Die

Berechnung mehrstieliger Rahmen

unter Anwendung

statisch unbestimmter Hauptsysteme

Von

2>r.=Stt0. Walter Nakonz

Regierungsbaumeister

Mit 92 Textabbildungen

. BERLIN 1915

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn

Nachdruck, auch auszugsweise, verboten.

Die

Berechnung mehrstieliger Rahmen

Xa und Xb schräg gerichtet, jedoch aufeinander sen

N-x

h-x(l — x)

Ca — +

Mg =

M = — 13,00

h■ h‘ [21(1+6h1) — 6x(l + /[h>) + 3&2 *]

Berechnung mehrstieliger Rahmen

unter Anwendung

statisch nnbestimmter Hauptsysteme

Von

2>r.=3ng. Walter Nakonz

Regierungsbaumeister

Mit 92 Textabbildungen

ii.

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BERLIN 1915

Verlag von Wilhelm Ernst & Sohn.

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Nachdruck, auch auszugsweise, verboten.

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Seite

Einleitung..........................

Abschnitt I: Allgemeine Erläuterung des Verfahrens.......

A.    Die Wahl der Unbekannten Xa, Xb und Xc mit Rücksicht auf Beseitigung der Beiwerte $ab, <ffl6 und Sbß............

B.    Die Bedeutung der Werte #ma, $mb, &me, äm, &bb, &cc, dat, <fw und da

C.    Die Entwicklung der Grundgleichungen für die Biegungslinien des

10

24

Balkens und der Stützen .    ................

Abschnitt II: Anwendungen des Verfahrens unter besonderer Berücksichtigung der symmetrischen Rahmenträger mit gleich hohen

Stützen ........

. 24

Inhalt.

A. Rahmen mit Fußgelenken

5.    Der zweistielige Rahmen mit gestützten Kragarrnen

■

B. Rahmen mit eingespannten Füßen

1.    Der zweistielige Rahmen

2.    Der dreistielige Rahmen

3. Der vierstielige Rahmen

■ • •    .*7

.    . .V .3\    .    39

V-⁴

*n*

4. Der zweistielige Rahmen mit gestützten Kragarmen .    .

56

s66

'■fc .

y'-

/

Einleitung.

Die Berechnung mehrstieliger Rahmen, bei denen sich eine Reihe von Stützen in starrer Verbindung mit einem aufgelagerten Balken befindet, ist entsprechend ihrer Bedeutung für die Praxis verschiedentlich behandelt worden. In dem zweiten Bande der „graphischen Statik der Baukonstruktionen“ *) entwickelt Müller - Breslau hierfür Clapeyronsche Gleichungen, die je drei aufeinanderfolgende Drehungswinkel y der Stützenköpfe als Unbekannte enthalten, unter der Voraussetzung, daß die wagerechten Verschiebungen der Stützenköpfe bekannt sind. Ist die Zahl der Stützen sehr groß und ist nur senkrechte Belastung vorhanden, so wird man genügend zuverlässige Ergebnisse erhalten, wenn diese wagerechten Verschiebungen vernachlässigt werden. Glaubt man sie jedoch in anderen Fällen, z. B. bei nur wenigen, aber nachgiebigen Stützen oder bei starken Bremskräften nicht außer acht lassen zu dürfen, so ist folgender Weg gangbar:

Der Rahmen mit Fußgelenken wird nach Abb. i in eine Reihe einhüftiger

statisch bestimmter Rahmen aufgelöst; die statisch Unbestimmten M und H werden in Höhe der Wider-

_ Jjt,

lager angebracht. Unter Anwendung der bekannten Sätze über die F ormänderungsarbeit lassen sich so viel Gleichungen aufstellen, wie Unbestimmte vorhanden sind; für jede Zwischenöffnung erhält man zwei derartige Gleichungen. In diesen können unter Hinzuziehung der entsprechenden Gleichungen aus den Nachbarfeldern entweder die Schübe H oder die Momente M ausgesondert werden, so daß man schließlich eine Reihe von homogenen Gleichungen erhält, die nur aufeinanderfolgende Momente M oder Schübe H enthalten. Und zwar kommen in jeder Gleichung fünf Unbekannte vor, wenn man den Einfluß der Normalkräfte auf die Formänderungsarbeit vernachlässigt, dagegen sieben, wenn man ihn berücksichtigt.

l*

M71

-7

ftn-7-^—

71-7

71 + 7

Abb i.

i) Müller-Breslau: Die graphische Statik der Baukonstruktionen, Band II, 2. Abt., S. 163 u. folg.

Nakonz, Berechnung mehrstieliger Rahmen.    I

Sind die Stützen am Fuße eingespannt, so führt man nach Abb. 2 in jeder

Für jedes Feld werden

Öffnung die statisch Unbestimmten M¹, M" und H ein. drei Gleichungen aufgestellt, in denen sich, wieder mit Zuhilfenahme der ent-

den Nachbaröffnungen, die Unbekannten M‘ und

Mjl aussondern lassen,

sprechenden Gleichungen aus

so daß in den Schlußgleichungen nur noch fünf aufeinanderfolgende Schübe H Vorkommen.

erhöht sich auf sieben, wenn man den Einfluß der Normalkräfte auf die Formänderungsarbeit berücksichtigt, was übrigens hier wie bei den Rahmen mit Fußgelenken nur bei gleich hohen Stützen praktisch durchführbar ist.¹)

Auf die soeben geschilderte Art erhält man übersichtlich und gleichmäßig aufgebaute Gleichungen. Ihre Auflösung ist aber selbst in einfachen Fällen wegen der großen Zahl von Unbekannten unbequem; die Zahlenrechnungen müssen außerordentlich genau durchgeführt werden, um zuverlässige Endergebnisse zu erhalten. Ist der Balken in einer Öffnung durch ein Gelenk unterbrochen, oder sind die Zwischenstützen verschieden ausgebildet, indem sie in das Widerlager oder in den Balken teils eingespannt, teils an diese gelenkig angeschlossen sind, so wird der gleichmäßige Aufbau der Gleichungen gestört und das Verfahren unzweckmäßig.

Es liegt nahe, diesen Nachteilen durch Einführung statisch unbestimmter Hauptsysteme zu begegnen, wie sie von Müller - Breslau mehrfach angeregt und gerade auch bei der Berechnung steifer Rahmen verwandt worden sind.²) Die vorliegende Abhandlung befaßt sich näher hiermit. In ihrem ersten Abschnitt zeigt sie, wie sich die statisch Unbestimmten stets so wählen lassen, daß jede Arbeitsgleichung nur eine Unbekannte enthält, wenn man erst die einfachen Fälle untersucht und dann schrittweise unter Verwendung statisch unbestimmter Hauptsysteme zu den in höherem Grade statisch unbestimmten Rahmenträgern übergeht. Außerdem werden allgemeine Beziehungen abgeleitet, um ein schnelles Aufstellen der Gleichungen zu ermöglichen. In dem zweiten Abschnitt wird das Verfahren auf verschiedene Rahmen angewandt, wobei namentlich die in der Praxis eine besonders große Rolle spielenden symmetrischen Rahmen mit gleich hohen Stützen berücksichtigt werden. Das Hauptgewicht wird hier auf die Ableitung kurzer und bequemer Formeln zur Bestimmung der Unbekannten gelegt.

ftn-i '

W/A

n.

Ihre Zahl

A.

71-1

Abb. 2.

1)    Einen ähnlichen Weg hat Marcus in seiner Dissertation „Studien über mehrfach gestützte Rahmen- und Bogenträger“ eingeschlagen.

2)    Müller-Breslau: Die graphische Statik der Baukonstruktionen, Band II, 2. Abt., S. 140 u. folg.

Abschnitt I.

Allgemeine Erläuterung des Verfahrens.

A. Die Wahl der Unbekannten Xa, Xb und Xc mit Rücksicht auf Beseitigung der Beiwerte dab, dac und dbc.

Die Verwendung statisch unbestimmter Hauptsysteme bei der Berechnung mehrstieliger Rahmen gestattet, die Zahl der Unbekannten und der zu ihrer Bestimmung aufzustellenden Arbeitsgleichungen nach Bedarf herabzusetzen und die bei der Auflösung der Determinanten höherer Ordnung sich häufenden Fehlerquellen zu vermeiden. Es werden nicht mehr als drei Unbekannte eingeführt, und zwar werden sie so gewählt, daß in den bekannten Gleichungen¹)

o — P' dma + Xa ■ daa -f- Xb ■ dab + Xc ■ dac -f- dat • o = P• dmb -f- Xa • öab -)- Xb ■ öbb -(- Ac • dbc -j- öbt

° — P- dmc + Xa ■ dM + Xb • dbß -f- Xc • Öcß -f- Öct

die Beiwerte ö

ab 5

dac un(i dbc verschwinden und man erhält:

Y _ p ^ma dat

JT r,    n

Oaa    ^

dmb    dbt

Xb=-P

p dmc

Xc =

dbb dbb

da

dCo

dcc

Hierbei sind zunächst starre unverschiebliche Widerlager angenommen, weil sie die Voraussetzung für die Anwendbarkeit mehrfach äußerlich statisch unbestimmter Träger bilden.

Die Unbekannten sucht man derart aus, daß das entstehende und ihrer Ermittlung zugrunde zu legende Hauptsystem bereits untersucht ist oder sich doch in einfacher Weise schnell berechnen läßt. Ist Symmetrie vorhanden, so ist es fast immer zweckmäßig, den Angriffspunkt der Unbekannten in die Symmetrieachse zu legen.

CH*

Abb. 3.

Bei der Berechnung der Rahmen mit Fußgelenken geht man von dem Zweigelenkrahmen aus (Abb. 3). Sobald seine Kräfte für jede äußere Belastung bekannt sind, führt man ihn als Hauptsystem in der Untersuchung des o dreistieligen und des vierstieligen Rahmens ein. Bei jenem

werden am Fuße der Mittelstütze die senkrechte Kraft Xa und die unter dem Winkel cp gegen die Wagerechte geneigte Kraft Xb angebracht (Abb. 4). Der Winkel cp

----- ist so zu bestimmen, daß öab = o wird. Man

Abb. 4.

kann auch Xb wagerecht und Xa schräg oder Xa und Xb schräg, aber aufeinander senkrecht stehend annehmen; jedoch soll hier wie in der Folge stets Xa senkrecht und Xb unter einem Winkel cp gegen die Wagerechte geneigt eingeführt werden. Ist Symmetrie vorhanden, so wird cp — o und Xb wagerecht. Den vierstieligen Rahmen schneidet man nach Abb. 5 in der Mittelöffnung im Abstande cx von der Stütze B durch; um das Maß f von der Balkenachse entfernt werden unter der Schnittstelle die senkrechte Kraft Xa, die unter dem Winkel cp gegen die Wagerechte geneigte Kraft Xb und das Moment Xc eingeführt. Das Hauptsystem besteht

A' ß

*U-

6ß

Abb. 6.

Abb. 5.

den beiden Zweigelenkrahmen AA‘ B‘B und CC‘ D‘D] Cv f und cp sind so festzulegen, daß öac, öbc und dab = o werden. Bei symmetrischer Ausbildung des Trägers rückt der Angriffspunkt der Unbekannten in die Symmetrieachse und cp

MF7

aus

—Cf

TPCT

■ä-f-

Xa

Abb. 7.

'r~ct

Xa

Abb. 8.

wird gleich Null. In entsprechender Weise wie der vierstielige Rahmen werden die Rahmen mit höherer Stützenzahl berechnet. Den fünfstieligen Rahmen zerlegt unter Einführung der Kräfte Xa, Xb und Xc in einen zwei- und einen

c -*i

man

F - c -

TJX

Je

mx»

Xa

Abb. 9.

dreistieligen Rahmen (Abb. 6), den sechsstieligen ebenso in zwei dreistielige (Abb. 7), den siebenstieligen in einen drei- und einen vierstieligen (Abb. 8), den achtstieligen in zwei vierstielige Rahmen (Abb. 9) usw.

Besonders einfach gestaltet sich auf

diese Art die Durchführung der Rechnung bei den Trägern mit gerader Stützenzahl, wenn sie wie in Abb. 9 symmetrisch angeordnet sind. Bei den Rahmen mit

ungerader Stützenanzahl kann es vielfach zweck- -    ____

X»

Abb. 10.

mäßig sein, die Unbekannten Xa und Xb wie bei dem dreistieligen Rahmen am Fußgelenk der Mittelstütze einzuführen. Dies empfiehlt sich namentlich <1 bei symmetrischer Anordnung, weil in dem Falle Xa senkrecht und Xb wagerecht angreifen (Abb. 10).

Ebenso schrittweise berechnet man die Rahmen mit eingespannten Füßen. Der zweistielige dreifach statisch unbestimmte Rahmen ist Hauptsystem bei der Berechnung des dreistieligen Rahmens, wenn man wie in Abb. 11 die Einspannung

c₂ —*»j

ff* t

Xc

]Xc

Xe

fStP”

Xb

X*

Abb. 12.

Abb. 11.

der Mittelstütze durch die Kräfte Xa, Xb und Xc ersetzt. Die Bedingungen = öbc — dab = o ergeben wieder den Angriffspunkt O der Unbekannten und die Neigung von Xb- Man kann aber auch ein aus einem zweistieligen Rahmen und einem statisch bestimmten Kragträger bestehendes Hauptsystem verwenden (Abb. 12).

Y Xx'c

Xb

-x*

ff«.

Abb. 13.

Abb. 14.

Ist Symmetrie vorhanden, so kommt man am schnellsten nach Abb. 13 zum Ziel, wenn man die Mittelstütze in dem Abstande f von der Balkenachse durchschneidet und dort die drei Unbekannten einführt; f bestimmt sich aus der Bedingung dic = o. Bei den Rahmen mit höherer Stützenanzahl schneidet man wie früher

den Balken in einer Öffnung durch

und nimmt unter der Schnittstelle die Kräfte Xa, Xb und Xc an. Abb. 14 zeigt dies für einen symmetrischen vierstieligen und Abb. 15 für einen fünfstieligen Rahmen.

!**■— Cf

TT~Xä

xc

Abb. 15.

Ist der Balken an einer Stelle durch ein Gelenk unterbrochen, so wird es durch die Kräfte Xa und Xb ersetzt; von diesen ist Xa senkrecht und Xb derart geneigt anzunehmen, daß dab = o wird. Xb wird wagerecht, wenn das Gelenk bei symmetrischer Ausbildung in der Symmetrieachse liegt. In Abb. 16 besteht das Hauptsystem aus einem zweistieligen und einem dreistieligen Rahmen. Die beiden nächsten Abbildungen stellen zwei symmetrische Fälle dar; und zwar besteht das Hauptsystem das eine Mal aus zwei statisch bestimmten Kragträgern

x>

Abb. 16.

Abb. 17.

und das andere Mal aus zwei dreifach statisch unbestimmten zweistieligen Rahmen. Abb. 19 zeigt noch einen vierstieligen Rahmen, dessen Balken in jeder KndÖffnung je ein Gelenk aufweist. Hier ist es vorteilhaft, den Balken in der Mittelöffnung

tA-

X*

-o-

X»

VIIaA'

f\7

-O

Xa

Abb. 18.

Abb. 19.

durchzuschneiden und zwei Dreigelenkbögen als statisch bestimmtes Hauptsystem zu wählen.

Bei den bisherigen Anwendungen sind sämtliche Stützen eines Trägers gleichartig ausgebildet: Entweder sind Fußgelenke vorhanden oder die Füße sind eingespannt. Es kann aber auch die Vereinigung beider Stützungsarten in Frage

kommen und noch eine Unterstützung des Balkens durch Pendelstützen oder wagerechte Gleitlager hinzutreten. Einige Beispiele hierfür unter Angabe der zweckmäßig zu wählenden Unbekannten zeigen die In Abb. 20 ist die Mittelstütze eine Pendelstütze; ihren Auflagerdruck führt man als Unbekannte und den zweistieligen Rahmen AA‘ C' C als Hauptsystem ein. Wird, wie in der folgenden Abbildung, der Balken über eine Endstütze hinaus verlängert und noch einmal durch ein wagerechtes Gleitlager

/ib

Abb. 20.

Abb. 20 bis 28.

C'

6<r

Abb. 21.

unterstützt, so kann dessen Druck als einzige Unbekannte gewählt werden.¹) In dem nächsten Beispiel treten zwei Unbekannte auf, wenn man den Rahmen A A‘ C‘ C als Hauptsystem ansieht (Abb. 22). Der Berechnung des in Abb. 23 dargestellten Trägers wird das statisch bestimmte Hauptsystem nach Abb. 24 zugrunde gelegt.

/T

ß'

jSZ

ul _sr

"X„

/]

X*

EtSdB____

ft

Abb. 22.

Abb. 23.

Abb. 24.

Ist keine Symmetrie vorhanden, so sind die statisclyUnbestimmten Xa und X\ außerhalb der Stütze anzubringen, damit öac = o wird. Das Hauptsystem des vier-stieligen Rahmens in Abb. 25 ist statisch bestimmt, wenn man Xa, X/, und Xc in der Mittelöffnung annimmt. Bei dem dreistieligen Rahmen mit gestützten

/J

ß' C ß'

iE

3t.

Abb. 26.

Abb. 25.

J5T

Xa.

Abb. 27.

Kragarmen wählt man die an dem Gelenk der Mittelstütze auftretenden Kämpferkräfte Xa und Xb zu Unbekannten (Abb. 26). Das aus dem Balken AE und den Stützen B und I) bestehende Hauptsystem ist dreifach statisch unbestimmt; um es zu berechnen, schneidet man in der üblichen Weise den Balken in der Mittelöffnung auf und führt unter der Schnittstelle die drei Unbekannten ein. Abb. 27 zeigt ebenso wie die vorige Abbildung einen symmetrischen Träger; das Hauptsystem wird aus zwei entsprechenden Teilen gebildet und untersucht, indem man den Auflagerdruck des Gleitlagers als Unbekannte und den zweistieligen dreifach statisch unbestimmten Rahmen als Untersystem verwendet. Das Hauptsystem des in Abb. 28 dargestellten symmetrischen vier-stieligen Rahmens mit Scheitelgelenk berechnet man nach Abb. 29, in welcher ein Zweigelenkrahmen als Untersystem und das Einspannungsmoment der einen Stütze als Unbekannte auftreten.

1) ln dem Kragarm treten neben der Endstütze sehr große Biegungsmomente auf, die es für die Praxis zweckmäßiger erscheinen lassen, dort ein Gelenk anzuordnen und die Verbindung zwischen Rahmen und Widerlager durch einen Schleppträger herzustellen.

Sind starke wagerechte Kräfte (Bremskräfte) zu übertragen, so kann es vorteilhaft sein, zur Entlastung der Stützen in Höhe der Balkenachse ein festes Auflager heranzuziehen. In Abb. 30 geschieht dies bei einem sechsstieligen Rahmen durch die wagerecht liegende Pendelstütze AB'. Die in ihr auftretende Längskraft ist die einzige Unbekannte, wenn man den Rahmen B B¹ 0‘ G als Hauptsystem ansieht. Ist der Balken, wie in Abb. 31, neben der Endstütze nicht

X*.

e-

Abb. 28.

Abb. 29.

ß'

ß'

<?'

t*> o

Abb. 30.

durch ein Gelenk unterbrochen, sondern bis an das Widerlager herangeführt und an dieses gelenkig angeschlossen, so treten dort zwei Kräfte Xa und Xb auf; sie werden als Unbekannte und der Rahmen als Hauptsystem eingeführt. Wenn Xa

senkrecht angenommen wird, kann die Neigung von Xb wieder derart ermittelt werden, daß dab = o.

Abb. 31.

Die Verwendung mehrstieliger Rahmen ist dadurch beschränkt, daß bei einer größeren Anzahl von Stützen die durch Wärmeschwankungen hervorgerufenen Beanspruchungen zu groß werden. Selbst in geschlossenen Räumen, wo die Temperaturänderungen sich in geringen Grenzen halten, wird man über sechs bis acht Stützen bei einem Träger selten hinausgehen. Demgemäß sind auch die Beispiele gewählt worden, da bei größerer Stützenzahl das Verfahren dasselbe bleibt; nur sind die zu wählenden Hauptsysteme in entsprechend höherem Grade statisch unbestimmt.

Bei den bisherigen Ausführungen sind starre unverschiebliche Widerlager angenommen worden. Es wird auch im allgemeinen nicht nötig sein, bei den Berechnungen darauf Rücksicht zu nehmen, daß die Fußpunkte der Stützen nachgeben; denn wie bereits auf Seite 3 hervorgehoben ist, kommen mehrstielige Rahmen nicht in Frage, wenn ein Nachgeben der Widerlager zu befürchten ist. Es kann sich nur darum handeln, daß sich wider Erwarten nach vollendeter Ausführung der eine oder der andere Kämpfer stark setzt und man die hierdurch hervorgerufenen Zusatzbeanspruchungen feststellen will. Zu dem Zwecke beseitigt man das Widerlager, das sich verschoben hat, führt seine Stützkräfte als Unbekannte

ein und legt ihrer Berechnung das so entstandene Hauptsystem zugrunde. Bestimmt man Richtung und Angriffspunkt von Xa, Xb und Xc derart, daß wie früher die Beiwerte dab, dac und dbc verschwinden (Abb. 4 und 11), so wird

Xb = ^- und Xe =

Xa =

La

Le

Öaa’

Hierin stellen bekanntlich La, Lb und Lc die virtuellen Arbeiten der Auflagerkräfte bei Eintreten der Zustände Xa, Xb und Xc = 1 dar.*) Da indes die Stützpunkte, welche dem Hauptsystem angehören, keine Verschiebungen erleiden,

dbb

ÖCc

sind die Werte Ija, Lb und Lc mit den Wegen gleichbedeutend, welche die Unbekannten infolge des Nachgebens des Widerlagers zurücklegen.

B. Die Bedeutung der Werte öma, ömb, ömß, öaa, dbb, dat, dbt und dct. In den Gleichungen dma

Xa=-P

dat

daa

■j—, Xb —

O nrt

T) dmb    $bt    r,

Obb    Obb

dmc dct

dCc

dcc

dmb 1

dmc die Wege der äußeren Last, gleichgültig, ob sie eine Längskraft oder ein Moment ist, und daa, dbb, de- die Wege der Unbekannten Xa, Xb, Xc bei den Kraftzuständen Xa= I, Xb= 1 und Xc = 1. Sie werden

bedeuten d

mfl)

bekannt, sobald die Verbiegungen des Hauptsystems unter dem Einflüsse der Unbekannten Xa, Xb und Xe ermittelt sind.

Bezeichnet man mit <5 die nach unten positiv zu zählende Ordinate der Biegungslinie des Balkens, mit T den Winkel der Biegungslinie gegen die Wagerechte, mit e die wagerechte Verschiebung eines Punktes der Balkenachse und deutet man den zugehörigen Kraftzustand durch die Zeiger a, b und c an, dann wird nach Abb. 32 bei einer Belastung des Balkens durch eine senkrechte Last P — day dmb = db, dmc — ö durch eine wagerechte Last Q in der Höhe k über der Balkenachse

dma ⁼ &a k • Ta, dmb ~ 6b k • Tb,

dmc ⁼ 6C k • Tc,

wenn man annimmt, daß Q nach links gerichtet ist und eine von links nach rechts erfolgende wagerechte Verschiebung e positiv gezählt wird, und durch ein rechtsdrehendes Moment M

4)    * dma = va, dmb — Tb, dmc = tc .

Die Einflußlinie für Momente erhält man demnach durch einmalige Differentiation der Gleichung der Einflußlinie für senkrechte Lasten. Dieser Satz gilt übrigens nicht nur für die eingeführten Unbekannten, sondern auch ganz allgemein für jede an dem Träger auftretende Kraft Xr, sie sei ein Biegungsmoment oder ein Auflagerdruck. Denkt man sich nämlich der Berechnung von Xr das Haupt-

2)    . d

3)    •    •

rna

ursprü/7gr//c/7e //öfie

der ßcr/Aencrc/rse

erz

Abb. 32.

1) Müller-Breslau: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, S. 210.

System zugrunde gelegt, das durch die Beseitigung der Stützung Xr entsteht, so wird für senkrechte Belastung

dr

j-P,

Orr

Xr=~

da Xr die einzige Unbekannte ist. Wenn jetzt rechtsdrehende Momente M an den Balken angreifen, erhält man

Da nun

xr=

^-M oder Xr =

Orr

dx

d dr

M, weil xr = —— ist.

dx

Örr

die Gleichung der Einflußlinie für senkrechte Belastung bedeutet,

ist Xr = y-M, wenn y den Neigungswinkel dieser Einflußlinie gegen die Wagerechte bezeichnet.

dmb>

ma y

Greifen äußere Lasten an den Stützen an, so können ihre Wege d ömc deren Biegungslinie entnommen werden; jedoch sollen die nachstehenden Untersuchungen auf den am Balken erfolgenden Lastangriff beschränkt bleiben.

Die Ausdrücke öat, dbt und dct geben die bei einer Wärmeänderung geleisteten Arbeiten bzw. zurückgelegten Wege der Kräfte Xa — I, Xb = i und Xc= i an. Ihre Berechnung erfolgt am schnellsten mittels der Beziehung

5)    •    •

dat = f £ ■ to    • ds+J£ •

• < dbt -/■ • t₀

dct =zfE‘to

Jt dM

dN

dXb

dN

dX

*ds-\-fe ■

r

- • ds -j- / £ •

C    d

d d Xa Jt dM d d Xb Jt dM

~cTJxc

■ds,

•ds,

■ds.x)

Hierin bedeutet t₀ die gleichmäßige Wärmezunahme eines Rahmenteils und /H den Wärmeunterschied (tu—1°) zwischen der untersten und obersten Faser des Balkens von der Höhe d. Von Temperaturdifferenzen 4t in den Stützen soll abgesehen werden.

C. Die Entwicklung der Grundgleichungen für die Biegungslinien des Balkens und der Stützen.

Die Biegungslinie ist durch die Beziehung

ilf

JE

d²ö dx²

Die

gegeben, in welcher M das den Stab beanspruchende Moment bedeutet, in einem Rahmenteil herrschende Normalspannung N übt auf dessen Biegungslinie keinen Einfluß aus, weil es sich hier um gerade Stäbe handelt; der Einfluß der Querkräfte ist unbedeutend und kann vernachlässigt werden. J ist das Trägheitsmoment.

