Metoda kwadratur różniczkowych (MKR) jest wykorzystywana do przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych i należy do grupy globalnych technik dyskretyzacyjnych. Cechuje się bardzo szybką zbieżnością i wysoką dokładnością. Posiada jednak spore ograniczenia związane z niestabilnością obliczeniową oraz problemami w stosowaniu do zagadnień o nieregularnej dziedzinie rozwiązania. Czułość na liczbę i sposób rozmieszczenia węzłów znacznie ogranicza możliwości jej stosowania. W związku z tym w niniejszej monografii podjęto próbę wyeliminowania tego mankamentu poprzez wprowadzenie aproksymacji rozwiązania bazującej na wielomianie przedziałami zmiennymi. W ten sposób zminimalizowano niekorzystne efekty, zachowując globalny charakter metody, a co za tym idzie szybką zbieżność i dużą dokładność. Opracowano sposób wyznaczania współczynników wagowych dyskretyzujących operatory różniczkowego w równaniu, a także zaprogramowano odpowiedni pakiet procedur służący do tego celu. Do oceny skuteczności działania metody wybrano zagadnienia mechaniki, głównie z zakresu teorii drgań. Przeanalizowano działanie metody w rozwiązaniu problemu drgań swobodnych płyt izotropowych oraz belek geometrycznie nieliniowych. Uzyskane wyniki porównano z wynikami dokładnymi oraz otrzymanymi za pomocą innych technik numerycznych, jak np. metody elementów czy różnic skończonych, a także klasycznej MKR. Wnioski z tych numerycznych testów zaowocowały wprowadzeniem pewnych ulepszeń przyspieszających zbieżność metody. Ulepszenia te uzyskano poprzez modyfikację definicji warunków końcowych w interpolacji funkcjami sklejanymi, pozwalając także na wprowadzenie pewnych typowych warunków brzegowych spotykanych w problemach mechaniki już na etapie wyznaczania współczynników wagowych. Ułatwia to późniejszą dyskretyzację zagadnienia brzegowego, a przede wszystkim prowadzi do bardzo szybkiej zbieżności. Działanie ulepszonej metody przedstawiono na przykładzie drgań izotropowej i kompozytowej powłoki stożkowej. Zbadano też działanie prezentowanej wersji MKR w zadaniach z nieregularną dziedziną rozwiązania. W pracy przedstawiono także możliwość zastosowania MKR w przypadku dyskretyzacji obszaru rozwiązania za pomocą nieregularnie rozmieszczonych węzłów. Taki sposób dyskretyzacji obszaru wymaga zastosowania w MKR radialnych funkcji bazowych. Otwiera on szerokie możliwości aplikacyjne, zwłaszcza w zagadnieniach mechaniki cechujących się nieregularną dziedziną rozwiązania. Pozwala także na stosowanie technik adaptacyjnych w celu otrzymania rezultatów z żądaną dokładnością.
The differential quadrature method (DQM) is a global discretization technique used to solve differential equations. It is characterized by rapid convergence and high accuracy however its application is limited due to the computational instability and inconvenience in application to problems with irregular domains. The method is very sensitive to the number of nodes and pattern of grid point distribution, what significantly restrict possibilities of its application. Therefore, in present work the attempt has been made to overcome this drawback. To this end the sought solution has been approximated by piecewise polynomial. In this way the drawback connected with computational instability has been significantly decreased but the global character of the method, which influence rapid convergence and high accuracy, has been preserved. In present work, the algorithm for the determination of the weighting coefficients that approximate differential operators in the equation has been developed as well as the appropriate package of procedures for this aim. To estimate the effectiveness of the method, some mechanical problems have been considered, mostly from vibration analysis. The method has been applied to the free vibration analysis of isotropic plates as well as the geometrically nonlinear beams. The achieved results have been compared with exact ones and those obtained by other numerical techniques like: finite element method, finite difference method and classical DQM. The conclusions drawn from these numerical tests allow to introduce some improvements that accelerate the convergence of the method. These improvements rely on the modification of the end conditions for the spline interpolation. In this way some typical boundary conditions in mechanical problems can be introduced at the stage of the determination of the weighting coefficients. It facilitates the discretization of the boundary value problem and leads to very fast convergence. The improved method has been presented by the example of the vibration of the isotropic conical shell as well as the composite one. The presented method has been also applied to problems with irregular domain. The present work shows also possibilities of the use of the DQM when the domain is discretized by scattered nodes. This type of discretization requires to use radial basis functions in DQM and gives many application possibilities especially in mechanical problems characterized by irregular domains. This approach allows also to use the adaptation techniques in order to achieve results with required accuracy.
