Der Zweigelenkbogen

als

statisch unbestimmtes Hauptsystem

Von $v.s3Uß. R. Kirchhoff

Kegieruugsbaumeister

Mit 84 Textabbildungen

Berlin 1911

Alle Rechte Vorbehalten

Biblioteka Politechniki Kiakowskie|

Der Zweigelenkbogen

als

statisch unbestimmtes Hauptsystem

Von £>t\=3ttß. K. Kirchhoff

Regierungsbaumeister

Mit 84 Textabbildungen

•S

Berlin 1911

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Alle Rechte Vorbehalten

Al#c, Nr.

K,H l [Go

—tu III i«WW<

Inhalts Verzeichnis.

Seite

A.    Der dreifach statisch unbestimmte beiderseits eingespannte

vollwandige ßogen..................

Einfluß einer Last Pm auf die statisch unbestimmten Größen . . . .

I.    J cos (f sei veränderlich, die Bogenform beliebig...... . .

II.    Yereinfachungen....................

Direkte Herleitung der H-, A- und JB-Linie aus der Xa- und Xb-

Linie.................:    ... .

Festlegung der Kämpferkräfte..............

Einflußlinien für Kernpunktmomente............

Einflußlinien für Querkräfte...............

Einfluß des Eigengewichts................

Einfluß schräg gerichteter Kräfte .............

Einfluß von Bremskräften................

Einfluß der Temperaturänderung.............

B.    Der einerseits eingespannte, andererseits gelenkig gelagerte

vollwandige zweifach statisch unbestimmte Bogen.....

I.    J cos    sei veränderlich, die Bogenform beliebig........

II.    Yereinfachungen...................

Einflußlinien für LI, B und A.....•...'......

Festlegung der Kämpferkräfte..............

Einflußlinien für Kernpunktmomente .    ;..........

Einflußlinien für Querkräfte .    .    .    .    :..........

Einfluß des Eigengewichts................

Einfluß gleichmäßig verteilter partieller Yerkehrsbelastung p pro

Längeneinheit...................

Einfluß schräg gerichteter Kräfte.............

Einfluß von Bremskräften................

Einfluß der Temperaturänderung........... .    .

C.    Die dreifach statisch unbestimmte vollwandige Bogenbrücke

mit drei Öffnungen..................

I.    J cos (f sei veränderlich, die Bogenform beliebig........

II.    Yereinfachungen...................

Einfluß von Bremskräften............ .    .    .    .

Einfluß der Temperaturänderung.......■......

Schlußbetrachtungen...................

COiOINXGOOi^CO

rH r*H rH rH rH tH CI CY1

Or-HrH<MCO*OCOI>    (M CO

CO CC CO CC CO CO CO CO

.

Einleitung.

Die Berechnung statisch unbestimmter Systeme wird in der Regel unter Anwendung des Satzes von der Summierung der Einzelwirkungen derart durchgeführt, daß durch Beseitigung der statisch unbestimmten Größen Xa, Xb,-----Xn ein statisch bestimmtes System entsteht (Haupt

system), für welches die statischen Größen mit Hilfe von Gleichgewichtsund statischen Bedingungen ermittelt werden können. Durch n- fache Anwendung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen auf die Kräftezustände Xa — — 1, Xb — — 1,.... Xn = — 1 und die wirklichen Verschiebungszustände lassen sich dann so viel Gleichungen aufstellen, als statisch unbestimmte Größen vorhanden sind, wodurch diese eindeutig berechnet werden können. Man kann aber auch ein n fach statisch unbestimmtes System durch Beseitigung von k überzähligen Steifigkeitsbedingungen in ein (n—/.') fach statisch unbestimmtes System verwandeln. Zwischen den Größen X bestehen dann die k- Gleichungen

La-\~ da, — Üat ~ 2Pm dma ~ Xa Öaa — Xb Öab ~ .... ~ X]cÖak Lb -\-db—dbt = -Pm^mb — Xadba — Xbdbb— ■ ■ • Xkdbk

Lk -j- Ök Ökt 21 m ^mk Xa ÖfM Xb $kb ....    X]- Ökk-

Sind dann die Größen Xk+1 bis Xn bereits bekannt, so können die k statisch unbestimmten Größen Xa: Xb,.... Xk berechnet werden.

Die Einführung eines derartigen (n — /»:)fach statisch unbestimmten Hauptsystems erweist sich vor allem dann als nützlich, wenn für die Größen Xk+i bis Xn besonders einfache, allgemein gültige, geschlossene Formeln vorliegen, wie es z. B. beim vollwandigen Balken auf mehreren Stützen, vor allen Dingen aber beim vollwandigen Zweigelenkbogen der Fall ist. Es soll im folgenden gezeigt werden, wie gerade der Zwei-gelenkbogen als statisch unbestimmtes Hauptsystem eine schnelle und übersichtliche Entwicklung geschlossener Formeln und graphischer Konstruktionen bei einigen in der Praxis häufig wiederkehrenden statisch unbestimmten Systemen ermöglicht.

Kirchhoff, Zweigelenkbogen.

A. Der dreifach statisch unbestimmte beiderseits eingespannte vollwandige Bogen.

Die Entwicklungen sollen durchgeführt werden unter der Annahme starrer Widerlager, eine Annahme, die stets zulässig ist, da man nur bei absolut unnachgiebigem Baugrund, z. B. Felsboden, zu einer Einspannung sich entschließen wird. Dagegen sollen zunächst sowohl der Einfluß der Yeränderlichkeit des Trägheitsmoments und des Winkels (Neigungswinkel irgend einer Bogentangente gegen die Horizontale) als auch der Längskräfte N berücksichtigt und erst dann auf Grund dieser allgemeinen Untersuchungen die vereinfachenden Annahmen J- cos cp = Const. und N= 0 gemacht werden.

Der Bogen sei an irgend einer Stelle mit einer Einzellast P belastet. Infolgedessen entstehen Kämpferdrücke Ki und Kr Bringt man

/X

H’

Kr

Kr-b

VI

Big. 1.

Kla

diese Kämpferdrücke in der Einspannung noch zweimal in entgegengesetzter Richtung an — wodurch am Gleichgewichtszustände nichts geändert wird, da sich die Kräfte aufheben —, so entsteht am linken Kämpfer ein Kräftepaar vom Moment Kj, ■ a und eine Kämpferkraft Ki, die in eine Seitenkraft H‘ in Richtung der Kämpferlinie und in eine Balkenstützkraft A zerlegt werden soll. Ebenso entsteht am i’echten Kämpfer ein Kräftepaar vom Moment Kr ■ b und eine Kämpferkraft Kr, die ebenfalls in H‘ und eine Balkenstützkraft B zerlegt sei. Die Momente Ki • a und Kr ■ b sollen als statisch unbestimmte Größen Xa und Xb eingeführt werden. Beseitigt man die beiden Steiflgkeitsbedingungen Xa und

Xb, d. h. setzt man Xa und Xb = 0, so entsteht als statisch unbestimmtes Hauptsystem ein Zweigelenkbogen, dessen Spannungszustand als bekannt vorausgesetzt werden darf (s. Seite 3 und 4). Die diesem Zustand entsprechenden statischen Größen sollen durch den Index 0 gekennzeichnet werden (z. B. H‘₀, A₀, B₀ usw.). Durch Belastung des statisch unbestimmten Hauptsystems mit Xa — —1 bezw. Xb = —1 entstehen sta-

\P

H'o

\B₀

h;

\A₀

Fig. 2.

tische Größen, die mit dem Index a bezw. b versehen sein mögen (z. B. Aa, Ba,    bezw. Ab, Bb, E‘b

liehe statischen Größen für den beiderseits eingespannten Bogen in der Form

.). Es ergeben sich dann sämt-

7= Y₀-Ya-Xa-Yb-Xb; z. B. E‘ = H‘₀ — H‘a • Xa — H‘b • Xb A — Aq Aa • X.a Ab • X.b

usw.

Die Grundlagen für die weiteren Entwicklungen sollen in folgendem kurz zusammengestellt werden.

1. Unter der Annahme J■ cos cp = Const. und parabolischer 5 P

xl³ — 2lxs + x*) • r (Müller-Br., Graph. Stat.

Bogen form ist H₀ =

II. 2, S. 518).

2. Die Einflußlinie für H₀, die unter denselben Annahmen wie unter 1 genau nach der dort aufgestellten Formel für Pm = 11 berechnet

8 fl

werden kann, ist genügend genau eine Parabel vom Pfeil x

- . f

16 f

(Müller-Br., Graph. Stat. II. 2, S. 519).

3. Der Horizontalschub infolge Temperaturerhöhung bezw. -Ernie

drigung ist nach Müller-Br., Graph. Stat. II. 2, S. 538 15 sEtJ‘

, worin J‘ = J- cos cp = Const.

Der Wert r berücksichtigt den Einfluß der Längskräfte und ist zu setzen

1 + i⁵-^.

^ 8 F-p

Soll der Einfluß der Längskräfte vernachlässigt werden, so ist r — 1 zu setzen. Jc ist ein mittleres, konstantes Trägheitsmoment.

Für die ferneren Untersuchungen ist noch von Wichtigkeit die Berechnung des Horizontaischubs IIa infolge Belastung des statisch unbestimmten Hauptsystems mit einem Moment Xa = — 1 am Bogenende. Es sei:

a) J-coscp veränderlich. Alsdann ist

Fig- B.

Ha =

X; Sät • y

■f

>----L----

Ha

3a.

aH

ac

3b.

tdx

+ />;•

(s. Dr. Robert Schönhöfer, „Statische Untersuchung von Bogen- und Wölbtragwerken unter Anwendung des Verfahrens mit konstanten Bogengrößen“, Seite 9).

50? ist darin das Biegungsmoment für irgend eine Stelle eines mit dem Moment Xa = — 1 belasteten einfachen Balkens =

j ■ x (s. Fig. 3 a und 3 b). S ist

die Länge der ausgestreckten Bogenachse, F₀ der Mittelwert der verschiedenen Querschnitte F.

k — — = Const.

\f

,1

d;x

___ll___

b) Es sei J• cos cp = Const., der Bogen ein Parabelbogen. Mn Alsdann wird

j^M'ydx jjyd j*ij²dx    Jy²dx

y-dx-x ist das statische Moment der von der Bogenachse und

v

Sehne eingeschlossenen Fläche für den rechten Auflagerpunkt

= f.i.l-%<*.*)

Fig. 4.

Ha =

coj CO

ß*dx =£

j2 -x(l—x) dx =

P-l-

fll

Somit wird

— pl 15

*f

Ist der Bogen nach irgend einer anderen Kurve gekrümmt, so ändern sich sinngemäß die Integrale.

Ebenso groß ergibt sich der Horizontalschub IJ bei Belastung mit — 1 am andern Bogenende.

-X*-

Es sei noch bemerkt,- daß unter a) und b) der Einfluß der Längskräfte auf Ha als völlig unwesentlich vernachlässigt wurde.

Nach diesen einleitenden Voraussetzungen möge der

Einfluß einer Last I*m auf die statisch unbestimmten Größen

untersucht werden.

I. J cos cp sei veränderlich, die Bogenform beliebig.

Es mögen gleich hoch liegende Kämpfer angenommen werden, eine Voraussetzung, die wohl in der Praxis in den weitaus meisten Fällen zutreffen wird. Zwischen den statisch unbestimmten Größen bestehen alsdann die Gleichungen

X a 4m 4~ -^-b dab Pm dma XaÖba 4" Xb$bb — Pm^mb‘

Die Ermittlung der Werte dma, ömb, d

aai

dbbi dab erfolge unter Benutzung des von Dr. Robert Schönhöfer in seinem Buche „Statische Untersuchung von Bogen- und Wölbtragwerken unter Anwendung des Verfahrens mit konstanten Bogengrößen“ veröffentlichten Verfahrens.

ma i

des Zustandes Xa = — 1.

1. Berechnung der Werte d

d. h. der Biegungslinie infolge

Die allgemeine Formel für das elastische Gewicht wma eines Stabzuges

Om

lautet Wma = AUn 4

Om 4-1    ,

-jj- tg cpm+l- E

tg cpm (s. Mehrtens, Statik der

Baukonstruktionen und Festigkeitslehre, 3. Band, S. 124). Darin ist /\t

Mads

Mads

Oma

F fg^Pm+l

zu setzen, so daß w Ma ds

~eT

biegungen dar, die beiden übrigen Glieder den Einfluß der Längskräfte. Die beiden Einflüsse mögen getrennt ermittelt werden.

EJ

ma

EJ

F tg?

Der Wert

stellt den Einfluß der Momente auf die Durch-

a) Der Einfluß der Momente Ma. Ma ds

O'ma —

EJ

■ EJw

ma

= Ma ds.

Streckt man den Bogen und die Momenten fläche aus, so kann Ma ds aufgefaßt werden als Flächeninhalt eines Flächenelements der ausgestreckten Ma-Fläche. An Stelle eines unendlich kleinen Flächenelements darf ein endlicher Flächenstreifen gewählt werden von der Größe

■s = Ma ■ s, wenn M‘ der Mittelwert von Mra und Mia ist, der durch die im Schwerpunkt der Fläche liegende Vertikale von der Mo-

Mra 4" Mia

mentenfläche abgeschnitten wird (Fig. 5 b). Dann wird

E • J • wm a ⁼    • s

E-

tr

= M‘.

Die Ma- Fläche ist gegeben durch die Gleichung

Ma = - -x-Ha-y = m-Ha-y. Fig. 5.

m,

,1

-x-

«—

S-

t* S -»H r\_\t

ds

iftr

.1/

ml

'«i

Mads

Sie setzt sich also zusammen aus einer positiven Dreiecksfläche mit der Ordinate 1 unter dem linken Auflager und einer durch eine Kurve mit den Ordinaten Ha-y begrenzten Fläche.

2»Wly

Ha

z?y² +

k-S

S ist darin die Länge des ausgestreckten Bogens, F₀ der Mittelwert der verschiedenen Werte F (s. S. 4).

Nunmehr wird die Teilung des ausgestreckten Bogens nach dem auf Seite 4 der Schönhöferschen Schrift beschriebenen Verfahren so vorgenommen , daß

Sn

Jl

= Const.

wird. Alsdann kann man setzen

E- —

Ma ; E• k’Wma — FLa.

Man zeichne also zu den Kräften Ma' mit der konstanten Polweite E-k ein Seilpolygon; dieses ist dann die dma-Linie des ausgestreckten

Stabzuges. Die Ordinaten dieser Biegungslinie trage man nun senkrecht unter den entsprechenden Punkten des Bogens als Ordinaten auf (Fig. 6 b).