In den Öffnungen des Hauptsystems, in denen die Unbekannten Xa, Xb und Xe nicht angreifen, läßt sich das durch sie in dem Balken hervorgerufene Moment auf die Form

i) Müller-Breslau: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, S. 95.

bringen. Momentenfiäche und Biegungslinie sind in den Abb. 33 und 34 dargestellt.

Integration der Gleichung

Bei der

ff

d²ö

a + b-x

E-J

dx²

sind die beiden Integrationskonstanten dadurch bestimmt, daß für x = o und für x = l die Senkungen ö — Ör bzw. Ör werden. Öl und Ör können

Ix

Abb. 33.

r

Abb 34.

die durch Normalspannungen verursachte Zusammendrückung der Stützen L und R als Grund haben. Die Integration ergibt:

6) .... d-dL

- + ÖR -r H

, x(l—x) l r 6 E-J

(3 a + b-l+b-x)

7)    •    •

_dö _ Ör — öl ( l^a + b-l) dx l

x{za-\- b-x)

6 E-J

zE-J

8) . .

Ör öL l(ia + b-l)

6E-J

9)    •    •

Ör — öl l($a+zb-l)

6 E-J

Xl und xr sind die Neigungen der Biegungslinie am Kopfe der linken und rechten Stütze.

Führt man an dem Fußgelenk der Zwischenstütze M eines Rahmens den senkrechten und den wagerechten Auflagerdruck Xa und X/, als Unbekannte ein, dann entstehen die in den Abb. 35 bis 38 dargestellten Momentenflächen und Biegungslinien des Balkens in den Nachbaröffnungen LM und MR.

Der Balkenteil LM habe die Spannweite lx, das Trägheitsmoment Jt und den Querschnitt Fx) die entsprechenden Maße des Balkens MR seien l₂, J₂

und E₂. Bei dem Zustande Xa = 1 ist das Moment

^ V, *

,FU\

& JA

4*

\l

eLa.

'JV

ff

Abb. 35.

^CC

e/ta.

Jta.

Abb. 36.

- dzd 1*—- 1 o--------

Sf

in dem Balken LM: M± = a₁ + bx • x und in dem Balken MR: M₂ = a₂ + b₂ • x, wobei a₂ = oq + \ • lx und b₂ — bx + ¹ ist.

Die Ordinaten der Biegungslinie bzw. ihre Neigungswinkel über den Stützen L, M und R seien di,a, dj\ia, dßa bzw.    T^a, XRa (Abb. 36).

Da

dMa = — (d

E-Fv,

wenn h die Höhe der Stütze und Fv ihr Querschnitt ist, ergibt die Anwendung der Gl. 6 bis 9, S. 11, folgende Werte für die Biegungslinie des Balkens:

Öffnung LM:

h \x t x(lt — x)

6E-Jt

h , k (3% + VM x{2ax + bt -x)

10)

da = ÖLa

daa

(sat + bi-h+^-x)

II)

d(u1 4" dLa

E-Fv-ll

12)

*La

daa 4~ $ La

6 E-Ji

k (3 <h + bi -k)

zE-Jl

E-Fv’lt

13)

T Ma —

deia 4" d La

6E-Jt

k (3«1 +2brk)

6E-J\

und

14)

da-~

daa

15)

Ta

daa 4- d iLi

^ E-Fv-k

Öffnung MR:

h \l₂—x    , x    x(l₂ —x) .

E • Fv)    l₂ + dlla k ⁺ ^EJ₂ (3«2 + b₂-k + b₂-x)

k (3 ^2 4" d₂ • l₂)

x (2 a₂ 4- b₂ ■ x)

l₂

E -Fv-1₂

16)

T Ma

daa 4" d La

6 E-J₂

k (3 a2 4" b-i' k)

zE- J₂

E -Fv • l₂

i7)

TRa

daa 4“ djia

li

öE-J₂

h (3 «2 + zb2 -k)

E -Fvk

6E-J₂

Bei der Berechnung der eintretenden Verbiegungen des Hauptsystems ist es nicht notwendig, eine etwaige Verschiedenheit des Balkenquerschnittes rechts und links der Stütze M zu berücksichtigen. Es darf stets für Jj und J₂ ein Mittelwert J, sowie für F₁ und E₂ ein Mittelwert F eingeführt werden. Die Gleichsetzung der beiden Werte xMa aus den Öffnungen LM und MR (Gl. 13 und

Gl. 16) liefert dann für daa folgenden Ausdruck d Ra ‘ k 4- d La.' k    ‘ k ' k

18) d

aa

E • Fv

k 4“ k

zEJ

k'k

bi ’k² ~ b-rk²

6 E • J (k 4- k)

Sind ßRa und ßRa die später noch zu bestimmenden wagerechten Verschiebungen der Stützenköpfe L und R und ist Na die in dem Balken LR herrschende Normalkraft, so gilt:

Na-k

19)

dab — &La 4

E-F

h • T]\fa

oder dab=eRa

Na-k

EF

b> • Tj\[a,

wenn

dab den Weg von Xb bzw. die wagerechte Verschiebung des Fußgelenkes M

der Mittelstütze bedeutet. Die unter dem Einflüsse einer senkrechten Kraft Xa = 1 erfolgende Verschiebung des Punktes M nach Ma setzt sich also aus einer senkrechten Strecke daa und einer wagerechten öap zusammen

(Abb. 36).

Ist Symmetrie vorhanden und greifen die Unbekannten Xa und Xb an dem Fußgelenk der Mittelstütze eines Rahmens mit ungerader Stützenzahl an (Abb. io), so wird

Na-l

E-F ’

^La ~ ÜRa > tLa ⁼    ^Ra > ^Ma ~ O, Öab = O, ßjrM =    —

wenn lx -=l₂ = l gesetzt wird, und weiter bx — —-J, b₂ —    Daher erhält man

20)

Öaa

E-Fv

La

6E-J

bzw.

Öaa

EFV

ÖRa

l² (3^2

6E-J ‘

Bei dem Zustande Xb — i mögen die Balkenmomente wieder durch

Mx =ax-\-b-x und

M₂ — a.₂ + b • x ausgedrückt werden (Abb. 37).

Hierbei ist a₂ — ax -f b -lx— h, während b für beide Öffnungen denselben Wert besitzt. Bei der Biegungslinie sind dieselben Bezeichnungen wie vorhin beibehalten worden; nur wird der Zeiger a durch den Zeiger b ersetzt. Da in der Stütze M keine Normalspannung herrscht, wird öMb =

Unter Benutzung der Gl. 6 bis 9 erhält nachstehende

1 ^ -J---. 3

TZ

’tfvb

R\

$ ab •

man

Werte für die Biegungslinie des Balkens:

-----

3EJ

/P

Abb. 37.

vfr-

dfib

Abb. 38.

21)    .    . db = öLb

k-

X s X --Oabir

Öffnung LM:

, X (4 — x) l ⁺ 6E-JX

(3 at + b ■ 4 + b • x)

Öab + ÖLb , h (3«l    X{2dx+b-x)

6E-JX

2E-Jx

23) • *Lb =

dab + dLb . 4 (3 ai + b ' 4)

24)    . TMb =

6E-JX

Öab+ÖLb ö (3«1 + 2b-lx)

6E-JX

bah

Öffnung MR: x(l₂—x) 4 ‘ 6E-J₂

(3a, + b-l₂ + b-x)

HjpGSRi #

2 6) .

. Tb

öab + äsb | h(ia2 + b’h) x(2a₂ + b-x)

27)    .

6E-J₂

^ab~\~^Eb . 4 (3 «2 + ^> • 4)

2 E • J₂

6 E-J₂

dab~\~ d^b 4 (3^2+ ²^-4)

6#.Ja

Setzt man die beiden Werte für Tj^b einander gleich, so findet man, wenn wieder Jt — J₂ — J angenommen wird:

dab

4+4 . dlib ‘ 4 + ^Lb • 4

4 (3«l + 26*4) +4(3«, + ^.4)

6 E-J

Da hierin «₂ durch (ax + Z> • 4 — Ä) ersetzt werden kann, wird

•Ä]

29) <U

6 E-J

Ist Nb die in dem Balkenteil LM herrschende Normalkraft, so gilt:

h'-ht 3E-J ’

30)    •    •

•    • ⁽hb = ßLb +

Nh-k

E-F

— h ■ TMb -f

wenn

J*

h durch h‘ und Fx durch F ersetzt wird. (Jv ist das Trägheitsmoment

der Stütze M.)

Die beiden für dab in den Gl. 19 und 29 gefundenen Werte haben nach

dem Maxwellschen Satze denselben Wert. Aus den schon eingangs erwähnten Gleichungen

0 = P-dma -j- Na • daa + Xb • dab + dai, 0 = P- dmb~\- Na • öab -f- Nb ■ dbh -{- Sbt

erhält man, solange keine Symmetrie vorhanden und öab nicht = o ist,

dat ' ^bb + d],t ’ $ ab

Xa

dma ‘ ^bb + dmb * dab

31)    •    •

daa • dbb — dab²

Öaa • dbb — dab-

Xb

dma ‘ dab

dmb ‘ daa

daa'dbb— dab²

dat ■ dab — dbt-d

daa * dbb — dab²

Führt man dagegen die beiden Unbekannten Xa‘ und Xj ein, von denen Xa‘ gleichgerichtet mit Xa und Xb senkrecht zu der durch Xa = I hervorgerufenen Verschiebung von M nach Ma angebracht wird (Abb. 39), so wird dab‘=o; man hat

dma dat

dz.CC

32) . .

Xa‘

daa

daa ’

-+y~

XJ

dmb dbt

•    ! \dab-cosy

VT

dbb‘ dbb'

Öi6 COSf--

Ö'ib

dma, dat‘ und daa‘ decken sich hierbei mit d

weil die

dat und d

Zustände Xa‘ und Xa gleich sind. Der Zustand Xb — 1 läßt sich durch eine

aa>

Verschiebungen des Punktes M nach MJ und MJ infolge XJ — 1 und XJ = 1. Abb. 39.

wagerechte Kraft i • cos cp und durch eine senkrechte, 2ia entgegengesetzt gerichtete Kraft i - sin cp darstellen, wobei cp = arc tang -2^- ist; daher wird

dma ' dab    dmb ' d

dmb¹ — — dma • sin cp -f- dmb • cos cp = cos cp

4a

33)

41 = — 4 f sin cp -j- dbt • cos cp = cos cp

dbb‘ = cos cp (— dab • sin cp -f dbb * cos cp) = cos² cp (Vgl. hierzu Abb. 39.)

dat ' dab “f⁻ 4< ' ^aa 4a

4a • 4ft — 4 6²

4a

Mit diesen Werten gilt:

4na' 4& ^mb ' 4a

4< ’ 4fc 4< ' 4a

COS cp (4a ' 4&    4fc^)

COS (jP (4a ’ 4ö 4fc“)

Berücksichtigt man nun noch, daß

Xa = Al«' — Xb • sin 9? nnd

Xb = -XV • cos cp ist, und setzt für 2La‘ und    2i.b    die

Werte der Gl. 32    ein,    dann erhält man für Xa und Xb wieder die Gl.    31.

Wenn man    von    der Bedingung ausgeht, daß dab=o sein soll, kann    man

die    Unbekannten    Xa‘    und Xb‘ auch noch anders wählen als in Abb.    39    an

gegeben ist. Nimmt man Xb‘ gleichgerichtet mit Xb an, so muß Xa‘ senkrecht zu der durch Xb= I hervorgerufenen Verschiebung MMb stehen; oder es werden

¹

Müller-Breslau: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, S. 209, §20.

Xa und Xb schräg gerichtet, jedoch aufeinander senkrecht stehend eingeführt.

Wie aus der Betrachtung am Eingänge dieses Abschnittes hervorgeht, wird in der großen Mehrzahl der Fälle der Balken in einer Öffnung durchschnitten, so daß der Grad der statischen Unbestimmtheit bei dem Hauptsystem wesentlich herabgemindert wird. Die senkrechte Kraft Xa, die zunächst wagerecht angenommene Kraft Xb und das Moment Xc stellen den ursprünglichen Zustand wieder her; der Angriffspunkt der drei Unbekannten ist um das Maß f unter die Balkenachse nach O verschoben (Abb. 40). Die Abstände cx und c₂ des Punktes O von den beiden Nachbarstützen L und R sowie die Länge f lassen sich stets so bestimmen, daß zwei von den Beiwerten dab, 4c und 4c zum Verschwinden gebracht werden. Soll auch der dritte gleich Null werden, so kann dies später dadurch geschehen, daß Xb nicht mehr wagerecht, sondern schräg gerichtet angenommen wird. Hier sollen und C₂ aus der Bedingung 4c = ° und f aus der Bedingung 4c — ° ermittelt werden.

Die Abb. 41 bis 43 zeigen die Verbiegungen des durchschnittenen Balkenteils unter dem Einfluß der drei Unbekannten. Die Verschiebungen der Stützenköpfe L und R seien durch 6r, Ör, &R und Tr, Xr unter Zusetzen der Zeiger a, b und c gegeben und aus den Biegelinien der Nachbaröffnungen bekannt. Bei dem

Zustande Xa = 1 (Abb. 41)

wird das den Balken beanspruchende Moment Ma = Die Integration von

(Ci—x).

-E-J

d* 4

dx²

--(Ci— *)

oc

*c

Abb. 40.

Vt

Jr^'%

_L_4^-

iTr-r"]

2fe“

!£a

Abcc

4ccc

Abb. 41.

^a. t +■—J ~*dzd

—i^L

~f

*Tb

%>&

Vl

d?b

-*1

.*%

i~

“f

Abb. 42.

Z Lc

4df"

7t

"I

±m

<k

45

,    f4r*

K<?*H    ¹

Abb. 43.

ergibt für den linken Ast von x — o bis x = cx:

x(2ct — sc)

34)    •    •

Va

d<5«

dx

lLa-\

2E-J

und

35)    •    •

•    • da — ^La 4" ^La ' 2C 4

XA

2 E • J 6E-J’

da die beiden Integrationskonstanten dadurch festgelegt sind, daß für x — o der Winkel der Biegungslinie Ta = Tjm und die lotrechte Verschiebung da = d/M ist. Für x — Ct wird

c 1²

2E-J

und    da = dSa = dLa + rLa • cx 4

Ci³

3 EJ

Entsprechend erhält man für den rechten Ast von x = bis x—l:

VRa-1

36) • •

dda

(l — x) (2 c₂ — 14- x)

dx

2E-J

und

37)    •    •

da — dRa    TRa (l    x)

c₂(l—x)² (l — x)³

2 E-J

6 E-J

Für x = ct wird

,-a~T'Ta ⁼ TRa~\

c₂²

da — dfa — dRa    L Ra ‘ C\₂

Soll nun öac — o werden, so muß Tsa — TTa sein, daher

2EJ

und

G³

3E-J

T La

G²

TRa 4

Hieraus erhält man folgende Gleichung zur Bestimmung von und c₂:

38)

l (l— 2 t\) = 2 E-J(TLa — TRa).

(xRa und rRa sind aus den Biegelinien der beiden Nachbaröffnungen bekannt und enthalten cx bzw. c₂ in erster Potenz.) Man findet weiter:

39)

daa = dsa — dTa = ÖLa — ÖRa + T La * C\ + TRa - C₂ +

ci³ + c2 ³

3 E-J

und

40)

dab —    6La 4" T Si ’ f 4~ &Ra T'Ta ' f oder

dab ~ & Ra    @La > *3a Tga = Tfa ist.

Bei dem

Zustande Eb = 1 (Abb. 42)

wird das Biegungsmoment des Balkens Mb = — f. Durch Integration von

— E-J

d²db

dx²

—f

findet man für den linken Teil von x=o bis x = Cy

ddb

■ *b = -7— = TLb i

41)    .    .

f-x

dx

E-

, sowie

42)    .    .

-    . Öb = dLb + TLb • X 4

x²

2E J

und entsprechend für den rechten T eil von x = cx bis x = l

ddb

43)

m-x)

E-J

, sowie

44)    •    •

Für X = Cl wird

links: rsb = xLb 4

-    . db = dRb — rRb • (/ — x) 4

f- (l — x)²

2 E-J

-J , dSb = dLb 4- TLb • G 4

f-C 1³

2E-J

und

rechts: TTb=TRb

E-J

, öTb = öRb — rRb - c₂ 4

f'C2²

2E-J

Soll nun öbc = o werden, so muß Tsb — Trb sein, daher

E-J (TRb — TLb)

45) • •

Ferner ergibt Abb. 42:

dbb= — ßLb 4- Tsb • f J- eRb — TTb-f 4

E-F ’

da

E-F

die durch Xb = i bewirkte Zusammendrückung des Balkens ist; mithin

46)

Öbb = ßRb — &Lb

E-F

Für öab findet man:

dab = (hb — Öfb = $Lb — dRb + *Lb * C\ + TRb ' C₂ + f

ex ² — c₂ ²

2EJ

Setzt man hierin für f den Wert aus Gl. 45 ein, dann wird:

VLb + 'tRb

47)    •    •

■    • dab ⁼ dLb — $Rb 4~ l

Der Zustand Xe — 1 (Abb. 43) ergibt das Balkenmoment Me= — I. Durch Integration von

— EJ

d~dc

dx²

erhält man für den linken Teil von x — o bis x = ci

T£e+ihf

48)

d dc

dx

dc = dLe + tlc • x + und für den rechten Teil von x — Cy bis x—l

49)

x²

2E-J

50)

ddc

r°— dx

TRc E-J

51)    •    •

de = dRc

^Rc‘{l — X) -f

(l—x)²

2 E-J

Für x — Cy wird

links: TSc = Llc 4

O

¹    , dsc^dLc + TLc- Cy 4

G²

E-J

2E-J

und

rechts: tTc = *Rc

ß»2

ih'

G²

2E-J

Soll nun dac — o werden, so muß dse=drc oder

5²) • • •    dLc—öRe 4- Tlc • Cy 4- Trc ' C₂ =

/ (l—2Cy )

2E-J

sein.

Hieraus erhält man für Cy bzw. c₂ denselben Wert wie aus Gl. 38. Die Bedingung öbc = o erfordert

CLc — & Re

Vsc — VTc

0= —eLc + TSc-f+ eRc — TTc-f und ergibt f

Da nun

53)    •    •

• dcc — T gc    Tj-q — Tjj. XRc 4

E-J

wird

54)

&Lc — ßRc

dcc

Dieser Ausdruck liefert dieselbe Länge für f wie Gl. 45.

Es sind jetzt sämtliche Beiwerte der Grundgleichungen 1 auf Seite 3 zur Bestimmung von Xa, Xb, Xc bekannt. Da dac = dbc = o ist, hat man

wie

Benutzt man statt Xa und Xb die beiden Unbekannten Xa‘ und Xb, von denen wie in Abb. 44 Xa‘ gleichgerichtet mit Xa und Xb‘ unter dem Winkel

dab

Xa

Vma ' ^bb “f" vmb * $ab

dat * dbb + Öbt • Öab

xb

daa • dbb — dab2 4n<* ' ^ab    ^mb ‘ 4ta

4ia • ⁽hjb — dab²

dat ‘ $ ab    $bt" 4xa

daa ’ °bb    dab²

daa • ^66 — 4ift²

99 = arctang-r— gegen die Wagerechte geneigt ist, so wird öab = o, und man erhält:

56) • • • -X.'-

d-ma 4i

daa

und Xb

Ömb Öbt

dbb Öbb

Wie auf Seite 14 ist auch hier dma'—dm

<W = Oa

dat=dat, ferner

<W = — äma • sin Cp + Ömb - COS (p , öbt = — dat■ sin 9? -f dbt • cos cp und

dbb — cos 99 (— dab • sin 99 + dbb • cos cp) = cos²cp

daa • dbb — daf,²

daa

In Abb. 44 sind die Verschiebungen der beiden Kraftangriffspunkte 0 unter dem Einflüsse der Kräfte AY= 1 und Xb = I dargestellt. Der Zustand Xa‘= I deckt sich mit dem Zustande Xa = 1; es werden die Bewegungen 0Sa‘ und 0Ta‘

Kffr)

r»i

An s*rcosr

pp-—

^ccb

- r~ /

Xa,

Abb 44.

hervorgerufen. Der Zustand Xb = I entsteht durch eine wagerechte Krafhl • cos 99 und durch eine senkrechte 1 • sin cp. Werden infolge des Einflusses von Xb = I die Strecken 0Sb und 07* zurückgelegt, so verschiebt die wagerechte Komponente I • cos cp die Punkte 0 auf diesen nur bis P und Q und die senkrechte Komponente von dort, parallel 0Sa und 0Ta, nach Sb und Tb, die in einer Wagerechten liegen. Die Projektion A B von Sb Tb auf die Richtung von Xb ist dbb und, wie sich leicht nachweisen läßt, gleich der Projektion CD von PQ auf Xb.

Durch Xa = Xa‘— Xb‘ - sin cp und Xb = Xb • cos cp sind die Beziehungen zwischen Xa und Xb einerseits und Xa‘ und Xb anderseits geregelt. Für Xc bleibt die Gleichung

WC

dct

^cc $cc

bestehen, wie auch Xa‘ und Xb‘ gewählt werden mögen.

Wesentliche Vereinfachungen der vorstehenden Gleichungen ergeben sich, wenn Symmetrie vorhanden ist und die Unbekannten in der Symmetrieachse angreifen (Abb. 45 bis 48), da dann

$ La —    ^Ra >

&La —' &Ra i VLb = — ßRb, ^Lb = — cRb, &Lb = ORb ßLc = — eRc , Vlc = — Tjic , Ölc = Örc

fLa — T'Ra >

und

ist.

Es wird c, = C₂ = C und da6 — o, so daß Xa‘ und Xb mit Xa und Xb zusammenfallen. Nach Gl. 45 wird

57) • •

f=

E • J • T jj,

und nach Gl. 54

58)    •    •

2 &Lc

Ferner findet man für den

59)    • •

Zustand Xa = 1 (Abb. 46) 2 c³

3aa — 2 • <?£a -f- 2 • T^a • C -f

3 E-J

60)    .    .

dSa

r“ dx

x (2 c — x)

2 E-J

für beide Hälften und

6l)    .    .

aa

x- + sJ

— x x(c — x)(2C

x)

6 E-J

für die linke Hälfte von x = o bis x = c, bzw.

2 c —

62)    .    .    . öa = — dat

2C

X    C — X X (c — x)(2C — x)

~ + °La    '    6^7-j-

für die rechte Hälfte von x — C bis x— 2C.

Wert c)aa aus Gl. 59 hereingebracht worden.

Der Zustand Xb— 1 ergibt (Abb. 47):

In die Ausdrücke für da ist der

63)

dbb = — ² ßLb 4

2C

E-F

64)

ddb

-J— — TLb dx

f(c — x)

E-J

f-x(2C — X)

db = ÖLb

Gl. 64 und 65 gelten für die ganze Öffnung von x — o bis X—2C.

Der Zustand Xc — 1 liefert (Abb. 48):

65)

2E-J

(Parabel).

66) . .

2C

E-J ’

ferner bei dem linken Teil von x — o bis x — C

67)

dA

r° dx

fix 4-

E-J

oc ^

68)

<1 = dLc + TLc-X-i--^r—T

2 L-J

und bei dem rechten Teil von x = c bis x = 2c

69)

döc

c~dx~ lLc

EJ

70)

4 = d.Lc+ VLc (2 c

x) -f

(2 c — x)'²

JC

•09-5

__i

Abb. 45.

\^£C

rx?

k-

Abb. 46.

*«.=1

yf\

f*—•

-*r

Xd=7

Xb-7

-5»-

Abb. 47.

Zc-l=

4?7r

I /7c

I ¹

Xc=7

Xc = 7

Abb. 48.

/ ^cc \

Ist der Balken in einer Öffnung LR durch ein Gelenk unterbrochen, das von den Stützen L und R die Abstände cx und c₂ hat, so wird dieses durch die beiden Unbekannten Xa und X\, ersetzt. Xa wird senkrecht und Xb zunächst wagerecht angenommen, so daß es mit der Balkenachse zusammenfällt

(Abb. 49). Der Zustand Xa = 1 unterscheidet sich nicht von dem soeben behandelten Zustande Xa — 1; die dort für xa, da und öaa abgeleiteten Gleichungen

^bb

ab

34> 35. 3⁶. 37 und 39 gelten daher auch hier. Für dab erhält man ebenfalls

dab — 6Ra    @La >

Öab

cp = arc tang— hat hier denselben Oaa,

Wert wie dort. Die unter dem Einflüsse der in der Balkenachse angreifenden Kraft Xb — 1 eintretende Verbiegung des Balkenteils LR zeigt Abb. 49. Die Biegungslinie besteht aus zwei geraden Teilen, von denen der linke um den Winkel xRb und der rechte um den Winkel xRb gegen die Wagerechte geneigt ist. Es wird .    . dab = dLb — djib -f xLb- cy -f xRb • c₂

*b

rr

Abb. 49.

7?

71)    .    .

und

72)    .    .

. . dbb = eRb — ßLb T

EF

Nachdem der Einfluß einer senkrechten und einer wagerechten Kraft untersucht worden ist, lassen sich die Verbiegungen für jede beliebig gerichtete, im Gelenk angreifende Kraft feststellen. Es können wieder die Unbekannten Xa‘ und Xb‘ eingeführt werden, von denen XJ senkrecht steht und Xb unter dem d^

Winkel cp = arc tang -r— geneigt ist, so daß dab —

Vaa

Die vorstehend abgeleiteten Gleichungen gestatten eine schnelle Bestimmung der Biegungslinien des Balkens bei den Zuständen Xa — 1, Xb— I und Xc— 1,

o wird.

die am häufigsten bei der Berechnung der mehrstieligen Rahmen zur Verwendung gelangen. Es erübrigt noch, entsprechende Beziehungen für die Stützen aufzustellen. Hierbei sind zwei Fälle zu

rV

iS/

strr~~

unterscheiden. Ist ein Fußgelenk vorhanden (Abb. 50), so wird das Biegungsmoment

Jv\

¹ >i

'Jt

M= — H-y,

7i

7t.

sr

Abb. 50.

//

mm.

