Inż. Dr. ALEKSANDER PAREŃSKI

laświetlenie zagadnienia prędkości średniej w łożyskach przyrodzonych

ODBITKA Z „CZASOPISMA TECHNICZNEGO⁴⁴ 1934 R.

LWÓW 1934

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Inż. Dr. ALEKSANDER PAREŃSKI    -L V. x" .ej ₂ t/

naświetlenie zagadnienia prędkości średniej w łożyskach przyrodzonych

a) dla 0,028 <-^<0,1 (przyjęto -^=#>,099), t;=8,19 ^2,293 — T0-9./0-42,

naświetlenie zagadnienia prędkości średniej w łożyskach przyrodzonych

ODBITKA Z „CZASOPISMA TECHNICZNEGO“ 1934 R.

LWÓW 1934

G-arść uwag naświetlających obecne stadjum, w którem znajduje się rozwój zagadnienia sekundowej prędkości średniej wody w łożyskach przyrodzonych, napisaną została pod wpływem rozwijającej się literatury obejmującej usiłowania rozwiązania tego problemu oraz dyskusji tyczącej tego tematu, prowadzonej w źy-wem tempie.

Oczywista rzecz, że w tej dyskusji — jak zresztą w każdej zależnie od żywości jej tempa — obok argumentów rzeczowych, można znaleść i takie, które sprawę nie naświetlają, lecz odwrotnie zaciemniają, co dzieje się ze szkodą dla nauki.

Nauka bowiem powinna być odporną i bezwzględną i odrzucać musi wszelkie dywagacj e s e n-tymentu, oportunizmu i sugestji, w przeciwnym bowiem razie traci swą powagę.

W tern miejscu — celem jasnego oświetlenia stosunku pracowników naukowych do wiedzy i jej celów — zacytujemy Świętochowskiego z referatu „Szlakami wiedzyu publikowanego w Warszawie w r. 1934:

„Na pierwszy plan — pracy naukowej — wysuwa się różnica pomiędzy błędem i uporem błędu. Powiedzmy sobie wyraźnie, że wiedza operuje tylko omyłkami. Prawda polega na niemożności stwierdzenia w danym czasie nieprawdy. Pracą naukową wcale nie jest tworzenie nieomylnych zasad, bo takich nie znamy, lecz wyłącznie obalanie dawnych. Jest to robota destruktywna w stosunku do ludz-kiego głupstwa i wyczerpanie go będzie kresem poznania.

Skoro tak jest, to błąd, jako wierny towarzysz człowieka, nie powinien przestraszać. O ile groźniejszym staje się upór pomyłki, który hamuje postęp i opóźnia zdobycie nowego, chociażby krótko trwałego etapu. Dużo większą krzywdę wyrządziła nau-

kom ignorancja dokonanych prac, niż fałszywe od urodzenia mniemanie.

Nie należy z tego wyprowadzać wniosku, ażeby ograniczyć się w zuchwalstwie myśli. (Świętochowski ma tu na myśli nowe pomysły w dziedzinie wiedzy). Rzeczywistość postara się spętać nasze czyny, wynikające ze zbyt fantastycznych teorji. Natomiast im więcej urojeń pływa w psychicznym żywiole, tern obfitszy połów oczekuje wykwalifikowanych rybaków naukiu.

W tych uwagach wstępnych, nie możemy także pominąć faktu, że w historji badania przyrody powtarza się często, do pewnego stopnia tradycyjnie ustalona, droga opisywania pewnego zauważonego zjawiska przyrodzonego, mianowicie badacze zapożyczają sobie z języka potocznego jakieś wyrażenie czy pojęcie i obracają niemi aż do chwili, kiedy logika, fakty, ścisłe pomiary nie zmuszą ich wreszcie do definicji jaśniejszych. Wówczas to dopiero na mętnych przesłankach oparte wyobrażenia nieuchwytne i mgliste, ustępują miejsca pojęciom i wyrazom jasnym, ścisłym, jednoznacznym t. j. matematycznym.

Nie trzeba jednak zapominać, że matematyka nie jest tu wcale istotą zjawiska, lecz tylko narzędziem służącem do obróbki jego definicji. Narzędzie to jednak należy używać z wielką znajomością rzeczy i ostrożnością. Jest ono bowiem bardzo ostre i działa sugestywnie, szczególnie przy obróbkach wtórnych t. zn. przy obróbce półfabrykatów, z jakimi dzisiaj się przeważnie spotykamy.

Najpewniejszą drogę do celu, t. j. do rozwiązania omawianego problemu znajdziemy wówczas, gdy rozpoczniemy obróbkę rodzimego surowca odrzucając wszelkie półfabrykaty obrabiane choćby przez t. zw. autorytety, które w nauce nie mogą być uznawane, bez narażenia jej na zarzut dywagacji oportunizmu.

Poniżej podaje się krótkie zestawienie prac i referatów z ostatnich lat, pod wpływem których dojrzały uwagi niniejszego referatu.

1¹). Z. Fuchs: „Kilka uwag do dynamiki cieczyu Czasop. Techn. 1927. ¹

2.    Himmelsbach: „Uber Rauhigkeitswerte am Oberrhein Basel-Bodensee⁴⁴. Wasserkraft u. Wasser-wirtschaft 1930.

3.    M. T. Huber: „Refleksje na temat hydrauliki44 Czasop. Techn. 1926.

4.    M. Matakiewicz: „Próby ustawienia wzorów empirycznych w łożyskach naturalnych⁴⁴. Czasopismo Techn. 1906.

5.    M. Matakiewicz : „Yersuch der Aufstellung einer Geschwindigkeitsformel fur natiirliche Flussbette" Wo-chenschrift fur den offentlichen Baudienst 1905.

6.    M. Matakiewicz: „Nowsze badania empiryczne nad związkiem elementów ruchu w łożyskach przyrodzonych ⁴⁴. Czasop. Techn. 1910.

7.    M. Matakiewicz: „Empirische Untersuchungen uber den Zusammenhang der Bewegungselemente bei natiirlichen Flussbetten⁴⁴ Zeitschrifł fur Gewdsserkunde 1910.

8.    M. Matakiewicz: „Ogólna formuła na średnią chy-żośó przepływu w łożyskach rzecznych i kanałowych¹*. Warszawa, 1925.

9.    M. Matakiewicz : „Formuła na prędkość i problem prędkości przy bardzo małych głębokościach44 Lwów 1927.

10.    M. Matakiewicz: „Die Geschwindigkeitsformel und das Problem der Geschwindigkeiten bei sehr kleinen Tiefen". Z. d. osterr. Ing. und Arch.-Vereines, 1927.

11.    M. Matakiewicz: „Sur 1’uniformisation des methodes de la determination des coefficients e dans la formule de Chezy“ II Conference hydrologiąue des Etats baltiąue, 1927.

12.    M. Matakiewicz: „Zur Frage der allgemeinen Geschwindigkeitsformel⁴⁴ Zentralblatt der Bauverwal-tung, 1929.

13.    M. Matakiewicz: „Forschungen uber das Yer-haltniss der Mittleren Profilgeschwindigkeit zur gróssten Oberflachengeschwindigkeit in kunstlichen Betten und Vorschlag zu einer Messmethode III Hydrolog. Konf. der Baltischen Staaten⁴⁴, 1930.

14.    M. Matakiewicz: „Formuła na średnią prędkość dla łożysk naturalnych i wielkich spadków⁴⁴ Warszawa, 1931.

15.    M. Matakiewicz: „Przepływ przez obszary zalewowe rzek⁴⁴. Ks. Pam. ku czci prof. Thulliego, 1931.

16.    M. Matakiewicz : „Dalsze badania nad formułą prędkości i krytyka nowszych zapatrywań na iei budowę⁴⁴. Czasop. Techn. 1931.

17.    M. Matakiewicz: „Bilans spadku łożysk przyrodzonych “. "Warszawa 1933.

18.    A. Pareński: „Zur Berechnung der mittleren Quergeschwindigkeit in naturlichen Flussbetten“. Der Bauing. Berlin 1926.

19.    A. Pareński: „Kryterja dla wyznaczenia prędkości wód płynących w łożyskach przyrodzonych“. Ks. Pam. ku czci Prof. Thulliego, Lwów, 1931.

20.    A. Pareński: „Ogólny wzór na średnią prędkość w łożyskach przyrodzonychu Przegląd Techn. Warszawa, 1933.

21.    K. Pomianowski: „Wzory na przepływ wody w kanałach otwartych i przewodach zamkniętych. Przegl. 7echn., 1931.

22.    W. Soldan : Theoretisches und praktisches iiber GeschwindigkeitsformelrL fur Wasserlaufe“. Wasserkraft und Wasserwirtschaft, 1930.

23.    W. Soldan: „TJber Greschwindigkeitsformelnu, III Hydrologische Konferenz der Baltischen Staaten 1930.

24.    A. Strickler: „Beitrage zur Pragę der Gre-schwindigkeitsformeln und der Rauhigkeitszahlen fur Strome, Kanale und geschlossene Leitungen“, Bern 1923.

2B. A. Strickler: „Die Pragę des Koeffizienten in der Formel von Chezyu G-esamtbericht der Energie-Weltkonferenz, V. D. I. 1931.

26. A. Yitols: „Condition essentielle a suivre pour s’assurer des yaleurs les plus exactes du coefficient de rugositeu. III-iem Conference hydrologiąue des Etats baltiąue, 1930.

27²). A. Wellner: tJber Rauhigkeitsziffernu III Hydrologische Konf. der Bałt. Staaten, 1930.

W pracach tych oprócz usiłowań zbudowania wzoru empirycznego dla średniej prędkości wody w łożyskach przyrodzonych, a więc usiłowań ułożenia matematycznego związku wielkości pomierzonych v = średniej prędkości wody w m/s, R = promieniowi hydraulicznemu = A : U (gdzie A — powierzchni przekroju w m², zaś U — obwodowi zwilżonemu w m) względnie T = głębokości średniej = A : B (gdzie B — szerokości zwierciadła wody w m), przyczem do ułożenia niektórych formuł użyto także dotąd niepomierzonej wielkości S == spół-czynnikowi szorstkości — spotkać można krytyczne

uwagi o pracach i zapatrywaniach poprzedników względnie równocześnie badających omawiane zagadnienie. Te uwagi krytyczne tyczą się najczęściej hydrologicznych podstaw budowy formuły oraz dowolnej dobie-ralnośei wartości funkcji składowych Ą(T), f₂ (/) i stałej C, względnie wartości spółczynnika szorstkości S.