KP)

I *    's#

a-j s 4,

W 3'V

XS

xir+

'J-J

-ST

'■j

6 a.

--E-k-

Fig. 6.

Das Verfahren hat nicht nur die Berücksichtigung der Veränderlichkeit der Trägheitsmomente, sondern auch der Neigungswinkel cp der    Bogentangenten —H

gegen die Horizontalen ermöglicht.

Ebenso wird der Einfluß der Momente auf die Durchbiegungen ömb berücksichtigt. Die dmb~Linie ist das Spiegelbild der dma-Linie; sie braucht daher nicht mehr berechnet zu werden.

TTt

‘'4-7

<5ma-Linie

•I

_4

6 b.

•I

b) Der Einfluß der Längskräfte Na bezw. Nb auf die Durchbiegungen

&ma bezw. Smb.

Nach Seite 5 ist zu setzen

G(m-\-l)a

Wma

@jna

m-

Da die Längskräfte nur bei flachen Bögen eine Rolle spielen, dann aber die vertikalen Reaktionen nur sehr geringen Einfluß auf die Längskräfte haben, genügt es, wenn man nur den Einfluß der Horizontalkräfte auf die Längskräfte berücksichtigt. Genau genug darf dann gesetzt werden

so daß

H^ina —    -(-1) a — • • •    Ha-

Daher a

la

— ör(m+l)a —

Ha

Ho

1 -w

Ha

E-F₀

(tg cpm — tg (pm +i).

Ha

(t§ (pm tg q>m+i) mit der Polweite 1 ein Seilpolygon; dieses ist dann die d^-Linie. Das Seil-

Man zeichne daher zu den Kräften

H • E₀

polygon darf man, ohne einen nennenswerten Fehler zu begehen, durch col²

eine Parabel vom Pfeil ——

O

ersetzen, worin co =

Ha tg cpm— tg Cp,n +1

EF₀

denn die den einzelnen Punkten des Stabzugs entsprechenden Einzelkönnen ersetzt

kräfte w

7/1+1

ma

77lr7y

ym\

werden durch eine gleichmäßig verteilte Belastung co pro Längeneinheit. Da nun eine Kraft w von der Länge k entfällt,

wird co = —

auf ein Feld

ma

ßnu,

r ,2

Uii

Fig. 7.

dm})

-.1

Fig. 8.

Ha tg (pm    tg (fm _j_ i

~ef₀~

Die Biegungslinie ist daher

Cü

eine Parabel vom Pfeil——

Dasselbe gilt für die Durchbiegungen infolge der Längskräfte Nb, da Nb = — Hb = — Ha ist. Die gesamte Durchbiegung öma ist nunmehr gleich der Summe der unter a) und b) ermittelten Durchbiegungen = d^a + Ebenso ergibt sich 8mb — dmb + dmb (s. Fig. 8).

2. Berechnung von d

aa-

S = Länge der ausgestreckten Bogenachse.

EF₀

Ha²-8

EF₀

Ha²

EJn EF₀

2r]a²+Ha²-

l.k

dbb-

Mbds

EJ

3. Berechnung von öab.

= jjj + - HaHb-~

NaNbds'

EF₀

EE₀

₌ -Va^b , Hg²S ₌

'E-k ⁺ El₀ ~

Nach dem Satz von Maxwell ist öba = (W

Ha²

■ 2s

+ Ha²-

E-k

■Je

Die Werte tj sind unter den den konstanten Bogengrößen entsprechenden Bogenteilpunkten aus der Ma- bezw. Mb-Fläche abzugreifen.

Durch Auflösung der auf Seite 5 aufgestellten Gleichungen nach Xa und Xb ergibt sich

Xa = Pm

dma^bb ^mb^ba Öaadbb — <W²

= Pm-E-k

Xtja² + Ha²    — X7jarjb + Ha- ■

l-k

Vernachlässigt man die Längskräfte, was bei hohem Bogenpfeil zulässig ist, so ergibt sich

Xa = Pm-E-k

dma-Xrja² — dXa • Sljaijb

[-V*]²— \Xl]a-7jb\2 Setzt man Pm = 11, errechnet nach obiger Formel für eine Reihe

von Lastenstellungen die zugehörigen Werte Xa und trägt diese Werte unter der jedesmaligen Lastenstellung als Ordinaten auf, so erhält man durch Verbindung der Endpunkte dieser Ordinaten die Einflußlinie für Xa. Die Xb-Linie ist dann aus Symmetriegründen das Spiegelbild der Xa-Linie.

daher nicht besonders berechnet

Sie braucht

‘A

ff

Xa=Iin£e

+.

Aj =Linie

zu werden.

Die Form der Einflußlinien ist in Fig. 9 dargestellt.

Nach Errechnung dieser Einflußlinien können aber die Einflußlinien für sämtliche übrigen statischen Größen leicht mit Hilfe der Formeln

Fig. 9.

H=H₀ — Ha- Xa—Hb- Xb A = A₀ — Aa'Xa — Ab • Xb

usw.

abgeleitet werden, wie weiter unten ausführlich gezeigt wird.

II. Vereinfachungen.

Da man im ersten Rechnungsgang nur ein durch Schätzung bestimmtes Trägheitsmoment in die Rechnung einführen kann, hat die genaue Bestimmung der statisch unbestimmten Größen nach dem entwickelten genauen Verfahren keinen Zweck. Sie kommt erst im zweiten Rechnungsgang (bezw. bei Umrechnung von Brücken zwecks Verstärkung) in Betracht. Es ist daher im ersten Rechnungsgang zu empfehlen, die vereinfachende Annahme J• cos cp — const. zu machen. Ferner sei der Einfluß der Längskräfte auf die Formänderungen vernachlässigt. Ganz

besonders bequeme geschlossene Formeln lassen sich aufstellen für den Fall, daß der Bogen ein Parabelbogen ist, ein Fall, der in der Praxis für den beiderseits eingespannten Bogen häufig in Betracht kommen wird.

Auf Grund dieser Annahmen mögen die nachfolgenden Untersuchungen durchgeführt werden.

An Stelle der Verschie-bungen Öaa, dab, $ma, ^mb sollen die E ■ J • cos q>-fachen Verschiebungen ermittelt werden, was sich als zweckmäßig erweisen 10b. wird. Es sei zur Abkürzung J • cos q) = J‘ gesetzt. Alsdann ist E-Jl-dbb = fMb²dx)

Mb — j — Hb- y

(s. Fig. 10 c u. d).

Darin ist jetzt nach Seite 4 (unter b)

Hb = Ha =

,, x 5 Mb = 1~ 8 f' V'

Die Gleichung der Parabel lautet

ZitsfwtdJQ-t,

AU

Z,=1<

Fig. 10.

Ma=Fläc?ie

ZustandXg-1

lParabel

Mb=Fldche

Parabel

r

dbb = /

- o

10a.

10 c.

=-1

Ha

'ba

lOd.

>z,=/

5

—so daß

4 f- x(l—x)

y-—p—

—#) dx

t •>

25 ₇    5 , Z

;+4i=8'

,00

o 4 I u

Aus der Symmetrie folgt, daß E- J‘ ■ dw — E- J‘- daa ist. E ■ J‘- dba = fMbMa • dx.

5 4 f n    .

-Tfy = l~W~P    ⁽    *'

nt*

— — Ha - y (Fig. 10a).

£C 5 ilffc = -

a:

Hb = Ha, daher

Z — x * h 4f /7    ,

• -yf • 2j(Z-x).

8/' Z²

E • J‘ • öba = f

VO

’x 5

• x(l—x)

l 2P

■ x(l—x)

dx

l³__5Z⁴ 10 P

2P ~ SP ~ IT³ + ~6P ~ 8P GP '¹~ 81³ 1 12l4 _ 16/4 n 20Z⁴

5 P 5 P 25 P 50 P 25 P

-U

24

Nach dem Satz von Maxwell ist E ■ J‘ ■ dab = E • J‘ ■ dba.

Berechnung der Durchbiegung E-J' d

Nach Mohr sind die E J‘- fachen Durchbiegungen Sma die Biegungsmomente des mit der Momentenfläche infolge Xa = —1 belasteten statisch unbestimmten Hauptsystems. Die Momentenfläche für den Zustand Xa = —1 ist in Fig. 10 b dargestellt. Die Berechnung der durch diese Belastung entstehenden Biegungsmomente kann schnell mit Hilfe der im Müller-Br. Graph. Stat. II, 3. Aufl. S. 425 zusammengestellten m-Hilfs-werte durchgeführt werden. Es ist

P

E • J • Öma = ClOp •    • — COp •    ’

l — x    (l — x)³ 2x 3x² x³

ma-

COd =

co'p —    2 vop) — cop; hierin    darf    coD    wegen der symmetrischen para-

OC'    OC^

bolischen Belastung    =    ----—    gesetzt    werden.

i    P

COp = —

(s. Fig. 10 b).

Demgemäß ergibt sich

1-P (2x    Sx²

EJ‘-d

x³'

nta

= — xl —

-+

2

P ' P) 8 7 x³    5 xl

12 1    24 P‘

S, ico

2x 2x³ x

Berechnung der Durchbiegungen EJ‘-6mb (Fig. lOd).

= 1; %2 ⁼⁼

X xi

CO p = —

/⁴’

c°d= —ja

io ioo

2    — COp

E-J'-d

x • l -f-

r³ 5 ce4 7 ~ 24 F

Demgemäß ergibt sich für Pm = 11.

xa=

; E J‘ hebt sich heraus.

^ma $bb    ^mb $ba

Öaa Öhb — $ib

64

xP —

16

96

X⁶

5 xl

192 l 24

24

x-l-p —

1 a;³    5 a;⁴

4 7    24 T²

24

X²

= x — 4,5 ——6

xs

— 2,5

a;⁴

— x ^1 — 4,5

x 6a;2 7 ⁺ P

jo

io

xb =

Ebenso ergibt sich

d'inb 4a    4na $ab

4a ⁽hb — ä-ab

5 xi

32

192 l ¹ 192

xP

x²-l

5 a;⁴

48

288

576 l

72

4a;3    o-^⁴

/²    ’ p

1,5 a;²    4a;³    4a;⁴

a;⁴

1,5 a;²

4 a:³

/²

1,5

a;²

l—

p— X<1 [4 a; 1,5 (1 + x)\ =    /2

a;²\    4a;³ l — a;    1,5 x² Z²

/V    l²“ ~Z"

a;‘-a;² F2,5a;

a:²

1,5 ; x‘ = l—x gesetzt.

Da diese Gleichung eine einfachere Gestaltung hat wie die für Xa aufgestellte Formel, erweist es sich als zweckmäßig, die JTj-Linie zu berechnen. Die Xa-Linie ist dann das Spiegelbild der Xb-Linie.

Man berechne daher für eine Eeihe von Werten x die zugehörigen Werte Xb und trage diese Werte senkrecht unter der jedesmaligen ]f Lastenstellung als Ordinaten auf. Diese Ordinaten sind dann Ordinaten der Einflußlinie für Xb.

1t

H J ^XcL | A

:r’=Z-ar-

Fig. 11.

Xh

5 /

Nach Seite 3, 1 ist /7₀ = —Jx

8/ \

Weiter ergibt sich

H=H₀-Ha-Xa-Hb-Xb.

2 a:³

a;⁴'

für Pm — 1 t.

8/"

2 a;³ i a;⁴' ■ P ~ ~ T³

s?r

4,5 a;²    6a;³    2,5 x4_

'4a;³    2,5 a;⁴

1,5 x

•r

5 / a;⁴

8 f[bP

12 a;³

15 x² (x²

2a;

4 •/ l \P l

15 x²

47 P

(l — x)²

15 a;²- x‘²

4 f- P ‘

Dadurch ist die Einflußlinie für H bestimmt.

Durch eine Momentengleichung in bezug auf die rechte Einspannung ergibt sich

1 {l-x) Xa Xb

X²

P—x²

l—

4,5 x² 6xs 2,5 x* 4a;³

X³

a;²

2 x²    2 .x³

xi

²’⁵/*

2 x² (l — x

l—

2x²~

1—

-[.(* + *)-

- (P + 2 Ix — 2 x² — Ix)

^— (P+lx— 2 a;²) =

—    l.i-[l{l—x) + 2x{l—x)) =

Damit ist auch die Einflußlinie für A gegeben. Die B-Linie'ist dann das Spiegelbild der A-Linie.

l—

/³

rtn * 2

%-(l + 2x).

Direkte Herleitung der //-. A- und U-Linie aus der Xa- und Xb-Linie.

Mit Hilfe der für Xa und Xb aufgestellten Formeln ergeben sich Einflußlinien von der in Fig. 12 b u. c dargestellten Form. Aus diesen Einflußlinien können nun ohne weiteres die H-, A-und B-Linie gefolgert werden, wie nachstehende Entwicklungen zeigen. Es ist

H=HQ-Ha-Xa-Hh-Xb.

-„ist.

Fig. 12.

12 a.

Da Ha = Ilb =

Xa=I/iruüe

so folgt

12 b.'

Man zeichne also die

Xb ~Linu>

12 c.

Ha ■ Fläche und ziehe 5

davon die (Xa + Xb)~ Fläche ab. Die hieraus sich ergebende Einflußfläche ist die

5

H- Fläche mit dem Multiplikator ia = g~^r-

Man erhält die (Xa + Xb)~Fläche, wenn man die J£a-Fläche und Xb- Fläche so aufeinander legt, daß die negativen Flächen sich addieren

FaBtotaftllnteru,

13 a.

13 b.

14 a.

14b.

14 c.

und von den positiven abgezogen werden können (Fig. 13a). In Fig. 13b sind die Ordinaten der (Xa + Xb) - Fläche von einer Horizontalen abgetragen. Diese Fläche ist von 8 f

der H₀—--Fläche abzuziehen, 5

so daß sich die in Fig. 14 a dargestellte Einflußfläche für II

5

mit dem Multiplikator /a =

8/

ergiebt. In Fig. 14 b sind die Ordinaten dieser Einflußfläche von einer Horizontalen abgetragen. Die Ordinaten der

Fig. 13.

di

^    (Xa +Xj,) =.Fläche

Fig. 14. H=Fläctie

ul

yl=w

JL

unttN

Fig. 15.

\/f

15a.

r*a

je

1-jc

xi\JL

15b.

15c.