XL

wenn H den Horizontalschub am Fuße und y den Abstand des betreffenden Querschnittes von diesem bedeutet (Das in einer Stütze auftretende Moment wird

positiv gezählt, wenn in ihrer rechten Seite Zuspannungen entstehen). Der Neigungswinkel Xg des Stützenkopfes ist aus der Biegungslinie des Balkens bekannt. Die Integration der Differentialgleichung der Biegungslinie ergibt

Abb. 51.

73)

SU &

h² — y²

zE-Jv

und

74)

d = TS-y — H

h- • y

zE-Jv

, 77 yz .

^ 6E-JV’

der Stützenkopf verschiebt sich um das Maß

es — 'ts-h— H

h³

3 E-J*

von links nach rechts.

Ist die Stütze am Fuße eingespannt und bezeichnet Y das Einspannungsmoment (Abb. 51), so wird in der Höhe y das Biegungsmoment

M= Y-H-y.

dö

Da für y = o sowohl — =0 als auch d = o, gilt:

dy

75)

76)    .

₌ _Y_y__,

EJ^

d= — Y———

2E‘Jv

H—~~T

zE-F

, njL

r 6E-J*‘

und

Für y = h wird t s =

y h

E-Jv

zEJv

und

es=-Y

h²

h³

zE-Jv

6E- Jv

Als Probe bei der Anwendung kann gelten, daß der hier errechnete Wert für Ts gleich dem Winkel der Biegungslinie des Balkens an dem Stützenkopfe sein muß. Die wagerechte Verschiebung eines beliebigen Punktes der Balkenachse ist

77)

e = es-f

N-x

E-F ’ wenn es die wagerechte Verschiebung des links von dem Querschnitt liegenden Stützenkopfes und N die Normalkraft in dem betreffenden Balkenteile bezeichnet.

Auf Grund der vorstehend abgeleiteten Beziehungen liegen die Gleichungen für die Biegungslinien und damit die Einflußlinien der Unbekannten Xa, 7Kb und 7KC fest, sobald die in dem statisch bestimmten oder unbestimmten Hauptsystem wirkenden Kräfte und Momente bekannt sind. Der Ermittlung der Unbekannten folgt die Berechnung der übrigen an dem Träger auftretenden Kräfte nach dem bekannten Gesetze

7 8)

S = S₀ + Sa • 7Ka + Sb-7Kb + S₀- 7K

indem die in dem Hauptsystem durch die äußeren Lasten und durch die Unbekannten hervorgerufenen Anteile zusammengezählt werden.

Abschnitt II.

Anwendungen des Verfahrens unter besonderer Berücksichtigung der symmetrischen Rahmenträger mit gleich hohen Stützen.

Die Ausführungen des I. Abschnittes sind im folgenden durch einige Beispiele ergänzt. Da sie in etwas größerer Zahl gebracht werden, als vielleicht die Erläuterung des Verfahrens bedingt, werden gleichzeitig geeignete Unterlagen für die schnelle Berechnung von solchen Rahmen geschaffen, die in diesem Abschnitt nicht näher behandelt sind; denn verwendet man die hier untersuchten Träger dort als Hauptsysteme, so sind die in diesen auftretenden Kräfte von vornherein bekannt.

Der Mehrzahl der Beispiele liegt symmetrische Anordnung zugrunde, weil sie für die Praxis fast ausschließlich in Frage kommt. Zur Vereinfachung der Endergebnisse werden bei sämtlichen Stützen eines Trägers gleiche Höhe h und gleicher Querschnitt (Fv, Jv) vorausgesetzt; auch werden häufig gleiche Feldweiten l und ein gleicher Querschnitt (F, J) für den Balken in seiner ganzen Länge angenommen.

Die Bezeichnungen des I. Abschnittes werden beibehalten. Von den an den Kämpfern auftretenden Kräften werden die senkrechten Auflagerdrücke mit A, B, C, I) . . . ., die wagerechten Auflagerdrücke mit Ha, Hb, Hc, Hd .... und die Einspannungsmomente mit Ya, Yb, Ye, Yd - - - • bezeichnet; die Schübe H bzw. die Einspannungsmomente Y werden positiv gezählt, wenn sie von links nach rechts gerichtet bzw. rechtsdrehend sind (Abb. 50 und 51). Die Zugehörigkeit zu einem der Zustände Xa = L Xb = 1 oder X₀ — I wird durch die Zeiger a, b oder c gekennzeichnet, z. B. Bb, I)a, Hae, Hda, Yeb ■ - - ■ Die Stützkräfte des Hauptsystems infolge äußerer Lasten erhalten den Zeiger o, z. B. A₀, Hi₀ • • • •

A. Rahmen mit Fußgelenken.

1. Der zweistielige Rahmen.

Der in Abb. 52 dargestellte Zweigelenkrahmen ist einfach statisch unbestimmt. Ersetzt man das feste Gelenk B durch ein längsbewegliches Lager und führt an diesem den statisch unbestimmten Horizontalschub Xa ein, so verbiegt

dieser das Hauptsystem nach Abb. 53. Dem Zustande Xa=i entsprechen die Auflagerdrücke    Aa = Ba = o, Haa = I, Hba = — I,

die Momente    Ma = — y in der linken Stütze,

Ma = + y in der rechten Stütze,

die Normalkraft

Ma = — h in dem Balken und Na — — 1 in dem Balken.

<N

r>

) »V,

SV'

i.j

, F?JV

_ F^JV

fl

Ai

Zusfar?c/Xa=7 \

Abb. 52.

tt;”

Abb. 53.

Die Gl. 6 bis g S. 11 liefern die Biegungslinie des Balkens. Da 4ta—dßa= o, a— — h und b — o ist, wird

h-x (l — x)

2 E-J

*a= —

h-l

h(l— 2 x)

2 E-J E-J

2E-J

h-l

Die Abb. 53 ergibt

2 h² • h‘

wenn

Jv

-h = hl gesetzt wird, oder

3)    •    •

• 4a =

h² (31“ + 2h‘)

3 E-J

WO

3 E-J

l“

E-F ’

Z(I+ F-h*)

Senkrechte Lasten.

■*a =

Greift P innerhalb der beiden Stützen an, so ist <5

^ma

ma —

öa; daher liefert

4a

P:

4)    •    •

- - xa-

3 x{l — x)

2 h (31“ + 2 h‘)

-P^Ha=-Hb.

Die Einflußlinie für Na ist demnach eine Parabel mit der Pfeilhöhe

3 l²

Werden die Kragarme belastet, so ist

dma —

h-l-g

zE-J’

wenn £ die Entfernung zwischen P und der nächsten Stütze bedeutet. Mithin wird

3*-$

2 h (3 /" + 2 h‘)

.p = Ha = -Hb.

Die senkrechten Auflagerdrücke A und B sind statisch bestimmt und entsprechen denen eines Balkens auf zwei Stützen.

Wagerechte Lasten.

Die wagerechte Verschiebung des Punktes x der Balkenachse unter dem Einfluß von Xa—- ¹ ist

6« ⁼ f'Aa ‘ h

h²-h‘

l — 2X

3 E-J

E-F

Infolgedessen wird

dma — &a k ’ Ta — d

l — 2X

k-h{l — 2 x)

2EF

2E-J

dm

Mit Xa =---Q erhält man:

O/7 n.

Xa =

3 (/ — 2X)

3 k(l — 2X)

2 h (3 V¹ + 2 h‘) ¹ F-h² 2 (3 l“ 2 h‘)

■Q.

Bei dem statisch bestimmten Hauptsystem wird Ilao—Q und Hbo = o; daher

Ha-Q + Xa =

6)

Hb=- Xa =

3 k(l — 2X)

2 h (3 l“ + 2 h‘) n F-h²    2 (3P -j- 2 h‘)

3 k(l — 2 x)

2 h (3 l“ + 2 h‘)

3 (l —2 x)

___3 {l — ² x)

F-h²    2(3 l"-\-2h‘)

■Q-

Greift Q links von den Stützen an, so ist in diesen Gleichungen x = o

zu setzen; man erhält

7)

Ha= -_2

Hb= [1 +

² h (3/" + 2 h')

F-h*

2 (3 l“ + 2 h‘)

• Q und

3 k-l

2 h(3 l“ + 2 h‘)

F-h²    2 (3 l‘‘ -f- 2 h‘)

Wirkt Q an den rechten Kragarm, dann setzt man in Gl. 6 x = l und findet

H„= - +

3 k-l

8)

2 h (3 l“ -j- 2 h‘) F-h²    2 (3 l“ -f 2 h‘)

■Q

Hb =

3 k-l

2 h (3 -f 2 &')

iP-Ä² ₂ (3 /" -f- 2 A‘)

Da die senkrechten Auflagerdrücke von der statisch Unbestimmten unbeeinflußt sind, ist

A= — B= Q

li + k

Am Balken angreifende Momente.

Mit öma ~ va wird

9)    •    •

- xa

3 (l — 2 x)

2 h (3 l“ + 2h‘)

■M= Ha = — Hb.

In dieser Gleichung ist x = o bzw. x = l zu setzen, wenn das Moment M die Kragarme belastet; mithin

io) .    .

Das obere -j- Vorzeichen gilt, wenn M links von den Stützen, das untere —, wenn M rechts von ihnen angreift. Ferner wird

• Xa=±

2 li (3 l“ + 2 h')

•M=Ha = -Hb.

A = — B= —

Am Stützenfuß angreifendes Moment.

Greift, wie in Abb. 54, am Fuße der linken Stütze ein Moment Y an, so wird dessen bei dem Zustande Ea = 1 zurückgelegter Weg:

&ma — Eia

h ■ li‘

h (l + h‘)

zE-J

zE-J

Dies ergibt

3 (J + Ä-)

■Y = Ha = ~Hb.

Abb. 54.

A und B sind wieder statisch bestimmt, und zwar

B=— 4- Y.

Gl. 11 ist von Bedeutung für den Fall, daß bei einem zweistieligen Rahmen die eine Stütze eingespannt ist und die andere gelenkig auflagert (Abb. 29). Man führt in dem Falle zweckmäßig das Einspannungsmoment Y am Fuße der Stütze als Unbekannte und den Zweigelenkrahmen als statisch unbestimmtes Hauptsystem ein. Sehr übersichtlich und einfach wird auch, wie sich später erweist, die Berechnung des dreifach statisch unbestimmten zweistieligen Rahmens mit eingespannten Füßen, wenn man von dem Zweigelenkrahmen als Hauptsystem ausgeht.

Wärmeänderung.

Durch Anwendung der Gl. 5 (S. 10) findet man:

Öat —    £ • to ’ l £ ‘

Jt

daher

12)

-Aat — Hat —    Hbt —

Senkrechte Auflagerdrücke treten nicht auf.

3 £• E • J- J tl

h² (3 l“ + 2 h‘)

d • h (3 V‘ + 2 h‘)

Die beiden Öffnungen haben die Spannweiten lt und l₂ (Abb. 55). Hauptsystem ist der einfach statisch unbestimmte Zweigelenkrahmen A A‘ C‘ C; unbekannt sind der senkrechte Auflagerdruck Xa und

2. Der dreistielige Rahmen.

a’ ^f,j ß’ ^ r,j

C’

A Abb. 55.

Xcu

der wagerechte Schub Xb der Mittelstütze B. nicht gleich N ull.

Da Symmetrie fehlt, wird öab Sobald dab berechnet ist, können entsprechend den Aus-

führungen auf Seite 14 die beiden Unbekannten Xa‘ und Xj' derart eingeführt werden, daß sie sich unabhängig voneinander ergeben, indem ö‘ab = o wird.

Zustand Xa = 1.

Es werden die Stützkräfte des Hauptsystems:

Aa=

4 4~ 4

Ca~-

4 4- 4

und nach Gl. 4 (S. 25)

H(ia — Hca —

²^(34" + 34" + ²^')

Diesen Auflagerdrücken entsprechen folgende Momente:

3 4 ■ 4

In der Stütze M.:

4+ = — #aa ' 2/ = +

2Ä(3 4"+ tW+2h-)

■V’

In der Stütze .£?:

In der Stütze (7:

— o,

44t — -^ca ■ y ~

² h (3 4" + 3 4" + 2 ä‘)

■V’

In dem Balken A' B': Ma = — Haa • h + Aa • x =    + ^1 * & >

3 4 ■ 4

2 (3 4" 4- 3 4" +² ä‘)

wo

und bx = —

4 4- 4

ist.

In dem Balken B‘ C‘: Ma =

Haa ' h + Aa • + (-^a + I) • tC =    4~ ^2 ‘ * »

wo

a₂ — +

² (3 4“ + 3 h“ + 2 ä*)    4 4~ 4

4 4~ 4

ist.

Ferner treten die Normalkräfte

4 4- 4

Na = +

Na — — 1

in der Stütze +,

in der Stütze B,

Na-~f

4 4- 4

44 = — Haa — 4- Hca

in der Stütze G und

2ä(3 4m f 3 4“ 4- 2ÄJ)

in dem Balken H'G' auf. Infolge dieser Normalkräfte werden die Ordinaten der Biegungslinie über A und G:

und <+a =

Durch die Gl. 10 bis 19 (S. 12) und Gl. 74 und 77 (S. 23) sind jetzt sämtliche Verbiegungen des Hauptsystems festgelegt. Es empfiehlt sich, hier schon mit den Zahlenrechnungen einzusetzen, wenn der Einfluß der Normalspannungen berücksichtigt werden soll. Will man ihn vernachlässigen, so lassen sich für die fraglichen Verbiegungen übersichtliche Beziehungen ableiten. Es wird 4" — 4 5 $Aa = 4ca = o und weiter

3 4 ■ 4

4" = /

² [3 (4 4- 4)4-2/?)]

sowie a₂

4 ■ 4 [3 (4 4- 4) 4- 4 ä']

² (4 4- 4) [3 (4 + 4) 4-² /+

Gl. 18 (S. 12) liefert:

^oa =

4²'4² [3 (4 + 4) + 4^‘]________

4 £ ■ </(4 + /₂) [3 (4 + 4) +² ^']    6 E-J (4 + 4)

oder

aa —

4 ² * 4 ² [3 (4 + 4) + 87/ ]

12 e• J(ix -f- 4) [3 (4 + 4) +² ^y]

Die Gl. 10 bis 13 (S. 12) ergeben für die erste Öffnung A B, wenn man beachtet, daß

4'4 [3 (4+4) — 4^']

2 (4 + 4) [3 (4 + 4) +² h ]

4 • 4 [3 (4+4) + 8 /&']_

2 (4+4) [3 (4 + 4) + ²^‘]

L 4*^(4 —g) [4 [3 (4 + 4) — 4/+ _ “ 4 6£,-t/(4 + 4) _ ² [3(4+4)+ ²^]

4'4 [3 (4 + 4) (4—4)—4ä'(4 + ²4)]

3«! + ^ -4

und

ist:

2) da= — daa -

3)

12 E-J (4+4) [3 (4+4)+²^]

2 £'+[3 (4+4) + 2£]

1__4 •_

2 E‘J{lx + 4) ’

T'Aa

4 ■ 4 [3 (4 + 4) (4

4) — 4^(4 +² 4)1

I2£.j(4 + 4)[3(4+4) + ²£]    ’

4 ■ 4 (4 — 4) [3 (4 + 4) + 8 ^‘]

12 E- j(it -f- 4) [3 (4 + 4) +²

Unter Benutzung der Gl. 14 bis 17 (S. 12) erhält man für die zweite Öffnung BC, bei der

3    + M₂ —

4 *4 [3 (4 + 4) + 8#]

² (4 + 4) [3 (4 + 4) +² A*]

und

3 «2 + ²V4 = 4

4)

4*4 [3(4 + 4) — 4^]

² (4 + 4) [3 (4+4) +² Ä-]

ist:

4-x(i₂—x) [~4[3(4+4) + 8£] _

6£.j(4 + 4) 2[3(4+4) +²£]

4*4 (4—4) [3 (4+4)+8£]

4*4 [3 (4+4)+4^],;r

12 £•</ (4+4) [3 (4+4) + ²^'l    ² £*^ (4+4) [3 (4+4)+²^]

L •x²

2£-j(4+4)’

Tßj siehe oben und Tca —

4*4 [3 (4 + 4) (4 — 4) + 4^y (² 4+4)]

12 £• e/(4 + 4) [3 (4 + 4) +² ^y]

Gl. 74 (S. 23) ergibt die wagerechte Verschiebung ea des Balkens, die bei

Vernachlässigung der Normalkräfte gleich der wagerechten Verschiebung der Stützenköpfe wird:

h²-li‘

ßa — &Aa — T' Aa ’ Ä

Setzt man die gefundenen Werte für und HL erhält man in beiden Fällen:

3 E-J

= ß Ca = * Ca ' h — El Ca

h² h‘

lE-J

bzw. Tca und Hca ein, SO

Nach Gl. 19 (S. 12) wird dab = ea— h'Tßa und nach Einsetzen der Werte für ea und vBa

h-h¹ • 4 ■ 4 (4 — 4)

2E J (4 + 4) [3 (4 d~ 4) +² ^y]

Zustand Xb — 1.

Es werden die Stützkräfte Ab — Cb — o und nach Gl. 6 (S. 26):

TT _    ¹ ■    3(4—4)

ab 2    2(34"+34"+2 Ä')

TT __ 4___3 (4    4)_

2    2(34“ + 34"+2Ä<)

(In der Gl. 6 (S. 26) ist das Vorzeichen des gesamten Ausdrucks zu wenden, da Xb nach rechts weist, und für k ist (—h) einzusetzen.)

Die Biegungsmomente werden:

In der Stütze A: Mb = — Hab • y

In der Stütze B: Mb——y

In der Stütze C: Mb = — Hcb • y

In dem Balken A‘B‘: Mi, = —Hab-h = al, wo

3(4 4)_

2    2 (34*'+ 3 4"+ 2h‘)

ist, und in dem Balken B' C‘: Mb = + Hcb- h = a₂, wo

a =___1-    3(4—4)    / 1

²    [2 ^ 2(34‘,+34"+²ä‘) \

Normalkräfte treten nur in dem Balken auf; sie werden in dem Balken A‘B‘\ Nb=—Hab und in dem Balken B‘C'\ Xb — 4~ Hcb.

Die Ordinaten der Biegungslinie über den beiden Endstützen sind — o, da Ab und Cb = o sind.

«1 =

i-f

i4

F-hV ’

F• h²,

F-h²

•h

■h ist.

Die Gl. 21 bis 30 (S. 13, 14) und die Gl. 74 und 77 (S. 23) liefern jetzt sämtliche Verbiegungen des Hauptsystems unter Berücksichtigung des Einflusses der Normalkräfte. Vernachlässigt man diesen, dann wird

3 4 + ^‘

3 (4+4) + ²^y

h{ik+h‘)

und Hcb =

34 4-Ä'

und

«₂ =

3 (4 + 4) + ² ^

/z(3 4 + /2y)

ferner

3 (4 + 4) + ²^‘

Gl. 29 (S. 14) ergibt für da& denselben Wert wie oben, nämlich

3 (4 + 4) + ² ^

li-h‘ -lx- 4 (4 — 4)

2 E J(ix 4- 4) [3 (4 + 4) +² h'~\

Mit den Gl. 21 bis 24 (S. 13) findet man für die

erste Öffnung AB:

fe(34 + fr)-s(4

² • J [3 (4 + 4) +² ^y]

^(34 + ^) (4 —-2g:)

2 Ü7- e/[3 (4 4~ 4) + ² ^y]

8)    ^    7-

*)

ii

dab

h’ 4 (3 4 + ÄO

und

4    2• e/[3(Zi —f-Z₂) —|- zh‘~\

h-lx( 34+ fe')

4    zE-J^ (4 + /₂) + ² ^y]

Entsprechend liefern die Gl. 25 bis 28 (S. 13, 14) für die

zweite Öffnung B C:

h($lx + h‘) x (4 — x)

2 i£t/[3 (4 + 4) + ² /*'] ’ fe(3 4 + h')(h— zx)

4 zE-J[3(4 + 4)+²^]*

^•4(3 4+^)

4    zE-+[3(4 + 4) + ²^‘]

+4 (3 4 ~\~h‘)

4 _r²    (4 + 4) +²

xBb =

10)    + = — dab

+36

und Tcb =

, 34-4(4 +4)+^'(4²+4²)

2 E-j(ix-\-i₂) [3 (4+4)+2^]

Öab

dab

dab

₌_^ 3 4 • 4 (4+4)+^'(4²+4²)

zE-j(ix+4) [3 (4+4)+²^]

Die Stützenköpfe und der Balken verschieben sich um das gleiche Maß eb. Gl. 74 (S. 23) ergibt nach einigen Zwischenrechnungen:

h² [3 4 • 4 + (4 + 4)]

6 E• J (4 + 4)

Jetzt kann auch dbb mittels Gl. 30 (S. 14) errechnet werden; man findet:

. . dbb = h²

3 4 ■ 4 +² & (4 + 4) + h'²

E-J[3 (4 + 4) +²

Nachdem so sämtliche Verschiebungen des Hauptsystems infolge der Kräfte _Xa= I und ,X&=l bestimmt sind, können diese mittels der Gl. 31 (S. 14) für jede am Balken angreifende Last ermittelt werden. Man kann aber auch, da jetzt der Einfluß jeder beliebig gerichteten, an dem Fußgelenk der Mittelstütze angreifenden Kraft auf das Hauptsystem bekannt ist, zunächst die Unbekannten Xd und Xb derart einführen, daß dab‘ = o wird. Nimmt man Xd senkrecht an, so ist der Winkel cp, um den die Richtung von Xb von der Wagerechten abweicht, durch die Bedingung

dab

6h -h' (4 — 4)

gegeben.

14)    .    . tang cp — -r—

Oaa

Die Ausführungen auf Seite 15 erläutern den Zusammenhang zwischen Xd und Xb einerseits und zwischen Xa und Xb anderseits, so daß darauf verwiesen werden kann.

Ganz wesentliche Vereinfachungen der vorstehend abgeleiteten Beziehungen ergeben sich bei gleichen Spannweiten, wenn also lx = l₂ = l ist.¹) dab wird — o; Xa‘ und Xb fallen mit Xa und Xb zusammen. Bei dem Zustande Xa — 1 sind

4 ‘ 4 [3 (4 + 4) + ⁸ ]

die Stützkräfte

+« —■ Ca —    -k , Haa — Hca —

4/2(3/ + /+’

und es werden die Biegungslinien:

In der linken Öffnung

15) da daa ₍ + 2/[E.J^l + h^ (I — x) [l-h‘+ x(^l + h‘)]

16)

*a= —

T'Aa —

4 E - J (3 / -f- h‘) l²-h‘

4 E - J (3 l h‘)

In der rechten Öffnung

17) da = — dM

18) xa —

[^(3/    2 h) 2x($l-\- h‘)\,

T' Ea — O.

x(l — x)

2\E J (3/+A') X [l (3 l + 2 h‘) — X (3 l + h')] AE-Jbl + k)

[7(3/+4&') — 2x(i l+h%

l²-h'

*Ba = O

rCa =

4 E■ J (5 l -f- h‘)

Ferner wird ea = o und

19) daa =

J³ (3 l + 4 ÄO

Bei dem Zustande Xb = 1 wird 7/^ = Hcb =— während Mj=C6 = o. Die Biegungslinien des Balkens sind

in der linken Öffnung durch

¹

In der graphischen Statik der Baukonstruktionen von Müller-Breslau ist im Band II, 2. Abt., S. 152 u. folg, der dreistielige Rahmen mit gleichen Spannweiten ebenfalls unter Zugrundelegung des Zweigelenkrahmens als Hauptsystem behandelt.

20) öb =

h-x(l — x)

ae-j ’

2l) Tb =

2 &•)

47;-/    ’

^Ab = — *Bb =

und in der rechten Öffnung durch

4 E-J

22)

<**-

h -x(l — x)

\ E-J ’

23)

Ä(Z

2 2;)

₄t;-7 ’

== —

/«•/

Der Balken verschiebt sich um das Maß

4 EJ

gegeben.

24)

eb =

h² (3 l + ² h‘) 12 E-J

; und es wird

25) dbb =

h² (l + h')

2 E-J

Es werden anschließend hieran noch die Gleichungen für die Einflußlinien der Stützkräfte in dem Falle gleicher Spannweiten l und bei Vernachlässigung des Einflusses der Normalkräfte bestimmt.

Senkrechte Lasten.

Da dma= da, gleich der Ordinate der Biegungslinie ist, erhält man mit dma

P:

Xa=-~

26) Xa = B = \~

x(l — x)

l /³ (3 Z + 4 hf)

[l(5l—2hl) — 2x{$l + h‘)] j • P

in der linken Öffnung,

Wird der Balken außerhalb der Stützen belastet, so ist — § • TÄa unter dem linken Kragarm und öma — + £• rCa unter dem rechten Kragarm, wenn s wieder den Abstand der Last von der Endstütze bedeutet. Hiermit findet man

28) Xa = B =

• P unter beiden Kragarmen.

27)

x(l — x)

/¹(3 l + 4h')

U (3 l + 4 h‘) — 2 X (3 L + h')] J • P

in der rechten Öfi'nung.

6 ä'-§

Xb= —

dmb

dbb

P liefert:

29) Xb = Hb = —

x(l — X)

• P in der linken Öffnung und

2h{l-\- h‘) x(l — x)

• P in der rechten Öffnung. Wird der linke bzw. rechte Kragarm belastet, dann gilt:

30) Xb = Hb=>

3Ö Xb = Hb = 4-

l-

2 h (l -\-h‘

P bzw. —

fr:

2 h (l + k)

•P.

Die übrigen Stützkräfte sind durch die Beziehungen

A = A₀ -f- Aa • Xa -f- Ab • Xb,

Hao “f- Haa • Xa -f- Hab * Xb,

........... gegeben.

A₀ . . . ., Hao • • • ., sind hierbei die in dem Hauptsystem, d. i. dem einfach statisch unbestimmten Rahmen A A‘ C‘ C infolge der äußeren Lasten auftretenden Widerstände. Sie sind durch die vorangehenden Untersuchungen bekannt. So ist z. B.:

A₀ = 1,0

Aa =

—jJ ' P in der linken Öffnung,

« ,p

in der rechten Öffnung,

A₀ =

(1,0 -f- —’P unter dem linken Kragarm und

V 21J

Aq ⁼

unter dem rechten Kragarm.