Jeżeli jednak porównamy ze sobą matematyczną budowę całego szeregu wzorów, zobaczymy, że wzory te są bliźniaczo podobne do siebie pod względem matematycznym bez względu na interwał czasu, w którym powstały, tak że już trudno się zorjentowaó, który wzór do którego autora należy.

Wszystkie te wzory możemy podzielić na trzy grupy :

Do pierwszej grupy należą wzory typu :

v=C.Rm.In względnie:    v=C.Tm.In,

mianowicie wzory:

1.    de Chezy I

2.    Tadini 1(1775-1780)—v=C.R⁰⁵.l0b,

3.    Eytelwein |

w których C= 50,93 jest liczbą stałą;

4.    Ganguillet- Kutter (1869) ,

5.    Kutter (1870)

6.    Frank    \v=CR0b.I0b

7.    Darcy (1856)

8.    Bazin (1864)

9.    Hermanelc (1905) — v=C T⁰⁶.1⁰⁵,

w których C jest zmienne, zależne od spółczynnika szorstkości, promienia hydraulicznego, a czasem i wielkości spadu;

10.    Gauckler (1867) ]

11.    Manning (1889) } — v= C. R⁰'⁶⁶¹.1⁰'⁵

12.    Strickler (1931) j

13.    Forchheimer — v=C.R⁰'³.1⁰'⁵

14.    Matakiewicz I (1906) — v=C.Tm .In (4),

w którym C jest wartością stałą = 34, a wykładniki min zmienne zależne od wartości głębokości i spadu.

Do drugiej grupy można zaliczyć tych autorów, którzy wprowadzają do rachunku nową niezależną, mianowicie wielkość B = szerokości zwierciadła wody. Są to: 15. Siedek, 16. Christen, 17. Lindboe i 18. Groger. Zasadniczy kształt ich formuł:

v—fx [T) .Ą (I) .Ą (B)

składa się z funkcji trzech zmiennych niezależnych, przyczem Christen wprowadza tu jeszcze spółczynnik szorstkości S. Wszystkim tym wzorom brak ciągłości.

Trzecia wreszcie grupa przyj ęła naj prostszy ogólny kształt formuł:

(T).Ą(I),

a należą do niej : 19. Matakiewicz II (6) i (7) z r. 1910, 20. Matakiewicz III (8) i (10) z r. 1925, 21. Matakiewicz IV (16) z r. 1931, 22. autor I (18) z r. 1928 i 23. autor II (20) z r. 1933, przyczem wzory 19, 20, 22 i 23 są wzorami ciągłemi, a wzór 21 jest wzorem czteroczłonowym.

Mamy zatem trzy zasadnicze kształty formuł na średnią prędkość wody, mianowicie:

1.    v=C.Rm.In,

przyczem wielkości C, m i n są: a) stałemi, /?) C jest zmienne a m i n są stałemi, albo y) C jest stałe a m i w są zmiennemi;

2.    v=Ą (T).Ą (J)./₃ (B),    wreszcie

3.    v=Ą(T).Ą(I),

z których pierwszy należy do klasycznych, a pomimo to jeszcze chętnie używanych, szczególnie we Francji i Szwajcarji, drugi typ należy do przejściowych formuł a trzeci do najnowszych i jest specjalnością polską.

W poszukiwaniu uzasadnienia podstaw budowy tych wzorów, jakoteź w dyskusjach na ten temat prowadzonych różni autorzy powołują się często i chętnie na podstawy hydrologiczne, na których swoje wywody opierają. Tymczasem nic podobnego nie istniało i nie istnieje, ponieważ dotychczasowa definicja sekundowej prędkości wody jest definicją ściśle matematyczną a nie hydrologiczną, mianowicie:

Sekundowa prędkość wody w łożyskach przyrodzonych jest ilorazem z sekundowej objętości przepływu wody w m³/s i wielkości powierzchi przepływu w w³ 4, czyli

v mls=

Q m³ls A m⁴

1)

czyli podział wód płynących na rzeki i potoki na podstawie prędkości przenoszenia się fali.

Gdy w roku 1786 Lagrange przedłożył Akademji berlińskiej swój wzór dla prędkości względnej przenoszenia się fali

Vi=1gT

to użyto go bezzwłocznie do wyznaczenia spadu granicznego Igr, mającego oddzielić rzeki o przepływie spokojnym od potoków o przepływie rwącym, posługując się następującem rozumowaniem:

Według wzoru Lagrange’a. prędkością bezwzględną wobec brzegów koryta rzeki będzie prędkość • ^+^2 w kierunku biegu wody i    vt—v₂ przeciw kierunkowi wody

a gdy v₂ ^ vx to żadna fala nie będzie mogła się przenieść w górę łożyska rzeki wobec tego stosując przybliżony wzór de Chezy’ego

v₂ = 50,93 ^I7r otrzymamy warunek v. = v₉ czyli:

y^r=50,93 VTr,

który pozwala nam obliczyć wartość spadu granicznego Igr.

Jeżeli bowiem przyjmiemy T=R co dla łożysk przyrodzonych zawsze — nie popełniając błędu — uczynić możemy, otrzymamy, obliczając spad powyższym wzorem — dla łożysk szerokich a płytkich, uważanych za prostokątne:

^ =    Th = 0,00378 = 3,78°/₀ o

okrągło przyjęto Igr= ^ = 0,004 - 4,O°/0o.

Ileż popełniono tu błędów w pogoni za argumentami hydrologicznemi mającymi uzasadnić końcowy wynik, który zresztą jest niedorzecznością.

1.    Wyeliminowano z rachunku głębokość średnią T, której wartość funkcji jest wprost proporcjonalną do prędkości średniej v₂, a skoro to się już stało zastrzeżono

2.    ważność obliczonego spadu granicznego dla koryt dość szerokich a płytkich. Doprawdy nie wiedzieć dla jakiego celu to zastrzeżenie, gdyż tym sposobem obliczony spad Igr jest liczbą stałą ważną dla wszelkich przekrojów łożysk przyrodzonych właśnie dlatego, że z rachunku wyeliminowano wartość T charakteryzuj ącą przekrój-

2

3.    Nie podano bliższego określenia dla łożysk n. p. czy łożyska rzek wielkich o szerokości przekraczającej 1 km, a głębokości średniej wynoszącej 10 m, w których prędkość średnia przy spadzie 0,5°/₀₀ przekracza 3 m\s, również należą do tej kategorji, ponieważ ich stosunek głębokości średniej do szerokości nie przekracza 1 °/₀.

4.    Wartość funkcji spadu ze wzoru de Chezy’ego przyjęto jako wartość doskonałą.

Tymczasem tak nie jest, ponieważ po dzień dzisiejszy hydrolodzy biedzą się nad znalezieniem kształtu i wartości tej funkcji. Bardziej zbliżoną do rzeczy-

t    3/—

wistości byłaby wartość /(/)= yI, zapomocą której obliczone poniższym sposobem :

4 = 0,0002326=^ = 0,2326°/,₀, co jest nonsensem.

Istnieje jeszcze wiele innych braków i niedociągnięć opisanego rozumowania spowodowanych zasadniczym błędem porównania wzoru Lagrange’a na vx ze wzorem na prędkość średnią v₂, których jednak — ze względu na brak miejsca — nie podajemy.

Podobne rozważania ogłosili już w nowszych czasach, bo w wieku XIX de St. Yenant (1831) i Bou-s i n e s q (1877), który w dziele swem „Essai sur la Theo-rie des eaux courantesu mającem aspiracje do ścisłych rozważań, które jednak faktycznie nie przekraczają granic zakreślonych empiryką — znalazł istnienie aż dwu spadów i dwu prędkości granicznych, dzieląc tern samem przepływ w łożyskach przyrodzonych na rzeki o spadach do 3,33°/₀₀j (riyieres), strumienie o spadach od 3,33°/0o do 4°/₀₀ (torrents de pente moderee), wreszcie potoki o spadach od 4°/₀₀ w górę (torrents ra-pides).

Taki podział może zadowolić geografów, ale nigdy hydrologów, ponieważ te trzy rodzaje przepływów występują także w łożyskach sztucznych, w których spół-czynnik szorstkości jest niezależny od spadu łożyska, a tern samem rodzaje przepływu nie dadzą się odgraniczać wielkością spadu tylko średnią prędkością sekundową, która zresztą się zmienia (rośnie lub maleje) w sposób ciągły i jest funkcją trzech czynników, mianowicie kształtu przekroju, spadu i spół-czynnika szorstkości.

Z takiej funkcji

o=-p[/, (/), a (n a m,

pomimo pomierzonej czwórki wartości v, /, T, S nie można — nawet dla najprostszych przypadków wyznaczyć pojedyncze wartości poszczególnych fnnkcyj (a zatem także i Ą (/)), ponieważ dotychczas nie udało się najgenjalniejszym matematykom rozwiązać funkcji nawet dwu zmiennych niezależnych

v=F{Ą(I), Ą{T)\

w sensie jednoznacznego określenia kształtu i wartości poszczególnych członów tej funkcji Ą (/) oraz Ą (T).

Zatem podział przepływów ruchu równomiernego jak proponuje M. T. Huber (3) na: 1. przepływ łagodny (lub spokojny); 2. przepływ umiarkowany i 3, przepływ rwący może nastąpić li tylko na podstawie wielkości prędkości średniej przekroju, ale wartość takiego podziału nie może mieć dla hydrotektów wielkiego znaczenia, ponieważ każdy z tych przepływów składa się z ruchów burzliwych i laminar-nych i każdy z nich może być równie dobrze ruchem burzliwym jak i laminarnym.

Również nie można na podstawie takiego podziału odgraniczyć rzek, w których n. p. prędkość przepływu może być większą, od prędkości przepływu w potokach, więc cel takiego podziału, dla którego wyznaczenie granic jest niemożliwe, trafiają w próżnię naukową, mając tylko pewne znaczenie dla życia potocznego n. p. dla beletrystyki, w której się często czyta nietylko o rwących, ale także i o szumiących potokach.

Wreszcie używanie nie zdefinjowanych ściśle wyrażeń jak n. p. „wzmagające się uwikłanie strugw itd. (16), sprawę omawianego zagadnienia nie wyjaśnia i nie może mieć pretensji do argumentu hydrologicznego.

Ta — niczem nieuzasadniona — pogoń za podstawami hydrologicznemi omawianych wzorów, wytworzyła również atmosferę, w której się sugestywnie rodziły i rodzą dotychczas, wzory zasadniczo bliźniaczo podobne do siebie (grupa I wzory od 4 do 14) różniące się jedynie sposobem obliczania spółczynnika szorstkości oraz oparte na mętnych przesłankach hydrologicznych dziwaczne kształty wzorów grupy drugiej, w której wzory Christena dziwacznością swych podstaw i wyników (przykład przy końcu niniejszej pracy) wysuwają się na pierwsze miejsce tej grupy badaczy niemieckich.

