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Brücken und ihrer Lehrgerüste

Drei Beispiele von der badischen Murgtalbahn

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Von

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Bau und Berechnung gewölbter Brücken und ihrer Lehrgerüste

Drei Beispiele von der badischen Murgtalbahn

Von

Dr.-Ing. Ernst Gaber

Gr. Bauinspektor

Mit 56 Textabbildungen

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Berlin

Verlag von Julius Springer 1914

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Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprache'», Vorbehalten

Akc. Nr..

Druck der Universitätsbuchdruckerei von Gustav Schade (Otto Francke), Berlin und Bernau.

Vorwort.

Unter Benutzung der Vorträge und Arbeiten Engeßers wird der beiderseits ein-gespannte, gelenklose Bogen aus beliebigem elastischen Stoffe allgemein und möglichst erschöpfend untersucht. Das Ergebnis der allgemeinen Untersuchung wird für die praktische Rechenarbeit nutzbar gemacht und an dem Beispiele eines gelenklosen steinernen Gewölbes erläutert. Dabei wird der Einfluß der Neben- und Zusatzkräfte auf das Zahlenergebnis festgestellt und eine Vereinfachung auf dem rechnerischen und zeichnerischen, Wege erzielt.

Die theoretische Untersuchung wurde dadurch angeregt, daß in verantwortlicher Tätigkeit mehrere eingespannte Gewölbe nach der Elastizitätstheorie berechnet werden mußten. Darin liegt es auch begründet, daß die Theorie zwar genau entwickelt, aber in ihrem Ergebnis dem wirklichen Bedürfnis der Anwendung angepaßt ist. Es ist daher zu hoffen, daß nicht nur der Theoretiker, sondern auch der in der Praxis Stehende seinen Nutzen von dieser Arbeit hat. Da bei Entwurfsarbeiten nicht immer Zeit zu umfassenden Vorarbeiten vorhanden ist, sind die wichtigen Gleichungen in einer Zusammenstellung vereinigt und die im allgemeinen bekannten Grundlagen in einem Anhänge lückenlos abgeleitet.

Als Beispiel wurde der 59 m weit gespannte Hauptbogen des Talüberganges bei Langen-brand gewählt. Das Bauwerk liegt im Zuge der in den Jahren 1907—1910 gebauten Bahn von Weisenbach nach Eorbach im badischen Murgtale. In dem schluchtenreichen und schönsten Tale des nördlichen Schwarzwaldes wurden für die Gebirgsbahn neben sonstigen Kunstbauten damals drei Steinbrücken gebaut: Bei Langenbrand der Talübergang, in der Tennetschlucht ein hoher Viadukt und in der Rappenschlucht ein unsymmetrischer Bogen.

In einem zweiten Abschnitte des Buches wird der durch das Gelände erschwerte Bau der drei Brücken geschildert, und die dabei gesammelten Erfahrungen werden festgehalten und allgemein verwertet. Insbesondere wird die Einzelausbildung der Lehrgerüste beschrieben und ihre Festigkeitsberechnung so vorgeführt, wie sie nicht nur aus Gründen der Standsicherheit, sondern auch der Wirtschaftlichkeit verlangt werden muß. Dabei sind die drei Arten des auf der ganzen Länge unterstützten, des auf mehreren Stützpunkten ruhenden und endlich des freigespannten Lehrgerüstes vertreten. Als Grundlage für die Beurteilung der Wirtschaftlichkeit wird für die Tennetschluchtbrücke das Bauprogramm genau entwickelt und zeichnerisch dargestellt und der wirkliche Fortschritt mit dem angenommenen verglichen. Auch sonst werden die tatsächlichen Leistungen und Kosten in allgemein verwertbarer Form angegeben.

Der zeichnerische Entwurf des Talüberganges entstand unter der Oberleitung von Herrn Baurat Hauger, der übrigen Bauwerke und der Lehrgerüste unter Herrn Oberbauinspektor Lehn, welcher zugleich die Oberleitung über den Bau der Murgtalbahn hatte. Die Beobachtungen der Senkung des Hauptbogens am Talübergang stammen von den Herren Bauinspektor Eisenlohr und Pfützner, welche dessen Bau leiteten. Der Verfasser war Bauleiter der Teilstrecke, in welcher die Tennet- und Rappenschlucht lagen und benutzte das in amtlicher Tätigkeit entstandene Material des zweiten Abschnittes mit Erlaubnis der Gr. Badischen Eisenbahnverwaltung.

Gaber, Gr. Bauinspektor.

Heidelberg, im Dezember 1913.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Vorwort..............................

Inhaltsverzeichnis..........................

Verzeichnis der Listen........................

Verzeichnis der Abbildungen.....................

1.    Allgemeine Untersuchung des eingespannten Bogens.........

I. Die Grundgleichungen für lotrechte Last und wagrechte Längslast II. Die Lage des Achsenkreuzes..................

III.    Die lotrechten Kräfte.....................

1.    Die Einflußlinien der zusätzlichen Lagerkräfte......

2.    Die Gestalt der Einflußlinien und die Grenzwerte.....

3.    Die Kämpferdruckschnitt- und Umhüllungslinien.....

4.    Die Einflußlinie der Spannungsgrößtwerte........

5.    Die Einflußlinie der Scheitelsenkung...........

6.    Der Einfluß der Formänderung der Widerlager......

IV.    Die wragrechten Längsbelastungen...............

1.    Der frei auf liegende Träger...............

2.    Der statisch unbestimmte Träger............

3.    Die Gestalt der Einflußlinien und die Grenzwerte.....

3.    Die Kämpferdruckschnitt- und Umhüllungslinien.....

4.    Die Einflußlinie der Spannungsgrößtwerte........

V. Die wagrechten Querbelastungen ...............

A.    Die genaue Rechnung...................

1.    Die Grundgleichungen.................

2.    Die Lage des Achsursprunges..............

3.    Die Einflußlinien der Grundwerte............

4.    Die Gestalt der Einflußlinien und die Grenzwerte.....

5.    Die Einflußlinien der Spannungsgrößtwerte........

B.    Die vereinfachte Rechnung.................

1.    Der erste Kräfteplan..................

2.    Der zweite Kräfteplan.................

VI. Der Einfluß der Wärme ...................

1.    Gleichmäßige Erneuerung................

2.    Ungleichmäßige Erneuerung ..............

3.    Der Einfluß der Wärme auf die Scheitellage.......

2.    Der Tal Übergang bei Langenbrand.................

I. Die rechnerische Untersuchung des Hauptbogens........

A.    Die Form des Hauptbogens.................

B.    Die Lage des Achsenkreuzes................

C.    Die lotrechten Kräfte...................

1.    Die Einflußlinien M₀, H₀, G und W1; W₂, W₃......

2.    Der Einfluß der Normal- und Querkraft auf M₀, H₀, G . .

3.    Der Einfluß der Normal- und Querkraft auf die Spannungen

4.    Die Kämpferdruckschnitt- und Umhüllungslinien.....

5.    Die Einflußlinien der Kantenpressung..........

6.    Die Einflußlinie der Scheitelsenkung...........

7.    Die ruhende Last...................

8.    Die Scheitelsenkung durch die ruhende Last und Berechnung des Elastizitätsmoduls E................................ .

9.    Die Verkehrslast..............................

10. Die Formänderung der Widerlager unter der ruhenden Last..........

D.    Die wagrechten Längsbelastungen: Die Bremskraft................

1.    Die Einflußlinien M₀, H₀, G und Wl5 W₂, W

2.    Der Einfluß der Quer- und Normalkraft auf M₀, H₀, G

3.    Die Kämpferdruckschnitt- und Umhüllungslinien . .

4.    Die Einflußlinien der Kantenpressung.......

5.    Die Beanspruchungen in Querschnitt II und 16    . .

III

IV

VI

VII

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E.    Die wagrechten Querbelastungen: Der Wind . . .

a)    Die genaue Rechnung.............

1.    Die Lage des Achsursprunges........

2.    Die Einflußlinien Wx, W₂, W₃........

3.    Die Einflußlinien der Randspannungen ....

4.    Die Spannungen der Querschnitte 11 und 16 .

b)    Die genäherte Rechnung............

1.    Der Wind auf der Brücke.........

2.    Der Wind auf die Verkehrslast.......

3.    Die Gesamtspannungen...........

F.    Der Einfluß der Wärme............

1.    Die gleichmäßige Erwärmung........

2.    Die ungleichmäßige Erwärmung.......

3.    Der Einfluß der Wärme auf die Scheitellage .

G.    Die größten Beanspruchungen des Hauptbogens .

H.    Die Standfestigkeit des Ganzen.........

J.    Zusammenfassung...............

1.    Die allgemeine Untersuchung . „......

2.    Die rechnerische Untersuchung.......

I. Der Einfluß der Normal- und Querkraft .

II. Die elastische Änderung der Widerlager .

III. Die Zusatzspannungen.........

K.    Die vereinfachte Untersuchung für lotrechte Last

1.    Die Gestalt der Schnitt- und Umhüllungslinien

2.    Der symmetrische Kreisbogen........

a)    Das Zeichenverfahren .

b)    Das Rechenverfahren .

f

3.    Der Kreisbogen mit -y- =    ..........

4 Be unsymmetrische Kreisbogen..........

'    ! kreisähnliche Korbbogen...........

U he ' sführung des Talüberganges bei Langenbrand . .

A.    ( B uvorgang ..................

B.    Ki- Entwurf für das große Lehrgerüst.......

(1 A i; ‘ungsentwurf für das große Lehrgerüst.....

3.    Die TeimeUrhluchtbrücke..................

i, !>ie Bauausführung mit Bauprogramm..........

II. Das Ve rs< izgeriist....................

n l)a> Lehrgerüst ....................

. ! t /. und Arbeitsaufwand..............

Eint itsaufwand..................

4.    Die Happ ■ i sch luchtbrücke..................

!. Die Bauausführung...................

II. Das Lehrgerüst ....................

HI. Der Zeug und Arbeitsaufwand für das Lehrgerüst.....

5.    Schluß . .    .......................

6.    A ihati    'lgemeinen Untersuchung des eingespannten Bogens

D c G:-unding -.1 für den ebenen Bogen ohne Gelenke......

H> ■ Grundlagen für den räumlichen Bogen ohne Gelenke . . . .

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49

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101

101

Verzeichnis der Listen.

1    Grundlage der Rechnung für lotrechte und wagrechte Längslast

2    Die Lastlagen, die zugehörigen Querschnittsgrößen und die Bogeneigenlast

3    Einflußlinie M₀..........................

4    Einflußlinie H₀..........................

5    Einflußlinie G ..........................

. 26

28

für lotrechte Last 29

29

30

30

6    Die Werte M₀, H₀, G der rechten Brückenhälfte.........

7    Der Beitrag der Normal- und Querkraft zu den Spannungen . . .

8    Der Einfluß der Normal- und Querkraft auf die Spannungen . . .

9    Die Kämpferkräfte mit Schnitt- und Umhüllungslinien......

10    Genäherte Einflußlinie der Scheitelsenkung...........

11    Genaue Einflußlinie der Scheitelsenkung.............

12    Die Teillasten der Übermauerung................

13    Einflußlinie M₀........................

14    Einflußlinie H₀........................

15    Einflußlinie G ........................

16    Die Werte M₀, H₀ G der rechten Brückenhälfte.........

17    Die Kämpferkräfte mit Schnitt- u. Umhüllungslinien.......

18    Grundlage der Rechnung ...................

19    Einflußlinie Wx........................

20    Einflußlinie W₂........................

21    Einflußlinie W₃........................

22    Die Werte Wl5 W₂, W₃ der rechten Brückenhälfte........

23    Vergleich der genauen und genäherten Rechnung.........

24    Die Spannungen der oberen Faser durch lotrechte Last und Wärme .

25    Die Spannungen der unteren Faser durch lotrechte Last und Wärme

26    Die größten Spannungen in den gefährdeten Querschnitten ....

27    Zusammenstellung der Gleichungen für lotrechte Last, wagrechte Längslast und wagrechte

Querlast................................ .....

28    Vergleich des Einflusses der Normal-und Querkraft auf die Lagerkräfte............

29    Vergleich des Einflusses der Normal- und Querkraft auf die Spannungen.........

30    Vergleich des Einflusses der Normal- und Querkraft auf die Spannungen..........

31    Der Einfluß der elastischen Widerlageränderung auf die Spannungen . ..........

32    Vergleich der Lagerkräfte für lotrechte Last des genäherten Rechenverfahrens mit dem genauen 69

33    Lehrgerüstscheitelsenkungen..........

34    Arbeits- und Zeugaufwand für die Bögen ....

35    Pfeilerbewegungen beim Wölben........

36    Der Horizontalschub des Lehrgerüstes .....

37    Die Fachwerksspannungen in dem Lehrgerüst . .

38    Die wirklichen Spannungen in dem Lehrgerüst . .

39    Zusammenstellung    der    Lehrgerüstaufwendungen

40    Zusammenstellung    der    Versetzgerüstaufwendungen

41    Zusammenstellung    von    Überhöhung und Senkung der    Lehrgerüste

42    Zusammenstellung    des    gemittelten Arbeits- und Zeugaufwandes    für 1 cbm Gewölbe .... 100

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für wagrechte Längslast 43

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für wagrechte Querlast 49

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an der Tennetschluchtbrücke 86

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Verzeichnis der Abbildungen.

Die allgemeine Untersuchung des eingespannten Bogens.

"!t ■■ g des Kräfteplanes littskräfte ....

Die Que:

Die Luge des Achsenkreuzes........... ,,

Die Gestalt .er Einflußlinien M₀, H₀, G und W₁₍ W₂, W₃ . .

Die Kärunferdrackschnitt- und Umhüllungslinien.......

Die Abioi ; der Einflußlinie der Scheitelsenkung......

Die Formänderung des Widerlagers.............

‘ ‘i- Formänr erung der Baugrubensohle...........

i’ivi um ader und statisch unbestimmter Träger.....

Dm Gestalt' er Einflußlinien M₀, H₀, G und W₁₅ W₂, W₃. . .

i . timmter und bestimmter Träger sowie die Querschnitts-kräft-o ........................

für den gelenklosen, ebenen Bogen

99

99

.. für lotrechte Last

11

12

bei wagrechter Längslast 13

11

15

Die C:. ■ t der Einflußlinien Wl5 W₂, W₃..........

sspanii.ii^en im Querschnitt..............

¹ Kräftep! .Zerlegung eines Bogens............

>rm ⁻ung bei ungleichmäßiger Erwärmung eines Bogenteiles . . D;- Forti;:':-!. ing bei ungleichmäßiger Erwärmung des gangen Bogens . . .

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21

21

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23

Die reohmu .’sclie Untersuchung des Hauptbogens am Talübergang bei Langenbrand.

Ansicht dos i ; Überganges....................

L>ie Form des Hauptbogens...................

l)ie Einflußlinien M₀, H₀, G und W₁₍ W₂, W₃ . . . .......

1 >is Kii-Hußlin i Mx, A, Hx und die Kämpferdruekschnitt- und Um-

hiillungslinien..........................

i >i:- intiu!.Ui• . (Tq und <xu im Querschnitt 5 und die zeichnerische Bestimmung von ii <r„    .....................

! ”(• !v fiulibni.- der Scheitelsenkung.............

ine - jKiiinuuK in der oberen und unteren Leibung......

Das Schema der Verkehrslast ................

Die Veränderung der Kämpferlage bei elastischenWiderlagern . .

Die Einflußlinien M„, H₀, G und Wx, W₂, W₃........

Die Einflußlinien M1; A, Hx und die Kämpferdruckschnitt- und

Umhüllungslinien.....................

Die Einflußlinien rr₀, <ru der Querschnitte 11 und 16.....

Die Einflußlinie: VVl5 W₂, W₃................

■ . Eime ; ■ . i rer Normal- und Tangentialspannungen im Quer-

selinitt 0 und ......................

Die Kräfteplanze: iegung für Querschnitt 11 und 16.......

Die größtm Spa,.. mgen in den oberen Fasern von Querschnitt 11 und 16

'Sperrungen in der Fuge des rechten Kämpfers.....

Das Zeichenverfahren für die Einflußlinien Mx, A, Hx........

Da« /* icii •uvrl.ihren für die Einflußlinien Mx, A, Hx beim Kreisbogen

mit

I Hau gen des Talüberganges bei Forbach.

uiien Mx, A, Hx und die Kämpferdruckschnitt- und Umhüllungslinien bei lot-

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für lotrechte Last

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für wagrechte Längslast

für wagrechte Querlast

bei lotrechter Last

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Die Bauausführung des Talüberganges bei Langenbrand.

37    Blick flußabwärts auf das fertige Bauwerk................

38    Lageplan der Baustellen der drei Steinbrücken..............

39    Darstellung des Wölbvorganges und der Lehrgerüstsenkungen am Hauptbogen .

40    Lehrgerüst für den Hauptbogen. Erster Entwurf.............

41    Lehr- und Versetzgerüst für den Hauptbogen. Ausführungsentwurf . . . .

42    Blick flußaufwärts auf den Talübergang nach dem Schluß des ersten Ringes

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Die Bauausführung (1er Tennetschluehtbrücke.

43    Blick flußaufwärts auf das fertige Bauwerk..........

44    Ansicht und Grundriß....................

45    Die Baueinrichtung und das Versetzgerüst...........

46    Das Bauprogramm......................

47    Die drei höchsten Pfeiler und ihre Absteckung ........

48    Ansicht des Lehrgerüstes und Darstellung des Wölbvorganges . .

49    Blick flußaufwärts auf die Baustelle.............

50    Das Fachwerk des Lehrgerüstes...............

51    Einzelheiten vom Lehrgerüst.................

Abb.

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Die Bauausführung der Rappenschluchtbrückc.

52    Blick auf die Baustelle mit Lehrgerüst .......

53    Das Lehrgerüst und Darstellung des Wölbvorganges

95

. 96

Anhang zur allgemeinen Untersuchung des eingespannten Bogens.

54    Die Koordinatenänderungen durch M, N, Q beim ebenen Bogen

55    Die Längen- und Winkeländerungen ............

56    Die Koordinatenänderungen................

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102

beim räumlichen Bogen 104

55

55

105

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1. Allgemeine

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mittelt, deren Form die geringste Rechenarbeit erf

Gewö/bear

6. Anhang zur allgemeinen Untersuchung des eingespannten Bogens.

1. Allgemeine

Untersuchung des eingespannten Bogens.

Die ganze Betrachtung setzt voraus, daß der Bogen dem Hookeschen Gesetze —

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fvv.r die Spannungen unterliegt, welche innerhalb der üblichen und der dem besonderen Baumaterial zugehörigen Grenzen bleiben. Wenn ein Bogen sich nicht aus einem Stoffe sondern z. B. aus Quadern und Mörtel zusammensetzt, so kommt ein entsprechender Mittelwert von E zur Wirkung, der auf Grund von Erfahrungen festgestellt wird.

Die äußeren Kräfte des Bogens lassen sich in solche, welche in der Trägerebene liegend lotrecht und wagerecht angreifen, und in solche, welche zu ihr senkrecht stehen, zerlegen; und demnach zerfällt das räumliche Problem in drei getrennte Untersuchungen. Die erste Untersuchung umfaßt die lotrecht in der Trägerebene wirkenden Kräfte der Eigen- und Verkehrslast, mit denen gleichzeitig auch der Einfluß der Wärme, das Ausweichen der Widerlager und die Scheitelbewegung behandelt wird. Sie über wiegt mit ihrem Einfluß, da ihre Kräfte weitaus am größten sind. Die zweite, welche die wagrecht in der Trägerebene liegenden Kräfte betrifft, kann häufig entfallen, da die in ihr enthaltene Bremskraft nur bei erheblichen Spannweiten mit großem Bogenpfeil sich bemerkbar macht. Sind jedoch über dem Hauptgewölbe weitgespannte Spargewölbe angebracht, welche erheblichen Schub ausiiben, so muß die Untersuchung auch bei weniger großen Spannweiten durchgeführt werden. Die dritte Untersuchung ist bei größeren Spannweiten unentbehrlich, denn die Beanspruchungen durch den Wind müssen nachgewiesen werden; aber sie kann oft in einfacher und genäherter Weise erfolgen.

Das Ziel der ersten Untersuchung sind die Linien der größten Beanspruchung in der oberen und unteren Leibung c¹, o¹¹ unter Berücksichtigung der ruhenden Eigenlast des Bogens e a, der ruhenden Übermauerung iic und der beweglichen Last va. Unter Beachtung der durch die Wärme erzeugten Spannung tcr können aus den Linien der a¹, c¹¹ die gefährdeten Fugen des Bogens gefunden werden, so daß die beiden folgenden Untersuchungen sich nicht mehr über den ganzen Bogen ausdehnen müssen, sondern sich auf die wenigen gefährdeten Fugen beschränken können.

I. Die Grrimdgleiclnmgen für lotrechte Last und wagreclite Längslast.

Der beiderseits eingespannte Bogen, als ebenes Problem betrachtet, ist dreifach statisch unbestimmt. Eine beliebige Last ruft an jedem Kämpfer eine Lagerkraft hervor, die zu ihrer Bestimmung die Kenntnis ihrer Größe, Lage und Richtung erfordert. Da die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen nur drei Gleichungen ergeben, so sind noch drei von den sechs Bestimmungsgrößen der Lagerwirkungen am rechten und linken Kämpfer unbekannt; sie wrerden bekannt, sobald die Formänderung des Bogens an drei Bedingungen gebunden ist. Für die Berechnung ersetzt man die Kämpferkraft gewöhnlich durch einen wagerechten Lagerschub H, einen lotrechten Lagerdruck A und ein Einspannungsmoment M. Statt nun drei dieser sechs Größen als imbekannt aufzufassen, ist es zweckmäßig, jene zusätzlichen Lagerwirkungen des linken Kämpfers als Unbekannte einzuführen, welche infolge der statischen Unbestimmtheit zu den Lagerkräften des freiaufliegenden Trägers hinzutreten. Man denkt sich den wirklichen Kräftenplan 1 in die Pläne 2 und 3 aufgelöst.

G a b e r.

Plan 2 stellt das Kräftebild des frei aufliegenden Trägers vor. Plan 3 zeigt die Lagerwirkungen, die nötig sind, um den durch die äußeren Kräfte veränderten freiauf liegenden Träger in die durch drei Bedingungen vorgeschriebene Form, meist die Urform 1, zu

Ho

ß¹

\a

-i

XCü

ö-f

Ho

Plan 1

Plan 2

Plan 3

Abb. 1.

bringen, und hier offenbart sich die Wirkung der statischen Unbestimir ;he:t -i r der Kräftepläne muß für sich im Gleichgewicht sein. Nach der Erklärung der irei i •! (.. für lotrechte Lasten:

M₂

A = 3t + G, Hx = H₀, Mx = Ml5 B = SS — G, H₂ = — H₀, M₂

Der weiteren Untersuchung wird ein rechtwinkliges Achsenkreuz zugj mu* gelegt., dessen Y-Achse lotrecht ist. Indem man die drei zusätzlichen Lagerwirkungeu deo linken Kämpfers an den Achsursprung versetzt, ändert sich von den dreien nur um das Versetzmoment zu seinem neuen Werte M₀ =    + H₀ yx — G xv Es heißen sonach die

für den linken Kämpfer zusätzlichen Lagerwirkungen bezogen auf den gewählten Achsursprung M₀, H₀, G.    —

Um eine Beziehung zwischen den äußeren und inneren Kräften zu finden, schneidet man im Achspunkte x, y den Träger senkrecht zur Achse; dann müssen die im Querschnitt auftretenden Spannungen — als äußere Kräfte betrachtet — mit den äußeren Kräften des linken Trägerteiles Gleichgewicht halten. Die im Schwerpunkt des Querschnitts gebildete Summe der Spannungen gibt eine Kraft R und ein Moment M. Die Kraft R, parallel der Tangenten und der Normalen zerlegt, gibt die Normalkraft N und die Querkraft Q, parallel den Koordinatenachsen zerlegt, jedoch die Kräfte H und V.

AK

M.

Oberei Faser

Ho

Vz

Untere' Faser

Abb. 2.

Der von der Achstangente mit der positiven X-Achse gebildete Winkel ist 9. Zwischen N, Q, M nebst H und V einerseits und den äußeren Kräften des linken Trägerteils anderseits bestehen die drei Gleichgewichtsbedingungen, daß die Summe der lotrechten und wagerechten Kräfte und der Momente verschwinden muß. Daraus finden sich die inneren Kräfte:

M = M₀ — H₀ y + G x -f 3k,

N = H₀ cos 9 -f- G sin 9 -f- 3h

(2)

Q = H₀ sin 9 — G cos 9 -f Q

Unter 3k, 3?, £l sind Moment, Normal- und Querkraft des freiaufliegenden Trägers verstanden. Die im Sinne der positiven X- und Y-Achse gerichteten äußeren Kräfte und im Uhrzeigersinne drehenden äußeren Momente gelten als positiv. Ergibt sich für die Kraft N oder Q ein negativer Wert, so deutet dies eine der im Bild 2 gezeichneten entgegengesetzte Richtung — also eine vom Krümmungsmittelpunkt oder Trägerstumpf abgewendete Richtung an. Der Zusammenhang zwischen den äußeren Kräften und den inneren Spannungen ist durch die Gleichung 3 gegeben*).

M v

C v² dF r

F Fr

r|v

tJ

= ~J.

(3)

Mit hinreichender Genauigkeit darf man für die Spannung g in der beliebigen Quer-

schnittsfaser v schreiben g =

Mv

F Er

~Y~ ■ J ist das Trägheitsmoment des Quer-

J

Schnittes, bezogen auf die wagerechte Schwerlinie. Es möge beachtet werden, daß nach der Annahme im Bild 2 Druckspannungen auf treten, und daß g dafür in Gleichung 3 mit Minus steht. Alle Druckspannungen erscheinen daher künftig negativ, alle Zugspannungen positiv.

Die Änderung in der gegenseitigen Lage der Kämpfer ist durch Gleichungsgruppe (4) gegeben *):

Ä(?₂ — <Pi) =

Kl §

F r²

ds ;

Ä(x₂ — Xj) =

Fr

Fr²

yds +

— y₂

'7 N

M M Fr2 + T

ds +

^dy-E(y₂-yi)A9l ;

(*)

Ä(y₂ —yi) =

dy

C( N

Fr

Fr²

x ds -f-

E Xs

f(N

F r²

ds —

dx + E (x2— xi) A?i •

Die Größe a setzt sich aus 2 Faktoren zusammen a = ax a₂; ^ gibt den Bruchteil des Querschnittes an, über den man sich Q gleichmäßig verteilt denken muß, wenn die Formänderungsarbeit der gleichmäßig verteilten Spannungen t gleich der wirklichen Arbeit

ist nur o

sein soll. oc₂ ist das Verhältnis der Zug- und Druck- zur Schubelastizität a₂ =

von der geometrischen Form des Querschnittes, die oft ein Rechteck ist, abhängig. Die Verschiebung eines Flächenelementes im Abstande v von der neutralen Achse und mit

der Schubspannung t ist y =

, die dabei verrichtete Arbeit der Spannung des Flächenele-

mentes ist

t dF y, die Gesamtarbeit des Querschnittes:    ^ t dF y.

t)

Die Arbeit der

— e

äußeren Kraft ist Q mal der unbekannten mittleren Schiebung ym

4- e

Q Ym = UY

tJ

dF

T² •

dF

e² — v²

b h³

, Ym =

6 Q axFG ~ 5 FG ’

= — für jedes Rechteck.

ai -    ₆ »

Aus den Gl. 4 finden sich die zusätzlichen Lagerkräfte M₀, H₀, G, wenn man die inneren Kräfte N, M, Q durch die äußeren ausdrückt, wie es in den Gl. 2 geschah. Um die Untersuchung zu vereinfachen, wird ein symmetrischer Bogen angenommen und der Achs-ursprung so auf die lotrechte Symmetrieachse gelegt, daß

2

f(

cos a₀

Fr

(5)

Nach einigen Umformungen erhält man sodann die Gleichungen*):

Mo =

H₀ =

E A(<p₂ — 9,) — 9)Z ds

Fr²

) -j*

ds

Fr

2

f(

zJ \

ds

•2

e [- a; + k Mt, - ?,)] +    ds U

cos a₀

Fr

j —r^cosa₀-^- + Cd sin cp

• zJ    z)

ds

aF

(6)

^y² ₊ cos² «o

sin² 9

aF

ds

7    f* (lg

E [— Ad + — A(9₂ + 9J] — ^ 3k x —

je cos 9

ds

aF

C , ds f n ds x-_+ oos>_

Die zusätzlichen Lagerkräfte sind hiernach als Abhängige der Bogenform, der äußeren Kräfte und der Lageränderungen bestimmt. In ihrer jetzigen Form ist der Einfluß sowohl des Momentes als auch der Normal- und Querkraft enthalten und kein Glied vernachlässigt; nur für Y wurde J gesetzt.

II. Die Lage des Achsenkreuzes.

Die Gleichung 5 und die Bedingung, daß die Y-Achse Symmetrieachse werde, legen das Achsenkreuz eindeutig fest. Durch den beliebigen Punkt M — beim Kreisbogen ist

dies zweckmäßig der Mittelpunkt — wird ein Hilfskreuz M X' und M Y' gelegt. Der gesuchte Abstand c ist alsdann

\9>

\_0_

X\

\

ds

__

y.j

(7)

a,

ds

Fr²

Abb. 3.

Punkt 0 liegt nach Aussage der Gleichung etwa im Schwerpunkte der in der Bogenachse

ds

liegend gedachten elastischen Gewichte —- .

J

lik Die lotrechten Kräfte.

1. Die Emflußlinien der zusätzlichen Lagerkräfte. In den Gleichungen 6 kommen im Nenner nur Ausdrücke vor, die von der Bogenform abhängen, und im Zähler stehen die Glieder, welche die Abhängigkeit von den äußeren Lasten ausdrücken. Um die Einflußlinien zu erhalten, müssen 3k, 3k Q für den Sonderfall der wandernden lotrechten Einzellast P — lt umgeformt werden. Nach Abb. 3 ist:

2 +x

l — a / l

__    Bi .

sin 9

cos 9

=--— sin 9

0. =--=- cos 9

Diese Ausdrücke in Gruppe 6 eingeführt geben für starre Kämpfer folgende Gleichungsgruppe:

ds

X ⁺ T~a

Fr²

Wj

f- - + f ds

t)    t)

Fr²

ds C ds

a yT+ xy7

/ fj    t)

c(T~a)il^ ⁺ fsin 90089

ds

H₀ = -f

= +W₂

^y²

+ c²

C ds    T „ ds

Uvi+ sin2<P

t)    t)

aF

(8)

(y-a)N: +ix2^

\    / t    t'

ds f „ ds

«y

+ 4--w₃

x²

€/

=H ff

ds

+ üos2<?^F

Für den weiteren Fortgang sind nur die sogenannten Grundwerte Wx, W₂, W₃, welche in Gruppe 9 noch besonders zusammengestellt sind, nötig.

ds

ds

Fr²

Wx

fx + [

Fr²

[ l    ds f ds

\Y ~ 7] y7T ⁺ j x y T

/1    \ f ds f .    ds

(s—)°jp?⁺j“n*⁰“T«p

W₂ —

(9)

C ds    f ds f .

h x + c iF7 ⁺ rm 9

»    fJ

ds

ds

ds

x²

+ C032(p

aF

C ds f ds \ x² -j- -f- l cos² 9

Die Nenner der drei Gleichungen heißen künftig Nx, N₂, N₃.

2. Die Gestalt der Emfhißlinien und die Grenzwerte. Beim symmetrischen Träger kann man aus den Werten der 3 Lagergrößen für die Lastlage a auf jene, welche der symmetrischen Lastlage l — a zugehören, schließen, indem man in den Gleichungen 9 das a durch l — a ersetzt und den neuen Ausdruck mit dem früheren vergleicht.

Mo,a — + M0j/_a, H0 a = -j- Ho z_a, Ga — —Gz_a

(10)

Wlf/_a = -

a|+Wl a, W2ja — +W₂₎/_a, W₃₎,_a = + 1—W8>a

Die Linien der W haben einfache Beziehungen zwischen den symmetrischen Lastlagen zugehörigen Werten und entsprechend einfache geometrische Konstruktionen.

+■

2l

‘0,1-0,

Hq,cl

Vo

Wz

ri

Sr,

Li

² l-a.

Abb. 4.

Für die 3 ausgezeichneten Lastlagen über den Kämpfern und dem Bogenscheitel sind die Grenzwerte:

a = 0, W\ = 0;

W =

2 ’ Wl

' ds

wjVt'

¹ V

a, = l, Wj =    -

??

W₂ = 0;

W₂ =

ds

Ol

n₂

+ | sin 9 cos 9

ds .

aF

W₂ = 0

W₃ = 0;

W = 4- — ■

3 + 2 ’

„ W₃ = + 1

3. Die Kämpferdruckschnitt- und Umhüllungslinien. Die Last P ruft die beiden

Lagerdrücke Rx und R₂ hervor und schneidet sich mit ihnen im Punkte S. Beim Wandern der Last beschreibt S die Linie a a, Kämpferdruck -Schnittlinie genannt, und umhüllt Rx die Kämpferdruckumhüllungslinie bb bzw. R₂ die Linie ec. Bei gegebenen Linien a, b, c findet man die der bestimmten Lastlage a zugehörigen Kämpf er drücke, wenn man die Lastlinie P mit der Linie aa schneidet und vom Schnittpunkte S die Tangenten an die beiden Umhüllungslinien b und c zeichnet.

Die Schnittlinie a-—a ist bestimmt durch JS = v und jede Umhüllunglsinie durch die Tangenten von S aus, von welchen die Strecken e = 1 E oder f = 1 F auf der Wag-rechten und Lotrechten durch die Kämpfer abgeschnitten werden.

KJ I

T/ V

/ wp

'S

i //

\/'b

lH5f

±E_

“i T

c\

AM.. 5.

Die gefundenen Linien lassen leicht die Lastscheiden für die äußeren Fasern eines Querschnittes ermitteln, wenn noch die beiden Kernlinien des Bogens gezeichnet werden. Die Lastscheiden für die innere Faser des Querschnittes werden gefunden, indem man von dem der Faser abgelegenen Kernpunkte des Querschnittes an die Umhüllungslinien die zwei Tangenten zieht, sie bis zu den Schnitten mit der Schnittlinie verlängert und durch die beiden Schnittpunkte die Senkrechten fällt, welche die Lastscheiden begrenzen. Eine Last, die hier steht, ruft in der betr. Faser keine Spannung hervor; wandert sie nach rechts, so ist die Spannung entgegengesetzt jener, welche durch eine links gelegene Laststellung entsteht.

Die Querschnittsform des Bogens ist gewöhnlich ein Rechteck und seine Kernfigur ein Parallelogramm, dessen Ecken auf den Symmetrieachsen liegen und sie in drei gleiche Teile teilen.

4. Die Einflußlinie (1er Spannungsgrößtwerte. In einem Querschnitte treten Normal-und Tangentialspannungen auf. Die Normalspannungen erhalten innerhalb des Querschnittes ihren Größtwert in den beiden äußeren Fasern, die Tangentialspannungen in der neutralen Faser. Nach Gleichung 3 ist die Normalspannung im Abstande v von der neutralen Faser

b h³

(Abb. 2 Seite 2)

F Fr

Mj — — Ae =

Hx f =— Wi + W.k + W,-

Wx W₂ k W₃ • — f-a

W₁-Wa~ + a

1-W₃

W₂

(11)

v = -j- k

Wi-W₃. -

W₂

F = bh, J =

Für v = -{- e wird a — a₀ bez. ou.

N M M

°o = —

Fr

cr₀ ist die Spannung in der oberen, ou jene in der unteren Faser, und Druck ist negativ angesetzt.

Die Querkraft ruft im Abstande v von der neutralen Faser die Schubspannung hervor

v dF

h² — 4 v²

b h³

Mit Hilfe der Gruppe 9 ergeben sich für M, N, Q in Gruppe 2 einfache Ausdrücke, welche die Werte des freiaufliegenden Trägers und damit deren langweilige Ausrechnung ausschalten.

Q = — H₀ sin 9+G cos 9 -j- Q,.

M = M₀ — H₀ y + G x -f 9k,

N = + H₀ cos 9 -f- G sin 9 -j- k,

Je nach der Lastlage ist nun:

a<T+x, M = — Wj — W₂ y— W₃ x N = + W₂ cos 9 — W₃ sin 9 Q = — W₂ sin 9 — W₃ cos 9

a>-A + x, M=— W,— W₂ y — W₃x + L - a + x

N = -j- W₂ cos 9 — W₃ sin 9 -f- sin 9 Q = — W₂ sin 9 — W₃ cos 9 -f cos 9

Dabei heißen die der Lastlage a = — entsprechenden Grundwerte n)1? tu₂, tu₃

und haben

Die Einflußlinien der M, N, Q müssen auch beim symmetrischen Träger für die ganze Brücke berechnet werden, aber die Arbeit wird geringfügig, da die einzelnen Summanden bei symmetrischer Lastlage gleiche absolute Größe haben.

Mz_a = — W1;a — W2>ay + W3> a x — (l — 2 a)

N/_a = + W₂,aCOS9 + W3) a sin 9 Qi— a = — W₂₍aSin9 + W3;aCOS9

5. Die Einflußlinie der Sclieitelsenkung. Nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen entnimmt man zur Berechnung der Scheitelsenkung bei beliebiger Lastlage a dem wirklichen Kräfteplan W die Wege, einem gedachten Plan 1 die Kräfte und erhält durch die Gleichung

Ed =

[ ds (* N ds C

J~ ⁺1 n‘' TF + \ q‘ ’

tJ    9J

Q ds

die Größe der wirklichen Senkung d.

P"

\jL

i !

2 I—

-OC—sJ

Plan AV mit M, N, Q. Plan 1 mit m1? 1^, qt. Abb. 6.

Für den Kräfteplan 1 ist nach den Grundgleichungen

-y+x<YJ nii = -H)₁-tt)₂y+ y>

sin 9

«! — + h)₂ cos 9 H---—,

Y + X>T’

sin cp

nx = + w₂ cos 9--—

ql = — tu₂ sin 9 +■

cos 9

qx = — tu₂ sin 9

cos 9

lj

die Größe:

ds

ds

aF

, tü₃ — +

Aus dem Kräfteplan W entstammen:

+ x <a, M = W₁ — W₂y — W₃ x + — — a + x

= + W₂ cos 9 — W₃ sin 9 + sin 9 =■- — W₂ sin 9 — W₃ cos 9 -{- cos 9

— + x > a, M = — Wx — W₂ y — W₃ x

= + W₂ cos 9 — W₃ sin 9 = — W₂ sin 9 — W₃ cos 9 .