Ferner ist Aa = — 4 und Ab= o, so daß die Zusammensetzung für den linken Kragarm

32) • •

und für die linke Öffnung

2 / (3 / + 4 ti) 1 bol <3 / + 10 A') <f

■p

• P oder

x (l ■— x)

2 l 2 t 2 ls (3 l + 4 k)

[Z(3/— 2k)

2x(3/ + Ä/)]|- P

oder

33) A =

X (l — x)

[/ (3 l — 2 h‘) — 2 x (3 l + &')] j • P liefert.

2 l³ (3 / + 4 Ä')

Da der Gang der Zwischenrechnungen überall derselbe ist, bieten sie weiter kein Interesse und können daher unaufgeführt bleiben. Man findet für die rechte Öffnung

34) A = —

x (l — x)

[/ (3 1 + 4 Ä') — 2 x (3 / + *')] • P

2/⁸(3^ + 4Ä‘)

und für den rechten Kragarm (3 l—2h‘)-% p 2/(3/ +4P)

Die C-Linie ist das Spiegelbild der A-Linie; ihre Gleichungen nehmen folgende Formen an:

35) A =

Unter dem linken Kragarm

36) G= -

(3    2 h¹)- §

2 1(3 1 +4 h')

■P,

in der linken Öffnung

37) C =

x(l — x)

[03/

2 /* (3 l + 4h‘) in der rechten Öffnung

2 h) — 2 x (3 l + P)] • P,

x (l — x)

»

39) C— {1,0 +

Die Werte Hao und Heo sind durch die Gl. 4 und 5 (S. 25, 26) gegeben. Bei

2 l'A (3 / + 4P)

[/ (3 1 + 4 h¹) — 2 *(3 / + P)] [

unter dem rechten Kragarm

(3 l+ 10 P)£

2 Ö3 / + 4Ä')

• P.

■ P und

der Anwendung dieser Gleichungen ist zu beachten, daß im vorliegenden Falle

die Spannweite des Hauptsystems 2 • l ist und daß bei der zweiten Öffnung x durch (l -f- x) zu ersetzen ist. Es wird daher

unter beiden Kragarmen Hao — — Hco — —

P,

in der linken Öffnung

Hao — Hco —

2    Ä(3 / + P) 3x(2 l — x)

4 Ä (3 J H- Ä')

3    (l + x)(l — x)

• P und

in der rechten Öffnung Hao — — Hco —

Die bei der Betrachtung der Zustände Xa und Xb bereits aufgeführten Werte für IIaa, IIca, Iiah und Hcb sind

3 P

4h(3l + h*)

■P.

Hm =

-H.

ca

4 h (3 / + P)

und Hab = IIch = — -Jf.

Die Zusammensetzung liefert für Ha: Linker Kragarm:

Ha =

3 l²

6 P-£

l-

'Ire

2h(3l+h‘)    4 h (3 / + P) Ö3/ + 4P)    4 h(l-\-h')

• P oder

Ha =

4h (/+ h) (3    (3 /+4P)

[— 181²— 42 l-h' — 24 P² + 18 l h‘ + 18 P2 — gl²— 15 PP—₄P²]P

Die [ ] Klammer läßt sich zusammenziehen auf

—.27 l²— 39 l-h‘ — 10 h‘² — — (3 l-\-h‘){g l-\- \oh‘).

Mithin 40) Ha =

4 h [l + h‘) (3 l -j- 4 /*')

■P.

Linke Öffnung:

Ha = {

3 2; (2/— a?)

3 l-x

3x{l — x) [7 (3/ — 2 h‘) — 2x (3 1 + h¹)]

4h(^l+hi)    4^(3/ + ^

4^-/(3 l + h‘)(3 1 + 4h¹)

x(l — x)

4 h (l + h‘)

■ P oder

Ha =

x(l — x)

4h-1 (/ + P) (3/+^') (3 H~4^0

[3l(l + h‘) (3^+ 4^) + 3^(3^— 2h‘) (l+h‘) + l(3l + h') (3l + 4h%

— 6 x (3 / + h‘) (l -f h‘Y\ • P.

Die [ ] Klammer rechts wird = l(^1 + h‘) (gl -f- ioh‘)

■— 6 x (l + h‘) (31 + h‘); daher

41)

Ha

x (l — x)

4 h -    h‘) (31 + 4 P)

\l{gl-\- 10ti)— 6x (l -f h‘)\ ■ P.

Mittels ähnlicher Zwischenrechnungen erhält man:

Rechte Öffnung:

42)

Ha =

x(l — x)

4 h • / (l + h‘) (3 / -j- 4

[7(3 Z+4/2') — 6a;(Z + ^;)] • P

43)

Ha = -

l(3l+2h‘)^

Rechter Kragarm:

4Ä (/ + Ä') (3 / + 4^0

Die Hc- Linie kann als Spiegelbild der Linie gefunden werden, wenn man gleichzeitig das Vorzeichen wendet:

Linker Kragarm:

44)

Hc =

/(3/+ 2Ä')-|

4 h{l + h‘) (3^ + 4 h‘)

•P

Linke Öffnung:

45)

Hc= —

x (l — x)

4 h • l (l + h‘) (31 + 4 h‘)

Rechte Öffnung:

[7(3/ + 2h¹) — 6x(l-\-h‘)\ P.

46)

H₀=-

x(l—x)

4    h‘) (31 + 4 h‘)

[7(3 l + 4P) + hx (/ + Ä')] • P-

Rechter Kragarm:

47)

Hc =

/ (9/+ 10 h‘)%

4h(l + h‘) (3/ + 4ÄO

•P.

In den Abb. 56 bis 59 sind Einflußlinien von Xa = B, Xb — Hb, A und Ha dargestellt. Ihre Form wird durch das Verhältnis (l: h) und in geringerem Maße auch durch das Verhältnis (J:JV) beeinflußt; namentlich äußert sich dieses bei den H-Linien. Für h — h! = 00 werden Ha, Hb und Hc = o, während A, B und C den Auflagerkräften eines auf drei Stützen frei aufliegenden Balkens ent-

Xa /./nie

4^ Linie

-h

\fl = °o /?

Abb. 56.

v>

\r?l=0,sl

' Av Th«<x>(Ba/ken auf \\    JeStützen)

-1,0

■z

ff

y\

y/

Abb. 57.

Abb. 58.

4" h=

-v>

?i=0,5l

A Linie

/.

Linie

Abb. 59.

sprechen. Bei den Abbildungen ist (l:h) = 2 und («/: e/*) = 1 angenommen. Die Auflagerdrücke des Balkens auf drei Stützen sind zum Vergleich in den Abb. 56 und 58 eingetragen.

Wagerechte Lasten.

Nach Gl. 3 (S. 9) gilt:

$ma—    &a ^ ‘ G und Ömft— Cj) li • %}j.

h² (3 / + 2 Ä')

Hier ist ea=o und nach Gl. 24 (S. 32)

1 zE-J

; ra und tf, sind

durch die Gleichungen 16, 18, 21 und 23 (S. 32) gegeben. Mit

Xa = kf-Q und

Oaa

€b + k • Tb

⁽hb

nehmen die Gleichungen der Xa- und Xb~Linie folgende Form an:

Linker Kragarm:

Xa=B

6 • h‘ • Je

■Q

48)    .    .

l (31 + 4^”) h (3/+ 2h‘) + 3/c- /

6 /»(/ + /r)

•0

Linke Öffnung:

Xa=B =

49)    •    •

Xb = Hb =

6 A: (Z — a:)

^(3/+4/*')

3 14- 2 h‘ ] k{l—2 x)~ 6Ji+hF) ⁺ ₂h(l + Ji‘)_

\J ■ h‘ -f- x (31 -f- li‘)\ ■ Q

■Q

Xa=B

Rechte Öffnung:

6 k • x

5o)    •    •

Xb = Hb =

3 / + 2 h‘ k (l — zx)

\l(3l+²k) — x(3l + k)‘\-Q

6 (l + k) 2h (l + k)

Rechter Kragarm:

Xa — B

6 k -k

5i)    •    •

Xb = Hb

l(3 l+4h‘)

h(3l+2k) + 3k-l

6 h (l + k)

Die Formeln für die übrigen Stützkräfte sind nur für den Fall errechnet, daß die Lasten Q an den Kragarmen angreifen, da dies für die Berechnung des sechsstieligen Rahmens von Bedeutung ist. //a0 und Hco sind durch die Gl. 6 bis 8 (S. 26) gegeben, bei deren Anwendung man wieder beachte, daß die Spannweite 2-1 ist. Im übrigen bieten die Zwischenrechnungen nichts Neues; daher kann ihre Aufführung unterbleiben. Wird der linke Kragarm belastet, so gilt:

52) • •

h($l + 4k) + k(3l + 10k) 2l(?,l +4k) h($l+ 4*') + k(sl—2k)

21(31 + 4k)

■Q

Ha =

" 3^ + 4^'

k-l(gl+ 10 k)

Hc =

_i2(i + k) 4/1 (l+k) (3I+4k)

" 3^ + 4^

12(i + k)n 4h (l + k) (3I +4k)

k-l (3I+ 2k)

Q.

Bei Belastung des rechten Kragarmes erhält man:

C= —

h (3I + 4k) + k (3I— 2h¹)

2l(3l + 4k)

h(3l+ 4k) + k(3l+ 10k)

■Q

53)    •    •

2l(3l+4k)

■Q

Ha —

' 3I+ 4k

k • l (31 + 2 k)

He =

_i2 (l + k) ^ 4h (l + k) (31 + 4k)_ 3l + 4k k-l(gl+ 10k)

12 (l + k) 4h(l + k) (3I +4k)

Q.

Am Balken angreifende Momente.

Greifen am Balken rechtsdrehende Momente an, so ist deren bei den Kraftzuständen Xa — 1 und Xb — 1 geleistete Arbeit dma — xa bzw. ömb — rb.

Die Größe der auftretenden Stützkräfte kann man auch leicht aus den Gl. 48 bis 53 (S. 36, 37) erhalten, wenn man sich die oberhalb des Balkens angreifende Last Q nach der Balkenachse hin verlegt denkt und das linksdrehende Moment Q-k hinzunimmt. Man sieht dann, daß in diesen Gleichungen der Beiwert von k den Anteil des linksdrehenden Momentes Q • k an der Stützkraft

bedeutet, während durch die in der Balkenachse angreifende Last Q das andere, k nicht enthaltende Glied entsteht. Setzt man dieses = o und ersetzt k • Q durch (—M), dann erhält man die Größe der Stützkräfte infolge des rechtsdrehenden Momentes M.

Wird der linke Kragarm belastet, so wird demnach 31-\- 10 h‘

54)

2l(3l + 4k‘) 31 — 2 h1 2l{3l + 4h‘)

• M,

•M,

B = Xa

6 h‘

Ha

l(3l+4h‘) l(gl-\- ioh‘)

■ M,

Hb = Xb =

•M,

Hc

4h(l-\-hl)($l + 4h¹) l{$l+2ti)

■M,

2h(l-\-h‘)

während die Belastung des rechten Kragarmes ergibt: 31 — 2 h1 2l($l + 4h‘)

31-\- 1°^'

2l(sl + 4h‘)

A= —

■ M,

4h(l + h‘){3l+ 4h¹)

-M,

B = Xa =

6 h‘

■M,

55)

C=

M,

Ha=-

Hb = Xb =

2k(l + h‘)

•M,

Hc

43^ + 4^0

43 ^4~ 2 h¹)

4 h(l + h‘) (3Z+4&') l(gl-\-10 h‘)

4h(l + h‘)(?,l+4h‘)

M,

• M.

In der linken Öffnung wird

Xa

6(1—x) [l-h‘ Jrx($l-\-h‘)]

56)

Xb =

**(3*+4*0

l — 2X

■M,

2 h(l + h‘)

und in der rechten Öffnung

Xa

6 • x [7(31 + 2 h‘) — x (31 + h¹)]

57)

P(7,l-\-4h‘)

M,

Xb

l- 2X

2h(l + h‘)

■ M.

Dieselben Werte erhält man nach den Ausführungen auf S. 9, 10 durch einmalige Differentiation der Gleichungen der Einflußlinien für senkrechte Belastung. Bei dem linken Kragarm ist hierbei das Vorzeichen von £ zu wenden, damit £ mit X gleich gerichtet ist.

Wärmeänderung.

Gl. 5 (S. io) liefert:

Öat « * to [(—    — I — Ca) ‘ h — Hm{l^ + £,)]

h + Aa-x)dx+J° \Hca-h-\- Ca{l₂ — x)}dx •

-i3oa*

/(

J o

Beachtet man, daß die Summe der senkrechten Kräfte = o und daß IIaa = —II ca ist, so findet man, wenn man noch für Aa und Ca die der Seite 28 zu entnehmenden Werte einsetzt:

58)    •

Jt

• 3ai —    € • t₀ • Um (4 4~ 4)    ^ d ^~^aa ‘ ^44 4” 4) “t“ ¥ 4 ’ 41*

Da bei dem Zustande _X&=i in den Stützen keine Normalkräfte auftreten, wird

z/1    H    H

dbt ⁼ £ ' t₀{ Hai, •    -j- Hcb • 1%) -f- £    / Hab • Jl • dx -j- j Hcb

CL Jq    0

59)    .    . du =-{Hab-l₁ — Heb • l₂)(e • t₀-{- e~J- • h).

■h-dx oder

Bei gleichen Spannweiten und Vernachlässigung des Einflusses der Normalkräfte auf die Größe von Haa und d(m wird 3 e-t₀-l³

60)    .    . öat

und öbt — o.

Es ist also

6l) . . Xat — Bt =-

12 £ • E-J- Jt-h‘

und Xbt —■ o.

d-Uil+ 4^')

Mit Aot — Cot = o und Aa = Ca = — | erhält man aus At = Aot + Aa- Xat bzw. Ct = Cgt Ca • X-at'.

62)    .    .

At — Ct =

18 £ • E-J-to    6 £ - EJ- Jt -h‘

Ä(3i + 4Ä‘)    d-l(3l+4hl)

Nach Gl. 12 (S. 27) ist

Haot =    TI cot ~

3 s - E-J-to-l

3 e-E-J-Jt' l

^²(3^ + ä‘) d-hisl+h*)

Weiter ist Haa = — Hca

3^²

4Ä(3i +A‘)’

so daß Hat = Haot + Haa ■ Xat liefert:

63) •

• Hat — H-ct —

12£• E• J• to-l .    3®'H■ J'At• l

h²[ 3/ + 4Ä²)    d-h(3l+4h‘)

3. Der vierstielige Rahmen.

Es wird zunächst Symmetrie angenommen. Wie aus Abb. 60 zu ersehen ist, bezeichnen l die Spannweite, F die Querschnittsfläche, J das Trägheitsmoment der beiden Endöffnungen und 2C, F‘, J‘ die entsprechenden Werte bei der Mittelöffnung. Von den in der Mittelachse in dem Abstande f unter der Balkenachse angebrachten Unbekannten ist Xa senkrecht und Xb wagerecht gerichtet, während Xc ein Moment darstellt. Das Hauptystem bilden die beiden Rahmen A A‘ B‘ B und CC‘D‘D. öab und werden wegen der Symmetrie gleich Null.¹)

, „KJ

r,o

EX

*c

"c

Abb. 6o.

TP"

___i.

"Tä⁷

Abb. 61.

'-4>

Zustand Xa = 1.

Die durch Xa = 1 hervorgerufenen Stützkräfte sind: A - C

2ia---7

Ba= +

Ca

l+c

und nach Gl. 5 (S. 26)

Haa =

3 c-l

Hba Hca — ff da

Diesen Auflagerkräften entsprechen folgende Momente in dem Balken (Abb. 61):

2^(3/"-}- 2 h‘)

,r

?>a

*a.m*

"ca.

"da.

i. Öffnung: Ma=a-\-b-x, wo a=—Haa• h = -| und b = Aa = —^

3 C'l

2(3;"+ 2/4')

ist.

2.    Öffnung: Ma——(c — «).

3.    Öffnung: Ma = a + b-x, wo a =    • h -f T)a-1

3C-1

2 (3 V¹ + 2 h¹)

ist.

und b — — Da =

Die in den Trägerteilen auftretenden Normalkräfte sind: In der Stütze A: Na — —Aa — + %

In der Stütze B: BTa ——Ba

¹

akonz, Berechnung mehrstieliger Rahmen.

²

In der graphischen Statik der Baukonstruktionen von Müller-Breslau, werden im Band II, 2. Abt. S. 158 dasselbe Hauptsy.stem und dieselben Unbekannten für den vierstieligen Rahmen vorgeschlagen.

In der Stütze C: Na —

Ca — +

In der Stütze I): Na — — Da=—

In dem Balkenteil A‘B‘: Na = — Haa

3 c-l

2h( 3 /"+ 2 hJ)

In dem Balkenteil B‘ C‘: BTa = o

In dem Balkenteil C‘D': Na — — Hca=--

3 c-l

2 h (3 /" + 2 h‘)

Die Ordinaten der Biegungslinie des Balkens über den Stützen werden infolge deren durch die Normalkräfte hervorgerufenen Verkürzung:

ÖAa= —

l E-Fv’ c +1 h ~~V' lBF>

und

^ c -f-1 h

di?a = — ' E Fv’

V c b

Da~~l'~EFv

Setzt man die vorstehend angegebenen Werte für die Größen a und b der Momentengleichungen der beiden Endöffnungen und für die Ordinaten der Biegungslinie des Balkens über den Stützen in die Gl. 6 bis 9 (S. 11) ein, dann erhält man die Biegungslinie der ersten und dritten Öffnung. Die Biegungslinie der Mittelöffnung und daa sind durch die Gl. 59 bis 62 (S. 20) bestimmt. Eine recht einfache Form nehmen die Gleichungen der Biegungslinie an, wenn man den Einfluß der Normalkräfte vernachlässigt. Es wird dann in der ersten Öffnung:

c( 3* —4&0 2 (3 / + 2 h‘)

sowie in der dritten Öffnung

3 a 4- b-1 =

und 3 a+2bl =

c($l + 8h')

2 ($ 1 +2h') ’

3 a + b-l

c ($l + 8h-)

2($l+2h‘)

Hiermit liefern die Gl. 6 bis 9 (S. 11):

und 3 a+ 2b-1 =

c ($1— 4Ä')

2 ($1+ 2 k¹)

1) da

c-x(l — x)

1. Öffnung:

12 E-J-lUl + 2 h‘)

-\l($l— 4h)— 2x($l + 2h¹)] ,

2) ra

12E-J- l($L+ 2h') c-l($l—4h')

[l²($l—4h‘)— 18I²-x + 6x²($l + 2h‘)],

12 E -J($l + 2h‘)

und

*Ba

e-1 ($1+ 8h‘)

12 E ■ J($l+ 2h')

3)    <?a

c ■ X (l — x)

12 E • J• l($ l + 2 h‘)

3. Öffnung:

(l($l + 8h‘) — 2X($1 + 2Ä')] ,

VCa

12 E-J• l($l + 2h') c-l($l + 8 h‘)

[l²($l + 8h') — 6l-x($l + 4h‘) + 6x²($l+ 2^Ö] >

12 E-J($l+ 2h‘)

und

12 E- J($l+ 2 h‘)

Setzt man den für ißa gefundenen Wert in Gl. 59 (S. 20) ein, dann findet man

2 c² • c'

daa

5)    •    •

c²-l( 3 l + 8h‘)

6E-J($l+ 2h‘)~rJ¥7f ’

c²[l($l+8 h‘) + 4cy(3^+ 2 Ir)]

wenn

rc

= c', oder

6E-J($i + 2 ir)

Die Gl. 60 bis 62 (S. 20) ergeben für die zweite Öffnung:

6) . .

c-l($l + 8h‘)

x (2 c —— x)

7) • •

■ • da — öaa —

l2E-J($l+2h‘y    2 E-J' ’

x(c — x) (2c — x)

ferner

6 E-J'

in der linken Hälfte von x = o bis x — c und

v 2C daa

da =

— X x(c — x)(2C — x)

6E-J

in der rechten Hälfte von x == c bis x = 2 c.

Sämtliche Punkte des Balkens A‘D‘ verschieben sich bei Vernachlässigung des Einflusses der Normalkräfte um das gleiche Maß ea, das nach Gl. 74 (S. 2 3) Es wird z. B.

zu berechnen ist.

h² • h‘

Gia — Ula ' h H,

I£^=e“'

Setzt man die Werte für und Haa ein, dann gilt:

8)

c-h-l

I 2 E-J

(von links nach rechts).

Zustand Xb = i.

Xb = i ruft folgende Auflagerdrücke hervor:

h—f

Ab — — Bk = — Cb — Db

und nach Gl. 7 und 8 (S. 26)

Hab = 1-

3f-l

2Ä(3Z“+2Ä‘) F • h* 2 (3 /" -J7 2 h‘)

3 f-l

= -Hcb.

Hbb —    +

Diesen Stützkräften entsprechen die in Abb. 62 dargestellten Momente. Sie nehmen bei dem Balken folgende Werte an:

2h(?)l“+ zh) F-h² 2(3/04-2/2')

fffuw

^ab

"bb

^db

Ab

ßb

Cb

Abb. 62.

1.    Öffnung: Mb = a + b-x, wo a=-Hab-h und b — Ab ist.

2.    Öffnung: J/ft——f.

3.    Öffnung: Mb = CL-\~b-x, wo a — Iidb- h + Db-l und b=—Db ist. Die Ordinaten der Biegungslinie über den Stützen sind infolge der in diesen

herrschenden N ormalkräfte:

<$Ab = — dßb — — dcb= dDb

Unter Benutzung dieser Werte ergeben die Gl. 6 bis 9 (S. 11) die Biegungslinie des Balkens in der ersten und dritten Öffnung. Ist hierdurch Tßb — — tCb bestimmt, so findet man f nach Gl. 57 (S. 20), eBb=— ^Cb nach Gl. 74 (S. 23) und dann weiter dbb, sowie die Biegungslinie der Mittelöffnung nach den Gl. 63 bis 65 (S. 20). Läßt man den Einfluß der Normalspannungen außer acht, dann gilt in der ersten Öffnung

und in der dritten Öffnung

h{ll+ 2h') — 3 f-l 2 (3l+2h‘)

sowie b

h-f

₌ h($l + 2h¹) — f($l + 4 h‘) 2 (3l+2h‘)

, sowie b

h-f

Hiermit liefern die Gl. 6 bis 9 (S. 11):

1. Öffnung:

9) db

x (l — x)

[-h-l(3l+2h‘)+fl(3l-4h‘) + 2x(h-f)(3l+2h‘)]

IO) Tb

I2E-J-1{31+2 h‘)

G46 = —

{ — l²[h($l+ 2h‘)~ f(3l— 4*')] +

+ 6l-x[h(3l+2h‘)-3f-l]-6x²(h-f)($l+2h‘)}, l[h{3l+2hl) — f(3l — 4h‘)]

\2E-J($l-\- 2h‘)

und

Vßb —

l\M$l ±2h/) — f (31 + 8 Ä')]

11) db

x(l — x)

I2E-J-l(3l+2ht)

3. Öffnung:

[.h-l{^l+2h')-f-l(2,l+Sh‘)-2x(h-f) (3l + 2h‘)]

I 2 E‘ J‘ 1+ 2 h')

*Cb

{l² [h (31 + 2 ti) — /*(3 / + 8 Ä*)] — -6l-x[h(3l+2h‘)~f(3l+4hi)'] + 6x²(h-f)(3l+2h)), l[h(3l+2h‘)-f(₅l+8h‘)]

12 E-    2 h¹)

und

TDb

I2E-J{sl+2h‘)

(Die Biegelinie in der dritten Öffnung ist das Spiegelbild derjenigen in der ersten Öffnung.)

Nach Gl. 57 (S. 20) ist

E• J'%Bh

f—

d. h.

i[A(3*+2fr)-fl3g + 8fr)]

12 & (3 / + ² h‘)

wenn wieder — c = c' gesetzt wird.

J

13)    •    •

Hieraus erhält man

2h')

Z (31 + 8 h‘) + ¹2 & (31 + 2 k')

Die Gl. 64 und 65 (S. 20) liefern die Biegungslinien der zweiten Öffnung:

14)

. rb = —

f{c — x)

E-J‘

und

15)

db =

f-x(2C—X)

2E J‘

Durch Anwendung der Gl. 74 (S. 23) findet man die wagerechte Verschiebung der Stützenköpfe. Es wird

16)    .    .

• &Ab = ßBb= — VCb = — ez>b = —

₇ h(l+ 2h‘) — l- f

h —-■=—-

12 E-J

und, da dbb —— 2eßb ist,

!7)

dbb — h

6 E-J

Zustand Xc = 1.

Unter dem Einflüsse von Xc = 1 wird

Ac— — Bc= — C₀ — ])c — —

und nach Gl. 10 (S. 27)

2/7(3/"+ ²B)

Hac — He — Blee — BIdc —

Die entstehenden Momente sind in Abb, 63 aufgetragen; sie nehmen bei dem Balken folgende Werte an:

—"1

KJ

[TI I I I I I 11 I ITTTn-rm-

C+

Abb. 63.

1. Öffnung:

Mc — a-\- b ■ x, wo a =— Hac • h =

2(3/“+ 2Ä') 2. Öffnung:

und b = Ac =

Me=- 1.

3. Öffnung:

= « + wo a =    • h -\-Dc • / =

2(3/“+ zh“)

I und 6 = — Dc = — •

Infolge der in den Stützen auftretenden Normalkräfte drücken sich jene um

die Masse

Öac = — Ößc =

Öce = ^Dc =

l-E-Fv

zusammen.

Genau so wie bei den Zuständen Xa und Xb erfolgt jetzt die Berechnung

der Biegungslinie in den Endöffnungen. Darauf werden durch die Gl. 66 bis 70 (S. 20, 21) der Wert von dcc, sowie die Biegungslinie der Mittelöffnung und zum Schluß mittels der Gl. 74 und 77 (S. 23) und Gl. 58 (S. 20) die wagerechten Verschiebungen der Balkenquerschnitte und f bestimmt. Da der hier errechnete Wert von f sich mit dem früheren decken muß, ist zugleich eine Probe der Zahlenrechnungen gegeben. Ohne Berücksichtigung des Einflusses der Normalspannungen erhält man wieder sehr einfache Beziehungen. Es lauten die Gleichungen der Biegungslinie:

1. Öffnung:

18)    .