Traktując omawiany problem tylko ze stanowiska matematycznego napotykamy już na trudności nie da-

*

A {I)-C

jące się pokonać. Nie mając bowiem odpowiednich warunków musimy rozwiązywać matematycznie t. zn. znaleśó kształt i wartość funkcji trzech zmiennych niezależnych

v=F[Ą (T), /,(/),/, (5)] .    ...    2)

lub po wyeliminowaniu funkcji spółczynnika szorstkości Ą (S), pozostaje nam do rozwiązania funkcja dwóch zmiennych niezależnych

v=f[<Pi(I), <P%(T)],    ....    3)

która posiada °o² rozwiązań, gdy wzór poprzedni t. j. drugi posiada oos ilość rozwiązań.

Jeżeli bowiem — przy pomierzonych trójkach vp, IP, Tp — dowolnie obierzemy kształt i wartość jednej z funkcji składowych, to możemy zawsze znaleśó taką wartość drugiej funkcji składowej ze wzoru 3-go aby ona przy i ego wyraźnym kształcie:

v= C.Ą (7) ./₂ (T) m/s ....    4)

spełniała warunki:

fl (/)=7Tm. ^ .

„    .    5)

względnie: Ą(T)-

z których można obliczyć wartości pomierzone I wzgl. T.

Oczywista rzecz, że kształt i wartość tych funkcyj fi W i Ą (T) mogą być dowolne. Ograniczamy je zwykle pewnemi warunkami, aby zbliżyć się do przyrody. 1 tak np. zakładamy, aby funkcje te były ciągłe, aby wartość ich wzrastała ze wzrostem wartości zmiennych niezależnych, aby były krzywemi asymptotycznemi, aby nie wykazywały punktów przegięcia, osobliwych lub ma-ximów i minimów, a co najważniejsze, aby wartość ich iloczynu była jak najbardziej zbliżoną do wartości vp i t. d. Są to wszystko warunki matematyczne, które jednak nie zmniejszają nieskończenie wielkiej ilości rozwiązań tego zagadnienia.

Warunków hydrologicznych — wymienianych tak często i tak chętnie — w referatach dyskusyjnych i krytykach, nie było dotychczas, niema i prawdopodobnie tak prędko nie będzie, pomimo, że wielu autorów uważa je za pewne kryterjum dokładności swoich własnych wzorów.

Również nie można uważać za kryterjum dokładności badanego wzoru empirycznego o dwóch zmiennych niezależnych — dokładności wyników otrzymanych formułami 5, ponieważ absolutną dokładność tych wyników możemy otrzymać zapomocą nieskończenie wielu funkcji składowych/^/) i Ą(T) różniących się znacznie tak pod względem kształtu jak i wartości.

Sprawę tę najlepiej wyjaśnimy na przykładach

Jeżeli bowiem weźmiemy pod rozwagę trzy przekroje rzeczne, w których pomierzono trójkę wartości vp, Ig) Tp, mianowicie jeden o wartościach średnich, jeden dla wielkiej głębokości średniej a jeden dla wielkiego spadu i obliczymy te wartości zapomocą n. p. trzech nowszych wzorów, to otrzymamy różne wartości na średnią prędkość v₀ z ogólnego wzoru 4 i dokładnie zgadzające się z wartościami pomierzonemi, wartości na I₀ i T₀ obliczone wzorami 5, jeżeli za podstawę przyjmiemy prędkość obliczoną v₀.

Przekrój e obrano następuj ące:

1.    Wisła pod Niepołomicami:

Tp=0,7bm, Ip—0,441 °/₀₀, Vp=0,601 mjs.

2.    Mississippi pod Yiksburg:

Tp=19,538 w, 7p=0,064°/oo, Vp=2,118 m/s.

3.    Bulaufbach pod Bochstein:

Tp=0,366 m, IP=2G, 14O°/0o, vp=0,970 m/s.

Do tego porównania użyto trzy nowe wzory, mianowicie :

1.    Hermanka (trójczłonowy) z r. 1905: dla T< 1,5 m, Ą (T) = 30,7. T, /₂ (7)-/¹/.,

1,5 m<T<6m,f₁ (T)=34 T³U, Ą (7)-/*/»,

T> 6,0 m, Ą (/)=(50,2+0,5 T) T Ą (/)=//

2.    Matakiewieża IV-ty czteroczłonowy z 1931 (16):

/< 0,016 } ’    ^⁼¹>04 T°’⁷> A (/) = B4/M93+io2j

r>4,5m, Ą(!T)=(2,44+0,125 T), Ą(I)=34:I⁰^+'⁰¹, /> 0,0161    Ą(T)=2,38T⁰¹=v,

do 0,100 /’ w czem f₂ (/) =2,285=const.

3.    Autora Il-gi wzór ciągły z r. 1933 (20):

fi ^T)~ fT+0$’ J2    (o,2+ ³v/1000 / )

Obliczając temi wzorami t. j. H (Hermanka), M (Matakiewicza) i P (autora) poszczególne wartości funkcji Ą{T) i Ą (/) jakoteź trójkę wartości pomierzonych T, /, przy czem jako podstawę do obliczenia Ti /przyjęto v₀ = chyżość obliczoną — otrzymano wyniki podane w tabl. I.

W zestawieniu poniższem widoczna jest prawie doskonała zgodność wyników wzorów (kolumna VII) Wisły Matakiewicza i autora oraz pomiaru (rubryka 2 i 3), dla Mississippi Hermanka i autora oraz pomiaru (rubryka 4 i 6), a dla Bulaufbachu wszystkie wyniki przekraczają +20% prędkości pomierzonej — pomimo różnych wartości funkcji głębokości średniej (kolumna III-cia) oraz znacznie się różniących wartości funkcyj spadu (kolumna V-ta).

Tablica I.

IJ L. p. | Rzeka | Wzór | A(T) | T TP = T₀ m | A(I) | i Ip=l0 %0 | V | li i li |
v0 | vp
m/s | m/s | m/s
1 | 08 | H | 23,025 | 0,750 | 0,0210 | 0,441 | 0,4835 | 0,601 | -0,1175 | 19,54
2 | Ul • rH | M | 0,850 | 77 | 0,7300 | 77 | 0,6205 |  | +0,0195 | 3.24
3 | £ | P | 28,030 | 77 | 0,0214 | 7? | 0,6004 | n | -0,0006 | 0,01
4 |  | H | 265,063 | 19,538 | 0,0080 | 0,064 | 2,1205 | 2,118 | +0.0025 | 0,01
5 | CO | M | 4,882 |  | 0,2900 |  | 1,4158 |  | -0,7022 | 33,16
6 | co Ul | P | 207,230 | 77 | 0,01032 | r> | 2,1386 | 77 | + 0,0206 | 0,97
| 2 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| A o |  |  |  |  |  |  |  |  |
7 | c3 -Q | H | 11,236 | 0,366 | 0,1617 | 26,140 | 1,8169 | 0,970 | +0,8469 | 87,30
8 | 2 | M | 1,1781 |  | — | — | 1,1781 |  | +0,2081 | 21,44
9 | cS | P | 15,610 | 77 | 0,0907 | 26,140 | 1,4158 | n | + 0,4458 | 45,96
| W |  |  |  |  |  |  |  |  |
| I | II | III | IV | y | VI | VII | VIII | IX | X

W zestawieniu tern obliczono również wartości cyfrowe — zapomocą wzorów B głębokości średniej T0 (kolumna IV-ta) i spadu 7₀ (kolumna VI-ta), biorąc za podstawę obliczenia prędkość v₀ obliczoną danym wzorem. Jak widać wartości te nie różnią się nietylko między sobą, lecz są także równe odpowiednim wartościom pomierzonym Tp i Ip.

Jeżeli jednak za podstawę obliczenia przyjmiemy prędkość wody pomierzoną vp i obliczymy głębokości średnie zapomocą funkcji f\ (T) to otrzymamy następujące wyniki (p. tabl. II).

Tablica II.

et h4 | Rzeka | Wzór | Vp |  | T, • | To | Tq — Tp — z/ |
m/s | m | m | m
1 2 3 | o3 Ul £ | H M P | 0,601 11 11 | 28,62 0,8233 28,084 | 0,750 n ii | 0,932 0,715 0,751 | + 0,182 - 0,035 + 0,001 | 24,27 4,67 0,13

4

5

6

• rH

'w

Ul

"ui

Ul

a

H

M

P

2,118

11

jy

264,75

7,303

205,23

19,538

11

11

19,252

38,903

19,015

- 0,286 + 19,365 - 0,523

1,47

99,11

2,68

7

8

9

o

o3

32

<H

3

iS

'a

m

H

M

P

0,970

11

11

5,998

0,4086

10,694

0,366

11

11

0,195

0,263

0,238

-    0,171

—    0,103 0,128

46,72

28,42

34,97

| I | II | III | 1Y | V | VI | VII | VIII

Oczywista rzecz, że przy tem obliczeniu musieliśmy przyjąć funkcję spadu /₂ (/) jako doskonale dokładną — co w rzeczywistości jest nieprawdopodobnem — i dlatego też otrzymaliśmy w tablicy If-giej tak dziwaczne wyniki w rubrykach 6 i 7, oraz kolumnach VI i VIII-mej. Wzór M, który dla rzeki Mississsippi różni się w wyniku tylko o 33,16% od pomiaru, przy obliczeniu zapomocą funkcji głębokości średniej wykazuje

99,11 °/₀ różnicy.

Nonsens takiego sprawdzianu występuje tu jaskrawo w wielkości obliczonej głębokości średniej % = 38,903 m, leżącej poza interwałem ważności wzoru ułożonego dla głębokości do 20,0 m.

I odwrotnie wzór H, którego wynik dla potoku Bulaufbach jest różny od pomiaru o 87,30%? wykazuje tylko różnicę 46,72% przy zastosowaniu wzoru 5.

Podobne zestawienie cyfrowe możemy uzyskać zapomocą formuł 5 dla funkcji spadu, którą obliczamy formą :

? ₂ ii)—

6)

A (Ty......

przyjmując oczywiście absolutną dokładność funkcji/^T)

Wynik tego obliczenia wykazywałby jeszcze więcej nonsensów, ponieważ wzorem M spad ten powyżej 15,6°/₀₀ ³) nie możnaby wogóle obliczyć, gdyż funkcja spadu według Matakiewicza od 16°/₀₀ do I00°/O0, nie istnieje, a jej wartość w tym interwale jest liczbą stałą == 2,285 (16). Wielkość tej liczby jest iloczynem ze stałej towarzyszącej funkcji spadu oraz wartości funkcji spadu 34.7°’⁴⁹³+10i, przy spadzie = 16°/₀₀.