*Z,*ie (Parabel)

r'"#f

A=Lirdje

//₀- ——Linie folgen der Gleichung

H°=wr

(s. S. 3, 1) = x

15d.

it

Hl

l li

2x³    £⁴\ 8 f

ll⁺J³)"5“

2x³ x⁴

'Id^T³'

Will man sich mit einer Annäherung begnügen, so darf man als

Ho-

g f    3 /    8 f 3

---Linie eine Parabel mit dem Pfeil -— — = — l wählen (siehe

5    16 f 5    10

S. 3, 2). Fig. 14 c.

Die M-Linie.

Nach Seite 13 ist

. I-X Xa

A —    '

Xb

.Y₆) = t[A^ + Ä--X₆)].

ist der Auflagerdruck eines mit der Last 1 t belasteten Balkens auf 2 Stützen von der Spannweite £, die A₀ -Linie folglich eine Gerade mit der Ordinate 1 unter dem linken Auflager; die A₀-l-Linie hat daher unter dem linken Auflager die Ordinate 1 • l. Die (Xa—Xb)-Linie ist in Fig. 15b dargestellt. In Fig. 15c sind die Ordi-naten dieser Einflußlinie von einer Horizontalen abgetragen. In Fig. 15d

Man zeichne daher die A₀ • l-Fläche und addiere dazu die — _X&)-Fläche. Die resultierende Fläche erhält den Multiplikator /.i — —.

1 (l—x)

A₀ —

ist die H-Linie mit (x — ~ in kleinerem Maßstabe dargestellt. Die B-

Linie ist das Spiegelbild der A-Linie.

Festlegung der Kämpferkräfte.

Ersetzt man den linken Kämpferdruck durch seine drei Seitenkräfte Xa, II und A und benutzt die Gleichgewichtsbedingung ,,-M für den Punkt (7 = 0“, so ergibt sich die Gleichung Ax — Hrjk — Xa = 0

A • X Xa Vk =    •

SC

Ab

Fig. 17.

Fig. 16.

Setzt man die auf Seite 12 und 13 für Xa, II und A ermittelten Werte in die Gleichung für rjk ein, so ergibt sich

4,5 x² 6a;³

3 a:²    2 a;³'

•x— x —

Vk =

p ²’B

Ml

f = Const.

15 hA    2 a;³ x²'

If\P~~P ⁺ TJ

Die Kämpferdrucklinie ist also eine Gerade im Abstand

f von der Bogensehne.

Es muß sich ferner verhalten

Vk+b _ A

(s. Fig. 16 und 17); daraus ti

H-b H- rik = A-x.

Andererseits ist A • x = H ■ rjk -f- Xa, wie aus der für iqk aufgestellten Gleichung hervorgeht. Es muß also sein H- b + H -7jk = H- qk + Xa;

x¹    6 a;³

x — 4,5

x⁴

//

15

15 a;

•/=-

15 a;

•/;

oder

1 Sf

Daraus ergibt sich folgende einfache Konstruktion von c:

//////////,

Kr

c’

§f

7/77/,.

~ 777/77r/77^^T    ~

^ ~~~~

%f

b’

7i

-»■+

7-jo

Fig. 18.

Man zeichne zunächst 3 Gerade im Abstande f f, -f f und f von der Bogensehne. Alsdann ziehe man de und durch g eine Parallele zu (Ze, die die linke Einspannungsvertikale in h schneidet. Die Verbindungslinie h—i gibt dann die Richtungslinie von K[ an.

Der Beweis für die Richtigkeit dieser einfachen Konstruktion kann leicht mit Hilfe der beiden durch Umränderung gekennzeichneten ähnlichen Dreiecke geführt werden; denn in diesen muß sich verhalten:

■f-

15 x

Außerdem ist aus der Figur zu ersehen, daß b=—+ c ist.

Analog ergibt sich zur Bestimmung des Angriffspunktes und der Richtung von Kr

Xb

THf . l — x'

²    4 l    &

3t + r₅T^7 oierj-

Die Konstruktion ist durch rote Linien angedeutet.

Durch Zerlegung von P nach den Richtungen Ki und Kr ergehen sich die Größen von K und Kr. Damit sind auch die Auflagerdrücke A und B sowie der Horizontalschub H bestimmt. Mit Hilfe dieser Konstruktion ist es leicht, die

IL

Kr

Einflußlinieii für Kernpunktmomente

zu bestimmen. Man setze Pm = 1 t. Steht diese Last rechts vom Momentendrehpunkt (es handele sich um die Einflußlinie für den Kernpunkt 0), so zerlege man senkrecht über 0 den nach dem vorhin beschriebenen Verfahren bestimmten Kämpferdruck Ki nach IIt und A und bestimme =    (Fig. 20a).

Der Wert Hx kann auch aus der bereits bekannten H- Linie entnommen werden, so daß nur die Bestimmung von erforderlich ist. Steht die Last 1 t links vom Drehpunkt 0 (Fig. 20 d), so zerlege man Kr über 0 nach H., und B bezw. bestimme t\₂ und berechne M₀² — H₂ ■ i]₂.

Senkrecht unter der jedesmaligen    Lasten Stellung

trage man die entsprechenden Werte II ■ rj als Ordinaten ab. Durch Verbindung der Endpunkte der Ordinaten entsteht die Einflußlinie für M₀. Dabei ist zu beachten, daß, falls H oberhalb des Drehpunktes wirkt, M₀ positiv wird; greift H unterhalb von 0 an, so wird M0 negati Steht z. B. die ✓

Last t im Punkte 3,    /

so ergiebt sich

M₀ ³ = Hs • 7]$

(Fig. 2Oe).

Fig. 19.

Fig. 20.

20 a.

Ar

H=Linie

20 b.

20 c.

tjr£

jt)a

'jtC

> ¹⁻¹

r2

K,

4-

it"

Ar

20 d.

Kr

20 e.

Einflußliiiien für Querkräfte.

Der Neigungswinkel der Tangente an die Schnittstelle, für welche die Querkraft berechnet werden soll, sei = cp. Steht die Last 1 t rechts

vom Schnitt (Fig. 21a), so berechne man die Querkraft vom links abgetrennten Teil aus durch Projektion von II und A auf die Richtung des Krümmungsradius an der Schnittstelle. Es ergibt sich Q — A cos cp — H sin cp

^L-h)

sin cp ) = sin cp (A ctg cp — H). Für alle Lastenstellungen H rechts vom Schnitt ist also die (H ctg cp — II) - Fläche Einflußfläche mit dem Multiplikator g = sin cp.

Steht die Last 1 t links vom Schnitt, so berechne man die Querkraft vom rechts abgetrennten Teil aus. Es wird

== — H sin cp — B cos cp

cos cp

—--n

sm cp

= sin cp (— B ctg cp — H). Für alle Lasten links vom Schnitt ist also die (—B ctg cp — II)- Fläche Einflußfläche mit dem Multiplikator g — sin cp. Demgemäß entsteht die in Fig. 21c angedeutete Q-Fläche.

Liegt die Schnittstelle zwischen 2 Querträgern, so ist zu beachten, daß die Einflußlinie zwischen den Querträgern geradlinig verläuft (durch rote Linien angedeutet).

Fig. 21.

Fr

X„/ A

’■ 21a.

/A

FF

= sin cp [A

Jtl

Fr

21b.

(-Bctyp\h

■n

21c.

/<

¹Ff

J-ctyf

’ju =sm (f

(A rfy (/> -II) =Fläche

sin cp ^

Der Einfluß des Eigengewichts.

Das Eigengewicht betrage g pro Längeneinheit.

Xag — X.bg = g • F. Hierin bedeutet F den Flächeninhalt der Xa- bezw. X.b - Fläche = ft] ■ dx. Hierin ist nach Seite 12

7*4

-2,5 4

Es ist dann

7] = X-4,5 '-y- + 6

i

xs

4,5

)dx~i

col 'S

xi

Z*"²’⁵

•    = 0 ;• daher Xag = Xbg = g • F = 0.

Hg ⁼⁼ Hog Ha ’ Hb * -Xj» — Hog.

F=

6 Z⁴- _ 2,5 ' p.' 4

Nach Seite 3, 1 lautet die Gleichung für H₀:

v~üf\x

2x³

x⁴'

Hg = Hog =

g-pdx=wfXx

2x³

dx

co 'S

'S

P'

gP

*f

A„ =

Dieselben Resultate gelten für irgend eine andere sich über die ganze Spannweite erstreckende gleichmäßig verteilte Belastung, z. B. Menschengedränge.

Das Biegungsmoment für irgend einen Querschnitt ergibt sich infolge voller gleichmäßig verteilter Belastung = 0, da die Stützlinie mit der Bogenachse zusammenfällt; denn

gx² gP ~2 8f ’V

Sl.x

2 *

•x    gP

Y(l-X)~k'y

— i\f¹_—n

Mx    8 f J-

Mx‘ ist darin gleich dem Biegungsmoment für die Stelle x eines einfachen Balkens von der Spannweite l. Die Mx‘ - Fläche ist daher eine

r-y-Fläche ist ebenfalls eine Parabel

APxg —

Parabel mit dem Pfeil die ^

8/

mit dem Pfeil

q ^ 2    q £ 2

• f — Beide Flächen heben sich also auf. ⁷ 8

Der Einfluß auf irgend ein - Kernmoment M₀ ist alsdann

7°\

7u\

Mog = -

gP

9 Sf

•Voi

auf ein Kernmoment Mu

Ml²

sf

«f

gl²

Aptg — “!~ ₀ / ' Vu-

Aff-9T !

Fig. 22.

Der Einfluß des Eigengewichts auf die Querkräfte ist = 0, da die Stützlinie mit der Bogenachse zusammenfällt.

Einfluß schräg gerichteter Kräfte.

Für den wenn auch seltenen Fall, daß der beiderseits eingespannte

Bogen im Hallenbau Verwendung findet, ist noch der Einfluß schräger Windkräfte von Interesse. Die Werte d

und <5mb haben nunmehr eine andere Deutung wie bisher. dma ist die Verschiebung eines Punktes m im Sinne einer in m angreifenden schrägen Last Pm infolge Xa — — 1. Entsprechend muß dmi gedeutet werden. Diese Verschiebungen können aus den Biegungslinien für Xa = — 1 bezw. X[, = — 1 mit Hilfe von Normalenzügen gefunden werden (Müller-Breslau, Graph. Stat. II. 2, Seite 485 u. 527). Es möge wieder mit den E J‘-fachen Verschiebungen

II!,'

gerechnet werden. Die Biegungslinie für das mit Xa = — 1 belastete statisch unbestimmte Hauptsystem ist bestimmt aus der Gleichung

_ 1 ₇

ma —    ' v

E-J'd

7 x³ 5 a:⁴

⁺ 12J~2i¥

(S. 11).

Für die Berechnung der schrägen Verschiebungen E-J

M^+9)M0 = + A-x0 — H-p0—p-b(x0 — + C'-g

Verlag von WILHELM ERNST & SOHN, Berlin Wog

leicht durch Pro-

ma

Für die Berechnung der schrägen Verschiebungen E-J‘dina ist zu beachten, daß der aus Stäben von unendlich kleiner Länge ds bestehende Stabzug durch einen Stabzug mit Stäben von endlicher Länge (etwa entsprechend den Feld weiten) ersetzt werden darf. Durch Projizieren der YertikalVerschiebungen auf die zu den Stäben 01, 12, 2 m usw. senkrechten Strecken 0'1‘, 1'2', 2‘ m‘ usw. erhält man dann den Verschiebungsplan, aus welchem die Yerschiebungen EJ‘d

,2

\f

T~

Bihgungstove für den qusfmklXg-i

i I I    L—

’/ngp/för/gpr Vpr.s'r •fiiebung.sjila/i

±r

Z'ß"

•!

__-r

*2’

Pu

Fig. 23.

jektion der Yerschiebungen Om‘ auf die Kraftrichtungen Pm gefunden werden können Dreht man die Kräfte Pm um 90° so, daß sie in den Punkten m‘ angreifen, so können die Werte EJ‘■ Pm■ önm als statische Momente der Kräfte Pm in bezug auf den Pol des Verschiebungsplanes (0) gedeutet werden. Dabei sind die Momente der über dem positiven Teil der Biegungslinie wirkenden Kräfte als positiv, die übrigen als negativ anzusehen. Es ergiebt sich somit

E • J‘ • 2PmÖma = (Pm Öma -(- Py Öla -)- P₂ d₂a — P% ^3 a) • PJ‘ = Pa ' fja-Ra ist die Resultante der um 90° gedrehten Kräfte P und kann mit Hilfe eines Seilpolygons ermittelt werden, wodurch auch der Hebelarm 7ja gegeben ist.

Ebenso ergiebt sich E J‘ 2Pmdmb aus dem Kräftezustand Xi, = — 1 (Fig. 24). Es wird

E■ J‘ • XPmdmb = (—Pj dlb— P₂ ö2b — Pmdmb — P> d3 b) E- J¹ = — Pb ■ Tjb.

Nach Seite 9 ist

- Pm <\na Öbb Pm <5mb • Öha E- J‘

Ra ‘    '

— (— Rb-rjb)-—

daaSbb-Öab²

0 R'tx ' Tja    3 Rb * ^]b

EJ

1 12 T 2 ¹

Xb

2Pmdmböaa — ZPmdma-dab E J¹

ÖaaÖbb — $ab²

EP

tV

3 Ra^a

jn

\2

W***-

/?]

■\

_i__i__

?—}-—1-- + --|-t—f-

I Hirgltngstrrhe für '^ert Zirst/irui Ap- / I

X-—-XL-- ■±--4---f--

Zugehöriger

Verschiebivigsjilcm

2’.

s,

--

1-

—-t-

---U’

Fig. 24.

Damit sind sämtliche übrigen Reaktionen gegeben. Es ist nach Seite 14

-X«-X₆

A = A₀-{

B = B₀ +

Xb-Xa

Aq —

Pi-n -{- P₂ -r₂ + Pm-rm + P₃ -rs

Bo

Pi • r\ + P2 • r‘₂ + Pm • r‘m + P₃ • r‘₃

Ferner ist II = H₀ — IIa ■ Xa — Hb • Xb, Avorin

~Pm-dmh

#0 =

Öhh

dmh ist die Verschiebung eines Punktes m im Sinne der in m angreifenden Kraft Pm infolge des in Fig. 26 dargestellten Belastungs-

zustandes, 6^ die Verschiebung des Punktes h im Sinne der Kraft 11=—1 infolge H=—1. Diese Verschiebungen können analog den

Verschiebungen dma und dmb aus der Biegungslinie infolge H = — 1 mit Hilfe eines Normalenzuges gefunden werden. Sie sind alle negativ, da der Kraftsinn dem Verschiebungs-r sinn entgegen gerichtet ist. Die Biegungslinie infolge H = — 1 ist eine Parabel (s. auch S. 3, 2), deren Pfeil beliebig gewählt werden darf, da H₀ von dem

•*}

V- &■ Xr'

___4M

Fig. 25.

abhängig ist. Es ist demnach Ohh

Z Pm Öynh ⁼⁼ Rh * fyi Und H{) —

Rh ist die mit Hilfe eines Seilpolygons gefundene Resultante der um 90° gedrehten, in den Punkten m‘ angreifenden Kräfte Pm, y]h der Hebelarm der Resultante für den Pol des Verschiebungsplanes.