Das Differential Quadrature Verfahren (DQV) wird bei der angenährten Lösung von Differentialgleichungen eingesetzt und ist eine der globalen Diskretisierungstechniken. Es zeichnet sich durch eine sehr schnelle Konvergenz und hohe Genauigkeit aus. Allerdings hat es viele Einschränkungen, die mit Berechnungsinstabilität sowie mit Problemen bei der Anwendung von Fragen des unregelmäßigen Lösungensfeldes verbunden sind. Empfindlichkeit gegenüber der Anzahl und Anordnung der Knoten reduziert die Möglichkeit seiner Anwendung. Daher versucht die vorliegende Arbeit, diesen Mangel durch die Einführung der Näherungslösung von stückweisen Polynomen zu korrigieren. Auf diese Weise werden die Nebenwirkungen minimiert, während die globale Ausrichtung des Verfahrens und damit eine rasche Konvergenz und hohe Genauigkeit beibehalten wird. Es wurde eine Methode zur Bestimmung der Wichtungsfaktoren, die Differentialoperatoren in der Gleichung diskretisieren, und der entsprechende Satz von programmierten Verfahren für einen solchen Zweck entwickelt. Um die Wirksamkeit des Verfahrens zu evaluieren, wurden einige Themen der Mechanik, vor allem aus der Theorie von Vibrationen ausgewählt. Es wurde die Wirkung des Verfahrens analysiert bei der Lösung von Problemen der eigenen Vibration von isotropen Platten und geometrisch nichtlinearem Strahl. Die Ergebnisse wurden mit den genauen Ergebnissen und mit einer Anzahl anderer Techniken, wie z.B. der Methode der finiten Differenzen oder Elementen, sowie des klassischen DQV verglichen. Die Schlussfolgerungen aus diesen numerischen Tests resultierten in der Einführung einiger Verbesserungen, um die Konvergenz des Verfahrens zu beschleunigen. Diese Verbesserungen wurden durch die Änderung der Definition der endgültigen Bedingungen für Spline-Interpolation erhalten, so dass auch einige typische Randbedingungen bei technischen Problemen in der Phase der Bestimmung der Wichtungsfaktoren eingeführt werden können. Dies erleichtert die spätere Diskretisierung vom Randwertproblem und vor allem führt zu einer sehr schnellen Konvergenz. Die Anwendung des verbesserten Verfahrens wurde am Beispiel der Vibration der isotropen und kompositen konischen Schale dargestellt. Ebenfalls wurde auch die Wirkung der vorgestellten Version von DQV bei Aufgaben mit unregelmäßigem Lösungsfeld untersucht. Der vorliegende Beitrag stellt auch die Möglichkeit der Anwendung des DQV zur Diskretisierung des Lösungfeldes mit Hilfe von unregelmäßig angeordneten Knoten dar. Diese Methode der Diskretisierung erfordert die Anwendung von radialen Basisfunktionen. Es öffnet sich ein breites Spektrum von Anwendungen, insbesondere in der Mechanik mit unregelmäßigem Lösungsbereich. Sie ermöglicht auch die Anwendung von adaptiven Techniken, um die gewünschte Genauigkeit der Ergebnisse zu erhalten.
