 87° 42'33-8“

= 87°53< 28-8" © = 87 42 33-8 e= 0° 10' 550"

Obliczenie równania kontrolnego:

lg CO +*2) = 3-

lg sin £ = 7 5018028—10 0-5018028

(ri+o) sin £ = B'1754 Suma równa 39-9995, zgodna z p = 40⁻0.

Podług przybliżonego wzoru sin £ —

obliczone £ wynosi

0« 10' 29-7", zaś Ą Cj -1-832, P₂ C₂ = 1 221, C, C₂ = 36-947. Więc różnice są znaczne, bo prosta p jest krótka.

lg (^+1’!) = 2-7781715 lg cos 6 = 9-9999978—10 2-7781737

(ri +®i)cos E — 600-03 L

rj = 600-

Pt Bi =    0 031

lg (rj+»₂) = 2-7781715 Igtang s = 7-5018050 -10 lg Ci = 0-2799765 Ą Ci = 1-9054

lg p = 1-6020600 Igcos e = 9 9999978 —10 1 6020622

lg (r₂+^₂) = 2-6021621 Igcos £ = 9-9999978—10 2-6021643 (r2+pa) cos £ = 400-096 r₂ 400-P₂B₂ =    0-096

lg (r₂ + t>,) = 2-6021621 lg tang £ = 7 5018050—10 lg P₂C₂ = 0 1039671 " ĄCj =1-2706

p cos £ = 40-0002 BiC\ = 1-9054 P₂ C\ = 1-2705 Oj C₂ = 36 8243

lg Ci C₂ = 1-5661345 lg cos £ = 9 9999978—10 1-5661323

Ci C₂ cos £ = 36 8241

Przykład 23. Do § 48. Rys. 88 i 89. Dane: r — 400 m, C= 12000.

Zmierzono:

(5 = 173° 57' 40",

a. — 6° 2'20", --=3° 1' 10". Podług tabelki § 48 jest kąt a dostatecznie

wielki dla pomieszczenia obustronnych krzywych przejściowych, jednakże stosownie do „uwagi“ i dodatku do tabeli VI jest ten kąt za mały, dla pomieszczenia łuku o długości 20 m. Z wzoru podanego w „uwadze“

zatem

2r tang = 42-2

a

otrzyma się dla obliczenia c wzór: c = 2r tang —l, w którym podług

tabeli VI wynosi l == 30 m.

Ig 2r =- 2-9030900

lg tang ~ = 8-7222067 —10 Ł 1*6252967

u

l = 30-0 c — 12 2 m

Zwiększenie tej wartości c na 20 w nastąpi, gdy się stosownie zwiększy promień r, lub zmniejszy C. W celu wyznaczenia zmienionego

promienia r, zastosuje się wzór podany w „uwadze¹¹: tang

z którego, gdy za l wstawimy C’.ru otrzyma się równanie:

M-l/cM-8(7tang-^ =--

4 tang

wzoru

Po wstawieniu wartości znajdzie się rj=445T2 m. Tę wartość zaokrągli się na 450 i obliczy się podług powyżej przytoczonego c — 20‘769 m.

Drugi sposób zaradzenia, przez zmniejszenie ilości C, jest w tym przypadku niedopuszczalny, gdyż zmniejszone (7=4880, zatem zmniejszenie za wielkie.

Przykład 24. Do § 49.

zauwa-

Do tego paragrafu nie rachujemy przykładu. Chcemy tylko żyć, że dla kątów p bliskich zera, jest 2 sin² (    ^ bliskie jedności,

punkt C spadnie z punktem P‘₀ (rys. 85),

zatem w wzorze 28 można podstawić — r—vl, a nawet rl =r — v. Wtedy można tyczyć łuk współśrodkowy z lukiem o promieniu r; przytem przesunie się S o v,

Przykład 25. Do § 54. Rys. 95.

prostej p obie krzywe przejściowe się zmie-= ²⁴0-9^32-9 m.