Verhältnis

Rh^h

Öhh,

\p

■JA-,

\\

dh-h

ye

Fig. 26.

Damit ist H gegeben.

H‘ ergibt sich alsdann aus der Bedingung: „Summe der Horizontalkomponenten = 0“ (Fig. 25).

H‘ = II + I\ cos at + P₂ cos a₂ + Pm cos am -f P₃ cos a₃.

Für die Zeichnung der Stützlinie möge angenommen werden, daß sich Xa positiv, Xf, negativ ergeben habe.

Zerlegt man Ki im Schnittpunkt mit der Vertikalen durch die linke Einspannung in A und II und bringt II im Einspannungspunkt zwei-

mal in entgegengesetzter Richtung an, so entsteht ein Kräftepaar vom Moment H • c, das = Xa sein muß. Daraus c =

Xa

sr

IR

's

II

X/i

i.

N’

c'%’    .

ci

A:\

Vh

lA

Kr

Fig. 27.

\P₃

Damit ist der Angriffspunkt von Zv,; bestimmt, worauf die Stützlinie gezeichnet werden kann. Als Genauigkeitskontrolle kann man die Bedingung benutzen, daß die Resultante aus Rm und P₃ (Kr) die rechte Einspannungsvertikale im

Xb

Abstand c‘ — von der Einspannung schneiden muß.

Nach Zeichnung der Stützlinie ergiebt sich das Moment für irgend einen Kernpunkt 0 = — Rm ■ rj₀.

Die Querkraft Q für die Schnittstelle wird ermittelt durch Zerlegung von Rm in eine Komponente Rm cos a parallel zur Tangente an die Schnittstelle und in eine Komponente senkrecht dazu — Rm sin a. Demgemäß wird Q = — Rm sin n.

\u

Fig. 28.

Einfluß von Bremskräften.

Die Übertragung der Bremskraft C erfolge im Scheitel des Bogens und zwar, wie es praktisch der Fall sein wird, exzentrisch zur Bogenachse. Bringt man im Scheitelachspunkt die Kraft C noch zweimal in entgegengesetzter Richtung an (wodurch am Gleichgewichtszustand nichts geändert wird, da die Kräfte sich aufheben), so wirkt auf den Scheitel-cpierschnitt ein Kräftepaar vom Moment li = C-e und eine Einzelkraft C. Der Einfluß der beiden Kraftwirkungen möge getrennt berechnet werden.

~N

/U,=C-e

Ho

Fig. 31.

ITo

C-e

Fig. 29.

)y

f-

ju -C-e

"A

C-e

~7t\

Ce\

Fig. 30.

Fig. 32.

Zustand I. Es wirke nur das Moment y = C-e (Fig. 30). Zwischen den statisch unbestimmten Größen bestehen alsdann die

Gleichungen

Da die Werte E-J‘ö

E ■ J‘ (XJm + Xböab) = fM₀ Madx E-'P (Xadba + X), dbb) —f M₀ Mbdx.

E-J‘dbb und E-J‘ öba bereits berechnet

aai

sind, sind nur noch die Integrale zu ermitteln. Die Momente M₀ können aus

fM'ydx fy²dx

Darin ist M‘ das Biegungsmoment für irgend eine Schnittstelle, das durch Belastung eines einfachen Balkens mit dem Moment y= C-e ent-

C-e

dem Zustand X — 0 berechnet werden (Fig. 31). Es ist H₀ =

steht (Fig. 32). Es ist A‘ = B‘ —

Für irgend einen Querschnitt links vom Scheitel ist M‘ — — A¹ ■ x •x\ für einen Querschnitt rechts vom Scheitel ist M‘ = + B‘ • x ■

C-e

C-e

• x: deshalb

td

C-e

Ho

-x-ydx +J*

C-e

-x-ydx

J y²dx

0.

Es wirken infolge Belastung des statisch unbestimmten Hauptsystems mit dem Moment C-e allein also nur vertikale Auflagerreaktionen Ä₀ = B₀

Das Moment für irgend einen Querschnitt links vom Scheitel ist

• x, für den symmetrisch

gelegenen Querschnitt rechts vom

Scheitel = -f

C-e

C-e

C-e

Ag

C-e

,Bo

C-e 2 '

Fig. 33.

Das Moment Ma für irgend einen Quersclinitt links vom Scheitel ist 5 i x

¹ l'X 8f‘y für einen Querschnitt rechts vom Scheitel wird

• 2c(/ — x);

= —__—

a l 8 f

5    - X(l — x)

•y =

Ba.

'Aa=z

\z>a=Y

JC

/ M₀ Madx —J

Daher ergiebt sich

Fig. 34.

‘Oe

X l~J-~X(l~X)

‘^C-e x¹

C-e

•xdx-\- 2 /

Jo

C-e

C-e

X-\i + 2^

2 o ⁺ P

X'

— Y~f C-e-l — yVp ■ i-Das Moment Mb für irgend einen Querschnitt links vom Scheitel .ist

⁼ Tx~Tfy

Bh

l 2/2 für irgend einen Querschnitt rechts vom Scheitel ergiebt sich

\Ab={

Fig. 35.

Mb = l — \

daher wird

IM₀ Mbdx = I ■'    do

i C-e

Wy

fx 5    />*

— •£ y—— .r(t —.x) dx-\-J ¹

rx

C-e

-l

iC-e

-x-2p*

Jo

■e x¹

-r= +

C-e-l C-e-l

•x 1—t — 7rn>x(l — x) dx i

1 ₇

jH-l.

12““ ⁺

LO !

Zwischen den statisch unbestimmten Größen bestehen die Gleichungen JE• J‘ • (Xadaa -f- Xbdab) Madx — — ^4 E • l JE- J‘ ■ (Aadja -f- Xb^bb) =fJM₀Mbdx — -f- -g-V E * C Löst man die beiden Gleichungen nach Xa und Xb auf, so ergiebt sich

-Xa

l' dbb    • E dba

^aa^fcö-dab²

= -1 |U = — {C-e.

tV

Xb =

+jjr li -E daa — (—C‘4 f-i ■ l) dab

— d ab ²

= +4-f⁽= + {C'e.

Es ergiebt sich Xa

Xb

(/

io

Zustand II. Es wirke nur die im Bogenscheitel angreifende

Kraft C.

C-dcadbb — C-dcbdba

daadbb — dab2 C • d’cI, Öaa — C ■ Öca dab

daa dbb dab-

TUrhturu7 von

2,

Fig. 36.

.i-

VerscTtielnmgs/ilan XurXa = -7

p¹—dCaM~X

jr'

! \IXT i

4-

h-

6’

VerscTiiebu/u/sfuan ftirJT^-1 .h—Eit-jX

.rf

--

-1----1

J--- J—7

.r

IvF

I I / i ] /

xx

f/:

--

7'

=#

Hierin ist dm die Verschiebung des Angriffspunktes c der Kraft C in der Richtung von C infolge Xa=—1, dcb infolge von Xb =— 1. Diese Verschiebungen können mit Hilfe von Normalenzügen für die Zustände Xa =— 1 und Xb = —1 gefunden werden (Fig. 36).

Es wird wegen der Symmetrie öca = dc/,, und zwar wird dca positiv und dcb negativ, da die Kraft C der Verschiebung dca gleich, der Verschiebung öCb aber entgegengesetzt gerichtet ist. Es ergiebt sich somit -y _+ C- öea / — (— C• dCb) (—^4-1)_9 C dca — 3 C 0^    6 C- öca

X b — Xa.

Die Gesamtwerte Xa und Xb ergeben sich durch Addie-rung der Werte für die Einzelzustände. Daher wird

Xa---i C-e-i

(negativ)

6 C-Öca

ec-dca

(positiv).

Damit sind sämtliche übrigen statischen Größen bestimmt. Durch eine Momentengleichung in bezug auf die rechte Einspannung ergibt sich

C (e f) , Xa + Xb

A=

B.

H'

Für Xa und Xb sind hierin die absoluten Werte einzusetzen.

II= H₀ — Ha Xa— Hb ■ Xb

= H₀-i

Fig. 37.

-\C-e-\

QC-dca

"\eC

£f{iC-e

GC-dca'

= Ho-

H₍₎ ist die Horizontalkomponente des linken Kämpferdrucks des statisch unbestimmten Hauptsystems und werde berechnet aus 2 Einzelzuständen. Es wirke zunächst nur das Kräftepaar vom Moment /.t. Für diesen Zustand ergibt sich der Horizontalschub = 0 (s. Seite 25). Dann wirke nur die im Bogenscheitel angreifende Kraft C\ wodurch

Ho

_£

•e

=Ce

£.

Hc=-

Fig. 38.

und Hc‘ = + -

entsteht, wie aus der Symmetrie folgt. Daher ist der gesamte Horizontalschub

H=0 + Hc=-f-, H = Q + Hc‘=+t

Nunmehr können Biegungs- bezw. Kernpunktmomente und Querkräfte für jeden Querschnitt berechnet werden. Z. B. M₀ = Xa + H■ y₀ — A • x,

wobei für Xa, H und A die absoluten Werte einzusetzen sind.

,0

XaA

Xb

Fig. 39.

Q = H sin cp — A cos cp , (für einen Querschnitt links *—    vom Scheitel)

Q — H‘ sin cp — B cos cp (für einen Querschnitt rechts vom Scheitel).

Einfluß der Temperaturänderimg.

Es werde gleichmäßige Erwärmung bezw. Abkühlung des Bogens um + t° bezw. — t° angenommen (Unterschied zwischen der Aufstellungstemperatur und größter Temperaturerhöhung bezw. -Erniedrigung). Zwischen den statisch unbestimmten Größen Xat und Xbt bestehen sodann die Gleichungen

Xit dab + dat) E-J‘

0 = (— Xat öaa

0 = ( Xat Öha — Xbt dbb + dfit) E-J‘.

Aus Symmetriegründen folgt, daß Xat —Xbt und öat —    ,

daher (Xat öm + Xat öab) E-J' = darE■ J‘

E-J'-dat

Xat =

E-J‘-dat E J‘ -dat

E • J' (daa -j- dab)

dat=JNaetds.

—

8    24

12

Yom rechts abgetrennten Teil aus berechnet ergibt sich für Teil I

---

Ea=~

1 .    5

— sin cp— — cos <p\

t    Oj

* y

8? (/lXa—7

"I

£ für Teil II wird (von links aus XI berechnet)

Fig. 40.

ds — q • dcp\ q — Krümmungsradius an der Schnittstelle.

.~r— (s. Hütte I, 20. Auß. S. 105) sin³ %

x = 90 — <p, daher q —

sin³ (90 — cp) cos³ cp Die Scheitelgleichung der Parabel lautet = 2 p • für — — wird £ — f.

u

Daher

8/“

Setzt man diesen Wert in die Gleichung

für q ein, so ergibt sich q

8 f ■ cos³ cp'

E-J‘-dat=E-

etl²

p« /l    5

+ EJ‘l [Tskl,f’-8fC0S

<p)

8/'cos³ cp StP

8/'cos³ cp

dcp

dcp.

Nach Hütte I, 20. Aufl. S. 78 ist a sin¹ cp cos³ cp

/>«

dcp= / sin¹ cp cos⁻³cpdcp J O

Y—Jsin¹ cp cos⁻³+²<pd(p =

sin¹ + ¹<jp cos—3+¹ cp

sin² cp

3 —

Ferner ist ’a dcp cos- cp

COS² 09

tg²9?    = -tg-*a.

0 "

E-J‘-dat

— tg cp — tg a. Somit ergibt sich

5 stPE-J1 87    8 f

5 stPEJ‘tga

stPEJ‘ 1 8 f-l 5 stPEJ‘

■ 2 tg² a

tg «4

stPEJ‘ 1

8 f-l 2

tg² a

tg«

R. •

8 f Bf E-J'dat 15stlEJ‘

32

tg«

12

2 f 4 f

tga r⁼T;

daher wird

)f

hX

15 st EJ‘

Xbt (bei Tempe-

raturerhöhung).

Fig. 41.

Bei Temperaturerniedrigung wird

15 stEJ‘

^xat — Ä-bt — 1 g

u

Bei Temperaturerhöhung wird ferner 15 sEtJ‘

Hot

(s. Seite 3, 3), daher

Ht = Hot-Ha-:Kat 15 sEtJ‘

+ 2-

Hb-Xbt

5 15 sEtJ‘ 45 sEtJ‘

8 f 2 f Bei Temperaturerniedrigung wird

45 sEtJ¹

Ht

4 p ‘

At und Bt werden = 0, wie leicht durch Momentengleichungen in bezug auf die Einspannungen erkannt werden kann.

BO

Das größte Zusatzmoment für den Scheitelquerschnitt ist daher

Mt — Hrf+X« 15 sEtJ‘

■f+~2

15 e t EJ‘

(bei Temperaturerhöhung).

\f

Xu

Jk

Bei Temperaturerniedrigung wird 15 £EtJ‘

Fig. 42.

\Bt=°

• Die Querkraft

für irgend eine Schnittstelle ist = + Ht sin <jP-

B. Der einerseits eingespannte, andererseits gelenkig gelagerte vollwandige zweifach statisch unbestimmte Bogen.

Der durch irgend eine Kraft Prn hervorgerufene Kämpferdruck Kr werde im Punkte r noch zweimal in entgegengesetzter Kichtung angebracht. Es entsteht dann ein Kräftepaar vom Moment Kr • und eine in r angreifende Einzelnst Kr, die nach H und B zerlegt werde. Das Moment des Kräftepaars werde als statisch unbestimmte Größe angebracht.

Ern

77

77

oc

Jy

Fig. 43.