Mit diesen Werten werden die Integrale der Gleichung für E d entwickelt:

s

tS

n^M

ds

T = ~w'

I    \Uy j

ds 1

ds

M x --x

ds ‘

ds

M — = — Wj

J

*ds

j -'V

Fr²

ds p ds

-W + X —

f\ir

ryx

«/

= — WjC

* ds

F r²

W₂j>

sr

(t-#

ds

ds

Mx

ds

ds

ds

ds

«/

= ~Wüxx-W₂ xyT-W₃ x*j +

(1-K4+f

ds

x²

Mx

ds

jxf-W₂jxy

ds

w

tJ

•N

ds

Y    1U 2

(*N cos cp ^

_d

ds r . ds y- Nsm<pT

ez

p ds p = W₂ V cos² cp — + ^ sin 9

e/    eJ

ds

COS9 —

ds

= W₂ sin 9 cos 9 ^

ds

ds

— W₃ sin² 9— + sin² 9

ds

= — w₂ ^sin9cos9 — — W₃ sin² 9 —

CG

bcj "

= — k>₂

(' . ds 1 C    ds    ('    ds

Qsunp^ + y ^ Q cos 9 —p    1 Q cos 9 —

K>|

Q sin 9

ds

aF

f    ds p    ds

² \ Sm ⁹kF ⁺ sin 9 cos9

t)    t)

P    ds

1    Q cos 9 — £/

2

f Q cos 9

LCl

aF

p*    p*    (Jg

2 j Sin 9 C0S ? ^ — W3 j COS2 9^

1

]_

C .    ds

2 \ sm 9 cos 9 —

ITT f    ds

W3 1 ⁰⁰⁸ 9^

p    ds

+ oos!<PSf

Die Gleichung E • cl verändert sich durch diese Integralwerte zu:

E • d = Wj tu

C ds    |

|x + n,₂.c

' ds

F r²

ds

XT

+ w₂.

• ds

lUi-

F r²

+ tü₂Ay²-^~ + Icos² 9    ^ sin2 9

aF

<1

2^

. ( .    ds    f .    ds

+ ^ sm cp cos 9 —--i sm cp cos o

aF

— 'Di

\ r ds    ds

a)Jx ⁺ Jxx

ds

T-(4+f

f .    ds

\ sm 9 cos 9

Die Faktoren von h>x, h>₂, — sind fast identisch mit den Zählerwerteil von Wx, W₂, W₃ in Gruppe 9 und werden durch sie ersetzt.

tu₂

%) r-t

aF

Ed = — W

h>x Nx + tux

c/

Fr²

— hi₂c

i ‘ ds ) Fr²

—w₂

h)₂ N₂ — tt>x c

ds

Fr²

)ü2 | j COS² 9 F

— c²

te)“isinT

cos 9

-f- W₃tu₃N₃-|-

+ h>x •

—--a

i ' ds

Fr²

—--a

c]

ds

Fr²

c°S9 —

₃ j sin² 9 dS

Die Koeffizienten von Wx, W₂, W₃ sind konstante Größen ebenso wie lt>x, h)₂, lu₃ als die der Lastlage a — —- entsprechenden Grundwerte. Die Gleichung enthält eine Anzahl gering-

Z

wertiger Glieder und kann ohne erhebliche Einbuße an Genauigkeit geschrieben werden:

Ed = — Wx tux Nx — W₂ tu₂ N₂ -+- W₃ iu₃ N₃ — tux

'^*4

cj

ds

Fr²

(13)

— h)₂

—--a

* ds

ds

Fr²

- i sin 9 cos 9

t)

+ hi

t)

Wenn man die alle Nebenkräfte enthaltenden Gleichungen für die Werte W benutzt, so darf man noch weiter alle Glieder mit r² im Nenner fortlassen, ohne damit den Einfluß von Normal oder Querkraft wesentlich zu vernachlässigen. Dann ergibt sich für die Scheitelsenkung die einfache Gleichung

(14)

Ed = — Wx h)x Nx — W₂ h>₂ N₂ + W₃ h)₃ N₃.

Die Einflußlinie für d leitet sich somit auf einfachste Art aus denen der Grundwerte W ab,

indem man sie jeweils mit den konstanten Faktoren N1; iu₂ N₂, tu₃ N₃ vervielfacht und zusammenfügt.

ti|~

(' ds    ( ds / .    ds

= Uy, tt>₂ N₂ = \ X y — + l sin 9 cos 9

t)

aE ’

fr* 3 ^3

2 2 l*    cls C    ds

\ x² ——h l cos² <p

aF

6. Der Einfluß der Formänderung der Widerlager. Der ganzen bisherigen Entwicklung liegt die Elastizität des Baustoffes, aus dem der Träger gebildet ist, zugrunde, und da das Widerlager auch elastisch ist wie der Bogen, so verhält es sich bei Einwirkung von äußeren Lasten keineswegs starr, sondern übernimmt einen Teil der Formänderung. Die Schwierigkeit, diese richtig zu ermitteln, liegt darin, daß die Querschnittsabmessungen des Widerlagers sehr groß sind im Vergleich zur Längenausdehnung. Die Gleichungen der Elastizitätslehre sind jedoch nur dann gültig, wenn vor der Formänderung ebene Querschnitte auch nachher noch eben sind, eine Bedingung, welche verhältnismäßig geringe Querschnittsabmessungen, d. h. Stabform, voraussetzt. Aus diesen Gründen hat die folgende Ableitung, welche unnachgiebigen Untergrund annimmt, bedingte Gültigkeit. Der Widerlagerkörper ist als Prismatoid mit zwei zueinander senkrechten Symmetrieebenen angenommen. Untersucht wird die Lageänderung der ebenen Fläche der Kämpferfuge unter dem Einfluß einer Achsialkraft, einer Querkraft und eines Momentes.

Da die Seitenflächen meist keinen oder nur einen schwachen Anzug haben, kann die Breite b konstant angenommen werden.

F

i-

— + F₁₅ P₂ — A sin 9X + H₁ cos 9^ Q₂ = A cos 9₂ — Hx sin 9₂, M₂ = M

A*» = lp-W’E4?°

ds

F

*-■ F -1__?

oi'

= P--

F ± 2

ln ist der natürliche Logarithmus.

Durch Querkraftwirkung der Kraft Q entsteht die Verschiebung Ah' und durch Biegung die Verschiebung Ah". Zunächst wird die Verschiebung Ah' in der Querschnittsebene ermittelt.

/?r

AfL_

fr 7

TU;

-~\AhU-    ^

,i ■!/ v i r

Ap

A<j>

y.

TI

O.

! Ad,

E Ah'

,y a / 7T\

/ / >

Abb. 7.

Ein Moment M verursacht die Drehung des oberen Querschnittes um Acp.

EAcp = ^ M

= MZ₀-

6 (h₂ + hj

h₂² h₂²b

nt! = + s, M = + Q s,

E Ah" =lmiM

E Ah" =

(h₂ - hj²

12QV²

h₂

h2 ~ hl

3 h₂ — h

äh,s

3 h₂ — hx

Insgesamt ist sonach die Änderung senkrecht zur Längsachse durch Q

E Ah = E (Ah' + Ah") =

12 / b (h2—hl)² \ h2

2 V

Mit Hilfe von Al₀, Ah, Acp ist die Lage des Kämpferpunktes und der Kämpferfuge nach der Formänderung bekannt. Um die Gleichung für die Rechnungen zu verwerten, ist folgender Weg notwendig:

Zunächst werden unter der Annahme völlig starrer Widerlager die durch die gegebene Belastung auf tretenden Kämpferkräfte gerechnet und die Formänderungen der Widerlager durch diese Kämpf erdrücke ermittelt. Hierauf ergibt sich die Änderung der Lagerkräfte durch das Nichtstarrsein der Widerlager aus den Gleichungen 6 S. 4

AM₀ =

sr A(9a-—9i),AH₀    — AZ + k A(9a —9l)], AG = ---Ad +-^ A(9l + 9a) .

n₂

(17)

Hierin setzt sich Al und Ad aus den Änderungen beider Kämpfer zusammen (Abb. 7):

AZ = Alx -f- AZ₂, Ad = Adx — Ad₂,

AZ₀ cos 9l, Adx = Ah cos 9l -f- AZ₀ sin 9l, A9l = A ₉.

AZX = Ah sin 9l

Al

Hat man die Änderung der Lagerwirkungen bestimmt, so müßte man mit den neuen Kämpferdrücken das Verfahren wiederholen, bis man jene Kämpferkräfte gefunden hat, welche den veränderten Widerlagern genau entsprechen. Bei „y, t dem geringen Maß von Genauigkeit der Untersuchung genügt jedoch /Tv^ eine einmalige Berechnung.

Abb. 8.

Will man weiter noch den Einfluß eines Nachgebens im Untergründe feststellen, so genügt es unter Annahme starrer Widerlager, die Veränderung in der Lage der beiden Kämpfer zu ermitteln und in Gruppe 17 einzusetzen. Ungleichmäßige Setzungen, seltener hervorgerufen durch ungleichmäßige Beschaffenheit desBaugrundes als durch ungleichmäßige Beanspruchung durch die Endmomente, sind vor allem wichtig. Neben ihnen spielen die Absolutgrößen der Endresultanten im allgemeinen eine geringere Rolle und man berücksichtigt nur die Verdrehung der Baugrubensohle, welche dem Endmoment proportional ist:

A₉ = a M, AZ = Z₀ A₉ sin ₉, Ad = Z₀ A₉ cos ₉.

Nachdem für beide Kämpfer die drei Werte ermittelt sind, wird die Gesamtänderung in der gegenseitigen Lage der beiden Kämpfer und damit auch nach Gruppe 17 die Änderung in den Lagerkräften und Spannungen bekannt.

IV. Die wagrechten Längsbelastiingen.

1. Der frei aufliegende Träger. Der Einfachheit wegen sei wieder ein Träger mit gleich hohen Lagern angenommen, dessen linkes Lager fest und rechtes beweglich ist. Die drei

Lagerdrücke sind 21 = + T • 4

= — 33,    = — T. Der beliebige Querschnitt ist a' von

der Kämpferlinie entfernt und hat als Summe seiner Spannungen das Moment 9k, die Normalkraft 91 und die Querkraft D, welche als äußere Kräfte angesehen werden. Da sie das Gleichgewicht am linken Trägerteil halten müssen, gelten die Gleichungen

2~ + x <a, 9k

- 4- x

2

— a'

+ x> a, 9k =

tx(iM

91 = T

(Asin? + cos?)

91 =

cos ₉ — sin ₉

t

T - cos ₉

Die gleichen Richtungen wie früher gelten als positiv.

Die Gruppe 6 gilt hier in vollem Umfange, da nur in den Gliedern mit 9k, 9?, £l vom frei aufliegenden Träger die besondere Belastung

2. Der statisch unbestimmte Träger.

731

o_

H₀\G

----

-F- -

k—i*x—

—- l-

Je

1---D

->i

Frei aufliegender Träger.

Abi». 9.

(Ji\

Statisch unbestimmter Träger.

sich bemerkbar macht. Wenn die Widerlager unter der Last ihre Form nicht ändern, so nehmen die Gleichungen 6 auf Seite 4 diese Gestalt an.

(t

f ds    r ds

k) l“j    ly7

ey

" ds Fr²

(t —

k) (y ds

ey

ds

ds

y² —— \ sin² 9 — + c

.1

¹    C ds

2    Fr²

c {l + r — f)

ds

Fr² (18)

n₂

(t —k)

ds

ey

xX~

ds

xyT

sin 9 cos 9

ds

tJ

aF

n₃

Will man im Zähler die Normal- und Querkraft vernachlässigen und alle Glieder mit r² im Nenner übersehen, so ist die vereinfachte Form:

Mo = + 2

~-W., H₀ = + W

-__w

l    ³

, ds (•

(t~k) x~ y

W₂ - +

W₃ = +

Ni

/,    , , C ds (* „ ds

(t-kMyx~ y x

tJ

(t —

n₂

k>fxf-f

ey .    ey

ds

X3j

N₃

Nx =

n₂

* ds

j~ ⁺

€/

F r²

C ds

= |y²^-+ c²

(Xri' ⁺ isin2'f>

d    eJ

ds (19)

aF

N₃ =

C ds f    ds

x2x+ cos

v    d

Die Kräfte am Kämpfer sind damit auch bekannt.

mam

MMukiKnM

Mx = -Wx +W₂k +W₃~ + t.

Diese Grundwerte W sind mit jenen der lotrechten Kräfte nicht zu verwechseln. Das Achsenkreuz hat jedoch die gleiche Lage wie früher und die Nenner sind ebenfalls die gleichen.

3. Die Gestalt der Einflußlinien und die Grenzwerte. Auch hier bestehen zwischen den Werten W, welche den symmetrischen Lastlagen a und l — a zugehören, einfache Beziehungen:

Wi z_a — — W1>a + t — k, W2> / — a— —— 1> w3,;_a — + Vi

3, a •

(20)

Mota,

Ü1, l-Cb

t-h

. *47

ft

ho \"0, l-ou

■f

3a

Gl-ob

i_l

— l~Ob

Abb. 10.

Die Grenzwerte sind:

a = 0, Wx =0, a = — , Wx — -f~

33

W₂ — 0,

33

W₂ = -1

-j, t«| ~

3

CO

*3

CO

-Üb

co

£

3. Die Kämpferdrucksclinitt- und Umhüllungslinien. Die Kämpferdruck-Schnitt- und Umhüllungslinien werden hier nur wegen der Vollständigkeit abgeleitet, da sie ohne praktische Bedeutung sind. Bei veränderlicher Lastlage, also bei veränderlichem a und t, beschreibt der Schnittpunkt S der Kämpferkräfte C S und E S die Schnittlinie, und der Strahl C S berührt die linke, der Strahl E S die rechte Umhüllungslinie. Zur Kenntnis der Lage eines Kämpferdruckes sind nur die Größen CL = c und CD = d

Pb

, so ist

nötig, da t durch die Lastlage gegeben ist. Da Mx = A c und

Mj

t*—(Abb. 9 Seite 13.)

Ist die wandernde Last immer gleich hoch über der Kämpferverbindungslinie, so fällt die Kämpferdruckschnittlinie mit dieser wagrechten Angriffslinie zusammen. Die Grenzwerte von c und d sind:

⁰⁰ ; oo ,

oo

oo

so daß beidesmal die Kämpferdrücke wagrecht sind.

4. Die Einflußlinie der Spannungsgrößtwerte. Nach Gleichung 3 auf S. 2 ist die Normalspannung in der oberen und unteren Faser des Querschnittes x, y genau genug:

=F

-Wj— W₂y — W₃x + t — a' N = -f- W₂ cos 9 — W₃ sin 9 -f- cos 9

— Wj — W₂y — W₃x, a>— + x, M N — + W₂cos9 — W₃sin9

W₂ sin 9—W₃ cos 9 — sin 9

W₂ sin 9 — W₃ cos 9

Aus den einzelnen Werten für die Lastlagen der linken Trägerhälfte finden sich die M, N, Q für die symmetrischen Lastlagen auf der rechten Hälfte durch folgende Gleichungen ohne Mühe:

a — + a + W2, a y -W3ja X

M

Nz_a = — W2>a cos9 — W3) a sin 9 Ql _ a = + W₂ a sin 9 - W3ja COS 9

Damit ist die Normalspannung a als einfache. Abhängige von den Grundwerten Wj, W₂, W₃ gegeben. Die Schubspannung t hat ihren Größtwert im Querschnitt in

3

dessen wagrechter Schwerachse: xm = —

22

Y. Die wagrechten Querbelastungen.

A. Die genaue Rechnung.

1. Die Grundgleichungen. In seiner Abhandlung „Das elastische Tonnengewölbe als räumliches System betrachtet“ (Zeitschrift für Bauwesen 1908) gibt Engesser die Gl. für die Wj, Wn, Um benannten zusätzlichen Lagerkräfte, welche außerhalb der Symmetrieebene XY wirken¹). Die Kräfte U1; UII; Wm bleiben hier außer Betracht, da sie durch die Lasten in der Trägerebene XY entstehen und hier nur Lasten senkrecht zu dieser Ebene angenommen werden.

\Wm

r«

Um

0____Ui_\

WR

<y

i\

y"

m'

0'

Abb. II.

Statisch unbestimmter Träger.

Statisch bestimmter Träger.

Ist der Bogen in Bezug auf die beiden zueinander senkrechten Ebenen XY und YZ symmetrisch und sind die Widerlager starr, so lauten die Gl. unter teilweiser Vernachlässigung der Nebenkräfte:

Im Gegensatz zu früher haben hier die Nenner Nx,

N₂. N₃ folgende Werte:

Wj

_e

^ 931₂ sin 9 4^

?/

ds

Jx

11

f'    ds

| m₂ cos 9 —

+ -7T-

j* $0^ sin 9

dsl

Jx ’

III

1931₂ (x cos 9 + y sin 9) -^4

-x

-e

y cos 9)

ds

ds

Jx

— 3, 2 l Ä8 F

(21)

ds

= I cos² 9 4^ -j---1 sin² 9 -y-

N₃

, n₂

w 00

Im beliebigen Querschnittsschwerpixnkt x, y werden drei zueinander senkrechte Achsen 1, 2, 3 angenommen, von denen Achse 1 in der XY-Ebene liegt und mit der Bogentangente zusammenfällt, Achse 2, in der gleichen Ebene liegend, die Bogennormale ist, und die Achse 3 zur XY-Ebene senkrecht steht. Im Anfangszustand, bei welchem der Träger statisch bestimmt gedacht wird, haben sämtliche äußeren Kräfte links vom Bogenquerschnitt eine Resultante 9t und ein Moment 931, wenn man sie im Querschnittsschwerpunkt zusammenfügt. Die Kraft 91 wird nach den Richtungen der Achsen 1, 2, 3 zerlegt und hat die Komponenten ^x, &₂, St₃. Ebenso wird das Moment nach den drei Ebenen 2—3, 1—3 1—2 zerlegt und hat in ihnen die Teilmonente 931x, 9J1₂, 931₃. Die Kräfte gelten als positiv, wenn sie im Sinne der positiven Achsen 1, 2, 3 gerichtet sind, und die Momente, wenn sie, in der Richtung von der Pfeilspitze gegen die Ebene betrachtet, im Uhrzeigersinne drehen. Der Querschnitt hat in der Achse 2 die Höhe li und in der Achse 3 die Breite b. Die Momente zweiten Grades in bezug auf die drei Achsen sind:

bh³

12

b³ h

’ 12

^\b³ h³

² + h²) ’ 3 Jx J₂ J₃ J

Die einfachen Ausdrücke für die zusätzlichen Lagerkräfte wurden durch die geschickte Verlegung des Achsenkreuzes in die beiden Symmetrieebenen des Bogens und noch dadurch erreicht, daß der Achsursprung bis zur Erfüllung der Gl. 22 auf der Y-Achse verschoben wurde.

^sin 9 (x cos 9 + y sin 9)

tJ    2

~ ^ cos 9 (x sin 9 — y cos 9) 4j^

e/    1

(22)

2. Die Lage des Achsursprunges. In einem durch den beliebigen Punkt 0' der Y-Achse gehenden, dem gesuchten System parallelen Achsenkreuz hat ein Bogenpunkt die Ordinaten x, y\ Der gesuchte Abstand 00' ist c. Setzt man in Gl. 22 für y den Wert y' — c so ist die neue Form der Gleichung:

C. .    / ds    o ds

\(y — c) (-j- + cos²9 —

-) — ix sin 9 cos 9 4^- = 0. 3 / J    ^ 3

1

Ist der Bogen ein Kreisbogen, so legt man den Hilfsursprung 0' mit Vorteil in den Kreis-

mittelpunkt. Dann ist

fy J

(23)

3. Die Einflußlinien der Grundwerte Wl5 Wn, Um- Im Anfangszustand wird am linken Lager die der Z-Achse parallele Lagerkraft %', am rechten Lager die gleichgerichtete Kraft 2" und am linken Lager das in einer zur YZ-Ebene parallelen Ebene drehende Lagermoment 9k' angenommen. 2', 2", 9k' berechnen sich aus den allgemeinen drei Gleich-ge wichtsbedingungen :

S Mx = 0 = T t + 9k',

9k' = — Tt

VMy = 0 = -Ta-fri,

2" = + T-?

sz = o = r + r-T,

2' = + t

Im Querschnitte x, y ist:

2' —T

— + X < a, = $2 = 0, $3 = 2', 9kx = 9k' cos 9+2' p'

— + x > a, = ®₂ = 0,    =

9kx = 9k' cos 9 + 2' p' — 2 p

Sk₂ = — 9k'sin 9 — 2' q' + T q

9k₂ = — Sk' sin 9 — 2' q'

— + x<a;

Drückt man p, q, p', q', durch x, y und 9 aus, so erhält man nach Abb. 11 Seite 15: l — a

Skj — — t cos 9 -f

Sk₂ = + t sin 9 —

—    + xj sin ? + (k + y) cos 9 ,

Y + X j COS 9 + (k + y) sin 9 ,

— + x>a; £3 = —

SS?! = — t COS 9 +

— I — + X 1 sin 9 + (k + y) cos 9 +

— (k — t + y) cos 9,

Sk₂ = + t sin 9 —

— + xj cos 9 + (k -f- y) sin 9 + ^--a + x^ cos 9 + (k — t + y) sin 9 .

Nun ist es möglich, die einzelnen Integrale der Gruppe 21 S. 16 auszurechnen.

| Sk₂ sin 9 4p =

“(k-

v c . ds t) ^ Sill² 9 -J—

C    .    ds

V    x sm 9 cos 9 -j—

V    2

ds

sin 9 cos 9 -y-;

6 a b e r.

e.

ds

cos 9 — =

’Ji

a k p ds ^ cos² cp —

a f .    ds

— I x sin 9 cos 9

Ji

+ (k-

ds

t) 1 cos² 9    — Cx sin 9

t)    1 d

cos 9.^p =

— ^ cos² 9

ds

J₂

cos cp

CO r

ds

+ ^ y cos² 9 —

t)

a p    ds

T\y^9T

t)    ¹

----a^ ^ sin 9 cos 9

x cos² 9

i P->

5 ra

J. ’

— (k — t) ^ cos 9 sin 9

Ch &

> QO

ds

y sin 9 cos 9 —-;

"2

ds

tJ

ÜÖij sin 9 —- =

Ji

(4“a) fsin2tPy-

+ (k —

C . ds

(•    ds

^ $0?₂ x cos 9 — =

1 x sin 9 cos 9 -4— -f-

. ^2

a p    ds

— I x² cos² 9 —

l J    ^2

y|xy sin 9 cos 9

co c

T3 K

-(k-

t) t x sin 9 cos 9 -<-S-

J    J2

ysin 9

t)    2

C . ds

\ ysm2 9 - j-

p    ds C    ds ( l \ p    ds

^ x²cos²9y---|xy sm 9 cos 9 ~y--1 — —a H x cos² 9 -- -;

1

2

a C . ds — \ y² sm² 9

j₂

-(k-

P    ds    f    ds

t) \ y sm² 9 -y--^ y²sm² 9 —

Gm

V

₁ x sin 9

ak p .    ds

l x sm 9 cos 9 —

J 1

tJ    1

+ (k -

t) | x sin 9 cos 9 4^-

— \ x y sm 9 cos 9 ——f-

L 1    J j

(j—

Gm

t)

ds

1 y cos 9 — =

a k p    ds

\ y cos² 9 —

Ji

+ (k —

t) ^ y cos² 9 -^ + ^y² cos² 9 9)    1    «7    1

s    p    ds

--xy sm 9 cos 9 —

?    J    ^2

2

a p . ds — i x² sin² 9 —

1

a

(| x² sin² 9 -y— -|- f x y sin 9

1

2

a p    ds

rJyW9 —

1

P    ds 11    \ p    ds

^ x ysm 9 cos 9-y— —    —aj ^ xysni9COS9-y—.

ds

COS 9 —--

J1

fixysiI

ds

19 cos 9

Setzt man diese Werte in die Gruppe 21 S. 16 ein und beachtet, daß nach Gleichung 22

sin 9 (x cos 9 + y sin 9) — ^2

ds 8

— \ cos 9 (x sin 9 ö

y cos 9)

H Pu

* ui

ds

= \ x sin 9 cos 9 -j- + l y sin² 3 4 9

ds

Ji

so erhält man die endgültigen Gleichungen für die Einflußlinien.

Wj = + -=— w₁₅ w„ = +

et    T_T    __    TTT

x—b Wo, Um = H— --\\ ₃

(24)

Wie bei den lotrechten Lasten empfiehlt es sich wieder, die zusätzlichen Lagerkräfte in der weiteren Rechnung durch die Größen W1} W₂, W₃, die sogenannten Grundwerte, zu ersetzen.

Wx =

\ C .    ds

a j ^ sm 9 cos 9 —

+ (k-

t) sin³ 9    ^ y sin³ 9-^-

LJ

x sin 9 cos 9

— (k

C ds C" ds

‘Mt-

n₂

aj ^ cos³ 9    —f (k — t) | sin 9

cos 9

ds

Tz⁺

xcos ³

ds

9_r

ds

N₂

‘ ds

;

(25)

;[(i-a)(fxcos2^ + f

1    1

y sin 9 cos 9

y-j + (k — t)|^xsiii9 1

cos 9

ds    ds\

T⁺Jysm!<pjr)

Diese Grundwerte sind nicht mit den früheren zu verwechseln, und auch die Nenner N1; N₂, N₃ haben hier folgende andere Bedeutung nach Seite 16:

' ds

N₂ =

\ cos³ 9 j

N₃ =

ds

(x cos 9 + y sin 9)2 —--^ (x³ + y³)

* ds

— 3,2 —

XT

—--a

n₃

(k-

t) j y

1

C,    ds „ ^ d ds

\ (x³ + y³) —-3,2^

4. Die Gestalt der Einflußlinien und die Grenzwerte. Zwischen den Werten Wl5 W₂, W₃, welche den symmetrischen Lastlagen a und l — a zugehören, bestehen folgende Beziehungen :

W^i.a — —W1;a + k — t, W2> 1 — a — + W2> a — l—--a

, WM_a =

W₃₎a+1 (26)

Die Werte für die drei Lastlagen im Scheitel und in den Kämpfern sind:

= 0, W, = 0,

k — t

K-t

W₂ = 0,

W₂ =

— (k — t) f sin <p

2    e/

cos 9

CO c

^ H->

C ds

j XT

1    ds

-f- ^ X COS² cp -J-

W₃ = 0, a — l, Wx = + k — t

55

W3= +2

Abb. 12.

W _

” ² 2

55

W₃ = + 1.

5. Die Einflußlinien der Spannungsgrößtwerte. Im Anfangszustande ergibt die Reduktion aller links vom Bogenquerschnitt x, y liegenden Kräfte auf den Schwerpunkt des Querschnittes drei Kräfte St₂, ft₃ und drei Momente 91^, 9JL, 9J?₃, welche in den drei festgelegten Achsen und Achsebenen des Querschnittes angreifen. Von den tatsächlichen Kräften Kl5 K₂, K₃, und tatsächlichen Momenten Mx, M₂, M₃, im Querschnitte x, y, zerlegt wieder nach den Achsen 1, 2, 3, und den Achsebenen 2—3, 1—3, 1—2, brauchen nur die Momente M1? M₂ und die Kraft K₃ berechnet zu werden, da für ausschließlich wagerechte Querbelastung Kx = K₂ = M₃ = 0 ist.

K₃ =    + Um , Mj = ÜDij + Wj cos 9 -f Wn sin 9 — Um (x sin 9 — y cos 9),

M₂ =■ 9Ji₂ — Wj sin 9 + Wn cos 9 — Um (x cos 9 + y sin 9).

Setzt man für $₃, 9Jil5 9Ji₂ ⁽^e früher berechneten Werte und drückt man WI; Wn, Uj]] durch ihre Grundwerte Wl5 W₂, W₃ aus, so ergibt sich je nach der Lastlage links oder rechts des betrachteten Querschnittes nach Abb. 11 Seite 15: a< —+ x, K₃ = — W₃

Mx = — Wj cos 9 -j- W₂ sin 9 + W₃ (x sin 9 — y cos 9), M₂ = + Wj sin 9 + W₂ cos 9 -f- W₃ (x cos 9 + y sin 9),

a    ——b x, K₃ — — W₃ + 1

(27)

Mj = — Wj cos 9 -j- W₂ sin 9 -j- W₃ (x sin 9 — y cos 9) -f-

+ (k — t + y) cos 9 —    --a + x j sin 9;

---a + x ) cos 9.

M₂ = + Wj sin 9 -|- W₂ cos 9 + W₃ (x cos 9 + y sin 9) -j-— (k — t + y) sin 9 —

Auch hier genügt es, die Werte für die Lastlagen auf der linken Trägerhälfte zu berechnen, da zwischen den symmetrischen Lastlagen zugehörigen Größen ein einfacher

Zusammenhang besteht. Bei der Lastlage rechts vom Scheitel ist für alle Querschnitte der linken Bogenhälfte a > — -f- x.

Zi

(28)

K3(Z_a = +W₃₎a, MM_a = + W1>a coscp + W₂₎a shicp —W3>a (xsiiifp —ycoscp)

M₂, i-a = — Wj, a sin 9 + W2) a cos 9 — W3 a (x cos 9 + y sin 9)

!■?

'v.

Im Querschnitt entstehen durch K₃ Schubspannungen parallel der Achse 3, durch ebenfalls Schubspannungen, weil es in der Ebene 2—3 als Verdrehungsmoment wirkt, und durch M₂ Normalspannungen parallel der Achse 1, weil es in der Ebene 1—3 dreht. Der Größtwert der Normalspannungen tritt in den der Achse 2 parallelen Seiten auf. I11 den gleichen Kanten wirkt die größte v/'

Abb. 13. Die Spannungen im Querschnitt.

Schubspannung t parallel der Achse 2, verursacht durch das Verdrehungsmoment ; in den der Achse 3 parallelen Kanten sind die Schubspannungen t/, t₂' verursacht durch Mj und K₃.

6M₂

b² h ’

Ti, 2 = + 4,5

b h²

K₃

bh ’

t = +4,5

b² h

(29)

B. Die vereinfachte Berechnung*.

Einigermaßen wird den besonderen Verhältnissen der Querbelastung Rechnung getragen, wenn man den wirklichen Kräfteplan in zwei Einzelpläne auflöst. Bei dem ersten Plane wird der Träger als beiderseits eingespannter Stab mit gerader Achse und einer Spannweite gleich der ausgestreckten Bogenachse betrachtet. Beim zweiten Plane nimmt man den Träger, ebenfalls mit gerader Achse, als Kragträger an, dessen Kraglänge gleich ¹ der Pfeilhöhe f ist. Bei gleichförmig verteilter Windlast über die ganze Trägerlänge nimmt

und beim zweiten

man beim ersten Plane als Last für den lfd. m die Größe px 2 W

Plane die Größe p₂ =

1. Der erste Kräfteplan. Nach dieser Annahme ist der Träger in beiden Lagern eingespannt und wird durch Kräfte, welche in der wagerechten Trägerebene liegen, beansprucht. Man kann den beiderseits ein-gespannten Stab als den Sonderfall eines beiderseits eingespannten Bogens betrachten, dessen Bogenhalbmesser unendlich groß ist, so daß auch die Gleichungen 8 für die Einflußlinien der unbekannten M₀, H₀, G gelten.

Aus der Lage des Achsenkreuzes in der lotrechten Symmetrieachse des Trägers und ds

im Schwerpunkte der —=- ergibt sich ohne weiteres, daß H₀ verschwindet, da alle y = 0

J

sind. Trägheitsmoment und Querschnitt seien über den ganzen Träger gleich.

Bei der über die ganze Stützweite gleichförmig verteilten Last px tritt in der Entfernung a vom Lager das Moment auf:

2 -f

Wirklicher Kräfteplan.

yfB

K ju,

sw

S=rct

■ob=r-qp^A

1. Kräfteplan.

Abb. 14.

2. Kräfteplan.

M' =    • [6 a (l — a) — l²]

Reicht die Last nur über die Strecke s, so ist das Moment im Querschnitt a

M'

= m₂^ + m₁

— + SR

~2~j a — Pi • -g-, wenn a < s Die Spannung aus dem ersten Kräfteplane ist sodann

a²

M'

sehr einfach. Erstreckt sich die

s²

. M₂ = — - Pi

S \2

(4Z — 3 s)

2. Der zweite Kräfteplan. Die Spannungen aus dem zweiten Plane ermitteln sich für den Fall der gleichförmig verteilten Last p₂ =

Last auf den ganzen Träger, so ist im Querschnitte, der a vom linken Lager und a' über der Kämpferlinie liegt:

Erstreckt sich die Last nur auf die Strecke s', so wird für a' s'

(s' — a')²

⁼ P₂-2~~

M"

M"

(32)

(33)

M"

Die Spannung aus dem zweiten Kräfteplane ist sodann v₂ =    .

Die Gesamtspannung durch Wind ist im Querschnitte a, a', v = vx -f v₂.

VI. Der Einfluß der Wärme.

1. Gleichmäßige Erwärmung. Bei jedem statisch unbestimmten Träger spielt die Wärme eine mit der Zahl der statischen Unbekannten an Bedeutung zunehmende Rolle. Der Ausdehnungskoeffizient des Stoffes in linearer Richtung sei co, die Temperaturzunahme t° C und der Elastizitätsmodul E. Schaltet man jede äußere Last, auch das Eigengewicht, aus, so ruft die Wärme Lagerwirkungen hervor, welche aus den Gleichungen 6 sich ableiten. Bei gleichmäßiger Erwärmung behält der Träger stets eine der Urform ähnliche Gestalt. Es treten keine Winßel-, sondern nur Längenänderungen auf.

M₀ =

-3- [— AZ -j- k A (<p₂ — 9l)], ²\

• [— Ad + y A (cp, + <p₂)], A9l = A<p₂ = 0 ,

A (?₂ — ?l) > H0 =

Al = — (o t. I

A 9l, und es entsteht nur eine zusätzliche Lagerkraft, ein am Achsursprung angreifender Horizontalschub, welcher bei starren Widerlagern den Bogen um so viel zusammendrückt, als die Spannweite unter dem freien Einfluß der Wärme sich vergrößern würde.

E o) 11

Bei symmetrischem Träger ist Ad — 0 = A cp₂

H0 = ~2

, M₀ = G = 0.

(34)

pT⁺*i

e/ e/

Fr²

ocF

Versetzt man ihn an den linken Kämpfer, so tritt hier noch ein Moment hinzu.

Mj = k H₀, H, = H₀, A = 0.

2. Ungleichmäßige Erwärmung. In der oberen Faser sei dieWärme —1°, in der unteren Faser + t° und somit in jedem Querschnitte ein Wärmeunterschied A t = 2 t°. Zwischen zwei unendlich nahen Querschnitten tritt eine Winkeländerung auf:

A d₉ — co At • -7— .

h

Zwischen den beiden Kämpfern ist die Winkeländerung:

Der beliebige Querschnitt A drehe sich um A dcp, nehme den rechtsseitigen Trägerteil mit und rufe in der Lage des rechtsseitigen Kämpfers die Änderungen hervor d Ax₂, d Ay₂.

Weil A d cp klein ist, so gilt:

AB' = AB, <£BB'C =

= <ABD, B' B 1 A B, C B' 1 DB.

¹

-Ay-y-y,

j D_

ds

d Ax₂ = — (y₂ — y) w At> d A^2 = co At .

NA

’h-y

Abb. 15.

= (X₂ — X)

Beide Kämpfer sind frei beweglich gedacht und die Spannweite wird sich nach vollhaben. Bei symme-

= j d A x₂ vergrößert i

zogener Drehung aller Querschnitte um A l trischem Bogen werden sie sich, wenn man den Scheitel festgehalten denkt,

um

1 C

— i cl A y₂ gehoben

haben. Die Summe der cl Ay₂ verteilt sich

1

gleich auf yt und y₂, so daß

AVi = Ay₂ = ~

i-

1__

X«

yi

co At d

ds

(X2 — X)nT ’

9b

Abb. 16.

Um so viel vermindert sich der Bogenpfeil, da die Kämpfer natürlich in gleicher gegenseitiger Lage bleiben.

Ad = 0. Al — co At

C* ds    ds    f

i yir +k 5 A + %) ⁼ °> A (9₂ — 9i) = <■> At ^ h

' ds

Man setzt diese Werte in die Gleichungen 6 ein und findet:

M₀ = -

E co At

Ni .

1 U 1 “h

E co At

N₂

, G == 0

(35)

Wenn der Bogen frei auflagern würde, dann würde die Wärmeabnahme in der oberen und Zunahme in der unteren Faser die berechneten Formänderungen verursachen. Die durch die tatsächlich starren Widerlager auftretenden Lagerkräfte müssen nun gleichgroße entgegengesetzte Wirkungen haben; sie müssen z. B. in diesem Falle eine Verkleinerung der Spannweite um A l bewirken und deswegen sind die Werte mit entgegengesetzten Vorzeichen in die Gleichungen 6 einzuführen.

Hat die obere Faser die Wärme + a, die untere Faser die Wärme + b, so zerlegt man

den Fall in die gleichmäßige Erwärmung ——— und in die ungleichmäßige Erwärmung ——-

2 2

wobei A t = b — a. Da die zusätzlichen Lagerkräfte bekannt sind, können auch die durch die Wärmeänderung entstehenden Spannungen berechnet werden. Sie werden umso größer, je größer der Elastizitätsmodul E und der Äusdehnungsfaktor co des Stoffes ist.

3. Der Einfluß der Wärme auf die Scheitellage. Bei gleichmäßiger Erwärmung findet man die Scheitelbewegung aus Gleichung 13, sobald man darin W₂ = Hti setzt und alle anderen veränderlichen Glieder gleich 0 nimmt.

Das Minuszeichen Bedeutet, daß bei zunehmender Wärme der Bogenscheitel sich

hebt.

Ed = — H

xy

(0 t l

n₂

1 x y — + \ sm cp cos cp

ds

kF

Bei ungleichmäßiger Erwärmung des Bogens ist die Scheitelbewegung

Ed = Mo,t|

² ds

XT

-Ht

i x y -y- + | sin 9

/ €/

cos cp

ds

aF '

Der Elastizitätsmodul hat auf die Scheitelbewegung beim Wärme Wechsel keinen Einfluß, wohl aber der Ausdehnungskoeffizient w.

2. Der Talübergang bei Langenbrand.

Die eingleisige Bahn Weisenbach-Forbach im nördlichen, badischen Schwarzwald überschreitet die Murg unmittelbar vor dem Dorfe Langenbrand auf einer 150 m langen Steinbrücke in einer Höhe von 25 m über der Sohle. Die Linie liegt in der Geraden und hat eine Steigung 1 : 45. Das Flußbett wird von einem Hauptbogen auf 59 m frei überspannt; auf dem linken Ufer reihen sich zwei, auf dem rechten drei Nebenbögen von 12 m lichter Weite an. In Scheitelhöhe des Hauptbogens ist das Bauwerk 4,30 m breit; die Stirnen haben einen seitlichen Anzug von 1 : 30. Durch Auskragung der Abdeckplatten wird die Fahrbahn auf 5,20 m verbreitert. Alle Bauteile sind auf den gewachsenen Fels, Granit, gegründet und bestehen aus granitenem Bruchstein; nur zum großen Gewölbe sind Granitquader verwendet. Unter Benutzung der in der allgemeinen Untersuchung entwickelten Gleichungen wird im folgenden die Beanspruchung des Haupt-bogens eingehend berechnet.

von WeJsenbach

1.20

steigt 1'U5 —»-

nach Forbach

75

iss

M,

12,0-J ''^—12,0

la

-6,0—

H----U

8U‘U

*

"'S.

