Uogólnienia wielopunktowej metody różnic skończonych dla zagadnień brzegowych mechaniki
Wariant tytułu
Generalization of the multipoint finite difference method for boundary value problems of mechanics
Autor
Jaworska, Irena
Promotor
prof. dr hab. inż. Janusz Orkisz
Data wydania
2008
Wydawca
[s.n.]
Język
polski
Abstrakt
Celem pracy doktorskiej jest rozwinięcie podejścia wielopunktowego, jako sposobu podwyższenia rzędu lokalnej aproksymacji w bezsiatkowej MRS poprzez wprowadzenie w węzłach gwiazdy różnicowej dodatkowych stopni swobody, na przykład wykorzystując kombinację wartości prawej strony rozważanego równania różniczkowego równocześnie we wszystkich węzłach gwiazdy.
W niniejszej pracy oryginalna metoda wielopunktowa zaproponowana przez Collatza została odpowiednio zmodyfikowana i znacznie rozszerzona:
– zamiast regularnej siatki węzłów dopuszcza się chmurę dowolnie nieregularnie rozmieszczonych węzłów;
– lokalna aproksymacja funkcji jest dokonana metodą ważonych kroczących najmniejszych kwadratów zastępuje stosowaną dotąd interpolację;
– dopuszcza się – obok wykorzystywanego dotąd lokalnego sformułowania problemów brzegowych – także dowolne sformułowania globalne (słabe).
Rozróżniamy dwa główne podejścia metody – ogólne i szczególne, umożliwiające analizę szerokiej klasy zagadnień brzegowych. Rozmaite warianty tych podejść w obszarach 1D i 2D zostały zaproponowane, sformułowane, zaprogramowane oraz wstępnie przetestowane. W tym celu opracowano również oryginalne środowisko graficzne do prezentacji wyników.
W pracy przedstawiono przykładowe działanie metody wielopunktowej zarówno na zadaniach testowych, jak i na wybranych zagadnieniach brzegowych mechaniki w sformułowaniach lokalnym i globalnym. Dokonano wstępnej analizy błędów obliczeń, wykonanych dla różnych wersji metody oraz zbadano zbieżność uzyskanych w ten sposób rozwiązań.
The objective of this research is development of higher order multipoint approach in the meshless finite difference method (FDM). It is dedicated especially to clouds of arbitrarily located nodes, and based on the moving weighted least squares (MWLS) approximation. The multipoint meshless FDM provides raising the order of approximation of a searched function u by introducing additional degrees of freedom in the star nodes, e.g. by including a combination of the right hand side of the considered differential equation or other chosen operator, evaluated in some neighbor nodes.
The basic concept of the multipoint solution approach, introduced by Collatz, has been reformulated and extended to the multipoint meshless FDM including the following basic modifications:
– arbitrarily distributed nodes may be used instead of regular meshes only;
– use of the MWLS approximation technique instead of the interpolation one;
– the global (weak) formulations of b.v. problems besides the local (strong) may be applied as well.
Several concepts of the multipoint FDM in the 1D and 2D were proposed, formulated and implemented here. Considered are two basic cases of the meshless multipoint approach: general and specific ones. Moreover, the advanced graphical tool was developed as an original part in this thesis.
This thesis presents results of some benchmark b.v. problems, as well as application of the MFDM to some b. v. problems in mechanics, given in both the local and global formulations. Examined and compared are precision of the results, their convergence and efficiency obtained for various formulations.