19)    .

• *■ " -nWTimrik) p (31-⁴ »0 ■-    (31 +»»■)].

[/²(3/—4h‘)— i8l²-x-\- 6a:² (3/+ 2/*')],

. Tc

12 E- J    2h‘)

Hil — 4Ä‘)

12E-J($l + 2 h‘)

und zBc

l ($1    8 h')

12E- J 2h')

21)    .

• tc =

3. Öffnung:

x (l — x)

i2E-J-l(3lJr2h‘)

[£(3/+ 8h') — 2x(3 l+2h‘)]f

12E- J- l($l J- 2h‘)

[r²(3l+8h‘)-6l-x(3l+4h‘) + 6x²(3l+2h‘)],

I 2 E - J (3/ + 2h¹)

und

TDc =

W-A*)

(Man vergleiche diese Gleichungen mit den entsprechenden des Zustandes Xa= 1, die sich nur durch den Faktor + c unterscheiden.)

Die Gl. 66 (S. 20): öcc—2xBc-\f

2C

E-J

liefert

22)    .    .

1(31 + 8 h‘) + 12 & (31 + 2 A')

6E- J(3l-\- 2Ä‘)

Mittels der Gl. 67 bis 70 (S. 20, 21) findet man die Biegungslinie der Mittelöffnung. Für den linken Teil von x = o bis x = c wird

/ (3 Z 4- 8 A‘)

23) • • • *c = Tbc +

x²

l (3I -\- 8h‘) -x

x²

2 E-J 12 E■ J{$1 2k) 2 E-Jl ’

während für den rechten Teil von x = c bis x— 2 c

25)    •    •

Tc= —

i2E-J(t,1 + 2h¹)

- und

26)    .    .

Gl. 74 (S. 23) ergibt:

27)    •    •

l{3l+8h‘)(2c—x)    (2c—x)²

⁰~ i2E-J{3l+2h‘) ⁺ 2 E-J‘

•    • ßAe ~ ß’Bc ~ — eCc = — ßDc

wird.

h-l

12 E-J

Die Beziehung

f— 2 ep,c

T~ ö„

der Gl. 58 (S. 20) liefert für f wieder den früheren Wert.

Hat die Mittelöffnung die Spannweite der Endöffnungen (2 c — l) und ist J‘ — J, dann wird

28)    .... f

h (3 / + 2 h‘)

l + h‘

21 / -f- 20 h‘

29)

P (3^ + 4^)    ,

aa 8E-J(3l + 2h‘)’ bb

/(21IJ 20h‘)

6E-J (3 / + 2I1)

h — f— 18 h

h² (gl² + 301- h‘ J- 2oh‘²) 3E-J(2il-\-2oh‘)

21 l-\-2oh' ’

SCC

Führt man den Wert für f aus Gl. 28 in die Gl. 9, 15? 11 (S. 43) ein, so vereinfachen sich unter der Voraussetzung gleicher Spannweiten die Ausdrücke für öb wie folgt:

30)

I. Öffnung: öb

2.

Öffnung: db =

3. Öffnung: db

h -x(l — x)

2 E-J-l (211-\- 20h‘) 2h‘)-x(l — x)

2 E • J(2ll -\- 20h') h-x(l—x)

2E-J-l(2il+ 20/r)

[/ (31 -f 2 h‘) — 6a? (I + A')].

Ist in der Mitte der zweiten Öffnung ein Scheitelgelenk vorhanden (Abb. 64), so wird dessen Verbindung durch die beiden Unbekannten Xa und Xb ersetzt,

während zwei Zweigelenkrahmen wie bisher das Hauptsystem bilden.x) Da sich der Zustand Xa nicht von dem Zustande Xa bei dem eben behandelten vierstieligen Rahmen ohne Scheitelgelenk unterscheidet, ruft er auch dieselben Stützkräfte Aa, Haa.... und dieselben Verschiebungen öa,Ta,ea und daa bei dem Hauptsystem hervor. Die in der Mitte der Mittelöffnung herrschende Querkraft Xa wird also dadurch nicht beeinflußt, daß dort ein Gelenk eingeschaltet ist.

Die Unbekannte Xb greift jetzt in Höhe der Balkenachse an; man erhält daher die durch sie in dem Hauptsystem hervorgerufenen Stütz widerstände, indem man in den für Ab, Bb    Hab, Hbb .... auf S. 42 aufgestellten Be

ziehungen f — o setzt. Ebenso ist in den Gleichungen für die Biegungslinie der ersten und dritten Öffnung (Gl. 9 bis 12, S. 43) und in den Ausdrücken für eb und öbb (Gl. 16, 17, S. 43) f = o anzunehmen. Die öb-Linie der Mittelöffnung besteht aus zwei sich unter dem Gelenk schneidenden Geraden, deren Richtung durch die Winkel

TV

Abb. 64.

12 EJ

und xCb = -f

h-l

12 EJ

gegeben ist.

Es möge noch die Berechnung des unsymmetrischen vierstieligen Rahmens

gestreift werden (Abb. 65). lt, l₂, l3 seien die Spannweiten, Jx, J₂, J₃ die Trägheitsmomente des Balkens; h sei wieder die Höhe der Stützen und Jv In den Ab-

*    ^7    *

T3

ihr Trägheitsmoment, n ständen ct und c₂ von den Stützen B und C wird die Mittelöffnung durchschnitten; in der Entfernung f von der Balkenachse werden unter diesem Schnitt die drei Unbekannten angebracht, von denen Xa senkrecht, Xb wagerecht gerichtet ist und Xc als Moment wirkt.

Abb. 65.

1) In der graphischen Statik der Baukonstruktionen von Müller-Breslau, Band II, 2. Abt., S. 147 und folg, wird der vierstielige Rahmen mit Scheitelgelenk unter Einführung des gleichen Hauptsystems und derselben Unbekannten untersucht.

Die Verschiebungen der beiden Endöffnungen bei den Zuständen J£a, Xb und Xc = i sind durch die, bei dem symmetrischen Rahmen hierfür abgeleiteten Gleichungen gegeben, wenn man in diesen l, J und c durch llf Jt und Cj bzw. Z₃, J,j und c₂ ersetzt. Für die Berechnung der Biegungslinie in der Mittelöffnung benutze man die Gl. 34 bis 54 (S. 16 bis 18).

Bei dem Zustande Xa— 1 wird nach den Gl. 2 und 4 (S. 41)

C\ • h (3 h + 8fei*)

izE-J^ly + zhy')’

wenn man h\ — LL • h und h\ —

¹ Jv    3

TBa

tCd

c₈-4 (3 ^3+ 8fe₃‘) 12E-J₃{$1₃ + 2Ä₃‘)’

Jy

Jv

■h setzt, und nach Gl. 8 (S. 42)

ßßa =

clL-h-ll

TzE^Jy

C Ca =

12 E-J₃

Soll nun dae = o werden, so ist durch Gl. 38 (S. 17) bestimmt. Legt man als Beispiel einen Rahmen zugrunde, bei dem h = l₁ — l₂ = l, l?j — 2 -l, Jl=Ji—Js = Jv = J ist, so wird

E • J ■ Tßa — -g-J Cj_ • Z und E-J-Tca — C₂ • Z. Gl. 38 (S. 17) ergibt mit l (Z—2Ct) = 2 ■ E■ J(TBa — Tca)-Cy — 0,5367 ' l und c₂ = 0,4633 •/.

Daher wird

E- J- 6ßa = 0,0447 • Z³ und E-J-eCa— 0,0772 -Z³. Da da& — eQa — ßßa ist, findet man

E-J-dab = 0,0325 • Z³.

Gl. 39 (S. 17) liefert

E • J- öaa = 0,1999 ’ Z³-

Infolge des Zustandes X& = I wird

^Bb

k [fe(3*i + 2^0 — /~(3Zt + 8fetQ] ? \2E‘Jy($ly + 2hy) kU>'(^h + zh₃‘) — f($l₃ + 8/?₃,)]j 12E-J₃($l₃ + 2Äg‘)

₇ h(ly + zhx') — ly -f 12E-Jy

h(l₃ + 2 h₃)    l₃ • f

12E-J₃

ßßb = —

und

ßCb

Diese Beziehungen ergeben für das angenommene Beispiel:

5*— 11 f

E ■ J ■ tBb = — Z Da nach Gl. 45 (S. 17)

60

und E-J•Tcb— Z

4l—7f

24

E-J(tCb — TBb)

ist, wenn dbc = o werden soll, erhält man

f=*Ul = °>l695-Z.

Hiermit wird weiter

weshalb

E’J-eBb = —o,2359-Z³ und E-J-eCb = 0,3051 • Z³, E- J- dbb — 0,5410 • Z³ wird.

Die Anwendung der Gl. 47 (S. 18) liefert wieder E-J-dab = 0,0325-1*.

Für den Zustand Alc=i gilt:

4 (3 4 + 8/^')

I2E-Jx(3 4 + 2/4*)’

T-Bc

TCc =

4 (3 4 + 8 a₃‘)

12E- J3 (34 + ² K)

h-i

em~i2EJl‘

ßCe =

ä-4

12 E-Ja

Bei dem Beispiel werden

E-J-tCc =

E • J - Tße — -g-jj l,

E- J • eBc = tVund E-J-ecc= — -g ^²-

Hiermit ergeben wieder

G=°^53⁶7-4 bzw. c₂ = 0,4633 •/ und /’= 0,1695 während man mit

Gl. 52 (S. 18)

Gl. 54 (S- 18)

Gl. 53 (S. 18): E- J-öcc= 1,4750 • l findet.

Die Ausführungen auf S. 19 erläutern die Berechnung von Xa, Xb und Xc, bzw. von den an Stelle von Xa und Xb einzuführenden Kräften Xa‘ und Xb.

Etwas ausführlicher soll dagegen die Bestimmung der Unbekannten und der Stützkräfte bei einem symmetrischen Rahmen für verschiedene äußere Belastungen behandelt werden.

Die Werte ö

ma >

Senkrechte Lasten.

dmb und 6mc sind die Ordinaten der Biegungslinie; es

gilt daher

Xa=-^-P,

Xb = —    • P und Xc = — — • P.

vbb    Vcc

d'aa

Für das schnelle Aufträgen der Einflußlinien ist es zweckmäßig, die Lage der Belastungsscheiden, soweit solche in den einzelnen Öffnungen vorhanden sind, und die Neigungswinkel der Einflußlinien gegen die Wagerechte über den Stützen zu bestimmen. Der Abstand der Belastungsscheide von dem Stiel, der die betreffende Öffnung auf der linken Seite begrenzt, wird mit s und die Neigung der Einflußlinie gegen die Wagerechte mit y, über den Stützen mit y^, yß, yc und yi, bezeichnet. Der Winkel y wird durch einmalige Differentiation der Gleichung der Einflußlinie gefunden. Ihre zweimalige Differentiation liefert die Lage der Wendepunkte.

Die Ermittlung der Einflußlinien soll an einem Beispiele gezeigt werden, bei dem gleiche Spannweiten (2C — 1), h= 0,5-1 und J — J‘ — Jv angenommen werden (Abb. 66). Es wird dann

4 h

E-J-dm = ^ls, E-J- öbb = +++ und E-J- dcc = -fa -l-Ersetzt man (x: l) durch n, so lauten die Gleichungen der ^Ya-Linie:

1. Öffnung: Xa = — TV*(i — »)(1 — 8n) = — n (.1 — w)(o,o667 — 0,5333^); yx = —0,0667;    y*- —0,4667;

Belastungsscheide: s=g-Z = o,i25o-/.

2. Öffnung: linker Teil:

Xa= — Ts(7n + 24 «² — 16«³) =

— 0,4667«— i,6ooo«² + 1,0667 «³; rechter Teil: Xa — tV(:5 — 7n — 24«²+i6«³) =

1,0 — 0,4667«— i,6ooo«²-f i,o667«³.

«(1 —«>(0,4667 —0,5333«); yz> = — 0,0667;

3. Öffnung: Xa = — -^n{ 1 — n)(j — 8«) =

0,4667;

Belastungsscheide: s = 11 — 0,8750/.

Entsprechend findet man für die .X&-Linie:

1. Öffnung: Xb = -^«(1 — «)(5 — 9«) = «(1 — «)(o,5172 — 0,9310«); Ya= + 0,5172;    7«= + 0,4138;

Belastungsscheide: s — j) • / = 0,5556 /.

2.    Öffnung: Xb = ^n(l — 77) = 0,4138 72( I—«).

3.    Öffnung:    = — /?«(i — «1(4 — 9«) = — «(1 — 72)(o,4138 — 0,93 10«);

Yc--0,4138;    7«—— 0,5172;

Belastungsscheide: s — $1 = 0,4444^

Für die Xc- Linie wird erhalten:

1 —«) (1 —8«) = —?i(i — «)(0,0161 —0,1290«);

7ü =

Belastungsscheide: s = ^ • l = o, 1250Z.

1. Öffnung: — • Xc =

0,0161;

—0,1129;

2. Öffnung, linker Teil:

rechter Teil:

• Xc = — ■gV [7 n + 24«²) = — 0,112972 —0,3871 «²;

^ (i —«)(3I — 24«) = —0,5000 + 0,8871 « — 0,3871 72².

Tx'=

3. Öffnung: j-Xe = -₅\n( 1—«)(7 — 8«) = n(i—«1(0,1129 — 0,1290«);

7c = +0,1129;    7«= 4-0,0161.

Belastungsscheide: s =    = 0,8750/.

In den Abb. 67 bis 69 sind die Einflußlinien von Xa, Xb und Xe dargestellt.

Es können jetzt die Einflußlinien der Stützkräfte A, B, IIa und Hb errechnet werden (Abb. 70 bis 73). Bei dem Hauptsystem wird in der ersten Öffnung A₀= 1,0(1—72),

B₀ = 77,

Hao = o,75«(i—«),

Hb0= — o,75«(i — «),

in dem linken Teil der zweiten Öffnung A₀ =—«,

B₀ = 1,0 4- 72,

Hao= —0,7572,

Hb0 = 0,7577.

Den Zuständen Xa = I, Xb=i und Xc= 1 entsprechen die Auflagerdrücke:

Haa =

Hah — '3T j l-Hac = —

Hba = %; Hbb = \h l- Hbc= \.

A _ _ 1

21« — Y’

• -^6 ⁼ tl’

l-Ac= — 1,0,

72 _ 3 — 'S >

72l —_-3 V

— Gz ’

l-Bc = 1,0,

A.

+L

__^3 Abb. 73.

f,o

-b

'0,1532-

A Linie

H-

'1,0

xa Linie

Xc Linie

Tht

4-

'Ö

Abb. 66.

Abb. 67.

Abb. 68.

Abb. 69.

4——=1 Abb. 70.

Abb. 71.

i______ Abb. 72.

T !

Z/ZA

-l-

Hl Linie

Die Zusammenfügung der einzelnen Wirkungen ergibt folgende Einflußgleichungen: 1. Öffnung: A = 1,0(1 —7i) + n{i —w)(o,274Ö — 0,8012 w);

^ = —0,7254; yB= — o,4734-B = n—n(i — w)(o,3₄i3 —1,3345?*);

7 a — + 0,6587; yB = + 0,0068.

Ha = n(i — n){i, 0207 — 0,7173 n);

^= + 1,0207; yB= — 0,3034.

Hb = —n(i — n)(o, 5034 + 0,2137*2);

7a = — 0,5034; yB = + 0,7171.

2.    Öffnung: + = — n(i —n)(0,4736 — 0,5333/2);

s — 0,888/.

jB= 1,0(1 —n) + n( 1 —w)(i,oo69 — 1,600022).

Ha = — 22(1 — «)(o,3034 — 0,400022);

0,758/.

Hb = n(i — 22) (0,717 2 — 0,4000 22).

3.    Öffnung: A = —22(1—w)(o,o598 — 0,2678);

y c — — 0,0598; yB= — 0,2080;    5 = 0,224/.

B— — 22(1 —^(0,4069 — 0,265522);

yc~ — 0,4069; yD= + 0,1414.

Ha = —n(i — n) (0,0966 — 0,317 322);

yc= — 0,0966; yB = —0,2207;    5 = 0,305/.

Hb=— 22(1 — ^(0,3172 — 0,613822);

7(7= — 0,3172; yD = — 0,2966;    5 = 0,517/.

Die Abb. 74 bis 78 zeigen noch die Einflußlinien einiger Balkenmomente, und zwar des Momentes, das über der Stütze A, in der Mitte der ersten Öffnung, unmittelbar links neben der Stütze B, unmittelbar rechts neben der Stütze B und in der Mitte der zweiten Öffnung entsteht. Die Größe der Einflußflächen ist auf den Abbildungen vermerkt. Erstreckt sich eine gleichmäßig verteilte Last p auf

bzw. Mpm-m. Eine gleichmäßig über alle Öffnungen

die Längeneinheit über die positiven, bzw. die negativen Einflußflächen, so entstehen die Momente MpTnax,

verteilte Last g auf die Längeneinheit erzeugt das Moment

Mg =

Diese Grenzwerte werden bei dem Moment über A:

= + 0,0111 p-/², Mpmin = — 0,0629    • /²,

= —0,0518 g-l²,

= -f 0,0604 P • l²> Mpmin = —0,0087 2?-/², = + 0,0517 g ■ /²,

p max

Moment in der Mitte der ersten Öffnung: M,

p max

Moment links neben Stütze B:

= -f 0,0072 p • /²,

in

— 0,1020p • /²,

= — 0,0948 #-/².

Die Lastscheiden in der zweiten und dritten Öffnung sind wegen der

geringen Größe der rechts bzw. links davon liegenden Einflußflächen bei der Bestimmung. von M.

pmax

und M,

pmin

nicht berücksichtigt worden.

-0,0552 lz

Moment über Stütze/!

-0,000¥l²

+0,0090-1'²

'+0,OOZ1-l²

</h0073Z²'

Abb. 74.

n0.0086-Zt

+0,0593 Z2 '0,75751

-t-0,0077-1²

-0,oooi-l²

Abb. 75.

Moment m der M/tte der 7. Oefnung

-0,0767-Z²

+0,0072l²

Abb. 76.

i-

- 0,0299 Z² ]

Moment tm/rs von Stütze d

-0,0253 Z²

-0,0689 Z²

Moment rechts 70n Stütze ß

noossl^.

Abb. 77.

—0,0087-1'

-0,0087-1'

-7 0,0560-Z²

Abb. 78.

'0,7765-Z

Moment m der M/tte der 2. Oefnnng

Mpmax= +O,0o86_p •/²,

Moment rechts neben Stütze B:

Mpm\n =    0,0948 7^ •

ilfp = — 0,0862 g-l².

Hier ist die Lastscheide in der ersten Öffnung bei der Bestimmung von A/pmax und Mpm-m vernachlässigt worden.

Moment in der Mitte der zweiten Öffnung: M

+ 0,05607?-/², Mp min =— 0,01737?- /², = +0,038 7 g-l².

j9max

Mg

Die nachstehende Zusammenstellung gibt noch für verschiedene Stützhöhen (h = o,5-l, h=l,o-l, h = 0O, d. h. Balken frei auflagernd auf vier Stützen), unter der Annahme J = Jv, die Größe der Stützkräfte A, B, Ha und Hj, an, wenn alle Öffnungen gleichmäßig mit # auf die Längeneinheit belastet sind:

h = o,5-l + 0,4569 g-l

+ 1,0431 g-l + 0,1036#-/ — 0,0172 g -1

h= i,o-l + 0,4406#-/

+ L0594g-l

+ 0,0381 g-l — 0,0084#- /

h = 00

+ 0,4000 # - / + 1,1000 # - /

Wagerechte Lasten.

Es sollen für den Fall gleicher Spannweiten die Stützkräfte bestimmt werden, die durch eine am linken Ende, in Höhe der Balkenachse angreifende wagerechte Last Q entstehen (Abb. 79).

Abb. 79.

Da

&Aa

h-l²

2\E-J'

ßAb = — j^bb nnd eAc =

h-l

llE J

ist, wird

2I1')

V„ = +<?

Oaa

x,, -

-Xc-^r-Q

Vcc

h

In dem Hauptsystem sind infolge der äußeren Last Q: A₀ =—B₀ — — Q, Hao — IIbo =1 Q nach Gl. 6, S. 26 und C₀ = I)₀ = Hc0 = Hd₀ = o.

31) • •

<hb

• Q=~iQ und

2h¹)

2{2\l-\- 20h')

■Q.

Übergeht man die Zwischenrechnungen, so findet man schließlich folgende

Stützkräfte:

A = —D=-

h(3l + 5h‘)

3/(3/ +4Ä')

■Q,

B= — C= —

h • h'

32) • •

Ha = Hd =

Hb = Hc

Z(3^ + 4h‘) 1+ 2 h1 2(3/+4Ä')

l + h‘

• Q,

• Q und

3/ + 4^.'

• Q-

Die diesen Stützkräften entsprechenden Momente sind in Abb. 79 dargestellt.

Greift Q oberhalb der Balkenachse an, so kann das neu hinzutretende Moment (—k- Q) nach der Bemerkung auf S. 9 mittels des Neigungswinkels y der für senkrechte Lasten gültigen Einflußlinien berücksichtigt werden. Denn diflerentiiert man deren auf S. 50, 51 angegebene Gleichungen, dann erhält man sofort die Einflußlinien der Stützkräfte für rechtsdrehende, am Balken angreifende Momente M.

Wird der Träger zur Aufnahme starker Bremskräfte in Höhe der Balkenachse nach Abb. 80 wagerecht abgestützt, so führt man die neu hinzutretende

Az

-6-

-6-

Abb. 80.

Stützkraft als Unbekannte Xa und den bisher behandelten vierstieligen, fünffach statisch unbestimmten Rahmen als Hauptsystem ein. Die infolge des Zustandes Afa=i auftretenden Stützkräfte sind unter Gl. 32 auf dieser Seite angegeben. Die den Balken beanspruchenden Biegungsmomente Ma lassen sich in allen drei Öffnungen auf die Form a-\-b-x bringen, so daß die Biegungslinie des Balkens für den Zustand Xa = 1 durch die Gl. 6 bis 9 (S. 11) bestimmt ist. 6aa ist gleich der wagerechten Verschiebung des Balkens:

daa ⁼⁼ Uta ’ k "4"

In der ersten Öffnung ist

k²- h‘

aa

3 EJ’

wo nach Gl. 32 H

Z + 2h‘

2(3/ + 4 k)

Ma = -

mithin nach Gl. 8 (S. 11):

Uta —

k(l-\-2k‘) A(3Z + $k‘)-x

² (3 ^ + 4^0    3Ü3^+4^')

8h‘)

36E-J(3l + 4h¹)’

so daß man weiter

findet.

.    k²($l²-\- \\l-kl + 12h'²)

aa =    $6E- J($l 4 A‘)

Wärmeänderung.

stieligen Rahmen

Wegen der vorhandenen Symmetrie wird bei dem bisher behandelten viermal = O.

Bei den Zuständen Xb und Xc sind die Summen der senkrechten Auflagerkräfte — o. Es wird daher

At H

(ht = st₀[—Hab-l—2c + Hdb-l]-{-E— J (— Hab-h + Ab-x)dx— zc-f

Da Hab = — Hdb und Ab = Db =

ist, wird

-j- f (Hdb • h -f- Db • l—Db • x) clx . h-f

Jt

2E-t₀ [.Hab •l+C]

Vernachlässigt man in dem Ausdrucke für Hab den Einfluß der Normalspannungen, so wird mit

Hab —- y

3 fl

33)    •    •    e-4 1 + 2C

Entsprechend erhält man

2h{^L-\- 2h¹)' 5f-l² ~ h( 31 + 2h‘)

Jt

l-h‘

2£ d ^|_3l+zh‘

Jt

öct= — 2E-t₀-Hae-l — E — (1+ 2C+ 2 Hac-h l) oder

Jt r l-h¹ 1

3 E-t₀-l*

d [3/ + 2/1'

h($l+ 2h‘)

wenn man bei Hac wieder den Einfluß der Normalkräfte außer acht läßt. Bei gleichen Spannweiten (2 c = l) wird

£■ Jt- h-l($l-\- 4h ) d(2i Z -f 20h‘)

dbt

E't₀ - l(39l+40h¹)

2il-\~ 20h‘

Wenn nur eine gleichmäßige Temperaturerhöhung t₀ in Frage kommt, erhält man unter der Voraussetzung gleich weiter Öffnungen:

-Xat ~ o,

35)    •    •

Xtt

3 E - E-J- Z₀ • / (39Z -j- 40/?')^ h²(gl² + 30/- h' -f 20h‘²) 18 e - E-J-t₀-l h (211 + 20h )

Benutzt man diese Werte und berücksichtigt, daß in dem Hauptsystem Aqi — dd()t —    — I)ot — O und

3e-E- J-t₀- l h² (3/+ zh)

ist (Gl. 12, S. 27), so erhält man schließlich folgende Stützkräfte:

H-aot — Jdbot — ddgoi — Udot

A( = — Bt— — Ct= Dt =

18 £• E- J*4(6/+ 7 h') h(gl² -\- 30/- h‘-\~ 20h'²) ’

Hat = -Hdt

gs- E- J-t₀-l(yl -f 10h‘)

Hbt=-Hct

h²(gl²-)- $ol-h‘-\- 2oh‘²) 6 e ■ E ■ J ■ t₀ - l(g l + 5 h')

h² {gl² + 30/• h' + 20h'²)

— M.q‘ — —

3«- E-J-t₀-l($l— 2 h‘) h(gl2Jr 3ol-h' + 20h‘²)

in der zweiten Öffnung.

Die Momentfläche des Balkens in der dritten Öffnung ist das Spiegelbild zu der Momentenfläche in der ersten Öffnung.

Das größte auftretende Moment ist Ma‘- Nimmt man wieder wie bei der Berechnung der Einflußlinien für senkrechte Lasten h = o,$-l und JV = J am so wird

MÄ. = -

216 e • E • J-4 29/

Die in dem Balken bei A‘ herrschende Spannung ist

■ d Ma‘ • l 30 J ’

wenn man

die Annahme macht, daß die Trägerhöhe d=l/l5 6er Spannweite /

Bei Flußeisen ist e-E=25 kg/cm²; hiermit erhält man nach Einsetzen des Wertes für Ma

Mb-

Diesen Auflagerdrücken entsprechen die Momente

MÄ. = -

ge- E- J-t₀- l(j l + io h‘)

h (9/²+ 30l-h‘ + 20h'²)

und

h{gl²-\- 30l-h‘ -j- 20h‘²)

in • der ersten Öffnung und

ist.