CP

Schniita.-eL

H.W:

LA'

• 10

Maßstab 1:1000

10

20m.

Ahb. 17.

I. Die rechnerische Untersuchung des Hauptbogens. A. Die Form des Hauptbogens.

Die lichte Weite des symmetrischen Hauptbogens beträgt 59,00 m und der zugehörige Stich der inneren Leibung ist ein Viertel der Lichtweite. Die Scheitelstärke wurde zu 1,800 m, die Kämpferstärke zu 2,600 m gewählt. Die Bogenachse, auf welcher alle Querschnitte senkrecht stehen, ist einem Kreisbogen mit r = 38,800 m, die innere Leibung einem Bogen mit rx = 36,878 m nachgebildet. Alle Winkel dieser reclmerischen Untersuchung werden in der neuen Hundertteilung angegeben.

cp₁ = 57,6390°, fx = 14,748 m, 1,3 cos cpx = 0,803 m, 1,3 sin cpx = 1,023 m.

Die Entfernung der beiden Kämpferfugenmitten ist l und der Stich der Bogenachse

ist f.

I = 61,045 m, f = 14,845 m.

Die Abstände der Kreismittelpunkte voneinander sind m und n.

m = 1,068 m, n = 1,022 m.

Da die Gewölbebreite erst während der Rechnung von 4,200 auf 4,300 m erhöht worden ist, liegt der Berechnung der Einflußlinien noch die Gleichung b =

r — y'

15

+ 4,2 für die

Gewölbebreite im Querschnitte x, y' zugrunde. Die Verbreiterung konnte noch am Schlüsse

berücksichtigt werden, da alle Spannungen mit Ausnahme der durch Eigenlast und Wind der Breite umgekehrt proportional sind. Die gesuchte Gewölbestärke im Achspunkte P ist h = 2 hr Die Koordinaten der Punkte P und Px auf das in Abb. 18 gezeichnete Achsenkreuz bezogen, sind u, v und ux, vx. Die Gleichung der » Bogenachse ist

1-61.0%

“1

R A

v = r sin 9, u = r cos 9.

Die Gleichung des inneren Leibungskreises ist (u — n)² +v ² = rx²; die Gleichung der Geraden M P ist v = u tg 9.

Gesucht wird der Schnittpunkt Px des inneren Leibungskreises mit der Geraden: ux = cos 9 [n cos 9 + |rx² — (n sin 9)2]; v, = sin 9 [n cos 9 + |rx² — (n sin 9)2] u — ux cos 9

Die Länge des Bogens gemessen in der Achse ist S = 70,258 m. Für die Berechnung wird der Bogen in kleine Teile zerlegt, da die vorkommenden Integrale nicht geschlossen aufgelöst werden können und durch endliche Summen ersetzt werden müssen. Von den 16 gleichlangen Teilen hat jedes die Länge As = 4,391 m und den zugehörigen Zentri-

Abb. 18.

hx =

= r — n cos

9 — }rx² — (n sin 9)²; h = 2 • hx .

As

winkel A 9 = 7,2049 °. Die jedem Bogenteil zugehörige Größe —

J

Schwerpunkte aller

und

As

muß im

ds

oder — des Bogenteiles liegend gedacht werden. Da der Bogenteil F

ds

angenähert ein Trapez ist, findet sich der Schwerpunkt der — auf einfache Art: er liegt im

J

Schnittpunkt der Diagonalen mit der Achse. Da der Halbmesser im Vergleich zu den Querschnittsabmessungen groß ist, nähert sich das Teilungsverhältnis dem Werte x/₂ und

ds

man kann unbedenklich den Schwerpunkt der — und

J

Mitte setzen.

ds

— eines jeden Bogenteiles in seine

B. Die Lage des Achsenkreuzes.

Bei dem symmetrischen Gewölbe genügt es, im Zähler und Nenner der Gleichung 7 die Integrale nur über die halbe Bogen weite auszudehnen. In der Liste 1 sind die den Teilmitten P — 8' zukommende Gewölbstärke, Breite und Querschnittsfläche und das Trägheitsmoment angegeben.

Liste 1. Grundlage der Rechnung für lotrechte und wagerechte Längs-Last.

Die Größen gehören zu den Teilmitten.

er

v:

2'

3'

4'

5'

6'

7'

54,0366 46,8317 39,6268 32,4220 25,2] 71 18,0122 10,8073 3,6024

r-l CO © <M CO -*#©©© CO IC CO rH © © QO

cd cd cd cT i-T f-T h r-T

©.

00 00 © CO CO ©

©©©©OOrf^tNSCO

rf^~]Co©ooui©~J

12,889

11,539

10,405

9,479

8,750

8,216

7,864

7,688

6,7616

5,2697

4,1703

3,4500

2,8070

2,4272

2,1945

2,0828

25,642

28,767

31,523

33,876

35,796

37,257

38,242

38,738

—    29,119

—    26,037

—    22,617

—    18,917

—    14,970

—    10,832

—    6,557

—    2,194

—    1,408 + 0,512 + 1,973 + 2,958 + 3,454

yi

iy'

399,526

f\- +

'' ds

11,32073 + 0,00251

= 35,284 m.

F r²

Vernachlässigt man das zweite Glied des Nenners, so wird c = 35,292 und die Ungenauig keit beträgt 0,022 %.

² ₍ps

Beim Weglassen des zweiten Nennergliedes wird y — = 0, sonst jedoch

1 J

c ds r ds

)J7 ' "j

F r²

= 0,1.76830

m²

Der Rechnung ist das genaue c = 35,284 m zugrunde gelegt. Die Ordinaten der Bogenachse im neuen Achsenkreuz sind

x = x' = r cos 9, y = y' — c.

C. Die lotrechten Krätte.

1. Die Einflußlinien M₀, H₀ G und Wx, W₂, W₃. Die konstanten Nenner der Gruppe 8 und 9 auf Seite 5 sind

(' ds l

= hr+l

e/    «y

Fr²

, n₂

C ds 1

= y2T+c2

' ds

F r²

f | sin² 9 ^ - , N₃ = ^ x² -^-+ ^ cos² 9

«y    t)    t)

aF

In den Zählern der Gruppen 8, 9 kommen folgende Integrale vor:

C ds

xX’

f ds r

yT’

ds

ds

X5J ’

x2 _ •

J ’

C ds r

|y. cos2?

ey    ey

Der Wert a =

— und

S-

= 3 ist auf Seite 3 abgeleitet.

Nx = 22,64146 + 0,00501 = 22,64647

m³

No = 326,7248 + 6,2392 + 4,5057 = 337,4697 —

N₃ = 5558,868 + 18,129 = 5576,997 —

Die einzelnen Summanden sind für sich angeführt, damit der von der Normal- und Querkraft herrührende Teil von dem Hauptwerte, welcher dem Moment zugehört, sich unter-

ds

scheidet. Das Glied der Querkraft führt stets den Faktor mit sich.

Es werden auf der linken Trägerhälfte 9 Lastlagen in den Punkten 0—8 nach Abb. 18, S. 26 angenommen,

aF’

ds

das der Normalkraft —

a<)

= 0, a₈ = — a = —--r sin

Die Werte stehen in der Liste 2.

Liste 2. Die Lastlagen, die zugehörigen Querschnittsgrößen und die

Bogeneigenlast in t.

b F W 2,4-F-ds

57,6390    —    30,523

50,4341    —    27,622

43,2292 36,0243    —    20,803

28,8196    —    16,971

21,6147 14,4098 7,2049    —    4,382

—    11,329

12,922    + 1,301

8,708    + 2,526

+ 3,268 + 3,516

24,368

CA o cT

13,552

17,601

21,815

26,141

30,523

0,047 522 0,100 815 0,159 226 0,221 998 0,288 323 0,357 361 0,428 221 0,500 000

ONOWOMONO

O H ICH O r-l IO - O

CO    -O l p-h_ © 05 00^ GO GO^

cP cd cd cd cd i—T p-T i—T p-T

io io co 7p*bi 05 oo © io 03 'j Id O Kl Ol 03 CO Ol HWi^OO

00 CO o

H-J h—* h—¹

<1 <1 00 00 CD o JyS 00 05 -1 © y © 00 00 7-" 05

ootow^a^ojoi

(kowomh^uso

so to yo cs co os pi co co 7^- 05 © 7^- © oo co

©    © 00 P—i 05 ^ ^1 r-'

CO - I o

oo ’-i co oo co oo 05 o w

Bei der Ermittlung der Spannungen sollte der Einfluß der Nebenkräfte beobachtet werden; deshalb wurden wiederholt nicht die zur Rechnung einfachsten Gleichungen gewählt, welche am Schlüsse der Untersuchung in der Zusammenfassung angeführt sind, sondern jene, bei denen sich eben der gesuchte Einfluß deutlich hervorhob. Die Werte von M₀ H₀ G stehen in den Listen 3, 4, 5, 6; die Teile der Zähler sind getrennt und zum Schlüsse in ihrer Summe angegeben. Die Einflußlinien der M₀, H₀, G und auch die Grundwerte Wx, W₂, W₃ wurden in Abb. 19 mit den gefundenen Werten auf getragen.

M₀ und H₀ sind symmetrische Linien; bei G entsprechen 2 symmetrischen Lastlagen entgegengesetzt gleiche Werte: es hat „negative Symmetrie“. Bemerkenswert ist, daß die Linie der Gewölbstärke h mit großer Annäherung eine Parabel ist.

Ho

Lotrechte Last \

Msl

Io

Hl

% Hg

e_

13 njyZ4ste

012315678910 111213 111501

I I I I I I I I I I I_I_L_1_J

1flt und 10 tm

Abb. 19. Die Einflußlinien der zusätzlichen Lagerkräfte M₀, H₀, G und der Grundwerte

\VX, W₂, W₃ für lotrechte Last.

Zur Sicherheit wurde eine Proberechnung der Werte M₀, H₀, G nach den vereinfachten Gleichungen ohne Nebenkräfte unter Benutzung einer dreistelligen Rechentafel durchgeführt; sie ergab eine genügende Übereinstimmung. Die gesamte Hauptrechnung wurde mit sechsstelligen Logarithmen durchgeführt, da der Nebenzweck der Untersuchung diese sonst ungebräuchliche Genauigkeit erwünscht sein ließ.

•I

-f

2

a i’

«H g-

v'

g-

"ds

1.1

a |cn

ds"

100 p,

ff6?

ds

T~a yT

ds

xy7

r ds

⁻ rM~2~

■»S9

SS.

ft

^Ig*

H₀

100 p/ 100 p,"

Liste 3. Einflußlinie M₀, für lotrechte Last.

17,9387    36,1315

32,8347    69,6713

— 18,9107

52,7489

110,0375

65,1354:    69,8093

62,7931    40,3665

153,4179    199,2541

246,9641    295,9340    345,5391

— 46,6070— 64,4264— 89,0640—112,4824—132,0769

0,0137    0,0271

0,0402    0,0521

0,0622

— 145,1935

—149,8201

31,8764    65,2229

98,4002    129,5414

— 1,4076— 2,8800—    4,3451— 5,7201

.1

0

0,0700

0,0748    0,0764

156,6432    177,7503

191,1818!    195,7955

6,9169— 7,8489—    8,4420—    8,6457

0,0197    0,0194,    0,0187    0,0181    0,0176j    0,0172    0,0170    0,0169

z da = 1,539,

2

j Zx da =

3862,452.

Liste 4. Einflußlinie H₀, für lotrechte Last.

—172,955 — 284,918 — 325,606 — 296,738 — 215,592 — 114,192 — 31,523

183,328    323,725    413,303    447,983    435,390    397,318    358,511    342,530

0,219—    0,412—    0,558—    0,639—    0,639—    0,539—    0,329

0,507    1,075    1,675    2,266    2,802    3,232    3,511    3,608

9,660    39,470    88,817    152,872    222,561    285,819    330,170    346,138

0,028 625 0,116959 0,263185 0,452 994 0,659 499 0,846 946 0,978 370 1,025 686

00 ^ Ci i—*

tO Ol

J—I tc bi co

-i co

O KJ Ca ca

Ci I—'

O je

© 7—*

CD -I

O JO

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CD 00

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©

jSJ

c3

©

Ci

KJ

CO

o'

~2. ~

■y r

r ds

Liste 5. Einflußlinie G, für lotrechte Last.

— 522,355

989,528— 1340,244— 1511,490

— 1453,480 — 1150,063

— 636,210

rN*

l

dS

264,116

560,419    885,116—1234,050—1602,752—1986,543

— 2380,422

— 2779,434

550,663

1115,567    1654,402

2130,473

2471,053    2683,300

2769,281

2779,434

l f „ ds a f „ ds

4)cosVf“I]cosVf

0,443

0,754—    0,977

1,055

0,977—    0,750|—    0,407

— 263,251

— 435,134— 571,935

— 626,122

— 586,156]— 454,056|— 247,758—

0,042 382

0,078 028 0,102 558 0,122 269 0,105108 0,081416 0,044425

100 p.

0,14

0,15

0,16

0,16

0,16

0,16

0,16

■-i

- 20,717,

| Z₃ da = '()

- 12230,457.

Liste 6.

16

Die Werte M₀, H₀, G der rechten Brückenhälfte, für lotrechte Last.

15

14

13

12

11

10

M₀

H₀

— 1,4076 0,028625 —0,042362

—2,8800

0,116959

—0,078023

—4,3451

0,263185

—0,102553

5,7201

0,452994

0,112269

6,9169

0,659499

0,105103

—7,8489    —8,4420

0,846946    0,978370

—0,081416—0,044425

8,6457

1,025686

2. Der Einfluß der Normal- und Querkraft auf M₀, H₀, GL Um den Einfluß der Normal-und Querkraft auf das Ergebnis festzustellen, wurden die an ihren Faktoren kenntlichen Beträge gegenseitig ins Verhältnis gesetzt. Zunächst wurde der prozentuale Beitrag der Normal- oder Querkraft zu den Einzelwerten von M₀, H₀, G für die 8 Lastlagen 1—8 und dann der gemittelte prozentuale Beitrag, welcher durch das Verhältnis des von der Normaloder Querkraft stammenden Flächenteils zur Gesamtfläche der Einflußlinie bestimmt wird, berechnet und zeichnerisch dargestellt. Der genaue Wert von M₀, H₀, G für die 2

Lastlage a wurde mit — bezeichnet. Im Zähler wie im Nenner erscheint bei M₀ nur die

Normalkraft, bei G nur die Querkraft und bei H₀ Quer- und Normalkraft. Der Beitrag einer dieser Nebenkräfte zum Zähler sei z, zum Nenner n und der Rest wert des Zählers oder Nenners sei A und B.

Der Wert von M₀, H₀, G ohne Nebenkraft ist dann - Der Einfluß der einen Nebenkraft auf den Einzel wert für die Last läge a ist pr

A

N B

Pi =

< sa

Angenähert ist

1 und p, = —

Für den gemittelten Einfluß p₂ der Nebenkraft braucht man die Gesamtfläche der Einflußlinie und den der Nebenkraft zugehörigen Flächenteil.

P₂ =

¹

Siehe Ableitung im Anhang.

²

   [*    ds

³

— i (x cos 9 + y sin 9)³ —

⁴

   3

V₂    ^ + l)

Der von den Lastlagen unabhängige Nenner N bleibt zunächst außer Betracht und es werden wie vorhin so jetzt die Flächenwerte ins Verhältnis gesetzt. Zieht man von

Li

diesem Verhältniswerte das Verhältnis der Nennergrößen ab, so erhält man endlich den gemittelten Einfluß p₂ der einen Nebenkraft. Dieser Vergleich gibt einen richtigeren Maßstab zur Beurteilung als jener der Einzelwerte.

In der Gleichung 8 für M₀ ist der Beitrag der Normalkraft

■ ds

²= +■? \"2 a

= 0,00501

= 22,64146,    -4- = 0,000221 .

In der Gleichung 8 für H₀ ist der Beitrag der Normalkraft

z' =

r² \ 2

—--a

, n' = +

= 6,2392,

B'

aF

= 331,2305, -

_ = 0,018 837

und der Beitrag der Querkraft

z" = + (sin 9

cos 9

ds

= fsin² cp ds

= 4,5057,

B" =

„ ds c‘ (

y3x + w

n"

= 332,9640, —r = 0,013532.

In der Gleichung 8 für G ist der Beitrag der Querkraft

f    ds

z = l cos² 9

«2

2

r ds

X² — = 5558,868

cos² 9

dS n = fcos² 9-^ = 18,1287,

aF ’

aF

= 0,003261.

In den Listen 3, 4, 5 wurden die Werte ausgerechnet. Genäherte Gleichungen für M₀, H₀, G ergeben zu große Werte, wenn p < 0 und zu kleine Werte, wenn p > 0.

Der Einfluß der Normalkraft auf M₀ ist verschwindend; erreichen doch die prozentualen Einzelbeträge nicht einmal 0,02 % und auch im Mittel wird M₀ nur um 0,018 %

bei Vernachlässigung der Normalkraft zu klein. In weit höherem Maße ist H₀ von der Normalkraft abhängig. In der Kämpfernähe wird H₀ um 4.15 % und auch gemittelt noch um 2,09 % ohne sie zu groß. Die Querkraft trägt nur wenig zu H₀ bei. Der gemittelte Einfluß erreicht nur 0,084 %; Einzelbeträge erreichen allerdings bis zu 3,6 %, aber nur in Kämpfernähe, wo H₀ an und für sich sehr klein ist. Das Querkraftglied des Nenners hebt den Einfluß des Zählers auf. Die Querkraft ist auch bei G ohne Bedeutung. Ihr Einzeleinfluß wächst nur bis zu -f- 0,16 % und ihr gemittelter Einfluß ist nur — 0,157 %.

Als Ergebnis darf zusammengefaßt werden, daß bei allen Bögen mit ähnlichen Verhältnissen die Querkraft bedeutungslos ist und auch die Normalkraft nur bei H₀ berücksichtigt werden muß.

3. Der Einfluß der Normal- und Querkraft auf die Spannungen. Die Wirkung der Nebenkräfte wurde weiter bis zu den Kantenpressungen der Querschnitte im Kämpfer, Scheitel und in der gefährdeten Fuge 11 verfolgt. Aus den bereits berechneten Flächen -werten der M₀, H₀, G-Linien ist es möglich, den Elächenwert der Einflußlinien für die Kantenpressung eines Querschnittes zu finden.

•> O

\Y ’

r jNda +w j

0 0

-f- sin cp i G da + sin cp ^

c da = —

M da,

| N da = cos cp | H₀ da

M da

M₀ da —

Die Fläche J a d a wurde sowohl von 0

l als auch von 0--— berechnet, damit auch

Lt

G darin enthalten war. Die Spannung entspricht das eine Mal einer über den ganzen Träger gleichförmig verteilten Last, 1 t/lim und das andere Mal einer gleichen Belastung der linken Trägerhälfte.

Gda = 0,

j M₀ da = — 341,08,

H₀ da = -f- 32,164,

^ M₀ da = — 170,54,    ^ H₀ da = + 16,082, j G da = + 2,1929.

t)    t)

Um welche Beträge diese Größen beim Fortlassen von N oder Q sich ändern, gibt Liste 3, 4, 5 an. Der Inhalt der vom frei aufliegenden Träger stammenden Flächen ist allgemein :

— x,

O (•

| da =    (Z¹ 2 — 4 x²)

’f

o

Liste 7.

Der Beitrag der Normal und Querkraft zu den Spannungen.

Ganzer Träger belastet

Genau Ohne N Ohne Q

Halber Träger belastet

Genau

Ohne N

Ohne Q

Querschnitt 11:

CR

P

2,86

— 2,71

— 2,86

fr

+ 8,70

+ 8,82

+ 8,69

©•-

CR

P

3,08

3,23

3,08

CR

P

2,01

— 7,05

— 2,07

©•-

©«-

g| g

CP

£5

+ 0,22

+ 0,52

+ 0,22

3|g

CP

P

+ 10,71

+ 10,87

+ 10,71

CR

83

3,30

3,75

— 3,30

CR

P

12,72

— 12,92

— 12,73

©«-

O'

Linker Kämpfer:

«?

— 7,17

8,50

7,22

| (t₀ da o

+ 7,28

+ 6,58

+ 7,26

— 3,22

3,24

3,22

--da

— 2,10

— 2,12

— 2,10

©'

da

— 3,95

— 5,26

— 4,00

+ 9,38

+ 8,70

+ 9,36

| % da

+ 0,73

+ 2,02

+ 0,78

— 11,48

— 10,82

— 11,46

Bogenscheitel:

— 9,28

— 9,08

— 9,22

fr

— 4,64

— 4,58

— 4,61

Cf

CR

P

C*-

— 4,20

— 5,08

— 4,20

CR

p

— 2,10

— 2,54

— 2,10

3|g

CR

8=

— 5,08

4,08

— 5,02

,o

CR

P

+ 0,88

— 1,00

+ 0,82

->o|~ ®<

^jg

cr

p

CR

p

— 2,54

— 2,04

— 2,51

+ 0,44

— 0,50

+ 0,41

C‘

Gabe r.

Die Zahlen sind t/m² und Druck erscheint mit Minuszeichen. In der folgenden Liste wird der prozentuale Einfluß der Nebenkräfte festgestellt:

Liste 8.

Der Einfluß der Normal und Querkraft auf die Spannungen.

Ganzer Träger belastet

Linke Trägerhälfte belastet

Linker Kämpf.

Scheitel

Querschnitt 11 Linker Kämpf. Scheitel Querschnitt 11

«u

<*b

«ii

«o

«ii

«ii

Unterschied Ohne X

Genau

Ohne Q Unterschied

+ 18,6 + 1,33 — 8,50

7,17

— 7,22 + 0,05

o/

/o

+ 0,5

+ 17,7 —2,2 + 214 + 1,29—0,20+ 1,88 + 2,02 — 9,08—1,00 + 0,73:— 9,28 + 0,88 + 0,78—9,22 + 0,82 + 0,05 — 0,06—0,06 + 6,9 — 0,6 — 6,8

—    2,86 — 2,86

+ 13,7 —9,6 —5,7    —3,0

+ 0,45 — 0,70— 0,66 — 0,14

—    3,75 + 6,58 — 10,82 — 4,50

—    3,30 + 7,28 — 11,48 — 4,64

—    3,30+ 7,26;— 11,46 — 4,61

0    — 0,02|— 0,02 — 0,03

0    —0,3 — 0,2 —0,6

+ 214 + 0,94

—    0,50 + 0,44 + 0,41

—    0,03

—    6,8

+ 1,4 + 0,12 + 8,82 + 8,70 + 8,69

0,01

-0,1

N ornial- + kraft

'    ©    +1 CT

<o ci cn i-

® ^_i *f

+ + I I

—12,73, ß + 0,01 | + 0,1 I +

Auch hier ist das Ergebnis, daß die Querkraft bedeutungslos und nur die Normalkraft von Einfluß ist. Eine weitere Überlegung zeigt, daß bei H₀ auch das veränderliche von der Normalkraft stammende Zählerglied ohne wesentliche Einbuße an Genauigkeit fehlen darf, denn man sieht aus der Gleichung 100 p₂' = 100 (—0,002034— 0,018837) ohne das Nennerglied H₀ um 1,88 %, ohne das Zählerglied jedoch nur um 0,20 % zu groß wird. Mit voller Berechtigung dürfen daher die Grundgleichungen 9 diese endgültige Form haben.

0/

/Os

daß

'' ds

—---a

f ds

\XT

Wx =

M₀ — —

f" ds

1 J

—--Wx zu klein um 0,02 °/₀

2i

ds

ds

yT+ xy j

, H₀ = -f- W₂ zu groß um 0,29 °/₀

::

US

(' ds    f

y2T + ⁰²

' ds

Er²

ro

tb

CO

IO

4. Die Kämpferdruck-Schnitt- und Umhüllungslinien. Aus den M₀, H₀, G findet man nach Gleichung 1 und 2 die Kräfte am linken Lager Mx. H,, A, welche in Liste 9 angegeben sind. Die Einflußlinien sind auf Abb. 20 dargestellt.

—; eine Differen-0

Aus den Werten v, f der Gleichungen 11 und Liste 9 wurden die Kämpferdruckschnittlinie und die beiden Umhüllungslinien gezeichnet. Für a = 0 ist v =

Abb. 20. FGX

Mx, Ei I = 1 b, EF = A.

Die Einflußlinien der Kräfte M1? A, ll₁ am linken Kämpfer und die Kämpferdruck-Schnitt- und Umhüllungslinien für lotrechte Last.

tiation des Zählers und Nenners ergab v — oo. Mit Ausnahme der Kämpfernähen fällt die Schnittlinie fast genau mit der Parallelen zur Kämpferverbindungslinie zusammen. Die Kreisbögen, welche durch die mittleren Drittel der Kämpfer und Scheitelfugen gehen, werden als Kernlinien betrachtet und sind auf Abb. 20 mit ihren Halbmessern 38,155 und 39,453 m gezeichnet.

Liste 9.

Die Kämpferkräfte mit Schnitt- und Umhüllungslinien, für lotrechte Last.

H,

r-n,&5

K‘11,329

Gi

Wa

\k

—30.523--

l__,    _9_

-61,016-

F.

10

^-30M312    13

0 12 3 1-5

J5

10

15m. und tm

i,5t

Latrechk Last

Mj.

oo

r-H pH pH pH pH pH pH

—    2,3757

—    3,9364

—    4,4936

—    4,0148

—    2,6534

—    0,7388 + 1,2861 + 2,9744 + 3,9980 + 4,2313 + 3,7626 + 2,8387 + 1,7367 + 0,8265 + 0,2101

0,994 553 0,977 208 0,943 327 0,890 271 0,816 780 0,724 055 0,616 204 0,500 000 0,383 796 0,275 925 0,183 220 0,109 729 0,056 673 0,022 792 0,005 447

0,028 625 0,116 959 0,263 185 0,452 994 0,659 499 0,846 946 0,978 370 1,025 686 0,978 370 0,846 946 0,659 499 0,452 994 0,263 185 0,116 959 0,028 625

17,796

17.764

17.765 17,771 17,774 17,779 17,800 17,800 17,800 17,779 17,774 17,771 17,765 17,764 17,796

—    82,980

—    33,656

—    17,075

—    8,863

—    4,023

—    0,871 + 1,915 + 2,899 + 4,687 + 4,997 + 5,705 + 6,266 + 6,712 + 7,068 + 7,338

5. Die Einflußlinien der Kantenpressung. Die vereinfachte Gleichung für die Kantenpressung eines Querschnittes lautet für die obere Faser: c₀ = —

—--und die untere

F W

-p,    NM

laser = — — + —.

Druck ist wie früher mit Minus, Zug mit Plus bezeichnet. Es

werden 9 Querschnitte a₀—a₈ untersucht, deren Achspunkte mit den früheren Lastlagen zusammenfallen (Abb. 18). Da die Gewölbestärke und Breite bisher nur für die Mitten der Bogenteile berechnet wurden, müssen sie für die neun Querschnitte ermittelt werden.

(16 — n)

Nach Seite 28 ist die vereinfachte Gleichung der Gewölbestärke h — 2,6 — 3,2n n = 0—8. Die Werte F und W sind in Liste 2 Seite 28 mit den Koordinaten x, y

162

der Achspunkte der neun Querschnitte und den Werten

gegeben. Die Berechnung der

Werte M, N geschah nach Gleichung 12. Die Einheit der Größe drückt denWert 1 —- = 0,1

kg

cm²

aus, da Längen und Lasten mit m und t in die Rechnung eingeführt wurden. Die Linien der g₀ und ou für den als Beispiel herausgegriffenen Querschnitt 5 sind auf Abb. 21 gezeichnet.

i x Mrrw wffx.s.M. m

AB=-03jka=üg„

lewh

Aß

JL.

Druck 'K X

Zug

Bq

0 12 3 \ 5 6 7 8 9 101112131f 15m

0,05

0,10

0,151%

1000t

Abb. 21. Die Einiliißlinien der Normalspannung in der oberen und unteren Faser des Querschnittes > für lotrechte Last und die zeichnerische Bestimmung von ü<7₀.

500

sin 9

Im Querschnitt selbst macht die Einflußlinie den von N herrührenden Sprung ——— . Druck

E

wurde oberhalb und Zug unterhalb der Abszissenachse aufgetragen.

6. Die Einflußlinie der Scheitelscnkung. Bei der Berechnung wurde wieder Wert darauf gelegt, den Beitrag von N und Q zur Scheitelsenkung hervorzuheben; darum wurde Gleichung 13 so umgebildet, daß statt den Wl5 W₂, W₃ die Zusatzkräfte M₀, H₀, G erschienen, bei welchen der Einfluß der Nebenkräfte schon berechnet war. Der eigentlichen Rechnung ging eine Proberechnung mit der üblichen Gleichung

-J

N ds f⁴ M ds E ⁺ lmi~J

voraus, welche jedoch erheblich mehr Rechenarbeit erforderte, als die noch die Querkraft enthaltende Gleichung 13 oder 14. Um nämlich E • d für die 9 Lastlagen a₀—a₈ zu finden, mußten je 8 Zustandslinien der M, N, für jede Lastlage eine, gerechnet werden. Die Werte

ml5 ux wurden den Zustandslinien für a = — entnommen. Nach Gleichung 2 ist für

2

-p x), rtx = 1,0257 cos 9 + -

H CU

sin 9 .

m, = — 8,6457 — 1,0257 y + -

Li

Die Rechnung wurde mit dem Rechenschieber durchgeführt und das Ergebnis in Liste 10 zusammengestellt. Positive Werte bedeuten eine Senkung, negative eine Hebung des Scheitels.

Liste 10. Genäherte Einflußlinie der Scheitelsenkung, für lotrechte Last.

a = T’

1    ds

I ", » -S

0,49

1,47

2,88

4,55

6,29

7,82

8,84

9,26

(ls

— 2,35

— 7,42

12,40

13,17

— 5,42

+ 9,69

+ 26,30

+ 37,24

E d, genähert . .

— 1,86

5,95

— 9,52

— 8,62

+ 0,87

+ 17,51

+ 35,14

+ 46,47

Die Hauptrechnung erfolgte wieder logarithmisch mit Beizug von N, Q nach der auf Gleichung 13 fußenden Gleichung:

a i r

Ed = ax M₀ + a₂ H₀ + a₃ G + a₄ • -y +    \ sin² o

1 f    ds

— ^ cos ² cp

aF

al

e/

% ds

= — 149,8201, a₂ = ~)xy~j~ +

ds

cos o —

‘ F

= — 342,530 — 2,404 - — 344,934

x²

2779,434, a₄ =

2^

ds l f ds

J TixT

X² —--

= — 1793,520.

In Liste 11 sind die Einzelwerte, die von N, Q stammenden Beträge und die Endwerte aufgezählt. Die Übereinstimmung der genauen mit der genäherten Rechnung genügt.

Liste 11.

Genaue Einflußlinie der Scheitelsenkung, für lotrechte Last.

«i M₀

«₂ H₀

«3

«4~r

210,881    431,488    650,970    856,994 1036,290 1175,930 1264,781 1295,310

9,873 — 40,342— 90,780— 156,251 — 227,481 — 292,137 — 337,469 — 353,789 -117,740—216,857— 285,035 — 312,040—292,122—226,287— 123,475

85,215 — 180,815 — 285,575 — 398,157 — 517,114 — 640,933 — 768,022    896,760

1 f ₂ ds

+ T J ⁰⁰⁸'*'-

1

1 f . ₂ ds 1

«F

0,223    0,537

0,955

1,485    2,125    2,865    3,678

4,532

0,096    0,182    0,254    0,308    0,346    0,369    0,374    0,375

E (1 genau

1,629

5,807

9,205— 7,661+    2,044+ 19,807+ 39,866+ 49,668

n, N

j QiQ i

-s h %

aF

0,481

0,267

2,770    4,430    6,183    7,730    8,794    9,207

0,442;—    0,490—    0,369

0,076+    0,426+    1,076 -f-    1.883

Als Grundlage für die Beurteilung des Einflusses von N, Q wurde die Fläche der genauen Einflußlinie, der von N und der von Q herrührende Flächenteil berechnet.

E d da = 286,378

^ E dn da =

150,817

da = 4.784 .

Es findet sich der gemittelte Einfluß von N auf die Scheitelsenkung zu

und der Querkraft zu

Pn = 100-

150,817

286,378

= Jr 52,65 o,₀

Pu

= 100-

4,784

286.378

= + 1.67 o/„.

Die Querkraft hat somit nur eine geringe Wirkung, aber die Normaklraft bewirkt die Hälfte der Scheitelsenkung.

Die Möglichkeit einer Scheitelhebung, wie sie Abb. 22 zeigt, leuchtet sofort ein, wenn man bedenkt, daß die Einflußlinie der Scheitelsenkung zugleich Biegungslinie des Bogens für eine im Scheitel hängende Last ist. Nach Abb. 22 liegen die Wendepunkte Jx' und J₂' der Biegungslinie senkrecht unter den beiden Schnittpunkten Jls J₂ des Kämpferdruckes R mit der Bogenachse.

S'

«'•

< J3

v/

16

o 1 2 3 V 5 e 7 8

[mj l I l I I I I I I

Maßstab 1 ■' 600

,o

r-

30m

Oßmm

Abb. 22.

Maßstab der Senkungen

Die EinfLußlinie der Scheitel Senkung für lotrechte Last und zugleich Biegungslinie für im Scheitel hängende Last.

Nach Ausweis der Liste 11 bewirkt N für alle Lastlagen eine Scheitelsenkung, während Q, und M bis zur Lastlage a₅ den Scheitel heben.

7. Die ruhende Last. Zwischen der symmetrisch verteilten Bogeneigenlast und der durch die Bahnsteigung 1 : 45 unsymmetrischen Last der Bogenübermauerung wird in der Rechnung scharf unterschieden. Die Spannung durch die Eigenlast ist e er, durch die Übermauerung ücr und durch beide zusammen, also durch die gesamte ruhende Last tg = ea + ücr.

Die Eigenlast des Bogens. Das spezifische Gewicht des Baustoffes wird zu 2,4 t/m3 genommen, da der Bogen aus Granitquadern besteht. Die Eigenlastspannung ist von der Gewölbebreite unabhängig. Der Bogen wurde neuerdings so geteilt, daß der Schwerpunkt eines jeden Teiles mit einer der früheren Lastlagen zusammenfiel, also mit den Punkten 1—8; daß also ein Teil von 2'—3' (Abb. 18 S. 26) u. s. f. reicht. Wegen der Symmetrie wird nur die linke Brückenhälfte berechnet.

Es werden nun die Linien gesucht, welche für jeden Punkt der oberen und unteren Leibung des Bogens das zugehörige ea angeben. Man kann von ihnen ebenso viele Punkte

16

finden, als Einflußlinien c berechnet worden sind. Es ist e a = S 2,4 F As S, wobei § der zum Schwerpunkt des Bogenteiles gehörige Wert der Einflußlinie o ist. Die Werte ea₀, eau sind in Liste 24 und 25 enthalten und auf Abb. 23 als Ordinaten aufgetragen. Beide Linien sind insofern voneinander abhängig, als dem Wachsen der Werte der einen Linie ein Pallen der anderen entspricht. Die größte Spannung von 12,67 kg/cm² Druck ist in der oberen Faser des Scheitels und dementsprechend die kleinste mit 4,53 kg/cm2 dort in der unteren Faser.

Die Last der Übermauerung. Einzig und allein durch die Übermauerung, welche der Bahnneigung angepaßt ist, kommt in den Kräfteverlauf die Unsymmetrie, und daher müssen nur die Spannungen ü g für die ganze Spannweite berechnet werden. Als spezifisches Gewicht wurde für Mauerwerk 2,4 t/m³ und für Auspackung und Schotter 2,2 t/m3 genommen.

Liste 12.

Die Teillasten der Übermauerung, für lotrechte Last.

10

11

12

13

Übermauerung . . t. | 264

191 i 151    87    91    62    57    71    105    93    161    201    278

Die Fahrbahn ruht in Brückenmitte immittelbar auf dem Bogen auf, während sie sich gegen den Kämpfer zu mit 4 Sparbögen von 3,90 *m Lichtweite und 3 Pfeilern auf den Bogen stützt. Sie ist so geteilt worden, daß jede Pfeilermitte in der Schwerlinie eines jeden Teiles liegt, in Brückenmitte schließt sich die Teilung an die frühere Bogenteilung an. Die so entstandenen 13 Lastteile, welche in der Richtung Langenbrand-Forbach bezeichnet sind, enthält die Liste 12, die durch sie verursachten Spannungen der oberen und unteren Faser der Querschnitte 0—16 enthält die Liste 24 und 25.

Die Spannung in der oberen Leibung des Bogens.

ßT~

s¹

rff:

rG

Druck

sff-

\o

10

Zug

11

12

13 n

JO 1 2 3 * S 6 7 g 910 m.

12111618 wh

15 \16 Ü.ß

e*

e¹

r6

«oi

II

lr-

en 7

<h

M.

71

<US

'S/

:2

Zug

,5*

/~*r

r*

\j JS*

Die Spannung in der unteren Leibung des Bogens. Abb. 23.

Wenn man den Ausdruck SPS als statisches Moment der wagerecht gedachten Kräfte P, jede im Abstande des zugehörigen S von der Achse wirkend, betrachtet und mit dem Polabstande h = 1 ein Seilpolygon zeichnet, so kann man nach Abb. 21, das den Querschnitt 5 als Beispiel nimmt, den Wert iia wie jeden anderen Spannungswert leicht zeichnerisch ermitteln. Das Ergebnis ist jedoch zu ungenau und das Verfahren daher nicht vorteilhaft.

Wenn auch die Linie der iia 10 Wendepunkte hat, so läßt sich doch eine 'Regelmäßigkeit erkennen. Den Größtwerten bei Punkt 4 und 12 der oberen Faser entsprechen die Kleinstwerte in der unteren Faser an der gleichen Stelle; bei 6 und 10 erscheinen nochmals relative Größt- und Kleinstwerte. Auf der rechtsuferigen Brückenhälfte ist die Auflast größer und erzeugt in der oberen Faser durchschnittlich höhere Spannungen als in der linken Hälfte. Entsprechend der abnehmenden Bogenquerschnittsfläche wird der Abstand der annähernd gleichlaufenden Linien gegen den Scheitel größer. Der weniger regelmäßige Verlauf von A nach D rührt von den Sparbögen her, von denen jeder einen Wendepunkt verursacht.

Die Spannungen ra durch die gesamte ruhende Last sind in Liste 24, 25 enthalten und ihre Linien oben gezeichnet. Ihr Größtwert ist 27 kg/cm² und 9 kg/cm² Druck.

8. Die Scheitelscnkung durch die ruhende Last und Berechnung des Elastizitätsmoduls E. Der spannungs- und gewichtslose Bogen senkt sich um das Maß ed im Scheitel, wenn ihm sein Eigengewicht aufgelastet wird, und um rd = ed + üd, wenn hierzu noch die Übermauerung kommt. Aus der früher gefundenen Einflußlinie in Liste 11 und Abb. 22 wurde berechnet:

E rd = 9042,50 + 5942,95 = + 14967,45 t/m.