Z powyższego przedstawienia sprawy wynika jasno, że taki lub owaki kształt oraz wartość funkcji składowych, (których może być nieskończenie wiele) fx{T) i/₂ (/), wzoru na średnią prędkość wody w łożyskach przy-rodzonych nie wpływa zupełnie na dokładność wyników tego wzoru a temsamem nie można wartości tych funkcyj używać jako kryterjum do oceny dokładności wzorów względnie uważać je za jakąkolwiek podstawę hydrologiczną. Główną rolę odgrywa tu matematyka, która w tej zawiłej sprawie funkcji uwikłanej o nieskończenie wielu kształtach i wartościach, również nie może nam dać jednoznacznego rozwiązania.

Przy rozwiązywaniu takich zagadnień radzimy sobie następującym sposobem:

7)

8)

Przyjmujemy zupełnie dowolnie wartość jednej z tych funkcji n. j. f₁{T) dla pewnego stałego T i z równania 4-go obliczamy wartości drugiej funkcji składowej — w niniejszym przykładzie (20):    vp vp

²⁽    ~o

c¹

vv

,ub:

przyczem przyjęto we wzorze 7 :

vp >Ą (T⁷),

a we wzorze 8:    vp </j (T)}

Tx, T₂ ... Tn szereg

otrzymując dla szeregu wartości wartości stałych Cx, C₂ . . . Cn.

³) Jeżeli bowiem funkcję kształtu:

y=xa+bx

zróżniczkujemy względem x, to otrzymamy:

dy _ a 1 dx~ b l + logn£c '

a gdy podstawimy wartości z funkcji spadu /‘(J)=/M⁹³ + 10i i przyrównamy pierwszą pochodną do zera, otrzymamy dla max.

wartość 7=0,0156=15,6%o •

Oczywista rzecz, że te wartości C aczkolwiek dowolnie dobrane są względem siebie w pewnej zależności matematycznej, mianowicie — zależnie od założenia — muszą one w prostokątnym układzie płaskim C—y, T=x tworzyć krzywą lub prostą o rzędnych rosnących ze wzrostem odciętych, ciągłą, jak we wzorze jednoczłonowym P, lub łamaną (nieciągłą), jak we wzorach wieloczłonowych M i H.

Mając tym sposobem obliczone wartości drugiej funkcji Ą (/) możemy znaleśó łatwo jej kształt.

Ponieważ możemy pod każdą wartość C podstawić nieskończenie wiele liczb, otrzymamy tern samem nieskończenie wiele rozwiązań dla funkcji spadu /₂ (/), z których każda spełni warunek:

Vp=fi 00X0, WZgl. Vp = j-Jjj >

czyli możemy temsamem zbudować nieskończenie wiele związków pomierzonych trójek v, I, Tt. zn. wzorów empirycznych na średnią prędkość wody w łożyskach przyrodzonych o kształcie funkcji uwikłanej :

9)

których wyniki v₀ będą sobie równe, względnie po uwzględnieniu dyspersji występującej przy wynikach pomiarowych vp — równe wynikom pomierzonym v.p.

A jeżeli twierdzenie powyższe — które zostało udowodnione — jest prawdziwem, to każda z funkcji składowych pomimo, że różnią się kształtem i wartościami :

fi W 3=Ą(T)± .... #=/„(T) oraz    cpA (I) 4= <P2 (O 4= • • • ■ 4= <Poo CO

jest funkcją właściwą dokładnie odpowiadającą pomierzonej trójce wartości rzeczywistych v, T, /, gdyż ich odpowiednie iloczyny:

Ą(T). cpx (J)=/₂ (T). <pt (/)=... =4 (T).<Po. (I)=vP

są sobie równe, oraz równają się średniej prędkości pomierzonej w łożyskach przyrodzonych (przy uwzględnieniu dyspersji pomiarowej).

Taki sam rachunek możemy przeprowadzić przyjmując dowolnie wartość drugiej funkcji cp (/)= Ci, szukając następnie kształtu i wartości funkcji f(T).

Jeżeli zatem wzorami 5 obliczymy poszczególne wartości T wzgl. 7 przy zastosowaniu wzorów 9, to z różnych wartości funkcji głębokości średnich względnie spadu otrzymamy równe wartości na T wzgl. 7, t. zn. obliczywszy wartość T:

z funkcji Ą(T)= yVp(I) otrzymamy T₀ = TP ” ” To==Tp

T

j-pi

vz

” *'ooV~/

podobnie, jeżeli obliczymy I:

z funkcji (p₁ (7)--

vv

ft(T)

otrzymamy 7₀ = Ip

f%{T)

<Poa{I)=Tjf-₎ n W,-

Z powyższego wynika, że chętnie używany w krytykach omawiających dokładność wzorów empirycznych na średnią prędkość wody w łożyskach przyrodzonych argument (16) o kształcie krzywych głębokości, średniej względnie spadu — musi odpaść zupełnie jako nierzeczowy, gdyż dokładność wyników takich wzorów v0 możemy ocenić tylko porównując te wyniki z wynikami pomierzonych prędkości średnich vp.

Metody używane do tego celu będą opisane w osobnej pracy z matematyki stosowanej.

Dla przykładu podano na rysunkach 1 i 2 kilka krzywych będących obrazami funkcji głębokości średniej T (rys. 1) oraz spadu 7 (rys. 2), które spełniają swe zadanie w wystarczającej mierze w interwale pewnych odcinków rzecznych, pomimo, że się znacznie różnią kształtem i wartościami.

Krzywa GMS przedstawia obraz funkcji promienia hydraulicznego /(72)=2ŚV» wzorów Gaucklera, Manninga i Stricklera, krzywa 77, funkcję głę-

bokości średniej wzorów Hermanka, przyczem po-działkę zmniejszono 84 razy.

Rys. 1.

Wzór ten jest trój członowy, przeto pierwszy człon

80,7 T ~34~ ’

drugi

dla T < 1,5 m obliczono tu wzorem Ą (T)

dla 1,5 m < T < 6,0 m, wzorem Ą(T) = Ta/wreszcie

trzeci dla T > 6 m, wzorem /₃ (2⁷)=    —-. T1/ł.

Krzywa jest obrazem funkcji głębokości średniej z IV wzoru Matakiewicza (16). Jest to wzór dwuczłonowy dla funkcji T, mianowicie dla wartości T < 4,5 m, /j (T) = l,04 T⁰’⁷ przedstawia nam krzywą paraboliczną, a dla T~> 4,5 m prostą o równaniu A(T) = = 2,44+0,125 T. Krzywa CTE jest obrazem funkcji promienia hydraulicznego f(R) — Rxwzorów de Che-zy’ego, Tadini’ego i Eytelweina, wreszcie krzywa P jest obrazem funkcji głębokości średniej :

f(T)-

VT+0,9 drugiego wzoru autora (20).

Krzywe de Chózy’ego, Tadini’ego, Eytelweina, Gaucklera, Manninga, Stricklera i autora są krzywemi ciągłemi, natomiast obrazy funkcji

Hermanka i Matakiewicza złożone są z odcinków prostych i krzywych, przyczem w punktach przejściowych wykazują różnice rzędnych u Hermanka dla 7⁷=l,5m i dla !T=6,0?w na drugiem miejscu dzie-siętnem, a u Matakiewicza dla 7=4,B w*, również na drugiem miejscu dziesiętnem (ilustrują to rzędne podane na rys. 3). 0 tych niedociągnięciach matematycznych będzie później mowa przy omawianiu krzywej spadu.

Jeszcze większe różnice jak dla krzywych głębokości średnich względnie promienia hydraulicznego otrzymamy dla krzywych spadu występujących w różnych wzorach (rys. 2).

Rys. 2.

Przedstawiono tu obrazy funkcji spadu wzorów de Chezy’ego, Tadini’ ego, Eytelweina, Gaucklera, Manninga, Stricklera, Forch-heimera i Hermanka i pierwszego wzoru autora (18), w których funkcja spadu <p(I)=^I (na rys. krzywa C. T. E. P. I. H). Krzywa M II-III jest obrazem funkcji spadu drugiego (6 i 7) i trzeciego (8) wzoru Matakiewicza

cp (7) = J0.493+10/t

Krzywa M IV jest krzywą spadu czwartego wzoru Matakiewicza (16). Jest ona obrazem funkcji dwuczłonowej, mianowicie funkcja ta składa się z krzywej ciągłej, której równanie jest identyczne z równaniem funkcji spadu wzorów Matakiewicza n i HI, a waż-nośó jej przebiega interwał od najmniejszych wartości spadu do 16°/₀₀, oraz z prostej równoległej do osi iksów, (na której odcięto wartości spadu I) której wartość rzędnych jest stałą równą maximalnej wartości funkcji spadu poprzednio opisanej krzywej a ważność jej przebiega interwał od J=16°/₀₀ do I00°/Oo- Krzywa P — II jest obrazem funkcji spadu wzoru autora, której równanie ma następujący kształt:

Gdy na rys. 1 krzywe funkcji głębokości średniej wzgl. promienia hydraulicznego mają wprawdzie przebieg różny, lecz przeważnie równoległy do siebie, przy-czem dla T wzgl. R=20 m różnica między największą (7,918) a najmniejszą wartością (4,875) rzędnych wynosi około 45 °/₀ — to na rys. 2 widzimy znaczną rozbieżność krzywych spadu powiększającą się ze wzrostem wartości spadu.

Przyczyna tej rozbieżności w konstrukcji krzywych spadu leży w braku materjału statystycznego. Gdy bowiem posiadamy szereg pomiarów dla przekrojów o znacznej głębokości (do 20 m) to brak nam pomiarów przy znacznych spadach, a pomiary dla spadów wyżej 15°/0o należą już do rzadkości.