Gt = 6,2-/₀ kg/cm².

Bei einem größten Wärmeunterschied von 4 = 35° gegenüber der Aufstellungstemperatur wird demnach ot = 217 kg/cm²; bei größerer Trägerhöhe d erhöht sich dieser Wert entsprechend.

Es zeigt sich hier die ungünstige Beanspruchung mehrstieliger Rahmen durch Wärmeschwankungen.

4. Der sechsstielige Rahmen.

Recht einfache Ausdrücke ergeben sich für die Unbekannten auch noch bei dem sechsstieligen symmetrischen Rahmen, wenn man den Einfluß der Normalkräfte vernachlässigt. Will man ihn berücksichtigen, so bleibt der Rechnungsgang

derselbe;, nur empfiehlt es sich in dem Falle, schon bei der Bestimmung der indem Hauptsystem durch die Unbekannten hervorgerufenen Stützkräfte mit den Zahlenrechnungen einzusetzen. Wie Abb.' 81 zeigt, bilden zwei dreistielige, je dreifach statisch unbestimmte Rahmen das Hauptsystem; Xa, A4 und Xc sind die Unbekannten. Es wird hier vorausgesetzt, daß der Balken in allen Öffnungen die gleiche Stützweite l und das gleiche Trägheitsmoment J hat.

-4«- V2 -H

Ha.

7v

~JV

3____.

_________

"C

Abb. 81.

He

df_

Zustand Xa = i.

Die infolge des Zustandes Ea — i in dem Hauptsystem auftretenden Stützkräfte sind aus der Berechnung des dreistieligen Rahmens bekannt. Es werden:

3 l—2h‘

Aa= — Fa =

4(3/ + 4 h‘Y

Ba=~Ea=-

3 h‘

Ca =

Da =

Haa — Hfa —

31 + 4 h‘ ’ 15Z + 26h'

4(3 Z + 4Ä')’

^ (3l+2h')

Ilba — Hea —

l²

4 fl (Z + h‘) ’

Z² (9/+ IOÄ')

8h(l + /z')(3^ + 4Ä‘)

1.

Hierdurch entstehen folgende Momente in dem Balken:

P(3l+2h‘)

Öffnung: Ma = a -f- b • x, wo a —

8 (Z + h‘) (3 l-4-4h‘)

und b -

2.    Öffnung: Ma = a-\- b-x, wo a =

3.    Öffnung: Ma= — (|-Z — x)\

4.    Öffnung: Ma = a + b ■ x, wo a —

Z(Z-|- 2li‘) (3Z + 2h')

8 (Z + h') (3Z + 4 h')

I(^l²+i8l-h‘4-i6h'²)

8 (Z + h‘) (3Z + 4/«')

und b

und b

3 l—2h‘

4 (3 l+4h')’ 3/+ iok'

4 (3 l+4h'V

3Z + 10 h'

4 (3 l+4h')’

5. Öffnung: Ma = a + b • x, wo a =

Z(₃Z²-₄/*'²)

8{l + h‘){3l4- 4h')

und b =

3 Z— 2 h¹

4(3 Z+4^‘)

Die Anwendung der Gl. 6 bis 9 (S. 11) liefert jetzt die Biegungslinien:

1)    <?a

x{l — x)

1. Öffnung:

48 E'J(l-f- h‘)( 3Z -j- 4Ä*)

[7(3 2² + 4l-h‘+ 4h,2)-2x{l + h‘){$l— 2 h¹)],

48 E ■ J(l -]- h'){ 3 Z -f- 4Ä’)

[l² (3 Z² + \ l-h' + 4h¹²) — 6l²'X (3Z + 2/2') -f

+ 6a;² (Z + AJ) (32— 2Ä‘)],

Z² (3 Z² + 4Z • h‘ -f- 4h¹²)

48 E-J(l + /i')(3/+ 4Ä‘) ’

Vßa

l² (l—2h‘)

48 E- J(l + h‘)

x(l — x)

2. Öffnung:

48 E • J(l -j- Ä') (3 Z + 4 h‘)

[Z(3Z+ 4h‘)(l— 2 h‘) — 2x (lh‘)(3l + 10h‘)],

4) ^a

48 E- J{1 -f- h) (3 Z -j- 4h¹)

Z² (Z— 2 h¹)

48 E ■ J (l -|- h‘) ’

[Z² (3 Z+4/«')(l—2 h') —61 x (Z+ 2 /?.') (3Z+2^‘)4-

+ 6 a;² (Z-j- h') (3 Z-j- ioä')],

Z²(3Z²+ 28Z-A'-f- 28h'²)

48 E'J(l-\- h‘) (3 Z + 4 /d)

TCa

j.

Vertauscht man in den, für die Biegungslinie der ersten und zweiten Öffnung abgeleiteten Gleichungen x mit (l — x) und wendet in den Ausdrücken für öa außerdem das Vorzeichen, so erhält man die entsprechenden Gleichungen der Biegungslinie in der fünften und vierten Öffnung.

Gl. 59 (S. 20) ergibt

5)    •    •

*⁸(i₅I⁸+56*-fr+44fr,₎

48JE'- J(l + h‘) (3/-)- 4h¹) während man mittels der Gl. 60 bis 62 (S. 20) für die dritte Öffnung findet:

6) . .

l¹ (3^¹+ 28hh¹ + 28h'¹) x(l — x)

48 E- J(l -f- h‘) (31 + 4 h) x(l — x) (l — 2 x)

2EJ

, ferner

<s« = <Wf

7)    •    •

12E-J

in der ersten Hälfte und

l—x x(l — x) (l — 2 x)

aa

I2E-J

in der zweiten Hälfte.

Die Anwendung der Gl. 74 (S. 23) lehrt, daß sämtliche Balkenquerschnitte sich um das Maß

8) . .

h-l¹ (l-\- 2 h‘) 6a^ 48E-J(l + h‘)

nach rechts verschieben.

Zustand Xb = 1.

Die Stützkräfte sind dem Abschnitte, welcher die Berechnung des drei-stieligen Rahmens behandelt, zu entnehmen. Man findet

Ab = Fb =

h{3l + 4k‘) — f(3l—2h‘)

2l($l + 4h‘)

6 f ■ h‘

Bb = Eb =

l(3l+4h‘)’

Cb = Db=-

/Ö3Z + 4/Ö)— f{3l+ 10 h‘)

2l(3l + 4h‘)

Hab — Hfb

3Z + 4Ä'

12 (/ + /«') 4h (l -f- h‘) (3I + 4^') ’

Hb = — Heb — —

+ 2h‘) — 3 f'l

6 h (i)

Heb — Hdb

In der Mittelöffnung ist das den Balken beanspruchende Moment Mb = — f-In den übrigen Öffnungen läßt sich das Moment auf die Form Mb — cl-\-b‘X bringen; die Hilfswerte ci und b haben hierbei folgenden Wert:

1. Öffnung:

Ä(31+ 4h')    f-l(3l+2h‘)

12(l-\-h‘)    4 (l + h‘)($ / -f- 4 k¹)

h{3l + 4h‘)-f{3l—2h')

2H3I + 4h¹)

4- Öffnung:

h(^l+4h‘) — f(^l+ioh‘) 2/(3^+4Ä')

A(3Z + 4A‘) f($l2Jr i8Z*A' -f- i6A'²) a~~nj+¥)    4 (* + *') (3/ + 4*')    ’

5. Öffnung:

A (3/ + 2 A') a 12 (Z + A‘)

f(3l²—4h'²)

4 (/ + A') (3 Z + 4 A') ’

2Z(3Z+4A')

Für die Biegungslinie des Balkens erhält man folgende Beziehungen:

1. Öffnung:

2/\. hj • J • l (l -f- h‘) (31 "H 4 A‘)

2 4 i? • J-1 (l + h‘) (31 + 4 A‘)

[ — h- Hl 2 h‘) (31 "i⁻ 4 A‘) +

+ f.l(sl* + 4l-h‘+4h‘*) +

+ 2x(l + h‘){h{3l-\-4h¹) — f{$l— 2h‘)}\

[ — h-V (Z + 2Ä0(3^ + 4Ä‘) +

+ f‘ l² (3 ^² + 4Ö A' + 4A'²) +

+ 2*’ /{A(3^ + 4 A')² — 3/¹- Z(3Z + 2 A')} — — 6rc² (Z + A‘) {A (3 Z + 4 A') —f($ l — 2 A')}], h(l + 2h‘) (3 Z + 4 A¹)— f($l²+/{l- Ai + 4A‘²)

24^7-</(/ +A‘) (3^ + 4A')

T^hb — — l

A • Z — f(l— 2 A‘)

24 EJ (l + h‘)

2. Öffnung:

11) öh

x (Z — x)

24 E-    h‘) (3Z + 4A')

12) rb

24 E• J• l (l -{- A') (31 "h 4 A¹)

[—A-Z²(3Z+4A')+/'-Z(Z — 2A‘)(3^+4Ä‘) + + 2x(^+A,){A(3Z+4A/)-/’(3^+ioA0}], [— l²(sl + 4h‘){h-l— f(l— 2h¹)} +

+ 2X'l{$l+2 li'){h{}₎l+4h,)-$f(l+2h‘)}--6 x²(l + A'){A(31 + 4    l + ioA*)}],

'i'cfc = — Z

A-Z — f(l — 2 A')

2 4 J57 * eZ (Z -f- A‘)

A(Z + 2h“) (3Z + 4A') — f(^l2Jr 28Z-AV+ 28A'²) 24 AZ- </(Z + A‘) (3 Z + 4 A')

Die Biegungslinie der vierten und fünften Öffnung ergibt sich infolge der vorhandenen Symmetrie aus der Biegungslinie der zweiten und ersten Öffnung, wenn man x mit (Z — x) vertauscht und in den Ausdrücken für rb außerdem das Vorzeichen wechselt.

Da nach Gl. 57 (S. 20)

f=

2 E-J-Tcb

ist, erhält man

/■=

A(Z+ 2A‘)(3Z+ 4Ä‘)

39 Z²+ 1 i2Z- A‘ + 76A*²

Die Biegungslinie der dritten Öffnung ist eine Parabel; und zwar wird

14)

öb

f • x (l — x)

zE-J

und

15)

f(l— 2X)

zE-J

Mittels Gl. 74 (S. 23) findet man die wagerechte Verschiebung des Balkens.

Es wird

16)

ßAb —&Bb =eCb=: — ßDb = — ßEb = — OFbz=z —

mithin

h($l²+i2l- h‘+8h'²)—3/’-1(1+ 2h')

¹    '    72 E-J(l + h‘)    ⁵

dbb

h~ (3Z² + 12 Z- h‘ + 8h'²)— 3 f -li-l(l + 2/P)

36 E-J (l + b‘)

Zustand Xc = 1.

Der Zustand Xc — I ruft folgende Auflagerkräfte hervor:

Ac= Fc =

3Z—2/P

21(31    4 h ) ’

Bc — Ec —

6 h‘

Cc — Dc —

/(3i + 4Ä')’ 3Z + 10/P 21(^1 "■(- 4 h‘) ’

Hac —    Hfe

1(^1+2h¹)

4b(l + /P)(3Z + 4 h‘)

Hbc —;    Hec

Hw —    Hrjo

2h(l + h‘) i (gl + 10 h‘)

und

4h(l + h‘)(3l+ 4/P)

Die

In der Mittelöffnung wird der Balken durch das Moment Mß = — 1 und in, den übrigen Öffnungen durch die Momente Mc = a + b-x beansprucht.

Werte der Hilfsgrößen a und b sind hierbei:

1. Öffnung:

2. Öffnung:

^_ Z (3 Z + 2 ä‘)

4(Z+ b‘)(^l + 4h‘) (Z + 2 /P) (3 Z -}- 2 h¹) 4 (Z + h‘)($ Z -f- A-b¹)

und b

3 Z—2 h‘

² Hs 14~ 4b')

und b

3Z + 10 h‘

² ^(3 ^    4 b')

4. Öffnung: «

3 Z² + I8Z-/P + 16/P²

4 (Z + &') (3Z + 4^')

und Z?

3Z + 10/P

² Z(3 Z + 4/P) ’

5. Öffnung: a

3Z²— 4/P²

4(Z + /p)(3Z-(- 4/2')

und /; =

3Z— 2/P

2Z(3Z+4Ä')

Die Gl. 6 bis 9 (S. 11) ergeben mit diesen Werten die nachstehenden Biegungslinien:

1. Öffnung:

_h(5l+4h‘)—f{$l+T.oh‘) 2l{3l+4h‘)

18) dc

x (l—x)

2\E-J- 1(1 + /P) (3Z+4/P)

[Z(3Z² + 4Z-/P+4/P²) — 2x(l-\-h‘)($l— 2h)]

19) Tc =

[^²(3^² + 4Z-A' + 4Ä'²) — 6Z²-# (3Z-4- 2h') -f-

+ 6 x² (Z + h‘) (3Z — 2 h‘Y\,

*Ao —■'

Z(3Z² + ₄Z-/a' + 4/*'²)

24 E •    h‘)(3 Z + 4^‘)

TBc -

24 E • J [l + h‘)

2.

20) dc

x(l— x)

Öffnung:

[l(l—2h‘)(sl + 4h,)-2x(l + h‘)(sl+Ioh,)'],

2l) Tc

24 E • J• Z(Z + h‘) (3 Z-J- 4

[l²(l—2h‘)(3l+4k‘) — 6l-x(l+2h‘)(3l+2h‘)+ -f bx2(l-\-h‘) (3Z + io&‘)],

TBc

Z (Z — 2 h¹)

24 E- J (l + &') ’

VCc

Z(3Z²+28Z- h‘+28h‘²)

24E • J(l    4h¹)

Die Biegungslinie der vierten und fünften Öffnung ist wieder das Spiegelbild derjenigen in der zweiten und ersten Öffnung.

Gl. 66 (S. 20) liefert

^(39^²+ii2Z-/?.'4- 76h¹²)

12 E■ J (l + h‘) (3 Z -f- 4h‘) während durch die Gl. 67 bis 70 (S. 20, 21) die Biegungslinie der dritten Öffnung gegeben ist. Es wird für den linken Teil (x — o bis x = \-l)

22)    .    .

dcc

Z(3Z²+ 28Z- h‘ + 28h¹²)

24E-J(l +h‘)(3l-\-4h‘)~r E-J ’

* Z (3 Z² -f- 28 Z-h‘-\- 28h‘²)x x2 c 24E-J(l-{-h')(il + 4h‘)Jr2E-J und für den rechten Teil (x = ^-l bis x = l)

Z(3Z² -j- 28Z • h‘ + 28h¹²) Z — x 24E-    4h') E-J’

„ Z(3Z²-{- 28l-h‘ + 28h¹²) (Z — x) (l—#)2 c 24 E- h‘) (3 Z 4- 4/2')    2E‘J

23)    •    •

24)    .    .

Für die wagerechte Verschiebung der Stützenköpfe findet man die Beziehung:

25)

&Ac — ßßc = 6(7c — — ßDo —-^Efc = — ßFc

24 E • J(l -j- h‘)

h(l+ 2 h‘) (3 Z + 4ÄÖ

Mit f — —E_ wird wieder f occ

Die Einflußlinien der Unbekannten und Stützkräfte sind für einen Rahmen

39Z² -f- 112 Z • h‘ + 76^'²

ermittelt, bei welchem wie bei dem vierstieligen Rahmen die Stützenhöhe h gleich der halben Spannweite (h — o,$-l) und Jv = J angenommen worden ist. Hierfür gilt:

öaa=

3*³

20 E • J ’

f — ——l, <U

199^ d 4104E-J ’

CG -

19Z

iS E-J

114

Bei den Gleichungen der Einflußlinien sind ihre Neigungswinkel y über den Stützen und die Abstände s der Belastungsscheiden von den am nächsten links von ihnen liegenden Stützen angegeben; statt x:l wird n gesetzt.

-x. = —

da

daa

liefert die Gleichungen der Xa- Linie. Man erhält:

l. Öffnung:

Xa = — 0,1111 n (i —n)²;

y a. = —o,i 111;

J:a ==o,4444 n²(i—n);

Yb — o; yc=—°>4444-3. Öffnung, linke Hälfte: Xa =—0,444422—1,6667 22² + 1,1111 22³;

rechte Hälfte: .Xa=i,o— 0,4444 n—1,6667 22² + 1,1111 22³. Xa = — 0,4444 n (1 — n)²;

Yd = — 0,4444; Ye— o.

Xa — 0,1111 n²( 1 —n);

Yb= o.

2.

Öffnung:

4. Öffnung:

5. Öffnung:

Ye= o;

7_f = —0,1111.

Mit Xb

db

dbb

lauten die Gleichungen der Xb-Linie:

1.

Öffnung:

Xb = n( 1 — ^(0,5428 — 0,829222);

^=+0,5428;    722=+0,2864;    5 = 0,655/.

Xb = n( 1 — ^(0,2864 — 0,7387 22);

^= + 0,2864;    7,7=+0,4523;    5 = 0,388/.

= 0,452372(1 — 22);

ro= + 0,4523; yd=—0,4523-

Xb= — n{i — w) (0,452 3 — 0,7387»»);

Yd = — 0,4523; 7^=— 0,2864; 5 = 0,612/.

— n( 1 — w)(o,2864 — 0,829272);

Ye— —0,2864; Yf= — 0,5428;    5 = 0,345/.

Die Xc- Linie verläuft in den ersten beiden Öffnungen ähnlich der Xa-

2. Öffnung:

3. Öffnung:

4. Öffnung:

5. Öffnung:

Linie. Xe —

dc

ergibt:

Occ

1. Öffnung: --Xe —

2. Öffnung:

0,026322(1 —n)²\ 0,0263;

tJ?c = o,io53w²(i—22);

Ya =

Yb = o.

Yb = o; yc= —0,1053. 3. Öffnung, linke Hälfte:    Xc =

rechte Hälfte:

0,105372 — 0,3947 n²;

\-Xe= — 0,5000 + 0,894772 —0,3947 22².

4. Öffnung:    = 0,1053n{¹—w)²;

Yd= 0,1053;    7^=o.

— 0,0263 72²(i —w);

7^ = o; 7^ =+0,0263.

5. Öffnung:

Die in dem Hauptsystem durch die äußeren Lasten hervorgerufenen Stützkräfte sind durch die Gl. 26 bis 47 (S. 32 bis 35) gegeben (vgl. auch die Abb. 56 bis 59). Es wird bei einer senkrechten Last 1 in der

ersten Öffnung A₀ = 1,0(1 — n) + T\j-n(1 — n)(2 — 7 n),

B₀ = n— n(i — n)(2 — 7 n),

C₀ =    — n)(2 — 7 n),

Hao = ^n{i-—n)[i^ — gn),

Hb0=—$n(i—ri),

Uco =—T^n(¹—n)(4 — 9n) und der zweiten Öffnung    A₀ — — yy n (1 — n) (5 — 7 n),

B₀= 1,0(1 —ri) + \n(i —n)(s — 7n),

C₀ = ?i — T\jn(i—n)(s — 7n),

Hao= — ₁i-s?i(i—n)(5 — gn),

Hbo = $n{i—n),

Hco = — iVn{ 1 — n){ 5 + 9^)

und auf der linken Hälfte der

dritten Öffnung

A₀ —

B₀ = -f n, C₀= i,o+| n, Ha0 = — +₃ n, Hbo —    ■§- n,

Hco — + i”5 w.

Ferner ist

--T³T7 >

Hba    >

Bb =

-öcfe = +

ö Cc = + 4,

Ö i?cc = + Tl>-

TU"» Haa —    13,

-4 6 — + +2'V> Hab= + tÖV >

l-Ac=-},

l ‘ -ßäc ⁼    1^5 »

— 38"’

Hbb = + tVt >

l- Bc= |,

l-Hbc=-1

Ca — +

-^ca — + tV’ Cb= — -/-yg-,

1 0 9

Man erhält schließlich folgende Einflußgleichungen der an den Stielen +, und C angreifenden Stützkräfte:

1. Öffnung:

Ä = 1,0(1 — n) + n(i — ^(0,3473—0,9163»*);

yA= — 0,6527;    —    0,4310.

5= i,ow w(i »*) (0,3652 — 1,3727*2); jn =+0,6348;    /£=—    0,0075.

w(i —??-) (0,0933+ 0,3452^);

0,0933;    ^=+0,4385.

Ha = n(i —?2)(i,o995 — 0,84252*);

^= + 1,0995;    —    0,2570.

Hb = —n(i —^(0,3869 + 0,3989 22);

yy=_ 0,3869;    +    0,7858.

iZc = —22(1 — w)(o,i7oi — 0,412222);

yA =—0,1701;    /£= — 0,2421;    5 = 0,412/.

A = —n{ i —?>)(o,43io — 0,4562/2);

2. Öffnung:

3. Öffnung:

4. Öffnung:

5. Öffnung:

Yb= — 0,4310; yc=— 0,0252;    5 = 0,944/.

5= 1,0(1— //) + 22(1 —/2)(o, 9925 — 1,577072);

/ß= —0,0075; /c —    °,4155*

67= i,ow-H(i-ii)(o, 5615— 1,5653?*);

7s = + 0,4385; 7a= — 0,0038.

Ha=—n( 1 —//)(o, 2571 —0,3160?/);

7s =—0,2571; 7c =—0,0589;    5 = 0,813/.

Hb = n(i —/2)(o, 7857 — 0,5250/2);

7s=+0,7857;    7C= —0,2607.

Hc = —7/(l —22) (0,2420 + 0,5296/2);

7s=—0,2420;    70=+0,7716.

4 = —22(1 — 22) (0,02 54 — 0,1111 //);

7(7=—0,0254;    7/7=— 0,0857;    5 = 0,248/.

—72(1— /i)(o, 4154 — 0,3333");

7(7= — 0,4154;    7/7^+0,0821.

(7= 1,0(1 — 7/) + 72(l —/2)(0,9963— 1,5556/2);

7s= —0,0037;    7/? = —0,4408.

#« = —// (1 —//)(o,o59o — 0,1481/2);

7(7=—0,0590;    7/7=—0,0891;    5=0,398/.

Hb = —Z2(l — /2)fO,26o6 — 0,3704/2);

0,1098;    5 = 0,704/.

Yd =

7(7= —0,2606; i7c = Z2 (1 — n) (0,7 718 — 0,5185 n);

7(7=+0,7718;    7/7=—0,2533.

+ = — w-(i — w)(o, 0857 —0,1549/2);

Yd~ 0,0857J 7s = —0,0692;    5 = 0,554/.

B=n(i —22) (0,0820 — 0,0896/2);

7s= + 0,0820;    7s=+ 0,0076; s = 0,915/.

67= —22(1 —n) (0,4408 — 0,3792/2);

7/>=—0,4408; 7s =+0,0616.

Ha = —/2 (I — /2) (0,0891 — 0,1656/2);

72) =—0,0891; 7s =—0,0765; S = 0,538/. i?6= —//(i —/2)(o,I099 — 0,2288/2);

7/7 = —0,1099; Ye =—0,1189;    5 = 0,480/.

Hc= — n{ 1 —22) (0,2 5 3 2 — 0,3444/2);

Yd = — 0,2532; 7s = — 0,0g 12; s = 0,735 /. 2I = —22(1 —22) (0,0691 —0,1942/2);

7# = — 0,069¹;    7s=—0,1251;    5 = 0,356/.

B — n(i —22) (0,0076 — 0,0393/2);

7s=+0,0076;    7s=+0,0317;    5 = 0,193/.

67 = 22 (1 —22) (0,0615 — 0,0437/2);

7s=+0,0615; 7s = —0,0178.

J+i = —22(1 —/2)(0,07Ö2 —0,2 129/2);

7s=—0,0762;    7s=—0,1367;    5 = 0,358/.

Hb= —n( i — ;?.)(o,ii9o — 0,3247^);

0,1190; yF= — 0,2057;    8 = 0,366/.

Hc = —n( 1 —w) (0,0913 — 0,2916 n);

Ve=— 0,0913;    ^=—0,2003;    8 = 0,313/.

Die Winkel 7 in den vorstehenden Gleichungen lassen erkennen, wie schnell der Einfluß mit wachsender Entfernung der Last abnimmt.

Es ist noch die Beanspruchung des Trägers durch eine gleichmäßige Wärmeänderung

um t₀ untersucht worden. Infolge der Symmetrie wird dat = o. Bei den Zuständen Xb und Xc — I ist die Summe der senkrechten Stützkräfte = o. Es wird daher

7e —

dbt =

£‘/₀- / (4 Hab -j- 2 Hbb    1) und

Öct =    2 £ • t₀ • Z(2 Hac + Hb(>).

Setzt man hierin die Werte für Hab, Hbb, Hac und Hbc ein, so wird

+ 4^') — ²f’ Q

Ä(3/ + 4 h‘)

und

6 e-t₀-l2 Ä(3/ + 4Ä‘)

Bei dem Beispiel mit h — 0,5 • / und Jv — J wird

.    12 e ■ t₀

und    öct = —-—

27)    .    .

dbt =

19

; daher

Xbt = 59,7

£ • E • J • t₀

und Xct=— 1,894

£ • E • J • t₀

Aus der Berechnung des dreistieligen Rahmens sind bekannt:

36«- E-J-1₀

A-ot ^ot D₀t — 1 ot

B₀t — E₀t

7 2£-E-Jt₀

5l²

B-aoi— Bcot—TJdot— Ilfot

48 £ ■ E J-t₀

Führt man noch

Hhot — Hgot — O.

£ ■ E • J • t₀

51²

und

= T ein, so erhält man schließlich folgende, durch

eine gleichmäßige Temperaturänderung um t₀° hervorgerufene Stützkräfte:

Hat = — Hft=* + 2 6,00 • T, Hbt = — Het = + 26,02 • T, Hct = — Hdt= + 7j68 • T.

At = Ft= + 21,98 • T, Bt — Et =

Ct = Dt =

x4>83 • T, 7A5 T,

Abb. 82.