Das statisch unbestimmte Hauptsystem ist alsdann ein Zweigelenkbogen. Die durch Belastung des Hauptsystems entstehenden statischen Größen mögen wieder durch den Index o gekennzeichnet werden. Es läßt sich dann irgend eine statische Größe Y durch die Gleichung Y = Y₀— Ya ■ Xa ausdrücken. Hierin ist Ya der Wert, den Y annimmt, wenn das statisch unbestimmte Hauptsystem mit Xa == — 1 belastet wird. Die Werte Y0 und Ya dürfen als bekannt vorausgesetzt werden. Unter Annahme starrer Widerlager lautet dann die Elastizitätsgleichung

0 — Bm dma Xa d

Pm $ma

aa

Xa

Öaa

I. J cos ff sei veränderlich, die Bogenform beliebig.

Bei Anwendung des Schönliöferschen Verfahrens mit konstanten Bogengrößen ergiebt sich

A 4T | v n Oma ~T" ®ma

-E-k (S. 7, 8 und 9).

Setzt man Pm = 1 t, so erhält man für die Berechnung der Ea-Linie die Formel

x.-

E-k

(<C+<C)= c-t

ma•

Die Xa-Linie ist daher gleich der C- öma-Linie. Bei Vernachlässigung der Längskräfte ergiebt sich für C E- Je

Fig. 44. 1t

44 a.

der einfache Wert

_ sM — Oma-

^a²

und dma wird

Xa=7jtme

44 b.

II. Vereinfachungen.

Es empfiehlt sich, im ersten Rechnungsgang die vereinfachende Annahme J cos ff = Const. zu machen. Ferner möge der Einfluß der Längskräfte auf die Formänderungen vernachlässigt werden, eine bei hohem Bogenpfeil stets zulässige Annahme. Der Bogen sei eine Parabel.

Die Verschiebungen E-J¹ - dma ergeben sich alsdann als die Momente Mxa des mit der Ma-Fläche belasteten Balkens von der Spannweite l.

Unter Benutzung der (o-Werte erhält man Mxa = E-J‘-ö

/y .7 2

V

2-3

Fig. 45.

— wd •

45 a.

IjL

ma

45b.

Ma ^Fläche

- Cüp“ -x₂ -

ry    /y*3

w    tAs

w! 'S

fflTr

(x)p> —

cüp“ = 2 cüp ■—- cüp 5

X X4 Wp==___

^'1 ⁼⁼ 1- j

45 c.

00 I Ol

Ci>! 'To

Mxa — E • J‘ Öma —

1 ₇ 1

= — 7— Z • X -f- —

X³'

:»

— XP

21

CM

21

5 x4 4 Z ~ 24 Z²'

rH |00

Ferner ist E-J‘öaa =

l (s. S. 10). Daher wird

Xa = Pm •

n E.J‘daa Pm /6.x³

X⁴

'x³    5 x⁴ x'

4]2— 24 I³ — 24

•P

m*

Z²

Für Pm = 1 t wird Xa = —

x⁴

— 5 — — x 1.

Z³

-Xa

(5 x² — Z • x — Z²).

Diese Gleichung läßt sich auf die Form bringen x (Z— x)

SP

Damit ist die Einflußlinie für Xa bestimmt. Sie hat die in Fig. 45 c dargestellte Form. Alle übrigen Einflußlinien können von der Xa-Linie abgeleitet werden.

Emflußlinien für II, B und A.

1. Einflußlinie für H.

Es ist H= H₀ — Ha- Xa = IIq —

•X« = -rH₀^-Xa .

r.

Xrlüue

8/'

xfr

'&£-H₀=Lvue

xfr

Man zeichne die H₀ •

5

Fläche und ziehe davon die Xa-Fläche ab. Die H₀ - Linie ist genau genug eine Parabel vom Pfeil 8 f

; die P₀---Linie hat daher 5

3^ 8f_    3

16 f' 5    10

resultierende Einflußfläche hat den

16 f

den Pfeil

= r Z.

Die

Jf=LirtP

Fig. 46.

Multiplikator fx —

2. Einflußlinie für B.

Xa

+    Xa).

Zu der B₀-l-Fläche ist daher noch die Xa-Fläche hinzuzuaddieren. Der Multiplikator der Einflußfläche ist = y (Fig. 47 b).

v

P-X

3. Einflußlinie für A.

(Fig. 47 c).

Von der A₀- /-Fläche ist daher die ,Aa-Fläche abzuziehen. Der Multiplikator der Einflußfläche ist =

Die genaue Formel für H ergiebt sich aus der Gleichung H — H₀ — Ha • Xa, worin H₀ =

2 a:³    a:⁴

l*

8/'

i-H !co

2 a?³    a;⁴'

8/V' P ⁺ P, '6 a:³    5 a:⁴

(Seite 3,1)

CO

5 /4

“W*

4a:³ , 8 a:⁴'

a:³

6/v p

2a;³    2a:⁴\

~P~ ⁺ ~P)

Qf

X 1 — xr-

zx⁶

1 —-r-

5 x(l-x)

2 a:²"

5 x-x>2

(I -f- 2 a;).

Pm Fig. 47.

Desgleichen ergiebt sich

1 • x

47 a.

Xa

x 1 /6a:³    5 a:⁴

⁼ J⁺ 31 [~P 2 x 2x³

⁼ 3 T ⁺ ~P~

JC

--x

47 b. >

io loo

¥-1

+ /1

1(1—x) Xa

1 (l—x)

03 | CO

~i« ~! 'S. _ +

DO OJ| Ol

'S S H

r-l |C0 IO ICO

ft l

—II -

^>K

Festlegung der Kämpferkräfte.

Bringt man in der Einspannung den Kämpferdruck Kr noch zweimal in entgegengesetzter Kichtung an und zerlegt Kr in zwei Seitenkomponenten H und B, so muß das Moment des Kräftepaares H-a — Xa

sein, d. h. a — -=£ • Ferner ist = x ■ tg a und da nach Zerlegung

Daraus läßt sich folgende einfache Konstruktion von herleiten: Man zeichne die M-Linie und H-Linie in die Figur ein. Die M-Linie kann gleichzeitig als B-Linie aufgefaßt werden, indem die Ordinaten unterhalb der A -Linie die Werte A, oberhalb der A-Linie die Werte B

Fig. 48.    ___

48a.

-A

von Ke in A und H sich tg a —

H

yk Ä_ m

also sein

ergibt, wird ^ = x •

/.

Eb

11

'P-

/<

H'

OL

II

'S*

)}[

“7-¹?

's

ifXijde

infolge der Last 1 t darstellen. Durch die A-Linie werden dann auf der Richtungslinie der Last 11 die Auflagerdrücke A und B abgeschnitten, durch die //-Linie der Horizontalschub H. Dann schlage man H aus der H- Linie in die Horizontale herum und zeichne die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten A und H. Zu dieser Hypotenuse zeichne man durch das Auflagergelenk eine Parallele, die mit der Richtung von Ki zusammenfällt. Durch diese Parallele und die Bogensehne wird dann auf der Last 1 t die Strecke Tß abgeschnitten;

Fig. 48 b.

denn es verhält sich nunmehr — =

y\k — cl_B

l — x A

Ebenso ist tg ß

Man ermittele daher die Hypotenuse des recht-—\ winkligen Dreiecks mit den Katheten B und H und

_____i zeichne vom Schnittpunkt des linken Kämpferdrucks

U—

mit der Last 1 t eine Parallele zu der Hypotenuse, die dann die Richtung des rechten Kämpferdrucks angibt.

Wiederholt man diese Konstruktion für eine Reihe von Lastenstellungen und verbindet die Schnittpunkte der Kämpferdrücke miteinander, so erhält man die Kämpferdrucklinie. Die rechten Kämpferdrücke umhüllen eine Kurve, die Kämpferdruckumhüllungslinie. Durch diese und

die Kämpferdrucklinie sind die Richtungen der Kämpferdrücke gegeben. Der linke Kämpferdruck geht durch das Auflagergelenk, der rechte Kämpferdruck muß die Kämpferdruckumhüllungslinie tangieren. Die Last und die Kämpferdrücke müssen sich auf der Kämpferdrucklinie schneiden. Mit Hilfe dieser Konstruktion lassen sich leicht die

Einttußlinien für Momente bezw. Kernpunktmomente

ermitteln.

1. Die Last 1 t stehe rechts vom Drehpunkt.

Man konstruiere die Richtung von Ki durch Verbindung des Punktes

Fig. 49.

1t

px mit dem Auflagergelenk, zerlege K/ senkrecht über dem Momentendrehpunkt in A und H und bestimme M₀X = Hx y₀x, wobei jffj senkrecht unter der Last 1 t aus der

H- Linie abgegriffen werden kann, die Zerlegung von Ki also gar nicht erst durchgeführt zu werden braucht. Diesen Wert H₁- y₀x trage man senkrecht unter der Last 1 t als Ordinate auf (Fig. 49 a).

r,

i/r,

Torf'.

Kr

49 a.

fMIimL

2. Die Last 1 t stehe links vom Drehpunkt.

(Fig. 49 b.)

49b.

ytym

Kr

Man bestimme die Richtung von Kr durch Zeichnung einer Tangente an die Kämpferdruckum-hüllungslinie vom Punkte p₂ aus, zerlege Kr senk- y recht über dem Drehpunkt in II₂ und B und    W

bestimme M₀² = H.₂ ■ y₀²,

wobei H₂ senkrecht unter der Last aus der H- Linie ermittelt wird. Diesen Wert trage man unter der Last 11 als Ordinate auf. Wiederholt man diese Konstruktion für eine Reihe von Lastenstellungen und verbindet die Endpunkte der Ordinaten, so entsteht die Einflußlinie für M₀.

Die oben um den Drehpunkt herumdrehenden Momente zählen dabei als positiv, die unten herumdrehenden als negativ. Der Nullpunkt der Einflußlinie liegt unter dem Punkte E, dem Schnittpunkt der Kämpferdrucklinie mit dem durch den Drehpunkt gezeichneten Kämpferdruck Ki.

3*

Steht nämlich die Last im Punkte E, so geht der durch die Last hervorgerufene Kämpferdruck Ki durch den Drehpunkt, erzeugt also M₀ = 0.

Eine andere Herleitung der Momenteneinflußlinien ermöglicht die Benutzung der Formel

Jf- M₀ - Ma ■ Xa.

So ist z. B.

Mu = Mou — Mau ■ Xa. Man zeichne die Mou-Fläche und ziehe davon ab die Mau • Xa-Fläche (siehe Fig. 50c bis 50g).

Die Mqu ~ Fläche (Einflußfläche für das Moment s Mu des statisch unbestimmten Hauptsystems) ist gegeben durch die Einflußfläche für das Moment Mu eines einfachen Balkens und die parabelförmige Einfluß-

Fig. 50.

-f- X

fr

1t

Vu

50 a.

'B

l-x

II

50 b.

sr

"L

>/-x    |

50 c.

-^ou=    _

Lime fläche mit dem Pfeil y^rj- • Um

die von der Balkeneinflußfläche in Abzug zu bringen

3/

leijiositivem

rrrrnmmmm !Tn>».

ist

PH^IU 11 HH EEg**

50 d.

Mu=Linie

50 e.

{Mqu - Mu‘ //q • i/u)

(s. Fig. 50 c).

MmX

l'X 8 fy"

(s. Fig. 50 b).

50 f.

50 g.

Die Mu - Linie, deren Form davon abhängt, ob positiv oder negativ wird, ist in Fig. 50e bezw\ 50g dargestellt.

Mau

Einllußlinicn für Querkräfte.

Der Gedankengang für die Ableitung der Einflußlinien für Querkräfte ist derselbe wie der auf Seite 18 bei Herleitung der Querkrafteinflußlinien für den beiderseits eingespannten Bogen besprochene.

Es ergibt sich für Lasten rechts vom Schnitt Q = sin cp (A ctg cp — H).

Für Lasten links vom Schnitt wird

Q = sin cp (— B ctg cp — II).

Dadurch ist die Einflußfläche für Q bestimmt (Fig. 51).

Einfluß des Eigengewichts. H

giebt sich

Infolge Pm = 1 t er-

%*■

Xa = -

1 /6a?³ 5a?4 3 IT ¥

— a?

UinflußTmie für Q

= g (S. 32).

Beträgt das Eigengewicht g pro Längeneinheit, so ist X.⁹a = g - F, wenn F der Flächeninhalt der Einflußfläche für Xa ist. wird

yx=<yOT f

Daher

A-dy V

Fig. 51.

r ₇ rl(6a?³    5a?⁴

= gjrldx=gj^ — — —

■Ay = A₀g    Aa • Xag = A₀g — g — — Bg.

Ha • Xag = Hog

X

uXag

— x\dx —

cc|^o

co IS»

'S

Sa iO

Icvi

= 0.

Hg = H₀g

gl²

8/‘

(s. S. 19).

Bezüglich der Momente Mg gilt daher das auf Seite 19 für den beiderseits eingespannten Bogen Gesagte: Das Biegungsmoment für irgend einen Punkt der Bogenachse ist =0, da die Stützlinie mit der Bogenachse zusammenfällt. Infolgedessen hat auch das Eigengewicht keinen Einfluß auf die Querkräfte.

Einfluß gleichmäßig verteilter partieller Yerkehrsbelastung p pro Längeneinheit.

Handelt es sich um die Berechnung von Straßenbrücken, so wird in der Regel für die Hauptträger gleichmäßig verteilte Yerkehrsbelastung (Menschengedränge) die ungünstigste Belastung sein. In diesem Falle kann man sich die Zeichnung der Einflußlinien für Momente und Querkräfte ersparen, da die Benutzung der Kämpferdruck -und Kämpferdruckumhüllungslinie eine sehr schnelle Feststellung der ungünstigsten Lastenstellung gestattet. Alsdann können, vorausgesetzt, daß

Zx'jLäx i

pdr<

Y-i-

FA

Jf=Lvüe

2.H=Jjinü>

\nf%dx

Fig. 52.

H und A für irgend eine Lastenstellung gegeben sind, Momente und Querkräfte für die ermittelte ungünstigste Lastenstellung leicht gefunden werden, wie weiter unten gezeigt werden wird. Zunächst möge die Bestimmung von II und A erfolgen.

1. Die Verkehrsbeiastung bewege sich von links nach rechts.

r*b    r*b

= p-dx-i}h = p ^hdx

VO    *A>

5 /4

= H infolge 11 senkrecht über rj = —x

₇    5p/4 b²

ax = ~

4 a:³    8 a;⁴'

(s. S. 33)

5 p /"ö/4 ⁼ S /'./o \3

4 a:³ , 8 cc⁴'

5p&²/2

8Z⁻- Z*\3

pö²

15

24/³/’

(10 Z³ — 15Z-6² + 86³).

um

\W ! 1 lllll

pari

A =Zime

('/a

~b

2.A=Lmie

pfr)A d.T

Fig. 53.