Należy tu jeszcze naświetlić niektóre szczegóły konstrukcyjne krzywych T i I. Wszystkie krzywe przedstawione na rysunkach 1 i 2 są krzywemi ciągłemi z wyjątkiem: a) krzywej głębokości średniej wzoru Hermanka, oraz b) krzywej głębokości średniej i c) krzywej spadu ze wzoru IY-tego Matakiewicza.

aj Krzywa głębokości średniej Hermanka składa się z trzech różnych elementów: 1. prostej 30,7 T, przebiegającej interwał od najmniejszych wartości T do 7=1,5 m. 2. krzywej 34 T³/‘ dla wartości 1,5 m < < T< 6,0 m, wreszcie dla T> 6,0 m 3. krzywej (50,2 + + 0,5 T) T+ Mamy więc dwa punkty złamania ciągłości: I-wszy punkt dla 7=1,5 ą a Il-gi dla 7=6,0 w. Obliczywszy rzędne według prostej 1. dla 7=1,5 m, otrzymamy: f(T)=46,05, a według krzywej 2 giej f(T)= =46,07, zatem różnica wynosi 0,02 tworząc lukę (rys. 3, I). Podobna nieścisłość występuje i w drugim punkcie przejścia drugiej funkcji w trzecią. Rzędna obliczona według krzywej drugiej dla 7T=6,0?w, równa się 130,403, natomiast ta sama rzędna obliczona według krzywej trzeciej równą jest 130,313. Różnica zatem wynosi 0,09 tworząc niczem niewypełnioną lukę.

b) Krzywa głębokości średniej IY-tego wzoru M a-takie wieża składa się z dwóch elementów. W interwale od najmniejszych głębokości średnich do T=4,5m z krzywej kształtu 1,04 T0>1 oraz w interwale od 4,5 m do największych głębokości średnich z prostej 2,44+ +0,125 T. Rzędne obliczone dla T=4,5 m t. j. punktu Iii-go według równań obydwóch funkcyj wynoszą 2,981 ⁵) i 3,003, a więc różnią się o 0,022.

oj Krzywa spadu IY-tego wzoru Matakiewicza składa się również z dwóch elementów, mianowicie krzywej gp (7) =7°’⁴⁹³+¹⁰⁷ przebiegającej interwał od najmniejszych spadów do 7=0,016=16%, oraz prostej równoległej do osi iksów t. zn. funkcja spadu jest tu stałą i przebiega interwał od 16°/₀₀ do 10O°/₀₀. Szczegół IV (rys. 3, IY) jest tu osobliwy, ponieważ prosta równoległa do osi iksów o rzędnej 2,285, rozpoczyna swój bieg od z = 7=16%₀, gdy tymczasem maximum dla cp (7) występuje (jak wyżej udowodniono) przy x=I= =0,0156 = 15,6%₀, a rzędna dla max. wynosi 2,2866 okrągło 2,287 (rzędna dla 7= 15%₀ co 2,2829 okrągło 2,283, a dla 7=16%° oo 2,2844 okrągło 2,284).

I tu więc występuje różnica = 0,003.

Wyżej opisane niedociągnięcia powstały wskutek niedopatrzeń matematycznych a nie hydrologicznych, w przyrodzie bowiem istnieje harmonja i ciągłość nieprzerwana.

Zaznaczyć tu także należy, że wszystkie składowe krzywe funkcji głębokości średnich Hermanka i Matakiewicza, jakoteż składowa krzywa funkcji spadu Matakiewicza są krzywemi ciągłemi, a wiadomem jest, że w każdym punkcie krzywej ciągłej można poprowadzić styczną, mającą z tą krzywą przynajmniej jeden punkt wspólny, a do krzywej spadu Matakiewicza można poprowadzić w dwóch miejscach t. j. w max. i min. styczne poziome, mające dwa punkty wspólne z tą krzywą a w jednem miejscu t. j. w punkcie przegięcia (bo i taki tu istnieje) — także ściśle styczną mającą z daną krzywą trzy punkty wspólne nieskończenie blisko siebie leżące.

Również nie można tu pominąć uwagi, że wszystkie wyżej omawiane wzory — nie uwzględniające spól-czynnika szorstkości — pomimo niedociągnięć matematycznych oraz znacznej rozbieżności wartości funkcji składowych, dają dla poszczególnych odcinków rzecznych wystarczająco dokładne wyniki, a zatem można je użyć w praktyce inżynierskiej do niektórych obliczeń przybliżonych.

Które wzory i dla jakich odcinków rzecznych należy użyć omówione będzie osobno, ponieważ celem niniejszej pracy jest tylko oświetlenie zagadnienia średniej prędkości wody w łożyskach przyrodzonych oraz odnośnych wzorów ze stanowiska konstrukcyjnego.

ma takie wic z

Bys. 3.

Powyżej opisano trudności matematyczne, z ja-kiemi spotykają się badacze, którzy usiłują opisać empirycznie prędkość wody w łożyskach przyrodzonych, i którzy stosują postępowanie skrócone t. zn. nie uwzględniają spółczynnika szorstkości w formie wyraźnej.

Spółczynnik ten jednak istnieje i sprawia wiele kłopotów tym (2), (24), (25), (26), (27), którzy usiłują go opisać w formie wyraźniej względnie w związku z prędkością wody.

Trudność ta polega na tern, że wartość spółczynnika szorstkości S jest wprost proporcjonalną do spadu łożyska (im większy spad tern większy spółczynnik szorstkości — jednak przy bardzo małych spadach i wartość tego spółczynnika rośnie czasami w okresie wegetacyjnym wskutek pojawiającej się w tym okresie roślinności wodnej) — a odwrotnie proporcjonalną do głębokości średniej, czyli

. 10)

rp(S)

<?2 (D /₂ (?) ’

wobec czego wzór na średnią prędkość uwzględniający spółczynnik szorstkości w wyraźnej formie, przybrałby kształt

v=<pl(I)Xf₁(T)XJj^~|.....11)

ponieważ prędkość jest odwrotnie proporcjonalną do wielkości spółcz. szorstkości czyli

v=<p₁(I)XA(T)X~.....12)

Jeżeli będziemy w posiadaniu odpowiedniego ma-terjału statystycznego, to będziemy mogli wzór 10-ty rozwiązać w przybliżeniu — podobnie jak wzór 4-ty, ponieważ wzór ten składa się również z dwócb funkcji zmiennych niezależnych.

Rozwiązanie tego zagadnienia nie przyniosłoby nam jednak wiele pożytku dla ułożenia formuły na średnią prędkość, ponieważ wynik otrzymany, wstawiony do wzoru 11-tego lub 12-tego pozostawia nam nadal do rozwiązania pozostałe dwie funkcje zmiennych niezależnych.

Gdyby nam się nawet udało ułożyć matematyczne związki w rozwiązaniu wzozu 11-tego, mianowicie:

= 9(1)

<PiV)

. 13)

9,(1)

oraz    f₁(T)XĄ(T)=f(T)

to powrócilibyśmy do zagadnienia 4-tego v=f(T).(p(I)₇

którego jednoznaczne rozwiązanie napotyka na trudności opisane powyżej.

Z powyższego wynika, że dla rozwiązania empirycznego wzoru dla średniej prędkości wody w łożyskach przyrodzonych — nietylko forma 4 jest poprawną, lecz także i forma 8, której szczegółowy kształt:

. 14)

v—

fJT)

m9(V jest pod względem matematycznym, a jak niektórzy badacze pragną także pod względem hydrologicznym, zupełnie poprawną.

Jest to jeden z dalszych dowodów, potwierdzających i wskazujących kierunek drogi matematycznej prowadzącej do zadowalniającego rozwiązania omawianego problemu, ponieważ prędkość średnia w łożyskach przyrodzonych jest — jak wyżej wykazano — wielkością li tylko matematyczną.

Przy naświetlaniu omawianego zagadnienia należy hydrotektom zwrócić jeszcze uwagę na jedno piękne zjawisko przyrodzone, występujące w ramach omawianego problemu, mianowicie na wielkość prędkości średniej w łożyskach przyrodzonych, która przy głębokości średniej lw, spadzie l°/00 i średniej wartości spółczynnika szorstkości łożyska równą jest okrągło 1 w/s.

Stwierdzają to wyniki niemal wszystkich wzorów empirycznych, zbudowanych na obszernym materjale statystycznym.

To zjawisko będzie w przyszłości mogło posłużyć hydrologom do matematycznego opisania spółczynnika szorstkości, ponieważ określa jeden z parametrów tej dotychczas niezbadanej krzywej wzgl. powierzchni.

W niżej podanem zestawieniu (tabela III) obliczono tę prędkość: a) wzorami uwzględniającemi spółczynnik szorstkości, b) wzorami kilkuczłonowemi nieuwzględniaj ącemi spółczynnika szorstkości, w których jednak występuje szerokość zwierciadła wody, c) wzorami kilkuczłonowemi, w których występują tylko funkcje głębokości średniej i spadu, wreszcie d) wzorami ciągłemi. Wszystkie podane wyniki można uważać za bardzo dokładne, ponieważ różnica między niemi a wynikami pomiaru nie przekracza 10°/₀ .

Z pierwszej grupy wybrano wzór 1. Franka, który jest uproszczonym wzorem Granguillet-Kut-t er a

(23 w + 1)    ,_

(23 n + ^R)n V ’

przyi muiąc średni spółczynnik szorstkości

U

i wzór 2) Bazin’a:

87

i+«Y!

VI-B,

⁸) Współczynniki szorstkości Bazin’a 1,3 i Franka 0,03 odnoszą się do rzek regularnie czystych a wartości Bazin’a 1,75 oraz Franka 0,035 do rzek zaszutrowanych z ryniakami i za-rośniętemi brzegami.

przyjmując średnio

1,525 ⁶).

1,30+1,75

n — ——tz——

Z drugiej grupy wybrano wzór 1) Gróger’a 0=23,781 t°-⁷⁷⁶X/⁶ 7’⁴⁵⁸ dla B>10m i wzór dwunastoczłonowy 2) Lindboe’go:

¹

) Liczby porządkowe cytowanych prac podano w tekście w nawiasach.

²

) Klasycznej literatury z hydrologji i hydromechaniki cieczy rzeczywistych nie cytowano, ponieważ jest znaną choćby z podręczników.

³

dlatego musimy to zagadnienie traktować li tylko ze stanowiska matematycznego a nie hydrologicznego.

⁴

Dla przykładu naświetlmy dokładnie znany klasyczny argument hydrologiczny użyty do podziału koryt rzecznych na łożyska rzeczne i łożyska potoków

⁵

) W tabelach Matakiewicza mylnie podano 2,925. (16).

⁶

) T. Christ en: „Das Gesetz der Translation des Wassers

⁷

in regelmassigen Kanalen, Flussen and Rohren“. Lipsk 1903.

a) dla 0,028 <-^<0,1 (przyjęto -^=#>,099), t;=8,19 ^2,293 —    T⁰-⁹./⁰-⁴²,

/?) dla < 0,028 (przyjęto = 0,027),

:33,86 (0,822

j y0,9 # JT0,47

Z trzeciej grupy wybrano wzory: 1. Hermanka,

2. Matakiewicza I, 3. Matakiewicza IV-ty i 4. Matakiewicza Ill-ci, wreszcie w czwartej grupie istnieją tylko 3 wzory, mianowicie: 1. Matakiewicza Il-gi, 2. autora I i 3. autora II-gi, których wyniki podano.