Abb. 82 zeigt die diesen Stützkräften entsprechenden Momente. Das größte Moment in dem Balken entsteht über den Endstützen mit

Nakonz, Berechnung mehrstieliger Rahmen.

¹

Öffnung:

h (31 + 2 h‘) f(l+ 2 h‘) (3 / + 2 h‘)

12(l-\-h‘)    4(1h‘) {$1-\r 4 h¹)

M = — 13,00

f • EJ-t₀

Setzt man wieder die Trägerhöhe d — ¹/₁r₎ • l, e-E=2^ kg/cm² und t₀= 35⁰, so ruft dieses Moment in dem Balken eine Spannung ö = 380 kg/cm² hervor.

5. Der zweistielige Rahmen mit gestützten Kragarmen.

Das Hauptsystem des zweistieligen Rahmens, bei welchem die überkragenden Teile des Balkens an ihren Enden durch ein längsbewegliches Auflager unterstützt sind (Abb. 83), besteht aus zwei einhüftigen Rahmen. Da diese statisch

-/

H-S-

->1

'S

«5a

h .jv

■'Fv

~FV

~JV

"h

X---

"c

lKC

Abb. 83

bestimmt sind, erhält man auch bei Berücksichtigung des Einflusses der Normalspannungen für die Biegungslinien noch recht einfache Ausdrücke. Bei dem Zustande _Xa = 1 ist dja = dj)a = o, während infolge der durch die N ormalspannungen bewirkten Zusammenpressung der Stützen B und C

Z + c h l E -Fv

dßa = — 3 Ca =

ist, da Symmetrie vorausgesetzt wird. Die Anwendung der Gl. 6 bis 9 (S. 11) und der Gl. 59 bis 62 (S. 20) liefert:

1. Öffnung: 1) da

6E- J-1

• X,

2) Ta

c-x²

h(l + c)

6E J ¹ 2E J l l²-E Fv

2. Öffnung: 3)äa = daa—

x(c — x)(2C—x) h(l-\-c) c — X

6 EJ‘

l-E-Fv

in der linken Hälfte und

aa

2c — x x(c — x)(2c — x)    h(l-\-c) c — x

bEJ‘

/. E-F*

in der rechten Hälfte, während

4) • •

Ta

C-l    x(2C — x)    h(l-\-c)

ZEJ

2EJ¹

. E- Fv

für die ganze Öffnung gilt. Die Biegungslinie in der dritten Öffnung ist das Spiegelbild der Biegungslinie in dem ersten Felde, wenn man bei ihren Ordinaten das Vorzeichen umkehrt. Weiter findet man

5)

v 2 c²(Z -f- c‘) t 2h(l-\-C)2 aa= 3F-J

l²-E-F°

und

6) . .

c-h-l h²(l-\-c)

ßa 3 E-J^P-EF*

Sämtliche Punkte des Balkens verschieben sich um das gleiche Maß ea nach rechts, da in ihm keine Normalspannungen herrschen.

Die Kraft X.b =' i drückt die Stützen D und C um das Maß

Man erhält für die

i. Öffnung: 7) db =

6E- J -l

8) Tb =

h — f h l E-Fv

zusammen.

P-E-Fv

■x,

l(h—f)    x²(h—f)    h(h — f)

6 E-J 2E-J-I P-E-F*

und für die

l-E-Fv’

2. Öffnung: 9) db —

f-x(2c — x)    h(h — f)

2 E-J¹

f(c — x)

E-J

IO) Tb

Die Biegungslinie in der dritten Öffnung ist das Spiegelbild derjenigen in der ersten Öffnung. Für f findet man:

h(l> + ₃hj^

Ev

Bei gleichen Stützweiten (zc==l) und Vernachlässigung des Einflusses der Normalkräfte wird

/WA-

Gl. 74 (S. 23) liefert

• 6Ab — ßßb — — ßCb — — ßDb

c'-f-h h²-h‘

E-J

3 E-J

, weshalb

13) • • • • dbb

2&-f-h ₍ 2 h² ■ h‘

E-J ⁺ lE-J ^ JjT‘

ist.

l-E-F⁰

Bei dem Zustande Jl₀ = 1 wird (S>Bc = da.

Da die öc- Linie zu der durch die Mitte der zweiten Öffnung gelegten Senkrechten symmetrisch verläuft, genügt es, ihre Werte nur für die erste Öffnung und die linke Hälfte der zweiten Öffnung anzugeben. Es wird in der

h ■ x

1. Öffnung: 14) dc

x(l — x)(l-\-x)

6E-J-1

P-E-F” ’

x²

P-E-Fv

6 E-J 2 E-J -1

und in der linken Hälfte der

2. Öffnung: 16) ff, = *(H_ ₊

X¹

ll

2E-J‘ l-E-Fv

und

$E'J l'¹‘ E- Fv E J‘

Gl. 66 fS. 20) liefert

2l

2 c‘

l²-E- Fv

EJ

Da in dem Balken keine Normalkraft vorhanden ist, verschiebt sich der inks von der Symmetrieachse gelegene Teil um das Maß

h • l

19)    .    .

3 EJ

l²-E■ Fv

nach rechts und der rechts von ihr liegende Teil um den gleichen Wert nach links.

Xc

-Fv

~JV

->

Abb. 84.

B. Rahmen mit eingespannten Füßen.

1. Der zweistielige Rahmen.

Die Untersuchung des zweistieligen, dreifach statisch unbestimmten Rahmens erfolgt auf zwei verschiedenen Wegen. Der erste entspricht der von Müll er-Breslau in den „neueren Methoden der Festigkeitslehre“ gegebenen Berechnungsweise, indem hier wie dort dieselben statisch Unbestimmten Xa, und Xc eingeführt werden (Abb. 84).¹) Das Hauptsystem ist statisch bestimmt. Die gewählten Bezeichnungen entsprechen den bisher verwendeten und gehen aus der Abbildung hervor.

Zustand Ea = 1.

Die Stützkräfte des Zustandes Ea = 1 sind:

da ⁼ Ea — I,

Uaa ⁼ IIba — O, 5 aa — Yba — I

Hierdurch entstehen folgende Momente und Normalkräfte:

Na = - 1; Fa = + 1; — Na = o.

Stütze A: Ma=—^ • l,

Stütze B: Ma — — \ • l,

Balken:

Bei den Rahmen mit eingespannten Füßen können nach Festlegung der Stützkräfte sofort die wagerechte Verschiebung des Balkens und die Neigungs-

winkel seiner Biegungslinie über den Stützen nach Gl. 76 (S. 23) bestimmt werden. Man findet

Ula — T'Ba

l-h‘

1)

&Aa — @Ba

2EJ

hh'h‘

und

4 EJ

= ea-,

sämtliche Punkte des Balkens verschieben sich um das gleiche Maß ea nach rechts.

Die durch die Normalkräfte bewirkten Zusammenpressungen der Stützen sind:

^Aa = — äßet,

E • Fv

Jetzt liefern die Gl. 59 bis 62 (S. 20):

l²(l+6h‘)

2h

3)    •    •

4)    •    •

izE-J ^ E- Fv’ l-h‘ x(l — x) zEJ⁺ 2 E • J , A x ,    h

• da — daa 1 -f

und

l— 2X

X(l — X) (l— 2X)

E-Fv l

izE-J

in der linken Hälfte, sowie

da = -d

aa

l — x h    l—2X    x(l — x)(l—2x)

l **"    l

in der rechten Hälfte.

Zustand = 1. Der Zustand JYj = 1 erzeugt die Stützkräfte M j — 13f) = o,

Hab ~ Hbf) = I,

Yab = — Ybb = h — f,

sowie folgende Momente und Normalkräfte:

Stütze A: Mb=h— f—y, Stütze B: Mb = — h -f- /"+ y, Balken:

Gl. 76 (S. 23) liefert

Mb= —f, Nb =

— 1.

*Ab

h‘(h—2 f)

• Da f=

2 E -J- tm

ist, erhält man

5) •    •    • f

li-h‘

Unter Benutzung dieses Wertes für f werden

%Ab — — ?Bb =

2 E • J(l -f- 2 h‘)

und

6)    .    .    - eAb = — ßBb= —

h²-h‘(21 -f h‘) 6E-J(l-{- 2 h‘)

Setzt man die Werte für f und in die Gl. 63 bis 65 (S. 20) ein, dann findet man

8) . .

9)    .    .    . db= —

h² • h‘(21h‘)

$E■ J(l-j- 2h‘) ' E-F ' li ■ h‘(l — 2x)

2 E• J(l -j- 2h‘) h-h‘ -x(l — x)

2 E-J(l-{- 2h‘Y

und

, da ÖAb = $Bii — o ist.

Zustand Xc = 1.

Bei dem Zustande Alc = 1 werden die Stützkräfte Ae = Bc = Hae — Hbc — o, Yac = — Ybc — — I und die Momente

Mc = — 1 in der Stütze A,

Mc — + 1 in der Stütze B und Mc = — I in dem Balken.

Normalkräfte treten nicht auf. Nach Gl. 76 (S. 23) gilt:

h‘

xAe —    LBe —

E-J

und

10)    .    .

ßAc =-ßßc

h - h‘

2E J

Die Gl. 66 bis 70 (S. 20, 21) liefern:

l-\- ² h‘

~1bT*

2h‘-x-\-x²

• c= 2 E-J

4c

12)    .    .

bei dem linken Teile, sowie

und rc

h‘ + x

EJ

13) • •

.    2 h‘(l — x) + (l — xY

■ dc--TeTj-

und rc —

h‘ + l — x

E-J

2 &Ac

bei dem rechten Teile des Balkens. Auf f für f unter Gl. 5.

Die Verschiebungen des Balkens bei den Zuständen Xa, Xb und Xc = 1 sind jetzt bekannt; es können daher die statisch Unbestimmten für jede am Balken angreifende äußere Last mittelst der Gleichungen

4c

erhält man wieder den Wert

-Xa=~

4nfc j -x7-    $

— -r— und Xc =---

mc

aa

dbb

4c

ermittelt werden. Die Berechnung der Stützkräfte erfolgt in bekannter Weise nach Gl. 78 (S. 23). Vernachlässigt man den Einfluß der Normalkräfte, der sich bei den Verbiegungen der Zustände Xa und Xb bemerkbar macht, so erhält man i e im folgenden angegebenen Ausdrücke für die Auflagerkräfte.

Senkrechte Lasten.

Linker Kragarm:

6h‘ • £

•P,

•P,

P= —

14)    .    .

'fr:

Pa

Kl- 5h')

2h{2lJrhi)

•P,

2(7 + 6Ä')(2/ + Ä') l($l+ 7^')b

•P,

2 (Z —(— 6A'J (2/ + Ä‘)

• p.

s bedeutet den Abstand der Last P von der linken Stütze.

Entfernung der Last P von der rechten Stütze.

Hier bezeichnet £ die

Zwischen den Stützen:

Rechter Kragarm:

~ l — X x(l--x)(l-2X)

l²(l+6h+

X x(l-x)(l—2x)

l²(l+6h‘)

3 x(l—x)

2 h (21 + h‘) x(l — x)    x(l — x)(l 2X)~

Hd= — Hb =

Ya —

Yb = -

_2(2l + h‘) ■x (l—x)

■p,

■P,

■P,

21(1+ 6h‘) x(l — x) (l— 2x\

_2 (2 l + hl) 2 1(1+ 6h')

6-fr-g 1(1 +6 h‘)

6h

1(1 + 6 h‘)

■P,

Pr

■ p.

i-f

P,

Ha =

-Hb =

irrr

Ta

2 h (21 + h‘)

l(il+7h‘)S, jy

■P,

Yb

2(1+ 6h‘)(2l + h‘) Hl-5h¹) S 2(1+ 6 h')(2l + h‘)

■P.

Wagerechte Lasten.

Greift die von rechts nach links gerichtete Last Q zwischen den Stützen in der Höhe k über der Balkenachse an, so findet man:

Ha

Hb =

Ya

Yb

f 3 h-hl \l(l + 6 h‘)

3 k(l—2x) \ \ 2    2h(2l + h‘) j

3k(l — 2x) ) 2h(2l + h‘) J

6 k [h‘ -l + x (l — sc)]

l²(l + 6h‘)

}q.

Q,

Q,

₌ (h (l + 3 h‘) \ 2 (Z + 6h‘) ₌ (h(l+ 3 fr) (2 (l + 6 hf)

l² — 6 sc (l — sc) 21(1 +6 h‘) l² — 6sc (l—sc)

l — 2 sc

2 (2I + h‘) j

l — 2 sc

Qr

21(1 + 6 h¹)

2 (2I + h‘) J

Q.

In diesen Ausdrücken ist sc = o bzw. sc = 1 zu setzen, wenn Q an dem linken bzw. rechten Kragarm angreift.

Momente.

Die einmalige Differentiation der Gl. 15 (S. 71) ergibt die Stützkräfte, die durch rechtsdrehende, zwischen den Stützen am Balken' angreifende Momente hervorgerufen werden. Man erhält:

Ha = -Hb

r„=-

Yb= —

6 [h‘ -l-\-x (l—cc)] l² (l + 6h‘)

3 (l— 2x)

2 h(2l + h‘)

l²—6 x(l x) l — 2X

21 (l -f- 6 h¹)    2 (2 l h‘)

l²—6 x(l — x)    l — 2X

2l{l-\- 6h‘)    2 (21 + h‘)

• M,

• M,

■M,

■ M.

Wenn M den linken oder den rechten Kragarm belastet, ist a; = o bzw. x—l zu setzen.

Es wird

Wärmeänderung.

Öat= O,

Jt

19)    .    .

Sbt= £ • t₀'l £—    t₀ • l

41.i

e • Jt • h-h‘ -l

cl (l + 2 h‘)

und

Mit

Xbt

$£■ E J■ Jt -1

Xct

h² • h‘ (21 h‘) £ ■ E- J- Jt-l

d- h (2/ + h‘)

und

d{l-\- 2 h¹) At = Bt = o,

findet man:

20)

Hat— Hbt

3 £ • E-J-1₀ • 1(1+ zh‘)

Yat=-Ybt

h²-h‘ (2l-\-h‘) 3«- E-J't₀-l(l-\-h‘)

3 £ • E- J-Jt-l d-h(2l-\-h‘)

£ • EJJt■ l

h • h‘ (21 + h‘)

d{2l -\- h‘)

!■

■JE

Äc ! Xc

mm

Ist der Rahmen unsymmetrisch, mit verschieden hohen Stützen ausgebildet (Abb. 85), so ist der Angriffspunkt der Unbekannten Xa‘, Xb und Xc durch die Beziehungen

X*/k

l(l+ 2 h₂‘)

"a

² (l + hx ¹ +    0

C-2 —

l(l-\- 2 h^)

² + hi + h₂‘)

und f

Abb. 85.

gegeben. Er fällt mit dem Schwerpunkte des Rahmens zusammen, sobald man den Stützen die Gewichte

7-'K = K

Jv

und

• h₂ — h.₂¹    verleiht.*)

1) Muller-Breslau: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre S. 125.

Der Winkel cp, unter dem JXV anzunehmen ist, wird durch

Öaa

l² [Z² + Al{K+ h₂') + 12\k' h₂‘]

E • F\ E •

und

^ab

Z[/(fe₂ • kj—Jp • V) + 2    ¹ -ä₂' (Ä₂ — Ät)]

\E‘J-\- h₂‘)

bestimmt.

Der zweite Weg zur Berechnung des dreifach statisch unbestimmten zwei-stieligen Rahmens ist bereits auf S. 27 angedeutet. Die Einspannungen werden durch Fußgelenke ersetzt, und ein Zweigelenkrahmen wird als statisch unbestimmtes Hauptsystem verwendet. Sind Ya und Yb wieder die Einspannungsmomente, so führt man

Xa = Ya + Yb und Xb = Ya— Yb als Unbekannte ein. Bei gleich hohen Stützen ist öab = o. Dem

Zustande Xa— 1 entsprechen Ya = Yb — 4 und die Auflagerkräfte

—• Hba — O.

— 4, H.

Das Balkenmoment wird hiermit

so daß die Gl. 6 bis 9 (S. 11)

21)

jt X(l—X)(l—2X)

■ a 12E-J-1

22)

Ta

l²— 6 x(L — x)

i zE-Jl

und

12 E J

TJa — TBa

ergeben, wenn man den Einfluß der Normalspannungen auf die Formänderung vernachlässigt. Da sich beide Stützen an ihrem Fuße um den gleichen Betrag drehen, wird

h‘

l -f bh‘

12 E J

Der Balken verschiebt sich um das Maß

ea — T ja * h 4~ 4 ’

h-h‘ h(l 4- 3^')

2E-J 12E-J

nach rechts.

Bei dem

Zustande Al& — 1

ist Ya = — Yb = Ab — Bb — o und nach Gl. 11 (S. 27)

IIab —    Hbb

Daher hat das den Balken beanspruchende Moment die Größe

2/?, (3/ 4- zh“)

Mb

h‘

2 (31 4- 2h¹)’

: es wird

h‘ -x(l — x)

26)

aE-J (31 + ² h‘)

hL{l— 2X)

und rÄb = — Tßb

h‘ ■ l

aE’J (3/ + 2h¹)

Die beiden Stützen drehen §ich in den Gelenken wieder um denselben Winkel,

4 E• f/(3 / -f- 2 h‘)

wenn auch in entgegengesetzter Richtung; infolgedessen ist

k ■ h‘

öbb =

dbb

(! + ■$■) (*M 4" h‘(2l-{-hl)

h‘

2EJ

-Hab

2E-J,

oder

aE-J^I + 2h)

Eine wagerechte Verschiebung des Balkens tritt nicht ein; mithin eb = o.

Greifen äußere Lasten P, Q oder M an dem Balken an, so ergeben die

Beziehungen

dma Öaa

folgende Werte für die Unbekannten:

E-a =

und Xb — —

⁽hb

-E-a ~

x(l — x) (l- 2x)

28)    .    .

1 {i + 6 h)

P,

Xh =

x (l — x) 2l-\-h‘

■P;

29)    .    .

A„- {

xb

Ä(Z+3 h‘) t k\l*—6 x(l — jc)] Z+ 6h‘ k(l—2X)

1 (1 4- 6 h)

■ Q;

Xa

l“ - 6 x{l — x)

30) . .

Xb

i(i-\-6h)

l — 2X

■M,

214- h

■ M.

Die Stützkräfte werden mittels der Gleichungen

Xb),

Ya = \ (Xa + Xb), A-Ä,-¹- • X

B = B,+ ±-X.

Ha=Hao +

3 (l + Ä')

Hb = Hb₀

2h (3/ + 2h¹) 3 (*+*')

• Xb und

2 h (3/ + 2 h)

•Xb

sehr schnell gefunden.

2. Der dreistielige Rahmen.

Der dreistielige Rahmen mit eingespannten Füßen ist sechsfach statisch unbestimmt. Sobald gleiche Spannweiten l vorliegen, ergibt die Ausnutzung der Symmetrie sehr einfache Ausdrücke für die Unbekannten. Die Mittelstütze wird im Abstande f unter der Balkenachse durchgeschnitten, und es werden dort gemäß Abb. 86 die Unbekannten Xa, Xb und Xc eingeführt. Der dreifach

statisch unbestimmte Rahmen AA' C‘C von der Spannweite 2-1, dessen Berechnung bereits bekannt ist, bildet das Hauptsystem. Bei dem in Abb. 87 dargestellten Zustande ACa = 1 sind

^ Aa ⁼ $ Ca

und öBa = — ((5

2 E-Fv

die Ordinaten der öa-Linie über den Endstützen bzw. über der Mittelstütze. Die in dem Balken auftretenden Momente haben die Form Ma = aJrb-x; in der

E-Fv

A’

4*-

ß’

C’

er

X.

65

Abb. 86.

CAa,

r [*

sCa

Ößa

L...A

-l

Ä.1

Zustand =7

K,a.

'rca/' ~K

a (> — V L

Abb. 87.

ersten Öffnung ist a=Yaa— Haa-h und 6 = —in der zweiten Öffnung ist « = Yaa— Haa-h— \-l und b = ^. Die Gl. 6 bis 9 (S. 11) liefern mit diesen Werten die Biegungslinie des Balkens. daa erhält man aus der Bedingung, daß der Neigungswinkel der Biegungslinie über der Mittelstütze Tßa — ° sein muß. Infolge der Symmetrie ist ßßa —⁰ j es wird

@Aa ⁼ Ht

aa

E-F

Cca,

da Haa die in dem Balken herrschende Druckkraft ist. Ein beliebiger Punkt der Balkenachse verschiebt sich wagerecht um das Maß

l — x

""

E-F

in der ersten Öffnung, bzw.

tin

E-F

in der zweiten Öffnung.

Die Kraft Xb — 1 drückt die Endstützen um

zusammen, während mit dab = o auch dßb — o ist (Abb. 88). Die Gl. 6 bis 9 (S. 11) liefern die senkrechten und die Gl. 76 (S. 23) die wagerechten Verschiebungen des Balkens. Soll öic=o werden, so muß

*Bb 4

f² _(h-fy

2 E - Jv

2E-Jv

oder

f • h‘    li • h‘

E-J " 2E-J

Tßb Sein.

!U-

i/

1 //

-1_____t

o-

Ki

r—n

VT

- -4—I

\\f

-I ^Cb

ZustandX,=7

<A

Abb. 88.

eßc

La.

ZBc

!/

Zßc

r ecA

/>

r>

Zustand Xc=7

•<< ^c

<Tc

Abb. 89.

Für df/b erhält man:

⁽hb =-+ Cßb ■ f

P    (ft-fl⁸.

3E JV^ 3E JV’

2EF

hierbei ist Cßb^e^b

Bei dem Zustande Xc = I ist Ac = — Cc, mithin

Öac — $Cc — Ac -ß jpv

6bc wird = o, weil öaß — o (Abb. 89). Sind die Verschiebungen des Balkens bestimmt, so findet man

dcc — Eßc 4

h‘

EJ

und f aus der Beziehung:

— eBc + f‘ *Bc 4

(ft — fy

2 E-Jv 2E-Jv

oder f

2 h‘ —(— 2 E • J • x ßc

Die Rechnung gestaltet sich folgendermaßen, wenn man den Einfluß der Normalspannungen vernachlässigt:

Aa = Ca =

Zustand Xa = i.

Es werden nach Gl. 15 (S. 71) die Stützkräfte: -Hca=-

aa

2/1(41ll)

j Yaa — Yca —

i²

2 (4/ + h")

Setzt man die Balkenmomente Ma = a -f- b • x, so ist in der ersten Öffnung

l²

und b= -

sowie in der zweiten Öffnung a =

und

a 4l + h‘

b —Hiermit findet man die Biegungslinie des Balkens, wenn man noch beachtet, daß dTla — — daa:

2 (4/ + h‘)

1. Öffnung:

I) •

x(l — x)

2) .

• *a

l ' i2E-J(4l + h‘)

daa ,    l²(2l—h‘)    __ x[4 l² x(4 / + /?')]

I    12 E■ J(4l-\- h')    4E• J(4Ih‘)

ögg    l*(2l-h‘)

l 12 E- J(4l-\-h‘)’

daa ,    l²(l+k‘)

l ¹ öE-J(4l + hl)

Da nun Tßa — o ist, erhält man:

3)

daa

P(l + k‘)

6 E'J(4/ + h )

Setzt man den Wert für daa in G4a ein, so wird dieses

l² ■ h‘

4 E- J(4lJrh')

2. Öffnung.

Die da - Linie in der zweiten Öffnung ist das Spiegelbild der da- Linie der ersten Öffnung; mithin

4)    . da=—d

x(l — x)

12 E • J(4l + h‘) x[2l(2l + h¹) —x (4I    h¹)]

aa

[2l(l-\-h‘)—x(41 + /«')] nnd

4 E■ J(4 l-\- h‘)

Die wagerechte Verschiebung ea ist = o. Man kann mit Gl. 76 (S. 23) hierauf

und auf r^a die Probe machen.

Zustand Xb = 1.

Die Kraft Xb = 1 ruft nach Gl. 17 (S. 71) folgende Stützkräfte in dem Hauptsystem hervor:

Ab = -Cb =

3-h-h‘ — sfjl+zh*)

4W + 3Ä')

Hab — Heb — y j

Tab= Yeb

h(214" 3 h‘) -f- f-1

4 (l + 3 b)

Die Balkenmomente sind in der ersten Öffnung

Mb

3 h-h‘ — f-l

und in der zweiten Öffnung

4 (^ + 3 h‘)

3h-h¹ — 3f(l + 2h‘) ^ 4 ^ (J + 3^'j

■x,

Mb==f^ 3h-h¹ — 3f(l+2h‘)

so daß man folgende Biegungslinien erhält:

<5₆ =

x(l — x)

i. Öffnung.

[2 l-h‘(h + f) — %{h ■ h‘ —    2 /?')}] >

D> =

[2l²-h‘(h + f) — 2l-x($h-h‘ — /W)-f-

<5Ö

l-h‘(h + f)

— a?)

8 E3h‘)

und zBb

2. Öffnung.

8 E • J(l -f- 3 Ä⁴)

[l[h-h‘ + f(l + 4h‘)\ -\-x{h ■ h‘ — f(l + 2Ä')}],

Tl°/’,/.    [;i1A • *' + ^ + 4ft‘)} -4»•/■*(<+3fr)-

— 3x²{ä-^' — /■(/+ 2/?')}],

'*■£76 = Gtfi-

Aus der oben erwähnten Beziehung

f ■ h‘ h • h‘

E-J~ 2E J

— DB6

findet man

6)

3 h-hl (J + 4/2')

+ 4 ^') + 8 h‘ (l + 3 h‘)

Die Anwendung von Gl. 76 (S. 23) liefert

7)

h • h‘ [h (4Z + 3 fr⁴) + 3/’^]

so daß aus

24E•    3h‘)

P (h-f)*

3 E • Jv' 3 E - Jv’

wenn man noch den soeben errechneten Wert für f einsetzt,

dbb —-ßb + xBb • f +

ht-h'iP + gl-h¹ + 6 h¹²)

2E-J(l²-\- 12l-h,Jr 2\E²)

erhalten wird.