Berechnet man nach dieser Formel für eine Reihe von Werten b den Horizon-talschub 77, trägt die errechnten Werte unter dem Kopf der Belastung als Or-dinaten auf und verbindet die Endpunkte der Ordina-ten, so entsteht die zweite H- Linie. Inwiefern diese von Wichtigkeit ist, wird weiter unten gezeigt werden.

rtb    Ai b

= / 2^dx-7]A=zP r\Adx.

‘Ix 2x³ f 5 xA 3 I P” ⁺ 3T⁴

>b

Va= 1 —

2    a; 2a:³    5 a:⁴

3    7 “    ⁺ 3 ¥

(s. S. 33).

1—-

^ dx=p(b

2 b² 2 Z>⁴    5 6⁵'

37T_/^4 ⁺3^^

6/⁴

(Qli-2b-l³~ 3l-b³+2bi).

Dieser Ausdruck läßt sich auf die Form bringen

p • 6

[(3 / — fe) (2Z³— 6³) + 6⁴].

Dadurch ist die zweite AL-Linie für Linksbelastung bestimmt.

6Z⁴

2. Die Verkehrsbeiastung bewege sich von rechts nach links.

ph    f>h    5p p&i/4

~l vA* n*.~v)h nä* = ffJb (g«

4a:³

l²

5p

i 8xi\ j

f3 P)dx

8/

5p

4 6₁²_4    8 V 4 b² 4 ft⁴ 8 b'a~

3‘1T“"Z²"T⁺3Z³'~5“'~ 3’¥ ⁺ Z²’T~3Z³5~ bx⁴ — Z>⁴ , 8 bta—br°"

r2

8/13

Z²

15

Z³

Dadurch ist die zweite H-Linie bestimmt (Fig. 54c).

pbi /

=J p-dx’ijA=pJb (

2*³

+§3^

_A+A⁵_a + *! + A_A

31    2l³^ 3ll T3/    3l*

-    [6ll<l*i. —6)■-:2■Plfh'-*■—W—3 l(hl—b‘) + 2i&¹» —.i>⁵)]

r [6/‘(i, — ft) — 2;³(*₁ + 6)(6₁ — 4) — 3J(V—6*) + 2(i,⁵— 4«)];

da &! + & = /, ergibt sich A = ^[mK-b)-3l(bli-b*) + 2(bl5-b»)].

P[b i

6Z⁴

bA

Dadurch ist die zweite ^4-Linie bestimmt (Fig. 54e).

In den folgenden Beispielen möge gezeigt werden, wie die Kämpferdruck- und Kämpferdruckumhüllungslinie sowie die 2. H- und A-Linie mit Vorteil für die Berechnung der größten Momente und Querkräfte verwandt werden können.

I. Gesucht sei MaxM₀. 54b.

Die Verkehrsbelastung betrage p, das Eigengewicht g pro Längeneinheit.

9 + p = q-

1. Es sei nur eine 54c.

Lastenscheide vorhanden (Fig. 55 s. S. 40). Man konstruiere zunächst die Lasten scheide, stelle also diejenige Last auf, die einen Kämpferdruck K\ hervorbringt , der durch den Momentendrehpunkt geht.

Dieses geschieht, wenn die Last durch den Punkt E der Kämpferdrucklinie geht. Es entsteht nun Max M₀ bei Linksbelastung; die Verkehrsbelastung ist daher links von E aufzustellen. Aus der £. H- und A - Linie entnehme man H und A für Linksbelastung senkrecht unter dem Kopf der Verkehrslast. Es wird alsdann

Fig. 54.

*1 pdx

54 a.

54 d. /<

54e.

7*#

-x

H^Linie

i,--

2.H=Linie

A=Zirize

IE

7ndjL

Max Mo — A • xo    H’ y§

Vxo²

Infolge des Eigengewichts ergiebt sich

M⁹o=Hg-ri0 =

gP

Daher ist Max M{₀P^⁹⁾ = A • x₀ — H■ y₀

•TjQ (s. S. 19).

p • V , gl'²

8/

■Vo

nt* 2

= A‘X₀ — H-y₀—p — +C'-g, worin C‘ Dadurch ist auch M{n M₀ bestimmt.

Mip+9)M₀ =

l²-Vo

[a-x o

fl«-.,

= — [A-x₀ — H-y₀

2>

•y₀, worin

2. Es seien zwei Lastenscheiden vorhanden (Fig. 56). Die Lastenscheide Ex ergiebt sich \ wie unter 1. Zur Ermittelung von E., suche man diejenige Lastenstellung, die einen Kämpferdruck Kr zur Folge hat, der durch den Momentendrehpunkt geht. Dieses geschieht, wenn die Last 1 t im Punkte E₂ steht, dem Schnittpunkt der Kämpferdrucklinie mit dem durch 0 tangential an die Kämpferdruckumhüllungslinie gezeichneten Kämpferdruck Kr. Es entsteht nun MaxM₀, wenn die Yerkehrslast zwischen Ex und E2 aufgestellt wird. Da aber dann H und A nicht aus der 2. H-und A - Linie gefunden werden können, ist es zweckmäßig, zunächst Min Mq zu bestimmen und von Min Mq auf Max M₀ zu schließen. Für M{n M₀ entsteht die ungünstigste Belastung, wenn die Yerkehrslast links von E₂ und rechts von Et aufgestellt wird. Aus der 2. H- und A-Linie ergiebt sich H— Hi -j- Hr] A = Ai -f- Ar.

—ff

Wo

1/

,A xo

2.Jf=Linie

2. A=Linie

Fig. 55.

Min Mo = — A-x₀ — H y₀ — p-b

(-1)]

gl²

worin C‘

Infolge des Eigengewichts wird Mog — Hg • y₀ — —• y₀ = C‘ • (/,

8/

Vo-l²

Mtt+I)M₀ = — Ä-x„ — Demnach wird

H'Vo—P’b (x₀ — |)

+ C‘-g.

A-x₀ — H-y₀—p‘b(x₀ —

/>

M^⁺⁹⁾M₀ = + A-x₀ — H-p₀—p-b(x₀ —    + C'-g

8/-

! V'lr&

771g

-VI

E>

ya

TPT

cm jgggs^

■gS*

II11 [ 11 hl i 11 A|~ J¹ \

-4

.1

."£\

*5£

-•*v

-C^v

j

fr

4\

!

L\

2/L=Lime für'Linksbelastung

2.

LL=Lüde für Linksbe/xrf(itng

WP

\2.A=Linie für Lj.

’/ik^belastung

2.yA=Iüiie fürLinksbelasfung

2.JL=Lüü£ füf ■ HechJ&befnMimg

2. If-Linie für Rechtsbelastung

frj

Al

2.A=Linie für TtetLiisbplastunfl

2.A -Jjfnie für Rechtsbelq.stung

Fig. 56.

Fig. 57.

II. Gesucht sei Qmin (Fig. 57). Zur Bestimmung der Lastenscheide suche man eine Lasten Stellung, die einen linken Kämpferdruck zur Folge hat, der senkrecht zum Krümmungsradius, d. h. parallel zur Tangente an die Schnittstelle verläuft. Ein solcher Kämpferdruck entsteht, wenn die Last 1 t durch E geht und hat zur Folge, daß Q=0 wird, da die einzige Last am links abgetrennten Teil senkrecht zur Querkraftrichtung steht.

Rechts von E liegt also die negative Beitragsstrecke der Einflußlinie für Q. Da in dem zu untersuchenden Querschnitt die Querkraft ihr Vorzeichen wechselt, muß auch links vom Querschnitt eine negative Beitragsstrecke der Einflußfläche liegen. Damit ist die ungünstigste Belastung für Qmin bestimmt. Man stelle die Verkehrslast rechts von der Lastenscheide und links vom Querschnitt auf. Aus der 2. H- und A-Linie ergibt sich sodann H=Hi~\-Hr; A = Ai -f- Ar.

Vom links abgetrennten Teil aus berechnet wird dann Qmin = — (A- cos cp — H sin cp — p ■ x • cos cp).

Die Querkraft (^ist = 0, da infolge Eigengewicht die Stützlinie mit der Bogenachse zusammenfällt. Die Gesamtquerkraft ist daher

Qlin+ Qg = — Qin+ C'-g, worin C‘ = 0 ist.

Daher wird

CiV+9 {vmax

= + Qmin A-C^q — A- Qmin= A • cos cp — H sin cp — px cos cp. Die größte positive Querkraft ist also stets gleich der größten negativen.

Einfluß schräg gerichteter Kräfte.

7m

3]

4*1

iü.

Fig. 58.

—_!----

Y.

rfr

i* I

-H-

TP

■<s

5’

Es ist Xa —

X Pm dma E * J‘

EdP'

Hierin haben die Werte E-J'-6ma die auf S. 19 beschriebene Bedeutung und — Pm dma kann wieder als statisches Moment der im Verschiebungsplan um 90° gedrehten Kräfte Pm in bezug auf den Pol 0 gedeutet werden = — R • rj. Das statische Moment wird negativ, da die Verschiebungen dma negative Verschiebungen, d. h. den Kraftrichtungen entgegen gerichtete Verschiebungen sind. EJ‘ ■ daa — 4 /.

■13

Daher

xa

■v

8 Kri

il

Nunmehr können sämtliche übrigen Reaktionen bestimmt werden. Es ergibt sich A durch eine Momentengleichung in bezug auf die rechte Einspannung.

Pj • ?’j ~l~ Py ’ r2 ~4~ Pm ' rm 4~ P% ~    ~f~ Xa _

für .Xa ist der absolute Wert einzusetzen, da das negative Zeichen bereits durch den Pfeilsinn berücksichtigt ist.

m,

ff

ff'

>d

-ff io

'■r„

ff'

jfW*

| Pm

ff

Fig. 59.

H'

Dann kann B aus der Bedingung „ 2 V— 0 “ ermittelt werden. H=H₀-Ha-Xa, worin fl₀ = ^‘<5’",‘

Ph ' ?1h    5

Daher wird H =

8Py

(s. S. 21 u. 22) = — Ph ‘ ^jh

Pli * 'Yjh

dhh

dhh

Öhh

5 R-7j

7

H‘ = Pl- cos at + P-i cos a₂ -f- Pm cos am + P₃ cos cc₃ + H-

Nunmehr kann die Stützlinie gezeichnet werden, wodurch Momente und Querkräfte bestimmt sind (Fig. 59). Der rechte Kämpferdruck muß

von der Einspannung die Einspannungsvertikale JrL‘

im Abstand d

Xa

schneiden.

Einfluß von Bremskräften.

Die Übertragung der Bremskräfte erfolge wie beim beiderseits eingespannten Bogen im Bogen sch eitel, exzentrisch zur Bogenachse. Infolgedessen wirkt auf den Bogenscheitel ein Kräftepaar vom Moment u = C- e und eine Einzelkraft C. Der Einfluß der beiden Kraftwirkungen werde wieder getrennt berechnet. Zunächst wirke nur das Moment fx. Es ist fM₀Madx

alsdann Xa

colH

C-e

J M₀ Madx ist nach Seite 26 = +    • l gesetzt (= dem dort

berechneten Wert f M₀ M\,dx, da hier Xa am rechten Kämpfer, dort am rechten Kämpfer wirkt).

Nunmehr wirke nur die im Scheitel angreifende Kraft C allein. Infolgedessen wird

Es ist A

Xa=~

c-

3k.

C • öca

jCC -0*6

C-ö

ca

8 C-Öca

daa

öca wird negativ, da die Kraftrichtung C der Verschiebungsrichtung dca entgegen gerichtet ist.

Daher ist insgesamt

8 C-öca

(positiv).

Damit sind sämtliche übrigen Reaktionen bestimmt.

C(e-\-f) Xa C (e + f) .C- e 8C-dca

Fig. 60.

\ß

31

B.

H=H₀-Ha-Xa = -

H‘=C

C 5 /C-e 8C-öC( 2 ~ 8 f \1T

5 /C-e

(negativ).

8 C- öca

—^ (positiv).

v?

?■

Das Biegungsmoment für irgend einen Querschnitt links vom Scheitel ist somit = H y — A-x, rechts vom Scheitel = H-y — A - x + C (e + y).

-JC—*

Fig. 61.

Die Querkraft Q ergibt sich für irgend einen Querschnitt links vom Scheitel = H sin q> — A cos 99, rechts vom Scheitel = II' sin cp — B cos <p. Hierin sind für //, //', A und B die absoluten Werte einzusetzen.

Einfluß der Temperaturänderung.

Setzt man den Einfluß der äußeren Lasten = 0 und berücksichtigt nur den Einfluß der Temperaturänderung, so wird

E - J‘ • öat    E • J‘ • öat

5 etl² ■ EJ‘ tgc

X<*

EJ‘- daa

Hierin ist nach Seite 29 E • J‘ ■ öat =

32

Da tg a =    , so wird

Xat

5 £ t EJ‘

(bei Temperaturerhöhung).

Hi = Hot — Ha • Xat =

15 eEtJ' 5    5 etEJ‘ 5 sEtJ‘

~8 p~⁺ 8f f

Bei Temperaturerniedrigung wird Ht

5 eEtJ¹

At ergibt sich aus einer

Momentengleichung für die rechte

X*

Ein Spannung

bsEJ't

Bt ist gleich groß, gegengesetzt gerichtet. Damit sind Momente und Querkräfte für alle Querschnitte bestimmt. Für den Scheitelquerschnitt ist z. B.

Ar

Fig. 62.

■f=~

5 £ tEJ‘

MS=AV--Ht.f =

öeEJ't l    5 eEtJ¹

f-l 2 JX

C. Die dreifach statisch unbestimmte vollwandige Bogendrücke mit drei Öffnungen.

Führt man als statisch unbestimmte Größen die Gegendrücke Xa und Xb an den beweglichen Auflagern ein, so ist das statisch unbestimmte Hauptsystem ein Zweigelenkbogen mit überkragenden Enden. Zwischen den statisch unbestimmten Größen bestehen die Gleichungen La + 1 ‘ da ~ ~Pmdma — Xa ’ ^aa — Xb • Üab 4" ^at Lb + 1 • öb = ~Pmdmb — Xa • dba — Xb • dbb + dbt-

Fig. 63.