Tablica III.

p.

►4

Grupa

Wzór

v₀ w m/s

II

0$

o

1

<5

Uwaga

1 2 | I | Frank (n=0,0325) . . Bazin (w=l,525)    . . | 0,980 1,091 | —0,020 +0,097 | Dla T=l,0m 7=0,001 0=1,0 m/s
3 4 5 | II | Groger ....... Lindboe cc..... Lindboe fi ..... | 1,002 0,987 1,053 | +0,062 -0,013 +0,053
6 7 8 | III | Matakiewicz I . . . Matakiewicz IV i III Hermanek..... | 1,072 1,077 0,971 | +0,072 +0,097 -0,029 | (4) (16), (8)
9 10 11 | IV | Matakiewicz II . . . Pareński I    .... Pareński II .... | 1,062 1,093 1,005 | + 0,062 +0,093 +0,005 | (6) 08) (20)

Jako curiosum należy tu podać jeszcze wyniki wzorów C h r i s t e n’ a ⁶), który zbudował wzór dwuczło-

nowy uwzględniając funkcję spadu, funkcję głębokości średniej, funkcję szerokości zwierciadła wody, (przy-F F

czem T=2 £ = ^ czyli 6 = połowie szerokości zwierciadła wody), wreszcie spółczynnik szorstkości. Pomimo tylu czynników (a może właśnie dlatego), wzór ten daje nieprawdopodobne wyniki. Wzór ten o kształcie:

v=ę VT.I.tjb.....15)

posiada spółczynnik szorstkości ę, którego wartość dla rzek jest zmienna od 42,1 (rz. regularnie czyste) do 11,3 (rzeki prowadzące rumowisko).

Drugi człon wzoru

16)

v=6.Sl \Jt.I.\Jb

jest ważny tylko dla potoków i rzek prowadzących rumowisko i grube żwiry, przyczem :

6,31

^ = 67='

/T.I

42,1 + 11,3

Przy obliczeniu prędkości średniej dla T— 1 m oraz 1= 1 °/₀o> przyjęto dla wzoru 15-go spółcz. szorstkości

= 26.7 i otrzymano

o wartości średniej ę=

dla szerokości zwierciadła wody B= 1,0 m, 10,0 m i 100 m następujące wyniki:

y=0,812 m\s v=l,032 „ v = l,373 „ v=0,579 mis v=0,772 „ v = 1,026 „

* n    B=100,0 „ 6=50,0 „

co oczywiście jest niedorzecznością.

Z powyższego zestawienia wynika, że uwzględnianie jak największej ilości t. z w. czynników hydrologicznych przy układaniu wzorów o charakterze czysto matematycznym nie zawsze prowadzi do szczęśliwych wyników.

Projekt oparty na takich obliczeniach nie może być celowym, a pomimo to wielu hydrotektów używa wzorów empirycznych bezkrytycznie nie zawsze zdając sobie sprawę z popełnianych błędów a zarazem i kosztów, jakie z tego powodu wyniknąć mogą.

Przy sposobności naświetlania zagadnienia prędkości średniej w łożyskach przyrodzonych, podajemy

wzór autora (20) na tę prędkość, uzupełniony wymiarami i tablicami.

Wzór ten o kształcie:

48 ml/ls ¹ Tm v — | (    ¹......f
^Tm+0,9 m | \0,2 + Vl000 II

ułożono tak, aby odpowiadał następującym warunkom:

1.    dawał w przybliżeniu zgodne wyniki z prędkościami rzeczywistemi t. zn. wyniki od 1 °/₀ do 4% większe od pomierzonych, eliminując częściowo tern samem jednokierunkowe błędy pomiaru;

2.    był ciągły (jednoczłonowy);

3.    miał prosty i elementarny kształt matematyczny ;

4.    dawał wyniki cyfrowe, rosnące ze wzrostem wartości obydwóch czynników podstawowych I i T, względnie ze wzrostem wartości jednego czynnika podstawowego przy stałej wartości drugiego, wreszcie

5.    uwzględniał różnorodność łożysk przyrodzonych.

W tablicy IY-tej zestawiono wartości funkcji głębokości średniej dla T=0,0h m — 50 w (ważne jednak tylko dla interwału 0,05 m — 20 m) i różnice A dla 1 cm, wreszcie w tablicy V-tej zestawiono wartości funkcji spadu w granicach od 0,00001 (=0,01°/O0) do 0,100 (= 100%₀) z ważnością, dla granic od 0,00001 do 0,027, t. zn. granic, na podstawie których obie te funkcje ułożono.

Podobnie jak zapomocą hydrologji nie udało się także tego zagadnienia zadowalniającego rozwiązać także zapomocą hydromechaniki cieczy rzeczywistych, ponieważ i w tej gałęzi wiedzy spotykamy analogiczne trudności — przy rozwiązywaniu tego zagadnienia — jakie występują w hydrologji.

Wiadomem bowiem jest, że przepływ cieczy rzeczywistych w rzekach, kanałach i przewodach zamkniętych należy do zjawisk, w których bezwładność i lepkość cieczy w y stępuj ą j a ko wielkości równorzędne a tern samem otrzymujemy — opisując to zjawisko formułą matematyczną — również i tu funkcję uwikłaną dwóch zmiennych niezależnych:    v—F[f(A), <p(o)],.....18)

których kształt i wartość nie można jednoznacznie określić.

r^a

Wartości funkcji głębokości średniej f{T)—

o'

lOlfiOOOOOOOOOOOOlOOOOOOOlOOOOOOOOaNfflINCOilTtfflIlN''#    CDOCDCO(MQOQcOOiO<MT)UDffiOCOt^O^CO-HD-HC£)H®(NOOCOałiCirHCOTt(

(MHw005CO(»®CDiOiOTj(CO(M--iH'-iOOa5QOC*l>l>ttKDimOT)icOCOHHOmXC-CC^iO^    COCO(MHH000505COt-tDiOT)iTi(cO(M(MHOOOłałCOQOr-l>CDCOiOiOiOr)fTjl

OOOOOOOOr—r^-r-C^-O-C—C-C-r-C-O-r-OO-l^CDCDCDCDCOOCDCOCOCOCOCDCDCDOlOlOiOlOlOiOUO    lOiOiOlCiOiOiO-^^^-^^-^-^^-^T^-rfł^^-rftCCCOCCCOCOCOCOCOCCCOCOCOCO

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo    oooooooooooooooooooooooooooooooooo

<D<S<S<S<D<S<S SSSSSSS SSSSSSSSSSSSSSSSSSSS SSSSSSS    ⁰³    o” o o o" o o" o" o o" do' o SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

•>—a

O

g

s

c3

OiOCOOOCiiOHCOiOLOiOCOaiCOCDCOOOOCO^OlCOOałHHHa^OC^HOOW^H^COCt    °    H05r^l>CD(MCDCD^(X)^CDQCDiCiOCOiOiOOi^COiOCD(NCOa5H05(MHCDl>lOat

iqio^^o^coc^^c^coj^^i>o c^io^o^oo^co^oo^oo oc^co^o <x> o^coco co^cot> cr^co Cioo^ t>^o c<j co ^ t* co (m o^io th ao^a^ o co c^oo cTcfWifiood © r-» ccTth co* !>“ aT cTt-T co'' TjT ccT t>T co' o' r-T <m~ ^ lo' co co" af o' co'' ctT aT of lcT co' —T    ci    . oTicTocTo cfTio od cTco'' icTcTio cTtiT aTcrfc^ofciT cT^ oo of co" ^^c^r^irfccTc^io cfco'^

COCO^TjłT}i4l^^iOiOkOiOiOiOiOęDCDCOC£)CdCDC£)l>I>l>^I>C^t>t>CO(X)COCOOO^aiOOOO    ⁰³    THHH(M(M(M(MCOCOCOrfi^kOiOiOCDCDI>^-COCO(X)a)(DOOOrHHH(M(N(MCOCO

hhhhhHHHHhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhC^KMWN    ^    CQ(M(NCN(M(NCQCq(N<M(MCQ(N(N(M<M(N(N(N(M(N(N(N(NCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOe<$

43

zn

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO    ®    000000000©0000©0Q0Q0Q0Q0©QQ0QQ0Q00©

c^cn ■^©ioq,©,c^'^©Noo© <m    © ©cm    <x ©^cm.^© © ©owco ao^©uo^o_iq^o© oic^o© ©    lo^iDO^ioo^co^^oo^ooo^o^o^ąo^o^o^o^opo^oo^o^o^oooo^o^o^o

oTctTcd SSSSSSStA r-T^r^r^Te^eq'<N'c<rca'»ś'©'^©'©'hT-^''^!'^-^?'©' ©~c£f©'i>‘t>:'o5'oo'arar©'    ęTi-^i-rcfcM'©'©'^"-'^© c£Ti> ao oT©"^ei'©''#'©'©'^co cT© i-Tcf©HT©© t>~ap aT©

HHHriHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHN    CMCMCMCMCMCMCMiMCMeaCMCMCMCMe®©©©©©©©©©-^-^''^-'#-**^-^-^-^^©

lOlOOlOO

OOOOD-^^TilOOOCOO^CTNtMOCOCOtDTtKMINNOCOCOOsriTH^NOOOCOC-C-^COHOKC-^^COCOOOaCO^CO^rlKMlMHOnOłOO^iOiOiOlOCOinNHHOOlOCOOiBTtiTf O-D-f-CCCOCDCDCDiOlOlOiOiOiOlOiOTil^TjlTji^rtlTfTllCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCiKMtNIMtNCKMr-iiHHWHrHHHOOOOOOOOOOOaOiOlOJOłOłOłOSOlOJOłOiaiCDCOOOCOąęOOO H i—1    i—l    r—1 rH i—1    t-H    t—1    rH    i—1 i—1    r—1    i—*    i—l r-H    i—1 i—1 i—1    i—>    H i—i i—> i—<    t—I    i—(    1    .—■    r—1    tH tH t-H    H t—i    i—l rH i—1    i—1    t—(    t—t    i—' i—* rH    1—i    i—t    i—1 i—<    i—1    i—f    T—i H    i—1    i—l    rH i—(    rH tH rH    i—1 rH O O O O O O O O O © O O C^O^O O O O O

cTSS SS S SSSS SSSSSSSSSSSSSSSSSSS SSo"'cTcTcTcTSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS'ScTo S So SSSo o'

g

©TH©rH©t>airHrHO©l>'tfOCO<Mt>0©l©COaiQrHrHCTsaO©-^^cO-'tfOlHi<a}«30I>THrtf©©cOOCDO©COCDCO©©0®0'^lX>COasa5a500©©GO©©©COasrH(M©©<MrHCOrH©CM

c» o^©^# CNNOxco^i>iq>co^o₋oqvcD_-^i-^©^©_rjH>r^oq₋io_o^o^i>N'^i o^o m^t-h oo^i-h o- oi~ osio    ^©^©^co^ao^ojo^rH^© ^ ©^ ©^ ©_ ©^ ©^ ©^ ©_ ©_ ©^ © ©^ ©^ ©^ ©_ r# r^ co <m^ r-^ o. ©co i> cm os,co^

o i-T <n~ © 4'©' ta co S oo' <S SS r-T oT ecf ©~icT ©~ ©~ SS oo" S cT cT ^-T cfco' tjT -^T io' zd S co <S S <-T of ■S <S iS oo'©' r-T c<f co' rfirT ©'c^ocTaT cTi-T cf cotiT    c-^ otT ctT o" r-T of co⁻ 4^ lo' crT    ctr o~ ca cfT irT