Der Elastizitätsmodul des Gewölbestoffes, welcher gewöhnlich in kg/cm² ausgedrückt wird, wechselt mit der Stoffart und innerhalb gleichen Stoffes mit der Pressung so, daß er sich mit zunehmender Spannung verkleinert. Die gemittelten Werte für die verschiedenen Steinarten weichen schon voneinander ab und beim Mauerwerk kommt noch der Einfluß des Mörtels hinzu. Ritter gibt für Bruchsteinmauerwerk E = 80 000 kg/cm², Weyrauch fand aus den Wiener Gewölbeversuchen 175 000 kg/cm². Aus der Senkung beim Ausrüsten des Schwädeholzdobelgewölbes der badischen Bahnstrecke Frei bürg—Donaueschingen, welches aus Sandsteinquadern und Zementmörtel besteht, wurde E = 70 000 kg/cm2 berechnet.

Der Langenbrandner Bogen besteht aus Quadern, welche aus dem sehr guten Granite der Raumünzacher Steinbrüche gearbeitet und in Zementmörtel aus 1 R.T. Zement und 3. R.T. grob und scharfkörnigem Murgsand versetzt wurden. Wenn irgend möglich, wurde der Mörtel in die etwa % cm starken Fugen eingestampft, sonst aber dünnflüssig eingegossen. Da der Bogen am 3. XII. 1908 geschlossen und am 8. II. 1909 ausgerüstet worden ist, blieben 67 Tage Erhärtungszeit bis zur vollen Beanspruchung des Mörtels durch die Eigenlast des Gewölbes. Vom Tage des Wölbschlusses bis kurz vor der Ausrüstung wurde eine Scheitelsenkung am Lehrgerüst und Bogen von ax = 3 mm, während der Ausrüstung eine Bogensenkung von a₂ = 7 mm gemessen. Am Tage des Wölbschlusses und der Ausrüstung herrschte gleich kaltes Wetter, so daß ein beträchtlicher Einfluß der Wärme nicht wahrscheinlich ist.

Bevor die beiden Beobachtungen zur Bestimmung eines Wertes E benutzt werden, sei eine Betrachtung über den Bogen angestellt. Wenn der geschlossene eingerüstete Bogen sich mit samt dem Lehrgerüst senkt, so wird während der Bewegung das Lehrgerüst von einem Teil der Bogenlast entlastet und der Bogen einen Bruchteil seines Eigengewichtes selbst übernehmen und unmittelbar den Kämpfern zuführen. Ein Teil der Senkung des noch eingerüsteten Bogens ist als elastische Scheitelsenkung zu betrachten. Wenn dann das Lehrgerüst in üblicher vorsichtiger Weise in mehreren Stufen vom Scheitel gegen die Kämpfer fortschreitend niedergelassen wird, so wachsen die etwa schon vorhandenen Fugenpressungen langsam vom Scheitel bis zu den Kämpfern bis zu den der Bogenlast entsprechenden Spannungen es an. Der durch ungleichmäßige Verteilung des Mörtels innerhalb einer Fuge bedingte unregelmäßige Spannungszustand wird sich durch eine verhältnismäßig größere Formänderung des Mörtels in einen gleichmäßigen verwandeln; es bedarf eines gewissen Weges und einer gewissen Zeit, bis der Bogen seine Gleichgewichtslage einnimmt; eines größeren Weges, als wenn von vornherein der Mörtel in allen Fugen gleich verteilt wäre. Ein Bruchteil der Formänderung wird also durch nicht rein elastische Arbeiten verursacht. Der beim Ausrüsten entstehende Spannungszuwachs im Bogen verursacht darum eine elastische Scheitelsenkung, welche wahrscheinlich etwas kleiner als die beobachtete ist. Hält man dies mit dem Anfänge der Betrachtung zusammen, so ergibt sich, daß die gesamte elastische Scheitelsenkung a durch die Eigenlast des Bogens aus einem kleinen Teil des zwischen Wölbschluß und Ausrüstung beobachteten Weges a, und aus dem Hauptteile des während der Ausrüstung gemessenen Weges a₂ sich zusammensetzt.

a — oq ax —j— cc₂ a₂.

Beiden Umständen wurde Rechnung getragen, indem Wert a₂ etwas zu groß nämlich = 1, und Wert oq etwas zu klein, nämlich = y₂, angenommen wurde.

a = 0,5 ax + a₂ — 1,5 + 7 — 8,5 mm,

daraus findet sich E:

und

E rd = E 0,0085 = + 9042,50 t/m

E = 106 382 kg/cm², rund 100 000.

Wollte man nur die Senkung während des Ausrüstens zugrunde legen, so würde E = 129 178 kg/cm²; und nimmt man a = ax + a₂ = 10 mm, so ist E = 90 425 kg/cm².

Die Scheitelsenkung durch die Übermauerung berechnet sich für E = 100 000 zu 5,9 mm und jene durch die gesamte ruhende Last zu 15,0 mm. Die tatsächliche Senkung unter dem Einfluß der gesamten ruhenden Last wurde nicht beachtet, da mittlerweile die Wärme einen bedeutenden Einfluß gewonnen hatte und das Gewölbe mit seiner Übermauerung einem versteiften Bogen ähnlich wirken mußte.

9.    Die Yerkehrslast. Nach den badischen Vorschriften für die Anordnung und Berechnung eiserner Brücken wurde der Lastenzug in Rechnung gestellt, der in Abb. 24 gezeichnet ist. Bei der großen Stützweite des Trägers kamen vor allem Lokomotiven in Betracht, welche unter Umständen Brust an Brust gestellt wurden. Wegen der Symmetrie des Bogens brauchten die ungünstigsten Beanspruchungen durch die Verkehrslast vs nur für die 9 Querschnitte der linken Hälfte berechnet werden. In dem mittleren Brückenteil überträgt sich die Last unmittelbar durch die Auspackung auf den Bogen; über den Sparbögen wird sie ihm durch Pfeiler zugeführt. Somit verläuft die Einflußlinie jeder Kantenpressung gegen den Kämpfer als Streckern zug A B C D, E F G H (Abb. 21 bei ou Seite 36).

An den Punkten 0 und 16 tritt nicht der Wert 0 auf, da der äußerste Kämpfer des letzten Sparbogens außerhalb der Spannweite liegt. In jedem Querschnitte sind 4 Fälle zu beachten, denn jede der beiden äußeren Fasern hat eine größte und eine kleinste Beanspruchung durch die Verkehrslast. Der größte Druck heißt vs¹ ,der größte Zug va¹¹. Es sind somit für jeden Querschnitt 4 verschiedene Laststellungen maßgebend. Das Ergebnis der Untersuchung ist in Liste 24,25 und auf Abb. 23 S. 39 zusammengestellt . Die Linie des größten Druckes verläuft jener des größten Zuges ähnlich und beide haben beim ersten Pfeiler und im Scheitel Kleinstwerte, weil Zugtrennungen nicht zulässig sind. Die auftretende größte Spannung ist bei Druck 12,05 und bei Zug 9,54 kg/cm².

10.    Die Formänderung der Widerlager unter der ruhenden Last. Die Kräfte an den beiden Kämpfern sind:

durch die Ubermauerung:

links ü A = 890 t, üH =    733 t, ü Mx = — 283 tm,

rechts ii B = 933 t, ü H = — 733 t, ü M₂ = -f 562 tm.

durch die Eigenlast des Bogens:

3,0 _ i 1,5 _ 1fi_

'!

Lckom

Qtive

Cp cp (p cp cp

17    17    17    17    17

Tender

13    13    13t

Abb. '24. Schema der Verkehr Hast.

e A = 810 t, e H = + 678 t, e Mx = — 13 tm, e B = 810 t, e H = — 678 t, e M₂ — -j- 13 tm.

Durch die ganze ruhende Last:

A = 1700 t, H = + 1411 t, Mx = — 296 tm, B = 1743 t, H = — 14111, M₂ = + 575 tm.

Zunächst wird die Formänderung der beiden Widerlager, deren in Rechnung gestellte Abmessungen Abb. 25 zeigt, mit Hilfe der Gleichungen 15, 16, 17 gesucht. A 1₀, Ah, A cp sind die 3 Größen, welche die Lage der Kämpferfugen nach der Formänderung bestimmen. Linkes Widerlager:

h₂ = 9,00, hx = 2,60, b = 5,40, l₀ = 4,50 m.

Die Normal- und Querkraft im Kämpfer ist:

P₁ = A sin cpx + H cos = 2208 t, Qx = A cos cpx -— H sin <px = — 601, Mx = + 296 tm.

Nun sind die 3 Kräfte P, Q, M der Gleichungen 15—17 gegeben, welche die Form des Widerlagers verändern. Den Gleichungen liegen die Kraftrichtungen der Abb. 25 zugrunde.    /

E Al₀ - 2208

4,5

5,4-6,4

'"Ue)

= 357 t/m, E Ah' = — 29,1 t/m

145,6 t/m, E Acpx = -f- 31,35 t/m².

E Ah" =

E A d' = K L = KM sin <px — M Kx cos cpx = 172,98 t/m E AI' = K¹ L = Kx M sin cpx -f- M K cos <px = 357,83 t/m.

Die neue Lage der linken Kämpferfuge entspricht Abb. 25. Rechtes Widerlager:

h₂ = 8,00, hx = 2,60, b = 5,40, l₀ — 7,50 m.

Normal-, Querkraft und Moment in der rechten Kämpferfuge sind durch die ruhende

Last:

P₂ = 2241 1, Q₂ = — 341, M₂ = — 575 tm.

EA/₀ = 648,2, E Ah'= —29, E Ah" = —259, E Ah = —288t/m, E Acp₂ = —117,4t/m2 EAP = O Nj = N P cos cp₂ + P Nx sin cp₂ = 626,74 t/m E A d" = NO = N P sin cp ₂ — P Nt cos cp ₂ = 332,11 t/m.

NC

-Id/__

oä_

Pa

Hz

-l+Al

Hz

r~M

X>M

!\

'\<xy

8,°°

<ÄT

x A~Ä

Abb. 25. Veränderung der Kämpferlage bei elastischen Widerlagern.

Die neue Lage der rechten Kämpferfuge entspricht Abb. 25.

Die Änderung der Lagerkräfte ergibt sich aus den nun bekannten Änderungen der Spannweite und der Höhen der Kämpfer.

E A l = E A V + E A 1" = 984,57, EAd = E Ad" — E Ad' = 159,13 t/m.

Die vorher gleichhohen Kämpfer haben ungleiche Höhenlagen erhalten und ihr lotrechter Höhenunterschied beträg A d.

Nach Gleichung 17 berechnet sich nun

A M₀ = + 6,57 tm, A H₀ = + 2,08 t, A G = + 0,50 t.

Um diese Beträge ändern sich die Zusatzkräfte des linken Kämpfers, welche im Achs-ursprung angreifen. Die Änderungen am rechten Kämpfer sind ihnen entgegengesetzt gleich, denn vor wie nach der Deformation herrscht zwischen den äußeren Kräften Gleichgewicht. Die Änderung des linken Kämpfermomentes ist

AM, = + 14,87 tm,

jene des rechten Momentes

Die Änderung der Kantenpressungen ist durch A c = —

A M₂ = — 45,39 tm.

AN _ AM

“IT ⁺ Äv”

gegeben. Es

genügt jedoch, die Momentenänderung zu berechnen und die unbedeutende Veränderung der Normalkraft darf vernachlässigt werden.

AM = AM₀ — yAH₀-fxAG = 6,57 — 2,08 y -f- 0,50 x,

Linker Kämpfer Rechter Kämpfer Querschnitt 11

A g₀ = — 0,25,    A cru    —    -f-    0,25 kg/cm²,

A c?₀ = —- 0,76,    A cu    =    +    0,76 kg/cm²,

A s₀ = — 0,45,    Acu    =    -j-    0,45 kg/cm².

D. Die wagrechten Längsbelastungen: Die Bremskraft.

Die Bremskraft hat in der Brückenmitte von der Kämpferlinie den lotrechten Abstand t — 14,845 + 2,000 + 2,100 = 18,945 m. Obwohl die Fahrbahn mit 1 : 45 steigt, wurde der Mittelwert t = 18,95 m in die Rechnung eingesetzt. Nach den Vorschriften hat die Bremskraft die Größe B = 0,057 L -) 0,069 T = 0,97 + 0,90 Tonnen.

1. Die Einflußlinien von M₀, H₀, G lind W1? W₂, W₃. Die Gruppe 18 (S. 13) dient zur Berechnung der Einflußlinien, da der Einfluß der Nebenkräfte gesucht wird, und nicht Gruppe 19.

Wie früher werden wieder die Glieder von M, N, Q durch die ganze Rechnung getrennt geführt, so daß ihr Einfluß auf das Ergebnis bestimmt werden kann. Die Nenner Nx, N₂, N3 haben die früheren Werte:

22,6465,

337,4697,

N, =

N₂ =

t = 18,950, 4- = 0,310,

c = 35,284 m l + r — f = 85,000 m

N₃ = 5576,997,

t —k = 7,621,

2e/

= 214,5285 • 1/m²

Bei den Integralen kommt kein Wert vor, der nicht schon in der bisherigen Untersuchung ausgerechnet worden wäre, und es bedarf zur Ermittlung der Zählerwerte der Gruppe 18 nur weniger Rechenarbeit. Die Werte M₀, H₀, G wurden nur für die Lastlagen der linken Brückenhälfte gesucht; für jene der rechten Hälfte galten die Gleichungen:

M₀,Z-a =

+ 11,3212, Hoi_a = —H0>a—0,99007, Gz_a= + Ga.

Als Grenzwerte für die Lastlage an den Kämpfern und in Brückenmitte ergaben sich die Beträge:

0, a

a — 0,

M₀ = 9,4797, M₀ = 5,6611, M₀ = 1,8369,

H₀ = +0,0160, H₀ = — 0,4950, H₀ = — 1,0060,

G = —0,3100, G = — 0,0432, G = —0,3100.

Mn

w.

6_

7_

1Q_

11_

13_

«L

16

0 1 2315678910111Z13-1115m. __    -    \

liininnl I I I I I I I l I I I I I I J    '— —.    \

«SÄ?*

Abb. 26. Die Einflußlinien der zusätzlichen Lagerkräfte M₀, 11₀, G und der Grundwerte \\+ W₂, \V₃

für wagrechte Längslast.

Die Einflußlinien der M₀, H₀, G und der Grundwerte W1} W₂, W₃ sind auf Abb. 26 gezeichnet und in den Listen 13, 14, 15 enthalten.

'2

0,5

Liste 13.

Einflußlinie M₀, für wagrechte Längslast.

(t - k) J

4,9493    11,2998    19,3244    29,2500

41,1718

54,9577    86,2754

JyT

l

6,2610

11,6921    15,6519    17,4852    16,6843    13,1141

7,1941

0,0888

Fr²

0,1373

0,1122—    0,0884—    0,0623 — 0,0339

0,0036

+    0,0278

+ 0,0600

z,

— 203,4514

191,6488!— 179,6405— 167,8555|— 156,7063

—146,4602

—137,0995

—128,2819

M₀ genau

8,9888

M₀ genähert

8,9800

8,4626    7,9823_7,4119_6,9197    6,4672    6,0538    5,6645

8,4598    7,9306    7,4113    6,9202    6,4962    6,0572    5,6650

z da = -1,491.

2

| Zj da =

- 5107,60.

<a

■-

J «*

Liste 14.

Einflußlinie H₀, für wagrechte Längslast.

-pw

[sin’Fds

47,7186

8,91056 —119,2833

— 133,2546—127,1508— 99,9430— 54,8259+    0,6766

tds_

Fr³

- 60,3699

- 96,7619—110,6536

+    4,7186

+    3,9605

+    3,1198

— 113,2341 _ 113,6444— 120,6904 — 138,2055

+    2,1969+    1,1972

—103,3624

+    0,1324—    0,9801—    2,1180

«F

0,1919

0,3633

0,5067

0,6168—-    0,6915

0,7332—    0,7491—    0,7519

Za

-103,5618 — 181,2703 — 227,3238

— 244,9086— 240,2895

— 221,2342— 194,7606— 165,5547

H₀ genau

0,806 88|— 0,537 15— 0,678 61

0,725 72— 0,712 03 — 0,655 67 — 0,57712 — 0,497 50

H₀ genähert

0,32129— 0,547 8l|— 0,68136— 0,73040— 0,713 54— 0,653 79— 0,574 64|— 0,500 00

z" da = —

17,027. j Z₂ da =

ü

- 5882,80.

• ds

Liste 15.

Einflußlinie G für wagrechte Längslast.

144,013

— 309,358

- 490,892

678,664— 857,136— 1006,485— 1100,130— 1141,708

ds

xy-r

.1

182,328

323,725

413,303

447,983    435,990    397,318

358,511    342,530

j sin <p l

COS <p

ds

0,507

1,075

1,675

2,266

—2,802

3,232

3,511—    3,608

1401,422

1094,722

823,010    599,967

432,952    321,845    266,728    241,034

G genau

0,251 29

G genähert

0,251 48

0,19629— 0,147 57— 0,107 58— 0.077 63— 0,05 770— 0,047 82— 0,043 22

— 0,195 48— 0,146 87— 0,106 98— 0,077 13— 0,057 28— 0,047 48— 0.043 85

| Z₃ da = u

21 279,9.

Liste 16.

Die Werte M₀, H₀, G der rechten Brückenhälfte, für wagrechte Längslast.

16

15

14

13

12

11

10

5,6645 —0,49 750 —0,04 322

] ,8416    2,3374    2,8586    3,3889    3,9093    4,4015    4,8540    5,2674

—0,19 629 —0,14 757 —0,10 758 —0,07 763 —0,05 770 —0,04 782

—0,99 807 —0,68 319 —0,45 292 —0,31 646 —0,26 435 —0,27 804 —0,33 440 —0,41 295 —0,31 000

Vergleich der Einflußflächen bestimmt. In der Gleichung für M₀ ist nur N im Zähler und Nenner vertreten.

r² 2

i ds "F -<* + r

= + 0,000221.

In der Gleichung für H₀ sind N und Q vorhanden.

z₂'

r² 2

-czp

n'

B'

= 0,018837

= 0,013532 .

In der Gleichung für G ist nur Q enthalten.

z₃ =

S- = 0,003261 .

C •    ds

\ sin 9 cos 9

t f    ds

— \ cos² 9

Die Fläche der Zählerwerte Zv Z₂, Z₃ ist in den Listen 13, 14, 15 ausgerechnet, die Flächen der zx in Liste 13, jene der z₂,/ in Liste 14. Die Fläche der z₂' ist leicht aus der von zx zu finden, denn:

2j

^ z₂' da —

In Liste 4 ist bereits früher die Fläche der

2_

^ da ^ sin 9 cos 9

aF

= — 68,919

gerechnet worden, und so ist die Fläche:

¥ 2 | z₃ da = —68,919--— | cos² 9

ds l

aF 2

= — 240,458.

Mit Benutzung dieser Werte wird der gemittelte Einfluß p₂ der Normalkraft auf M0 bestimmt:

100 p₂ = 100

— 0,000221

— 1,491

— 5107,60

= + 0,006

Wesentlich mehr und doch immer noch bescheiden hängt H₀ von der Normalkraft ab.

100 p₂ = 100

— 0,018837 =— 2,779 % .

1,491 • 35,28

— 5882,8

Die Querkraft hat etwa die Hälfte dieses Einflusses bei H₀

100 p₂ = 100

- — 1,063 °/₀

— 17,027

— 5882,8

0,013532

und ist noch um die Hälfte bedeutender bei G.

100 p₂ = 100

240,458

21279,9

— 0,003261

= — 1,455 o/Q.

Wenn auch die Querkraft bei der wagerechten Last größeren Einfluß hat als bei der lotrechten, so bleibt er rechnerisch doch ohne Bedeutung. Die Normalkraft macht sich wie dort nur bei H₀ mit etwa 3 % bemerkbar. Als Ergebnis zeigt sich dieses Bild

(t —

H₀ =

, C ds

(t~k)hr

, C ds

k> J ⁷ T

C ds

y,x

£/

ds

ds

v⁴

• J

= + ---Wx ist um 0,06 °/₀ zu klein.

£

= + W₂ ist um 3,8 °/₀ zu groß.

(t —

_ (* ds C    ds

k) XT“ xyT

t

= ——h W₃ ist um 1,5 °/₀ zu groß.

e/    e/

C ds

¹

SS da —

²

Die genauen und genäherten Spannungswerte sind in der Liste 7 zusammengestellt und der Einfluß von N und Q in Prozenten ausgedrückt in der Liste 8.

³

Der Einfluß der Quer- und Normalkraft auf M₀, H₀, G. Tn Anlehnung an die frühere Untersuchung für die lotrechte Last wurde der gemittelte Einfluß p₂ der Nebenkraft durch

⁴

₀ ist um 1,9 °/₀ zu groß.

X*T

Den Haupt beitrag zu diesen Fehlern liefern die für alle Lastlagen gleichen Nenner. Vernachlässigt man daher die Nebenkräfte und behält nur den genauen Nennerwert von H₀ bzw. W₂ bei, so ergibt sich die für die Rechnung geeignete Gleichungsgruppe:

(t —

k,J

ne*

ds

M₀ ist um 0,06 °/₀ zu klein.

ft

=h| &

CO

(t — k) ^ x

W₃ =

, G ist um 1.5 °/₀ zu groß.

X2

ds

3. Die Kämpferdruckschnitt- und Umhüllungslinien. Die Linien sind für die Anwendung ohne Wert, weil hier insbesondere die Verkehrslast mit ihren Lastscheiden schon durch die 1. Untersuchung für lotrechte Last festgelegt ist, und bieten nur mathematisches Interesse. Für ihre Berechnung wurden die genäherten Werte M₀, H₀, G nach Gleichung 19 in Liste 13, 14, 15 benutzt.

Mj = M₀ + 11,329 H₀ —30,532 G, A = 0,31 + G, Hx = 1 + H₀.

Mx

In Liste 17 wurde der Wert berücksichtigt, daß nun M₁,j_a = M

H?_a — 1 — Ha und Az_a = Aa, also auch t

und t —- für alle 16 Lastlagen gebildet und dabei

— Ga Z.

H z_a

A;V

Äs

L_

j.

<£

iS

3 \y v

\9

«T-r

j»

Hi

TTT,

Hl

j-19,895

12.

Hx.

10

12    13 To 15

Die Lagerkräfie    1cm = 6tm; 1 cm ^ 0,6 t

20 m

Maß stab 1:600 9.1 2 3 0 ? 5 7 8 3 to

20 im für M,

2 t » A, Hf

Abb. 27. Die Einflußlinien der Kräfte Mx, A, Ilx am linken Kämpfer für wagreclite Längslast und die Kämpferdruck-Sclmitt- und Umhüllungslinien.

i-

Die Umhüllungslinien des linken Kämpfers bestehen aus 2 hyperbelähnlichen Ästen, welche als eine Asymptote eine Parallele zur Kämpferlinie haben. Die Kämpferdrücke der Lastlagen 0—5 berühren an dem nach oben gerichteten Ast, alle anderen von 8—16 an den innerhalb des Kreisbogens gelegenen. (Abb. 27) Kämpferdruckschnittlinie ist die Angriffslinie der Kraft. Das gleiche Bild enthält die Einflußlinien der linken Kämpferkräfte Mls A, H

Die Schnittpunkte P, P' der zu symmetrischen Lastlagen gehörigen Kämpferdrücke liegen symmetrisch zur Brückenmitte. Der Schnittpunkt P fällt im allgemeinen nicht mit der Lastlage a zusammen. Um ihn zu finden, ist eine weitere Linie nötig. In der Lastlage a zieht man die Senkrechte bis zur Bogenachse und durch den Schnittpunkt Q' eine Wagerechte bis zu dieser Linie und legt durch diesen neuen Schnitt Q eine Lotrechte bis zur Angriffslinie L, L. Von dem so erhaltenen Punkte P zieht man die Tangenten an die Umhüllungslinie eines jeden Kämpfers, welche in Lage und Richtung mit den gesuchten Kämpferdrücken zusammenfallen.

4. Die Einflußlinien (1er Kantenpressung. Nach dem nun schon gewonnenen Überblick sind die beiden gefährdeten Stellen im Bogen der Querschnitt 11 und der rechtsufrige Kämpfer. Für sie beide wurden die Einflußlinien bestimmt (Abb. 28). Wenn die Kräfte in der Richtung Forbach-Langenbrand wirken, hat die obere Faser des rechten Kämpfers stets Zug und die untere stets Druck. Die Absolutgrößen sind im Vergleich zu jenen der

Liste 17.

Die Kämpferkräfte mit Schnitt- und Umhüllungslinien, für wagrechte Längslast.

10

11

12

13

14

15

16

Mx

18,9500 12,9957 8 ,2199 4,6937 2,4015 1,1902 0,8098 0,9952 1,3384 1,9012 2,6166 3,5178 4,1297 4,2731 3,7135 2,2937

0,05 952 0,11 452 0,16 313 0,20 302 0,23 287 0,25 272 0,26 255 0,26 615 0,26 255 0,25 272 0,23 287 0,20 302 0,16 313 0,11452 0,05 952

Hx

0,67 971 0,45 219 0,31 864 0,26 960 0,28 646 0,34 621 0,42 536 0,50 000 0,57 464 0,65 379 0,71 354 0,73 040 0,68 136 0,54 781 0,32 029

Mx

oo

oo

218,30

71,79

28,78

11,83

5,11

3,25

3,79

5,03

7,24

10,63

15,10

20,34

26,20

32,43

38,54

216,417

74,839

37,021

25,167

23,313

25,960

30,697

35,601

41,463

49,030

58,052

68,173

79,166

90,683

101,964

Die lotrechte Lasteinheit erzeugt die größte Spannung

lotrechten Lasteinheit groß, von 0,14 kg/cm² des Bogens bei der Lage in Brückenmitte in der oberen Faser der Scheitelfuge, während die wagerechte Einheit in der oberen Faser des rechten Kämpfers eine mehr als doppelt so große Spannung von 0,31 kg/cm² verursacht. Trotzdem sind die Beanspruchungen durch die Bremskraft gering und erreichen nicht 1 kg/cm², weil die Bremslast an und für sich klein ist.

Druck

ftJ.

13

12

Zug

ittjÜ

0 1 Z 3 * 5 6 7 8 9 10 tf 1213 n 15m

toiliil l I—-i.-j. .i —; L l I    J

0    0,1    02    0,3kg/qcm

Abb. 28. Die Einflußlinien der Normalspannungen in den Querschnitten 11 und 16

für wagerechte Längslast.

5. Die Beanspruchungen in Querschnitt 11 und 16. Der Lastenzug wurde bei Querschnitt 11 und 16 gerade so gestellt wie früher bei der Ermittlung der Spannung vc durch die lotrechten Lasten. Zwischen den Sparbogenpfeilern wurde ein geradliniger Verlauf der Einflußlinie angenommen. Außerhalb der beiden äußersten Pfeiler müssen sie wage-rechte Gerade sein, weil die Bremskraft sich durch eben diese Pfeiler auf den Bogen überträgt. Wegen der Temperaturfugen in den beiden äußeren Sparbogen kann sie nicht unmittelbar auf die beiden Kämpfer wirken. In Wirklichkeit wird wohl die gesamte Bremskraft im Bogenscheitel durch die Übermauerung dem Gewölbe zugeführt, da die Pfeiler sie kaum durch ihre Biegungsfestigkeit nach unten ableiten können.

Querschnitt:

11

16

a₀ = — 0,260,

a₀ = + 0,979 kg/cm².

E. Die Avagrecliten Querbelastungen: Der Wind.

Die Bahn liegt auf der ganzen Brücke in der Geraden, so daß Fliehkräfte als wagrechte Querlast nicht auftreten. Die einzige Kraft, welche das Gewölbe senkrecht zur Trägerebene beansprucht, ist der Wind. Bei der ungünstigen Beanspruchung v g¹, v g¹¹ durch die Verkehrslast ist die Brücke durch einen Lokomotivzug in bestimmter Stellung belastet, und die gleiche Stellung gilt für die Ermittlung der Spannungen durch Bremslast und Wind in dem gleichen Querschnitt. Nach den Bad. Vorschriften für die Berechnung eiserner Brücken ist eine Last von 0,1 t für 1 qm getroffene Windfläche anzunehmen, wenn der Verkehr noch aufrecht erhalten wird. Die Stirnfläche der Brücke hat 346 qm und empfängt einen Winddruck von 34,6 t. Abweichend von den tasächlichen Verhältnissen wird zur Vereinfachung der Rechnung angenommen, daß sich die Last auf die ganze Spannweite gleichmäßig verteilt und somit auf 1 m Brücke p = 0,57 t entfällt. Auf 1 m des Lokomotiv-zuges entfällt der Winddruck p' = 0,27 t. Die Annahme ergibt etwas zu ungünstige Zahlen.

a) Die genaue Rechnung.

1. Die Lage des Aclisursprungs. Nach Seite 16 nimmt man ein Hilfskreuz an, das als Y'-Achse die Symmetrieachse des Bogens hat und dessen wagerechte X'-Achse in der Trägerebene liegt und durch den Kreismittelpunkt geht. Der gesuchte Abstand des richtigen Achsenkreuzes X, Y liegt um c über dem Mittelpunkt und wird aus Gleichung 23 Seite 17 gefunden:

kr

= 2 • 476,813,

— = 2 • 13,5321,

J

^ sin² <p = 2-1,8463,

J    3

= 40,803 m .

476,813

13,5321 — 1,8463

Der Ursprung liegt außerhalb der Kreisfläche und 2,003 m über dem Bogenscheitel, k = c — (r — f) = 16,84*8, k — f = 2,003 m.

Liste 18. Grundlage der Rechnung für wagerechte Querlast. Die Größen gehören zu den Teilmitten.

2'

3'

4'

5'

6'

8'

—    15,161

—    12,036

Die Einzelwerte der neuen y,

=h| u

ds

ds

J»

ds    ds    ds

U_U_J

0,154 91 0,187 97 0,224 92 0,264 09 0,302 73 0,336 94 0,362 92 0,376 97

0,649 43 0,833 29 1,052 95 1,302 41 1,564 33 1,808 94 2,000 97 2,108 41

0,804 34 1,021 26 1,277 87 1,566 50 1,867 06 2,145 88 2,363 89 2,485 38

ds ds

,    , — sind in Liste 18 enthalten und dürfen nicht mit

denen der Untersuchung für lotrechte Last verwechselt werden. Die Winkelfunktionen sind jedoch die früheren.

2. Die Einflußlinien W₁₅ W₂, W₃. Um die Rechnung tunlichst zu vereinfachen wird angenommen, daß die über die Sichtfläche der Brücke gleichmäßig verteilte Windlast in einer Parallelen zur Kämpferlinie angreift, welche durch den Bogenscheitel geht. Die Abweichung von der Wirklichkeit ist nicht groß und wird das Rechenergebnis nicht wesentlich beeinflussen.

t = f = 14,845, k — t = 2 m.

G a b e r.

Die 3 Nenner der Gruppe 25 Seite 19 werden aus Liste 18 gerechnet.

N,

- 2 • (1,8463 — 13,5321) = — 23,3716

2.(9,4743 — 13,5321) = — 8,1156

C ds f ds oos2¥

tJ    « e/

n₃

= \ (x COS 9 + y sin <p)²    — ^(x² + y²)    — 3,2 j^

= 2 -(3074,18 — 3990,46—12,05)

= — 1656,6

Vor Ausrechnung der Einflußlinien wird nachgeprüft, ob die Lage des Achsursprunges nun der Gleichung genügt:

fy- - + ( y sin² 9 ^s

j    j    3

2

C    ■    ds

^ x sm 9 cos cp -j—

eJ    3

= 0 (Seite 16)

— 0,002 .

+ 75,335 — 17,351 — 57,976

Die Bedingung wird somit gut erfüllt.

Die Grundlagen für die Einflußlinienberechnung sind in der Liste 18 gegeben, während die eigentliche Ausrechnung und das Ergebnis in den Listen 19, 20, 21 enthalten ist. Liste 22 gibt die Werte für Wl5 W₂, W₃ bei den Lastlagen auf der rechten Trägerhälfte. Auf Abb. 29 sind die 3 Einflußlinien gezeichnet. Der Verlauf von W₂ und W₃ ähnelt jenem der Einflußlinien von W, und W₃ der lotrechten Last auf Abb. 19.

K-t

10

v3

\5    £

"*s

10

12 p

75

20in■

2im,tßr WU W3 20 tm    W/

Abb. "29. Die Einflußlinien der Grundwerte A\\, \\₂, \V₃ für wagreclite Querlast.

ds

V¹ —

' J

Er¹

Liste 19.

Einflußlinie Wx, für wagrechte Querlast.

(k — t) | sin² (p

l

Ja

a    j

f • 2 dS J y sin-

i

J x sin <p cos p <k-t) y-j

i

f ds

-JyT

l

Ja

ds

Ja

Ja

8,897

0,731

— 5,546

— 9,379

1,609

12,195

17,952

25,703

30,376

29,634    24,656

13,867    0

1,482

2,198

2,817

3,283

3,565

3,679    3,693

—10,065

— 13,385

15,530 —16,696

— 17,196

— 17,342 —17,356

20,174

— 3,651

24,482

— 31,457

— 6,207

36,341

— 41,945

— 9,340

— 50,281

— 55,534

— 57,718 —57,976

— 13,074

—17,366

— 22,093 —27,064

47,192    56,540    64,149

70,203

75,335

Zi

5,289

10,029

13,195

13,572

9,408    2,276    - 9,402

- 23,368

Wx

— 0,2263) — 0,4291 j —0,5517) —0,5807! —0,4025) —0,0974) +0,4023 + 1,0000

Liste 20.

Einflußlinie W₂, für wagrechte Querlast.

(t ~a) 1cos2 ^

ds

Ja

7,834    18,075

29,887

41,232

48,599

47,272

32,306    0

a

(k —1)| sin (p l

COS (p

ds

Ja

0,644)    1,473

2,471

3,580

4,693

5,663

6,330

6,568

a

J X cos² <p 1

ds

Ja

— 8,259

— 20,185

— 35,908

— 54,689

— 74,621

— 92,688

105,430—110,041

r ds

— 22,218 —44,488

— 64,560

79,254

— 84,472

75,607

— 48,404

r ds

J x T

i

23,422    50,012    78,920    108,553

136,504

159,751

175,248    180,702

1,423    4,887    10,810

19,422

30,703    44,391

W₂

— 0,1750— 0,6022— 1,3321— 2,3930— 3,7832    5,4700 - 7,3994

60,050    77,229

9,5162

Liste 21.

Einflußlinie W₃, für wagrechte Querlast.

j'xcos-p^

1 ³

r .    ds

I y sin p cos cp jr-

l    ’ ³

8,26

4,88

20,19

35,91

54,69

74,62

92,69

105,43— 110,04

9,87    14,50—    18,34—    21,13

22,85

23,70—    23,95

(^- — a) j x cos² y ^+J y sin y cos y y

ra    tjg ^ ,js"

(k — t) J xsiny cosy j- +jy sin²y—

— 362,98— 732,37— 1048,60— 1239,34 —1237,26 — 1006,09— 565,82

— 29,85

60,47—    89,68— 114,95)— 133,95— 145,461— 150,12— 150,67

SS.

608,96

1233,56    1829,48    2345,48    2733,09    2967,85    3062,95    3074,18

sä

646,99

1218,74    1641,77    1842,17    1763,84    1391,04

767,90    0

*r

-»9=

IO

«hIS*

24,39

48,96    72,68    94,38    113,08    128,30

140,41    150,67

— 866,92— 1707,06—2471,08— 3106,82— 3572,05— 3850,80— 3967,89

3990,46

³’²Jt

i

1,09—    2,30—    3,66—    5,13—    6,78

8,44—    10,21

12,05

Z,

+ 19,50

0,94—    69,09— 184,21— 340,03— 523,60— 722,78

928,33

W₃

0,0105) + 0,0005+ 0,0372+ 0,0992)+ 0,1831+ 0,2820+ 0,3893+ 0,5000

Liste 22.

Die Werte Wx, W₂, W₃ der rechten Brückenhälfte, für wagrechte Querlast.

16

15

14

13

12

11

10

Wa

W₂

— 30,523

W₃

2,2263

27,7973

1,0105

2,4291 — 24,9706 0,9995

2,5517

22,1348

0,9628

2,5807

19,3638

0,9008

2,4025 — 16,7051 0,8169

2,0974 — 14,1775 0,7180

1,5977 — 11,7812 0,6107

— 9,5162 0,5000

Von allen Gliedern, welche in der Rechnung enthalten sind, kann höchstens das Glied eis

mit —- als Faktor bei W₃ vernachlässigt werden.

F

— und v = 2 J

K₃ = - W₃ + 1 Mx =

Die Kräfte am linken Lager sind durch Gruppe 27 Seite 20 gegeben, wenn man darin k setzt.

— Wx cos <px -f W₂ sin -f W₃ ^--- sin <px + k cos + a sin

k sin cpx j -(- a cos <px + t sin cpx

— t cos <pj

M₂ = -j- Wj sin 9j -f- W₂ cos <pj + W₃

— — cos ?1 —

3. Die Einflußlinien der Randspanmigen. Für die gefährdeten Querschnitte des rechten Kämpfers und der Fuge 11 bzw. für die dazu symmetrischen Querschnitte 0 und 5 wurden die Einflußlinien der größten Normalspannung v, der durch Mx erzeugten Schubspannung t und der durch K₃ und Mx erzeugten Spannungen t/, t₂' berechnet.

M₂

b²h ’ T

- =F 4,5

Mx

b²h ’

Mx

b h²

+ 1,5

k₃

bh ’

V — + 4,5

bh²

+ 1,5

k₃

. (Gr. 29, S. 21)

Die Querschnittskräfte Mx, M₂, K₃ sind in Gruppe 27 Seite 20 als Abhängige von den Grundwerten Wj, W₂, W₃ gegeben:

Querschnitt 0.

b = 5,250, h = 2,600 m,

•    1,5

4,5

= 0,0628,

4,5

= 0,128

-F = o,n,

(k — t + y) cos cp — — t cos <px = — 9,168, x cos 9 + y sin 9 = — 32,09 (k — t + y) sin 9 = — t sin 9j = — 11,681, x sin 9 — y cos 9 — — 13,61

bh²

— + xj cos 9 = 0,    + xj sin 9 = 0.

Die Einflußlinien sind auf Abb. 30 gezeichnet. Die Normalspannungen von der wagerechten Lasteinheit bei der Lage in Brückenmitte sind 1,4 mal größer als jene der lotrechten Lasteinheit in gleicher Stellung und in der oberen Faser des gleichen Querschnittes. Querschnitt 5.

b = 4,408, h = 1,913,

1,5

4,5

4,5

= 0,121,

~y= 0,177,

(k — t + y) cos 9 = — 2,091, x cos 9 + y sin 9 == — 13,589 (k — t -f- y) sin 9 = — 0,739, x sin 9 — y cos 9 = — 0,326

b²h

b h²

0,280

-j- x I cos 9 = 16,596,

+ xj sin9 = 5,862.

Querschnitt 0.

's

WA

ca-,lrC5

/ $-

/a

*rJ

Ci

Querschnitt o.

Ahh. 30. Die Einflußlinien der Normal- und Tangentialspannungen für wagrechte Querlast.

Jede Einflußlinie macht im Querschnitt einen Sprung, hat aber sonst einen steten

Verlauf.