Führt man den Ausdruck für f in die für die Biegungslinien abgeleiteten Gleichungen ein, so nehmen sie folgende Form an:

1. Öffnung: 9) db

h ■ h‘ • x (l — x)

4 E-J(liJr 121- h‘ -f 24Ä'²) h-h‘[    l(l-\-i2h‘) + 2o[h‘-x + 3 a?²] _

4 E- J(l² + 121- h‘ + 24 h‘²)

(/+ 12h¹ -\-x),

¹

Müller-Breslau: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre S. 127 u. folg.

h■ h‘ [21(1+6h¹) — 6x(l + /[h>) + 3&² 3]

12)

4 iT • t/(/²-f- 12h h‘ + 24 h'²)

Zustand X₀ — 1.

Unter Benutzung der Gl. 18 (S. 72) erhält man die Stützkräfte des Zustandes _XC = I:

3 (l+2h‘)

2. Öffnung: u)

h • h‘ ■ x (l — x)

4E-J(l² + i2l-h¹ + 2\h¹²)

(2I + 12 h¹—x),

Ac — — Cc =

Gl. 76 (S. 23) liefert

Hoc — IIcc — O»

tm=yco=

4 (^ + 3 Ä⁴)

und

Glc — ^Cc

l-h‘

4 E • J (l -f- 3 h‘) l-hh‘

8 E-J[l + 3 ll)

Für die Biegungslinie des Balkens ergeben sich folgende Beziehungen, wenn man beachtet, daß in der

1. Öffnung

Jf₀

2. Öffnung    Mc — ,]-

3 (l + 2 h‘) ■ x

4(^+3^')    4^+3^')

,    3 (l+2h‘)-x

4 ^ + ih‘)

und in der

ist.

für die Unbekannten lauten bei senkrechter Belastung des Balkens:

[2/- h‘ + x(l+ 2 /«')],

14)    .    . <Je =

8 E-J-1(1 + 3/?/)

i5)    •

. Tc = —

2I² -h[ + 2I²-x— 3:z²(£ + 2&') 8E-J-l(l+ 3h¹)

17)    •

• rc

Z²(Z + 4Ä') — 4 • l-x(l + 3/^) + 3a:² (l + 2 h')

8 E -J 1(1+ 3 Ä‘)

Da t#,

1(1 -f 4/?')

8E- J{1+ $h‘)

ist, wird mit öcc — Zßc -f-

h¹

E-J

18)    .

• dcc =

1(1 + 4h‘) + 8/^'(Z + 3 /^)

8E-J(l +3 h‘)

Öma

Die sich aus Xa = — -r—, _X& = -

0 nn

Ömb j -T-7-

—e— und A₀ = —

Önie

Öbb

Öcc

ergebenden Gleichungen

xb =

Xe

Xa =

xb =

i. Öffnung.

x(l — x)

2/³(/+Ä')

x(l — a;)(Z+ 12hIJrx) 2h(l²-\- gl-h‘ + 6h¹²) x(l — x) [21- h‘ + x(l + 2 A')]

[/(2 / — h‘) — »(4/ + /«')] J • P,

■p,

l(l² + 12l-h‘    24h¹²)

'±-p.

2. Öffnung.

Xc=-

x(l — x)

2 i\l + h‘)

x(l-x){2l-\- 12 h¹ — x)

2h(l² + gl- h‘ + 6 h‘²) x(l —x)\l(l-\- 4h¹) —x(l-\- 2 h¹)] l{l2Jr i2l'h‘    24h¹²)

[21 (l -)- h‘) — x(41 + P)] j • P,

■p,

• p.

Setzt man in diesen Gleichungen h — h‘ = 00, so werden Xb und Xc = o, während Xa den Auflagerdruck der Mittelstütze des Balkens auf drei Stützen angibt.

Wärmeänderung um t₀.

Aus der symmetrischen Anordnung folgt, daß bei einer gleichmäßigen Erwärmung des Trägers um t₀ die Unbekannten Xb und Xc = o werden müssen. Da bei dem Zustande Xa = 1 die in dem Balken herrschende Längskraft

Hca

31²

19)

Öat

2/2(4/ + ^')

3 S-tp-l³

li(4l-\-h‘)

18 e • E • J-1₀

ist, wird

und daher

"t

h(l + h‘)

= Bt.

Die in dem Hauptsystem infolge einer Erwärmung um t₀ auftretenden Kämpferkräfte sind durch die Gl. 20 (S. 7 2) gegeben. Es ist 2^ot ~ C₀t = O,

P^aot — Hcot —

Yaßt —    ~P<sot

Mit At — A₀t + Aa • Xat

I 2 £ • E • J• t₀‘ 1(1 -(- h‘) h²• h‘(4Ih‘)

6 E-E • J-t₀-l(2l -\-h‘)

und

findet man:

At = Ct

Hat = —Hct =

Hbt = o, 7at=-Yct =

Ybt — o.

9 £ • E • J-1₀

3e-E-J-t₀-l(l+4h‘)

h² ■ h‘ (l + hl)

Die in dem Rahmen hervorgerufenen Momente sind: Am Fuße der Stütze A: Mt = Yat-

Am Kopfe der Stütze A: Mt = Yat — Hat ■ h

In dem Balken über der Mittelstütze bei B‘:

h(l + h‘)

Mt — Yat — Hat • h -r Afl

Der Balken wird über den Endstützen doppelt so hoch beansprucht wie über der Mittelstütze. Nimmt man wie bei den früheren Beispielen die Trägerhöhe d =    -l, J= Jv, £ • E — 25 und 4=35° an, dann wird die in dem Balken

über den Endstützen auftretende Spannung

0—230 kg/cm² bei h — 0,5 • l und 0= 90 kg/cm² bei h — 1,0 •/.

Ist die Stärke der Stützen ebenfalls gleich d —    so wird an der Einspannung

der Endstützen

O — 465 kg/cm² bei h = o,$-l und a = 130 kg/cm² bei h= 1,0 -l.

3. Der vierstielige Rahmen.

Die Abb. 90 zeigt einen symmetrischen vierstieligen Rahmen mit eingespannten Füßen. Die Spannweite der Mittelöffnung ist 2-c, ihr Trägheitsmoment

TF

VB

7i

-Jv

Abb. 90.

J‘.

In der Mittelachse werden im Abstande f unter der Balkenachse die Unbekannten Xa, Xj, und X₍. angebracht. Infolge der Symmetrie sind und ö — o; f ist so zu bestimmen, daß auch 6^ = 0 wird.

nr

Zustand Xa— 1.

Die durch den Zustand Xa = 1 hervorgerufenen Stützkräfte des aus zwei zweistieligen Rahmen bestehenden Hauptsystems sind bei Vernachlässigung des Einflusses der Normalkräfte durch die Gl. 14 und 16 (S. 70, 7¹) gegeben. Es wird

6 h‘-e

Aa = — Da = —

1(1+6 fr)'

Ha--Ca = I -f-

6h‘c

Nakonz, Berechnung mehrstieliger Rahmen.

Haa — H])a — Hca —- Hda —

3 C‘l

Ygg -

c-l(3l+7h‘)

2 (l -f- 6 h‘) (21 -f- h‘) ’

Ybg=Yca

2(l+6h‘)(2l + h‘)

Mit der Gl. 76 (S. 23) findet

man:

T'Äg — ^ Da

c-h‘ -1(^,1— 4 h‘)

4 E- J(l + 6 h‘) (21 + h‘) ’

T'Ba = tca

c-h¹ -1(7,1 + 8 k¹)

4 E- J(l + 6 k‘) (2 l + h‘)

Die wagerechte Verschiebung wird für alle Punkte des Balkens gleich, nämlich

c-l-h-h‘

4 E- J(l + 6 h‘)

Die den Balken beanspruchenden Biegungsmomente sind:

11 c-l-h‘

1. Öffnung: Ma

2. Öffnung: Ma = — (C — x)

6c-h‘

2(1+ 6k‘)(2l + h¹)    1(1 + 6h‘) X

c-h‘(i7,l + 12h¹)    6 c-h‘

2 (l -\- 6 h¹) (2I    h‘) ~ 1(1 +6 h¹)' X"

Unter Anwendung der bekannten Gleichungen erhält man folgende Biegungslinien:

3. Öffnung: Ma =

I.

Öffnung.

c-h‘ -x(l — x)

3) Tg = -

4 E-J-l(l + 6 h‘)(2l + h‘) c - h‘

[1(7,1—4h¹) —4X(2l + k‘)],

4E - J-l(l+ 6h‘) (2I + h‘)

[l⁴(7>l-4Ä')- 22l⁴-X + 1 2 X⁴ (2 l + h‘Y\.

in der ersten Hälfte von x = o bis x — c,

Ög = ~ dag

2 C — X x(c — x)(2C — x)

2C

6E-J‘

in der zweiten Hälfte von x — c bis x—2-c; ferner

x(2 c—x)

2E-J¹

5) fg

c-h‘-l(7,l+8h‘)

4E-J(l+6h‘)(2l + hl)

6) da

c-h‘-x(l — x)

4 E- J-1 (l + 6h‘) (21 + h¹) c ■ hl

3. Öffnung.

[^(5^+ BÄ') — \x (21 -f- /?.')],

4 E- J-1 (l + 6 h‘) (21 + h‘)

[l⁴(S 7+ 8 h‘) — 2 / • x (13 l + 12h‘) + + l 2 X⁴ (2 l + k¹)].

Für daa liefert Gl. 59 (S. 20):

8) daa

c²-h‘-l(^,l + Sh‘)

2 c² -c‘

2 E • J (l + £>h‘) (2I + h‘)    $E-J

Bei gleichen Spannweiten (2-0 = l) und gleichen Trägheitsmomenten (J‘= J) wird ,    ZS(₄/g + ₄i*-fr + 36fe'²)

aa    24E-J(l+6h‘)(2l + h‘)

Zustand X*= 1.

Infolge der Kraft Xb = 1 treten nach Gl. 17 (S. 71) folgende Stützkräfte an dem Hauptsystem auf:

Ab — — Bb= — Cb — Db

3 h‘ (h — 2f) l (l + 6 h‘)

Hab Hdb : ^

3 f'l

2h (21 + h¹)’

Hbb — Hcb —

b© M

if'¹

Cab —- Ydb

' 2 h (21 + h‘) ’

h(l + 3h‘) _    f-l{jl+7h‘)

2 (Z —}— 6 h‘)    2 (Z + 6h‘) (21h¹)’

Ybb = — Ycb

h(l + 7>h‘)

2(1 +bh‘) 2 (1+6h‘)(2l+h‘)

Nach Gl. 76 (S. 23) können jetzt die Neigungswinkel der Stützenköpfe und deren wagerechte Verschiebungen angegeben werden. Man erhält

l-h‘ [h(2l + h‘) — /'(3Z— 4Ä')]

4E • J(l + 6 h‘) (21 -f h‘)

l-h‘ [h^l + h^ — f^l + Sh‘)]

4 E • J(l + 6h‘) (21 + h‘)

und

9) eAb = €ßb =-ecb= — ßDb

h-h‘[h(2l+ 3h¹) — 3 fA]

v 12 E• J(l -j- 6 h‘)

Die Gl. 57 und 63 (S. 20) ergeben:

10)    . f

l • h • h¹ (2 / + h¹)

h‘ • l (51 + 8 h‘) + 4 c‘ (l + 6 h‘) (21 -j- Ä‘)

und

11)    . dbb

h-h‘[h(2l + $h‘) — 3/¹- Z]

6E-J(l+6h‘)

In der ersten Öffnung ist

13)

Mb

. Tb= —

3h • h‘ (2Z -f h‘) — 11    3h¹ (h — 2 f)

2 (1 + 6 h‘) (2l-Jrh‘)

4 E• rj• l (l + ö h¹) (21 + h‘)

h‘

4 E-J-l(l + 6 h‘)(2l + h‘) — 2Z-x{3Ä(2Z + Ä‘)

1(1 +6 h‘)

• x, daher

[l{h(2l + h‘) — f(3l—4h¹)} —

— 2x(h—2 f)(2l + h‘)] und

[l²{h(2l + h‘) — f(il— 4h¹)} —

/'• Z} + b«²(Ä. — 2 /') (2 Z + /?!)].

4)    — öaa —

x(c — x)(2C — x)

2C

6E- J‘

Die öb- Linie in der dritten Öffnung kann als Spiegelbild zu der db- Linie in der ersten Öffnung erhalten werden.

Zustand Xc = 1.

Bei dem Zustande Xc = 1 sind die Stützkräfte des Hauptsystems nach Gl. 18 (S. 72):

6h‘

1(1+6 h‘) ’

14)

In der zweiten Öffnung ist

f -x(ic— x)

- db =

zE-J‘

und

i5)

• T'b ~

f(c — x) E-J'

Ac — — Bc — — Cc— De

Hac — LJba — Hcc —    BL de.

YM=-Ydc

1(3 l+7h‘)

2h(2l + h‘) ’

2(1+ 6 h‘)(2l + h‘)’

Ybc = — Ycc = -

man findet entsprechend wie früher:

1(1— 5^')

2(l + 6h‘)(2l + h‘)’

T'Ac —    ^De —

l-h‘($l — 4 h‘)

4 E-J(l+6h‘)(2l + h‘)’

Gßc = — T(7c

l-hl($l+ 8 h‘)

4 E- J(l + 6 h‘) (21 + h‘)

und

16)

ßAc — eBc — — ßCc = — ßDa =

l-k- hl

4 E-J (1 + 6 h‘)'

Mit Gl. 66 (S. 20) erhält

man

17)

dCc =

l-h‘(sl + 8h‘)

2C¹

2 E-J(l + 6h‘) (2l + h‘) E-J

In der ersten Öffnung ist

Mc

11 • h‘ - l

6 -h‘ • x

daher

18)

19)

2 (1 +öh‘)(2l+h‘)    l(l+6h‘)’

• ÖcZ== 4E-J-l(l+6h‘)(2l + h‘)    (3^“ 4ÄJ) — 4x(zl + h¹)] und

[Z²(3^— <\h‘) — 22l² ■ x + 12 a?² (2 l+h‘)\

h‘

Tc <\E-J-l(l + bh‘)(2l + h‘)

In der linken Hälfte der zweiten Öffnung ist

20)

x²

21)

l-h¹ (5I + 8h¹) -x c \E- J(l+ 6h‘)(2l + h‘)

₌    l-h‘(₅l+8h‘)_ ___ _

Xe 4E-J(l+6h‘)(2l + h‘)    E-J‘

und

Der übrige Teil der dc-Linie ergibt sich aus der Symmetrie.

Gleichmäßige Erwärmung um to-

Infolge der Symmetrie wird dat — o. Bei den Zuständen Xb und Xc heben sich die in den Stützen herrschenden Normalkräfte gegenseitig auf, so daß dbt = e-t₀(— Hab -l — 2 c + Hm • l) bzw. dbt= — 2 E-t₀ (Hab • l + c) und dd = — 28-t₀-l- Hm wird.

Wenn man die Werte für Hab und Hac einsetzt, ergibt sich:

22)    . öbt=—£• t₀ l2c

und

3f-V " h (21-\- h¹)

3 e-t₀-l²

23) • dct

4. Der zweistielige Rahmen mit gestützten Kragarmen.

Der in Abb. 91 dargestellte Rahmenträger ist fünffach statisch unbestimmt. Da Symmetrie angenommen wird, sind die Unbekannten Xa, Xb und Xc in der Symmetrieachse im Abstande f unter dem Balken anzubringen, und zwar Xa senk-

'Jv

X~ß

*b

Abi). 91.

*c

•xb

K-S-

"~vL c

recht, Xb wagerecht und Xc als Moment. Das Hauptsystem besteht aus zwei einhüftigen einfach statisch unbestimmten Rahmen, die zunächst zu untersuchen sind, um ihre Stützkräfte unter beliebigen äußeren Lasten festzustellen, man wie in Abb. 92 den Auflager druck des wagerechten Gleitlagers als statisch Unbestimmte Xa ein, so wird unter dem Einflüsse dieser Kraft

Führt

Ba— — I , Hba — O und Yba — — l-Für den Kopf der Stütze B findet man l■ h‘

JO

EJ

und

'Fv

l-h •h‘

2E-J

Das Moment, welches den Balken beansprucht, ist Ma — X\ und man erhält daher, wenn man beachtet, daß die Ordinaten der Biegungslinie des Balkens über den Stützen durch

Abb. 92.

2) . .

3äii —    4a und 3Ba —

gegeben sind:

• • 3a = — öaa

EFV

h x ₍ x(l — x)(l + x) E-Fv 1

öEJ

Hierbei ist 4a = Tb« 7-f

ls

3)    •    •

3 E-J^E-F* l²(l +3 h“)

l²(l+$h‘)

3 E-J

oder

, wenn h [    4-

Jv l² • Fv

= h“ gesetzt wird.

Linie an zu

3 EJ

ist, gibt Gl. 7 (S. 11) den Neigungswinkel der 3a-

4)    •    •

1(1+2 h¹)

x²

Es erübrigt noch, 3at zu bestimmen, damit alle Formänderungen bekannt sind, um die Berechnung von Xa — A zu ermöglichen; man findet

Jt l²

5) ... . 3at = E-t₀-h+e — ---

a 2

Schreibt man in der Folge A statt Xa, so wird bei senkrechter Belastung

des Balkens

17 —

6)

J lix    x(l— x)(l-\-x)

l 1 J W- P' l + fh“' J 2l²(l-\-zh“) B= P— A, Hb= o, Yh=(l — x)-P — l- A

3oa

■P,

und bei senkrechter Belastung des Kragarmes rechts von der Stütze B

7)

3-fr-l J h 1

1(1+3h“) ⁶Fv-l² l + 3h“\    ’

Fhh E-J EFV B — P — A, Hb — o und Yb= — £• P — l- A.

ba 3ma — Tj Ba ' '%    3Ba

ist,

Eine von rechts nach links gerichtete Last Q, die am Kragarm in der Höhe k über der Balkenachse angreift, leistet bei dem Zustande Xa — i eine Arbeit von

3ma —

l-h,-h‘ k-l-h1 JEH ~ ~E+T]

daher wird infolge dieser Last

8)

3 h‘(h+ 2 k)

21(1 +3h“)

Hb — Q und Yb = (k + h) ■ Q — l- A.

Greift ein rechtsdrehendes Moment M an dem Kragarm an, so wird

3ma — tBa

l-h‘

E-J

, mithin

3 h‘

9)

1(1+3h“)

Hb —o und Yb — — M — l - A.

Bei einer Temperaturänderung wird mit Xat = —

3at

io)

3 e-E-J-t₀-h 3 e-E-J-Jt l²(l + 3h“)    2d(l+3h“)

Hbt — — o und Ybt = — l- At.

At

4a'

Bt,

Nachdem durch die vorstehenden Ausführungen die Berechnung der Kräfte ermöglicht ist, die in dem Hauptsystem des in Abb. 91 dargestellten Rahmenträgers auftreten, kann jetzt dessen Untersuchung begonnen werden. Die bei dem Zustande Xa = I hervorgerufenen Stützkräfte sind:

3 hl -c

Aa = — Da = —

1(1+3 h“)

Ba = Ca — 1 Aa ==■ 1 -f

Hha — Hca — o,

³ ba — Yca — C -j-Die Stützkräfte des Zustandes Xb = 1 sind

3 h‘ • c

1+ 3h“

Fv-l² 1 +3h“ ’

3 F -c

1(1+3 h“) ~ ³ W- P ' l + W‘ ’

h-l

³ F*-l²'l+ 3h“'

Ab = — Bb — — Cb — Db =

Hbb = — Heb = 1,

Ybb=- Yeb = h-f

während man für den Zustand Xe — 1 findet:

3 h‘(h — 2f) 21(1+ 3h“)

3h+h—2f)

2(1+ 3h“)

.S

Ac = — Bc= — Cc — I)c =

Hbc ⁼⁼ CI ec ⁼⁼ O,

Ybc=-Yce=-t +

3 h‘

3 h‘

1(1+3 h“)’

l + 3 h“

Die Berechnung der Biegungslinien erfolgt in der üblichen Weise und

braucht nicht näher aufgeführt zu werden; es möge nur noch der Wert f unter Berücksichtigung des Einflusses der Normalkräfte ermittelt werden. Bei dem Zustande Xb — I wird

Vßb — — Ybb

h‘ , h-F

EJ 2EJ’

mithin

Da nun f

UBb = —

E • J ■ tbb

h‘-l(h — 2 f)

2 E -J(l+ 3 h“)

ist, erhält man

J h

Fv-c'T

2 c‘(l + 3h“) + h,-l^ 1 + 3

J h Fv-l² l

J h Fv■ l² ’ T

Ein anderer Weg zur Berechnung des vorliegenden zweistieligen Rahmens mit gestützten Kragarmen besteht darin, daß man die Einspannung der beiden Stützen entfernt und diese im Fuße gelenkig lagert. Man erhält dann den auf S. 66 u. f. behandelten und in Abb. 83 dargestellten Rahmen als Hauptsystem. Als Unbekannte führt man die Summe Xa und die Differenz Xb der beiden Einspannungsmomente Yb und Ye ein; öab wird = o. Die Lösung liefert sehr übersichtliche Ergebnisse.

Buchdruckerei des Waisenhauses, Halle a. d. S.

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Neuere Bauausführungen in Eisenbeton bei der Württemberg. Staatseisenbahnverwaltung. Von Jori, Königl. Baurat, und Schaechterle, Reg.-Baumeister.

I.    Bogenbrücken. Mit 177 Abb. 1911.

II.    Balkenbrücken. Mit 149 Abb. 1913.

Einige neuere Brückenausführungen in Eisenbeton nach Bauweise Melau. Von k. k. Hofrat J. Melau, Professor an der Deutschen Technischen Hochschule, Prag, und K. Kluge Oberingenieur Prag.

Zweite erweiterte Auflage. Mit 139 Abb. 1911. geh. 3,60 M.

Der doppelt gekrümmte Träger und das schiefe Gewölbe im Eisenbetonbau. Von 2)r.=3ug. H. Marcus.

Mit 23 Textabb. 1914.

geh. 2,80 M.

Beton-Kalender 1915. Taschenbuch für den Beton- und Eisenbetonbau sowie die verwandten Fächer. Unter Mitwirkung-hervorragender Fachmänner herausgegeben von der Zeitschrift „Beton u. Eisen“. X. neubearbeiteter Jahrgang. Mit 1299 Textabbildungen.

Teil I in Leinen geb., Teil II geh. Beide Teile zusammen 4 M.

Empfohlen durch ltunderlajl

des Herrn Ministers der öffentlichen A.rbeiteu..

geb. 5 M.

Rechentafel nebst Sammlung häufig gebrauchter Zahlenwerte. Von S)r. = 2hg. Dr. H. Zimmermann, Wirkl. Geh. Oberbaurat. Ausgabe A (wie bisher) 7. Aufl. 1913.

Ausgabe B mit Anhang: Quadrattafel. 7. Aufl. 1913. geb. 6 M.

BIBLIOTEKA GLOWNA

Verlag von Wilhelm Ernst & 5

Wilhelmstraße

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L. inw.

36958

Kein. Zam. 480/55 20.000

Einführung in die Berechnung der im Eisenbetonbau gebräuchlichen biegungsfesten Rahmen. Von Dipl.-Ing. H. v Bronneck. Mit 113 Textabb. 1913.    geh. 6,— M., gob. 6,80 M.

Die Berechnung der Rahmenträger mit besonderer Rücksicht auf die Anwendung. Von £>r.=3nfl Fr. Engesser, lieh. Oberbaurat, Professor an der Techri. Hochschule in Karlsruhe.

Mit 42 Textabb. 1913.

geh. 1,80 M.

Der Rahmen. Einfaches Verfahren zur Berechnung von Rahmen aus Eisen und Eisenbeton mit ausgeführten Beispielen. Von $5r.=3ucj. W. Gehler, Professor an der Technischen Hochschule, Dresden.

Mit 190 Textabb. 1913.

geh. 8,60 M. geb. 9,50 M.

Statisch unbestimmte Systeme des Eisen- und Eisenbetonbaues.

Von Oberingenieur 3)r.=!3n(]. Friedr. Hartmann.

Mit 353 Abb. 1913.

geh. 8 M., geb. 8,80 M.

Rahinenformein. Gebrauchsfertige Formeln für einhüftige, zwei-stielige, dreieckförmige und geschlossene Rahmen aus Eisenoder Eisenbetonkonstruktion nebst Anhang mit Sonderfällen teilweise und ganz eingespannter Träger. Von ®r. = ^üß. A. Kleinlogei, Privatdozent an der Technischen Hochschule, Darmstadt.

169 Rahmenfälle mit 338 Abb. 1914.

geh. 10 M., geb. 11 M.

Der Einfluß der Längs- und Querkräfte auf statisch unbestimmte Bogen- und Rahmentragwerke. Von Dipl.-Ing. Rueb.

Mit 6 Textabb. u. 3 Tafeln. 1913.

geh. 2,60 M.

Beiträge zur Berechnung der im Eisenbetonbau üblichen elastischen Bogen und Rahmen. Von ®r.=^ng. K. W. Schaech-t e r 1 e, Regierungsbaumeister.

Zweite neubearbeitete und erweiterte Auflage.

Mit 164 Textabb. 1914.

Berechnung mehrstöckiger Rahmen mit Rücksicht auf die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes. Von Ing. A. Straßner.

Mit 21 Textabb. 1912.

Zur Statik der Stockwerkrahmen. Von R. Wuczkowski, In-

Zweite neubearbeitete Äufl.

geh. 1,60 M.

geh. 6,80 M., geb. 7,60 M.

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genieur.

Mit 14 Textabb. 1912.

Von Dr.^ng.

Statische Berechnung von Tunuelinauerwerk.

O. Kommereil, Kaiser!. Baurat. 1912. geh. 12 Mi, geb. 13,50 M.

Tafeln für Eisenbahnbrücken aus ein betonierten Walzträgern.

Von 2>r.=Csug. o. Kommerell, Kaiser! Baurat im Reichsamt für die Verwaltung der Rei'chseisenbahnen.

Mit 8 Textabb. 1911.

geh. 2,40 M.

Empfohlen vom Ministerium der öffentlichen Arbeiten.

Tabellen für Straßenbrücken aus einbetonierten Walzträgern.

Von 2)r.=3üg. 0. Kommerell, Kaiser!. Baurat im Reichsamt für die Verwaltung der Reichseisenbahnen.

Mit 44 Textabb. 1912.

geln 6,80 M.j.kart. 7,40 M.

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