COCDęD^CDCDtD^tDCDCOCOf-t-NOOC-C-C-C^C-C-O-OOOOTOJCOOOOJOOCOCOOOCIOOOOOCiasCSOiaiałaiairoOOOOOOOOOHHr-i-iHrtHHiHHtNIMIMfNIMIMfMIMtNIMCOCOCOCO

rHr-IrHpH H H HHHHHHHHHHHHHHHHtHHHHHHHHHH tH

EH

I0 0ifl0i0©i00i00i00i00>0©i00i0 0i00i00i0©i00i0 0i00i0 0i00 00000000 0 000000 000 0©00 00 00 0 00 0000 000000 0 0 000

CM^CO^CO^^^CD^CO 00 05 © ®    CO^CO^^ ^lS    L^C^OO^OO^© ©^© rH^O]^CO^© ©^ 1-^CM^CO Tf_l0_co_0 0D_©_®_1-^(M CO 'ĄiU^©^I>^Oq_Oi_© -r-^oa co -rt^lO^cq_©^©_03_ZD^CC'

SSSSStSScSSSSciTSSSiyscomafSmcacoScoafcococoScottFcottFco^^^^^^^^^^iaSSSSSiaioiGiStDStDtDiSiStDSScct^ c—^    t> i> cc co go 00" aT

\G    KO    iflO OO OOOOOOOlDOOlOiOlOlDOOOiOiOlOiOrPOOOiO

f-Ot-N^C-^t^CDCDCDCOCOiDCDiOCOiOiOiOiOiOiOiOiOiO^iOTtl^Ttt^Ttł^cOTPMCOCOCOlMCOCTIMNClHIMNHHHHHHOHOOOOOOOOOOOOOOKOOOOCOCOODOO®^ CT©(NCq(N0QCJC5CTC<l(N©0^Ca03tNC<l(NCT©©CT©CvJ©(N©CN0CI<NCQ(NC<IC^(N(N<N0J©ClC<3(N!N(N©©©©(N©C^C<I©(N<N©0atNC<ICCIC<lrHCQCvlT-Hi-H'-lrH^-lr-l    rH rH HtHHihHH

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSo0SS SS

g

»0(M©©mOI>COOCD(MCO'^OCD83l>COffiTt(©THai'!i(©Ti(©fflOOlM«50'^QO(M>OCO©CO(Na)(MOOCOCrH»OI>'HiOtrO(M'!HęDQO(X)OOOOQ©©©OOtrCDiOCOHffiCOCOOf©©g5©

oo    oi_c^Hi^t>^o_o^io t>^o co_io </^o_cra io^oo^o^co 10 oo^o^a^io^oo^o^© ^co 0 (M 10 t>- Oi«c> i-h cc_o_io^o^'ś)^oq_cq^i>^rHicD_o^'Ąi© © c^th io^©^ao © ©,0    »o.ao.c^co>o^eo>cą>T-^c),©.

(^^rH~^rT^of©"(^cfrarco©"H^r^Hir4rirrioi£rir^c^«D©cD'c^r^c^c^oo'©"©^oo'©©©©c5'OrHTH'(^(^ofc^c^'^rf^i£r©"^i^t^^©"oo'oo'oi'©oo'TH^TH'rH'©^ofofco(^

©©©©©©©©©©©©©©©COOTMOTOTOTWOTMWWOTOTOTOTOTOTWOTOTOT-^^r^-TH^HjHTjiHlirair^^r^^^^^ji^^^^-^^^uOiOiOiOiOlOlOlOlOiOiOlOlOiOlOlOiSilOiOlOkO

iO©C»©©©r-IC<J©'#iO©r-©©©rH(N©'^iO©C-X©©T-l(M©rjliO©t>©©©(N'#©©©(N'^CD©©(Mr#0©©(MTH©©0<M'^®©®(Mr#©©©(M^;©©®CM-^000©iOO©0

oo^co^Gq_oq_oo o^©_©^©_©^© 05^©^© ©^©_0v0_0^0^0^0^0i0.0^iH^rH^TH^r-^rH hhho^c^o?©,cq^cot^t>vcoa!loo.cq^oq_©_©© oi_©cc^©_Oth t-h_c^

(*^l    1 i t-H rH    rH rH    rH t“H    tH rH ^H    ł“H r^ rH r*H t“H ^H tH t“H r“H tH ^H T*H ^H t™H t⁻H r^    rH rH ^ rH rH ^ rH ^ r*^ rH    rH rH rH rH ^“H rH rH ^ rH rH r^ rH rH    rH ^H rH C^l C^ C^ C^ C^

^3

t^^SSSS^^^MmmSHHHHOOOOmomOTrooo^tococD^toocoiDiotDiOTłuoTdTtim^aicoMcomiMiMffKNHHHHOTHgooooooiaoosmacooococoaaoooo

-^tl ^fl -^fl H}i    © © © © © ©^© © © ©_© © © ©^©^CO © © CC^OT ©_© © ©^©^©^CO^©^© ©^©^(©^©^©^©^CO^CO^CO^CO^CO^OT^CO^C^C^CC^C^C^C^C^C^C^^^O^O^©^©

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS SSS SSSS S S SSS SSSSS SS S S S'SS'So 0 o’o 00000000000

g

s

<MCS-H©©Ot11©OOOOtHC0OOOOiOO3©iO    _

©©i-it^Hno©0'^©cN©©o©©©t^©©©©i>-i>>©©Hj<©©©©©©(M©^©'^o©©-^©<M©©c<j©i>o©©i>>©’-i(N'-irt(©©©©©©©cDęD©-5'^©03rH©i>'io©T;Hgicr

Htl <Ji    CC © CC <M^C- I-I IG O    CD © t>    © C-_ >-^©^a5 © C- T-l iG^Gi CM CD O^CO^C- T-^Hj^©^TH_iq^o^Cv^L0^05^c^©^ał 5;J.i0₁©„0a>O^05_(M^i0>C0^(M^l0_©^T-^'^t>^O^©_©^0^CMiiii0_Cq>T-^Hji_I>^O^©_©^a)Ni-^'^l>^O^CM^iq^

(Moa^ccr^^^^^c^c^c^t^c^ofofororoicr^H^rTi-H^c^ccrcoccrasTirHjTicr^^io^^cDt^i^^OT^w^ocroro^ooo^o^^^i-roCcMc^coccfw^^TirTiricricr©"©^^©^^^^©©©©©

lOOOOTOOrHCMW-^^OC-^OOrHNM-^^OC-OTOOi-iCMOT^^OC-TOOOi-ICMOT-^^Ot-^OOi-lCMOT^łi^OC-^OOi-ICMOTHłH^OC-OTOOjrHCMWTtliOcp^-COOO^^CO^; OOOOOHHHHHHHHHHNNJUWWISNCaNCNMOCOM CO © ©^© © CO    ^    ^    ^ ^ ^    ^    C» CO^CO^GO^GO^

S S S S S cT SSS S S S S S S S S S S S S S S S S S S 0 cTcTcTcT S SSS S S S S S S S S S S S S S S S <d S S S S S SS S 0^0 0 0 cT© cTcTo oooooo©oooo

Inź. Dr. A. Pareński.

>OtatatOtOtOtatOtOi®<**-it>.^^>t>-tS»tf)-tf‘-rf»-tf'-03030303 03 W carWfoo w te to to to te to te to to

C£JOO-0010t^03IOl-‘0'X>CO^-1050t^03tOl-'0«DCO<I050ttP‘03 tO.h- ©COGO^tOOt^OStOt-¹)

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO opoo o boobbooboobbbbbbbbbbbbgbbbbbbbbbbbbbbobbobbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbobo o o o

SOldSoiOlOiCnaiOtOtOtOTOt^^^tfo^^^OiOOOjOSOiOSOOtOtOtOŁOlOtOi-^h- HHMHOOOOO®tO®tOOOOOBXOO-0*]*J»a®i_ ~    -    '■    ~    ■

Cn^t0i-‘O0003aiCn03t0H-tX)00~a0t^t0i-‘OC00iCn03t0O<X>-<ia3#‘l-‘'-‘iX)~.1Cn^tOOC0«l^t0O0003tfe.tOO00®<03i-‘000303O00(

lOO-<I^t0C0~303O«S>03O-<I^O05tO<Xl03G(DtP>.ęC₍^-ęC>te>.C0t00łO03^lO030łC0Ot0ifi-CnCi-<l-<l50C0C0C0~aCnt0a0#>.OCnO0iCDIOL________ ___..    ______ ____ -

ccoiflsi^cDMiMoai

'e

.O ©

00

c>b

o

otoco-oosottf^oofcoi—‘Ocooo^ociCTtf^-ootoi—‘Oęooo^osottf^ostoi—*otDCD*oo5Cj>tP^03toi—‘0<x>oo*-3050t^-o3ioi—‘OcDco-joiot^ootoi—‘pcoęoęoęotDęoęDCDęo^ccoGccocooooooocotio

O^OOO-OOiCTtlf^OOlOI-^OCOCO-OOSCntfi-OStOi—

Wartości

OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO OpppO®Oppppppppppppoppppp©pOOpppppp©pppoppppoppppp oppop bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb* bob bobbo ocbob o'o'o'o'o o© o o o~o o "o obD o © o~o o o o'o'o o~obs o'o'obD o ooo o

^totototototototototstotiotototototototc^stotCTCT^^^t^t^t^^t^t^^^^tf^i^^^^^t^t^^if^ęę^^osiocttwosos^OTOSM^iowwwtototototototototototocotototoio