4. Die Spannungen der Querschnitte 11 und 16 bzw. 0 und 5.

Querschnitt 0 (16). Der ganze Inhalt der Einflußlinie der Normalspannung v ist Da der Winddruck auf einen Laufmeter Brücke 0,57 t beträgt, so ent-

43,6 t/m².

steht durch den Wind auf das Bauwerk im Querschnitt eine größte Normalspannung 43,6 • 0,57

= 2,49 kg/cm² in der vorderen und hinteren Faser. Dazu kommt noch die

Wirkung des Windes auf die Fahrzeuge, welche seinerzeit bei der Ermittlung von v o¹¹ die Strecke vom Kämpfer bis 22 m rechts davon einnahmen. Die hierdurch erzeugte

von

10

Spannung ist Vv = 0,27 • 2,48 = 0,64 kg/cm² somit ist die gesamte Normalspannung durch Wind 2,49 + 0,64 = 3,13 kg/cm² = v = ev + Vv.

Bei der Ermittlung der Schubspannungen kann angenommen werden, daß der Verkehr eingestellt ist, und der Wind eine Stärke von 0,2 t auf 1 qm Fläche erreicht hat, so daß auf 1 m Brücke eine wagrechte Last von 1,14 t kommt. Die Annahme ist zulässig, da die Schubspannung nicht in Verbindung mit jener durch wagrechte Längslast oder lotrechte Last gebracht wird.

Inhalt der Fläche t 14,8 t/m², Schubspannung t =

14,8 • 1,14

10

= 1,69 kg/cm²

55

15,1    „

15,1 • 1,14

10

= 1,72    „

55

55

„    t₂' 7,3    „

7,3 • 1,14

55

10

= 0,83    „

Querschnitt 5 (11). Der Inhalt der gesamten v-Linie beträgt 18,48 t/m². Es entsteht also durch den Wind auf das Bauwerk die Normalspannung ev

18,48 • 0,57

10

= 1,05 kg/cm²

Der Wind auf die Fahrzeuge, welche wie bei v cd auf der Strecke vom Kämpfer bis 27 m rechts davon stehen, erhöht die Spannung um 1,24 -0,27 = 0,32 kg/cm² = Vv.

Im ganzen entsteht in den zwei senkrechten äußeren Fasern des Querschnittes durch den Wind auf Brücke und Verkehrslast eine Normalspannung von 1,05 -f- 0,32 = 1,37 kg/cm². Für den Schub wird wieder Verkehrsstille und ein Wind von 0,2 t auf den Quadratmeter angenommen.

Inhalt der Fläche r

8,28 t/m², Spannung r =

8,28 • 1,14

10

= 0,94 kg/cm²

55

55

17,16 „

55

Tl' =

1,716 • 1,14

10

- 1,96    „

23,40 • 1,14

= 2,67    „

„    r₂"    23,40 „

t₂' =

Die Schubspannungen in beiden Querschnitten bleiben weit unter der Festigkeit von Stein und Mörtel. Sie werden am größten in der oberen oder unteren wagerechten Faser, während die Normalspannung ihren Größtwert in der vorderen und hinteren Stirnkante erreicht. Es ist daher überflüssig, bei Brücken ähnlicher Breiten Verhältnisse die Schubspannungen zu berechnen, und es genügt vollständig die Ermittlung der Einflußlinie für v.

55

55

10

b) Die genäherte Rechnung.

Nach Seite 21 wird das räumliche Problem in 2 ebene zerlegt, von denen das erste beim Wind auf das Bauwerk mit einer gleichförmig verteilten Last von pj

SW 34,6

= 0,57 t und das zweite mit p₂ =

SW

34,6

2 f 2 • 14,845

auf die Verkehrslast ändern sich diese Zahlen in 2,7 • 0,1 = 0,27 t und

0,27 • l 0,27 • 61,045

61,045

= 1,16 t rechnet. Durch den Wind

= 0,56 t,

29,690

da die Fahrzeuge nach Annahme der bad. Vorschriften dem Winde auf 1 m Länge 2,7 qm Fläche darbieten. Als Spannweite ist nun die Länge der Bogenachse mit 70,26 m beim ersten Problem einzuführen.

1. Der Wind auf der Brücke. Querschnitt 0. Das Einspannungsmoment am Kämpfer

P    0,57-70,26²

ist M/ = pi Yz = Schwerachse ist 12,41 m³.

12

= 235 tm.

Das Widerstandsmoment um die senkrechte

vt =

M/

Somit ist die Windspannung im ersten Kräftenplane

1,16-14,85²

12,41

= 1,89 kg/cm². Im zweiten Kräftenplane ist M"x

f²

Mj

= 1,03 kg/cm². Beide Pläne zusammen geben die Spannung, welche durch den Wind auf die Brückenfläche verursacht wird.

— 128 tm, v₂ =

12,41

v = vx + v₂ = 1,89 + 1,03 — 2,92 kg/cm².

70,26-17,63

Querschnitt 5. Für diesen Querschnitt ist a =

61,045

= 1,15-17,63 = 20,22 m

und a' = 12,63 m. Im ersten Kräftenplane ist nach Gleichung 30 Seite 21

M' =

0,57

12

[6-20,22 (70,26 — 20,22) — 70,26²] = 54,7 tm.

Das erzeugt eine Spannung von vx =

54,7

6,44

moment 6,44 m³ hat. Im zweiten Plane hingegen ist

= 0,85 kg/cm², weil das Widerstands-

M" =

1,16

— (14,85 — 12,63)² = 2,85 tm.

2,85

Die Spannung ist v₂ =

Spannung durch den Wind auf die Brücke zu

6,44 • 10

= 0,04 kg/cm². Damit findet sich die eigentliche

v = Vj + v₂ = 0,85 + 0,04 = 0,89 kg/cm².

2. Der Wind auf die Yerkehrslast. Querschnitt 0. Die Last bedeckt eigentlich die Strecke vom Kämpfer bis 22 m rechts davon, aber das Maß vergrößert sich infolge des Ausstreckens des Bogens nach Seite 21 zu

70,26

61,05

22 = 25,4 m, 4- =

25,4

l 70,26

= 0,36.

Im ersten Kräftenplane ist nach Gleichung 31 das Moment:

M' =

[6-8-0,36 + 3-0,36²] = 50,9 tm.

0,27 • 25,4²

12

Die Spannung ist

v, =

50,9

10-12,41

= 0,41 kg/cm².

Im zweiten Kräften plan ist

s' = 13,85 m, M" =

0,56-13,85²

= 53,3 tm

und die Spannung

v₂ =

53,3

10 -12,41

= 0,43 kg/cm².

1. Plan.

2. Plan für    4

Querschnitt 11 ÜÜ

LT Bi

m&m

2. Plan für Querschnitt 16.

Querschnitt 16 PO)

Querschnitt 11 ü)

35,13

(30,52)

71

Abb. 31.

Somit ist die Spannung, welche der Wind auf die Verkehrslast erzeugt, v — Vj + v₂ = 0,41 + 0,43 = 0,84 kg/cm².

Querschnitt 5. Bei der für v a¹ seinerzeit maßgebenden Laststellung war die Brücke vom benachbarten Kämpfer aus auf 27 m von den Fahrzeugen bedeckt.

= 0,44, a = 20,24, 4- = 0,288,

Ql 8    31

31 m, — =-

l    70,26

Aus dem ersten Kräftenplane ist nach Gleichung 31

s = 1,15-27 =

= 0,712.

! = — 66,1, M₂ = + 25,6, 9k = + 75,8 tm ' = + 25,6 • 0,288 — 66,1 • 0,712 + 75,8 = + 36,1 tm

Vi =

36,1

10 • 6,44

= 0,56 kg/cm².

In dem zweiten Kräftenplane ist s' = 14,73, a' = 12,63, s' — a' = 2,10 m,

M" =

0,56 2,l²

= 1,23 tm,

v₂ =

M"

6,44

= 0,02 kg/cm².

Die Spannung durch den Wind auf die Verkehrslast ist die Summe der Spannungen aus beiden Kräftenplänen:

3. Die Gesamtspanmmgen. Querschnitt.

Spannung durch Wind auf Brücke.....

,,    ,, Verkehrslast . . .

2,92

zusammen Windspannung

0,84

3,76

0,89 kg/cm²

0,58

1,47

99

Diese Zahlen werden mit den Spannungen verglichen, welche bei der genauen Rechnung gefunden worden sind.

Liste 23.

Querschnitt

Querschnitt 5

Wind auf

Brücke

Verkehr Zusammen Brücke Verkehr

Zusammen

Genäherte Rechnung . . Genaue    „    . .

Unterschied.......

Prozent

-PUD

CD

SS CD I S

coPPP

H- INS C5 OO

O ^ ^

CD CO CO

enfflo

ciffld«

0,58

0,32

0,26

80

1,47 kg/cm²

1,37

0,10

99

99

— 15

Die genäherte Rechnung gibt für die Spannung durch den Wind auf Brücke und Verkehrslast Werte, welche um 20 und 7 % größer als die genau gerechneten Werte in den beiden Querschnitten 0 und 5 sind. Obwohl die Abweichung bedeutend ist, darf die rohe Annäherungsrechnung unbedenklich im allgemeinen an die Stelle der genauen Untersuchung treten. Denn ihre Spannungen sind größer als die genauen, also ist das Ergebnis ungünstiger, und die Gültigkeit der genauen Untersuchung ist zweifelhaft, da bei den großen Brückenbreiten kaum mehr die Bedingung eines Ebenbleibens der Querschnitte und

das Elastizitätsgesetz

/«

(0 Cl

= E erfüllt werden wird.

F. Der Einfluß der Wärme.

1. Die gleichmäßige Erwärmung. Es wird eine Schwankung T der Luftwärme zwischen — 20 und +40°C angenommen. Nach Messungen im Innern einer Staumauer (Beton und Eisen 1909, Heft 14), beträgt die Wärmeschwankung im Mauerwerk von der Stärke 2 cl:

60

= 20°.

v

3 J/1

Es wurde somit eine größte Änderung der Gewölbewärme von 20° in Rechnung gestellt. Durch Wärmeänderung entsteht nur ein zusätzlicher Horizontalschub im Achsur-E

— w t l nach Gleichung 34. Seite 22 t = i 10°, w = 0,000 008 3,

E = 1000000 t/m², E wt I = 507 t°t/m. Allgemein wird beim vorliegenden Bogen durch eine Wärmeänderung von t° ein Schub erzeugt:

H₀ = -j- 1,511° t; für t = 10°, ist H₀ = 15,1 Tonnen.

sprung. H₀ =

N₂

3 jd

Im Querschnitt x, y entseht

cos 9    , . ,

r ±w v»'²

M = — 15,1 y und N = 15,1 cos cp, er = — 15,1

Die Wärmespannungen bei 10° Änderung sind in Liste 24, 25 enthalten und erreichen in der oberen Faser des Kämpfers ihren Höchstwert mit 2,95 kg/cm² Druck bei Erwärmung.

2. Die ungleichmäßige Erwärmung. Die ungleichmäßige Erwärmung eines Gewölbes erzeugt bedeutende Spannungen. Nach Gleichung 35 Seite 23

2

C ds

1 h ’

e/

M₀ =

— E co A t

ds

yX’

G = 0.

Angenähert ist:

f ds

1 h

«/

CA.34,69

bm —

S b 36,783

— 4,598 m

Beträgt der Wärmeunterschied der unteren und oberen Faser 1⁰ C, so wird

M₀ = — 8,3

34,69

= — 13,05 trn, H₀ = + 8,3

— 37,86

337,47

= — 0,925 t, G = 0.

22,65

Allgemein ist M₀ = — 13,05 A t, H₀ = — 0,925 A t, wenn die obere Faser wärmer ist als die untere. Am linken Kämpfer ist = — 23,5 A t und herrscht die Spannung von a = =F 0,4 A t kg/cm².

3. Der Einfluß (1er Wärme auf die Scheitellage. Aus Gleichung 36 Seite 24 kann die Scheitelhebung gefunden werden, wenn der Bogen sich gleichmäßig um 1° erwärmt. H₀ = 1,51 t

Ed = — H₀

xy

ds , f .    ds

-j- + V sm 9 cos 9

ocF

= — 1,51 (342,530 + 3,606) = — 527 t/m,

d = — 0,527 mm.

Solange der Bogen nur sein Eigengewicht zu tragen hat, hebt sich der Scheitel bei jedem Grad Wärmezunahme um rund einen halben Millimeter.

G. Die größten Beanspruchungen des Hauptbogens.

Bisher wurde bei allen 17 Querschnitten ermittelt :

Die Spannung durch die Eigenlast des Bogens . . .

,, die Übermauerung . .

,, beide zugleich ....

Die größte Zugspannung durch den Verkehr Druckspannung ,,

55

TG

vo¹

vo¹¹

Diese Werte sind in den Listen 24, 25 zusammengestellt, hier finden sich auch die sogenannten Hauptspannungen:

c?¹ = rc + vc?¹, c?n = rc + vo¹¹,

welche jedoch nicht mit den Hauptspannungen der Festigkeitslehre verwechselt werden dürfen.

In den Listen 24, 25 wurden ferner die nebensächlichen Spannungen ta, durch Wärmeänderung um 10° , aufgezählt.

Durch Vergleich der Linien o¹, a¹¹ auf Abb. 23 S. 39 zeigte sich, daß der größte Druck im Querschnitt 11, der größte Zug oder kleinste Druck im rechten Kämpfer — beidesmal in der oberen Faser — auf tritt.

Liste 24.

Die Spannungen der oberen Faser durch lotrechte Lasten und Wärme.

ec

ÜG

ro

VG

VG

II

G¹

II

to

p—I r-H r—H pH t-H pH r-H

8,93

—    3,24 + 1,75

—    10,90 —12,57

—    16,87 —10,50

—12,05

—    6,65

—    3,21

+ 6,94 + 4,77 + 3,05 + 2,93 + 5,36 + 6,57 + 6,02 + 3,68 + 1,47 + 3,68 + 6,02 + 6,57 + 5,36 + 2,93 + 3,05 + 4,77 + 6,94

Die Zahlen sind kg/cm². Druck —, Zug + .

9,08

— 5,95

3,75

—    7,41 —10,08

—    6,65 —12,05

—    22,95 —19,22

—    15,73 —18,00

—    16,55 —15,56 —14,47 —13,99 —16,57 —17,69 —19,69

—    20,36

—    19,58 —13,94

—    7,45

—    4,31 + 0,99

2,95

2,56

1,99

1,14

0,34

0,55

1,36

1,90

2,11

1,90

1,36

0,55

0,34

1,14

1,99

2,56

2,95

Liste 25.

Die Spannungen der unteren Faser durch lotrechte Lasten und Wärme.

VG¹

ec

üc

ro

VG

ii

c¹

ii

to

— 8,02 —10,22 —10,90 — 10,80

—12,80

3,30

— 5,79

7,83

6,03

6,85

8,67

—    10,22 — 8,02

—13,30 —14,04

— 20,82

—    21,95

—    20,73 —16,07

—    13,19 —14,46 —14,68 —19,33 —19,98 —15,56

—    9,09

— 9,01

7,20

— 6,18

7,40

—    9,73 —10,53

6,04

9,16

9,23

—10,35 —15,94

10,53

9,73

+ 9,54 + 5,28 + L36 + 3,33 + 6,08 + 8,19 + 8,76 + 7,67 + 6,36 + 7,67 + 8,76 + 8,19 + 6,08 + 3,33 + 1,36 + 5,28 + 9,54

—    21,60 —18,32 —19,69 — 20,08

— 11,28 —16,67 —19,37 —12,74

—13,62

7,89

—    20,61 —16,75

2,82

2,39

1,76

0,97

0,06

0,90

1,73

2,31

2,50

2,31

1,73

0,90

0,06

0,97

1,76

2,39

2,82

Für diese beiden Querschnitte wurde schon vorhin auf S. 48, 53, 54, 42 die Wirkung der Bremskraft und des Winddrucks und der elastischen Formänderung festgestellt. Als obere und untere Grenzwerte der Spannung im Bogen ergeben sich somit:

Liste 26.

Querschnitt 11 Obere Faser

Querschnitt 16

Obere Faser

Untere Faser

* 3_3

—    26,93 kg/cm²

—    27,38

—    37,46

Hauptspannungen: tg = — 5,95 kg/cm2 ro' = —6,71    „

GH = + 0,23    „

+ 33

—    26,29 kg/cm²

—    25,53

—    34,54

to = — 0,55 bo = — 0,26

WG

1,37

Zusatzspan nungen: tG = + 2,95 kg/cm²

bG--1- 0,98

wg = + 3,13

to = — 2,82 bc = — 0,98 wo = — 3,13

G₀ = —37,46 — 2,18 = — 39,64 kg/cm²

Größte Spannungen: G₀ = + 0,23 + 7,06 =

= + 7,29 kg/cm²

G₀ = •— 34,54 — 6,93 = = •—41,47 kg/cm²

Wenn Verkehrslast, Wind und Wärme wirklich einmal in der vorausgesetzten ungünstigen Weise auf den Bogen wirken, so entsteht eine Druckspannung von fast 42 und eine Zugspannung von wenig über 7 kg/cm². Der größte Zug entsteht in einem Eckpunkte

Querschnitt 11

Die Spannungen in den oberen Fasern von

Querschnitt 16.

Obere Faser

-39,61-

__t

3,13

Dr\ck

-4,m-

vA

7,29

5,250

Zkq

]4»

Abb. 32.

des rechten Kämpfers. Ohne Einwirkung von Wärme, Wind und Bremskraft entsteht nirgends im Bogen eine Zugspannung von Bedeutung. Für den Fall, daß der Mörtel keine Zugfestigkeit besitzt und eine Zugspannung nicht entstehen kann, erhöht sich im Kämpfer der Druck

von 38 auf 39 kg/cm² nach Abb. 33 fügt der Wind an einer Ecke noch 3 kg/cm² hinzu, so übertrifft die im Kämpfer auftretende Druckspannung von 42 kg/cm² jene der Fuge 11 mit 40.

Aber auch mit diesem Drucke von 42 kg/cm² ist ö¹it0tb6-3sjs weder die Festigkeit des Mörtels noch des Granites erschöpft. Engesser berechnet in einem Aufsatze über weitgespannte Brücken (Z. f. Arch. u. Ing. W. Hannover 1910, H. 7) die Fugenfestigkeit eines Quadergewölbes zu K = ¹/₃ Kx + ²/₃ K₂. Da die Granitfestigkeit Kx = 2100 und die Mörtelfestigkeit (in eingespanntem Zustande) K₂ = 450 kg/cm² ist, so wäre die Fugenfestigkeit K = 1000 kg/cm² 24 mal größer als die größte Druckspannung des Bogens.

wenn man vom Wind absieht —

‘38,39

g¹

Druck

^geschlossene Fuge

lg¹

Abb. 33.

1^0,76

a klafende Fuge

^0,32-H

Die Spannungen in der Fuge des rechten Kämpfers.

-2.60-

H. Die Standfestigkeit des Ganzen.

Der Winddruck beträgt in dieser Gegend nach allgemeiner Annahme höchstens 0,2 t/m². Nach Seite 53 entsteht hierbei im Kämpfer eine Zugspannung von 4,98 kg/cm². Da aber die Druckspannung ebenda durch die ruhende Last 6,71 kg/cm² beträgt, so ist eine genügende Standfestigkeit des Bogens in seiner Gesamtheit vorhanden.

J. Zusammenfassung.

1. Die allgemeine Untersuchung.

Die Untersuchung des eingespannten Bogens zerfällt in 3 Teile.

Der erste

enthält die lotrechten Kräfte, den Einfluß der Wärme und der Formänderung der Widerlager und bildet die Hauptaufgabe, der zweite die wagrechten Kräfte in der Trägerebene, und der dritte befaßt sich mit den wagrechten Querbelastungen, welche senkrecht zur Trägerebene stehen. Bei großen Spannweiten sollten alle drei Teile durchgeführt werden. Die irgendeiner Belastung zugehörige Beanspruchung wird durch die Einflußlinie der größten Spannung im Querschnitt gefunden. Diesen wie allen anderen Einflußlinien liegen

W₂= W₃ = ~ zugrunde. Zv Z₂, Z₃ sind die mit der Last-

die Grundwerte Wx =

läge wechselnden Zähler. N]? N₂, N₃ sind die konstanten Nenner und haben bei den beiden ersten Untersuchungen die Werte:

n₂

n₃

N> =

r ds

T*

N₂ =

„K+c2j

Fr² ’

n₃ =

ds

x²

Liste 27.

Liste

27.

Liste 27.

Lotrechte Last

Wagrechte Längslast

Wagrechte Querlast

<■

'S P

Zi =

fcö|

MS⁴

M&⁴

(t — k)

MH ds

to|

2.

'S

7.

■s

Ch Cl

co y.

c+-

C8

2.

'S

H &

CO Cß

'S P

•35

'S

«H Pu

03 m

•35

ts

'S

o <•_

m co

H3 h-D

MS⁴

'S) O

HS⁴

Z₂ =

y~a

ds

Ci

y—r

.1

MS⁴

r ds r , ds (t—t) j y-j    \ y -j-

lNi|

c3

Ul

to

C-H P-

03 Ul

TT

rt-

's P

2.

'S

'S

cH

's P

Ul

10

ce

o (J.

H p-

03 Ul

Mi*

(ls

ce

z₃ =

"2--a

ft/

* ds | X"J“ ⁺

ds

x²

?r

He-

M®

y-a

x cos² p

J₃

f .    ds

-f- \ y sm p cos p

J₃

+ (k — t)

x sin p cos <p

Ch &

03 Ul

's p

'S

in Pu

W CO

\

«/

ds

(x cos ip + y sin y>)² —--

i <xJ+y!)-x-(4--a) lx

t)    '    ' t)

-3 h

pr

<rb

'S P

's ©

MS⁴

fC

o <•.

Mi*

WA,;—a =

+ Wi,a-(y-a)

— W1, a + t — k

— Wi,a + k —t

W2,1—a —

+ W₂, a

— W₂,a—1

W 3, l—a =

— W₃, a + 1

+ W 3, a

— W₃,a+ I

N)|~

W, =

0<r

Mi*

N>| <-

W₂ =

-s

o<^_

Mi*

cv>

rr

'•> K> | —

'S

'S

7.

'S

Ul CO

'S

<N

Ul

'S

<=>?..

<Ph Pu

U CO

on.

wl

w₃ =

tu₃ =

f ds

+1    0 n; (t-k))x^-

oc_

li,l

a < -Tr—h x, M =

— W,— W,y — W₃x

— Wl—W₂y —W₃x

::

-w₃

a > ——(- x, M =

— Wj — W₂ y — W₃ x +

— Wx — W₂ y — W₃ x + t — a'

K₃ =

-w₃+ 1

a < -x—|- x,N =

+ W₂ cos p — W₃ sin p

-f W₂ cos <p — W₃ sin tp

M, =

— Wj cos <p + W₂ sin p + W₃ (x sin p — y cos <p)

a > —r—h x, N =

-f W₂ cos p — W₃ sin p + sin p

4- W₂ cos p — W₃ sin p + cos p

— W₂ cos <p W₂ sin p + W₃ (x sin p — y cos p) + (k — t + y) cos p — ^

■— a + x) sin p

Liste 27 (Fortsetzung).

Liste

27.

Liste 27.

Lotrechte Last

Wagrechte Längslast

Wagrechte Querlast

a < y + x, Q =

— W₂ sin 0 — W₃ cos 0

— W₂ sin <p — W₃ cos <p

m₂ =

-f Wj sin p + W₂ cos <p + W₃ (x cos (p + y sin <p)

a > y + x, Q =

— W₂ sin <p — W₃ cos p + cos <p

— W₂ sin p — W₃ cos <p — sin <p

M, =

+ W₂ sin <p + Ws cos p -f W₃ (x cos <p + y sin p) — (k — t + y) sin p —    --a + xj cos p

M*-a =

— I + 2a — Wi,a — W₂,ay + Wä,a x

+ Wl, a + W2,a y — W 3,a X

K3,1—a =

+ W3,a

N Z_a =

+ W₂, a cos <p + W3,a sin p

— W₂, a cosp»— W3, a sin <p

Mi,; — a =

+ Wi,a cos^j + W₂, a sin 0 ■—W3,a (x sin 0—ycosy)

Ql—a —

' — W2, a sin 0 + W3,a COS (p

+ W2, a sin (p — W3,a cos <p

M₂,i-

— Wi,a sin <p + w₂,a COS p ■— W3,a (xcos <p + y sin p)

und bei der dritten Untersuchung die Werte:

8,3 At

C    s    f ds

N‘= Um^cp--- T,

e/    o    fj

1-3

It

C ds

‘ h ’

e/

H₀ =

8,3 At

n₂

ib

yPG = 0

r    ds    C    „ ds

N₃ = ^ (x cos cp + y sin cp)² -j--^ (x² + y²) y .

Nt, N₂ haben die Werte der 1. Untersuchung.

Die Scheitelbewegung, durch lotrechte Last:

In der Liste 27 sind die Grundwerte in ihrer tunlichst vereinfachten Gestalt für alle drei Untersuchungen zusammengestellt, die Beziehung zwischen den Werten bei symmetrischen Lastlagen und die drei Grenzwerte angegeben und endlich die Querschnittskräfte M, N, Q als Abhängige der Grundwerte gezeigt.

Die Berechnung der Spannung durch wagrechte Querlast (Wind) darf im allgemeinen angenähert erfolgen, indem man sie aus zwei Kräfteplänen ermittelt. Im 1. Plan gilt der Träger als beiderseits eingespannt mit einer geraden Achse, deren Länge l gleich der Bogenabwicklung S ist; im zweiten Plane zerlegt er sich in 2 gerade Kragträger, deren senkrechte Kraglänge gleich der Pfeilhöhe ist und jeweils die Hälfte der W indlast aufnimmt. Das Moment im Querschnitte a, a' ist bei gleichförmig verteilter Last p

auf dem ganzen Träger ^-[6a(?- a) — Z²]

1000000 d = — Wj

durch Wärme:

1000000 d -

f ds

Dt

2~

- w₂ xy

2

TTT C

+ W3 ^ X2-J-tJ

8,3 Z1 C ds xyy.

auf der Strecke s, wenn a s 1. Plan M' = M₂-^ + Mx

s² "

M* = *12- ⁶

- + 9JI

Die Werte x, y gehören bei den ersten beiden Untersuchungen einem Achskreuz an, dessen senkrechte Y-Achse in der Symmetrielinie des Bogens liegt und dessen wagerechte

ds

X-Achse ungefähr durch den Schwerpunkt der elastischen Gewichte —— geht und von der

J

Kämpf er linie um k absteht.

M'

y'

£ h>

2'

M₂ -

MD''*'-

3 s)

Pi -

SW

SW

I-

ds

Fr²

™    s / s \    a²

^ = PlTv~~T/a — Pl~2~

Bei der dritten Untersuchung liegt die X-Achse um k über der Kämpferlinie:

2. Plan M" = p₂

(s' — a')²

, a' < s'

M" = p₂

(f — a')²

(V - - — jVsüvT A

ds

x sin 9 cos 9 — ”3

b³h

b h³

12 ’

12 ’

Die Spannung ist

M' + M"

hb²

C ds

\ X

C-i i-,

,J2    3

Der Einfluß (1er Wärme: Gleichmäßige Erwärmung um t°, M₀ = 0, H₀ = 8,3 —, G — 0. Ungleichmäßige Erwärmung mit einem Wärme unterschied der äußeren Fasern um At°:

Die Werte Z und W werden für eine genügende Anzahl Querschnitte der einen Trägerhälfte mit den Ausdrücken der Spalte A, B und, wenn nötig, auch C des Verzeichnisses er-

¹

₀ ist um 1,9 °/₀ zu groß.

mittelt, deren Form die geringste Rechenarbeit erfordert. Durch sie ist eine gleichgroße Zahl von Einflußlinien der Querschnittskräfte M, N, Q und sind durch die Beziehung

M₂

N _ M

b² h

—T +

ebensoviele Einflußlinien der Spannungsgrößtwerte gegeben. Die Gleichungen gelten für jeden symmetrischen Bogen, nur muß bei einem Korbbogen für den in N₂ vorkommenden Halbmesser r ein Mittelwert genommen werden. Sie enthalten alle für eine genaue Rechnung nötigen Glieder und eignen sich insbesondere für logarithmische Durchführung. Alle Größen sind in m und t auszudrücken, so daß sich die Spannung zum Schlüsse in t/m² ergibt. Für den Elastizitätsmodul E wurde auf Grund der Beobachtung E = 1 000 000 t/m² gesetzt. Die früher auf Seite 2 und 15 festgesetzten Richtungen sind positiv.

2. Die rechnerische Untersuchung.

I. Der Einfluß der Normal- und Querkraft.

a) auf die Lagerkräfte. Es wurden die Flächen einmal der mit und das andere Mal der ohne Nebenkraft berechneten Einflußlinien der M₀, H₀, G ermittelt und der Inhalt verglichen. Die Abweichung von dem genauen Wert ist in Prozenten des letzteren angegeben. Das — Zeichen bedeutet, daß ohne die Nebenkraft sich zu große absolute Werte ergeben.

Liste 28.

Lotrechte Last

Wagrechte Längslast

M₀

Einfl. d. Normalkraft bei H₀

+ 0,02 %

— 2,09 „

+ 0,01 %

— 2,78 „

•9

M₀

— 0,08    „

— 0,16    „

— 1,06 „

-1,46 „

Die Querkraft ist im allgemeinen fast wirkungslos und kann ohne Schaden vernachlässigt werden. Die Normalkraft ist beim Horizontalschub H₀ wichtig, es genügt jedoch, sie beim konstanten Nenner N₂ einzuführen.

b) auf die Spannungen.

Einfl. d. Querkraft bei H₀

Liste 29.

Lotrechte Last

Linker

Kämpfer

Scheitel

Querschnitt

11

Linker

Kämpfer

Scheitel

Querschnitt

11

Einfl. d. Normalkraft bei

c₀ + 18,6 % Cu + 17,7 ,,

- 2,2 o/₀

+ 214 „

- 5,3 % + 13,7

-9,6 % -5,7 „

- 3,0 % + 214 „

O

• *vO

Einfl. d. Querkraft bei G<>

cu

XO © © ©

—    0,6    „

—    6,8    .,

—    0,3

—    0,2

— 0,1 „ + 0,1

Liste 30.

Ganzer Träger belastet

Linke Hälfte belastet

Einfl. d. Normalkraft bei

c₀    + 13,3 %    — 2,0 %    — 1,5 %    -5,4 %    —    1,0 %    +    1,0 %

cu    + 12,9 „    + 18,8 „    + 4,5 „    —5,1 .,    +    7,2 „    +    1,5 „

Einfl. d. Querkraft bei ⁰

Cu

© © bi b\

-0,2    „

-0,2    „

—    0,2

-    0,2

In der Liste 29 ist der Beitrag der Nebenkraft verglichen mit der genauen Spannung, welche in dem betreffenden Querschnitt bei Belastung über den ganzen und halben Träger auf tritt. In der Liste 30 ist der Beitrag jedoch mit der in dem einen ungünstigsten Querschnitt auftretenden Maximalspannung, welche bei der ganzen Belastung mit p = It

10 kg/cm² und bei der Belastung auf der einen Trägerhälfte 13 kg/cm² ist, verglichen und in Hundertteilen ausgedrückt worden. Die Absolutgröße der Last scheidet beim Vergleiche aus, darum wurde p = 1 t gesetzt. Die Zahlen sind wieder Prozente und das Minuszeichen bedeutet einen zu großen absoluten Wert der Spannung ohne Nebenkraft. Die Listen beweisen, daß die Querkraft ohne Bedeutung ist. Die Normalkraft macht sich hingegen bemerkbar und muß daher im Nenner von W₂ enthalten sein.

II. Die elastische Änderung der Widerlager.

Das elastische Formändern der Widerlager ist beim Talübergang bei Langenbrand von keinem großen Einfluß auf die Spannungen. Die größte Spannungsänderung ist nur 0,76 kg/cm².

Liste 31.

So

°u

Rechter Kämpfer

+ 12,7 % - 3,4 „

Scheitel

- 0,2 o/o

+ 0,2 „

Querschnitt

+ L7 %

-4,9 „

Vergleich mit r<r.

III. Zusatzspanimngen.

Die Spannungen durch Wind und Wärme sind hier wie bei allen größeren Spannweiten wichtig. Der Einfluß der Bremskraft wächst und jener der Wärme wird kleiner mit zunehmender Pfeilhöhe. Alle drei Einflüsse — Wind, Wärme und Bremskraft — begünstigen das Auftreten von Zugspannungen im Bogen.

K. Die vereinfachte Untersuchung für lotrechte Last. *

Eine zuverlässige Berechnung der Festigkeit eines Gewölbes und ein genaues Ergebnis, das dem Bedürfnis einer verantwortlichen Tätigkeit genügt, kann nur auf dem rechnerischen Wege erhalten werden. Da eine vollständige Untersuchung umfangreiche Rechenarbeit verlangt, so wurde gezeigt, wie man sie durch zweckmäßigen Ausbau der Gleichungen und Fortlassen der rechnerisch einflußlosen Werte auf ein Mindestmaß beschränken kann. Zeichenverfahren werden meist nur noch zur Nachprüfung der grundlegenden Werte benutzt. Ihre elegante Lösung und fast mühelose Durchführung wird dabei freilich als eine angenehme Abwechselung und Erleichterung empfunden.

Die bei diesem und anderen Entwürfen durchgeführte rechnerische Untersuchung von Gewölben, deren Achse ein Kreisbogen oder einem solchen ähnlich war, zeigte eine so einfache Gestalt der Kämpferdruckschnitt- und Umhüllungslinien für lotrechte Last, daß die Einflußlinien der drei Kämpferkräfte sich leicht zeichnerisch ermitteln ließen. Das hier entwickelte Zeichenverfahren zur Nachprüfung der berechneten Werte bringt gegenüber den sonstigen genauen und genäherten Konstruktionen eine erhebliche Erleichterung und ermöglicht eine solche Genauigkeit, daß das Ergebnis sich fast vollkommen mit jenem der Rechnung deckt.

1. Die Gestalt der Schnitt- und Umhüllungslinien.

Vom symmetrischen Parabelbogen ist bekannt, daß seine Kämpferdruckschnittlinie annähernd eine wagrechte Gerade ist und daß seine Umhüllungslinien Hyperbeln sind, deren eine Asymptote die zugehörige Kämpferlotrechte und deren andere eine schwachgeneigte Gerade ist. An den folgenden Beispielen wird nachgewiesen, daß beim symmetrischen Kreisbogen die Umhüllungslinien als Hyperbeln angesehen werden können, deren eine Asymptote wieder die zugehörige Kämpferlotrechte ist, während die andere wagrecht liegt und den Abstand zwischen dem Schwerpunkt

ds

der elastischen Gewichte —— und der wagrechten Schnittlinie halbiert.

J

G a b e r.

Erstes Beispiel. Der Talübergang bei Langenbrand Abb. 20 S. 35.

I — 61,05, f = 14,85 m, 4~ = 0,243.

Der symmetrische Kreisbogen wurde im vorhergehenden rechnerisch mit Berücksichtigung aller Nebenkräfte untersucht. Die Schnittlinie ist fast genau eine Wagrechte, und die Umhüllungslinien sind genau Hyperbeln mit den vorhin erwähnten rechtwinkligen Asymptoten. Die nach dem noch abzuleitenden Verfahren gezeichneten Werte der Mx, A, Hj stimmen mit den gerechneten überein.

Zweites Beispiel. Schwändeholzdobelbrücke.

- 0,243

l = 59,08, f = 14,37 m,

Bei diesem auf der Bahnstrecke Freiburg-Donaueschingen gelegenen symmetrischen Kreisbogen ist in der Rechnung die Normalkraft berücksichtigt und es ergibt sich da& gleiche wie beim ersten Beispiel.

Drittes Beispiel. Talübergang bei Forbach, zweiter Entw.

l = 41,77, f = 13,68 m, — = 0,328.

Bei diesem symmetrischen Kreisbogen ist in der Rechnung keine Nebenkraft berücksichtigt, weshalb sich auch Hx und Mx auf der positiven Seite zu groß berechneten. Für die vorhin erwähnte Lage von Schnittlinie und Asymptoten ergibt die zeichnerische Bestimmung solche Werte von Hl5 A, Mj, welche mit den gerechneten Werten von A, Hj zusammenfallen und bei richtiger Weise nach der negativen Seite etwas größer sind.

Viertes Beispiel.

= 0,125.

l = 67,48, f — 8,44 m,

Das Pfeilverhältnis ¹/₈ dieses symmetrisch angenommenen Kreisbogens nähert sich der untersten Grenze der Anwendung. Die mit allen Nebenkräften durchgeführte Berechnung zeigt, daß die Schnittlinie sehr schwach gegen die Wagrechte beiderseits nach oben genau so geneigt ist, wie die zweite Asymptote jeder Umhüllungslinie, welche wieder eine Hyperbel mit der Kämpferlotrechten als 1. Asymptote ist. Mit wagrechter Schnittlinie und wagrechter Asymptote, welche wie die genaue, geneigte Asymptote in der Mitte zwischen Achsursprung und Schnittlinie liegt, zeichnen sich Werte von M1? welche im ersten und dritten Bogenviertel nach der positiven Seite um weniges größer als die gerechneten Mj Werte sind.

Die gezeichneten Hls A Werte sind ebenfalls im Bogenviertel sehr wenig kleiner als die genauen gerechneten. Die Berechtigung der gesagten Annahme von Kämpferdruckschnitt- und Umhüllungslinie besteht somit auch bei diesem Grenzfall der Kreis-

f

bogenform, wenn auch bei Mj nicht in dem gleichen Maße wie bei Bögen mit —

Fünftes Beispiel. Talübergang bei Forbach, erster Entw. Abb. 36, S. 70. I = 41,41, f = 13,30 m, 4- = 0,322.

Auch bei diesem unsymmetrischen Kreisbogen sind in der Rechnung keine Nebenkräfte enthalten. Es ergeben sich richtige Werte M1; A, Hj für eine gerade, der geneigten X-Achse parallele Schnittlinie und für zwei Asymptoten, welche den Abstand des Schwerpunktes der elastischen Gewichte von der Schnittlinie halbieren. Die Asymptote am höheren Kämpfer ist der X-Achse parallel, die andere Asymptote hat die entgegengesetzt gleiche Neigung.

Sechstes Beispiel. Talübergang bei Forbach, dritter Entw.

Ein symmetrischer Korbbogen mit 7 Mittelpunkten bildet die Trägerachse. Die Kämpferdruckschnittlinie besteht aus zwrei geneigten Geraden. Die Asymptoten sind ihnen gleichgerichtet, schneiden sich aber etwras unterhalb der Mitte zwischen Achsursprung und Schnittlinie. Nimmt man die Asymptoten in der Mitte und eine wagerechte Schnittlinie an, so ergeben sich Werte, welche mit der die Normalkraft enthaltenden Rechnung gut übereinstimmen.

Bei der Annahme einer einzigen wagerechten Asymptote zeigen sich bei A, HL nur geringe Unterschiede gegen die Rechnung, während Mx nach der negativen Seite merkbar größer wird.

