A data-driven score test of fit for testing the conditional distribution within the class of stationary GARCH(p,q) models is presented. In this paper extension of the complete results obtained by Inglot and Stawiarski in [7], as well as in Stawiarski [15] for the parsimonious GARCH(1,1) case is proposed. The null (composite) hypothesis subject to testing asserts that the innovations distribution, determining the GARCH conditional distribution, belongs to the specified parametric family. Generalized Error Distribution (called also Exponential Power) seems of special practical value.
Applying the pioneer idea of Neyman [13] dating back to 1937, in combination with dimension selection device proposed by Ledwina [10] in 1994, lead to derivation uf the efficient score statistic and its data-driven version for this testing problem. In the case of GARCH(1,1) model both the asymptotic null distribution of the score statistic has been already established in [7] and [15], together with the asymptotics of the data-driven test statistic with appropriately regular estimators plugged in place of nuisance parameters. Main results are only stated herewith, while for detailed proofs inspection and power simulations, ample reference to these papers is provided. We show that the test derivation and asymptotic results carry over to stationary ARCH(q) models for any q ϵ N. Moreover, thanks to ARCH(1) representation of the GARCH(p,q) model, the test can asymptotically encompass the full GARCH family, which as a final result provides the flexible testing tool in the GARCH(p, q) framework.
W pracy przedstawiono adaptacyjny test zgodności dla testowania warunkowego rozkładu w klasie stacjonarnych modeli GARCH(p,q). Jest to rozszerzenie kompletnych wyników uzyskanych w pracach [7] oraz [15] dla przypadku mniej rozbudowanego modelu GARCH(1,1). Podlegająca testowaniu (złożona) hipoteza zerowa postuluje, ze rozkład szumu determinujący warunkowy rozkład szeregu GARCH, należy do określonej rodziny parametrycznej. Szczególne znaczenie w kontekście zastosowań ma klasa rozkładów GED.
Zastosowanie pionierskiego pomysłu Neymana z 1937 r. [13] w połączeniu z kryterium wyboru wymiaru, zaproponowanym przez Ledwine w 1994 r. w pracy [10] pozwala wyprowadzić dla omawianego zagadnienia testowego efektywną statystykę wynikową i jej adaptacyjną wersję. W przypadku modelu GARCH(1,1) zarówno asymptotyczny rozkład statystyki przy hipotezie zerowej, jak i asymptotyka jej adaptacyjnej wersji z odpowiednio regularnymi estymatorami parametrów zakłócających zostały już uzyskane w [7] oraz [15]. Główne wyniki są tu tylko przywołane z przywołaniem licznych referencji do tych prac. Pokazano, że konstrukcja testu i wyniki asymptotyczne przenoszą się na stacjonarne modele ARCH(q) dla dowolnego q ϵ N. Ponadto dzięki reprezentacji modeli GARCH poprzez ARCH(1) test pozwala asymptotycznie objąć całą klasę GARCH, co w ostateczności daje elastyczne narzędzie testowe dla modeli GARCH(p,q).