•0‘<iałC5>a5>a5>Otatotif*.| ©ttOCDOCCÓ-d^t-iOOt «S~3CD00 00CÓ00^>O3atl

^ćbosóstótótb^i-iiooo^^oooooo-o^^^OTOtoi^^oooototo^i-OO^cooo-i-JiOTat^t^ostoi-o^GCoococoCDOoooooKi-i-a-^-j-a-j-j-^©©© to©crttoooottoao^i-‘oo^©-oo3©ot^-iwco^©CTi-‘©to-ito.^c®©'-‘©©>-CDt®©©03©©tot£©oCD<xas-^©cn^ootop©aD«j©OT^03toi-;©oo-'3

t0t-‘XjOO0b^~J-0©O^©©t003^^03t-‘©*<I03©tP*0D^03^^t0©0t©^©^l^.l0il-ł03^03©©©03 03*<I©0i0ttfi.03t0t-‘©©C0-a©atH^03l0©C0©Cn

s*

p

PT

o

as

p

p

•e

'n

p

I—'

M-

o

p

©

br>

o © '©'©

© ©

■© ©

© ©

o©

iiłłi.(^t^^t(^tU4^rfi.^^03 03 0: 03 03 03 03 03 03MtOIOtObOtOtptOtOtOtSi-*l-'i-‘i-‘Hp»-‘!-l^‘_^( ©CDC0-J©atrf!>03t0i— ©OCD-<l©Oi^0DtOl-‘©©00-0©CTtt^03t0i-‘©ęDCD»0©at^03t0l-‘©'

1 *a os ot if^ p to h 1

88

>C0C0CDC0C000COCDa0C»-.l-O-J-J-O-O~a-J-J

"X‘C0-'jaiOirff-03IOł-‘©CC>00“J05>Ot£-03tOt->

©©©©©o©o© ©"©■© o'o © o'o'©

•■1 -O -O -v] -O -~t *~I -O — ] ętrfi.4i.^H^t^C»0303 ©OOOOtOOt-t©^!© H Ifi O W Ot-0 to I-¹

©©0©0©©©©©0®0©©©0000©©©0©©©©0©0©op © © © © ©p ©pp ©pp © ©ppp © op © 00o ©ppp©pppp opp © b©bbbbbbbbbbbbbbbbbob2bov^'x'''-'%v''v>' ^    ^    ^ ■-¹ ^    ^ ^

03W03h?tpt0tpt0^h-H-^Hp^O©©gg®©©gg^^^K

. to © 00 © rf*. L_ _    -

Ih-‘t0t0t0t0t0030300(

lOtWHCD^OiWOCOOltM-tffi-OlMOOOOtWOl

iCO«a©O’tC*-03h-©-Jtf^t-‘GCOtt000^l-‘->ah(5>-h-‘.<l(

Ot 03 i— COOtOSOCOOtOSO^OttOCO-J^-t-^CO CDaT©Cn©03COtO©©CT©tOOtOOOtO^Ot

o ©

i Ot ®t    ^ rfi. £»•>£. tfi. i. ,

'Ot©«0C0“J©Otrf>.03tOl-‘'

© ©    p

"o ©    o

I03 03 03 03 03 03 03 03t0t0t0t0t0 i-o©atrf^cotoi-‘©©ępCDCp' © ot © ot © 1

ot

p ®

o ©    © ©

to to to to to to to IO to to to IO to tO to h-> t—i 1—i l-> l-t l-* t-t t- -------

-i©©ot®t^^o303totot-‘i-‘0©©©©®©oocx>qcooęo-<i-o-<i-o-<i©©©©©otoiotot

©Ot©0t©0t©0t00l©0t©0t©00©£»l0©00©rf*-I00(----------‘--------

I00©rf^t0©00©^t0©00©tf>-t0

©Ppop©pppp©oppppppp©©©©pppppp©©pppp©

#»łł^-03 03 03 03t0t0t0l—‘I—‘I—‘I—“l—‘t-t©©©©©®©0©©0©©©©©©©©©© 0»i-*GO©OD©*<lrf^©“''IOOtOl-*©0©OÓ~0©Ot«tiPo3tOI-‘0©GO~a©#‘^03 03tOtO -3IO©©tO0303H--<IM‘^©C0©t-‘03at®00©^tO^Ot-<lG0©^tO©aDO3C0O3CDO3

#<■ to © 00 © 03 O -O to -J M -O 03 © t&> <X> © CO <X> CD © -J -O -J -J ~3

© o © © ©p © © o © opp © ©p o op ©pop o o o pppp o p o pp OO© O 'o'© o'pb»'obD'obr>'o'o'p'o'o © © 'o'ovo'o'o'o'obo<b bb-bob o o o o o o ©"©o co co cd cd go qo co co ęp co ęo co go cc ac oo co co go co go ^ ^ ^    -■*    -¹    -¹    -¹ -¹ -¹ -¹

•e

Z tego też powodu najprostsze zagadnienie ruchu ustalonego i równomiernego w przewodzie zamkniętym lub łożysku otwartem niema po dziś dzień takiego rozwiązania, któreby pozwoliło projektującemu hydrotek-towi obliczyć stratę energji, przy danej wydajności przewodu zamkniętego lub objętości przepływu przy danej powierzchni przepływu i danym spadzie łożyska, z taką dokładnością, jaka jest niekiedy pożądaną w praktyce (3).

Graniczne (skrajne) obszary badań przepływu cieczy rzeczywistych t. zn. obszary, w których zanika wpływ tarcia wewnętrznego cieczy (lepkość), wobec wielkości sił bezwładności, lub obszary, w których wpływ lepkości cieczy w stosunku do sił bezwładności jest tak wielki, że można funkcję sił bezwładności z rachunku wyeliminować — dadzą się w przybliżeniu rozwiązać, jednakowoż zjawiska takie w przyrodzie nie występują, a jeżeli się zdarzają to są one zjawiskami bardzo rzadkiemi (19).

Środkowy obszar badań, t. j. ten, w którym oba czynniki tak lepkość cieczy jak siły bezwładności, występują jako czynniki równorzędne można udostępnić — teoretycznym badaniom — tylko zapomocą doświadczeń. Doświadczenia te wykonywa się od dawna i z ich pomocą poprawia się wzory teoretyczne, które wówczas tracą swój charakter ekstrapolacyjny i przechodzą we wzory półempiryczne, interpolacyjne, ważne w granicach doświadczeń.

Często postępuje się odwrotnie, mianowicie dąży się do wplatania do wzorów względnie danych empirycznych, rozważań teoretycznych, przeważnie u podstaw rozważań, a to celem nadania im charakteru pół-empirycznego, dzięki któremu mają zyskać nietylko szerszy zakres stosowalności, ale przedewszystkiem więcej zaufania.

Takie wzory teoretyczne, które są poprawiane różnemi spółczynnikami uzyskanemi drogą doświadczeń nie można jednak stosować poza granice doświadczeń i dlatego tracą one swój charakter ekstrapolacyjny, zaś drugi rodzaj wzorów empirycznych poprawianych u podstaw lub w toku rozważań rozumowaniami teoretycznemi — któremi można opisać zjawiska doskonałe nie występujące w przyrodzie — nie mogą ze względu na swój litologiczny charakter, budowy zyskać sobie więcej zaufania, aniżeli wzory ścisłe (ekstrapolacyjne) lub czysto empiryczne (interpolacyjne).

Z tych to powodów dorobek mechaniki cieczy rzeczywistych na omawianym obszarze badań, jest nieznaczny. Ogranicza się on bowiem do określenia analitycznego cech ruchu ślizgowego (nie występują-cego prawie w przyrodzie) przez O. G. Stokes’a[, który oparł się o elementarne prawo Newton’a opisane równaniem o charakterze empirycznym.

Nie należy tu jednak zapominać, że przepływ cieczy rzeczywistych w przewodach otwartych i zamkniętych odbywa się — z powodu szorstkości łożysk — zapomocą ruchu burzliwego (n. turbulente Stró-mung, fr. mouvement turbulant, ang. turbulent motion) a taki przepływ usuwa się z pod rygoru prawa Newtona.

Ruch burzliwy nie jest — biorąc ściśle — nigdy ruchem ustalonym, albowiem jego prędkości składowe w poszczególnych miejscach zmieniają się nieustannie i nieregularnie, wahając się około pewnych wartości średnich.

Opisanie ruchu cieczy rzeczywistych przez Stokes’a odnosi się do ruchu uwarstwionego ślizgowego (gleitende Bewegung), który w literaturze naukowej występuje pod nazwą ruchu laminarnego (n. lami-nare Strómung, fr. mouyement laminaire).

Opisaniem ruchu burzliwego zaj ął się H. A. Lorentz wychodząc z podstawowej myśli ruchu złożonego z ruchów głównego i pobocznego. Na tej podstawie zbudowane przez niego równania różniczkowe pozostały jednak dotychczas tylko czczą formą mate-tyczną, której nie udało się zcałkowaó nawet najgenialniejszym matematykom i to w najprostszych przypadkach, a tern samem nie można je uzgodnić z rzeczywistością.

Należy tu jeszcze wspomnąó równania dynamiczne Eulera, które opisują zjawiska ruchu cieczy beztar-ciowej (brak lepkości) i nieściśliwej a warunek ciągłości natomiast przepisuje cieczy charakter continuum. Równania te zatem dopuszczają możliwość dowolnego byleby ciągłego rozkładu prędkości, podczas gdy w rzeczywistości prędkość od środka przewodu ku ścianom się zmniejsza, a zatem równania te kolidują z podstawo-wemi założeniami geometrji ruchu cieczy rzeczywistych.

Również równania D. Bernoulli’ego prowadzą do wyników sprzecznych z rzeczywistością, ponieważ zapomocą nich nie można określić sumy t. j. wysokości strat energetycznych między dwoma dowolnie odległemi przekrojami, którą musimy wyznaczać drogą doświadczalną w każdym poszczególnym przypadku.

Wspomniano tu tylko o najważniejszych autorach, którzy usiłowali opisać ruch równomierny w przewodach otwartych i zamkniętych. Cały ich dorobek naukowy tyczący się tego ustalonego i równomiernego przepływu w korycie otwartem lub przewodzie zamkniętym, nie dał nam po dziś dzień takiego rozwiązania, któreby zdało egzamin celowości.

Z treści niniejszego referatu wynika, że omawiane badania znajdują się jeszcze wciąż w stadjum początkowego i powolnego rozwoju, przyczem czas, w którym badaniom tym nadany będzie właściwy kierunek, a wyniki tych badań dokonanych przy pomocy logiki i ścisłości doświadczeń będziemy mogli zdefinjo-waó językiem ścisłym, matematycznym — nie da się jeszcze dzisiaj bliżej określić.

11-356039

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

ego

ZEK

/