Rozpatrzmy jak wielką długość powinna mieć prosta p między jednakowo skierowanymi lukami o promieniach = 500 i r₂ = 300 m dla (7=12000. Podług tabeli VI jest = 24-0, Z₂=40-0, zaś obliczono (podł. § 45) np. t\= 0'5, t\ — 0‘A m. a) Żądamy, aby na

ściły, wtedy ^4₁J₂^'0, a podług wz. 37 ma być p

b) Jeżeli długość p jest mniejszą niż 32-9 w, natenczas krzywe przejściowe się przetną, a ich zastosowanie będzie możebne, jeżeli podług _ 40 - 24    _

wz. 38 będzie p >. —^--j-0-9 >. 8 9 m.

m.

Jeżeli w tym przypadku chcemy mieć między krzywemi przejścio-wemi łuk c = 20rw, to ma być podług wz. 39 p < 32*9 20 0= 12 9 w Zatem p może się mieścić w granicach od 8⁻9 do 12 9

Dla p < 8-9 jest zastosowanie krzywych przejściowych niemożliwe, chyba że przez zmniejszenie jednego promienia lub obydwu promieni łuków długość p stosownie się powiększy. Dla p cokolwiek większego niż 12-9, można uzyskać żądaną długość c przez stosowne powiększenie ilości C na C‘.

Przyjmijmy, że p wynosi 15 w, czyli A = 15—12-9 = 2-1 ?m. Jeżeli

24

na danej przestrzeni wynosi i = 300, to \    = 0 080, h% —    = 0T33,

więc i' =300+

4*2

0-213

300+19-7 = 319'7. Zatem C‘ = 12000

— 12788.

Tę liczbę zaokrągli się na 12800 i dla niej obliczy się podług wz. 21 w § 43 dane potrzebne dla tyczenia krzywych przejściowych. Z powodu tego zaokrąglenia jest c cokolwiek większe niż 20 w; mianowicie jest

l‘i= 12800: 500 = 25-60, l\ — 12800 : 300 = 42 67, więc podług wz. 39: 25-60+42-67

+0-9 - 15 0 = 20 03.

Przykład 26. Do § 555 Rys. 97.

Kolej fabryczna ma być przekszałcona na publiczną kolej lokalną o (7=6000. Należy na istniejących torach wprowadzić krzywe przejściowe.

Jeżeli w § 56 stosowano dla głównych kolei d = r\ 20, to dla kolei lokalnej o małej chyźości pociągów można zadowolić się większą różnicą promieni, np. d = r : 10. Zatem n = 10. Dany promień r — 200, więc r, = 180 m, d = 20 m.

Dla obliczenia zastosujemy prostsze wzory 40 do 44:

Podług tabeli VI jest dla promienia 180 w i (7=6000, et= 1-029 zatem tą= 0-25725, 2(7-^=39-74275, ®₀ = 5° 17'24", a = 16-596.

Ig (2(7—tą) = 1-5992579 lgt>i =0-4103554—1 1-0096133 Ig b = 0-5048067

b = 3-19747

lg b = 0-5048067 lg <7= 1-3010300 lg sin a = 92037767-10 a = 9° 11'58-4"

7° 14'41-2", g~y°

u

W celu kontroli ustawimy równanie rzutu na kierunek AMX:

c= 4 *> = 31-975 d

h=~v.= 2-573 d

1« 57' 17-2"

r sin a =

lg r = 2-3010300 Igsin a = 9-2037767 — 10 1-5048067 r sin a = 31 975

f+sin a — sin <p₀)+a+& — 2rtcos ■—— sin ■*    ■+a+5

u    u

lg 2 = 0-3010300 lg rt = 2-2552725

= 9-9965195-10

o- a

12-1818 = 16-5960 = 3-1975

31-9750

zgodnie z r sin a

= 8-5328904—10 1 0857124 liczba = 12-1818

Długość przekształcenia istniejącego toru: AM — l—a—6+r arc a Gdy arc a = 0-1605700, r arc a = 321140, l — a = 16*737,

AM = 16-737-3-197+32-1140 = 45-654 m.

Przykład 27. Do § 58 I. Pys. 99 i 100.