2. Der symmetrische Kreisbogen.

a) Das Zcichenverfahren. Es wird darauf verzichtet, den rechnerischen Nachweis für die empirisch gefundene einfache geometrische Gestalt der Schnitt- und Umhüllungslinien zu erbringen, und im folgenden nur das auf ihnen beruhende Zeichenverfahren zur Ermittlung der Einflußlinien M1; A, Hx für den symmetrischen und unsymmetrischen Kreis oder Korbbogen gegeben, welche ein Pf eil Verhältnis innerhalb der vorigen Grenzen haben.

ß.

L'

J&

-MPt

X'

TEK

—*~x

/f T

/ ¹

f/r

V+K

~Z~

Cb

JL

Yu

Abb. 34. Das Zeichenverfahren für die Einflußlinien der Kämpferkräfte M₁₅ A, Hx bei lotrechter Last.

Zunächst entnimmt man die der Lastlage in Brückenmitte zugehörigen Werte

j' (Jg

XT

V

ds

xy

.i

Ws =

(V

+ C²

f dS

Fr²

der bereits durchgeführten Rechnung oder zeichnet sie in bekannter Weise als Moment

ds

1. und 2. Grades der elastischen Gewichte -— bezogen auf das rechtwinklige Achsenkreuz,

J

dessen senkrechte Achse die Symmetrieachse ist und dessen wagerechte Achse genau genug durch den Schwerpunkt der elastischen Gewichte geht und von der Kämpferlinie den Abstand k hat. Die Kämpferdruckschnittlinie liegt sodann lim v = k — — über den Kämpfer-

tt>2

1    l    '    '    #

punkten. Mit der Strecke f₀ = (itq -f- —) — k sind die beiden Kämpferdrücke für die Lastlage in Brückenmitte nach Größe, Lage und Richtung gegeben. Die den beiden Umhüllungs-

linien gemeinsame Asymptote liegt in der Mitte zwischen Achsursprung und Schnittlinie, also um

v -f- k

= k — über den Kämpfern. Da die beiden Lagerdrücke Tangenten an die

gesuchten Hyperbeln sind, halbiert man die Strecke B C zwischen den Asymptoten und hat in P den Berührungspunkt. Um weitere Punkte P' der Hyperbel zu finden, zieht man durch P die beliebige Sehne L P und macht L P = L' P'. Für die beliebige Lastlage a werden die 3 Kräfte am linken Lager gefunden, indem man vom zugehörigen Punkt D der Schnittlinie an die beiden Umhüllungslinien die Tangenten und durch die Enden F, Fx der Einheit die Parallelen F H und FXH zieht. Die wagerechte Strecke H E ist der Horizontalschub Hx, und E Fj ist der Lagerdruck A. Füs das Einspannungsmoment Mx trägt man die Einheit A K nach außen wagerecht an, verlängert die Tangente aus D bis zum Schnitte J und zieht durch Punkt H die Parallele HG zu KJ.

AK

EG = EH

= Hl — = M

Mit wechselnder Lastlage a beschreiben die Punkte E, G, H die gesuchten 3 Einflußlinien von A, M1} Hj.

b) Das Rechenverfahren. Die einfachen geometrischen Beziehungen geben auch einfache Gleichungen für die Lagerkräfte, welche zur Vollständigkeit angegeben werden.

Der Kämpferdruck für a = — schneidet auf den beiden linken Asymptoten die Strecken

2

ab A' B = p, A' C = q. Nimmt man beide Asymptoten als X'-, Y'-Achsen, so lauten

p q

- . Es ist leicht einzusehen, daß

l

“i +1

die Gleichungen der Umhüllungslinien: x' y' =

P = -y+ »

2 to₂

ist ;

also ist

pq

tDi + ~:r

-j

l \2

2 to₂

Auf dieses Achsenkreuz bezogen hat der Punkt D der Schnittlinie die Koordinaten a

Die Tangente von D an die linke Hyperbel hat den Be-

und c = —

ü>i

2 tu₂'

rührungspunkt T, dessen Koordinaten x', y' sind.

pq

4c

pq

Sie bildet mit der wagerechten Asymptote den Winkel cpx und die zugehörige Tangente an die rechtsseitige Hyperbel hat den Winkel cp₂

% <Pi = —

. ² +1

;tg^ = -T

+ 1/1

\ pq

b —l — a.

pq

pq

Mit diesen beiden Winkelwerten finden sich die gesuchten Lagerkräfte.

M,=

v + a tg

tg <Pi + tg ?2 ’

H, -

tg?i

tg ?1 + tg <p₂ ’

tg ?! + tg ?₂'

Die früher nach den genauen Gleichungen logarithmisch berechneten Werte Ml5 A, H des Hauptbogens bei Langenbrand wurden zum Vergleich nochmals logarithmisch mit den eben abgeleiteten Gleichungen ermittelt. Es wurde damit auch rechnerisch nachgeprüft, inwieweit das einfache Zeichen verfahren sich den richtigen Werten nähert.

Bei diesem Hauptbogen war:

p = 23,907, q — 11,666, v = 17,800, c = —3,236 m.

Liste 32.

Lastlage:

Mt

Genau . Genähert

0    —2,376 —3,936 —4,494    —4,015    —2,653    —0,739    + 1,286    + 2,974

0    —2,385 —3,941 —4,491    —4,013    —2,653    —0,739    + 1,283    + 2,974

. Genau . Genähert

0,9946    0,9772    0,9433    0,8903    0,8168    0,7241    0,6163    0,5000

0,9950    0,9776    0,9438    0,8910    0,8175    0,7249    0,6167    0,5000

Tj Genau ¹ Genähert

0    0,0286    0,1169    0,2632    0,4530    0,6595    0,8469    0,9784    1,0257

0    0,0282    0,1166    0,2631    0,4529    0,6594    0,8457    0,9766    1,0257

Die Liste 32 zeigt unzweideutig, daß die Annahme der Kämpferdruckschnittlinie als Gerade und der Umhüllungslinien als Hyperbeln mit rechtwinkligen Asymptoten so genaue Werte ergibt, daß sich für die Anwendung beide Ergebnisse decken. Das sehr einfache Zeichenverfahren ist genauer als jedes andere bekannte graphische Verfahren. Zum Schlüsse seien noch die Ausdrücke für die Grundwerte W1? W₂, W₃ der lotrechten Belastung abgeleitet:

w₁ =

v—k+ lT~"a )tgcp2

tg ?i + tg 9₂

, W₂ =

tg ?1 + tg <p₂ ’

f 1

3. Der Kreisbogen mit y = —.

W₃ =

tg ?₂

tg ?i + tg <p₂

die wagerechte Asymptote mit k -j--

4

i_C

Abb. 35.

über der

Verbindungslinie der Kämpfer und damit auch die Umhüllungslinien selbst; denn es ist für a = — der

Lagerdruck A = — und der SchubHx = 11. (Abb.35.)

4. Der unsymmetrische Kreisbogen.

Im Anschluß hieran möge kurz die ähnliche Konstruktion beim Kreisbogen mit ungleich hohen Kämpfern als dem allgemeineren Falle gezeigt werden. (Abb. 36, S. 70.)

Der Achsursprung liegt im Schwerpunkt der elastischen Gewichte. Die X-Achse bildet mit der Wagrechten den Winkel ß, der sich aus der Gleichung bestimmt:

ds

xyT ⁼ °”

CLL

ds

X² 3 —-

Ihr parallel ist die Schnittlinie, und die Umhüllungslinien sind nach Beispiel 5 auf

S. 66 Hyperbeln, deren eine Asymptote immer die Kämpferlotrechte ist, deren andere den Abstand zwischen Schnittlinie und Ursprung halbiert und mit der Wagrechten den Winkel -f- ß und — ß bildet. Zerlegt nach den Achsen X und Y gibt die Kämpf er kraft den Lagerdruck A und den um ß geneigten Schub H₁. Aus den Umhüllungs- und Schnittlinien finden sich Mj, A, Hj wie früher. F, H und F H sind parallel den beiden Tangenten vom Schnitt-

ri\

Jo

.X

<Ss

L_

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1,=20,887

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¹¹ Wag rechtF i

---=l*=M527-

EG=Mj AK=%F=1 LH =H1 -äf.LHE=ß

'0/777

-rA

0 12 3

10

15m,

io

Ißt

15 tm

Abb. 36 Der Hauptbogen des Talüberganges bei Forbach. Erster Entwurf.

Die Einflußlinien der Kämpferkräfte M1? A, Ht und die Kämpferdruck-Schnitt- und Umhüllungslinien

für lotrechte Last.

10

punkt D an die Umhüllungslinien. F Fx und A K sind gleich der Einheit. E H ist wagrecht, L H' parallel der geneigten X-Achse und G H parallel J K. Dann ist:

H! cos ß A J

LH' = H

EF = A,

EG A J EH — ÄK

, EG =

i*

5. Der kreisähnliche Korbbogen.

Deshalb beschränkt sich das gezeigte Zeichen verfahren auf symmetrische

Je mehr sich die Achse eines symmetrischen Korbbogens einem Kreisbogen nähert, desto eher ist man berechtigt, die gezeigte einfache Ermittlung der Lagerkräfte anzuwenden, zumal das Ergebnis bei Zugspannungen zu ungünstig wird; je willkürlicher seine Gestalt jedoch ist, desto mehr werden seine Umhüllungslinien von der Hyperbel ab weichen.

Kreisbögen und ihnen sehr ähnliche Formen, deren Pfeil Verhältnis jenem der Beispiele sich nähert.

II. Die Bauausführung des Talüberganges bei Langenbrand.

A. Der Bauvorgang. Die Baustelle lag etwa 15 m tiefer als die auf dem rechten Ufer talaufwärts führende Landstraße und an einer solchen Flußstrecke, wo sich beiderseits am Ufer Wiesenhänge hinziehen, und das Tal noch breit und offen ist. Das rechte Ufer ist flach und sumpfig, das linke, etwas mehr geneigt, hat nur geringe Überlagerung auf dem Fels, der im Flußbett bald zu Tage tritt und bald von grobem Geschiebe bedeckt ist. Ein schmaler Karren weg auf dem linken Ufer, etwa in Bahnhöhe, konnte wegen seiner schlechten Linienführung und seines Zustandes nur ausnahmsweise zur Beifuhr von Baustoffen benutzt

lull.

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■ajt*

Abb. 37. Der Talübergang bei Langenbrand. Blick flußabwärts.

werden, und man war vor allem auf die Landstraße angewiesen, von welcher die Lasten durch einen zweigleisigen Bremsberg mit 3 t Nutzlast oder in Rutschen aus starken Dielen zu den Lagerplätzen hinunter befördert wurden. Fast der größte Teil vom Sand wurde rechtsuferig 100 m oberhalb hinter einem Wehre gewonnen, wo er sich bei jeder Murganschwellung in reinem Zustande und recht grobkörnig ablagerte. Der Rest wurde mit der Bahn aus einer Grube in der Rheinebene bei Durmersheim bezogen, war aber für den Granit etwas fein und mußte unter großen Kosten etwa 4 km mit Wagen beigefahren werden, da es nicht gelang, das Baugleis rasch genug bis zur Baustelle vorzustrecken. Weniger wichtig war die Verbindung mit der oberhalb gelegenen Strecke, da im Flußbett und 200 m oberhalb auf dem linken Ufer gesunder und leicht zu stoßender Fels anstand, der schöne Steine für die Hintermauerung, Sichtfläche und die Nebengewölbe lieferte. Nur ein kleiner Teil wurde von Forbach her im Taltransport angefahren; den gleichen Weg hatten die Quader für den Hauptbogen, welche aus Brüchen am Eckkopf bei Forbach oder noch 4 km weiter oberhalb im Raumünzachtale geliefert und wie die Abdeckplatten, welche meistens aus der Rappenschlucht kamen, am Baugleis im neuen Bahnhof Langen-brand gelagert wurden. Den Steinlagerplatz bestrich ein hölzerner Kran mit fahrbarer Winde.

Um wenigstens beide Ufer zu verbinden, wurden die 3 im Flußbett erstellten Lehrgerüstpfeiler flußabwärts um 3 m verlängert und ein hochwasserfreier Holzsteg für Plattwagen darüber auf geschlagen. Am Fuße des Bremsberges wurde der Zement und Sand

i-

Für den Sonderfall des Kreisbogens mit dem Pfeilverhältnis

man

die Lage der Schnittlinie v = k -f-

und

Gausbach

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52

pQppentunne/

Rappenschlucht ₅f ₉₅mlg.

Schachtm. Bude

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Abb. 38. Lageplan der Baustellen der drei Steinbrücken.

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Bremsberg u. Sand rutsche

Sv

Station LangenbrcwcL Bermersbach

«iS

Cementiaaer

Wandbank

Tt

«Cb

Steinb/

gelagert, die Mörtelpritsche angelegt und die schwach ausreichende Mörtelmischmaschine mit Handbedienung auf gestellt. Eine handbediente Winde förderte in einem fünfstöckigen hölzernen Aufzugsturme den Mörtel und Bruchstein zur Verwendungsstelle.

Mangel an Maschinenkraft machte sich auf dieser Baustelle zum Nachteil der Unternehmung recht bemerkbar. Die anfänglich fehlende großzügige Arbeitseinteilung veranlaßte die Bauverwaltung, zunächst sämtliche Lehrgerüste selbst zu entwerfen und für den zweiten großen Kunstbau ein genaues Arbeitsprogramm aufzustellen.

Im September 1907 wurde mit Ausheben der Baugruben bis auf den Fels für die Wider lager des großen Bogens und im Oktober mit der Mauerung des linksuf rigen begonenen. Nachdem beiderseits das Mauerwerk die Kämpferhöhe erreicht hatte — die Schichten wurden etwa senkrecht zur Drucklinie gesetzt —, wurden die auf sitz enden Endpfeiler der Nebenbögen gleichzeitig mit den anderen Pfeilern im Frühjahr 1908 bis Kämpferhöhe der Neben-bögen hochgemauert, indem für jeden Pfeiler ein einseitiges einfaches Arbeitsgerüst hergestellt wurde. Es wäre vorteilhafter gewesen, wie in der Tennetschlucht, für die Pfeilergruppe eines Ufers jeweils ein durchgehendes einseitiges Versetzgerüst aus mehreren, entsprechend dem Baufortschritt aufgesetzten Stockwerken und mit einem Maschinenaufzuge zu erstellen.

Der Mörtel bestand aus 1 B. T.-Zement und 3 R. T.-Sand, die Sichtfläche aus

Der

zur

beliebig hohen, hammerrecht bearbeiteten Schichtsteinen von Granit und die Hinter mauerung ebenfalls aus granitnem Bruchstein.

Aus den Pfeilerschäften ragten etwa in Höhe des Bogenmittelpunktes in jede Öffnung 4 Kragsteine hervor, über welchen die Lehrgerüste aufgestellt wurden. Die Lehrgerüste der Nebenbögen waren ähnlich jenen der Tennetschluchtbrücke und werden dort näher beschrieben. Zur Wölbung des einen Bogens am linken Ufer wurden 5, zum anderen 7 Tage gebraucht. Die aus hammerrechten Schichtsteinen bestehenden Wölbsteine wurden von den Kämpfern aus gleichmäßig ohne besondere Vorsichtsmaßnahme versetzt. Aus diesem Grunde und weil die aufgebrachte Scheitelbelastung zu klein war, zeigten sich gegen Wölbschluß und beim Ausrüsten im unteren Bogen viertel Fugenrisse; sie wurden nachträglich ausgegossen. Zwei Wochen nach Gewölbeschluß wurden die Lehrgerüste abgelassen, abgeschlagen und zwischen den rechtsufrigen Pfeilern aufgestellt. Der dritte Bogen hat hier ungleich hohe Kämpfer und erhielt ein besonderes Gerüst. Ende Juli waren auch diese Nebenöffnungen geschlossen, wobei an einem Bogen 5 Tage gewölbt wurde. Die 60 mm überhöhten Lehrgerüstscheitel senkten sich während der Wölbung im Mittel um 20 mm und die Bogenscheitel beim Ausrüsten um 2 mm. Während die Zimmerleute an den Gerüsten für den Hauptbogen arbeiteten, wurden die Stirnmauern auf den Nebenbögen hochgemauert.

Auf einer ebenen Wiese, bei der das Holz liefernden Säge in Wiesenbach, hatte man inzwischen das große Lehrgerüst für den Hauptbogen abgebunden. Am 10. August begann das Aufschlagen und am 28. September stand Lehr- und Versetzgerüst fertig da. Die größte Mühe machte das Aufstellen des aus 30 und 40 cm starken Hölzern bestehenden Unterstockes, wozu zunächst von Pfeiler zu Pfeiler des Lehrgerüstes ein Arbeitsboden hergerichtet werden mußte; aber die Rüstarbeit verlief ohne Unfall.

Länqen    0 2    1    6    8    10 12 »    16 18 20i

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Senkungen O 20 W 60 80100120 110160 180 200

mm

41m

Abb. 39. Darstellung des Wölbvorganges und der Lehrgerüstsenkungen am Hauptbogen bei Langenbrand.

Am 1. Oktober konnte mit der Mauerung des Hauptbogens begonnen werden. Die durchgehenden Läufer und Binderschichten waren im Kämpfer 3 und im Scheitel 2 Steine stark. Der tatsächliche Wölb Vorgang ist auf Abb. 39 dargestellt. Von den beiden Kämpfern und den 4 künstlichen Widerlagern W aus konnten die Bogenteile 1 des inneren Ringes versetzt und so eine zweckmäßig verteilte Belastung des Lehrgerüstes erzielt werden. Im zweiten Arbeitsabschnitte wurden die Bogenteile 2 gleichzeitig aufgebracht und schließlich der Ring im Scheitel geschlossen. Aus den auf dem gleichen Bilde aufgezeichneten Senkungen des Lehrgerüstes unter der Auflast der Bogenteile 1 und des ganzen inneren Ringes konnte man deutlich ersehen, daß das Lehrgerüst gegen Bogenmitte stärker belastet werden mußte, um die Lehrgerüstsenkungen im Scheitel zu vergrößern und in ein richtiges Verhältnis zu den Senkungen rechts und links davon zu bringen. Die künstlichen Widerlager hätten etwas mehr gegen Brückenmitte angelegt werden sollen. Diesem Umstande wurde Rechnung getragen, indem das Wölben des äußeren Ringes nur von den Kämpfern und zwei weiteren Stellen aus begonnen wurde, welche über den oberen Bogenteilen 1 lagen. Die Belastung durch diese Bogenteile 3 brachte einen besseren Verlauf der Senkungslinie. Die Auf last der Bogenteile 4 vermehrte die Senkungen nur noch um weniges.

Das Abb. 39 zeigt ferner deutlich, daß das Lehrgerüst durch den geschlossenen inneren Bogenring wesentlich entlastet worden ist. Der Senkungszuwachs beim Zustand 3 und 4 ist an allen 7 Beobachtungspunkten des Lehrgerüstes bedeutend kleiner als der Zuwachs durch die Bogenteile 2.

Die im Bahnhof Langenbrand lagernden Quader für den inneren Ring wurden mit dem Holzkran auf Plattwagen geladen und auf der 60 cm breiten Rollbahn auf das Versetzgerüst über die Verwendungsstelle gefahren; hier wurden sie mit einem der 3 Portalkrane aus Holz auf das Lehrgerüst hinuntergelassen und von den Maurern gleich richtig, aber trocken unter Verwendung von Holzleisten in den Fugen der inneren Leibung und von Keilen in den Fugen der Rückenflächen auf den Schalhölzern versetzt. Zur Erleichterung war die Schichtteilung vom Kämpfer und Scheitel aus auf den Kranzhölzern aufgerissen worden. Eine Scheitellast wurde auf das Lehrgerüst nicht aufgebracht. Nach dem Schluß des 1. Ringes wurde der mit der Maschine gemischte Zementmörtel 1 : 3 in nicht zu feuchtem Zustande in die Fugen eingestampft. Mit Rücksicht auf die vorgerückte Jahreszeit wurden die Quader des äußeren Ringes von den Kämpfern und den oberen künstlichen Widerlagern aus gleichzeitig und sofort in Mörtel versetzt. Da am 3. Dezember der Schlußstein gesetzt wurde, waren 9 Wochen zur ganzen Wölbung gebraucht worden. Wohl kaum die Hälfte dieser Zeit wäre nötig gewesen, wenn man mit der Wölbung eines Ringes nicht eher begonnen hätte, als bis all seine Quader an der Baustelle angeliefert gewesen wären. Bereits am 8. Februar 1909, also vor den jedes Frühjahr eintreffenden Murganschwellungen, wurde das Lehrgerüst abgelassen. Zunächst wurden die Spindeln unter dem Mittelteil vom Scheitel nach beiden Seiten fortschreitend heruntergeschraubt und dann erst die Reststrecken gegen die Kämpfer zu langsam gesenkt. Beim Ausrüsten wie beim Wölben zeigten sich keine Fugenrisse; der Bogenscheitel senkte sich hierbei um 7 mm.

Im April 1909 wurden nach Eintritt warmer Witterung über dem Hauptbogen die Pfeiler und im Mai die Sparbögen vom Versetzgerüst aus hergestellt. Bis Mitte Juli waren auch die Stirnmauern fertig, welche an den äußeren Kämpfern der letzten Sparbögen jeweils eine lotrechte und nach oben durchgehende Trennungsfuge erhielten, weil man hier ein Reißen bei der Bogenscheitelbewegung unter dem Einfluß der Wärme befürchten mußte. In der zweiten Julihälfte 1909 wurden sämtliche Rückflächen des Bauwerks mit einem Zementmörtelglattstrich versehen und mit Asphaltfilzplatten gedichtet. Gleichzeitig wurden die Abdeckplatten versetzt und das obere Ende der Dichtung darunter geschoben. Zum Schutze der Asphaltfilzplatten wurde zunächst eine Sandschicht und dann erst die Steinbeugung aufgebracht.

Nach 23 Monaten Bauzeit war die Brücke gegen Ende August 1909 fertig. Es waren 1023 cbm Baugrubenaushub und 4354 cbm Mauerwerk geleistet worden; die Kosten einschließlich der Rüstungen, für welche die Unternehmung im Angebot den unzulänglichen Betrag von 6000 M. verlangt hatte, betrugen nach der Abrechnung 206 000 M., so daß für einen Kubikmeter Mauerwerk mit allen Nebenkosten 47,52 M., 2,6 mal dem Preise für gewöhnliches Bruchsteinmauerwerk, mit 18,50 M. pro cbm, bezahlt wurde.

B. 1. Entwurf für das große Lehrgerüst (Abb. 40). In dem von der Bauverwaltung der Unternehmung vorgeschlagenen ersten Entwurf wurden 4 Binder mit einem Achsabstand von 1,50 m angenommen, von denen jeder aus einem Unter-, Mittel- und Oberstock bestand. Als Stützpunkte waren außer den Kragsteinen an jedem Haupt Widerlager 3 Pfeiler im Murgbett vorgesehen, welchen die Ständer und Streben der einzelnen Stockwerke die Last auf kürzestem Wege zuleiten sollten. Der Unterstock wurde aus 2 großen Mittel- und 2 kleinen Seitensprengwerken gebildet, deren Streben nicht zu flach geneigt wurden und deren wagerechter Stab mit der durchgehenden Längsschwelle verschraubt und verdübelt und nach oben aufgehängt wurde. Auf der Längsschwelle standen die Ausrüstungsspindeln von 46 + 20 = 66 cm Höhe. Auf einer zweiten Längsschwelle erhob sich der Mittelstock und über dessen oberer Ausgleichsschwelle der Oberstock. Jeder Binder war ein in sich abgeschlossenes Tragwerk, das durch ausreichenden Querverband mit den anderen die nötige Seitensteifigkeit erhielt, aber mit Rücksicht auf leichtes Rüsten und die unvermeidlichen kleinen Höhenunterschiede kein Tragglied mit den andern Bindern gemeinsam hatte. Die Streben und Ständer stützten mit besonderen Sattelhölzern die Kranzhölzer, welche mit ihnen verschraubt und verdübelt waren. Zu jedem Dübel gehören zwei Schrauben, welche in der Abb. 40 nicht angedeutet sind.

Für die Berechnung wurde dem Lehrgerüst die ganze Gewölbelast, mit Rücksicht auf Stoßwirkung sogar noch um % erhöht, zugemutet, obwohl durch den zuerst geschlossenen inneren Quaderring eine Entlastung zu erwarten war. Jedem Ständer und jeder Strebe des Oberstockes wurde die ihm natürlicher Weise zukommende Last, wenn nötig nach dem

Parallelogramm der Kräfte ermittelt, zugewiesen, und die obere Längsschwelle des Mittelstockes hatte die wagrechten Komponenten aufzunehmen, so daß nur die lotrechten Lasten sich weiter in den Mittel- und Unterstock fortpflanzen konnten. Auch hier nahmen die Längsschwellen wieder den wagrechten Druck auf, während der endgültig jeden Seitenpfeiler treffende Schub durch Druckstreben nach dem Haupt Widerlager geleitet wurde. Für die Ermittlung der Holzstärke wurde angenommen:

Spez. Gewicht des Mauerwerks............

,, Holzes..............

Zulässige Druckbeanspruchung des Holzes längs der Faser

,, quer zur Faser Eisenbeanspruchung auf Zug und Druck . . .

,, Schub.......

55

© IV

60 kg/cm²

55

55

20

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Maßstab 1:300

1    0 12 3    *    5 6’ 7 8 9 10 11 12 13 10

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Pfeiler grün driß.

Ansicht.

Ahb. 40. Lehrgerüst für den Hauptbogen bei Langenbrand.

Erster Entwurf.

Die Knicksicherheit wurde aus dem Verhältnis n der gefährlichen Knickspannung k0 zur wirklichen Druckspannung a berechnet und mußte mindestens eine 5 fache sein. Bedeutet l das Verhältnis der Knicklänge zum Trägheitsradius, so kann gesetzt werden:

k₀ = 294 — 1,94 \ für 1,8 < l< 100 1 000 000

k₀ =

}?

für

1 > 100.

Für das Gerüst war scharfkantiges Holz vorgeschrieben, das aus den großen alten Beständen der umliegenden Wälder in beliebiger Länge und Stärke gewonnen werden konnte. Der Schraubendurchmesser wurde für sämtliche Lehrgerüste des Bahnbaues mit 3 cm angenommen, ebenso wie sämtliche Hartholzdübel 8 cm hoch und 12 breit waren. Da unter jede Quader-Fuge und -Mitte ein Schalholz gelegt werden sollte, ergab sich für das Schalholz eine Stärke von 13/13 cm. Die Einheitlichkeit in den einzelnen Teilen ermöglichte ihre wiederholte Verwendung an anderen Baustellen und verminderte den Aufwand. Im einzelnen ergaben sich folgende Holzstärken:

13 • 13 cm 20-45 „

20-20 „

25-25 „

30 • 30 u. 40 • 40 cm 2-20 • 10

Schalholz . . .

Kranzholz . .

Oberstock . .

Mittelstock . .

Unterstock . .

Zangen, Kreuze

Hiernach berechnet sich ein Zeugaufwand für den ersten Entwurf des Lehrgerüstes: Schalholz . . .

Kantholz . . .

Hartholz . . .

Zusammen Holz

Eisen ohne Spindeln..... 5280 kg

27,04 cbm 196,50 „ 14,98    „

. 238,52    „

Für spätere Vergleiche wurde der Aufwand für folgende Einheiten berechnet: des überwölbten Raumes, der überwölbten Grundfläche, des Gewölbeinhaltes, des Produktes Grundfläche mal Spannweite und endlich des Produktes aus Grundfläche mal Spann-

aus

weite mal Höhe. Die 3 ersten Einheiten sind die üblichen; die 4. und 5. tragen dem Umstand Rechnung, daß der Zeugaufwand etwa mit dem Quadrate der Spannweite eines Bogens wächst. Der Raum wurde nur soweit gemessen, als er über den Kämpfern liegt. Die einzelnen Werte sind 2914 m³, 321m², 760 m³, 18 915 m³, 278 996 m⁴; die Einheitsauf

wendungen sind in der Liste 39 enthalten.

von Forbach

fällt 1:45 -

nach Wasenbach

3228

>20-15 \ 40-30 ZZ-ZZ

Ir

/I

4«

Versetzgervst

ttl

125

25

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28-2.

5,28-

26

Lehrgerüst

«r

31

3S

30-361

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18-9

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30-30<

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HM 1896

V,55

5,22

20,00

-6,17-

~W

2,92

9,50

■H

Strom

-«—3,30-

5,90

,    Maßstab H300

7,    0123456789 m

w LhJ__I_I_I_I_I_I_I_L_

Ansicht.

Querschnitt b—b.

Abb. 4L Lehr- und Versatzgerüst für den Hauptbogen bei Langenbrand. Ausfiihrungsentwurf.

C. Ausführungsentwurf für das große Lehrgerüst (Abb. 41, 42). Im Laufe von Verhandlungen reichte die Unternehmung eine Abänderung ein, welche die Stellung der Pfeiler, Anzahl der Binder und Einteilung der Stockwerke beibeliielt, aber die Feldweiten im Binder verkleinerte und vor allem das Kranzholz mit Pfetten stützte, welche über alle vier Binder gingen. Sämtliche Streben wurden nach dem Mittelpunkt gerichtet und erhielten Hilfsstreben. Die Hauptstreben der unteren Sprengwerke lagen sehr flach; die rechnerische

Nachprüfung ergab aber noch eine genügende Standsicherheit, und das Gerüst wurde zur Ausführung genehmigt und hat sich bewährt.

Das Kranzholz lagerte auf eichenen Sattelhölzern auf und war mit ihnen verschraubt. Die darunterliegenden Pfetten waren soweit verlängert worden, daß sie noch beiderseits einen Ständer des Versetzgerüstes über dem Bogen tragen konnten. Weil sie über alle vier Binder hindurch liefen, mußte beim Rüsten auf genaue Höhenlage geachtet werden, und es war nicht möglich, die unvermeidlichen kleinen Höhenfehler der Binder erst kurz vor dem Wölben am Schalholz auszugleichen, sondern man mußte sie mit vieler Mühe sofort beim Rüsten zu beseitigen versuchen. Die mittleren 3 Ständer saßen im Ober- und Mittelstock auf je einer Eichenschwelle auf, welche mit dem Längsbalken verschraubt war. Ähnlich dem ersten Entwurf waren Hilfszangen zur Verkürzung der Knicklängen eingezogen und ein starker Querverband aus Doppelzangen angeordnet worden. Auch der einseitige Schub wurde durch Druckstreben dem Hauptwiderlager zugeleitet.

Über jedem Ständer des Mittelstockes wurde ein Paar Schraubenspindeln von 30 t Tragkraft vorgesehen, welche bei 20 cm Hubhöhe in niedergeschraubtem Zustande 46 cm hoch waren und auf 56 cm eingestellt wurden. Dem Lehrgerüstscheitel wurden 15 cm Überhöhung gegeben, welche parabolisch nach den Kämpfern abnahm.

Abb. 42. Der Talübergang bei Langenbrand nach dem Schluß des ersten Ringes. Blick flußaufwärts.

Die Festigkeitsberechnung hatte bei gleicher Grundlage den gleichen Gang wie beim ersten Entwurf und ergab folgende Abmessungen:

im Mittelstock . .

,, Unterstock

Schalholz........

Kranzholz.......

Tragstreben im Oberstock Hilfsstreben im

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Streben

Längsschwelle ,,

Ständer Streben Hilfszangen und Kreuze

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. . 26 • 26, 26 • 24 cm . .26-30 cm .. 40-40 „

.. 30-30 „

. . 30 • 30, 40 • 40 cm 2.9-18 cm

Die größte Traglast eines Spindelpaares betrug 45 t, die größte Druckspannung im Außenpfeiler 9,6 und im mittleren 6,2 kg/cm²; die größte Bodenpressung in den Außenpfeilern, die auf Fels standen, war 4,8 und im Mittelpfeiler, der auf Geröll stand, 3,8 kg/cm². Die Standsicherheit gegen Wind von 250 kg/qm wurde sowohl für den beweglichen Oberteil, von dessen voller uinrüsteter Sichtfläche 31,2% Windfläche ist, als auch für das ganze Gerüst über den Pfeilern, von dessen ganzer uinrüsteter Fläche nur 18,5% vom Wind getroffen werden, nachgewiesen und beim unbelasteten Zustande eine Sicherheit von 2,2 und 1,5 berechnet.

Bei dem zweiten Entwurf ergab sich folgender Aufwand:

27,04 cbm 238,54 „ 18,61 „

Schalholz.....

Kantholz.....

Hartholz.....

284,19 cbm 5090 kg

Zusammen Holz . .

Eisen ohne Spindeln

Es wurden 45 cbm oder 18% mehr Holz als beim ersten Entwurf gebraucht. Der Mehraufwand erklärt sich hauptsächlich aus dem Einziehen überflüssiger Hilfsstreben. Der Aufwand für die früheren Einheiten steht in Liste 39. Da die Sicherheit in hohem Maße von den guten Zustand der Schrauben abhing, wurde jeder einzelne Schraubenkopf vor dem Einziehen der Schrauben geprüft und jede Schraubenmutter vor dem Wölben nachgezogen.

An Arbeit wurde im ganzen verwendet für:

Abbinden

Aufstellen

Abrüsten

450 Tagschichten

390

200

Zusammen

1040 Tagschichten

Der auf die Einheiten bezogene Arbeitsaufwand ist in Liste 36 enthalten. Eine Tagschicht umfaßt ein für allemal 11 Stunden, worin eine Stunde Mittagspause und je % Stunde Frühstück und Vesperpause enthalten ist.

D. Das Versetzgerüst. Das Versetzgerüst hatte in Höhe der künftigen Bahn ein 60 cm breites Gleis für die Rollbahn und ein 475 cm breites für den Kran zu tragen. Die 20 • 15 cm starken Gleisschwellen lagen auf 3 Längsbalken 28 • 32 und diese wieder auf Querschwellen 30 • 30 bzw. 30 • 40, welche beiderseits mit einem Ständer 22 • 22 bzw. 22 • 24 cm auf die auskragenden Pfetten des Lehrgerüstes abgestützt waren. In Kämpfernähe wurde die Fahrbahn von einem 13 m weit gespannten Sprengwerk getragen, dessen Streben 25 • 30 cm stark waren (Abb. 41, S. 76).

Die einfache Berechnung nahm eine bewegliche Last von 4 mit je einem 1,6 t schweren Wölbquader beladenen Plattwagen von 1,75 m Länge und eines Kranes von 3,3 t an.

Dem Holz wurde eine Druckspannung bis zu 80kg/cm² zugemutet. Das Gerüst wurde ganz aus Kantholz hergestellt und verbrauchte 68,4 cbm Holz und 360 kg Eisen. Jeder Aufbau der 3 Portalkrane verschlang 5,2 cbm Holz und 28 kg Eisen. Das Versetzgerüst wurde in 16 Arbeitstagen auf geschlagen und erforderte folgenden Arbeitsaufwand:

Abbinden

Aufstellen

Abrüsten

62 Tagschichten 132

55

249 Tagschichten

Zusammen

Der auf verschiedene Einheiten bezogene Aufwand ist in Liste 40, S. 99 enthalten.

3. Die Tennetschluehtbrücke.

I. Die Bauausführung mit Bauprogramm.

Etwa 1,5 km oberhalb des Talüberganges bei Langenbrand übersetzt die Bahnlinie die Tennetschlucht in einem Bogen von 220 m Halbmesser und in der Steigung 1 : 53 mit steinerner Brücke, die aus 9 Bögen von je 16 m Spannweite besteht, eine Gesamtlänge von 183,30 m besitzt und mit ihrer Fahrbahn 27 m über die Murgsohle ansteigt. Die Pfeiler des Bauwerkes haben auf der dem Mittelpunkte abgewendeten Bergseite einen Anzug von 15 : 1, auf den 3 anderen Seiten einen solchen von 20 : 1 bis zum Beginn der Bogenwölbung,

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Abb. 43. Die Tennetschluehtbrücke. Blick flußaufwärts.

von wo die beiden Stirnflächen senkrecht sind und einen gegenseitigen Abstand von 4,40 m halten. Die geringste Pfeilerstärke mißt in der Brückenrichtung 2,80 m. Alle Pfeiler und die beiden Endwiderlager sind auf gesunden Fels gegründet. Das Pfeilermauerwerk besteht aus Granitbruchsteinen, die in Zementmörtel 1 : 3 gebettet wurden. Das Gewölbe, dessen innere Leibung nach einem Kreisbogen von 8,00 m Halbmesser gekrümmt und aus dem gleichen Bruchsteinmauerwerk wie die Pfeiler gebildet ist, ist am Scheitel 0,80 m, an den Kämpfern 1,28 und 1,25 m stark. Die Kämpfer liegen der Bahnneigung entsprechend verschieden hoch, 2,92 und 3,20 m über dem Kreismittelpunkt.

Die abgeschlossene Lage der Baustelle in der steilen von der Murg durchfluteten Schlucht, 40 m unterhalb der auf dem rechten Ufer liegenden Landstraße gestaltete die Bauausführung schwierig (Abb. 38). Schon die Absteckung der Pfeilerachspunkte war nicht einfach, da Längenmessungen in der Bahnachse durch die steile Felswand am Nordende unmöglich waren und durch eine Triangulation ersetzt werden mußten, welche 2 geschickt das Gelände des flachen linken Ufers ausnützende Basen zur Grundlage hatte.

Begünstigt durch den niederen Wasserstand der Murg gelang es, ohne große Kosten den Fluß gegen das Innenufer zu verlegen und mitten im alten Flußbett die neue Uler-mauer — zeitweilig unter Verwendung einer Lokomobile zur Wasserhaltung — herzustellen. Hinter ihr konnten die Arbeitsplätze sicher angelegt und auch die Pfeilerbaugruben bis auf

Der

von Weisenbach

den Fels ausgeschachtet werden, ohne von den plötzlich eintretenden Anschwellungen gefährdet zu sein. Die Versorgung der Baustelle mit Baustoffen wurde dadurch etwas erleichtert, daß ein Teil des Sandes aus dem Flußbett und ein großer Teil der Bruchsteine und Quader aus den dort liegenden Granitwacken oder aus Brüchen gewonnen werden konnte, welche wenig oberhalb besonders auf dem linken Ufer angelegt wurden. Zement und ein Teil des Sandes wurde zwei Stunden weit von Weisenbach auf der Landstraße heraufgeschafft, da die Dienstbahn noch nicht bis hierher vorgestreckt werden konnte. Was an Steinen noch fehlte, wurde auf der Landstraße von den Brüchen bei Forbach her befördert. Ein zweigleisiger Bremsberg beförderte in 2 Minuten Fahrzeit 3 t Nutzlast von der Landstraße zu dem Lagerplatz am Fuß der Pfeiler auf einer 78 m langen Fahrbahn mit 82% Gefälle. An seinem Endpunkte war das Sandlager und die Zementbude angelegt und die Mörtelmischmaschine aufgestellt, welche mit Dampfkraft betrieben wurde und gute Dienste leistete. Die Maschinenkraft reichte gerade noch für den nahe dabei gelegenen Aufzug am Versetzgerüst und eine Pumpe aus, welche das Mörtelwasser aus der Murg schöpfte. (Abb. 45, S. 81.)

Ansicht.

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nach Kirschbaum wasen

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Grundriß.