Dai’in sind La bezw. Lb die virtuellen Arbeiten der infolge Xa = — 1 bezw. Xb = — 1 entstehenden Auflagerreaktionen des statisch unbestimmten Hauptsystems. Die wirklichen Verschiebungen der Angriffspunkte der äußeren Kräfte sind dabei bezogen auf das Achsensystem B—H. Die

Momentenflächen für die Zustände Xa = — 1 und Xb — — 1 sind in den Figuren 65 und 67 dargestellt. Der zur Berechnung der ilfa-Fläche erforderliche Horizontalschub Ha ergibt sich aus der Einflußlinie für den Horizontalschub H eines Zweigelenkbogens mit überkragenden Enden, die nach dem Schönhöf ersehen Verfahren gefunden werden kann (s. S. 17 bis 19 der bereits erwähnten Schönhöferschen Schrift), wobei nur zu

l,

/•

/r

ZT

■V»

H-Fläche

Fig. 64.

beachten ist, daß die Einflußlinie unter den Kragarmen geradlinig verläuft und zwar so, daß die Geraden Tangenten an die für den Zweigelenkbogen ermittelte H-Linie sind (Fig. 64). Es ist alsdann Ha= — 1 • ya. Bei Belastung des statisch unbestimmten Hauptsystems mit Xb = — 1 ergiebt sich Hb = — 1 -rjb-

Zustand Äa--7

-4t

A«

Mtl=Fl^jche

-7.L

I I

M^Fläcfce

Fig. 65.

Für die Ermittelung der Ma-Fläche beachte man, daß für irgend einen Querschnitt der Mittelöffnung Ma = IIa • y — Ba - x ist. Der zugehörige Teil der Momentenfläche setzt sich daher zusammen aus einer

• 4 = — 1 • 1^ unter

positiven Bogenfläche vom Pfeil Ha-f und einer negativen Dreiecksfläche mit der größten Ordinate — Ba • l₂

dem linken Kämpfer. Für irgend einen Querschnitt des Kragarmes ist Ma = — 1 • £, der zugehörige Teil der Momentenfläche also eine Gerade (s. Fig. 65).

7 S .9

10

*cc-

5.

13/

12.

Jl

10H

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13_

15_ b

Ek

JOiMia

1a ,

A,

Ai

Aa

Ma

Mac.

Moc

Ml

5a

Ma.....

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I *3

'th

Hä?

Hä?

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H?

li iiui

Ctß-slil

•M,„

Vf

1a

cTma=Lime\

H?

hj

in

nfrrn

Hä»

,C4«

Fig. 66.

Sinngemäß ergiebt sich auch die Momentenfläche für den Zustand lXb= — 1 (s. Fig. 67 b).

Nunmehr können leicht sämtliche in den Elastizitätsgleichungen enthaltenen Verschiebungen ermittelt werden.

I. J cos cp sei veränderlich, die Bogenform beliebig.

mir

1. Einfluß der Momente auf die Durchbiegungen dma nnd d

Die dma-Linie möge mit Hilfe des Schönhöf ersehen Verfahrens der konstanten Bogengrößen berechnet werden (Fig. 66) (s. auch S. 5 bis 7). Es

werde zunächst die Bogenachse der Mittelöffnung und der anschließenden Kragarme in n Teile so eingeteilt, daß für jeden dieser Teile der Wert £

— zu einer konstanten Größe = — wird. Alsdann zeichne man mit der

J    k konstanten Pol weite E-k für den mit der ausgestreckten Ma-Fläche belasteten ausgestreckten Bogen ein Seilpolygon, dessen Schlußlinie durch Herunterloten der Kämpferpunkte auf die Seillinie bestimmt ist. Die einzelnen Flächenstreifen der Belastungsfläche entsprechen dabei den nach konstanten Bogengrößen geteilten Teilen der ausgestreckten Bogenachse.

Fig. 67.

a-

rri

ZustandJT^ - 7

67 a.

Fläche

67 b.

My^Fläche -»»*i 1111111! 41 ■! 111!! 11

.11

omf> =Lu/ie

67 c.

KS

VS*

Die in der Riehtung der Schwerlinien der einzelnen Flächenstreifen gemessenen positiven Ordinaten Ma‘ der ausgestreckten Ma-Fläche sind als nach unten wirkende, die negativen Ordinaten Ma‘ als nach oben wirkende Kräfte anzunehmen (s. auch Seite 7). Zu beachten ist noch, daß der spannungslose rechte Kragarm sich geradlinig mitverschiebt und zwar so, daß die Gerade tangential an die elastische Linie verläuft. Die so ermittelte Biegungslinie trage man nunmehr unter dem gekrümmten Stabzug auf, d. h. man trage die Durchbiegungen der Punkte des ausgestreckten Stabzuges senkrecht unter den entsprechenden Punkten des gekrümmten Stabzuges als Ordinaten auf. Dadurch ergeben sich die Werte ömai öaa und öba.

Die Bestimmung der dmb- Linie erfolgt in derselben Weise wie die Bestimmung der Linie. Nur tritt an Stelle der Afa-Fläche als Be

lastungsfläche die Mb-Fläche, die in Fig. 67b dargestellt ist. Dadurch erhält man die Werte d

mbj

öab und dbb.

2. Einfluß der Längskräfte auf die Durchbiegungen ^ma nnd

Da die Längskräfte nur bei flachen Bögen eine Rolle spielen, dann aber die vertikalen Kräfte nur sehr geringen Einfluß auf die Längskräfte haben, begeht man keinen nennenswerten Fehler, wenn man nur den Einfluß der Horizontalkräfte auf die Längskräfte berücksichtigt. Genau genug darf dann gesetzt werden Nma = N(m^1)a = ....= + Ha. Daher ist nach S. 7

Wma

F tg (fm+1- -jpT tg (fm =

Ha

EF

(tgqpm —tg (pm+ i).

Zn.sfr/rt/1 - /

¥—¥—¥-¥-¥,jr₊/i

KL

2a

ff.

-fl.

/4

s.

4/., 4

Fig. 68.

'S

SS

Setzt man für F einen Mittelwert der verschiedenen Werte F = F0 ein, so wird

UJma —

Ha

FE₀

(tg (fm tg 99+wi).

Diese den einzelnen Feldknotenpunkten entsprechenden Einzellasten darf man genau genug durch eine gleichmäßig verteilte Belastung wa pro

Längeneinheit ersetzen. Es ist alsdann wa =

Ha tg Cpm— tg (pm+l

FE₀

wenn X die Feld weite bedeutet. Man belaste nun einen Balken von der

Spannweite lv + l₂ über der Strecke /₂ mit der negativen Belastung ioa pro

Längeneinheit, berechne zunächst das Moment M‘l = Äü)

2 (^i + h)

trage M\ unter 1 in irgend einem Maßstabe als- Ordinate auf, ziehe den Linienzug c — d — e und zeichne unter de eine Parabel vom Pfeil

• An die Endpunkte der Parabel lege man nunmehr Tangenten und trage die Schlußlinie s in die Momentenkurve ein, die der Spann-

' 4 ²

Kirchhoff, Zweigelenkbogen.

weite l₂ entspricht. Die durch die Momentenlinie und die Schlußlinie abgeschnittenen Ordinaten sind dann die Durchbiegungen ö)na infolge der Längskräfte allein.

Ebenso wird der Einfluß der Längskräfte auf die Durchbiegungen dmb ermittelt (s. Fig. 69a — 69c).

Fig. 69. Zustand    - /

69 a.

69 b.

69 c.

äi'i

l-L.8 ! !

Wl

-¥

'S

Th

69d. , §<

s?

69 e.

Die aus 1 und 2 resultierenden Biegungslinien sind in Fig. 69d und 69 e dargestellt. Die den Zuständen I. und II. entsprechenden Biegungsflächen sind unter Berücksichtigung ihrer Vorzeichen so aufeinander gelegt, daß die positiven Flächen sich addieren, während die negativen von den positiven in Abzug gebracht sind.

Nunmehr können die Einflußlinien für X.a und berechnet werden. Es ergibt sich durch Auflösung der auf Seite 45 aufgestellten Gleichungen für = 1 t und öat = 0:

xa =

xb =

La Öa) • Öbb (1 ‘ $mb Lb Öb) Öba Öaa Übb — <W2 (1 • ömb — Lb — db)-öaa — (l- Ö

ma

La da) $ab

daa Öbb — dab²

Bei starren Widerlagern wird

Xa —

dma dbb dmb ' dba

daa Öbb-dab²

xb =

dmb daa    ®ma dab

daa Öbb — dab ’

Fig. 70.

/<

Xa=Lmie

70a.

70b.

X=Linie

70c.

^-rrrT^ ¹1⁻¹-¹ i f7>^_ ........... .

¹

Man berechne Xa und Xb für eine Reihe von Lastenstellungen und trage diese Werte von einer Horizontalen senkrecht unter der jedesmaligen Lastenstellung als Ordinaten ab. Durch Verbindung der Endpunkte der Ordinaten entstehen sodann die Einflußlinien für Xa und Xb (s. Eig. 70b und 70c).

Vou diesen Einflußlinien können wieder die Einflußlinien für sämtliche übrigen statischen Größen mit Hilfe der Formel Y— Y₀— YaXa— YbXb abgeleitet werden. Das Verfahren ist ganz allgemein und gilt für jede Bogenform.

II. Vereinfachungen.

In nachfolgenden Untersuchungen sei J- cos cp — Const. sowie parabolische Bogenform des Mittelbogens und Symmetrie vorausgesetzt. Auch mögen der Einfachheit halber starre Widerlager angenommen sein. Da die Längskräfte infolge des wohl meistens zur Anwendung gelangenden flachen Bogenstichs erheblichen Einfluß auf die Formänderungen haben werden, so sollen sie berücksichtigt werden.

1. Einfluß der Momente auf die Durchbiegungen d„

ia•

34

Die H₀- Linie ist eine Parabel vom Pfeil % =

welche sich unter den Kragarmen tangential an die Endpunkte der Parabel Gerade anschließen.

164

•r (S. 3, 2), an

Zustand Xa= - /

TU

tt

ft

V/

4---

wimm

Fig. 71.

Aus der II₀- Linie ergiebt sich Ha = IIh = — 1 • r{

Daher

rj :2z = ^:

_ 4z • 4 ₌    4

’    4    16f 4

Ha^Hb= -

— • r.

CO

Fig. 72.

Zustand - /

72a. 1

\&

ft

/4

Ja

al2

Damit ist die in Fig. 72b dargestellte Momentenfläche für den Zustand Xa =— 1 bestimmt. Der Einfluß der Momente auf die E-J-cos(p-fachen Durchbiegungen dma wird am zweckmäßigsten zeichnerisch ermittelt. Man belaste einen Balken von der Spannweite 4 + 4 6er Ma-Fläche, teile sich die Fläche in verschiedene nicht zu große Flächenstreifen ein, deren Flächeninhalte als Kräfte in ihren Schwerpunkten angreifen, wobei die positiven Flächen nach unten, die negativen nach oben wirken und zeichne mit der Polweite 1 ein Seilpolygon. Alsdann

trage man die den Auflagergelenken der Mittelöffnung entsprechende Schlußlinie ein. Diese begrenzt mit dem Seilpolygon die EJ- cos cp ■ dma-Fläche. Der spannungslose rechte Kragarm bewegt sich geradlinig mit und zwar tangential an die elastische Linie. Die Biegungslinie ist in Fig. 72c dargestellt, wo die Ordinaten bereits von einer Horizontalen abgetragen sind (s. auch S. 47).

72b.

Th

ih'P

72c.

MW

72 d.

2. Einfluß der Längskräfte auf die Durchbiegungen d

Zu der den Einfluß der Momente berücksichtigenden E ■ J ■ cos <p-fachen Biegungslinie muß noch die auf Seite 49 dargestellte infolge der Längskräfte entstehende E ■ J■ cos cp fache Biegungslinie hinzuaddiert werden. Sie ist für die Mittelöffnung eine Parabel und verläuft für die Seitenöffnungen geradlinig und zwar tangential an die Parabelendpunkte. Der Stich der Parabel ist

a *    ~

Ha tg <jpTO —tg (pm+l

EF₀

Für J cos cp setze man den Mittelwert J‘ aller Werte J • cos cp. Ferner

8 f-l

8 f-l

k-²    4² K

, worin oja = —

• E • J • cos cp.

wird für einen Parabelbogen tg <p>m — tg cpm _j_ i — 3 L

— — • r ■

. Daher ist

foa = —

EJ‘

>->11-¹

• r.

E-F₀

Die Parabelfläche ist negativ, die seitlich anschließenden Dreiecksflächen sind positiv. In Fig. 72 d ist die resultierende Biegungslinie

dargestellt. Senkrecht unter den Punkten m, «, b ergeben sich die Durchbiegungen E-J‘dma, EJ‘daa, E■ J‘dba. Die Biegungslinie finden Zustand Xb = — 1 ist wegen der vorausgesetzten Symmetrie das Spiegelbild der E ■ J‘ Linie. Sie braucht also nicht besonders ermittelt zu werden. Senkrecht unter den Punkten m, a, b können die Durchbiegungen E ■ J‘dmb, E-J‘dab, E ■ J‘ dbb abgegriffen werden.

Fig. 73.

Xa =Li/u'c

ELDH

=*=

+.1<

Xh =Linie

........

+1

Nunmehr kann die Einflußlinie für Xa bestimmt werden mit Hilfe

der Formel

oder, da daa = dbb

dma dbb ^mb dba

daa dbb-dai~

xa=

dnia dbb dmi) d/)b

daa' ~ dah’ '

Die Xb- Linie ist sodann das Spiegelbild der Xa - Linie. Von diesen Einflußlinien können wieder die Einflußlinien für sämtliche übrigen statischen Größen mit Hilfe der allgemeinen Formel Y= Y₀ — Ya • Xa — Yb ■ Xb abgeleitet werden, worauf hier nicht näher eingegangen werden möge.

Einfluß von Bremskräften.

Die Bremskraft möge im Bogenscheitel der Mittelöffnung übertragen werden und zwar exzentrisch zur Bogenachse (Fig. 75). Diese Belastung

b_

bt

Ha

ßa

Fig. 74.

kann wieder ersetzt werden durch ein Kräftepaar vom Moment p = C-e und eine im Scheitelachspunkt c angreifende Einzellast C. Der Einfluß der beiden Kraftwirkungen möge getrennt berechnet werden.

I. Es wirke nur das Moment u — C • e.

Zwischen den statisch unbestimmten Größen bestehen alsdann die

Gleichungen

E-Jcosy (Xaöaa -f Xbdab) = J M₀ Maclx L j E ■ Jcos cp (Xaöba + Xböbb) = j M₀ Mbdx + /^ ^ cQg

¹ N₀Nadx

E F ■ cos 99 ■* N₀ Nb dx

■ E • J • cos 95

• E • J ■ cos cp.

Ik c

jU-C-e

Fig. 75.