Istniejący lewy tor głównej kolei (C= 12000) jest w luku o pro-

ma być wybudowany prawy tor, tak, że promień wspólnej osi R = 2002 m. W celu uzyskania krótkiego układu zastosujemy odwrotne luki i obierzemy wielką różnicę R—r, przez przyjęcie najmniejszej ieszcze dopuszczalnej wartości r = 300m. Natomiast promień obierzemy wielki, aby warunek tabeli w § 48 mógł być dopełniony. Zatem i? = 2002, r = 300, ^=1000 m. Podług tabeli VI jest dla r = 300, ^ = 40, zaś dla promieni 2002 i 1000 jest podług tabeli VII l —    —    Długość u obierzemy w najmniejszej wartości,

14-1.

-—z——20, zaś v i w,, jako

U

proste między odwrotnymi lukami, podług § 47: p =    ^-²+*'i + *'a,

l+l . .    ²

u\—    —2—

Jeżeli dla pewności przyjmiemy każde <' = 20m, zaś It) = 10m, to będzie: u = 14, v = 44, u{ = 34 m. Gdy jeszcze odstęp torów d = 4w, to R—d4~rl— 2998, R—r = 1702. Zatem:

2998.1300-34.44 44.2998+34.1300

® = 87° 24' 42-3", lg cos <p — 8-6547359—10. Następnie wz. 3:

lg licznika = 6-8912081 lg cos <f< = 8-6547359—10 5-5459440" lg 176112 = 5-2457889 lg 2 = 0-3010300 lgsin (? — S) = 9-9991251—10

mieniu 2000 m. W odległości 4 w od istniejącego,

wyznaczonej wzorem 39 w § 54, t. j. u

tang ę

3895904

176112

; lg tang i> = 11-3448193 —10

{R-d\rtf = 8988004

i —

(r+r,)² = 1690000 + =

U²

1156

1936

10681096 (.R-r)² = 2896804 u² =

196

7784096

tang <J/ =

<p — 6 =86° 21'51-6" <p = 87 24 42 3 6 = 1° 2'50T7'⁷

1702.1300+14.44    2213216

1702.44-14.1300 — 56688

5~; lgtang tji = 11-5915328—10

tji = 88°31'58-0", lg cos <]> = 8-4083257-10. Zaś wz. 5: lg licznika = 6-6434748 lgcos 0 = 8-4083257-10 5-0518005 lg 56688 = 4-7534911 lg 2 = 0-3010300 lgsin («!»-«) = 9-9972794—10

{R—d-\-r^ )² = 8988004 u\ =

1156

<],—a = 83°35'86-5" ł==88 31 58-0 4° 56' 21-5" «—P = 3 53 30 8

8989160 {R—r)² = 2896804 u² =

V² =

(r+rj)² = 1690000 4400224

W celu kontroli rachunków mamy równanie: R~r={R—d4~ri) cos (a—P)+v sin a+«j sin (a—P)—(**+^i) cos a

196

1936

145W** v

lg (B—d+ri) = 3-4768316 ]g cos («- p) = 9-9989973-10 3-4758289 liczba = 2991-086 lg «,= 1-5314789 lg sin (<x—p) = 8-8317037-10 0-3631826 liczba = 2-308

lg v = 1-6434527 lg sin a = 8-9850052—10 0-5784579 liczba = 3-788 lg (r+r,) = 31139434 Igcos a = 9 9983842—10 3-1123276 liczba = 1295-173

2991-086

3-788

2-308

2997-182

1295-173

1702-009

zgodnie z R—r = 1702

Długość, na którą tor istniejący ma być przekształcony, równa się, podług rysunku 99: (#— ^ arc (a—(5) = 2000.0 0679263 = 135-853 m. (Ob. także przykł. 29).

zatem v

Przykład 28. Do § 58 II. Rys. 102.

