This work is devoted to some recent developments in the Higher Order Approximation introduced to the Meshless Finite Difference Method (MFDM), and its application to solution of boundary value problems in mechanics. In the MFDM, approximation of the sought function is described rather in terms of nodes than by means of any imposed structure like elements, regular meshes etc. Therefore, the MFDM, using arbitrarily irregular clouds of nodes and Moving Weighted Least Squares approximation falls into the category of the MM, being in fact the oldest and, possibly the most developed one of them. In the present thesis, considered are techniques which lead to improvement of the MFDM solution quality. The concept of the HOA used in this thesis, is based on consideration of additional terms in the Taylor expansion of the sought function. Those terms may consist of HO derivatives as well as their jump terms, and/or singularities. They are used here as correction terms to the standard meshless FD operator.
The main objective of this work is a development of the HO correction terms approach in the MFDM, and demonstration that such move may improve, in many ways, efficiency and solution quality of this method. The HO correction terms may be applied in many aspects of the MFDM solution approach. Among them one may distinguish the a'posteriori error estimation as well as adaptation process.
Beside the above mentioned applications of the HO correction terms to development of algorithms used for several aspects of MFDM analysis, in the present work considered are: computational implementation of these MFDM algorithms, examination of the above mentioned aspects on 1D and 2D benchmark tests as well as application of the MFDM to some boundary value problems in mechanics.
Przedmiotem pracy jest rozwijanie Bezsiatkowej Metody Różnic Skończonych (BMRS), która należy do szerokiej klasy metod bezsiatkowych i jej zastosowanie w wybranych zadaniach mechaniki. Metoda ta stanowi rozwinięcie wersji klasycznej (MRS), opartej na siatkach regularnych, stąd dającej się zastosować w określonej grupie prostych zadań brzegowych. BMRS bazuje na dowolnie nieregularnie rozmieszczonych węzłach oraz na aproksymacji metodą Najmniejszych Ważonych Kroczących.
W pracy rozwijana jest aproksymacja rzędu wyższego, oparta na członach korekcyjnych standardowego operatora różnicowego. Człony korekcyjne pochodzą z rozwinięcia nieznanej funkcji w szereg Taylora, nie wymagają wprowadzania nowych węzłów do podstawowego operatora różnicowego. Mogą zawierać pochodne wyższych rzędów oraz wartości skoków i nieciągłości nieznanej funkcji lub/i jej pochodnych. Celem pracy jest zastosowanie członów korekcyjnych w kilku podstawowych aspektach BMRS, jak podwyższenie jakości aproksymacji w obszarze i na brzegu, oszacowanie błędu czy podejście adaptacyjne.
Pracę ilustrują liczne przykłady testowe jedno i dwuwymiarowe, które dały bardzo obiecujące rezultaty, zwłaszcza w świetle rozwiązywania dużych problemów inżynierskich z użyciem proponowanego podejścia. W tym celu autor pracy stworzył odpowiednie oprogramowanie wykorzystujące środowisko systemowe Microsoft Visual C++ oraz środowisko pakietu Matlab, w celu szybkiej wizualizacji wyników. Kilka bardziej i mniej typowych problemów mechaniki (ugięcie belek sprężystych, utrata stateczności, duże ugięcia, nieliniowy związek fizyczny, niezawodność konstrukcji, analiza naprężeń skręcających, niestacjonarny przepływ ciepła w szynie kolejnowej) zostało rozwiązanych z wykorzystaniem omawianego podejścia.