M₀

Nach Seite 25 ist für einen Querschnitt links vom Scheitel • x für den symmetrisch gelegenen Querschnitt rechts vom

Ce

C-e

Scheitel = -\—• x (s. auch Fig. 7 6). N₀ kann vernachlässigt werden,

da bei flachen Bögen die vertikalen Kräfte keinen nennenswerten Einfluß auf die Längskräfte haben, beim Zustand X — 0 aber nur vertikale

-4-

Fig. 76.

Reaktionen am statisch unbestimmten Hauptsystem angreifen. Bei steilen Bögen aber kann der Einfluß der Längskräfte überhaupt vernachlässigt werden. Damit fallen die den Einfluß der Längskräfte berücksichtigenden Integrale aus den Elastizitätsgleichungen heraus.

Das Moment Ma für irgend einen Querschnitt links vom Bogenscheitel der Mittelöffnung ist

— U-a ■ }J (4 %) —

CO

—— — y-(l₂ — cc) (s.Fig.72u.74);

rechts vom Scheitel wird

Ma = Ha-y —Bax = -

4:f-x{l₂ - X)

/ 2 '2

- a?.

Da die Momente Jf₀ für die Kragarme = 0 sind, so erstrecken sich die Integrale nur über die Mittelöffnung. Es wird daher

jM₀Madx=fi C e

⁺J:⁺

C-ell L

r31

4 Uf'

C‘ex\S 4 ⁴/ x(k — x)

/ 2 '2

2(7-6-/

r 24

= ^6’-eV4-

Zustand Xb= -1

"it

\)y

i¹

/\\

An

L,

1/ +ly

Fig. 77. .

Da ferner für einen Querschnitt links vom Bogenscheitel der Mittelöffnung Mb = Hb-y—Ab - x und für einen Querschnitt rechts vom Scheitel Mb = Hby—Ab(l₂—a?), so wird

/ M₀ Mbdx = /——

J    J o    ^2

= 2°^

if c'e

x(Hb -y — Ab■ x)dx + pZ—j-^-x [H^y — Ab(l₂—x)]dx

J o *2

C- 6- l'i ■ l₂

/2 '2

■4

7

*'0

GpiAxdx =

"2 o

24

Durch Einsetzen dieser Werte und Auflösung der zwischen den statisch unbestimmten Größen bestehenden Gleichungen ergiebt sich

C- e■4 - 4 öba

C e-k-k .

24

bi —

24

daa Öbb — <W2 C-e-k-h (dhb + $ba) .

da dbb — daa und $ba negativ ist, ergiebt sich

Xa ~

-X« =

C-e-l₁.l₂(daa-öba)

C-e-ltl₂

Xb =

24 (Öaa + dba) (^aa — Öba)    24 (daa-f- d)M)

C-e-lx l2 24(daa-J- dab)

Xa

II. Es wirke nur die im Scheitelachspunkt angreifende Kraft C. Infolge dieses Belastungszustandes wird C-öca dbb — C-dcb-dba Öaa Öbb -

Fig. 78.

Die Werte dca und können mit Hilfe von aus den Biegungslinien infolge Xa = — 1 bezw. Xt = — 1 abgeleiteten Yerschiebungsplänen ermittelt werden, wie aus Fig. 79 ersichtlich ist.

der Kraft C

----2’

\7\

-f

f/n/P

Richtung der -flra/Y C

5'

i-----

.Zkl

rjÄ/

n'\

\ di

\---■\j^a.xszxL~r:%.

'ScL

aS*a.

2'

&■

Fig. 79.

Um möglichst genaue Werte für die Verschiebungen zu erhalten, ist es zweckmäßig, die Biegungslinien in stark verzerrtem Maßstabe aufzutragen. Da in den Biegungslinien der Einfluß der Längskräfte berücksichtigt ist, müssen auch im Verschiebungsplan die Längenänderungen Asa bezw. Asb infolge der Längskräfte berücksichtigt werden. Es ist für irgend einen Stab

Ha-s

Asa — Na - jg'jp

EF₀

’ ÄSb Nb’ EF₀ Hb EF₀ Ha' EF₀’ wobei E₀ der Mittelwert der verschiedenen Werte F ist. Der den Krag-

armen entsprechende Teil der Verschiebungspläne wurde fortgelassen, da er nicht gebraucht wird. Wegen der Symmetrie wird dca — dch, jedoch ist dm negativ und dcb positiv, da die Kraft CJ der Verschiebung

dbb + dba

daa "j~ dba

Xb = +

dca entgegen gerichtet ist, jedoch denselben Sinn hat wie die Verschiebung drjj. Da auch öba negativ und daa = dbb ist, so wird

G- dea (Öbb — <ha)

Xa =

C- Öea ()bb — C • Öcb • (— d),a)

G-dC(

ö„a--öay

C-d

ca

(dbb + dba) (dbb— ^ba)

Ebenso ergiebt sich C-Öca dfia dba

Insgesamt ist daher durch Addition der unter I und II erhaltenen Werte

(7(24 dca — e-lx-l₂)

C-e-ly L,

C-ö

daa 7” dba

Xb= +

24 (daa -f- dba)

C(24=dca — e-k'k)

24 (daa + dba)

24 (d(ui +- dba)

Sämtliche Werte sind hierin absolut einzusetzen, da die Vorzeichen bereits berücksichtigt sind. Nunmehr sind auch die übrigen statischen Größen bestimmt. Es ist

H = H₀ - Ha ■ Xa - Hb ■ Xb = H₀ - Ha (Xa + Xh) = £f₀ = -

H‘-

⁺y

A ergiebt sich durch eine Momentengleichung in bezug auf den Angriffspunkt von FI‘ und B und zwar wird

G (ß -f- f) — Xb • 4 — Xa (4 + l₂)

= —B (Fig. 80).

G (ß + f) — Xa (2 4 -j-l₂)

}e

'■■A

Fig. 80.

Für Xa ist der absolute Wert einzusetzen, da das negative Zeichen von Xa bereits durch den Drehungssinn berücksichtigt ist.

Damit ist der Spannungszustand bestimmt.

Einfluß der Temperaturänderuiig.

Zwischen den statisch unbestimmten Größen bestehen die Gleichungen 0 = — Xat • daa — Xbt dab -j- dat • E ■ J‘

0 =-Xat • dba — Xbt dbb + dbt • X • J‘.

Xat

Wegen der Symmetrie wird Xat — Xbti ebenso dat = dbt, so daß

, da negativ ist.

E• J‘ fNaetds

daa H⁻ $ ab

^aa    $ab

Für irgend einen Querschnitt der linken Öffnung wird Na = — 1 sin cp. Für einen Querschnitt der Mittelöffnung ergiebt sich rechts vom Scheitel

, 3 lx

sin cp -j- — -r • r • cos cp.

Na = Ba sin cp + Ha cos cp

1-4

Links vom Scheitel wird

Na = Ha cos cp — Ba sin cp =

CO

• r cos cp

1 -lX

-— sin cp.

V.)

Somit ist

j Na e tds = j — sin cp s tds    J ^

sin cp -j-

4/‘

• r cos cp) £ tds

3    l

— -L • r cos cp —

4    /

sin cp 1 e tds.

4 J

fr

Fig. 81.

Die Seitenbögen seien ebenfalls Parabelbögen vom Pfeil fx. Es ist dann ds = o ■ dcp, und zwar wird für die Mittelöffnung o

4²

für die Seitenöffnung o =

(2 lxY

8 f cos⁸ cf

8 fx cos⁸ cp

(s. S. 29).

Setzt man diese Werte in die Integrale ein, so ergiebt sich

etL²

I Na€ tds = I — sin cp J    J o

+f(H +

3 l

1jr cos cp

2 fx cos⁸ cp etlJ

dcp

8 f cos⁸ cp

dcp

e 14²

— -j-r cos cp — f sin q>

/ sin¹ cp cos-:3 cp dcp -f- 2 •

'O    /

Nach Seite 29 ist / sin¹ cp cos~s cp dcp = -^tg²/? und /

0    "    i/o

8/' cos⁸ cp

o?9?

2 f[.

ptc

/ cos⁻² cpdq.

v O

cos² cp

tg or.

Daher wird

/ Nastds = —

1 etl!²

4 TT

tg² ß -f

3 4'4²

Setzt man tg ß —

2/i

CO -dH

Et, r tg cc.

und tg a = -f-, so wird

/>    3

I Na eids = — etf\ + —

4 /'

Daher    = +

E-J‘fNa stds

£ t EJ‘

4a 4&

dz

CO

Ä)

daa 4ö

4 4 (4« — 4&)

Bei Temperaturerhöhung Averden und positiv, bei Temperaturerniedrigung negativ.

Damit ist der gesamte Spannungszustand bestimmt.

Mw

El

Fig. 82.

Es ist bei Temperaturerhöhung

#= + #<*-#«Xat-Hb-Xbf, ■ r ist, so wird

da Ha — Hi) —

15 e EtJ‘

4 f (4a — 4*)

E Ettf‘

• [5 (4a — 4fc) + 4 • r (3 4 4 • r — 4 f- /j)].

~" ⁺ Sp(öm-äab)

Bei Temperaturerniedrigung ergiebt sich Ht negativ. Ferner wird At — Bt = Xat und zwar bei Temperaturerhöhung negativ, bei Temperatur-erniedrigung positiv. Nunmehr können die Momente und Querkräfte infolge der Temperaturänderung für jeden Querschnitt bestimmt werden.

Schlußbetrachtungen.

Aus vorstehenden Untersuchungen ist zu erkennen, eine welch Avichtige Rolle der Zweigelenkbogen als Hauptsystem bei der Berechnung mehrfach statisch unbestimmter Systeme zu spielen vermag. Sämtliche Entwicklungen werden außerordentlich einfach und übersichtlich und

Mit den hier behandelten Fällen ist die Zahl der Systeme, welche sich für die Berechnung mit Hilfe des Zweigelenkbogens als Hauptsystem eignen, noch nicht erschöpft. Ich weise nur noch auf mehrere im Hallenbau gebräuchliche Systeme hin.

sind ganz allgemein. Die für die Parabelbögen abgeleiteten Beziehungen dürfen auch auf flache Kreisbögen angewandt werden, ohne daß dabei ein nennenswerter Fehler begangen wird. Nur empfiehlt es sich dann stets, den Einfluß der Längskräfte auf die Formänderungen zu berücksichtigen.

Es sind dies der dreifach statisch

Fig. 83.

m,

vb

mm

mm

mmm.

mm

mim

x,

83 a.

83 b.

unbestimmte Blechbogen mit drei Öffnungen und zwei Scheitelgelenken, und der dreifach statisch unbestimmte Blechbogen mit zwei Öffnungen (s. Fig. 83 a und b). Im ersteren Falle entsteht durch Anbringung der Vertikalkomponenten der Scheiteldrücke als statisch unbestimmte Größen Xa und Xb ein Zweigelenkbogen mit überkragenden Enden und Schleppträgern als Hauptsystem, im zweiten Falle durch Anbringung der Reak-

ZiLstand Xa= -1

Kg

GL,b

ff

7-

Jf„=Linie

Fig. 84.

tionen am rechten oder linken Kämpfer ein Zweigelenkbogen mit überkragendem Ende. In diesem Falle kann man sogar die Richtung der statisch unbestimmten Größen leicht so bestimmen, daß dba~dab = 0 wird (s. Mehrtens, Statik der Baukonstruktionen, 3. Band, S. 245 u. 246). Man wähle die Richtung von Xa beliebig, z. B. vertikal, zeichne für den Zustand JVa =— 1 eine Biegungslinie, ermittele aus dieser mit Hilfe eines Normalenzuges den zugehörigen Verschiebungsplan, aus welchem sich die Verschiebung des Punktes a bezw. b = bezw. bb{ ergibt

und wähle dann die Richtung von senkrecht zu bbv Dadurch wird dha = 0. Die Elastizitätsgleichungen lauten alsdann

xa=

Pa ~1~    — Pm $ma Xa $

Pm dma    Pa

c)

Pm $mb    Pb

Pb H~ ^b — J m $mb -Xb Öbb •

Damit sind auch die Einflußlinien für Xa und Xb gegeben welchen wiederum die Einflußlinien für sämtliche übrigen statischen Größen abgeleitet werden können.

Xb

Öbb

von

TV

^?L!*rrkA ^ows^

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Versuche und Studien über das spezifische Gewicht von Schnee und über Schneelasten. Von = L. Schnller. 1909.

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34206

Kdn. Zvm. 480/55 20.000

Empfohlen durch Runderlaß

des Herrn Ministers der öffentl. Arbeiten.

Eiserne Brucken* Ein Lehr- und Nachschlagebuch für Studierende

und Konstrukteure. Yon O. Schaper, Reg. - Baumeister.

Zweite vollständig neubearbeitete Auflage.

Mit 1455 Textabbildungen. 1911.

geh. 20,— M., geh. 21,50.

Haupt-, Neben - und Hilfsgerüste im Brückenbau.

Ein Lehr- und Nachschlagebuch über die auf dem Gebiete des Brückenbaues vorkommenden Gerüste. Yon Dr. R. Schönhöfer, k. k. Oberingenieur und Privatdozent. Mit 190 Textabbildungen. 1911.

geh. 6,— M , geb. 6,80 M.

Beitrüge zur Theorie mul Berechnung der vollwandigen Bogenträger ohne Scheitelgelenk, insbesondere der Brückengewölbe und der im Eisenbetonbau üblichen biegungsfesten Rahmen. Yon ®r. = ^ng. Max Ritter.

Mit 86 Textabbildungen. 1909.

geh. 3,— M.

Der Zweigelenkbogen. Von Brabamlt, Eisenbahn-Bau- und Betriebs-

Inspektor. Entwurf, bauliche Ausbildung und Berechnung des Zwcigelenk-bogens und seiner Widerlager unter besonderer Berücksichtigung tiefer Straßenunterführungen.

Mit 83 Textabbildungen. 1910.

geh. 4,— M., geb. 4,80 M.

HilfSWCrtC für das Entwerfen und die Berechnung- von Brücken mit eisernem Überbau. Als Ergänzung zu den Preuß. Vorschriften für das Entwerfen der Brücken mit eisernem Überbau. Von F. Dircksen, König!. Eisenbahn-Bauinspektor. Mit 36 Textabbildungen und 1 Tafel.

Dritte durchgesehene Auflage. 1908.

geh. 4,— M.

Nebenspannungen eiserner Fachwerkbrücken und das

jmiktische Rechnungsverfahren nach Mohr Tr'-' Reg.-Baumeister IV. Gehler, Privatdozent an Jr '    Krakowsktej esden.

Hierzu: Anhai im Brückenbau Mit 151 Textab

•T. Karig, Bau-Obersekretär

en.

geh. 6,— M., geb. 6,80.

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