Obierzemy r=rt — h00 m, C— 12000. Dla tego promienia jest 1 = 24, 14-L

—g—H,_H'i+10 (ob. przykł. 26)== okrągło 40 m, d = £mr

r-\-rx — d= 996 m.

tang 9 =    = 25, lgtang 9 = 11-3979400—10, 9 = 87° 42'33 8"

Igcos 9 = 8-6017130—10 lg (r-f r, —d) = 2-9982593 lg v = 1-6020600 1-3961993

Igcos 9 = 8-6017130—10 lgsin (9 — a) == 9-9979123—10

9 _ a = 84° 23' 11-4" 9 = 87 42 33-8 30 19' 22-4"

1° 39' 41-2"

~2

Ten kąt a jest większy niż w tabelce § 48 dla r = 500 podany, więc rozwiązanie jest możebne; jednakże jest on mniejszy niż kąt 5° 3' wykazany w tabeli dodanej na końcu tabeli VI, zatem uzyska się c <C 20 m. Można c wyznaczyć z wzoru podanego w uwadze do § 48:

a

c=2r tang ——l

lg 2r tang    = 1-4624849, więc c = 29-006—24-000 = 5-006.

Kontrolne równanie: lg 2 (rĄ-ry) sin² ~ = 0-2256344 liczba = 2-3185

lg v = 1-6020600 lgsin a = 8-7631497 0-3652097 liczba = 1-6813

2-3185

1-6813

3-9998

zgodne z d = 4

Tyczenie tras.

11

Przykład 29. Do § 58 IVa. Rys. I03a.

Te same dane, co w przykładzie 26. więc R = 2002, (7—12000.

Gdy się przyjmie r = 300, to kąt a wypadnie mniejszy niż podany w tabelce § 48. Zatem obierzemy r = 500, zaś w = 14, tak samo jak w przykładzie 26, d = A m. R—r—d = 1498.

lg tang 9 = 12-0305419—10, 9 = 89° 27' 57-5"

1502

tang 9= - ,

= 85° 46' 56-2", albo 9+a = 94° 13' 33-8" W tym przypadku ważna druga wartość : ?+a = 94°13' 33-8"

= 89 27 57-5 = 4° 45' 36 3"

Ig cos 9 = 7-9694338—10 lg (R—r—d) — 3T755118

lg cos 9 = 7-9694338—10 1-1449456 lg u = 1-1461280 lg sin (9 + a) == 9-9988176—10

Ponieważ lgcosęp dla kąta bliskiego 90° nie jest dostatecznie dokładny, zatem i kąt « nie jest dokładny. Obliczymy go z wz. 15. W tym celu z wz. 14 wyznaczy się:

v = V8.1502+14²-4² = 110-4355

lg tang * =8-6178228—10, ~ = 2° 22' 30-7",

tang ~2

a = 4° 45' l⁻4". Różnice z powyżej obliczonym kątem a jest zatem zna-

96-4355

zatem:

czna.

Długość przekształcenia toru istniejącego (^R— ^ ) arc « = 165-820m.

W porównaniu z długością 135 853 m, uzyskaną w przykładzie 26 okazuje się zysk blisko 30 m przy zastosowaniu odwrotnych łuków.

Przykład BO. Do § 58 Va. Rys. 104.

Łuk AB istniejącej trasy posiada promień równy 500, zatem dla d = 4 jest R — 502 m. Obierzemy Ą=600, t> = 20 m. i?,—R-\-d—-\Q2.

102

tang 9 =    lg tang 9 = 10 7075702—10, 9 = 78° 54' 22-6".

9—« = 70° 31' 57-0" 9 = 78 54 22-6 «= 8° 22'25-6"

lgcos 9 = 9-2842376-10 lg (i?j —R) = 1-9912261 lgcos 9 = 9 2842376-10 1 2754637

lg v = 1-3010300 lg sin (©—«) = 9-9744337

lg (Ry-R+d) = 2 0086002

lg sin a = 9-1632516 —10 1-1718518 liczba = 14-8548 Dla kontroli obliczy się wz. 18:

w = ^8.98-}-20²-f-4² = \1200 = 34*641 zgodne z powyższem.

]g v = 1-3010300 lg COS a = 9-9953452 —10 1-2963752 liczba = 19-7868

14-8543

19-7868

u = 34-6411

b\(0 o O

.

-V

■

.

'

L.

11-355821

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

0000323018