Abb. 44. Die Tennetschluclitbrücke.

Zur Beifuhr der Steine und des Mörtels für Pfeiler und Gewölbe ist ein Versetzgerüst einfachster Art, das aus vier Stockwerken gebildet war, auf der Bergseite des Bauwerks aufgestellt worden. Zwei Reihen, etwa 300 cm voneinander abstehende Ständer mit Beiständern stellen das Haupttragelement dar. Zu ihrer Verbindung und als Auflager für drei Längsträger mit den darauf liegen den Schwellen a waren die Querträger c eingezogen. Auf die Schwellen sind die Schienen des Gleises und Gedeckdielen aufgenagelt worden. Auf jedem Stockwerk war ein Gleis von 60 cm Spurweite, das durch eine Drehscheibe mit dem Aufzug in Verbindung stand, im untersten Stockwerk außerdem Anschluß an den Bremsberg und im obersten an das Baugleis der freien Strecke hatte.

Die Lehrgerüste sollten über den in Höhe des Bogenmittelpunktes in den Pfeilerschäften eingemauerten Kragsteinen über die 16 m jeder Öffnung freitragend aufgestellt werden.

Als die Maurerarbeit schon einige Zeit im Gange wrar, wurde mit der Unternehmung ein Bauprogramm vereinbart, das einen planmäßigen und raschen Arbeitsfortgang im Bau dieser, wegen ihrer Anlage und der Geländebeschaffenheit schwierigen Brücke gewährleisten

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Abb. 45. Die Baueinrichtung an dar Tennetschluchtbrücke.

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sollte und in jeder Beziehung einen guten Einfluß auch ausgeübt hat. Es wurde dreierlei darin festgelegt und in einer besonderen Abb. 46 zeichnerisch dargestellt:

1. Der Arbeitsvorgang. 2. Die Arbeiterzahl. 3. Der wöchentliche Steinbedarf.

Für den Arbeitsvorgang entschloß man sich zur Anschaffung von drei Lehrgerüsten, so daß die neun Bögen in drei Gruppen zu je drei Bögen gewölbt werden konnten und nur einer der gleich stark ausgebildeten, hohen Pfeiler einen einseitigen Schub auszuhalten hatte. Zuerst sollten die drei niederen Pfeiler und das End Widerlager auf der Südseite und ohne Unterbrechung die zugehörigen Bögen gemauert werden. Inzwischen konnten die bereits begonnenen Baugruben der Pfeiler im Flußbette ausgehoben und der umfangreiche Felsabtrag für das Nordwiderlager geleistet werden. Während die Zimmerleute auf der Südseite die Lehrgerüste aufstellten, konnten die Maurer am nördlichen Widerlager und an den drei hohen Pfeilern 1—3 arbeiten, welche die zweite Arbeitsgruppe bildeten und wohin nach Schluß der Südgruppe alle Maurer gingen. Im allgemeinen sollte immer an drei Pfeilern gearbeitet werden. Erst nachdem auch die Nordgruppe bis zur Kämpferhöhe fertig war, wurden die Pfeiler 4 und 5 auch hochgetrieben, deren unterer Teil zu Anfang wegen der rasch beendigten Baugrube schon hatte gemauert werden können. Hierbei trat jedoch eine Unterbrechung dadurch ein, daß inzwischen die Lehrgerüste in den drei südlichen Öffnungen ausgerüstet und über den drei nördlichen aufgeschlagen werden und sämtliche Maurer auf ihnen die drei Nordbögen I—III rasch wölben sollten. Zum Schlüsse wurden die mittleren Bögen IV, V, VI mit Hilfe der in der Nordgruppe ausgerüsteten Gerüste hergestellt. Hierbei ergab sich ein zwingender Zusammenhang in der Arbeit, indem angenommen wurde, daß ein Lehrgerüst in einer Woche aufgeschlagen und ein Gewölbe in 2 Wochen fertig werden konnte, und indem andererseits verlangt wurde, daß ein Gewölbe im allgemeinen erst vier Wochen nach Wölbschluß ausgerüstet und an der Nordgruppe erst drei Wochen nach Fertigstellung des einseitig beanspruchten Pfeilers 3 mit Wölben begonnen werden durfte.

Um die richtige Arbeiterzahl und daraus den Zeitaufwand für die verschiedenen Bauabschnitte zu finden, brauchte man sich nur zu vergegenwärtigen, daß die Maurer wegen des einseitigen Versetzgerüstes auf den Pfeilern stehen mußten, und daß auf etwa 2 qm Querschnittfläche ein Maurer noch ungehindert arbeiten konnte. So waren für den unteren Teil eines Pfeilers 8 und für die Kämpfergegend etwa 6 Maurer zu rechnen, welche ständig Steine versetzen konnten, während 2 Maurer ab und zu gingen, um Steine auszusuchen und zuzurichten. Aus der Summe der gleichzeitig in Mauerung stehenden Pfeilerquerschnitte war hiernach leicht die Maurerzahl und auch die Zahl der Hilfsarbeiter zu bestimmen, da erfahrungsgemäß bei einem solchen Bau für 10 Maurer ebensoviele Handlanger und etwa 6 Steinhauer, welche die Schichtsteine entweder im Bruch oder am Lagerplatz bearbeiten, gebraucht werden. Als wöchentliche Arbeitsleistung an einem Pfeiler wurden 60 cbm angesetzt, entsprechend einer durchschnittlichen Tagesleistung von 1 cbm für den Maurer. Ein hoher Pfeiler hatte 430—440 cbm Mauerwerk und konnte in neun Arbeitswochen hochgetrieben werden, wenn man einen Sicherheitszuschlag von 25% für schlechte Witterung,

435

• 1,25 = 9 Wochen. Für das Versetzen der 85 cbm Gewölb-

60

Feiertage u. dgl. gab.

steine wurden 2 Wochen angenommen. Aus dem Zustand des Bauwerks z. Z. des Entwurfs des Bauprogramms, aus der vorhin geschilderten Gliederung in drei Arbeitsgruppen, aus der eben berechneten Arbeiterzahl und dem zugehörigen Fortschritte konnte das Programm zeichnerisch festgelegt und die Linie des Maurerbedarfs auf getragen werden.

Auch der wöchentliche Bedarf an Stein u. dgl. konnte leicht vorausberechnet werden. Nach der geometrischen Form der Pfeiler waren im unteren Teil für 24 cbm Mauerwerk 7 cbm Schichtsteine und 17 cbm Bruchsteine zur Ausmauerung nötig. Bei 10 % Abfall bei den Schicht- und 25% bei den Bruchsteinen mußten für einen Pfeiler in einer Woche

60

—- • 7 • 1,1 =20 cbm oder

20 60

0,45

24

= 44 qm Schichtsteine und — • 17 • 1,25 — 53 cbm Bruchsteine an die Baustelle geliefert werden, oder jederzeit mindestens ein solcher Vorrat auf den Lagerplätzen liegen. Für den oberen Teil der Pfeiler änderte sich das Verhältnis zwischen

Schicht- und Bruchsteinen zu

25

-. Ehe mit dem Wölben einer Gruppe von drei Bögen

41

begonnen wurde, sollte der gesamte Steinvorrat angeliefert sein. Somit konnte endlich

Der Arbeiterbedarf.

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ii

—    Wirkliche

— -i Maurerzahl

Maurerzahl

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'nach Programm

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10 Maurern entsprechen 10 Handlanger 6 Stein hau er

1 Tagschicht hat 11 Stunden

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Beginn des Programms^

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Die angenommene Leistung ist stark und die tatsächliche Leistung dünn gezeichnet. Abb. 46. Das ßauprogramm der Tennetschluchtbriicke.

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auch die Linie gezeichnet werden, welche den jederzeit auf der Baustelle lagernden Stein Vorrat anzeigt.

Wurden nach Ausweis des Programms bei der Arbeit an Pfeiler oder Gewölbe Maurer und Handlanger entbehrlich, so konnten sie bei der Aufmauerung über den Gewölben zuerst der Süd- und dann der Nordgruppe verwendet werden, so daß der durch den Höchstbedarf sich ergebende Arbeiterstand auch längere Zeit beim Bauwerk beschäftigt werden konnte.

Ende März war mit der Mauerung begonnen worden, und nach dem Programm hätten sämtliche Bögen Ende Oktober geschlossen sein sollen. Nur vom Schluß der Gewölbe hing das Verlegen des durchgehenden Baugleises und damit der Fortgang der anderen Bauarbeiten ab, und es wurde für die Übermauerung der Gewölbe daher nichts weiter bestimmt, als daß sie bis zum Vertragstermin beendet sein sollte.

Es war nun interessant, während des Baues an jedem Wochenende die Meereshöhe der Pfeiler und die tatsächliche Leistung festzustellen und in das Programm einzutragen (Abb.46); es zeigte sich hierdurch sofort ein etwaiger Vorsprung oder Rückstand der Arbeit. Auch wurden genaue Aufzeichnungen in Abb. 46 über die Arbeiterzahl und den Mörtelverbrauch gemacht und so ermittelt, daß von 3846 Maurerschichten 3617 cbm Gesamtmauerwerk, also, ziemlich entsprechend der Annahme, von einem Maurer 0,94 cbm im Tag geleistet wurden. Die Arbeitseinteilung und vor allem der Endtermin für die letzte Gewölbegruppe wurde tatsächlich eingehalten; innerhalb jeder Gruppe ergaben sich Verschiebungen, welche im Abb. 46 mit dünnen Linien eingezeichnet sind.

Steigt 1:53

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Maßstab 1:500 2 3 0 5 6 7 3 1 10m.

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Schnitt a—a.

Abb. 47. Ansicht der drei höchsten Pfeiler der Tenn etschluchtbrücke.

Um die im Querschnitt trapezförmigen Pfeiler mit den verschiedenen Stirnneigungen richtig hochzubringen, wurden auf dem flachen linken Ufer für jeden Pfeiler 2 mit dem Pfeilerachspunkt auf dem gleichen Kreishalbmesser liegende Punkte geschlagen und am Pfeilerfuß die Richtung deutlich im Mauerwerk eingespitzt. Der Theodolit wurde auf dem hintersten Punkte aufgestellt und sodann die Symmetriachse 1 am obersten Schichten-kranz frisch angegeben (Abb. 47, Grundriß). Um richtige Querabmessungen zu erhalten, mußten bei 2 benachbarten Pfeilern immer auf dem einen Pfeiler der Achspunkt und beim anderen möglichst hoch oben auf der zugewendeten Sichtfläche ein Einhieb vorhanden sein, wodurch die Verbindungslinie 2, 3 der Achspunkte bestimmt war. Für jeden Meter Höhe

wurden die Maße a, b, c, d einer Liste entnommen und von den drei Achsen 1, 2, 3 eines Pfeilers aus wagrecht angetragen und darnach die Ecken frisch angesetzt. Für einen Pfeiler wurden 8—9 Wochen wirkliche Arbeitszeit gebraucht.

Das Aufschlagen eines Lehrgerüstes erforderte im Mittel 5 Tage und wurde durch die Kragsteine wesentlich erleichtert, da man über gegenüberliegende Kragsteine einer Öffnung vom Pfeilerhaupte Streckbalken legen und mit Dielen einen Arbeitsboden schaffen konnte. Darauf wurden die beiderseitigen Bogenschwellen gelegt und vorübergehend abgestützt; dann die 4 Paare Hauptstreben samt Hängesäule und wagerechter Doppelzange auf gestellt, wobei man mit dem flußseitigen Binder begann und vom Pfeilerhaupt und Arbeitsboden aus arbeitete. Zwischen die unteren Strebenstirnen und das Mauerwerk wurden Keile und Eisenbleche eingezogen, welche das Ausrüsten erleichterten. Die Streben erhielten sogleich ihren Querverband und trugen mit ihren wagrechten Doppelzangen einen zweiten Arbeitsboden, von dem aus die Kranzhölzer u. s. f. eingebaut werden konnten. Beim Abrüsten wurden die gleichen Hiifsböden benutzt. Nachdem die Schraubenspindeln aufgestellt waren, wurden die Binder kurz vor dem Wölben in ihre richtige Höhenlage gebracht; bei 6 cm Überhöhung des Binderscheitels waren die Spindeln mit 20 cm Hubhöhe auf 60 cm Gesamthöhe eingestellt. Um die Seitensteifigkeit des Gerüstes zu erhöhen, wurden zuerst am

Ansicht. Darstellung des Wölb Vorganges.

Querschnitt a—a.

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= 41,60, f = 13,30 m, — = 0,320.

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t es näherungsweise erlaubt, bei der Last 1 t in Brückenmitte den Horizontalschub H₀ = 1 t anzunehmen, wie der Bogen der Langenbrandner und Schwändeholzdobelbrücke zeigt. Aus den Abständen d, k des Schwerpunktes der elastischen Gewichte einer Bogenhälfte

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von der Symmetrieachse und der Kämpferlinie hat

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Die trocken versetzte Schicht ist mit S bezeichnet.

Abb. 48. Das Lehrgerüst der Tennetschluchtbrücke.

Kämpfer 4 Schichten versetzt und erst dann im Scheitel 2—3 Lagen Wölbsteine als Auflast aufgebracht. Nach weiteren 3 Schichten wurde die 8. Schicht trocken und nur in einer Steinstärke versetzt (vgl. Abb. 48). In rascher Folge wurde hierauf gegen den Scheitel weitergewölbt, wobei die dort lagernden Wölbsteine verwendet, und dadurch die Scheitellasten allmählich verkleinert wurden. Gegen Wölbschluß wurden die Holzstempel, welche die vollversetzte 10. Schicht trugen, spannungslos und konnten entfernt werden. Nach Versetzung des Schlußsteines wurden die leeren Lagerfugen der 8. Schicht mit Mörtel vollgestampft und beiderseits die Gewölblücken geschlossen. Der Zementmörtel 1 : 3 wurde so steif angemacht, daß er sich in die Fugen einstampfen ließ, und wurde durch das Schalholz unter der Lager- und das Fugenholz unter der Stoßfuge vor dem Auslaufen bewahrt. Das frische Mauerwerk wurde abgedeckt und viermal im Tag begossen, um ein rasches Verdunsten des Mörtelwassers zu verhindern und ein langsames Abbinden und damit eine große Festigkeit des Mörtels zu erzielen.

Die südliche Gewölbegruppe war wie bei Langenbrand ohne die trockene Schicht her-gestellt worden, und es wurden während und nach der Mauerung bei allen 3 Bögen 1—2 m über dem Kämpfer Risse im Fugenmörtel beobachtet; die 6 anderen Gewölbe blieben jedoch ohne Fehler. Um die Scheitelbewegungen zu beobachten, wurde an jedem Morgen die Meereshöhe eines jeden Binders und der Bogenschwelle gemessen, und aus dem Unterschied beider Änderungen die Zusammenpressung des Lehrgerüstes gefunden. Diese Verkleinerung des Bogenpfeiles, welche zum Teil eine Folge des festeren Schlusses der Holz Verbindungen unter der Einwirkung der wachsenden Auflast, zum Teil aber auch elastischer Natur war, wird in der Reihenfolge, in der sie gefunden wurde, in Millimeter angegeben.

Liste 33.

Bogen

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Das Mittel der 36 Beobachtungen der Scheitelsenkung eines Lehrgerüstbinders ist 25 mm. Ungleichmäßige Bewegungen der einzelnen Binder eines Bogens waren nur in Scheitelnähe von Einfluß und wurden am Schalholz leicht ausgeglichen. Die Gewölbe hatten beim Ausrüsten, das wegen des vorzüglich erhärteten Mörtels bereits nach 3 Wochen erfolgte, keine Scheitelsenkung; nur einmal wurden 2 mm beobachtet.

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Abt». 49. Ansicht der Tenn etschluchtbrücke während der Arbeit an der zweiten Wölbgruppe nach Schluß der Scheitel aber vor Schluß der achten Schichten.

Die Arbeitsbögen für die Lehrgerüste liegen noch auf den Kragsteinen.

Der tatsächliche Aufwand an Arbeit und Mörtel für den Kubikmeter Gewölbemauer -werk beträgt als Mittel der hier in Liste 34 wiedergegebenen neun Beobachtungen 0,93 Maurerschicht, 0,265 cbm Zementmörtel oder 121 kg Zement.

Liste 34.

Bogen

Maurerschicht Mörtel cbm . Zement kg .

0,85

0,240

©o

hWO

0,78    1,09    0,97

0,240 0,256 0,256 114    112    112

0,79 0,80 1,00 0,275 0,313 0,315 125 142 144

An dem hohen Pfeiler 3, der während der Arbeit an der nördlichen Bogengruppe einseitigen Schub auszuhalten hatte, waren die Spannungen unter der Last des eingerüsteten Bogens III zu 7,5 Druck und 0,4 kg/cm² Zug berechnet worden. Die Bewegung des Pfeilerhauptes wurde sorgfältig gemessen, und da man ein Mitgehen der Pfeiler 1 und 2 vermutete, hatte man auch bei ihnen oben mitten in der flußseitigen wagrechten Kante einen wagrechten Maßstab angebracht und mit einem Theodolit, der jeweils auf dem zugehörigen links-ufrigen Punkte der Pfeilerachse stand, den Ausschlag gemessen. Die sorgfältigen Messungen ergaben deutlich eine Bewegung der Pfeilerköpfe, welche mit dem Fortschritt der Gewölbemauerung zunahm; sie stehen als Millimeter in Liste 35.

Liste 35.

Tag

Ausschlag von Pfeiler

Lehrgerüst ohne Scheitellast, 0 Schichten versetzt . . . .

mit teilweiser Scheitellast, 4 Schichten versetzt „ ganzer ,, teilweiser

Gewölbe geschlossen . . .

Bogen I und II ausgerüstet

12

in

OO l> CO 05 TjH CO Ö i—I    rH

HHHHH

I—1 I—‘i I—11 I—11 o

05 Ol Ox ÜT Öl o

Ehe man den Bogen III ansrüstete, hatte man Bogen I und II schon ausgerüstet, die Gerüste in Bogen IV und V aufgestellt und den Scheitel von V belastet. Durch diese Maßnahme wurde die Pfeilerbewegung beim Ausrüsten im Bogen III auf 1 mm heruntergedrückt. Das Mauerwerk hatte inzwischen neun Wochen Zeit zum Erhärten gehabt.

Da die Maßstäbe inzwischen versehentlich von den Maurern wie schon früher bei Pfeiler 2 entfernt worden waren, konnte nicht festgestellt werden, ob der Ausschlag sich nach Schluß der 3 noch fehlenden Bögen IV—VI vermindert hat. Die Pfeilerbewegungen waren wohl rein elastische; bei dem guten Steine und Mörtel und der tadellosen Maurerarbeit wurden sofort und auch später beim Ausfugen nirgends Fugenrisse gefunden.

Nach Schluß aller Bögen wurden die Bogenzwickel und Stirnmauern von der Brücke selbst aus gemauert und dabei durch Ausrunden der Stirnmauern im Grundriß und verschieden weites Vorsetzen der Kragsteine und Abdeckplatten der polygonale Zug der Gewölbe nach oben in eine gleichmäßige Krümmung übergeführt. Die Abdichtung geschah im Sommer 1909 wie bei Langenbrand mit einem Zementglattstrich der Innenflächen, der alle Ecken und Kanten ausrundete und auf den eine Lage von Asphaltfilzplatten aufgeklebt wurde. Gleichen Schritt damit hielt das Einbringen der Schutzschichte aus Sand und der Auspackung aus Granit sowie das Versetzen der Abdeckplatten, unter welchen der Asphaltfilz oben endigte. Statt Wassernasen anzubringen, wurden die Abdeckplatten nach außen geneigt, so daß das Wasser rasch abfließt und nicht an den Stirnmauern herunter läuft. Die Entwässerung hat sich bis jetzt bewährt. Nach dem Ausfugen der Sichtflächen bildete das Anbringen eines Geländers aus Winkeleisen 50/50/7, welches mit Fußwinkeln an den Platten abnehmbar befestigt ist, den Abschluß der Arbeit. Weder beim Rüsten noch beim Mauern ereignete sich ein schwerer Unfall; nur beim Abladen von Sand am Fuß des Bremsbergs verlor ein Arbeiter sein Leben.

Für das ganze Bauwerk mit Ufermauer wurden während 21 Monaten Bauzeit 1740 cbm Baugrubenaushub und 6250 cbm Mauerwerk ausgeführt. Nach der Abrechnung wurden mit Rüstung und Wasserhaltung 217 000 M. ausbezahlt, so daß 1 cbm Mauerwerk mit allen Nebenleistungen 34,70 M. kostet oder 1,9 mal dem Einheitspreis für gewöhnliches Bruchsteinmauerwerk.

II. Das Versetzgerüst.

Auf dem 60 cm weiten Gleis des Versetzgerüstes verkehren Plattwagen folgender Art, die von Hand verschoben werden und die auf Abb. 45 gezeichneten Abmessungen haben.

200 kg . 1800 „

. 2000 „

. 1000 „

.    500    „

Eigengewicht des Wagens Auf last 1,75 • 0,80 • 0,55 • 2,4

Gesamtlast........

Achsdruck........

Raddruck.........

0,7

Spez. Gewicht des Holzes

Als größte Zug- und Druckspannung des Holzes wird 80 kg/cm², als mindeste Knick-sicherheit eine fünfache zugelassen. Die Verkehrslast wird mit ihrem einfachen Betrag eingeführt. Zwecks einfacherer Rechnung wurden sämtliche Hölzer freiaufliegend angenommen, auch wenn sie auf mehreren Stützen lagerten.

Für die nur aus Rundholz bestehenden Tragglieder ergeben sich hiermit folgende Stärken (Abb. 45 Querschnitt b—b S. 81):

Schwelle a . . Längsträger b Querträger c . Strebe d . . . Ständer e

15 cm

12    „

20    „

+ + +1 +1 +1

OO 05 ^

g Knicksicherheit kg/cm²

10

15

20

Jeder Ständer besteht aus zwei Rundhölzern, wovon abwechselnd eines den Querträger trägt und das andere als Beiständer zur Stoßdeckung durchgeht. Sie sind durch Stricke und in regelmäßigem Strebenzug eingeschlagene Klammern zu einem einheitlichen Tragglied verbunden. Jede Ständer wand wird durch schräg über 2 Felder reichende Rundstangen unverschieblich gemacht. In den beiden oberen Stockwerken werden um einige Ständer, welche neben den Pfeilern stehen, Rundeisen geschlungen, die eingemauert werden; sie sichern im Verein mit einigen Schubstangen die Standfestigkeit in der Quere.

III. Das Lehrgerüst.

Das Lehrgerüst wurde für anderthalbfache äußere Last unter Vernachlässigung des Eigengewichtes als Zweige lenkfach werkbogen berechnet und entsprechend ausgebildet.

a)    Das Schalholz.

2,4

Einheitsgewicht des Mauerwerks......

130 cm dz80 kg/cm²

Binderentfernung.............

20

Zulässige Zug- und Druckspannung des Holzes ,, Schubspannung längs der Faser

,,    Beanspruchung    des    Eisens    auf Zug und    Druck . . 1200

800

,,    ,,    ,,    ,,    ,, Schub

Das Schalholz wurde für einfache Last gerechnet und wie bei diesem Bau üblich 10/10 cm stark angenommen. Auch in den Tunnels wurden die gleichen Schalhölzer verwendet, so daß sie vielseitig gebraucht und richtig ausgenutzt werden konnten.

Die größte zulässige Entfernung x zweier Schalhölzer wurde zu 33 cm berechnet.

Gegen den Kämpfer durfte x in umgekehrtem Verhältnis zu dem abnehmenden Druck der Auflast auf das Schalholz größer werden.

b)    Die Kranzhölzer. Der radiale Druck der Wölbsteine auf die Kranzhölzer wurde auf Abb. 50 nach bekannter Art für t g 9 = 0,488 gezeichnet. Die Belastungshöhen sind in ihrem einfachen Betrag ebenda dargestellt, wurden aber wegen der Erschütterung um die Hälfte vermehrt in die Rechnung eingesetzt.

a,a ol₁

a,₃

l-cuz

L-cz,, 1/

1cm=0,02

45-

%

II

$1

,1__

°3

'Pi

d,,    \

/&3    !<?J

(3

U₂

0,25

Io,

»ä>

Po

_k_

7,70

=0,188

Das Kranzholz besteht aus 2 Balken 22 • 20 und 20 • 20 cm, welche durch je 4 Dübel 8 • 12 und 6 Schrauben mit 0 2 cm zu einem vollen Tragglied verbunden sind. Die Bogenkrümmung wird durch ein Futterholz hergestellt (Abb. 51 S. 92).

Stab

Spannung ohne Hilfsständer 3,5 mit

°i

°2

°3

46,7

72,3 kg/cm²

15,9

21,7

Gerüstnetz und Lastenfläche.

IP₃

für eine wandernde waqerechte längslast

^Orelnf^ändernaf totrec/,feiosf 10cm^ l*'

Der Kräfteplan der elastischen Gewichte.

Ermittlung der Stabkräfte des Packwerkes.

1=200

1    0    1 Z 3    0-    5    6    7    8    9    10 fl 12    13 lim,

I I I__I

1:00

Abb. 50. Das Lehrgerüst der Tennetschluchtbrücke.

Die Beanspruchung der Schrauben und Dübel ist am größten bei Stab o₃ (Abb. 50, 51). Die Trennungsfuge der beiden Balken hat von der Schwerachse den Abstand v = 1 cm und in der Entfernung x vom linken Lager die Schubspannung

1,5 h² — 6 v²

b h³

Die Summe der Schubspannungen der einen Trägerhälfte ist

t b dx

= A4

l 1,5 h² —6 v²

h³

Für den Stab o₃ wird S = 1,51 • A = 7920 kg.

Für die 1. Annahme, daß die Schrauben unwirksam bleiben, berechnet sich folgende Beanspruchung der Dübel:

50 kg/cm²,

2-20-4

Stirndruck c =

Scherbeanspruchung t

2-20-12

= 17 kg/cm²,

Scherbeanspruchung des Kranzholzes

= 6,6 kg/cm².

2-30-20

Für die 2. Annahme, daß die 3 Bolzen allein die Querkraft aufnehmen, ist die Scher-S

Beanspruchung im Eisen -- = 373 kg/cm²,

3-tz~

4

der größte Lochleibungsdruck

s

g    = 52 und die größte Scherbeanspruchung

= 6 kg/cm².

des Holzes

3-22-22

In Wirklichkeit sind die Beanspruchungen etwas kleiner, weil die Dübel und Bolzen zusammen die Quer kraft aufnehmen.

c) Der Binder. Nach Abb. 50 greifen an den verschiedenen Knotenpunkten die radialen Kräfte P₀, Pl5 P₂, P₃ an. Sie werden mit ihrem einfachen Betrage eingesetzt und die gefundenen Spannungen zum Schlüsse mit 1,5 vervielfacht.

P₀ = 0,09, Pj = 3,22, P₂ = 6,42, P₃ = 7,64 t.

Bei symmetrischer Belastung des symmetrischen Fachwerkbogens ist der lotrechte Lagerdruck gleich der halben Summe der lotrechten Kraftkomponenten, A = 11,50 t.

1. Die Einflußlinie des Horizontalschubes H für lotrechte Last. Da der Träger völlig symmetrisch ist, ist die Gleichung für den Horizontalschub:

Yj S

F m²

Fm²

•S

7]² S

F m²

In der Liste 36 sind nur die Gurtstäbe des Trägers enthalten, da die elastischen Werte der Streben erfahrungsgemäß sehr klein sind.

Liste 36.

in

F m²

t 7s F m²

7j² S

3,90

3,70

3,50

5,50

7,20

o o o o o

^ CO to O I> CO CO CO CO CD

O O IO IC o

IO 1>    |> rH

(M rH M H JO

840

840

840

600

500

0,002 75 0,005 48 0,002 96 0,010 78 0,010 04

0,01128 0,022 47 0,012 14 0,015 09 0,077 31

0,009 90 0,019 73 0,010 66 0 038 81 0,067 27

'kl K) #>■

© © © ©

OOP

W

C5 © _ NIOlOO

Bei der zeichnerischen Ermittlung von H auf Abb.50 denkt man sich für jeden Gurtstab sein elastisches Gewicht p = ^in seinem Gegenpunkte lotrecht wirken. Zu dem

g

Kräfteplane der p zieht man mit dem Polabstande Q =    t)² ——- ein Seilpolygon, dessen

Ordinaten von der Schlußlinie aus gemessen die Werte der gesuchten Einflußlinie sind. Die lotrechten Komponenten der Kräfte P erzeugen den Horizontalschub H₇ = 8,50t. 2. Die Einflußlinie des Horizontalschubs H' für wagrechte Längslast T. Die Last T liegt um t über den Kämpferlinien und um a vom linken Lager entfernt. Die allgemeine für jeden Fachwerkbogen mit zwei Gelenken gültige Gleichung für H' ist:

— (7) — t).

H' = —

S* Fm²

Damit findet sich der Horizontalschub bei wagrechter Längslast für den symmetrischen Fach werkbogen:

H'

7] S

F m²

s

Ym²

Aus der Liste 36 können alle Summenglieder gebildet werden.

a = 0

1,40    4,20

t = 0    3,60    6,00

1 + H' = 0    0,431 0,516

7.70    m.

6.70    m. 0,500 t.

Die zugehörigen symmetrischen Werte ergänzen sich zu — 1 (Abb. 50). Die Horizontalkomponenten T von P₄, P₅ sind 2,6 und 2,9 t. Sie erzeugen einen ihnen entgegengesetzten Schub am linken Lager von — 2,88 t. Die Horizontalkomponenten von Pl5 P₂ erzeugen am linken Lager den ihnen entgegengesetzten Schub von + 2,621. Somit erzeugen die äußeren Kräfte am linken Lager den Schub H₂ = — 0,261. Aus dem Horizontalschub Hj der lotrechten und H₂ der wagrechten Komponenten setzt sich der endgültige Schub H = Hj + H₂ = 8,50 — 0,26 = 8,24 t. zusammen. Die Untersuchung zeigt, daß es bei einem steifen Lehrgerüst genügt, nur für die lotrechten Lasten den Schub zu bestimmen.

3. Die inneren Kräfte. Im Abb. 50 wurden die einzelnen Stabkräfte durch einen

Kräfteplan nach Cremona gefunden. Die Liste 37 gibt die einzelnen Stabquerschnitte und die Stabspannungen.

Liste 37.

Oi

o₂

o₃

Ul

U₂

di

d₂

d₃

Stabkraft, t . . . . Querschnitt, cm² . . Spanung a, kg/cm² . 1,5 er,

7,3

840

7,5

840

9,0

840

7,3

600

2,9    — 0,4

500

500

3,1

400

— 8,7

13,1

—    8,9    —10,7 —12,1    — 5,8

—    13,4 —16,1 —18,2    — 8,7

(— Druck, + Zug.)

0,8    — 7,8

1,2    —11,7

Die Obergurtstäbe haben als Kranzhölzer auch Biegungsspannung, welche zu der achsialen Spannung zu addieren ist. Ohne die Hilfsständer hätten sie zu kleine Sicherheit gegen Ausknicken. Die Liste 38 gibt eine Übersicht über die tatsächlichen Spannungen im Fach werk.

Liste 38.

Knick

sicherheit

Größte

Druckspannung

kg/cm²

Ohne Hilfsständer Mit Ohne Mit Ohne Mit

Oi

Oi

— 16,6

99

99

99

99

°2

0₂

°3

o₃

Ul

— 60,1

u₂

8,7

di

d₂

d₃

+ 1,2

—    11,7

—    6,8

4. Die Berechnung der Knotenpunkte (Abb. 51). Die Wirkung der Verzapfung usw. wurde in der Rechnung nicht berücksichtigt.

Als Beispiel der Berechnung eines Knotenpunktes werde zunächst jene des linken Lagers durchgeführt. Ox = + 11 000 kg, Ul = + 11 000 kg, H = 1,5 • 8240 = 12 360 kg, A = 1,5 • 11 500 = 17 250 kg. Durch die Übertragung von H entsteht die Druckspannung

= — 41,2, jene von A verursacht

12360

17250

15 • 20

Stabes Ox haben eine Beanspruchung von

30-20

11000

= — 28,8 kg/cm². Die Stirnflächen des

25-20

Scherspannung an Ux in der Größe von

Ux

— 55 kg/cm². 11000

Ox verursacht eine

— 14 kg/cm².

Die Bean-

2-20-20

spruchung von Ux ist tatsächlich aber kleiner, da an der Kraftübertragung auch die beiden Bolzen teilnehmen.

800

, Stoß

zweier Kranzhölzer

MsO

Knotenpunkt im Scheitel

fäZßr&mLJ

jTjßo/zo

Jji

mp

'22/20

30/20

\ 20/20

lpO/20

ML])

20/zo

Schnitt a-a

ß,

Zapfen tiefe 5 cm Zapfendicke ‘tcm

r~n

um

Lager

²⁰M Mi

Knotenpunkt\>\ der Untergurte

UfUt IT\zp/20    ^

V/20 Schnitt

$>/20

'2

\fpho

\Öj

•7

5'O/20

Uz

Wk-²⁰So

10090SO706050W3020100

II II III I l I I

100

200cm

Abb. 51. Einzelheiten vom Lehrgerüst der Tennetschluchtbrücke.

Knotenpunkt der Untergurt Ux, U₂. Ux = + 11 000, Dx = —600, D₂ — + 4700, D₃ = + 4100, U₂ = + 4400 kg. Der Zug von Dx geht durch einen zweischnittigen Bolzen

- 10 kg/cm².

0 = 3 cm nach Ux über,

61M>

2-7,07

= 42 kg/cm²; der Lochleibungsdruck ist

600

3-20

Die Scherspannung von Ux durch den Zugbolzen ist

600

20-22

= 1,4 kg/cm². U₂ geht

durch die drei zweischnittigen Bolzen in das Futterholz und dann durch reine Druck-

Übertragung nach Ux über. Die Scherspannung der drei Bolzen ist

4400

= 104 kg/cm²,

der Lochleibungsdruck ist

4400

3-20-3

= 25 kg/cm².

3-2-7,07

Der am meisten links gelegene Bolzen

4400

Von U₂

= 4,3 kg/cm².

beansprucht die Scherfestigkeit des Futterholzes auf gehen 2200 kg durch die 3 langen Bolzen und die 3 cm tiefe Einkerbung nach Ux

3-17-20

über. Wirkt nur die Einkerbung, so entsteht dort ein Druck von

2200

3-20

— = 37 und wirken

allein die drei Schrauben, so entsteht in ihnen eine Schubspannung von

2200

mit einem Lochleibungsdruck von

2200

3-7,07

= 101 kg/cm²

3-16-3

= 15,3 kg/cm².

Im Knotenholz entsteht am oberen Ende die größte Scherspannung von

2200

3-20-12

3 kg/cm². Wenn D₂ seinen Druck durch einen Bolzen an U, abgibt, so wird in diesem die

4700

Schubspannung von 42 kg/cm² erhöht um

2-7,07

= 333 zu insgesamt 375 kg/cm². Der

Lochleibungsdruck dieses Bolzens würde sich erhöhen auf

4700

3-20

= 79 kg/cm². Der Loch-

leibungsdruck im 1 cm starken Flacheisen würde betragen

4700

2-1-3

= 790 kg/cm². In Wirk-

lichkeit soll so gearbeitet sein, daß die ganze Kraft von D₂ durch die Holzstirn unmittelbar nach Uj geht.

d) Die Belastung einer Stockwinde.

Gewicht vom Holz

24,45-0,7

= 2,14 t

1,560

,, Eisen

,, Gewölbe 1,5 • 11,5 = 17,26 t

19,60 t.

Die zulässige Tragkraft der verwendeten Schraubenspindeln betrug 30 t.

e) Die Standfestigkeit gegen Wind. Die breite Auflagerung bei geringer Höhe sowie der starke Querverband aus einem doppelten Strebenkreuz und 4 Doppelzangen verbürgten die Sicherheit des ganzen Lehrgerüstes auch nach der Quere.

Belastung der Schraubenspindel

= 0,20 t

IV. Der Zeug- und Arbeitsaufwand.

Das Versetzgerüst. Zeugaufwand. Für 1 lfm eines Stockwerkes mit vollem Bohlenbeläge sind erforderlich: Schwellen 0,39, Bohlen 0,88, zusammen 1,27 cbm Holz.

Für ein Gerüstfeld von 5 m Breite, 20 m Höhe und 3 m mittlerer Tiefe wird gebraucht: Holz 10,81 cbm, Eisen 50 kg (Klammern mit 0 = 20 mm).

Für 1 qm Ansicht der Rüstung wTird gebraucht: Holz 0,108 cbm, Eisen 0,50 kg.

Für 1 cbm des Rüstraumes ist nötig: Holz 0,036 cbm, Eisen 0,17 kg.

Bei einer Gesamtansichtsfläche des Versetzgerüstes von 2540 qm beläuft sich der Zeugaufwand: Holz 275 cbm, Eisen 1270 kg. Bei der Sichtfläche und beim Aufwand sind der Aufzug und die Zufahrt zum Bremsberg mitgerechnet.

Arbeitsaufwand. Am 1. Stockwerk wurde von 10 Mann 5 Wochen lang, am 2. von 10 Mann 3 Wochen, am 3. von 10 Mann 4 Wochen und am 4. Stockwerk von 10 Mann 6 Wochen lang gearbeitet. Mit dem viermaligen Legen des Gleises auf dem Versetzgerüste und dem Verbringen des Holzes von der Landstraße auf die Baustelle wurden insgesamt 1530 Tagschichten auf die ganze Rüstung verwendet.

Das Lehrgerüst. Zeugaufwand. Es wird der Holzbedarf für ein Lehrgerüst, der der Bestellung zugrunde lag, angegeben.

3,25 cbm • 21,52 „

. 0,08 „

. 24,85 cbm . 1044 kg

Schalholz.....

Kantholz.....

Hartholz.....

Zusammen Holz . .

Eisen ohne Spindeln

Arbeitsaufwand. Ein Lehrgerüst erforderte im Mittel an Tagschichten für Abbinden 80, Aufstellen 32, Abrüsten 11 Tagschichten. Beim Auf stellen des Gerüstes ist die Beifuhr von Holz und Eisen zur Baustelle und das Aufbringen der Schalhölzer nicht eingerechnet. Die Schalhölzer wurden erst kurz vor Beginn des Wölbens von den Maurern aufgebracht. Auch die Wegfuhr von Holz und Eisen nach dem Abrüsten blieb außer Betracht. Da jedes Lehrgerüst 3 mal verwendet wurde, beträgt der auf ein Gewölbe bezogene Arbeitsaufwand: Abbinden 27, Aufrüsten 32, Abrüsten 11 Tagschichten. Die beste Leistung, die beim Ab- und Aufrüsten eines Lehrgerüstes von den Zimmerleuten erzielt wurde, betrug 10 • 3 = 30 Schichten in einem Zeitraum von 3 Tagen.

V. Der Einlieitsaufwand.

Das Versetzgerüst. Von dem Versetzgerüst aus wurden die Pfeiler und End Widerlager, die Gewölbe und Hintermauerung ausgeführt und der größere Teil der Stirnmauern hoch-getrieben, zusammen 4720 cbm Mauerwerk. Das Gesamtmauerwerk der Brücke ohne Ufermauer beträgt jedoch 5150 cbm, und diese Masse ist den Einheitsberechnungen zugrunde gelegt in Liste 40, Seite 99.

Das Lehrgerüst. Der Zeug- und Arbeitsaufwand wird auf die früheren Einheiten bezogen und als Spannweite 16 m, als Höhe jene über dem Kreismittelpunkt mit 8 m angesetzt. Die Einzelzahlen sind in Liste 39 enthalten. Beim Arbeitsaufwand ist die 3 malige Verwendung des Lehrgerüstes insofern berücksichtigt, als die Arbeitszeit für das Abbinden mit ihrem dritten Teile eingesetzt ist.

4. Die Rappenschluchtbrücke.

I. Die Bauausführung.

Gleich 500 m oberhalb der Tennetschlucht liegt eine zweite Schlucht, durch welche die Murg noch im schärferen Bogen und größeren Gefälle braust (Abb. 38, S. 72). Die im Bogen von 220 m und einer Steigung von 1 : 53 liegende Bahn übersetzt sie mit der Rappenschluchtbrücke. Der innere Winkel der Schlucht war mit Geröll angefüllt, welches zum Teil von der 18 m oberhalb liegenden Landstraßen Verlegung stammte und für kurze Zeit wohl das Lehrgerüst, aber nicht die Bahn tragen konnte. Während in der Tennetschlucht das Lehrgerüst auf 2, bei Langenbrand das Lehrgerüst auf 5 Stützpunkten ruhte, konnte hier ein auf der ganzen Länge auf dem Untergrund lagerndes Lehrgerüst verwendet werden, welches an und für sich einfach und nur wegen seiner durch das Gelände bedingten Ausbildung erwähnungswert ist.

Das Gewölbe, das in seiner inneren Leibung nach einem Kreisbogen von 10,60 m Halbmesser gekrümmt ist und 18 m Licht weite mit 5 m Pfeil bei einer Stärke im Scheitel von 1,00 und im Kämpfer von 1,50 m hat, besteht aus hammerrecht bearbeiteten Schichtsteinen aus Granit und Zementmörtel 1 : 3. Auf der Südseite verkürzt es sich erheblich, da hier guter Fels schräg gegen das Bauwerk ansteigt. Wegen der starken Krümmung der Bahn hat der Scheitel eine Breite von 5,70 m und jede Seite einen Anzug 20 : 1. Die Baustelle lag so unzugänglich und abgeschlossen, daß zunächst ein Fußpfad in dem Fels herausgeschossen werden mußte. Mit dem Bau der Brücke wurde zugewartet, bis die beiden sie begrenzenden Tunnels das Vorstrecken des Baugleises ermöglichten und bis sämtliche anderen Arbeiten in der Schlucht, die Verlegung der Landstraße, Unterfangung einer großen Trockenmauer usf., beendet waren. Da am gegenüberliegenden flachen Ufer große Sandbänke lagen und 100 m oberhalb aus dem Felsen der Flußsohle und einer Felswand gute Bruchsteine und Quader gestoßen werden konnten, so schlug man einen bei kleineren Anschwellungen gerade noch benutzbaren Holzsteg über die Murg und legte in dem Geröllhange eine steile Rampe für ein Baugleis an, auf dem die mit Stein oder Sand beladenen Wagen durch ein Drahtseil von einer auf dem durchgehenden Baugleis fahrenden Lokomotive hochgezogen wurden. Was sonst noch zur Mauerung nötig wurde, lieferte das Baugleis oder konnte auf der Landstraße angefahren und in einer Rutsche auf das Bahnplanum heruntergebracht werden. Nachdem an beiden Kämpfern der Fels freigelegt worden war, konnte man die Ausbildung der Lager festlegen und ihre Flächen aussprengen. Einige Schwierigkeit bereitete das Auflagern der Bodenschwellen der hinteren 2 Lehrgerüstbinder, da sie zum Teil auf das frisch geschaffene Planum des Schuttkegels und zum Teil in die schräg ansteigende Felswand gelegt werden mußten. Mit schwachen Schüssen brach man für sie 2 Stufen aus und stellte mit Mauerwerk die richtige Höhe her.

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Abb. 52. Das Lehrgerüst der Rappenschluchtbrücke.

Oben die Landstraße und deren neue Trockenmauerunterfangung.

Das breite Gewölbe wurde von 6 Kranzholz bögen unterstützt, von welchen jedoch nur die 4 mittleren auf richtigen Bindern und die 2 äußeren auf auskragenclen Pfetten lagen. Die Pfetten waren bei den Bindern, welche 1,40 m voneinander abstanden, zwischen Kranzholz und der radial gerichteten Strebe eingezogen, kragten beiderseits bis zur Gewölbstirne aus und wurden durch Druckstreben unterstützt. Die Binderstreben waren in einem verdübelten Längsbalken eingezapft, der den beweglichen Oberteil abschloß. Zwischen ihm und der Grundschwelle wurden Ausrüstungskeile angeordnet, da Schraubenspindeln nur auf kurze Zeit zum Einstellen des Gerüstes verfügbar waren. Der Gerüstscheitel wurde 6 cm überhöht.

Beim Wölben wurden wieder die 4 Kämpferschichten versetzt, die Scheitellast aufgebracht und die Schichte s (Abb. 53) ohne Mörtel in den Lagerfugen gelassen. Durch diese Maßregel wurden die Risse in der Bruchfuge wieder vermieden. Die 140 cbm Wölbsteine wurden von einem hölzernen Aufzuge in Brückenmitte mit fahrbarer Winde in 12 Tagen versetzt. Dazu wurden 130 Tagschichten Maurer, 34,7 cbm Zementmörtel 1 : 3 oder 16 150 kg Zement gebraucht, also für 1 cbm Gewölbe 0,93 Maurerschicht, 0,245 cbm Mörtel, 115 kg Zement.

Die Arbeit wurde dadurch erschwert, daß das Baugleis über dem Gewölbe im Betrieb bleiben und seine Absprießung wiederholt ausgewechselt werden mußte. Unter dem Geröll in der Runse rieselte immer so viel Wasser, als zum Mauern gebraucht wurde.

Das außergewöhnlich leichte Lehrgerüst hat sich gut bewährt, hatten während der Wölbung folgende Senkungen:

Binder

Senkung 21    12    13 mm.

Die Binderscheitel

1. Binder.

Querschnitt a—a.

-u

,«l

jk

h5

90 S-

§/ 20-20-

l:

23-20

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Sl:

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b ¹°°

1--3,12--

ft

ft

ft

’W<-

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Die Ausrüstvorrichtung.

ft

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ft

_a—e_

V-

-0-1 UtM

_______gi-3

2,25—•+¹—1,90    90-^

9,00

Ansicht.

Quersicht.

3. Binder.

Maßstab

100 50 0    1    2    3    «

7    8    9    10m

100

5(7

Maßsfab 1:50

ly

I.

8-12

Lagerung der Ivranzhöizer.

0-321

+.

4j

V-

4. Binder.

Querschnitt b—b. Abb. 53. Das Lehrgerüst der Rappenschluchtbrücke.

Vorspringende Felsen verhinderten die Messung am 4. Binder. Die Ausrüstung erfolgte 4 Wochen nach Wölbschluß mit den Keilen ohne Anstände und ergab auf der Flußseite bei 18 m Spannweite nur 2 mm und auf der Bergseite bei 14 m Spannweite gar keine Scheitelsenkung.

Der Gewölbrücken wurde wieder mit Asphaltfilzplatten gedichtet und über jedem Kämpfer durch einen Querschlitz mit Wasserspeier nach der Murg entwässert.

Ent-

sprechend der Felsgegend wurden die Stirnmauem im rauhen Vieleckverband gemauert und erhielten keine Abdeckung.

Für das Bauwerk mit 425 cbm meist im Fels zu leistenden Baugrubenaushub und 311 cbm Mauerwerk wurden 17 000 M. bezahlt, so daß 1 cbm Mauerwerk mit Aushub und allen Ne ben -leistungen sich auf 55 M. stellte, also 3 mal dem gewöhnlichen Mauer werkspreis.

II. Das Lehrgerüst.

Spezifisches Gewicht des Mauerwerks . . . Zulässige Druckspannung des Holzes . . .

Schubspannung ,,

Geringste Knicksicherheit

Binderentfernung.....

Schalholz.........

. . 80

:m²

20

1,40 m 10 • 10 cm

Die im Scheitel zidässige Entfernung x zweier Schalhölzer wird für einfache Auflast zu 24 cm. Gegen den Kämpfer darf x wachsen, da die Last abnimmt.

Kranzholz 28 • 20 cm.

Im folgenden wird die Auf last mit Rücksicht auf die Stoß Wirkung um die Hälfte erhöht. In Bogenmitte ist:

0,24

165²

• 150 • 140 • 1 = 50,4 kg, M = 50,4 •

2613 cm³,

— = 171000 kg-cm, W =

8

g = + 65,5 kg/cm². Der Auflagerdruck von p • — — 4830 kg beansprucht das Auflager

2

= 12 kg/cm².

100

an der Pfette mit

4830

20-10

= 24 kg/cm²; die Schubspannung ebenda ist

4830

20-20

Am Kämpfer ist: p = 29,3 kg, M = 29,3 •

210²

= 162 000 kg-cm, W = 2613 cm³, c = -{- 61,5 kg/cm².

Strebe 20 • 20 cm.

Von allen gleichstarken Streben hat d₅ die größte Auf last und Knicklänge:

175

P₅ = 1,5 • 5744 = 8620 kg, F = 400 cm², o = — 21,6 kg/cm², n

ko

21,6

8.

Pfette 20 • 20 cm.

Am stärksten ist die Pfette am Scheitel beansprucht. Wenn die Druckstrebe nicht trägt, so ist die größte Biegungsspannung in der Pfette bei einfacher Auflast:

P = 2,4 • 0,39 • 1,60 • 1 • 1000 = 1490 kg, M = 1490 • 70 = 104 300 kg-cm, W = 1333 cm³,

g = -p 78 kg/cm².

Bei anderthalbfacher Auf last und 80 kg/cm² Biegungsspannung darf von der Last 1,5 • P = 2230 kg nur der Teil P' von der Pfette aufgenommen werden, während der Rest durch die Druckstrebe abzuleiten ist. W • 80 = 1333 -80 = P' • 70, P' = 1070 kg, P — P' = 1160 kg. Der Strebendruck ist dann S = 1500 kg, der Strebenquerschnitt

F = 2-8-12 = 192cm², g =

= — 8 kg/cm².

1500

192

1500

Die Beanspruchung des Pfettenbolzens mit 0 3 cm ist: a =

= 1070 kg/cm².

„ d

²*t

Er ist durch die unmittelbare Druckübertragung der Hölzer entlastet.

Längsschwelle 20 • 20, 25 • 20 cm

Die Summe der wagrechten Teilkräfte der Streben tritt in der Mitte der unteren wag-rechten Längsschwelle, die aus den verdübelten Balken 20 • 20 und 25 • 20 besteht, als

G a b e r.

III. Der Zeug- und Arbeitsaufwand für das Lehrgerüst.

Zeugaufwand.

Schalholz . Kantholz . Hartholz . Gesamtholz Eisen . .

3,81 cbm 18,18 „ 0,04    „

Druckkraft auf. Sie ist im einfachen Betrag 8300 kg, a = —

1,5 *8300

45-20

= — 14 kg/cm². Auch

wenn nur das obere Holz 20 • 20 den Druck aufnehmen müßte, so wäre es nicht zu stark

1,5 • 8300

beansprucht mit: a =

= — 31 kg/cm².

20 20

Die Standsicherlieit gegen Wind. So weit es irgend möglich war, wurden Doppelzangen 8 • 12 cm eingezogen und dadurch ein guter Querverband und genügend Sicherheit gegen Wind erreicht.

22,03 cbm 450 kg

Arbeitsaufwand.

Die Anfertigung, Aufstellung und Beseitigung des Gerüstes erforderte folgende Arbeitsleistungen: Abbinden 40, Aufrüsten 12, Abrüsten 8 Tagschichten, zusammen 60 Tagschichten.

Einheitsaufwand.

20,5 kg, Arbeit 2,72 Tagschichten. Für 1 cbm ausgeführtes Gewölbmauerwerk — 139,98 cbm Gesamtmenge -Siehe Liste 39.

Wenn der südliche Kämpfer des Gewölbes ganz und nicht verkürzt ausgebildet worden wäre, so hätte sich ergeben ein Gewölbmauerwerk von 156,94 cbm und ein Zeugaufwand von 28,14 cbm Holz, und 500 kg Eisen. Dem entspräche der Aufwand für die Einheiten, welcher in Liste 39 enthalten ist.

Für 1 cbm Holz des ausgeführten Gerüstes war nötig an Eisen

war nötig 0,158 cbm Holz, 3,23 kg Eisen, 0,428 Tagschichten Arbeit.

5. Schluß.

Die bei den einzelnen Brücken angegebenen Aufwendungen und Beobachtungen mögen zum Schlüsse übersichtlich zusammengestellt und mit anderen Angaben verglichen werden. Die Arbeit ist in Tagschichten, Holz in Kubikmeter und Eisen in Kilogramm angegeben. Eine Tagschicht enthält 11 Stunden, wovon 9 reine Arbeitstunden sind.

Aus dem Bliche von Dr. Schönhöfer über Haupt-, Neben- und Hilfsgerüste konnte für 6 Gewölbe der Aufwand zusammengestellt und das Mittel, welches in der 8. Zeile steht, gebildet werden.

Nach den Listen ist die 2. Einheit der überwölbten Grundfläche untauglich zum Vergleich, da sie den besonderen Verhältnissen eines Gewölbes nicht gerecht wird. Den besten Maßstab gibt wohl die 4. Einheit, bezogen auf das Produkt aus Grundfläche mal Spannweite.

Nach Ausweis der Mittelwerte waren sämtliche Lehrgerüste bei den drei Murgtalbrücken, vielleicht mit Ausnahme jener für die Nebenbögen in Langenbrand, sparsam im Holz verbrauch. Die Rappenschluchtbrücke schneidet am besten ab, an sie reiht sich die Tennetschluchtbrücke und der erste Entwurf für das Hauptgerüst in Langenbrand an.

Liste 39.

Zusammenstellung der Lehrgerüst auf Wendungen.

Nr.

I)ie Lehrgerüste enthalten:

auf    auf    auf

Gesamt- lm’    1 m²    lm'

menge Raum Grundfl. Gewölbe

auf 1 m* Grundfl.

auf Im1 Grundfl. X X Spannw. Spannw. / Höhe

auf

1 m* Holz

Hauptbogen bei Langenbr.

1. Entw. f = 14,75, l = 59 m

Holz

Eisen

238,52 0,0822 0,746 0,315 0,0126 0,00 086 5280 1,811 16,449 6,948 0,279    0,01 88

22.04

Hauptbogen bei Langenbr. 2. Ausführungsentw. f = 14,75, l = 59 m

Holz

Eisen

Arbeit

284,19 0,0978 0,888 5090 1,748 15,920 1040 0,355    3,230

co ec © © i—t

0,0150

0,269

0,0547

0,00 102 0,01 83 0,00 38

41,40

3,77

Nebenbogen bei Langenbr. f = 6, l — 12 m

Holz

Eisen

Arbeit

19,41

805

70

0,0793

3,240

0,273

p p p io

oo i—¹ co

0,390

16,150

1,394

0,0195

0,808

0,0698

0,00 325 0,13 50 0,01 16

41,40

3,58

Tennetschluchtbrücke

f = 8, l = 16m

Holz

Eisen

Arbeit

24,85

1044

70

0,0562

2,360

0,159

© o so oo co co üi ca OlOW

0,294

12,330

0,829

0,0220

1,285

0,0620

0,00 276 0,11 60 0,00 78

40,20

2,82

Rappenschluchtbrücke f = 5, lx = 18 m l₂ = 14 m

Holz

Eisen

Arbeit

22,03

450

60

GO O 00 io CO H <N

© co" ©

20,50

2,72

ß Rappenschluchtbrücke symm. Bogen, f = 5, l = 18m

Holz

Eisen

28,14 0,0740 0,262 0,179 0,0154 0,00 308 500 1,320 4,650 3,190 0,273 0,05 46

17,80

Mittelwerte von 1—6

Holz

Eisen

Arbeit

0,0779

2,096

0,262

IQ IO CO GO CS O Ol ©

© 00 r-T

0,0169

0,583

0,0602

0,00 219 0,06 85 0,00 77

33,11

3,30

Mittelwerte aus „Hilfsgerüste“

Holz

Eisen

0,35 0,50 0,0061 0,00 059 1 15,99 32,13 0,213 0,00 83 51

0,33    0,020

9 desgl. a.Handbch d.Ing.Wiss. Holz

Nun möge noch der Aufwand für die Versetzgerüste über dem Hauptbogen in Langenbrand und bei der Tennetschluchtbrücke, welche hier zum Versetzen des gesamten Mauerwerks und dort zum Versetzen von Hauptbogen und Übermauerung dienten, verglichen werden.

Als Einheit dient der Kubikmeter des versetzten Mauerwerks, der Quadratmeter der umschlossenen Ansichtsfläche des Gerüstes und der Kubikmeter des umrüsteten Raumes. Die Gesamtmengen waren beim Talübergang bei Langenbrand 1100 cbm, 536 qm und 2893 cbm; bei der Tennetschluchtbrücke 5150 cbm, 2540 qm und 7630 cbm.

Liste 40.

Zusammenstellung der Versetzgerüstaufwendungen.

Versetzgerüste

1 qm Sichtfläche

1 cbm 1 cbm 1 cbm Rüstraum Mauerwk. Holz

Menge

a) Hauptbogen bei Langenbrand.

b) Tennetschluchtbrücke . .

Mittel aus a und b

Holz

Eisen

Arbeit

Holz

Eisen

Arbeit

Holz

Eisen

Arbeit

© o o o o o p p p

Üt Üi h    ¹    4^ O ^

W 00 H OOO CiOitO R)OGO O O 00    ^ CO -1

o o o o p o o o p h-* 'o fcO h-¹ © Oh-O oo W OOtOÜS W Üi O 0^1© Q to

0,0619 0,323 ' 0,227

0,0534

0,247

0,237

0,0577

0,285

0,232

O CO 04 CO r-H IO CO

68 cbm 353 kg 249 T.-Sch.

275 cbm 4,63    1270 kg

5,56    1530 T. Sch.

«Sw «X i—'

es co

I—¹ td

Zum Schlüsse werden noch die bei dem Wölben der 16 Bögen an den 3 Bauwerken angestellten Beobachtungen nebeneinander gestellt, um auch hier einen bequemen Vergleich zu ermöglichen, und die Zahlen für allgemeinen Gebrauch nutzbar zu machen.

Liste 41.

Zusammenstellung von Überhöhung und Senkung der Lehrgerüste.

Mittel aus 9 Bögen Tennetschl.

Hauptbogen bei Langenbr.

Nebenbogen bei Langenbr.

Bogen

der Rappenschlucht

59

12

16

18

Überhöhung h

150

0,0025

60

0,0050

60

0,0038

60 mm 0,0033

Lehrgerüst

Senkung d

52

0,00 088

20

0,00 167

25

0,00 156

15 mm 0,00 084

Liste 42.

Aufwand für 1 cbm Gewölbe an

Maurer Tagschichten Mörtel cbm Zement kg

0,93

■V'

0.245

115

¹

33

6. Anhang zur allgemeinen Untersuchung des eingespannten Bogens.

Die Grundlagen für den ebenen Bogen ohne Gelenke.

Die Gleichung 3 Seite 2 für die Normalspannung g leitet man auf folgende Art ab. Nach Seite 2, Abb. 2 entspricht der Achslänge ds des Stabteiles eine Länge dsv im Abstande v von der neutralen Achse.

dsv —- ds — v dcp

Adsv = Ads

v Adcp;

Ads

ds

— £o

Adsv

dsv

= (Ads — v Adcp) : (ds — v dcp) = £₀ —

Ad©

'» + r'”dr

, G = E • £.

Die inneren Spannungen halten den äußeren Lasten Gleichgewicht:

Daraus folgert:

— Jv-G-dF, N = -

Ad© 1 Y

r —--,

J g dF, Q = J t dF,

M = E £₀ -j-

ds

-E[,₀.F + (£o + r^)r.

Y = f v² dF • —

J    r + v

ist angenähert das Trägheitsmoment J = J v² dF. Aus M, N berechnet sich Adcp und s₀ und dadurch ist auch g = E • e bekannt.

JJN

Fr* ’ £°“_IT IT⁺    ’

Adcp -

A[n —

E Fr

ds

+ M— + M

ds

Fr

Wv'

. Gl. 3. Seite 2

Die Schubspannung ist bekanntlich in der Faser v mit der Breite b. t = Q e² — v²

j vdF

und im

Rechteck: t = Q ■

Um die Änderung in der gegenseitigen Lage der beiden Kämpfer durch die äußeren Lasten zu finden, betrachtet man die Veränderung in der gegenseitigen Lage der beiden Querschnitte A, B eines Bogenteils ds, wenn am rechten Querschnitte B die Kräftesummen M, N, Q angreifen und der linke Schnitt vorerst unbeweglich ist. Im Ruhezustände ist die Lage von Querschnitt B zu A durch dx, cly, dcp gegeben, dcp ändert sich nur durch M, nicht durch N oder Q.

dx, dy ändern sich durch M, N, Q um Adx', Adx", Adx'" bzw. Ady', Ady", Ady'".

Die Änderungen durch die Normalkraft,

das Moment,

die Querkraft.

B'

,=\

ds.

Ady- \ ,

Cß^B \Adx'

Ady

ds,

B'

I Adoc'"

öbc_

-*>D A—

dx

dx

■4 D

Abb. 54 a.

Abb. 54b.

Abb. 54 c.

Adx' = CB' = B B' •

, DB

AB

= — dy • Adcp, BB' — — AB Ad<p, Abb. 54 a.

Ady' = — CB = — BB'-

, AD

AB

= + dx Adcp, Abb. 54 a.

Adx" = BC = s₀dx, Abb. 54b. Ady" = CB' = s₀dy, Abb. 54b.

Adx'" = CB' = BB'-

BD

AB

= + y • dy, BB' = A B • y, Abb. 54 c.

Ady'" = — CB = —BB'-

, ad

AB

= —ydx, Abb. 54 c.

Die gesamte Koordinatenänderimg durch M, N, Q ist:

Adx = Adx' + Adx" + Adx'" = s₀ dx + (y — Adcp) dy, Ady = Ady' + Ady" -f Ady'" = s₀ dy — (y — Adcp) dx.

Wenn nun der Reihe nach alle Querschnitte des Bogens unter der Einwirkung der entsprechenden M, N, Q sich verschieben und verdrehen, wobei auch der linke Kämpfer sich um Acpj dreht, ergibt sich folgende Änderung in der Lage der beiden Kämpfer:

A (92 — ?i) = j Adcp

A (x₂ — Xl) = j s₀ dx + j (y — Adcp) dy — (y₂ — yx) Acpx A (y₂ — Ji) = j s₀ dy — J (y — Adcp) dx + (x₂ — xx) A<pv

Man setzt nun die vorigen Werte von s₀ und Adcp hierein und findet so die drei Gleichungen der Gruppe 4, Seite 3.

Nennt man cp₂ — cpx = a, x₂ — xx = l und y₂ — y₂ = d und setzt den Wert von Aa in die beiden anderen Gleichungen der Gruppe 4, so ergeben sich folgende Gleichungen für die gesuchten Lagerkräfte M₀, H₀, G.

EAa = M₀

ds

Fr²

-H₀

ds

ds

C Fr²

+ SR

ds ds

Fr²

ds

Er ’

E [Al — kAa] = — H₀

y²

ds

+ c²

ds

ds

Fr²

xy

ds

+ sin 9 cos 9

ds

ds

ds

aF

ds

aF ’

(* rl o

E [— Ad + x₂ A(<Pi + <p₂)] = M₀ ^ x —

°J

ds

ds

x y ——)- sin 9 cos 9

r ^ ds

+ \ £t cos 9

+ cos 9, siehe Abb. 3, Seite 4.

Wählt man nun das bisher beliebige Achsenkreuz X Y so, daß folgende Koeffizienten der 3 Gleichungen verschwinden, so ergeben sich sofort die Gleichungen der Gruppe 6, Seite 4 für die gesuchten Lagerkräfte.

+ g((

x²

-j- cos² 9

ds

Q

Dabei ist c ein Mittelwert: -—

ds

ds

= 0,

ocF

tJ

xy

+ sin 9 cos 9

ds

ocF

= 0,

Bei symmetrischen Trägern ist die 2. und 3. Bedingung erfüllt, wenn man die Symmetrieachse zur Y-Achse nimmt. Aus der 1. Gleichung berechnet sich die Lage des Achs-ursprunges nach Seite 4 und die Lage der wagerechten X-Achse. Bei unsymmetrischen Bögen ist durch obige Gleichungen Ursprung und Neigung der Achsen gegeben. Man nimmt ein Hilfskreuz X', Y' an, drückt allgemein x, y durch x', y' und die 3 Bestimmungsgrößen des gesuchten Achsenkreuzes aus und findet die Größen durch die 3 Gleichungen.

Die Grundlagen für den räumlichen Bogen ohne Gelenke.

Um die unbekannten Lagerkräfte zu finden, berechnet man die von den äußeren Lasten verursachten Änderungen in der gegenseitigen Lage der beiden Kämpfer und erhält die sechs statisch unbekannten Größen, indem man diese Änderungen an sechs Bedingungen bindet. Nach dem Vorbild des ebenen Problems betrachtet man zunächst die Formänderung eines ds langen Bogenteiles, an dessen rechtem Querschnitte im Schwerpunkte B die drei Momente Ml5 M₂, M₃ und die Kräfte Kx, K₂, K₃ angreifen. Abb. 11, Seite 15. Die gegenseitige Lage der beiden Querschnitte ist durch dx, dy, dz, d9, dy, dvp bekannt. Es ist üblich und zweckmäßig, ein Moment oder eine Winkeländerung durch eine auf der Drehebene senkrecht stehende Strecke darzustellen. In diesem Sinne kann man sagen, daß die den Achsen 1, 2, 3 parallelen .Momente zunächst den Achsen parallele Winkeländerungen und sodann im Verein mit den Kräften K auch Verschiebungen in den Achsrichtungen erzeugen. Nach Seite 16 und Abb. 11 ist die Achse 1 die Tangente an den Bogen im Punkte B und die Achse 2 die Normale, mit ds in der senkrechten Ebene liegend, während die Achse 3 zur Ebene 1—2 senkrecht steht. Da dieses Achsenkreuz von der Lage des zufällig gewählten Querschnittes B abhängt, wird sodann ein zweites Achsenkreuz X, Y, Z genommen, dessen Y-Achse mit der beliebig geneigten X-Achse in der alten Ebene 1—2 liegt, während die Z-Achse wieder dazu senkrecht steht. Die Lage des Achsursprunges und die Neigung der X-Achse bleiben zunächst unbestimmt.

Die Formänderungen bezogen auf das Achsenkreuz 1—2—3:

Durch Kx die Verschiebung

BB' = ds = —

EF

ds, Abb. 55,

K₂ „

BB" = e₂ds =

k₂

oc E F

ds, ,,    55,

K₃ „

BB'" = s₃ ds =

k₃

kEF

ds, „

55.

0'

,y,₃ds

{K

'A H<y-

)0°-,

'M-e'

B"k

fads

fE

-r

\ß"

Abb. 55. Die Längen- und Winkeländerungen am Bogenteil AB = ds.

Durch Mj die Winkeländerung p,x ds =

Mx ds

, Abb. 55,

53

[x₂ ds = —

Mo ds

TOT’

„ 55,

33

M₃ „

M₃ ds

33

EJ₃ ’

„    55.

u.y ds in der Ebene 2—3 liegend, dargestellt durch Strecke B C auf Achse 1,

{^2 ” ” g,₃ ds ,,    ,,

1—3

33

33

33

33

33

1—2

33

33

33

BD „ BE „

» 2,

3.

Die Formänderungen bezogen auf das Achsenkreuz X, Y, Z.

Die Drehungen B C und B D geben die resultierende Drehung B F, welche parallel der X- und Y-Achse die Komponenten B G und B H hat. <£ 1 B X = 9, <£ Z B Y = /, AZBX = ij). Im unbelasteten Zustande sei <£ y = <£    = 90°, d. h. die Mittellinie des

Bogens ist im Grundriß eine Gerade.

B G = p.x ds cos 9 — [x₂ ds sin 9 = Ad^, Abb. 55, BH= |ij ds sin 9 -f- [x₂ ds cos 9 = Achjj, ,, 55.

Ad)( - — Mx cos 9

ds

GJj

M₂ sin 9

ds

E J₂

Ad^ = — Mx sin 9

ds

GJy

M₂ cos 9

ds

EJ₂ ’

Ad9 = — M₃

ds

ej₃ •

Wie sich bei der Zerlegung des räumlichen Achsenkreuzes in die drei ebenen Projektionen leicht einsehen läßt, bewirken die Momente M auch Änderungen der Koordinaten des Punktes B.

Abb. 56 b.

Abb. 56 a.

dz

&•

\\

x_

Z,3

ß\

-Adip

----6A

A*>

\B

[Adyr

Br

V-J

Abb 56 c.

Die Projektionen der Längen- und Winkeländerungen des Stabteiles AB = ds auf die drei Achsebenen.

dinaten :

Adx = CB' = B B' •

Ady = — B C = — B B' •

BD

AB

, ad

AB

= dy • Ad<p, Abb. 56 a,

— —dx Ad<p, Abb. 56 b,

Adz = —BB' = —dy Ad/, Abb. 56 b, Adz = BB' = dx Ad^, Abb. 56c.

Die Verschiebungen von B durch die Kräfte K geben folgende Änderungen der Koor

Adx =    Sj ds cos 9 — z₂ ds sin cp,    Abb. 56 a,

Ady =    sx ds sin cp -f s₂ ds cos 9

Die Summe der Koordinatenänderungen durch M und K ist:

dy Ad9 -j- sx ds cos    9 — s₂    ds sin    9,

Ady    = — dx Ad9 + ex ds sin    9 -f- s₂    ds cos    9,

Adz = — dy Ady -f- dx Ade];.

,, 56 a.

Adx =

In der Folge haben sämtliche Größen des linken Kämpfers einen und des rechten Kämpfers zwei Beistriche. Ax', Ay', Az', Ay', A<]/, A9' und Ax", Ay", Az", Ay", Aij/', Az" sind daher die Verschiebungen und Verdrehungen der Kämpfer nach den Achsen X, Y, Z.

Indem nun alle Querschnitte des ganzen Bogens, auch der linke Kämpfer sich der Reihe nach verschieben und verdrehen, ergibt sich die Gesamtänderung der Lage des rechten Kämpfers gegenüber dem linken.

A (x" — x') = j ds cos 9 — j s₂ ds sin 9 + J (y" — y) Ad9 — (y" — y') A9' A (y" — y') = j £x ds sin 9 -f- J s₂ ds cos 9

— J (x" — x) Ad9 -f- (x" — x') A9',

A (z" — z') = — j (y" — y) Adx + J (x" — x) Ad+ (y" — y') Ax' — (x" A ix" — X) = ~ j Adx, A (tj/" — t]/) = J Adi|/, A (cp" — cp') = — J Adcp.

x') Af

Nun wird die Beziehung zwischen den Änderungen und den Kraftsummen K und M eingeführt und dadurch die Größe der Lageänderungen durch die äußeren Lasten gefunden. Es wird genannt:

x" —x' = l, y" — y' = d, z"—-z' = c, 9" — 9' = a, X" — X =    = s-

Der Faktor a im Nenner hat die Bedeutung von Seite 3.

Al — —

Ki

dx

EF

jk-

dy

oc E F

(y" — y) m₃

ds

EJ₃

dA9',

Ad = —

K,

dy

k₂

dx

oc E F

— x) M₃

ds

EJ₃

+ lAy',

Ac = —

k₃

ds

aEF

(y" — y)M2 sincP

ds

+ (y" — y) Micos ?

ds

G Jx

(x" — x) M₂ cos 9

ds

E J₂

-—- x) Mj sin 9

ds

G Jx

l Ac|/ -f dAX',

Aa =

ds

J ³kj₃’

M₂ »in 9

ü* J

AS =

M₂ cos 9

ds

E J₂

ds r , _    ds

-■f Mj cos 9

+ f Mx sin 9 ds

GJX ’

GJ, •

Indem man die letzten 3 Gleichungen in die ersten einführt, erhält man:

y ds

Al + y" A9" — y' A9' = —

f

*J

Kx

dx

EF

k₂

dy

aEF

M₃

EJ₃’

— Ad + x" A9" — x' A9' —

Kx

dy

k₂

dx

x ds

aEF

EJ₃’

Ac + x" Ac]/' — x' Ac]/ — y" AX" + y' AX' = —

k₃

aEF

-f- M₂(x cos 9 + y sin 9)

ds

ej₂

-f- Mj(x sin 9 — y cos 9)

ds

G Jx ‘

Um nun endlich die Lagerkräfte zu finden, drückt man die K und M durch die Ui, U11, Um und Wj, Wu, Wni genannten Reaktionen am linken Kämpfer aus, welche zu denen des beliebig gewählten Anfangszustandes infolge der Bogenwirkung hinzutreten. Als Anfangszustand wurde auf Seite 16 der frei auf liegende Träger gewählt, dessen Querschnittskräfte nach Abb. 11, Seite 15 ^x, <^₂, $₃ und SJfj, Sk₂, heißen.

Kx =    -f- Ui cos 9 -f Un sin 9

K₂ = ®₂ — Ui sin 9 + Un cos 9 K₃ = ®₃ + Um

Mi = ÜUJi + Wi cos 9 -f- Wu sin 9 — Um (x sin 9 — y cos 9)

M₂ — ÜDf₂ — Wi sin 9 -f- Wu cos 9 — Um (x cos 9 + y sin 9)

M₃ = äk₃ + Wni — Ui • y + Un x.

2    3

Der Elastizitätsmodul G für Schub ist etwa — E--— E, und der Faktor a ist für

0    8

die bei den Bögen überwiegende Querschnittsform eines Rechteckes nach Seite 3

Oil Ox

Setzt man nun die obigen Beziehungen zwischen K, M und 9J1, U, W

3,2 ‘

3    1.

in die Gleichungen zugleich mit G = — E und — — 3,2 ein, so erhält man die gesuchten

8    a

Gleichungen für die 6 unbekannten Größen U und W.

E [Al + y" A9" — y' A9'] = —

f*,T

t)

+ 3,2

dy

ds

F~ + m*y~T₃

Ui

(fy2T7 + jcos2t?

+ U„

xy

ds

sin 9 cos 9

+ 3,2 j sin² 9 + 3, 2 j sin 9 cos 9    ,

E [— Ad + x" A9"

x' Ä9']

-J

dy

+ 3,2

+ wm

ds

ds

xyi

sin 9 cos 9

+ 3,2 j* sin 9 cos 9

®2

+ U„

x²

ds

— + ^ sin² 9

ds

+ 3, 2 cos² 9 — ,

E Aa —

Ui

KW

ds

E [c + x" A<|;"

x' A<j/ — y" Ax" + y' Ax'] = — 3,2

tu

Pr

1 ^    8 f*    d.s

l 9J1₂ (x cos 9 + y sin 9) -j- + — \ äftj (x sin 9 — y cos9) —

J    3 ₂    3 J    Ji

— WT

| j sin 9 (x cos 9 + y sin 9)

— | cos 9 (x sin 9 — y cos 9) -

+ W„

cos 9 (x cos 9 + y sin 9)

w «

rÖ 1-5

ds

111 (J (x cos 9 + y sin 9)2 — E Aß — —

-f y | sin 9 (x sin 9

C /    •    ds

- \ (x sm 9 — y cos 9)² -=-

J    Ji

— y cos 9)

+ 3,2

j 9^2 sin ? Pp +

ds

ÜUij cos 9 —

Ji

I . ds 8 f    ds \    / (‘ .    ds

+ Wi ^ sm² 9 - j--f- — ^ cos² 9 -y-J — Wn ^ sm 9 cos 9 —

Y J cos 9 (x sin 9 — y cos 9)    ,

8 f ,    ds \

Y j sin 9 cos 9 -j— J

+ Um

ds

sin 9 (x cos 9 + y sin 9) —

3 2

E AS =

r    ds 8 r

j»₂00S?—+ -j

sin 9

— Wj

^ ^ sin 9 cos 9 -j-

III (\ cos 9 (

y jsin 9 cos 9    + Wn ^ j cos² 9

J sin 9 (x sin 9 — y cos 9)

. ds 8 X cos 9 + y sm 9) — + y

+ ~y

Hg*

Die ersten 3 Gleichungen enthalten nur solche Kräfte, welche in der X Y-Ebene liegen, und sind die gleichen, wie sie beim ebenen Bogenträger ohne Gelenke auf Seite 101 abge-

leitet wurden. Ui, Un, Wm entsprechen den dortigen H₀, G und M₀ und $l5 $t₂, 9k₃ sind identisch mit 9 c, C und 9Ji. Da der Gang der weiteren Auflösung nach Ui, Un, Wm dort entwickelt ist, brauchen hier nur noch die 3 letzten Gleichungen, welche die Kräfte der YZ-und XZ-Ebene enthalten, betrachtet werden. Die weitere Untersuchung vereinfacht sich nun wie beim ebenen Problem wesentlich durch die Wahl eines besonderen Achsenkreuzes, das allerdings von jenem verschieden ist. Von Anfang an war nur festgelegt, daß die Z-Achse zur XY-Ebene senkrecht steht. Man darf daher die Lage des Ursprunges und die Neigung der X-Achse so wählen, daß folgende Koeffizienten von Wi, Wn, Um verschwinden:

ds 8 r

— \ sin 9 cos 9

sin cp cos 9 —

”2

ds

sm 9 (xcos 9 -}- y sm9) ~ "2

ds

cos (x cos 9 + y sin 9) ——

J 2

-™= 0,

— | cos 9 (x sin 9

sin 9 (x sin 9 —

y cos 9)

ds

Ji

= 0,

ds

y cos 9) —— = 0 .

Ji

Wenn man bei symmetrischen Bögen die YZ-Ebene in die durch den Bogenscheitel gehende Quersymmetrieebene legt, so ist die 1. und 3. Gleichung ohne weiteres erfüllt. Wie man aus der 2. Gleichung die Lage des Achsursprunges findet, zeigt sich durch Gleichung 23 auf Seite 17. Bei diesem gewählten Achsenkreuz ergeben sich ohne weiteres die Werte für die Lagerkräfte Wi, Wn, Um nach Gruppe 21 auf Seite 16, welche durch Kräfte in der YZ-und YZ-Ebene beim räumlichen Bogen ohne Gelenke entstehen. Da dort starre Widerlager angenommen wurden, verschwanden auch dabei die linken Seiten obiger Gleichungen.

Beim unsymmetrischen Bogen nimmt man zunächst ein beliebiges Achsenkreuz an und drückt die gesuchten Koordinaten durch die Hilfskoordinaten aus. Aus obigen 3 Gleichungen findet man dann die beiden Hilfskoordinaten des richtigen, gesuchten Achsursprunges und auch den Winkel der gesuchten X-Achse mit einer der Hilfsachsen.

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